heron.dioptra 28
κη . Τὰ δὲ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν . τραπεζίου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ , παράλληλον ἔχοντος τῇ Α∠ τὴν ΒΓ , καὶ ἔτι ἑκατέραν αὐτῶν καὶ τὴν ἐπʼ αὐτὰς κάθετον δοθεῖσαν , ἀγαγεῖν παράλληλον τῇ Α∠ , ὡς τὴν ΕΖ , ἀπολαμβάνουσαν τὸ Α∠ΕΖ τραπέζιον δοθὲν τῷ μεγέθει . γεγονέτω δὴ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΒΑ , Γ∠ ἐπὶ τὸ Η · καὶ κάθετος ἡ ΗΘ . ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν Α∠ , ΒΓ δοθεῖσά ἐστι τῷ μεγέθει , λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς Α∠ δοθείς , ὥστε καὶ τῆς ΘΗ πρὸς ΗΚ , καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΚΗ · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ , δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ . ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ δοθεῖσα . δέδοται οὖν καὶ τὸ Α∠Η τρίγωνον τῷ μεγέθει · δέδοται ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΗΕΖ τρίγωνον · λόγος ἄρα τοῦ ΗΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΗΑ∠ τρίγωνον δοθείς , ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΛΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ ἀπὸ ΗΚ , δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΗΛ · δοθεῖσα ἄρα ἡ ΗΛ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΘ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστι . θέσει ἄρα ἡ ΕΖ · ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΚ δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστι . θέσει ἄρα καὶ ἡ ΕΖ . συντεθήσεται δὴ | οὕτως . ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μοιρῶν ιδ , ἡ δὲ Α∠ μοιρῶν ἑπτὰ , ἡ δὲ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος μοιρῶν ϛ . ἐπεὶ οὖν διπλασία ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Α∠ , ὅλη ἄρα ἡ ΗΘ τῆς ΗΚ ἐστὶ διπλασίων · καὶ ἔστιν ἡ ΚΘ μοιρῶν ϛ · ἔσται ἄρα καὶ ἡ λοιπὴ μοιρῶν ϛ · ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ μοιρῶν ζ · τὸ ἄρα Α∠Η τρίγωνον ἔσται μοιρῶν κα . δέον οὖν ἔστω τὸ ἀφαιρούμενον τραπέζιον ποιεῖν μοιρῶν ιθ · ὅλον ἄρα τὸ ΗΕΖ τρίγωνον ἔσται μοιρῶν υ · καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ μοιρῶν ἐστὶν ϛ , τὸ ἄρα ἀπʼ αὐτῆς μοιρῶν ἐστὶ λϛ . πολλαπλασιάζω οὖν τὰ λϛ ἐπὶ τὰ υ · γίνεται αυμ · καὶ παραβάλλω παρὰ τὸν κα , γίνεται ξη U+2220 ιδʹ · καὶ τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ὡς ἔγγιστα η καὶ β · ἔσται οὖν ἡ ΗΛ μοιρῶν η καὶ β , ὧν ἡ ΗΚ μοιρῶν ϛ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ μοιρῶν β καὶ β · ὥστʼ ἐὰν ἀπὸ τῆς καθέτου ἀφέλω μοίρας δύο καὶ β , καὶ παράλληλον ἀγάγω , ἔσται τὸ ἀφαιρούμενον τραπέζιον μοιρῶν ιθ .
Lemmas: καί . ὁ δέ ὑπερτίθημι νῦν δείκνυμι . τραπέζιον δίδωμι ὁ ΑΒΓ∠ , παράλληλος ἔχω ὁ Α∠ ὁ ΒΓ , καί ἔτι ἑκάτερος αὐτός καί ὁ ἐπί αὐτός κάθετος δίδωμι , ἄγω παράλληλος ὁ Α∠ , ὡς ὁ ΕΖ , ἀπολαμβάνω ὁ Α∠ΕΖ τραπέζιον δίδωμι ὁ μέγεθος . γίγνομαι δή καί ἐκβάλλω ὁ ΒΑ , Γ∠ ἐπί ὁ Η · καί κάθετος ὁ ΗΘ . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ Α∠ , ΒΓ δίδωμι εἰμί ὁ μέγεθος , λόγος ἄρα ὁ ΒΓ πρός Α∠ δίδωμι , ὥστε καί ὁ ΘΗν πρός ΗΚ , καί ὁ ΘΚ ἄρα πρός ΚΗ · καί εἰμί δίδωμι ὁ ΘΚ , δίδωμι ἄρα καί ὁ ΚΗ . ἀλλά καί ὁ Α∠ δίδωμι . δίδωμι οὖν καί ὁ Α∠Η τρίγωνος ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα καί ὅλος ὁ ΗΕΖ τρίγωνον · λόγος ἄρα ὁ ΗΕΖ τρίγωνον πρός ὁ ΗΑ∠ τρίγωνον δίδωμι , ὥστε καί ὁ ἀπό ΛΗ πρός ὁ ἀπό ΚΗ λόγος εἰμί δίδωμι · καί εἰμί δίδωμι ὁ ἀπό ΗΚ , δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό ΗΛ · δίδωμι ἄρα ὁ ΗΛ . ἀλλά καί ὁ ΗΘ , καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΘ δίδωμι εἰμί . θέσις ἄρα ὁ ΕΖ · ἀλλά καί ὁ ΗΚ δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ΚΛ δίδωμι εἰμί . θέσις ἄρα καί ὁ ΕΖ . συντίθημι δή | οὕτως . εἰμί ὁ μέν ΒΓ μοῖρα ιδʹ , ὁ δέ Α∠ μοῖρα ἑπτά , ὁ δέ ἐπί αὐτός κάθετος μοῖρα ϛ . ἐπεί οὖν διπλάσιος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ Α∠ , ὅλος ἄρα ὁ ΗΘ ὁ ΗΚ εἰμί διπλασίων · καί εἰμί ὁ ΚΘ μοῖρα ϛ · εἰμί ἄρα καί ὁ λοιπός μοῖρα ϛ · ἀλλά καί ὁ Α∠ μοῖρα ζʹ · ὁ ἄρα Α∠Η τρίγωνον εἰμί μοῖρα ἄν . δέω οὖν εἰμί ὁ ἀφαιρέω τραπέζιον ποιέω μοῖρα ιθʹ · ὅλος ἄρα ὁ ΗΕΖ τρίγωνον εἰμί μοῖρα υ̅ · καί ἐπεί ὁ ΗΚ μοῖρα εἰμί ϛ , ὁ ἄρα ἀπό αὐτός μοῖρα εἰμί λϛʹ . πολλαπλασιάζω οὖν ὁ λϛ ἐπί ὁ υ̅ · γίγνομαι αυμʹ · καί παραβάλλω παρά ὁ ἄν , γίγνομαι ξηʹ U+2220 ιδʹ · καί οὗτος πλευρόν τετραγωνικός γίγνομαι ὡς ἐγγύς η̅ καί β · εἰμί οὖν ὁ ΗΛ μοῖρα η̅ καί β , ὅς ὁ ΗΚ μοῖρα ϛ · λοιπός ἄρα ὁ ΚΛ μοῖρα β καί β · ὥστε ἐάν ἀπό ὁ καθέτης ἀφαιρέω μοῖρα δύο καί β , καί παράλληλος ἄγω , εἰμί ὁ ἀφαιρέω τραπέζιον μοῖρα ιθʹ .