heron.dioptra 13
ιγ . Δύο σημείων ὁρωμένων εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι μὴ προσεγγίσαντα τοῖς εἰρημένοις δύο σημείοις τοῖς Α , Β . Δυνατὸν ἄρα ἐστὶν , ὡς ἐπάνω δέδεικται , ἐπιγνῶναι τὴν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι · νοείσθω κατὰ τῆς ΓΑ . ὁμοίως δὴ πεπορίσθω καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι · καὶ ἔστω ἡ Β∠ . καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος νοείσθω ἡ ΑΕ , καὶ τεμνέτω τὴν Β∠ κατὰ τὸ Ε ἡ ἄρα ζητουμένη κάθετός ἐστιν ἡ ΒΕ . καὶ ἔστιν φανερὸν ὅτι δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο ὁρωμένων σημείων τὴν ἐπιζευγνύουσαν αὐτὰ εὐθεῖαν | ἡλίκη ἐστίν , ἐπειδήπερ δοθεῖσά ἐστιν ἥ τε ἀπὸ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι , καὶ ἔτι τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τὸ πρὸς διαβήτην δοθέν ἐστι , τὰ δʼ εἰρημένα διαστήματα πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἀλλήλοις · ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν , ἥτις ἐπὶ τὰ δοθέντα σημεῖα ἐπιζευγνυμένη , δοθεῖσά ἐστιν . Δύο δοθέντων σημείων εὑρεῖν τὴν θέσιν τῆς ἐπιζευγνυούσης αὐτὰ εὐθείας , μὴ προσεγγίσαντα τοῖς σημείοις . ἔστω τὰ δοθέντα σημεῖα τὰ Α , Β · δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τοῦ διὰ τῶν Α , Β ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸν ὁρίζοντα τὴν θέσιν εὑρεῖν , ὡς ἐμάθομεν ἐν τοῖς ἔμπροσθεν · τουτέστιν καθέτου ἀχθείσης ἀφʼ ἑκατέρου τῶν σημείων Α , Β ἐπὶ τὸ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπίπεδον , δοθεισῶν τῶν ΑΓ , Β ∠ , τὴν θέσιν τῆς Γ∠ εὑρεῖν . ηὑρήσθω καὶ ἔστω ἡ ΗΖ , καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ ἔστω , ἣ καὶ τῇ ΗΖ παράλληλός ἐστι , καὶ δοθεῖσα ἔσται λοιπὴ ἑκατέρα τῶν ΑΕ , ΒΕ , ὡς προδέδεικται . εἰλήφθω δὴ ἐπὶ τῆς ΗΖ δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Η , Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀνεστάτω τις ὀρθὴ πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἡ ΖΘ κανόνος παρατεθέντος ἢ ἑτέρου τινός . παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ ∠Β · καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ παράλληλος ἔσται τῇ ΑΒ · τοῦτο γὰρ φανερὸν διά τε τὰς παραλλήλους καὶ τὰς ἀναλογίας · πεπόρισται ἄρα ἡ θέσις τῆς ΑΒ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν . Ἐκ δὴ τῶν προδεδιδαγμένων φανερόν , ὅτι δυνατόν ἐστιν , ὄρους ὑπάρχοντος , εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι , μὴ προσεγγίσαντα τῷ ὄρει , καὶ τὴν ἀφʼ οἱουδηποτοῦν σημείου κειμένου ἐν τῷ ὄρει καὶ ὁρωμένου ἀγομένην κάθετον εὑρεῖν · ἐπειδήπερ ἐμάθομεν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου κάθετον πορίσασθαι , καὶ ὁμοίως δυνατὸν ἦν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου ἐν τῷ ὄρει κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἑτέρου σημείου ἐν τῷ ὄρει κειμένου καὶ ὁρωμένου ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι . ἁπλῶς γὰρ δύο σημείων δοθέντων οἱωνδηποτοῦν τὰ αὐτὰ ἐμάθομεν πορίσασθαι , τουτέστιν τάς τε ἀγομένας ἀπʼ αὐτῶν καθέτους | καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τό γε πρὸς διαβήτην , καὶ ὡς ἔχει θέσεως , μὴ προσιόντα τοῖς σημείοις .
Lemmas: πνίξ . δύο σημεῖον ὁράω εὑρίσκω ὁ ἀπό ὁ εἷς αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ διά ὁ ἕτερος ἐπίπεδος ἐκβάλλω παράλληλος ὁ ὁρίζω μή προσεγγίζω ὁ λέγω δύο σημεῖον ὁ Α , Β . δυνατός ἄρα εἰμί , ὡς ἐπάνω δείκνυμι , ἐπιγιγνώσκω ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ἄγω ἐπί ὁ διά ἐγώ ἐκβάλλω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ὁρίζω · νοέω κατά ὁ ΓΑ . ὅμοιος δή πορίζω καί ὁ ἀπό ὁ Β κάθετος ἐπί ὁ διά ἐγώ ἐκβάλλω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ὁρίζω · καί εἰμί ὁ Β∠ . καί διά ὁ Α ὁ Γ∠ παράλληλος νοέω ὁ ΑΕ , καί τέμνω ὁ Β∠ κατά ὁ Ε ὁ ἄρα ζητέω κάθετος εἰμί ὁ ΒΕ . καί εἰμί φανερός ὅτι δυνατός εἰμί εὑρίσκω δύο ὁράω σημεῖον ὁ ἐπιζεύγνυμι αὐτός εὐθεῖα | ἡλίκος εἰμί , ἐπειδή δίδωμι εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ἕτερος αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ διά ὁ ἕτερος ἐπίπεδος ἐκβάλλω παράλληλος ὁ ὁρίζω , καί ἔτι ὁ μεταξύ αὐτός διάστημα ὁ πρός διαβήτης δίδωμι εἰμί , ὁ δέ λέγω διάστημα πρός ὀρθός εἰμί ἀλλήλων · ὥστε καί ὁ ὑποτείνω ὁ ὀρθός , ὅστις ἐπί ὁ δίδωμι σημεῖον ἐπιζεύγνυμι , δίδωμι εἰμί . δύο δίδωμι σημεῖον εὑρίσκω ὁ θέσις ὁ ἐπιζεύγνυμι αὐτός εὐθεῖα , μή προσεγγίζω ὁ σημεῖον . εἰμί ὁ δίδωμι σημεῖον ὁ Α , Β · δυνατός ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ Α , Β ἐκβάλλω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων ὁ θέσις εὑρίσκω , ὡς μανθάνω ἐν ὁ ἔμπροσθεν · τουτέστι καθέτης ἄγω ἀπό ἑκάτερος ὁ σημεῖον Α , Β ἐπί ὁ παρά ὁ ὁρίζων ἐπίπεδος , δίδωμι ὁ ΑΓ , Β ∠ , ὁ θέσις ὁ Γ∠ εὑρίσκω . εὑρίσκω καί εἰμί ὁ ΗΖ , καί διά ὁ Α ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ ΑΕ εἰμί , ὅς καί ὁ ΗΖ παράλληλος εἰμί , καί δίδωμι εἰμί λοιπός ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΒΕ , ὡς προδείκνυμι . λαμβάνω δή ἐπί ὁ ΗΖ δύο τυγχάνω σημεῖον ὁ Η , Ζ , καί ἀπό ὁ Ζ ἀνίστημι τις ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων ὁ ΖΘ κανών παρατίθημι ἤ ἕτερος τις . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ∠Β · καί ποιέω ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , ὁ ΗΖ πρός ΖΘ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ · οὗτος γάρ φανερός διά τε ὁ παράλληλος καί ὁ ἀναλογία · πορίζω ἄρα ὁ θέσις ὁ ΑΒ ἐν ὁ πρός ἐγώ μέρος . ἐκ δή ὁ προδιδάσκω φανερός , ὅτι δυνατός εἰμί , ὄρος ὑπάρχω , εὑρίσκω ὁ ἀπό ὁ κορυφή αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ διά ἐγώ ἐκβάλλω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ὁρίζω , μή προσεγγίζω ὁ ὄρος , καί ὁ ἀπό οίσ̔ουδηποτς σημεῖον κεῖμαι ἐν ὁ ὄρος καί ὁράω ἄγω κάθετος εὑρίσκω · ἐπειδή μανθάνω ὁ ἀπό πᾶς σημεῖον ὁράω κάθετος πορίζω , καί ὅμοιος δυνατός εἰμί ὁ ἀπό πᾶς σημεῖον ὁράω ἐν ὁ ὄρος κάθετος ἄγω ἐπί ὁ διά ἕτερος σημεῖον ἐν ὁ ὄρος κεῖμαι καί ὁράω ἐκβάλλω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ὁρίζω . ἁπλῶς γάρ δύο σημεῖον δίδωμι οίσ̔ωνδηποτς ὁ αὐτός μανθάνω πορίζω , τουτέστι ὁ τε ἄγω ἀπό αὐτός κάθετος | καί ὁ μεταξύ αὐτός διάστημα ὁ γε πρός διαβήτης , καί ὡς ἔχω θέσις , μή προσέρχομαι ὁ σημεῖον .