heron.dioptra 27
κζ . Τὺ δοθὲν χωρίον μετρῆσαι μὴ εἰσελθόντα εἰς τὸ χωρίον , ἤτοι διὰ φυτείας πυκνότητα ἢ διὰ οἰκοδομημάτων ἐμποδισμὸν ἢ διὰ τὸ μὴ ἐξεῖναι εἰς τὸ χωρίον εἰσιέναι . ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΒΓ , Γ∠ , ∠Ε , ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΑ . ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΗ , ΘΗ ἐπὶ τὰ ἐκτὸς τοῦ χωρίου μέρη , ἤτοι διὰ | κανόνων ἢ σπάρτου · καὶ τῆς μὲν ΖΗ μέρος τι κείσθω ἡ ΗΚ , τῆς δὲ ΘΗ τὸ αὐτὸ μέρος ἡ ΗΛ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ · ἔσται δὴ καὶ ἡ ΚΛ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΖ . καὶ ὃν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ , τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ τὸ ΖΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΚΛ τρίγωνον , διὰ τὸ παράλληλον γίνεσθαι τὴν ΘΖ τῇ ΚΛ · οἷον , εἰ τύχοι , εἰ πενταπλασία ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΚ , ἔσται τὸ ΖΗΘ τρίγωνον πεντεκαιεικοσαπλάσιον τοῦ ΗΚΛ τριγώνου . δυνατὸν δὲ μετρῆσαι τὸ ΗΚΑ τρίγωνον , ἐπειδήπερ ἔχω τὰς πλευρὰς αὐτοῦ · τοῦτο γὰρ ἑξῆς δείξομεν · δυνατὸν οὖν καὶ τοῦ ΖΗΘ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν πορισθῆναι . ἐὰν οὖν νοήσωμεν ἐπιζευχθείσας τὰς ΘΖ , ΘΕ , Θ∠ , ΘΓ , ΘΒ , καὶ εὕρωμεν ἑκάστου τῶν ΘΕΖ , ΘΕ∠ , Θ∠Γ , ΘΓΒ , ΘΒΑ τριγώνων τὸ ἐμιβαδὸν , ἔστιν καὶ ὅλου τοῦ χωρίου τὸ ἐμβαδὸν πεπορισμένον . ἐκβεβλήσθω ἡ ΗΖ ἐπὶ τὸ Μ , καὶ κείσθω τῇ ΗΚ ἴση ἡ ΖΜ · καὶ ἐπὶ τῆς ΖΜ σχοινίῳ κεκλάσθωσαν αἱ ΖΝ , ΝΜ , ὥστʼ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΖΝ τῇ ΚΛ , τὴν δὲ ΝΜ τῇ ΗΛ · ἔσται δὴ ἡ ΖΜ τῇ ΗΖ καὶ ἡ ΝΖ τῇ ΖΘ ἐπʼ εὐθείας . ἐκβεβλήσθω δὴ καὶ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Ξ · καὶ τῆς μὲν ΕΖ μέρος ἔστω ἡ ΖΞ , τῆς δὲ ΘΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἡ ΖΟ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΟ · ἔσται δὴ καὶ ἡ ΞΟ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΕ καὶ παράλληλος αὐτῇ . καὶ ἔστι ὡς τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΞ τὸ ΕΘΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΞΖΟ τρίγωνον · δυνάμεθα δὲ πορίσασθαι τὸ ΞΖΟ , ἐπειδήπερ ἑκάστην τῶν πλευρῶν αὐτοῦ δυνατόν ἐστιν μετρῆσαι · ὥστε καὶ τὸ ΞΘΖ τρίγωνον πορίσασθαι δυνατόν ἐστιν . ὁμοίως δὴ καὶ ἑκάστου τῶν λοιπῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν ποριούμεθα · ὥστε καὶ τοῦ ὅλου χωρίου δυνατόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι .
Lemmas: κζ . σύ δίδωμι χωρίον μετρέω μή εἰσέρχομαι εἰς ὁ χωρίον , ἤτοι διά φυτεία πυκνότης ἤ διά οἰκοδόμημα ἐμποδισμός ἤ διά ὁ μή ἔξεστι εἰς ὁ χωρίον εἰσέρχομαι . εἰμί ὁ δίδωμι χωρίον περιέχω ὑπό εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ , Γ∠ , ∠Ε , ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΑ . ἐκβάλλω ὁ ΖΗ , ΘΗ ἐπί ὁ ἐκτός ὁ χωρίον μέρος , ἤτοι διά | κανών ἤ σπάρτος · καί ὁ μέν ΖΗ μέρος τις κεῖμαι ὁ ΗΚ , ὁ δέ ΘΗν ὁ αὐτός μέρος ὁ ΗΛ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΛ · εἰμί δή καί ὁ ΚΛ ὁ αὐτός μέρος ὁ ΘΖ . καί ὅς λόγος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΚ , ὁ αὐτός λόγος ἔχω καί ὁ ΖΗΘ τρίγωνον πρός ὁ ΗΚΛ τρίγωνον , διά ὁ παράλληλος γίγνομαι ὁ ΘΖ ὁ ΚΛ · οἷος , εἰ τυγχάνω , εἰ πενταπλάσιος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΚ , εἰμί ὁ ΖΗΘ τρίγωνον πεντεκαιεικοσαπλασύς ὁ ΗΚΛ τρίγωνον . δυνατός δέ μετρέω ὁ ΗΚΑ τρίγωνος , ἐπειδή ἔχω ὁ πλευρά αὐτός · οὗτος γάρ ἑξῆς δείκνυμι · δυνατός οὖν καί ὁ ΖΗΘ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν πορίζω . ἐάν οὖν νοέω ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΖ , ΘΕ , Θ∠ , ΘΓ , ΘΒ , καί εὑρίσκω ἕκαστος ὁ ΘΕΖ , ΘΕ∠ , Θ∠Γ , ΘΓΒ , ΘΒΑ τρίγων ὁ ἐμιβαδὸν , εἰμί καί ὅλος ὁ χωρίον ὁ ἐμβαδόν πορίζω . ἐκβάλλω ὁ ΗΖ ἐπί ὁ Μ , καί κεῖμαι ὁ ΗΚ ἴσος ὁ ΖΜ · καί ἐπί ὁ ΖΜ σχοινίον κλάω ὁ ΖΝ , ΝΜ , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ μέν ΖΝ ὁ ΚΛ , ὁ δέ ΝΜ ὁ ΗΛ · εἰμί δή ὁ ΖΜ ὁ ΗΖ καί ὁ ΝΖ ὁ ΖΘ ἐπί εὐθεῖα . ἐκβάλλω δή καί ὁ ΕΖ ἐπί ὁ Ξ · καί ὁ μέν ΕΖ μέρος εἰμί ὁ ΖΞ , ὁ δέ ΘΖ ὁ αὐτός μέρος ὁ ΖΟ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞΟ · εἰμί δή καί ὁ ΞΟ ὁ αὐτός μέρος ὁ ΘΕ καί παράλληλος αὐτός . καί εἰμί ὡς ὁ ἀπό ΕΖ πρός ὁ ἀπό ΖΞ ὁ ΕΘΖ τρίγωνον πρός ὁ ΞΖΟ τρίγωνον · δύναμαι δέ πορίζω ὁ ΞΖΟ , ἐπειδή ἕκαστος ὁ πλευρά αὐτός δυνατός εἰμί μετρέω · ὥστε καί ὁ ΞΘΖ τρίγωνος πορίζω δυνατός εἰμί . ὅμοιος δή καί ἕκαστος ὁ λοιπός τρίγων ὁ ἐμβαδόν πορίζω · ὥστε καί ὁ ὅλος χωρίον δυνατός εἰμί ὁ ἐμβαδόν πορίζω .