heron.dioptra 7
ζ . Ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου ἐπὶ τὸ δοθὲν σημεῖον , ἀθεώρητον ὑπάρχον , εὐθεῖαν ἐπιζεῦξαι διὰ διόπτρας , ἡλίκον ἂν τὸ μεταξὺ τῶν σημείων διάστημα . ἔστω γὰρ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α , Β , καὶ κατεσκευάσθω ἡ διόπτρα ἡ δυναμένη ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλοις διοπτεύειν , καὶ κείσθω πρὸς τῷ Α · καὶ εἰλήφθω διὰ τῆς διόπτρας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΑΓ , ἡλίκην ἂν βουλώμεθα τῷ μεγέθει . καὶ μετακείσθω ἡ διόπτρα πρὸς τῷ Γ , καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ Γ∠ , ἡλίκη ἂν ᾖ τῷ μεγέθει . καὶ ὁμοίως μετακείσθω ἡ διόπτρα πρὸς τῷ ∠ , καὶ τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς | ἡ ∠Ε , ἡλίκη ἂν τῷ μεγέθει . καὶ πάλιν μετακείσθω ἡ διόπτρα πρὸς τῷ Ε , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ · καὶ ὁμοίως τυχὸν εἰλήφθω τὸ Ζ . καὶ τῇ ΖΕ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ , καὶ τυχὸν τὸ Η · καὶ τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΘ , καὶ τυχὸν τὸ Θ καὶ τῇ ΗΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚ , καὶ τυχὸν τὸ Κ · καὶ τῇ ΘΚ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΛ · καὶ τοῦτο γινέσθω , ἄχρις ἂν ὀφθῇ τὸ Β σημεῖον . γεγονέτω , καὶ παραγέσθω ἡ διόπτρα ἐπὶ τῆς ΚΛ , ἕως οὗ διὰ τῆς ἑτέρας ἐν αὐτῇ εὐθείας φανῇ τὸ Β . πεφηνέτω οὔσης τῆς διόπτρας κατὰ τὸ Λ . ἅμα δὴ διοπτεύοντες γράψομεν ἐν χάρτῃ ἢ δέλτῳ τό τε σχῆμα τοῦ διοπτρισμοῦ , τουτέστιν τὰς κλάσεις τῶν εὐθειῶν , καὶ ἔτι τὰ μεγέθη ἑκάστης αὐτῶν ἐπιγράψομεν . ἔστω οὖν ἡ μὲν ΑΓ πηχῶν εὑρημένη λόγου χάριν κ · ἡ δὲ Γ∠ πηχῶν κβ ἡ δὲ ∠Ε πηχῶν ιϛ · ἡ δὲ ΕΖ πηχῶν λ · ἡ δὲ ΖΗ πηχῶν ιδ ἡ δὲ ΗΘ πηχῶν ιβ · ἡ δὲ ΘΚ πηχῶν ξ · ἡ δὲ ΚΛ πηχῶν η · ἡ δὲ ΛΒ πηχῶν ν . τούτων δὲ οὕτως ἐχόντων νενοήσθω τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἠγμένη ἡ ΑΜ καὶ ἐκβεβλημέναι αἱ ΛΒ , ΚΘ , ΖΗ , Ε∠ ἐπὶ τὰ Μ , Ν , Ξ , Ο · αἱ δὲ ΕΖ , ΗΘ , Γ∠ ἐπὶ τὰ Π , Ρ , Σ . ἔσται ἄρα διὰ τοὺς ἐπικειμένους ἀριθμοὺς ἡ μὲν ΑΟ πηχῶν κβ , ἐπεὶ καὶ ἡ Γ∠ ἡ δὲ ΟΞ λ , ἐκεὶ καὶ ἡ ΕΖ ἡ δὲ ΞΝ ιβ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΘ · ἡ δὲ ΜΝ η , ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΛ · ὥστε ὅλη ἡ ΑΜ ἔσται πηχῶν οβ . πάλιν δὲ ἔσται ἡ μὲν ΜΣ πηχῶν κ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ · ἡ δὲ ΠΣ πηχῶν ιϛ , ἐπεὶ καὶ ἡ ∠Ε ἡ δὲ ΠΡ πηχῶν ιδ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΖΗ . λοιπὴ ἄρα ἡ ΡΣ ἔσται πηχῶν β · ὅλη ἄρα ἡ ΡΜ ἔσται πηχῶν κβ . πάλιν δὲ ἔσται ἡ ΡΛ πηχῶν ξ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΘ ὧν ἡ ΠΡ πηχῶν ιδ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΠ πηχῶν μϛ · ὅλη δὲ ἡ ΛΒ πηχῶν ν · λοιπὴ οὗν ἡ ΠΒ πηχῶν δ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΡ πηχῶν ι . ἀλλὰ ἡ ΡΜ πηχῶν κβ · ὅλη ἄρα ἡ ΜΒ ἔσται πηχῶν λβ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΜ πηχῶν οβ · λόγος ἄρα τῆς ΑΜ πρὸς τὴν ΜΒ , ὃν ἔχει τὰ οβ πρὸς λβ . τούτου δὲ εὑρεθέντος ἀπειλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΜ ἡ ΑΤ πηχῶν , εἰ τύχοι , θ , καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΤΥ · καὶ πεποιήσθω ὡς τὰ οβ πρὸς λβ , ἡ ΑΤ , τουτέστιν οἱ θ πήχεις , πρὸς ἄλλον τινά · γίνεται δὲ πηχῶν δ ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΤΥ πηχῶν δ . ἔσται οὖν τὸ Υ ἐπὶ τῆς ζευγνυούσης τὰ Α , Β σημεῖα . πάλιν δὲ τῇ ΥΤ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΥΦ , καὶ ἀπειλήφθω , εἰ τύχοι , πηχῶν ιη · καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΦΧ · καὶ πεποιήσθω | ὡς τὰ οβ πρὸς λβ , οὕτως οἱ ιη πήχεις πρὸς ἄλλον τινὰ · γίνεται δὲ πρὸς η . ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΦΧ πηχῶν η · καὶ ἔσται τὸ Χ ἐπὶ τῆς ζευγνυούσης τὰ Α , Β σημεῖα . ὡσαύτως οὖν διὰ τῆς διόπτρας πρὸς ὀρθὰς ἄγοντες καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ποιοῦντες ἕξομεν συνεχῆ σημεῖα ἐπὶ τῆς ζητουμένης εὐθείας τῆς ΑΒ .
Lemmas: ζ . ἀπό ὁ δίδωμι σημεῖον ἐπί ὁ δίδωμι σημεῖον , ἀθεώρητος ὑπάρχω , εὐθεῖα ἐπιζεύγνυμι διά διόπτρα , ἡλίκος ἄν ὁ μεταξύ ὁ σημεῖον διάστημα . εἰμί γάρ δίδωμι δύο σημεῖον ὁ Α , Β , καί κατασκευάζω ὁ διόπτρα ὁ δύναμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἀλλήλων διοπτεύω , καί κεῖμαι πρός ὁ Α · καί λαμβάνω διά ὁ διόπτρα ἐν ὁ ἐπίπεδος εὐθύς ὁ ΑΓ , ἡλίκος ἄν βούλομαι ὁ μέγεθος . καί μετάκειμαι ὁ διόπτρα πρός ὁ Γ , καί ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ἄγω ὁ Γ∠ , ἡλίκος ἄν εἰμί ὁ μέγεθος . καί ὅμοιος μετάκειμαι ὁ διόπτρα πρός ὁ ∠ , καί ὁ Γ∠ πρός ὀρθός | ὁ ∠Ε , ἡλίκος ἄν ὁ μέγεθος . καί πάλιν μετάκειμαι ὁ διόπτρα πρός ὁ Ε , καί πρός ὀρθός ὁ ΕΖ · καί ὅμοιος τυγχάνω λαμβάνω ὁ Ζ . καί ὁ ΖΕ πρός ὀρθός ὁ ΖΗ , καί τυγχάνω ὁ Η · καί ὁ ΖΗ πρός ὀρθός ὁ ΗΘ , καί τυγχάνω ὁ Θ καί ὁ ΗΘ πρός ὀρθός ὁ ΘΚ , καί τυγχάνω ὁ Κ · καί ὁ ΘΚ πρός ὀρθός ὁ ΚΛ · καί οὗτος γίγνομαι , ἄχρι ἄν ὁράω ὁ Β σημεῖον . γίγνομαι , καί παράγω ὁ διόπτρα ἐπί ὁ ΚΛ , ἕως ὅς διά ὁ ἕτερος ἐν αὐτός εὐθεῖα φαίνω ὁ Β . φαίνω εἰμί ὁ διόπτρα κατά ὁ Λ . ἅμα δή διοπτεύω γράφω ἐν χάρτης ἤ δέλτος ὁ τε σχῆμα ὁ διοπτρισμός , τουτέστι ὁ κλάσις ὁ εὐθύς , καί ἔτι ὁ μέγεθος ἕκαστος αὐτός ἐπιγράφω . εἰμί οὖν ὁ μέν ΑΓ πῆχυς εὑρίσκω λόγος χάριν κ · ὁ δέ Γ∠ πῆχυς κβʹ ὁ δέ ∠Ε πῆχυς ιϛʹ · ὁ δέ ΕΖ πῆχυς λ · ὁ δέ ΖΗ πῆχυς ιδʹ ὁ δέ ΗΘ πῆχυς ιβʹ · ὁ δέ ΘΚ πῆχυς ξ · ὁ δέ ΚΛ πῆχυς η̅ · ὁ δέ ΛΒ πῆχυς ν . οὗτος δέ οὕτως ἔχω νοέω ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΑΜ καί ἐκβάλλω ὁ ΛΒ , ΚΘ , ΖΗ , Ε∠ ἐπί ὁ Μ , Ν , Ξ , Ο · ὁ δέ ΕΖ , ΗΘ , Γ∠ ἐπί ὁ Π , Ρ , Σ . εἰμί ἄρα διά ὁ ἐπίκειμαι ἀριθμός ὁ μέν ΑΟ πῆχυς κβʹ , ἐπεί καί ὁ Γ∠ ὁ δέ ΟΞ λ , ἐπεί καί ὁ ΕΖ ὁ δέ ΞΝ ιβʹ , ἐπεί καί ὁ ΗΘ · ὁ δέ ΜΝ η̅ , ἐπεί καί ὁ ΚΛ · ὥστε ὅλος ὁ ΑΜ εἰμί πῆχυς οβʹ . πάλιν δέ εἰμί ὁ μέν ΜΣ πῆχυς κ , ἐπεί καί ὁ ΑΓ · ὁ δέ ΠΣ πῆχυς ιϛʹ , ἐπεί καί ὁ ∠Ε ὁ δέ ΠΡ πῆχυς ιδʹ , ἐπεί καί ὁ ΖΗ . λοιπός ἄρα ὁ ΡΣ εἰμί πῆχυς β · ὅλος ἄρα ὁ ΡΜ εἰμί πῆχυς κβʹ . πάλιν δέ εἰμί ὁ ΡΛ πῆχυς ξ , ἐπεί καί ὁ ΚΘ ὅς ὁ ΠΡ πῆχυς ιδʹ · λοιπός ἄρα ὁ ΛΠ πῆχυς μϛʹ · ὅλος δέ ὁ ΛΒ πῆχυς ν · λοιπός ἐν ὁ ΠΒ πῆχυς δ · λοιπός ἄρα ὁ ΒΡ πῆχυς ιʹ . ἀλλά ὁ ΡΜ πῆχυς κβʹ · ὅλος ἄρα ὁ ΜΒ εἰμί πῆχυς λβʹ . ἀλλά καί ὁ ΑΜ πῆχυς οβʹ · λόγος ἄρα ὁ ΑΜ πρός ὁ ΜΒ , ὅς ἔχω ὁ οβʹ πρός λβʹ . οὗτος δέ εὑρίσκω ἀπολαμβάνω ἐπί ὁ ΑΜ ὁ ΑΤ πῆχυς , εἰ τυγχάνω , θʹ , καί οὗτος πρός ὀρθός ὁ ΤΥ · καί ποιέω ὡς ὁ οβʹ πρός λβʹ , ὁ ΑΤ , τουτέστι ὁ θʹ πῆχυς , πρός ἄλλος τις · γίγνομαι δέ πῆχυς δ ἀπολαμβάνω οὖν ὁ ΤΥ πῆχυς δ . εἰμί οὖν ὁ Υ ἐπί ὁ ζεύγνυμι ὁ Α , Β σημεῖον . πάλιν δέ ὁ ΥΤ πρός ὀρθός ὁ ΥΦ , καί ἀπολαμβάνω , εἰ τυγχάνω , πῆχυς ιηʹ · καί οὗτος πρός ὀρθός ὁ ΦΧ · καί ποιέω | ὡς ὁ οβʹ πρός λβʹ , οὕτως ὁ ιηʹ πῆχυς πρός ἄλλος τις · γίγνομαι δέ πρός η̅ . ἀπολαμβάνω οὖν ὁ ΦΧ πῆχυς η̅ · καί εἰμί ὁ Χ ἐπί ὁ ζεύγνυμι ὁ Α , Β σημεῖον . ὡσαύτως οὖν διά ὁ διόπτρα πρός ὀρθός ἄγω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος ποιέω ἔχω συνεχής σημεῖον ἐπί ὁ ζητέω εὐθεῖα ὁ ΑΒ .