heron.dioptra 37
λζ . Τῇ δοθείσῃ δυνάμει τὸ δοθὲν βάρος κινῆσαι διὰ τυμπάνων ὀδοντωτῶν παραθέσεως . κατεσκευάσθω πῆγμα καθάπερ γλωσσόκομον · εἰς τοὺς μακροὺς καὶ παραλλήλους τοίχους διακείσθωσαν ἄξονες παράλληλοι ἑαυτοῖς , ἐν διαστήμασι κείμενοι ὥστε τὰ συμφυῆ αὐτοῖς ὀδοντωτὰ τύμπανα παρακεῖσθαι καὶ συμπεπλέχθαι ἀλλήλοις , καθὰ μέλλομεν δηλοῦν . ἔστω τὸ εἰρημένον γλωσσόκομον τὸ ΑΒΓ∠ , ἐν ᾧ ἄξων ἔστω διακείμενος , ὡς εἴρηται , καὶ δυνάμενος εὐλύτως στρέφεσθαι , ὁ ΕΖ . τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΗΘ ἔχον τὴν διάμετρον , εἰ τύχοι , πενταπλασίονα τῆς τοῦ ΕΖ ἄξονος διαμέτρου . καὶ ἵνα ἐπὶ παραδείγματος τὴν κατασκευὴν ποιησώμεθα , ἔστω τὸ μὲν ἀγόμενον βάρος ταλάντων χιλίων , ἡ δὲ κινοῦσα δύναμις ἔστω ταλάντων ε , τουτέστιν ὁ κινῶν ἄνθρωπος ἢ παιδάριον , ὥστε δύνασθαι καθʼ ἑαυτὸν ἄνευ μηχανῆς ἕλκειν τάλαντα ε . οὐκοῦν ἐὰν τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ἐκδεδεμένα ὅπλα διά τινος ὀπῆς οὔσης ἐν τῷ ΑΒ τοίχῳ ἐπειληθῇ περὶ τὸν ΕΖ ἄξονα κατειλούμενα τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα | κινήσει τὸ βάρος · ἵνα δὲ κινηθῇ τὸ ΗΘ τύμπανον , δεῖ δυνάμει ὑπάρχειν πλέον ταλάντων διακοσίων , διὰ τὸ τὴν διάμετρον τοῦ τυμπάνου τῆς διαμέτρου τοῦ ἄξονος , ὡς ὑπεθέμεθα , πενταπλῆν εἶναι · ταῦτα γὰρ ἀπεδείχθη ἐν ταῖς τῶν ε δυνάμεων ἀποδείξεσιν . ἀλλʼ ἔχομεν τί τὴν δύναμιν ταλάντων διακοσίων , ἀλλὰ πέντε . γεγονέτω οὖν ἕτερος ἄξων παβάλληλος διακείμενος τῷ ΕΖ , ὁ ΚΛ , ἔχων συμφυὲς τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΜΝ . ὀδοντῶδες δὲ καὶ τὸ ΗΘ τύμπανον , ὥστε ἐναρμόζειν ταῖς ὀδοντώσεσι τοῦ ΜΝ τυμπάνου . τῷ δὲ αὐτῷ ἄξονι τῷ ΚΛ συμφυὲς τύμπανον τὸ ΞΟ , ἔχον ὁμοίως τὴν διάμετρον πενταπλασίονα τῆς τοῦ ΜΝ τυμπάνου διαμέτρου . διὰ δὴ τοῦτο δεήσει τὸν βουλόμενον κινεῖν διὰ τοῦ ΞΟ τυμπάνου τὸ βάρος ἔχειν δύναμιν ταλάντων μ , ἐπειδήπερ τῶν σ ταλάντων τὸ πέμπτον ἐστὶ τάλαντα μ . πάλιν οὖν παρακείσθω τῷ ΞΟ τυμπάνῳ ὠδοντωμένῳ τύμπανον ὀδοντωθὲν ἕτερον τὸ ΠΡ , καὶ ἔστω τῷ τυμπάνῳ ὠδοντωμένῳ τῷ ΠΡ συμφυὲς ἕτερον συμφυὲς ἔχον ὁμοίως πενταπλῆν τὴν διάμετρον τῆς ΠΡ τυμπάνου διαμέτρου · ἡ δὲ ἀνάλογος ἔσται δύναμις τοῦ ΣΤ τυμπάνου ἡ ἔχουσα τὸ βάρος ταλάντων η · ἄλλʼ ἡ ὑπάρχουσα ἡμῖν δύναμις δέδοται ταλάντων ε . ὁμοίως ἕτερον παρακείσθω τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΥΦ τῷ ΣΤ ὀδοντωθέντι · τοῦδε τοῦ ΥΦ τυμπάνου τῷ ἄξονι συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ΧΨ ὠδοντωμένον , οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΥΦ τυμπάνου διάμετρον λόγον ἐχέτω , ὃν τὰ ὀκτὼ τάλαντα πρὸς τὰ τῆς δοθείσης δυνάμεως τάλαντα ε . καὶ τούτων κατασκευασθέντων , ἐὰν ἐπινοήσωμεν τὸ ΑΒΓ∠ γλωσσόκομον μετέωρον κείμενον , καὶ ἐκ μὲν τοῦ ΕΖ ἄξονος τὸ βάρος ἐξάψωμεν . ἐκ δὲ τοῦ ΧΨ τυμπάνου τὴν ἕλκουσαν δύναμιν , οὐδοπότερον πότερον αὐτῶν κατενεχθήσεται , εὐλύτως στρεφομένων τῶν ἀξόνων , καὶ τῆς τῶν τυμπάνων παραθέσεως καλῶς ἁρμοζούσης , ἀλλʼ ὥσπερ ζυγοῦ τινὸς ἰσορροπήσει ἡ δύναμις τῷ βάρει . ἐὰν δὲ ἑνὶ αὐτῶν προσθῶμεν ὀλίγον ἕτερον βάρος , καταρρέψει καὶ ἐνεχθήσεται ἐφʼ ὃ προσετέθη βάρος , ὥστε ἐὰν ἓν τῶν ε ταλάντων δυνάμει εἰ τύχοι μναϊαῖον προστεθῇ βάρος , κατακρατήσει καὶ ἐπισπάσεται τὸ βάρος . ἀντὶ τῆς προσθέσεως τούτῳ δὲ παρακείσθω | κοχλίας ἔχων τὴν ἕλικα ἁρμοστὴν τοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπάνου , στρεφόμενος εὐλύτως περὶ τόρμους ἐνόντας ἐν τρήμασι στρογγύλοις , ὧν ὁ μὲν ἕτερος ὑπερεχέτω εἰς τὸ ἐκτὸς μέρος τοῦ γλωσσοκόμου κατὰ τὸν Γ∠ τοῖχον τὸν παρακείμενον τῷ κοχλίᾳ · ἡ ἄρα ὑπεροχὴ τετραγωνισθεῖσα λαβέτω χειρολάβην τὴν Ϟϛ , διʼ ἧς ἐπιλαμβανόμενός τις καὶ ἐπιστρέφων ἐπιστρέψει τὸν κοχλίαν καὶ τὸ ΧΨ τύμπανον , ὥστε καὶ τὸ ΥΦ συμφυὲς αὐτῷ . διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ παρακείμενον τὸ ΣΤ ἐπιστραφήσεται , καὶ τὸ συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΠΡ , καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΞΘ , καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ , καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΗΘ , ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ , περὶ ὃν ἐπειλούμενα τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσει τὸ βάρος . ὅτι γὰρ κινήσει , πρόδηλον ἐκ τοῦ προστεθῆναι ἑτέρᾳ δυνάμει τὴν τῆς χειρολάβης , ἥτις περιγράφει κύκλον τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα · ἀπεδείχθη γὰρ ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι τῶν ἐλασσόνων κατακρατοῦσιν , ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κυλίωνται .
Lemmas: λζ . ὁ δίδωμι δύναμις ὁ δίδωμι βάρος κινέω διά τύμπανος ὀδοντωτός παράθεσις . κατασκευάζω πῆγμα καθά γλωσσόκομον · εἰς ὁ μακρός καί παράλληλος τοῖχος διάκειμαι ἄξων παράλληλος ἑαυτοῦ , ἐν διάστημα κεῖμαι ὥστε ὁ συμφυής αὐτός ὀδοντωτός τύμπανον παράκειμαι καί συμπλέκω ἀλλήλων , καθά μέλλω δηλόω . εἰμί ὁ λέγω γλωσσόκομον ὁ ΑΒΓ∠ , ἐν ὅς ἄξων εἰμί διάκειμαι , ὡς λέγω , καί δύναμαι εὔλυτος στρέφω , ὁ ΕΖ . οὗτος δέ συμφυής εἰμί τύμπανον ὀδοντόομαι ὁ ΗΘ ἔχω ὁ διάμετρος , εἰ τυγχάνω , πενταπλασίων ὁ ὁ ΕΖ ἄξων διάμετρος . καί ἵνα ἐπί παράδειγμα ὁ κατασκευή ποιέω , εἰμί ὁ μέν ἄγω βάρος τάλαντον χίλιοι , ὁ δέ κινέω δύναμις εἰμί τάλαντον ε , τουτέστι ὁ κινέω ἄνθρωπος ἤ παιδάριον , ὥστε δύναμαι κατά ἑαυτοῦ ἄνευ μηχανή ἕλκω τάλαντον ε . οὐκοῦν ἐάν ὁ ἐκ ὁ φορτίον ἐκδέω ὅπλον διά τις ὀπή εἰμί ἐν ὁ ΑΒ τοῖχος ἐπειλέω περί ὁ ΕΖ ἄξων κατειλέω ὁ ἐκ ὁ φορτίον ὅπλον | κινέω ὁ βάρος · ἵνα δέ κινέω ὁ ΗΘ τύμπανον , δέω δύναμις ὑπάρχω πολύς τάλαντον διακόσιοι , διά ὁ ὁ διάμετρος ὁ τύμπανον ὁ διάμετρος ὁ ἄξων , ὡς ὑποτίθημι , πενταπλέη εἰμί · οὗτος γάρ ἀποδείκνυμι ἐν ὁ ὁ ε δύναμις ἀπόδειξις . ἀλλά ἔχω τίς ὁ δύναμις τάλαντον διακόσιοι , ἀλλά πέντε . γίγνομαι οὖν ἕτερος ἄξων παβάλληλος διάκειμαι ὁ ΕΖ , ὁ ΚΛ , ἔχω συμφυής τύμπανον ὀδοντόομαι ὁ ΜΝ . ὀδοντώδης δέ καί ὁ ΗΘ τύμπανον , ὥστε ἐναρμόζω ὁ ὀδοντῶσις ὁ ΜΝ τύμπανον . ὁ δέ αὐτός ἄξων ὁ ΚΛ συμφυής τύμπανον ὁ ΞΟ , ἔχω ὅμοιος ὁ διάμετρος πενταπλασίων ὁ ὁ ΜΝ τύμπανον διάμετρος . διά δή οὗτος δέω ὁ βούλομαι κινέω διά ὁ ΞΟ τύμπανον ὁ βάρος ἔχω δύναμις τάλαντον μ , ἐπειδή ὁ σ̅ τάλαντον ὁ πέμπτος εἰμί τάλαντον μ . πάλιν οὖν παράκειμαι ὁ ΞΟ τύμπανον ὀδοντόομαι τύμπανον ὀδοντόομαι ἕτερος ὁ ΠΡ , καί εἰμί ὁ τύμπανον ὀδοντόομαι ὁ ΠΡ συμφυής ἕτερος συμφυής ἔχω ὅμοιος πενταπλόος ὁ διάμετρος ὁ ΠΡ τύμπανον διάμετρος · ὁ δέ ἀνάλογος εἰμί δύναμις ὁ ΣΤ τύμπανον ὁ ἔχω ὁ βάρος τάλαντον η̅ · ἄλλος ὁ ὑπάρχω ἐγώ δύναμις δίδωμι τάλαντον ε . ὅμοιος ἕτερος παράκειμαι τύμπανον ὀδοντόομαι ὁ ΥΦ ὁ ΣΤ ὀδοντόομαι · ὅδε ὁ ΥΦ τύμπανον ὁ ἄξων συμφυής εἰμί τύμπανον ὁ ΧΨ ὀδοντόομαι , ὅς ὁ διάμετρος πρός ὁ ὁ ΥΦ τύμπανον διάμετρος λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὀκτώ τάλαντον πρός ὁ ὁ δίδωμι δύναμις τάλαντον ε . καί οὗτος κατασκευάζω , ἐάν ἐπινοέω ὁ ΑΒΓ∠ γλωσσόκομον μετέωρος κεῖμαι , καί ἐκ μέν ὁ ΕΖ ἄξων ὁ βάρος ἐξάπτω . ἐκ δέ ὁ ΧΨ τύμπανον ὁ ἕλκω δύναμις , οὐδοπότερος πότερος αὐτός καταφέρω , εὔλυτος στρέφω ὁ ἄξων , καί ὁ ὁ τύμπανος παράθεσις καλός ἁρμόζω , ἀλλά ὥσπερ ζυγόν τις ἰσορροπέω ὁ δύναμις ὁ βάρος . ἐάν δέ εἷς αὐτός προστίθημι ὀλίγος ἕτερος βάρος , καταρρέπω καί ἐνεχθέω ἐπί ὅς προστίθημι βάρος , ὥστε ἐάν εἷς ὁ ε τάλαντον δύναμις εἰ τυγχάνω μναϊαῖος προστίθημι βάρος , κατακρατέω καί ἐπισπάω ὁ βάρος . ἀντί ὁ πρόσθεσις οὗτος δέ παράκειμαι | κοχλίας ἔχω ὁ ἕλιξ ἁρμοστός ὁ ὀδούς ὁ τύμπανον , στρέφω εὔλυτος περί τόρμος ἔνειμι ἐν τρῆμα στρογγύλος , ὅς ὁ μέν ἕτερος ὑπερέχω εἰς ὁ ἐκτός μέρος ὁ γλωσσόκομον κατά ὁ Γ∠ τοῖχος ὁ παράκειμαι ὁ κοχλίας · ὁ ἄρα ὑπεροχή τετραγωνίζω λαμβάνω χειρολάβη ὁ Ϟϛʹ , διά ὅς ἐπιλαμβάνω τις καί ἐπιστρέφω ἐπιστρέφω ὁ κοχλίας καί ὁ ΧΨ τύμπανον , ὥστε καί ὁ ΥΦ συμφυής αὐτός . διά δέ οὗτος καί ὁ παράκειμαι ὁ ΣΤ ἐπιστρέφω , καί ὁ συμφυής αὐτός ὁ ΠΡ , καί ὁ οὗτος παράκειμαι ὁ ΞΘ , καί ὁ οὗτος συμφυής ὁ ΜΝ , καί ὁ οὗτος παράκειμαι ὁ ΗΘ , ὥστε καί ὁ οὗτος συμφυής ἄξων ὁ ΕΖ , περί ὅς ἐπειλέω ὁ ἐκ ὁ φορτίον ὅπλον κινέω ὁ βάρος . ὅτι γάρ κινέω , πρόδηλος ἐκ ὁ προστίθημι ἕτερος δύναμις ὁ ὁ χειρολάβη , ὅστις περιγράφω κύκλος ὁ ὁ κοχλίον περίμετρος μέγας · ἀποδείκνυμι γάρ ὅτι ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐλαχύς κατακρατέω , ὅταν περί ὁ αὐτός κέντρον κυλίω .