heron.dioptra 30
λ . Τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν . δυνατὸν μὲν οὖν ἐστὶν ἀγαγόντα μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν · δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι . ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν πλευρῶν δοθεῖσα · εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν . ἐγγεγράφθω δὲ εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ∠ΕΖ , οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ , ΗΒ , ΗΓ . Η∠ , ΗΕ ΗΖ . τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ , ΗΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου , τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ , Η∠ τοῦ ΑΗΒ , τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓ , ΗΖ τοῦ ΑΓΗ . τὸ οὖν ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ τῆς ΗΕ , τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ∠ΖΕ κύκλου , διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΒ , καὶ τῇ Α∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ · ἡ ἄρα ΘΓ ἡμίσειʼ ἐστὶ τῆς περιμέτρου · τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΓ , ΕΗ , ἴσον ἐστὶ τῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐμβαδῷ · ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΘΓ , ΕΗ , πλευρά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τοῦ ΕΗ · τοῦ ἄρα ἀπὸ ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἡ πλευρὰ ἔσται τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδόν . ἤχθω τῇ ΗΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ , τῇ δὲ ΒΓ ἡ ΒΛ · καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ΓΛ . ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ , ΓΒΛ , γωνιῶν , ἐν κύκλῳ | ἄρα ἐστὶ τὰ Γ , Η , Β , Λ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗ , ΓΛ , δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · καί διὰ τὸ δίχα τέμνεσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας , ταῖς ΑΗ , ΒΗ , ΓΗ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ∠ τῇ ὑπὸ ΓΛΒ . ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΗ∠ τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ · ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΒΛ , ἡ Α∠ πρὸς ∠Η , τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΗΕ · καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΘ , ἡ ΒΛ πρὸς ΗΕ , τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ · καὶ συνθέντι , ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ . ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘ , ΘΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕ , ΕΓ , πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΕΚ , τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ · ὥστε τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ , οὗ πλευρὰ ἦν τὸ τρίγωνον , ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΓΘ , ΘΒ , ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΕΒ . καὶ ἔσται δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ , ΘΒ , ΒΕ , ΕΓ · ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου · ἡ δὲ ΘΒ ὑπεροχή , ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΒΓ · ἡ δὲ ΒΕ , ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ , ἡ δὲ ΓΕ , ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΒ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου . συντεθήσεται δὴ οὕτως · ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μοιρῶν ιγ , ἡ δὲ ΒΓ μοιρῶν ιδ , ἡ δὲ ΓΑ μοιρῶν ιε . σύνθες τὰς τρεῖς , γίνονται μβ · τούτων τὸ ἥμισυ κα . ἄφελε τὰ ιγ , λοιπὸν η · καὶ τὰ ιδ , λοιπὸν ζ · καὶ τὰ ιε , λοιπὸν ϛ . τὰ κα , η , ζ , ϛ πολλαπλασιασθέντα διʼ ἀλλήλων γίνονται ζνϛ · τούτων ἡ πλευρὰ ἔσται πδ . τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου πδ .
Lemmas: λ . τρίγωνον δίδωμι ὁ πλευρά εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν . δυνατός μέν οὖν εἰμί ἄγω εἷς κάθετος καί πορίζω αὐτός ὁ μέγεθος εὑρίσκω ὁ τρίγωνον ὁ ἐμβαδόν · δέω δέ εἰμί χωρίς ὁ καθέτης ὁ ἐμβαδόν πορίζω . εἰμί ὁ δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , καί εἰμί ἕκαστος ὁ πλευρά δίδωμι · εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν . ἐγγράφω δέ εἰς ὁ τρίγωνος κύκλος ὁ ∠ΕΖ , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Η · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΑ , ΗΒ , ΗΓ . Η∠ , ΗΕ ΗΖ . ὁ μέν ἄρα ὑπό ΒΓ , ΗΕ διπλάσιος εἰμί ὁ ΒΗΓ τρίγωνον , ὁ δέ ὑπό ΑΒ , Η∠ ὁ ΑΗΒ , ὁ δέ ὑπό ΑΓ , ΗΖ ὁ ΑΓΗ . ὁ οὖν ὑπό ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον καί ὁ ΗΕ , τουτέστι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ∠ΖΕ κύκλος , διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . ἐκβάλλω ὁ ΓΒ , καί ὁ Α∠ ἴσος κεῖμαι ὁ ΒΘ · ὁ ἄρα ΘΓ ἥμισυς εἰμί ὁ περίμετρος · ὁ ἄρα ὑπό ΘΓ , ΕΗ , ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐμβαδόν · ἀλλά ὁ ὑπό ΘΓ , ΕΗ , πλευρόν εἰμί ὁ ἀπό ΘΓ ἐπί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ · ὁ ἄρα ἀπό ΘΓ ἐπί ὁ ἀπό ΕΗ ὁ πλευρόν εἰμί ὁ ὁ τρίγωνον ἐμβαδόν . ἄγω ὁ ΗΓ πρός ὀρθός ὁ ΗΛ , ὁ δέ ΒΓ ὁ ΒΛ · καί ἐπεξεύχομαι ὁ ΓΛ . ἐπεί οὖν ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΓΗΛ , ΓΒΛ , γωνία , ἐν κύκλος | ἄρα εἰμί ὁ Γ , Η , Β , Λ · ὁ ἄρα ὑπό ΓΗ , ΓΛ , δύο ὀρθός ἴσος · καί διά ὁ δίχα τέμνω ὁ πρός ὁ Η γωνία , ὁ ΑΗ , ΒΗ , ΓΗ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΗ∠ ὁ ὑπό ΓΛΒ . ὅμοιος ἄρα ὁ ΑΗ∠ ὁ ΓΒΛ τρίγωνον · ὡς ἄρα ὁ ΓΒ πρός ΒΛ , ὁ Α∠ πρός ∠Η , τουτέστι ὁ ΘΒ πρός ΗΕ · καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΓΒ πρός ΒΘ , ὁ ΒΛ πρός ΗΕ , τουτέστι ὁ ΒΚ πρός ΚΕ · καί συντίθημι , ὡς ὁ ΓΘ πρός ΘΒ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ΕΚ . ὥστε καί ὡς ὁ ἀπό ΓΘ πρός ὁ ὑπό ΓΘ , ΘΒ , οὕτως ὁ ὑπό ΒΕ , ΕΓ , πρός ὁ ὑπό ΓΕ , ΕΚ , τουτέστι πρός ὁ ἀπό ΗΕ · ὥστε ὁ ἀπό ΓΘ ἐπί ὁ ἀπό ΕΗ , ὅς πλευρόν εἰμί ὁ τρίγωνον , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΘ , ΘΒ , ἐπί ὁ ὑπό ΓΕ , ΕΒ . καί εἰμί δίδωμι ἕκαστος ὁ ΓΘ , ΘΒ , ΒΕ , ΕΓ · ὁ μέν γάρ ΓΘ ἥμισυς εἰμί ὁ περίμετρος · ὁ δέ ΘΒ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ἥμισυς ὁ περίμετρος ὁ ΒΓ · ὁ δέ ΒΕ , ὅς ὑπερέχω ὁ ἥμισυς ὁ περίμετρος ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΓΕ , ὅς ὑπερέχω ὁ ἥμισυς ὁ περίμετρος ὁ ΑΒ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον . συντίθημι δή οὕτως · εἰμί ὁ μέν ΑΒ μοῖρα ιγʹ , ὁ δέ ΒΓ μοῖρα ιδʹ , ὁ δέ ΓΑ μοῖρα ιεʹ . συντίθημι ὁ τρεῖς , γίγνομαι μβʹ · οὗτος ὁ ἥμισυς ἄν . ἀφαιρέω ὁ ιγ , λοιπός η̅ · καί ὁ ιδʹ , λοιπός ζ̅ · καί ὁ ιεʹ , λοιπός ϛ . ὁ ἄν , η̅ , ζ̅ , ϛ πολλαπλασιάζω διά ἀλλήλων γίγνομαι ζνϛʹ · οὗτος ὁ πλευρόν εἰμί πδʹ . ὁ ἐμβαδόν ὁ τρίγωνον πδʹ .