heron.dioptra 10
ι . Δύο δοθέντων σημείων πόρρω ὁρωμένων εὑρεῖν τὸ μεταξὺ διάστημα αὐτῶν τὸ πρὸς διαβήτην καὶ ἔτι τὴν θέσιν . ἔστω τὰ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α , Β · καὶ καθεστάσθω ἡ διόπτρα ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν πρὸς τῷ Γ καὶ ἐπεστράφθω ὁ κανὼν , ἄχρις ἂν δι᾿ αὐτοῦ φανῇ τὸ Α σημεῖον · εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τοῦ κανόνος ἡ ΑΓ . ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον διὰ τῆς διόπτρας τὴν Γ∠ , καὶ παράγω ἐπ᾿ αὐτῆς τὴν διόπτραν , ἄχρις ἂν διὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς θέσεως τοῦ κανόνος φανῇ τὸ Β σημεῖον . τετυχέτω οὖν ἡ διόπτρα πρὸς τὸ Ε ἡ ἄρα ΒΚ τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθάς ἐστιν · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΕ . μετρῶ οὖν τὸ ἀπὸ τοῦ Γ διάστημα ἐπὶ τὸ Α , ὡς ἐμάθομεν ἐπάνω , καὶ πάλιν τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Β . καὶ εἰ μὲν ἴσον ἐστὶν τὸ ΓΑ διάστημα τῷ ΒΕ , ἀποφανοῦμαι καὶ τὸ ΓΕ διάστημα ἴσον τῷ ΑΒ · δυνάμεθα δὲ τὸ ΓΕ μετρῆσαι , ἐν γὰρ τοῖς πρὸς ἡμᾶς ἐστι μέρεσι . μὴ ἔστω δὲ ἴσον , ἀλλ᾿ ἔστω ἔλασσον τὸ ΒΕ διάστημα τοῦ ΓΑ , εἰ τύχοι , πήχεσι κ · ἀπέλαβον οὖν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τῆς ΒΕ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς πήχεις κ τὴν ΕΖ . ἔσται δὴ ἴση ἡ ΑΓ τῇ ΒΖ τῷ μεγέθει · ἔστιν δὲ καὶ πάραλληλος αὐτῇ · ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΖ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος . δυνάμεθα δὲ μετρῆσαι τὴν ΓΖ , ὥστε καὶ τὴν ΑΒ · καὶ φανερόν , ὅτι καὶ τὴν θέσιν , τὴν γὰρ παράλληλον αὐτῆς , εὕραμεν . Δυνατὸν δέ ἐστι καὶ ἄλλως λαβεῖν τὸ μεταξὺ τῶν Α , Β διάστημα . ἔστησα τὴν διόπτραν ἐφ᾿ οὗ βούλομαι σημείου · ἔστω δὴ τοῦ Γ . καὶ ἔλαβον διὰ τῆς διόπτρας τὴν ΓΑ , καὶ ὁμοίως ἑτέραν τὴν ΓΒ , καὶ ἐμέτρησα ἑκατέραν τῶν ΓΑ , ΓΒ καὶ ἔλαβον ἀπὸ τοῦ Γ μέρος τι τῆς ΓΑ , οἱονεὶ | δέκατον , τὴν ∠Γ , καὶ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΓΒ , τὴν ΓΕ ἔσται δὴ καὶ · ἡ τὰ ∠ , Ε ἐπιζευγνύουσα μέρος δέκατον τῆς ΑΒ καὶ παράλληλος αὐτῇ . δύναμαι δὲ μετρῆσαι τὴν ∠Ε ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν οὖσαν · ἔχω ἄρα καὶ τῆς ΑΒ καὶ τὴν θέσιν καὶ τὸ μέγεθος . Δυνατὸν δέ ἐστιν καὶ ἄλλως τὸ ΑΒ διάστημα λαβεῖν . ἔστησα τὴν διόπτραν πρὸς τῷ Γ καὶ ἔλαβον τῆς ΑΓ μέρος τι , τὴν δὴ Γ∠ , ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΓ καὶ ὁμοίως τῆς ΒΓ τὸ αὐτὸ μέρος τὴν ΓΕ , ἐπʼ εὐθείας τῇ ΒΓ . ἔσται δὴ καὶ ἡ Ε∠ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς Α Β καὶ παράλληλος αὐτῇ . δυνατὸν δὲ μετρῆσαι τὴν ∠Ε ὥστε εὕρηται τῆς ΑΒ ἡ θέσις καὶ τὸ μέγεθος .
Lemmas: ι . δύο δίδωμι σημεῖον πρόσω ὁράω εὑρίσκω ὁ μεταξύ διάστημα αὐτός ὁ πρός διαβήτης καί ἔτι ὁ θέσις . εἰμί ὁ δίδωμι δύο σημεῖον ὁ Α , Β · καί καθίστημι ὁ διόπτρα ἐν ὁ πρός ἐγώ μέρος πρός ὁ Γ καί ἐπιστρέφω ὁ κανών , ἄχρι ἄν διά αὐτός φαίνω ὁ Α σημεῖον · εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ κανών ὁ ΑΓ . οὗτος πρός ὀρθός ἄγω διά ὁ διόπτρα ὁ Γ∠ , καί παράγω ἐπί αὐτός ὁ διόπτρα , ἄχρι ἄν διά ὁ πρός ὀρθός θέσις ὁ κανών φαίνω ὁ Β σημεῖον . τέτυχω οὖν ὁ διόπτρα πρός ὁ Ε ὁ ἄρα ΒΚ ὁ Γ∠ πρός ὀρθός εἰμί · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΒΕ . μετρέω οὖν ὁ ἀπό ὁ Γ διάστημα ἐπί ὁ Α , ὡς μανθάνω ἐπάνω , καί πάλιν ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Β . καί εἰ μέν ἴσος εἰμί ὁ ΓΑ διάστημα ὁ ΒΕ , ἀποφαίνω καί ὁ ΓΕ διάστημα ἴσος ὁ ΑΒ · δύναμαι δέ ὁ ΓΕ μετρέω , ἐν γάρ ὁ πρός ἐγώ εἰμί μέρος . μή εἰμί δέ ἴσος , ἀλλά εἰμί ἐλαχύς ὁ ΒΕ διάστημα ὁ ΓΑ , εἰ τυγχάνω , πῆχυς κ · ἀπολαμβάνω οὖν ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΒΕ ἐν ὁ πρός ἐγώ πῆχυς κ ὁ ΕΖ . εἰμί δή ἴσος ὁ ΑΓ ὁ ΒΖ ὁ μέγεθος · εἰμί δέ καί πάραλληλος αὐτός · ὥστε καί ὁ ΑΒ ὁ ΓΖ ἴσος τε εἰμί καί παράλληλος . δύναμαι δέ μετρέω ὁ ΓΖ , ὥστε καί ὁ ΑΒ · καί φανερός , ὅτι καί ὁ θέσις , ὁ γάρ παράλληλος αὐτός , εὑρίσκω . δυνατός δέ εἰμί καί ἄλλος λαμβάνω ὁ μεταξύ ὁ Α , Β διάστημα . ἵστημι ὁ διόπτρα ἐπί ὅς βούλομαι σημεῖον · εἰμί δή ὁ Γ . καί λαμβάνω διά ὁ διόπτρα ὁ ΓΑ , καί ὅμοιος ἕτερος ὁ ΓΒ , καί μετρέω ἑκάτερος ὁ ΓΑ , ΓΒ καί λαμβάνω ἀπό ὁ Γ μέρος τις ὁ ΓΑ , οἷον | δέκατος , ὁ ∠Γ , καί ὁ αὐτός μέρος ὁ ΓΒ , ὁ ΓΕ εἰμί δή καί · ὁ ὁ ∠ , Ε ἐπιζεύγνυμι μέρος δέκατος ὁ ΑΒ καί παράλληλος αὐτός . δύναμαι δέ μετρέω ὁ ∠Ε ἐν ὁ πρός ἐγώ μέρος εἰμί · ἔχω ἄρα καί ὁ ΑΒ καί ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος . δυνατός δέ εἰμί καί ἄλλος ὁ ΑΒ διάστημα λαμβάνω . ἵστημι ὁ διόπτρα πρός ὁ Γ καί λαμβάνω ὁ ΑΓ μέρος τις , ὁ δή Γ∠ , ἐπί εὐθεῖα ὁ ΑΓ καί ὅμοιος ὁ ΒΓ ὁ αὐτός μέρος ὁ ΓΕ , ἐπί εὐθεῖα ὁ ΒΓ . εἰμί δή καί ὁ Ε∠ ὁ αὐτός μέρος ὁ Α Β καί παράλληλος αὐτός . δυνατός δέ μετρέω ὁ ∠Ε ὥστε εὑρίσκω ὁ ΑΒ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος .