heron.dioptra 33
λγ . Ἐπεὶ οὖν τινὲς χρῶνται τῷ καλουμένῳ ἀστερίσκῳ πρὸς ὀλίγας | παντελῶς διοπτρικὰς χρείας , εὔλογον ἡγούμεθα τὰ περὶ αὐτὸν συμβαίνοντα μηνῦσαι τοῖς πειρωμένοις χρήσασθαι αὐτῷ , ὅπως μὴ παρὰ τὴν ἄγνοιαν ἁμαρτάνοντες λανθάνωσιν . τοὺς μὲν οὖν κεχρημένους οἶμαι πεπειρᾶσθαι τῆς δυσχρηστίας αὐτοῦ , ὅτι αἱ σπάρται , ἐξ ὧν τὰ βάρη κρέμανται , οὐ ταχέως ἠρεμοῦσιν , ἀλλὰ χρόνον τινὰ διαμένουσι κινούμεναι , καὶ μάλιστα ὅταν σφοδρὸς ἄνεμος πνέῃ . διὸ πειρῶνταί τινες , παραβοηθεῖν βουλόμενοι ταύτῃ τῇ δυσχρηστίᾳ , ξυλίνας σύριγγας κοίλας ποιοῦντες , ἐμβαλεῖν τὰ βάρη εἰς ταύτας , ὥστε μὴ ὑπὸ τοῦ ἀνέμου τύπτεσθαι . παρατρίψεως οὖν γινομένης τῶν βαρῶν πρὸς τὰς σύριγγας οὐκ ἀκριβῶς αἱ σπάρτοι ὀρθαὶ διαμένουσιν πρὸς τὸν ὁρίζοντα · ἔτι δὲ καὶ ἐὰν ἐπιτύχωσιν , ὥστε τὰς σπάρτας ἠρεμεῖν καὶ ὀρθὰς διαμένειν πρὸς τὸν ὁρίζοντα , οὐ πάντως τὰ διὰ τῶν σπάρτων ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς γίνεται ἀλλήλοις · τούτου δὲ μὴ γινομένου , οὐδʼ αὐτοῖς κατὰ τρόπον ἀκολουθεῖ τι τῶν εν ω ερουμενων · τοῦτο γὰρ δείξομεν . ἔστωσαν γὰρ ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , Γ∠ , μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλας τέμνουσαι · ἀμβλεῖα δὲ ἔστω ἡ ὑπὸ ΑΕ∠ γωνία · καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῷ διὰ τῶν ΑΒ , Γ∠ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΕΖ · καὶ πρὸς ἑκατέραν ἄρα τῶν ΑΕ , ΕΓ , ὀρθή ἐστιν . ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ , γωνία ἡ κλίσις ἐστίν , ἐν κέκλιται τὸ διὰ τῶν ΕΑΖ πρὸς τὸ διὰ τῶν ΓΕΖ , καὶ ἔστιν ὀξεῖα · τὰ οὖν εἰρημένα ἐπίπεδα οὔκ ἐστιν ὀρθὰ πρὸς ἄλληλα . ἀπειλήφθωσαν οὖν δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΕ , Ε∠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Α∠ · καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΕΗ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ Η∠ · καὶ ἑκατέρα αὐτῶν μείζων ἐστὶ τῆς ΗΕ · δυνατὸν ἄρα ἐστὶ προσβαλεῖν ἀπὸ τοῦ Η ἴσην τῇ ΑΗ τὴν ΗΖ . προσεκβεβλήσθωσαν καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ Κ , Λ , καὶ τῇ ΑΖ ἴση ἐκατέρα τῶν ΚΖ , ΖΛ . διὰ δὲ τῶν Α , ∠ , Κ , Λ τῇ ΕΖ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΑΜ , ∠Ν , ΚΞ ΛΟ · ἡ δὲ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΑΒ , Γ∠ ἐπίπεδον · καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΜ , ∠Ν , ΚΞ , ΛΟ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΑΒΓ∠ ἐπίπεδον . καὶ ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΑΗ , Η∠ , ΗΖ ἴσαι εἰσί , πρὸς ὀρθὰς ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ∠Κ . ἐὰν ἄρα ὑποστησώμεθα τὰς τοῦ ἀστερίσκου ῥάβδους εἶναι τὰς ΑΛ , ∠Κ , τὸ δὲ διὰ τῶν ΑΒ , Γ∠ ἐπίπεδον τὸ παρὰ τὸν ὁρίζοντα , τὰς δὲ κρεμαμένας σπάρτους εἶναι ἐκ τῶν Α , Λ , ∠ , Κ , ἔσονται αἱ σπάρτοι αἱ ΑΜ , ∠Ν , ΚΞ , ΛΟ . καὶ οὐκ εἰσὶ τὰ διὰ τῶν σπάρτων ἐπίπεδα ὀρθὰ καὶ πρὸς ἄλληλα , λέγω δὴ τὸ διὰ τῶν ΑΜ , ΛΟ πρὸς τὸ διὰ τῶν ∠Ν , ΚΞ · δέδεικται γὰρ | κεκλιμένα πρὸς ἄλληλα ἐν τῇ ὑπὸ ΑΕΓ γωνίᾳ ὀξείᾳ οὔσῃ .
Lemmas: λγ . ἐπεί οὖν τις χράω ὁ καλέω ἀστερίσκος πρός ὀλίγος | παντελής διοπτρικός χρεία , εὔλογος ἡγέομαι ὁ περί αὐτός συμβαίνω μηνύω ὁ πειράω χράω αὐτός , ὅπως μή παρά ὁ ἄγνοια ἁμαρτάνω λανθάνω . ὁ μέν οὖν χράω οἴομαι πειράω ὁ δυσχρηστία αὐτός , ὅτι ὁ σπάρτη , ἐκ ὅς ὁ βάρος κρεμάννυμι , οὐ ταχύς ἠρεμέω , ἀλλά χρόνος τις διαμένω κινέω , καί μάλα ὅταν σφοδρός ἄνεμος πνέω . διό πειράω τις , παραβοηθέω βούλομαι οὗτος ὁ δυσχρηστία , ξύλινος σῦριγξ κοῖλος ποιέω , ἐμβάλλω ὁ βάρος εἰς οὗτος , ὥστε μή ὑπό ὁ ἄνεμος τύπτω . παράτριψις οὖν γίγνομαι ὁ βαρύς πρός ὁ σῦριγξ οὐ ἀκριβής ὁ σπάρτος ὀρθός διαμένω πρός ὁ ὁρίζων · ἔτι δέ καί ἐάν ἐπιτυγχάνω , ὥστε ὁ σπάρτη ἠρεμέω καί ὀρθός διαμένω πρός ὁ ὁρίζων , οὐ πάντως ὁ διά ὁ σπάρτος ἐπίπεδος πρός ὀρθός γίγνομαι ἀλλήλων · οὗτος δέ μή γίγνομαι , οὐδέ αὐτός κατά τρόπος ἀκολουθέω τις ὁ εν ω̅ ενραυνωμαι · οὗτος γάρ δείκνυμι . εἰμί γάρ ἐν ἐπίπεδος δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , Γ∠ , μή πρός ὀρθός ἀλλήλων τέμνω · ἀμβλύς δέ εἰμί ὁ ὑπό ΑΕ∠ γωνία · καί ἀπό ὁ Ε ὁ διά ὁ ΑΒ , Γ∠ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἀνίστημι ὁ ΕΖ · καί πρός ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΕ , ΕΓ , ὀρθός εἰμί . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ , γωνία ὁ κλίσις εἰμί , ἐν κλίνω ὁ διά ὁ ΕΑΖ πρός ὁ διά ὁ ΓΕΖ , καί εἰμί ὀξύς · ὁ οὖν λέγω ἐπίπεδος οὐ εἰμί ὀρθός πρός ἀλλήλων . ἀπολαμβάνω οὖν δύο ἴσος εὐθεῖα ὁ ΑΕ , Ε∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α∠ · καί ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ὁ ΕΗ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΑΗ ὁ Η∠ · καί ἑκάτερος αὐτός μέγας εἰμί ὁ ΗΕ · δυνατός ἄρα εἰμί προσβάλλω ἀπό ὁ Η ἴσος ὁ ΑΗ ὁ ΗΖ . προσεκβάλλω καί ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ Κ , Λ , καί ὁ ΑΖ ἴσος κατεράω ὁ ΚΖ , ΖΛ . διά δέ ὁ Α , ∠ , Κ , Λ ὁ ΕΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΜ , ∠Ν , ΚΞ ΛΟ · ὁ δέ ΕΖ ὀρθός εἰμί πρός ὁ διά ὁ ΑΒ , Γ∠ ἐπίπεδος · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ΑΜ , ∠Ν , ΚΞ , ΛΟ ὀρθός εἰμί πρός ὁ διά ὁ ΑΒΓ∠ ἐπίπεδος . καί ἐπεί ὁ τρεῖς ὁ ΑΗ , Η∠ , ΗΖ ἴσος εἰμί , πρός ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ΑΛ ὁ ∠Κ . ἐάν ἄρα ὑφίστημι ὁ ὁ ἀστερίσκος ῥάβδος εἰμί ὁ ΑΛ , ∠Κ , ὁ δέ διά ὁ ΑΒ , Γ∠ ἐπίπεδος ὁ παρά ὁ ὁρίζων , ὁ δέ κρεμάννυμι σπάρτος εἰμί ἐκ ὁ Α , Λ , ∠ , Κ , εἰμί ὁ σπάρτος ὁ ΑΜ , ∠Ν , ΚΞ , ΛΟ . καί οὐ εἰμί ὁ διά ὁ σπάρτος ἐπίπεδος ὀρθός καί πρός ἀλλήλων , λέγω δή ὁ διά ὁ ΑΜ , ΛΟ πρός ὁ διά ὁ ∠Ν , ΚΞ · δείκνυμι γάρ | κλίνω πρός ἀλλήλων ἐν ὁ ὑπό ΑΕΓ γωνία ὀξύς εἰμί .