ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
heron.dioptra 1
α . Τῆς διοπτρικῆς πραγματείας πολλὰς καὶ ἀναγκαίας παρεχομένης χρείας καὶ πολλῶν περὶ αὐτῆς λελεχότων ἀναγκαῖον εἶναι νομίζω τά τε ὑπὸ τῶν πρὸ ἐμοῦ παραλειφθέντα καὶ , ὡς προείρηται , χρείαν παρέχοντα γραφῆς ἀξιῶσαι , τὰ δὲ δυσχερῶς εἰρημένα εἰς εὐχέρειαν μεταγαγεῖν , τὰ δὲ ψευδῶς εἰρημένα εἰς διόρθωσιν προάξαι . οὐχ ἡγοῦμαι δὲ ἀναγκαῖον εἶναι τά τε ἡμαρτημένως καὶ δυσχερῶς ἐκτεθειμένα ἢ καὶ διημαρτημένα ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν νῦν εἰς μέσον φέρειν · ἐξέσται γὰρ τοῖς βουλομένοις ἐντυγχάνουσιν κρίνειν τὴν διαφοράν . ἔτι δὲ καὶ ὅσοι ἀναγραφὴν πεποίηνται περὶ τῆς πραγματείας , οὐ μιᾷ ἢ τῇ αὐτῇ διόπτρᾳ κέχρηνται πρὸς τὴν ἐνέργειαν , πολλαῖς δὲ καὶ διαφόροις , καὶ ὀλίγας διʼ αὐτῶν προτάσεις ἐπιτελέσαντες . ἡμεῖς μὲν οὖν καὶ τοῦτο αὐτὸ πεφιλοτιμήμεθα , ὥστε διὰ τῆς αὐτῆς τὰς προκειμένας ἡμῖν προτάσεις ἐνεργεῖσθαι . οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ ἂν ἑτέρας τις ἐπινοήσῃ , οὐκ ἀμοιρήσει ἡ κατασκευασθεῖσα ὑφʼ ἡμῶν διόπτρα , ὥστε καὶ ταύτας ἐνεργεῖν .
Lemmas: α . ὁ διοπτρικός πραγματεία πολύς καί ἀναγκαῖος παρέχω χρεία καί πολύς περί αὐτός λέλοχα ἀναγκαῖος εἰμί νομίζω ὁ τε ὑπό ὁ πρό ἐγώ παραλείπω καί , ὡς προλέγω , χρεία παρέχω γραφή ἀξιόω , ὁ δέ δυσχερής λέγω εἰς εὐχέρεια μετάγω , ὁ δέ ψευδής λέγω εἰς διόρθωσις προάγω . οὐ ἡγέομαι δέ ἀναγκαῖος εἰμί ὁ τε ἡμαρτημένως καί δυσχερής ἐκτίθημι ἤ καί διαμαρτάνω ὑπό ὁ πρό ἐγώ νῦν εἰς μέσος φέρω · ἔξεστι γάρ ὁ βούλομαι ἐντυγχάνω κρίνω ὁ διαφορά . ἔτι δέ καί ὅσος ἀναγραφή ποιέω περί ὁ πραγματεία , οὐ εἷς ἤ ὁ αὐτός διόπτρα χράω πρός ὁ ἐνέργεια , πολύς δέ καί διάφορος , καί ὀλίγος διά αὐτός πρότασις ἐπιτελέω . ἐγώ μέν οὖν καί οὗτος αὐτός φιλοτιμέομαι , ὥστε διά ὁ αὐτός ὁ πρόκειμαι ἐγώ πρότασις ἐνεργέω . οὐ μήν ἀλλά καί ἐάν ἕτερος τις ἐπινοέω , οὐ ἀμοιρέω ὁ κατασκευάζω ὑπό ἐγώ διόπτρα , ὥστε καί οὗτος ἐνεργέω .
heron.dioptra 2
β . Ὅτι δὲ πολλὰς παρέχεται τῷ βίῳ χρείας ἡ πραγματεία , διʼ ὀλίγων ἐστὶν ἐμφανίσαι . πρός τε γὰρ ὑδάτων ἀγωγὰς καὶ τειχῶν κατασκευὰς καὶ λιμένων καὶ παντὸς οἰκοδομήματος εὔχρηστος τυγχάνει , πολλὰ δὲ ὤνησεν καὶ τὴν περὶ τὰ οὐράνια θεωρίαν , ἀναμετροῦσα τά μεταξὺ τῶν ἀστέρων διαστήματα , καὶ τὰ περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων καὶ ἐκλείψεων ἡλίου καὶ σελήνης · πρός τε τὴν τῶν γεωγραφουμένων πραγματείαν , νήσους τε καὶ πελάγη καὶ καθόλου πᾶν διάστημα ἐξ ἀποστήματος . πολλάκις γὰρ ἐμποδὼν ἵσταταί τι εἶργον ἡμᾶς τῆς προθέσεως , ἤτοι διὰ πολεμίων προκατάληψιν ἢ διὰ τὸ ἀπρόσιτον καὶ ἄβατον εἶναι τὸν τόπον παρεπομένου τινὸς ἰδιώματος φυσικοῦ ἢ ῥεύματος ὀξέα ὑποσύροντος . πολλοὶ γοῦν πολιορκεῖν ἐπιχειροῦντες κλίμακας ἢ μηχανήματα κατασκευασάμενοι ἐλάσσονα ὧν χρὴ καὶ προσαγαγόμενοι τοῖς τείχεσιν ὑποχειρίους ἑαυτούς παρέσχον τοῖς ἀντιπάλοις παραλογισθέντες τῇ ἀναμετρήσει τῶν τειχῶν διὰ τὸ ἀπείρους εἶναι τῆς διοπτρικῆς πραγματείας . αἰεὶ γὰρ ἐκτὸς ὄντας βέλους ἀναμετρεῖν δεῖ τὰ προειρημένα δια|στήματα . Πρότερον οὖν ἐκθέμενοι τὴν τῆς διόπτρας κατασκευὴν ἑξῆς καὶ τὰς χρείας προστάξομεν .
Lemmas: Β . ὅτι δέ πολύς παρέχω ὁ βίος χρεία ὁ πραγματεία , διά ὀλίγος εἰμί ἐμφανίζω . πρός τε γάρ ὕδωρ ἀγωγή καί τεῖχος κατασκευή καί λιμήν καί πᾶς οἰκοδόμημα εὔχρηστος τυγχάνω , πολύς δέ ὀνίνημι καί ὁ περί ὁ οὐράνιος θεωρία , ἀναμετρέω ὁ μεταξύ ὁ ἀστήρ διάστημα , καί ὁ περί μέγεθος καί ἀπόστημα καί ἔκλειψις ἥλιος καί σελήνη · πρός τε ὁ ὁ γεωγραφέω πραγματεία , νῆσος τε καί πέλαγος καί καθόλου πᾶς διάστημα ἐκ ἀπόστημα . πολλάκις γάρ ἐμποδών ἵστημι τις ἔργω ἐγώ ὁ πρόθεσις , ἤτοι διά πολέμιος προκατάληψις ἤ διά ὁ ἀπρόσιτος καί ἄβατος εἰμί ὁ τόπος παρέπομαι τις ἰδίωμα φυσικός ἤ ῥεῦμα ὀξύς ὑποσύρω . πολύς γοῦν πολιορκέω ἐπιχειρέω κλῖμαξ ἤ μηχάνημα κατασκευάζω ἐλαχύς ὅς χρή καί προσάγω ὁ τεῖχος ὑποχείριος ἑαυτοῦ παρέχω ὁ ἀντίπαλος παραλογίζομαι ὁ ἀναμέτρησις ὁ τεῖχος διά ὁ ἄπειρος εἰμί ὁ διοπτρικός πραγματεία . ἀεί γάρ ἐκτός εἰμί βέλος ἀναμετρέω δέω ὁ προλέγω διάστημα . πρότερος οὖν ἐκτίθημι ὁ ὁ διόπτρα κατασκευή ἑξῆς καί ὁ χρεία προστάσσω .
heron.dioptra 8
η . Δύο σημείων δοθέντων , οὗ μὲν πρὸς ἡμᾶς , οὗ δὲ πόρρω , τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα λαβεῖν τὸ πρὸς διαβήτην , μὴ προσεγγίσαντα τῷ πόρρω σημείῳ . ἔστω τὰ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α , Β · καὶ τὸ μὲν Α πρὸς ἡμᾶς , τὸ δὲ Β πόρρω κείσθω · ἡ δὲ διόπτρα ἡ τὸ ἡμικύκλιον ἔχουσα πρὸς τῷ Α · καὶ ἐπεστράφθω ὁ κανὼν ὁ ἐπὶ τῷ τυμπάνῳ , ἄχρις ἄν φανῇ τὸ Β . εἶτα ἀντιπεριστὰς ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος τοῦ κανόνος ἀνανεύω τὸ ἡμικύκλιον , τῶν ἄλλων ἀκινήτων μενόντων , καὶ λαμβάνω σημεῖον ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσι τὸ Γ ἐπ᾿ εὐθείας τοῖς Α , Β κείμενον . εἶτα τῇ ΒΓ ἀπὸ τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἄγω διὰ τῆς διόπτρας τὴν Α∠ , καὶ ἑτέραν ἀπὸ τοῦ Γ διὰ τῆς διόπτρας τὴν ΓΕ , καὶ ἔλαβον ἐπ᾿ αὐτῆς τυχὸν τὸ Ε · καὶ μεταθεὶς τὴν διόπτραν πρὸς τὸ Ε κατέστησα τὸν κανόνα , ὥστε δι᾿ αὐτοῦ φανῆναι τὸ Β σημεῖον , καὶ ἕτερον ἐπὶ τῆς Α∠ τὸ ∠ ἐπ᾿ εὐθείας τοῖς Β , Ε . γίνεται δὴ τρίγωνον τὸ ΒΓΕ παράλληλον ἔχον τὴν Α∠ τῇ ΓΕ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς Α∠ , οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ ἐχω δὲ τὸν τῆς ΓΕ πρὸς Α∠ λόγον ἐπιγνῶναι ἑκατέραν αὐτῶν μετρήσας πρὸς διαβήτην , ὡς προδέδεικται . ἔστω οὖν , εἰ τύχοι , εὑρημένη πενταπλῆ ἡ ΓΕ τῆς Α∠ · ἔσται ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΒΑ πενταπλῆ · ἡ ἄρα ΓΑ τῆς ΑΒ τετραπλῆ . ἔχω δὲ μετρῆσαι τὴν ΑΓ πρὸς διαβήτην · ὥστε δυνατὸν εὑρεθῆναι καὶ τὴν ΑΒ πρὸς διαβήτην , ἡλίκη ἐστίν .
Lemmas: ὁ . δύο σημεῖον δίδωμι , ὅς μέν πρός ἐγώ , ὅς δέ πρόσω , ὁ μεταξύ αὐτός διάστημα λαμβάνω ὁ πρός διαβήτης , μή προσεγγίζω ὁ πρόσω σημεῖον . εἰμί ὁ δίδωμι δύο σημεῖον ὁ Α , Β · καί ὁ μέν Α πρός ἐγώ , ὁ δέ Β πρόσω κεῖμαι · ὁ δέ διόπτρα ὁ ὁ ἡμικύκλιον ἔχω πρός ὁ Α · καί ἐπιστρέφω ὁ κανών ὁ ἐπί ὁ τύμπανον , ἄχρι ἄν φαίνω ὁ Β . εἶτα ἀντιπεριίστημι ἐπί ὁ ἕτερος μέρος ὁ κανών ἀνανεύω ὁ ἡμικύκλιον , ὁ ἄλλος ἀκίνητος μένω , καί λαμβάνω σημεῖον ἐν ὁ πρός ἐγώ μέρος ὁ Γ ἐπί εὐθεῖα ὁ Α , Β κεῖμαι . εἶτα ὁ ΒΓ ἀπό ὁ Α πρός ὀρθός ἄγω διά ὁ διόπτρα ὁ Α∠ , καί ἕτερος ἀπό ὁ Γ διά ὁ διόπτρα ὁ ΓΕ , καί λαμβάνω ἐπί αὐτός τυγχάνω ὁ Ε · καί μετατίθημι ὁ διόπτρα πρός ὁ Ε καθίστημι ὁ κανών , ὥστε διά αὐτός φαίνω ὁ Β σημεῖον , καί ἕτερος ἐπί ὁ Α∠ ὁ ∠ ἐπί εὐθεῖα ὁ Β , Ε . γίγνομαι δή τρίγωνον ὁ ΒΓΕ παράλληλος ἔχω ὁ Α∠ ὁ ΓΕ εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΕ πρός Α∠ , οὕτως ὁ ΓΒ πρός ΒΑ ἐχω δέ ὁ ὁ ΓΕ πρός Α∠ λόγος ἐπιγιγνώσκω ἑκάτερος αὐτός μετρέω πρός διαβήτης , ὡς προδείκνυμι . εἰμί οὖν , εἰ τυγχάνω , εὑρίσκω πενταπλόος ὁ ΓΕ ὁ Α∠ · εἰμί ἄρα ὁ ΒΓ ὁ ΒΑ πενταπλόος · ὁ ἄρα ΓΑ ὁ ΑΒ τετραπλόος . ἔχω δέ μετρέω ὁ ΑΓ πρός διαβήτης · ὥστε δυνατός εὑρίσκω καί ὁ ΑΒ πρός διαβήτης , ἡλίκος εἰμί .
heron.dioptra 9
θ . Ποταμοῦ πλάτος τὸ ἐλάχιστον λαβεῖν , πρὸς τῇ μιᾷ ὄχθῃ ὄντας . ἔστωσαν αἱ τοῦ ποταμοῦ ὄχθαι αἱ ΑΒ , Γ∠ . στήσας οὖν τὴν διόπτραν πρὸς | τῇ Γ∠ ὄχθῃ , ὡς ἐπὶ τὸ Ε , ἐπέστρεψα τὸν κανόνα , ἄχρις ἂν φανῇ δι᾿ αὐτοῦ σημεῖον ἐπὶ τῆς Γ∠ ὄχθης τὸ ∠ . καὶ τῇ Ε∠ διὰ τῆς διόπτρας πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὴν ΕΖ ἐπιστρέψας τὸν κανόνα . εἶτα ἐγκλίνω τὸ ἡμικύκλιον , ἄχρις ἄν ἐπὶ τῆς ΑΒ ὄχθης φανῇ τι σημεῖον διὰ τοῦ κανόνος . πεφηνέτω τὸ Ζ · ἔσται δὴ τὸ ἐλάχιστον πλάτος τοῦ ποταμοῦ τὸ ΕΖ · ἡ γὰρ Ε ὡσανεὶ κάθετός ἐστιν ἐπ᾿ ἀμφοτέρας τὰς ὄχθας , εἴπερ παραλλήλους αὐτὰς ἐννοοίμεθα . ὡς οὖν ἐμάθομεν ἐπάνω , εἰλήφθω τὸ ἀπὸ τοῦ Ε διάστημα ἐπὶ τὸ τὸ πρὸς διαβήτην , ὃ καὶ ἀποφανούμεθα ἐλάχιστον εἶναι τοῦ ποταμοῦ πλάτος .
Lemmas: θ . ποταμός πλάτος ὁ ἐλαχύς λαμβάνω , πρός ὁ εἷς ὄχθη εἰμί . εἰμί ὁ ὁ ποταμός ὄχθη ὁ ΑΒ , Γ∠ . ἵστημι οὖν ὁ διόπτρα πρός | ὁ Γ∠ ὄχθη , ὡς ἐπί ὁ Ε , ἐπιστρέφω ὁ κανών , ἄχρι ἄν φαίνω διά αὐτός σημεῖον ἐπί ὁ Γ∠ ὄχθη ὁ ∠ . καί ὁ Ε∠ διά ὁ διόπτρα πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΕΖ ἐπιστρέφω ὁ κανών . εἶτα ἐγκλίνω ὁ ἡμικύκλιον , ἄχρι ἄν ἐπί ὁ ΑΒ ὄχθη φαίνω τις σημεῖον διά ὁ κανών . φαίνω ὁ Ζ · εἰμί δή ὁ ἐλαχύς πλάτος ὁ ποταμός ὁ ΕΖ · ὁ γάρ Ε ὡσανεί κάθετος εἰμί ἐπί ἀμφότερος ὁ ὄχθη , εἴπερ παράλληλος αὐτός ἐννοέω . ὡς οὖν μανθάνω ἐπάνω , λαμβάνω ὁ ἀπό ὁ Ε διάστημα ἐπί ὁ ὁ πρός διαβήτης , ὅς καί ἀποφαίνω ἐλαχύς εἰμί ὁ ποταμός πλάτος .
heron.dioptra 11
ια . Τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγεῖν ἀπὸ τοῦ πέρατος αὐτῆς , μὴ προσεγγίσαντα μήτε τῇ εὐθείᾳ μήτε τῷ πέρατι . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ἐπὶ τὰ Α , Β σημεῖα ἐπιζευγνυμένη · ἀφʼ οὗ δὲ δεῖ τὴν πρὸς ὀρθὰς ἀγομένην εὑρεῖν , ἔστω τὸ Α . εὑρήσθω ἡ θέσις τῆς ΑΒ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς τόποις , ὡς ἐμάθομεν · καὶ ἔστω ἡ Γ∠ εὐθεῖα . παράγω οὖν τὴν διόπτραν ἐπὶ τῆς Γ∠ εὐθείας διατηρῶν τὸν κανόνα ἀεὶ ἀποβλέποντα σημείῳ τινὶ τῶν ἐπὶ τῆς Γ∠ , ἄχρις ἂν ἐπιστραφεὶς ἐπὶ τὴν πρὸς ὀρθὰς θέσιν ἴδῃ τὸ Α σημεῖον . τετυχέτω οὖν ἡ διόπτρα πρὸς τὸ Ε σημεῖον · ἔσται δὴ πρὸς ὀρθὰς εἶναι τὴν ΑΕ .
Lemmas: ἰά . ὁ δίδωμι εὔθεια πρός ὀρθός ἄγω ἀπό ὁ πέρας αὐτός , μή προσεγγίζω μήτε ὁ εὐθύς μήτε ὁ πέρας . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθεῖα ὁ ἐπί ὁ Α , Β σημεῖον ἐπιζεύγνυμι · ἀπό ὅς δέ δέω ὁ πρός ὀρθός ἄγω εὑρίσκω , εἰμί ὁ Α . εὑρίσκω ὁ θέσις ὁ ΑΒ ἐν ὁ πρός ἐγώ τόπος , ὡς μανθάνω · καί εἰμί ὁ Γ∠ εὐθύς . παράγω οὖν ὁ διόπτρα ἐπί ὁ Γ∠ εὐθεῖα διατηρέω ὁ κανών ἀεί ἀποβλέπω σημεῖον τις ὁ ἐπί ὁ Γ∠ , ἄχρι ἄν ἐπιστρέφω ἐπί ὁ πρός ὀρθός θέσις ὁράω ὁ Α σημεῖον . τέτυχω οὖν ὁ διόπτρα πρός ὁ Ε σημεῖον · εἰμί δή πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΕ .
heron.dioptra 16
ις . Φρεατίας ὑπονόμῳ εἰς ὄρος διορύξαι | κατὰ κάθετον οὔσας τῷ ὑπονόμῳ . ἔστω τὰ ὑπονόμου πέρατα τὰ Α , Β · καὶ εἰλήφθωσαν , ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΒ , αἱ ΓΑ , Β∠ , ὡς ἐμάθομεν . ἔστησα οὖν δύο κανόνας ὀρθοὺς πρὸς τοῖς Α , Γ τοὺς ΓΕ , ΑΖ καὶ τὴν διόπτραν πρὸς τῷ ὄρει ἀποστήσας σύμμετρον διάστημα , ὥστε διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος ἅμα φανῆναι τοὺς ΓΕ , ΑΖ κανόνας . ἔστω οὖν ἡ μὲν διόπτρα ἡ ΗΘ , ὁ δὲ ἐν αὐτῇ κανὼν ὁ ΚΛ · καὶ μένοντος τοῦ ΚΛ κανόνος ἀκινήτου μετατίθημι ἕνα τῶν ΓΕ , ΑΖ κανόνων , ὡς ἐπὶ τὸ M σημεῖον , ἔμπροσθεν τῆς διόπτρας , ὡς τὸν ΜΝ , περιφέρων αὐτὸν ὀρθόν , ἄχρις ἂν διὰ τοῦ ΚΛ κανόνος φανῇ ὁ ΜΝ κανών . καὶ ἔσται τὸ Μ σημεῖον κατὰ κάθετον κείμενον τῷ ὑπονόμῳ . πάλιν δὴ μετατεθείσης τῆς διόπτρας ἔμπροσθεν τοῦ ΜΝ κανόνος ἐπὶ τὸ Ξ περιφέρω , ἄχρις ἂν διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος ἅμα φανῶσιν οἱ ΑΖ , ΜΝ κανόνες · καὶ πάλιν μένοντος τοῦ ἐν τῇ διόπτρῳ κανόνος ἀκινήτου μεταφέρω τὸν Α κανόνα ἔμπροσθεν τῆς διόπτρας ὀρθὸν ὡς ἐπὶ τὸ Ο σημεῖον περιφέρων αὐτὸν , ἕως οὗ διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος φανῇ ὁ ΟΠ κανών · καὶ ἔσται ὁμοίως τὸ Ο κατὰ κάθετον τῷ ὑπονόμῳ . ὡσαύτως δὲ καὶ ἕτερα πλείονα λαμβάνων σημεῖα γράψω ἐν τῷ ὄρει γραμμήν , ἥτις πᾶσα κατὰ κάθετον ἔσται τῷ ὑπονόμῳ . κἂν βουλώμεθα δὲ καὶ ἐκ τῶν Β , ∠ μερῶν τὰ αὐτὰ ποιεῖν , οὐδὲν διοίσει . ἐπὶ τῆς ληφθείσης οὖν ἐν τῷ ὄρει γραμμῆς διαστήματα λαμβάνοντες , ἡλίκα ἄν βουλώμεθα , καὶ κατὰ κάθετον ὀρύσσοντες τὰς φρεατίας ἐπιτευξόμεθα τοῦ ὑπονόμου . χρὴ δὲ νοεῖν καὶ ταύτην τὴν δεῖξιν , ὡς τοῦ ὑπονόμου ἐπὶ μιᾶς εὐθειας ὄντος .
Lemmas: ἴς . φρεατία ὑπόνομος εἰς ὄρος διορύσσω | κατά κάθετος εἰμί ὁ ὑπόνομος . εἰμί ὁ ὑπόνομος πέρας ὁ Α , Β · καί λαμβάνω , ἐπί εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ὁ ΓΑ , Β∠ , ὡς μανθάνω . ἵστημι οὖν δύο κανών ὀρθός πρός ὁ Α , Γ ὁ ΓΕ , ΑΖ καί ὁ διόπτρα πρός ὁ ὄρος ἀφίστημι σύμμετρος διάστημα , ὥστε διά ὁ ἐν ὁ διόπτρα κανών ἅμα φαίνω ὁ ΓΕ , ΑΖ κανών . εἰμί οὖν ὁ μέν διόπτρα ὁ ΗΘ , ὁ δέ ἐν αὐτός κανών ὁ ΚΛ · καί μένω ὁ ΚΛ κανών ἀκίνητος μετατίθημι εἷς ὁ ΓΕ , ΑΖ κανών , ὡς ἐπί ὁ M σημεῖον , ἔμπροσθεν ὁ διόπτρα , ὡς ὁ ΜΝ , περιφέρω αὐτός ὀρθός , ἄχρι ἄν διά ὁ ΚΛ κανών φαίνω ὁ ΜΝ κανών . καί εἰμί ὁ Μ σημεῖον κατά κάθετος κεῖμαι ὁ ὑπόνομος . πάλιν δή μετατίθημι ὁ διόπτρα ἔμπροσθεν ὁ ΜΝ κανών ἐπί ὁ Ξ περιφέρω , ἄχρι ἄν διά ὁ ἐν ὁ διόπτρα κανών ἅμα φαίνω ὁ ΑΖ , ΜΝ κανών · καί πάλιν μένω ὁ ἐν ὁ δίοπτρον κανών ἀκίνητος μεταφέρω ὁ Α κανών ἔμπροσθεν ὁ διόπτρα ὀρθός ὡς ἐπί ὁ Ο σημεῖον περιφέρω αὐτός , ἕως ὅς διά ὁ ἐν ὁ διόπτρα κανών φαίνω ὁ ΟΠ κανών · καί εἰμί ὅμοιος ὁ Ο κατά κάθετος ὁ ὑπόνομος . ὡσαύτως δέ καί ἕτερος πολύς λαμβάνω σημεῖον γράφω ἐν ὁ ὄρος γραμμή , ὅστις πᾶς κατά κάθετος εἰμί ὁ ὑπόνομος . ἐάν βούλομαι δέ καί ἐκ ὁ Β , ∠ μέρος ὁ αὐτός ποιέω , οὐδείς διαφέρω . ἐπί ὁ λαμβάνω οὖν ἐν ὁ ὄρος γραμμή διάστημα λαμβάνω , ἡλίκος ἄν βούλομαι , καί κατά κάθετος ὀρύσσω ὁ φρεατία ἐπιτυγχάνω ὁ ὑπόνομος . χρή δέ νοέω καί οὗτος ὁ δεῖξις , ὡς ὁ ὑπόνομος ἐπί εἷς εὐθεια εἰμί .
heron.dioptra 18
ιη . Ἕδαφος κυρτῶσαι , ὥστε σφαιρικὴν ἔχειν ἐπιφάνειαν πρὸς τὸ δοθὲν τμῆμα . ἔστω ὁ δοθεὶς τόπος ὁ ΑΒΓ∠ μέσον δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Ε . διὰ δὲ τοῦ Ε σημείου διήχθωσαν εὐθεῖαι διὰ τῆς διόπτρας οὖσαι ἐν τῷ ἐδάφει , ὁσαιδηποτοῦν , αἱ ΑΓ Β∠ , ΖΗ , ΚΘ , ἐφʼ ὧν πάσσαλοι ἐγκεκρούσθωσαν ὀρθοί . ὡς δʼ ἂν ἐπὶ μιᾶς ὑποδείξομεν , οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν νοείσθω εὐθειῶν . πεπασσαλοκοπήσθω οὖν ἡ Β∠ τοῖς ΛΜ , ΝΞ , ΟΠ , PΣ , ΤΥ πασσάλοις · τὸ δὲ τῆς διόπτρας τύμπανον ἔστω τὸ ΦΧΨ , ὅμοιον τῷ τῆς κυρτώσεως τμήματι · καὶ πάλιν καθεστάτω ὀρθῶς πρὸς τὸν ὁρίζοντα , ὥστε κανόνος ὁμοίως παρατεθέντος τοῦ Ωϛ , τὰς ἀπὸ τοῦ Ω ἐπὶ τὰ Φ , Ψ ἐπιζευγνυμένας ἀκτῖνας καὶ ἐκβαλλομένας νεύειν ἐπὶ Β , ∠ σημεῖα . εἶτα διὰ τοῦ Ω πάλιν καὶ τῆς ΦΧΨ περιφερείας τεθεωρήσθω ἐπὶ τῶν πασσάλων σημεῖα τὰ Μ , Ξ , Π , Σ , Υ · ταῦτα δὲ ἔσται ἐπὶ τοῦ τμήματος τῆς κυρτώσεως . καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ εὐθειῶν ἡ αὐτὴ πασσαλοκοπία καὶ διοπτρεία γεγενήσθω , καὶ ληφθέντων ἐν τοῖς πασσάλοις σημείων ἐγχωννύσθω ὁ τόπος ἄχρι τῶν ληφθέντων σημείων καὶ ἔσται ἡ κύρτωσις τοῦ τόπου σφαιρικὴ ὁμοία τῷ εἰρημένῳ τμήματι .
Lemmas: εἷς . ἔδαφος κυρτόω , ὥστε σφαιρικός ἔχω ἐπιφάνεια πρός ὁ δίδωμι τμῆμα . εἰμί ὁ δίδωμι τόπος ὁ ΑΒΓ∠ μέσος δέ αὐτός σημεῖον ὁ Ε . διά δέ ὁ Ε σημεῖον διάγω εὐθεῖα διά ὁ διόπτρα εἰμί ἐν ὁ ἔδαφος , ὁσαιδηποτοῦν , ὁ ΑΓ Β∠ , ΖΗ , ΚΘ , ἐπί ὅς πάσσαλος ἐγκρούω ὀρθός . ὡς δέ ἄν ἐπί εἷς ὑποδείκνυμι , οὕτως καί ἐπί ὁ λοιπός νοέω εὐθεῖα . πασσαλοκοπέω οὖν ὁ Β∠ ὁ ΛΜ , ΝΞ , ΟΠ , PΣ , ΤΥ πάσσαλος · ὁ δέ ὁ διόπτρα τύμπανον εἰμί ὁ ΦΧΨ , ὅμοιος ὁ ὁ κύρτωσις τμῆμα · καί πάλιν καθίστημι ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων , ὥστε κανών ὅμοιος παρατίθημι ὁ Ωϛ , ὁ ἀπό ὁ Ω ἐπί ὁ Φ , Ψ ἐπιζεύγνυμι ἀκτίς καί ἐκβάλλω νεύω ἐπί Β , ∠ σημεῖον . εἶτα διά ὁ Ω πάλιν καί ὁ ΦΧΨ περιφέρεια θεωρέω ἐπί ὁ πάσσαλος σημεῖον ὁ Μ , Ξ , Π , Σ , Υ · οὗτος δέ εἰμί ἐπί ὁ τμῆμα ὁ κύρτωσις . καί ἐπί ὁ λοιπός δέ εὐθεῖα ὁ αὐτός πασσαλοκοπία καί διοπτρεία γίγνομαι , καί λαμβάνω ἐν ὁ πάσσαλος σημεῖον ἐγχόω ὁ τόπος ἄχρι ὁ λαμβάνω σημεῖον καί εἰμί ὁ κύρτωσις ὁ τόπος σφαιρικός ὅμοιος ὁ λέγω τμῆμα .
heron.dioptra 19
ιθ . Ἔδαφος ἐγκλῖναι ἐν δοθείσῃ γωνίᾳ , ὥστε τὸ κλίμα αὐτοῦ ἐφʼ ἓν νεύειν σημεῖον δοθέντος ἀκλινοῦς τόπου ἐν παραλληλογράμμῳ ἰσοπλεύρῳ . Ἔστω παραλληλόγραμμον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ , ἡ δὲ γωνία , ἐν ᾗ βουλόμεθα ἐγκλῖναι τὸ ἔδαφος , ἡ ὑπὸ ΕΖΗ . ἀπὸ δὲ τῶν Α , Β , ∠ σημείων τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν αἱ ΑΘ , ΒΚ , ∠Λ · τὸ δὲ Γ σημεῖον ἔστω , ὅπου βουλόμεθα τὴν κλίσιν νεύειν . καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ , τῇ δὲ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ · τῇ δὲ ΕΗ ἴση κείσθω ἡ ΑΘ · καὶ τῇ ΑΓ προσευρήσθω ἡ ΑΘ , ἐν τῷ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΕ λόγῳ καθέτου οὔσης τῆς ΕΗ . ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην | τὴν ΘΓ , ἔσται ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία κλίσις . ἔστω δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΜ · καὶ τῇ ΓΜ ἴση κείσθω ἡ ΖΝ , τῇ δὲ ΗΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ , τῇ δὲ ΝΞ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν ΒΚ , ∠Λ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΚ , ΚΓ , ΓΑ , ΛΘ . ἔσται δὴ τὸ ΘΚΓΛ ἐπίπεδον κεκλιμένον πρὸς τὸ ΑΒΓ∠ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΓΑ γωνίᾳ , τουτέστι τῇ ὑπὸ ΕΖΗ . ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τῇ ΑΘ παράλληλον γινομένην τὴν ΜΟ , καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΟΚ πίπτουσαν ἐπὶ τὸ Λ , ἡ μὲν ΜΟ ἴση ἔσται τῇ ΝΞ . ἡ δὲ ΚΟ ἴση καὶ παράλληλος τῇ ΒΜ , πρὸς ὀρθὰς δὲ τῇ ΘΓ · ὥστε κέκλιται , ὡς εἴρηται , τὸ ἐπίπεδον . ἐὰν δὲ ὁ τόπος ὁ δοθεὶς ἐν τυχόντι ᾖ τετραπλεύρῳ , ὥστε τὰς διαγωνίους αὐτοῦ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις εἶναι , τῆς ΒΜ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῇ ΑΓ , ἴσην θήσομεν τὴν ΞΝ , τῇ δὲ ΞΝ τὴν ΒΚ , ὡς εἴρηται , ἀπὸ τοῦ Β κάθετον ἀγαγόντες ἐπὶ τὴν ΑΓ . καὶ ταὐτὰ ποιήσαντες τοῖς ἐπὶ τῆς ΒΜ , ποριούμεθα τὸ μέγεθος τῆς ∠Λ . ἐγχωσθήσεται οὖν ὁ τόπος ἄχρι τῶν ΘΚ , ΚΓ , ΓΛ , ΛΘ εὐθειῶν · καὶ τὸ ἐπίπεδον ἀπεργασθὲν ἕξει τὴν εἰρημένην ἔγκλισιν .
Lemmas: ἔρχομαι . ἔδαφος ἐγκλίνω ἐν δίδωμι γωνία , ὥστε ὁ κλίμα αὐτός ἐπί εἷς νεύω σημεῖον δίδωμι ἀκλινής τόπος ἐν παραλληλόγραμμος ἰσόπλευρος . εἰμί παραλληλόγραμμος ἰσόπλευρος ὁ ΑΒΓ∠ , ὁ δέ γωνία , ἐν ὅς βούλομαι ἐγκλίνω ὁ ἔδαφος , ὁ ὑπό ΕΖΗ . ἀπό δέ ὁ Α , Β , ∠ σημεῖον ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἀναστατόω ὁ ΑΘ , ΒΚ , ∠Λ · ὁ δέ Γ σημεῖον εἰμί , ὅπου βούλομαι ὁ κλίσις νεύω . καί ὁ ΑΓ ἴσος κεῖμαι ὁ ΖΗ , ὁ δέ ΖΗ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΕΗ · ὁ δέ ΕΗ ἴσος κεῖμαι ὁ ΑΘ · καί ὁ ΑΓ προσευρίσκω ὁ ΑΘ , ἐν ὁ ὁ ΖΗ πρός ΗΕ λόγος κάθετος εἰμί ὁ ΕΗ . ἐάν δή νοέω ἐπιζεύγνυμι | ὁ ΘΓ , εἰμί ὁ ὑπό ΘΓΑ γωνία κλίσις . εἰμί δέ ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ΑΓ κάθετος ὁ ΒΜ · καί ὁ ΓΜ ἴσος κεῖμαι ὁ ΖΝ , ὁ δέ ΗΕ παράλληλος ἄγω ὁ ΝΞ , ὁ δέ ΝΞ ἴσος κεῖμαι ἑκάτερος ὁ ΒΚ , ∠Λ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΚ , ΚΓ , ΓΑ , ΛΘ . εἰμί δή ὁ ΘΚΓΛ ἐπίπεδος κλίνω πρός ὁ ΑΒΓ∠ ἐν ὁ ὑπό ΘΓΑ γωνία , τουτέστι ὁ ὑπό ΕΖΗ . ἐάν γάρ νοέω ὁ ΑΘ παράλληλος γίγνομαι ὁ ΜΟ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΟΚ πίπτω ἐπί ὁ Λ , ὁ μέν ΜΟ ἴσος εἰμί ὁ ΝΞ . ὁ δέ ΚΟ ἴσος καί παράλληλος ὁ ΒΜ , πρός ὀρθός δέ ὁ ΘΓ · ὥστε κλίνω , ὡς λέγω , ὁ ἐπίπεδος . ἐάν δέ ὁ τόπος ὁ δίδωμι ἐν τυγχάνω εἰμί τετράπλευρος , ὥστε ὁ διαγώνιος αὐτός μή πρός ὀρθός ἀλλήλων εἰμί , ὁ ΒΜ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΓ , ἴσος τίθημι ὁ ΞΝ , ὁ δέ ΞΝ ὁ ΒΚ , ὡς λέγω , ἀπό ὁ Β κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΓ . καί αὐτός ποιέω ὁ ἐπί ὁ ΒΜ , πορίζω ὁ μέγεθος ὁ ∠Λ . ἐγχωσ́ͅζω οὖν ὁ τόπος ἄχρι ὁ ΘΚ , ΚΓ , ΓΛ , ΛΘ εὐθεῖα · καί ὁ ἐπίπεδος ἀπεργάζομαι ἔχω ὁ λέγω ἔγκλισις .
heron.dioptra 21
κα . | Διὰ διόπτρας ἀπολαβεῖν ἀπὸ ἡμῶν διάστημα ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας , ἴσον τῷ δοθέντι διαστήματι . ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἐφʼ ἧς δεῖ ἀπολαβεῖν ἡ ΑΒ · τὸ δὲ δοθὲν διάστημα ὃ δεῖ ἀπολαβεῖν ἔστω τὸ ΑΒ · ἀφʼ οὗ δὲ δεῖ σημείου ἀπολαβεῖν , ἔστω τοῦ Α . ἐλθὼν ἐπί τινος ἀκλινοῦς ἐπιπέδου τόπου οἷον τοῦ Γ∠ , τίθημι τὴν διόπτραν τὴν ΕΖ · καὶ ταύτης ἔμπροσθεν κανόνα ὀρθὸν , μήκους ὡς πηχῶν ι , τὸν ΗΘ , ἀπέχοντα ἀπὸ τῆς διόπτρας , τουτέστιν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου , ὃ βούλομαι διάστημα , ἔστω δὴ πηχῶν γ . ἀπέλαβον οὖν ἀπὸ τοῦ Ε ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν τὴν Ε∠ πηχῶν ὅσων ἐὰν βούλωμαι , ἔστω δὴ πηχῶν φ , καὶ καταλείψας σημεῖον πρὸς τῷ ∠ , ἐγκλίνω τὸν ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνα , ἄχρις ἂν φανῇ διʼ αὐτοῦ τὸ ∠ σημεῖον . καὶ μένοντος αὐτοῦ ἀκινήτου , ἀντιπεριστὰς ἔλαβον | διʼ αὐτοῦ σημεῖον ἐπὶ τοῦ ΗΘ κανόνος τὸ Μ , καὶ ἐπέγραψα πηχῶν φ . εἶτα πάλιν ἀπολαβὼν ἑτέρους πήχεις ὅσους ἂν βούλωμαι ἐπὶ τῆς Ε∠ , οἷον εἰ τύχοι πήχεις ῡ ἐπὶ τῆς ΕΝ , καὶ καταλείψας πρὸς τῷ Ν σημεῖον , ὡσαύτως ἔλαβον ἀντιπεριστὰς ἐπὶ τοῦ ΗΘ κανόνος ἕτερον σημεῖον τὸ Ε , πρὸς ὃ ἐπέγραψα πήχεις υ . καὶ οὕτως λαμβάνων ἃ βούλομαι μέτρα ἕξω ἐν τῷ ΗΘ κανόνι τὰς ἐπιγραφάς . στήσας οὖν καὶ τὴν διόπτραν ἐπὶ τοῦ Α καὶ ἀποστήσας τὸν τὰς ἐπιγραφὰς ἔχοντα κανόνα ἀπὸ τοῦ Α πήχεις γ , ὅσους καὶ ὅτε τὰς ἐπιγραφὰς λαμβάνων ἀπέστησα , ἐνέκλινα τὸν ἐπὶ τῇ διόπτρᾳ κανόνα , ἄχρις ἂν δι᾿ αὐτοῦ φανῇ ἡ ἐπιγραφὴ τοῦ μέλλοντος ἀπολαμβάνεσθαι μέτρου · εἶτα ἀντιπεριστὰς ἔλαβον ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας διὰ τοῦ κανόνος σημεῖον τὸ Β · καὶ ἔσται ἀπειλημμένον τὸ ΑΒ διάστημα τοῦ δοθέντος τόπου . ἔστω οὖν διόπτρα μὲν ἡ ΑΟ , ὁ δὲ ἐν αὐτῇ κανών , διʼ οὗ διοπτεύομεν , ὁ ΠΡ , ὁ δὲ τὰς ἐπιγραφὰς ἔχων κανὼν ὁ ΣΤ .
Lemmas: ἄν . | διά διόπτρα ἀπολαμβάνω ἀπό ἐγώ διάστημα ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα , ἴσος ὁ δίδωμι διάστημα . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθύς ἐπί ὅς δέω ἀπολαμβάνω ὁ ΑΒ · ὁ δέ δίδωμι διάστημα ὅς δέω ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΑΒ · ἀπό ὅς δέ δέω σημεῖον ἀπολαμβάνω , εἰμί ὁ Α . ἔρχομαι ἐπί τις ἀκλινής ἐπίπεδος τόπος οἷος ὁ Γ∠ , τίθημι ὁ διόπτρα ὁ ΕΖ · καί οὗτος ἔμπροσθεν κανών ὀρθός , μῆκος ὡς πῆχυς ιʹ , ὁ ΗΘ , ἀπέχω ἀπό ὁ διόπτρα , τουτέστι ἀπό ὁ Ε σημεῖον , ὅς βούλομαι διάστημα , εἰμί δή πῆχυς γ . ἀπολαμβάνω οὖν ἀπό ὁ Ε ἐν ἐπίπεδος εὐθεῖα ὁ Ε∠ πῆχυς ὅσος ἄν βούλομαι , εἰμί δή πῆχυς φ̅ , καί καταλείβω σημεῖον πρός ὁ ∠ , ἐγκλίνω ὁ ἐν ὁ διόπτρα κανών , ἄχρι ἄν φαίνω διά αὐτός ὁ ∠ σημεῖον . καί μένω αὐτός ἀκίνητος , ἀντιπεριίστημι λαμβάνω | διά αὐτός σημεῖον ἐπί ὁ ΗΘ κανών ὁ Μ , καί ἐπιγράφω πῆχυς φ̅ . εἶτα πάλιν ἀπολαμβάνω ἕτερος πῆχυς ὅσος ἄν βούλομαι ἐπί ὁ Ε∠ , οἷος εἰ τυγχάνω πῆχυς υʹ ἐπί ὁ ΕΝ , καί καταλείβω πρός ὁ Ν σημεῖον , ὡσαύτως λαμβάνω ἀντιπεριίστημι ἐπί ὁ ΗΘ κανών ἕτερος σημεῖον ὁ Ε , πρός ὅς ἐπιγράφω πῆχυς υ̅ . καί οὕτως λαμβάνω ὅς βούλομαι μέτρον ἔχω ἐν ὁ ΗΘ κανών ὁ ἐπιγραφή . ἵστημι οὖν καί ὁ διόπτρα ἐπί ὁ Α καί ἀφίστημι ὁ ὁ ἐπιγραφή ἔχω κανών ἀπό ὁ Α πῆχυς γ , ὅσος καί ὅτε ὁ ἐπιγραφή λαμβάνω ἀφίστημι , ἐγκλίνω ὁ ἐπί ὁ διόπτρα κανών , ἄχρι ἄν διά αὐτός φαίνω ὁ ἐπιγραφή ὁ μέλλω ἀπολαμβάνω μέτρον · εἶτα ἀντιπεριίστημι λαμβάνω ἐπί ὁ ΑΒ εὐθεῖα διά ὁ κανών σημεῖον ὁ Β · καί εἰμί ἀπολαμβάνω ὁ ΑΒ διάστημα ὁ δίδωμι τόπος . εἰμί οὖν διόπτρα μέν ὁ ΑΟ , ὁ δέ ἐν αὐτός κανών , διά ὅς διοπτεύω , ὁ ΠΡ , ὁ δέ ὁ ἐπιγραφή ἔχω κανών ὁ ΣΤ .
heron.dioptra 22
κβ . Διὰ διόπτρας ἀπολαβεῖν διάστημα , ἀπὸ ἑτέρου δοθέντος σημείου ἐπί τινος εὐθείας παραλλήλου τῇ δοθείσῃ ἴσον τῷ δοθέντι διαστήματι , μὴ προσελθόντα τῷ σημείῳ μηδʼ ἔχοντα τὴν εἰρημένην εὐθεῖαν , ἐφʼ ἧς δεῖ ἀπολαβεῖν . ἔστω δοθὲν σημεῖον τὸ Α · καὶ κείσθω πρὸς τῷ Β ἡ διόπτρα · καὶ εὑρήσθω ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἡλίκη ἐστὶν , ὡς ἐμάθομεν · καὶ ἀπειλήφθω αὐτῆς ἡ ΒΓ , μέρος ὃ βουλόμεθα . ἡ δὲ Γ∠ ἤχθω παράλληλος βουλόμεθα εὐθείᾳ , μέρος οὖσα τοῦ δοθέντος διαστήματος , ὃ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΒΑ . καὶ διὰ τῆς διόπτρας ἡ Β∠ εὐθεῖα προεκβεβλήσθω , καὶ ἀπʼ αὐτῆς ἀπειλήφθω ἡ ΒΕ , τοσαυταπλασία οὖσα τῆς Β∠ , ὁσαπλασία καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ . ἔσται οὖν ἡ ΑΕ τοῦ τε δοθέντος μέτρου καὶ παράλληλος τῇ ∠Γ · τοῦτο γὰρ φανερόν ἐστι διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΓΒ , τήν τε ΕΒ πρὸς ∠Β καὶ τὴν ΑΕ πρὸς Γ∠ .
Lemmas: κβ . διά διόπτρα ἀπολαμβάνω διάστημα , ἀπό ἕτερος δίδωμι σημεῖον ἐπί τις εὐθεῖα παράλληλος ὁ δίδωμι ἴσος ὁ δίδωμι διάστημα , μή προσέρχομαι ὁ σημεῖον μηδέ ἔχω ὁ λέγω εὐθεῖα , ἐπί ὅς δέω ἀπολαμβάνω . εἰμί δίδωμι σημεῖον ὁ Α · καί κεῖμαι πρός ὁ Β ὁ διόπτρα · καί εὑρίσκω ὁ ΑΒ εὐθύς ἡλίκος εἰμί , ὡς μανθάνω · καί ἀπολαμβάνω αὐτός ὁ ΒΓ , μέρος ὅς βούλομαι . ὁ δέ Γ∠ ἄγω παράλληλος βούλομαι εὔθεια , μέρος εἰμί ὁ δίδωμι διάστημα , ὅς μέρος εἰμί καί ὁ ΒΓ ὁ ΒΑ . καί διά ὁ διόπτρα ὁ Β∠ εὐθύς προεκβάλλω , καί ἀπό αὐτός ἀπολαμβάνω ὁ ΒΕ , τοσαυταπλάσιος εἰμί ὁ Β∠ , ὁσαπλάσιος καί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . εἰμί οὖν ὁ ΑΕ ὁ τε δίδωμι μέτρον καί παράλληλος ὁ ∠Γ · οὗτος γάρ φανερός εἰμί διά ὁ εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΒ , ὁ τε ΕΒ πρός ∠Β καί ὁ ΑΕ πρός Γ∠ .
heron.dioptra 26
κς . Τὸ δοθὲν χωρίον διελεῖν διὰ τοῦ δοθέντος σημείου εἰς τὰ δοθέντα μέρη . ἔστω δὲ τὸ δοθὲν σημεῖον ὥσπερ ὕδρευμα , ὡς πάντες οἱ τὰς διαιρέσεις λαβόντες τῷ αὐτῷ χρῶνται ὕδατι . ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΒΓ Γ∠ , ∠Ε , ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ΛΑ · ἐὰν γὰρ μὴ ὦσιν αἱ τὸ χωρίον περιέχουσαι εὐθεῖαι , ἀλλʼ ἄτακτός τις γραμμή , ληψόμεθα ἐπʼ αὐτῆς συνεχῆ σημεῖα , ὥστε τὰς μεταξὺ αὐτῶν σύνεγγυς εὐθείας εἶναι . τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἔστω τὸ Μ , καὶ δέον ἔστω διελεῖν εἰς ἑπτὰ ἴσα μέρη τὸ χωρίον διὰ τοῦ Μ σημείου . ἤχθω ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἡ ΜΝ διὰ τῆς διόπτρας , ὥστʼ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευχθείσας τὰς ΜΑ , ΜΒ , δυνατὸν ἔσται μετρεῖν τὸ ΑΜΒ τρίγωνον . τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΜΝ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΒΜ τριγώνου . δυνατὸν δέ ἐστι μετρῆσαι , ὡς προγέγραπται , καὶ ὅλον τὸ χωρίον . εὶ μὲν οὖν τὸ ΑΒΜ τρίγωνον ἕβδομον μέρος ἐστὶν τοῦ ὅλου χωρίου , ἔσται τὸ ΑΒΜ τρίγωνον ἓν τῶν μερῶν · εἰ δὲ μεῖζον , ἀφελεῖν δεῖ ἀπʼ αὐτοῦ , διαγαγόντα τὴν ΜΞ , καὶ ποιεῖν τὸ ΑΜΞ τρίγωνον ἴσον τῷ ἑβδόμῳ μέρει τοῦ ὅλου χωρίου · εἰ δὲ μεῖόν ἐστι τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τοῦ ἑβδόμου , δεήσει ἀπὸ τοῦ ΒΓΜ τριγώνου ἀφελεῖν τὸ ΒΜΟ τρίγωνον , ὃ , μετὰ τοῦ ΑΜΒ τριγώνου , ἕβδομον ἔσται μέρος τοῦ ὅλου χωρίου · ὡς δεῖ δὲ ἀφελεῖν τρίγωνον ἢ προσθεῖναι , ἑξῆς δείξομεν . οὕτως οὖν καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριγώνων ἐπιλογιζόμενοι διεξελοῦμεν τὸ χωρίον εἰς τὰ δοθέντα μέρη ἀπὸ τοῦ Μ σημείου .
Lemmas: ΚΣ . ὁ δίδωμι χωρίον διαιρέω διά ὁ δίδωμι σημεῖον εἰς ὁ δίδωμι μέρος . εἰμί δέ ὁ δίδωμι σημεῖον ὥσπερ ὕδρευμα , ὡς πᾶς ὁ ὁ διαίρεσις λαμβάνω ὁ αὐτός χράω ὕδωρ . εἰμί ὁ δίδωμι χωρίον περιέχω ὑπό εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ Γ∠ , ∠Ε , ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ΛΑ · ἐάν γάρ μή εἰμί ὁ ὁ χωρίον περιέχω εὐθεῖα , ἀλλά ἄτακτος τις γραμμή , λαμβάνω ἐπί αὐτός συνεχής σημεῖον , ὥστε ὁ μεταξύ αὐτός σύνεγγυς εὐθεῖα εἰμί . ὁ δέ δίδωμι σημεῖον εἰμί ὁ Μ , καί δέω εἰμί διαιρέω εἰς ἑπτά ἴσος μέρος ὁ χωρίον διά ὁ Μ σημεῖον . ἄγω ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ὁ ΜΝ διά ὁ διόπτρα , ὥστε ἐάν νοέω ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΑ , ΜΒ , δυνατός εἰμί μετρέω ὁ ΑΜΒ τρίγωνον . ὁ γάρ ὑπό ὁ ΑΒ , ΜΝ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΜ τρίγωνον . δυνατός δέ εἰμί μετρέω , ὡς προγράφω , καί ὅλος ὁ χωρίον . εί μέν οὖν ὁ ΑΒΜ τρίγωνον ἕβδομος μέρος εἰμί ὁ ὅλος χωρίον , εἰμί ὁ ΑΒΜ τρίγωνον εἷς ὁ μέρος · εἰ δέ μέγας , ἀφαιρέω δέω ἀπό αὐτός , διάγω ὁ ΜιΞ , καί ποιέω ὁ ΑΜΞ τρίγωνος ἴσος ὁ ἕβδομος μέρος ὁ ὅλος χωρίον · εἰ δέ μείων εἰμί ὁ ΑΒΜ τρίγωνον ὁ ἕβδομος , δέω ἀπό ὁ ΒΓΜ τρίγωνον ἀφαιρέω ὁ ΒΜΟ τρίγωνον , ὅς , μετά ὁ ΑΜΒ τρίγωνον , ἕβδομος εἰμί μέρος ὁ ὅλος χωρίον · ὡς δέω δέ ἀφαιρέω τρίγωνος ἤ προστίθημι , ἑξῆς δείκνυμι . οὕτως οὖν καί ἐπί ὁ λοιπός τρίγων ἐπιλογίζομαι διεξαιρέω ὁ χωρίον εἰς ὁ δίδωμι μέρος ἀπό ὁ Μ σημεῖον .
heron.dioptra 29
κθ . Τριγώνου ὄντος τοῦ ΑΒΓ , καὶ καθέτου τῆς Α∠ διαγαγεῖν τὴν ΑΕ ἀπολαμβάνουσαν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον δοθέν . γεγονέτω . δοθὲν οὖν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒΕ · δοθὲν ἄρα τὸ Ε . ἔστω οὖν ἡ Α∠ κάθετος μοιρῶν ϛ · τὸ δὲ ἀφαιρούμενον τρίγωνον μοιρῶν με . δὶς τὰ με γίνονται 𝔮 . παραβάλλω παρὰ τὸν ϛ , γίνονται ιε . ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΒΕ μοιρῶν ιε καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ . ἔσται δὴ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον μοιρῶν με .
Lemmas: κτάομαι . τρίγωνον εἰμί ὁ ΑΒΓ , καί κάθετος ὁ Α∠ διάγω ὁ ΑΕ ἀπολαμβάνω ὁ ΑΒΕ τρίγωνον δίδωμι . γίγνομαι . δίδωμι οὖν καί ὁ ὑπό ΑΒΕ · δίδωμι ἄρα ὁ Ε . εἰμί οὖν ὁ Α∠ κάθετος μοῖρα ϛ · ὁ δέ ἀφαιρέω τρίγωνος μοῖρα ἐγώ . δίς ὁ ἐγώ γίγνομαι 𝔮 . παραβάλλω παρά ὁ ϛ , γίγνομαι ιεʹ . ἀπολαμβάνω οὖν ὁ ΒΕ μοῖρα ιεʹ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ . εἰμί δή ὁ ΑΒΕ τρίγωνον μοῖρα ἐγώ .
heron.dioptra 31
λα . Πηγῆς ὑπαρχούσης ἐπισκέψασθαι τὴν ἀπόρρυσιν αὐτῆς , τουτέστι τὴν ἀνάβλυσιν , ὅση ἐστίν . εἰδέναι μέντοι χρὴ ὅτι οὐκ ἀεὶ ἡ ἀνάβλυσις ἡ αὐτὴ διαμένει . ὄμβρων . μὲν γὰρ ὄντων ἐπιτείνεται διὰ τὸ ἐπὶ τῶν ὁρῶν τὸ ὕδωρ πλεονάζον βιαιότερον ἐκθλίβεσθαι , αὐχμῶν δὲ ὄντων ἀπολήγει ἡ ῥύσις διὰ τὸ μὴ ἐπιφέρεσθαι πλέον ὕδωρ . αἱ μέντοι γενναῖαι πηγαὶ οὐ παρὰ πολὺ τὴν ἀνάβλυσιν ἴσχουσιν . δεῖ οὖν περιλαβόντα τὸ πᾶν τῆς πηγῆς ὕδωρ , ὥστε μηδαμόθεν ἀπορρεῖν , σωλῆνα τετράγωνον μολιβοῦν ποιῆσαι , στοχασάμενον μενον μᾶλλον μείζονα πολλῷ τῆς ἀποθύσεως · εἶτα διʼ ἑνὸς τόπου ἐναρμόσαι αὐτὸν ὥστε διʼ αὐτοῦ τὸ ἐν τῇ πηγῇ ὕδωρ ἀπορρεῖν . δεῖ δὲ αὐτὸν κεῖσθαι εἰς τὸν ταπεινότερον τῆς πηγῆς τόπον , ὥστε ἔχειν αὐτὴν ἀπόρρυσιν · τὸν δὲ ταπεινότερον ἐπιγνωσόμεθα τῆς πηγῆς τόπον διὰ τῆς διόπτρας . ἀπολήψεται οὖν τὸ ἀπορέον διὰ τοῦ σωλῆνος ὕδωρ ἐν τῷ περιστομίῳ τοῦ σωλῆνος · οἷον ἀπολαμβάνει δακτύλους β · ἐχέτω δὲ καὶ τὸ πλάτος τοῦ περιστομίου τοῦ σωλῆνος δακτύλους ϛ · ἑξάκις δύο γίνονται ιβ · ἀποφανούμεθα δὴ τὴν ἀνάβλυσιν τῆς πηγῆς δακτύλων ιβ . εἰδέναι δὲ χρὴ ὅτι οὐκ ἔστιν αὔ|ταρκες πρὸς τὸ ἐπιγνῶναι , πόσον χορηγεῖ ὕδωρ ἡ πηγή , τὸ εὑρεῖν τὸν ὄγκον τοῦ ῥεύματος , ὃν λέγομεν εἶναι δακτύλων ιβ , ἀλλὰ καὶ τὸ τάχος αὐτοῦ · ταχυτέρας μὲν γὰρ οὔσης τῆς ῥύσεως πλέον ἐπιχορηγεῖ τὸ ὕδωρ , βραδυτέρας δὲ μεῖον . διὸ δεῖ ὑπὸ τὴν τῆς πηγῆς ῥύσιν ὀρύξαντα τάφρον τηρῆσαι ἐξ ἡλιακοῦ ὡροσκοπίου , ἐν τινὶ ὥρᾳ πόσον ἀπορρεῖ ὕδωρ ἐν τῇ τάφρῳ , καὶ οὕτως στοχάσασθαι τὸ ἐπιχορηγούμενον ὕδωρ ἐν τῇ ἡμέρᾳ πόσον ἐστὶν , ὥστʼ οὐδὲ ἀναγκαῖόν ἐστι τὸν ὄγκον τῆς ῥύσεως τηρεῖν · διὰ γὰρ τοῦ χρόνου δήλη ἐστὶν ἡ χορηγία . .
Lemmas: λα . πηγή ὑπάρχω ἐπισκοπέω ὁ ἀπόρρυσις αὐτός , τουτέστι ὁ ἀνάβλυσις , ὅσος εἰμί . οἶδα μέντοι χρή ὅτι οὐ ἀεί ὁ ἀνάβλυσις ὁ αὐτός διαμένω . ὄμβρος . μέν γάρ εἰμί ἐπιτείνω διά ὁ ἐπί ὁ ὁράω ὁ ὕδωρ πλεονάζω βίαιος ἐκθλίβω , αὐχμός δέ εἰμί ἀπολήγω ὁ ῥύσις διά ὁ μή ἐπιφέρω πολύς ὕδωρ . ὁ μέντοι γενναῖος πηγή οὐ παρά πολύς ὁ ἀνάβλυσις ἴσχω . δέω οὖν περιλαμβάνω ὁ πᾶς ὁ πηγή ὕδωρ , ὥστε μηδαμόθεν ἀπορρέω , σωλήν τετράγωνος μολίβεος ποιέω , στοχάζομαι μενος μάλα μέγας πολύς ὁ ἀπόθυσις · εἶτα διά εἷς τόπος ἐναρμόζω αὐτός ὥστε διά αὐτός ὁ ἐν ὁ πηγή ὕδωρ ἀπορρέω . δέω δέ αὐτός κεῖμαι εἰς ὁ ταπεινός ὁ πηγή τόπος , ὥστε ἔχω αὐτός ἀπόρρυσις · ὁ δέ ταπεινός ἐπιγιγνώσκω ὁ πηγή τόπος διά ὁ διόπτρα . ἀπολαμβάνω οὖν ὁ ἀπορέω διά ὁ σωλήν ὕδωρ ἐν ὁ περιστόμιον ὁ σωλήν · οἷος ἀπολαμβάνω δάκτυλος β · ἔχω δέ καί ὁ πλάτος ὁ περιστόμιον ὁ σωλήν δάκτυλος ϛ · ἑξάκις δύο γίγνομαι ιβʹ · ἀποφαίνω δή ὁ ἀνάβλυσις ὁ πηγή δάκτυλος ιβʹ . οἶδα δέ χρή ὅτι οὐ εἰμί αὔταρκος πρός ὁ ἐπιγιγνώσκω , πόσος χορηγέω ὕδωρ ὁ πηγή , ὁ εὑρίσκω ὁ ὄγκος ὁ ῥεῦμα , ὅς λέγω εἰμί δάκτυλος ιβʹ , ἀλλά καί ὁ τάχος αὐτός · ταχύς μέν γάρ εἰμί ὁ ῥῦσις πολύς ἐπιχορηγέω ὁ ὕδωρ , βραδύς δέ μείων . διό δέω ὑπό ὁ ὁ πηγή ῥύσις ὀρύσσω τάφρος τηρέω ἐκ ἡλιακός ὡροσκόπιον , ἐν τις ὥρα πόσος ἀπορρέω ὕδωρ ἐν ὁ τάφρος , καί οὕτως στοχάζομαι ὁ ἐπιχορηγέω ὕδωρ ἐν ὁ ἡμέρα πόσος εἰμί , ὥστε οὐδέ ἀναγκαῖος εἰμί ὁ ὄγκος ὁ ῥῦσις τηρέω · διά γάρ ὁ χρόνος δῆλος εἰμί ὁ χορηγία . .
heron.dioptra 32
λβ . Ἐπεὶ οὖν διὰ τῆς κατασκευασθείσης ἡμῖν διόπτρας τὰς ἐπὶ γῆς χρείας πρὸς τὰς διοπτρικὰς ἐπαγγελίας ἀπεδείξαμεν , εὔχρηστον δέ ἐστιν εἰς πολλὰ καὶ πρὸς τὰ οὐράνια πρὸς τὸ τὰς τῶν ἀπλανῶν ἀστέρων ἢ παὶ τῶν πλανητῶν ἀποστάσεις εἰδέναι , ἀποδείξομεν διὰ τῆς διόπτρας ὡς δεῖ καὶ τὰ τούτων ἀποστήματα λαμβάνειν . ἐν γὰρ τῷ ὑπὸ γαστέρα τοῦ τυμπάνου τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κύκλον γράψομεν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ τυμπάνῳ , ὃν γράψει τὸ τοῦ μοιρογνωμονίου ἄκρον τοῦ ἐν τῷ κανόνι · καὶ τοῦτον διελοῦμεν εἰς μοίρας τξ . ὅταν οὖν βουλώμεθα δύο ἀστέρων τὸ μεταξὺ διάστημα ἐπισκέψασθαι , ὅσων μοιρῶν ὑπάρχει , ἐάν τε τῶν πλανητῶν εἴησάν τινες ἢ καὶ τῶν ἀπλανῶν ἢ καὶ ὁ μὲν ἕτερος αὐτῶν εἴη τῶν ἀπλανῶν , ὁ δὲ ἕτερος τῶν πλανητῶν , ἀφελόντες τὸν κανόνα , διʼ οὗ διοπτεύομεν , ἀπὸ τοῦ τυμπάνου ἐγκλίνομεν αὐτὸ τὸ τύμπανον , ἄχρις ἂν διὰ τοῦ ἐπιπέδου αὐτοῦ φανῶσιν οἱ εἰρημένοι ἀστέρες ἅμα ἀμφότεροι . εἶτʼ ἐντιθεὶς τὸν κανόνα ὡς εἴθισται , τῶν ἄλλων ἀκινήτων , ἐπιστρέψω αὐτὸν , ἄχρις ἂν εἷς τῶν ἀστέρων φανῇ · καὶ παρασημηνάμενος τὴν μοῖραν , καθʼ ἣν ἓν τῶν μοιρογνωμονίων ὑπάρχει , ἐπιστρέφω τὸν κανόνα , ἄχρις οὗ καὶ ὁ ἕτερος ἀστὴρ διʼ αὐτοῦ φανῇ . εἶτα ὁμοίως παρασημηνάμενος τὴν μοῖραν , καθʼ ἣν τὸ αὐτὸ μοιρογνωμόνιον ὑπάρχει , ἐπιγνώσομαι τὸ πλῆθος τῶν μοιρῶν τὸ μεταξὺ τῶν ληφθέντων δύο σημείων · καὶ τοσαύτας ἀποφανοῦμαι τοὺς ἀστέρας ἀπέχειν ἀπʼ ἀλλήλων μοίρας .
Lemmas: λβ . ἐπεί οὖν διά ὁ κατασκευάζω ἐγώ διόπτρα ὁ ἐπί γῆ χρεία πρός ὁ διοπτρικός ἐπαγγελία ἀποδείκνυμι , εὔχρηστος δέ εἰμί εἰς πολύς καί πρός ὁ οὐράνιος πρός ὁ ὁ ὁ ἀπλανής ἀστήρ ἤ πη ὁ πλανήτης ἀπόστασις οἶδα , ἀποδείκνυμι διά ὁ διόπτρα ὡς δέω καί ὁ οὗτος ἀπόστημα λαμβάνω . ἐν γάρ ὁ ὑπό γαστήρ ὁ τύμπανον ὁ ἐν ὁ διόπτρα κύκλος γράφω περί ὁ αὐτός κέντρον ὁ τύμπανον , ὅς γράφω ὁ ὁ μοιρογνωμόνιον ἄκρον ὁ ἐν ὁ κανών · καί οὗτος διαιρέω εἰς μοῖρα τξʹ . ὅταν οὖν βούλομαι δύο ἀστήρ ὁ μεταξύ διάστημα ἐπισκοπέω , ὅσος μοῖρα ὑπάρχω , ἐάν τε ὁ πλανήτης εἰμί τις ἤ καί ὁ ἀπλανής ἤ καί ὁ μέν ἕτερος αὐτός εἰμί ὁ ἀπλανής , ὁ δέ ἕτερος ὁ πλανήτης , ἀφαιρέω ὁ κανών , διά ὅς διοπτεύω , ἀπό ὁ τύμπανον ἐγκλίνω αὐτός ὁ τύμπανον , ἄχρι ἄν διά ὁ ἐπίπεδος αὐτός φαίνω ὁ λέγω ἀστήρ ἅμα ἀμφότερος . εἶτα ἐντίθημι ὁ κανών ὡς ἐθίζω , ὁ ἄλλος ἀκίνητος , ἐπιστρέφω αὐτός , ἄχρι ἄν εἷς ὁ ἀστήρ φαίνω · καί παρασημαίνομαι ὁ μοῖρα , κατά ὅς εἷς ὁ μοιρογνωμόνιον ὑπάρχω , ἐπιστρέφω ὁ κανών , ἄχρι ὅς καί ὁ ἕτερος ἀστήρ διά αὐτός φαίνω . εἶτα ὅμοιος παρασημαίνομαι ὁ μοῖρα , κατά ὅς ὁ αὐτός μοιρογνωμόνιον ὑπάρχω , ἐπιγιγνώσκω ὁ πλῆθος ὁ μοῖρα ὁ μεταξύ ὁ λαμβάνω δύο σημεῖον · καί τοσοῦτος ἀποφαίνω ὁ ἀστήρ ἀπέχω ἀπό ἀλλήλων μοῖρα .
heron.dioptra 38
λξ . Ἔστω κοχλίας ἐπί τινων στηματίων κινούμενος ὁ ΑΒ , ᾧ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ∠ ὀδόντων πα . τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ Ε ὀδόντων θ . καὶ τούτῳ παράλληλον ἔστω τὸ Ζ ὀδόντων ρ · συμφυὲς δὲ ἔστω αὐτῷ τὸ Η , ὀδόντων ιη . παρακείσθω δὲ τὸ Θ ὀδόντων ιβ . |ὁμοίως δὲ συμφυὲς ἔστω αὐτῷ τὸ Κ ὀδόντων ιη . ὁμοίως δὲ τὸ Λ ὀδόντων ρ · πρὸς ᾧ ἕτερον ὁμοίως ὀδόντων λ , ἀφʼ οὗ μοιρογνωμόνιον ἔστω δηλοῦν τὸ πλῆθος τῶν σταδίων . κατεσκευάσθω δὲ τροχὸς πτερωτὸς ὁ Μ , τὴν περίμετρον ἔχων τὴν ὑπὸ τῶν πτερῶν πάσσων , τετορνευμένος , ἰσοχρόνιος ὢν τῇ νηῒ . σὺν τῷδε καὶ τοῦ αὐτοῦ| ἐκφυρομένω , ἄξονι τούτῳ τῷ τροχῷ προσειλήφθω ὀδοῦ · ἐᾶν δυνάμενος ἐν μιᾷ ἀποκαταστάσει τοῦ Μ ἕνα ὀδόντα τοῦ ∠ πίπτειν . δῆλον οὖν ὅτι τῆς νεὼς ρ μίλια πορευθείσης τὸ Λ τύμπανον μίαν ἀποκατάστασιν ἕξει · ὥστε ἐὰν μὲν εν τις κύκλος περὶ τὸ κέντρον τοῦ Λ διαιρεθῇ εἰς ρ , τὸ μοιρογνωμόνιον τὸ συμφυὲς τῷ Λ , φερόμενον ἐπὶ τοῦ εἰρημένου κύκλου , δηλώσει τὸ καθʼ ἕκαστον κίνημα τῆς κινήσεως .
Lemmas: λξ . εἰμί κοχλίας ἐπί τις στημάτιον κινέω ὁ ΑΒ , ὅς συμφυής εἰμί τύμπανον ὁ ∠ ὀδούς πη . οὗτος δέ συμφυής εἰμί τύμπανον ὁ Ε ὀδούς θ̅ . καί οὗτος παράλληλος εἰμί ὁ Ζ ὀδούς ρ̅ · συμφυής δέ εἰμί αὐτός ὁ Η , ὀδούς ιηʹ . παράκειμαι δέ ὁ Θ ὀδούς ιβʹ . ὅμοιος δέ συμφυής εἰμί αὐτός ὁ Κ ὀδούς ιηʹ . ὅμοιος δέ ὁ Λ ὀδούς ρ̅ · πρός ὅς ἕτερος ὅμοιος ὀδούς λ , ἀπό ὅς μοιρογνωμόνιον εἰμί δηλόω ὁ πλῆθος ὁ στάδιον . κατασκευάζω δέ τροχός πτερωτός ὁ Μ , ὁ περίμετρον ἔχω ὁ ὑπό ὁ πτερόν πάσσω , τορνεύω , ἰσοχρόνιος εἰμί ὁ ναῦς . σύν ὅδε καί ὁ αὐτός ἐκφύρω , ἄξων οὗτος ὁ τροχός προσλαμβάνω οὐδός · ἐάω δύναμαι ἐν εἷς ἀποκατάστασις ὁ Μ εἷς ὀδούς ὁ ∠ πίπτω . δῆλος οὖν ὅτι ὁ ναῦς ρ̅ μίλιον πορεύω ὁ Λ τύμπανον εἷς ἀποκατάστασις ἔχω · ὥστε ἐάν μέν εν τις κύκλος περί ὁ κέντρον ὁ Λ διαιρέω εἰς ρ̅ , ὁ μοιρογνωμόνιον ὁ συμφυής ὁ Λ , φέρω ἐπί ὁ λέγω κύκλος , δηλόω ὁ κατά ἕκαστος κίνημα ὁ κίνησις .