heron.dioptra 12
ιβ . Σημείου ὁρωμένου εὑρεῖν τὴν ἀπʼ αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι , μὴ προσεγγίσαντα τῷ ὁρωμένῳ σημείῳ . ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον μετέωρον τὸ A , τὸ δὲ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον διὰ τοῦ Β . κείσθω οὖν ἡ διόπτρα πρὸς τῷ Β · καὶ στυλίσκος μὲν νοείσθω ὁ ΒΓ , ὁ δὲ κινούμενος κανὼν διʼ οὗ διοπτεύομεν ὁ ∠ΓΕ . καὶ κινείσθω , ἄχρις ἂν φανῇ διʼ αὐτοῦ τὸ Α · καὶ μένοντος αὐτοῦ ἀκινήτου , μεταξὺ τῆς διόπτρας καὶ τοῦ Α σημείου ἕτεροι δύο κανόνες ἐγκείσθωσαν οἱ ΖΗ , ΘΚ ὀρθοὶ , ἀνισοϋψεῖς , ὧν ὁ μὲν μείζων ἔστω ἐπὶ τὰ πρὸς τὸ Α μέρη . τὸ δὲ ἔδαφος νοείσθω κατὰ τῆς ΒΖΘΛ γραμμῆς ὡς ἔτυχεν ὑπάρχον · τὸ δὲ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι νοείσθω τὸ κατὰ τῆς ΒΛ εὐθείας . παραγέσθωσαν οὖν οἱ ΖΗ , ΘΚ κανόνες , ἄχρις ἂν ἐ|πʼ εὐθείας φανῶσι τῷ Α σημείφ , μένοντος ἀκινήτου τοῦ ∠ΓΕ κανόνος . τεθεωρήσθω οὖν ἐπὶ μὲν τοῦ ΖΗ κανόνος τὸ σημεῖον , ἐπὶ δὲ τοῦ ΘΚ τὸ Κ . καὶ νενοήσθωσαν ἐκβεβλημέναι αἱ ΖΗ , ΘΚ ἐπὶ τὰ Μ , Ν · καὶ τῷ ΒΛ παράλληλοι ἠγμέναι αἱ ΗΞ , ΚΟ . δυνατὸν δέ ἐστιν ἐπισκέψασθαι τίνι ἐστὶ μετεωρότερον τὸ Ζ τοῦ Β χωροβατήσαντα · ἑκάτερον γὰρ τῶν Β , Ζ σημείων πρὸς ἡμᾶς · ὥστε δυνατὸν εὑρεῖν τὴν ΖΜ · ὁμοίως καὶ τὴν ΝΘ . ἔχω δὲ καὶ ἑκατέραν τῶν ΗΖ , ΚΘ , ὥστε φανερόν ἐστιν τῶν ΗΜ , ΚΝ , ἡλίκη ἐστὶν ἑκατέρα , ὥστε καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἡ ΚΞ ἡλίκη ἐστίν . ἐπιστάμεθα δὲ καὶ ἡλίκη ἐστὶν ἡ ΗΞ τὸ γάρ μεταξὺ τῶν Ζ , Θ διάστημά ἐστιν τὸ πρὸς διαβήτην · ὥστε ἕξω τίνα λόγον ἔχει ἡ ΗΞ πρὸς τὴν ΞΚ . ἔστω οὖν εἰ τύχοι εὑρημένη ἡ ΗΞ τῆς ΞΚ πενταπλῆ . καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον , τουτέστιν ἐπὶ τὴν ΒΛ , κάθετος ἤχθω ἡ ΑΟΡΠ · ὥστʼ ἔσται καὶ ἡ ΚΟ πενταπλῆ τῆς ΟΑ . καὶ ἐπεὶ ἴσμεν ἡλίκη ἐστὶν ἡ ΚΟ — τὸ γὰρ μεταξὺ τῶν Θ , Ρ , διάστημά ἐστιν τὸ πρὸς διαβήτην — , ἕξω ἄρα καὶ τὴν ΑΟ ἡλίκη ἐστίν . ἔχω δὲ καὶ τὴν ΟΠ , ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΝ ὥστε καὶ ὅλην τὴν Α Π , κάθετον οὖσαν ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον , ἕξω ἡλίκη ἐστίν .
Lemmas: Ἶβ . σημεῖον ὁράω εὑρίσκω ὁ ἀπό αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ διά ἐγώ ἐκβάλλω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ὁρίζω , μή προσεγγίζω ὁ ὁράω σημεῖον . εἰμί ὁ δίδωμι σημεῖον μετέωρος ὁ A , ὁ δέ διά ἐγώ ἐπίπεδος διά ὁ Β . κεῖμαι οὖν ὁ διόπτρα πρός ὁ Β · καί στυλίσκος μέν νοέω ὁ ΒΓ , ὁ δέ κινέω κανών διά ὅς διοπτεύω ὁ ∠ΓΕ . καί κινέω , ἄχρι ἄν φαίνω διά αὐτός ὁ Α · καί μένω αὐτός ἀκίνητος , μεταξύ ὁ διόπτρα καί ὁ Α σημεῖον ἕτερος δύο κανών ἔγκειμαι ὁ ΖΗ , ΘΚ ὀρθός , ἀνισουψής , ὅς ὁ μέν μέγας εἰμί ἐπί ὁ πρός ὁ Α μέρος . ὁ δέ ἔδαφος νοέω κατά ὁ ΒΖΘΛ γραμμή ὡς τυγχάνω ὑπάρχω · ὁ δέ διά ἐγώ ἐκβάλλω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ὁρίζω νοέω ὁ κατά ὁ ΒΛ εὐθεῖα . παράγω οὖν ὁ ΖΗ , ΘΚ κανών , ἄχρι ἄν ἐπί εὐθεῖα φαίνω ὁ Α σημείφ , μένω ἀκίνητος ὁ ∠ΓΕ κανών . θεωρέω οὖν ἐπί μέν ὁ ΖΗ κανών ὁ σημεῖον , ἐπί δέ ὁ ΘΚ ὁ Κ . καί νοέω ἐκβάλλω ὁ ΖΗ , ΘΚ ἐπί ὁ Μ , Ν · καί ὁ ΒΛ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΞ , ΚΟ . δυνατός δέ εἰμί ἐπισκοπέω τίς εἰμί μετέωρος ὁ Ζ ὁ Β χωροβατέω · ἑκάτερος γάρ ὁ Β , Ζ σημεῖον πρός ἐγώ · ὥστε δυνατός εὑρίσκω ὁ ΖΜ · ὅμοιος καί ὁ ΝΘ . ἔχω δέ καί ἑκάτερος ὁ ΗΖ , ΚΘ , ὥστε φανερός εἰμί ὁ ΗΜ , ΚΝ , ἡλίκος εἰμί ἑκάτερος , ὥστε καί ὁ ὑπεροχή αὐτός ὁ ΚΞ ἡλίκος εἰμί . ἐπίσταμαι δέ καί ἡλίκος εἰμί ὁ ΗΞ ὁ γάρ μεταξύ ὁ Ζ , Θ διάστημα εἰμί ὁ πρός διαβήτης · ὥστε ἔχω τίς λόγος ἔχω ὁ ΗΞ πρός ὁ ΞΚ . εἰμί οὖν εἰ τυγχάνω εὑρίσκω ὁ ΗΞ ὁ ΞΚ πενταπλόος . καί ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ διά ἐγώ ἐπίπεδος , τουτέστι ἐπί ὁ ΒΛ , κάθετος ἄγω ὁ ΑΟΡΠ · ὥστε εἰμί καί ὁ ΚΟ πενταπλόος ὁ ΟΑ . καί ἐπεί οἶδα ἡλίκος εἰμί ὁ ΚΟ — ὁ γάρ μεταξύ ὁ Θ , Ρ , διάστημα εἰμί ὁ πρός διαβήτης — , ἔχω ἄρα καί ὁ ΑΟ ἡλίκος εἰμί . ἔχω δέ καί ὁ ΟΠ , ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΚΝ ὥστε καί ὅλος ὁ Α Π , κάθετος εἰμί ἐπί ὁ διά ἐγώ ἐπίπεδος , ἔχω ἡλίκος εἰμί .