heron.dioptra 23
κγ . Τὸ δοθὲν χωρίον μετρῆσαι διὰ διόπτρας . ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ γραμμῆς ἀτάκτου τῆς ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ . ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν διὰ τῆς κατασκευασθείσης διόπτρας διάγειν πάσῃ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἑτέραν πρὸς ὀρθάς , ἔλαβόν τι σημεῖον ἐπὶ τῆς περιεχούσης τὸ χωρίον γραμμῆς τὸ Β , καὶ ἤγαγον εὐθεῖαν τυχοῦσαν διὰ τῆς διόπτρας τὴν ΒΗ , καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΒΓ , καὶ ταύτῃ ἑτέραν πρὸς ὀρθὰς τὴν ΓΖ , καὶ ὁμοίως τῇ ΓΖ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΖΘ . καὶ ἔλαβον ἐπὶ τῶν ἀχθεισῶν εὐθειῶν συνεχῆ σημεῖα , ἐπὶ μὲν τῆς ΒΗ τὰ Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο · ἐπὶ δὲ τῆς ΒΓ τὰ Π , Ρ · ἐπὶ δὲ τῆς ΓΖ τὰ Σ , Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω · ἐπὶ δὲ τῆς ΖΘ τὰ ϛ , 𝔮 . καὶ ἀπὸ τῶν ληφθέντων σημείων ταῖς εὐθείαις , ἐφʼ ὧν ἐστὶ τὰ σημεῖα , πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὰς ΚϠ , ΛΑ , ΜΑ , ΝΒ , ΕΓ , Ο∠ ΠΕ , Ρϛ ΣΖ , ΤΗ , ΥΘ , Φ∠ , ΧΜ , ΨΜ , ΩΕ , ϛΜ , 𝔮??Μ οὕτως ὥστε τὰ πέρατα τῶν ἀχθεισῶν πρὸς ὀρθὰς ἀπολαμβάνειν γραμμὰς ἀπὸ τῆς περιεχούσης τὸ χωρίον γραμμῆς σύνεγγυς εὐθείας · καὶ τούτων γενηθέντων ἔσται δυνατὸν τὸ χωρίον μετρεῖν . τὸ μὲν γὰρ ΒΓΖΜ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιόν ἐστιν · ἔπειτα τὰς πλευρὰς ἁλύσει ἢ σχοινίῳ βεβασανισμένῳ , τουτέστιν μήτʼ ἐκτείνεσθαι μήτε συστέλλεσθαι δυναμένῳ , μετρήσαντες ἕξομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου . τὰ δʼ ἐκτὸς τούτου τρίγωνα ὀρθογώνια καὶ τραπέζια ὁμοίως μετρήσομεν , ἔχοντες τὰς πλευρὰς αὐτῶν · ἔσται γὰρ τρίγωνα μὲν ὀρθογώνια τὰ ΒΚϠ , ΒΠΕ , ΓΡϛ , ΓΣΖ , ΖΩΕ , ΖϛΜ , ΘΗΜ · τὰ δὲ λοιπὰ τραπέζια ὀρθογώνια . τὰ μὲν οὖν τρίγωνα μετρεῖται τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν πολλαπλασιαζομένων ἐπʼ ἄλληλα · καὶ τοῦ γενομένου τὸ ἥμισυ . τὰ δὲ τραπέζια · συναμφοτέρων τῶν παραλλήλων τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὴν ἐπʼ αὐτὰς κάθετον οὖσαν , οἷον τῶν ΚϠ , ΑΛ τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὴν ΚΛ · καὶ τῶν λοιπῶν δὲ ὁμοίως . ἔσται ἄρα μεμετρημένον ὅλον τὸ χωρίον διά τε τοῦ μέσου παραλληλογράμμου καὶ τῶν ἐκτὸς αὐτοῦ τριγώνων καὶ τραπεζίων . ἐὰν δὲ τύχῃ ποτὲ μεταξὺ αὐτῶν τῶν ἀχθεισῶν πρὸς ὀρθὰς ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς καμπύλη γραμμὴ μὴ συνεγγίζουσα εὐθείᾳ ( οἷον μεταξὺ τῶν ΞΓ , Ο∠ γραμμὴ ἡ Γ ∠ ) , ἀλλὰ περιφερεῖ , μετρήσομεν οὕτως · ἀγαγόντες τῇ Ο∠ πρὸς ὀρθὰς τὴν ∠Μ , καὶ ἐπʼ αὐτῆς λαβόντες σημεῖα συνεχῆ τὰ Μ , Μ , καὶ ἀ|π᾿ αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς ἀγαγόντες τῇ Μ∠ τὰς ΜΜ , ΜΜ , ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν ἀχθεισῶν σύνεγγυς εὐθείας εἶναι , πάλιν μετρήσομεν τό τε ΜΞΟ∠ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΜΜ ∠ τρίγωνον , καὶ τὸ ΓΜΜΜ τραπέζιον , καὶ ἔτι τὸ ἕτερον τραπέζιον , καὶ ἕξομεν τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τῆς ΓΜΜ ∠ γραμμῆς καὶ τῶν ΓΞ ΞΟ , Ο ∠ εὐθειῶν μεμετρημένον .
Lemmas: κγ . ὁ δίδωμι χωρίον μετρέω διά διόπτρα . εἰμί ὁ δίδωμι χωρίον περιέχω ὑπό γραμμή ἄτακτος ὁ ΑΒΓΗ . ἐπεί οὖν μανθάνω διά ὁ κατασκευάζω διόπτρα διάγω πᾶς ὁ δίδωμι εὔθεια ἕτερος πρός ὀρθός , λαμβάνω τις σημεῖον ἐπί ὁ περιέχω ὁ χωρίον γραμμή ὁ Β , καί ἄγω εὐθεῖα τυγχάνω διά ὁ διόπτρα ὁ ΒΗ , καί οὗτος πρός ὀρθός ὁ ΒΓ , καί οὗτος ἕτερος πρός ὀρθός ὁ ΓΖ , καί ὅμοιος ὁ ΓΖ πρός ὀρθός ὁ ΖΘ . καί λαμβάνω ἐπί ὁ ἄγω εὐθεῖα συνεχής σημεῖον , ἐπί μέν ὁ ΒΗ ὁ Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο · ἐπί δέ ὁ ΒΓ ὁ Π , Ρ · ἐπί δέ ὁ ΓΖ ὁ Σ , Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω · ἐπί δέ ὁ ΖΘ ὁ Ϛ , 𝔮 . καί ἀπό ὁ λαμβάνω σημεῖον ὁ εὐθεῖα , ἐπί ὅς εἰμί ὁ σημεῖον , πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΚϠ , ΛΑ , ΜΆ , ΝΒ , ΕΓ , Ο∠ ΠΕ , Ρϛʹ ΣΖ , ΤΗ , ΥΘ , Φ∠ , ΧΜ , ΨΜ , ΩΕ , ϛΜ , 𝔮??Μ οὕτως ὥστε ὁ πέρας ὁ ἄγω πρός ὀρθός ἀπολαμβάνω γραμμή ἀπό ὁ περιέχω ὁ χωρίον γραμμή σύνεγγυς εὐθύς · καί οὗτος γίγνομαι εἰμί δυνατός ὁ χωρίον μετρέω . ὁ μέν γάρ ΒΓΖΜ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον εἰμί · ἔπειτα ὁ πλευρά ἅλυσις ἤ σχοινίον βασανίζω , τουτέστι μήτε ἐκτείνω μήτε συστέλλω δύναμαι , μετρέω ἔχω ὁ ἐμβαδόν ὁ παραλληλόγραμμος . ὁ δέ ἐκτός οὗτος τρίγωνος ὀρθογώνιον καί τραπέζιον ὅμοιος μετρέω , ἔχω ὁ πλευρά αὐτός · εἰμί γάρ τρίγωνος μέν ὀρθογώνιον ὁ ΒΚϠʹ , ΒΠΕ , ΓΡϛʹ , ΓΣΖ , ΖΩΕ , ΖϛΜ , ΘΗΜ · ὁ δέ λοιπός τραπέζιον ὀρθογώνιον . ὁ μέν οὖν τρίγωνος μετρέω ὁ περί ὁ ὀρθός γωνία πολλαπλασιάζω ἐπί ἀλλήλων · καί ὁ γίγνομαι ὁ ἥμισυς . ὁ δέ τραπέζιον · συναμφότεροι ὁ παράλληλος ὁ ἥμισυς ἐπί ὁ ἐπί αὐτός κάθετος εἰμί , οἷος ὁ ΚϠ , ΑΛ ὁ ἥμισυς ἐπί ὁ ΚΛ · καί ὁ λοιπός δέ ὅμοιος . εἰμί ἄρα μετρέω ὅλος ὁ χωρίον διά τε ὁ μέσος παραλληλόγραμμος καί ὁ ἐκτός αὐτός τρίγων καί τραπέζιον . ἐάν δέ τυγχάνω ποτέ μεταξύ αὐτός ὁ ἄγω πρός ὀρθός ὁ ὁ παραλληλόγραμμος πλευρά καμπύλη γραμμή μή συνεγγίζω εὔθεια ( οἷος μεταξύ ὁ ΞΓ , Ο∠ γραμμή ὁ Γ ∠ ) , ἀλλά περιφερής , μετρέω οὕτως · ἄγω ὁ Ο∠ πρός ὀρθός ὁ ∠Μ , καί ἐπί αὐτός λαμβάνω σημεῖον συνεχής ὁ Μ , Μ , καί ἀπ αὐτός πρός ὀρθός ἄγω ὁ Μ∠ ὁ ΜΜ , ΜΜ , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ ἄγω σύνεγγυς εὐθεῖα εἰμί , πάλιν μετρέω ὁ τε ΜΞΟ∠ παραλληλόγραμμος καί ὁ ΜΜ ∠ τρίγωνος , καί ὁ ΓΜΜΜ τραπέζιον , καί ἔτι ὁ ἕτερος τραπέζιον , καί ἔχω ὁ περιέχω χωρίον ὑπό τε ὁ ΓΜΜ ∠ γραμμή καί ὁ ΓΞ ΞΟ , Ο ∠ εὐθεῖα μετρέω .