heron.dioptra 24
κδ . Ἔστι δὲ καὶ ἄλλος τρόπος μετρήσεως . ἔστω χωρίον , ὃ δεῖ μετρῆσαι , τὸ ὑπογεγραμμένον , ἐν ᾧ διὰ τῆς διόπτρας διʼ ὅλου τοῦ μήκους διήχθω τις εὐθεῖα , κατὰ τὸ δυνατὸν μέση τοῦ χωρίου ὡς ἔγγιστα , ἡ ΑΒ . ἐπὶ δὲ ταύτης εἰλήφθω συνεχῆ σημεῖα τὰ Γ , ∠ , Ε , Ζ , Η , Θ · ἀπὸ δὲ τῶν ληφθέντων σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν διὰ τῆς διόπτρας αἱ ΓΚ , ΓΛ , ∠Μ , ∠Ν , ΕΞ , ΕΟ , ΖΠ , ΖΡ , ΗΣ , ΗΤ , ΘΥ , ΘΦ , ὥστε πάλιν τὰς μεταξὺ γραμμὰς σύνεγγυς εὐθείας εἶναι . πάλιν οὖν διῄρηται τὸ χωρίον εἰς τρίγωνα τὰ ΑΓΚ , ΑΓΛ , ΒΘΦ , ΒΘΥ , καὶ τὰ λοιπὰ τραπέζια . δυνατὸν οὖν διά τε τῶν εἰρημένων τριγώνων καὶ διὰ τῶν τραπεζίων τὸ χωρίον μετρηθῆναι . ἐὰν δὲ πάλιν ἐμπέσῃ τις μεταξὺ περιφερὴς γραμμή , διελοῦμεν τὸ πρὸς αὐτῇ τραπέζιον ὡσαύτως τῷ ἐπάνω , καὶ οὕτως μετρήσομεν . αὕτη δʼ ἡ μέτρησις εὔχρηστός ἐστιν , ὅταν δέῃ καὶ διελεῖν τὸ χωρίον εἰς τὰ δοθέντα μέρη . δέον γὰρ ἔστω διελεῖν αὐτὸ εἰς ἴσα μέρη ἑπτὰ διὰ παραλλήλων εὐθειῶν . ἐμέτρησα οὖν τὸ χωρίον , καὶ ἔλαβον τοῦ γενομένου τὸ ἕβδομον μέρος , ὥστε ἑκάστῳ μέρει τοσοῦτον ἀπονέμειν · ἐμέτρησα οὖν τὸ ΚΑΛ χωρίον , καὶ εἰ μὲν ἴσον ἐστὶν τῷ ἑβδόμῳ μέρει , ἔχομεν τὸ ΚΑΛ χωρίον · εἰ δὲ μὴ , προστίθημι τῷ τοῦ ΚΑΛ τὸ τοῦ ΚΛΜΝ ἐμβαδόν · καὶ εἰ μὲν ἴσον εὑρεθείη τῷ ἑβδόμῳ μέρει , ἔσται ἡ ΜΝ ἀφορίζουσα τὸ ἓν τῶν μερῶν . εἰ δὲ μεῖον εὑρεθείη , δεήσει πάλιν προσθεῖναι καὶ τὸ τοῦ ΜΝΞΟ ἐμβαδόν , ἄχρις ἂν ἴσον γένηται τῷ ἑβδόμῳ μέρει ἢ ὑπερβάλῃ . ὑπερβεβληκέτω οὖν προστεθέντος τοῦ ΕΟΠΡ . δεήσει ἄρα ἀπὸ τοῦ ΞΟΠΡ ἀφελεῖν χωρίον ἴσον τῷ ὑπερβάλλοντι , οἷον τὸ ΠΡΧΨ | . ὥστε δεήσει ἐπίστασθαι , ἀπὸ τοῦ δοθέντος τραπεζίου ὡς δεῖ ἀφελεῖν τραπέζιον ἴσον τῷ δοθέντι · τοῦτο δὲ ἑξῆς δείξομεν . οὐκοῦν ἔσται τὸ ΧΑΨ χωρίον ἓν τῶν μερῶν . πάλιν οὖν τῷ ΠΧΨΡ προσέθηκα τὸ ΠΡΣΤ · καὶ εἰ μὲν ἴσον εἴη αὐτὸ τὸ ἐμβαδὸν τῷ ἑβδόμῳ μέρει , ἔσται ἡ ΣΤ ἀφορίζουσα τὸ δεύτερον μέρος · εἰ δὲ ὑπερβάλοι , πάλιν δεήσει ἀφελεῖν τὸ ὑπερβάλλον ἀπὸ τοῦ ΠΡΣΤ τραπεζίου . καὶ οὕτως νοείσθω ἐπὶ τῶν λοιπῶν μερῶν .
Lemmas: ΚΔ . εἰμί δέ καί ἄλλος τρόπος μέτρησις . εἰμί χωρίον , ὅς δέω μετρέω , ὁ ὑπογράφω , ἐν ὅς διά ὁ διόπτρα διά ὅλος ὁ μῆκος διάγω τις εὐθύς , κατά ὁ δυνατός μέσος ὁ χωρίον ὡς ἐγγύς , ὁ ΑΒ . ἐπί δέ οὗτος λαμβάνω συνεχής σημεῖον ὁ Γ , ∠ , Ε , Ζ , Η , Θ · ἀπό δέ ὁ λαμβάνω σημεῖον ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἄγω διά ὁ διόπτρα ὁ ΓΚ , ΓΛ , ∠Μ , ∠Ν , ΕΞ , ΕΟ , ΖΠ , ΖΡ , ΗΣ , ΗΤ , ΘΥάς , ΘΦ , ὥστε πάλιν ὁ μεταξύ γραμμή σύνεγγυς εὐθύς εἰμί . πάλιν οὖν διαιρέω ὁ χωρίον εἰς τρίγωνος ὁ ΑΓΚ , ΑΓΛ , ΒΘΦ , ΒΘΥ , καί ὁ λοιπός τραπέζιον . δυνατός οὖν διά τε ὁ λέγω τρίγων καί διά ὁ τραπέζιον ὁ χωρίον μετρέω . ἐάν δέ πάλιν ἐμπίπτω τις μεταξύ περιφερής γραμμή , διαιρέω ὁ πρός αὐτός τραπέζιον ὡσαύτως ὁ ἐπάνω , καί οὕτως μετρέω . οὗτος δέ ὁ μέτρησις εὔχρηστος εἰμί , ὅταν δέω καί διαιρέω ὁ χωρίον εἰς ὁ δίδωμι μέρος . δέω γάρ εἰμί διαιρέω αὐτός εἰς ἴσος μέρος ἑπτά διά παράλληλος εὐθεῖα . μετρέω οὖν ὁ χωρίον , καί λαμβάνω ὁ γίγνομαι ὁ ἕβδομος μέρος , ὥστε ἕκαστος μέρος τοσοῦτος ἀπονέμω · μετρέω οὖν ὁ ΚΑΛ χωρίον , καί εἰ μέν ἴσος εἰμί ὁ ἕβδομος μέρος , ἔχω ὁ ΚΑΛ χωρίον · εἰ δέ μή , προστίθημι ὁ ὁ ΚΑΛ ὁ ὁ ΚΛΜΝ ἐμβαδόν · καί εἰ μέν ἴσος εὑρίσκω ὁ ἕβδομος μέρος , εἰμί ὁ ΜΝ ἀφορίζω ὁ εἷς ὁ μέρος . εἰ δέ μείων εὑρίσκω , δέω πάλιν προστίθημι καί ὁ ὁ ΜΝΞΟ ἐμβαδόν , ἄχρι ἄν ἴσος γίγνομαι ὁ ἕβδομος μέρος ἤ ὑπερβάλλω . ὑπερβάλλω οὖν προστίθημι ὁ ΕΟΠΡ . δέω ἄρα ἀπό ὁ ΞΟΠΡ ἀφαιρέω χωρίον ἴσος ὁ ὑπερβάλλω , οἷος ὁ ΠΡΧΨ | . ὥστε δέω ἐπίσταμαι , ἀπό ὁ δίδωμι τραπέζιον ὡς δέω ἀφαιρέω τραπέζιον ἴσος ὁ δίδωμι · οὗτος δέ ἑξῆς δείκνυμι . οὐκοῦν εἰμί ὁ ΧΑΨ χωρίον εἷς ὁ μέρος . πάλιν οὖν ὁ ΠΧΨΡ προστίθημι ὁ ΠΡΣΤ · καί εἰ μέν ἴσος εἰμί αὐτός ὁ ἐμβαδόν ὁ ἕβδομος μέρος , εἰμί ὁ ΣΤ ἀφορίζω ὁ δεύτερος μέρος · εἰ δέ ὑπερβάλλω , πάλιν δέω ἀφαιρέω ὁ ὑπερβάλλω ἀπό ὁ ΠΡΣΤ τραπέζιον . καί οὕτως νοέω ἐπί ὁ λοιπός μέρος .