heron.catoptrica 1
Ἐπειδὴ γὰρ τοῦτο ὡμολογημένον ἐστὶ παρὰ πᾶσιν , ὅτι οὐδὲν μάτην ἐργάζεται ἡ φύσις οὐδὲ ματαιοπονεῖ , ἐὰν μὴ δώσωμεν πρὸς ἴσας γωνίας γίνεσθαι τὴν ἀνάκλασιν , πρὸς ἀνίσους ματαιοπονεῖ ἡ φύσις , καὶ ἀντὶ τοῦ διὰ βραχείας περιόδου φθάσαι τὸ ὁρώμενον τὴν ὄψιν , διὰ μακρᾶς περιόδου τοῦτο φανήσεται καταλαμβάνουσα . εὑρεθήσονται γὰρ αἱ τὰς ἀνίσους γωνίας περιέχουσαι εὐθεῖαι , αἵτινες ἀπὸ τῆς ὄψεως φερομένας πρὸς τὸ κάτοπτρον κἀκεῖθεν πρὸς τὸ ὁρώμενον , μείζονες οὖσαι τῶν τὰς ἴσας γωνίας περιεχουσῶν εὐθειῶν . καὶ ὅτι τοῦτο ἀληθές , δῆλον ἐντεῦθεν . Ὑποκείσω γὰρ τὸ κάτοπτρον εὐθεῖά τις ἡ ΑΒ , καὶ ἔστω τὸ μὲν ὁρῶν Γ , τὸ δʼ ὁρώμενον τὸ ∠ , τὸ δὲ Ε σημεῖον τοῦ κατόπτρου , ἐν ᾧ προσπίπτουσα ἡ ὄψις ἀνακλᾶται πρὸς τὸ ὁρώμενον , ἔστω , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ Ε∠ . λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ∠ΕΒ . εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ἴση , ἔστω ἕτερον σημεῖον τοῦ κατόπτρου , ἐν ᾧ προσπίπτουσα ἡ ὄψις πρὸς ἀνίσους γωνίας ἀνακλᾶται , τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ , Ζ∠ . δῆλον ὅτι ἡ ὑπὸ ΓΖΑ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ∠ΖΕ γωνίας . λέγω ὅτι αἱ ΓΖ , Ζ∠ εὐθεῖαι , αἵτινες τὰς ἀνίσους γωνίας περιέχουσιν ὑποκειμένης τῆς ΑΒ εὐθείας , μείζονές εἰσι τῶν ΓΕ , Ε∠ εὐθειῶν , αἵτινες τὰς ἴσας γωνίας περιέχουσι μετὰ τῆς ΑΒ . ἤχθω γὰρ κάθετος ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Η σημεῖον | καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας ὡς ἐπὶ τὸ Θ . φανερὸν δὴ ὅτι αἱ πρὸς τῷ γωνίαι ἴσαι εἰσίν . ὀρθαὶ γάρ εἰσι . καὶ ἔστω ἡ ∠Η τῇ ΗΘ ἴση , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΖ καὶ ἡ ΘΕ . αὕτη μὲν ἡ κατασκευή . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∠ τῇ ΗΘ , ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΗΕ γωνίᾳ ἴση ἐστί , κοινὴ δὲ πλευρὰ τῶν δύο τριγώνων ἡ ΗΕ , καὶ βάσις ἡ ΘΕ βάσει τῇ Ε∠ ἴση ἐστί , καὶ τὸ ΗΘΕ τρίγωνον τῷ ∠ΗΕ τριγώνῳ ἴσον ἐστί , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις εἰσὶν ἴσαι , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν . ἴση ἄρα ἡ ΘΕ τῇ Ε∠ . πάλιν ἐπειδὴ τῇ ΗΘ ἴση ἐστὶν ἡ Η∠ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ∠ΗΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΗΖ ἴση ἐστί , κοινὴ δὲ ἡ ΗΖ τῶν δύο τριγώνων τῶν ∠ΗΖ καὶ ΘΗΖ , καὶ βάσις ἄρα ἡ ΘΖ βάσει τῇ Ζ∠ ἴση ἐστί , καὶ τὸ ΖΗ∠ τρίγωνον τῷ ΘΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῇ Ζ∠ . καὶ ἐπεὶ ἴση VG : τὸ Ald . 15 δ G : δηθ V AId 17 f . βάσις 〈 ἄρα 〉 ἐστὶν ἡ ΘΕ τῇ Ε∠ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ . δύο ἄρα αἱ ΓΕ , Ε∠ δυσὶ ταῖς ΓΕ , ΕΘ ἴσαι εἰσίν . ὅλη ἄρα ἡ ΓΘ δυσὶ ταῖς ΓΕ , Ε∠ ἴση ἐστί . καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , τριγώνου ἄρα τοῦ ΘΖΓ αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΘΖ , ΖΓ μιᾶς τῆς ΓΘ μείζονές εἰσιν . ἀλλʼ ἡ ΓΘ ἴση ἐστὶ ταῖς ΓΕ , Ε∠ . αἱ ΘΖ . ΖΓ ἄρα μείζονές εἰσι τῶν ΓΕ , Ε∠ . ἀλλʼ ἡ ΘΖ τῇ Ζ∠ ἐστὶν ἴση . αἱ ΖΓ , Ζ∠ ἄρα τῶν ΓΕ , Ε∠ μείζονές εἰσι . καί εἰσιν αἱ ΓΖ , ∠ αἱ τὰς ἀνίσους γωνίας περιέχουσαι · αἱ ἄρα τὰς ἀνίσους γωνίας περιέχουσαι μείζονές εἰσι τῶν τὰς ἴσας γωνίας περιεχουσῶν .
Lemmas: ἐπειδή γάρ οὗτος ὁμολογέω εἰμί παρά πᾶς , ὅτι οὐδείς μάτην ἐργάζομαι ὁ φύσις οὐδέ ματαιοπονέω , ἐάν μή δόω πρός ἴσος γωνία γίγνομαι ὁ ἀνάκλασις , πρός ἄνισος ματαιοπονέω ὁ φύσις , καί ἀντί ὁ διά βραχύς περίοδος φθάνω ὁ ὁράω ὁ ὄψις , διά μακρός περίοδος οὗτος φαίνω καταλαμβάνω . εὑρίσκω γάρ ὁ ὁ ἄνισος γωνία περιέχω εὐθύς , ὅστις ἀπό ὁ ὄψις φέρω πρός ὁ κάτοπτρον ἐκεῖθεν πρός ὁ ὁράω , μέγας εἰμί ὁ ὁ ἴσος γωνία περιέχω εὐθύς . καί ὅτι οὗτος ἀληθής , δῆλος ἐντεῦθεν . ὑποκείθω γάρ ὁ κάτοπτρον εὐθύς τις ὁ ΑΒ , καί εἰμί ὁ μέν ὁράω Γ , ὁ δέ ὁράω ὁ ∠ , ὁ δέ Ε σημεῖον ὁ κάτοπτρον , ἐν ὅς προσπίπτω ὁ ὄψις ἀνακλάω πρός ὁ ὁράω , εἰμί , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ Ε∠ . λέγω ὅτι ὁ ὑπό ΑΕΓ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΕΒ . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , εἰμί ἕτερος σημεῖον ὁ κάτοπτρον , ἐν ὅς προσπίπτω ὁ ὄψις πρός ἄνισος γωνία ἀνακλάω , ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ , Ζ∠ . δῆλος ὅτι ὁ ὑπό ΓΖΑ γωνία μέγας εἰμί ὁ ὑπό ∠ΖΕ γωνία . λέγω ὅτι ὁ ΓΖ , Ζ∠ εὐθεῖα , ὅστις ὁ ἄνισος γωνία περιέχω ὑπόκειμαι ὁ ΑΒ εὐθεῖα , μέγας εἰμί ὁ ΓΕ , Ε∠ εὐθεῖα , ὅστις ὁ ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ ΑΒ . ἄγω γάρ κάθετος ἀπό ὁ ∠ ἐπί ὁ ΑΒ κατά ὁ Η σημεῖον | καί ἐκβάλλω ἐπί εὐθεῖα ὡς ἐπί ὁ Θ . φανερός δή ὅτι ὁ πρός ὁ γωνία ἴσος εἰμί . ὀρθός γάρ εἰμί . καί εἰμί ὁ ∠Η ὁ ΗΘ ἴσος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΖ καί ὁ ΘΕ . οὗτος μέν ὁ κατασκευή . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ∠ ὁ ΗΘ , ἀλλά καί ὁ ὑπό ∠ΗΕ γωνία ὁ ὑπό ΘΗΕ γωνία ἴσος εἰμί , κοινός δέ πλευρόν ὁ δύο τρίγων ὁ ΗΕ , καί βάσις ὁ ΘΕ βάσις ὁ Ε∠ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΗΘΕ τρίγωνον ὁ ∠ΗΕ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία εἰμί ἴσος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω . ἴσος ἄρα ὁ ΘΕ ὁ Ε∠ . πάλιν ἐπειδή ὁ ΗΘ ἴσος εἰμί ὁ Η∠ καί γωνία ὁ ὑπό ∠ΗΖ γωνία ὁ ὑπό ΘΗΖ ἴσος εἰμί , κοινός δέ ὁ ΗΖ ὁ δύο τρίγων ὁ ∠ΗΖ καί ΘΗΖ , καί βάσις ἄρα ὁ ΘΖ βάσις ὁ Ζ∠ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΖΗ∠ τρίγωνον ὁ ΘΗΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΖ ὁ Ζ∠ . καί ἐπεί ἴσος VG : ὁ Ald . 15 δ G : δέω V AId 17 f . βάσις 〈 ἄρα 〉 εἰμί ὁ ΘΕ ὁ Ε∠ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΕΓ . δύο ἄρα ὁ ΓΕ , Ε∠ δύο ὁ ΓΕ , ΕΘ ἴσος εἰμί . ὅλος ἄρα ὁ ΓΘ δύο ὁ ΓΕ , Ε∠ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί πᾶς τρίγωνον ὁ δύο πλευρά ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω , τρίγωνον ἄρα ὁ ΘΖΓ ὁ δύο πλευρά ὁ ΘΖ , ΖΓ εἷς ὁ ΓΘ μέγας εἰμί . ἀλλά ὁ ΓΘ ἴσος εἰμί ὁ ΓΕ , Ε∠ . ὁ ΘΖ . ΖΓ ἄρα μέγας εἰμί ὁ ΓΕ , Ε∠ . ἀλλά ὁ ΘΖ ὁ Ζ∠ εἰμί ἴσος . ὁ ΖΓ , Ζ∠ ἄρα ὁ ΓΕ , Ε∠ μέγας εἰμί . καί εἰμί ὁ ΓΖ , ∠ ὁ ὁ ἄνισος γωνία περιέχω · ὁ ἄρα ὁ ἄνισος γωνία περιέχω μέγας εἰμί ὁ ὁ ἴσος γωνία περιέχω .