galenus.adversus-eos-qui-de-typis-scripserunt-vel-de-circuitibus 7
Τούτων ἤδη γεγραμμένων , καί τισι τῶν ἑταίρων ἐκδιδομένων , ἢ ἀξιωσάντων ἑτέρων μαθεῖν , ὅπως ἂν ᾖ τοῦ διαγράμματος , ἐγὼ παραχρῆμα τοῖς προβάλλουσιν ἀποκρίνομαι τὸ πλῆθος τῶν τύπων . ἔστιν οὖν ἡ μέθοδος οὐχ ἑτέρου τινὸς γένους , ἀλλ’ ὑποπεπτωκυῖα τῇ προτέρᾳ . πεισθήσῃ δὲ καὶ αὐτὸς οὕτως ἔχειν ἀναμνησθεὶς πρότερον ἀεί τε πρόχειρον ἔχων τὴν μνήμην αὐτῶν , ὡς ἡμέραν ὀνομάζομεν ἐν τῷ χρόνῳ τούτῳ τὸν συγκείμενον χρόνον ἔκ τε τῆς ἡμέρας καὶ τῆς νυκτὸς , ὅπερ ἔνιοι προσαγορεύουσι νυχθήμερον . οὕτω γοῦν καὶ τὸν ἐνιαυτὸν εἶναι λέγομεν ἡμερῶν τξε΄ καὶ τετάρτου . μιᾶς μὲν οὖν ἡμέρας τέτταρες ἐπὶ ταῖς κ΄ ὧραι γίγνονται , δυοῖν δὲ ὀκτὼ καὶ τετταράκοντα , τριῶν δὲ δύο καὶ ἑβδομήκοντα · τὰ δὲ ὀνόματα τοῖς τύποις οὐκ ἀπὸ τῶν συμπληρουμένων ἡμερῶν ἐστιν , ἀλλ’ ἀπὸ τῆς ἀνταποδόσεως τοῦ παροξυσμοῦ . τριταῖον μὲν ὀνομάζομεν ᾧ διὰ τρίτης ἡμέρας ὁ παροξυσμὸς γίγνεται , δυοῖν μεταξὺ δηλονότι καὶ συμπληρωθεισῶν · τεταρταῖον δὲ ᾧ κατὰ τετάρτην , τριῶν κᾀπὶ τούτῳ μεταξὺ συμπληρουμένων ἡμερῶν , ἐπί τε τῶν ἄλλων ἀνάλογον · ὥσθ’ ὅταν εὕρῃς περίοδον τύπου τεττάρων ἡμερῶν , πεμπταῖον ἐρεῖς αὐτὸν , οὐ ταὐτὸν γάρ ἐστι διὰ πέμπτης τε παροξύνεσθαι καὶ πέντε ἡμερῶν ἔχειν περίοδον . ἐν μνήμῃ τοίνυν θέμενος ταῦτα , πάλιν ἀναμνήσθητί μοι τῆς εἰρημένης ἔμπροσθεν ἐπὶ τῷ διαγράμματι μεθόδου . λέλεκται δὲ ὅτι τὸν προβληθέντα περιοδικῶν ἀριθμὸν ὡρῶν , ὃς ἐν τῷ μεταξὺ δυοῖν ἀρχῶν γίνεται παροξυσμὸς , ἐπισκέπτου πότερον μετρεῖ τὸν ἐν τῷ διαγράμματι περιεχόμενον ἀριθμὸν ὁντιναοῦν . ἦσαν δ’ ἐκεῖνοι κατὰ πολλαπλασιασμὸν ὡρῶν εἰκοσιτεσσάρων γενόμενοι . ἵνα οὖν χωρὶς διαγράμματος αὐτὸς εὑρίσκῃς ἐπὶ δακτύλου τοῦτο , ταυτὶ πρᾶττε . τοῦ μὲν ἓξ καὶ ὀκτὼ προβληθέντος , εὐκαίρως ἂν εὕροις τέσσαρας μὲν ἀμφημερινοὺς γιγνομένους , ὅταν ἓξ ὡρῶν προβεβλημένη περίοδος ᾖ · τρεῖς δ’ , ὅταν ὀκτώ . τοῦ δ’ ἑπτὰ προβληθέντος , ἤ τινος ἄλλου τῶν μὴ μετρούντων τὸν τῶν εἰκοσιτεσσάρων ὡρῶν ἀριθμὸν , ἐπισκέπτου πότερον ἔχει τι μέρος ὁ προβληθεὶς , ἢ οὐδὲν , ὅτι μὴ τὴν μονάδα . εἰ μὲν ἔχει τι παρὰ τὴν μονάδα μέρος ἄλλο , καθάπερ ὁ μὲν ἐννέα τὸ τρίτον , ὁ δὲ πεντεκαίδεκα τὸ τρίτον τε καὶ τὸ πέμπτον , ἐπισκέπτου ποῖον αὐτοῦ τῶν μερῶν κοινόν ἐστι πρὸς τὸν τῶν εἰκοσιτεσσάρων . εὐθέως γοῦν τρίτον μὲν ὁ τῶν εἰκοσιτεσσάρων ὡρῶν ἀριθμὸς ἔχει , πέμπτον δ’ οὐκ ἔχει , καθάπερ ὁ τῶν πεντεκαίδεκα . ἐὰν μὲν οὖν προβεβλημένη περίοδος ὡρῶν ﻿ ἐννέα τύχῃ , τὸ τρίτον μὲν ταύτης λήψῃ , τὸ τρίτον δὲ καὶ τῶν κδ΄ τὰ ὀκτὼ , καὶ φήσεις ὀκτὼ τύπους εἶναι τρισὶν ἡμέραις περιγραφομένους . ἠξίουν δέ σε μεμνῆσθαι τοὺς τοιούτους τύπους τεταρταίους ὀνομάζεσθαι . εἰ δὲ ιε΄ ὡρῶν περίοδος εἴη , τῶν μὲν ιε΄ τὸ τρίτον λαβὼν , πένθ’ ἡμερῶν εἶναι τοὺς τύπους , ὅπερ ἐστιν ἑκταίους · τῶν δὲ κδ΄ ἐπειδὴ καὶ τούτων τὸ τρίτον ὀκτὼ γίγνεται , τοσούτους ἐρεῖς εἶναι καὶ τοὺς ἑκταίους τύπους · εἰ δὲ μηδὲν μόριον ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς ᾖ , οἷός πέρ ἐστιν ὁ ζ΄ , κδ΄ ὀγδοαίους . οὕτω δὲ καὶ εἰ ἕνδεκα ὡρῶν ᾖ προβεβλημένη περίοδος , κδ΄ εἶναι τοὺς τύπους ἑνδεκαημέρους ἐρεῖς , ὅπερ ἐστι δωδεκαταίους . οὕτω δὲ καὶ εἰ τρισκαίδεκα ὡρῶν ἡ περίοδος ᾖ , τέσσαρας ἐπὶ τοῖς εἴκοσι τεσσαρεσκαιδεκαταίους . ὡσαύτως δὲ κᾂν μείζων ᾖ προβεβλημένη περίοδος τῶν κδ΄ ὡρῶν , εἰ μὲν μηδὲν ἔχοι μέτρον κοινὸν πρὸς τὸν τῶν κδ΄ , ὥσπερ ἐπὶ τοῦ τῶν ε΄ καὶ κ΄ συμβέβηκε , τέτταρας καὶ κ΄ ἐρεῖς εἶναι εἰκοστοεκταίους τύπους . ( ὥσπέρ γε καὶ κ΄ . ) εἰ δ’ εἴη τι κοινὸν μέτρον ἀμφοῖν , ὥσπερ ἐπὶ τῶν ζ΄ καὶ κ΄ τὸ τρίτον ἐστὶν , ὀκτὼ φήσεις εἶναι δεκαταίους , ἐπειδὴ τῶν μὲν κ΄ καὶ δ΄ τὸ τρίτον ἐστὶν η΄ , τῶν δὲκζ΄ , θ΄ . δῆλον γὰρ ὅτι τοῦ δεκαταίου τύπου περίοδός ἐστιν ἡμερῶν ἐννέα συμπληρουμένων , αἵτινες ὡρῶν ἀριθμὸν ἐργάζονται ἑκκαίδεκα καὶ διακοσίων , οὗ μέρος ὄγδοόν ἐστιν ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς εἰκοσιεπτὰ ὡρῶν . ὑποπέπτωκεν οὖν ἡ μέθοδος αὕτη τῇ κατὰ τὸ διάγραμμα κοινῇ προειρημένῃ , τοσοῦτον ἐκείνης διαλλάττουσα , τῷ δύνασθαι καὶ χωρὶς τοῦ διαγράμματος εὑρεῖν τινα πρῶτον ἀριθμὸν ὡρῶν ἡμερησίαις περιόδοις μετρούμενον , οὗ μέρος ὁ προβεβλημένος ἐστίν . τὸ δὲ θεώρημα τοῦτο δέδεικται καὶ πρὸς Εὐκλείδου κατὰ τὸ τῶν στοιχείων , ἕβδομον δὲ αὐτοῦ ἐστι κεφάλαιον . τὸ δὲ μεῖζον κοινὸν ἀμφοτέρων τῶν ἀριθμῶν χρὴ λαμβάνοντας σκέψασθαι ποσάκις ἑκάτερον μετρεῖ τὸν ἀριθμὸν τὸ κοινὸν τοῦτο μέτρον , οἷον ἐπὶ τοῦ πεντεκαίδεκα καὶ τοῦ τῶν εἰκοσιτεσσάρων πρῶτον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ τῶν τριῶν ἀριθμός · οὗτος δὲ τὸν ε΄ καὶ ι΄ μετρεῖ κατὰ τὸν ε΄ , τὸν δὲ εἰκοσιτέσσαρα κατὰ τὸν ὀκτώ . ἐὰν οὖν τὸν ε΄ πολλαπλασιάσῃς ἐπὶ τὸν τῶν κδ΄ , ἐάν τε τὸν η΄ ἐπὶ τῶν ιε΄ , τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν εὑρήσεις γινόμενον , ὥσπερ ἑκατὸν καὶ εἴκοσιν ὡρῶν , ἡμερῶν δὲ δηλονότι ε΄ . καὶ διὰ τοῦτο τὸν τύπον ἑκταῖον ἐρεῖς . κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον , εἰ τρισκαίδεκα ὡρῶν ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς εἴη , κοινῇ μετρήσουσιν οὗτός τε καὶ ὁ τῶν κδ΄ τὸν ἐξ ἀμφοτέρων ἀλλήλων πολλαπλασίων γινόμενον , ὅσπερ ἐστιν ὁ τῶν τιβ΄ . ( ἐπειδὴ τῶν πρώτων καλουμένων ἀριθμῶν ἐστιν ὁ τρισκαίδεκα . προσαγορεύουσιν γὰρ οὕτως ὧν οὐκ ἔστι κοινὸν μέτρον πλὴν μονάδος . ) ὁ μὲν οὖν ἀριθμὸς , ὅσον ἀμφότεροι μετροῦσιν , ἔσται τιβ΄ . τρισκαιδεκάκις γὰρ οὗτος ἔχει τὰς κδ΄ ὥρας . ὁ δὲ τύπος ἡμερῶν ἔσται τελείων τριῶν καὶ ι΄ , τουτέστι τεσσαρεσκαιδεκαταῖος · ἐπεὶ δὲ τετράκις τε καὶ εἰκοσάκις οὗτος μετρεῖ τὸν τῶν τιβ΄ , τὸ πλῆθος τῶν τύπων ἔσται δ΄ ἐπὶ τοῖς κ΄ . ἔχετε γοῦν ἤδη καὶ ταύτην ἀπόδειξιν τῆς μεθόδου , καίτοι γ’ οὐ βουληθέντος ἐμοῦ διδάσκειν ὑμᾶς ἄχρηστα πράγματα · κάλλιον γὰρ ἦν αὐτῶν ὅλως καταφρονεῖν μεμνημένους τοῦ Πυθικοῦ παραγγέλματος , ὡς φείδεσθαι προσήκει χρόνου .
Lemmas: οὗτος ἤδη γράφω , καί τις ὁ ἑταῖρος ἐκδίδωμι , ἤ ἀξιόω ἕτερος μανθάνω , ὅπως ἄν εἰμί ὁ διάγραμμα , ἐγώ παραχρῆμα ὁ προβάλλω ἀποκρίνω ὁ πλῆθος ὁ τύπος . εἰμί οὖν ὁ μέθοδος οὐ ἕτερος τις γένος , ἀλλά ὑποπίπτω ὁ πρότερος . πείθω δέ καί αὐτός οὕτως ἔχω ἀναμιμνῄσκω πρότερος ἀεί τε πρόχειρος ἔχω ὁ μνήμη αὐτός , ὡς ἡμέρα ὀνομάζω ἐν ὁ χρόνος οὗτος ὁ σύγκειμαι χρόνος ἐκ τε ὁ ἡμέρα καί ὁ νύξ , ὅς ἔνιοι προσαγορεύω νυχθήμερον . οὕτως γοῦν καί ὁ ἐνιαυτός εἰμί λέγω ἡμέρα τξεʹ καί τέταρτος . εἷς μέν οὖν ἡμέρα τέσσαρες ἐπί ὁ ἄν ὥρα γίγνομαι , δύο δέ ὀκτώ καί τεσσαράκοντα , τρεῖς δέ δύο καί ἑβδομήκοντα · ὁ δέ ὄνομα ὁ τύπος οὐ ἀπό ὁ συμπληρόω ἡμέρα εἰμί , ἀλλά ἀπό ὁ ἀνταπόδοσις ὁ παροξυσμός . τριταῖος μέν ὀνομάζω ὅς διά τρίτος ἡμέρα ὁ παροξυσμός γίγνομαι , δύο μεταξύ δηλονότι καί συμπληρόω · τεταρταῖος δέ ὅς κατά τέταρτος , τρεῖς εἰͅπί οὗτος μεταξύ συμπληρόω ἡμέρα , ἐπί τε ὁ ἄλλος ἀνάλογος · ὥστε ὅταν εὑρίσκω περίοδος τύπος τέσσαρες ἡμέρα , πεμπταῖος λέγω αὐτός , οὐ αὐτός γάρ εἰμί διά πέμπτος τε παροξύνω καί πέντε ἡμέρα ἔχω περίοδος . ἐν μνήμη τοίνυν τίθημι οὗτος , πάλιν ἀναμιμνῄσκω ἐγώ ὁ λέγω ἔμπροσθεν ἐπί ὁ διάγραμμα μέθοδος . λέγω δέ ὅτι ὁ προβάλλω περιοδικός ἀριθμός ὥρα , ὅς ἐν ὁ μεταξύ δύο ἀρχή γίγνομαι παροξυσμός , ἐπισκοπέω πότερος μετρέω ὁ ἐν ὁ διάγραμμα περιέχω ἀριθμός ὅστις . εἰμί δέ ἐκεῖνος κατά πολλαπλασιασμός ὥρα εἰκοσιτέσσαρες γίγνομαι . ἵνα οὖν χωρίς διάγραμμα αὐτός εὑρίσκω ἐπί δάκτυλος οὗτος , οὗτος πράσσω . ὁ μέν ἕξ καί ὀκτώ προβάλλω , εὔκαιρος ἄν εὑρίσκω τέσσαρες μέν ἀμφημερινός γίγνομαι , ὅταν ἕξ ὥρα προβάλλω περίοδος εἰμί · τρεῖς δέ , ὅταν ὀκτώ . ὁ δέ ἑπτά προβάλλω , ἤ τις ἄλλος ὁ μή μετρέω ὁ ὁ εἰκοσιτέσσαρες ὥρα ἀριθμός , ἐπισκοπέω πότερος ἔχω τις μέρος ὁ προβάλλω , ἤ οὐδείς , ὅτι μή ὁ μονάς . εἰ μέν ἔχω τις παρά ὁ μονάς μέρος ἄλλος , καθά ὁ μέν ἐννέα ὁ τρίτος , ὁ δέ πεντεκαίδεκα ὁ τρίτος τε καί ὁ πέμπτος , ἐπισκοπέω ποῖος αὐτός ὁ μέρος κοινός εἰμί πρός ὁ ὁ εἰκοσιτέσσαρες . εὐθύς γοῦν τρίτος μέν ὁ ὁ εἰκοσιτέσσαρες ὥρα ἀριθμός ἔχω , πέμπτος δέ οὐ ἔχω , καθά ὁ ὁ πεντεκαίδεκα . ἐάν μέν οὖν προβάλλω περίοδος ὥρα ﻿ ἐννέα τυγχάνω , ὁ τρίτος μέν οὗτος λαμβάνω , ὁ τρίτος δέ καί ὁ κδʹ ὁ ὀκτώ , καί φημί ὀκτώ τύπος εἰμί τρεῖς ἡμέρα περιγράφω . ἀξιόω δέ σύ μιμνῄσκω ὁ τοιοῦτος τύπος τεταρταῖος ὀνομάζω . εἰ δέ ιεʹ ὥρα περίοδος εἰμί , ὁ μέν ιεʹ ὁ τρίτος λαμβάνω , πέντε ἡμέρα εἰμί ὁ τύπος , ὅς εἰμί ἑκταῖος · ὁ δέ κδʹ ἐπειδή καί οὗτος ὁ τρίτος ὀκτώ γίγνομαι , τοσοῦτος λέγω εἰμί καί ὁ ἑκταῖος τύπος · εἰ δέ μηδείς μόριον ὁ προβάλλω ἀριθμός εἰμί , οἷος περ εἰμί ὁ ζʹ , κδʹ ὀγδοαῖος . οὕτως δέ καί εἰ ἕνδεκα ὥρα εἰμί προβάλλω περίοδος , κδʹ εἰμί ὁ τύπος ἑνδεκαήμερος λέγω , ὅς εἰμί δωδεκαταῖος . οὕτως δέ καί εἰ τρεισκαίδεκα ὥρα ὁ περίοδος εἰμί , τέσσαρες ἐπί ὁ εἴκοσι τεσσαρεσκαιδεκαταῖος . ὡσαύτως δέ ἔͅν μέγας εἰμί προβάλλω περίοδος ὁ κδʹ ὥρα , εἰ μέν μηδείς ἔχω μέτρον κοινός πρός ὁ ὁ κδʹ , ὥσπερ ἐπί ὁ ὁ πέντε καί ἄν συμβαίνω , τέσσαρες καί ἄν λέγω εἰμί εἰκοστοεκταῖος τύπος . ( ὥσπερ γε καί ἄν . ) εἰ δέ εἰμί τις κοινός μέτρον ἄμφω , ὥσπερ ἐπί ὁ ζʹ καί ἄν ὁ τρίτος εἰμί , ὀκτώ φημί εἰμί δεκαταῖος , ἐπειδή ὁ μέν ἄν καί δʹ ὁ τρίτος εἰμί ηʹ , ὁ δέκζʹ , θʹ . δῆλος γάρ ὅτι ὁ δεκαταῖος τύπος περίοδος εἰμί ἡμέρα ἐννέα συμπληρόω , ὅστις ὥρα ἀριθμός ἐργάζομαι ἑκκαίδεκα καί διακόσιοι , ὅς μέρος ὄγδοος εἰμί ὁ προβάλλω ἀριθμός εἰκοσιεπτά ὥρα . ὑποπίπτω οὖν ὁ μέθοδος οὗτος ὁ κατά ὁ διάγραμμα κοινῇ προλέγω , τοσοῦτος ἐκεῖνος διαλλάσσω , ὁ δύναμαι καί χωρίς ὁ διάγραμμα εὑρίσκω τις πρῶτος ἀριθμός ὥρα ἡμερήσιος περίοδος μετρέω , ὅς μέρος ὁ προβάλλω εἰμί . ὁ δέ θεώρημα οὗτος δείκνυμι καί πρός Εὐκλείδης κατά ὁ ὁ στοιχεῖον , ἕβδομος δέ αὐτός εἰμί κεφάλαιος . ὁ δέ μέγας κοινός ἀμφότερος ὁ ἀριθμός χρή λαμβάνω σκοπέω ποσάκις ἑκάτερος μετρέω ὁ ἀριθμός ὁ κοινός οὗτος μέτρον , οἷος ἐπί ὁ πεντεκαίδεκα καί ὁ ὁ εἰκοσιτέσσαρες πρῶτος κοινός μέτρον εἰμί ὁ ὁ τρεῖς ἀριθμός · οὗτος δέ ὁ πέντε καί ιʹ μετρέω κατά ὁ πέντε , ὁ δέ εἰκοσιτέσσαρες κατά ὁ ὀκτώ . ἐάν οὖν ὁ πέντε πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ὁ κδʹ , ἐάν τε ὁ ηʹ ἐπί ὁ ιεʹ , ὁ αὐτός ἀριθμός εὑρίσκω γίγνομαι , ὥσπερ ἑκατόν καί εἴκοσι ὥρα , ἡμέρα δέ δηλονότι πέντε . καί διά οὗτος ὁ τύπος ἑκταῖος λέγω . κατά δέ ὁ αὐτός λόγος , εἰ τρεισκαίδεκα ὥρα ὁ προβάλλω ἀριθμός εἰμί , κοινῇ μετρέω οὗτος τε καί ὁ ὁ κδʹ ὁ ἐκ ἀμφότερος ἀλλήλων πολλαπλασίων γίγνομαι , ὅς εἰμί ὁ ὁ τιβʹ . ( ἐπειδή ὁ πρῶτος καλέω ἀριθμός εἰμί ὁ τρεισκαίδεκα . προσαγορεύω γάρ οὕτως ὅς οὐ εἰμί κοινός μέτρον πλήν μονάς . ) ὁ μέν οὖν ἀριθμός , ὅσος ἀμφότερος μετρέω , εἰμί τιβʹ . τρισκαιδεκάκις γάρ οὗτος ἔχω ὁ κδʹ ὥρα . ὁ δέ τύπος ἡμέρα εἰμί τέλειος τρεῖς καί ιʹ , τουτέστι τεσσαρεσκαιδεκαταῖος · ἐπεί δέ τετράκις τε καί εἰκοσάκις οὗτος μετρέω ὁ ὁ τιβʹ , ὁ πλῆθος ὁ τύπος εἰμί δʹ ἐπί ὁ ἄν . ἔχω γοῦν ἤδη καί οὗτος ἀπόδειξις ὁ μέθοδος , καίτοι γε οὐ βούλομαι ἐγώ διδάσκω σύ ἄχρηστος πρᾶγμα · καλός γάρ εἰμί αὐτός ὅλος καταφρονέω μιμνῄσκω ὁ Πυθικός παράγγελμα , ὡς φείδομαι προσήκω χρόνος .