eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 1.1
Τὴν ῥοπήν , γενναιότατε Πέτρε , κοινὸν εἶναι γένος βαρύτητος καὶ κουφότητος Ἀριστοτέλης τε λέγει καὶ Πτολεμαῖος τούτῳ ἀκολουθῶν · ὁ δέ γε παρὰ Πλάτωνι Τίμαιος πᾶσαν ῥοπὴν ἀπὸ βαρύτητος λέχει γίνεσθαι · τὴν γὰρ κουφότητα στέρησιν νομίζει . Ὧν ἔξεστι τὰς δόξας τοῖς φιλομαθέσιν ἀναλέγεσθαι ἔκ τε τοῦ Περὶ ῥοπῶν βιβλίου τῷ Πτολεμαίῳ συγγεγραμμένου καὶ ἐκ τῶν Ἀριστοτέλους φυσικῶν πραγματειῶν καὶ ἐκ τοῦ Πλάτωνος Τιμαίου καὶ τῶν ταῦτα ὑπομνηματισάντων . Ὁ δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ κέντρον ῥοπῆς ἐπιπέδου σχήματος νομίζει , ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι , δύο δὲ ἢ πλειόνων ἐπιπέδων κέντρον ῥοπῆς ἤτοι βάρους , ἀφʼ οὗ ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς παράλληλός ἐστι τῷ ὁρίζοντι . Οἷον ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν τῷ μέσῳ αὐτοῦ σημεῖόν τι τὸ △ , ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι · δῆλον οὖν ὅτι ἰσορροπήσει τὰ Β , Γ μέρη ἑαυτοῖς , καὶ οὐδέτερον τοῦ ἑτέρου μᾶλλον ῥέψει ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα . Ὁμοίως δὲ καὶ ζυγοῦ ὄντος τοῦ ΑΒ καὶ ἀπηρτημένων ἐξ αὐτοῦ τῶν Α , Β μεγεθῶν , ἐὰν ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς ἀπὸ τοῦ Γ ἰσορροποῦντα ἔχῃ τὰ Α , Β μέρη , παράλληλος μένει τῷ ὁρίζοντι , καὶ ἔσται κέντρον τῆς ἀρτήσεως τῶν Α , Β μεγεθῶν τὸ Γ . Καλῶς δὲ δοκεῖ ὁ Γεμῖνος εἰπεῖν περὶ τοῦ Ἀρχιμήδους ὅτι τὰ ἀξιώματα αἰτήματα λέγει · τὰ γὰρ ἴσα βάρη ἀπὸ ἴσων μηκῶν ἰσορροπεῖν ἀξίωμά ἐστι καὶ τὰ ἑξῆς , καὶ ἔστιν πάντα σαφῆ τοῖς μετρίως αὐτὰ ἐπισκεπτομένοις . Τῶν δὲ ἴσων καὶ ὁμοίων , φησίν , ἐπιπέδων σχημάτων ἐφαρμοζομένων ἐπ᾿ ἄλληλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐφαρμόζει ἐπ᾿ ἄλληλα πάντα γὰρ τὰ μέρη αὐτῶν πᾶσιν ἐφαρμόζει . Τῶν δὲ ἀνίσων , ὁμοίων δέ , τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἔσται κείμενα . Νοείσθω δέ , ὡς ἐπὶ τῆς ὑποκειμένης καταγραφῆς , τὰ ΑΒΓ , △ΕΖ τρίγωνα ἄνισα καὶ ὅμοια , κέντρον δὲ βάρους τοῦ μὲν ΑΒΓ τὸ Η , τοῦ δὲ △ΕΖ τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ , ΗΓ , ΒΗ , △Θ , ΘΕ , ΘΖ . Λέγω ὅτι εἰς ἴσα διαιροῦσιν τὰς γωνίας αἱ ἀπὸ τῶν Η , Θ σημείων ἐπιζευχθεῖσαι . Γινέσθω γὰρ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ καὶ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΛ καὶ ἡ △Θ πρὸς ΘΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΚ , ΚΛ , ΛΜ · ἔσται δὴ ὅμοιον τὸ ΚΛΜ τρίγωνον τῷ △ΕΖ τριγώνῳ . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ , ἡ ΘΖ πρὸς ΘΛ , παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΚΛ · ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΜΚ τῇ △Ε καὶ ἡ ΛΜ τῇ △Ζ · ὅμοιον ἄρα τὸ △ΕΖ τρίγωνον τῷ ΚΛΜ τριγώνῳ . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Ε πρὸς ΜΚ , ἡ ΕΖ πρὸς ΚΛ καὶ ἡ △Ζ πρὸς ΜΛ . Ὑπόκειται δὲ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ , △ΕΖ τριγώνων ὡς ἡ △Ε πρὸς ΑΒ , ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ καὶ ἡ △Ζ πρὸς ΑΓ · ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΒΓ ταῖς ΜΚΛ · ὥστε ἐφαρμόζει ἑκάστη ἐπὶ ἑκάστην . Ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΚΜΛ τργώνῳ · ὥστε καὶ ἐφαρμόσει τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τοῦ ΜΚΛ . Τοῦ δὲ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐφαρμόζοντος καὶ τῶν Α , Β , Γ ἐπὶ τὰ Μ , Κ , Λ ἐφαρμόσουσιν καὶ αἱ ΑΗ , ΒΗ , ΓΗ ἐπὶ τὰς ΜΘ , ΚΘ , ΛΘ καὶ ἴσας ποιήσουσιν γωνίας πρὸς τοῖς Μ , Κ , Λ ταῖς ἐν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ · ὥστε καὶ ἐν τῷ △ΕΖ · αἱ αὐταὶ γάρ εἰσιν εὐθεῖαι αἱ ἀπο τοῦ Θ ἐπί τε τὰ Μ , Κ , Λ καὶ ἐπὶ τὰ △ , Ε , Ζ ἐπιζευγνύμεναι . Παντὸς σχήματος , οὗ κα ἁ περίμετρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλα ᾖ , τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶναι δεῖ τοῦ σχήματος | Τίνας καλεῖ τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας γραμμὰς εἴρηται ἡμῖν σαφῶς ἐν τοῖς προοιμίοις τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου . Ἐπειδὴ δὲ τὸ σχῆμα τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην ἔχον τὴν περίμετρον πάντα τὰ μέρη τοῦ ἐπιπέδου ἐντὸς ἔχει καὶ τὰς γωνίας , δῆλον ὅτι καὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐντὸς ἔχει τοῦ σχήματος · ἐπὶ γάρ τινων σχημάτων τὸ κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτός ἐστι καὶ ἐπὶ τῆε περιμέτρου . Ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου κέντρον τοῦ σχήματός ἐστι τὸ Η , ἐπὶ δὲ τῆς △ΕΖ ὑπερβολῆς τὸ κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτὸς ἐστιν , καθ᾿ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτουσιν ἀλλήλαις , ὡς ἔχει τὸ Θ · εἴρηται γὰρ ταῦτα ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν . Ὅμως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ σχήματος καὶ ἐπὶ τοῦ △ΕΖ τὸ κέντρον τοῦ βάρους , ἀφ᾿ οὗ δηλονότι ἀρτώμενον τὸ σχῆμα παράλληλόν ἐστι τῷ ὁρίζοντι , ἐντός ἐστι τῆς περιμέτρου · εἰ γὰρ ἔσται ἐπὶ τῆς περιμέτρου ἢ ἐκτός , ῥέψει ἐπὶ θάτερα · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται .
Lemmas: Τά ῥοπή , γενναῖος Πέτρος , κοινός ἔρχομαι γένος βαρύτης καί κουφότης Ἀριστοτέλης τε λέγω καί Πτολεμαῖος οὗτος ἀκολουθέω · ὁ δέ γε παρά Πλάτων Τίμαιος πᾶς ῥοπή ἀπό βαρύτης λέχος γίγνομαι · ὁ γάρ κουφότης στέρησις νομίζω . ὅς ἔξεστι ὁ δόξα ὁ φιλομαθής ἀναλέγω ἐκ τε ὁ περι ῥοπή βιβλίο ὁ Πτολεμαῖος συγγεγραμμένος καί ἐκ ὁ Ἀριστοτέλης φυσικός πραγματεία καί ἐκ ὁ Πλάτων Τίμαιος καί ὁ οὗτος ὑπομνηματίζω . ὁ δέ Ἀρχιμήδης ἐν οὗτος ὁ βιβλίον κέντρον ῥοπή ἐπίπεδος σχῆμα νομίζω , ἀπό ὅς ἀρτάω παράλληλος μένω ὁ ὁρίζω , δύο δέ ἢ πολύς ἐπίπεδος κέντρον ῥοπή ἤτοι βάρος , ἀπό ὅς ἀρτάω ὁ ζυγόν παράλληλος εἰμί ὁ ὁρίζω . οἷος εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ καί ἐν ὁ μέσος αὐτός σημεῖον τίς ὁ △ , ἀπό ὅς ἀρτάω παράλληλος μένω ὁ ὁρίζω · δῆλος οὖν ὅτι ἰσορροπέω ὁ Β , Γ μέρος ἑαυτοῦ , καί οὐδέτερος ὁ ἕτερος μᾶλλον ῥέπω ἐπί ὁ ὁρίζων . Ὅμοιος δέ καί ζυγόν εἰμί ὁ ΑΒ καί ἀπαρτάω ἐκ αὐτός ὁ Α , Β μέγεθος , ἐάν ἀρτάω ὁ ζυγόν ἀπό ὁ Γ ἰσορροπέω ἔχω ὁ Α , Β μέρος , παράλληλος μένω ὁ ὁρίζω , καί εἰμί κέντρον ὁ ἄρτησις ὁ Α , Β μέγεθος ὁ Γ . καλῶς δέ δοκέω ὁ Γεμῖνος λέγω περί ὁ Ἀρχιμήδης ὅτι ὁ ἀξίωμα αἴτημα λέγω · ὁ γάρ ἴσος βάρος ἀπό ἴσος μηκή ἰσορροπέω ἀξίωμα εἰμί καί ὁ ἑξῆς , καί εἰμί πᾶς σαφής ὁ μέτριος αὐτός ἐπισκοπέω . Τῶν δέ ἴσος καί ὅμοιος , φημί , ἐπίπεδος σχῆμα ἐφαρμόζω ἐπί ἀλλήλων καί ὁ κέντρο ὁ βάρος ἐφαρμόζω ἐπί ἀλλήλων πᾶς γάρ ὁ μέρος αὐτός πᾶς ἐφαρμόζω . Τῶν δέ ἄνισος , ὅμοιος δέ , ὁ κέντρο ὁ βάρος ὅμοιος εἰμί κεῖμαι . νοέω δέ , ὡς ἐπί ὁ ὑπόκειμαι καταγραφή , ὁ ΑΒΓ , ΕΖ τρίγωνος ἄνισος καί ὅμοιος , κέντρον δέ βάρος ὁ μέν ΑΒΓ ὁ ὁ , ὁ δέ ΕΖ ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗ , ΗΓ , ΒΗ , △Θ , ΘΕ , ΘΖ . λέγω ὅτι εἰς ἴσος διαιρέω ὁ γωνία ὁ ἀπό ὁ ὁ , Θ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι . γίνομαι γάρ ὡς ὁ ΕΖ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ΘΚ καί ὁ ΖΘ πρός ΘΛ καί ὁ △Θ πρός ΘΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΚ , ΚΛ , ΛΜ · εἰμί δή ὅμοιος ὁ ΚΛΜ τρίγωνον ὁ ΕΖ τρίγωνον . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΕΘ πρός ΘΚ , ὁ ΘΖ πρός ΘΛ , παράλληλος εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΚΛ · ὅμοιος δή καί ὁ ΜΚ ὁ △Ε καί ὁ ΛΜ ὁ △Ζ · ὅμοιος ἄρα ὁ ΕΖ τρίγωνον ὁ ΚΛΜ τρίγωνον . Ἔρτις ἄρα ὡς ὁ △Ε πρός ΜΚ , ὁ ΕΖ πρός ΚΛ καί ὁ △Ζ πρός ΜΛ . ὑπόκειμαι δέ διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΑΒΓ , ΕΖ τρίγων ὡς ὁ △Ε πρός ΑΒ , ὁ ΕΖ πρός ΒΓ καί ὁ △Ζ πρός ΑΓ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ ὁ ΜΚΛ · ὥστε ἐφαρμόζω ἕκαστος ἐπί ἕκαστος . Ἴσος ἄρα καί ὁμοῖος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΚΜΛ τργώνῳ · ὥστε καί ἐφαρμόζω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ ἐπί ὁ ὁ ΜΚΛ . Τώς δέ ὁ ἐπί ὁ Θ ἐφαρμόζω καί ὁ Α , Β , Γ ἐπί ὁ Μ , Κ , Λ ἐφαρμόζω καί ὁ ΑΗ , ΒΗ , ΓΗ ἐπί ὁ ΜΘ , ΚΘ , ΛΘ καί ἴσος ποιέω γωνία πρός ὁ Μ , Κ , Λ ὁ ἐν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον · ὥστε καί ἐν ὁ ΕΖ · ὁ αὐτός γάρ εἰμί εὐθεῖα ὁ ἀπος ὁ Θ ἐπί τε ὁ Μ , Κ , Λ καί ἐπί ὁ △ , Ε , Ζ ἐπιζεύγνυμι . Παντὸς σχῆμα , ὅς ἄν ὁ περίμετρος ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος εἰμί , ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐντός ἔρχομαι δέω ὁ σχῆμα | Τίνας καλέω ὁ ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος γραμμή λέγω ἐγώ σαφής ἐν ὁ προοίμιον ὁ περι σφαῖρα καί κύλινδρος . Ἐπειδή δέ ὁ σχῆμα ὁ ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος ἔχω ὁ περίμετρον πᾶς ὁ μέρος ὁ ἐπίπεδος ἐντός ἔχω καί ὁ γωνία , δῆλος ὅτι καί ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐντός ἔχω ὁ σχῆμα · ἐπί γάρ τις σχῆμα ὁ κέντρον ὁ σχῆμα ἐκτός εἰμί καί ἐπί τείνω περίμετρος . ἐπί μέν γάρ ὁ ΑΒΓ ἡμικύκλιον κέντρον ὁ σχῆμα εἰμί ὁ ὁ , ἐπί δέ ὁ ΕΖ ὑπερβολή ὁ κέντρον ὁ σχῆμα ἐκτός εἰμί , κατά ὁ ὁ διάμετρος συμπίπτω ἀλλήλων , ὡς ἔχω ὁ Θ · λέγω γάρ οὗτος ἐν ὁ δεύτερος βιβλίον ὁ Απολλωνίου κωνικός . ὅμως δέ καί ἐπί ὁ ΑΒΓ σχῆμα καί ἐπί ὁ ΕΖ ὁ κέντρον ὁ βάρος , ἀπό ὅς δηλονότι ἀρτάω ὁ σχῆμα παράλληλος εἰμί ὁ ὁρίζω , ἐντός εἰμί ὁ περίμετρος · εἰμί γάρ εἰμί ἐπί ὁ περίμετρος ἢ ἐκτός , ῥέπω ἐπί ἕτερος · ὅς οὐ ὑπόκειμαι .