eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.9
Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἁ ΒΘ πρὸς Θ△ , οὕτως ἁ ΚΜ πρὸς ΜΖ · ὅμοια γὰρ ὄντα τὰ τμήματα ἕξει κέντρα εἰς τοὺς αὐτοὺς λόφους τέμνοντα τὰς διαμέτρους · καὶ συνθέντι ὡς ἁ Β△ πρὸς △Θ , ἁ ΚΖ πρὸς ΖΜ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἁ Β△ πρὸς ΚΖ , οὕτως ἁ △Θ πρὸς ΜΖ , τετραπλασία δὲ ἡ Β△ τῆς ΚΖ · τοῦτο γὰρ ἐπὶ τέλει δείκνυται , οὗ σαμεῖον ( ?? ) | Ἑξῆς δὲ αὐτὸ ἡμεῖς δείξομεν . Ἔστω παραβολὴ ἡ ΑΒΓ , ἧς διάμετρος ἡ Β△ , καὶ ἤχθω τεταγμένως ἡ Α△ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ , καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑB κατὰ τὸ Ζ , καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ Β△ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ · διάμετρος ἄρα ἐστὶν τοῦ ΑΒ τμήματος . Καὶ ἀπὸ τῶν , Ε , παρατεταγμένως ἤχθωσαν αἱ ΕΗ , ΖΘ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΒΖ , διπλῆ ἐστιν ἡ ΑB τῆς ΖΒ καὶ ἡ △Β τῆς ΒΘ καὶ ἡ Α△ τῆς ΖΘ , τουτέστι τῆς ΕΗ · ὥστε τὸ ἀπὸ Α△ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἐστὶ τετραπλάσιον , καὶ διὰ τοῦτο ἡ △Β τῆς ΒΗ ἐστὶ τετραπλασία μήκει . Ἐπεὶ οὖν ἡ Β△ τῆς ΒΘ διπλῆ , ἡ ΒΘ τῆς ΒΗ ἐστὶ διπλῆ . Καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΒ ἴση , τουτέστι τῇ ΕΖ διὰ τὸ παραλληλόγραμμον εἶναι τὸ ΕΗΖΘ · τετραπλασία ἄρα ἡ Β△ τῆς ΖΕ . Καὶ ἐπεὶ τετραπλασίων ἐστὶν ἁ Β△ τᾶς ΒΣ , καὶ γὰρ τοῦτο δείκνυται | Δέδεικται γὰρ ἐν τῷ λήμματι ἡ Β△ ἑκατέρας τῶν BΗ , EΖ τετραπλασία ὥστε ἡ ΒΗ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση , καὶ διὰ τοῦτο ἐνταῦθα ἡ ΒΣ τῇ ΚΖ ἴση καὶ ἡ Β△ ἑκατέρας αὐτῶν τετραπλασία . Ἡ ΒΞ ἄρα τῆς Β△ τρίτον μέρος Επεὶ γὰρ τετραπλασίων ἡ Β△ τῆς ΒΣ , οἵων ἄρα ἡ Β△ τεσσάρων , ἡ ΒΣ ἑνός · καὶ οἵων ἄρα ἡ Β△ δώδεκα , τοιούτων ἡ ΒΣ τριῶν . Τριπλῆ δὲ ἡ ΒΣ τῆς ΣΞ · οἵων ἄρα ἡ ΒΣ τριῶν , ἡ ΞΣ ἑνός , καὶ ὅλῃ ἡ ΒΞ τεσσάρων . Τούτων δὲ ἦν ἡ Β△ δώδεκα ἡ ΒΞ ἄρα τῆς Β△ τρίτον μέρος ἐστί . Τριπλοῦν δὲ τὸ ΑΒΓ τρίχωνον τῶν τμαμάτων | Δέδεικται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ ἐν τῷ Περὶ τῆς ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ὅτι πᾶν σχῆμα περιεχὸμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον ὥστε τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίτριτόν ἐστιν , καὶ διελόντι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τμημάτων τριπλάσιόν ἐστιν . Καί ἐντι τᾶς Ε△ τριπλασία ἡ △Β · ἡμιολία ἄρα ἐντὶ ἁ ΒΘ τᾶς Θ△ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι | Ἐπεὶ γὰρ τριπλῆ ἐστιν ἡ Β△ τῆς △Ε , οἵων ἄρα ἡ Β△ δεκαπέντε , τοιούτων ἡ Ε△ πέντε . θἵων δὲ ἡ △Ε πέντε , τοιούτου ἡ ΘΕ ἑνὸς καὶ ὅλη ἡ ΘΕ△ ἕξ · ἑξαπλασία ἄρα ἡ △Θ τῆς ΘΕ . 0ἵων ἄρα ἡ Β△ δεκαπέντε , τοιούτων ἡ △Θ ἕξ , καὶ λοιπὴ ἡ ΘΒ ἐννέα ὥστε ἡμιολία ἐστὶν ἡ ΒΘ τῆς Θ△ .
Lemmas: καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΘ πρός Θ△ , οὕτως ὁ ΚΜ πρός ΜΖ · ὅμοιος γάρ εἰμί ὁ τμῆμα ἔχω κέντρο εἰς ὁ αὐτός λόφος τέμνω ὁ διάμετρος · καί συντίθημι ὡς ὁ Β△ πρός △Θ , ὁ ΚΖ πρός ΖΜ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ Β△ πρός ΚΖ , οὕτως ὁ △Θ πρός ΜΖ , τετραπλάσιος δέ ὁ Β△ ὁ ΚΖ · οὗτος γάρ ἐπί τέλος δείκνυμι , ὅς σαμεῖον ( ?? ) | ἑξῆς δέ αὐτός ἐγώ δείκνυμι . εἰμί παραβολή ὁ ΑΒΓ , ὅς διάμετρος ὁ Β△ , καί ἄγω τεταγμένως ὁ Α△ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , καί δίχα τέμνω ὁ ΑB κατά ὁ Ζ , καί διά ὁ Ζ ὁ Β△ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΖ · διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ τμῆμα . καί ἀπό ὁ , Ε , παρατεταγμένως ἄγω ὁ ΕΗ , ΖΘ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ αζʹ ὁ ΒΖ , διπλόος εἰμί ὁ ΑB ὁ ΖΒ καί ὁ △Β ὁ ΒΘ καί ὁ Α△ ὁ ΖΘ , τουτέστι ὁ ΕΗ · ὥστε ὁ ἀπό Α△ ὁ ἀπό ΕΗ εἰμί τετραπλάσιος , καί διά οὗτος ὁ △Β ὁ ΒΗ εἰμί τετραπλάσιος μῆκος . ἐπεί οὖν ὁ Β△ ὁ ΒΘ διπλόος , ὁ ΒΘ ὁ ΒΗ εἰμί διπλόος . καί ὁ τίθημι ὁ ΗΒ ἴσος , τουτέστι ὁ ΕΖ διά ὁ παραλληλόγραμμος ἔρχομαι ὁ ΕΖΘ · τετραπλάσιος ἄρα ὁ Β△ ὁ ΖΕ . καί ἐπεί τετραπλάσιος εἰμί ὁ Β△ ὁ ΒΣ , καί γάρ οὗτος δείκνυμι | δείκνυμι γάρ ἐν ὁ λῆμμα ὁ Β△ ἑκάτερος ὁ BΗ , EΖ τετραπλάσιος ὥστε ὁ ΒΗ ὁ ΕΖ εἰμί ἴσος , καί διά οὗτος ἐνταῦθα ὁ ΒΣ ὁ ΚΖ ἴσος καί ὁ Β△ ἑκάτερος αὐτός τετραπλάσιος . ὁ ΒΞ ἄρα ὁ Β△ τρίτος μέρος Ἐπεί γάρ τετραπλάσιος ὁ Β△ ὁ ΒΣ , οἷος ἄρα ὁ Β△ τέσσαρες , ὁ ΒΣ εἷς · καί οἷος ἄρα ὁ Β△ δώδεκα , τοιοῦτος ὁ ΒΣ τρεῖς . Τριπλής δέ ὁ ΒΣ ὁ ΣΞ · οἷος ἄρα ὁ ΒΣ τρεῖς , ὁ ΞΣ εἷς , καί ὅλος ὁ ΒΞ τέσσαρες . Τ́ουτον δέ εἰμί ὁ Β△ δώδεκα ὁ ΒΞ ἄρα ὁ Β△ τρίτος μέρος εἰμί . τριπλόος δέ ὁ ΑΒΓ τρίχωνον ὁ τμῆμα | δείκνυμι γάρ ὑπό αὐτός ἐν ὁ περι ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὅτι πᾶς σχῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ἐπίτριτος εἰμί τρίγωνον ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος ὥστε ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπίτριτος εἰμί , καί διαιρέω ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμῆμα τριπλάσιος εἰμί . καί εἰμί ὁ Ε△ τριπλάσιος ὁ △Β · ἡμιόλιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΘ ὁ Θ△ · ὅσπερ δέω δείκνυμι | Ἐπεί γάρ τριπλόος εἰμί ὁ Β△ ὁ △Ε , οἷος ἄρα ὁ Β△ δεκαπέντε , τοιοῦτος ὁ Ε△ πέντε . Θίων δέ ὁ △Ε πέντε , τοιοῦτος ὁ ΘΕ εἷς καί ὅλος ὁ ΘΕ ἕξ · ἑξαπλάσιος ἄρα ὁ △Θ ὁ ΘΕ . ἵημι ἄρα ὁ Β△ δεκαπέντε , τοιοῦτος ὁ △Θ ἕξ , καί λοιπός ὁ ΘΒ ἐννέα ὥστε ἡμιόλιος εἰμί ὁ ΒΘ ὁ Θ△ .