ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 1.2
Ἔστω κέντρον τοῦ βάρους τὸ △ , εἰ δυνατόν | Ὅτι γάρ ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΒ δέδεικται · εἴρηται γὰρ ἀνωτέρω ὅτι δύο μεγεθῶν κέντρον ἐστίν , ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς ἰσορροποῦντα ἔχει τὰ μέρη παράλληλος μένων τῷ ὁρίζοντι · ὥστε οὖν ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐστὶ τὸ κέντρον τῶν Α , Β μεγεθῶν .
Lemmas: εἰμί κέντρον ὁ βάρος ὁ △ , εἰμί δυνατός | Ὅτι γάρ εἰμί ἐπί ὁ ΑΒ δείκνυμι · λέγω γάρ ἄνω ὅτι δύο μέγεθος κέντρον εἰμί , ἀπό ὅς ἀρτάω ὁ ζυγόν ἰσορροπέω ἔχω ὁ μέρος παράλληλος μένω ὁ ὁρίζω · ὥστε οὖν ἐπί ὁ ΑΒ εἰμί ὁ κέντρον ὁ Α , Β μέγεθος .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 1.3
Ἤτοι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ὥστε ἰσορροπεῖν ἢ οὔ | Τούτου τοῦ ῥητοῦ δεῖ ἀκούειν οὐχ ὡς μείζονος ὑπάρχοντος πάντως τοῦ ΑΒ μεγέθους τοῦ Γ , ἀλλὰ μείζονος ὑποκειμένου ἢ κατὰ τὴν ἰσορροπίαν · δυνατὸν γάρ ἐστι καὶ τὸ ἔλαττον μέγεθος τοῦ μείζονος μείζονα ἔχειν τὴν ῥοπὴν διὰ τὸ μῆκος τοῦ ζυγοῦ μεῖζον ὂν πάνυ καὶ ἄνισον ποιοῦν τὸν λόχον . Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾆ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ὥστε ἰσορροπεῖν , ὥστε λοιπὸν τὸ Α σύμμετρον εἶναι τῷ Γ | Δεῖ , φησίν , ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ μέγεθός τι τὸ Β , ὃ ποιεῖ λοιπὸν τὸ Α τῷ Γ σύμμετρον καὶ μεῖζον τὸ Α τοῦ Γ ἢ κατὰ τὴν ἰσορροπίαν τοῦτο δὲ δυνατὸν ποιεῖν διὰ τῶν ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ δεκάτου τῆς Στοιχειώσεως Εὐκλείδου εἰρημένων καὶ ἐν τῷ τρίτῳ τῶν Θεοδοσίου Σφαιρικῶν .
Lemmas: ἤτοι μέγας εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ ὥστε ἰσορροπέω ἢ οὐ | Τοῦτος ὁ ῥητός δέω ἀκούω οὐ ὡς μέγας ὑπάρχω πάντως ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ Γ , ἀλλά μέγας υποκείμενος ἢ κατά ὁ ἰσορροπία · δυνατός γάρ εἰμί καί ὁ μικρός μέγεθος ὁ μέγας μέγας ἔχω ὁ ῥοπή διά ὁ μῆκος ὁ ζυγόν μέγας εἰμί πάνυ καί ἄνισος ποιέω ὁ λόχος . καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΑΒ μικρός ὁ ὑπεροχή , ἆ μέγας εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ ὥστε ἰσορροπέω , ὥστε λοιπός ὁ Α σύμμετρος ἔρχομαι ὁ Γ | Δεύς , φημί , ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΑΒ μέγεθος τίς ὁ Β , ὁ ποιέω λοιπός ὁ Α ὁ Γ σύμμετρος καί μέγας ὁ Α ὁ Γ ἢ κατά ὁ ἰσορροπία οὗτος δέ δυνατός ποιέω διά ὁ ἐν ὁ ἀρχή ὁ δέκατος ὁ στοιχείωσις Εὐκλείδης λέγω καί ἐν ὁ τρίτος ὁ Θεοδόσιος σφαιρικός .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 1.5
Ὁμοίως γάρ ἐντι κείμενα τὰ Θ , Κ , Λ ἐν τοῖς τριγώνοις | Αἵ τε γὰρ ΑΘ , ΕΚ , ΖΛ παράλληλοι οὖσαι ὁμοίως διαιροῦσιν τὰς γωνίας , καὶ αἱ ΘΛΓ , ΘΚΒ αἱ αὐταί εἰσιν ἐν πᾶσι τοῖς τριγώνοις , καὶ λοιπαὶ αἱ Κ△ , △Λ .
Lemmas: Ὅμοιος γάρ εἰμί κεῖμαι ὁ Θ , Κ , Λ ἐν ὁ τρίγωνος | ὁ τε γάρ ΑΘ , ΕΚ , ΖΛ παράλληλος εἰμί ὅμοιος διαιρέω ὁ γωνία , καί ὁ ΘΛΓ , ΘΚΒ ὁ αὐτός εἰμί ἐν πᾶς ὁ τρίγωνος , καί λοιπός ὁ Κ△ , △Λ .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 1.6
Ἐὰν γὰρ ἐκβάλῃς τὰς Γ△Η , ΖΕΗ , ΒΑΗ , δῆλον ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἔρχονται | Ἐκβληθεισῶν γὰρ τῶν ΒΑΗ , ΖΕΗ καὶ συμπιπτουσῶν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Η καὶ ἡ Γ△ ἐκβαλλομένη ἐν τῷ αὐτῷ πεσεῖται · ἔστιν γὰρ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ , ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΖΓ πρὸς Ε△ καὶ δηλαδὴ ἡ ΓΗ πρὸς △Η . Ἔσται δὴ τοῦ μὲν Β△Γ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΘΜ , ἐπειδήπερ τρίτον μέρος ἁ ΒΘ τᾶς Β△ | Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν αἱ ΑΕ , ΒΖ , Γ△ · κέντρον ἄρα ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Η . Καὶ φανερὸν ὅτι πάντα τὰ τρίγωνα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις , καὶ ὅτι αἱ ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν ἐπιζευγνύμεναι διὰ τοῦ Η ἔρχονται , ἵνα μὴ τοῦ αὐτοῦ πλείονα κέντρα ᾗ . Ἐπεὶ γὰρ ἴσαι αἱ Α△ , △Β , ΒΕ , ΕΓ , ΓΖ , ΖΑ , ἴσα ἔσται καὶ τὰ τρίγωνα , ὧν κορυφὴ τὸ Η σημεῖον , βάσεις δὲ αἱ εἰρημέναι εὐθεῖαι · ὥστε διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τοῦ ΗΒΕ τριγώνου · ὥστε καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΕ . Ἐὰν οὖν διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ΒΓ ἀγάγωμεν τὴν ΘΚ , διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΘ τῆς ΘΒ · ὥστε καθόλου , ἐὰν μία πλευρὰ τριγώνου τμηθῇ , ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ μέρος διπλάσιον εἶναι τοῦ πρὸς τῇ βάσει , καὶ διὰ τοῦ ληφθέντος σημείου παράλληλος ἀχθῇ τῇ βάσει , ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ βάρους τοῦ τριγώνου .
Lemmas: ἐάν γάρ ἐκβάλλω ὁ ΓΗ , ΖΕΗ , ΒΑΗ , δῆλος ὅτι ἐπί ὁ αὐτός σαμεῖον ἔρχομαι | ἐκβάλλω γάρ ὁ ΒΑΗ , ΖΕΗ καί συμπίπτω ἀλλήλων κατά ὁ ὁ καί ὁ Γ△ ἐκβάλλω ἐν ὁ αὐτός πίπτω · εἰμί γάρ ὡς ὁ ΒΗ πρός ΗΑ , ὁ ΖΗ πρός ΗΕ καί ὁ ΒΖ πρός ΑΕ καί ὁ ΖΓ πρός Ε△ καί δηλαδή ὁ ΓΗ πρός △Η . εἰμί δή ὁ μέν Β△Γ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΘΜ , ἐπεί τρίτος μέρος ὁ ΒΘ ὁ Β△ | εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ γωνία ἐπί ὁ διχοτομία ὁ πλευρά ὁ ΑΕ , ΒΖ , Γ△ · κέντρον ἄρα εἰμί ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ὁ . καί φανερός ὅτι πᾶς ὁ τρίγωνος ἴσος εἰμί ἀλλήλων , καί ὅτι ὁ ἐπί ὁ διχοτομία ὁ πλευρά ἐπιζεύγνυμι διά ὁ ὁ ἔρχομαι , ἵνα μή ὁ αὐτός πολύς κέντρο ἵημι . ἐπεί γάρ ἴσος ὁ Α△ , △Β , ΒΕ , ΕΓ , ΓΖ , Γῆ , ἴσος εἰμί καί ὁ τρίγωνος , ὅς κορυφή ὁ ὁ σημεῖον , βάσις δέ ὁ λέγω εὐθεῖα · ὥστε διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΗΒ τρίγωνον ὁ ΗΒΕ τρίγωνον · ὥστε καί ὁ ΑΗ ὁ ΗΕ . ἐάν οὖν διά ὁ ὁ παρά ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΘΚ , διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΘ ὁ ΘΒ · ὥστε καθόλου , ἐάν εἷς πλευρά τρίγωνον τέμνω , ὥστε ὁ πρός ὁ κορυφή μέρος διπλάσιος ἔρχομαι ὁ πρός ὁ βάσις , καί διά ὁ λαμβάνω σημεῖον παράλληλος ἄγω ὁ βάσις , ἐπί ὁ ἄγω εἰμί ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ τρίγωνον .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.1
Ἀκριβῶς ἐπεξελθόντες τῷ πρώτῳ καὶ σαφηνίσαντες τὰ ἐν αὐτῷ δυσθεώρητα ἀναγκαῖον ἡγούμεθα καὶ τὰ ἐν τῷ δευτέρῳ δυσχερῶς εἰρημένα μετρίως ἐκθέσθαι . Φησὶν τοίνυν ἐν τῇ προτάσει τοῦ πρώτου θεωρήματος · ὑποκείσθω τὰ ΑΒ , Γ△ χωρία περιεχόμενα ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , δυνάμεθα παρὰ τὰν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν . Τοῦτο δὲ αὐτόθεν μὲν διὰ τῶν ἐνταῦθα δεδειγμένων οὐκ ἔστιν εὑρεῖν · ἐπεὶ δὲ δέδεικται αὐτῷ , ὡς καὶ ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου εἶπεν , ὅτι τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἐπίτριτόν ἐστι τργώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον , τῷ δὲ ἐπιτρίτῳ τοῦ τριγώνου ἐπιπέδῳ εὐθυγράμμῳ ὄντι δυνάμεθα ἴσον παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν , φανερὸν ὅτι καὶ τοῖς τοιούτοις σχήμασιν . Τὰ δὲ ἐν τῇ κατασκευῇ εἰρημένα πάντα δῆλά ἐστι διὰ τοῦ δεκάτου θεωρήματος τοῦ πρώτου τούτων τῶν βιβλίων .
Lemmas: ἀκριβής ἐπεξέρχομαι ὁ πρῶτος καί σαφηνίζω ὁ ἐν αὐτός δυσθεώρητος ἀναγκαῖος ἡγέομαι καί ὁ ἐν ὁ δεύτερος δυσχερής λέγω μέτριος ἐκτίθημι . φημί τοίνυν ἐν ὁ πρότασις ὁ πρῶτος θεώρημα · ὑπόκειμαι ὁ ΑΒ , Γ△ χωρίον περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , δύναμαι παρά ὁ δίδωμι εὐθεῖα παραβάλλω . Τοῦτης δέ αὐτόθεν μέν διά ὁ ἐνταῦθα δείκνυμι οὐ εἰμί εὑρίσκω · ἐπεί δέ δείκνυμι αὐτός , ὡς καί ἐν ὁ περι σφαῖρα καί κύλινδρος λέγω , ὅτι ὁ τοιοῦτος σχῆμα ἐπίτριτος εἰμί τργώνου ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος , ὁ δέ ἐπίτριτος ὁ τρίγωνον ἐπίπεδος εὐθύγραμμος εἰμί δύναμαι ἴσος παρά ὁ δίδωμι εὐθεῖα παραβάλλω , φανερός ὅτι καί ὁ τοιοῦτος σχῆμα . ὁ δέ ἐν ὁ κατασκευή λέγω πᾶς δῆλος εἰμί διά ὁ δέκατος θεώρημα ὁ πρῶτος οὗτος ὁ βιβλίον .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.3
Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν τοῦ κώνου τομῶν Ἀπολλώνιος ὡρίσατο ἐν τῷ ἕκτῳ βιβλίῳ τῶν Κωνικῶν , ἐν οἷς ἀχθεισῶν ἐν ἑκάστῳ παραλλήλων τῇ βάσει ἴσων τὸ πλῆθος αἱ παράλληλοι καὶ αἱ βάσεις πρὸς τὰς ἀποτεμνομένας ἀπὸ τῶν διαμέτρων πρὸς ταῖς κορυφαῖς ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις εἰσὶ καὶ αἱ ἀποτεμνόμεναι πρὸς τὰς ἀποτεμνομένας · καὶ ὅτι αἱ παραβολαὶ πᾶσαι ὅμοιαί εἰσιν . Τὸ δὲ γνωρίμως ἐγγραφόμενον σχῆμα εἴρηται ἐν τῷ προλαβόντι λήμματι . Τὸ δὲ ὁμοίως διαιρεῖσθαι τὰς διαμέτρους ἐστίν , ἵνα τὰ τμήματα αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον . Τὰ λοιπὰ τοῦ θεωρήματος σαφῆ ἐστιν ἐκ τοῦ προειρημένου σχήματος .
Lemmas: Τά ὅμοιος τμῆμα ὁ ὁ κῶνος τομή Ἀπολλώνιος ὁρίζω ἐν ὁ ἕκτος βιβλίον ὁ κωνικός , ἐν ὅς ἄγω ἐν ἕκαστος παράλληλος ὁ βάσις ἴσος ὁ πλῆθος ὁ παράλληλος καί ὁ βάσις πρός ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ διάμετρος πρός ὁ κορυφή ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί καί ὁ ἀποτέμνω πρός ὁ ἀποτέμνω · καί ὅτι ὁ παραβολή πᾶς ὅμοιος εἰμί . Τέ δέ γνώριμος ἐγγράφω σχῆμα λέγω ἐν ὁ προλαμβάνω λῆμμα . Τέ δέ ὅμοιος διαιρέω ὁ διάμετρος εἰμί , ἵνα ὁ τμῆμα αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος . Τά λοιπός ὁ θεώρημα σαφής εἰμί ἐκ ὁ προερέω σχῆμα .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.4
Ἐγγεγράφθω εὐθύγραμμον εἰς τὸ τμᾶμα γνωρίμως , ὥστε τὰ περιλειπόμενα τμήματα ἐλάσσονα εἶναι τοῦ Κ | Τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν ἐκ τῶν εἰρημένων ἐν τῷ δεκάτῳ τῆς Στοιχειώσεως καὶ τῷ πρώτῳ τῶν Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου .
Lemmas: ἐγγράφω εὐθύγραμμος εἰς ὁ τμῆμα γνώριμος , ὥστε ὁ περιλείπομαι τμῆμα μικρός ἔρχομαι ὁ Κ | οὗτος δέ φανερός εἰμί ἐκ ὁ λέγω ἐν ὁ δέκατος ὁ στοιχείωσις καί ὁ πρῶτος ὁ περι σφαῖρα καί κύλινδρος .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.5
Καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΘΖΗΙ | Ἐπεὶ γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΚΖ , ΛΗ , ἴσων γάρ εἰσι τμημάτων διάμετροι , καὶ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ Β△ ἄξονος καὶ ὁμοίως διῄρηνται ὑπὸ τῶν Θ , Ι κέντρων , ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΖ , ἡ ΛΙ πρὸς ΙΗ καὶ ἐναλλάξ καὶ διὰ τοῦτο ἴση ἐστὶν ἡ ΘΖ τῇ ΙΗ . Ἔστιν δὲ καὶ παράλληλος · παράλληλοι γάρ εἰσιν πᾶσαι αἱ διάμετροι τῆς παραβολῆς παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΖΗΙ .
Lemmas: καί ἐπεί παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΘΖΗΙ | ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΚΖ , ΛΗ , ἴσος γάρ εἰμί τμῆμα διάμετρος , καί ἴσος ἀπέχω ὁ Β△ ἄξων καί ὅμοιος διαιρέω ὑπό ὁ Θ , Ι κέντρον , εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΖ , ὁ ΛΙ πρός ΙΗ καί ἐναλλάξ καί διά οὗτος ἴσος εἰμί ὁ ΘΖ ὁ ΙΗ . Ἔρτις δέ καί παράλληλος · παράλληλος γάρ εἰμί πᾶς ὁ διάμετρος ὁ παραβολή παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΘΖΗΙ .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.6
Ἔσται δὴ τοῦ μὲν ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ , ΒΓΛ τμημάτων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον βάρους τὸ Χ , τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚB , ΒΛΓ τριγώνων τὸ Τ | Δέδεικται μὲν γὰρ ἐν τῷ προλαβόντι ὅτι ἡ ΘΜ ἐπιζευγνύουσα τὰ κέντρα τῶν τμημάτων διχοτομεῖται ὑπὸ τῆς Β△ κατὰ τὸ Χ παράλληλος οὖσα τῇ ΖΗ , καὶ ἡ ΝΙ διχοτομεῖται κατὰ τὸ Τ · ὥστε κέντρον βάρους ἐστὶ τὸ X τοῦ συγκειμένου μεγέθους ἐκ τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τμημάτων καὶ τὸ Τ τοῦ συγκειμένου μεγέθους ἐκ τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τριγώνων . Ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὰ ΑΚΒ , ΒΛΓ τρίγωνα ἢ ποτὶ τὰ τμήματα | καὶ τὰ ἑξῆς . Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ε , τῶν δὲ ΑΒΚ , ΒΛΓ τριγώνων κέντρον τὸ Τ , φανερὸν ὅτι τοῦ ΑΚΒΛΓ εὐθυγράμμου κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς ΤΕ τμηθείσης κατὰ τὸ Ρ κατὰ τὸν ἀντιπεπονθότα λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ΑΒΓ πρὸς τὰ ΑΚΒ , ΒΛΓ τρίγωνα . Ἐπεὶ δὲ τὸ ΑΒ τρίγωνον πρὸς τὰ ΚΑΒ , ΒΛΓ τρίγωνα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὰ τμήματα , μείζονα γάρ ἐστι τὰ τμήματα τῶν τριγώνων , δῆλον ὅτι , ἐὰν τέμωμεν τὴν ΕΤ ἐν τῷ λόγῳ τῷ ὃν ἔχει τὸ τρίγωνον πρὸς τὰ τμήματα , ἀνωτέρω τοῦ πεσεῖται τὸ σημεῖον , ὃ ἔσται κέντρον τοῦ παντὸς τμήματος διὰ τὴν ἀντιπεπόνθησιν .
Lemmas: εἰμί δή ὁ μέν ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΚΒ , ΒΓΛ τμῆμα συγκείμενος μέγεθος κέντρον βάρος ὁ Χ , ὁ δέ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΚB , ΒΛΓ τρίγων ὁ Τ | δείκνυμι μέν γάρ ἐν ὁ προλαμβάνω ὅτι ὁ ΘΜ ἐπιζεύγνυμι ὁ κέντρο ὁ τμῆμα διχοτομέω ὑπό ὁ Β△ κατά ὁ Χ παράλληλος εἰμί ὁ ΖΗ , καί ὁ Ν διχοτομέω κατά ὁ Τ · ὥστε κέντρον βάρος εἰμί ὁ X ὁ συγκείμενος μέγεθος ἐκ ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμῆμα καί ὁ Τ ὁ συγκείμενος μέγεθος ἐκ ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τρίγων . ἐπεί οὖν μέγας λόγος ἔχω ὁ ΒΑΓ τρίγωνος πρός ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τρίγωνος ἢ πρός ὁ τμῆμα | καί ὁ ἑξῆς . ἐπεί γάρ δείκνυμι ὁ μέν ΑΒΓ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος ὁ Ε , ὁ δέ ΑΒΚ , ΒΛΓ τρίγων κέντρον ὁ Τ , φανερός ὅτι ὁ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμος κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΤΕ τέμνω κατά ὁ Ρ κατά ὁ ἀντιπάσχω λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τρίγωνος . ἐπεί δέ ὁ ΑΒ τρίγωνον πρός ὁ ΚΑΒ , ΒΛΓ τρίγωνος μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ τμῆμα , μέγας γάρ εἰμί ὁ τμῆμα ὁ τρίγων , δῆλος ὅτι , ἐάν τέμνω ὁ ΕΤ ἐν ὁ λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ τρίγωνον πρός ὁ τμῆμα , ἄνω ὁ πίπτω ὁ σημεῖον , ὁ εἰμί κέντρον ὁ πᾶς τμῆμα διά ὁ ἀντιπεπόνθησις .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.7
Τὸ κέντρον τοῦ τμήματος πάντως ἕν ἐστι καὶ ἐγγύτερον τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἤπερ τὰ τῶν ἐγγραφομένων εὐθυγράμμων . Τοῦ γὰρ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρους ἐστίν , εἰ τύχοι , τὸ Ε τῆς Β△ τμηθείσης οὕτως , ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΕΒ τῆς Ε△ φανερὸν ὅτι πάντα τὰ κέντρα τῶν ἐγγραφομένων εὐθυγρὰμμων μεταξὺ πεσοῦνται τῶν Θ , Ε σημείων , καὶ ὅσῳ ἂν πολυπλευρότερον ἦ τὸ γνωρίμως ἐγγραφόμενον , τοσούτῳ μᾶλλον συνεγγίζει τῷ Θ . Φανερὸν οὖν ὅτι τὴν μεταξὺ τῶν κέντρων τοῦ γνωρίμως ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου καὶ τοῦ τμήματος μείζονα μὲν εἶναι τῆς ΕΘ ἀδύνατον , ἐλάσσονα δὲ δυνατὸν οὐ μόνον τῆς ΘΕ , ἀλλὰ καὶ πάσης τῆς δοθείσης .
Lemmas: Τέ κέντρον ὁ τμῆμα πάντως εἷς εἰμί καί ἐγγύς ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἤ ὁ ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος . Τοῦ γάρ ΑΒΓ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος εἰμί , εἰμί τυγχάνω , ὁ Ε ὁ Β△ τέμνω οὕτως , ὥστε διπλάσιος ἔρχομαι ὁ ΕΒ ὁ Ε△ φανερός ὅτι πᾶς ὁ κέντρο ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος μεταξύ πίπτω ὁ Θ , Ε σημεῖον , καί ὅσος ἄν πολύπλευρος ἠμί ὁ γνώριμος ἐγγράφω , τοσοῦτος μᾶλλον συνεγγίζω ὁ Θ . Φανερός οὖν ὅτι ὁ μεταξύ ὁ κέντρον ὁ γνώριμος ἐγγράφω εὐθύγραμμος καί ὁ τμῆμα μέγας μέν ἔρχομαι ὁ ΕΘ ἀδύνατος , μικρός δέ δυνατός οὐ μόνος ὁ ΘΕ , ἀλλά καί πᾶς ὁ δίδωμι .
eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.8
Ἐγγεγράφθω δὲ εἰς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα τῷ ἐν τῷ ΕΖΗ τμάματι ὁμοῖον εὐθύγραμμον τουτέστιν ὁμοίως γνωρίμως ὁμοίως γὰρ γνωρίμως ἐγγράφεται , ὅταν αἱ τομαὶ τῆς ΑΒΓ παραβολῆς ἴσαι γένωνται ταῖς τῆς ΕΖΗ , ὥστε τὰς πλευρὰς τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓ τμήματι ἐγγεγραμμένου γνωρίμως ἰσοπληθεῖς εἶναι ταῖς τοῦ ἐν τῷ ΕΖΗ ἐγγεγραμμένου εὐθυγράμμου . Ἐπεὶ γὰρ δὴ κορυφαί εἰσι τὰ Β , Ζ σημεῖα τῶν ὁμοίων τμημάτων , ὅμοιά ἐστι τὰ οὕτως γνωρίμως ἐγγραφόμενα .
Lemmas: ἐγγράφω δέ εἰς ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ ἐν ὁ ΕΖΗ τμῆμα ὅμοιος εὐθύγραμμος τουτέστι ὅμοιος γνώριμος ὅμοιος γάρ γνώριμος ἐγγράφω , ὅταν ὁ τομή ὁ ΑΒΓ παραβολή ἴσος γίγνομαι ὁ ὁ ΕΖΗ , ὥστε ὁ πλευρά ὁ ἐν ὁ ΑΒΓ τμῆμα ἐγγράφω γνώριμος ἰσοπληθής ἔρχομαι ὁ ὁ ἐν ὁ ΕΖΗ ἐγγράφω εὐθύγραμμος . Ἐπεί γάρ δή κορυφή εἰμί ὁ Β , Ζ σημεῖον ὁ ὅμοιος τμῆμα , ὁμοῖος εἰμί ὁ οὕτως γνώριμος ἐγγράφω .