eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.10
Τὸ ἔνατον θεώρημα πάνυ ὂν ἀσαφὲς ἐκθησόμεθα παραφράζοντες σαφῶς κατὰ τὸ δυνατόν . Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ , ΒΓ , △Β , ΒΕ , καὶ διελόντι καὶ ἐναλλὰξ αἱ ΑΓ , Γ△ , △Ε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν . Ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒ , ΒΓ , Β△ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ αἱ ΑΓ , Γ△ , △Ε , ἔστιν ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον καὶ μέσον πρὸς ἑπόμενον , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον καὶ μέσον πρὸς ἑπόμενον ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓ , Γ△ , τουτέστιν ἡ Α△ , πρὸς △Ε , οὕτως συναμφότερος ἡ ΑΒ , ΓΒ πρὸς △Β . Ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΑΒ , ΓΒ πρὸς △Β , οὕτως ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΓ πρὸς τὴν β τῆς Β△ , διότι τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · καὶ ὡς ἄρα ἡ Α△ πρὸς △Ε , οὕτως ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὴν β τῆς △Β . Πάλιν , ἐπειδὴ αἱ ΓΒ , Β△ , ΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν καὶ αἱ ΑΓ , Γ△ , △Ε , ἔστιν διὰ τὰ πρότερον εἰρημένα ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε , οὕτως συναμφότερος ἡ Γ△ , Β△ πρὸς ΒΕ . Ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε , ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΓ πρὸς τὴν β τῆς Β△ · καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν , οὕτως ἅπαντα πρὸς ἄπαντα ὡς ἄρα ἡ Α△ πρὸς △Ε , οὕτως τὰ ἡγούμενα πρὸς τὰ ἑπόμενα . Ἔστιν δὲ ἡγούμενα μὲν ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΓ καὶ συναμφότερος ἡ ΓΒ , Β△ , τουτέστι δύο αἱ ΑΒ καὶ τρεῖς αἱ ΓΒ καὶ μία ἡ Β△ , ἑπόμενα δὲ ἡ β τῆς Β△ καὶ ἡ ΒΕ μόνη · ἔστιν οὖν ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε , ἡ συγκειμένη εὐθεῖα ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς △Β μόνης πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ . Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς δ τῆς ΓΒ καὶ τῆς δ τῆς △Β καὶ τῆς β τῆς ΒΕ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ μόνης , ἔξωθεν δέ ἐστιν ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς β τῆς △Β καὶ μόνης τῆς ΕΒ , τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον , μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Β καὶ τῆς ΕΒ μόνης ἤπερ ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς △Β πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς διπλῆς τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ , Ἀλλ᾿ ὡς ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ μόνης πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ , οὕτως ἐδείχθη ἡ Α△ πρὸς △Ε καὶ ἡ συγκειμένη ἄρα ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Α△ πρὸς △Ε , Ἐὰν ἄρα θελήσωμεν ποιῆσαι τὸν αὐτὸν λόγον τῆς Α△ πρὸς ἄλλην τινά , ἐλάσσων ἔσται ἐκείνη τῆς △Ε . Ἔστω ἡ △Ο · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α△ πρὸς △0 , ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΤΒ , Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ . Ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ο△ πρὸς △Α , ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ τῆς δ συναμφοτέρου τῆς ΓB , Β△ · καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΟΑ πρὸς Α△ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ Ϛ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ ἥ τε γὰρ Β△ ἑξάκις παρελήφθη , τετράκις μὲν ἐν τοῖς προτέροις , δὶς δὲ ἐν τοῖς δευτέροις , καὶ ἡ ΒΕ τρὶς ἐλήφθη , δὶς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις , ἅπαξ δὲ ἐν τοῖς δευτέροις . Ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ Α△ πρὸς ΗΘ τοῦτον ἔχουσα τὸν λόχον , ὃν ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑB , ΒΕ καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ ς΄ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ , καί ἐστι τεταραγμένη ἀναλογία · δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΗΘ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ ι τῆς ΓΒ , Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ δ τῆς ΓΒ , Β△ . Τὸ γὰρ τῆς γεγραμμένης ἀναλογίας οὕτως ἔσται δῆλον · ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ ΟΑ πρὸς ἑπόμενον τὴν Α△ , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ δ τῆς ΓΒ καὶ Ϛ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ ναὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ , ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόπενον ἡ Α△ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΗΘ , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ Ἐπεὶ ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ πρὸς τὴν β τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει , ὃν πέντε πρὸς δύο , ἔχει δὲ καὶ ἡ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ πρὸς τὴν τῆς αὐτῆς λόγον ὃν πέντε πρὸς δύο , ἐπειδὴ καὶ τὰ πέντε πρὸς δύο καὶ τὰ δέκα πρὸς τέσσαρα λόχον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο , καὶ ἡ συγκειμένη ἄρα ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ , Β△ λόγον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο ὥστε καὶ ἡ ΑΟ πρὸς ΗΘ λόγον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο . Πάλιν , ἐπεὶ ἐδείχθη ἐν τοῖς ἀνωτέρω ὅτι ἡ Ο△ πρὸς △Α τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἔχει ἡ ΕΒ μετὰ τῆς β τῆς Β△ πρὸς τὴν ἴσην τῇ συγκειμένῃ ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς AΒ , ΒΕ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ , Β△ , ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡ Α△ πρὸς ἄλλο τι τὴν △Ε , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς △Β πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΕΒ καὶ τῆς β τῆς Β△ , ἀνομοίως τῶν λόχων τεταμένων , τουτέστι τεταραγμὲνης οὔσης τῆς ἀναλογίας , διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ἡ Ο△ πρὸς △Ε , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ , Β△ ὥστε καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Ο , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς Β△ , καὶ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΟ , τὸ ἡγούμενόν φημι πρὸς τὴν ὑπεροχήν , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ μετὰ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς ΓΒ μόνης καὶ γ τῆς Β△ καὶ τῆς β τῆς EΒ . Εν μὲν γὰρ τῷ ἡγουμένῳ ἡ β τῆς ΑB καὶ τῆς ΒΕ , ἐν δὲ τῷ ἑπομένῳ ἡ β τῆς ΑΒ μόνης · ὥστε περιλείπεται ἐν ταῖς ὑπεροχαῖς ἡ β τῆς ΕΒ · πάλιν ἐν μὲν τῷ ἡγουμένῳ ἡ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ , ἐν δὲ τῷ ἑπομένῳ ἡ γ τῆς ΓΒ καὶ ἡ Β△ μόνη ὥστε περιλείπεται ἐν ταῖς ὑπεροχαῖς ἡ ΓΒ μόνη καὶ ἡ γ τῆς Β△ . Καλῶς οὖν ἐλέχθη ὅτι ἐστὶν ἀναστρέψαντι ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΟ , ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς △Β καὶ τῆς β τῆς ΕΒ · ὥστε καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΟΕ πρὸς Ε△ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΓΒ μετὰ τῆς γ τῆς Β△ καὶ β τῆς ΕΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ . Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ △Β πρὸς ἄλλο τι τὴν ΕB , ἡ AΒ πρὸς ΒΓ , καὶ διελόντι ὡς ἡ πρὸς EΒ , ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐστιν ὡς ἡ Γ△ πρὸς △Β , οὕτως ἡ △Ε πρὸς ΕΒ καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς Γ△ πρὸς τὴν γ τῆς △Β , οὕτως ἡ β τῆς △Ε πρὸς τὴν β τῆς ΕΒ τὰ γὰρ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον . Καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΒ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ τῆς γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς Β△ καὶ τῆς β τῆς EΒ . Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ ΟΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν △Ε , ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς Β△ καὶ β τῆς ΒΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ , ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον ἡ △Ε πρὸς ἄλλο τι τὴν ΕΒ , ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Γ△ καὶ γ τῆς △Β καὶ β τῆς ΒΕ , διʼ ἴσου ἐν τῇ τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ ὡς ἡ ΟΕ πρὸς ΕΒ , ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΟΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς Ε△ καὶ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ . Ἀλλὰ ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε καὶ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ , ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ ἴση ἐστὶ τῇ συγκειμένῃ ἔκ τε τῆς γ τῆς ΑΒ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ καὶ γ τῆς △Β ἥ τε γὰρ ΑΒ δὶς παρελήφθη αὐτόθεν καὶ προσλαβοῦσα τὴν ΑΓ καὶ ἐκ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ μίαν ποιεῖ τὴν γ τῆς ΑΒ πάλιν ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ μιᾶς γίνεται γ , προσλαβοῦοα δὲ τὴν γ τῆς Γ△ καὶ γ τῆς △Β ποιεῖ τὴν ς΄ τῆς ΓΒ πάλιν ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς τῆς △Β γ μένει μόνη ἡ △Β , προσλαβοῦσα δὲ τήν τε β τῆς καὶ τὴν β τῆς ΕΒ ποιεῖ τὴν γ τῆς Β△ . Καλῶς οὖν λέγει ὅτι ἡ ΟΒ πρὸς ΕΒ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ὃν ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς γ τῆς ΑΒ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ καὶ γ τῆς △Β πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ . Πάλιν , ἐπεὶ αἱ Ε△ , △Γ , ΓΑ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ διὰ τὸ ἀνάπαλιν τῆς ὑποθέσεως συναμφότερος ἑκάστη τῶν ΕΒ , Β△ , △Β , ΒΓ , ΒΓ , ΒΑ , ἔσται ὡς ἡ Ε△ πρὸς τὴν μέσην καὶ τὴν ἑπομένην τὰς △Γ , ΓΑ , τουτέστι τὴν △Α , οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ , Β△ πρὸς συναμφότερον τὴν △Β , ΒΓ μετὰ συναμφοτέρου τῆς Γ△ , ΒΑ καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς Α△ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ△ μετὰ συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ καὶ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΑ πρὸς συναμφότερον τὴν △ΒΓ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΑ . Ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΕΒ△ μετὰ τῆς △ΒΓ καὶ τῆς ΓΒΑ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΑ καὶ δὶς συναμφοτέρῳ τῇ △ΒΓ ἅπαξ γὰρ αἱ ἄκραι παραλαμζάνονται καὶ δὶς αἱ μέσαι συναμφότερος δὲ ἡ △ΒΓ μετὰ τῆς ΓΒΑ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ△ καὶ δὶς τῇ ΒΓ διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΔ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΕΒΑ καὶ β συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς △ΒΑ καὶ τῆς β τῆς ΓΒ . Ὥστε καὶ ἡ διπλασία πρὸς τὴν διπλασίαν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἄρα ἡ ΕΑ πρὸς Α△ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΕΒΑ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ . Ὥστε καὶ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς Α△ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς AΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓB . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς Α△ , οὕτως ἐλήφθη ἡ ΒΕ πρὸς ΖΗ · καὶ ὡς ἄρα ἡ EΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ABE καὶ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς AB△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ . Ἐπεὶ οὖν δέδεικται ὡς ἡγούμενον ἡ ΟΒ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΒΕ , οὕτως ἡγούμενον ἡ γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ μετὰ τῆς ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς ἑπόμενον τὴν β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ , ὡς δὲ ἑπόμενον ἡ ΕΒ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΖΗ , οὕτως ἑπόμενον ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ ἡ △Ζ συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τοῦ ἑπομένου , τουτέστι τῆς συηκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ , τεταγμένης οὖν οὔσης τῆς ἀναλογίας διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ἡ ΟΒ πρὸς ΖΗ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ . Η δὲ συγκειμένη ἐκ τῆς γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ λόγον ἔχει , ὃν τρία πρὸς δύο , πρὸς δὲ τὰ τρία πέμπτα τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει , ὃν πέντε πρὸς δύο τὰ δὲ ἑξαπλάσια τῶν αὐτῶν τῶν τετραπλασίων ἡμιόλιά ἐστιν πρὸς δὲ τὰ τρία πέμπτα τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει , ὃν πέντε πρὸς δύο , Ἐπειδὴ γὰρ τὰ ἡγούμενα τῶν ἑπομένων ἡμιόλια , καὶ λόγον ἔχει πρὸς αὐτά , ὃν τρία πρὸς δύο ἔχει ἄρα καὶ ὃν τεσσαράκοντα πέντε πρὸς τριάκοντα ἑκάτερον γὰρ ἑκατέρου ἐστὶ πεντεκαιδεκαπλάσιον . Καί ἐστι τὰ τρία πέμπτα τῶν τριάκοντα δεκαοκτώ ἔχει ἄρα τεσσαράκοντα πέντε πρὸς δεκαοκτὼ λόγον , ὃν πέντε πρὸς δύο τὰ γὰρ πέντε καὶ τὰ δύο ἀμφοτέρων εἰσὶν ἔννατα . Ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἡ μὲν ΟΑ πρὸς ΗΘ λόγον ἔχουσα , ὃν πέντε πρὸς δύο , ἡ δὲ ΟΒ πρὸς ΖΗ τὸν αὐτὸν λόγον , δύο πεμπτημόριά ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ ὅλης τῆς ΑΒ .
Lemmas: Τέ ἔνατος θεώρημα πάνυ εἰμί ἀσαφής ἐκτίθημι παραφράζω σαφής κατά ὁ δυνατός . ἐπεί γάρ ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ , △Β , ΒΕ , καί διαιρέω καί ἐναλλάξ ὁ ΑΓ , Γ△ , △Ε ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒ , ΒΓ , Β△ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί καί ὁ ΑΓ , Γ△ , △Ε , εἰμί ὡς ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ἡγέομαι καί μέσος πρός ἕπομαι , οὕτως ἐν ὁ δεύτερος μέγεθος ἡγέομαι καί μέσος πρός ἕπομαι ὡς ἄρα συναμφότεροι ὁ ΑΓ , Γ△ , τουτέστι ὁ Α△ , πρός △Ε , οὕτως συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΓΒ πρός △Β . ὡς δέ συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΓΒ πρός △Β , οὕτως ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΓ πρός ὁ β ὁ Β△ , διότι ὁ μέρος ὁ ὡσαύτως πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος · καί ὡς ἄρα ὁ Α△ πρός △Ε , οὕτως ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒΓ πρός ὁ β ὁ △Β . πάλιν , ἐπεί ὁ ΓΒ , Β△ , ΒΕ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί καί ὁ ΑΓ , Γ△ , △Ε , εἰμί διά ὁ πρότερος λέγω ὡς ὁ Α△ πρός △Ε , οὕτως συναμφότεροι ὁ Γ△ , Β△ πρός ΒΕ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ Α△ πρός △Ε , ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΓ πρός ὁ β ὁ Β△ · καί ὅς ἄρα εἷς πρός εἷς , οὕτως ἅπας πρός ἅπας ὡς ἄρα ὁ Α△ πρός △Ε , οὕτως ὁ ἡγέομαι πρός ὁ ἕπομαι . Ἔρτις δέ ἡγέομαι μέν ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΓ καί συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ , τουτέστι δύο ὁ ΑΒ καί τρεῖς ὁ ΓΒ καί εἷς ὁ Β△ , ἕπομαι δέ ὁ β ὁ Β△ καί ὁ ΒΕ μόνος · εἰμί οὖν ὡς ὁ Α△ πρός △Ε , ὁ σύγκειμαι εὐθύς ἐκ τε ὁ β ὁ ΑΒ καί γ ὁ ΓΒ καί ὁ △Β μόνος πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ Β△ καί μόνος ὁ ΕΒ . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ ΑΒ καί ὁ δ ὁ ΓΒ καί ὁ δ ὁ △Β καί ὁ β ὁ ΒΕ ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ ΑΒ καί ὁ ΓΒ καί ὁ Β△ μόνος , ἔξωθεν δέ εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ △Β καί μόνος ὁ ΕΒ , ὁ δέ μέγας πρός ὁ αὐτός μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ μικρός , μέγας ἄρα λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί δ συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ △Β καί ὁ ΕΒ μόνος ἤ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΑΒ καί ὁ ὁ ΓΒ καί μόνος ὁ △Β πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ διπλόος ὁ Β△ καί μόνος ὁ ΕΒ , ἀλλά ὡς ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΑΒ καί γ ὁ ΓΒ καί ὁ Β△ μόνος πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ Β△ καί μόνος ὁ ΕΒ , οὕτως δείκνυμι ὁ Α△ πρός △Ε καί ὁ σύγκειμαι ἄρα ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ Β△ καί μόνος ὁ ΕΒ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Α△ πρός △Ε , ἐάν ἄρα ἐθέλω ποιέω ὁ αὐτός λόγος ὁ Α△ πρός ἄλλος τις , μικρός εἰμί ἐκεῖνος ὁ △Ε . εἰμί ὁ △Ο · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α△ πρός △0 , ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί συναμφότεροι ὁ ΤΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ Β△ καί μόνος ὁ ΕΒ . ἀνάπαλιν ἄρα εἰμί ὡς ὁ Ο△ πρός △Α , ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ Β△ καί μόνος ὁ ΕΒ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί ὁ δ συναμφότεροι ὁ ΓB , Β△ · καί συντίθημι ὡς ὁ ΟΑ πρός Α△ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΑΒ καί ὁ ΓΒ καί Ϛ ὁ Β△ καί γ ὁ ΒΕ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί δ συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ ὁ τε γάρ Β△ ἑξάκις παραλαμβάνω , τετράκις μέν ἐν ὁ πρότερος , δίς δέ ἐν ὁ δεύτερος , καί ὁ ΒΕ τρίς λαμβάνω , δίς μέν ἐν ὁ πρῶτος , ἅπαξ δέ ἐν ὁ δεύτερος . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ Α△ πρός ΗΘ οὗτος ἔχω ὁ λόχος , ὅς ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΑB , ΒΕ καί Ι συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΑΒ καί ὁ ΓΒ καί ς΄ ὁ Β△ καί γ ὁ ΒΕ , καί εἰμί ταράσσω ἀναλογία · διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΟΑ πρός ΗΘ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί Ι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί δ ὁ ΓΒ , Β△ . Τέ γάρ ὁ γράφω ἀναλογία οὕτως εἰμί δῆλος · ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ἡγέομαι ὁ ΟΑ πρός ἕπομαι ὁ Α△ , οὕτως ἐν ὁ δεύτερος μέγεθος ἡγέομαι ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΑΒ καί δ ὁ ΓΒ καί Ϛ ὁ Β△ καί γ ὁ ΒΕ πρός ἕπομαι ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ ναί δ συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ , ὡς δέ ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ἕπω ὁ Α△ πρός ἄλλος τίς ὁ ΗΘ , οὕτως ἐν ὁ δεύτερος μέγεθος ἄλλος τίς ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί ιʹ συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ἡγέομαι ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ ΑΒ καί △Ζ ὁ ΓΒ καί ὁ Β△ καί γ ὁ ΒΕ Ἐπεί ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ πρός ὁ β ὁ αὐτηες͂ς λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο , ἔχω δέ καί ὁ ιʹ συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ ὁ αὐτηες͂ς λόγος ὅς πέντε πρός δύο , ἐπεί καί ὁ πέντε πρός δύο καί ὁ δέκα πρός τέσσερα λόχος ἔχω ὅς πέντε πρός δύο , καί ὁ σύγκειμαι ἄρα ἐκ ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί ιʹ συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί △Ζ ὁ ΓΒ , Β△ λόγος ἔχω ὅς πέντε πρός δύο ὥστε καί ὁ ΑΟ πρός ΗΘ λόγος ἔχω ὅς πέντε πρός δύο . πάλιν , ἐπεί δείκνυμι ἐν ὁ ἄνω ὅτι ὁ Ο△ πρός △Α ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΕΒ μετά ὁ β ὁ Β△ πρός ὁ ἴσος ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β συναμφότεροι ὁ AΒ , ΒΕ μετά ὁ △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ , εἰμί δέ καί ὡς ἕπομαι ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ὁ Α△ πρός ἄλλος τίς ὁ △Ε , οὕτως ἐν ὁ δεύτερος μέγεθος ἄλλος τίς ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΑΒ καί γ ὁ ΓΒ καί μόνος ὁ △Β πρός ἡγέομαι ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ΕΒ καί ὁ β ὁ Β△ , ἀνόμοιος ὁ λόχος τείνω , τουτέστι ταράσσω σέω ὁ ἀναλογία , διά ἴσος εἰμί ὡς ὁ Ο△ πρός △Ε , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΑΒ καί ὁ γ ὁ ΓΒ καί μόνος ὁ Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί △Ζ ὁ ΓΒ , Β△ ὥστε καί ἀνάπαλιν ὡς ὁ Ε△ πρός △Ο , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ ΑΒ καί ὁ ΓΒ καί μόνος ὁ Β△ , καί ἀναστρέφω ὡς ὁ △Ε πρός ΕΟ , ὁ ἡγέομαι φημί πρός ὁ ὑπεροχή , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ μετά ὁ △Ζ ὁ ΓΒ△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ΓΒ μόνος καί γ ὁ Β△ καί ὁ β ὁ EΒ . ἐν μέν γάρ ὁ ἡγέομαι ὁ β ὁ ΑB καί ὁ ΒΕ , ἐν δέ ὁ ἕπομαι ὁ β ὁ ΑΒ μόνος · ὥστε περιλείπομαι ἐν ὁ ὑπεροχή ὁ β ὁ ΕΒ · πάλιν ἐν μέν ὁ ἡγέομαι ὁ △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ , ἐν δέ ὁ ἕπομαι ὁ γ ὁ ΓΒ καί ὁ Β△ μόνος ὥστε περιλείπομαι ἐν ὁ ὑπεροχή ὁ ΓΒ μόνος καί ὁ γ ὁ Β△ . καλῶς οὖν λέγω ὅτι εἰμί ἀναστρέφω ὡς ὁ △Ε πρός ΕΟ , ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ΓΒ καί ὁ γ ὁ △Β καί ὁ β ὁ ΕΒ · ὥστε καί ἀνάπαλιν ὡς ὁ ΟΕ πρός Ε△ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ΓΒ μετά ὁ γ ὁ Β△ καί β ὁ ΕΒ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ . Ἔρτις δέ καί ὡς ὁ △Β πρός ἄλλος τίς ὁ ΕB , ὁ AΒ πρός ΒΓ , καί διαιρέω ὡς ὁ πρός EΒ , ὁ ΑΓ πρός ΓΒ διά ὁ αὐτός δή εἰμί ὡς ὁ Γ△ πρός △Β , οὕτως ὁ △Ε πρός ΕΒ καί ὡς ἄρα ὁ ὁ Γ△ πρός ὁ γ ὁ △Β , οὕτως ὁ β ὁ △Ε πρός ὁ β ὁ ΕΒ ὁ γάρ μέρος ὁ ὡσαύτως πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος . καί ὡς ἄρα εἷς πρός εἷς , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι εἰμί ἄρα ὡς ὁ △Ε πρός ΕΒ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ΑΓ καί ὁ γ ὁ Γ△ καί β ὁ △Ε πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ΓΒ καί ὁ γ ὁ Β△ καί ὁ β ὁ EΒ . Ἐπεί οὖν δείκνυμι ὡς ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ἡγέομαι ὁ ΟΕ πρός ἕπομαι ὁ △Ε , ἐν ὁ δεύτερος μέγεθος ἡγέομαι ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ΓΒ καί ὁ γ ὁ Β△ καί β ὁ ΒΕ πρός ἕπομαι ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ , ὡς δέ ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ἕπομαι ὁ △Ε πρός ἄλλος τίς ὁ ΕΒ , ἐν ὁ δεύτερος μέγεθος ἄλλος τίς ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ΑΓ καί γ ὁ Γ△ καί β ὁ △Ε πρός ἡγέομαι ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ Γ△ καί γ ὁ △Β καί β ὁ ΒΕ , διά ἴσος ἐν ὁ ταράσσω ἀναλογία ὡς ὁ ΟΕ πρός ΕΒ , ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ΑΓ καί γ ὁ Γ△ καί β ὁ △Ε πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ μετά ὁ △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ καί συντίθημι ὡς ὁ ΟΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ΑΓ καί γ ὁ Γ△ καί β ὁ Ε△ καί β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ . ἀλλά ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ΑΓ καί γ ὁ Γ△ καί β ὁ △Ε καί β συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ ἴσος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ γ ὁ ΑΒ καί ς΄ ὁ ΓΒ καί γ ὁ △Β ὁ τε γάρ ΑΒ δίς παραλαμβάνω αὐτόθεν καί προσλαμβάνω ὁ ΑΓ καί ἐκ ὁ △Ζ ὁ ΓΒ εἷς ποιέω ὁ γ ὁ ΑΒ πάλιν ἀφαιρέω ἀπό ὁ △Ζ ὁ ΓΒ εἷς γίγνομαι γ , προσλαμβάνω δέ ὁ γ ὁ Γ△ καί γ ὁ △Β ποιέω ὁ ς΄ ὁ ΓΒ πάλιν ἀφαιρέω ἀπό ὁ ὁ △Β γ μένω μόνος ὁ △Β , προσλαμβάνω δέ ὁ τε β ὁ καί ὁ β ὁ ΕΒ ποιέω ὁ γ ὁ Β△ . καλῶς οὖν λέγω ὅτι ὁ ΟΒ πρός ΕΒ οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὅς ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ γ ὁ ΑΒ καί ς΄ ὁ ΓΒ καί γ ὁ △Β πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ καί συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ . πάλιν , ἐπεί ὁ Ε△ , △Γ , ΓΑ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί καί διά ὁ ἀνάπαλιν ὁ ὑπόθεσις συναμφότεροι ἕκαστος ὁ ΕΒ , Β△ , △Β , ΒΓ , ΒΓ , ΒΑ , εἰμί ὡς ὁ Ε△ πρός ὁ μέσος καί ὁ ἕπομαι ὁ △Γ , ΓΑ , τουτέστι ὁ △Α , οὕτως συναμφότεροι ὁ ΕΒ , Β△ πρός συναμφότεροι ὁ △Β , ΒΓ μετά συναμφότεροι ὁ Γ△ , ΒΑ καί συντίθημι ἄρα ὡς ὁ ΕΑ πρός Α△ , οὕτως συναμφότεροι ὁ ΕΒ μετά συναμφότεροι ὁ △ΒΓ καί μετά συναμφότεροι ὁ ΓΒΑ πρός συναμφότεροι ὁ △ΒΓ μετά συναμφότεροι ὁ ΓΒΑ . ἀλλά συναμφότεροι ὁ ΕΒ μετά ὁ △ΒΓ καί ὁ ΓΒΑ ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΕΒΑ καί δίς συναμφότεροι ὁ △ΒΓ ἅπαξ γάρ ὁ ἄκρος παραλαμβάνω καί δίς ὁ μέσος συναμφότεροι δέ ὁ △ΒΓ μετά ὁ ΓΒΑ ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί δίς ὁ ΒΓ διά ὁ αὐτός αἰτία ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΔ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ΕΒΑ καί β συναμφότεροι ὁ △ΒΓ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε συναμφότεροι ὁ △ΒΑ καί ὁ β ὁ ΓΒ . Ὥστος καί ὁ διπλάσιος πρός ὁ διπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὡς ἄρα ὁ ΕΑ πρός Α△ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΕΒΑ μετά ὁ △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί ὁ △Ζ ὁ ΓΒ . Ὥστος καί ὡς ὁ ΕΑ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ Α△ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΕΒ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί ὁ △Ζ ὁ ΓB . ἀλλά ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ Α△ , οὕτως λαμβάνω ὁ ΒΕ πρός ΖΗ · καί ὡς ἄρα ὁ EΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ABE καί ὁ △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ AB△ καί △Ζ ὁ ΓΒ . ἐπεί οὖν δείκνυμι ὡς ἡγέομαι ὁ ΟΒ πρός ἕπομαι ὁ ΒΕ , οὕτως ἡγέομαι ὁ γ συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ μετά ὁ ς΄ ὁ ΓΒ πρός ἕπομαι ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ , ὡς δέ ἕπομαι ὁ ΕΒ πρός ἄλλος τίς ὁ ΖΗ , οὕτως ἕπομαι ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ καί ὁ △Ζ συναμφότεροι ὁ △ΒΓ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ ἕπομαι , τουτέστι ὁ συηκειμενω ἐκ ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί ὁ △Ζ ὁ ΓΒ , τάσσω οὖν σέω ὁ ἀναλογία διά ἴσος εἰμί ὡς ὁ ΟΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ γ συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί ς΄ ὁ ΓΒ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί △Ζ ὁ ΓΒ . ὁ δέ σύγκειμαι ἐκ ὁ γ συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί ς΄ ὁ ΓΒ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί △Ζ ὁ ΓΒ λόγος ἔχω , ὅς τρεῖς πρός δύο , πρός δέ ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ αὐτηες͂ς λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο ὁ δέ ἑξαπλάσιος ὁ αὐτός ὁ τετραπλάσιος ἡμιόλιος εἰμί πρός δέ ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ αὐτηες͂ς λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο , Ἐπειδή γάρ ὁ ἡγέομαι ὁ επόμενος ἡμιόλιος , καί λόγος ἔχω πρός αὐτός , ὅς τρεῖς πρός δύο ἔχω ἄρα καί ὅς τεσσαράκοντα πέντε πρός τριάκοντα ἑκάτερος γάρ ἑκάτερος εἰμί πεντεκαιδεκαπλασίων . καί εἰμί ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ τριάκοντα δεκαοκτώ ἔχω ἄρα τεσσαράκοντα πέντε πρός δεκαοκτώ λόγος , ὅς πέντε πρός δύο ὁ γάρ πέντε καί ὁ δύο ἀμφότερος εἰμί ἐννάτη . Ἐπεί οὖν δείκνυμι ὁ μέν ΟΑ πρός ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο , ὁ δέ ΟΒ πρός ΖΗ ὁ αὐτός λόγος , δύο πεμπτημόριον εἰμί ὅλος ὁ ΖΘ ὅλος ὁ ΑΒ .