eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 1.4
Καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ , ΗΚ , ΛΜ · ἐσσοῦνται δὴ αὗται παρὰ τὰν ΒΓ | Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΟ τῷ ΨΓ καὶ ἡ △Β τῇ △Γ , ἔσται ὡς ἡ △Β πρὸς ΟΒ , ἡ △Γ πρὸς ΨΓ , καὶ διελόντι ὡς ἡ △Ο πρὸς ΟΒ , ἡ △Ψ πρὸς ΨΓ . Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ △Ο πρὸς ΟΒ , ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ · ἡ γὰρ ΕΟ παρὰ τὴν Α△ ἐστίν · ὡς δὲ ἡ △Ψ πρὸς ΨΓ , ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ . Ὁμοίως δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ λοιπαί . Τὸ δὴ Α△Γ ποτὶ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ , ΜΚ , ΚΖ , ΖΓ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τῷ Α△Γ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ ΓΑ πρὸς ΑΜ , διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς εὐθείας | Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιά ἐστι τὰ Α△Γ , ΑΣΜ τρίγχωνα , πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς ΑΜ , Ἐπεὶ δὲ νῦν ὑπόκειται ἡ ΑΓ τῆς ΑΜ τετραπλασίων , τὸ Α△Γ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΣΜ λόγον ἔχει , ὃν ιϚ πρὸς ἕν , πρὸς δὲ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ ΑΜ , ΜΚ , ΚΖ , ΖΓ λόγον ἔχει , ὃν ιϚ πρὸς τέσσαρα ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α△Γ τρίγωνον πρὸς τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ , ΜΚ , ΚΖ , ΖΓ ὅμοια τῷ Α△Γ , οὕτως αὐτὰ τὰ τρίγωνα πρὸς τὸ ΑΣΜ , τουτέστιν ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ · ὅμοια γάρ εἰσιν καὶ ἐπὶ ἴσων βάσεων καὶ διὰ τοῦτο ἴσα , καὶ εἰσὶν πρὸς ἄλληλα ὡς αἱ βάσεις . Ἀλλὰ ἁ ΓΑ πρὸς ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΦΡ πρὸς ΡΘ · ὁ γὰρ τῆς ΑΓ πρὸς ΑΜ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΦΡ πρὸς ΡΠ | Εἰ γὰρ νοήσειας ἐκβεβλημένας τὰς ΡΦ , Γ△ καὶ συμπιπτούσας , διὰ τὰς παραλλήλους ἔσται ὡς ἡ ΦΡ πρὸς ΡΠ , ἡ Γ△ πρὸς △Ω . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Γ△ πρὸς △Ω , ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ , ἡ ΦΡ πρὸς ΡΠ . Ἡ δὲ ΦΡ πρὸς ΡΠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΡ πρὸς ΡΘ · καὶ ἡ ΓΑ ἄρα πρὸς ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΡ πρὸς ΡΦ . Ὅπερ ἀδύνατον τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Χ εὐθείας παρὰ τὰν △Α ἀγομένας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἐσσεῖται πάντα τὰ κέντρα | Τουτέστιν ἐπὶ θάτερον μέρος · καὶ ῥέψει δηλονότι ἐπ᾿ ἐκεῖνο πάντα τὰ μεγέθη καὶ οὐκ ἰσορροπήσει ὅπερ οὐχ ὑπόκειται · ὑπόκειται γὰρ κέντρον τῶν μὲν παραλληλογράμμων τὸ Ρ , τῶν δὲ τριγώνων τὸ Χ .
Lemmas: καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ , ΗΚ , ΛΜ · εἰμί δή αὐτός παρά ὁ ΒΓ | ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΒΟ ὁ ΨΓ καί ὁ △Β ὁ △Γ , εἰμί ὡς ὁ △Β πρός ΟΒ , ὁ △Γ πρός ΨΓ , καί διαιρέω ὡς ὁ △Ο πρός ΟΒ , ὁ △Ψ πρός ΨΓ . ἀλλά ὡς μέν ὁ △Ο πρός ΟΒ , ὁ ΑΕ πρός ΕΒ · ὁ γάρ ΕΟ παρά ὁ Α△ εἰμί · ὡς δέ ὁ △Ψ πρός ΨΓ , ὁ αζʹ πρός ΖΓ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , ὁ αζʹ πρός ΖΓ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΒΓ . Ὅμοιος δή δείκνυμι καί ὁ λοιπός . Τέ δή ΓΑ πρός πᾶς ὁ τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΜ , ΜΚ , ΚΖ , ΖΓ ἀναγράφω ὅμοιος ὁ ΓΑ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΓΑ πρός ΑΜ , διά ὁ ἴσος ἔρχομαι ὁ εὐθεῖα | Ἐπεί γάρ ὁμοῖος εἰμί ὁ ΓΑ , ΑΣΜ τρίγχωνα , πρός ἀλλήλων διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΓ πρός ΑΜ , ἐπεί δέ νῦν ὑπόκειμαι ὁ ΑΓ ὁ ΑΜ τετραπλάσιος , ὁ ΓΑ τρίγωνον πρός ὁ ΑΣΜ λόγος ἔχω , ὅς ιϚʹ πρός εἷς , πρός δέ πᾶς ὁ τρίγωνος ὁ ἀπό ΑΜ , ΜΚ , ΚΖ , ΖΓ λόγος ἔχω , ὅς ιϚʹ πρός τέσσερα ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΓΑ τρίγωνον πρός ὁ τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΜ , ΜΚ , ΚΖ , ΖΓ ὅμοιος ὁ ΓΑ , οὕτως αὐτός ὁ τρίγωνος πρός ὁ ΑΣΜ , τουτέστι ὁ ΓΑ πρός ΑΜ · ὅμοιος γάρ εἰμί καί ἐπί ἴσος βάσις καί διά οὗτος ἴσος , καί εἰμί πρός ἀλλήλων ὡς ὁ βάσις . ἀλλά ὁ ΓΑ πρός ΑΜ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΦΡ πρός ΡΘ · ὁ γάρ ὁ ΑΓ πρός ΑΜ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΦΡ πρός ΡΠ | εἰμί γάρ νοέω ἐκβάλλω ὁ ΡΦ , Γ△ καί συμπίπτω , διά ὁ παράλληλος εἰμί ὡς ὁ ΦΡ πρός ΡΠ , ὁ Γ△ πρός ΩΩ . ἀλλά ὡς ὁ Γ△ πρός ΩΩ , ὁ ΓΑ πρός ΑΜ · καί ὡς ἄρα ὁ ΓΑ πρός ΑΜ , ὁ ΦΡ πρός ΡΠ . ὁ δέ ΦΡ πρός ΡΠ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΦΡ πρός ΡΘ · καί ὁ ΓΑ ἄρα πρός ΑΜ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΦΡ πρός ΡΦ . ὅς ἀδύνατος ὁ γάρ διά ὁ Χ εὐθεῖα παρά ὁ △Α ἄγω ἐν ὁ ἐπίπεδος ἐπί ὁ αὐτός εἰμί πᾶς ὁ κέντρο | τουτέστι ἐπί ἕτερος μέρος · καί ῥέπω δηλονότι ἐπί ἐκεῖνος πᾶς ὁ μέγεθος καί οὐ ἰσορροπέω ὅς οὐ ὑπόκειμαι · ὑπόκειμαι γάρ κέντρον ὁ μέν παραλληλόγραμμος ὁ Ρ , ὁ δέ τρίγων ὁ Χ .