eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.11
Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ τοῦ Α△ΕΓ τόμου διάμετρός ἐστιν ἡ ΖΗ | Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται ἡ ΖΒ διάμετρος τοῦ τμήματος καὶ αἱ ΑΓ , △Ε διχοτομούμεναι ὑπʼ αὐτῆς κατὰ τὰ Ζ , Η , παράλληλοί εἰσιν τῇ κατὰ τὸ Β ἐφαπτομένῃ τῆς τομῆς . Καὶ δῆλον ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ὁμοίως αὐταῖς ἀχόμεναι παράλληλοι εἴτε μεταξὺ αὐτῶν εἴτε καὶ μεταξὺ τῆς △Ε καὶ τῆς Β κορυφῆς δίχα τμηθήσονται ὑπὸ τῆς ΒΖ , καὶ διὰ τοῦτό φησι διάμετρον εἶναι τοῦ τόμου τὴν ΖΗ . Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ὁ ἀπὸ ΖΑ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον , οὕτως τὸ ΑΒΓ τμᾶμα πρὸς τὸ △ΕΒ τμᾶμα | Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ὑπʼ αὐτοῦ ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐστὶν ἐπίτριτον καὶ τὸ △ΕΒ τμῆμα τοῦ △ΕΒ τριγώνου , ἔστιν ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , οὕτως τὸ △ΕΒ τμῆμα πρὸς τὸ △ΕΒ τρίγωνον καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα , τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον ὥστε καὶ τὰ ἡμίση αὐτῶν , ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ △ΕΒ τμῆμα , οὕτως τὸ ΑΖΒ τρίγωνον πρὸς τὸ △ΗΒ τρίγωνον . καὶ ἐὰν ἀναγράψωμεν τὰ παραλληλόχραμμα τὰ διπλάσια τῶν τριγώνων , ἔσται ἰσογώνια διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς △Η , AΖ ὥστε καὶ λόγον ἕξει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν τῆς ΑΖ πρὸς △Η καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΗ . Ὁ αὐτὸς δὲ λόγος ἐστὶ τῶν τε τριγώνων καὶ τῶν τμημάτων τὸ ἄρα τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς △Η καὶ τοῦ τῆς ΖB πρὸς BΗ . Ὁ δὲ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ AΖ πρὸς τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον ὁ ἄρα τοῦ τμήματος πρὸς τὸ τμῆμα λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ AΖ πρὸς τὸ ἀπὸ △Η · τετράγωνον καὶ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς △Η . Σύγκειται δὲ καὶ ὁ τοῦ ἀπὸ AΖ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον λόγος ἐκ τῶν αὐτῶν , ὡς δέδεικται ἐν τοῖς σχολίοις τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἔστιν ἄρα ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα , οὕτως ὁ ἀπὸ AΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον . Καὶ ἐπεὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον , ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ πρὸς τὸν ἀπὸ ΑΖ κύβον λόγον ἔχει , ὃν ἡ β τῆς △Η μετὰ τῆς ΑΖ πρὸς ΖA Ἐπὶ γὰρ τῶν αὐτῶν βάσεων ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ὕψη . Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ △Η πρὸς ΑΖ , ἡ ΞΝ πρὸς M , καὶ ὡς ἡ β τῆς △Η πρὸς ΑΖ , ἡ β τῆς ΕΝ πρὸς ΝΜ · καὶ συνθέντι ὡς ἡ β τῆς ΝΞ μετὰ τῆς ΝΜ πρὸς ΝΜ , ἡ β τῆς △Η μετὰ τῆς ΑΖ πρὸς ΑΖ . Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον , οὕτως ὅ τε ἀπὸ ΜΝ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΝΞ κύβον καὶ ἡ ΜΝ πρὸς ΝΤ · αἱ γὰρ ΜΝ , ΝΞ , ΝΟ , ΝΤ τέσσαρές εἰσιν ἀνάλογον , καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον . Ὡς δὲ ὁ ἀπὸ △Η κύβος πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον , ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην εὐθεῖαν ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η , οὕτως ἡ △Η πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η | Πάλιν γὰρ πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ὕψη . Ὡς δὲ ἡ △Η πρὸς τὴν β τῆς ΑΖ μετὰ τῆς △Η , οὕτως ἡ ΤΝ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΟΝ καὶ τῆς ΤΝ · ἔστιν γὰρ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς △Η , ἡ ΜΝ πρὸς ΝΞ καὶ ἡ ΟΝ πρὸς ΝΤ · καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ △Η πρὸς ΑΖ , ἡ ΤΝ πρὸς ΝΟ , καὶ ὡς ἡ △Η μετὰ τῆς △ τῆς ΑΖ πρὸς ΑΖ , οὕτως ἡ ΤΝ μετὰ τῆς β τῆς ΝΟ πρὸς NO . Γέγονεν οὖν τέσσαρα μεγέθη ἑξῆς ἀλλήλων κείμενα , πρῶτον μὲν τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον , ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ , καὶ δεύτερον ὁ ἀπὸ τῆς ΑΖ κύβος καὶ τρίτον ὁ ἀπὸ τῆς △Η κύβος καὶ τέταρτον τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς △Η τετράγωνον , ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η , καὶ ἄλλαι τινὲς εὐθεῖαι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ σύνδυο λαμβανόμεναι , ἥ τε συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΝΞ καὶ μόνης τῆς ΜΝ καὶ δευτέρα ἡ MΝ καὶ τρίτη ἡ ΝT καὶ τετάρτη ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ τῆς ΝΤ δι᾿ ἴσου ἄρα γενήσεται ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον , ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ μόνης , πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον , ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΖ καὶ μόνης τῆς γωνον,Η , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΞΝ καὶ μόνης τῆς MΝ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Ν0 καὶ μόνης τῆς ΝT . Ἀλλ᾿ ὡς τὰ εἰρημένα στερεὰ πρὸς ἄλληλα , οὕτως ἐδείχθη ἡ ΘΙ πρὸς lΚ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΙ πρὸς ΙΚ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΞΝ καὶ μόνης τῆς ΝΜ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΘΚ πρὸς ΚΙ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ε , ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΚΙ , οὕτως ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Ν0 καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ οὖσαν αὐτῆς δύο πέμπτα ἑκατέρα γὰρ τῶν ΗΘ , ΖΚ δύο πεμπτημόριά ἐστι τῆς ΗΖ , ἐπειδὴ τὸ μέσον πεμπτημόριον ἡ ΘΚ ὑπόκειται οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν β συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ · καὶ γὰρ τὰ β τῶν ε καὶ τὰ △Ζ τῶν ι δύο πεμπτημόριά ἐστιν . Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΙΚ , οὕτως ἡ ε τῆς ΜΝT καὶ ι τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν β τῆς Ν0 καὶ μόνην τὴν ΝT , πάλιν δὲ ἐδείχθη ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ , ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ ι τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν β τῆς ΜΝT καὶ △Ζ τῆς ΞΝΟ , ἔσται ὡς ἡγούμενον πρὸς τὰ δύο ἑπόμενα , οὕτως ἡγούμενον πρὸς τὰ δύο ἑπόμενα , ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΙ , οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT καὶ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΜΝT ναὶ △Ζ τῆς ΞΝΟ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ συγκειένῃ ἐκ τῆς β τῆς ΜΝ καὶ △Ζ τῆς ΝΞ καὶ τῆς ΝΟ καὶ τῆς ΝT · οὕτως γὰρ εἴληπται καὶ ἀνωτέρω . Ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΝΞ , ΟΝT , καὶ ἐστὶν ὡς μὲν ἡ ΝT πρὸς TM , οὕτως εἰλημμένη τις ἡ ΡΙ πρὸς τὴν ΖΘ , τουτέστι πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ , τουτέστι τῆς M0 , καὶ δεδειγμέναι εἰσὶν αἱ ἐν τῷ ῥητῷ ἀναλογίαι , ἔσται διὰ τὸ προειρημένον ἡ ΡΖ δύο πέμπτα τῆς MΝ , τουτέστι τῆς ΖB τρία ἄρα πέμπτα ἐστὶν ἡ ΒΡ τῆς ΒΖ . Ἡ ΒΡ ἄρα πρὸς ΡΖ λόγον ἔχει , ὃν τρία πρὸς δύο ὥστε κέντρον βάρους ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος τὸ Ρ σημεῖον . Ἐὰν δὴ λάβωμεν τὸ τοῦ △ΒΕ τμήματος τὸ X , τρία πέμπτα ἔσται ἡ ΒX τῆς ΒΗ . Γέγονεν οὖν ὡς ὅλη ἡ ΖB πρὸς ὅλην τὴν ΒΡ , οὕτως ἀφαιρεθεῖσα ἡ ΒΗ πρὸς ἀφαιρεθεῖσαν τὴν ΒΧ · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν πρὸς ἑκατέραν λόγον ἔχει , ὃν πέντε πρὸς τρία καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς λοιπὴν τὴν ΧΡ λόγον ἕξει , ὃν πέντε πρὸς τρία . Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ὁ Α△ΕΓ τομεὺς πρὸς τὸ △ΒΕ τμῆμα , οὕτως ἡ ΜT πρὸς ΤΝ , ὡς δὲ ἡ MT πρὸς TΝ , οὕτως τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ ἤτοι ἡ ΧΡ πρὸς PΙ , ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ τομεὺς πρὸς τὸ τμῆμα , ἡ ΧΡ πρὸς ΡΙ . Καὶ ἀντιπεπόνθασιν ὅπερ τὸ Ρ κέντρον τοῦ ὅλου τμήματος τοῦ ἄρα τόμου κέντρον ἐστὶ τὸ Ι .
Lemmas: Φανερός δή ὅτι καί ὁ ΑΓΕ τόμος διάμετρος εἰμί ὁ ΖΗ | Ἐπεί γάρ ὑπόκειμαι ὁ ΖΒ διάμετρος ὁ τμῆμα καί ὁ ΑΓ , △Ε διχοτομέω ὑπό αὐτηες͂ς κατά ὁ Ζ , ὁ , παράλληλος εἰμί ὁ κατά ὁ Β ἐφάπτω ὁ τομή . καί δῆλος ὅτι καί πᾶς ὁ ὅμοιος αὐτός ἄχω παράλληλος εἴτε μεταξύ αὐτός εἴτε καί μεταξύ ὁ △Ε καί ὁ Β κορυφή δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΒΖ , καί διά τούτος φημί διάμετρος ἔρχομαι ὁ τόμος ὁ ΖΗ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ἀπό Γῆ κύβος πρός ὁ ἀπό △Η κύβος , οὕτως ὁ ΑΒΓ τμῆμα πρός ὁ ΕΒ τμῆμα | ἐπεί γάρ δείκνυμι ὑπό αὐτός ὅτι ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον εἰμί ἐπίτριτος καί ὁ ΕΒ τμῆμα ὁ ΕΒ τρίγωνον , εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ τμῆμα πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , οὕτως ὁ ΕΒ τμῆμα πρός ὁ ΕΒ τρίγωνον καί ἐναλλάξ ὡς ὁ τμῆμα πρός ὁ τμῆμα , ὁ τρίγωνον πρός ὁ τρίγωνος ὥστε καί ὁ ἥμισυς αὐτός , ὡς ὁ ΑΒΓ τμῆμα πρός ὁ ΕΒ τμῆμα , οὕτως ὁ ΑΖΒ τρίγωνον πρός ὁ ΒΗ τρίγωνον . καί ἐάν ἀναγράφω ὁ παραλληλόχραμμα ὁ διπλάσιος ὁ τρίγων , εἰμί ἰσογώνιος διά ὁ παράλληλος ἔρχομαι ὁ △Η , AΖ ὥστε καί λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά ὁ αζʹ πρός △Η καί ὁ ΖΒ πρός ΒΗ . ὁ αὐτός δέ λόγος εἰμί ὁ τε τρίγων καί ὁ τμῆμα ὁ ἄρα τμῆμα πρός ὁ τμῆμα λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ὁ αζʹ πρός △Η καί ὁ ὁ ΖB πρός BΗ . ὁ δέ ὁ ΖΒ πρός ΒΗ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ἀπό AΖ πρός ὁ ἀπό △Η τετράγωνος ὁ ἄρα ὁ τμῆμα πρός ὁ τμῆμα λόγος σύγκειμαι ἐκ ὁ ὁ ἀπό AΖ πρός ὁ ἀπό △Η · τετράγωνος καί ὁ ὁ αζʹ πρός △Η . σύγκειμαι δέ καί ὁ ὁ ἀπό AΖ κύβος πρός ὁ ἀπό △Η κύβος λόγος ἐκ ὁ αὐτός , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ σχόλιον ὁ περι σφαῖρα καί κύλινδρος εἰμί ἄρα ὡς ὁ τμῆμα πρός ὁ τμῆμα , οὕτως ὁ ἀπό AΖ κύβος πρός ὁ ἀπό △Η κύβος . καί ἐπεί ὁ στερεός ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ἀπό ὁ αζʹ τετράγωνος , ὕψος δέ ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ △Η καί ὁ αζʹ πρός ὁ ἀπό αζʹ κύβος λόγος ἔχω , ὅς ὁ β ὁ △Η μετά ὁ αζʹ πρός ΖA ἐπί γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ὕψος . Ἔρτις δέ καί ὡς ὁ △Η πρός αζʹ , ὁ ΞΝ πρός M , καί ὡς ὁ β ὁ △Η πρός αζʹ , ὁ β ὁ ΕΝ πρός ΝΜ · καί συντίθημι ὡς ὁ β ὁ ΝΞ μετά ὁ ΝΜ πρός ΝΜ , ὁ β ὁ △Η μετά ὁ αζʹ πρός αζʹ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ἀπό αζʹ κύβος πρός ὁ ἀπό △Η κύβος , οὕτως ὁ τε ἀπό ΜΝ κύβος πρός ὁ ἀπό ΝΞ κύβος καί ὁ ΜΝ πρός ΝΤ · ὁ γάρ ΜΝ , ΝΞ , ΝΟ , ΝΤ τέσσαρες εἰμί ἀνάλογος , καί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τέταρτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος στερεός πρός ὁ ἀπό ὁ δεύτερος ὅμοιος καί ὅμοιος ἀναγράφω . ὡς δέ ὁ ἀπό △Η κύβος πρός ὁ στερεός ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ἀπό △Η τετράγωνος , ὕψος δέ ὁ σύγκειμαι εὐθεῖα ἐκ τε ὁ β ὁ αζʹ καί ὁ △Η , οὕτως ὁ △Η πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ αζʹ καί ὁ △Η | πάλιν γάρ πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ὕψος . ὡς δέ ὁ △Η πρός ὁ β ὁ αζʹ μετά ὁ △Η , οὕτως ὁ ΤΝ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ ΟΝ καί ὁ ΤΝ · εἰμί γάρ ὡς ὁ αζʹ πρός △Η , ὁ ΜΝ πρός ΝΞ καί ὁ ΟΝ πρός ΝΤ · καί ἀνάπαλιν ὡς ὁ △Η πρός αζʹ , ὁ ΤΝ πρός ΝΟ , καί ὡς ὁ △Η μετά ὁ △ ὁ αζʹ πρός αζʹ , οὕτως ὁ ΤΝ μετά ὁ β ὁ ΝΟ πρός NO . γίγνομαι οὖν τέσσερα μέγεθος ἑξῆς ἀλλήλων κεῖμαι , πρῶτος μέν ὁ στερεός ὁ βάσις ἔχω ὁ ἀπό αζʹ τετράγωνος , ὕψος δέ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ △Η καί ὁ αζʹ , καί δεύτερος ὁ ἀπό ὁ αζʹ κύβος καί τρίτος ὁ ἀπό ὁ △Η κύβος καί τέταρτος ὁ στερεός ὁ βάσις ἔχω ὁ ἀπό ὁ △Η τετράγωνος , ὕψος δέ ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ β ὁ αζʹ καί ὁ △Η , καί ἄλλος τις εὐθεῖα ἐν ὁ αὐτός λόγος σύνδυο λαμβάνω , ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΝΞ καί μόνος ὁ ΜΝ καί δεύτερος ὁ MΝ καί τρίτος ὁ ΝT καί τέταρτος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΟΝ καί ὁ ΝΤ διά ἴσος ἄρα γίγνομαι ὡς ὁ στερεός ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ἀπό αζʹ τετράγωνος , ὕψος δέ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ △Η καί ὁ αζʹ μόνος , πρός ὁ στερεός ὁ βάσις ἔχω ὁ ἀπό △Η τετράγωνος , ὕψος δέ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ αζʹ καί μόνος ὁ γωνον,Η , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΞΝ καί μόνος ὁ MΝ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ Ν0 καί μόνος ὁ ΝT . ἀλλά ὡς ὁ λέγω στερεός πρός ἀλλήλων , οὕτως δείκνυμι ὁ ΘΙ πρός lΚ καί ὡς ἄρα ὁ ΘΙ πρός ΙΚ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΞΝ καί μόνος ὁ ΝΜ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΟΝ καί μόνος ὁ ΝT · καί συντίθημι ὡς ὁ ΘΚ πρός Κις , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ συναμφότεροι ὁ ΜΝT καί ὁ β συναμφότεροι ὁ ΞΝ0 πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΟΝ καί μόνος ὁ ΝT · καί ὁ ἡγέομαι ὁ ε , ὡς ὁ ΗΖ πρός Κις , οὕτως ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΜΝT καί Ι συναμφότεροι ὁ ΞΝΟ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ Ν0 καί μόνος ὁ ΝT · καί ὡς ἄρα ὁ ΖΗ πρός ΖΚ εἰμί αὐτηες͂ς δύο πέμπτος ἑκάτερος γάρ ὁ ΗΘ , ΖΚ δύο πεμπτημόριον εἰμί ὁ ΗΖ , ἐπεί ὁ μέσος πεμπτημόριον ὁ ΘΚ ὑπόκειμαι οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΜΝT καί Ι συναμφότεροι ὁ ΞΝΟ πρός ὁ β συναμφότεροι ὁ ΜΝΤ καί △Ζ συναμφότεροι ὁ ΞΝΟ · καί γάρ ὁ β ὁ ε καί ὁ △Ζ ὁ Ι δύο πεμπτημόριον εἰμί . Ἐπεί οὖν δείκνυμι ὡς ὁ ΖΗ πρός ΙΚ , οὕτως ὁ ε ὁ ΜΝT καί Ι ὁ ΞΝΟ πρός ὁ β ὁ Ν0 καί μόνος ὁ ΝT , πάλιν δέ δείκνυμι ὡς ὁ ΖΗ πρός ΖΚ , ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΜΝΤ καί Ι ὁ ΞΝ0 πρός ὁ β ὁ ΜΝT καί △Ζ ὁ ΞΝΟ , εἰμί ὡς ἡγέομαι πρός ὁ δύο ἕπομαι , οὕτως ἡγέομαι πρός ὁ δύο ἕπομαι , ὡς ὁ ΖΗ πρός ΖΙ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ε συναμφότεροι ὁ ΜΝT καί Ι συναμφότεροι ὁ ΞΝ0 πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΟΝ καί μόνος ὁ ΝT καί ὁ β συναμφότεροι ὁ ΜΝT ναί △Ζ ὁ ΞΝΟ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ β ὁ ΜΝ καί △Ζ ὁ ΝΞ καί ὁ ΝΟ καί ὁ ΝT · οὕτως γάρ λαμβάνω καί ἀνωτέρω . Ἐπεί οὖν τέσσαρες εὐθεῖα ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ὁ ΜΝΞ , ΟΝ , καί εἰμί ὡς μέν ὁ ΝT πρός TM , οὕτως λαμβάνω τις ὁ ΡΙ πρός ὁ ΖΘ , τουτέστι πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ ΗΖ , τουτέστι ὁ M0 , καί δείκνυμι εἰμί ὁ ἐν ὁ ῥητός ἀναλογία , εἰμί διά ὁ προλέγω ὁ ΡΖ δύο πέμπτος ὁ MΝ , τουτέστι ὁ ΖB τρεῖς ἄρα πέμπτος εἰμί ὁ ΒΡ ὁ ΒΖ . ὁ ΒΡ ἄρα πρός ΡΖ λόγος ἔχω , ὅς τρεῖς πρός δύο ὥστε κέντρον βάρος εἰμί ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ Ρ σημεῖον . ἐάν δή λαμβάνω ὁ ὁ ΕΒ τμῆμα ὁ X , τρεῖς πέμπτος εἰμί ὁ ΒX ὁ ΒΗ . γίγνομαι οὖν ὡς ὅλος ὁ ΖB πρός ὅλος ὁ ΒΡ , οὕτως ἀφαιρέω ὁ ΒΗ πρός ἀφαιρέω ὁ ΒΧ · ἑκάτερος γάρ αὐτός πρός ἑκάτερος λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός τρεῖς καί ὁ λοιπός ἄρα ὁ ΖΗ πρός λοιπός ὁ ΧΡ λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός τρεῖς . ἐπεί οὖν ὑπόκειμαι ὡς ὁ ΑΓΕ τομεύς πρός ὁ ΕΒ τμῆμα , οὕτως ὁ ΜT πρός ΤΝ , ὡς δέ ὁ MT πρός TΝ , οὕτως ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ ΗΖ ἤτοι ὁ ΧΡ πρός Ἴ , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ τομεύς πρός ὁ τμῆμα , ὁ ΧΡ πρός ΡΙ . καί ἀντιπάσχω ὅς ὁ Ρ κέντρον ὁ ὅλος τμῆμα ὁ ἄρα τόμος κέντρον εἰμί ὁ Ι .