eutocius.commentarius-in-libros-de-planorum-aequilibriis 2.2
Τοῦ δευτέρου θεωρήματος προλέγει τινὰ δηλοῦντα πῶς δυνατὸν ἐν τῇ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῇ σχῆμα γνωρίμως ἐγγράφεσθαι , καὶ φησιν ταῦτα δεικτέον ἐν ταῖς τάξεσιν . Ἐπειδὴ οὖν ἀσαφές ἐστιν τὸ λεγόμενον , ἀναγκαῖον εἰπεῖν βραχέα περὶ αὐτοῦ ἐκ τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν εὑρεθέντα . Ἔστω σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ παραβολῆς τῆς ΑΒΓ καὶ εὐθείας τῆς ΑΓ , οὗ διάμετρος ἔστω ἡ Β△ · φανερὸν δὴ ὅτι κορυφή ἐστι τοῦ τμήματος τὸ Β σημεῖον · κορυφὰς γὰρ ἐκάλει τῶν γραμμῶν ὁ Ἀπολλώνιος τὰ πρὸς ταῖς γραμμαῖς πέρατα τῶν διαμέτρων . Ἐὰν δὴ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΑΒ , ΒΓ , ἔσται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον τῷ τμήματι καὶ ὕψος ἴσον τὴν ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον ἀγομένην · οὐ γὰρ πάντως ἄξων ἐστὶν ἡ Β△ . Ἑὰν δὴ λαβόντες τὰς κορυφὰς τῶν ΑΒ , ΒΓ τμημάτων τὰς Ε , Ζ δι᾿ αὐτῶν παραλλήλους ἀγάγωμεν τῇ Β△ , ὡς τὰς ΕΗΘ , ΖϚΚ , ἔσονται αὗται διάμετροι τῶν ΑΒ , ΒΓ τμημάτων · δέδεικται γὰρ ἐπὶ τῆς παραβολῆς ὅτι πᾶσαι αἱ παρὰ τὴν διάμετρον ἀγόμεναι διάμετροί εἰσι τῆς τομῆς . Ἔσονται δὴ τὰ Ε , Ζ κορυφαὶ τῶν τμημάτων καὶ αἱ διὰ τῶν Ε , Ζ ἐφαπτόμεναι παράλληλοι ταῖς ΑΒ , ΒΓ · ἔσται δὴ καὶ ἡ ΕΛΖ παρὰ τὴν Α△Γ , ἐπειδὴ αἱ ΕΘ , ΖΚ παράλληλοί εἰσι καὶ ἴσαι διάμετροι οὖσαι τῶν ἴσων τμημάτων καὶ ἐφαρμόζουσαι ἀλλήλαις , ὡς ἐν τῷ Ϛ΄ τῶν Κωνικῶν δέδεικται . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΗΘ παράλληλός ἐστι τῇ Β△ , ἔστιν ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ , ἡ △Θ πρὸς ΘΑ . Ἴδη δὲ ἡ ΗΒ τῇ ΑΗ · δίχα γὰρ αὐτὴν τέμνει ἡ ΕΗ διάμετρος παράλληλον οὖσαν τῇ ἐφαπτομένῃ ἴση ἄρα καὶ ἡ △Θ τῇ ΘΑ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ △Κ τῇ ΚΓ ἐστὶν ἴση . Ἴση δὲ ὅλη ἡ Α△ τῇ △Γ · ἴση ἄρα καὶ ἡ △Θ τῇ △Κ καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ . Ὥστε ἀληθῶς λέγει ὅτι ἡ τὰς κορυφὰς τῶν τμημάτων ἐπιζευγνύουσα παράλληλος ἔσται τῇ βάσει τοῦ τμήματος καὶ δίχα διαιρεθήσεται ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος διαμέτρου . Ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ καὶ δίχα τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Μ , Ν , Ξ , Ο σημεῖα , καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Μ , Ν , Ξ , Ο παρὰ τὴν Β△ αἱ ΠΜΡΣ , ΤΝΥΦ , ΧΞΨΩ , ϚΟϥϠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΠ , ΠΕ , ΕΤ , ΤΒ , ΒΧ , ΧΖ , ΖϚ , ϚΓ καὶ αἱ Τ ΑΧ καὶ Π Β Γ △ Ε ϚϚ · φανερὸν δὴ ἐκ τῶν προδεδειγμένων ὅτι ἡ ΤΧ καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΠϚ παράλληλοί εἰσι τῇ ΑΓ , καὶ ὅτι ἴση ἡ Τ Α τῇ ΑΧ καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ καὶ ἡ Π △ τῇ △Ϛ . Λέγω οὖν ὅτι τέμνουσι τὴν Β△ εἰς τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριθμούς , τουτέστιν οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ Β Α , τοιούτων τριῶν ἡ ΑΛ καὶ ἡ Λ △ πέντε καὶ ἡ △△ ἑπτά . Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ , καὶ παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ Β△ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῇ Θ△ Η Α△ ἄρα τῆς △Θ διπλῆ ἐστιν ὥστε καὶ τῆς ΕΛ · τὸ ἀπὸ τῆς Α△ ἄρα τετραπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΛ . Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ Α△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ , οὕτως δέδεικται ἡ Β△ πρὸς ΒΛ · τετραπλασία ἄρα καὶ ἡ △Β τῆς ΒΛ . Τριπλῆ ἄρα ἡ △Λ τῆς ΛΒ · οἵου ἄρα ἐστὶν ἑνὸς ἡ ΛΒ , τοιούτων τριῶν ἐστιν ἡ Λ△ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἵων ἡ ΛΒ τεσσάρων , ἡ Λ△ δώδεκα . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ΕΝ τῇ ΝΒ καὶ ἡ Ε Ζ τῇ ΖΛ καὶ ἡ ΘΦ τῇ Φ△ διπλασία ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς Λ Ζ , τουτέστι τῆς Τ Α · τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΛ τοῦ ἀπὸ Τ Α . Τετραπλασία ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῆς Β Α · ὥστε τριπλασία ἡ Λ Α τῆς ΑΒ · οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΒ τεσσάρων , τοιούτων ἡ μὲν Β Α ἑνός , ἡ δὲ ΑΛ τριῶν , ἡ δὲ Λ△ δώδεκα . Πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΜΕ καὶ ἡ ΑΡ τῇ ΡΗ καὶ ἡ ΑΣ τῇ ΣΘ , ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ΑΣ , ΣΘ , ΘΦ , Φ△ · οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ Α△ τεσσάρων , τοιούτων ἡ Σ△ τριῶν , τουτέστιν ἡ Π △ . Οἵων ἄρα τὸ ἀπὸ Α△ δεκαέξ , τοιούτων τὸ ἀπὸ Π △ ἐννέα · καὶ οἵων ἄρα ἡ △Β δεκαέξ , ἡ Β△ ἐννέα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ △△ ἑπτά . Ἐπεὶ οὖν δέδεικται οἵων ἡ Β△ δεκαέξ , τοιούτων ἡ μὲν Β Α ἑνός , ἡ δὲ Α△ τριῶν , ἡ δὲ △△ ἑπτά , καὶ λοιπὴ ἡ Λ △ ἐστὶ πέντε . Τέμνεται ἄρα ἡ Β△ ὑπὸ τῶν παραλλήλων εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς περισσῶν ἀριθμῶν λόχους ἑνὸς λεγομένου τοῦ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ τμήματος . Δῆλον οὖν ἐστιν ἐκ τῆς καταγραφῆς ὅτι αἱ καταγόμεναι ὑπὸ τῶν διαμέτρων εἰς τοὺς ἀπὸ μονάδος ἑξῆς κειμένους ἀριθμοὺς τέμνονται . Οἵου γάρ ἐστιν ἑνὸς ἡ Τ Α , τοιούτων ἐστὶ δύο ἡ ΕΛ , τριῶν δὲ ἡ Π △ τεσσάρων δὲ ἡ Α△ · παράλληλοι γὰρ οὖσαι πᾶσαι εἰς ἴσα τέμνουσιν ἀλλήλας . Ὠνομάσθη δὲ ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους τὸ ΑΠΕΤΒΧΖϚΓ σχῆμα γνωρίμως ἐγγραφόμενον .
Lemmas: Τοῦ δεύτερος θεώρημα προλέγω τις δηλόω πῶς δυνατός ἐν ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή σχῆμα γνώριμος ἐγγράφω , καί φημί οὗτος δείκνυμι ἐν ὁ τάξις . Ἐπειδή οὖν ἀσαφής εἰμί ὁ λέγω , ἀναγκαῖος λέγω βραχύς περί αὐτός ἐκ ὁ Απολλωνίου κωνικός εὑρίσκω . εἰμί σχῆμα περιέχω ὑπό παραβολή ὁ ΑΒΓ καί εὐθεῖα ὁ ΑΓ , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ Β△ · φανερός δή ὅτι κορυφή εἰμί ὁ τμῆμα ὁ Β σημεῖον · κορυφή γάρ καλέω ὁ γραμμή ὁ Ἀπολλώνιος ὁ πρός ὁ γραμμή πέρας ὁ διάμετρος . ἐάν δή ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΓ , εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ΑΓ κάθετος ἄγω · οὐ γάρ πάντως ἄξων εἰμί ὁ Β△ . ἑός δή λαμβάνω ὁ κορυφή ὁ ΑΒ , ΒΓ τμῆμα ὁ Ε , Ζ διά αὐτός παράλληλος ἄγω ὁ Β△ , ὡς ὁ ΕΗΘ , ΖϚΚ , εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ τμῆμα · δείκνυμι γάρ ἐπί ὁ παραβολή ὅτι πᾶς ὁ παρά ὁ διάμετρος ἄγω διάμετρος εἰμί ὁ τομή . εἰμί δή ὁ Ε , Ζ κορυφή ὁ τμῆμα καί ὁ διά ὁ Ε , Ζ ἐφάπτω παράλληλος ὁ ΑΒ , ΒΓ · εἰμί δή καί ὁ ΕΛΖ παρά ὁ ΓΑ , ἐπεί ὁ ΕΘ , ΖΚ παράλληλος εἰμί καί ἴσος διάμετρος εἰμί ὁ ἴσος τμῆμα καί ἐφαρμόζω ἀλλήλων , ὡς ἐν ὁ ΣΤ΄ ὁ κωνικός δείκνυμι . καί ἐπεί ὁ ΕΗΘ παράλληλος εἰμί ὁ Β△ , εἰμί ὡς ὁ ΒΗ πρός ΗΑ , ὁ △Θ πρός ΘΑ . Ἴδη δέ ὁ ΗΒ ὁ ΑΗ · δίχα γάρ αὐτός τέμνω ὁ ΕΗ διάμετρος παράλληλος εἰμί ὁ ἐφάπτω ἴσος ἄρα καί ὁ △Θ ὁ ΘΑ . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί ὁ △Κ ὁ ΚΓ εἰμί ἴσος . Ἴσος δέ ὅλος ὁ Α△ ὁ △Γ · ἴσος ἄρα καί ὁ △Θ ὁ △Κ καί διά οὗτος καί ὁ ΕΛ ὁ ΛΖ . Ὥστος ἀληθῶς λέγω ὅτι ὁ ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἐπιζεύγνυμι παράλληλος εἰμί ὁ βάσις ὁ τμῆμα καί δίχα διαιρέω ὑπό ὁ ὁ τμῆμα διάμετρος . ἐπιζεύγνυμι δή καί ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ καί δίχα τέμνω κατά ὁ Μ , Ν , Ξ , ὁ σημεῖον , καί ἄγω διά ὁ Μ , Ν , Ξ , ὁ παρά ὁ Β△ ὁ ΠΜΡΣ , ΤΝ , Ω , ϚΟϥϠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΠ , ΠΕ , ΕΤ , ΤΒ , ΒΧ , ΧΖ , ΖϚ , ϚΓ καί ὁ Τ ΑΧ καί Π Β Γ △ Ε ϛϚʹ · φανερός δή ἐκ ὁ προδείκνυμι ὅτι ὁ ΤΧ καί ὁ ΕΖ καί ὁ πϛʹ παράλληλος εἰμί ὁ ΑΓ , καί ὅτι ἴσος ὁ Τ Α Τά ΑΧ καί ὁ ΕΛ ὁ ΛΖ καί ὁ Π △ ὁ △Ϛ . λέγω οὖν ὅτι τέμνω ὁ Β△ εἰς ὁ ἑξῆς περισσός ἀριθμός , τουτέστι οἷος εἰμί εἷς ὁ Β Α , τοιοῦτος τρεῖς ὁ ΑΛ καί ὁ Λ △ πέντε καί ὁ △△ ἑπτά . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΒ , καί παράλληλος ὁ ΕΘ ὁ Β△ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΑΘ ὁ Θ△ ὁ Α△ ἄρα ὁ △Θ διπλόος εἰμί ὥστε καί ὁ ΕΛ · ὁ ἀπό ὁ Α△ ἄρα τετραπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΕΛ . ὡς δέ ὁ ἀπό Α△ πρός ὁ ἀπό ΕΛ , οὕτως δείκνυμι ὁ Β△ πρός ΒΛ · τετραπλάσιος ἄρα καί ὁ △Β ὁ ΒΛ . τριπλόος ἄρα ὁ △Λ ὁ ΛΒ · οἷος ἄρα εἰμί εἷς ὁ ΛΒ , τοιοῦτος τρεῖς εἰμί ὁ Λ△ . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί οἷος ὁ ΛΒ τέσσαρες , ὁ Λ△ δώδεκα . καί ἐπεί ἴσος ὁ ΕΝ ὁ ΝΒ καί ὁ Ε Ζ ὁ ΖΛ καί ὁ ΘΦ ὁ Φ△ διπλάσιος εἰμί ὁ ΕΛ ὁ Λ Ζ , τουτέστι ὁ Τ Α · τετραπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ΕΛ ὁ ἀπό Τ Α . τετραπλάσιος ἄρα καί ὁ ΛΒ ὁ Β Α · ὥστε τριπλάσιος ὁ Λ Α ὁ ΑΒ · οἷος ἄρα εἰμί ὁ ΛΒ τέσσαρες , τοιοῦτος ὁ μέν Β Α εἷς , ὁ δέ ΑΛ τρεῖς , ὁ δέ Λ△ δώδεκα . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΜ ὁ ΜΕ καί ὁ ΑΡ Τά ΡΗ καί ὁ ΑΣ ὁ ΣΘ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΑΣ , ΣΘ , ΘΦ , Φ△ · οἷος ἄρα εἰμί ὁ Α△ τέσσαρες , τοιοῦτος ὁ Σ△ τρεῖς , τουτέστι ὁ Π △ . οἷος ἄρα ὁ ἀπό Α△ δεκαέξ , τοιοῦτος ὁ ἀπό Π △ ἐννέα · καί οἷος ἄρα ὁ △Β δεκαέξ , ὁ Β△ ἐννέα · καί λοιπός ἄρα ὁ △△ ἑπτά . ἐπεί οὖν δείκνυμι οἷος ὁ Β△ δεκαέξ , τοιοῦτος ὁ μέν Β Α εἷς , ὁ δέ Α△ τρεῖς , ὁ δέ △△ ἑπτά , καί λοιπός ὁ Λ △ εἰμί πέντε . τέμνω ἄρα ὁ Β△ ὑπό ὁ παράλληλος εἰς ὁ ὁ ἑξῆς περισσός ἀριθμός λόχος εἷς λέγω ὁ πρός ὁ κορυφή ὁ τμῆμα . δῆλος οὖν εἰμί ἐκ ὁ καταγραφή ὅτι ὁ κατάγω ὑπό ὁ διάμετρος εἰς ὁ ἀπό μόνος ἑξῆς κεῖμαι ἀριθμός τέμνω . οἷος γάρ εἰμί εἷς ὁ Τ Α , τοιοῦτος εἰμί δύο ὁ ΕΛ , τρεῖς δέ ὁ Π △ τέσσαρες δέ ὁ Α△ · παράλληλος γάρ εἰμί πᾶς εἰς ἴσος τέμνω ἀλλήλων . Ὠνομάζομαι δέ ὑπό Ἀρχιμήδης ὁ ΑΒ σχῆμα γνώριμος ἐγγράφω .