eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 8
Ἤχθω γὰρ ἡ ΗΖ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου καὶ παράλληλος οὖσα τῇ ΑΓ δίχα τμηθείσης τῆς ΑΒΓ περιφερείας κατὰ τὸ Β Ὅτι γὰρ ἡ οὕτως ἀγομένη παράλληλος γίνεται τῇ ΑΓ , δειχθήσεται ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Θ ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΘΑ , Θ △ , ΘΓ . Ἐπεὸ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α △ τῇ △Γ , καὶ κοινὴ ἡ △Θ , δύο δυσὶν ἴσαι . Ἀλλὰ καὶ βάσις ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΘΓ · καὶ γωνία ἄρα γωνίᾳ ἐστὶν ἴση . Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΗΒ △ , △ΒΖ γωνίαι ὀρθαί · ἀπὸ γὰρ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΘΒ · ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ △ΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ △ΖΒ ἐστὶν ἴση . Καὶ διὰ τοῦτο ἡ Η △ τῇ △Ζ ἴση ἐστίν ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ . Περιγράφοντες δὴ πολύγωνα περὶ τὸ τμῆμα ὁμοίως δίχα τεμνομένων τῶν περιλειπομένων περιφερειῶν καὶ ἀγομένων ἐφαπτομένων λείψομέν τινα ἀποτμήματα ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου | Ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγραφομένων δὲδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει ὅτι τὰ ἐγγραφόμενα τρίγωνα εἰς τὰ τμήματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ᾿ ἑαυτὰ τμημάτων , καὶ διὰ τοῦτο δυνατὸν ἦν τέμνοντας τὰς περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντας εὐθείας καταλείπειν τινὰ ἀποτμήματα ἐλάσσονα τοῦ δοθέντος χωρίου ἐπὶ δὲ τῆς περιγραφῆς οὐκέτι τοῦτο δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει . Ἐπεὶ οὖν ἐν τῷ προκειμένῳ τοῦτό φησιν , ὃ καὶ ἔστιν αὐτὸ συλλογίσασθαι διὰ τοῦ Ϛ΄ θεωρήματος , δεικτέον ὅτι ἡ ἐφαπτομένη ἀφαιρεῖ τρίγωνον μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ περιλείμματος , οἷον ὡς ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὅτι τὸ Η △Ζ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ περιλείμματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν Α △ , △Γ καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας . Τῶν γὰρ αὐτῶν ἐπεζευγμένων , ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ △ΒΖ , μείζων ἐστὶν ἡ △Ζ τῆς ΒΖ . δὲ ΖΒ τῇ ΖΓ ἴση · ἐφάπτεται γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν καὶ ἡ △Ζ ἄρα τῆς ΖΓ μείζων . Ὥστε καὶ τὸ △ΒΖ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΒΖΓ τριγώνου ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν · πολλῷ ἄρα τοῦ ΒΖΓ περιλείμματος μεῖζόν ἐστιν . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ △ΒΗ τοῦ ΒΗΑ μεῖζον · ὅλον ἄρα τὸ △ΖΗ μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ Α △Γ περιλείμματος .
Lemmas: ἄγω γάρ ὁ ΗΖ ἐφάπτω ὁ κύκλος καί παράλληλος εἰμί ὁ ΑΓ δίχα τέμνω ὁ ΑΒΓ περιφέρεια κατά ὁ Β ὅτι2 γάρ ὁ οὕτως ἄγω παράλληλος γίγνομαι ὁ ΑΓ , δείκνυμι ἀπό ὁ κέντρον ὁ Θ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΑ , Θ △ , ΘΓ . ἕπω γάρ ἴσος εἰμί ὁ Α △ ὁ △Γ , καί κοινός ὁ △Θ , δύο δύο Ἴσαι . ἀλλά καί βάσις ὁ ΑΘ βάσις ὁ ΘΓ · καί γωνία ἄρα γωνία εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΗΒ △ , △ΒΖ γωνία ὀρθός · ἀπό γάρ ὁ κέντρον ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΒ · ὥστε καί λοιπός ὁ ὑπό ΒΗ λοιπός ὁ ὑπό △ΖΒ εἰμί ἴσος . καί διά οὗτος ὁ ὁ △ ὁ △Ζ ἴσος εἰμί ὥστε παράλληλος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΑΓ . περιγράφω δή πολύγωνος περί ὁ τμῆμα ὁμοίως δίχα τέμνω ὁ περιλείπομαι περιφέρεια καί ἄγω ἐφάπτω λείπω τις ἀπότμημα μικρός ὁ Θ χωρίον | ἐπί μέν ὁ ἐγγράφω δείκνυμι ἐν ὁ στοιχείωσις ὅτι ὁ ἐγγράφω τρίγωνος εἰς ὁ τμῆμα μέγας εἰμί ἢ ὁ ἥμισυς ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα , καί διά οὗτος δυνατός εἰμί τέμνω ὁ περιφέρεια δίχα καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς καταλείπω τις ἀπότμημα μικρός ὁ δίδωμι χωρίον ἐπί δέ ὁ περιγραφή οὐκέτι οὗτος δείκνυμι ἐν ὁ στοιχείωσις . ἐπεί οὖν ἐν ὁ πρόκειμαι οὗτος φημί , ὅς καί εἰμί αὐτός συλλογίζομαι διά ὁ ΣΤ΄ θεώρημα , δεικτέος ὅτι ὁ ἐφάπτω ἀφαιρέω τρίγωνος μείζων ἢ ὁ ἥμισυς ὁ κατά ἑαυτοῦ περίλειμμα , οἷος ὡς ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ὅτι ὁ ὁ △Ζ τρίγωνος μέγας εἰμί ἢ ὁ ἥμισυς ὁ περίλειμμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ Α △ , △Γ καί ὁ ΑΒΓ περιφέρεια . ὁ γάρ αὐτός ἐπιζεύγνυμι , ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό △ΒΖ , μείζων εἰμί ὁ △Ζ ὁ ΒΖ . δέ ΖΒ ὁ ΖΓ ἴσος · ἐφάπτω γάρ ἑκάτερος αὐτός καί ὁ △Ζ ἄρα ὁ ΖΓ μείζων . ὥστε καί ὁ △ΒΖ τρίγωνος μέγας εἰμί ὁ ΒΖΓ τρίγωνος ὑπό γάρ ὁ αὐτός ὕψος εἰμί · πολύς ἄρα ὁ ΒΖΓ περίλειμμα μέγας εἰμί . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΗ ὁ ΒΗΑ μείζων · ὅλος ἄρα ὁ ΖΗ μέγας εἰμί ἢ ὁ ἥμισυς ὁ Α △Γ περίλειμμα .