eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 46
Ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ διπλασίονα τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ Α△ , τουτέστιν ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△ | Ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετος ἦκται ἡ ΑΖ , τῶν πρὸς τῇ καθέτῳ τριγώνων ὁμοίων ὄντων ἐστὶν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΑ , ἡ ΑΒ πρὸς Β△ . Καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης , ὡς ἀνωτέρω δέδεικται · ὡς ἄρα ἡ ΖΒ πρὸς Β△ , τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Β△ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς △Ζ , οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α · ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△ . Συναχθείη δ᾿ ἂν τὸ αὐτὸ καὶ ἄλλως οὕτως · ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΒ△ πρὸς τὸ ὑπὸ Β△Ζ τῆς Β△ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs , καὶ ἔστι τῷ μὲν ὑπὸ △ΒΖ ἴσον τὸ ἀπὸ ΒΑ , τῷ δὲ ὑπὸ Β△Ζ ἴσον τὸ ἀπὸ △Α , ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ καθόλου γάρ , ἐὰν ὦσιν δύο μεγέθη ἄνισα , καὶ προστεθῇ αὐτοῖς ἴσα , τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συντεθὲν πρὸς τὸ συντεθέν . Ἐστωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ , Γ△ , καὶ προσκείσθωσαν αὐταῖς ἴσαι αἱ ΒΕ , △Ζ . Λέγω ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς Γ△ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ . Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς Γ△ , ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ△ πρὸς τὴν ΒΕ , τουτέστι πρὸς △Ζ ὥστε καὶ συνθέντι ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΖ πρὸς △Ζ διὰ τὰ προδεδειγμένα . Ἔλασσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΚ | Ἐὰν γὰρ ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι συνεχεῖς ὡς αἱ A , Β , Γ , ὥστε τὴν Α πρὸς τὴν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν Β πρὸς τὴν Γ , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν A , Γ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς μέσης τῆς Β . Ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β , τὴν Β πρὸς ἄλλγν τινα , ἔσται πρὸς μείζονα τῆς Γ , εἴπερ δεῖ ἐλαττῶσαι τὸν τῆς Β πρὸς Γ λόγον . Καὶ ἔσται τὸ ὑπὸ τῆς Α καὶ τῆς μείζονος τῆς Γ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Β · ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν A , Γ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Β . Τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ | Ὡς γὰρ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ , τὸ δὲ ὑπὸ ΘΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΚ ἔλασσον τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλασσον . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ Ε△ , ἔλασσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΖ△ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΕ△ | Τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ ΒΕ△ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Ε△ , τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖ△ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ αὐτῷ , Καὶ δῆλον ὅτι , ὅσῳ τῆς διχοτομίας ἀφέστηκεν τὸ Z μείζονι , ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἴσων μετὰ γὰρ μείζονος τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ τῶν ἴσων , Ὥστε ἡ εὐθεῖα κἂν εἰς ἄνισα τέμνηται κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον , τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν ἕγγιον τῆς διχοτομίας μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἀπωτέρω τμημάτων . Ἡ ΖΒ ἄρα πρὸς ΒΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε△ πρὸς △Ζ | Καθόλου γάρ , ἐὰν τέσσαρες ὅροι ὦσιν , ὡς οἱ Α , Β , Γ , △Ε , καὶ ᾖ τὸ ὑπὸ τῶν Α , △Ε ἔλασσον τοῦ ὑπὸ Β , Γ , ὁ Α πρὸς τὸν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς △Ε . Ἔστω γὰρ τῷ ὑπὸ τῶν Β , Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Α , ΖΕ · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Γ πρὸς τὸν ΖΕ . Ὁ δὲ Γ πρὸς τὸν ΖΕ ἐλάσσονα λόχον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Ε△ · καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς △Ε . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ , τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ Ἐπεὶ γὰρ τῷ ὑπὸ ΘΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΝ , αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν , ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΝ , ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ , ὡς δέδεικται ἀνωτέρω . Πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΝ , ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ , συνθέντι ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΒ , ἡ ΚΝ πρὸς ΚΒ · ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΚ , ἡ Νβ πρὸς ΒΚ καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ , οὕτως ἐδείχθη ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ . Τὸ δὲ ἀπὸ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ Πάλιν γὰρ δύο ἀνίσοις ταῖς ΘΖ , ΖΚ πρόσκειται ἡ ΝΖ , καὶ διὰ τὸ ἀνωτέρω εἰρημένον ἡ ΘΖ πρὸς ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΝ πρὸς ΝΚ ὥστε καὶ τὰ διπλάσια . Τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ , τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ , τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΒΕ , τουτέστιν ἡ ΚΖ πρὸς ΖΗ . Ἡ ἄρα ΘΖ πρὸς ΖΗ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἡμιόλιον τοῦ τῆς ΚΖ πρὸς ΖΗ Νοείσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι εὐθεῖαι , ὡς αἱ ΑΒ , Γ , △ , ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν πρὸς τὴν △ . Λέγω ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς μείζονα ἢ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν △ . Εἰλήφθω γὰρ τῶν Γ , △ μέση ἀνάλογον ἡ Ε . Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν △ , ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς Γ , ὁ δὲ τῆς πρὸς τὴν △ διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς πρὸς Ε , καὶ ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ε . Γεγονέτω οὖν ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Γ , ἡ Γ πρὸς ΒΖ . Καὶ ἐπεὶ τέσσαρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΒΖ , Γ , Ε , △ , ἡ ΒΖ ἄρα πρὸς △ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς Γ , τουτέστιν ἡ πρὸς Ε . Ἔχει δὲ καὶ ἡ Γ πρὸς △ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς Γ πρὸς Ε · ἡ ἄρα ΒΖ πρὸς △ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς △ · ὥστε ἡ ΑΒ πρὸς μείζονα ἢ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ τῆς Γ πρὸς △ .
Lemmas: ὁ ΘΖ πρός ΖΗ μικρός λόγος ἔχω ἢ διπλασίων ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ΒΑ πρός ὁ ἀπό Α△ , τουτέστιν ὁ ΒΖ πρός Ζ△ | ἐπεί γάρ ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνος ἀπό ὁ ὀρθός κάθετος ἄγω ὁ αζʹ , ὁ πρός ὁ κάθετος τρίγωνος ὅμοιος εἰμί εἰμί ὡς ὁ ΖΒ πρός ΒΑ , ὁ ΑΒ πρός Β△ . καί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο καί ὁ ἀπό ὁ δύο πρός ὁ ἀπό ὁ τρίτος , ὡς ἀνωτέρω δείκνυμι · ὡς ἄρα ὁ ΖΒ πρός Β△ , ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό Β△ . ἀλλά ὡς ὁ ΒΔ πρός △Ζ , οὕτως ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Α · ὡς γάρ ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο καί διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ἀπό ΒΑ πρός ὁ ἀπό △Α , οὕτως ὁ ΒΖ πρός Ζ△ . συνάγω δέ εἄν ὁ αὐτός καί ἄλλως οὕτως · ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΒΖ πρός Ζ△ , οὕτως ὁ ὑπό ΖΒ△ πρός ὁ ὑπό Β△Ζ ὁ Β△ κοινός ὕψος λαμβάνω , καί εἰμί ὁ μέν ὑπό △ΒΖ ἴσος ὁ ἀπό ΒΑ , ὁ δέ ὑπό Β△Ζ ἴσος ὁ ἀπό △Α , ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΒΑ πρός ὁ ἀπό △Α , οὕτως ὁ ΒΖ πρός Ζ△ . καί ἐπεί ὁ ΘΖ πρός ΖΚ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΘΒ πρός ΒΚ καθόλου γάρ , ἐάν εἰμί δύο μέγεθος ἄνισος , καί προστίθημι αὐτός ἴσος , ὁ μείζων πρός ὁ μικρός μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ συντίθημι πρός ὁ συντίθημι . εἰμί γάρ δύο εὐθύς ἄνισος ὁ ΑΒ , Γ△ , καί πρόσκειμαι αὐτός Ἴσαι ὁ ΒΕ , △Ζ . λέγω ὅτι ὁ ΑΒ πρός Γ△ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΑΕ πρός ΓΖ . ἐπεί γάρ μείζων εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ△ , ὁ ΑΒ ἄρα πρός ΒΕ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Γ△ πρός ὁ ΒΕ , τουτέστι πρός △Ζ ὥστε καί συντίθημι ὁ ΑΕ πρός ΕΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΓΖ πρός △Ζ διά ὁ προδείκνυμι . ἔλασσον ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΘΖΗ ὁ ἀπό ΖΚ | ἐάν γάρ εἰμί τρεῖς εὐθύς συνεχής ὡς ὁ A , Β , Γ , ὥστε ὁ Α πρός ὁ Β μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ὁ A , Γ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέσος ὁ Β . ἐάν γάρ ποιέω ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Β πρός ἄλγος τις , εἰμί πρός μείζων ὁ Γ , εἴπερ δεῖ ἐλασσόω ὁ ὁ Β πρός Γ λόγος . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α καί ὁ μείζων ὁ Γ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Β · ὥστε ὁ ὑπό ὁ A , Γ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β . ὁ ἄρα ὑπό ΘΖΗ πρός ὁ ἀπό ΖΗ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό ΚΖ πρός ὁ ἀπό ΖΗ | ὡς γάρ ὁ ΘΖ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ὑπό ΘΖΗ πρός ὁ ἀπό ΖΗ , ὁ δέ ὑπό ΘΖΗ ὁ ἀπό ΖΚ μικρός ὁ δέ μείζων πρός ὁ αὐτός μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ μικρός . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ Ε△ , μικρός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΖ△ ὁ ὑπό ὁ ΕΒ | ὁ μέν γάρ ὑπό ΕΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Ε△ , ὁ δέ ὑπό ΒΖ△ μετά ὁ ἀπό ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ αὐτός , καί δῆλος ὅτι , ὅσος ὁ διχοτομία ἀφίστημι ὁ Z μείζων , ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἴσος μετά γάρ μείζων ὁ ἀπό ὁ μεταξύ ὁ τομή ἴσος γίγνομαι ὁ ὑπό ὁ ἴσος , ὥστε ὁ εὐθύς κἀν εἰς ἄνισος τέμνω κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον , ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ ἐγγύς ὁ διχοτομία μέγας εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἀπωτέρω τμῆμα . ὁ ΖΒ ἄρα πρός ΒΕ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ε△ πρός △Ζ | Κάθολος γάρ , ἐάν τέσσαρες ὅρος εἰμί , ὡς ὁ Α , Β , Γ , △Ε , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α , △Ε μικρός ὁ ὑπό Β , Γ , ὁ Α πρός ὁ Β μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Γ πρός △Ε . ἔστω γάρ ὁ ὑπό ὁ Β , Γ ἴσος ὁ ὑπό ὁ Α , ΖΕ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Γ πρός ὁ ΖΕ . ὁ δέ Γ πρός ὁ ΖΕ μικρός λόχος ἔχω ἤ2 πρός ὁ Ε△ · καί ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Γ πρός △Ε . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ ΘΒ πρός ΒΚ , ὁ ἀπό ΘΝ πρός ὁ ἀπό ΝΚ ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ΘΒΚ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΝ , ὁ τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος εἰμί , ὡς ὁ ΘΒ πρός ΒΝ , ὁ ΝΒ πρός ΒΚ καί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , ὁ ΘΒ πρός ΒΚ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ δύο πρός ὁ ἀπό ὁ τρίτος , τουτέστι ὁ ἀπό ΒΝ πρός ὁ ἀπό ΒΚ , ὡς δείκνυμι ἀνωτέρω . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΘΒ πρός ΒΝ , ὁ ΝΒ πρός ΒΚ , συντίθημι ὡς ὁ ΘΝ πρός ΝΒ , ὁ ΚΝ πρός ΚΒ · ἐναλλάξ ὡς ὁ ΘΝ πρός ΝΚ , ὁ νβʹ πρός ΒΚ καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΘΝ πρός ὁ ἀπό ΝΚ , οὕτως ὁ ἀπό ΝΒ πρός ὁ ἀπό ΒΚ . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΝΒ πρός ὁ ἀπό ΒΚ , οὕτως δείκνυμι ὁ ΘΒ πρός ΒΚ · καί ὡς ἄρα ὁ ΘΒ πρός ΒΚ , οὕτως ὁ ἀπό ΘΝ πρός ὁ ἀπό ΝΚ . ὁ δέ ἀπό ΘΖ πρός ὁ ἀπό ΖΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό ΘΝ πρός ὁ ἀπό ΝΚ πάλιν γάρ δύο ἄνισος ὁ ΘΖ , ΖΚ πρόσκειμαι ὁ ΝΖ , καί διά ὁ ἀνωτέρω εἴρω ὁ ΘΖ πρός ΖΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΘΝ πρός ΝΚ ὥστε καί ὁ διπλάσιος . ὁ ἄρα ἀπό ΘΖ πρός ὁ ἀπό ΖΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό ΘΝ πρός ὁ ἀπό ΝΚ , τουτέστιν ὁ ΘΒ πρός ΒΚ , τουτέστιν ὁ ΘΒ πρός ΒΕ , τουτέστιν ὁ ΚΖ πρός ΖΗ . ὁ ἄρα ΘΖ πρός ΖΗ μείζων λόγος ἔχω ἢ ἡμιόλιος ὁ ὁ ΚΖ πρός ΖΗ νοέω γάρ Χωρὶς κεῖμαι εὐθύς , ὡς ὁ ΑΒ , Γ , △ , ὥστε ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό Γ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ πρός ὁ △ . λέγω ὅτι ὁ ΑΒ πρός μείζων ἢ ἡμιόλιος λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ πρός ὁ △ . λαμβάνω γάρ ὁ Γ , △ μέσος ἀνάλογος ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό Γ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Γ πρός ὁ △ , ἀλλά ὁ μέν ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό Γ λόγος διπλάσιος εἰμί ὁ ὁ ΑΒ πρός Γ , ὁ δέ ὁ πρός ὁ △ διπλάσιος εἰμί ὁ ὁ πρός Ε , καί ὁ ΑΒ ἄρα πρός μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Γ πρός Ε . γίγνομαι οὖν ὡς ὁ Ε πρός ὁ Γ , ὁ Γ πρός ΒΖ . καί ἐπεί τέσσαρες εὐθύς ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ὁ ΒΖ , Γ , Ε , △ , ὁ ΒΖ ἄρα πρός △ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΒΖ πρός Γ , τουτέστιν ὁ πρός Ε . ἔχις δέ καί ὁ Γ πρός △ διπλασίων λόγος ὁ ὁ Γ πρός Ε · ὁ ἄρα ΒΖ πρός △ ἡμιόλιος λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ πρός △ · ὥστε ὁ ΑΒ πρός μείζων ἢ ἡμιόλιος λόγος ἔχω ὁ ὁ Γ πρός △ .