eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 14
Ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν λόγον , ὃν ἔχει ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΗΛ , ΓΚ , ὀρθῶν γινομένων τῶν πρὸς τοῖς Κ , Λ καὶ παραλλήλου τῆς ΑΚ τῇ ΛΕ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΗΛΕ τρίγωνον τῷ ΓΚΑ τριγώνῳ , καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΗΛ πρὸς ΛΕ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΚΑ . Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΗΛ πρὸς ΛΕ , οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ περὶ τὸ περιγεγραμμένον κύκλου διάμετρον , ὡς δὲ ἡ ΓΚ πρὸς ΚΑ , οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ ἐγγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου διάμετρον · ὡς ἄρα πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου διάμετρον , οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ ἐγγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου διάμετρον . Ὡς δὲ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν , οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν , ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΛ , οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΚ · καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι πρὸς τὴν ΕΛ , οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι πρὸς τὴν ΑΚ . Ἀλλ᾿ ὡς πᾶσαι πρὸς τὴν πλευρὰν τὴν ΕΛ , οὕτως τὸ ὑπὸ πασῶν καὶ τῆς ΕΛ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ , πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ τῆς ΕΛ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης , ὡς δὲ πᾶσαι πρὸς τὴν ΑΚ , οὕτως τὸ ὑπὸ πασῶν καὶ τῆς ΑΚ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν , πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ κοινοῦ ὕψους πάλιν λαμβανομένης τῆς ΑΚ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΚ . Καὶ ὡς ἄρα αὐτὴ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὴν ΕΛ , οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν πρὸς τὴν ΑΚ . Ἐναλλὰξ ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν , οὕτως ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ , καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια , ὡς ἡ διάμετρος τοῦ Μ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν , ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ .
Lemmas: ἔχις δέ καί ὁ διάμετρος ὁ Μ κύκλος πρός ὁ διάμετρος ὁ Ν λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΕΛ πρός ΑΚ | ἐάν γάρ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΛ , ΓΚ , ὀρθός γίγνομαι ὁ πρός ὁ Κ , Λ καί παράλληλος ὁ ΑΚ ὁ ΛΕ ἰσογώνιος γίγνομαι ὁ Ἧλος τρίγωνος ὁ ΚΑΓ τρίγωνος , καί διά οὗτος εἰμί ὡς ὁ ΗΛ πρός ΛΕ , οὕτως ὁ ΓΚ πρός ΚΑ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΗΛ πρός ΛΕ , οὕτως πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ὁ περιγράφω γωνία πρός ὁ ὁ περί ὁ περιγράφω κύκλος διάμετρος , ὡς δέ ὁ ΓΚ πρός ΚΑ , οὕτως πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ὁ ἐγγράφω γωνία πρός ὁ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος διάμετρος · ὡς ἄρα πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ὁ περιγράφω γωνία πρός ὁ ὁ περί αὐτός κύκλος διάμετρος , οὕτως πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ὁ ἐγγράφω γωνία πρός ὁ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος διάμετρος . ὡς δέ ὁ διάμετρος πρός ὁ πλευρά , οὕτως ὁ διάμετρος πρός ὁ πλευρά , ἐπεί καί ὡς ὁ ΗΕ πρός ΕΛ , οὕτως ὁ ΓΑ πρός ΑΚ · καί διά ἴσος ἄρα ὡς πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι πρός ὁ ΕΛ , οὕτως πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι πρός ὁ ΑΚ . ἀλλά ὡς πᾶς πρός ὁ πλευρά ὁ ΕΛ , οὕτως ὁ ὑπό πᾶς καί ὁ ΕΛ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ , πρός ὁ ἀπό ΕΛ ὁ ΕΛ κοινός ὕψος λαμβάνω , ὡς δέ πᾶς πρός ὁ ΑΚ , οὕτως ὁ ὑπό πᾶς καί ὁ ΑΚ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν , πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΚ κοινός ὕψος πάλιν λαμβάνω ὁ ΑΚ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ πρός ὁ ἀπό ΕΛ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν πρός ὁ ἀπό ΑΚ . καί ὡς ἄρα αὐτός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ πρός ὁ ΕΛ , οὕτως ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν πρός ὁ ΑΚ . ἐναλλάξ ὡς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν , οὕτως ὁ ΕΛ πρός ΑΚ , καί ὁ ἡγέομαι ὁ διπλάσιος , ὡς ὁ διάμετρος ὁ Μ πρός ὁ διάμετρος ὁ Ν , ὁ ΕΛ πρός ΑΚ .