eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 9
Νοείσθω δὴ εἰς τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον καὶ ἐγγεγραμμένον καὶ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένον ὅμοιον τῷ περὶ τὸν Β περγεγραμμένῳ | Ὅπως μὲν οὖν ἔστιν εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πολύγωνον ἐνγγράψαι ὅμοιον τῷ ἐν ἑτέρῳ ἐγγεγραμμένῳ δῆλον , εἴρηται δὲ καὶ Πάππῳ εἰς τὸ ὑπόμνημα τῶν Στοιχείων περὶ δὲ τὸν δοθέντα κύκλον πολύγωνον περιγράψαι ὅμοιον τῷ περὶ ἕτερον κύκλον περιγεγραμμένῳ οὐκέτι ὁμοίως ἔχομεν εἰρημένον · ὅπερ νῦν λεκτέον . Τῷ γὰρ εἰς τὸν Β κύκλον ἐγγεγραμμένῳ ὅμοιον εἰς τὸν Α ἐγγεγράφθω καὶ περὶ αὐτὸν τὸν Α ὅμοιον τῷ εἰς αὐτόν , ὡς ἐν τῷ γ΄ θεωρήματι · καὶ ἔσται ὅμοιον καὶ τῷ περὶ τὸν Β περιγεγραμμένῳ . Καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ εὐθύγραμμα τὰ περὶ τοὺς Α , Β κύκλους περιγεγραμμένα , τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον , ὅνπερ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει | Τὸ τοιοῦτον ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγεγραμμένων δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει , ἐπὶ δὲ τῶν περιγεγραμμένων οὐκέτι · δειχθήσεται δὲ οὕτως . Νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς τὰ περιγεγραμμένα καὶ ἐγγεγραμμένα εὐθύχραμμα καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν κύκλων ἐπεζευγμέναι αἱ ΚΕ , ΚΜ , ΛΘ , ΛΝ · φανερὸν δὴ ὅτι αἱ ΚΕ , ΛΘ ἐκ τῶν κέντρων εἰσὶ τῶν περὶ τὰ περιγεγραμμένα πολύγωνα κύκλων καὶ πρὸς ἀλλήλας εἰσὶ δυνάμει ὡς τὰ περιγεγραμμένα πολύγωνα . Καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΚΕΜ , ΛΘΝ ἡμίσειαί εἰσι τῶν ἐν τοῖς πολυγώνοις γωνιῶν , ὁμοίων ὄντων τῶν πολυγώνων δῆλον ὅτι καὶ αὐταὶ ἴσαι εἰσίν . Ἀλλὰ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Μ , Ν ὀρθαί · ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΕΜ , ΛΘΝ τρίγωνα , καὶ ἔσται ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΛΘ , ἡ KM πρὸς ΛΝ · ὥστε καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΛ , οὕτως τὰ περιγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΝ , οὕτως τὰ περιγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα . Τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον , ὅνπερ τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ τρίγωνον | Ἐπεὶ γὰρ τὰ περὶ τοὺς Α , Β κύκλους εὐθύγραμμα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει , τουτέστιν ἡ Τ △ πρὸς Η δυνάμει , τουτέστιν ἡ Τ △ πρὸς ΡΖ μήκει , τουτέστιν ὡς τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ , ἴσον δὲ τὸ ΚΤ △ τῷ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένῳ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΚΤ △ πρὸς τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον , οὕτως τὸ αὐτὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ τρίγωνον . Ἐναλλὰξ ἄρα ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ πρίσμα πρὸς τὸν κύλινδρον ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν Β κύκλον πυλύγωνον πρὸς τὸν Β κύκλον · ὅπερ ἄτοπον | Ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ πρίσματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου , οὕτως τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν Β κύκλον πρὸς ἄλλο τι , ἔσται πρὸς ἔλασσον τοῦ Β κύκλου , πρὸς μείζονα λόγον ἔχει τὸ ἐγγεγραμμένον ἤπερ πρὸς τὸν κύκλον , τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος πρὸς τὴν τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μείζονα λόχον ἔχει ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὸν κύκλον . Ἐδείχθη δὲ ἔχον καὶ ἐλάσσονα ὅπερ ἄτοπον .
Lemmas: νοέω δή εἰς ὁ Β κύκλος περιγράφω καί ἐγγράφω καί περί ὁ Α κύκλος περιγράφω ὅμοιος ὁ περί ὁ Β περιγράφω | ὅπως μέν οὖν εἰμί εἰς ὁ δίδωμι κύκλος πολύγωνος ἐγγράφω ὅμοιος ὁ ἐν ἕτερος ἐγγράφω δῆλος , εἴρω δέ καί Πάππος εἰς ὁ ὑπόμνημα ὁ στοιχεῖον περί δέ ὁ δίδωμι κύκλος πολύγωνος περιγράφω ὅμοιος ὁ περί ἕτερος κύκλος περιγράφω οὐκέτι ὁμοίως ἔχω εἴρω · ὅσπερ νῦν λεκτέος . ὁ γάρ εἰς ὁ Β κύκλος ἐγγράφω ὅμοιος εἰς ὁ Α ἐγγράφω καί περί αὐτός ὁ Α ὅμοιος ὁ εἰς αὐτός , ὡς ἐν ὁ Γ΄ θεώρημα · καί εἰμί ὅμοιος καί ὁ περί ὁ Β περιγράφω . καί ἐπεί ὁμοῖος εἰμί ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Α , Β κύκλος περιγράφω , ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅσπερ καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμις | ὁ τοιοῦτος ἐπί μέν ὁ ἐγγράφω δείκνυμι ἐν ὁ στοιχείωσις , ἐπί δέ ὁ περιγράφω οὐκέτι · δείκνυμι δέ οὕτως . νοέω γάρ Χωρὶς ὁ περιγράφω καί ἐγγράφω εὐθύχραμμα καί ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΕ , ΚΜ , ΛΘ , ΛΝ · φανερός δή ὅτι ὁ ΚΕ , ΛΘ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ περί ὁ περιγράφω πολύγωνος κύκλος καί πρός ἀλλήλων εἰμί δύναμις ὡς ὁ περιγράφω πολύγωνος . καί ἐπεί ὁ ὑπό Κεμ , ΛΘΝ ἥμισυς εἰμί ὁ ἐν ὁ πολύγωνος γωνία , ὅμοιος εἰμί ὁ πολύγωνος δῆλος ὅτι καί αὐτός Ἴσαι εἰμί . ἀλλά καί ὁ πρός ὁ Μ , Ν ὀρθός · ἰσογώνιος ἄρα ὁ Κεμ , ΛΘΝ τρίγωνος , καί εἰμί ὡς ὁ ΚΕ πρός ΛΘ , ὁ KM πρός ΛΝ · ὥστε καί ὁ ἀπό αὐτός . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΚΕ πρός ὁ ἀπό ΘΛ , οὕτως ὁ περιγράφω πρός ἀλλήλων καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΚΜ πρός ὁ ἀπό ΛΝ , οὕτως ὁ περιγράφω πρός ἀλλήλων . ὁ αὐτός ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΚΤ △ τρίγωνος πρός ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Β κύκλος , ὅσπερ ὁ ΚΤ △ τρίγωνος πρός ὁ ΖΡΛ τρίγωνος | ἐπεί γάρ ὁ περί ὁ Α , Β κύκλος εὐθύγραμμος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμις , τουτέστιν ὁ Τ △ πρός ὁ δύναμις , τουτέστιν ὁ Τ △ πρός ΡΖ μῆκος , τουτέστιν ὡς ὁ ΚΤ △ τρίγωνος πρός ὁ ΖΡΛ , ἴσος δέ ὁ ΚΤ △ ὁ περί ὁ Α κύκλος περιγράφω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΚΤ △ πρός ὁ περί ὁ Β κύκλος περιγράφω , οὕτως ὁ αὐτός ΚΤ △ τρίγωνος πρός ὁ ΖΡΛ τρίγωνος . ἐναλλάξ ἄρα μικρός λόγος ἔχω ὁ πρίσμα πρός ὁ κύλινδρος ἤ2 ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ Β κύκλος πυλύγωνον πρός ὁ Β κύκλος · ὅσπερ ἄτοπος | ἐάν ποιέω ὡς ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος , οὕτως ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ Β κύκλος πρός ἄλλος τίς , εἰμί πρός μικρός ὁ Β κύκλος , πρός μείζων λόγος ἔχω ὁ ἐγγράφω ἤ2 πρός ὁ κύκλος , τουτέστιν ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα πρός ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια μείζων λόχος ἔχω ἤ2 ὁ ἐγγράφω πρός ὁ κύκλος . δείκνυμι δέ ἔχω καί μικρός ὅσπερ ἄτοπος .