eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 49
Δῆλον δὲ ὅτι ἡ ΒΑ τῆς μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία δυνάμει , τῆς δὲ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων ἢ διπλασία Ἐπιζευχθείσης γὰρ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ κέντρον τῆς πρὸς τῷ κέντρῳ ἀμβλείας γινομένης ὑπὸ τῆς ΒΑ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν περιεχουσῶν ἴσων ὄντων ὥστε τοῦ ἑνὸς αὐτῶν , τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον . Πάλιν δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΒ ἴσου ὄντος τοῖς ἀπὸ ΑΚ , ΚΒ , καὶ μείζονος ὄντος τοῦ ἀπὸ ΑΚ τοῦ ἀπὸ ΚΒ , τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΑΚ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον . Ἔστω καὶ τῇ ΕΛ ἴση ἡ ΕΝ , καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ κῶνος ἔστω κορυφὴν ἔχων τὸ Ν σημεῖον . Ἴσος δὴ καὶ οὗτός ἐστι τῷ κατὰ τὴν ΘΕΖ περιφέρειαν ἡμισφαιρίῳ | Ἐπεὶ γὰρ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ , ὕψος δὲ τὴν ΛΕ , τοῦ μὲν κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι , τοῦ δὲ ἡμισφαιρίου ἡμιόλιος , τὸ ἡμισφαίριον διπλάσιόν ἐστι τοῦ αὐτοῦ κώνου . Ἔστιν δὲ καὶ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ κύκλον , ὕψος δὲ τὴν ΛΝ , διπλάσιος τοῦ αὐτοῦ κώνου καὶ τὸ ἡμισφαίριον ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον , ὕψος δὲ τὴν ΛΝ . Τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΑΡΓ μεῖζόν ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν ΑΚΓ , διότι τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν τῆς ἐλάσσονος τοῦ ἑτέρου μείζονα ἔχει | Εἴρηται γὰρ ἀνωτέρω ὅτι , ἐὰν εὐθεῖα τμηθῇ εἰς ἄνισα κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον , τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν κατὰ τὴν ἐγγυτέραν τῆς διχοτομίας τομὴν μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν κατὰ τὴν ἀπωτέρω . Ταὐτὸν δέ ἐστιν εἰπεῖν , διότι τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν τῆς ἐλάσσονος τοῦ ἑτέρου μείζονα ἔχει · ὅσῳ γὰρ ἐλάσσων ἐστί , τοσούτῳ πλέον ἀφέστηκεν ἡ τομὴ τῆς διχοτομίας . Τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΡ ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν ΑΚ , ΓΞ · ἥμισυ γάρ ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ ΒΓ , διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετον ἦχθαι τὴν ΒΚ καὶ τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοια εἶναι τῷ ὅλῳ γίνεται τὸ ὑπὸ ΓΑΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ · ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΓΑ καὶ ΑΚ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΞ , ΑΚ , ἴσον ἐστὶ τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ ΑΒ , τουτέστι τῷ ἀπὸ ΑΡ . Μεῖζον οὖν ἐστι καὶ τὸ συναμφότερον τοῦ συναμφοτέρου | Ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΚ , ΓΞ τῷ ἀπὸ ΑΡ , μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ ΑΡΓ τοῦ ὑπὸ ΑΚΓ , ἐὰν δὲ ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ , τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα , καὶ ἐκεῖνο μεῖζον , ὃ καὶ ἐξ ἀρχῆς μεῖζον , τῷ μὲν ὑπὸ ΑΡΓ προστεθέντος τοῦ ἀπὸ ΑΡ , τῷ δὲ ὑπὸ ΑΚΓ τοῦ ὑπὸ ΑΚ , ΓΞ , μεῖζον γίνεται τὸ ὑπὸ ΑΡΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΡ τοῦ ὑπὸ ΑΚΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΚ , ΓΞ . Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΡΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΡ ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ ΓΑΡ διὰ τὸ δεύτερον θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως , τὸ δὲ ὑπὸ ΑΚΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΚ , ΓΞ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΚ , ΚΞ διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ αὐτοῦ βιβλίου · ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΑΡ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΚΞ . Τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΞΚΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΚΓ | Ὑπόκειται γὰρ ὡς ἡ ΞΓ πρὸς ΓΚ , ἡ ΜΑ πρὸς ΑΚ · ὥστε καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΞΚ πρὸς ΚΓ , οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΑ . Καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΞΚΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΜΚΓ . Ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΞΚΑ μεῖζον ἦν τὸ ὑπὸ ΓΑΡ · καὶ τὸ ὑπὸ ΓΑΡ ἄρα μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΜΚΓ . Ὥστε μείζονα λόγον ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ Ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες εὐθεῖαί εἰσιν αἱ ΓΚ , ΚΜ , ΓΑ , ΑΡ , καὶ τὸ ὑπὸ πρώτης τῆς ΓΑ καὶ τετάρτης τῆς μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ δευτέρας τῆς ΜΚ καὶ τρίτης τῆς ΚΓ , ἡ πρώτη ἡ ΓΑ πρὸς δευτέραν τὴν ΜΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τρίτη ἡ ΚΓ πρὸς τετάρτην τὴν ΑΡ · καὶ ἐναλλὰξ ἡ ΓΑ πρὸς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ , τοῦτον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ | Ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΒΓ διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετον εἶναι τὴν ΒΚ γίνεται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ , καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ . Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ ὅμοιον γὰρ τὸ ΑΒΚ τῷ ΑΒΓ · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ πρὸς ΓΚ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ . Ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ · καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ · καὶ τῶν ἡχουμένων τὰ ἡμίση , τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ ΑΒ , ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΡ , πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἡμίσεα τῆς ΜΚ πρὸς τὴν ΑΡ , τουτέστιν ἡ ΜΚ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΡ . Ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΑΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΖΛ , ἐπειδὴ ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΕΖ ὑπόκειται ἴση , ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΛ δυνάμει διπλῆ · ἴση γὰρ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ · τῆς δὲ ΑΡ διπλασία ἡ ΝΛ , ἐπεὶ καὶ τῆς ΛΖ · ὥστε τὸ ἀπὸ ΖΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΡ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ ΛΝ . Μείζονα ἄρα λόγον ἔχει καὶ ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β∠ ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΝΛ . Ὥστε μείζων ἐστὶν ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον , κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον , τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β∠ κύκλον , κορυφὴν δὲ τὸ Μ σημεῖον | Ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ὡς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β∠ κύκλον , οὕτως τὴν ΚΜ πρὸς ἄλλην τινά , ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΛΝ , καὶ ἔσται ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον , ὕψος δὲ τὴν εὑρεθεῖσαν ἐλάσσονα εὐθεῖαν , ἴσος μὲν τῷ ΜΒ∠ διὰ τὸ ἀντιπεπονθέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν , ἐλάττων δὲ τοῦ ΝΘΖ διὰ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντας πρὸς ἀλλήλους εἶναι ὡς τὰ ὕψη . Δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ ἡμισφαίριον τὸ κατὰ τὴν ΕΖΘ περιφέρειαν μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος τοῦ κατὰ τὴν ΒΑ∠ περιφέρειαν . .
Lemmas: Δῆλος δέ ὅτι ὁ ΒΑ ὁ μέν ΑΚ μικρός εἰμί ἢ διπλάσιος δύναμις , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον μείζων ἢ διπλάσιος ἐπιζεύγνυμι γάρ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ κέντρον ὁ πρός ὁ κέντρον ἀμβλύς γίγνομαι ὑπό ὁ ΒΑ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ἀμβλύς περιέχω ἴσος εἰμί ὥστε ὁ εἷς αὐτός , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον , μέγας εἰμί ἢ διπλάσιος . πάλιν δέ ὁ ἀπό ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΑΚ , ΚΒ , καί μείζων εἰμί ὁ ἀπό ΑΚ ὁ ἀπό ΚΒ , ὁ ἀπό ΑΒ ὁ ἀπό ΑΚ ἐλαχύς εἰμί ἢ διπλάσιος . ἔστω καί ὁ ΕΛ ἴσος ὁ ΕΝ , καί ἀπό ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΖ κῶνος ἵστημι κορυφή ἔχω ὁ Ν σημεῖον . Ἴσος δή καί οὗτος εἰμί ὁ κατά ὁ ΘΕΖ περιφέρεια ἡμισφαίριον | ἐπεί γάρ ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΖ , ὕψος δέ ὁ ΛΕ , ὁ μέν κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός καί ὕψος ἴσος τριπλάσιος εἰμί , ὁ δέ ἡμισφαίριον ἡμιόλιος , ὁ ἡμισφαίριον διπλάσιος εἰμί ὁ αὐτός κῶνος . ἔρτις δέ καί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΖ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΛΝ , διπλάσιος ὁ αὐτός κῶνος καί ὁ ἡμισφαίριον ἄρα ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΘ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΛΝ . ὁ δέ περιέχω ὑπό ὁ ΑΡΓ μέγας εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΚΓ , διότι ὁ μικρός πλευρά ὁ μικρός ὁ ἕτερος μείζων ἔχω | ἔρομαι γάρ ἀνωτέρω ὅτι , ἐάν εὐθύς τέμνω εἰς ἄνισος κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον , ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ κατά ὁ ἐγγύς ὁ διχοτομία τομή μέγας εἰμί ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ κατά ὁ ἀπωτέρω . ταυτός δέ εἰμί εἶπον , διότι ὁ μικρός πλευρά ὁ μικρός ὁ ἕτερος μείζων ἔχω · ὅσος γάρ μικρός εἰμί , τοσοῦτος πλέω ἀφίστημι ὁ τομή ὁ διχοτομία . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΡ ἴσος εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΚ , ΓΞ · ἥμισυς γάρ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ | ἐάν γάρ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , διά ὁ ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνος ἀπό ὁ ὀρθός κάθετος ἄγω ὁ ΒΚ καί ὁ πρός ὁ κάθετος τρίγωνος ὅμοιος εἰμί ὁ ὅλος γίγνομαι ὁ ὑπό ΓΑΚ ἴσος ὁ ἀπό ΑΒ · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ἥμισυς ὁ ΓΑ καί ΑΚ , τουτέστι ὁ ὑπό ΓΞ , ΑΚ , ἴσος εἰμί ὁ ἥμισυς ὁ ἀπό ΑΒ , τουτέστι ὁ ἀπό ΑΡ . Μέγας οὖν εἰμί καί ὁ συναμφότεροι ὁ συναμφότεροι | ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΚ , ΓΞ ὁ ἀπό ΑΡ , μείζων δέ ὁ ὑπό ΑΡΓ ὁ ὑπό ΑΚΓ , ἐάν δέ ἄνισος ἴσος προστίθημι , ὁ ὅλος εἰμί ἄνισος , καί ἐκεῖνος μείζων , ὅς καί ἐκ ἀρχή μείζων , ὁ μέν ὑπό ΑΡΓ προστίθημι ὁ ἀπό ΑΡ , ὁ δέ ὑπό ΑΚΓ ὁ ὑπό ΑΚ , ΓΞ , μείζων γίγνομαι ὁ ὑπό ΑΡΓ μετά ὁ ἀπό ΑΡ ὁ ὑπό ΑΚΓ μετά ὁ ὑπό ΑΚ , ΓΞ . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΡΓ μετά ὁ ἀπό ΑΡ ἴσος γίγνομαι ὁ ὑπό ΓΑΡ διά ὁ δύο θεώρημα ὁ δύο βιβλίον ὁ στοιχείωσις , ὁ δέ ὑπό ΑΚΓ μετά ὁ ὑπό ΑΚ , ΓΞ ἴσος ὁ ὑπό ΑΚ , ΚΞ διά ὁ πρῶτος θεώρημα ὁ αὐτός βιβλίον · ὥστε ὁ ὑπό ΓΑΡ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΚΑ . ὁ δέ ὑπό ὁ ΞΚΑ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΜΚΓ | ὑπόκειμαι γάρ ὡς ὁ ΞΓ πρός ΓΚ , ὁ μή πρός ΑΚ · ὥστε καί συντίθημι ὡς ὁ ΞΚ πρός ΚΓ , οὕτως ὁ ΜΚ πρός ΚΑ . καί ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΞΚΑ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΜΚΓ . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΞΚΑ μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΓΑΡ · καί ὁ ὑπό ΓΑΡ ἄρα μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΜΚΓ . ὥστε μείζων λόγος ἔχω ὁ ΑΓ πρός ΓΚ ἤ2 ὁ ΜΚ πρός ΑΡ ἐπεί γάρ τέσσαρες εὐθύς εἰμί ὁ ΓΚ , ΚΜ , ΓΑ , ΑΡ , καί ὁ ὑπό πρῶτος ὁ ΓΑ καί τέταρτος ὁ μέγας εἰμί ὁ ὑπό δύο ὁ ΜΚ καί τρίτος ὁ ΚΓ , ὁ πρῶτος ὁ ΓΑ πρός δύο ὁ ΜΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ τρίτος ὁ ΚΓ πρός τέταρτος ὁ ΑΡ · καί ἐναλλάξ ὁ ΓΑ πρός ΚΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΜΚ πρός ΑΡ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΑΓ πρός ΓΚ , οὗτος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΚ | ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΓ διά ὁ ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνος ἀπό ὁ ὀρθός κάθετος εἰμί ὁ ΒΚ γίγνομαι ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , ὁ ΒΓ πρός ΓΚ , καί διά οὗτος ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , τουτέστιν ὁ ΑΓ πρός ΓΚ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΒ . ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΚ ὅμοιος γάρ ὁ ΑΒΚ ὁ ΑΒΓ · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ πρός ΓΚ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΚ . ὁ δέ ΑΓ πρός ΓΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΜΚ πρός ΑΡ · καί ὁ ἀπό ΑΒ ἄρα πρός ὁ ἀπό ΒΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΜΚ πρός ΑΡ · καί ὁ ηχουμην ὁ ἥμισυς , ὁ ἥμισυς ὁ ἀπό ΑΒ , ὅσπερ εἰμί ὁ ἀπό ΑΡ , πρός ὁ ἀπό ΒΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἥμισυς ὁ ΜΚ πρός ὁ ΑΡ , τουτέστιν ὁ ΜΚ πρός ὁ διπλάσιος ὁ ΑΡ . ἀλλά ὁ ἀπό ΑΡ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΖΛ , ἐπεί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΕΖ ὑπόκειμαι ἴσος , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΖΛ δύναμις διπλόος · ἴσος γάρ ὁ ΕΛ ὁ ΛΖ · ὁ δέ ΑΡ διπλάσιος ὁ ΝΛ , ἐπεί καί ὁ ΛΖ · ὥστε ὁ ἀπό ΖΛ πρός ὁ ἀπό ΒΚ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΜΚ πρός ὁ διπλάσιος ὁ ΑΡ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ΛΝ . μείζων ἄρα λόγος ἔχω καί ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΖ πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ Β∠ ἤ2 ὁ ΜΚ πρός ΝΛ . ὥστε μείζων εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΘ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον , ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ Β∠ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Μ σημεῖον | ἐάν γάρ ποιέω ὡς ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΘ κύκλος πρός ὁ περί διάμετρος ὁ Β∠ κύκλος , οὕτως ὁ ΚΜ πρός ἄλλος τις , εἰμί πρός μικρός ὁ ΛΝ , καί εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΘ κύκλος , ὕψος δέ ὁ εὑρίσκω μικρός εὐθύς , ἴσος μέν ὁ ΜΒ∠ διά ὁ ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , μικρός δέ ὁ ΝΘΖ διά ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ὕψος . Δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ ἡμισφαίριον ὁ κατά ὁ ΕΖΘ περιφέρεια μέγας εἰμί ὁ τμῆμα ὁ κατά ὁ ΒΑ∠ περιφέρεια . .