eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 38
Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν , ὥστε τὰ τμήματα αὐτῆς πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα . Ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα , ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ , ὁ δὲ δοθεὶς λόγος , ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε . Δδεῖ δὴ τεμεῖν τὴν σφαῖραν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὴν ΑΒ , ὥστε τὸ τμῆμα , οὗ κορυφὴ τὸ Α , πρὸς τὸ τμῆμα , οὗ κορυφὴ τὸ Β , λόχον ἔχειν , ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε . Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΕ πρὸς Ε△ , ἐχέτω ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ , καὶ ἔστω ἡ ΑΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ , καὶ τῶν ΖΑ , ΑΗ μέση ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ ΑΘ μείζων ἄρα ἡ ΑΘ τῆς ΑΗ . Καὶ περὶ ἄξονα τὴν ΖΒ διὰ τοῦ Ζ γεγράφθω παραβολή , ὥστε τὰς καταχομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΑΗ ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Θ , ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΖΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΘ γεγράφθω οὖν , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΖΘΚ , καὶ διὰ τοῦ Β ἀνήχθω παρὰ τὴν ΑΘ ἡ ΒΚ καὶ τεμνέτω τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Κ , καὶ διὰ τοῦ Η περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΖΒΚ γεγράφθω ὑπερβολή τεμεῖ δὴ τὴν παραβολὴν μεταξὺ τῶν Θ , Κ . Τεμνέτω κατὰ τὸ Λ , καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ , καὶ διὰ Η , Λ τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΝ , ΛΞ . Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΗΛ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΑΒΚ , καὶ παράλληλοι ταῖς ΑΗΝ αἱ ΜΛΞ , ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΗΝ τῷ ὑπὸ ΜΛΞ διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων . Ἀλλ᾿ ἡ μὲν ΗΝ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση , ἡ δὲ ΛΞ τῇ ΜΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΛΜΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΗΑΒ καὶ διὰ τὸ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν μέσων αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΗΑ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΜ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ , οὕτως τὸ ἀτὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ , Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν παραβολὴν τὸ ἀπὸ ΛΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΜ , ΑΗ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΛ , οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς ΑΗ · καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ , οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ , οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ , οὕτως ὁ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ · καὶ ὡς ἄρα ὁ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῷ ΒΜ , οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ · ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ , ὕψος δὲ τὴν ΑΗ , ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ , ὕψος δὲ τὴν ΖΜ · ὧν γὰρ κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , σοι εἰσὶν ἐκεῖνοι . Ἀλλ᾿ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ , ὕψος δὲ τὴν ΖΑ , πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτήν , ὕψος δὲ τὴν ΑΗ , ἐστὶν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ , τουτέστιν ἡ ΓΕ πρὸς Ε△ · ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη · καὶ ὁ κῶνος ἄρα ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ , ὕψος δὲ τὴν ΖΑ , πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ , ὕψος δὲ τὴν ΖΜ , ἐστὶν ὡς ἡ ΤΕ πρὸς Ε△ . Ἀλλ᾿ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ , ὕψος δὲ τὴν ΖΑ , ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ , ὁ δὲ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ , ὕψος δὲ τὴν ΖΜ , ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας , οὗ κορυφὴ μέν ἐστι τὸ Β , ὕψος δὲ ἡ ΒΜ , ὡς ἑξῆς δειχθήσεται · καὶ ἡ σφαῖρα ἄρα πρὸς τὸ εἰρημένον τμῆμα λόγον ἔχει , ὃν ἡ ΓΕ πρὸς Ε△ καὶ διελόντι τὸ τμῆμα , οὗ κορυφὴ τὸ Α , ὕψος δὲ ἡ ΑΜ , πρὸς τὸ τμῆμα , οὗ κορυφὴ τὸ Β , ὕψος δὲ ἡ ΒΜ , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε . Τὸ ἄρα διὰ τῆς ΛΜ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τέμνει τὴν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόγον ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . Ὅτι δὲ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ , ὕψος δὲ τὴν ΖΜ , ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Β , ὕψος δὲ ἡ ΒΜ , δειχθήσεται οὕτως . Γεγονέτω γὰρ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ , οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι , ὕψος δὲ τὴν ΟΜ , ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ , οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΟ , οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ , ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ , καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ , οὕτως ὁ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ , ὡς ἄρα ὁ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ , οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΜΟ . Ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ , ὕψος δὲ τὴν ΖΜ , ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ , ὕψος δὲ τὴν ΜΟ · ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν ὥστε καὶ τῷ τμήματι ἴσος ἐστίν .
Lemmas: ὁ δίδωμι σφαῖρα ἐπίπεδος τέμνω , ὥστε ὁ τμῆμα αὐτός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ δίδωμι . ἔστω ὁ δίδωμι σφαῖρα , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι λόγος , ὅς ἔχω ὁ Γ△ πρός △Ε . Δδεῖ δή τέμνω ὁ σφαῖρα ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ΑΒ , ὥστε ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Α , πρός ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Β , λόχος ἔχω , ὅς ἔχω ὁ Γ△ πρός △Ε . ἐκβάλλω ὁ ΒΑ ἐπί ὁ Ζ , καί κεῖμαι ὁ ΑΒ ἥμισυς ὁ αζʹ , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ΓΕ πρός Ε△ , ἔχω ὁ Γῆ πρός ΑΗ , καί ἵστημι ὁ ΑΗ πρός ὀρθός ὁ ΑΒ , καί ὁ Γῆ , ΑΗ μέσος ἀνάλογος λαμβάνω ὁ ΑΘ μείζων ἄρα ὁ ΑΘ ὁ ΑΗ . καί περί ἄγω ὁ ΖΒ διά ὁ Ζ γράφω παραβολή , ὥστε ὁ κατάγω δύναμαι παρά ὁ ΑΗ ἥκω ἄρα διά ὁ Θ , ἐπεί ὁ ὑπό ΖΑΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΑΘ γράφω οὖν , καί ἵστημι ὡς ὁ ΖΘΚ , καί διά ὁ Β ἀνάγω παρά ὁ ΑΘ ὁ ΒΚ καί τέμνω ὁ παραβολή κατά ὁ Κ , καί διά ὁ ὁ περί ἀσύμπτωτος ὁ ΖΒΚ γράφω ὑπερβολή τέμνω δή ὁ παραβολή μεταξύ ὁ Θ , Κ . τέμνω κατά ὁ Λ , καί ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ἄγω ὁ ΛΜ , καί διά ὁ , Λ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΝ , ΛΞ . ἐπεί οὖν ὑπερβολή εἰμί ὁ ΗΛ , ἀσύμπτωτος δέ ὁ ΑΒΚ , καί παράλληλος ὁ ΑΗ ὁ ΜΛΞ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΗ ὁ ὑπό ΜΛΞ διά ὁ Η΄ θεώρημα ὁ δύο βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον . ἀλλά ὁ μέν ΗΝ ὁ ΑΒ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΛΞ ὁ ΜΒ · ὁ ἄρα ὑπό ΛΜΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΗΑΒ καί διά ὁ ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος ὁ τέσσαρες εὐθύς ἀνάλογος εἰμί εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΛΜ πρός ΗΑ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ΒΜ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΛΜ πρός ὁ ἀπό ΗΑ , οὕτως ὁ απατός ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΜ , καί ἐπεί διά ὁ παραβολή ὁ ἀπό ΛΜ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΖΜ , ΑΗ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΖΜ πρός ΜΛ , οὕτως ὁ ΜΛ πρός ΑΗ · καί ὡς ἄρα ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο καί ὁ ἀπό ὁ δύο πρός ὁ ἀπό ὁ τρίτος ὡς ἄρα ὁ ΖΜ πρός ΑΗ , οὕτως ὁ ἀπό ΛΜ πρός ὁ ἀπό ΗΑ . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΛΜ πρός ὁ ἀπό ΑΗ , οὕτως δείκνυμι ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΜ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΜ , οὕτως ὁ ΖΜ πρός ΑΗ . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΜ , οὕτως ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , πρός ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΒΜ · καί ὡς ἄρα ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , πρός ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΒΜ , οὕτως ὁ ΖΜ πρός ΑΗ · ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ ΑΗ , ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΒΜ , ὕψος δέ ὁ ΖΜ · ὅς γάρ κῶνος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , σύ εἰμί ἐκεῖνος . ἀλλά ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ Γῆ , πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ ΑΗ , εἰμί ὡς ὁ Γῆ πρός ΑΗ , τουτέστιν ὁ ΓΕ πρός Ε△ · ἐπί γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ὕψος · καί ὁ κῶνος ἄρα ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ Γῆ , πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΒΜ , ὕψος δέ ὁ ΖΜ , εἰμί ὡς ὁ ΤΕ πρός Ε△ . ἀλλά ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , ὕψος δέ ὁ Γῆ , ἴσος εἰμί ὁ σφαῖρα , ὁ δέ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΒΜ , ὕψος δέ ὁ ΖΜ , ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ὅς κορυφή μέν εἰμί ὁ Β , ὕψος δέ ὁ ΒΜ , ὡς ἑξῆς δείκνυμι · καί ὁ σφαῖρα ἄρα πρός ὁ εἴρω τμῆμα λόγος ἔχω , ὅς ὁ ΓΕ πρός Ε△ καί διαιρέω ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Α , ὕψος δέ ὁ ΑΜ , πρός ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Β , ὕψος δέ ὁ ΒΜ , οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ Γ△ πρός △Ε . ὁ ἄρα διά ὁ ΛΜ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὀρθός πρός ὁ ΑΒ τέμνω ὁ σφαῖρα εἰς ὁ δίδωμι λόγος ὅσπερ ἐσθίω ποιέω . ὅτι2 δέ ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΒΜ , ὕψος δέ ὁ ΖΜ , ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ὅς κορυφή μέν ὁ Β , ὕψος δέ ὁ ΒΜ , δείκνυμι οὕτως . γίγνομαι γάρ ὡς ὁ ΖΜ πρός μή , οὕτως ὁ ΟΜ πρός ΜΒ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα , ὕψος δέ ὁ ΟΜ , ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΖΜ πρός μή , οὕτως ὁ ΟΜ πρός ΜΒ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΖΜ πρός ΜΟ , οὕτως ὁ ΑΜ πρός ΜΒ , ἀλλά ὡς ὁ ΑΜ πρός ΜΒ , οὕτως ὁ ἀπό ΠΜ πρός ὁ ἀπό ΜΒ , καί ὡς ὁ ἀπό ΠΜ πρός ὁ ἀπό ΜΒ , οὕτως ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΠΜ , πρός ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΜΒ , ὡς ἄρα ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΠΜ , πρός ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΜΒ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ΜΟ . ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΜΒ , ὕψος δέ ὁ ΖΜ , ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΠΜ , ὕψος δέ ὁ ΜΟ · ἀντιπάσχω γάρ αὐτός ὁ βάσις ὁ ὕψος ὥστε καί ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί .