eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 26
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β , καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΑΓ γεγράφθω περὶ αὐτὴν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΕΓ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν τῇ μὲν ΒΑ ἡ Α△ , τῇ δε ΒΓ ἡ ΓΖ , καὶ παρακείσθω κανὼν κινούμενος πρὸς τῷ Β τέμνων τὰς Α△ , ΓΖ καὶ κεκινήσθω περὶ τὸ Β , ἄχρις ἂν ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ △ ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ , τουτέστι τῇ μεταξὺ τῆς τε περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ΓΖ . Νενοήσθω οὖν ἔχον τὸ κανόνιον θέσιν , οἵαν ἔχει ἡ △ΒΕΖ , ἴσης οὔσης , ὡς εἴρηται , τῆς △Β τῇ ΕΖ . Λέγω ὅτι αἱ Α△ , ΓΖ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ , ΒΓ . Νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ △Α , ΖΓ καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Θ · φανερὸν δὴ ὅτι παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΒΑ , ΖΘ ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία ὀρθή ἐστιν , καὶ ὁ ΑΕΓ κύκλος ἀναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Θ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ △Β τῇ ΕΖ , καὶ τὸ ὑπὸ Ε△Β ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ . Ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ Ε△Β ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Θ△Α · ἑκάτερον γὰρ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ △ · τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΖΓ · ἑκάτερον γὰρ ὁμοίως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Ζ · ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ Θ△Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖΓ , καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ △Θ πρὸς ΘΖ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς △Α . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Θ△ πρὸς ΘΖ , οὕτως ἥ τε ΒΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ △Α πρὸς ΑΒ · τριγώνου γὰρ τοῦ △ΘΖ παρὰ μὲν τὴν △Θ ἦκται ἡ ΒΓ , παρὰ δὲ τὴν ΘΖ ἡ ΒΑ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ , ἡ ΓΖ πρὸς △Α καὶ ἡ △Α πρὸς ΑΒ · ὅπερ προέκειτο δεῖξαι . Ἰστέον δὲ ὅτι ἡ τοιαύτη κατασκευὴ σχεδὸν ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Ἥρωνος · τὸ γὰρ ΒΘ παραλληλόγραμμον τὸ αὐτό ἐστι τῷ ληφθέντι ἐπὶ τῆς Ἥρωνος κατασκευῆς καὶ αἱ προσεκβαλλόμεναι πλευραὶ αἱ ΘΑ , ΘΓ καὶ ὁ πρὸς τῷ Β κινούμενος κανών . Ταύτῃ δὲ μόνον διαφέρει , ὅτι ἐκεῖ μὲν μέχρι τοσούτου ἐκινοῦμεν περὶ τὸ Β τὸν κανόνα , ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τῆς διχοτομίας τῆς ΑΓ , τουτέστι τοῦ Κ , ἴσαι ὑπʼ αὐτοῦ ἀπετέμνοντο πρὸς τὰς Θ△ , ΘΖ προσπίπτουσαι , ὡς αἱ Κ△ , ΚΖ , ἐνταῦθα δέ , ἄχρις ἂν ἡ △Β ἴση γένηται τῇ ΕΖ . Ἐφ᾿ ἑκατέρας δὲ κατασκευῆς τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖ , τὸ δὲ νῦν εἰρημένον πρὸς χρῆσιν εὐθετώτερον τὰς γὰρ △Β , ΕΖ ἴσας τηρεῖν ἐνδέχεται διῃρημένου τοῦ κανόνος εἰς ἴσα καὶ συνεχῆ πολύ γε εὐκολώτερον τοῦ καρκίνῳ διαπειράζειν τὰς ἀπὸ τοῦ Κ ἴσας πρὸς τὰ △ , Ζ .
Lemmas: εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὅς δεῖ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω . κεῖμαι ὥστε ὀρθός γωνία περιέχω ὁ πρός ὁ Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ γράφω περί αὐτός ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΕΓ , καί πρός ὀρθός ἄγω ὁ μέν ΒΑ ὁ Α△ , ὁ δέ ΒΓ ὁ ΓΖ , καί παράκειμαι κανών κινέω πρός ὁ Β τέμνω ὁ Α△ , ΓΖ καί κινέω περί ὁ Β , ἄχρι εἄν ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ △ ἴσος γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Ζ , τουτέστι ὁ μεταξύ ὁ τε περιφέρεια ὁ κύκλος καί ὁ ΓΖ . νοέω οὖν ἔχω ὁ κανόνιον θέσις , οἷος ἔχω ὁ ΒΕΖ , ἴσος εἰμί , ὡς εἴρω , ὁ △Β ὁ ΕΖ . λέγω ὅτι ὁ Α△ , ΓΖ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ . νοέω γάρ ἐκβάλλω ὁ △Α , ΖΓ καί συμπίτνω κατά ὁ Θ · φανερός δή ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΒΑ , ΖΘ ὁ πρός ὁ Θ γωνία ὀρθός εἰμί , καί ὁ ΑΕΓ κύκλος ἀναπληρόω ἥκω καί διά ὁ Θ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ △Β ὁ ΕΖ , καί ὁ ὑπό ΕΒ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΖΕ . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΕΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΘΑ · ἑκάτερος γάρ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἐφάπτω ἀπό ὁ △ · ὁ δέ ὑπό ΒΖΕ ἴσος ὁ ὑπό ΘΖΓ · ἑκάτερος γάρ ὁμοίως ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἐφάπτω ἀπό ὁ Ζ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΘΑ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΘΖΓ , καί διά οὗτος εἰμί ὡς ὁ △Θ πρός ΘΖ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός △Α . ἀλλά ὡς ὁ Θ△ πρός ΘΖ , οὕτως ὅς τε ΒΓ πρός ΓΖ καί ὁ △Α πρός ΑΒ · τρίγωνος γάρ ὁ △ΘΖ παρά μέν ὁ △Θ ἄγω ὁ ΒΓ , παρά δέ ὁ ΘΖ ὁ ΒΑ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ΓΖ , ὁ ΓΖ πρός △Α καί ὁ △Α πρός ΑΒ · ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι . ἰστέον δέ ὅτι ὁ τοιοῦτος κατασκευή σχεδόν ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὑπό Ἥρων · ὁ γάρ ΒΘ παραλληλόγραμμος ὁ αὐτός εἰμί ὁ λαμβάνω ἐπί ὁ Ἥρων κατασκευή καί ὁ προσεκβάλλω πλευρά ὁ ΘΑ , ΘΓ καί ὁ πρός ὁ Β κινέω κανών . Ταύτη δέ μόνος διαφέρω , ὅτι ἐκεῖ μέν μέχρι τοσοῦτος κινέω περί ὁ Β ὁ κανών , ἄχρι εἄν ὁ ἀπό ὁ διχοτομία ὁ ΑΓ , τουτέστι ὁ Κ , Ἴσαι ὑπό αὐτός ἀποτέμνω πρός ὁ Θ△ , ΘΖ προσπίπτω , ὡς ὁ Κ△ , ΚΖ , ἐνταῦθα δέ , ἄχρι εἄν ὁ △Β ἴσος γίγνομαι ὁ ΕΖ . ἐπί ἑκάτερος δέ κατασκευή ὁ αὐτός ἀκολουθέω , ὁ δέ νῦν εἴρω πρός χρῆσις εὔθετος ὁ γάρ △Β , ΕΖ ἴσος τηρέω ἐνδέχομαι διαιρέω ὁ κανών εἰς ἴσος καί συνεχής πολύς γε εὔκολος ὁ καρκίνος διαπειράζω ὁ ἀπό ὁ Κ ἴσος πρός ὁ △ , Ζ .