eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 35
Καὶ συνθέντι ὡς ἡ △Θ πρὸς ΘΓ , ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ | Ὡς γὰρ ἐπὶ αὐτῆς τῆς ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφῆς , ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΓΒΑ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἧκται ἡ ΒΕ , τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις , καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ , οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ · ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας . Ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ . Διὰ δὲ τῶν αὐτῶν δείκνυται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΓΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ . Διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων ἐστὶ πάλιν ὡς ἡ μὲν ΑΓ πρὸς ΓΒ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ , τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ , τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ . Εἶτα ἐφεξῆς δεικνύναι πειρώμενος τῷ ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας ἴσον τὸν ΒΚΖ κῶνον ἐκθέμενος κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΒΑΖ τμήματος , ὕφος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , φησὶν ὅτι ὁ Ν κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΖΑΒΘ στερεῷ τομεῖ , ὡς δέδεικται ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ . Ἰστέον δὲ ὅτι ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ οὐ τὸν τοιοῦτον τομέα ἀπεδείκνυεν ἴσον ὄντα τῷ οὕτως λαμβανομένῳ κώνῳ , ἀλλὰ τὸν περιεχόμενον ὑπὸ τε τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας ἐλάττονος ἡμισφαιρίου , ὅντινα καὶ κυρίως ἐν τοῖς ὅροις τομέα στερεὸν καλεῖν ἐφαίνετο . Ἔφασκεν γάρ · τομέα δὲ στερεὸν καλέω , ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμνῃ τὰν κορυφὰν ἔχων ποτὶ τῷ κέντρῳ τᾶς σφαίρας , τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ τᾶς ἐντὸς τοῦ κώνου | Τὸ δὲ νῦν προκείμενον σχῆμα περιέχεται μὲν ὑπὸ κωνικῆς ἐπιφανείας τὴν κορυφὴν ἐχούσης πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς σφαίρας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας , ἀλλ᾿ οὐ τῆς ἐντὸς ἀπολαμβανομένης τοῦ κώνου . Ὅτι δὲ καὶ τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἴσον γίνεται τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ σφαιρικῇ τῇ περιεχούσῃ τὸ τμῆμα , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , δειχθήσεται οὕτως διὰ τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ δεδεγμένων . Νενοήσθω χωρὶς σφαῖρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινὶ μὴ διὰ τοῦ κέντρου τῷ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλῳ , κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Α , καὶ νοείσθω κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλον , κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον , ἐκκείσθω δὲ κῶνος ὁ Ε , οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας , ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ἄρα Ε κῶνος ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ τετραπλάσιος γάρ ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον , ὕψος δὲ τὸ αὐτό , οὗπερ καὶ ἡ σφαῖρα ἐδείχθη τετραπλασία . Ἐκκείσθωσαν δὲ καὶ ἄλλοι δύο κῶνοι οἱ Ζ , Η , ὧν ὁ μὲν Ζ βάσιν ἐχέτω ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κατὰ τὴν ΒΓ△ τμήματος , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ὁ δὲ Η βάσιν μὲν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κατὰ τὴν ΒΘ△ τμήματος , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ ὁ ἄρα Ζ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ τομεῖ , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α , ἐπιφάνεια δὲ σφαιρικὴ ἡ κατὰ τὴν ΑΓ△ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ Ε κώνου βάσις ταῖς τῶν Ζ , Η κώνων βάσεσιν , καί εἰσιν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε κῶνος , τουτέστιν ἡ σφαῖρα , τοῖς Ζ , Η κώνοις . Ἀλλ᾿ ὁ Ζ ἴσος ἐδείχθη τῷ κατὰ τὴν ΒΓ△ στερεῷ τομεῖ κορυφὴν ἔχοντι τὸ A λοιπὸς ἄρα ὁ ἡ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ λοιπῷ τμήματι βάσιν ἔχων τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κατὰ τὴν ΒΘ△ τμήματος , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου . Εἶτα πάλιν φησίν ἴσος ἄρα ὁ Ν κῶνος , τουτέστιν ὁ ΒΘΖΑ τομεύς , τῷ ΒΘΖΚ σχήματι | Ἐπεὶ γὰρ συνήχθη ὁ Ν κῶνος ἴσος ὢν κώνῳ , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλος , ὕψος δὲ ἡ ΘΚ , ὁ δὲ κῶνος , οὗ βάσις μὲν ἐστιν ἡ αὐτή , ὕψος δὲ ἡ ΕΚ , ἴσος τῷ τε εἰρημένῳ κώνῳ καὶ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν , ὕψος · δὲ τὴν ΕΘ · πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη · κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτήν , ὕψος δὲ τὴν ΕΘ , λοιπὸν τὸ ΒΘΖΚ σχῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον , ὕψος δὲ τὴν ΘΚ , τουτέστι τῷ Ν κώνῳ , τουτέστι τῷ ΒΑΘΖ τομεῖ . Ἐπαγαγὼν δὴ τὸ ἐκ τῶν συναχθέντων πόρισμα ἐπὶ τέλει τοῦ θεωρήματος ἑξῆς δι᾿ ἑτέρας ἀποδείξεως συνάγει τὸ τελευταῖον μέρος τοῦ θεωρήματος , τουτέστιν ὅτι τὸ ΑΒΖ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ ΒΚΖ κώνῳ , καὶ προιών φησιν · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ , ἡ Θ△ πρὸς △Γ , καὶ ὅλη ἡ Κ△ πρὸς △Θ ἐστὶν ὡς ἡ △Θ πρὸς △Γ | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ , ἡ Θ△ πρὸς △Γ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△ , ἡ ΘΓ πρὸς Γ△ , καὶ συνθέντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Θ , ἡ Θ△ πρὸς △Γ , τουτέστιν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ · ἦν γὰρ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ , ἡ Θ△ πρὸς △Γ , ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΘΑ . Καὶ μετ᾿ ὀλίγον · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς △Θ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘ△ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ | Νοείσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ Κ△ , ΑΓ , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ . Λέγω ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΘ△ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Θ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Θ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ . Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΚΘΚ πρὸς Θ△ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Θ△ κοινοῦ ὕφους τῆς Θ△ λαμβανομένης , ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ κοινοῦ πάλιν ὕψους λαμβανομένης τῆς ΕΓ , καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Θ△ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ . Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ἀπὸ Θ△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Κ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ · καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Κ△ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ . Καὶ ἀνάπαλιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: καί συντίθημι ὡς ὁ △Θ πρός ΘΓ , ὁ ΓΑ πρός ΑΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ΓΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ | ὡς γάρ ἐπί αὐτός ὁ ἐν ὁ ῥητός καταγραφή , ἐπεί ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνος ὁ ΓΒΑ ἀπό ὁ ὀρθός ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἁο͂κ ὁ ΒΕ , ὁ πρός ὁ κάθετος τρίγωνος ὁμοῖος εἰμί ὁ τε ὅλος καί ἀλλήλων , καί διά οὗτος εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ΑΒ , ὁ ΒΑ πρός ΑΕ καί ὁ ΓΒ πρός ΒΕ · ὥστε καί ὡς ὁ ἀπό ΓΑ πρός ὁ ἀπό ΑΒ , οὕτως ὁ ἀπό ΓΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΓΑ πρός ὁ ἀπό ΑΒ , οὕτως ὁ ΓΑ πρός ΑΕ · ὡς γάρ ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο . ὡς ἄρα ὁ ΓΑ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ἀπό ΓΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ . Ζεύς δέ ὁ αὐτός δείκνυμι ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ΓΕ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ . Ζεύς γάρ ὁ ὁμοιότης ὁ τρίγωνος εἰμί πάλιν ὡς ὁ μέν ΑΓ πρός ΓΒ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ΓΕ , τουτέστιν ὡς ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΓΒ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ΓΕ , ὡς δέ ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΓΒ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΓ πρός ΓΕ , ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ . εἶτα ἐφεξῆς δείκνυμι πειράω ὁ ΒΑΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἴσος ὁ ΒΚΖ κῶνος ἐκτίθημι κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΒΑΖ τμῆμα , ὕφος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , φημί ὅτι ὁ Ν κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΖ στερεός τομεύς , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ πρῶτος βιβλίον . ἰστέον δέ ὅτι ἐν ὁ πρῶτος βιβλίον οὖον ὁ τοιοῦτος τομεύς ἀποδείκνυμι ἴσος εἰμί ὁ οὕτως λαμβάνω κῶνος , ἀλλά ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια καί σφαιρικός ἐπιφάνεια μικρός ἡμισφαίριον , ὅστις καί κύριος ἐν ὁ ὅρος τομεύς στερεός καλέω φαίνω . φάσκω γάρ · τομεύς δέ στερεός καλέω , ἐπειδάν σφαῖρα κῶνος τέμνω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια καί ὁ ἐντός ὁ κῶνος | ὁ δέ νῦν πρόκειμαι σχῆμα περιέχω μέν ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί σφαιρικός ἐπιφάνεια , ἀλλά οὖον ὁ ἐντός ἀπολαμβάνω ὁ κῶνος . ὅτι2 δέ καί ὁ τοιοῦτος σχῆμα ἴσος γίγνομαι ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαιρικός ὁ περιέχω ὁ τμῆμα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , δείκνυμι οὕτως διά ὁ ἐν ὁ πρῶτος βιβλίον δέχομαι . νοέω Χωρὶς σφαῖρα καί τέμνω ἐπίπεδος τις μή διά ὁ κέντρον ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος , κέντρον δέ ὁ σφαῖρα ὁ Α , καί νοέω κῶνος βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , ἔκκειμαι δέ κῶνος ὁ Ε , ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος ἵστημι ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ ἄρα Ε κῶνος ἴσος εἰμί ὁ σφαῖρα τετραπλάσιος γάρ εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ μέγας κύκλος , ὕψος δέ ὁ αὐτός , ὅσπερ καί ὁ σφαῖρα δείκνυμι τετραπλάσιος . ἔκκειμαι δέ καί ἄλλος δύο κῶνος ὁ Ζ , ὁ , ὅς ὁ μέν Ζ βάσις ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κατά ὁ ΒΓ△ τμῆμα , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ὁ βάσις μέν ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κατά ὁ ΒΘ△ τμῆμα , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ ἄρα Ζ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ τομεύς , ὅς κορυφή μέν ὁ Α , ἐπιφάνεια δέ σφαιρικός ὁ κατά ὁ ΓΑ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ὁ Ε κῶνος βάσις ὁ ὁ Ζ , ὁ κῶνος βάσις , καί εἰμί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ε κῶνος , τουτέστιν ὁ σφαῖρα , ὁ Ζ , ὁ κῶνος . ἀλλά ὁ Ζ ἴσος δείκνυμι ὁ κατά ὁ ΒΓ△ στερεός τομεύς κορυφή ἔχω ὁ A λοιπός ἄρα ὁ ὁ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ λοιπός τμῆμα βάσις ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ κατά ὁ ΒΘ△ τμῆμα , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον . εἶτα πάλιν φημί ἴσος ἄρα ὁ Ν κῶνος , τουτέστιν ὁ ΒΘΖΑ τομεύς , ὁ ΒΘΖΚ σχῆμα | ἐπεί γάρ συνάγω ὁ Ν κῶνος ἴσος εἰμί κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΘΚ , ὁ δέ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ ΕΚ , ἴσος ὁ τε εἴρω κῶνος καί ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὕψος · δέ ὁ ΕΘ · πρός ἀλλήλων γάρ εἰμί ὡς ὁ ὕψος · κοινός ἀφαιρέω ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ ΕΘ , λοιπός ὁ ΒΘΖΚ σχῆμα ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΘΚ , τουτέστι ὁ Ν κῶνος , τουτέστι ὁ ΑΒΖ τομεύς . ἐπάγω δή ὁ ἐκ ὁ συνάγω πόρισμα ἐπί τέλος ὁ θεώρημα ἑξῆς διά ἕτερος ἀπόδειξις συνάγω ὁ τελευταῖος μέρος ὁ θεώρημα , τουτέστιν ὅτι ὁ ΑΒΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί ὁ ΒΚΖ κῶνος , καί προέρχομαι φημί · ὡς ἄρα ὁ ΚΘ πρός ΘΓ , ὁ Θ△ πρός △Γ , καί ὅλος ὁ Κ△ πρός △Θ εἰμί ὡς ὁ △Θ πρός △Γ | ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΓ , ὁ Θ△ πρός △Γ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΚΘ πρός Θ△ , ὁ ΘΓ πρός Γ△ , καί συντίθημι ὡς ὁ Κ△ πρός △Θ , ὁ Θ△ πρός △Γ , τουτέστιν ὁ ΚΘ πρός ΘΑ · εἰμί γάρ ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΓ , ὁ Θ△ πρός △Γ , ἴσος δέ ὁ ΘΓ ὁ ΘΑ . καί μετά ὀλίγος · ὡς ἄρα ὁ ΚΘ πρός △Θ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΓ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό Κ△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΚΘ△ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΕΓ | νοέω γάρ Χωρὶς κεῖμαι ὁ Κ△ , ΑΓ , καί ἵστημι ὡς ὁ ΚΘ πρός Θ△ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΓ . λέγω ὅτι εἰμί καί ὡς ὁ ἀπό Κ△ πρός ὁ ὑπό ΚΘ△ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ὑπό ΑΕΓ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός Θ△ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , καί συντίθημι εἰμί ὡς ὁ Κ△ πρός △Θ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ΓΕ · ὥστε καί ὡς ὁ ἀπό Κ△ πρός ὁ ἀπό △Θ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΕΓ . πάλιν ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός Θ△ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , ἀλλά ὡς ὁ ΚΘΚ πρός Θ△ , οὕτως ὁ ὑπό ΚΘ△ πρός ὁ ἀπό Θ△ κοινός ὕφος ὁ Θ△ λαμβάνω , ὡς δέ ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , οὕτως ὁ ὑπό ΑΕΓ πρός ὁ ἀπό ΕΓ κοινός πάλιν ὕψος λαμβάνω ὁ ΕΓ , καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΚΘ△ πρός ὁ ἀπό Θ△ , οὕτως ὁ ὑπό ΑΕΓ πρός ὁ ἀπό ΕΓ . δείκνυμι δέ ὡς ὁ ἀπό Θ△ πρός ὁ ἀπό △Κ , οὕτως ὁ ἀπό ΕΓ πρός ὁ ἀπό ΓΑ · καί διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ὑπό ΚΘ△ πρός ὁ ἀπό Κ△ , οὕτως ὁ ὑπό ΑΕΓ πρός ὁ ἀπό ΑΓ . καί ἀνάπαλιν ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .