eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 33
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α△ , Γ · δεῖ δὴ τῶν Α△ , Γ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Γεγράφθω περὶ τὴν μείζονα τὴν Α△ κύκλος ὁ ΑΒ△Ζ , καὶ τῇ Γ ἴση ἐνηρμόσθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ἀπὸ του ἐφαπτομένῃ τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Π , παρὰ δὲ τὴν Π△Ο ἤχθω ἡ ΒΕΖ , καὶ νενοήσθω ἡμικυλίνδριον ὀρθὸν ἐπὶ τοῦ ΑΒ△ ἡμικυκλίου , ἐπὶ δὲ τῆς Α△ ἡμικύκλιον ὀρθὸν ἐν τῷ τοῦ ἡμικυλινδρίου παραλληλογράμμῳ κείμενον · τοῦτο δὴ τὸ ἡμικύκλιον περιαγόμενον ὡς ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὸ Β μένοντος τοῦ Α πέρατος τῆς διαμέτρου τεμεῖ τὴν κυλινδρικὴν ἐπιφάνειαν ἐν τῇ περιαγωγῇ καὶ γράψει ἐν αὐτῇ γραμμήν τινα . Πάλιν δὲ , ἐὰν τῆς Α△ μενούσης τὸ Α△ τρίγωνον περιενεχθῇ τὴν ἐναντίαν τῷ ἡμικυκλίῳ κίνησιν , κωνικὴν ποιήσει ἐπιφάνειαν τῇ ΑΠ εὐθείᾳ , ἣ δὴ περιαγομένη συμβαλεῖ τῇ κυλινδρικῇ γραμμῇ κατά τι σημεῖον ἅμα δὲ καὶ τὸ Β περιγράψει ἡμικύκλιον ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ . Εχέτω δὴ θέσιν κατὰ τὸν τόπον τῆς συμπτώσεως τῶν γραμμῶν τὸ μὲν κινούμενον ἡμικύκλιον ὡς τὴν τοῦ △ΚΑ , τὸ δὲ ἀντιπεριαγόμενον τρίγωνον τὴν τοῦ △ΛΑ , τὸ δὲ τῆς εἰρημένης συμπτώσεως σημεῖον ἔστω τὸ Κ , ἔστω δὲ καὶ τὸ διὰ τοῦ Β γραφόμενον ἡμικύκλιον τὸ ΒΜΖ , κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ καὶ τοῦ Β△ΖΑ κύκλου ἔστω ἡ ΒΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ Β△Α ἡμικυκλίυ ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν διὰ τὸ ὀρθὸν ἑστάναι τὸν κύλινδρον . Πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΚΙ , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευχθεῖσα συμβαλέτω τῇ ΒΖ κατὰ τὸ Θ , ἡ δὲ ΑΛ τῷ ΒΜΖ ἡμικυκλίῳ κατὰ τὸ M , ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ Α△ , ΜΙ , ΜΘ . Ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν △ΚΑ , ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , καὶ ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΜΘ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΒΖ ὀρθή ἐστιν ἡ ΜΘ . Τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΘΖ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΘΙ , ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΜΘ ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜΙ τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν ΜΙΘ , ΜΑΘ , καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΙΜΑ , Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ △ΚΑ ὀρθή · παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ Κ△ , ΜΙ , καὶ ἔσται ἀνάλογον ὡς ἡ △Α πρὸς ΑΚ , τουτέστιν ἡ ΚΑ πρὸς ΑΙ , οὕτως ἡ Α πρὸς ΑΜ , διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων . Τέσσαρες ἄρα αἱ △Α , ΑΚ , ΑΙ , ΑΜ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν . Καί ἐστιν ἡ ΑΜ ἴση τῇ Γ , ἐπεὶ καὶ τῇ ΑΒ · δύο ἄρα δοθεισῶν τῶν Α△ , Γ δύο μέσαι ἀνάλογον ηὕρηνται αἱ ΑΚ , ΑΙ .
Lemmas: εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς ὁ Α△ , Γ · δεῖ δή ὁ Α△ , Γ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω . γράφω περί ὁ μείζων ὁ Α△ κύκλος ὁ ΑΒΖ , καί ὁ Γ ἴσος ἐναρμόζω ὁ ΑΒ καί ἐκβάλλω συμπίπτω ὁ ἀπό ὁ ἐφάπτω ὁ κύκλος κατά ὁ Π , παρά δέ ὁ ΠΟ ἄγω ὁ ΒΕΖ , καί νοέω ἡμικυλίνδριον ὀρθός ἐπί ὁ ΑΒ△ ἡμικύκλιον , ἐπί δέ ὁ Α△ ἡμικύκλιον ὀρθός ἐν ὁ ὁ ἡμικυλίνδριον παραλληλόγραμμος κεῖμαι · οὗτος δή ὁ ἡμικύκλιον περιάγω ὡς ἀπό ὁ △ ἐπί ὁ Β Μένων ὁ Α πέρας ὁ διάμετρος τέμνω ὁ κυλινδρικός ἐπιφάνεια ἐν ὁ περιαγωγή καί γράφω ἐν αὐτός γραμμή τις . πάλιν δέ , ἐάν ὁ Α△ Μένων ὁ Α△ τρίγωνος περιφέρω ὁ ἐναντίος ὁ ἡμικύκλιον κίνησις , κωνικός ποιέω ἐπιφάνεια ὁ ΑΠ εὐθύς , ὅς δή περιάγω συμβάλλω ὁ κυλινδρικός γραμμή κατά τίς σημεῖον ἅμα δέ καί ὁ Β περιγράφω ἡμικύκλιον ἐν ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια . ἔχω δή θέσις κατά ὁ τόπος ὁ σύμπτωσις ὁ γραμμή ὁ μέν κινέω ἡμικύκλιον ὡς ὁ ὁ △ΚΑ , ὁ δέ ἀντιπεριάγω τρίγωνος ὁ ὁ △ΛΑ , ὁ δέ ὁ εἴρω σύμπτωσις σημεῖον ἵστημι ὁ Κ , ἵστημι δέ καί ὁ διά ὁ Β γράφω ἡμικύκλιον ὁ ΒΜΖ , κοινός δέ αὐτός τομή καί ὁ ΑΒΖ κύκλος ἵστημι ὁ ΒΖ , καί ἀπό ὁ ἐπί ὁ ὁ Β△Α ἡμικύκλιον ἐπίπεδος κάθετος ἄγω πίπτω δή ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια διά ὁ ὀρθός ἵστημι ὁ κύλινδρος . πίπτω καί ἵστημι ὁ Κις , καί ὁ ἀπό ὁ Ι ἐπί ὁ Α ἐπιζεύγνυμι συμβάλλω ὁ ΒΖ κατά ὁ Θ , ὁ δέ ΑΛ ὁ ΒΜΖ ἡμικύκλιον κατά ὁ M , ἐπιζεύγνυμι δέ καί ὁ Α△ , Μι , ΜΘ . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ △ΚΑ , ΒΜΖ ἡμικύκλιον ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , καί ὁ κοινός ἄρα αὐτός τομή ὁ ΜΘ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος ὥστε καί πρός ὁ ΒΖ ὀρθός εἰμί ὁ ΜΘ . ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΘΖ , τουτέστι ὁ ὑπό ΑΘ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΜΘ ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ἄμι τρίγωνος ἑκάτερος ὁ ΜΘ , ΜΑΘ , καί ὀρθός ὁ ὑπό ἷμα , ἔρτις δέ καί ὁ ὑπό △ΚΑ ὀρθός · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ Κ△ , Μι , καί εἰμί ἀνάλογος ὡς ὁ △Α πρός ΑΚ , τουτέστιν ὁ ΚΑ πρός ὁ , οὕτως ὁ Α πρός ΑΜ , διά ὁ ὁμοιότης ὁ τρίγωνος . τέσσαρες ἄρα ὁ △Α , ΑΚ , ὁ , ΑΜ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί . καί εἰμί ὁ ΑΜ ἴσος ὁ Γ , ἐπεί καί ὁ ΑΒ · δύο ἄρα δίδωμι ὁ Α△ , Γ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω ὁ ΑΚ , ὁ .