eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 47
Ἔστωσαν τέσσαρες ὅροι οἱ Α , Γ , △ , Β . Λέγω ὅτι ὁ συγκείμενος λόχος ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ τῶν Α , Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μετὰ τοῦ τῆς Β πρὸς λόγου ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α , Β ἐπὶ τὴν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὴν △ . Ἔστω γὰρ τῷ μὲν ὑπὸ Α , Β ἴσος ὁ Κ , τῷ δὲ ἀπὸ Γ ἴσος ὁ Λ , καὶ γεχονέτω ὡς ὁ Β πρὸς △ , οὕτως ὁ Λ πρὸς Μ · ὁ ἄρα τοῦ Κ πρὸς Μ λόχος σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ πρὸς Λ , τουτέστι τοῦ ὑπὸ Α , Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ , καὶ τοῦ Λ πρὸς Μ , τουτέστι τοῦ Β πρὸς △ . Ὁ δὴ Κ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ν ποιείτω , ὁ δὲ Λ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ξ ποιείτω , τὸν δὲ △ πολλαπλασιάσας τὸν Ο . Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν A , Β ὁ Κ ἐστίν , ὁ δὲ Κ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ν πεποίηκεν , ὁ ἄρα Ν ἐστὶν τὸ ὑπὸ Α , Β ἐπὶ τὸν Β , Πάλιν , ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Γ ὁ Λ ἐστίν , ὁ δὲ Λ τὸν △ πολλαπλασιάσας τὸν O πεποίηκεν , ὁ O ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸν △ ὥστε ὁ τοῦ ὑπὸ Α , Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν △ λόφος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ Ν πρὸς Ο . Δεῖ ἄρα δεῖξαι ὅτι ὁ τοῦ πρὸς Μ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ Ν πρὸς Ο . Ἐπεὶ οὖν ἑκάτερος τῶν Κ , Λ τὸν Β πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν , Ξ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Λ , οὕτως ὁ Ν πρὸς Ξ . Πάλιν , ἐπεὶ ὁ Λ ἑκάτερον τῶν Β , △ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ξ , Ο πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς △ , ὁ Ξ πρὸς Ο . Ἀλλ᾿ ὡς ὁ Β πρὸς △ , ὁ Λ πρὸς τὸν Μ · καὶ ὡς ἄρα ὁ πρὸς Μ , ὁ Ξ πρὸς Ο . Οἱ ἄρα Κ , Λ , Μ τοῖς Ν , Ξ , Ο ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν σύνδυο λαμβανόμενοι · καὶ διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Κ πρὸς Μ , οὕτως ὁ Ν πρὸς Ο . Καὶ ἔστιν ὁ τοῦ Κ πρὸς Μ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ A , Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ Β πρὸς △ , ὁ δὲ τοῦ Ν πρὸς Ο λόγος ὁ αὐτὸς ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α , Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν ὁ ἄρα σγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ Α , Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ Β πρὸς △ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α , Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν △ . Φανερὸν δὲ καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ Α , Β ἐπὶ τὸν Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸν Α . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως τὸ ὑπὸ Α , Β πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Β τοῦ Β κοινοῦ ὕψους λαμβανομένου , ἐὰν δὲ τέσσαρες ὅροι ἀνάλογον ὦσιν , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων , τὸ ἄρα ὑπὸ Α , Β ἐπὶ τὸν Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸν Α .
Lemmas: εἰμί τέσσαρες ὅρος ὁ Α , Γ , △ , Β . λέγω ὅτι ὁ σύγκειμαι λόχος ἐκ ὁ ὁ ὑπό ὁ Α , Β πρός ὁ ἀπό Γ μετά ὁ ὁ Β πρός λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ὑπό Α , Β ἐπί ὁ Β πρός ὁ ἀπό Γ ἐπί ὁ △ . ἔστω γάρ ὁ μέν ὑπό Α , Β ἴσος ὁ Κ , ὁ δέ ἀπό Γ ἴσος ὁ Λ , καί γίγνομαι ὡς ὁ Β πρός △ , οὕτως ὁ Λ πρός Μ · ὁ ἄρα ὁ Κ πρός Μ λόχος σύγκειμαι ἐκ ὁ ὁ πρός Λ , τουτέστι ὁ ὑπό Α , Β πρός ὁ ἀπό Γ , καί ὁ Λ πρός Μ , τουτέστι ὁ Β πρός △ . ὁ δή Κ ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Ν ποιέω , ὁ δέ Λ ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Ξ ποιέω , ὁ δέ △ πολλαπλασιάζω ὁ ὁ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ὁ A , Β ὁ Κ εἰμί , ὁ δέ Κ ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Ν ποιέω , ὁ ἄρα Ν εἰμί ὁ ὑπό Α , Β ἐπί ὁ Β , πάλιν , ἐπεί ὁ ἀπό Γ ὁ Λ εἰμί , ὁ δέ Λ ὁ △ πολλαπλασιάζω ὁ O ποιέω , ὁ O ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ △ ὥστε ὁ ὁ ὑπό Α , Β ἐπί ὁ Β πρός ὁ ἀπό Γ ἐπί ὁ △ λόφος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Ν πρός ὁ . Δεύς ἄρα δείκνυμι ὅτι ὁ ὁ πρός Μ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Ν πρός ὁ . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ Κ , Λ ὁ Β πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Ν , Ξ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Κ πρός ὁ Λ , οὕτως ὁ Ν πρός Ξ . πάλιν , ἐπεί ὁ Λ ἑκάτερος ὁ Β , △ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Ξ , ὁ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Β πρός △ , ὁ Ξ πρός ὁ . ἀλλά ὡς ὁ Β πρός △ , ὁ Λ πρός ὁ Μ · καί ὡς ἄρα ὁ πρός Μ , ὁ Ξ πρός ὁ . ὁ ἄρα Κ , Λ , Μ ὁ Ν , Ξ , ὁ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί σύνδυο λαμβάνω · καί διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Κ πρός Μ , οὕτως ὁ Ν πρός ὁ . καί εἰμί ὁ ὁ Κ πρός Μ λόγος ὁ αὐτός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ὁ ὑπό A , Β πρός ὁ ἀπό Γ καί ὁ ὅς ἔχω ὁ Β πρός △ , ὁ δέ ὁ Ν πρός ὁ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ὑπό Α , Β ἐπί ὁ Β πρός ὁ ἀπό Γ ἐπί ὁ ὁ ἄρα σγκείμενος λόγος ἐκ ὁ ὁ ὑπό Α , Β πρός ὁ ἀπό Γ καί ὁ ὅς ἔχω ὁ Β πρός △ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ὑπό Α , Β ἐπί ὁ Β πρός ὁ ἀπό Γ ἐπί ὁ △ . Φανερός δέ καί ὅτι ὁ ὑπό Α , Β ἐπί ὁ Β ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Α . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ ὑπό Α , Β πρός ὁ ἀπό ὁ Β ὁ Β κοινός ὕψος λαμβάνω , ἐάν δέ τέσσαρες ὅρος ἀνάλογος εἰμί , ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος , ὁ ἄρα ὑπό Α , Β ἐπί ὁ Β ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Α .