eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 28
Ἐν κύκλῳ διήχθωσαν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ , Γ△ , καὶ δύο περιφέρειαι ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΕΒ , ΒΖ , καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος τῇ ΑΒ ἤχθω ἡ ΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ △Ε . Λέγω ὅτι τῶν ΓΗ , ΗΘ δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΗ , Η△ . Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΚ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΚ τῇ ΖΗ , ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η△ . Ἔσται γὰρ τοῦτο δῆλον ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰ Ε , Ζ ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν · ἴσαι γὰρ γίνονται αἱ ὑπὸ ΓΛΕ , ΖΛ△ , καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Κ , Η · καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν διὰ τὸ τὴν ΛΕ τῇ ΛΖ ἴσην εἶναι · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΚ τῇ Η△ ἴση ἐστίν . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ △Κ πρὸς ΚΕ , ἡ △Η πρὸς ΗΘ , ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Κ πρὸς ΚΕ , ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ · μέση γὰρ ἀνάλογον ἡ ΕΚ τῶν △Κ , ΚΓ · ὡς ἄρα ἡ △Κ πρὸς ΚΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ , οὕτως ἡ △Η πρὸς ΗΘ . Καί ἐστιν ἴση ἡ μὲν △Κ τῇ ΓΗ , ἡ δὲ ΚΕ τῇ ΖΗ , ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η△ · ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ , ἡ ΖΗ πρὸς Η△ καὶ ἡ △Η πρὸς ΗΘ . Ἐὰν δὴ παῤ ἑκάτερα τοῦ Β ληφθῶσιν περιφέρειαι ἴσαι αἱ ΜΒ , ΒΝ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Ν παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΑΒ ἡ ΝΞ , ἐπιζευχθῇ δὲ ἡ △Μ , ἔσονται πάλιν τῶν ΓΞ , Ξ0 μέσαι ἀνάλογον αἱ ΝΞ , Ξ△ . Πλειόνων οὖν οὕτως καὶ συνεχῶν παραλλήλων ἐκβληθεισῶν μεταξὺ τῶν Β , △ καὶ ταῖς ἀπολαμβανομέναις ὑπʼ αὐτῶν περιφερείαις πρὸς τῷ Β ἴσων τεθεισῶν ἀπὸ τοῦ Β ὡς ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὰ γενόμενα σημεῖα ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν ἀπὸ τοῦ △ , ὡς τῶν ὁμοίων ταῖς △Ε , △Μ , τμηθήσονται αἱ παράλληλοι αἱ μεταξὺ τῶν Β , △ κατά τινα σημεῖα , ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς τὰ Ο , Θ , ἐφ᾿ ἃ κανόνος παραθέσει ἐπιζεύξαντες εὐθείας ἕξομεν καταγεγραμμένην ἐν τῷ κύκλῳ τινὰ γραμμήν , ἐφ᾿ ἧς ἐὰν ληφθῇ τυχὸν σημεῖον καὶ διʼ αὐτοῦ παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΛΒ , ἔσται ἡ ἀχθεῖσα καὶ ἡ ἀπολαμβανομένη ὑπ᾿ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ △ μέσαι ἀνάλογον τῆς τε ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ Γ σημείῳ καὶ τοῦ μέρους αὐτῆς τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐν τῇ γραμμῇ σημείου ἐπὶ τὴν Γ△ διάμετρον . Τούτων προκατεσκευασμένων ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν , αἱ Α , Β , καὶ ἔστω κύκλος , ἐν ᾧ δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ Γ△ , ΕΖ , καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ἡ διὰ τῶν συνεχῶν σημείων γραμμή , ὡς προείρηται , ἡ △ΘΖ , καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΚ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ Θ , καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ · διὰ ἄρα τὰ προγεγραμμένα τῶν ΓΛ , ΛΘ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΛ , Λ△ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΘ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ , ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ , οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β , ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ταῖς ΓΛ , ΛΜ , Λ△ , ΛΘ παρεμβάλωμεν μέσας τῶν Α , Β , ὡς τὰς Ν , Ξ , ἔσονται εἰλημμέναι τῶν Α , Β μέσαι ἀνάλογον αἱ Ν , Ξ · ὅπερ ἕδει εὑρεῖν .
Lemmas: ἐν κύκλος διάγω δύο διάμετρος πρός ὀρθός ὁ ΑΒ , Γ△ , καί δύο περιφέρεια Ἴσαι ἀπολαμβάνω ἐπί ἑκάτερος ὁ Β ὁ ΕΒ , ΒΖ , καί διά ὁ Ζ παράλληλος ὁ ΑΒ ἄγω ὁ ΖΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ △Ε . λέγω ὅτι ὁ ΓΗ , ΗΘ δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΖΗ , Η△ . ἄγω γάρ διά ὁ Ε ὁ ΑΒ παράλληλος ὁ ΕΚ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΕΚ ὁ ΖΗ , ὁ δέ ΚΓ ὁ Η△ . εἰμί γάρ οὗτος δῆλος ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ Ε , Ζ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς · Ἴσαι γάρ γίγνομαι ὁ ὑπό Γλε , ΖΛ△ , καί ὀρθός ὁ πρός ὁ Κ , ὁ · καί πᾶς ἄρα πᾶς διά ὁ ὁ ΛΕ ὁ ΛΖ ἴσος εἰμί · καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΚ ὁ Η△ ἴσος εἰμί . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ △Κ πρός ΚΕ , ὁ △Η πρός ΗΘ , ἀλλά ὡς ὁ △Κ πρός ΚΕ , ὁ ΕΚ πρός ΚΓ · μέσος γάρ ἀνάλογος ὁ ΕΚ ὁ △Κ , ΚΓ · ὡς ἄρα ὁ △Κ πρός ΚΕ καί ὁ ΕΚ πρός ΚΓ , οὕτως ὁ △Η πρός ΗΘ . καί εἰμί ἴσος ὁ μέν △Κ ὁ ΓΗ , ὁ δέ ΚΕ ὁ ΖΗ , ὁ δέ ΚΓ ὁ Η△ · ὡς ἄρα ὁ ΓΗ πρός ΗΖ , ὁ ΖΗ πρός Η△ καί ὁ △Η πρός ΗΘ . ἐάν δή παρά ἑκάτερος ὁ Β λαμβάνω περιφέρεια Ἴσαι ὁ ΜΒ , ΒΝ , καί διά μέν ὁ Ν παράλληλος ἄγω ὁ ΑΒ ὁ ΝΞ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ △Μ , εἰμί πάλιν ὁ ΓΞ , Ξ0 μέσος ἀνάλογος ὁ ΝΞ , Ξ△ . πλείων οὖν οὕτως καί συνεχής παράλληλος ἐκβάλλω μεταξύ ὁ Β , △ καί ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό αὐτός περιφέρεια πρός ὁ Β ἴσος τίθημι ἀπό ὁ Β ὡς ἐπί ὁ Γ καί ἐπί ὁ γίγνομαι σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἀπό ὁ △ , ὡς ὁ ὅμοιος ὁ △Ε , △Μ , τέμνω ὁ παράλληλος ὁ μεταξύ ὁ Β , △ κατά τις σημεῖον , ἐπί ὁ πρόκειμαι καταγραφή ὁ ὁ , Θ , ἐπί ὁ κανών παράθεσις ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἔχω καταγράφω ἐν ὁ κύκλος τις γραμμή , ἐπί ὅς ἐάν λαμβάνω τυγχάνω σημεῖον καί διά αὐτός παράλληλος ἄγω ὁ ΛΒ , εἰμί ὁ ἄγω καί ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό αὐτός ἀπό ὁ διάμετρος πρός ὁ △ μέσος ἀνάλογος ὁ τε ἀπολαμβάνω ὑπό αὐτός ἀπό ὁ διάμετρος πρός ὁ Γ σημεῖον καί ὁ μέρος αὐτός ὁ ἀπό ὁ ἐν ὁ γραμμή σημεῖον ἐπί ὁ Γ△ διάμετρος . οὗτος προκατασκευάζω εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς , ὅς δεῖ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω , ὁ Α , Β , καί ἵστημι κύκλος , ἐν ὅς δύο διάμετρος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ Γ△ , ΕΖ , καί γράφω ἐν αὐτός ὁ διά ὁ συνεχής σημεῖον γραμμή , ὡς προερέω , ὁ △ΘΖ , καί γίγνομαι ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ ΓΗ πρός ΗΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΚ καί ἐκβάλλω τέμνω ὁ γραμμή κατά ὁ Θ , καί διά ὁ Θ ὁ ΕΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΛΜ · διά ἄρα ὁ προγράφω ὁ ΓΛ , ΛΘ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΜΛ , Λ△ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΓΛ πρός ΛΘ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΚ , ὡς δέ ὁ ΓΗ πρός ΗΚ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β , ἐάν ἐν ὁ αὐτός λόγος ὁ ΓΛ , ΛΜ , Λ△ , ΛΘ παρεμβάλλω μέσος ὁ Α , Β , ὡς ὁ Ν , Ξ , εἰμί λαμβάνω ὁ Α , Β μέσος ἀνάλογος ὁ Ν , Ξ · ὅσπερ ἕδος εὑρίσκω .