eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 19
Ἀλλὰ τὰ εἰρημένα χωρία πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ πλευρᾶς | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ △ΛΚ , παραλλήλου οὔσης τῆς ΕΚ τῇ ΑΛ ἐστὶν ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Α , ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ . Ὡς δὲ ἡ Ε△ πρὸς △Α , ἡ ΕΖ πρὸς ΑΓ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ , ἡ ΕΖ πρὸς ΑΓ καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΑΓ . Ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς γωνίας τῶν πολυγώνων δειχθήσεται ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον πρὸς ἀλλήλας , ὃν ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ . Καὶ ὡς ἄρα ἓν , πρὸς ἕν , οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα · ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ , οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γωνίας μετὰ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ μείζονος τμήματος πρὸς πάσας τὰς ἐπιζευγνυούσας μετὰ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ ἐλάσσονος τμήματος . Ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς ΕΚ καὶ πασῶν πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΛ καὶ πασῶν · τὰ γὰρ ὅμοια εὐθύγραμμα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν , καὶ τοῦ μὲν τῆς ΕΚ πρὸς ΑΛ λόγου διπλασίων ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ , τῶν δὲ ἐπιζευγνυουσῶν τὰς τοῦ μείζονος πρὸς τὰς ἐπιζευγνυούσας τὰς τοῦ ἐλάττονος διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ τῆς ΕΚ καὶ πασῶν πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΛ καὶ πασῶν · ὅμοια γὰρ καὶ ταῦτα διὰ τὸ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχειν . Καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας , οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον ἠγμένην | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν , ἔσται ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἐπʼ ἀμφοτέρας τὰς ΕΚ , ΑΛ , καὶ ἔσται ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Α , τουτέστιν ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ , ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθεῖσα , τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον . Ἐδείχθη δὲ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ , οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν κύκλου | Ἐπεὶ δέδεικται ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον , οὕτως ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν Ν , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν .
Lemmas: ἀλλά ὁ εἴρω χωρίον πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πλευρά πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΛ πλευρά | ἐάν γάρ ἐπιζεύγνυμι ὁ △ΛΚ , παράλληλος εἰμί ὁ ΕΚ ὁ ΑΛ εἰμί ὡς ὁ Ε△ πρός △Α , ὁ ΕΚ πρός ΑΛ . ὡς δέ ὁ Ε△ πρός △Α , ὁ ΕΖ πρός ΑΓ · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΚ πρός ΑΛ , ὁ ΕΖ πρός ΑΓ καί ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖ πρός ὁ ἥμισυς ὁ ΑΓ . ὅμοιος δή καί ἐπί πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία ὁ πολύγωνος δείκνυμι ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος πρός ἀλλήλων , ὅς ὁ ΕΚ πρός ΑΛ . καί ὡς ἄρα εἷς , πρός εἷς , οὕτως ἅπας πρός ἅπας · ὡς ἄρα ὁ ΕΚ πρός ΑΛ , οὕτως πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ὁ περιγράφω γωνία μετά ὁ ἥμισυς ὁ βάσις ὁ μείζων τμῆμα πρός πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι μετά ὁ ἥμισυς ὁ βάσις ὁ μικρός τμῆμα . ὥστε καί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΛ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΕΚ καί πᾶς πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΛ καί πᾶς · ὁ γάρ ὅμοιος εὐθύγραμμος ἐν διπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά , καί ὁ μέν ὁ ΕΚ πρός ΑΛ λόγος διπλάσιος ὁ ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΛ , ὁ δέ ἐπιζεύγνυμι ὁ ὁ μείζων πρός ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ὁ μικρός διπλάσιος εἰμί ὁ ὁ ὑπό ὁ ΕΚ καί πᾶς πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΛ καί πᾶς · ὅμοιος γάρ καί οὗτος διά ὁ ὁ πλευρά ἀνάλογος ἔχω . καί εἰμί ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μικρός σφαῖρα , οὕτως ὁ ΑΛ πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΑΛ κάθετος ἄγω | ἐάν γάρ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς , εἰμί ὁ ἐπιζεύγνυμι κάθετος ἐπί ἀμφότερος ὁ ΕΚ , ΑΛ , καί εἰμί ὡς ὁ Ε△ πρός △Α , τουτέστιν ὁ ΕΚ πρός ΑΛ , ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι , τουτέστιν ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μικρός σφαῖρα πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΑΛ κάθετος . δείκνυμι δέ ὡς ὁ ΕΚ πρός ΑΛ , οὕτως ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ κύκλος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν κύκλος | ἐπεί δείκνυμι ὅτι εἰμί ὡς ὁ πολύγωνος πρός ὁ πολύγωνος , οὕτως ὁ Μ κύκλος πρός ὁ Ν , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ πρός ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν .