eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 31
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α , Ε · δεῖ δὴ τῶν Α , Ε δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Γεγονέτω , καὶ ἔστωσαν αἱ Β , Γ , καὶ ἐκκείσθω θέσει εὐθεῖα ἡ △Η πεπερασμένη κατὰ τὸ △ , καὶ πρὸς τῷ △ τῇ Γ ἴση κείσθω ἡ △Ζ καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ , καὶ τῇ Β ἴση κείσθω ἡ ΖΘ . Ἐπεὶ οὖν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α , Β , Γ , τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β · τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης τῆς Α καὶ τῆς Γ , τουτέστι τῆς △Ζ , ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ . Ἐπὶ παραβολῆς ἄρα τὸ Θ διὰ τοῦ γεγραμμένης . Ἤχθωσαν παράλληλοι αἱ ΘΚ , △Κ . Καὶ ἐπεὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ Β , Γ , ἴσον γάρ ἐστι τῷ ὑπὸ Α , Ε , δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΘΖ . Ἐπὶ ὑπερβολῆς ἄρα τὸ Θ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△ , △Ζ . Δοθὲν ἄρα τὸ Θ · ὥστε καὶ τὸ Ζ . Συντεθήσεται δὴ οὕτως . Ἔστωσαν αἱ μὲν δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ Α , Ε , ἡ δὲ τῇ θέσει ἡ △Η πεπαρασμένη κατὰ τὸ △ , καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ παραβολή , ἧς ἄξων μὲν ἡ △Η , ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ Α , αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν △Η ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ δυνάσθωσαν τὰ παρὰ τὴν Α παρακείμενα χωρία πλάτη ἔχοντα τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπʼ αὐτῶν πρὸς τῷ σημείῳ . Γεγράφθω καὶ ἔστω ἡ △Θ , καὶ ὀρθὴ ἡ △Κ , καὶ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△ , △Ζ γεγράφθω ὑπερβολή , ἀφ᾿ ἧς αἱ παρὰ τὰς Κ△ , △Ζ ἀχθεῖσαι ποιήσουσιν τὸ χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ Α , Ε · τεμεῖ δὴ τὴν παραβολήν . Γεμνέτω κατὰ τὸ Θ , καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΘΚ , ΘΖ . Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Α , △Ζ , ἔστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ , ἡ ΘΖ πρὸς Ζ△ . Πάλιν , ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Α , Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖ△ , ἔστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ , ἡ Ζ△ πρὸς τὴν E . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ , ἡ ΖΘ πρὸς Ζ△ · καὶ ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν ΖΘ , ἡ ΖΘ πρὸς Ζ△ καὶ ἡ Ζ△ πρὸς Ε . Κείσθω τῇ μὲν ΘΖ ἴση ἡ Β , τῇ δὲ △Ζ ἴση ἡ Γ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , ἡ Β πρὸς τὴν Γ καὶ ἡ πρὸς Ε . Αἱ Α , Β , Γ , Ε ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν · ὅπερ ἔδει εὑρεῖν .
Lemmas: εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς ὁ Α , Ε · δεῖ δή ὁ Α , Ε δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω . γίγνομαι , καί εἰμί ὁ Β , Γ , καί ἔκκειμαι θέσις εὐθύς ὁ △Η περαίνω κατά ὁ △ , καί πρός ὁ △ ὁ Γ ἴσος κεῖμαι ὁ △Ζ καί ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΖΘ , καί ὁ Β ἴσος κεῖμαι ὁ ΖΘ . ἐπεί οὖν τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , ὁ ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β · ὁ ἄρα ὑπό δίδωμι ὁ Α καί ὁ Γ , τουτέστι ὁ △Ζ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΖΘ . ἐπί παραβολή ἄρα ὁ Θ διά ὁ γράφω . ἄγω παράλληλος ὁ ΘΚ , △Κ . καί ἐπεί δίδωμι ὁ ὑπό Β , Γ , ἴσος γάρ εἰμί ὁ ὑπό Α , Ε , δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ΚΘΖ . ἐπί ὑπερβολή ἄρα ὁ Θ ἐν ἀσύμπτωτος ὁ Κ△ , △Ζ . δίδωμι ἄρα ὁ Θ · ὥστε καί ὁ Ζ . συντίθημι δή οὕτως . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ Α , Ε , ὁ δέ ὁ θέσις ὁ △Η πεπαρασμένη κατά ὁ △ , καί γράφω διά ὁ παραβολή , ὅς ἄγω μέν ὁ △Η , ὄρθιος δέ ὁ εἶδος πλευρόν ὁ Α , ὁ δέ κατάγω ἐπί ὁ △Η ἐν ὀρθός γωνία δύναμαι ὁ παρά ὁ Α παράκειμαι χωρίον πλάτη ἔχω ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό αὐτός πρός ὁ σημεῖον . γράφω καί ἵστημι ὁ △Θ , καί ὀρθός ὁ △Κ , καί ἐν ἀσύμπτωτος ὁ Κ△ , △Ζ γράφω ὑπερβολή , ἀπό ὅς ὁ παρά ὁ Κ△ , △Ζ ἄγω ποιέω ὁ χωρίον ἴσος ὁ ὑπό Α , Ε · τέμνω δή ὁ παραβολή . Γεμνέτω κατά ὁ Θ , καί κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ , ΘΖ . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ΖΘ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Α , △Ζ , εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ ΖΘ , ὁ ΘΖ πρός Ζ△ . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό Α , Ε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΘΖ△ , εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ ΖΘ , ὁ Ζ△ πρός ὁ E . ἀλλά ὡς ὁ Α πρός ὁ ΖΘ , ὁ ΖΘ πρός Ζ△ · καί ὡς ἄρα ὁ πρός ὁ ΖΘ , ὁ ΖΘ πρός Ζ△ καί ὁ Ζ△ πρός Ε . κέω ὁ μέν ΘΖ ἴσος ὁ Β , ὁ δέ △Ζ ἴσος ὁ Γ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Β πρός ὁ Γ καί ὁ πρός Ε . ὁ Α , Β , Γ , Ε ἄρα ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί · ὅσπερ ἐσθίω εὑρίσκω .