eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 37
Καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον διὰ τῆς κατασκευῆς ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ , ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ καὶ ἡ △Χ πρὸς ΧΒ | Ἐν γὰρ τῷ πρὸ τούτου συνήγετο οὕτως ἐπεί ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ Κ△ , △Χ πρὸς △Χ , οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ , διελόντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Χ , ἡ ΡΒ πρὸς ΒΧ · ἐναλλὰξ ὡς ἡ Κ△ , τουτέστιν ἡ ΚΒ , πρὸς ΒΡ , ἡ △Χ πρὸς ΧΒ . Πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΛΧ πρὸς Χ△ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΒ , ΒΧ πρὸς ΧΒ , διελόντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ , ἡ △Χ πρὸς ΧΒ . Ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ △Χ πρὸς ΧΒ , ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ ὡς ἄρα ἡ Λ△ πρὸς △Κ , ἡ △Χ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ . Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς ὅλην τὴν ΚΛ ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ | Ὡς γὰρ ἓν πρὸς ἕν , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα . Ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△| Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΚ , ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ , καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△ · ἀνάλογον γάρ εἰσιν ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△ . Κείσθω τῇ ΚΒ ἴση ἡ ΒΖ · ὅτι γὰρ ἐκτὸς τοῦ Ρ πεσεῖται δῆλον | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Χ△ πρὸς ΧΒ , οὕτως ἡ ΧΒ πρὸς ΒΡ , μείζων δὲ ἡ △Χ τῆς ΧΒ , μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ . Ἐκτὸς ἄρα τοῦ Ρ πίπτει τὸ Ζ . Ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶ τῆς △Λ πρὸς ΛΧ δοθεὶς καὶ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ , καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶ δοθείς | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ , τουτέστιν ἡ ΖX πρὸς ΧΒ , οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς Χ△ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ ΧΖ πρὸς ΖΒ , οὕτως ἡ ΧΛ πρὸς Λ△ , καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ , ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ . Δέδοται δὲ ὁ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος , ἐπειδὴ ἡ μὲν ΖΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς δεδομένης σφαίρας , ἡ δὲ ΒΧ τῶν Β , Χ περάτων αὐτῆς δεδομένων καθ᾿ ὑπόθεσιν τετμημένης τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδου καὶ τῆς △Β πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῇ ΑΓ δἔδοται , καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὅλη ἡ ΧΖ καὶ ὁ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΒ · ὥστε καὶ ὁ τῆς ΧΛ πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶν δοθείς . Πάλιν ἐπειδὴ δέδοται ὁ λόγος τῶν τμημάτων , καὶ ὁ τοῦ ΛΑΓ κώνου πρὸς τὸν κῶνον λόγος ἔσται δοθείς · ὥστε καὶ ὁ τῆς ΛΧ πρὸς ΧΡ πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη · καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΡΛ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐστὶ δοθείς . Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρας τῶν ΡΛ , Λ△ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐσστὶ δοθείς , καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶ δοθείς · τὰ γὰρ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχοντα δεδομένον καὶ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον . Ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , καὶ ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ | Ὅτι μὲν ἡ σύνθεσις τῶν λόγων λαμβάνεται τῆς Λ△ μέσης λαμβανομένης , ὡς κὰν τῇ Στοιχειώσει ἐλαμβάνετο , φανερὸν ἐπεὶ δὲ τὸ λεγόμενον ἀδιαρθρώτως πως καὶ οὐχ οὕτως , ὥστε τὴν ἔννοιαν ἀποπληρῶσαι , λέλεκται , ὡς ἔστιν εὑρεῖν ἐντυγχάνοντας Πάππῳ τε καὶ Θέωνι καὶ Ἀρκαδίῳ ἐν πολλοῖς συντάγμασιν οὐκ ἀποδεικτικῶς , ἀλλ᾿ ἐπαγωγῇ τὸ λεγόμενον παριστῶσιν , οὐδὲν ἄτοπον πρὸς βραχὺ ἐνδιατρίψαντας τῷ λόχῳ τὸ σαφέστερον παραστῆσαι . Φημὶ τοίνυν ὅτι , ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν μέσος τις ὅρος ληφθῇ , ὁ τῶν ἐξ ἀρχῆς ληφθέντων ἀριθμῶν λόχος σύγκειται ἐκ τοῦ λόγου , ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν μέσον , καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ μέσος πρὸς τὸν τρίτον . Ὑπομνηστέον δὴ πρότερον πῶς ἐλέγετο λόφος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι . Ὡς γὰρ ἐν τῇ Στοιχειώσει · ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ᾿ ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσίν τινα , πηλικότητος δηλονότι λεγομένης τοῦ ἀριθμοῦ , οὗ παρώνυμός ἐστιν ὁ διδόμενος λόχος , ὥς φασιν ἄλλοι τε καὶ Νικόμαχος ἐν τῷ πρώτῳ Περὶ μουσικῆς καὶ Ἡρώνας ἐν τῷ ὑπομνήματι τῷ εἰς τὴν Ἀριθμητικὴν εἰσαγωγήν , ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν καὶ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ πολλαπλασιαζομένου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον τοῦ λόχου καὶ ποιοῦντος τὸν ἡγούμενον . Καὶ κυριώτερον μὲν ἐπὶ τῶν πολλαπλασίων ἡ πηλικότης ἂν λαμβάνοιτο , ἐπὶ δὲ τῶν ἐπιμορίων ἢ ἐπιμερῶν οὐκέτι τὴν πηλικότητα δυνατὸν λαμβάνεσθαι ἀδιαιρέτου μενούσης τῆς μονάδος ὥστ᾿ ἐπ᾿ ἐκείνων διαιρετέον τὴν μονάδα , ὃ εἰ καὶ μὴ κατὰ τὸ προσῆκον τῇ ἀριθμητικῇ ἀλλὰ τῇ λογιστικῇ τυγχάνει . Διαιρεῖται δὲ ἡ μονὰς κατὰ τὸ μέρος ἢ τὰ μέρη , ἀφ᾿ ὧν ὠνόμασται ὁ λόγος , ὥστε εἶναι ὡς ἐν σαφεστέρῳ τῷ λέχειν τοῦ μὲν ἡμιολίου λόγου πηλικότητα πρὸς τῇ μονάδι καὶ τὸ ἥμισυ τῆς μονάδος , τοῦ δὲ ἐπιτρίτου πρὸς τῇ μονάδι τὸ τρίτον , ὥστε , καθὰ καὶ ἀνωτέρω εἴρηται , τὴν πηλικότητα τοῦ λόγου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον πολλαπλασιαζομένην ποιεῖν τὸν ἡγούμενον . Τοῦ γὰρ ἐννέα πρὸς τὰ ἓξ ἡμιολίου πηλικότης οὖσα ἡ μονὰς καὶ τὸ ἥμσυ πολλαπλασιασθεῖσα ἐπὶ τὸν ς΄ ποιεῖ τὸν θ , καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ τὸ αὐτὸ ἔξεστι κατανοεῖν . Τούτων δὴ προσαφηνισθέντων ἐπανακτέον ἐπὶ τὸ προτεθέν , Ἔστωσαν γὰρ οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , μέσος δὲ αὐτῶν εἰλήφθω τις ὁ Γ · δεικτέον δὴ ὅτι ὁ τοῦ A πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ὁ A πρὸς τὸν Γ , καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Β . Eἰλήφθω γὰρ τοῦ μὲν Α , Γ λόγου πηλικότης ὁ △ , τοῦ δὲ Γ , Β ὁ E · ὁ ἄρα Γ τὸν △ πολλαπλασιάσας τὸν A ποιεῖ , ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ . Ὁ δὴ △ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω . Λέγω ὅτι ὁ Ζ πηλικότης ἐστὶ τοῦ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγου , τουτέστιν ὅτι ὁ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ . Ὁ γὰρ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω , Ἐπεὶ οὖν ὁ Β τὸν μὲν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν , τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε , ὁ πρὸς τὸν Γ . Πάλιν , ἐπεὶ ὁ △ τὸν μὲν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν , τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ , ὁ Ζ πρὸς τὸν Α . Ἐναλλὰξ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , ὁ Γ πρὸς τὸν Α , καὶ ἀνάπαλιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ . Ἀλλ᾿ ὡς ὁ πρὸς τὸν Ε , ἐδείχθη ὁ Η πρὸς τὸν Γ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Γ , ὁ Α πρὸς τὸν Γ · ἴσος ἄρα ὁ Α τῷ Η . Ἀλλ᾿ ὁ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ ὁ Ζ ἄρα πηλικότης ἐστὶ τοῦ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόχου . Καὶ ἔστιν ὁ Ζ τοῦ △ ἐπὶ τὸν Ε πολλαπλασιασθέντος , τουτέστι τῆς πηλικότητος τοῦ Α , Γ λόγου ἐπὶ τὴν πηλικότητα τοῦ Γ , Β λόγου ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ , καὶ ὁ πρὸς τὸν Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ ὑποδείγματος φανερὸν γένηται τὸ εἰρημένον . παρεμπιπτέτω τοῦ ιβ καὶ τοῦ β μέσος τις ἀριθμὸς ὁ δ . Λέγω ὅτι ὁ τοῦ β πρὸς τὸν β λόγος , τουτέστν ὁ ἑξαπλάσιος , σύγκειται ἔκ τε τοῦ τριπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὰ △Ζ καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ △Ζ πρὸς τὰ β . Ἐὰν γὰρ τὰς πηλικότητας τῶν λόγων πολλαπλασιάσωμεν ἐπ᾿ ἀλλήλας , τουτέστι τὸν γ ἐπὶ τὸν β , γίνεται ὁ ς΄ πηλικότης ὢν τοῦ ιβ πρὸς τὰ β λόγου , καί ἐστιν ἑξαπλάσιος , ὅνπερ καὶ προέκειτο ὑποδεῖξαι . Εἰ δὲ καὶ ὁ μέσος παρεμπίπτων μὴ ὑπάρχῃ τοῦ μὲν μείζονος ἐλάττων , τοῦ δὲ ἐλάττονος μείζων , ἀλλ᾿ ἢ τὸ ἀνάπαλιν ἢ ἀμφοτέρων μείζων ἢ ἀμφοτέρων ἐλάττων , καὶ οὕτως ἡ σύνθεσις ἡ προειρημένη ἀκολουθήσει . Τοῦ θ καὶ τοῦ ς΄ μέσος τις παρεμπιπτέτω ἀμφοτέρων μείζων ὁ ιβ . Λέγω ὅτι ἔκ τε τοῦ ὑπεπτρίτου τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὸν ς΄ σύγκειται ὁ ἡμιόλιος τοῦ θ πρὸς τὰ ς΄ . Ἡ γὰρ πηλικότης τοῦ τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου ἐστὶ τρία τέταρτο , τουτέστν ἥμισυ καὶ τέταρτον , ἡ δὲ πηλικότης τοῦ ιβ πρὸς τὸν ς΄ ἐστὶν ὁ β , Ἐὰν οὖν πολλαπλασιάσωμεν τὸν β ἐπὶ τὸ ἥμισυ καὶ τὲταρτον , γίνεται μονὰς α καὶ ἥμισυ , ἥτις πηλικότης ἐστὶ τοῦ ἡμιολίου λόγου , ὃν ἔχει καὶ ὁ θ πρὸς τὸν ς΄ . Ὁμοίως δέ , κἂν τοῦ θ καὶ μέσος ἐμπέσῃ ὁ δ , ἐκ τοῦ θ πρὸς △Ζ διπλασιεπιτετάρτου καὶ τοῦ △Ζ πρὸτ ς΄ . ὑφημιολίου σύγκειται ὁ ἡμιόλιος λόφος . Πάλιν γὰρ τὴν πηλικότητα τοῦ διπλασιεπιτετάρτου τὰ β δ΄ ἐπὶ τὴν πηλικότητα τοῦ ὑφημιολίου , τουτέστι τὰ δύα τρίτα , πολλαπλασιάσαντες ἕξομεν τὸ ἓν ἥμισυ πηλικότητα τοῦ ἡμιολίου , ὡς εἴρηται , λόγου . Καὶ ἐπὶ πάντων δὲ ὁμοίως ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος . Συμφανὲς δὲ ἐκ τῶν εἰρημένων ὡς , ἐὰν δύο δοθέντων ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν κἂν μὴ εἷς μέσος , πλείους δὲ , παρεμπίπτωσιν ὅροι , ὁ τῶν ἄκρων λόγος σύγκεται ἐκ πάντων τῶν λόχων , ὧν ἔχουσιν οἱ κατὰ τὸ ἑξῆς κείμενοι ὅροι ἀρχὸμενοι ἀπὸ πρώτου καὶ λήοντες εἰς τὸν ἔσχατον τῇ κατὰ τοὺς ἐχομένους τάξει . Δύο γὰρ ὄντων ὅρων τῶν Α , Β παρεμπιπτέτωσαν πλείους ἑνὸς οἱ Γ , △ . Λέγω ὅτι ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόφος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ , καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △ , καὶ ὁ △ πρὸς τὸν Β . Ἐπεὶ γὰρ ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν △ , καὶ ὁ △ πρὸς τὸν Β , ὡς ἀνωτέρω εἴρηται , ὁ δὲ τοῦ Α πρὸς τὸν λόχος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ , καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △ , ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ , καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △ , καὶ ὁ πρὸς τὸν Β . Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δειχθήσεται . Ἔτι ἐν τῷ ῥητῷ φησιν Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , ἐδείχθη τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ | Ἐπεὶ γὰρ δὲδεικται ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ △Λ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△ , οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΧ ἐδείχθη γὰρ ὡε ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ , ἡ Β△ πρὸς △Χ διὰ τοῦ συνθέντι · ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ . Πεποιήσθω δὲ ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ , ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ Τὸ Θ σημεῖον ὅπως ποτὲ μὲν ἂν τεθῇ , ὅσον πρὸς τὴν ἀκολουθίαν τῆς ἀποδείξεως κατʼ οὐδὲν ἐμποδὼν γίνεται τῷ λόγῳ · ὅτι δέ , καθὰ ἐν τῇ καταγραφῇ κεῖται , ἀεὶ μεταξὺ τῶν Β , Ρ πίπτει οὕτως ἔσται δῆλον . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΛΚ πρὸς △Κ , τουτέστι πρὸς ΚΒ , οὕτως ἡ ΚΡ πρὸς ΡΒ , καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν , οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα , ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΚ , ἡ ΚΡ πρὸς ΡΒ , Μείζονα δὲ λόγον ἔχει ἡ ΛΡ πρὸς ΡΧ ἤπερ ἡ ΛΡ πρὸς ΡΚ καὶ ἡ ΛΡ ἄρα πρὸς ΡΧ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΚΡ πρὸς ΒΡ , τουτέστιν ἡ ΖΒ πρὸς ΒΡ . Ἀναστρέψαντι ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ ἐλάσσονα ἔχει λόγον ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΡ . Ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ , οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ἄλλην τινά , ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΖΡ . Φανερὸν δὲ αὐτόθεν ὅτι ἡ ΖΘ τῆς ΘΒ μείζων ἐστίν . Ἐπεὶ γὰρ δὲδεικται ὡς ἡ Λ△ πρὸς ∠Κ , ἡ △Χ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ , μείζων δὲ ἡ △Χ τῆς ΧΒ , μείζων ἄρα καὶ ἡ Λ△ τῆς △Κ καὶ ἡ ΚB τῆς ΒΡ ὥστε καὶ ἡ Λ△ τῆς ΒΡ . Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΛΧ τῆς ΧΡ μείζων ἐστίν · ὥστε καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΘΒ . Λοιπὸν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ Β△ , τουτέστι τὸ δοθέν , πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , οὕτως ἡ ΖΧ πρὸς ΖΘ Ἐπεὶ γὰρ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΘΖ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ , τῷ δὲ αὐτῷ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΘ ὁ αὐτός ἐστι καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ , καὶ ὁ συγκείμενος ἄρα ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ καὶ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τοῦ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ . Ἐὰν οὖν τὸν ἐν ἀμφοτέροις τοῖς λόφοις κοινὸν ἀφέλωμεν τὸν τῆς ΒΖ πρὸς ΧΖ , λοιπὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ . Καὶ δὴ δοθεῖσαν τὴν τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν · τουτέστι τὴν ΖΘ · οὕτως τὸ δοθέν τουτέστι τὸ ἀπὸ Β△ · πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Χ . Τοῦτο δὲ οὕτως ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορισμόν , προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν △Β τῆς ΒΖ καὶ τοῦ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ , ὡς κατὰ τὴν ἀνάλυσιν · οὐκ ἔχει διορισμόν καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον · δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν △Β , ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς △Β τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , τὴν ΧΖ πρὸς ΖΘ · ἑκάτερα δὲ ταῦτα ἐπὶ τέλει ἀναλυθήσεται καὶ συντεθήσεται | Ἐπὶ τέλει μὲν τὸ προρηθὲν ἐπηγγείλατο δεῖξαι , ἐν οὐδενὶ δὲ τῶν ἀντιγράφων εὑρεῖν ἔνεστι τὸ ἐπάχγελμα . Ὅθεν καὶ Διονυσόδωρον μὲν εὑρίσκομεν μὴ τῶν αὐτῶν ἐπιτυχόντα , ἀδυνατήσαντα δὲ ἐπιβαλεῖν τῷ καταλειφθέντι λήμματι , ἐφ᾿ ἑτέραν ὁδὸν τοῦ ὅλου προβλήματος ἐλθεῖν , ἥντινα ἑξῆς γράψομεν Διοκλῆς μέντοι καὶ αὐτὸς ἐν τῷ Περὶ πυρίων αὐτῷ συγγεγραμμένῳ βιβλίῳ ἐπηγγέλθαι νομίζων τὸν Ἀρχιμήδη , μὴ πεποιηκέναι δὲ τὸ ἐπάγγελμα , αὐτὸς ἀναπληροῦν ἐπεχείρησεν , καὶ τὸ ἐπιχείρημα ἑξῆς γράψομεν ἔστιν γὰρ καὶ αὐτὸ οὐδένα μὲν ἔχον πρὸς τὰ παραλελειμμένα λόγον , ὁμοίως δὲ τῷ Διονυσοδώρῳ διʼ ἑτέρας ἀποδείξεως κατασκευάζον τὸ πρόβλημα . Ἔν τινι μέντοι παλαιῷ βιβλίῳ οὐδὲ γὰρ τῆς εἰς πολλὰ ζητήσεως ἀπὲστημεν ἐντετύχαμεν θεωρήμασι γεγραμμένοις οὐκ ὀλίγην μὲν τὴν ἐκ τῶν πταισμάτων ἔχουσιν ἀσὰφειαν περί τε τὰς καταγραφὰς πολυτρόπως ἡμαρτημένοις , τῶν μέντοι ζητουμένων εἶχον τὴν ὑπόστασιν , ἐν μέρει δὲ τὴν Ἀρχιμήδει φίλην Δωρίδα γλῶσσαν ἀπέσωζον καὶ τοῖς συνήθεσι τῷ ἀρχαίῳ τῶν πραγμάτων ὀνόμασιν ἐγέγραπτο τῆς μὲν παραβολῆς ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ὀνομαζομένης , τῆς δὲ ὑπερβολῆς ἀμβλυγωνίου κώνου τομῆς , ὡς ἐξ αὐτῶν διανοεῖσθαι , μὴ ἄρα καὶ αὐτὰ εἴη τὰ ἐν τῷ τέλει ἐπηγγελμένα γράφεσθαι . Ὅθεν σπουδαιότερον ἐντυγχάνοντες αὐτὸ μὲν τὸ ῥητόν , ὡς γέγραπται , διὰ πλῆθος , ὡς εἴρηται , τῶν πταισμάτων δυσχερὲς εὑρόντες τὰς ἐννοίας κατὰ μικρὸν ἀποσυλήσαντες κοινοτέρᾳ καὶ σαφεστέρᾳ κατὰ τὸ δυνατὸν λέξει γράφομεν . Καθόλου δὲ πρῶτον τὸ θεώρημα γραφήσεται , ἵνα τὸ λεγόμενον ὑπʼ αὐτοῦ σαφηνισθῇ περὶ τῶν διορισμῶν εἶτα καὶ τοῖς ἀναλελυμένοις ἐν τῷ προβλήματι προσαρμοσθήσεται . Εὐθείας δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΓ καὶ χωρίου τοῦ △ προκείσθω λαβεῖν ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον ὡς τὸ Ε , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς ΑΓ , οὕτω τὸ χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ . Γεγονέτω , καὶ κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΓΗ , διὰ δὲ τοῦ Β τῷ ΑΓ παράλληλος ἡ ΖΒΗ συμπίπτουσα ἑκατέρᾳ τῶν ΓE , ΓΗ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΘ παραλληλόγραμμον , καὶ διὰ τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΓΘ , ΗΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ , καὶ τῷ △ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΗΜ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπο ΕΒ , ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ , ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ , ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ , οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ , τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ∠ , τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΜ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΜ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ , τῆς ΗΖ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΖ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΖ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΗΖ τῷ ἀπὸ ΖΚ . Ἐὰν ἄρα περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ γραφῇ διὰ τοῦ Η παραβολή , ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΜ , ἥξει διὰ τοῦ Κ , καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ δεδομένην εἶναι τὴν ΗΜ τῷ μεγέθει περιέχουσαν μετὰ τῆς ΗΓ δεδομένης δοθὲν τὸ △ · τὸ ἄρα Κ ἅπτεται θέσει δεδομένης παραβολῆς . Γεγράφθω οὖν , ὡς εἴρηται , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΗΚ . Πίλιν , ἐπειδὴ τὸ ΘΛ χωρίον ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΒ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΚΛ τῷ ὑπὸ ΑΒΗ , ἐὰν διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΓ , ΓΗ γραφῇ ὑπερβολή , ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ η΄ θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων , καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ καὶ ἑκατέραν τῶν ΘΓ , ΓΗ , ἔτι μὴν καὶ τὸ Β τῇ θέσει δεδόσθαι . Γεγράφθω , ὡς εἴρηται , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΚΒ · τὸ ἄρα ἅπτεται θέσει δεδομένης ὑπερβολῆς . Ἥπτετο δὲ καὶ θέσει δεδομένης παραβολῆς δέδοται ἄρα τὸ Κ . Καί ἐστιν ἀπʼ αὐτοῦ κάθετος ἡ ΚΕ ἐπὶ θέσει δεδομένην τὴν ΑΒ · δέδοται ἄρα τὸ Ε , Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν δοθεῖσαν τὴν ΑΓ , οὕτως δοθὲν τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ , δύο στερεῶν , ὧν βάσεις τὸ ἀπὸ ΕΒ καὶ τὸ △ , ὕψη δὲ αἰ ΕΑ , ΑΓ , ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕφεσιν ὥστε ἴσα ἐστὶ τὰ στερεά τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΒ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἴσον ἐστὶ τῷ δοθέντι τῷ △ ἐπὶ δοθεῖσαν τὴν ΓΑ , Ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμβανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ , ὅταν ᾖ διπλασία ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ , ὡς δειχθήσεται · δεῖ ἄρα τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ . Συντεθήσεται δὲ οὕτως ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ , ἄλλη δὲ τις δοθεῖσα ἡ ΑΓ , τὸ δὲ δοθὲν χωρίον τὸ △ , καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὴν ΑΒ , ὥστε εἶναι ὡς τὸ ἓν τμῆμα πρὸς τὴν δοθεῖσαν τὴν ΑΓ , οὕτως τὸ δοθὲν τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος . Εἰλήφθω τῆς ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΑΕ · τὸ ἄρα △ ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤτοι μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον . Εἰ μὲν οὖν μεῖζόν ἐστιν , οὐ συντεθήσεται , ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται · εἰ δὲ ἴσον ἐστί , τὸ Ε σημεῖον ποιήσει τὸ πρόβλημα . Ἴσων γὰρ ὄντων τῶν στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ . Εἰ δὲ ἔλασσόν ἐστι τὸ ∠ ἐπὶ τὴν ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ , συντεθήσεται οὕτως κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ , καὶ διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ , διὰ δὲ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΖ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΕ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΘ παραλληλόγραμμον , καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ . Ἐπεὶ οὖν τὸ △ ἐπὶ τὴν ΑΓ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ , ἔστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ . Ἔστω οὖν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ , καὶ τῷ △ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΖΝ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ △ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΖΝ , πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ , ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ , ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ , καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ , ἡ ΓΖ πρὸς ΖΝ , ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΝ , τῆς ΖΗ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖΗ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΗΜ τῷ ὑπὸ ΗΖΝ . Ἐὰν ἄρα διὰ τοῦ περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ γράψωμεν παραβολήν , ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΖΝ , ἥξει διὰ τοῦ Μ . Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΞΖ . Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΛ τῷ ΑΖ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΚΛ τῷ ὑπὸ ΑΒΖ , ἐὰν διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΓ , ΓΖ γράψωμεν ὑπερβολήν , ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ η΄ θεωρήματος τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων . Γεγράφθω , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΚ τέμνουσα τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΟΠ , καὶ διὰ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΡΞΣ . Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΞΚ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΓ , ΓΖ , καὶ παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΡΞΓ ταῖς ΑΒΖ , ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΡΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΖ ὥστε καὶ τὸ ΡΟ τῷ ΟΖ . Ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Σ ἐπιζευχθῇ εὐθεῖα , ἥξει διὰ τοῦ 0 . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΟΣ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ ΟΒ πρὸς ΒΣ , τουτέστιν ἡ ΓΖ πρὸς ΖΣ , ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΣ , τῆς ΖΝ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΖΝ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΖΝ , Καί ἐστι τῷ μὲν ὑπὸ ΓΖΝ ἴσον τὸ △ χωρίον , τῷ δὲ ὑπὸ ΣΖΝ ἴσον τὸ ἀπὸ ΣΞ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΟ διὰ τὴν παραβολήν · ὡς ἄρα ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ △ χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΟ . Εἴληπται ἄρα τὸ Ο σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα . Ὅτι δὲ διπλασίας οὔσης τῆς ΒΕ τῆς ΕΑ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμβανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ δειχθήσεται οὕτως . Ἔστω γάρ , ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει , πάλιν δοθεῖσα εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ΑΓ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ διὰ τοῦ Β παραλλήλῳ ἠχμένῃ τῇ ΑΓ κατὰ τὸ Ζ , καὶ διὰ τῶν Γ , Ζ παράλληλοι τῇ ΑΒ ἤχθωσαν αἱ ΘΖ , ΓΗ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Θ , καὶ ταύτῃ παράλληλος διὰ τοῦ Ε ἤχθω ἡ ΚΕΛ , καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ · τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΑΓ διὰ τὸ δύο στερεῶν ἀντιπεπονθέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν . Λέγω οὖν ὅτι τὸ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΑΓ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως ἐπὶ τῆς ΒΑ λαμβανομένων . Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ παραβολή , ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΜ · ἥξει δὴ διὰ τοῦ Κ , ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται , καὶ συμπεσεῖται ἐκβαλλομένη τῇ ΘΓ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς διὰ τὸ ἕβδομον καὶ εἰκοστὸν θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων . Ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν , καὶ διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΝΓΗ γεγράφθω ὑπερβολή ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Κ , ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει εἴρηται . Ἐρχέσθω οὖν ὡς ἡ ΒΚ , καὶ ἐκβληθείσῃ τῇ ΖΗ ἴση κείσθω ἡ ΗΞ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο · φανερὸν ἄρα ὅτι ἐφάπτεται τῆς παραβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τετάρτου καὶ τριακοστοῦ θεωρήματος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων . Ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ , οὕτως γὰρ ὑπόκειται , τουτέστιν ἡ ΖΚ τῆς ΚΘ , καί ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΘΚ τρίγωνον τῷ ΞΖΚ τργώνῳ , διπλασία ἐστὶ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΟ . Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΠ διπλῆ διὰ τὸ καὶ τὴν ΞΖ τῆς ΞΗ καὶ παράλληλον εἶναι τὴν ΠΗ τῇ ΚΖ ἴση ἄρα ἡ ΟΚ τῇ ΚΠ . Ἡ ἄρα ΟΚΠ ψαύουσα τῆς ὑπερβολῆς καὶ μεταξὺ οὖσα τῶν ἀσυμπτώτων δίχα τέμνεται · ἐφάπτεται ἄρα τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τρίτου θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων . Ἐφήπτετο δὲ καὶ τῆς παραβολῆς κατὰ τὸ αὐτὸ Κ · ἡ ἄρα παραβολὴ τῆς ὑπερβολῆς ἐφάπτεται κατὰ τὸ Κ . Νενοήσθω οὖν καὶ ἡ ὑπερβολὴ προσεκβαλλομένη ὡς ἐπὶ τὸ Ρ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Σ , καὶ διὰ τοῦ τῇ ΚΛ παράλληλος ἤχθω ἡ ΤΣΥ καὶ συμβαλλέτω τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Τ , καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΓΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΦΤΧ Ἐπεὶ οὖν διὰ τὴν ὑπερβολὴν καὶ τὰς ἀσυμπτώτους ἴσον ἐστὶ τὸ ΦΥ τῷ ΓΒ , κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΣ ἴσον γίνεται τὸ ΦΣ τῷ ΣΗ , καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Χ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει διὰ τοῦ Σ . Ἐρχέσθω , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΣΧ . Καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΨΧ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΧΗΜ διὰ τὴν παραβολήν , τὸ ἀπὸ ΤΧ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΧΗΜ . Γεγονέτω οὖν τῷ ἀπὸ ΤΧ ἴσον τὸ ὑπὸ ΧΗΩ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΣΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΧ , ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΧ , τῆς ΗΩ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΗΩ καὶ πρὸς τὸ ἴσον αὐτῷ τὸ ἀπὸ ΧΤ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΣ , τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ . Τὸ δὲ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΓΑ τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ . Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ πάντων τῶν σημείων τῶν μεταξὺ λαμβανομένων τῶν Ε , Β . Ἀλλὰ δὴ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν Ε , Α σημεῖον τὸ Ϛ . Λέγω ὅτι καὶ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ . Τῶν γὰρ αὐτῶν κατεσκευασμένων ἤχθω διὰ τοῦ Ϛ τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ϥϚΡ καὶ συμβαλλέτω τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Ρ συμβαλεῖ γὰρ αὐτῇ διὰ τὸ παράλληλος εἶναι τῇ ἀσυμπτώτῳ · καὶ διὰ τοῦ Ρ παράλληλος ἀχθεῖσα τῇ ΑΒ ἡ Α΄ΡΒ΄ συμβαλλέτω τῇ ΗΖ ἐκβαλλομένῃ κατὰ τὸ Β΄ . Καὶ ἐπεὶ πάλιν διὰ τὴν ὑπερβολὴν ἴσον ἐστὶ τὸ Γ΄ϥ τῷ ΑΗ , ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Β΄ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει διὰ τοῦ Ϛ . Ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ἡ Τς΄Β΄ , Καὶ ἐπεὶ πάλιν διὰ τὴν παραβολὴν ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ Α΄Β΄ τῷ ὑπὸ Β΄ΗΜ , τὸ ἄρα ἀπὸ ΡΒ΄ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ Β΄ΗΜ , Γεγονέτω τὸ ἀπὸ ΡΒ΄ ἴσον τῷ ὑπὸ Β΄ΗΩ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ϚΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒ΄ , ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒ΄ , τῆς ΗΩ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΩ πρὸς τὸ ὑπὸ Β΄ΗΩ , τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΒ΄ , τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΒϚ , τὸ ἄρα ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ . Καὶ μεῖζον τὸ ὑπὸ ΓΗΜ τοῦ ὑπὸ ΓΗΩ · μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ τοῦ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ . Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ πάντων τῶν σημείων τῶν μεταξὺ τῶν Ε , Α λαμβανομένων . Ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ πάντων τῶν μεταξὺ τῶν Ε , Β · πάντων ἄρα τῶν ἐπὶ τῆς ΑΒ ὁμοίως λαμβανομένων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ , ὅταν ᾖ διπλασία ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ . Ἐπιστῆσαι δὲ χρὴ καὶ τοῖς ἀκολουθοῦσιν κατὰ τὴν εἰρημένην καταγραφήν . Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ καὶ τὸ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ ἔλασσον τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ , δυνατόν ἐστι καὶ τοῦ δοθέντος χωρίου ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἐλάσσονος ὄντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ κατὰ δύο σημεῖα τὴν ΑΒ τεμνομένην ποιεῖν τὸ ἐξ ἀρχῆς πρόβλημα . Τοῦτο δὲ γίνεται , εἰ νοήσαιμεν περὶ διάμετρον τὴν ΧΗ γραφομένην παραβολήν , ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΩ · ἡ γὰρ τοιαύτη παραβολὴ πάντως ἔρχεται διὰ τοῦ Τ . Καὶ ἐπειδὴ ἀνάγκη αὐτὴν συμπίπτειν τῇ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ , δῆλον ὅτι τέμνει τὴν ὑπερβολὴν καὶ κατʼ ἄλλο σημεῖον ἀνωτέρω τοῦ Κ , ὡς ἐνταῦθα κατὰ τὸ Ρ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη , ὡς ἐνταῦθα ἡ ΡϚ , τέμνει τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ϛ , ὥστε τὸ Ϛ σημεῖον ποιεῖν τὸ πρόβλημα , καὶ ἴσον γίνεσθαι τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ τῷ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ , ὥς ἐστι διὰ τῶν προειρημένων ἀποδείξεων ἐμφανές . Ὥστε , δυνατοῦ ὄντος ἐπὶ τῆς ΒΑ δύο σημεῖα λαμβάνειν ποιοῦντα τὸ ζητούμενον , ἔξεστιν ὁπότερόν τις βούλοιτο λαμβάνειν ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε , Β ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε , Α . Εἰ μὲν γὰρ τὸ μεταξὺ τῶν Ε , Β , ὡς εἴρηται , τῆς διὰ τῶν Η , Τ σημείων γραφομένης παραβολῆς κατὰ δύο σημεῖα τεμνούσης τὴν ὑπερβολὴν τὸ μὲν ἐγγύτερον τοῦ Η , τουτέστι τοῦ ἄξονος τῆς παραβολῆς , εὑρήσει τὸ μεταξὺ τῶν Ε , Β , ὡς ἐνταῦθα τὸ Τ εὑρίσκει τὸ Σ , τὸ δὲ ἀπωτέρω τὸ μεταξὺ τῶν Ε , Α , ὡς ἐνταῦθα τὸ Ρ εὑρίσκει τὸ Ϛ . Καθόλου μὲν οὖν οὕτως ἀναλέλυται καὶ συντέθειται τὸ πρόβλημα ἵνα δὲ καὶ τοῖς Ἀρχιμηδείοις ῥήμασν ἐφαρμοσθῇ , νενοήσθω ὡς ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ διάμετρος μὲν τῆς σφαίρας ἡ △Β , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΖ , καὶ ἡ δεδομένη ἡ ΖΘ . Κατηντήσαμεν ἄρα , φησίν , εἰς τὸ τὴν △Ζ τεμεῖν κατὰ τὸ Χ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΧΖ πρὸς τὴν δοθεῖσαν , οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς △Χ . Τοῦτο δὲ ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορμσμόν Εἰ γὰρ τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μεῖζον ἐτύγχανεν τοῦ ἀπὸ τῆς △Β ἐπὶ τὴν ΒΖ , ἀδύνατον ἦν τὸ πρόβλημα , ὡς δέδεικται , εἰ δὲ ἴσον , τὸ Β σημεῖον ἐποίει τὸ πρόβλημα , καὶ οὕτως δὲ οὐδὲν ἦν πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς Ἀρχιμήδους πρόθεσιν ἡ γὰρ σφαῖρα οὐκ ἐτέμνετο εἰς τὸν δοθέντα λόχον . Ἁπλῶς ἄρα λεγόμενον εἶχεν προσδιορισμόν προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων , τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν △Β τῆς ΖΒ καὶ τοῦ μείζονα εἶναι τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ , οὐκ ἔχει διορισμόν . Τὸ γὰρ ἀπὸ △Β τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν ΖΘ τὴν δοθεῖσαν ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς △Β ἐπὶ τὴν ΒΖ διὰ τὸ τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ μείζονα εἶναι , οὗπερ ὑπάρχοντος ἐδείξαμεν δυνατόν , καὶ ὅπως προβαίνει τὸ πρόβλημα . Κατανοεῖν δὲ χρὴ καὶ τοῖς ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους λεγομένοις συμφώνως ἔχουσιν τοῖς ὑφʼ ἡμῶν ἀναλελυμένοις . Πρότερον μὲν γὰρ μετὰ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ καθόλου τὸ εἰς ὃ κατήντησεν λέγων φησίν δοθεῖσαν τὴν △Ζ τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν , οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς △Χ εἶτα εἰπὼν ὡς καθόλου μὲν τὸ λεγόμενον ἔχει διορισμὸν , προστεθέντων δὲ τῶν ὑπ᾿ αὐτοῦ εὑρεθέντων προβλημάτων , τοῦ τε εἶναι διπλασίαν τὴν △Β τῆς ΒΖ καὶ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ , μὴ ἔχειν διορισμόν μερικώτερον ἐπαναλαμβάνει τὸ πρόβλημα καί φησιν ὅτι καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον · δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν △Β , ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς △Β τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ , οὐκέτι , ὡς πρότερον , τὴν △Ζ εἰπὼν ἀλλὰ τὴν △Β δεῖν τεμεῖν διὰ τό , ὡς ἀνωτέρω ἡμεῖς ἀπεδείξαμεν , εἰδέναι αὐτὸν ὡς δύο σημεῖά ἐστι τὰ λαμβανόμενα ἐπὶ τῆς △Ζ καὶ ποιοῦντα τὸ πρόβλημα , ἓν μὲν τὸ μεταξὺ τῶν △ , Β , ἕτερον δὲ τὸ μεταξὺ τῶν Β , Ζ , ὧν τὸ μεταξὺ τῶν △ , Β ἦν τὸ πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρόθεσιν χρήσιμον . Ταῦτα μὲν οὖν ἀκὸλουθα τοῖς Ἀρχιμήδους ῥήμασιν κατὰ τὸ δυνατὸν σαφῶς ἀπεγραψάμεθα ἐπεὶ δὲ , ὡς προείρηται , καὶ Διονυσόδωρος οὐδαμοῦ τοῖς ἐπὶ τέλει γραφομένοις παρ᾿ Ἀρχιμήδους ἐπηγγελμένοις ἐντυχών , ἀτονήσας δὲ ὥσπερ προσευρεῖν τὰ μὴ ἐκτεθέντα ἑφ᾿ ἑτέραν ὁδὸν βαδίζων τοῦ ὅλου προβλήματος οὐκ ἄχαριν εὑρέσεως συνεχράψατο τρόπον , ἀναγκαῖον ᾠήθημεν δεῖν καὶ αὐτὸν τούτοις ἐπισυνάψαι διορθωσάμενοι κατὰ δύναμιν καὶ γὰρ αὐτὸς ἐκ πολλῆς ἀμελετησίας τῶν ἀνθρώπων τὰ πολλὰ τῶν ἀποδείξεων τῷ πλήθει τῶν πταισμάτων ἠφανισμένα ἔχων ἐν πᾶσιν , οἷς ἡμεῖς ἐντετύχαμεν , ἀντιγράφοις ἐφέρετο .
Lemmas: καί διά ὁ αὐτός ὁ πρότερος διά ὁ κατασκευή ὡς ὁ Λ△ πρός △Κ , ὁ ΚΒ πρός ΒΡ καί ὁ △Χ πρός ΧΒ | ἐν γάρ ὁ πρό οὗτος συνάγω οὕτως ἐπεί εἰμί ὡς συναμφότερος ὁ Κ△ , △Χ πρός △Χ , οὕτως ὁ ΡΧ πρός ΧΒ , διαιρέω ὡς ὁ Κ△ πρός △Χ , ὁ ΡΒ πρός ΒΧ · ἐναλλάξ ὡς ὁ Κ△ , τουτέστιν ὁ ΚΒ , πρός ΒΡ , ὁ △Χ πρός ΧΒ . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΛΧ πρός Χ△ , οὕτως συναμφότερος ὁ ΚΒ , ΒΧ πρός ΧΒ , διαιρέω καί ἐναλλάξ ὡς ὁ Λ△ πρός △Κ , ὁ △Χ πρός ΧΒ . ἦς δέ καί ὡς ὁ △Χ πρός ΧΒ , ὁ ΚΒ πρός ΒΡ ὡς ἄρα ὁ Λ△ πρός △Κ , ὁ △Χ πρός ΧΒ καί ὁ ΚΒ πρός ΒΡ . καί ὅλος ἄρα ὁ ΡΛ πρός ὅλος ὁ ΚΛ εἰμί ὡς ὁ ΚΛ πρός Λ△ | ὡς γάρ εἷς πρός εἷς , οὕτως ἅπας ὁ ηγουενη πρός ἅπας ὁ ἕπομαι . ὡς ἄρα ὁ ΡΛ πρός Λ△ , ὁ ἀπό ΚΛ πρός ὁ ἀπό Λ△| ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΡΛ πρός ΛΚ , ὁ ΚΛ πρός Λ△ , καί ὡς ἄρα ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΡΛ πρός Λ△ , οὕτως ὁ ἀπό ΡΛ πρός ὁ ἀπό ΛΚ . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΡΛ πρός ὁ ἀπό ΛΚ , οὕτως ὁ ἀπό ΛΚ πρός ὁ ἀπό Λ△ · ἀνάλογος γάρ εἰμί ὡς ἄρα ὁ ΡΛ πρός Λ△ , οὕτως ὁ ἀπό ΛΚ πρός ὁ ἀπό Λ△ . κέω ὁ ΚΒ ἴσος ὁ ΒΖ · ὅτι γάρ ἐκτός ὁ Ρ πίπτω δῆλος | ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Χ△ πρός ΧΒ , οὕτως ὁ ΧΒ πρός ΒΡ , μείζων δέ ὁ △Χ ὁ ΧΒ , μείζων ἄρα καί ὁ ΚΒ ὁ ΒΡ . ἐκτός ἄρα ὁ Ρ πίπτω ὁ Ζ . ἐπεί δέ λόγος εἰμί ὁ △Λ πρός ΛΧ δίδωμι καί ὁ ΡΛ πρός ΛΧ , καί ὁ ΡΛ ἄρα πρός Λ△ λόγος εἰμί δίδωμι | ἐπεί γάρ εἰμί ὡς συναμφότερος ὁ ΚΒΧ πρός ΒΧ , τουτέστιν ὁ ΖX πρός ΧΒ , οὕτως ὁ ΛΧ πρός Χ△ ἀναστρέφω ὡς ὁ ΧΖ πρός ΖΒ , οὕτως ὁ ΧΛ πρός Λ△ , καί ἀνάπαλιν ὡς ὁ ΒΖ πρός ΖΧ , ὁ Λ△ πρός ΛΧ . δίδωμι δέ ὁ ὁ ΒΖ πρός ΖΧ λόγος , ἐπεί ὁ μέν ΖΒ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ δίδωμι σφαῖρα , ὁ δέ ΒΧ ὁ Β , Χ πέρας αὐτός δίδωμι κατά ὑπόθεσις τέμνω ὁ σφαῖρα ὑπό ὁ διά ὁ ΑΓ ἐπίπεδος καί ὁ △Β πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΓ δίδωμι , καί διά οὗτος καί ὅλος ὁ ΧΖ καί ὁ ὁ ΧΖ πρός ΖΒ · ὥστε καί ὁ ὁ ΧΛ πρός Λ△ λόγος εἰμί δίδωμι . πάλιν ἐπεί δίδωμι ὁ λόγος ὁ τμῆμα , καί ὁ ὁ ΛΑΓ κῶνος πρός ὁ κῶνος λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ὁ ΛΧ πρός ΧΡ πρός ἀλλήλων γάρ εἰμί ὡς ὁ ὕψος · καί ὅλος ἄρα ὁ ΡΛ πρός ὁ ΛΧ λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ ΡΛ , Λ△ πρός ὁ ΛΧ λόγος εἰμί δίδωμι , καί ὁ ΡΛ ἄρα πρός Λ△ λόγος εἰμί δίδωμι · ὁ γάρ πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω δίδωμι καί πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . ἐπεί οὖν ὁ ὁ ΡΛ πρός ΛΧ λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ΡΛ πρός Λ△ , καί ὁ Λ△ πρός ΛΧ | ὅτι2 μέν ὁ σύνθεσις ὁ λόγος λαμβάνω ὁ Λ△ μέσος λαμβάνω , ὡς κάν ὁ στοιχείωσις λαμβάνω , φανερός ἐπεί δέ ὁ λέγω ἀδιάρθρωτος πως καί οὐ οὕτως , ὥστε ὁ ἔννοια ἀποπληρόω , λέγω , ὡς εἰμί εὑρίσκω ἐντυγχάνω Πάππος τε καί Θέων καί Ἀρκάδιος ἐν πολύς σύνταγμα οὐ ἀποδεικτικός , ἀλλά ἐπαγωγή ὁ λέγω παρίστημι , οὐδείς ἄτοπος πρός βραχύς ἐνδιατρίβω ὁ λόχος ὁ σαφής παρίστημι . φημί τοίνυν ὅτι , ἐάν δύο ἀριθμός ἤτοι μέγεθος μέσος τις ὅρος λαμβάνω , ὁ ὁ ἐκ ἀρχή λαμβάνω ἀριθμός λόχος σύγκειμαι ἐκ ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ πρῶτος πρός ὁ μέσος , καί ὁ ὅς ἔχω ὁ μέσος πρός ὁ τρίτος . ὑπομνηστέον δή πρότερος πῶς λέγω λόφος ἐκ λόγος σύγκειμαι . ὡς γάρ ἐν ὁ στοιχείωσις · ὅταν ὁ ὁ λόγος πηλικότης ἐπί ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ποιέω τις , πηλικότης δηλονότι λέγω ὁ ἀριθμός , ὅς παρώνυμος εἰμί ὁ δίδωμι λόχος , ὅς φημί ἄλλος τε καί Νικόμαχος ἐν ὁ πρῶτος περι μουσικός καί Ἡρωνᾶς ἐν ὁ ὑπόμνημα ὁ εἰς ὁ ἀριθμητικός εἰσαγωγή , αὐτός δέ εἶπον καί ὁ ἀριθμός ὁ πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ἕπω ὅρος ὁ λόχος καί ποιέω ὁ ἡγέομαι . καί κύριος μέν ἐπί ὁ πολλαπλάσιος ὁ πηλικότης εἄν λαμβάνω , ἐπί δέ ὁ ἐπιμόριος ἢ ἐπιμερής οὐκέτι ὁ πηλικότης δυνατός λαμβάνω ἀδιαίρετος Μένων ὁ μόνος ὥστε ἐπί ἐκεῖνος διαιρετέον ὁ μόνος , ὅς εἰμί καί μή κατά ὁ προσήκω ὁ ἀριθμητικός ἀλλά ὁ λογιστικός τυγχάνω . διαιρέω δέ ὁ μονή κατά ὁ μέρος ἢ ὁ μέρος , ἀπό ὅς ὀνομάζω ὁ λόγος , ὥστε εἰμί ὡς ἐν σαφής ὁ λεχώ ὁ μέν ἡμιόλιος λόγος πηλικότης πρός ὁ μόνος καί ὁ ἥμισυς ὁ μόνος , ὁ δέ ἐπίτριτος πρός ὁ μόνος ὁ τρίτος , ὥστε , καθά καί ἀνωτέρω εἴρω , ὁ πηλικότης ὁ λόγος ἐπί ὁ ἕπω ὅρος πολλαπλασιάζω ποιέω ὁ ἡγέομαι . ὁ γάρ ἐννέα πρός ὁ ἓξ ἡμιόλιος πηλικότης εἰμί ὁ μονή καί ὁ ἧμαι πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ ς΄ ποιέω ὁ θ , καί ἐπί ὁ ἄλλος δέ ὁ αὐτός ἔξεστι κατανοέω . οὗτος δή προσαφηνίζω ἐπανακτέον ἐπί ὁ προτίθημι , εἰμί γάρ ὁ δίδωμι δύο ἀριθμός ὁ Α , Β , μέσος δέ αὐτός λαμβάνω τις ὁ Γ · δεικτέος δή ὅτι ὁ ὁ A πρός ὁ Β λόγος συνάπτω ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ A πρός ὁ Γ , καί ὁ Γ πρός ὁ Β . λαμβάνω γάρ ὁ μέν Α , Γ λόγος πηλικότης ὁ △ , ὁ δέ Γ , Β ὁ E · ὁ ἄρα Γ ὁ △ πολλαπλασιάζω ὁ A ποιέω , ὁ δέ Β ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Γ . ὁ δή △ ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Ζ ποιέω . λέγω ὅτι ὁ Ζ πηλικότης εἰμί ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόγος , τουτέστιν ὅτι ὁ Ζ ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . ὁ γάρ Β ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ ὁ ποιέω , ἐπεί οὖν ὁ Β ὁ μέν Ζ πολλαπλασιάζω ὁ ὁ ποιέω , ὁ δέ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Γ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ζ πρός ὁ Ε , ὁ πρός ὁ Γ . πάλιν , ἐπεί ὁ △ ὁ μέν Ε πολλαπλασιάζω ὁ Ζ ποιέω , ὁ δέ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Γ , ὁ Ζ πρός ὁ Α . ἐναλλάξ ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ὁ Γ πρός ὁ Α , καί ἀνάπαλιν ὡς ὁ Ζ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Γ . ἀλλά ὡς ὁ πρός ὁ Ε , δείκνυμι ὁ ὁ πρός ὁ Γ · καί ὡς ἄρα ὁ ὁ πρός ὁ Γ , ὁ Α πρός ὁ Γ · ἴσος ἄρα ὁ Α ὁ ὁ . ἀλλά ὁ Β ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ ὁ ποιέω καί ὁ Β ἄρα ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω ὁ Ζ ἄρα πηλικότης εἰμί ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόχος . καί εἰμί ὁ Ζ ὁ △ ἐπί ὁ Ε πολλαπλασιάζω , τουτέστι ὁ πηλικότης ὁ Α , Γ λόγος ἐπί ὁ πηλικότης ὁ Γ , Β λόγος ὁ ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ Α πρός ὁ Γ , καί ὁ πρός ὁ Β · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ἵνα δέ καί ἐπί ὑπόδειγμα φανερός γίγνομαι ὁ εἴρω . παρεμπίπτω ὁ Ἶβ καί ὁ Β μέσος τις ἀριθμός ὁ δ . λέγω ὅτι ὁ ὁ Β πρός ὁ Β λόγος , τουτός ὁ ἑξαπλάσιος , σύγκειμαι ἐκ τε ὁ τριπλάσιος ὁ Ἶβ πρός ὁ △Ζ καί ὁ διπλάσιος ὁ △Ζ πρός ὁ Β . ἐάν γάρ ὁ πηλικότης ὁ λόγος πολλαπλασιάζω ἐπί ἀλλήλων , τουτέστι ὁ γ ἐπί ὁ Β , γίγνομαι ὁ ς΄ πηλικότης εἰμί ὁ Ἶβ πρός ὁ Β λόγος , καί εἰμί ἑξαπλάσιος , ὅσπερ καί πρόκειμαι ὑποδείκνυμι . εἰμί δέ καί ὁ μέσος παρεμπίπτω μή ὑπάρχω ὁ μέν μείζων μικρός , ὁ δέ μικρός μείζων , ἀλλά ἢ ὁ ἀνάπαλιν ἢ ἀμφότερος μείζων ἢ ἀμφότερος μικρός , καί οὕτως ὁ σύνθεσις ὁ προερέω ἀκολουθέω . ὁ θ καί ὁ ς΄ μέσος τις παρεμπίπτω ἀμφότερος μείζων ὁ Ἶβ . λέγω ὅτι ἐκ τε ὁ υπεπτριος ὁ θ πρός ὁ Ἶβ λόγος καί ὁ διπλάσιος ὁ Ἶβ πρός ὁ ς΄ σύγκειμαι ὁ ἡμιόλιος ὁ θ πρός ὁ ς΄ . ὁ γάρ πηλικότης ὁ ὁ θ πρός ὁ Ἶβ λόγος εἰμί τρεῖς τέταρτο , τουτός ἥμισυς καί τέταρτος , ὁ δέ πηλικότης ὁ Ἶβ πρός ὁ ς΄ εἰμί ὁ Β , ἐάν οὖν πολλαπλασιάζω ὁ Β ἐπί ὁ ἥμισυς καί τέταρτος , γίγνομαι μονή ὅς καί ἥμισυς , ὅστις πηλικότης εἰμί ὁ ἡμιόλιος λόγος , ὅς ἔχω καί ὁ θ πρός ὁ ς΄ . ὅμοιος δέ , κἀν ὁ θ καί μέσος ἐμπίπτω ὁ δ , ἐκ ὁ θ πρός △Ζ διπλασιεπιτεταρτος καί ὁ △Ζ πρός ς΄ . ὑφημιόλιος σύγκειμαι ὁ ἡμιόλιος λόφος . πάλιν γάρ ὁ πηλικότης ὁ διπλασιεπιτεταρτος ὁ Β Δ΄ ἐπί ὁ πηλικότης ὁ ὑφημιόλιος , τουτέστι ὁ δύη τρίτος , πολλαπλασιάζω ἔχω ὁ εἷς ἥμισυς πηλικότης ὁ ἡμιόλιος , ὡς εἴρω , λόγος . καί ἐπί πᾶς δέ ὁμοίως ὁ αὐτός ἁρμόζω λόγος . συμφανής δέ ἐκ ὁ εἴρω ὡς , ἐάν δύο δίδωμι ἀριθμός ἤτοι μέγεθος κἀν μή εἷς μέσος , πλείων δέ , παρεμπίπτω ὅρος , ὁ ὁ ἄκρος λόγος σύγκεται ἐκ πᾶς ὁ λόχος , ὅς ἔχω ὁ κατά ὁ ἑξῆς κεῖμαι ὅρος ἄρχω ἀπό πρῶτος καί λήοντες εἰς ὁ ἔσχατος ὁ κατά ὁ ἔχω τάξις . δύο γάρ εἰμί ὁράω ὁ Α , Β παρεμπίπτω πλείων εἷς ὁ Γ , △ . λέγω ὅτι ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόφος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ Α πρός ὁ Γ , καί ὁ Γ πρός ὁ △ , καί ὁ △ πρός ὁ Β . ἐπεί γάρ ὁ ὁ Α πρός ὁ Β σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ Α πρός ὁ △ , καί ὁ △ πρός ὁ Β , ὡς ἀνωτέρω εἴρω , ὁ δέ ὁ Α πρός ὁ λόχος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ Α πρός ὁ Γ , καί ὁ Γ πρός ὁ △ , ὁ ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ Α πρός ὁ Γ , καί ὁ Γ πρός ὁ △ , καί ὁ πρός ὁ Β . ὅμοιος δέ καί ἐπί ὁ λοιπός δείκνυμι . ἔτι ἐν ὁ ῥητός φημί ἀλλά ὡς μέν ὁ ΡΛ πρός Λ△ , δείκνυμι ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ | ἐπεί γάρ δείκνυμι ὡς ὁ ΡΛ πρός Λ△ , ὁ ἀπό ΛΚ πρός ὁ ἀπό △Λ , ὡς δέ ὁ ἀπό ΚΛ πρός ὁ ἀπό Λ△ , οὕτως ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό ΑΧ δείκνυμι γάρ δμώς ὁ ΚΛ πρός Λ△ , ὁ Β△ πρός △Χ διά ὁ συντίθημι · ὡς ἄρα ὁ ΡΛ πρός Λ△ , ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ . ποιέω δέ ὡς ὁ ΡΛ πρός ΛΧ , ὁ ΒΖ πρός ΖΘ ὁ Θ σημεῖον ὅπως ποτέ μέν εἄν τίθημι , ὅσος πρός ὁ ἀκολουθία ὁ ἀπόδειξις κατά οὐδείς ἐμποδών γίγνομαι ὁ λόγος · ὅτι δέ , καθά ἐν ὁ καταγραφή κεῖμαι , ἀεί μεταξύ ὁ Β , Ρ πίπτω οὕτως εἰμί δῆλος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΛΚ πρός △Κ , τουτέστι πρός ΚΒ , οὕτως ὁ ΚΡ πρός ΡΒ , καί ὡς ἄρα εἷς πρός εἷς , οὕτως ἅπας πρός ἅπας , ὡς ὁ ΛΡ πρός ΡΚ , ὁ ΚΡ πρός ΡΒ , μείζων δέ λόγος ἔχω ὁ ΛΡ πρός ΡΧ ἤ2 ὁ ΛΡ πρός ΡΚ καί ὁ ΛΡ ἄρα πρός ΡΧ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΚΡ πρός ΒΡ , τουτέστιν ὁ ΖΒ πρός ΒΡ . ἀναστρέφω ὁ ΡΛ πρός ΛΧ μικρός ἔχω λόγος ἤ2 ὁ ΒΖ πρός ΖΡ . ἐάν ἄρα ποιέω ὡς ὁ ΡΛ πρός ΛΧ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ἄλλος τις , εἰμί πρός μείζων ὁ ΖΡ . Φανερός δέ αὐτόθεν ὅτι ὁ ΖΘ ὁ ΘΒ μείζων εἰμί . ἐπεί γάρ δείκνυμι ὡς ὁ Λ△ πρός ∠Κ , ὁ △Χ πρός ΧΒ καί ὁ ΚΒ πρός ΒΡ , μείζων δέ ὁ △Χ ὁ ΧΒ , μείζων ἄρα καί ὁ Λ△ ὁ △Κ καί ὁ ΚB ὁ ΒΡ ὥστε καί ὁ Λ△ ὁ ΒΡ . καί ὅλος ἄρα ὁ ΛΧ ὁ ΧΡ μείζων εἰμί · ὥστε καί ὁ ΘΖ ὁ ΘΒ . λοιπός ἄρα εἰμί ὡς ὁ ἀπό Β△ , τουτέστι ὁ δίδωμι , πρός ὁ ἀπό △Χ , οὕτως ὁ ΖΧ πρός ΖΘ ἐπεί γάρ ὁ ὁ ΒΖ πρός ΘΖ λόγος ὁ αὐτός δείκνυμι ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ καί ὁ ΒΖ πρός ΖΧ , ὁ δέ αὐτός ὁ ὁ ΒΖ πρός ΖΘ ὁ αὐτός εἰμί καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ὁ ΒΖ πρός ΖΧ καί ὁ ΧΖ πρός ΖΘ , καί ὁ σύγκειμαι ἄρα ἐκ ὁ ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ καί ὁ ὁ ΒΖ πρός ΖΧ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ὁ ΒΖ πρός ΖΧ καί ὁ ὁ ΧΖ πρός ΖΘ . ἐάν οὖν ὁ ἐν ἀμφότερος ὁ λόφος κοινός ἀφαιρέω ὁ ὁ ΒΖ πρός ΧΖ , λοιπός ὁ ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΧΖ πρός ΖΘ . καί δή δίδωμι ὁ τέμνω δεῖ κατά ὁ Χ καί ποιέω ὡς ὁ ΧΖ πρός δίδωμι · τουτέστι ὁ ΖΘ · οὕτως ὁ δίδωμι τουτέστι ὁ ἀπό Β△ · πρός ὁ ἀπό ∠Χ . οὗτος δέ οὕτως ἁπλόος μέν λέγω ἔχω διορισμός , προστίθημι δέ ὁ πρόβλημα ὁ ἐνθάδε ὑπάρχω τουτέστι ὁ τε διπλάσιος εἰμί ὁ △Β ὁ ΒΖ καί ὁ μείζων ὁ ΒΖ ὁ ΖΘ , ὡς κατά ὁ ἀνάλυσις · οὐ ἔχω διορισμός καί εἰμί ὁ πρόβλημα τοιοῦτος · δύο δίδωμι εὐθύς ὁ △Β , ΒΖ καί διπλάσιος εἰμί ὁ △Β ὁ ΒΖ καί σημεῖον ἐπί ὁ ΒΖ ὁ Θ τέμνω ὁ △Β κατά ὁ Χ καί ποιέω ὡς ὁ ἀπό △Β πρός ὁ ἀπό △Χ , ὁ ΧΖ πρός ΖΘ · ἑκάτερος δέ οὗτος ἐπί τέλος ἀναλύω καί συντίθημι | ἐπί τέλος μέν ὁ προρέω ἐπαγγέλλω δείκνυμι , ἐν οὐδείς δέ ὁ ἀντίγραφος εὑρίσκω ἔνειμι ὁ ἐπάχγελμα . ὅθεν καί Διονυσόδωρος μέν εὑρίσκω μή ὁ αὐτός ἐπιτυγχάνω , ἀδυνατέω δέ ἐπιβάλλω ὁ καταλείπω λῆμμα , ἐπί ἕτερος ὁδός ὁ ὅλος πρόβλημα ἔρχομαι , ὅστις ἑξῆς γράφω Διοκλῆς μέντοι καί αὐτός ἐν ὁ περι Πυρίων αὐτός συγγράφω βιβλίον ἐπαγγέλλω νομίζω ὁ Ἀρχιμήδης , μή ποιέω δέ ὁ ἐπάγγελμα , αὐτός ἀναπληρόω ἐπιχειρέω , καί ὁ ἐπιχείρημα ἑξῆς γράφω εἰμί γάρ καί αὐτός οὐδείς μέν ἔχω πρός ὁ παραλείπω λόγος , ὁμοίως δέ ὁ Διονυσόδωρος διά ἕτερος ἀπόδειξις κατασκευάζω ὁ πρόβλημα . ἐν τις μέντοι παλαιός βιβλίον οὐδέ γάρ ὁ εἰς πολύς ζήτησις ἀφίστημι ἐντυγχάνω θεώρημα γράφω οὐ ὀλίγος μέν ὁ ἐκ ὁ πταῖσμα ἔχω ἀσάφεια περί τε ὁ καταγραφή πολύτροπος ἁμαρτάνω , ὁ μέντοι ζητέω ἔχω ὁ ὑπόστασις , ἐν μέρος δέ ὁ Ἀρχιμήδης φίλος Δωρίς γλῶσσα ἀποσῴζω καί ὁ συνήθης ὁ ἀρχαῖος ὁ πρᾶγμα ὄνομα γράφω ὁ μέν παραβολή ὀρθογώνιος κῶνος τομή ὀνομάζω , ὁ δέ ὑπερβολή ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή , ὡς ἐκ αὐτός διανοέομαι , μή ἄρα καί αὐτός εἰμί ὁ ἐν ὁ τέλος ἐπαγγέλλω γράφω . ὅθεν σπουδαῖος ἐντυγχάνω αὐτός μέν ὁ ῥητός , ὡς γράφω , διά πλῆθος , ὡς εἴρω , ὁ πταῖσμα δυσχερής εὑρίσκω ὁ ἔννοια κατά μικρός ἀποσυλάω κοινός καί σαφής κατά ὁ δυνατός λέγω γράφω . Κάθολος δέ πρῶτος ὁ θεώρημα γράφω , ἵνα ὁ λέγω ὑπό αὐτός σαφηνίζω περί ὁ διορισμός εἶτα καί ὁ ἀναλύω ἐν ὁ πρόβλημα προσαρμόζω . εὔθεια δίδωμι ὁ ΑΒ καί ἕτερος ὁ ΑΓ καί χωρίον ὁ △ πρόκειμαι λαμβάνω ἐπί ὁ ΑΒ σημεῖον ὡς ὁ Ε , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΑΓ , οὗτος ὁ χωρίον πρός ὁ ἀπό ΕΒ . γίγνομαι , καί κεῖμαι ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ὁ ΑΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ διάγω ἐπί ὁ Ζ , καί ἄγω διά ὁ Γ ὁ ΑΒ παράλληλος ὁ ΓΗ , διά δέ ὁ Β ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ ΖΒΗ συμπίπτω ἑκάτερος ὁ ΓE , ΓΗ , καί συμπληρόω ὁ ΗΘ παραλληλόγραμμος , καί διά ὁ Ε ὁπότερος ὁ ΓΘ , ΗΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΚΕΛ , καί ὁ △ ἴσος ἵστημι ὁ ὑπό ΗΜ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ △ πρός ὁ ἀπος ΕΒ , ὡς δέ ὁ ΕΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΖ , ὡς δέ ὁ ΓΗ πρός ΗΖ , οὕτως ὁ ἀπό ΓΗ πρός ὁ ὑπό ΓΗΖ , ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΓΗ πρός ὁ ὑπό ΓΗΖ , οὕτως ὁ △ πρός ὁ ἀπό ΕΒ , τουτέστι πρός ὁ ἀπό ΚΖ καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ἀπό ΓΗ πρός ὁ ∠ , τουτέστι πρός ὁ ὑπό ΗΜ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΗΖ πρός ὁ ἀπό ΖΚ . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΓΗ πρός ὁ ὑπό ΗΜ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΜ καί ὡς ἄρα ὁ ΓΗ πρός ΗΜ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΗΖ πρός ὁ ἀπό ΖΚ . ἀλλά ὡς ὁ ΓΗ πρός ΗΜ , ὁ ΗΖ κοινός ὕψος λαμβάνω , οὕτως ὁ ὑπό ΓΗΖ πρός ὁ ὑπό ΜΖΗ ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΓΗΖ πρός ὁ ὑπό ΜΖΗ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΗΖ πρός ὁ ἀπό ΖΚ ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΜΖΗ ὁ ἀπό ΖΚ . ἐάν ἄρα περί ἄγω ὁ ΖΗ γράφω διά ὁ ὁ παραβολή , ὥστε ὁ κατάγω δύναμαι παρά ὁ ΗΜ , ἥκω διά ὁ Κ , καί εἰμί θέσις δίδωμι διά ὁ δίδωμι εἰμί ὁ ΗΜ ὁ μέγεθος περιέχω μετά ὁ ΗΓ δίδωμι δίδωμι ὁ △ · ὁ ἄρα Κ ἅπτω θέσις δίδωμι παραβολή . γράφω οὖν , ὡς εἴρω , καί ἵστημι ὡς ὁ ΗΚ . Πίλις , ἐπεί ὁ ΘΛ χωρίον ἴσος εἰμί ὁ ΓΒ , τουτέστι ὁ ὑπό ΘΚΛ ὁ ὑπό ΑΒΗ , ἐάν διά ὁ Β περί ἀσύμπτωτος ὁ ΘΓ , ΓΗ γράφω ὑπερβολή , ἥκω διά ὁ διά ὁ ἀντιστροφή ὁ Η΄ θεώρημα ὁ δύο βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον , καί εἰμί θέσις δίδωμι διά ὁ καί ἑκάτερος ὁ ΘΓ , ΓΗ , ἔτι μήv καί ὁ Β ὁ θέσις δίδωμι . γράφω , ὡς εἴρω , καί ἵστημι ὡς ὁ ΚΒ · ὁ ἄρα ἅπτω θέσις δίδωμι ὑπερβολή . ἅπτω δέ καί θέσις δίδωμι παραβολή δίδωμι ἄρα ὁ Κ . καί εἰμί ἀπό αὐτός κάθετος ὁ ΚΕ ἐπί θέσις δίδωμι ὁ ΑΒ · δίδωμι ἄρα ὁ Ε , ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΕΑ πρός ὁ δίδωμι ὁ ΑΓ , οὕτως δίδωμι ὁ △ πρός ὁ ἀπό ΕΒ , δύο στερεός , ὅς βάσις ὁ ἀπό ΕΒ καί ὁ △ , ὕψος δέ ὁ ΕΑ , ΑΓ , ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕφεσις ὥστε ἴσος εἰμί ὁ στερεός ὁ ἄρα ἀπό ΕΒ ἐπί ὁ ΕΑ ἴσος εἰμί ὁ δίδωμι ὁ △ ἐπί δίδωμι ὁ ΓΑ , ἀλλά ὁ ἀπό ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ μέγας εἰμί πᾶς ὁ ὁμοίως λαμβάνω ἐπί ὁ ΒΑ , ὅταν εἰμί διπλάσιος ὁ ΒΕ ὁ ΕΑ , ὡς δείκνυμι · δεῖ ἄρα ὁ δίδωμι ἐπί ὁ δίδωμι μή μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ . συντίθημι δέ οὕτως ἵστημι ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ἄλλος δέ τις δίδωμι ὁ ΑΓ , ὁ δέ δίδωμι χωρίον ὁ △ , καί δήω ἵστημι τέμνω ὁ ΑΒ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ εἷς τμῆμα πρός ὁ δίδωμι ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ δίδωμι ὁ △ πρός ὁ ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα . λαμβάνω ὁ ΑΒ τρίτος μέρος ὁ ΑΕ · ὁ ἄρα △ ἐπί ὁ ΑΓ ἤτοι μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ ἢ ἴσος ἢ μικρός . εἰμί μέν οὖν μέγας εἰμί , οὖον συντίθημι , ὡς ἐν ὁ ἀνάλυσις δείκνυμι · εἰμί δέ ἴσος εἰμί , ὁ Ε σημεῖον ποιέω ὁ πρόβλημα . Ἴσων γάρ εἰμί ὁ στερεός ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ △ πρός ὁ ἀπό ΒΕ . εἰμί δέ ἐλαχύς εἰμί ὁ ∠ ἐπί ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ , συντίθημι οὕτως κεῖμαι ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ὁ ΑΒ , καί διά ὁ Γ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΓΖ , διά δέ ὁ Β ὁ ΑΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΒΖ καί συμπίπτω ὁ ΓΕ ἐκβάλλω κατά ὁ ὁ , καί συμπληρόω ὁ ΖΘ παραλληλόγραμμος , καί διά ὁ Ε ὁ ΖΗ παράλληλος ἄγω ὁ ΚΕΛ . ἐπεί οὖν ὁ △ ἐπί ὁ ΑΓ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ , εἰμί ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ πρός ἐλαχύς τίς ὁ ἀπό ὁ ΒΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΗΚ . ἔστω οὖν ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ △ πρός ὁ ἀπό ΗΜ , καί ὁ △ ἴσος ἵστημι ὁ ὑπό ΓΖΝ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ △ , τουτέστι ὁ ὑπό ΓΖΝ , πρός ὁ ἀπό ΗΜ , ἀλλά ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ΖΗ , ὡς δέ ὁ ΓΖ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ ἀπό ΓΖ πρός ὁ ὑπό ΓΖΗ , καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΓΖ πρός ὁ ὑπό ΓΖΗ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΖΝ πρός ὁ ἀπό ΗΜ · καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ἀπό ΓΖ πρός ὁ ὑπό ΓΖΝ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΖΗ πρός ὁ ἀπό ΗΜ . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΓΖ πρός ὁ ὑπό ΓΖΝ , ὁ ΓΖ πρός ΖΝ , ὡς δέ ὁ ΓΖ πρός ΖΝ , ὁ ΖΗ κοινός ὕψος λαμβάνω , οὕτως ὁ ὑπό ΓΖΗ πρός ὁ ὑπό ΖΗ καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΓΖΗ πρός ὁ ὑπό ΖΗ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΖΗ πρός ὁ ἀπό ΗΜ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ΗΜ ὁ ὑπό ΗΖΝ . ἐάν ἄρα διά ὁ περί ἄγω ὁ ΖΗ γράφω παραβολή , ὥστε ὁ κατάγω δύναμαι παρά ὁ ΖΝ , ἥκω διά ὁ Μ . γράφω καί ἵστημι ὡς ὁ ΜΞΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΘΛ ὁ αζʹ , τουτέστι ὁ ὑπό ΘΚΛ ὁ ὑπό ΑΒΖ , ἐάν διά ὁ Β περί ἀσύμπτωτος ὁ ΘΓ , ΓΖ γράφω ὑπερβολή , ἥκω διά ὁ διά ὁ ἀντιστροφή ὁ Η΄ θεώρημα ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον . γράφω , καί ἵστημι ὡς ὁ ΒΚ τέμνω ὁ παραβολή κατά ὁ Ε , καί ἀπό ὁ Ξ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ἄγω ὁ ΞΟΠ , καί διά ὁ Ξ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΡΞΣ . ἐπεί οὖν ὑπερβολή εἰμί ὁ ΒΞΚ , ἀσύμπτωτος δέ ὁ ΘΓ , ΓΖ , καί παράλληλος ἄγω εἰμί ὁ ρξγʹ ὁ ΑΒΖ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΡΞΠ ὁ ὑπό ΑΒΖ ὥστε καί ὁ ΡΟ ὁ ΟΖ . ἐάν ἄρα ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ Σ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς , ἥκω διά ὁ 0 . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΓΟΣ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΟΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ΟΒ πρός ΒΣ , τουτέστιν ὁ ΓΖ πρός ΖΣ , ὡς δέ ὁ ΓΖ πρός ΖΣ , ὁ ΖΝ κοινός ὕψος λαμβάνω , οὕτως ὁ ὑπό ΓΖΝ πρός ὁ ὑπό ΣΖΝ , καί ὡς ἄρα ὁ ΟΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΖΝ πρός ὁ ὑπό ΣΖΝ , καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΓΖΝ ἴσος ὁ △ χωρίον , ὁ δέ ὑπό ΣΖΝ ἴσος ὁ ἀπό ΣΞ , τουτέστι ὁ ἀπό ΒΟ διά ὁ παραβολή · ὡς ἄρα ὁ ΟΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ △ χωρίον πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΟ . λαμβάνω ἄρα ὁ ὁ σημεῖον ποιέω ὁ πρόβλημα . ὅτι2 δέ διπλάσιος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΑ ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ μέγας εἰμί πᾶς ὁ ὁμοίως λαμβάνω ἐπί ὁ ΒΑ δείκνυμι οὕτως . ἔστω γάρ , ὡς ἐν ὁ ἀνάλυσις , πάλιν δίδωμι εὐθύς πρός ὀρθός ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ διά ὁ Β παράλληλος ἄχω ὁ ΑΓ κατά ὁ Ζ , καί διά ὁ Γ , Ζ παράλληλος ὁ ΑΒ ἄγω ὁ ΘΖ , ΓΗ , καί ἐκβάλλω ὁ ΓΑ ἐπί ὁ Θ , καί οὗτος παράλληλος διά ὁ Ε ἄγω ὁ ΚΕΛ , καί γίγνομαι ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ὑπό ΗΜ πρός ὁ ἀπό ΕΒ · ὁ ἄρα ἀπό ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΗΜ ἐπί ὁ ΑΓ διά ὁ δύο στερεός ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος . λέγω οὖν ὅτι ὁ ὑπό ΗΜ ἐπί ὁ ΑΓ μέγας εἰμί πᾶς ὁ ὁμοίως ἐπί ὁ ΒΑ λαμβάνω . γράφω γάρ διά ὁ ὁ περί ἄγω ὁ ΖΗ παραβολή , ὥστε ὁ κατάγω δύναμαι παρά ὁ ΗΜ · ἥκω δή διά ὁ Κ , ὡς ἐν ὁ ἀνάλυσις δείκνυμι , καί συμπίπτω ἐκβάλλω ὁ ΘΓ παράλληλος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ τομή διά ὁ ἕβδομος καί εἰκοστός θεώρημα ὁ πρῶτος βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον . ἐκβάλλω καί συμπίπτω κατά ὁ Ν , καί διά ὁ Β περί ἀσύμπτωτος ὁ ΓΗ γράφω ὑπερβολή ἥκω ἄρα διά ὁ Κ , ὡς ἐν ὁ ἀνάλυσις εἴρω . ἔρχομαι οὖν ὡς ὁ ΒΚ , καί ἐκβάλλω ὁ ΖΗ ἴσος κεῖμαι ὁ ΗΞ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞΚ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ ὁ · φανερός ἄρα ὅτι ἐφάπτω ὁ παραβολή διά ὁ ἀντιστροφή ὁ τέταρτος καί τριακοστός θεώρημα ὁ πρῶτος βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον . ἐπεί οὖν διπλόος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΑ , οὕτως γάρ ὑπόκειμαι , τουτέστιν ὁ ΖΚ ὁ ΚΘ , καί εἰμί ὅμοιος ὁ ΟΘ τρίγωνος ὁ ΞΖΚ τργώνῳ , διπλάσιος εἰμί καί ὁ ΞΚ ὁ ΚΟ . ἔρτις δέ καί ὁ ΞΚ ὁ ΚΠ διπλόος διά ὁ καί ὁ ΞΖ ὁ ΞΗ καί παράλληλος εἰμί ὁ ΠΗ ὁ ΚΖ ἴσος ἄρα ὁ ΟΚ ὁ ΚΠ . ὁ ἄρα ΠΟΠ ψαύω ὁ ὑπερβολή καί μεταξύ εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος δίχα τέμνω · ἐφάπτω ἄρα ὁ ὑπερβολή διά ὁ ἀντιστροφή ὁ τρίτος θεώρημα ὁ δύο βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον . ἐφάπτω δέ καί ὁ παραβολή κατά ὁ αὐτός Κ · ὁ ἄρα παραβολή ὁ ὑπερβολή ἐφάπτω κατά ὁ Κ . νοέω οὖν καί ὁ ὑπερβολή προσεκβάλλω ὡς ἐπί ὁ Ρ , καί λαμβάνω ἐπί ὁ ΑΒ τυγχάνω σημεῖον ὁ Σ , καί διά ὁ ὁ ΚΛ παράλληλος ἄγω ὁ ΣΤ καί συμβάλλω ὁ ὑπερβολή κατά ὁ Τ , καί διά ὁ Τ ὁ ΓΗ παράλληλος ἄγω ὁ ΦΤΧ ἐπεί οὖν διά ὁ ὑπερβολή καί ὁ ἀσύμπτωτος ἴσος εἰμί ὁ ΦΥ ὁ ΓΒ , κοινός ἀφαιρέω ὁ ΓΣ ἴσος γίγνομαι ὁ ΦΣ ὁ ΣΗ , καί διά οὗτος ὁ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ Χ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἥκω διά ὁ Σ . ἔρχομαι , καί ἵστημι ὡς ὁ ΓΣΧ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ΨΧ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΧΜ διά ὁ παραβολή , ὁ ἀπό ΤΧ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΧΜ . γίγνομαι οὖν ὁ ἀπό ΤΧ ἴσος ὁ ὑπό χῆμαι . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ σός πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΧ , ἀλλά ὡς ὁ ΓΗ πρός ΗΧ , ὁ ΗΩ κοινός ὕψος λαμβάνω , οὕτως ὁ ὑπό ΓΗΩ πρός ὁ ὑπό χῆμαι καί πρός ὁ ἴσος αὐτός ὁ ἀπό ΧΤ , τουτέστι ὁ ἀπό ΒΣ , ὁ ἄρα ἀπό ΒΣ ἐπί ὁ σός ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΗΩ ἐπί ὁ ΓΑ . ὁ δέ ὑπό ΓΗΩ ἐπί ὁ ΓΑ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΗΜ ἐπί ὁ ΓΑ ὁ ἄρα ἀπό ΒΣ ἐπί ὁ σός ἐλάσσων εἰμί ὁ ἀπό ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ . ὅμοιος δή δείκνυμι καί ἐπί πᾶς ὁ σημεῖον ὁ μεταξύ λαμβάνω ὁ Ε , Β . ἀλλά δή λαμβάνω μεταξύ ὁ Ε , Α σημεῖον ὁ Ϛ . λέγω ὅτι καί οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ΒϚ ἐπί ὁ ΑϚʹ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ἄγω διά ὁ Ϛ ὁ ΚΛ παράλληλος ὁ ϥϚΡ καί συμβάλλω ὁ ὑπερβολή κατά ὁ Ρ συμβάλλω γάρ αὐτός διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος · καί διά ὁ Ρ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΒ ὁ Α΄ συμβάλλω ὁ ΗΖ ἐκβάλλω κατά ὁ Β΄ . καί ἐπεί πάλιν διά ὁ ὑπερβολή ἴσος εἰμί ὁ Γ΄ϥ ὁ ΑΗ , ὁ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ Β΄ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἥκω διά ὁ Ϛ . ἔρχομαι καί ἵστημι ὡς ὁ Τς΄Β΄ , καί ἐπεί πάλιν διά ὁ παραβολή ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Α΄ ὁ ὑπό ΒΗ , ὁ ἄρα ἀπό ΡΒ΄ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΒΗ , γίγνομαι ὁ ἀπό ΡΒ΄ ἴσος ὁ ὑπό ΗΒ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑϚʹ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΒΗ , ἀλλά ὡς ὁ ΓΗ πρός ΒΗ , ὁ ΗΩ κοινός ὕψος λαμβάνω , οὕτως ὁ ὑπό ΓΗΩ πρός ὁ ὑπό ΗΒ , τουτέστι πρός ὁ ἀπό ΡΒ΄ , τουτέστι πρός ὁ ἀπό ΒϚ , ὁ ἄρα ἀπό ΒϚ ἐπί ὁ ΑϚʹ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΗΩ ἐπί ὁ ΓΑ . καί μείζων ὁ ὑπό ΗΜ ὁ ὑπό ΓΗΩ · μείζων ἄρα καί ὁ ἀπό ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ ὁ ἀπό ΒϚ ἐπί ὁ ΑϚʹ . ὅμοιος δή δείκνυμι καί ἐπί πᾶς ὁ σημεῖον ὁ μεταξύ ὁ Ε , Α λαμβάνω . δείκνυμι δέ καί ἐπί πᾶς ὁ μεταξύ ὁ Ε , Β · πᾶς ἄρα ὁ ἐπί ὁ ΑΒ ὁμοίως λαμβάνω μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ , ὅταν εἰμί διπλάσιος ὁ ΒΕ ὁ ΕΑ . ἐφίστημι δέ χρή καί ὁ ἀκολουθέω κατά ὁ εἴρω καταγραφή . ἐπεί γάρ δείκνυμι ὁ ἀπό ΒΣ ἐπί ὁ σός καί ὁ ἀπό ΒϚ ἐπί ὁ ΑϚʹ μικρός ὁ ἀπό ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ , δυνατός εἰμί καί ὁ δίδωμι χωρίον ἐπί ὁ δίδωμι μικρός εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ἐπί ὁ ΕΑ κατά δύο σημεῖον ὁ ΑΒ τέμνω ποιέω ὁ ἐκ ἀρχή πρόβλημα . οὗτος δέ γίγνομαι , εἰμί νοέω περί διάμετρος ὁ ΧΗ γράφω παραβολή , ὥστε ὁ κατάγω δύναμαι παρά ὁ ΗΩ · ὁ γάρ τοιοῦτος παραβολή πάντως ἔρχομαι διά ὁ Τ . καί ἐπεί ἀνάγκη αὐτός συμπίπτω ὁ παράλληλος εἰμί ὁ διάμετρος , δῆλος ὅτι τέμνω ὁ ὑπερβολή καί κατά ἄλλος σημεῖον ἀνωτέρω ὁ Κ , ὡς ἐνταῦθα κατά ὁ Ρ , καί ἀπό ὁ Ρ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ἄγω , ὡς ἐνταῦθα ὁ ΡϚ , τέμνω ὁ ΑΒ κατά ὁ Ϛ , ὥστε ὁ Ϛ σημεῖον ποιέω ὁ πρόβλημα , καί ἴσος γίγνομαι ὁ ἀπό ΒΣ ἐπί ὁ σός ὁ ἀπό ΒϚ ἐπί ὁ ΑϚʹ , ὅς εἰμί διά ὁ προερέω ἀπόδειξις ἐμφανής . ὥστε , δυνατός εἰμί ἐπί ὁ ΒΑ δύο σημεῖον λαμβάνω ποιέω ὁ ζητέω , ἔξεστι ὁπότερος τις βούλομαι λαμβάνω ἢ ὁ μεταξύ ὁ Ε , Β ἢ ὁ μεταξύ ὁ Ε , Α . εἰμί μέν γάρ ὁ μεταξύ ὁ Ε , Β , ὡς εἴρω , ὁ διά ὁ ὁ , Τ σημεῖον γράφω παραβολή κατά δύο σημεῖον τέμνω ὁ ὑπερβολή ὁ μέν ἐγγύς ὁ ὁ , τουτέστι ὁ ἄγω ὁ παραβολή , εὑρίσκω ὁ μεταξύ ὁ Ε , Β , ὡς ἐνταῦθα ὁ Τ εὑρίσκω ὁ Σ , ὁ δέ ἀπωτέρω ὁ μεταξύ ὁ Ε , Α , ὡς ἐνταῦθα ὁ Ρ εὑρίσκω ὁ Ϛ . Κάθολος μέν οὖν οὕτως ἀναλύω καί συντίθημι ὁ πρόβλημα ἵνα δέ καί ὁ Ἀρχιμήδειος ῥῆμα ἐφαρμόζω , νοέω ὡς ἐν αὐτός ὁ ὁ ῥητός καταγραφή διάμετρος μέν ὁ σφαῖρα ὁ △Β , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΒΖ , καί ὁ δίδωμι ὁ ΖΘ . καταντάω ἄρα , φημί , εἰς ὁ ὁ △Ζ τέμνω κατά ὁ Χ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΧΖ πρός ὁ δίδωμι , οὕτως ὁ δίδωμι πρός ὁ ἀπό ὁ △Χ . οὗτος δέ ἁπλόος μέν λέγω ἔχω διορμσμόν εἰμί γάρ ὁ δίδωμι ἐπί ὁ δίδωμι μείζων τυγχάνω ὁ ἀπό ὁ △Β ἐπί ὁ ΒΖ , ἀδύνατος εἰμί ὁ πρόβλημα , ὡς δείκνυμι , εἰμί δέ ἴσος , ὁ Β σημεῖον ποιέω ὁ πρόβλημα , καί οὕτως δέ οὐδείς εἰμί πρός ὁ ἐκ ἀρχή Ἀρχιμήδης πρόθεσις ὁ γάρ σφαῖρα οὐ τέμνω εἰς ὁ δίδωμι λόχος . ἁπλός ἄρα λέγω ἔχω προσδιορισμός προστίθημι δέ ὁ πρόβλημα ὁ ἐνθάδε ὑπάρχω , τουτέστι ὁ τε διπλάσιος εἰμί ὁ △Β ὁ ΖΒ καί ὁ μείζων εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΖΘ , οὐ ἔχω διορισμός . ὁ γάρ ἀπό △Β ὁ δίδωμι ἐπί ὁ ΖΘ ὁ δίδωμι ἐλάσσων εἰμί ὁ ἀπό ὁ △Β ἐπί ὁ ΒΖ διά ὁ ὁ ΒΖ ὁ ΖΘ μείζων εἰμί , ὅσπερ ὑπάρχω δείκνυμι δυνατός , καί ὅπως προβαίνω ὁ πρόβλημα . κατανοέω δέ χρή καί ὁ ὑπό Ἀρχιμήδης λέγω σύμφωνος ἔχω ὁ ὑπό ἐγώ ἀναλύω . πρότερος μέν γάρ μετά ὁ ἀνάλυσις αὐτός καθόλου ὁ εἰς ὅς κατά-ἀντάω λέγω φημί δίδωμι ὁ △Ζ τέμνω δεῖ κατά ὁ Χ καί ποιέω ὡς ὁ ΧΖ πρός δίδωμι , οὕτως ὁ δίδωμι πρός ὁ ἀπό ὁ △Χ εἶτα εἶπον ὡς καθόλου μέν ὁ λέγω ἔχω διορισμός , προστίθημι δέ ὁ ὑπό αὐτός εὑρίσκω πρόβλημα , ὁ τε εἰμί διπλάσιος ὁ △Β ὁ ΒΖ καί μείζων ὁ ΒΖ ὁ ΖΘ , μή ἔχω διορισμός μερικός ἐπαναλαμβάνω ὁ πρόβλημα καί φημί ὅτι καί εἰμί ὁ πρόβλημα τοιοῦτος · δύο δίδωμι εὐθύς ὁ △Β , ΒΖ καί διπλάσιος εἰμί ὁ △Β ὁ ΒΖ καί σημεῖον ἐπί ὁ ΒΖ ὁ Θ τέμνω ὁ △Β κατά ὁ Χ , οὐκέτι , ὡς πρότερος , ὁ △Ζ εἶπον ἀλλά ὁ △Β δήω τέμνω διά ὁ , ὡς ἀνωτέρω ἐγώ ἀποδείκνυμι , οἶδα αὐτός ὡς δύο σημεῖον εἰμί ὁ λαμβάνω ἐπί ὁ △Ζ καί ποιέω ὁ πρόβλημα , εἷς μέν ὁ μεταξύ ὁ △ , Β , ἕτερος δέ ὁ μεταξύ ὁ Β , Ζ , ὅς ὁ μεταξύ ὁ △ , Β εἰμί ὁ πρός ὁ ἐκ ἀρχή πρόθεσις χρήσιμος . οὗτος μέν οὖν ἀκόλουθος ὁ Ἀρχιμήδης ῥῆμα κατά ὁ δυνατός σαφῶς ἀπογράφω ἐπεί δέ , ὡς προερέω , καί Διονυσόδωρος οὐδαμοῦ ὁ ἐπί τέλος γράφω παρά Ἀρχιμήδης ἐπαγγέλλω ἐντυγχάνω , ἀτονέω δέ ὥσπερ προσευρίσκω ὁ μή ἐκτίθημι ἐπί ἕτερος ὁδός βαδίζω ὁ ὅλος πρόβλημα οὐ ἄχαρις εὕρεσις συνεχράψατο τρόπος , ἀναγκαῖος οἴομαι δήω καί αὐτός οὗτος ἐπισυνάπτω διορθόω κατά δύναμις καί γάρ αὐτός ἐκ πολύς ἀμελετησία ὁ ἄνθρωπος ὁ πολύς ὁ ἀπόδειξις ὁ πλῆθος ὁ πταῖσμα ἀφανίζω ἔχω ἐν πᾶς , ὅς ἐγώ ἐντυγχάνω , ἀντίγραφος φέρω .