eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 3
Τὸ δὴ ΑΓ ἑαυτῷ ἐπισυντιθέμενον ὑπερέξει τοῦ △ | Δηλαδὴ ὡς τοῦ ΑΒ ἤτοι ἐπιμορίου ἢ καὶ ἐπιμεροῦς τυγχάνοντος τοῦ △ . Εἰ δὲ εἴη τὸ ΑΒ τοῦ △ ἤτοι πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ καὶ πολλαπλασιεπιμερές , ἀφαιρεθέντος ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἴσου τῷ △ τοῦ ΒΓ τὸ λοιπὸν τὸ ΓΑ ὑπερέξει τοῦ △ , ὥστε μηκέτι πολλαπλασιάζεσθαι αὐτό , ἀλλ᾿ αὐτόθεν δεῖν τῷ ΑΓ ἴσον ἀποτίθεσθαι τὸ ΑΘ , καὶ τὴν αὐτὴν ἀπόδειξιν ἁρμόζειν . Καὶ συνθέντι τὸ ΖΕ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόχον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ Ὅτι γάρ , ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τρίτον πρὸς τέταρτον , καὶ συνθέντι ὁ αὐτὸς λόγος ἀκολουθεῖ , δειχθήσεται οὕτως . Ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη τὰ ΑΒ , ΒΓ , △Ε , ΕΖ , τὸ δὲ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ △Ε πρὸς τὸ ΕΖ . Λὲγω ὅτι καὶ συνθέντι τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς τὸ ΖΕ . Γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ , οὕτως τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΖΘ . ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ , οὕτως τὸ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ . Μείζονα δὲ λόγον ἔχει τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ καὶ τὸ ΘΖ ἄρα πρὸς ΖΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ . Μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΘ τοῦ Ε △ καὶ ὅλον τὸ ΘΕ τοῦ △Ζ , καὶ διὰ τοῦτο τὸ ΘΕ πρὸς ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ΘΕ πρὸς ΕΖ , τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ διὰ τὸ συνθέντι καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΕΖ . Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ πρὸς ΖΕ . Λέγω ὅτι καὶ διελόντι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ . Πάλιν γὰρ ὁμοίως , ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὸ ΒΓ πρὸς ΓΑ , οὕτως τὸ ΖΕ πρὸς ΕΘ , ἔσται τὸ ΘΕ μεῖζον τοῦ △Ζ . Καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΕΖ ἔσται μεῖζον τὸ ΘΖ τοῦ △Ε , καὶ διὰ τοῦτο τὸ ΘΖ πρὸς ΖΕ , τουτέστι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ διὰ τὸ διελόντι , μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ . Φανερὸν δὲ διὰ τῶν ὁμοίων ὅτι , κἂν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ , καὶ συνθέντι καὶ πάλιν διελόντι ὁ αὐτὸς λόγος ἔσται . Ἐκ δὲ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ τοῦ ἀναστρέψαντι λόχος ἐμφανής ἐστιν . Ἐχέτω γὰρ τὸ ΑΓ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ . Λέγω ὅτι καὶ ἀναστρέψαντι τὸ ΓΑ πρὸς ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ △ πρὸς △Ε . Ἐπεὶ γὸρ τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ , καὶ διελόντι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ , ἀνάπαλιν τὸ ΒΓ πρὸς ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς Ε △ , καὶ συνθέντι τὸ ΓΑ πρὸς ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ △πρὸς △Ε .
Lemmas: ὁ δή ΑΓ ἑαυτοῦ ἐπισυντίθημι ὑπερέχω ὁ △ | Δηλαδή ὡς ὁ ΑΒ ἤτοι ἐπιμόριος ἢ καί ἐπιμερής τυγχάνω ὁ △ . εἰμί δέ εἰμί ὁ ΑΒ ὁ △ ἤτοι πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιεπιμόριος ἢ καί πολλαπλασιεπιμερής , ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος ὁ △ ὁ ΒΓ ὁ λοιπός ὁ ΓΑ ὑπερέχω ὁ △ , ὥστε μηκέτι πολλαπλασιάζω αὐτός , ἀλλά αὐτόθεν δήω ὁ ΑΓ ἴσος ἀποτίθημι ὁ ΑΘ , καί ὁ αὐτός ἀπόδειξις ἁρμόζω . καί συντίθημι ὁ ΖΕ πρός ΖΗ μικρός λόχος ἔχω ἤ2 ὁ ΑΒ πρός ΒΓ ὅτι2 γάρ , ἐάν πρῶτος πρός δύο μικρός λόγος ἔχω ἤ2 τρίτος πρός τέταρτος , καί συντίθημι ὁ αὐτός λόγος ἀκολουθέω , δείκνυμι οὕτως . εἰμί τέσσαρες μέγεθος ὁ ΑΒ , ΒΓ , △Ε , ΕΖ , ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ε πρός ὁ ΕΖ . λέγω ὅτι καί συντίθημι ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ζ πρός ὁ ΖΕ . γίγνομαι γάρ ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ὁ ΖΘ . ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΘΖ πρός ὁ ΖΕ . μείζων δέ λόγος ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ ἤ2 ὁ △Ε πρός ΕΖ καί ὁ ΘΖ ἄρα πρός ΖΕ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ε πρός ΕΖ . Μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΖΘ ὁ Ε △ καί ὅλος ὁ ΘΕ ὁ △Ζ , καί διά οὗτος ὁ ΘΕ πρός ΕΖ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ζ πρός ΖΕ . ἀλλά ὡς ὁ ΘΕ πρός ΕΖ , ὁ ΑΓ πρός ΓΒ διά ὁ συντίθημι καί ὁ ΑΓ ἄρα πρός ΓΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ζ πρός ΕΖ . ἀλλά δή ὁ ΑΓ πρός ΓΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ πρός ΖΕ . λέγω ὅτι καί διαιρέω ὁ ΑΒ πρός ΒΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ε πρός ΕΖ . πάλιν γάρ ὁμοίως , ἐάν ποιέω ὡς ὁ ΒΓ πρός ΓΑ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ΕΘ , εἰμί ὁ ΘΕ μείζων ὁ △Ζ . καί κοινός ἀφαιρέω ὁ ΕΖ εἰμί μείζων ὁ ΘΖ ὁ △Ε , καί διά οὗτος ὁ ΘΖ πρός ΖΕ , τουτέστι ὁ ΑΒ πρός ΒΓ διά ὁ διαιρέω , μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΔΕ πρός ΕΖ . Φανερός δέ διά ὁ ὅμοιος ὅτι , κἀν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ε πρός ΕΖ , καί συντίθημι καί πάλιν διαιρέω ὁ αὐτός λόγος εἰμί . ἐκ δέ ὁ αὐτός καί ὁ ὁ ἀναστρέφω λόχος ἐμφανής εἰμί . Ἔχετος γάρ ὁ ΑΓ πρός ΒΓ μείζων λόγος ἤ2 ὁ △Ζ πρός ΖΕ . λέγω ὅτι καί ἀναστρέφω ὁ ΓΑ πρός ΑΒ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ζ △ πρός △Ε . ἐπεί γόρ ὁ ΑΓ πρός ΓΒ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ζ πρός ΖΕ , καί διαιρέω ὁ ΑΒ πρός ΒΓ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △Ε πρός ΕΖ , ἀνάπαλιν ὁ ΒΓ πρός ΒΑ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΖΕ πρός Ε △ , καί συντίθημι ὁ ΓΑ πρός ΑΒ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ Ζ πρός △Ε .