eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 39
Γράφει δὲ καὶ ὁ Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων προλέγων τάδε . Ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας ἴσον ἐστὶ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι , ὕψος δὲ εὐθεῖάν τινα λόγον ἔχουσαν πρὸς τὴν ἀπὸ τῆς τοῦ τμήματος κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον , ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ἡ τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος κάθετος πρὸς τὴν τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος κάθετον . Οἷον ἐὰν ᾖ σφαῖρα ἡ ΑΒΓ καὶ τμηθῇ ἐπιπέδῳ τινὶ τῷ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλῳ , καὶ διαμέτρου οὔσης τῆς ΑΒ , κέντρου δὲ τοῦ Ε , ποιήσωμεν ὡς συναμφότερον τὴν ΕΑ , ΖΑ πρὸς ΖΑ , οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς ΖΒ , ἔτι τε ὡς συναμφότερον τὴν ΕΒ , ΒΖ πρὸς ΖΒ , οὕτως τὴν ΘΖ πρὸς ΖΑ , ἀποδέδεικται ὅτι τὸ μὲν ΓΒ△ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ , οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλος , ὕψος δὲ ἡ ΖΗ , τὸ δὲ ΓΑ△ τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ , οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή , ὕψος δὲ ἡ ΘΖ . Προταθέντος οὖν αὐτῷ τοῦ τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν , ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα , κατασκευάσας τὰ εἰρημένα φησί · λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τοῦ κώνου , οὗ βάσις ἐστὶν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλος , ὕψος δὲ ἡ ΖΘ , πρὸς τὸν κῶνον , οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή , ὕψος δὲ ἡ ΖΗ καὶ γὰρ καὶ τοῦτο ἀπεδείχθη . Οἱ δὲ κῶνοι οἱ ἐπ᾿ ἴσων βάσεων ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη λόγος ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΗ δοθείς . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒΖ πρὸς τὴν ΖΒ , διελόντι ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΖ , οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΖΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΗΒ πρὸς ΖΒ , οὕτως ἡ αὐτὴ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΑ . Γέγονεν οὖν πρόβλημα τοιοῦτον θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α , Β καὶ δοθείσης τῆς ΕΒ τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ζ καὶ προσθεῖναι τὰς ΘΑ , ΒΗ , ὥστε λόγον εἶναι τῆς ΘΖ πρὸς ΖΗ δοθέντα , ἔτι τε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΘΑ πρὸς ΑΖ , οὕτως τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΖΒ , ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΖ , οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς ΖΑ . Τοῦτο δὲ ἑξῆς δέδεικται · ὁ γὰρ Ἀρχιμήδης μακρότερον αὐτὸ δείξας καὶ οὕτως εἰς πρόβλημα ἕτερον ἀπάγει , ὃ οὐκ ἀποδείκνυσιν ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου . θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α , Β καὶ λόχου τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν △ , τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ε καὶ προσθεῖναι τὰς ΖΑ , ΗΒ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν △ , οὕτως τὴν ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ , ἔτι τε εἶναι ὡς τὴν ΖΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως δοθεῖσάν τινα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΒΕ , ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΕΑ . Γεγονέτω , καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΘΑΚ , ΛΒΜ , καὶ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν ΑΚ , ΒΜ . Ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΕ , ΜΕ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Λ , Θ , ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΚΜ , καὶ διὰ τοῦ Λ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΒ ἡ ΛΝ , διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΝΚ ἡ ΞΕΟΠ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ , ὑπόκειται γάρ , ὡς δὲ ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων , ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ · ἴση ἄρα ἡ ΖΑ τῇ ΘΑ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΒΛ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΜΒΕ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΛΒΕ · ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων ὁ αὐτός ἐστὶ τῷ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΒ τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ . Κείσθω τῇ ΚΑ ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΡ , ΒΣ . Ἐτεὶ οὖν συναμφότερος μὲν ἡ ΘΑΕ ἴση ἐστὶ τῇ ΖΕ , συναμφότερος δὲ ἡ ΛΒΕ ἴση τῇ ΕΗ , συναμφότερος δὲ ἡ ΚΑΕ ἴση τῇ ΡΕ , συναμφότερος δὲ ἡ ΜΒΕ ἴση τῇ ΣΕ , καὶ ἐδείχθη τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΡΕΣ . Διὰ δὴ τοῦτο , ὅταν τὸ P μεταξὺ τῶν Α , Ζ πίπτῃ , τότε τὸ Σ ἐξωτέρω τοῦ Η πεσεῖται , καὶ τὸ ἀνάπαλιν , Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν △ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ , ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ , ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν △ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ . Τὸ δὲ ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΡΕΣ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν △ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ . Κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΟ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΟ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα , καὶ ἀπὸ τῶν Σ , Ρ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΣΤ , ΡΥ συμβαλλέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Τ , Υ . Ἐτεὶ οὖν διὰ δεδομένου τοῦ Β πρὸς θέσει δεδομένην τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΤΥ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΒΟ ἡμίσειαν ὀρθῆς , δέδοται ἡ ΤΥ τῇ θέσει . Καὶ ἀπὸ δεδομένων τῶν Σ , Ρ θέσει ἠγμέναι αἱ ΣΤ , ΡΥ τέμνουσιν αὐτὴν κατὰ τὰ Τ , Υ · δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ Τ , Υ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΥ τῷ θέσει καὶ τῇ μεγέθει . Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν τῶν ΕΟΒ , ΣΤΒ τριγώνων ὁμοιότητά ἐστιν ὡς ἡ ΤΒ πρὸς ΒΟ , οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς ΒΕ , καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΒ , οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΒ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΟ πρὸς ΟΥ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΡ · καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ , οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ , ὡς δὲ ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑηὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΕΡ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ . Τὸ δὲ ἀπὸ ΟΥ τοῦ ἀπὸ ΕΡ διπλάσιον , ἐπειδὴ καὶ τὸ ἀπὸ ΟΒ τοῦ ἀπὸ ΒΕ · καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΣΕΡ ἐστὶ διπλάσιον . Τὸ δὲ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ ἐδείχθη λόγον ἔχεν , ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν △ · καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ λόγον ἔχει , ὃν ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν △ . Τὸ δὲ ἀπὸ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΞΟ · ἑκατέρα γὰρ τῶν ΕΗ , ΞΟ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΛΒΕ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ λόγον ἔχει , ὃν ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν △ . Καὶ δέδοται ὁ τῆς διπλασίας τῆς πρὸς τὴν △ λόγος δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ λόγος . Ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν ὡς τὴν △ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ , οὕτως τὴν ΤΥ πρὸς ἄλλην τινὰ ὡς τὴν Φ , καὶ περὶ τὴν ΤΥ γράψωμεν ἔλλειψιν , ὥστε τὰς καταγομένας ἐν τῇ ὑπὸ ΞΟΒ γωνίᾳ , τουτέστιν ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς , δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ , Φ , ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ εἰκοστοῦ θεωρήματος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων . Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΥΞΤ τὸ ἄρα Ξ σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης ἐλλείψεως . Καὶ ἐπεὶ διαγώνιός ἐστιν ἡ ΛΚ τοῦ ΝΜ παραλληλογράμμου , ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ . Ἐὰν ἄρα διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΚΜ γράψωμεν ὑπερβολήν , ἥξει διὰ τοῦ Ξ καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ καὶ τὸ Β σημεῖον τῇ θέσει δεδόσθαι καὶ ἑκατέραν τῶν ΑΒ , ΒΜ καὶ διὰ τοῦτο τὰς ΘΚΜ ἀσυμπτώτους . Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΞΒ · τὸ ἄρα σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης ὑπερβολῆς . Ἥπτετο δὲ καὶ θέσει δεδομένης ἐλλείψεως · δέδοται ἄρα τὸ Ξ . Καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ κάθετος ἡ ΞΕ · δέδοται ἄρα τὸ Ε . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ , καὶ δὲδοται ἡ ΑΕ , δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δέδοται καὶ ἡ ΗΒ . Συντεθήσεται δὲ οὕτως · ὡς γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα , ἣν δεῖ τεμεῖν , ἡ ΑΒ , ἡ δὲ δοθεῖσα ἑτέρα ἡ ΑΚ , ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν △ . Ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΜ ἴση οὖσα τῇ ΑΚ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΜ , καὶ τῇ μὲν ΚΑ ἴση κείσθω ἡ ΑΡ καὶ ἡ ΒΣ , ἀπὸ δὲ τῶν Ρ , Σ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΡΥ , ΣΤ , καὶ πρὸς τῷ Β σημείῳ συνεστάτω ἡμίσεια ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΑΒΟ , καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΒΟ ἐφ᾿ ἑκάτερα τεμνέτω τὰς ΣΤ , ΡΥ κατὰ τὰ Τ , Υ , καὶ γεγονέτω ὡς ἡ △ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ , οὕτως ἡ ΤΥ πρὸς τὴν Φ , καὶ περὶ τὴν ΤΥ γεγράφθω ἔλλειψις , ὥστε τὰς καταγομένας ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς δύνασθαι τὰ παρακείμενα παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ , Φ , διὰ δὲ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΚ , ΚΜ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ ΒΞ τέμνουσα τὴν ἔλλειψιν κατὰ τὸ Ξ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΕ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Π , διὰ δὲ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΞΝ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΚΑ , ΜΒ ἐπὶ τὰ △ , Θ , καὶ ἡ ΜΕ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΚΝ κατὰ τὸ Θ . Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΞ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΚ , ΚΜ , ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΓ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων , καὶ διὰ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΚΕΛ . Κείσθω οὖν τῇ μὲν ΘΑ ἴση ἡ ΑΖ , τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΒΗ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν △ , οὕτως ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ , ὡς δὲ ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ διὰ τὸ κ΄ θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων , ὡς ἄρα ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν △ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΤΒ πρὸς ΒΟ , οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς ΒΕ , καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΒ , οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΒ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΟ πρὸς ΟΥ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΡ καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ , οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ . Καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ · ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΕΡ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ , Ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΟΥ τοῦ ἀπὸ ΕΡ διπλάσιον διὰ τὸ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΟ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΒΕ τῇ ΕΟ ἡμισείας ὀρθῆς οὔσης ἑκατέρας τῶν πρὸς τοῖς Β , Ο · καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΣΕΡ . Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν △ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ , καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν △ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ , τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ ἴση γὰρ ἡ ΞΟ τῷ ΕΗ διὰ τὸ ἑκατέραν αὐτῶν ἴσην εἶναι συναμφοτέρῳ τῇ ΛΒΕ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΜΒΕ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΛΒΕ ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων ὁ αὐτὸς ἐστι τῷ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ . Ἀλλὰ συναμφοτέρῳ μὲν τῇ ΘΑΕ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΕ , συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΛΒΕ ἴση ἡ ΕΗ , συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΚΑΕ ἴση ἡ ΡΕ , συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΜΒΕ ἴση ἡ ΕΣ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΡΕΣ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ πρὸς τὴν △ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ · καὶ ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν △ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν △ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ , ἴση δὲ ἡ ΘΑ τῇ ΖΑ , ὡς ὄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ . Διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς ΒΕ . Εὐθείας ἄρα δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΚ καὶ λόγου τοῦ τῆς πρὸς τὴν εἴληπται ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε , καὶ προσετέθησαν εὐθεῖαι αἱ ΖΑ , ΗΒ , καὶ γέγονεν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ , ἔτι τὲ ἐστιν ὡς ἡ δοθεῖσα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ , ὡς δὲ αὐτὴ ἡ δοθεῖσα ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς ΒΕ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . Τούτων δεδειγμένων δυνατόν ἐστι τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόχον τεμεῖν οὕτως · ἔστω γὰρ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ , ὁ δὲ δοθεὶς λόχος . ὃν δεῖ ἔχεν τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα , ὁ τῆς πρὸς τὴν κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ε , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον τὸ Ζ , καὶ προσκείσθωσαν αἱ ΗΑ , ΘΒ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν πρὸς τὴν △ , οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΖΘ , ἔτι τε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΗΑ πρὸς ΑΖ , οὕτως δοθεῖσαν τὴν ΕΒ πρὸς ΒΖ , ὡς δὲ τὴν ΘΒ πρὸς ΒΖ , οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν τὴν ΕΑ πρὸς ΑΖ · τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ποιεῖν προδέδεικται καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΚΖΛ , καὶ διὰ τῆς ΚΛ ἐπίπεδον ἐκβληθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τεμνέτω τὴν σφαῖραν . Λέγω ὅτι τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν τῆς Γ πρὸς τὴν △ . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΖ , οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΒΖ , καὶ συνθέντι · ὡς ἄρα ἡ ΗΖ πρὸς ΖΑ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ , ΒΖ πρὸς ΒΖ · ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ , ὕψος δὲ τὴν ΖΗ , ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν , ὕψος δὲ τὴν ΖΑ . Πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΖ , καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΒΖ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΑ , ΑΖ πρὸς ΑΖ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλον , ὕψος δὲ τὴν ΖΘ , ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν , ὕφος δὲ τὴν ΒΖ . Ἐπεὶ οὖν οἱ εἰρημένοι κῶνοι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη , τουτέστιν ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ , τουτέστιν ἡ Γ πρὸς τὴν △ , καὶ τὰ τμήματα ἄρα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν δοθέντα ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . Ὡς δὲ δεῖ διὰ τοῦ δοθέντος σημείου περὶ τὰς δοθείσας ἀσυμπτώτους γράψαι ὑπερβολὴν δείξομεν οὕτως , ἐπειδὴ οὐκ αὐτόθεν κεῖται ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις . Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΑ , ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιέχουσαι τὴν πρὸς τῷ Α , καὶ δεδόσθω σημεῖόν τι τὸ △ , καὶ προκείσθω διὰ τοῦ △ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΓΑ , ΑΒ γράψαι ὑπερβολήν . Ἐπεζεύχθω ἡ Α△ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε , καὶ κείσθω τῇ △Α ἴση ἡ ΑΕ , καὶ διὰ τοῦ △ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ △Ζ , καὶ κείσθω τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΓ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Γ△ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ △Ε , Η , καὶ ἐκβληθείσης τῆς Α△ γεγράφθω περὶ αὐτὴν διὰ τοῦ ὑπερβολή , ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Η ὑπερβάλλοντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ △Ε , Η . Λέγω ὅτι τῆς γεγραμμένης ὑπερβολῆς ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΓΑ , ΑΒ . Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ △Ζ τῇ ΒΑ , καὶ ἴση ἡ ΓΖ τῇ ΖΑ , ἴση ἄρα καὶ ἡ Γ△ τῇ △Β · ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Γ△ . Καί ἐστι τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ △Ε , Η · ἑκάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ Γ△ , △Β τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὑπὸ △Ε , Η εἴδους . Αἱ ἄρα ΓΑ , ΑΒ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ β΄ βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων .
Lemmas: γράφος δέ καί ὁ Διοκλῆς ἐν ὁ περι Πυρίων προλέγω1 ὅδε . ἐν ὁ περι σφαῖρα καί κύλινδρος Ἀρχιμήδης ἀποδείκνυμι ὅτι πᾶς τμῆμα σφαῖρα ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα , ὕψος δέ εὐθύς τις λόγος ἔχω πρός ὁ ἀπό ὁ ὁ τμῆμα κορυφή ἐπί ὁ βάσις κάθετος , ὅς ἔχω συναμφότερος ὅς τε ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ὁ ὁ ἐναλλάξ τμῆμα κάθετος πρός ὁ ὁ ἐναλλάξ τμῆμα κάθετος . οἷος ἐάν εἰμί σφαῖρα ὁ ΑΒΓ καί τέμνω ἐπίπεδος τις ὁ περί διάμετρος ὁ Γ△ κύκλος , καί διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒ , κέντρον δέ ὁ Ε , ποιέω ὡς συναμφότεροι ὁ ΕΑ , Γῆ πρός Γῆ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ΖΒ , ἔτι τε ὡς συναμφότεροι ὁ ΕΒ , ΒΖ πρός ΖΒ , οὕτως ὁ ΘΖ πρός Γῆ , ἀποδείκνυμι ὅτι ὁ μέν ΓΒ△ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ περί διάμετρος ὁ Γ△ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΖΗ , ὁ δέ ΓΑ τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ ΘΖ . προταθείς οὖν αὐτός ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα ἐπίπεδος τέμνω , ὥστε ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ δίδωμι , κατασκευάζω ὁ εἴρω φημί · λόγος ἄρα δίδωμι καί ὁ κῶνος , ὅς βάσις εἰμί ὁ περί διάμετρος ὁ Γ△ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΖΘ , πρός ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ ΖΗ καί γάρ καί οὗτος ἀποδείκνυμι . ὁ δέ κῶνος ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ὕψος λόγος ἄρα ὁ ΘΖ πρός ΖΗ δίδωμι . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΘΖ πρός Γῆ , οὕτως συναμφότερος ὁ ΕΒΖ πρός ὁ ΖΒ , διαιρέω ὡς ὁ ΘΑ πρός αζʹ , οὕτως ὁ ΕΒ πρός ΖΒ . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ ΗΒ πρός ΖΒ , οὕτως ὁ αὐτός εὐθύς πρός ὁ Γῆ . γίγνομαι οὖν πρόβλημα τοιοῦτος θέσις εἰμί εὐθύς ὁ ΑΒ καί δύο δίδωμι σημεῖον ὁ Α , Β καί δίδωμι ὁ ΕΒ τέμνω ὁ ΑΒ κατά ὁ Ζ καί προστίθημι ὁ ΘΑ , ΒΗ , ὥστε λόγος εἰμί ὁ ΘΖ πρός ΖΗ δίδωμι , ἔτι τε εἰμί ὡς μέν ὁ ΘΑ πρός αζʹ , οὕτως ὁ δίδωμι εὐθύς πρός ὁ ΖΒ , ὡς δέ ὁ ΗΒ πρός ΒΖ , οὕτως ὁ αὐτός δίδωμι εὐθύς πρός Γῆ . οὗτος δέ ἑξῆς δείκνυμι · ὁ γάρ Ἀρχιμήδης μακρός αὐτός δείκνυμι καί οὕτως εἰς πρόβλημα ἕτερος ἀπάγω , ὅς οὐ ἀποδείκνυμι ἐν ὁ περι σφαῖρα καί κύλινδρος . θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ καί δύο δίδωμι σημεῖον ὁ Α , Β καί λόχος ὁ ὅς ἔχω ὁ πρός ὁ △ , τέμνω ὁ ΑΒ κατά ὁ Ε καί προστίθημι ὁ Γῆ , ΗΒ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ὁ ΕΗ , ἔτι τε εἰμί ὡς ὁ Γῆ πρός ΑΕ , οὕτως δίδωμι τις εὐθύς πρός ὁ ΒΕ , ὡς δέ ὁ ΗΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ αὐτός δίδωμι εὐθύς πρός ὁ ΕΑ . γίγνομαι , καί ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΘΑΚ , ΛΒΜ , καί ὁ δίδωμι εὐθύς ἴσος κεῖμαι ἑκάτερος ὁ ΑΚ , ΒΜ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΕ , ΜΕ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Λ , Θ , ἐπιζεύγνυμι δέ καί ὁ ΚΜ , καί διά ὁ Λ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΒ ὁ ΛΝ , διά δέ ὁ Ε ὁ ΝΚ ὁ ΕΞ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Γῆ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ΜΒ πρός ΒΕ , ὑπόκειμαι γάρ , ὡς δέ ὁ ΜΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ ΘΑ πρός ΑΕ διά ὁ ὁμοιότης ὁ τρίγωνος , ὡς ἄρα ὁ Γῆ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ΘΑ πρός ΑΕ · ἴσος ἄρα ὁ Γῆ ὁ ΘΑ . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΗ ὁ ΒΛ . καί ἐπεί εἰμί ὡς συναμφότερος ὁ ΘΑΕ πρός συναμφότεροι ὁ ΒΕ , οὕτως συναμφότερος ὁ ΚΑΕ πρός συναμφότεροι ὁ ΕΛΒ · ἑκάτερος γάρ ὁ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΑΕ πρός ΕΒ ὁ ἄρα ὑπό συναμφότεροι ὁ ΘΑΕ καί συναμφότεροι ὁ ΕΛΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΚΑΕ καί συναμφότεροι ὁ ΒΕ . κέω ὁ ΚΑ ἴσος ἑκάτερος ὁ ΑΡ , ΒΣ . ἔτος οὖν συναμφότερος μέν ὁ ΘΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ΖΕ , συναμφότερος δέ ὁ ΕΛΒ ἴσος ὁ ΕΗ , συναμφότερος δέ ὁ ΚΑΕ ἴσος ὁ ΡΕ , συναμφότερος δέ ὁ ΒΕ ἴσος ὁ ΣΕ , καί δείκνυμι ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΘΑΕ καί συναμφότεροι ὁ ΕΛΒ ἴσος ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΚΑΕ καί συναμφότεροι ὁ ΒΕ , ὁ ἄρα ὑπό ΖΕΗ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Ρες . Ζεύς δή οὗτος , ὅταν ὁ P μεταξύ ὁ Α , Ζ πίπτω , τότε ὁ Σ ἔξω ὁ ὁ πίπτω , καί ὁ ἀνάπαλιν , ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ΕΗ , ὡς δέ ὁ ΖΕ πρός ΕΗ , οὕτως ὁ ὑπό ΖΕΗ πρός ὁ ἀπό ΕΗ , ὡς ἄρα ὁ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ὑπό ΖΕΗ πρός ὁ ἀπό ΕΗ . ὁ δέ ὑπό ΖΕΗ ἴσος δείκνυμι ὁ ὑπό Ρες · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ὑπό Ρες πρός ὁ ἀπό ΕΗ . κέω ὁ ΒΕ ἴσος ὁ ΕΟ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΟ ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος , καί ἀπό ὁ Σ , Ρ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΣΤ , ΡΥ συμβάλλω αὐτός κατά ὁ Τ , Υ . ἔτος οὖν διά δίδωμι ὁ Β πρός θέσις δίδωμι ὁ ΑΒ ἄγω ὁ ΤΥ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ΕΒΟ ἥμισυς ὀρθός , δίδωμι ὁ ΤΥ ὁ θέσις . καί ἀπό δίδωμι ὁ Σ , Ρ θέσις ἄγω ὁ ΣΤ , ΡΥ τέμνω αὐτός κατά ὁ Τ , Υ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Τ , Υ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΤΥ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος . καί ἐπεί διά ὁ ὁ ΟΒΕ , ΣΤΒ τρίγωνος ὁμοιότης εἰμί ὡς ὁ ΤΒ πρός ΒΟ , οὕτως ὁ ΣΒ πρός ΒΕ , καί συντίθημι εἰμί ὡς ὁ ὁ πρός ΟΒ , οὕτως ὁ ΣΕ πρός ΕΒ . ἀλλά ὡς ὁ ΒΟ πρός ΟΥ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ΕΡ · καί διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ὁ πρός ΟΥ , οὕτως ὁ ΣΕ πρός ΕΡ . ἀλλά ὡς ὁ ὁ πρός ΟΥ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ πρός ὁ ἀπό ΟΥ , ὡς δέ ὁ ΣΕ πρός ΕΡ , οὕτως ὁ ὑπό ΣΕΡ πρός ὁ ἀπό ΕΡ καί ὡς ἄρα ὁ ὑηὸ ὁ πρός ὁ ἀπό ΟΥ , οὕτως ὁ ὑπό ΣΕΡ πρός ὁ ἀπό ΕΡ · καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ὑπό ὁ πρός ὁ ὑπό ΣΕΡ , οὕτως ὁ ἀπό ΟΥ πρός ὁ ἀπό ΕΡ . ὁ δέ ἀπό ΟΥ ὁ ἀπό ΕΡ διπλάσιος , ἐπεί καί ὁ ἀπό ΟΒ ὁ ἀπό ΒΕ · καί ὁ ὑπό ὁ ἄρα ὁ ὑπό ΣΕΡ εἰμί διπλάσιος . ὁ δέ ὑπό ΣΕΡ πρός ὁ ἀπό ΕΗ δείκνυμι λόγος ἔχω , ὅς ἔχω ὁ πρός ὁ △ · καί ὁ ὑπό ὁ ἄρα πρός ὁ ἀπό ΕΗ λόγος ἔχω , ὅς ὁ διπλάσιος ὁ πρός ὁ △ . ὁ δέ ἀπό ΕΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΞΟ · ἑκάτερος γάρ ὁ ΕΗ , ΞΟ ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΕΛΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ πρός ὁ ἀπό ΞΟ λόγος ἔχω , ὅς ὁ διπλάσιος ὁ Γ πρός ὁ △ . καί δίδωμι ὁ ὁ διπλάσιος ὁ πρός ὁ △ λόγος δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ ὑπό ὁ πρός ὁ ἀπό ΞΟ λόγος . ἐάν ἄρα ποιέω ὡς ὁ △ πρός ὁ διπλάσιος ὁ Γ , οὕτως ὁ ΤΥ πρός ἄλλος τις ὡς ὁ Φ , καί περί ὁ ΤΥ γράφω ἔλλειψις , ὥστε ὁ κατάγω ἐν ὁ ὑπό Ξ γωνία , τουτέστιν ἐν ἥμισυς ὀρθός , δύναμαι ὁ παρά ὁ Φ ἐλλείπω ὅμοιος ὁ ὑπό ΤΥ , Φ , ἥκω διά ὁ διά ὁ ἀντιστροφή ὁ εἰκοστός θεώρημα ὁ πρῶτος βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον . γράφω καί ἵστημι ὡς ὁ ΥΤ ὁ ἄρα Ξ σημεῖον ἅπτω θέσις δίδωμι ἔλλειψις . καί ἐπεί διαγώνιος εἰμί ὁ ΛΚ ὁ ΝΜ παραλληλόγραμμος , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΝΞΠ ὁ ὑπό ΑΒΜ . ἐάν ἄρα διά ὁ Β περί ἀσύμπτωτος ὁ ΘΚΜ γράφω ὑπερβολή , ἥκω διά ὁ Ξ καί εἰμί θέσις δίδωμι διά ὁ καί ὁ Β σημεῖον ὁ θέσις δίδωμι καί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΜ καί διά οὗτος ὁ ΘΚΜ ἀσύμπτωτος . γράφω καί ἵστημι ὡς ὁ ΞΒ · ὁ ἄρα σημεῖον ἅπτω θέσις δίδωμι ὑπερβολή . ἅπτω δέ καί θέσις δίδωμι ἔλλειψις · δίδωμι ἄρα ὁ Ξ . καί ἀπό αὐτός κάθετος ὁ ΞΕ · δίδωμι ἄρα ὁ Ε . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΜΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ Γῆ πρός ΑΕ , καί δίδωμι ὁ ΑΕ , δίδωμι ἄρα καί ὁ αζʹ . Ζεύς ὁ αὐτός δή δίδωμι καί ὁ ΗΒ . συντίθημι δέ οὕτως · ὡς γάρ ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ἵστημι ὁ δίδωμι εὐθύς , ὅς δεῖ τέμνω , ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι ἕτερος ὁ ΑΚ , ὁ δέ δίδωμι λόγος ὁ ὁ Γ πρός ὁ △ . ἄγω ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΒΜ ἴσος εἰμί ὁ ΑΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΜ , καί ὁ μέν ΚΑ ἴσος κεῖμαι ὁ ΑΡ καί ὁ ΒΣ , ἀπό δέ ὁ Ρ , Σ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΡΥ , ΣΤ , καί πρός ὁ Β σημεῖον συνίστημι ἥμισυς ὀρθός ὁ ὑπό ΑΒ , καί ἐκβάλλω ὁ ΒΟ ἐπί ἑκάτερος τέμνω ὁ ΣΤ , ΡΥ κατά ὁ Τ , Υ , καί γίγνομαι ὡς ὁ △ πρός ὁ διπλάσιος ὁ Γ , οὕτως ὁ ΤΥ πρός ὁ Φ , καί περί ὁ ΤΥ γράφω ἔλλειψις , ὥστε ὁ κατάγω ἐν ἥμισυς ὀρθός δύναμαι ὁ παράκειμαι παρά ὁ Φ ἐλλείπω ὅμοιος ὁ ὑπό ΤΥ , Φ , διά δέ ὁ Β περί ἀσύμπτωτος ὁ ΑΚ , ΚΜ γράφω ὑπερβολή ὁ ΒΞ τέμνω ὁ ἔλλειψις κατά ὁ Ξ , καί ἀπό ὁ Ξ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ἄγω ὁ ΞΕ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Π , διά δέ ὁ Ξ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΛΞΝ , καί ἐκβάλλω ὁ ΚΑ , ΜΒ ἐπί ὁ △ , Θ , καί ὁ ΜΕ ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ ΚΝ κατά ὁ Θ . ἐπεί οὖν ὑπερβολή εἰμί ὁ ΒΞ , ἀσύμπτωτος δέ ὁ ΘΚ , ΚΜ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΝΞΓ ὁ ὑπό ΑΒΜ διά ὁ Η΄ θεώρημα ὁ δύο βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον , καί διά οὗτος εὐθύς εἰμί ὁ ΚΕΛ . κέω οὖν ὁ μέν ΘΑ ἴσος ὁ αζʹ , ὁ δέ ΛΒ ἴσος ὁ ΒΗ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ διπλάσιος ὁ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ Φ πρός ὁ ΤΥ , ὡς δέ ὁ Φ πρός ὁ ΤΥ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ πρός ὁ ἀπό ΞΟ διά ὁ Κ΄ θεώρημα ὁ πρῶτος βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον , ὡς ἄρα ὁ διπλάσιος ὁ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ πρός ὁ ἀπό ΞΟ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΤΒ πρός ΒΟ , οὕτως ὁ ΣΒ πρός ΒΕ , καί συντίθημι ὡς ὁ ὁ πρός ΟΒ , οὕτως ὁ ΣΕ πρός ΕΒ . ἀλλά ὡς ὁ ΒΟ πρός ΟΥ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ΕΡ καί διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ὁ πρός ΟΥ , οὕτως ὁ ΣΕ πρός ΕΡ . καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ὁ πρός ὁ ἀπό ΟΥ , οὕτως ὁ ὑπό ΣΕΡ πρός ὁ ἀπό ΕΡ · ἐναλλάξ ὡς ὁ ὑπό ὁ πρός ὁ ὑπό ΣΕΡ , οὕτως ὁ ἀπό ΟΥ πρός ὁ ἀπό ΕΡ , ἀλλά ὁ ἀπό ΟΥ ὁ ἀπό ΕΡ διπλάσιος διά ὁ καί ὁ ἀπό ΒΟ ὁ ἀπό ΒΕ ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΟ ἥμισυς ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ πρός ὁ Β , ὁ · καί ὁ ὑπό ὁ ἄρα διπλάσιος εἰμί ὁ ὑπό ΣΕΡ . ἐπεί οὖν δείκνυμι ὡς ὁ διπλάσιος ὁ Γ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ πρός ὁ ἀπό ΞΟ , καί ὁ ἡγέομαι ὁ ἥμισυς ὡς ἄρα ὁ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ὑπό Ρες πρός ὁ ἀπό ΞΟ , τουτέστι πρός ὁ ἀπό ΕΗ ἴσος γάρ ὁ ΞΟ ὁ ΕΗ διά ὁ ἑκάτερος αὐτός ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΕΛΒ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς συναμφότερος ὁ ΘΑΕ πρός συναμφότεροι ὁ ΒΕ , οὕτως συναμφότερος ὁ ΚΑΕ πρός συναμφότεροι ὁ ΕΛΒ ἑκάτερος γάρ ὁ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΑΕ πρός ΕΒ · ὁ ἄρα ὑπό συναμφότεροι ὁ ΘΑΕ καί συναμφότεροι ὁ ΕΛΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΚΑΕ καί συναμφότεροι ὁ ΒΕ . ἀλλά συναμφότεροι μέν ὁ ΘΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ΖΕ , συναμφότεροι δέ ὁ ΕΛΒ ἴσος ὁ ΕΗ , συναμφότεροι δέ ὁ ΚΑΕ ἴσος ὁ ΡΕ , συναμφότεροι δέ ὁ ΒΕ ἴσος ὁ ΕΣ · ὁ ἄρα ὑπό ΖΕΗ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Ρες . ἀλλά ὡς ὁ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ὑπό Ρες πρός ὁ ἀπό ΕΗ · καί ὡς ἄρα ὁ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ὑπό ΖΕΗ πρός ὁ ἀπό ΕΗ . ἀλλά ὡς ὁ ὑπό ΖΕΗ πρός ὁ ἀπό ΕΗ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ΕΗ καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ΕΗ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΜΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ ΘΑ πρός ΑΕ , ἴσος δέ ὁ ΘΑ ὁ Γῆ , ὡς σύργαστρος ὁ ΜΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ Γῆ πρός ΑΕ . Ζεύς ὁ αὐτός καί ὡς ὁ ΚΑ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ΗΒ πρός ΒΕ . εὔθεια ἄρα δίδωμι ὁ ΑΒ καί ἕτερος ὁ ΑΚ καί λόγος ὁ ὁ πρός ὁ λαμβάνω ἐπί ὁ ΑΒ τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε , καί προστίθημι εὐθύς ὁ Γῆ , ΗΒ , καί γίγνομαι ἐν ὁ δίδωμι λόγος ὁ ΖΕ πρός ΕΗ , ἔτι τε εἰμί ὡς ὁ δίδωμι ὁ ΜΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ Γῆ πρός ΑΕ , ὡς δέ αὐτός ὁ δίδωμι ὁ ΚΑ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ΗΒ πρός ΒΕ ὅσπερ ἐσθίω ποιέω . οὗτος δείκνυμι δυνατός εἰμί ὁ δίδωμι σφαῖρα εἰς ὁ δίδωμι λόχος τέμνω οὕτως · ἵστημι γάρ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι λόχος . ὅς δεῖ ἔχω ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ἀλλήλων , ὁ ὁ πρός ὁ κέντρον δέ ὁ σφαῖρα ἵστημι ὁ Ε , καί λαμβάνω ἐπί ὁ ΑΒ σημεῖον ὁ Ζ , καί πρόσκειμαι ὁ ΗΑ , ΘΒ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ πρός ὁ △ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ὁ ΖΘ , ἔτι τε εἰμί ὡς μέν ὁ ΗΑ πρός αζʹ , οὕτως δίδωμι ὁ ΕΒ πρός ΒΖ , ὡς δέ ὁ ΘΒ πρός ΒΖ , οὕτως ὁ αὐτός δίδωμι ὁ ΕΑ πρός αζʹ · οὗτος γάρ ὡς δυνατός ποιέω προδείκνυμι καί διά ὁ Ζ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΚΖΛ , καί διά ὁ ΚΛ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὀρθός πρός ὁ ΑΒ τέμνω ὁ σφαῖρα . λέγω ὅτι ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ ὁ Γ πρός ὁ △ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΗΑ πρός αζʹ , οὕτως ὁ ΕΒ πρός ΒΖ , καί συντίθημι · ὡς ἄρα ὁ ΗΖ πρός Γῆ , οὕτως συναμφότερος ὁ ΕΒ , ΒΖ πρός ΒΖ · ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ , ὕψος δέ ὁ ΖΗ , ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὕψος δέ ὁ Γῆ . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΘΒ πρός ΒΖ , οὕτως ὁ ΕΑ πρός αζʹ , καί συντίθημι εἰμί ὡς ὁ ΘΖ πρός ΒΖ , οὕτως συναμφότερος ὁ ΕΑ , αζʹ πρός αζʹ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΖΘ , ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὕφος δέ ὁ ΒΖ . ἐπεί οὖν ὁ εἴρω κῶνος ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ὕψος , τουτέστιν ὡς ὁ ΗΖ πρός ΖΘ , τουτέστιν ὁ Γ πρός ὁ △ , καί ὁ τμῆμα ἄρα ὁ σφαῖρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ δίδωμι ὅσπερ ἐσθίω ποιέω . ὡς δέ δεῖ διά ὁ δίδωμι σημεῖον περί ὁ δίδωμι ἀσύμπτωτος γράφω ὑπερβολή δείκνυμι οὕτως , ἐπεί οὐ αὐτόθεν κεῖμαι ἐν ὁ κωνικός στοιχεῖον . εἰμί δύο εὐθύς ὁ ΓΑ , ΑΒ τυγχάνω γωνία περιέχω ὁ πρός ὁ Α , καί δίδωμι σημεῖον τίς ὁ △ , καί πρόκειμαι διά ὁ △ περί ἀσύμπτωτος ὁ ΓΑ , ΑΒ γράφω ὑπερβολή . ἐπιζεύγνυμι ὁ Α△ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ε , καί κεῖμαι ὁ △Α ἴσος ὁ ΑΕ , καί διά ὁ △ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ △Ζ , καί κεῖμαι ὁ αζʹ ἴσος ὁ ΖΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Γ△ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Β , καί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ ἴσος ἵστημι ὁ ὑπό △Ε , ὁ , καί ἐκβάλλω ὁ Α△ γράφω περί αὐτός διά ὁ ὑπερβολή , ὥστε ὁ κατάγω δύναμαι ὁ παρά ὁ ὁ ὑπερβάλλω ὅμοιος ὁ ὑπό △Ε , ὁ . λέγω ὅτι ὁ γράφω ὑπερβολή ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ΓΑ , ΑΒ . ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ △Ζ ὁ ΒΑ , καί ἴσος ὁ ΓΖ ὁ Γῆ , ἴσος ἄρα καί ὁ Γ△ ὁ △Β · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Γ△ . καί εἰμί ὁ ἀπό ΓΒ ἴσος ὁ ὑπό △Ε , ὁ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ἀπό Γ△ , △Β τέταρτος μέρος εἰμί ὁ ὑπό △Ε , ὁ εἶδος . ὁ ἄρα ΓΑ , ΑΒ ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ὑπερβολή διά ὁ πρῶτος θεώρημα ὁ Β΄ βιβλίον ὁ Ἀπολλώνιος κωνικός στοιχεῖον .