eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 4
Καὶ ἀπὸ τοῦ τῇ Θ ἴση κατήχθω ἡ ΚΜ Δυνατὸν γὰρ τοῦτο προσεκβληθείσης τῆς ΚΛ ὡς ἐπὶ τὸ Χ καὶ τεθείσης τῇ Θ ἴσης τῆς καὶ κέντρῳ τῷ Κ , διαστήματι δὲ τῷ ΚΧ , κύκλου γραφέντος ὡς τοῦ ΧΜΝ . ἔσται γὰρ ἡ ΚΜ ἴση τῇ ΚΧ , τουτέστι τῇ Θ . Ἡ ἄρα ΝΓ πολυγώνου ἐστὶ ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά Τῆς γὰρ μιᾶς ὀρθῆς ἐπὶ τεταρτημορίου βεβηκυίας καὶ τῆς τομῆς κατὰ ἀρτίαν διαίρεσιν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γινομένης δῆλον ὅτι καὶ ἡ τοῦ τεταρτημορίου περιφέρεια εἰς ἀρτιακισαρτίους τὸν ἀριθμὸν ἴσας διαιρεθήσεται περιφερείας ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα εὐθεῖα μίαν τῶν περιφερειῶν πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά . Ὥστε καὶ ἡ ΟΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου πλευρά | Ἐὰν γὰρ τῇ ὑπὸ ΞΗΝ γωνίᾳ ἴσην ποιήσαντες τὴν ὑπὸ ΠΗ △ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ ἐπιζεύξωμεν καὶ προσεκβάλωμεν ἄχρι τῆς ΗΘ τῆς μετὰ Η △ γωνίαν περιεχούσης ἴσην τῇ ὑπὸ ΠΗ △ , ἔσται ἴση ἡ ΠΘ τῇ ΠΟ καὶ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΞΗ ἴση ἐστὶ τῇ Η △ , κοινὴ δὲ ἡ ΗΠ , καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσν , καὶ βάσις ἄρα ἡ ΞΠ τῷ Π △ ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΠΞΗ ὀρθὴ οὖσα τῇ ὑπὸ Π △Η · ὥστε ἐφάπτεται ἡ △Π . Ἐπεὶ οὖν αἱ πρὸς τῷ △ ὀρθαί εἰσιν , εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΠΗ △ , △ΗΘ ἴσαι , καὶ ἡ πρὸς ταῖς ἴσαις κοινὴ ἡ △Η , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Π △ τῇ Θ △ . Ἀλλ᾿ ἡ ΞΠ τῇ Π △ ἐδείχθη ἴση · καὶ ἡ ΘΠ ἄρα τῇ ΠΟ ἐστὶν ἴση καὶ πάσαις ταῖς ὁμοίως ἐφαπτομέναις . Ὥστε ἡ ΘΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρὰ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου . Ὅτι δὲ καὶ ὁμοίου τῷ ἐγγραφομένῳ αὐτόθεν δῆλον . Ἴσης γὰρ οὔσης τῆς μὲν ΟΗ τῇ ΗΠ , τῆς δὲ ΓΗ τῇ ΗΝ , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΠ τῇ ΓΝ · διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΘ τῇ ΝΚ . ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΚ τῇ ὑπὸ ΟΠΘ ἴση ἐστί . Καὶ διὰ τοῦτο ὅμοιόν ἐστι τὸ περιγεγραμμένον τῷ ἐγγεγραμμένῳ . Ἡ ἄρα ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ Μείζονος γὰρ οὔσης τῆς πρὸς τῷ Κ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΗΤ , ἐὰν τῇ ὑπὸ ΓΗΤ ἴσην συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΛΚΡ νοῦ Ρ μεταξὺ τῶν Λ , Μ νοουμένου , τὸ ΛΚΡ τρίγωνον τῷ ΓΗΤ ὅμοιόν ἐστιν , καί ἐστιν ὡς ἡ ΡΚ πρὸς ΚΛ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ · ὥστε καὶ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ .
Lemmas: καί ἀπό ὁ ὁ Θ ἴσος κατάγω ὁ ΚΜ Δυνατός γάρ οὗτος προσεκβάλλω ὁ ΚΛ ὡς ἐπί ὁ Χ καί τίθημι ὁ Θ ἴσος ὁ καί κέντρον ὁ Κ , διάστημα δέ ὁ ΚΧ , κύκλος γράφω ὡς ὁ ΧΜΝ . εἰμί γάρ ὁ ΚΜ ἴσος ὁ ΚΧ , τουτέστι ὁ Θ . ὁ ἄρα ΝΓ πολύγωνος εἰμί ἰσόπλευρος καί ἀρτιόπλευρος πλευρά ὁ γάρ εἷς ὀρθός ἐπί τεταρτημόριον βαίνω καί ὁ τομή κατά ἄρτιος διαίρεσις ἀπό ὁ ὀρθός γίγνομαι δῆλος ὅτι καί ὁ ὁ τεταρτημόριον περιφέρεια εἰς ἀρτιακισαρτίους ὁ ἀριθμός ἴσος διαιρέω περιφέρεια ὥστε καί ὁ ὑποτείνω εὐθύς εἷς ὁ περιφέρεια πολύγωνος εἰμί ἰσόπλευρος καί ἀρτιόπλευρος πλευρά . ὥστε καί ὁ ΟΠ πολύγωνος εἰμί ἰσόπλευρος πλευρά | ἐάν γάρ ὁ ὑπό Ξ γωνία ἴσος ποιέω ὁ ὑπό ΠΗ △ ἀπό ὁ Π ἐπί ὁ ἐπιζεύγνυμι καί προσεκβάλλω ἄχρι ὁ ΗΘ ὁ μετά ὁ △ γωνία περιέχω ἴσος ὁ ὑπό ΠΗ △ , εἰμί ἴσος ὁ ΠΘ ὁ ΠΟ καί ἐφάπτω ὁ κύκλος . ἐπεί γάρ ὁ ΞΗ ἴσος εἰμί ὁ ὁ △ , κοινός δέ ὁ ΗΠ , καί γωνία ἴσος περιέχω , καί βάσις ἄρα ὁ ΞΠ ὁ Π △ ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό Ξ ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό Π △Η · ὥστε ἐφάπτω ὁ △Π . ἐπεί οὖν ὁ πρός ὁ △ ὀρθός εἰμί , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΠΗ △ , △ΗΘ Ἴσαι , καί ὁ πρός ὁ ἴσος κοινός ὁ △Η , ἴσος εἰμί καί ὁ Π △ ὁ Θ △ . ἀλλά ὁ ΞΠ ὁ Π △ δείκνυμι ἴσος · καί ὁ ΘΠ ἄρα ὁ ΠΟ εἰμί ἴσος καί πᾶς ὁ ὁμοίως ἐφάπτω . ὥστε ὁ ΘΠ πολύγωνος εἰμί ἰσόπλευρος καί ἀρτιόπλευρος πλευρόν ὁ περί ὁ κύκλος περιγράφω . ὅτι2 δέ καί ὁμοιόω ὁ ἐγγράφω αὐτόθεν δῆλος . Ἶσις γάρ εἰμί ὁ μέν οηʹ ὁ ΗΠ , ὁ δέ ΓΗ ὁ ΗΝ , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΟΠ ὁ ΓΝ · διά ὁ αὐτός καί ὁ ΠΘ ὁ ΝΚ . ὥστε καί ὁ ὑπό ΓΝΚ ὁ ὑπό ΟΠΘ ἴσος εἰμί . καί διά οὗτος ὁμοῖος εἰμί ὁ περιγράφω ὁ ἐγγράφω . ὁ ἄρα ΜΚ πρός ΚΛ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΓΗ πρός ΗΤ μέγας γάρ εἰμί ὁ πρός ὁ Κ γωνία ὁ ὑπό ΓΗ , ἐάν ὁ ὑπό ΓΗ ἴσος συνίστημι ὁ ὑπό ΛΚΡ νόος Ρ μεταξύ ὁ Λ , Μ νοέω , ὁ ΛΚΡ τρίγωνος ὁ ΓΗ ὁμοῖος εἰμί , καί εἰμί ὡς ὁ ΡΚ πρός ΚΛ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΤ · ὥστε καί ὁ ΜΚ πρός ΚΛ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΓΗ πρός ΗΤ .