eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 10
Ἡ δὲ Γ πρὸς τὴν μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ πολύγωνον τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς ἐγγεγραμμένης εἰς τὸν κῶνον | Ἡ γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου κάθετον ἀγομένην ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου . Νενοήσθω γὰρ χωρὶς ἡ ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφὴ καὶ εἰς τὸν Α κύκλον ἐγγεγραμμένον πολύγωνον τὸ ΖΘΚ , καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Α ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου τὴν ΘΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΗ · φανερὸν δὴ ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ πολυγώνου . Νενοήσθω δὴ καὶ τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Λ σημεῖον καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Η ἐπεζευγμένη ἡ ΛΗ , ἥτις κάθετος γίνεται ἐπὶ τὴν ΘΚ , ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ λήμματι τοῦ ή θεωρήματος . Ἐπεὶ οὖν ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον πολύγωνον , ἔστι δὲ καὶ ἰσοσκελὴς ὁ κῶνος , αἱ ἀπὸ τοῦ Λ ἐφ᾿ ἑκάστην τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου ἀγόμεναι κάθετοι ἴσαι εἰσὶ τῇ ΛΗ · ἑκάστη γὰρ αὐτῶν δύναται τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος καὶ τῆς ἴσης τῇ ΑΗ . Διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τῆς ἐπιφανείας τῆς πυραμίδος τὸ γὰρ ὑφ᾿ ἑκάστης πλευρᾶς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἐπ᾿ αὐτὴν ἀγομένης ἴσης τῇ ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ καθ᾿ ἑαυτὴν τριγώνου . Ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ , τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος κοινοῦ ὕψους τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου λαμβανομένης . Ἀχθείσης δὴ τῆς ΗΝ παρὰ τὴν ΜΛ ἔσται ὡς ἡ ΑΜ πρὸς MΛ , ἡ ΑΗ πρὸς ΗΝ . δὲ ΑΗ πρὸς ΗΝ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΛ μείζων γὰρ ἡ ΛΗ τῆς ΗΝ · καὶ ἡ ΑΜ ἄρα πρὸς ΜΛ , τουτέστιν ἡ πρὸς τὴν △ , μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ , τουτέστιν ἤπερ τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος .
Lemmas: ὁ δέ Γ πρός ὁ μείζων λόγος ἔχω ἢ ὁ πολύγωνος ὁ ἐν ὁ Α κύκλος ἐγγράφω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ κῶνος | ὁ γάρ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος πρός ὁ πλευρά ὁ κῶνος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἀπό ὁ κέντρον κάθετος ἄγω ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνος πρός ὁ ἐπί ὁ πλευρά ὁ πολύγωνος κάθετος ἄγω ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος . νοέω γάρ Χωρὶς ὁ ἐν ὁ ῥητός καταγραφή καί εἰς ὁ Α κύκλος ἐγγράφω πολύγωνος ὁ ΖΘΚ , καί ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Α ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνος ὁ ΘΚ κάθετος ἄγω ὁ ΑΗ · φανερός δή ὅτι ὁ ὑπό ὁ περίμετρον ὁ πολύγωνος καί ὁ ΑΗ διπλάσιος εἰμί ὁ πολύγωνος . νοέω δή καί ὁ κῶνος κορυφή ὁ Λ σημεῖον καί ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΗ , ὅστις κάθετος γίγνομαι ἐπί ὁ ΘΚ , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ λῆμμα ὁ ή θεώρημα . ἐπεί οὖν ἰσόπλευρος εἰμί ὁ ἐγγράφω πολύγωνος , εἰμί δέ καί ἰσοσκελής ὁ κῶνος , ὁ ἀπό ὁ Λ ἐπί ἕκαστος ὁ πλευρά ὁ πολύγωνος ἄγω κάθετος Ἴσαι εἰμί ὁ ΛΗ · ἕκαστος γάρ αὐτός δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ἄγω καί ὁ ἴσος ὁ ΑΗ . Ζεύς δέ οὗτος καί ὁ ὑπό ὁ περίμετρον ὁ πολύγωνος καί ὁ ΛΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ γάρ ὑπό ἕκαστος πλευρά καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω ἴσος ὁ ΛΗ διπλάσιος εἰμί ὁ κατά ἑαυτοῦ τρίγωνος . ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΑΗ πρός ΗΛ , ὁ πολύγωνος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς κοινός ὕψος ὁ περίμετρον ὁ πολύγωνος λαμβάνω . ἄγω δή ὁ ΗΝ παρά ὁ ΜΛ εἰμί ὡς ὁ ΑΜ πρός MΛ , ὁ ΑΗ πρός ΗΝ . δέ ΑΗ πρός ΗΝ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 πρός ὁ ΗΛ μείζων γάρ ὁ ΛΗ ὁ ΗΝ · καί ὁ ΑΜ ἄρα πρός ΜΛ , τουτέστιν ὁ πρός ὁ △ , μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΑΗ πρός ΗΛ , τουτέστιν ἤ2 ὁ πολύγωνος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς .