eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 30
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ , ΒΓ · δεῖ δὴ τῶν ΑΒ , ΒΓ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ . Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ △ΒΕ , καὶ κέντρῳ τῷ Β , διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ , ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ △ΑΕ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Γ εὐθεῖα ἐπιζευχθεῖσα διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ △ διήχθω τις εὐθεῖα οὕτως ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΗΘ τῇ ΘΚ · τοῦτο γὰρ δυνατόν καὶ ἢχθωσαν ἀπὸ τῶν Η , ἐπὶ τὴν δὲ κἀθετοι αἱ ΗΛ , ΚΝΜ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΗ , ἡ ΜΒ πρὸς ΒΛ , ἴση δὲ ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΛ ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΜΕ τῇ Λ△ . Καὶ ὅλη ἄρα ἡ △Μ τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση , καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Λ , ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ . Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Μ△ πρὸς △Λ , ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ , ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ , ἡ ΗΛ πρὸς ΝΜ . Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ △Μ πρὸς ΜΚ , ἡ ΚΜ πρὸς ΜΕ , ὡς ἄρα ἡ △Μ πρὸς △Ε , οὕτως τὸ ἀπὸ △Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΚ , τουτέστι τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ · ἴση γὰρ ἡ △Β τῇ ΒΑ . Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Β , ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ , ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Μ△ πρὸς △Β ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ , ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ , ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ , ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ , ἡ ΘΒ πρὸς ΓΒ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ , ἡ Μ△ πρὸς △Λ τουτέστιν ἡ △Μ πρὸς ΜΕ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ , ἡ ΒΘ πρὸς ΒΓ . Εἰλήφθω τῶν ΘΒ , ΒΓ μέση ἀνάλογον ἡ Ξ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ , ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ , ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ , ἡ δὲ ΘΒ πρὸς ΒΓ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς Ξ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ , ἡ ΒΘ πρὸς Ξ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΘΒ πρὸς Ξ , ἡ Ξ πρὸς ΒΓ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ , ἡ ΘΒ πρὸς Ξ καὶ ἡ Ξ πρὸς ΒΓ . Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ αὕτη ἡ αὐτή ἐστιν τῇ τε ὑπὸ Πάππου καὶ Διοκλέους γεγραμμένῃ .
Lemmas: εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς ἄνισος ὁ ΑΒ , ΒΓ · δεῖ δή ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω ἐν συνεχής ἀναλογία . ἄγω ἀπό ὁ Β ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΕΒ , καί κέντρον ὁ Β , διάστημα δέ ὁ ΒΑ , ἡμικύκλιον γράφω ὁ △ΑΕ , καί ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Γ εὐθύς ἐπιζεύγνυμι διάγω ἐπί ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ △ διάγω τις εὐθύς οὕτως ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΘΚ · οὗτος γάρ δυνατός καί ἄγω ἀπό ὁ ὁ , ἐπί ὁ δέ κάθετος ὁ ΗΛ , ΚΝΜ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός τίθημι , ὁ ΜΒ πρός ΒΛ , ἴσος δέ ὁ ΚΘ ὁ τίθημι , ἴσος ἄρα καί ὁ ΜΒ ὁ ΒΛ ὥστε καί λοιπός ὁ ΜΕ ὁ Λ△ . καί ὅλος ἄρα ὁ △Μ ὁ ΛΕ εἰμί ἴσος , καί διά οὗτος εἰμί ὡς ὁ Μ△ πρός △Λ , ὁ ΛΕ πρός ΕΜ . ἀλλά ὡς μέν ὁ Μ△ πρός △Λ , ὁ ΚΜ πρός ΗΛ , ὡς δέ ὁ ΛΕ πρός ΕΜ , ὁ ΗΛ πρός ΝΜ . πάλιν ἐπεί εἰμί ὡς ὁ △Μ πρός ΜΚ , ὁ ΚΜ πρός ΜΕ , ὡς ἄρα ὁ △Μ πρός △Ε , οὕτως ὁ ἀπό △Μ πρός ὁ ἀπό ΜΚ , τουτέστι ὁ ἀπό △Β πρός ὁ ἀπό ΒΘ , τουτέστι ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΘ · ἴσος γάρ ὁ △Β ὁ ΒΑ . πάλιν ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Μ△ πρός △Β , ὁ ΛΕ πρός ΕΒ , ἀλλά ὡς μέν ὁ Μ△ πρός △Β ὁ ΚΜ πρός ΘΒ , ὡς δέ ὁ ΛΕ πρός ΕΒ , ὁ ΗΛ πρός ΓΒ , καί ὡς ἄρα ὁ ΚΜ πρός ΘΒ , ὁ ΗΛ πρός ΓΒ · καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΚΜ πρός ΗΛ , ὁ ΘΒ πρός ΓΒ . ἀλλά ὡς ὁ ΚΜ πρός ΗΛ , ὁ Μ△ πρός △Λ τουτέστιν ὁ △Μ πρός ΜΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΒ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΒ , ὁ ΒΘ πρός ΒΓ . λαμβάνω ὁ ΘΒ , ΒΓ μέσος ἀνάλογος ὁ Ξ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΘ , ὁ ΘΒ πρός ΒΓ , ἀλλά ὁ μέν ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΘ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΑΒ πρός ΒΘ , ὁ δέ ΘΒ πρός ΒΓ διπλασίων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΘΒ πρός Ξ , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ΒΘ , ὁ ΒΘ πρός Ξ . ἀλλά ὡς ὁ ΘΒ πρός Ξ , ὁ Ξ πρός ΒΓ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ΒΘ , ὁ ΘΒ πρός Ξ καί ὁ Ξ πρός ΒΓ . Φανερός δέ ὅτι καί οὗτος ὁ αὐτός εἰμί ὁ τε ὑπό Πάππος καί Διοκλῆς γράφω .