eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 29
Προέθετο μὲν ὁ Πάππος κύβον εὑρεῖν πρὸς τὸν δοθέντα κύβον λόχον ἔχοντα δεδομένον , καὶ ὡς πρὸς τὴν τοιαύτην πρόθεσιν καὶ τὰ τῆς ἀποδείξεως αὐτῷ προέρχεται , δῆλον δὲ ὅτι τούτου εὑρισκομένου καὶ τὸ προκείμενον εὑρίσκεται · δύο γὰρ δοθεισῶν εὐθειῶν ἐὰν τῶν ὀφειλουσῶν μέσων εὑρεθῆναι ἡ δευτέρα εὑρεθῇ , καὶ ἡ τρίτη αὐτόθεν δοθήσεται . Γεγράφθω γάρ , ὥς φησιν αὐτὸς κατὰ λέξιν , ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ △ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ △Β , καὶ κινείσθω κανόνιον περὶ τὸ △ σημεῖον , ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ △ σημεῖον ἑστῶτι , τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β , Γ . Τούτων δὲ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους τὸν ἐπιταχθέντα . Καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β△ πρὸς △Ε , καὶ ἐπζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ . Παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β , Γ , ἕως οὖ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ , ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας · τοῦτο γὰρ πειράζοντες καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν . Γεγονέτω δή , καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΚ , ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ , ΘΚ . Λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς Β△ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς △Θ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα , τουτέστι τὸν τῆς Β△ πρὸς △Ε . Νενοήσθω γὰρ ὁ κύκλος ἀναπεπληρωμένος , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ△ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β△ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΗΘ , τὴν δὲ Κ△ τῇ △Λ . Ἐπεζεύχθω δὴ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ . Ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ , ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ , καὶ κάθετος ἡ ΛΜ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ , τουτὲστιν ἡ ΤΜ πρὸς ΜΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ . Κοινὸς προσκείσθω ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ λόγος · ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ , τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ λόγος , ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ . Ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόγῳ , ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ · καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόχῳ , ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ . Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ , οὕτως ἡ Γ△ πρὸς △Ε , ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ , ἡ Α△ πρὸς △Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ Β△ πρὸς △Ε , τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος , οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β△ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς △Θ κύβον . Τῶν ἄρα ὀφειλουσῶν εὑρεθῆναι δύο μέσων ἀνάλογον τῶν Β△ , δὲ δευτέρα ἐστὶν ἡ △Θ καὶ ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν Β△ πρὸς △Θ , τὴν Θ△ πρὸς ἄλλην τινά , ἔσται καὶ ἡ τρίτη ηὑρημένη . Προσέχειν δὲ χρὴ ὡς καὶ ἡ τοιαύτη κατασκευὴ ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Διοκλέους εἰρημένῃ τούτῳ μόνον διαφέρουσα φέρουσα τῷ ἐκεῖνον μὲν γραμμήν τινα καταγράφειν διὰ συνεχῶν σημείων μεταξὺ τῶν Α , Β , ἐφ᾿ ἧς ἐλαμβάνετο τὸ Η ἐκβαλλομένης τῆς ΓΕ καὶ τεμνούσης τὴν εἰρημένην γραμμήν , ἐνταῦθα δὲ τὸ Η πορίζεται διὰ τοῦ ΑΚ κανόνος κινουμένου περὶ τὸ Α . Ὅτι γὰρ τὸ Η τὸ αὐτό ἐστι , εἴτε ὡς ἐνταῦθα διὰ τοῦ κανόνος ληφθῇ , εἴτε ὡς ἔφη Διοκλῆς , μάθοιμεν ἂν οὕτως . Ἐκβληθείσης τῆς ΜΗ κατὰ τὸ Ν ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ , καὶ παράλληλος ἡ ΗΝ τῇ ΘΒ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΚΞ τῇ ΞΝ . Καὶ κοινὴ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΒ · ἡ γὰρ ΚΝ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ κέντρου καὶ βάσις ἄρα βάσει ἴση , καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΚΒ περιφέρεια τῇ ΒΝ . Tὸ ἄρα Η ἐστὶν τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς τοῦ Διοκλέους . Καὶ ἡ ἀπόδειξις δὴ ἡ αὐτή ἐστιν . Ἐφασκεν γὰρ ὁ Διοκλῆς ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΝ , οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ . Ἴση δέ ἐστιν ἡ ΝΜ τῇ ΜΛ · ἡ γὰρ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ , οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ . Τῶν ἄρα ΓΜ , ΜΗ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΛΜ , ΜΑ . Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ , ἡ Γ△ πρὸς △Ε , ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ , ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ , τουτέστιν ἡ Γ△ πρὸς △Θ καὶ τῶν δύο μέσων ἄρα τῶν Γ△ , △Ε δευτέρα ἐστὶν ἡ △Θ , ἥντινα ἐπορίσατο καὶ ὁ Πάππος .
Lemmas: προτίθημι μέν ὁ Πάππος κύβος εὑρίσκω πρός ὁ δίδωμι κύβος λόχος ἔχω δίδωμι , καί ὡς πρός ὁ τοιοῦτος πρόθεσις καί ὁ ὁ ἀπόδειξις αὐτός προέρχομαι , δῆλος δέ ὅτι οὗτος εὑρίσκω καί ὁ πρόκειμαι εὑρίσκω · δύο γάρ δίδωμι εὐθύς ἐάν ὁ ὀφειλέω μέσος εὑρίσκω ὁ δύο εὑρίσκω , καί ὁ τρίτος αὐτόθεν δίδωμι . γράφω γάρ , ὅς φημί αὐτός κατά λέξις , ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ , καί ἀπό ὁ △ κέντρον πρός ὀρθός ἄγω ὁ △Β , καί κινέω κανόνιον περί ὁ △ σημεῖον , ὥστε ὁ μέν εἷς πέρας αὐτός περίκειμαι τυλίον τις κατά ὁ △ σημεῖον ἵστημι , ὁ δέ λοιπός μέρος ὡς περί κέντρον ὁ τυλάριον κινέω μεταξύ ὁ Β , Γ . οὗτος δέ κατασκευάζω ἐπιτάσσω δύο κύβος εὑρίσκω λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων ὁ ἐπιτάσσω . καί ὁ λόγος ὁ αὐτός ποιέω ὁ ὁ Β△ πρός △Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ . παράγω δή ὁ κανόνιον μεταξύ ὁ Β , Γ , ἠώς οὖον ὁ ἀπολαμβάνω αὐτός μέρος μεταξύ ὁ ΖΕ , ΕΒ εὐθύς ἴσος γίγνομαι ὁ μεταξύ ὁ ΒΕ εὐθύς καί ὁ ΒΚΓ περιφέρεια · οὗτος γάρ πειράω καί μετάγω ὁ κανόνιον ῥᾳδίως ποιέω . γίγνομαι δή , καί ἔχω θέσις ὁ ΑΚ , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ΗΘ , ΘΚ . λέγω ὅτι ὁ ἀπό ὁ Β△ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ △Θ κύβος λόγος ἔχω ὁ ἐπιτάσσω , τουτέστι ὁ ὁ Β△ πρός △Ε . νοέω γάρ ὁ κύκλος ἀναπληρόω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Κ△ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΗ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ Β△ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΚΘ ὁ ΗΘ , ὁ δέ Κ△ ὁ △Λ . ἐπιζεύγνυμι δή ὅς τε ΑΛ καί ὁ ΛΓ . ἐπεί οὖν ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΑΛΓ , ἐν ἡμικύκλιον γάρ , καί κάθετος ὁ ΛΜ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ΛΜ πρός ὁ ἀπό μή , τουτέστιν ὁ ΤΜ πρός μή , οὕτως ὁ ἀπό ΑΜ πρός ὁ ἀπό μη . Κοινός πρόσκειμαι ὁ ὁ ΑΜ πρός μη λόγος · ὁ ἄρα σύγκειμαι λόγος ἐκ τε ὁ ὁ ΓΜ πρός μή καί ὁ ὁ ΑΜ πρός μη , τουτέστιν ὁ ὁ ΓΜ πρός μη λόγος , ὁ αὐτός εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ἀπό ὁ ΑΜ πρός ὁ ἀπό μη καί ὁ ὁ ΑΜ πρός μη . ὁ δέ σύγκειμαι λόγος ἐκ τε ὁ ὁ ἀπό ὁ ΑΜ πρός ὁ ἀπό μη καί ὁ ὁ ΑΜ πρός μη ὁ αὐτός εἰμί ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΑΜ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ μη · καί ὁ ὁ ΓΜ ἄρα πρός μη λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ λόχος , ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΑΜ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ μη . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΜ πρός μη , οὕτως ὁ Γ△ πρός △Ε , ὡς δέ ὁ ΑΜ πρός μη , ὁ Α△ πρός △Θ καί ὡς ἄρα ὁ Β△ πρός △Ε , τουτέστιν ὡς ὁ δίδωμι λόγος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Β△ κύβος πρός ὁ ἀπό ὁ △Θ κύβος . ὁ ἄρα ὀφειλέω εὑρίσκω δύο μέσος ἀνάλογος ὁ Β△ , δέ δύο εἰμί ὁ △Θ καί ἐάν ποιέω ὡς ὁ Β△ πρός △Θ , ὁ Θ△ πρός ἄλλος τις , εἰμί καί ὁ τρίτος εὑρίσκω . προσέχω δέ χρή ὡς καί ὁ τοιοῦτος κατασκευή ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὑπό Διοκλῆς εἴρω οὗτος μόνος διαφέρω φέρω ὁ ἐκεῖνος μέν γραμμή τις καταγράφω διά συνεχής σημεῖον μεταξύ ὁ Α , Β , ἐπί ὅς λαμβάνω ὁ ὁ ἐκβάλλω ὁ ΓΕ καί τέμνω ὁ εἴρω γραμμή , ἐνταῦθα δέ ὁ ὁ πορίζω διά ὁ ΑΚ κανών κινέω περί ὁ Α . ὅτι2 γάρ ὁ ὁ ὁ αὐτός εἰμί , εἴτε ὡς ἐνταῦθα διά ὁ κανών λαμβάνω , εἴτε ὡς φημί Διοκλῆς , μανθάνω εἄν οὕτως . ἐκβάλλω ὁ μη κατά ὁ Ν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΝ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΚΘ ὁ τίθημι , καί παράλληλος ὁ ΗΝ ὁ ΘΒ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΚΞ ὁ ΞΝ . καί κοινός καί πρός ὀρθός ὁ ΞΒ · ὁ γάρ ΚΝ δίχα τε καί πρός ὀρθός τέμνω ὑπό ὁ διά ὁ κέντρον καί βάσις ἄρα βάσις ἴσος , καί διά οὗτος καί ὁ ΚΒ περιφέρεια ὁ ΒΝ . Ο ἄρα ὁ εἰμί ὁ ἐπί ὁ γραμμή ὁ Διοκλῆς . καί ὁ ἀπόδειξις δή ὁ αὐτός εἰμί . φάσκω γάρ ὁ Διοκλῆς ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΓΜ πρός ΜΝ , οὕτως ὁ ΜΝ πρός μή καί ὁ ΑΜ πρός μη . Ἴσος δέ εἰμί ὁ ΝΜ ὁ ΜΛ · ὁ γάρ διάμετρος πρός ὀρθός αὐτός τέμνω · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΜ πρός ΜΛ , οὕτως ὁ ΛΜ πρός μή καί ὁ ΑΜ πρός μη . ὁ ἄρα ΓΜ , μη μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΛΜ , μή . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΜ πρός μη , ὁ Γ△ πρός △Ε , ὡς δέ ὁ ΓΜ πρός ΜΛ , ὁ ΑΜ πρός μη , τουτέστιν ὁ Γ△ πρός △Θ καί ὁ δύο μέσος ἄρα ὁ Γ△ , △Ε δύο εἰμί ὁ △Θ , ὅστις πορίζω καί ὁ Πάππος .