eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 22
Σαφῶς ἡμῖν τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ θεωρημάτων γεγραμμένων ἀκόλουθος καὶ ἡ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἐν τοῖς τοῦ δευτέρου θεωρήμασι σπουδή . Φησὶν δὴ πρῶτον ἐν τῷ α΄ θεωρήματι · Εἰλήφθω τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος | Τοῦτο δὲ διχῶς δυνατόν ἐστιν ποιεῖν ἤτοι τῆς βάσεως τῆς αὐτῆς σωζομένης ἐν ἀμφοτέροις ἢ τοῦ ὕψους . Καὶ ἵνα σαφέστερον γένηται τὸ λεγόμενον , νενοήσθω κῶνος ἢ κύλινδρος , οὗ βάσις μὲν ὁ Α κύκλος , ὕψος δὲ ἡ ΑΓ , καὶ δέον ἔστω αὐτοῦ ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν . Ὑποκείσθω δὴ πρότερον ὁ ΑΓ κύλινδρος , καὶ προσεκβεβλήσθω τὸ ΑΓ ὕψος τοῦ κυλίνδρου , καὶ κείσθω τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ Γ△ ἡ ἄρα Α△ ἡμιολία ἐστὶν τῆς ΑΓ . Ἐὰν δὴ νοήσωμεν κύλινδρον βάσιν μὲν ἔχοντα τὸν Α κύκλον , ὕψος δὲ τὴν Α△ εὐθεῖαν , ἡμιόλιος ἔσται τοῦ προτεθέντος τοῦ ΑΓ · οἱ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη . Eἰ δὲ κῶνος εἴη ὁ ΑΓ , τμηθείσης τῆς ΑΓ δίχα ὡς κατὰ τὸ Ε ἐὰν πάλιν νοηθῇ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν Α κύκλον , ὕφος δὲ τὴν ΑΕ , ἔσται ἡμιόλιος τοῦ ΑΓ κώνου ὁ γὰρ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν Α κύκλον , ὕψος δὲ τὴν ΑΓ εὐθεῖαν , τοῦ μὲν ΑΓ κώνου τριπλάσιός ἐστι , τοῦ δὲ ΑΕ κυλίνδρου διπλάσιος ὥστε δῆλον ὅτι καὶ ὁ ΑΕ κύλινδρος ἡμιόλιός ἐστι τοῦ ΑΓ κώνου . Οὕτως μὲν οὖν τῆς αὐτῆς βάσεως σωζομένης ἔν τε τῷ προτεθέντι καὶ ἐν τῷ λαμβανομένῳ γενήσεται τὸ πρόβλημα , ἕνεστι δὲ καὶ τῆς βάσεως διαφόρου τυγχανούσης , τοῦ δὲ ἄξονος τοῦ αὐτοῦ μένοντος , τὸ αὐτὸ ποιεῖν . Ἔστω γὰρ πάλιν κῶνος ἢ κύλινδρος , οὗ βάσις ὁ ΖΗ κύκλος , ὕψος δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα , οὗ δέον ἔστω ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν ὕψος ἔχοντα ἴσον τῇ ΘΚ . Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΖΗ διαμέτρου τοῦ κύκλου τετράγωνον τὸ ΖΛ , καὶ προσεκβληθείσης τῆς ΖΗ κείσθω αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ΗΜ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον · τὸ ἄρα ΖΝ ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ ΖΛ καὶ ἡ ΜΖ τῆς ΖΗ . Συνεστάτω δὴ τῷ ΖΝ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΞΠ , καὶ περὶ διάμετρον μίαν τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τὴν ΞΟ κύκλος γεγράφθω . Ἔσται δὴ ὁ ΞΟ ἡμιόλιος τοῦ ΖΗ · οἱ γὰρ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα , Καὶ ἐὰν πάλιν νοηθῇ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν Ξ0 κύκλον , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ , ἔσται ἡμιόλιος τοῦ κυλίνδρου , οὗ βάσις μὲν ὁ ΖΗ κύκλος , ὕψος δὲ ἡ ΘΚ . Εἰ δὲ κῶνος εἴη , ὁμοίως τὰ αὐτὰ ποιήσαντες καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ΖΝ παραλληλογράμμου ἴσον συστησάμενοι τετράγωνον ὡς τὸ ΞΠ καὶ περὶ τὴν πλευρὰν αὐτοῦ τὴν Ξ0 κύκλον γράψαντες νοήσωμεν ἀπʼ αὐτοῦ κύλινδρον ὕψος ἔχοντα τὴν ΘΚ · ἕξομεν αὐτὸν ἡμιόλιον τοῦ προτεθέντος κώνου . Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον τοῦ ΞΠ τετραγώνου τριπλάσιον , τοῦ δὲ ΖΛ ἡμιόλιον , τὸ ΖΛ τοῦ ΞΠ ἔσται διπλάσιον , καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου διπλάσιος καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου . Ἀλλ᾿ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν ΖΗ κύκλον , ὕψος δὲ τὴν ΘΚ , τριπλάσιός ἐστι τοῦ περὶ τὴν αὐτὴν βάσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ κώνου ὥστε καὶ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν Ξ0 κύκλον , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ , ἡμιόλιός ἐστι τοῦ προκειμένου κώνου . Εἰ δὲ δέοι μήτε τὸν ἄξονα τὸν αὐτὸν εἶναι μήτε τὴν βάσιν , γενήσεται τὸ πρόβλημα πάλιν διχῶς ἢ γὰρ τὴν βάσιν ἕξει ἴσην τῇ δοθείσῃ ἢ τὸν ἄξονα ὁ ποριζόμενος κύλινδρος . Ἔστω γὰρ πρότερον ἡ βάσις διδομένη , ὡς ὁ Ξ0 κύκλος , καὶ δέον ἔστω κύλινδρον εὑρεῖν ἡμιόλιον τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἀπὸ βάσεως τῆς ΞΟ . Εἰλήφθω , ὡς προείρηται , τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ προτεθέντι ὁ ΦΥ , καὶ γεγονέτω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΞΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΥ , οὕτως τὸ ὕψος τοῦ ΦΥ πρὸς τὴν ΡΣ . Ἔσται ἄρα ὁ κύλινδρος ὁ ἀπὸ τῆς ΞΟ βάσεως ὕψος ἔχων τὴν ΡΣ ἴσος τῷ ΦΥ · ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν καὶ γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπίταγμα . Εἰ δὲ μὴ ἡ βάσις ᾗ διδομένη , ἀλλὰ ὁ ἄξων , τῷ αὐτῷ λόχῳ πορισθέντος τοῦ ΦΥ γενήσεται τὰ τῆς προτάσεως .
Lemmas: σαφῶς ἐγώ ὁ ἐν ὁ πρῶτος βιβλίον θεώρημα γράφω ἀκόλουθος καί ὁ κατά ὁ αὐτός τρόπος ἐν ὁ ὁ δύο θεώρημα σπουδή . Φησίν δή πρῶτος ἐν ὁ Α΄ θεώρημα · λαμβάνω ὁ δίδωμι κῶνος ἢ κύλινδρος ἡμιόλιος κύλινδρος | οὗτος δέ διχῶς δυνατός εἰμί ποιέω ἤτοι ὁ βάσις ὁ αὐτός σῴζω ἐν ἀμφότερος ἢ ὁ ὕψος . καί ἵνα σαφής γίγνομαι ὁ λέγω , νοέω κῶνος ἢ κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ Α κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΑΓ , καί δήω ἵστημι αὐτός ἡμιόλιος κύλινδρος εὑρίσκω . ὑπόκειμαι δή πρότερος ὁ ΑΓ κύλινδρος , καί προσεκβάλλω ὁ ΑΓ ὕψος ὁ κύλινδρος , καί κεῖμαι ὁ ΑΓ ἥμισυς ὁ Γ△ ὁ ἄρα Α△ ἡμιολία εἰμί ὁ ΑΓ . ἐάν δή νοέω κύλινδρος βάσις μέν ἔχω ὁ Α κύκλος , ὕψος δέ ὁ Α△ εὐθύς , ἡμιόλιος εἰμί ὁ προτίθημι ὁ ΑΓ · ὁ γάρ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί κῶνος καί κύλινδρος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ὕψος . Eἰ δέ κῶνος εἰμί ὁ ΑΓ , τέμνω ὁ ΑΓ δίχα ὡς κατά ὁ Ε ἐάν πάλιν νοέω κύλινδρος βάσις μέν ἔχω ὁ Α κύκλος , ὕφος δέ ὁ ΑΕ , εἰμί ἡμιόλιος ὁ ΑΓ κῶνος ὁ γάρ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ Α κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΑΓ εὐθύς , ὁ μέν ΑΓ κῶνος τριπλάσιος εἰμί , ὁ δέ ΑΕ κύλινδρος διπλάσιος ὥστε δῆλος ὅτι καί ὁ ΑΕ κύλινδρος ἡμιόλιος εἰμί ὁ ΑΓ κῶνος . οὕτως μέν οὖν ὁ αὐτός βάσις σῴζω ἐν τε ὁ προτίθημι καί ἐν ὁ λαμβάνω γίγνομαι ὁ πρόβλημα , ἔνειμι δέ καί ὁ βάσις διάφορος τυγχάνω , ὁ δέ ἄγω ὁ αὐτός Μένων , ὁ αὐτός ποιέω . ἔστω γάρ πάλιν κῶνος ἢ κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ ΖΗ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΘΚ εὐθύς , ὅς δήω ἵστημι ἡμιόλιος κύλινδρος εὑρίσκω ὕψος ἔχω ἴσος ὁ ΘΚ . ἀναγράφω ἀπό ὁ ΖΗ διάμετρος ὁ κύκλος τετράγωνος ὁ ΖΛ , καί προσεκβάλλω ὁ ΖΗ κεῖμαι αὐτός ἥμισυς ὁ ΗΜ , καί συμπληρόω ὁ ΖΝ παραλληλόγραμμος · ὁ ἄρα ΖΝ ἡμιόλιος εἰμί ὁ ΖΛ καί ὁ ΜΖ ὁ ΖΗ . συνίστημι δή ὁ ΖΝ παραλληλόγραμμος ἴσος τετράγωνος ὁ ΞΠ , καί περί διάμετρος εἷς ὁ πλευρά αὐτός ὁ ΞΟ κύκλος γράφω . εἰμί δή ὁ ΞΟ ἡμιόλιος ὁ ΖΗ · ὁ γάρ κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρος τετράγωνος , καί ἐάν πάλιν νοέω κύλινδρος βάσις μέν ἔχω ὁ Ξ0 κύκλος , ὕψος δέ ἴσος ὁ ΘΚ , εἰμί ἡμιόλιος ὁ κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ ΖΗ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΘΚ . εἰμί δέ κῶνος εἰμί , ὁμοίως ὁ αὐτός ποιέω καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ΖΝ παραλληλόγραμμος ἴσος συνίστημι τετράγωνος ὡς ὁ ΞΠ καί περί ὁ πλευρά αὐτός ὁ Ξ0 κύκλος γράφω νοέω ἀπό αὐτός κύλινδρος ὕψος ἔχω ὁ ΘΚ · ἔχω αὐτός ἡμιόλιος ὁ προτίθημι κῶνος . ἐπεί γάρ ὁ ΖΝ παραλληλόγραμμος ὁ ΞΠ τετράγωνος τριπλάσιος , ὁ δέ ΖΛ ἡμιόλιος , ὁ ΖΛ ὁ ΞΠ εἰμί διπλάσιος , καί διά οὗτος καί ὁ κύκλος ὁ κύκλος διπλάσιος καί ὁ κύλινδρος ὁ κύλινδρος . ἀλλά ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ ΖΗ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΘΚ , τριπλάσιος εἰμί ὁ περί ὁ αὐτός βάσις καί ὕψος ὁ αὐτός κῶνος ὥστε καί ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ Ξ0 κύκλος , ὕψος δέ ἴσος ὁ ΘΚ , ἡμιόλιος εἰμί ὁ πρόκειμαι κῶνος . εἰμί δέ δήω μήτε ὁ ἄγω ὁ αὐτός εἰμί μήτε ὁ βάσις , γίγνομαι ὁ πρόβλημα πάλιν διχῶς ἢ γάρ ὁ βάσις ἔχω ἴσος ὁ δίδωμι ἢ ὁ ἄγω ὁ πορίζω κύλινδρος . ἔστω γάρ πρότερος ὁ βάσις δίδωμι , ὡς ὁ Ξ0 κύκλος , καί δήω ἵστημι κύλινδρος εὑρίσκω ἡμιόλιος ὁ δίδωμι κῶνος ἢ κύλινδρος ἀπό βάσις ὁ ΞΟ . λαμβάνω , ὡς προερέω , ὁ δίδωμι κῶνος ἢ κύλινδρος ἡμιόλιος κύλινδρος βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ προτίθημι ὁ ΦΥ , καί γίγνομαι ὡς ὁ ἀπό ὁ ΞΟ πρός ὁ ἀπό ΤΥ , οὕτως ὁ ὕψος ὁ ΦΥ πρός ὁ ΡΣ . εἰμί ἄρα ὁ κύλινδρος ὁ ἀπό ὁ ΞΟ βάσις ὕψος ἔχω ὁ ΡΣ ἴσος ὁ ΦΥ · ἀντιπάσχω γάρ ὁ βάσις ὁ ὕψος καί γίγνομαι εἄν εἰμί ὁ ἐπίταγμα . εἰμί δέ μή ὁ βάσις ὅς δίδωμι , ἀλλά ὁ ἄγω , ὁ αὐτός λόχος πορίζω ὁ ΦΥ γίγνομαι ὁ ὁ πρότασις .