eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 34
Βασιλεῖ Πτολεμαίῳ Ἐρατοσθένης χαίρειν . Τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν φασιν εἰσαγαγεῖν τὸν Μίνω τῷ Γλαύκῳ κατασκευάζοντα τάφον , πυθόμενον δὲ ὅτι πανταχοῦ ἑκατόμπεδος εἴη εἰπεῖν · μικρόν γ᾿ ἔλεξας βασιλικοῦ σηκὸν τάφου · διπλάσιος ἔστω , τοῦ καλοῦ δὲ μὴ σφαλεὶς δίπλαζ᾿ ἕκαστον κῶλον ἐν τάχει τάφου . Ἐδόκει δὲ διημαρτηκέναι · τῶν γὰρ πλευρῶν διπλασιασθεισῶν τὸ μὲν ἐπίπεδον γίνεται τετραπλάσιον , τὸ δὲ στερεὸν ὀκταπλάσιον . Ἐζητεῖτο δὲ καὶ παρὰ τοῖς γεωμέτραις τίνα ἄν τις τρόπον τὸ δοθὲν στερεὸν διαμένον ἐν τῷ αὐτῷ σχήματι διπλασιάσειεν , καὶ ἐκαλεῖτο τὸ τοιοῦτον πρόβλημα κύβου διπλασιασμός · ὑποθέμενοι γὰρ κύβον ἐζήτουν τοῦτον διπλασιάσαι . Πάντων δὲ διαπορούντων ἐπὶ πολὺν χρόνον πρῶτος Ἱπποκράτης ὁ Χῖος ἐπενόησεν ὅτι , ἐὰν εὑρεθῇ δύο εὐθειῶν γραμμῶν , ὧν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονός ἐστι διπλασία , δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ , διπλασιασθήσεται ὁ κύβος , ὥστε τὸ ἀπόρημα αὐτῷ εἰς ἕτερον οὐκ ἔλασσον ἀπόρημα κατέστρεφεν . Μετὰ χρόνον δέ τινάς φασιν Δηλίους ἐπιβαλλομένους κατὰ χρησμὸν διπλασιάσαι τινὰ τῶν βωμῶν ἐμπεσεῖν εἰς τὸ αὐτὸ ἀπόρημα , διαπεμψαμένους δὲ τοὺς παρὰ τῷ Πλάτωνι ἐν Ἀκαδημίᾳ γεωμέτρας ἀξιοῦν αὑτοῖς εὑρεῖν τὸ ζητούμενον . Τῶν δὲ φιλοπόνως ἐπιδιδόντων ἑαυτοὺς καὶ ζητούντων δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀρχύτας μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἡμικυλίνδρων εὑρηκέναι , Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν συμβέβηκε δὲ πᾶσιν αὐτοῖς ἀποδεικτικῶς γεγραφέναι , χειρουργῆσαι δὲ καὶ εἰς χρείαν πεσεῖν μὴ δύνασθαι πλὴν ἐπὶ βραχύ τι τὸν Μέναιχμον καὶ ταῦτα δυσχερῶς . Ἐπινενόηται δὲ τις ὑφ᾿ ἡμῶν ὀργανικὴ λῆψις ῥᾳδία , δι᾿ ἧς εὑρήσομεν δύο τῶν δοθεισῶν οὐ μόνον δύο μέσας , ἀλλ᾿ ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ . Τούτου δὲ εὑρισκομένου δυνησόμεθα καθόλου τὸ δοθὲν στερεὸν παραλληλογράμμοις περιεχόμενον εἰς κύβον καθιστάναι ἢ ἐξ ἑτέρου εἰς ἕτερον μετασχηματίζειν καὶ ὅμοιον ποιεῖν καὶ ἐπαύξειν διατηροῦντας τὴν ὁμοιότητα , ὥστε καὶ βωμοὺς καὶ ναούς δυνησόμεθα δὲ καὶ τὰ τῶν ὑγρῶν μέτρα καὶ ξηρῶν , λέγω δὲ οἷον μετρητὴν ἢ μέδιμνον , εἰς κύβον καθίστασθαι καὶ διὰ τῆς τούτου πλευρᾶς ἀναμετρεῖν τὰ τούτων δεκτικὰ ἀγγεῖα , πόσον χωρεῖ . Χρήσιμον δὲ ἔσται τὸ ἐπινόημα καὶ τοῖς βουλομένοις ἐπαύξειν καταπαλτικὰ καὶ λιθοβόλα ὄργανα δεῖ γὰρ ἀνάλογον ἅπαντα αὐξηθῆναι καὶ τὰ πάχη καὶ τὰ μεγέθη καὶ τὰς κατατρήσεις καὶ τὰς χοινικίδας καὶ τὰ ἐμβαλλόμενα νεῦρα , εἰ μέλλει καὶ ἡ βολὴ ἀνάλογον ἐπαυξηθῆναι , ταῦτα δὲ οὐ δυνατὰ γενέσθαι ἄνευ τῆς τῶν μέσων εὑρέσεως . Τὴν δὲ ἀπόδειξιν καὶ τὴν κατασκευὴν τοῦ λεχθέντος ὀργάνου ὑπογέγραφά σοι . Δεδόσθωσαν δύο ἄνισοι εὐθεῖαι , ὧν δεῖ δύα μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ , αἱ ΑΕ , △Θ , καὶ κείσθω ἐπί τινος εὐθείας τῆς ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ , καὶ ἐπὶ τῆς ΕΘ τρία συνεστάτω παραλληλόγραμμα ἐφεξῆς τὰ ΑΖ , ΖΙ , Θ , καὶ ἤχθωσαν διάμετροι ἐν αὐτοῖς αἱ ΑΖ , ΛΗ , ΙΘ · ἔσονται δὴ αὗται παράλληλοι . Μένοντος δὴ τοῦ μέσου παραλληλογράμμου τοῦ ΖΙ συνωσθήτω τὸ μὲν ΑΖ ἐπάνω τοῦ μέσου , τὸ δὲ ΙΘ ὑποκάτω , καθάπερ ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος , ἕως οὗ γένηται τὰ A , Β , Γ , △ κατ᾿ εὐθεῖαν , καὶ διήχθω διὰ τῶν Α , Β , Γ , △ σημείων εὐθεῖα καὶ συμπιπτέτω τῇ ΕΘ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ ἔσται δὴ ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ , ἐν μὲν ταῖς ΑΕ , ΖΒ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ , ἐν δὲ ταῖς ΑΖ , ΒΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ . Ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ , ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ καὶ ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ . Πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ , ἐν μὲν ταῖς ΒΖ , ΓΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ , ἐν δὲ ταῖς ΒΗ , ΓΘ παραλλήλοις ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ , ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ , ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ , ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ , ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ , ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ , ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ , ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ , ὡς δὲ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ , ἡ ΓΗ πρὸς △Θ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ , ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ καὶ ἡ ΓΗ πρὸς △Θ . Ηὕρηνται ἄρα τῶν ΑΕ , △Θ δύο μέσαι ἥ τε ΒΖ καὶ ἡ ΓΗ . Ταῦτα οὖν ἐπὶ τῶν γεωμετρουμένων ἐπιφανειῶν ἀποδέδεκται · ἵνα δὲ καὶ ὀργανικῶς δυνώμεθα τὰς δύο μέσας λαμβάνειν , διαπήγνυται πλινθίον ξύλινον ἢ ἐλεφάντινον ἢ χαλκοῦν ἔχον τρεῖς πινακίσκους ἴσους ὡς λεπτοτάτους , ὧν ὁ μὲν μέσος ἐνήρμοσται , οἱ δὲ δύο ἐπωστοί εἰσιν ἐν χολέδραις , τοῖς δὲ μεγέθεσιν καὶ ταῖς συμμετρίαις ὡς ἕκαστοι ἑαυτοὺς πείθουσιν · τὰ μὲν χὰρ τῆς ἀποδείξεως ὡσαύτως συντελεῖται · πρὸς δὲ τὸ ἀκριβέστερον λαμβάνεσθαι τὰς γραμμὰς φιλοτεχνητέον , ἵνα ἐν τῷ συνάγεσθαι τοὺς πινακίσκους παράλληλα διαμένῃ πάντα καὶ ἄσχαστα καὶ ὁμαλῶς συναπτόμενα ἀλλήλοις . Ἐν δὲ τῷ ἀναθήματι τὸ μὲν ὀργανικὸν χαλκοῦν ἐστιν καὶ καθήρμοσται ὑπ᾿ αὐτὴν τὴν στεφάνην τῆς στήλης προσμεμολυβδοχοημένον , ὑπ᾿ αὐτοῦ δὲ ἡ ἀπόδειξις συντομώτερον φραζομένη καὶ τὸ σχῆμα , μετ᾿ αὐτὸ δὲ ἐπίγραμμα . Ὑπογεγράφθω οὖν σοι καὶ ταῦτα , ἵνα ἔχῃς καὶ ὡς ἐν τῷ ἀναθήματι . Τῶν δὲ δύο σχημάτων τὸ δεύτερον γέγραπται ἐν τῇ στήλῃ . Δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ . Δεδόσθωσαν αἱ ΑΕ , △Θ . Συνάγω δὴ τοὺς ἐν τῷ ὀργάνῳ πίνακας , ἕως ἂν κατ᾿ εὐθεῖαν γένηται τὰ Α , Β , Γ , σημεῖα . Νοείσθω δὴ ὡς ἔχει ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος . Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ , ἐν μὲν ταῖς ΑΕ , ΒΖ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ , ἐν δὲ ταῖς ΑΖ , ΒΗ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ · ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ , ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ . Ὡς δὲ αὗται πρὸς ἀλλήλας , ἥ τε ΑΕ πρὸς ΒΖ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ . Ὡσαύτως δὲ δείξομεν ὅτι καὶ ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΓΗ , ἡ ΓΗ πρὸς △Θ ἀνάλογον ἄρα αἱ ΑΕ , ΒΖ , ΓΗ , △Θ . Ηὕργνται ἄρα δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσαι . Ἐὰν δὲ αἱ δοθεῖσαι μὴ ἴσαι ὦσιν ταῖς ΑΕ , △θ , ποιήσαντες αὐταῖς ἀνάλογον τὰς ΑΕ , △Θ τούτων ληψόμεθα τὰς μέσας καὶ ἐπανοίσομεν ἐπ᾿ ἐκείνας , καὶ ἐσόμεθα πεποιηκότες τὸ ἐπιταχθέν , Ἐὰν δὲ πλείους μέσας ἐπιταχθῇ εὑρεῖν , ἀεὶ ἑνὶ πλείους πινακίσκους καταστησόμεθα ἐν τῷ ὀργανίῳ τῶν ληφθησομένων μέσων ἡ δὲ ἀπόδειξις ἡ αὐτή Εἰ κύβον ἐξ ὀλίγου διπλήσιον , ὦγαθέ , τεύχειν φράζεαι ἢ στερεὴν πᾶσαν ἐς ἄλλο φύσιν εὖ μεταμορφῶσαι , τόδε τοι πάρα , κἂν σύ γε μάνδρην ἢ σιρὸν ἢ κοίλου φρείατος εὐρὺ κύτος τῇδ᾿ ἀναμετρήσαιο , μέσας ὅτε τέρμασιν ἄκροις συνδρομάδας δισσῶν ἐντὸς ἕλῃς κανόνων . Μηδὲ σύ γ᾿ Ἀρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων μηδὲ Μεναιχμείους κωνοτομεῖν τριάδας διζήσῃ . μηδ᾿ εἴ τι θεουδέος Εὐδόξοιο καμπύλον ἐν γραμμαῖς εἶδος ἀναγράφεται . Τοῖσδε γὰρ ἐν πινάκεσσι μεσόγραφα μυρία τεύχοις ῥεῖά κεν ἐκ παύρου πυθμένος ἀρχόμενος . Εὐαίων , Πτολεμαῖε , πατὴρ ὅτι παιδὶ συνηβῶν πάνθ᾿ ὅσα καὶ Μούσαις καὶ βασιλεῦσι φίλα αὐτὸς ἐδωρήσω τὸ δ᾿ ἐς ὕστερον , οὐράνιε Ζεῦ , καὶ σκήπτρων ἐκ σῆς ἀντιάσειε χερὸς . Καὶ τὰ μὲν ὣς τελέοιτο , λέγοι δὲ τις ἄνθεμα λεύσσων τοῦ Κυρηναίου τοῦτ᾿ Ἐρατοσθενέος . Ὡς Νικομήδης ἐν τῷ Περὶ κογχοειδῶν γραμμῶν . Γράφει δὲ καὶ Νικομήδης ἐν τῷ ἐπιγεγραμμένῳ πρὸς αὐτοῦ Περὶ κογχοειδῶν συγγράμματι ὀργάνου κατασκευὴν τὴν αὐτὴν ἀποπληροῦντος χρείαν , ἐφ᾿ ᾧ καὶ μεγάλα μὲν σεμνυνόμενος φαίνεται ὁ ἀνήρ , πολλὰ δὲ τοῖς Ἐρατοσθένους ἐπεγγελῶν εὑρήμασιν ὡς ἀμηχάνοις τε ἅμα καὶ γεωμετρικῆς ἕξεως ἐστερημένοις . Τοῦ τε ἀνελλειποῦς τοίνυν τῶν περὶ τὸ πρόβλημα πεπονηκότων τῆς τε πρὸς Ἐρατοσθένη συγκρίσεως ἕνεκα καὶ αὐτὸν τοῖς ἤδη γεγραμμένοις συνάπτομεν δυνάμει γράφοντα οὕτως Νοεῖν χρὴ κανόνας δύο πρὸς ὀρθὰς ἄλλήλοις συμβεβλημένους οὕτως , ὥστε μίαν ἀποσῴζειν αὐτοὺς ἐπιφάνειαν , καθάπερ εἰσὶν οἱ ΑΒ , Γ△ , ἐν δὲ τῷ ΑΒ σωλῆνα πελεκινοειδῆ , εἰς ὃν χελώνιον διατρέχειν δυνήσεται , ἐν δὲ τῷ Γ△ κατὰ τὸ μέρος τὸ πρὸς τῷ καὶ τὴν μέσον διαιροῦσαν εὐθεῖαν τὸ πλάτος αὐτοῦ κυλίνδριον συμφυὲς τῷ κανόνι καὶ βραχὺ ὑπερέχον τῆς ἄνωθεν ἐπιφανείας αὐτοῦ τοῦ κανόνος , ἄλλον δὲ κανόνα ὡς τὸν ΕΖ μετὰ βραχύ τι διάστημα τοῦ πρὸς τῷ Ζ πέρατος ἀνατομὴν ἔχοντα ὡς τὴν ΗΘ δυναμένην περιβαίνειν τῷ πρὸς τῷ κυλινδρίῳ , πρὸς δὲ τῷ Ε ὀπὴν στρογγύλην , ἥτις ἐγκείσεται εἴς τι ἀξόνιον συμφυὲς τῷ διατρέχοντι χελωναρίῳ ἐν τῷ πελεκινοειδεῖ σωλῆνι τῷ ὄντι ἐν τῷ ΑΒ κανόνι . Ἐναρμοσθέντος τοίνυν τοῦ ΕΖ κανόνος κατὰ μὲν τὴν ΗΘ ἀνατομὴν ἐν τῷ πρὸς τῷ △ κυλινδρίῳ , κατὰ δὲ τὴν Ε ὀπὴν ἐν τῷ ἀξονίῳ τῷ συμφυεῖ τῷ χελωναρίῳ , ἐὰν τις ἐπιλαβόμενος τοῦ Κ ἄκρου τοῦ κανόνος κινῇ αὐτὸν ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Α μέρη , ἔπειτα ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Β , τὸ μὲν Ε σημεῖον ἀεὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος ἐνεχθήσεται , ἡ δὲ ΗΘ ἀνατομὴ ἐπὶ τῷ πρὸς τῷ △ κυλινδρίῳ κινηθήσεται ἀεὶ τῆς μέσης τοῦ ΕΖ κανόνος εὐθείας ἐν τῇ κινήσει διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ πρὸς τῷ △ κυλινδρίου νοουμένης , τὴς δὲ ΕΚ ὑπεροχῆς τοῦ κανόνος ἀεὶ τῆς αὐτῆς μενούσης . Ἐὰν τοίνυν πρὸς τῷ Κ ἐπινοήσωμέν τι γραφεῖον ἐφαπτόμενον τοῦ ἐδάφους , γραφήσεταί τις γραμμή , οἷα ἐστὶν ἡ ΛΜΝ , ἥντινα καλεῖ Νικομήδης κογχοειδῆ πρώτην γραμμήν , καὶ διάστημα μὲν τῆς γραμμῆς τὸ ΕΚ μέγεθος τοῦ κανόνος , πόλον δὲ τὸ △ . Ταύτῃ δὴ τῇ γραμμῇ συμβαῖνον δείκνυσιν τὸ ἀεὶ ἐπ᾿ ἔλαττον μὲν συμπορεύεσθαι τῷ ΑΒ κανόνι , καὶ ἐὰν τις εὐθεῖα διαχθῇ μεταξὺ τῆς τε γραμμῆς καὶ τοῦ ΑΒ κανόνος , ὅτι πάντως τέμνει τὴν γραμμήν . Καὶ τὸ μὲν πρότερον τῶν συμβαινόντων ἐστὶν εὐκατανόητον ἐφ᾿ ἑτέρας καταγραφῆς . Κανόνος γὰρ νοουμένου τοῦ ΑΒ , πόλου δὲ τοῦ Γ , διαστήματος δὲ τοῦ △Ε , γραμμῆς δὲ κογχοειδοῦς τῆς ΖΕΗ , προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Γ δύο αἱ ΓΘ , ΓΖ , ἴσων δηλονότι γινομένων τῶν ΚΘ , ΛΖ . Λέγω ὅτι ἡ ΖΝ κάθετος ἐλάττων τῆς ΘΝ καθέτου . Μεἱζονος γὰρ οὔσης τῆς ὑπὸ ΜΛΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΝΚΓ λοιπὴ ἡ λείπουσα εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΜΛΖ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΝΚΘ ἐστὶν ἐλάσσων , καὶ διὰ τοῦτο ὀρθῶν οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς Μ , Ν μείζων ἔσται καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ τῆς πρὸς τῷ Θ . Καὶ ἐὰν τῇ πρὸς τῷ Θ ἴσην συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΜΖΞ , ἡ ΚΘ , τουτέστιν ἡ ΛΖ , πρὸς ΘΝ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον , ὃν ἡ ΞΖ πρὸς ΖΜ · ὥστε ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΘΝ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΖΜ , καὶ διὰ τοῦτο μείζων ἡ ΘΝ τῆς ΖΜ . Τὸ δὲ δεύτερον ἦν τὸ τὴν διαγομένην εὐθεῖαν μεταξὺ τῆς τε ΑΒ καὶ τῆς γραμμῆς τέμνειν τὴν γραμμήν · καὶ τοῦτο δὲ οὕτω γίνεται γνώριμον · Ἡ γὰρ διαγομένη ἤτοι παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ ἢ οὔ . Ἔστω πρότερον παράλληλος , ὡς ἡ ΖΗΘ , καὶ γεγονέτω ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ , οὕτως ἡ △Ε πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Κ , καὶ κέντρῳ τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῇ Κ , περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ , οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΓ · ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ , οὕτως ἧν ἡ △Ε πρὸς τὴν Κ , τουτέστι τὴν ΓΖ ἴση ἄρα ἡ △Ε τῇ ΛΖ ὅπερ ἀδύνατον δεῖ γὰρ εἶναι τὸ Ζ πρὸς τῇ γραμμῇ . Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ἡ διαγομένη παράλληλος , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΗΝ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ . Ἡ ἄρα ΖΗ συμπεσεῖται τῇ γραμμῇ ὥστε πολλῷ μᾶλλον ἡ ΜΝ . Τούτων δὲ ὄντων τῶν παρακολουθημάτων διὰ τοῦ ὀργάνου τὸ χρήσιμον εἰς τὸ προκείμενον δείκνυται οὕτως . Πάλιν γωνίας δοθείσης τῆς Α καὶ σημείου ἐκτὸς τοῦ Γ διαγαγεῖν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ ἴσην τῇ δοθείσῃ . Ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ καὶ ἐκβεβλήσθω , καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ △Θ , καὶ πόλῳ μὲν τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῷ δοθέντι τῷ △Θ , κανόνι δὲ τῷ ΑΒ , γεγράφθω κογχοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ Ε△Ζ · συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προδειχθὲν . Συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ · ἴση ἄρα ἡ τῇ δοθείσῃ . Τούτων δειχθέντων δεδόσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ , ΛΑ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εὑρεῖν , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον , καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΒΓ τοῖς △ , Ε σημείοις , καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ △Λ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η , τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ , καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ Α△ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ , καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ Α△ ἢ τῇ ΓΖ · τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κογχοειδοῦς · καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ . Λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΚΓ , ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ . Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε , καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΚΓ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΚ . Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΓΖ , ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ , τουτέστι τῷ ἀπὸ ΚΖ . Καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ . Καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεα ἡ Α△ , τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ ( ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΓ τῆς △Β ) · ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς Α△ , οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΚΓ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ , οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΗΖ , ΓΘ · καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Α , ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ . Ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ Α△ τῇ ΘΚ , ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ Α△ ἴση ἄρα καὶ ἡ Μ△ τῇ ΖΚ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Μ△ τῷ ἀπὸ ΖΚ . Καί ἐστιν τῷ μὲν ἀπὸ Μ△ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ △Α , τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ , ὧν τὸ ἀπὸ Α△ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ · ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ Α△ τῇ ΓΖ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΑ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ . Ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ , ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΒΚ , ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ , ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ . Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ , ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ , ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΑΛ ·
Lemmas: Βασιλίς Πτολεμαῖος Ἐρατοσθένης χαίρω . ὁ ἀρχαῖος τις τραγῳδοποιός φημί εἰσάγω ὁ Μίνως ὁ Γλαῦκος κατασκευάζω τάφος , πυνθάνομαι δέ ὅτι πανταχοῦ ἑκατόμπεδος εἰμί εἶπον · μικρός γε λέγω βασιλικός σηκός τάφος · διπλάσιος ἵστημι , ὁ καλός δέ μή σφάλλω διπλάζω ἕκαστος κῶλον ἐν τάχος τάφος . Ἐδόκης δέ διαμαρτάνω · ὁ γάρ πλευρά διπλασιάζω ὁ μέν ἐπίπεδος γίγνομαι τετραπλάσιος , ὁ δέ στερεός ὀκταπλάσιος . ζητέω δέ καί παρά ὁ γεωμέτρης τίς ἄν τις τρόπος ὁ δίδωμι στερεός διαμένω ἐν ὁ αὐτός σχῆμα διπλασιάζω , καί καλέω ὁ τοιοῦτος πρόβλημα κύβος διπλασιασμός · ὑποτίθημι γάρ κύβος ζητέω οὗτος διπλασιάζω . Πάντων δέ διαπορέω ἐπί πολύς χρόνος πρῶτος Ἱπποκράτης ὁ Χῖος ἐπινοέω ὅτι , ἐάν εὑρίσκω δύο εὐθύς γραμμή , ὅς ὁ μείζων ὁ ἐλαχύς εἰμί διπλάσιος , δύο μέσος ἀνάλογος λαμβάνω ἐν συνεχής ἀναλογία , διπλασιάζω ὁ κύβος , ὥστε ὁ ἀπόρημα αὐτός εἰς ἕτερος οὐ μικρός ἀπόρημα καταστρέφω . μετά χρόνος δέ τις φημί Δήλιος ἐπιβάλλω κατά χρησμός διπλασιάζω τις ὁ βωμός ἐμπίπτω εἰς ὁ αὐτός ἀπόρημα , διαπέμπω δέ ὁ παρά ὁ Πλάτων ἐν Ἀκαδημία γεωμέτρης ἀξιόω ἑαυτοῦ εὑρίσκω ὁ ζητέω . ὁ δέ φιλόπονος ἐπιδίδωμι ἑαυτοῦ καί ζητέω δύο ὁ δίδωμι δύο μέσος λαμβάνω Ἀρχύτας μέν ὁ Ταραντῖνος λέγω διά ὁ ἡμικύλινδρος εὑρίσκω , Εὔδοξος δέ διά ὁ καλέω καμπύλος γραμμή συμβαίνω δέ πᾶς αὐτός ἀποδεικτικός γράφω , χειρουργέω δέ καί εἰς χρεία πίπτω μή δύναμαι πλήν ἐπί βραχύς τίς ὁ Μέναιχμος καί οὗτος δυσχερῶς . ἐπινοέω δέ τις ὑπό ἐγώ ὀργανικός λῆψις ῥᾴδιος , διά ὅς εὑρίσκω δύο ὁ δίδωμι οὖον μόνος δύο μέσος , ἀλλά ὅσος ἄν τις ἐπιτάσσω . οὗτος δέ εὑρίσκω δύναμαι καθόλου ὁ δίδωμι στερεός παραλληλόγραμμος περιέχω εἰς κύβος καθίστημι ἢ ἐκ ἕτερος εἰς ἕτερος μετασχηματίζω καί ὅμοιος ποιέω καί ἐπαυξάνω διατηρέω ὁ ὁμοιότης , ὥστε καί βωμός καί ναός δύναμαι δέ καί ὁ ὁ ὑγρός μέτρον καί ξηρός , λέγω δέ οἷος μετρητής ἢ μέδιμνος , εἰς κύβος καθίστημι καί διά ὁ οὗτος πλευρά ἀναμετρέω ὁ οὗτος δεκτικός ἀγγεῖον , πόσος χωρέω . χρήσιμος δέ εἰμί ὁ ἐπινόημα καί ὁ βούλομαι ἐπαυξάνω καταπαλτικός καί λιθοβόλος ὄργανον δεῖ γάρ ἀνάλογος ἅπας αὐξάνω καί ὁ πάχος καί ὁ μέγεθος καί ὁ κατάτρησις καί ὁ χοινικίς καί ὁ ἐμβαλλόμενα νεῦρον , εἰμί μέλλω καί ὁ βολή ἀνάλογος ἐπαυξάνω , οὗτος δέ οὖον δυνατός γίγνομαι ἄνευ ὁ ὁ μέσος εὕρεσις . ὁ δέ ἀπόδειξις καί ὁ κατασκευή ὁ λέγω ὄργανον ὑπογράφω σύ . δίδωμι δύο ἄνισος εὐθύς , ὅς δεῖ δύη μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω ἐν συνεχής ἀναλογία , ὁ ΑΕ , △Θ , καί κεῖμαι ἐπί τις εὐθύς ὁ ΕΘ πρός ὀρθός ὁ ΑΕ , καί ἐπί ὁ ΕΘ τρεῖς συνίστημι παραλληλόγραμμος ἐφεξῆς ὁ αζʹ , ΖΙ , Θ , καί ἄγω διάμετρος ἐν αὐτός ὁ αζʹ , ΛΗ , ΙΘ · εἰμί δή οὗτος παράλληλος . Μένων δή ὁ μέσος παραλληλόγραμμος ὁ ΖΙ συνωθέω ὁ μέν αζʹ ἐπάνω ὁ μέσος , ὁ δέ ΙΘ ὑποκάτω , καθάπερ ἐπί ὁ δύο σχῆμα , ἠώς ὅς γίγνομαι ὁ A , Β , Γ , △ κατά εὐθύς , καί διάγω διά ὁ Α , Β , Γ , △ σημεῖον εὐθύς καί συμπίπτω ὁ ΕΘ ἐκβάλλω κατά ὁ Κ εἰμί δή ὡς ὁ ΑΚ πρός ΚΒ , ἐν μέν ὁ ΑΕ , ΖΒ παράλληλος ὁ ΕΚ πρός ΚΖ , ἐν δέ ὁ αζʹ , ΒΗ παράλληλος ὁ ΖΚ πρός ΚΗ . ὡς ἄρα ὁ ΑΚ πρός ΚΒ , ὁ ΕΚ πρός ΚΖ καί ὁ ΚΖ πρός ΚΗ . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΚ πρός ΚΓ , ἐν μέν ὁ ΒΖ , ΓΗ παράλληλος ὁ ΖΚ πρός ΚΗ , ἐν δέ ὁ ΒΗ , ΓΘ παράλληλος ὁ ΗΚ πρός ΚΘ , ὡς ἄρα ὁ ΒΚ πρός ΚΓ , ὁ ΖΚ πρός ΚΗ καί ὁ ΗΚ πρός ΚΘ . ἀλλά ὡς ὁ ΖΚ πρός ΚΗ , ὁ ΕΚ πρός ΚΖ · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΚ πρός ΚΖ , ὁ ΖΚ πρός ΚΗ καί ὁ ΗΚ πρός ΚΘ . ἀλλά ὡς ὁ ΕΚ πρός ΚΖ , ὁ ΑΕ πρός ΒΖ , ὡς δέ ὁ ΖΚ πρός ΚΗ , ὁ ΒΖ πρός ΓΗ , ὡς δέ ὁ ΗΚ πρός ΚΘ , ὁ ΓΗ πρός △Θ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΕ πρός ΒΖ , ὁ ΒΖ πρός ΓΗ καί ὁ ΓΗ πρός △Θ . εὑρίσκω ἄρα ὁ ΑΕ , △Θ δύο μέσος ὅς τε ΒΖ καί ὁ ΓΗ . οὗτος οὖν ἐπί ὁ γεωμετρέω ἐπιφάνεια ἀποδείκνυμι · ἵνα δέ καί ὀργανικός δύναμαι ὁ δύο μέσος λαμβάνω , διαπήγνυμι πλινθίον ξύλινος ἢ ἐλεφάντινος ἢ χάλκεος ἔχω τρεῖς πινακίσκος ἴσος ὡς λεπτός , ὅς ὁ μέν μέσος ἐναρμόζω , ὁ δέ δύο ἐπωστός εἰμί ἐν χολέδρα , ὁ δέ μέγεθος καί ὁ συμμετρία ὡς ἕκαστος ἑαυτοῦ πείθω · ὁ μέν χαρά ὁ ἀπόδειξις ὡσαύτως συντελέω · πρός δέ ὁ ἀκριβής λαμβάνω ὁ γραμμή φιλοτεχνητέον , ἵνα ἐν ὁ συνάγω ὁ πινακίσκος παράλληλος διαμένω πᾶς καί ἄσχαστος καί ὁμαλός συνάπτω ἀλλήλων . ἐν δέ ὁ ἀνάθημα ὁ μέν ὀργανικός χάλκεος εἰμί καί καθαρμόζω ὑπό αὐτός ὁ στεφάνη ὁ στήλη προσμεμολυβδοχοαειδω , ὑπό αὐτός δέ ὁ ἀπόδειξις σύντομος φράζω καί ὁ σχῆμα , μετά αὐτός δέ ἐπίγραμμα . ὑπογράφω οὖν σύ καί οὗτος , ἵνα ἔχω καί ὡς ἐν ὁ ἀνάθημα . ὁ δέ δύο σχῆμα ὁ δύο γράφω ἐν ὁ στήλη . δύο ὁ δίδωμι εὐθύς δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω ἐν συνεχής ἀναλογία . δίδωμι ὁ ΑΕ , △Θ . συνάγω δή ὁ ἐν ὁ ὄργανον πίναξ , ἠώς εἄν κατά εὐθύς γίγνομαι ὁ Α , Β , Γ , σημεῖον . νοέω δή ὡς ἔχω ἐπί ὁ δύο σχῆμα . ἔρτις ἄρα ὡς ὁ ΑΚ πρός ΚΒ , ἐν μέν ὁ ΑΕ , ΒΖ παράλληλος ὁ ΕΚ πρός ΚΖ , ἐν δέ ὁ αζʹ , ΒΗ ὁ ΖΚ πρός ΚΗ · ὡς ἄρα ὁ ΕΚ πρός ΚΖ , ὁ ΚΖ πρός ΚΗ . ὡς δέ οὗτος πρός ἀλλήλων , ὅς τε ΑΕ πρός ΒΖ καί ὁ ΒΖ πρός ΓΗ . ὡσαύτως δέ δείκνυμι ὅτι καί ὡς ὁ ΖΒ πρός ΓΗ , ὁ ΓΗ πρός △Θ ἀνάλογος ἄρα ὁ ΑΕ , ΒΖ , ΓΗ , △Θ . Ηὕργνται ἄρα δύο ὁ δίδωμι δύο μέσος . ἐάν δέ ὁ δίδωμι μή Ἴσαι εἰμί ὁ ΑΕ , △θ , ποιέω αὐτός ἀνάλογος ὁ ΑΕ , △Θ οὗτος λαμβάνω ὁ μέσος καί επανοισω ἐπί ἐκεῖνος , καί εἰμί ποιέω ὁ ἐπιτάσσω , ἐάν δέ πλείων μέσος ἐπιτάσσω εὑρίσκω , ἀεί εἷς πλείων πινακίσκος καθίστημι ἐν ὁ ὀργάνιον ὁ λαμβάνω μέσος ὁ δέ ἀπόδειξις ὁ αὐτός εἰμί κύβος ἐκ ὀλίγος διπλάσιος , ἀγαθός , τεύχω φράζω ἢ στερεός πᾶς εἰς ἄλλος φύσις εὕω μεταμορφόω , ὅδε ὅς πάρα , κἀν σῦς γε μάνδρα ἢ σιρός ἢ κοῖλος φρειαατος εὐρύς κύτος τῇδε ἀναμετρέω , μέσος ὅτε τέρμα ἄκρος συνδρομάς δισσός ἐντός αἱρέω κανών . μηδέ σῦς γε Ἄρχυτος δυσμήχανος ἔργον κύλινδρος μηδέ Μεναίχμειος κωνοτομέω τριάς δίζημαι . μηδέ εἰμί τίς θεουδής Εὔδοξος καμπύλος ἐν γραμμή εἶδος ἀναγράφω . ὅδε γάρ ἐν πίναξ μεσόγραφος μυρίος τεύχω ῥεῖα ἄν ἐκ παῦρος πυθμήν ἄρχω . Εὐαίων , Πτολεμαῖος , πατήρ ὅτι παῖς σύνηβος πᾶς ὅσος καί Μοῦσα καί βασιλεύς φίλος αὐτός δωρέω ὁ δέ εἰς ὕστερος , οὐράνιος Ζεύς , καί σκῆπτρον ἐκ σός ἀντιάω χείρ . καί ὁ μέν ὡς τελέω , λέγω δέ τις ἄνθεμον λεύσσω ὁ Κυρηναῖος οὗτος ερατοσθενος . ὡς Νικομήδης ἐν ὁ περι κογχοειδής γραμμή . γράφος δέ καί Νικομήδης ἐν ὁ ἐπιγράφω πρός αὐτός περι κογχοειδής σύγγραμμα ὄργανον κατασκευή ὁ αὐτός ἀποπληρόω χρεία , ἐπί ὅς καί μέγας μέν σεμνύνω φαίνω ὁ ἀνήρ , πολύς δέ ὁ Ἐρατοσθένης ἐπεγγελάω εὕρημα ὡς ἀμήχανος τε ἅμα καί γεωμετρικός ἕξις στερέω . ὁ τε ἀνελλιπής τοίνυν ὁ περί ὁ πρόβλημα πονέω ὁ τε πρός Ἐρατοσθένης σύγκρισις ἕνεκα καί αὐτός ὁ ἤδη γράφω συνάπτω δύναμις γράφω οὕτως νοέω χρή κανών δύο πρός ὀρθός ἀλλήλων συμβάλλω οὕτως , ὥστε εἷς ἀποσῴζω αὐτός ἐπιφάνεια , καθάπερ εἰμί ὁ ΑΒ , Γ△ , ἐν δέ ὁ ΑΒ σωλήν πελεκινοειδής , εἰς ὅς χελώνιον διατρέχω δύναμαι , ἐν δέ ὁ Γ△ κατά ὁ μέρος ὁ πρός ὁ καί ὁ μέσος διαιρέω εὐθύς ὁ πλάτος αὐτός κυλίνδριον συμφυής ὁ κανών καί βραχύς ὑπερέχω ὁ ἄνωθεν ἐπιφάνεια αὐτός ὁ κανών , ἄλλος δέ κανών ὡς ὁ ΕΖ μετά βραχύς τίς διάστημα ὁ πρός ὁ Ζ πέρας ἀνατομή ἔχω ὡς ὁ ΗΘ δύναμαι περιβαίνω ὁ πρός ὁ κυλίνδριον , πρός δέ ὁ Ε ὀπή στρογγύλος , ὅστις ἔγκειμαι εἰς τίς ἀξόνιον συμφυής ὁ διατρέχω χελωνάριον ἐν ὁ πελεκινοειδής σωλήν ὁ εἰμί ἐν ὁ ΑΒ κανών . ἐναρμόζω τοίνυν ὁ ΕΖ κανών κατά μέν ὁ ΗΘ ἀνατομή ἐν ὁ πρός ὁ △ κυλίνδριον , κατά δέ ὁ Ε ὀπή ἐν ὁ ἀξόνιον ὁ συμφυής ὁ χελωνάριον , ἐάν τις ἐπιλαμβάνω ὁ Κ ἄκρος ὁ κανών κινέω αὐτός ἐπί ὁ πρός ὁ Α μέρος , ἔπειτα ἐπί ὁ πρός ὁ Β , ὁ μέν Ε σημεῖον ἀεί ἐπί ὁ ΑΒ κανών φέρω , ὁ δέ ΗΘ ἀνατομή ἐπί ὁ πρός ὁ △ κυλίνδριον κινέω ἀεί ὁ μέσος ὁ ΕΖ κανών εὐθύς ἐν ὁ κινέω διά ὁ ἄγω ὁ πρός ὁ △ κυλίνδριον νοέω , σής δέ ΕΚ ὑπεροχή ὁ κανών ἀεί ὁ αὐτός Μένων . ἐάν τοίνυν πρός ὁ Κ ἐπινοέω τίς γραφεῖον ἐφάπτω ὁ ἔδαφος , γράφω τις γραμμή , οἷος εἰμί ὁ ΛΜΝ , ὅστις καλέω Νικομήδης κογχοειδής πρῶτος γραμμή , καί διάστημα μέν ὁ γραμμή ὁ ΕΚ μέγεθος ὁ κανών , πόλος δέ ὁ △ . Ταύτη δή ὁ γραμμή συμβαίνω δείκνυμι ὁ ἀεί ἐπί μικρός μέν συμπορεύομαι ὁ ΑΒ κανών , καί ἐάν τις εὐθύς διάζομαι μεταξύ ὁ τε γραμμή καί ὁ ΑΒ κανών , ὅτι πάντως τέμνω ὁ γραμμή . καί ὁ μέν πρότερος ὁ συμβαίνω εἰμί εὐκατανόητος ἐπί ἕτερος καταγραφή . Κανών γάρ νοέω ὁ ΑΒ , πόλος δέ ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ △Ε , γραμμή δέ κογχοειδής ὁ ΖΕΗ , προσπίπτω ἀπό ὁ Γ δύο ὁ ΓΘ , ΓΖ , ἴσος δηλονότι γίγνομαι ὁ ΚΘ , ΛΖ . λέγω ὅτι ὁ ΖΝ κάθετος μικρός ὁ ΘΝ κάθετος . μείζων γάρ εἰμί ὁ ὑπό ΜΛΓ γωνία ὁ ὑπό ΝΚΓ λοιπός ὁ λείπω εἰς ὁ δύο ὀρθός ὁ ὑπό ΜΛΖ λοιπός ὁ ὑπό ΝΚΘ εἰμί μικρός , καί διά οὗτος ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Μ , Ν μείζων εἰμί καί ὁ πρός ὁ Ζ ὁ πρός ὁ Θ . καί ἐάν ὁ πρός ὁ Θ ἴσος συνίστημι ὁ ὑπό ΜΖΞ , ὁ ΚΘ , τουτέστιν ὁ ΛΖ , πρός ΘΝ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΞΖ πρός ΖΜ · ὥστε ὁ ΖΛ πρός ὁ ΘΝ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 πρός ὁ ΖΜ , καί διά οὗτος μείζων ὁ ΘΝ ὁ ΖΜ . ὁ δέ δύο εἰμί ὁ ὁ διάγω εὐθύς μεταξύ ὁ τε ΑΒ καί ὁ γραμμή τέμνω ὁ γραμμή · καί οὗτος δέ οὗτος γίγνομαι γνώριμος · ὁ γάρ διάγω ἤτοι παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ἢ οὖον . ἔστω πρότερος παράλληλος , ὡς ὁ ΖΗΘ , καί γίγνομαι ὡς ὁ △Η πρός ΗΓ , οὕτως ὁ △Ε πρός ἄλλος τις ὁ Κ , καί κέντρον ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ Κ , περιφέρεια γράφω τέμνω ὁ κατά ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ △Η πρός ΗΓ , οὕτως ὁ ΛΖ πρός ΖΓ · ἀλλά ὡς ὁ △Η πρός ΗΓ , οὕτως ἧμαι ὁ △Ε πρός ὁ Κ , τουτέστι ὁ ΓΖ ἴσος ἄρα ὁ △Ε ὁ ΛΖ ὅσπερ ἀδύνατος δεῖ γάρ εἰμί ὁ Ζ πρός ὁ γραμμή . ἀλλά δή μή ἵστημι ὁ διάγω παράλληλος , καί ἵστημι ὡς ὁ μείς , καί ἄγω διά ὁ ὁ παράλληλος ὁ ΑΒ ὁ ΖΗ . ὁ ἄρα ΖΗ συμπίπτω ὁ γραμμή ὥστε πολύς μᾶλλον ὁ ΜΝ . οὗτος δέ εἰμί ὁ παρακολούθημα διά ὁ ὄργανον ὁ χρήσιμος εἰς ὁ πρόκειμαι δείκνυμι οὕτως . πάλιν γωνία δίδωμι ὁ Α καί σημεῖον ἐκτός ὁ Γ διάγω ὁ ΓΗ καί ποιέω ὁ ΚΗ ἴσος ὁ δίδωμι . ἄγω κάθετος ἀπό ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ ΑΒ ὁ ΓΘ καί ἐκβάλλω , καί ὁ δίδωμι ἴσος ἵστημι ὁ △Θ , καί πόλος μέν ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ δίδωμι ὁ △Θ , κανών δέ ὁ ΑΒ , γράφω κογχοειδής γραμμή πρῶτος ὁ ΕΖ · συμβάλλω ἄρα ὁ ΑΗ διά ὁ προδείκνυμι . συμβάλλω κατά ὁ ὁ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΗ · ἴσος ἄρα ὁ ὁ δίδωμι . οὗτος δείκνυμι δίδωμι δύο εὐθύς ὁ ΓΛ , ΛΑ πρός ὀρθός ἀλλήλων , ὅς δεῖ δύο μέσος ἀνάλογος κατά ὁ συνεχής εὑρίσκω , καί συμπληρόω ὁ ΑΒΓ παραλληλόγραμμος , καί τέμνω δίχα ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ △ , Ε σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι μέν ὁ △Λ ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ ΓΒ ἐκβάλλω κατά ὁ ὁ , ὁ δέ ΒΓ πρός ὀρθός ὁ ΕΖ , καί προσβάλλω ὁ ΓΖ ἴσος εἰμί ὁ Α△ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ καί αὐτός παράλληλος ὁ ΓΘ , καί γωνία εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΚΓΘ ἀπό δίδωμι ὁ Ζ διάγω ὁ ΖΘΚ ποιέω ἴσος ὁ ΘΚ ὁ Α△ ἢ ὁ ΓΖ · οὗτος γάρ ὡς δυνατός δείκνυμι διά ὁ κογχοειδής · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΛ ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ ΑΒ ἐκβάλλω κατά ὁ Μ . λέγω ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΓΛ πρός ΚΓ , ὁ ΚΓ πρός μή καί ὁ μή πρός ὁ ΑΛ . ἐπεί ὁ ΒΓ τέμνω δίχα ὁ Ε , καί πρόσκειμαι αὐτός ὁ ΚΓ , ὁ ἄρα ὑπό ΒΚΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΚ . Κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΕΖ · ὁ ἄρα ὑπό ΒΚΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕΖ , τουτέστι ὁ ἀπό ΓΖ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΚΕΖ , τουτέστι ὁ ἀπό ΚΖ . καί ἐπεί ὡς ὁ μή πρός ΑΒ , ὁ ΜΛ πρός ΛΚ , ὡς δέ ὁ ΜΛ πρός ΛΚ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ΓΚ , καί ὡς ἄρα ὁ μή πρός ΑΒ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ΓΚ . καί εἰμί ὁ μέν ΑΒ ἥμισυς ὁ Α△ , ὁ δέ ΒΓ διπλόος ὁ ΓΗ ( ἐπεί καί ὁ ΛΓ ὁ △Β ) · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ μή πρός Α△ , οὕτως ὁ ΗΓ πρός ΚΓ . ἀλλά ὡς ὁ ΗΓ πρός ΓΚ , οὕτως ὁ ΖΘ πρός ΘΚ διά ὁ παράλληλος ὁ ΗΖ , ΓΘ · καί συντίθημι ἄρα ὡς ὁ Μ△ πρός △Α , ὁ ΖΚ πρός ΚΘ . Ἴσος δέ ὑπόκειμαι καί ὁ Α△ ὁ ΘΚ , ἐπεί καί ὁ ΓΖ ἴσος εἰμί ὁ Α△ ἴσος ἄρα καί ὁ Μ△ ὁ ΖΚ · ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό Μ△ ὁ ἀπό ΖΚ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό Μ△ ἴσος ὁ ὑπό ΒΜΑ μετά ὁ ἀπό △Α , ὁ δέ ἀπό ΖΚ ἴσος δείκνυμι ὁ ὑπό ΒΚΓ μετά ὁ ἀπό ΓΖ , ὅς ὁ ἀπό Α△ ἴσος ὁ ἀπό ΓΖ · ἴσος γάρ ὑπόκειμαι ὁ Α△ ὁ ΓΖ · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΒΜΑ ὁ ὑπό ΒΚΓ . ὡς ἄρα ὁ ΜΒ πρός ΒΚ , ὁ ΚΓ πρός ΑΜ . ἀλλά ὡς ὁ ΒΜ πρός ΒΚ , ὁ ΓΛ πρός ΓΚ · καί ὡς ἄρα ὁ ΛΓ πρός ΓΚ , ὁ ΓΚ πρός ΑΜ . ἔρτις δέ καί ὡς ὁ ΛΓ πρός ΓΚ , ὁ μή πρός ΑΛ · καί ὡς ἄρα ὁ ΛΓ πρός ΓΚ , ὁ ΓΚ πρός ΑΜ καί ὁ ΑΜ πρός ΑΛ ·