eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 41
Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τμῆμα τῷ ΘΚΛ τμήματι , ὅμοιος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΕΖΩ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ Νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ καταγραφαὶ καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΕΗ , ΗΖ , ΕΟ , ΟΖ , ΘΛ , ΛΚ , ΘΞ , ΞΚ . Ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΕΖΗ , ΘΚΛ τμήματα , ἴσαι εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ ΕΗΖ , ΘΛΚ γωνίαι · ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν . Καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Φ , Υ · καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση . Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΗΦΖ τρίγωνον τῷ ΛΥΚ , καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ , ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσογωνίων ὄντων τῶν ΦΖΟ , ΥΚΞ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΖΦ πρὸς ΦΟ , ἡ ΚΥ πρὸς ΥΞ · δι᾿ ἴσου ἄρα , ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΟ , ἡ ΛΥ πρὸς ΥΞ . Καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΗΟ πρὸς ΟΦ , ἡ ΛΞ πρὸς ΞΥ · καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ἡ ΣΟ πρὸς ΟΦ , ἡ ΡΞ πρὸς ΞΥ · καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΣΟΦ πρὸς ΦΟ , τουτέστιν ἡ ΩΦ πρὸς ΦΗ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΡΞΥ πρὸς ΞΥ , τουτέστιν ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ , ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ · καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΦΖ , ἡ ΨΥ πρὸς ΥΚ · καὶ τῶν ἑπομένων τὰ διπλάσια ὡς ἄρα ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ , ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ . Τῶν ἄρα ΩΕΖ , ΨΘΚ κώνων ἀνάλογόν εἰσιν οἱ ἄξονες καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων · ὅμοιοι ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Λόγος δὲ τῆς ΩΦ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς | Ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν , δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημάτων · ὥστε δὲδοται ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΗΦ . Καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ΕΖ ἡ ΕΦ δοθήσεται ὥστε καὶ τὸ ἀπ᾿ αὐτῆς . Καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΦΟ . Ἐὰν δὲ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληρῇ , πλάτος ποιεῖ δοθεῖσαν δοθεῖσα ἄρα ἡ ΦΟ . Ἀλλὰ καὶ ἡ ΦΗ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας δοθεῖσά ἐστι , καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς δέδοται ἡ ΣΟ . Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΦ δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΣΟ πρὸς ΟΦ λόγος . Καὶ συνθέντι ὁ συναμφοτέρου τῆς ΣΟΦ πρὸς τὴν ΟΦ λόγος δοθείς ἐστιν , τουτέστι τῆς ΩΦ πρὸς ΦΗ . Καὶ δέδοται ἡ ΦΗ · δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΩΦ . Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΕΖ · δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΩΦ πρὸς ΕΖ λόγος . Τὰ αὐτὰ δὲ ἂν ῥηθείη καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος , καὶ συναχθήσεται ὁ τῆς ΧΤ πρὸς ΑΒ λόγος δοθείς · καὶ διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ΑΒ δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ XT . Ὅτι δέ , ἂν τὰ τμήματα δεδομένα ᾗ , καὶ τὰ ὕψη αὐτῶν δοθήσονται πρόδηλον μέν , ἵνα δὲ καὶ τοῦτο ἀκολούθως τῇ στοιχειώσει τῶν Δεδομένων δοκῇ συνάγεσθαι , λεχθήσεται . Ἐπειδὴ δέδοται τὰ τμήματα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει , δέδοται καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία · ὥστε καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς . Καὶ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην τὴν ΕΗ , δεδομένης τῆς πρὸς τῷ Φ ὀρθῆς δεδομένη ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ καὶ τὸ ΕΗΦ τρίχωνον τῷ εἴδει · ὥστε καὶ ὁ τῆς ΕΦ πρὸς ΦΗ λόγος δοθεὶς ἔσται . Καὶ δέδοται ἡ ΕΦ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΕΖ δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ . Ἔνεοτι δὲ καὶ ἄλλως λέγειν . Ἐπειδὴ δέδοται ἡ ΕΖ τῇ θέσει , καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Φ , διχοτομία γάρ ἐστι τῆς ΕΖ , πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΦΗ τῇ θέσει , δέδοται δὲ καὶ ἡ περιφέρεια τοῦ τμήματος τῇ θέσει , δέδοται ἄρα τὸ Η . Ἦν δὲ καὶ τὸ Φ δεδομένον δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ . Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς △ Ἐπεὶ γὰρ γέγονεν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ , ἡ ΧΤ πρὸς △ , ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ , ἡ ΚΘ πρὸς △ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ , τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ · ἴσων γὰρ ὄντων τῶν κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , ὡς δὲ αἱ βάσεις πρὸς ἀλλήλας , οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ , ἡ ΘΚ πρὸς τὴν △ . Καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ , ἡ Ϛ΄ πρὸς △ | Ἐπειδὴ τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Ϛ΄ καὶ ὁ τῆς ΚΘ πρὸς △ , καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς Ϛ΄ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΚΘ πρὸς △ · ὥστε ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΘΚ , ἡ Ϛ΄ πρὸς △ .
Lemmas: καί ἐπεί ὁμοῖος εἰμί ὁ ΕΖΗ τμῆμα ὁ ΘΚΛ τμῆμα , ὅμοιος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΖΩ κῶνος ὁ ΨΘΚ κῶνος νοέω γάρ Χωρὶς κεῖμαι ὁ καταγραφή καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ , ΗΖ , ΕΟ , ΟΖ , ΘΛ , ΛΚ , ΘΞ , ΞΚ . ἐπεί οὖν ὁμοῖος εἰμί ὁ ΕΖΗ , ΘΚΛ τμῆμα , Ἴσαι εἰμί καί ὁ ὑπό ΕΗΖ , ΘΛΚ γωνία · ὥστε καί ὁ ἥμισυς αὐτός . καί εἰμί ὀρθός ὁ πρός ὁ Φ , Υ · καί ὁ λοιπός ἄρα ὁ λοιπός εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΖΗ τρίγωνος ὁ Λυκ , καί εἰμί ὡς ὁ ΗΦ πρός ΦΖ , ὁ ΛΥ πρός ΥΚ . Ζεύς ὁ αὐτός δή ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΖΟ , Ξ τρίγωνος εἰμί ὡς ὁ ΖΦ πρός Φο , ὁ ΚΥ πρός ΥΞ · διά ἴσος ἄρα , ὡς ὁ ΗΦ πρός Φο , ὁ ΛΥ πρός ΥΞ . καί συντίθημι ὡς ὁ ΗΟ πρός ΟΦ , ὁ ΛΞ πρός ΞΥ · καί ὁ ἡγέομαι ὁ ἥμισυς ὡς ὁ ΣΟ πρός ΟΦ , ὁ ΡΞ πρός ΞΥ · καί συντίθημι ὡς συναμφότερος ὁ ΣΟΦ πρός Φο , τουτέστιν ὁ ΩΦ πρός φημί , οὕτως συναμφότερος ὁ ΥΡ πρός ΞΥ , τουτέστιν ὁ ΨΥ πρός ΥΛ . ἀλλά ὡς ὁ ΗΦ πρός ΦΖ , ὁ ΛΥ πρός ΥΚ · καί διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΩΦ πρός ΦΖ , ὁ ΨΥ πρός ΥΚ · καί ὁ ἕπομαι ὁ διπλάσιος ὡς ἄρα ὁ ΩΦ πρός ΕΖ , ὁ ΨΥ πρός ΘΚ . ὁ ἄρα ΕΖ , ΨΘΚ κῶνος ἀνάλογος εἰμί ὁ ἄγω καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ κῶνος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . Λόγος δέ ὁ ΩΦ πρός ὁ ΕΖ δίδωμι | ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα , δίδωμι εἰμί καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις καί ὁ ὕψος ὁ τμῆμα · ὥστε δίδωμι ὁ ΕΖ καί ὁ ΗΦ . καί ὁ ἥμισυς ἄρα ὁ ΕΖ ὁ ΕΦ δίδωμι ὥστε καί ὁ ἀπό αὐτός . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό Ο . ἐάν δέ δίδωμι παρά δίδωμι παραβληρῇ , πλάτος ποιέω δίδωμι δίδωμι ἄρα ὁ Φο . ἀλλά καί ὁ φημί · καί ὅλος ἄρα ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα δίδωμι εἰμί , καί διά οὗτος καί ὁ ἥμισυς αὐτός δίδωμι ὁ ΣΟ . ἀλλά μήv καί ὁ ΟΦ δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ ΣΟ πρός ΟΦ λόγος . καί συντίθημι ὁ συναμφότεροι ὁ ΣΟΦ πρός ὁ ΟΦ λόγος δίδωμι εἰμί , τουτέστι ὁ ΩΦ πρός φημί . καί δίδωμι ὁ φημί · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΩΦ . ἀλλά μήv καί ὁ ΕΖ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ ΩΦ πρός ΕΖ λόγος . ὁ αὐτός δέ εἄν εἴρω καί ἐπί ὁ ΑΒΓ τμῆμα , καί συνάγω ὁ ὁ ΧΤ πρός ΑΒ λόγος δίδωμι · καί διά ὁ δίδωμι εἰμί ὁ ΑΒ δίδωμι εἰμί καί ὁ XT . ὅτι2 δέ , εἄν ὁ τμῆμα δίδωμι ὅς , καί ὁ ὕψος αὐτός δίδωμι πρόδηλος μέν , ἵνα δέ καί οὗτος ἀκόλουθος ὁ στοιχειόω ὁ δίδωμι δοκέω συνάγω , λέγω . ἐπεί δίδωμι ὁ τμῆμα ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος , δίδωμι καί ὁ ΕΖ καί ὁ ἐν ὁ τμῆμα γωνία · ὥστε καί ὁ ἥμισυς αὐτός . καί ἐάν νοέω ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ , δίδωμι ὁ πρός ὁ Φ ὀρθός δίδωμι εἰμί καί ὁ λοιπός καί ὁ ΕΗ τρίχωνον ὁ εἶδος · ὥστε καί ὁ ὁ ΕΦ πρός φημί λόγος δίδωμι εἰμί . καί δίδωμι ὁ ΕΦ ἥμισυς εἰμί ὁ ΕΖ δίδωμι ἄρα καί ὁ φημί . Ἔνεοτι δέ καί ἄλλως λέγω . ἐπεί δίδωμι ὁ ΕΖ ὁ θέσις , καί ἀπό δίδωμι ὁ Φ , διχοτομία γάρ εἰμί ὁ ΕΖ , πρός ὀρθός ἄγω ὁ φημί ὁ θέσις , δίδωμι δέ καί ὁ περιφέρεια ὁ τμῆμα ὁ θέσις , δίδωμι ἄρα ὁ ὁ . ἦς δέ καί ὁ Φ δίδωμι δίδωμι ἄρα καί ὁ φημί . ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΨΥ πρός ΧΤ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πρός ὁ ἀπό ΘΚ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός △ ἐπεί γάρ γίγνομαι ὡς ὁ ΨΥ πρός ΘΚ , ὁ ΧΤ πρός △ , ἐναλλάξ ὡς ὁ ΨΥ πρός ΧΤ , ὁ ΚΘ πρός △ . ἀλλά ὡς ὁ ΨΥ πρός ΧΤ , ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΚ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ κῶνος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , ὡς δέ ὁ βάσις πρός ἀλλήλων , οὕτως ὁ ἀπό ὁ διάμετρος τετράγωνος καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΒΑ πρός ὁ ἀπό ΘΚ , ὁ ΘΚ πρός ὁ △ . καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΒ πρός ΘΚ , ὁ ΣΤ΄ πρός △ | ἐπεί ὁ λόγος ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πρός ὁ ἀπό ΘΚ ὁ αὐτός δείκνυμι ὁ ὁ ΒΑ πρός ΣΤ΄ καί ὁ ὁ ΚΘ πρός △ , καί ὁ ὁ ΒΑ ἄρα πρός ΣΤ΄ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΚΘ πρός △ · ὥστε ἐναλλάξ εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ΘΚ , ὁ ΣΤ΄ πρός △ .