ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 1
Εἰς τὰ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδους οὐδένα τῶν πρὸ ἡμῶν ἀξίαν εὑρὼν σύνταξιν καταζεζλημένον καὶ κατανοήσας μὴ διʼ εὐμάρειαν τῶν θεωρημάτων τοῦτο παροραθῆναι · ἐπιστάσεως γὰρ ἀκριζοῦς , ὡς ἴστε , καὶ εὐεπιζόλου δεῖται φαντασίας · ὠρέχθην κατʼ ἐμὴν δύναμιν σαφῶς ἐκθέσθαι τὰ ἐν αὐτοῖς δυσθεώρητα προαχθεὶς μᾶλλον εἰς τοῦτο τῷ μηδένα πω καθεῖναι εἰς ταύτην τὴν ὑπόθεσιν ἢ διὰ τὴν δυσκολίαν ὀκνήσας καὶ ἅμα τὸ Σωκρατικὸν λογισάμενος , ὡς τοῦ θεοῦ συλλαμζάνοντος πάνυ εἰκὸς καὶ ἐπὶ τέλος ἡμᾶς τῆς σπουδῆς ἐλθεῖν · ἐκ τρίτων δὲ διανοηθεὶς ὡς , εἴ τι καὶ παρὰ μέλος διὰ νεότητα φθέγξομαι , τοῦτο ὑπὸ τῆς σῆς περί τε τὴν ἄλλην φιλοσοφίαν ἐπιστημονικῆς θεωρίας καὶ διαφερόντως περὶ τὰ μαθήματα ἐπανορθώσεως τεύξεται , ἀνέθηκά σοι , κράτιστε φιλοσόφων Ἀμμώνιε . Πρέποι δ᾿ ἄν σοι τῇ ἐμῇ σπουδῇ συνάρασθαι , καὶ εἰ μὲν ἀνεμιαῖον δόξῃ τὸ γράμμα , αὐτόθεν μηδὲ εἰς ἄλλον ἐλθεῖν συγχωρήσῃς , εἰ δὲ τοῦ σκοποῦ μὴ πάντη διαμαρτάνον , δήλωσον ἣν ἔχεις περὶ αὐτοῦ γνώμην , ὡς εἴ γε τῇ ὑμετέρᾳ κρίσει βεζαιωθῇ , πειράσομαι καὶ ἄλλο τυχὸν τῶν Ἀρχιμηδείων συντάξεων ἑρμηνεῦσαι .
Lemmas: εἰς ὁ περί σφαῖρα καί κύλινδρος Ἀρχιμήδης οὐδείς ὁ πρό ἐγώ ἄξιος εὑρίσκω σύνταξις καταζεζλημένον καί κατανοέω μή διά εὐμάρεια ὁ θεώρημα οὗτος παρορέω · ἐπίστασις γάρ ἀκριζοῦς , ὡς οἶδα , καί εὐεπιζόλου δήω φαντασία · ὀρέγω κατά ἐμός δύναμις σαφῶς ἐκτίθημι ὁ ἐν αὐτός δυσθεώρητος προάγω μᾶλλον εἰς οὗτος ὁ μηδείς πω καθίημι εἰς οὗτος ὁ ὑπόθεσις ἢ διά ὁ δυσκολία ὀκνέω καί ἅμα ὁ Σωκρατικός λογίζομαι , ὡς ὁ θεός συλλαμβάνω πάνυ εἰκός καί ἐπί τέλος ἐγώ ὁ σπουδή ἔρχομαι · ἐκ τρίτος δέ διανοέομαι ὡς , εἰμί τίς καί παρά μέλος διά νεότης φθέγγομαι , οὗτος ὑπό ὁ σός περί τε ὁ ἄλλος φιλοσοφία ἐπιστημονικός θεωρία καί διαφερόντως περί ὁ μάθημα ἐπανόρθωσις τυγχάνω , ἀνατίθημι σύ , ἀγαθός φιλόσοφος Ἀμμώνιος . πρέπω δέ ἄν σύ ὁ ἐμέω σπουδή συναίρω , καί εἰμί μέν ἀνεμιαῖος δόξα ὁ γράμμα , αὐτόθεν μηδέ εἰς ἄλλος ἔρχομαι συγχωρέω , εἰμί δέ ὁ σκοπός μή πάντῃ διαμαρτάνω , δηλόω ὅς ἔχω περί αὐτός γνώμη , ὡς εἰμί γε ὁ ὑμέτερος κρίσις βεζαιωθεω , πειράζω καί ἄλλος τυγχάνω ὁ αρχιμήδειος σύνταξις ἑρμηνεύω .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 5
Διὰ δὴ τοῦτο ἔλασσόν ἐστι τὸ περιγραφόμενον τοῦ συναμφοτέρου | Ἐπεὶ γὰρ τὸ περιγραφόμενον πρὸς τὸ ἐγγραφόμενον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸν κύκλον , πολλῷ ἄρα τὸ περιγραφόμενον πρὸς τὸν κύκλον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸν κύκλον ὥστε τὸ περιγραφόμενον ἔλασσόν ἐστι τοῦ συναμφοτέρου . Καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ κύκλου λοιπὰ τὰ περιλείμματα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ Β χωρίου .
Lemmas: Ζεύς δή οὗτος ἐλαχύς εἰμί ὁ περιγράφω ὁ συναμφότεροι | ἐπεί γάρ ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ συναμφότεροι πρός ὁ κύκλος , πολύς ἄρα ὁ περιγράφω πρός ὁ κύκλος μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ συναμφότεροι πρός ὁ κύκλος ὥστε ὁ περιγράφω ἐλαχύς εἰμί ὁ συναμφότεροι . καί κοινός ἀφαιρέω ὁ κύκλος λοιπάς ὁ περίλειμμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Β χωρίον .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 6
Αἱ ἄρα ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ Α , Β , Γ ἐπιζευγνύμεναι κἀθετοί εἰσι ἐπʼ αὐτάς Νενοήσθω γὰρ χωρὶς ὁ κῶνος , καὶ ἔστω κορυφὴ μὲν αὐτοῦ τὸ Η , κέντρον δὲ τῆς βάσεως αὐτοῦ τὸ Θ , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ , ἀπὸ δὲ τοῦ Η ἡ ΗΑ . Λὲγω ὅτι ἡ ΗΑ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν △E . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΗΘ κάθετός ἐστιν πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα ὥστε καὶ τὸ ΗΘΑ τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὴν βάσιν . Καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΘΑ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἡ △Ε ἡ ἄρα △Ε τῷ ΗΘΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΗΑ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ ἐπὶ τὰ Γ , Β ἐπιζευγνύμεναι ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετοι οὖσαι ἐπὶ τὰς △Ζ , ΕΖ . Ἐπιστῆσαι δὲ χρὴ ὅτι ἐπὶ μὲν τοῦ πρὸ τούτου καλῶς προσέκειτο τὸ δεῖν πάντως τὴν ἐγγραφομένην πυραμίδα ἰσόπλευρον ἔχειν τὴν βάσιν οὐκ ἄλλως γὰρ αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰς τῆς βάσεως πλευρὰς ἴσαι ἡδύναντο εἶναι · ἐπὶ δὲ τοῦ προκειμένου οὐ προσέθηκεν τὸ εἶναι ἰσόπλευρον τὴν βάσιν διὰ τὸ δύνασθαι , κἂν ὁποία τις ᾖ , τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖν .
Lemmas: ὁ ἄρα ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ Α , Β , Γ ἐπιζεύγνυμι κάθετος εἰμί ἐπί αὐτός νοέω γάρ Χωρὶς ὁ κῶνος , καί ἵστημι κορυφή μέν αὐτός ὁ ὁ , κέντρον δέ ὁ βάσις αὐτός ὁ Θ , καί ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Α ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΑ , ἀπό δέ ὁ ὁ ὁ ΗΑ . λέγω ὅτι ὁ ΗΑ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ △E . ἐπεί γάρ ὁ ΗΘ κάθετος εἰμί πρός ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος , καί πᾶς ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος ὥστε καί ὁ ΗΘΑ τρίγωνος ὀρθός εἰμί πρός ὁ βάσις . καί ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ ΘΑ πρός ὀρθός ἄγω ἐν εἷς ὁ ἐπίπεδος ὁ △Ε ὁ ἄρα △Ε ὁ ΗΘΑ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί ὥστε καί πρός ὁ ΗΑ . ὅμοιος δέ δείκνυμι καί ὁ ἐπί ὁ Γ , Β ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ κορυφή κάθετος εἰμί ἐπί ὁ △Ζ , ΕΖ . ἐφίστημι δέ χρή ὅτι ἐπί μέν ὁ πρό οὗτος καλῶς πρόσκειμαι ὁ δήω πάντως ὁ ἐγγράφω πυραμίς ἰσόπλευρος ἔχω ὁ βάσις οὐ ἄλλως γάρ ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ ὁ βάσις πλευρά Ἴσαι ἡδύνω εἰμί · ἐπί δέ ὁ πρόκειμαι οὖον προστίθημι ὁ εἰμί ἰσόπλευρος ὁ βάσις διά ὁ δύναμαι , κἀν ὁποῖος τις εἰμί , ὁ αὐτός ἀκολουθέω .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 7
Μείζονα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΒ △ , Β △Γ τρίγωνα τοῦ Α △Γ τργώνου Ἐπεὶ γὰρ στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ △ , αἱ ὑπὸ Α △Β , Β △Γ μείζους εἰσὶν τῆς ὑπὸ Α △Γ , καί , ἐὰν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἐπιζεύξωμεν ὡς τὴν △Ε κάθετον γινομένην ἐπὶ τὴν ΑΓ , ἔσται ἡ ὑπὸ Α △Β μείζων τῆς ὑπὸ Α △Ε . Συνεστάτω οὖν τῇ ὑπὸ Α △Β ἴση ἡ ὑπὸ Α △Ζ , καὶ τεθείσης τῆς △Ζ ἴσης τῇ △Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ . Ἐπεὶ οὖν δύο δυσὶν ἴσαι , ἀλλὰ καὶ γωνία γωνίᾳ , καὶ τὸ ΑΒ △ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ Α △Ζ τριγώνῳ μείζονι ὄντι τοῦ Α △Ε καὶ τὸ ΑΒ △ ἄρα τρίγωνον τοῦ Α △Ε μεῖζόν ἐστιν . Ὁμοίως δὲ καὶ τὸ △ΒΓ τοῦ △ΕΓ δύο ἄρα τὰ Α △Β , △ΒΓ τοῦ Α △Γ μείζονά ἐστιν .
Lemmas: μείζων ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ △ , Β △Γ τρίγωνος ὁ Α △Γ τργώνου ἐπεί γάρ στερεός γωνία εἰμί ὁ πρός ὁ △ , ὁ ὑπό Α △Β , Β △Γ μείζων εἰμί ὁ ὑπό Α △Γ , καί , ἐάν ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ διχοτομία ὁ βάσις ἐπιζεύγνυμι ὡς ὁ △Ε κάθετος γίγνομαι ἐπί ὁ ΑΓ , εἰμί ὁ ὑπό Α △Β μείζων ὁ ὑπό Α △Ε . συνίστημι οὖν ὁ ὑπό Α △Β ἴσος ὁ ὑπό Α △Ζ , καί τίθημι ὁ △Ζ ἴσος ὁ △Γ ἐπιζεύγνυμι ὁ αζʹ . ἐπεί οὖν δύο δύο Ἴσαι , ἀλλά καί γωνία γωνία , καί ὁ ΑΒ △ τρίγωνος ἴσος εἰμί ὁ Α △Ζ τρίγωνος μείζων εἰμί ὁ Α △Ε καί ὁ ΑΒ △ ἄρα τρίγωνος ὁ Α △Ε μέγας εἰμί . ὅμοιος δέ καί ὁ △ΒΓ ὁ ΓΕ δύο ἄρα ὁ Α △Β , △ΒΓ ὁ Α △Γ μέγας εἰμί .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 11
Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς Α △ καὶ συναμφοτέρου τῆς △Ζ , ΑΗ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν △Ζ τῇ ΑΗ | Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ △Ζ τῇ ΑΗ , ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ , ἡ Β△ πρὸς △Ζ · καὶ διὰ τοῦτο τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν ΒΑ , △Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων τῶν Β△ , ΑΗ . Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , △Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β△ , △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α△ , △Ζ διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ β΄ βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως · καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠ , ΑΗ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Β△ , △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ Α△ , △Ζ . Κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ △Α , ΑΗ · τὸ ἄρα ὑπὸ Β△ , ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ △Α , ΑΗ , ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑ , ΑΗ , ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Β∠ , ∠Ζ καὶ τῷ ὑπὸ Α△ , △Ζ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Α△ , ΑΗ .
Lemmas: καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΗ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Β △Ζ καί ὁ ὑπό ὁ Α △ καί συναμφότεροι ὁ △Ζ , ΑΗ διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ △Ζ ὁ ΑΗ | ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ △Ζ ὁ ΑΗ , εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ΑΗ , ὁ Β△ πρός △Ζ · καί διά οὗτος ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ὁ ΒΑ , △Ζ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος ὁ Β△ , ΑΗ . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , △Ζ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Β△ , △Ζ καί ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Ζ διά ὁ πρῶτος θεώρημα ὁ Β΄ βιβλίον ὁ στοιχείωσις · καί ὁ ὑπό ὁ Β∠ , ΑΗ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό Β△ , △Ζ καί ὁ ὑπό Α△ , △Ζ . Κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό △Α , ΑΗ · ὁ ἄρα ὑπό Β△ , ΑΗ μετά ὁ ὑπό △Α , ΑΗ , ὅσπερ εἰμί ὁ ὑπό ΒΑ , ΑΗ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Β∠ , ∠Ζ καί ὁ ὑπό Α△ , △Ζ καί ἔτι ὁ ὑπό Α△ , ΑΗ .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 12
Tὸ δὲ πλῇθος τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου μετρείσθω ὑπὸ τετράδος | Ὑπὸ τετράδος βούλεται μετρεῖσθαι τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου διὰ τὸ τοῦ κύκλου κινουμένου περὶ τὴν ΑΓ διάμετρον πάσας τὰς πλευρὰς κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν χρησίμου ἐσομένου αὐτῷ ἐν τοῖς ἑξῆς τοῦ τοιούτου . Μὴ γὰρ ὑπὸ τετράδος μετρουμένων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου , κἂν ἀρτιόπλευρον ᾖ , οὐ πάσας δυνατὸν κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν , ὡς κατανοῆσαι ἔνεστιν ἐπὶ τῶν τοῦ ἑξαφώνου πλευρῶν · δύο γὰρ τὰς ἀπεναντίον αὐτοῦ παραλλήλους πλευρὰς κατὰ κυλινδρικῆς φέρεσθαι ἐπιφανείας συμβαίνει . Ὅπερ , ὡς εἴρηται , οὐ χρήσιμον αὐτῷ πρὸς τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ο δέ πλῆθος ὁ πλευρά ὁ πολύγωνος μετρέω ὑπό τετράς | ὑπό τετράς βούλομαι μετρέω ὁ πλευρά ὁ πολύγωνος διά ὁ ὁ κύκλος κινέω περί ὁ ΑΓ διάμετρος πᾶς ὁ πλευρά κατά κωνικός φέρω ἐπιφάνεια χρήσιμος εἰμί αὐτός ἐν ὁ ἑξῆς ὁ τοιοῦτος . μή γάρ ὑπό τετράς μετρέω ὁ πλευρά ὁ πολύγωνος , κἀν ἀρτιόπλευρος εἰμί , οὖον πᾶς δυνατός κατά κωνικός φέρω ἐπιφάνεια , ὡς κατανοέω ἔνειμι ἐπί ὁ ὁ εξάφωνος πλευρά · δύο γάρ ὁ ἀπεναντίον αὐτός παράλληλος πλευρά κατά κυλινδρικός φέρω ἐπιφάνεια συμβαίνω . ὅπερ , ὡς εἴρω , οὖον χρήσιμος αὐτός πρός ὁ ἑξῆς .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 13
Ἡ δὲ ΚΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ σημεῖον , καθ᾿ ὃ ἐφάπτεται ἡ ΚΖ τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου , νοούμενον τὸ Μ , ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ΧΚ , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΧΚ τῇ ΧΖ , εἰσὶν δὲ καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Μ , ἴση γίνεται καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΜΖ . Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΧ τῇ ΧΘ ἴση · παράλληλος ἄρα ἡ ΧΜ τῇ ΚΘ , καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΧ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΧΜ . Διπλῆ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΧΖ · διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς ΧΜ ἐκ τοῦ κέντρου οὔσης τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου .
Lemmas: ὁ δέ ΚΘ ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ΑΒΓ△ κύκλος | ἐάν γάρ ἀπό ὁ Χ ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ σημεῖον , κατά ὅς ἐφάπτω ὁ ΚΖ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , νοέω ὁ Μ , ὁμοίως δέ καί ὁ ΧΚ , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΧΚ ὁ ΧΖ , εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ πρός ὁ Μ , ἴσος γίγνομαι καί ὁ ΚΜ ὁ ΜΖ . ἀλλά μήv καί ὁ ΖΧ ὁ ΧΘ ἴσος · παράλληλος ἄρα ὁ ΧΜ ὁ ΚΘ , καί διά οὗτος εἰμί ὡς ὁ ΘΖ πρός ΖΧ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός ΧΜ . διπλόος δέ ὁ ΘΖ ὁ ΧΖ · διπλόος ἄρα καί ὁ ΚΘ ὁ ΧΜ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ△ κύκλος .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 15
Αἱ δὲ Ι , Θ εἰλημμέναι , ὥστε τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν τὴν Κ τῆς | καὶ τὴν | τῆς Θ καὶ τὴν Θ τῆς Η | Τὸ προκείμενόν ἐστι δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν ἀριθμητικῇ ἀναλογίᾳ , ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν . Ποιητέον δὲ τοῦτο οὕτως · ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΓΚ ἄνισοι , καὶ ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσης τῇ ΓΚ τῆς Β△ ἡ λοιπὴ ἡ Α△ τετμήσθω τρίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ , καὶ τῇ μὲν ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Η , τῇ δὲ ΖΒ ἴση ἡ Θ . Ἔσονται δὴ αἱ Θ , Η ποιοῦσαι τὸ προκείμενον . Λὲγω δὴ ὅτι καὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑB πρὸς τὴν Η . Γεγονέτω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η , οὕτως ἡ Η πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Λ . Καὶ ἐπεὶ ᾧ μέρει ἑαυτῆς ἡ ΑΒ ὑπερέχει τῆς Η , τούτῳ καὶ ἡ Η ἑαυτῆς ὑπερέχει τῆς Λ , τὸ δὲ αὐτὸ μέρος τῆς ΑΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ μέρους τῆς Η , μείζονι ἄρα ὑπερέχει ἡ ΑΒ τῆς Η ἤπερ ἡ Η τῆς Λ . Τῷ δὲ αὐτῷ ὑπερέχει ἡ ΑΒ τῆς Η καὶ ἡ Η τῆς Θ · μείζονι ἄρα ὑπερέχει ἡ Η τῆς Θ ἤπερ ἡ Η τῆς Λ · ὥστε μείζων ἡ Λ τῆς Θ . Ἐὰν δὴ πάλιν ποιήσωμεν ὡς τὴν Η πρὸς τὴν Λ , οὕτως τὴν Λ πρὸς Μ , πολλῷ μείζων ἔσται τῆς ΓΚ . Καὶ ἐπεὶ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , Η , Λ , Μ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Μ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς Η · ὥστε ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν Η .
Lemmas: ὁ δέ Ι , Θ λαμβάνω , ὥστε ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ Κ ὁ | καί ὁ | ὁ Θ καί ὁ Θ ὁ ὁ | ὁ πρόκειμαι εἰμί δύο δίδωμι εὐθύς δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω ἐν ἀριθμητικός ἀναλογία , ὅς αὐτός εἰμί ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω . ποιητέος δέ οὗτος οὕτως · εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΚ ἄνισος , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΓΚ ὁ Β△ ὁ λοιπός ὁ Α△ τέμνω θρίξ κατά ὁ Ε , Ζ , καί ὁ μέν ΕΒ ἴσος κεῖμαι ὁ ὁ , ὁ δέ ΖΒ ἴσος ὁ Θ . εἰμί δή ὁ Θ , ὁ ποιέω ὁ πρόκειμαι . λέγω δή ὅτι καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΚ μείζων ἢ τριπλασίων λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ΑB πρός ὁ ὁ . γίγνομαι γάρ ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ὁ , οὕτως ὁ ὁ πρός ἄλλος τις ὁ Λ . καί ἐπεί ὅς μέρος ἑαυτοῦ ὁ ΑΒ ὑπερέχω ὁ ὁ , οὗτος καί ὁ ὁ ἑαυτοῦ ὑπερέχω ὁ Λ , ὁ δέ αὐτός μέρος ὁ ΑΒ μέγας εἰμί ὁ μέρος ὁ ὁ , μείζων ἄρα ὑπερέχω ὁ ΑΒ ὁ ὁ ἤ2 ὁ ὁ ὁ Λ . ὁ δέ αὐτός ὑπερέχω ὁ ΑΒ ὁ ὁ καί ὁ ὁ ὁ Θ · μείζων ἄρα ὑπερέχω ὁ ὁ ὁ Θ ἤ2 ὁ ὁ ὁ Λ · ὥστε μείζων ὁ Λ ὁ Θ . ἐάν δή πάλιν ποιέω ὡς ὁ ὁ πρός ὁ Λ , οὕτως ὁ Λ πρός Μ , πολύς μείζων εἰμί ὁ ΓΚ . καί ἐπεί τέσσαρες εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ , Λ , Μ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ ΑΒ πρός ὁ Μ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΑΒ πρός ὁ · ὥστε ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΚ μείζων ἢ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ2 πρός ὁ ὁ .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 16
Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΕΘ καὶ τῶν ΕΖ , Γ△ , ΚΑ δέδεικται ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΕΛ , ΚΘ | Ἐν γὰρ τῷ δευτέρῳ καὶ εἰκοστῷ θεωρήματι δέδεικται ὅτι αἱ ΕΖ , Γ△ , ΚΑ πρὸς τὴν ΘΚ τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον , ὃν ἡ ΛΕ πρὸς ΕΘ · ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων . Τὸ δὲ ὑπὸ ΕΛ , ΚΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΘΑ | Καὶ γὰρ τοῦ ὑπὸ ΛΘ , ΘΚ ἴσου ὄντος τοῦ ἀπὸ ΘA , ὥς ἐστι δῆλον ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΛ καὶ διὰ τοῦτο ὁμοίου γινομένου τοῦ ΘΑΚ τριγώνου τῷ ΘΑΛ · ἔσται γὰρ ὡς ἡ ΛΘ πρὸς ΘΑ , ἡ ΑΘ πρὸς ΟΚ , καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης .
Lemmas: ἀλλά ὁ ὑπό ΕΘ καί ὁ ΕΖ , Γ△ , ΚΑ δείκνυμι ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΕΛ , ΚΘ | ἐν γάρ ὁ δύο καί εἰκοστός θεώρημα δείκνυμι ὅτι ὁ ΕΖ , Γ△ , ΚΑ πρός ὁ ΘΚ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΛΕ πρός ΕΘ · ὥστε ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος . ὁ δέ ὑπό ΕΛ , ΚΘ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ΘΑ | καί γάρ ὁ ὑπό ΛΘ , ΘΚ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΘA , ὅς εἰμί δῆλος ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΛ καί διά οὗτος ὁμοιόω γίγνομαι ὁ ΘΑΚ τρίγωνος ὁ ΘΑΛ · εἰμί γάρ ὡς ὁ ΛΘ πρός ΘΑ , ὁ ΑΘ πρός ΟΚ , καί ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος ὁ ἀπό ὁ μέσος .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 17
Ἕξει δὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ ΑΒΓ κύκλῳ | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ △ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ Θ , Ε , Λ , ἴσαι ἔσονται διὰ τὸ καὶ τὰς ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὰς ἀφὰς ἐπιζευγνυμένας εὐθείας καθέτους εἶναι ἐπὶ τὰς ἐφαπτομένας , καὶ αὐτὰς δὲ τὰς ἐφαπτομένας δίχα τέμνεσθαι πρὸς τῇ ἁφῇ . Ὅταν δὲ τοῦτο ᾖ , μείζων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας | Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΜΖ κατὰ κωνικῆς ἐπιφανείας φέρεται , κατὰ κολούρου κώνου ἐπιφανείας οἰσθήσεται , ᾗ ἴσος ἐστὶ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς τε ΖΜ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρου τῆς ΖΗ καὶ τῆς ΜΝ . Ὁμοίως δὴ καὶ τῇ ὑπὸ τῆς ΜΑ γενομένῃ κολούρου κώνου ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς ΜΑ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρου τῆς ΑΒ καὶ ΜΝ . Καί ἐστιν ἡ μὲν ΖΜ μείζων τῆς ΜΑ , ἡ δὲ ΖΗ τῆς ΑΒ · μείζων ἄρα καὶ ἡ μέση τῆς μέσης · ὥστε καὶ ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας . Ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΜ , ΝΗ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΜΑ , ΝΒ ἐπιφανείας .
Lemmas: ἕξις δή ὁ αὐτός κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος | ἐάν γάρ ἀπό ὁ △ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐπί ὁ Θ , Ε , Λ , Ἴσαι εἰμί διά ὁ καί ὁ ἀπό ὁ △ ἐπί ὁ ἀφείνω ἐπιζεύγνυμι εὐθύς κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ἐφάπτω , καί αὐτός δέ ὁ ἐφάπτω δίχα τέμνω πρός ὁ ἁφή . ὅταν δέ οὗτος εἰμί , μείζων γίγνομαι ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐπιφάνεια | ἐπεί γάρ ὁ ΜΖ κατά κωνικός ἐπιφάνεια φέρω , κατά κόλουρος κῶνος ἐπιφάνεια φέρω , ὅς ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος λόγος ἔχω ὁ τε ΖΜ καί ὁ ἥμισυς συναμφότεροι ὁ ΖΗ καί ὁ ΜΝ . ὅμοιος δή καί ὁ ὑπό ὁ μή γίγνομαι κόλουρος κῶνος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος λόγος ἔχω ὁ μή καί ὁ ἥμισυς συναμφότεροι ὁ ΑΒ καί ΜΝ . καί εἰμί ὁ μέν ΖΜ μείζων ὁ μή , ὁ δέ ΖΗ ὁ ΑΒ · μείζων ἄρα καί ὁ μέσος ὁ μέσος · ὥστε καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐπιφάνεια . ὁ ἄρα ὑπό ΖΜ , ΝΗ μείζων εἰμί ὁ ὑπό μή , ΝΒ ἐπιφάνεια .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 18
Ἡ ἄρα τοῦ σχήματος τοῦ ΚΖΛ ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου | Καὶ τὰ ἑξῆς . Ἀσαφέστερον δοκεῖ συνῆχθαι τὸ εἰρημένον , λέγοις δ᾿ ἂν σαφῶς οὕτως · ἐπειδὴ ὁ Ν κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν δύναται τὸ ὑπὸ ΜΘ , ΖΗ , τὸ δὲ ὑπὸ ΜΘ , ΖΗ μεῖζον τοῦ ὑπὸ Γ△ , △Ξ · ἡ μὲν γὰρ ΜΘ ἴση δέδεικται τῇ Γ△ , ἡ δὲ ΖΗ μείζων τῆς ∠Ξ ὁ Ν ἄρα κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Γ△ , △Ξ . Τὸ δὲ ὑπὸ Γ△ , △Ξ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΑ · ὁ ἄρα Ν κύκλος , τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου , μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ △Α .
Lemmas: ὁ ἄρα ὁ σχῆμα ὁ ΚΖΛ ἐπιφάνεια μείζων εἰμί ὁ κύκλος | καί ὁ ἑξῆς . ἀσαφής δοκέω συνάγω ὁ εἴρω , λέγω δέ εἄν σαφῶς οὕτως · ἐπεί ὁ Ν κύκλος ἴσος εἰμί τῆ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν δύναμαι ὁ ὑπό ΜΘ , ΖΗ , ὁ δέ ὑπό ΜΘ , ΖΗ μείζων ὁ ὑπό Γ△ , △Ξ · ὁ μέν γάρ ΜΘ ἴσος δείκνυμι ὁ Γ△ , ὁ δέ ΖΗ μείζων ὁ ∠Ξ ὁ Ν ἄρα κύκλος μείζων εἰμί ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Γ△ , △Ξ . ὁ δέ ὑπό Γ△ , △Ξ ἴσος ὁ ἀπό ΔΑ · ὁ ἄρα Ν κύκλος , τουτέστιν ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω , μείζων εἰμί ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ △Α .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 20
Ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων διπλάσιός ἐστι τοῦ ὃν ἔχει ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου | Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρὸ τούτου ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ἴσου τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ἴσου τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου , οὕτως ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου . Οἱ δὲ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶν τῶν ἐκ τῶν κέντρων καὶ ἡ ἐπιφάνεια ἄρα πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν .
Lemmas: ἑκάτερος γάρ ὁ λόγος διπλάσιος εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ ὁ περιγράφω πολύγωνος πλευρόν πρός ὁ ὁ ἐγγράφω | δείκνυμι γάρ ἐν ὁ πρό οὗτος ὅτι εἰμί ὡς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω , οὕτως ὁ πλευρόν ὁ περιγράφω πολύγωνος πρός ὁ πλευρά ὁ ἐγγράφω . ὁ δέ κύκλος πρός ἀλλήλων ἐν διπλασίων λόγος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον καί ὁ ἐπιφάνεια ἄρα πρός ὁ ἐπιφάνεια διπλασίων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ πλευρόν πρός ὁ πλευρά .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 21
Τὸ ἄρα περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ στερεὸς τομεὺς πρὸς τὸν Θ κῶνον | Εἰ γὰρ τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ △ πρὸς Ζ , ἡ δὲ πρὸς Ε μείζονα ἢ τριπλασίονα , τὸ ἄρα περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ △ πρὸς Ε . Ἡ δὲ △ πρὸς Ε ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον · καὶ τὸ περιγεγραμμένον ἄρα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον . .
Lemmas: ὁ ἄρα περιγράφω στερεός πρός ὁ ἐγγράφω μικρός λόγος ἔχω ἢ ὁ στερεός τομεύς πρός ὁ Θ κῶνος | εἰμί γάρ ὁ περιγράφω στερεός πρός ὁ ἐγγράφω μικρός ἢ τριπλασίων λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ △ πρός Ζ , ὁ δέ πρός Ε μείζων ἢ τριπλασίων , ὁ ἄρα περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ △ πρός Ε . ὁ δέ △ πρός Ε ἤ2 ὁ τομεύς πρός ὁ κῶνος · καί ὁ περιγράφω ἄρα πρός ὁ ἐγγράφω μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ τομεύς πρός ὁ κῶνος . .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 23
Τούτου ληφθέντος ἐπεὶ διʼ ἀναλύσεως αὐτῷ προέβη τὰ τοῦ προβλήματος , ληξάσης τῆς ἀναλύσεως εἰς τὸ δεῖν δύο δοθεισῶν δύο μέσας ἀνάλογον προσευρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ φησὶν ἐν τῇ συνθέσει · εὑρήσθωσαν . Τὴν δὲ εὕρεσιν τούτων ὑπʼ αὐτοῦ μὲν γεγραμμένην οὐδὲ ὅλως εὑρίσκομεν , πολλῶν δὲ κλεινῶν ἀνδρῶν γραφαῖς ἐντετυχήκαμεν τὸ πρόβλημα τοῦτο ἐπαγγελλομέναις , ὧν τὴν Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου παρῃτησάμεθα γραφήν , ἐπειδή φησιν μὲν ἐν προοιμίοις διὰ καμπύλων γραμμῶν αὐτὴν ηὑρηκέναι , ἐν δὲ τῇ ἀποδείξει πρὸς τῷ μὴ κεχρῆσθαι καμπύλαις γραμμαῖς ἀλλὰ καὶ διῃρημένην ἀναλογίαν εὑρὼν ὡς συνεχεῖ χρῆται · ὅπερ ἦν ἄτοπον ὑπονοῆσαι , τί λέγω περὶ Εὐδόξου , ἀλλὰ περὶ τῶν καὶ μετρίως περὶ γεωμετρίαν ἀνεστραμμένων . Ἵνα δὴ ἡ τῶν εἰς ἡμᾶς ἐληλυθότων ἀνδρῶν ἔννοια ἐμφανὴς γένηται , ὁ ἑκάστου τῆς εὑρέσεως τρόπος καὶ ἐνταῦθα γραφήσεται .
Lemmas: οὗτος λαμβάνω ἐπεί διά ἀνάλυσις αὐτός προβαίνω ὁ ὁ πρόβλημα , λήγω ὁ ἀνάλυσις εἰς ὁ δήω δύο δίδωμι δύο μέσος ἀνάλογος προσευρίσκω ἐν συνεχής ἀναλογία φημί ἐν ὁ σύνθεσις · εὑρίσκω . ὁ δέ εὕρεσις οὗτος ὑπό αὐτός μέν γράφω οὐδέ ὅλως εὑρίσκω , πολύς δέ κλεινός ἀνήρ γραφεύς ἐντυγχάνω ὁ πρόβλημα οὗτος ἐπαγγέλλω , ὅς ὁ Εὔδοξος ὁ κνίδιος παραιτέομαι γραφεύς , ἐπειδή φημί μέν ἐν προοίμιον διά καμπύλος γραμμή αὐτός εὑρίσκω , ἐν δέ ὁ ἀποδείκνυμι πρός ὁ μή χράομαι καμπύλος γραμμή ἀλλά καί διαιρέω ἀναλογία εὑρίσκω ὡς συνεχής χράω · ὅσπερ εἰμί ἄτοπος ὑπονοέω , τίς λέγω περί Εὔδοξος , ἀλλά περί ὁ καί μέτριος περί γεωμετρία ἀναστρέφω . ἵνα δή ὁ ὁ εἰς ἐγώ ἔρχομαι ἀνήρ ἔννοια ἐμφανής γίγνομαι , ὁ ἕκαστος ὁ εὕρεσις τρόπος καί ἐνταῦθα γράφω .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 24
Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ . Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Ἐκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὰ △ , Ε , καὶ κατεσκευάσθω ὀρθὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΗΘ , καὶ ἐν ἑνὶ σκέλει , οἷον τῷ ΖΗ , κινείσθω κανὼν ὁ ΚΛ ἐν σωλῆνί τινι ὄντι ἐν τῷ ΖΗ οὕτως , ὥστε παράλληλον αὐτὸν διαμένειν τῷ ΗΘ . Ἔσται δὲ τοῦτο , ἐὰν καὶ ἕτερον κανόνιον νοηθῇ συμφυὲς τῷ ΘΗ , παράλληλον δὲ τῷ ΖΗ , ὡς τὸ ΘΜ · σωληνισθεισῶν γὰρ τῶν ἄνωθεν ἐπιφανειῶν τῶν ΖΗ , ΘΜ σωλῆσιν πελεκινοειδέσιν καὶ τύλων συμφυῶν γενομένων τῷ ΚΛ εἰς τοὺς εἰρημένους σωλῆνας ἔσται ἡ κίνησις τοῦ ΚΛ παράλληλος ἀεὶ τῷ ΗΘ . Τούτων οὖν κατεσκευασμένων κείσθω τὸ ἓν σκέλος τῆς γωνίας τυχὸν τὸ ΗΘ ψαῦον τοῦ Γ , καὶ μεταφερέσθω ἥ τε γωνία καὶ ὁ ΚΛ κανὼν ἐπὶ τοσοῦτον , ἄχρις ἂν τὸ μὲν Η σημεῖον ἐπὶ τῆς Β∠ εὐθείας ᾗ τοῦ ΗΘ σκέλους ψαύοντος τοῦ Γ , ὁ δὲ ΚΛ κανὼν κατὰ μὲν τὸ Κ ψαύῃ τῆς ΒΕ εὐθείας , κατὰ δὲ τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ Α , ὥστε εἶναι , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς καταγραφῆς , τὴν μὲν ὀρθὴν γωνίαν θέσιν ἔχουσαν ὡς τὴν ὑπὸ Γ△Ε , τὸν δὲ ΚΛ κανόνα θέσιν ἔχειν , οἵαν ἔχει ἡ ΕΑ · τούτων γὰρ γεναμένων ἔσται τὸ προκείμενον . Ὀρθῶν γὰρ οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς △ , Ε ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△ , ἡ ∠Β πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ .
Lemmas: δύο δίδωμι εὐθύς δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω ἐν συνεχής ἀναλογία . εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς ὁ ΑΒΓ πρός ὀρθός ἀλλήλων , ὅς δεῖ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω . ἐκβάλλω ἐπί εὐθύς ἐπί ὁ △ , Ε , καί κατασκευάζω ὀρθός γωνία ὁ ὑπό ΖΗΘ , καί ἐν εἷς σκέλος , οἷος ὁ ΖΗ , κινέω κανών ὁ ΚΛ ἐν σωλήν τις εἰμί ἐν ὁ ΖΗ οὕτως , ὥστε παράλληλος αὐτός διαμένω ὁ ΗΘ . εἰμί δέ οὗτος , ἐάν καί ἕτερος κανόνιον νοέω συμφυής ὁ τίθημι , παράλληλος δέ ὁ ΖΗ , ὡς ὁ ΘΜ · σωληνίζω γάρ ὁ ἄνωθεν ἐπιφάνεια ὁ ΖΗ , ΘΜ σωλήν πελεκινοειδής καί Τύλος συμφυής γίγνομαι ὁ ΚΛ εἰς ὁ εἴρω σωλήν εἰμί ὁ κίνησις ὁ ΚΛ παράλληλος ἀεί ὁ ΗΘ . οὗτος οὖν κατασκευάζω κεῖμαι ὁ εἷς σκέλος ὁ γωνία τυγχάνω ὁ ΗΘ ψαύω ὁ Γ , καί μεταφέρω ὅς τε γωνία καί ὁ ΚΛ κανών ἐπί τοσοῦτος , ἄχρι εἄν ὁ μέν ὁ σημεῖον ἐπί ὁ Β∠ εὐθύς ὅς ὁ ΗΘ σκέλος ψαύω ὁ Γ , ὁ δέ ΚΛ κανών κατά μέν ὁ Κ ψαύω ὁ ΒΕ εὐθύς , κατά δέ ὁ λοιπός μέρος ὁ Α , ὥστε εἰμί , ὡς ἔχω ἐπί ὁ καταγραφή , ὁ μέν ὀρθός γωνία θέσις ἔχω ὡς ὁ ὑπό ΓΕ , ὁ δέ ΚΛ κανών θέσις ἔχω , οἷος ἔχω ὁ ΕΑ · οὗτος γάρ γίγνομαι εἰμί ὁ πρόκειμαι . ὀρθός γάρ εἰμί ὁ πρός ὁ △ , Ε εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός Β△ , ὁ ∠Β πρός ΒΕ καί ὁ ΕΒ πρός ΒΑ .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 25
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ Β△ παραλληλόγραμμον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , Β△ . Ἐκβεβλήσθωσαν αἱ △Γ , △Α , καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β καὶ κινείσθω , ἕως ἀποτέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε , τουτέστι τὰς ΕΗ , ΕΖ . Καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων , ὡς εἴρηται , γινομένων τῶν ΕΗ , ΕΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ △ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΖ . Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ △ΗΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΗ . Καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ , ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΖ · καὶ τὸ ὑπὸ △ΖΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ △ΗΑ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ△ πρὸς △Η , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Ζ△ πρὸς △Η , οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ · ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ . Τῶν ἄρα ΑΒ , ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΗ , ΓΖ .
Lemmas: εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὅς δεῖ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω . κεῖμαι ὥστε ὀρθός γωνία περιέχω ὁ πρός ὁ Β , καί συμπληρόω ὁ Β△ παραλληλόγραμμος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , Β△ . ἐκβάλλω ὁ △Γ , △Α , καί νοέω κανόνιον ὡς ὁ ΖΒΗ κινέω περί τις Τύλος Μένων πρός ὁ Β καί κινέω , ἠώς ἀποτέμνω ἴσος ὁ ἀπό ὁ Ε , τουτέστι ὁ ΕΗ , ΕΖ . καί νοέω ἀποτέμνω καί θέσις ἔχω ὁ ΖΒΗ ἴσος , ὡς εἴρω , γίγνομαι ὁ ΕΗ , ΕΖ · ὁ ἄρα ὑπό △ΖΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος ὁ ἀπό ΕΖ . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι καί ὁ ὑπό ΑΗ μετά ὁ ἀπό ΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΗ . καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ΑΕ ὁ ΕΓ , ὁ δέ ΗΕ ὁ ΕΖ · καί ὁ ὑπό △ΖΓ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΗ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ζ△ πρός △Η , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΓΖ . ἀλλά ὡς ὁ Ζ△ πρός △Η , οὕτως ὁ ΖΓ πρός ΓΒ καί ὁ ΒΑ πρός ΑΗ · ὡς ἄρα ὁ ΒΑ πρός ΑΗ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΓΖ καί ὁ ΓΖ πρός ΓΒ . ὁ ἄρα ΑΒ , ΒΓ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΗ , ΓΖ .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 27
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν , αἱ ΒΑΓ ὀρθὴν περιέχουσαι γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β , διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ , κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΚΘΛ , καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΜΘΝ καὶ τεμνέτω τὴν ΚΘΛ κατὰ τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ , ΘΒ , ΘΓ · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΑ . Τετμήσθω δίχα ἡ ΘΑ τῷ Ξ , καὶ κέντρῳ τῷ Ξ γεγράφθω κύκλος τέμνων τὰς ΑΒ , ΑΓ ἐκβληθείσας κατὰ τὰ △ , Ε , ὥστε μέντοι τὰ △ , Ε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τῷ Θ ὅπερ ἂν γένοιτο κανονίου κινουμένου περὶ τὸ Θ τέμνοντος τὰς Α△ , ΑΕ καὶ παραγομένου ἐπὶ τοσοῦτον , ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὰ △ , Ε ἴσαι γένωνται . Τούτου γὰρ γενομένου ἔσται τὸ ζητούμενον · ἡ γὰρ αὐτὴ κατασκευή ἐστι τῇ τε ὑπὸ Ἥρωνος καὶ φίλωνος γεγραμμένῃ , καὶ δῆλον ὅτι ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτὴ ἁρμόσει .
Lemmas: εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς , ὅς δεῖ δύο μέσος ἀνάλογος εὑρίσκω , ὁ ΒΑΓ ὀρθός περιέχω γωνία ὁ πρός ὁ Α , καί κέντρον μέν ὁ Β , διάστημα δέ ὁ ΑΓ , κύκλος περιφέρεια γράφω ὁ ΚΘΛ , καί πάλιν κέντρον ὁ καί διάστημα ὁ ΑΒ κύκλος περιφέρεια γράφω ὁ ΜΘΝ καί τέμνω ὁ ΚΘΛ κατά ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΑ , ΘΒ , ΘΓ · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΘΑ . τέμνω δίχα ὁ ΘΑ ὁ Ξ , καί κέντρον ὁ Ξ γράφω κύκλος τέμνω ὁ ΑΒ , ΑΓ ἐκβάλλω κατά ὁ △ , Ε , ὥστε μέντοι ὁ △ , Ε ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ Θ ὅσπερ εἄν γίγνομαι κανονίας κινέω περί ὁ Θ τέμνω ὁ Α△ , ΑΕ καί παράγω ἐπί τοσοῦτος , ἄχρι εἄν ὁ ἀπό ὁ Ξ ἐπί ὁ △ , Ε Ἴσαι γίγνομαι . οὗτος γάρ γίγνομαι εἰμί ὁ ζητέω · ὁ γάρ αὐτός κατασκευή εἰμί ὁ τε ὑπό Ἥρων καί Φίλων γράφω , καί δῆλος ὅτι ὁ ἀπόδειξις ὁ αὐτός ἁρμόζω .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 32
Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΒ , ΒΓ , καὶ γεγονέτωσαν αὐτῶν μέσαι αἱ △Β , ΒΕ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς Β△ , οὕτως τὴν Β△ πρὸς ΒΕ καὶ τὴν ΒΕ πρὸς ΒΑ , καὶ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ △Ζ , ΕΖ . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△ , ἡ △Β πρὸς ΒΕ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ , τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ , ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β△ , τουτέστι τῆς ΕΖ . Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ , τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ . Πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ , ἡ ΒΕ πρὸς Β△ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ△ , τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Β△ , ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ , τουτέστι τῆς △Ζ · τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα τὴν Β△ . Ἧπται δὲ καὶ ἑτέρας δοθείσης τῆς περὶ τὴν ΒΕ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ . Καὶ κάθετοι αἱ Ζ△ , ΖΕ · δοθέντα ἄρα τὰ △ , Ε . Συντεθήσεται δὲ οὕτως . Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθας ἀλλήλαις αἱ ΑΒ , ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ᾿ ἄπειρον ἀπὸ τοῦ Β , καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ παραβολή , ὥστε τας καταγομένας ἐπὶ τὴν ΒΕ δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΒΓ . Πάλιν γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν △Β παραβολή , ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΑΒ · τεμοῦσιν δὴ ἀλλήλας αἱ παραβολαί . Τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ Ζ△ , ΖΕ . Ἐπεὶ οὖν ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ ΖΕ , τουτέστιν ἡ △Β , τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Β△ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△ , ἡ △Β πρὸς ΒΕ . Πάλιν , ἐπεὶ ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ Ζ△ , τουτέστιν ἡ ΕΒ , τὸ ἄρα ὑπὸ △ΒΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Β πρὸς ΒΕ , ἡ ΒΕ πρὸς ΒΑ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Β πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς Β△ · καὶ ὡς ὄρα ἡ ΓΒ πρὸς Β△ , ἡ Β△ πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ · ὅπερ ἔδει εὑρεῖν . .
Lemmas: εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΑΒ , ΒΓ , καί γεγονέω αὐτός μέσος ὁ △Β , ΒΕ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός Β△ , οὕτως ὁ Β△ πρός ΒΕ καί ὁ ΒΕ πρός ΒΑ , καί ἄγω πρός ὀρθός ὁ △Ζ , ΕΖ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός Β△ , ὁ △Β πρός ΒΕ , ὁ ἄρα ὑπό ΓΒΕ , τουτέστι ὁ ὑπό δίδωμι καί ὁ ΒΕ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β△ , τουτέστι ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό δίδωμι καί ὁ ΒΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΖ , ὁ Ζ ἄρα ἅπτω παραβολή ὁ περί ἄγω ὁ ΒΕ . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΕ , ὁ ΒΕ πρός Β△ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΒ△ , τουτέστι ὁ ὑπό δίδωμι καί ὁ Β△ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΒ , τουτέστι ὁ △Ζ · ὁ Ζ ἄρα ἅπτω παραβολή ὁ περί ἄγω ὁ Β△ . ἅπτω δέ καί ἕτερος δίδωμι ὁ περί ὁ ΒΕ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ . καί κάθετος ὁ Ζ△ , ΖΕ · δίδωμι ἄρα ὁ △ , Ε . συντίθημι δέ οὕτως . εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθύς πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΑΒ , ΒΓ καί ἐκβάλλω ἐπί ἤπειρος ἀπό ὁ Β , καί γράφω περί ἄγω ὁ ΒΕ παραβολή , ὥστε ὅς κατάγω ἐπί ὁ ΒΕ δύναμαι ὁ παρά ὁ ΒΓ . πάλιν γράφω περί ἄγω ὁ △Β παραβολή , ὥστε ὁ κατάγω δύναμαι ὁ παρά ὁ ΑΒ · τέμνω δή ἀλλήλων ὁ παραβολή . τέμνω κατά ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ Ζ κάθετος ἄγω ὁ Ζ△ , ΖΕ . ἐπεί οὖν ἐν παραβολή κατάγνυμι ὁ ΖΕ , τουτέστιν ὁ △Β , ὁ ἄρα ὑπό ΓΒΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Β△ εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός Β△ , ὁ △Β πρός ΒΕ . πάλιν , ἐπεί ἐν παραβολή κατάγνυμι ὁ Ζ△ , τουτέστιν ὁ ΕΒ , ὁ ἄρα ὑπό △ΒΑ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΒ εἰμί ἄρα ὡς ὁ △Β πρός ΒΕ , ὁ ΒΕ πρός ΒΑ . ἀλλά ὡς ὁ △Β πρός ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΒ πρός Β△ · καί ὡς σύργαστρος ὁ ΓΒ πρός Β△ , ὁ Β△ πρός ΒΕ καί ὁ ΕΒ πρός ΒΑ · ὅσπερ ἐσθίω εὑρίσκω . .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 36
Ὡς δὲ οἱ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους , τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ △Β , τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ | Ὡς γὰρ ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ , ἐπεὶ ἐν ὀρθογωίῳ τριγώνῳ τῷ Α△Β κάθετος ἦκται καὶ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἡ △Γ , μέση ἀνάλογόν ἐστι τῶν τῆς βάσεως τμημάτων , καὶ τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις ὥστ᾿ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς △Γ , ἡ Β△ πρὸς △Α · καὶ τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν ἄρα . Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ△ , οὕτως ἡ πρώτη ἡ ΒΓ πρὸς τρίτην τὴν ΓΑ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ , τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α . Δοθεὶς δὴ λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ · ὥστε δοθὲν ἐστι τὸ Γ σημεῖον | Ἐπεὶ γὰρ ἡ σφαῖρα ὑπόκειται δεδομένη , δέδοται ἄρα καὶ ἡ διάμετρος αὐτῆς ἡ ΑΒ . Καὶ δέδοται ὁ λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ · ἐὰν δὲ δεδομένον μέγεθος εἰς δεδομένον λόγον διαιρεθῇ , δέδοται ἑκάτερον τῶν τμημάτων · ὥσθε δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ . Καὶ δοθὲν τὸ Α · ἐπὶ γὰρ τῆς κοινῆς τομῆς ἐστι θέσει δεδομένων γραμμῶν δέδοται ἄρα καὶ τὸ Γ .
Lemmas: ὡς δέ ὁ εἴρω κύκλος πρός ἀλλήλων , ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό △Β , τουτέστιν ὁ ΑΓ πρός ΓΒ | ὡς γάρ ἐν αὐτός ὁ ὁ ῥητός καταγραφή , ἐπεί ἐν ὀρθογωίῳ τρίγωνος ὁ Α△Β κάθετος ἄγω καί ἀπό ὁ ὀρθός ὁ △Γ , μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὁ βάσις τμῆμα , καί ὁ πρός ὁ κάθετος τρίγωνος ὁμοῖος εἰμί ὁ τε ὅλος καί ἀλλήλων ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός △Γ , ὁ Β△ πρός △Α · καί ὁ ἀπό αὐτός ἄρα . ἀλλά ὡς ὁ ἀπό ΒΓ πρός ὁ ἀπό Γ△ , οὕτως ὁ πρῶτος ὁ ΒΓ πρός τρίτος ὁ ΓΑ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΓ πρός ΓΑ , ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Α . Δοθείς δή λόγος ὁ ΑΓ πρός ΓΒ · ὥστε δίδωμι εἰμί ὁ Γ σημεῖον | ἐπεί γάρ ὁ σφαῖρα ὑπόκειμαι δίδωμι , δίδωμι ἄρα καί ὁ διάμετρος αὐτός ὁ ΑΒ . καί δίδωμι ὁ λόγος ὁ ΑΓ πρός ΓΒ · ἐάν δέ δίδωμι μέγεθος εἰς δίδωμι λόγος διαιρέω , δίδωμι ἑκάτερος ὁ τμῆμα · ὁράω δίδωμι εἰμί ὁ ΑΓ . καί δίδωμι ὁ Α · ἐπί γάρ ὁ κοινός τομή εἰμί θέσις δίδωμι γραμμή δίδωμι ἄρα καί ὁ Γ .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 40
Ἐν δὲ τῇ συνθέσει προσεκβάλλων τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας τὴν △Β καὶ ἀποθέμενος τῇ ἡμισείᾳ αὐτῆς ἴσην τὴν ΖΒ καὶ τεμὼν αὐτὴν εἰς τὸν δοθέντα λόχον κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπὶ τῆς △Β λαβὼν τὸ Χ οὕτως , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΧΖ πρὸς ΘΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , τὰ αὐτὰ κατασκευάζων τοῖς πρότερόν φησι ὅτι γεγονέτω ὡς συναμφότερος ἡ Κ△Χ πρὸς △Χ , οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ , καὶ τίθησιν τὸ Ρ μεταξὺ τῶν Θ , Ζ . Ὅτι δὲ τοῦτο οὕτως ἔχει δεικτέον . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ Κ△Χ πρὸς △Χ , ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ , διελόντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Χ , ἡ ΡΒ πρὸς ΧΒ · ἐναλλὰξ ὡς ἡ Κ△ πρὸς ΡΒ , ἡ △Χ πρὸς ΒΧ . Μείζων δὲ ἡ ΔΧ τῆς ΧΒ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ , τουτέστιν ἡ ΖΒ τῆς ΒΡ · ὥστε τὸ Ρ ἐντὸς τοῦ Ζ πεσεῖται . Ὅτι δὲ καὶ ἐκτὸς τοῦ Θ δειχθήσεται ὁμοίως τοῖς ἐν τῇ ἀναλύσει προελθούσης πάσης τῆς συνθέσεως τοῦ θεωρήματος . Συνάγεται γὰρ ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΡΧ πρὸς ΧΛ , ἡ ΒΘ πρὸς ΘΖ · ὥστε καὶ συνθέντι , Καὶ διὰ τοῦτο γίνεται ἀκόλουθος τοῖς ἄνω εἰρημένοις καὶ ἐνταῦθα ἡ δεῖξις . Καὶ διʼ ἴσου ἐν τῇ τεταραχμένῃ ἀναλογίᾳ | Τεταραγμένην ἀναλογίαν ἐν τοῖς Στοιχείοις ἐμάθομεν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος , ὅταν ᾖ ὡς μὲν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡφούμενον πρὸς ἑπόμενον , ὡς δὲ ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι ἐν τοῖς πρώτοις , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον . Κἀνταῦθα οὖν δέδεικται ὡς μὲν ἡγούμενον ἡ ΡΛ πρὸς ἑπόμενον τὴν Λ△ , οὕτως ἡγούμενον ἡ ΧΖ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΖΘ , ὡς δὲ ἑπόμενον ἡ △Λ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΛΧ , οὕτως ἄλλο τι ἡ ΒΖ πρὸς ἡγούμενον τὴν ΧΖ . Ἕπεται ἄρα καὶ διʼ ἴσου , ὡς δέδεικται ἐν τῷ πέμπτῳ τῶν Στοιχείων , ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ .
Lemmas: ἐν δέ ὁ σύνθεσις προσεκβάλλω ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ὁ △Β καί ἀποτίθημι ὁ ἥμισυς αὐτός ἴσος ὁ ΖΒ καί τέμνω αὐτός εἰς ὁ δίδωμι λόχος κατά ὁ Θ καί ἐπί ὁ △Β λαμβάνω ὁ Χ οὕτως , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΧΖ πρός ΘΖ , οὕτως ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ , ὁ αὐτός κατασκευάζω ὁ πρότερος φημί ὅτι γίγνομαι ὡς συναμφότερος ὁ Κ△Χ πρός △Χ , οὕτως ὁ ΡΧ πρός ΧΒ , καί τίθημι ὁ Ρ μεταξύ ὁ Θ , Ζ . ὅτι2 δέ οὗτος οὕτως ἔχω δεικτέος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς συναμφότερος ὁ Κ△Χ πρός △Χ , ὁ ΡΧ πρός ΧΒ , διαιρέω ὡς ὁ Κ△ πρός △Χ , ὁ ΡΒ πρός ΧΒ · ἐναλλάξ ὡς ὁ Κ△ πρός ΡΒ , ὁ △Χ πρός ΒΧ . μείζων δέ ὁ ΔΧ ὁ ΧΒ · μείζων ἄρα καί ὁ ΚΒ ὁ ΒΡ , τουτέστιν ὁ ΖΒ ὁ ΒΡ · ὥστε ὁ Ρ ἐντός ὁ Ζ πίπτω . ὅτι2 δέ καί ἐκτός ὁ Θ δείκνυμι ὁμοίως ὁ ἐν ὁ ἀνάλυσις προέρχομαι πᾶς ὁ σύνθεσις ὁ θεώρημα . συνάγω γάρ ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΡΧ πρός ΧΛ , ὁ ΒΘ πρός ΘΖ · ὥστε καί συντίθημι , καί διά οὗτος γίγνομαι ἀκόλουθος ὁ ἄνω εἴρω καί ἐνταῦθα ὁ δεῖξις . καί διά ἴσος ἐν ὁ ταράσσω ἀναλογία | ταράσσω ἀναλογία ἐν ὁ στοιχεῖον μανθάνω τρεῖς εἰμί μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος , ὅταν εἰμί ὡς μέν ἡγέομαι πρός ἕπω ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος , οὕτως ἐν ὁ δύο μέγεθος ἀφέω πρός ἕπω , ὡς δέ ἕπω πρός ἄλλος τίς ἐν ὁ πρῶτος , οὕτως ἐν ὁ δύο ἄλλος τίς πρός ἡγέομαι . ἐνταῦθα οὖν δείκνυμι ὡς μέν ἡγέομαι ὁ ΡΛ πρός ἕπω ὁ Λ△ , οὕτως ἡγέομαι ὁ ΧΖ πρός ἕπω ὁ ΖΘ , ὡς δέ ἕπω ὁ △Λ πρός ἄλλος τίς ὁ ΛΧ , οὕτως ἄλλος τίς ὁ ΒΖ πρός ἡγέομαι ὁ ΧΖ . ἕπομαι ἄρα καί διά ἴσος , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ πέμπτος ὁ στοιχεῖον , ὡς ὁ ΡΛ πρός ΛΧ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ΖΘ .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 42
Ἐπειδὴ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ , ΘΚ , Ϛ΄ , △ , ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ , ἡ ΘΚ πρὸς △ | Καθόλου γάρ , ἐὰν ὦσιν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον , ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας , ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν , ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην , ἐναλλὰξ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας , ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην .
Lemmas: ἐπεί ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΒ , ΘΚ , ΣΤ΄ , △ , εἰμί ὡς ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΚ , ὁ ΘΚ πρός △ | Κάθολος γάρ , ἐάν εἰμί τέσσαρες εὐθύς ἀνάλογος , εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο , ὁ δύο πρός ὁ τέταρτος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ δύο , ὁ τρίτος πρός ὁ τέταρτος , ἐναλλάξ ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , ὁ δύο πρός ὁ τέταρτος . ἀλλά ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δύο , ὁ δύο πρός ὁ τέταρτος .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 43
Ἐπεὶ δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΛΜ τῷ ΑΒΓ τμήματι , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΡΝ , ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΜΝ , ΓΘ , ἐπεὶ ὅμοιά εἰσιν τὰ τμήματα , ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β , Λ γωνίαι . Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Μ , Γ ὀρθαί · καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ , καὶ ἰσογώνια τὰ τρίγωνα , καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΘΓ , οὕτως ἡ ΛΝ πρὸς ΝΜ . Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΘΓ πρὸς ΘΠ , οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΡ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΓΘΠ , ΜΝΡ τριγώνων · καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΠ , ἡ ΛΝ πρὸς ΝΡ · ὥστε καὶ διελόντι ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ , οὕτως ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ . Λόγος δὲ τῆς ΕΖ πρὸς ΒΓ δοθείς · δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα | Ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν , δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημάτων · ὥστε , ἐπεὶ δέδοται ἡ ΑΓ , δέδοται καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς ἡ ΓΠ . Δέδοται δὲ καὶ ἡ ΒΠ , καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσιν δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΒΓ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν · ὥστε καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ λόγος δοθείς ἐστιν .
Lemmas: ἐπεί δέ ὁμοῖος εἰμί ὁ ΚΛΜ ὁ ΑΒΓ τμῆμα , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΡΛ πρός ΡΝ , ὁ ΒΠ πρός ΠΘ | ἐάν γάρ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΝ , ΓΘ , ἐπεί ὁμοῖος εἰμί ὁ τμῆμα , Ἴσαι εἰμί καί ὁ πρός ὁ Β , Λ γωνία . εἰμί δέ καί ὁ πρός ὁ Μ , Γ ὀρθός · καί ὁ λοιπός ἄρα ὁ λοιπός , καί ἰσογώνιος ὁ τρίγωνος , καί εἰμί ὡς ὁ ΘΒ πρός ΘΓ , οὕτως ὁ ΛΝ πρός ΝΜ . ἀλλά ὡς ὁ ΘΓ πρός ΘΠ , οὕτως ὁ ΜΝ πρός ΝΡ διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΓΘΠ , ΜΝΡ τρίγωνος · καί διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΒΘ πρός ΘΠ , ὁ ΛΝ πρός ΝΡ · ὥστε καί διαιρέω ὡς ὁ ΒΠ πρός ΠΘ , οὕτως ὁ ΛΡ πρός ΡΝ . Λόγος δέ ὁ ΕΖ πρός ΒΓ δίδωμι · δίδωμι γάρ ἑκάτερος | ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα , δίδωμι εἰμί καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις καί ὁ ὕψος ὁ τμῆμα · ὥστε , ἐπεί δίδωμι ὁ ΑΓ , δίδωμι καί ὁ ἥμισυς αὐτός ὁ ΓΠ . δίδωμι δέ καί ὁ ΒΠ , καί ὀρθός γωνία περιέχω δίδωμι ἄρα καί ὁ ΒΓ . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί ὁ ΕΖ δίδωμι εἰμί · ὥστε καί ὁ ὁ ΒΓ πρός ΕΖ λόγος δίδωμι εἰμί .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 44
Ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΚΜ , ΑΓ τμήματα κύκλων | Ἐὰν γάρ , ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει , ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΓΘ , ΜΝ , ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Γ , Μ , καὶ κάθετοι αἱ ΓΠ , ΜΡ , μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν τῆς βάσεως τμημάτων ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ πρώτη ἡ ΒΠ πρὸς τὴν τρίτην τὴν ΠΘ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τῆς ΠΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τῆς ΠΓ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΜ . Καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ , ἡ ΡΛ πρὸς ΡΝ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΜ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΠΒ πρὸς ΠΓ , ἡ ΛΡ πρὸς ΡΜ . Καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ἰσογώνια ἄρα τὰ τρίγωνα . Ἴσαι ἄρα αἱ πρὸς τοῖς Β , Λ γωνίαι καὶ αἱ διπλασίους αὐτῶν αἱ ἐν τοῖς τμήμασιν ὅμοια ἄρα εἰσὶν τὰ τμήματα .
Lemmas: ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΚΜ , ΑΓ τμῆμα κύκλος | ἐάν γάρ , ὡς ἐν ὁ ἀνάλυσις , ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΘ , ΜΝ , ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Γ , Μ , καί κάθετος ὁ ΓΠ , ΜΡ , μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὥστε εἰμί ὡς ὁ πρῶτος ὁ ΒΠ πρός ὁ τρίτος ὁ ΠΘ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος ὁ ΠΒ πρός ὁ ἀπό ὁ δύο ὁ πγʹ . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ ΛΡ πρός ΡΝ , οὕτως ὁ ἀπό ΛΡ πρός ὁ ἀπό ΡΜ . καί εἰμί ὡς ὁ ΒΠ πρός ΠΘ , ὁ ΡΛ πρός ΡΝ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΒΠ πρός ὁ ἀπό πγʹ , οὕτως ὁ ἀπό ΛΡ πρός ὁ ἀπό ΡΜ · καί ὡς ἄρα ὁ ΠΒ πρός πγʹ , ὁ ΛΡ πρός ΡΜ . καί περί ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί ἰσογώνιος ἄρα ὁ τρίγωνος . Ἴσαι ἄρα ὁ πρός ὁ Β , Λ γωνία καί ὁ διπλάσιος αὐτός ὁ ἐν ὁ τμῆμα ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ τμῆμα .
eutocius.commentarii-in-libros-de-sphaera-et-cylindro 45
Λόγος ἄρα δεδομένος συναμφοτέρου τῆς Ε△Ζ πρὸς △Ζ · ὥστε καὶ ἡ ΑΓ Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ Ε△ , πρὸς ΔΖ λόγον ἔχει δεδομένον , ἐὰν δεδομένον μέγεθος πρός τι μόριον ἑαυτοῦ λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν λόγον ἕξει δεδομένον ὥστε συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς Ε△ λόγον ἔχει δεδομένον . Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν Ε△ , △Ζ πρὸς συναμφότερον τὴν Ε△Ζ λόγον ἔχει δεδομένον , καὶ πρὸς ἀλλήλας λόχον ἔχουσι δεδομένον δέδοται ἄρα ὁ τῆς Ε△ πρὸς △Ζ λόγος . Καὶ δέδοται ἡ Ε△ · δέδοται γὰρ ἡ διάμετρος · δέδοται ἄρα καὶ ἡ △Ζ . Λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ δοθήσεται · ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ △ΖΒ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΖ , τουτέστιν ἡ ΑΖ , δοθεῖσα ἔσται · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΓ . Καὶ ἄλλως δὲ λέγοις ἂν ὅτι ἡ ΑΓ δοθεῖσά ἐστιν . Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ διάμετρος ἡ △Β τῇ θέσει , δέδοται δὲ καὶ τὸ Ζ , ὡς ᾔτηται , καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Ζ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΑΓ , δέδοται ἡ ΑΓ θέσει . Ἀλλὰ καὶ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια δοθέντα ἄρα τὰ A , Γ , καὶ αὐτὴ ἡ ΑΖΓ δοθεῖσά ἐστιν . Καὶ ἐπεὶ συναμφότερος μὲν ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς △Β | Ἐπεὶ γὰρ ἡ Ε△ μείζων ἢ ἡμίσειά ἐστι τῆς △Ζ , συναμφότερος ἄρα ἡ Ε△Ζ τῆς △Ζ μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιολία . Συναμφότερος δὲ ἡ Ε△ , △Β τῆς △Β ἡμιολία μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ Ε△Ζ πρὸς ΔΖ ἤπερ ἡ Ε△Β πρὸς △Β . Ἢ καὶ ἄλλως . Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ △Β τῆς △Ζ , ἄλλη δὲ τις ἡ Ε△ , ἡ Ε△ ἄρα πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς △Β · συνθέντι συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς ΔΒ . Ἡ σύνθεσις τοῦ θεωρήματος σαφὴς διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων .
Lemmas: Λόγος ἄρα δίδωμι συναμφότεροι ὁ ΕΖ πρός △Ζ · ὥστε καί ὁ ΑΓ ἐπεί γάρ συναμφότερος ὁ Ε△ , πρός ΔΖ λόγος ἔχω δίδωμι , ἐάν δίδωμι μέγεθος πρός τίς μόριον ἑαυτοῦ λόγος ἔχω δίδωμι , καί πρός ὁ λοιπός λόγος ἔχω δίδωμι ὥστε συναμφότερος ὁ ΕΖ πρός Ε△ λόγος ἔχω δίδωμι . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ Ε△ , △Ζ πρός συναμφότεροι ὁ ΕΖ λόγος ἔχω δίδωμι , καί πρός ἀλλήλων λόχος ἔχω δίδωμι δίδωμι ἄρα ὁ ὁ Ε△ πρός △Ζ λόγος . καί δίδωμι ὁ Ε△ · δίδωμι γάρ ὁ διάμετρος · δίδωμι ἄρα καί ὁ △Ζ . λοιπός ἄρα ὁ ΖΒ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ὑπό △ΖΒ , τουτέστι ὁ ἀπό αζʹ , τουτέστιν ὁ αζʹ , δίδωμι εἰμί · καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΓ . καί ἄλλως δέ λέγω εἄν ὅτι ὁ ΑΓ δίδωμι εἰμί . ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ διάμετρος ὁ △Β ὁ θέσις , δίδωμι δέ καί ὁ Ζ , ὡς αἰτέω , καί ἀπό δίδωμι ὁ Ζ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΑΓ , δίδωμι ὁ ΑΓ θέσις . ἀλλά καί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια δίδωμι ἄρα ὁ A , Γ , καί αὐτός ὁ ΑΖΓ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί συναμφότερος μέν ὁ ΕΖ πρός △Ζ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 συναμφότερος ὁ ΕΒ πρός △Β | ἐπεί γάρ ὁ Ε△ μείζων ἢ ἥμισυς εἰμί ὁ △Ζ , συναμφότερος ἄρα ὁ ΕΖ ὁ △Ζ μείζων εἰμί ἢ ἡμιολία . συναμφότερος δέ ὁ Ε△ , △Β ὁ △Β ἡμιολία μείζων ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΕΖ πρός ΔΖ ἤ2 ὁ ΕΒ πρός △Β . ἤ καί ἄλλως . ἐπεί μείζων εἰμί ὁ △Β ὁ △Ζ , ἄλλος δέ τις ὁ Ε△ , ὁ Ε△ ἄρα πρός △Ζ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΕΔ πρός △Β · συντίθημι συναμφότερος ὁ ΕΖ πρός △Ζ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 συναμφότερος ὁ ΕΒ πρός ΔΒ . ὁ σύνθεσις ὁ θεώρημα σαφής διά ὁ ἐνταῦθα εἴρω .