eudemus-philosophy.fragmenta eudemus_spengel_1866_0140.1
ἔστι δὲ καὶ τὸ περὶ τὴν γ δ ἡμικύκλιον τετραπλάσιον τοῦ περὶ τὴν ᾯ β . ἐπεὶ γὰρ ἡ γ δ τῆς ᾯ β ἐστὶ διπλῆ , τετραπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς γ δ γίνεται τοῦ ἀπὸ τῆς ᾯ β . ὡς γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα ἔχουσιν , οὕτω καὶ οἱ περὶ αὐτὰς κύκλοι πρὸς ἀλλήλους καὶ τὰ ἡμικύκλια πρὸς ἄλληλα , ὥστε τετραπλασίων ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς γ δ ἡμικύκλιον τοῦ ἀπὸ τῆς ᾯ β . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς γ δ ἡμικύκλιον τοῖς τέτρασιν ἡμικυκλίοις τῷ τε περὶ τὴν ᾯ β καὶ τοῖς τρισὶ τοῖς περὶ τὰς τοῦ ἐξαγώνου πλευρὰς ἡμικυκλίοις . κοινῶ ἀφῃρησθῶ ἀπὸ τε τῶν περὶ τὰς τοῦ ἐξαγώνου πλευρὰς ἡμικυκλίων καὶ ἀπὸ τοῦ περὶ τὴν γ δ τμήματα τὰ τε ὑπὸ τῶν ἐξαγωνικῶν πλευρῶν καὶ τῶν τοῦ γ δ ἡμικυκλίου περιφερειῶν περιεχόμενα . λοιποὶ ἄρα οἱ γ ἡ ε , ε θ ζ , ζ χ δ μηνίσκοι μετὰ τοῦ α β ἡμικυκλίου ἴσοι εἰσὶ τῷ γ ε , ε ζ , ζ δ τραπεζίῳ , ἂν δὲ ἀφελῶμεν ἀπὸ τοῦ τραπεζίου τὴν ὑπεροχὴν , τοὔτεστι τὸ ἴσον τοῖς μηνίσκοις · ἐδεῖχθη γὰρ ἴσον εὐθύγραμμον μηνίσκοι · καταλίψωμεν δὲ τὸ λοιπὸν δ ἐστιν ἴσον τῷ α β ἡμικυκλίῳ , καὶ τὸ καταλειφθὲν τοῦτο εὐθύγραμμον διπλασιάσωμεν , καὶ τὸ διπλασιασθὲν τετραγωνισθῆ , τοὔτεστιν ἴσον αὐτῷ τετράγωνον λάβωμεν , ἴσον ἔσται τὸ τετράγωνον τῷ περὶ τὴν ᾯ β διάμετρον κύκλῳ . καὶ οὕτως ὁ κύκλος τετραγωνισθήσεται , καὶ ἐστὶ μὲν εὐφυὴς ἡ ἐπιχείρησις , τὸ δὲ ψευδογράφημα γέγονεν παρὰ τὸ μὴ καθόλου δεδεγμένον ὡς καθόλου λαβεῖν · οὐ γὰρ ἐδεῖχθη πᾶς μηνίσκος τετραγωνιζόμενος , ἀλλ’ ὁ περὶ τὴν τοῦ τετραγώνου πλευρὰν τοῦ εἰς τὸν κύκλον ἐγγραφομένου . οὕτοι δὲ οἱ μηνίσκοι περὶ τὰς τοῦ ἐξαγώνου πλευρὰς εἰσι τοῦ εἰς τὸν κύκλον ἐγγραφομένου . ἐστι τις καὶ τοιαύτη δεῖξις διὰ τῶν μηνίσκων τετραγωνίζειν οἰομένη τὸν κύκλον ἀπλουστέρα καὶ οὐκ ἐλεγχομένη παρὰ τί γέγονεν ἐν αὐτῇ τὸ ψευδογράφημα .
Lemmas: εἰμί δέ καί ὁ περί ὁ γ δ ἡμικύκλιον τετραπλάσιος ὁ περί ὁ ὧ Β . ἐπεί γάρ ὁ γ δ ὁ ὧ Β εἰμί διπλόος , τετραπλάσιος ὁ ἀπό ὁ γ δ γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ ὧ Β . ὡς γάρ ὁ ἀπό ὁ διάμετρος τετράγωνος πρός ἀλλήλων ἔχω , οὗτος καί ὁ περί αὐτός κύκλος πρός ἀλλήλων καί ὁ ἡμικύκλιον πρός ἀλλήλων , ὥστε τετραπλασίων εἰμί ὁ ἀπό ὁ γ δ ἡμικύκλιον ὁ ἀπό ὁ ὧ Β . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ γ δ ἡμικύκλιον ὁ τέσσαρες ἡμικύκλιον ὁ τε περί ὁ ὧ Β καί ὁ τρεῖς ὁ περί ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρά ἡμικύκλιον . κοινόω ἀφαιρέω ἀπό τε ὁ περί ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρά ἡμικύκλιον καί ἀπό ὁ περί ὁ γ δ τμῆμα ὁ τε ὑπό ὁ εξαγωνικός πλευρά καί ὁ ὁ γ δ ἡμικύκλιον περιφέρεια περιέχω . λοιπός ἄρα ὁ γ ὁ ε , ε θ ζ , ζ χ δ μηνίσκος μετά ὁ ὅς Β ἡμικύκλιον ἴσος εἰμί ὁ γ ε , ε ζ , ζ δ τραπέζιον , εἄν δέ ἀφαιρέω ἀπό ὁ τραπέζιον ὁ ὑπεροχή , τουτέστι ὁ ἴσος ὁ μηνίσκος · δείκνυμι γάρ ἴσος εὐθύγραμμος μηνίσκος · καταλείπω δέ ὁ λοιπός δ εἰμί ἴσος ὁ ὅς Β ἡμικύκλιον , καί ὁ καταλιμπάνω οὗτος εὐθύγραμμος διπλασιάζω , καί ὁ διπλασιάζω τετραγωνισθῆ , τουτέστιν ἴσος αὐτός τετράγωνος λαμβάνω , ἴσος εἰμί ὁ τετράγωνος ὁ περί ὁ ὧ Β διάμετρος κύκλος . καί οὕτως ὁ κύκλος τετραγωνισθήσεται , καί εἰμί μέν εὐφυής ὁ ἐπιχείρησις , ὁ δέ ψευδογράφημα γίγνομαι παρά ὁ μή καθόλου δέχομαι ὡς καθόλου λαμβάνω · οὖον γάρ δείκνυμι πᾶς μηνίσκος τετραγωνίζω , ἀλλά ὁ περί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ κύκλος ἐγγράφω . οὕτος δέ ὁ μηνίσκος περί ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρά εἰμί ὁ εἰς ὁ κύκλος ἐγγράφω . εἰμί τις καί τοιοῦτος δεῖξις διά ὁ μηνίσκος τετραγωνίζω οἴομαι ὁ κύκλος απλός καί οὐ ἐλέγχω παρά τίς γίγνομαι ἐν αὐτός ὁ ψευδογράφημα .