eudemus-philosophy.fragmenta eudemus_spengel_1866_0141.1
μηνίσχου γὰρ τετραγωνισμὸν εὑρόντες τοῦ περὶ τὴν τοῦ τρηγώ - 1 νου πλευρᾶν ἤφοντο καὶ οὕτοι διὰ τοῦτον τὸν τοῦ κύκλου τετραγωνισμὸν εὑρηκέναι , ὡς τοῦ κύκλου παντὸς εἰς μηνίσχους διαιρεῖσθαι δυναμένου · τὸ γὰρ ἴσον τῷ μηνίσχῳ τετράγωνον τοσαυταπλάσιον ποιούντες , ὁσαπλάσιωι πάντες εἰσὶν οἱ μηνίσχοι , εἰς οὓς ὁ κύκλος διήρρηται , ἤφοντο τὸ τούτοις ἴσον τετράγωνον τοῖς μηνίσχοις ἴσον εἶναι καὶ τῷ κύκλῳ , ψεύδους λαμβάνοντες τὸ τὸν ὅλον κύκλον εἰς μηνίσχους διαιρεθῆναι δύνασθαι . ἐν γὰρ τῇ τοῦ κύκλου εἰς τοὺς μηνίσχους διαιρέσει ἀεὶ ὑπολείπεται τι ἐντὸς μέσον ἀμφίκυρτον περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ἐκατέρωθεν τοῦ μηνίσχου γραμμῶν , οὗ μήτε μηνίσχου ὄντος μήτε τετραγωνιζομένου οὐδ’ ἂν ὁ πᾶς κύκλος τετραγωνίζοιτο . οὐχ ὑγιὴς δὴ ἡ ἔνστασις ἢ πρὸς τὸν τοιούτον τετραγωνισμὸν · οὐ γὰρ χρεία τῷ τετραγωνίζοντι τὸν κύκλον διὰ τῶν μηνίσχων διελεῖν τὸν πάντα κύκλον εἰς μηνίσχους · οὐδὲ γὰρ οὐδ’ . εἰ τοῦτο εἴη , οὕδ’ οὕτως ὁ κύκλος τετραγωνίζεται διὰ τῶν μηνίσχων . οὐ γὰρ πᾶς ἐδείχθη μηνίσκος τετραγωνιζόμενος , καὶ μὴ διαιρουμένου δὲ παντὸς εἰς μηνίσχους πάλιν τετραγωνισθήσεται , ἂν συγχωρηθῶσιν οἱ περὶ τὰς τοῦ ἐξαγώνου τοῦ εἰς τὸν κύκλον ἐγγραφομένου πλευρὰς περιγραφόμενοι μηνίσχοι τετραγωνίζεσθαι , καὶ μὴ μόνοι οἱ περὶ τὰς τοῦ τετραγώνου . κἀνταῦθα οὖν τοῦ ψευδογραφήματος αἰτῖον τὸ μόνον τετραγωνίσαντας μηνίσχον τὸν περὶ τὴν τοῦ τετραγώνου πλευρᾶν , ὡς πάντως τετραγωνιζομένων μηνίσχων ὁποιοὶ ποτ’ ἂν ὦσιν , εἰς οὓς ὁ κύκλος διαιρεῖται , οὕτω ποιεῖσθαι τὴν δεῖξιν . τινὲς δὲ φησιν ’Αλέξανδρος ἠγοῦνται , εἰ δεῖξαιμεν τετράγωνον ἀριθμὸν κυκλικὸν καὶ ἐν τοῖς μερέδεσι κύκλου τετραγωνισμὸν εὑρηκέναι . ἔστι δὲ φησι τετράγωνος μὲν ἀριθμὸς ὁ ἰσάκις ἴσος , κυκλικούς δὲ ἔλεγον ἀριθμοὺς τοὺς συντιθεμένους ἐκ τῶν καθεξῆς περιττῶν , οἷον ἑνὸς τριῶν πέντε
Lemmas: μηνιεχω γάρ τετραγωνισμός εὑρίσκω ὁ περί ὁ ὁ τραγέω - 1 νόος πλευρά ἀφίημι καί οὕτος διά οὗτος ὁ ὁ κύκλος τετραγωνισμός εὑρίσκω , ὡς ὁ κύκλος πᾶς εἰς μηνίσκος διαιρέω δύναμαι · ὁ γάρ ἴσος ὁ μηνιεχω τετράγωνος τοσαυταπλάσιος ποιέω , ὁσαπλάσιος πᾶς εἰμί ὁ μηνιεχω , εἰς ὅς ὁ κύκλος διαιρέω , ἀφίημι ὁ οὗτος ἴσος τετράγωνος ὁ μηνιεχω ἴσος εἰμί καί ὁ κύκλος , ψεῦδος λαμβάνω ὁ ὁ ὅλος κύκλος εἰς μηνίσκος διαιρέω δύναμαι . ἐν γάρ ὁ ὁ κύκλος εἰς ὁ μηνίσκος διαίρεσις ἀεί ὑπολείπω τίς ἐντός μέσος ἀμφίκυρτος περιλαμβάνω ὑπό ὁ ἑκατέρωθεν ὁ μηνιεχω γραμμή , ὅς μήτε μηνιεχω εἰμί μήτε τετραγωνιζομενω οὐδέ εἄν ὁ πᾶς κύκλος τετραγωνίζω . οὐ ὑγιής δή ὁ ἔνστασις ἢ πρός ὁ τοιοῦτος τετραγωνισμός · οὖον γάρ χρεία ὁ τετραγωνίζω ὁ κύκλος διά ὁ μηνιεχω διαιρέω ὁ πᾶς κύκλος εἰς μηνίσκος · οὐδέ γάρ οὐδέ . εἰμί οὗτος εἰμί , οὐδέ οὕτως ὁ κύκλος τετραγωνίζω διά ὁ μηνιεχω . οὖον γάρ πᾶς δείκνυμι μηνίσκος τετραγωνίζω , καί μή διαιρέω δέ πᾶς εἰς μηνίσκος πάλιν τετραγωνισθήσεται , εἄν συγχωρέω ὁ περί ὁ ὁ ἑξάγωνος ὁ εἰς ὁ κύκλος ἐγγράφω πλευρά περιγράφω μηνιεχω τετραγωνίζω , καί μή μόνος ὁ περί ὁ ὁ τετράγωνος . ἐνταῦθα οὖν ὁ ψευδογράφημα αἴτιος ὁ μόνος τετραγωνίζω μηνιεχω ὁ περί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὡς πάντως τετραγωνίζω μηνιεχω ὁποῖος πρός εἄν εἰμί , εἰς ὅς ὁ κύκλος διαιρέω , οὗτος ποιέω ὁ δεῖξις . τις δέ φημί Αλέξανδρος ἡγέομαι , εἰμί δείκνυμι τετράγωνος ἀριθμός κυκλικός καί ἐν ὁ μερέδεσι κύκλος τετραγωνισμός εὑρίσκω . εἰμί δέ φημί τετράγωνος μέν ἀριθμός ὁ Ἰσάκις ἴσος , κυκλικός δέ λέγω ἀριθμός ὁ συντίθημι ἐκ ὁ καθεξῆς περισσός , οἷος εἷς τρεῖς πέντε