ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.sectio-canonis-sp pr
Κατατομὴ κανόνος . Εἰ ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία , σιωπὴ ἂν εἴη · σιωπῆς δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο · εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσθήσεσθαι , πληγὴν καὶ κίνησιν πρότερον δεῖ γενέσθαι . ὥστε ἐπειδὴ πάντες οἱ φθόγγοι γίνονται πληγῆς τινος γινομένης , πληγὴν δὲ ἀμήχανον γενέσθαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης , — τῶν δὲ κινήσεων αἱ μὲν πυκνότεραί εἰσιν , αἱ δὲ ἀραιότεραι , καὶ αἱ μὲν πυκνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι τοὺς φθόγγους , αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους , — ἀναγκαῖον τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι , ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων καὶ πλειόνων σύγκεινται κινήσεων , τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπείπερ ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων . ὥστε τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους ἀφαιρέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος , τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπιτεινομένους προσθέσει κινήσεως τυγχά - νειν τοῦ δέοντος . διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φθόγγους συγκεῖσθαι φατέον , ἐπειδὴ προσθέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι τοῦ δέοντος . πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα , ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους · τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν ( p . 24 Meib ) ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται , οἱ δὲ ἐν ἐπιμορίῳ , οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ , ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους . τούτων δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέ - γονται πρὸς ἀλλήλους . Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φθόγγων τοὺς μὲν συμφώνους ὄντας , τοὺς δὲ διαφώνους , καὶ τοὺς μὲν συμφώνους μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας , τοὺς δὲ διαφώνους οὔ . τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς συμφώνους φθόγγους , ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται κρᾶσιν τῆς φωνῆς , εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀριθμῶν , ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ ἐπιμορίους .
Lemmas: κατατομή κανών . εἰ ἡσυχία εἰμί καί ἀκινησία , σιωπή ἄν εἰμί · σιωπή δέ εἰμί καί μηδείς κινέω οὐδείς ἄν ἀκούω · εἰ ἄρα μέλλω τις ἀκούω , πληγή καί κίνησις πρότερος δέω γίγνομαι . ὥστε ἐπειδή πᾶς ὁ φθόγγος γίγνομαι πληγή τις γίγνομαι , πληγή δέ ἀμήχανος γίγνομαι μή οὐ κίνησις πρότερος γίγνομαι , — ὁ δέ κίνησις ὁ μέν πυκνός εἰμί , ὁ δέ ἀραῖος , καί ὁ μέν πυκνός ὀξύς ποιέω ὁ φθόγγος , ὁ δέ ἀραῖος βαρύς , — ἀναγκαῖος ὁ μέν ὀξύς εἰμί , ἐπεί ἐκ πυκνός καί πολύς σύγκειμαι κίνησις , ὁ δέ βαρύς ἐπεί ἐκ ἀραιός καί ἐλαχύς σύγκειμαι κίνησις . ὥστε ὁ μέν ὀξύς ὁ δέω ἀνίημι ἀφαίρεσις κίνησις τυγχάνω ὁ δέω , ὁ δέ βαρύς ἐπιτείνω πρόσθεσις κίνησις τυγχάνω - νέος ὁ δέω . διόπερ ἐκ μόριον ὁ φθόγγος σύγκειμαι φημί , ἐπειδή πρόσθεσις καί ἀφαίρεσις τυγχάνω ὁ δέω . πᾶς δέ ὁ ἐκ μόριον σύγκειμαι ἀριθμός λόγος λέγω πρός ἀλλήλων , ὥστε καί ὁ φθόγγος ἀναγκαῖος ἐν ἀριθμός λόγος λέγω πρός ἀλλήλων · ὁ δέ ἀριθμός ὁ μέν ( p . 24 Meib ) ἐν πολλαπλάσιος λόγος λέγω , ὁ δέ ἐν ἐπιμόριος , ὁ δέ ἐν ἐπιμερής , ὥστε καί ὁ φθόγγος ἀναγκαῖος ἐν ὁ τοιοῦτος λόγος λέγω πρός ἀλλήλων . οὗτος δέ ὁ μέν πολλαπλάσιος καί ἐπιμόριος εἷς ὄνομα λέα - γοντ πρός ἀλλήλων . γιγνώσκω δέ καί ὁ φθόγγος ὁ μέν σύμφωνος εἰμί , ὁ δέ διάφωνος , καί ὁ μέν σύμφωνος εἷς κρᾶσις ὁ ἐκ ἄμφω ποιέω , ὁ δέ διάφωνος οὐ . οὗτος οὕτως ἔχω ἔοικα ὁ σύμφωνος φθόγγος , ἐπειδή εἷς ὁ ἐκ ἄμφω ποιέω κρᾶσις ὁ φωνή , εἰμί ὁ ἐν εἷς ὄνομα πρός ἀλλήλων λέγω ἀριθμός , ἤτοι πολλαπλάσιος εἰμί ἤ ἐπιμόριος .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 1
Ἐὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεθὲν ποιῇ τι διάστημα , καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται . Ἔστω διάστημα τὸ βγ , καὶ ἔστω πολλαπλάσιος ὁ β τοῦ γ , καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ γ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ . φημὶ δὴ τὸν δ τοῦ γ πολλαπλάσιον εἶναι . ἐπεὶ γὰρ ὁ β τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι , μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν β . ἦν δὲ καὶ ὡς ὁ ( p . 25 ) πρὸς ( η ) ( δ ) ( β ) τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ , ὥστε μετρεῖ ὁ γ καὶ τὸν δ . πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ δ τοῦ γ .
Lemmas: ἐάν διάστημα πολλαπλάσιος δίς συντίθημι ποιέω τις διάστημα , καί αὐτός πολλαπλάσιος εἰμί . εἰμί διάστημα ὁ ΒΓ , καί εἰμί πολλαπλάσιος ὁ Β ὁ Γ , καί γίγνομαι ὡς ὁ Γ πρός ὁ Β ὁ Β πρός ὁ δ . φημί δή ὁ δ ὁ Γ πολλαπλάσιος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Β ὁ πολλαπλάσιος εἰμί , μετρέω ἄρα ὁ ὁ Β . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ( p . 25 ) πρός ( ὁ ) ( δ ) ( Β ) ὁ Β ὁ Β πρός ὁ δ , ὥστε μετρέω ὁ Γ καί ὁ δ . πολλαπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ δ ὁ Γ .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 2
Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον , καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον . γ β δ σ ιβ κδ Ἔστω διάστημα τὸ βγ καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ , καὶ ἔστω ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος . φημὶ καὶ τὸν β τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον . ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι , μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν δ . ἐμάθομεν δὲ ὅτι , ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν , ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ , καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει . μετρεῖ ἄρα ὁ γ τὸν β , πολλαπλάσιος ἄρα ὁ β τοῦ γ .
Lemmas: ἐάν διάστημα δίς συντίθημι ὁ ὅλος ποιέω πολλαπλάσιος , καί αὐτός εἰμί πολλαπλάσιος . γ Β δ Σ Ἶβ ΚΔ εἰμί διάστημα ὁ ΒΓ καί γίγνομαι ὡς ὁ πρός ὁ Β οὕτως ὁ Β πρός ὁ δ , καί εἰμί ὁ δ ὁ Γ πολλαπλάσιος . φημί καί ὁ Β ὁ εἰμί πολλαπλάσιος . ἐπεί γάρ ὁ δ ὁ πολλαπλάσιος εἰμί , μετρέω ἄρα ὁ ὁ δ . μανθάνω δέ ὅτι , ἐάν εἰμί ἀριθμός ἀνάλογος ὁπόσος , ὁ δέ πρῶτος ὁ ἔσχατος μετρέω , καί ὁ μεταξύ μετρέω . μετρέω ἄρα ὁ Γ ὁ Β , πολλαπλάσιος ἄρα ὁ Β ὁ Γ .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 3
Ἐπιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος , οὔτε εἷς οὔτε πλείους ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριθμός . ( p . 26 . ) Ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστημα τὸ βγ · ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοῖς βγ ἔστωσαν οἱ δζ θ . οὗτοι οὖν ὑπὸ μονάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου . ἄφελε ἶσον τῷ θ τὸν ηζ . καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ δζ τοῦ θ , ἡ ὑπεροχὴ ὁ δη κοινὸν μέτρον τοῦ τε δζ καὶ τοῦ θ ἐστι · μονὰς ἄρα ὁ δη · οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ μέσος οὐδείς . ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων τοῦ δζ ἐλάττων , τοῦ δὲ θ μείζων , ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι , ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ τις . ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι , τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον μπεσοῦνται . οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς δζ θ ἐμπεσεῖται , οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται .
Lemmas: ἐπιμόριος διάστημα οὐδείς μέσος , οὔτε εἷς οὔτε πολύς ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . ( p . 26 . ) εἰμί γάρ ἐπιμόριος διάστημα ὁ ΒΓ · ἐλαχύς δέ ἐν ὁ αὐτός λόγος ὁ βγαίνω εἰμί οἷ δζ Θ . οὗτος οὖν ὑπό μονάς μόνος μετρέω κοινός μέτρον . ἀφαιρέω ἴσος ὁ Θ ὁ ΗΖ . καί ἐπεί ἐπιμόριος εἰμί ὁ δζ ὁ Θ , ὁ ὑπεροχή ὁ δη κοινός μέτρον ὁ τε δζ καί ὁ Θ εἰμί · μονή ἄρα ὁ δη · οὐ ἄρα ἐμπίπτω εἰς ὁ δζ Θ μέσος οὐδείς . εἰμί γάρ ὁ ἐμπίπτω ὁ δζ ἐλαχύς , ὁ δέ Θ μέγας , ὥστε ὁ μονάς διαιρέω , ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἐμπίπτω εἰς ὁ δζ Θ τις . ὅσος δέ εἰς ὁ ἐλαχύς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω , τοσοῦτος καί εἰς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἀνάλογος μπεσουντ . οὐδείς δέ εἰς ὁ δζ Θ ἐμπίπτω , οὐδέ εἰς ὁ Β ἐμπεσειτημι .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 4
Ἐὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεθῇ , τὸ ὅλον οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται , οὔτε ἐπιμόριον . Ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον , τὸ βγ , καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ ( p . 27 ) πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ . λέγω ὅτι ὁ δ τοῦ γ οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν . Ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος . οὐκοῦν ἐμάθομεν , ὅτι ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον , καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν ἐστιν . ἔσται ἄρα ὁ β τοῦ πολλαπλάσιος . οὐκ ἦν δέ . ἀδύνατον ἄρα τὸν τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον . ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ἐπιμόριον . ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει . εἰς δὲ τοὺς δγ ἐμπίπτει ὁ β . ἀδύνατον ἄρα τὸν δ τοῦ γ ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι .
Lemmas: ἐάν διάστημα μή πολλαπλάσιος δίς συντίθημι , ὁ ὅλος οὔτε πολλαπλάσιος εἰμί , οὔτε ἐπιμόριος . εἰμί γάρ διάστημα μή πολλαπλάσιος , ὁ ΒΓ , καί γίγνομαι ὡς ὁ ( p . 27 ) πρός ὁ Β ὁ Β πρός ὁ δ . λέγω ὅτι ὁ δ ὁ Γ οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριος εἰμί . εἰμί γάρ πρῶτος ὁ δ ὁ Γ πολλαπλάσιος . οὐκοῦν μανθάνω , ὅτι ἐάν διάστημα δίς συντίθημι ὁ ὅλος ποιέω πολλαπλάσιος , καί αὐτός πολλαπλάσιος εἰμί . εἰμί ἄρα ὁ Β ὁ πολλαπλάσιος . οὐ εἰμί δέ . ἀδύνατος ἄρα ὁ ὁ εἰμί πολλαπλάσιος . ἀλλά μήν οὐδέ ἐπιμόριος . ἐπιμόριος γάρ διάστημα μέσος οὐδείς ἀνάλογος ἐμπίπτω . εἰς δέ ὁ ΔΓΕ ἐμπίπτω ὁ Β . ἀδύνατος ἄρα ὁ δ ὁ Γ ἤ πολλαπλάσιος ἤ ἐπιμόριος εἰμί .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 5
Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον μὴ ποιῇ πολλαπλάσιον , οὐδʼ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον . Ἔστω γὰρ διάστημα τὸ βγ , καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ , καὶ μὴ ἔστω ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιος . λέγω , ὅτι οὐδὲ ὁ β τοῦ γ ἔσται πολλαπλάσιος . εἰ γάρ ἔστιν ὁ β τοῦ ( p . 28 ) πολλαπλάσιος , ἔσται ἄρα ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος . οὐκ ἔστι θ ϛ δ δέ . οὐκ ἄρα ὁ β τοῦ ἔσται πολλαπλάσιος . Ϛ . Τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συνέστηκεν , ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου . Ἔστω γὰρ ὁ μὲν β τοῦ δζ ἡμιόλιος , ὁ δὲ δζ τοῦ θ ἐπίτριτος . φημὶ τὸν β τοῦ θ διπλάσιον εἶναι . ἀφεῖλον γὰρ ἶσον τῷ θ τὸν ζκ καὶ τῷ δζ τὸν γλ . οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ βγ τοῦ δζ ἡμιόλιος , ὁ βλ ἄρα β τοῦ βγ τρίτον μέρος ἐστὶν , τοῦ δὲ δζ ἥμισυ . πάλιν ἐπεὶ ὁ δζ τοῦ θ ἐπίτριτός ἐστιν , ὁ δκ δ τοῦ μὲν δζ τεταρτημόριον , τοῦ δὲ θ τριτημόριον . οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ δκ τοῦ δζ ἐστι τεταρτημόριον , ὁ δὲ βλ τοῦ δζ ἥμισυ , τοῦ ἄρα βλ ἥμισυ ἔσται ὁ δκ . ἦν δὲ ὁ βλ τοῦ βγ τρίτον μέρος · ὁ ἄρα δκ τοῦ βγ ἕκτον γ ζ μέρος ἐστίν . ἦν δὲ ὁ δκ τοῦ θ τρίτον μέρος · ιβ η Ϛ ὁ ἄρα β τοῦ θ διπλάσιός ἐστιν . Ἄλλως . Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος , ὁ δὲ β τοῦ ἐπίτριτος . λέγω ὅτι ( p . 29 ) ὁ α τοῦ γ ἐστι διπλάσιος . Ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ α τοῦ β , ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ . δύο β ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς β . πάλιν ἐπεὶ ὁ β τοῦ γ ἐστιν ἐπίτριτος , ὁ β ἄρα ἔχει τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ . τρεῖς ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τέτταρσι τοῖς γ . τρεῖς δὲ οἱ ν ἶσοί εἰσι δυσὶ τοῖς α . δύο ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τέτταρσι ιβ η Ϛ τοῖς γ . ἄρα ὁ α ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς γ · διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ .
Lemmas: ἐάν διάστημα δίς συντίθημι ὁ ὅλος μή ποιέω πολλαπλάσιος , οὐδέ αὐτός εἰμί πολλαπλάσιος . εἰμί γάρ διάστημα ὁ ΒΓ , καί γίγνομαι ὡς ὁ πρός ὁ Β ὁ Β πρός ὁ δ , καί μή εἰμί ὁ δ ὁ πολλαπλάσιος . λέγω , ὅτι οὐδέ ὁ Β ὁ Γ εἰμί πολλαπλάσιος . εἰ γάρ εἰμί ὁ Β ὁ ( p . 28 ) πολλαπλάσιος , εἰμί ἄρα ὁ δ ὁ Γ πολλαπλάσιος . οὐ εἰμί θ ϛ δ δέ . οὐ ἄρα ὁ Β ὁ εἰμί πολλαπλάσιος . Ϛ . ὁ διπλάσιος διάστημα ἐκ δο ὁ μέγας ἐπιμόριος συνίστημι , ἐκ τε ὁ ἡμιόλιος καί ἐκ ὁ ἐπίτριτος . εἰμί γάρ ὁ μέν Β ὁ δζ ἡμιόλιος , ὁ δέ δζ ὁ Θ ἐπίτριτος . φημί ὁ Β ὁ Θ διπλάσιος εἰμί . ἀφαιρέω γάρ ἴσος ὁ Θ ὁ ΖΚ καί ὁ δζ ὁ γλ . οὐκοῦν ἐπεί ὁ ΒΓ ὁ δζ ἡμιόλιος , ὁ ΒΛ ἄρα Β ὁ ΒΓ τρίτος μέρος εἰμί , ὁ δέ δζ ἥμισυς . πάλιν ἐπεί ὁ δζ ὁ Θ ἐπίτριτος εἰμί , ὁ δκ δ ὁ μέν δζ τεταρτημόριον , ὁ δέ Θ τριτημόριον . οὐκοῦν ἐπεί ὁ δκ ὁ δζ εἰμί τεταρτημόριον , ὁ δέ ΒΛ ὁ δζ ἥμισυς , ὁ ἄρα ΒΛ ἥμισυς εἰμί ὁ δκ . εἰμί δέ ὁ ΒΛ ὁ ΒΓ τρίτος μέρος · ὁ ἄρα δκ ὁ ΒΓ ἕκτος γ ζ μέρος εἰμί . εἰμί δέ ὁ δκ ὁ Θ τρίτος μέρος · Ἶβ ὁ Ϛ ὁ ἄρα Β ὁ Θ διπλάσιος εἰμί . ἄλλως . εἰμί γάρ ὁ μέν Α ὁ Β ἡμιόλιος , ὁ δέ Β ὁ ἐπίτριτος . λέγω ὅτι ( p . 29 ) ὁ Α ὁ Γ εἰμί διπλάσιος . ἐπεί γάρ ἡμιόλιος εἰμί ὁ Α ὁ Β , ὁ Α ἄρα ἔχω ὁ Β καί ὁ ἥμισυς αὐτός . δύο Β ἄρα ὁ Α ἴσος εἰμί τρεῖς ὁ Β . πάλιν ἐπεί ὁ Β ὁ Γ εἰμί ἐπίτριτος , ὁ Β ἄρα ἔχω ὁ Γ καί ὁ τρίτος αὐτός . τρεῖς ἄρα ὁ Β ἴσος εἰμί τέσσαρες ὁ Γ . τρεῖς δέ ὁ ν ἴσος εἰμί δύο ὁ Α . δύο ἄρα ὁ Α ἴσος εἰμί τέσσαρες Ἶβ ὁ Ϛ ὁ Γ . ἄρα ὁ Α ἴσος εἰμί δύο ὁ Γ · διπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Γ .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 7
Ἐκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται . Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β διπλάσιος , ὁ δὲ β τοῦ γ ἡμιόλιος . λέγω ὅτι ὁ α τοῦ γ ἐστι τριπλάσιος . Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστι διπλάσιος , ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς β . πάλιν ἐπεὶ ὁ β ιβ Ϛ δ τοῦ γ ἐστιν ἡμιόλιος , ἄρα ὁ ἔχει τὸν γ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ . δύο ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς γ . δύο δὲ οἱ β ἶσοί εἰσι τῷ α . καὶ ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τρισὶ τοῖς γ . τριπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ ( p . 30 ) .
Lemmas: ἐκ ὁ διπλάσιος διάστημα καί ἡμιόλιος τριπλάσιος διάστημα γίγνομαι . εἰμί γάρ ὁ μέν Α ὁ Β διπλάσιος , ὁ δέ Β ὁ Γ ἡμιόλιος . λέγω ὅτι ὁ Α ὁ Γ εἰμί τριπλάσιος . ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Β εἰμί διπλάσιος , ὁ Α ἄρα ἴσος εἰμί δύο ὁ Β . πάλιν ἐπεί ὁ Β Ἶβ Ϛ δ ὁ Γ εἰμί ἡμιόλιος , ἄρα ὁ ἔχω ὁ Γ καί ὁ ἥμισυς αὐτός . δύο ἄρα ὁ Β ἴσος εἰμί τρεῖς ὁ Γ . δύο δέ ὁ Β ἴσος εἰμί ὁ Α . καί ὁ Α ἄρα ἴσος εἰμί τρεῖς ὁ Γ . τριπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Γ ( p . 30 ) .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 8
Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ , τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον . Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος , ὁ δὲ γ τοῦ β ἐπίτριτος . λέγω ὅτι ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος . Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστὶν ἡμιόλιος , ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ . ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β . πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ἐστὶν ἐπίτριτος , ὁ γ ἄρα ἔχει θ Ϛ η τὸν β καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ . ἐννέα ἄρα οἱ γ ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β . δώδεκα δὲ οἱ β ἶσοί εἰσιν ὀκτὼ τοῖς α · ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσιν ἐννέα τοῖς γ . ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τῷ γ καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ , ἄρα ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος .
Lemmas: ἐάν ἀπό ἡμιόλιος διάστημα ἐπίτριτος διάστημα ἀφαιρέω , ὁ λοιπός καταλείπω ἐπόγδοος . εἰμί γάρ ὁ μέν Α ὁ Β ἡμιόλιος , ὁ δέ Γ ὁ Β ἐπίτριτος . λέγω ὅτι ὁ Α ὁ εἰμί ἐπόγδοος . ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Β εἰμί ἡμιόλιος , ὁ Α ἄρα ἔχω ὁ Β καί ὁ ἥμισυς αὐτός . ὀκτώ ἄρα ὁ Α ἴσος εἰμί δώδεκα ὁ Β . πάλιν ἐπεί ὁ ὁ εἰμί ἐπίτριτος , ὁ Γ ἄρα ἔχω θ Ϛ ὁ ὁ Β καί ὁ τρίτος αὐτός . ἐννέα ἄρα ὁ Γ ἴσος εἰμί δώδεκα ὁ Β . δώδεκα δέ ὁ Β ἴσος εἰμί ὀκτώ ὁ Α · ὀκτώ ἄρα ὁ Α ἴσος εἰμί ἐννέα ὁ Γ . ὁ Α ἄρα ἴσος εἰμί ὁ Γ καί ὁ ὄγδοος αὐτός , ἄρα ὁ Α ὁ εἰμί ἐπόγδοος .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 9
Τὰ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονά ἐστι διαστήματος ἑνὸς διπλασίου . Ἐστω γὰρ εἶς ἀριθμὸς ὁ α . καὶ τοῦ μὲν α ἐπόγδοος ἔστω ὁ β , τοῦ δὲ β ( p . 31 ) ἐπόγδοος ὁ γ , τοῦ δὲ ἐπόγδοος ὁ δ , τοῦ δὲ δ ἐπόγδοος ὁ ε , τοῦ ε ἐπόγδοος ὁ ζ , τοῦ ζ ἐπόγδοος ὁ η . λέγω , ὅτι ὁ η τοῦ α μείζων ἐστὶν ἢ διπλάσιος . Ἐπεὶ ἐμάθομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριθμοὺς ἐπογδόους ἀλλήλων , εὑρήσθωσαν οἱ α β γ δ ε ζ η , καὶ γίνεται ὁ μὲν α κϚ μύρια βρμδ , ὁ δὲ β κθ μύρια δϠιβ , ὁ δὲ γ λγ μύρια αψοϚ ὁ δὲ δ λζ μύρια γϲμη , ὁ δὲ ε μα μύρια θϠδ , ὁ δὲ ζ μζ μύρια βτ Ϟβ , ὁ δὲ η νγ μύρια αυμα καὶ ἔστιν ὁ η τοῦ α μείζων ἢ διπλάσιος .
Lemmas: ὁ ἕξ ἐπόγδοος διάστημα μέγας εἰμί διάστημα εἷς διπλάσιος . εἰμί γάρ εἷς ἀριθμός ὁ Α . καί ὁ μέν Α ἐπόγδοος εἰμί ὁ Β , ὁ δέ Β ( p . 31 ) ἐπόγδοος ὁ Γ , ὁ δέ ἐπόγδοος ὁ δ , ὁ δέ δ ἐπόγδοος ὁ Ε , ὁ ε ἐπόγδοος ὁ Ζ , ὁ ζ ἐπόγδοος ὁ Η . λέγω , ὅτι ὁ Η ὁ Α μέγας εἰμί ἤ διπλάσιος . ἐπεί μανθάνω εὑρίσκω ἑπτά ἀριθμός ἐπόγδοος ἀλλήλων , εὑρίσκω ὁ Α Β Γ δ Ε Ζ Η , καί γίγνομαι ὁ μέν Α κϚʹ μυρίος βρμδ , ὁ δέ Β κθʹ μυρίος δϠιβ , ὁ δέ Γ λγ μυρίος αψοϚ ὁ δέ δ λζʹ μυρίος γσμη , ὁ δέ Ε μα μυρίος θϠδ , ὁ δέ Ζ μζ μυρίος βτ Ϟβ , ὁ δέ Η νγʹ μυρίος αυμα καί εἰμί ὁ ὁ ὁ Α μέγας ἤ διπλάσιος .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 10
Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι πολλαπλάσιον . Ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων ( p . 32 ) ὁ α , μέση γ δὲ ὁ β , προσλαμβανόμενος δὲ ὁ γ . τὸ ἄρα α γ διάστημα δὶς διὰ πασῶν ὂν ἐστὶ σύμφωνον . ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν , ἢ πολλαπλασιον . ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν · ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει . πολλαπλάσιον ἄρα ἐστίν . ἐπεὶ οὖν δύο ἶσα διαστήματα τὰ αβ βγ συντεθέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον , καὶ τὸ αβ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον .
Lemmas: ὁ διά πᾶς διάστημα εἰμί πολλαπλάσιος . εἰμί γάρ νήτη μέν ὑπερβολαῖος ( p . 32 ) ὁ Α , μέσος γ δέ ὁ Β , προσλαμβάνω δέ ὁ Γ . ὁ ἄρα α γ διάστημα δίς διά πᾶς εἰμί εἰμί σύμφωνος . ἤτοι οὖν ἐπιμόριος εἰμί , ἤ πολλαπλάσιος . ἐπιμόριος μέν οὐ εἰμί · ἐπιμόριος γάρ διάστημα μέσος οὐδείς ἀνάλογος ἐμπίπτω . πολλαπλάσιος ἄρα εἰμί . ἐπεί οὖν δύο ἴσος διάστημα ὁ ΑΒ ΒΓ συντίθημι ποιέω πολλαπλάσιος ὁ ὅλος , καί ὁ ΑΒ ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 11
Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε ἑκάτερον ἐπιμόριόν ἐστιν . Ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὁ α , μέση δὲ ὁ β , ὑπάτη δὲ μέσων ὁ γ . τὸ ἄρα α διάστημα δὶς διὰ τεσσάρων ὂν ἐστὶ διάφωνον · οὐκ ἄρα γ ἐστὶ πολλαπλάσιον . ἐπεὶ οὖν δύο διαστήματα β ἶσα τὰ αβ β γ συντεθέντα τὸ ὅλον μὴ α ποιεῖ πολλαπλάσιον , οὐδὲ ἄρα τὸ αβ ἐστὶ πολλαπλάσιον . καὶ ἔστι σύμφωνον · ἐπιμόριον ἄρα . ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ ισ ιβ θ τοῦ διὰ πέντε . ( p . 33 . )
Lemmas: ὁ διά τέσσαρες διάστημα καί ὁ διά πέντε ἑκάτερος ἐπιμόριος εἰμί . εἰμί γάρ νήτη μέν συνάπτω ὁ Α , μέσος δέ ὁ Β , ὑπάτη δέ μέσος ὁ Γ . ὁ ἄρα α διάστημα δίς διά τέσσαρες εἰμί εἰμί διάφωνος · οὐ ἄρα γ εἰμί πολλαπλάσιος . ἐπεί οὖν δύο διάστημα Β ἴσος ὁ ΑΒ Β γ συντίθημι ὁ ὅλος μή α ποιέω πολλαπλάσιος , οὐδέ ἄρα ὁ ΑΒ εἰμί πολλαπλάσιος . καί εἰμί σύμφωνος · ἐπιμόριος ἄρα . ὁ αὐτός δέ ἀπόδειξις καί ἐπί ἴς Ἶβ θ ὁ διά πέντε . ( p . 33 . )
euclides-geom.sectio-canonis-sp 12
Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι διπλάσιον . Ἐδείξαμεν γὰρ αὐτὸ πολλαπλάσιον . οὐκοῦν ἤτοι διπλάσιόν ἐστιν — ἢ μεῖζον ἢ διπλάσιον . ἀλλʼ ἐπεὶ ἐδείξαμεν τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συγκείμενον , ὥστε εἰ ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖζον διπλασίου , οὐ συγκείσεται ἐκ δύο μόνων ἐπι - μορίων , ἀλλʼ ἐκ πλειόνων , — σύγκειται δὲ ἐκ δύο συμφώνων διαστημάτων , ἐκ τε τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων · οὐκ ἄρα ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖζον διπλασίου . διπλάσιον ἄρα . Ἀλλʼ ἐπειδὴ τὸ διὰ πασῶν ἐστι διπλάσιον , τὸ δὲ διπλάσιον ἐκ τῶν μεγίστων ἐπιμορίων δύο συνέστηκε , καὶ τὸ διὰ πασῶν ἄρα ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου σννέστηκε , ταῦτα γὰρ μέγιστα . συνέστηκε δὲ ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων , ὄντων ἐπιμορίων · τὸ μὲν ἄρα διὰ πέντε , ἐπειδὴ μεῖζόν ἐστιν , ἡμιόλιον ἂν εἴη , τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον . Φανερὸν δὴ , ὅτι καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ διὰ πασῶν τριπλάσιόν ἐστιν . ἐδείξαμεν γὰρ , ὅτι ἐκ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται , ὥστε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ διὰ πέντε τριπλάσιον . Τὸ δὲ δὶς διὰ πασῶν τετραπλάσιόν ἐστιν . Ἀποδέδεικται ἄρα τῶν συμφώνων ἕκαστον , ἐν τίσι λόγοις ( p . 34 ) ἔχει τοὺς περιέχοντας φθόγγους πρὸς ἀλλήλους .
Lemmas: ὁ διά πᾶς διάστημα εἰμί διπλάσιος . δείκνυμι γάρ αὐτός πολλαπλάσιος . οὐκοῦν ἤτοι διπλάσιος εἰμί — ἤ μέγας ἤ διπλάσιος . ἀλλά ἐπεί δείκνυμι ὁ διπλάσιος διάστημα ἐκ δύο ὁ μέγας ἐπιμόριος σύγκειμαι , ὥστε εἰ εἰμί ὁ διά πᾶς μέγας διπλάσιος , οὐ σύγκειμαι ἐκ δύο μόνος ἐπι - μόριον , ἀλλά ἐκ πολύς , — σύγκειμαι δέ ἐκ δύο σύμφωνος διάστημα , ἐκ τε ὁ διά πέντε καί ὁ διά τέσσαρες · οὐ ἄρα εἰμί ὁ διά πᾶς μέγας διπλάσιος . διπλάσιος ἄρα . ἀλλά ἐπειδή ὁ διά πᾶς εἰμί διπλάσιος , ὁ δέ διπλάσιος ἐκ ὁ μέγας ἐπιμόριος δύο συνίστημι , καί ὁ διά πᾶς ἄρα ἐκ ἡμιόλιος καί ἐπίτριτος σννέστηκε , οὗτος γάρ μέγας . συνίστημι δέ ἐκ ὁ διά πέντε καί ἐκ ὁ διά τέσσαρες , εἰμί ἐπιμόριος · ὁ μέν ἄρα διά πέντε , ἐπειδή μέγας εἰμί , ἡμιόλιος ἄν εἰμί , ὁ δέ διά τέσσαρες ἐπίτριτος . φανερός δή , ὅτι καί ὁ διά πέντε καί διά πᾶς τριπλάσιος εἰμί . δείκνυμι γάρ , ὅτι ἐκ διπλάσιος διάστημα καί ἡμιόλιος τριπλάσιος διάστημα γίγνομαι , ὥστε καί ὁ διά πᾶς καί ὁ διά πέντε τριπλάσιος . ὁ δέ δίς διά πᾶς τετραπλάσιος εἰμί . ἀποδείκνυμι ἄρα ὁ σύμφωνος ἕκαστος , ἐν τίς λόγος ( p . 34 ) ἔχω ὁ περιέχω φθόγγος πρός ἀλλήλων .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 13
Λοιπὸν δὴ περὶ τοῦ τονιαίου διαστήματος διελθεῖν , ὅτι ἐστὶν ἐπόγδοον . Ἐμάθομεν γὰρ , ὅτι ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ , τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον . ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε τὸ διὰ τεσσάρων ἀφαιρεθῇ , τὸ λοιπὸν τονιαῖόν ἐστι διάστημα · τὸ ἄρα τονιαῖον διάστημά ἐστιν ἐπόγδοον .
Lemmas: λοιπός δή περί ὁ τονιαῖος διάστημα διέρχομαι , ὅτι εἰμί ἐπόγδοος . μανθάνω γάρ , ὅτι ἐάν ἀπό ἡμιόλιος διάστημα ἐπίτριτος διάστημα ἀφαιρέω , ὁ λοιπός καταλείπω ἐπόγδοος . ἐάν δέ ἀπό ὁ διά πέντε ὁ διά τέσσαρες ἀφαιρέω , ὁ λοιπός τονιαῖος εἰμί διάστημα · ὁ ἄρα τονιαῖος διάστημα εἰμί ἐπόγδοος .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 14
Τὸ διὰ πασῶν ἔλαττον ἢ ἓξ τόνων . Δέδεικται γὰρ τὸ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιον , ὁ δὲ τόνος ἐπόγδοος · τὰ δὲ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονα διαστήματός διπλασίου . τὸ ἄρα διὰ πασῶν ἔλαττόν ἐστιν ἓξ τόνων .
Lemmas: ὁ διά πᾶς ἐλαχύς ἤ ἕξ τόνος . δείκνυμι γάρ ὁ μέν διά πᾶς διπλάσιος , ὁ δέ τόνος ἐπόγδοος · ὁ δέ ἕξ ἐπόγδοος διάστημα μέγας διάστημα διπλάσιος . ὁ ἄρα διά πᾶς ἐλαχύς εἰμί ἕξ τόνος .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 15
Τὸ διὰ τεσσάρων ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου , καὶ τὸ διὰ πέντε ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου . Ἔστω γὰρ νήτη μὲν διεζευγμένων ὁ β , παραμέση δὲ ὁ γ , μέση δὲ ὁ δ , ( p . 35 ) ὑπάτη δὲ μέσων ὁ ζ . οὐκοῦν τὸ μὲν γδ δ διάστημα τόνος ἐστὶ , τὸ δὲ βζ , διὰ πασῶν ὂν , ἔλαττον ἓξ τόνων . τὰ λοιπὰ ἄρα , τό τε β καὶ τὸ δ ἶσα ὄντα ἐλάττονά ἐστι πέντε τόνων . ὥστε τὸ ἐν τῷ βγ ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου , ὅ ἐστι διὰ τεσσάρων , τὸ δὲ βδ ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου , ὅ ἐστι διὰ πέντε .
Lemmas: ὁ διά τέσσαρες ἐλαχύς δύο τόνος καί ἡμιτόνιον , καί ὁ διά πέντε ἐλαχύς τρεῖς τόνος καί ἡμιτόνιον . εἰμί γάρ νήτη μέν διαζεύγνυμαι ὁ Β , παραμέση δέ ὁ Γ , μέσος δέ ὁ δ , ( p . 35 ) ὑπάτη δέ μέσος ὁ Ζ . οὐκοῦν ὁ μέν γδω δ διάστημα τόνος εἰμί , ὁ δέ ΒΖ , διά πᾶς εἰμί , ἐλαχύς ἕξ τόνος . ὁ λοιπός ἄρα , ὁ τε Β καί ὁ δ ἴσος εἰμί ἐλαχύς εἰμί πέντε τόνος . ὥστε ὁ ἐν ὁ ΒΓ ἐλαχύς δύο τόνος καί ἡμιτόνιον , ὅς εἰμί διά τέσσαρες , ὁ δέ βδέω ἐλαχύς τρεῖς τόνος καί ἡμιτόνιον , ὅς εἰμί διά πέντε .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 16
Ὁ τόνος οὐ διαιρεθήσεται εἰς δύο ἶσα οὔτε εἰς πλείω . Ἐδείχθη γὰρ ὢν ἐπιμόριος · ἐπιμορίου δὲ διαστήματος μέσοι οὔτε πλείους οὔτε εἷς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν . οὔκ ἄρα διαιρεθήσεται ὁ τόνος εἰς ἶσα .
Lemmas: ὁ τόνος οὐ διαιρέω εἰς δύο ἴσος οὔτε εἰς πολύς . δείκνυμι γάρ εἰμί ἐπιμόριος · ἐπιμόριος δέ διάστημα μέσος οὔτε πολύς οὔτε εἷς ἀνάλογος ἐμπίπτω . οὐ ἄρα διαιρέω ὁ τόνος εἰς ἴσος .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 17
Αἱ παρανῆται αἱ καὶ λιχανοὶ ληφθήσονται διὰ συμφωνίας οὕτως . Ἔστω γὰρ μέση ὁ β . ἐπιτετάσθω ( p . 36 ) διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὸ γ , καὶ ἀπὸ τοῦ ἀνείσθω διὰ πέντε ἐπὶ τὸ δ . τόνος ἄρα ὁ βδ . πάλιν δὲ ἀπὸ τοῦ δ διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσθω ἐπὶ τὸ ε , καὶ ἀπὸ τοῦ ε ἀνείσθω ἐπὶ τὸ διὰ πέντε . τόνος ἄρα τὸ ζδ . δίτονος ἄρα τὸ ζβ . τόν τόν . λιχανὸς ἄρα τὸ ζ . ὁμοίως ἂν καὶ αἱ παρανῆται ληφθήσονται .
Lemmas: ὁ παρανέομαι ὁ καί λιχανός λαμβάνω διά συμφωνία οὕτως . εἰμί γάρ μέσος ὁ Β . ἐπιτείνω ( p . 36 ) διά τέσσαρες ἐπί ὁ Γ , καί ἀπό ὁ ἀνίημι διά πέντε ἐπί ὁ δ . τόνος ἄρα ὁ βδέω . πάλιν δέ ἀπό ὁ δ διά τέσσαρες ἐπιτείνω ἐπί ὁ Ε , καί ἀπό ὁ Ε ἀνίημι ἐπί ὁ διά πέντε . τόνος ἄρα ὁ ζδ . δίτονος ἄρα ὁ ΖΒ . ὁ ὁ . λιχανός ἄρα ὁ Ζ . ὅμοιος ἄν καί ὁ παρανέομαι λαμβάνω .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 18
Αἱ παρυπάται καὶ αἱ τρίται οὐ διαιροῦσι τὸ πυκνὸν εἰς ἶσα . Ἔστω γὰρ μέση μὲν ὁ β , λιχανὸς ζ δ γ ε β δὲ ὁ γ , ὑπάτη δὲ ὁ δ . ἀνείσθω ἀπὸ τοῦ β διὰ πέντε ἐπὶ τὸ ζ . τόνος ἄρα ὁ ζδ . καὶ ἀπὸ τοῦ ζ διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσθω ἐπὶ τὸ ε . τόνος ἐστὶν ἄρα τὸ ζδ διάστημα καὶ τὸ βε . κοινὸν προσκείσθω τὸ δγ . τὸ ἄρα ζε ἶσόν ἐστι τῷ δβ . διὰ τεσσάρων δὲ τὸ ζε · οὐκ ἄρα μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει τις τῶν ζε · ἐπιμόριον γὰρ τὸ διάστημα . ξδ καὶ ἔστιν ἴσος ὁ δβ τῷ ζε · οὐκ ἄρα οβ τοῦ δ μέσος ἐμπεσεῖται , ὅ ἐστιν ἀπὸ ὑπάτης ἐπὶ λιχανόν . οὐκ ἄρα ἡ παρυπάτη διελεῖ τὸ πυκνὸν εἰς ἶσα . ὁμοίως οὐδὲ ἡ τρίτη . ( p . 37 . )
Lemmas: ὁ παρυπάτη καί ὁ τρίτος οὐ διαιρέω ὁ πυκνός εἰς ἴσος . εἰμί γάρ μέσος μέν ὁ Β , λιχανός ζ δ γ ε Β δέ ὁ Γ , ὑπάτη δέ ὁ δ . ἀνίημι ἀπό ὁ Β διά πέντε ἐπί ὁ Ζ . τόνος ἄρα ὁ ζδ . καί ἀπό ὁ Ζ διά τέσσαρες ἐπιτείνω ἐπί ὁ Ε . τόνος εἰμί ἄρα ὁ ζδ διάστημα καί ὁ ΒΕ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΔΓΕ . ὁ ἄρα ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ δβ . διά τέσσαρες δέ ὁ ΖΕ · οὐ ἄρα μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω τις ὁ ΖΕ · ἐπιμόριος γάρ ὁ διάστημα . ξδ καί εἰμί ἴσος ὁ δβ ὁ ΖΕ · οὐ ἄρα ΟΒΕ ὁ δ μέσος ἐμπίπτω , ὅς εἰμί ἀπό ὑπάτη ἐπί λιχανός . οὐ ἄρα ὁ παρυπάτη διαιρέω ὁ πυκνός εἰς ἴσος . ὅμοιος οὐδέ ὁ τρίτος . ( p . 37 . )
euclides-geom.sectio-canonis-sp 19
Τὸν κανόνα καταγράψαι κατὰ τὸ καλούμενον ἀμετάβολον σύστημα . Ἔστω τοῦ κανόνος μῆκος , ὃ καὶ τῆς χορδῆς τὸ αβ , καὶ διῃρήσθω εἰς τέσσαρα ἶσα κατὰ τὰ γδε . ἔσται ἄρα ὁ βα βαρύτατος ὢν φθόγγος βόμβυξ . οὗτος δὲ ὁ αβ τοῦ γβ ἐπίτριτός ἐστιν , ὥστε ὁ γβ τῷ αβ συμ - φωνήσει διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὴν ὀξύτητα . καὶ ἔστιν ὁ αβ προσλαμβανόμενος · ὁ ἄρα γβ ἔσται ὑπάτων διάτονος . πάλιν ἐπεὶ ὁ αβ τοῦ βδ ἐστὶ διπλοῦς , συμφωνήσει τῇ διὰ πασῶν καὶ ἔσται ὁ βδ μέση . πάλιν ἐπεὶ τετραπλάσιός ἐστιν ὁ αβ τοῦ εβ , ἔσται ὁ εβ νήτη ὑπερβολαίων . ἔτεμον τὸν γβ δίχα κατὰ τὸ ζ . καὶ ἔσται διπλάσιος ὁ γβ τοῦ ζβ , ὥστε συμφωνεῖν τὸν γβ πρὸς τὸν ζβ διὰ πασῶν · ὥστε εἶναι τὸν ζβ νήτην συνημμένων . ἀπέλαβον τοῦ δβ τρίτον μέρος τὸ δη . καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὁ δβ τοῦ ηβ , ὥστε συμφωνήσει ὁ δβ πρὸς τὸν ηβ ἐν τῷ διὰ πέντε · ὁ ἄρα ηβ νήτη ἔσται διεζευγμένων . ἔθηκα τῷ ηβ ἶσον τὸν ηθ , ὥστε ὁ θβ πρὸς τὸν ηβ συμφωνήσει διὰ πασῶν , ὡς εἶναι τὸν θβ ὑπάτην μέσων . ἔλαβον τοῦ θβ τρίτον μέρος τὸ θκ . καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὁ θβ τοῦ κβ , ὥστε εἶναι τὸν κβ παράμεσον . ( p . 39 . ) ἀπέλαβον τῷ κβ ἶσον τὸν καὶ γενήσεται ὁ λβ ὑπάτη βαρεῖα . ἐσονται ἄρα εἰλημμένοι ἐν τῷ κανόνι πάντες οἱ ἑστῶτες φθόγγοι τοῦ ἀμεταβόλου συστήματος . α λ γ δ κ ζ η ε προσλαμβ . ὑπάτη ὑπ . λιχ . ὑπ διάτ . ὑπάτη μέσ . Μέση παραμέση νήτη συν . νήτη διεζ . νήτη ὑπβ .
Lemmas: ὁ κανών καταγράφω κατά ὁ καλέω ἀμετάβολος σύστημα . εἰμί ὁ κανών μῆκος , ὅς καί ὁ χορδή ὁ ΑΒ , καί διαιρέω εἰς τέσσαρες ἴσος κατά ὁ γδε . εἰμί ἄρα ὁ ΒΑ βαρύς εἰμί φθόγγος βόμβυξ . οὗτος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΓΒ ἐπίτριτος εἰμί , ὥστε ὁ ΓΒ ὁ ΑΒ σναυ - φωνέω διά τέσσαρες ἐπί ὁ ὀξύτης . καί εἰμί ὁ ΑΒ προσλαμβάνω · ὁ ἄρα ΓΒ εἰμί ὕπατος διάτονος . πάλιν ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ βδέω εἰμί διπλόος , συμφωνέω ὁ διά πᾶς καί εἰμί ὁ βδέω μέσος . πάλιν ἐπεί τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΕΒ , εἰμί ὁ ΕΒ νήτη ὑπερβολαῖος . τέμνω ὁ ΓΒ δίχα κατά ὁ Ζ . καί εἰμί διπλάσιος ὁ ΓΒ ὁ ΖΒ , ὥστε συμφωνέω ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΒ διά πᾶς · ὥστε εἰμί ὁ ΖΒ νήτη συνάπτω . ἀπολαμβάνω ὁ δβ τρίτος μέρος ὁ δη . καί εἰμί ἡμιόλιος ὁ δβ ὁ ΗΒ , ὥστε συμφωνέω ὁ δβ πρός ὁ ΗΒ ἐν ὁ διά πέντε · ὁ ἄρα ΗΒ νήτη εἰμί διαζεύγνυμαι . τίθημι ὁ ΗΒ ἴσος ὁ ΗΘ , ὥστε ὁ ΘΒ πρός ὁ ΗΒ συμφωνέω διά πᾶς , ὡς εἰμί ὁ ΘΒ ὑπάτη μέσος . λαμβάνω ὁ ΘΒ τρίτος μέρος ὁ ΘΚ . καί εἰμί ἡμιόλιος ὁ ΘΒ ὁ ΚΒ , ὥστε εἰμί ὁ ΚΒ παράμεσος . ( p . 39 . ) ἀπολαμβάνω ὁ ΚΒ ἴσος ὁ καί γίγνομαι ὁ ΛΒ ὑπάτη βαρύς . εἰμί ἄρα λαμβάνω ἐν ὁ κανών πᾶς ὁ ἵστημι φθόγγος ὁ ἀμετάβολος σύστημα . α λ γ δ κ ζ ὁ ε προσλαμβ . ὑπάτη ὑπό . λιχ . ὑπό διάτ . ὑπάτη μές . Μέση παραμέση νήτη σῦς . νήτη διεζ . νήτη ὑποβ .
euclides-geom.sectio-canonis-sp 20
Λοιπὸν δὴ τοὺς φερομένους λαβεῖν . Ἔτεμον τὸν ε β εἰς ὀκτὼ καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἶσον ἔθηκα τὸν εμ , ὥστε τὸν μβ τοῦ εβ γενέσθαι ἐπόγδοον . καὶ πάλιν διελὼν τὸν μβ εἰς ὀκτὼ ἑνὶ αὐτῶν ἶσον ἔθηκα τὸν νμ · τόνῳ ἄρα βαρύτερος ἔσται ὁ νβ τοῦ βμ , ὁ δὲ μβ τοῦ βε , ὥστε ἔσται μὲν ὁ νβ τρίτη ὑπερβολαίων , ὁ δὲ μβ ὑπερβολαίων διάτονος . ἔλαβον τοῦ νβ τρίτον μέρος καὶ ἔθηκα τὸν νξ , ὥστε τὸν ξβ τοῦ νβ εἶναι ἐπίτριτον καὶ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν ἐπὶ τὴν βαρύτητα καὶ γενέσθαι τὸν ξβ τρίτην διεζευγμένων . πάλιν τοῦ ξβ λαβὼν ἥμισυ μέρος ἔθηκα τὸν ξο , ὥστε διὰ πέντε συμφωνεῖν τὸν οβ πρὸς τὸν ξβ · ὁ ἄρα οβ ἔσται παρυπάτη μέσων . καὶ τῷ ξο ἶσον ἔθηκα τὸν οπ , ὥστε γενέσθαι τὸν πβ παρυπάτην ὑπάτων . ἔλαβον δὴ τοῦ β τέταρτον μέρος τὸν γρ , ὥστε γενέσθαι τὸν ρβ μέσων διάτονον . προσλαμβανόμενος α ὑπάτη ὑπάτων παρυπ ὑπάτων λιχανὸς ὑπάτων ὑπάτη μέσων παρυπάτη μέσων λιχανὸς μέσων Μέση παραμέση τρίτη διεζευγμένων παρανήτη διεζευγμένων νήτη διεζευγμένων τρίτη ὑπερβολαίων παρανήτη ὑπερβολαίων νήτη ὑπερβολαίων
Lemmas: λοιπός δή ὁ φέρω λαμβάνω . τέμνω ὁ ε Β εἰς ὀκτώ καί εἷς αὐτός ἴσος τίθημι ὁ ΕΜ , ὥστε ὁ ΜΒ ὁ ΕΒ γίγνομαι ἐπόγδοος . καί πάλιν διαιρέω ὁ ΜΒ εἰς ὀκτώ εἷς αὐτός ἴσος τίθημι ὁ ΝΜ · τόνος ἄρα βαρύς εἰμί ὁ ΝΒ ὁ ΒΜ , ὁ δέ ΜΒ ὁ ΒΕ , ὥστε εἰμί μέν ὁ ΝΒ τρίτος ὑπερβολαῖος , ὁ δέ ΜΒ ὑπερβολαῖος διάτονος . λαμβάνω ὁ ΝΒ τρίτος μέρος καί τίθημι ὁ ΝΞ , ὥστε ὁ ΞΒ ὁ ΝΒ εἰμί ἐπίτριτος καί διά τέσσαρες συμφωνέω ἐπί ὁ βαρύτης καί γίγνομαι ὁ ΞΒ τρίτος διαζεύγνυμαι . πάλιν ὁ ΞΒ λαμβάνω ἥμισυς μέρος τίθημι ὁ ΞΟ , ὥστε διά πέντε συμφωνέω ὁ ΟΒ πρός ὁ ΞΒ · ὁ ἄρα ΟΒ εἰμί παρυπάτη μέσος . καί ὁ ΞΟ ἴσος τίθημι ὁ ΟΠ , ὥστε γίγνομαι ὁ ΠΒ παρυπάτη ὕπατος . αἱραβόω δή ὁ Β τέταρτος μέρος ὁ ΓΡ , ὥστε γίγνομαι ὁ ΡΒ μέσος διάτονος . προσλαμβάνω Α ὑπάτη ὕπατος παρυπ ὕπατος λιχανός ὕπατος ὑπάτη μέσος παρυπάτη μέσος λιχανός μέσος Μέση παραμέση τρίτος διαζεύγνυμαι παρανήτη διαζεύγνυμαι νήτη διαζεύγνυμαι τρίτος ὑπερβολαῖος παρανήτη ὑπερβολαῖος νήτη ὑπερβολαῖος