euclides-geom.phaenomena 12
Τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν , καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν , ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἐξῆς τούτων , ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ , ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ PΣΤ , θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΕ , χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΖ , ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΒΗ∠ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΗΓ . καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΗΓ , καὶ διῃρήσθω ἑκάτερον τῶν ΑΗ , ΗΓ τεταρτομορίων εἰς τὰ ζῳδία κατὰ τὰ Θ , Κ , Λ , Μ · λέγω , ὅτι αἱ ΑΘ , ΘΚ , ΚΗ , ΗΛ , ΛΜ , ΜΓ ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσι , καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ ΑΘ , ΓΜ , ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΘΚ , ΛΜ , ἐν ἐλαγίστῳ δὲ αἱ ΚΗ , ΗΛ , ἐν ἴσῳ δὲ ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΜΓ . ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΜΛ , ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΛΗ . γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Θ , Κ , Λ , Μ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΘ , ΞΚ , ΟΛ , ΠΜ , διὰ δὲ τῶν Θ , Κ μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν ἐφαπτόμενοι τοῦ ΡΣ οἱ ΣΘΦ , ΤΚΧ , ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν ΑΡ , ΣΘΦ , ΤΚΧ τῶν παραλλήλων κύκλων ὁμοίας εἶναι , τουτέστιν οὕτω γεγράφθωσαν , ὡς τὸ ἀπὸ τοῦ Ρ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Α , Ν μέρη ἀσύμπτωτον εἶναι τοῖς διὰ τῶν Σ , Τ ἡμικυκλίοις ὡς ἐπὶ τὰ Χ , Φ . αἱ μὲν ΝΘ , ΞΥ ΒΦ ἀπεναντίον εἰσίν · καὶ ἄρα αἱ ΥΚ , ΦΧ . ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΦΝ διέρχεται , ἐν τούτῳ τότε Υ τὴν ΥΞ διαπορεύεται καὶ τὸ Φ τὴν ΦΒ διαπορεύεται . καὶ ἐπεί , ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Θ τὴν ΘΝ διαπορεύεται , ἡ ΥΑ δύνει , ἐν ἄρα τότε Υ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Φ τὴν Β Φ , ἡ Θ Α δύνει . πάλιν , ἐπεὶ ἐν ᾧ τότε Κ τὴν ΚΞ διέρχεται καὶ τὸ Χ τὴν ΧΒ , ἡ ΚΑ δύνει , ἐν ᾧ ἄρα τὸ Κ τὴν Κ διέρχεται , τουτέστι τὸ τὴν ΧΦ ὅμοιαι γάρ εἰσιν · ἡ ΚΘ δύνει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν τὸ Η τὴν ΗΧ διέρχεται , ἡ ΗΚ δύνει . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρα μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΡΣΤ ἐφάπτεται , ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΑΗ λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειζόνων ἐφάπτεται ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ ἐφάπτεται , καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΘ , ΘΚ , Κ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ Β Η ∠ , διὰ δὲ τῶν Θ , Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οἱ ΣΦ , ΤΧ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΡΣΤ κύκλου , οὗ καὶ ὁ ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ ἐχήπτετο , ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν Σ , Τ ἐπαφῶν ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ Κ , Θ μέρη τῷ ΡΑΒ ἡμικυκλίῳ τοῦ ὁρίζοντος , ἐφʼ οὗ ἐστιν ἡ συναφὴ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἡ μεταξὺ τοῦ τε φανεροῦ πόλου καὶ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΦ περιφέρεια τῆς ΦΧ , ἡ δὲ ΦΧ τῆς ΧΗ · ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Φ τὴν ΦΒ διέρχεται , ἤπερ τὸ Χ τὴν ΦΧ διέρχεται · ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ τὸ Χ τὴν ΦΧ ἤπερ Η τὸ τὴν ΗΧ · ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Φ τὴν ΦΒ διέρχεται , ἡ ΘΑ δύνει , ἐν ᾧ δὲ τὸ Χ τὴν ΧΦ διέρχεται , ἡ ΘΚ δύνει , ἐν ᾧ δὲ τὸ Η τὴν ΗΧ διέρχεται , ἡ ΗΚ δύνει · ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ μὲν ΑΘ τῆς ΚΘ δύνει , ἡ δὲ ΘΚ τῆς ΚΗ . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ . μετακεκινήσθω γὰρ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ τὸ ἐπὶ τὸ Β παραγινέσθω · ἔξει ἄρα θέσιν ὁ ζῳδιακὸς τὴν ΩΒΨ . καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ τῇ ΗΛ ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Ω Β τῇ ΒΨ . καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΒΗ∠ , καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΩΚ , ΨΛ ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ω Κ τῷ ΨΛ ὥστε καὶ ἡ ΒΞ τῇ ΒΟ ἴση ἐστίν , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω ἄρα ἐπὶ τὸ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ο ἐπὶ τὸ Ψ . ὥστε καὶ ἡ ΩΞ περι - φέρεια ἴση ἐστὶ τῇ Ο Ψ . ἐν ἄρα τὸ Ω ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΞΩ διέρχεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ψ τὴν ΨΟ . ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Ω ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΩ διέρχεται , ἡ ΒΩ δύνει · ἐν ᾧ δὲ τὸ Ψ τὴν ΟΨ διέρχεται , ἡ ΒΨ δύνει . ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ αἱ ΩΒ , Β περιφέρειαι δύνουσιν · ὥστε καὶ αἱ ΚΗ , ΗΛ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν · ὁμοίως καὶ αἱ ΘΚ , ΛΜ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΑΘ , ΜΓ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν . ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ μὲν ΑΘ τῆς ΘΚ δύνει , ἡ δὲ ΘΚ τῆς Κ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει καὶ ἡ μὲν ΓΜ τῆς ΜΛ , ἡ δὲ ΜΛ τῆς ΛΗ . τὰ αὐτὰ δειχθήσεται καὶ ὅταν ὁ πόλος τῶν παραλλήλων ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ᾖ , καὶ γραφομένων διὰ τῶν Κ , Θ μεγίστων κύκλων καὶ διὰ τοῦ πόλου . τοῦ ἄρα μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν , καὶ ἐν πλείστῳ μὲν αἰ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν , ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων , ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἱσημερινῷ , ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀλλήλαις ἀνατέλλουσιν .
Lemmas: ὁ μετά ὁ Καρκίνος ἡμικύκλιον ὁ ἴσος περιφέρεια ἐν ἄνισος χρόνος δύω , καί ἐν πολύς μέν ὁ πρός ὁ συναφή ὁ τροπικός , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ἑξῆς οὗτος , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ πρός ὁ ἰσημερινός , ἐν ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός καί δύω καί ἀνατέλλω . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , μέγας δέ ὁ ἀεί φανερός ὁ PΣΤ , θερινός δέ τροπικός ὁ ΑΕ , χειμερινός δέ τροπικός ὁ ΓΖ , ἰσημερινός δέ ὁ ΒΗ∠ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ΑΗΓ . καί εἰμί ὁ μετά ὁ Καρκίνος ἡμικύκλιον ὑπέρ γῆ ὁ ΑΗΓ , καί διαιρέω ἑκάτερος ὁ ΑΗ , ΗΓ τεταρτομόριος εἰς ὁ ζῴδιον κατά ὁ Θ , Κ , Λ , Μ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΘ , ΘΚ , ΚΗ , ΗΛ , ΛΜ , ΜΓ ἐν ἄνισος χρόνος δύω , καί ἐν πολύς μέν ὁ ΑΘ , ΓΜ , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ΘΚ , ΛΜ , ἐν ἔλαγιστον δέ ὁ ΚΗ , ΗΛ , ἐν ἴσος δέ ὁ μέν ΑΘ ὁ ΜΓ . ὁ δέ ΘΚ ὁ ΜΛ , ὁ δέ ΚΗ ὁ ΛΗ . γράφω γάρ διά ὁ Θ , Κ , Λ , Μ παράλληλος κύκλος ὁ ΝΘ , ΞΚ , ΟΛ , ΠΜ , διά δέ ὁ Θ , Κ μέγας κύκλος γράφω ἐφάπτω ὁ ΡΣ ὁ ΣΘΦ , ΤΚΧ , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ ΑΡ , ΣΘΦ , ΤΚΧ ὁ παράλληλος κύκλος ὅμοιος εἰμί , τουτέστι οὕτως γράφω , ὡς ὁ ἀπό ὁ Ρ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Α , Ν μέρος ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ διά ὁ Σ , Τ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Χ , Φ . ὁ μέν ΝΘ , ΞΥ ΒΦ ἀπεναντίον εἰμί · καί ἄρα ὁ ΥΚ , ΦΧ . ὥστε ἐν ὅς ὁ Θ ὁ ΦΝ διέρχομαι , ἐν οὗτος τότε Υ ὁ ΥΞ διαπορεύω καί ὁ Φ ὁ ΦΒ διαπορεύω . καί ἐπεί , ἐν ὅς χρόνος ὁ Θ ὁ ΘΝ διαπορεύω , ὁ ΥΑ δύω , ἐν ἄρα τότε Υ ὁ ΥΞ περιφέρεια διαπορεύω καί ὁ Φ ὁ Β Φ , ὁ Θ Α δύω . πάλιν , ἐπεί ἐν ὅς τότε Κ ὁ ΚΞ διέρχομαι καί ὁ Χ ὁ ΧΒ , ὁ ΚΑ δύω , ἐν ὅς ἄρα ὁ Κ ὁ Κ διέρχομαι , τουτέστι ὁ ὁ ΧΦ ὅμοιος γάρ εἰμί · ὁ ΚΘ δύω . διά ὁ αὐτός δή καί ἐν ὁ Η ὁ ΗΧ διέρχομαι , ὁ ΗΚ δύω . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΡΣΤ ἐφάπτω , ἄλλος δέ τις μέγας κύκλος ὁ ΑΗ λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος μέγας ἐφάπτω ἤ ὅς ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω , καί ἀπολαμβάνω εἰμί ἴσος περιφέρεια ὁ ΑΘ , ΘΚ , Κ ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ Β Η ∠ , διά δέ ὁ Θ , Κ σημεῖον μέγας κύκλος γράφω εἰμί ὁ ΣΦ , ΤΧ ἐφάπτω ὁ ΡΣΤ κύκλος , ὅς καί ὁ ἐκ ἀρχή ΑΒΓ ἐπιχήτομαι , ἀσύμπτωτος ποιέω ὁ ἀπό ὁ Σ , Τ ἐπαφή ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Κ , Θ μέρος ὁ ΡΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ὁρίζων , ἐπί ὅς εἰμί ὁ συναφή ὁ λοξός κύκλος ὁ μεταξύ ὁ τε φανερός πόλος καί ὁ μέγας ὁ παράλληλος , ἄνισος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ μέγας ὁ παράλληλος κύκλος ὁ μεταξύ αὐτός · μέγας ἄρα εἰμί ὁ μέν ΒΦ περιφέρεια ὁ ΦΧ , ὁ δέ ΦΧ ὁ ΧΗ · ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ Φ ὁ ΦΒ διέρχομαι , ἤ ὁ Χ ὁ ΦΧ διέρχομαι · ἐν πολύς δέ χρόνος ὁ Χ ὁ ΦΧ ἤ Η ὁ ὁ ΗΧ · ἀλλά ἐν ὅς μέν ὁ Φ ὁ ΦΒ διέρχομαι , ὁ ΘΑ δύω , ἐν ὅς δέ ὁ Χ ὁ ΧΦ διέρχομαι , ὁ ΘΚ δύω , ἐν ὅς δέ ὁ Η ὁ ΗΧ διέρχομαι , ὁ ΗΚ δύω · ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ μέν ΑΘ ὁ ΚΘ δύω , ὁ δέ ΘΚ ὁ ΚΗ . λέγω δή , ὅτι καί ἐν ἴσος χρόνος δύω ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός . μετακινέω γάρ ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος καί ὁ ἐπί ὁ Β παραγίγνομαι · ἔχω ἄρα θέσις ὁ ζῳδιακός ὁ ΩΒΨ . καί ἴσος εἰμί ὁ Κ ὁ ΗΛ ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ Ω Β ὁ ΒΨ . καί εἰμί μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΒΗ∠ , καί παράλληλος κύκλος ὁ ΩΚ , ΨΛ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ω Κ ὁ ΨΛ ὥστε καί ὁ ΒΞ ὁ ΒΟ ἴσος εἰμί , καί ὁ ἀπό ὁ Ω ἄρα ἐπί ὁ Ξ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ο ἐπί ὁ Ψ . ὥστε καί ὁ ΩΞ περί - φέρω ἴσος εἰμί ὁ Ο Ψ . ἐν ἄρα ὁ Ω ἄρχω ἀπό ὁ ὁ ΞΩ διέρχομαι , ἐν οὗτος καί ὁ Ψ ὁ ΨΟ . ἀλλά ἐν ὅς μέν ὁ Ω ἄρχω ἀπό ὁ Ξ ὁ ΞΩ διέρχομαι , ὁ ΒΩ δύω · ἐν ὅς δέ ὁ Ψ ὁ ΟΨ διέρχομαι , ὁ ΒΨ δύω . ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ ΩΒ , Β περιφέρεια δύω · ὥστε καί ὁ ΚΗ , ΗΛ ἐν ἴσος χρόνος δύω · ὅμοιος καί ὁ ΘΚ , ΛΜ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΑΘ , ΜΓ ἐν ἴσος χρόνος δύω . ἐν πολύς δέ χρόνος ὁ μέν ΑΘ ὁ ΘΚ δύω , ὁ δέ ΘΚ ὁ Κ ἐν πολύς ἄρα χρόνος δύω καί ὁ μέν ΓΜ ὁ ΜΛ , ὁ δέ ΜΛ ὁ ΛΗ . ὁ αὐτός δείκνυμι καί ὅταν ὁ πόλος ὁ παράλληλος ἐπί ὁ ὁρίζων εἰμί , καί γράφω διά ὁ Κ , Θ μέγας κύκλος καί διά ὁ πόλος . ὁ ἄρα μετά ὁ Καρκίνος ἡμικύκλιον ὁ ἴσος περιφέρεια ἐν ἄνισος χρόνος δύω , καί ἐν πολύς μέν ὁ πρός ὁ συναφή ὁ τροπικός , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ἑξῆς οὗτος , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ πρός ὁ ἱσημερινός , ἐν ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἐν ἴσος χρόνος ἀλλήλων ἀνατέλλω .