euclides-geom.phaenomena 14
Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου αἴ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἀλλʼ ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον , ὅταν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ τοῦ τε ἀρκτικοῦ καὶ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠ , τῶν δὲ ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ΖΗ , καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΓΚ , χειμερινὸς δὲ ὁ ΛΜΝ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω ὁτὲ μὲν τὴν ΚΞΟ , ὁτὲ δὲ τὴν ΠΤΡ , καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΚΟ περιφέρεια μὴ μείζων ἡμικυκλίου , καὶ διὰ τοῦ Ε γεγράφθω μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ ΑΛΕ ἐφάπτεται δὴ καὶ τοῦ ΖΗ ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Κ ἐλεύσεται ἢ ὑπερπεσεῖται τὸ Κ ὡς ἐπὶ τὰ Β μέρη · οὐδὲν γὰρ διαφέρει · ἔστω ὁ ΕΗΘ καὶ ἔστω ἀσύμπτωτον τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ρ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Β μέρη . ἐπεὶ οὖν τοῦ ΑΒΓ κύκλου ὁ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε , ΒΚΓ , καὶ γεγραμμένοι εἰσὶ κύκλοι τέμνοντες τὸν ΒΑΓ , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΦ περιφέρεια τῆς ΥΠΤ . πάλιν , ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ὁ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε , ΒΚΓ καὶ τοῦ Α∠Ε ἐφαπτόμενός ἐστιν ὁ ΕΡΟ , καὶ τοῦ ΕΡΟ ἄρα ὁ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε , ΒΚΓ ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὐ ἐστι τῶν ΖΗ , ΜΝΛ · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΦΟ περιφέρεια τῆς ΥΠΡ · ἡ δὲ ΥΦ τῆς ΥΠΤ ἐλάσσων ἐστίν · λοιπὴ ἄρα ἡ ΟΦ τῆς ΡΤ μείζων ἐστίν . κείσθωσαν ὅμοιαι καὶ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΤP , ΦΧ , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι , καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ρ , Χ σημεῖα , οἱ ΨΧΣ , ?? ΩΡ ὅμοιαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΨΧΣ , ?? ΩΡ · ἐν δὲ τὸ Σ τὴν ΣΧ περιφέρειαν διαπορεύεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ρ τὴν ΡΩ ?? περιφέρειαν διαπορεύεται . ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Ρ τὴν ΡΩ ?? περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Χ τὴν ΨΧ ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Ρ τὴν ΡΩ ?? διαπορεύεται , ἡ ΡΤ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ἐν ᾧ δὲ τὸ Χ τήν ΧΨ διαπορεύεται , ἡ ΦΧ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΤΡ τῆς ΦΧ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον . ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἀλλʼ ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον , ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτεροσοῦν . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΕΖ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΒΕΓ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΚΗ , ΗΜ · λέγω , ὅτι ἡ ΚΗ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΜ . γεγράφθωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι , καθʼ ὧν φέρεται τὰ Κ , Η , Μ , οἱ ΚΛ , ΗΘ , ΜΝ · αἱ ἄρα ΚΗ , ΛΘ περιφέρειαι ἴσαι εἰσὶ καὶ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῆς συναφῆς ὁποτεροσοῦν . καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ ἡ ΛΘ ἀνατέλλει , ἐν τούτῳ ἡ ΚΗ περιφέρεια δύνει , ἀλλὰ μὴν καὶ ἐν τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΘΟ διαπορεύεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΘΟ διαπορεύεται , ὁ ἄρα χρόνος , ἐν ᾧ ἡ ΛΘ ἀνατέλλει , προσλαμβάνων τὸν χρόνον , ἐν ᾧ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΘΟ διαπορεύεται , ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ , ἐν τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΗΟ διαπορεύεται , προσλαμβάνων τὸν χρόνον , ἐν ἡ ΗΚ δύνει . ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος , ἐν ᾧ ἡ ΔΘ ἀνατέλλει , προσλαβὼν τὸν χρόνον , ἐν ᾧ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΘΟ περιφέρειαν διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ἡ ΛΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΞΗΟ διαπορεύεται , προσλαβὼν τὸν χρόνον , ἐν ᾧ ἡ ΚΗ δύνει , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ ἡ ΚΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · αἱ ΔΘ , Κ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον . καὶ ἡ ΘΝ διὰ τὰ αὐτὰ ἐν ἴσῳ χρόνῳ καὶ ἡ ΗΜ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον . ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΛΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΝ ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρὸ τούτου · ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΚΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΜ . καὶ συναποδέδεικται , ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτεροσοῦν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον .
Lemmas: ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ἴσος περιφέρεια οὐ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ἀλλά ἐν πολύς ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ θερινός τροπικός ὁ ἀπώτερος , ὅταν ὁ πόλος ὁ ὁρίζων μεταξύ ὁ τε ἀρκτικός καί ὁ θερινός τροπικός . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , μέγας δέ ὁ ἀεί φανερός ὁ Α∠ , ὁ δέ ἀεί ἀφανής ὁ ΖΗ , καί θερινός μέν τροπικός ὁ ΒΓΚ , χειμερινός δέ ὁ ΛΜΝ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὅτε μέν ὁ ΚΞΟ , ὅτε δέ ὁ ΠΤΡ , καί ἀπολαμβάνω ὁ ΚΟ περιφέρεια μή μέγας ἡμικύκλιον , καί διά ὁ Ε γράφω μέγας κύκλος ἐφάπτω ὁ ΑΛΕ ἐφάπτω δή καί ὁ ΖΗ ἤτοι δή διά ὁ Κ ἔρχομαι ἤ ὑπερπίπτω ὁ Κ ὡς ἐπί ὁ Β μέρος · οὐδείς γάρ διαφέρω · εἰμί ὁ ΕΗΘ καί εἰμί ἀσύμπτωτος ὁ ἀπό ὁ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Ρ μέρος ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Β μέρος . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ πόλος μεταξύ εἰμί ὁ Α∠Ε , ΒΚΓ , καί γράφω εἰμί κύκλος τέμνω ὁ ΒΑΓ , ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὁ ΥΦ περιφέρεια ὁ ΥΠΤ . πάλιν , ἐπεί ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ πόλος μεταξύ εἰμί ὁ Α∠Ε , ΒΚΓ καί ὁ Α∠Ε ἐφάπτω εἰμί ὁ ΕΡΟ , καί ὁ ΕΡΟ ἄρα ὁ πόλος μεταξύ εἰμί ὁ Α∠Ε , ΒΚΓ ὁ ἄρα ἕτερος αὐτός πόλος μεταξύ εἰμί ὁ ΖΗ , ΜΝΛ · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΥΦΟ περιφέρεια ὁ ΥΠΡ · ὁ δέ ΥΦ ὁ ΥΠΤ ἐλαχύς εἰμί · λοιπός ἄρα ὁ ΟΦ ὁ ΡΤ μέγας εἰμί . κεῖμαι ὅμοιος καί ἴσος περιφέρεια ὁ ΤP , ΦΧ , καί εἰμί παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω ὁ Ρ , Χ σημεῖον , ὁ ΨΧΣ , ?? ΩΡ ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΨΧΣ , ?? ΩΡ · ἐν δέ ὁ Σ ὁ ΣΧάς περιφέρεια διαπορεύω , ἐν οὗτος καί ὁ Ρ ὁ ΡΩ ?? περιφέρεια διαπορεύω . ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ Ρ ὁ ΡΩ ?? περιφέρεια διαπορεύω ἤ ὁ Χ ὁ ΨΧ ἀλλά ἐν ὅς μέν ὁ Ρ ὁ ΡΩ ?? διαπορεύω , ὁ ΡΤ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ἐν ὅς δέ ὁ Χ ὁ ΧΨ διαπορεύω , ὁ ΦΧ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ ΤΡ ὁ ΦΧ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον . ὡσαύτως δέ καί ὁ ἐν ὁ ἕτερος ἡμικύκλιον ὁ ἴσος περιφέρεια οὐ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ἀλλά ἐν πολύς ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ συναφή ὁ θερινός τροπικός ὁ ἀπώτερος , ἐν ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ συναφή ὁπότερος . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , θερινός δέ τροπικός ὁ ΑΕΖ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΒΕΓ , καί ἀπολαμβάνω ἴσος περιφέρεια ὁ ΚΗ , ΗΜ · λέγω , ὅτι ὁ ΚΗ ἐν πολύς χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΗΜ . γράφω γάρ παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω ὁ Κ , Η , Μ , ὁ ΚΛ , ΗΘ , ΜΝ · ὁ ἄρα ΚΗ , ΛΘ περιφέρεια ἴσος εἰμί καί ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ συναφή ὁπότερος . καί ἐπεί ἐν ὅς ὁ ΛΘ ἀνατέλλω , ἐν οὗτος ὁ ΚΗ περιφέρεια δύω , ἀλλά μήν καί ἐν ὁ Θ ἄρχω ἀπό ὁ Ξ ὁ ΞΘΟ διαπορεύω , ἐν οὗτος καί ὁ ἄρχω ἀπό ὁ Ξ ὁ ΞΘΟ διαπορεύω , ὁ ἄρα χρόνος , ἐν ὅς ὁ ΛΘ ἀνατέλλω , προσλαμβάνω ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Θ ἄρχω ἀπό ὁ Ξ ὁ ΞΘΟ διαπορεύω , ἴσος εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὁ Η ἄρχω ἀπό ὁ Ξ ὁ ΞΗΟ διαπορεύω , προσλαμβάνω ὁ χρόνος , ἐν ὁ ΗΚ δύω . ἀλλά ὁ μέν χρόνος , ἐν ὅς ὁ ΔΘ ἀνατέλλω , προσλαμβάνω ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Θ ἄρχω ἀπό ὁ Ξ ὁ ΞΘΟ περιφέρεια διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὁ ΛΘ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Η ἄρχω ἀπό ὁ ὁ ΞΗΟ διαπορεύω , προσλαμβάνω ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ ΚΗ δύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ ΚΗ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ὁ ΔΘ , Κ ἄρα ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον . καί ὁ ΘΝ διά ὁ αὐτός ἐν ἴσος χρόνος καί ὁ ΗΜ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον . ἐν πολύς δέ χρόνος ὁ ΛΘ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΘΝ δείκνυμι γάρ ἐν ὁ πρό οὗτος · ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ ΚΗ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΗΜ . καί συναποδείκνυμι , ὅτι ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ συναφή ὁπότερος ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον .