euclides-geom.phaenomena 5
Ὅσα τῶν ἄστρων ἐστὶν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας , ὃς τέμνει τὸν μέγιστον τῶν ἀεὶ φανερῶν , τούτων τὰ πρὸς ταῖς ἄρκτοις ὄντα πρότερον μὲν ἀνατέλλει , ὕστερον δὲ δύνει . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καὶ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε , ἕτερος δὲ μέγιστος κύκλος ἔστω ὁ ΓΖΒ τέμνων τὸν Α∠Ε κύκλον . καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΓΖΒ κύκλου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ , Η , καὶ ἔστω τὸ Ζ σημεῖον πρὸς ταῖς ἄρκτοις · λέγω , ὅτι τὸ Ζ σημεῖον τοῦ Η πρότερον μὲν ἀνατέλλει , ὕστερον δὲ δύνει . ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Γ μέρη , δυτικὰ δὲ τὰ Β , καὶ ἔστωσαν κύκλοι παράλληλοι , καθ᾿ ὧν φέρεται τὰ Ζ , Η σημεῖα , οἱ ΘΚ , ΛΜ , καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Ζ σημείου μέγιστος κύκλος ὁ ΝΖΕ ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε κύκλου , ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ζ , Ν τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α , Γ , Κ μέρη · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ περιφέρεια τῇ ΝΜ περιφερείᾳ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΖ περιφέρεια καὶ ἡ συνεχὴς αὐτῇ ὑπὸ γῆν μέχρι τοῦ Κ σημείου ὁμοία ἔσται τῇ ΛΝ περιφερείᾳ καὶ τῇ συνεχεῖ αὐτῇ τῇ ὑπὸ γῆν μέχρι τοῦ Μ σημείου . ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὰ Ζ , Ν σημεῖα τὰς ΖΘ , ΝΛ περιφερείας καὶ τὰς συνεχεῖς αὐταῖς τὰς μέχρι τῶν Κ , Μ σημείων διαπορεύεται · τὰ Ζ , Ν σημεῖα ἄρα ἅμα ἀνατέλλει · τὸ δὲ Ν τοῦ Η πρότερον ἀνατέλλει · καὶ τὸ Ζ ἄρα τοῦ Η πρότερον ἀνατέλλει . λέγω , ὅτι καὶ ὕστερον δύνει . γεγράφθω διὰ τοῦ σημείου μέγιστος κύκλος ὁ ΞΖ∠ ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε κύκλου , ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ ∠ , μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α , μέρη . ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ ΞΛ περιφερείᾳ . ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ τὴν ΖΘ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Ξ τὴν ΞΛ · τοῦ Ζ ἄρα ἐπὶ τὸ Θ σημεῖον παραγενομένου καὶ τὸ Ξ ἐπὶ τὸ Λ παρέσται . τὰ Ζ , Ξ ἄρα σημεῖα ἅμα δύνει . τὸ δὲ Η τοῦ Ξ πρότερον δύνει · καὶ τὸ Η ἄρα τοῦ Ζ πρότερον δύνει · ὥστε τὸ Ζ τοῦ Η ὕστερον δύνει · ἐδείχθη δὲ καὶ πρότερον ἀνατέλλον · τὸ Ζ ἄρα τοῦ Η πρότερον μὲν ἀνατέλλει , ὕστερον δὲ δύνει .
Lemmas: ὅσος ὁ ἄστρον εἰμί ἐπί μέγας κύκλος περιφέρεια , ὅς τέμνω ὁ μέγας ὁ ἀεί φανερός , οὗτος ὁ πρός ὁ ἄρκτος εἰμί πρότερος μέν ἀνατέλλω , ὕστερον δέ δύω . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καί μέγας ὁ ἀεί φανερός ὁ Α∠Ε , ἕτερος δέ μέγας κύκλος εἰμί ὁ ΓΖΒ τέμνω ὁ Α∠Ε κύκλος . καί λαμβάνω ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ ΓΖΒ κύκλος δύο τυγχάνω σημεῖον ὁ Ζ , Η , καί εἰμί ὁ Ζ σημεῖον πρός ὁ ἄρκτος · λέγω , ὅτι ὁ Ζ σημεῖον ὁ Η πρότερος μέν ἀνατέλλω , ὕστερον δέ δύω . εἰμί ἀνατολικός μέν ὁ Γ μέρος , δυτικός δέ ὁ Β , καί εἰμί κύκλος παράλληλος , κατά ὅς φέρω ὁ Ζ , Η σημεῖον , ὁ ΘΚ , ΛΜ , καί γράφω διά ὁ Ζ σημεῖον μέγας κύκλος ὁ ΝΖΕ ἐφάπτω ὁ Α∠Ε κύκλος , ὥστε ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Ζ , Ν ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Α , Γ , Κ μέρος · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΖΚ περιφέρεια ὁ ΝΜ περιφέρεια · λοιπός ἄρα ὁ ΘΖ περιφέρεια καί ὁ συνεχής αὐτός ὑπό γῆ μέχρι ὁ Κ σημεῖον ὅμοιος εἰμί ὁ ΛΝ περιφέρεια καί ὁ συνεχής αὐτός ὁ ὑπό γῆ μέχρι ὁ Μ σημεῖον . ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Ζ , Ν σημεῖον ὁ ΖΘ , ΝΛ περιφέρεια καί ὁ συνεχής αὐτός ὁ μέχρι ὁ Κ , Μ σημεῖον διαπορεύω · ὁ Ζ , Ν σημεῖον ἄρα ἅμα ἀνατέλλω · ὁ δέ Ν ὁ Η πρότερος ἀνατέλλω · καί ὁ Ζ ἄρα ὁ Η πρότερος ἀνατέλλω . λέγω , ὅτι καί ὕστερον δύω . γράφω διά ὁ σημεῖον μέγας κύκλος ὁ ΞΖ∠ ἐφάπτω ὁ Α∠Ε κύκλος , ὥστε ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ ∠ , μέρος ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Α , μέρος . ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΖΘ περιφέρεια ὁ ΞΛ περιφέρεια . ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Ζ ὁ ΖΘ περιφέρεια διαπορεύω καί ὁ Ξ ὁ ΞΛ · ὁ Ζ ἄρα ἐπί ὁ Θ σημεῖον παραγίγνομαι καί ὁ Ξ ἐπί ὁ Λ πάρειμι . ὁ Ζ , Ξ ἄρα σημεῖον ἅμα δύω . ὁ δέ Η ὁ Ξ πρότερος δύω · καί ὁ Η ἄρα ὁ Ζ πρότερος δύω · ὥστε ὁ Ζ ὁ Η ὕστερον δύω · δείκνυμι δέ καί πρότερος ἀνατέλλω · ὁ Ζ ἄρα ὁ Η πρότερος μέν ἀνατέλλω , ὕστερον δέ δύω .