euclides-geom.phaenomena pr
Ἐπειδὴ ὁρᾶται τὰ ἀπλανῆ ἄστρα ἀεὶ ἐκ τοῦ αὐτοῦ τόπου ἀνατέλλοντα καὶ εἰς τὸν αὐτὸν τόπον δυόμενα καὶ τὰ ἅμα ἀνατέλλοντα ἀεὶ ἅμα ἀνατέλλοντα καὶ τὰ ἅμα δυόμενα ἀεὶ ἅμα δυόμενα καὶ ἐν τῇ ἀπ᾿ ἀνατολῆς ἐπὶ δύσιν φορᾷ τὰ πρὸς ἄλληλα διαστήματα τὰ αὐτὰ ἔχοντα , τοῦτο δὲ γίνεται ἐπὶ τῶν ἐγκύκλιον φορὰν φερομένων μόνον , ἐπὰν ἡ ὄψις πάντῃ τῆς περιφερείας ἴσον ἀπέχῃ , ὡς ἐν τοῖς ὀπτικοῖς δείκνυται , θετέον , τὰ ἄστρα ἐγκυκλίως φέρεσθαι καὶ ἐνδεδέσθαι ἐν ἑνὶ σώματι καὶ τὴν ὄψιν ἴσον ἀπέχειν τῶν περιφερειῶν . ὁρᾶται δέ τις ἀστὴρ μεταξὺ τῶν ἄρκτων οὐ μεταλλάσσων τόπον ἐκ τόπου , ἀλλ᾿ ἐν ᾗ ἐστι χώρᾳ , ἐν ταύτῃ στρεφόμενος . ἐπεὶ δὲ οὗτος πρὸς τὰς περιφερείας τῶν κύκλων , καθ᾿ ὧν οἱ λοιποὶ ἀστέρες φέρονται , ἴσον ἀπέχων πάντῃ φαίνεται , θετέον , τοὺς κύκλους πάντας παραλλήλους εἶναι , ὥστε πάντα τὰ ἀπλανῆ ἄστρα κατὰ παραλλήλων φέρεσθαι πόλον ἐχόντων τὸν προειρημένον ἀστέρα . τούτων δὲ ἔνια οὔτε ἀνατέλλοντα οὔτε δυόμενα ὁρᾶται διὰ τὸ ἐπὶ μετεώρων κύκλων φέρεσθαι , οὓς καλοῦσιν ἀεὶ φανερούς . ταῦτα δέ ἐστι τὰ ἑπόμενα τῷ φανερῷ πόλῳ ἄστρα ἕως τοῦ ἄρκτικοῦ κύκλου . καὶ ἐπὶ ἐλασσόνων μὲν κύκλων φέρονται οἱ ἔγγιον τοῦ πόλου ὄντες ἀστέρες , ἐπὶ μεγίστου δὲ οἱ ἐπὶ τοῦ ἀρκτικοῦ , οἳ καὶ φαίνονται ξύοντες τὸν ὁρίζοντα . τὰ δὲ πρὸς μεσημβρίαν τούτων ἐχόμενα πάντα καὶ ἀνατέλλοντα καὶ δυόμενα ὁρᾶται διὰ τὸ τοὺς κύκλους αὐτῶν μὴ ὅλους εἶναι ὑπὲρ γῆς , ἀλλὰ μέρος μὲν αὐτῶν ὑπὲρ γῆς , τὸ δὲ λοιπὸν ὑπὸ γῆς . τῶν δὲ ὑπὲρ γῆς τμημάτων ἑκάστου αὐτῶν μεῖζον φαίνεται τὸ ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν ἀεὶ φανερῶν , τῶν δὲ ὑπὸ γῆν ἐλάχιστον τὸ ἔγγιον τοῦ εἰρημένου κύκλου διὰ τὸ τὸν χρόνον τῆς ὑπὸ γῆν φορᾶς τῶν ἐπὶ τούτου τοῦ κύκλου ἀστέρων ὄντων ἐλάχιστον ἔχειν , τῆς δὲ ὑπὲρ γῆν φορᾶς πλεῖστον , τὰ δὲ ἐπὶ τῶν ἀπώτερον τούτων ἀεὶ τῆς μὲν ὑπὲρ γῆς φορᾶς ἐλάσσονα χρόνον ἔχειν , τῆς δὲ ὑπὸ γῆν πλείονα · ἐλάχιστον δὲ χρόνον ἕξει τῆς ὑπὲρ γῆν φορᾶς τὰ ἔγγιστα τῆς μεσημβρίας ὄντα , τῆς δὲ ὑπὸ γῆν πλεῖστον . φαίνονται δὲ οἱ ἐπὶ τοῦ κατὰ μέσον τούτων ὄντες ἰσοχρόνιον ποιούμενοι τὴν ὑπὲρ γῆν φορὰν τῇ ὑπὸ γῆν · διὸ λέγομεν τοῦτον τὸν κύκλον ἰσημερινόν · οἱ δὲ ἐπὶ τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου ἰσοχρόνιον ποιούμενοι τὴν φορὰν ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασιν , οἷον τὰ ὑπὲρ γῆς τῶν πρὸς ἄρκτους ὄντων τοῖς ὑπὸ γῆν τῶν πρὸς μεσημβρίαν , τὰ δὲ ὑπὲρ γῆς τῶν πρὸς μεσημβρίαν τοῖς ὑπὸ γῆν τῶν πρὸς ἄρκτους ὄντων · ὁ δὲ συναμφότερος χρόνος ἑκάστου κύκλου ὅ τε ὑπὲρ γῆς καὶ ὁ συνεχὴς ὑπὸ γῆν ἴσος φαίνεται . ἔτι δὲ ὁ τοῦ γάλακτος κύκλος καὶ ὁ ζῳδιακὸς λοξοὶ ὄντες πρὸς τοὺς παραλλήλους κύκλους καὶ τέμνοντες ἀλλήλους ἐν τῇ περιφορᾷ ἀεὶ ἡμικύκλια ὑπὲρ γῆς ἔχοντες φαίνονται . διὰ δὴ τὰ προειρημένα πάντα ὁ κόσμος ὑποκείσθω σφαιροειδής · εἴτε γὰρ ἦν κυλινδροειδὴς ἢ κωνοειδής , οἱ ἐπὶ τῶν λοξῶν κύκλων καὶ τεμνόντων τὸν ἰσημερινὸν δίχα λαμβανόμενοι ἀστέρες ἐν τῇ περιφορᾷ οὐκ ἂν ἐφαίνοντο ἀεὶ ἐπὶ ἡμικυκλίων ἴσων φερόμενοι , ἄλλ᾿ ὅτε μὲν ἐπὶ μείζονος ἡμικυκλίου τμήματος , ὅτε δὲ ἐπ᾿ ἐλάσσονος . ἐὰν γὰρ κῶνος ἢ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ μὴ παρὰ τὴν βάσιν , ἡ τομὴ γίγνεται ὀξυγωνίου κώνου τομή , ἥτις ἐστὶν ὁμοία θυρεῷ . δῆλον οὖν , ὅτι τοιούτου σχήματος διὰ τοῦ μέσου τεμνομένου κατά τε τὸ μῆκος καὶ πλάτος ἀνόμοια τμήματα ποιεῖ · δῆλον δέ , ὅτι κἀν λοξαῖς τομαῖς τμηθῇ διὰ τοῦ μέσου , καὶ οὕτως ἀνόμοια τμήματα ποιεῖ , ὅπερ οὐ φαίνεται τοῦτο γινόμενον κατὰ τὸν κόσμον . διὰ δὴ ταῦτα πάντα ὁ κόσμος ἐστὶ σφαιροειδὴς καὶ στρέφεται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἄξονα , οὗ ὁ μὲν εἷς πόλος ὑπὲρ γῆν , φανερός , ὁ δὲ εἷς ὑπὸ γῆν ἀφανὴς ὤν . ὁρίζων δὲ καλείσθω τὸ διὰ τῆς ὄψεως ἡμῶν ἐπίπεδον ἐκπίπτον εἰς τὸν κόσμον καὶ ἀφορίζον τὸ ὑπὲρ γῆν ὁρώμενον τμῆμα · ἔστι δὲ κύκλος · ἐὰν γὰρ σφαῖρα ἐπιπέδῳ τμηθῇ , ἡ τομὴ κύκλος ἐστίν . μεσημβρινὸς δὲ κύκλος καλείσθω ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας καὶ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα . τροπικοὶ δέ , ὧν ὁ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ἐφάπτεται τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐχόντων τῇ σφαίρᾳ . ὁ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὁ ἰσημερινὸς μέγιστοί εἰσιν · δίχα γὰρ τέμνουσιν ἀλλήλους · ἥτε γὰρ ἀρχὴ τοῦ Κριοῦ καὶ ἡ ἀρχὴ τῶν Χηλῶν κατὰ διάμετρόν τέ εἰσι καὶ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ οὖσαι κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλουσί τε καὶ δύνουσι μεταξὺ αὐτῶν ἔχουσαι τῶν μὲν δώδεκα ζῳδίων τοῦ ζῳδιακοῦ ἕξ , τοῦ δὲ ἰσημερινοῦ κύκλου ἡμικύκλια δύο , ἐπειδήπερ ἐκατέρα ἀρχὴ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου οὖσα ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ φέρεται , ἡ μὲν τὴν ὑπὲρ γῆς φοράν , ἡ δὲ τὴν ὑπὸ γῆν . ἐὰν δὲ σφαῖρα στρέφεται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα , πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων , καθ᾿ ὧν φέρεται · ὁμοίας ἄρα περιφερείας διέξεισι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου , μὲν τὴν ὑπὲρ γῆς , ᾗ δὲ τὴν ὑπὸ γῆν · ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ περιφέρειαι · ἡμικύκλιον ἄρα ἑκάτερόν ἐστιν · τὸ γὰρ ἀπ᾿ ἀνατολῆς ἐπὶ ἀνατολὴν ἢ ἀπὸ δύσεως ἐπὶ δύσιν ὅλος κύκλος ἐστίν · δίχα ἄρα τέμνουσιν ἀλλήλους ὅτε τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὁ ἰσημερινός . ἐὰν δὲ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους δίχα , ἑκάτερος τῶν τεμνόντων μέγιστος ἔσται · ὁ ἄρα τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὁ ἰσημερινὸς μέγιστοί εἰσιν . καὶ ὁ ὁρίζων μὲν τῶν μεγίστων ἐστὶ κύκλων · τόν τε γὰρ τῶν ζῳδίων κύκλον καὶ τὸν ἰσημερινὸν μεγίστους ὄντας ἀεὶ δίχα τέμνει · τῶν τε γὰρ δώδεκα ζῳδίων τὰ ἓξ ἀεὶ ὑπὲρ γῆς ἄνω ἔχει , καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ δὲ κύκλου τὸ ἡμικύκλιον ὑπεράνω ἀεὶ ἔχει · καὶ γὰρ τὰ ἐπὶ τούτου ἄστρα ἅμα ἀνατέλλοντα καὶ δύνοντα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ παραγίγνεται , τὸ μὲν ἀπ᾿ ἀνατολῆς ἐπὶ δύσιν , τὸ δὲ ἀπὸ δύσεως ἐπὶ ἀνατολήν . φανερὸν οὖν ἐκ τῶν πρότερον ἀποδεδειγμένων , ὅτι τοῦ ἰσημερινοῦ ἀεὶ ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντά ἐστιν ἡμικύκλιον . ἐὰν δὲ ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος δίχα τέμνῃ τινὰ τῶν μεγίστων κύκλον ἀεὶ φερόμενον , καὶ ὁ τέμνων μέγιστός ἔστιν · ὁ ὁρίζων ἄρα τῶν μεγίστων ἐστὶ κύκλων . κόσμου περιστροφῆς χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ ἕκαστον τῶν ἀπλανῶν ὰστέρων ἀπʼ ἀνατολῆς ἐπὶ τὴν ἑξῆς ἀνατολὴν παραγίνεται ἢ ἀφ᾿ οὑδηποτοῦν τόπου ἐπὶ τὸν αὐτὸν τόπον . ἐξαλλαγὴ περιφερείας φανεροῦ ἡμισφαιρίου ἐστίν , ὅταν τοῦ προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ὄντος τὸ ἑπόμενον ἀνατεῖλαν καὶ διελθὸν ὅλον τὸ ὑπὲρ γῆν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς δύσεως γένηται · ἀφανοῦς δέ , ὅταν τοῦ προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας ἐπὶ τῆς δύσεως ὄντος τὸ ἑπόμενον δῦναν καὶ διελθὸν ὅλον τὸ ὑπὸ γῆν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς γένηται .
Lemmas: ἐπειδή ὁράω ὁ ἀπλανής ἄστρον ἀεί ἐκ ὁ αὐτός τόπος ἀνατέλλω καί εἰς ὁ αὐτός τόπος δύω καί ὁ ἅμα ἀνατέλλω ἀεί ἅμα ἀνατέλλω καί ὁ ἅμα δύω ἀεί ἅμα δύω καί ἐν ὁ ἀπό ἀνατολή ἐπί δύσις φορά ὁ πρός ἀλλήλων διάστημα ὁ αὐτός ἔχω , οὗτος δέ γίγνομαι ἐπί ὁ ἐγκύκλιος φορά φέρω μόνος , ἐπάν ὁ ὄψις πάντῃ ὁ περιφέρεια ἴσος ἀπέχω , ὡς ἐν ὁ ὀπτικός δείκνυμι , τίθημι , ὁ ἄστρον ἐγκύκλιος φέρω καί ἐνδέω ἐν εἷς σῶμα καί ὁ ὄψις ἴσος ἀπέχω ὁ περιφέρεια . ὁράω δέ τις ἀστήρ μεταξύ ὁ ἄρκτος οὐ μεταλλάσσω τόπος ἐκ τόπος , ἀλλά ἐν ὅς εἰμί χώρα , ἐν οὗτος στρέφω . ἐπεί δέ οὗτος πρός ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος , κατά ὅς ὁ λοιπός ἀστήρ φέρω , ἴσος ἀπέχω πάντῃ φαίνω , τίθημι , ὁ κύκλος πᾶς παράλληλος εἰμί , ὥστε πᾶς ὁ ἀπλανής ἄστρον κατά παράλληλος φέρω πόλος ἔχω ὁ προλέγω ἀστήρ . οὗτος δέ ἔνιοι οὔτε ἀνατέλλω οὔτε δύω ὁράω διά ὁ ἐπί μετέωρος κύκλος φέρω , ὅς καλέω ἀεί φανερός . οὗτος δέ εἰμί ὁ ἕπομαι ὁ φανερός πόλος ἄστρον ἕως ὁ ἄρκτικός κύκλος . καί ἐπί ἐλαχύς μέν κύκλος φέρω ὁ ἐγγίων ὁ πόλος εἰμί ἀστήρ , ἐπί μέγας δέ ὁ ἐπί ὁ ἀρκτικός , ὅς καί φαίνω ξύω ὁ ὁρίζων . ὁ δέ πρός μεσημβρία οὗτος ἔχω πᾶς καί ἀνατέλλω καί δύω ὁράω διά ὁ ὁ κύκλος αὐτός μή ὅλος εἰμί ὑπέρ γῆ , ἀλλά μέρος μέν αὐτός ὑπέρ γῆ , ὁ δέ λοιπός ὑπό γῆ . ὁ δέ ὑπέρ γῆ τμῆμα ἕκαστος αὐτός μέγας φαίνω ὁ ἐγγίων ὁ μέγας ὁ ἀεί φανερός , ὁ δέ ὑπό γῆ ἐλαχύς ὁ ἐγγίων ὁ λέγω κύκλος διά ὁ ὁ χρόνος ὁ ὑπό γῆ φορά ὁ ἐπί οὗτος ὁ κύκλος ἀστήρ εἰμί ἐλαχύς ἔχω , ὁ δέ ὑπέρ γῆ φορά πολύς , ὁ δέ ἐπί ὁ ἀπώτερος οὗτος ἀεί ὁ μέν ὑπέρ γῆ φορά ἐλαχύς χρόνος ἔχω , ὁ δέ ὑπό γῆ πολύς · ἐλαχύς δέ χρόνος ἔχω ὁ ὑπέρ γῆ φορά ὁ ἐγγύς ὁ μεσημβρία εἰμί , ὁ δέ ὑπό γῆ πολύς . φαίνω δέ ὁ ἐπί ὁ κατά μέσος οὗτος εἰμί ἰσοχρόνιος ποιέω ὁ ὑπέρ γῆ φορά ὁ ὑπό γῆ · διό λέγω οὗτος ὁ κύκλος ἰσημερινός · ὁ δέ ἐπί ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός κύκλος ἰσοχρόνιος ποιέω ὁ φορά ἐν ὁ ἐναλλάξ τμῆμα , οἷος ὁ ὑπέρ γῆ ὁ πρός ἄρκτος εἰμί ὁ ὑπό γῆ ὁ πρός μεσημβρία , ὁ δέ ὑπέρ γῆ ὁ πρός μεσημβρία ὁ ὑπό γῆ ὁ πρός ἄρκτος εἰμί · ὁ δέ συναμφότεροι χρόνος ἕκαστος κύκλος ὁ τε ὑπέρ γῆ καί ὁ συνεχής ὑπό γῆ ἴσος φαίνω . ἔτι δέ ὁ ὁ γάλα κύκλος καί ὁ ζῳδιακός λοξός εἰμί πρός ὁ παράλληλος κύκλος καί τέμνω ἀλλήλων ἐν ὁ περιφορά ἀεί ἡμικύκλιον ὑπέρ γῆ ἔχω φαίνω . διά δή ὁ προλέγω πᾶς ὁ κόσμος ὑπόκειμαι σφαιροειδής · εἴτε γάρ εἰμί κυλινδροειδής ἤ κωνοειδής , ὁ ἐπί ὁ λοξός κύκλος καί τέμνω ὁ ἰσημερινός δίχα λαμβάνω ἀστήρ ἐν ὁ περιφορά οὐ ἄν φαίνω ἀεί ἐπί ἡμικύκλιον ἴσος φέρω , ἀλλά ὅτε μέν ἐπί μέγας ἡμικύκλιον τμῆμα , ὅτε δέ ἐπί ἐλαχύς . ἐάν γάρ κῶνος ἤ κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω μή παρά ὁ βάσις , ὁ τομή γίγνομαι ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὅστις εἰμί ὅμοιος θυρεός . δῆλος οὖν , ὅτι τοιοῦτος σχῆμα διά ὁ μέσος τέμνω κατά τε ὁ μῆκος καί πλάτος ἀνόμοιος τμῆμα ποιέω · δῆλος δέ , ὅτι ἐν λοξός τομή τέμνω διά ὁ μέσος , καί οὕτως ἀνόμοιος τμῆμα ποιέω , ὅς οὐ φαίνω οὗτος γίγνομαι κατά ὁ κόσμος . διά δή οὗτος πᾶς ὁ κόσμος εἰμί σφαιροειδής καί στρέφω ὁμαλής περί ὁ ἄξων , ὅς ὁ μέν εἷς πόλος ὑπέρ γῆ , φανερός , ὁ δέ εἷς ὑπό γῆ ἀφανής εἰμί . ὁρίζων δέ καλέω ὁ διά ὁ ὄψις ἐγώ ἐπίπεδος ἐκπίπτω εἰς ὁ κόσμος καί ἀφορίζω ὁ ὑπέρ γῆ ὁράω τμῆμα · εἰμί δέ κύκλος · ἐάν γάρ σφαῖρα ἐπίπεδος τέμνω , ὁ τομή κύκλος εἰμί . μεσημβρινός δέ κύκλος καλέω ὁ διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα καί ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων . τροπικός δέ , ὅς ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ἐφάπτω ὁ αὐτός πόλος ἔχω ὁ σφαῖρα . ὁ δέ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος καί ὁ ἰσημερινός μέγας εἰμί · δίχα γάρ τέμνω ἀλλήλων · ὅστε γάρ ἀρχή ὁ Κριός καί ὁ ἀρχή ὁ Χῆλαι κατά διάμετρος τε εἰμί καί ἐπί ὁ ἰσημερινός εἰμί κατά συζυγία ἀνατέλλω τε καί δύω μεταξύ αὐτός ἔχω ὁ μέν δώδεκα ζῴδιον ὁ ζῳδιακός ἕξ , ὁ δέ ἰσημερινός κύκλος ἡμικύκλιον δύο , ἐπειδή κατεράω ἀρχή ἐπί ὁ ἰσημερινός κύκλος εἰμί ἐν ὁ αὐτός χρόνος φέρω , ὁ μέν ὁ ὑπέρ γῆ φορά , ὁ δέ ὁ ὑπό γῆ . ἐάν δέ σφαῖρα στρέφω ὁμαλής περί ὁ ἑαυτοῦ ἄξων , πᾶς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον ἐν ὁ ἴσος χρόνος ὁ ὅμοιος περιφέρεια διέρχομαι ὁ παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω · ὅμοιος ἄρα περιφέρεια διεξέρχομαι ὁ ἰσημερινός κύκλος , μέν ὁ ὑπέρ γῆ , ὅς δέ ὁ ὑπό γῆ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ περιφέρεια · ἡμικύκλιον ἄρα ἑκάτερος εἰμί · ὁ γάρ ἀπό ἀνατολή ἐπί ἀνατολή ἤ ἀπό δύσις ἐπί δύσις ὅλος κύκλος εἰμί · δίχα ἄρα τέμνω ἀλλήλων ὅτε ὁ ζῴδιον κύκλος καί ὁ ἰσημερινός . ἐάν δέ ἐν σφαῖρα δύο κύκλος τέμνω ἀλλήλων δίχα , ἑκάτερος ὁ τέμνω μέγας εἰμί · ὁ ἄρα ὁ ζῴδιον κύκλος καί ὁ ἰσημερινός μέγας εἰμί . καί ὁ ὁρίζων μέν ὁ μέγας εἰμί κύκλος · ὁ τε γάρ ὁ ζῴδιον κύκλος καί ὁ ἰσημερινός μέγας εἰμί ἀεί δίχα τέμνω · ὁ τε γάρ δώδεκα ζῴδιον ὁ ἕξ ἀεί ὑπέρ γῆ ἄνω ἔχω , καί ὁ ἰσημερινός δέ κύκλος ὁ ἡμικύκλιον ὑπεράνω ἀεί ἔχω · καί γάρ ὁ ἐπί οὗτος ἄστρον ἅμα ἀνατέλλω καί δύω ἐν ὁ ἴσος χρόνος παραγίγνομαι , ὁ μέν ἀπό ἀνατολή ἐπί δύσις , ὁ δέ ἀπό δύσις ἐπί ἀνατολή . φανερός οὖν ἐκ ὁ πρότερος ἀποδείκνυμι , ὅτι ὁ ἰσημερινός ἀεί ὑπέρ ὁ ὁρίζων εἰμί ἡμικύκλιον . ἐάν δέ ἐν σφαῖρα μένω κύκλος δίχα τέμνω τις ὁ μέγας κύκλος ἀεί φέρω , καί ὁ τέμνω μέγας εἰμί · ὁ ὁρίζων ἄρα ὁ μέγας εἰμί κύκλος . κόσμος περιστροφή χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ἕκαστος ὁ ἀπλανής άρζωμαι ἀπό ἀνατολή ἐπί ὁ ἑξῆς ἀνατολή παραγίγνομαι ἤ ἀπό ούσ̔δηποτς τόπος ἐπί ὁ αὐτός τόπος . ἐξαλλαγή περιφέρεια φανερός ἡμισφαίριον εἰμί , ὅταν ὁ προηγέομαι σημεῖον ὁ περιφέρεια ἐπί ὁ ἀνατολή εἰμί ὁ ἕπομαι ἀνατέλλω καί διέρχομαι ὅλος ὁ ὑπέρ γῆ ἡμισφαίριον ἐπί ὁ δύσις γίγνομαι · ἀφανής δέ , ὅταν ὁ προηγέομαι σημεῖον ὁ περιφέρεια ἐπί ὁ δύσις εἰμί ὁ ἕπομαι δύω καί διέρχομαι ὅλος ὁ ὑπό γῆ ἡμισφαίριον ἐπί ὁ ἀνατολή γίγνομαι .