euclides-geom.phaenomena 6
Τὰ ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου ἄστρα τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει · ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΗΒ∠ , ἰσημερινὸς δὲ ἔστω ὁ ΕΖ∠ · καὶ ἔστω τὰ ὑπὲρ γῆν τμήματα τὰ ΑΗΒ , ΕΗΣ · κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν Α σημεῖον τῷ Β , τὸ δὲ Ε τῷ Ζ · λέγω , ὅτι τά τε Α , Β σημεῖα καὶ τὰ Ε , Ζ σημεῖα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει . ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Α , Γ μέρη , δυτικὰ δὲ τὰ Β , Ε , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι , καθ᾿ ὧν φέρεται τὰ Α , Β σημεῖα οἱ ΑΘ , ΒΓ , καὶ ἔστω τὸ μὲν ΑΘ τμῆμα τὸ ὑπὲρ γῆν , τὸ δὲ ΒΓ τὸ ὑπὸ γῆν . ἐπεὶ κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ μὲν Α σημεῖον τῷ Β , τὸ δὲ Ε τῷ Ζ , ἴση ἄρα ἡ ΕΒ περιφέρεια τῇ ΑΖ περιφερείᾳ · ἀλλ᾿ ἡ ΕΒ τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν · καὶ ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΖΓ ἴση ἐστιν . καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΕΖ∠ · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΘ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ . καί ἑστιν αὐτῶν τὰ ἐναλλὰξ τμήματα τὰ ΑΘ , ΒΓ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ περιφέρεια τῇ ΒΓ περιφερείᾳ · ἐν ἰσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Α σημεῖον τὴν ΑΘ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Θ παρέσται καὶ τὸ Β τὴν ΒΓ διελθὸν ἐπὶ τὸ Γ παρέσται . ἀλλὰ τὸ μὲν Α τὴν ΑΘ διελθὸν καὶ ἐπὶ τὸ Θ παραγενόμενον δύνει , τὸ δὲ Β τὴν ΒΓ διελθὸν καὶ ἐπὶ τὸ Γ παραγενόμενον ἀνατέλλει · τοῦ Α ἄρα δύνοντος τὸ Β ἀνατέλλει . ὁμοίως δὲ δείξομεν , ὅτι καὶ τοῦ Α ἀνατέλλοντος τὸ Β δύνει . πάλιν , ἐπεὶ ἡμικύκλιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΗΖ , Ζ∠Ε , ἴση ἐστὶν ἡ Ζ∠Ε περιφέρεια τῇ ΕΒΖ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν ΖΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παρέσται καὶ τὸ Ε τὴν Ε∠ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ζ παρέσται . ἀλλὰ τὸ μὲν Ζ τὴν ΖΕ διελθὸν καὶ ἐπὶ τὸ Ε παραγενόμενον δύνει , τὸ δὲ Ε τὴν Ε∠Ζ διελθὸν καὶ ἐπὶ τὸ Ζ παραγενόμενον ἀνατέλλει · τοῦ Ζ ἄρα δύνοντος τὸ Ε ἀνατέλλει . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τοῦ Ζ ἀνατέλλοντος τὸ Ε δύνει . ὁμοίως δὲ καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου ἄστρα , καὶ τὰ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει .
Lemmas: ὁ ἐπί ὁ ζῳδιακός κύκλος ἄστρον ὁ κατά διάμετρος εἰμί κατά συζυγία ἀνατέλλω τε καί δύω · ὅμοιος δέ καί ὁ ἐπί ὁ ἰσημερινός . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ΑΗΒ∠ , ἰσημερινός δέ εἰμί ὁ ΕΖ∠ · καί εἰμί ὁ ὑπέρ γῆ τμῆμα ὁ ΑΗΒ , ΕΗΣ · κατά διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ μέν Α σημεῖον ὁ Β , ὁ δέ Ε ὁ Ζ · λέγω , ὅτι ὁ τε Α , Β σημεῖον καί ὁ Ε , Ζ σημεῖον κατά συζυγία ἀνατέλλω τε καί δύω . εἰμί ἀνατολικός μέν ὁ Α , Γ μέρος , δυτικός δέ ὁ Β , Ε , καί εἰμί παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω ὁ Α , Β σημεῖον ὁ ΑΘ , ΒΓ , καί εἰμί ὁ μέν ΑΘ τμῆμα ὁ ὑπέρ γῆ , ὁ δέ ΒΓ ὁ ὑπό γῆ . ἐπεί κατά διάμετρος εἰμί ὁ μέν Α σημεῖον ὁ Β , ὁ δέ Ε ὁ Ζ , ἴσος ἄρα ὁ ΕΒ περιφέρεια ὁ ΑΖ περιφέρεια · ἀλλά ὁ ΕΒ ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί · καί ὁ ΑΖ ἄρα ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί . καί εἰμί μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΕΖ∠ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ κύκλος ὁ ΒΓ κύκλος . καί εἱμί αὐτός ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ὁ ΑΘ , ΒΓ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ περιφέρεια ὁ ΒΓ περιφέρεια · ἐν ἰσος ἄρα χρόνος ὁ Α σημεῖον ὁ ΑΘ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Θ πάρειμι καί ὁ Β ὁ ΒΓ διέρχομαι ἐπί ὁ Γ πάρειμι . ἀλλά ὁ μέν Α ὁ ΑΘ διέρχομαι καί ἐπί ὁ Θ παραγίγνομαι δύω , ὁ δέ Β ὁ ΒΓ διέρχομαι καί ἐπί ὁ Γ παραγίγνομαι ἀνατέλλω · ὁ Α ἄρα δύω ὁ Β ἀνατέλλω . ὅμοιος δέ δείκνυμι , ὅτι καί ὁ Α ἀνατέλλω ὁ Β δύω . πάλιν , ἐπεί ἡμικύκλιον εἰμί ἑκάτερος ὁ ΕΗΖ , Ζ∠Ε , ἴσος εἰμί ὁ Ζ∠Ε περιφέρεια ὁ ΕΒΖ περιφέρεια · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ σημεῖον ὁ ΖΕ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Ε πάρειμι καί ὁ Ε ὁ Ε∠ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Ζ πάρειμι . ἀλλά ὁ μέν Ζ ὁ ΖΕ διέρχομαι καί ἐπί ὁ Ε παραγίγνομαι δύω , ὁ δέ Ε ὁ Ε∠Ζ διέρχομαι καί ἐπί ὁ Ζ παραγίγνομαι ἀνατέλλω · ὁ Ζ ἄρα δύω ὁ Ε ἀνατέλλω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ Ζ ἀνατέλλω ὁ Ε δύω . ὅμοιος δέ καί πᾶς ὁ ἐπί ὁ ζῳδιακός κύκλος ἄστρον , καί ὁ ἐπί ὁ ἰσημερινός ὁ κατά διάμετρος εἰμί κατά συζυγία ἀνατέλλω τε καί δύω .