euclides-geom.phaenomena 9
Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τὰ ἡμικύκλια , ὅσα τὰς ἀρχὰς μὴ ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων , ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλει , καὶ ἐν πλείστῳ μὲν τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον , ἐν ἐλάσσονι δὲ τὰ μετὰ αὐτὸν ἑξῆς , ἐν ἐλαχίστῳ δὲ τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερων , ὅταν ὁ βόρειος πόλος ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ᾖ καὶ ἔτι ὁ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ἐλάττων ᾖ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ · ὅσα δὲ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων , ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ∠Α , χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΕΓ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΓΖ , καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ ΑΖΓ · τὸ δὲ ΓΗΑ ἡμικύκλιον ἔστω τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερων καὶ ἔστω ὑπὲρ γῆς . ἀπειλήφθωσαν δὴ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΓΗ , ΖΑ , ὥστε εἶναι τὸ Ζ τῷ Η κατὰ διάμετρον , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι , καθ᾿ ὧν φέρεται τὰ Ζ , Η σημεῖα , οἱ ΒΖΘ , ΚΗΛ · τὸ ἄρα Μ τῷ Ν κατὰ διάμετρον · λέγω δή , ὅτι ἐν πλείστῳ μὲν χρόνῳ τὸ ΑΖΓ ἡμικύκλιον ἀνατέλλει , ἑξῆς δὲ τὸ ΖΓΗ , μετὰ δὲ τοῦτο τὸ ΝΓΜ , ἐν ἐλαχίστῳ δὲ τὸ ΓΜΑ . ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ μὲν ∠Α περιφέρεια τῆς ΒΜΘ , ἡ δὲ ΒΜΘ τῆς ΛΗΚ , ἡ δὲ ΛΗΚ τῆς ΓΚ , ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Α τὴν Α∠ περιφέρειαν δια πορεύεται ἤπερ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται , ἐν πλείονι δὲ ἀρξάμενον χρόνῳ τὸ Ζ ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΑ διαπορεύεται καὶ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ ἐν πλείονι χρόνῳ τὴν ΚΗΛ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Γ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Γ τὴν ΕΓ διαπορεύεται · ἀλλ᾿ ἐν ᾧ μὲν τὸ Α ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν Α∠ περιφέρειαν διαπορεύεται , ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Γ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Γ τὴν ὑπὸ γῆν διαπορεύεται τοῦ ΓΕ κύκλου καὶ ἀνατέλλει τὸ ΑΖΓ ἡμικύκλιον · ἐν ᾧ δὲ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Λ τὴν ΛΝΚ διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΖΓΗ ἡμικύκλιον · ἐν ᾧ δὲ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΗΛ περιφέρειαν διαπορεύεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Β τὴν ΒΖΘ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΝΓΜ ἡμικύκλιον · ἐν ᾧ δὲ τὸ Γ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε τὴν ΕΓ ὑπὲρ γῆν περιφέρειαν διαπορεύεται , ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Α ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ∠ τὴν ∠Α ὑπὸ γῆν περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΓΜΑ ἡμικύκλιον . ἐν πλείστῳ μὲν ἄρα χρόνῳ τὸ ΑΖΓ ἀνατέλλει , τουτέστι τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον , ἑξῆς δὲ τὸ ΖΓΗ , μετὰ τοῦτο τὸ ΝΓΜ , ἐν ἐλαχίστῳ δὲ τὸ ΓΜΑ , τουτέστι τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερων . λέγω δέ , ὅτι καὶ ὅσα τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων , ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει . ἐπεὶ γὰρ ἐν ᾧ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ περιφέρειαν διαπορεύεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ περιφέρειαν διαπορεύεται , ἀλλʼ ἐν ᾧ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διέρχεται , ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Λ τὴν ΛΝΚ περιφέρειαν διέρχεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΖΓΗ ἡμικύκλιον , ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται , ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Λ τὴν ΛΝΚ διέρχεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΜΑΝ ἡμικύκλιον , τὰ ΖΓΗ , ΜΑΝ ἄρα ἡμικύκλια ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει . ἄρα τῶν ζῳδίων κύκλου τὰ ἡμικύκλια , ὅσα τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων , ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει .
Lemmas: ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ἡμικύκλιον , ὅσος ὁ ἀρχή μή ἔχω ἐπί ὁ αὐτός ὁ παράλληλος , ἐν ἄνισος χρόνος ἀνατέλλω , καί ἐν πολύς μέν ὁ μετά ὁ Καρκίνος , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ μετά αὐτός ἑξῆς , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ μετά ὁ Αἰγόκερως , ὅταν ὁ βόρειος πόλος ὑπέρ ὁ ὁρίζων εἰμί καί ἔτι ὁ μέγας ὁ ἀεί φανερός ἐλαχύς εἰμί ὁ θερινός τροπικός · ὅσος δέ ὁ ἀρχή ἔχω ἐπί ὁ αὐτός ὁ παράλληλος , ἐν ἴσος χρόνος ἀνατέλλω . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , θερινός δέ τροπικός ὁ ∠Α , χειμερινός δέ τροπικός ὁ ΕΓ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ΑΓΖ , καί εἰμί ὁ μετά ὁ Καρκίνος ἡμικύκλιον ὑπό γῆ ὁ ΑΖΓ · ὁ δέ ΓΗΑ ἡμικύκλιον εἰμί ὁ μετά ὁ Αἰγόκερως καί εἰμί ὑπέρ γῆ . ἀπολαμβάνω δή ἴσος περιφέρεια ὁ ΓΗ , ΖΑ , ὥστε εἰμί ὁ Ζ ὁ Η κατά διάμετρος , καί εἰμί παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω ὁ Ζ , Η σημεῖον , ὁ ΒΖΘ , ΚΗΛ · ὁ ἄρα Μ ὁ Ν κατά διάμετρος · λέγω δή , ὅτι ἐν πολύς μέν χρόνος ὁ ΑΖΓ ἡμικύκλιον ἀνατέλλω , ἑξῆς δέ ὁ ΖΓΗ , μετά δέ οὗτος ὁ ΝΓΜ , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ΓΜΑ . ἐπεί γάρ μέγας εἰμί ἤ ὅμοιος ὁ μέν ∠Α περιφέρεια ὁ ΒΜΘ , ὁ δέ ΒΜΘ ὁ ΛΗΚ , ὁ δέ ΛΗΚ ὁ ΓΚ , ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ Α ὁ Α∠ περιφέρεια δα πορεύω ἤ ὁ Ζ ἄρχω ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΜΒ διαπορεύω , ἐν πολύς δέ ἄρχω χρόνος ὁ Ζ ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΜΒ διαπορεύω ἤ ὁ Ν ἄρχω ἀπό ὁ Κ ὁ ΚΑ διαπορεύω καί ὁ Ν ἄρχω ἀπό ὁ Κ ἐν πολύς χρόνος ὁ ΚΗΛάς διαπορεύω ἤ ὁ Γ ἄρχω ἀπό ὁ Γ ὁ ΕΓ διαπορεύω · ἀλλά ἐν ὅς μέν ὁ Α ἄρχω ἀπό ὁ Α ὁ Α∠ περιφέρεια διαπορεύω , ἐν οὗτος ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Γ ἄρχω ἀπό ὁ Γ ὁ ὑπό γῆ διαπορεύω ὁ ΓΕ κύκλος καί ἀνατέλλω ὁ ΑΖΓ ἡμικύκλιον · ἐν ὅς δέ ὁ Ζ ἄρχω ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΜΒ διαπορεύω , ἐν οὗτος καί ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Η ἄρχω ἀπό ὁ Λ ὁ ΛΝΚ διαπορεύω καί ἀνατέλλω ὁ ΖΓΗ ἡμικύκλιον · ἐν ὅς δέ ὁ Ν ἄρχω ἀπό ὁ Κ ὁ ΚΗΛ περιφέρεια διαπορεύω , ἐν οὗτος καί ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Μ ἄρχω ἀπό ὁ Β ὁ ΒΖΘ περιφέρεια διαπορεύω καί ἀνατέλλω ὁ ΝΓΜ ἡμικύκλιον · ἐν ὅς δέ ὁ Γ ἄρχω ἀπό ὁ Ε ὁ ΕΓ ὑπέρ γῆ περιφέρεια διαπορεύω , ἐν οὗτος ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Α ἄρχω ἀπό ὁ ∠ ὁ ∠Α ὑπό γῆ περιφέρεια διαπορεύω καί ἀνατέλλω ὁ ΓΜΑ ἡμικύκλιον . ἐν πολύς μέν ἄρα χρόνος ὁ ΑΖΓ ἀνατέλλω , τουτέστι ὁ μετά ὁ Καρκίνος , ἑξῆς δέ ὁ ΖΓΗ , μετά οὗτος ὁ ΝΓΜ , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ΓΜΑ , τουτέστι ὁ μετά ὁ Αἰγόκερως . λέγω δέ , ὅτι καί ὅσος ὁ ἀρχή ἔχω ἐπί ὁ αὐτός ὁ παράλληλος , ἐν ἴσος χρόνος ἀνατέλλω . ἐπεί γάρ ἐν ὅς ὁ Ζ ἄρχω ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΜΒ περιφέρεια διαπορεύω , ἐν οὗτος καί ὁ Μ ἄρχω ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΜΒ περιφέρεια διαπορεύω , ἀλλά ἐν ὅς ὁ Ζ ἄρχω ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΜΒ διέρχομαι , ἐν οὗτος ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Η ἄρχω ἀπό ὁ Λ ὁ ΛΝΚ περιφέρεια διέρχομαι καί ἀνατέλλω ὁ ΖΓΗ ἡμικύκλιον , ἐν ὅς δέ ὁ Μ ἄρχω ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΜΒ διαπορεύω , ἐν οὗτος ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Ν ἄρχω ἀπό ὁ Λ ὁ ΛΝΚ διέρχομαι καί ἀνατέλλω ὁ ΜΑΝ ἡμικύκλιον , ὁ ΖΓΗ , ΜΑΝ ἄρα ἡμικύκλιον ἐν ἴσος χρόνος ἀνατέλλω . ἄρα ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ἡμικύκλιον , ὅσος ὁ ἀρχή ἔχω ἐπί ὁ αὐτός ὁ παράλληλος , ἐν ἴσος χρόνος ἀνατέλλω .