euclides-geom.phaenomena 2
Ἐν μιᾷ κόσμου περιφορᾷ ὁ μὲν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα · ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος πρὸς μὲν τὸν μεσημβρινὸν δὶς ἔσται ὀρθός , πρὸς δὲ τὸν ὁρίζοντα οὐδέποτε , ὅταν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ ἦ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου . ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΕΒΓ , καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν κύκλων ἔστω ὁ Ω∠ , μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ἔστω ὁ ΕΖ , καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΗΘΚ , χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΛΜΝ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΚΛ , πόλοι δὲ τῆς σφαίρας τὰ Ξ , Ο σημεῖα . καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Ξ , Ο μέγιστος κύκλος ὁ ΑΞΕΟΠ · λέγω , ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ μὲν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος πρὸς μὲν τὸν μεσημβρινὸν δὶς ἔσται ὀρθός , πρὸς δὲ τὸν ὁρίζοντα οὐδέποτε , ὅταν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ τοῦ ΗΘΚ κύκλου καὶ τοῦ πόλου ὑπάρχῃ . ὅτι μὲν οὖν ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας πρὸς τὸν ΒΕΓ δὶς ὀρθός ἐστιν , δέδεικται . λέγω , ὅτι καὶ ὁ ΚΛ πρὸς τὸν ΑΘ μεσημβρινὸν δὶς ἔσται ὀρθός . ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΩΒΓ , ΗΘΚ τέμνουσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΑΘΟ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ περιφέρεια τῇ ΘΚ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΛΠ τῇ ΠΝ περιφερείᾳ . καί ἐστιν ἴση ἡ ΗΘΚ περιφέρεια τῇ ΛΠΝ περιφερείᾳ . ἴση ἄρα καὶ ὁμοία ἡ ΛΠ περιφέρεια τῇ ΚΘ περιφερείᾳ . ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Κ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΘ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίνεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Λ τὴν ΛΠ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Π παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΘΒΠΓ . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΗΘΚ , ΘΒΠΓ ἐφάπτονται ἀλλήλων , διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΞΘΟΠ , ὁ ΞΘΟΠ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΘΒΠΓ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν · ὥστε καὶ ὁ ΘΒΠΓ πρὸς τὸν ΞΘΟΠ ὀρθός ἐστιν · πάλιν , ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΘΗ περιφέρεια τῇ ΠΝ περιφερείᾳ , ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Π ἐπὶ τὸ Ν καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΗΣΝ . πάλιν , ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΗΑ περιφέρεια τῇ ΜΝ περιφερείᾳ , ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Η ἐπὶ τὸ Α παραγίνεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ν ἐπὶ τὸ Μ καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΑΒΜΓ . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΜΓ , ΑΘ ἐφάπτονται ἀλλήλων , διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΞΘΟ , ὀρθὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΞΘΟ πρὸς τὸν ΑΒΜΓ · ὥστε καὶ ὁ ΑΒΜΓ πρὸς τὸν ΑΞΘΟ ὀρθός ἐστιν . πάλιν , ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΑΚ περιφέρεια τῇ ΛΜ περιφερείᾳ , ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Α ἐπὶ τὸ Κ παραγίνεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Μ ἐπὶ τὸ Λ παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΚΛ . ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΘΗΑΚ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Κ παραγίνεται , ὅς ἐστι χρόνος μιᾶς τοῦ κόσμου περιφορᾶς , ἐν τούτῳ ὁ ΚΛ κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΟ κύκλον . τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω ὁ πόλος τοῦ ΒΕΓ κύκλου μεταξὺ τῶν Θ , Ξ σημείων · λέγω , ὅτι οὐδέποτε ἔσται ὁ ΚΛ ζῳδιακὸς κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν ΒΕΓ ὁρίζοντα . εἰ γὰρ ἔσται ὁ ΚΛ ὀρθὸς πρὸς τὸν ΒΕΓΚ , τεμεῖ αὐτὸν διὰ τῶν πόλων καὶ ἐλεύσεται διὰ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος , ὅς ἐστι μεταξὺ τῶν Θ , Ξ σημείων , καὶ τεμεῖ τὸν ΑΗΚ , ὅπερ ἀδύνατον . οὐδέποτε ἄρα ἔσται ὀρθὸς ὁ ΚΛ ζῳδιακὸς πρὸς τὸν ΒΕΓΚ ὁρίζοντα . δὲ ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τοῦ ΑΗΜΚ τὸ Μ σημεῖον · λέγω , ὅτι ἅπαξ ἔσται ὁ ζῳδιακὸς κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα . ἐπεὶ γὰρ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΚΜ περιφέρεια τῇ ΛΝ περιφερείᾳ , ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Κ τὴν ΚΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Λ ἐπὶ τὸ Ν παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΜΒΝΓ . ἐπεὶ οὖν ὁ ΜΒΝΓ τὸν ΗΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ὀρθὸς ἄρα ἐστὶν ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος πρὸς τὸν ὁρίζοντα . ἔστω δὲ ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ τῶν τροπικῶν τὸ Ο σημεῖον · λέγω , ὅτι δὶς ἔσται ὁ ΚΛ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα . γεγράφθωσαν διὰ τοῦ Ο πόλου μέγιστοι κύκλοι οἱ ΣΟΤ , ΠΟΡ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΗΜΚ · ἐφάψονται δὴ καὶ τοῦ ΝΡ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΠΟΡ τὸν ΗΕΚ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · ὀρθὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΠΡ κύκλος πρὸς τὸν ΗΕΚ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΣΟΤ πρὸς τὸν ΗΕΚ ὀρθός ἔστιν . καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτωτόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ Κ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Κ , Λ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Σ ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Σ , Τ μέρη , ὁμοία ἐστὶν ἡ ΚΣ περιφέρεια τῇ ΛΤ περιφερείᾳ . ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Κ ἐπὶ τὸ Σ παραγίνεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Λ ἐπὶ τὸ Τ παρέσται καὶ ὁ ΚΛ κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν ΣΤ κύκλον · ὁ δὲ ΣΤ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΗΕΚ · καὶ ὁ ΚΛ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΗΕΚ κύκλον . πάλιν , ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΣΜΠ περιφέρεια τῇ ΤΝΡ , ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Σ ἐπὶ τὸ Π παραγίνεται , ἐν τούτῳ καὶ τὸ Τ ἐπὶ τὸ Ρ παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν ΠΟΡ κύκλον · ὁ δὲ ΠΟΡ κύκλος ὁρθός ἐστι πρὸς τὸν ΗΕΚ · καὶ ὁ τῶν ζῳδίων ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΗΕΚ ὁρίζοντα . δὶς ἄρα ἔσται ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν
Lemmas: ἐν εἷς κόσμος περιφορά ὁ μέν διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα κύκλος δίς εἰμί ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων · ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος πρός μέν ὁ μεσημβρινός δίς εἰμί ὀρθός , πρός δέ ὁ ὁρίζων οὐδέποτε , ὅταν ὁ πόλος ὁ ὁρίζων μεταξύ ἠμί ὁ θερινός τροπικός καί ὁ φανερός πόλος . εἰμί ὁρίζων κύκλος ὁ ΕΒΓ , καί μέγας μέν ὁ ἀεί φανερός κύκλος εἰμί ὁ Ω∠ , μέγας δέ ὁ ἀεί ἀφανής εἰμί ὁ ΕΖ , καί θερινός μέν τροπικός ὁ ΗΘΚ , χειμερινός δέ τροπικός ὁ ΛΜΝ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΚΛ , πόλος δέ ὁ σφαῖρα ὁ Ξ , Ο σημεῖον . καί γράφω διά ὁ Ξ , Ο μέγας κύκλος ὁ ΑΞΕΟΠ · λέγω , ὅτι ἐν εἷς περιφορά ὁ σφαῖρα ὁ μέν διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα κύκλος δίς εἰμί ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος πρός μέν ὁ μεσημβρινός δίς εἰμί ὀρθός , πρός δέ ὁ ὁρίζων οὐδέποτε , ὅταν ὁ πόλος ὁ ὁρίζων μεταξύ ὁ ΗΘΚ κύκλος καί ὁ πόλος ὑπάρχω . ὅτι μέν οὖν ὁ διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα πρός ὁ ΒΕΓ δίς ὀρθός εἰμί , δείκνυμι . λέγω , ὅτι καί ὁ ΚΛ πρός ὁ ΑΘ μεσημβρινός δίς εἰμί ὀρθός . ἐπεί γάρ ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΩΒΓ , ΗΘΚ τέμνω ἀλλήλων , διά δέ ὁ πόλος αὐτός γράφω μέγας κύκλος ὁ ΑΘΟ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ περιφέρεια ὁ ΘΚ διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΛΠ ὁ ΠΝ περιφέρεια . καί εἰμί ἴσος ὁ ΗΘΚ περιφέρεια ὁ ΛΠΝ περιφέρεια . ἴσος ἄρα καί ὅμοιος ὁ ΛΠ περιφέρεια ὁ ΚΘ περιφέρεια . ἐν ὅς ἄρα χρόνος ὁ Κ σημεῖον ἄρχω ἀπό ὁ Κ ὁ ΚΘ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Θ παραγίγνομαι , ἐν οὗτος καί ὁ Λ ὁ ΛΠ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Π πάρειμι καί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΘΒΠΓ . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΗΘΚ , ΘΒΠΓ ἐφάπτω ἀλλήλων , διά δέ ὁ ὁ εἷς πόλος καί ὁ ἁφή γράφω μέγας κύκλος ὁ ΞΘΟΠ , ὁ ΞΘΟΠ ἄρα ἥκω καί διά ὁ ὁ ΘΒΠΓ πόλος καί εἰμί ὀρθός πρός αὐτός · ὥστε καί ὁ ΘΒΠΓ πρός ὁ ΞΘΟΠ ὀρθός εἰμί · πάλιν , ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΘΗ περιφέρεια ὁ ΠΝ περιφέρεια , ἐν ὅς ἄρα χρόνος ὁ Θ ἐπί ὁ Η παραγίγνομαι , ἐν οὗτος καί ὁ Π ἐπί ὁ Ν καί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΗΣΝ . πάλιν , ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΗΑ περιφέρεια ὁ ΜΝ περιφέρεια , ἐν ὅς χρόνος ὁ Η ἐπί ὁ Α παραγίγνομαι , ἐν οὗτος καί ὁ Ν ἐπί ὁ Μ καί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΑΒΜΓ . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα δύο κύκλος ὁ ΑΒΜΓ , ΑΘ ἐφάπτω ἀλλήλων , διά δέ ὁ ὁ εἷς πόλος καί ὁ ἁφή μέγας κύκλος γράφω ὁ ΑΞΘΟ , ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ΑΞΘΟ πρός ὁ ΑΒΜΓ · ὥστε καί ὁ ΑΒΜΓ πρός ὁ ΑΞΘΟ ὀρθός εἰμί . πάλιν , ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΚ περιφέρεια ὁ ΛΜ περιφέρεια , ἐν ὅς ἄρα χρόνος ὁ Α ἐπί ὁ Κ παραγίγνομαι , ἐν οὗτος καί ὁ Μ ἐπί ὁ Λ πάρειμι καί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΚΛ . ἐν ὅς ἄρα χρόνος ὁ Κ ἄρχω ἀπό ὁ Κ ὁ ΚΘΗΑΚ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Κ παραγίγνομαι , ὅς εἰμί χρόνος εἷς ὁ κόσμος περιφορά , ἐν οὗτος ὁ ΚΛ κύκλος δίς εἰμί ὀρθός πρός ὁ ΑΟ κύκλος . ὁ αὐτός ὑπόκειμαι εἰμί ὁ πόλος ὁ ΒΕΓ κύκλος μεταξύ ὁ Θ , Ξ σημεῖον · λέγω , ὅτι οὐδέποτε εἰμί ὁ ΚΛ ζῳδιακός κύκλος ὀρθός πρός ὁ ΒΕΓ ὁρίζων . εἰ γάρ εἰμί ὁ ΚΛ ὀρθός πρός ὁ ΒΕΓΚ , τέμνω αὐτός διά ὁ πόλος καί ἔρχομαι διά ὁ πόλος ὁ ὁρίζων , ὅς εἰμί μεταξύ ὁ Θ , Ξ σημεῖον , καί τέμνω ὁ ΑΗΚ , ὅς ἀδύνατος . οὐδέποτε ἄρα εἰμί ὀρθός ὁ ΚΛ ζῳδιακός πρός ὁ ΒΕΓΚ ὁρίζων . δέ ὁ πόλος ὁ ὁρίζων ἐπί ὁ ΑΗΜΚ ὁ Μ σημεῖον · λέγω , ὅτι ἅπαξ εἰμί ὁ ζῳδιακός κύκλος ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων . ἐπεί γάρ ὅμοιος εἰμί ὁ ΚΜ περιφέρεια ὁ ΛΝ περιφέρεια , ἐν ὅς χρόνος ὁ Κ ὁ ΚΜ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Μ παραγίγνομαι , ἐν οὗτος καί ὁ Λ ἐπί ὁ Ν πάρειμι καί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΜΒΝΓ . ἐπεί οὖν ὁ ΜΒΝΓ ὁ ΗΒΓ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος πρός ὁ ὁρίζων . εἰμί δέ ὁ πόλος ὁ ὁρίζων μεταξύ ὁ τροπικός ὁ Ο σημεῖον · λέγω , ὅτι δίς εἰμί ὁ ΚΛ κύκλος ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων . γράφω διά ὁ Ο πόλος μέγας κύκλος ὁ ΣΟΤ , ΠΟΡ ἐφάπτω ὁ ΑΗΜΚ · ἐφάπτω δή καί ὁ ΝΡ . καί ἐπεί ὁ ΠΟΡ ὁ ΗΕΚ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ΠΡ κύκλος πρός ὁ ΗΕΚ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΣΟΤ πρός ὁ ΗΕΚ ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Κ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Κ , Λ μέρος ὁ ἀπό ὁ Σ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Σ , Τ μέρος , ὅμοιος εἰμί ὁ ΚΣ περιφέρεια ὁ ΛΤ περιφέρεια . ἐν ὅς ἄρα χρόνος ὁ Κ ἐπί ὁ Σ παραγίγνομαι , ἐν οὗτος καί ὁ Λ ἐπί ὁ Τ πάρειμι καί ὁ ΚΛ κύκλος ἐφαρμόζω ἐπί ὁ ΣΤ κύκλος · ὁ δέ ΣΤ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΗΕΚ · καί ὁ ΚΛ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΗΕΚ κύκλος . πάλιν , ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΣΜΠ περιφέρεια ὁ ΤΝΡ , ἐν ὅς ἄρα χρόνος ὁ Σ ἐπί ὁ Π παραγίγνομαι , ἐν οὗτος καί ὁ Τ ἐπί ὁ Ρ πάρειμι καί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ἐφαρμόζω ἐπί ὁ ΠΟΡ κύκλος · ὁ δέ ΠΟΡ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΗΕΚ · καί ὁ ὁ ζῴδιον ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΗΕΚ ὁρίζων . δίς ἄρα εἰμί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ὀρθός πρός ὁ