euclides-geom.phaenomena 7
Ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν κύκλων ἀνατέλλει τε καὶ δύνει , ὅταν ὁ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν μὴ μείζων ἦ τοῦ τροπικοῦ κύκλου , καὶ τροπᾶς ποιεῖται ἐναντίως μεθιστάμενος . ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται , ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται · ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται , ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται . καὶ ἀλλοτε ἄλλως ὕπερ ἡμᾶς ἵσταται . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ Α∠ , χειμερινὸς δὲ ὁ ΒΓ , ὁ δὲ ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ∠ΕΒ , καὶ ἔστω τὸ μὲν ∠ΕΒ τμῆμα ὑπὸ γῆν , τὸ δὲ ∠ΖΒ ὑπὲρ γῆν · λέγω , ὅτι ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει καὶ τροπὰς ποιεῖται ἐναντίως μεθιστάμενος . ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται , ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται · ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται , ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται . καὶ ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς ἵσταται . ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ ∠ , Γ μέρη , δυτικὰ δὲ τὰ Α , Β . ὅτι μὲν οὖν ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει , φανερόν , ἐπειδήπερ μειζόνων κύκλων ἐφάπτεται ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἐφάπτεται . λέγω , ὅτι καὶ τροπὰς ποιεῖται ἐναντίως μεθιστάμενος . εἰλήφθωσαν γὰρ ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ∠Ε , ΖΒ , καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι , καθ᾿ ὧν φέρεται τὰ Ε , Ζ σημεῖα , οἱ ΗΕΘ , ΚΖΛ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Ε περιφέρεια τῇ ΖΒ περιφερείᾳ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΒ · ὅλη ἄρα ἡ ∠ΕΒ ὅλη τῇ ΕΒΖ ἐστιν ἴση · ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ ∠ΕΒ ἡμικύκλιον ἄρα καὶ τὸ ΕΒΖ · κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Ε σημεῖον τῷ Σ σημείῳ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ε∠ περιφέρεια τῇ ∠Μ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΝ , ἀλλ᾿ ἡ ∠Ε τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση , καὶ ἡ ∠Μ ἄρα τῇ ΒΝ ἐστιν ἴση · κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΒ · ὅλη ἄρα ἡ ∠ΜΒ ὅλῃ τῇ ΜΒΝ ἐστιν ἴση . ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ ∠ΜΒ · ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΜΒΝ · κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Μ σημεῖον τῷ Ν σημείῳ . καὶ ἐπεὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα σημεῖα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει , τοῦ ∠ ἄρα σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ ∠ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Β δύνει κατὰ τὸ Β σημεῖον καὶ τοῦ Ε ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Θ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ζ δύνει κατὰ τὸ Κ σημεῖον καὶ τοῦ Ν σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Λ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Μ δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον , καὶ ἔτι τοῦ Β σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Γ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ ∠ δύνει κατὰ τὸ Α σημεῖον . ὅταν ἄρα ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται , ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται . λέγω , ὅτι καί , ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται , ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται . ἀνατείλαντος γὰρ τοῦ ∠ΕΒ ἡμικυκλίου ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει τὴν ΑΞΓ . καὶ ὁμοίως δείξομεν , ὅτι κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ μὲν Ξ σημεῖον τῷ Ο σημείῳ , τὸ δὲ Ρ τῷ Π . καὶ ἐπεὶ τοῦ Γ σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Γ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Α δύνει κατὰ τὸ Α σημεῖον , τοῦ δὲ Ο σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Λ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ξ δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον , τοῦ δὲ Π σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Θ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ρ δύνει κατὰ τὸ Κ σημεῖον καὶ ἔτι τοῦ Α σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ ∠ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Γ δύνει κατὰ τὸ Β σημεῖον , ὅταν ἄρα ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται , ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται . ἐδείχθη δέ , ὅτι καὶ ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται , ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται . καὶ φανερόν , ὅτι ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς ἵσταται . ὅταν μὲν γὰρ ἡ συναφὴ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου καὶ τοῦ . θερινοῦ τροπικοῦ ἐπὶ τῆς διχοτομίας ᾖ τοῦ ὑπὲρ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ κύκλου , ὀρθότατος ἔσται πρὸς ἡμᾶς · ὅταν δὲ ἐπὶ τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὸ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ , ταπεινότατος ἔσται πρὸς ἡμᾶς · καὶ ἀεὶ μὲν ποῤῥώτερον γιγνόμενος τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὲρ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ , μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος · ὁμοίως δὲ ἔσται κεκλιμένος , ἴσον ἀπέχων ὁποτεροσοῦν τῶν διχοτομιῶν .
Lemmas: ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος κατά πᾶς ὁ τόπος ὁ ὁρίζων ὁ μεταξύ ὁ τροπικός κύκλος ἀνατέλλω τε καί δύω , ὅταν ὁ μέγας ὁ ἀεί φανερός μή μέγας ἠμί ὁ τροπικός κύκλος , καί τροπή ποιέω ἐναντίος μεθίστημι . ὅταν μέν γάρ ὁ ἀνατολή πρός μεσημβρία μεθίστημι , ὁ δύσις πρός ἄρκτος μεθίστημι φαίνω · ὅταν δέ ὁ ἀνατολή πρός ἄρκτος μεθίστημι , ὁ δύσις πρός μεσημβρία μεθίστημι φαίνω . καί ἀλλοτε ἄλλος ὑπέρ ἐγώ ἵστημι . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καί θερινός μέν τροπικός ὁ Α∠ , χειμερινός δέ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ∠ΕΒ , καί εἰμί ὁ μέν ∠ΕΒ τμῆμα ὑπό γῆ , ὁ δέ ∠ΖΒ ὑπέρ γῆ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος κατά πᾶς ὁ τόπος ὁ ὁρίζων ὁ μεταξύ ὁ τροπικός ἀνατέλλω τε καί δύω καί τροπή ποιέω ἐναντίος μεθίστημι . ὅταν μέν γάρ ὁ ἀνατολή πρός μεσημβρία μεθίστημι , ὁ δύσις πρός ἄρκτος μεθίστημι φαίνω · ὅταν δέ ὁ ἀνατολή πρός ἄρκτος μεθίστημι , ὁ δύσις πρός μεσημβρία μεθίστημι φαίνω . καί ἄλλοτε ἄλλος ὑπέρ ἐγώ ἵστημι . εἰμί ἀνατολικός μέν ὁ ∠ , Γ μέρος , δυτικός δέ ὁ Α , Β . ὅτι μέν οὖν ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος κατά πᾶς ὁ τόπος ὁ ὁρίζων ὁ μεταξύ ὁ τροπικός ἀνατέλλω τε καί δύω , φανερός , ἐπειδή μέγας κύκλος ἐφάπτω ἤ ὅς ὁ ὁρίζων ἐφάπτω . λέγω , ὅτι καί τροπή ποιέω ἐναντίος μεθίστημι . λαμβάνω γάρ ἴσος τε καί ἀπεναντίον περιφέρεια ὁ ∠Ε , ΖΒ , καί γράφω παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω ὁ Ε , Ζ σημεῖον , ὁ ΗΕΘ , ΚΖΛ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ∠Ε περιφέρεια ὁ ΖΒ περιφέρεια , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΕΒ · ὅλος ἄρα ὁ ∠ΕΒ ὅλος ὁ ΕΒΖ εἰμί ἴσος · ἡμικύκλιον δέ εἰμί ὁ ∠ΕΒ ἡμικύκλιον ἄρα καί ὁ ΕΒΖ · κατά διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ Ε σημεῖον ὁ Σ σημεῖον . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν Ε∠ περιφέρεια ὁ ∠Μ περιφέρεια , ὁ δέ ΖΒ ὁ ΒΝ , ἀλλά ὁ ∠Ε ὁ ΖΒ εἰμί ἴσος , καί ὁ ∠Μ ἄρα ὁ ΒΝ εἰμί ἴσος · κοινός πρόσκειμαι ὁ ΜΒ · ὅλος ἄρα ὁ ∠ΜΒ ὅλος ὁ ΜΒΝ εἰμί ἴσος . ἡμικύκλιον δέ εἰμί ὁ ∠ΜΒ · ἡμικύκλιον ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΒΝ · κατά διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ Μ σημεῖον ὁ Ν σημεῖον . καί ἐπεί ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ κατά διάμετρος εἰμί σημεῖον κατά συζυγία ἀνατέλλω τε καί δύω , ὁ ∠ ἄρα σημεῖον ἀνατέλλω κατά ὁ ∠ σημεῖον ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Β δύω κατά ὁ Β σημεῖον καί ὁ Ε ἀνατέλλω κατά ὁ Θ σημεῖον ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Ζ δύω κατά ὁ Κ σημεῖον καί ὁ Ν σημεῖον ἀνατέλλω κατά ὁ Λ σημεῖον ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Μ δύω κατά ὁ Η σημεῖον , καί ἔτι ὁ Β σημεῖον ἀνατέλλω κατά ὁ Γ σημεῖον ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ ∠ δύω κατά ὁ Α σημεῖον . ὅταν ἄρα ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ἀνατολή πρός μεσημβρία μεθίστημι , ὁ δύσις πρός ἄρκτος μεθίστημι φαίνω . λέγω , ὅτι καί , ὅταν ὁ ἀνατολή πρός ἄρκτος μεθίστημι , ὁ δύσις πρός μεσημβρία μεθίστημι φαίνω . ἀνατέλλω γάρ ὁ ∠ΕΒ ἡμικύκλιον ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ΑΞΓ . καί ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι κατά διάμετρος εἰμί ὁ μέν Ξ σημεῖον ὁ Ο σημεῖον , ὁ δέ Ρ ὁ Π . καί ἐπεί ὁ Γ σημεῖον ἀνατέλλω κατά ὁ Γ σημεῖον ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Α δύω κατά ὁ Α σημεῖον , ὁ δέ Ο σημεῖον ἀνατέλλω κατά ὁ Λ σημεῖον ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Ξ δύω κατά ὁ Η σημεῖον , ὁ δέ Π σημεῖον ἀνατέλλω κατά ὁ Θ σημεῖον ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Ρ δύω κατά ὁ Κ σημεῖον καί ἔτι ὁ Α σημεῖον ἀνατέλλω κατά ὁ ∠ σημεῖον ὁ κατά διάμετρος αὐτός ὁ Γ δύω κατά ὁ Β σημεῖον , ὅταν ἄρα ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ἀνατολή πρός ἄρκτος μεθίστημι , ὁ δύσις πρός μεσημβρία μεθίστημι φαίνω . δείκνυμι δέ , ὅτι καί ὅταν ὁ ἀνατολή πρός μεσημβρία μεθίστημι , ὁ δύσις πρός ἄρκτος μεθίστημι φαίνω . καί φανερός , ὅτι ἄλλοτε ἄλλος ὑπέρ ἐγώ ἵστημι . ὅταν μέν γάρ ὁ συναφή ὁ ζῳδιακός κύκλος καί ὁ . θερινός τροπικός ἐπί ὁ διχοτομία εἰμί ὁ ὑπέρ γῆ τμῆμα ὁ θερινός τροπικός κύκλος , ὀρθός εἰμί πρός ἐγώ · ὅταν δέ ἐπί ὁ διχοτομία ὁ ὑπό γῆ τμῆμα ὁ θερινός τροπικός , ταπεινός εἰμί πρός ἐγώ · καί ἀεί μέν πρόσω γίγνομαι ὁ διχοτομία ὁ ὑπέρ γῆ τμῆμα ὁ θερινός τροπικός , μάλα εἰμί κλίνω · ὅμοιος δέ εἰμί κλίνω , ἴσος ἀπέχω ὁπότερος ὁ διχοτομία .