euclides-geom.phaenomena 4
Ὅσα τῶν ἄστρων ἐστὶν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας , ὃς μήτε τέμνει τὸν μέγιστον τῶν ἀεὶ φανερῶν κύκλων μήτε ἐφάπτεται αὐτοῦ , τούτων τὰ πρότερον ἀνατέλλοντα καὶ πρότερον δύνει καὶ τὰ πρότερον δύνοντα πρότερον ἀνατέλλει . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καὶ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε , ἕτερος δὲ μέγιστος κύκλος ἔστω ὁ ΓΖΒ , μήτε τέμνων τὸν Α∠Ε κύκλον μήτε ἐφαπτόμενος αὐτοῦ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΓΖΒ κύκλου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ , λέγω , ὅτι τῶν Ζ , Η σημείων τὸ πρότερον ἀνατέλλον πρότερον δύνει καὶ τὸ πρότερον δῦνον πρότερον ἀνατέλλει . ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Γ μέρη , δυτικὰ δὲ τὰ Β , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι , καθ᾿ ὧν φέρεται τὰ Ζ , Η σημεῖα , οἱ ΘΚ , ΛΜ , καὶ διὰ τοῦ Ζ γεγράφθω μέγιστος κύκλος ὁ ΝΖΕ ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε κύκλου , ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ε , Ζ , Ν μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α , Γ μέρη . ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖ περιφέρεια τῇ ΜΝ περιφερείᾳ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘ περιφέρεια καὶ ἡ συνεχὴς αὐτῇ ὑπὸ γῆν ἡ μέχρι τοῦ Κ σημείου ὁμοία ἐστὶ τῇ ΝΛ περιφερείᾳ καὶ τῇ συνεχεῖ αὐτῇ ὑπὸ γῆν μέχρι τοῦ Μ σημείου . ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὰ Ζ , Ν σημεῖα τὰς ΖΘ , ΝΛ καὶ τὰς συνεχεῖς αὐταῖς μέχρι τῶν Κ , Μ σημείων διαπορεύεται . τὰ Ζ , Ν ἄρα σημεῖα ἅμα ἀνατέλλει · τὸ δὲ Η τοῦ Ν πρότερον ἀνατέλλει · καὶ τὸ Η ἄρα τοῦ Ζ πρότερον ἀνατέλλει . λέγω , ὅτι καὶ πρότερον δύνει . γεγράφθω διὰ τοῦ σημείου μέγιστος κύκλος ὁ ΞΖ∠ ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε κύκλου , ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ ∠ , Ζ , Ξ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α , Θ μέρη · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ ΞΛ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΖΘ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ σημεῖον τὴν ΞΛ περιφέρειαν . τοῦ ἄρα σημείου ἐπὶ τὸ Θ σημεῖον παραγενομένου καὶ τὸ Ξ ἐπὶ τὸ Λ παρέσται · τὰ Ζ , Ξ ἄρα σημεῖα ἅμα δύνει . τὸ δὲ Η τοῦ Σ πρότερον δύνει · τὸ ἄρα καὶ τοῦ Ζ πρότερον δύνει . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τὸ πρότερον δῦνον πρότερον ἀνατέλλει .
Lemmas: ὅσος ὁ ἄστρον εἰμί ἐπί μέγας κύκλος περιφέρεια , ὅς μήτε τέμνω ὁ μέγας ὁ ἀεί φανερός κύκλος μήτε ἐφάπτω αὐτός , οὗτος ὁ πρότερος ἀνατέλλω καί πρότερος δύω καί ὁ πρότερος δύω πρότερος ἀνατέλλω . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καί μέγας ὁ ἀεί φανερός ὁ Α∠Ε , ἕτερος δέ μέγας κύκλος εἰμί ὁ ΓΖΒ , μήτε τέμνω ὁ Α∠Ε κύκλος μήτε ἐφάπτω αὐτός , καί λαμβάνω ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ ΓΖΒ κύκλος δύο τυγχάνω σημεῖον ὁ Ζ , λέγω , ὅτι ὁ Ζ , Η σημεῖον ὁ πρότερος ἀνατέλλω πρότερος δύω καί ὁ πρότερος δύω πρότερος ἀνατέλλω . εἰμί ἀνατολικός μέν ὁ Γ μέρος , δυτικός δέ ὁ Β , καί εἰμί παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω ὁ Ζ , Η σημεῖον , ὁ ΘΚ , ΛΜ , καί διά ὁ Ζ γράφω μέγας κύκλος ὁ ΝΖΕ ἐφάπτω ὁ Α∠Ε κύκλος , ὥστε ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Ε , Ζ , Ν μέρος ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Α , Γ μέρος . ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΚΖ περιφέρεια ὁ ΜΝ περιφέρεια · λοιπός ἄρα ὁ ΖΘ περιφέρεια καί ὁ συνεχής αὐτός ὑπό γῆ ὁ μέχρι ὁ Κ σημεῖον ὅμοιος εἰμί ὁ ΝΛ περιφέρεια καί ὁ συνεχής αὐτός ὑπό γῆ μέχρι ὁ Μ σημεῖον . ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Ζ , Ν σημεῖον ὁ ΖΘ , ΝΛ καί ὁ συνεχής αὐτός μέχρι ὁ Κ , Μ σημεῖον διαπορεύω . ὁ Ζ , Ν ἄρα σημεῖον ἅμα ἀνατέλλω · ὁ δέ Η ὁ Ν πρότερος ἀνατέλλω · καί ὁ Η ἄρα ὁ Ζ πρότερος ἀνατέλλω . λέγω , ὅτι καί πρότερος δύω . γράφω διά ὁ σημεῖον μέγας κύκλος ὁ ΞΖ∠ ἐφάπτω ὁ Α∠Ε κύκλος , ὥστε ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ ∠ , Ζ , Ξ μέρος ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Α , Θ μέρος · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΖΘ περιφέρεια ὁ ΞΛ περιφέρεια · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Ζ σημεῖον ὁ ΖΘ περιφέρεια διαπορεύω καί ὁ σημεῖον ὁ ΞΛ περιφέρεια . ὁ ἄρα σημεῖον ἐπί ὁ Θ σημεῖον παραγίγνομαι καί ὁ Ξ ἐπί ὁ Λ πάρειμι · ὁ Ζ , Ξ ἄρα σημεῖον ἅμα δύω . ὁ δέ Η ὁ Σ πρότερος δύω · ὁ ἄρα καί ὁ Ζ πρότερος δύω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ πρότερος δύω πρότερος ἀνατέλλω .