euclides-geom.phaenomena 8
Τὰ ζῴδια ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλει τε καὶ δύνει · καὶ ἐν μεγίστοις μὲν τὰ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ , ἐν ἐλάσσοσι δὲ τὰ ἑξῆς τούτων · ἐν ἐλαχίστοις δὲ τὰ πρὸς τοῖς τροπικοῖς , ἐν ἴσοις δὲ τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , τροπικοὶ δὲ οἱ ΑΓ , Β∠ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΒΓ , ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ὁ ΕΖ , καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τῶν ΓΗ , ΗΒ εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Ν , Κ , Π , Τ σημεῖα · λέγω , ὅτι αἱ ΓΝ , ΝΚ , ΚΗ , ΗΠ , ΠΤ , ΤΒ περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλουσί τε καὶ δύνουσι , καὶ ἐν μεγίστοις μὲν αἱ ΚΗ , ΗΠ , ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΚΝ , ΠΤ , ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ ΓΝ , ΒΤ , ἐν ἴσοις δὲ ἡ μὲν ΚΗ τῇ ΗΠ , ἡ δὲ ΚΝ τῇ ΠΤ , ἡ δὲ ΝΓ τῇ ΤΒ . ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι , καθ᾿ ὧν φέρεται τὰ Ν , Κ , Π , Τ σημεῖα , οἱ ΜΞ , Θ∠ , ΟΡ , ΣΥ . καὶ ἐπεὶ περιφέρειαι αἱ ΗΚ , ΚΝ , ΝΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , αἱ ΖΛ , ΛΞ , ΞΓ ἄρα μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΖΛ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ΕΘ , ΘΜ , ΜΑ μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΕΘ · καὶ ἔτι αἱ μὲν ΖΡ , ΡΥ , Υ∠ μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΖΡ , καὶ ἔτι αἱ ΕΟ , ΟΣ , ΣΒ μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΕΟ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΓΝ , ΝΚ , ΚΗ , ΗΠ , ΠΤ , ΤΒ ἀνατέλλουσι μὲν κατὰ τὰς ΓΞ , ΞΛ , ΛΖ , ΖΡ , ΡΥ , Υ∠ περιφερείας , δύνουσι δὲ κατὰ τὰς ΑΜ , ΜΘ , ΘΕ , ΕΟ , ΟΣ , ΣΒ , ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλουσί τε καὶ δύνουσιν . καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΘΛ , ΟΡ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ ΓΒ τὰς ΠΗ , ΗΚ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ , ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΘΛ κύκλος τῷ ΟΡ κύκλῳ . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΘΛ , ΟΡ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ∠ τὰς ∠Ζ , ΖΡ ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ περιφέρεια τῇ ΖΡ περιφερείᾳ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΞΖ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΖΥ περιφερείᾳ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΞΛ λοιπῇ τῇ ΡΥ ἴση ἐστίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΞ ἴση ἐστὶ τῇ Υ∠ . τὰ ἄρα ζῴδια ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλει τε καὶ δύνει , καὶ ἐν μεγίστοις μὲν τὰ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ , ἐν ἐλάσσοσι δὲ τὰ ἑξῆς τούτων , ἐν ἐλαχίστοις δὲ τὰ πρὸς τοῖς τροπικοῖς , ἐν ἴσοις δὲ τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου .
Lemmas: ὁ ζῴδιον ἐν ἄνισος τμῆμα ὁ ὁρίζων ἀνατέλλω τε καί δύω · καί ἐν μέγας μέν ὁ πρός ὁ ἰσημερινός , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ἑξῆς οὗτος · ἐν ἐλαχύς δέ ὁ πρός ὁ τροπικός , ἐν ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός κύκλος . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , τροπικός δέ ὁ ΑΓ , Β∠ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ΒΓ , ἰσημερινός δέ κύκλος ὁ ΕΖ , καί διαιρέω ἑκάτερος ὁ ΓΗ , ΗΒ εἰς τρεῖς ἴσος κατά ὁ Ν , Κ , Π , Τ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΓΝ , ΝΚ , ΚΗ , ΗΠ , ΠΤ , ΤΒ περιφέρεια ἐν ἄνισος τμῆμα ὁ ὁρίζων ἀνατέλλω τε καί δύω , καί ἐν μέγας μέν ὁ ΚΗ , ΗΠ , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ΚΝ , ΠΤ , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ΓΝ , ΒΤ , ἐν ἴσος δέ ὁ μέν ΚΗ ὁ ΗΠ , ὁ δέ ΚΝ ὁ ΠΤ , ὁ δέ ΝΓ ὁ ΤΒ . εἰμί παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω ὁ Ν , Κ , Π , Τ σημεῖον , ὁ ΜΞ , Θ∠ , ΟΡ , ΣΥ . καί ἐπεί περιφέρεια ὁ ΗΚ , ΚΝ , ΝΓ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ὁ ΖΛ , ΛΞ , ΞΓ ἄρα μέγας εἰμί ἀλλήλων ἄρχω ἀπό μέγας ὁ ΖΛ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ΕΘ , ΘΜ , ΜΑ μέγας εἰμί ἀλλήλων ἄρχω ἀπό μέγας ὁ ΕΘ · καί ἔτι ὁ μέν ΖΡ , ΡΥ , Υ∠ μέγας εἰμί ἀλλήλων ἄρχω ἀπό μέγας ὁ ΖΡ , καί ἔτι ὁ ΕΟ , ΟΣ , ΣΒ μέγας εἰμί ἀλλήλων ἄρχω ἀπό μέγας ὁ ΕΟ . καί ἐπεί ὁ ΓΝ , ΝΚ , ΚΗ , ΗΠ , ΠΤ , ΤΒ ἀνατέλλω μέν κατά ὁ ΓΞ , ΞΛ , ΛΖ , ΖΡ , ΡΥ , Υ∠ περιφέρεια , δύω δέ κατά ὁ ΑΜ , ΜΘ , ΘΕ , ΕΟ , ΟΣ , ΣΒ , ἐν ἄνισος τμῆμα ὁ ὁρίζων ἀνατέλλω τε καί δύω . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος ὁ ΘΛ , ΟΡ μέγας τις κύκλος περιφέρεια ὁ ΓΒ ὁ ΠΗ , ΗΚ ἴσος ἀφαιρέω πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΕΖ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΛ κύκλος ὁ ΟΡ κύκλος . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος ὁ ΘΛ , ΟΡ μέγας τις κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ∠ ὁ ∠Ζ , ΖΡ ἀφαιρέω πρός ὁ μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΕΖ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΛΖ περιφέρεια ὁ ΖΡ περιφέρεια . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΞΖ περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ΖεΥ περιφέρεια · λοιπός ἄρα ὁ ΞΛ λοιπός ὁ ΡΥ ἴσος εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΓΞ ἴσος εἰμί ὁ Υ∠ . ὁ ἄρα ζῴδιον ἐν ἄνισος τμῆμα ὁ ὁρίζων ἀνατέλλω τε καί δύω , καί ἐν μέγας μέν ὁ πρός ὁ ἰσημερινός , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ἑξῆς οὗτος , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ πρός ὁ τροπικός , ἐν ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός κύκλος .