euclides-geom.phaenomena-recensio-b 1
ιϚ ΄ . Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου αἰ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον , ἀλλʼ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον , ἐν ἴσῳ δὲ αἰ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτεροσοῦν τῶν συναφῶν . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΒ , χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΓΤ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΓΕ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἰ ∠Ε , ΕΖ λέγω , ὅτι αἱ ∠Ε , ΕΖ οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον , ἀλλʼ ἐν πλείονι ἡ ∠Ε περιφέρεια τῆς ΕΖ περιφερείας . ἀπειλήφθωσαν γὰρ ταῖς ∠Ε , ΕΖ περιφερείαις ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΗΘ , ΘΚ · αἱ ΗΘ , ΘΚ ἄρα περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἀλλʼ ἐν πλείονι ἡ ΗΘ τῆς ΚΘ ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ΗΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἡ ∠Ε τὸ ἀφανές , ἐν ᾧ δὲ ἡ ΘΚ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει , ἡ ΕΖ τὸ ἀφανές · αἱ ∠Ε , ΕΖ ἄρα περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον , ἀλλʼ ἐν πλείονι ἡ ∠Ε τῆς ΕΖ . λέγω , ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτεροσοῦν τῶν τροπικῶν συναφῶν ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον . ἔστωσαν γὰρ καθʼ ὧν φέρεται τὰ Δ , Ε , Ζ , Κ , Θ , Η σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ∠Ο , ΚΞ , ΖΡ , ΚΝ , ΘΜ , ΗΛ . αἱ ΗΘ , ΛΜ ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ἀλλʼ ἐν μὲν χρόνῳ ἡ ΗΘ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει , ἡ ∠Ε τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει · ἔν ᾧ δὲ ἡ ΛΜ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει , ἡ ΞΟ τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει · αἱ ∠Ε ΟΞ ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἔξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον . ιζ΄ . Τῶν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν ἴσων τε καὶ ἴσον ἀπεχουσῶν τοῦ ἰσημερινοῦ ἔν ᾦ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές , καὶ ἔν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον , ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ Β∠Γ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΘ , καὶ τοῦ Β∠Γ ἰσημερινοῦ ἔφʼ ἑκάτερα ἴσαι τε καὶ ἴσον ἀπέχουσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἱ ΘΚ , ΖΗ . λέγω , ὅτι , ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΘΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἡ ΖΗ τὸ ἀφανές . κείσθω γὰρ τῇ ΖΗ ἴση τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΛΜ . αἱ ΜΛ , ΘΚ ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἔξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ἀλλʼ ἐν ᾦ χρόνῳ ἡ ΜΛ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει , ἡ ΖΗ τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει · καὶ ἐν ᾦ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΚ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἡ ΗΖ περιφέρεια τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν ᾦ χρόνῳ ἡ ΘΚ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαί - ριον , ἡ ΗΖ τὸ φανερὸν ἐξαλλάσσει . ιη΄ . Τῶν δὲ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπολαμβανομένῳ ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ θερινῷ τροπικῷ ἴσων περιφερειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ἑτέρα αὐτῶν ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ ἀφανὲς καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΞ , χειμερινὸς δὲ ὁ # 8736;Ο , ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ ΒΕΓ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΟ , καὶ ἐν τῷ ΤΑΕ ἡμικυκλίῳ ἴσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἰ ΖΗ , ΘΚ , ἔγγιον δὲ ἔστω τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἡ ΖΗ λέγω , ὅτι ἔν πλείονι χρόνῳ ἡ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ τὸ ἀφανὲς καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης . κείσθω γὰρ τῇ ΘΚ περιφερείᾳ ἴση τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΜΝ . ἔγγιον ἄρα ἡ Ζ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΜΝ . ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΖΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΜΝ . τὸ φανερόν . ἀλλʼ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΜΝ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἡ ΘΚ τὸ ἀφανές · ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ τὸ ἀφανές . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ ἀφανές . ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπολαμβανομένῳ ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ ἴσων περιφερειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ἑτέρα αὐτῶν ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ φανερὸν καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης .
Lemmas: ιϛʹ ΄ . ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ἴσος περιφέρεια οὐ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ ἀφανής ἡμισφαίριον , ἀλλά ἐν πολύς χρόνος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ χειμερινός τροπικός ὁ ἀπώτερος , ἐν ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ὁπότερος ὁ συναφή . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , καί θερινός μέν τροπικός εἰμί ὁ ΑΒ , χειμερινός δέ τροπικός εἰμί ὁ ΓΤ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ΑΓΕ , καί ἀπολαμβάνω ἴσος περιφέρεια ὁ ∠Ε , ΕΖ λέγω , ὅτι ὁ ∠Ε , ΕΖ οὐ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ ἀφανής ἡμισφαίριον , ἀλλά ἐν πολύς ὁ ∠Ε περιφέρεια ὁ ΕΖ περιφέρεια . ἀπολαμβάνω γάρ ὁ ∠Ε , ΕΖ περιφέρεια ἴσος τε καί ἀπεναντίον περιφέρεια ὁ ΗΘ , ΘΚ · ὁ ΗΘ , ΘΚ ἄρα περιφέρεια οὐ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ἀλλά ἐν πολύς ὁ ΗΘ ὁ ΚΘ ἀλλά ἐν ὅς μέν χρόνος ὁ ΗΘ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ὁ ∠Ε ὁ ἀφανής , ἐν ὅς δέ ὁ ΘΚ ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσω , ὁ ΕΖ ὁ ἀφανής · ὁ ∠Ε , ΕΖ ἄρα περιφέρεια οὐ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ ἀφανής ἡμισφαίριον , ἀλλά ἐν πολύς ὁ ∠Ε ὁ ΕΖ . λέγω , ὅτι καί ἐν ἴσος χρόνος ὁ ἴσος ἀπέχω ὁπότερος ὁ τροπικός συναφή ἐξαλλάσσω ὁ ἀφανής ἡμισφαίριον . εἰμί γάρ κατά ὅς φέρω ὁ Δ , Ε , Ζ , Κ , Θ , Η σημεῖον παράλληλος κύκλος ὁ ∠Ο , ΚΞ , ΖΡ , ΚΝ , ΘΜ , ΗΛ . ὁ ΗΘ , ΛΜ ἄρα περιφέρεια ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ἀλλά ἐν μέν χρόνος ὁ ΗΘ ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσω , ὁ ∠Ε ὁ ἀφανής ἐξαλλάσσω · ἐν ὅς δέ ὁ ΛΜ ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσω , ὁ ΞΟ ὁ ἀφανής ἐξαλλάσσω · ὁ ∠Ε ΟΞ ἄρα περιφέρεια ἐν ἴσος χρόνος εἴξαλλασσω ὁ ἀφανής ἡμισφαίριον . ιζʹ . ὁ ἐπί ἑκάτερος ὁ ἰσημερινός περιφέρεια ἴσος τε καί ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός ἐν ὄϊς χρόνος ὁ ἕτερος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ὁ ἕτερος ὁ ἀφανής , καί ἐν ὅς χρόνος ὁ ἕτερος ἐξαλλάσσω ὁ ἀφανής ἡμισφαίριον , ὁ ἕτερος ὁ φανερός . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , ἰσημερινός δέ κύκλος εἰμί ὁ Β∠Γ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΑΕΘ , καί ὁ Β∠Γ ἰσημερινός ἐπί ἑκάτερος ἴσος τε καί ἴσος ἀπέχω περιφέρεια εἰμί ὁ ΘΚ , ΖΗ . λέγω , ὅτι , ἐν ὅς χρόνος ὁ ΘΚ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ὁ ΖΗ ὁ ἀφανής . κεῖμαι γάρ ὁ ΖΗ ἴσος τε καί ἀπεναντίον περιφέρεια ὁ ΛΜ . ὁ ΜΛ , ΘΚ ἄρα περιφέρεια ἐν ἴσος χρόνος εἴξαλλασσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ἀλλά ἐν ὄϊς χρόνος ὁ ΜΛ ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσω , ὁ ΖΗ ὁ ἀφανής ἐξαλλάσσω · καί ἐν ὄϊς ἄρα χρόνος ὁ ΘΚ περιφέρεια ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ὁ ΗΖ περιφέρεια ὁ ἀφανής ἐξαλλάσσω . διά ὁ αὐτός δή καί ἐν ὄϊς χρόνος ὁ ΘΚ περιφέρεια ἐξαλλάσσω ὁ ἀφανής ημισφος - Ῥίον , ὁ ΗΖ ὁ φανερός ἐξαλλάσσω . ιηʹ . ὁ δέ ἐν ὁ ἡμικύκλιον ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό ὁ ἰσημερινός πρός ὁ θερινός τροπικός ἴσος περιφέρεια ἐν πολύς χρόνος ὁ ἕτερος αὐτός ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ λοιπός ὁ ἀφανής καί ὁ τυγχάνω ὁ τυγχάνω . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καί θερινός μέν τροπικός εἰμί ὁ ΑΞ , χειμερινός δέ ὁ # Οὖ , ἰσημερινός δέ κύκλος εἰμί ὁ ΒΕΓ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ΑΕΟ , καί ἐν ὁ ΤΑΕ ἡμικύκλιον ἴσος περιφέρεια εἰμί ὁ ΖΗ , ΘΚ , ἐγγίων δέ εἰμί ὁ θερινός τροπικός ὁ ΖΗ λέγω , ὅτι ἐν πολύς χρόνος ὁ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΘΚ ὁ ἀφανής καί ὁ τυγχάνω ὁ τυγχάνω . κεῖμαι γάρ ὁ ΘΚ περιφέρεια ἴσος τε καί ἀπεναντίον περιφέρεια ὁ ΜΝ . ἐγγίων ἄρα ὁ Ζ ὁ θερινός τροπικός ἤ ὁ ΜΝ . ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ ΖΗ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΜΝ . ὁ φανερός . ἀλλά ἐν ὅς χρόνος ὁ ΜΝ περιφέρεια ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ὁ ΘΚ ὁ ἀφανής · ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ περιφέρεια ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΘΚ ὁ ἀφανής . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ τυγχάνω ὁ τυγχάνω ἐν πολύς χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ λοιπός ὁ ἀφανής . ὡσαύτως δέ καί ὁ ἐν ὁ ἕτερος ἡμικύκλιον ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό ὁ ἰσημερινός πρός ὁ χειμερινός τροπικός ἴσος περιφέρεια ἐν πολύς χρόνος ὁ ἕτερος αὐτός ἐξαλλάσσω ὁ ἀφανής ἡμισφαίριον ἤ ὁ λοιπός ὁ φανερός καί ὁ τυγχάνω ὁ τυγχάνω .