euclides-geom.phaenomena-demonstrationes-alterae-recensionis-b 2
Αὕτη δέ ἐστιν ἡ σαφεστέρα ἔκθεσις . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠ , καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ Α∠ , χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΓ , ζῳδιακοῦ δὲ ἡμικύκλιον τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἔστω ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΓ καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ ∠ , Γ , δυτικὰ δὲ τὰ Α , Β , ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ ΕΖ , καὶ διῃρήσθω τὸ ΑΓ ἡμικύκλιον εἰς τὰ ἐν αὐτῷ ζῴδια κατὰ τὰ Η , Θ , Λ , Μ σημεῖα , καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΗΞ , ΟΘΠ , ΡΛΣ , ΤΜΥ , καθʼ ὧν φέρεται τὰ Η , Θ , Λ , Μ σημεῖα · λέγω , ὅτι ἐν πλείστῳ μὲν χρόνῳ δύνουσιν αἰ ΑΗ , ΜΓ περιφέρειαι , ἐν ἐλάσσονι δὲ αἰ ΗΘ , ΛΜ , ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἰ ΘΚ , ΛΚ , ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ . ἔστω μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ τυ Φ , καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Η , Θ μέγιστοι κύκλοι οἱ υ ΗΩΧ , ΦΘΨ ἐφαπτόμενοι τοῦ τυ Φ κύκλου , ὥστε ἀσύμπτωτα εἶναι τὰ ἀπὸ τῶν υ , Φ ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ ΗΧ , ΘΨ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ τ ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ τ , Α μέρη · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΝ περιφέρεια ἑκατέρᾳ τῶν ΩΟ , ΧΕ , ἡ δὲ ΘΩ τῇ ΨΧ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Η τὴν ΗΝ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Ω τὴν ΩΟ . ἀλλʼ ὁ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ τὴν ΗΝ περιφέρειαν διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια · καὶ ὁ χρόνος ἄρα , ἐν ᾧ τὸ Ω τὴν ΩΟ διαπορεύεται , ὁ αὐτός ἐστι τῷ χρόνῳ , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια . πάλιν ἐπεὶ ὁ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΟ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΘΑ περιφέρεια , ὧν ἀφαιρεῖται ὁ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Ω τὴν ΩΟ διαπορεύεται , ὁ αὐτὸς ὢν τῷ χρόνῳ , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια , λοιπὸς ἄρα ὁ χρόνος , ἐν τὸ Θ τὴν ΘΩ διαπορεύεται , ὁ αὐτός ἐστι τῷ χρόνῳ , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΘ περιφέρεια · ὁμοία δέ ἐστιν ἡ μὲν ΟΩ τῇ ΕΧ , ἡ δὲ ΩΘ τῇ ΧΨ · καὶ ὁ χρόνος ἄρα , ἐν ᾧ τὸ Χ τὴν ΧΕ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια · ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Ψ τὴν ΨΧ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΘΗ περιφέρεια . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Κ τὴν ΚΨ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΚΘ περιφέρεια . καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος ὁ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τινος κύκλου τῶν παραλλήλων τοῦ τυ Φ καὶ τὸν ΑΒΓ τέμνουσιν οἱ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΕΖ , ΑΓ , ὧν ὁ μὲν ΕΖ μέγιστος τῶν παραλλήλων , ὁ δὲ ΑΓ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους , καὶ ἀπειλημμέναι εἴσὶ περιφέρειαι αἱ Α Η , Η Θ , ΘΚ ἐπὶ τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας ἴσαι ἐξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , καὶ διὰ τῶν Η , Θ σημείων γεγραμμένοι εἰσὶ μέγιστοι κύκλοι οἱ υ ΗΧ , ΦΘΨ ἐφαπτόμενοι τοῦ τυΦ κύκλου , μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΕΧ περιφέρεια τῆς Χ Ψ περιφερείας , ἡ δὲ Χ Ψ τῆς Ψ Κ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Χ τὴν ΧΕ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ψ τήν Φ Σʼ καὶ τὸ Ψ τήν Ψ Χ ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Κ τὴν Κ Ψ ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος , ἐν ᾧ τὸ τὴν ΧΕ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ τὸ τὴν ΗΝ περιφέρειαν διαπορεύεται , τουτέστιν ἐν ᾧ δύνει ἡ Α περιφέρεια · ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Ψ τὴν ΨΧ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΩ διαπορεύεται , τουτέστιν ὁ χρόνος , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΘΗ περιφέρεια · ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Κ τὴν Κ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ δύνει ἡ ΚΘ περιφέρεια · ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει ἡ μὲν ΑΗ περιφέρεια τῆς ΗΘ περιφερείας . ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΚ . λέγω δή , ὅτι ἐν ἴσοις χρόνοις αἰ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ δύνουσιν . γενομένου γὰρ δὴ τοῦ Κ σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον , ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν Ϛ Ελ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ϛ Ε περιφέρεια τῇ Ε λ περιφερείᾳ καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΕΖ , ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ϛ ΘΠ κύκλος τῷ ΡΛΣ κύκλῳ · ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΟΕ περνφέρεια τῇ ΕΡ περιφερείᾳ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ϛ Ε τῇ Ε λ ἴση ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ϛ ἐπὶ τὸ Ο τῇ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὸ λ . καί εἴσιν ἴσοι κύκλοι οἱ Ϛ ΘΠ , ΡΛΣ ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ Ϛ Ο περιφέρεια τῇ Ρ λ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ λ σημεῖον τὴν λ Ρ διαπορεύεται καὶ τὸ Ο τὴν Ο Ϛ . ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος , ἐν ᾧ τὸ λ τὴν λ Ρ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ δύνει ἡ λ Ε περιφέρεια , ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Ο τὴν Ο Ϛ διαπορεύεται , ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ , ἐν δύνει ἡ Ε Ϛ περιφέρεια · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ δύνουσιν αἰ λ Ε , Ε Ϛ περιφέρειαι . ἴση δὲ ἡ μὲν λ Ε τῇ Λ Κ , ἡ δὲ Ε Ϛ τῇ ΚΘ αἰ ΛΚ , ΚΘ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν . ὁμοίως δὲ δείξομεν , ὅτι καὶ αἰ ΜΚ , ΚΗ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν , ὧν αἰ ΛΚ , ΚΘ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν · λοιπαὶ ἄρα αἱ ΜΛ , ΘΗ ἐν ἴσῳ χρόνω δύνουσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ΜΓ , ΑΗ περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν . καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἡ ΑΗ περιφέρεια ἤπερ ἡ ΗΘ καὶ ἡ ΗΘ ἤπερ ἡ ΘΚ , ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει ἡ Γ Μ περιφέρεια ἤπερ ἡ ΜΛ , καὶ ἡ ΜΛ ἤπερ ἡ ΛΚ . ἐν πλείστῳ ἄρα χρόνῳ δύνουσιν αἱ ΑΗ , ΜΓ περιφέρειαι , ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ΗΘ , ΛΜ ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἱ Θ Κ , ΛΚ , ἐν ἴσῳ δὲ αἰ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν .
Lemmas: οὗτος δέ εἰμί ὁ σαφής ἔκθεσις . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠ , καί θερινός μέν τροπικός εἰμί ὁ Α∠ , χειμερινός δέ τροπικός ὁ ΒΓ , ζῳδιακός δέ ἡμικύκλιον ὁ μετά ὁ Καρκίνος εἰμί ὑπέρ γῆ ὁ ΑΓ καί εἰμί ἀνατολικός μέν μέρος ὁ ∠ , Γ , δυτικός δέ ὁ Α , Β , ἰσημερινός δέ κύκλος εἰμί ὁ ΕΖ , καί διαιρέω ὁ ΑΓ ἡμικύκλιον εἰς ὁ ἐν αὐτός ζῴδιον κατά ὁ Η , Θ , Λ , Μ σημεῖον , καί γράφω παράλληλος κύκλος ὁ ΝΗΞ , ΟΘΠ , ΡΛΣ , ΤΜΥ , κατά ὅς φέρω ὁ Η , Θ , Λ , Μ σημεῖον · λέγω , ὅτι ἐν πολύς μέν χρόνος δύω ὁ ΑΗ , ΜΓ περιφέρεια , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ΗΘ , ΛΜ , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ΘΚ , ΛΚ , ἐν ἴσος δέ χρόνος ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός . εἰμί μέγας ὁ ἀεί φανερός ὁ σύ Φ , καί γράφω διά ὁ Η , Θ μέγας κύκλος ὁ υ̅ ΗΩΧ , ΦΘΨ ἐφάπτω ὁ σύ Φ κύκλος , ὥστε ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ἀπό ὁ υ̅ , Φ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ ΗΧ , ΘΨ μέρος ὁ ἀπό ὁ τ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ τ , Α μέρος · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΗΝ περιφέρεια ἑκάτερος ὁ ΩΟ , ΧΕ , ὁ δέ ΘΩ ὁ ΨΧ · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Η ὁ ΗΝ περιφέρεια διαπορεύω καί ὁ Ω ὁ ΩΟ . ἀλλά ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ ὁ ΗΝ περιφέρεια διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς δύω ὁ ΗΑ περιφέρεια · καί ὁ χρόνος ἄρα , ἐν ὅς ὁ Ω ὁ ΩΟ διαπορεύω , ὁ αὐτός εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὅς δύω ὁ ΗΑ περιφέρεια . πάλιν ἐπεί ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Θ ὁ ΘΟάς διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς δύω ὁ ΘΑ περιφέρεια , ὅς ἀφαιρέω ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Ω ὁ ΩΟ διαπορεύω , ὁ αὐτός εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὅς δύω ὁ ΗΑ περιφέρεια , λοιπός ἄρα ὁ χρόνος , ἐν ὁ Θ ὁ ΘΏ διαπορεύω , ὁ αὐτός εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὅς δύω ὁ ΗΘ περιφέρεια · ὅμοιος δέ εἰμί ὁ μέν ΟΩ ὁ ΕΧ , ὁ δέ ΩΘ ὁ ΧΨ · καί ὁ χρόνος ἄρα , ἐν ὅς ὁ Χ ὁ ΧΕ διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς δύω ὁ ΗΑ περιφέρεια · ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Ψ ὁ ΨΧ διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς δύω ὁ ΘΗ περιφέρεια . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Κ ὁ ΚΨ διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς δύω ὁ ΚΘ περιφέρεια . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω τις κύκλος ὁ παράλληλος ὁ σύ Φ καί ὁ ΑΒΓ τέμνω ὁ μέγας κύκλος ὁ ΕΖ , ΑΓ , ὅς ὁ μέν ΕΖ μέγας ὁ παράλληλος , ὁ δέ ΑΓ λοξός πρός ὁ παράλληλος , καί ἀπολαμβάνω ἴσι περιφέρεια ὁ Α Η , Η Θ , ΘΚ ἐπί ὁ ὁ λοξός κύκλος περιφέρεια ἴσος ἑξῆς ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ μέγας ὁ παράλληλος , καί διά ὁ Η , Θ σημεῖον γράφω εἰμί μέγας κύκλος ὁ υ̅ ΗΧ , ΦΘΨ ἐφάπτω ὁ τυΦ κύκλος , μέγας εἰμί ὁ μέν ΕΧ περιφέρεια ὁ Χ Ψ περιφέρεια , ὁ δέ Χ Ψ ὁ Ψ Κ ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ Χ ὁ ΧΕ διαπορεύω ἤ ὁ Ψ ὁ Φ Σά καί ὁ Ψ ὁ Ψ Χ ἐν πολύς χρόνος διαπορεύω ἤ ὁ Κ ὁ Κ Ψ ἀλλά ὁ μέν χρόνος , ἐν ὅς ὁ ὁ ΧΕ διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ ὁ ΗΝ περιφέρεια διαπορεύω , τουτέστι ἐν ὅς δύω ὁ Α περιφέρεια · ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Ψ ὁ ΨΧ διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ Θ ὁ ΘΩ διαπορεύω , τουτέστι ὁ χρόνος , ἐν ὅς δύω ὁ ΘΗ περιφέρεια · ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Κ ὁ Κ διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς δύω ὁ ΚΘ περιφέρεια · ἐν πολύς ἄρα χρόνος δύω ὁ μέν ΑΗ περιφέρεια ὁ ΗΘ περιφέρεια . ὁ δέ ΗΘ ὁ ΘΚ . λέγω δή , ὅτι ἐν ἴσος χρόνος ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός δύω . γίγνομαι γάρ δή ὁ Κ σημεῖον ἐπί ὁ Ε σημεῖον , ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ Ϛ Ελ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ϛ Ε περιφέρεια ὁ Ε λ περιφέρεια καί εἰμί μέγας ὁ παράλληλος ὁ ΕΖ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ϛ ΘΠ κύκλος ὁ ΡΛΣ κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΟΕ περνφέρεια ὁ ΕΡ περιφέρεια . εἰμί δέ καί ὁ ϛ Ε ὁ Ε λ ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ϛ ἐπί ὁ Ο ὁ ἀπό ὁ Ρ ἐπί ὁ λ . καί εἰμί ἴσος κύκλος ὁ Ϛ ΘΠ , ΡΛΣ ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ Ϛ Ο περιφέρεια ὁ Ρ λ περιφέρεια · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ λ σημεῖον ὁ λ Ρ διαπορεύω καί ὁ Ο ὁ Ο Ϛ . ἀλλά ὁ μέν χρόνος , ἐν ὅς ὁ λ ὁ λ Ρ διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς δύω ὁ λ Ε περιφέρεια , ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Ο ὁ Ο Ϛ διαπορεύω , ἴσος εἰμί ὁ χρόνος , ἐν δύω ὁ Ε Ϛ περιφέρεια · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος δύω ὁ λ Ε , Ε Ϛ περιφέρεια . ἴσος δέ ὁ μέν λ Ε ὁ Λ Κ , ὁ δέ Ε Ϛ ὁ ΚΘ ὁ ΛΚ , ΚΘ ἄρα ἐν ἴσος χρόνος δύω . ὅμοιος δέ δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΜΚ , ΚΗ ἐν ἴσος χρόνος δύω , ὅς ὁ ΛΚ , ΚΘ ἐν ἴσος χρόνος δύω · λοιπός ἄρα ὁ ΜΛ , ΘΗ ἐν ἴσος χρόνος δύω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΜΓ , ΑΗ περιφέρεια ἐν ἴσος χρόνος δύω . καί ἐπεί ἐν πολύς χρόνος δύω ὁ ΑΗ περιφέρεια ἤ ὁ ΗΘ καί ὁ ΗΘ ἤ ὁ ΘΚ , ἐν πολύς ἄρα χρόνος δύω ὁ Γ Μ περιφέρεια ἤ ὁ ΜΛ , καί ὁ ΜΛ ἤ ὁ ΛΚ . ἐν πολύς ἄρα χρόνος δύω ὁ ΑΗ , ΜΓ περιφέρεια , ἐν ἐλαχύς δέ ὁ ΗΘ , ΛΜ ἐν ἐλαχύς δέ ὁ Θ Κ , ΛΚ , ἐν ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ ἰσημερινός καί δύω καί ἀνατέλλω .