euclides-geom.phaenomena-demonstrationes-alterae-recensionis-b 3
Ἔστι δὲ καὶ αὕτη ἔκθεσις σαφεστέρα τῆς προτέρας . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε , μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ΗΘ , καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΚΛ , χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΓ , καὶ ἔστωο ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε , ΚΛ κύκλων , καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Λ , Γ μέρη , δυτικὰ δὲ τὰ Κ , Β , ζῳδιακοῦ ὁδὲ θέσεις ἔστωσαν τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἰ ΝΞ , ΟΠ . καὶ ἀπειλήφθω ἡ Ο Π περιφέρεια μὴ μείζων ἡμικυκλίου οὖσα , καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Π μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε · ἐφάψεται ἄρα καὶ τοῦ ΖΗΘ . ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Ο σημείου ἥξει ἢ ὑπερπεσεῖται τὸ Ο σημεῖον . γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΠ , ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ε , Ξ , Π μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α , Κ , Ρ μέρη , καὶ προςαναπεπληρώσθωσαν οἱ ΞΝ Ϛ , ΠΟΡ κύκλοι . ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓ καὶ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι ἀλλήλους οἱ Ϛ ΝΣ , ΡΟ ΤΠ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε , ΚΛ περιφερειῶν , μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΝΥ περιφέρεια τῆς ΥΤ περιφερείας · ἡ ΤΥ ἄρα περιφέρεια τῆς ΥΝΣ ἐλάσσων ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΕΘΠ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἐφάπτονται τοῦ Α∠Ε καὶ τῷ Α∠Ε παράλληλον ὄντα τὸν ΚΛ τέμνουσι καί ἔστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε , ΚΛ κύκλων , καὶ ὁ τοῦ ΕΘΠ ἄρα πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε , ΚΛ κύκλων . ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος ἐστὶ μεταξὑ τῶν ΗΖΘ , ΒΓ κύκλων . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΘ Π καὶ τὸν ΕΘΠ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΡΟ Π , Ϛ ΝΞ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΕΘ Π πόλος μεταξὺ τῶν ΒΓ , ΗΘΖ , μείζων ἐστὶν ἡ ΠΥ περιφέρεια τῆς ΥΝΞ περιφερείας , ὧν ἡ ΥΤ τῆς ΥΝΣ ἐλάσσσων ἐστίν · λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΠ λοιπῆς τῆς ΣΞ μείζων ἐστίν . κείσθω τῇ ΣΞ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΤΧ καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι , καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ξ σημεῖα , οἱ ΞΨ , ΩϚ · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ Ξ Ψ περιφέρεια τῇ Ω Ϛ περιφερείᾳ ἡ Ξ Ψ ἄρα τῆς Χ Ϛ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία · ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Ξ Ψ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Χ τὴν Χ Ϛ . ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Ξ σημεῖον τὴν ΞΨ περιφέρειαν διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἔν ᾧ ἡ ΣΞ περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ὁ δὲ χρόνος , ἔν ᾧ τὸ Χ σημεῖον τὴν ΧϚ περιφέρειαν διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ ἡ ΤΧ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ἔν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΣΞ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΤΧ . καί ἐστιν ἡ ΣΞ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΤΧ . ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον . ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἀλλʼ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον , ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτεροσοῦν τῶν συναφῶν . ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠ , καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ Α∠ , ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΒΕΓ , καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΕ περιφέρεια ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων ἡμικυκλίου , ἡ δὲ ΕΓ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον , καὶ ἔστωσαν ἀνατολικὰ μὲν τὰ ∠ μέρη , δυτικὰ δὲ τὰ Β , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗ , ΗΘ . λέγω , ὅτι ἡ ΖΗ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΘ . γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΛ , ΜΝ , ΞΟ , καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ζ , Η , Θ σημεῖα · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΡΣ ἀλλ᾿ ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ ἔστιν ἴση · καὶ ἡ Π ἄρα τῇ ΡΣ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΠΡ δύνει , ἡ ΖΗ ἀνατέλλει , κοινὸς προσκείσθω ὁ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται , ἴσος ὢν τῷ χρόνῳ , ἐν ᾧ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται . ὁ ἄρα χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΠΡ δύνει , ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ , ἐν ᾧ ἡ ΖΗ περιφέρεια ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται . ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ Π Ρ δύνει , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ ἡ ΠΡ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · αἱ ΖΗ , ΠΡ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ΗΘ , ΡΣ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον . ἡ δὲ ΠP τῆς ΡΣ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , καὶ ἀπεδείχθησαν αἱ ΖΗ , Π Ρ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσαι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · καὶ ἡ ΖΗ ἄρα ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΘ . τοῦ ἄρα τῶν ζῳδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἀλλ᾿ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον . καὶ συναποδέδεικται , ὅτι αἰ ἴσον ἀπέχουσαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσιν .
Lemmas: εἰμί δέ καί οὗτος ἔκθεσις σαφής ὁ πρότερος . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , καί μέγας μέν ὁ ἀεί φανερός ὁ Α∠Ε , μέγας δέ ὁ ἀεί ἀφανής ὁ ΗΘ , καί θερινός μέν τροπικός εἰμί ὁ ΚΛ , χειμερινός δέ τροπικός ὁ ΒΓ , καί ἔσσωος ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος πόλος μεταξύ ὁ Α∠Ε , ΚΛ κύκλος , καί εἰμί ἀνατολικός μέν ὁ Λ , Γ μέρος , δυτικός δέ ὁ Κ , Β , ζῳδιακός ὁδός θέσις εἰμί ὁ μετά ὁ Καρκίνος ἡμικύκλιον ὁ ΝΞ , ΟΠ . καί ἀπολαμβάνω ὁ Ο Π περιφέρεια μή μέγας ἡμικύκλιον εἰμί , καί γράφω διά ὁ Π μέγας κύκλος ἐφάπτω ὁ Α∠Ε · ἐφάπτω ἄρα καί ὁ ΖΗΘ . ἤτοι δή διά ὁ Ο σημεῖον ἥκω ἤ ὑπερπίπτω ὁ Ο σημεῖον . γράφω καί εἰμί ὁ ΕΘΠ , ὥστε ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Ε , Ξ , Π μέρος ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Α , Κ , Ρ μέρος , καί προσαναπληρόω ὁ ΞΝ Ϛ , ΠΟΡ κύκλος . ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος εἰμί ὁ ΑΒΓ καί τέμνω δύο μέγας κύκλος ἀλλήλων ὁ Ϛ ΝΣ , ΡΟ ΤΠ καί εἰμί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος πόλος μεταξύ ὁ Α∠Ε , ΚΛ περιφέρεια , μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΣΝΥ περιφέρεια ὁ ΥΤ περιφέρεια · ὁ ΤΥ ἄρα περιφέρεια ὁ ΥΝΣ ἐλαχύς εἰμί . καί ἐπεί ἐν σφαῖρα δύο μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΕΘΠ ὁ αὐτός κύκλος ἐφάπτω ὁ Α∠Ε καί ὁ Α∠Ε παράλληλος εἰμί ὁ ΚΛ τέμνω καί εἰμί ὁ ὁ ΑΒΓ πόλος μεταξύ ὁ Α∠Ε , ΚΛ κύκλος , καί ὁ ὁ ΕΘΠ ἄρα πόλος μεταξύ εἰμί ὁ Α∠Ε , ΚΛ κύκλος . ὁ ἄρα ἕτερος αὐτός πόλος εἰμί μεταξύ ὁ ΗΖΘ , ΒΓ κύκλος . ἐπεί οὖν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος εἰμί ὁ ΕΘ Π καί ὁ ΕΘΠ τέμνω δύο μέγας κύκλος ὁ ΡΟ Π , Ϛ ΝΞ καί εἰμί ὁ ὁ ΕΘ Π πόλος μεταξύ ὁ ΒΓ , ΗΘΖ , μέγας εἰμί ὁ ΠΥ περιφέρεια ὁ ΥΝΞ περιφέρεια , ὅς ὁ ΥΤ ὁ ΥΝΣ ἔλασσσον εἰμί · λοιπός ἄρα ὁ ΤΠ λοιπός ὁ ΣΞ μέγας εἰμί . κεῖμαι ὁ ΣΞ περιφέρεια ἴσος περιφέρεια ὁ ΤΧ καί γράφω παράλληλος κύκλος , κατά ὅς φέρω ὁ Ξ σημεῖον , ὁ ΞΨ , ΩϚ · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ Ξ Ψ περιφέρεια ὁ Ω Ϛ περιφέρεια ὁ Ξ Ψ ἄρα ὁ Χ Ϛ μέγας εἰμί ἤ ὅμοιος · ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ σημεῖον ὁ Ξ Ψ περιφέρεια διαπορεύω ἤ ὁ Χ ὁ Χ Ϛ . ἀλλά ὁ μέν χρόνος , ἐν ὅς ὁ Ξ σημεῖον ὁ ΞΨ περιφέρεια διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ ΣΞ περιφέρεια ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Χ σημεῖον ὁ ΧϚ περιφέρεια διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ ΤΧ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ἐν πολύς ἄρα χρόνος ὁ ΣΞ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΤΧ . καί εἰμί ὁ ΣΞ ἐγγίων ὁ θερινός τροπικός ἤ ὁ ΤΧ . ἐν πολύς ἄρα χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ὁ ἐγγίων ὁ θερινός τροπικός ὁ ἀπώτερος . ὡσαύτως δέ καί ἐπί ὁ μετά ὁ Αἰγόκερως ἡμικύκλιον ὁ ἴσος περιφέρεια οὐ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ἀλλά ἐν πολύς ὁ ἐγγίων ὁ θερινός τροπικός ὁ ἀπώτερος , ἐν ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ὁπότερος ὁ συναφή . εἰμί ἐν κόσμος ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠ , καί θερινός μέν τροπικός ὁ Α∠ , ὁ δέ ὁ ζῴδιον κύκλος θέσις ἔχω ὁ ΒΕΓ , καί εἰμί ὁ μέν ΒΕ περιφέρεια ἐπί ὁ μετά ὁ Αἰγόκερως ἡμικύκλιον , ὁ δέ ΕΓ ἐπί ὁ μετά ὁ Καρκίνος , καί εἰμί ἀνατολικός μέν ὁ ∠ μέρος , δυτικός δέ ὁ Β , καί ἀπολαμβάνω ἴσος περιφέρεια ὁ ΖΗ , ΗΘ . λέγω , ὅτι ὁ ΖΗ ἐν πολύς χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΗΘ . γράφω παράλληλος κύκλος ὁ ΚΛ , ΜΝ , ΞΟ , κατά ὅς φέρω ὁ Ζ , Η , Θ σημεῖον · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ περιφέρεια ὁ ΠΡ περιφέρεια , ὁ δέ ΗΘ ὁ ΡΣ ἀλλά ὁ ΖΗ ὁ ΗΘ εἰμί ἴσος · καί ὁ Π ἄρα ὁ ΡΣ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἐν ὅς χρόνος ὁ ΠΡ δύω , ὁ ΖΗ ἀνατέλλω , κοινός πρόσκειμαι ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Π σημεῖον ὁ ΚΛ περιφέρεια διαπορεύω , ἴσος εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Ζ σημεῖον ὁ ΚΛ περιφέρεια διαπορεύω . ὁ ἄρα χρόνος , ἐν ὅς ὁ Π σημεῖον ὁ ΚΛ περιφέρεια διαπορεύω καί ὁ ΠΡ δύω , ἴσος εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ ΖΗ περιφέρεια ἀνατέλλω καί ὁ Ζ σημεῖον ὁ ΚΛ περιφέρεια διαπορεύω . ἀλλά ὁ μέν χρόνος , ἐν ὅς ὁ Π σημεῖον ὁ ΚΛ περιφέρεια διαπορεύω καί ὁ Π Ρ δύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ ΠΡ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ ΖΗ ἀνατέλλω καί ὁ Ζ σημεῖον ὁ ΚΛ περιφέρεια διαπορεύω , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ ΖΗ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · ὁ ΖΗ , ΠΡ ἄρα ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΗΘ , ΡΣ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον . ὁ δέ ΠP ὁ ΡΣ ἐν πολύς χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , καί ἀποδείκνυμι ὁ ΖΗ , Π Ρ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον · καί ὁ ΖΗ ἄρα ἐν πολύς χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἤ ὁ ΗΘ . ὁ ἄρα ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ἴσος περιφέρεια οὐ ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ἀλλά ἐν πολύς ὁ ἐγγίων ὁ θερινός τροπικός ὁ ἀπώτερος . καί συναποδείκνυμι , ὅτι ὁ ἴσος ἀπέχω ἐν ἴσος χρόνος ἐξαλλάσσω .