euclides-geom.phaenomena-demonstrationes-alterae-recensionis-b 4
Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές , καὶ πάλιν , ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία τὸ ἀφανές , καὶ ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν . ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΑ , χειμερινὸς δὲ ὁ Γ∠ , ὁ ζῳδιακὸς δὲ κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΕΗ , ΖΘ · λέγω , ὅτι , ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές . ἔστωσαν καθʼ ὧν φέρεται τὰ Θ , Ζ , Ε , σημεῖα παρἀλληλοι κύκλοι οἱ ΚΘΛ , Μ Ν Ξ Ζ , Ε Θ Π Ρ , Σ ΗΤ . καὶ μετακεκινήσθω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ὅτε μὲν θέσιν ἐχέτω τὴν ΥΛΦ , ὅτε δὲ τὴν ΧΣΨ καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΘ , Ε περιφέρειαι ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν , ἴσοι εἰσὶ καὶ οἱ ΜΝΣ , ΟΠΡ κύκλοι , τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις · τὸ ἄρα ὑπὲρ γῆν τοῦ ΜΝΞΖ κύκλου τὸ ΜΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ γῆν τοῦ ΟΕΡΠ κύκλου τῷ ΟΠΡ πάλιν ἐπεὶ αἱ ΖΘ , ΕΗ ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν , ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει , ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ δύνει . ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος , ἐν ᾧ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει , τουτέστιν ἡ ΥΛ , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ τὸ Υ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνται , ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ ἡ ΕΗ δύνει , τουτέστιν ἡ ΧΣ , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται · ὁ ἄρα χρόνος , ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ παραγίγνεται , ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ , ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περιφέρειαν δεελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται . κοινὸς προσκείσθω ὁ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΝΜ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται , ἴσος ὢν τῷ χρόνῳ , ἐν τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ο τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρπαραγίγνεται · ὁ ἄρα χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται , ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ , ἐν ᾧ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται . ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Υ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Υ τὴν Υ Ξ Ν Μ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Μ παραγίγνεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ ἡ ΥΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , τουτέστιν ἡ Θ Ζ ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟΠΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται , ται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐνᾧ ἡ ΧΣ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον , τουτέστιν ἡ ΕΗ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , ἐν τούτῳ ἡ ΕΗ τὸ ἀφανές .
Lemmas: ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ἴσος τε καί ἀπεναντίον περιφέρεια ἐν ὅς χρόνος ὁ εἷς ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ὁ ἕτερος ὁ ἀφανής , καί πάλιν , ἐν ὅς χρόνος ὁ εἷς ὁ ἀφανής , καί ὁ ἕτερος ὁ φανερός . εἰμί ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ καί θερινός μέν τροπικός ὁ ΒΑ , χειμερινός δέ ὁ Γ∠ , ὁ ζῳδιακός δέ κύκλος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΑΕΓΖ , καί ἀπολαμβάνω ἴσος τε καί ἀπεναντίον περιφέρεια ὁ ΕΗ , ΖΘ · λέγω , ὅτι , ἐν ὅς χρόνος ὁ ΖΘ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ὁ ΕΗ ὁ ἀφανής . εἰμί κατά ὅς φέρω ὁ Θ , Ζ , Ε , σημεῖον παράλληλος κύκλος ὁ ΚΘΛ , Μ Ν Ξ Ζ , Ε Θ Π Ρ , Σ ΗΤ . καί μετακινέω ὁ ὁ ζῴδιον κύκλος καί ὅτε μέν θέσις ἔχω ὁ ΥΛΦ , ὅτε δέ ὁ ΧΣΨ καί ἐπεί ὁ ΖΘ , Ε περιφέρεια ἴσος τε καί ἀπεναντίον εἰμί , ἴσος εἰμί καί ὁ ΜΝΣ , ΟΠΡ κύκλος , ὁ δέ ἴσος τε καί παράλληλος κύκλος ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ἴσος εἰμί ἀλλήλων · ὁ ἄρα ὑπέρ γῆ ὁ ΜΝΞΖ κύκλος ὁ ΜΝΞ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό γῆ ὁ ΟΕΡΠ κύκλος ὁ ΟΠΡ πάλιν ἐπεί ὁ ΖΘ , ΕΗ ἴσος τε καί ἀπεναντίον εἰμί , ἐν ὅς χρόνος ὁ ΖΘ ἀνατέλλω , ἐν οὗτος ὁ ΕΗ δύω . ἀλλά ὁ μέν χρόνος , ἐν ὅς ὁ ΖΘ ἀνατέλλω , τουτέστι ὁ ΥΛ , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ Υ σημεῖον ἄρχω ἀπό ὁ ὁ ΥΞ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Ξ παραγίγμαι , ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ ΕΗ δύω , τουτέστι ὁ ΧΣ , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ Χ ἄρχω ἀπό ὁ Χ ὁ ΧΟ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Ο παραγίγνομαι · ὁ ἄρα χρόνος , ἐν ὅς ὁ ἄρχω ἀπό ὁ Υ ὁ ΥΞ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ παραγίγνομαι , ἴσος εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Χ ἄρχω ἀπό ὁ Χ ὁ ΧΟ περιφέρεια δεέρχομαι ἐπί ὁ Ο παραγίγνομαι . κοινός πρόσκειμαι ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Υ ἄρχω ἀπό ὁ Ξ ὁ ΞΝΜ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Μ παραγίγνομαι , ἴσος εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὁ Χ ἄρχω ἀπό ὁ Ο ὁ ΟΠΡ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Ρπαραγίγνομαι · ὁ ἄρα χρόνος , ἐν ὅς ὁ Υ ἄρχω ἀπό ὁ Υ ὁ Υ Ξ Ν Μ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Μ παραγίγνομαι , ἴσος εἰμί ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ ἄρχω ἀπό ὁ Χ ὁ ΧΟΠΡ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Ρ παραγίγνομαι . ἀλλά ὁ μέν χρόνος , ἐν ὅς ὁ Υ ἄρχω ἀπό ὁ Υ ὁ Υ Ξ Ν Μ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Μ παραγίγνομαι , ὁ χρόνος εἰμί , ἐν ὅς ὁ ΥΛ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , τουτέστι ὁ Θ Ζ ὁ δέ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Χ ἄρχω ἀπό ὁ Χ ὁ ΧΟΠΡ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Ρ παραγίγνομαι , παι , ὁ χρόνος εἰμί , νάω ὁ ΧΣ ἐξαλλάσσω ὁ ἀφανής ἡμισφαίριον , τουτέστι ὁ ΕΗ ἐν ὅς ἄρα χρόνος ὁ ΘΖ ἐξαλλάσσω ὁ φανερός ἡμισφαίριον , ἐν οὗτος ὁ ΕΗ ὁ ἀφανής .