ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis pr_2
α΄ . Ὑποκείσθω τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος εὐθείας γραμμὰς φέρεσθαι διάστημά βʹ . καὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ὄψεων περιεχόμενον σχῆμα εἶναι κῶνον τὴν κορυφὴν μὲν ἔχοντα τῷ ὄμματι , τὴν δὲ βάσιν πρὸς τοῖς πέρασι τῶν ὁρωμένων . γ΄ . καὶ ὁρᾶσθαι μὲν ταῦτα , πρὸς ἃ ἂν αἱ ὄψεις προσπίπτωσιν , μὴ ὁρᾶσθαι δέ , πρὸς ἂ ἂν μὴ προσπίπτωσιν αἱ ὄψεις . δ΄ . καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεσθαι , τὰ δὲ ὑπὸ ἐλάσσονος ἐλάσσονα , ἴσα δὲ τὰ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα . ε΄ . καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεσθαι , τὰ δὲ ὑπὸ ταπεινοτέρων ταπεινότερα . ϛ΄ . καὶ ὁμοίως τὰ μὲν ὑπὸ δεξιωτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα δεξιώτερα φαίνεσθαι , τὰ δὲ ὑπὸ ἀριστερωτέρων ἀριστερώτερα . ζ΄ . τὰ δὲ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν ὁρώμενα ἀκριβέστερον φαίνεσθαι .
Lemmas: αʹ . ὑπόκειμαι ὁ ἀπό ὁ ὄμμα εὐθύς γραμμή φέρω διάστημα βʹ . καί ὁ μέν ὑπό ὁ ὄψις περιέχω σχῆμα εἰμί κῶνος ὁ κορυφή μέν ἔχω ὁ ὄμμα , ὁ δέ βάσις πρός ὁ πέρας ὁ ὁράω . γʹ . καί ὁράω μέν οὗτος , πρός ὅς ἄν ὁ ὄψις προσπίπτω , μή ὁράω δέ , πρός ὅς ἐάν μή προσπίπτω ὁ ὄψις . δʹ . καί ὁ μέν ὑπό μέγας γωνία ὁράω μέγας φαίνω , ὁ δέ ὑπό ἐλαχύς ἐλαχύς , ἴσος δέ ὁ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω . πέντε . καί ὁ μέν ὑπό μετέωρος ἀκτίς ὁράω μετέωρος φαίνω , ὁ δέ ὑπό ταπεινός ταπεινός . ϛʹ . καί ὅμοιος ὁ μέν ὑπό δεξιός ἀκτίς ὁράω δεξιός φαίνω , ὁ δέ ὑπό ἀριστερός ἀριστερός . ζʹ . ὁ δέ ὑπό πολύς γωνία ὁράω ἀκριβής φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 1
Οὐδὲν τῶν ὁρωμένων ἅμα ὅλον ὁρᾶται . ἔστω γὰρ ὁρώμενόν τι τὸ Α∠ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΑ , ΒΓ , ΒΚ , Β∠ . οὐκοῦν ἐπεὶ ἐν διαστήματι φέρονται αἱ προσπίπτουσαι ὄψεις , οὐκ ἂν προσπίπτοιεν συνεχεῖς πρὸς τὸ Α∠ . ὥστε γένοιτο ἂν καὶ κατὰ τὸ Α∠ διαστήματα , πρὸς αἰ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται . οὐκ ἄρα ὀφθήσεται ἅμα ὅλον τὸ Α∠ . δοκεῖ δὲ ὁρᾶσθαι ἅμα τῶν ὄψεων ταχὺ παραφερομένων .
Lemmas: οὐδείς ὁ ὁράω ἅμα ὅλος ὁράω . εἰμί γάρ ὁράω τις ὁ Α∠ , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Β , ἀπό ὅς προσπίπτω ὄψις ὁ ΒΑ , ΒΓ , ΒΚ , Β∠ . οὐκοῦν ἐπεί ἐν διάστημα φέρω ὁ προσπίπτω ὄψις , οὐ ἄν προσπίπτω συνεχής πρός ὁ Α∠ . ὥστε γίγνομαι ἄν καί κατά ὁ Α∠ διάστημα , πρός ὁ ὄψις οὐ προσπίπτω . οὐ ἄρα ὁράω ἅμα ὅλος ὁ Α∠ . δοκέω δέ ὁράω ἅμα ὁ ὄψις ταχύς παραφέρω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 2
Τῶν ἵσων μεγεθῶν ἐν διαστήματι κειμένων τὰ ἔγγιον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται . ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Β , ὁρώμενον δὲ τὸ Γ∠ καὶ τὸ Κ Λ · χρὴ δὲ νοεῖν αὐτὰ ἴσα καὶ παράλληλα , ἔγγιον δὲ ἔστω τὸ Γ∠ · καὶ προσπιπτέτωσαν ὄψεις ὡς αἱ Β Β∠ , Β Κ , ΒΛ . οὐ γὰρ ἄν εἴποιμεν , ὡς αἱ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ Κ Λ προσπίπτουσαι ὄψεις διὰ τῶν Γ , ∠ σημείων ἐλεύσονται . ἢ γὰρ ἂν τριγώνου τοῦ Β∠ΛΚΒ ἡ Κ Λ μείζων ἄν ἦν τῆς Γ∠ · ὑπόκειται δὲ καὶ ἴση . οὐκοῦν τὸ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων ὁρᾶται ἤπερ τὸ Κ Λ . ἀκριβέστερον ἄρα φανήσεται τὸ Γ∠ τοῦ ΚΛ .
Lemmas: ὁ ἵσων μέγεθος ἐν διάστημα κεῖμαι ὁ ἐγγίων κεῖμαι ἀκριβής ὁράω . εἰμί ὄμμα μέν ὁ Β , ὁράω δέ ὁ Γ∠ καί ὁ Κ Λ · χρή δέ νοέω αὐτός ἴσος καί παράλληλος , ἐγγίων δέ εἰμί ὁ Γ∠ · καί προσπίπτω ὄψις ὡς ὁ Β Β∠ , Β Κ , ΒΛ . οὐ γάρ ἄν λέγω , ὡς ὁ ἀπό ὁ Β ὄμμα πρός ὁ Κ Λ προσπίπτω ὄψις διά ὁ Γ , ∠ σημεῖον ἔρχομαι . ἤ γάρ ἄν τρίγωνον ὁ Β∠ΛΚΒ ὁ Κ Λ μέγας ἄν εἰμί ὁ Γ∠ · ὑπόκειμαι δέ καί ἴσος . οὐκοῦν ὁ ὑπό πολύς ὄψις ὁράω ἤ ὁ Κ Λ . ἀκριβής ἄρα φαίνω ὁ Γ∠ ὁ ΚΛ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 3
Ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος , οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται . ἔστω γὰρ ὄμμα μὲν τὸ Β , ὁρώμὲνον δὲ τὸ Γ∠ . φημὶ δή , ὅτι τὸ Γ∠ ἔν τινι ἀποστήματι γενόμενον οὐκέτι ὁραθήσεται . γεγενήσθω γὰρ τὸ Γ∠ ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν ὄψεων , ἐφʼ οὗ τὸ Κ . οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ οὐδεμία τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεων προσπεσεῖται [ πρὸς ὃ δέ γε αἱ ὄψεις οὐ προσπίπτουσιν , ἐκεῖνο οὐχ ὁρᾶται ] . ἕκαστον ἄρα τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος , οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται .
Lemmas: ἕκαστος ὁ ὁράω ἔχω τις μῆκος ἀπόστημα , ὅς γίγνομαι οὐκέτι ὁράω . εἰμί γάρ ὄμμα μέν ὁ Β , ὁράω δέ ὁ Γ∠ . φημί δή , ὅτι ὁ Γ∠ ἐν τις ἀπόστημα γίγνομαι οὐκέτι ὁράω . γίγνομαι γάρ ὁ Γ∠ ἐν ὁ μεταξύ διάστημα ὁ ὄψις , ἐπί ὅς ὁ Κ . οὐκοῦν πρός ὁ Κ οὐδείς ὁ ἀπό ὁ Β ὄψις προσπίπτω [ πρός ὅς δέ γε ὁ ὄψις οὐ προσπίπτω , ἐκεῖνος οὐ ὁράω ] . ἕκαστος ἄρα ὁ ὁράω ἔχω τις μῆκος ἀπόστημα , ὅς γίγνομαι οὐκέτι ὁράω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 4
Τῶν ἴσων διαστημάτων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων τὰ ἐκ πλείονος ἀποστήματος ὁρώμενα ἐλάττω φαίνεται . ἔστω γὰρ ἴσα τὰ ΒΓ , Γ∠ , ∠Ζ , ὄμμα δὲ τὸ Κ , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ Κ Β , ΚΓ , Κ∠ , ΚΖ ἡ δὲ ΚΒ πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῇ Β Ζ . ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΚΒΖ ἴσαι εἰσὶν αἰ ΒΓ , Γ∠ , ∠ Ζ , μείζων ἐστὶν ἡ μὲν Ε γωνία τῆς Η γωνίας , ἡ δὲ Η γωνία τῆς Θ γωνίας . μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ μὲν ΒΓ τοῦ Γ∠ , τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ∠Ζ .
Lemmas: ὁ ἴσος διάστημα ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα εἰμί ὁ ἐκ πολύς ἀπόστημα ὁράω ἐλαχύς φαίνω . εἰμί γάρ ἴσος ὁ ΒΓ , Γ∠ , ∠Ζ , ὄμμα δέ ὁ Κ , ἀπό ὅς προσπίπτω ὄψις ὁ Κ Β , ΚΓ , Κ∠ , ΚΖ ὁ δέ ΚΒ πρός ὀρθός εἰμί ὁ Β Ζ . ἐπεί οὖν ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνον ὁ ΚΒΖ ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ , Γ∠ , ∠ Ζ , μέγας εἰμί ὁ μέν Ε γωνία ὁ Η γωνία , ὁ δέ Η γωνία ὁ Θ γωνία . μέγας ἄρα φαίνω ὁ μέν ΒΓ ὁ Γ∠ , ὁ δέ Γ∠ ὁ ∠Ζ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 5
Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα ἄνισα φαίνεται , καὶ μεῖζον αἰεὶ τὸ ἔγγιον τοῦ ὄμματος κείμενον . ἔστω γὰρ ἴσον τὸ Γ∠ τῷ ΚΛ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ Β∠ , ΒΛ , ΒΚ , ΒΓ . οὐκοῦν τὸ Γ∠ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρᾶται ἤπερ τὸ ΚΛ · μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ Γ∠ τοῦ ΚΛ .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος ἄνισος διΐστημι ἄνισος φαίνω , καί μέγας ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ ὄμμα κεῖμαι . εἰμί γάρ ἴσος ὁ Γ∠ ὁ ΚΛ , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Β , ἀπό ὅς προσπίπτω ὄψις ὁ Β∠ , ΒΛ , ΒΚ , ΒΓ . οὐκοῦν ὁ Γ∠ ὑπό μέγας γωνία ὁράω ἤ ὁ ΚΛ · μέγας ἄρα φαίνω ὁ Γ∠ ὁ ΚΛ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 6
Τὰ παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται . ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ∠ Ζ παράλληλον διάστημα , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ . λέγω , ὅτι τὰ ΒΓ , ∠Ζ ἀνισοπλατῆ φαίνεται , καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον διάστημα τοῦ πορρώτερον . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΞ , ΚΛ , ΚΠ , ΚΝ , ΚΒ , Κ∠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΞΛ , ΠΝ , Β∠ . ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΚΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΚΝ γωνίας , μείζων ἄρα φαίνεται καὶ ἡ ΞΛ εὐθεῖα τῆς ΠΝ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΝ εὐθεῖα μείζων φαίνεται τῆς Β∠ εὐθείας . οὐκέτι οὖν ὀφθήσεται παράλληλα τὰ διαστήματα , ἀλλʼ εἰς ἔλαττον καὶ ἀνισοπλατῆ . τὰ ἄρα παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται . οὕτω μέν , εἰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τὸ ὄμμα τῷ ὁρωμένῳ κέοιτο , εἰ δὲ μετεωρότερον εἴη τὸ ὄμμα , οὕτως . ἔστω γὰρ τὸ Κ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΚΑ , ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὴν Ζ Λ ἡ ΑΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ , ΚΗ , ΚΖ , Κ∠ , ΚΝ , ΚΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΜ , ΚΞ , ΚΟ . ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μετεωροτέρου τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Μ ἐπέζευκται ἡ ΚΜ , κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΜΛ . ὁμοίως δὴ καὶ ἡ Κ Ξ ἐπὶ τὴν ΗΝ , ἡ δὲ ΚΟ ἐπὶ τὴν Β∠ . ὀρθογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΚΜΛ , ΚΞΝ , ΚΟ∠ τρίγωνα . καί ἐστιν ἡ μὲν ΞΝ τῇ ΜΛ ἴση · παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΜΜ ἑκατέρα δὲ τῶν ΞΚ , ΚΝ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΜΚ , ΚΛ . μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ . μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται καὶ τὸ ΜΛ τοῦ ΞΝ ὁμοίως καὶ τὸ ΖΜ τοῦ ΗΞ . ὥστε καὶ ὅλη ἡ Ζ Λ ὅλης τῆς ΗΝ μείζων φαίνεται . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΜ τῆς Β∠ . ἀνισοπλατῆ ἄρα καὶ οὕτω φαίνεται τὰ μεγέθη .
Lemmas: ὁ παράλληλος ὁ διάστημα ἐκ ἀπόστημα ὁράω ἀνισοπλατής φαίνω . εἰμί γάρ ὁ ΒΓ ὁ ∠ Ζ παράλληλος διάστημα , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Κ . λέγω , ὅτι ὁ ΒΓ , ∠Ζ ἀνισοπλατής φαίνω , καί μέγας ἀεί ὁ ἐγγίων διάστημα ὁ πρόσω . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΚΞ , ΚΛ , ΚΠ , ΚΝ , ΚΒ , Κ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ΞΛ , ΠΝ , Β∠ . ἐπεί οὖν μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΞΚΛ γωνία ὁ ὑπό ΠΚΝ γωνία , μέγας ἄρα φαίνω καί ὁ ΞΛ εὐθύς ὁ ΠΝ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΠΝ εὐθύς μέγας φαίνω ὁ Β∠ εὐθεῖα . οὐκέτι οὖν ὁράω παράλληλος ὁ διάστημα , ἀλλά εἰς ἐλαχύς καί ἀνισοπλατής . ὁ ἄρα παράλληλος ὁ διάστημα ἐκ ἀπόστημα ὁράω ἀνισοπλατής φαίνω . οὕτως μέν , εἰ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὁ ὄμμα ὁ ὁράω κεῖμαι , εἰ δέ μετέωρος εἰμί ὁ ὄμμα , οὕτως . εἰμί γάρ ὁ Κ , καί ἄγω ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΚΑ , ἀπό δέ ὁ Α ἐπί ὁ Ζ Λ ὁ ΑΜ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ο , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΚΒ , ΚΗ , ΚΖ , Κ∠ , ΚΝ , ΚΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΜ , ΚΞ , ΚΟ . ἐπεί οὖν ἀπό μετέωρος ὁ Κ ἐπί ὁ Μ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΜ , κάθετος ἄρα εἰμί ἐπί ὁ ΜΛ . ὅμοιος δή καί ὁ Κ Ξ ἐπί ὁ ΗΝ , ὁ δέ ΚΟ ἐπί ὁ Β∠ . ὀρθογώνιον ἄρα εἰμί ὁ ΚΜΛ , ΚΞΝ , ΚΟ∠ τρίγωνος . καί εἰμί ὁ μέν ΞΝ ὁ ΜΛ ἴσος · παραλληλόγραμμος γάρ ὁ ΜΜ ἑκάτερος δέ ὁ ΞΚ , ΚΝ μέγας εἰμί ἑκάτερος ὁ ΜΚ , ΚΛ . μέγας ἄρα καί γωνία ὁ ὑπό ΜΚΛ ὁ ὑπό ΞΚΝ . μέγας ἄρα ὁράω καί ὁ ΜΛ ὁ ΞΝ ὅμοιος καί ὁ ΖΜ ὁ ΗΞ . ὥστε καί ὅλος ὁ Ζ Λ ὅλος ὁ ΗΝ μέγας φαίνω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΗΜ ὁ Β∠ . ἀνισοπλατής ἄρα καί οὕτως φαίνω ὁ μέγεθος .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 7
Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα ἴσα μεγέθη πορρωτέρω ἀλλήλων τεθέντα ἄνισα φαίνεται . ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ . ∠Ζ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Κ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΒ , ΚΓ , Κ∠ , ΚΖ ὀρθὴ δὲ ἔστω ἡ ὑπὸ ΚΖ Β γωνία . οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ Σ γωνία τῆς Φ . ὥστε καὶ ἡ ∠ Ζ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ . ἄνισα ἄρα φαίνεται τὰ Β ∠ Ζ μεγέθη .
Lemmas: ὁ ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα εἰμί ἴσος μέγεθος πρόσω ἀλλήλων τίθημι ἄνισος φαίνω . εἰμί γάρ ἴσος μέγεθος ὁ ΒΓ . ∠Ζ , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Κ , καί ἀπό ὁ ὄμμα ὁ Κ προσπίπτω ὄψις ὁ ΚΒ , ΚΓ , Κ∠ , ΚΖ ὀρθός δέ εἰμί ὁ ὑπό ΚΖ Β γωνία . οὐκοῦν μέγας εἰμί ὁ Σ γωνία ὁ Φ . ὥστε καί ὁ ∠ Ζ μέγας φαίνω ὁ ΓΒ . ἄνισος ἄρα φαίνω ὁ Β ∠ Ζ μέγεθος .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 8
Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα οὐκ ἀναλόγως τοῖς ἀποστήμασιν ὁρᾶται . ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ∠Ζ ἴσον καὶ κείσθω αὐτῷ παράλληλον , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΖΓ , ΚΒ , Κ∠ , ὧν ἡ ΚΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΒ ἔστω . φημὶ δή , ὅτι οὐκ ἀναλόγως φανήσεται τὰ ΒΓ , ∠ μεγέθη τοῖς ΓΚ , ΚΖ διαστήμασιν . ἐπεὶ γὰρ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΖΚ , ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΘΚ ὥστε καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΖ ἐστι μείζων . ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Κ , διαστήματι δὲ τῷ ΘΚ κύκλος γραφόμενος ὑπερπεσεῖται τὴν Κ Ζ . γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΗ . καὶ ἐπεὶ τὸ Θ∠Κ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΘΕΚ τομέα ἤπερ τὸ ΖΘ τρίγωνον πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα , ἐναλλὰξ ἄρα τὸ Θ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΘΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα . συνθέντι ἄρα τὸ Ζ ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἧπερ ὁ ΕΗΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα . ἀλλʼ ὡς τὸ Ζ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον , οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ , ὡς δὲ ὁ ΗΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ∠ΚΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΘΚΖ . ἐν μείζονι λόγῳ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΘ ἤπερ ἡ Σ , Ρ γωνία πρὸς τὴν Ρ γωνίαν . ὡς δὲ ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΖΘ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ καὶ ἡ ΚΓ ἄρα πρὸς τὴν ΚΖ ἐν μείζονι λόγῳ ἐστὶν ἤπερ ἡ Σ , Ρ γωνία πρὸς τὴν Ρ γωνίαν . καὶ ἐκ μὲν τῆς Σ Ρ γωνίας τὸ ∠Ζ ὁρᾶται , ἐκ δὲ τῆς Ρ γωνίας τὸ ΒΓ . οὐκ ἀνάλογον ἄρα τοῖς ἀποστήμασι τὰ ἴσα μεγέθη ὁρᾶται .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος ἄνισος διΐστημι οὐ ἀνάλογος ὁ ἀπόστημα ὁράω . εἰμί γάρ ὁ ΒΓ ὁ ∠Ζ ἴσος καί κεῖμαι αὐτός παράλληλος , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Κ , καί ἀπό αὐτός προσπίπτω ὄψις ὁ ΚΖΓ , ΚΒ , Κ∠ , ὅς ὁ ΚΓ πρός ὀρθός ὁ ΓΒ εἰμί . φημί δή , ὅτι οὐ ἀνάλογος φαίνω ὁ ΒΓ , ∠ μέγεθος ὁ ΓΚ , ΚΖ διάστημα . ἐπεί γάρ ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ∠ΖΚ , ὀξύς ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΖΘΚ ὥστε καί ὁ ΘΚ ὁ ΚΖ εἰμί μέγας . ὁ ἄρα κέντρον ὁ Κ , διάστημα δέ ὁ ΘΚ κύκλος γράφω ὑπερπίπτω ὁ Κ Ζ . γράφω καί εἰμί ὁ ΕΘΗ . καί ἐπεί ὁ Θ∠Κ τρίγωνον μέγας λόγος ἔχω πρός ὁ ΘΕΚ τομεύς ἤ ὁ ΖΘ τρίγωνον πρός ὁ ΗΘΚ τομεύς , ἐναλλάξ ἄρα ὁ Θ∠Κ τρίγωνον πρός ὁ ΖΘΚ τρίγωνον μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΘΚ τομεύς πρός ὁ ΗΘΚ τομεύς . συντίθημι ἄρα ὁ Ζ ∠Κ τρίγωνον πρός ὁ ΖΘΚ τρίγωνον μέγας λόγος ἔχω ὁ ὁ ΕΗΚ τομεύς πρός ὁ ΗΘΚ τομεύς . ἀλλά ὡς ὁ Ζ∠Κ τρίγωνον πρός ὁ ΖΘΚ τρίγωνον , οὕτως ὁ ∠Ζ πρός ΖΘ , ὡς δέ ὁ ΗΕΚ τομεύς πρός ὁ ΗΘΚ τομεύς , οὕτως ὁ ὑπό ∠ΚΖ γωνία πρός ὁ ὑπό ΘΚΖ . ἐν μέγας λόγος ἄρα εἰμί καί ὁ ∠ Ζ πρός ὁ ΖΘ ἤ ὁ Σ , Ρ γωνία πρός ὁ Ρ γωνία . ὡς δέ ὁ ∠Ζ πρός ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΓΚ πρός ὁ ΚΖ καί ὁ ΚΓ ἄρα πρός ὁ ΚΖ ἐν μέγας λόγος εἰμί ἤ ὁ Σ , Ρ γωνία πρός ὁ Ρ γωνία . καί ἐκ μέν ὁ Σ Ρ γωνία ὁ ∠Ζ ὁράω , ἐκ δέ ὁ Ρ γωνία ὁ ΒΓ . οὐ ἀνάλογος ἄρα ὁ ἀπόστημα ὁ ἴσος μέγεθος ὁράω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 9
Τὰ ὀρθογώνια μεγέθη ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα περιφερῆ φαίνεται . ἔστω γὰρ ὀρθογώνιον τὸ ΒΓ ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενον . οὐκοῦν ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος , οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται , ἡ μὲν Γ ἄρα γωνία οὐχ ὁρᾶται , τὰ δὲ ∠ , Ζ σημεῖα μόνον φαίνεται . ὁμοίως καὶ ἐφʼ ἑκάστης τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦτο συμβήσεται . ὥστε ὅλον περιφερὲς φανήσεται .
Lemmas: ὁ ὀρθογώνιον μέγεθος ἐκ ἀπόστημα ὁράω περιφερής φαίνω . εἰμί γάρ ὀρθογώνιον ὁ ΒΓ ἐκ ἀπόστημα ὁράω . οὐκοῦν ἐπεί ἕκαστος ὁ ὁράω ἔχω τις μῆκος ἀπόστημα , ὅς γίγνομαι οὐκέτι ὁράω , ὁ μέν Γ ἄρα γωνία οὐ ὁράω , ὁ δέ ∠ , Ζ σημεῖον μόνος φαίνω . ὅμοιος καί ἐπί ἕκαστος ὁ λοιπός γωνία οὗτος συμβαίνω . ὥστε ὅλος περιφερής φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 10
Τῶν κάτω τοῦ ὄμματος ἐπιπέδων κειμένων τὰ πόρρω μετεωρότερα φανεῖται . ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β ἄνω τοῦ ΓΚ ἐπιπέδου κείμενον , ἀφʼ οὗ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ , Β∠ , ΒΖ , ΒΚ , ὧν ἡ ΒΚ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . λέγω , ὅτι τὸ Γ∠ τοῦ ∠Ζ μετεωρότερον φαίνεται , τὸ δὲ ∠Ζ τοῦ ΖΚ . εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΖΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε , καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΗ . καὶ ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΕΓ , προσπιπτέτω τῇ ΗΕ ἡ μὲν ΒΓ κατὰ τὸ Η σημεῖον , ἡ δὲ Β∠ κατὰ τὸ Λ , ἡ δὲ ΒΖ κατὰ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ Λ μετεωρότερον , τὸ δὲ Λ τοῦ Μ , ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η , ἐν τούτῳ τὸ Γ , ἐν ᾧ δὲ τὸ Λ , ἐν τούτῳ τὸ ∠ , ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ , ἐν τούτῳ τὸ Ζ , διὰ δὲ τῶν ΒΓ , Β∠ ἡ ∠Γ φαίνεται , διὰ δὲ τῶν Β∠ , ΒΖ ἡ Ζ∠ , διὰ δὲ τῶν ΒΖ , ΒΚ ἡ Κ Ζ , οὐκοῦν ἡ μὲν Γ∠ τῆς ∠ μετεωροτέρα φαίνεται , ἡ δὲ Ζ∠ τῆς ΖΚ τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεται .
Lemmas: ὁ κάτω ὁ ὄμμα ἐπίπεδος κεῖμαι ὁ πρόσω μετέωρος φαίνω . εἰμί γάρ ὄμμα ὁ Β ἄνω ὁ ΓΚ ἐπίπεδος κεῖμαι , ἀπό ὅς ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΒΓ , Β∠ , ΒΖ , ΒΚ , ὅς ὁ ΒΚ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . λέγω , ὅτι ὁ Γ∠ ὁ ∠Ζ μετέωρος φαίνω , ὁ δέ ∠Ζ ὁ ΖΚ . λαμβάνω ἐπί ὁ ΖΚ τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε , καί ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΕΗ . καί ἐπεί ὁ ὄψις πρότερος πρός ὁ ΗΕ προσπίπτω ἤ πρός ὁ ΕΓ , προσπίπτω ὁ ΗΕ ὁ μέν ΒΓ κατά ὁ Η σημεῖον , ὁ δέ Β∠ κατά ὁ Λ , ὁ δέ ΒΖ κατά ὁ Μ . ἐπεί οὖν ὁ Η ὁ Λ μετέωρος , ὁ δέ Λ ὁ Μ , ἀλλά ἐν ὅς εἰμί ὁ Η , ἐν οὗτος ὁ Γ , ἐν ὅς δέ ὁ Λ , ἐν οὗτος ὁ ∠ , ἐν ὅς δέ ὁ Μ , ἐν οὗτος ὁ Ζ , διά δέ ὁ ΒΓ , Β∠ ὁ ∠Γ φαίνω , διά δέ ὁ Β∠ , ΒΖ ὁ Ζ∠ , διά δέ ὁ ΒΖ , ΒΚ ὁ Κ Ζ , οὐκοῦν ὁ μέν Γ∠ ὁ ∠ μετέωρος φαίνω , ὁ δέ Ζ∠ ὁ ΖΚ ὁ γάρ ὑπό μετέωρος ἀκτίς ὁράω μετέωρος φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 11
Τῶν ἄνω τοῦ ὄμματος ἐπιπέδων κειμένων τὰ πόρρω ταπεινότερα φανεῖται . ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β κάτω τοῦ ∠Ζ ἐπιπέδου κείμενον , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Β∠ , ΒΓ , ΒΖ , ὧν ἡ ΒΖ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . λέγω , ὅτι τὸ Γ`∠ τοῦ ΓΖ ταπεινότερον φαίνεται . διὰ δὴ τὸ προεκτεθὲν θεώρημα ταπεινοτάτη τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ ∠ ἐπίπεδον προσπιπτουσῶν ἀκτίνων ἐστὶν ἡ Β∠ , ἡ δὲ Β τῆς ΒΖ ταπεινοτέρα . ἀλλὰ διὰ μὲν τῶν Β∠ , ΒΓ ἀκτίνων τὸ ∠Γ φαίνεται , διὰ δὲ τῶν ΒΓ , ΒΖ τὸ ΓΖ . τὸ ∠Γ ἄρα ταπεινότερον τοῦ Γ Ζ ὁρᾶται .
Lemmas: ὁ ἄνω ὁ ὄμμα ἐπίπεδος κεῖμαι ὁ πρόσω ταπεινός φαίνω . εἰμί γάρ ὄμμα ὁ Β κάτω ὁ ∠Ζ ἐπίπεδος κεῖμαι , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ Β∠ , ΒΓ , ΒΖ , ὅς ὁ ΒΖ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . λέγω , ὅτι ὁ Γ`∠ ὁ ΓΖ ταπεινός φαίνω . διά δή ὁ προεκτίθεμαι θεώρημα ταπεινός ὁ ἀπό ὁ Β ὄμμα πρός ὁ ∠ ἐπίπεδος προσπίπτω ἀκτίς εἰμί ὁ Β∠ , ὁ δέ Β ὁ ΒΖ ταπεινός . ἀλλά διά μέν ὁ Β∠ , ΒΓ ἀκτίς ὁ ∠Γ φαίνω , διά δέ ὁ ΒΓ , ΒΖ ὁ ΓΖ . ὁ ∠Γ ἄρα ταπεινός ὁ Γ Ζ ὁράω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 12
Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθαι , τὰ δὲ ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά . ἔστω γὰρ ὁρώμενα τὰ ΒΓ , ∠Ζ , ὄμμα δὲ τὸ Κ , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΓ , ΚΑ , ΚΒ , ΚΖ , ΚΗ , Κ∠ . οὐκοῦν τὸ ∠ παρῆχθαι δοκεῖ εἰς τὰ ἀριστερὰ ἤπερ τὸ H . ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Β εἰς τὰ δεξιὰ δοκεῖ παρῆχθαι ἤπερ τὸ Α . ὥστε τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθα , τὰ δὲ ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά .
Lemmas: ὁ εἰς ἔμπροσθεν μῆκος ἔχω ὁ μέν ἐν ὁ δεξιός εἰς ὁ ἀριστερός δοκέω παράγω , ὁ δέ ἐν ὁ ἀριστερός εἰς ὁ δεξιός . εἰμί γάρ ὁράω ὁ ΒΓ , ∠Ζ , ὄμμα δέ ὁ Κ , ἀπό ὅς προσπίπτω ὄψις ὁ ΚΓ , ΚΑ , ΚΒ , ΚΖ , ΚΗ , Κ∠ . οὐκοῦν ὁ ∠ παράγω δοκέω εἰς ὁ ἀριστερός ἤ ὁ H . ὅμοιος δέ καί ὁ Β εἰς ὁ δεξιός δοκέω παράγω ἤ ὁ Α . ὥστε ὁ εἰς ἔμπροσθεν μῆκος ἔχω ὁ μέν ἐν ὁ δεξιός εἰς ὁ ἀριστερός δοκέω παρῆχθα , ὁ δέ ἐν ὁ ἀριστερός εἰς ὁ δεξιός .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 13
Τῶν ἴσων μεγεθῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω κείμενα μετεωρότερα φαίνεται . ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ , ∠Ζ , ΚΛ ὑπὸ τὸ ὄμμα τὸ Ν κείμενα , καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΝ , Ν∠ , ΝΚ . οὐκοῦν μετῶ τάτη ἐστὶν ἡ ΝΒ τῶν λοιπῶν ἀκτίνων · ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον . τὸ ἄρα ΒΙ τοῦ ∠ Ζ μετεωρότερον φαίνεται , τὸ δὲ ∠Ζ τοῦ ΚΛ . τῶν ἄρα ἴσων μεγεθῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω κείμενα μετεωρότερα φαίνεται .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος ὑπό ὁ ὄμμα κεῖμαι ὁ πρόσω κεῖμαι μετέωρος φαίνω . εἰμί γάρ ἴσος μέγεθος ὁ ΒΓ , ∠Ζ , ΚΛ ὑπό ὁ ὄμμα ὁ Ν κεῖμαι , καί ἀπό ὁ Ν ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΒΝ , Ν∠ , ΝΚ . οὐκοῦν μέτειμι τήτη εἰμί ὁ ΝΒ ὁ λοιπός ἀκτίς · ὥστε καί ὁ Β σημεῖον . ὁ ἄρα ΒΙ ὁ ∠ Ζ μετέωρος φαίνω , ὁ δέ ∠Ζ ὁ ΚΛ . ὁ ἄρα ἴσος μέγεθος ὑπό ὁ ὄμμα κεῖμαι ὁ πρόσω κεῖμαι μετέωρος φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 14
Τῶν ἴσων μεγεθῶν ἄνω τοῦ ὄμματος κειμένων τὰ πόρρω κείμενα ταπεινότερα φαίνεται . ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΚΝ , ΛΖ , Γ∠ ἄνω τοῦ ὄμματος κείμενα τοῦ Β , καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΝ , ΒΖ , Β∠ . οὐκοῦν ταπεινοτάτη ἐστὶν ἡ Β∠ ὥστε καὶ τὸ ∠ . ὥστε καὶ τὸ μὲν Γ∠ ταπεινότερον φαίνεται τοῦ ΛΖ , τὸ δὲ ΛΖ τοῦ ΚΝ .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος ἄνω ὁ ὄμμα κεῖμαι ὁ πρόσω κεῖμαι ταπεινός φαίνω . εἰμί ἴσος μέγεθος ὁ ΚΝ , ΛΖ , Γ∠ ἄνω ὁ ὄμμα κεῖμαι ὁ Β , καί ἀπό ὁ Β ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΒΝ , ΒΖ , Β∠ . οὐκοῦν ταπεινός εἰμί ὁ Β∠ ὥστε καί ὁ ∠ . ὥστε καί ὁ μέν Γ∠ ταπεινός φαίνω ὁ ΛΖ , ὁ δέ ΛΖ ὁ ΚΝ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 15
Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει τῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων , προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος μείζονι τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται μεῖζον , ἀπιόντος δὲ ἐλάττονι μεῖζον . ἔστω γὰρ μεῖζον τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ , καὶ ὄμμα κείσθω τὸ Κ ἄνω τῶν ΒΓ . ΘΖ , καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Θ ἡ Κ∠ . οὐκοῦν τὸ ΒΓ τοῦ Θ μεῖζον φαίνεται τῷ Β∠ · ἴσον γὰρ ἐφαίνετο τὸ ΘΖ τῷ ∠Γ , ἐπειδὴ ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ὄμματος καὶ τῆς Κ∠ ἀκτῖνος ἑωρᾶτο . πάλιν δὴ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τὸ Λ , καὶ διὰ τοῦ Θ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΛΝ . οὐκοῦν πάλιν τὸ ΒΓ τοῦ Θ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΝ . ἐλάττονι ἄρα φαίνεται ὑπερέχον τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ ἀπιόντος τοῦ ὄμματος ἤπερ προσιόντος .
Lemmas: ὅσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ ὑπό ὁ ὄμμα κεῖμαι , προσέρχομαι μέν ὁ ὄμμα μέγας ὁ ὑπερφαίνομαι φαίνω μέγας , ἀπέρχομαι δέ ἐλαχύς μέγας . εἰμί γάρ μέγας ὁ ΒΓ ὁ ΘΖ , καί ὄμμα κεῖμαι ὁ Κ ἄνω ὁ ΒΓ . ΘΖ , καί προσπίπτω ἀκτίς διά ὁ Θ ὁ Κ∠ . οὐκοῦν ὁ ΒΓ ὁ Θ μέγας φαίνω ὁ Β∠ · ἴσος γάρ φαίνω ὁ ΘΖ ὁ ∠Γ , ἐπειδή ὑπό ὁ αὐτός ὄμμα καί ὁ Κ∠ ἀκτίς ὁράω . πάλιν δή μετάκειμαι ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Λ , καί διά ὁ Θ προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΛΝ . οὐκοῦν πάλιν ὁ ΒΓ ὁ Θ μέγας φαίνω ὁ ΒΝ . ἐλαχύς ἄρα φαίνω ὑπερέχω ὁ ΒΓ ὁ ΘΖ ἀπέρχομαι ὁ ὄμμα ἤ προσέρχομαι .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 16
Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει κάτω τοῦ ὄμματος κειμένου , προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος ἐλάττονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται , ἀπιόντος δὲ μείζονι μεῖζον . ἔστω μεῖζον τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ , καὶ τοῦ Λ ὄμματος κάτω κειμένου προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΛΓ διὰ τοῦ Θ οὐκοῦν τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΓ . μετακείσθω δὴ τὸ Λ ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν , καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ Ν∠ διὰ τοῦ Θ . οὐκοῦν πάλιν τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ μεῖζον φαίνεται τῷ Β∠ . προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος ἐλάττονι μεῖζον φαίνεται ὑπερέχον τὸ ΒΖ τοῖ ΘΚ , ἀπιόντος δὲ μείζονι .
Lemmas: ὅσος ἀλλήλων ὑπερέχω κάτω ὁ ὄμμα κεῖμαι , προσέρχομαι μέν ὁ ὄμμα ἐλαχύς μέγας ὁ ὑπερφαίνομαι φαίνω , ἀπέρχομαι δέ μέγας μέγας . εἰμί μέγας ὁ ΒΖ ὁ ΘΚ , καί ὁ Λ ὄμμα κάτω κεῖμαι προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΛΓ διά ὁ Θ οὐκοῦν ὁ ΒΖ ὁ ΘΚ μέγας φαίνω ὁ ΒΓ . μετάκειμαι δή ὁ Λ ὄμμα ἐπί ὁ Ν , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ Ν∠ διά ὁ Θ . οὐκοῦν πάλιν ὁ ΒΖ̅ ὁ ΘΚ μέγας φαίνω ὁ Β∠ . προσέρχομαι μέν ἄρα ὁ ὄμμα ἐλαχύς μέγας φαίνω ὑπερέχω ὁ ΒΖ σύ ΘΚ , ἀπέρχομαι δέ μέγας .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 17
Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει τοῦ ὄμματος ἐπʼ εὐθείας τῷ ἐλάσσονι μεγέθει ὄντος , προσιόντος τε καὶ ἀφιστα μένου τοῦ ὄμματος τῷ ἴσῳ αἰεὶ δόξει τὸ ὑπερφαινό μενον τοῦ ἐλάσσονος ὑπερέχειν . ὑπερεχέτω γὰρ τὸ Β ∠ τοῦ ΘΗ τῷ ΒΓ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΘ ἐκβεβλήσθω , καὶ ἔστω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ . οὐκοῦν ἡ ἀπὸ τοῦ ἀκτὶς προσπίπτουσα κατὰ τὴν ΖΓ ἐνεχθήσεται . πάλιν δὴ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Κ . οὐκοῦν διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ἀπὸ τοῦ Κ ὄμματος ἀκτὶς προσπίπτουσα κατὰ τὴν ΚΓ ἐνεχθήσεται . τῷ αὐτῷ ἄρα ὑπερέξει τὸ Β∠ τοῦ ΘΗ καὶ προσιόντος τοῦ ὄμματος καὶ ἀφισταμένου .
Lemmas: ὅσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ ὄμμα ἐπί εὐθεῖα ὁ ἐλαχύς μέγεθος εἰμί , προσέρχομαι τε καί ἀιφισω μένω ὁ ὄμμα ὁ ἴσος ἀεί δοκέω ὁ ὑπερφαιν́υμι μπεω ὁ ἐλαχύς ὑπερέχω . ὑπερέχω γάρ ὁ Β ∠ ὁ ΘΗν ὁ ΒΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΘ ἐκβάλλω , καί εἰμί ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Ζ . οὐκοῦν ὁ ἀπό ὁ ἀκτίς προσπίπτω κατά ὁ ΖΓ ἐνεχθέω . πάλιν δή μετάκειμαι ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Κ . οὐκοῦν διά ὁ αὐτός ὁ ἀπό ὁ Κ ὄμμα ἀκτίς προσπίπτω κατά ὁ ΚΓ ἐνεχθέω . ὁ αὐτός ἄρα ὑπερέχω ὁ Β∠ ὁ ΘΗ καί προσέρχομαι ὁ ὄμμα καί ἀφίστημι .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 18
Τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι , πόσον ἐστίν . ἔστω γάρ , ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι ὕψος , πόσον ἐστί , τὸ ΒΓ , καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡλίου διὰ τοῦ Β ἡ Β∠ οὐκοῦν σκιὰ ἔσται ἡ Γ∠ . ἔλαβον δή τι γνώριμο μέγεθος τὸ ΚΖ καὶ ἐνήρμοσα ὑπὸ τὴν ∠ γωνία παράλληλον τῇ ΒΓ . οὐκοῦν ἐστιν , ὡς τὸ ∠Γ πρὸς τὸ ΓΒ , οὕτως τὸ ∠ πρὸς τὸ ΖΚ . καὶ γνώριμος ὁ λόγος ὁ τῆς ∠Ζ πρὸς ΖΚ γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ∠Γ πρὸς Γ Β . καί ἐστι γνώριμος ἡ ∠Γ σκιά · γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΓΒ ὕψος .
Lemmas: ὁ δίδωμι ὕψος γιγνώσκω , πόσος εἰμί . εἰμί γάρ , ὅς δέω ἐπιγιγνώσκω ὕψος , πόσος εἰμί , ὁ ΒΓ , καί προσπίπτω ἀκτίς ἥλιος διά ὁ Β ὁ Β∠ οὐκοῦν σκιά εἰμί ὁ Γ∠ . λαμβάνω δή τις γνώριμος μέγεθος ὁ ΚΖ καί ἐναρμόζω ὑπό ὁ ∠ γωνία παράλληλος ὁ ΒΓ . οὐκοῦν εἰμί , ὡς ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ∠ πρός ὁ ΖΚ . καί γνώριμος ὁ λόγος ὁ ὁ ∠Ζ πρός ΖΚ γνώριμος ἄρα καί ὁ ὁ ∠Γ πρός Γ Β . καί εἰμί γνώριμος ὁ ∠Γ σκιά · γνώριμος ἄρα καί ὁ ΓΒ ὕψος .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 19
Μὴ ὄντος ἡλίου τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι , ἡλίκο ἐστίν . ἔστω γάρ , ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι ὕψος , πηλίκον ἐστίν τὸ ΒΓ , καὶ κείσθω κάτοπτρον τὸ ΚΑ , ὄμμα δὲ ἕστο τὸ ∠ , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ∠Θ καὶ ἀνακεκλάσθω ὡς ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Β πέρας , καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ὄμματος κάθετος ἡ ∠ Ζ . οὐκοῦν ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ Θ γωνίαι ἀλλήλαις · τοῦτο γὰρ δείκνυται ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς . ἀλλὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν · ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἐκατέρα αὐτῶν . λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ ∠ ἴση ἐστίν . ὥστ ὅμοιον ἂν εἴη τὸ ΒΓΘ τρίγωνον τῷ ∠ΖΘ τριγώνῳ ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΘΓ πρὸς Γ Β , οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς Ζ∠ τῆς δὲ ΘΖ πρὸς Ζ ∠ λόγος δοθείς ἐστιν · καὶ τῆς ΘΓ ἄρα πρὸς ΓΒ γνώριμος ὁ λόγος ἐστίν . γνώριμος δ . ἡ ΘΓ γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΓΒ ὕψος .
Lemmas: μή εἰμί ἥλιος ὁ δίδωμι ὕψος γιγνώσκω , ἡλίκος εἰμί . εἰμί γάρ , ὅς δέω ἐπιγιγνώσκω ὕψος , πηλίκος εἰμί ὁ ΒΓ , καί κεῖμαι κάτοπτρον ὁ ΚΑ , ὄμμα δέ ἕννυμι ὁ ∠ , καί ἀπό αὐτός προσπίπτω ἀκτίς ὁ ∠Θ καί ἀνακλάω ὡς ὁ ΘΒ ἐπί ὁ Β πέρας , καί ἀπό ὁ ∠ ὄμμα κάθετος ὁ ∠ Ζ . οὐκοῦν ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Θ γωνία ἀλλήλων · οὗτος γάρ δείκνυμι ἐν ὁ Κατοπτρικός . ἀλλά καί ὁ πρός ὁ Γ ὁ πρός ὁ Ζ ἴσος εἰμί · ὀρθός γάρ εἰμί κατεράω αὐτός . λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ Β λοιπός ὁ πρός ὁ ∠ ἴσος εἰμί . οὕστ ὅμοιος ἄν εἰμί ὁ ΒΓΘ τρίγωνον ὁ ∠ΖΘ τρίγωνον εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΘΓ πρός Γ Β , οὕτως ὁ ΘΖ πρός Ζ∠ ὁ δέ ΘΖ πρός Ζ ∠ λόγος δίδωμι εἰμί · καί ὁ ΘΓ ἄρα πρός ΓΒ γνώριμος ὁ λόγος εἰμί . γνώριμος δ . ὁ ΘΓ γνώριμος ἄρα καί ὁ ΓΒ ὕψος .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 20
Τὸ δοθὲν βάθος ἐπιγνῶναι , πηλίκον ἐστίν . ἔστω γὰρ τὸ βάθος , ὅ δεῖ ἐπιγνῶναι , πηλίκον ἐστίν , τὸ ΚΒ , καὶ κείσθω ὄμμα τὸ ∠ , καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ∠ΛΚ εἰς τὸ βάθος , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ ∠ παρὰ τὴν ΒΚ ἡ ∠Ζ . Δ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ∠Ζ , καὶ ἐμπέπτωκεν ἡ ∠Κ , τὰς ἐναλλὰξ Β Λ γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚ Λ , Λ∠Ζ ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ . εἰσὶ δὲ καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αἱ πρὸς τῷ Λ ἴσαι ἀλλήλαις · καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα γωνία τῇ λοιπῇ ἴση ἐστίν . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚ Λ τρίγωνον τῷ Λ∠ τριγώνῳ . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΛΖ πρὸς Ζ∠ , ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ . δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΛΖ πρὸς Ζ∠ λόγος · δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΛΒ πρὸς ΒΚ λόγος . καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ∠Β δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΚ .
Lemmas: ὁ δίδωμι βάθος ἐπιγιγνώσκω , πηλίκος εἰμί . εἰμί γάρ ὁ βάθος , ὅς δέω ἐπιγιγνώσκω , πηλίκος εἰμί , ὁ ΚΒ , καί κεῖμαι ὄμμα ὁ ∠ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ∠ΛΚ εἰς ὁ βάθος , καί ἄγω ἀπό ὁ ∠ παρά ὁ ΒΚ ὁ ∠Ζ . Δ ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΒΚ ὁ ∠Ζ , καί ἐμπίπτω ὁ ∠Κ , ὁ ἐναλλάξ Β Λ γωνία ὁ ὑπό ΒΚ Λ , Λ∠Ζ ἴσος ἀλλήλων ποιέω . εἰμί δέ καί ὁ κατά κορυφή ὁ πρός ὁ Λ ἴσος ἀλλήλων · καί ὁ λοιπός ἄρα γωνία ὁ λοιπός ἴσος εἰμί . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΚ Λ τρίγωνον ὁ Λ∠ τρίγωνον . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΛΖ πρός Ζ∠ , ὁ ΛΒ πρός ΒΚ . δίδωμι δέ ὁ ὁ ΛΖ πρός Ζ∠ λόγος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ ΛΒ πρός ΒΚ λόγος . καί εἰμί δίδωμι ὁ ∠Β δίδωμι ἄρα καί ὁ ΒΚ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 21
Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι , πηλίκον ἐστίν . ἔστω γάρ , ὃ δεῖ μῆκος ἐπιγνῶναι , πηλίκον ἐστίν , τὸ ΒΓ . κείσθω δὴ ὄμμα τὸ ∠ , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν σαν ἀκτῖνες αἱ ∠Β , ∠Γ , καὶ ἀπὸ τοῦ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ ΖΚ . οὐκοῦν ἐστιν , ὡς ἡ ΖΚ πρὸς Κ∠ , ἡ ΒΓ πρὸς Γ∠ . γνώριμος δὲ ὁ τῆς Ζ Κ πρὸς Κ∠ λόγος · γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς Γ∠ λόγος . καὶ γνώριμος ἡ Γ∠ γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΓΒ .
Lemmas: ὁ δίδωμι μῆκος ἐπιγιγνώσκω , πηλίκος εἰμί . εἰμί γάρ , ὅς δέω μῆκος ἐπιγιγνώσκω , πηλίκος εἰμί , ὁ ΒΓ . κεῖμαι δή ὄμμα ὁ ∠ , ἀπό ὅς προσπίπτω σαν ἀκτίς ὁ ∠Β , ∠Γ , καί ἀπό ὁ ἄγω παρά ὁ ΒΓ ὁ ΖΚ . οὐκοῦν εἰμί , ὡς ὁ ΖΚ πρός Κ∠ , ὁ ΒΓ πρός Γ∠ . γνώριμος δέ ὁ ὁ Ζ Κ πρός Κ∠ λόγος · γνώριμος ἄρα καί ὁ ὁ ΒΓ πρός Γ∠ λόγος . καί γνώριμος ὁ Γ∠ γνώριμος ἄρα καί ὁ ΓΒ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 22
Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , ἐν ᾧ τὸ ὄμμα , κύκλου περιφέρεια τεθῇ , εὐθεῖα γραμμὴ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια φανεῖται . ἔστω γὰρ περιφέρεια ἡ ΒΓ . ὄμμα δὲ τὸ ∠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄν τῇ ΒΓ περιφερείᾳ , ἀφʼ οὐ προσπιπτέτωσαν ὅψεις αἱ ∠Β , Ζ∠ , ∠Γ . οὐκοῦν , ἐπεὶ τῶν ὁρωμένων οὐδὲν ἅμα ὁρᾶται , οὐκ ἂν φαίνοιτο ἡ ΖΒ περιφέρεια , τὰ δὲ Ζ , Β πέρατα . δόξει ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια εὐθεῖα εἶναι . ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΖΓ . ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα δόξει εἶναι .
Lemmas: ἐάν ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ἐν ὅς ὁ ὄμμα , κύκλος περιφέρεια τίθημι , εὐθύς γραμμή ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια φαίνω . εἰμί γάρ περιφέρεια ὁ ΒΓ . ὄμμα δέ ὁ ∠ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΒΓ περιφέρεια , ἀπό οὐ προσπίπτω ὄψις ὁ ∠Β , Ζ∠ , ∠Γ . οὐκοῦν , ἐπεί ὁ ὁράω οὐδείς ἅμα ὁράω , οὐ ἄν φαίνω ὁ ΖΒ περιφέρεια , ὁ δέ Ζ , Β πέρας . δοκέω ἄρα ὁ ΖΒ περιφέρεια εὐθύς εἰμί . ὅμοιος δέ καί ὁ ΖΓ . ὅλος ἄρα ὁ ΒΓ περιφέρεια εὐθύς δοκέω εἰμί .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 23
Σφαίρας ὁπωσοῦν ὁρωμένης ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον αἰεὶ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται , αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὑπὸ κύκλου περιεχόμενον φαίνεται . ἔστω γὰρ σφαῖρα , ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚ∠ , καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΒΚ , ΓΚ∠ ἐπίπεδον · ποιήσει δὴ ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον . ποιείτω δὴ τὸν Γ∠ ΛΝ , περὶ δὲ τὴν ΚΒ [ διάμετρον ] κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Κ Ζ , ΖΒ , ΒΛ , ΛΚ , ΛΖ . οὐκοῦν ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ ὑπὸ ΚΖΒ , ΒΛΚ διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίοις εἶναι καὶ ἐκ κέντρου τὰς ΚΖ , ΚΛ , καθʼ ἓν σημεῖον ἐφάψονται αἱ ΒΛ , ΒΖ τῆς σφαίρας · αἰ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ΒΖ , ΒΛ πεσοῦνται . καὶ ἐπεὶ ἑκάστη τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθή ἐστι διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν Γ∠ τῇ ΖΛ , καὶ ἴση ἡ ΖΘ τῇ ΘΛ , ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΘΒ τὸ ΘΖΒ τρίγωνον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , ἥ τε ΒΖ περιφερομένη καθʼ ἓν ἐφάψεται τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ Ζ , καὶ κύκλος ἔσται γεγραμμένος διὰ τῶν Ζ , Λ σημείων . ὥστε ὑπὸ κύκλου ἂν περιέχοιτο τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας , ὅ γε ἔλαττόν ἐστιν ἡμισφαιρίου · τὸ γὰρ ΖΛ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου . ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ὄψεως περιεχόμενον ἔλαττόν ἐστιν ἡμισφαιρίου .
Lemmas: σφαῖρα ὁπωσοῦν ὁράω ὑπό ὁ εἷς ὄμμα ἐλαχύς ἀεί ἡμισφαίριον ὁράω , αὐτός δέ ὁ ὁράω ὁ σφαῖρα ὑπό κύκλος περιέχω φαίνω . εἰμί γάρ σφαῖρα , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Κ , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΚ , καί πρός ὀρθός αὐτός ἄγω διά ὁ Κ ὁ ΓΚ∠ , καί ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ΒΚ , ΓΚ∠ ἐπίπεδος · ποιέω δή ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος . ποιέω δή ὁ Γ∠ ΛΝ , περί δέ ὁ ΚΒ [ διάμετρος ] κύκλος γράφω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Κ Ζ , ΖΒ , ΒΛ , ΛΚ , ΛΖ . οὐκοῦν ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΚΖΒ , ΒΛΚ διά ὁ ἐν ἡμικύκλιον εἰμί καί ἐκ κέντρον ὁ ΚΖ , ΚΛ , κατά εἷς σημεῖον ἐφάπτω ὁ ΒΛ , ΒΖ ὁ σφαῖρα · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Β ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς κατά ὁ ΒΖ , ΒΛ πίπτω . καί ἐπεί ἕκαστος ὁ πρός ὁ Θ γωνία ὀρθός εἰμί διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ Γ∠ ὁ ΖΛ , καί ἴσος ὁ ΖΘ ὁ ΘΛ , ἐάν δή μένω ὁ ΘΒ ὁ ΘΖΒ τρίγωνον περιφέρω εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ τε ΒΖ περιφέρω κατά εἷς ἐφάπτω ὁ σφαιρικός ἐπιφάνεια κατά ὁ Ζ , καί κύκλος εἰμί γράφω διά ὁ Ζ , Λ σημεῖον . ὥστε ὑπό κύκλος ἄν περιέχω ὁ ὁράω ὁ σφαῖρα , ὅς γε ἐλαχύς εἰμί ἡμισφαίριον · ὁ γάρ ΖΛ ἐλαχύς εἰμί ἡμικύκλιον . ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ὄψις περιέχω ἐλαχύς εἰμί ἡμισφαίριον .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 24
Τοῦ ὄμματος προσιόντος ἔγγιον τῆς σφαίρας ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον , δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι . ἔστω γὰρ σφαῖρα , ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ὄμματος ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ∠Κ , καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΒΓ , περὶ δὲ τὴν ∠Κ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Ν , ΝΚ , ∠Λ , ΛΚ . οὐκοῦν ὀρθαὶ ἔσονται αἱ πρὸς τοῖς Λ , Ν γωνίαι διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ εἶναι · καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ∠Λ , ∠Ν τῆς σφαίρας . αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ ∠ ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ∠Λ , ∠Λ πεσοῦνται . πάλιν δὴ μετακινείσθω τὸ ∠ ὄμμα ἐπὶ τὸ Ρ , καὶ περὶ τὴν ΡΚ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΖ , ΖΚ , ΡΣ , ΣΚ . οὐκοῦν αἱ ΡΖ , ΡΣ καθʼ ἓν ἐφάπτονται τῆς σφαίρας . καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ P ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΡΖ , ΡΣ πεσοῦνται . ὥστε ὁρᾶται ὑπὸ μὲν τῆς Ρ γωνίας τὸ ΖΣ ὑπὸ δὲ τῆς ∠ τὸ ΝΖ Λ μεῖζον δὲ τὸ ΝΖ Λ τοῦ Ζ Σ ἐστιν . φαίνεται δὲ ἔλαττον · μείζων γάρ ἐστιν ἡ Ρ γωνία τῆς ∠ γωνίας , τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται . μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ Ζ Σ τοῦ ΝΖ Λ , ἔστι δὲ ἔλαττον .
Lemmas: ὁ ὄμμα προσέρχομαι ἐγγίων ὁ σφαῖρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁράω , δοκέω δέ μέγας ὁράω . εἰμί γάρ σφαῖρα , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Κ , καί ἀπό ὁ ∠ ὄμμα ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ κέντρον ὁ ∠Κ , καί διά ὁ Κ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΒΓ , περί δέ ὁ ∠Κ κύκλος γράφω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Ν , ΝΚ , ∠Λ , ΛΚ . οὐκοῦν ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Λ , Ν γωνία διά ὁ ἐν ἡμικύκλιον εἰμί · κατά εἷς ἄρα ἐφάπτω ὁ ∠Λ , ∠Ν ὁ σφαῖρα . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ∠ ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς κατά ὁ ∠Λ , ∠Λ πίπτω . πάλιν δή μετακινέω ὁ ∠ ὄμμα ἐπί ὁ Ρ , καί περί ὁ ΡΚ κύκλος γράφω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΡΖ , ΖΚ , ΡΣ , ΣΚ . οὐκοῦν ὁ ΡΖ , ΡΣ κατά εἷς ἐφάπτω ὁ σφαῖρα . καί ὁ γε ἀπό ὁ P ὄμμα ἀκτίς προσπίπτω κατά ὁ ΡΖ , ΡΣ πίπτω . ὥστε ὁράω ὑπό μέν ὁ Ρ γωνία ὁ ΖΣ ὑπό δέ ὁ ∠ ὁ ΝΖ Λ μέγας δέ ὁ ΝΖ Λ ὁ Ζ Σ εἰμί . φαίνω δέ ἐλαχύς · μέγας γάρ εἰμί ὁ Ρ γωνία ὁ ∠ γωνία , ὁ δέ ὑπό μέγας γωνία ὁράω μέγας φαίνω . μέγας ἄρα φαίνω ὁ Ζ Σ ὁ ΝΖ Λ , εἰμί δέ ἐλαχύς .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 25
Σφαίρας διὰ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένης , ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση τῇ εὐθείᾳ τῇ διεστώσῃ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων , ἡμισφαίριον αὐτῆς ὀφθήσεται . ἔστω γὰρ σφαῖρα , ἧς διάμετρος ἡ ΒΓ , καὶ ἀπὸ τῶν Β , Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ , ΓΛ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ Ζ Λ , καὶ κείσθω ἓν ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ , τὸ δὲ ἕτερον ἐπὶ τοῦ Λ , ἀπὸ δὲ τοῦ ∠ κέντρου ἤχθω παρὰ τὴν ΒΖ ἡ ∠Κ . οὐκοῦν ἐὰν μενούσης τῆς ∠Κ τὸ ΒΚ παραλληλόγραμμον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς Β∠ σχῆμα κύκλος ἔσται , ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας . ὥστε τὸ ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας μόνον ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν Ζ , Λ ὀμμάτων .
Lemmas: σφαῖρα διά ὁ δύο ὄμμα ὁράω , ἐάν ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ἴσος ὁ εὐθύς ὁ διίστημι ἀπό ὁ ὄμμα , ἡμισφαίριον αὐτός ὁράω . εἰμί γάρ σφαῖρα , ὅς διάμετρος ὁ ΒΓ , καί ἀπό ὁ Β , Γ ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΒΖ , ΓΛ , καί ἀπό ὁ Ζ ἄγω παρά ὁ ΒΓ ὁ Ζ Λ , καί κεῖμαι εἷς ὄμμα ἐπί ὁ Ζ , ὁ δέ ἕτερος ἐπί ὁ Λ , ἀπό δέ ὁ ∠ κέντρον ἄγω παρά ὁ ΒΖ ὁ ∠Κ . οὐκοῦν ἐάν μένω ὁ ∠Κ ὁ ΒΚ παραλληλόγραμμος περιφέρω εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ περιγράφω ὑπό ὁ Β∠ σχῆμα κύκλος εἰμί , ὅς γε διά ὁ κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . ὥστε ὁ ἡμισφαίριον ὁ σφαῖρα μόνος ὁράω ὑπό ὁ Ζ , Λ ὄμμα .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 26
Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας , ἡμισφαιρίου μεῖζον τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὀφθήσεται . ἔστω γὰρ σφαῖρα , ἧς κέντρον τὸ Κ , τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ μεῖζον ὄν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας , καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ∠ ∠Ζ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες καθʼ ἓν ἁπτόμεναι αἱ Β∠ ΓΖ . οὐκοῦν ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἀλλήλαις , ἐπειδὴ ἡ ΒΓ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου μείζων ἐστί . συμπιπτέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Θ σημεῖον . οὐκοῦν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου αἰ ΘΖ , Θ∠ καθʼ ἓν ἐφαπτόμεναι προσπεπτώκασιν , ἔλασσον ἂν εἴη τὸ ΖΝ∠ ἡμικυκλίου · αἱ γὰρ ΘΖΚ , Θ∠Κ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν . τὸ ἄρα λοιπὸν τῆς σφαίρας μεῖζον ἡμισφαιρίου ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΓΖ .
Lemmas: ἐάν ὁ ὁ ὄμμα διάστημα μέγας ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , ἡμισφαίριον μέγας ὁ ὁράω ὁ σφαῖρα ὁράω . εἰμί γάρ σφαῖρα , ὅς κέντρον ὁ Κ , ὁ δέ ὄμμα διάστημα ὁ ΒΓ μέγας εἰμί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , καί διά ὁ Κ καί ὁ ΒΓ ἐκβάλλω ἐπίπεδος καί ποιέω ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος ὁ ∠ ∠Ζ , καί προσπίπτω ἀκτίς κατά εἷς ἅπτω ὁ Β∠ ΓΖ . οὐκοῦν ἐκβάλλω συμπίπτω ἀλλήλων , ἐπειδή ὁ ΒΓ ὁ ἐν ὁ σφαῖρα διάμετρος μέγας εἰμί . συμπίπτω δή κατά ὁ Θ σημεῖον . οὐκοῦν ἐπεί ἀπό ὁ Θ σημεῖον ὁ ΘΖ , Θ∠ κατά εἷς ἐφάπτω προσπίπτω , ἐλαχύς ἄν εἰμί ὁ ΖΝ∠ ἡμικύκλιον · ὁ γάρ ΘΖΚ , Θ∠Κ γωνία ὀρθός εἰμί . ὁ ἄρα λοιπός ὁ σφαῖρα μέγας ἡμισφαίριον ὁράω ὑπό ὁ ΒΔ , ΓΖ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 27
Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλασσον ἡ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας , τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ἔλασσον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται . ἔστω γὰρ σφαῖρα , ἧς κέντρον τὸ Κ , τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ ἔλαττον ὄν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας , καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ΖΗΝ . ἤχθωσαν δὲ ἀπὸ τῶν Β , Γ ὀμμάτων καθʼ ἓν ἐφαπτόμεναι αἱ ΒΖ , ΓΝ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Θ · συμπεσοῦνται γάρ , ἐπειδήπερ ἄνισοί εἰσιν ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος . οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν σφαῖραν ἔλαττον ἡμισφαιρίου περιλήψονται · τὸ ἄρα ΖΗΝ ἔλασσον ἡμισφαιρίου ἐστίν . ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν Β , Γ ὀμμάτων ὁρώμενον ἔλασσον ἂν εἴη ἡμισφαιρίου .
Lemmas: ἐάν ὁ ὁ ὄμμα διάστημα ἐλαχύς ὁ ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , ὁ ὁράω ὁ σφαῖρα ἐλαχύς ἡμισφαίριον ὁράω . εἰμί γάρ σφαῖρα , ὅς κέντρον ὁ Κ , ὁ δέ ὄμμα διάστημα ὁ ΒΓ ἐλαχύς εἰμί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , καί διά ὁ Κ καί ὁ ΒΓ ἐκβάλλω ἐπίπεδος καί ποιέω ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος ὁ ΖΗΝ . ἄγω δέ ἀπό ὁ Β , Γ ὄμμα κατά εἷς ἐφάπτω ὁ ΒΖ , ΓΝ καί συμπίπτω ἀλλήλων κατά ὁ Θ · συμπίπτω γάρ , ἐπειδή ἄνισος εἰμί ὁ τε ΓΒ καί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος . οὐκοῦν ὁ ἀπό ὁ Θ σημεῖον προσπίπτω πρός ὁ σφαῖρα ἐλαχύς ἡμισφαίριον περιλαμβάνω · ὁ ἄρα ΖΗΝ ἐλαχύς ἡμισφαίριον εἰμί . ὥστε ὁ ὑπό ὁ Β , Γ ὄμμα ὁράω ἐλαχύς ἄν εἰμί ἡμισφαίριον .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 28
Κυλίνδρου ὁπωσοῦν ὁρωμένου ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον ἡμικυλίνδρου ὀφθήσεται . ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ Κ ἡ ΝΚ , καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω ἡ ΒΓ , περὶ δὲ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΖ , ΖΚ , Ν∠ , ∠Κ . οὐκοῦν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ζ , ∠ · καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΖΝ , Ν∠ , καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος φερόμεναι ἀκτῖνες κατὰ τὰς Ν Ζ , Ν∠ πεσοῦνται · ὥστε τὸ Ζ Λ∠ μόνον ὀφθήσεται . ἀλλὰ τὸ ΖΛ∠ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΓΛΒ ἡμικυκλίου · τὸ ἄρα ΖΛ∠ ἔλασσον ἡμικυκλίου ὀφθήσεται , τουτέστιν ὁ κύλινδρος · ὁμοίως γὰρ τῇ βάσει κατὰ πᾶσαν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου δείξομεν . ὥστε ὅλου τοῦ κυλίνδρου τοῦ ἡμίσεος ἔλαττον φαίνεται .
Lemmas: κύλινδρος ὁπωσοῦν ὁράω ὑπό ὁ εἷς ὄμμα ἐλαχύς ἡμικύλινδρος ὁράω . εἰμί γάρ κύλινδρος ὁ περί ὁ βάσις κύκλος κέντρον ὁ Κ , καί ἀπό ὁ Ν ὄμμα ἄγω ἐπί ὁ Κ ὁ ΝΚ , καί διά ὁ Κ πρός ὀρθός αὐτός ἄγω ὁ ΒΓ , περί δέ ὁ ΚΝ κύκλος γράφω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΝΖ , ΖΚ , Ν∠ , ∠Κ . οὐκοῦν ὀρθός ὁ πρός ὁ Ζ , ∠ · κατά εἷς ἄρα ἐφάπτω ὁ ΖΝ , Ν∠ , καί ὁ γε ἀπό ὁ Ν ὄμμα φέρω ἀκτίς κατά ὁ Ν Ζ , Ν∠ πίπτω · ὥστε ὁ Ζ Λ∠ μόνος ὁράω . ἀλλά ὁ ΖΛ∠ ἐλαχύς εἰμί ὁ ΓΛΒ ἡμικύκλιον · ὁ ἄρα ΖΛ∠ ἐλαχύς ἡμικύκλιον ὁράω , τουτέστι ὁ κύλινδρος · ὅμοιος γάρ ὁ βάσις κατά πᾶς ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος δείκνυμι . ὥστε ὅλος ὁ κύλινδρος ὁ ἥμισυς ἐλαχύς φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 29
Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος τοῦ κυλίνδρου ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ὄψεων τοῦ κυλίνδρου , δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι . ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ Κ κέντρον ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ , διὰ δὲ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ Γ∠ , καὶ περὶ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΝ , ΝΚ , ΒΛ , ΛΚ . διὰ δὴ τὰ πρότερον τὸ ΛΖΝ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου , καὶ ὁμοίως τῇ βάσει ὅλου τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον ἢ τὸ ἥμισυ ὁραθήσεται . προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Φ , καὶ περὶ τὴν ΦΚ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΦΡ , ΡΚ , ΚΣ , ΣΦ . οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Φ ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΦΡ , ΦΣ πεσοῦνται , αἱ δέ γε ἀπὸ τοῦ Β κατὰ τὰς Β Λ , ΒΝ μεῖζον ἄρα τὸ ΝΖ Λ τοῦ PΖΣ δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι τὸ PΖΣ τοῦ ΝΖ Λ · μείζων γὰρ ἡ γωνία τῆς Β γωνίας . ὥστε καὶ τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέρος ὀφθήσεται , δοκεῖ δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι .
Lemmas: ὁ δέ ὄμμα ἐγγίων τίθημι ὁ κύλινδρος ἐλαχύς μέν εἰμί ὁ περιλαμβάνω ὑπό ὁ ὄψις ὁ κύλινδρος , δοκέω δέ μέγας ὁράω . εἰμί γάρ κύλινδρος ὁ περί ὁ βάσις κύκλος κέντρον ὁ Κ , καί ἀπό ὁ Β ὄμμα ἐπί ὁ Κ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΚ , διά δέ ὁ Κ πρός ὀρθός ἄγω ὁ Γ∠ , καί περί ὁ ΚΒ κύκλος γράφω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΝ , ΝΚ , ΒΛ , ΛΚ . διά δή ὁ πρότερος ὁ ΛΖΝ ἐλαχύς εἰμί ἡμικύκλιον , καί ὅμοιος ὁ βάσις ὅλος ὁ κύλινδρος ἐλαχύς ἤ ὁ ἥμισυς ὁράω . πρόσειμι δή ὁ ὄμμα καί εἰμί ὁ Φ , καί περί ὁ ΦΚ κύκλος γράφω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΦΡ , ΡΚ , ΚΣ , ΣΦ . οὐκοῦν ὁ ἀπό ὁ Φ ἀκτίς προσπίπτω κατά ὁ ΦΡ , ΦΣ πίπτω , ὁ δέ γε ἀπό ὁ Β κατά ὁ Β Λ , ΒΝ μέγας ἄρα ὁ ΝΖ Λ ὁ PΖΣ δοκέω δέ μέγας φαίνω ὁ PΖΣ ὁ ΝΖ Λ · μέγας γάρ ὁ γωνία ὁ Β γωνία . ὥστε καί ὁ κύλινδρος ἐλαχύς μέρος ὁράω , δοκέω δέ μέγας ὁράω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 30
Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλασσον ἡμικωνίου ὀφθήσεται . ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος , οὗ κέντρον τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΒΚ , καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΒ ἡ ΝΛ , περὶ δὲ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ , ΖΚ , Β∠ , ∠Κ . οὐκοῦν ὀρθαί εἰσιν αἰ πρὸς τοῖς Ζ , ∠ γωνίαι · καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ Β∠ , ΒΖ , καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς Β∠ , ΒΖ πεσοῦνται . ἔσται δὴ ὁρώμενον τὸ ΖΡ∠ ἔλασσον ὄν τοῦ ΝΡΛ . ἀλλὰ τὸ ΝΡΛ ἡμικύκλιόν ἐστιν · τὸ ἄρα ΖΡ∠ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου . ὥστε καὶ τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἔλασσόν ἐστιν ἡμικωνίου · ὁμοίως γὰρ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν κύκλων τῶν ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ δείξομεν .
Lemmas: κῶνος κύκλος ἔχω ὁ βάσις ὑπό ὁ εἷς ὄμμα ὁράω ἐλαχύς ἡμικώνιον ὁράω . εἰμί γάρ κῶνος βάσις κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Κ , καί ἀπό ὁ Β ὄμμα ἄγω ἐπί ὁ κέντρον ὁ ΒΚ , καί διά ὁ Κ πρός ὀρθός ὁ ΚΒ ὁ ΝΛ , περί δέ ὁ ΚΒ κύκλος γράφω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΖ , ΖΚ , Β∠ , ∠Κ . οὐκοῦν ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Ζ , ∠ γωνία · κατά εἷς ἄρα ἐφάπτω ὁ Β∠ , ΒΖ , καί ὁ γε ἀπό ὁ ὄμμα ἀκτίς προσπίπτω κατά ὁ Β∠ , ΒΖ πίπτω . εἰμί δή ὁράω ὁ ΖΡ∠ ἐλαχύς εἰμί ὁ ΝΡΛ . ἀλλά ὁ ΝΡΛ ἡμικύκλιον εἰμί · ὁ ἄρα ΖΡ∠ ἐλαχύς εἰμί ἡμικύκλιον . ὥστε καί ὁ ὁράω ὁ κῶνος ἐλαχύς εἰμί ἡμικώνιον · ὅμοιος γάρ καί ἐπί ὁ λοιπός κύκλος ὁ ἐν ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια δείκνυμι .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 31
Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον μετατεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων περιλαμβανόμενον μέρος , δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι . ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος , οὗ κέντρον ἔστω τὸ Κ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Α , καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Κ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚΒ , γεγράφθω δὲ περὶ τὴν ΑΚ κύκλος , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΚ , Α∠ , ∠Κ . μετακείσθω δὴ τὸ Α ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν , καὶ περὶ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΡ , PΚ , ΝΣ , ΣΚ . οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς Α∠ , Α Ζ πεσοῦνται · ὥστε φανεῖται τὸ ΖΦ∠ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΝΡ , ΝΣ πεσοῦνται · ὀφθήσεται ἄρα τὸ PΦ Σ . μεῖζον δὲ τὸ ΖΦ∠ τοῦ PΦΣ . φαίνεται δὲ ἔλασσον · μείζων γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ν γωνία τῆς πρὸς τῷ Α γωνίας .
Lemmas: ὁ δέ ὄμμα ἐγγίων μετατίθημι ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ἐλαχύς μέν εἰμί ὁ ὑπό ὁ ὄψις περιλαμβάνω μέρος , δοκέω δέ μέγας ὁράω . εἰμί γάρ κῶνος βάσις κύκλος , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Κ , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Α , καί ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Κ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΚ , καί πρός ὀρθός αὐτός ἄγω διά ὁ Κ ὁ ΓΚΒ , γράφω δέ περί ὁ ΑΚ κύκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ , ΖΚ , Α∠ , ∠Κ . μετάκειμαι δή ὁ Α ὄμμα ἐπί ὁ Ν , καί περί ὁ ΚΝ κύκλος γράφω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΝΡ , PΚ , ΝΣ , ΣΚ . οὐκοῦν ὁ ἀπό ὁ Α ὄμμα ἀκτίς προσπίπτω κατά ὁ Α∠ , Α Ζ πίπτω · ὥστε φαίνω ὁ ΖΦ∠ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ἀπό ὁ Ν ὄμμα ἀκτίς προσπίπτω κατά ὁ ΝΡ , ΝΣ πίπτω · ὁράω ἄρα ὁ PΦ Σ . μέγας δέ ὁ ΖΦ∠ ὁ PΦΣ . φαίνω δέ ἐλαχύς · μέγας γάρ ὁ πρός ὁ Ν γωνία ὁ πρός ὁ Α γωνία .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 32
Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν , ἐὰν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων εὐθεῖαι διαχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ , διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ , ἐπὶ δὲ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων τὸ ὄμμα τεθῇ , τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἴσον διὰ παντὸς ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης . ἔστω γὰρ κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ Γ∠ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον , ὄμμα δὲ τὸ Κ , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Κ ∠ , ΚΓ ἁπτόμεναι κατὰ τὰ Γ , ∠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠ , Γ σημείων ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου αἱ ∠Β , ΓΒ , καὶ διὰ μὲν τῶν ΓΒ , ΦΚ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω , διὰ δὲ τῶν ∠Β , ∠Κ ὁμοίως ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω . οὐκοῦν συμπεσεῖται · αἵ τε γὰρ ΓΒ , ∠Β συμπίπτουσι καὶ αἰ ΓΚ , Κ∠ . συμπιπτέτωσαν οὖν τὰ ἐπίπεδα , καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΚ . λέγω , ὅτι , ὅπου ἂν ἐπὶ τῆς ΒΚ τεθῇ τὸ ὄμμα , ἴσον τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον φαίνεται . κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὸ Ζ ὄμμα , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παρὰ μὲν τὴν Κ∠ ἡ ΖΝ , παρὰ δὲ τὴν ΓΚ ἡ ΖΣ οὐκοῦν αἱ ΖΝ , ΖΣ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας κατὰ τὰ Ν , Σ ἐφάπτονται · τὰ γὰρ ἐν τῇ Β Γ∠ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ τῶν παραλλήλων κύκλων τμήματα ὅμοιά ἐστιν . τὰ ἄρα ἐν τῇ Β∠Γ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ διαστήματα ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστίν , ἢν περιέχουσιν αἱ ΖΣ ΖΝ , γωνία τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν Κ∠ , ΚΓ , ἴσον ἂν φαίνοιτο τὸ ΣΝ διάστημα τοῦ κώνου τῷ ∠Γ διαστήματι . ὥσθʼ ὅπου ἄν τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ τῆς ΚΒ εὐθείας , ἴσον ἀεὶ φανεῖται τὸ ὁρώμενον .
Lemmas: κῶνος κύκλος ἔχω ὁ βάσις , ἐάν ἀπό ὁ συναφή ὁ ἀπό ὁ ὄμμα πρός ὁ ὁ κῶνος βάσις προσπίπτω ἀκτίς εὐθύς διάζομαι διά ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὁ κῶνος πρός ὁ κορυφή αὐτός , διά δέ ὁ ἄγω καί ὁ ἀπό ὁ ὄμμα πρός ὁ βάσις ὁ κῶνος προσπίπτω ἐπίπεδος ἐκβάλλω , ἐπί δέ ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ ὄμμα τίθημι , ὁ ὁράω ὁ κῶνος ἴσος διά πᾶς ὁράω ὁ ὄψις ἐπί παράλληλος ἐπίπεδος ὁ προυπόκειμαι ἐπίπεδος ὑπάρχω . εἰμί γάρ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ Γ∠ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Β σημεῖον , ὄμμα δέ ὁ Κ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ Κ ∠ , ΚΓ ἅπτω κατά ὁ Γ , ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ ∠ , Γ σημεῖον ἐπί ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ ∠Β , ΓΒ , καί διά μέν ὁ ΓΒ , ΦΚ ἐπίπεδος ἐκβάλλω , διά δέ ὁ ∠Β , ∠Κ ὅμοιος ἕτερος ἐπίπεδος ἐκβάλλω . οὐκοῦν συμπίπτω · ὁ τε γάρ ΓΒ , ∠Β συμπίπτω καί ὁ ΓΚ , Κ∠ . συμπίπτω οὖν ὁ ἐπίπεδος , καί εἰμί αὐτός κοινός τομή ὁ ΒΚ . λέγω , ὅτι , ὅπου ἄν ἐπί ὁ ΒΚ τίθημι ὁ ὄμμα , ἴσος ὁ κῶνος ὁ ὁράω φαίνω . κεῖμαι γάρ ἐπί ὁ ΒΚ ὁ Ζ ὄμμα , καί ἄγω διά ὁ Ζ παρά μέν ὁ Κ∠ ὁ ΖΝ , παρά δέ ὁ ΓΚ ὁ ΖΣ οὐκοῦν ὁ ΖΝ , ΖΣ ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια κατά ὁ Ν , Σ ἐφάπτω · ὁ γάρ ἐν ὁ Β Γ∠ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια ὁ παράλληλος κύκλος τμῆμα ὅμοιος εἰμί . ὁ ἄρα ἐν ὁ Β∠Γ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια διάστημα ὁράω ἴσος φαίνω . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί , ἐάν περιέχω ὁ ΖΣ ΖΝ , γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ Κ∠ , ΚΓ , ἴσος ἄν φαίνω ὁ ΣΝ διάστημα ὁ κῶνος ὁ ∠Γ διάστημα . ὥστε ὅπου ἄν ὁ ὄμμα τίθημι ἐπί ὁ ΚΒ εὐθεῖα , ἴσος ἀεί φαίνω ὁ ὁράω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 33
Ἴσον δὲ ἀεὶ τοῦ ὄμματος ἀπὸ τοῦ κώνου ἀπέχοντος μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔλασσον φαίνεται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον , ταπεινοτέρου δὲ μεῖζον . ἔστω γὰρ κώνου κορυφὴ μὲν πρὸς τῷ ∠ σημείῳ , βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος , καὶ ἤχθω ἡ ΚΘ παρὰ τὴν Β∠ , καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ . φημὶ δὴ ἔλασσον ὀφθήσεσθαι τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον τεθέντος τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Θ σημείου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Σ ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ ∠ σημείου ἐπὶ τὰ Θ , Σ σημεῖα αἱ ∠Θ , ∠ Σ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ν , Λ . οὐκοῦν ἐπί τε τοῦ Μ καὶ ἐπὶ τοῦ Λ σημείου τεθέντος τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται τὰ ὁρώμενα τοῦ κώνου , καὶ ἔλασσον μὲν φαίνεται τὸ πρὸς τῷ Ν , μεῖζον δὲ τὸ πρὸς τῷ Λ . ἴσον δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ Ν τῷ πρὸς τῷ Θ , τὸ δὲ πρὸς τῷ Λ τῷ πρὸς τῷ Σ , ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ ἐδείχθη . τοῦ ἄρα ὄμματος πρὸς τῷ Θ σημείῳ ὄντος ἔλασσον φαίνεται τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἤπερ πρὸς τῷ Σ .
Lemmas: ἴσος δέ ἀεί ὁ ὄμμα ἀπό ὁ κῶνος ἀπέχω μετέωρος μέν ὁ ὄμμα τίθημι ἐλαχύς φαίνω ὁ κῶνος ὁ ὁράω , ταπεινός δέ μέγας . εἰμί γάρ κῶνος κορυφή μέν πρός ὁ ∠ σημεῖον , βάσις δέ ὁ ΒΓ κύκλος , καί ἄγω ὁ ΚΘ παρά ὁ Β∠ , καί κεῖμαι ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Θ . φημί δή ἐλαχύς ὁράω ὁ κῶνος ὁ ὁράω τίθημι ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Θ σημεῖον ἤ ἐπί ὁ Σ ἐπιζεύγνυμι γάρ ἀπό ὁ ∠ σημεῖον ἐπί ὁ Θ , Σ σημεῖον ὁ ∠Θ , ∠ Σ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ν , Λ . οὐκοῦν ἐπί τε ὁ Μ καί ἐπί ὁ Λ σημεῖον τίθημι ὁ ὄμμα ἄνισος φαίνω ὁ ὁράω ὁ κῶνος , καί ἐλαχύς μέν φαίνω ὁ πρός ὁ Ν , μέγας δέ ὁ πρός ὁ Λ . ἴσος δέ ὁ μέν πρός ὁ Ν ὁ πρός ὁ Θ , ὁ δέ πρός ὁ Λ ὁ πρός ὁ Σ , ὡς ἐν ὁ πρό αὐτός δείκνυμι . ὁ ἄρα ὄμμα πρός ὁ Θ σημεῖον εἰμί ἐλαχύς φαίνω ὁ ὁράω ὁ κῶνος ἤ πρός ὁ Σ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 34
Ἐν κύκλῳ ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθάς τις ἀχθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ , ἐπὶ δὲ ταύτης τεθῇ τὸ ὄμμα , ἴσαι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου φαίνονται . ἔστω γὰρ κύκλος , οὗ κέντρον τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου ἡ ΚΒ , τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β , καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἱ ΓΑ , ∠ Ζ . φημὶ δὴ τὴν ΑΓ τῇ ∠Ζ ἴσην φαίνεσθαι . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ , ΒΖ , ΒΓ , Β∠ . οὐκοῦν δύο αἱ ΒΚ , Κ δυσὶ ταῖς ΒΚ , ΚΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ . ἔστι δὲ καὶ ἡ P γωνία τῇ Σ ἴση · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΖ βάσις τῇ ΒΓ βάσει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ Β ∠ τῇ ΒΑ ἐστιν ἴση . δύο δὴ αἱ ∠Β , ΒΖ δυσὶ ταῖς ΓΒ , Β Α ἴσαι εἰσίν . ἔστι δὲ καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΓΑ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ ἴση ἐστίν . τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . ἴση ἄρα ἡ ΓΑ τῇ ∠ Ζ φαί . φαίνεται .
Lemmas: ἐν κύκλος ἐάν ἀπό ὁ κέντρον πρός ὀρθός τις ἄγω ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος , ἐπί δέ οὗτος τίθημι ὁ ὄμμα , ἴσος ὁ διάμετρος ὁ κύκλος φαίνω . εἰμί γάρ κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Κ , καί ἀπό ὁ Κ πρός ὀρθός ἀνάγω ὁ ἐπίπεδος ὁ κύκλος ὁ ΚΒ , ὁ δέ ὄμμα κεῖμαι ἐπί ὁ Β , καί διάμετρος ἄγω ὁ ΓΑ , ∠ Ζ . φημί δή ὁ ΑΓ ὁ ∠Ζ ἴσος φαίνω . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΑ , ΒΖ , ΒΓ , Β∠ . οὐκοῦν δύο ὁ ΒΚ , Κ δύο ὁ ΒΚ , ΚΓ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος . εἰμί δέ καί ὁ P γωνία ὁ Σ ἴσος · ἴσος ἄρα καί ὁ ΒΖ βάσις ὁ ΒΓ βάσις . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Β ∠ ὁ ΒΑ εἰμί ἴσος . δύο δή ὁ ∠Β , ΒΖ δύο ὁ ΓΒ , Β Α ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ∠Ζ ὁ ΓΑ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ∠ΒΖ γωνία ὁ ὑπό ΓΒΑ ἴσος εἰμί . ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω . ἴσος ἄρα ὁ ΓΑ ὁ ∠ Ζ φή . φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 35
Καὶ ἐὰν ἡ ὑπὸ τοῦ κέντρου ἀναχθεῖσα μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ , ἴση δὲ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , ἴσαι αἱ διάμετροι φανήσονται . ἔστω κύκλος , οὗ κέντρον τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ Κ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΚΒ , ἴση δὲ ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Β σημείου αἱ αὐταὶ ταῖς πρότερον . οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ ∠Κ , ΚΒ , ΚΖ , ὀρθὴ ἄν εἴη ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΖΒ ∠ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθὴ ἄν εἴη · ἴσαι ἄρα ἔσονται ἀλλήλαις . τὰ δέ γε ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . ἴση ἄρα ἡ ∠ Ζ τῇ ΑΓ φαίνεται . Ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΖ μήτε ἴση ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ , ἴσας δὲ γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ∠ΑΖ , ΖΑΓ καὶ ΕΑΖ , ΖΑΒ . λέγω , ὅτι καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Α τῇ ΑΓ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ , καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ∠Ζ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστὶν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ∠ΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΓ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ ἐστιν ἴση . ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ ἐστιν ἴση . ὥστε αἰ διάμετροι ἴσαι φανήσονται .
Lemmas: καί ἐάν ὁ ὑπό ὁ κέντρον ἀνάγω μή πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἐπίπεδος , ἴσος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἴσος ὁ διάμετρος φανάω . εἰμί κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Κ , καί ἀπό ὁ Κ μή πρός ὀρθός ἀνάγω ὁ ἐπίπεδος ὁ ΚΒ , ἴσος δέ εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Β σημεῖον ὁ αὐτός ὁ πρότερος . οὐκοῦν ἐπεί ἴσος ἀλλήλων εἰμί ὁ ∠Κ , ΚΒ , ΚΖ , ὀρθός ἄν εἰμί ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ ΖΒ ∠ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΑΒΓ ὀρθός ἄν εἰμί · ἴσος ἄρα εἰμί ἀλλήλων . ὁ δέ γε ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω . ἴσος ἄρα ὁ ∠ Ζ ὁ ΑΓ φαίνω . ἀλλά δή ὁ ΑΖ μήτε ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον μήτε πρός ὀρθός ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος , ἴσος δέ γωνία ποιέω ὁ ὑπό ∠ΑΖ , ΖΑΓ καί ΕΑΖ , ΖΑΒ . λέγω , ὅτι καί οὕτως ὁ διάμετρος ἴσος φανάω . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ∠Α ὁ ΑΓ , κοινός δέ ὁ ΑΖ , καί γωνία ἴσος περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ∠Ζ βάσις ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ∠ΖΑ ὁ ὑπό ΑΖΓ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΕΖΑ ὁ ὑπό ΑΖΒ εἰμί ἴσος . ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ∠ΖΒ ὅλος ὁ ὑπό ΕΖΓ εἰμί ἴσος . ὥστε ὁ διάμετρος ἴσος φανάω .