euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 40
Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μέγεθος μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , μεθιστῆται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας , ἄνισον ἀεὶ ὀφθήσεται . ἔστω κύκλος ὁ ΑΘ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ ∠ , καὶ ἀνεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ ∠ Ζ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε . λέγω , ὅτι ἡ ∠ Ζ , ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθιστῆται , ποτὲ μείζων φανήσεται , ποτὲ ἐλάσσων . ἤτοι δὴ ἡ ∠ Ζ μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων . ἔστω πρότερον μείζων , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ∠ Ζ παράλληλος ἡ ΕΓ , καὶ ἔστω ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΕΓ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ σημεῖον , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἡ ΑΒ , καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ∠Ζ ἴση . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΓΖ , ΕΖ , ΒΓ , ΕΒ . ἔχομεν δὲ ἐν τῷ παρακειμένῳ τῷ λϚ΄ θεωρήματι , ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου ἀγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΕΓ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν , ἀλλὰ καὶ ἴση , καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΕ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ δεῖ δεῖξαι , ὅτι ἔλασσον φαίνεται τὸ ΑΒ τοῦ ∠Ζ , δῆλον , ὅτι πρότερον δεῖ δεῖξαι , ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΕ∠ γωνίας . ἐπεὶ οὖν δέδεικταί , ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΓΕ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ . ἐκκείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ Κ Α Λ , καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν , καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ ΓΕΑ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΚΝΜ , τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΝΟ , καὶ κείσθω τῇ ∠Ζ ἐκατέρα τῶν ΟΝ , ΜΝ ἴση , καὶ διὰ μὲν τοῦ Μ τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΚ παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΠ καὶ ἴσον καὶ ὅμοιον τῷ ΒΕ . πάλιν διὰ τοῦ Ο τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΟΡ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΚ τὸ ΡΝ ἄρα παραλληλόγραμμον ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΖΕ . καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ διαγώνιοι αἱ ΡΝ , ΠΝ . ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΝΠ γωνία τῆς ὑπὸ Κ ΝΡ γωνίας ἐλάσσων ἐστίν . καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΝΠ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΚΝΡ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ . ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠ μεγέθους ἔλασσον ὀφθήσεται . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ἡ ΒΑ τῆς Ζ∠ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς Ζ ∠ ἴσης τε καὶ ἐλάσσονος τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ὑπαρχούσης . ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ∠ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση , καὶ κατεσκευάσθω πάντα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον , καὶ κείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον ἡμικύκλιον τὸ ΘΚ Λ , καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν . καὶ ἐπεὶ ἡ ∠Ζ ἴση ὑπόκειται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Ζ τῇ ΘΝ . καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΚ , καὶ ἤχθω τῇ ΘΝ παράλληλος ἡ ΚΞ , καὶ τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἴση ἡ ΚΞ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΘ , τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕ∠ ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΘΝ∠ , καὶ τῇ ΘΝ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ο , καὶ ἴση τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἡ ∠Ο , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΘ · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Θ∠ , ΘΚ , καί ἐστιν ἴσα τε καὶ ὅμοια τοῖς ΕΖ , ΕΒ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝ∠ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΕ∠ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΕΑ . ἐλάσσων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΚ τῆς ὑπὸ ΘΝ∠ . [ καὶ ] ἐπεζεύχθωσαν αἱ διαγώνιοι αἰ ΕΝ , ΟΝ · ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΞ τῆς ὑπὸ ΘΝΟ . ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝΞ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΟ . τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ . ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠ Ζ μεγέθους · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ∠Ζ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον , καὶ κείσθω . τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ ΘΜ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ν , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΝ τῇ ∠Ζ ἴση ἡ ΝΞ , καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΚ , τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΛ , καὶ ἔστω ἴση ἑκατέρα τῶν ΝΚ , ΝΛ τῇ ∠ Ζ , καὶ ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Κ τῇ ΝΞ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΚΟ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΞ , διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ΞΝ παράλληλος ἡ ΛΠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΞ · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΚΞ , ΞΛ , καί ἐστι τὸ μὲν ΚΞ τῷ ΕΒ ἴσον τε καὶ ὅμοιον , τὸ δὲ ΞΛ τῷ ΕΖ ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕΑ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΛ τῇ ὑπὸ ΓΕ∠ . μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕ∠ τῆς ὑπὸ ΓΕΑ μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΛ τῆς ὑπὸ ΘΜΚ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΟ , ΝΠ · καὶ ἡ ὑπὸ ΞΝΟ ἄρα τῆς ὑπὸ ΞΝΠ ἐλάσσων ἐστίν . ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΞΝΟ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΞΝΠ τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ καὶ βλέπεται ὑπὸ μὲν τῆς ΑΕΒ τὸ ΑΒ μέγεθος , ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ τὸ ∠Ζ . ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠ Ζ μεγέθους · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ὁράω μέγεθος μή πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , μεθίστημι δέ ἐπί κύκλος περιφέρεια , ἄνισος ἀεί ὁράω . εἰμί κύκλος ὁ ΑΘ , καί λαμβάνω ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός σημεῖον ὁ ∠ , καί ἀνίστημι μή πρός ὀρθός ὁ κύκλος εὐθύς ὁ ∠ Ζ , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Ε . λέγω , ὅτι ὁ ∠ Ζ , ἐάν ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια μεθίστημι , ποτέ μέγας φαίνω , ποτέ ἐλαχύς . ἤτοι δή ὁ ∠ Ζ μέγας εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἤ ἴσος ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος μέγας , καί ἄγω διά ὁ Ε κέντρον ὁ ∠ Ζ παράλληλος ὁ ΕΓ , καί εἰμί ἴσος ὁ ∠Ζ ὁ ΕΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΓΗ καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ ἐκβάλλω καί συμβάλλω ὁ περιφέρεια κατά ὁ Α , καί ἄγω διά ὁ Α ὁ ΕΓ παράλληλος ὁ ΑΒ , καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ∠Ζ ἴσος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ πᾶς ὁ ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια μεθίστημι εὐθεῖα ἐλαχύς φαίνω . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΓΖ , ΕΖ , ΒΓ , ΕΒ . ἔχω δέ ἐν ὁ παράκειμαι ὁ λϚʹ θεώρημα , ὅτι πᾶς ὁ διά ὁ Ε σημεῖον ἄγω εὐθύς καί ποιέω πρός ὁ ΕΓ γωνία ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΓΕΑ . ἐπεί οὖν ὁ ΓΕ ὁ ΑΒ παράλληλος εἰμί , ἀλλά καί ἴσος , καί ὁ ΕΑ ἄρα ὁ ΓΒ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΒΕ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΖΕ παραλληλόγραμμος εἰμί . καί ἐπεί δέω δείκνυμι , ὅτι ἐλαχύς φαίνω ὁ ΑΒ ὁ ∠Ζ , δῆλος , ὅτι πρότερος δέω δείκνυμι , ὅτι ὁ ὑπό ΒΕΑ γωνία ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΖΕ∠ γωνία . ἐπεί οὖν δείκνυμι , ὅτι πᾶς ὁ διά ὁ Ε σημεῖον διάγω εὐθύς καί ποιέω πρός ὁ ΓΕ γωνία ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΓΕΑ , ἐλαχύς ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ΓΕ∠ ὁ ὑπό ΓΕΑ . ἔκκειμαι ὁ ὁ κύκλος ἡμικύκλιον ἴσος ὁ Κ Α Λ , καί λαμβάνω αὐτός ὁ κέντρον ὁ Ν , καί κεῖμαι ὁ ὑπό ΓΕΑ ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΚΝΜ , ὁ δέ ὑπό ΓΕ∠ ἴσος ὁ ὑπό ΚΝΟ , καί κεῖμαι ὁ ∠Ζ κατεράω ὁ ΟΝ , ΜΝ ἴσος , καί διά μέν ὁ Μ ὁ ΚΝ ἴσος καί παράλληλος ἄγω ὁ ΜΠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΠΚ παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΝΠ καί ἴσος καί ὅμοιος ὁ ΒΕ . πάλιν διά ὁ Ο ὁ ΚΝ ἴσος καί παράλληλος ἄγω ὁ ΟΡ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΡΚ ὁ ΡΝ ἄρα παραλληλόγραμμος ἴσος τε καί ὅμοιος εἰμί ὁ ΖΕ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ διαγώνιος ὁ ΡΝ , ΠΝ . ὥστε καί ὁ ὑπό ΚΝΠ γωνία ὁ ὑπό Κ ΝΡ γωνία ἐλαχύς εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΚΝΠ ἴσος ὁ ὑπό ΑΕΒ , ὁ δέ ὑπό ΚΝΡ ἴσος ὁ ὑπό ∠ΕΖ ἐλαχύς ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΒ ὁ ὑπό ∠ΕΖ . ὥστε καί ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ ∠ μέγεθος ἐλαχύς ὁράω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ ΒΑ ὁ Ζ∠ ἐλαχύς εἰμί ὁ Ζ ∠ ἴσος τε καί ἐλαχύς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὑπάρχω . ἀλλά δή εἰμί ὁ ∠ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος , καί κατασκευάζω πᾶς ὁ αὐτός ὁ πρότερος , καί κεῖμαι ὁ ὁ κύκλος ἡμικύκλιον ἴσος ἡμικύκλιον ὁ ΘΚ Λ , καί λαμβάνω αὐτός ὁ κέντρον ὁ Ν . καί ἐπεί ὁ ∠Ζ ἴσος ὑπόκειμαι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ∠Ζ ὁ ΘΝ . καί κεῖμαι ὁ μέν ὑπό ΓΕΑ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΘΝΚ , καί ἄγω ὁ ΘΝ παράλληλος ὁ ΚΞ , καί ὁ ΘΝ ἀφαιρέω ἴσος ὁ ΚΞ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞΘ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΓΕ∠ ἴσος κεῖμαι ὁ ὑπό ὁ ΘΝ∠ , καί ὁ ΘΝ παράλληλος ἄγω ὁ ∠Ο , καί ἴσος ὁ ΘΝ ἀφαιρέω ὁ ∠Ο , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΟΘ · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ Θ∠ , ΘΚ , καί εἰμί ἴσος τε καί ὅμοιος ὁ ΕΖ , ΕΒ . ὥστε καί ὁ μέν ὑπό ΘΝ∠ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΕ∠ , ὁ δέ ὑπό ΘΝΚ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΕΑ . ἐλαχύς δέ ὁ ὑπό ΓΕΑ ὁ ὑπό ΓΕ∠ ἐλαχύς ἄρα καί ὁ ὑπό ΘΝΚ ὁ ὑπό ΘΝ∠ . [ καί ] ἐπιζεύγνυμι ὁ διαγώνιος ὁ ΕΝ , ΟΝ · ἐλαχύς ἄρα καί ὁ ὑπό ΘΝΞ ὁ ὑπό ΘΝΟ . ἴσος δέ ὁ μέν ὑπό ΘΝΞ ὁ ὑπό ΑΕΒ , ὁ δέ ὑπό ΘΝΟ . ὁ ὑπό ∠ΕΖ ἐλαχύς ἄρα καί ὁ ὑπό ΑΕΒ ὁ ὑπό ∠ΕΖ . ἐλαχύς ἄρα ὁράω ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ ∠ Ζ μέγεθος · ὅς δέω δείκνυμι . ἀλλά δή εἰμί ὁ ∠Ζ ἐλαχύς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , καί κατασκευάζω ὁ αὐτός ὁ πρότερος , καί κεῖμαι . ὁ ὁ κύκλος ἡμικύκλιον ἴσος ὁ ΘΜ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ν , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΘΝ ὁ ∠Ζ ἴσος ὁ ΝΞ , καί κεῖμαι ὁ μέν ὑπό ΓΕΑ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΘΝΚ , ὁ δέ ὑπό ΓΕ∠ ἴσος ὁ ὑπό ΘΝΛ , καί εἰμί ἴσος ἑκάτερος ὁ ΝΚ , ΝΛ ὁ ∠ Ζ , καί ἄγω διά μέν ὁ Κ ὁ ΝΞ ἴσος καί παράλληλος ὁ ΚΟ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΟΞ , διά δέ ὁ Λ ὁ ΞΝ παράλληλος ὁ ΛΠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΠΞ · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΚΞ , ΞΛ , καί εἰμί ὁ μέν ΚΞ ὁ ΕΒ ἴσος τε καί ὅμοιος , ὁ δέ ΞΛ ὁ ΕΖ ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΘΝΚ ἴσος ὁ ὑπό ΓΕΑ , ὁ δέ ὑπό ΘΝΛ ὁ ὑπό ΓΕ∠ . μέγας δέ ὁ ὑπό ΓΕ∠ ὁ ὑπό ΓΕΑ μέγας ἄρα καί ὁ ὑπό ΘΝΛ ὁ ὑπό ΘΜΚ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΝΟ , ΝΠ · καί ὁ ὑπό ΞΝΟ ἄρα ὁ ὑπό ΞΝΠ ἐλαχύς εἰμί . ἴσος δέ ὁ μέν ὑπό ΞΝΟ ὁ ὑπό ΑΕΒ , ὁ δέ ὑπό ΞΝΠ ὁ ὑπό ∠ΕΖ ἐλαχύς ἄρα καί ὁ ὑπό ΑΕΒ ὁ ὑπό ∠ΕΖ καί βλέπω ὑπό μέν ὁ ΑΕΒ ὁ ΑΒ μέγεθος , ὑπό δέ ὁ ὑπό ∠ΕΖ ὁ ∠Ζ . ἐλαχύς ἄρα ὁράω ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ ∠ Ζ μέγεθος · ὅς δέω δείκνυμι .