euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 36
Ἐάν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον προσπίπτουσα τοῦ κύκλου μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου , μείζων δὲ ἢ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται . ἔστω γὰρ κύκλος , οὗ κέντρον τὸ Α , καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΒΑ καὶ ἔστω μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου . λέγω , ὅτι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου ἄνισοι φανήσονται . ἤχθω γὰρ ἡ μὲν ΓΖ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ∠Κ ἀνίσους ποιοῦσα γωνίας πρὸς τῇ ΑΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , Β∠ , ΒΖ , ΒΚ , ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ μείζων . οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΓΒΖ τῆς περιεχομένης ὑπὸ τῶν ΚΒ∠ , ὡς ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἀποδείκνυται . τὰ δέ γε ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται · μείζων ἄρα ἡ ΓΖ τῆς ∠Κ φαίνεται . ἐὰν δὲ ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ ἐλάσσων ᾖ , μείζων φαίνεται ἡ ∠Κ τῆς ΓΖ . Ἔστω κύκλος , οὗ κέντρον τὸ Α , ὄμμα δὲ τὸ Β , ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος ἀγομένη μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α , ἀλλʼ ἐκτός , καὶ ἔστω ἡ ΒΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Α ἡ ΓΑ , ἔτι δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἡ ΒΑ . λέγω , ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΒΑ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ . διήχθω γὰρ εὐθεῖα ἡ ∠ΑΕ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ · καὶ ἡ ΒΖ ἄρα ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετός ἐστιν . ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ , ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ὀρθῆς · μείζων ἄρα ἡ ΑΓ πλευρὰ τῆς ΑΖ . ἡ ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΑΓ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΖΑ εἰσιν ὀρθαί , καί εἰσιν αἱ ΓΑ , ΑΖ ἄνισοι · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΑΒ τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑΒ ἐστι μείζων . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ . Ὅτι ἡ ΖΒ τῇ ∠Ε ἐστι πρὸς ὀρθάς , δείξομεν οὕτως . ἐπεὶ ἡ ΒΓ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς , καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΓ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς . ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΒΓ ἐκβαλλομένων ἐπιπέδων ἐστὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον · καὶ τὸ ΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς . ἐπεὶ οὖν δύο ἐπίπεδα τό τε τοῦ Ε∠ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου τέμνουσιν ἄλληλα , καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ Γ Ζ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ Ζ∠ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ · κάθετος γὰρ ἦκται ἡ ΓΖ ἐπὶ τὴν Ε∠ καὶ ἡ Ζ∠ ἄρα τῷ τοῦ ΒΓ τριγώνου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς . ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΓΖΒ τριγώνου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς · ἡ ∠Ζ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς . ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΕΖ ∠ διαμέτρῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς . Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΒΓΑ , ΒΖΑ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Γ , γωνίας , καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΖA μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ . λέγω , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ζ ΑΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ γωνίας . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΖΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ , καὶ ἀνάπαλιν ἄρα ἡ Ζ Α πρὸς τὴν ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει , οὗ ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ · ὥστε ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ . πεποιήσθω οὖν , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ , οὕτως ἡ Ζ Α πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΑΒ τὴν Α∠ ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ τρίγωνα τὰ ΒΓΑ , ∠ΖΑ . ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑ∠ . μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑ Β γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ . Ἔστω κύκλος ὁ ΑΓΒ∠ , καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ , Γ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε , ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη ἡ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς μὲν ἔστω τῇ Γ∠ , πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιεχέτω , καὶ ἔστω ἡ ΕΖ ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου μείζων . ἐπεὶ οὖν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ , ΕΖ ἐστι πρὸς ὀρθάς , καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς Γ∠ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ διὰ τῶν ΕΖ , ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . ἤχθω οὗν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος · ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα τομὴν πίπτει τῶν ἐπιπέδων τὴν ΑΒ . πιπτέτω οὖν καὶ ἔστω ἡ ΕΚ , καὶ διήχθω διάμετρος ἡ ΗΘ , καὶ κείσθω τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἴση ἡ Λ Μ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν . καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν τῇ ΛΜ πρὸς ὀρθὰς μετέωρος εὐθεῖα ἡ ΝΞ , καὶ ἔστω ἡ ΝΞ τῇ ΕΖ ἴση · τὸ ἄρα περὶ τὴν ΛΜ γραφόμενον τμῆμα καὶ ἐρχόμενον διὰ τοῦ Ξ μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου , ἐπειδήπερ ἡ ΝΞ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΛΝ , ΝΜ . ἔστω τὸ Λ ΣΞΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΛ , ΞΜ . ἡ ἄρα πρὸς τῷ Ξ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε σημείῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὸ Ε καὶ τὰ Γ , ∠ σημεῖα . ἐκκείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖ , ΖΗ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ , ΝΟ , καὶ ἀφῃρήσθω ἴση τῇ ΕΖ ἡ ΝΟ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΟ , Μο , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΟΜ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΟΜ . ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΘ . ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΠ , καὶ ἐκκείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΠ , ΠΜ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Λ Π Μ τρίγωνον τμῆμα κύκλου . ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Π σημείῳ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ . ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ τῆς πρὸς τῷ Ο γωνίας · ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Σ γωνίᾳ , ἡ δὲ πρὸς τῷ Σ μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Ο γωνίας · τριγώνου γὰρ τοῦ Λ ΣΟ ἐκτός ἐστιν · καὶ ἡ πρὸς τῷ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Ο · καί ἐστιν ἡ μὲν πρὸς τῷ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕ∠ , ἡ δὲ πρὸς τῷ Ο τῇ ὑπὸ ΗΕΘ , μείζων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ Γ∠ τῆς ΗΘ . πάλιν ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο γωνία τῇ ὑπὸ ΗΕΘ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ πρὸς τῷ Π τῇ ὑπὸ ΑΕΒ μείζων δὲ ἡ Ο τῆς Π . μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΗΘ τῆς ΑΒ εὐθείας . Μὴ ἔστω δὴ μείζων ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἀλλὰ ἐλάσσων · ἔσται δὴ περὶ τὰς διαμέτρους τοὐναντίον · ἡ γὰρ τότε μείζων τῶν διαμέτρων νῦν ἐλάσσων φανήσεται , ἡ δὲ ἐλάσσων μείζων . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ , Γ∠ , ἑτέρα δέ τις διήχθω ἡ ΗΘ , ὄμμα δὲ τὸ Ε ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα ἔστω ἡ ΕΖ ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου , πρὸς ὀρθὰς δὲ τῇ Γ∠ ἔστω ἡ ΕΖ , καὶ κείσθω τῇ τοῦ κύκλου διαμέτρῳ ἴση ἡ ΛΜ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν , καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν πρὸς ὀρθὰς ἡ ΝΞ ἴση τῇ ΕΖ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ξ σημεῖον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΞΜ ἔσται δὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου , ἐπειδήπερ ἡ ΝΕ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου . ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ἴση τῇ πρὸς τῷ , Ε , περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕ∠ . ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΟ , καὶ ἀφῃρήσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΟ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ο σημεῖον τὸ ΛΟΜ τμῆμα . ἡ δὴ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΑΟΜ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΘΕΗ . ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ , ΝΠ , καὶ , ἀφῃρήσθω ἡ NΠ ἴση τῇ Ε Ζ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΜ καὶ τὸ Π τμῆμα κύκλου τὸ ΛΠΜ · ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ Π γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΠΜ ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε γωνίᾳ , περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ . ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ τῆς πρὸς τῷ Ο , ἴση δὲ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο τῇ πρὸς τῷ Ε , περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΘΕ , ΕΗ , ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ τῇ πρὸς τῷ Ε , περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν Γ Ε∠ , ἐλάσσων ἄρα φανήσεται ἡ Γ∠ τῆς ΗΘ . πάλιν ἐπεὶ ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ Ε περιεχομένη δὲ ὑπὸ τῶν ΘΕΗ τῆς πρὸς τῷ Ε , περιεχομένης δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ , ἐλάσσων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΗΘ τῆς ΑΒ .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ἀπό ὁ ὄμμα πρός ὁ κέντρον προσπίπτω ὁ κύκλος μήτε πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος μήτε ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον μήτε ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ ἐκ ὁ κέντρον , μέγας δέ ἤ ἐλαχύς ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἄνισος ὁ διάμετρος φαίνω . εἰμί γάρ κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Α , καί ἀπό ὁ Β ὄμμα ἐπί ὁ κέντρον ὁ κύκλος εὐθύς ἄγω ὁ ΒΑ καί εἰμί μήτε πρός ὀρθός ὁ ἐπίπεδος μήτε ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος μήτε ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ ἐκ ὁ κέντρον . λέγω , ὅτι ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ἄνισος φανάω . ἄγω γάρ ὁ μέν ΓΖ διάμετρος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒ , ὁ δέ ∠Κ ἄνισος ποιέω γωνία πρός ὁ ΑΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , Β∠ , ΒΖ , ΒΚ , εἰμί δέ πρότερος ὁ ΒΑ ὁ ΑΚ μέγας . οὐκοῦν μέγας εἰμί ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ ΓΒΖ ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΚΒ∠ , ὡς ἐν ὁ θεώρημα ἀποδείκνυμι . ὁ δέ γε ὑπό μέγας γωνία ὁράω μέγας φαίνω · μέγας ἄρα ὁ ΓΖ ὁ ∠Κ φαίνω . ἐάν δέ ὁ ΒΑ ὁ ΑΚ ἐλαχύς εἰμί , μέγας φαίνω ὁ ∠Κ ὁ ΓΖ . εἰμί κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Α , ὄμμα δέ ὁ Β , ἀπό ὅς ὁ ἐπί ὁ κύκλος κάθετος ἄγω μή πίπτω ἐπί ὁ κέντρον ὁ Α , ἀλλά ἐκτός , καί εἰμί ὁ ΒΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ Α ὁ ΓΑ , ἔτι δέ ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Β ὁ ΒΑ . λέγω , ὅτι πᾶς ὁ διά ὁ Α διάγω εὐθύς καί ποιέω πρός ὁ ΒΑ γωνία ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ . διάγω γάρ εὐθύς ὁ ∠ΑΕ , καί ἄγω ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ∠Ε κάθετος ἐν ὁ ἐπίπεδος ὁ ΓΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΖ · καί ὁ ΒΖ ἄρα ἐπί ὁ ∠Ε κάθετος εἰμί . ἐπεί οὖν ὀρθός ὁ ὑπό ΓΖΑ , ὁ ὑπό ΑΓΖ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὀρθός · μέγας ἄρα ὁ ΑΓ πλευρόν ὁ ΑΖ . ὁ ΒΑ ἄρα πρός ὁ ΑΖ μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ ΑΓ . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ γωνία καί ὁ ὑπό ὁ ΒΖΑ εἰμί ὀρθός , καί εἰμί ὁ ΓΑ , ΑΖ ἄνισος · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΖΑΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ εἰμί μέγας . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί πᾶς ὁ διά ὁ Α διάγω εὐθύς καί ποιέω πρός ὁ ΑΒ εὐθύς γωνία ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ . ὅτι ὁ ΖΒ ὁ ∠Ε εἰμί πρός ὀρθός , δείκνυμι οὕτως . ἐπεί ὁ ΒΓ ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί πρός ὀρθός , καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ ΒΓ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί πρός ὀρθός . εἷς δέ ὁ διά ὁ ΒΓ ἐκβάλλω ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΒΓΖ τρίγωνον · καί ὁ ΒΓ ἄρα τρίγωνον ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί πρός ὀρθός . ἐπεί οὖν δύο ἐπίπεδος ὁ τε ὁ Ε∠ κύκλος καί ὁ ὁ ΒΓΖ τρίγωνον τέμνω ἀλλήλων , καί ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ Γ Ζ πρός ὀρθός εἰμί ὁ Ζ∠ ἐν ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος · κάθετος γάρ ἄγω ὁ ΓΖ ἐπί ὁ Ε∠ καί ὁ Ζ∠ ἄρα ὁ ὁ ΒΓ τρίγωνον ἐπίπεδος εἰμί πρός ὀρθός . ὥστε καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΓΖΒ τρίγωνον ἐπίπεδος εἰμί πρός ὀρθός · ὁ ∠Ζ ἄρα ὁ ΖΒ εἰμί πρός ὀρθός . ἀνάπαλιν ἄρα ὁ ΒΖ ὁ ΕΖ ∠ διάμετρον εἰμί πρός ὀρθός . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΒΓΑ , ΒΖΑ ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Γ , γωνία , καί ὁ ΒΑ πρός ΖA μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ ΓΑ . λέγω , ὅτι μέγας εἰμί ὁ ὑπό Ζ ΑΒ γωνία ὁ ὑπό ΓΑΒ γωνία . ἐπεί γάρ ὁ ΒΑ πρός ὁ ΖΆ μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ ΓΑ , καί ἀνάπαλιν ἄρα ὁ Ζ Α πρός ὁ ΑΒ ἐλαχύς λόγος ἔχω , ὅς ἔχω ὁ ΓΑ πρός ΑΒ · ὥστε ὁ ΓΑ πρός ΑΒ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΖΑ πρός ΑΒ . ποιέω οὖν , ὡς ὁ ΓΑ πρός ΑΒ , οὕτως ὁ Ζ Α πρός ἐλαχύς ὁ ΑΒ ὁ Α∠ ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ τρίγωνος ὁ ΒΓΑ , ∠ΖΑ . ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΑΒ γωνία ὁ ὑπό ΖΑ∠ . μέγας ἄρα ὁ ὑπό ΖΑ Β γωνία ὁ ὑπό ΓΑΒ . εἰμί κύκλος ὁ ΑΓΒ∠ , καί διάγω δύο διάμετρος ὁ ΑΒ , Γ∠ τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Ε , ἀπό ὅς ὁ ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ πρός ὀρθός μέν εἰμί ὁ Γ∠ , πρός δέ ὁ ΑΒ τυγχάνω γωνία περιέχω , καί εἰμί ὁ ΕΖ ἑκάτερος ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέγας . ἐπεί οὖν ὁ Γ∠ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΕΖ εἰμί πρός ὀρθός , καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ Γ∠ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ΕΖ , ΑΒ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ἄγω ἐν ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος · ἐπί ὁ κοινός ἄρα τομή πίπτω ὁ ἐπίπεδος ὁ ΑΒ . πίπτω οὖν καί εἰμί ὁ ΕΚ , καί διάγω διάμετρος ὁ ΗΘ , καί κεῖμαι ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ἴσος ὁ Λ Μ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Ν . καί ἀνάγω ἀπό ὁ Ν ὁ ΛΜ πρός ὀρθός μετέωρος εὐθεῖα ὁ ΝΞ , καί εἰμί ὁ ΝΞ ὁ ΕΖ ἴσος · ὁ ἄρα περί ὁ ΛΜ γράφω τμῆμα καί ἔρχομαι διά ὁ Ξ μέγας εἰμί ἡμικύκλιον , ἐπειδή ὁ ΝΞ μέγας εἰμί ἑκάτερος ὁ ΛΝ , ΝΜ . εἰμί ὁ Λ ΣΞΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞΛ , ΞΜ . ὁ ἄρα πρός ὁ Ξ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΛΞΜ ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Ε σημεῖον ὁ περιέχω ὑπό ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ Ε καί ὁ Γ , ∠ σημεῖον . ἔκκειμαι ὁ ὑπό ὁ ΕΖ , ΖΗ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΝ , ΝΟ , καί ἀφαιρέω ἴσος ὁ ΕΖ ὁ ΝΟ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΟ , Μο , καί περιγράφω περί ὁ ΛΟΜ τρίγωνος τμῆμα κύκλος ὁ ΛΟΜ . εἰμί δή καί ὁ πρός ὁ Ο σημεῖον γωνία ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΗΕΘ . ἔτι κεῖμαι ὁ ὑπό ὁ ΕΖΚ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΝΠ , καί ἔκκειμαι ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΝΠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΠ , ΠΜ , καί περιγράφω περί ὁ Λ Π Μ τρίγωνος τμῆμα κύκλος . εἰμί δή καί ὁ πρός ὁ Π σημεῖον ἴσος ὁ ὑπό ΑΕΒ γωνία . ἐπεί οὖν μέγας εἰμί ὁ πρός ὁ ὁ πρός ὁ Ο γωνία · ὁ μέν γάρ πρός ὁ Ξ ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Σ γωνία , ὁ δέ πρός ὁ Σ μέγας εἰμί ὁ πρός ὁ Ο γωνία · τρίγωνον γάρ ὁ Λ ΣΟ ἐκτός εἰμί · καί ὁ πρός ὁ ἄρα μέγας εἰμί ὁ πρός ὁ Ο · καί εἰμί ὁ μέν πρός ὁ ἴσος ὁ ὑπό ΓΕ∠ , ὁ δέ πρός ὁ Ο ὁ ὑπό ΗΕΘ , μέγας ἄρα φαίνω καί ὁ Γ∠ ὁ ΗΘ . πάλιν ὁ μέν πρός ὁ Ο γωνία ὁ ὑπό ΗΕΘ εἰμί ἴσος , ὁ δέ πρός ὁ Π ὁ ὑπό ΑΕΒ μέγας δέ ὁ Ο ὁ Π . μέγας ἄρα φαίνω ὁ ΗΘ ὁ ΑΒ εὐθεῖα . μή εἰμί δή μέγας ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἀλλά ἐλαχύς · εἰμί δή περί ὁ διάμετρος ἐναντίος · ὁ γάρ τότε μέγας ὁ διάμετρον νῦν ἐλαχύς φαίνω , ὁ δέ ἐλαχύς μέγας . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καί διάγω δύο διάμετρος τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός ὁ ΑΒ , Γ∠ , ἕτερος δέ τις διάγω ὁ ΗΘ , ὄμμα δέ ὁ Ε ἀπό ὅς ὁ ἐπί ὁ Ζ κέντρον ἐπιζεύγνυμι εἰμί ὁ ΕΖ ἐλαχύς εἰμί ἑκάτερος ὁ ἐκ ὁ κέντρον , πρός ὀρθός δέ ὁ Γ∠ εἰμί ὁ ΕΖ , καί κεῖμαι ὁ ὁ κύκλος διάμετρος ἴσος ὁ ΛΜ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Ν , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Ν πρός ὀρθός ὁ ΝΞ ἴσος ὁ ΕΖ , καί περιγράφω περί ὁ ΛΜ καί ὁ Ξ σημεῖον τμῆμα κύκλος ὁ ΛΞΜ εἰμί δή ἐλαχύς ἡμικύκλιον , ἐπειδή ὁ ΝΕάς ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον . εἰμί δή ὁ πρός ὁ σημεῖον γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΛΞΜ ἴσος ὁ πρός ὁ , Ε , περιέχω δέ ὑπό ὁ ΓΕ∠ . ἔτι κεῖμαι ὁ ὑπό ὁ ΕΖΗ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΝΟ , καί ἀφαιρέω ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΝΟ , καί περιγράφω περί ὁ ΛΜ καί ὁ Ο σημεῖον ὁ ΛΟΜ τμῆμα . ὁ δή πρός ὁ Ο σημεῖον γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΟΜ ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Ε ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΘΕΗ . ἔτι κεῖμαι ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΕ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΝ , ΝΠ , καί , ἀφαιρέω ὁ NΠ ἴσος ὁ Ε Ζ , καί περιγράφω περί ὁ ΑΜ καί ὁ Π τμῆμα κύκλος ὁ ΛΠΜ · εἰμί δή ὁ πρός ὁ Π γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΛΠΜ ἴσος ὁ πρός ὁ Ε γωνία , περιέχω δέ ὑπό ὁ ΑΕΒ . ἐπεί οὖν ἐλαχύς ὁ πρός ὁ ὁ πρός ὁ Ο , ἴσος δέ ὁ μέν πρός ὁ Ο ὁ πρός ὁ Ε , περιέχω δέ ὑπό ὁ ΘΕ , ΕΗ , ὁ δέ πρός ὁ Ξ ὁ πρός ὁ Ε , περιέχω δέ ὑπό ὁ Γ Ε∠ , ἐλαχύς ἄρα φαίνω ὁ Γ∠ ὁ ΗΘ . πάλιν ἐπεί ἐλαχύς ὁ πρός ὁ Ε περιέχω δέ ὑπό ὁ ΘΕΗ ὁ πρός ὁ Ε , περιέχω δέ ὑπό ὁ ΑΕΒ , ἐλαχύς ἄρα φαίνω καί ὁ ΗΘ ὁ ΑΒ .