ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 37
Τῶν ἀρμάτων οἱ τροχοὶ ὁτὲ μὲν κυκλοειδεῖς , ὁτὲ δὲ παρεσπασμένοι φανοῦνται . ἔστω γὰρ τροχός , οὗ διάμετροι αἱ ∠Ζ , ΒΓ οὐκοῦν ὅταν μὲν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος εἰς τὸ κέντρον νεύουσα πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ἢ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , ἴσαι αἱ διάμετροι φανοῦνται , ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι ἀπεδείχθη · ὥστε ὁ τροχὸς ὁ τοῦ ἅρματος κυκλοειδὴς φαίνεται τούτων ὑπαρχόντων . παραφερομένου δὲ τοῦ ἄρματος καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὄμματος νευούσης εἰς τὸ κέντρον ἀκτῖνος μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ τοῦ τροχοῦ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης τῇ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται ὁμοίως διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ δειχθέν · ὥστε παρεσπασμένος ἂν φαίνοιτο ὁ τροχός .
Lemmas: ὁ ἄρμα ὁ τροχός ὅτε μέν κυκλοειδής , ὅτε δέ παρασπάω φαίνω . εἰμί γάρ τροχός , ὅς διάμετρος ὁ ∠Ζ , ΒΓ οὐκοῦν ὅταν μέν ὁ ἀπό ὁ ὄμμα εἰς ὁ κέντρον νεύω πρός ὀρθός ὁ ἐπίπεδος ἤ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ἴσος ὁ διάμετρος φαίνω , ὡς ἐν ὁ πρό αὐτός θεώρημα ἀποδείκνυμι · ὥστε ὁ τροχός ὁ ὁ ἅρμα κυκλοειδής φαίνω οὗτος ὑπάρχω . παραφέρω δέ ὁ ἄρμα καί ὁ ἀπό ὁ ὄμμα νεύω εἰς ὁ κέντρον ἀκτίς μήτε πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὁ τροχός ἐπίπεδος μήτε ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον αὐτός ἄνισος ὁ διάμετρος φαίνω ὅμοιος διά ὁ πρό αὐτός δείκνυμι · ὥστε παρασπάω ἄν φαίνω ὁ τροχός .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 38
Ἐὰν μέγεθός τι πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ μετέωρον , τεθῇ δὲ τὸ ὄμμα ἐπί τι σημεῖον τοῦ ἐπιπέδου , καὶ μεθιστῆται τὸ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου περιφεφείας , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται . ἔστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ μετεωρότερον τοῦ ἐπιπέδου , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ , καὶ κέντρῳ τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῷ Γ Β κύκλος γεγράφθω ὁ Β∠ . λέγω , ὅτι , ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθιστῆται τὸ ΑΒ , ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος ἴσον ἀεὶ ὀφθήσεται . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ἐστιν ὀρθὴ καὶ ποιεῖ πρὸς τὴν ΒΓ ὀρθὴν γωνίαν , πᾶσαι ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Γ πρὸς τὸ ΑΒ μέγεθος προσπίπτουσαι ἀλλήλαις ἴσας γωνίας ποιοῦσιν . ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται . ὁμοίως δὲ κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου μετέωρος ἀχθῇ εὐθεῖα , καὶ ἐπʼ αὐτῆς τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ παραλλήλου ὂν τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει , καὶ μετακινῆται τὸ μέγεθος , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται .
Lemmas: ἐάν μέγεθος τις πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος μετέωρος , τίθημι δέ ὁ ὄμμα ἐπί τις σημεῖον ὁ ἐπίπεδος , καί μεθίστημι ὁ ὁράω ἐπί κύκλος περιφέφεια , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω ὁράω . εἰμί ὁράω τις μέγεθος ὁ ΑΒ μετέωρος ὁ ἐπίπεδος , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΒ , καί κέντρον ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ Γ Β κύκλος γράφω ὁ Β∠ . λέγω , ὅτι , ἐάν ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια μεθίστημι ὁ ΑΒ , ἀπό ὁ Γ ὄμμα ἴσος ἀεί ὁράω . ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ εἰμί ὀρθός καί ποιέω πρός ὁ ΒΓ ὀρθός γωνία , πᾶς ἄρα ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ Γ πρός ὁ ΑΒ μέγεθος προσπίπτω ἀλλήλων ἴσος γωνία ποιέω . ἴσος ἄρα ὁ ὁράω ὁράω . ὅμοιος δέ ἐάν ἀπό ὁ Γ κέντρον μετέωρος ἄγω εὐθύς , καί ἐπί αὐτός ὁ ὄμμα τίθημι ἐπί παράλληλος εἰμί ὁ ὁράω μέγεθος , καί μετακινέω ὁ μέγεθος , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 39
Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , μεθιστῆται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται . ἔστω ὁρώμενον μὲν τὸ ΑΒ μετέωρον ὂν καὶ πρὸς ὀρθὰς πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β , διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ Γ∠ . λέγω , ὅτι , ἐὰν τὸ Γ μεθιστῆται ἐπὶ κύκλου περιφερείας , ἴσον ἀεὶ τὸ ΑΒ φανήσεται . τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν · πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸ ΑΒ προσπίπτουσαι ἀκτῖνες πρὸς ἴσας γωνίας προσπίπτουσιν , ἐπειδήπερ ἡ πρὸς τῷ Β ὀρθή ἐστιν . ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον φανήσεται .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ὁράω πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , μεθίστημι δέ ὁ ὄμμα ἐπί κύκλος περιφέρεια , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω φαίνω . εἰμί ὁράω μέν ὁ ΑΒ μετέωρος εἰμί καί πρός ὀρθός πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Γ , καί κέντρον μέν ὁ Β , διάστημα δέ ὁ ΒΓ κύκλος γράφω ὁ Γ∠ . λέγω , ὅτι , ἐάν ὁ Γ μεθίστημι ἐπί κύκλος περιφέρεια , ἴσος ἀεί ὁ ΑΒ φαίνω . οὗτος δέ φανερός εἰμί · πᾶς γάρ ὁ ἀπό ὁ Γ σημεῖον πρός ὁ ΑΒ προσπίπτω ἀκτίς πρός ἴσος γωνία προσπίπτω , ἐπειδή ὁ πρός ὁ Β ὀρθός εἰμί . ἴσος ἄρα ὁ ὁράω φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 41
Ἔστι τις τόπος , οὗ τοῦ ὄμματος μένοντος , τοῦ δὲ ὁρωμένου μεθισταμένου , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται . ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ . ὄμμα δὲ τὸ Ζ , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΓ , ΖΒ , καὶ περιειλήξθω τὸ ΖΒΓ τρίγωνον κύκλῳ τῷ ∠Β Ζ . λέγω , ὅτι τὸ ΒΓ μεθιστάμενον ἐπὶ τῆς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείας ἴσον ἀεὶ ὁραθήσεται . μετακείσθω γὰρ τὸ ΒΓ ἐπὶ τοῦ Γ∠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Ζ . οὐκοῦν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ Γ∠ περιφερείᾳ . ἴση ἄρα καὶ ἡ ἔ γωνία τῇ Σ γωνίᾳ . τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . ἴσον ἄρα φαίνεται τὸ ΒΓ τῷ Γ∠ .
Lemmas: εἰμί τις τόπος , ὅς ὁ ὄμμα μένω , ὁ δέ ὁράω μεθιστάω , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω φαίνω . εἰμί γάρ ὁράω μέν ὁ ΒΓ . ὄμμα δέ ὁ Ζ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΖΓ , ΖΒ , καί περιειλήξθαμαι ὁ ΖΒΓ τρίγωνος κύκλος ὁ ∠Β Ζ . λέγω , ὅτι ὁ ΒΓ μεθίστημι ἐπί ὁ ὁ γράφω κύκλος περιφέρεια ἴσος ἀεί ὁράω . μετάκειμαι γάρ ὁ ΒΓ ἐπί ὁ Γ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Ζ . οὐκοῦν ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ περιφέρεια ὁ Γ∠ περιφέρεια . ἴσος ἄρα καί ὁ ἒ γωνία ὁ Σ γωνία . ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω . ἴσος ἄρα φαίνω ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 42
Ἔστι τις τόπος , οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου , τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος , ἀεὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον φαίνεται . ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ . ὄμμα δὲ τὸ Ζ , ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ , ΖΓ,καὶ περιειλήφθω τὸ ΒΖΓ τρίγωνον τμήματι κύκλου τῷ Β Ζ Γ , καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ ∠ , καὶ μεταπιπτέτωσαν αἱ ἀκτῖνες αἱ ∠Β , ∠Γ . οὐκοῦν ἴση ἡ Ρ γωνία τῇ Σ · ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι . τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . ἴσον ἄρα τὸ ΒΓ διὰ παντὸς φαίνεται τοῦ ὄμματος μεθισταμένου ἐπὶ τῆς ΒΓ∠ περιφερείας .
Lemmas: εἰμί τις τόπος , ὅς ὁ ὄμμα μεθιστάω , ὁ δέ ὁράω μένω , ἀεί ἴσος ὁ ὁράω φαίνω . εἰμί γάρ ὁράω μέν ὁ ΒΓ . ὄμμα δέ ὁ Ζ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΖΒ , Ζίκα περιλαμβάνω ὁ ΒΖΓ τρίγωνον τμῆμα κύκλος ὁ Β Ζ Γ , καί μετάκειμαι ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ∠ , καί μεταπίπτω ὁ ἀκτίς ὁ ∠Β , ∠Γ . οὐκοῦν ἴσος ὁ Ρ γωνία ὁ Σ · ἐν γάρ ὁ αὐτός τμῆμα εἰμί . ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω . ἴσος ἄρα ὁ ΒΓ διά πᾶς φαίνω ὁ ὄμμα μεθιστάω ἐπί ὁ ΒΓ∠ περιφέρεια .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 43
Ἐστι τις τόπος , οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου , τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος , ἄνισον τὸ ὁρώμενον φανεῖται . ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ Κ∠ , εὐθεῖα δὲ ἡ ΒΓ συμπίπτουσα τῇ Κ∠ προσεκβαλλομένῃ , καὶ εἰλήφθω τῆς ∠Γ καὶ τῆς ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΚ καὶ ἡ Ζ ∠ , περὶ δὲ τὴν Κ∠ τμῆμα γεγράφθω ὀξεῖαν ἔχον τὴν γωνίαν · ἐφάψεται δὴ τῆς ΒΓ εὐθείας , ἐπείπερ ἐστίν , ὡς ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΚ . κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β σημείου , καὶ προσβεβλήσθωσαν αἱ ∠Β , ΒΚ , ἐπεζεύχθω δὲ ἡ Σ∠ . οὐκοῦν ἴση ἡ Φ γωνία τῇ Σ γωνία · ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν . καί ἐστιν ἡ Σ τῆς Β γωνίας μείζων · καὶ ἡ Φ ἄρα γωνία τῆς Β μείζων ἐστίν . τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος μεῖζον φανεῖται τὸ Κ∠ ἤπερ ἐπὶ τοῦ Β .
Lemmas: εἰμί τις τόπος , ὅς ὁ ὄμμα μεθιστάω , ὁ δέ ὁράω μένω , ἄνισος ὁ ὁράω φαίνω . εἰμί γάρ ὁράω ὁ Κ∠ , εὐθύς δέ ὁ ΒΓ συμπίπτω ὁ Κ∠ προσεκβάλλω , καί λαμβάνω ὁ ∠Γ καί ὁ ΓΚ μέσος ἀνάλογος ὁ ΓΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΚ καί ὁ Ζ ∠ , περί δέ ὁ Κ∠ τμῆμα γράφω ὀξύς ἔχω ὁ γωνία · ἐφάπτω δή ὁ ΒΓ εὐθεῖα , ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΖΓ πρός ὁ ΓΚ . κεῖμαι οὖν ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Β σημεῖον , καί προσβάλλω ὁ ∠Β , ΒΚ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ Σ∠ . οὐκοῦν ἴσος ὁ Φ γωνία ὁ Σ γωνία · ἐν γάρ ὁ αὐτός τμῆμα εἰμί . καί εἰμί ὁ Σ ὁ Β γωνία μέγας · καί ὁ Φ ἄρα γωνία ὁ Β μέγας εἰμί . ὁ ἄρα ὄμμα ἐπί ὁ Ζ εἰμί μέγας φαίνω ὁ Κ∠ ἤ ἐπί ὁ Β .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 44
Τὸ δʼ αὐτὸ συμβήσεται , κἂν παράλληλος ᾖ ἡ γραμμὴ τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει , ἐφʼ ἧς τὸ ὄμμα μεθίσταται . ἔστω γὰρ παράλληλος ἡ ΒΓ τῷ ὁρωμένῳ τῷ ∠Ζ , καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ∠Ζ κατὰ τὸ Κ , πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀνήχθω ἡ ΚΝ . κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Ν∠ , ΝΖ , περὶ δὲ τὴν ∠Ζ τμῆμα γεγράφθω , ὃ δέξεται τὴν Φ , Α γωνίαν . ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΚΝ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἦκται ἡ ΚΝ τῇ ΒΓ , ἡ ΒΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ∠ΝΖ τμήματος . μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Γ , καὶ προσβεβλήσθωσαν αἱ ΓΖ , Γ∠ , ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΡΖ . οὐκοῦν ἴση ἡ Φ , Α γωνία τῇ Ρ γωνίᾳ . ἡ δὲ Ρ τῆς Σ γωνίας μείζων ἐστίν · μείζων ἄρα καὶ ἡ Φ , Α τῆς Σ . τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται · μεῖζον ἄρα φανεῖται τὸ ∠Ζ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ν κειμένου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Γ . τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τῆς ΒΓ μεθισταμένου παραλλήλου οὔσης τῇ ∠Ζ ἄνισον φαίνεται τὸ ὁρώμενον .
Lemmas: ὁ δέ αὐτός συμβαίνω , ἐάν παράλληλος εἰμί ὁ γραμμή ὁ ὁράω μέγεθος , ἐπί ὅς ὁ ὄμμα μεθίστημι . εἰμί γάρ παράλληλος ὁ ΒΓ ὁ ὁράω ὁ ∠Ζ , καί δίχα τέμνω ὁ ∠Ζ κατά ὁ Κ , πρός ὀρθός δέ ἀνάγω ὁ ΚΝ . κεῖμαι οὖν ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Ν , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Ν∠ , ΝΖ , περί δέ ὁ ∠Ζ τμῆμα γράφω , ὅς δέχομαι ὁ Φ , Α γωνία . ἐπεί οὖν διάμετρος εἰμί ὁ ΚΝ , καί πρός ὀρθός ἀπό ἄκρος ἄγω ὁ ΚΝ ὁ ΒΓ , ὁ ΒΓ ἄρα ἐφάπτω ὁ ∠ΝΖ τμῆμα . μετάκειμαι δή ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Γ , καί προσβάλλω ὁ ΓΖ , Γ∠ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ ΡΖ . οὐκοῦν ἴσος ὁ Φ , Α γωνία ὁ Ρ γωνία . ὁ δέ Ρ ὁ Σ γωνία μέγας εἰμί · μέγας ἄρα καί ὁ Φ , Α ὁ Σ . ὁ δέ ὑπό μέγας γωνία ὁράω μέγας φαίνω · μέγας ἄρα φαίνω ὁ ∠Ζ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Ν κεῖμαι ἤ ἐπί ὁ Γ . ὁ ἄρα ὄμμα ἐπί ὁ ΒΓ μεθιστάω παράλληλος εἰμί ὁ ∠Ζ ἄνισος φαίνω ὁ ὁράω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 45
Ἔστι τις τόπος κοινός , ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται . ἔστω γὰρ ἴση ἡ ΒΓ τῇ Γ∠ , καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΖΓ , περὶ δὲ τὴν Γ∠ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΖΒ , ΖΓ Ζ∠ . οὐκοῦν ἡ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι τμήματι . τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται · μείζων ἄρα ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ φαίνεται · ἦν δὲ καὶ ἴση . ἔστιν ἄρα τόπος κοινός , ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται .
Lemmas: εἰμί τις τόπος κοινός , ἐν ὅς ὁ ἴσος μέγεθος ἄνισος φαίνω . εἰμί γάρ ἴσος ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ , καί περί μέν ὁ ΒΓ ἡμικύκλιον γράφω ὁ ΒΖΓ , περί δέ ὁ Γ∠ τμῆμα μέγας ἡμικύκλιον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ , ΖΓ Ζ∠ . οὐκοῦν ὁ ἐν ὁ ἡμικύκλιον γωνία μέγας εἰμί ὁ ἐν ὁ μέγας τμῆμα . ὁ δέ ὑπό μέγας γωνία ὁράω μέγας φαίνω · μέγας ἄρα ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ φαίνω · εἰμί δέ καί ἴσος . εἰμί ἄρα τόπος κοινός , ἐν ὅς ὁ ἴσος μέγεθος ἄνισος φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 46
Ἔστι τις τόπος κοινός , ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται . ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ , καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα γεγράφθω , περὶ δὲ τὴν Γ∠ ὅμοιον τῷ περὶ τὴν ΒΓ τουτέστι δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ἐν τῷ ΒΖΓ , ἐπεζεύχθωσαν δὲ αἰ ΖΒ , ΖΓ , Ζ∠ . οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐν τοῖς ὁμοίοις τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις , ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐν τοῖς ΒΖΓ , ΓΖ∠ τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις . τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται · τοῦ ἄρα ὄμματος τιθεμένου ἐπὶ τοῦ Ζ σημείου ἴση ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῇ Γ∠ ἔστι δὲ μείζων . ἔστι τις ἄρα τόπος κοινός , ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται .
Lemmas: εἰμί τις τόπος κοινός , ἀπό ὅς ὁ ἄνισος μέγεθος ἴσος φαίνω . εἰμί γάρ μέγας ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ , καί περί μέν ὁ ΒΓ μέγας ἡμικύκλιον τμῆμα γράφω , περί δέ ὁ Γ∠ ὅμοιος ὁ περί ὁ ΒΓ τουτέστι δέχομαι γωνία ἴσος ὁ ἐν ὁ ΒΖΓ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ ΖΒ , ΖΓ , Ζ∠ . οὐκοῦν ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ὅμοιος τμῆμα γωνία ἀλλήλων , ἴσος εἰμί καί ὁ ἐν ὁ ΒΖΓ , ΓΖ∠ τμῆμα γωνία ἀλλήλων . ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω · ὁ ἄρα ὄμμα τίθημι ἐπί ὁ Ζ σημεῖον ἴσος ἄν φαίνω ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ εἰμί δέ μέγας . εἰμί τις ἄρα τόπος κοινός , ἀπό ὅς ὁ ἄνισος μέγεθος ἴσος φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 47
Εἰσί τινες τόποι , ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται . ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ , καὶ περὶ τὰς ΒΓ , Γ∠ ἡμικύκλια γεγράφθωσαν καὶ περὶ ὅλην τὴν Β ∠ . οὐκοῦν ἴση ἡ ἐν τῷ Β Α∠ ἡμικυκλίῳ γωνία τῇ ἐν τῳ ΒΚΓ · ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν . ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΓ τῇ Β∠ · ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ Β ∠ τῇ Γ∠ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν θ Α∠ , ΒΚΓ , Γ Ζ∠ ἡμικυκλίων κειμένων . εἰσί τινες ἄρα τόποι , ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται .
Lemmas: εἰμί τις τόπος , ἐν ὅς ὁ ἄνισος μέγεθος δύο εἰς αὐτός συντίθημι ἴσος ἑκάτερος ὁ ἄνισος φαίνω . εἰμί γάρ μέγας ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ , καί περί ὁ ΒΓ , Γ∠ ἡμικύκλιον γράφω καί περί ὅλος ὁ Β ∠ . οὐκοῦν ἴσος ὁ ἐν ὁ Β Α∠ ἡμικύκλιον γωνία ὁ ἐν τις ΒΚΓ · ὀρθός γάρ εἰμί ἑκάτερος αὐτός . ἴσος ἄρα φαίνω ὁ ΒΓ ὁ Β∠ · ὡσαύτως δέ καί ὁ Β ∠ ὁ Γ∠ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ θ̅ Α∠ , ΒΚΓ , Γ Ζ∠ ἡμικύκλιον κεῖμαι . εἰμί τις ἄρα τόπος , ἐν ὅς ὁ ἄνισος μέγεθος δύο εἰς αὐτός συντίθημι ἴσος ἑκάτερος ὁ ἄνισος φαίνω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 48
Εὑρεῖν τόπους , ἀφʼ ὦν τὸ ἴσον μέγεθος ἥμισυ φανεῖται ἢ τέταρτον μέρος καὶ καθόλου ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ , ἐν ᾧ καὶ ἡ γωνία τέμνεται . ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ Λ Ζ , καὶ περὶ τὴν ΛΖ γεγράφθω τμῆμα τυχόν , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ γωνία , ἡ Κ , τῇ δὲ ΛΖ ἴση ἔστω ἡ ΒΓ , καὶ περὶ τὴν ΒΓ περιγεγράφθω τμῆμα , ὃ δέξεται τὴν τῆς Κ γωνίας ἡμίσειαν . οὐκοῦν ἡ Κ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς ∠ γωνίας . διπλασία ἄρα φαίνεται ἡ Λ Ζ τῆς ΒΓ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΛΚΖ , Β∠Γ περιφερειῶν κειμένων .
Lemmas: εὑρίσκω τόπος , ἀπό ὅς ὁ ἴσος μέγεθος ἥμισυς φαίνω ἤ τέταρτος μέρος καί καθόλου ἐν ὁ δίδωμι λόγος , ἐν ὅς καί ὁ γωνία τέμνω . εἰμί γάρ εὐθύς ὁ Λ Ζ , καί περί ὁ ΛΖ γράφω τμῆμα τυγχάνω , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός γωνία , ὁ Κ , ὁ δέ ΛΖ ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ , καί περί ὁ ΒΓ περιγράφω τμῆμα , ὅς δέχομαι ὁ ὁ Κ γωνία ἥμισυς . οὐκοῦν ὁ Κ γωνία διπλάσιος εἰμί ὁ ∠ γωνία . διπλάσιος ἄρα φαίνω ὁ Λ Ζ ὁ ΒΓ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ΛΚΖ , Β∠Γ περιφέρεια κεῖμαι .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 49
Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων προσιόντων μὲν πρὸς τὸ ὄμμα τὸ τελευταῖον προηγεῖσθαι δόξει , παραλλαξάντων δὲ τὸ μὲν προηρούμενον ἐπακολουθεῖν , τὸ δὲ ἐπακολουθοῦν προηγεῖσθαι δόξει . φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ ΒΓ ∠Ζ Κ Λ , καὶ ἀπὸ τοῦ Μ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΓ , ΜΖ . ΜΛ . οὐκοῦν μετεωροτάτη ἐστὶ καὶ δεξιωτέρα τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν ἡ Μ τὸ ἄρα Β δόξει προηγεῖσθαι . παραλλαξάντων δὲ τῶν Β ∠Ζ , Κ Λ καὶ ἐπὶ τῶν ΝΞ , ΠΡ ΣΤ γενομένων προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΝ ΜΠ , ΜΣ . οὐκοῦν πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν δεξιωτέρα τέρα ἐστὶν ἡ ΜΣ , ἀριστερὰ δὲ μᾶλλον ἡ ΜΝ · ὥστε καὶ τὸ μὲν ΣΤ προηγεῖσθαι δόξει , ἐπακολουθεῖν δὲ τὸ ΝΞ . τὸ μὲν ἄρα ΒΓ προηγούμενον ἐπὶ τοῦ ΝΞ γενόμενον δόξει ἐπακολουθεῖν , τὸ δὲ ΛΚ ἐπακολουθοῦ ἐπὶ τοῦ ΣΤ γενόμενον δόξει προηγεῖσθαι .
Lemmas: ὁ ἴσος τάχος φέρω καί ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα εἰμί προσέρχομαι μέν πρός ὁ ὄμμα ὁ τελευταῖος προηγέομαι δοκέω , παραλήγω δέ ὁ μέν προηρέω ἐπακολουθέω , ὁ δέ ἐπακολουθέω προηγέομαι δοκέω . φέρω γάρ ἰσοταχής ὁ ΒΓ ∠Ζ Κ Λ , καί ἀπό ὁ Μ ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΜΓ , ΜΖ . ΜΛ . οὐκοῦν μετέωρος εἰμί καί δεξιός ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἀκτίς προσπίπτω ὁ Μ ὁ ἄρα Β δοκέω προηγέομαι . παραλήγω δέ ὁ Β ∠Ζ , Κ Λ καί ἐπί ὁ ΝΞ , ΠΡ ΣΤ γίγνομαι προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΜΝ ΜΠ , ΜΣ . οὐκοῦν πᾶς ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἀκτίς προσπίπτω δεξιός τέρας εἰμί ὁ ΜΣ , ἀριστερός δέ μάλα ὁ ΜΝ · ὥστε καί ὁ μέν ΣΤ προηγέομαι δοκέω , ἐπακολουθέω δέ ὁ ΝΞ . ὁ μέν ἄρα ΒΓ προηγέομαι ἐπί ὁ ΝΞ γίγνομαι δοκέω ἐπακολουθέω , ὁ δέ ΛΚ ἐπακολουθέω ἐπί ὁ ΣΤ γίγνομαι δοκέω προηγέομαι .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 50
Ἐάν τινων φερομένων πλειόνων ἀνίσῳ τάχει συμπαραφέρηται ἐπὶ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ὄμμα , τὰ μὲν τῷ ὄμματι ἰσοταχῶς φερόμενα δόξει ἑστάναι , τὰ δὲ βραδυτερον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι , τὰ δὲ θᾶττον εἰς τὰ προηγούμενα . φερέσθω γὰρ ἀνίσῳ τάχει τὰ Β , Γ , ∠ , καὶ βραδύτατα μὲν φερέσθω τὸ Β , τὸ δὲ ἰσοταχῶς τῷ Κ ὄμματι , τὸ δὲ Δ θᾶττον τοῦ Γ , ἀπὸ δὲ τοῦ Κ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ , ΚΓ , Κ∠ . οὐκοῦν τοῦ ὄμματος συμπαραφερομένου τοῖς Β , Γ , ∠ τὸ μὲν Γ κατὰ τὴν ΓΚ ἀεὶ φερόμενον ἑστάναι δόξει , τὸ δὲ Β ὑπολειπόμενον εἰς τοὐναντίον δόξει φέρεσθαι , τὸ δὲ ∠ , ἐπεὶ θᾶττον τοῦ Γ φέρεται , δόξει εἰς τοὔμπροσθεν · πλεῖον γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἀποστήσεται .
Lemmas: ἐάν τις φέρω πολύς ἄνισος τάχος συμπαραφέρω ἐπί ὁ αὐτός καί ὁ ὄμμα , ὁ μέν ὁ ὄμμα ἰσοταχής φέρω δοκέω ἵστημι , ὁ δέ βραδυς εἰς ἐναντίος φέρω , ὁ δέ ταχύς εἰς ὁ προηγέομαι . φέρω γάρ ἄνισος τάχος ὁ Β , Γ , ∠ , καί βραδύς μέν φέρω ὁ Β , ὁ δέ ἰσοταχής ὁ Κ ὄμμα , ὁ δέ Δ ταχύς ὁ Γ , ἀπό δέ ὁ Κ ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΚΒ , ΚΓ , Κ∠ . οὐκοῦν ὁ ὄμμα συμπαραφέρω ὁ Β , Γ , ∠ ὁ μέν Γ κατά ὁ ΓΚ ἀεί φέρω ἵστημι δοκέω , ὁ δέ Β ὑπολείπω εἰς ἐναντίος δοκέω φέρω , ὁ δέ ∠ , ἐπεί ταχύς ὁ Γ φέρω , δοκέω εἰς ἔμπροσθεν · πολύς γάρ ἀπό ὁ Γ ἀφίστημι .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 51
Ἐάν τινων φερομένων διαφαίνηταί τι μὴ φερόμενον , δόξει τὸ μὴ φερόμενον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι . φερέσθω γὰρ τὰ Β , ∠ , μενέτω δὲ τὸ Γ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ , ΖΓ Ζ∠ . οὐκοῦν τὸ μὲν Β φερόμενον ἔγγιον ἔσται τοῦ Γ τὸ δὲ ∠ ἀποχωροῦν πορρώτερον . ὥστε δόξει τὸ Γ εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι .
Lemmas: ἐάν τις φέρω διαφαίνω τις μή φέρω , δοκέω ὁ μή φέρω εἰς ἐναντίος φέρω . φέρω γάρ ὁ Β , ∠ , μένω δέ ὁ Γ , καί ἀπό ὁ Ζ ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΖΒ , ΖΓ Ζ∠ . οὐκοῦν ὁ μέν Β φέρω ἐγγίων εἰμί ὁ Γ ὁ δέ ∠ ἀποχωρέω πρόσω . ὥστε δοκέω ὁ Γ εἰς ἐναντίος φέρω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 52
Τοῦ ὄμματος ἔγγιον τοῦ ὁρωμένου προσιόντος δόξει τὸ ὁρώμενον ηὐξῆσθαι . ὁράσθω γὰρ τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ κειμένου ὑπὸ τῶν ΖΒ , ΖΓ ἀκτίνων , καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἔγγιον τοῦ ΒΓ καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ ∠ , καὶ ὁράσθω τὸ αὐτὸ ὑπὸ τῶν ∠Β , ∠Γ ἀκτίνων . οὐκοῦν μείζων ἡ ∠ γωνία τῆς Ζ γωνίας . τὰ δὲ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα μείζονα φαίνεται · δόξει ἄρα ηὐξῆσθαι τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ ∠ ὄντος ἤπερ ἐπὶ τοῦ Ζ .
Lemmas: ὁ ὄμμα ἐγγίων ὁ ὁράω προσέρχομαι δοκέω ὁ ὁράω αὐξάνω . ὁράω γάρ ὁ ΒΓ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Ζ κεῖμαι ὑπό ὁ ΖΒ , ΖΓ ἀκτίς , καί μετάκειμαι ὁ ὄμμα ἐγγίων ὁ ΒΓ καί εἰμί ἐπί ὁ ∠ , καί ὁράω ὁ αὐτός ὑπό ὁ ∠Β , ∠Γ ἀκτίς . οὐκοῦν μέγας ὁ ∠ γωνία ὁ Ζ γωνία . ὁ δέ ὑπό μέγας γωνία ὁράω μέγας φαίνω · δοκέω ἄρα αὐξάνω ὁ ΒΓ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ∠ εἰμί ἤ ἐπί ὁ Ζ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 53
Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι . φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ Β , Κ ὡς ἐπὶ τὰ Ζ μέρη , καὶ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες ἤχθωσαν αἱ ΑΓ , Α∠ , ΑΖ . οὐκοῦν τὸ Κ ἐλάσσονας ἔχει τὰς ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνας ἠγμένας ἤπερ τὸ Β · ἔλαττον ἄρα διάστημα διελεύσεται καὶ πρότερον παραλλάσσον τὴν ΑΖ ὄψιν δόξει ταχύτερον φέρεσθαι .
Lemmas: ὁ ἴσος τάχος φέρω ὁ πρόσω δοκέω βραδύς φέρω . φέρω γάρ ἰσοταχής ὁ Β , Κ ὡς ἐπί ὁ Ζ μέρος , καί ἀπό ὁ Α ὄμμα ἀκτίς ἄγω ὁ ΑΓ , Α∠ , ΑΖ . οὐκοῦν ὁ Κ ἐλαχύς ἔχω ὁ ἀπό ὁ Α ὄμμα ἀκτίς ἄγω ἤ ὁ Β · ἐλαχύς ἄρα διάστημα διέρχομαι καί πρότερος παραλλάσσω ὁ ΑΖ ὄψις δοκέω ταχύς φέρω .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 54
Τοῦ ὄμματος παραφερομένου τὰ πόρρω τῶν ὁρωμένων καταλείπεσθαι δόξει . ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β , ἀφʼ οὗ ἤχθωσαν ἀκτῖνες α ΒΓ , Β∠ , Β Ζ , ὁρώμενα δὲ τὰ Κ , Λ . οὐκοῦν τοῦ ὄμματος παραφερομένου πρὸς τοῖς Γ μέρεσι θᾶττον παρελεύσονται αἱ ὄψεις τὸ Κ ἤπερ τὸ Λ . δόξει ἄρα τὸ Κ ὑπολείπεσθαι , τὸ δὲ Λ εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι , τουτέστιν ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Ζ μέρη .
Lemmas: ὁ ὄμμα παραφέρω ὁ πρόσω ὁ ὁράω καταλείπω δοκέω . εἰμί γάρ ὄμμα ὁ Β , ἀπό ὅς ἄγω ἀκτίς α ΒΓ , Β∠ , Β Ζ , ὁράω δέ ὁ Κ , Λ . οὐκοῦν ὁ ὄμμα παραφέρω πρός ὁ Γ μέρος ταχύς παρέρχομαι ὁ ὄψις ὁ Κ ἤ ὁ Λ . δοκέω ἄρα ὁ Κ ὑπολείπω , ὁ δέ Λ εἰς ἐναντίος φέρω , τουτέστι ὡς ἐπί ὁ πρός ὁ Ζ μέρος .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 55
Τὰ αὐξανόμενα τῶν μεγεθῶν ἔγγιον δοκεῖ τῷ ὄμ ματι προσάγεσθαι . ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ ΓΒ ὑπὸ τῶν ΚΒ , Κ ἀκτίνων , καὶ ηὐξήσθω τὸ ΒΓ τῷ Β∠ , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ Κ∠ . οὐκοῦν μείζων ὑπὸ ∠ΚΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΚΓ γωνίας . τὰ δὲ ὑπ μείζονος γωνίας ὁρώμενα ἔγγιον φαίνεται . ἔγγιον ἄρ δόξει εἶναι τὸ Γ∠ ἤπερ τὸ ΒΓ .
Lemmas: ὁ αὐξάνω ὁ μέγεθος ἐγγίων δοκέω ὁ ὄμμα μας προσάγω . εἰμί γάρ ὁράω ὁ ΓΒ ὑπό ὁ ΚΒ , Κ ἀκτίς , καί αὐξάνω ὁ ΒΓ ὁ Β∠ , καί ἀπό ὁ Γ ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ Κ∠ . οὐκοῦν μέγας ὑπό ∠ΚΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΚΓ γωνία . ὁ δέ ὑπ μέγας γωνία ὁράω ἐγγίων φαίνω . ἐγγίων ἄρα δοκέω εἰμί ὁ Γ∠ ἤ ὁ ΒΓ .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 56
Ὅσα μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἀποστήματι κεῖται μὴ παρ άλληλα κείμενα τῶν ἄκρων μὴ κατάλληλα κειμένων τῶ μέσων μηδὲ ἐπʼ εὐθείας ὄντων , τὸ ὅλον σχῆμα ὁτ μὲν κοῖλον , ὁτὲ δὲ κυρτὸν ποιεῖ . ὁράσθω γὰρ τὰ Β , Γ , ∠ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Γ κειμένου , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚB , ΚG Κ∠ . οὐκοῦν τὸ ὅλον σχῆμα κοῖλον ἂν δόξειεν εἶναι . μετακινείσθω δὴ πάλιν τὸ ὁρώμενον καὶ ἔγγιον κείσθω τοῦ ὄμματος . οὐκοῦν τὸ ∠ΒΓ δόξει κυρτὸν εἶναι .
Lemmas: ὅσος μή ἐν ὁ αὐτός ἀπόστημα κεῖμαι μή παρ άλληλος κεῖμαι ὁ ἄκρον μή κατάλληλος κεῖμαι ὁ μέσος μηδέ ἐπί εὐθεῖα εἰμί , ὁ ὅλος σχῆμα ὁτς μέν κοῖλος , ὅτε δέ κυρτός ποιέω . ὁράω γάρ ὁ Β , Γ , ∠ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Γ κεῖμαι , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΚB , G Κ∠ . οὐκοῦν ὁ ὅλος σχῆμα κοῖλος ἄν δοκέω εἰμί . μετακινέω δή πάλιν ὁ ὁράω καί ἐγγίων κεῖμαι ὁ ὄμμα . οὐκοῦν ὁ ∠ΒΓ δοκέω κυρτός εἰμί .
euclides-geom.opticorum-recensio-theonis 57
Τετραγώνου ὑπάρχοντος ἐὰν ἀπὸ τῆς συναφῆς τῶν διαμέτρων πρὸς ὀρθάς τις ἀναχθῇ τῷ τοῦ τετραγώνου ἐπιπέδῳ , ἐπὶ δὲ ταύτης τεθῇ τὸ ὄμμα , αἵ τε πλευραὶ τοῦ τετραγώνου καὶ αἱ διάμετροι ἴσαι φανοῦνται . ἔστω γὰρ τετράγωνον τὸ Γ Ζ , καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἰ ΓΖ , Κ∠ , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΘΒ , τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ , Β ∠ , ΒΓ , ΒΖ . οὐκοῦν δύο αἱ ΖΘ , ΘΒ δύο ταῖς ΓΘ , ΘΒ ἴσαι εἰσίν . εἰσὶ δὲ καὶ αἰ γωνίαι αἱ περιεχόμεναι ὑπʼ αὐτῶν ἴσαι , τουτέστιν αἰ πρὸς τῷ Θ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΒ βάσις τῇ ΒΓ βάσει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΚΒ τῇ Β ∠ ἴση ἐστίν . δύο δὴ αἱ Ζ Β , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΒ , ∠Β ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καί εἰσιν αἱ διάμετροι ἴσαι · ὥστε καὶ αἱ πρὸς τῷ γωνίαι ἴσα ἔσονται . τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται ἴσαι ἄρα φανοῦνται αἵ τε διάμετροι καὶ αἱ πλευραὶ τὸ τετραγώνου . Τῆς δὲ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τὴν συναφὴν τῶν διαμέτρων μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τῆς συναφῆς πρὸς τὰς γωνίας τοῦ τετραγώνου ἀγομένων μήτε ἴσας γωνίας περιεχούσης μετʼ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἄνισοι φανοῦνται . ὁμοίως γὰρ δείξομεν τὰ συμβαίνοντα , καθάπερ καὶ ἐν τοῖς κύκλοις .
Lemmas: τετράγωνος ὑπάρχω ἐάν ἀπό ὁ συναφή ὁ διάμετρον πρός ὀρθός τις ἀνάσσω ὁ ὁ τετράγωνος ἐπίπεδος , ἐπί δέ οὗτος τίθημι ὁ ὄμμα , ὁ τε πλευρά ὁ τετράγωνος καί ὁ διάμετρος ἴσος φαίνω . εἰμί γάρ τετράγωνος ὁ Γ Ζ , καί διάμετρος ἄγω ὁ ΓΖ , Κ∠ , καί ἀπό ὁ Θ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ἐπίπεδος ὁ ΘΒ , ὁ δέ ὄμμα κεῖμαι ἐπί ὁ Β , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΚΒ , Β ∠ , ΒΓ , ΒΖ . οὐκοῦν δύο ὁ ΖΘ , ΘΒ δύο ὁ ΓΘ , ΘΒ ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό αὐτός ἴσος , τουτέστι ὁ πρός ὁ Θ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΖΒ βάσις ὁ ΒΓ βάσις . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΚΒ ὁ Β ∠ ἴσος εἰμί . δύο δή ὁ Ζ Β , ΒΓ δύο ὁ ΚΒ , ∠Β ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί εἰμί ὁ διάμετρος ἴσος · ὥστε καί ὁ πρός ὁ γωνία ἴσος εἰμί . ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω ἴσος ἄρα φαίνω ὁ τε διάμετρος καί ὁ πλευρά ὁ τετράγωνος . ὁ δέ ἀπό ὁ ὄμμα ἐπί ὁ συναφή ὁ διάμετρον μήτε πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἐπίπεδος μήτε ἴσος ἑκάτερος ὁ ἀπό ὁ συναφή πρός ὁ γωνία ὁ τετράγωνος ἄγω μήτε ἴσος γωνία περιέχω μετά αὐτός ὁ διάμετρος ἄνισος φαίνω . ὅμοιος γάρ δείκνυμι ὁ συμβαίνω , καθά καί ἐν ὁ κύκλος .