euclides-geom.optica 34
Ἐὰν κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνασταθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ εὐθεῖα , ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ , αἱ διάμετροι αἱ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ διαγόμεναι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται . ἔστω κύκλος , οὗ κέντρον τὸ Α σημεῖον , καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἀνήχθω τις πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΒ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ , ἐφ᾿ ἧς ὄμμα κείσθω τὸ Β . λέγω , ὅτι αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται . ἔστωσαν δύο διάμετροι αἱ Γ∠ , ΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , ΒΕ , Β∠ , ΒΖ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΑΓ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ , καὶ ὀρθαὶ αἱ γωνίαι , βάσις ἄρα ἡ ΖΒ βάσει τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν , καὶ αἱ περὶ τὰς βάσεις γωνίαι . ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΒ , ΒΑ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒ∠ . ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒ , Β∠ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ τῶν ΕΒ , ΒΖ . τὰ δ᾿ ὑπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . ἴση ἄρα ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ . κἂν ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀχθεῖσα μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ , ἴση δὲ ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , αἱ διάμετροι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καὶ ἤχθωσαν εἰς αὐτὸν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ , Γ∠ , καὶ ἔστω ἡ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἀναγομένη , ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα κεῖται τὸ Ζ , μὴ πρὸς ὀρθάς , ἀλλὰ ἴση ἑκάστῃ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΑ , ΖΓ , ΖΒ , Ζ∠ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΖ , ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΑ ἴση ἐστὶ τῇ ΕΖ , αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΕΖ , ΕΑ , ΕΒ ἴσαι εἰσίν . τὸ ἄρα ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ , ΕΖ ἐπιπέδῳ περὶ τὴν ΑΒ διάμετρον ἡμικύκλιον γραφόμενον ἐλεύσεται διὰ τοῦ Ζ . ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΒ . ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ , Ζ∠ ἐστιν ὀρθή . αἱ δὲ ὀρθαὶ ἴσαι , τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . ἴση ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ . ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΖ μήτε ἴση ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ , ἴσας δὲ γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ∠ΑΖ , ΖΑΓ καὶ τὰς ὑπὸ ΕΑΖ , ΖΑΒ . λέγω , ὅτι καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσα φανήσονται αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γωνίας . ἐπεὶ γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ μὲν ΓΑ , ΑΖ ταῖς ΖΑ , Α∠ , αἱ δὲ ΒΑ , ΑΖ ταῖς ΖΑ , ΑΕ , καὶ αἱ γωνίαι ἴσαι , βάσις ἄρα ἡ ∠Ζ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΑ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΖΓ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι κα ἡ ὑπὸ ΕΖΑ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ . ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ . ὥστε καὶ αἱ ∠Β , ΕΓ διάμετροι ἴσαι φανήσονται .
Lemmas: ἐάν κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ὁ κέντρον ἀνίστημι ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος εὐθύς , ἐπί δέ οὗτος ὁ ὄμμα τίθημι , ὁ διάμετρος ὁ ἐν ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος διάγω πᾶς Ἴσαι φαίνω . ἵστημι κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Α σημεῖον , καί ἀπό αὐτός ἀνάγω τις πρός ὀρθός ὁ ΑΒ ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος , ἐπί ὅς ὄμμα κεῖμαι ὁ Β . λέγω , ὅτι ὁ διάμετρος Ἴσαι φαίνω . εἰμί δύο διάμετρος ὁ Γ∠ , ΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , ΒΕ , Β∠ , ΒΖ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ Γῆ ὁ ΑΓ , κοινός δέ ὁ ΑΒ , καί ὀρθός ὁ γωνία , βάσις ἄρα ὁ ΖΒ βάσις ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί , καί ὁ περί ὁ βάσις γωνία . ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΖΒ , ΒΑ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ὁμοίως καί ὁ ὑπό ΕΒΑ ὁ ὑπό ΑΒ∠ . ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΒ , Β∠ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΒ , ΒΖ . ὁ δέ ὑπό ὁ ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω . ἴσος ἄρα ὁ Γ∠ ὁ ΕΖ . κἀν ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἄγω μή πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἐπίπεδος , ἴσος δέ εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ διάμετρος πᾶς Ἴσαι φαίνω . ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καί ἄγω εἰς αὐτός δύο διάμετρος ὁ ΑΒ , Γ∠ , καί ἵστημι ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἀνάγω , ἐπί ὅς ὁ ὄμμα κεῖμαι ὁ Ζ , μή πρός ὀρθός , ἀλλά ἴσος ἕκαστος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΖΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀκτίς ὁ Γῆ , ΖΓ , ΖΒ , Ζ∠ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΖ , ἀλλά καί ὁ ΕΑ ἴσος εἰμί ὁ ΕΖ , ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ΕΖ , ΕΑ , ΕΒ Ἴσαι εἰμί . ὁ ἄρα ἐν ὁ διά ὁ ΑΒ , ΕΖ ἐπίπεδος περί ὁ ΑΒ διάμετρος ἡμικύκλιον γράφω ἔρχομαι διά ὁ Ζ . ὀρθός ἄρα ὁ ὑπό ὁ αζʹ , ΖΒ . ὁμοίως καί ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , Ζ∠ εἰμί ὀρθός . ὁ δέ ὀρθός Ἴσαι , ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω . ἴσος ἄρα φαίνω καί ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ . ἀλλά δή ὁ αζʹ μήτε ἴσος ἵστημι ὁ ἐκ ὁ κέντρον μήτε πρός ὀρθός ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος , ἴσος δέ γωνία ποιέω ὁ ὑπό ∠ΑΖ , ΖΑΓ καί ὁ ὑπό ΕΑΖ , ΖΑΒ . λέγω , ὅτι καί οὕτως ὁ διάμετρος ἴσος φαίνω ὁ ποιέω ὁ ἴσος γωνία . ἐπεί γάρ Ἴσαι εἰμί ὁ μέν ΓΑ , αζʹ ὁ Γῆ , Α∠ , ὁ δέ ΒΑ , αζʹ ὁ Γῆ , ΑΕ , καί ὁ γωνία Ἴσαι , βάσις ἄρα ὁ ∠Ζ βάσις ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί · ὥστε καί ὁ ὑπό ∠ΖΑ ἴσος ὁ ὑπό ΑΖΓ . ὁμοίως δή δείκνυμι , ὅτι ἄν ὁ ὑπό ΕΖΑ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΖΒ . ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ∠ΖΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΖΓ . ὥστε καί ὁ ∠Β , ΕΓ διάμετρος Ἴσαι φαίνω .