ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.optica pr
1 . Ὑποκείσθω τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐξαγομένας εὐθείας γραμμὰς φέρεσθαι διάστημα μεγεθῶν μεγάλων . 2 . καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων περιεχόμενον σχῆμα εἶναι κῶνον τὴν κορυφὴν μὲν ἔχοντα ἐν τῷ ὄμματι τὴν δὲ βάσιν πρὸς τοῖς πέρασι τῶν ὁρωμένων . 3 . καὶ ὁρᾶσθαι μὲν ταῦτα , πρὸς ἃ ἂν αἱ ὄψεις προσπίπτωσι , μὴ ὁρᾶσθαι δέ , πρὸς ἃ ἂν μὴ προσπίπτωσιν αἱ ὄψεις . 4 . καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεσθαι , τὰ δὲ ὑπὸ ἐλάττονος ἐλάττονα , ἴσα δὲ τὰ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα . 5 . καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεσθαι , τὰ δὲ ὑπὸ ταπεινοτέρων ταπεινότερα . 6 . καὶ ὁμοίως τὰ μὲν ὑπὸ δεξιωτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα δεξιώτερα φαίνεσθαι , τὰ δὲ ὑπὸ ἀριστερωτέρων ἀριστερώτερα . 7 . τὰ δὲ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν ὁρώμενα ἀκριβέστερον φαίνεσθαι .
Lemmas: 1 . ὑπόκειμαι ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἐξάγω εὐθύς γραμμή φέρω διάστημα μέγεθος μέγας . 2 . καί ὁ ὑπό ὁ ὄψις περιέχω σχῆμα εἰμί κῶνος ὁ κορυφή μέν ἔχω ἐν ὁ ὄμμα ὁ δέ βάσις πρός ὁ πέρας ὁ ὁράω . 3 . καί ὁράω μέν οὗτος , πρός ὁ εἄν ὁ ὄψις προσπίπτω , μή ὁράω δέ , πρός ὁ εἄν μή προσπίπτω ὁ ὄψις . 4 . καί ὁ μέν ὑπό μείζων γωνία ὁράω μείζων φαίνω , ὁ δέ ὑπό μικρός μικρός , ἴσος δέ ὁ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω . 5 . καί ὁ μέν ὑπό μετέωρος ἀκτίς ὁράω μετέωρος φαίνω , ὁ δέ ὑπό ταπεινός ταπεινός . 6 . καί ὁμοίως ὁ μέν ὑπό δεξιός ἀκτίς ὁράω δεξιός φαίνω , ὁ δέ ὑπό ἀριστερός ἀριστερός . 7 . ὁ δέ ὑπό πλείων γωνία ὁράω ἀκριβής φαίνω .
euclides-geom.optica 1
Οὐδὲν τῶν ὁρωμένων ἅμα ὅλον ὁρᾶται . ἔστω γὰρ ὁρώμενόν τι τὸ Α∠ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΑ , ΒΓ ΒΚ , Β∠ . οὐκοῦν , ἐπεὶ ἐν διαστήματι φέρονται αἱ προσπίπτουσαι ὄψεις , οὐκ ἂν προσπίπτοιεν συνεχεῖς πρὸς τὸ Α∠ · ὥστε γένοιντο ἂν καὶ κατὰ τὸ Α∠ διαστήματα , πρὸς ἃ αἰ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται . οὐκ ἄρα ὀφθήσεται ὅλον ἅμα τὸ ΑΔ∠ . δοκεῖ δὲ ὁρᾶσθαι ἅμα τῶν ὄψεων ταχὺ παραφερομένων .
Lemmas: οὐδείς ὁ ὁράω ἅμα ὅλος ὁράω . ἵστημι γάρ ὁράω τίς ὁ Α∠ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Β , ἀπό ὅς προσπίπτω ὄψις ὁ ΒΑ , ΒΓ ΒΚ , Β∠ . οὐκοῦν , ἐπεί ἐν διάστημα φέρω ὁ προσπίπτω ὄψις , οὐ εἄν προσπίπτω συνεχής πρός ὁ Α∠ · ὥστε γίγνομαι εἄν καί κατά ὁ Α∠ διάστημα , πρός ὁ ὁ ὄψις οὖον προσπίπτω . οὐ ἄρα ὁράω ὅλος ἅμα ὁ ΑΔ∠ . δοκέω δέ ὁράω ἅμα ὁ ὄψις ταχύς παραφέρω .
euclides-geom.optica 2
Τῶν ἴσων μεγεθῶν ἐν διαστήματι κειμένων τὰ ἔγγιον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται . ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Β , ὁρώμενα δὲ τὸ Γ∠ καὶ τὸ ΚΛ , χρὴ δὲ νοεῖν αὐτὰ ἴσα καὶ παράλληλα , ἔγγιον δὲ ἔστω τὸ Γ∠ , καὶ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ , Β∠ , ΒΚ , ΒΛ . οὐ γὰρ ἄμ εἴποιμ , ὡς αἱ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ ΚΛ προσπίπτουσαι ὄψεις διὰ τῶν Γ , ∠ σημείων ἐλεύσονται . ἢ γὰρ τριγώνου τοῦ Β∠ΛΚΓΒ ἡ Κ Λ μείζων ἄν ἦν τῆς Γ∠ ὑπόκειται δὲ καὶ ἴση . οὐκοῦν τὸ Γ∠ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων ὁρᾶται ἤπερ τὸ ΚΛ . ἀκριβέστερον ἄρα φανήσεται τὸ Γ∠ τοῦ ΚΛ · τὰ γὰρ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν ὁρώμενα ἀκριβέστερον φαίνεται .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος ἐν διάστημα κεῖμαι ὁ ἐγγύς κεῖμαι ἀκριβής ὁράω . ἵστημι ὄμμα μέν ὁ Β , ὁράω δέ ὁ Γ∠ καί ὁ ΚΛ , χρή δέ νοέω αὐτός ἴσος καί παράλληλος , ἐγγύς δέ ἵστημι ὁ Γ∠ , καί προσπίπτω ὄψις ὁ ΒΓ , Β∠ , ΒΚ , ΒΛ . οὖον γάρ ἀνά εἴπον , ὡς ὁ ἀπό ὁ ὄμμα πρός ὁ ΚΛ προσπίπτω ὄψις διά ὁ Γ , ∠ σημεῖον ἔρχομαι . ἢ γάρ τρίγωνος ὁ Β∠ΛΚΓΒ ὁ Κ Λ μείζων ἄν εἰμί ὁ Γ∠ ὑπόκειμαι δέ καί ἴσος . οὐκοῦν ὁ Γ∠ ὑπό πλείων ὄψις ὁράω ἤ2 ὁ ΚΛ . ἀκριβής ἄρα φαίνω ὁ Γ∠ ὁ ΚΛ · ὁ γάρ ὑπό πλείων γωνία ὁράω ἀκριβής φαίνω .
euclides-geom.optica 3
Ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος , οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται . ἔστω γὰρ ὄμμα μὲν τὸ Β , ὁρώμενον δὲ τὸ Γ∠ . φημὶ δή , ὅτι τὸ Γ∠ ἔν τινι ἀποστήματι γενόμενον οὐκέτι ὁραθήσεται . γεγενήσθω γὰρ τὸ Γ∠ ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν ὄψεων , ἐφʼ οὗ τὸ Κ . οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ οὐδεμία τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεων προσπεσεῖται · πρὸς ὃ δὲ αἰ ὄψεις οὐ προσπίπτουσιν , ἐκεῖνο οὐχ ὁρᾶται . ἕκαστον ἄρα τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος , οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται .
Lemmas: ἕκαστος ὁ ὁράω ἔχω τίς μῆκος ἀπόστημα , ὅς γίγνομαι οὐκέτι ὁράω . ἵστημι γάρ ὄμμα μέν ὁ Β , ὁράω δέ ὁ Γ∠ . φημί δή , ὅτι ὁ Γ∠ ἐν τις ἀπόστημα γίγνομαι οὐκέτι ὁράω . γίγνομαι γάρ ὁ Γ∠ ἐν ὁ μεταξύ διάστημα ὁ ὄψις , ἐπί ὅς ὁ Κ . οὐκοῦν πρός ὁ Κ οὐδείς ὁ ἀπό ὁ Β ὄψις προσπίπτω · πρός ὅς δέ ὁ ὄψις οὖον προσπίπτω , ἐκεῖνος οὐ ὁράω . ἕκαστος ἄρα ὁ ὁράω ἔχω τίς μῆκος ἀπόστημα , ὅς γίγνομαι οὐκέτι ὁράω .
euclides-geom.optica 4
Τῶν ἴσων διαστημάτων καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων τὰ ἐκ πλείονος διαστήματος ὁρώμενα ἐλάττονα φαίνεται . ἔστω ἴσα διαστήματα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας τὰ ΑΒ , ΒΓ , Γ∠ , καὶ ἀνήχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ , ἐφʼ ἧς κείσθω ὄμμα τὸ Ε . λέγω , ὅτι μεῖζον φανήσεται τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΒΓ , τὸ δὲ ΒΓ τοῦ Γ∠ . προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΕΒ , ΕΓ , Ε∠ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΕ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΒΖ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ . ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΕΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΓΕ ἦκται εὐθεῖα ἡ ΒΖ , ἔστιν ἄρα καί , ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ , ἡ ΕΖ πρὸς ΖΑ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ , ὡς εἴρηται , τῇ ΖΕ . μείζων δὲ πλευρὰ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ · μείζων ἄρα καὶ τῆς ΖΕ . μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΕΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΒΕ . καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΕΓ ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΒ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΕΒ γωνίας μείζων ἐστίν . μείζων ἄρα ὀφθήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ . πάλιν ὁμοίως κἂν διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ∠Ε παράλληλος ἀχθῇ , μείζων ὀφθήσεται ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ .
Lemmas: ὁ ἴσος διάστημα καί ἐπί ὁ αὐτός εὐθύς εἰμί ὁ ἐκ πλείων διάστημα ὁράω μικρός φαίνω . ἵστημι ἴσος διάστημα ἐπί εἷς εὐθύς ὁ ΑΒ , ΒΓ , Γ∠ , καί ἀνάγω πρός ὀρθός ὁ ΑΕ , ἐπί ὅς κεῖμαι ὄμμα ὁ Ε . λέγω , ὅτι μείζων φαίνω ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΒΓ ὁ Γ∠ . προσπίπτω γάρ ἀκτίς ὁ ΕΒ , ΕΓ , Ε∠ , καί ἄγω διά ὁ Β σημεῖον ὁ ΓΕ εὐθύς παράλληλος ὁ ΒΖ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ αζʹ ὁ ΖΕ . ἐπεί γάρ τρίγωνος ὁ ΑΕΓ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΓΕ ἄγω εὐθύς ὁ ΒΖ , εἰμί ἄρα καί , ὡς ὁ ΓΒ πρός ΒΑ , ὁ ΕΖ πρός Γῆ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ αζʹ , ὡς εἴρω , ὁ ΖΕ . μείζων δέ πλευρόν ὁ ΒΖ ὁ Γῆ · μείζων ἄρα καί ὁ ΖΕ . μείζων ἄρα καί γωνία ὁ ὑπό ΖΕΒ γωνία ὁ ὑπό ΖΒΕ . καί ὁ ὑπό ΖΒΕ ὁ ὑπό ΒΕΓ ἴσος · καί ὁ ὑπό ΖΕΒ ἄρα ὁ ὑπό ΓΕΒ γωνία μείζων εἰμί . μείζων ἄρα ὁράω ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . πάλιν ὁμοίως κἀν διά ὁ Γ σημεῖον ὁ ∠Ε παράλληλος ἄγω , μείζων ὁράω ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ .
euclides-geom.optica 5
Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα ἄνισα φαίνεται , καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον κείμενον τοῦ ὄμματος . ἔστω δύο ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε , ἀφʼ οὗ ἄνισον διεστηκέτω , καὶ ἔστω ἔγγιον τὸ ΑΒ . λέγω , ὅτι μεῖζον φανήσεται τὸ ΑΒ . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΚΓ , Ε∠ . ἐπεὶ οὖν τὰ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα μείζονα φαίνεται , μείζων δὲ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ , μείζων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΑΒ τῆς Γ∠ .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος ἄνισος διΐστημι ἄνισος φαίνω , καί μείζων ἀεί ὁ ἐγγύς κεῖμαι ὁ ὄμμα . ἵστημι δύο ἴσος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ε , ἀπό ὅς ἄνισος διΐστημι , καί ἵστημι ἐγγύς ὁ ΑΒ . λέγω , ὅτι μείζων φαίνω ὁ ΑΒ . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΚΓ , Ε∠ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό μείζων γωνία ὁράω μείζων φαίνω , μείζων δέ γωνία ὁ ὑπό ΑΕΒ ὁ ὑπό ΓΕ∠ , μείζων ἄρα φαίνω καί ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ .
euclides-geom.optica 6
Τὰ παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται . ἔστω δύο παράλληλα μεγέθη τὰ ΑΒ . ΓΔ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε . λέγω , ὅτι τὰ ΑΒ , Γ∠ ἀνισοπλατῆ φαίνεται , καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον διάστημα τοῦ πορρώτερον . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ , ΕΖ , ΚΘ , Κ∠ , ΕΗ , ΕΚ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ Β∠ , ΖΗ , ΘΚ . ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΕΗ γωνίας , μείζων ἄρα καὶ ἡ Β∠ τῆς ΖΗ φαίνεται . πάλιν ἐπεὶ μείζων ἡ ὑπὸ ΖΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΘΕΚ γωνίας , μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΘΚ φαίνεται . μεῖζον ἄρα τὸ μὲν Β∠ διάστημα τοῦ ΖΗ , τὸ δὲ ΖΗ τοῦ ΘΚ . οὐκέτι οὖν ὀφθήσεται παράλληλα ὄντα τὰ διαστήματα ἐπʼ ἴσης , ἀλλʼ ἀνισοπλατῆ . ἐπὶ τῶν ἐν μετεώρῳ κειμένων διαστημάτων καθιέσθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΒ , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι αἱ ΛΞ ΚΝ , ΘΜ . λέγω , ὅτι καὶ οὕτως ἀνισοπλατῆ φαίνεται τὰ Γ∠ , ΕΖ μεγέθη . ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΛΞ ἡ ΒΡ . καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΡ ἐπὶ τὸ Ο , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΛ , ΑΚ , ΑΘ , ΑΞ , ΑΝ , ΑΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΡ , ΑΠ , ΑΟ . ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μετεωροτέρου σημείου τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΡΞ ἐπέζευκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΡ , ἡ ΑΡ ἄρα ἐπὶ τὴν ΡΞ κάθετός ἐστιν , καὶ ἡ ΑΟ ἐπὶ τὴν ΟΜ , καὶ ἡ ΑΠ ἐπὶ τὴν ΠΝ . ὀρθογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΡΞ ΑΠΝ , ΑΟΜ τρίγωνα . ἐπεὶ οὖν ὀρθογώνιά ἐστι , καί ἐστιν ἡ μὲν ΠΝ τῇ ΡΞ ἴση , ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων , μείζων ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ Ξ ΑΡ τῆς ὑπὸ ΠΑΝ . μεῖζον ἄρα καὶ ὀφθήσεται τὸ ΡΞ τοῦ ΠΝ . ὁμοίως καὶ τὸ ΡΛ τοῦ ΠΚ μεῖζον . ὅλον ἄρα τὸ ΛΞ ὅλου τοῦ ΚΝ ὀφθήσεται μεῖζον . ἀνισοπλατῆ ἄρα καὶ οὕτως ὀφθήσεται τὰ μεγέθη .
Lemmas: ὁ παράλληλος ὁ διάστημα ἐκ ἀπόστημα ὁράω ἀνισοπλατής φαίνω . ἵστημι δύο παράλληλος μέγεθος ὁ ΑΒ . ΓΔ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ε . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , Γ∠ ἀνισοπλατής φαίνω , καί μείζων ἀεί ὁ ἐγγύς διάστημα ὁ πρόσω . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΒ , ΕΖ , ΚΘ , Κ∠ , ΕΗ , ΕΚ , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ Β∠ , ΖΗ , ΘΚ . ἐπεί οὖν μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΒΕ∠ γωνία ὁ ὑπό ΖΕΗ γωνία , μείζων ἄρα καί ὁ Β∠ ὁ ΖΗ φαίνω . πάλιν ἐπεί μείζων ὁ ὑπό ΖΕ γωνία ὁ ὑπό ΘΕΚ γωνία , μείζων ἄρα καί ὁ ΖΗ ὁ ΘΚ φαίνω . μείζων ἄρα ὁ μέν Β∠ διάστημα ὁ ΖΗ , ὁ δέ ΖΗ ὁ ΘΚ . οὐκέτι οὖν ὁράω παράλληλος εἰμί ὁ διάστημα ἐπί ἴσος , ἀλλά ἀνισοπλατής . ἐπί ὁ ἐν μετέωρος κεῖμαι διάστημα καθίημι ἀπό ὁ Α σημεῖον ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΑΒ , καί εἰμί παράλληλος ὁ ΛΞ ΚΝ , ΘΜ . λέγω , ὅτι καί οὕτως ἀνισοπλατής φαίνω ὁ Γ∠ , ΕΖ μέγεθος . ἄγω κάθετος ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ΛΞ ὁ ΒΡ . καί ἐκβάλλω ὁ ΒΡ ἐπί ὁ ὁ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΑΛ , ΑΚ , ΑΘ , ΑΞ , ΑΝ , ΑΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΡ , ΑΠ , ΑΟ . ἐπεί οὖν ἀπό μετέωρος σημεῖον ὁ Α ἐπί ὁ ΡΞ ἐπιζεύγνυμι τις εὐθύς ὁ ΑΡ , ὁ ΑΡ ἄρα ἐπί ὁ ΡΞ κάθετος εἰμί , καί ὁ ΑΟ ἐπί ὁ ΟΜ , καί ὁ ΑΠ ἐπί ὁ ΠΝ . ὀρθογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ἄρξ ΑΠΝ , ΑΟΜ τρίγωνος . ἐπεί οὖν ὀρθογώνιος εἰμί , καί εἰμί ὁ μέν ΠΝ ὁ ΡΞ ἴσος , ὁ δέ ΠΑ ὁ ΑΡ μείζων , μείζων ἄρα γωνία ὁ ὑπό Ξ ΑΡ ὁ ὑπό Πᾶς . μείζων ἄρα καί ὁράω ὁ ΡΞ ὁ ΠΝ . ὁμοίως καί ὁ ΡΛ ὁ ΠΚ μείζων . ὅλος ἄρα ὁ ΛΞ ὅλος ὁ ΚΝ ὁράω μείζων . ἀνισοπλατής ἄρα καί οὕτως ὁράω ὁ μέγεθος .
euclides-geom.optica 7
Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα ἴσα μεγέθη μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις τεθέντα καὶ ἄνισον διεστηκότα τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται . ἔστω δύο ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς Α∠ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις ὄντα καὶ ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Ε , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ , Ε∠ , καὶ ἔστω μείζων ἡ ΕΑ τῆς Ε∠ . λέγω , ὅτι ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ μείζων φανήσεται . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ , ΕΓ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΕ∠ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΕ ∠ . καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ταῖς ΕΒ , ΕΓ εὐθείαις εὐθεῖαι αἱ ΒΖ , ΓΗ , καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Β , Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΒΘ , ΓΚ . ἔστι δὲ ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ , ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ τῇ ὑπὸ ∠ΓΚ ἐστιν ἴση . καὶ περιφέρεια ἄρα ἡ ΑΘ περιφερείᾳ τῇ ∠Κ ἐστιν ἴση . ἡ Κ ∠ ἄρα περιφέρεια τῆς ΖΑ περιφερείας μείζων ἐστίν . πολλῷ ἄρα ἡ Η ∠ περιφέρεια τῆς ΖΑ μείζων · ἐστίν . ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία βέβηκεν , ἐπὶ δὲ τῆς Η∠ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΗΕ∠ . ἡ ἄρα ὑπὸ ΗΕ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΕΖ μείζων ἐστίν . ἀλλʼ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΕΖ ἡ ΑΒ βλέπεται , ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΗΕ∠ ἡ Γ∠ . μείζων ἄρα ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ φαίνεται .
Lemmas: ὁ ἐπί ὁ αὐτός εὐθύς εἰμί ἴσος μέγεθος μή ἐφεξῆς ἀλλήλων τίθημι καί ἄνισος διΐστημι ὁ ὄμμα ἄνισος φαίνω . ἵστημι δύο ἴσος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ ἐπί ὁ αὐτός εὐθύς ὁ Α∠ μή ἐφεξῆς ἀλλήλων εἰμί καί ἄνισος διΐστημι ἀπό ὁ ὄμμα ὁ Ε , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΑ , Ε∠ , καί ἵστημι μείζων ὁ ΕΑ ὁ Ε∠ . λέγω , ὅτι ὁ Γ∠ ὁ ΑΒ μείζων φαίνω . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΒ , ΕΓ , καί περιγράφω περί ὁ ΑΕ∠ τρίγωνος κύκλος ὁ ΑΕ ∠ . καί προσεκβάλλω ὁ ΕΒ , ΕΓ εὐθύς εὐθύς ὁ ΒΖ , ΓΗ , καί ἀναστατόω ἀπό ὁ Β , Γ σημεῖον πρός ὀρθός γωνία Ἴσαι εὐθύς ὁ ΒΘ , ΓΚ . εἰμί δέ ἴσος ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ , ἀλλά καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΘ ὁ ὑπό ∠ΓΚ εἰμί ἴσος . καί περιφέρεια ἄρα ὁ ΑΘ περιφέρεια ὁ ∠Κ εἰμί ἴσος . ὁ Κ ∠ ἄρα περιφέρεια ὁ Γῆ περιφέρεια μείζων εἰμί . πολύς ἄρα ὁ ὁ ∠ περιφέρεια ὁ Γῆ μείζων · εἰμί . ἀλλά ἐπί μέν ὁ Γῆ περιφέρεια ὁ ὑπό ΑΕΖ γωνία βαίνω , ἐπί δέ ὁ Η∠ περιφέρεια ὁ ὑπό ΗΕ∠ . ὁ ἄρα ὑπό ΗΕ∠ γωνία ὁ ὑπό ΑΕΖ μείζων εἰμί . ἀλλά ὑπό μέν ὁ ὑπό ΑΕΖ ὁ ΑΒ βλέπω , ὑπό δέ ὁ ὑπό ΗΕ∠ ὁ Γ∠ . μείζων ἄρα ὁ Γ∠ ὁ ΑΒ φαίνω .
euclides-geom.optica 8
Τὰ ἴση μεγέθη καὶ παράλληλα ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος οὐκ ἀναλόγως τοῖς διαστήμασιν ὁρᾶται . ἔστω δύο μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Ε . λέγω , ὅτι οὔκ ἐστιν , ὡς φαίνεται ἔχον , ὡς τὸ Γ∠ πρὸς τὸ ΑΒ , οὕτως τὸ ΒΕ πρὸς τὸ Ε∠ . προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΑΕ , ΕΓ , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΖ κύκλου γεγράφθω περιφέρεια ἡ ΗΖΘ . ἐπεὶ οὖν τὸ ΕΖΓ τρίγωνον τοῦ ΕΖΗ τομέως μεῖζόν ἐστιν , τὸ δὲ Ε ΕΖ∠ τρίγωνον τοῦ ΕΖΘ τομέως ἔλαττόν ἐστιν , τὸ ΕΖΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΖΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΕΖ∠ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΖΘ τομέα . καὶ ἐναλλὰξ τὸ ΕΖΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ∠ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΖΗ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΖΘ τομέα , καὶ συνθέντι τὸ ΕΓ∠ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ∠ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΗΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΖΘ τομέα . ἀλλʼ ὡς τὸ Ε∠Γ πρὸς τὸ ΕΖ∠ τρίγωνον , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠ Ζ . ἡ δὲ Γ∠ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση , καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ∠ Ζ , ἡ ΒΕ πρὸς τὴν Ε∠ . ἡ ΒΕ ἄρα πρὸς τὴν Ε∠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΗΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΖΘ τομέα . ὡς δὲ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΗΕΘ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΕΘ γωνίαν . ἡ ΒΕ ἄρα πρὸς τὴν Ε∠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΗΕΘ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΕΘ . καὶ ἐκ μὲν τῆς ὑπὸ ΗΕΘ γωνίας βλέπεται τὸ Γ∠ , ἐκ δὲ τῆς ὑπὸ ΖΕΘ τὸ ΑΒ . οὐκ ἀνάλογον ἄρα τοῖς ἀποστήμασιν ὁρᾶται τὰ ἴσα μεγέθη .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος καί παράλληλος ἄνισος διΐστημι ἀπό ὁ ὄμμα οὐ ἀνάλογος ὁ διάστημα ὁράω . ἵστημι δύο μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ ἄνισος διΐστημι ἀπό ὁ ὄμμα ὁ Ε . λέγω , ὅτι οὐ εἰμί , ὡς φαίνω ἔχω , ὡς ὁ Γ∠ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ὁ Ε∠ . προσπίπτω γάρ ἀκτίς ὁ ΑΕ , ΕΓ , καί κέντρον μέν ὁ Ε διάστημα δέ ὁ ΕΖ κύκλος γράφω περιφέρεια ὁ ΗΖΘ . ἐπεί οὖν ὁ ΕΖΓ τρίγωνος ὁ ΕΖΗ τομεύς μέγας εἰμί , ὁ δέ Ε ΕΖ∠ τρίγωνος ὁ ΕΖΘ τομεύς ἐλάσσων εἰμί , ὁ ΕΖΓ ἄρα τρίγωνος πρός ὁ ΕΖΗ τομεύς μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΕΖ∠ τρίγωνος πρός ὁ ΕΖΘ τομεύς . καί ἐναλλάξ ὁ ΕΖΓ τρίγωνος πρός ὁ ΕΖ∠ τρίγωνος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΕΖΗ τομεύς πρός ὁ ΕΖΘ τομεύς , καί συντίθημι ὁ ΕΓ∠ τρίγωνος πρός ὁ ΕΖ∠ τρίγωνος μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΕΗΘ τομεύς πρός ὁ ΕΖΘ τομεύς . ἀλλά ὡς ὁ Ε∠Γ πρός ὁ ΕΖ∠ τρίγωνος , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ὁ ∠ Ζ . ὁ δέ Γ∠ ὁ ΑΒ εἰμί ἴσος , καί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ∠ Ζ , ὁ ΒΕ πρός ὁ Ε∠ . ὁ ΒΕ ἄρα πρός ὁ Ε∠ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΕΗΘ τομεύς πρός ὁ ΕΖΘ τομεύς . ὡς δέ ὁ τομεύς πρός ὁ τομεύς , οὕτως ὁ ὑπό ΗΕΘ γωνία πρός ὁ ὑπό ΖΕΘ γωνία . ὁ ΒΕ ἄρα πρός ὁ Ε∠ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΗΕΘ γωνία πρός ὁ ὑπό ΖΕΘ . καί ἐκ μέν ὁ ὑπό ΗΕΘ γωνία βλέπω ὁ Γ∠ , ἐκ δέ ὁ ὑπό ΖΕΘ ὁ ΑΒ . οὐ ἀνάλογος ἄρα ὁ ἀπόστημα ὁράω ὁ ἴσος μέγεθος .
euclides-geom.optica 9
Τὰ ὀρθογώνια μεγέθη ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα περιφερῆ φαίνεται . ἔστω γὰρ ὀρθογώνιον τὸ ΒΓ ἑστὼς μετέωρον ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενον . οὐκοῦν , ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος , οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται , ἡ μὲν Γ ἄρα γωνία οὐχ ὁρᾶται , τὰ δὲ ∠ , Ζ σημεῖα μόνον φαίνεται . ὁμοίως καὶ ἐφʼ ἑκάστης τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦτο συμβήσεται . ὥστε ὅλον περιφερὲς φανήσεται .
Lemmas: ὁ ὀρθογώνιος μέγεθος ἐκ ἀπόστημα ὁράω περιφερής φαίνω . ἵστημι γάρ ὀρθογώνιος ὁ ΒΓ ἵστημι μετέωρος ἐκ ἀπόστημα ὁράω . οὐκοῦν , ἐπεί ἕκαστος ὁ ὁράω ἔχω τίς μῆκος ἀπόστημα , ὅς γίγνομαι οὐκέτι ὁράω , ὁ μέν Γ ἄρα γωνία οὐ ὁράω , ὁ δέ ∠ , Ζ σημεῖον μόνος φαίνω . ὁμοίως καί ἐπί ἕκαστος ὁ λοιπός γωνία οὗτος συμβαίνω . ὥστε ὅλος περιφερής φαίνω .
euclides-geom.optica 10
Τῶν κάτω τοῦ ὄμματος κειμένων ἐπιπέδων τὰ πόρρω μετεωρότερα φαίνεται . ἔστω ὄμμα τὸ Α μετεωρότερον κείμενον τοῦ ΒΕΓ καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΒ , ΑΕ , Α∠ , ΑΓ , ὧν ἡ ΑΒ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . λέγω , ὅτι τὸ Γ∠ τοῦ ∠Ε μετεωρότερον φαίνεται , τὸ δὲ ∠E τοῦ ΒΕ . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΕ τυχὸν σημεῖον κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ . ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν Ζ Η προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΖΓ , προσπιπτέτω τῇ ΖΗ ἡ μὲν ΑΓ κατὰ τὸ Η σημεῖον , ἡ δὲ Α∠ κατὰ τὸ Θ , ἡ δὲ ΑΕ κατὰ τὸ Κ . ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ Θ ἐστι μετεωρότερον , τὸ δὲ Θ τοῦ Κ , ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η , ἐν τούτῳ τὸ Γ , ἐν ᾧ δὲ τὸ Θ , ἐν τούτῳ τὸ ∠ , ἐν ᾧ τὸ Κ , ἐν τούτῳ τὸ Ε , διὰ δὲ τῶν ΑΓ , Α∠ ἡ ∠Γ φαίνεται , διὰ δὲ τῶν Α∠ , ΑΕ ἡ ∠Ε , ἡ Γ∠ ἄρα τῆς ∠Ε μετεωροτέρα φαίνεται . ὁμοίως καὶ ἡ ∠Ε τῆς ΒΕ μετεωροτέρα φανήσεται · τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεται . καὶ φανερόν , ὅτι τὰ ἐν μετεώρῳ κείμενα κοῖλα φανήσεται .
Lemmas: ὁ κάτω ὁ ὄμμα κεῖμαι ἐπίπεδος ὁ πόρρω μετέωρος φαίνω . ἵστημι ὄμμα ὁ Α μετέωρος κεῖμαι ὁ ΒΕΓ καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΑΒ , ΑΕ , Α∠ , ΑΓ , ὅς ὁ ΑΒ κάθετος ἵστημι ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . λέγω , ὅτι ὁ Γ∠ ὁ ∠Ε μετέωρος φαίνω , ὁ δέ ∠E ὁ ΒΕ . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΒΕ τυγχάνω σημεῖον κατά ὁ Ζ , καί ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΖΗ . ἐπεί ὁ ὄψις πρότερος πρός ὁ Ζ ὁ προσπίπτω ἤ2 πρός ὁ ΖΓ , προσπίπτω ὁ ΖΗ ὁ μέν ΑΓ κατά ὁ ὁ σημεῖον , ὁ δέ Α∠ κατά ὁ Θ , ὁ δέ ΑΕ κατά ὁ Κ . ἐπεί οὖν ὁ ὁ ὁ Θ εἰμί μετέωρος , ὁ δέ Θ ὁ Κ , ἀλλά ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ , ἐν οὗτος ὁ Γ , ἐν ὅς δέ ὁ Θ , ἐν οὗτος ὁ ∠ , ἐν ὅς ὁ Κ , ἐν οὗτος ὁ Ε , διά δέ ὁ ΑΓ , Α∠ ὁ ∠Γ φαίνω , διά δέ ὁ Α∠ , ΑΕ ὁ ∠Ε , ὁ Γ∠ ἄρα ὁ ∠Ε μετέωρος φαίνω . ὁμοίως καί ὁ ∠Ε ὁ ΒΕ μετέωρος φαίνω · ὁ γάρ ὑπό μετέωρος ἀκτίς ὁράω μετέωρος φαίνω . καί φανερός , ὅτι ὁ ἐν μετέωρος κεῖμαι κοῖλος φαίνω .
euclides-geom.optica 11
Τῶν ἄνω τοῦ ὄμματος κειμένων ἐπιπέδων τὰ πόρρω ταπεινότερα φαίνεται . ἔστω ὄμμα τὸ Α ταπεινότερον κείμενον τοῦ ΒΓ ἐπιπέδου , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΑ , Α∠ , ΑΕ , ΑΓ , ὧν ἡ ΑΒ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . λέγω , ὅτι τὸ ΓΕ τοῦ Ε∠ ταπεινότερον φαίνεται . διὰ δὴ τὸ προεκτεθὲν θεώρημα ταπεινοτέρα ἡ μὲν ΑΓ ἀκτὶς τῆς ΑΕ , ἡ δὲ ΑΕ , τῆς Α∠ , ἡ δὲ Α∠ τῆς ΑΒ . ἀλλὰ διὰ μὲν τῶν ΓΑ , ΑΕ τὸ ΓΕ βλέπεται , διὰ δὲ τῶν ΕΑ , Α∠ τὸ Ε∠ , διὰ δὲ τῶν ∠Α , ΑΒ τὸ ∠B φαίνεται . τὸ ΓΕ ἄρα τοῦ Ε∠ ταπεινότερον φαίνεται , τὸ δὲ Ε∠ τοῦ ∠Β .
Lemmas: ὁ ἄνω ὁ ὄμμα κεῖμαι ἐπίπεδος ὁ πόρρω ταπεινός φαίνω . ἵστημι ὄμμα ὁ Α ταπεινός κεῖμαι ὁ ΒΓ ἐπίπεδος , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΒΑ , Α∠ , ΑΕ , ΑΓ , ὅς ὁ ΑΒ κάθετος ἵστημι ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . λέγω , ὅτι ὁ ΓΕ ὁ Ε∠ ταπεινός φαίνω . διά δή ὁ προεκτίθεμαι θεώρημα ταπεινός ὁ μέν ΑΓ ἀκτίς ὁ ΑΕ , ὁ δέ ΑΕ , ὁ Α∠ , ὁ δέ Α∠ ὁ ΑΒ . ἀλλά διά μέν ὁ ΓΑ , ΑΕ ὁ ΓΕ βλέπω , διά δέ ὁ ΕΑ , Α∠ ὁ Ε∠ , διά δέ ὁ ∠Α , ΑΒ ὁ ∠B φαίνω . ὁ ΓΕ ἄρα ὁ Ε∠ ταπεινός φαίνω , ὁ δέ Ε∠ ὁ ∠Β .
euclides-geom.optica 12
Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθαι , τὰ δὲ ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά . ἔστω δύο ὁρώμενα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΘ , ΕΚ , ΕΑ , ΕΖ , ΕΗ , ΕΓ . λέγω , ὅτι αἱ μὲν ΕΖ , ΕΗ , ΚΓ δοκοῦσιν εἰς τὰ ἀριστερὰ μετῆχθαι , αἱ δὲ ΕΘ , ΕΚ , ΕΑ εἰς τὰ δεξιά . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ τῆς ΕΗ ἐστι δεξιωτέρα , ἡ δὲ ΕΗ τῆς ΕΓ , ἐντεῦθεν ἄρα ἡ ΕΓ τῆς ΕΗ δοκεῖ εἰς τὰ ἀριστερὰ μετῆχθαι , ἡ δὲ ΗΕ τῆς ΕΖ . ὁμοίως καὶ αἱ ΕΚ , ΚΑ , ΕΘ δοκοῦσιν εἰς τὰ δεξιὰ μετῆχθαι .
Lemmas: ὁ εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἔχω ὁ μέν ἐν ὁ δεξιός εἰς ὁ ἀριστερός δοκέω παράγω , ὁ δέ ἐν ὁ ἀριστερός εἰς ὁ δεξιός . ἵστημι δύο ὁράω μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ε , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΘ , ΕΚ , ΕΑ , ΕΖ , ΕΗ , ΕΓ . λέγω , ὅτι ὁ μέν ΕΖ , ΕΗ , ΚΓ δοκέω εἰς ὁ ἀριστερός μέτειμι , ὁ δέ ΕΘ , ΕΚ , ΕΑ εἰς ὁ δεξιός . ἐπεί γάρ ὁ ΕΖ ὁ ΕΗ εἰμί δεξιός , ὁ δέ ΕΗ ὁ ΕΓ , ἐντεῦθεν ἄρα ὁ ΕΓ ὁ ΕΗ δοκέω εἰς ὁ ἀριστερός μέτειμι , ὁ δέ ΗΕ ὁ ΕΖ . ὁμοίως καί ὁ ΕΚ , ΚΑ , ΕΘ δοκέω εἰς ὁ δεξιός μέτειμι .
euclides-geom.optica 13
Τῶν ἴσων μεγεθῶν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω μετεωρότερα φαίνεται . ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ , ΕΖ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Η μετεωρότερον κείμενον τῶν μεγεθῶν , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΑ , ΗΓ , ΗΕ . λέγω , ὅτι τὸ ΑΒ τοῦ Γ∠ μετεωρότερον φαίνεται , τὸ δὲ ΓΔ τοῦ ΕΖ . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΗΑ τῆς ΗΓ ἐστι μετεωροτέρα , ἡ δὲ ΗΓ τῆς ΗΕ , καὶ ἐν ᾧ εἰσιν αἱ ΗΑ , ΗΓ ΗΕ , ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ τὰ Α , Γ . Ε σημεῖα , ἐν ᾧ δὲ τὰ Α , Γ , Ε , ἐν τούτῳ καὶ τὰ ΑΒ , Γ∠ , ΕΖ μεγέθη , τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ μετεωρότερον φαίνεται , τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ΕΖ .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος καί ὑπό ὁ αὐτός ὄμμα κεῖμαι ὁ πόρρω μετέωρος φαίνω . ἵστημι ἴσος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ , ΕΖ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ ὁ μετέωρος κεῖμαι ὁ μέγεθος , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΗΑ , ΗΓ , ΗΕ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ μετέωρος φαίνω , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΕΖ . ἐπεί γάρ ὁ ΗΑ ὁ ΗΓ εἰμί μετέωρος , ὁ δέ ΗΓ ὁ ΗΕ , καί ἐν ὅς εἰμί ὁ ΗΑ , ΗΓ ΗΕ , ἐν οὗτος εἰμί καί ὁ Α , Γ . Ε σημεῖον , ἐν ὅς δέ ὁ Α , Γ , Ε , ἐν οὗτος καί ὁ ΑΒ , Γ∠ , ΕΖ μέγεθος , ὁ ΑΒ ἄρα ὁ Γ∠ μετέωρος φαίνω , ὁ δέ Γ∠ ὁ ΕΖ .
euclides-geom.optica 14
Τῶν ἴσων μεγεθῶν καὶ ἀνωτέρω τοῦ ὄμματος κειμένων τὰ πόρρω ταπεινότερα φαίνεται . ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ , ΕΖ μετεωρότερα κείμενα τοῦ ὄμματος τοῦ Η . λέγω , ὅτι τὸ ΑΒ τοῦ Γ∠ ταπεινότερον φαίνεται , τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ΕΖ . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ , Η∠ , ΗΖ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΒ ἀκτὶς τῆς Η∠ ἐστι ταπεινοτέρα , ἡ δὲ Η∠ τῆς ΗΖ , ἀλλʼ ἐν ᾧ εἰσιν αἱ ΗΒ , Η∠ ΗΖ , ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ τὰ Β , ∠ , Ζ σημεῖα , ἐν ᾧ δὲ τὰ Β , ∠ , Ζ , ἐν τούτῳ καὶ τὰ ΑΒ , Γ∠ , ΕΖ μεγέθη , τὸ μὲν ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ ταπεινότερον φαίνεται , τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ΕΖ .
Lemmas: ὁ ἴσος μέγεθος καί ἀνωτέρω ὁ ὄμμα κεῖμαι ὁ πόρρω ταπεινός φαίνω . ἵστημι ἴσος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ , ΕΖ μετέωρος κεῖμαι ὁ ὄμμα ὁ ὁ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ ταπεινός φαίνω , ὁ δέ Γ∠ ὁ ΕΖ . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΗΒ , Η∠ , ΗΖ . ἐπεί οὖν ὁ ΗΒ ἀκτίς ὁ Η∠ εἰμί ταπεινός , ὁ δέ Η∠ ὁ ΗΖ , ἀλλά ἐν ὅς εἰμί ὁ ΗΒ , Η∠ ΗΖ , ἐν οὗτος εἰμί καί ὁ Β , ∠ , Ζ σημεῖον , ἐν ὅς δέ ὁ Β , ∠ , Ζ , ἐν οὗτος καί ὁ ΑΒ , Γ∠ , ΕΖ μέγεθος , ὁ μέν ΑΒ ἄρα ὁ Γ∠ ταπεινός φαίνω , ὁ δέ Γ∠ ὁ ΕΖ .
euclides-geom.optica 15
Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὄμμα κείμενα , προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος μείζονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται , ἀπιόντος δὲ ἐλάσσονι . ἔστω δύο ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ , μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α Β , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΕΖ . ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τοῦ ὄμματος καὶ τῆς ΕΖ ἀκτῖνος τὰ ΖΒ , Γ∠ φαίνεται , τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ ὕπερθεν φαίνεται τῷ ΑΖ μεγέθει . μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐγγυτέρω καὶ ἔστω τὸ Η , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΗΘ . ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τοῦ ὄμματος καὶ τῆς ΗΘ ἀκτῖνος φαίνεται τὸ Γ∠ καὶ τὸ ΘΒ , τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ μεῖζον φανήσεται τῷ ΑΘ . ἐβλέπετο δὲ ὑπὸ τοῦ Ε τῷ Α μεῖζον , μεῖζον δὲ τὸ ΑΘ τοῦ ΑΖ . προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται μείζονι , ἀπιόντος δὲ ἐλάττονι .
Lemmas: ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχω ὑπό ὁ αὐτός ὄμμα κεῖμαι , πρόσειμι μέν ὁ ὄμμα μείζων μείζων ὁ ὑπερφαίνομαι φαίνω , ἄπειμι δέ μικρός . ἵστημι δύο ἄνισος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ , μείζων δέ ἵστημι ὁ Α Β , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ε , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς διά ὁ Γ ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν ὑπό ὁ ὄμμα καί ὁ ΕΖ ἀκτίς ὁ ΖΒ , Γ∠ φαίνω , ὁ ΑΒ ἄρα ὁ Γ∠ ὕπερθεν φαίνω ὁ αζʹ μέγεθος . μετάκειμαι ὁ ὄμμα ἐγγυτέρω καί ἵστημι ὁ ὁ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς διά ὁ Γ ὁ ΗΘ . ἐπεί οὖν ὑπό ὁ ὄμμα καί ὁ ΗΘ ἀκτίς φαίνω ὁ Γ∠ καί ὁ ΘΒ , ὁ ΑΒ ἄρα ὁ Γ∠ μείζων φαίνω ὁ ΑΘ . βλέπω δέ ὑπό ὁ Ε ὁ Α μείζων , μείζων δέ ὁ ΑΘ ὁ αζʹ . πρόσειμι μέν ἄρα ὁ ὄμμα μείζων ὁ ὑπερφαίνομαι φαίνω μείζων , ἄπειμι δέ μικρός .
euclides-geom.optica 16
Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει ἐπάνω τοῦ ὄμματος ἄνισα μεγέθη , προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος ἐλάσσονι μεῖζον φαίνεται τὸ ὑπερφαινόμενον , ἀπιόντος δὲ μείζονι . ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ , ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ . ἔστω ὄμμα τὸ Ε , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ ἡ ΕΖ . ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τῆς ΕΖ ἀκτῖνος ἀπολαμβάνεται τὰ ΖΒ , Γ∠ μεγέθη , τὰ ΒΖ , Γ∠ ἄρα ἴσα ἀλλήλοις φαίνεται . τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ μεῖζον φαίνεται τῷ ΑΖ μεγέθει . προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα ἐγγυτέρω καὶ ἔστω τὸ Η , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΗΘ . ἐπεὶ οὗν ὑπὸ τῆς ΒΘ ἀκτῖνος ἀπολαμβάνεται τὰ Β Θ , Γ∠ , ὑπὸ δὲ τῆς ΕΖ τὰ ΖΒ , Γ∠ , ἔστι δὲ τὸ ΖΑ τοῦ ΑΘ μεῖζον , προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος ἐλάσσονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται , ἀπιόντος δὲ μείζονι .
Lemmas: ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχω ἐπάνω ὁ ὄμμα ἄνισος μέγεθος , πρόσειμι μέν ὁ ὄμμα μικρός μείζων φαίνω ὁ ὑπερφαίνομαι , ἄπειμι δέ μείζων . ἵστημι ἄνισος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ , ὅς μείζων ὁ ΑΒ . ἵστημι ὄμμα ὁ Ε , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς διά ὁ ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν ὑπό ὁ ΕΖ ἀκτίς ἀπολαμβάνω ὁ ΖΒ , Γ∠ μέγεθος , ὁ ΒΖ , Γ∠ ἄρα ἴσος ἀλλήλων φαίνω . ὁ ΑΒ ἄρα ὁ Γ∠ μείζων φαίνω ὁ αζʹ μέγεθος . προσάγω δή ὁ ὄμμα ἐγγυτέρω καί ἵστημι ὁ ὁ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς διά ὁ Γ ὁ ΗΘ . ἐπεί ἐν ὑπό ὁ ΒΘ ἀκτίς ἀπολαμβάνω ὁ Β Θ , Γ∠ , ὑπό δέ ὁ ΕΖ ὁ ΖΒ , Γ∠ , εἰμί δέ ὁ Γῆ ὁ ΑΘ μείζων , πρόσειμι μέν ἄρα ὁ ὄμμα μικρός μείζων ὁ ὑπερφαίνομαι φαίνω , ἄπειμι δέ μείζων .
euclides-geom.optica 17
Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει , ἐπʼ εὐθείας τῷ ἐλάττονι μεγέθει τοῦ ὄμματος προσιόντος τε καὶ ἀφισταμένου τῷ ἴσῳ ἀεὶ δόξει τὸ ὑπερφαινόμενον τοῦ ἐλάττονος ὑπερέχειν . ἔστω δύο ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ , ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ζ ἐπʼ εὐθείας κείμενον τῷ πέρατι τοῦ Γρατι μεγέθους τῷ Γ . λέγω , ὅτι τοῦ Ζ ὄμματος προσιόντος καὶ ἀφισταμένου ἐπʼ εὐθείας ὄντος τῷ ἴσῳ δόξει ὑπερφαίνεσθαι τὸ ΑΒ τοῦ Γ∠ . προσπιπτέτω γὰρ ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΖΕ . τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ ὑπερφαίνεται τῷ ΑΕ . μετακεκινήσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω ἀπωτέρω καὶ ἔστω ἐπʼ εὐθείας τὸ Η . ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ὄμματος ἀκτὶς προσπίπτουσα ἐλεύσεται διὰ τοῦ Γ σημείου καὶ προσενεχθήσεται μέχρι τοῦ Ε σημείου , καὶ τῷ αὐτῷ ὑπερφανήσεται τὸ ΑΒ τοῦ Γ∠ .
Lemmas: ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχω , ἐπί εὐθύς ὁ μικρός μέγεθος ὁ ὄμμα πρόσειμι τε καί ἀφίστημι ὁ ἴσος ἀεί δοκέω ὁ ὑπερφαίνομαι ὁ μικρός ὑπερέχω . ἵστημι δύο ἄνισος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ , ὅς μείζων ὁ ΑΒ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ζ ἐπί εὐθύς κεῖμαι ὁ πέρας ὁ Γρατι μέγεθος ὁ Γ . λέγω , ὅτι ὁ Ζ ὄμμα πρόσειμι καί ἀφίστημι ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ ἴσος δοκέω ὑπερφαίνω ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ . προσπίπτω γάρ ἀκτίς διά ὁ Γ ὁ ΖΕ . ὁ ΑΒ ἄρα ὁ Γ∠ ὑπερφαίνομαι ὁ ΑΕ . μετακινέω δή ὁ ὄμμα καί ἵστημι ἀπωτέρω καί ἵστημι ἐπί εὐθύς ὁ ὁ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ὁ ὄμμα ἀκτίς προσπίπτω ἔρχομαι διά ὁ Γ σημεῖον καί προσφέρω μέχρι ὁ Ε σημεῖον , καί ὁ αὐτός ὑπερφαίνω ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ .
euclides-geom.optica 18
Τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι , πηλίκον ἐστίν , ἡλίου φαίνοντος . ἔστω τὸ δοθὲν ὕψος τὸ ΑΒ , καὶ δέον αὐτὸ γνῶναι , πηλίκον ἐστίν . ἔστω μὲν ὄμμα τὸ Δ , ἡλίου δὲ ἀκτὶς ἡ ΓΑ συμβάλλουσα τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους καὶ διήχθω μέχρι τοῦ ∠ ὄμματος . ἔστω δὲ σκιὰ ἡ ∠Β τοῦ ΑΒ . καὶ κείσθω ἕτερόν τι μέγεθος τὸ ΕΖ συμβάλλον τῇ ἀκτῖνι μὴ πάντως καταυγαζόμενον ὑπʼ αὐτῆς κατὰ τὸ Ζ πέρας . ἥρμοσται οὖν εἰς τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον ἕτερόν τι τρίγωνον τὸ ΕΖ∠ . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΖΕ , οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΑ . ἀλλ᾿ ὁ τῆς ∠Ε πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ γνώριμος · καὶ ὁ τῆς ∠Β ἄρα πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ γνώριμος . γνώριμον δὲ τὸ ∠Β . γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΑΒ .
Lemmas: ὁ δίδωμι ὕψος γιγνώσκω , πηλίκος εἰμί , ἥλιος φαίνων . ἵστημι ὁ δίδωμι ὕψος ὁ ΑΒ , καί δήω αὐτός γιγνώσκω , πηλίκος εἰμί . ἵστημι μέν ὄμμα ὁ δ , ἥλιος δέ ἀκτίς ὁ ΓΑ συμβάλλω ὁ πέρας ὁ ΑΒ μέγεθος καί διάγω μέχρι ὁ ∠ ὄμμα . ἵστημι δέ σκιά ὁ ∠Β ὁ ΑΒ . καί κεῖμαι ἕτερος τίς μέγεθος ὁ ΕΖ συμβάλλω ὁ ἀκτίς μή πάντως καταυγάζω ὑπό αὐτός κατά ὁ Ζ πέρας . ἁρμόζω οὖν εἰς ὁ ΑΒ∠ τρίγωνος ἕτερος τίς τρίγωνος ὁ ΕΖ∠ . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ∠Ε πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΑ . ἀλλά ὁ ὁ ∠Ε πρός ὁ ΕΖ λόγος εἰμί γνώριμος · καί ὁ ὁ ∠Β ἄρα πρός ὁ ΒΑ λόγος εἰμί γνώριμος . γνώριμος δέ ὁ ∠Β . γνώριμος ἄρα καί ὁ ΑΒ .
euclides-geom.optica 19
Μὴ ὑπάρχοντος ἡλίου τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι , πηλίκον ἐστίν . ἔστω τι ὕψος τὸ ΑΒ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ , καὶ δέον ἔστω τὸ ΑΒ γνῶναι , πηλίκον ἐστίν . ὡς μὴ ὑπάρχοντος ἡλίου . κείσθω κάτοπτρον τὸ ∠Ζ , καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ Ε∠ ἐπʼ εὐθείας ἡ ∠Β , ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους τῷ Β , καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Γ ἡ ΓΗ , καὶ ἀντανακεκλάσθω , ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους τῷ Α , καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ∠Ε ἡ ΕΘ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἡ ΓΘ . ἐπεὶ οὖν προσπέπτωκεν ἀκτὶς ἡ ΓΗ καὶ ἀντανακέκλασται ἡ ΗΑ , πρὸς ἴσας γωνίας ἀνακεκλασμέναι εἰσίν , ὡς ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς λέγεται · ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΘ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΓΘΗ ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ ἐστιν ἴση . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τῷ ΓHΘ τριγώνῳ . τῶν δὲ ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΘΗ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ . ἀλλʼ ὁ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν Θ λόγος ἐστὶ γνώριμος · καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ λόγος ἐστὶ γνώριμος . ἀλλʼ ἡ ΗΒ ἐστι γνώριμος . καὶ ἡ ΑΒ ἄρα ἐστὶ γνώριμος .
Lemmas: μή ὑπάρχω ἥλιος ὁ δίδωμι ὕψος γιγνώσκω , πηλίκος εἰμί . ἵστημι τίς ὕψος ὁ ΑΒ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Γ , καί δήω ἵστημι ὁ ΑΒ γιγνώσκω , πηλίκος εἰμί . ὡς μή ὑπάρχω ἥλιος . κεῖμαι κάτοπτρον ὁ ∠Ζ , καί προσεκβάλλω ὁ Ε∠ ἐπί εὐθύς ὁ ∠Β , ἄχρι ὅς συμβάλλω ὁ πέρας ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ Β , καί προσπίπτω ἀκτίς ἀπό ὁ ὄμμα ὁ Γ ὁ ΓΗ , καί ἀντανακλάω , ἄχρι ὅς συμβάλλω ὁ πέρας ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ Α , καί προσεκβάλλω ὁ ∠Ε ὁ ΕΘ , καί ἄγω ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ΕΘ κάθετος ὁ ΓΘ . ἐπεί οὖν προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΓΗ καί ἀντανακλάω ὁ ΗΑ , πρός ἴσος γωνία ἀνακλάω εἰμί , ὡς ἐν ὁ κατοπτρικός λέγω · ἴσος ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΓΗΘ ὁ ὑπό ΑΗΒ . ἀλλά καί ὁ ὑπό ΑΒΗ ὁ ὑπό ΓΘΗ ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΗΓΘ λοιπός ὁ ὑπό ΗΑΒ εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗΒ τρίγωνος ὁ ΓHΘ τρίγωνος . ὁ δέ ἰσογώνιος τρίγωνος ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΓΘ πρός ὁ τίθημι , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ . ἀλλά ὁ ὁ ΓΘ πρός ὁ Θ λόγος εἰμί γνώριμος · καί ὁ ὁ ΒΑ ἄρα πρός ὁ ΒΗ λόγος εἰμί γνώριμος . ἀλλά ὁ ΗΒ εἰμί γνώριμος . καί ὁ ΑΒ ἄρα εἰμί γνώριμος .
euclides-geom.optica 20
Τὸ δοθὲν βάθος γνῶναι , πηλίκον ἐστίν . ἔστω τὸ δοθὲν βάθος τὸ Α∠ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε , καὶ δέον τὸ βάθος γνῶναι , πηλίκον ἐστίν . προσπιπτέτω γὰρ τῇ ὄψει ἡλίου ἀκτὶς ἡ Ε∠ συμβάλλουσα τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Β σημεῖον καὶ τῷ βάθει κατὰ τὸ ∠ . καὶ προσεκβεβλήσθω ἀπὸ τοῦ Β ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΖ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΒΖ εὐθεῖαν κάθετος ἡ ΕΖ . ἐπεὶ οὖν ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΒ τῇ ὑπὸ ΒΑ∠ , ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ , καὶ ἡ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΖ τῇ ὑπὸ Α∠Β ἐστιν ἴση . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α∠Β τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ . καὶ αἰ πλευραὶ ἄρα ἀνάλογον ἔσονται . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΒ , ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ . ἀλλʼ ὁ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΖΒ λόγος ἐστὶ γνώριμος · καὶ ὁ τῆς ∠Α ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ γνώριμος . καί ἐστι καὶ τὸ ΑΒ γνώριμον . καὶ τὸ Α∠ ἄρα γνώριμόν ἐστιν .
Lemmas: ὁ δίδωμι βάθος γιγνώσκω , πηλίκος εἰμί . ἵστημι ὁ δίδωμι βάθος ὁ Α∠ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ε , καί δήω ὁ βάθος γιγνώσκω , πηλίκος εἰμί . προσπίπτω γάρ ὁ ὁράω ἥλιος ἀκτίς ὁ Ε∠ συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Β σημεῖον καί ὁ βάθος κατά ὁ ∠ . καί προσεκβάλλω ἀπό ὁ Β ἐπί εὐθύς ὁ ΒΖ , καί ἄγω ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΒΖ εὐθύς κάθετος ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΕΖΒ ὁ ὑπό ΒΑ∠ , ἀλλά καί ὁ ὑπό ΑΒ∠ ὁ ὑπό ΕΒΖ , καί ὁ τρίτος ἄρα ὁ ὑπό ΒΕΖ ὁ ὑπό Α∠Β εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ Α∠Β τρίγωνος ὁ ΒΕΖ τρίγωνος . καί ὁ πλευρά ἄρα ἀνάλογος εἰμί . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΒ , ὁ ∠Α πρός ὁ ΑΒ . ἀλλά ὁ ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΒ λόγος εἰμί γνώριμος · καί ὁ ὁ ∠Α ἄρα πρός ὁ ΑΒ λόγος εἰμί γνώριμος . καί εἰμί καί ὁ ΑΒ γνώριμος . καί ὁ Α∠ ἄρα γνώριμος εἰμί .
euclides-geom.optica 21
Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι , πηλίκον ἐστίν . ἔστω τὸ δοθὲν μῆκος τὸ ΑΒ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ . καὶ δέον ἔστω τὸ ΑΒ μῆκος γνῶναι , πηλίκον ἐστίν προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΓΑ , ΓΒ , καὶ εἰλήφθω ἐγγὺς τοῦ ὄμματος τοῦ Γ ἐπὶ τῆς ἀκτῖνος τυχὸν σημεῖον τὸ ∠ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ ∠ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος εὐθεῖα ἡ ∠Ε . ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΑ ἦκται ἡ ∠Ε , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Ε , οὕτως ἡ πρὸς τὴν ΑΒ . ἀλλʼ ὁ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ∠Ε λόγος ἐστὶ γνώριμος · καὶ ὁ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος γνώριμός ἐστιν . καὶ γνώριμός ἐστιν ἡ ΑΓ . γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ .
Lemmas: ὁ δίδωμι μῆκος ἐπιγιγνώσκω , πηλίκος εἰμί . ἵστημι ὁ δίδωμι μῆκος ὁ ΑΒ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Γ . καί δήω ἵστημι ὁ ΑΒ μῆκος γιγνώσκω , πηλίκος εἰμί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΓΑ , ΓΒ , καί λαμβάνω ἐγγύς ὁ ὄμμα ὁ Γ ἐπί ὁ ἀκτίς τυγχάνω σημεῖον ὁ ∠ , καί ἄγω διά ὁ ∠ σημεῖον ὁ ΑΒ παράλληλος εὐθύς ὁ ∠Ε . ἐπεί οὖν τρίγωνος ὁ ΑΒΓ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΒΑ ἄγω ὁ ∠Ε , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ Γ∠ πρός ὁ ∠Ε , οὕτως ὁ πρός ὁ ΑΒ . ἀλλά ὁ ὁ Γ∠ πρός ὁ ∠Ε λόγος εἰμί γνώριμος · καί ὁ ὁ ΑΓ ἄρα πρός ὁ ΑΒ λόγος γνώριμος εἰμί . καί γνώριμος εἰμί ὁ ΑΓ . γνώριμος ἄρα καί ὁ ΑΒ .
euclides-geom.optica 23
Σφαίρας ὁπωσδηποτοῦν ὁρωμένης ὑπὸ ἑνὸς ὄμματος ἔλασσον ἀεὶ ἡμισφαιρίου φαίνεται , αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας μέρος κύκλου περιφέρεια φαίνεται . ἔστω σφαῖρα , ἧς κέντρον μὲν τὸ Α , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β . καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ , καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΒΑ ἐπίπεδον . ποιήσει οὖν τομὴν · κύκλον . ποιείτω τὸν Γ∠ΘΗ κύκλον , καὶ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΒ∠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΒ , Β∠ , Α∠ , ΑΓ . ἐπεὶ οὖν ἡμικύκλιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ , ὀρθὴ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ · ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ Β∠Α . αἱ ΓΒ , Β∠ ἄρα ἐφάπτονται . ἐπεζεύχθω οὖν ἡ Γ∠ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΗΘ . ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῷ Κ . ἐὰν δὴ τὸ ΒΓΚ τρίγωνονμενούσης τῆς Α Β περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν Κ περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , ἡ μὲν Β Γ καθʼ ἓν σημεῖον ἐφάψεται τῆς σφαίρας , ἡ δὲ ΚΓ ποιήσει τὴν τομὴν κύκλον . κύκλου μὲν ἄρα περιφέρεια ὀφθήσεται ἐν τῇ σφαίρᾳ . λέγω δέ , ὅτι καὶ ἔλαττον ἡμισφαιρίου . ἐπεὶ γὰρ ἡμικύκλιόν ἐστι τὸ ΗΘ , τὸ Γ∠ ἔλαττον ἡμικυκλίου ἐστίν . καὶ ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΓ Β∠ ἀκτίνων τὸ αὐτὸ τῆς σφαίρας μέρος . ἔλαττον ἄρα ἡμισφαιρίου τὸ Γ∠ · καὶ ὑπὸ τῶν ἀκτίνων τῶν ΒΓ , Β∠ βλέπεται .
Lemmas: σφαῖρα ὁπωσδηποτοῦν ὁράω ὑπό εἷς ὄμμα μικρός ἀεί ἡμισφαίριον φαίνω , αὐτός δέ ὁ ὁράω ὁ σφαῖρα μέρος κύκλος περιφέρεια φαίνω . ἵστημι σφαῖρα , ὅς κέντρον μέν ὁ Α , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Β . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , καί ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ΒΑ ἐπίπεδος . ποιέω οὖν τομή · κύκλος . ποιέω ὁ Γ∠ΘΗ κύκλος , καί περί διάμετρος ὁ ΑΒ κύκλος γράφω ὁ ΓΒ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ΓΒ , Β∠ , Α∠ , ΑΓ . ἐπεί οὖν ἡμικύκλιος εἰμί ὁ ΑΓΒ , ὀρθός γωνία εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ · ὁμοίως καί ὁ ὑπό Β∠Α . ὁ ΓΒ , Β∠ ἄρα ἐφάπτω . ἐπιζεύγνυμι οὖν ὁ Γ∠ , καί ἄγω διά ὁ Α σημεῖον ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ ΗΘ . ὀρθός ἄρα ὁ πρός ὁ Κ . ἐάν δή ὁ ΒΓΚ τριγωνονμενουω ὁ Α Β περί ὁ ὀρθός γωνία ὁ Κ περιφέρω εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ μέν Β Γ κατά εἷς σημεῖον ἐφάπτω ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ΚΓ ποιέω ὁ τομή κύκλος . κύκλος μέν ἄρα περιφέρεια ὁράω ἐν ὁ σφαῖρα . λέγω δέ , ὅτι καί μικρός ἡμισφαίριον . ἐπεί γάρ ἡμικύκλιος εἰμί ὁ ΗΘ , ὁ Γ∠ μικρός ἡμικύκλιον εἰμί . καί ὁράω ὑπό ὁ ΒΓ Β∠ ἀκτίς ὁ αὐτός ὁ σφαῖρα μέρος . μικρός ἄρα ἡμισφαίριον ὁ Γ∠ · καί ὑπό ὁ ἀκτίς ὁ ΒΓ , Β∠ βλέπω .
euclides-geom.optica 24
Τοῦ ὄμματος προσιόντος τῇ σφαίρᾳ ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον , δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι . ἔστω σφαῖρα , ἧς κέντρον μὲν τὸ Α , ὄμμα δὲ τὸ Β , ἀφʼ οὗ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ . καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΒ κύκλος ὁ ΓΒ∠ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑκάτερα εὐθεῖα ἡ ΕΖ , καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν EΚ , ΑΒ ἐπίπεδον . ποιήσει οὖν τομὴν κύκλον . ἔστω ὁ ΓΕΖ ∠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ , Αζεύχθωσαν , ζεύχθωσανΒ , ΒΓ , Γζεύχθωσαν . διὰ δὴ τὸ πρὸ αὐτοῦ ὀρθαὶ [ μὲν ] αἱ πρὸς τοῖς Γ , ∠ σημείοις . ἐφάπτονται ἄρα αἱ ΒΓ , Β∠ , αἵτινές εἰσιν ἀκτῖνες , καὶ βλέπεται ὑπὸ τοῦ Β ὄμματος τὸ Γ∠ μέρος τῆς σφαίρας . μετακεκινήσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Θ , ἀφʼ οὗ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ΘΑ , καὶ [ περι ] γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΛΚ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΚ , KΑ , ΑΛ , ΑΘ εὐθεῖαι . ὁμοίως δὴ ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος βλέπεται μὲν τὸ Κ Λ μέρος τῆς σφαίρας , ὑπὸ δὲ τοῦ Β ἐβλέπετο τὸ Γ∠ . ἔλαττον δὲ τὸ ΚΛ τοῦ Γ∠ . προσιόντος ἄρα τοῦ ὄμματος ἔλαττόν ἐστι τὸ ὁρώμενον . δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι · μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΘΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΒ∠ γωνίας .
Lemmas: ὁ ὄμμα πρόσειμι ὁ σφαῖρα μικρός εἰμί ὁ ὁράω , δοκέω δέ μείζων ὁράω . ἵστημι σφαῖρα , ὅς κέντρον μέν ὁ Α , ὄμμα δέ ὁ Β , ἀπό ὅς ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ΑΒ . καί περιγράφω περί ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΓΒ∠ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ΑΒ εὐθύς πρός ὀρθός ἐπί ἑκάτερος εὐθύς ὁ ΕΖ , καί ἐκβάλλω ὁ διά ὁ EΚ , ΑΒ ἐπίπεδος . ποιέω οὖν τομή κύκλος . ἵστημι ὁ ΓΕΖ ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΑ , Αζεύχθωσαν , ζεύχθωσανΒ , ΒΓ , Γζεύχθωσαν . διά δή ὁ πρό αὐτός ὀρθός [ μέν ] ὁ πρός ὁ Γ , ∠ σημεῖον . ἐφάπτω ἄρα ὁ ΒΓ , Β∠ , ὅστις εἰμί ἀκτίς , καί βλέπω ὑπό ὁ Β ὄμμα ὁ Γ∠ μέρος ὁ σφαῖρα . μετακινέω δή ὁ ὄμμα ἐγγύς ὁ σφαῖρα καί ἵστημι ὁ Θ , ἀπό ὅς ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ΘΑ , καί [ περί ] γράφω κύκλος ὁ ΑΛΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΚ , Α , ΑΛ , ΑΘ εὐθύς . ὁμοίως δή ὑπό ὁ Θ ὄμμα βλέπω μέν ὁ Κ Λ μέρος ὁ σφαῖρα , ὑπό δέ ὁ Β βλέπω ὁ Γ∠ . μικρός δέ ὁ ΚΛ ὁ Γ∠ . πρόσειμι ἄρα ὁ ὄμμα ἐλάσσων εἰμί ὁ ὁράω . δοκέω δέ μείζων φαίνω · μείζων γάρ ὁ ὑπό ΚΘΛ γωνία ὁ ὑπό ΓΒ∠ γωνία .
euclides-geom.optica 25
Σφαίρας διὰ δύο ὀμμάτων ὁρωμένης ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση ᾖ τῇ εὐθείᾳ , ἐφʼ ἣν διεστήκασι τὰ ὄμματα ἀπʼ ἀλλήλων , τὸ ἡμισφαίριον αὐτῆς ὀφθήσεται ὅλον . ἔστω σφαῖρα , ἧς κέντρον τὸ Α , καὶ γεγράφθω ἐν τῇ σφαίρᾳ περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΒΓ , καὶ ἤχθω διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΒΓ , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β , Γ πρὸς ὀρθὰς αἱ Β∠ , ΓΕ , τῇ δὲ ΒΓ παράλληλος ἔστω ἡ ∠Ε , ἐφʼ ἧς κείσθω τὰ ὄμματα τὰ ∠ , Ε . λέγω , ὅτι τὸ ἡμισφαίριον ὅλον ὀφθήσεται . ἤχθω διὰ τοῦ Α ἑκατέρᾳ τῶν Β∠ , ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΖ τὸ ΑΒ∠Ζ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστιν . ἐὰν δὴ μενούσης τῆς Α περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι τὸ περιενεχθὲν σχῆμα , ἄρξεται μὲν ἀπὸ τοῦ Β , ἐλεύσεται δὲ καὶ ἐπὶ τὸ Γ καὶ τὸ Β , καὶ τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς ΑΒ σχῆμα κύκλος ἔσται , ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐστίν . ἡμισφαίριον ἄρα ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν ∠ , Ε ὀμμάτων .
Lemmas: σφαῖρα διά δύο ὄμμα ὁράω ἐάν ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί ὁ εὐθύς , ἐπί ὅς διΐστημι ὁ ὄμμα ἀπό ἀλλήλων , ὁ ἡμισφαίριον αὐτός ὁράω ὅλος . ἵστημι σφαῖρα , ὅς κέντρον ὁ Α , καί γράφω ἐν ὁ σφαῖρα περί κέντρον ὁ Α κύκλος ὁ ΒΓ , καί ἄγω διάμετρος αὐτός ὁ ΒΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Β , Γ πρός ὀρθός ὁ Β∠ , ΓΕ , ὁ δέ ΒΓ παράλληλος ἵστημι ὁ ∠Ε , ἐπί ὅς κεῖμαι ὁ ὄμμα ὁ ∠ , Ε . λέγω , ὅτι ὁ ἡμισφαίριον ὅλος ὁράω . ἄγω διά ὁ Α ἑκάτερος ὁ Β∠ , ΓΕ παράλληλος ὁ αζʹ ὁ ΑΒ∠Ζ ἄρα παραλληλόγραμμος εἰμί . ἐάν δή Μένων ὁ Α περιφέρω εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω ὁ περιφέρω σχῆμα , ἄρχω μέν ἀπό ὁ Β , ἔρχομαι δέ καί ἐπί ὁ Γ καί ὁ Β , καί ὁ περιγράφω ὑπό ὁ ΑΒ σχῆμα κύκλος εἰμί , ὅς γε διά ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα εἰμί . ἡμισφαίριον ἄρα ὁράω ὑπό ὁ ∠ , Ε ὄμμα .
euclides-geom.optica 26
Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου , μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται τῆς σφαίρας . ἔστω σφαῖρα , ἧς κέντρον τὸ Α , καὶ περιγεγράφθω περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΕΘ∠Η , ὄμματα δὲ τὰ Β , Γ , καὶ ἔστω τὸ διάστημα τὸ μεταξὺ τῶν Β , Γ ὄψεων μεῖζον τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ . λέγω , ὅτι μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΕ , Γ∠ καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ε , ∠ μέρη · συμβάλλουσι δὴ ἀλλήλαις διὰ τὸ ἐλάσσονα εἶναι τὴν διάμετρον τῆς ΒΓ . συμβαλλέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον . ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος σημείου τῶν ἐκτὸς τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν προσπεπτώκασιν εὐθεῖαι αἱ ΖΕ , Ζ∠ , τὸ ∠ΘΕ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου . τὸ ΕΗ∠ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου . ἀλλʼ ὑπὸ τῶν Β , Γ τὸ EΗ∠ βλέπεται . μεῖζον ἄρα ἢ τὸ ἥμισυ ὀφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τῶν Β , Γ . τὸ αὐτὸ ἄρα καὶ τῆς σφαίρας ὀφθήσεται .
Lemmas: ἐάν ὁ ὁ ὄμμα διάστημα μείζων εἰμί ὁ ἐν ὁ σφαῖρα διάμετρος , μείζων ὁ ἡμισφαίριον ὁράω ὁ σφαῖρα . ἵστημι σφαῖρα , ὅς κέντρον ὁ Α , καί περιγράφω περί κέντρον ὁ Α κύκλος ὁ ΕΘ∠Η , ὄμμα δέ ὁ Β , Γ , καί ἵστημι ὁ διάστημα ὁ μεταξύ ὁ Β , Γ ὄψις μείζων ὁ ἐν ὁ σφαῖρα διάμετρος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ . λέγω , ὅτι μείζων ὁ ἡμισφαίριον ὁράω . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΒΕ , Γ∠ καί προσεκβάλλω ἐπί ὁ Ε , ∠ μέρος · συμβάλλω δή ἀλλήλων διά ὁ μικρός εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ΒΓ . συμβάλλω δή κατά ὁ Ζ σημεῖον . ἐπεί οὖν ἀπό τις σημεῖον ὁ ἐκτός ὁ κύκλος πρός ὁ περιφέρεια προσπίπτω εὐθύς ὁ ΖΕ , Ζ∠ , ὁ ∠ΘΕ ἄρα ἐλάσσων εἰμί ἡμικύκλιον . ὁ ΕΗ∠ ἄρα μέγας εἰμί ἡμικύκλιον . ἀλλά ὑπό ὁ Β , Γ ὁ EΗ∠ βλέπω . μείζων ἄρα ἢ ὁ ἥμισυς ὁράω ὁ κύκλος ὑπό ὁ Β , Γ . ὁ αὐτός ἄρα καί ὁ σφαῖρα ὁράω .
euclides-geom.optica 27
Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλαττον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου , ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται . ἔστω σφαῖρα , ἧς κέντρον τὸ Α σημεῖον , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α σημεῖον κύκλος ὁ ΒΓ , καὶ κείσθω τὸ διάστημα τῶν ὀμμάτων τὸ γεγράφθωΕ ἔλασσον ὄν τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου , ἀφʼ οὗ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ∠Β , ΕΓ αἱ αὐταὶ καὶ ἀκτῖνες . λέγω , ὅτι ἔλασσονι ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται . ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ Β∠ . ΓΕ συμπεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰ Γ , Η , Β μέρη , ἐπειδήπερ ἡ ∠Ε ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου . συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ σημεῖον . ἐπεὶ οὗν ἀπό τινος σημείου τοῦ Ζ προσπεπτώκασιν εὐθεῖαι αἱ ΖΓ , ΖΒ . τὸ ΒΗΓ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου . ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ ΒΗΓ τμῆμα , ἐν τούτῳ καὶ τὸ τῆς σφαίρας ἀπολαμβάνουσιν ἄρα ἔλαττον ἡμισφαιρίου .
Lemmas: ἐάν ὁ ὁ ὄμμα διάστημα μικρός εἰμί ὁ ἐν ὁ σφαῖρα διάμετρος , μικρός ἡμισφαίριον ὁράω . ἵστημι σφαῖρα , ὅς κέντρον ὁ Α σημεῖον , καί περιγράφω περί ὁ Α σημεῖον κύκλος ὁ ΒΓ , καί κεῖμαι ὁ διάστημα ὁ ὄμμα ὁ γεγράφθωΕ μικρός εἰμί ὁ ἐν ὁ σφαῖρα διάμετρος , ἀπό ὅς ἄγω ἐφάπτω ὁ ∠Β , ΕΓ ὁ αὐτός καί ἀκτίς . λέγω , ὅτι μικρός ἡμισφαίριον ὁράω . ἐκβάλλω γάρ ὁ Β∠ . ΓΕ συμπίπτω δή ἐπί ὁ Γ , ὁ , Β μέρος , ἐπεί ὁ ∠Ε μικρός εἰμί ὁ ἐν ὁ σφαῖρα διάμετρος . συμπίπτω κατά ὁ σημεῖον . ἐπεί ἐν ἀπό τις σημεῖον ὁ Ζ προσπίπτω εὐθύς ὁ ΖΓ , ΖΒ . ὁ ΒΗΓ ἄρα ἐλάσσων εἰμί ἡμικύκλιον . ἀλλά ἐν ὅς εἰμί ὁ ΒΗΓ τμῆμα , ἐν οὗτος καί ὁ ὁ σφαῖρα ἀπολαμβάνω ἄρα μικρός ἡμισφαίριον .
euclides-geom.optica 29
Τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔγγιον τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέν ἐστι τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ἀκτίνων τοῦ κυλίνδρου , δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι . ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος , κέντρον δὲ τὸ Α , ὄμμα δὲ τὸ Ε , ἀφ᾿ οὗ ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΕΑ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ , ΕΓ , καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Β , Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς τῷ κυλίνδρῳ αἱ ΓΖ , ΒΗ . διὰ δὴ τὰ πρότερα τὸ ΗΒΓΖ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυλινδρίου · καὶ βλέπεται ὑπὸ τοῦ Ε ὄμματος . μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον τὸ Θ . λέγω , ὅτι τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος δοκεῖ τοῦ ΖΓΒΗ μεῖζον φαίνεσθαι ἔλαττον αὐτοῦ ὄν . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΘΚ , ΘΛ , καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Κ , Λ σημείων [ αἱ ] πλευραὶ τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρθὰς αἱ ΚΜ , ΛΝ . θεωρηθήσεται δὴ ὑπὸ τῶν ΘΚ , ΘΛ ἀκτίνων τὸ ΜΚΛΝ μέρος τοῦ κυλίνδρου . ἀλλὰ καὶ ὑπὸ τῶν ΕΒ , ΕΓ τὸ ΖΓΒΗ . ἔστι δὲ τὸ ΖΓΒΗ τοῦ ΜΚΛΝ μεῖζον · δοκεῖ δὲ ἔλασσον φαίνεσθαι , ἐπειδήπερ καὶ μείζων γωνία ἡ πρὸς τῷ Θ τῆς πρὸς τῷ Ε .
Lemmas: ὁ ὄμμα τίθημι ἐγγύς ὁ κύλινδρος μικρός μέν εἰμί ὁ περιλαμβάνω ὑπό ὁ ἀκτίς ὁ κύλινδρος , δοκέω δέ μείζων ὁράω . ἵστημι κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ ΒΓ κύκλος , κέντρον δέ ὁ Α , ὄμμα δέ ὁ Ε , ἀπό ὅς ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ κέντρον ὁ ΕΑ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΒ , ΕΓ , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Β , Γ σημεῖον πρός ὀρθός ὁ κύλινδρος ὁ ΓΖ , ΒΗ . διά δή ὁ πρότερος ὁ ΓΖΗ ἐλάσσων εἰμί ἡμικυλίνδριον · καί βλέπω ὑπό ὁ Ε ὄμμα . μετάκειμαι δή ὁ ὄμμα ἐγγύς ὁ Θ . λέγω , ὅτι ὁ περιλαμβάνω ὑπό ὁ Θ ὄμμα δοκέω ὁ ΖΓΒΗ μείζων φαίνω μικρός αὐτός εἰμί . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΘΚ , ΘΛ , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Κ , Λ σημεῖον [ ὁ ] πλευρά ὁ κύλινδρος πρός ὀρθός ὁ ΚΜ , ΛΝ . θεωρέω δή ὑπό ὁ ΘΚ , ΘΛ ἀκτίς ὁ ΜΚΛΝ μέρος ὁ κύλινδρος . ἀλλά καί ὑπό ὁ ΕΒ , ΕΓ ὁ ΖΓΒΗ . εἰμί δέ ὁ ΖΓΒΗ ὁ ΜΚΛΝ μείζων · δοκέω δέ μικρός φαίνω , ἐπεί καί μείζων γωνία ὁ πρός ὁ Θ ὁ πρός ὁ Ε .
euclides-geom.optica 30
Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ τὸν ἄξονα ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικωνίου ὀφθήσεται . ἔστω κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠ , ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Β , ∠Γ . καὶ ἐπεὶ προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ ∠Γ , ∠Β ἐφαπτόμεναι τοῦ ΒΓ , τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὰ προαποδεδειγμένα . ἤχθωσαν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τῆς Α ἐπὶ τὰ Β , Γ σημεῖα πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΑΒ , ΑΓ . τὸ ἄρα ἐμπεριλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΑΓ εὐθειῶν καὶ τοῦ ΒΓ τομέως ἔλαττόν ἐστιν ἡμικωνίου , ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΒΓ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου . ἔλασσον ἄρα ἡμικωνίου ὀφθήσεται .
Lemmas: Κώνου κύκλος ἔχω ὁ βάσις καί πρός ὀρθός αὐτός ὁ ἄγω ὑπό ὁ εἷς ὄμμα ὁράω μικρός ἡμικώνιον ὁράω . ἵστημι κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ ΒΓ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ ∠ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ∠Β , ∠Γ . καί ἐπεί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ∠Γ , ∠Β ἐφάπτω ὁ ΒΓ , ὁ ΒΓ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ἡμικύκλιον διά ὁ προαποδείκνυμι . ἄγω ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ Α ἐπί ὁ Β , Γ σημεῖον πλευρά ὁ κῶνος ὁ ΑΒ , ΑΓ . ὁ ἄρα ἐμπεριλαμβάνω ὑπό ὁ ΑΒ , ΑΓ εὐθύς καί ὁ ΒΓ τομεύς ἐλάσσων εἰμί ἡμικώνιον , ἐπεί καί ὁ ΒΓ ἐλαχύς εἰμί ἡμικύκλιον . μικρός ἄρα ἡμικώνιον ὁράω .
euclides-geom.optica 31
Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , ἐν ᾧ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου , ἔλαττον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων ἐμπεριλαμβανόμενον μέρος , δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι . ἔστω κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ∠Λ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Α , ∠Β , καὶ ἐπεζεύχθωσαν πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΑΓ , ΓΒ . οὐκοῦν ὑπὸ τοῦ ∠ ὄμματος καὶ τῶν ∠Α , ∠Β ὄψεων ἐμπεριλαμβάνεται τὸ ΑΒΓ μέρος τοῦ κώνου , καί ἐστιν ἔλαττον ἡμικωνίου . μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον καὶ ἔστω τὸ Ε , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΖ , ΕΗ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ πλευραὶ αἱ ΖΓ , ΓΗ . πάλιν οὖν ἐμπεριλαμβάνεται ὑπὸ τοῦ Ε ὄμματος καὶ τῶν ΕΖ , ΕΗ ὄψεων τὸ ΖΓΗ μέρος τοῦ κώνου . ἔστι δὲ τὸ ΖΓΗ τοῦ ΑΒΓ ἔλασσον · δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι , ἐπειδὴ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΗ γωνία τῆς ὑπὸ Α∠Β γωνίας . φανερὸν δέ , ὅτι καὶ ἐπὶ κώνου ὑπὸ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένου συμβήσεται τὰ ἐπὶ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κυλίνδρου τῶν ὁμοίως ὁρωμένων συμβαίνοντα .
Lemmas: ὁ δέ ὄμμα ἐγγύς τίθημι ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ βάσις ὁ κῶνος , μικρός μέν εἰμί ὁ ὑπό ὁ ὄψις ἐμπεριλαμβάνω μέρος , δοκέω δέ μείζων ὁράω . ἵστημι κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ ∠ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ∠Λ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ∠Α , ∠Β , καί ἐπιζεύγνυμι πλευρά ὁ κῶνος ὁ ΑΓ , ΓΒ . οὐκοῦν ὑπό ὁ ∠ ὄμμα καί ὁ ∠Α , ∠Β ὄψις ἐμπεριλαμβάνω ὁ ΑΒΓ μέρος ὁ κῶνος , καί εἰμί μικρός ἡμικώνιον . μετάκειμαι δή ὁ ὄμμα ἐγγύς καί ἵστημι ὁ Ε , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΖ , ΕΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ πλευρά ὁ ΖΓ , ΓΗ . πάλιν οὖν ἐμπεριλαμβάνω ὑπό ὁ Ε ὄμμα καί ὁ ΕΖ , ΕΗ ὄψις ὁ ΖΓΗ μέρος ὁ κῶνος . εἰμί δέ ὁ ΖΓΗ ὁ ΑΒΓ μικρός · δοκέω δέ μείζων φαίνω , ἐπεί μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΖΕΗ γωνία ὁ ὑπό Α∠Β γωνία . φανερός δέ , ὅτι καί ἐπί κῶνος ὑπό ὁ δύο ὄμμα ὁράω συμβαίνω ὁ ἐπί ὁ σφαῖρα καί ὁ κύλινδρος ὁ ὁμοίως ὁράω συμβαίνω .
euclides-geom.optica 32
Ἐὰν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπίπτωσιν ἀκτῖνες , ἀπὸ δὲ τῶν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων καὶ ἐφαπτομένων ἀπὸ τῶν ἁφῶν εὐθεῖαι ἀχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ , διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ , ἐπὶ δὲ τῆς συναφῆς αὐτῶν , τουτέστιν ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων , τὸ ὄμμα τεθῇ , τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου διὰ παντὸς ἴσον ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης . ἔστω κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠ , ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Ζ , ∠Γ , καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν Ζ , Γ πρὸς τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου τὴν Α πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΖΑ , ΓΑ , καὶ ἐκβεβλήσθω τό τε διὰ τῶν ∠Ζ , ΖΑ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν Γ∠ , ΓΑ . ποιήσει ἄρα τὴν κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν . ἔστω ἡ ΑΕ∠ . λέγω , ὅτι , ἐὰν ἐπὶ τῆς ΑΕ∠ μετατεθῇ τὸ ὄμμα , τὸ ἴσον τοῦ κώνου ὀφθήσεται , ὅσον καὶ ὑπὸ τῶν ∠Γ , ∠Ζ ἀκτίνων ἐβλέπετο . κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΕ∠ τὸ ὄμμα τὸ Ε , ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες πρὸς τὸν κῶνον . ἐλεύσονται δὴ κατὰ τὰς ΑΖ , ΑΓ , ἐπειδήπερ ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου κεῖται τὸ ὄμμα , κατ᾿ εὐθείας δὲ γραμμὰς φέρονται αἱ ὄψεις . εἰ γὰρ ἐκτὸς πεσοῦνται τῶν ΑΓ , ΑΖ , κλασθήσονται αἱ ὄψεις · ὅπερ ἄτοπον . ἔστωσαν οὖν αἱ ΕΘ , ΕΗ . ἐπεὶ οὖν ἐπὶ παραλλήλου μὲν ἐπιπέδου κατ᾿ εὐθείας γραμμὰς φέρονται αἱ ὄψεις , τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται , ὅσαι δ᾿ ἂν ὄψεις ἐπὶ τῆς ΑΕ∠ εὐθείας τεθῶσι παράλληλοι , ἴσας γωνίας περιέχουσι , τὸ ἴσον ἄρα τοῦ κώνου ὀφθήσεται .
Lemmas: ἐάν ἀπό ὁ ὄμμα πρός ὁ ὁ κῶνος βάσις προσπίπτω ἀκτίς , ἀπό δέ ὁ προσπίπτω ἀκτίς καί ἐφάπτω ἀπό ὁ ἁφή εὐθύς ἄγω διά ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος πρός ὁ κορυφή αὐτός , διά δέ ὁ ἄγω καί ὁ ἀπό ὁ ὄμμα πρός ὁ βάσις ὁ κῶνος προσπίπτω ἐπίπεδος ἐκβάλλω , ἐπί δέ ὁ συναφή αὐτός , τουτέστιν ἐπί ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος , ὁ ὄμμα τίθημι , ὁ ὁράω ὁ κῶνος διά πᾶς ἴσος ὁράω ὁ ὄψις ἐπί παράλληλος ἐπίπεδος ὁ προυπόκειμαι ἐπίπεδος ὑπάρχω . ἵστημι κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ ΒΓ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ ∠ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ∠Ζ , ∠Γ , καί ἀνάγω ἀπό ὁ συναφή ὁ Ζ , Γ πρός ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ Α πλευρά ὁ κῶνος ὁ Γῆ , ΓΑ , καί ἐκβάλλω ὁ τε διά ὁ ∠Ζ , Γῆ ἐπίπεδος καί ὁ διά ὁ Γ∠ , ΓΑ . ποιέω ἄρα ὁ κοινός τομή εὐθύς . ἵστημι ὁ ΑΕ∠ . λέγω , ὅτι , ἐάν ἐπί ὁ ΑΕ∠ μετατίθημι ὁ ὄμμα , ὁ ἴσος ὁ κῶνος ὁράω , ὅσος καί ὑπό ὁ ∠Γ , ∠Ζ ἀκτίς βλέπω . κεῖμαι γάρ ἐπί ὁ ΑΕ∠ ὁ ὄμμα ὁ Ε , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς πρός ὁ κῶνος . ἔρχομαι δή κατά ὁ αζʹ , ΑΓ , ἐπεί ἐπί παράλληλος ἐπίπεδος κεῖμαι ὁ ὄμμα , κατά εὐθύς δέ γραμμή φέρω ὁ ὄψις . εἰμί γάρ ἐκτός πίπτω ὁ ΑΓ , αζʹ , κλάω ὁ ὄψις · ὅσπερ ἄτοπος . εἰμί οὖν ὁ ΕΘ , ΕΗ . ἐπεί οὖν ἐπί παράλληλος μέν ἐπίπεδος κατά εὐθύς γραμμή φέρω ὁ ὄψις , ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω , ὅσος δέ εἄν ὄψις ἐπί ὁ ΑΕ∠ εὐθύς τίθημι παράλληλος , ἴσος γωνία περιέχω , ὁ ἴσος ἄρα ὁ κῶνος ὁράω .