euclides-geom.optica 44
Εἰσὶ τόποι , ἐφ᾿ οὓς τοῦ ὄμματος μετατιθεμένου τὰ ἴσα μεγέθη καὶ κοινῶς ἀπολαβόντα τόπους τινὰς ποτὲ μὲν ἴσα , ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται . ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Θ , μεγέθη δὲ τὰ ΑΒ , ΒΓ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ ∠ . φανερὸν δή , ὅτι καθ᾿ ὁποιονοῦν τῆς Ζ∠ μέρος ἂν τεθῇ τὸ ὄμμα , τὰ ΑΒ , ΒΓ ἴσα φανήσεται . μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ε . λέγω , ὅτι ἀπὸ τοῦ Ε ἄνισα φαίνεται . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΕΓ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΕ τρίγωνον ὁ ΑΕ∠Γ κύκλος , καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΕΒ ἡ ΒΗ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ Α∠ περιφέρεια τῇ ∠Γ περιφερείᾳ , μείζων δὲ ἡ Α∠Η περιφέρεια τῆς ΗΓ περιφερείας , μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ . κἂν μεταβαίνῃ δὲ ἐπὶ τῆς ΕΗ , ἄνισα ὁμοίως φανήσεται , καὶ ἐπὶ τῶν τοῦ κύκλου μερῶν χωρὶς τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐὰν τεθῇ , ἄνισα φαίνεται , καὶ ἐὰν ἐκτὸς τοῦ κύκλου τεθῇ μὴ ἐπ᾿ εὐθείας ὂν τῇ ∠Ζ , ἄνισα φαίνεται . Ἄλλως . Ἔστω γὰρ ἴση ἡ ΒΓ τῇ Γ∠ , καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΖΓ , περὶ δὲ τὴν Γ∠ μεῖζον ἡμικυκλίου τὸ ΓΖ∠ · καὶ φανερόν , ὅτι τεμεῖ τὸ προειρημένον ἡμικύκλιον . δυνατὸν δέ ἐστιν ἐπὶ τῆς Γ∠ γράψαι τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου . ἐὰν γὰρ ὑποθώμεθα ὀξεῖάν τινα γωνίαν , δυνατὸν ἡμῖν ἐστιν ἐπὶ τῆς Γ∠ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ὑποκειμένῃ ὀξείᾳ γωνίᾳ , ὡς ἀπὸ τοῦ λγ΄ τοῦ τρίτου τῶν ἐπιπέδων , καὶ ἔσται τὸ συνιστάμενον ἐπ᾿ αὐτῆς μεῖζον ἡμικυκλίου , ὡς ἀπὸ τοῦ λα΄ τοῦ τρίτου τῶν ἐπιπέδων . καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ , ΖΓ , Ζ∠ . οὐκοῦν ἡ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι τμήματι . τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται · μείζων ἄρα ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ φαίνεται . ἦν δὲ καὶ ἴση . ἔστιν ἄρα τόπος κοινός , ἐν ᾧ τὸ ὄμμα ἐὰν τεθῇ , ἄνισα φαίνεται τὰ ἴσα . ἴσα δὲ φανήσεται , ἐπειδὰν ἐπὶ τῶν † ἐξ ἀρχῆς σημείων ᾖ τῶν ἐπὶ τῶν ΒΓ , Γ∠ μειζόνων ἡμικυκλίων .
Lemmas: εἰσί τόπος , ἐπί ὅς ὁ ὄμμα μετατίθημι ὁ ἴσος μέγεθος καί κοινῶς ἀπολαμβάνω τόπος τις ποτέ μέν ἴσος , ποτέ δέ ἄνισος φαίνω . ἵστημι ὄμμα μέν ὁ Θ , μέγεθος δέ ὁ ΑΒ , ΒΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Β πρός ὀρθός ὁ ΒΖ καί προσεκβάλλω ἐπί ὁ ∠ . φανερός δή , ὅτι κατά ὁποῖος ὁ Ζ∠ μέρος εἄν τίθημι ὁ ὄμμα , ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος φαίνω . μετάκειμαι δή ὁ ὄμμα καί ἵστημι ὁ Ε . λέγω , ὅτι ἀπό ὁ Ε ἄνισος φαίνω . προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΕΓ , καί περιγράφω περί ὁ ΑΓΕ τρίγωνος ὁ ΑΕ∠Γ κύκλος , καί προσεκβάλλω ὁ ΕΒ ὁ ΒΗ . ἐπεί οὖν ἴσος ὁ Α∠ περιφέρεια ὁ ∠Γ περιφέρεια , μείζων δέ ὁ Α∠Η περιφέρεια ὁ ΗΓ περιφέρεια , μείζων ἄρα φαίνω ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . κἀν μεταβαίνω δέ ἐπί ὁ ΕΗ , ἄνισος ὁμοίως φαίνω , καί ἐπί ὁ ὁ κύκλος μέρος Χωρὶς ὁ πρός ὀρθός ἐάν τίθημι , ἄνισος φαίνω , καί ἐάν ἐκτός ὁ κύκλος τίθημι μή ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ ∠Ζ , ἄνισος φαίνω . ἄλλος . ἔστω γάρ ἴσος ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ , καί περί μέν ὁ ΒΓ ἡμικύκλιον γράφω ὁ ΒΖΓ , περί δέ ὁ Γ∠ μείζων ἡμικύκλιον ὁ ΓΖ∠ · καί φανερός , ὅτι τέμνω ὁ προερέω ἡμικύκλιον . δυνατός δέ εἰμί ἐπί ὁ Γ∠ γράφω τμῆμα μείζων ἡμικύκλιον . ἐάν γάρ ὑποτίθημι ὀξύς τις γωνία , δυνατός ἐγώ εἰμί ἐπί ὁ Γ∠ γράφω τμῆμα κύκλος δέχομαι γωνία ἴσος ὁ ὑπόκειμαι ὀξύς γωνία , ὡς ἀπό ὁ λγ΄ ὁ τρίτος ὁ ἐπίπεδος , καί εἰμί ὁ συνίστημι ἐπί αὐτός μείζων ἡμικύκλιον , ὡς ἀπό ὁ ὅς ὁ τρίτος ὁ ἐπίπεδος . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΖ , ΖΓ , Ζ∠ . οὐκοῦν ὁ ἐν ὁ ἡμικύκλιον γωνία μείζων εἰμί ὁ ἐν ὁ μείζων τμῆμα . ὁ δέ ὑπό μείζων γωνία ὁράω μείζων φαίνω · μείζων ἄρα ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ φαίνω . εἰμί δέ καί ἴσος . εἰμί ἄρα τόπος κοινός , ἐν ὅς ὁ ὄμμα ἐάν τίθημι , ἄνισος φαίνω ὁ ἴσος . ἴσος δέ φαίνω , ἐπειδάν ἐπί ὁ † ἐκ ἀρχή σημεῖον εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΒΓ , Γ∠ μείζων ἡμικύκλιον .