ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.optica 33
Πάλιν δέ γε τοῦ ὄμματος μετατεθέντος ἀπὸ τοῦ ταπεινοῦ μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος μεῖζον μὲν ἔσται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον , δόξει δὲ ἔλασσον φαίνεσθαι , ταπεινοτέρου δὲ ἔλασσον μὲν ἔσται , δόξει δὲ μεῖζον φαίνεσθαι . ἔστω κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον , καὶ ἔστωσαν αἱ πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΒΑ , ΑΓ . ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ , καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΒΓ ἡ ΒΗ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ τυχόντος τοῦ Θ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΘΚ . λέγω , ὅτι μεῖζον μὲν ἔσται , ἔλασσον δὲ ὀφθήσεται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον τοῦ ὄμματος τεθέντος ἐπὶ τοῦ Θ σημείου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Κ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ , ΑΘ , καὶ προσεκβεβλήσθω ἡ ΑΘ ἐπὶ τὸ Η , ἡ δὲ ΑΚ ἐπὶ τὸ Λ . οὐκοῦν ἐπὶ τοῦ καὶ τοῦ Λ τεθέντος τοῦ ὄμματος ἄνισα τὰ ὁρώμενα τοῦ κώνου ὀφθήσεται , καὶ μεῖζον μὲν ἔσται τὸ πρὸς τῷ Η , ἔλασσον δὲ ὂν μεῖζον ὀφθήσεται τὸ πρὸς τῷ Λ . ἴσον δὲ τὸ πρὸς τῷ Η τῷ πρὸς τῷ Θ , τὸ δὲ πρὸς τῷ Λ τῷ πρὸς τῷ Κ , ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου ἐδείχθη . τοῦ ἄρα ὄμματος πρὸς τῷ Θ τεθέντος μεῖζον ἔσται τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἤπερ πρὸς τῷ Κ , δόξει δὲ ἔλασσον εἶναι .
Lemmas: πάλιν δέ γε ὁ ὄμμα μετατίθημι ἀπό ὁ ταπεινός μετέωρος μέν ὁ ὄμμα τίθημι μείζων μέν εἰμί ὁ κῶνος ὁ ὁράω , δοκέω δέ μικρός φαίνω , ταπεινός δέ μικρός μέν εἰμί , δοκέω δέ μείζων φαίνω . ἵστημι κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ ΒΓ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , καί εἰμί ὁ πλευρά ὁ κῶνος ὁ ΒΑ , ΑΓ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , καί προσεκβάλλω ὁ ΒΓ ὁ ΒΗ , καί ἄγω διά ὁ τυγχάνω ὁ Θ σημεῖον ὁ ΑΒ παράλληλος ὁ ΘΚ . λέγω , ὅτι μείζων μέν εἰμί , μικρός δέ ὁράω ὁ κῶνος ὁ ὁράω ὁ ὄμμα τίθημι ἐπί ὁ Θ σημεῖον ἤ2 ἐπί ὁ Κ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΚ , ΑΘ , καί προσεκβάλλω ὁ ΑΘ ἐπί ὁ ὁ , ὁ δέ ΑΚ ἐπί ὁ Λ . οὐκοῦν ἐπί ὁ καί ὁ Λ τίθημι ὁ ὄμμα ἄνισος ὁ ὁράω ὁ κῶνος ὁράω , καί μείζων μέν εἰμί ὁ πρός ὁ ὁ , μικρός δέ εἰμί μείζων ὁράω ὁ πρός ὁ Λ . ἴσος δέ ὁ πρός ὁ ὁ ὁ πρός ὁ Θ , ὁ δέ πρός ὁ Λ ὁ πρός ὁ Κ , ὡς ἐν ὁ πρό οὗτος δείκνυμι . ὁ ἄρα ὄμμα πρός ὁ Θ τίθημι μείζων εἰμί ὁ ὁράω ὁ κῶνος ἤ2 πρός ὁ Κ , δοκέω δέ μικρός εἰμί .
euclides-geom.optica 36
Τῶν ἁρμάτων οἱ τροχοὶ ποτὲ μὲν κυκλοειδεῖς φαίνονται , ποτὲ δὲ παρεσπασμένοι . ἔστω τροχὸς ὁ ΑΒΓ∠ , καὶ διήχθωσαν διάμετροι αἱ ΒΑ , Γ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ κείσθω ὄμμα μὴ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου . ἐὰν ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ἢ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , αἱ διάμετροι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται · ὥστε ὁ τροχὸς κυκλοειδὴς φαίνεται . ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , αἱ διάμετροι ἄνισοι φανήσονται , μία μὲν μεγίστη μία δὲ ἐλαχίστη , πάσῃ δὲ ἄλλῃ μεταξὺ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης διηγμένῃ ἄλλη μία μόνον ὀφθήσεται ἴση ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη διηγμένη · ὥστε ὁ τροχὸς παρεσπασμένος φαίνεται .
Lemmas: ὁ ἅρμα ὁ τροχός ποτέ μέν κυκλοειδής φαίνω , ποτέ δέ παρασπάω . ἵστημι τροχός ὁ ΑΒΓ∠ , καί διάγω διάμετρος ὁ ΒΑ , Γ∠ τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός κατά ὁ Ε σημεῖον , καί κεῖμαι ὄμμα μή ἐν ὁ ἐπίπεδος ὁ κύκλος . ἐάν ἄρα ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι πρός ὀρθός ὁ ἐπίπεδος ἢ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ διάμετρος πᾶς Ἴσαι φαίνω · ὥστε ὁ τροχός κυκλοειδής φαίνω . ἐάν δέ ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι μήτε πρός ὀρθός ὁ ἐπίπεδος μήτε ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ διάμετρος ἄνισος φαίνω , εἷς μέν μέγας εἷς δέ μικρός , πᾶς δέ ἄλλος μεταξύ ὁ μέγας καί ὁ μικρός διάγω ἄλλος εἷς μόνος ὁράω ἴσος ἐπί ὁ ἕτερος μέρος διάγω · ὥστε ὁ τροχός παρασπάω φαίνω .
euclides-geom.optica 37
Ἔστι τόπος , οὗ τοῦ ὄμματος μένοντος , τοῦ δὲ ὁρωμένου μεθισταμένου , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται . ἔστω ὄμμα τὸ Α , ὁρώμενον δὲ μέγεθος τὸ ΒΓ , ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΒ , ΑΓ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΑΒΓ . λέγω , ὅτι ἔστι τόπος , οὗ μένοντος μὲν τοῦ ὄμματος , τοῦ δὲ ὁρωμένου μεγέθους μεθισταμένου , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται . μεθιστάσθω γὰρ καὶ ἔστω τὸ ∠Γ , τῇ δὲ ΑΒ ἴση ἔστω ἡ Α∠ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ Α∠ , ἡ δὲ ΒΓ τῇ Γ∠ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΑΓ τῇ ∠ΑΓ . καὶ γὰρ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν εἰσιν · ὥστε ἴσαι εἰσίν . ἴσον ἄρα φανήσεται τὸ ὁρώμενον . τὸ αὐτὸ δὲ συμβήσεται , καὶ εἰ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μένοι , τὸ δὲ ὁρώμενον ἐπὶ τῆς περιφερείας μεταβαίνοι .
Lemmas: εἰμί τόπος , ὅς ὁ ὄμμα Μένων , ὁ δέ ὁράω μεθιστάω , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω φαίνω . ἵστημι ὄμμα ὁ Α , ὁράω δέ μέγεθος ὁ ΒΓ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΑΒ , ΑΓ , καί περιγράφω περί ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΑΒΓ . λέγω , ὅτι εἰμί τόπος , ὅς Μένων μέν ὁ ὄμμα , ὁ δέ ὁράω μέγεθος μεθιστάω , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω φαίνω . μεθίστημι γάρ καί ἵστημι ὁ ∠Γ , ὁ δέ ΑΒ ἴσος ἵστημι ὁ Α∠ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΒΑ ὁ Α∠ , ὁ δέ ΒΓ ὁ Γ∠ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΒΑΓ ὁ ∠ΑΓ . καί γάρ ἐπί ἴσος περιφέρεια εἰμί · ὥστε Ἴσαι εἰμί . ἴσος ἄρα φαίνω ὁ ὁράω . ὁ αὐτός δέ συμβαίνω , καί εἰμί ὁ ὄμμα ἐπί ὁ κέντρον ὁ κύκλος μένω , ὁ δέ ὁράω ἐπί ὁ περιφέρεια μεταβαίνω .
euclides-geom.optica 38
Ἔστι τις τόπος , οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου , τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος , ἀεὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον φαίνεται . ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ , ὄμμα δὲ τὸ Ζ , ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ , ΖΓ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΒΖΓ τρίγωνον τμῆμά τι κύκλου τὸ ΒΖΓ , καὶ μετακείσθω τὸ Ζ ὄμμα ἐπὶ τὸ ∠ , καὶ μεταπιπτέτωσαν αἱ ἀκτῖνες αἱ ∠Β , ∠Γ . οὐκοῦν ἴση ἡ ∠ γωνία τῇ Ζ · ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν . τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . ἴσον ἄρα τὸ ΒΓ διὰ παντὸς φανεῖται τοῦ ὄμματος μεθισταμένου ἐπὶ τῆς Β∠Γ περιφερείας .
Lemmas: εἰμί τις τόπος , ὅς ὁ ὄμμα μεθιστάω , ὁ δέ ὁράω Μένων , ἀεί ἴσος ὁ ὁράω φαίνω . ἵστημι γάρ ὁράω μέν ὁ ΒΓ , ὄμμα δέ ὁ Ζ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΖΒ , ΖΓ , καί περιγράφω περί ὁ ΒΖΓ τρίγωνος τμῆμα τίς κύκλος ὁ ΒΖΓ , καί μετάκειμαι ὁ Ζ ὄμμα ἐπί ὁ ∠ , καί μεταπίπτω ὁ ἀκτίς ὁ ∠Β , ∠Γ . οὐκοῦν ἴσος ὁ ∠ γωνία ὁ Ζ · ἐν γάρ ὁ αὐτός τμῆμα εἰμί . ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω . ἴσος ἄρα ὁ ΒΓ διά πᾶς φαίνω ὁ ὄμμα μεθιστάω ἐπί ὁ Β∠Γ περιφέρεια .
euclides-geom.optica 39
Ἐὰν μέγεθός τι πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , τεθῇ δὲ τὸ ὄμμα ἐπί τι σημεῖον τοῦ ἐπιπέδου καὶ μεθίστηται τὸ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου περιφερείας κέντρον ἔχοντος τὸ ὄμμα , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον . ἔστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῷ ἐπιπέδῳ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ . καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω ὁ Β∠ . λέγω , ὅτι , ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθίστηται τὸ ΑΒ μέγεθος , ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος ἴσον ὀφθήσεται τὸ ΑΒ . καὶ γὰρ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι καὶ ποιεῖ πρὸς τὴν ΒΓ γωνίαν ὀρθήν , πᾶσαι δὲ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν εὐθεῖαι ἴσας γωνίας ποιοῦσιν . ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται μέγεθος . ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα , ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ , καὶ μετακινῆται τὸ ὁρώμενον μέγεθος κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας παράλληλον ὂν τῇ εὐθείᾳ , ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται .
Lemmas: ἐάν μέγεθος τίς πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , τίθημι δέ ὁ ὄμμα ἐπί τίς σημεῖον ὁ ἐπίπεδος καί μεθίστημι ὁ ὁράω ἐπί κύκλος περιφέρεια κέντρον ἔχω ὁ ὄμμα , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω ὁράω κατά παράλληλος θέσις ὁ ἐκ ἀρχή μεταβαίνω . ἵστημι ὁράω τίς μέγεθος ὁ ΑΒ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἐπίπεδος , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Γ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΒ , καί κέντρον μέν ὁ Γ , διάστημα δέ ὁ ΓΒ κύκλος γράφω ὁ Β∠ . λέγω , ὅτι , ἐάν ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια μεθίστημι ὁ ΑΒ μέγεθος , ἀπό ὁ Γ ὄμμα ἴσος ὁράω ὁ ΑΒ . καί γάρ ὁ ΑΒ ὀρθός εἰμί καί ποιέω πρός ὁ ΒΓ γωνία ὀρθός , πᾶς δέ ὁ ἀπό ὁ Γ κέντρον προσπίπτω πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια εὐθύς ἴσος γωνία ποιέω . ἴσος ἄρα ὁ ὁράω ὁράω μέγεθος . ἐάν δέ ἀπό ὁ Γ κέντρον πρός ὀρθός ἀνίστημι εὐθύς , ἐπί δέ οὗτος ὁ ὄμμα τίθημι , καί μετακινέω ὁ ὁράω μέγεθος κατά ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια παράλληλος εἰμί ὁ εὐθύς , ἐπί ὅς ὁ ὄμμα , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω ὁράω .
euclides-geom.optica 41
Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , μεθίστηται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας κέντρον ἔχοντος τὸ σημεῖον , καθ᾿ ὃ συμβάλλει τὸ μέγεθος τῷ ἐπιπέδῳ , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται . ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ . καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β , διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ Γ∠ . λέγω , ὅτι , ἐὰν μεθίστηται τὸ Γ ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας , ἴσον ἀεὶ τὸ ΑΒ φανήσεται . τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν . πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸ ΑΒ προσπίπτουσαι ἀκτῖνες πρὸς ἴσας γωνίας προσπίπτουσιν , ἐπειδήπερ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία ὀρθή ἐστιν . ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ὁράω πρός ὀρθός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , μεθίστημι δέ ὁ ὄμμα ἐπί κύκλος περιφέρεια κέντρον ἔχω ὁ σημεῖον , κατά ὅς συμβάλλω ὁ μέγεθος ὁ ἐπίπεδος , ἴσος ἀεί ὁ ὁράω φαίνω . ἵστημι ὁράω μέγεθος ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Γ . καί κέντρον μέν ὁ Β , διάστημα δέ ὁ ΒΓ κύκλος γράφω ὁ Γ∠ . λέγω , ὅτι , ἐάν μεθίστημι ὁ Γ ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια , ἴσος ἀεί ὁ ΑΒ φαίνω . οὗτος δέ φανερός εἰμί . πᾶς γάρ ὁ ἀπό ὁ Γ σημεῖον πρός ὁ ΑΒ προσπίπτω ἀκτίς πρός ἴσος γωνία προσπίπτω , ἐπεί ὁ πρός ὁ Β γωνία ὀρθός εἰμί . ἴσος ἄρα ὁ ὁράω ὁράω .
euclides-geom.optica 43
Τὸ δ᾿ αὐτὸ συμβήσεται , κἂν παράλληλος ᾖ ἡ εὐθεῖα γραμμὴ τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει . ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ , ἐφ᾿ ἧς ὄμμα κείσθω τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΑ , ΖΒ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τμῆμα τὸ ΑΖΒ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ Ζ∠ , καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τὸ ∠ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Α∠ , ∠Β . λέγω , ὅτι ἀπὸ τῶν ∠ , Ζ ἄνισα φανήσεται . ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ . ἐπεὶ οὖν ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ , ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ τῆς ὑπὸ Α∠Β μείζων ἐστίν , καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ ἄρα τῆς ὑπὸ Α∠Β μείζων ἐστίν . καὶ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΖΒ τὸ ΑΒ βλέπεται τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος , ὁμοίως δὲ καὶ ὑπὸ τῆς ὑπὸ Α∠Β ἐπὶ τοῦ ∠ ὄντος . ἄνισον ἄρα τὸ ὁρώμενον φαίνεται ἀπὸ τῶν ∠ , Ζ . καὶ ἐὰν τεθῇ ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΖΓ , ἔλαττον μὲν καὶ ἀπὸ τοῦ Γ φαίνεται ἤπερ ἀπὸ τοῦ Ζ , ἀπὸ δὲ τῶν Γ , ∠ ἴσον .
Lemmas: ὁ δέ αὐτός συμβαίνω , κἀν παράλληλος εἰμί ὁ εὐθύς γραμμή ὁ ὁράω μέγεθος . ἵστημι ὁράω μέγεθος ὁ ΑΒ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Ε ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΕΖ , ἐπί ὅς ὄμμα κεῖμαι ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ Γῆ , ΖΒ , καί περιγράφω περί ὁ ΑΖΒ τρίγωνος τμῆμα ὁ ΑΖΒ , καί ἄγω διά ὁ Ζ ὁ ΑΒ παράλληλος ὁ Ζ∠ , καί μετάκειμαι ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ∠ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ Α∠ , ∠Β . λέγω , ὅτι ἀπό ὁ ∠ , Ζ ἄνισος φαίνω . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗ . ἐπεί οὖν ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΑΖΒ ὁ ὑπό ΑΗΒ , ἀλλά ὁ ὑπό ΑΗΒ ὁ ὑπό Α∠Β μείζων εἰμί , καί ὁ ὑπό ΑΖΒ ἄρα ὁ ὑπό Α∠Β μείζων εἰμί . καί ὑπό μέν ὁ ὑπό ΑΖΒ ὁ ΑΒ βλέπω ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Ζ εἰμί , ὁμοίως δέ καί ὑπό ὁ ὑπό Α∠Β ἐπί ὁ ∠ εἰμί . ἄνισος ἄρα ὁ ὁράω φαίνω ἀπό ὁ ∠ , Ζ . καί ἐάν τίθημι ἴσος ὁ ∠Ζ ὁ ΖΓ , μικρός μέν καί ἀπό ὁ Γ φαίνω ἤ2 ἀπό ὁ Ζ , ἀπό δέ ὁ Γ , ∠ ἴσος .
euclides-geom.optica 45
Ἔστι τις τόπος κοινός , ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται . ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ , καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα γεγράφθω , περὶ δὲ τὴν Γ∠ ὅμοιον τῷ περὶ τὴν ΒΓ , τουτέστι δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ἐν τῷ ΒΖΓ . τεμοῦσιν ἄρα ἄλληλα τὰ τμήματα . τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ , ΖΓ , Ζ∠ . οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐν τοῖς ὁμοίοις τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις , ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐν τοῖς ΒΖΓ , ΓΖ∠ τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις . τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται . τοῦ ἄρα ὄμματος τιθεμένου ἐπὶ τοῦ Ζ σημείου ἴση ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῇ Γ∠ . ἔστι δὲ μείζων . ἔστιν ἄρα τόπος κοινός , ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται .
Lemmas: εἰμί τις τόπος κοινός , ἀπό ὅς ὁ ἄνισος μέγεθος ἴσος φαίνω . ἵστημι γάρ μείζων ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ , καί περί μέν ὁ ΒΓ μείζων ἡμικύκλιον τμῆμα γράφω , περί δέ ὁ Γ∠ ὅμοιος ὁ περί ὁ ΒΓ , τουτέστι δέχομαι γωνία ἴσος ὁ ἐν ὁ ΒΖΓ . τέμνω ἄρα ἀλλήλων ὁ τμῆμα . τέμνω κατά ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ , ΖΓ , Ζ∠ . οὐκοῦν ἐπεί Ἴσαι εἰμί ὁ ἐν ὁ ὅμοιος τμῆμα γωνία ἀλλήλων , Ἴσαι εἰμί καί ὁ ἐν ὁ ΒΖΓ , ΓΖ∠ τμῆμα γωνία ἀλλήλων . ὁ δέ ὑπό ἴσος γωνία ὁράω ἴσος φαίνω . ὁ ἄρα ὄμμα τίθημι ἐπί ὁ Ζ σημεῖον ἴσος εἄν φαίνω ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ . εἰμί δέ μείζων . εἰμί ἄρα τόπος κοινός , ἀπό ὅς ὁ ἄνισος μέγεθος ἴσος φαίνω .
euclides-geom.optica 46
Εἰσὶ τόποι , ἐφʼ οὓς τοῦ ὄμματος μετατιθεμένου τὰ ἴσα μεγέθη καὶ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ποτὲ μὲν ἴσα , ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται . ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ . λέγω , ὅτι ἔστι τις τόπος , οὗ τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ΑΒ , Γ∠ ἴσα φαίνεται . ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ∠ ἡ Β∠ , καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς τῇ ∠Β ἡ ΕΖ . λέγω , ὅτι , ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ , τὰ ΑΒ , Γ∠ ἴδα φανήσεται . κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ζ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΖ , ΖΒ , ΖΕ , Ζσθω , ΖΓ . ἴση δὴ εὐθεῖα ἡ ΖΒ τῇ ∠ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ὑπόκειται ἴση · δύο ἄρα αἱ ΑΒ , ΒΖ δυσὶ ταῖς Γ∠ , ∠Ζ ἴσαι εἰσί . καὶ περιέχουσιν ὀρθὰς γωνίας · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΖΑ τῇ ὑπὸ ∠ΖΓ . τὰ ΑΒ , Γ∠ ἄρα ἴσα ὀφθήσεται . λέγω δή , ὅτι καὶ ἄνισα ὀφθήσεται . μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΕ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ , ΗΑ , ΗΓ , Η∠ . μείζων ἄρα ἡ ΗΒ τῆς Η∠ . ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΗΒ τῇ Η∠ ἴση ἡ ΒΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ . ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῇ ὑπὸ ΓΗ∠ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων ἐστίν , ἡ ἐκτὸς τῆς ἐντός · καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗ∠ ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΗΑ ἐστι μείζων . μείζων ἄρα φανήσεται ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ .
Lemmas: εἰσί τόπος , ἐπί ὅς ὁ ὄμμα μετατίθημι ὁ ἴσος μέγεθος καί πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ποτέ μέν ἴσος , ποτέ δέ ἄνισος φαίνω . ἵστημι ἴσος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ∠ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . λέγω , ὅτι εἰμί τις τόπος , ὅς ὁ ὄμμα τίθημι ὁ ΑΒ , Γ∠ ἴσος φαίνω . ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ∠ ὁ Β∠ , καί τέμνω δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Ε πρός ὀρθός ὁ ∠Β ὁ ΕΖ . λέγω , ὅτι , ἐάν ἐπί ὁ ΕΖ ὁ ὄμμα τίθημι , ὁ ΑΒ , Γ∠ ἴδη φαίνω . κεῖμαι γάρ ἐπί ὁ ΕΖ ὁ ὄμμα καί ἵστημι ὁ Ζ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ αζʹ , ΖΒ , ΖΕ , Ζσθω , ΖΓ . ἴσος δή εὐθύς ὁ ΖΒ ὁ ∠ . ἀλλά καί ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ ὑπόκειμαι ἴσος · δύο ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΖ δύο ὁ Γ∠ , ∠Ζ Ἴσαι εἰμί . καί περιέχω ὀρθός γωνία · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΒΖΑ ὁ ὑπό ∠ΖΓ . ὁ ΑΒ , Γ∠ ἄρα ἴσος ὁράω . λέγω δή , ὅτι καί ἄνισος ὁράω . μετάκειμαι δή ὁ ὄμμα καί ἵστημι ὁ ὁ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΕ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΗΒ , ΗΑ , ΗΓ , Η∠ . μείζων ἄρα ὁ ΗΒ ὁ Η∠ . ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΗΒ ὁ Η∠ ἴσος ὁ ΒΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ . ἴσος ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΒΘΑ ὁ ὑπό ΓΗ∠ . ἀλλά ὁ ὑπό ΒΘΑ ὁ ὑπό ΒΗΑ μείζων εἰμί , ὁ ἐκτός ὁ ἐντός · καί ὁ ὑπό ΓΗ∠ ἄρα ὁ ὑπό ΒΗΑ εἰμί μείζων . μείζων ἄρα φαίνω ὁ Γ∠ ὁ ΑΒ .
euclides-geom.optica 47
Eἐσὶ τόποι τινές , ἐν οἷς τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ἄνισα μεγέθη εἰς τὸ αὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φανήσεται . ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ , καὶ περὶ τὰς ΒΓ , Γ∠ ἡμικύκλια γεγράφθωσαν καὶ περὶ ὅλην τὴν Β∠ . οὐκοῦν ἴση ἡ ἐν τῷ ΒΑ∠ ἡμικυκλίῳ γωνία τῇ ἐν τῷ ΒΚΓ · ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν . ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΙʼ τῇ Β∠ . ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ Β∠ τῇ Γ∠ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΒΑ∠ , Ζ∠ ἡμικυκλίων κειμένων . εἰσί τινες ἄρα τόποι , ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται .
Lemmas: Eἐσὶ τόπος τις , ἐν ὅς ὁ ὄμμα τίθημι ὁ ἄνισος μέγεθος εἰς ὁ αὐτός συντίθημι ἴσος ἑκάτερος ὁ ἄνισος φαίνω . ἵστημι γάρ μείζων ὁ ΒΓ ὁ Γ∠ , καί περί ὁ ΒΓ , Γ∠ ἡμικύκλιον γράφω καί περί ὅλος ὁ Β∠ . οὐκοῦν ἴσος ὁ ἐν ὁ ΒΑ∠ ἡμικύκλιον γωνία ὁ ἐν ὁ ΒΚΓ · ὀρθός γάρ εἰμί ἑκάτερος αὐτός . ἴσος ἄρα φαίνω ὁ βία ὁ Β∠ . ὡσαύτως δέ καί ὁ Β∠ ὁ Γ∠ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ΒΑ∠ , Ζ∠ ἡμικύκλιον κεῖμαι . εἰμί τις ἄρα τόπος , ἐν ὅς ὁ ἄνισος μέγεθος δύο εἰς αὐτός συντίθημι ἴσος ἑκάτερος ὁ ἄνισος φαίνω .
euclides-geom.optica 48
Εὑρεῖν τόπους , ἀφʼ ὧν τὸ ἴσον μέγεθος ἥμισυ φανεῖται ἢ τέταρτον μέρος ἢ καθόλου ἐν τῷ λόγῳ , ἐν ᾧ καὶ ἡ γωνία τέμνεται . ἔστω ἴσον τὸ ΑΖ τῷ ΒΓ , καὶ περὶ τὴν ΑΖ γεγράφθω ἡμικύκλιον , καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ὀρθὴ γωνία ἡ Κ · τῇ δὲ ΑΖ ἴση ἔστω ἡ ΒΓ , καὶ περὶ τὴν ΒΓ περιγεγράφθω τμῆμα , ὃ δέξεται τῆς πρὸς τῷ Κ γωνίας ἡμίσειαν . οὐκοῦν ἡ Κ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς ∠ γωνίας . διπλασία ἄρα φαίνεται ἡ ΑΖ τῆς ΒΓ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΑΚΖ , Β∠Γ περιφερειῶν κειμένων .
Lemmas: εὑρίσκω τόπος , ἀπό ὅς ὁ ἴσος μέγεθος ἥμισυς φαίνω ἢ τέταρτος μέρος ἢ καθόλου ἐν ὁ λόγος , ἐν ὅς καί ὁ γωνία τέμνω . ἵστημι ἴσος ὁ αζʹ ὁ ΒΓ , καί περί ὁ αζʹ γράφω ἡμικύκλιον , καί γράφω ἐν αὐτός ὀρθός γωνία ὁ Κ · ὁ δέ αζʹ ἴσος ἵστημι ὁ ΒΓ , καί περί ὁ ΒΓ περιγράφω τμῆμα , ὅς δέχομαι ὁ πρός ὁ Κ γωνία ἥμισυς . οὐκοῦν ὁ Κ γωνία διπλάσιος εἰμί ὁ ∠ γωνία . διπλάσιος ἄρα φαίνω ὁ αζʹ ὁ ΒΓ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ΑΚΖ , Β∠Γ περιφέρεια κεῖμαι .
euclides-geom.optica 49
Έστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ . λέγω , ὅτι τὸ ΑΒ ἔχει τόπους , ἐν οἷς τοῦ ὄμματος τεθέντος τὸ αὐτὸ ποτὲ ἥμισυ ποτὶ ὅλον ποτὲ τέταρτον φαίνεται καὶ καθόλου ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ . περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΒ κύκλος ὁ ΑΕΒ ὥστε τὴν ΑΒ μὴ εἶναι διάμετρον , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Γ , ἐφʼ οὗ κείσθω τὸ ὄμμα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ , ΓΒ . ὑπὸ τῆς ΑΓΒ ἄρα τὸ ΑΒ βλέπεται . κείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας καὶ ἔστω τὸ Ε , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ , ΕΒ . ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΕΒ ἐστι διπλῆ , τὸ ΑΒ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ διπλάσιον ὁρᾶται τοῦ ἀπὸ τοῦ Ε . ὁμοίως καὶ τέταρτον μέρος ὀφθήσεται , ἐὰν ἡ γωνία τῆς γωνίας ᾖ τετραπλῆ , καὶ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ .
Lemmas: ἵστημι ὁράω τίς μέγεθος ὁ ΑΒ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ἔχω τόπος , ἐν ὅς ὁ ὄμμα τίθημι ὁ αὐτός ποτέ ἥμισυς πρός ὅλος ποτέ τέταρτος φαίνω καί καθόλου ἐν ὁ δίδωμι λόγος . περιγράφω περί ὁ ΑΒ κύκλος ὁ ΑΕΒ ὥστε ὁ ΑΒ μή εἰμί διάμετρος , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος καί ἵστημι ὁ Γ , ἐπί ὅς κεῖμαι ὁ ὄμμα , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ ΑΓ , ΓΒ . ὑπό ὁ ΑΓΒ ἄρα ὁ ΑΒ βλέπω . κεῖμαι δή ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια καί ἵστημι ὁ Ε , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΑ , ΕΒ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΑΓΒ γωνία ὁ ὑπό ΑΕΒ εἰμί διπλόος , ὁ ΑΒ ἄρα ἀπό ὁ Γ διπλάσιος ὁράω ὁ ἀπό ὁ Ε . ὁμοίως καί τέταρτος μέρος ὁράω , ἐάν ὁ γωνία ὁ γωνία εἰμί τετραπλόος , καί ἐν ὁ δίδωμι λόγος .
euclides-geom.optica 50
Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων καὶ ἐπὶ μιᾶς πρὸς ὀρθὰς αὐτοῖς οὔσης εὐθείας τὰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πέρατα ἐχόντων προσιόντων μὲν πρὸς τὴν ἀγομένην διὰ τοῦ ὄμματος παράλληλον τῇ εἰρημένῃ εὐθείᾳ τὸ πορρώτερον τοῦ ὄμματος τοῦ ἐγγύτερον προηγεῖσθαι δόξει , παραλλαξάντων δὲ τὸ μὲν προηγούμενον ἐπακολουθεῖν , τὸ δὲ ἐπακολουθοῦν προηγεῖσθαι . φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ ΒΓ , ∠Ζ , ΚΑ ἐπὶ μιᾶς πρὸς ὀρθὰς αὐτοῖς οὔσης εὐθείας τῆς ΓΑ τὰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πέρατα ἔχοντα τὰ Γ , Ζ , Α , καὶ ἀπὸ τοῦ Μ ὄμματος παράλληλος ἤχθω τῇ ΓΑ ἡ ΜΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΓ , ΜΖ , ΜΑ . οὐκοῦν προηγούμενον μὲν δοκεῖ τὸ ΒΓ , ἐπακολουθοῦν δὲ τὸ ΚΑ διὰ τὸ καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος προσπιπτουσῶν ἀκτίνων τὴν ΜΓ ἐπὶ τὸ Γ παρῆχθαι δοκεῖν μᾶλλον τῶν ἄλλων ἀκτίνων . τὸ ἄρα ΜΓ προηγεῖσθαι δόξει προσιόντων , ὡς εἴρηται . παραλλαξάντων δὲ τῶν ΒΓ , ∠Ζ , ΚΑ καὶ ὡς τῶν ΝΞ , ΠΡ , ΣΤ γενομένων προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΝ , ΜΠ , ΜΣ . οὐκοῦν τὸ ΝΞ παρῆχθαι δοκεῖ ἐπὶ τὸ Ν διὰ τὸ καὶ τὴν ΜΝ ἀκτῖνα παρῆχθαι ἐπὶ τὸ Ν μᾶλλον τῶν ἄλλων ἀκτίνων · τὸ ἄρα ΣΤ ἐπὶ τὸ Τ παρῆκται διὰ τὸ καὶ τὴν ΜΣ παρῆχθαι ὡς ἐπὶ τὸ Τ μᾶλλον τῶν ἄλλων ἀκτίνων . τὸ μὲν ἄρα ΒΓ προηγούμενον ἐπὶ τοῦ ΝΞ γενόμενον δόξει ἐπακολουθεῖν τὸ δὲ ΑΚ ἐπακολουθοῦν ἐπὶ τοῦ ΣΤ γενόμενον δόξε προηγεῖσθαι .
Lemmas: ὁ ἴσος τάχος φέρω καί ἐπί εἷς πρός ὀρθός αὐτός εἰμί εὐθύς ὁ ἐπί ὁ αὐτός μέρος πέρας ἔχω πρόσειμι μέν πρός ὁ ἄγω διά ὁ ὄμμα παράλληλος ὁ εἴρω εὐθύς ὁ πρόσω ὁ ὄμμα ὁ ἐγγύς προηγέομαι δοκέω , παραλήγω δέ ὁ μέν προηγούμενος ἐπακολουθέω , ὁ δέ ἐπακολουθέω προηγέομαι . φέρω γάρ ἰσοταχής ὁ ΒΓ , ∠Ζ , ΚΑ ἐπί εἷς πρός ὀρθός αὐτός εἰμί εὐθύς ὁ ΓΑ ὁ ἐπί ὁ αὐτός μέρος πέρας ἔχω ὁ Γ , Ζ , Α , καί ἀπό ὁ Μ ὄμμα παράλληλος ἄγω ὁ ΓΑ ὁ ΜΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΓ , ΜΖ , μή . οὐκοῦν προηγούμενος μέν δοκέω ὁ ΒΓ , ἐπακολουθέω δέ ὁ ΚΑ διά ὁ καί ὁ ἀπό ὁ ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΜΓ ἐπί ὁ Γ παράγω δοκέω μᾶλλον ὁ ἄλλος ἀκτίς . ὁ ἄρα ΜΓ προηγέομαι δοκέω πρόσειμι , ὡς εἴρω . παραλήγω δέ ὁ ΒΓ , ∠Ζ , ΚΑ καί ὡς ὁ ΝΞ , ΠΡ , ΣΤ γίγνομαι προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΜΝ , ΜΠ , ΜΣ . οὐκοῦν ὁ ΝΞ παράγω δοκέω ἐπί ὁ Ν διά ὁ καί ὁ ΜΝ ἀκτίς παράγω ἐπί ὁ Ν μᾶλλον ὁ ἄλλος ἀκτίς · ὁ ἄρα ΣΤ ἐπί ὁ Τ παράγω διά ὁ καί ὁ ΜΣ παράγω ὡς ἐπί ὁ Τ μᾶλλον ὁ ἄλλος ἀκτίς . ὁ μέν ἄρα ΒΓ προηγούμενος ἐπί ὁ ΝΞ γίγνομαι δοκέω ἐπακολουθέω ὁ δέ ΑΚ ἐπακολουθέω ἐπί ὁ ΣΤ γίγνομαι δοκέω προηγέομαι .
euclides-geom.optica 51
Ἐάν τινων φερομένων πλειόνων ἀνίσῳ τάχει συμ παραφέρηται ἐπὶ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ὄμμα , τὰ μὲν τῳ ὄμματι ἰσοταχῶς φερόμενα δόξει ἑστάναι , τὰ δὲ βρα δύτερον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι , τὰ δὲ θᾶττον εἰ τὰ προηγούμενα . φερέσθω γὰρ ἀνίσῳ τάχει τὰ Β , Γ , ∠ , καὶ βραδύτατα μὲν φερέσθω τὸ Β , τὸ δὲ Γ ἰσοταχῶς τῷ Κ ὄμματι , τὸ δὲ ∠ θᾶττον τοῦ Γ . ἀπὸ δὲ τοῦ Κ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ , ΚΓ , Κ∠ . οὐκοῦν τῷ ὄμματι παραφερόμενον τὸ Γ ἑστάναι δόξει , τὸ δὲ Β ὑπολειπόμενον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι , τὸ δὲ ∠ , ὃ θᾶττον ὑπό κειται τούτων , φέρεσθαι δόξει εἰς τοὔμπροσθεν · πλεῖο γὰρ ἀπὸ τούτων ἀποστήσεται .
Lemmas: ἐάν τίνω φέρω πλείων ἄνισος τάχος συμ παραφέρω ἐπί ὁ αὐτός καί ὁ ὄμμα , ὁ μέν ὁ ὄμμα ἰσοταχής φέρω δοκέω ἵστημι , ὁ δέ βρά δυτερος εἰς ἐναντίος φέρω , ὁ δέ ταχύς εἰμί ὁ προηγούμενος . φέρω γάρ ἄνισος τάχος ὁ Β , Γ , ∠ , καί βραδύς μέν φέρω ὁ Β , ὁ δέ Γ ἰσοταχής ὁ Κ ὄμμα , ὁ δέ ∠ ταχύς ὁ Γ . ἀπό δέ ὁ Κ ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΚΒ , ΚΓ , Κ∠ . οὐκοῦν ὁ ὄμμα παραφέρω ὁ Γ ἵστημι δοκέω , ὁ δέ Β ὑπολείπω εἰς ἐναντίος φέρω , ὁ δέ ∠ , ὅς ταχύς ὑπό κεῖμαι οὗτος , φέρω δοκέω εἰς τοὔμπροσθεν · Πλειός γάρ ἀπό οὗτος ἀφίστημι .
euclides-geom.optica 52
Ἐάν τινων φερομένων διαφαίνηταί τι μὴ φερόμε νον , δόξει τὸ μὴ φερόμενον εἰς τὰ ὄπισθεν φέρεσθα ; φερέσθω γὰρ τὰ Β , ∠ , μενέτω δὲ τὸ Γ , καὶ ἀπ τοῦ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ , ΖΓ Ζ οὐκοῦν τὸ μὲν Β φερόμενον ἔγγιον ἔσται τοῦ Γ , δὲ ∠ ἀποχωροῦν πορρώτερον · εἰς τοὐναντίον ἄρ φέρεσθαι δόξει τὸ Γ .
Lemmas: ἐάν τίνω φέρω διαφαίνω τίς μή φέρνω νοῦς , δοκέω ὁ μή φέρω εἰς ὁ ὄπισθεν φέρω ; φέρω γάρ ὁ Β , ∠ , μένω δέ ὁ Γ , καί ἀπό ὁ ὄμμα προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΖΒ , ΖΓ Ζ οὐκοῦν ὁ μέν Β φέρω ἐγγύς εἰμί ὁ Γ , δέ ∠ ἀποχωρέω πρόσω · εἰς ἐναντίος ἄρα φέρω δοκέω ὁ Γ .
euclides-geom.optica 53
Τοῦ ὄμματος ἔγγιον τοῦ ὁρωμένου προσιόντος δόξει τὸ ὁρώμενον ηὐξῆσθαι . ὁράσθω γὰρ τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ Ζ κειμένου ὑπὸ τῶν ΖΒ , ΖΓ ἀκτίνων , καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἔγγιον τοῦ ΒΓ καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ ∠ , καὶ ὁράσθω τὸ αὐτὸ ὑπὸ τῶν ∠Β , ΔΓ ἀκτίνων . οὐκοῦν μείζων ἡ ∠ γωνία τῆς Ζ γωνίας · τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται . δόξει ἄρα ηὐξῆσθαι τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ ∠ ὄντος ἤπερ ἐπὶ τοῦ Ζ .
Lemmas: ὁ ὄμμα ἐγγύς ὁ ὁράω πρόσειμι δοκέω ὁ ὁράω αὐξάνω . ὁράω γάρ ὁ ΒΓ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Ζ κεῖμαι ὑπό ὁ ΖΒ , ΖΓ ἀκτίς , καί μετάκειμαι ὁ ὄμμα ἐγγύς ὁ ΒΓ καί ἵστημι ἐπί ὁ ∠ , καί ὁράω ὁ αὐτός ὑπό ὁ ∠Β , ΔΓ ἀκτίς . οὐκοῦν μείζων ὁ ∠ γωνία ὁ Ζ γωνία · ὁ δέ ὑπό μείζων γωνία ὁράω μείζων φαίνω . δοκέω ἄρα αὐξάνω ὁ ΒΓ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ ∠ εἰμί ἤ2 ἐπί ὁ Ζ .
euclides-geom.optica 54
Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι . φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ Β , Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες ἤχθωσαν αἱ ΑΓ , Α∠ , ΑΖ . οὐκοῦν τὸ Β μείζονας ἔχει τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτῖνας ἠγμένας ἤπερ τὸ Κ . μεῖζον ἄρα διάστημα διελεύσεται καὶ ὕστερον παραλλάσσον τὴν Α ὄψιν δόξει βραδύτερον φέρεσθαι . Ἄλλως . Φερέσθω γὰρ δύο σημεῖα τὰ Α , Β ἐπὶ παραλλήλων εὐθειῶν , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ζ , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΑ , ΖΒ , ΖΕ , Ζ∠ . λέγω , ὅτι τὸ πόρρω τὸ Α δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι τοῦ Β . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΖ , Ζ∠ τῶν ΖΒ , ΖΕ ἐλάσσονα γωνίαν περιέχουσι , μεῖζον ἄρα τὸ ΒΕ τοῦ Α∠ βλέπεται . ἐὰν ἄρα τὴν ΖΕ ἀκτῖνα προσεκβάλωμεν ἐπʼ εὐθείας , ὅτι ἐπὶ τῶν ἰσοταχῶς φερομένων τὸ μὲν Β ἐπὶ τῆς ΖΕ ἀκτῖνος ε † κωλυθὲν ὑστερεῖ ἄρα τῶν ἰσοταχῶς φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι . Ἄλλως . Φερέσθω δύο σημεῖα τὰ Α , Β ἐπὶ παραλλήλων εὐθειῶν τῶν Α∠ , ΒΕ ὁμαλῶς · τὰς ἴσας ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ διελεύσονται . ἔστωσαν οὖν ἴσαι αἱ Α∠ , ΒΕ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος αἱ ΖΑ , Ζ∠ , ΖΒ , ΖΕ . ἐπεὶ οὖν ἐλάττων ἡ ὑπὸ ΑΖ∠ τῆς ὑπὸ ΒΖΕ γωνίας , ἔλαττον ἄρα τὸ Α∠ διάστημα τοῦ ΒΕ φανήσεται . ὥστε δόξει τὸ Α βραδύτερον φέρεσθαι .
Lemmas: ὁ ἴσος τάχος φέρω ὁ πόρρω δοκέω βραδύς φέρω . φέρω γάρ ἰσοταχής ὁ Β , Κ , καί ἀπό ὁ Α ὄμμα ἀκτίς ἄγω ὁ ΑΓ , Α∠ , αζʹ . οὐκοῦν ὁ Β μείζων ἔχω ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἀκτίς ἄγω ἤ2 ὁ Κ . μείζων ἄρα διάστημα διέρχομαι καί ὕστερος παραλλάσσω ὁ Α ὄψις δοκέω βραδύς φέρω . ἄλλος . φέρω γάρ δύο σημεῖον ὁ Α , Β ἐπί παράλληλος εὐθύς , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ζ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ Γῆ , ΖΒ , ΖΕ , Ζ∠ . λέγω , ὅτι ὁ πόρρω ὁ Α δοκέω βραδύς φέρω ὁ Β . ἐπεί γάρ ὁ αζʹ , Ζ∠ ὁ ΖΒ , ΖΕ μικρός γωνία περιέχω , μείζων ἄρα ὁ ΒΕ ὁ Α∠ βλέπω . ἐάν ἄρα ὁ ΖΕ ἀκτίς προσεκβάλλω ἐπί εὐθύς , ὅτι ἐπί ὁ ἰσοταχής φέρω ὁ μέν Β ἐπί ὁ ΖΕ ἀκτίς ε † κωλύω ὑστερέω ἄρα ὁ ἰσοταχής φέρω ὁ πόρρω δοκέω βραδύς φέρω . ἄλλος . φέρω δύο σημεῖον ὁ Α , Β ἐπί παράλληλος εὐθύς ὁ Α∠ , ΒΕ ὁμαλός · ὁ ἴσος ἄρα ἐν ἴσος χρόνος διέρχομαι . εἰμί οὖν Ἴσαι ὁ Α∠ , ΒΕ , καί προσπίπτω ἀκτίς ἀπό ὁ Ζ ὄμμα ὁ Γῆ , Ζ∠ , ΖΒ , ΖΕ . ἐπεί οὖν μικρός ὁ ὑπό ΑΖ∠ ὁ ὑπό ΒΖΕ γωνία , μικρός ἄρα ὁ Α∠ διάστημα ὁ ΒΕ φαίνω . ὥστε δοκέω ὁ Α βραδύς φέρω .
euclides-geom.optica 55
Τοῦ ὄμματος μένοντος , τῶν δὲ ὄψεων παραφερομένων , τὰ πόρρω τῶν ὁρωμένων καταλείπεσθαι δόξει . ἔστω ὁρώμενα τὰ Α , Γ ἐπὶ εὐθειῶν ὄντα τῶν ΑΒ , ΓΔ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΓ , Ε∠ , ΕΑ , ΕΒ . λέγω , ὅτι τὸ πρὸς τῷ Α καταλείπεσθαι δόξει . προσεκβεβλήσθω ἡ Ε∠ , ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῇ ΑΒ , καὶ ἔστω ἡ ΕΒ . ἐπεὶ οὖν μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΒ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ , μεῖζον ἄρα τὸ Γ∠ διάστημα τοῦ ΑΒ φαίνεται . ὥστε τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ε μένοντος αἱ ὄψεις ὡς ἐπὶ τὰ Α , Γ μέρη παραφερόμεναι θᾶττον παραλλάξουσι τὸ Α ἤπερ τὸ Γ . ὑπολείπεσθαι ἄρα δόξει τὸ ΑΒ .
Lemmas: ὁ ὄμμα Μένων , ὁ δέ ὄψις παραφέρω , ὁ πόρρω ὁ ὁράω καταλείπω δοκέω . ἵστημι ὁράω ὁ Α , Γ ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ε , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΕΓ , Ε∠ , ΕΑ , ΕΒ . λέγω , ὅτι ὁ πρός ὁ Α καταλείπω δοκέω . προσεκβάλλω ὁ Ε∠ , ἄχρι ὅς συμβάλλω ὁ ΑΒ , καί ἵστημι ὁ ΕΒ . ἐπεί οὖν μείζων γωνία ὁ ὑπό ΓΕΒ ὁ ὑπό ΑΕΒ , μείζων ἄρα ὁ Γ∠ διάστημα ὁ ΑΒ φαίνω . ὥστε ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Ε Μένων ὁ ὄψις ὡς ἐπί ὁ Α , Γ μέρος παραφέρω ταχύς παραλλάσσω ὁ Α ἤ2 ὁ Γ . ὑπολείπω ἄρα δοκέω ὁ ΑΒ .
euclides-geom.optica 56
Τὰ αὐξανόμενα τῶν μεγεθῶν δόξει προσάγεσθαι τῷ ὄμματι . ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ , ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΓΑ , ΓΒ . καὶ ηὐξήσθω τὸ ΒΑ καὶ ἔστω τὸ Β∠ , καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ Γ∠ . ἐπεὶ οὖν μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ , μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ Β∠ τοῦ ΒΑ . τὰ δὲ μείζονα ἑαυτῶν οἰόμενα ἐπαυξάνεσθαι δοκοῦσι , καὶ τὰ ἔγγιον τοῦ ὄμματος ἐλάττονα φαίνεται . τὰ ἄρα αὐξόμενα τῶν μεγεθῶν δόξει προσάγεσθαι τῷ ὄμματι .
Lemmas: ὁ αὐξάνω ὁ μέγεθος δοκέω προσάγω ὁ ὄμμα . ἵστημι ὁράω μέγεθος ὁ ΑΒ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Γ , ἀπό ὅς προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΓΑ , ΓΒ . καί αὐξάνω ὁ ΒΑ καί ἵστημι ὁ Β∠ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ Γ∠ . ἐπεί οὖν μείζων γωνία ὁ ὑπό ΒΓ∠ ὁ ὑπό ΒΓΑ , μείζων ἄρα φαίνω ὁ Β∠ ὁ ΒΑ . ὁ δέ μείζων ἑαυτοῦ οἴομαι ἐπαυξάνω δοκέω , καί ὁ ἐγγύς ὁ ὄμμα μικρός φαίνω . ὁ ἄρα αὐξάνω ὁ μέγεθος δοκέω προσάγω ὁ ὄμμα .
euclides-geom.optica 57
Ὅσα ἐπὶ τῷ αὐτῷ διαστήματι κεῖται τῶν ἄκρων μὴ ἐπʼ εὐθείας τῷ μέσῳ ὄντων , τὸ ὅλον σχῆμα ὁτὲ μὲν κοῖλον , ὁτὲ δὲ κυρτὸν ποιεῖ . ὁράσθω γὰρ τὰ ΓΒ∠ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Κ κειμένου , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΓ , ΚΒ , Κ∠ . οὐκοῦν τὸ ὅλον σχῆμα κοῖλον δόξει εἶναι . μετακινείσθω δὴ πάλιν τὸ ἐν τῷ μέσῳ ὁρώμενον καὶ ἔγγιον κείσθω τοῦ ὄμματος . οὐκοῦν τὸ ∠ΒΓ δόξει κυρτὸν εἶναι .
Lemmas: ὅσα ἐπί ὁ αὐτός διάστημα κεῖμαι ὁ ἄκρος μή ἐπί εὐθύς ὁ μέσος εἰμί , ὁ ὅλος σχῆμα ὁτὲ μέν κοῖλος , ὁτὲ δέ κυρτός ποιέω . ὁράω γάρ ὁ ΓΒ∠ ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Κ κεῖμαι , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΚΓ , ΚΒ , Κ∠ . οὐκοῦν ὁ ὅλος σχῆμα κοῖλος δοκέω εἰμί . μετακινέω δή πάλιν ὁ ἐν ὁ μέσος ὁράω καί ἐγγύς κεῖμαι ὁ ὄμμα . οὐκοῦν ὁ ∠ΒΓ δοκέω κυρτός εἰμί .
euclides-geom.optica 58
Ἐὰν τετραγώνου ἀπὸ τῆς συναφῆς τῶν διαμέτρων πρὸς ὀρθὰς ἀχθῇ εὐθεῖα , ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ , αἱ πλευραὶ τοῦ τετραγώνου ἴσαι φανοῦνται , καὶ αἱ διάμετροι δὲ ἴσαι φανήσονται . ἔστω τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠ , καὶ ἤχθωσαν αὐτοῦ διαγώνιοι αἱ ∠Β , ΓΑ , καὶ ἀνήχθω πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ Ε τῷ ἐπιπέδῳ μετέωρος εὐθεῖα ἡ ΕΖ , ἐφʼ ἧς ὄμμα κείσθω τὸ Ζ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΑ , ΖΒ , Ζ∠ , ΖΓ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∠Ε τῇ ΕΓ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ , καὶ αἱ γωνίαι ὁρθαί , βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν , καὶ τῶν πρὸς ταῖς βάσεσι γωνιῶν ἐκεῖναι ἴσαι , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΓ τῇ ὑπὸ ΕΖ∠ . ἴση ἄρα φανήσεται ἡ ΕΓ τῇ Ε∠ . ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν . ἴση ἄρα φανήσεται ἡ ΑΓ τῇ Β∠ . πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΓΖ τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΑΖ τῇ Ζ∠ , ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ , αἱ τρεῖς ἄρα ταῖς τρισὶν ἴσαι εἰσί , καὶ γωνία γωνίᾳ . ἴση ἄρα φανήσεται ἡ πλευρὰ τῇ πλευρᾷ , ὡς καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ ἴσαι φανήσονται . Τῆς δὲ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὴν συναφὴν τῶν διαμέτρων μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τῆς συναφῆς πρὸς τὰς γωνίας τοῦ τετραγώνου ἀγομένων μήτε ἴσας γωνίας ποιούσης μετʼ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἄνισοι φανήσονται . ὁμοίως γὰρ δείξομεν τὰ συμβαίνοντα , καθάπερ καὶ ἐν τοῖς κύκλοις .
Lemmas: ἐάν τετράγωνος ἀπό ὁ συναφή ὁ διάμετρος πρός ὀρθός ἄγω εὐθύς , ἐπί δέ οὗτος ὁ ὄμμα τίθημι , ὁ πλευρά ὁ τετράγωνος Ἴσαι φαίνω , καί ὁ διάμετρος δέ Ἴσαι φαίνω . ἵστημι τετράγωνος ὁ ΑΒΓ∠ , καί ἄγω αὐτός διαγώνιος ὁ ∠Β , ΓΑ , καί ἀνάγω πρός ὀρθός ἀπό ὁ Ε ὁ ἐπίπεδος μετέωρος εὐθύς ὁ ΕΖ , ἐπί ὅς ὄμμα κεῖμαι ὁ Ζ , καί προσπίπτω ἀκτίς ὁ Γῆ , ΖΒ , Ζ∠ , ΖΓ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ∠Ε ὁ ΕΓ , κοινός δέ ὁ ΕΖ , καί ὁ γωνία ὀρθός , βάσις ἄρα ὁ ΖΓ βάσις ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί , καί ὁ πρός ὁ βάσις γωνία ἐκεῖνος Ἴσαι , ὑπό ὅς ὁ Ἴσαι πλευρά ὑποτείνω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΕΖΓ ὁ ὑπό ΕΖ∠ . ἴσος ἄρα φαίνω ὁ ΕΓ ὁ Ε∠ . ὁμοίως καί ὁ ὑπό ΑΖΕ ὁ ὑπό ΒΖΕ ἴσος εἰμί . ἴσος ἄρα φαίνω ὁ ΑΓ ὁ Β∠ . πάλιν ἐπεί ὁ μέν ΓΖ ὁ ΖΒ εἰμί ἴσος , ὁ δέ αζʹ ὁ Ζ∠ , ἀλλά καί ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ , ὁ τρεῖς ἄρα ὁ τρεῖς Ἴσαι εἰμί , καί γωνία γωνία . ἴσος ἄρα φαίνω ὁ πλευρόν ὁ πλευρά , ὡς καί ὁ λοιπός πλευρά Ἴσαι φαίνω . ὁ δέ ἀπό ὁ ὄμμα ἐπί ὁ συναφή ὁ διάμετρος μήτε πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἐπίπεδος μήτε ἴσος ἑκάτερος ὁ ἀπό ὁ συναφή πρός ὁ γωνία ὁ τετράγωνος ἄγω μήτε ἴσος γωνία ποιέω μετά αὐτός ὁ διάμετρος ἄνισος φαίνω . ὁμοίως γάρ δείκνυμι ὁ συμβαίνω , καθάπερ καί ἐν ὁ κύκλος .