euclides-geom.optica 28
Κυλίνδρου ὁπωσδηποτοῦν ὑπὸ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικυλινδρίου ὀφθήσεται . ἔστω κύλινδρος , οὗ ἔστω κέντρον τῆς βάσεως τὸ Α σημεῖον , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α κύκλος ὁ ΒΓ καὶ κείσθω ὄμμα τὸ ∠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κείμενον τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου τῇ ΒΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ Α ἡ ∠Α , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ ∠ ἀκτῖνες αἱ ∠Β , ∠Γ . καὶ ἐφαπτέσθωσαν τοῦ κύκλου , καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Β , Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς πλευραὶ τοῦ κυλίνδρου αἱ ΒΕ , ΓΖ , καὶ ἐκβεβλήσθω τό τε διὰ τῶν ∠Β , ΒΕ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν ∠Γ , ΓΖ . οὐδέτερον ἄρα αὐτῶν τέμνει τὸν κύλινδρον · ἐφάπτονται γὰρ καὶ αι ∠Β , ∠Γ καὶ αἱ ΒΕ , ΓΖ . βλέπεται οὖν ὑπὸ τῶν Β∠ , ∠Γ ἀκτίνων τὸ ΒΓ , ὅπερ ἐστὶν ἔλαττον ἡμικυκλίου . τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἔλαττον ἡμικυλινδρίου ὁραθήσεται . εἰ δὲ ὑπὸ δύο ὀμμάτων ὁρῷτο , φανερόν , ὅτι καὶ ἐπʼ αὐτοῦ συμβήσεται τὰ ἐπὶ τῆς σφαίρας εἰρημένα . Ἄλλως . Ἔστω κύκλος , οὗ ἔστω κέντρον τὸ Α , σημεῖον δὲ ἐκτὸς ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΑΖ , καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἡ Γ∠ · ἡ Γ∠ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ κύκλου . καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΖ κύκλος ὁ ΑΒΖΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΖ , ΖΕ , ΕΑ . αἱ ΖΒ , ΖΕ ἄρα ἐφάπτονται , ἐπειδήπερ αἱ πρὸς τοῖς Β , Ε σημείοις εἰσὶν ὀρθαί . ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος σημείου τοῦ πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ , ΖΕ , τὸ ΒΕ ἄρα μέρος ὁραθήσεται τοῦ κύκλου . ἔστι δὲ τὸ ΓΒΕ∠ ἡμικύκλιον . τὸ ΒΕ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου . τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα γέγονε πρὸς τοὺς κώνους τε καὶ τοὺς κυλίνδρους . ἐὰν γὰρ ἀπὸ τῶν Β , Ε σημείων ἀχθῶσι πρὸς ὀρθὰς αἱ πλευραὶ τῶν κυλίνδρων , ἐφάψονται αὐτῶν , καθ᾿ ὃ μέρος καὶ αἱ . ἀκτῖνες προσπίπτουσι , καὶ ἀποκλεισθήσεται τὸ Β∠Ε μέρος τῆς ὄψεως , θεωρηθήσεται δὲ τὸ ΒΕ μέρος τοῦ ἡμικυκλίου . τὸ αὐτὸ ἄρα μέρος καὶ τῶν κώνων θεωρηθήσεται τὸ ἔλαττον .
Lemmas: Κυλίνδρου ὁπωσδηποτοῦν ὑπό εἷς ὄμμα ὁράω μικρός ἡμικυλίνδριον ὁράω . ἵστημι κύλινδρος , ὅς ἵστημι κέντρον ὁ βάσις ὁ Α σημεῖον , καί περιγράφω περί ὁ Α κύκλος ὁ ΒΓ καί κεῖμαι ὄμμα ὁ ∠ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος κεῖμαι ὁ βάσις ὁ κύλινδρος ὁ ΒΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ ∠ ἐπί ὁ Α ὁ ∠Α , καί ἄγω ἀπό ὁ ∠ ἀκτίς ὁ ∠Β , ∠Γ . καί ἐφάπτω ὁ κύκλος , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Β , Γ σημεῖον πρός ὀρθός πλευρά ὁ κύλινδρος ὁ ΒΕ , ΓΖ , καί ἐκβάλλω ὁ τε διά ὁ ∠Β , ΒΕ ἐπίπεδος καί ὁ διά ὁ ∠Γ , ΓΖ . οὐδέτερος ἄρα αὐτός τέμνω ὁ κύλινδρος · ἐφάπτω γάρ καί ὁ ∠Β , ∠Γ καί ὁ ΒΕ , ΓΖ . βλέπω οὖν ὑπό ὁ Β∠ , ∠Γ ἀκτίς ὁ ΒΓ , ὅσπερ εἰμί μικρός ἡμικύκλιον . ὁ αὐτός δή τρόπος καί μικρός ἡμικυλίνδριον ὁράω . εἰμί δέ ὑπό δύο ὄμμα ὁράω , φανερός , ὅτι καί ἐπί αὐτός συμβαίνω ὁ ἐπί ὁ σφαῖρα εἴρω . ἄλλος . ἔστω κύκλος , ὅς ἵστημι κέντρον ὁ Α , σημεῖον δέ ἐκτός ἵστημι ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Ζ ὁ αζʹ , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ αζʹ πρός ὀρθός ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ὁ Γ∠ · ὁ Γ∠ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ κύκλος . καί περιγράφω περί ὁ αζʹ κύκλος ὁ ΑΒΖΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΖ , ΖΕ , ΕΑ . ὁ ΖΒ , ΖΕ ἄρα ἐφάπτω , ἐπεί ὁ πρός ὁ Β , Ε σημεῖον εἰμί ὀρθός . ἐπεί οὖν ἀπό τις σημεῖον ὁ πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια προσπίπτω ἀκτίς ὁ ΒΖ , ΖΕ , ὁ ΒΕ ἄρα μέρος ὁράω ὁ κύκλος . εἰμί δέ ὁ ΓΒΕ∠ ἡμικύκλιον . ὁ ΒΕ ἄρα ἐλάσσων εἰμί ἡμικύκλιον . οὗτος δέ ὁ θεώρημα γίγνομαι πρός ὁ κῶνος τε καί ὁ κύλινδρος . ἐάν γάρ ἀπό ὁ Β , Ε σημεῖον ἄγω πρός ὀρθός ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος , ἐφάπτω αὐτός , κατά ὅς μέρος καί ὁ . ἀκτίς προσπίπτω , καί ἀποκλείω ὁ Β∠Ε μέρος ὁ ὄψις , θεωρέω δέ ὁ ΒΕ μέρος ὁ ἡμικύκλιον . ὁ αὐτός ἄρα μέρος καί ὁ κῶνος θεωρέω ὁ μικρός .