euclides-geom.optica 40
Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , μεθίστηται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας ἴσον ὂν τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , ποτὲ μὲν ἴσον ἑαυτῷ , ποτὲ δὲ ἄνισον ὀφθήσεται κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον . ἔστω κύκλος ὁ Α∠ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ ∠ , καὶ ἐφεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ ∠Ζ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε . λέγω , ὅτι ἡ ∠Ζ , ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθίστηται , ποτὲ ἴση φανήσεται , ποτὲ μείζων , ποτὲ ἐλάσσων . ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Ε , ὅ ἐστι κέντρον , τῇ ∠ παράλληλος ἡ ΓΕ , καὶ ἔστω ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΕΓ . καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον . καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α σημεῖον , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΒ , καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ∠Ζ ἴση . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ εὐθεῖαι αἱ Ε∠ , ΓΖ , ΓΒ , ΕΒ , ΖΕ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστι καὶ ἴση , καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ παραλληλόγραμμόν ἐστι καὶ τὸ Ε∠ΖΓ . λείπει δὲ δεῖξαι , ὅτι ἔλασσον φαίνεται τὸ αὐτὸ καὶ μεῖζον . φανερὸν δή , ὅτι ἐλάσσων ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ , ἐπεὶ δέδεικται , ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ κέντρου διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ . ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ . καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΓΕΑ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΒΕΑ · παραλληλόγραμμον γὰρ ἰσόπλευρον τὸ ΒΕ · τῆς δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἡ ὑπὸ ΖΕ∠ · παραλληλόγραμμον γὰρ ἰσόπλευρον καὶ τὸ ΖΕ . καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα ἐλάττων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΕ∠ . ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠Ζ μεγέθους ἔλαττον ὀφθήσεται . καὶ φανερὸν ἐκ τοῦ προδεδειγμένου λήμματος , ὅτι ἐλάχιστον μὲν ὀφθήσεται πρὸς τῷ Α , μέγιστον δὲ πρὸς τῷ κατὰ διάμετρον τῷ Α σημείῳ , ἴσον δὲ τὸ ἴσον ἀπέχον ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ Α σημείου .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ὁράω μή πρός ὀρθός εἰμί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , μεθίστημι δέ ἐπί κύκλος περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ποτέ μέν ἴσος ἑαυτοῦ , ποτέ δέ ἄνισος ὁράω κατά παράλληλος θέσις ὁ ἐκ ἀρχή μεταβαίνω . ἵστημι κύκλος ὁ Α∠ , καί λαμβάνω ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός σημεῖον ὁ ∠ , καί ἐφίστημι μή πρός ὀρθός ὁ κύκλος εὐθύς ὁ ∠Ζ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ε . λέγω , ὅτι ὁ ∠Ζ , ἐάν ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια μεθίστημι , ποτέ ἴσος φαίνω , ποτέ μείζων , ποτέ μικρός . ἄγω δή διά ὁ Ε , ὅς εἰμί κέντρον , ὁ ∠ παράλληλος ὁ ΓΕ , καί ἵστημι ἴσος ὁ ∠Ζ ὁ ΕΓ . καί ἄγω ἀπό ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΓΗ καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ ὁ σημεῖον . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ ἐκβάλλω καί συμβάλλω ὁ περιφέρεια κατά ὁ Α σημεῖον , καί ἄγω διά ὁ Α ὁ ΓΕ παράλληλος ὁ ΑΒ , καί ἵστημι ὁ ΑΒ ὁ ∠Ζ ἴσος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ πᾶς ὁ ἐπί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια μεθίστημι εὐθύς μικρός φαίνω . ἐπιζεύγνυμι γάρ εὐθύς ὁ Ε∠ , ΓΖ , ΓΒ , ΕΒ , ΖΕ . ἐπεί οὖν ὁ ΓΕ ὁ ΑΒ παράλληλος εἰμί καί ἴσος , καί ὁ ΕΑ ἄρα ὁ ΓΒ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕΓΒ . διά ὁ αὐτός δή παραλληλόγραμμος εἰμί καί ὁ ΓΕΖ . λείπω δέ δείκνυμι , ὅτι μικρός φαίνω ὁ αὐτός καί μείζων . φανερός δή , ὅτι μικρός εἰμί γωνία ὁ ὑπό ΓΕΑ ὁ ὑπό ΓΕ∠ , ἐπεί δείκνυμι , ὅτι πᾶς ὁ διά ὁ κέντρον διάγω εὐθύς καί ποιέω γωνία μικρός εἰμί ὁ ὑπό ΓΕΑ . μικρός ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ΓΕ∠ . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΓΕΑ ἥμισυς ὁ ὑπό ΒΕΑ · παραλληλόγραμμος γάρ ἰσόπλευρος ὁ ΒΕ · ὁ δέ ὑπό ΓΕ∠ ὁ ὑπό ΖΕ∠ · παραλληλόγραμμος γάρ ἰσόπλευρος καί ὁ ΖΕ . καί ὁ ὑπό ΒΕΑ ἄρα μικρός εἰμί ὁ ὑπό ΖΕ∠ . ὥστε καί ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ ∠Ζ μέγεθος μικρός ὁράω . καί φανερός ἐκ ὁ προδείκνυμι λῆμμα , ὅτι μικρός μέν ὁράω πρός ὁ Α , μέγας δέ πρός ὁ κατά διάμετρος ὁ Α σημεῖον , ἴσος δέ ὁ ἴσος ἀπέχω ἐπί ἑκάτερος ὁ Α σημεῖον .