euclides-geom.optica 35
Ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον τοῦ κύκλου προσπίπτουσα μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου μήτε τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα , αἱ διάμετροι ἄνισοι φανήσονται πρὸς ἃς ποιεῖ ἀνίσους γωνίας . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καὶ ἤχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΓ , Β∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἀναγομένη , ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα κεῖται , ἡ ΖΕ μήτε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ΑΓ , ∠Β . λέγω , ὅτι ἄνισοι ὀφθήσονται αἱ ΑΓ , ∠Β διάμετροι . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΖΓ , ΖΑ , Ζ∠ , ΖΒ . ἤτοι οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἐλάσσων . διὰ ταῦτα δὴ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠Ζ , ΖΒ τῆς ὑπὸ ΓΖ , ΖΑ ἢ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ τῆς ὑπὸ ∠Ζ , ΖΒ , ὡς ἑξῆς δείξομεν . ἄνισοι ἄρα αἱ διάμετροι ὀφθήσονται . Λῆμμα . Ἔστω κύκλος , οὗ κέντρον ἔστω τὸ Α σημεῖον , ὄμμα δὲ τὸ Β , ἀφ᾿ οὗ ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος ἀγομένη μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α , ἀλλ᾿ ἐκτός , καὶ ἔστω ἡ ΒΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ ἡ ΑΓ καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἡ ΑΒ . λέγω , ὅτι πασῶν τῶν γωνιῶν τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΒ . ἤχθω διὰ τοῦ Α εὐθεῖα ἡ ∠ΑΕ . λέγω , ὅτι ἡ ὑπὸ ΓΑΒ τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐλάσσων ἐστίν . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ . καὶ ἡ ΒΖ ἄρα ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετός ἐστιν . ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ , ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἄρα ἐλάσσων ὀρθῆς . τὴν δὲ μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει . μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΑΖ . ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΖ , ΖΑ ὀρθαί εἰσιν · ὥστε εἰσὶν αἱ ΓΒ , ΒΖ ἄνισοι . καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΖΑ , ΑΒ ἄρα τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΒ ἐστι μείζων . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ πασῶν τῶν γωνιῶν τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν ἐλαχίστη ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΒ . καὶ φανερόν , ὅτι , ἐὰν διαχθῇ τις καὶ ἄλλη εὐθεῖα διὰ τοῦ Α ὡς ἡ ΑΘ πορρώτερον οὖσα τῆς ΑΓ ἤπερ ἡ ΑΖ , μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΒΑΘ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ . ἀχθείσης γὰρ πάλιν καθέτου ἐπὶ τὴν ΑΘ τῆς ΓΚ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΚ κάθετος ἔσται ὁμοίως ἐπὶ τὴν ΑΘ . καὶ ἐπεὶ μείζων ἡ ΑΛ τῆς ΑΚ ( ὀρθὴν γὰρ ὑποτείνει τὴν ὑπὸ ΑΚΛ ) , πολλῷ ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΑΚ μείζων ἐστίν . καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΒΖΑ , ΒΚΑ . ἐλάσσων μὲν ἄρα ἡ ΒΖ τῆς ΒΚ διὰ τὸ ἴσα εἶναι τά τε ἀπὸ τῶν ΒΖ , ΖΑ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚ , ΚΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ καὶ ἀλλήλοις , μείζων δὲ πάλιν ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ . πασῶν δὲ τῶν πρὸς τῇ ΒΑ γινομένων γωνιῶν ὑπὸ τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων μεγίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ ἐπὶ τὸ Η , ἐπεὶ καὶ πασῶν ἐλάττων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ . ἴσαι δὲ γίνονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ΜΑ τῆς τὴν ἐλαχίστην γωνίαν περιεχούσης μετὰ τῆς ΒΑ . κείσθω γὰρ τῇ ΕΜ ἴση ἡ ΜΝ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΜ , ΜΝ , ΕΓ , ΓΝ , ΒΕ , ΒΝ , ΑΝ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ ΜΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΜΓ , καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΓ τῃ ΓΝ . κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΒ . ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΒ τῇ ΒΝ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΝ · καὶ κοινὴ ἡ ΑΒ . καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΝΑΒ ἴση ἐστίν . Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , οὗ κέντρον τὸ Ζ , ἐν ᾧ εὐθεῖαι ἤχθωσαν διὰ τῶν Α , Β , Γ , ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε , ἀφ᾿ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη πρὸς ὀρθὰς τῇ Γ∠ , πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιεχέτω · καὶ ἔστω ἡ ΕΖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μείζων . λέγω , ὅτι ἄνισοι αἱ διάμετροι αἱ ΑΒ , Γ∠ φανήσονται , καὶ μεγίστη μὲν ἡ Γ∠ , ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΒ , ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης ἐλάσσων τῆς ἀπώτερον , δύο δὲ μόνον διάμετροι ἴσαι φανήσονται ἴσον ἀπεχουσαι ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης . ἐπεὶ γὰρ ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ , ΕΖ ἐστι πρὸς ὀρθάς , καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς Γ∠ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ διὰ τῶν ΕΖ , ΑΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς · ὥστε καὶ τὸ ὑποκείμενον τοῦ κύκλου ἐπίπεδον , ἐφ᾿ οὗ ἐστιν ἡ Γ∠ . ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος . ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα τομὴν πίπτει τῶν ἐπιπέδων τὴν ΑΒ . πιπτέτω οὖν καὶ ἔστω ἡ ΕΚ , καὶ διήχθω τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἴση ἡ ΛΜ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον , καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν τῇ ΛΜ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἡ ΝΞ , καὶ ἔστω ἡ ΝΞ τῇ ΕΖ ἴση . τὸ ἄρα περὶ τὴν ΛΜ γραφόμενον τμῆμα καὶ ἐρχόμενον διὰ τοῦ Ξ μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου , ἐπειδήπερ ἡ ΝΞ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΛΝ , ΝΜ . ἔστω τὸ ΛΞΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΛ , 5 . ἐλάττονα v , comp . Vat . ἀπώτερον ] ἀπότερον V Vat . v . δέ ] postea add . V , om . Vat . v . 7 . γάρ ] οὖν Vat . Vat.1 mv : ΞΜ . ἡ ἄρα πρὸς τῷ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞ , ΞΜ εὐθειῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε σημείῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τοῦ Ε καὶ τῶν Γ , ∠ . συνεστάτω πρὸς τῇ ΛΝ εὐθείᾳ καὶ τῷ Ν σημείῳ τῇ ὑπὸ τῶν ΗΖ , ΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ , ΝΟ , καὶ κείσθω ἴση τῇ ΕΖ ἡ ΝΟ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΟ , ΟΜ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΟΜ τρίγωνον τμῆμα τὸ ΛΟΜ . ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΘ . ἔτι συνεστάτω πρὸς τῇ ΛΝ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ν τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ , ΝΠ , καὶ κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΠ , ΠΜ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΠΜ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΠΜ . ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Π σημείῳ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ . ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ξ τῆς πρὸς τῷ Ο , ἀλλ᾿ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ξ σημείῳ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕ∠ , ἡ δὲ πρὸς τῷ Ο τῇ ὑπὸ ΗΕΘ , μείζων ἄρα φανήσεται ἡ Γ∠ τῆς ΗΘ . πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΕΘ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ πρὸς τῷ Π τῇ ὑπὸ ΑΕΒ , μείζων δ᾿ ἡ πρὸς τῷ Ο τῆς πρὸς τῷ Π , μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΘ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ . μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΗΘ τῆς ΑΒ . πασῶν ἄρα τῶν διὰ τοῦ Ζ διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΕΖ γωνίας μεγίστη μὲν ὀφθήσεται ἡ Γ∠ , ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΒ , διότι καὶ τῶν πρὸς τῷ Ε συνισταμένων γωνιῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΕ∠ , ἐλαχίστη δὲ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ , τῇ δὲ ὑπὸ ΗΕΘ ἄλλη μία μόνη ἴση συσταθήσεται ἀφαιρεθείσης ἴσης τῇ ΗΑ τῆς ΑΤ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΤΖ καὶ ἐκβληθείσης ἐπὶ τὸ Σ ἡ ὑπὸ ΤΕΣ . τοῦτο δὲ δῆλον ἀπὸ τῶν πρὸς τοῖς Ξ , Ο , Π γωνιῶν . καὶ γὰρ τούτων ἐλαχίστη μὲν ἡ Π , ἐπεὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΠΝΛ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΑ ἐλαχίστῃ γωνίᾳ , μεγίστη δὲ ἡ Ξ διὰ τὸ πρὸς ὀρθὰς εἶναι τὴν ΝΞ μεγίστην γινομένην τῶν διὰ τοῦ Ν διαγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ ΛΞΜ τμήματι καὶ τὴν ἴσην αὐτῇ τιθεμένην ὑπερπίπτειν τὸ ΛΞΜ τμῆμα καὶ τὸ μὲν ἐσωτάτω πίπτειν τὸ δὲ Π ἐξωτάτω ἅτε μηδεμιᾶς ἐλάττονος γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ ΠΝΛ . τῆς δὲ ὑπὸ ΕΖΤ ἴσης οὔσης τῇ ὑπὸ ΕΖΗ ὡς προδέδεικται , καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΣ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΘ , τουτέστι τῇ ὑπὸ ΟΝΜ . ὥστε ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΤΕΣ ΗΕΘ τῇ πρὸς τῷ Ο ἴσαι εἰσίν ἡ ἄρα ΗΘ τῇ ΤΣ ἴση φανήσεται . ἔστω ἐλάττων ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου . ἀλλὰ δὴ περὶ τὰς διαμέτρους τοὐναντίον · ἡ γὰρ πρότερον μείζων νῦν ἐλάσσων φανήσεται , ἡ δὲ ἐλάσσων μείζων . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ , Γ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς , ἑτέρα δέ τις τυχοῦσα διήχθω ἡ ΕΖ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Θ , ἀφ᾿ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα ἔστω ἡ ΗΘ ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου . καὶ κείσθω τᾖ τοῦ κύκλου διαμέτρῳ ἴση ἡ ΚΛ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Μ , καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Μ σημείου πρὸς ὀρθὰς ἡ ΜΝ , καὶ ἔστω ἴση ἡ ΜΝ τῇ ΘΗ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΚΛ καὶ τὸ Ν σημεῖον τμῆμα κύκλου τὸ ΝΚΛ . ἔστι δὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου , ἐπειδήπερ ἡ ΜΝ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου . ἔσται δὴ πρὸς τῷ Ν γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΚΝ , ΛΝ ἴση τῇ πρὸς τῷ περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΘ , Θ∠ . ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΗΘ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΞ , καὶ κείσθω τῇ ΗΘ ἴση ἡ ΜΞ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΚΛ καὶ τὸ Ξ σημεῖον τὸ ΚΞΛ τμῆμα . ἔστιν ἄρα πρὸς τῷ Ξ σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΚΞΛ ἴση τῇ πρὸς τῷ Θ , περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΘΕ . ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΘ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜ , ΜΟ , καὶ κείσθω ἡ ΜΟ τῇ ΗΘ ἴση , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΚΛ καὶ τὸ Ο τμῆμα . ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ Ο γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΚΟΛ ἴση τῇ πρὸς τῷ γωνίᾳ περι εχομένῃ ὑπὸ τῶν ΑΘΒ . ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ πρὸς τῷ Ο τῆς πρὸς τῷ Ξ , ἴση δὲ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο τῇ πρὸς τῷ Θ , περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΘΒ , ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ τῇ πρὸς τῷ Θ , περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΘΖ , μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΕΖ . πάλιν ἐπεὶ μείζων ἡ πρὸς τῷ Θ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΕΘ , ΘΖ τῆς πρὸς τῷ Θ , περιεχομένης δὲ ὑπὸ τῶν ΓΘ∠ , μείζων ἄρα ὀφθήσεται ἡ ΕΖ τῆς Γ∠ .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ἀπό ὁ ὄμμα πρός ὁ κέντρον ὁ κύκλος προσπίπτω μήτε πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἐπίπεδος ὁ κύκλος μήτε ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος μήτε ἴσος γωνία περιέχω , ὁ διάμετρος ἄνισος φαίνω πρός ὅς ποιέω ἄνισος γωνία . ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καί ἄγω δύο διάμετρος ὁ ΑΓ , Β∠ τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ὁ ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἀνάγω , ἐπί ὅς ὁ ὄμμα κεῖμαι , ὁ ΖΕ μήτε πρός ὀρθός ἵστημι ὁ ἐπίπεδος μήτε ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον μήτε ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ ΑΓ , ∠Β . λέγω , ὅτι ἄνισος ὁράω ὁ ΑΓ , ∠Β διάμετρος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΖΓ , Γῆ , Ζ∠ , ΖΒ . ἤτοι οὖν μείζων εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἢ μικρός . διά οὗτος δή ἤτοι μείζων εἰμί ὁ ὑπό ∠Ζ , ΖΒ ὁ ὑπό ΓΖ , Γῆ ἢ ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , Γῆ ὁ ὑπό ∠Ζ , ΖΒ , ὡς ἑξῆς δείκνυμι . ἄνισος ἄρα ὁ διάμετρος ὁράω . λῆμμα . ἔστω κύκλος , ὅς κέντρον ἵστημι ὁ Α σημεῖον , ὄμμα δέ ὁ Β , ἀπό ὅς ἐπί ὁ κύκλος κάθετος ἄγω μή πίπτω ἐπί ὁ κέντρον ὁ Α , ἀλλά ἐκτός , καί ἵστημι ὁ ΒΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Γ ὁ ΑΓ καί ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Β ὁ ΑΒ . λέγω , ὅτι πᾶς ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ διά ὁ Α διάγω εὐθύς καί ποιέω πρός ὁ ΑΒ εὐθύς γωνία μικρός εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΒ . ἄγω διά ὁ Α εὐθύς ὁ ∠ΑΕ . λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ΓΑΒ ὁ ὑπό ΕΑΒ μικρός εἰμί . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ∠Ε κάθετος ἐν ὁ ἐπίπεδος ὁ ΓΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΖ . καί ὁ ΒΖ ἄρα ἐπί ὁ ∠Ε κάθετος εἰμί . ἐπεί οὖν ὀρθός ὁ ὑπό ΓΖΑ , ὁ ὑπό ΑΓΖ ἄρα μικρός ὀρθός . ὁ δέ μείζων γωνία ὁ μείζων πλευρόν ὑποτείνω . μείζων ἄρα ὁ ΑΓ ὁ αζʹ . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ καί ὁ ὑπό ὁ ΒΖ , Γῆ ὀρθός εἰμί · ὥστε εἰμί ὁ ΓΒ , ΒΖ ἄνισος . καί ὁ ὑπό ὁ Γῆ , ΑΒ ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΒ εἰμί μείζων . ὁμοίως δή δείκνυμι καί πᾶς ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ διά ὁ Α διάγω εὐθύς καί ποιέω πρός ὁ ΑΒ εὐθύς γωνία μικρός ὁ ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΒ . καί φανερός , ὅτι , ἐάν διάζομαι τις καί ἄλλος εὐθύς διά ὁ Α ὡς ὁ ΑΘ πρόσω εἰμί ὁ ΑΓ ἤ2 ὁ αζʹ , μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΘ ὁ ὑπό ΒΑΖ . ἄγω γάρ πάλιν κάθετος ἐπί ὁ ΑΘ ὁ ΓΚ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΚ κάθετος εἰμί ὁμοίως ἐπί ὁ ΑΘ . καί ἐπεί μείζων ὁ ΑΛ ὁ ΑΚ ( ὀρθός γάρ ὑποτείνω ὁ ὑπό Ακλ ) , πολύς ἄρα ὁ αζʹ ὁ ΑΚ μείζων εἰμί . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΒΖΑ , ΒΚΑ . μικρός μέν ἄρα ὁ ΒΖ ὁ ΒΚ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΒΖ , Γῆ καί ὁ ἀπό ὁ ΒΚ , ΚΑ ὁ ἀπό ὁ ΒΑ καί ἀλλήλων , μείζων δέ πάλιν ὁ ὑπό ΒΑΚ ὁ ὑπό ΒΑΖ . πᾶς δέ ὁ πρός ὁ ΒΑ γίγνομαι γωνία ὑπό ὁ διά ὁ Α διάγω μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΗ ἐκβάλλω ὁ ΓΑ ἐπί ὁ ὁ , ἐπεί καί πᾶς μικρός ὁ ὑπό ΒΑΓ . Ἴσαι δέ γίγνομαι ὁ ἴσος ἀπέχω ἐπί ἑκάτερος ὁ μή ὁ ὁ μικρός γωνία περιέχω μετά ὁ ΒΑ . κεῖμαι γάρ ὁ ΕΜ ἴσος ὁ ΜΝ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΜ , ΜΝ , ΕΓ , ΓΝ , ΒΕ , ΒΝ , ΑΝ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΜΝ ὁ ΜΕ , κοινός δέ ὁ ΜΓ , καί γωνία ἴσος περιέχω , ἴσος ἄρα καί ὁ ΕΓ πῃ ΓΝ . κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΓΒ . ἴσος ἄρα καί ὁ ΕΒ ὁ ΒΝ . ἀλλά καί ὁ ΕΑ ὁ ΑΝ · καί κοινός ὁ ΑΒ . καί γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΕΑΒ ὁ ὑπό ΑΒ ἴσος εἰμί . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , ὅς κέντρον ὁ Ζ , ἐν ὅς εὐθύς ἄγω διά ὁ Α , Β , Γ , ∠ τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Ε , ἀπό ὅς ὁ ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι πρός ὀρθός ὁ Γ∠ , πρός δέ ὁ ΑΒ τυγχάνω γωνία περιέχω · καί ἵστημι ὁ ΕΖ ὁ ἐκ ὁ κέντρον μείζων . λέγω , ὅτι ἄνισος ὁ διάμετρος ὁ ΑΒ , Γ∠ φαίνω , καί μέγας μέν ὁ Γ∠ , μικρός δέ ὁ ΑΒ , ἀεί δέ ὁ ἐγγύς ὁ μικρός μικρός ὁ ἀπώτερος , δύο δέ μόνος διάμετρος Ἴσαι φαίνω ἴσος ἀπέχω ἐπί ἑκάτερος ὁ μικρός . ἐπεί γάρ ὁ Γ∠ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΕΖ εἰμί πρός ὀρθός , καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ Γ∠ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ΕΖ , ΑΒ εἰμί πρός ὀρθός · ὥστε καί ὁ ὑπόκειμαι ὁ κύκλος ἐπίπεδος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ Γ∠ . ἄγω οὖν ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος . ἐπί ὁ κοινός ἄρα τομή πίπτω ὁ ἐπίπεδος ὁ ΑΒ . πίπτω οὖν καί ἵστημι ὁ ΕΚ , καί διάγω ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ἴσος ὁ ΛΜ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Ν σημεῖον , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Ν ὁ ΛΜ πρός ὀρθός εὐθύς ὁ ΝΞ , καί ἵστημι ὁ ΝΞ ὁ ΕΖ ἴσος . ὁ ἄρα περί ὁ ΛΜ γράφω τμῆμα καί ἔρχομαι διά ὁ Ξ μέγας εἰμί ἡμικύκλιον , ἐπεί ὁ ΝΞ μείζων εἰμί ἑκάτερος ὁ ΛΝ , ΝΜ . ἵστημι ὁ ΛΞΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞΛ , 5 . μικρός v , comp . Vat . ἀπώτερος ] αποτερος V Vat . v . δέ ] postea add . V , om . Vat . v . 7 . γάρ ] οὖν Vat . Vat.1 mv : ΞΜ . ὁ ἄρα πρός ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΛΞ , ΞΜ εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Ε σημεῖον ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ε καί ὁ Γ , ∠ . συνίστημι πρός ὁ ΛΝ εὐθύς καί ὁ Ν σημεῖον ὁ ὑπό ὁ ΗΖ , ΖΕ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΝ , ΝΟ , καί κεῖμαι ἴσος ὁ ΕΖ ὁ ΝΟ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΟ , ΟΜ , καί περιγράφω περί ὁ ΛΟΜ τρίγωνος τμῆμα ὁ ΛΟΜ . εἰμί δή καί ὁ πρός ὁ ὁ σημεῖον γωνία ἴσος ὁ πρός ὁ Ε ὁ ὑπό ὁ ΗΕΘ . ἔτι συνίστημι πρός ὁ ΛΝ εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Ν ὁ ὑπό ὁ ΑΖΕ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΝ , ΝΠ , καί κεῖμαι ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΝΠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΠ , ΠΜ , καί περιγράφω περί ὁ ΛΠΜ τρίγωνος τμῆμα κύκλος ὁ ΛΠΜ . εἰμί δή καί ὁ πρός ὁ Π σημεῖον γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΑΕΒ γωνία . ἐπεί οὖν μείζων εἰμί ὁ πρός ὁ Ξ ὁ πρός ὁ ὁ , ἀλλά ὁ μέν πρός ὁ Ξ σημεῖον ἴσος ὁ ὑπό ΓΕ∠ , ὁ δέ πρός ὁ ὁ ὁ ὑπό ΗΕΘ , μείζων ἄρα φαίνω ὁ Γ∠ ὁ ΗΘ . πάλιν ἐπεί ὁ μέν πρός ὁ ὁ σημεῖον γωνία ὁ ὑπό ΗΕΘ εἰμί ἴσος , ὁ δέ πρός ὁ Π ὁ ὑπό ΑΕΒ , μείζων δέ ὁ πρός ὁ ὁ ὁ πρός ὁ Π , μείζων ἄρα καί ὁ ὑπό ΗΕΘ ὁ ὑπό ΑΕΒ . μείζων ἄρα φαίνω ὁ ΗΘ ὁ ΑΒ . πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ Ζ διάγω εὐθύς καί ποιέω πρός ὁ ΕΖ γωνία μέγας μέν ὁράω ὁ Γ∠ , μικρός δέ ὁ ΑΒ , διότι καί ὁ πρός ὁ Ε συνίστημι γωνία μέγας μέν εἰμί ὁ ὑπό ΓΕ∠ , μικρός δέ ὁ ὑπό ΑΕΒ , ὁ δέ ὑπό ΗΕΘ ἄλλος εἷς μόνος ἴσος συνίστημι ἀφαιρέω ἴσος ὁ ΗΑ ὁ ΑΤ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΤΖ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Σ ὁ ὑπό αἱρέω . οὗτος δέ δῆλος ἀπό ὁ πρός ὁ Ξ , ὁ , Π γωνία . καί γάρ οὗτος μικρός μέν ὁ Π , ἐπεί καί ὁ ὑπό ΠΝΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΖΑ μικρός γωνία , μέγας δέ ὁ Ξ διά ὁ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΝΞ μέγας γίγνομαι ὁ διά ὁ Ν διάγω εὐθύς ἐν ὁ ΛΞΜ τμῆμα καί ὁ ἴσος αὐτός τίθημι ὑπερπίπτω ὁ ΛΞΜ τμῆμα καί ὁ μέν εἴδομαι πίπτω ὁ δέ Π ἔξω ἅτε μηδείς μικρός γωνία εἰμί ὁ ὑπό ΠΝΛ . ὁ δέ ὑπό ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΖΗ ὡς προδείκνυμι , καί ὁ ἐφεξῆς ἄρα ὁ ὑπό ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΖΘ , τουτέστι ὁ ὑπό ΟΝ . ὥστε ἑκάτερος ὁ ὑπό αἱρέω ΗΕΘ ὁ πρός ὁ ὁ Ἴσαι εἰμί ὁ ἄρα ΗΘ ὁ ΤΣ ἴσος φαίνω . ἵστημι μικρός ὁ ἀπό ὁ ὄμμα ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ὁ ἐκ ὁ κέντρον . ἀλλά δή περί ὁ διάμετρος ἐναντίος · ὁ γάρ πρότερος μείζων νῦν μικρός φαίνω , ὁ δέ μικρός μείζων . ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ , καί διάγω δύο διάμετρος ὁ ΑΒ , Γ∠ τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός , ἕτερος δέ τις τυγχάνω διάγω ὁ ΕΖ , ὄμμα δέ ἵστημι ὁ Θ , ἀπό ὅς ὁ ἐπί ὁ κέντρον ἐπιζεύγνυμι ἵστημι ὁ ΗΘ μικρός εἰμί ἑκάτερος ὁ ἐκ ὁ κέντρον . καί κεῖμαι ὅς ὁ κύκλος διάμετρος ἴσος ὁ ΚΛ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Μ , καί ἀνάγω ἀπό ὁ Μ σημεῖον πρός ὀρθός ὁ ΜΝ , καί ἵστημι ἴσος ὁ ΜΝ ὁ τίθημι , καί περιγράφω περί ὁ ΚΛ καί ὁ Ν σημεῖον τμῆμα κύκλος ὁ ΝΚΛ . εἰμί δή μικρός ἡμικύκλιον , ἐπεί ὁ ΜΝ μικρός εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον . εἰμί δή πρός ὁ Ν γωνία περιέχω ὑπό ὁ ΚΝ , ΛΝ ἴσος ὁ πρός ὁ περιέχω δέ ὑπό ὁ ΓΘ , Θ∠ . ἔτι κεῖμαι ὁ ὑπό ὁ ΕΗΘ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΚΜΞ , καί κεῖμαι ὁ ΗΘ ἴσος ὁ μξ , καί περιγράφω περί ὁ ΚΛ καί ὁ Ξ σημεῖον ὁ ΚΞΛ τμῆμα . εἰμί ἄρα πρός ὁ Ξ σημεῖον γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΚΞΛ ἴσος ὁ πρός ὁ Θ , περιέχω δέ ὑπό ὁ ΕΖΘ . ἔτι κεῖμαι ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΘ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΚΜ , ΜΟ , καί κεῖμαι ὁ ΜΟ ὁ ΗΘ ἴσος , καί περιγράφω περί ὁ ΚΛ καί ὁ ὁ τμῆμα . εἰμί δή ὁ πρός ὁ ὁ γωνία περιέχω ὑπό ὁ Κολ ἴσος ὁ πρός ὁ γωνία περί ἔχω ὑπό ὁ ΑΘΒ . ἐπεί οὖν μείζων ὁ πρός ὁ ὁ ὁ πρός ὁ Ξ , ἴσος δέ ὁ μέν πρός ὁ ὁ ὁ πρός ὁ Θ , περιέχω δέ ὑπό ὁ ΑΘΒ , ὁ δέ πρός ὁ Ξ ὁ πρός ὁ Θ , περιέχω δέ ὑπό ὁ ΕΘΖ , μείζων ἄρα φαίνω ὁ ΑΒ ὁ ΕΖ . πάλιν ἐπεί μείζων ὁ πρός ὁ Θ περιέχω ὑπό ὁ ΕΘ , ΘΖ ὁ πρός ὁ Θ , περιέχω δέ ὑπό ὁ ΓΘ∠ , μείζων ἄρα ὁράω ὁ ΕΖ ὁ Γ∠ .