ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.fragmenta 1.1
1 . Proclus Comm . in Eucl . p . 68,23sqq . ( ed . Friedlein ) : Πολλὰ μὲν οὖν καὶ ἄλλα τοῦ ἀνδρὸς τούτου μαθηματικὰ συγγράμματα θαυμαστῆς ἀκριβείας καὶ ἐπιστημονικῆς θεωρίας μεστά · τοιαῦτα γὰρ καὶ τὰ Ὀπτικὰ καὶ τὰ Κατοπτρικά , τοιαῦται δὲ καὶ αἰ κατὰ μουσικὴν στοιχειώσεις , ἔτι δὲ τὸ Περὶ διαιρέσεων βιβλίον . ldem ibid . p . 144,18sqq . δεύτερον δὲ ἀπὸ τῆς ὁλότητος τελειοῦται τῆς εἰς τὰ ἀνόμοια μέρη διακρινομένης , ὅθεν δὴ καὶ αὐτὸς ἑκάστῳ τῶν εἰδῶν ἐπιφέρει τὸ ὅλον , καὶ τῶν σχημάτων ἕκαστον εἰς διάφορα αὐτῶν εἴδη τέμνεται . καὶ γὰρ ὁ κύκλος εἰς ἀνόμοια τῷ λόγῳ καὶ ἕκαστον τῶν εὐθυγράμμων διαιρετόν ἐστιν , ὃ καὶ αὐτὸς ὁ Στοιχειωτὴς ἐν ταῖς Διαιρέσεσι πραγματεύεται τὸ μὲν εἰς ὅμοια τὰ δοθέντα σχήματα διαιρῶν , τὸ δὲ εἰς ἀνόμοια . Cfr . Studien über Euklid p . 36 sqq . sine dubio cum hoc opere Euclidis adfinitate quadam coniunctus est liber III Metricorum Heronis , sed non ita , ut inde Euclidea peti possint .
Lemmas: 1 . Proclus Comm . in Eucl . p . 68,23sqq . ( ed . Friedlein ) : Πολύς μέν οὖν καί ἄλλος ὁ ἀνήρ οὗτος μαθηματικός σύγγραμμα θαυμαστός ἀκρίβεια καί ἐπιστημονικός θεωρία μεστός · τοιοῦτος γάρ καί ὁ ὀπτικός καί ὁ κατοπτρικός , τοιοῦτος δέ καί ὁ κατά μουσική Στοιχειώσεις , ἔτι δέ ὁ περι διαίρεσις βιβλίον . ldem ibid . p . 144,18sqq . δύο δέ ἀπό ὁ ὁλότης τελειόω ὁ εἰς ὁ ἀνόμοιος μέρος διακρίνω , ὅθεν δή καί αὐτός ἕκαστος ὁ εἶδος ἐπιφέρω ὁ ὅλος , καί ὁ σχῆμα ἕκαστος εἰς διάφορος αὐτός εἶδος τέμνω . καί γάρ ὁ κύκλος εἰς ἀνόμοιος ὁ λόγος καί ἕκαστος ὁ εὐθύγραμμος διαιρετός εἰμί , ὅς καί αὐτός ὁ στοιχειωτής ἐν ὁ διαίρεσις πραγματεύομαι ὁ μέν εἰς ὅμοιος ὁ δίδωμι σχῆμα διαιρέω , ὁ δέ εἰς ἀνόμοιος . Cfr . Studien über Euklid p . 36 sqq . sine dubio cum hoc opere Euclidis adfinitate quadam coniunctus est liber III Metricorum Heronis , sed non ita , ut inde Euclidea peti possint .
euclides-geom.fragmenta 3.1
3 . Proclus Comm . in Eucl . p . 70,1 sqq . ( ed . Friedlein ) : Ἐπειδὴ δὲ πολλὰ φαντάζεται μὲν ὡς τῆς ἀληθείας ἀντεχόμενα καὶ ταῖς ἐπιστημονικαῖς ἀρχαῖς ἀκολουθοῦντα , φέρεται δὲ εἰς τὴν ἀπὸ τῶν ἀρχῶν πλάνην καὶ τοὺς ἐπιπολαιοτέρους ἐξαπατᾷ , μεθόδους παραδέδωκεν καὶ τῆς τούτων διορατικῆς φρονήσεως , ἃς ἔχοντες γυμνάζειν μὲν δυνησόμεθα τοὺς ἀρχομένους τῆς θεωρίας ταύτης πρὸς τὴν εὕρεσιν τῶν παραλογισμῶν , ἀνεξαπάτητοι δὲ διαμένειν . καὶ τοῦτο δὴ τὸ σύγγραμμα , διʼ οὗ τὴν παρασκευὴν ἡμῖν ταύτην ἐντίθησι , Ψευδαρίων ἐπέγραψεν τρόπους τε αὐτῶν ποικίλους ἐν τάξει διαριθμησάμενος καὶ καθʼ ἕκαστον γυμνάσας ἡμῶν τὴν διάνοιαν παντοίοις θεωρήμασι καὶ τῷ ψεύδει τὸ ἀληθὲς παραθεὶς καὶ τῇ πείρᾳ τὸν ἔλεγχον τῆς ἀπάτης συναρμόσας . τοῦτο μὲν οὖν τὸ βιβλίον καθαρτικόν ἐστι καὶ γυμναστικόν . Cfr . Paeudo - Alexander siue Michael Ephesius in Aristot . Soph . Elenchos p . 76 , 20 ( ed . Wellies ) : Οὐ μόνον δὲ τοὺς μὴ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν ὡρμημένους τῆς ἐπιστήμης , ὑφʼ ἥν ἐστι τὸ πρόβλημα , δοκοῦντας δὲ εἶναι , ψευδεῖς ἐλέγχους φησίν , ἀλλὰ καὶ τοὺς ἐκ τῶν οἰκείων μὲν τῆς ἐπιστήμης ἀρχῶν , κατά τι δὲ παραλογιζομένους , οἷά εἰσι τὰ τοῦ Εὐκλείδου ψευδογραφήματα . Scholia in Platonis Theaet . 191 b ( p . 248 ed . Hermann ) : ἐπειδὰν ἡμᾶς ἐρωτᾷ περὶ τῶν ἔξω τῆς αἰσθήσεως , εἰ δυνατὸν συστῆναι ψευδοδοξίαν , οἷον ἐπὶ τῶν παρὰ τοῖς γεωμέτραις καλουμένων ψευδαρίων.1 ) οὐ γὰρ διὰ μῖξιν αἰσθήσεως ψευδογραφοῦσιν.2 )
Lemmas: 3 . Proclus Comm . in Eucl . p . 70,1 sqq . ( ed . Friedlein ) : ἐπεί δέ πολύς φαντάζω μέν ὡς ὁ ἀλήθεια ἀντέχω καί ὁ ἐπιστημονικός ἀρχή ἀκολουθέω , φέρω δέ εἰς ὁ ἀπό ὁ ἀρχή πλάνη καί ὁ ἐπιπόλαιος ἐξαπατάω , μέθοδος παραδίδωμι καί ὁ οὗτος διορατικός φρόνησις , ὅς ἔχω γυμνάζω μέν δύναμαι ὁ ἄρχω ὁ θεωρία οὗτος πρός ὁ εὕρεσις ὁ παραλογισμός , ἀνεξαπάτητος δέ διαμένω . καί οὗτος δή ὁ σύγγραμμα , διά ὅς ὁ παρασκευή ἐγώ οὗτος ἐντίθημι , ψευδάριον ἐπιγράφω τρόπος τε αὐτός ποικίλος ἐν τάξις διαριθμέω καί κατά ἕκαστος γυμνάζω ἐγώ ὁ διάνοια παντοῖος θεώρημα καί ὁ ψεύδω ὁ ἀληθής παρατίθημι καί ὁ πείρω ὁ ἔλεγχος ὁ ἀπάτη συναρμόζω . οὗτος μέν οὖν ὁ βιβλίον καθαρτικός εἰμί καί γυμναστικός . Cfr . Paeudo - Alexander siue Michael Ephesius in Aristot . Soph . Elenchos p . 76 , 20 ( ed . Wellies ) : οὖον μόνος δέ ὁ μή ἀπό ὁ ἀρχή ὁρμάω ὁ ἐπιστήμη , ὑπό ὅς εἰμί ὁ πρόβλημα , δοκέω δέ εἰμί , ψευδής ἔλεγχος φημί , ἀλλά καί ὁ ἐκ ὁ οἰκέω μέν ὁ ἐπιστήμη ἀρχή , κατά τίς δέ παραλογίζομαι , οἷος εἰμί ὁ ὁ Εὐκλείδης ψευδογράφημα . Scholia in Platonis Theaet . 191 b ( p . 248 ed . Hermann ) : ἐπειδάν ἐγώ ἐρωτάω περί ὁ ἔξω ὁ αἴσθησις , εἰμί δυνατός συνίστημι ψευδοδοξία , οἷος ἐπί ὁ παρά ὁ γεωμέτρης καλέω ψευδαρίων.1 ) οὖον γάρ διά μῖξις αἴσθησις ψευδογραφέω )
euclides-geom.fragmenta 4.1
4 . Proclus Comm . in Encl . p . 212,12sqq . : Τὸ δὲ πόρισμα λέγεται μὲν καὶ ἐπὶ προβλημάτων τινῶν , οἷον τὰ Εὐκλείδῃ γεγραμμένα πορίσματα , λέγεται δὲ ἰδίως , ὅταν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ἄλλο τι συναναφανῇ θεώρημα μὴ προθεμένων ἡμῶν , ὃ καὶ διὰ τοῦτο πόρισμα κεκλήκασιν ὥσπερ τι κέρδος ὂν τῆς ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως πάρεργον . Idem ibid . p . 301,21 sqq . : Ἕν τι τῶν γεωμετρικῶν ἐστιν ὀνομάτων τὸ πόρισμα . τοῦτο δὲ σημαίνει διττόν · καλοῦσι γὰρ πορίσματα , καὶ ὅσα θεωρήματα συγκατασκευάζεται ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν οἷον ἕρμαια καὶ κέρδη τῶν ζητούντων ὑπάρχοντα , καὶ ὅσα ζητεῖται μέν , εὑρέσεως δὲ χρῄζει καὶ οὔτε γενέσεως μόνης οὔτε θεωρίας ἁπλῆς . ὅτι μὲν γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἱ πρὸς τῇ βάσει ἴσαι , θεωρῆσαι δεῖ , καὶ ὄντων δή τινων1 ) πραγμάτων ἐστὶν ἡ τοιαύτη γνῶσις , τὴν δὲ γωνίαν δίχα τεμεῖν ἢ τρίγωνον συστήσασθαι ἢ ἀφελεῖν ἢ προσθέσθαι2 ) , ταῦτα πάντα ποίησίν τινος ἀπαιτεῖ · τοῦ δὲ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν ἢ δύο δοθέντων συμμέτρων μεγεθῶν τὸ μέγιστον καὶ κοινὸν μέτρον εὑρεῖν ἢ ὅσα τοιάδε μεταξύ πώς ἐστι προβλημάτων καὶ θεωρημάτων . οὔτε γὰρ γενέσεις εἰσὶν ἐν τούτοις τῶν ζητουμένων , ἀλλʼ εὑρέσεις , οὔτε θεωρία ψιλή · δεῖ γὰρ ὑπʼ ὄψιν ἀγαγεῖν καὶ πρὸ ὀμμάτων ποιήσασθαι τὸ ζητούμενον . τοιαῦτα ἄρα ἐστὶν καί , ὅσα Εὐκλείδης πορίσματα γέγραφε γ βιβλία Πορισμάτων συντάξας . ἀλλὰ περὶ μὲν τῶν τοιούτων πορισμάτων παρείσθω λέγειν . Cfr . scholia in Eucl . l nr . 61 et 62 ( V p . 144 , 9sqq . , p . 146 , 19 sqq.).1 )
Lemmas: 4 . Proclus Comm . in Encl . p . 212,12sqq . : ὁ δέ πόρισμα λέγω μέν καί ἐπί πρόβλημα τις , οἷος ὁ Εὐκλείδης γράφω πόρισμα , λέγω δέ ἰδίως , ὅταν ἐκ ὁ ἀποδείκνυμι ἄλλος τίς συναναφαίνω θεώρημα μή προτίθημι ἐγώ , ὅς καί διά οὗτος πόρισμα καλέω ὥσπερ τίς κέρδος εἰμί ὁ ἐπιστημονικός ἀπόδειξις πάρεργον . Idem ibid . p . 301,21 sqq . : εἷς τίς ὁ γεωμετρικός εἰμί ὄνομα ὁ πόρισμα . οὗτος δέ σημαίνω διττός · καλέω γάρ πόρισμα , καί ὅσος θεώρημα συγκατασκευάζω ὁ ἄλλος ἀπόδειξις οἷος Ἕρμαια καί κέρδος ὁ ζητέω ὑπάρχω , καί ὅσος ζητέω μέν , εὕρεσις δέ χρῄζω καί οὔτε γένεσις μόνος οὔτε θεωρία ἁπλόος . ὅτι μέν γάρ ὁ ἰσοσκελής ὁ πρός ὁ βάσις Ἴσαι , θεωρέω δεῖ , καί εἰμί δή τινων1 ) πρᾶγμα εἰμί ὁ τοιοῦτος γνῶσις , ὁ δέ γωνία δίχα τέμνω ἢ τρίγωνος συνίστημι ἢ ἀφαιρέω ἢ προστίθημι ) , οὗτος πᾶς ποίησις τις ἀπαιτέω · ὁ δέ δίδωμι κύκλος ὁ κέντρον εὑρίσκω ἢ δύο δίδωμι σύμμετρος μέγεθος ὁ μέγας καί κοινός μέτρον εὑρίσκω ἢ ὅσος τοιόσδε μεταξύ πως εἰμί πρόβλημα καί θεώρημα . οὔτε γάρ γένεσις εἰμί ἐν οὗτος ὁ ζητέω , ἀλλά εὕρεσις , οὔτε θεωρία ψιλός · δεῖ γάρ ὑπό ὄψις ἄγω καί πρό ὄμμα ποιέω ὁ ζητέω . τοιοῦτος ἄρα εἰμί καί , ὅσος Εὐκλείδης πόρισμα γράφω γ βιβλίον πόρισμα συντάσσω . ἀλλά περί μέν ὁ τοιοῦτος πόρισμα παρίημι λέγω . Cfr . scholia in Eucl . l nr . 61 et 62 ( V p . 144 , 9sqq . , p . 146 , 19 sqq.).1 )
euclides-geom.fragmenta 6
6 . Pappus Συναγ . VII 193 p . 866 , 1 sqq . Lemmata ad Porismata . Πορισμάτων αʹ β΄ γ΄ . Τοῦ πρώτου εἰς τὸ πρῶτον πόρισμα .
Lemmas: 6 . Pappus Συναγ . VII 193 p . 866 , 1 sqq . Lemmata ad Porismata . πόρισμα ὅς Β΄ Γ΄ . ὁ πρῶτος εἰς ὁ πρῶτος πόρισμα .
euclides-geom.fragmenta 6.1
α΄ . Ἔστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗ , καὶ ἔστω , ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΚ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ . ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΖΛ . ἐπεὶ οὖν ἔστιν , ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΖ , τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΛ , οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΗ τῇ ΒΓ ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ , οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ . ἔστι δὲ καί , ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ , οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ . Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως · ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ . ἀνάπαλίν ἐστιν , ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Α . συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ . ἀλλʼ ὁ μὲν τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ , ὁ δὲ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἔκ τε τοῦ τῆς Α Β πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ ὁ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ , ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ , καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ , ὁ αὐτός ἔστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ , ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ , καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ . καὶ κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος · λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ .
Lemmas: Α΄ . ἔστω καταγραφή ὁ ΑΒΓ∠ΕΖΗ , καί ἵστημι , ὡς ὁ αζʹ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΚ ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΘΚ ὁ ΑΓ . ἄγω διά ὁ Ζ ὁ Β∠ παράλληλος ὁ ΖΛ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ αζʹ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ ἀνάπαλιν καί συντίθημι καί ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ ∠Α πρός ὁ αζʹ , τουτέστιν ἐν παράλληλος ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΛ , οὕτως ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΗ παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΛΗ ὁ ΒΓ εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΛ , οὕτως ἐν παράλληλος ὁ ΕΘ πρός ὁ τίθημι . εἰμί δέ καί , ὡς ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΛ , οὕτως ἐν παράλληλος ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΖ καί ὡς ἄρα ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΖ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΘ πρός ὁ τίθημι . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ ὁ ΑΓ . Ζεύς δέ ὁ συνάπτω οὕτως · ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ αζʹ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ . ἀνάπαλιν εἰμί , ὡς ὁ ΗΖ πρός ὁ Γῆ , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ὁ ∠Α . συντίθημι καί ἐναλλάξ καί ἀναστρέφω εἰμί , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ζ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΗ . ἀλλά ὁ μέν ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ζ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ καί ὁ ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΖ , ὁ δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΗ ἐκ τε ὁ ὁ Α Β πρός ὁ ΒΕ καί ὁ ὁ ΕΘ πρός ὁ τίθημι ὁ ἄρα συνάπτω λόγος ἐκ τε ὁ , ὅς ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , καί ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΖ , ὁ αὐτός εἰμί ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ , ὅς ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , καί ὁ ΕΘ πρός ὁ τίθημι . καί κοινός ἐκκρούω ὁ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ λόγος · λοιπός ἄρα ὁ ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΖ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΕΘ πρός ὁ τίθημι . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ ὁ ΑΓ .
euclides-geom.fragmenta 6.2
β΄ . Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ , ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ∠Β , ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ , Κ , Ζ . ἤχθω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ∠Ε ἡ ΗΛ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ . ἐπεῖ οὖν ἐστιν , ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ , ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ . ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ ὡς ἀρα ἡ Ε πρὸς τὴν ΖΕ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ . καί ἔστι παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΗΛ · εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ , Λ , Ζ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: Β΄ . καταγραφή ὁ ΑΒΓΗ , ἵστημι δέ παράλληλος ὁ αζʹ ὁ ∠Β , ὡς δέ ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ὁ ΗΖ ὅτι εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ Θ , Κ , Ζ . ἄγω διά ὁ ὁ παρά ὁ ∠Ε ὁ ΗΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΚ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Λ . ἐπεῖ οὖν εἰμί , ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ὁ ΗΖ , ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΗ οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΗ . ὡς δέ ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΗ οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ ΗΛ καί ὡς ἀρά ὁ Ε πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ ΗΛ . καί εἰμί παράλληλος ὁ ΕΘ ὁ ΗΛ · εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ Θ , Λ , Ζ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
euclides-geom.fragmenta 6.4
δ΄ . Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ , ἔστω δέ , ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ , ΓΖ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ , ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠ , ΕΖ · ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ , Η , Ζ σημείων . ἐπεί ἐστιν , ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ , ΓΖ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ , ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠ , ΕΖ , ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ , ∠Ε , τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε , οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒ , ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠ , ΕΖ . ἀλλ ὁ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε συνῆπται λόγος , ἐὰν διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΖ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΚΜ , ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΜ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς ∠Ε , ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΒ , ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠ , ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ . κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ · λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΚΝ , τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ , καὶ τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς τὴν ∠Ε , τουτέστιν τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ . εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν Θ , Η , Ζ . ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Θ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Ξ , ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ , ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Θ πρὸς τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ μεταβαλλόμενος εἰς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον , καὶ ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ , Ξ Ζ · τοῦτο γὰρ φανερόν · ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν Θ , Η , Ζ εὐθεῖά ἐστιν .
Lemmas: Δ΄ . καταγραφή ὁ ΓΑΗ , ἵστημι δέ , ὡς ὁ ὑπό αζʹ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ΑΒ , ΓΖ , οὕτως ὁ ὑπό αζʹ , ∠Ε πρός ὁ ὑπό Α∠ , ΕΖ · ὅτι εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ Θ , ὁ , Ζ σημεῖον . ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ὑπό αζʹ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ΑΒ , ΓΖ , οὕτως ὁ ὑπό αζʹ , ∠Ε πρός ὁ ὑπό Α∠ , ΕΖ , ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ ὑπό αζʹ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό αζʹ , ∠Ε , τουτέστιν ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ∠Ε , οὕτως ὁ ὑπό ΑΒ , ΓΖ πρός ὁ ὑπό Α∠ , ΕΖ . ἀλλ' ὁ μέν ὁ ΒΓ πρός ὁ ∠Ε συνάπτω λόγος , ἐάν διά ὁ Κ ὁ αζʹ παράλληλος ἄγω ὁ ΚΜ , ἐκ τε ὁ ὁ ΒΓ πρός ΚΝ καί ὁ ΚΝ πρός ΚΜ καί ἔτι ὁ ὁ ΚΜ πρός ∠Ε , ὁ δέ ὁ ὑπό ΑΒ , ΓΖ πρός ὁ ὑπό Α∠ , ΕΖ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΒΑ πρός Α∠ καί ὁ ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΕ . κοινός ἐκκρούω ὁ ὁ ΒΑ πρός Α∠ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΝΚ πρός ΚΜ · λοιπός ἄρα ὁ ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΕ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΚΝ , τουτέστιν ὁ ὁ ΘΓ πρός ὁ ΚΘ , καί ὁ ὁ ΚΜ πρός ὁ ∠Ε , τουτέστιν ὁ ὁ ΚΗ πρός ὁ ΗΕ . εὐθύς ἄρα ὁ διά ὁ Θ , ὁ , Ζ . ἐάν γάρ διά ὁ Ε ὁ Θ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΞ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ τίθημι ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ξ , ὁ μέν ὁ ΚΗ πρός ὁ ΗΕ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΚΘ πρός ὁ ΕΞ , ὁ δέ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ Γ Θ πρός ὁ ΘΚ καί ὁ ὁ ΘΚ πρός ὁ ΕΞ μεταβάλλω εἰς ὁ ὁ ΘΓ πρός ΕΞ λόγος , καί ὁ ὁ Γ Ζ πρός ΖΕ λόγος ὁ αὐτός ὁ ὁ ΓΘ πρός ὁ ΕΞ παράλληλος εἰμί ὁ ΓΘ ὁ ΕΞ εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ Θ , Ξ Ζ · οὗτος γάρ φανερός · ὥστε καί ὁ διά ὁ Θ , ὁ , Ζ εὐθύς εἰμί .
euclides-geom.fragmenta 6.5
ε΄ . Ἐὰν καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ , γίνεται , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ . ἔστω οὖν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ . οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΓ · ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α , Η , Θ . ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Α∠ παράλληλος ἡ ΚΛ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ , ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ , οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ , καὶ λοιπὴ ἡ ΗΛ πρὸς λοιπὴν τὴν ΛΜ ἐστιν , ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ , τουτέστιν ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ . ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΗΛ , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΛΜ , τουτέστιν ἡ ∠Θ πρὸς ΘΛ . καί ἐστι παράλληλος ἡ ΗΛ τῇ Α∠ · εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α , Η , Θ σημείων · τοῦτο γὰρ φανερόν .
Lemmas: Ε΄ . ἐάν καταγραφή ὁ ΑΒΓΗ , γίγνομαι , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ . ἵστημι οὖν , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ . οὕτως ὁ Α πρός ὁ ΒΓ · ὅτι εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ Α , ὁ , Θ . ἄγω διά ὁ ὁ ὁ Α∠ παράλληλος ὁ ΚΛ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , ἀλλά ὡς μέν ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ οὕτως ὁ ΚΛ πρός ὁ ΛΗ , ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΚΗ πρός ὁ ΗΜ , καί ὡς ἄρα ὁ ΚΛ πρός ὁ ΛΗ , οὕτως ὁ ΚΗ πρός ὁ ΗΜ , καί λοιπός ὁ ΗΛ πρός λοιπός ὁ ΛΜ εἰμί , ὡς ὁ ΚΛ πρός ὁ ΛΗ , τουτέστιν ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ . ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ΗΛ , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ὁ ΛΜ , τουτέστιν ὁ ∠Θ πρός ΘΛ . καί εἰμί παράλληλος ὁ ΗΛ ὁ Α∠ · εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ Α , ὁ , Θ σημεῖον · οὗτος γάρ φανερός .
euclides-geom.fragmenta 6.6
ϛ΄ . Πάλιν , ἐὰν καταγραφή , καὶ παράλληλος ἡ ∠Ζ τῇ ΒΓ , γίνεται ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ ἔστω οὖν ἴση · ὅτι παράλληλος . ἔστιν δέ · ἐὰν γὰρ τῇ ΕΒ προσθῶ τῇ Ηβ ἴσην τὴν ΒΘ καὶ ἐπιζεύξω τὰς ΑΘ , ΘΓ , γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΘΓΗ , καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΖΕ · ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Θ πρὸς τὴν ΗΕ λόγῳ · ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ∠ τῇ ΑΓ .
Lemmas: ΣΤ΄ . πάλιν , ἐάν καταγραφή , καί παράλληλος ὁ ∠Ζ ὁ ΒΓ , γίγνομαι ἴσος ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ ἵστημι οὖν ἴσος · ὅτι παράλληλος . εἰμί δέ · ἐάν γάρ ὁ ΕΒ προστίθημι ὁ Ηβ ἴσος ὁ ΒΘ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ , ΘΓ , γίγνομαι παραλληλόγραμμος ὁ ΑΗΘ , καί διά οὗτος εἰμί , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ε , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ ΖΕ · ἑκάτερος γάρ ὁ εἴρω ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Θ πρός ὁ ΗΕ λόγος · ὥστε παράλληλος εἰμί ὁ ∠ ὁ ΑΓ .
euclides-geom.fragmenta 6.7
ζ΄ . Ἔστω καταγραφή , καὶ τῶν ∠Β , ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΑ ὅτι παράλληλός ἔστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ . ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ , καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ∠Ζ εὐθείᾳ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΚ . ἐπεὶ οὖν ἔστιν , ὡς ἡ Γ Β πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ , ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ , οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως ἡ Κ Β πρὸς τὴν ΒΘ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΚΓ ἔστιν οὖν πάλιν , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΕ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΕ · ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ Α∠ .
Lemmas: Ζ΄ . ἔστω καταγραφή , καί ὁ ∠Β , ΒΓ μέσος ἀνάλογος ἵστημι ὁ ΒΑ ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΑΓ . ἐκβάλλω ὁ ΕΒ , καί διά ὁ Α ὁ ∠Ζ εὐθύς παράλληλος ἄγω ὁ ΑΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΚ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ Γ Β πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ , ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ , οὕτως ὁ ΚΒ πρός ὁ ΒΘ , καί ὡς ἄρα ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ Κ Β πρός ὁ ΒΘ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ ὁ ΚΓ εἰμί οὖν πάλιν , ὡς ὁ Α πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ὁ ΗΕ · ἑκάτερος γάρ ὁ εἴρω λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΕ ὥστε παράλληλος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ Α∠ .
euclides-geom.fragmenta 6.8
η΄ . Ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓ∠ΕΖΗ , καὶ ἔστω παράλληλος ἡ μὲν ∠Ε τῇ ΒΓ , ἡ δὲ ΕΗ τῇ ΒΖ ὅτι καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ , ∠Γ , ΖΗ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ∠ΒΕ τρίγωνον τῷ ∠ΓΕ τριγώνῳ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ∠ΑΕ τρίγωνον · ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ὅλῳ τῷ Γ∠Α τριγώνῳ ἴσον ἐστίν . πάλιν , ἐπεὶ παράλληλός ἔστιν ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ , ἴσον ἐστὶν τὸ ΒΖΕ τρίγωνον τῷ ΒΖΗ τριγώνῳ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒ Ζ τρίγωνον · λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον λοιπῷ τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν . ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΓ∠ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον · καὶ τὸ ΑΓ∠ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΓΗ τρίγωνον · ὅλον ἄρα τὸ Γ∠Η τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν . καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΗ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ∠Ζ .
Lemmas: Η΄ . ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓ∠ΕΖΗ , καί ἵστημι παράλληλος ὁ μέν ∠Ε ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΕΗ ὁ ΒΖ ὅτι καί ὁ ∠Ζ ὁ ΓΗ παράλληλος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , ∠Γ , ΖΗ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ∠ΒΕ τρίγωνος ὁ ∠ΓΕ τρίγωνος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ∠ΑΕ τρίγωνος · ὅλος ἄρα ὁ ΑΒΕ τρίγωνος ὅλος ὁ Γ∠Α τρίγωνος ἴσος εἰμί . πάλιν , ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΕΗ , ἴσος εἰμί ὁ ΒΖΕ τρίγωνος ὁ ΒΖΗ τρίγωνος . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΑΒ Ζ τρίγωνος · λοιπός ἄρα ὁ ΑΒΕ τρίγωνος λοιπός ὁ ΑΗΖ τρίγωνος ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ΑΒΕ τρίγωνος ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος εἰμί ἴσος · καί ὁ ΑΓ∠ ἄρα τρίγωνος ὁ ΑΖΗ τρίγωνος ἴσος εἰμί . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΑΓΗ τρίγωνος · ὅλος ἄρα ὁ Γ∠Η τρίγωνος ὅλος ὁ ΓΖΗ τρίγωνος ἴσος εἰμί . καί εἰμί ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ ΓΗ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΗ ὁ ∠Ζ .
euclides-geom.fragmenta 6.9
θ΄ . Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ διήχθωσαν αἱ Α∠ , ΑΕ , καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ , καὶ κεκλάσθω ἡ ΖΘΗ , ἔστω δέ , ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ , οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ ὅτι παράλληλός ἔστιν ἡ ΚΛ τῇ ΒΓ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν , ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ , οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ , λοιπὴ ἄρα ἡ Β∠ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστιν , ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ . ὡς δὲ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΕΓ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς Ν καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ , οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ . ἐναλλάξ ἔστιν , ὡς ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ∠Θ , οὕτως ἡ ΝΗ πρὸς τὴν ΘΕ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ∠Θ , οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ , ὡς δὲ ἡ ΗΝ πρὸς τὴν ΘΕ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ∠Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν Κ Θ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ∠Θ . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΗΖ · ὥστε καὶ τῇ ΓΒ .
Lemmas: Θ΄ . ἔστω τρίγωνος ὁ ΑΒΓ καί ἐν αὐτός διάγω ὁ Α∠ , ΑΕ , καί ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΖΗ , καί κλάω ὁ ΖΗΘ , ἵστημι δέ , ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΘΓ , οὕτως ὁ ∠Θ πρός ὁ ΘΕ ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΚΛ ὁ ΒΓ . ἐπεί γάρ εἰμί , ὡς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΘΓ , οὕτως ὁ ∠Θ πρός ὁ ΘΕ , λοιπός ἄρα ὁ Β∠ πρός λοιπός ὁ ΓΕ εἰμί , ὡς ὁ ∠Θ πρός ὁ ΘΕ . ὡς δέ ὁ Β∠ πρός ὁ ΕΓ , οὕτως εἰμί ὁ ΖΜ πρός Ν καί ὡς ἄρα ὁ ΖΜ πρός ΝΗ , οὕτως εἰμί ὁ ∠Θ πρός ὁ ΘΕ . ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ ΖΜ πρός ὁ ∠Θ , οὕτως ὁ ΝΗ πρός ὁ ΘΕ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΖΜ πρός ὁ ∠Θ , οὕτως εἰμί ἐν παράλληλος ὁ ΖΚ πρός ὁ ΚΘ , ὡς δέ ὁ ΗΝ πρός ὁ ΘΕ , οὕτως εἰμί ὁ ΗΛ πρός ὁ ∠Θ καί ὡς ἄρα ὁ ΖΚ πρός ὁ Κ Θ , οὕτως εἰμί ὁ ΗΛ πρός ὁ ∠Θ . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΚΛ ὁ ΗΖ · ὥστε καί ὁ ΓΒ .
euclides-geom.fragmenta 6.10
ι΄ . Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑΕ , ∠ΑΗ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου δύο διήχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ∠Θ , ΘΕ , ἔστω δέ , ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Θ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ , ΒΘ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ , ΖΗ ὅτι εὐθεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν Α , Ζ . ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμπιπτέτω ταῖς ΑΒ , Α∠ κατὰ τὰ Κ , Λ σημεῖα , καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ Α∠ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ , διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Θ ἐπὶ τὸ Ν . ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται , ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΝ , οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ∠Θ , ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ∠Γ , ΘΝ . ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ · ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ὑπὸ ∠Θ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ , οὕτως τὸ ὑπὸ Γ∠ , ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ , τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ . ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ Θ∠ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ . ΒΘ , ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ , ΖΗ , ὡς δὲ ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ , τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ , τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ , ΖΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ , ΖΗ , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ , ΖΕ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ , ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ , ΖΕ . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ , συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ , οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΚΛ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑΖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις , ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον .
Lemmas: Ι΄ . εἰς δύο εὐθύς ὁ ΒΑΕ , ∠ΑΗ ἀπό ὁ Θ σημεῖον δύο διάγω εὐθύς ὁ ∠Θ , ΘΕ , ἵστημι δέ , ὡς ὁ ὑπό ὁ ∠Θ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ∠Γ , ΒΘ , οὕτως ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ πρός ὁ ὑπό ΘΕ , ΖΗ ὅτι εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ Α , Ζ . ἄγω διά ὁ Θ ὁ ΓΑ παράλληλος ὁ ΚΛ καί συμπίπτω ὁ ΑΒ , Α∠ κατά ὁ Κ , Λ σημεῖον , καί διά ὁ Λ ὁ Α∠ παράλληλος ἄγω ὁ ΛΜ , καί ἐκβάλλω ὁ ΕΘ ἐπί ὁ Μ , διά δέ ὁ Κ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΚΝ , καί ἐκβάλλω ὁ ∠Θ ἐπί ὁ Ν . ἐπεί οὖν διά ὁ παράλληλος γίγνομαι , ὡς ὁ ∠Θ πρός ὁ ΘΝ , οὕτως ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΒ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ∠Θ , ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ∠Γ , ΘΝ . ἄλλος δέ τίς τυγχάνω ὁ ὑπό ∠Γ ΒΘ · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ὑπό ∠Θ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ∠Γ ΒΘ , οὕτως ὁ ὑπό Γ∠ , ΘΝ πρός ὁ ὑπό ∠Γ ΒΘ , τουτέστιν ὁ ΘΝ πρός ΘΒ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ὑπό Θ∠ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ∠Γ . ΒΘ , ὑπόκειμαι ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ πρός ὁ ὑπό ΘΕ , ΖΗ , ὡς δέ ὁ ΘΝ πρός ΘΒ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός ΘΛ , τουτέστιν ἐν παράλληλος ὁ ΗΘ πρός ὁ ΘΜ , τουτέστιν ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ πρός ὁ ὑπό ΘΜ , ΖΕ καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ πρός ὁ ὑπό ΘΕ , ΖΗ , οὕτως εἰμί ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ πρός ὁ ὑπό ΘΜ , ΖΕ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΘΕ , ΖΗ ὁ ὑπό ΘΜ , ΖΕ . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΘΜ πρός ὁ ΘΕ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ὁ ΖΕ , συντίθημι καί ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ ΜΕ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΖ . ἀλλά ὡς ὁ ΜΕ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΛΕ πρός ὁ ΕΑ · καί ὡς ἄρα ὁ ΛΕ πρός ὁ ΕΑ , οὕτως ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΖ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ αζʹ ὁ ΚΛ . ἀλλά καί ὁ ΓΑ εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ ΓΑΖ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ὁ δέ πτωτικός αὐτός ὁμοίως ὁ προγράφω , ὅς εἰμί ἀναστρόφιος .
euclides-geom.fragmenta 6.11
ια΄ . Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ . καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ Α∠ , καὶ διαχθεῖσα ἡ ∠Ε τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε σημεῖον · ὅτι ἐστίν , ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ , Η∠ , οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ . ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ∠Ε παράλληλος ἡ ΓΘ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Θ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν ΑΗ , οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΖΗ , ὡς δὲ ἠ Γ πρὸς τὴν ΑΗ , οὕτως ἐστὶν ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Η . καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Η , οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΖΗ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ , ∠Η ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Ε∠ , ΖΗ . ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΕΖ , Η∠ ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Η , ΕΖ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ , ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Η , ΕΖ , τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΕΖ , τσυτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ . ἔστιν οὖν , ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ , Η∠ , οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ . τὰ δʼ αὐτά , κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχθῇ ἡ Α∠ παράλληλος , καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐκτὸς ὡς ἐπὶ τὸ Γ διαχθῇ ἡ εὐθεῖα .
Lemmas: ΙΑ΄ . Τρίγωνον ὁ ΑΒΓ . καί ὁ ΒΓ παράλληλος ὁ Α∠ , καί διάγω ὁ ∠Ε ὁ ΒΓ συμπίπτω κατά ὁ Ε σημεῖον · ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ∠Ε , ΖΗ πρός ὁ ὑπό ΕΖ , Η∠ , οὕτως ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΕ . ἄγω διά ὁ Γ ὁ ∠Ε παράλληλος ὁ ΓΘ , καί ἐκβάλλω ὁ ΑΒ ἐπί ὁ Θ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ Γ πρός ὁ ΑΗ , οὕτως ὁ ΓΘ πρός ὁ ΖΗ , ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ ΑΗ , οὕτως εἰμί ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Η . καί ὡς ἄρα ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Η , οὕτως εἰμί ὁ ΘΓ πρός ὁ ΖΗ ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΘ , ∠Η ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Ε∠ , ΖΗ . ἄλλος δέ τίς τυγχάνω ὁ ὑπό ΕΖ , Η∠ εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ὑπό ∠Ε , ΖΗ πρός ὁ ὑπό ∠Η , ΕΖ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΘ , ∠Η πρός ὁ ὑπό ∠Η , ΕΖ , τουτέστιν ὁ ΓΘ πρός ΕΖ , τσυτέστιν ὁ ΓΒ πρός ΒΕ . εἰμί οὖν , ὡς ὁ ὑπό ∠Ε , ΖΗ πρός ὁ ὑπό ΕΖ , Η∠ , οὕτως ὁ ΓΒ πρός ΒΕ . ὁ δέ αὐτός , κἀν ἐπί ὁ ἕτερος μέρος ἄγω ὁ Α∠ παράλληλος , καί ἀπό ὁ ∠ ἐκτός ὡς ἐπί ὁ Γ διάζομαι ὁ εὐθύς .
euclides-geom.fragmenta 6.12
ιβ΄ . Ἀποδεδειγμένων οὖν τούτων ἔσται δεῖξαι , ὅτι , ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ΑΒ , Γ∠ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες αἱ Α∠ , Α Ζ , ΒΓ ΒΖ , καὶ ἐπιζευχθῶσιν αἱ Ε∠ , ΕΓ , γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η , Μ , Κ . ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ ∠ΑΖ , καὶ τῇ ∠ Ζ παράλληλος ἡ ΑΕ , καὶ διῆκται ἡ ΕΓ συμπίπτουσα τῇ ∠ κατὰ τὸ Γ , διὰ τὸ προγεγραμμένον γίνεται , ὡς ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΘΕ πάλιν , ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ Γ ΒΖ , καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ , καὶ διῆκται ἡ ∠Ε συμπίπτουσα τῇ ΓΖ∠ κατὰ τὸ ∠ , γίνεται , ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Ζ∠ , οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΛΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Κ , ΛΕ · ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται , ὡς ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Κ , ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΛΚ . ἦν δὲ καί , ὡς ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν Ζ οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΘΕ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΘΕ ὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Κ , ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΚΛ . πεὶ οὖν εἰς δύο εὐθείας τὰς Γ ΜΛ , ΘΜ∠ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ , Ε∠ , καί ἐστιν , ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΘΕ , οὕτωσ τὸ ὑπὸ ∠Κ , ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΛΚ , εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η , Μ , Κ τοῦτο γὰρ προδέδεικται .
Lemmas: ἰβʹ . ἀποδείκνυμι οὖν οὗτος εἰμί δείκνυμι , ὅτι , ἐάν παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ , Γ∠ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω εὐθύς τις ὁ Α∠ , Α Ζ , ΒΓ ΒΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Ε∠ , ΕΓ , γίγνομαι εὐθύς ὁ διά ὁ ὁ , Μ , Κ . ἐπεί γάρ τρίγωνος ὁ ∠ΑΖ , καί ὁ ∠ Ζ παράλληλος ὁ ΑΕ , καί διάγω ὁ ΕΓ συμπίπτω ὁ ∠ κατά ὁ Γ , διά ὁ προγράφω γίγνομαι , ὡς ὁ ∠ Ζ πρός ὁ ΖΓ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΕ , ΗΘ πρός ὁ ὑπό ΓΗ , ΘΕ πάλιν , ἐπεί τρίγωνος εἰμί ὁ Γ ΒΖ , καί ὁ Γ∠ παράλληλος ἄγω ὁ ΒΕ , καί διάγω ὁ ∠Ε συμπίπτω ὁ ΓΖ∠ κατά ὁ ∠ , γίγνομαι , ὡς ὁ ΓΖ πρός ὁ Ζ∠ , οὕτως ὁ ὑπό ∠Ε , ΛΚ πρός ὁ ὑπό ∠Κ , ΛΕ · ἀνάπαλιν ἄρα γίγνομαι , ὡς ὁ ∠ Ζ πρός ὁ ΖΓ , οὕτως ὁ ὑπό ∠Κ , ΛΕ πρός ὁ ὑπό ∠Ε , ΛΚ . εἰμί δέ καί , ὡς ὁ ∠Ζ πρός ὁ Ζ οὕτως ὁ ὑπό ΓΕ , ΗΘ πρός ὁ ὑπό ΓΗ , ΘΕ · καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΓΕ , ΗΘ πρός ὁ ὑπό ΓΗ , ΘΕ ὕω εἰμί ὁ ὑπό ∠Κ , ΛΕ πρός ὁ ὑπό ∠Ε , ΚΛ . πεῖ οὖν εἰς δύο εὐθύς ὁ Γ ΜΛ , ΘΜ∠ δύο εὐθύς διάγω εἰμί ὁ ΕΓ , Ε∠ , καί εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ΓΕ , ΗΘ πρός ὁ ὑπό ΓΗ , ΘΕ , οὕτως ὁ ὑπό ∠Κ , ΕΛ πρός ὁ ὑπό ∠Ε , ΛΚ , εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ ὁ , Μ , Κ οὗτος γάρ προδείκνυμι .
euclides-geom.fragmenta 6.13
ιγ΄ . Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ , Γ∠ παράλληλοι , ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν · ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η , Μ , Κ . ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΝ , ΑΖ , Α∠ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Γ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΕ Γ∠ , γίνεται , ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΘΕ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ , Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Ν∠ , Γ Ζ . πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ , ΒΓ , ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἱ ∠Ε , ∠Ν , ἔστιν , ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ , Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Ν∠ , ΖΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Κ , ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΚΛ . ἀλλʼ ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ , Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Ν∠ , Γ Ζ , οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΓΕ , πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΘΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΘΕ , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Κ , ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΚΛ . διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η , Μ , Κ .
Lemmas: ἰ . ἀλλά δή μή εἰμί ὁ ΑΒ , Γ∠ παράλληλος , ἀλλά συμπίπτω κατά ὁ Ν · ὅτι πάλιν εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ ὁ , Μ , Κ . ἐπεί εἰς τρεῖς εὐθύς ὁ ΑΝ , αζʹ , Α∠ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ Γ δύο διάγω εἰμί ὁ ΓΕ Γ∠ , γίγνομαι , ὡς ὁ ὑπό ΓΕ , ΗΘ πρός ὁ ὑπό ΓΗ , ΘΕ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΓΝ , Ζ∠ πρός ὁ ὑπό ὁ Ν∠ , Γ Ζ . πάλιν ἐπεί ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ ∠ εἰς τρεῖς εὐθύς ὁ ΒΝ , ΒΓ , ΒΖ δύο εἰμί διάγω ὁ ∠Ε , ∠Ν , εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ΝΓ , Ζ∠ πρός ὁ ὑπό Ν∠ , ΖΓ οὕτως ὁ ὑπό ∠Κ , ΕΛ πρός ὁ ὑπό ∠Ε , ΚΛ . ἀλλά ὡς ὁ ὑπό ΝΓ , Ζ∠ πρός ὁ ὑπό Ν∠ , Γ Ζ , οὕτως δείκνυμι ὁ ὑπό ΓΕ , πρός ὁ ὑπό ΓΗ , ΘΕ καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΓΕ τίθημι πρός ὁ ὑπό ΓΗ , ΘΕ , οὕτως εἰμί ὁ ὑπό ∠Κ , ΕΛ πρός ὁ ὑπό ∠Ε , ΚΛ . διά δή ὁ προγράφω εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ ὁ , Μ , Κ .
euclides-geom.fragmenta 6.14
ιδʹ . Ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ , καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΕ , ΓΒ , καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΗ τὸ Ζ , ὥστε εἶναι , ὡς τὴν ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ , ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ , ΓΗ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α , Ζ , ∠ . ἤχθω διὰ μὲν τοῦ ∠ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠Θ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΕ ἐπὶ τὸ Θ , διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ Θ Κ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β ἐπὶ τὸ Κ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ . οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ , Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖ , ΓΗ , ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ , οὕτως ἐστὶν ἥ τε ∠Θ πρὸς τὴν Γ καὶ τὸ ὑπὸ ∠Θ , ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΗ , ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΖΗ τῷ ὑπὸ ∠Θ , ΒΖ ἀνάλογον ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τήν ΒΖ , οὕτως ἡ ∠Θ , τουτέστιν ἡ Γ Κ , πρὸς τὴν ΗΖ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν Β ἐστιν , ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ τουτέστιν ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ΖΗ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς Β ἐν παραλλήλῳ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΗ καὶ ἡ ∠Θ πρὸς ΖΗ . καί εἰσιν παράλληλοι αἱ ∠Θ , ΖΗ · εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α , Ζ , ∠ σημείων .
Lemmas: ἴδη . ἔστω παράλληλος ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ , καί διάγω ὁ ΑΕ , ΓΒ , καί σημεῖον ἐπί ὁ ΒΗ ὁ Ζ , ὥστε εἰμί , ὡς ὁ ∠Ε πρός ὁ ΕΓ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΒ , ΗΖ πρός ὁ ὑπό ΖΒ , ΓΗ ὅτι εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ Α , Ζ , ∠ . ἄγω διά μέν ὁ ∠ ὁ ΒΓ παράλληλος ὁ ∠Θ , καί ἐκβάλλω ὁ ΑΕ ἐπί ὁ Θ , διά δέ ὁ Θ ὁ Γ∠ παράλληλος ὁ Θ Κ , καί ἐκβάλλω ὁ Β ἐπί ὁ Κ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ ∠Ε πρός ὁ ΕΓ . οὕτως ὁ ὑπό ΓΒ , Ζ πρός ὁ ὑπό ΒΖ , ΓΗ , ὡς δέ ὁ ∠Ε πρός ὁ ΕΓ , οὕτως εἰμί ὅς τε ∠Θ πρός ὁ Γ καί ὁ ὑπό ∠Θ , ΒΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΗ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ ΖΗ ὁ ὑπό ∠Θ , ΒΖ ἀνάλογος ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΖ , οὕτως ὁ ∠Θ , τουτέστιν ὁ Γ Κ , πρός ὁ ΗΖ καί ὅλος ἄρα ὁ ΚΒ πρός ὅλος ὁ Β εἰμί , ὡς ὁ ΚΓ πρός ΖΗ τουτέστιν ὡς ὁ ∠Θ πρός ΖΗ . ἀλλά ὡς ὁ ΚΒ πρός Β ἐν παράλληλος , οὕτως εἰμί ὁ ΘΑ πρός ΑΗ καί ὁ ∠Θ πρός ΖΗ . καί εἰμί παράλληλος ὁ ∠Θ , ΖΗ · εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ Α , Ζ , ∠ σημεῖον .
euclides-geom.fragmenta 6.15
ιεʹ . Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ , ΖΒ , ΓΕ , Ε∠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , ΗΚ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α , Μ , ∠ . Ἐπεζεύχθω ἡ ∠Μ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ . ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ ἐκτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ Β σημείου τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ , καὶ διῆκται ἡ ∠ Ε , γίνεται , ὡς ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ∠ , οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ , Κ∠ . ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ Κ , ΛΕ , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΗΘ , ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΓΛ , ∠Θ , ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε α ΕΓ , Ε∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΓ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ . διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα ἡ διὰ τῶν Α , Μ , ∠ ἐστιν εὐθεῖα .
Lemmas: ἵημι . οὗτος προθεωρέω ἵστημι παράλληλος ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω εὐθύς ὁ αζʹ , ΖΒ , ΓΕ , Ε∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , ΗΚ ὅτι εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ Α , Μ , ∠ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Μ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Θ . ἐπεί οὖν τρίγωνος ὁ ΒΓΖ ἐκτός ἀπό ὁ κορυφή ὁ Β σημεῖον ὁ Γ∠ παράλληλος ἄγω ὁ ΒΕ , καί διάγω ὁ ∠ Ε , γίγνομαι , ὡς ὁ Γ Ζ πρός Ζ∠ , οὕτως ὁ ὑπό ∠Ε , ΚΛ πρός ὁ ὑπό ΕΛ , Κ∠ . ὡς δέ ὁ ὑπό ∠Ε , ΚΛ πρός ὁ ὑπό ∠ Κ , ΛΕ , οὕτως εἰμί ὁ ὑπό ΓΗ , ΘΕ πρός ὁ ὑπό ΓΕ , ΗΘ , ἐπεί εἰς τρεῖς εὐθύς ὁ ΓΛ , ∠Θ , ΗΚ δύο εἰμί διάγω ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ Ε ὅς ΕΓ , Ε∠ καί ὡς ἄρα ὁ ∠Ζ πρός ΖΓ οὕτως εἰμί ὁ ὑπό ΓΕ , ΗΘ πρός ὁ ὑπό ΓΗ ΘΕ . διά ὁ προγράφω ἄρα ὁ διά ὁ Α , Μ , ∠ εἰμί εὐθύς .
euclides-geom.fragmenta 6.16
ιϚ΄ . Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ , ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ δύο διήχθωσαν αἱ ∠Β , ∠Ε , καὶ ἐπʼ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η , Θ , ἔστω δέ , ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ , Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΗΖ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ , Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠ , ΓΘ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α , Η , Θ . ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΚΛ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ , Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΖΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ , Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠ , ΓΘ , ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ , Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΗΖ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς Ε∠ , τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς Β∠ , καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΗ , τουτέστιν ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΗΛ , ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ , Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠ , ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς Β∠ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Γ πρὸς ΓΘ , καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς Κ ἄρα πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ . ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς Β∠ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ · ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ . κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς Θ Β πρὸς Β∠ λόγος · λοιπὸς ἄρα ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΚΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΘ , τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ . καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος · λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ . καὶ ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ . καί εἴσιν αἱ ΚΛ , ΒΓ παράλληλοι · εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α , Η , Θ σημείων .
Lemmas: ΙΣΤ΄ . εἰς δύο εὐθύς ὁ ΑΒ , ΑΓ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ ∠ δύο διάγω ὁ ∠Β , ∠Ε , καί ἐπί αὐτός λαμβάνω σημεῖον ὁ ὁ , Θ , ἵστημι δέ , ὡς ὁ ὑπό ΕΗ , Ζ∠ πρός ὁ ὑπό ∠Ε , ΗΖ , οὕτως ὁ ὑπό ΒΘ , Γ∠ πρός ὁ ὑπό Β∠ , ΓΘ ὅτι εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ Α , ὁ , Θ . ἄγω διά ὁ ὁ ὁ Β∠ παράλληλος ὁ ΚΛ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ΕΗ , Ζ∠ πρός ὁ ὑπό ∠Ε , ΖΗ , οὕτως ὁ ὑπό ΒΘ , Γ∠ πρός ὁ ὑπό Β∠ , ΓΘ , ἀλλά ὁ ὁ ὑπό ΕΗ , Ζ∠ πρός ὁ ὑπό ∠Ε , ΗΖ συνάπτω λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ΗΕ πρός Ε∠ , τουτέστιν ὁ ΚΗ πρός Β∠ , καί ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ ∠Ζ πρός ΖΗ , τουτέστιν ὁ Γ∠ πρός ὁ ΗΛ , ὁ δέ ὁ ὑπό ΒΘ , Γ∠ πρός ὁ ὑπό Β∠ , ΓΘ συνάπτω λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ΘΒ πρός Β∠ καί ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ ∠Γ πρός ΓΘ , καί ὁ ἐκ τε ὁ ὁ Κ ἄρα πρός Β∠ καί ὁ ὁ ∠Γ πρός ΗΛ ὁ αὐτός εἰμί ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΒΘ πρός Β∠ καί ὁ ὁ ∠Γ πρός ΓΘ . ὁ δέ ὁ ΚΗ πρός Β∠ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΚΗ πρός ΒΘ καί ὁ ὁ ΒΘ πρός Β∠ · ὁ ἄρα συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΚΗ πρός ΒΘ καί ὁ ὁ ΒΘ πρός Β∠ καί ἔτι ὁ ὁ ∠Γ πρός ΗΛ ὁ αὐτός εἰμί ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΒΘ πρός Β∠ καί ὁ ὁ ∠Γ πρός ΓΘ . κοινός ἐκκρούω ὁ ὁ Θ Β πρός Β∠ λόγος · λοιπός ἄρα ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΚΗ πρός ΒΘ καί ὁ ὁ ∠Γ πρός ΚΛ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΘ , τουτέστιν ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ∠Γ πρός ὁ ΗΛ καί ὁ ὁ ΗΛ πρός ὁ ΘΓ . καί πάλιν κοινός ἐκκρούω ὁ ὁ ∠Γ πρός ὁ ΗΛ λόγος · λοιπός ἄρα ὁ ὁ ΚΗ πρός ὁ ΒΘ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΗΛ πρός ὁ ΘΓ . καί ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ ΚΗ πρός ὁ ΗΛ , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ὁ ΘΓ . καί εἰμί ὁ ΚΛ , ΒΓ παράλληλος · εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ Α , ὁ , Θ σημεῖον .
euclides-geom.fragmenta 6.17
ιζ΄ . Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ , ἀλλὰ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν . ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ , ΒΓ , ΒΖ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ∠Ε , ∠Ν , ἔστιν , ὡς τὸ ὑπὸ Ν∠ , ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ , ∠Ζ , οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ , Κ∠ . ὡς δὲ τὸ ὑπὸ Ε∠ , ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ , Κ∠ , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΘ , ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ , ΘΗ · πάλιν γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΛ , ∠Θ , ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ , Ε∠ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ , ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ , ΘΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ Ν∠ , ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ , Ζ∠ . διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α , Θ , ∠ · καὶ ἡ διὰ τῶν Α , Μ , Δ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν .
Lemmas: ιζʹ . ἀλλά δή μή ἵστημι παράλληλος ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ , ἀλλά συμπίπτω κατά ὁ Ν . ἐπεί οὖν ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ ∠ εἰς τρεῖς εὐθύς ὁ ΒΝ , ΒΓ , ΒΖ δύο εὐθύς διάγω εἰμί ὁ ∠Ε , ∠Ν , εἰμί , ὡς ὁ ὑπό Ν∠ , ΓΖ πρός ὁ ὑπό ΝΓ , ∠Ζ , οὕτως ὁ ὑπό ∠Ε , ΚΛ πρός ὁ ὑπό ΕΛ , Κ∠ . ὡς δέ ὁ ὑπό Ε∠ , ΚΛ πρός ὁ ὑπό ΕΛ , Κ∠ , οὕτως εἰμί ὁ ὑπό ΕΘ , ΓΗ πρός ὁ ὑπό ΕΓ , τίθημι · πάλιν γάρ εἰς τρεῖς ὁ ΓΛ , ∠Θ , ΗΚ ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ Ε δύο ἄγω εἰμί ὁ ΕΓ , Ε∠ · καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΕΘ , ΓΗ πρός ὁ ὑπό ΕΓ , τίθημι , οὕτως ὁ ὑπό Ν∠ , ΓΖ πρός ὁ ὑπό ΝΓ , Ζ∠ . διά δή ὁ προγράφω εὐθύς εἰμί ὁ διά ὁ Α , Θ , ∠ · καί ὁ διά ὁ Α , Μ , δ ἄρα εὐθύς εἰμί .
euclides-geom.fragmenta 6.18
ιη΄ . Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ Α∠ , καὶ διήχθωσαν αἱ ∠Ε , ΖΗ , ἔστω δέ , ὡς τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ , οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ · ὅτι , ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ Β∠ , γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ , Κ , Γ . ἐπεί ἔστιν , ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ , οὕτως ἡ ΒH πρὸς ΗΓ , κοινὸς ἄρα προσκείσθω ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΒ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΒΓ · δι᾿ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ λόγος , τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ , ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ , ὅς ἔστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΕΓ πρὸς ΕΒ · ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς ΕΒ , ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓ , ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒ , ΓΗ . ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ , ΘΕ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ , ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΕΒ , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Ε , ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ , ΘΕ . εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ , Κ , Γ · τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων .
Lemmas: ιη΄ . Τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , καί ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ Α∠ , καί διάγω ὁ ∠Ε , ΖΗ , ἵστημι δέ , ὡς ὁ ἀπό ΕΒ πρός ὁ ὑπό ΕΓΒ , οὕτως ὁ ΒΗ πρός ὁ ΗΓ · ὅτι , ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ Β∠ , γίγνομαι εὐθύς ὁ διά ὁ Θ , Κ , Γ . ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΒ πρός ὁ ὑπό ΕΓΒ , οὕτως ὁ ΒH πρός ΗΓ , κοινός ἄρα πρόσκειμαι ὁ ὁ ΓΕ πρός ΕΒ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ὑπό ΕΓΒ πρός ὁ ὑπό ΚΒΓ · διά ἴσος ἄρα ὁ ὁ ἀπό ΕΒ πρός ὁ ὑπό ΕΒΓ λόγος , τουτέστιν ὁ ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΓ , ὁ αὐτός εἰμί ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΒΗ πρός ΗΓ καί ὁ ὁ ὑπό ΕΓΒ πρός ὁ ὑπό ΕΒΓ , ὅς εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὁ ΕΓ πρός ΕΒ · ὥστε ὁ ὁ ἀπό ΕΒ πρός ὁ ὑπό ΕΒΓ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ΒΗ πρός ΗΓ καί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΕΓ πρός ΕΒ , ὅς εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὁ ὑπό ΕΓ , ΒΗ πρός ὁ ὑπό ΕΒ , ΓΗ . ὡς δέ ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως εἰμί διά ὁ προγράφω λῆμμα ὁ ὑπό ∠Ε , ΖΘ πρός ὁ ὑπό ∠Ζ , ΘΕ · καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΓΕ , ΒΗ πρός ὁ ὑπό ΓΗ , ΕΒ , οὕτως εἰμί ὁ ὑπό ∠Ε , ΖΘ πρός ὁ ὑπό ∠Ζ , ΘΕ . εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ Θ , Κ , Γ · οὗτος γάρ ἐν ὁ πτωτικός ὁ ἀναστροφία .
euclides-geom.fragmenta 6.19
ιθ΄ . Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ , ΑΓ , Α∠ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε δύο διήχθωσαν αἱ ΕΖ , ΕΒ , ἔστω δέ , ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΘΗ ὅτι γίνεται καί , ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ . ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΛΚ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ , ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ , ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ , οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΚ , οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ . ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν Ε∠ , οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν ΗΛ . ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν Ε∠ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ . ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ . τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως .
Lemmas: ΙΘ΄ . εἰς τρεῖς εὐθύς ὁ ΑΒ , ΑΓ , Α∠ ἀπό τις σημεῖον ὁ Ε δύο διάγω ὁ ΕΖ , ΕΒ , ἵστημι δέ , ὡς ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΘΕ πρός ὁ τίθημι ὅτι γίγνομαι καί , ὡς ὁ ΒΕ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Γ . ἄγω διά ὁ ὁ ὁ ΒΕ παράλληλος ὁ ΛΚ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ τίθημι , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΒ πρός ὁ ΗΚ , ὡς δέ ὁ ΕΘ πρός ὁ τίθημι , οὕτως εἰμί ὁ ∠Ε πρός ὁ ΗΛ , καί ὡς ἄρα ὁ ΒΕ πρός ὁ ΗΚ , οὕτως εἰμί ὁ ∠Ε πρός ὁ ΗΛ . ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ ΕΒ πρός ὁ Ε∠ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ ΗΛ . ὡς δέ ὁ ΚΗ πρός ὁ ΗΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΒΓ πρός ὁ Γ∠ καί ὡς ἄρα ὁ ΒΕ πρός ὁ Ε∠ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ Γ∠ . ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Γ . ὁ δέ πτωτικός ὁμοίως .
euclides-geom.fragmenta 6.20
κ΄ . Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Α , ∠ γωνίας · ὅτι ἐστίν , ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Ε∠ τρίγωνον . ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ , ΕΘ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ ∠ , ἡ δὲ Η τῇ Θ , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ , οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ . ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ , ΑΓ , ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ , ∠Ζ ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ , ΑΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ , ∠Ζ · καὶ ἐναλλάξ . ἀλλ᾿ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗ , ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ , ∠Ζ , οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον · ἐκατέρα γὰρ τῶν ΒΗ , ΕΘ κάθετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν εἰρημένων τριγώνων · καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ , οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον .
Lemmas: Κ΄ . ἔστω δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ∠ΕΖ ἴσος ἔχω ὁ Α , ∠ γωνία · ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό Ε∠Ζ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πρός ὁ Ε∠ τρίγωνος . ἄγω κάθετος ὁ ΒΗ , ΕΘ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν Α γωνία ὁ ∠ , ὁ δέ ὁ ὁ Θ , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ ∠Ε πρός ὁ ΕΘ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ΒΗ , ΑΓ , ὡς δέ ὁ ∠Ε πρός ὁ ΕΘ , οὕτως εἰμί ὁ ὑπό Ε∠Ζ πρός ὁ ὑπό ΕΘ , ∠Ζ εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ΒΗ , ΑΓ , οὕτως ὁ ὑπό Ε∠Ζ πρός ὁ ὑπό ΕΘ , ∠Ζ · καί ἐναλλάξ . ἀλλά ὡς ὁ ὑπό ΒΗ , ΑΓ πρός ὁ ὑπό ΕΘ , ∠Ζ , οὕτως εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος · κατεράω γάρ ὁ ΒΗ , ΕΘ κάθετος εἰμί ἑκάτερος ὁ εἴρω τρίγωνος · καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό Ε∠Ζ , οὕτως εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος .
euclides-geom.fragmenta 6.21
κα΄ . Ἔστωσαν δὴ αἱ Α , ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · ὅτι πάλιν γίνεται , ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον . ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ , καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ . ἐπεὶ οὖν αἱ Α , Δ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΓΑΗ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΗ γωνία τῇ ∠ . ἔστιν οὖν , ὡς τὸ ὑπὸ ΗΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ , οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΑΒ , τὸ δὲ ΗΑΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ · ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον .
Lemmas: ΚΑ΄ . εἰμί δή ὁ Α , ∠ δύο ὀρθός Ἴσαι · ὅτι πάλιν γίγνομαι , ὡς ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό Ε∠Ζ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος . ἐκβάλλω ὁ ΒΑ , καί κεῖμαι ὁ ΒΑ ἴσος ὁ ΑΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΗ . ἐπεί οὖν ὁ Α , δ γωνία δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί , ἀλλά καί ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΓΑΗ γωνία δύο ὀρθός , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΓΑΗ γωνία ὁ ∠ . εἰμί οὖν , ὡς ὁ ὑπό ΗΑΓ πρός ὁ ὑπό Ε∠Ζ , οὕτως ὁ ΑΗΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος ἴσος δέ εἰμί ὁ μέν ΗΑ ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΗΑΓ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ τρίγωνος · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό Ε∠Ζ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πρός ὁ ∠ΕΖ τρίγωνος .
euclides-geom.fragmenta 6.22
κβ΄ . Εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ , ∠ , ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ , Γ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ · ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α ∠Β τετραγώνοις . ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ , Γγώνοις . ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ , κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ Β∠Γ λοιπὸν ἄρα τὸ δὲς ὑπὸ Α∠Γ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠ , ∠Β τετραγώνοις . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον · λοιπὸν ἄρα τὸ θὶς ὑπὸ ΑΓ∠ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Β τετραγώνῳ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον · ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ , ∠Β τετραγώνοις .
Lemmas: ΚΒ΄ . εὐθύς ὁ ΑΒ , καί ἐπί αὐτός δύο σημεῖον ὁ Γ , ∠ , ἵστημι δέ ὁ δίς ὑπό ΑΒ , Γ∠ ἴσος ὁ ἀπό ΓΒ · ὅτι καί ὁ ἀπό Α∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α ∠Β τετράγωνος . ἐπεί γάρ ὁ δίς ὑπό ΑΒ , Γγώνοις . ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΓΒ , κοινός ἀφαιρέω ὁ δίς ὑπό Β∠Γ λοιπός ἄρα ὁ δες ὑπό Α∠Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Γ∠ , ∠Β τετράγωνος . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΓΔ τετράγωνος · λοιπός ἄρα ὁ θίς ὑπό ΑΓ∠ μετά ὁ ἀπό Γ∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ∠Β τετράγωνος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΑΓ τετράγωνος · ὅλος ἄρα ὁ ἀπό Α∠ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ∠Β τετράγωνος .
euclides-geom.fragmenta 6.23
κγ΄ . Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ Β∠ τετραγώνῳ · ὅτι γίνεται γ , τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς Β∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠ , ∠Γ , τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ∠Γ τετραγώνῳ , τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠ τετραγώνῳ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Β∠ , ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι · ἔστιν ἄρα , ὡς συναμφότερος ἡ Γ∠ , ∠Α πρὸς τὴν ∠Α , οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Β · τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠ , ∠Γ καὶ τῆς Β∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ . πάλιν , ἐπεὶ ὅλη ἡ Α∠ πρὸς ὅλην τὴν ∠Γ ἐστιν , ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ , συνθέντι ἐστίν , ὡς συναμφότερος ἡ Α∠Γ πρὸς τὴν ∠Γ , οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Γ . πάλιν , ἐπεὶ ὅλη ἡ Α∠ πρὸς ὅλην τὴν ∠Γ ἐστιν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ , ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστίν , ὡς συναμφότερος ἡ Γ∠Α πρὸς τὴν ∠Α , οὕτως ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Α∠ τετραγώνῳ .
Lemmas: κγ΄ . ἔστω ὁ ὑπό ΑΒΓ ἴσος ὁ ἀπό Β∠ τετράγωνος · ὅτι γίγνομαι γ , ὁ μέν ὑπό συναμφότεροι ὁ Α∠Γ καί ὁ Β∠ ἴσος ὁ ὑπό Α∠ , ∠Γ , ὁ δέ ὑπό συναμφότεροι ὁ Α∠Γ καί ὁ ΒΓ ἴσος ὁ ἀπό ∠Γ τετράγωνος , ὁ δέ ὑπό συναμφότεροι ὁ Α∠Γ καί ὁ ΒΑ ἴσος ὁ ἀπό Α∠ τετράγωνος . ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Β∠ , ἀνάλογος καί ὅλος πρός ὅλος καί ἀνάπαλιν καί συντίθημι · εἰμί ἄρα , ὡς συναμφότερος ὁ Γ∠ , ∠Α πρός ὁ ∠Α , οὕτως ὁ Γ∠ πρός ὁ ∠Β · ὁ ἄρα ὑπό συναμφότεροι ὁ Α∠ , ∠Γ καί ὁ Β∠ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α∠Γ . πάλιν , ἐπεί ὅλος ὁ Α∠ πρός ὅλος ὁ ∠Γ εἰμί , ὡς ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΓ , συντίθημι εἰμί , ὡς συναμφότερος ὁ Α∠Γ πρός ὁ ∠Γ , οὕτως ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΒ · ὁ ἄρα ὑπό συναμφότεροι ὁ Α∠Γ καί ὁ ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ∠Γ . πάλιν , ἐπεί ὅλος ὁ Α∠ πρός ὅλος ὁ ∠Γ εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ , ἀνάπαλιν καί συντίθημι εἰμί , ὡς συναμφότερος ὁ Γ∠Α πρός ὁ ∠Α , οὕτως ὁ ∠Α πρός ὁ ΑΒ · ὁ ἄρα ὑπό συναμφότεροι ὁ Α∠Γ καί ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Α∠ τετράγωνος .
euclides-geom.fragmenta 6.24
κδ΄ . Εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ , Δ , καὶ ἔστω τὸ ἀπὸ Γ∠ τετράγωνον ἴσον τῷ δὲς ὑπὸ ΑΓ Β∠ · ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠ , ΓΒ τετραγώνοις . ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ θὶς ὑπὸ ΑΓ , ∠Β , τὸ ἄρα δίς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ∠ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ · τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Α∠ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΒΓ · ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠ , ΓΒ τετραγώνοις .
Lemmas: κδ΄ . εὐθύς ὁ ΑΒ καί δύο σημεῖον ὁ Γ , δ , καί ἵστημι ὁ ἀπό Γ∠ τετράγωνος ἴσος ὁ δες ὑπό ΑΓ Β∠ · ὅτι καί ὁ ἀπό ΑΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α∠ , ΓΒ τετράγωνος . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό Γ∠ ἴσος εἰμί ὁ θίς ὑπό ΑΓ , ∠Β , ὁ ἄρα δίς ὑπό ΑΓΒ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ Γ∠ καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ∠ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΑΓ · ὁ ἄρα δίς ὑπό ΑΓΒ μετά ὁ ἀπό ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Α∠ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΒΓ · ὅλος ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α∠ , ΓΒ τετράγωνος .
euclides-geom.fragmenta 6.25
κε΄ . Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ · ὅτι γίνεται γ , τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν Α∠ , ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς Β∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠Γ τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν Α∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ τετραγώνῳ , τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν Α∠ , ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Α∠ τετραγώνῳ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ , οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ , λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι · ἔστιν οὖν , ὡς ἡ τῶν Α∠ , ∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Γ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠ , ∠ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ∠Β ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α∠ , ∠Γ . πάλιν , ἐπεὶ λοιπὴ ἡ Α∠ πρὸς λοιπὴν τὴν ∠Γ ἐστιν , ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ , διελόντι ἐστίν , ὡς ἡ τῶν Α∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Γ , οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠ , ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ . πάλιν , ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ , ἀνάπαλιν καὶ διελόντι ἐστίν , ὡς ἡ τῶν Απαλιν , ∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Α , οὕτως ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠ , ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Α∠ τετραγώνῳ .
Lemmas: ἑ . ἔστω ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Β∠ · ὅτι γίγνομαι γ , ὁ μέν ὑπό ὁ ὁ Α∠ , ∠Γ ὑπεροχή καί ὁ Β∠ ἴσος ὁ ὑπό Α∠Γ ὁ δέ ὑπό ὁ ὁ Α∠Γ ὑπεροχή καί ὁ ΒΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ∠Γ τετράγωνος , ὁ δέ ὑπό ὁ ὁ Α∠ , ∠Γ ὑπεροχή καί ὁ ΒΑ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Α∠ τετράγωνος . ἐπεί γάρ εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ , οὕτως ὁ Β∠ πρός ὁ ΒΓ , λοιπός πρός λοιπός καί διαιρέω · εἰμί οὖν , ὡς ὁ ὁ Α∠ , ∠Γ ὑπεροχή πρός ὁ ∠Γ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Β ὁ ἄρα ὑπό ὁ ὁ Α∠ , ∠ ὑπεροχή καί ὁ ∠Β ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α∠ , ∠Γ . πάλιν , ἐπεί λοιπός ὁ Α∠ πρός λοιπός ὁ ∠Γ εἰμί , ὡς ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΓ , διαιρέω εἰμί , ὡς ὁ ὁ Α∠Γ ὑπεροχή πρός ὁ ∠Γ , οὕτως ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ὁ Α∠ , ∠Γ ὑπεροχή καί ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΓ τετράγωνος . πάλιν , ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ , ἀνάπαλιν καί διαιρέω εἰμί , ὡς ὁ ὁ ἁπαλός , ∠Γ ὑπεροχή πρός ὁ ∠Α , οὕτως ὁ ∠Α πρός ὁ ΑΒ ὁ ἄρα ὑπό ὁ ὁ Α∠ , ∠Γ ὑπεροχή καί ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α∠ τετράγωνος .