euclides-geom.fragmenta 5.1
5.Pappus Συναγ . VII 3 p . 636 , 18 sqq . ( ed . Hultsch ) : Τῶν δὲ προειρημένων τοῦ ἀναλυομένου βιβλίων ἡ τάξις ἐστὶν τοιαύτη · Εὐκλείδου Δεδομένων βιβλίον α , Ἀπολλωνίου Λόγου ἀποτομῆς β , Χωρίου ἀποτομῆς β , Διωρισμένης τομῆς δύο , Ἐπαφῶν δύο , Εὐκλείδου Πορισμάτων τρία κτλ . Idem ibid . VII 13 p . 648 , 18 sqq . : Μετὰ δὲ τὰς Ἐπαφὰς ἐν τρισὶ βιβλίοις Πορίσματά ἐστιν Εὐκλείδου , πολλοῖς ἄθροισμα φιλοτεχνότατον εἰς τὴν ἀνάλυσιν τῶν ἐμβριθεστέρων προβλημάτων , καὶ τῶν γενῶν ἀπερίληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆθος οὐδὲν προστεθείκασι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσι πρώτου , χωρὶς εἰ μή τινες τῶν πρὸ ἡμῶν ἀπειρόκαλοι δευτέρας γραφὰς ὀλίγοις αὐτῶν παρατεθείκασιν ἑκάστου μὲν πλῆθος ὡρισμένον ἔχοντος ἀποδείξεων , ὡς ἐδείξαμεν , τοῦ δʼ Εὐκλείδου μίαν ἑκάστου θέντος τὴν μάλιστά πως ἐμφαίνουσαν . ταῦτα δὲ λεπτὴν καὶ φυσικὴν ἔχει θεωρίαν καὶ ἀναγκαίαν καὶ καθολικωτέραν καὶ τοῖς δυναμένοις ὁρᾶν καὶ πορίζειν ἐπιτερπῆ . ἅπαντα δὲ αὐτῶν τὰ εἴδη οὔτε θεωρημάτων ἐστὶν οὔτε προβλημάτων , ἀλλὰ μέσον πως τούτων ἐχούσης ἰδέας , ὥστε τὰς προτάσεις αὐτῶν δύνασθαι σχηματίζεσθαι ἢ ὡς θεωρημάτων ἢ ὡς προβλημάτων , παῤ ὃ καὶ συμβέβηκε τῶν πολλῶν γεωμετρῶν τοὺς μὲν ὑπολαμβάνειν αὐτὰ εἶναι τῷ γένει θεωρήματα τοὺς δὲ προβλήμιατα ἀποβλέποντας εἰς τὸ σχῆμα μόνον τῆς προτάσεως . τὴν δὲ διαφορὰν τῶν τριῶν τούτων ὅτι βέλτιον ᾔδεσαν οἱ ἀρχαῖοι , δῆλον ἐκ τῶν ὅρων . ἔφασαν γὰρ θεώρημα μὲν εἶναι τὸ προτεινόμενον εἰς ἀπόδειξιν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου , πρόβλημα δὲ τὸ προβαλλόμενον εἰς κατασκευὴναὐτοῦ τοῦ προτεινομένου , πόρισμα δὲ τὸ προτεινόμενον εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου . μετεγράφη δὲ οὗτος ὁ τοῦ πορίσματος ὅρος ὑπὸ τῶν νεωτέρων μὴ δυναμένων ἅπαντα πορίζειν , ἀλλὰ συγχρωμένων τοῖς στοιχείοις τούτοις καὶ δεικνύντων αὐτὸ μόνον τοῦθʼ , ὅτι ἔστι τὸ ζητούμενον , μὴ ποριζόντων δὲ τοῦτο καὶ ἐλεγχομένων ὑπὸ τοῦ ὄρου καὶ τῶν διδασκομένων . ἔγραψαν δὲ ἀπὸ συμβεβηκότος οὕτως · πόρισμά ἐστιν τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος . τούτου δὲ τοῦ γένους τῶν πορισμάτων εἶδός ἐστιν οἱ τόποι καὶ πλεονάζουσιν ἐν τῷ ἀναλυομένῳ · κεχωρισμένον δὲ τῶν πορισμάτων ἤθροισται καὶ ἐπιγράφεται καὶ παραδίδοται διὰ τὸ πολύχυτον εἶναι μᾶλλον τῶν ἄλλων εἰδῶν . συμβέβηκε δὲ καὶ τοῦτο τοῖς πορίσμασιν τὰς προτάσεις ἔχειν ἐπιτετμημένας διὰ τὴν σκολιότητα πολλῶν συνήθως συνυπακουομένων · ὥστε πολλοὺς τῶν γεωμετρῶν ἐπὶ μέρους ἐκδέχεσθαι , τὰ δὲ ἀναγκαιότερα ἀγνοεῖν τῶν σημαινομένων . περιλαβεῖν δὲ πολλὰ μιᾷ προτάσει ἥκιστα δυνατὸν ἐν τούτοις διὰ τὸ καὶ αὐτὸν Εὐκλείδην οὐ πολλὰ ἐξ ἑκάστου εἴδους τεθεικέναι , ἀλλὰ δείγματος ἕνεκα ἐκ τῆς πολυπληθείας ἓν ἢ ὀλίγα . πρὸς ἀρχῇ δὲ ὅμως τοῦ πρώτου βιβλίου τέθεικεν ὁμοειδῆ τινα ἐκείνου τοῦ δαψιλεστέρου εἴδους τῶν τόπων ὡς ι τὸ πλῆθος . διὸ καὶ περιλαβεῖν ταύτας μιᾷ προτάσει ἐνδεχόμενον εὑρόντες οὕτως ἐγράψαμεν · ἐὰν ὑπτίου ἢ παρυπτίου τρία τὰ ἐπὶ μιᾶς σημεῖα ἢ παραλλήλου τῆς ἑτέρας τὰ δύο δεδομένα ᾖ , τὰ δὲ λοιπὰ πλὴν ἑνὸς ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας , καὶ τοῦθʼ ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας . τοῦτʼ ἐπὶ τεσσάρων μὲν εὐθειῶν εἴρηται μόνων , ὧν οὐ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου εἰσίν , ἀγνοεῖται δὲ ἐπὶ παντὸς τοῦ προτεινομένου πλήθους ἀληθὲς ὑπάρχον οὕτως λεγόμενον τὸν δὲ Στοιχειωτὴν οὐκ εἰκὸς ἀγνοῆσαι τοῦτο , τὴν δʼ ἀρχὴν μόνην τάξαι . καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν πορισμάτων φαίνεται ἀρχὰς καὶ σπέρματα μόνα πλήθει πολλῶν καὶ μεγάλων καταβεβλημένος , ὧν τὰ γένη οὐ κατὰ τὰς τῶν ὑποθέσεων διαφορὰς διαστέλλειν δεῖ , ἀλλὰ κατὰ τὰς τῶν συμβεβηκότων καὶ ζητουμένων . αἱ μὲν γὰρ ὑποθέσεις ἅπασαι διαφέρουσιν ἀλλήλων εἰδικώταται οὖσαι , τῶν δὲ συμβαινόντων καὶ ζητουμένων ἕκαστον ἓν καὶ τὸ αὐτὸ ὂν πολλαῖς ὑποθέσεσι διαφόροις συμβέβηκε . ποιητέον οὖν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ ταῦτα τὰ γένη τῶν ἐν ταῖς προτάσεσι ζητουμένων · ἐν ἀρχῇ μὲν τοῦ βιβλίου διάγραμμα τοῦτο · ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων πρὸς θέσει δεδομένην εὐθεῖαι κλασθῶσιν , ἀποτέμνῃ δὲ μία ἀπὸ θέσει XV . ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετὰ δοθέντος λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν . XVI . ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς ἀποτομήν . XVII . ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε καὶ συναμφοτέρων τῶνδε πρὸς ἀποτομήν . XVIII . ὅτι τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ συναμφοτέρου τῆσδε τε καὶ τῆς , πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα , καὶ τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ τῆς , πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα , λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν . XIX . ὅτι λόγος συναμφοτέρου πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος . XX . ὅτι δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶνδε . Ἐν δὲ τῷ τρίτῳ βιβλίῳ αἱ μὲν πλείονες ὑποθέσεις ἐπὶ ἡμικυκλίων εἰσίν , ὀλίγαι δὲ ἐπὶ κύκλου καὶ τμημάτων , τῶν δὲ ζητουμένων τὰ μὲν πολλὰ παραπλήσια τοῖς ἔμπροσθεν , περισσὰ δὲ ταῦτα · XXI . ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶνδε . XXII . ὅτι λόγος τοῦ ἀπὸ τῆσδε πρὸς ἀποτομήν . XXIII . ὅτι τὸ ὑπὸ τῶνδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος . XXIV . ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἀπολαμβανομένης ὑπὸ καθέτου ἕως δοθέντος . XXV . ὅτι συναμφότερος ἥδε καὶ πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν . XXVI . ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον , ἀφʼ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τούσδε δοθὲν περιέξουσι τῷ εἴδει τρίγωνον . XXVII . ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον , ἀφʼ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τόνδε ἴσας ἀπολαμβάνουσι περιφερείας . XXVIII . ὅτι ἥδε ἤτοι παρὰ θέσει ἐστὶν ἢ μετά τινος εὐθείας ἐπὶ δοθὲν νευούσης δοθεῖσαν περιέχει γωνίαν . ἔχει δὲ τὰ τρία βιβλία τῶν Πορισμάτων λήμματα λη , αὐτὰ δὲ θεωρημάτων ἐστὶν ροα . De hoc loco cfr . Studien über Eukl . p . 64 sqq . , p . 72 sqq .
Lemmas: 5.Pappus Συναγ . VII 3 p . 636 , 18 sqq . ( ed . Hultsch ) : ὁ δέ προερέω ὁ ἀναλύω βιβλίον ὁ τάξις εἰμί τοιοῦτος · Εὐκλείδης δίδωμι βιβλίον ὅς , Ἀπολλώνιος Λόγος ἀποτομεύς Β , χωρίον ἀποτομεύς Β , διορίζω τομή δύο , ἐπαφάω δύο , Εὐκλείδης πόρισμα τρεῖς κτλ . Idem ibid . VII 13 p . 648 , 18 sqq . : μετά δέ ὁ ἐπαφή ἐν τρεῖς βιβλίον πόρισμα εἰμί Εὐκλείδης , πολύς ἄθροισμα φιλότεχνος εἰς ὁ ἀνάλυσις ὁ ἐμβριθής πρόβλημα , καί ὁ γένος ἀπερίληπτος ὁ φύσις παρέχω πλῆθος οὐδείς προστίθημι ὁ ὑπό Εὐκλείδης γράφω πρῶτος , Χωρὶς εἰμί μή τις ὁ πρό ἐγώ ἀπειρόκαλος δύο γραφή ὀλίγος αὐτός παρατίθημι ἕκαστος μέν πλῆθος ὁρίζω ἔχω ἀπόδειξις , ὡς δείκνυμι , ὁ δέ Εὐκλείδης εἷς ἕκαστος θέω ὁ μάλα πως ἐμφαίνω . οὗτος δέ λεπτός καί φυσικός ἔχω θεωρία καί ἀναγκαῖος καί καθολικός καί ὁ δύναμαι ὁράω καί πορίζω ἐπιτερπής . ἅπας δέ αὐτός ὁ εἶδος οὔτε θεώρημα εἰμί οὔτε πρόβλημα , ἀλλά μέσος πως οὗτος ἔχω ἰδέα , ὥστε ὁ πρότασις αὐτός δύναμαι σχηματίζω ἢ ὡς θεώρημα ἢ ὡς πρόβλημα , παρά ὅς καί συμβαίνω ὁ πολύς γεωμέτρης ὁ μέν ὑπολαμβάνω αὐτός εἰμί ὁ γένος θεώρημα ὁ δέ προβλημιατη ἀποβλέπω εἰς ὁ σχῆμα μόνος ὁ πρότασις . ὁ δέ διαφορά ὁ τρεῖς οὗτος ὅτι ἀγαθός οἶδα ὁ ἀρχαῖος , δῆλος ἐκ ὁ ὁράω . φημί γάρ θεώρημα μέν εἰμί ὁ προτείνω εἰς ἀπόδειξις αὐτός ὁ προτείνω , πρόβλημα δέ ὁ προβάλλω εἰς κατασκευάζω ὁ προτείνω , πόρισμα δέ ὁ προτείνω εἰς πορισμός αὐτός ὁ προτείνω . μεταγράφω δέ οὗτος ὁ ὁ πόρισμα ὅρος ὑπό ὁ νέος μή δύναμαι ἅπας πορίζω , ἀλλά συγχράομαι ὁ στοιχεῖον οὗτος καί δείκνυμι αὐτός μόνος οὗτος , ὅτι εἰμί ὁ ζητέω , μή πορίζω δέ οὗτος καί ἐλέγχω ὑπό ὁ ὁράω καί ὁ διδάσκω . γράφω δέ ἀπό συμβεβηκός οὕτως · πόρισμα εἰμί ὁ λείπω ὑπόθεσις τοπικός θεώρημα . οὗτος δέ ὁ γένος ὁ πόρισμα εἶδος εἰμί ὁ τόπος καί πλεονάζω ἐν ὁ ἀναλύω · χωρίζω δέ ὁ πόρισμα ἀθροίζω καί ἐπιγράφω καί παραδίδωμι διά ὁ πολύχυτος εἰμί μᾶλλον ὁ ἄλλος εἶδος . συμβαίνω δέ καί οὗτος ὁ πόρισμα ὁ πρότασις ἔχω ἐπιτέμνω διά ὁ σκολιότητα πολύς συνήθης συνυπακούω · ὥστε πολύς ὁ γεωμέτρης ἐπί μέρος ἐκδέχομαι , ὁ δέ ἀναγκαῖος ἀγνοέω ὁ σημαίνω . περιλαμβάνω δέ πολύς εἷς πρότασις ἥκιστος δυνατός ἐν οὗτος διά ὁ καί αὐτός Εὐκλείδης οὖον πολύς ἐκ ἕκαστος εἶδος τίθημι , ἀλλά δεῖγμα ἕνεκα ἐκ ὁ πολυπλήθεια εἷς ἢ ὀλίγος . πρός ἀρχή δέ ὅμως ὁ πρῶτος βιβλίον τίθημι ὁμοειδής τις ἐκεῖνος ὁ δαψιλής εἶδος ὁ τόπος ὡς ι ὁ πλῆθος . διό καί περιλαμβάνω οὗτος εἷς πρότασις ἐνδέχομαι εὑρίσκω οὕτως γράφω · ἐάν ὕπτιος ἢ παρύπτιος τρεῖς ὁ ἐπί εἷς σημεῖον ἢ παράλληλος ὁ ἕτερος ὁ δύο δίδωμι εἰμί , ὁ δέ λοιπάς πλήν εἷς ἅπτω θέσις δίδωμι εὐθύς , καί οὗτος ἅπτω θέσις δίδωμι εὐθύς . οὗτος ἐπί τέσσαρες μέν εὐθύς εἴρω μόνος , ὅς οὖον πλείων ἢ δύο διά ὁ αὐτός σημεῖον εἰμί , ἀγνοέω δέ ἐπί πᾶς ὁ προτείνω πλῆθος ἀληθής ὑπάρχω οὕτως λέγω ὁ δέ στοιχειωτής οὐ εἰκός ἀγνοέω οὗτος , ὁ δέ ἀρχή μόνος τάσσω . καί ἐπί πᾶς δέ ὁ πόρισμα φαίνω ἀρχή καί σπέρμα μόνος πλῆθος πολύς καί μέγας καταβάλλω , ὅς ὁ γένος οὖον κατά ὁ ὁ ὑπόθεσις διαφορά διαστέλλω δεῖ , ἀλλά κατά ὁ ὁ συμβεβηκός καί ζητέω . ὁ μέν γάρ ὑπόθεσις ἅπας διαφέρω ἀλλήλων εἰδικός εἰμί , ὁ δέ συμβαίνω καί ζητέω ἕκαστος εἷς καί ὁ αὐτός εἰμί πολύς ὑπόθεσις διάφορος συμβαίνω . ποιητέος οὖν ἐν μέν ὁ πρῶτος βιβλίον οὗτος ὁ γένος ὁ ἐν ὁ πρότασις ζητέω · ἐν ἀρχή μέν ὁ βιβλίον διάγραμμα οὗτος · ἐάν ἀπό δύο δίδωμι σημεῖον πρός θέσις δίδωμι εὐθύς κλάω , ἀποτέμνω δέ εἷς ἀπό θέσις XV . ὅτι ὅδε ὁ χωρίον ἢ ὅδε μετά δίδωμι λόγος ἔχω πρός ἀποτομή . XVI . ὅτι λόγος ὁ ὑπό ὅδε πρός ἀποτομή . XVII . ὅτι λόγος ὁ ὑπό συναμφότεροι ὅδε καί συναμφότεροι ὅδε πρός ἀποτομή . XVIII . ὅτι ὁ ὑπό ὅδε καί συναμφότεροι ὅδε τε καί ὁ , πρός ὅς ὅδε λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ ὑπό ὅδε καί ὁ , πρός ὅς ὅδε λόγος ἔχω δίδωμι , λόγος ἔχω πρός ἀποτομή . XIX . ὅτι λόγος συναμφότεροι πρός τις ἀπό ὅδε ἠώς δίδωμι . XX . ὅτι δίδωμι ὁ ὑπό ὅδε . ἐν δέ ὁ τρίτος βιβλίον ὁ μέν πλείων ὑπόθεσις ἐπί ἡμικύκλιον εἰμί , ὀλίγος δέ ἐπί κύκλος καί τμῆμα , ὁ δέ ζητέω ὁ μέν πολύς παραπλήσιος ὁ ἔμπροσθεν , περισσός δέ οὗτος · XXI . ὅτι λόγος ὁ ὑπό ὅδε πρός ὁ ὑπό ὅδε . XXII . ὅτι λόγος ὁ ἀπό ὅδε πρός ἀποτομή . XXIII . ὅτι ὁ ὑπό ὅδε ὁ ὑπό δίδωμι καί ὁ ἀπό ὅδε ἠώς δίδωμι . XXIV . ὅτι ὁ ἀπό ὅδε ὁ ὑπό δίδωμι καί ἀπολαμβάνω ὑπό κάθετος ἠώς δίδωμι . XXV . ὅτι συναμφότερος ὅδε καί πρός ὅς ὅδε λόγος ἔχω δίδωμι λόγος ἔχω πρός ἀποτομή . XXVI . ὅτι εἰμί τίς δίδωμι σημεῖον , ἀπό ὅς ὁ ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὅδε δίδωμι περιέχω ὁ εἶδος τρίγωνος . XXVII . ὅτι εἰμί τίς δίδωμι σημεῖον , ἀπό ὅς ὁ ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὅδε ἴσος ἀπολαμβάνω περιφέρεια . XXVIII . ὅτι ὅδε ἤτοι παρά θέσις εἰμί ἢ μετά τις εὐθύς ἐπί δίδωμι νεύω δίδωμι περιέχω γωνία . ἔχω δέ ὁ τρεῖς βιβλίον ὁ πόρισμα λῆμμα λα , αὐτός δέ θεώρημα εἰμί ῥόος . De hoc loco cfr . Studien über Eukl . p . 64 sqq . , p . 72 sqq .