euclides-geom.fragmenta 6.3
γ΄ . Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΑ , ∠Α διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΘΕ . Θ∠ · ὅτι ἐστίν , ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ , ∠Γ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠ , ΒΓ . ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ , καὶ αἱ ∠Α , ΑΒ συμπιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Κ , Λ σημεῖα , διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ∠Α παράλληλος ἡ ΛΜ καὶ συμπιπτέ τω τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΑ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ , ὡς δὲ ἡ Α πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΜ καὶ γὰρ ἡ Θ Κ πρὸς τὴν ΘΗ ἐν παραλλήλῳ · διίσου ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ . τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ , ΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ , ΘΜ . ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ , ΘΗ ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ , ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ , ΗΘ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ , ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ , ΗΘ , τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ , τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ . κατὰ τὰ αὐτὰ καί , ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ , οὕτως τὸ ὑπὸ Θ∠ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ , Γ∠ ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται , ὡςἡ ΛΘπρὸς τὴν ΘΚ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ , Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠ , ΒΓ . ὡς δὲ ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ Κ , οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΘ , Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ , ΗΘ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ , ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ , ΗΘ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ , Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠ , ΒΓ . Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως · ἐπεὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΘΕ , ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ , ὃν ἔχει ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ , καὶ τοῦ , ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ , καί ἐστιν , ὡς μὲν ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ Θ∠ πρὸς τὴν ΖΑ , ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ , οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ , το ἄρα ὑπὸ ΘΕ , ΗΖ προς το ὑπὸ ΘΗ , ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ , ὃν ἔχει ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ , καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ . ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ · ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ , ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ . διὰ ταὐτὰ καί , ὡς τὸ ὑπὸ Θ∠ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ , Γ∠ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΛ . καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν , ὡς τὸ ὑπὸ ΘΒ , Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠ , ΒΓ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ . ἦν δὲ καί , ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ , ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ , ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ , ΖΕ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ , Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠ , ΒΓ .
Lemmas: Γ΄ . εἰς τρεῖς εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΑ , ∠Α διάγω δύο εὐθύς ὁ ΘΕ . Θ∠ · ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ΘΕ ΗΖ πρός ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ , οὕτως ὁ ὑπό ΘΒ , ∠Γ πρός ὁ ὑπό Θ∠ , ΒΓ . ἄγω διά μέν ὁ Θ ὁ ΓΖ παράλληλος ὁ ΚΛ , καί ὁ ∠Α , ΑΒ συμπίπτω αὐτός κατά ὁ Κ , Λ σημεῖον , διά δέ ὁ Λ ὁ ∠Α παράλληλος ὁ ΛΜ καί συμπίπτω ὁ ὁ ΕΘ ἐπί ὁ Μ . ἐπεί οὖν εἰμί , ὡς μέν ὁ ΕΖ πρός ὁ Γῆ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ ΘΛ , ὡς δέ ὁ Α πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΘΛ πρός ὁ ΘΜ καί γάρ ὁ Θ Κ πρός ὁ τίθημι ἐν παράλληλος · διισος ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ ΘΜ . ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΘΕ , ΗΖ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΖ , ΘΜ . ἄλλος δέ τίς τυγχάνω ὁ ὑπό ὁ ΕΖ , τίθημι εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ὑπό ὁ ΕΘ , ΗΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΖ , ΗΘ , οὕτως ὁ ὑπό ΕΖ , ΘΜ πρός ὁ ὑπό ΕΖ , ΗΘ , τουτέστιν ὁ ΘΜ πρός τίθημι , τουτέστιν ὁ ΛΘ πρός ὁ ΘΚ . κατά ὁ αὐτός καί , ὡς ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΛ , οὕτως ὁ ὑπό Θ∠ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ΘΒ , Γ∠ ἀνάπαλιν ἄρα γίγνομαι , ὡς ΛΘπρὸς ὁ ΘΚ , οὕτως ὁ ὑπό ΘΒ , Γ∠ πρός ὁ ὑπό Θ∠ , ΒΓ . ὡς δέ ὁ ΛΘ πρός ὁ Θ Κ , οὕτως δείκνυμι ὁ ὑπό ΕΘ , ὁ πρός ὁ ὑπό ΕΖ , ΗΘ καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ΕΘ , ΗΖ πρός ὁ ὑπό ΕΖ , ΗΘ , οὕτως ὁ ὑπό ΘΒ , Γ∠ πρός ὁ ὑπό Θ∠ , ΒΓ . Ζεύς δέ ὁ συνάπτω οὕτως · ἐπεί ὁ ὁ ὑπό ΘΕ , ΗΖ πρός ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ συνάπτω λόγος ἐκ τε ὁ , ὅς ἔχω ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΖ , καί ὁ , ὅς ἔχω ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΘ , καί εἰμί , ὡς μέν ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ Θ∠ πρός ὁ Γῆ , ὡς δέ ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΘ , οὕτως ὁ Γῆ πρός ὁ ΘΚ , ὁ ἄρα ὑπό ΘΕ , ΗΖ προς ὁ ὑπό τίθημι , ΕΖ συνάπτω ἐκ τε ὁ , ὅς ἔχω ὁ ΘΛ πρός ὁ Γῆ , καί ὁ ὅς ἔχω ὁ Γῆ πρός ὁ ΘΚ . ὁ δέ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΘΛ πρός ὁ Γῆ καί ὁ ὁ Γῆ πρός ὁ ΘΚ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΘΛ πρός ὁ ΘΚ · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ὑπό ΘΕ , ΗΖ πρός ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ , οὕτως ὁ ΘΛ πρός ὁ ΘΚ . διά αὐτός καί , ὡς ὁ ὑπό Θ∠ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ΘΒ , Γ∠ , οὕτως εἰμί ὁ ΘΚ πρός ὁ ΘΛ . καί ἀνάπαλιν εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ΘΒ , Γ∠ πρός ὁ ὑπό Θ∠ , ΒΓ , οὕτως ὁ ΘΛ πρός ὁ ΘΚ . εἰμί δέ καί , ὡς ὁ ὑπό ὁ ΘΕ , ΖΗ πρός ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ , οὕτως ὁ ΘΛ πρός ὁ ΘΚ · καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΘΕ , ΖΗ πρός ὁ ὑπό τίθημι , ΖΕ , οὕτως ὁ ὑπό ΘΒ , Γ∠ πρός ὁ ὑπό Θ∠ , ΒΓ .