euclides-geom.fragmenta 8.2
β΄ . Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , καὶ διαχθῇ ἡ ∠Γ , καὶ παρὰ θέσει ἀχθῇ ἡ ∠Ε , λόγος δὲ ᾖ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε , τὸ ∠ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς · δείκνυται δέ , ὅτι γραμμῆς · δειχθήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τόπου τοῦδε · Δύο δοθέντων τῶν Α , Β καὶ ὀρθῆς τῆς Γ∠ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠ , ∠Β . λέγω , ὅτι τὸ Γ ἄπτεται κώνου τομῆς , ἐάν τε ᾖ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα . ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Α∠ τοῖς ἀπὸ Γ∠ , ∠Β , κείσθω τῇ Β∠ ἴση ἡ ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ∠Γ . τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ . καὶ ἔσται διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ · ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ , Ζ∠ . καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα · τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ . τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ . συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως · ἔστω τὰ δοθέντα Α , Β , ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς ἴσον , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ζ , τῆς δὲ ΑΒ διπλῆ ἔστω ἡ Ρ , καὶ θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασμένης κατὰ τὸ Ζ , τῆς δὲ P δεδομένης τῷ μεγέθει , γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΖΒ παραβολὴ ἡ ΗΖ , ὥστε , οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Γ , κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ , ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ Ζ∠ τῷ ἀπὸ ∠ . καὶ ἤχθω ὀρθὴ ΒΗ . λέγω , ὅτι τὸ ΓΗ . μέρος τῆς παραβολῆς ἐστιν . ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠ , καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ∠Ε . ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ , ἡ δὲ ΕΒ τῆς Β∠ , διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς Ζ∠ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , Ζ∠ , τουτέστιν τῷ ἀπὸ ∠Γ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον ὄν τῷ ἀπὸ ∠Β · ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠ , ∠Β . ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον . Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α , Β καὶ εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή , λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ B∠ , ∠Γ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα . λέγω , ὅτι τὸ ἅπτεται κώνου τομῆς , ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς . ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Β∠ , ∠Γ , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ · ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Β∠ τῆς ∠Ε , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς ∠Ε . κείσθω οὖν τῇ Ε∠ ἴση ἡ ∠Ζ . ἐπεῖ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠ , ∠Β , καί ἐστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β , καὶ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς . ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς Ζ∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς ΖΒ πρὸς Β∠ , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΗ · καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΑΖ πρὸς ∠Η λόγος ἐστὶν δοθείς . πάλιν , ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β δοθείς , καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς Β∠ λόγος ἐστὶν δοθείς . ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστιν δοθείς · δοθὲν ἄρα τὸ Θ . καὶ λοιπὸς τῆς ΑΕ πρὸς Θ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς · καὶ τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠Η λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς · καὶ τοῦ ὑπὸ Η∠Θ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς . καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Θ , Η · ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ ἅπτεται ἐλλείψψεως , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς . συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως · ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α , Β , ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ , ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα , καὶ τῇ ΡΤ ἴση κείσθω ἡ ΤΥ . καὶ πεποιήσθω , ὡς ἡ ΥΣ πρὸς τὴν ΣΤ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ , πεποιήσθω δὲ καί , ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΤΣ , οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ , καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τον ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις , ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή , ὥστε , οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ , καὶ κάθετος ἀχθῇ ἡ Γ∠ , λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔκ τε τοῦ , ὄν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ , καὶ ἐξ οὗ ὅν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὄν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος , ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ , καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΚ . λέγω , ὅτι ἡ Θ Κ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα . ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠ , καὶ πεποιήσθω , ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ , οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν Β∠ , ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ , οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Β ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ , τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ ὁ δὲ τῆς Θ∠ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη · ὥστε τοῦ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ . ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς Σ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἔτι ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ . καὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ Θ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ , καί ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ , τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β . καὶ πάντα πρὸς πάντα · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠ , ∠Β , οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ , τουτέστιν ὁ δοθεὶς λόγος · ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον . Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς . ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , καὶ διήχθω ἡ ∠Γ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε , λόγος δὲ ἔστω τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε . λέγω , ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται κώνου τομῆς , καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον , παραβολῆς , ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα , ἐλλείψεως , \ ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα , ὑπερβολῆς . ἔστω πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον , τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε . δεῖξαι , ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται παραβολῆς . ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ θέσει ἄρα ἐστί · τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ . ἴση δὲ ἡ μὲν Ε∠ τῇ ΖΗ , το δὲ ἀπὸ ∠Γ ἴσον τοῖς ἀπὸ ∠Η , ΗΓ , τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ∠Η , ΗΓ . καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ , καὶ δύο δοθέντα τὰ Ζ , Γ · τὸ ∠ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς · τοῦτο γὰρ προδέδεικται . συντεθήσεται δὴ οὕτως · ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ , τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ , καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ , καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων των τῶν Ζ , Γ εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ , ὥστε , οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ ∠ , ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ∠Η , ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η , ΗΓ . λέγω , ὅτι ἡ ∠Θ γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ , τουτέστιν ὅτι , οἵα τις ἐὰν διαχθῇ ὡς ἡ Γ∠ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε , ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε . ἤχθω κάθετος ἡ ∠Η · διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η , ΗΓ . καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ Ε∠ , τοῖς δὲ ἀπὸ ∠Η , ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ∠Γ · τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Ε . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε · ἡ ἄρα ∠Θ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον .
Lemmas: Β΄ . ἐάν εἰμί θέσις εὐθύς ὁ ΑΒ καί δίδωμι ὁ Γ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , καί διάζομαι ὁ ∠Γ , καί παρά θέσις ἄγω ὁ ∠Ε , λόγος δέ εἰμί ὁ Γ∠ πρός ∠Ε , ὁ ∠ ἅπτω θέσις κωνικός τομή · δείκνυμι δέ , ὅτι γραμμή · δείκνυμι δέ οὕτως προγράφω τόπος ὅδε · δύο δίδωμι ὁ Α , Β καί ὀρθός ὁ Γ∠ λόγος ἵστημι ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό Γ∠ , ∠Β . λέγω , ὅτι ὁ Γ ἄπτω κῶνος τομή , ἐάν τε εἰμί λόγος ἴσος πρός ἴσος ἢ μείζων πρός μικρός ἢ μικρός πρός μείζων . ἵστημι γάρ πρότερος ὁ λόγος ἴσος πρός ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Α∠ ὁ ἀπό Γ∠ , ∠Β , κεῖμαι ὁ Β∠ ἴσος ὁ ∠Ε ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΕ ὁ ἀπό ∠Γ . τέμνω δίχα ὁ ΑΒ ὁ Ζ · δίδωμι ἄρα ὁ Ζ . καί εἰμί διπλόος ὁ ΑΕ ὁ ΖΔ · ὥστε ὁ ὑπό ΒΑΕ ὁ δίς εἰμί ὑπό ὁ ΑΒ , Ζ∠ . καί εἰμί ὁ διπλόος ὁ ΑΒ δίδωμι · ὁ ἄρα ὑπό δίδωμι καί ὁ Ζ∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ∠Γ . ὁ Γ ἄρα ἅπτω θέσις παραβολή ἐρχόμενος διά ὁ Ζ . συντίθημι δή ὁ τόπος οὕτως · ἵστημι ὁ δίδωμι Α , Β , ὁ δέ λόγος ἵστημι ἴσος πρός ἴσος , καί τέμνω ὁ ΑΒ δίχα ὁ Ζ , ὁ δέ ΑΒ διπλόος ἵστημι ὁ Ρ , καί θέσις εἰμί εὐθύς ὁ ΖΒ περαίνω κατά ὁ Ζ , ὁ δέ P δίδωμι ὁ μέγεθος , γράφω περί ἄγω ὁ ΖΒ παραβολή ὁ ΗΖ , ὥστε , οἷος ἐάν ἐπί αὐτός σημεῖον λαμβάνω ὡς ὁ Γ , κάθετος δέ ἄγω ὁ ΓΔ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Ρ Ζ∠ ὁ ἀπό ∠ . καί ἄγω ὀρθός ΒΗ . λέγω , ὅτι ὁ ΓΗ . μέρος ὁ παραβολή εἰμί . ἄγω γάρ κάθετος ὁ Γ∠ , καί ὁ Β∠ ἴσος κεῖμαι ὁ ∠Ε . ἐπεί οὖν διπλόος εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΖ , ὁ δέ ΕΒ ὁ Β∠ , διπλόος ἄρα καί ὁ ΑΕ ὁ Ζ∠ · ὁ ἄρα ὑπό ΒΑΕ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , Ζ∠ , τουτέστιν ὁ ἀπό ∠Γ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό Ε∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ∠Β · ὅλος ἄρα ὁ ἀπό Α∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Γ∠ , ∠Β . ὁ ΖΓΗ ἄρα γραμμή ποιέω ὁ τόπος . ἔστω δή πάλιν ὁ δύο δίδωμι σημεῖον ὁ Α , Β καί εὐθύς τε ὁ ∠Γ καί ὀρθός , λόγος δέ ἵστημι ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό B∠ , ∠Γ ἐπί μέν ὁ πρῶτος πτῶσις μικρός πρός μείζων , ἐπί δέ ὁ δύο μείζων πρός μικρός . λέγω , ὅτι ὁ ἅπτω κῶνος τομή , ἐπί μέν ὁ πρῶτος πτῶσις ἔλλειψις , ἐπί δέ ὁ δύο ὑπερβολή . ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό Β∠ , ∠Γ , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ἀπό Β∠ πρός ὁ ἀπό ΔΕ · ἐπί μέν οὖν ὁ πρῶτος πτῶσις μικρός εἰμί ὁ Β∠ ὁ ∠Ε , ἐπί δέ ὁ δύο μείζων εἰμί ὁ Β ὁ ∠Ε . κεῖμαι οὖν ὁ Ε∠ ἴσος ὁ ∠Ζ . ἐπεῖ λόγος εἰμί ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό Γ∠ , ∠Β , καί εἰμί αὐτός ὁ αὐτός ὁ ὁ ἀπό Ε∠ πρός ὁ ἀπό ∠Β , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΖΑΕ πρός ὁ ἀπό ∠Γ λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί δέ λόγος εἰμί ὁ Ε∠ πρός ∠Β καί ὁ Ζ∠ πρός ∠Β καί ὁ ΖΒ πρός Β∠ , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΑΒ πρός ΒΗ · καί ὅλος ἄρα ὁ αζʹ πρός ∠Η λόγος εἰμί δίδωμι . πάλιν , ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Ε∠ πρός ∠Β δίδωμι , καί ὁ ΕΒ ἄρα πρός Β∠ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΑΒ πρός ΒΘ · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΒ πρός ΒΘ εἰμί δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ Θ . καί λοιπός ὁ ΑΕ πρός Θ∠ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ὑπό ΖΑΕ ἄρα πρός ὁ ὑπό Θ∠Η λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ΖΑΕ πρός ὁ ἀπό Γ∠ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ὑπό Η∠Θ ἄρα πρός ὁ ἀπό ∠Γ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δύο δίδωμι ὁ Θ , ὁ · ἐπί μέν ἄρα ὁ πρῶτος πτῶσις ὁ Γ ἅπτω ἔλλειψις , ἐπί δέ ὁ δύο ὑπερβολή . συντίθημι δέ ὁ τόπος οὕτως · ἵστημι ὁ μέν δύο δίδωμι σημεῖον ὁ Α , Β , ὁ δέ δίδωμι λόγος ὁ ὁ ΡΤ πρός ΤΣ , ἐπί μέν ὁ πρῶτος πτῶσις μικρός πρός μείζων , ἐπί δέ ὁ δύο μείζων πρός μικρός , καί ὁ ΡΤ ἴσος κεῖμαι ὁ ΤΥ . καί ποιέω , ὡς ὁ ΥΣ πρός ὁ ΣΤ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , ποιέω δέ καί , ὡς ὁ ΡΤ πρός ὁ ΤΣ , οὕτως ὁ ΑΘ πρός ὁ ΘΒ , καί γράφω περί ἄγω ὁ τίθημι ἐπί μέν ὁ πρῶτος πτῶσις ἔλλειψις , ἐπί δέ ὁ δύο ὑπερβολή , ὥστε , οἷος ἐάν ἐπί αὐτός λαμβάνω σημεῖον ὡς ὁ Γ , καί κάθετος ἄγω ὁ Γ∠ , λόγος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Θ∠Η πρός ὁ ἀπό ∠Γ ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ , εἰμί ἔχω ὁ ΤΣ πρός ΣΥ , καί ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ ΤΣ πρός ΣΡ καί ἐκ ὅς εἰμί ἔχω ὁ δίδωμι λόγος , ὅς εἰμί ὁ ὁ ἀπό ΡΤ πρός ὁ ἀπό ΤΣ , καί ἄγω ὀρθός ὁ ΒΚ . λέγω , ὅτι ὁ Θ Κ ποιέω ὁ ἐπίταγμα . ἄγω γάρ κάθετος ὁ Γ∠ , καί ποιέω , ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ ΖΒ πρός ὁ Β∠ , ὡς δέ ὁ ΑΘ πρός ὁ ΘΒ , οὕτως ὁ Ε∠ πρός ὁ ∠Β ὥστε εἰμί ὁ μέν ὁ ∠Η πρός ὁ αζʹ λόγος ὁ αὐτός ὁ ὁ ΗΒ πρός ὁ ΒΑ , τουτέστιν ὁ ὁ ΤΣ πρός ΣΥ ὁ δέ ὁ Θ∠ πρός ΑΕ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΤΣ πρός ΣΡ ὁ αὐτός γάρ ἐν ὁ ἀνάλυσις ἀποδείκνυμι · ὥστε ὁ ὑπό Θ∠Η πρός ὁ ὑπό ΖΑΕ λόγος συνάπτω ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ ΤΣ πρός ΣΥ καί ὁ ΤΣ πρός ΣΡ . ἀλλά ἐπεί ὁ ὑπό Θ∠Η πρός ὁ ἀπό ∠Γ ὁ συνάπτω ἔχω λόγος ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ ΤΣ πρός Σ καί ὁ ΤΣ πρός ΣΡ καί ἔτι ὁ δίδωμι λόγος ὁ ὁ ἀπό ΡΤ πρός ὁ ἀπό ΤΣ . καί ὁ ὑπό Θ∠Η πρός ὁ ἀπό ∠Γ συνάπτω ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ ὑπό Θ∠ πρός ὁ ὑπό ΖΑΕ καί ὁ ὑπό ΖΑΕ πρός ὁ ἀπό ΔΓ , καί εἰμί ὁ ὁ ὑπό ὁ Θ∠Η πρός ὁ ὑπό ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτός ὁ συνάπτω ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ ΤΣ πρός ΣΥ καί ὁ ΤΣ πρός ΣΡ λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΖΑΕ πρός ὁ ἀπό ∠Γ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ἀπό ΡΤ πρός ὁ ἀπό ΤΣ , τουτέστι ὁ ὁ ἀπό Ε∠ πρός ὁ ἀπό ∠Β . καί πᾶς πρός πᾶς · ὡς ἄρα ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό Γ∠ , ∠Β , οὕτως εἰμί ὁ ἀπό ΡΤ πρός ὁ ἀπό ΤΣ , τουτέστιν ὁ δίδωμι λόγος · ὥστε ὁ ΘΚ μέρος ὁ τομή ποιέω ὁ τόπος . οὗτος οὕτως ἔχω ἔρχομαι ἐπί ὁ ἐκ ἀρχή . ἵστημι θέσις εὐθύς ὁ ΑΒ καί δίδωμι ὁ Γ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , καί διάγω ὁ ∠Γ καί κάθετος ὁ ∠Ε , λόγος δέ ἵστημι ὁ Γ∠ πρός ∠Ε . λέγω , ὅτι ὁ ∠ ἅπτω κῶνος τομή , καί ἐάν μέν ὁ λόγος εἰμί ἴσος πρός ἴσος , παραβολή , ἐάν δέ μικρός πρός μείζων , ἔλλειψις , \ ἐάν δέ μείζων πρός μικρός , ὑπερβολή . ἵστημι πρότερος ὁ λόγος ἴσος πρός ἴσος , τουτέστιν ἵστημι πρότερος ἴσος ὁ Γ∠ ὁ ∠Ε . δείκνυμι , ὅτι ὁ ∠ ἅπτω παραβολή . ἄγω κάθετος ὁ ΓΖ θέσις ἄρα εἰμί · ὁ δέ ΑΒ παράλληλος ὁ ∠Η . καί ἐπεί ὁ ἀπό Ε∠ ἴσος ὁ ἀπό ΔΓ . ἴσος δέ ὁ μέν Ε∠ ὁ ΖΗ , ὁ δέ ἀπό ∠Γ ἴσος ὁ ἀπό ∠Η , ΗΓ , ὁ ἄρα ἀπό ΖΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ∠Η , ΗΓ . καί εἰμί θέσις ὁ ΖΓ , καί δύο δίδωμι ὁ Ζ , Γ · ὁ ∠ ἄρα ἅπτω παραβολή · οὗτος γάρ προδείκνυμι . συντίθημι δή οὕτως · ἵστημι ὁ ὁ θέσις ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι ὁ Γ , καί ἄγω κάθετος ὁ ΓΖ , καί θέσις εἰμί ὁ ΓΖ καί δύο δίδωμι ὁ ὁ Ζ , Γ εὑρίσκω παραβολή ὁ ΔΘ , ὥστε , οἷος ἐάν λαμβάνω σημεῖον ὡς ὁ ∠ , ἄγω δέ κάθετος ὁ ∠Η , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΖΗ ὁ ἀπό ∠Η , ΗΓ . λέγω , ὅτι ὁ ∠Θ γραμμή ὁ τόπος ποιέω , τουτέστιν ὅτι , οἷος τις ἐάν διάζομαι ὡς ὁ Γ∠ καί κάθετος ὁ ∠Ε , ἴσος εἰμί ὁ Γ∠ ὁ ∠Ε . ἄγω κάθετος ὁ ∠Η · διά ἄρα ὁ παραβολή ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΖΗ ὁ ἀπό ∠Η , ΗΓ . καί εἰμί ὁ μέν ΖΗ ἴσος ὁ Ε∠ , ὁ δέ ἀπό ∠Η , ΗΓ ἴσος ὁ ἀπό ∠Γ · ὁ ἄρα ἀπό ∠Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ∠Ε . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Γ∠ ὁ ∠Ε · ὁ ἄρα ∠Θ γραμμή ποιέω ὁ τόπος .