ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.fragmenta 6.26
κϚ΄ . Ἔστω , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ . κείσθω τῇ Γ∠ ἴση ἡ ∠Ε · τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ , τουτέστιν τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε , ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠ . ἐπεὶ οὗν ἐστιν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ , διελόντι ἐστίν , ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ , ΒΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Γ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ , ΒΓ τῷ ὑπὸ Γ∠Ε . ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστίν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε , τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Γ , οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν Β∠ ἐστιν , ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ . τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ .
Lemmas: κϚ΄ . ἔστω , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό ∠ ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β∠ τετράγωνος . κεῖμαι ὁ Γ∠ ἴσος ὁ ∠Ε · ὁ ἄρα ὑπό ΕΑΓ μετά ὁ ἀπό Γ∠ , τουτέστιν ὁ ὑπό Γ∠Ε , ἴσος ὁ ἀπό Α∠ . ἐπεί ἐν εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό Α∠ πρός ὁ ἀπό ∠Γ , διαιρέω εἰμί , ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ , τουτέστιν ὡς ὁ ὑπό ΕΑΓ πρός ὁ ὑπό ΕΑ , ΒΓ οὕτως ὁ ὑπό ΕΑΓ πρός ὁ ὑπό Γ∠Ε ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΕ , ΒΓ ὁ ὑπό Γ∠Ε . ἀνάλογος καί διαιρέω εἰμί , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ε , τουτέστιν πρός ὁ ∠Γ , οὕτως ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΓ καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ πρός λοιπός ὁ Β∠ εἰμί , ὡς ὁ Β∠ πρός ὁ ΒΓ . ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β∠ τετράγωνος .
euclides-geom.fragmenta 6.27
κζ΄ . Ἔστω δὲ πάλιν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ . οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τετράγωνον · ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ . κείσθω γὰρ ὁμοίως τῇ Γ∠ ἴση ἡ ∠Ε · τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ , τουτέστιν τοῦ ὑπὸ Ε∠Γ , ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠ . καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν , ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ , ΓΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ . ΓΒ τῷ ὑπὸ Ε∠Γ . ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστίν , ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε , τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Γ . οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν Β∠ ἐστιν , ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ . τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ .
Lemmas: κζ΄ . ἔστω δέ πάλιν , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ . οὕτως ὁ ἀπό Α∠ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ∠Γ τετράγωνος · ὅτι ὁ ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β∠ τετράγωνος . κεῖμαι γάρ ὁμοίως ὁ Γ∠ ἴσος ὁ ∠Ε · ὁ ἄρα ὑπό ΓΑΕ μετά ὁ ἀπό Γ∠ , τουτέστιν ὁ ὑπό Ε∠Γ , ἴσος ὁ ἀπό Α∠ . καί γίγνομαι κατά διαίρεσις , ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ , τουτέστιν ὡς ὁ ὑπό ΕΑΓ πρός ὁ ὑπό ΕΑ , ΓΒ , οὕτως ὁ ὑπό ΓΑΕ πρός ὁ ὑπό Ε∠ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΕ . ΓΒ ὁ ὑπό Ε∠Γ . ἀνάλογος καί συντίθημι εἰμί , ὡς ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Ε , τουτέστιν πρός ὁ ∠Γ . οὕτως ὁ ∠Β πρός ὁ ΒΓ καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ Β∠ εἰμί , ὡς ὁ Β∠ πρός ὁ ΒΓ . ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β∠ τετράγωνος .
euclides-geom.fragmenta 6.28
κη΄ . Κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθωσαν αἱ Α∠ , ∠Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ . καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ∠Β · ὅτι γίνεται , ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ε , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α∠ τῇ ∠Γ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Α . ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΖΕ , τὸ δὲ ἀπὸ ∠Α . ἐστιν τὸ ὑπὸ Β∠Ε · τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Β∠Ε . ἐὰν δὲ τοῦτο , γίνεται , ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ε , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ .
Lemmas: κη΄ . Κύκλος ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω ὁ Α∠ , ∠Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ . καί διάγω τυγχάνω ὁ ∠Β · ὅτι γίγνομαι , ὡς ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Ε , οὕτως ὁ Β πρός ὁ ΖΕ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ Α∠ ὁ ∠Γ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΖΓ μετά ὁ ἀπό Ζ∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ∠Α . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΑΖΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΖΕ , ὁ δέ ἀπό ∠Α . εἰμί ὁ ὑπό Β∠Ε · ὁ ἄρα ὑπό ΒΖΕ μετά ὁ ἀπό ∠Ζ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Β∠Ε . ἐάν δέ οὗτος , γίγνομαι , ὡς ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Ε , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ὁ ΖΕ .
euclides-geom.fragmenta 6.29
κθ΄ . Τμήματος δοθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΒ κλάσαι εὐθεῖαν θεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι . γεγονέτω , καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ Γ∠ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠ Β . λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ , δοθείς · ὥστε καὶ ὁ τῆς Α∠ πρὸς τὴν Β∠ δοθείς . καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Α , Β · δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ ∠ · ὥστε καὶ τὸ Γ δοθέν . Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως . ἔστω τὸ μὲν τμῆμα τὸ ΑΒΓ , ὁ δὲ λόγος ὁ τῆς πρὸς τὴν Ζ , καὶ πεποιήσθω , ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β , καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ∠Γ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ΓΒ . λέγω , ὅτι αἱ ΑΓ , ΓΒ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα . ἐπεὶ γάρ ἐστιν , ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β , ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ ἔφάπτεσθαι τὴν ΓΔ , καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ ὥστε καί , ὡς ἡ πρὸς τὴν Ζ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ . ἡ ΑΓΒ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα .
Lemmas: κθ΄ . τμῆμα δίδωμι ὁ ἐπί ὁ ΑΒ κλάω εὐθύς θεῖος ὁ ΑΓΒ ἐν λόγος ὁ δίδωμι . γίγνομαι , καί διάγω ἀπό ὁ Γ ἐφάπτω ὁ Γ∠ ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΒΓ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ∠ Β . λόγος δέ ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΓΒ , δίδωμι · ὥστε καί ὁ ὁ Α∠ πρός ὁ Β∠ δίδωμι . καί εἰμί δύο δίδωμι ὁ Α , Β · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ∠ · ὥστε καί ὁ Γ δίδωμι . συντίθημι δή ὁ πρόβλημα οὕτως . ἵστημι ὁ μέν τμῆμα ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ λόγος ὁ ὁ πρός ὁ Ζ , καί ποιέω , ὡς ὁ ἀπό Ε πρός ὁ ἀπό Ζ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Β , καί ἄγω ἐφάπτω ὁ ∠Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , ΓΒ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ , ΓΒ ποιέω ὁ πρόβλημα . ἐπεί γάρ εἰμί , ὡς ὁ ἀπό Ε πρός ὁ ἀπό Ζ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Β , ὡς δέ ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Β , οὕτως ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΓΒ διά ὁ ἐφάπτω ὁ ΓΔ , καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό Ε πρός ὁ ἀπό Ζ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ἀπό ΓΒ ὥστε καί , ὡς ὁ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ . ὁ ΑΓΒ ἄρα ποιέω ὁ πρόβλημα .
euclides-geom.fragmenta 6.30
λ΄ . Κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ , καὶ ἀπὸ τυχόντος ἐπ᾿ αὐτὴν κάθετος ἡ ∠Ε , διήχθω ἡ ∠Ζ , ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω , καί , καθ᾿ ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ , ἔστω τὸ Η · ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ , οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Α , ΑΕ , ΑΖ . ἐπεὶ οὖν ἐπὶ διάμετρον κάθετος ἡ ∠Ε , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ . ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ . καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνία · διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται , ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ , οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΘ .
Lemmas: Λ΄ . Κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , καί ἀπό τυγχάνω ἐπί αὐτός κάθετος ὁ ∠Ε , διάγω ὁ ∠Ζ , ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ καί ἐκβάλλω , καί , κατά ὅς συμπίπτω ὁ διάμετρος , ἵστημι ὁ ὁ · ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΒ , οὕτως ὁ ΑΘ πρός ὁ ΘΒ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ∠Α , ΑΕ , αζʹ . ἐπεί οὖν ἐπί διάμετρος κάθετος ὁ ∠Ε , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ∠ΑΒ ὁ ὑπό ΒΑΕ . ἀλλά ὁ ὑπό ∠ΑΒ ὁ ἐν ὁ αὐτός τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΘΖΒ , ὁ δέ ὑπό ΒΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ἐκτός τετράπλευρος ὁ ὑπό ΒΖΗ καί ὁ ὑπό ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΖΗ . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΑΖΒ γωνία · διά δή ὁ λῆμμα γίγνομαι , ὡς ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΒ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ ΒΘ .
euclides-geom.fragmenta 6.31
λα΄ . Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ , καὶ ἀπὸ τῶν Α,Β σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ ἤχθωσαν αἱ ΒΔ , ΑΕ , καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ , καὶ ἀπὸ τοῦ τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Η ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ . ὅτι ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ , οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν Β∠ . περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί · ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔΗ γωνίᾳ . ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΗΕ ἴση ἐστὶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΖΕ , ἡ δὲ ὑπὸ Β∠Η πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ . ἔστιν δέ · ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΒ , ΕΖΗ γωνιῶν .
Lemmas: ὅς . ἡμικύκλιον ὁ ἐπί ὁ ΑΒ , καί ἀπό ὁ ΑΒ σημεῖον ὁ ΑΒ πρός ὀρθός γωνία εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΒΔ , ΑΕ , καί ἄγω τυγχάνω ὁ ΔΕ , καί ἀπό ὁ ὁ ∠Ε πρός ὀρθός γωνία εὐθύς γραμμή ὁ ΖΗ συμπίπτω ὁ ΑΒ κατά ὁ ὁ ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΒΔ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗΒ . ὅτι ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΗ , οὕτως ὁ ΗΒ πρός ὁ Β∠ . περί ἴσος γωνία ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά · ὅτι ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗΕ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΒΔΗ γωνία . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΑΗΕ ἴσος εἰμί ἐν ὁ αὐτός τμῆμα ὁ ὑπό ΑΖΕ , ὁ δέ ὑπό Β∠Η πάλιν ἐν ὁ αὐτός τμῆμα ὁ ὑπό ΒΖΗ ὅτι ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΖΕ γωνία ὁ ὑπό ΒΖΗ γωνία . εἰμί δέ · ὀρθός γάρ εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΖΒ , ΕΖΗ γωνία .
euclides-geom.fragmenta 6.32
τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ , κοινοῦ δ᾿ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΒΕ λοιπὸν τὸ ∠ΑΕ λοιπῷ τῷ ΑΓE ἐστιν ἴσον καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως .
Lemmas: ὁ ΑΒΓ τρίγωνος , κοινός δέ ἀφαιρέω ὁ ΑΒΕ λοιπός ὁ ∠ΑΕ λοιπός ὁ ΑΓ εἰμί ἴσος καί εἰμί ἐπί ὁ αὐτός βάσις .
euclides-geom.fragmenta 6.33
λγ΄ . Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος , καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον · ὅτι , οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Ε , καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευχθεῖσα ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ , γίνεται καὶ τὸ ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΚΗ τετραγώνῳ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ , ΒΛ ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Θ Λ γωνία . ἔστιν δὲ καὶ ἡ Ζ ὀρθή · τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ . ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΚ , τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τετραγώνῳ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΗ τετραγώνοις , τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ .
Lemmas: λγ΄ . Κύκλος περί διάμετρος ὁ ΑΒ , καί ἐκβάλλω ὁ ΑΒ καί ἵστημι ἐπί τυγχάνω ὁ ∠Ε κάθετος , καί ὁ ὑπό ΑΖΒ ἴσος κεῖμαι ὁ ἀπό ΖΗ τετράγωνος · ὅτι , οἷος ἐάν λαμβάνω σημεῖον ὡς ὁ Ε , καί ἀπό αὐτός ἐπί ὁ ὁ ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω ἐπί ὁ Θ , γίγνομαι καί ὁ ὑπό ΘΕΚ ἴσος ὁ ἀπό ΚΗ τετράγωνος . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , ΒΛ ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ Θ Λ γωνία . εἰμί δέ καί ὁ Ζ ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό ΑΕΛ ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ΑΖΒ καί ὁ ἀπό ΖΕ τετράγωνος . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΑΕΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΘΕΚ , ὁ δέ ὑπό ΑΖΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό τετράγωνος · ὁ ἄρα ὑπό ΘΕΚ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΗ τετράγωνος , τουτέστιν ὁ ἀπό ΕΗ τετράγωνος .
euclides-geom.fragmenta 6.34
λδ΄ . Ἔστω , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ∠Γ . καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον · ὅτι γίνεται τρία , τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ , τὸ δὲ ὑπὸ Β∠Ε τῷ ὑπὸ Α∠Γ , τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒ∠ . ἐπεὶ γάρ , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ , συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ , ἡ ΕΓ πρὸς τὴν Ε∠ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Β∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Α∠Γ . πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ . ἀμφότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΒ∠ . Ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ , καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΑ κατὰ τὸ Ε · ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΔΓ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ , κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ∠Ε τετράγωνον · ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ . ἀνάλογον καὶ ἀναστρέφοντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ .
Lemmas: λδ΄ . ἔστω , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΑΔ πρός ὁ ∠Γ . καί τέμνω ὁ ΑΓ δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον · ὅτι γίγνομαι τρεῖς , ὁ μέν ὑπό ΒΕ∠ ἴσος ὁ ἀπό ΕΓ τετράγωνος , ὁ δέ ὑπό Β∠Ε ὁ ὑπό Α∠Γ , ὁ δέ ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΕΒ∠ . ἐπεί γάρ , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ , συντίθημι καί ὁ ἥμισυς ὁ ἡγέομαι καί ἀναστρέφω ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΓ , ὁ ΕΓ πρός ὁ Ε∠ · ὁ ἄρα ὑπό ΒΕ∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΓ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΔΕ τετράγωνος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Β∠Ε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Α∠Γ . πάλιν ὁ ὑπό ΒΕ∠ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΓ τετράγωνος . ἀμφότερος ἀφαιρέω ἀπό ὁ ἀπό ὁ ΒΕ τετράγωνος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΒ∠ . ἀλλά ἵστημι νῦν ὁ ὑπό ὁ Β∠Ε ἴσος ὁ ὑπό ὁ Α∠Γ , καί τέμνω δίχα ὁ ΓΑ κατά ὁ Ε · ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ΔΓ . ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ὁ Β∠Ε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α∠Γ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ∠Ε τετράγωνος · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΕ∠ ἴσος ὁ ἀπό ΓΕ τετράγωνος . ἀνάλογος καί ἀναστρέφω καί δίς ὁ ἡγέομαι καί διαιρέω ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ Α∠ πρός ὁ ∠Γ .
euclides-geom.fragmenta 6.35
λε΄ . Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ , ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος , καὶ πεποιήσθω , ὡς ἡ ΑΝ πρὸς τὴν ΖΒ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ ὅτι πάλιν , οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΔ σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Ε , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ , γίνεται , ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ , καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΘ . ἐπεὶ δὲ ὀρθή ἔστιν ἑκατέρα τῶν Μ , Ζ γωνιῶν , ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε , Ζ , Λ , Μ σημεῖα · τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ . ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ διὰ τὸ εἶναι , ὡς τὴν ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ , οὕτως τὴν ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ , καὶ τετμῆσθαι τὴν ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Λ · καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ , τουτέστιν · ἐν κύκλῳ γάρ · τῷ ὑπὸ τῶν ΘΗΚ . καὶ τέτμηται δίχα ἡ ΘΚ κατὰ τὸ Μ · διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται , ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ .
Lemmas: ὅς . οὗτος εἰμί ἵστημι κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ , καί ἐκβάλλω ὁ ΑΒ , ἵστημι δέ ἐπί τυγχάνω ὁ ∠Ε κάθετος , καί ποιέω , ὡς ὁ ΑΝ πρός ὁ ΖΒ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΒ ὅτι πάλιν , οἷος ἐάν ἐπί ὁ ΕΔ σημεῖον λαμβάνω ὡς ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Θ , γίγνομαι , ὡς ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΚ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΗΚ . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Λ , καί ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ ΕΘ κάθετος ἄγω ὁ ΛΜ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΚΜ ὁ ΜΘ . ἐπεί δέ ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ Μ , Ζ γωνία , ἐν κύκλος εἰμί ὁ Ε , Ζ , Λ , Μ σημεῖον · ὁ ἄρα ὑπό ΖΗ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΗΜ . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΖΗ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗΒ διά ὁ εἰμί , ὡς ὁ αζʹ πρός ὁ ΖΒ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΒ , καί τέμνω ὁ ΑΒ δίχα κατά ὁ Λ · καί ὁ ὑπό ὁ ΗΜ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗΒ , τουτέστιν · ἐν κύκλος γάρ · ὁ ὑπό ὁ ΘΗΚ . καί τέμνω δίχα ὁ ΘΚ κατά ὁ Μ · διά δή ὁ προγράφω γίγνομαι , ὡς ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΚ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΗΚ .
euclides-geom.fragmenta 6.36
λϚ΄ . Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ , καὶ παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ Γ∠ , καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΓΕ , ∠Η ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ . εἰλήφοθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ , Ζθωσαν ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ Ζ∠ · ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Ζ∠ τετραγώνῳ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ , ΕΖ τετράγωνα , τῷ δὲ ἀπὸ ∠Ζ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ∠Η , ΗΖ τετράγωνα · καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ , ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ , Η∠ τετραγώνοις . ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Η τετραγώνῳ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ . ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΖΒ ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: λϚ΄ . ἡμικύκλιον ὁ ἐπί ὁ ΑΒ , καί παράλληλος ὁ ΑΒ ὁ Γ∠ , καί κάθετος ἄγω ὁ ΓΕ , ∠Η ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΗΒ . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ , Ζθωσαν ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΓΖ ὁ Ζ∠ · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ΓΖ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Ζ∠ τετράγωνος . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ΓΖ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΕ , ΕΖ τετράγωνος , ὁ δέ ἀπό ∠Ζ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ∠Η , ΗΖ τετράγωνος · καί ὁ ἀπό ὁ ΓΕ , ΕΖ ἄρα τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , Η∠ τετράγωνος . ὅς ὁ ἀπό ΓΕ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ∠Η τετράγωνος · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΕΖ τετράγωνος λοιπός ὁ ἀπό ΖΗ τετράγωνος εἰμί ἴσος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΖΗ . εἰμί δέ καί ὅλος ὁ αζʹ ὅλος ὁ ΖΒ ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ΑΕ λοιπός ὁ ΗΒ εἰμί ἴσος · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .
euclides-geom.fragmenta 6.37
λζ΄ . Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ , καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Γ διήχθω ἡ Γ∠ , καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ∠Ε ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ , καὶ τῆς ΑΕ . ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Γ , τουτέστιν τοῖς ἀπὸ ∠Ε , ΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓΒ καὶ τῆς ΑΕ . ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΓΑΕ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓE ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Ε , τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ , καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ , ΓΒ . κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ , ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ , ΒΓ ἔστιν δέ .
Lemmas: λζ΄ . ἡμικύκλιον ὁ ἐπί ὁ ΑΒ , καί ἀπό τυγχάνω ὁ Γ διάγω ὁ Γ∠ , καί κάθετος ἄγω ὁ ∠Ε ὅτι ὁ ἀπό ΑΓ ὁ ἀπό Γ∠ ὑπερέχω ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΑΓ , καί ὁ ΑΕ . ὅτι ἄρα ὁ ἀπό ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ∠Γ , τουτέστιν ὁ ἀπό ∠Ε , ΕΓ καί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΑΓΒ καί ὁ ΑΕ . ὅτι ἄρα κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΓΑΕ λοιπός ὁ ὑπό ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ∠Ε , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΕΒ , καί ὁ ἀπό ΓΕ καί ὁ ὑπό ΑΕ , ΓΒ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΓΕ , ὅτι λοιπός ὁ ὑπό ΑΕΓ ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ΑΕΒ καί ὁ ὑπό ΑΕ , ΒΓ εἰμί δέ .
euclides-geom.fragmenta 6.38
λή . Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ Α∠ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ . γεγονέτω . ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ , τὸ δὲ Α∠ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου , καὶ τὸ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου . ὡς δὲ τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρέγωνον , διὰ τὸ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓ∠ . δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓ∠ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ . καὶ δο - θέντος τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΑΓ , Γ∠ διῆκται εἰς χωρίου ἀποτομήν · θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ . συντεθήσεται δὲ οὕτως · ἔστω τὸ μὲν τῇ θέσει παραλληλόγραμμον τὸ Α∠ , τὸ δὲ δοθὲν τὸ Ε . διήχθω ἀπὸ τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΖΓΗ εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ΖΓΗ ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ ΑΓ∠ . καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ · ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα . φανερὸν οὖν , ὅτι μόνη , ἐπεὶ κἀκείνη μόνη .
Lemmas: λα . Θέσις εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ Α∠ ἀπό δίδωμι ὁ Ε διάγω ὁ ΕΖ καί ποιέω ἴσος ὁ ΖΓΗ τρίγωνος ὁ Α∠ παραλληλόγραμμος . γίγνομαι . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΖΓΗ τρίγωνος ὁ Α∠ παραλληλόγραμμος , ὁ δέ Α∠ παραλληλόγραμμος διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΓ∠ τρίγωνος , καί ὁ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΓΔ τρίγωνος . ὡς δέ ὁ τρίγωνος πρός ὁ τρέγωνον , διά ὁ περί ὁ αὐτός γωνία ὁ Γ οὕτως εἰμί ὁ ὑπό ΖΓΗ πρός ὁ ὑπό ΑΓ∠ . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ΑΓ∠ δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ΖΓΗ . καί δο - θέω ὁ Ε εἰς θέσις ὁ ΑΓ , Γ∠ διάγω εἰς χωρίον ἀποτομή · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ . συντίθημι δέ οὕτως · ἵστημι ὁ μέν ὁ θέσις παραλληλόγραμμος ὁ Α∠ , ὁ δέ δίδωμι ὁ Ε . διάγω ἀπό ὁ Ε εἰς θέσις ὁ ΖΓΗ εὐθύς ὁ ΕΖ ἀποτέμνω χωρίον ὁ ΖΓΗ ἴσος δίδωμι χωρίον ὁ διπλασίων ὁ ΑΓ∠ . καί κατά ὁ αὐτός ὁ ἀνάλυσις δείκνυμι ἴσος ὁ ΖΓΗ τρίγωνος ὁ Α∠ παραλληλόγραμμος · ὁ ΕΖ ἄρα ποιέω ὁ πρόβλημα . φανερός οὖν , ὅτι μόνος , ἐπεί ἐκεῖνος μόνος .
euclides-geom.fragmenta 7.1
7 . Pappus Συναγ . VII 3 p . 636 , 23 ( inter opera ad τόπον ἀναλυόμενον pertinentia loco undecimo , cfr . fr . 5 ) : Κὐκλείδου Τόπων πρὸς 1 ) ἐπιφανείᾳ δύο . cfr . Studien über Euklid p . 79 sqq . , Zeuthen Die Lehre von den Κegelschnitten in Altertum p . 423 sqq .
Lemmas: 7 . Pappus Συναγ . VII 3 p . 636 , 23 ( inter opera ad τόπος ἀναλύω pertinentia loco undecimo , cfr . fr . 5 ) : κυκλειδοω τόπος πρός 1 ) ἐπιφάνεια δύο . cfr . Studien über Euklid p . 79 sqq . , Zeuthen Die Lehre von den Κegelschnitten in Altertum p . 423 sqq .
euclides-geom.fragmenta 8
8 . Pappus Συναγ . VII 312 p.1004,16 sqq . :
Lemmas: 8 . Pappus Συναγ . VII 312 p.1004,16 sqq . :
euclides-geom.fragmenta 8.1
α΄ . Ἐὰν ᾖ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ παρὰ θέσει ἡ Γ∠ , καὶ ᾖ λόγος τοῦ ὑπὸ Α∠Β πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ , τὸ Γ ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς . ἐὰν οὖν ἡ μὲν ΑΒ στερηθῇ τῆς θέσεως , καὶ τὰ Α , Β στερηθῇ τοῦ δοθέντα εἶναι , γένηται δὲ πρὸς θέσει εὐθείαις ταῖς ΑΕ , ΕΒ , τὸ Γ μετεωρισθὲν γίνεται πρὸς θέσει ἐπιφανείᾳ . τοῦτο δὲ ἐδείχθη .
Lemmas: Α΄ . ἐάν εἰμί εὐθύς ὁ ΑΒ καί παρά θέσις ὁ Γ∠ , καί εἰμί λόγος ὁ ὑπό Α∠Β πρός ὁ ἀπό ∠Γ , ὁ Γ ἅπτω κωνικός γραμμή . ἐάν οὖν ὁ μέν ΑΒ στερέω ὁ θέσις , καί ὁ Α , Β στερέω ὁ δίδωμι εἰμί , γίγνομαι δέ πρός θέσις εὐθύς ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὁ Γ μετεωρίζω γίγνομαι πρός θέσις ἐπιφάνεια . οὗτος δέ δείκνυμι .
euclides-geom.fragmenta 9.1
9 . Pappus Συναγ . VII 30 p . 672 , 18 sqq . : Τὰ Εὐκλείδου βιβλία δ Κωνικῶν Ἀπολλώνιος ἀναπλώσας καὶ προσθεὶς ἕτερα δ παρέδωκεν η Κωνικῶν τεύχη . Scholiasta Pappi III p . 1187 ad hunc locum : ὅτι καὶ ὁ Κὐκλείδης κωνικῶν δ βιβλία γέγραφεν . Cfr . Studien über Euklid p . 83 sqq .
Lemmas: 9 . Pappus Συναγ . VII 30 p . 672 , 18 sqq . : ὁ Εὐκλείδης βιβλίον δ κωνικός Ἀπολλώνιος ἀναπλόω καί προστίθημι ἕτερος δ παραδίδωμι ὁ κωνικός τεῦχος . Scholiasta Pappi III p . 1187 ad hunc locum : ὅτι καί ὁ κυκλειδηω κωνικός δ βιβλίον γράφω . Cfr . Studien über Euklid p . 83 sqq .
euclides-geom.fragmenta 10.1
10 . Apollonius Pergaeus Conic . I p . 4 , 10 sqq . : Τὸ δὲ τρίτον πολλὰ καὶ παράδοξα θεωρήματα χρήσιμα πρός τε τὰς συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς , ὧν τὰ πλεῖστα καὶ κάλλιστα ξένα , ἃ καὶ κατανοήσαντες συνείδομεν μὴ συντιθέμενον ὑπὸ Εὐκλείδου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ τέσσαρας γραμμὰς τόπον , ἀλλὰ μόριον τὸ τυχὸν αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς · οὐ γὰρ ἦν δυνατὸν ἄνευ τῶν προσευρημένων ἡμῖν τελειωθῆναι τὴν σύνθεσιν . Cfr . Pappus VII 32 p . 676 , 3 sqq . Pappus VII 33 p . 676 , 19 sqq . : Ἀπολλώνιος μὲν ταῦτα · ὃν δέ φησιν ἐν τῷ τρίτῳ τόπον ἐπὶ γ καὶ δ γραμμὰς μὴ τελειωθῆναι ὑπὸ Εὐκλείδου , οὐδ᾿ ἂν αὐτὸς ἠδυνήθη οὐδ᾿ ἄλλος οὐδεὶς ἀλλ᾿ οὐδὲ μικρόν τι προσθεῖναι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσιν διά γε μόνων τῶν προδεδειγμένων ἤδη κωνικῶν ἄχρι τῶν κατ᾿ Εὐκλείδην , ὡς καὶ αὐτὸς μαρτυρεῖ λέγων ἀδύνατον εἶναι τελειωθῆναι , χωρὶς ὧν αὐτὸς προγράφειν ἠναγκάσθη . ὁ δὲ Εὐκλείδης ἀποδεχόμενος τὸν Ἀρισταῖον ἄξιον ὄντα , ἐφ᾿ οἷς ἤδη παραδεδώκει κωνικοῖς , καὶ μὴ φθάσας ἢ μὴ θελήσας ἐπικαταβάλλεσθαι τούτων τὴν αὐτὴν πραγματείαν , ὅσον δυνατὸν ἦν τοῦ τόπου διὰ τῶν ἐκείνου κωνικῶν , ἔγραψεν οὐκ εἰπὼν τέλος ἔχειν τὸ δεικνύμενον . De loco ad tres uel quattuor lineas u . Zeuthen Die Lehre von den Kegelschn . p . 126 sq .
Lemmas: 10 . Apollonius Pergaeus Conic . I p . 4 , 10 sqq . : ὁ δέ τρίτος πολύς καί παράδοξος θεώρημα χρήσιμος πρός τε ὁ σύνθεσις ὁ στερεός τόπος καί ὁ διορισμός , ὅς ὁ πλεῖστος καί καλῶς ξένος , ὁ καί κατανοέω σύνοιδα μή συντίθημι ὑπό Εὐκλείδης ὁ ἐπί τρεῖς καί τέσσαρες γραμμή τόπος , ἀλλά μόριον ὁ τυγχάνω αὐτός καί οὗτος οὐ εὐτυχής · οὖον γάρ εἰμί δυνατός ἄνευ ὁ προσευρίσκω ἐγώ τελειόω ὁ σύνθεσις . Cfr . Pappus VII 32 p . 676 , 3 sqq . Pappus VII 33 p . 676 , 19 sqq . : Ἀπολλώνιος μέν οὗτος · ὅς δέ φημί ἐν ὁ τρίτος τόπος ἐπί γ καί δ γραμμή μή τελειόω ὑπό Εὐκλείδης , οὐδέ εἄν αὐτός δύναμαι οὐδέ ἄλλος οὐδείς ἀλλά οὐδέ μικρός τίς προστίθημι ὁ ὑπό Εὐκλείδης γράφω διά γε μόνος ὁ προδείκνυμι ἤδη κωνικός ἄχρι ὁ κατά Εὐκλείδης , ὡς καί αὐτός μαρτυρέω λέγω ἀδύνατος εἰμί τελειόω , Χωρὶς ὅς αὐτός προγράφω ἀναγκάζω . ὁ δέ Εὐκλείδης ἀποδέχομαι ὁ Ἀρισταῖος ἄξιος εἰμί , ἐπί ὅς ἤδη παραδίδωμι κωνικός , καί μή φθάνω ἢ μή ἐθέλω ἐπικαταβάλλω οὗτος ὁ αὐτός πραγματεία , ὅσος δυνατός εἰμί ὁ τόπος διά ὁ ἐκεῖνος κωνικός , γράφω οὐ εἶπον τέλος ἔχω ὁ δείκνυμι . De loco ad tres uel quattuor lineas u . Zeuthen Die Lehre von den Kegelschn . p . 126 sq .
euclides-geom.fragmenta 11.1
11 . Archimedes Quadrat . parabol . prop . 1—3 ( II p . 266 sqq . ; cfr . ib . II p 350 , 8 ; 436 , 3 ) : Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομά , ἐφ᾿ ἇς ἁ ΑΒΓ ἁ δὲ Β∠ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος , ἁ δὲ ΑΓ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς , ἴσα ἐσσεῖται ἁ Α∠ τᾷ ∠Γ . κἂν ἴσα ᾖ ἁ Α∠ τᾷ ∠Γ , παραλλήλοι ἐσσοῦνται ἅ τε ΑΓ καὶ ἁ κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς . Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ , ᾖ δὲ ἁ μὲν Β∠ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος , ἁ δὲ ΑμετρονΓ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς , ἁ δὲ ΕΓ τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ Γ ἐσσοῦνται αἱ Β∠ , ΒΕ ἴσαι . Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ , ἁ δὲ Β∠ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος , καὶ ἀχθέωντί τινες αἱ Α∠ , ΚΖ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς , ἐσσεῖται , ὡς ἁ Β∠ ποτὶ τὰν ΒΖ , δυνάμει ἁ Α∠ ποτὶ τὰν ΕΖ . ἀποδέδεικται δὲ ταῦτα ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις .
Lemmas: 11 . Archimedes Quadrat . parabol . prop . 1—3 ( II p . 266 sqq . ; cfr . ib . II p 350 , 8 ; 436 , 3 ) : εἰμί ἄν εἰμί ὀρθογώνιος κῶνος τομή , ἐπί ὅς ὅς ΑΒΓ ὅς δέ Β∠ παρά ὁ διάμετρος ἢ αὐτός διάμετρος , ὅς δέ ΑΓ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή , ἴσος εἰμί ὅς Α∠ ὁ ∠Γ . κἀν ἴσος εἰμί ὅς Α∠ ὁ ∠Γ , παράλληλος εἰμί ὅς τε ΑΓ καί ὅς κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή . εἰμί ἄν εἰμί ὀρθογώνιος κῶνος τομή ὅς ΑΒΓ , εἰμί δέ ὅς μέν Β∠ παρά ὁ διάμετρος ἢ αὐτός διάμετρος , ὅς δέ ΑμετρονΓ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή , ὅς δέ ΕΓ ὁ ὁ κῶνος τομή ἐπιψαύω κατά ὁ Γ εἰμί ὁ Β∠ , ΒΕ Ἴσαι . εἰμί ἄν εἰμί ὀρθογώνιος κῶνος τομή ὅς ΑΒΓ , ὅς δέ Β∠ παρά ὁ διάμετρος ἢ αὐτός διάμετρος , καί ἀχθέω τις ὁ Α∠ , ΚΖ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή , εἰμί , ὡς ὅς Β∠ πρός ὁ ΒΖ , δύναμις ὅς Α∠ πρός ὁ ΕΖ . ἀποδείκνυμι δέ οὗτος ἐν ὁ κωνικός στοιχεῖον .
euclides-geom.fragmenta 12.1
12 . Archimedes Περὶ κωνοειδ . καὶ σφαιροειδ . prop.3 ( I p . 27Ο , 15 sqq . ) : Εἰ κα κώνου τομᾶς ὁποιασοῦν εὐθεῖαι ἐπιψαύωντι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σαμείου ἀγμέναι , ἔωντι δὲ καὶ ἄλλαι εὐθεῖαι ἐν τᾷ τοῦ κώνου τομᾷ παρὰ τὰς ἐπιψαυούσας ἀγμέναι καὶ τέμνουσαι ἀλλάλας , τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτ᾿ ἄλλαλα , ὃν τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἐπιψαυουσᾶν · ὁμόλογον δὲ ἐσσεῖται τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τᾶς ἑτέρας γραμμᾶς τμαμάτων τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τᾶς παραλλήλου αὐτᾷ . ἀποδέδεικται δὲ τοῦτο ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις .
Lemmas: 12 . Archimedes περι κωνοειδής . καί σφαιροειδής . prop.3 ( I p . Οὖ , 15 sqq . ) : εἰμί ἄν κῶνος τομή ὁποῖος εὐθύς ἐπιψαύω ἀπό ὁ αὐτός σαμεῖον ἄγω , εἰμί δέ καί ἄλλος εὐθύς ἐν ὁ ὁ κῶνος τομή παρά ὁ ἐπιψαύω ἄγω καί τέμνω ἀλλήλων , ὁ περιέχω ὑπό ὁ τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος πρός ἀλλήλων , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὅς ἐπιψαύω · ὁμόλογος δέ εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ἕτερος γραμμή τμῆμα ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἐπιψαύω ὁ παράλληλος αὐτός . ἀποδείκνυμι δέ οὗτος ἐν ὁ κωνικός στοιχεῖον .
euclides-geom.fragmenta 13.1
13 . Archimedes Περὶ κωνοειδ . prop . 3 ( I p . 272 , 23 sqq . ) : Ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΖ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΚ , τοῦτον ἐχέτω ἁ Ν ποτὶ τὰν Μ . αἱ δὴ ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν ∠Ζ ἀγόμεναι παρὰ τὰν ΑΕ δύνανται τὰ παρὰ τὰν ἴσαν τᾷ Ν παραπίπτοντα πλάτος ἔχοντα , ἃς αὐταὶ ἀπολαμβάνοντι ἀπὸ τᾶς ∠ ποτὶ τὸ ∠ πέρας . δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς .
Lemmas: 13 . Archimedes περι κωνοειδής . prop . 3 ( I p . 272 , 23 sqq . ) : ὅς δή λόγος ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ αζʹ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΚ , οὗτος ἔχω ὅς Ν πρός ὁ Μ . ὁ δή ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ ∠Ζ ἄγω παρά ὁ ΑΕ δύναμαι ὁ παρά ὁ εἶμι ὁ Ν παραπίπτω πλάτος ἔχω , ὅς αὐτός ἀπολαμβάνω ἀπό ὁ ∠ πρός ὁ ∠ πέρας . δείκνυμι γάρ ἐν ὁ κωνικός .