euclides-geom.elementa 2.prop.6
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα , προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας , τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον , προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Β σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΓ , ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ , διὰ δὲ τοῦ Θ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ , ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ , καὶ ἔτι διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ , ΔΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΛ τῷ ΓΘ . ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΘΖ ἴσον ἐστίν . καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΘΖ ἐστιν ἴσον . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΜ · ὅλον ἄρα τὸ ΑΜ τῷ ΝΞΟ γνώμονί ἐστιν ἴσον . ἀλλὰ τὸ ΑΜ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ · ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΔΜ τῇ ΔΒ · καὶ ὁ ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ , ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΞΟ γνώμονι καὶ τῷ ΛΗ . ἀλλὰ ὁ ΝΞΟ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΔ τετράγωνον , ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΔ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα , προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας , τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφʼ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ · καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ , κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ · ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἴσον ἐστίν · τὰ ἄρα ΑΖ , ΓΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ . ἀλλὰ τὰ ΑΖ , ΓΕ ὁ ΚΛΜ ἐστι γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον · ὁ ΚΛΜ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΓΖ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ . ἔστι δὲ τοῦ ΑΖ διπλάσιον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἴση γὰρ ἡ ΒΖ τῇ ΒΓ · ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΗ , ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον · ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ , ΗΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ . ἀλλὰ ὁ ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ , ΗΔ τετράγωνα ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ καὶ τὸ ΓΖ , ἅ ἐστιν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφʼ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω δίχα , προστίθημι δέ τις αὐτός εὐθύς ἐπί εὐθεῖα , ὁ ὑπό ὁ ὅλος σύν ὁ πρόσκειμαι καί ὁ πρόσκειμαι περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ἥμισυς καί ὁ πρόσκειμαι τετράγωνος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ τέμνω δίχα κατά ὁ Γ σημεῖον , πρόσκειμαι δέ τις αὐτός εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ὁ ΒΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος ὁ ΓΕΖΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ , καί διά μέν ὁ Β σημεῖον ὁπότερος ὁ ΕΓ , ΔΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΒΗ , διά δέ ὁ Θ σημεῖον ὁπότερος ὁ ΑΒ , ΕΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΚΜ , καί ἔτι διά ὁ Α ὁπότερος ὁ ΓΛ , ΔΜ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΚ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΑΛ ὁ ΓΘ . ἀλλά ὁ ΓΘ ὁ ΘΖ ἴσος εἰμί . καί ὁ ΑΛ ἄρα ὁ ΘΖ εἰμί ἴσος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΓΜ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΜ ὁ ΝΞΟ γνώμων εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ ΑΜ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΔΜ ὁ ΔΒ · καί ὁ ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΛΗ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ΝΞΟ γνώμων καί ὁ ΛΗ . ἀλλά ὁ ΝΞΟ γνώμων καί ὁ ΛΗ ὅλος εἰμί ὁ ΓΕΖΔ τετράγωνος , ὅς εἰμί ἀπό ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω δίχα , προστίθημι δέ τις αὐτός εὐθύς ἐπί εὐθεῖα , ὁ ὑπό ὁ ὅλος σύν ὁ πρόσκειμαι καί ὁ πρόσκειμαι περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ἥμισυς καί ὁ πρόσκειμαι τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι . ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ἀπό ὁ ὅλος καί ὁ ἀπό εἷς ὁ τμῆμα ὁ συναμφότεροι τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε δίς ὑπό ὁ ὅλος καί ὁ λέγω τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα τετράγωνος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ τέμνω , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ ΓΑ τετράγωνος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΔΕΒ · καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΕ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΓΖ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΖ ὅλος ὁ ΓΕ ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα ΑΖ , ΓΕ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΖ . ἀλλά ὁ ΑΖ , ΓΕ ὁ ΚΛΜ εἰμί γνώμων καί ὁ ΓΖ τετράγωνος · ὁ ΚΛΜ ἄρα γνώμων καί ὁ ΓΖ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΖ . εἰμί δέ ὁ ΑΖ διπλάσιος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἴσος γάρ ὁ ΒΖ ὁ ΒΓ · ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καί ὁ ΓΖ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΔΗ , ὅς εἰμί ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος · ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καί ὁ ΒΗ , ΗΔ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος . ἀλλά ὁ ΚΛΜ γνώμων καί ὁ ΒΗ , ΗΔ τετράγωνος ὅλος εἰμί ὁ ΑΔΕΒ καί ὁ ΓΖ , ὅς εἰμί ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ἀπό ὁ ὅλος καί ὁ ἀπό εἷς ὁ τμῆμα ὁ συναμφότεροι τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε δίς ὑπό ὁ ὅλος καί ὁ λέγω τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .