ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 7.prop.8
ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ , ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος , καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται , ἅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου . ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρη ἔστω , ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ · λέγω , ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν , ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ . κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ . ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΗΘ τοῦ ΓΔ , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ . διῃρήσθω ὁ μὲν ΗΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρη τὰ ΗΚ , ΚΘ , ὁ δὲ ΑΕ εἰς τὰ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΛ , ΛΕ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ , ΚΘ τῷ πλήθει τῶν ΑΛ , ΛΕ . καὶ ἐπεί , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΛ τοῦ ΓΖ , μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ , μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ . κείσθω τῷ ΑΛ ἴσος ὁ ΗΜ . ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΜ τοῦ ΓΖ · καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν , ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ . πάλιν ἐπεί , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΛ τοῦ ΓΖ , μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ , μείζων ἄρα καὶ ὁ ΘΚ τοῦ ΕΛ . κείσθω τῷ ΕΛ ἴσος ὁ ΚΝ . ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΚΝ τοῦ ΓΖ · καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΝΘ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν , ὅπερ ὅλος ὁ ΚΘ ὅλου τοῦ ΓΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ λοιπὸς ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ὤν , ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ · καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ ΜΚ , ΝΘ τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν , ἅπερ ὅλος ὁ ΘΗ ὅλου τοῦ ΓΔ . ἴσος δὲ συναμφότερος μὲν ὁ ΜΚ , ΝΘ τῷ ΕΒ , ὁ δὲ ΘΗ τῷ ΒΑ · καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν , ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ἀριθμός μέρος εἰμί , ὅς ἀφαιρέω ἀφαιρέω , καί ὁ λοιπός ὁ λοιπός ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὁ ὅλος ὁ ὅλος . ἀριθμός γάρ ὁ ΑΒ ἀριθμός ὁ ΓΔ μέρος εἰμί , ὅς ἀφαιρέω ὁ ΑΕ ἀφαιρέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι καί λοιπός ὁ ΕΒ λοιπός ὁ ΖΔ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὅλος ὁ ΑΒ ὅλος ὁ ΓΔ . κεῖμαι γάρ ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ . ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΓΔ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ . διαιρέω ὁ μέν ΗΘ εἰς ὁ ὁ ΓΔ μέρος ὁ ΗΚ , ΚΘ , ὁ δέ ΑΕ εἰς ὁ ὁ ΓΖ μέρος ὁ ΑΛ , ΛΕ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΗΚ , ΚΘ ὁ πλῆθος ὁ ΑΛ , ΛΕ . καί ἐπεί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΗΚ ὁ ΓΔ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΑΛ ὁ ΓΖ , μέγας δέ ὁ ΓΔ ὁ ΓΖ , μέγας ἄρα καί ὁ ΗΚ ὁ ΑΛ . κεῖμαι ὁ ΑΛ ἴσος ὁ ΗΜ . ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΗΚ ὁ ΓΔ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΗΜ ὁ ΓΖ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΜΚ λοιπός ὁ ΖΔ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὅλος ὁ ΗΚ ὅλος ὁ ΓΔ . πάλιν ἐπεί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΚΘ ὁ ΓΔ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΕΛ ὁ ΓΖ , μέγας δέ ὁ ΓΔ ὁ ΓΖ , μέγας ἄρα καί ὁ ΘΚ ὁ ΕΛ . κεῖμαι ὁ ΕΛ ἴσος ὁ ΚΝ . ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΚΘ ὁ ΓΔ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΚΝ ὁ ΓΖ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΝΘ λοιπός ὁ ΖΔ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὅλος ὁ ΚΘ ὅλος ὁ ΓΔ . δείκνυμι δέ καί λοιπός ὁ ΜΚ λοιπός ὁ ΖΔ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὅλος ὁ ΗΚ ὅλος ὁ ΓΔ · καί συναμφότεροι ἄρα ὁ ΜΚ , ΝΘ ὁ ΔΖ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὅλος ὁ ΘΗ ὅλος ὁ ΓΔ . ἴσος δέ συναμφότεροι μέν ὁ ΜΚ , ΝΘ ὁ ΕΒ , ὁ δέ ΘΗ ὁ ΒΑ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΒ λοιπός ὁ ΖΔ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὅλος ὁ ΑΒ ὅλος ὁ ΓΔ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.9
ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ , καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ , καὶ ἐναλλάξ , ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου , τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται ἢ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου . ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω , καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος , ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ · λέγω , ὅτι καὶ ἐναλλάξ , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ μέρη . ἐπεὶ γὰρ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ , ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α , τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἴσοι τῷ Δ . διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ , ΗΓ , ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ , ΘΖ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ , ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ , ΘΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΗ , ΗΓ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις , εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ , ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ , ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ , ΘΖ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΓ τοῦ ΘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη · ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ συναμφοτέρου τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη . ἴσος δὲ ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α , ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ · ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ἀριθμός μέρος εἰμί , καί ἕτερος ἕτερος ὁ αὐτός μέρος εἰμί , καί ἐναλλάξ , ὅς μέρος εἰμί ἤ μέρος ὁ πρῶτος ὁ τρίτος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί ἤ ὁ αὐτός μέρος καί ὁ δεύτερος ὁ τέταρτος . ἀριθμός γάρ ὁ Α ἀριθμός ὁ ΒΓ μέρος εἰμί , καί ἕτερος ὁ Δ ἕτερος ὁ ΕΖ ὁ αὐτός μέρος , ὅς ὁ Α ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι καί ἐναλλάξ , ὅς μέρος εἰμί ὁ Α ὁ Δ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ ἤ μέρος . ἐπεί γάρ ὅς μέρος εἰμί ὁ Α ὁ ΒΓ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Δ ὁ ΕΖ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΒΓ ἀριθμός ἴσος ὁ Α , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ ΕΖ ἴσος ὁ Δ . διαιρέω ὁ μέν ΒΓ εἰς ὁ ὁ Α ἴσος ὁ ΒΗ , ΗΓ , ὁ δέ ΕΖ εἰς ὁ ὁ Δ ἴσος ὁ ΕΘ , ΘΖ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΒΗ , ΗΓ ὁ πλῆθος ὁ ΕΘ , ΘΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΗ , ΗΓ ἀριθμός ἀλλήλων , εἰμί δέ καί ὁ ΕΘ , ΘΖ ἀριθμός ἴσος ἀλλήλων , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΒΗ , ΗΓ ὁ πλῆθος ὁ ΕΘ , ΘΖ , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΒΗ ὁ ΕΘ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΗΓ ὁ ΘΖ ἤ ὁ αὐτός μέρος · ὥστε καί ὅς μέρος εἰμί ὁ ΒΗ ὁ ΕΘ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί συναμφότεροι ὁ ΒΓ συναμφότεροι ὁ ΕΖ ἤ ὁ αὐτός μέρος . ἴσος δέ ὁ μέν ΒΗ ὁ Α , ὁ δέ ΕΘ ὁ Δ · ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ Α ὁ Δ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ ἤ ὁ αὐτός μέρος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.10
ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ , καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ , καὶ ἐναλλάξ , ἃ μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου ἢ μέρος , τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτὸ μέρος . ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω , καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη · λέγω , ὅτι καὶ ἐναλλάξ , ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος . ἐπεὶ γάρ , ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ , ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ , τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ . διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ , ΗΒ , ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ , ΘΕ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ , ΘΕ . καὶ ἐπεί , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ , καὶ ἐναλλάξ , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη · ὥστε καί ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ἀριθμός μέρος εἰμί , καί ἕτερος ἕτερος ὁ αὐτός μέρος εἰμί , καί ἐναλλάξ , ὅς μέρος εἰμί ὁ πρῶτος ὁ τρίτος ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ δεύτερος ὁ τέταρτος ἤ ὁ αὐτός μέρος . ἀριθμός γάρ ὁ ΑΒ ἀριθμός ὁ Γ μέρος εἰμί , καί ἕτερος ὁ ΔΕ ἕτερος ὁ Ζ ὁ αὐτός μέρος · λέγω , ὅτι καί ἐναλλάξ , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Ζ ἤ ὁ αὐτός μέρος . ἐπεί γάρ , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΔΕ ὁ Ζ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΑΒ μέρος ὁ Γ , τοσοῦτος καί ἐν ὁ ΔΕ μέρος ὁ Ζ . διαιρέω ὁ μέν ΑΒ εἰς ὁ ὁ Γ μέρος ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὁ δέ ΔΕ εἰς ὁ ὁ Ζ μέρος ὁ ΔΘ , ΘΕ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ πλῆθος ὁ ΔΘ , ΘΕ . καί ἐπεί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ Γ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΔΘ ὁ Ζ , καί ἐναλλάξ , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΔΘ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Ζ ἤ ὁ αὐτός μέρος . διά ὁ αὐτός δή καί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΗΒ ὁ ΘΕ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Ζ ἤ ὁ αὐτός μέρος · ὥστε καί ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Ζ ἤ ὁ αὐτός μέρος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.11
ἐὰν ᾖ ὡς ὅλος πρὸς ὅλον , οὕτως ἀφαιρεθεὶς πρὸς ἀφαιρεθέντα , καὶ ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν λοιπὸν ἔσται , ὡς ὅλος πρὸς ὅλον . ἔστω ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ , οὕτως ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθέντα τὸν ΓΖ · λέγω , ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸν ΖΔ ἐστιν , ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ . ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΕ πρὸς τὸν ΓΖ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη . καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη , ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρὸς τὸν ΖΔ , οὕτως ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος , οὕτως ἀφαιρέω πρός ἀφαιρέω , καί ὁ λοιπός πρός ὁ λοιπός εἰμί , ὡς ὅλος πρός ὅλος . εἰμί ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ , οὕτως ἀφαιρέω ὁ ΑΕ πρός ἀφαιρέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι καί λοιπός ὁ ΕΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ εἰμί , ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ . ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ ἤ ὁ αὐτός μέρος . καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΒ λοιπός ὁ ΖΔ ὁ αὐτός μέρος εἰμί ἤ μέρος , ὅς ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρός ὁ ΖΔ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.12
ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον , ἔσται ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους . ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως οἱ Α , Γ πρὸς τοὺς Β , Δ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ μέρη . καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ Α , Γ συναμφοτέρου τοῦ Β , Δ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ τὰ αὐτὰ μέρη , ἅπερ ὁ Α τοῦ Β . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως οἱ Α , Γ πρὸς τοὺς Β , Δ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἀνάλογος , εἰμί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι . εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Α , Γ πρός ὁ Β , Δ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ Α ὁ Β ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Δ ἤ μέρος . καί συναμφότεροι ἄρα ὁ Α , Γ συναμφότεροι ὁ Β , Δ ὁ αὐτός μέρος εἰμί ἤ ὁ αὐτός μέρος , ὅς ὁ Α ὁ Β . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Α , Γ πρός ὁ Β , Δ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.13
ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν , καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται . ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · λέγω , ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται , ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη . ἐναλλὰξ ἄρα , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Γ ἢ μέρη , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί , καί ἐναλλάξ ἀνάλογος εἰμί . εἰμί τέσσαρες ἀριθμός ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · λέγω , ὅτι καί ἐναλλάξ ἀνάλογος εἰμί , ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Δ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ Α ὁ Β ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Δ ἤ ὁ αὐτός μέρος . ἐναλλάξ ἄρα , ὅς μέρος εἰμί ὁ Α ὁ Γ ἤ μέρος , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Β ὁ Δ ἤ ὁ αὐτός μέρος . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Δ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.14
ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσονται . ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ Δ , Ε , Ζ , ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ · λέγω , ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ . ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν δ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ · ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁπόσος ἀριθμός καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί διά ἴσος ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί . εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος σύνδυο λαμβάνω ἐν ὁ αὐτός λόγος ὁ Δ , Ε , Ζ , ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ · λέγω , ὅτι καί διά ἴσος εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ζ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Ε . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ζ . ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Α πρός ὁ δ · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ζ · ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ζ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.15
ἐὰν μονὰς ἀριθμόν τινα μετρῇ , ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ , καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν τρίτον ἀριθμὸν μετρήσει καὶ ὁ δεύτερος τὸν τέταρτον . μονὰς γὰρ ἡ Α ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω , ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν τὸν ΕΖ μετρείτω · λέγω , ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ . ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν ΒΓ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν ΕΖ , ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ μονάδες , τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ . διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τὰς ἐν ἑαυτῷ μονάδας τὰς ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ , ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΚ , ΚΛ , ΛΖ . ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΚ , ΚΛ , ΛΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ μονάδες ἀλλήλαις , εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΚ , ΚΛ , ΛΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει τῶν ΕΚ , ΚΛ , ΛΖ ἀριθμῶν , ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν , οὕτως ἡ ΗΘ μονὰς πρὸς τὸν ΚΛ ἀριθμὸν καὶ ἡ ΘΓ μονὰς πρὸς τὸν ΛΖ ἀριθμόν . ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν , οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ . ἴση δὲ ἡ ΒΗ μονὰς τῇ Α μονάδι , ὁ δὲ ΕΚ ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν , οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ . ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν μονή ἀριθμός τις μετρέω , ἰσάκις δέ ἕτερος ἀριθμός ἄλλος τις ἀριθμός μετρέω , καί ἐναλλάξ ἰσάκις ὁ μονή ὁ τρίτος ἀριθμός μετρέω καί ὁ δεύτερος ὁ τέταρτος . μονή γάρ ὁ Α ἀριθμός τις ὁ ΒΓ μετρέω , ἰσάκις δέ ἕτερος ἀριθμός ὁ Δ ἄλλος τις ἀριθμός ὁ ΕΖ μετρέω · λέγω , ὅτι καί ἐναλλάξ ἰσάκις ὁ Α μονή ὁ Δ ἀριθμός μετρέω καί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ . ἐπεί γάρ ἰσάκις ὁ Α μονή ὁ ΒΓ ἀριθμός μετρέω καί ὁ Δ ὁ ΕΖ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΒΓ μονάς , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ ΕΖ ἀριθμός ἴσος ὁ Δ . διαιρέω ὁ μέν ΒΓ εἰς ὁ ἐν ἑαυτοῦ μονάς ὁ ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ , ὁ δέ ΕΖ εἰς ὁ ὁ Δ ἴσος ὁ ΕΚ , ΚΛ , ΛΖ . εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ ὁ πλῆθος ὁ ΕΚ , ΚΛ , ΛΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ μονάς ἀλλήλων , εἰμί δέ καί ὁ ΕΚ , ΚΛ , ΛΖ ἀριθμός ἴσος ἀλλήλων , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΒΗ , ΗΘ , ΘΓ μονάς ὁ πλῆθος ὁ ΕΚ , ΚΛ , ΛΖ ἀριθμός , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΗ μονή πρός ὁ ΕΚ ἀριθμός , οὕτως ὁ ΗΘ μονή πρός ὁ ΚΛ ἀριθμός καί ὁ ΘΓ μονή πρός ὁ ΛΖ ἀριθμός . εἰμί ἄρα καί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΗ μονή πρός ὁ ΕΚ ἀριθμός , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . ἴσος δέ ὁ ΒΗ μονή ὁ Α μονάς , ὁ δέ ΕΚ ἀριθμός ὁ Δ ἀριθμός . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α μονή πρός ὁ Δ ἀριθμός , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . ἰσάκις ἄρα ὁ Α μονή ὁ Δ ἀριθμός μετρέω καί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.16
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινας , οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἴσοι ἀλλήλοις ἔσονται . ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω , ὁ δὲ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω · λέγω , ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ . ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ . ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Γ . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Β κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Δ . ἰσάκις δὲ ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν ἐμέτρει καὶ ὁ Α τὸν Γ · ἰσάκις ἄρα ὁ Α ἑκάτερον τῶν Γ , Δ μετρεῖ . ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ποιέω τις , ὁ γίγνομαι ἐκ αὐτός ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί δύο ἀριθμός ὁ Α , Β , καί ὁ μέν Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ δέ Β ὁ Α πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Γ ὁ Δ . ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ Β ἄρα ὁ Γ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Α μονάς . μετρέω δέ καί ὁ Ε μονή ὁ Α ἀριθμός κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε μονή ὁ Α ἀριθμός μετρέω καί ὁ Β ὁ Γ . ἐναλλάξ ἄρα ἰσάκις ὁ Ε μονή ὁ Β ἀριθμός μετρέω καί ὁ Α ὁ Γ . πάλιν , ἐπεί ὁ Β ὁ Α πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ Α ἄρα ὁ Δ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Β μονάς . μετρέω δέ καί ὁ Ε μονή ὁ Β κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε μονή ὁ Β ἀριθμός μετρέω καί ὁ Α ὁ Δ . ἰσάκις δέ ὁ Ε μονή ὁ Β ἀριθμός μετρέω καί ὁ Α ὁ Γ · ἰσάκις ἄρα ὁ Α ἑκάτερος ὁ Γ , Δ μετρέω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Γ ὁ Δ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.17
ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιῇ τινας , οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιασθεῖσιν . ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β , Γ πολλαπλασιάσας τοὺς Δ , Ε ποιείτω · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε . ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , ὁ Β ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · ἰσάκις ἄρα ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Δ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε · καὶ ὡς ἄρα ὁ Β πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε . ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός δύο ἀριθμός πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι ἐκ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ πολλαπλασιάζω . ἀριθμός γάρ ὁ Α δύο ἀριθμός ὁ Β , Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ , Ε ποιέω · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε . ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ Β ἄρα ὁ Δ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Α μονάς . μετρέω δέ καί ὁ Ζ μονή ὁ Α ἀριθμός κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · ἰσάκις ἄρα ὁ Ζ μονή ὁ Α ἀριθμός μετρέω καί ὁ Β ὁ Δ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ζ μονή πρός ὁ Α ἀριθμός , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Δ . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Ζ μονή πρός ὁ Α ἀριθμός , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ε · καί ὡς ἄρα ὁ Β πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ε . ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.18
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας , οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιάσασιν . δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ , Ε ποιείτωσαν · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε . ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν . ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Α , Β πολλαπλασιάσας τοὺς Δ , Ε πεποίηκεν . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ε · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός ἀριθμός τις πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι ἐκ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ πολλαπλασιάζω . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β ἀριθμός τις ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ , Ε ποιέω · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε . ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , καί ὁ Γ ἄρα ὁ Α πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Γ ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω . ἀριθμός δή ὁ Γ δύο ἀριθμός ὁ Α , Β πολλαπλασιάζω ὁ Δ , Ε ποιέω . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ ε · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.19
ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν , ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ἔσται τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου γενομένῳ ἀριθμῷ · καὶ ἐὰν ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ᾖ τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου , οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται . ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , καὶ ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω , ὁ δὲ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω · λέγω , ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ . ὁ γὰρ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω . ἐπεὶ οὖν ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν , τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν , ἀριθμὸς δὴ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ , Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Η , Ε πεποίηκεν . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε . ἀλλʼ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν , ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν , δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η , Ζ πεποιήκασιν . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ . ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε · καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ . ὁ Η ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Ε , Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ . ἔστω δὴ πάλιν ἴσος ὁ Ε τῷ Ζ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων , ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ . ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ Η πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν δ , ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β . καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί , ὁ ἐκ πρῶτος καί τέταρτος γίγνομαι ἀριθμός ἴσος εἰμί ὁ ἐκ δεύτερος καί τρίτος γίγνομαι ἀριθμός · καί ἐάν ὁ ἐκ πρῶτος καί τέταρτος γίγνομαι ἀριθμός ἴσος εἰμί ὁ ἐκ δεύτερος καί τρίτος , ὁ τέσσαρες ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί . εἰμί τέσσαρες ἀριθμός ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί ὁ μέν Α ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ δέ Β ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Ζ ποιέω · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Ε ὁ Ζ . ὁ γάρ Α ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω . ἐπεί οὖν ὁ Α ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω , ὁ δέ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ἀριθμός δή ὁ Α δύο ἀριθμός ὁ Γ , Δ πολλαπλασιάζω ὁ Η , Ε ποιέω . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Ε . ἀλλά ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Ε . πάλιν , ἐπεί ὁ Α ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω , ἀλλά μήν καί ὁ Β ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Ζ ποιέω , δύο δή ἀριθμός ὁ Α , Β ἀριθμός τις ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Η , Ζ ποιέω . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Ζ . ἀλλά μήν καί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Ε · καί ὡς ἄρα ὁ Η πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Ζ . ὁ Η ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ Ε , Ζ ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ε ὁ Ζ . εἰμί δή πάλιν ἴσος ὁ Ε ὁ Ζ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ Ε ὁ Ζ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Η πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Ζ . ἀλλά ὡς μέν ὁ Η πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ δ , ὡς δέ ὁ Η πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β . καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.20
οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα . ἔστωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β οἱ ΓΔ , ΕΖ · λέγω , ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β . ὁ ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὔκ ἐστι μέρη . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω · καὶ ὁ ΕΖ ἄρα τοῦ Β τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν , ἅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α . ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΓΔ μέρη τοῦ Α , τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΕΖ μέρη τοῦ Β . διῃρήσθω ὁ μὲν ΓΔ εἰς τὰ τοῦ Α μέρη τὰ ΓΗ , ΗΔ , ὁ δὲ ΕΖ εἰς τὰ τοῦ Β μέρη τὰ ΕΘ , ΘΖ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ , ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ , ΘΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΓΗ , ΗΔ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις , εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ , ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ , ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ , ΘΖ , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ , οὕτως ὁ ΗΔ πρὸς τὸν ΘΖ . ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ , οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΕΖ · οἱ ΓΗ , ΕΘ ἄρα τοῖς ΓΔ , ΕΖ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · ὑπόκεινται γὰρ οἱ ΓΔ , ΕΖ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς . οὐκ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΓΔ τοῦ Α · μέρος ἄρα . καὶ ὁ ΕΖ τοῦ Β τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν , ὅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α · ἰσάκις ἄρα ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς . εἰμί γάρ ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Β ὁ ΓΔ , ΕΖ · λέγω , ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ ὁ Α μετρέω καί ὁ ΕΖ ὁ Β . ὁ ΓΔ γάρ ὁ Α οὐ εἰμί μέρος . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί · καί ὁ ΕΖ ἄρα ὁ Β ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὁ ΓΔ ὁ Α . ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΓΔ μέρος ὁ Α , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ ΕΖ μέρος ὁ Β . διαιρέω ὁ μέν ΓΔ εἰς ὁ ὁ Α μέρος ὁ ΓΗ , ΗΔ , ὁ δέ ΕΖ εἰς ὁ ὁ Β μέρος ὁ ΕΘ , ΘΖ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΓΗ , ΗΔ ὁ πλῆθος ὁ ΕΘ , ΘΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΗ , ΗΔ ἀριθμός ἀλλήλων , εἰμί δέ καί ὁ ΕΘ , ΘΖ ἀριθμός ἴσος ἀλλήλων , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΓΗ , ΗΔ ὁ πλῆθος ὁ ΕΘ , ΘΖ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρός ὁ ΕΘ , οὕτως ὁ ΗΔ πρός ὁ ΘΖ . εἰμί ἄρα καί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρός ὁ ΕΘ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ · ὁ ΓΗ , ΕΘ ἄρα ὁ ΓΔ , ΕΖ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ἐλαχύς εἰμί αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος · ὑπόκειμαι γάρ ὁ ΓΔ , ΕΖ ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός . οὐ ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΓΔ ὁ Α · μέρος ἄρα . καί ὁ ΕΖ ὁ Β ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὁ ΓΔ ὁ Α · ἰσάκις ἄρα ὁ ΓΔ ὁ Α μετρέω καί ὁ ΕΖ ὁ Β · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.21
οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς . ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ οἱ Α , Β · λέγω , ὅτι οἱ Α , Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς . εἰ γὰρ μή , ἔσονταί τινες τῶν Α , Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α , Β . ἔστωσαν οἱ Γ , Δ . ἐπεὶ οὖν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων 2 μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάττων τὸν ἐλάττονα , τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον , ἰσάκις ἄρα ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Β . ὁσάκις δὴ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε . καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας . καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας , καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Ε καὶ τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας . ὁ Ε ἄρα τοὺς Α , Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Α , Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α , Β . οἱ Α , Β ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ πρῶτος πρός ἀλλήλων ἀριθμός ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός . εἰμί πρῶτος πρός ἀλλήλων ἀριθμός ὁ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός . εἰ γάρ μή , εἰμί τις ὁ Α , Β ἐλαχύς ἀριθμός ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ Α , Β . εἰμί ὁ Γ , Δ . ἐπεί οὖν ὁ ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω 2 μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι , ἰσάκις ἄρα ὁ Γ ὁ Α μετρέω καί ὁ Δ ὁ Β . ὁσάκις δή ὁ Γ ὁ Α μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ε . καί ὁ Δ ἄρα ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ε μονάς . καί ἐπεί ὁ Γ ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ε μονάς , καί ὁ Ε ἄρα ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Γ μονάς . διά ὁ αὐτός δή ὁ Ε καί ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς . ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί τις ὁ Α , Β ἐλαχύς ἀριθμός ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ Α , Β . ὁ Α , Β ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.22
οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἔστωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α , Β · λέγω , ὅτι οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . εἰ γὰρ μή εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Γ . καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ , ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε . ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας , ὁ Γ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Δ , Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Α , Β πεποίηκεν · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β · οἱ Δ , Ε ἄρα τοῖς Α , Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς Α , Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει . οἱ α , Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰμί ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός ὁ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί πρῶτος πρός ἀλλήλων , μετρέω τις αὐτός ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Γ . καί ὁσάκις μέν ὁ Γ ὁ Α μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Δ , ὁσάκις δέ ὁ Γ ὁ Β μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ε . ἐπεί ὁ Γ ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς , ὁ Γ ἄρα ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Γ ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . ἀριθμός δή ὁ Γ δύο ἀριθμός ὁ Δ , Ε πολλαπλασιάζω ὁ Α , Β ποιέω · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β · ὁ Δ , Ε ἄρα ὁ Α , Β ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ἐλαχύς εἰμί αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α , Β ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω . ὁ α , Β ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.23
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , ὁ τὸν ἕνα αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸς πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται . ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α , Β , τὸν δὲ Α μετρείτω τις ἀριθμὸς ὁ Γ · λέγω , ὅτι καὶ οἱ Γ , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , μετρήσει τοὺς Γ , Β ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Δ . ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ , ὁ δὲ Γ τὸν Α μετρεῖ , καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Β · ὁ Δ ἄρα τοὺς Α , Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς Γ , Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει . οἱ Γ , Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ὁ ὁ εἷς αὐτός μετρέω ἀριθμός πρός ὁ λοιπός πρῶτος εἰμί . εἰμί δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ Α , Β , ὁ δέ Α μετρέω τις ἀριθμός ὁ Γ · λέγω , ὅτι καί ὁ Γ , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ Γ , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων , μετρέω ὁ Γ , Β ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Δ . ἐπεί ὁ Δ ὁ Γ μετρέω , ὁ δέ Γ ὁ Α μετρέω , καί ὁ Δ ἄρα ὁ Α μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Β · ὁ Δ ἄρα ὁ Α , Β μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Γ , Β ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω . ὁ Γ , Β ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.24
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν , καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν αὐτὸν πρῶτος ἔσται . δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Γ πρῶτοι ἔστωσαν , καὶ ὁ α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω · λέγω , ὅτι οἱ Γ , Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ , Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , μετρήσει τοὺς Γ , Δ ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Ε . καὶ ἐπεὶ οἱ Γ , Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , τὸν δὲ Γ μετρεῖ τις ἀριθμὸς ὁ Ε , οἱ Α , Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ · καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας . ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε , Ζ τῷ ἐκ τῶν Α , Β . ἐὰν δὲ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων , οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ζ . οἱ δὲ Α , Ε πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα , τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον · ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ · ὁ Ε ἄρα τοὺς Β , Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς Γ , Δ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει . οἱ Γ , Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρός τις ἀριθμός πρῶτος εἰμί , καί ὁ ἐκ αὐτός γίγνομαι πρός ὁ αὐτός πρῶτος εἰμί . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β πρός τις ἀριθμός ὁ Γ πρῶτος εἰμί , καί ὁ α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Γ , Δ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ Γ , Δ πρῶτος πρός ἀλλήλων , μετρέω ὁ Γ , Δ ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Ε . καί ἐπεί ὁ Γ , Α πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ὁ δέ Γ μετρέω τις ἀριθμός ὁ Ε , ὁ Α , Ε ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ὁσάκις δή ὁ Ε ὁ Δ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ζ · καί ὁ Ζ ἄρα ὁ Δ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ε μονάς . ὁ Ε ἄρα ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ Ε , Ζ ὁ ἐκ ὁ Α , Β . ἐάν δέ ὁ ὑπό ὁ ἄκρος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος , ὁ τέσσαρες ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Ζ . ὁ δέ Α , Ε πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι · ὁ Ε ἄρα ὁ Β μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Γ · ὁ Ε ἄρα ὁ Β , Γ μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Γ , Δ ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω . ὁ Γ , Δ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.25
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται . ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α , Β , καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · λέγω , ὅτι οἱ Β , Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . κείσθω γὰρ τῷ Α ἴσος ὁ Δ . ἐπεὶ οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , ἴσος δὲ ὁ Α τῷ Δ , καὶ οἱ Δ , Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἑκάτερος ἄρα τῶν Δ , Α πρὸς τὸν Β πρῶτός ἐστιν · καὶ ὁ ἐκ τῶν Δ , Α ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Β πρῶτος ἔσται . ὁ δὲ ἐκ τῶν Δ , Α γενόμενος ἀριθμός ἐστιν ὁ Γ . οἱ Γ , Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ὁ ἐκ ὁ εἷς αὐτός γίγνομαι πρός ὁ λοιπός πρῶτος εἰμί . εἰμί δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ Α , Β , καί ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Β , Γ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . κεῖμαι γάρ ὁ Α ἴσος ὁ Δ . ἐπεί ὁ Α , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ἴσος δέ ὁ Α ὁ Δ , καί ὁ Δ , Β ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ἑκάτερος ἄρα ὁ Δ , Α πρός ὁ Β πρῶτος εἰμί · καί ὁ ἐκ ὁ Δ , Α ἄρα γίγνομαι πρός ὁ Β πρῶτος εἰμί . ὁ δέ ἐκ ὁ Δ , Α γίγνομαι ἀριθμός εἰμί ὁ Γ . ὁ Γ , Β ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.26
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς δύο ἀριθμοὺς ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ὦσιν , καὶ οἱ ἐξ αὐτῶν γενόμενοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται . δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ , Δ ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ἔστωσαν , καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω , ὁ δὲ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω · λέγω , ὅτι οἱ Ε , Ζ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερος τῶν Α , Β πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν , καὶ ὁ ἐκ τῶν Α , Β ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Γ πρῶτος ἔσται . ὁ δὲ ἐκ τῶν Α , Β γενόμενός ἐστιν ὁ Ε · οἱ Ε , Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ Δ , Ε πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ , Δ πρὸς τὸν Ε πρῶτός ἐστιν . καὶ ὁ ἐκ τῶν Γ , Δ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Ε πρῶτος ἔσται . ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ , Δ γενόμενός ἐστιν ὁ Ζ . οἱ Ε , Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρός δύο ἀριθμός ἀμφότερος πρός ἑκάτερος πρῶτος εἰμί , καί ὁ ἐκ αὐτός γίγνομαι πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β πρός δύο ἀριθμός ὁ Γ , Δ ἀμφότερος πρός ἑκάτερος πρῶτος εἰμί , καί ὁ μέν Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ δέ Γ ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Ζ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Ε , Ζ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί γάρ ἑκάτερος ὁ Α , Β πρός ὁ Γ πρῶτος εἰμί , καί ὁ ἐκ ὁ Α , Β ἄρα γίγνομαι πρός ὁ Γ πρῶτος εἰμί . ὁ δέ ἐκ ὁ Α , Β γίγνομαι εἰμί ὁ Ε · ὁ Ε , Γ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Δ , Ε πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ἑκάτερος ἄρα ὁ Γ , Δ πρός ὁ Ε πρῶτος εἰμί . καί ὁ ἐκ ὁ Γ , Δ ἄρα γίγνομαι πρός ὁ Ε πρῶτος εἰμί . ὁ δέ ἐκ ὁ Γ , Δ γίγνομαι εἰμί ὁ Ζ . ὁ Ε , Ζ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.27
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , καὶ πολλαπλασιάσας ἑκάτερος ἑαυτὸν ποιῇ τινα , οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται , κἂν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας , κἀκεῖνοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται . ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α , Β , καὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω , τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω , ὁ δὲ Β ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω , τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω · λέγω , ὅτι οἵ τε Γ , Ε καὶ οἱ Δ , Ζ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , οἱ Γ , Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἐπεὶ οὖν οἱ Γ , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν , οἱ Γ , Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . πάλιν , ἐπεὶ οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν , οἱ Α , Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , Γ πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β , Ε ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοί εἰσιν , καὶ ὁ ἐκ τῶν Α , Γ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν ἐκ τῶν Β , Ε πρῶτός ἐστιν . καί ἐστιν ὁ μὲν ἐκ τῶν Α , Γ ὁ Δ , ὁ δὲ ἐκ τῶν Β , Ε ὁ Ζ . οἱ Δ , Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , καί πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ἑαυτοῦ ποιέω τις , ὁ γίγνομαι ἐκ αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ἐάν ὁ ἐκ ἀρχή ὁ γίγνομαι πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ἐκεῖνος πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰμί δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ Α , Β , καί ὁ Α ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ δέ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ δέ Β ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ δέ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Ζ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ τε Γ , Ε καί ὁ Δ , Ζ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Α , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ Γ , Β ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ Γ , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ Β ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ Γ , Ε ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . πάλιν , ἐπεί ὁ Α , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ Β ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ Α , Ε ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί οὖν δύο ἀριθμός ὁ Α , Γ πρός δύο ἀριθμός ὁ Β , Ε ἀμφότερος πρός ἑκάτερος πρῶτος εἰμί , καί ὁ ἐκ ὁ Α , Γ ἄρα γίγνομαι πρός ὁ ἐκ ὁ Β , Ε πρῶτος εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν ἐκ ὁ Α , Γ ὁ Δ , ὁ δέ ἐκ ὁ Β , Ε ὁ Ζ . ὁ Δ , Ζ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.28
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν πρῶτος ἔσται · καὶ ἐὰν συναμφότερος πρὸς ἕνα τινὰ αὐτῶν πρῶτος ᾖ , καὶ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται . Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΓ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΒΓ πρῶτός ἐστιν . εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΓΑ , ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , μετρήσει τις τοὺς ΓΑ , ΑΒ ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Δ . ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τοὺς ΓΑ , ΑΒ μετρεῖ , καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΒΓ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΒΑ · ὁ Δ ἄρα τοὺς ΑΒ , ΒΓ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς ΓΑ , ΑΒ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει · οἱ ΓΑ , ΑΒ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΑΓ , ΓΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ὁ ΓΑ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΒΓ πρῶτός ἐστιν . ἔστωσαν δὴ πάλιν οἱ ΓΑ , ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους · λέγω , ὅτι καὶ οἱ ΑΒ , ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ , ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , μετρήσει τις τοὺς ΑΒ , ΒΓ ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Δ . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΒΓ μετρεῖ , καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΑ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΑΒ · ὁ Δ ἄρα τοὺς ΓΑ , ΑΒ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ , ΒΓ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει . οἱ ΑΒ , ΒΓ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , καί συναμφότεροι πρός ἑκάτερος αὐτός πρῶτος εἰμί · καί ἐάν συναμφότεροι πρός εἷς τις αὐτός πρῶτος εἰμί , καί ὁ ἐκ ἀρχή ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . σύγκειμαι γάρ δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι καί συναμφότεροι ὁ ΑΓ πρός ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ πρῶτος εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ ΓΑ , ΑΒ πρῶτος πρός ἀλλήλων , μετρέω τις ὁ ΓΑ , ΑΒ ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Δ . ἐπεί οὖν ὁ Δ ὁ ΓΑ , ΑΒ μετρέω , καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΓ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ ΒΑ · ὁ Δ ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΓΑ , ΑΒ ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω · ὁ ΓΑ , ΑΒ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΑΓ , ΓΒ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ὁ ΓΑ ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ πρῶτος εἰμί . εἰμί δή πάλιν ὁ ΓΑ , ΑΒ πρῶτος πρός ἀλλήλων · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΒ , ΒΓ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ πρῶτος πρός ἀλλήλων , μετρέω τις ὁ ΑΒ , ΒΓ ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Δ . καί ἐπεί ὁ Δ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ μετρέω , καί ὅλος ἄρα ὁ ΓΑ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ ΑΒ · ὁ Δ ἄρα ὁ ΓΑ , ΑΒ μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω . ὁ ΑΒ , ΒΓ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.29
ἅπας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμόν , ὃν μὴ μετρεῖ , πρῶτός ἐστιν . ἔστω πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Α καὶ τὸν Β μὴ μετρείτω · λέγω , ὅτι οἱ Β , Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Β , Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός . μετρείτω ὁ Γ . ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ , ὁ δὲ Α τὸν Β οὐ μετρεῖ , ὁ Γ ἄρα τῷ Α οὔκ ἐστιν ὁ αὐτός . καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τοὺς Β , Α μετρεῖ , καὶ τὸν Α ἄρα μετρεῖ πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς Β , Α μετρήσει τις ἀριθμός . οἱ Α , Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἅπας πρῶτος ἀριθμός πρός ἅπας ἀριθμός , ὅς μή μετρέω , πρῶτος εἰμί . εἰμί πρῶτος ἀριθμός ὁ Α καί ὁ Β μή μετρέω · λέγω , ὅτι ὁ Β , Α πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ Β , Α πρῶτος πρός ἀλλήλων , μετρέω τις αὐτός ἀριθμός . μετρέω ὁ Γ . ἐπεί ὁ Γ ὁ Β μετρέω , ὁ δέ Α ὁ Β οὐ μετρέω , ὁ Γ ἄρα ὁ Α οὐ εἰμί ὁ αὐτός . καί ἐπεί ὁ Γ ὁ Β , Α μετρέω , καί ὁ Α ἄρα μετρέω πρῶτος εἰμί μή εἰμί αὐτός ὁ αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Β , Α μετρέω τις ἀριθμός . ὁ Α , Β ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.30
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα , τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός , καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει . δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ ποιείτωσαν , τὸν δὲ Γ μετρείτω τις πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ Δ ἕνα τῶν Α , Β μετρεῖ . τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω · καί ἐστι πρῶτος ὁ Δ · οἱ Α , Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε . ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας , ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ , Ε τῷ ἐκ τῶν Α , Β . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε . οἱ δὲ Δ , Α πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα , τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον · ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ , τὸν Α μετρήσει . ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν Α , Β μετρεῖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ποιέω τις , ὁ δέ γίγνομαι ἐκ αὐτός μετρέω τις πρῶτος ἀριθμός , καί εἷς ὁ ἐκ ἀρχή μετρέω . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ὁ Γ ποιέω , ὁ δέ Γ μετρέω τις πρῶτος ἀριθμός ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ Δ εἷς ὁ Α , Β μετρέω . ὁ γάρ Α μή μετρέω · καί εἰμί πρῶτος ὁ Δ · ὁ Α , Δ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . καί ὁσάκις ὁ Δ ὁ Γ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὁ Δ ὁ Γ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ε μονάς , ὁ Δ ἄρα ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Α ὁ β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ Δ , Ε ὁ ἐκ ὁ Α , Β . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Δ πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Ε . ὁ δέ Δ , Α πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι · ὁ Δ ἄρα ὁ Β μετρέω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἐάν ὁ Β μή μετρέω , ὁ Α μετρέω . ὁ Δ ἄρα εἷς ὁ Α , Β μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.31
ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται . ἔστω σύνθετος ἀριθμὸς ὁ Α · λέγω , ὅτι ὁ Α ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται . ʼἐπεὶ γὰρ σύνθετός ἐστιν ὁ Α , μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Β . καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Β , γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν . εἰ δὲ σύνθετος , μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Γ . καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ , ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ , καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ . καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Γ , γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν . εἰ δὲ σύνθετος , μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός . τοιαύτης δὴ γινομένης ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τις πρῶτος ἀριθμός , ὃς μετρήσει . εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται , μετρήσουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοί , ὧν ἕτερος ἑτέρου ἐλάσσων ἐστίν · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς . ληφθήσεταί τις ἄρα πρῶτος ἀριθμός , ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ , ὃς καὶ τὸν Α μετρήσει . ἅπας ἄρα σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἅπας σύνθετος ἀριθμός ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω . εἰμί σύνθετος ἀριθμός ὁ Α · λέγω , ὅτι ὁ Α ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω . ’ἐπεί γάρ σύνθετος εἰμί ὁ Α , μετρέω τις αὐτός ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Β . καί εἰ μέν πρῶτος εἰμί ὁ Β , γίγνομαι ἄν εἰμί ὁ ἐπιτάσσω . εἰ δέ σύνθετος , μετρέω τις αὐτός ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Γ . καί ἐπεί ὁ Γ ὁ Β μετρέω , ὁ δέ Β ὁ Α μετρέω , καί ὁ Γ ἄρα ὁ Α μετρέω . καί εἰ μέν πρῶτος εἰμί ὁ Γ , γίγνομαι ἄν εἰμί ὁ ἐπιτάσσω . εἰ δέ σύνθετος , μετρέω τις αὐτός ἀριθμός . τοιοῦτος δή γίγνομαι ἐπίσκεψις λαμβάνω τις πρῶτος ἀριθμός , ὅς μετρέω . εἰ γάρ οὐ λαμβάνω , μετρέω ὁ Α ἀριθμός ἄπειρος ἀριθμός , ὅς ἕτερος ἕτερος ἐλαχύς εἰμί · ὅς εἰμί ἀδύνατος ἐν ἀριθμός . λαμβάνω τις ἄρα πρῶτος ἀριθμός , ὅς μετρέω ὁ πρό ἑαυτοῦ , ὅς καί ὁ Α μετρέω . ἅπας ἄρα σύνθετος ἀριθμός ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.32
ἅπας ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται . ἔστω ἀριθμὸς ὁ Α · λέγω , ὅτι ὁ Α ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται . εἰ μὲν οὖν πρῶτός ἐστιν ὁ Α , γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν . εἰ δὲ σύνθετος , μετρήσει τις αὐτὸν πρῶτος ἀριθμός . ἅπας ἄρα ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἅπας ἀριθμός ἤτοι πρῶτος εἰμί ἤ ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω . εἰμί ἀριθμός ὁ Α · λέγω , ὅτι ὁ Α ἤτοι πρῶτος εἰμί ἤ ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω . εἰ μέν οὖν πρῶτος εἰμί ὁ Α , γίγνομαι ἄν εἰμί ὁ ἐπιτάσσω . εἰ δέ σύνθετος , μετρέω τις αὐτός πρῶτος ἀριθμός . ἅπας ἄρα ἀριθμός ἤτοι πρῶτος εἰμί ἤ ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.35
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν , καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπʼ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει . δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β ἀριθμόν τινα τὸν ΓΔ μετρείτωσαν , ἐλάχιστον δὲ τὸν Ε · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ . εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ , ὁ Ε τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΓΖ . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Β τὸν Ε μετροῦσιν , ὁ δὲ Ε τὸν ΔΖ μετρεῖ , καὶ οἱ Α , Β ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσουσιν . μετροῦσι δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ · μετρεῖ ἄρα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω , καί ὁ ἐλαχύς ὑπό αὐτός μετρέω ὁ αὐτός μετρέω . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β ἀριθμός τις ὁ ΓΔ μετρέω , ἐλαχύς δέ ὁ Ε · λέγω , ὅτι καί ὁ Ε ὁ ΓΔ μετρέω . εἰ γάρ οὐ μετρέω ὁ Ε ὁ ΓΔ , ὁ Ε ὁ ΔΖ μετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΓΖ . καί ἐπεί ὁ Α , Β ὁ Ε μετρέω , ὁ δέ Ε ὁ ΔΖ μετρέω , καί ὁ Α , Β ἄρα ὁ ΔΖ μετρέω . μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΓΔ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΖ μετρέω ἐλαχύς εἰμί ὁ Ε · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα οὐ μετρέω ὁ Ε ὁ ΓΔ · μετρέω ἄρα · ὅς δέω δείκνυμι .