euclides-geom.elementa 10.prop2.78
ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν , ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα · λέγω , ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ , καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΔΘ . λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ · ὥστε ἡ ΑΓ δύναται τὸ ΖΕ . καὶ ἐπεὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΕ , μέσον ἄρα τὸ ΔΕ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ , τὸ ἄρα ΔΘ μέσον ἐστίν . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ . ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ , οὕτως ἐστὶ καὶ ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΔΖ · ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΗΔ , ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ · ῥητὴ δὲ ἡ ΖΘ . τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν , καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν . καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ · ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό εὐθεῖα εὐθεῖα ἀφαιρέω δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος ὁ τε δίς ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ἀσύμμετρος ὁ δίς ὑπό αὐτός , ὁ λοιπός ἄλογος εἰμί · καλέω δέ ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ἀπό γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ εὐθεῖα ἀφαιρέω ὁ ΒΓ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ποιέω ὁ πρόκειμαι · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ἔκκειμαι γάρ ῥητός ὁ ΔΙ , καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος παρά ὁ ΔΊ παραβάλλω ὁ ΔΕ πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΔΘ . λοιπός ἄρα ὁ ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ὥστε ὁ ΑΓ δύναμαι ὁ ΖΕ . καί ἐπεί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος μέσος εἰμί καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΕ , μέσος ἄρα ὁ ΔΕ . καί παρά ῥητός ὁ ΔΊ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΔΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΊ μῆκος . πάλιν , ἐπεί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος εἰμί καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΘ , ὁ ἄρα ΔΘ μέσος εἰμί . καί παρά ῥητός ὁ ΔΊ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΔΖ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΖ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΊ μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ΔΕ ὁ ΔΘ . ὡς δέ ὁ ΔΕ πρός ὁ ΔΘ , οὕτως εἰμί καί ὁ ΔΗ πρός ὁ ΔΖ · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΔΗ ὁ ΔΖ . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΗΔ , ΔΖ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ · ῥητός δέ ὁ ΖΘ . ὁ δέ ὑπό ῥητός καί ἀποτομή περιέχω ἄλογος εἰμί , καί ὁ δύναμαι αὐτός ἄλογος εἰμί . καί δύναμαι ὁ ΖΕ ὁ ΑΓ · ὁ ΑΓ ἄρα ἄλογος εἰμί · καλέω δέ ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ὅς δέω δείκνυμι .