euclides-geom.elementa 6.prop.15
τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα . ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΑΔΕ μίαν μιᾷ ἴσην ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΕ · λέγω , ὅτι τῶν ΑΒΓ , ΑΔΕ τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , τουτέστιν , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ . κείσθω γὰρ ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ . καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ . ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ , ἄλλο δέ τι τὸ ΒΑΔ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΑΒ πρὸς τὸ ΒΑΔ , οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ , ὡς δὲ τὸ ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ . καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ . τῶν ΑΒΓ , ΑΔΕ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας . ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ , ΑΔΕ τριγώνων , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ . Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ , ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον , ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ , οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον , ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον . ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ , ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ . τῶν ἄρα ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἴσος καί εἷς εἷς ἴσος ἔχω γωνία τρίγων ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · καί ὅς εἷς εἷς ἴσος ἔχω γωνία τρίγων ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος . εἰμί ἴσος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΑΔΕ εἷς εἷς ἴσος ἔχω γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΔΑΕ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ , ΑΔΕ τρίγων ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , τουτέστι , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΒ . κεῖμαι γάρ ὥστε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΓΑ ὁ ΑΔ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΑ ὁ ΑΒ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΔΕ τρίγωνον , ἄλλος δέ τις ὁ ΒΑΔ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΑΒ τρίγωνον πρός ὁ ΒΑΔάς τρίγωνον , οὕτως ὁ ΕΑΔ τρίγωνον πρός ὁ ΒΑΔάς τρίγωνον . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΑΒ πρός ὁ ΒΑΔάς , οὕτως ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΔ , ὡς δέ ὁ ΕΑΔ πρός ὁ ΒΑΔάς , οὕτως ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΒ . καί ὡς ἄρα ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΒ . ὁ ΑΒΓ , ΑΔΕ ἄρα τρίγων ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία . ἀλλά δή ἀντιπεπονθέω ὁ πλευρά ὁ ΑΒΓ , ΑΔΕ τρίγων , καί εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΒ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΔΕ τρίγωνον . ἐπιζεύγνυμι γάρ πάλιν ὁ ΒΔ , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΒ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΒΑΔάς τρίγωνον , ὡς δέ ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΕΑΔ τρίγωνον πρός ὁ ΒΑΔάς τρίγωνον , ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΒΑΔάς τρίγωνον , οὕτως ὁ ΕΑΔ τρίγωνον πρός ὁ ΒΑΔάς τρίγωνον . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΒΓ , ΕΑΔ πρός ὁ ΒΑΔάς ὁ αὐτός ἔχω λόγος . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ ὁ ΕΑΔ τρίγωνον . ὁ ἄρα ἴσος καί εἷς εἷς ἴσος ἔχω γωνία τρίγων ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · καί ὅς εἷς εἷς ἴσος ἔχω γωνία τρίγων ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , ἐκεῖνος ἴσος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .