euclides-geom.elementa 8.prop.9
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί , ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται . ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α , Β καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ , Δ , καὶ ἐκκείσθω ἡ Ε μονάς · λέγω , ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α , Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α , Β καὶ τῆς μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται . εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α , Γ , Δ , Β λόγῳ ὄντες οἱ Ζ , Η , τρεῖς δὲ οἱ Θ , Κ , Λ , καὶ ἀεὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους , ἕως ἂν ἴσον γένηται τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν Α , Γ , Δ , Β . εἰλήφθωσαν , καὶ ἔστωσαν οἱ Μ , Ν , Ξ , Ο . φανερὸν δή , ὅτι ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν , τὸν δὲ Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν , καὶ ὁ Η ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν , τὸν δὲ Λ πολλαπλασιάσας τὸν Ο πεποίηκεν . καὶ ἐπεὶ οἱ Μ , Ν , Ξ , Ο ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ , Η , εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Α , Γ , Δ , Β ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ , Η , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Μ , Ν , Ξ , Ο τῷ πλήθει τῶν Α , Γ , Δ , Β , ἕκαστος ἄρα τῶν Μ , Ν , Ξ , Ο ἑκάστῳ τῶν Α , Γ , Δ , Β ἴσος ἐστίν · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Μ τῷ Α , ὁ δὲ Ο τῷ Β . καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν , ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Θ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν , ὁ Θ ἄρα τὸν Μ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Θ τὸν Μ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Μ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ · καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Μ . ἴσος δὲ ὁ Μ τῷ Α · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Α . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Η ἀριθμόν , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β . ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α , Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α , Β καὶ μονάδος τῆς Ε μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , καί εἰς αὐτός μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , ὅσος εἰς αὐτός μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί ἑκάτερος αὐτός καί μονάς μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω . εἰμί δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ Α , Β καί εἰς αὐτός μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ὁ Γ , Δ , καί ἔκκειμαι ὁ Ε μονή · λέγω , ὅτι ὅσος εἰς ὁ Α , Β μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί ἑκάτερος ὁ Α , Β καί ὁ μονάς μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω . λαμβάνω γάρ δύο μέν ἀριθμός ἐλαχύς ἐν ὁ ὁ Α , Γ , Δ , Β λόγος εἰμί ὁ Ζ , Η , τρεῖς δέ ὁ Θ , Κ , Λ , καί ἀεί ἑξῆς εἷς πολύς , ἕως ἄν ἴσος γίγνομαι ὁ πλῆθος αὐτός ὁ πλῆθος ὁ Α , Γ , Δ , Β . λαμβάνω , καί εἰμί ὁ Μ , Ν , Ξ , Ο . φανερός δή , ὅτι ὁ μέν Ζ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Θ ποιέω , ὁ δέ Θ πολλαπλασιάζω ὁ Μ ποιέω , καί ὁ Η ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Λ ποιέω , ὁ δέ Λ πολλαπλασιάζω ὁ Ο ποιέω . καί ἐπεί ὁ Μ , Ν , Ξ , Ο ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Ζ , Η , εἰμί δέ καί ὁ Α , Γ , Δ , Β ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Ζ , Η , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Μ , Ν , Ξ , Ο ὁ πλῆθος ὁ Α , Γ , Δ , Β , ἕκαστος ἄρα ὁ Μ , Ν , Ξ , Ο ἕκαστος ὁ Α , Γ , Δ , Β ἴσος εἰμί · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν Μ ὁ Α , ὁ δέ Ο ὁ Β . καί ἐπεί ὁ Ζ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Θ ποιέω , ὁ Ζ ἄρα ὁ Θ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ζ μονάς . μετρέω δέ καί ὁ Ε μονή ὁ Ζ κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε μονή ὁ Ζ ἀριθμός μετρέω καί ὁ Ζ ὁ Θ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε μονή πρός ὁ Ζ ἀριθμός , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Θ . πάλιν , ἐπεί ὁ Ζ ὁ Θ πολλαπλασιάζω ὁ Μ ποιέω , ὁ Θ ἄρα ὁ Μ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ζ μονάς . μετρέω δέ καί ὁ Ε μονή ὁ Ζ ἀριθμός κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε μονή ὁ Ζ ἀριθμός μετρέω καί ὁ Θ ὁ Μ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε μονή πρός ὁ Ζ ἀριθμός , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Μ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ Ε μονή πρός ὁ Ζ ἀριθμός , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Θ · καί ὡς ἄρα ὁ Ε μονή πρός ὁ Ζ ἀριθμός , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Θ καί ὁ Θ πρός ὁ Μ . ἴσος δέ ὁ Μ ὁ Α · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε μονή πρός ὁ Ζ ἀριθμός , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Θ καί ὁ Θ πρός ὁ Α . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Ε μονή πρός ὁ Η ἀριθμός , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Λ καί ὁ Λ πρός ὁ Β . ὅσος ἄρα εἰς ὁ Α , Β μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί ἑκάτερος ὁ Α , Β καί μονάς ὁ Ε μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός · ὅς δέω δείκνυμι .