euclides-geom.elementa 2.prop.9
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα , τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ , εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ · λέγω , ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ τετραγώνων . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ , καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΑΓ , ΓΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ , ΕΒ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΖ , διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Γ , λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΕΑΓ , ΑΕΓ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν · καί εἰσιν ἴσαι · ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΑ , ΓΑΕ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ , ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς , ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ · ἴση γάρ ἐστι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΗ · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση . πάλιν ἐπεὶ ἡ πρὸς τῷ β γωνία ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς , ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ · ἴση γὰρ πάλιν ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς · ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΒ · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΔ πλευρᾷ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ τῷ ἀπὸ ΓΕ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΕ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον · ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ , ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνου . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΖ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ . ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΓΔ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ τετραγώνων . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον · ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΖ · ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΖ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ τετραγώνων . ἴση δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΔΒ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ τετραγώνων . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα , τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω εἰς ἴσος καί ἄνισος , ὁ ἀπό ὁ ἄνισος ὁ ὅλος τμῆμα τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ἥμισυς καί ὁ ἀπό ὁ μεταξύ ὁ τομή τετράγωνος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ τέμνω εἰς μέν ἴσος κατά ὁ Γ , εἰς δέ ἄνισος κατά ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ τετράγωνος . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Γ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΓΕ , καί κεῖμαι ἴσος ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΑ , ΕΒ , καί διά μέν ὁ Δ ὁ ΕΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΔΖ , διά δέ ὁ Ζ ὁ ΑΒ ὁ ΖΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΕ , ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ΕΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΑΕΓ . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Γ , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΑΓ , ΑΕΓ εἷς ὀρθός ἴσος εἰμί · καί εἰμί ἴσος · ἥμισυς ἄρα ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΓΕΑ , ΓΑΕ . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΓΕΒ , ΕΒΓ ἥμισυς εἰμί ὀρθός · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΒ ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ὁ ὑπό ΗΕΖ ἥμισυς εἰμί ὀρθός , ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΕΗΖ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΕΓΒ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΖΗ ἥμισυς εἰμί ὀρθός · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΗΕΖ γωνία ὁ ὑπό ΕΖΗ · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΕΗ ὁ ΗΖ εἰμί ἴσος . πάλιν ἐπεί ὁ πρός ὁ β γωνία ἥμισυς εἰμί ὀρθός , ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΖΔΒ · ἴσος γάρ πάλιν εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΕΓΒ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΖΔ ἥμισυς εἰμί ὀρθός · ἴσος ἄρα ὁ πρός ὁ Β γωνία ὁ ὑπό ΔΖΒ · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΖΔ πλευρά ὁ ΔΒ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΕ , ἴσος εἰμί καί ὁ ἀπό ΑΓ ὁ ἀπό ΓΕ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΕ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΑΓ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΑ τετράγωνος · ὀρθός γάρ ὁ ὑπό ΑΓΕ γωνία · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΑ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΗ ὁ ΗΖ , ἴσος καί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΖ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΖ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΖ τετράγωνος . ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΖ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΖ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΖ . ἴσος δέ ὁ ΗΖ ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΖ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΕΑ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΖ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ τετράγωνος . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΖ τετράγωνος · ὀρθός γάρ εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΖ γωνία · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΖ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΖ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΖ · ὀρθός γάρ ὁ πρός ὁ Δ γωνία · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΖ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ τετράγωνος . ἴσος δέ ὁ ΔΖ ὁ ΔΒ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ τετράγωνος . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω εἰς ἴσος καί ἄνισος , ὁ ἀπό ὁ ἄνισος ὁ ὅλος τμῆμα τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ἥμισυς καί ὁ ἀπό ὁ μεταξύ ὁ τομή τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .