euclides-geom.elementa 12.prop.4
ἐὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους ἔχουσαι βάσεις , διαιρεθῇ δὲ ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα , ἔσται ὡς ἡ τῆς μιᾶς πυραμίδος βάσις πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας πυραμίδος βάσιν , οὕτως τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ . ἔστωσαν δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰς ΑΒΓ , ΔΕΖ , κορυφὰς δὲ τὰ Η , Θ σημεῖα , καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα ἰσοπληθῆ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΞΓ , ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΑΒ καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΞΓ τριγώνῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΡΦΖ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῆς ΓΞ , ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΦ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΞ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΦ . καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΒΓ , ΓΞ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΒΓ , ΛΞΓ , ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ , ΖΦ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΔΕΖ , ΡΦΖ . ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον · ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ , οὕτως τὸ ΛΞΓ πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον . ἀλλʼ ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον , οὕτως τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ , πρὸς τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον , οὕτως τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ , πρὸς τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ . ὡς δὲ τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα , οὕτως τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ εὐθεῖα , πρὸς τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα . καὶ τὰ δύο ἄρα πρίσματα , οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ , καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ , πρὸς τὰ πρίσματα , οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ , ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα , καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ . καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα πρὸς τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα . καὶ ὁμοίως , ἐὰν διαιρεθῶσιν αἱ ΟΜΝΗ , ΣΤΥΘ πυραμίδες εἴς τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδας , ἔσται ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν , οὕτως τὰ ἐν τῇ ΟΜ ΝΗ πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΣΤΥΘ πυραμίδι δύο πρίσματα . ἀλλʼ ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν · ἴσον γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ , ΣΤΥ τριγώνων ἑκατέρῳ τῶν ΛΞΓ , ΡΦΖ . καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὰ τέσσαρα πρίσματα πρὸς τὰ τέσσαρα πρίσματα . ὁμοίως δὲ κἂν τὰς ὑπολειπομένας πυραμίδας διέλωμεν εἴς τε δύο πυραμίδας καὶ εἰς δύο πρίσματα , ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒ ΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα ὅτι δέ ἐστιν ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον , οὕτως τὸ πρίσμα , οὗ βάσις τὸ ΛΞΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ , πρὸς τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ , οὕτω δεικτέον . ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς νενοήσθωσαν ἀπὸ τῶν Η , Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπίπεδα , ἴσαι δηλαδὴ τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοϋψεῖς ὑποκεῖσθαι τὰς πυραμίδας . καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΗΓ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ , ΟΜΝ τέμνονται , εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται . καὶ τέτμηται ἡ ΗΓ δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου κατὰ τὸ Ν · καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὸ ΔΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΣΤΥ ἐπιπέδου . καί εἰσιν ἴσαι αἱ ἀπὸ τῶν Η , Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπίπεδα · ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῶν ΟΜΝ , ΣΤΥ τριγώνων ἐπὶ τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ κάθετοι . ἰσοϋψῆ ἄρα τὰ πρίσματα , ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΛΞΓ , ΡΦΖ τρίγωνα , ἀπεναντίον δὲ τὰ ΟΜΝ , ΣΤΥ . ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸς ἄλληλα ὡς αἱ βάσεις · καὶ τὰ ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΞΓ βάσις πρὸς τὴν ΡΦΖ βάσιν , οὕτως τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο πυραμίς ὑπό ὁ αὐτός ὕψος τρίγωνος ἔχω βάσις , διαιρέω δέ ἑκάτερος αὐτός εἰς τε δύο πυραμίς ἴσος ἀλλήλων καί ὅμοιος ὁ ὅλος καί εἰς δύο πρίσμα ἴσος , εἰμί ὡς ὁ ὁ εἷς πυραμίς βάσις πρός ὁ ὁ ἕτερος πυραμίς βάσις , οὕτως ὁ ἐν ὁ εἷς πυραμίς πρίσμα πᾶς πρός ὁ ἐν ὁ ἕτερος πυραμίς πρίσμα πᾶς ἰσοπληθής . εἰμί δύο πυραμίς ὑπό ὁ αὐτός ὕψος τρίγωνος ἔχω βάσις ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ , κορυφή δέ ὁ Η , Θ σημεῖον , καί διαιρέω ἑκάτερος αὐτός εἰς τε δύο πυραμίς ἴσος ἀλλήλων καί ὅμοιος ὁ ὅλος καί εἰς δύο πρίσμα ἴσος · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ἐν ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρίσμα πᾶς πρός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρίσμα ἰσοπληθής . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΒΞ ὁ ΞΓ , ὁ δέ ΑΛ ὁ ΛΓ , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΛΞ ὁ ΑΒ καί ὅμοιος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΛΞΓ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ὁ ΡΦΖ τρίγωνον ὅμοιος εἰμί . καί ἐπεί διπλασίων εἰμί ὁ μέν ΒΓ ὁ ΓΞ , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΖΦ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΞ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΦ . καί ἀναγράφω ἀπό μέν ὁ ΒΓ , ΓΞ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι εὐθύγραμμος ὁ ΑΒΓ , ΛΞΓ , ἀπό δέ ὁ ΕΖ , ΖΦ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ΔΕΖ , ΡΦΖ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΛΞΓ τρίγωνον , οὕτως ὁ ΔΕΖ τρίγωνον πρός ὁ ΡΦΖ τρίγωνον · ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΔΕΖ , οὕτως ὁ ΛΞΓ πρός ὁ ΡΦΖ τρίγωνον . ἀλλά ὡς ὁ ΛΞΓ τρίγωνον πρός ὁ ΡΦΖ τρίγωνον , οὕτως ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΛΞΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΟΜΝ , πρός ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΡΦΖ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΣΤΥ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΔΕΖ τρίγωνον , οὕτως ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΛΞΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΟΜΝ , πρός ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΡΦΖ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΣΤΥ . ὡς δέ ὁ λέγω πρίσμα πρός ἀλλήλων , οὕτως ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΟΜ εὐθύς , πρός ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΠΕΦΡ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΣΤ εὐθεῖα . καί ὁ δύο ἄρα πρίσμα , ὅς τε βάσις μέν ὁ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΟΜ , καί ὅς βάσις μέν ὁ ΛΞΓ , ἀπεναντίον δέ ὁ ΟΜΝ , πρός ὁ πρίσμα , ὅς τε βάσις μέν ὁ ΠΕΦΡ , ἀπεναντίον δέ ὁ ΣΤ εὐθεῖα , καί ὅς βάσις μέν ὁ ΡΦΖ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΣΤΥ . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ λέγω δύο πρίσμα πρός ὁ λέγω δύο πρίσμα . καί ὅμοιος , ἐάν διαιρέω ὁ ΟΜΝΗ , ΣΤΥΘ πυραμίς εἰς τε δύο πρίσμα καί δύο πυραμίς , εἰμί ὡς ὁ ΟΜΝ βάσις πρός ὁ ΣΤΥ βάσις , οὕτως ὁ ἐν ὁ ΟΜ ΝΗ πυραμίς δύο πρίσμα πρός ὁ ἐν ὁ ΣΤΥΘ πυραμίς δύο πρίσμα . ἀλλά ὡς ὁ ΟΜΝ βάσις πρός ὁ ΣΤΥ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις · ἴσος γάρ ἑκάτερος ὁ ΟΜΝ , ΣΤΥ τρίγων ἑκάτερος ὁ ΛΞΓ , ΡΦΖ . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ τέσσαρες πρίσμα πρός ὁ τέσσαρες πρίσμα . ὅμοιος δέ ἐάν ὁ ὑπολείπω πυραμίς διαιρέω εἰς τε δύο πυραμίς καί εἰς δύο πρίσμα , εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ἐν ὁ ΑΒ ΓΗ πυραμίς πρίσμα πᾶς πρός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρίσμα πᾶς ἰσοπληθής · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα ὅτι δέ εἰμί ὡς ὁ ΛΞΓ τρίγωνον πρός ὁ ΡΦΖ τρίγωνον , οὕτως ὁ πρίσμα , ὅς βάσις ὁ ΛΞΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΟΜΝ , πρός ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΡΦΖ , ἀπεναντίον δέ ὁ ΣΤΥ , οὕτως δείκνυμι . ἐπί γάρ ὁ αὐτός καταγραφή νοέω ἀπό ὁ Η , Θ κάθετος ἐπί ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπίπεδος , ἴσος δηλαδή τυγχάνω διά ὁ ἰσοϋψής ὑπόκειμαι ὁ πυραμίς . καί ἐπεί δύο εὐθεῖα ὁ τε ΗΓ καί ὁ ἀπό ὁ Η κάθετος ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος ὁ ΑΒΓ , ΟΜΝ τέμνω , εἰς ὁ αὐτός λόγος τέμνω . καί τέμνω ὁ ΗΓ δίχα ὑπό ὁ ΟΜΝ ἐπίπεδος κατά ὁ Ν · καί ὁ ἀπό ὁ Η ἄρα κάθετος ἐπί ὁ ΑΒΓ ἐπίπεδος δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΟΜΝ ἐπίπεδος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ἀπό ὁ Θ κάθετος ἐπί ὁ ΔΕΖ ἐπίπεδος δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΣΤΥ ἐπίπεδος . καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ Η , Θ κάθετος ἐπί ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπίπεδος · ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΟΜΝ , ΣΤΥ τρίγων ἐπί ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ κάθετος . ἰσουψής ἄρα ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΛΞΓ , ΡΦΖ τρίγωνος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΟΜΝ , ΣΤΥ . ὥστε καί ὁ στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ἀπό ὁ λέγω πρίσμα ἀναγράφω ἰσουψής καί πρός ἀλλήλων ὡς ὁ βάσις · καί ὁ ἥμισυς ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΛΞΓ βάσις πρός ὁ ΡΦΖ βάσις , οὕτως ὁ λέγω πρίσμα πρός ἀλλήλων · ὅς δέω δείκνυμι .