euclides-geom.elementa 10.prop2.75
ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλη , μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα , ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα . ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης τῆς ΑΒ μέσον περιέχουσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα . Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ , καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ . καὶ ἐπεὶ μέσα καὶ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μέσον ἐστίν . καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ · καὶ τὸ ΔΘ ἄρα μέσον ἐστίν . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ , ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει · ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἴσον δὲ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τὸ ΔΕ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τὸ ΔΘ · ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ . ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ , οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΔ τῇ ΔΖ . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ἄρα ΗΔ , ΔΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ΖΗ ἄρα ἀποτομή ἐστιν . ῥητὴ δὲ ἡ ΔΙ · τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀλόγου περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν , καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν . καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ · ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό μέσος μέσος ἀφαιρέω δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος μέσος περιέχω , ὁ λοιπός ἄλογος εἰμί · καλέω δέ μέσος ἀποτομή δεύτερος . ἀπό γάρ μέσος ὁ ΑΒ μέσος ἀφαιρέω ὁ ΓΒ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος ὁ ΑΒ , μετά δέ ὁ ὅλος ὁ ΑΒ μέσος περιέχω ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί · καλέω δέ μέσος ἀποτομή δεύτερος . ἔκκειμαι γάρ ῥητός ὁ ΔΙ , καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος παρά ὁ ΔΊ παραβάλλω ὁ ΔΕ πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος παρά ὁ ΔΊ παραβάλλω ὁ ΔΘ πλάτος ποιέω ὁ ΔΖ · λοιπός ἄρα ὁ ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ . καί ἐπεί μέσος καί σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , μέσος ἄρα καί ὁ ΔΕ . καί παρά ῥητός ὁ ΔΊ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΔΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΊ μῆκος . πάλιν , ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , καί ὁ δίς ἄρα ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος εἰμί . καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΘ · καί ὁ ΔΘ ἄρα μέσος εἰμί . καί παρά ῥητός ὁ ΔΊ παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ΔΖ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΔΖ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΊ μῆκος . καί ἐπεί ὁ ΑΒ , ΒΓ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος · ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ σύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἴσος δέ ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ ΔΕ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ ΔΘ · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΔΕ ὁ ΔΘ . ὡς δέ ὁ ΔΕ πρός ὁ ΔΘ , οὕτως ὁ ΗΔ πρός ὁ ΔΖ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΗΔ ὁ ΔΖ . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ἄρα ΗΔ , ΔΖ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ΖΗ ἄρα ἀποτομή εἰμί . ῥητός δέ ὁ ΔΙ · ὁ δέ ὑπό ῥητός καί ἄλογος περιέχω ἄλογος εἰμί , καί ὁ δύναμαι αὐτός ἄλογος εἰμί . καί δύναμαι ὁ ΖΕ ὁ ΑΓ · ὁ ΑΓ ἄρα ἄλογος εἰμί · καλέω δέ μέσος ἀποτομή δεύτερος . ὅς δέω δείκνυμι .