euclides-geom.elementa 10.prop2.68
ἡ τῇ μείζονι σύμμετρος καὶ αὐτὴ μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΔ μείζων ἐστίν . διῃρήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε · αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον · καὶ γεγονέτω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἥ τε ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ . σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ , ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ , ΖΔ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ , καὶ συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ . καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ · καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ , οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ · σύμμετρα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ ἅμα ῥητόν , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ ἅμα ῥητόν ἐστιν . ὁμοίως δὲ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ σύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . καί ἐστι μέσον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ · μέσον ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . αἱ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ἅμα ῥητόν , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον · ὅλη ἄρα ἡ ΓΔ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων . ἡ ἄρα τῇ μείζονι σύμμετρος μείζων ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ μέγας σύμμετρος καί αὐτός μέγας εἰμί . εἰμί μέγας ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ σύμμετρος εἰμί ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΔ μέγας εἰμί . διαιρέω ὁ ΑΒ κατά ὁ Ε · ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος · καί γίγνομαι ὁ αὐτός ὁ πρότερος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ τε ΑΕ πρός ὁ ΓΖ καί ὁ ΕΒ πρός ὁ ΖΔ , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΕΒ πρός ὁ ΖΔ . σύμμετρος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . σύμμετρος ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ ἑκάτερος ὁ ΓΖ , ΖΔ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΕΒ πρός ὁ ΖΔ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ΖΔ , καί συντίθημι ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΖ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΖ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΖ . καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ · καί ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . σύμμετρος δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΓΔ · σύμμετρος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ἅμα ῥητός , καί ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ ἅμα ῥητός εἰμί . ὅμοιος δέ καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ σύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . καί εἰμί μέσος ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ · μέσος ἄρα καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . ὁ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ἅμα ῥητός , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός μέσος · ὅλος ἄρα ὁ ΓΔ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μέγας . ὁ ἄρα ὁ μέγας σύμμετρος μέγας εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .