euclides-geom.elementa 10.prop3.111
ἡ ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων . ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω · καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΓ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΕ . ἐπεὶ οὖν ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ , ἀποτομὴ πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ . ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΖ · αἱ ΔΖ , ΖΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΔΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ . πάλιν , ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ , ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ . διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Η , καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΔΗ · αἱ ΔΗ , ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΔΗ τῆς ΗΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ τὸ μεῖζον ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ . καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῇ ΔΗ σύμμετρός ἐστι μήκει · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΖ μήκει . ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΕΖ μήκει · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ μήκει . αἱ ΗΖ , ΖΕ ἄρα ῥηταί δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ . ἀλλὰ καὶ ῥητή · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . ἡ ἄρα ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ἡ ἀποτομὴ καὶ αἱ μετʼ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί . τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ , παρʼ ἣν παράκειται , μήκει , τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην , τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν , τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην , τὸ δὲ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην . ἐπεὶ οὖν τὰ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων , τοῦ μὲν πρώτου , ὅτι ῥητή ἐστιν , ἀλλήλων δέ , ἐπεὶ τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί , δῆλον , ὡς καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων . καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ἀποτομὴ οὐκ οὖσα ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων , ποιοῦσι δὲ πλάτη παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμεναι αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν ἀποτομὰς ἀκολούθως ἑκάστη τῇ τάξει τῇ καθʼ αὑτήν , αἱ δὲ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τὰς ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αὐταὶ τῇ τάξει ἀκολούθως , ἕτεραι ἄρα εἰσὶν αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν καὶ ἕτεραι αἱ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων , ὡς εἶναι τῇ τάξει πάσας ἀλόγους ιγ , μέσην , ἐκ δύο ὀνομάτων , ἐκ δύο μέσων πρώτην , ἐκ δύο μέσων δευτέραν , μείζονα , ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην , δύο μέσα δυναμένην , ἀποτομήν , μέσης ἀποτομὴν πρώτην , μέσης ἀποτομὴν δευτέραν , ἐλάσσονα , μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν , μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν .
Lemmas: ὁ ἀποτομή οὐ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ἐκ δύο ὄνομα . εἰμί ἀποτομή ὁ ΑΒ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ οὐ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ἐκ δύο ὄνομα . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί · καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΔΓ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὀρθογώνιον ὁ ΓΕ πλάτος ποιέω ὁ ΔΕ . ἐπεί οὖν ἀποτομή εἰμί ὁ ΑΒ , ἀποτομή πρῶτος εἰμί ὁ ΔΕ . εἰμί αὐτός προσαρμόζω ὁ ΕΖ · ὁ ΔΖ , ΖΕ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΔΖ ὁ ΖΕ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΔΖ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ ΔΓ . πάλιν , ἐπεί ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ὁ ΑΒ , ἐκ δύο ἄρα ὄνομα πρῶτος εἰμί ὁ ΔΕ . διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Η , καί εἰμί μέγας ὄνομα ὁ ΔΗ · ὁ ΔΗ , ΗΕ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΔΗ ὁ ΗΕ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ μέγας ὁ ΔΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ ΔΓ . καί ὁ ΔΖ ἄρα ὁ ΔΉ σύμμετρος εἰμί μῆκος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΗΖ σύμμετρος εἰμί ὁ ΔΖ μῆκος . ἀσύμμετρος δέ ὁ ΔΖ ὁ ΕΖ μῆκος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΗ ὁ ΕΖ μῆκος . ὁ ΗΖ , ΖΕ ἄρα ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΕΗ . ἀλλά καί ῥητός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . ὁ ἄρα ἀποτομή οὐ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ἐκ δύο ὄνομα · ὅς δέω δείκνυμι . ὁ ἀποτομή καί ὁ μετά αὐτός ἄλογος οὔτε ὁ μέσος οὔτε ἀλλήλων εἰμί ὁ αὐτός . ὁ μέν γάρ ἀπό μέσος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ῥητός καί ἀσύμμετρος ὁ , παρά ὅς παράκειμαι , μῆκος , ὁ δέ ἀπό ἀποτομή παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή πρῶτος , ὁ δέ ἀπό μέσος ἀποτομή πρῶτος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή δεύτερος , ὁ δέ ἀπό μέσος ἀποτομή δεύτερος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή τρίτος , ὁ δέ ἀπό ἐλαχύς παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή τέταρτος , ὁ δέ ἀπό ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή πέμπτος , ὁ δέ ἀπό ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή ἕκτος . ἐπεί οὖν ὁ λέγω πλάτος διαφέρω ὁ τε πρῶτος καί ἀλλήλων , ὁ μέν πρῶτος , ὅτι ῥητός εἰμί , ἀλλήλων δέ , ἐπεί ὁ τάξις οὐ εἰμί ὁ αὐτός , δῆλος , ὡς καί αὐτός ὁ ἄλογος διαφέρω ἀλλήλων . καί ἐπεί δείκνυμι ὁ ἀποτομή οὐ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ἐκ δύο ὄνομα , ποιέω δέ πλάτος παρά ῥητός παραβάλλω ὁ μετά ὁ ἀποτομή ἀποτομή ἀκόλουθος ἕκαστος ὁ τάξις ὁ κατά ἑαυτοῦ , ὁ δέ μετά ὁ ἐκ δύο ὄνομα ὁ ἐκ δύο ὄνομα καί αὐτός ὁ τάξις ἀκόλουθος , ἕτερος ἄρα εἰμί ὁ μετά ὁ ἀποτομή καί ἕτερος ὁ μετά ὁ ἐκ δύο ὄνομα , ὡς εἰμί ὁ τάξις πᾶς ἄλογος ιγʹ , μέσος , ἐκ δύο ὄνομα , ἐκ δύο μέσος πρῶτος , ἐκ δύο μέσος δεύτερος , μέγας , ῥητός καί μέσος δύναμαι , δύο μέσος δύναμαι , ἀποτομή , μέσος ἀποτομή πρῶτος , μέσος ἀποτομή δεύτερος , ἐλαχύς , μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω , μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω .