euclides-geom.elementa 6.prop.23
τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν . ἔστω ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΓ , ΓΖ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΗ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν . κείσθω γὰρ ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΓΗ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ . καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον , καὶ ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ Κ , καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν Λ , ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ . οἱ ἄρα λόγοι τῆς τε Κ πρὸς τὴν Λ καὶ τῆς Λ πρὸς τὴν Μ οἱ αὐτοί εἰσι τοῖς λόγοις τῶν πλευρῶν , τῆς τε ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ καὶ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ . ἀλλʼ ὁ τῆς Κ πρὸς Μ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Κ πρὸς Λ λόγου καὶ τοῦ τῆς Λ πρὸς Μ · ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ , ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν λ , καὶ ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς τὴν Λ , οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΘ . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ , ἀλλʼ ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ , καὶ ὡς ἄρα ἡ Λ πρὸς τὴν Μ , οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον . ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη , ὡς μὲν ἡ Κ πρὸς τὴν Λ , οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον , ὡς δὲ ἡ Λ πρὸς τὴν Μ , οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Κ πρὸς τὴν Μ , οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον . ἡ δὲ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν · καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν . τὰ ἄρα ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά . εἰμί ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ὁ ΑΓ , ΓΖ ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ΒΓΔ γωνία ὁ ὑπό ΕΓΗ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΓΖ παραλληλόγραμμος λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά . κεῖμαι γάρ ὥστε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΓΗ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΓ ὁ ΓΕ . καί συμπληρόω ὁ ΔΗ παραλληλόγραμμος , καί ἔκκειμαι τις εὐθύς ὁ Κ , καί γίγνομαι ὡς μέν ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΗ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Λ , ὡς δέ ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Μ . ὁ ἄρα λόγος ὁ τε Κ πρός ὁ Λ καί ὁ Λ πρός ὁ Μ ὁ αὐτός εἰμί ὁ λόγος ὁ πλευρά , ὁ τε ΒΓ πρός ὁ ΓΗ καί ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ . ἀλλά ὁ ὁ Κ πρός Μ λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ Κ πρός Λ λόγος καί ὁ ὁ Λ πρός Μ · ὥστε καί ὁ Κ πρός ὁ Μ λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΗ , οὕτως ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΓΘ , ἀλλά ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΗ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ λ , καί ὡς ἄρα ὁ Κ πρός ὁ Λ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΘ . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ΓΘ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΓΖ , ἀλλά ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Μ , καί ὡς ἄρα ὁ Λ πρός ὁ Μ , οὕτως ὁ ΓΘ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΓΖ παραλληλόγραμμος . ἐπεί οὖν δείκνυμι , ὡς μέν ὁ Κ πρός ὁ Λ , οὕτως ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΓΘ παραλληλόγραμμος , ὡς δέ ὁ Λ πρός ὁ Μ , οὕτως ὁ ΓΘ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΓΖ παραλληλόγραμμος , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Κ πρός ὁ Μ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΖ παραλληλόγραμμος . ὁ δέ Κ πρός ὁ Μ λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά · καί ὁ ΑΓ ἄρα πρός ὁ ΓΖ λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά . ὁ ἄρα ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά · ὅς δέω δείκνυμι .