euclides-geom.elementa 5.prop.23
ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία , καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται . ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α , Β , Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ Δ , Ε , Ζ , ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία , ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ . εἰλήφθω τῶν μὲν Α , Β , Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η , Θ , Κ , τῶν δὲ Γ , Ε , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ , Μ , Ν . καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Η , Θ τῶν Α , Β , τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν · καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ · καὶ ὡς ἄρα τὸ Η πρὸς τὸ Θ , οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ δ πρὸς τὸ Ε , καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε . καὶ ἐπεὶ τὰ Θ , Κ τῶν Β , Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια , τὰ δὲ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ , οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ . ἀλλʼ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε · καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε . πάλιν , ἐπεὶ τὰ Λ , Μ τῶν Γ , Ε ἰσάκις ἐστι πολλαπλάσια , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε , οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ . ἀλλʼ ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε , οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ · καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ , οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Θ πρὸς τὸ Λ , τὸ Κ πρὸς τὸ Μ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Θ , οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν . ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η , Θ , Λ , καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Κ , Μ , Ν σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καί ἐστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ ἀναλογία , διʼ ἴσου ἄρα , εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ , ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . καί ἐστι τὰ μὲν Η , Κ τῶν Α , Δ ἰσάκις πολλαπλάσια , τὰ δὲ Λ , Ν τῶν Γ , Ζ . ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ . ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία , καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος σύνδυο λαμβάνω ἐν ὁ αὐτός λόγος , εἰμί δέ ταράσσω αὐτός ὁ ἀναλογία , καί διά ἴσος ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί . εἰμί τρεῖς μέγεθος ὁ Α , Β , Γ καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος σύνδυο λαμβάνω ἐν ὁ αὐτός λόγος ὁ Δ , Ε , Ζ , εἰμί δέ ταράσσω αὐτός ὁ ἀναλογία , ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ζ . λαμβάνω ὁ μέν Α , Β , Δ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ , Κ , ὁ δέ Γ , Ε , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Λ , Μ , Ν . καί ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ ὁ Α , Β , ὁ δέ μέρος ὁ ὡσαύτως πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Θ . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Μ πρός ὁ Ν · καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ · καί ὡς ἄρα ὁ Η πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Μ πρός ὁ Ν . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ δ πρός ὁ Ε , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ Β πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ε . καί ἐπεί ὁ Θ , Κ ὁ Β , Δ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ὁ δέ μέρος ὁ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Β πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ . ἀλλά ὡς ὁ Β πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ε · καί ὡς ἄρα ὁ Θ πρός ὁ Κ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ε . πάλιν , ἐπεί ὁ Λ , Μ ὁ Γ , Ε ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Μ . ἀλλά ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ · καί ὡς ἄρα ὁ Θ πρός ὁ Κ , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Μ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ Θ πρός ὁ Λ , ὁ Κ πρός ὁ Μ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ Η πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Μ πρός ὁ Ν . ἐπεί οὖν τρεῖς μέγεθος εἰμί ὁ Η , Θ , Λ , καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Κ , Μ , Ν σύνδυο λαμβάνω ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί εἰμί αὐτός ταράσσω ὁ ἀναλογία , διά ἴσος ἄρα , εἰ ὑπερέχω ὁ Η ὁ Λ , ὑπερέχω καί ὁ Κ ὁ Ν , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν Η , Κ ὁ Α , Δ ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Λ , Ν ὁ Γ , Ζ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ζ . ἐάν ἄρα εἰμί τρεῖς μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος σύνδυο λαμβάνω ἐν ὁ αὐτός λόγος , εἰμί δέ ταράσσω αὐτός ὁ ἀναλογία , καί διά ἴσος ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .