euclides-geom.elementa 4.prop.11
εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ · δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι . Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η , Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ , ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ , ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η , Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ , ΓΔΑ · καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ , ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ . τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ , ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ , ΔΒ εὐθειῶν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΓ , , ΔΕ , ΕΑ . ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ , ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ , καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ , ΔΒ εὐθειῶν , αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ , ΑΓΕ , ΕΓΔ , ΓΔΒ , ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν · αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν · αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον . λέγω δή , ὅτι καὶ ἰσογώνιον . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΒΓΔ · ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση . καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ , ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΕ · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΔ , ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ , ΑΕΔ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον . εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι κύκλος πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐγγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ · δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓΔΕ κύκλος πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐγγράφω . ἔκκειμαι τρίγωνον ἰσοσκελής ὁ ΖΗΘ διπλάσιος ἔχω ἑκάτερος ὁ πρός ὁ Η , Θ γωνία ὁ πρός ὁ Ζ , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓΔΕ κύκλος ὁ ΖΗΘ τρίγωνον ἰσογώνιος τρίγωνον ὁ ΑΓΔ , ὥστε ὁ μέν πρός ὁ Ζ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΑΔ , ἑκάτερος δέ ὁ πρός ὁ Η , Θ ἴσος ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΓΔ , ΓΔΑ · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΔ , ΓΔΑ ὁ ὑπό ΓΑΔ εἰμί διπλόος . τέμνω δή ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΓΔ , ΓΔΑ δίχα ὑπό ἑκάτερος ὁ ΓΕ , ΔΒ εὐθεῖα , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΓ , , ΔΕ , ΕΑ . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΓΔ , ΓΔΑ γωνία διπλασίων εἰμί ὁ ὑπό ΓΑΔ , καί τέμνω εἰμί δίχα ὑπό ὁ ΓΕ , ΔΒ εὐθεῖα , ὁ πέντε ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΔΑΓ , ΑΓΕ , ΕΓΔ , ΓΔΒ , ΒΔΑ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὁ δέ ἴσος γωνία ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω · ὁ πέντε ἄρα περιφέρεια ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὑπό δέ ὁ ἴσος περιφέρεια ἴσος εὐθεῖα ὑποτείνω · ὁ πέντε ἄρα εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος . λέγω δή , ὅτι καί ἰσογώνιος . ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΔΕ περιφέρεια εἰμί ἴσος , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΒΓΔ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλος ὁ ΕΔΓΒ περιφέρεια εἰμί ἴσος . καί βαίνω ἐπί μέν ὁ ΑΒΓΔ περιφέρεια γωνία ὁ ὑπό ΑΕΔ , ἐπί δέ ὁ ΕΔΓΒ περιφέρεια γωνία ὁ ὑπό ΒΑΕ · καί ὁ ὑπό ΒΑΕ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΑΕΔ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ἕκαστος ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΔ , ΓΔΕ γωνία ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΑΕ , ΑΕΔ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος . δείκνυμι δέ καί ἰσόπλευρος . εἰς ἄρα ὁ δίδωμι κύκλος πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐγγράφω · ὅς δέω ποιέω .