ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 9.prop.9
ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἑξῆς κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν , ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα τετράγωνος ᾖ , καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται . καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος ᾖ , καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι ἔσονται . ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ , Δ , Ε , Ζ , ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α τετράγωνος ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται . ὅτι μὲν οὖν ὁ τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες , δέδεικται · λέγω , ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν . ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Β , Γ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος , καὶ ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν . πάλιν , ἐπεὶ οἱ β , Γ , Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , καί ἐστιν ὁ Β τετράγωνος , καὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν . ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ Α κύβος · λέγω , ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν . ὅτι μὲν οὖν ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , δέδεικται · λέγω , ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β , ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β . ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας · ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . καί ἐστιν ὁ Α κύβος . ἐὰν δὲ κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα , ὁ γενόμενος κύβος ἐστίν · καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν . καὶ ἐπεὶ τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ , Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , καί ἐστιν ὁ Α κύβος , καὶ ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε κύβος ἐστίν , καὶ ὁμοίως οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό μονάς ὁπόσος ἑξῆς κατά ὁ συνεχής ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ μετά ὁ μονάς τετράγωνος εἰμί , καί ὁ λοιπός πᾶς τετράγωνος εἰμί . καί ἐάν ὁ μετά ὁ μονάς κύβος εἰμί , καί ὁ λοιπός πᾶς κύβος εἰμί . εἰμί ἀπό μονάς ἑξῆς ἀνάλογος ὁσσοιδηποτοῦν ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε , Ζ , ὁ δέ μετά ὁ μονάς ὁ Α τετράγωνος εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ λοιπός πᾶς τετράγωνος εἰμί . ὅτι μέν οὖν ὁ τρίτος ἀπό ὁ μονάς ὁ Β τετράγωνος εἰμί καί ὁ εἷς διαλείπω πᾶς , δείκνυμι · λέγω , ὅτι καί ὁ λοιπός πᾶς τετράγωνος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Α , Β , Γ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , καί εἰμί ὁ Α τετράγωνος , καί ὁ Γ τετράγωνος εἰμί . πάλιν , ἐπεί ὁ β , Γ , Δ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , καί εἰμί ὁ Β τετράγωνος , καί ὁ Δ τετράγωνος εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ λοιπός πᾶς τετράγωνος εἰμί . ἀλλά δή εἰμί ὁ Α κύβος · λέγω , ὅτι καί ὁ λοιπός πᾶς κύβος εἰμί . ὅτι μέν οὖν ὁ τέταρτος ἀπό ὁ μονάς ὁ Γ κύβος εἰμί καί ὁ δύο διαλείπω πᾶς , δείκνυμι · λέγω , ὅτι καί ὁ λοιπός πᾶς κύβος εἰμί . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ μονή πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β , ἰσάκις ἄρα ὁ μονή ὁ Α μετρέω καί ὁ Α ὁ Β . ὁ δέ μονή ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · καί ὁ Α ἄρα ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ἑαυτοῦ μονάς · ὁ Α ἄρα ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . καί εἰμί ὁ Α κύβος . ἐάν δέ κύβος ἀριθμός ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι κύβος εἰμί · καί ὁ Β ἄρα κύβος εἰμί . καί ἐπεί τέσσαρες ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ , Δ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , καί εἰμί ὁ Α κύβος , καί ὁ Δ ἄρα κύβος εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Ε κύβος εἰμί , καί ὅμοιος ὁ λοιπός πᾶς κύβος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.11
ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν , ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα μετρεῖ κατά τινα τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς . ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς Α ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Β , Γ , Δ , Ε · λέγω , ὅτι τῶν Β , Γ , Δ , Ε ὁ ἐλάχιστος ὁ Β τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα τῶν Γ , Δ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε · ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Ε . ἡ δὲ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας · ὥστε ὁ ἐλάσσων ὁ Β τὸν μείζονα τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα ἀριθμὸν τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς . Πόρισμα Καὶ φανερόν , ὅτι ἣν ἔχει τάξιν ὁ μετρῶν ἀπὸ μονάδος , τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ὁ καθʼ ὃν μετρεῖ ἀπὸ τοῦ μετρουμένου ἐπὶ τὸ πρὸ αὐτοῦ . ¯ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας μετρέω κατά τις ὁ ὑπάρχω ἐν ὁ ἀνάλογος ἀριθμός . εἰμί ἀπό μονάς ὁ Α ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Β , Γ , Δ , Ε · λέγω , ὅτι ὁ Β , Γ , Δ , Ε ὁ ἐλαχύς ὁ Β ὁ Ε μετρέω κατά τις ὁ Γ , Δ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Α μονή πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , ἰσάκις ἄρα ὁ Α μονή ὁ Β ἀριθμός μετρέω καί ὁ Δ ὁ Ε · ἐναλλάξ ἄρα ἰσάκις ὁ Α μονή ὁ Δ μετρέω καί ὁ Β ὁ Ε . ὁ δέ Α μονή ὁ Δ μετρέω κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · καί ὁ Β ἄρα ὁ Ε μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς · ὥστε ὁ ἐλαχύς ὁ Β ὁ μέγας ὁ Ε μετρέω κατά τις ἀριθμός ὁ ὑπάρχω ἐν ὁ ἀνάλογος ἀριθμός . πόρισμα καί φανερός , ὅτι ὅς ἔχω τάξις ὁ μετρέω ἀπό μονάς , ὁ αὐτός ἔχω καί ὁ κατά ὅς μετρέω ἀπό ὁ μετρέω ἐπί ὁ πρό αὐτός . ὅπερ δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.14
ἐὰν ἐλάχιστος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται , ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρούντων . ἐλάχιστος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β , Γ , Δ μετρείσθω · λέγω , ὅτι ὁ Α ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Β , Γ , Δ . εἰ γὰρ δυνατόν , μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Ε , καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Β , Γ , Δ ἔστω ὁ αὐτός . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ , μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ · ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β , Γ , Δ . ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα , τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός , καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει · οἱ Β , Γ , Δ ἄρα ἕνα τῶν Ε , Ζ μετρήσουσιν . τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν · ὁ γὰρ Ε πρῶτός ἐστι καὶ οὐδενὶ τῶν Β , Γ , Δ ὁ αὐτός . τὸν Ζ ἄρα μετροῦσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α · ὅπερ ἀδύνατον . ὁ γὰρ Α ὑπόκειται ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Β , Γ , Δ μετρούμενος . οὐκ ἄρα τὸν Α μετρήσει πρῶτος ἀριθμὸς παρὲξ τῶν Β , Γ , Δ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἐλαχύς ἀριθμός ὑπό πρῶτος ἀριθμός μετρέω , ὑπό οὐδείς ἄλλος πρῶτος ἀριθμός μετρέω παρέξ ὁ ἐκ ἀρχή μετρέω . ἐλαχύς γάρ ἀριθμός ὁ Α ὑπό πρῶτος ἀριθμός ὁ Β , Γ , Δ μετρέω · λέγω , ὅτι ὁ Α ὑπό οὐδείς ἄλλος πρῶτος ἀριθμός μετρέω παρέξ ὁ Β , Γ , Δ . εἰ γάρ δυνατός , μετρέω ὑπό πρῶτος ὁ Ε , καί ὁ Ε μηδείς ὁ Β , Γ , Δ εἰμί ὁ αὐτός . καί ἐπεί ὁ Ε ὁ Α μετρέω , μετρέω αὐτός κατά ὁ Ζ · ὁ Ε ἄρα ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . καί μετρέω ὁ Α ὑπό πρῶτος ἀριθμός ὁ Β , Γ , Δ . ἐάν δέ δύο ἀριθμός πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ποιέω τις , ὁ δέ γίγνομαι ἐκ αὐτός μετρέω τις πρῶτος ἀριθμός , καί εἷς ὁ ἐκ ἀρχή μετρέω · ὁ Β , Γ , Δ ἄρα εἷς ὁ Ε , Ζ μετρέω . ὁ μέν οὖν Ε οὐ μετρέω · ὁ γάρ Ε πρῶτος εἰμί καί οὐδείς ὁ Β , Γ , Δ ὁ αὐτός . ὁ Ζ ἄρα μετρέω ἐλαχύς εἰμί ὁ Α · ὅς ἀδύνατος . ὁ γάρ Α ὑπόκειμαι ἐλαχύς ὑπό ὁ Β , Γ , Δ μετρέω . οὐ ἄρα ὁ Α μετρέω πρῶτος ἀριθμός παρέξ ὁ Β , Γ , Δ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.16
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον , οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς ἄλλον τινά . δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν · λέγω , ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Β πρὸς ἄλλον τινά . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Β πρὸς τὸν Γ . οἱ δὲ Α , Β πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον · μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον . μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν · ὁ Α ἄρα τοὺς Α , Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , οὐ εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ δεύτερος , οὕτως ὁ δεύτερος πρός ἄλλος τις . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · λέγω , ὅτι οὐ εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ἄλλος τις . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Β πρός ὁ Γ . ὁ δέ Α , Β πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς ἀριθμός μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι · μετρέω ἄρα ὁ Α ὁ Β ὡς ἡγέομαι ἡγέομαι . μετρέω δέ καί ἑαυτοῦ · ὁ Α ἄρα ὁ Α , Β μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.17
ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον , οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον , οὕτως ὁ ἔσχατος πρὸς ἄλλον τινά . ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ , οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α , Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν · λέγω , ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε · ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ , ὁ Β πρὸς τὸν Ε . οἱ δὲ Α , Δ πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον . μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β . καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Β πρὸς τὸν Γ . καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ · ὥστε καὶ ὁ Α τὸν Γ μετρεῖ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ , ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Γ , μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ . ἀλλʼ ὁ Α τὸν Γ ἐμέτρει · ὥστε ὁ Α καὶ τὸν Δ μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν . ὁ Α ἄρα τοὺς α , Δ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁσσοιδηποτοῦν ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος , ὁ δέ ἄκρος αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , οὐ εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ δεύτερος , οὕτως ὁ ἔσχατος πρός ἄλλος τις . εἰμί ὅσσοιδηποτς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὁ δέ ἄκρος αὐτός ὁ Α , Δ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · λέγω , ὅτι οὐ εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ἄλλος τις . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε · ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Δ , ὁ Β πρός ὁ Ε . ὁ δέ Α , Δ πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς ἀριθμός μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι . μετρέω ἄρα ὁ Α ὁ Β . καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Β πρός ὁ Γ . καί ὁ Β ἄρα ὁ Γ μετρέω · ὥστε καί ὁ Α ὁ Γ μετρέω . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ Γ πρός ὁ Δ , μετρέω δέ ὁ Β ὁ Γ , μετρέω ἄρα καί ὁ Γ ὁ Δ . ἀλλά ὁ Α ὁ Γ μετρέω · ὥστε ὁ Α καί ὁ Δ μετρέω . μετρέω δέ καί ἑαυτοῦ . ὁ Α ἄρα ὁ α , Δ μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ἄλλος τις · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.18
δύο ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι , εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν . ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι , εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν . οἱ δὴ Α , Β ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ . καὶ εἰ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , δέδεικται , ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν . ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · ὁ Α δὴ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ . μετρείτω πρότερον κατὰ τὸν Δ · ὁ Α ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Β πρὸς τὸν Δ · τοῖς Α , Β ἄρα τρίτος ἀριθμὸς ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Δ . ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Γ · λέγω , ὅτι τοῖς Α , Β ἀδύνατόν ἐστι τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν . εἰ γὰρ δυνατόν , προσηυρήσθω ὁ Δ . ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β . ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐστιν ὁ Γ · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Δ ἴσος ἐστὶ τῷ Γ . ὥστε ὁ Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν · ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Δ . ἀλλὰ μὴν ὑπόκειται καὶ μὴ μετρῶν · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α , Β τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν , ὅταν ὁ Α τὸν Γ μὴ μετρῇ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο ἀριθμός δίδωμι ἐπισκοπέω , εἰ δυνατός εἰμί αὐτός τρίτος ἀνάλογος προσευρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι δύο ἀριθμός ὁ Α , Β , καί δέω εἰμί ἐπισκοπέω , εἰ δυνατός εἰμί αὐτός τρίτος ἀνάλογος προσευρίσκω . ὁ δή Α , Β ἤτοι πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί ἤ οὐ . καί εἰ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , δείκνυμι , ὅτι ἀδύνατος εἰμί αὐτός τρίτος ἀνάλογος προσευρίσκω . ἀλλά δή μή εἰμί ὁ Α , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων , καί ὁ Β ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · ὁ Α δή ὁ Γ ἤτοι μετρέω ἤ οὐ μετρέω . μετρέω πρότερος κατά ὁ Δ · ὁ Α ἄρα ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Β ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Δ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Β πρός ὁ Δ · ὁ Α , Β ἄρα τρίτος ἀριθμός ἀνάλογος προσευρίσκω ὁ Δ . ἀλλά δή μή μετρέω ὁ Α ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β ἀδύνατος εἰμί τρίτος ἀνάλογος προσευρίσκω ἀριθμός . εἰ γάρ δυνατός , προσευρίσκω ὁ Δ . ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Δ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β . ὁ δέ ἀπό ὁ Β εἰμί ὁ Γ · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Δ ἴσος εἰμί ὁ Γ . ὥστε ὁ Α ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · ὁ Α ἄρα ὁ Γ μετρέω κατά ὁ Δ . ἀλλά μήν ὑπόκειμαι καί μή μετρέω · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα δυνατός εἰμί ὁ Α , Β τρίτος ἀνάλογος προσευρίσκω ἀριθμός , ὅταν ὁ Α ὁ Γ μή μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.20
οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν . ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ · λέγω , ὅτι τῶν Α , Β , Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί . εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α , Β , Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ , καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ . ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ . ἔστω πρότερον πρῶτος · εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ , ΕΖ πλείους τῶν Α , Β , Γ . ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος · ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται . μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η · λέγω , ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α , Β , Γ ἐστιν ὁ αὐτός . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω . οἱ δὲ Α , Β , Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν · καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ · καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α , Β , Γ ἐστιν ὁ αὐτός . καὶ ὑπόκειται πρῶτος . εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α , Β , Γ οἱ Α , Β , Γ , Η · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ πρῶτος ἀριθμός πολύς εἰμί πᾶς ὁ προτίθημι πλῆθος πρῶτος ἀριθμός . εἰμί ὁ προτίθημι πρῶτος ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β , Γ πολύς εἰμί πρῶτος ἀριθμός . λαμβάνω γάρ ὁ ὑπό ὁ Α , Β , Γ ἐλαχύς μετρέω καί εἰμί ὁ ΔΕ , καί πρόσκειμαι ὁ ΔΕ μονή ὁ ΔΖ . ὁ δή ΕΖ ἤτοι πρῶτος εἰμί ἤ οὐ . εἰμί πρότερος πρῶτος · εὑρίσκω ἄρα εἰμί πρῶτος ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ , ΕΖ πολύς ὁ Α , Β , Γ . ἀλλά δή μή εἰμί ὁ ΕΖ πρῶτος · ὑπό πρῶτος ἄρα τις ἀριθμός μετρέω . μετρέω ὑπό πρῶτος ὁ Η · λέγω , ὅτι ὁ Η οὐδείς ὁ Α , Β , Γ εἰμί ὁ αὐτός . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί . ὁ δέ Α , Β , Γ ὁ ΔΕ μετρέω · καί ὁ Η ἄρα ὁ ΔΕ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ ΕΖ · καί λοιπός ὁ ΔΖ μονάς μετρέω ὁ Η ἀριθμός εἰμί · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ Η εἷς ὁ Α , Β , Γ εἰμί ὁ αὐτός . καί ὑπόκειμαι πρῶτος . εὑρίσκω ἄρα εἰμί πρῶτος ἀριθμός πολύς ὁ προτίθημι πλῆθος ὁ Α , Β , Γ ὁ Α , Β , Γ , Η · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.21
ἐὰν ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν , ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν . Συγκείσθωσαν γὰρ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν οἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ · λέγω , ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ ἄρτιός ἐστιν , ἔχει μέρος ἥμισυ · ὥστε καὶ ὅλος ὁ ΑΕ ἔχει μέρος ἥμισυ . ἄρτιος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος · ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΕ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἄρτιος ἀριθμός ὁπόσος συντίθημι , ὁ ὅλος ἄρτιος εἰμί . σύγκειμαι γάρ ἄρτιος ἀριθμός ὁπόσος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ · λέγω , ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιος εἰμί . ἐπεί γάρ ἕκαστος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ ἄρτιος εἰμί , ἔχω μέρος ἥμισυς · ὥστε καί ὅλος ὁ ΑΕ ἔχω μέρος ἥμισυς . ἄρτιος δέ ἀριθμός εἰμί ὁ δίχα διαιρέω · ἄρτιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.22
ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν , τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ᾖ , ὁ ὅλος ἄρτιος ἔσται . Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν ἄρτιοι τὸ πλῆθος οἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ · λέγω , ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ περιττός ἐστιν , ἀφαιρεθείσης μονάδος ἀφʼ ἑκάστου ἕκαστος τῶν λοιπῶν ἄρτιος ἔσται · ὥστε καὶ ὁ συγκείμενος ἐξ αὐτῶν ἄρτιος ἔσται . ἔστι δὲ καὶ τὸ πλῆθος τῶν μονάδων ἄρτιον . καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν περισσός ἀριθμός ὁπόσος συντίθημι , ὁ δέ πλῆθος αὐτός ἄρτιος εἰμί , ὁ ὅλος ἄρτιος εἰμί . σύγκειμαι γάρ περισσός ἀριθμός ὁσσοιδηποτοῦν ἄρτιος ὁ πλῆθος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ · λέγω , ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιος εἰμί . ἐπεί γάρ ἕκαστος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ περισσός εἰμί , ἀφαιρέω μονάς ἀπό ἕκαστος ἕκαστος ὁ λοιπός ἄρτιος εἰμί · ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ αὐτός ἄρτιος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ πλῆθος ὁ μονάς ἄρτιος . καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.23
ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν , τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν περισσὸν ᾖ , καὶ ὁ ὅλος περισσὸς ἔσται . Συγκείσθωσαν γὰρ ὁποσοιοῦν περισσοὶ ἀριθμοί , ὧν τὸ πλῆθος περισσὸν ἔστω , οἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ · λέγω , ὅτι καὶ ὅλος ὁ ΑΔ περισσός ἐστιν . ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΓΔ μονὰς ἡ ΔΕ · λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΕ ἄρτιός ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ ὁ ΓΑ ἄρτιος · καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν . καί ἐστι μονὰς ἡ ΔΕ . περισσὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν περισσός ἀριθμός ὁπόσος συντίθημι , ὁ δέ πλῆθος αὐτός περισσός εἰμί , καί ὁ ὅλος περισσός εἰμί . σύγκειμαι γάρ ὁπόσος περισσός ἀριθμός , ὅς ὁ πλῆθος περισσός εἰμί , ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ · λέγω , ὅτι καί ὅλος ὁ ΑΔ περισσός εἰμί . ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΓΔ μονή ὁ ΔΕ · λοιπός ἄρα ὁ ΓΕ ἄρτιος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΓΑ ἄρτιος · καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιος εἰμί . καί εἰμί μονή ὁ ΔΕ . περισσός ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.24
ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ , ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται . ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ ἄρτιός ἐστιν , ἔχει μέρος ἥμισυ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΒΓ ἔχει μέρος ἥμισυ · ὥστε καὶ λοιπὸς ἄρτιος ἐστὶν ὁ ΑΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό ἄρτιος ἀριθμός ἄρτιος ἀφαιρέω , ὁ λοιπός ἄρτιος εἰμί . ἀπό γάρ ἄρτιος ὁ ΑΒ ἄρτιος ἀφαιρέω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΓΑ ἄρτιος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ ἄρτιος εἰμί , ἔχω μέρος ἥμισυς . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΓ ἔχω μέρος ἥμισυς · ὥστε καί λοιπός ἄρτιος εἰμί ὁ ΑΓ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.25
ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ , ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται . ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν . ἀφῃρήσθω γὰρ ἀπὸ τοῦ ΒΓ μονὰς ἡ ΓΔ · ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΒ ἄρτιος · καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν . καί ἐστι μονὰς ἡ ΓΔ · ὁ ΓΑ ἄρα περισσός ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό ἄρτιος ἀριθμός περισσός ἀφαιρέω , ὁ λοιπός περισσός εἰμί . ἀπό γάρ ἄρτιος ὁ ΑΒ περισσός ἀφαιρέω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΓΑ περισσός εἰμί . ἀφαιρέω γάρ ἀπό ὁ ΒΓ μονή ὁ ΓΔ · ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ ἄρτιος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιος εἰμί . καί εἰμί μονή ὁ ΓΔ · ὁ ΓΑ ἄρα περισσός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.26
ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ , ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται . ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν , ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΒΔ · λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν · ὥστε καὶ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό περισσός ἀριθμός περισσός ἀφαιρέω , ὁ λοιπός ἄρτιος εἰμί . ἀπό γάρ περισσός ὁ ΑΒ περισσός ἀφαιρέω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΓΑ ἄρτιος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ περισσός εἰμί , ἀφαιρέω μονή ὁ ΒΔ · λοιπός ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιος εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΓΔ ἄρτιος εἰμί · ὥστε καί λοιπός ὁ ΓΑ ἄρτιος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.27
ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ , ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται . ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν . ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΑΔ · ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ ὁ ΒΓ ἄρτιος · καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν . περισσὸς ἄρα ὁ ΓΑ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό περισσός ἀριθμός ἄρτιος ἀφαιρέω , ὁ λοιπός περισσός εἰμί . ἀπό γάρ περισσός ὁ ΑΒ ἄρτιος ἀφαιρέω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΓΑ περισσός εἰμί . ἀφαιρέω μονή ὁ ΑΔ · ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΒΓ ἄρτιος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιος εἰμί . περισσός ἄρα ὁ ΓΑ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.28
ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα , ὁ γενόμενος ἄρτιος ἔσται . περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · λέγω , ὅτι ὁ Γ ἄρτιός ἐστιν . ʼἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β , ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες . καί ἐστιν ὁ Β ἄρτιος · ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐξ ἀρτίων . ἐὰν δὲ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν , ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν . ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν περισσός ἀριθμός ἄρτιος πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι ἄρτιος εἰμί . περισσός γάρ ἀριθμός ὁ Α ἄρτιος ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Γ ἄρτιος εἰμί . ’ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ Γ ἄρα σύγκειμαι ἐκ τοσοῦτος ἴσος ὁ Β , ὅσος εἰμί ἐν ὁ Α μονάς . καί εἰμί ὁ Β ἄρτιος · ὁ Γ ἄρα σύγκειμαι ἐκ ἄρτιος . ἐάν δέ ἄρτιος ἀριθμός ὁπόσος συντίθημι , ὁ ὅλος ἄρτιος εἰμί . ἄρτιος ἄρα εἰμί ὁ Γ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.29
ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς περισσὸν ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα , ὁ γενόμενος περισσὸς ἔσται . περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α περισσὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · λέγω , ὅτι ὁ Γ περισσός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β , ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες . καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν Α , Β περισσός · ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν , ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν . ὥστε ὁ Γ περισσός ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν περισσός ἀριθμός περισσός ἀριθμός πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι περισσός εἰμί . περισσός γάρ ἀριθμός ὁ Α περισσός ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Γ περισσός εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ Γ ἄρα σύγκειμαι ἐκ τοσοῦτος ἴσος ὁ Β , ὅσος εἰμί ἐν ὁ Α μονάς . καί εἰμί ἑκάτερος ὁ Α , Β περισσός · ὁ Γ ἄρα σύγκειμαι ἐκ περισσός ἀριθμός , ὅς ὁ πλῆθος περισσός εἰμί . ὥστε ὁ Γ περισσός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.30
ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον ἀριθμὸν μετρῇ , καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει . περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β μετρείτω · λέγω , ὅτι καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει . ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ , μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Γ · λέγω , ὅτι ὁ Γ οὐκ ἔστι περισσός . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω . καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ , ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . ὁ Β ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν , ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν . ὁ Β ἄρα περισσός ἐστιν · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γὰρ ἄρτιος . οὐκ ἄρα ὁ Γ περισσός ἐστιν · ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ . ὥστε ὁ Α τὸν Β μετρεῖ ἀρτιάκις . διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν περισσός ἀριθμός ἄρτιος ἀριθμός μετρέω , καί ὁ ἥμισυς αὐτός μετρέω . περισσός γάρ ἀριθμός ὁ Α ἄρτιος ὁ Β μετρέω · λέγω , ὅτι καί ὁ ἥμισυς αὐτός μετρέω . ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Β μετρέω , μετρέω αὐτός κατά ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ Γ οὐ εἰμί περισσός . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί . καί ἐπεί ὁ Α ὁ Β μετρέω κατά ὁ Γ , ὁ Α ἄρα ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . ὁ Β ἄρα σύγκειμαι ἐκ περισσός ἀριθμός , ὅς ὁ πλῆθος περισσός εἰμί . ὁ Β ἄρα περισσός εἰμί · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ ἄρτιος . οὐ ἄρα ὁ Γ περισσός εἰμί · ἄρτιος ἄρα εἰμί ὁ Γ . ὥστε ὁ Α ὁ Β μετρέω ἀρτιάκις . διά δή οὗτος καί ὁ ἥμισυς αὐτός μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.31
ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτος ᾖ , καὶ πρὸς τὸν διπλασίονα αὐτοῦ πρῶτος ἔσται . περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Β πρῶτος ἔστω , τοῦ δὲ Β διπλασίων ἔστω ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν . εἰ γὰρ μή εἰσιν πρῶτοι , μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Δ . καί ἐστιν ὁ Α περισσός · περισσὸς ἄρα καὶ ὁ Δ . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ περισσὸς ὢν τὸν Γ μετρεῖ , καί ἐστιν ὁ Γ ἄρτιος , καὶ τὸν ἥμισυν ἄρα τοῦ Γ μετρήσει . τοῦ δὲ Γ ἥμισύ ἐστιν ὁ Β · ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Α . ὁ Δ ἄρα τοὺς Α , Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτος οὔκ ἐστιν . οἱ Α , Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν περισσός ἀριθμός πρός τις ἀριθμός πρῶτος εἰμί , καί πρός ὁ διπλάσιος αὐτός πρῶτος εἰμί . περισσός γάρ ἀριθμός ὁ Α πρός τις ἀριθμός ὁ Β πρῶτος εἰμί , ὁ δέ Β διπλασίων εἰμί ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ Α πρός ὁ Γ πρῶτος εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί πρῶτος , μετρέω τις αὐτός ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Δ . καί εἰμί ὁ Α περισσός · περισσός ἄρα καί ὁ Δ . καί ἐπεί ὁ Δ περισσός εἰμί ὁ Γ μετρέω , καί εἰμί ὁ Γ ἄρτιος , καί ὁ ἥμισυς ἄρα ὁ Γ μετρέω . ὁ δέ Γ ἥμισυς εἰμί ὁ Β · ὁ Δ ἄρα ὁ Β μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Α . ὁ Δ ἄρα ὁ Α , Β μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α πρός ὁ Γ πρῶτος οὐ εἰμί . ὁ Α , Γ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.32
τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἀριθμῶν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον . ἀπὸ γὰρ δυάδος τῆς Α δεδιπλασιάσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Β , Γ , Δ · λέγω , ὅτι οἱ Β , Γ , Δ ἀρτιάκις ἄρτιοί εἰσι μόνον . ὅτι μὲν οὖν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστιν , φανερόν · ἀπὸ γὰρ δυάδος ἐστὶ διπλασιασθείς . λέγω , ὅτι καὶ μόνον . ἐκκείσθω γὰρ μονάς . ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτός ἐστιν , ὁ μέγιστος τῶν Α , Β , Γ , Δ ὁ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α , Β , Γ . καί ἐστιν ἕκαστος τῶν Α , Β , Γ ἄρτιος · ὁ Δ ἄρα ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ἑκάτερος τῶν Β , Γ ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό δυάς διπλασιάζω ἀριθμός ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιος εἰμί μόνος . ἀπό γάρ δυάς ὁ Α διπλασιάζω ὁσσοιδηποτοῦν ἀριθμός ὁ Β , Γ , Δ · λέγω , ὅτι ὁ Β , Γ , Δ ἀρτιάκις ἄρτιος εἰμί μόνος . ὅτι μέν οὖν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιος εἰμί , φανερός · ἀπό γάρ δυάς εἰμί διπλασιάζω . λέγω , ὅτι καί μόνος . ἔκκειμαι γάρ μονή . ἐπεί οὖν ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ μετά ὁ μονάς ὁ Α πρῶτος εἰμί , ὁ μέγας ὁ Α , Β , Γ , Δ ὁ Δ ὑπό οὐδείς ἄλλος μετρέω παρέξ ὁ Α , Β , Γ . καί εἰμί ἕκαστος ὁ Α , Β , Γ ἄρτιος · ὁ Δ ἄρα ἀρτιάκις ἄρτιος εἰμί μόνος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ἑκάτερος ὁ Β , Γ ἀρτιάκις ἄρτιος εἰμί μόνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.33
ἐὰν ἀριθμὸς τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν , ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον . ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν · λέγω , ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον . ὅτι μὲν οὖν ἀρτιάκις περισσός ἐστιν , φανερόν · ὁ γὰρ ἥμισυς αὐτοῦ περισσὸς ὢν μετρεῖ αὐτὸν ἀρτιάκις . λέγω δή , ὅτι καὶ μόνον . εἰ γὰρ ἔσται ὁ Α καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος , μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν · ὥστε καὶ ὁ ἥμισυς αὐτοῦ μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ὤν · ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον . ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ὁ ἥμισυς ἔχω περισσός , ἀρτιάκις περισσός εἰμί μόνος . ἀριθμός γάρ ὁ Α ὁ ἥμισυς ἔχω περισσός · λέγω , ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις περισσός εἰμί μόνος . ὅτι μέν οὖν ἀρτιάκις περισσός εἰμί , φανερός · ὁ γάρ ἥμισυς αὐτός περισσός εἰμί μετρέω αὐτός ἀρτιάκις . λέγω δή , ὅτι καί μόνος . εἰ γάρ εἰμί ὁ Α καί ἀρτιάκις ἄρτιος , μετρέω ὑπό ἄρτιος κατά ἄρτιος ἀριθμός · ὥστε καί ὁ ἥμισυς αὐτός μετρέω ὑπό ἄρτιος ἀριθμός περισσός εἰμί · ὅς εἰμί ἄτοπος . ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις περισσός εἰμί μόνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.34
ἐὰν ἀριθμὸς μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ᾖ μήτε τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν , ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός . ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἔστω μήτε τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν · λέγω , ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσός . ὅτι μὲν οὖν ὁ Α ἀρτιάκις ἐστὶν ἄρτιος , φανερόν · τὸν γὰρ ἥμισυν οὐκ ἔχει περισσόν . λέγω δή , ὅτι καὶ ἀρτιάκις περισσός ἐστιν . ἐὰν γὰρ τὸν Α τέμνωμεν δίχα καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶμεν , καταντήσομεν εἴς τινα ἀριθμὸν περισσόν , ὃς μετρήσει τὸν Α κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν . εἰ γὰρ οὔ , καταντήσομεν εἰς δυάδα , καὶ ἔσται ὁ Α τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται . ὥστε ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστιν . ἐδείχθη δὲ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος . ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός μήτε ὁ ἀπό δυάς διπλασιάζω εἰμί μήτε ὁ ἥμισυς ἔχω περισσός , ἀρτιάκις τε ἄρτιος εἰμί καί ἀρτιάκις περισσός . ἀριθμός γάρ ὁ Α μήτε ὁ ἀπό δυάς διπλασιάζω εἰμί μήτε ὁ ἥμισυς ἔχω περισσός · λέγω , ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις τε εἰμί ἄρτιος καί ἀρτιάκις περισσός . ὅτι μέν οὖν ὁ Α ἀρτιάκις εἰμί ἄρτιος , φανερός · ὁ γάρ ἥμισυς οὐ ἔχω περισσός . λέγω δή , ὅτι καί ἀρτιάκις περισσός εἰμί . ἐάν γάρ ὁ Α τέμνω δίχα καί ὁ ἥμισυς αὐτός δίχα καί οὗτος ἀεί ποιέω , καταντάω εἰς τις ἀριθμός περισσός , ὅς μετρέω ὁ Α κατά ἄρτιος ἀριθμός . εἰ γάρ οὐ , καταντάω εἰς δυάς , καί εἰμί ὁ Α ὁ ἀπό δυάς διπλασιάζω · ὅς οὐ ὑπόκειμαι . ὥστε ὁ Α ἀρτιάκις περισσός εἰμί . δείκνυμι δέ καί ἀρτιάκις ἄρτιος . ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις τε ἄρτιος εἰμί καί ἀρτιάκις περισσός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.35
ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον , ἀφαιρεθῶσι δὲ ἀπό τε τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι τῷ πρώτῳ , ἔσται ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον , οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας . ἔστωσαν ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , ΒΓ , Δ , ΕΖ ἀρχόμενοι ἀπὸ ἐλαχίστου τοῦ Α , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΒΓ καὶ τοῦ ΕΖ τῷ Α ἴσος ἑκάτερος τῶν ΒΗ , ΖΘ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΓ πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Α , ΒΓ , Δ . κείσθω γὰρ τῷ μὲν ΒΓ ἴσος ὁ ΖΚ , τῷ δὲ Δ ἴσος ὁ ΖΛ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΖΚ τῷ ΒΓ ἴσος ἐστίν , ὧν ὁ ΖΘ τῷ ΒΗ ἴσος ἐστίν , λοιπὸς ἄρα ὁ ΘΚ λοιπῷ τῷ ΗΓ ἐστιν ἴσος . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ΒΓ καὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Α , ἴσος δὲ ὁ μὲν Δ τῷ ΖΛ , ὁ δὲ ΒΓ τῷ ΖΚ , ὁ δὲ Α τῷ ΖΘ , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΖΛ , οὕτως ὁ ΛΖ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν ΖΘ . διελόντι , ὡς ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ , οὕτως ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ . ἔστιν ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ , οὕτως οἱ ΕΛ , ΛΚ , ΚΘ πρὸς τοὺς ΛΖ , ΖΚ , ΘΖ . ἴσος δὲ ὁ μὲν ΚΘ τῷ ΓΗ , ὁ δὲ ΖΘ τῷ Α , οἱ δὲ ΛΖ , ΖΚ , ΘΖ τοῖς Δ , ΒΓ , Α · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Δ , ΒΓ , Α . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον , οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὅσσοιδηποτς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος , ἀφαιρέω δέ ἀπό τε ὁ δεύτερος καί ὁ ἔσχατος ἴσος ὁ πρῶτος , εἰμί ὡς ὁ ὁ δεύτερος ὑπεροχή πρός ὁ πρῶτος , οὕτως ὁ ὁ ἔσχατος ὑπεροχή πρός ὁ πρό ἑαυτοῦ πᾶς . εἰμί ὁσποσοιδηποτοῦν ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , ΒΓ , Δ , ΕΖ ἄρχω ἀπό ἐλαχύς ὁ Α , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΒΓ καί ὁ ΕΖ ὁ Α ἴσος ἑκάτερος ὁ ΒΗ , ΖΘ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΗΓ πρός ὁ Α , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ Α , ΒΓ , Δ . κεῖμαι γάρ ὁ μέν ΒΓ ἴσος ὁ ΖΚ , ὁ δέ Δ ἴσος ὁ ΖΛ . καί ἐπεί ὁ ΖΚ ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί , ὅς ὁ ΖΘ ὁ ΒΗ ἴσος εἰμί , λοιπός ἄρα ὁ ΘΚ λοιπός ὁ ΗΓ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΕΖ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ ΒΓ καί ὁ ΒΓ πρός ὁ Α , ἴσος δέ ὁ μέν Δ ὁ ΖΛ , ὁ δέ ΒΓ ὁ ΖΚ , ὁ δέ Α ὁ ΖΘ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΛ , οὕτως ὁ ΛΖ πρός ὁ ΖΚ καί ὁ ΖΚ πρός ὁ ΖΘ . διαιρέω , ὡς ὁ ΕΛ πρός ὁ ΛΖ , οὕτως ὁ ΛΚ πρός ὁ ΖΚ καί ὁ ΚΘ πρός ὁ ΖΘ . εἰμί ἄρα καί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΚΘ πρός ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΕΛ , ΛΚ , ΚΘ πρός ὁ ΛΖ , ΖΚ , ΘΖ . ἴσος δέ ὁ μέν ΚΘ ὁ ΓΗ , ὁ δέ ΖΘ ὁ Α , ὁ δέ ΛΖ , ΖΚ , ΘΖ ὁ Δ , ΒΓ , Α · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρός ὁ Α , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ Δ , ΒΓ , Α . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ὁ δεύτερος ὑπεροχή πρός ὁ πρῶτος , οὕτως ὁ ὁ ἔσχατος ὑπεροχή πρός ὁ πρό ἑαυτοῦ πᾶς · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.def1.1
σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμενα , ἀσύμμετρα δέ , ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γενέσθαι .
Lemmas: σύμμετρος μέγεθος λέγω ὁ ὁ αὐτός μέτρον μετρέω , ἀσύμμετρος δέ , ὅς μηδείς ἐνδέχομαι κοινός μέτρον γίγνομαι .
euclides-geom.elementa 10.def1.2
εὐθεῖαι δυνάμει σύμμετροί εἰσιν , ὅταν τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται , ἀσύμμετροι δέ , ὅταν τοῖς ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται χωρίον κοινὸν μέτρον γενέσθαι .
Lemmas: εὐθύς δύναμις σύμμετρος εἰμί , ὅταν ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ὁ αὐτός χωρίον μετρέω , ἀσύμμετρος δέ , ὅταν ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μηδείς ἐνδέχομαι χωρίον κοινός μέτρον γίγνομαι .
euclides-geom.elementa 10.def1.3
τούτων ὑποκειμένων δείκνυται , ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ ὑπάρχουσιν εὐθεῖαι πλήθει ἄπειροι σύμμετροί τε καὶ ἀσύμμετροι αἱ μὲν μήκει μόνον , αἱ δὲ καὶ δυνάμει . καλείσθω οὖν ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή , καὶ αἱ ταύτῃ σύμμετροι εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον ῥηταί , αἱ δὲ ταύτῃ ἀσύμμετροι ἄλογοι καλείσθωσαν .
Lemmas: οὗτος ὑπόκειμαι δείκνυμι , ὅτι ὁ προτίθημι εὔθεια ὑπάρχω εὐθεῖα πλῆθος ἄπειρος σύμμετρος τε καί ἀσύμμετρος ὁ μέν μῆκος μόνος , ὁ δέ καί δύναμις . καλέω οὖν ὁ μέν προτίθημι εὐθύς ῥητός , καί ὁ οὗτος σύμμετρος εἴτε μῆκος καί δύναμις εἴτε δύναμις μόνος ῥητός , ὁ δέ οὗτος ἀσύμμετρος ἄλογος καλέω .
euclides-geom.elementa 10.def1.4
καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον ῥητόν , καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα ῥητά , τὰ δὲ τούτῳ ἀσύμμετρα ἄλογα καλείσθω , καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ἄλογοι , εἰ μὲν τετράγωνα εἴη , αὐταὶ αἱ πλευραί , εἰ δὲ ἕτερά τινα εὐθύγραμμα , αἱ ἴσα αὐτοῖς τετράγωνα ἀναγράφουσαι .
Lemmas: καί ὁ μέν ἀπό ὁ προτίθημι εὐθεῖα τετράγωνος ῥητός , καί ὁ οὗτος σύμμετρος ῥητός , ὁ δέ οὗτος ἀσύμμετρος ἄλογος καλέω , καί ὁ δύναμαι αὐτός ἄλογος , εἰ μέν τετράγωνος εἰμί , αὐτός ὁ πλευρά , εἰ δέ ἕτερος τις εὐθύγραμμος , ὁ ἴσος αὐτός τετράγωνος ἀναγράφω .
euclides-geom.elementa 10.prop1.1
δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων , ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ , καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται , λειφθήσεταί τι μέγεθος , ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους . ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ , Γ , ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ · λέγω , ὅτι , ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ , καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται , λειφθήσεταί τι μέγεθος , ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ Γ μεγέθους . τὸ Γ γὰρ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον . πεπολλαπλασιάσθω , καὶ ἔστω τὸ ΔΕ τοῦ μὲν Γ πολλαπλάσιον , τοῦ δὲ ΑΒ μεῖζον , καὶ διῃρήσθω τὸ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΔΖ , ΖΗ , ΗΕ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ , ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΘ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ , καὶ τοῦτο ἀεὶ γιγνέσθω , ἕως ἂν αἱ ἐν τῷ ΑΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς γένωνται ταῖς ἐν τῷ ΔΕ διαιρέσεσιν . ἔστωσαν οὖν αἱ ΑΚ , ΚΘ , ΘΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς οὖσαι ταῖς ΔΖ , ΖΗ , ΗΕ · καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΔΕ τοῦ ΑΒ , καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεος τὸ ΕΗ , ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΔ λοιποῦ τοῦ ΘΑ μεῖζόν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΔ τοῦ ΘΑ , καὶ ἀφῄρηται τοῦ μὲν ΗΔ ἥμισυ τὸ ΗΖ , τοῦ δὲ ΘΑ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΔΖ λοιποῦ τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν . ἴσον δὲ τὸ ΔΖ τῷ Γ · καὶ τὸ Γ ἄρα τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν . ἔλασσον ἄρα τὸ ΑΚ τοῦ Γ . καταλείπεται ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΚ μέγεθος ἔλασσον ὂν τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους τοῦ Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ¯ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , κἂν ἡμίση ᾖ τὰ ἀφαιρούμενα .
Lemmas: δύο μέγεθος ἄνισος ἔκκειμαι , ἐάν ἀπό ὁ μέγας ἀφαιρέω μέγας ἤ ὁ ἥμισυς καί ὁ καταλείπω μέγας ἤ ὁ ἥμισυς , καί οὗτος ἀεί γίγνομαι , λείπω τις μέγεθος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ ἔκκειμαι ἐλαχύς μέγεθος . εἰμί δύο μέγεθος ἄνισος ὁ ΑΒ , Γ , ὅς μέγας ὁ ΑΒ · λέγω , ὅτι , ἐάν ἀπό ὁ ΑΒ ἀφαιρέω μέγας ἤ ὁ ἥμισυς καί ὁ καταλείπω μέγας ἤ ὁ ἥμισυς , καί οὗτος ἀεί γίγνομαι , λείπω τις μέγεθος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ Γ μέγεθος . ὁ Γ γάρ πολλαπλασιάζω εἰμί ποτέ ὁ ΑΒ μέγας . πολλαπλασιάζω , καί εἰμί ὁ ΔΕ ὁ μέν Γ πολλαπλάσιος , ὁ δέ ΑΒ μέγας , καί διαιρέω ὁ ΔΕ εἰς ὁ ὁ Γ ἴσος ὁ ΔΖ , ΖΗ , ΗΕ , καί ἀφαιρέω ἀπό μέν ὁ ΑΒ μέγας ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ΒΘ , ἀπό δέ ὁ ΑΘ μέγας ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ΘΚ , καί οὗτος ἀεί γίγνομαι , ἕως ἄν ὁ ἐν ὁ ΑΒ διαίρεσις ἰσοπληθής γίγνομαι ὁ ἐν ὁ ΔΕ διαίρεσις . εἰμί οὖν ὁ ΑΚ , ΚΘ , ΘΒ διαίρεσις ἰσοπληθής εἰμί ὁ ΔΖ , ΖΗ , ΗΕ · καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΑΒ , καί ἀφαιρέω ἀπό μέν ὁ ΔΕ ἐλαχύς ὁ ἥμισυς ὁ ΕΗ , ἀπό δέ ὁ ΑΒ μέγας ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ΒΘ , λοιπός ἄρα ὁ ΗΔ λοιπός ὁ ΘΑ μέγας εἰμί . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΗΔ ὁ ΘΑ , καί ἀφαιρέω ὁ μέν ΗΔ ἥμισυς ὁ ΗΖ , ὁ δέ ΘΑ μέγας ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ΘΚ , λοιπός ἄρα ὁ ΔΖ λοιπός ὁ ΑΚ μέγας εἰμί . ἴσος δέ ὁ ΔΖ ὁ Γ · καί ὁ Γ ἄρα ὁ ΑΚ μέγας εἰμί . ἐλαχύς ἄρα ὁ ΑΚ ὁ Γ . καταλείπω ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ ΑΚ μέγεθος ἐλαχύς εἰμί ὁ ἔκκειμαι ἐλαχύς μέγεθος ὁ Γ · ὅς δέω δείκνυμι . ὅμοιος δέ δείκνυμι , ἐάν ἥμισυς εἰμί ὁ ἀφαιρέω .
euclides-geom.elementa 10.prop1.2
ἐὰν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ , ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη . δύο γὰρ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῶν ΑΒ , ΓΔ καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΒ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ περιλειπόμενον μηδέποτε καταμετρείτω τὸ πρὸ ἑαυτοῦ · λέγω , ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ , ΓΔ μεγέθη . εἰ γάρ ἐστι σύμμετρα , μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος . μετρείτω , εἰ δυνατόν , καὶ ἔστω τὸ Ε · καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΖΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΓΖ , τὸ δὲ ΓΖ τὸ ΒΗ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΗ , καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω , ἕως οὗ λειφθῇ τι μέγεθος , ὅ ἐστιν ἔλασσον τοῦ Ε . γεγονέτω , καὶ λελείφθω τὸ ΑΗ ἔλασσον τοῦ Ε . ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ ΑΒ μετρεῖ , ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΖ μετρεῖ , καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΖΔ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΖ μετρήσει . ἀλλὰ τὸ ΓΖ τὸ ΒΗ μετρεῖ · καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΒΗ μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΗ μετρήσει , τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον . ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ , ΓΔ μεγέθη μετρήσει τι μέγεθος · ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ , ΓΔ μεγέθη . ἐὰν ἄρα δύο μεγεθῶν ἀνίσων , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος ἄνισος ἀνθυφαιρέω ἀεί ὁ ἐλαχύς ἀπό ὁ μέγας ὁ καταλείπω μηδέποτε καταμετρέω ὁ πρό ἑαυτοῦ , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ μέγεθος . δύο γάρ μέγεθος εἰμί ἄνισος ὁ ΑΒ , ΓΔ καί ἐλαχύς ὁ ΑΒ ἀνθυφαιρέω ἀεί ὁ ἐλαχύς ἀπό ὁ μέγας ὁ περιλείπομαι μηδέποτε καταμετρέω ὁ πρό ἑαυτοῦ · λέγω , ὅτι ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγεθος . εἰ γάρ εἰμί σύμμετρος , μετρέω τις αὐτός μέγεθος . μετρέω , εἰ δυνατός , καί εἰμί ὁ Ε · καί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΖΔ καταμετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΓΖ , ὁ δέ ΓΖ ὁ ΒΗ καταμετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΑΗ , καί οὗτος ἀεί γίγνομαι , ἕως ὅς λείπω τις μέγεθος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ Ε . γίγνομαι , καί λείπω ὁ ΑΗ ἐλαχύς ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὁ Ε ὁ ΑΒ μετρέω , ἀλλά ὁ ΑΒ ὁ ΔΖ μετρέω , καί ὁ Ε ἄρα ὁ ΖΔ μετρέω . μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΓΔ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΖ μετρέω . ἀλλά ὁ ΓΖ ὁ ΒΗ μετρέω · καί ὁ Ε ἄρα ὁ ΒΗ μετρέω . μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΑΒ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΗ μετρέω , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς . ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγεθος μετρέω τις μέγεθος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγεθος . ἐάν ἄρα δύο μέγεθος ἄνισος , καί ὁ ἑξῆς .
euclides-geom.elementa 10.prop1.7
τὰ ἀσύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . ἔστω ἀσύμμετρα μεγέθη τὰ Α , Β · λέγω , ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . εἰ γὰρ ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν , σύμμετρον ἔσται τὸ Α τῷ Β . οὐκ ἔστι δέ · οὐκ ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . τὰ ἄρα ἀσύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ὁ ἀσύμμετρος μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος οὐ ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . εἰμί ἀσύμμετρος μέγεθος ὁ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α πρός ὁ Β λόγος οὐ ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . εἰ γάρ ἔχω ὁ Α πρός ὁ Β λόγος , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός , σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β . οὐ εἰμί δέ · οὐ ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . ὁ ἄρα ἀσύμμετρος μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος οὐ ἔχω , καί ὁ ἑξῆς .
euclides-geom.elementa 10.prop1.8
ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχῃ , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν , ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη . δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α , Β πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἐχέτω , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν · λέγω , ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ Α , Β μεγέθη . εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα , τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἕξει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . οὐκ ἔχει δέ . ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Α , Β μεγέθη . ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος μή ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ μέγεθος . δύο γάρ μέγεθος ὁ Α , Β πρός ἀλλήλων λόγος μή ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός · λέγω , ὅτι ἀσύμμετρος εἰμί ὁ Α , Β μέγεθος . εἰ γάρ εἰμί σύμμετρος , ὁ Α πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . οὐ ἔχω δέ . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α , Β μέγεθος . ἐάν ἄρα δύο μέγεθος πρός ἀλλήλων , καί ὁ ἑξῆς .
euclides-geom.elementa 10.prop1.10
τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους , τὴν μὲν μήκει μόνον , τὴν δὲ καὶ δυνάμει . ἔστω ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α · δεῖ δὴ τῇ Α προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους , τὴν μὲν μήκει μόνον , τὴν δὲ καὶ δυνάμει . Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ οἱ Β , Γ πρὸς ἀλλήλους λόγον μὴ ἔχοντες , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι , καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ τετράγωνον · ἐμάθομεν γάρ · σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Δ . καὶ ἐπεὶ ὁ Β πρὸς τὸν Γ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Δ μήκει . εἰλήφθω τῶν Α , Δ μέση ἀνάλογον ἡ Ε · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Δ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε . ἀσύμμετρος δέ ἐστιν ἡ Α τῇ Δ μήκει · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς Ε τετραγώνῳ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Ε δυνάμει . τῇ ἄρα προτεθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Α προσεύρηνται δύο εὐθεῖαι ἀσύμμετροι αἱ Δ , Ε , μήκει μὲν μόνον ἡ Δ , δυνάμει δὲ καὶ μήκει δηλαδὴ ἡ Ε .
Lemmas: ὁ προτίθημι εὔθεια προσευρίσκω δύο εὐθεῖα ἀσύμμετρος , ὁ μέν μῆκος μόνος , ὁ δέ καί δύναμις . εἰμί ὁ προτίθημι εὐθεῖα ὁ Α · δέω δή ὁ Α προσευρίσκω δύο εὐθεῖα ἀσύμμετρος , ὁ μέν μῆκος μόνος , ὁ δέ καί δύναμις . ἔκκειμαι γάρ δύο ἀριθμός ὁ Β , Γ πρός ἀλλήλων λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , τουτέστι μή ὅμοιος ἐπίπεδος , καί γίγνομαι ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Δ τετράγωνος · μανθάνω γάρ · σύμμετρος ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α ὁ ἀπό ὁ Δ . καί ἐπεί ὁ Β πρός ὁ Γ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ Δ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Δ μῆκος . λαμβάνω ὁ Α , Δ μέσος ἀνάλογος ὁ Ε · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Ε . ἀσύμμετρος δέ εἰμί ὁ Α ὁ Δ μῆκος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Ε τετράγωνος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Ε δύναμις . ὁ ἄρα προτίθημι εὔθεια ὁ Α προσευρίσκω δύο εὐθεῖα ἀσύμμετρος ὁ Δ , Ε , μῆκος μέν μόνος ὁ Δ , δύναμις δέ καί μῆκος δηλαδή ὁ Ε .
euclides-geom.elementa 10.prop1.11
ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , τὸ δὲ πρῶτον τῷ δευτέρῳ σύμμετρον ᾖ , καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ σύμμετρον ἔσται · κἂν τὸ πρῶτον τῷ δευτέρῳ ἀσύμμετρον ᾖ , καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ ἀσύμμετρον ἔσται . ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α , Β , Γ , Δ , ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , τὸ Α δὲ τῷ Β σύμμετρον ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ σύμμετρον ἔσται . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β , τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ · καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ . ἀλλὰ δὴ τὸ Α τῷ Β ἀσύμμετρον ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ ἀσύμμετρον ἔσται . ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β , τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ · οὐδὲ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ . ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ πρῶτος ὁ δεύτερος σύμμετρος εἰμί , καί ὁ τρίτος ὁ τέταρτος σύμμετρος εἰμί · ἐάν ὁ πρῶτος ὁ δεύτερος ἀσύμμετρος εἰμί , καί ὁ τρίτος ὁ τέταρτος ἀσύμμετρος εἰμί . εἰμί τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὁ Α δέ ὁ Β σύμμετρος εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ Γ ὁ Δ σύμμετρος εἰμί . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὁ Γ ἄρα πρός ὁ Δ λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Γ ὁ Δ . ἀλλά δή ὁ Α ὁ Β ἀσύμμετρος εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ Γ ὁ Δ ἀσύμμετρος εἰμί . ἐπεί γάρ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος οὐ ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · οὐδέ ὁ Γ ἄρα πρός ὁ Δ λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Γ ὁ Δ . ἐάν ἄρα τέσσαρες μέγεθος , καί ὁ ἑξῆς .
euclides-geom.elementa 10.prop1.12
τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα . ἑκάτερον γὰρ τῶν Α , Β τῷ Γ ἔστω σύμμετρον . λέγω , ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστι σύμμετρον . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ , τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . ἐχέτω , ὃν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε . πάλιν , ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ Γ τῷ Β , τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . ἐχέτω , ὃν ὁ Ζ πρὸς τὸν Η . καὶ λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν τοῦ τε , ὃν ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , καὶ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις οἱ Θ , Κ , Λ · ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Δ πρὸς τὸν Ε , οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ , ὡς δὲ τὸν Ζ πρὸς τὸν Η , οὕτως τὸν Κ πρὸς τὸν Λ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ , ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , ἀλλʼ ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , ὁ Κ πρὸς τὸν Λ , καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Β , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ . ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Λ . τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς ὁ Θ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Λ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β . τὰ ἄρα τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ αὐτός μέγεθος σύμμετρος καί ἀλλήλων εἰμί σύμμετρος . ἑκάτερος γάρ ὁ Α , Β ὁ Γ εἰμί σύμμετρος . λέγω , ὅτι καί ὁ Α ὁ Β εἰμί σύμμετρος . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Γ , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Γ λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . ἔχω , ὅς ὁ Δ πρός ὁ Ε . πάλιν , ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ Γ ὁ Β , ὁ Γ ἄρα πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . ἔχω , ὅς ὁ Ζ πρός ὁ Η . καί λόγος δίδωμι ὁπόσως ὁ τε , ὅς ἔχω ὁ Δ πρός ὁ Ε , καί ὁ Ζ πρός ὁ Η λαμβάνω ἀριθμός ἑξῆς ἐν ὁ δίδωμι λόγος ὁ Θ , Κ , Λ · ὥστε εἰμί ὡς μέν ὁ Δ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ , ὡς δέ ὁ Ζ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Λ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , ἀλλά ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Η , ἀλλά ὡς ὁ Ζ πρός ὁ Η , ὁ Κ πρός ὁ Λ , καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Λ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Λ . ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός ὁ Θ πρός ἀριθμός ὁ Λ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Β . ὁ ἄρα ὁ αὐτός μέγεθος σύμμετρος καί ἀλλήλων εἰμί σύμμετρος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.13
ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα , τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ , καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται . ἔστω δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ Α , Β , τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν τὸ Α ἄλλῳ τινὶ τῷ Γ ἀσύμμετρον ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ τὸ λοιπὸν τὸ Β τῷ Γ ἀσύμμετρόν ἐστιν . εἰ γάρ ἐστι σύμμετρον τὸ Β τῷ Γ , ἀλλὰ καὶ τὸ Α τῷ Β σύμμετρόν ἐστιν , καὶ τὸ Α ἄρα τῷ Γ σύμμετρόν ἐστιν . ἀλλὰ καὶ ἀσύμμετρον · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα σύμμετρόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ · ἀσύμμετρον ἄρα . ἐὰν ἄρα ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα , καὶ τὰ ἑξῆς . λῆμμα δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων εὑρεῖν , τίνι μεῖζον δύναται ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο ἄνισοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , Γ , ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ · δεῖ δὴ εὑρεῖν , τίνι μεῖζον δύναται ἡ ΑΒ τῆς Γ . γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ , καὶ εἰς αὐτὸ ἐνηρμόσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΑΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ . φανερὸν δή , ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία , καὶ ὅτι ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ , τουτέστι τῆς Γ , μεῖζον δύναται τῇ ΔΒ . ὁμοίως δὲ καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἡ δυναμένη αὐτὰς εὑρίσκεται οὕτως . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ , ΔΒ , καὶ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν δυναμένην αὐτάς . κείσθωσαν γάρ , ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν ὑπὸ ΑΔ , ΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ · φανερὸν πάλιν , ὅτι ἡ τὰς ΑΔ , ΔΒ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο μέγεθος σύμμετρος , ὁ δέ ἕτερος αὐτός μέγεθος τις ἀσύμμετρος εἰμί , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ἀσύμμετρος εἰμί . εἰμί δύο μέγεθος σύμμετρος ὁ Α , Β , ὁ δέ ἕτερος αὐτός ὁ Α ἄλλος τις ὁ Γ ἀσύμμετρος εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ λοιπός ὁ Β ὁ Γ ἀσύμμετρος εἰμί . εἰ γάρ εἰμί σύμμετρος ὁ Β ὁ Γ , ἀλλά καί ὁ Α ὁ Β σύμμετρος εἰμί , καί ὁ Α ἄρα ὁ Γ σύμμετρος εἰμί . ἀλλά καί ἀσύμμετρος · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα σύμμετρος εἰμί ὁ Β ὁ Γ · ἀσύμμετρος ἄρα . ἐάν ἄρα εἰμί δύο μέγεθος σύμμετρος , καί ὁ ἑξῆς . λῆμμα δύο δίδωμι εὐθεῖα ἄνισος εὑρίσκω , τίς μέγας δύναμαι ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς . εἰμί ὁ δίδωμι δύο ἄνισος εὐθεῖα ὁ ΑΒ , Γ , ὅς μέγας εἰμί ὁ ΑΒ · δέω δή εὑρίσκω , τίς μέγας δύναμαι ὁ ΑΒ ὁ Γ . γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΔΒ , καί εἰς αὐτός ἐναρμόζω ὁ Γ ἴσος ὁ ΑΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ . φανερός δή , ὅτι ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΑΔΒ γωνία , καί ὅτι ὁ ΑΒ ὁ ΑΔ , τουτέστι ὁ Γ , μέγας δύναμαι ὁ ΔΒ . ὅμοιος δέ καί δύο δίδωμι εὐθεῖα ὁ δύναμαι αὐτός εὑρίσκω οὕτως . εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθεῖα ὁ ΑΔ , ΔΒ , καί δέω εἰμί εὑρίσκω ὁ δύναμαι αὐτός . κεῖμαι γάρ , ὥστε ὀρθός γωνία περιέχω ὁ ὑπό ΑΔ , ΔΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ · φανερός πάλιν , ὅτι ὁ ὁ ΑΔ , ΔΒ δύναμαι εἰμί ὁ ΑΒ · ὅς δέω δείκνυμι .