euclides-geom.elementa 3.prop.35
ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας , τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἐν γὰρ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ , ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . εἰ μὲν οὖν αἱ ΑΓ , ΒΔ διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , φανερόν , ὅτι ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ , ΕΓ , ΔΕ , ΕΒ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΓ , ΔΒ διὰ τοῦ κέντρου , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ , καὶ ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰς ΑΓ , ΔΒ εὐθείας κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ , ΖΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ , ΖΓ , ΖΕ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΗΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει · ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΓ . ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η , εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ · προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΕ , ΗΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ , ΗΖ . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΗ , ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΓ . ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖαι δύο τέμνωσιν ἀλλήλας , τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἐν κύκλος δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων , ὁ ὑπό ὁ ὁ εἷς τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ὁ ἕτερος τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον . ἐν γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖα ὁ ΑΓ , ΒΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΒ περιέχω ὀρθογώνιον . εἰ μέν οὖν ὁ ΑΓ , ΒΔ διά ὁ κέντρον εἰμί ὥστε ὁ Ε κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , φανερός , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ , ΕΓ , ΔΕ , ΕΒ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΒ περιέχω ὀρθογώνιον . μή εἰμί δή ὁ ΑΓ , ΔΒ διά ὁ κέντρον , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓΔ , καί εἰμί ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ ΑΓ , ΔΒ εὐθεῖα κάθετος ἄγω ὁ ΖΗ , ΖΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ , ΖΓ , ΖΕ . καί ἐπεί εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ὁ ΗΖ εὐθεῖα τις μή διά ὁ κέντρον ὁ ΑΓ πρός ὀρθός τέμνω , καί δίχα αὐτός τέμνω · ἴσος ἄρα ὁ ΑΗ ὁ ΗΓ . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΑΓ τέμνω εἰς μέν ἴσος κατά ὁ Η , εἰς δέ ἄνισος κατά ὁ Ε , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΗ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΓ · πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΗΖ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΗΕ , ΗΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΗ , ΗΖ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΗ , ΗΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΓ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΓ . ἴσος δέ ὁ ΖΓ ὁ ΖΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΒ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΒ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΕ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΖΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΕ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΖΕ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΒ περιέχω ὀρθογώνιον . ἐάν ἄρα ἐν κύκλος εὐθεῖα δύο τέμνω ἀλλήλων , ὁ ὑπό ὁ ὁ εἷς τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ὁ ἕτερος τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον · ὅς δέω δείκνυμι .