euclides-geom.elementa 11.prop.22
ἐὰν ὦσι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι , ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , περιέχωσι δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐθεῖαι , δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς ἴσας εὐθείας τρίγωνον συστήσασθαι . ἔστωσαν τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ , ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , αἱ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΗΘΚ , αἱ δὲ ὑπὸ ΔΕΖ , ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ , καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ , ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ , καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ εὐθεῖαι , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ · λέγω , ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι , τουτέστιν ὅτι τῶν ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν . εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , φανερόν , ὅτι καὶ τῶν ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ ἴσων γινομένων δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι . εἰ δὲ οὔ , ἔστωσαν ἄνισοι , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΘΚ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘΛ · καὶ κείσθω μιᾷ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ ἴση ἡ ΘΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ , ΗΛ . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ , ΘΛ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ ἴση , βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΚΛ ἴση . καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζονές εἰσιν , ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΗΘΛ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζων ἐστίν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΗΘ , ΘΛ δύο ταῖς ΔΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΘΛ γωνίας τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζων , βάσις ἄρα ἡ ΗΛ βάσεως τῆς ΔΖ μείζων ἐστίν . ἀλλὰ αἱ ΗΚ , ΚΛ τῆς ΗΛ μείζονές εἰσιν . πολλῷ ἄρα αἱ ΗΚ , ΚΛ τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν . ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΑΓ · αἱ ΑΓ , ΗΚ ἄρα τῆς λοιπῆς τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΓ , ΔΖ τῆς ΗΚ μείζονές εἰσιν , καὶ ἔτι αἱ ΔΖ , ΗΚ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν . δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς γωνία ἐπίπεδος , ὅς ὁ δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω , περιέχω δέ αὐτός ἴσος εὐθεῖα , δυνατός εἰμί ἐκ ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ἴσος εὐθεῖα τρίγωνος συνίστημι . εἰμί τρεῖς γωνία ἐπίπεδος ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ , ὅς ὁ δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω , ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ ὑπό ΗΘΚ , ὁ δέ ὑπό ΔΕΖ , ΗΘΚ ὁ ὑπό ΑΒΓ , καί ἔτι ὁ ὑπό ΗΘΚ , ΑΒΓ ὁ ὑπό ΔΕΖ , καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ εὐθεῖα , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ · λέγω , ὅτι δυνατός εἰμί ἐκ ὁ ἴσος ὁ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ τρίγωνος συνίστημι , τουτέστι ὅτι ὁ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ δύο ὁποιαιοῦν ὁ λοιπός μέγας εἰμί . εἰ μέν οὖν ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , φανερός , ὅτι καί ὁ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ ἴσος γίγνομαι δυνατός εἰμί ἐκ ὁ ἴσος ὁ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ τρίγωνος συνίστημι . εἰ δέ οὐ , εἰμί ἄνισος , καί συνίστημι πρός ὁ ΘΚ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Θ ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΚΘΛ · καί κεῖμαι εἷς ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ ἴσος ὁ ΘΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΛ , ΗΛ . καί ἐπεί δύο ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο ὁ ΚΘ , ΘΛ ἴσος εἰμί , καί γωνία ὁ πρός ὁ Β γωνία ὁ ὑπό ΚΘΛ ἴσος , βάσις ἄρα ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΚΛ ἴσος . καί ἐπεί ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΗΘΚ ὁ ὑπό ΔΕΖ μέγας εἰμί , ἴσος δέ ὁ ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΚΘΛ , ὁ ἄρα ὑπό ΗΘΛ ὁ ὑπό ΔΕΖ μέγας εἰμί . καί ἐπεί δύο ὁ ΗΘ , ΘΛ δύο ὁ ΔΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί , καί γωνία ὁ ὑπό ΗΘΛ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ μέγας , βάσις ἄρα ὁ ΗΛ βάσις ὁ ΔΖ μέγας εἰμί . ἀλλά ὁ ΗΚ , ΚΛ ὁ ΗΛ μέγας εἰμί . πολύς ἄρα ὁ ΗΚ , ΚΛ ὁ ΔΖ μέγας εἰμί . ἴσος δέ ὁ ΚΛ ὁ ΑΓ · ὁ ΑΓ , ΗΚ ἄρα ὁ λοιπός ὁ ΔΖ μέγας εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν ΑΓ , ΔΖ ὁ ΗΚ μέγας εἰμί , καί ἔτι ὁ ΔΖ , ΗΚ ὁ ΑΓ μέγας εἰμί . δυνατός ἄρα εἰμί ἐκ ὁ ἴσος ὁ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ τρίγωνος συνίστημι · ὅς δέω δείκνυμι .