ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 1.prop.24
ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην , καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ , ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ , ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ , ἡ δὲ πρὸς τῷ Α γωνία τῆς πρὸς τῷ Δ γωνίας μείζων ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἐστίν . ἐπεὶ γὰρ μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ γωνίας , συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΗ , καὶ κείσθω ὁποτέρᾳ τῶν ΑΓ , ΔΖ ἴση ἡ ΔΗ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ , ΖΗ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ , ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΔΗ , δύο δὴ αἱ ΒΑ , ΑΓ δυσὶ ταῖς ΕΔ , ΔΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΗ · μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ · πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ . καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΕΖΗ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΕΖΗ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΕΗΖ , ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει , μείζων ἄρα καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῆς ΕΖ . ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΒΓ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην , καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ δύο πλευρά δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ δέ γωνία ὁ γωνία μέγας ἔχω ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθύς περιέχω , καί ὁ βάσις ὁ βάσις μέγας ἔχω . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ δύο πλευρά ὁ ΑΒ , ΑΓ ὁ δύο πλευρά ὁ ΔΕ , ΔΖ ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ ὁ δέ ΑΓ ὁ ΔΖ , ὁ δέ πρός ὁ Α γωνία ὁ πρός ὁ Δ γωνία μέγας εἰμί · λέγω , ὅτι καί βάσις ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ μέγας εἰμί . ἐπεί γάρ μέγας ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ γωνία , συνίστημι πρός ὁ ΔΕ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Δ ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΕΔΗ , καί κεῖμαι ὁπότερος ὁ ΑΓ , ΔΖ ἴσος ὁ ΔΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ , ΖΗ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΔΉ , δύο δή ὁ ΒΑ , ΑΓ δύο ὁ ΕΔ , ΔΉ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΗ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΗ εἰμί ἴσος . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΖ ὁ ΔΉ , ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ΔΗΖ γωνία ὁ ὑπό ΔΖΗ · μέγας ἄρα ὁ ὑπό ΔΖΗ ὁ ὑπό ΕΗΖ · πολύς ἄρα μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΕΖΗ ὁ ὑπό ΕΗΖ . καί ἐπεί τρίγωνον εἰμί ὁ ΕΖΗ μέγας ἔχω ὁ ὑπό ΕΖΗ γωνία ὁ ὑπό ΕΗΖ , ὑπό δέ ὁ μέγας γωνία ὁ μέγας πλευρόν ὑποτείνω , μέγας ἄρα καί πλευρόν ὁ ΕΗ ὁ ΕΖ . ἴσος δέ ὁ ΕΗ ὁ ΒΓ · μέγας ἄρα καί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος ὁ δύο πλευρά δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ δέ γωνία ὁ γωνία μέγας ἔχω ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθύς περιέχω , καί ὁ βάσις ὁ βάσις μέγας ἔχω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.25
ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ , καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ , ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ , ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ , τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ · βάσις δὲ ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΔΖ μείζων ἐστίν · εἰ γὰρ μή , ἤτοι ἴση ἐστὶν αὐτῇ ἢ ἐλάσσων · ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ · ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ · οὐκ ἔστι δέ . οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ · οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ · ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ · οὐκ ἔστι δέ · οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ . ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἴση · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκάτερᾳ , τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ , καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ δύο πλευρά δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ δέ βάσις ὁ βάσις μέγας ἔχω , καί ὁ γωνία ὁ γωνία μέγας ἔχω ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθεῖα περιέχω . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ δύο πλευρά ὁ ΑΒ , ΑΓ ὁ δύο πλευρά ὁ ΔΕ , ΔΖ ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΔΖ · βάσις δέ ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ μέγας εἰμί · λέγω , ὅτι καί γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ μέγας εἰμί · εἰ γάρ μή , ἤτοι ἴσος εἰμί αὐτός ἤ ἐλαχύς · ἴσος μέν οὖν οὐ εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ · ἴσος γάρ ἄν εἰμί καί βάσις ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ · οὐ εἰμί δέ . οὐ ἄρα ἴσος εἰμί γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ · οὐδέ μήν ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ · ἐλαχύς γάρ ἄν εἰμί καί βάσις ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ · οὐ εἰμί δέ · οὐ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ ἴσος · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος ὁ δύο πλευρά δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ δέ βάσις ὁ βάσις μέγας ἔχω , καί ὁ γωνία ὁ γωνία μέγας ἔχω ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθύς περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.27
ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ , παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι . εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΕΖ , ΕΖΔ ἴσας ἀλλήλαις ποιείτω · λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . εἰ γὰρ μή , ἐκβαλλόμεναι αἱ ΑΒ , ΓΔ συμπεσοῦνται ἤτοι ἐπὶ τὰ Β , Δ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Α , Γ . ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ Β , Δ μέρη κατὰ τὸ Η . τριγώνου δὴ τοῦ ΗΕΖ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΖΗ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα αἱ ΑΒ , ΓΔ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Β , Δ μέρη . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Α , Γ · αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ , παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰς δύο εὐθεῖα εὐθεῖα ἐμπίπτω ὁ ἐναλλάξ γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , παράλληλος εἰμί ἀλλήλων ὁ εὐθεῖα . εἰς γάρ δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΕΖ ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΑΕΖ , ΕΖΔ ἴσος ἀλλήλων ποιέω · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . εἰ γάρ μή , ἐκβάλλω ὁ ΑΒ , ΓΔ συμπίπτω ἤτοι ἐπί ὁ Β , Δ μέρος ἤ ἐπί ὁ Α , Γ . ἐκβάλλω καί συμπίπτω ἐπί ὁ Β , Δ μέρος κατά ὁ Η . τρίγωνον δή ὁ ΗΕΖ ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΑΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΕΖΗ · ὅς εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ ἐκβάλλω συμπίπτω ἐπί ὁ Β , Δ μέρος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἐπί ὁ Α , Γ · ὁ δέ ἐπί μηδέτερος ὁ μέρος συμπίπτω παράλληλος εἰμί · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . ἐάν ἄρα εἰς δύο εὐθεῖα εὐθεῖα ἐμπίπτω ὁ ἐναλλάξ γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , παράλληλος εἰμί ὁ εὐθεῖα · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.28
ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας , παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι . εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην ποιείτω ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας · λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ , ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση , καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση · καί εἰσιν ἐναλλάξ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . πάλιν , ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι , αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν · κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση · καί εἰσιν ἐναλλάξ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας , παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰς δύο εὐθεῖα εὐθεῖα ἐμπίπτω ὁ ἐκτός γωνία ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος ἴσος ποιέω ἤ ὁ ἐντός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος δύο ὀρθός ἴσος , παράλληλος εἰμί ἀλλήλων ὁ εὐθεῖα . εἰς γάρ δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΕΖ ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΕΗΒ ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον γωνία ὁ ὑπό ΗΘΔ ἴσος ποιέω ἤ ὁ ἐντός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ ὑπό ΒΗΘ , ΗΘΔ δύο ὀρθός ἴσος · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΗΒ ὁ ὑπό ΗΘΔ , ἀλλά ὁ ὑπό ΕΗΒ ὁ ὑπό ΑΗΘ εἰμί ἴσος , καί ὁ ὑπό ΑΗΘ ἄρα ὁ ὑπό ΗΘΔ εἰμί ἴσος · καί εἰμί ἐναλλάξ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ΒΗΘ , ΗΘΔ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΗΘ , ΒΗΘ δύο ὀρθός ἴσος , ὁ ἄρα ὑπό ΑΗΘ , ΒΗΘ ὁ ὑπό ΒΗΘ , ΗΘΔ ἴσος εἰμί · κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΒΗΘ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΗΘ λοιπός ὁ ὑπό ΗΘΔ εἰμί ἴσος · καί εἰμί ἐναλλάξ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . ἐάν ἄρα εἰς δύο εὐθεῖα εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ἐκτός γωνία ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος ἴσος ποιέω ἤ ὁ ἐντός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος δύο ὀρθός ἴσος , παράλληλος εἰμί ὁ εὐθεῖα · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.31
διὰ τοῦ δοθέντος σημείου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α , ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ · δεῖ δὴ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ · καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΑΕ · καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΕΑ εὐθεῖα ἡ ΑΖ . καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΓ , ΕΖ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΑΔ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΑΔ , ΑΔΓ ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑΖ τῇ ΒΓ . διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: διά ὁ δίδωμι σημεῖον ὁ δίδωμι εὔθεια παράλληλος εὐθύς γραμμή ἄγω . εἰμί ὁ μέν δίδωμι σημεῖον ὁ Α , ὁ δέ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΒΓ · δέω δή διά ὁ Α σημεῖον ὁ ΒΓ εὔθεια παράλληλος εὐθύς γραμμή ἄγω . λαμβάνω ἐπί ὁ ΒΓ τυγχάνω σημεῖον ὁ Δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ · καί συνίστημι πρός ὁ ΔΑ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ ὑπό ΑΔΓ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΔΑΕ · καί ἐκβάλλω ἐπί εὐθεῖα ὁ ΕΑ εὐθύς ὁ ΑΖ . καί ἐπεί εἰς δύο εὐθεῖα ὁ ΒΓ , ΕΖ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΑΔ ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΕΑΔ , ΑΔΓ ἴσος ἀλλήλων ποιέω , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΕΑΖ ὁ ΒΓ . διά ὁ δίδωμι ἄρα σημεῖον ὁ Α ὁ δίδωμι εὔθεια ὁ ΒΓ παράλληλος εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΑΖ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.32
παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν , καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ · λέγω , ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΓΑΒ , ΑΒΓ , καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΑ , ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΓΕ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΑΓΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . πάλιν , ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΔ , ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ , ΑΒΓ . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ , ΑΓΒ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΑ , ΓΑΒ ἴσαι εἰσίν . ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ , ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , ΓΒΑ , ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν , καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς τρίγωνον εἷς ὁ πλευρά προσεκβάλλω ὁ ἐκτός γωνία δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ἴσος εἰμί , καί ὁ ἐντός ὁ τρίγωνον τρεῖς γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , καί προσεκβάλλω αὐτός εἷς πλευρόν ὁ ΒΓ ἐπί ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΑΓΔ ἴσος εἰμί δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΓΑΒ , ΑΒΓ , καί ὁ ἐντός ὁ τρίγωνον τρεῖς γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΑ , ΓΑΒ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ἄγω γάρ διά ὁ Γ σημεῖον ὁ ΑΒ εὔθεια παράλληλος ὁ ΓΕ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΕ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω ὁ ΑΓ , ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΑΓΕ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . πάλιν , ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΕ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω εὐθεῖα ὁ ΒΔ , ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΕΓΔ ἴσος εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΑΒΓ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΑΓΕ ὁ ὑπό ΒΑΓ ἴσος · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΔ γωνία ἴσος εἰμί δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΑΒΓ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΑΓΒ · ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΔ , ΑΓΒ τρεῖς ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΑ , ΓΑΒ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΓΔ , ΑΓΒ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · καί ὁ ὑπό ΑΓΒ , ΓΒΑ , ΓΑΒ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . πᾶς ἄρα τρίγωνον εἷς ὁ πλευρά προσεκβάλλω ὁ ἐκτός γωνία δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ἴσος εἰμί , καί ὁ ἐντός ὁ τρίγωνον τρεῖς γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.33
αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν . ἔστωσαν ἴσαι τε καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ , ΓΔ , καὶ ἐπιζευγνύτωσαν αὐτὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι αἱ ΑΓ , ΒΔ · λέγω , ὅτι καὶ αἱ ΑΓ , ΒΔ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν . ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΓ δύο ταῖς ΒΓ , ΓΔ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση , καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ . καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΓ , ΒΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΒΓ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ . ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση . αἱ ἄρα τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ ἴσος τε καί παράλληλος ἐπί ὁ αὐτός μέρος ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα καί αὐτός ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . εἰμί ἴσος τε καί παράλληλος ὁ ΑΒ , ΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι αὐτός ἐπί ὁ αὐτός μέρος εὐθεῖα ὁ ΑΓ , ΒΔ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΓ , ΒΔ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω ὁ ΒΓ , ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΔ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ κοινός δέ ὁ ΒΓ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο ὁ ΒΓ , ΓΔ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΔ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΒΔ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΒΓΔ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΒ γωνία ὁ ὑπό ΓΒΔ . καί ἐπεί εἰς δύο εὐθεῖα ὁ ΑΓ , ΒΔ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΒΓ ὁ ἐναλλάξ γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΒΔ . δείκνυμι δέ αὐτός καί ἴσος . ὁ ἄρα ὁ ἴσος τε καί παράλληλος ἐπί ὁ αὐτός μέρος ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα καί αὐτός ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.34
τῶν παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει . ἔστω παραλληλόγραμμον χωρίον τὸ ΑΓΔΒ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ · λέγω , ὅτι τοῦ ΑΓΔΒ παραλληλογράμμου αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , καὶ ἡ ΒΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει . ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΓ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . πάλιν , ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , ΓΒΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ , ΒΓΔ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ , ΓΒΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΓ · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ · ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ ΓΔ , ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΒΔ , καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ , ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστιν ἴση . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ ἴση . τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . λέγω δή , ὅτι καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ , κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΓΔ , ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση . καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἴση . καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν . ἡ ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ παραλληλόγραμμος χωρίον ὁ ἀπεναντίον πλευρά τε καί γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ διάμετρος αὐτός δίχα τέμνω . εἰμί παραλληλόγραμμος χωρίον ὁ ΑΓΔΒ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓΔΒ παραλληλόγραμμος ὁ ἀπεναντίον πλευρά τε καί γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ ΒΓ διάμετρος αὐτός δίχα τέμνω . ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω εὐθύς ὁ ΒΓ , ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΔ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . πάλιν , ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΒΔ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω ὁ ΒΓ , ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΑΓΒ , ΓΒΔ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΑΒΓ , ΒΓΔ ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΑ δύο ὁ ὑπό ΒΓΔ , ΓΒΔ ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ὁ πρός ὁ ἴσος γωνία κοινός αὐτός ὁ ΒΓ · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία · ἴσος ἄρα ὁ μέν ΑΒ πλευρόν ὁ ΓΔ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΒΔ , καί ἔτι ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΓΔΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΔ , ὁ δέ ὑπό ΓΒΔ ὁ ὑπό ΑΓΒ , ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΔ ὅλος ὁ ὑπό ΑΓΔ εἰμί ἴσος . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΓΔΒ ἴσος . ὁ ἄρα παραλληλόγραμμος χωρίον ὁ ἀπεναντίον πλευρά τε καί γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί ὁ διάμετρος αὐτός δίχα τέμνω . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ , κοινός δέ ὁ ΒΓ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο ὁ ΓΔ , ΒΓ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΔ ἴσος . καί βάσις ἄρα ὁ ΑΓ ὁ ΔΒ ἴσος . καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΒΓΔ τρίγωνον ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνω ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.35
τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ , ΕΒΓΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΖ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ . ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ , ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση · καὶ κοινὴ ἡ ΔΕ · ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλῃ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ ἴση · δύο δὴ αἱ ΕΑ , ΑΒ δύο ταῖς ΖΔ , ΔΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΔΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ ἐστιν ἴση ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός · βάσις ἄρα ἡ ΕΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΕΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ τριγώνῳ ἴσον ἔσται · κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΗΕ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΗΔ τραπέζιον λοιπῷ τῷ ΕΗΓΖ τραπεζίῳ ἐστὶν ἴσον · κοινὸν προσκείσθω τὸ ΗΒΓ τρίγωνον · ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ ἴσον ἐστίν . τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓΔ , ΕΒΓΖ ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ ΒΓ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΑΖ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ ὁ ΕΒΓΖ παραλληλόγραμμος . ἐπεί γάρ παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ , ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΒΓ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΕΖ ὁ ΒΓ εἰμί ἴσος · ὥστε καί ὁ ΑΔ ὁ ΕΖ εἰμί ἴσος · καί κοινός ὁ ΔΕ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ὅλος ὁ ΔΖ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ ὁ ΔΓ ἴσος · δύο δή ὁ ΕΑ , ΑΒ δύο ὁ ΖΔ , ΔΓ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΖΔΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΑΒ εἰμί ἴσος ὁ ἐκτός ὁ ἐντός · βάσις ἄρα ὁ ΕΒ βάσις ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΕΑΒ τρίγωνον ὁ ΔΖΓ τρίγωνον ἴσος εἰμί · κοινός ἀφαιρέω ὁ ΔΗΕ · λοιπός ἄρα ὁ ΑΒΗΔ τραπέζιον λοιπός ὁ ΕΗΓΖ τραπέζιον εἰμί ἴσος · κοινός πρόσκειμαι ὁ ΗΒΓ τρίγωνον · ὅλος ἄρα ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος ὅλος ὁ ΕΒΓΖ παραλληλόγραμμος ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα παραλληλόγραμμος ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.36
τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα τῶν ΒΓ , ΖΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΘ , ΒΗ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ , ΓΘ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΗ , ἀλλὰ ἡ ΖΗ τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση , καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση . εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι . καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΕΒ , ΘΓ · αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι · . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓΘ . καί ἐστιν ἴσον τῷ ΑΒΓΔ · βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει τὴν ΒΓ , καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστὶν αὐτῷ ταῖς ΒΓ , ΑΘ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΖΗΘ τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ ἐστιν ἴσον · ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ ἐστιν ἴσον . τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί ὁ ΒΓ , ΖΗ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΑΘ , ΒΗ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος ὁ ΕΖΗΘ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΕ , ΓΘ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΖΗ , ἀλλά ὁ ΖΗ ὁ ΕΘ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΒΓ ἄρα ὁ ΕΘ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί παράλληλος . καί ἐπιζεύγνυμι αὐτός ὁ ΕΒ , ΘΓ · ὁ δέ ὁ ἴσος τε καί παράλληλος ἐπί ὁ αὐτός μέρος ἐπιζεύγνυμι ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί · . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΕΒΓΘ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒΓΔ · βάσις τε γάρ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω ὁ ΒΓ , καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί αὐτός ὁ ΒΓ , ΑΘ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΕΖΗΘ ὁ αὐτός ὁ ΕΒΓΘ εἰμί ἴσος · ὥστε καί ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος ὁ ΕΖΗΘ εἰμί ἴσος . ὁ ἄρα παραλληλόγραμμος ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.37
τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΔ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ . Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Ε , Ζ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ , διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΒΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΕΒΓΑ , ΔΒΓΖ · καί εἰσιν ἴσα · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ , ΕΖ · καί ἐστι τοῦ μὲν ΕΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον · ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει · τοῦ δὲ ΔΒΓΖ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον · ἡ γὰρ ΔΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει . . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ . τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ τρίγωνος ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΒΓ ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ ΒΓ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΑΔ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΒΓ τρίγωνον . ἐκβάλλω ὁ ΑΔ ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ἐπί ὁ Ε , Ζ , καί διά μέν ὁ Β ὁ ΓΑ παράλληλος ἄγω ὁ ΒΕ , διά δέ ὁ Γ ὁ ΒΔ παράλληλος ἄγω ὁ ΓΖ . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΕΒΓΑ , ΔΒΓΖ · καί εἰμί ἴσος · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΒΓ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΒΓ , ΕΖ · καί εἰμί ὁ μέν ΕΒΓΑ παραλληλόγραμμος ἥμισυς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον · ὁ γάρ ΑΒ διάμετρος αὐτός δίχα τέμνω · ὁ δέ ΔΒΓΖ παραλληλόγραμμος ἥμισυς ὁ ΔΒΓ τρίγωνον · ὁ γάρ ΔΓ διάμετρος αὐτός δίχα τέμνω . . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΒΓ τρίγωνον . ὁ ἄρα τρίγωνος ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.38
τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ , ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ , ΑΔ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Η , θ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ , διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΘ . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΗΒΓΑ , ΔΕΖΘ · καὶ ἴσον τὸ ΗΒΓΑ τῷ ΔΕΖΘ · ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ , ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ , ΗΘ · καί ἐστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον . ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει · τοῦ δὲ ΔΕΖΘ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΖΕΔ τρίγωνον · ἡ γὰρ ΔΖ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει · . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ τρίγωνος ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπί ἴσος βάσις ὁ ΒΓ , ΕΖ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΒΖ , ΑΔ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΑΔ ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ἐπί ὁ Η , θ̅ , καί διά μέν ὁ Β ὁ ΓΑ παράλληλος ἄγω ὁ ΒΗ , διά δέ ὁ Ζ ὁ ΔΕ παράλληλος ἄγω ὁ ΖΘ . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΗΒΓΑ , ΔΕΖΘ · καί ἴσος ὁ ΗΒΓΑ ὁ ΔΕΖΘ · ἐπί τε γάρ ἴσος βάσις εἰμί ὁ ΒΓ , ΕΖ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΒΖ , ΗΘ · καί εἰμί ὁ μέν ΗΒΓΑ παραλληλόγραμμος ἥμισυς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . ὁ γάρ ΑΒ διάμετρος αὐτός δίχα τέμνω · ὁ δέ ΔΕΖΘ παραλληλόγραμμος ἥμισυς ὁ ΖΕΔ τρίγωνον · ὁ γάρ ΔΖ διάμετρος αὐτός δίχα τέμνω · . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . ὁ ἄρα τρίγωνος ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.39
τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν . ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῆς ΒΓ · λέγω , ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν . ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ . εἰ γὰρ μή , ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΑΕ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις . ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τῷ ΔΒΓ ἐστιν ἴσον · καὶ τὸ ΔΒΓ ἄρα τῷ ΕΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΒΓ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ · ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστι παράλληλος . τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἴσος τρίγωνος ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί . εἰμί ἴσος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΒΓ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΒΓ . εἰ γάρ μή , ἄγω διά ὁ Α σημεῖον ὁ ΒΓ εὔθεια παράλληλος ὁ ΑΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΓ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΕΒΓ τρίγωνον · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί αὐτός ὁ ΒΓ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος . ἀλλά ὁ ΑΒΓ ὁ ΔΒΓ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΔΒΓ ἄρα ὁ ΕΒΓ ἴσος εἰμί ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα παράλληλος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΒΓ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος τις πλήν ὁ ΑΔ · ὁ ΑΔ ἄρα ὁ ΒΓ εἰμί παράλληλος . ὁ ἄρα ἴσος τρίγωνος ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.40
τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν . ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΓΔΕ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ , ΓΕ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη . λέγω , ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν . ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ . εἰ γὰρ μή , ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΑΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ · ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ , ΓΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΕ , ΑΖ . ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΓΕ · καὶ τὸ ΔΓΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΕ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ · ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἐστι παράλληλος . τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἴσος τρίγωνος ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί . εἰμί ἴσος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ ἐπί ἴσος βάσις ὁ ΒΓ , ΓΕ καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος . λέγω , ὅτι καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΒΕ . εἰ γάρ μή , ἄγω διά ὁ Α ὁ ΒΕ παράλληλος ὁ ΑΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΕ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΖΓΕ τρίγωνον · ἐπί τε γάρ ἴσος βάσις εἰμί ὁ ΒΓ , ΓΕ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΒΕ , ΑΖ . ἀλλά ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος εἰμί ὁ ΔΓΕ · καί ὁ ΔΓΕ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΖΓΕ τρίγωνον ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα παράλληλος ὁ ΑΖ ὁ ΒΕ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος τις πλήν ὁ ΑΔ · ὁ ΑΔ ἄρα ὁ ΒΕ εἰμί παράλληλος . ὁ ἄρα ἴσος τρίγωνος ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.41
ἐὰν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ , διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου . παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἔστω ταῖς ΒΓ , ΑΕ · λέγω , ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τοῦ ΒΕΓ τριγώνου . ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ . ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ , ΑΕ . ἀλλὰ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου · ἡ γὰρ ΑΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει · ὥστε τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τοῦ ΕΒΓ τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον . ἐὰν ἄρα παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ , διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν παραλληλόγραμμος τρίγωνον βάσις τε ἔχω ὁ αὐτός καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί , διπλάσιος εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ τρίγωνον . παραλληλόγραμμος γάρ ὁ ΑΒΓΔ τρίγωνον ὁ ΕΒΓ βάσις τε ἔχω ὁ αὐτός ὁ ΒΓ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί ὁ ΒΓ , ΑΕ · λέγω , ὅτι διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος ὁ ΒΕΓ τρίγωνον . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΓ . ἴσος δή εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΕΒΓ τρίγωνον · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί αὐτός ὁ ΒΓ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΒΓ , ΑΕ . ἀλλά ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον · ὁ γάρ ΑΓ διάμετρος αὐτός δίχα τέμνω · ὥστε ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος καί ὁ ΕΒΓ τρίγωνον εἰμί διπλάσιος . ἐάν ἄρα παραλληλόγραμμος τρίγωνον βάσις τε ἔχω ὁ αὐτός καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί , διπλάσιος εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ τρίγωνον · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.42
τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ . ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ · δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ . τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΕΖ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΗ , διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΗ · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ · ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΕ , ΕΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ , ΑΗ · διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου · βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστιν αὐτῷ παραλλήλοις · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ . καὶ ἔχει τὴν ὑπὸ ΓΕΖ γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ Δ . τῷ ἄρα δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΖΕΓΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΕΖ , ἥτις ἐστὶν ἴση τῇ Δ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι τρίγωνον ἴσος παραλληλόγραμμος συνίστημι ἐν ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος . εἰμί ὁ μέν δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ Δ · δέω δή ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος παραλληλόγραμμος συνίστημι ἐν ὁ Δ γωνία εὐθύγραμμος . τέμνω ὁ ΒΓ δίχα κατά ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , καί συνίστημι πρός ὁ ΕΓ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Ε ὁ Δ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΓΕΖ , καί διά μέν ὁ Α ὁ ΕΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΗ , διά δέ ὁ Γ ὁ ΕΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΓΗ · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΖΕΓΗ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΓ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ὁ ΑΕΓ τρίγωνον · ἐπί τε γάρ ἴσος βάσις εἰμί ὁ ΒΕ , ΕΓ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΒΓ , ΑΗ · διπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΕΓ τρίγωνον . εἰμί δέ καί ὁ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμος διπλάσιος ὁ ΑΕΓ τρίγωνον · βάσις τε γάρ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω καί ἐν ὁ αὐτός εἰμί αὐτός παράλληλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . καί ἔχω ὁ ὑπό ΓΕΖ γωνία ἴσος ὁ δίδωμι ὁ Δ . ὁ ἄρα δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἴσος παραλληλόγραμμος συνίστημι ὁ ΖΕΓΗ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΓΕΖ , ὅστις εἰμί ἴσος ὁ Δ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.43
παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ , περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα μὲν ἔστω τὰ ΖΘ , ΖΗ , τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΒΚ , ΚΔ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΚ παραπλήρωμα τῷ ΚΔ παραπληρώματι . ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ , ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ . πάλιν , ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΘ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΑΚ , ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΚΖΓ τρίγωνον τῷ ΚΗΓ ἐστιν ἴσον . ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον , τὸ δὲ ΚΖΓ τῷ ΚΗΓ , τὸ ΑΕΚ τρίγωνον μετὰ τοῦ ΚΗΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ μετὰ τοῦ ΚΖΓ · ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΑΔΓ ἴσον · λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚ παραπλήρωμα λοιπῷ τῷ ΚΔ παραπληρώματί ἐστιν ἴσον . παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς παραλληλόγραμμος ὁ περί ὁ διάμετρος παραλληλόγραμμος ὁ παραπλήρωμα ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΑΓ , περί δέ ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος μέν εἰμί ὁ ΖΘ , ΖΗ , ὁ δέ λέγω παραπλήρωμα ὁ ΒΚ , ΚΔ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΒΚ παραπλήρωμα ὁ ΚΔ παραπλήρωμα . ἐπεί γάρ παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΑΓ , ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΓΔ τρίγωνον . πάλιν , ἐπεί παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΕΘ , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ ΑΚ , ἴσος εἰμί ὁ ΑΕΚ τρίγωνον ὁ ΑΘΚ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΚΖΓ τρίγωνον ὁ ΚΗΓ εἰμί ἴσος . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΑΕΚ τρίγωνον ὁ ΑΘΚ τρίγωνον εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΚΖΓ ὁ ΚΗΓ , ὁ ΑΕΚ τρίγωνον μετά ὁ ΚΗΓ ἴσος εἰμί ὁ ΑΘΚ τρίγωνον μετά ὁ ΚΖΓ · εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὅλος ὁ ΑΔΓ ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ΒΚ παραπλήρωμα λοιπός ὁ ΚΔ παραπλήρωμα εἰμί ἴσος . πᾶς ἄρα παραλληλόγραμμος χωρίον ὁ περί ὁ διάμετρος παραλληλόγραμμος ὁ παραπλήρωμα ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.44
παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ , τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ Γ , ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ · δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν ἴσῃ τῇ Δ γωνίᾳ . συνεστάτω τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ · καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΑΒ , καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ , καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ , ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ . καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΘ , ΕΖ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ , ΘΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι . αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ , ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν · αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν · αἱ ΘΒ , ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται . ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ , καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ , ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ , ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ , Μ σημεῖα . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ , περὶ δὲ τὴν ΘΚ παραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ , ΜΕ , τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΛΒ , ΒΖ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ . ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον · καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ , ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστιν ἴση , καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ Δ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση . παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΛΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: παρά ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ δίδωμι τρίγωνον ἴσος παραλληλόγραμμος παραβάλλω ἐν ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι τρίγωνον ὁ Γ , ὁ δέ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ Δ · δέω δή παρά ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι τρίγωνον ὁ Γ ἴσος παραλληλόγραμμος παραβάλλω ἐν ἴσος ὁ Δ γωνία . συνίστημι ὁ Γ τρίγωνον ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΒΕΖΗ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΕΒΗ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ Δ · καί κεῖμαι ὥστε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΑΒ , καί διάγω ὁ ΖΗ ἐπί ὁ Θ , καί διά ὁ Α ὁπότερος ὁ ΒΗ , ΕΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΒ . καί ἐπεί εἰς παράλληλος ὁ ΑΘ , ΕΖ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΘΖ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΘΖ , ΘΖΕ γωνία δύο ὀρθός εἰμί ἴσος . ὁ ἄρα ὑπό ΒΘΗ , ΗΖΕ δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί · ὁ δέ ἀπό ἐλαχύς ἤ δύο ὀρθός εἰς ἄπειρος ἐκβάλλω συμπίπτω · ὁ ΘΒ , ΖΕ ἄρα ἐκβάλλω συμπίπτω . ἐκβάλλω καί συμπίπτω κατά ὁ Κ , καί διά ὁ Κ σημεῖον ὁπότερος ὁ ΕΑ , ΖΘ παράλληλος ἄγω ὁ ΚΛ , καί ἐκβάλλω ὁ ΘΑ , ΗΒ ἐπί ὁ Λ , Μ σημεῖον . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΘΛΚΖ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΘΚ , περί δέ ὁ ΘΚ παραλληλόγραμμος μέν ὁ ΑΗ , ΜΕ , ὁ δέ λέγω παραπλήρωμα ὁ ΛΒ , ΒΖ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΛΒ ὁ ΒΖ . ἀλλά ὁ ΒΖ ὁ Γ τρίγωνον εἰμί ἴσος · καί ὁ ΛΒ ἄρα ὁ Γ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΗΒΕ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΜ , ἀλλά ὁ ὑπό ΗΒΕ ὁ Δ εἰμί ἴσος , καί ὁ ὑπό ΑΒΜ ἄρα ὁ Δ γωνία εἰμί ἴσος . παρά ὁ δίδωμι ἄρα εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι τρίγωνον ὁ Γ ἴσος παραλληλόγραμμος παραβάλλω ὁ ΛΒ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΑΒΜ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ Δ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.46
ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι . ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ · δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι . ἤχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου τοῦ α πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ , καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ · καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ , διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ , ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ . ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση · αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ , ΑΔ , ΔΕ , ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλόγραμμον . λέγω δή , ὅτι καὶ ὀρθογώνιον . ἐπεὶ γὰρ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ , ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ , ΑΔΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ . τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ , ΒΕΔ γωνιῶν · ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον . τετράγωνον ἄρα ἐστίν · καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας ἀναγεγραμμένον · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἀπό ὁ δίδωμι εὐθεῖα τετράγωνος ἀναγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ · δέω δή ἀπό ὁ ΑΒ εὐθεῖα τετράγωνος ἀναγράφω . ἄγω ὁ ΑΒ εὔθεια ἀπό ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ α πρός ὀρθός ὁ ΑΓ , καί κεῖμαι ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΑΔ · καί διά μέν ὁ Δ σημεῖον ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΔΕ , διά δέ ὁ Β σημεῖον ὁ ΑΔ παράλληλος ἄγω ὁ ΒΕ . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔΕΒ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΑΔ ὁ ΒΕ . ἀλλά ὁ ΑΒ ὁ ΑΔ εἰμί ἴσος · ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ ΒΑ , ΑΔ , ΔΕ , ΕΒ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔΕΒ παραλληλόγραμμος . λέγω δή , ὅτι καί ὀρθογώνιον . ἐπεί γάρ εἰς παράλληλος ὁ ΑΒ , ΔΕ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΑΔ , ὁ ἄρα ὑπό ΒΑΔάς , ΑΔΕ γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΒΑΔάς · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΑΔΕ . ὁ δέ παραλληλόγραμμος χωρίον ὁ ἀπεναντίον πλευρά τε καί γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὀρθός ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΑΒΕ , ΒΕΔ γωνία · ὀρθογώνιον ἄρα εἰμί ὁ ΑΔΕΒ . δείκνυμι δέ καί ἰσόπλευρος . τετράγωνος ἄρα εἰμί · καί εἰμί ἀπό ὁ ΑΒ εὐθεῖα ἀναγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.48
ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις , ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν . τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις · λέγω , ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΔ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΑ , ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ τετραγώνοις . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΔΑ , ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ · ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία · τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ · ὑπόκειται γάρ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΔΓ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση · καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ , δύο δὴ αἱ ΔΑ , ΑΓ δύο ταῖς ΒΑ , ΑΓ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ . ἐὰν ἄρα τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις , ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρίγωνον ὁ ἀπό εἷς ὁ πλευρά τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον δύο πλευρά τετράγωνος , ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον δύο πλευρά ὀρθός εἰμί . τρίγωνον γάρ ὁ ΑΒΓ ὁ ἀπό εἷς ὁ ΒΓ πλευρά τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ πλευρά τετράγωνος · λέγω , ὅτι ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ΑΓ εὔθεια πρός ὀρθός ὁ ΑΔ καί κεῖμαι ὁ ΒΑ ἴσος ὁ ΑΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΓ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΒ , ἴσος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΔΑ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΔΑ , ΑΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ τετράγωνος . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΔΑ , ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΓ · ὀρθός γάρ εἰμί ὁ ὑπό ΔΑΓ γωνία · ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΓ · ὑπόκειμαι γάρ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΔΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΔΓ ὁ ΒΓ εἰμί ἴσος · καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΒ , κοινός δέ ὁ ΑΓ , δύο δή ὁ ΔΑ , ΑΓ δύο ὁ ΒΑ , ΑΓ ἴσος εἰμί · καί βάσις ὁ ΔΓ βάσις ὁ ΒΓ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΔΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ἴσος . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΔΑΓ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΒΑΓ . ἐάν ἄρα τρίγωνον ὁ ἀπό εἷς ὁ πλευρά τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον δύο πλευρά τετράγωνος , ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον δύο πλευρά ὀρθός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 2.def.1
πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν .
Lemmas: πᾶς παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον περιέχω λέγω ὑπό δύο ὁ ὁ ὀρθός γωνία περιέχω εὐθεῖα .
euclides-geom.elementa 2.def.2
παντὸς δὲ παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον αὐτοῦ παραλληλογράμμων ἓν ὁποιονοῦν σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι γνώμων καλείσθω .
Lemmas: πᾶς δέ παραλληλόγραμμος χωρίον ὁ περί ὁ διάμετρος αὐτός παραλληλόγραμμος εἷς ὁποῖος σύν ὁ δύο παραπλήρωμα γνώμων καλέω .
euclides-geom.elementa 2.prop.1
ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι , τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὁσαδηποτοῦν τμήματα , τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων περιεχομένοις ὀρθογωνίοις . ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ Α , ΒΓ , καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὰ Δ , Ε σημεῖα · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α , ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν Α , ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α , ΔΕ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ τῶν Α , ΕΓ . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ , καὶ κείσθω τῇ Α ἴση ἡ ΒΗ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Η τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ , διὰ δὲ τῶν Δ , Ε , Γ τῇ ΒΗ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΚ , ΕΛ , ΓΘ . ἴσον δή ἐστι τὸ ΒΘ τοῖς ΒΚ , ΔΛ , ΕΘ . καί ἐστι τὸ μὲν ΒΘ τὸ ὑπὸ τῶν Α , ΒΓ · περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΗΒ , ΒΓ , ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α · τὸ δὲ ΒΚ τὸ ὑπὸ τῶν Α , ΒΔ · περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΗΒ , ΒΔ , ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α . τὸ δὲ ΔΛ τὸ ὑπὸ τῶν Α , ΔΕ · ἴση γὰρ ἡ ΔΚ , τουτέστιν ἡ ΒΗ , τῇ Α . καὶ ἔτι ὁμοίως τὸ ΕΘ τὸ ὑπὸ τῶν Α , ΕΓ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α , ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Α , ΒΔ καὶ τῷ ὑπὸ Α , ΔΕ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Α , ΕΓ . ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι , τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὁσαδηποτοῦν τμήματα , τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων περιεχομένοις ὀρθογωνίοις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο εὐθεῖα , τέμνω δέ ὁ ἕτερος αὐτός εἰς ὁσσαδηποτοῦν τμῆμα , ὁ περιέχω ὀρθογώνιον ὑπό ὁ δύο εὐθεῖα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό τε ὁ ἄτμητος καί ἕκαστος ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον . εἰμί δύο εὐθεῖα ὁ Α , ΒΓ , καί τέμνω ὁ ΒΓ , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ Δ , Ε σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ Α , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ Α , ΒΔ περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ὑπό ὁ Α , ΔΕ καί ἔτι ὁ ὑπό ὁ Α , ΕΓ . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Β ὁ ΒΓ πρός ὀρθός ὁ ΒΖ , καί κεῖμαι ὁ Α ἴσος ὁ ΒΗ , καί διά μέν ὁ Η ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΘ , διά δέ ὁ Δ , Ε , Γ ὁ ΒΗ παράλληλος ἄγω ὁ ΔΚ , ΕΛ , ΓΘ . ἴσος δή εἰμί ὁ ΒΘ ὁ ΒΚ , ΔΛ , ΕΘ . καί εἰμί ὁ μέν ΒΘ ὁ ὑπό ὁ Α , ΒΓ · περιέχω μέν γάρ ὑπό ὁ ΗΒ , ΒΓ , ἴσος δέ ὁ ΒΗ ὁ Α · ὁ δέ ΒΚ ὁ ὑπό ὁ Α , ΒΔ · περιέχω μέν γάρ ὑπό ὁ ΗΒ , ΒΔ , ἴσος δέ ὁ ΒΗ ὁ Α . ὁ δέ ΔΛ ὁ ὑπό ὁ Α , ΔΕ · ἴσος γάρ ὁ ΔΚ , τουτέστι ὁ ΒΗ , ὁ Α . καί ἔτι ὅμοιος ὁ ΕΘ ὁ ὑπό ὁ Α , ΕΓ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α , ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό Α , ΒΔ καί ὁ ὑπό Α , ΔΕ καί ἔτι ὁ ὑπό Α , ΕΓ . ἐάν ἄρα εἰμί δύο εὐθεῖα , τέμνω δέ ὁ ἕτερος αὐτός εἰς ὁσσαδηποτοῦν τμῆμα , ὁ περιέχω ὀρθογώνιον ὑπό ὁ δύο εὐθεῖα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό τε ὁ ἄτμητος καί ἕκαστος ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 2.prop.2
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ . εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ , ΑΓ περιεχομένου ὀρθογωνίου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ , ΒΕ παράλληλος ἡ ΓΖ . ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΕ τοῖς ΑΖ , ΓΕ . καί ἐστι τὸ μὲν ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον , τὸ δὲ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον · περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΔΑ , ΑΓ , ἴση δὲ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ · τὸ δὲ ΓΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἴση γὰρ ἡ ΒΕ τῇ ΑΒ . τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ὑπό ὁ ὅλος καί ἑκάτερος ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὅλος τετράγωνος . εὐθύς γάρ ὁ ΑΒ τέμνω , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ὑπό ΒΑ , ΑΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΔΕΒ , καί ἄγω διά ὁ Γ ὁπότερος ὁ ΑΔ , ΒΕ παράλληλος ὁ ΓΖ . ἴσος δή εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΑΖ , ΓΕ . καί εἰμί ὁ μέν ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος , ὁ δέ ΑΖ ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ περιέχω ὀρθογώνιον · περιέχω μέν γάρ ὑπό ὁ ΔΑ , ΑΓ , ἴσος δέ ὁ ΑΔ ὁ ΑΒ · ὁ δέ ΓΕ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἴσος γάρ ὁ ΒΕ ὁ ΑΒ . ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ μετά ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ὑπό ὁ ὅλος καί ἑκάτερος ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὅλος τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .