euclides-geom.elementa 2.prop.11
τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ . ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ · δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ , καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ , καὶ διήχθω ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ , ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ τετραγώνῳ . ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε , πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ . ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ . ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΕ · ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΕ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ . καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ τὸ ΖΚ · ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ · τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔ · τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΚ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν . καί ἐστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΘ · ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ · τὸ δὲ ΖΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ τετραγώνῳ . ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθεῖα τέμνω ὥστε ὁ ὑπό ὁ ὅλος καί ὁ ἕτερος ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα τετράγωνος . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ · δέω δή ὁ ΑΒ τέμνω ὥστε ὁ ὑπό ὁ ὅλος καί ὁ ἕτερος ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα τετράγωνος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΒΔΓ , καί τέμνω ὁ ΑΓ δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , καί διάγω ὁ ΓΑ ἐπί ὁ Ζ , καί κεῖμαι ὁ ΒΕ ἴσος ὁ ΕΖ , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΖ τετράγωνος ὁ ΖΘ , καί διάγω ὁ ΗΘ ἐπί ὁ Κ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ τέμνω κατά ὁ Θ , ὥστε ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΘ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ τετράγωνος . ἐπεί γάρ εὐθύς ὁ ΑΓ τέμνω δίχα κατά ὁ Ε , πρόσκειμαι δέ αὐτός ὁ ΖΑ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΆ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΑΕ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ τετράγωνος . ἴσος δέ ὁ ΕΖ ὁ ΕΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΆ μετά ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΕΒ . ἀλλά ὁ ἀπό ΕΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΕ · ὀρθός γάρ ὁ πρός ὁ Α γωνία · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΆ μετά ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΕ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΑΕ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΆ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΆ ὁ ΖΚ · ἴσος γάρ ὁ ΑΖ ὁ ΖΗ · ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ΑΔ · ὁ ἄρα ΖΚ ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΑΚ · λοιπός ἄρα ὁ ΖΘ ὁ ΘΔ ἴσος εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν ΘΔ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΘ · ἴσος γάρ ὁ ΑΒ ὁ ΒΔ · ὁ δέ ΖΘ ὁ ἀπό ὁ ΑΘ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΘ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΘΑ τετράγωνος . ὁ ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ τέμνω κατά ὁ Θ ὥστε ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΘ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΘΑ τετράγωνος · ὅς δέω ποιέω .