euclides-geom.elementa 10.prop1.3
δύο μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν . ἔστω τὰ δοθέντα δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ , ΓΔ , ὧν ἔλασσον τὸ ΑΒ · δεῖ δὴ τῶν ΑΒ , ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν . τὸ ΑΒ γὰρ μέγεθος ἤτοι μετρεῖ τὸ ΓΔ ἢ οὔ . εἰ μὲν οὖν μετρεῖ , μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό , τὸ ΑΒ ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν · καὶ φανερόν , ὅτι καὶ μέγιστον . μεῖζον γὰρ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΒ οὐ μετρήσει . μὴ μετρείτω δὴ τὸ ΑΒ τὸ ΓΔ . καὶ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος , τὸ περιλειπόμενον μετρήσει ποτὲ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ διὰ τὸ μὴ εἶναι ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ , ΓΔ · καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΕΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΕΓ , τὸ δὲ ΕΓ τὸ ΖΒ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΖ , τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω . ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρεῖ , ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ , καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒ μετρήσει τὸ ΑΖ . ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΕ μετρεῖ · καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΓΕ · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ μετρεῖ · τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν . λέγω δή , ὅτι καὶ μέγιστον . εἰ γὰρ μή , ἔσται τι μέγεθος μεῖζον τοῦ ΑΖ , ὃ μετρήσει τὰ ΑΒ , ΓΔ . ἔστω τὸ Η . ἐπεὶ οὖν τὸ Η τὸ ΑΒ μετρεῖ , ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΕΔ μετρεῖ , καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΕ μετρήσει τὸ Η . ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ · καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ , καὶ λοιπὸν τὸ ΑΖ μετρήσει , τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα μεῖζόν τι μέγεθος τοῦ ΑΖ τὰ ΑΒ , ΓΔ μετρήσει · τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν . δύο ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τῶν ΑΒ , ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι , ἐὰν μέγεθος δύο μεγέθη μετρῇ , καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει .
Lemmas: δύο μέγεθος σύμμετρος δίδωμι ὁ μέγας αὐτός κοινός μέτρον εὑρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι δύο μέγεθος σύμμετρος ὁ ΑΒ , ΓΔ , ὅς ἐλαχύς ὁ ΑΒ · δέω δή ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ μέγας κοινός μέτρον εὑρίσκω . ὁ ΑΒ γάρ μέγεθος ἤτοι μετρέω ὁ ΓΔ ἤ οὐ . εἰ μέν οὖν μετρέω , μετρέω δέ καί ἑαυτοῦ , ὁ ΑΒ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ κοινός μέτρον εἰμί · καί φανερός , ὅτι καί μέγας . μέγας γάρ ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ ΑΒ οὐ μετρέω . μή μετρέω δή ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . καί ἀνθυφαιρέω ἀεί ὁ ἐλαχύς ἀπό ὁ μέγας , ὁ περιλείπομαι μετρέω ποτέ ὁ πρό ἑαυτοῦ διά ὁ μή εἰμί ἀσύμμετρος ὁ ΑΒ , ΓΔ · καί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΕΔ καταμετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΕΓ , ὁ δέ ΕΓ ὁ ΖΒ καταμετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΑΖ , ὁ δέ ΑΖ ὁ ΓΕ μετρέω . ἐπεί οὖν ὁ ΑΖ ὁ ΓΕ μετρέω , ἀλλά ὁ ΓΕ ὁ ΖΒ μετρέω , καί ὁ ΑΖ ἄρα ὁ ΖΒ μετρέω . μετρέω δέ καί ἑαυτοῦ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΒ μετρέω ὁ ΑΖ . ἀλλά ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ μετρέω · καί ὁ ΑΖ ἄρα ὁ ΕΔ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ ΓΕ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΓΔ μετρέω · ὁ ΑΖ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ κοινός μέτρον εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί μέγας . εἰ γάρ μή , εἰμί τις μέγεθος μέγας ὁ ΑΖ , ὅς μετρέω ὁ ΑΒ , ΓΔ . εἰμί ὁ Η . ἐπεί οὖν ὁ Η ὁ ΑΒ μετρέω , ἀλλά ὁ ΑΒ ὁ ΕΔ μετρέω , καί ὁ Η ἄρα ὁ ΕΔ μετρέω . μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΓΔ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΕ μετρέω ὁ Η . ἀλλά ὁ ΓΕ ὁ ΖΒ μετρέω · καί ὁ Η ἄρα ὁ ΖΒ μετρέω . μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΑΒ , καί λοιπός ὁ ΑΖ μετρέω , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα μέγας τις μέγεθος ὁ ΑΖ̅ ὁ ΑΒ , ΓΔ μετρέω · ὁ ΑΖ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ μέγας κοινός μέτρον εἰμί . δύο ἄρα μέγεθος σύμμετρος δίδωμι ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ μέγας κοινός μέτρον εὑρίσκω · ὅς δέω δείκνυμι . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι , ἐάν μέγεθος δύο μέγεθος μετρέω , καί ὁ μέγας αὐτός κοινός μέτρον μετρέω .