euclides-geom.elementa 10.prop1.33
εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον . Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ , καὶ τῷ ἀφʼ ὁποτέρας τῶν ΒΔ , ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ , καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΒ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΑΒ , ΒΓ , καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας αὐτῆς , ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβέβληται παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιεῖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ . καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΕ , ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ · αἱ ΑΖ , ΖΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ῥητή ἐστιν , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ · ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ , ΖΒ ῥητόν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ , ὑπόκειται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἴσον , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΒΔ · διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΕ · ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΕΖ . μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΕΖ . ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΒ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΒ . ἐδείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων . Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΖ , ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δὲ ὑπʼ αὐτῶν μέσον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος . ἔκκειμαι δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὥστε ὁ μέγας ὁ ΑΒ ὁ ἐλαχύς ὁ ΒΓ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί τέμνω ὁ ΒΓ δίχα κατά ὁ Δ , καί ὁ ἀπό ὁπότερος ὁ ΒΔ , ΔΓ ἴσος παρά ὁ ΑΒ παραβάλλω παραλληλόγραμμος ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΕΒ , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΖΒ , καί ἄγω ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ , ΖΒ . καί ἐπεί εὐθεῖα ἄνισος εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ , καί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , ὁ δέ τέταρτος ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς αὐτός , ἴσος παρά ὁ ΑΒ παραβάλλω παραλληλόγραμμος ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος καί ποιέω ὁ ὑπό ὁ ΑΕΒ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ . καί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΕ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΕ , ἴσος δέ ὁ μέν ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΑΖ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΕ ὁ ἀπό ὁ ΒΖ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΒ · ὁ ΑΖ , ΖΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ῥητός εἰμί , ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΖ , ΖΒ ῥητός εἰμί . καί ἐπεί πάλιν ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ὑπόκειμαι δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ καί ὁ ἀπό ὁ ΒΔ ἴσος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΕ ὁ ΒΔ · διπλόος ἄρα ὁ ΒΓ ὁ ΖΕ · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ σύμμετρος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΕΖ . μέσος δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · μέσος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΕΖ . ἴσος δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΕΖ ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΒ · μέσος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΒ . δείκνυμι δέ καί ῥητός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος . εὑρίσκω ἄρα δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος ὁ ΑΖ , ΖΒ ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος · ὅς δέω δείκνυμι .