euclides-geom.elementa 7.prop.3
τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν . ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ α , Β , Γ · δεῖ δὴ τῶν Α , Β , Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν . εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α , Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ · ὁ δὴ Δ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ . μετρείτω πρότερον · μετρεῖ δὲ καὶ τοὺς Α , Β · ὁ Δ ἄρα τοὺς Α , Β , Γ μετρεῖ · ὁ Δ ἄρα τῶν Α , Β , Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν . λέγω δή , ὅτι καὶ μέγιστον . εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Δ τῶν Α , Β , Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον , μετρήσει τις τοὺς Α , Β , Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Δ . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Ε . ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τοὺς Α , Β , Γ μετρεῖ , καὶ τοὺς Α , Β ἄρα μετρήσει · καὶ τὸ τῶν Α , Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει . τὸ δὲ τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ · ὁ Ε ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς Α , Β , Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Δ · ὁ Δ ἄρα τῶν Α , Β , Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον . μὴ μετρείτω δὴ ὁ Δ τὸν Γ · λέγω πρῶτον , ὅτι οἱ Γ , Δ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους . ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Β , Γ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός . ὁ δὴ τοὺς Α , Β , Γ μετρῶν καὶ τοὺς Α , Β μετρήσει , καὶ τὸ τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸν Δ μετρήσει · μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ · τοὺς Δ , Γ ἄρα ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει · οἱ Δ , Γ ἄρα οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους . εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Ε . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ , ὁ δὲ Δ τοὺς Α , Β μετρεῖ , καὶ ὁ Ε ἄρα τοὺς Α , Β μετρεῖ · μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ · ὁ Ε ἄρα τοὺς Α , Β , Γ μετρεῖ · ὁ Ε ἄρα τῶν Α , Β , Γ κοινόν ἐστι μέτρον . λέγω δή , ὅτι καὶ μέγιστον . εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Ε τῶν Α , Β , Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον , μετρήσει τις τοὺς Α , Β , Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Ε . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Ζ . καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τοὺς Α , Β , Γ μετρεῖ , καὶ τοὺς Α , Β μετρεῖ · καὶ τὸ τῶν Α , Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει . τὸ δὲ τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ · ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ · μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ · ὁ Ζ ἄρα τοὺς Δ , Γ μετρεῖ · καὶ τὸ τῶν Δ , Γ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει . τὸ δὲ τῶν Δ , Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Ε · ὁ Ζ ἄρα τὸν Ε μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς Α , Β , Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Ε · ὁ Ε ἄρα τῶν Α , Β , Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: τρεῖς ἀριθμός δίδωμι μή πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ μέγας αὐτός κοινός μέτρον εὑρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι τρεῖς ἀριθμός μή πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ α , Β , Γ · δέω δή ὁ Α , Β , Γ ὁ μέγας κοινός μέτρον εὑρίσκω . λαμβάνω γάρ δύο ὁ Α , Β ὁ μέγας κοινός μέτρον ὁ Δ · ὁ δή Δ ὁ Γ ἤτοι μετρέω ἤ οὐ μετρέω . μετρέω πρότερος · μετρέω δέ καί ὁ Α , Β · ὁ Δ ἄρα ὁ Α , Β , Γ μετρέω · ὁ Δ ἄρα ὁ Α , Β , Γ κοινός μέτρον εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί μέγας . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ Δ ὁ Α , Β , Γ μέγας κοινός μέτρον , μετρέω τις ὁ Α , Β , Γ ἀριθμός ἀριθμός μέγας εἰμί ὁ Δ . μετρέω , καί εἰμί ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὁ Ε ὁ Α , Β , Γ μετρέω , καί ὁ Α , Β ἄρα μετρέω · καί ὁ ὁ Α , Β ἄρα μέγας κοινός μέτρον μετρέω . ὁ δέ ὁ Α , Β μέγας κοινός μέτρον εἰμί ὁ Δ · ὁ Ε ἄρα ὁ Δ μετρέω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α , Β , Γ ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω μέγας εἰμί ὁ Δ · ὁ Δ ἄρα ὁ Α , Β , Γ μέγας εἰμί κοινός μέτρον . μή μετρέω δή ὁ Δ ὁ Γ · λέγω πρῶτος , ὅτι ὁ Γ , Δ οὐ εἰμί πρῶτος πρός ἀλλήλων . ἐπεί γάρ ὁ Α , Β , Γ οὐ εἰμί πρῶτος πρός ἀλλήλων , μετρέω τις αὐτός ἀριθμός . ὁ δή ὁ Α , Β , Γ μετρέω καί ὁ Α , Β μετρέω , καί ὁ ὁ Α , Β μέγας κοινός μέτρον ὁ Δ μετρέω · μετρέω δέ καί ὁ Γ · ὁ Δ , Γ ἄρα ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω · ὁ Δ , Γ ἄρα οὐ εἰμί πρῶτος πρός ἀλλήλων . λαμβάνω οὖν αὐτός ὁ μέγας κοινός μέτρον ὁ Ε . καί ἐπεί ὁ Ε ὁ Δ μετρέω , ὁ δέ Δ ὁ Α , Β μετρέω , καί ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β μετρέω · μετρέω δέ καί ὁ Γ · ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β , Γ μετρέω · ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β , Γ κοινός εἰμί μέτρον . λέγω δή , ὅτι καί μέγας . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ Ε ὁ Α , Β , Γ ὁ μέγας κοινός μέτρον , μετρέω τις ὁ Α , Β , Γ ἀριθμός ἀριθμός μέγας εἰμί ὁ Ε . μετρέω , καί εἰμί ὁ Ζ . καί ἐπεί ὁ Ζ ὁ Α , Β , Γ μετρέω , καί ὁ Α , Β μετρέω · καί ὁ ὁ Α , Β ἄρα μέγας κοινός μέτρον μετρέω . ὁ δέ ὁ Α , Β μέγας κοινός μέτρον εἰμί ὁ Δ · ὁ Ζ ἄρα ὁ Δ μετρέω · μετρέω δέ καί ὁ Γ · ὁ Ζ ἄρα ὁ Δ , Γ μετρέω · καί ὁ ὁ Δ , Γ ἄρα μέγας κοινός μέτρον μετρέω . ὁ δέ ὁ Δ , Γ μέγας κοινός μέτρον εἰμί ὁ Ε · ὁ Ζ ἄρα ὁ Ε μετρέω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α , Β , Γ ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω μέγας εἰμί ὁ Ε · ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β , Γ μέγας εἰμί κοινός μέτρον · ὅς δέω δείκνυμι .