euclides-geom.elementa 6.prop.32
ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι , αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπʼ εὐθείας ἔσονται . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΓΕ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΒΑ , ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΓ , ΔΕ ἀνάλογον ἔχοντα , ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως τὴν ΔΓ πρὸς τὴν ΔΕ , παράλληλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ , τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΕ · λέγω , ὅτι ἐπʼ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ . ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΓ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΑΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν . ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ , ΔΓΕ μίαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴσην ἔχοντα , περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως τὴν ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ , ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΕ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΑΓ ἴση ἐστίν . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ , ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ , ΑΓΒ , ΓΒΑ ἴσαι εἰσίν . ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΑΒΓ , ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ , ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΓ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ , ΓΕ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΓΕ , ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι , αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπʼ εὐθείας ἔσονται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος συντίθημι κατά εἷς γωνία ὁ δύο πλευρά ὁ δύο πλευρά ἀνάλογος ἔχω ὥστε ὁ ὁμόλογος αὐτός πλευρά καί παράλληλος εἰμί , ὁ λοιπός ὁ τρίγων πλευρά ἐπί εὐθεῖα εἰμί . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΓΕ ὁ δύο πλευρά ὁ ΒΑ , ΑΓ ὁ δύο πλευρά ὁ ΔΓ , ΔΕ ἀνάλογος ἔχω , ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ὁ ΔΕ , παράλληλος δέ ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΓ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΔΕ · λέγω , ὅτι ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΓΕ . ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΓ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω εὐθύς ὁ ΑΓ , ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΑΓΔ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΓΔΕ ὁ ὑπό ΑΓΔ ἴσος εἰμί . ὥστε καί ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΓΔΕ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί δύο τρίγωνος εἰμί ὁ ΑΒΓ , ΔΓΕ εἷς γωνία ὁ πρός ὁ Α εἷς γωνία ὁ πρός ὁ Δ ἴσος ἔχω , περί δέ ὁ ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΕ , ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΓΕ τρίγωνον · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΓΕ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΑΓΔ ὁ ὑπό ΒΑΓ ἴσος · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΕ δύο ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΑΓ ἴσος εἰμί . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΑΓΒ · ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΕ , ΑΓΒ ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΑΓΒ , ΓΒΑ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΑΒΓ , ΑΓΒ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · καί ὁ ὑπό ΑΓΕ , ΑΓΒ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . πρός δή τις εὐθύς ὁ ΑΓ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Γ δύο εὐθεῖα ὁ ΒΓ , ΓΕ μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος κεῖμαι ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ΑΓΕ , ΑΓΒ δύο ὀρθός ἴσος ποιέω · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΓΕ . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος συντίθημι κατά εἷς γωνία ὁ δύο πλευρά ὁ δύο πλευρά ἀνάλογος ἔχω ὥστε ὁ ὁμόλογος αὐτός πλευρά καί παράλληλος εἰμί , ὁ λοιπός ὁ τρίγων πλευρά ἐπί εὐθεῖα εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .