euclides-geom.elementa 11.prop.35
ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι , ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐπισταθῶσιν ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , ἐπὶ δὲ τῶν μετεώρων ληφθῇ τυχόντα σημεῖα , καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα , ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι , κάθετοι ἀχθῶσιν , ἀπὸ δὲ τῶν γενομένων σημείων ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐπὶ τὰς ἐξ ἀρχῆς γωνίας ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι , ἴσας γωνίας περιέξουσι μετὰ τῶν μετεώρων . ἔστωσαν δύο γωνίαι εὐθύγραμμοι ἴσαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΕΔΖ , ἀπὸ δὲ τῶν Α , Δ σημείων μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστάτωσαν αἱ ΑΗ , ΔΜ ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν μὲν ὑπὸ ΜΔΕ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ , τὴν δὲ ὑπὸ ΜΔΖ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῶν ΑΗ , ΔΜ τυχόντα σημεῖα τὰ Η , Μ , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η , Μ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΒΑΓ , ΕΔΖ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΛ , ΜΝ , καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Ν , Λ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΑ , ΝΔ · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ ΜΔΝ γωνίᾳ . κείσθω τῇ ΔΜ ἴση ἡ ΑΘ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ σημείου τῇ ΗΛ παράλληλος ἡ ΘΚ . ἡ δὲ ΗΛ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον · καὶ ἡ ΘΚ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον . ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Κ , Ν σημείων ἐπὶ τὰς ΑΒ , ΑΓ , ΔΖ , ΔΕ εὐθείας κάθετοι αἱ ΚΓ , ΝΖ , ΚΒ , ΝΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ , ΓΒ , ΜΖ , ΖΕ . ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ , ΚΑ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΓ , ΓΑ , καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἄρα ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ , ΚΓ , ΓΑ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΘΚ , ΚΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΓ , ΓΑ . ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΜ γωνία ὀρθή ἐστιν . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΜ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΜΔΖ ἴση . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΜΔΖ , ΘΑΓ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΘΑ τῇ ΜΔ · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἐστιν ἴση . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ , ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ , δύο δὴ αἱ ΓΑ , ΑΒ δυσὶ ταῖς ΖΔ , ΔΕ ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΔΕ ἐστιν ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστὶ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ . ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΝ ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΚ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΖΝ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ τῇ ὑπὸ ΖΕΝ ἐστιν ἴση . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΓΚ , ΕΖΝ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΖΝ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ ἴση · δύο δὴ αἱ ΑΓ , ΓΚ δυσὶ ταῖς ΔΖ , ΖΝ ἴσαι εἰσίν · καὶ ὀρθὰς γωνίας περιέχουσιν . βάσις ἄρα ἡ ΑΚ βάσει τῇ ΔΝ ἴση ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΔΜ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΜ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΚ , ΚΘ · ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΚΘ · τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΜ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΔΝ , ΝΜ · ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΔΝΜ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΚ , ΚΘ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΝ , ΝΜ , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΝ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ · ἴση ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΜΝ . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ , ΑΚ δυσὶ ταῖς ΜΔ , ΔΝ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΘΚ βάσει τῇ ΜΝ ἐδείχθη ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΜΔΝ ἐστιν ἴση . ἐὰν ἄρα ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι , ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι , ἐπισταθῶσι δὲ ἐπʼ αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἴσαι ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , αἱ ἀπʼ αὐτῶν κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα , ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι , ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο γωνία ἐπίπεδος ἴσος , ἐπί δέ ὁ κορυφή αὐτός μετέωρος εὐθεῖα ἐφίστημι ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ ἐκ ἀρχή εὐθύς ἑκάτερος ἑκάτερος , ἐπί δέ ὁ μετέωρος λαμβάνω τυγχάνω σημεῖον , καί ἀπό αὐτός ἐπί ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ἐκ ἀρχή γωνία , κάθετος ἄγω , ἀπό δέ ὁ γίγνομαι σημεῖον ἐν ὁ ἐπίπεδος ἐπί ὁ ἐκ ἀρχή γωνία ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα , ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ μετέωρος . εἰμί δύο γωνία εὐθύγραμμος ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΕΔΖ , ἀπό δέ ὁ Α , Δ σημεῖον μετέωρος εὐθεῖα ἐφεστάω ὁ ΑΗ , ΔΜ ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ ἐκ ἀρχή εὐθεῖα ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ μέν ὑπό ΜΔΕ ὁ ὑπό ΗΑΒ , ὁ δέ ὑπό ΜΔΖ ὁ ὑπό ΗΑΓ , καί λαμβάνω ἐπί ὁ ΑΗ , ΔΜ τυγχάνω σημεῖον ὁ Η , Μ , καί ἄγω ἀπό ὁ Η , Μ σημεῖον ἐπί ὁ διά ὁ ΒΑΓ , ΕΔΖ ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΗΛ , ΜΝ , καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Ν , Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΑ , ΝΔ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΗΑΛ γωνία ὁ ὑπό ΜΔΝ γωνία . κεῖμαι ὁ ΔΜ ἴσος ὁ ΑΘ , καί ἄγω διά ὁ Θ σημεῖον ὁ ΗΛ παράλληλος ὁ ΘΚ . ὁ δέ ΗΛ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ διά ὁ ΒΑΓ ἐπίπεδος · καί ὁ ΘΚ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ διά ὁ ΒΑΓ ἐπίπεδος . ἄγω ἀπό ὁ Κ , Ν σημεῖον ἐπί ὁ ΑΒ , ΑΓ , ΔΖ , ΔΕ εὐθεῖα κάθετος ὁ ΚΓ , ΝΖ , ΚΒ , ΝΕάς , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΓ , ΓΒ , ΜΖ , ΖΕ . ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΘΑ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΚ , ΚΑ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΚΑ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΓ , ΓΑ , καί ὁ ἀπό ὁ ΘΑ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΚ , ΚΓ , ΓΑ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΘΚ , ΚΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΘΑ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΓ , ΓΑ . ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΘΓΑ γωνία . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΔΖΜ γωνία ὀρθός εἰμί . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΘ γωνία ὁ ὑπό ΔΖΜ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΘΑΓ ὁ ὑπό ΜΔΖ ἴσος . δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΜΔΖ , ΘΑΓ δύο γωνία δύο γωνία ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ὁ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία ὁ ΘΑ ὁ ΜΔ · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΔΖ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ εἰμί ἴσος . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΓ ὁ ΔΖ , ὁ δέ ΑΒ ὁ ΔΕ , δύο δή ὁ ΓΑ , ΑΒ δύο ὁ ΖΔ , ΔΕ ἴσος εἰμί . ἀλλά καί γωνία ὁ ὑπό ΓΑΒ γωνία ὁ ὑπό ΖΔΕ εἰμί ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί καί ὁ τρίγωνον ὁ τρίγωνον καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΒ γωνία ὁ ὑπό ΔΖΕ . εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ ὑπό ΑΓΚ ὀρθός ὁ ὑπό ΔΖΝ ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΓΚ λοιπός ὁ ὑπό ΕΖΝ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΓΒΚ ὁ ὑπό ΖΕΝ εἰμί ἴσος . δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΒΓΚ , ΕΖΝ δύο γωνία δύο γωνία ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ὁ πρός ὁ ἴσος γωνία ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΓΚ ὁ ΖΝ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΓ ὁ ΔΖ ἴσος · δύο δή ὁ ΑΓ , ΓΚ δύο ὁ ΔΖ , ΖΝ ἴσος εἰμί · καί ὀρθός γωνία περιέχω . βάσις ἄρα ὁ ΑΚ βάσις ὁ ΔΝ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΘ ὁ ΔΜ , ἴσος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΘ ὁ ἀπό ὁ ΔΜ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΚ , ΚΘ · ὀρθός γάρ ὁ ὑπό ΑΚΘ · ὁ δέ ἀπό ὁ ΔΜ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΔΝ , ΝΜ · ὀρθός γάρ ὁ ὑπό ΔΝΜ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΚ , ΚΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΝ , ΝΜ , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΑΚ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΝ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΚΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΜ · ἴσος ἄρα ὁ ΘΚ ὁ ΜΝ . καί ἐπεί δύο ὁ ΘΑ , ΑΚ δύο ὁ ΜΔ , ΔΝ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , καί βάσις ὁ ΘΚ βάσις ὁ ΜΝ δείκνυμι ἴσος , γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΘΑΚ γωνία ὁ ὑπό ΜΔΝ εἰμί ἴσος . ἐάν ἄρα εἰμί δύο γωνία ἐπίπεδος ἴσος καί ὁ ἑξῆς ὁ πρότασις . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι , ἐάν εἰμί δύο γωνία ἐπίπεδος ἴσος , ἐφίστημι δέ ἐπί αὐτός μετέωρος εὐθεῖα ἴσος ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ ἐκ ἀρχή εὐθεῖα ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ ἀπό αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ἐκ ἀρχή γωνία , ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὅς δέω δείκνυμι .