euclides-geom.elementa 3.prop.8
ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες , ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου , αἱ δὲ λοιπαί , ὡς ἔτυχεν , τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου , τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν , τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου , τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων , δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ διήχθωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΔΑ , ΔΕ , ΔΖ , ΔΓ , ἔστω δὲ ἡ ΔΑ διὰ τοῦ κέντρου . λέγω , ὅτι τῶν μὲν πρὸς τὴν ΑΕΖΓ κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΔΑ , μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ , τῶν δὲ πρὸς τὴν ΘΛΚΗ κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΗ ἡ μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς ΑΗ , ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἀπώτερον , ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ , ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Μ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ , ΜΖ , ΜΓ , ΜΚ , ΜΛ , ΜΘ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΕΜ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΔ · ἡ ἄρα ΑΔ ἴση ἐστὶ ταῖς ΕΜ , ΜΔ . ἀλλʼ αἱ ΕΜ , ΜΔ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν · καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΕΔ μείζων ἐστίν . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΕ τῇ ΜΖ , κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ , αἱ ΕΜ , ΜΔ ἄρα ταῖς ΖΜ , ΜΔ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΜΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΜΔ μείζων ἐστίν . βάσις ἄρα ἡ ΕΔ βάσεως τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΖΔ τῆς ΓΔ μείζων ἐστίν · μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΑ , μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ , ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΜΚ , ΚΔ τῆς ΜΔ μείζονές εἰσιν , ἴση δὲ ἡ ΜΗ τῇ ΜΚ , λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΔ λοιπῆς τῆς ΗΔ μείζων ἐστίν · ὥστε ἡ ΗΔ τῆς ΚΔ ἐλάττων ἐστίν · καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΜΛΔ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΜΔ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάθησαν αἱ ΜΚ , ΚΔ , αἱ ἄρα ΜΚ , ΚΔ τῶν ΜΛ , ΛΔ ἐλάττονές εἰσιν · ἴση δὲ ἡ ΜΚ τῇ ΜΛ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΚ λοιπῆς τῆς ΔΛ ἐλάττων ἐστίν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΔΛ τῆς ΔΘ ἐλάττων ἐστίν · ἐλαχίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΗ , ἐλάττων δὲ ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ . λέγω , ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης · συνεστάτω πρὸς τῇ ΜΔ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Μ τῇ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΔΜΒ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΚ τῇ ΜΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ , δύο δὴ αἱ ΚΜ , ΜΔ δύο ταῖς ΒΜ , ΜΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΔΚ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν . λέγω , ὅτι τῇ ΔΚ εὐθείᾳ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου . εἰ γὰρ δυνατόν , προσπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΔΝ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΚ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση , ἀλλʼ ἡ ΔΚ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση , καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση , ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης τῇ ἀπώτερον ἴση · ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα πλείους ἢ δύο ἴσαι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης προσπεσοῦνται . ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες , ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου αἱ δὲ λοιπαί , ὡς ἔτυχεν , τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου , τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν , τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου , τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων , δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός , ἀπό δέ ὁ σημεῖον πρός ὁ κύκλος διάζομαι εὐθεῖα τις , ὅς εἷς μέν διά ὁ κέντρον , ὁ δέ λοιπός , ὡς τυγχάνω , ὁ μέν πρός ὁ κοῖλος περιφέρεια προσπίπτω εὐθεῖα μέγας μέν εἰμί ὁ διά ὁ κέντρον , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ διά ὁ κέντρον ὁ ἀπώτερος μέγας εἰμί , ὁ δέ πρός ὁ κυρτός περιφέρεια προσπίπτω εὐθεῖα ἐλαχύς μέν εἰμί ὁ μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ διάμετρος , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ ἐλαχύς ὁ ἀπώτερος εἰμί ἐλαχύς , δύο δέ μόνος ἴσος ἀπό ὁ σημεῖον προσπίπτω πρός ὁ κύκλος ἐπί ἑκάτερος ὁ ἐλαχύς . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ὁ ΑΒΓ λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός ὁ Δ , καί ἀπό αὐτός διάγω εὐθεῖα τις ὁ ΔΑ , ΔΕ , ΔΖ , ΔΓ , εἰμί δέ ὁ ΔΑ διά ὁ κέντρον . λέγω , ὅτι ὁ μέν πρός ὁ ΑΕΖΓ κοῖλος περιφέρεια προσπίπτω εὐθεῖα μέγας μέν εἰμί ὁ διά ὁ κέντρον ὁ ΔΑ , μέγας δέ ὁ μέν ΔΕ ὁ ΔΖ ὁ δέ ΔΖ ὁ ΔΓ , ὁ δέ πρός ὁ ΘΛΚΗ κυρτός περιφέρεια προσπίπτω εὐθεῖα ἐλαχύς μέν εἰμί ὁ ΔΗ ὁ μεταξύ ὁ σημεῖον καί ὁ διάμετρος ὁ ΑΗ , ἀεί δέ ὁ ἐγγίων ὁ ΔΉ ἐλαχύς ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπώτερος , ὁ μέν ΔΚ ὁ ΔΛ , ὁ δέ ΔΛ ὁ ΔΘ . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος καί εἰμί ὁ Μ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΕ , ΜΖ , ΜΓ , ΜΚ , ΜΛ , ΜΘ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΜ ὁ ΕΜ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΜΔ · ὁ ἄρα ΑΔ ἴσος εἰμί ὁ ΕΜ , ΜΔ . ἀλλά ὁ ΕΜ , ΜΔ ὁ ΕΔ μέγας εἰμί · καί ὁ ΑΔ ἄρα ὁ ΕΔ μέγας εἰμί . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΜΕ ὁ ΜΖ , κοινός δέ ὁ ΜΔ , ὁ ΕΜ , ΜΔ ἄρα ὁ ΖΜ , ΜΔ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΕΜΔ γωνία ὁ ὑπό ΖΜΔ μέγας εἰμί . βάσις ἄρα ὁ ΕΔ βάσις ὁ ΖΔ μέγας εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΖΔ ὁ ΓΔ μέγας εἰμί · μέγας μέν ἄρα ὁ ΔΑ , μέγας δέ ὁ μέν ΔΕ ὁ ΔΖ , ὁ δέ ΔΖ ὁ ΔΓ . καί ἐπεί ὁ ΜΚ , ΚΔ ὁ ΜΔ μέγας εἰμί , ἴσος δέ ὁ ΜΗ ὁ ΜΚ , λοιπός ἄρα ὁ ΚΔ λοιπός ὁ ΗΔ μέγας εἰμί · ὥστε ὁ ΗΔ ὁ ΚΔ ἐλαχύς εἰμί · καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΜΛΔ ἐπί εἷς ὁ πλευρά ὁ ΜΔ δύο εὐθεῖα ἐντός συνίστημι ὁ ΜΚ , ΚΔ , ὁ ἄρα ΜΚ , ΚΔ ὁ ΜΛ , ΛΔ ἐλαχύς εἰμί · ἴσος δέ ὁ ΜΚ ὁ ΜΛ · λοιπός ἄρα ὁ ΔΚ λοιπός ὁ ΔΛ ἐλαχύς εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΔΛ ὁ ΔΘ ἐλαχύς εἰμί · ἐλαχύς μέν ἄρα ὁ ΔΗ , ἐλαχύς δέ ὁ μέν ΔΚ ὁ ΔΛ ὁ δέ ΔΛ ὁ ΔΘ . λέγω , ὅτι καί δύο μόνος ἴσος ἀπό ὁ Δ σημεῖον προσπίπτω πρός ὁ κύκλος ἐπί ἑκάτερος ὁ ΔΉ ἐλαχύς · συνίστημι πρός ὁ ΜΔ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Μ ὁ ὑπό ΚΜΔ γωνία ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΔΜΒ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΜΚ ὁ ΜΒ , κοινός δέ ὁ ΜΔ , δύο δή ὁ ΚΜ , ΜΔ δύο ὁ ΒΜ , ΜΔ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΚΜΔ γωνία ὁ ὑπό ΒΜΔ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΔΚ βάσις ὁ ΔΒ ἴσος εἰμί . λέγω , ὅτι ὁ ΔΚ εὔθεια ἄλλος ἴσος οὐ προσπίπτω πρός ὁ κύκλος ἀπό ὁ Δ σημεῖον . εἰ γάρ δυνατός , προσπίπτω καί εἰμί ὁ ΔΝ . ἐπεί οὖν ὁ ΔΚ ὁ ΔΝ εἰμί ἴσος , ἀλλά ὁ ΔΚ ὁ ΔΒ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΔΒ ἄρα ὁ ΔΝ εἰμί ἴσος , ὁ ἐγγίων ὁ ΔΉ ἐλαχύς ὁ ἀπώτερος ἴσος · ὅς ἀδύνατος δείκνυμι . οὐ ἄρα πολύς ἤ δύο ἴσος πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος ἀπό ὁ Δ σημεῖον ἐπί ἑκάτερος ὁ ΔΉ ἐλαχύς προσπίπτω . ἐάν ἄρα κύκλος λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός , ἀπό δέ ὁ σημεῖον πρός ὁ κύκλος διάζομαι εὐθεῖα τις , ὅς εἷς μέν διά ὁ κέντρον ὁ δέ λοιπός , ὡς τυγχάνω , ὁ μέν πρός ὁ κοῖλος περιφέρεια προσπίπτω εὐθεῖα μέγας μέν εἰμί ὁ διά ὁ κέντρον , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ διά ὁ κέντρον ὁ ἀπώτερος μέγας εἰμί , ὁ δέ πρός ὁ κυρτός περιφέρεια προσπίπτω εὐθεῖα ἐλαχύς μέν εἰμί ὁ μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ διάμετρος , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ ἐλαχύς ὁ ἀπώτερος εἰμί ἐλαχύς , δύο δέ μόνος ἴσος ἀπό ὁ σημεῖον προσπίπτω πρός ὁ κύκλος ἐπί ἑκάτερος ὁ ἐλαχύς · ὅς δέω δείκνυμι .