euclides-geom.elementa 2.prop.10
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα , προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ , προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ · λέγω , ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ τετραγώνων . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ , καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ , τῶν ΑΓ , ΓΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ , ΕΒ · καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ , διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΔ . καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΓ , ΖΔ εὐθεῖά τις ἐνέπεσεν ἡ ΕΖ , αἱ ὑπὸ ΓΕΖ , ΕΖΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΕΒ , ΕΖΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν · αἱ δὲ ἀπʼ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν · αἱ ἄρα ΕΒ , ΖΔ ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Β , Δ μέρη συμπεσοῦνται . ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ · καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ · ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΑΓ , ΑΕΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ , ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ . καὶ ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ , ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ὀρθή · ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΔΓΕ · ἐναλλὰξ γάρ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς · ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΗΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΗ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς , ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ · ἴση γάρ ἐστι τῇ ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ Γ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΗΖ πλευρᾷ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΓ , ΓΑ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνου . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΓ , ΓΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΕ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΖ , ΖΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΗΖ , ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ . ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΗ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ τετραγώνων . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΗ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΗ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΗ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ . ἴση δὲ ἡ ΔΗ τῇ ΔΒ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ τετραγώνων . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα , προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω δίχα , προστίθημι δέ τις αὐτός εὐθύς ἐπί εὐθεῖα , ὁ ἀπό ὁ ὅλος σύν ὁ πρόσκειμαι καί ὁ ἀπό ὁ πρόσκειμαι ὁ συναμφότεροι τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ἥμισυς καί ὁ ἀπό ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ἥμισυς καί ὁ πρόσκειμαι ὡς ἀπό εἷς ἀναγράφω τετράγωνος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ τέμνω δίχα κατά ὁ Γ , πρόσκειμαι δέ τις αὐτός εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ὁ ΒΔ · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ τετράγωνος . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Γ σημεῖον ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΓΕ , καί κεῖμαι ἴσος ἑκάτερος , ὁ ΑΓ , ΓΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΑ , ΕΒ · καί διά μέν ὁ Ε ὁ ΑΔ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΖ , διά δέ ὁ Δ ὁ ΓΕ παράλληλος ἄγω ὁ ΖΔ . καί ἐπεί εἰς παράλληλος εὐθεῖα ὁ ΕΓ , ΖΔ εὐθύς τις ἐμπίπτω ὁ ΕΖ , ὁ ὑπό ΓΕΖ , ΕΖΔ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα ὑπό ΖΕΒ , ΕΖΔ δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί · ὁ δέ ἀπό ἐλαχύς ἤ δύο ὀρθός ἐκβάλλω συμπίπτω · ὁ ἄρα ΕΒ , ΖΔ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Β , Δ μέρος συμπίπτω . ἐκβάλλω καί συμπίπτω κατά ὁ Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΕ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΕΑΓ ὁ ὑπό ΑΕΓ · καί ὀρθός ὁ πρός ὁ Γ · ἥμισυς ἄρα ὀρθός ἑκάτερος ὁ ὑπό ΕΑΓ , ΑΕΓ . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΓΕΒ , ΕΒΓ ἥμισυς εἰμί ὀρθός · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΒ . καί ἐπεί ἥμισυς ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΕΒΓ , ἥμισυς ἄρα ὀρθός καί ὁ ὑπό ΔΒΗ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΒΔΗ ὀρθός · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ὑπό ΔΓΕ · ἐναλλάξ γάρ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΔΗΒ ἥμισυς εἰμί ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό ΔΗΒ ὁ ὑπό ΔΒΗ εἰμί ἴσος · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΒΔ πλευρά ὁ ΗΔ εἰμί ἴσος . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ΕΗΖ ἥμισυς εἰμί ὀρθός , ὀρθός δέ ὁ πρός ὁ Ζ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ἀπεναντίον ὁ πρός ὁ Γ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΖΕΗ ἥμισυς εἰμί ὀρθός · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΕΗΖ γωνία ὁ ὑπό ΖΕΗ · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΗΖ πλευρά ὁ ΕΖ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΓ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΓΑ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΓ , ΓΑ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΑ τετράγωνος . ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΓ , ΓΑ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΑ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΑ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΕΖ , ἴσος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΖΕ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΗΖ , ΖΕ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΖ , ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ . ἴσος δέ ὁ ΕΖ ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΗ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ . δείκνυμι δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΕΑ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΗ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ τετράγωνος . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΗ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΉ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΉ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ . ἴσος δέ ὁ ΔΗ ὁ ΔΒ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΔ τετράγωνος . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω δίχα , προστίθημι δέ τις αὐτός εὐθύς ἐπί εὐθεῖα , ὁ ἀπό ὁ ὅλος σύν ὁ πρόσκειμαι καί ὁ ἀπό ὁ πρόσκειμαι ὁ συναμφότεροι τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ἥμισυς καί ὁ ἀπό ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ἥμισυς καί ὁ πρόσκειμαι ὡς ἀπό εἷς ἀναγράφω τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .