euclides-geom.elementa 13.prop.5
ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ , καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ · λέγω , ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ . καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΑΚ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΘΗ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΖ τῷ ΖΕ , κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΚ · ὅλον ἄρα τὸ ΑΚ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἐστιν ἴσον · τὰ ἄρα ΑΚ , ΓΕ τοῦ ΑΚ ἐστι διπλάσια . ἀλλὰ τὰ ΑΚ , ΓΕ ὁ ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον · ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ . ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ ἐδείχθη ἴσον · ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ , ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ τετραγώνου . καί ἐστιν ὁ ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ , ΘΗ τετράγωνα ὅλον τὸ ΑΕ καὶ τὸ ΓΚ , ἅπερ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα , τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον . τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , καὶ προστεθῇ αὐτῇ ἴση τῷ μείζονι τμήματι , ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα . εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον , καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ , καὶ τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΑΔ . λέγω , ὅτι ἡ ΔΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Α , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα ἡ ΑΒ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΓ . καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ΓΕ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΓΘ · ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΘΓ . ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΕ , τῷ δὲ ΘΓ ἴσον τὸ ΔΘ · καὶ τὸ ΔΘ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΕ . ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ὅλῳ τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον . καί ἐστι τὸ μὲν ΔΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΑ · ἴση γὰρ ἡ ΑΔ τῇ ΔΛ · τὸ δὲ ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ . μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆς ΒΑ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ . ἡ ἄρα ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Α , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰμί εὐθεῖα ὁ ΑΒ , καί τέμνω ἄκρος καί μέσος λόγος κατά ὁ Γ , καί εἰμί μέγας τμῆμα ὁ ΑΓ · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΑ . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΔΕΒ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Γ , καί ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΑΓ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΚ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ΘΗ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΚ ὁ ΘΗν . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΕ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΓΚ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΚ ὅλος ὁ ΓΕ εἰμί ἴσος · ὁ ἄρα ΑΚ , ΓΕ ὁ ΑΚ εἰμί διπλάσιος . ἀλλά ὁ ΑΚ , ΓΕ ὁ ΛΜΝ γνώμων εἰμί καί ὁ ΓΚ τετράγωνος · ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καί ὁ ΓΚ τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΚ . ἀλλά μήν καί ὁ ΑΚ ὁ ΘΗν δείκνυμι ἴσος · ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καί ὁ ΓΚ , ΘΗ τετράγωνος τριπλάσιος εἰμί ὁ ΘΗ τετράγωνος . καί εἰμί ὁ ΛΜΝ γνώμων καί ὁ ΓΚ , ΘΗ τετράγωνος ὅλος ὁ ΑΕ καί ὁ ΓΚ , ὅς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος , ὁ δέ ΗΘ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι . ἐάν εὐθύς γραμμή ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί προστίθημι αὐτός ἴσος ὁ μέγας τμῆμα , ὁ ὅλος εὐθεῖα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ἐκ ἀρχή εὐθύς . εὐθύς γάρ γραμμή ὁ ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Γ σημεῖον , καί εἰμί μέγας τμῆμα ὁ ΑΓ , καί ὁ ΑΓ ἴσος ὁ ΑΔ . λέγω , ὅτι ὁ ΔΒ εὐθεῖα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Α , καί ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ἐκ ἀρχή εὐθύς ὁ ΑΒ . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΕ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί ὁ ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Γ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΑΓ . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ ὁ ΓΕ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ΓΘ · ἴσος ἄρα ὁ ΓΕ ὁ ΘΓ . ἀλλά ὁ μέν ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ΘΕ , ὁ δέ ΘΓ ἴσος ὁ ΔΘ · καί ὁ ΔΘ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΘΕ . ὅλος ἄρα ὁ ΔΚ ὅλος ὁ ΑΕ εἰμί ἴσος . καί εἰμί ὁ μέν ΔΚ ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΑ · ἴσος γάρ ὁ ΑΔ ὁ ΔΛ · ὁ δέ ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΔΑ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΔ . μέγας δέ ὁ ΔΒ ὁ ΒΑ · μέγας ἄρα καί ὁ ΒΑ ὁ ΑΔ . ὁ ἄρα ΔΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Α , καί ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΑΒ · ὅς δέω δείκνυμι .