euclides-geom.elementa 6.prop.2
ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα , ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς · καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν , ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν . τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ παράλληλος μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ , ΓΔ . ἴσον ἄρα ἐστὶ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ · ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΔΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΔΕ , ΒΓ · ἄλλο δέ τι τὸ ΑΔΕ τρίγωνον . τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ , οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ , οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ · ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τὴν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον ἀγομένην πρὸς ἄλληλά εἰσιν ὡς αἱ βάσεις . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὡς τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ . ἀλλὰ δὴ αἱ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευραὶ αἱ ΑΒ , ΑΓ ἀνάλογον τετμήσθωσαν , ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ · λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ , ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον , ὡς δὲ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ , οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον , καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον . ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΔΕ , ΓΔΕ τριγώνων πρὸς τὸ ΑΔΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ · καί εἰσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΔΕ . τὰ δὲ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ . ἐὰν ἄρα τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα , ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς · καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν , ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρίγωνον παρά εἷς ὁ πλευρά ἄγω τις εὐθύς , ἀνάλογος τέμνω ὁ ὁ τρίγωνον πλευρά · καί ἐάν ὁ ὁ τρίγωνον πλευρά ἀνάλογος τέμνω , ὁ ἐπί ὁ τομή ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα παρά ὁ λοιπός εἰμί ὁ τρίγωνον πλευρά . τρίγωνον γάρ ὁ ΑΒΓ παράλληλος εἷς ὁ πλευρά ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΔΕ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΑ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΕ , ΓΔ . ἴσος ἄρα εἰμί ΒΔΕ τρίγωνον ὁ ΓΔΕ τρίγωνον · ἐπί γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΔΕ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΔΕ , ΒΓ · ἄλλος δέ τις ὁ ΑΔΕ τρίγωνον . ὁ δέ ἴσος πρός ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΔΕ τρίγωνον πρός ὁ ΑΔΕ , οὕτως ὁ ΓΔΕ τρίγωνον πρός ὁ ΑΔΕ τρίγωνον . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΒΔΕ τρίγωνον πρός ὁ ΑΔΕ , οὕτως ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ · ὑπό γάρ ὁ αὐτός ὕψος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ἄγω πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . διά ὁ αὐτός δή ὡς ὁ ΓΔΕ τρίγωνον πρός ὁ ΑΔΕ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΑ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΑ . ἀλλά δή ὁ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πλευρά ὁ ΑΒ , ΑΓ ἀνάλογος τέμνω , ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΑ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΒΓ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΑ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΒΔΕ τρίγωνον πρός ὁ ΑΔΕ τρίγωνον , ὡς δέ ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΑ , οὕτως ὁ ΓΔΕ τρίγωνον πρός ὁ ΑΔΕ τρίγωνον , καί ὡς ἄρα ὁ ΒΔΕ τρίγωνον πρός ὁ ΑΔΕ τρίγωνον , οὕτως ὁ ΓΔΕ τρίγωνον πρός ὁ ΑΔΕ τρίγωνον . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΒΔΕ , ΓΔΕ τρίγων πρός ὁ ΑΔΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΔΕ τρίγωνον ὁ ΓΔΕ τρίγωνον · καί εἰμί ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ ΔΕ . ὁ δέ ἴσος τρίγωνος καί ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος εἰμί . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΒΓ . ἐάν ἄρα τρίγωνον παρά εἷς ὁ πλευρά ἄγω τις εὐθύς , ἀνάλογος τέμνω ὁ ὁ τρίγωνον πλευρά · καί ἐάν ὁ ὁ τρίγωνον πλευρά ἀνάλογος τέμνω , ὁ ἐπί ὁ τομή ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα παρά ὁ λοιπός εἰμί ὁ τρίγωνον πλευρά · ὅς δέω δείκνυμι .