euclides-geom.elementa 10.prop3.92
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς δευτέρας , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη . χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς δευτέρας τῆς ΑΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη . ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ , ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ . τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε · καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει . καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ , ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει . ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει · καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ , ΖΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ , ΖΚ μέσον ἐστίν . πάλιν , ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ , καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ , ΕΗ σύμμετρός ἐστιν . ἀλλʼ ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει . ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ , ΕΚ ῥητόν ἐστιν . συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ · περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα . ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΙ , ΖΚ μέσα ἐστὶ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ μέσα ἐστίν · καὶ αἱ ΛΟ , ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ · ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ · ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ · τῶν ἄρα ΑΙ , ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ . ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ , ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ · καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ , τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ · καὶ τὸ ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΚ . ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον τὸ ΔΘ , τῷ δὲ ΜΝ ἴσον τὸ ΛΞ · ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ . ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ , ΝΞ , ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΤΣ . τὸ δὲ ΤΣ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ · τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ χωρίῳ · ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη . ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ . μέσον δὲ ἐδείχθη τὸ ΝΞ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ · ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς ΟΝ · αἱ ΛΟ , ΟΝ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι μήκει . αἱ ἄρα ΛΟ , ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι · ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη · καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ἀποτομή δεύτερος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι μέσος ἀποτομή εἰμί πρῶτος . χωρίον γάρ ὁ ΑΒ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΓ καί ἀποτομή δεύτερος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι μέσος ἀποτομή εἰμί πρῶτος . εἰμί γάρ ὁ ΑΔ προσαρμόζω ὁ ΔΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΔ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ προσαρμόζω ὁ ΔΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΑΓ , ὁ δέ ὅλος ὁ ΑΗ ὁ προσαρμόζω ὁ ΗΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . ἐπεί οὖν ὁ ΑΗ ὁ ΗΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , ἐάν ἄρα ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΔ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω . τέμνω οὖν ὁ ΔΗ δίχα κατά ὁ Ε · καί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΗ μῆκος . καί ὁ ΑΗ ἄρα ἑκάτερος ὁ ΑΖ , ΖΗ σύμμετρος εἰμί μῆκος . ῥητός δέ ὁ ΑΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΖ , ΖΗ ῥητός εἰμί καί ἀσύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΙ , ΖΚ μέσος εἰμί . πάλιν , ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΕΗ , καί ὁ ΔΗ ἄρα ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΗ σύμμετρος εἰμί . ἀλλά ὁ ΔΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΓ μῆκος . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΔΘ , ΕΚ ῥητός εἰμί . συνίστημι οὖν ὁ μέν ΑΙ ἴσος τετράγωνος ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΝΞ περί ὁ αὐτός γωνία εἰμί ὁ ΛΜ ὁ ὑπό ὁ ΛΟΜ · περί ὁ αὐτός ἄρα εἰμί διάμετρος ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος . εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΟΡ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ὁ ΑΙ , ΖΚ μέσος εἰμί καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ , καί ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ μέσος εἰμί · καί ὁ ΛΟ , ΟΝ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΗ · ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΑΙ πρός ὁ ΕΚ · ὡς δέ ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΚ πρός ὁ ΖΚ · ὁ ἄρα ΑΙ , ΖΚ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΕΚ . εἰμί δέ καί ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος μέσος ἀνάλογος ὁ ΜΝ · καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ΑΙ ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ὁ ΝΞ · καί ὁ ΜΝ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΕΚ . ἀλλά ὁ μέν ΕΚ ἴσος ὁ ΔΘ , ὁ δέ ΜΝ ἴσος ὁ ΛΞ · ὅλος ἄρα ὁ ΔΚ ἴσος εἰμί ὁ ΥΦΧ γνώμων καί ὁ ΝΞ . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ΑΚ ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ , ΝΞ , ὅς ὁ ΔΚ ἴσος εἰμί ὁ ΥΦΧ γνώμων καί ὁ ΝΞ , λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ΤΣ . ὁ δέ ΤΣ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΝ · ὁ ἀπό ὁ ΛΝ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ χωρίον · ὁ ΛΝ ἄρα δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ὁ ΛΝ μέσος ἀποτομή εἰμί πρῶτος . ἐπεί γάρ ῥητός εἰμί ὁ ΕΚ καί εἰμί ἴσος ὁ ΛΞ , ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΛΞ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ . μέσος δέ δείκνυμι ὁ ΝΞ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΛΞ ὁ ΝΞ · ὡς δέ ὁ ΛΞ πρός ὁ ΝΞ , οὕτως εἰμί ὁ ΛΟ πρός ΟΝ · ὁ ΛΟ , ΟΝ ἄρα ἀσύμμετρος εἰμί μῆκος . ὁ ἄρα ΛΟ , ΟΝ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω · ὁ ΛΝ ἄρα μέσος ἀποτομή εἰμί πρῶτος · καί δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . ὁ ἄρα ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι μέσος ἀποτομή εἰμί πρῶτος · ὅς δέω δείκνυμι .