euclides-geom.elementa 9.prop.19
τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι , πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν . ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ , καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι , πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν . ἤτοι οὖν οὔκ εἰσιν ἑξῆς ἀνάλογον , καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , ἢ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον , καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , ἢ οὔτε ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον , οὔτε οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , ἢ καὶ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον , καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . εἰ μὲν οὖν οἱ Α , Β , Γ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον , καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α , Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , δέδεικται , ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν . μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α , Β , Γ ἑξῆς ἀνάλογον τῶν ἄκρων πάλιν ὄντων πρώτων πρὸς ἀλλήλους . λέγω , ὅτι καὶ οὕτως ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν . εἰ γὰρ δυνατόν , προσευρήσθω ὁ Δ , ὥστε εἶναι ὡς τὸν Α πρὸς τὸν Β , τὸν Γ πρὸς τὸν Δ , καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ , ὁ Δ πρὸς τὸν Ε . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ , ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , διʼ ἴσου ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ , ὁ Γ πρὸς τὸν Ε . οἱ δὲ Α , Γ πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον . μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Γ ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον . μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν · ὁ Α ἄρα τοὺς Α , Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοῖς Α , Β , Γ δυνατόν ἐστι τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν . ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν οἱ Α , Β , Γ ἑξῆς ἀνάλογον , οἱ δὲ Α , Γ μὴ ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους . λέγω , ὅτι δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν . ὁ γὰρ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω · ὁ Α ἄρα τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ . μετρείτω αὐτὸν πρότερον κατὰ τὸν Ε · ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β , Γ . ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Γ πρὸς τὸν Ε · τοῖς Α , Β , Γ ἄρα τέταρτος ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Ε . ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Δ · λέγω , ὅτι ἀδύνατόν ἐστι τοῖς Α , Β , Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν . εἰ γὰρ δυνατόν , προσευρήσθω ὁ Ε · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β , Γ . ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν Β , Γ ἐστιν ὁ Δ · καὶ ὁ ἐκ τῶν Α , Ε ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ Δ . ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν · ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε · ὥστε μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ . ἀλλὰ καὶ οὐ μετρεῖ · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α , Β , Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν , ὅταν ὁ Α τὸν Δ μὴ μετρῇ . ἀλλὰ δὴ οἱ Α , Β , Γ μήτε ἑξῆς ἔστωσαν ἀνάλογον μήτε οἱ ἄκροι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους . καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι εἰ μὲν μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ , δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς ἀνάλογον προσευρεῖν , εἰ δὲ οὐ μετρεῖ , ἀδύνατον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: τρεῖς ἀριθμός δίδωμι ἐπισκοπέω , πότε δυνατός εἰμί αὐτός τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι τρεῖς ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ , καί δέω εἰμί ἐπισκοπέω , πότε δυνατός εἰμί αὐτός τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω . ἤτοι οὖν οὐ εἰμί ἑξῆς ἀνάλογος , καί ὁ ἄκρος αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ἤ ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος , καί ὁ ἄκρος αὐτός οὐ εἰμί πρῶτος πρός ἀλλήλων , ἤ οὔτε ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος , οὔτε ὁ ἄκρος αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ἤ καί ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος , καί ὁ ἄκρος αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰ μέν οὖν ὁ Α , Β , Γ ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος , καί ὁ ἄκρος αὐτός ὁ Α , Γ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , δείκνυμι , ὅτι ἀδύνατος εἰμί αὐτός τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω ἀριθμός . μή εἰμί δή ὁ Α , Β , Γ ἑξῆς ἀνάλογος ὁ ἄκρον πάλιν εἰμί πρῶτος πρός ἀλλήλων . λέγω , ὅτι καί οὕτως ἀδύνατος εἰμί αὐτός τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω . εἰ γάρ δυνατός , προσευρίσκω ὁ Δ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί γίγνομαι ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ Δ πρός ὁ Ε . καί ἐπεί εἰμί ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ Δ πρός ὁ Ε , διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , ὁ Γ πρός ὁ Ε . ὁ δέ Α , Γ πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι . μετρέω ἄρα ὁ Α ὁ Γ ὡς ἡγέομαι ἡγέομαι . μετρέω δέ καί ἑαυτοῦ · ὁ Α ἄρα ὁ Α , Γ μετρέω πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α , Β , Γ δυνατός εἰμί τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω . ἀλλά δή πάλιν εἰμί ὁ Α , Β , Γ ἑξῆς ἀνάλογος , ὁ δέ Α , Γ μή εἰμί πρῶτος πρός ἀλλήλων . λέγω , ὅτι δυνατός εἰμί αὐτός τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω . ὁ γάρ Β ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ὁ Α ἄρα ὁ Δ ἤτοι μετρέω ἤ οὐ μετρέω . μετρέω αὐτός πρότερος κατά ὁ Ε · ὁ Α ἄρα ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Β ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Ε ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Β , Γ . ἀνάλογος ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Γ πρός ὁ Ε · ὁ Α , Β , Γ ἄρα τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω ὁ Ε . ἀλλά δή μή μετρέω ὁ Α ὁ Δ · λέγω , ὅτι ἀδύνατος εἰμί ὁ Α , Β , Γ τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω ἀριθμός . εἰ γάρ δυνατός , προσευρίσκω ὁ Ε · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Ε ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Β , Γ . ἀλλά ὁ ἐκ ὁ Β , Γ εἰμί ὁ Δ · καί ὁ ἐκ ὁ Α , Ε ἄρα ἴσος εἰμί ὁ Δ . ὁ Α ἄρα ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ὁ Α ἄρα ὁ Δ μετρέω κατά ὁ Ε · ὥστε μετρέω ὁ Α ὁ Δ . ἀλλά καί οὐ μετρέω · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα δυνατός εἰμί ὁ Α , Β , Γ τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω ἀριθμός , ὅταν ὁ Α ὁ Δ μή μετρέω . ἀλλά δή ὁ Α , Β , Γ μήτε ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος μήτε ὁ ἄκρος πρῶτος πρός ἀλλήλων . καί ὁ Β ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι εἰ μέν μετρέω ὁ Α ὁ Δ , δυνατός εἰμί αὐτός ἀνάλογος προσευρίσκω , εἰ δέ οὐ μετρέω , ἀδύνατος · ὅς δέω δείκνυμι .