euclides-geom.elementa 3.prop.33
ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ . ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ , ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Γ · δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ . ἡ δὴ πρὸς τῷ Γ ἤτοι ὀξεῖά ἐστιν ἢ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα · ἔστω πρότερον ὀξεῖα , καὶ ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ · ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ . ἤχθω τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΖΗ , δύο δὴ αἱ ΑΖ , ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ , ΖΗ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν . ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β . γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΕ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ . ἐπεὶ οὖν ἀπʼ ἄκρας τῆς ΑΕ διαμέτρου ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ , ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΕ κύκλου · ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΔ , καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἁφῆς εἰς τὸν ΑΒΕ κύκλον διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ . ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου γέγραπται τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ Γ . ἀλλὰ δὴ ὀρθὴ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Γ · καὶ δέον πάλιν ἔστω ἐπὶ τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ . συνεστάτω τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ , καὶ κέντρῳ τῷ Ζ , διαστήματι δὲ ὁποτέρῳ τῶν ΖΑ , ΖΒ , κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΒ . ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖα τοῦ ΑΒΕ κύκλου διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν . καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ ἐν τῷ ΑΕΒ τμήματι · ὀρθὴ γὰρ καὶ αὐτὴ ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν . καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΕΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ . γέγραπται ἄρα πάλιν ἐπὶ τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ . ἀλλὰ δὴ ἡ πρὸς τῷ Γ ἀμβλεῖα ἔστω · καὶ συνεστάτω αὐτῇ ἴση πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς , καὶ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΕ , καὶ τετμήσθω πάλιν ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ , καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ . καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ , καὶ κοινὴ ἡ ΖΗ , δύο δὴ αἱ ΑΖ , ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ , ΖΗ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν · ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β . ἐρχέσθω ὡς ὁ ΑΕΒ . καὶ ἐπεὶ τῇ ΑΕ διαμέτρῳ ἀπʼ ἄκρας πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ , ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΕΒ κύκλου . καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΑΒ · ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ συνισταμένῃ γωνίᾳ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν . καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΘΒ ἄρα τμήματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ . ἐπὶ τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γέγραπται τμῆμα κύκλου τὸ ΑΘΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα γράφω τμῆμα κύκλος δέχομαι γωνία ἴσος ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ πρός ὁ Γ · δέω δή ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ γράφω τμῆμα κύκλος δέχομαι γωνία ἴσος ὁ πρός ὁ Γ . ὁ δή πρός ὁ Γ ἤτοι ὀξύς εἰμί ἤ ὀρθός ἤ ἀμβλύς · εἰμί πρότερος ὀξύς , καί ὡς ἐπί ὁ πρῶτος καταγραφή συνίστημι πρός ὁ ΑΒ εὔθεια καί ὁ α σημεῖον ὁ πρός ὁ Γ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΔάς · ὀξύς ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΑΔάς . ἄγω ὁ ΔΑ πρός ὀρθός ὁ ΑΕ , καί τέμνω ὁ ΑΒ δίχα κατά ὁ Ζ , καί ἄγω ἀπό ὁ Ζ σημεῖον ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΖΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ , κοινός δέ ὁ ΖΗ , δύο δή ὁ ΑΖ , ΖΗ δύο ὁ ΒΖ , ΖΗ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΖΗ ὁ ὑπό ΒΖΗ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΑΗ βάσις ὁ ΒΗ ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ Η διάστημα δέ ὁ ΗΑ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Β . γράφω καί εἰμί ὁ ΑΒΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ . ἐπεί οὖν ἀπό ἄκρος ὁ ΑΕ διάμετρος ἀπό ὁ Α ὁ ΑΕ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΔ , ὁ ΑΔ ἄρα ἐφάπτω ὁ ΑΒΕ κύκλος · ἐπεί οὖν κύκλος ὁ ΑΒΕ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΑΔ , καί ἀπό ὁ κατά ὁ Α ἁφή εἰς ὁ ΑΒΕ κύκλος διάγω τις εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ ἄρα ὑπό ΔΑΒ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ ὁ κύκλος τμῆμα γωνία ὁ ὑπό ΑΕΒ . ἀλλά ὁ ὑπό ΔΑΒ ὁ πρός ὁ Γ εἰμί ἴσος · καί ὁ πρός ὁ Γ ἄρα γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΒ . ἐπί ὁ δίδωμι ἄρα εὐθεῖα ὁ ΑΒ τμῆμα κύκλος γράφω ὁ ΑΕΒ δέχομαι γωνία ὁ ὑπό ΑΕΒ ἴσος ὁ δίδωμι ὁ πρός ὁ Γ . ἀλλά δή ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Γ · καί δέω πάλιν εἰμί ἐπί ὁ ΑΒ γράφω τμῆμα κύκλος δέχομαι γωνία ἴσος ὁ πρός ὁ Γ ὀρθός . συνίστημι ὁ πρός ὁ Γ ὀρθός γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δεύτερος καταγραφή , καί τέμνω ὁ ΑΒ δίχα κατά ὁ Ζ , καί κέντρον ὁ Ζ , διάστημα δέ ὁπότερος ὁ ΖΆ , ΖΒ , κύκλος γράφω ὁ ΑΕΒ . ἐφάπτω ἄρα ὁ ΑΔ εὐθύς ὁ ΑΒΕ κύκλος διά ὁ ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Α γωνία . καί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΔάς γωνία ὁ ἐν ὁ ΑΕΒ τμῆμα · ὀρθός γάρ καί αὐτός ἐν ἡμικύκλιον εἰμί . ἀλλά καί ὁ ὑπό ΒΑΔάς ὁ πρός ὁ Γ ἴσος εἰμί . καί ὁ ἐν ὁ ΑΕΒ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Γ . γράφω ἄρα πάλιν ἐπί ὁ ΑΒ τμῆμα κύκλος ὁ ΑΕΒ δέχομαι γωνία ἴσος ὁ πρός ὁ Γ . ἀλλά δή ὁ πρός ὁ Γ ἀμβλύς εἰμί · καί συνίστημι αὐτός ἴσος πρός ὁ ΑΒ εὔθεια καί ὁ Α σημεῖον ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ὡς ἔχω ἐπί ὁ τρίτος καταγραφή , καί ὁ ΑΔ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΑΕ , καί τέμνω πάλιν ὁ ΑΒ δίχα κατά ὁ Ζ , καί ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΖΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΒ . καί ἐπεί πάλιν ἴσος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ , καί κοινός ὁ ΖΗ , δύο δή ὁ ΑΖ , ΖΗ δύο ὁ ΒΖ , ΖΗ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΖΗ γωνία ὁ ὑπό ΒΖΗ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΑΗ βάσις ὁ ΒΗ ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ η̅ διάστημα δέ ὁ ΗΑ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ Β . ἔρχομαι ὡς ὁ ΑΕΒ . καί ἐπεί ὁ ΑΕ διάμετρον ἀπό ἄκρος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΔ , ὁ ΑΔ ἄρα ἐφάπτω ὁ ΑΕΒ κύκλος . καί ἀπό ὁ κατά ὁ Α ἐπαφή διάγω ὁ ΑΒ · ὁ ἄρα ὑπό ΒΑΔάς γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ ὁ κύκλος τμῆμα ὁ ΑΘΒ συνίστημι γωνία . ἀλλά ὁ ὑπό ΒΑΔάς γωνία ὁ πρός ὁ Γ ἴσος εἰμί . καί ὁ ἐν ὁ ΑΘΒ ἄρα τμῆμα γωνία ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Γ . ἐπί ὁ ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ γράφω τμῆμα κύκλος ὁ ΑΘΒ δέχομαι γωνία ἴσος ὁ πρός ὁ Γ · ὅς δέω ποιέω .