ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 5.def.18
τεταραγμένη δὲ ἀναλογία ἐστίν , ὅταν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος γίνηται ὡς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον , ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον .
Lemmas: ταράσσω δέ ἀναλογία εἰμί , ὅταν τρεῖς εἰμί μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος γίγνομαι ὡς μέν ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ἡγέομαι πρός ἕπομαι , οὕτως ἐν ὁ δεύτερος μέγεθος ἡγέομαι πρός ἕπομαι , ὡς δέ ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ἕπομαι πρός ἄλλος τις , οὕτως ἐν ὁ δεύτερος ἄλλος τις πρός ἡγέομαι .
euclides-geom.elementa 5.prop.1
ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον , ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός , τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων . ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ , ΓΔ ὁποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν Ε , Ζ ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον · λέγω , ὅτι ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Ε , τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ , ΓΔ τῶν Ε , Ζ . ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ , ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Ε , τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἴσα τῷ Ζ . διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Ε μεγέθη ἴσα τὰ ΑΗ , ΗΒ , τὸ δὲ ΓΔ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΓΘ , ΘΔ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ , ΘΔ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε , τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ , ἴσον ἄρα τὸ ΑΗ τῷ Ε , καὶ τὰ ΑΗ , ΓΘ τοῖς Ε , Ζ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τῷ ε , καὶ τὰ ΗΒ , ΘΔ τοῖς Ε , Ζ · ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε , τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς ΑΒ , ΓΔ ἴσα τοῖς Ε , Ζ · ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε , τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ , ΓΔ τῶν Ε , Ζ . ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον , ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός , τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁσποσαοῦν μέγεθος ὁπόσως μέγεθος ἴσος ὁ πλῆθος ἕκαστος ἕκαστος ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁσαπλάσιος εἰμί εἷς ὁ μέγεθος εἷς , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ πᾶς ὁ πᾶς . εἰμί ὁσποσσαοῦν μέγεθος ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁπόσως μέγεθος ὁ Ε , Ζ ἴσος ὁ πλῆθος ἕκαστος ἕκαστος ἰσάκις πολλαπλάσιος · λέγω , ὅτι ὁσαπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Ε , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ Ε , Ζ . ἐπεί γάρ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΒ ὁ Ε καί ὁ ΓΔ ὁ Ζ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΑΒ μέγεθος ἴσος ὁ Ε , τοσοῦτος καί ἐν ὁ ΓΔ ἴσος ὁ Ζ . διαιρέω ὁ μέν ΑΒ εἰς ὁ ὁ Ε μέγεθος ἴσος ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὁ δέ ΓΔ εἰς ὁ ὁ Ζ ἴσος ὁ ΓΘ , ΘΔ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ πλῆθος ὁ ΓΘ , ΘΔ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΗ ὁ Ε , ὁ δέ ΓΘ ὁ Ζ , ἴσος ἄρα ὁ ΑΗ ὁ Ε , καί ὁ ΑΗ , ΓΘ ὁ Ε , Ζ . διά ὁ αὐτός δή ἴσος εἰμί ὁ ΗΒ ὁ ε , καί ὁ ΗΒ , ΘΔ ὁ Ε , Ζ · ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΑΒ ἴσος ὁ Ε , τοσοῦτος καί ἐν ὁ ΑΒ , ΓΔ ἴσος ὁ Ε , Ζ · ὁσαπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Ε , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ Ε , Ζ . ἐάν ἄρα εἰμί ὁποσοσοῦν μέγεθος ὁπόσως μέγεθος ἴσος ὁ πλῆθος ἕκαστος ἕκαστος ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁσαπλάσιος εἰμί εἷς ὁ μέγεθος εἷς , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ πᾶς ὁ πᾶς · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.2
ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου , ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου , καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου . πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ τετάρτου τοῦ Ζ , ἔστω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ τετάρτου τοῦ Ζ · λέγω , ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ . ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ , ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Γ , τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Γ , τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΕΘ ἴσα τῷ Ζ · ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ , τοσαῦτα καὶ ἐν ὅλῳ τῷ ΔΘ ἴσα τῷ Ζ · ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ Γ , τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Ζ . καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ . ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου , ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου , καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πρῶτος δεύτερος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος τέταρτος , εἰμί δέ καί πέμπτος δεύτερος ἰσάκις πολλαπλάσιος καί ἕκτος τέταρτος , καί συντίθημι πρῶτος καί πέμπτος δεύτερος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος καί ἕκτος τέταρτος . πρῶτος γάρ ὁ ΑΒ δεύτερος ὁ Γ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος ὁ ΔΕ τέταρτος ὁ Ζ , εἰμί δέ καί πέμπτος ὁ ΒΗ δεύτερος ὁ Γ ἰσάκις πολλαπλάσιος καί ἕκτος ὁ ΕΘ τέταρτος ὁ Ζ · λέγω , ὅτι καί συντίθημι πρῶτος καί πέμπτος ὁ ΑΗ δεύτερος ὁ Γ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος καί ἕκτος ὁ ΔΘ τέταρτος ὁ Ζ . ἐπεί γάρ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΒ ὁ Γ καί ὁ ΔΕ ὁ Ζ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΑΒ ἴσος ὁ Γ , τοσοῦτος καί ἐν ὁ ΔΕ ἴσος ὁ Ζ . διά ὁ αὐτός δή καί ὅσος εἰμί ἐν ὁ ΒΗ ἴσος ὁ Γ , τοσοῦτος καί ἐν ὁ ΕΘ ἴσος ὁ Ζ · ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὅλος ὁ ΑΗ ἴσος ὁ Γ , τοσοῦτος καί ἐν ὅλος ὁ ΔΘ ἴσος ὁ Ζ · ὁσαπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗ ὁ Γ , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ΔΘ ὁ Ζ . καί συντίθημι ἄρα πρῶτος καί πέμπτος ὁ ΑΗ δεύτερος ὁ Γ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος καί ἕκτος ὁ ΔΘ τέταρτος ὁ Ζ . ἐάν ἄρα πρῶτος δεύτερος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος τέταρτος , εἰμί δέ καί πέμπτος δεύτερος ἰσάκις πολλαπλάσιος καί ἕκτος τέταρτος , καί συντίθημι πρῶτος καί πέμπτος δεύτερος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος καί ἕκτος τέταρτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.3
ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου , ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου , καὶ διʼ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου . πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Γ τετάρτου τοῦ Δ , καὶ εἰλήφθω τῶν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΕΖ , ΗΘ · λέγω , ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ . ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ , ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΕΖ ἴσα τῷ Α , τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ . διῃρήσθω τὸ μὲν ΕΖ εἰς τὰ τῷ Α μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ , ΚΖ , τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΗΛ , ΛΘ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΕΚ , ΚΖ τῷ πλήθει τῶν ΗΛ , ΛΘ . καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ , ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΚ τῷ Α , τὸ δὲ ΗΛ τῷ Γ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΚ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ . ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ΕΚ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ Δ , ἔστι δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ τετάρτου τοῦ Δ , καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΕΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ . ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου , ληφθῇ δὲ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια , καὶ διʼ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πρῶτος δεύτερος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος τέταρτος , λαμβάνω δέ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ τε πρῶτος καί τρίτος , καί διά ἴσος ὁ λαμβάνω ἑκάτερος ἑκάτερος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ μέν ὁ δεύτερος ὁ δέ ὁ τέταρτος . πρῶτος γάρ ὁ Α δεύτερος ὁ Β ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος ὁ Γ τέταρτος ὁ Δ , καί λαμβάνω ὁ Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ ΕΖ , ΗΘ · λέγω , ὅτι ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΕΖ ὁ Β καί ὁ ΗΘ ὁ Δ . ἐπεί γάρ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΕΖ ὁ Α καί ὁ ΗΘ ὁ Γ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΕΖ ἴσος ὁ Α , τοσοῦτος καί ἐν ὁ ΗΘ ἴσος ὁ Γ . διαιρέω ὁ μέν ΕΖ εἰς ὁ ὁ Α μέγεθος ἴσος ὁ ΕΚ , ΚΖ , ὁ δέ ΗΘ εἰς ὁ ὁ Γ ἴσος ὁ ΗΛ , ΛΘ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΕΚ , ΚΖ ὁ πλῆθος ὁ ΗΛ , ΛΘ . καί ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ Α ὁ Β καί ὁ Γ ὁ Δ , ἴσος δέ ὁ μέν ΕΚ ὁ Α , ὁ δέ ΗΛ ὁ Γ , ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΕΚ ὁ Β καί ὁ ΗΛ ὁ Δ . διά ὁ αὐτός δή ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΚΖ ὁ Β καί ὁ ΛΘ ὁ Δ . ἐπεί οὖν πρῶτος ὁ ΕΚ δεύτερος ὁ Β ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος ὁ ΗΛ τέταρτος ὁ Δ , εἰμί δέ καί πέμπτος ὁ ΚΖ δεύτερος ὁ Β ἰσάκις πολλαπλάσιος καί ἕκτος ὁ ΛΘ τέταρτος ὁ Δ , καί συντίθημι ἄρα πρῶτος καί πέμπτος ὁ ΕΖ δεύτερος ὁ Β ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος καί ἕκτος ὁ ΗΘ τέταρτος ὁ Δ . ἐάν ἄρα πρῶτος δεύτερος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί τρίτος τέταρτος , λαμβάνω δέ ὁ πρῶτος καί τρίτος ἰσάκις πολλαπλάσιος , καί διά ἴσος ὁ λαμβάνω ἑκάτερος ἑκάτερος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ μέν ὁ δεύτερος ὁ δέ ὁ τέταρτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.4
ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα . πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ , καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε , Ζ , τῶν δὲ Β , Δ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η , Θ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η , οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ . εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Ε , Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ , Λ , τῶν δὲ Η , Θ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ , Ν . ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ε τοῦ Α , τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ , καὶ εἴληπται τῶν Ε , Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ , Λ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ α καὶ τὸ Λ τοῦ Γ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Λ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ , Λ , τῶν δὲ Β , Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ , Ν , εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ , ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . καί ἐστι τὰ μὲν Κ , Λ τῶν Ε , Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια , τὰ δὲ Μ , Ν τῶν Η , Θ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η , οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ . ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ληφθέντα κατάλληλα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πρῶτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος πρός τέταρτος , καί ὁ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ τε πρῶτος καί τρίτος πρός ὁ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ δεύτερος καί τέταρτος κατά ὁποῖος πολλαπλασιασμός ὁ αὐτός ἔχω λόγος λαμβάνω κατάλληλος . πρῶτος γάρ ὁ Α πρός δεύτερος ὁ Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος ὁ Γ πρός τέταρτος ὁ Δ , καί λαμβάνω ὁ μέν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Ε , Ζ , ὁ δέ Β , Δ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Ε πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Θ . λαμβάνω γάρ ὁ μέν Ε , Ζ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Κ , Λ , ὁ δέ Η , Θ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Μ , Ν . ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ μέν Ε ὁ Α , ὁ δέ Ζ ὁ Γ , καί λαμβάνω ὁ Ε , Ζ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Κ , Λ , ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ Κ ὁ α καί ὁ Λ ὁ Γ . διά ὁ αὐτός δή ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ Μ ὁ Β καί ὁ Ν ὁ Λ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί λαμβάνω ὁ μέν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Κ , Λ , ὁ δέ Β , Δ ἄλλος ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Μ , Ν , εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ Κ ὁ Μ , ὑπερέχω καί ὁ Λ ὁ Ν , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν Κ , Λ ὁ Ε , Ζ ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Μ , Ν ὁ Η , Θ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Θ . ἐάν ἄρα πρῶτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος πρός τέταρτος , καί ὁ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ τε πρῶτος καί τρίτος πρός ὁ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ δεύτερος καί τέταρτος ὁ αὐτός ἔχω λόγος κατά ὁποῖος πολλαπλασιασμός λαμβάνω κατάλληλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.5
ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον , ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος , καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον , ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου . μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΓΔ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον , ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ · λέγω , ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον , ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ . ὁσαπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΓΗ . καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ . κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ . ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ , ΓΔ · ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ , ἴσον δὲ τὸ ΗΓ τῷ ΔΖ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ . ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ · ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ . καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον , ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ . ἐὰν ἄρα μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον , ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος , καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον , ὁσαπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν μέγεθος μέγεθος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ὅς ἀφαιρέω ἀφαιρέω , καί ὁ λοιπός ὁ λοιπός ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ὁσαπλάσιος εἰμί ὁ ὅλος ὁ ὅλος . μέγεθος γάρ ὁ ΑΒ μέγεθος ὁ ΓΔ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ὅς ἀφαιρέω ὁ ΑΕ ἀφαιρέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι καί λοιπός ὁ ΕΒ λοιπός ὁ ΖΔ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ὁσαπλάσιος εἰμί ὅλος ὁ ΑΒ ὅλος ὁ ΓΔ . ὁσαπλάσιος γάρ εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , τοσαυταπλάσιος γίγνομαι καί ὁ ΕΒ ὁ ΓΗ . καί ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ καί ὁ ΕΒ ὁ ΗΓ , ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ καί ὁ ΑΒ ὁ ΗΖ . κεῖμαι δέ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ καί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΒ ἑκάτερος ὁ ΗΖ , ΓΔ · ἴσος ἄρα ὁ ΗΖ ὁ ΓΔ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΓΖ · λοιπός ἄρα ὁ ΗΓ λοιπός ὁ ΖΔ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ καί ὁ ΕΒ ὁ ΗΓ , ἴσος δέ ὁ ΗΓ ὁ ΔΖ , ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ καί ὁ ΕΒ ὁ ΖΔ . ἰσάκις δέ ὑπόκειμαι πολλαπλάσιος ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ καί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΕΒ ὁ ΖΔ καί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΒ λοιπός ὁ ΖΔ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ὁσαπλάσιος εἰμί ὅλος ὁ ΑΒ ὅλος ὁ ΓΔ . ἐάν ἄρα μέγεθος μέγεθος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ὅς ἀφαιρέω ἀφαιρέω , καί ὁ λοιπός ὁ λοιπός ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ὁσαπλάσιος εἰμί καί ὁ ὅλος ὁ ὅλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.6
ἐὰν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια , καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια , καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια . δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ , ΓΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ε , Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια , καὶ ἀφαιρεθέντα τὰ ΑΗ , ΓΘ τῶν αὐτῶν τῶν Ε , Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια · λέγω , ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ , ΘΔ τοῖς Ε , Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια . ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον . λέγω , ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ ἴσον ἐστίν . κείσθω γὰρ τῷ Ζ ἴσον τὸ ΓΚ . ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΘ τοῦ Ζ , ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε , τὸ δὲ ΚΓ τῷ Ζ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ . ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ · ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΘ τοῦ Ζ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ . ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΚΘ , ΓΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον , ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΘ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν . ἀλλὰ τὸ Ζ τῷ ΚΓ ἐστιν ἴσον · καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ Ζ ἴσον ἐστίν . ὥστε εἰ τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον ἐστίν , καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ Ζ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι , κἂν πολλαπλάσιον ᾖ τὸ ΗΒ τοῦ Ε , τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ Ζ . ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια , καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια , καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος δύο μέγεθος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , καί ἀφαιρέω τις ὁ αὐτός ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ἤτοι ἴσος εἰμί ἤ ἰσάκις αὐτός πολλαπλάσιος . δύο γάρ μέγεθος ὁ ΑΒ , ΓΔ δύο μέγεθος ὁ Ε , Ζ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , καί ἀφαιρέω ὁ ΑΗ , ΓΘ ὁ αὐτός ὁ Ε , Ζ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος · λέγω , ὅτι καί λοιπός ὁ ΗΒ , ΘΔ ὁ Ε , Ζ ἤτοι ἴσος εἰμί ἤ ἰσάκις αὐτός πολλαπλάσιος . εἰμί γάρ πρότερος ὁ ΗΒ ὁ Ε ἴσος . λέγω , ὅτι καί ὁ ΘΔ ὁ Ζ ἴσος εἰμί . κεῖμαι γάρ ὁ Ζ ἴσος ὁ ΓΚ . ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΗ ὁ Ε καί ὁ ΓΘ ὁ Ζ , ἴσος δέ ὁ μέν ΗΒ ὁ Ε , ὁ δέ ΚΓ ὁ Ζ , ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΒ ὁ Ε καί ὁ ΚΘ ὁ Ζ . ἰσάκις δέ ὑπόκειμαι πολλαπλάσιος ὁ ΑΒ ὁ Ε καί ὁ ΓΔ ὁ Ζ · ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΚΘ ὁ Ζ καί ὁ ΓΔ ὁ Ζ . ἐπεί οὖν ἑκάτερος ὁ ΚΘ , ΓΔ ὁ Ζ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΚΘ ὁ ΓΔ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΓΘ · λοιπός ἄρα ὁ ΚΓ λοιπός ὁ ΘΔ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ Ζ ὁ ΚΓ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΘΔ ἄρα ὁ Ζ ἴσος εἰμί . ὥστε εἰ ὁ ΗΒ ὁ Ε ἴσος εἰμί , καί ὁ ΘΔ ἴσος εἰμί ὁ Ζ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι , ἐάν πολλαπλάσιος εἰμί ὁ ΗΒ ὁ Ε , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ΘΔ ὁ Ζ . ἐάν ἄρα δύο μέγεθος δύο μέγεθος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , καί ἀφαιρέω τις ὁ αὐτός ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ἤτοι ἴσος εἰμί ἤ ἰσάκις αὐτός πολλαπλάσιος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.7
τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα . ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ Α , Β , ἄλλο δέ τι , ὃ ἔτυχεν , μέγεθος τὸ Γ · λέγω , ὅτι ἑκάτερον τῶν Α , Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α , Β . εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α , Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Δ , Ε , τοῦ δὲ Γ ἄλλο , ὃ ἔτυχεν , πολλαπλάσιον τὸ Ζ . ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β , ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β , ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε . ἄλλο δέ , ὃ ἔτυχεν , τὸ Ζ . εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Ζ , ὑπερέχει καὶ τὸ Ε τοῦ Ζ , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . καί ἐστι τὰ μὲν Δ , Ε τῶν Α , Β ἰσάκις πολλαπλάσια , τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ ἄλλο , ὃ ἔτυχεν , πολλαπλάσιον · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Γ . λέγω , ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α , Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ε · ἄλλο δέ τι τὸ Ζ · εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ζ τοῦ Δ , ὑπερέχει καὶ τοῦ Ε , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . καί ἐστι τὸ μὲν Ζ τοῦ Γ πολλαπλάσιον , τὰ δὲ Δ , Ε τῶν Α , Β ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Β . τὰ ἴσα ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον ᾖ , καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἴσος πρός ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί ὁ αὐτός πρός ὁ ἴσος . εἰμί ἴσος μέγεθος ὁ Α , Β , ἄλλος δέ τις , ὅς τυγχάνω , μέγεθος ὁ Γ · λέγω , ὅτι ἑκάτερος ὁ Α , Β πρός ὁ Γ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , καί ὁ Γ πρός ἑκάτερος ὁ Α , Β . λαμβάνω γάρ ὁ μέν Α , Β ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Δ , Ε , ὁ δέ Γ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , πολλαπλάσιος ὁ Ζ . ἐπεί οὖν ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ Δ ὁ Α καί ὁ Ε ὁ Β , ἴσος δέ ὁ Α ὁ Β , ἴσος ἄρα καί ὁ Δ ὁ Ε . ἄλλος δέ , ὅς τυγχάνω , ὁ Ζ . εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ Δ ὁ Ζ , ὑπερέχω καί ὁ Ε ὁ Ζ , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν Δ , Ε ὁ Α , Β ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Ζ ὁ Γ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , πολλαπλάσιος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ . λέγω , ὅτι καί ὁ Γ πρός ἑκάτερος ὁ Α , Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Δ ὁ Ε · ἄλλος δέ τις ὁ Ζ · εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ Ζ ὁ Δ , ὑπερέχω καί ὁ Ε , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν Ζ ὁ Γ πολλαπλάσιος , ὁ δέ Δ , Ε ὁ Α , Β ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Β . ὁ ἴσος ἄρα πρός ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί ὁ αὐτός πρός ὁ ἴσος . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν μέγεθος τις ἀνάλογος εἰμί , καί ἀνάπαλιν ἀνάλογος εἰμί . ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.9
τὰ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν . ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α , Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β . εἰ γὰρ μή , οὐκ ἂν ἑκάτερον τῶν Α , Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον · ἔχει δέ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β . ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α , Β τὸν αὐτὸν λόγον · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β . εἰ γὰρ μή , οὐκ ἂν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α , Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον · ἔχει δέ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β . τὰ ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ πρός ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · καί πρός ὅς ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ἐκεῖνος ἴσος εἰμί . ἔχω γάρ ἑκάτερος ὁ Α , Β πρός ὁ Γ ὁ αὐτός λόγος · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Α ὁ Β . εἰ γάρ μή , οὐ ἄν ἑκάτερος ὁ Α , Β πρός ὁ Γ ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἔχω δέ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Β . ἔχω δή πάλιν ὁ Γ πρός ἑκάτερος ὁ Α , Β ὁ αὐτός λόγος · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Α ὁ Β . εἰ γάρ μή , οὐ ἄν ὁ Γ πρός ἑκάτερος ὁ Α , Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἔχω δέ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Β . ὁ ἄρα πρός ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · καί πρός ὅς ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ἐκεῖνος ἴσος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.10
τῶν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν · πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει , ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν . ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ · λέγω , ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β . εἰ γὰρ μή , ἤτοι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β ἢ ἔλασσον . ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Α τῷ Β · ἑκάτερον γὰρ ἂν τῶν Α , Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον . οὐκ ἔχει δέ · οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β . οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β · τὸ Α γὰρ ἂν πρὸς τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ . οὐκ ἔχει δέ · οὐκ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β . ἐδείχθη δὲ οὐδὲ ἴσον · μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τοῦ Β . ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Α · λέγω , ὅτι ἔλασσόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α . εἰ γὰρ μή , ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον . ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Β τῷ Α · τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς ἑκάτερον τῶν Α , Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον . οὐκ ἔχει δέ · οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β . οὐδὲ μὴν μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α · τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς τὸ Β ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ πρὸς τὸ Α . οὐκ ἔχει δέ · οὐκ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ ἴσον · ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τοῦ Α . τῶν ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν · καὶ πρὸς ὃ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει , ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ μέγας λόγος ἔχω ἐκεῖνος μέγας εἰμί · πρός ὅς δέ ὁ αὐτός μέγας λόγος ἔχω , ἐκεῖνος ἐλαχύς εἰμί . ἔχω γάρ ὁ Α πρός ὁ Γ μέγας λόγος ἤ ὁ Β πρός ὁ Γ · λέγω , ὅτι μέγας εἰμί ὁ Α ὁ Β . εἰ γάρ μή , ἤτοι ἴσος εἰμί ὁ Α ὁ Β ἤ ἐλαχύς . ἴσος μέν οὖν οὐ εἰμί ὁ Α ὁ Β · ἑκάτερος γάρ ἄν ὁ Α , Β πρός ὁ Γ ὁ αὐτός ἔχω λόγος . οὐ ἔχω δέ · οὐ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ Α ὁ Β . οὐδέ μήν ἐλαχύς εἰμί ὁ Α ὁ Β · ὁ Α γάρ ἄν πρός ὁ Γ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Β πρός ὁ Γ . οὐ ἔχω δέ · οὐ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ Α ὁ Β . δείκνυμι δέ οὐδέ ἴσος · μέγας ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Β . ἔχω δή πάλιν ὁ Γ πρός ὁ Β μέγας λόγος ἤ ὁ Γ πρός ὁ Α · λέγω , ὅτι ἐλαχύς εἰμί ὁ Β ὁ Α . εἰ γάρ μή , ἤτοι ἴσος εἰμί ἤ μέγας . ἴσος μέν οὖν οὐ εἰμί ὁ Β ὁ Α · ὁ Γ γάρ ἄν πρός ἑκάτερος ὁ Α , Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος . οὐ ἔχω δέ · οὐ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ Α ὁ Β . οὐδέ μήν μέγας εἰμί ὁ Β ὁ Α · ὁ Γ γάρ ἄν πρός ὁ Β ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ Α . οὐ ἔχω δέ · οὐ ἄρα μέγας εἰμί ὁ Β ὁ Α . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ ἴσος · ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὁ Β ὁ Α . ὁ ἄρα πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ μέγας λόγος ἔχω μέγας εἰμί · καί πρός ὅς ὁ αὐτός μέγας λόγος ἔχω , ἐκεῖνος ἐλαχύς εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.11
οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί . ἔστωσαν γὰρ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ . εἰλήφθω γὰρ τῶν Α , Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η , Θ , Κ , τῶν δὲ Β , Δ , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ , Μ , Ν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η , Θ , τῶν δὲ Β , Δ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ , Μ , εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ , ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ , καὶ εἰ ἴσον ἐστίν , ἴσον , καὶ εἰ ἐλλείπει , ἐλλείπει . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , καὶ εἴληπται τῶν Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Θ , Κ , τῶν δὲ Δ , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ , Ν , εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ , ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ Θ τοῦ Μ , ὑπερεῖχε καὶ τὸ Η τοῦ Λ , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον · ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ , ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . καί ἐστι τὰ μὲν Η , Κ τῶν Α , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια , τὰ δὲ Λ , Ν τῶν Β , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ . οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ αὐτός λόγος ὁ αὐτός καί ἀλλήλων εἰμί ὁ αὐτός . εἰμί γάρ ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . λαμβάνω γάρ ὁ Α , Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ , Κ , ὁ δέ Β , Δ , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Λ , Μ , Ν . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί λαμβάνω ὁ μέν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ , ὁ δέ Β , Δ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Λ , Μ , εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ Η ὁ Λ , ὑπερέχω καί ὁ Θ ὁ Μ , καί εἰ ἴσος εἰμί , ἴσος , καί εἰ ἐλλείπω , ἐλλείπω . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , καί λαμβάνω ὁ Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Θ , Κ , ὁ δέ Δ , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Μ , Ν , εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ Θ ὁ Μ , ὑπερέχω καί ὁ Κ ὁ Ν , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . ἀλλά εἰ ὑπερέχω ὁ Θ ὁ Μ , ὑπερέχω καί ὁ Η ὁ Λ , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς · ὥστε καί εἰ ὑπερέχω ὁ Η ὁ Λ , ὑπερέχω καί ὁ Κ ὁ Ν , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν Η , Κ ὁ Α , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Λ , Ν ὁ Β , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . ὁ ἄρα ὁ αὐτός λόγος ὁ αὐτός καί ἀλλήλων εἰμί ὁ αὐτός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.12
ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον , ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα . ἔστωσαν ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α , Β , Γ , Δ , ε , Ζ , ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὰ Α , Γ , Ε πρὸς τὰ Β , Δ , Ζ . εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α , Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η , Θ , Κ , τῶν δὲ Β , Δ , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ , Μ , Ν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α , Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η , Θ , Κ τῶν δὲ Β , Δ , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ , Μ , Ν , εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ , ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ , καὶ τὸ Κ τοῦ Ν , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ , ὑπερέχει καὶ τὰ Η , Θ , Κ τῶν Λ , Μ , Ν , καὶ εἰ ἴσον , ἴσα , καὶ εἰ ἔλαττον , ἐλάττονα . καί ἐστι τὸ μὲν Η καὶ τὰ Η , Θ , Κ τοῦ Α καὶ τῶν Α , Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια , ἐπειδήπερ ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον , ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός , τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Λ καὶ τὰ Λ , Μ , Ν τοῦ Β καὶ τῶν β , Δ , Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὰ Α , Γ , Ε πρὸς τὰ Β , Δ , Ζ . ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον , ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁσποσαοῦν μέγεθος ἀνάλογος , εἰμί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι . εἰμί ὁποσοσοῦν μέγεθος ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ε , Ζ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί ὁ Ε πρός ὁ Ζ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Α , Γ , Ε πρός ὁ Β , Δ , Ζ . λαμβάνω γάρ ὁ μέν Α , Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ , Κ , ὁ δέ Β , Δ , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Λ , Μ , Ν . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί ὁ Ε πρός ὁ Ζ , καί λαμβάνω ὁ μέν Α , Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ , Κ ὁ δέ Β , Δ , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Λ , Μ , Ν , εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ Η ὁ Λ , ὑπερέχω καί ὁ Θ ὁ Μ , καί ὁ Κ ὁ Ν , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . ὥστε καί εἰ ὑπερέχω ὁ Η ὁ Λ , ὑπερέχω καί ὁ Η , Θ , Κ ὁ Λ , Μ , Ν , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν Η καί ὁ Η , Θ , Κ ὁ Α καί ὁ Α , Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος , ἐπειδή ἐάν εἰμί ὁποσοσοῦν μέγεθος ὁπόσως μέγεθος ἴσος ὁ πλῆθος ἕκαστος ἕκαστος ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁσαπλάσιος εἰμί εἷς ὁ μέγεθος εἷς , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ πᾶς ὁ πᾶς . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Λ καί ὁ Λ , Μ , Ν ὁ Β καί ὁ β , Δ , Ζ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Α , Γ , Ε πρός ὁ Β , Δ , Ζ . ἐάν ἄρα εἰμί ὁσποσαοῦν μέγεθος ἀνάλογος , εἰμί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.14
ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ , καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ , μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α τοῦ Γ · λέγω , ὅτι καὶ τὸ Β τοῦ Δ μεῖζόν ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζόν ἐστιν , ἄλλο δέ , ὃ ἔτυχεν , τὸ Β , τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β . ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ · καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β . πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει , ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν · ἔλασσον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β · ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Δ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ , ἴσον ἔσται καὶ τὸ Β τῷ Δ , κἂν ἔλασσον ᾖ τὸ Α τοῦ Γ , ἔλασσον ἔσται καὶ τὸ Β τοῦ Δ . ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ , καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πρῶτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος πρός τέταρτος , ὁ δέ πρῶτος ὁ τρίτος μέγας εἰμί , καί ὁ δεύτερος ὁ τέταρτος μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . πρῶτος γάρ ὁ Α πρός δεύτερος ὁ Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος ὁ Γ πρός τέταρτος ὁ Δ , μέγας δέ εἰμί ὁ Α ὁ Γ · λέγω , ὅτι καί ὁ Β ὁ Δ μέγας εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Α ὁ Γ μέγας εἰμί , ἄλλος δέ , ὅς τυγχάνω , ὁ Β , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Β . ὡς δέ ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὁ Γ ἄρα πρός ὁ Δ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Β . πρός ὅς δέ ὁ αὐτός μέγας λόγος ἔχω , ἐκεῖνος ἐλαχύς εἰμί · ἐλαχύς ἄρα ὁ Δ ὁ Β · ὥστε μέγας εἰμί ὁ Β ὁ Δ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ἐάν ἴσος εἰμί ὁ Α ὁ Γ , ἴσος εἰμί καί ὁ Β ὁ Δ , ἐάν ἐλαχύς εἰμί ὁ Α ὁ Γ , ἐλαχύς εἰμί καί ὁ Β ὁ Δ . ἐάν ἄρα πρῶτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος πρός τέταρτος , ὁ δέ πρῶτος ὁ τρίτος μέγας εἰμί , καί ὁ δεύτερος ὁ τέταρτος μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.15
τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα . ἔστω γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ , οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ . ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ , ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Γ , τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ . διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ , τὸ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΔΚ , ΚΛ , ΛΕ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ , ΚΛ , ΛΕ . καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ ἀλλήλοις , ἔστι δὲ καὶ τὰ ΔΚ , ΚΛ , ΛΕ ἴσα ἀλλήλοις , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ , οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΚΛ , καὶ τὸ ΘΒ πρὸς τὸ ΛΕ . ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ , οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ . ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ , τὸ δὲ ΔΚ τῷ Ζ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ . τὰ ἄρα μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ μέρος ὁ ὡσαύτως πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος λαμβάνω κατάλληλος . εἰμί γάρ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ ΑΒ ὁ Γ καί ὁ ΔΕ ὁ Ζ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΕ . ἐπεί γάρ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΑΒ ὁ Γ καί ὁ ΔΕ ὁ Ζ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΑΒ μέγεθος ἴσος ὁ Γ , τοσοῦτος καί ἐν ὁ ΔΕ ἴσος ὁ Ζ . διαιρέω ὁ μέν ΑΒ εἰς ὁ ὁ Γ ἴσος ὁ ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ , ὁ δέ ΔΕ εἰς ὁ ὁ Ζ ἴσος ὁ ΔΚ , ΚΛ , ΛΕ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ ὁ πλῆθος ὁ ΔΚ , ΚΛ , ΛΕ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΗ , ΗΘ , ΘΒ ἀλλήλων , εἰμί δέ καί ὁ ΔΚ , ΚΛ , ΛΕ ἴσος ἀλλήλων , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΗ πρός ὁ ΔΚ , οὕτως ὁ ΗΘ πρός ὁ ΚΛ , καί ὁ ΘΒ πρός ὁ ΛΕ . εἰμί ἄρα καί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΗ πρός ὁ ΔΚ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΕ . ἴσος δέ ὁ μέν ΑΗ ὁ Γ , ὁ δέ ΔΚ ὁ Ζ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ζ οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΕ . ὁ ἄρα μέρος ὁ ὡσαύτως πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος λαμβάνω κατάλληλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.16
ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται . ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α , Β , Γ , Δ , ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ · λέγω , ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἔσται , ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ . εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α , Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε , Ζ , τῶν δὲ Γ , Δ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η , Θ . καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ε τοῦ Α καὶ τὸ Ζ τοῦ Β , τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ . ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ · καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ . πάλιν , ἐπεὶ τὰ Η , Θ τῶν Γ , Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ . ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ · καὶ ὡς ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ . ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ , καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ Η , ὑπερέχει καὶ τὸ Ζ τοῦ Θ , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . καί ἐστι τὰ μὲν Ε , Ζ τῶν Α , Β ἰσάκις πολλαπλάσια , τὰ δὲ Η , Θ τῶν Γ , Δ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ . ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί ἐναλλάξ ἀνάλογος εἰμί . εἰμί τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · λέγω , ὅτι καί ἐναλλάξ εἰμί , ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Δ . λαμβάνω γάρ ὁ μέν Α , Β ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Ε , Ζ , ὁ δέ Γ , Δ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ . καί ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ Ε ὁ Α καί ὁ Ζ ὁ Β , ὁ δέ μέρος ὁ ὡσαύτως πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . ὡς δέ ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . πάλιν , ἐπεί ὁ Η , Θ ὁ Γ , Δ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Θ . ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὁ Ε πρός ὁ Ζ · καί ὡς ἄρα ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Θ . ἐάν δέ τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ πρῶτος ὁ τρίτος μέγας εἰμί , καί ὁ δεύτερος ὁ τέταρτος μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ Ε ὁ Η , ὑπερέχω καί ὁ Ζ ὁ Θ , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν Ε , Ζ ὁ Α , Β ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Η , Θ ὁ Γ , Δ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Δ . ἐάν ἄρα τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί ἐναλλάξ ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.18
ἐὰν διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται . ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , ΖΔ , ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ , οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ · λέγω , ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται , ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ , οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ . εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ , οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ , ἔσται ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ , οὕτως τὸ ΓΔ ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΔΖ ἢ πρὸς μεῖζον . ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ ΔΗ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ , οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΗ , συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν · ὥστε καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται . ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ , οὕτως τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ . ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ , οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ . καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ , οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ . μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΓΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΓΖ · μεῖζον ἄρα καὶ τὸ δεύτερον τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου τοῦ ΖΔ . ἀλλὰ καὶ ἔλαττον · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ , οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΔ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον · πρὸς αὐτὸ ἄρα . ἐὰν ἄρα διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν διαιρέω μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί συντίθημι ἀνάλογος εἰμί . εἰμί διαιρέω μέγεθος ἀνάλογος ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , ΖΔ , ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ · λέγω , ὅτι καί συντίθημι ἀνάλογος εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΖΔ . εἰ γάρ μή εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΖ , εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΔ ἤτοι πρός ἐλαχύς τις ὁ ΔΖ ἤ πρός μέγας . εἰμί πρότερος πρός ἐλαχύς ὁ ΔΗ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΗ , σύγκειμαι μέγεθος ἀνάλογος εἰμί · ὥστε καί διαιρέω ἀνάλογος εἰμί . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ὁ ΗΔ . ὑπόκειμαι δέ καί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ . καί ὡς ἄρα ὁ ΓΗ πρός ὁ ΗΔ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ . μέγας δέ ὁ πρῶτος ὁ ΓΗ ὁ τρίτος ὁ ΓΖ · μέγας ἄρα καί ὁ δεύτερος ὁ ΗΔ ὁ τέταρτος ὁ ΖΔ . ἀλλά καί ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ἐλαχύς ὁ ΖΔ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ πρός μέγας · πρός αὐτός ἄρα . ἐάν ἄρα διαιρέω μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί συντίθημι ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.19
ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον , οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν , καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον . ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ , οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ · λέγω , ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ , οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ , οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ . καὶ ἐπεὶ συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν , καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται , ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΕΑ , οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΓΖ · καὶ ἐναλλάξ , ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΔΖ , οὕτως τὸ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ . ὡς δὲ τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ , οὕτως ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ . καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ . ἐὰν ἄρα ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον , οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν , καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον . . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος , οὕτως ἀφαιρέω πρός ἀφαιρέω , καί ὁ λοιπός πρός ὁ λοιπός εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος . εἰμί γάρ ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ , οὕτως ἀφαιρέω ὁ ΑΕ πρός ἀφαιρέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι καί λοιπός ὁ ΕΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ εἰμί ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΖ . καί ἐπεί σύγκειμαι μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί διαιρέω ἀνάλογος εἰμί , ὡς ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΑ , οὕτως ὁ ΔΖ πρός ὁ ΓΖ · καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΒΕ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ΕΑ πρός ὁ ΖΓ . ὡς δέ ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὑπόκειμαι ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ . καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ εἰμί ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ . ἐάν ἄρα εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος , οὕτως ἀφαιρέω πρός ἀφαιρέω , καί ὁ λοιπός πρός ὁ λοιπός εἰμί ὡς ὅλος πρός ὅλος . . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν σύγκειμαι μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί ἀναστρέφω ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.20
ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος , σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ , καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α , Β , Γ , καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ , Ε , Ζ , σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε , ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , διʼ ἴσου δὲ μεῖζον ἔστω τὸ Α τοῦ Γ · λέγω , ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ , ἄλλο δέ τι τὸ Β , τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον , τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β , τὸ Δ πρὸς τὸ Ε , ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β , ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε · καὶ τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε . τῶν δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν . μεῖζον ἄρα τὸ Δ τοῦ Ζ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ , ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος , σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ , καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος , σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , διά ἴσος δέ ὁ πρῶτος ὁ τρίτος μέγας εἰμί , καί ὁ τέταρτος ὁ ἕκτος μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . εἰμί τρεῖς μέγεθος ὁ Α , Β , Γ , καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Δ , Ε , Ζ , σύνδυο λαμβάνω ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , διά ἴσος δέ μέγας εἰμί ὁ Α ὁ Γ · λέγω , ὅτι καί ὁ Δ ὁ Ζ μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . ἐπεί γάρ μέγας εἰμί ὁ Α ὁ Γ , ἄλλος δέ τις ὁ Β , ὁ δέ μέγας πρός ὁ αὐτός μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ἐλαχύς , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Β . ἀλλά ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Δ πρός ὁ Ε , ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ Β , ἀνάπαλιν οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Ε · καί ὁ Δ ἄρα πρός ὁ Ε μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Ζ πρός ὁ Ε . ὁ δέ πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ μέγας λόγος ἔχω μέγας εἰμί . μέγας ἄρα ὁ Δ ὁ Ζ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ἐάν ἴσος εἰμί ὁ Α ὁ Γ , ἴσος εἰμί καί ὁ Δ ὁ Ζ , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . ἐάν ἄρα εἰμί τρεῖς μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος , σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , διά ἴσος δέ ὁ πρῶτος ὁ τρίτος μέγας εἰμί , καί ὁ τέταρτος ὁ ἕκτος μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.21
ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία , διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ , καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α , Β , Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ , Ε , Ζ , σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία , ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε , διʼ ἴσου δὲ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζον ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ , ἄλλο δέ τι τὸ Β , τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β , ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Δ . καὶ τὸ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Δ . πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει , ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν · ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ τοῦ Δ · μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Δ τοῦ Ζ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ , ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος , σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία , διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ , καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται , κἂν ἴσον , ἴσον , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , εἰμί δέ ταράσσω αὐτός ὁ ἀναλογία , διά ἴσος δέ ὁ πρῶτος ὁ τρίτος μέγας εἰμί , καί ὁ τέταρτος ὁ ἕκτος μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . εἰμί τρεῖς μέγεθος ὁ Α , Β , Γ καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Δ , Ε , Ζ , σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , εἰμί δέ ταράσσω αὐτός ὁ ἀναλογία , ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , διά ἴσος δέ ὁ Α ὁ Γ μέγας εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ Δ ὁ Ζ μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . ἐπεί γάρ μέγας εἰμί ὁ Α ὁ Γ , ἄλλος δέ τις ὁ Β , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Β . ἀλλά ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ Β , ἀνάπαλιν οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Δ . καί ὁ Ε ἄρα πρός ὁ Ζ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Ε πρός ὁ Δ . πρός ὅς δέ ὁ αὐτός μέγας λόγος ἔχω , ἐκεῖνος ἐλαχύς εἰμί · ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὁ Ζ ὁ Δ · μέγας ἄρα εἰμί ὁ Δ ὁ Ζ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ἐάν ἴσος εἰμί ὁ Α ὁ Γ , ἴσος εἰμί καί ὁ Δ ὁ Ζ , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . ἐάν ἄρα εἰμί τρεῖς μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος , σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , εἰμί δέ ταράσσω αὐτός ὁ ἀναλογία , διά ἴσος δέ ὁ πρῶτος ὁ τρίτος μέγας εἰμί , καί ὁ τέταρτος ὁ ἕκτος μέγας εἰμί , ἐάν ἴσος , ἴσος , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.22
ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος , σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται . ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ Α , Β , Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ , Ε , Ζ , σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε , ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ · λέγω , ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται . εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α , Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ η , Θ , τῶν δὲ Β , Ε ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ , Λ , καὶ ἔτι τῶν Γ , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ , Ν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε , καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α , Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ η , Θ , τῶν δὲ Β , Ε ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ , Λ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Κ , οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Λ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Κ πρὸς τὸ Μ , οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Ν . ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η , Κ , Μ , καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Θ , Λ , Ν , σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , διʼ ἴσου ἄρα , εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Μ , ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Ν , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . καί ἐστι τὰ μὲν Η , Θ τῶν Α , Δ ἰσάκις πολλαπλάσια , τὰ δὲ Μ , Ν τῶν Γ , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια . ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ . ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος , σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁσποσαοῦν μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος , σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί διά ἴσος ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί . εἰμί ὁσποσσαοῦν μέγεθος ὁ Α , Β , Γ καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Δ , Ε , Ζ , σύνδυο λαμβάνω ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ · λέγω , ὅτι καί διά ἴσος ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί . λαμβάνω γάρ ὁ μέν Α , Δ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ η̅ , Θ , ὁ δέ Β , Ε ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Κ , Λ , καί ἔτι ὁ Γ , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Μ , Ν . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , καί λαμβάνω ὁ μέν Α , Δ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ η̅ , Θ , ὁ δέ Β , Ε ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Κ , Λ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Η πρός ὁ Κ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Λ . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Κ πρός ὁ Μ , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Ν . ἐπεί οὖν τρεῖς μέγεθος εἰμί ὁ Η , Κ , Μ , καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Θ , Λ , Ν , σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , διά ἴσος ἄρα , εἰ ὑπερέχω ὁ Η ὁ Μ , ὑπερέχω καί ὁ Θ ὁ Ν , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν Η , Θ ὁ Α , Δ ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Μ , Ν ὁ Γ , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ζ . ἐάν ἄρα εἰμί ὁσποσσαοῦν μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος , σύνδυο λαμβάνω ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί διά ἴσος ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .