euclides-geom.elementa 4.prop.12
περὶ τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ · δεῖ 2 περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι . νενοήσθω τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου τῶν γωνιῶν σημεῖα τὰ Α , Β , Γ , Δ , Ε , ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ περιφερείας · καὶ διὰ τῶν Α , Β , Γ , Δ , Ε ἤχθωσαν τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ΛΜ , ΜΗ , καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κέντρον τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ , ΖΚ , ΖΓ , ΖΛ , ΖΔ . καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΚΛ εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓΔΕ κατὰ τὸ Γ , ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Γ ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ , ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΛ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Γ γωνιῶν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β , Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΓ , ΓΚ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ , ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΚ · ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΖΓ , ΓΚ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ , ΒΚ ἐστιν ἴσα , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἐστιν ἴσον · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐστιν ἴσον . ἴση ἄρα ἡ ΒΚ τῇ ΓΚ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ , καὶ κοινὴ ἡ ΖΚ , δύο δὴ αἱ ΒΖ , ΖΚ δυσὶ ταῖς ΓΖ , ΖΚ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις ἡ ΒΚ βάσει τῇ ΓΚ ἴση · γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΚ τῇ ὑπὸ ΚΖΓ ἐστιν ἴση · ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ · διπλῆ ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΓ τῆς ὑπὸ ΖΚΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ τῆς ὑπὸ ΓΖΛ ἐστι διπλῆ , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΛΓ τῆς ὑπὸ ΖΛΓ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ ΓΔ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ . καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ διπλῆ , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΓ τῆς ὑπὸ ΛΖΓ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖΓ τῇ ὑπὸ ΛΖΓ · ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΓΛ ἴση . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΚΓ , ΖΛΓ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ · ἴση ἄρα ἡ μὲν ΚΓ εὐθεῖα τῇ ΓΛ , ἡ δὲ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΓΛ , διπλῆ ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΚΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΒΚ διπλῆ . καί ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ ἴση · καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΚΛ ἐστιν ἴση . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΘΗ , ΗΜ , ΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΘΚ , ΚΛ ἴση · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον . λέγω δή , ὅτι καὶ ἰσογώνιον . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ , καὶ ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ , τῆς δὲ ὑπὸ ΖΛΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΚΛΜ , καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΛΜ ἐστιν ἴση . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΚΘΗ , ΘΗΜ , ΗΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΛ , ΚΛΜ ἴση · αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ , ΘΚΛ , ΚΛΜ , ΛΜΗ , ΜΗΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον , καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον . · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: περί ὁ δίδωμι κύκλος πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος περιγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ · δέω 2 περί ὁ ΑΒΓΔΕ κύκλος πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος περιγράφω . νοέω ὁ ἐγγράφω πεντάγωνος ὁ γωνία σημεῖον ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ περιφέρεια · καί διά ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε ἄγω ὁ κύκλος ἐφάπτω ὁ ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ΛΜ , ΜΗ , καί λαμβάνω ὁ ΑΒΓΔΕ κύκλος κέντρον ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ , ΖΚ , ΖΓ , ΖΛ , ΖΔ . καί ἐπεί ὁ μέν ΚΛ εὐθύς ἐφάπτω ὁ ΑΒΓΔΕ κατά ὁ Γ , ἀπό δέ ὁ Ζ κέντρον ἐπί ὁ κατά ὁ Γ ἐπαφή ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ , ὁ ΖΓ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΚΛ · ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ πρός ὁ Γ γωνία . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ πρός ὁ Β , Δ σημεῖον γωνία ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΖΓΚ γωνία , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΖΚ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΓ , ΓΚ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ἀπό ὁ ΖΒ , ΒΚ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΚ · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΖΓ , ΓΚ ὁ ἀπό ὁ ΖΒ , ΒΚ εἰμί ἴσος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΖΓ ὁ ἀπό ὁ ΖΒ εἰμί ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΓΚ ὁ ἀπό ὁ ΒΚ εἰμί ἴσος . ἴσος ἄρα ὁ ΒΚ ὁ ΓΚ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΖΒ ὁ ΖΓ , καί κοινός ὁ ΖΚ , δύο δή ὁ ΒΖ , ΖΚ δύο ὁ ΓΖ , ΖΚ ἴσος εἰμί · καί βάσις ὁ ΒΚ βάσις ὁ ΓΚ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ μέν ὑπό ΒΖΚ ὁ ὑπό ΚΖΓ εἰμί ἴσος · ὁ δέ ὑπό ΒΚΖ ὁ ὑπό ΖΚΓ · διπλόος ἄρα ὁ μέν ὑπό ΒΖΓ ὁ ὑπό ΚΖΓ , ὁ δέ ὑπό ΒΚΓ ὁ ὑπό ΖΚΓ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ὑπό ΓΖΔ ὁ ὑπό ΓΖΛ εἰμί διπλόος , ὁ δέ ὑπό ΔΛΓ ὁ ὑπό ΖΛΓ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ περιφέρεια ὁ ΓΔ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΒΖΓ ὁ ὑπό ΓΖΔ . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΒΖΓ ὁ ὑπό ΚΖΓ διπλόος , ὁ δέ ὑπό ΔΖΓ ὁ ὑπό ΛΖΓ · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΚΖΓ ὁ ὑπό ΛΖΓ · εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΖΓΚ γωνία ὁ ὑπό ΖΓΛ ἴσος . δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΖΚΓ , ΖΛΓ ὁ δύο γωνία ὁ δύο γωνία ἴσος ἔχω καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος κοινός αὐτός ὁ ΖΓ · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία · ἴσος ἄρα ὁ μέν ΚΓ εὐθύς ὁ ΓΛ , ὁ δέ ὑπό ΖΚΓ γωνία ὁ ὑπό ΖΛΓ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΚΓ ὁ ΓΛ , διπλόος ἄρα ὁ ΚΛ ὁ ΚΓ . διά ὁ αὐτός δή δείκνυμι καί ὁ ΘΚ ὁ ΒΚ διπλόος . καί εἰμί ὁ ΒΚ ὁ ΚΓ ἴσος · καί ὁ ΘΚ ἄρα ὁ ΚΛ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι καί ἕκαστος ὁ ΘΗ , ΗΜ , ΜΛ ἑκάτερος ὁ ΘΚ , ΚΛ ἴσος · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνος . λέγω δή , ὅτι καί ἰσογώνιος . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΖΚΓ γωνία ὁ ὑπό ΖΛΓ , καί δείκνυμι ὁ μέν ὑπό ΖΚΓ διπλόος ὁ ὑπό ΘΚΛ , ὁ δέ ὑπό ΖΛΓ διπλόος ὁ ὑπό ΚΛΜ , καί ὁ ὑπό ΘΚΛ ἄρα ὁ ὑπό ΚΛΜ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι καί ἕκαστος ὁ ὑπό ΚΘΗ , ΘΗΜ , ΗΜΛ ἑκάτερος ὁ ὑπό ΘΚΛ , ΚΛΜ ἴσος · ὁ πέντε ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΗΘΚ , ΘΚΛ , ΚΛΜ , ΛΜΗ , ΜΗΘ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνος . δείκνυμι δέ καί ἰσόπλευρος , καί περιγράφω περί ὁ ΑΒΓΔΕ κύκλος . · ὅς δέω ποιέω .