euclides-geom.elementa 12.prop.10
πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον . ἐχέτω γὰρ κῶνος κυλίνδρῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψος ἴσον · λέγω , ὅτι ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου τρίτον ἐστὶ μέρος , τουτέστιν ὅτι ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων ἐστίν . εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων , ἔσται ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἤτοι μείζων ἢ τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων . ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ · τὸ δὴ ΑΒΓΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πρίσμα ἰσουψὲς τῷ κυλίνδρῳ . τὸ δὴ ἀνιστάμενον πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου , ἐπειδήπερ κἂν περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν , τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ περιγεγραμμένου · καί ἐστι τὰ ἀπʼ αὐτῶν ἀνιστάμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοϋψῆ · τὰ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις · καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ ἄρα τετραγώνου ἀνασταθὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι τοῦ ἀνασταθέντος πρίσματος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου · καί ἐστιν ὁ κύλινδρος ἐλάττων τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου · τὸ ἄρα πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἰσοϋψὲς τῷ κυλίνδρῳ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ κυλίνδρου . τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ , Η , Θ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ , ΓΗ , ΗΔ , ΔΘ , ΘΑ · καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , ὡς ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν . ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα ἰσουψῆ τῷ κυλίνδρῳ · καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ἀνασταθέντων πρισμάτων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κυλίνδρου , ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε , Ζ , Η , θ σημείων παραλλήλους ταῖς ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ ἀγάγωμεν , καὶ συμπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ παραλληλόγραμμα , καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ , ἑκάστου τῶν ἀνασταθέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ πρίσματα τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τριγώνων · καί ἐστι τὰ τοῦ κυλίνδρου τμήματα ἐλάττονα τῶν ἀνασταθέντων στερεῶν παραλληλεπιπέδων · ὥστε καὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθʼ ἑαυτὰ τοῦ κυλίνδρου τμημάτων . τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πρίσματα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κυλίνδρου , ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς , ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδρος τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου . λελείφθω , καὶ ἔστω τὰ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ , ΓΗ , ΗΔ , ΔΘ , ΘΑ · λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖ ΓΗΔΘ πολύγωνον , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , μεῖζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου . ἀλλὰ τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , τριπλάσιόν ἐστι τῆς πυραμίδος , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ · καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ , μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον . ἀλλὰ καὶ ἐλάττων · ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου μείζων ἢ τριπλάσιος . λέγω δή , ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω ἐλάττων ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου · ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος . ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ · τὸ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ · ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου , ἐπειδήπερ , ὡς ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν , ὅτι ἐὰν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν , ἔσται τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον ἥμισυ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγεγραμμένου τετραγώνου · καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν τετραγώνων στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀναστήσωμεν ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ , ἃ καὶ καλεῖται πρίσματα , ἔσται τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἥμισυ τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου · πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις . ὥστε καὶ τὰ τρίτα · καὶ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον , ἥμισύ ἐστι τῆς πυραμίδος τῆς ἀνασταθείσης ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου . καί ἐστι μείζων ἡ πυραμὶς ἡ ἀνασταθεῖσα ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου τοῦ κώνου · ἐμπεριέχει γὰρ αὐτόν . ἡ ἄρα πυραμὶς , ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον , κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ , μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου . τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ , Η , Θ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ , ΓΗ , ΗΔ , ΔΘ , ΘΑ · καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . καὶ ἀνεστάτωσαν ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τριγώνων πυραμίδες τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαι τῷ κώνῳ · καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου . τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδα τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαν τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου , ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς , ᾗ ὑπερέχει ὁ κῶνος τοῦ τρίτου μέρους τοῦ κυλίνδρου . λελείφθω , καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ , ΓΗ , ΗΔ , ΔΘ , ΘΑ · λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ , μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος τοῦ κυλίνδρου . ἀλλʼ ἡ πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ , τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ πρίσματος , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ · τὸ ἄρα πρίσμα , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου , οὗ βάσις ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . ἀλλὰ καὶ ἔλαττον · ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος · τριπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου · ὥστε ὁ κῶνος τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ κυλίνδρου . πᾶς ἄρα κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς κῶνος κύλινδρος τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος . ἔχω γάρ κῶνος κύλινδρος βάσις τε ὁ αὐτός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος καί ὕψος ἴσος · λέγω , ὅτι ὁ κῶνος ὁ κύλινδρος τρίτος εἰμί μέρος , τουτέστι ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος τριπλασίων εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος τριπλασίων , εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος ἤτοι μέγας ἤ τριπλασίων ἤ ἐλαχύς ἤ τριπλασίων . εἰμί πρότερος μέγας ἤ τριπλασίων , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τετράγωνος ὁ ΑΒΓΔ · ὁ δή ΑΒΓΔ τετράγωνος μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . καί ἀνίστημι ἀπό ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος πρίσμα ἰσουψής ὁ κύλινδρος . ὁ δή ἀνίστημι πρίσμα μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κύλινδρος , ἐπειδή ἐάν περί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τετράγωνος περιγράφω , ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τετράγωνος ἥμισυς εἰμί ὁ περιγράφω · καί εἰμί ὁ ἀπό αὐτός ἀνίστημι στερεός παραλληλεπίπεδον πρίσμα ἰσουψής · ὁ δέ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις · καί ὁ ἐπί ὁ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγωνος ἀνίστημι πρίσμα ἥμισυς εἰμί ὁ ἀνίστημι πρίσμα ἀπό ὁ περί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος περιγράφω τετράγωνος · καί εἰμί ὁ κύλινδρος ἐλαχύς ὁ πρίσμα ὁ ἀνίστημι ἀπό ὁ περί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος περιγράφω τετράγωνος · ὁ ἄρα πρίσμα ὁ ἀνίστημι ἀπό ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος ἰσουψής ὁ κύλινδρος μέγας εἰμί ὁ ἥμισυς ὁ κύλινδρος . τέμνω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Ε , Ζ , Η , Θ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ , ΓΗ , ΗΔ , ΔΘ , ΘΑ · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τρίγων μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ὡς ἔμπροσθεν δείκνυμι . ἀνίστημι ἐπί ἕκαστος ὁ ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τρίγων πρίσμα ἰσουψής ὁ κύλινδρος · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ἀνίστημι πρίσμα μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς μέρος ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ κύλινδρος , ἐπειδή ἐάν διά ὁ Ε , Ζ , Η , θ̅ σημεῖον παράλληλος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ ἄγω , καί συμπληρόω ὁ ἐπί ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ παραλληλόγραμμος , καί ἀπό αὐτός ἀνίστημι στερεός παραλληλεπίπεδον ἰσουψής ὁ κύλινδρος , ἕκαστος ὁ ἀνίστημι ἥμισυς εἰμί ὁ πρίσμα ὁ ἐπί ὁ ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τρίγων · καί εἰμί ὁ ὁ κύλινδρος τμῆμα ἐλαχύς ὁ ἀνίστημι στερεός παραλληλεπίπεδον · ὥστε καί ὁ ἐπί ὁ ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τρίγων πρίσμα μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κατά ἑαυτοῦ ὁ κύλινδρος τμῆμα . τέμνω δή ὁ ὑπολείπω περιφέρεια δίχα καί ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα καί ἀνίστημι ἐπί ἕκαστος ὁ τρίγων πρίσμα ἰσουψής ὁ κύλινδρος καί οὗτος ἀεί ποιέω καταλείπω τις ἀπότμημα ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ κύλινδρος ὁ τριπλάσιος ὁ κῶνος . λείπω , καί εἰμί ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ , ΓΗ , ΗΔ , ΔΘ , ΘΑ · λοιπός ἄρα ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕΒΖ ΓΗΔΘ πολύγωνον , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , μέγας εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ κῶνος . ἀλλά ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , τριπλάσιος εἰμί ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ αὐτός ὁ κῶνος · καί ὁ πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ αὐτός ὁ κῶνος , μέγας εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ ΑΒ ΓΔ κύκλος . ἀλλά καί ἐλαχύς · ἐμπεριέχω γάρ ὑπό αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος μέγας ἤ τριπλάσιος . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί ἐλαχύς ἤ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος · ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνος ὁ κύλινδρος μέγας εἰμί ἤ τρίτος μέρος . ἐγγράφω δή εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τετράγωνος ὁ ΑΒΓΔ · ὁ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγωνος μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . καί ἀνίστημι ἀπό ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος · ὁ ἄρα ἀνίστημι πυραμίς μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς μέρος ὁ κῶνος , ἐπειδή , ὡς ἔμπροσθεν δείκνυμι , ὅτι ἐάν περί ὁ κύκλος τετράγωνος περιγράφω , εἰμί ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος ἥμισυς ὁ περί ὁ κύκλος περιγράφω τετράγωνος · καί ἐάν ἀπό ὁ τετράγωνος στερεός παραλληλεπίπεδον ἀνίστημι ἰσουψής ὁ κῶνος , ὅς καί καλέω πρίσμα , εἰμί ὁ ἀνίστημι ἀπό ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος ἥμισυς ὁ ἀνίστημι ἀπό ὁ περί ὁ κύκλος περιγράφω τετράγωνος · πρός ἀλλήλων γάρ εἰμί ὡς ὁ βάσις . ὥστε καί ὁ τρίτος · καί πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος , ἥμισυς εἰμί ὁ πυραμίς ὁ ἀνίστημι ἀπό ὁ περί ὁ κύκλος περιγράφω τετράγωνος . καί εἰμί μέγας ὁ πυραμίς ὁ ἀνίστημι ἀπό ὁ περί ὁ κύκλος τετράγωνος ὁ κῶνος · ἐμπεριέχω γάρ αὐτός . ὁ ἄρα πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος , κορυφή δέ ὁ αὐτός ὁ κῶνος , μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κῶνος . τέμνω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Ε , Ζ , Η , Θ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ , ΓΗ , ΗΔ , ΔΘ , ΘΑ · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τρίγων μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς μέρος ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . καί ἀναστατόω ἐπί ἕκαστος ὁ ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τρίγων πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ἀνίστημι πυραμίς κατά ὁ αὐτός τρόπος μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς μέρος ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ κῶνος . τέμνω δή ὁ ὑπολείπω περιφέρεια δίχα καί ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα καί ἀνίστημι ἐπί ἕκαστος ὁ τρίγων πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος καί οὗτος ἀεί ποιέω καταλείπω τις ἀπότμημα ὁ κῶνος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ κῶνος ὁ τρίτος μέρος ὁ κύλινδρος . λείπω , καί εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ , ΓΗ , ΗΔ , ΔΘ , ΘΑ · λοιπός ἄρα ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ αὐτός ὁ κῶνος , μέγας εἰμί ἤ τρίτος μέρος ὁ κύλινδρος . ἀλλά ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ αὐτός ὁ κῶνος , τρίτος εἰμί μέρος ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος · ὁ ἄρα πρίσμα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , μέγας εἰμί ὁ κύλινδρος , ὅς βάσις εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . ἀλλά καί ἐλαχύς · ἐμπεριέχω γάρ ὑπό αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ μέγας ἤ τριπλάσιος · τριπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος · ὥστε ὁ κῶνος τρίτος εἰμί μέρος ὁ κύλινδρος . πᾶς ἄρα κῶνος κύλινδρος τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος · ὅς δέω δείκνυμι .