euclides-geom.elementa 7.prop.2
δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν . ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ , ΓΔ . δεῖ δὴ τῶν ΑΒ , ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν . εἰ μὲν οὖν ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ , μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν , ὁ ΓΔ ἄρα τῶν ΓΔ , ΑΒ κοινὸν μέτρον ἐστίν . καὶ φανερόν , ὅτι καὶ μέγιστον · οὐδεὶς γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ μετρήσει . εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ , τῶν ΑΒ , ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος λειφθήσεταί τις ἀριθμός , ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ . μονὰς μὲν γὰρ οὐ λειφθήσεται · εἰ δὲ μή , ἔσονται οἱ ΑΒ , ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται . λειφθήσεταί τις ἄρα ἀριθμός , ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ . καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΕ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΕΑ , ὁ δὲ ΕΑ τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΓ , ὁ δὲ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρείτω . ἐπεὶ οὖν ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ , ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ , καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει · μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν · καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΔ μετρήσει . ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ · καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ · μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΑ · καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΒΑ μετρήσει · μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΓΔ · ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ , ΓΔ μετρεῖ . ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν . λέγω δή , ὅτι καὶ μέγιστον . εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ , ΓΔ μέγιστον κοινὸν μέτρον , μετρήσει τις τοὺς ΑΒ , ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ ΓΖ . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Η . καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν ΓΔ μετρεῖ , ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ , καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ · μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΕ μετρήσει . ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ · καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει · μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ , ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ ΓΖ · ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον · . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς μετρῇ , καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο ἀριθμός δίδωμι μή πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ μέγας αὐτός κοινός μέτρον εὑρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι δύο ἀριθμός μή πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ ΑΒ , ΓΔ . δέω δή ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ μέγας κοινός μέτρον εὑρίσκω . εἰ μέν οὖν ὁ ΓΔ ὁ ΑΒ μετρέω , μετρέω δέ καί ἑαυτοῦ , ὁ ΓΔ ἄρα ὁ ΓΔ , ΑΒ κοινός μέτρον εἰμί . καί φανερός , ὅτι καί μέγας · οὐδείς γάρ μέγας ὁ ΓΔ ὁ ΓΔ μετρέω . εἰ δέ οὐ μετρέω ὁ ΓΔ ὁ ΑΒ , ὁ ΑΒ , ΓΔ ἀνθυφαιρέω ἀεί ὁ ἐλαχύς ἀπό ὁ μέγας λείπω τις ἀριθμός , ὅς μετρέω ὁ πρό ἑαυτοῦ . μονή μέν γάρ οὐ λείπω · εἰ δέ μή , εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ πρῶτος πρός ἀλλήλων · ὅς οὐ ὑπόκειμαι . λείπω τις ἄρα ἀριθμός , ὅς μετρέω ὁ πρό ἑαυτοῦ . καί ὁ μέν ΓΔ ὁ ΒΕ μετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΕΑ , ὁ δέ ΕΑ ὁ ΔΖ μετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΖΓ , ὁ δέ ΓΖ ὁ ΑΕ μετρέω . ἐπεί οὖν ὁ ΓΖ ὁ ΑΕ μετρέω , ὁ δέ ΑΕ ὁ ΔΖ μετρέω , καί ὁ ΓΖ ἄρα ὁ ΔΖ μετρέω · μετρέω δέ καί ἑαυτοῦ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΓΔ μετρέω . ὁ δέ ΓΔ ὁ ΒΕ μετρέω · καί ὁ ΓΖ ἄρα ὁ ΒΕ μετρέω · μετρέω δέ καί ὁ ΕΑ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΒΑ μετρέω · μετρέω δέ καί ὁ ΓΔ · ὁ ΓΖ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ μετρέω . ὁ ΓΖ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ κοινός μέτρον εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί μέγας . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ ΓΖ ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγας κοινός μέτρον , μετρέω τις ὁ ΑΒ , ΓΔ ἀριθμός ἀριθμός μέγας εἰμί ὁ ΓΖ . μετρέω , καί εἰμί ὁ Η . καί ἐπεί ὁ Η ὁ ΓΔ μετρέω , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΒΕ μετρέω , καί ὁ Η ἄρα ὁ ΒΕ μετρέω · μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΒΑ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΕ μετρέω . ὁ δέ ΑΕ ὁ ΔΖ μετρέω · καί ὁ Η ἄρα ὁ ΔΖ μετρέω · μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΔΓ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΖ μετρέω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ ἀριθμός ἀριθμός τις μετρέω μέγας εἰμί ὁ ΓΖ · ὁ ΓΖ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ μέγας εἰμί κοινός μέτρον · . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν ἀριθμός δύο ἀριθμός μετρέω , καί ὁ μέγας αὐτός κοινός μέτρον μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .