euclides-geom.elementa 10.prop3.102
τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην . ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ , ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη . ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον καὶ ἀσύμμετρον τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΓΔ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ · ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , ὧν τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον · καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον τὸ ΓΛ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ , ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί . αἱ ΓΜ , ΜΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ . λέγω δή , ὅτι καὶ ἕκτη . ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , τετμήσθω δίχα ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ , ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ , ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΛ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ . καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ , καὶ τῶν ἄρα ΓΘ , ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ . καὶ διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ · ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἕκτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή ἕκτος . εἰμί ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω ὁ ΑΒ , ῥητός δέ ὁ ΓΔ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΕ πλάτος ποιέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΖ ἀποτομή εἰμί ἕκτος . εἰμί γάρ ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος καί ἀσύμμετρος ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . παραβάλλω οὖν παρά ὁ ΓΔ ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος ὁ ΓΘ πλάτος ποιέω ὁ ΓΚ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ΚΛ · ὅλος ἄρα ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ · μέσος ἄρα καί ὁ ΓΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΓΔ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΓΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . ἐπεί οὖν ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὅς ὁ ΓΕ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , λοιπός ἄρα ὁ ΖΛ ἴσος εἰμί δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος · καί ὁ ΖΛ ἄρα μέσος εἰμί . καί παρά ῥητός ὁ ΖΕ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΖΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΖΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος ὁ ΓΛ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος ὁ ΖΛ , ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΓΛ ὁ ΖΛ . ὡς δέ ὁ ΓΛ πρός ὁ ΖΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΜ πρός ὁ ΜΖ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ ὁ ΜΖ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός . ὁ ΓΜ , ΜΖ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΓΖ . λέγω δή , ὅτι καί ἕκτος . ἐπεί γάρ ὁ ΖΛ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , τέμνω δίχα ὁ ΖΜ κατά ὁ Ν , καί ἄγω διά ὁ Ν ὁ ΓΔ παράλληλος ὁ ΝΞ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΖΞ , ΝΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . καί ἐπεί ὁ ΑΗ , ΗΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΒ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος εἰμί ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΒ ἴσος εἰμί ὁ ΚΛ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΘ ὁ ΚΛ . ὡς δέ ὁ ΓΘ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΚ πρός ὁ ΚΜ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΚ ὁ ΚΜ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΒ ἴσος ὁ ΚΛ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος ὁ ΝΛ , καί ὁ ἄρα ΓΘ , ΚΛ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΝΛ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ . καί διά ὁ αὐτός ὁ ΓΜ ὁ ΜΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί οὐδέτερος αὐτός σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΓΔ · ὁ ΓΖ ἄρα ἀποτομή εἰμί ἕκτος · ὅς δέω δείκνυμι .