euclides-geom.elementa 10.prop2.53
εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην . Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἔστω δὲ καὶ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ μὴ τετράγωνος ὢν μηδὲ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΒΑ , ΑΓ λόγον ἔχων , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε , καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ · σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ . καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει . γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΗ . ῥητὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ · ῥητὴ ἄρα ἡ ΘΗ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει . αἱ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΖΘ . δεικτέον δή , ὅτι καὶ ἕκτη . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , ἔστι δὲ καὶ ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει . ἐδείχθη δὲ καὶ τῇ ΖΗ ἀσύμμετρος · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΖΗ , ΗΘ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ , Κ · ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ . ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ὥστε οὐδὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει · ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσιν αἱ ΖΗ , ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Ε . ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα ἔστω δύο τετράγωνα τὰ ΑΒ , ΒΓ καὶ κείσθωσαν ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΔΒ τῇ ΒΕ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ . καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον · λέγω , ὅτι τετράγωνόν ἐστι τὸ ΑΓ , καὶ ὅτι τῶν ΑΒ , ΒΓ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ , καὶ ἔτι τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΖ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΒΗ , ὅλη ἄρα ἡ ΔΕ ὅλῃ τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση . ἀλλʼ ἡ μὲν ΔΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΘ , ΚΓ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ , ΘΓ ἐστιν ἴση · καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΘ , ΚΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ , ΘΓ ἐστιν ἴση . ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον · ἔστι δὲ καὶ ὀρθογώνιον · τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ , οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ , οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ , ὡς δὲ ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ , καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ , οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ . τῶν ΑΒ , ΒΓ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ . λέγω δή , ὅτι καὶ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον ἀνάλογόν τὸ ΔΓ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΚ , οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΓ · ἴση γάρ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ , οὕτως ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ , ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ , οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΔ , ὡς δὲ ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ , οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς ΓΒ , καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΓ πρὸς ΔΓ , οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΒΓ . τῶν ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ · ἃ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ ἐκ δύο ὄνομα ἕκτος . ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος αὐτός λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · εἰμί δέ καί ἕτερος ἀριθμός ὁ Δ μή τετράγωνος εἰμί μηδέ πρός ἑκάτερος ὁ ΒΑ , ΑΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ἔκκειμαι τις ῥητός εὐθεῖα ὁ Ε , καί γίγνομαι ὡς ὁ Δ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · σύμμετρος ἄρα ὁ ἀπό ὁ Ε ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . καί εἰμί ῥητός ὁ Ε · ῥητός ἄρα καί ὁ ΖΗ . καί ἐπεί οὐ ἔχω ὁ Δ πρός ὁ ΑΒ λόγος , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ ἀπό ὁ Ε ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ Ε ὁ ΖΗ μῆκος . γίγνομαι δή πάλιν ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . σύμμετρος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΘΗν . ῥητός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΘΗν · ῥητός ἄρα ὁ ΘΗ . καί ἐπεί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΘ μῆκος . ὁ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΖΘ . δείκνυμι δή , ὅτι καί ἕκτος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Δ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Δ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ὁ δέ Δ πρός ὁ ΑΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ὁ ἀπό ὁ Ε ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Ε ὁ ΗΘ μῆκος . δείκνυμι δέ καί ὁ ΖΗ ἀσύμμετρος · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΖΗ , ΗΘ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ Ε μῆκος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , μέγας ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . εἰμί οὖν ὁ ἀπό ΖΗ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , Κ · ἀναστρέφω ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Κ . ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ὥστε οὐδέ ὁ ἀπό ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Κ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ Κ μῆκος · ὁ ΖΗ ἄρα ὁ ΗΘ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ ΖΗ , ΗΘ ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος , καί οὐδέτερος αὐτός σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ Ε . ὁ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ἕκτος · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα εἰμί δύο τετράγωνος ὁ ΑΒ , ΒΓ καί κεῖμαι ὥστε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΔΒ ὁ ΒΕ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΒ ὁ ΒΗ . καί συμπληρόω ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος · λέγω , ὅτι τετράγωνος εἰμί ὁ ΑΓ , καί ὅτι ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΔΗ , καί ἔτι ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΔΓ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΔΒ ὁ ΒΖ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΒΗ , ὅλος ἄρα ὁ ΔΕ ὅλος ὁ ΖΗ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ μέν ΔΕ ἑκάτερος ὁ ΑΘ , ΚΓ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΖΗ ἑκάτερος ὁ ΑΚ , ΘΓ εἰμί ἴσος · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΘ , ΚΓ ἑκάτερος ὁ ΑΚ , ΘΓ εἰμί ἴσος . ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος · εἰμί δέ καί ὀρθογώνιον · τετράγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΖΒ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΖΒ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΗ , ὡς δέ ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΔΗ πρός ὁ ΒΓ , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΗ , οὕτως ὁ ΔΗ πρός ὁ ΒΓ . ὁ ΑΒ , ΒΓ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΔΗ . λέγω δή , ὅτι καί ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος ἀνάλογος ὁ ΔΓ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΔ πρός ὁ ΔΚ , οὕτως ὁ ΚΗ πρός ὁ ΗΓ · ἴσος γάρ ἑκάτερος ἑκάτερος · καί συντίθημι ὡς ὁ ΑΚ πρός ΚΔ , οὕτως ὁ ΚΓ πρός ΓΗ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΚ πρός ΚΔ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΔ , ὡς δέ ὁ ΚΓ πρός ΓΗ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ΓΒ , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΓ πρός ΔΓ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ὁ ΒΓ . ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΔΓ · ὅς πρόκειμαι δείκνυμι .