euclides-geom.elementa 10.prop1.9
τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , καὶ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους . τὰ δὲ ἀπὸ τῶν μήκει ἀσυμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει , ὅνπερ τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχοντα , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους . ἔστωσαν γὰρ αἱ Α , Β μήκει σύμμετροι · λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει , ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . ἐχέτω , ὃν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον · τὰ γὰρ ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν · τοῦ δὲ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον · δύο γὰρ τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός , καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον , οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον . ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β , οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ · λέγω , ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β , οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ , ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου , ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγου , ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β , λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Δ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Β μήκει . ἀλλὰ δὴ ἀσύμμετρος ἔστω ἡ Α τῇ Β μήκει · λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . εἰ γὰρ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , σύμμετρος ἔσται ἡ Α τῇ Β . οὐκ ἔστι δέ · οὐκ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . πάλιν δὴ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον μὴ ἐχέτω , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · λέγω , ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει . εἰ γάρ ἐστι σύμμετρος ἡ Α τῇ Β , ἕξει τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . οὐκ ἔχει δέ · οὐκ ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει . τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων , καὶ τὰ ἑξῆς . Πόρισμα καὶ φανερὸν ἐκ τῶν δεδειγμένων ἔσται , ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει , αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει [ εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , τὰ δὲ λόγον ἔχοντα , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν , σύμμετρά ἐστιν . ὥστε αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι οὐ μόνον μήκει σύμμετροι , ἀλλὰ καὶ δυνάμει . πάλιν ἐπεί , ὅσα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , μήκει ἐδείχθη σύμμετρα καὶ δυνάμει ὄντα σύμμετρα τῷ τὰ τετράγωνα λόγον ἔχειν , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν , ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , ἀλλὰ ἁπλῶς , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν , σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει , οὐκέτι δὲ καὶ μήκει · ὥστε τὰ μὲν μήκει σύμμετρα πάντως καὶ δυνάμει , τὰ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει , εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . λέγω δή , ὅτι αἱ μήκει ἀσύμμετροι οὐ πάντως καὶ δυνάμει , ἐπειδήπερ αἱ δυνάμει σύμμετροι δύνανται λόγον μὴ ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , καὶ διὰ τοῦτο δυνάμει οὖσαι σύμμετροι μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι . ὥστε οὐχ αἱ τῷ μήκει ἀσύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει , ἀλλὰ δύνανται μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι δυνάμει εἶναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι . αἱ δὲ δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει ἀσύμμετροι · εἰ γὰρ μήκει σύμμετροι , ἔσονται καὶ δυνάμει σύμμετροι . ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι · ὅπερ ἄτοπον . αἱ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει ] . λῆμμα δέδεικται ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς , ὅτι οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , καὶ ὅτι , ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι . καὶ δῆλον ἐκ τούτων , ὅτι οἱ μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί , τουτέστιν οἱ μὴ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς , πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . εἰ γὰρ ἕξουσιν , ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται . οἱ ἄρα μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ μῆκος σύμμετρος εὐθύς τετράγωνος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ὁ τετράγωνος ὁ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , καί ὁ πλευρά ἔχω μῆκος σύμμετρος . ὁ δέ ἀπό ὁ μῆκος ἀσύμμετρος εὐθύς τετράγωνος πρός ἀλλήλων λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ὁ τετράγωνος ὁ πρός ἀλλήλων λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ πλευρά ἔχω μῆκος σύμμετρος . εἰμί γάρ ὁ Α , Β μῆκος σύμμετρος · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β τετράγωνος λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β μῆκος , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . ἔχω , ὅς ὁ Γ πρός ὁ Δ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , ἀλλά ὁ μέν ὁ Α πρός ὁ Β λόγος διπλασίων εἰμί ὁ ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β τετράγωνος · ὁ γάρ ὅμοιος σχῆμα ἐν διπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά · ὁ δέ ὁ Γ πρός ὁ Δ λόγος διπλασίων εἰμί ὁ ὁ ἀπό ὁ Γ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Δ τετράγωνος · δύο γάρ τετράγωνος ἀριθμός εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός , καί ὁ τετράγωνος πρός ὁ τετράγωνος διπλάσιος λόγος ἔχω , ἤ ὁ πλευρόν πρός ὁ πλευρά · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β τετράγωνος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Γ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Δ τετράγωνος . ἀλλά δή εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Γ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Δ · λέγω , ὅτι σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β μῆκος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Γ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Δ , ἀλλά ὁ μέν ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β λόγος διπλασίων εἰμί ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόγος , ὁ δέ ὁ ἀπό ὁ Γ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Δ τετράγωνος λόγος διπλασίων εἰμί ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ λόγος , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ . ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β , λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός ὁ Γ πρός ἀριθμός ὁ Δ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Β μῆκος . ἀλλά δή ἀσύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β μῆκος · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . εἰ γάρ ἔχω ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β λόγος , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β . οὐ εἰμί δέ · οὐ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . πάλιν δή ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · λέγω , ὅτι ἀσύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β μῆκος . εἰ γάρ εἰμί σύμμετρος ὁ Α ὁ Β , ἔχω ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ Β λόγος , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . οὐ ἔχω δέ · οὐ ἄρα σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β μῆκος . ὁ ἄρα ἀπό ὁ μῆκος σύμμετρος , καί ὁ ἑξῆς . πόρισμα καί φανερός ἐκ ὁ δείκνυμι εἰμί , ὅτι ὁ μῆκος σύμμετρος πάντως καί δύναμις , ὁ δέ δύναμις οὐ πάντως καί μῆκος [ εἴπερ ὁ ἀπό ὁ μῆκος σύμμετρος εὐθύς τετράγωνος λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , ὁ δέ λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός , σύμμετρος εἰμί . ὥστε ὁ μῆκος σύμμετρος εὐθεῖα οὐ μόνος μῆκος σύμμετρος , ἀλλά καί δύναμις . πάλιν ἐπεί , ὅσος τετράγωνος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , μῆκος δείκνυμι σύμμετρος καί δύναμις εἰμί σύμμετρος ὁ ὁ τετράγωνος λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός , ὅσος ἄρα τετράγωνος λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , ἀλλά ἁπλῶς , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός , σύμμετρος μέν εἰμί αὐτός ὁ τετράγωνος δύναμις , οὐκέτι δέ καί μῆκος · ὥστε ὁ μέν μῆκος σύμμετρος πάντως καί δύναμις , ὁ δέ δύναμις οὐ πάντως καί μῆκος , εἰ μή καί λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . λέγω δή , ὅτι ὁ μῆκος ἀσύμμετρος οὐ πάντως καί δύναμις , ἐπειδή ὁ δύναμις σύμμετρος δύναμαι λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , καί διά οὗτος δύναμις εἰμί σύμμετρος μῆκος εἰμί ἀσύμμετρος . ὥστε οὐ ὁ ὁ μῆκος ἀσύμμετρος πάντως καί δύναμις , ἀλλά δύναμαι μῆκος εἰμί ἀσύμμετρος δύναμις εἰμί καί ἀσύμμετρος καί σύμμετρος . ὁ δέ δύναμις ἀσύμμετρος πάντως καί μῆκος ἀσύμμετρος · εἰ γάρ μῆκος σύμμετρος , εἰμί καί δύναμις σύμμετρος . ὑπόκειμαι δέ καί ἀσύμμετρος · ὅς ἄτοπος . ὁ ἄρα δύναμις ἀσύμμετρος πάντως καί μῆκος ] . λῆμμα δείκνυμι ἐν ὁ ἀριθμητικός , ὅτι ὁ ὅμοιος ἐπίπεδος ἀριθμός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , καί ὅτι , ἐάν δύο ἀριθμός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , ὅμοιος εἰμί ἐπίπεδος . καί δῆλος ἐκ οὗτος , ὅτι ὁ μή ὅμοιος ἐπίπεδος ἀριθμός , τουτέστι ὁ μή ἀνάλογος ἔχω ὁ πλευρά , πρός ἀλλήλων λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . εἰ γάρ ἔχω , ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί · ὅς οὐ ὑπόκειμαι . ὁ ἄρα μή ὅμοιος ἐπίπεδος πρός ἀλλήλων λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός .