euclides-geom.elementa 5.prop.13
ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον , καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον . πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ , τρίτον δὲ τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ μείζονα λόγον ἐχέτω ἢ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ . λέγω , ὅτι καὶ πρῶτον τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ . ἐπεὶ γὰρ ἔστι τινὰ τῶν μὲν Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια , τῶν δὲ Δ , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια , καὶ τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει , τὸ δὲ τοῦ Ε πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Ζ πολλαπλασίου οὐχ ὑπερέχει , εἰλήφθω , καὶ ἔστω τῶν μὲν Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η , Θ , τῶν δὲ Δ , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ , Λ , ὥστε τὸ μὲν Η τοῦ Κ ὑπερέχειν , τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν · καὶ ὁσαπλάσιον μέν ἐστι τὸ Η τοῦ Γ , τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Α , ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κ τοῦ Δ , τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ Β . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ , Η , τῶν δὲ Β , Δ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ν , Κ , εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Ν , ὑπερέχει καὶ τὸ Η τοῦ Κ , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . ὑπερέχει δὲ τὸ Η τοῦ Κ · ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν . τὸ δὲ Θ τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει · καί ἐστι τὰ μὲν Μ , Θ τῶν Α , Ε ἰσάκις πολλαπλάσια , τὰ δὲ Ν , Λ τῶν Β , Ζ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια · τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ . ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον , καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πρῶτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος πρός τέταρτος , τρίτος δέ πρός τέταρτος μέγας λόγος ἔχω ἤ πέμπτος πρός ἕκτος , καί πρῶτος πρός δεύτερος μέγας λόγος ἔχω ἤ πέμπτος πρός ἕκτος . πρῶτος γάρ ὁ Α πρός δεύτερος ὁ Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος ὁ Γ πρός τέταρτος ὁ Δ , τρίτος δέ ὁ Γ πρός τέταρτος ὁ Δ μέγας λόγος ἔχω ἤ πέμπτος ὁ Ε πρός ἕκτος ὁ Ζ . λέγω , ὅτι καί πρῶτος ὁ Α πρός δεύτερος ὁ Β μέγας λόγος ἔχω ἤ πέμπτος ὁ Ε πρός ἕκτος ὁ Ζ . ἐπεί γάρ εἰμί τις ὁ μέν Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Δ , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος , καί ὁ μέν ὁ Γ πολλαπλάσιος ὁ ὁ Δ πολλαπλάσιος ὑπερέχω , ὁ δέ ὁ Ε πολλαπλάσιος ὁ ὁ Ζ πολλαπλάσιος οὐ ὑπερέχω , λαμβάνω , καί εἰμί ὁ μέν Γ , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Η , Θ , ὁ δέ Δ , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Κ , Λ , ὥστε ὁ μέν Η ὁ Κ ὑπερέχω , ὁ δέ Θ ὁ Λ μή ὑπερέχω · καί ὁσαπλάσιος μέν εἰμί ὁ Η ὁ Γ , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ Μ ὁ Α , ὁσαπλάσιος δέ ὁ Κ ὁ Δ , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ Ν ὁ Β . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί λαμβάνω ὁ μέν Α , Γ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Μ , Η , ὁ δέ Β , Δ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ Ν , Κ , εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ Μ ὁ Ν , ὑπερέχω καί ὁ Η ὁ Κ , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . ὑπερέχω δέ ὁ Η ὁ Κ · ὑπερέχω ἄρα καί ὁ Μ ὁ Ν . ὁ δέ Θ ὁ Λ οὐ ὑπερέχω · καί εἰμί ὁ μέν Μ , Θ ὁ Α , Ε ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Ν , Λ ὁ Β , Ζ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος · ὁ ἄρα Α πρός ὁ Β μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Ε πρός ὁ Ζ . ἐάν ἄρα πρῶτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος πρός τέταρτος , τρίτος δέ πρός τέταρτος μέγας λόγος ἔχω ἤ πέμπτος πρός ἕκτος , καί πρῶτος πρός δεύτερος μέγας λόγος ἔχω ἤ πέμπτος πρός ἕκτος · ὅς δέω δείκνυμι .