euclides-geom.elementa 4.prop.13
εἰς τὸ δοθὲν πεντάγωνον , ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , κύκλον ἐγγράψαι . ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ · δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον ἐγγράψαι . τετμήσθω γὰρ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ , ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ , ΔΖ εὐθειῶν · καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου , καθʼ ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ ΓΖ , ΔΖ εὐθεῖαι , ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ , ΖΑ , ΖΕ εὐθεῖαι . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ , κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ , δύο δὴ αἱ ΒΓ , ΓΖ δυσὶ ταῖς ΔΓ , ΓΖ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση , καὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἐστιν ἴσον , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΖ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῆς ὑπὸ ΓΔΖ , ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΖ , καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΒΖ ἐστι διπλῆ · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΓ · ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΖ εὐθείας . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ , ΑΕΔ δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΖΑ , ΖΕ εὐθειῶν . ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΖΗ , ΖΘ , ΖΚ , ΖΛ , ΖΜ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΓΖ , ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΘΓ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ ἴση , δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΘΓ , ΖΚΓ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει · ἴση ἄρα ἡ ΖΘ κάθετος τῇ ΖΚ καθέτῳ . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΛ , ΖΜ , ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΘ , ΖΚ ἴση ἐστίν · αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΗ , ΖΘ , ΖΚ , ΖΛ , ΖΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Η , Θ , Κ , Λ , Μ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Η , Θ , Κ , Λ , Μ σημείοις γωνίας . εἰ γὰρ οὐκ ἐφάψεται αὐτῶν , ἀλλὰ τεμεῖ αὐτάς , συμβήσεται τὴν τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένην ἐντὸς πίπτειν τοῦ κύκλου · ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν η , Θ , Κ , Λ , Μ σημείων γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ εὐθείας · ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν . γεγράφθω ὡς ὁ ΗΘΚΛΜ . εἰς ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον , ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , κύκλος ἐγγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι πεντάγωνος , ὅς εἰμί ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , κύκλος ἐγγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓΔΕ · δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος κύκλος ἐγγράφω . τέμνω γάρ ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΓΔ , ΓΔΕ γωνία δίχα ὑπό ἑκάτερος ὁ ΓΖ , ΔΖ εὐθεῖα · καί ἀπό ὁ Ζ σημεῖον , κατά ὅς συμβάλλω ἀλλήλων ὁ ΓΖ , ΔΖ εὐθεῖα , ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ , ΖΑ , ΖΕ εὐθεῖα . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΓΔ , κοινός δέ ὁ ΓΖ , δύο δή ὁ ΒΓ , ΓΖ δύο ὁ ΔΓ , ΓΖ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΒΓΖ γωνία ὁ ὑπό ΔΓΖ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΒΖ βάσις ὁ ΔΖ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΒΓΖ τρίγωνον ὁ ΔΓΖ τρίγωνον εἰμί ἴσος , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΓΒΖ γωνία ὁ ὑπό ΓΔΖ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ὑπό ΓΔΕ ὁ ὑπό ΓΔΖ , ἴσος δέ ὁ μέν ὑπό ΓΔΕ ὁ ὑπό ΑΒΓ , ὁ δέ ὑπό ΓΔΖ ὁ ὑπό ΓΒΖ , καί ὁ ὑπό ΓΒΑ ἄρα ὁ ὑπό ΓΒΖ εἰμί διπλόος · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΖ γωνία ὁ ὑπό ΖΒΓ · ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΓ γωνία δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΒΖ εὐθεῖα . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΑΕ , ΑΕΔ δίχα τέμνω ὑπό ἑκάτερος ὁ ΖΆ , ΖΕ εὐθεῖα . ἄγω δή ἀπό ὁ Ζ σημεῖον ἐπί ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ εὐθεῖα κάθετος ὁ ΖΗ , ΖΘ , ΖΚ , ΖΛ , ΖΜ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΘΓΖ γωνία ὁ ὑπό ΚΓΖ , εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ ὑπό ΖΘΓ ὁ ὑπό ΖΚΓ ἴσος , δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΖΘΓ , ΖΚΓ ὁ δύο γωνία δύο γωνία ἴσος ἔχω καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος κοινός αὐτός ὁ ΖΓ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω · ἴσος ἄρα ὁ ΖΘ κάθετος ὁ ΖΚ κάθετος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ ΖΛ , ΖΜ , ΖΗ ἑκάτερος ὁ ΖΘ , ΖΚ ἴσος εἰμί · ὁ πέντε ἄρα εὐθεῖα ὁ ΖΗ , ΖΘ , ΖΚ , ΖΛ , ΖΜ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὁ ἄρα κέντρον ὁ Ζ διάστημα δέ εἷς ὁ Η , Θ , Κ , Λ , Μ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός σημεῖον καί ἐφάπτω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ εὐθεῖα διά ὁ ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Η , Θ , Κ , Λ , Μ σημεῖον γωνία . εἰ γάρ οὐ ἐφάπτω αὐτός , ἀλλά τέμνω αὐτός , συμβαίνω ὁ ὁ διάμετρον ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ἄκρα ἄγω ἐντός πίπτω ὁ κύκλος · ὅς ἄτοπος δείκνυμι . οὐ ἄρα ὁ κέντρον ὁ Ζ διάστημα δέ εἷς ὁ η̅ , Θ , Κ , Λ , Μ σημεῖον γράφω κύκλος τέμνω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ εὐθεῖα · ἐφάπτω ἄρα αὐτός . γράφω ὡς ὁ ΗΘΚΛΜ . εἰς ἄρα ὁ δίδωμι πεντάγωνος , ὅς εἰμί ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , κύκλος ἐγγράφω · ὅς δέω ποιέω .