euclides-geom.elementa 10.prop2.55
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη . περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒΓΔ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας τῆς ΑΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη ἐστίν . ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΔ , διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε , ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ · αἱ ΑΕ , ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα ἡ ΕΔ σύμμετρόν ἐστι τῇ ΑΒ μήκει . τετμήσθω ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ · σύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει . καὶ διὰ τῶν Η , Ε , Ζ παράλληλοι ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ , ΓΔ αἱ ΗΘ , ΕΚ , ΖΛ , καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ , τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τετράγωνον τὸ ΝΠ , καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ . καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον · φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ προδεδειγμένου , ὅτι τὸ ΜΡ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΣΝ , ΝΠ , καὶ ἴσον τῷ ΕΛ , καὶ ὅτι τὸ ΑΓ χωρίον δύναται ἡ ΜΞ . δεικτέον δή , ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη . ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει , σύμμετρος δὲ ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ , ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ , σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ , ΗΕ . ἀλλὰ ἡ ΑΕ ἀσύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει · καὶ αἱ ΑΗ , ΗΕ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι τῇ ΑΒ . αἱ ΒΑ , ΑΗ , ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ὥστε μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ , ΗΚ . ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΝ , ΝΠ μέσον ἐστίν . καὶ αἱ ΜΝ , ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσίν . καὶ ἐπεὶ σύμμετρος ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει , σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ , τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει , ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΗ , ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΖ σύμμετρος , ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ · ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν , τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΜΡ , τουτέστιν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ , τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει . ἐδείχθησαν δὲ αἱ ΜΝ , ΝΞ καὶ μέσαι οὖσαι καὶ δυνάμει σύμμετροι · αἱ ΜΝ , ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι . λέγω δή , ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΔΕ ὑπόκειται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ , ΕΖ σύμμετρος , σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ . καὶ ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν · ῥητὸν ἄρα τὸ ΕΛ , τουτέστι τὸ ΜΡ · τὸ δὲ ΜΡ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ . ἐὰν δὲ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι , ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν , καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη . ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐκ δύο μέσος πρῶτος . περιέχω γάρ χωρίον ὁ ΑΒΓΔ ὑπό ῥητός ὁ ΑΒ καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι ἐκ δύο μέσος πρῶτος εἰμί . ἐπεί γάρ ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος εἰμί ὁ ΑΔ , διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Ε , ὥστε ὁ μέγας ὄνομα εἰμί ὁ ΑΕ · ὁ ΑΕ , ΕΔ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ἐλαχύς ὄνομα ὁ ΕΔ σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ μῆκος . τέμνω ὁ ΕΔ δίχα κατά ὁ Ζ , καί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἴσος παρά ὁ ΑΕ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος ὁ ὑπό ὁ ΑΗΕ · σύμμετρος ἄρα ὁ ΑΗ ὁ ΗΕ μῆκος . καί διά ὁ Η , Ε , Ζ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ ΗΘ , ΕΚ , ΖΛ , καί ὁ μέν ΑΘ παραλληλόγραμμος ἴσος τετράγωνος συνίστημι ὁ ΣΝ , ὁ δέ ΗΚ ἴσος τετράγωνος ὁ ΝΠ , καί κεῖμαι ὥστε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΜΝ ὁ ΝΞ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα καί ὁ ΡΝ ὁ ΝΟ . καί συμπληρόω ὁ ΣΠ τετράγωνος · φανερός δή ἐκ ὁ προδείκνυμι , ὅτι ὁ ΜΡ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΣΝ , ΝΠ , καί ἴσος ὁ ΕΛ , καί ὅτι ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι ὁ ΜΞ . δείκνυμι δή , ὅτι ὁ ΜΞ ἐκ δύο μέσος εἰμί πρῶτος . ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ μῆκος , σύμμετρος δέ ὁ ΕΔ ὁ ΑΒ , ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΑΕ ὁ ΑΒ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΕΗ , σύμμετρος εἰμί καί ὁ ΑΕ ἑκάτερος ὁ ΑΗ , ΗΕ . ἀλλά ὁ ΑΕ ἀσύμμετρος ὁ ΑΒ μῆκος · καί ὁ ΑΗ , ΗΕ ἄρα ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ . ὁ ΒΑ , ΑΗ , ΗΕ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὥστε μέσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΘ , ΗΚ . ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ΣΝ , ΝΠ μέσος εἰμί . καί ὁ ΜΝ , ΝΞ ἄρα μέσος εἰμί . καί ἐπεί σύμμετρος ὁ ΑΗ ὁ ΗΕ μῆκος , σύμμετρος εἰμί καί ὁ ΑΘ ὁ ΗΚ , τουτέστι ὁ ΣΝ ὁ ΝΠ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΜΝ ὁ ἀπό ὁ ΝΞ . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ μῆκος , ἀλλά ὁ μέν ΑΕ σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΗ , ὁ δέ ΕΔ ὁ ΕΖ σύμμετρος , ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΑΗ ὁ ΕΖ · ὥστε καί ὁ ΑΘ ὁ ΕΛ ἀσύμμετρος εἰμί , τουτέστι ὁ ΣΝ ὁ ΜΡ , τουτέστι ὁ ΟΝ ὁ ΝΡ , τουτέστι ὁ ΜΝ ὁ ΝΞ ἀσύμμετρος εἰμί μῆκος . δείκνυμι δέ ὁ ΜΝ , ΝΞ καί μέσος εἰμί καί δύναμις σύμμετρος · ὁ ΜΝ , ΝΞ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . λέγω δή , ὅτι καί ῥητός περιέχω . ἐπεί γάρ ὁ ΔΕ ὑπόκειμαι ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΕΖ σύμμετρος , σύμμετρος ἄρα καί ὁ ΕΖ ὁ ΕΚ . καί ῥητός ἑκάτερος αὐτός · ῥητός ἄρα ὁ ΕΛ , τουτέστι ὁ ΜΡ · ὁ δέ ΜΡ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΜΝΞ . ἐάν δέ δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος συντίθημι ῥητός περιέχω , ὁ ὅλος ἄλογος εἰμί , καλέω δέ ἐκ δύο μέσος πρῶτος . ὁ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσος εἰμί πρῶτος · ὅς δέω δείκνυμι .