euclides-geom.elementa 11.prop.34
τῶν ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν · καὶ ὧν στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα . ἔστω ἴσα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος . ἔστωσαν γὰρ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ , ΕΖ , ΛΒ , ΘΚ , ΓΜ , ΝΞ , ΟΔ , ΠΡ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ . εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστιν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει , ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον , ἔσται καὶ ἡ ΓΜ τῇ ΑΗ ἴση . τὰ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις . καὶ ἔσται ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ , οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ , καὶ φανερόν , ὅτι τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν . μὴ ἔστω δὴ ἴση ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει , ἀλλʼ ἔστω μείζων ἡ ΕΘ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον · μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ . κείσθω οὖν τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΓΤ , καὶ συμπεπληρώσθω ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΝΠ , ὕψους δὲ τοῦ ΓΤ , στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΦΓ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ , ἔξωθεν δὲ τὸ ΓΦ , τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν , οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν , οὕτως ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν · ἰσοϋψῆ γὰρ τὰ ΑΒ , ΓΦ στερεά · ὡς δὲ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν , οὕτως ἡ ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΤΠ βάσιν καὶ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΓΤ . ἴση δὲ ἡ ΓΤ τῇ ΑΗ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ . τῶν ΑΒ , ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν . πάλιν δὴ τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ . ἔστωσαν πάλιν αἱ ἐφεστηκυῖαι πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν , καὶ εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει , καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος , ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τῷ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψει . τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ . μὴ ἔστω δὴ ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ ἴση , ἀλλʼ ἔστω μείζων ἡ ΕΘ · μεῖζον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τοῦ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψους , τουτέστιν ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ . κείσθω τῇ ΑΗ ἴση πάλιν ἡ ΓΤ , καὶ συμπεπληρώσθω ὁμοίως τὸ ΓΦ στερεόν . ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ , ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΓΤ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν · ἰσοϋψῆ γάρ ἐστι τὰ ΑΒ , ΓΦ στερεά · ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ , οὕτως ἥ τε ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΠΤ βάσιν καὶ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν . καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν , οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ πρὸς τὸ ΓΦ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ . μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΖΕ , ΒΛ , ΗΑ , ΘΚ , ΞΝ , ΔΟ , ΜΓ , ΡΠ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Ζ , Η , Β , Κ , Ξ , Μ , Δ , Ρ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΕΘ , ΝΠ ἐπίπεδα κάθετοι καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Σ , Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω , # 2 , καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΖΦ , ΞΩ στερεά · λέγω , ὅτι καὶ οὕτως ἴσων ὄντων τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος . ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ , ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΒΤ ἐστιν ἴσον · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος · τὸ δὲ ΓΔ στερεὸν τῷ ΔΨ ἐστιν ἴσον · ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΞ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος · καὶ τὸ ΒΤ ἄρα στερεὸν τῷ ΔΨ στερεῷ ἴσον ἐστίν . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος . ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις τῇ ΕΘ βάσει , ἡ δὲ ΞΡ βάσις τῇ ΝΠ βάσει · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος . τὰ δʼ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΔΨ , ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ , ΒΑ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΔΓ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος . τῶν ΑΒ , ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν . πάλιν δὴ τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος , ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΘ βάσις τῇ ΖΚ βάσει , ἡ δὲ ΝΠ τῇ ΞΡ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος . τὰ δʼ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεῶν καὶ τῶν ΒΤ , ΔΨ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος . τῶν ΒΤ , ΔΨ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΤ στερεὸν τῷ ΔΨ στερεῷ . ἀλλὰ τὸ μὲν ΒΤ τῷ ΒΑ ἴσον ἐστίν · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος . τὸ δὲ ΔΨ στερεὸν τῷ ΔΓ στερεῷ ἴσον ἐστίν . καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἐστιν ἴσον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἴσος στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος · καί ὅς στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος . εἰμί ἴσος στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος . εἰμί γάρ πρότερος ὁ ἐφίστημι ὁ ΑΗ , ΕΖ , ΛΒ , ΘΚ , ΓΜ , ΝΞ , ΟΔ , ΠΡ πρός ὀρθός ὁ βάσις αὐτός · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ΓΜ πρός ὁ ΑΗ . εἰ μέν οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΕΘ βάσις ὁ ΝΠ βάσις , εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΓΔ στερεός ἴσος , εἰμί καί ὁ ΓΜ ὁ ΑΗ ἴσος . ὁ γάρ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος στερεός παραλληλεπίπεδον πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . καί εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ , οὕτως ὁ ΓΜ πρός ὁ ΑΗ , καί φανερός , ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος . μή εἰμί δή ἴσος ὁ ΕΘ βάσις ὁ ΝΠ βάσις , ἀλλά εἰμί μέγας ὁ ΕΘ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΓΔ στερεός ἴσος · μέγας ἄρα εἰμί καί ὁ ΓΜ ὁ ΑΗ . κεῖμαι οὖν ὁ ΑΗ ἴσος ὁ ΓΤ , καί συμπληρόω ἀπό βάσις μέν ὁ ΝΠ , ὕψος δέ ὁ ΓΤ , στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΦΓ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΓΔ στερεός , ἔξωθεν δέ ὁ ΓΦ , ὁ δέ ἴσος πρός ὁ αὐτός ὁ αὐτός ἔχω λόγος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΓΦ στερεός , οὕτως ὁ ΓΔ στερεός πρός ὁ ΓΦ στερεός . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΓΦ στερεός , οὕτως ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις · ἰσουψής γάρ ὁ ΑΒ , ΓΦ στερεός · ὡς δέ ὁ ΓΔ στερεός πρός ὁ ΓΦ στερεός , οὕτως ὁ ΜΠ βάσις πρός ὁ ΤΠ βάσις καί ὁ ΓΜ πρός ὁ ΓΤ · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ΜΓ πρός ὁ ΓΤ . ἴσος δέ ὁ ΓΤ ὁ ΑΗ · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ΜΓ πρός ὁ ΑΗ . ὁ ΑΒ , ΓΔ ἄρα στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος . πάλιν δή ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπεπονθέω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΓΔ στερεός . εἰμί πάλιν ὁ ἐφίστημι πρός ὀρθός ὁ βάσις , καί εἰ μέν ἴσος εἰμί ὁ ΕΘ βάσις ὁ ΝΠ βάσις , καί εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος . ὁ δέ ἐπί ἴσος βάσις στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΓΔ στερεός . μή εἰμί δή ὁ ΕΘ βάσις ὁ ΝΠ ἴσος , ἀλλά εἰμί μέγας ὁ ΕΘ · μέγας ἄρα εἰμί καί ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος , τουτέστι ὁ ΓΜ ὁ ΑΗ . κεῖμαι ὁ ΑΗ ἴσος πάλιν ὁ ΓΤ , καί συμπληρόω ὅμοιος ὁ ΓΦ στερεός . ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ΜΓ πρός ὁ ΑΗ , ἴσος δέ ὁ ΑΗ ὁ ΓΤ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ΓΜ πρός ὁ ΓΤ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΕΘ πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΓΦ στερεός · ἰσουψής γάρ εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΦ στερεός · ὡς δέ ὁ ΓΜ πρός ὁ ΓΤ , οὕτως ὁ τε ΜΠ βάσις πρός ὁ ΠΤ βάσις καί ὁ ΓΔ στερεός πρός ὁ ΓΦ στερεός . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΓΦ στερεός , οὕτως ὁ ΓΔ στερεός πρός ὁ ΓΦ στερεός · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ πρός ὁ ΓΦ ὁ αὐτός ἔχω λόγος . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΓΔ στερεός . μή εἰμί δή ὁ ἐφίστημι ὁ ΖΕ , ΒΛ , ΗΑ , ΘΚ , ΞΝ , ΔΟ , ΜΓ , ΡΠ πρός ὀρθός ὁ βάσις αὐτός , καί ἄγω ἀπό ὁ Ζ , Η , Β , Κ , Ξ , Μ , Δ , Ρ σημεῖον ἐπί ὁ διά ὁ ΕΘ , ΝΠ ἐπίπεδος κάθετος καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Σ , Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω , # 2 , καί συμπληρόω ὁ ΖΦ , ΞΩ στερεός · λέγω , ὅτι καί οὕτως ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΓΔ στερεός , ἀλλά ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΤ εἰμί ἴσος · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΖΚ καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος · ὁ δέ ΓΔ στερεός ὁ ΔΨ εἰμί ἴσος · ἐπί τε γάρ πάλιν ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΡΞ καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος · καί ὁ ΒΤ ἄρα στερεός ὁ ΔΨ στερεός ἴσος εἰμί . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΖΚ βάσις πρός ὁ ΞΡ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΔΨ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΒΤ στερεός ὕψος . ἴσος δέ ὁ μέν ΖΚ βάσις ὁ ΕΘ βάσις , ὁ δέ ΞΡ βάσις ὁ ΝΠ βάσις · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΔΨ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΒΤ στερεός ὕψος . ὁ δέ αὐτός ὕψος εἰμί ὁ ΔΨ , ΒΤ στερεός καί ὁ ΔΓ , ΒΑ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΔΓ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος . ὁ ΑΒ , ΓΔ ἄρα στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος . πάλιν δή ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπεπονθέω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΓΔ στερεός . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΕΘ βάσις πρός ὁ ΝΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος , ἴσος δέ ὁ μέν ΕΘ βάσις ὁ ΖΚ βάσις , ὁ δέ ΝΠ ὁ ΞΡ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΖΚ βάσις πρός ὁ ΞΡ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΓΔ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒ στερεός ὕψος . ὁ δέ αὐτός ὕψος εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός καί ὁ ΒΤ , ΔΨ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΖΚ βάσις πρός ὁ ΞΡ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΔΨ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΒΤ στερεός ὕψος . ὁ ΒΤ , ΔΨ ἄρα στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΤ στερεός ὁ ΔΨ στερεός . ἀλλά ὁ μέν ΒΤ ὁ ΒΑ ἴσος εἰμί · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις ὁ ΖΚ καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος . ὁ δέ ΔΨ στερεός ὁ ΔΓ στερεός ἴσος εἰμί . καί ὁ ΑΒ ἄρα στερεός ὁ ΓΔ στερεός εἰμί ἴσος · ὅς δέω δείκνυμι .