euclides-geom.elementa 10.prop3.93
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα . χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς τρίτης τῆς ΑΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα . ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ · αἱ ΑΗ , ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΗ , ΗΔ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ , ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς σύμμετρα αὐτὴν διελεῖ . τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ . καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ε , Ζ , Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι αἱ ΕΘ , ΖΙ , ΗΚ · σύμμετροι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΖ , ΖΗ · σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΖ , ΖΗ σύμμετροί εἰσι μήκει , καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ , ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει . ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει · ὥστε καὶ αἱ ΑΖ , ΖΗ . ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ , ΖΚ μέσον ἐστίν . πάλιν , ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει , καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ , ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει . ῥητὴ δὲ ἡ ΗΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει · ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ , ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ , ΕΚ μέσον ἐστίν . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ , ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ . ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΑΖ σύμμετρός ἐστι μήκει , ἡ δὲ ΔΗ τῇ ΕΗ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΕΗ μήκει . ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ . συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ · περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ . ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ · ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ , οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ · τῶν ἄρα ΑΙ , ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ . ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ , ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ · καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ , τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ · καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ . ἀλλὰ τὸ μὲν ΜΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΞ , τὸ δὲ ΕΚ ἴσον τῷ ΔΘ · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ , ΝΞ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ · ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα . ἐπεὶ γὰρ μέσα ἐδείχθη τὰ ΑΙ , ΖΚ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ · μέση ἄρα ἑκατέρα τῶν ΛΟ , ΟΝ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ , σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ . πάλιν , ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΜΝ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ · ὥστε καὶ ἡ ΛΟ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΟΝ · αἱ ΛΟ , ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι . λέγω δή , ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν . ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ · ὥστε αἱ ΛΟ , ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι . ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα · καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ἀποτομή τρίτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι μέσος ἀποτομή εἰμί δεύτερος . χωρίον γάρ ὁ ΑΒ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΓ καί ἀποτομή τρίτος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι μέσος ἀποτομή εἰμί δεύτερος . εἰμί γάρ ὁ ΑΔ προσαρμόζω ὁ ΔΗ · ὁ ΑΗ , ΗΔ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί οὐδέτερος ὁ ΑΗ , ΗΔ σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΑΓ , ὁ δέ ὅλος ὁ ΑΗ ὁ προσαρμόζω ὁ ΔΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΗ ὁ ΗΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , ἐάν ἄρα ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΔΉ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω . τέμνω οὖν ὁ ΔΗ δίχα κατά ὁ Ε , καί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ . καί ἄγω διά ὁ Ε , Ζ , Η σημεῖον ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ ΕΘ , ΖΙ , ΗΚ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖ , ΖΗ · σύμμετρος ἄρα καί ὁ ΑΙ ὁ ΖΚ . καί ἐπεί ὁ ΑΖ , ΖΗ σύμμετρος εἰμί μῆκος , καί ὁ ΑΗ ἄρα ἑκάτερος ὁ ΑΖ , ΖΗ σύμμετρος εἰμί μῆκος . ῥητός δέ ὁ ΑΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος · ὥστε καί ὁ ΑΖ , ΖΗ . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΙ , ΖΚ μέσος εἰμί . πάλιν , ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΕΗ μῆκος , καί ὁ ΔΗ ἄρα ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΗ σύμμετρος εἰμί μῆκος . ῥητός δέ ὁ ΗΔ καί ἀσύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος · ῥητός ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΔΘ , ΕΚ μέσος εἰμί . καί ἐπεί ὁ ΑΗ , ΗΔ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί μῆκος ὁ ΑΗ ὁ ΗΔ . ἀλλά ὁ μέν ΑΗ ὁ ΑΖ σύμμετρος εἰμί μῆκος , ὁ δέ ΔΗ ὁ ΕΗ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΕΗ μῆκος . ὡς δέ ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΑΙ πρός ὁ ΕΚ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΙ ὁ ΕΚ . συνίστημι οὖν ὁ μέν ΑΙ ἴσος τετράγωνος ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΝΞ περί ὁ αὐτός γωνία εἰμί ὁ ΛΜ · περί ὁ αὐτός ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΛΜ , ΝΞ . εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΟΡ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΗ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΑΙ πρός ὁ ΕΚ · ὡς δέ ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΚ πρός ὁ ΖΚ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΙ πρός ὁ ΕΚ , οὕτως ὁ ΕΚ πρός ὁ ΖΚ · ὁ ἄρα ΑΙ , ΖΚ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΕΚ . εἰμί δέ καί ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος μέσος ἀνάλογος ὁ ΜΝ · καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ΑΙ ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ὁ ΝΞ · καί ὁ ΕΚ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΜΝ . ἀλλά ὁ μέν ΜΝ ἴσος εἰμί ὁ ΛΞ , ὁ δέ ΕΚ ἴσος ὁ ΔΘ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΔΚ ἴσος εἰμί ὁ ΥΦΧ γνώμων καί ὁ ΝΞ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΚ ἴσος ὁ ΛΜ , ΝΞ · λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ΣΤ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΛΝ τετράγωνος · ὁ ΛΝ ἄρα δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ὁ ΛΝ μέσος ἀποτομή εἰμί δεύτερος . ἐπεί γάρ μέσος δείκνυμι ὁ ΑΙ , ΖΚ καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ , μέσος ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ · μέσος ἄρα ἑκάτερος ὁ ΛΟ , ΟΝ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΙ ὁ ΖΚ , σύμμετρος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΛΟ ὁ ἀπό ὁ ΟΝ . πάλιν , ἐπεί ἀσύμμετρος δείκνυμι ὁ ΑΙ ὁ ΕΚ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΛΜ ὁ ΜΝ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΛΟ ὁ ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ · ὥστε καί ὁ ΛΟ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΟΝ · ὁ ΛΟ , ΟΝ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . λέγω δή , ὅτι καί μέσος περιέχω . ἐπεί γάρ μέσος δείκνυμι ὁ ΕΚ καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ , μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ · ὥστε ὁ ΛΟ , ΟΝ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω . ὁ ΛΝ ἄρα μέσος ἀποτομή εἰμί δεύτερος · καί δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . ὁ ἄρα ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι μέσος ἀποτομή εἰμί δεύτερος · ὅς δέω δείκνυμι .