euclides-geom.elementa 8.prop.12
δύο κύβων ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί , καὶ ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν . ἔστωσαν κύβοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ , τοῦ δὲ Β ὁ Δ · λέγω , ὅτι τῶν Α , Β δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί , καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ὁ γὰρ Γ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω , τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω , ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω , ἑκάτερος δὲ τῶν Γ , Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ , Κ ποιείτω . καὶ ἐπεὶ κύβος ἐστὶν ὁ Α , πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ Γ , καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν , ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν , τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν , τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ , Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ε , Ζ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Ε , Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α , Θ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ . ὡς δὲ ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ . πάλιν , ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Γ , Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ , Κ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ζ , Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ , Β πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Β . ὡς δὲ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Β . τῶν Α , Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Θ , Κ . λέγω δή , ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α , Θ , Κ , Β , ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Θ . ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο κύβος ἀριθμός δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός , καί ὁ κύβος πρός ὁ κύβος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ πλευρόν πρός ὁ πλευρά . εἰμί κύβος ἀριθμός ὁ Α , Β καί ὁ μέν Α πλευρόν εἰμί ὁ Γ , ὁ δέ Β ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός , καί ὁ Α πρός ὁ Β τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Δ . ὁ γάρ Γ ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ δέ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Ζ ποιέω , ὁ δέ Δ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω , ἑκάτερος δέ ὁ Γ , Δ ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Θ , Κ ποιέω . καί ἐπεί κύβος εἰμί ὁ Α , πλευρόν δέ αὐτός ὁ Γ , καί ὁ Γ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ Γ ἄρα ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ δέ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Δ ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω , ὁ δέ Η πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . καί ἐπεί ὁ Γ ἑκάτερος ὁ Γ , Δ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Ε , Ζ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Η . πάλιν , ἐπεί ὁ Γ ἑκάτερος ὁ Ε , Ζ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Α , Θ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Θ . ὡς δέ ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Θ . πάλιν , ἐπεί ἑκάτερος ὁ Γ , Δ ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Θ , Κ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ . πάλιν , ἐπεί ὁ Δ ἑκάτερος ὁ Ζ , Η πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Κ , Β ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ζ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Β . ὡς δέ ὁ Ζ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ τε Α πρός ὁ Θ καί ὁ Θ πρός ὁ Κ καί ὁ Κ πρός ὁ Β . ὁ Α , Β ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ Θ , Κ . λέγω δή , ὅτι καί ὁ Α πρός ὁ Β τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Δ . ἐπεί γάρ τέσσαρες ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί ὁ Α , Θ , Κ , Β , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ Α πρός ὁ Θ . ὡς δέ ὁ Α πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὁ Α πρός ὁ Β τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Δ . ὅς δέω δείκνυμι .