euclides-geom.elementa 10.prop2.72
δύο μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη . Συγκείσθω γὰρ δύο μέσα ἀσύμμετρα ἀλλήλοις τὰ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη . τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον . ἔστω , εἰ τύχοι , πρότερον μεῖζον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ · καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ , καὶ τῷ μὲν ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ , τῷ δὲ ΓΔ ἴσον τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ . καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΓΔ , μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΕΗ , ΘΙ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὰς ΕΘ , ΘΚ · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΘ , ΘΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ , καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ , τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΙ . ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει . αἱ ΕΘ , ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ . ἤτοι δὲ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου . δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει · καὶ οὐδετέρα τῶν ΕΘ , ΘΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει · ἡ ΕΚ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη . ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ · ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα · ἡ ἄρα τὸ ΕΙ , τουτέστι τὸ ΑΔ , δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα . ἀλλὰ δὴ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει · καὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΕΘ , ΘΚ τῇ ΕΖ μήκει · ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη . ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν · ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν . . δύο ἄρα μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη . ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αἱ μετʼ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί . τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ παρʼ ἣν παράκειται μήκει . τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην . τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν . τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην . τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην . τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην . τὸ δὲ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην . τὰ δʼ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων , τοῦ μὲν πρώτου , ὅτι ῥητή ἐστιν , ἀλλήλων δέ , ὅτι τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί · ὥστε καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων .
Lemmas: δύο μέσος ἀσύμμετρος ἀλλήλων συντίθημι ὁ λοιπός δύο ἄλογος γίγνομαι ἤτοι ἐκ δύο μέσος δεύτερος ἤ δύο μέσος δύναμαι . σύγκειμαι γάρ δύο μέσος ἀσύμμετρος ἀλλήλων ὁ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΔ χωρίον δύναμαι ἤτοι ἐκ δύο μέσος εἰμί δεύτερος ἤ δύο μέσος δύναμαι . ὁ γάρ ΑΒ ὁ ΓΔ ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί , εἰ τυγχάνω , πρότερος μέγας ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ , καί ὁ μέν ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω ὁ ΕΗ πλάτος ποιέω ὁ ΕΘ , ὁ δέ ΓΔ ἴσος ὁ ΘΙ πλάτος ποιέω ὁ ΘΚ . καί ἐπεί μέσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ , μέσος ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΕΗ , ΘΙ . καί παρά ῥητός ὁ ΖΕ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΕΘ , ΘΚ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΕΘ , ΘΚ ῥητός εἰμί καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ , καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ΑΒ ὁ ΕΗ , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΘΙ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΗ ὁ ΘΙ . ὡς δέ ὁ ΕΗ πρός ὁ ΘΙ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΘ πρός ΘΚ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ ὁ ΘΚ μῆκος . ὁ ΕΘ , ΘΚ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΕΚ . ἤτοι δέ ὁ ΕΘ ὁ ΘΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ ἤ ὁ ἀπό ἀσύμμετρος . δύναμαι πρότερος ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος · καί οὐδέτερος ὁ ΕΘ , ΘΚ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ μῆκος · ὁ ΕΚ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τρίτος . ῥητός δέ ὁ ΕΖ · ἐάν δέ χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα τρίτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἐκ δύο μέσος εἰμί δεύτερος · ὁ ἄρα ὁ ΕΙ , τουτέστι ὁ ΑΔ , δύναμαι ἐκ δύο μέσος εἰμί δεύτερος . ἀλλά δή ὁ ΕΘ ὁ ΘΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος · καί ἀσύμμετρος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΕΘ , ΘΚ ὁ ΕΖ μῆκος · ὁ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ἕκτος . ἐάν δέ χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα ἕκτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ὁ δύο μέσος δύναμαι εἰμί · ὥστε καί ὁ ὁ ΑΔ χωρίον δύναμαι ὁ δύο μέσος δύναμαι εἰμί . . δύο ἄρα μέσος ἀσύμμετρος ἀλλήλων συντίθημι ὁ λοιπός δύο ἄλογος γίγνομαι ἤτοι ἐκ δύο μέσος δεύτερος ἤ δύο μέσος δύναμαι . ὁ ἐκ δύο ὄνομα καί ὁ μετά αὐτός ἄλογος οὔτε ὁ μέσος οὔτε ἀλλήλων εἰμί ὁ αὐτός . ὁ μέν γάρ ἀπό μέσος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ῥητός καί ἀσύμμετρος ὁ παρά ὅς παράκειμαι μῆκος . ὁ δέ ἀπό ὁ ἐκ δύο ὄνομα παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα πρῶτος . ὁ δέ ἀπό ὁ ἐκ δύο μέσος πρῶτος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος . ὁ δέ ἀπό ὁ ἐκ δύο μέσος δεύτερος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα τρίτος . ὁ δέ ἀπό ὁ μέγας παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα τέταρτος . ὁ δέ ἀπό ὁ ῥητός καί μέσος δύναμαι παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα πέμπτος . ὁ δέ ἀπό ὁ δύο μέσος δύναμαι παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα ἕκτος . ὁ δέ λέγω πλάτος διαφέρω ὁ τε πρῶτος καί ἀλλήλων , ὁ μέν πρῶτος , ὅτι ῥητός εἰμί , ἀλλήλων δέ , ὅτι ὁ τάξις οὐ εἰμί ὁ αὐτός · ὥστε καί αὐτός ὁ ἄλογος διαφέρω ἀλλήλων .