euclides-geom.elementa 4.prop.15
εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕΖ · δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι . ἤχθω τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου διάμετρος ἡ ΑΔ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΗΓΘ , καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΗ , ΓΗ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Β , Ζ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΖ , ΖΑ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ἰσογώνιον . ἐπεὶ γὰρ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ . πάλιν , ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΗΓΘ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΔΗ . ἀλλʼ ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ ἐδείχθη ἴση · καὶ ἡ ΗΕ ἄρα τῇ ΕΔ ἴση ἐστίν · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗΔ τρίγωνον · καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αὐτοῦ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ , ΗΔΕ , ΔΕΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , ἐπειδήπερ τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · καί εἰσιν αἱ τρεῖς τοῦ τριγώνου γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ γωνία τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΓ τρίτον δύο ὀρθῶν . καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΗ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΕΒ σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΗΓ , ΓΗΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΗΒ τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν · αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ , ΔΗΓ , ΓΗΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ὥστε καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αὐταῖς αἱ ὑπὸ ΒΗΑ , ΑΗΖ , ΖΗΕ ἴσαι εἰσίν . αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ , ΔΗΓ , ΓΗΒ , ΒΗΑ , ΑΗΖ , ΖΗΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν · αἱ ἓξ ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΖ , ΖΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν · αἱ ἓξ ἄρα εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον . λέγω δή , ὅτι καὶ ἰσογώνιον . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια · ὅλη ἄρα ἡ ΖΑΒΓΔ ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒΑ ἐστιν ἴση · καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑΒΓΔ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνία , ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒΑ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι τοῦ ΑΒΓΔΕΖ ἑξαγώνου κατὰ μίαν ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΖΕ , ΖΕΔ γωνιῶν · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον · καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον . εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου . ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν , περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἀκολούθως τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις . καὶ ἔτι διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις εἰς τὸ δοθὲν ἑξάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι κύκλος ἑξάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐγγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕΖ · δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓΔΕΖ κύκλος ἑξάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐγγράφω . ἄγω ὁ ΑΒΓΔΕΖ κύκλος διάμετρος ὁ ΑΔ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Η , καί κέντρον μέν ὁ Δ διάστημα δέ ὁ ΔΗ κύκλος γράφω ὁ ΕΗΓΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΗ , ΓΗ διάγω ἐπί ὁ Β , Ζ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΖ , ΖΑ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνος ἰσόπλευρος τε εἰμί καί ἰσογώνιος . ἐπεί γάρ ὁ Η σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕΖ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΗΕ ὁ ΗΔ . πάλιν , ἐπεί ὁ Δ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΗΓΘ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΔΉ . ἀλλά ὁ ΗΕ ὁ ΗΔ δείκνυμι ἴσος · καί ὁ ΗΕ ἄρα ὁ ΕΔ ἴσος εἰμί · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΗΔ τρίγωνον · καί ὁ τρεῖς ἄρα αὐτός γωνία ὁ ὑπό ΕΗΔ , ΗΔΕ , ΔΕΗ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ἐπειδή ὁ ἰσοσκελής τρίγων ὁ πρός ὁ βάσις γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί · καί εἰμί ὁ τρεῖς ὁ τρίγωνον γωνία δύο ὀρθός ἴσος · ὁ ἄρα ὑπό ΕΗΔ γωνία τρίτος εἰμί δύο ὀρθός . ὅμοιος δή δείκνυμι καί ὁ ὑπό ΔΗΓ τρίτος δύο ὀρθός . καί ἐπεί ὁ ΓΗ εὐθύς ἐπί ὁ ΕΒ ἵστημι ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ΕΗΓ , ΓΗΒ δύο ὀρθός ἴσος ποιέω , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΓΗΒ τρίτος εἰμί δύο ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό ΕΗΔ , ΔΗΓ , ΓΗΒ γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὥστε καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ΒΗΑ , ΑΗΖ , ΖΗΕ ἴσος εἰμί . ὁ ἕξ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΕΗΔ , ΔΗΓ , ΓΗΒ , ΒΗΑ , ΑΗΖ , ΖΗΕ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὁ δέ ἴσος γωνία ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω · ὁ ἕξ ἄρα περιφέρεια ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΖ , ΖΆ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὑπό δέ ὁ ἴσος περιφέρεια ὁ ἴσος εὐθεῖα ὑποτείνω · ὁ ἕξ ἄρα εὐθεῖα ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνος . λέγω δή , ὅτι καί ἰσογώνιος . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΖΑ περιφέρεια ὁ ΕΔ περιφέρεια , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΑΒΓΔ περιφέρεια · ὅλος ἄρα ὁ ΖΑΒΓΔ ὅλος ὁ ΕΔΓΒΑ εἰμί ἴσος · καί βαίνω ἐπί μέν ὁ ΖΑΒΓΔ περιφέρεια ὁ ὑπό ΖΕΔ γωνία , ἐπί δέ ὁ ΕΔΓΒΑ περιφέρεια ὁ ὑπό ΑΖΕ γωνία · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΖΕ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ λοιπός γωνία ὁ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνος κατά εἷς ἴσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΖΕ , ΖΕΔ γωνία · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνος . δείκνυμι δέ καί ἰσόπλευρος · καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓΔΕΖ κύκλος . εἰς ἄρα ὁ δίδωμι κύκλος ἑξάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐγγράφω · ὅς δέω ποιέω . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρόν ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος . ὅμοιος δέ ὁ ἐπί ὁ πεντάγωνος ἐάν διά ὁ κατά ὁ κύκλος διαίρεσις ἐφάπτω ὁ κύκλος ἄγω , περιγράφω περί ὁ κύκλος ἑξάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἀκόλουθος ὁ ἐπί ὁ πεντάγωνος λέγω . καί ἔτι διά ὁ ὅμοιος ὁ ἐπί ὁ πεντάγωνος λέγω εἰς ὁ δίδωμι ἑξάγωνος κύκλος ἐγγράφω τε καί περιγράφω · ὅς δέω ποιέω .