euclides-geom.elementa 10.prop3.98
τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν . ἔστω μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ , ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα . ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι . καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ · ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕ , λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ . ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ · ῥητὸν ἄρα τὸ ΖΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . ἐπεὶ οὖν τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , τουτέστι τὸ ΓΛ , μέσον ἐστίν , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , τουτέστι τὸ ΖΛ , ῥητόν , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ · ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν . λέγω δή , ὅτι καὶ δευτέρα . τετμήσθω γὰρ ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ , ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ ΝΛ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ΚΛ , καὶ τῶν ΓΘ , ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ , ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΚ · ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ , τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ , ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ · ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα . τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό μέσος ἀποτομή πρῶτος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή δεύτερος . εἰμί μέσος ἀποτομή πρῶτος ὁ ΑΒ , ῥητός δέ ὁ ΓΔ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΕ πλάτος ποιέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΖ ἀποτομή εἰμί δεύτερος . εἰμί γάρ ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω . καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΘ πλάτος ποιέω ὁ ΓΚ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΒ ἴσος ὁ ΚΛ πλάτος ποιέω ὁ ΚΜ · ὅλος ἄρα ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ · μέσος ἄρα καί ὁ ΓΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΓΔ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΓΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . καί ἐπεί ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ΓΕ , λοιπός ἄρα ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος εἰμί ὁ ΖΛ . ῥητός δέ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ · ῥητός ἄρα ὁ ΖΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΖΕ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΖΜ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΜ καί σύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . ἐπεί οὖν ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , τουτέστι ὁ ΓΛ , μέσος εἰμί , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , τουτέστι ὁ ΖΛ , ῥητός , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΛ ὁ ΖΛ . ὡς δέ ὁ ΓΛ πρός ὁ ΖΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΜ πρός ὁ ΖΜ · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΓΜ ὁ ΖΜ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ΓΖ ἄρα ἀποτομή εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί δεύτερος . τέμνω γάρ ὁ ΖΜ δίχα κατά ὁ Ν , καί ἄγω διά ὁ Ν ὁ ΓΔ παράλληλος ὁ ΝΞ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΖΞ , ΝΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ τετράγωνος μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ΓΘ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ ΝΛ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ΚΛ , καί ὁ ΓΘ , ΚΛ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΝΛ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΚ πρός ὁ ΝΜ , ὡς δέ ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΝΜ πρός ὁ ΜΚ · ὡς ἄρα ὁ ΓΚ πρός ὁ ΝΜ , οὕτως εἰμί ὁ ΝΜ πρός ὁ ΚΜ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΚ , ΚΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΜ , τουτέστι ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΖΜ . ἐπεί οὖν δύο εὐθεῖα ἄνισος εἰμί ὁ ΓΜ , ΜΖ , καί ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΜΖ ἴσος παρά ὁ μέγας ὁ ΓΜ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος ὁ ὑπό ὁ ΓΚ , ΚΜ καί εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω , ὁ ἄρα ΓΜ ὁ ΜΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . καί εἰμί ὁ προσαρμόζω ὁ ΖΜ σύμμετρος μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ΓΖ ἀποτομή εἰμί δεύτερος . ὁ ἄρα ἀπό μέσος ἀποτομή πρῶτος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή δεύτερος · ὅς δέω δείκνυμι .