euclides-geom.elementa 13.prop.7
ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἤτοι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς ἢ αἱ μὴ κατὰ τὸ ἑξῆς ἴσαι ὦσιν , ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον . πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τοῦ ΑΒΓΔΕ αἱ τρεῖς γωνίαι πρότερον αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ πρὸς τοῖς Α , Β , Γ ἴσαι ἀλλήλαις ἔστωσαν · λέγω , ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΕ , ΖΔ . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΓΒ , ΒΑ δυσὶ ταῖς ΒΑ , ΑΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἐστιν ἴση , βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση , καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ ἴσον , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν , ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΕΑ , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΒ · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΖ πλευρᾷ τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση . ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΓ ὅλῃ τῇ ΒΕ ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΓ λοιπῇ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ἴση . δύο δὴ αἱ ΖΓ , ΓΔ δυσὶ ταῖς ΖΕ , ΕΔ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΔ ἐστιν ἴση . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἴση . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ὑπόκειται ταῖς πρὸς τοῖς Α , Β γωνίαις · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα ταῖς πρὸς τοῖς Α , Β γωνίαις ἴση ἐστίν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α , Β , Γ γωνίαις · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον . ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν ἴσαι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς γωνίαι , ἀλλʼ ἔστωσαν ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς Α , Γ , Δ σημείοις · λέγω , ὅτι καὶ οὕτως ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον . ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΒΔ . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΑ , ΑΕ δυσὶ ταῖς ΒΓ , ΓΔ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ ἴση , ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΕ πλευρᾷ τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση . καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ ταῖς πρὸς τοῖς Α , Γ γωνίαις ὑπόκειται ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα γωνία ταῖς πρὸς τοῖς Α , Γ ἴση ἐστίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α , Γ , Δ γωνίαις . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πεντάγωνος ἰσόπλευρος ὁ τρεῖς γωνία ἤτοι ὁ κατά ὁ ἑξῆς ἤ ὁ μή κατά ὁ ἑξῆς ἴσος εἰμί , ἰσογώνιος εἰμί ὁ πεντάγωνος . πεντάγωνος γάρ ἰσόπλευρος ὁ ΑΒΓΔΕ ὁ τρεῖς γωνία πρότερος ὁ κατά ὁ ἑξῆς ὁ πρός ὁ Α , Β , Γ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · λέγω , ὅτι ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΓ , ΒΕ , ΖΔ . καί ἐπεί δύο ὁ ΓΒ , ΒΑ δύο ὁ ΒΑ , ΑΕ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , καί γωνία ὁ ὑπό ΓΒΑ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΕ εἰμί ἴσος , βάσις ἄρα ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΒΕ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ἴσος , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω , ὁ μέν ὑπό ΒΓΑ ὁ ὑπό ΒΕΑ , ὁ δέ ὑπό ΑΒΕ ὁ ὑπό ΓΑΒ · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΑΖ πλευρά ὁ ΒΖ εἰμί ἴσος . δείκνυμι δέ καί ὅλος ὁ ΑΓ ὅλος ὁ ΒΕ ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΖΓ λοιπός ὁ ΖΕ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ΓΔ ὁ ΔΕ ἴσος . δύο δή ὁ ΖΓ , ΓΔ δύο ὁ ΖΕ , ΕΔ ἴσος εἰμί · καί βάσις αὐτός κοινός ὁ ΖΔ · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΖΓΔ γωνία ὁ ὑπό ΖΕΔ εἰμί ἴσος . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΒΓΑ ὁ ὑπό ΑΕΒ ἴσος · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΓΔ ὅλος ὁ ὑπό ΑΕΔ ἴσος . ἀλλά ὁ ὑπό ΒΓΔ ἴσος ὑπόκειμαι ὁ πρός ὁ Α , Β γωνία · καί ὁ ὑπό ΑΕΔ ἄρα ὁ πρός ὁ Α , Β γωνία ἴσος εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΓΔΕ γωνία ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Α , Β , Γ γωνία · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος . ἀλλά δή μή εἰμί ἴσος ὁ κατά ὁ ἑξῆς γωνία , ἀλλά εἰμί ἴσος ὁ πρός ὁ Α , Γ , Δ σημεῖον · λέγω , ὅτι καί οὕτως ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΔ . καί ἐπεί δύο ὁ ΒΑ , ΑΕ δύο ὁ ΒΓ , ΓΔ ἴσος εἰμί καί γωνία ἴσος περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ΒΕ βάσις ὁ ΒΔ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ὁ ΒΓΔ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΒ γωνία ὁ ὑπό ΓΔΒ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΒΕΔ γωνία ὁ ὑπό ΒΔΕ ἴσος , ἐπεί καί πλευρόν ὁ ΒΕ πλευρά ὁ ΒΔ εἰμί ἴσος . καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΔ γωνία ὅλος ὁ ὑπό ΓΔΕ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ ὑπό ΓΔΕ ὁ πρός ὁ Α , Γ γωνία ὑπόκειμαι ἴσος · καί ὁ ὑπό ΑΕΔ ἄρα γωνία ὁ πρός ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Α , Γ , Δ γωνία . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .