euclides-geom.elementa 10.prop2.50
εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην . Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . ἐκκείσθω δέ τις καὶ ἄλλος μὴ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Δ , καὶ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΒΑ , ΑΓ λόγον μὴ ἐχέτω , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε , καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ . καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει . γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὅν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει . αἱ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν . λέγω δή , ὅτι καὶ τρίτη . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , ὡς δὲ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ , Κ · ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ . ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · σύμμετρος ἄρα ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει . ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσιν αἱ ΖΗ , ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει . ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ ἐκ δύο ὄνομα τρίτος . ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε ὁ σύγκειμαι ἐκ αὐτός ὁ ΑΒ πρός μέν ὁ ΒΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , πρός δέ ὁ ΑΓ λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . ἔκκειμαι δέ τις καί ἄλλος μή τετράγωνος ἀριθμός ὁ Δ , καί πρός ἑκάτερος ὁ ΒΑ , ΑΓ λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ἔκκειμαι τις ῥητός εὐθεῖα ὁ Ε , καί γίγνομαι ὡς ὁ Δ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . καί εἰμί ῥητός ὁ Ε · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΗ . καί ἐπεί ὁ Δ πρός ὁ ΑΒ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Ε ὁ ΖΗ μῆκος . γίγνομαι δή πάλιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμός πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ῥητός δέ ὁ ΖΗ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΗΘ . καί ἐπεί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΗν λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΘ μῆκος . ὁ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί τρίτος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Δ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ὡς δέ ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Δ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ὁ δέ Δ πρός ὁ ΑΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ὁ ἀπό ὁ Ε ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Ε ὁ ΗΘ μῆκος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , μέγας ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . εἰμί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , Κ · ἀναστρέφω ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Κ . ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ Κ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · σύμμετρος ἄρα ὁ ΖΗ ὁ Κ μῆκος . ὁ ΖΗ ἄρα ὁ ΗΘ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ ΖΗ , ΗΘ ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος , καί οὐδέτερος αὐτός σύμμετρος εἰμί ὁ Ε μῆκος . ὁ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τρίτος · ὅς δέω δείκνυμι .