euclides-geom.elementa 12.prop.11
οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις . ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κῶνοι καὶ κύλινδροι , ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλοι , ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ , ΜΝ , διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΑΓ , ΕΗ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον . εἰ γὰρ μή , ἔσται ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον . ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ , καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ Ξ στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου , ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ Ψ στερεόν · ὁ ΕΝ κῶνος ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Ξ , Ψ στερεοῖς . ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ · τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου . ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ ΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ · ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου , ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ , ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶς ἥμισύ ἐστι τῆς περιγραφείσης · πρὸς ἀλλήλας γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις · ἐλάττων δὲ ὁ κῶνος τῆς περιγραφείσης πυραμίδος . τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο , Π , Ρ , Σ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΟ , ΟΕ , ΕΠ , ΠΖ , ΖΡ , ΡΗ , ΗΣ , ΣΘ . ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ , ΕΠΖ , ΖΡΗ , ΗΣΘ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου . ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΘΟΕ , ΕΠΖ , ΖΡΗ , ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ · καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου . τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐπὶ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας ἰσοϋψεῖς τῷ κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου , ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ . λελείφθω , καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΘΟΕ , ΕΠΖ , ΖΡΗ , ΗΣΘ · λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς , ἧς βάσις τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ , μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ . ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΔΤΑΥΒ ΦΓΧ , καὶ ἀνεστάτω ἐπʼ αὐτοῦ πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ ΑΛ κώνῳ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ , οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕ ΠΖΡΗΣ πολύγωνον , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον . ὡς δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν , ὡς δὲ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖ ΡΗΣ πολύγωνον , οὕτως ἡ πυραμίς , ἧς βάσις μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον , πρὸς τὴν πυραμίδα , ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον . καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν , οὕτως ἡ πυραμίς , ἧς βάσις μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον , πρὸς τὴν πυραμίδα , ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον · ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα , οὕτως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὴν ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδα . μείζων δὲ ὁ ΑΛ κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος · μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος . ἀλλὰ καὶ ἔλασσον · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ · ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , οὕτως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον . ἀλλʼ ὡς τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον , οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν · καὶ ὡς ἄρα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν · ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον . ἀλλʼ ὡς ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον , ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον · τριπλασίων γὰρ ἑκάτερος ἑκατέρου . καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως οἱ ἐπʼ αὐτῶν ἰσοϋψεῖς κύλινδροι . οἱ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί κῶνος καί κύλινδρος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . εἰμί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος κῶνος καί κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλος , ἄξων δέ ὁ ΚΛ , ΜΝ , διάμετρος δέ ὁ βάσις ὁ ΑΓ , ΕΗ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρός ὁ ΕΝ κῶνος . εἰ γάρ μή , εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος ἤτοι πρός ἐλαχύς τις ὁ ΕΝ κῶνος στερεός ἤ πρός μέγας . εἰμί πρότερος πρός ἐλαχύς ὁ Ξ , καί ὅς ἐλαχύς εἰμί ὁ Ξ στερεός ὁ ΕΝ κῶνος , ἐκεῖνος ἴσος εἰμί ὁ Ψ στερεός · ὁ ΕΝ κῶνος ἄρα ἴσος εἰμί ὁ Ξ , Ψ στερεός . ἐγγράφω εἰς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τετράγωνος ὁ ΕΖΗΘ · ὁ ἄρα τετράγωνος μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κύκλος . ἀνίστημι ἀπό ὁ ΕΖ ΗΘ τετράγωνος πυραμίς ἰσουψής ὁ κῶνος · ὁ ἄρα ἀνίστημι πυραμίς μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κῶνος , ἐπειδή ἐάν περιγράφω περί ὁ κύκλος τετράγωνος , καί ἀπό αὐτός ἀνίστημι πυραμίς ἰσουψής ὁ κῶνος , ὁ ἐγγράφω πυραμίς ἥμισυς εἰμί ὁ περιγράφω · πρός ἀλλήλων γάρ εἰμί ὡς ὁ βάσις · ἐλαχύς δέ ὁ κῶνος ὁ περιγράφω πυραμίς . τέμνω ὁ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Ο , Π , Ρ , Σ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΟ , ΟΕ , ΕΠ , ΠΖ , ΖΡ , ΡΗ , ΗΣ , ΣΘ . ἕκαστος ἄρα ὁ ΘΟΕ , ΕΠΖ , ΖΡΗ , ΗΣΘ τρίγων μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ κύκλος . ἀνίστημι ἐπί ἕκαστος ὁ ΘΟΕ , ΕΠΖ , ΖΡΗ , ΗΣΘ τρίγων πυραμίς ἰσουψής ὁ κῶνος · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ἀνίστημι πυραμίς μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ κῶνος . τέμνω δή ὁ ὑπολείπω περιφέρεια δίχα καί ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα καί ἀνίστημι ἐπί ἕκαστος ὁ τρίγων πυραμίς ἰσοϋψής ὁ κῶνος καί ἀεί οὗτος ποιέω καταλείπω τις ἀπότμημα ὁ κῶνος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ Ψ στερεός . λείπω , καί εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΘΟΕ , ΕΠΖ , ΖΡΗ , ΗΣΘ · λοιπός ἄρα ὁ πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κῶνος , μέγας εἰμί ὁ Ξ στερεός . ἐγγράφω καί εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι πολύγωνον ὁ ΔΤΑΥΒ ΦΓΧ , καί ἀνίστημι ἐπί αὐτός πυραμίς ἰσουψής ὁ ΑΛ κῶνος . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρός ὁ ΘΟΕ ΠΖΡΗΣ πολύγωνον , ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρός ὁ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον . ὡς δέ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρός ὁ Ξ στερεός , ὡς δέ ὁ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρός ὁ ΘΟΕΠΖ ΡΗΣ πολύγωνον , οὕτως ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Λ σημεῖον , πρός ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΛ κῶνος πρός ὁ Ξ στερεός , οὕτως ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Λ σημεῖον , πρός ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον · ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΛ κῶνος πρός ὁ ἐν αὐτός πυραμίς , οὕτως ὁ Ξ στερεός πρός ὁ ἐν ὁ ΕΝ κῶνος πυραμίς . μέγας δέ ὁ ΑΛ κῶνος ὁ ἐν αὐτός πυραμίς · μέγας ἄρα καί ὁ Ξ στερεός ὁ ἐν ὁ ΕΝ κῶνος πυραμίς . ἀλλά καί ἐλαχύς · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΕΝ κῶνος στερεός . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ εἰμί ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΛ κῶνος στερεός . λέγω δή , ὅτι οὐδέ εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρός μέγας τις ὁ ΕΝ κῶνος στερεός . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί πρός μέγας ὁ Ξ · ἀνάπαλιν ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , οὕτως ὁ Ξ στερεός πρός ὁ ΑΛ κῶνος . ἀλλά ὡς ὁ Ξ στερεός πρός ὁ ΑΛ κῶνος , οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΛ κῶνος στερεός · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΛ κῶνος στερεός · ὅς ἀδύνατος δείκνυμι . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρός μέγας τις ὁ ΕΝ κῶνος στερεός . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ πρός ἐλαχύς · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρός ὁ ΕΝ κῶνος . ἀλλά ὡς ὁ κῶνος πρός ὁ κῶνος , ὁ κύλινδρος πρός ὁ κύλινδρος · τριπλασίων γάρ ἑκάτερος ἑκάτερος . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ἐπί αὐτός ἰσοϋψής κύλινδρος . ὁ ἄρα ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί κῶνος καί κύλινδρος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις · ὅς δέω δείκνυμι .