euclides-geom.elementa 11.prop.33
τὰ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλα ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . ἔστω ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ , ΓΔ , ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ . ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΑΕ , ΗΕ , ΘΕ αἱ ΕΚ , ΕΛ , ΕΜ , καὶ κείσθω τῇ μὲν ΓΖ ἴση ἡ ΕΚ , τῇ δὲ ΖΝ ἴση ἡ ΕΛ , καὶ ἔτι τῇ ΖΡ ἴση ἡ ΕΜ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΚΟ στερεόν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΕ , ΕΛ δυσὶ ταῖς ΓΖ , ΖΝ ἴσαι εἰσίν , ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΕΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση , ἐπειδήπερ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεῶν , ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΝ παραλληλογράμμῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΜ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον τῷ ΓΡ καὶ ἔτι τὸ ΕΟ τῷ ΔΖ · τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΚΟ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΓΔ στερεοῦ ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια . ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια , τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια · ὅλον ἄρα τὸ ΚΟ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον . συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον , καὶ ἀπὸ βάσεων μὲν τῶν ΗΚ , ΚΛ παραλληλογράμμων , ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΑΒ στερεὰ συμπεπληρώσθω τὰ ΕΞ , ΛΠ . καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεῶν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΝ , καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΡ , ἴση δὲ ἡ μέν ΓΖ τῇ ΕΚ , ἡ δὲ ΖΝ τῇ ΕΛ , ἡ δὲ ΖΡ τῇ ΕΜ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ , οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ καὶ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΜ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον , ὡς δὲ ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ , οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ , ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΜ , οὕτως τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ , οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ καὶ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΚ , οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ στερεόν , ὡς δὲ τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως τὸ ΞΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΠΛ στερεόν , ὡς δὲ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ , οὕτως τὸ ΠΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ στερεόν · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ , οὕτως τὸ ΕΞ πρὸς τὸ ΠΛ καὶ τὸ ΠΛ πρὸς τὸ ΚΟ . ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ᾖ , τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον · τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ . ἀλλʼ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ , οὕτως τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ καὶ ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΚ · ὥστε καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ . ἴσον δὲ τὸ ΚΟ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ , ἡ δὲ ΕΚ εὐθεῖα τῇ ΓΖ · καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος αὐτοῦ πλευρὰ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΓΖ . τὰ ἄρα ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην , οὕτω τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν παραλληλεπίπεδον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον , ἐπείπερ καὶ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν .
Lemmas: ὁ ὅμοιος στερεός παραλληλεπίπεδον πρός ἀλλήλων ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . εἰμί ὅμοιος στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΑΒ , ΓΔ , ὁμόλογος δέ εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΓΔ στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω , ἤ ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ . ἐκβάλλω γάρ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΑΕ , ΗΕ , ΘΕ ὁ ΕΚ , ΕΛ , ΕΜ , καί κεῖμαι ὁ μέν ΓΖ ἴσος ὁ ΕΚ , ὁ δέ ΖΝ ἴσος ὁ ΕΛ , καί ἔτι ὁ ΖΡ ἴσος ὁ ΕΜ , καί συμπληρόω ὁ ΚΛ παραλληλόγραμμος καί ὁ ΚΟ στερεός . καί ἐπεί δύο ὁ ΚΕ , ΕΛ δύο ὁ ΓΖ , ΖΝ ἴσος εἰμί , ἀλλά καί γωνία ὁ ὑπό ΚΕΛ γωνία ὁ ὑπό ΓΖΝ εἰμί ἴσος , ἐπειδή καί ὁ ὑπό ΑΕΗ ὁ ὑπό ΓΖΝ εἰμί ἴσος διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΚΛ παραλληλόγραμμος ὁ ΓΝ παραλληλόγραμμος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ΚΜ παραλληλόγραμμος ἴσος εἰμί καί ὅμοιος ὁ ΓΡ καί ἔτι ὁ ΕΟ ὁ ΔΖ · τρεῖς ἄρα παραλληλόγραμμος ὁ ΚΟ στερεός τρεῖς παραλληλόγραμμος ὁ ΓΔ στερεός ἴσος εἰμί καί ὅμοιος . ἀλλά ὁ μέν τρεῖς τρεῖς ὁ ἀπεναντίον ἴσος εἰμί καί ὅμοιος , ὁ δέ τρεῖς τρεῖς ὁ ἀπεναντίον ἴσος εἰμί καί ὅμοιος · ὅλος ἄρα ὁ ΚΟ στερεός ὅλος ὁ ΓΔ στερεός ἴσος εἰμί καί ὅμοιος . συμπληρόω ὁ ΗΚ παραλληλόγραμμος , καί ἀπό βάσις μέν ὁ ΗΚ , ΚΛ παραλληλόγραμμος , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ ΑΒ στερεός συμπληρόω ὁ ΕΞ , ΛΠ . καί ἐπεί διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΝ , καί ὁ ΕΘ πρός ὁ ΖΡ , ἴσος δέ ὁ μέν ΓΖ ὁ ΕΚ , ὁ δέ ΖΝ ὁ ΕΛ , ὁ δέ ΖΡ ὁ ΕΜ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΚ , οὕτως ὁ ΗΕ πρός ὁ ΕΛ καί ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΜ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΚ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΚ παραλληλόγραμμος , ὡς δέ ὁ ΗΕ πρός ὁ ΕΛ , οὕτως ὁ ΗΚ πρός ὁ ΚΛ , ὡς δέ ὁ ΘΕ πρός ΕΜ , οὕτως ὁ ΠΕ πρός ὁ ΚΜ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΗ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΗΚ , οὕτως ὁ ΗΚ πρός ὁ ΚΛ καί ὁ ΠΕ πρός ὁ ΚΜ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΚ , οὕτως ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΕΞ στερεός , ὡς δέ ὁ ΗΚ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΞΕ στερεός πρός ὁ ΠΛ στερεός , ὡς δέ ὁ ΠΕ πρός ὁ ΚΜ , οὕτως ὁ ΠΛ στερεός πρός ὁ ΚΟ στερεός · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΕΞ , οὕτως ὁ ΕΞ πρός ὁ ΠΛ καί ὁ ΠΛ πρός ὁ ΚΟ . ἐάν δέ τέσσαρες μέγεθος κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος εἰμί , ὁ πρῶτος πρός ὁ τέταρτος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ δεύτερος · ὁ ΑΒ ἄρα στερεός πρός ὁ ΚΟ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΕΞ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΕΞ , οὕτως ὁ ΑΗ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΗΚ καί ὁ ΑΕ εὐθύς πρός ὁ ΕΚ · ὥστε καί ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΚΟ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΚ . ἴσος δέ ὁ ΚΟ στερεός ὁ ΓΔ στερεός , ὁ δέ ΕΚ εὐθύς ὁ ΓΖ · καί ὁ ΑΒ ἄρα στερεός πρός ὁ ΓΔ στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος αὐτός πλευρόν ὁ ΑΕ πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά ὁ ΓΖ . ὁ ἄρα ὅμοιος στερεός παραλληλεπίπεδον ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά · ὅς δέω δείκνυμι . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τέταρτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος στερεός παραλληλεπίπεδον πρός ὁ ἀπό ὁ δεύτερος ὁ ὅμοιος καί ὅμοιος ἀναγράφω , ἐπεί καί ὁ πρῶτος πρός ὁ τέταρτος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ δεύτερος .