euclides-geom.elementa 6.prop.33
ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις , ἐφʼ ὧν βεβήκασιν , ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι . ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καὶ πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αὐτῶν τοῖς Η , Θ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ , ΕΘΖ , πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΕΔΖ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν , οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ . κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΓΚ , ΚΛ , τῇ δὲ ΕΖ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΖΜ , ΜΝ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ , ΗΛ , ΘΜ , ΘΝ . ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ , ΓΚ , ΚΛ περιφέρειαι ἀλλήλαις , ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ , ΓΗΚ , ΚΗΛ γωνίαι ἀλλήλαις · ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΒΓ , τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ , τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΖ . εἰ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΕΝ περιφερείᾳ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ , καὶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας , μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ , καὶ εἰ ἐλάσσων , ἐλάσσων . τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν , δύο μὲν περιφερειῶν τῶν ΒΓ , ΕΖ , δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ , ΕΘΖ , εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἰσάκις πολλαπλασίων ἥ τε ΒΛ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία , τῆς δὲ ΕΖ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΕΘΖ γωνίας ἥ τε ΕΝ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ γωνία . καὶ δέδεικται , ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας , ὑπερέχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ γωνίας , καὶ εἰ ἴση , ἴση , καὶ εἰ ἐλάσσων , ἐλάσσων . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ . ἀλλʼ ὡς ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ , οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ · διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας . καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν , οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ . ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις , ἐφʼ ὧν βεβήκασιν , ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ἴσος κύκλος ὁ γωνία ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ περιφέρεια , ἐπί ὅς βαίνω , ἐάν τε πρός ὁ κέντρον ἐάν τε πρός ὁ περιφέρεια εἰμί βαίνω . εἰμί ἴσος κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καί πρός μέν ὁ κέντρον αὐτός ὁ Η , Θ γωνία εἰμί ὁ ὑπό ΒΗΓ , ΕΘΖ , πρός δέ ὁ περιφέρεια ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΕΔΖ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΒΓ περιφέρεια πρός ὁ ΕΖ περιφέρεια , οὕτως ὁ τε ὑπό ΒΗΓ γωνία πρός ὁ ὑπό ΕΘΖ καί ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ΕΔΖ . κεῖμαι γάρ ὁ μέν ΒΓ περιφέρεια ἴσος κατά ὁ ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν ὁ ΓΚ , ΚΛ , ὁ δέ ΕΖ περιφέρεια ἴσος ὁσαιδηποτοῦν ὁ ΖΜ , ΜΝ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΚ , ΗΛ , ΘΜ , ΘΝ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ , ΓΚ , ΚΛ περιφέρεια ἀλλήλων , ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΗΓ , ΓΗΚ , ΚΗΛάς γωνία ἀλλήλων · ὁσαπλασίων ἄρα εἰμί ὁ ΒΛ περιφέρεια ὁ ΒΓ , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΗΛ γωνία ὁ ὑπό ΒΗΓ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁσαπλασίων εἰμί ὁ ΝΕάς περιφέρεια ὁ ΕΖ , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ὑπό ΝΘΕ γωνία ὁ ὑπό ΕΘΖ . εἰ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΒΛ περιφέρεια ὁ ΕΝ περιφέρεια , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΒΗΛ ὁ ὑπό ΕΘΝ , καί εἰ μέγας εἰμί ὁ ΒΛ περιφέρεια ὁ ΕΝ περιφέρεια , μέγας εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΗΛ γωνία ὁ ὑπό ΕΘΝ , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . τέσσαρες δή εἰμί μέγεθος , δύο μέν περιφέρεια ὁ ΒΓ , ΕΖ , δύο δέ γωνία ὁ ὑπό ΒΗΓ , ΕΘΖ , λαμβάνω ὁ μέν ΒΓ περιφέρεια καί ὁ ὑπό ΒΗΓ γωνία ἰσάκις πολλαπλασίων ὁ τε ΒΛ περιφέρεια καί ὁ ὑπό ΒΗΛ γωνία , ὁ δέ ΕΖ περιφέρεια καί ὁ ὑπό ΕΘΖ γωνία ὁ τε ΕΝ περιφέρεια καί ὁ ὑπό ΕΘΝ γωνία . καί δείκνυμι , ὅτι εἰ ὑπερέχω ὁ ΒΛ περιφέρεια ὁ ΕΝ περιφέρεια , ὑπερέχω καί ὁ ὑπό ΒΗΛ γωνία ὁ ὑπό ΕΘΝ γωνία , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΒΓ περιφέρεια πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ὑπό ΒΗΓ γωνία πρός ὁ ὑπό ΕΘΖ . ἀλλά ὡς ὁ ὑπό ΒΗΓ γωνία πρός ὁ ὑπό ΕΘΖ , οὕτως ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ΕΔΖ · διπλάσιος γάρ ἑκάτερος ἑκάτερος . καί ὡς ἄρα ὁ ΒΓ περιφέρεια πρός ὁ ΕΖ περιφέρεια , οὕτως ὁ τε ὑπό ΒΗΓ γωνία πρός ὁ ὑπό ΕΘΖ καί ὁ ὑπό ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ΕΔΖ . ἐν ἄρα ὁ ἴσος κύκλος ὁ γωνία ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ περιφέρεια , ἐπί ὅς βαίνω , ἐάν τε πρός ὁ κέντρον ἐάν τε πρός ὁ περιφέρεια εἰμί βαίνω · ὅς δέω δείκνυμι .