euclides-geom.elementa 3.prop.37
ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι , καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον , ἡ δὲ προσπίπτῃ , ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης , ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου . κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓΑ , ΔΒ , καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν κύκλον , ἡ δὲ ΔΒ προσπιπτέτω , ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ . λέγω , ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου . ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΕ , ΖΒ , ΖΔ . ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου , τέμνει δὲ ἡ ΔΓΑ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΕ . ἦν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ · ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΖΒ ἴση · δύο δὴ αἱ ΔΕ , ΕΖ δύο ταῖς ΔΒ , ΒΖ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστιν ἴση . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΖ . καί ἐστιν ἡ ΖΒ ἐκβαλλομένη διάμετρος · ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου · ἡ ΔΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΓ τυγχάνῃ . ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι , καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον , ἡ δὲ προσπίπτῃ , ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης , ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός , ἀπό δέ ὁ σημεῖον πρός ὁ κύκλος προσπίπτω δύο εὐθεῖα , καί ὁ μέν αὐτός τέμνω ὁ κύκλος , ὁ δέ προσπίπτω , εἰμί δέ ὁ ὑπό ὅλος ὁ τέμνω καί ὁ ἐκτός ἀπολαμβάνω μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ κυρτός περιφέρεια ἴσος ὁ ἀπό ὁ προσπίπτω , ὁ προσπίπτω ἐφάπτω ὁ κύκλος . κύκλος γάρ ὁ ΑΒΓ λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός ὁ Δ , καί ἀπό ὁ Δ πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος προσπίπτω δύο εὐθεῖα ὁ ΔΓΑ , ΔΒ , καί ὁ μέν ΔΓΑ τέμνω ὁ κύκλος , ὁ δέ ΔΒ προσπίπτω , εἰμί δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΔΒ . λέγω , ὅτι ὁ ΔΒ ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἄγω γάρ ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω ὁ ΔΕ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί εἰμί ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΕ , ΖΒ , ΖΔ . ὁ ἄρα ὑπό ΖΕΔ ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ὁ ΔΕ ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ κύκλος , τέμνω δέ ὁ ΔΓΑ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΕ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΔΒ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΔΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΒ · ἴσος ἄρα ὁ ΔΕ ὁ ΔΒ . εἰμί δέ καί ὁ ΖΕ ὁ ΖΒ ἴσος · δύο δή ὁ ΔΕ , ΕΖ δύο ὁ ΔΒ , ΒΖ ἴσος εἰμί · καί βάσις αὐτός κοινός ὁ ΖΔ · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΔΕΖ γωνία ὁ ὑπό ΔΒΖ εἰμί ἴσος . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΔΕΖ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΔΒΖ . καί εἰμί ὁ ΖΒ ἐκβάλλω διάμετρος · ὁ δέ ὁ διάμετρον ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ἄκρα ἄγω ἐφάπτω ὁ κύκλος · ὁ ΔΒ ἄρα ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ἐάν ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΑΓ τυγχάνω . ἐάν ἄρα κύκλος λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός , ἀπό δέ ὁ σημεῖον πρός ὁ κύκλος προσπίπτω δύο εὐθεῖα , καί ὁ μέν αὐτός τέμνω ὁ κύκλος , ὁ δέ προσπίπτω , εἰμί δέ ὁ ὑπό ὅλος ὁ τέμνω καί ὁ ἐκτός ἀπολαμβάνω μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ κυρτός περιφέρεια ἴσος ὁ ἀπό ὁ προσπίπτω , ὁ προσπίπτω ἐφάπτω ὁ κύκλος · ὅς δέω δείκνυμι .