euclides-geom.elementa 10.prop2.60
τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην . ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ , ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΓ , καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕΖΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ · λέγω , ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη . παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον τὸ ΔΘ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον τὸ ΚΛ · λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΖ . τετμήσθω ἡ ΜΗ δίχα κατὰ τὸ Ν , καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ . ἑκάτερον ἄρα τῶν ΜΞ , ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ . καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ , αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα ἀλλήλοις · ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ αἱ ΑΓ , ΓΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τουτέστι τὸ ΜΖ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ , τουτέστι τῇ ΔΕ , μήκει . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΔ ῥητὴ καὶ τῇ ΔΕ μήκει σύμμετρος · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει . καί εἰσι ῥηταί · αἱ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ . δεικτέον δή , ὅτι καὶ πρώτη . ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ , καὶ τῶν ΔΘ , ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΜΞ . ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΜΞ , οὕτως τὸ ΜΞ πρὸς τὸ ΚΛ , τουτέστιν ὡς ἡ ΔΚ πρὸς τὴν ΜΝ , ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΚ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΚ , ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ , σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ · ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν . καὶ ἐπεὶ μείζονά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ · ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μείζων ἐστίν . καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚ , ΚΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ , τουτέστι τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΗ , καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ . ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι , τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ , ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ · ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΔΜ , ΜΗ , καὶ ἡ ΔΜ μεῖζον ὄνομα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει . ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ ἐκ δύο ὄνομα παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα πρῶτος . εἰμί ἐκ δύο ὄνομα ὁ ΑΒ διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Γ , ὥστε ὁ μέγας ὄνομα εἰμί ὁ ΑΓ , καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΔΕ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΔΕ παραβάλλω ὁ ΔΕΖΗ πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ · λέγω , ὅτι ὁ ΔΗ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πρῶτος . παραβάλλω γάρ παρά ὁ ΔΕ ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ ἴσος ὁ ΔΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΓ ἴσος ὁ ΚΛ · λοιπός ἄρα ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ ΜΖ . τέμνω ὁ ΜΗ δίχα κατά ὁ Ν , καί παράλληλος ἄγω ὁ ΝΞ . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΜΞ , ΝΖ ἴσος εἰμί ὁ ἅπαξ ὑπό ὁ ΑΓΒ . καί ἐπεί ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ὁ ΑΒ διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Γ , ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ῥητός εἰμί καί σύμμετρος ἀλλήλων · ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΛ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΔΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΔΕ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΔΜ καί σύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . πάλιν , ἐπεί ὁ ΑΓ , ΓΒ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , μέσος ἄρα εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , τουτέστι ὁ ΜΖ . καί παρά ῥητός ὁ ΜΛ παράκειμαι · ῥητός ἄρα καί ὁ ΜΗ εἰμί καί ἀσύμμετρος ὁ ΜΛ , τουτέστι ὁ ΔΕ , μῆκος . εἰμί δέ καί ὁ ΜΔ ῥητός καί ὁ ΔΕ μῆκος σύμμετρος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ μῆκος . καί εἰμί ῥητός · ὁ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΔΗ . δείκνυμι δή , ὅτι καί πρῶτος . ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ , καί ὁ ΔΘ , ΚΛ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΜΞ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΘ πρός ὁ ΜΞ , οὕτως ὁ ΜΞ πρός ὁ ΚΛ , τουτέστι ὡς ὁ ΔΚ πρός ὁ ΜΝ , ὁ ΜΝ πρός ὁ ΜΚ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΔΚ , ΚΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΜΝ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΒ , σύμμετρος εἰμί καί ὁ ΔΘ ὁ ΚΛ · ὥστε καί ὁ ΔΚ ὁ ΚΜ σύμμετρος εἰμί . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , μέγας ἄρα καί ὁ ΔΛ ὁ ΜΖ · ὥστε καί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ μέγας εἰμί . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΔΚ , ΚΜ ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , τουτέστι ὁ τέταρτος ὁ ἀπό ὁ ΜΉ , καί σύμμετρος ὁ ΔΚ ὁ ΚΜ . ἐάν δέ εἰμί δύο εὐθεῖα ἄνισος , ὁ δέ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ἴσος παρά ὁ μέγας παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος καί εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ · ὁ ΔΜ ἄρα ὁ ΜΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ῥητός ὁ ΔΜ , ΜΗ , καί ὁ ΔΜ μέγας ὄνομα σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΔΕ μῆκος . ὁ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πρῶτος · ὅς δέω δείκνυμι .