euclides-geom.elementa 7.prop.34
δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν , ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν . ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , Β · δεῖ δὴ εὑρεῖν , ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν . οἱ Α , Β γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ . ἔστωσαν πρότερον οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . οἱ Α , Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστον . εἰ γὰρ μή , μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α , Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ . μετρείτωσαν τὸν Δ . καὶ ὁσάκις ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε , ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ · ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α , Ε τῷ ἐκ τῶν Β , Ζ . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε . οἱ δὲ Α , Β πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα · ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ , ὡς ἑπόμενος ἑπόμενον . καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Β , Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Γ , Δ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Ε · μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα οἱ Α , Β μετροῦσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ . ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α , Β μετρεῖται . μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β οἱ Ζ , Ε · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α , Ε τῷ ἐκ τῶν Β , Ζ . καὶ ὁ Α τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν · οἱ Α , Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστον . εἰ γὰρ μή , μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α , Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ . μετρείτωσαν τὸν Δ . καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η , ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Θ . ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , ὁ δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν . ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α , Η τῷ ἐκ τῶν Β , Θ · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η . ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε · καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η . οἱ δὲ Ζ , Ε ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα · ὁ Ε ἄρα τὸν Η μετρεῖ . καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Ε , Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ , Δ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ὁ δὲ Ε τὸν Η μετρεῖ · καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα οἱ Α , Β μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ . ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α , Β μετρεῖται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο ἀριθμός δίδωμι εὑρίσκω , ὅς ἐλαχύς μετρέω ἀριθμός . εἰμί ὁ δίδωμι δύο ἀριθμός ὁ Α , Β · δέω δή εὑρίσκω , ὅς ἐλαχύς μετρέω ἀριθμός . ὁ Α , Β γάρ ἤτοι πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί ἤ οὐ . εἰμί πρότερος ὁ Α , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων , καί ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · καί ὁ Β ἄρα ὁ Α πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ὁ Α , Β ἄρα ὁ Γ μετρέω . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς . εἰ γάρ μή , μετρέω τις ἀριθμός ὁ Α , Β ἐλαχύς εἰμί ὁ Γ . μετρέω ὁ Δ . καί ὁσάκις ὁ Α ὁ Δ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ε , ὁσάκις δέ ὁ Β ὁ Δ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ζ · ὁ μέν Α ἄρα ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ δέ Β ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ Α , Ε ὁ ἐκ ὁ Β , Ζ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Ε . ὁ δέ Α , Β πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς · ὁ Β ἄρα ὁ Ε μετρέω , ὡς ἕπομαι ἕπομαι . καί ἐπεί ὁ Α ὁ Β , Ε πολλαπλασιάζω ὁ Γ , Δ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Β πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ . μετρέω δέ ὁ Β ὁ Ε · μετρέω ἄρα καί ὁ Γ ὁ Δ ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α , Β μετρέω τις ἀριθμός ἐλαχύς εἰμί ὁ Γ . ὁ Γ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὑπό ὁ Α , Β μετρέω . μή εἰμί δή ὁ Α , Β πρῶτος πρός ἀλλήλων , καί λαμβάνω ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Β ὁ Ζ , Ε · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ Α , Ε ὁ ἐκ ὁ Β , Ζ . καί ὁ Α ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · καί ὁ Β ἄρα ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · ὁ Α , Β ἄρα ὁ Γ μετρέω . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς . εἰ γάρ μή , μετρέω τις ἀριθμός ὁ Α , Β ἐλαχύς εἰμί ὁ Γ . μετρέω ὁ Δ . καί ὁσάκις μέν ὁ Α ὁ Δ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Η , ὁσάκις δέ ὁ Β ὁ Δ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Θ . ὁ μέν Α ἄρα ὁ Η πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ δέ Β ὁ Θ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ Α , Η ὁ ἐκ ὁ Β , Θ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Η . ὡς δέ ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Ε · καί ὡς ἄρα ὁ Ζ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Η . ὁ δέ Ζ , Ε ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς · ὁ Ε ἄρα ὁ Η μετρέω . καί ἐπεί ὁ Α ὁ Ε , Η πολλαπλασιάζω ὁ Γ , Δ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ . ὁ δέ Ε ὁ Η μετρέω · καί ὁ Γ ἄρα ὁ Δ μετρέω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α , Β μετρέω τις ἀριθμός ἐλαχύς εἰμί ὁ Γ . ὁ Γ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὑπό ὁ Α , Β μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .