euclides-geom.elementa 11.prop.38
ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσιν , διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ , ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας . κύβου γὰρ τοῦ ΑΖ τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν ΓΖ , ΑΘ αἱ πλευραὶ δίχα τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Π , Ο , Ρ σημεῖα , διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω τὰ ΚΝ , ΞΡ , κοινὴ δὲ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἔστω ἡ ΥΣ , τοῦ δὲ ΑΖ κύβου διαγώνιος ἡ ΔΗ . λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΥΤ τῇ ΤΣ , ἡ δὲ ΔΤ τῇ ΤΗ . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΔΥ , ΥΕ , ΒΣ , ΣΗ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΞ τῇ ΟΕ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΞΥ , ΥΟΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΞ τῇ ΟΕ , ἡ δὲ ΞΥ τῇ ΥΟ , καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ΔΥ τῇ ΥΕ ἐστιν ἴση , καὶ τὸ ΔΞΥ τρίγωνον τῷ ΟΥΕ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΞΥΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΟΥΕ γωνίᾳ . διὰ δὴ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΔΥΕ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΣΗ εὐθεῖά ἐστιν , καὶ ἴση ἡ ΒΣ τῇ ΣΗ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος , ἀλλὰ ἡ ΓΑ καὶ τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος , καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος . καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΔΕ , ΒΗ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΗ . ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΔΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΤ · ἐναλλὰξ γάρ · ἡ δὲ ὑπὸ ΔΤΥ τῇ ὑπὸ ΗΤΣ . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΔΤΥ , ΗΤΣ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΔΥ τῇ ΗΣ · ἡμίσειαι γάρ εἰσι τῶν ΔΕ , ΒΗ · καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει . ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΤ τῇ ΤΗ , ἡ δὲ ΥΤ τῇ ΤΣ . ἐὰν ἄρα κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσιν , διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ , ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύβος ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος ὁ πλευρά δίχα τέμνω , διά δέ ὁ τομή ἐπίπεδος ἐκβάλλω , ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος καί ὁ ὁ κύβος διάμετρος δίχα τέμνω ἀλλήλων . κύβος γάρ ὁ ΑΖ ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος ὁ ΓΖ , ΑΘ ὁ πλευρά δίχα τέμνω κατά ὁ Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Π , Ο , Ρ σημεῖον , διά δέ ὁ τομή ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὁ ΚΝ , ΞΡ , κοινός δέ τομή ὁ ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΥΣ , ὁ δέ ΑΖ κύβος διαγώνιος ὁ ΔΗ . λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ μέν ΥΤ ὁ ΤΣ , ὁ δέ ΔΤ ὁ ΤΗς . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΔΥάς , ΥΕ , ΒΣ , ΣΗ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΔΞ ὁ ΟΕ , ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΔΞΥ , ΥΟΕ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΔΞ ὁ ΟΕ , ὁ δέ ΞΥ ὁ ΥΟ , καί γωνία ἴσος περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ΔΥάς ὁ ΥΕ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΔΞΥ τρίγωνον ὁ ΟΥΕ τρίγωνον εἰμί ἴσος καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΞΥΔ γωνία ὁ ὑπό ΟΥΕ γωνία . διά δή οὗτος εὐθύς εἰμί ὁ ΔΥΕ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΣΗ εὐθύς εἰμί , καί ἴσος ὁ ΒΣ ὁ ΣΗ . καί ἐπεί ὁ ΓΑ ὁ ΔΒ ἴσος εἰμί καί παράλληλος , ἀλλά ὁ ΓΑ καί ὁ ΕΗ ἴσος τε εἰμί καί παράλληλος , καί ὁ ΔΒ ἄρα ὁ ΕΗ ἴσος τε εἰμί καί παράλληλος . καί ἐπιζεύγνυμι αὐτός εὐθεῖα ὁ ΔΕ , ΒΗ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΒΗ . ἴσος ἄρα ὁ μέν ὑπό ΕΔΤ γωνία ὁ ὑπό ΒΗΤ · ἐναλλάξ γάρ · ὁ δέ ὑπό ΔΤΥ ὁ ὑπό ΗΤΣ . δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΔΤΥ , ΗΤΣ ὁ δύο γωνία ὁ δύο γωνία ἴσος ἔχω καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ὁ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία ὁ ΔΥάς ὁ ΗΣ · ἥμισυς γάρ εἰμί ὁ ΔΕ , ΒΗ · καί ὁ λοιπός πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω . ἴσος ἄρα ὁ μέν ΔΤ ὁ ΤΗς , ὁ δέ ΥΤ ὁ ΤΣ . ἐάν ἄρα κύβος ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος ὁ πλευρά δίχα τέμνω , διά δέ ὁ τομή ἐπίπεδος ἐκβάλλω , ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος καί ὁ ὁ κύβος διάμετρος δίχα τέμνω ἀλλήλων · ὅς δέω δείκνυμι .