euclides-geom.elementa 10.prop3.112
τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν , ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι καὶ ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ ἔτι ἡ γινομένη ἀποτομὴ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων . ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α , ἐκ δύο ὀνομάτων δὲ ἡ ΒΓ , ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω ἡ ΔΓ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΕΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΕΖ ἀποτομή ἐστιν , ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς ΓΔ , ΔΒ , καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ ἔτι ἡ ΕΖ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ΒΓ . ἔστω γὰρ πάλιν τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , Η . ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ , Η , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ Η πρὸς τὴν ΕΖ . μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ · μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Η τῆς ΕΖ . ἔστω τῇ Η ἴση ἡ ΕΘ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ · διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ . γεγονέτω ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ , οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ὅλην τὴν ΚΖ ἐστιν , ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ · ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα . ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΖ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ . σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΖ . καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΕ , ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΘΚ , ΚΖ , ΚΕ ἀνάλογόν εἰσιν . σύμμετρος ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΚΕ μήκει · ὥστε καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστι μήκει . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ , ΒΔ , ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Α , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ , ΒΔ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΔ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει · ὥστε καὶ ἡ σύμμετρος αὐτῇ ἡ ΕΚ ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ , οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ , αἱ δὲ ΓΔ , ΔΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι , καὶ αἱ ΖΚ , ΚΕ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι . ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ . αἱ ΖΚ , ΚΕ ἄρα ῥηταὶ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ . ἤτοι δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου . εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου , καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καὶ ἡ ΖΚ · εἰ δὲ ἡ ΒΔ , καὶ ἡ ΚΕ · εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ , ΔΒ , καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ , ΚΕ . εἰ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ εἰ μὲν ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καὶ ἡ ΖΚ · εἰ δὲ ἡ ΒΔ , καὶ ἡ ΚΕ · εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ , ΔΒ , καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ , ΚΕ · ὥστε ἀποτομή ἐστιν ἡ ΖΕ , ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΖΚ , ΚΕ σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΔ , ΔΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ΒΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ῥητός παρά ὁ ἐκ δύο ὄνομα παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή , ὅς ὁ ὄνομα σύμμετρος εἰμί ὁ ὁ ἐκ δύο ὄνομα ὄνομα καί ἔτι ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί ἔτι ὁ γίγνομαι ἀποτομή ὁ αὐτός ἔχω τάξις ὁ ἐκ δύο ὄνομα . εἰμί ῥητός μέν ὁ Α , ἐκ δύο ὄνομα δέ ὁ ΒΓ , ὅς μέγας ὄνομα εἰμί ὁ ΔΓ , καί ὁ ἀπό ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΕΖ ἀποτομή εἰμί , ὅς ὁ ὄνομα σύμμετρος εἰμί ὁ ΓΔ , ΔΒ , καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί ἔτι ὁ ΕΖ ὁ αὐτός ἔχω τάξις ὁ ΒΓ . εἰμί γάρ πάλιν ὁ ἀπό ὁ Α ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , Η . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΕΖ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , Η , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ Η πρός ὁ ΕΖ . μέγας δέ ὁ ΓΒ ὁ ΒΔ · μέγας ἄρα εἰμί καί ὁ Η ὁ ΕΖ . εἰμί ὁ Η ἴσος ὁ ΕΘ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΖ · διαιρέω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ΘΖ πρός ὁ ΖΕ . γίγνομαι ὡς ὁ ΘΖ πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ΖΚ πρός ὁ ΚΕ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΘΚ πρός ὅλος ὁ ΚΖ εἰμί , ὡς ὁ ΖΚ πρός ΚΕ · ὡς γάρ εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι . ὡς δέ ὁ ΖΚ πρός ΚΕ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΒ · καί ὡς ἄρα ὁ ΘΚ πρός ΚΖ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΒ . σύμμετρος δέ ὁ ἀπό ὁ ΓΔ ὁ ἀπό ὁ ΔΒ · σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΘΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΖ . καί εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΘΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΖ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ ΚΕ , ἐπεί ὁ τρεῖς ὁ ΘΚ , ΚΖ , ΚΕ ἀνάλογος εἰμί . σύμμετρος ἄρα ὁ ΘΚ ὁ ΚΕ μῆκος · ὥστε καί ὁ ΘΕ ὁ ΕΚ σύμμετρος εἰμί μῆκος . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΘ , ΒΔ , ῥητός δέ εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α , ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΕΘ , ΒΔ . καί παρά ῥητός ὁ ΒΔ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ καί σύμμετρος ὁ ΒΔ μῆκος · ὥστε καί ὁ σύμμετρος αὐτός ὁ ΕΚ ῥητός εἰμί καί σύμμετρος ὁ ΒΔ μῆκος . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΒ , οὕτως ὁ ΖΚ πρός ΚΕ , ὁ δέ ΓΔ , ΔΒ δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος , καί ὁ ΖΚ , ΚΕ δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος . ῥητός δέ εἰμί ὁ ΚΕ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΚ . ὁ ΖΚ , ΚΕ ἄρα ῥητός δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ . ἤτοι δέ ὁ ΓΔ ὁ ΔΒ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ ἤ ὁ ἀπό ἀσύμμετρος . εἰ μέν οὖν ὁ ΓΔ ὁ ΔΒ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος , καί ὁ ΖΚ ὁ ΚΕ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰ μέν σύμμετρος εἰμί ὁ ΓΔ ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καί ὁ ΖΚ · εἰ δέ ὁ ΒΔ , καί ὁ ΚΕ · εἰ δέ οὐδέτερος ὁ ΓΔ , ΔΒ , καί οὐδέτερος ὁ ΖΚ , ΚΕ . εἰ δέ ὁ ΓΔ ὁ ΔΒ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΖΚ ὁ ΚΕ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰ μέν ὁ ΓΔ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καί ὁ ΖΚ · εἰ δέ ὁ ΒΔ , καί ὁ ΚΕ · εἰ δέ οὐδέτερος ὁ ΓΔ , ΔΒ , καί οὐδέτερος ὁ ΖΚ , ΚΕ · ὥστε ἀποτομή εἰμί ὁ ΖΕ , ὅς ὁ ὄνομα ὁ ΖΚ , ΚΕ σύμμετρος εἰμί ὁ ὁ ἐκ δύο ὄνομα ὄνομα ὁ ΓΔ , ΔΒ καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί ὁ αὐτός τάξις ἔχω ὁ ΒΓ · ὅς δέω δείκνυμι .