euclides-geom.elementa 10.prop3.91
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πρώτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν . περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς πρώτης τῆς ΑΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστι πρώτη ἡ ΑΔ , ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ · αἱ ΑΗ , ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ ὅλη ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ , καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει · ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ . τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ . καὶ διὰ τῶν Ε , Ζ , Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ , ΖΙ , ΗΚ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει , καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ , ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει . ἀλλὰ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ · καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ , ΖΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει . καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΓ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΖ , ΖΗ · ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΙ , ΖΚ ῥητόν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει , καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ , ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει . ῥητὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει · ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ , ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ , ΕΚ μέσον ἐστίν . κείσθω δὴ τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΛΟΜ τὸ ΝΞ · περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα . ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνῳ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ , ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΚΖ · τῶν ἄρα ΑΙ , ΚΖ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ . ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ , ΝΞ μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ , ὡς ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἐδείχθη , καί ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΛΜ τετραγώνῳ ἴσον , τὸ δὲ ΚΖ τῷ ΝΞ · καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΚ ἴσον ἐστίν . ἀλλὰ τὸ μὲν ΕΚ τῷ ΔΘ ἐστιν ἴσον , τὸ δὲ ΜΝ τῷ ΛΞ · τὸ ἄρα ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ , ΝΞ τετραγώνοις · λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ . τὸ δὲ ΣΤ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἐστι τετράγωνον · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΝ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ · ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ . λέγω δή , ὅτι ἡ ΛΝ ἀποτομή ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΙ , ΖΚ , καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΛΜ , ΝΞ , καὶ ἑκάτερον ἄρα τῶν ΛΜ , ΝΞ ῥητόν ἐστιν , τουτέστι τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΛΟ , ΟΝ · καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΛΟ , ΟΝ ῥητή ἐστιν . πάλιν , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ , μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΞ . ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΛΞ μέσον ἐστίν , τὸ δὲ ΝΞ ῥητόν , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ · ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς τὴν ΟΝ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΟ τῇ ΟΝ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΛΟ , ΟΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ . καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον · ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν . ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ἀποτομή πρῶτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἀποτομή εἰμί . περιέχω γάρ χωρίον ὁ ΑΒ ὑπό ῥητός ὁ ΑΓ καί ἀποτομή πρῶτος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι ἀποτομή εἰμί . ἐπεί γάρ ἀποτομή εἰμί πρῶτος ὁ ΑΔ , εἰμί αὐτός προσαρμόζω ὁ ΔΗ · ὁ ΑΗ , ΗΔ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί ὅλος ὁ ΑΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΑΓ , καί ὁ ΑΗ ὁ ΗΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος · ἐάν ἄρα ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΔΉ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω . τέμνω ὁ ΔΗ δίχα κατά ὁ Ε , καί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΗ . καί διά ὁ Ε , Ζ , Η σημεῖον ὁ ΑΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΘ , ΖΙ , ΗΚ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΗ μῆκος , καί ὁ ΑΗ ἄρα ἑκάτερος ὁ ΑΖ , ΖΗ σύμμετρος εἰμί μῆκος . ἀλλά ὁ ΑΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΓ · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΖ , ΖΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΓ μῆκος . καί εἰμί ῥητός ὁ ΑΓ · ῥητός ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΑΖ , ΖΗ · ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ΑΙ , ΖΚ ῥητός εἰμί . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΕΗ μῆκος , καί ὁ ΔΗ ἄρα ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΗ σύμμετρος εἰμί μῆκος . ῥητός δέ ὁ ΔΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος · ῥητός ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΔΘ , ΕΚ μέσος εἰμί . κεῖμαι δή ὁ μέν ΑΙ ἴσος τετράγωνος ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ἴσος τετράγωνος ἀφαιρέω κοινός γωνία ἔχω αὐτός ὁ ὑπό ΛΟΜ ὁ ΝΞ · περί ὁ αὐτός ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος . εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΟΡ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ περιέχω ὀρθογώνιον ὁ ἀπό ὁ ΕΗ τετράγωνος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΗ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΑΙ πρός ὁ ΕΚ , ὡς δέ ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΖ · ὁ ἄρα ΑΙ , ΚΖ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΕΚ . εἰμί δέ καί ὁ ΛΜ , ΝΞ μέσος ἀνάλογος ὁ ΜΝ , ὡς ἐν ὁ ἔμπροσθεν δείκνυμι , καί εἰμί ὁ ΑΙ ὁ ΛΜ τετράγωνος ἴσος , ὁ δέ ΚΖ ὁ ΝΞ · καί ὁ ΜΝ ἄρα ὁ ΕΚ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν ΕΚ ὁ ΔΘ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΜΝ ὁ ΛΞ · ὁ ἄρα ΔΚ ἴσος εἰμί ὁ ΥΦΧ γνώμων καί ὁ ΝΞ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΚ ἴσος ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος · λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ΣΤ . ὁ δέ ΣΤ ὁ ἀπό ὁ ΛΝ εἰμί τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΛΝ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ · ὁ ΛΝ ἄρα δύναμαι ὁ ΑΒ . λέγω δή , ὅτι ὁ ΛΝ ἀποτομή εἰμί . ἐπεί γάρ ῥητός εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΙ , ΖΚ , καί εἰμί ἴσος ὁ ΛΜ , ΝΞ , καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΛΜ , ΝΞ ῥητός εἰμί , τουτέστι ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ ΛΟ , ΟΝ · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΛΟ , ΟΝ ῥητός εἰμί . πάλιν , ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ΔΘ καί εἰμί ἴσος ὁ ΛΞ , μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΛΞ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΛΞ μέσος εἰμί , ὁ δέ ΝΞ ῥητός , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΛΞ ὁ ΝΞ · ὡς δέ ὁ ΛΞ πρός ὁ ΝΞ , οὕτως εἰμί ὁ ΛΟ πρός ὁ ΟΝ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΛΟ ὁ ΟΝ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΛΟ , ΟΝ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΛΝ . καί δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον · ὁ ἄρα ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι ἀποτομή εἰμί . ἐάν ἄρα χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός , καί ὁ ἑξῆς .