euclides-geom.elementa 10.prop1.38
ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι μέσον περιέχουσαι , ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα . Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ μέσον περιέχουσαι · λέγω , ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ . Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΕ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , παραβεβλήσθω δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ παρὰ τὴν ΔΕ ἴσον τὸ ΕΘ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . καὶ ἐπεὶ μέση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΒΓ , μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . μέσον δὲ ὑπόκειται καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον τὸ ΕΘ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον τὸ ΖΘ · μέσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΕΘ , ΘΖ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΘ , ΘΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει , καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετραγώνων , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΘ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΖ . ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΘ τῷ ΘΖ · ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΗ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει . αἱ ΔΘ , ΘΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . ὥστε ἡ ΔΗ ἄλογός ἐστιν . ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ · τὸ δὲ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν · ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΖ χωρίον , καὶ ἡ δυναμένη ἄλογός ἐστιν . δύναται δὲ τὸ ΔΖ ἡ ΑΓ · ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ , καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος συντίθημι μέσος περιέχω , ὁ ὅλος ἄλογος εἰμί , καλέω δέ ἐκ δύο μέσος δεύτερος . σύγκειμαι γάρ δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος περιέχω · λέγω , ὅτι ἄλογος εἰμί ὁ ΑΓ . ἔκκειμαι γάρ ῥητός ὁ ΔΕ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἴσος παρά ὁ ΔΕ παραβάλλω ὁ ΔΖ πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , παραβάλλω δή ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ παρά ὁ ΔΕ ἴσος ὁ ΕΘ · λοιπός ἄρα ὁ ΘΖ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . καί ἐπεί μέσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ , μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . μέσος δέ ὑπόκειμαι καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος ὁ ΕΘ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος ὁ ΖΘ · μέσος ἄρα ἑκάτερος ὁ ΕΘ , ΘΖ . καί παρά ῥητός ὁ ΔΕ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΔΘ , ΘΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . ἐπεί οὖν ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ σύμμετρος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ σύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ΕΘ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ΘΖ . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ ὁ ΘΖ · ὥστε καί ὁ ΔΘ ὁ ΘΗν εἰμί ἀσύμμετρος μῆκος . ὁ ΔΘ , ΘΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . ὥστε ὁ ΔΗ ἄλογος εἰμί . ῥητός δέ ὁ ΔΕ · ὁ δέ ὑπό ἄλογος καί ῥητός περιέχω ὀρθογώνιον ἄλογος εἰμί · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΔΖ χωρίον , καί ὁ δύναμαι ἄλογος εἰμί . δύναμαι δέ ὁ ΔΖ ὁ ΑΓ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ , καλέω δέ ἐκ δύο μέσος δεύτερος . ὅς δέω δείκνυμι .