ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 5.prop.24
ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον , καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον . πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ , ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ · λέγω , ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον , καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ , ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ , οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ , ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ , οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΗ , οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΘ . καὶ ἐπεὶ διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν , καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΒ , οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΘΕ . ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ Ζ . ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον , καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πρῶτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος πρός τέταρτος , ἔχω δέ καί πέμπτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός λόγος καί ἕκτος πρός τέταρτος , καί συντίθημι πρῶτος καί πέμπτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος καί ἕκτος πρός τέταρτος . πρῶτος γάρ ὁ ΑΒ πρός δεύτερος ὁ Γ ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος ὁ ΔΕ πρός τέταρτος ὁ Ζ , ἔχω δέ καί πέμπτος ὁ ΒΗ πρός δεύτερος ὁ Γ ὁ αὐτός λόγος καί ἕκτος ὁ ΕΘ πρός τέταρτος ὁ Ζ · λέγω , ὅτι καί συντίθημι πρῶτος καί πέμπτος ὁ ΑΗ πρός δεύτερος ὁ Γ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , καί τρίτος καί ἕκτος ὁ ΔΘ πρός τέταρτος ὁ Ζ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΒΗ πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ Ζ , ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ ΕΘ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ Ζ , ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ ΕΘ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΘ . καί ἐπεί διαιρέω μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί συντίθημι ἀνάλογος εἰμί · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΒ , οὕτως ὁ ΔΘ πρός ὁ ΘΕ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΒΗ πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ Ζ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΗ πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ ΔΘ πρός ὁ Ζ . ἐάν ἄρα πρῶτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος πρός τέταρτος , ἔχω δέ καί πέμπτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός λόγος καί ἕκτος πρός τέταρτος , καί συντίθημι πρῶτος καί πέμπτος πρός δεύτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος καί τρίτος καί ἕκτος πρός τέταρτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 5.prop.25
ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , τὸ μέγιστον καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν . ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ , ΓΔ , Ε , Ζ , ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , ἔστω δὲ μέγιστον μὲν αὐτῶν τὸ ΑΒ , ἐλάχιστον δὲ τὸ Ζ · λέγω , ὅτι τὰ ΑΒ , Ζ τῶν ΓΔ , Ε μείζονά ἐστιν . κείσθω γὰρ τῷ μὲν Ε ἴσον τὸ ΑΗ , τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ . ἐπεὶ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , ἴσον δὲ τὸ μὲν Ε τῷ ΑΗ , τὸ δὲ Ζ τῷ ΓΘ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΘ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ , οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΘ , καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ . μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ · μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε , τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ , τὰ ἄρα ΑΗ , Ζ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ , ε . καὶ ἐὰν τῶν ΗΒ , ΘΔ ἀνίσων ὄντων καὶ μείζονος τοῦ ΗΒ τῷ μὲν ΗΒ προστεθῇ τὰ ΑΗ , Ζ , τῷ δὲ ΘΔ προστεθῇ τὰ ΓΘ , Ε , συνάγεται τὰ ΑΒ , Ζ μείζονα τῶν ΓΔ , Ε . ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , τὸ μέγιστον αὐτῶν καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί . εἰμί τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος ὁ ΑΒ , ΓΔ , Ε , Ζ , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , εἰμί δέ μέγας μέν αὐτός ὁ ΑΒ , ἐλαχύς δέ ὁ Ζ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , Ζ ὁ ΓΔ , Ε μέγας εἰμί . κεῖμαι γάρ ὁ μέν Ε ἴσος ὁ ΑΗ , ὁ δέ Ζ ἴσος ὁ ΓΘ . ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ἴσος δέ ὁ μέν Ε ὁ ΑΗ , ὁ δέ Ζ ὁ ΓΘ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΓΘ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ , οὕτως ἀφαιρέω ὁ ΑΗ πρός ἀφαιρέω ὁ ΓΘ , καί λοιπός ἄρα ὁ ΗΒ πρός λοιπός ὁ ΘΔ εἰμί ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ . μέγας δέ ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · μέγας ἄρα καί ὁ ΗΒ ὁ ΘΔ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΗ ὁ Ε , ὁ δέ ΓΘ ὁ Ζ , ὁ ἄρα ΑΗ , Ζ ἴσος εἰμί ὁ ΓΘ , ε . καί ἐάν ὁ ΗΒ , ΘΔ ἄνισος εἰμί καί μέγας ὁ ΗΒ ὁ μέν ΗΒ προστίθημι ὁ ΑΗ , Ζ , ὁ δέ ΘΔ προστίθημι ὁ ΓΘ , Ε , συνάγω ὁ ΑΒ , Ζ μέγας ὁ ΓΔ , Ε . ἐάν ἄρα τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , ὁ μέγας αὐτός καί ὁ ἐλαχύς δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 6.def.1
ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν , ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον .
Lemmas: ὅμοιος σχῆμα εὐθύγραμμος εἰμί , ὅσος ὁ τε γωνία ἴσος ἔχω κατά εἷς καί ὁ περί ὁ ἴσος γωνία πλευρά ἀνάλογος .
euclides-geom.elementa 6.def.3
ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται , ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα , οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον .
Lemmas: ἄκρος καί μέσος λόγος εὐθύς τέμνω λέγω , ὅταν εἰμί ὡς ὁ ὅλος πρός ὁ μέγας τμῆμα , οὕτως ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς .
euclides-geom.elementa 6.def.4
ὕψος ἐστὶ παντὸς σχήματος ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀγομένη .
Lemmas: ὕψος εἰμί πᾶς σχῆμα ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω .
euclides-geom.elementa 6.prop.9
τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν . ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ · δεῖ δὴ τῆς ΑΒ τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν . Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον . διήχθω τις ἀπὸ τοῦ α εὐθεῖα ἡ ΑΓ γωνίαν περιέχουσα μετὰ τῆς ΑΒ τυχοῦσαν · καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ Δ , καὶ κείσθωσαν τῇ ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ , ΕΓ . καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ , καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ . ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΖΔ , ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΑ . διπλῆ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΑ · διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ · τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ . τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τὸ ἐπιταχθὲν τρίτον μέρος ἀφῄρηται τὸ ΑΖ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ προστάσσω μέρος ἀφαιρέω . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ · δέω δή ὁ ΑΒ ὁ προστάσσω μέρος ἀφαιρέω . ἐπιτάσσω δή ὁ τρίτος . διάγω τις ἀπό ὁ α εὐθύς ὁ ΑΓ γωνία περιέχω μετά ὁ ΑΒ τυγχάνω · καί λαμβάνω τυγχάνω σημεῖον ἐπί ὁ ΑΓ ὁ Δ , καί κεῖμαι ὁ ΑΔ ἴσος ὁ ΔΕ , ΕΓ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , καί διά ὁ Δ παράλληλος αὐτός ἄγω ὁ ΔΖ . ἐπεί οὖν τρίγωνον ὁ ΑΒΓ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΖΔ , ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ὁ ΖΆ . διπλόος δέ ὁ ΓΔ ὁ ΔΑ · διπλόος ἄρα καί ὁ ΒΖ ὁ ΖΆ · τριπλόος ἄρα ὁ ΒΑ ὁ ΑΖ . ὁ ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ ἐπιτάσσω τρίτος μέρος ἀφαιρέω ὁ ΑΖ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 6.prop.10
τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃ τετμημένῃ ὁμοίως τεμεῖν . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ , ἡ δὲ τετμημένη ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Δ , Ε σημεῖα , καὶ κείσθωσαν ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχειν , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ , καὶ διὰ τῶν Δ , Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΖ , ΕΗ , διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΘΚ . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΖΘ , ΘΒ · ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΘ τῇ ΖΗ , ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΗΒ . καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΘΕ , ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΔ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΒΗ , ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ . πάλιν , ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΗΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΕ ἦκται ἡ ΖΔ , ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ · ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ , ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ . ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΓ ὁμοίως τέτμηται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθεῖα ἄτμητος ὁ δίδωμι τέμνω ὅμοιος τέμνω . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ἄτμητος ὁ ΑΒ , ὁ δέ τέμνω ὁ ΑΓ κατά ὁ Δ , Ε σημεῖον , καί κεῖμαι ὥστε γωνία τυγχάνω περιέχω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΒ , καί διά ὁ Δ , Ε ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΔΖ , ΕΗ , διά δέ ὁ Δ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΔΘΚ . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΖΘ , ΘΒ · ἴσος ἄρα ὁ μέν ΔΘ ὁ ΖΗ , ὁ δέ ΘΚ ὁ ΗΒ . καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΔΚΓ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΚΓ εὐθύς ἄγω ὁ ΘΕ , ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΔ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΔ . ἴσος δέ ὁ μέν ΚΘ ὁ ΒΗ , ὁ δέ ΘΔ ὁ ΗΖ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΔ , οὕτως ὁ ΒΗ πρός ὁ ΗΖ . πάλιν , ἐπεί τρίγωνον ὁ ΑΗΕ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΗΕ ἄγω ὁ ΖΔ , ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ὁ ΖΆ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΔ , οὕτως ὁ ΒΗ πρός ὁ ΗΖ · εἰμί ἄρα ὡς μέν ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΔ , οὕτως ὁ ΒΗ πρός ὁ ΗΖ , ὡς δέ ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ὁ ΖΆ . ὁ ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ἄτμητος ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι εὔθεια τέμνω ὁ ΑΓ ὅμοιος τέμνω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 6.prop.11
δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι αἱ ΒΑ , ΑΓ καὶ κείσθωσαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν . δεῖ δὴ τῶν ΒΑ , ΑΓ τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν . ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ Δ , Ε σημεῖα , καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΒΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ , καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΕ . ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔΕ ἦκται ἡ ΒΓ , ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ . ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ . δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΑΓ τρίτη ἀνάλογον αὐταῖς προσεύρηται ἡ ΓΕ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: δύο δίδωμι εὐθεῖα τρίτος ἀνάλογος προσευρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι ὁ ΒΑ , ΑΓ καί κεῖμαι γωνία περιέχω τυγχάνω . δέω δή ὁ ΒΑ , ΑΓ τρίτος ἀνάλογος προσευρίσκω . ἐκβάλλω γάρ ἐπί ὁ Δ , Ε σημεῖον , καί κεῖμαι ὁ ΑΓ ἴσος ὁ ΒΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , καί διά ὁ Δ παράλληλος αὐτός ἄγω ὁ ΔΕ . ἐπεί οὖν τρίγωνον ὁ ΑΔΕ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΔΕ ἄγω ὁ ΒΓ , ἀνάλογος εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΕ . ἴσος δέ ὁ ΒΔ ὁ ΑΓ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΕ . δύο ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΑΓ τρίτος ἀνάλογος αὐτός προσευρίσκω ὁ ΓΕ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 6.prop.12
τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α , Β , Γ · δεῖ δὴ τῶν Α , Β , Γ τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν . Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ , ΔΖ γωνίαν περιέχουσαι τὴν ὑπὸ ΕΔΖ · καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΗ , τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΗΕ , καὶ ἔτι τῇ Γ ἴση ἡ ΔΘ · καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΘ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΕΖ . ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται ἡ ΗΘ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ , οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΖ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α , ἡ δὲ ΗΕ τῇ Β , ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΘΖ . τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Α , Β , Γ τετάρτη ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΘΖ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: τρεῖς δίδωμι εὐθεῖα τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι τρεῖς εὐθεῖα ὁ Α , Β , Γ · δέω δή ὁ Α , Β , Γ τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω . ἔκκειμαι δύο εὐθεῖα ὁ ΔΕ , ΔΖ γωνία περιέχω ὁ ὑπό ΕΔΖ · καί κεῖμαι ὁ μέν Α ἴσος ὁ ΔΗ , ὁ δέ Β ἴσος ὁ ΗΕ , καί ἔτι ὁ Γ ἴσος ὁ ΔΘ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ παράλληλος αὐτός ἄγω διά ὁ Ε ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν τρίγωνον ὁ ΔΕΖ παρά εἷς ὁ ΕΖ ἄγω ὁ ΗΘ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΗ πρός ὁ ΗΕ , οὕτως ὁ ΔΘ πρός ὁ ΘΖ . ἴσος δέ ὁ μέν ΔΗ ὁ Α , ὁ δέ ΗΕ ὁ Β , ὁ δέ ΔΘ ὁ Γ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ ΘΖ . τρεῖς ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ὁ Α , Β , Γ τέταρτος ἀνάλογος προσευρίσκω ὁ ΘΖ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 6.prop.13
δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ · δεῖ δὴ τῶν ΑΒ , ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν . κείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΔΓ . ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ , ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΔΒ , ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΒ , ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν . δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΒΓ μέση ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΔΒ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: δύο δίδωμι εὐθεῖα μέσος ἀνάλογος προσευρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ · δέω δή ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος ἀνάλογος προσευρίσκω . κεῖμαι ἐπί εὐθεῖα , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΓ ἡμικύκλιον ὁ ΑΔΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Β σημεῖον ὁ ΑΓ εὔθεια πρός ὀρθός ὁ ΒΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΔΓ . ἐπεί ἐν ἡμικύκλιον γωνία εἰμί ὁ ὑπό ΑΔΓ , ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνον ὁ ΑΔΓ ἀπό ὁ ὀρθός γωνία ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω ὁ ΔΒ , ὁ ΔΒ ἄρα ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος ἀνάλογος εἰμί . δύο ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος ἀνάλογος προσευρίσκω ὁ ΔΒ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 6.prop.14
τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα . ἔστω ἴσα τε καὶ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ , ΒΓ ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τῷ Β γωνίας , καὶ κείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας αἱ ΔΒ , ΒΕ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΖΒ , ΒΗ . λέγω , ὅτι τῶν ΑΒ , ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , τουτέστιν , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ . συμπεπληρώσθω γὰρ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον . ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ , ἄλλο δέ τι τὸ ΖΕ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ , οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ , οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , ὡς δὲ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ , οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ . τῶν ἄρα ΑΒ , ΒΓ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας . ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ , ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον , ὡς δὲ ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ , οὕτως τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον , καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ , οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ . τῶν ἄρα ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἴσος τε καί ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · καί ὅς ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος . εἰμί ἴσος τε καί ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος ἔχω ὁ πρός ὁ Β γωνία , καί κεῖμαι ἐπί εὐθεῖα ὁ ΔΒ , ΒΕ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΒ , ΒΗ . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΒΓ ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , τουτέστι , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΗΒ πρός ὁ ΒΖ . συμπληρόω γάρ ὁ ΖΕ παραλληλόγραμμος . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ παραλληλόγραμμος ὁ ΒΓ παραλληλόγραμμος , ἄλλος δέ τις ὁ ΖΕ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΖΕ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , ὡς δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ΗΒ πρός ὁ ΒΖ · καί ὡς ἄρα ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΗΒ πρός ὁ ΒΖ . ὁ ἄρα ΑΒ , ΒΓ παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία . ἀλλά δή εἰμί ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΗΒ πρός ὁ ΒΖ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ παραλληλόγραμμος ὁ ΒΓ παραλληλόγραμμος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΗΒ πρός ὁ ΒΖ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΑΒ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΖΕ παραλληλόγραμμος , ὡς δέ ὁ ΗΒ πρός ὁ ΒΖ , οὕτως ὁ ΒΓ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΖΕ παραλληλόγραμμος , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΖΕ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ παραλληλόγραμμος ὁ ΒΓ παραλληλόγραμμος . ὁ ἄρα ἴσος τε καί ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · καί ὅς ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 6.prop.17
ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ · κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ , αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται . ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α , Β , Γ , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς β τετραγώνῳ . κείσθω τῇ Β ἴση ἡ Δ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ , ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , ἡ Δ πρὸς τὴν Γ . ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β , Δ . ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Β , Δ τὸ ἀπὸ τῆς Β ἐστιν · ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β τετραγώνῳ . ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς Β · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων , ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β , ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς Β τὸ ὑπὸ τῶν Β , Δ ἐστιν · ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β , Δ . ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων , αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Γ . ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ · ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ . ἐὰν ἄρα τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ · κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ , αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , ὁ ὑπό ὁ ἄκρον περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέσος τετράγωνος · ἐάν ὁ ὑπό ὁ ἄκρον περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέσος τετράγωνος , ὁ τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί . εἰμί τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ Α , Γ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ β τετράγωνος . κεῖμαι ὁ Β ἴσος ὁ Δ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ , ἴσος δέ ὁ Β ὁ Δ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Δ πρός ὁ Γ . ἐάν δέ τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , ὁ ὑπό ὁ ἄκρος περιέχω ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος περιέχω ὀρθογώνιον . ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Β , Δ . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ Β , Δ ὁ ἀπό ὁ Β εἰμί · ἴσος γάρ ὁ Β ὁ Δ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α , Γ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β τετράγωνος . ἀλλά δή ὁ ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω , ἐπεί ὁ ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β , ἀλλά ὁ ἀπό ὁ Β ὁ ὑπό ὁ Β , Δ εἰμί · ἴσος γάρ ὁ Β ὁ Δ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Β , Δ . ἐάν δέ ὁ ὑπό ὁ ἄκρον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος , ὁ τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Γ . ἴσος δέ ὁ Β ὁ Δ · ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ . ἐάν ἄρα τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , ὁ ὑπό ὁ ἄκρον περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέσος τετράγωνος · ἐάν ὁ ὑπό ὁ ἄκρον περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέσος τετράγωνος , ὁ τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 6.prop.21
τὰ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια . ἔστω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α , Β εὐθυγράμμων τῷ Γ ὅμοιον · λέγω , ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστιν ὅμοιον . ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ , ἰσογώνιόν τέ ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει . πάλιν , ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ , ἰσογώνιόν τέ ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει . ἑκάτερον ἄρα τῶν Α , Β τῷ Γ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει . ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ αὐτός εὐθύγραμμος ὅμοιος καί ἀλλήλων εἰμί ὅμοιος . εἰμί γάρ ἑκάτερος ὁ Α , Β εὐθύγραμμος ὁ Γ ὅμοιος · λέγω , ὅτι καί ὁ Α ὁ Β εἰμί ὅμοιος . ἐπεί γάρ ὅμοιος εἰμί ὁ Α ὁ Γ , ἰσογώνιος τε εἰμί αὐτός καί ὁ περί ὁ ἴσος γωνία πλευρά ἀνάλογος ἔχω . πάλιν , ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ Β ὁ Γ , ἰσογώνιος τε εἰμί αὐτός καί ὁ περί ὁ ἴσος γωνία πλευρά ἀνάλογος ἔχω . ἑκάτερος ἄρα ὁ Α , Β ὁ Γ ἰσογώνιος τε εἰμί καί ὁ περί ὁ ἴσος γωνία πλευρά ἀνάλογος ἔχω . ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Β · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 6.prop.25
τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι . ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον , ᾧ δεῖ ὅμοιον συστήσασθαι , τὸ ΑΒΓ , ᾧ δὲ δεῖ ἴσον , τὸ Δ · δεῖ δὴ τῷ μὲν ΑΒΓ ὅμοιον , τῷ δὲ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι . παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ μὲν τὴν ΒΓ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕ , παρὰ δὲ τὴν ΓΕ τῷ Δ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΓΕ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒΛ . ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΓΖ , ἡ δὲ ΛΕ τῇ ΕΜ . καὶ εἰλήφθω τῶν ΒΓ , ΓΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΗΘ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΗΘ τῷ ΑΒΓ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΚΗΘ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΘ , οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΓΖ , ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον . ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον . καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον · ἐναλλὰξ ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον , οὕτως τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον . ἴσον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΕ παραλληλογράμμῳ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον τῷ ΕΖ παραλληλογράμμῳ . ἀλλὰ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον τῷ Δ ἐστιν ἴσον · καὶ τὸ ΚΗΘ ἄρα τῷ Δ ἐστιν ἴσον . ἔστι δὲ τὸ ΚΗΘ καὶ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον . τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ ΚΗΘ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ὅμοιος καί ἄλλος ὁ δίδωμι ἴσος ὁ αὐτός συνίστημι . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύγραμμος , ὅς δέω ὅμοιος συνίστημι , ὁ ΑΒΓ , ὅς δέ δέω ἴσος , ὁ Δ · δέω δή ὁ μέν ΑΒΓ ὅμοιος , ὁ δέ Δ ἴσος ὁ αὐτός συνίστημι . παραβάλλω γάρ παρά μέν ὁ ΒΓ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΒΕ , παρά δέ ὁ ΓΕ ὁ Δ ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΓΜ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΖΓΕ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΓΒΛ . ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ μέν ΒΓ ὁ ΓΖ , ὁ δέ ΛΕ ὁ ΕΜ . καί λαμβάνω ὁ ΒΓ , ΓΖ μέσος ἀνάλογος ὁ ΗΘ , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΗΘ ὁ ΑΒΓ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ΚΗΘ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΗΘ , οὕτως ὁ ΗΘ πρός ὁ ΓΖ , ἐάν δέ τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ δεύτερος ὁ ὅμοιος καί ὅμοιος ἀναγράφω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΚΗΘ τρίγωνον . ἀλλά καί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΒΕ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΕΖ παραλληλόγραμμος . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΚΗΘ τρίγωνον , οὕτως ὁ ΒΕ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΕΖ παραλληλόγραμμος · ἐναλλάξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΒΕ παραλληλόγραμμος , οὕτως ὁ ΚΗΘ τρίγωνον πρός ὁ ΕΖ παραλληλόγραμμος . ἴσος δέ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΒΕ παραλληλόγραμμος · ἴσος ἄρα καί ὁ ΚΗΘ τρίγωνον ὁ ΕΖ παραλληλόγραμμος . ἀλλά ὁ ΕΖ παραλληλόγραμμος ὁ Δ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΚΗΘ ἄρα ὁ Δ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ ὁ ΚΗΘ καί ὁ ΑΒΓ ὅμοιος . ὁ ἄρα δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ ΑΒΓ ὅμοιος καί ἄλλος ὁ δίδωμι ὁ Δ ἴσος ὁ αὐτός συνίστημι ὁ ΚΗΘ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 6.prop.26
ἐὰν ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ , περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ . ἀπὸ γὰρ παραλληλογράμμου τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ἀφῃρήσθω τὸ ΑΖ ὅμοιον τῷ ΑΒΓΔ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΔΑΒ · λέγω , ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἔστω διάμετρος ἡ ΑΘΓ , καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ , ΒΓ παράλληλος ἡ ΘΚ . ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ , οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ . ἔστι δὲ καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓΔ , ΕΗ καὶ ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ , οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΕ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ , οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΕ . ἡ ΗΑ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΚ , ΑΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΚ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ · περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΖ παραλληλογράμμῳ . ἐὰν ἄρα ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ , περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό παραλληλόγραμμος παραλληλόγραμμος ἀφαιρέω ὅμοιος τε ὁ ὅλος καί ὅμοιος κεῖμαι κοινός γωνία ἔχω αὐτός , περί ὁ αὐτός διάμετρος εἰμί ὁ ὅλος . ἀπό γάρ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος ἀφαιρέω ὁ ΑΖ ὅμοιος ὁ ΑΒΓΔ καί ὅμοιος κεῖμαι κοινός γωνία ἔχω αὐτός ὁ ὑπό ΔΑΒ · λέγω , ὅτι περί ὁ αὐτός διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ ὁ ΑΖ . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , εἰμί διάμετρος ὁ ΑΘΓ , καί ἐκβάλλω ὁ ΗΖ διάγω ἐπί ὁ Θ , καί ἄγω διά ὁ Θ ὁπότερος ὁ ΑΔ , ΒΓ παράλληλος ὁ ΘΚ . ἐπεί οὖν περί ὁ αὐτός διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ ὁ ΚΗ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΗΑ πρός ὁ ΑΚ . εἰμί δέ καί διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΑΒΓΔ , ΕΗ καί ὡς ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΗΑ πρός ὁ ΑΕ · καί ὡς ἄρα ὁ ΗΑ πρός ὁ ΑΚ , οὕτως ὁ ΗΑ πρός ὁ ΑΕ . ὁ ΗΑ ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ ΑΚ , ΑΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΑΚ ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα οὐ εἰμί περί ὁ αὐτός διάμετρος ὁ ΑΒΓΔ ὁ ΑΖ · περί ὁ αὐτός ἄρα εἰμί διάμετρος ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμος . ἐάν ἄρα ἀπό παραλληλόγραμμος παραλληλόγραμμος ἀφαιρέω ὅμοιος τε ὁ ὅλος καί ὅμοιος κεῖμαι κοινός γωνία ἔχω αὐτός , περί ὁ αὐτός διάμετρος εἰμί ὁ ὅλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 6.prop.27
πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβαλλόμενον ὅμοιον ὂν τῷ ἐλλείμματι . ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ἀναγραφέντι ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ , τουτέστι τῆς ΓΒ · λέγω , ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ΔΒ μέγιστόν ἐστι τὸ ΑΔ . παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΖΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ΔΒ · λέγω , ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ . ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΒ παραλληλογράμμῳ , περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον . ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΔΒ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ τῷ ΖΕ , κοινὸν δὲ τὸ ΖΒ , ὅλον ἄρα τὸ ΓΘ ὅλῳ τῷ ΚΕ ἐστιν ἴσον . ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον , ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ . καὶ τὸ ΗΓ ἄρα τῷ ΕΚ ἐστιν ἴσον . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ · ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἐστιν ἴσον · ὥστε τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον , τουτέστι τὸ ΑΔ , τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου μεῖζόν ἐστιν . πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβληθέν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς ὁ παρά ὁ αὐτός εὐθεῖα παραβάλλω παραλληλόγραμμος καί ἐλλείπω εἶδος παραλληλόγραμμος ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ἀναγράφω μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς παραβάλλω ὅμοιος εἰμί ὁ ἔλλειμμα . εἰμί εὐθύς ὁ ΑΒ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Γ , καί παραβάλλω παρά ὁ ΑΒ εὐθεῖα ὁ ΑΔ παραλληλόγραμμος ἐλλείπω εἶδος παραλληλόγραμμος ὁ ΔΒ ἀναγράφω ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ ΑΒ , τουτέστι ὁ ΓΒ · λέγω , ὅτι πᾶς ὁ παρά ὁ ΑΒ παραβάλλω παραλληλόγραμμος καί ἐλλείπω εἶδος ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ΔΒ μέγας εἰμί ὁ ΑΔ . παραβάλλω γάρ παρά ὁ ΑΒ εὐθεῖα ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμος ἐλλείπω εἶδος παραλληλόγραμμος ὁ ΖΒ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ΔΒ · λέγω , ὅτι μέγας εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΑΖ̅ . ἐπεί γάρ ὅμοιος εἰμί ὁ ΔΒ παραλληλόγραμμος ὁ ΖΒ παραλληλόγραμμος , περί ὁ αὐτός εἰμί διάμετρος . ἄγω αὐτός διάμετρος ὁ ΔΒ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΓΖ ὁ ΖΕ , κοινός δέ ὁ ΖΒ , ὅλος ἄρα ὁ ΓΘ ὅλος ὁ ΚΕ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ ΓΘ ὁ ΓΗ εἰμί ἴσος , ἐπεί καί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ . καί ὁ ΗΓ ἄρα ὁ ΕΚ εἰμί ἴσος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΓΖ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΖ ὁ ΛΜΝ γνώμων εἰμί ἴσος · ὥστε ὁ ΔΒ παραλληλόγραμμος , τουτέστι ὁ ΑΔ , ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμος μέγας εἰμί . πᾶς ἄρα ὁ παρά ὁ αὐτός εὐθεῖα παραβάλλω παραλληλόγραμμος καί ἐλλείπω εἶδος παραλληλόγραμμος ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ἀναγράφω μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς παραβάλλω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 6.prop.30
τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν . ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ · δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν . Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ τῇ ΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ ΒΓ . τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ · τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΔ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ , κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΕ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ ἐστιν ἴσον . ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον · τῶν ΒΖ , ΑΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΕ τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΑΕ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ . μείζων δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ . ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ε , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστι τὸ ΑΕ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθεῖα περαίνω ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθεῖα περαίνω ὁ ΑΒ · δέω δή ὁ ΑΒ εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω . ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΒΓ , καί παραβάλλω παρά ὁ ΑΓ ὁ ΒΓ ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΓΔ ὑπερβάλλω εἶδος ὁ ΑΔ ὅμοιος ὁ ΒΓ . τετράγωνος δέ εἰμί ὁ ΒΓ · τετράγωνος ἄρα εἰμί καί ὁ ΑΔ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΓΔ , κοινός ἀφαιρέω ὁ ΓΕ · λοιπός ἄρα ὁ ΒΖ λοιπός ὁ ΑΔ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ αὐτός καί ἰσογώνιος · ὁ ΒΖ , ΑΔ ἄρα ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΖΕ πρός ὁ ΕΔ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ . ἴσος δέ ὁ μέν ΖΕ ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΕΔ ὁ ΑΕ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ . μέγας δέ ὁ ΑΒ ὁ ΑΕ · μέγας ἄρα καί ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ . ὁ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ε , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΑΕ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 6.prop.31
ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις . ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν · λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις . ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ . ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ Α ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ , τὰ ΑΒΔ , ΑΔΓ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις . καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ . καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν , ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον . ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ . ὥστε καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὰς ΒΔ , ΔΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα . ἴση δὲ ἡ ΒΓ ταῖς ΒΔ , ΔΓ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις . ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ὀρθογώνιον τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀρθός γωνία ὑποτείνω πλευρά εἶδος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀρθός γωνία περιέχω πλευρά εἶδος ὁ ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω . εἰμί τρίγωνον ὀρθογώνιον ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΒΓ εἶδος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ εἶδος ὁ ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω . ἄγω κάθετος ὁ ΑΔ . ἐπεί οὖν ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἀπό ὁ πρός ὁ Α ὀρθός γωνία ἐπί ὁ ΒΓ βάσις κάθετος ἄγω ὁ ΑΔ , ὁ ΑΒΔ , ΑΔΓ πρός ὁ κάθετος τρίγωνος ὅμοιος εἰμί ὁ τε ὅλος ὁ ΑΒΓ καί ἀλλήλων . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΒΔ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ . καί ἐπεί τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ δεύτερος ὁ ὅμοιος καί ὅμοιος ἀναγράφω . ὡς ἄρα ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΒ εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ὁ ὅμοιος καί ὅμοιος ἀναγράφω . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΓ εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΑ . ὥστε καί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΒΔ , ΔΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΓ εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ ὁ ὅμοιος καί ὅμοιος ἀναγράφω . ἴσος δέ ὁ ΒΓ ὁ ΒΔ , ΔΓ · ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ εἶδος ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ εἶδος ὁ ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω . ἐν ἄρα ὁ ὀρθογώνιον τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀρθός γωνία ὑποτείνω πλευρά εἶδος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀρθός γωνία περιέχω πλευρά εἶδος ὁ ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.def.1
μονάς ἐστιν , καθʼ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται .
Lemmas: μονή εἰμί , κατά ὅς ἕκαστος ὁ εἰμί εἷς λέγω .
euclides-geom.elementa 7.def.2
ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος .
Lemmas: ἀριθμός δέ ὁ ἐκ μονάς σύγκειμαι πλῆθος .
euclides-geom.elementa 7.def.3
μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος , ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα .
Lemmas: μέρος εἰμί ἀριθμός ἀριθμός ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας , ὅταν καταμετρέω ὁ μέγας .
euclides-geom.elementa 7.def.4
μέρη δέ , ὅταν μὴ καταμετρῇ .
Lemmas: μέρος δέ , ὅταν μή καταμετρέω .
euclides-geom.elementa 7.def.5
πολλαπλάσιος δὲ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος , ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάσσονος .
Lemmas: πολλαπλάσιος δέ ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς , ὅταν καταμετρέω ὑπό ὁ ἐλαχύς .
euclides-geom.elementa 7.def.6
ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος .
Lemmas: ἄρτιος ἀριθμός εἰμί ὁ δίχα διαιρέω .
euclides-geom.elementa 7.def.7
περισσὸς δὲ ὁ μὴ διαιρούμενος δίχα ἢ μονάδι διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ .
Lemmas: περισσός δέ ὁ μή διαιρέω δίχα ἤ μονάς διαφέρω ἄρτιος ἀριθμός .
euclides-geom.elementa 7.def.8
ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν .
Lemmas: ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός εἰμί ὁ ὑπό ἄρτιος ἀριθμός μετρέω κατά ἄρτιος ἀριθμός .
euclides-geom.elementa 7.def.9
ἀρτιάκις δὲ περισσός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν . .
Lemmas: ἀρτιάκις δέ περισσός εἰμί ὁ ὑπό ἄρτιος ἀριθμός μετρέω κατά περισσός ἀριθμός . .
euclides-geom.elementa 7.def.10
περισσάκις δὲ περισσὸς ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν .
Lemmas: περισσάκις δέ περισσός ἀριθμός εἰμί ὁ ὑπό περισσός ἀριθμός μετρέω κατά περισσός ἀριθμός .
euclides-geom.elementa 7.def.11
πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος .
Lemmas: πρῶτος ἀριθμός εἰμί ὁ μονάς μόνος μετρέω .
euclides-geom.elementa 7.def.12
πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ .
Lemmas: πρῶτος πρός ἀλλήλων ἀριθμός εἰμί ὁ μονάς μόνος μετρέω κοινός μέτρον .
euclides-geom.elementa 7.def.13
σύνθετος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἀριθμῷ τινι μετρούμενος .
Lemmas: σύνθετος ἀριθμός εἰμί ὁ ἀριθμός τις μετρέω .
euclides-geom.elementa 7.def.14
σύνθετοι δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀριθμῷ τινι μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ .
Lemmas: σύνθετος δέ πρός ἀλλήλων ἀριθμός εἰμί ὁ ἀριθμός τις μετρέω κοινός μέτρον .
euclides-geom.elementa 7.def.15
ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγεται , ὅταν , ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες , τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ πολλαπλασιαζόμενος , καὶ γένηταί τις .
Lemmas: ἀριθμός ἀριθμός πολλαπλασιάζω λέγω , ὅταν , ὅσος εἰμί ἐν αὐτός μονάς , τοσαυτάκις συντίθημι ὁ πολλαπλασιάζω , καί γίγνομαι τις .
euclides-geom.elementa 7.def.16
ὅταν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα , ὁ γενόμενος ἐπίπεδος καλεῖται , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί .
Lemmas: ὅταν δέ δύο ἀριθμός πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ποιέω τις , ὁ γίγνομαι ἐπίπεδος καλέω , πλευρά δέ αὐτός ὁ πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ἀριθμός .
euclides-geom.elementa 7.def.17
ὅταν δὲ τρεῖς ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα , ὁ γενόμενος στερεός ἐστιν , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί .
Lemmas: ὅταν δέ τρεῖς ἀριθμός πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ποιέω τις , ὁ γίγνομαι στερεός εἰμί , πλευρά δέ αὐτός ὁ πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ἀριθμός .
euclides-geom.elementa 7.def.18
τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκις ἴσος ἢ ὑπὸ δύο ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος .
Lemmas: τετράγωνος ἀριθμός εἰμί ὁ ἰσάκις ἴσος ἤ ὑπό δύο ἴσος ἀριθμός περιέχω .
euclides-geom.elementa 7.def.19
κύβος δὲ ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις ἢ ὑπὸ τριῶν ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος .
Lemmas: κύβος δέ ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις ἤ ὑπό τρεῖς ἴσος ἀριθμός περιέχω .
euclides-geom.elementa 7.def.20
ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν , ὅταν ὁ πρῶτος τοῦ δευτέρου καὶ ὁ τρίτος τοῦ τετάρτου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιος ἢ τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη ὦσιν .
Lemmas: ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί , ὅταν ὁ πρῶτος ὁ δεύτερος καί ὁ τρίτος ὁ τέταρτος ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ἤ ὁ αὐτός μέρος ἤ ὁ αὐτός μέρος εἰμί .
euclides-geom.elementa 7.def.21
ὅμοιοι ἐπίπεδοι καὶ στερεοὶ ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς .
Lemmas: ὅμοιος ἐπίπεδος καί στερεός ἀριθμός εἰμί ὁ ἀνάλογος ἔχω ὁ πλευρά .
euclides-geom.elementa 7.def.22
τέλειος ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν .
Lemmas: τέλειος ἀριθμός εἰμί ὁ ὁ ἑαυτοῦ μέρος ἴσος εἰμί .
euclides-geom.elementa 7.prop.1
δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων , ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος , ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ , ἕως οὗ λειφθῇ μονάς , οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται . δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν ΑΒ , ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρείτω τὸν πρὸ ἑαυτοῦ , ἕως οὗ λειφθῇ μονάς · λέγω , ὅτι οἱ ΑΒ , ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , τουτέστιν ὅτι τοὺς ΑΒ , ΓΔ μονὰς μόνη μετρεῖ . εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ , ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους , μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός . μετρείτω , καὶ ἔστω ὁ Ε · καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΑ , ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΗΓ , ὁ δὲ ΗΓ τὸν ΖΘ μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν ΘΑ . ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ , ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΖ μετρεῖ καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΒΖ μετρεῖ · μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσει . ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρεῖ · καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΔΗ μετρεῖ · μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΗ μετρήσει . ὁ δὲ ΓΗ τὸν ΖΘ μετρεῖ · καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΖΘ μετρεῖ · μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ · καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει ἀριθμὸς ὤν · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ , ΓΔ ἀριθμοὺς μετρήσει τις ἀριθμός · οἱ ΑΒ , ΓΔ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο ἀριθμός ἄνισος ἔκκειμαι , ἀνθυφαιρέω δέ ἀεί ὁ ἐλαχύς ἀπό ὁ μέγας , ἐάν ὁ λείπω μηδέποτε καταμετρέω ὁ πρό ἑαυτοῦ , ἕως ὅς λείπω μονή , ὁ ἐκ ἀρχή ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . δύο γάρ ἀριθμός ὁ ΑΒ , ΓΔ ἀνθυφαιρέω ἀεί ὁ ἐλαχύς ἀπό ὁ μέγας ὁ λείπω μηδέποτε καταμετρέω ὁ πρό ἑαυτοῦ , ἕως ὅς λείπω μονή · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , τουτέστι ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ μονή μόνος μετρέω . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ πρῶτος πρός ἀλλήλων , μετρέω τις αὐτός ἀριθμός . μετρέω , καί εἰμί ὁ Ε · καί ὁ μέν ΓΔ ὁ ΒΖ μετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΖΑ , ὁ δέ ΑΖ ὁ ΔΗ μετρέω λείπω ἑαυτοῦ ἐλαχύς ὁ ΗΓ , ὁ δέ ΗΓ ὁ ΖΘ μετρέω λείπω μονάς ὁ ΘΑ . ἐπεί οὖν ὁ Ε ὁ ΓΔ μετρέω , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΒΖ μετρέω καί ὁ Ε ἄρα ὁ ΒΖ μετρέω · μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΒΑ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΖ μετρέω . ὁ δέ ΑΖ ὁ ΔΗ μετρέω · καί ὁ Ε ἄρα ὁ ΔΗ μετρέω · μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΔΓ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΗ μετρέω . ὁ δέ ΓΗ ὁ ΖΘ μετρέω · καί ὁ Ε ἄρα ὁ ΖΘ μετρέω · μετρέω δέ καί ὅλος ὁ ΖΑ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΘ μονάς μετρέω ἀριθμός εἰμί · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ ἀριθμός μετρέω τις ἀριθμός · ὁ ΑΒ , ΓΔ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.4
ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη . ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , ΒΓ , καὶ ἔστω ἐλάσσων ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη . οἱ Α , ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ . ἔστωσαν πρότερον οἱ Α , ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους . διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέρος τι τοῦ Α · ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α . μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α , ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους · ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ . εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ , μέρος ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α . εἰ δὲ οὔ , εἰλήφθω τῶν Α , ΒΓ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ , καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ , μέρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α · ἴσος δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ τῶν ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ · καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ τοῦ Α μέρος ἐστίν · ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α . ἅπας ἄρα ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἅπας ἀριθμός πᾶς ἀριθμός ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας ἤτοι μέρος εἰμί ἤ μέρος . εἰμί δύο ἀριθμός ὁ Α , ΒΓ , καί εἰμί ἐλαχύς ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΒΓ ὁ Α ἤτοι μέρος εἰμί ἤ μέρος . ὁ Α , ΒΓ γάρ ἤτοι πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί ἤ οὐ . εἰμί πρότερος ὁ Α , ΒΓ πρῶτος πρός ἀλλήλων . διαιρέω δή ὁ ΒΓ εἰς ὁ ἐν αὐτός μονάς εἰμί ἕκαστος μονή ὁ ἐν ὁ ΒΓ μέρος τις ὁ Α · ὥστε μέρος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ Α . μή εἰμί δή ὁ Α , ΒΓ πρῶτος πρός ἀλλήλων · ὁ δή ΒΓ ὁ Α ἤτοι μετρέω ἤ οὐ μετρέω . εἰ μέν οὖν ὁ ΒΓ ὁ Α μετρέω , μέρος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ Α . εἰ δέ οὐ , λαμβάνω ὁ Α , ΒΓ μέγας κοινός μέτρον ὁ Δ , καί διαιρέω ὁ ΒΓ εἰς ὁ ὁ Δ ἴσος ὁ ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ . καί ἐπεί ὁ Δ ὁ Α μετρέω , μέρος εἰμί ὁ Δ ὁ Α · ἴσος δέ ὁ Δ ἕκαστος ὁ ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ ὁ Α μέρος εἰμί · ὥστε μέρος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ Α . ἅπας ἄρα ἀριθμός πᾶς ἀριθμός ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας ἤτοι μέρος εἰμί ἤ μέρος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.5
ἐὰν ἀριθμός ἀριθμοῦ μέρος ᾖ , καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ , καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται , ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός . ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω , καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος , ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ · λέγω , ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ Α , Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ , ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν , ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ . ἐπεὶ γάρ , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ , ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α , τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ . διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ , ΗΓ , ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ , ΘΖ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ , ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ , ΘΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α , ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ , καὶ οἱ ΒΗ , ΕΘ ἄρα τοῖς Α , Δ ἴσοι . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΗΓ , ΘΖ τοῖς Α , Δ . ὅσοι ἄρα ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α , τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΓ , ΕΖ ἴσοι τοῖς α , Δ . ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α , τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ , ΕΖ συναμφοτέρου τοῦ Α , Δ . ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ Α , Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ , ΕΖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ἀριθμός μέρος εἰμί , καί ἕτερος ἕτερος ὁ αὐτός μέρος εἰμί , καί συναμφότεροι συναμφότεροι ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὁ εἷς ὁ εἷς . ἀριθμός γάρ ὁ Α ὁ ΒΓ μέρος εἰμί , καί ἕτερος ὁ Δ ἕτερος ὁ ΕΖ ὁ αὐτός μέρος , ὅς ὁ Α ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι καί συναμφότεροι ὁ Α , Δ συναμφότεροι ὁ ΒΓ , ΕΖ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὁ Α ὁ ΒΓ . ἐπεί γάρ , ὅς μέρος εἰμί ὁ Α ὁ ΒΓ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Δ ὁ ΕΖ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΒΓ ἀριθμός ἴσος ὁ Α , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ ΕΖ ἀριθμός ἴσος ὁ Δ . διαιρέω ὁ μέν ΒΓ εἰς ὁ ὁ Α ἴσος ὁ ΒΗ , ΗΓ , ὁ δέ ΕΖ εἰς ὁ ὁ Δ ἴσος ὁ ΕΘ , ΘΖ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΒΗ , ΗΓ ὁ πλῆθος ὁ ΕΘ , ΘΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΒΗ ὁ Α , ὁ δέ ΕΘ ὁ Δ , καί ὁ ΒΗ , ΕΘ ἄρα ὁ Α , Δ ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΗΓ , ΘΖ ὁ Α , Δ . ὅσος ἄρα ἐν ὁ ΒΓ ἀριθμός ἴσος ὁ Α , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ ΒΓ , ΕΖ ἴσος ὁ α , Δ . ὁσαπλασίων ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ Α , τοσαυταπλασίων εἰμί καί συναμφότεροι ὁ ΒΓ , ΕΖ συναμφότεροι ὁ Α , Δ . ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ Α ὁ ΒΓ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί συναμφότεροι ὁ Α , Δ συναμφότεροι ὁ ΒΓ , ΕΖ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.6
ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ , καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ , καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται , ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός . ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω , καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη , ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ · λέγω , ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ , ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ , Ζ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν , ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ . ἐπεὶ γάρ , ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ , τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ , ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ , τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ . διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ , ΗΒ , ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ , ΘΕ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ , ΘΕ . καὶ ἐπεί , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΗ , ΔΘ συναμφοτέρου τοῦ Γ , Ζ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ Γ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΗΒ , ΘΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ , Ζ . ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ , ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ , Ζ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ἀριθμός μέρος εἰμί , καί ἕτερος ἕτερος ὁ αὐτός μέρος εἰμί , καί συναμφότεροι συναμφότεροι ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὁ εἷς ὁ εἷς . ἀριθμός γάρ ὁ ΑΒ ἀριθμός ὁ Γ μέρος εἰμί , καί ἕτερος ὁ ΔΕ ἕτερος ὁ Ζ ὁ αὐτός μέρος , ὅς ὁ ΑΒ ὁ Γ · λέγω , ὅτι καί συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΔΕ συναμφότεροι ὁ Γ , Ζ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὁ ΑΒ ὁ Γ . ἐπεί γάρ , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ , ὁ αὐτός μέρος καί ὁ ΔΕ ὁ Ζ , ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΑΒ μέρος ὁ Γ , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ ΔΕ μέρος ὁ Ζ . διαιρέω ὁ μέν ΑΒ εἰς ὁ ὁ Γ μέρος ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὁ δέ ΔΕ εἰς ὁ ὁ Ζ μέρος ὁ ΔΘ , ΘΕ · εἰμί δή ἴσος ὁ πλῆθος ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ πλῆθος ὁ ΔΘ , ΘΕ . καί ἐπεί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ Γ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΔΘ ὁ Ζ , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ Γ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί συναμφότεροι ὁ ΑΗ , ΔΘ συναμφότεροι ὁ Γ , Ζ . διά ὁ αὐτός δή καί ὅς μέρος εἰμί ὁ ΗΒ ὁ Γ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί συναμφότεροι ὁ ΗΒ , ΘΕ συναμφότεροι ὁ Γ , Ζ . ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΔΕ συναμφότεροι ὁ Γ , Ζ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.7
ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ , ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος , καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται , ὅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου . ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρος ἔστω , ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ · λέγω , ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν , ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ . ὃ γὰρ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἔστω καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ . καὶ ἐπεί , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ . ὃ δὲ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ὑπόκειται καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ · ὃ ἄρα μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΖ τῷ ΓΔ . κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΓΖ · λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσος . καὶ ἐπεί , ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΗΓ , ἴσος δὲ ὁ ΗΓ τῷ ΖΔ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΖΔ . ἀλλὰ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ · καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν , ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ἀριθμός μέρος εἰμί , ὅς ἀφαιρέω ἀφαιρέω , καί ὁ λοιπός ὁ λοιπός ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὁ ὅλος ὁ ὅλος . ἀριθμός γάρ ὁ ΑΒ ἀριθμός ὁ ΓΔ μέρος εἰμί , ὅς ἀφαιρέω ὁ ΑΕ ἀφαιρέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι καί λοιπός ὁ ΕΒ λοιπός ὁ ΖΔ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὅλος ὁ ΑΒ ὅλος ὁ ΓΔ . ὅς γάρ μέρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΕΒ ὁ ΓΗ . καί ἐπεί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΕΒ ὁ ΓΗ , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΑΒ ὁ ΗΖ . ὅς δέ μέρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ αὐτός μέρος ὑπόκειμαι καί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · ὅς ἄρα μέρος εἰμί καί ὁ ΑΒ ὁ ΗΖ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΓΔ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΗΖ ὁ ΓΔ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΓΖ · λοιπός ἄρα ὁ ΗΓ λοιπός ὁ ΖΔ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί , ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ αὐτός μέρος καί ὁ ΕΒ ὁ ΗΓ , ἴσος δέ ὁ ΗΓ ὁ ΖΔ , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΕΒ ὁ ΖΔ . ἀλλά ὅς μέρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΒ λοιπός ὁ ΖΔ ὁ αὐτός μέρος εἰμί , ὅς ὅλος ὁ ΑΒ ὅλος ὁ ΓΔ · ὅς δέω δείκνυμι .