euclides-geom.elementa 6.prop.5
ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ , ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας , ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχοντα , ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ , ὡς δὲ τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ , καὶ ἔτι ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ . λέγω , ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσας ἕξουσι τὰς γωνίας , ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν , τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ . συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Ε , Ζ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΗ , τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΗ · λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Α λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἐστιν ἴση . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΗΖ . τῶν ἄρα ΑΒΓ , ΕΗΖ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ὑπόκειται ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ · ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ . ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΕ , ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΗΕ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ , δύο δὴ αἱ ΔΕ , ΕΖ δυσὶ ταῖς ΗΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΗ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση , καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΕΖ τριγώνῳ ἴσον , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν . ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΕ , ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΗΖ . καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΕΔ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση , ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ , καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση , καὶ ἔτι ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ , ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας , ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ πλευρά ἀνάλογος ἔχω , ἰσογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος καί ἴσος ἔχω ὁ γωνία , ὑπό ὅς ὁ ὁμόλογος πλευρά ὑποτείνω . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ πλευρά ἀνάλογος ἔχω , ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , ὡς δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΔ , καί ἔτι ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ . λέγω , ὅτι ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον καί ἴσος ἔχω ὁ γωνία , ὑπό ὅς ὁ ὁμόλογος πλευρά ὑποτείνω , ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΔΕΖ , ὁ δέ ὑπό ΒΓΑ ὁ ὑπό ΕΖΔ καί ἔτι ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ . συνίστημι γάρ πρός ὁ ΕΖ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Ε , Ζ ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΖΕΗ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΒ ἴσος ὁ ὑπό ΕΖΗ · λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ Α λοιπός ὁ πρός ὁ Η εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΕΗΖ . ὁ ἄρα ΑΒΓ , ΕΗΖ τρίγων ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία καί ὁμόλογος ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία ὑποτείνω · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , ὁ ΗΕ πρός ὁ ΕΖ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὑπόκειμαι ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ · ὡς ἄρα ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΗΕ πρός ὁ ΕΖ . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΔΕ , ΗΕ πρός ὁ ΕΖ ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΗΕ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΔΖ ὁ ΗΖ εἰμί ἴσος . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΕΗ , κοινός δέ ὁ ΕΖ , δύο δή ὁ ΔΕ , ΕΖ δύο ὁ ΗΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί · καί βάσις ὁ ΔΖ βάσις ὁ ΖΗ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΔΕΖ γωνία ὁ ὑπό ΗΕΖ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ὁ ΗΕΖ τρίγωνον ἴσος , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω . ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ μέν ὑπό ΔΖΕ γωνία ὁ ὑπό ΗΖΕ , ὁ δέ ὑπό ΕΔΖ ὁ ὑπό ΕΗΖ . καί ἐπεί ὁ μέν ὑπό ΖΕΔ ὁ ὑπό ΗΕΖ εἰμί ἴσος , ἀλλά ὁ ὑπό ΗΕΖ ὁ ὑπό ΑΒΓ , καί ὁ ὑπό ΑΒΓ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΔΖΕ εἰμί ἴσος , καί ἔτι ὁ πρός ὁ Α ὁ πρός ὁ Δ · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος ὁ πλευρά ἀνάλογος ἔχω , ἰσογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος καί ἴσος ἔχω ὁ γωνία , ὑπό ὅς ὁ ὁμόλογος πλευρά ὑποτείνω · ὅς δέω δείκνυμι .