euclides-geom.elementa 6.prop.28
παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι · δεῖ δὲ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ , τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον , ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν , τὸ Γ μὴ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι , ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν , τὸ Δ · δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ . τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΒΖΗ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον . εἰ μὲν οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ , γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν · παραβέβληται γὰρ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΗΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ . εἰ δὲ οὔ , μεῖζον ἔστω τὸ ΘΕ τοῦ Γ . ἴσον δὲ τὸ ΘΕ τῷ ΗΒ · μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ Γ . ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ , ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον , τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΚΛΜΝ . ἀλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ ὅμοιον · καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ ΗΒ ἐστιν ὅμοιον . ἔστω οὖν ὁμόλογος ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΗΕ , ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖς Γ , ΚΜ , μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΚΜ · μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΗΕ τῆς ΚΛ , ἡ δὲ ΗΖ τῆς ΛΜ . κείσθω τῇ μὲν ΚΛ ἴση ἡ ΗΞ , τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ΗΟ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμον · ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΚΜ . καὶ τὸ ΗΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν · περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΗΒ . ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΗΠΒ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗ τοῖς Γ , ΚΜ , ὧν τὸ ΗΠ τῷ ΚΜ ἐστιν ἴσον , λοιπὸς ἄρα ὁ ΥΧΦ γνώμων λοιπῷ τῷ Γ ἴσος ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ , κοινὸν προσκείσθω τὸ ΠΒ · ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον ἐστίν . ἀλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤΕ ἐστιν ἴσον , ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση · καὶ τὸ ΤΕ ἄρα τῷ ΟΒ ἐστιν ἴσον . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΣ · ὅλον ἄρα τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ ΦΧΥ γνώμονί ἐστιν ἴσον . ἀλλʼ ὁ ΦΧΥ γνώμων τῷ Γ ἐδείχθη ἴσος · καὶ τὸ ΤΣ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον . παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΣΤ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: παρά ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ἴσος παραλληλόγραμμος παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος παραλληλόγραμμος ὅμοιος ὁ δίδωμι · δέω δέ ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος μή μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ἀναγράφω ὅμοιος ὁ ἔλλειμμα . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι εὐθύγραμμος , ὅς δέω ἴσος παρά ὁ ΑΒ παραβάλλω , ὁ Γ μή μέγας ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ ΑΒ ἀναγράφω ὅμοιος ὁ ἔλλειμμα , ὅς δέ δέω ὅμοιος ἐλλείπω , ὁ Δ · δέω δή παρά ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ Γ ἴσος παραλληλόγραμμος παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος παραλληλόγραμμος ὅμοιος εἰμί ὁ Δ . τέμνω ὁ ΑΒ δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΕΒ ὁ Δ ὅμοιος καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ΕΒΖΗ , καί συμπληρόω ὁ ΑΗ παραλληλόγραμμος . εἰ μέν οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ Γ , γίγνομαι ἄν εἰμί ὁ ἐπιτάσσω · παραβάλλω γάρ παρά ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ Γ ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΑΗ ἐλλείπω εἶδος παραλληλόγραμμος ὁ ΗΒ ὅμοιος εἰμί ὁ Δ . εἰ δέ οὐ , μέγας εἰμί ὁ ΘΕ ὁ Γ . ἴσος δέ ὁ ΘΕ ὁ ΗΒ · μέγας ἄρα καί ὁ ΗΒ ὁ Γ . ὅς δή μέγας εἰμί ὁ ΗΒ ὁ Γ , οὗτος ὁ ὑπεροχή ἴσος , ὁ δέ Δ ὅμοιος καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ αὐτός συνίστημι ὁ ΚΛΜΝ . ἀλλά ὁ Δ ὁ ΗΒ ὅμοιος · καί ὁ ΚΜ ἄρα ὁ ΗΒ εἰμί ὅμοιος . εἰμί οὖν ὁμόλογος ὁ μέν ΚΛ ὁ ΗΕ , ὁ δέ ΛΜ ὁ ΗΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΗΒ ὁ Γ , ΚΜ , μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΗΒ ὁ ΚΜ · μέγας ἄρα εἰμί καί ὁ μέν ΗΕ ὁ ΚΛ , ὁ δέ ΗΖ ὁ ΛΜ . κεῖμαι ὁ μέν ΚΛ ἴσος ὁ ΗΞ , ὁ δέ ΛΜ ἴσος ὁ ΗΟ , καί συμπληρόω ὁ ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμος · ἴσος ἄρα καί ὅμοιος εἰμί ὁ ΚΜ . καί ὁ ΗΠ ἄρα ὁ ΗΒ ὅμοιος εἰμί · περί ὁ αὐτός ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΗΠ ὁ ΗΒ . εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΗΠΒ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΒΗ ὁ Γ , ΚΜ , ὅς ὁ ΗΠ ὁ ΚΜ εἰμί ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΥΧΦ γνώμων λοιπός ὁ Γ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΟΡ ὁ ΞΣ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΠΒ · ὅλος ἄρα ὁ ΟΒ ὅλος ὁ ΞΒ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ΞΒ ὁ ΤΕ εἰμί ἴσος , ἐπεί καί πλευρόν ὁ ΑΕ πλευρά ὁ ΕΒ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΤΕ ἄρα ὁ ΟΒ εἰμί ἴσος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΞΣ · ὅλος ἄρα ὁ ΤΣ ὅλος ὁ ΦΧΥ γνώμων εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ ΦΧΥ γνώμων ὁ Γ δείκνυμι ἴσος · καί ὁ ΤΣ ἄρα ὁ Γ εἰμί ἴσος . παρά ὁ δίδωμι ἄρα εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ Γ ἴσος παραλληλόγραμμος παραβάλλω ὁ ΣΤ ἐλλείπω εἶδος παραλληλόγραμμος ὁ ΠΒ ὅμοιος εἰμί ὁ Δ · ὅς δέω ποιέω .