euclides-geom.elementa 12.prop.9
τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν · καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι . ἔστωσαν γὰρ ἴσαι πυραμίδες τριγώνους βάσεις ἔχουσαι τὰς ΑΒΓ , ΔΕΖ , κορυφὰς δὲ τὰ Η , Θ σημεῖα · λέγω , ὅτι τῶν ΑΒΓΗ , ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος . συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ , ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι , καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓΗ πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΒΗ ΜΛ στερεόν , τῆς δὲ ΔΕΖΘ πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΕΘΠΟ στερεόν , ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ . τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος . ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον . καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον , οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος . ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψει , τὸ δὲ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψει · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος . τῶν ΑΒΓΗ , ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν . ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΒΓΗ , ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος , ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον , καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον , οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος . ἀλλὰ τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψει , τὸ δὲ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψει · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψος . ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΕΘ ΠΟ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ . καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΗΜΛ ἕκτον μέρος ἡ ΑΒΓΗ πυραμίς , τοῦ δὲ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ἕκτον μέρος ἡ ΔΕΖΘ πυραμίς · ἴση ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι . τῶν ἄρα ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν · καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἴσος πυραμίς καί τρίγωνος βάσις ἔχω ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος · καί ὅς πυραμίς τρίγωνος βάσις ἔχω ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος . εἰμί γάρ ἴσος πυραμίς τρίγωνος βάσις ἔχω ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ , κορυφή δέ ὁ Η , Θ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓΗ , ΔΕΖΘ πυραμίς ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὕψος . συμπληρόω γάρ ὁ ΒΗΜΛ , ΕΘΠΟ στερεός παραλληλεπίπεδον . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς , καί εἰμί ὁ μέν ΑΒΓΗ πυραμίς ἑξαπλάσιος ὁ ΒΗ ΜΛ στερεός , ὁ δέ ΔΕΖΘ πυραμίς ἑξαπλάσιος ὁ ΕΘΠΟ στερεός , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗΜΛ στερεός ὁ ΕΘΠΟ στερεός . ὁ δέ ἴσος στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΜ βάσις πρός ὁ ΕΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΕΘΠΟ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΒΗΜΛ στερεός ὕψος . ἀλλά ὡς ὁ ΒΜ βάσις πρός ὁ ΕΠ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΔΕΖ τρίγωνον , οὕτως ὁ ὁ ΕΘΠΟ στερεός ὕψος πρός ὁ ὁ ΒΗΜΛ στερεός ὕψος . ἀλλά ὁ μέν ὁ ΕΘΠΟ στερεός ὕψος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς ὕψος , ὁ δέ ὁ ΒΗΜΛ στερεός ὕψος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὕψος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὕψος . ὁ ΑΒΓΗ , ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίς ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος . ἀλλά δή ὁ ΑΒΓΗ , ΔΕΖΘ πυραμίς ἀντιπεπονθέω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὕψος , ἀλλά ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΒΜ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΕΠ παραλληλόγραμμος , καί ὡς ἄρα ὁ ΒΜ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΕΠ παραλληλόγραμμος , οὕτως ὁ ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς ὕψος πρός ὁ ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὕψος . ἀλλά ὁ ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς ὕψος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΕΘΠΟ παραλληλεπίπεδον ὕψος , ὁ δέ ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὕψος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΒΗΜΛ παραλληλεπίπεδον ὕψος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΜ βάσις πρός ὁ ΕΠ βάσις , οὕτως ὁ ὁ ΕΘΠΟ παραλληλεπίπεδον ὕψος πρός ὁ ὁ ΒΗΜΛ παραλληλεπίπεδον ὕψος . ὅς δέ στερεός παραλληλεπίπεδον ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗΜΛ στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΕΘ ΠΟ στερεός παραλληλεπίπεδον . καί εἰμί ὁ μέν ΒΗΜΛ ἕκτος μέρος ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς , ὁ δέ ΕΘΠΟ παραλληλεπίπεδον ἕκτος μέρος ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς · ἴσος ἄρα ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς . ὁ ἄρα ἴσος πυραμίς καί τρίγωνος βάσις ἔχω ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος · καί ὅς πυραμίς τρίγωνος βάσις ἔχω ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος · ὅς δέω δείκνυμι .