euclides-geom.elementa 1.prop.45
τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ . ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΑΒΓΔ , ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Ε · δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓΔ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ τῇ Ε . ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ , καὶ συνεστάτω τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΖΘ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε · καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε . καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ , ΗΘΜ ἐστιν ἴση , καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστιν ἴση . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ , ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ , ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν . ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΖΚΘ , ΚΘΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ , ΗΘΜ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ δύο εὐθεῖαι αἱ ΚΘ , ΘΜ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ · καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΚΜ , ΖΗ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ , αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΜΘΗ , ΘΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ , ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ ΘΗΖ , ΘΗΛ ἴσαι εἰσίν . ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΜΘΗ , ΘΗΛ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · καὶ αἱ ὑπὸ ΘΗΖ , ΘΗΛ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΘΗ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν , ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΜΛ , καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ ΜΛ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν · καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΚΜ , ΖΛ · καὶ αἱ ΚΜ , ΖΛ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΖΛΜ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΘ παραλληλογράμμῳ , τὸ δὲ ΔΒΓ τῷ ΗΜ , ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμον ὅλῳ τῷ ΚΖΛΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον . τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓΔ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΚΖΛΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΚΜ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ τῇ Ε · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ἴσος παραλληλόγραμμος συνίστημι ἐν ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ ΑΒΓΔ , ὁ δέ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ Ε · δέω δή ὁ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμος ἴσος παραλληλόγραμμος συνίστημι ἐν ὁ δίδωμι γωνία ὁ Ε . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ , καί συνίστημι ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΖΘ ἐν ὁ ὑπό ΘΚΖ γωνία , ὅς εἰμί ἴσος ὁ Ε · καί παραβάλλω παρά ὁ ΗΘ εὐθεῖα ὁ ΔΒΓ τρίγωνον ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΗΜ ἐν ὁ ὑπό ΗΘΜ γωνία , ὅς εἰμί ἴσος ὁ Ε . καί ἐπεί ὁ Ε γωνία ἑκάτερος ὁ ὑπό ΘΚΖ , ΗΘΜ εἰμί ἴσος , καί ὁ ὑπό ΘΚΖ ἄρα ὁ ὑπό ΗΘΜ εἰμί ἴσος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΚΘΗ · ὁ ἄρα ὑπό ΖΚΘ , ΚΘΗ ὁ ὑπό ΚΘΗ , ΗΘΜ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΖΚΘ , ΚΘΗ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · καί ὁ ὑπό ΚΘΗ , ΗΘΜ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . πρός δή τις εὔθεια ὁ ΗΘ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Θ δύο εὐθεῖα ὁ ΚΘ , ΘΜ μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος κεῖμαι ὁ ἐφεξῆς γωνία δύο ὀρθός ἴσος ποιέω · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ ΚΘ ὁ ΘΜ · καί ἐπεί εἰς παράλληλος ὁ ΚΜ , ΖΗ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΘΗ , ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΜΘΗ , ΘΗΖ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΘΗΛ · ὁ ἄρα ὑπό ΜΘΗ , ΘΗΛ ὁ ὑπό ΘΗΖ , ΘΗΛ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΜΘΗ , ΘΗΛ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · καί ὁ ὑπό ΘΗΖ , ΘΗΛ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΛ . καί ἐπεί ὁ ΖΚ ὁ ΘΗν ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί , ἀλλά καί ὁ ΘΗ ὁ ΜΛ , καί ὁ ΚΖ ἄρα ὁ ΜΛ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί · καί ἐπιζεύγνυμι αὐτός εὐθεῖα ὁ ΚΜ , ΖΛ · καί ὁ ΚΜ , ΖΛ ἄρα ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΚΖΛΜ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΒΔ τρίγωνον ὁ ΖΘ παραλληλόγραμμος , ὁ δέ ΔΒΓ ὁ ΗΜ , ὅλος ἄρα ὁ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμος ὅλος ὁ ΚΖΛΜ παραλληλόγραμμος εἰμί ἴσος . ὁ ἄρα δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ ΑΒΓΔ ἴσος παραλληλόγραμμος συνίστημι ὁ ΚΖΛΜ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΖΚΜ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ δίδωμι ὁ Ε · ὅς δέω ποιέω .