euclides-geom.elementa 11.prop.23
ἐκ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων , ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι · δεῖ δὴ τὰς τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονας εἶναι . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ , ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , ἔτι δὲ αἱ τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες · δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι . Ἀπειλήφθωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ · δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι . συνεστάτω τὸ ΛΜΝ , ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΓ τῇ ΛΜ , τὴν δὲ ΔΖ τῇ ΜΝ , καὶ ἔτι τὴν ΗΚ τῇ ΝΛ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον κύκλος ὁ ΛΜΝ καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Ξ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΞ , ΜΞ , ΝΞ · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶ τῆς ΛΞ . εἰ γὰρ μή , ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἢ ἐλάττων . ἔστω πρότερον ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ , ἀλλὰ ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΞΛ τῇ ΞΜ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΓ δύο ταῖς ΛΞ , ΞΜ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΛΜ ὑπόκειται ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΞΜ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΜΞΝ ἐστιν ἴση , καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΗΘΚ τῇ ὑπὸ ΝΞΛ · αἱ ἄρα τρεῖς αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ γωνίαι τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΛΞΜ , ΜΞΝ , ΝΞΛ εἰσιν ἴσαι . ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΛΞΜ , ΜΞΝ , ΝΞΛ τέτταρσιν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι · καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ τέτταρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ὑπόκεινται δὲ καὶ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἴση ἐστίν . λέγω δή , ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω · καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΞΟ , τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ ΞΠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΠ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΞΠ · ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΛΟ τῇ ΠΜ ἐστιν ἴση . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΟΠ , καὶ ἰσογώνιον τὸ ΛΜΞ τῷ ΟΠΞ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΛ πρὸς ΛΜ , οὕτως ἡ ΞΟ πρὸς ΟΠ · ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ , οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΟΠ . μείζων δὲ ἡ ΛΞ τῆς ΞΟ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ . ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση · καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν . ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΟΞ , ΞΠ ἴσαι εἰσίν , καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσεως τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΟΞΠ μείζων ἐστίν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΜΞΝ μείζων ἐστίν , ἡ δὲ ὑπὸ ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΝΞΛ . αἱ ἄρα τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ τριῶν τῶν ὑπὸ ΛΞΜ , ΜΞΝ , ΝΞΛ μείζονές εἰσιν . ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες ὑπόκεινται · πολλῷ ἄρα αἱ ὑπὸ ΛΞΜ , ΜΞΝ , ΝΞΛ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν . ἀλλὰ καὶ ἴσαι · ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΛΞ . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ ἴση · μείζων ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ . ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τοῦ Ξ σημείου τῷ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ , καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ , ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΛ , ΡΜ , ΡΝ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΡΞ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πρὸς ἑκάστην ἄρα τῶν ΛΞ , ΜΞ , ΝΞ ὀρθή ἐστιν ἡ ΡΞ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΞΜ , κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ , βάσις ἄρα ἡ ΡΛ βάσει τῇ ΡΜ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΡΝ ἑκατέρᾳ τῶν ΡΛ , ΡΜ ἐστιν ἴση · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΡΛ , ΡΜ , ΡΝ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . καὶ ἐπεὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ , ἐκείνῳ ἴσον ὑπόκειται τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΞ , ΞΡ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΛΞ , ΞΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΡ · ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΛΞΡ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΡΛ · ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΡΛ . ἀλλὰ τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ , τῇ δὲ ΡΛ ἴση ἑκατέρα τῶν ΡΜ , ΡΝ · ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ ἑκάστῃ τῶν ΡΛ , ΡΜ , ΡΝ ἴση ἐστίν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΛΡ , ΡΜ δυσὶ ταῖς ΑΒ , ΒΓ ἴσαι εἰσίν , καὶ βάσις ἡ ΛΜ βάσει τῇ ΑΓ ὑπόκειται ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΡΜ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΜΡΝ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ὑπὸ ΛΡΝ τῇ ὑπὸ ΗΘΚ . ἐκ τριῶν ἄρα γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΛΡΜ , ΜΡΝ , ΛΡΝ , αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ , στερεὰ γωνία συνέσταται ἡ πρὸς τῷ Ρ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ , ΜΡΝ , ΛΡΝ γωνιῶν · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . λῆμμα ὃν δὲ τρόπον , ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ , ἐκείνῳ ἴσον λαβεῖν ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ , δείξομεν οὕτως . ἐκκείσθωσαν αἱ ΑΒ , ΛΞ εὐθεῖαι , καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ , καὶ γεγράφθω ἐπʼ αὐτῆς ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ , καὶ εἰς τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ἐνηρμόσθω τῇ ΛΞ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΒ διαμέτρου ἴση ἡ ΑΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ . ἐπεὶ οὖν ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΓΒ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ , ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ . ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΛΞ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ . ἐὰν οὖν τῇ ΒΓ ἴσην τὴν ΞΡ ἀπολάβωμεν , ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΞΡ · ὅπερ προέκειτο ποιῆσαι .
Lemmas: ἐκ τρεῖς γωνία ἐπίπεδος , ὅς ὁ δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω , στερεός γωνία συνίστημι · δέω δή ὁ τρεῖς τέσσαρες ὀρθός ἐλαχύς εἰμί . εἰμί ὁ δίδωμι τρεῖς γωνία ἐπίπεδος ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ , ὅς ὁ δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω , ἔτι δέ ὁ τρεῖς τέσσαρες ὀρθός ἐλαχύς · δέω δή ἐκ ὁ ἴσος ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ στερεός γωνία συνίστημι . ἀπολαμβάνω ἴσος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ · δυνατός ἄρα εἰμί ἐκ ὁ ἴσος ὁ ΑΓ , ΔΖ , ΗΚ τρίγωνος συνίστημι . συνίστημι ὁ ΛΜΝ , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΓ ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΔΖ ὁ ΜΝ , καί ἔτι ὁ ΗΚ ὁ ΝΛ , καί περιγράφω περί ὁ ΛΜΝ τρίγωνος κύκλος ὁ ΛΜΝ καί λαμβάνω αὐτός ὁ κέντρον καί εἰμί ὁ Ξ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΞ , ΜΞ , ΝΞ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ μέγας εἰμί ὁ ΛΞ . εἰ γάρ μή , ἤτοι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΛΞ ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΛΞ , ἀλλά ὁ μέν ΑΒ ὁ ΒΓ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΞΛ ὁ ΞΜ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο ὁ ΛΞ , ΞΜ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί βάσις ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΛΜ ὑπόκειμαι ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΛΞΜ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ὑπό ΔΕΖ ὁ ὑπό ΜΞΝ εἰμί ἴσος , καί ἔτι ὁ ὑπό ΗΘΚ ὁ ὑπό ΝΞΛ · ὁ ἄρα τρεῖς ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ γωνία τρεῖς ὁ ὑπό ΛΞΜ , ΜΞΝ , ΝΞΛ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ τρεῖς ὁ ὑπό ΛΞΜ , ΜΞΝ , ΝΞΛ τέσσαρες ὀρθός εἰμί ἴσος · καί ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ τέσσαρες ὀρθός ἴσος εἰμί . ὑπόκειμαι δέ καί τέσσαρες ὀρθός ἐλαχύς · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ ΑΒ ὁ ΛΞ ἴσος εἰμί . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ἐλαχύς εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΛΞ . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί · καί κεῖμαι ὁ μέν ΑΒ ἴσος ὁ ΞΟ , ὁ δέ ΒΓ ἴσος ὁ ΞΠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΟΠ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΞΟ ὁ ΞΠ · ὥστε καί λοιπός ὁ ΛΟ ὁ ΠΜ εἰμί ἴσος . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΛΜ ὁ ΟΠ , καί ἰσογώνιος ὁ ΛΜΞ ὁ ΟΠΞ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΞΛ πρός ΛΜ , οὕτως ὁ ΞΟ πρός ΟΠ · ἐναλλάξ ὡς ὁ ΛΞ πρός ΞΟ , οὕτως ὁ ΛΜ πρός ΟΠ . μέγας δέ ὁ ΛΞ ὁ ΞΟ · μέγας ἄρα καί ὁ ΛΜ ὁ ΟΠ . ἀλλά ὁ ΛΜ κεῖμαι ὁ ΑΓ ἴσος · καί ὁ ΑΓ ἄρα ὁ ΟΠ μέγας εἰμί . ἐπεί οὖν δύο ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο ὁ ΟΞ , ΞΠ ἴσος εἰμί , καί βάσις ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΟΠ μέγας εἰμί , γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΟΞΠ μέγας εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν ὑπό ΔΕΖ ὁ ὑπό ΜΞΝ μέγας εἰμί , ὁ δέ ὑπό ΗΘΚ ὁ ὑπό ΝΞΛ . ὁ ἄρα τρεῖς γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ τρεῖς ὁ ὑπό ΛΞΜ , ΜΞΝ , ΝΞΛ μέγας εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ τέσσαρες ὀρθός ἐλαχύς ὑπόκειμαι · πολύς ἄρα ὁ ὑπό ΛΞΜ , ΜΞΝ , ΝΞΛ τέσσαρες ὀρθός ἐλαχύς εἰμί . ἀλλά καί ἴσος · ὅς εἰμί ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ ΑΒ ἐλαχύς εἰμί ὁ ΛΞ . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ ἴσος · μέγας ἄρα ὁ ΑΒ ὁ ΛΞ . ἀνίστημι δή ἀπό ὁ Ξ σημεῖον ὁ ὁ ΛΜΝ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ΞΡ , καί ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΛΞ , ἐκεῖνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΞΡ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΡΛ , ΡΜ , ΡΝ . καί ἐπεί ὁ ΡΞ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΛΜΝ κύκλος ἐπίπεδος , καί πρός ἕκαστος ἄρα ὁ ΛΞ , ΜιΞ , ΝΞ ὀρθός εἰμί ὁ ΡΞ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΛΞ ὁ ΞΜ , κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΞΡ , βάσις ἄρα ὁ ΡΛ βάσις ὁ ΡΜ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΡΝ ἑκάτερος ὁ ΡΛ , ΡΜ εἰμί ἴσος · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ΡΛ , ΡΜ , ΡΝ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΛΞ , ἐκεῖνος ἴσος ὑπόκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΞΡ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΞ , ΞΡ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΛΞ , ΞΡ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΡ · ὀρθός γάρ ὁ ὑπό ΛΞΡ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΡΛ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΒ ὁ ΡΛ . ἀλλά ὁ μέν ΑΒ ἴσος εἰμί ἕκαστος ὁ ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ , ὁ δέ ΡΛ ἴσος ἑκάτερος ὁ ΡΜ , ΡΝ · ἕκαστος ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ , ΗΘ , ΘΚ ἕκαστος ὁ ΡΛ , ΡΜ , ΡΝ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί δύο ὁ ΛΡ , ΡΜ δύο ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί , καί βάσις ὁ ΛΜ βάσις ὁ ΑΓ ὑπόκειμαι ἴσος , γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΛΡΜ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ὑπό ΜΡΝ ὁ ὑπό ΔΕΖ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ὑπό ΛΡΝ ὁ ὑπό ΗΘΚ . ἐκ τρεῖς ἄρα γωνία ἐπίπεδος ὁ ὑπό ΛΡΜ , ΜΡΝ , ΛΡΝ , ὅς εἰμί ἴσος τρεῖς ὁ δίδωμι ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ , ΗΘΚ , στερεός γωνία συνίστημι ὁ πρός ὁ Ρ περιέχω ὑπό ὁ ΛΡΜ , ΜΡΝ , ΛΡΝ γωνία · ὅς δέω ποιέω . λῆμμα ὅς δέ τρόπος , ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΛΞ , ἐκεῖνος ἴσος λαμβάνω εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΞΡ , δείκνυμι οὕτως . ἔκκειμαι ὁ ΑΒ , ΛΞ εὐθεῖα , καί εἰμί μέγας ὁ ΑΒ , καί γράφω ἐπί αὐτός ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ , καί εἰς ὁ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ἐναρμόζω ὁ ΛΞ εὔθεια μή μέγας εἰμί ὁ ΑΒ διάμετρος ἴσος ὁ ΑΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΒ . ἐπεί οὖν ἐν ἡμικύκλιον ὁ ΑΓΒ γωνία εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ , ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ . ἴσος δέ ὁ ΑΓ ὁ ΛΞ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΛΞ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ . ἐάν οὖν ὁ ΒΓ ἴσος ὁ ΞΡ ἀπολαμβάνω , εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΛΞ μέγας ὁ ἀπό ὁ ΞΡ · ὅς πρόκειμαι ποιέω .