euclides-geom.elementa 11.prop.6
ἐὰν δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν , παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστωσαν · λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . συμβαλλέτωσαν γὰρ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β , Δ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ εὐθεῖα , καὶ ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ , καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ , ΑΕ , ΑΔ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΒΔ , ΒΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ , ΑΒΕ γωνιῶν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΔΒ , ΓΔΕ ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ , ΔΒ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν · βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ , ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ , ΔΑ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ · ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΑ ὀρθή ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ , ΔΓ ὀρθή . ἡ ΕΔ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΔ , ΔΑ , ΔΓ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς ἁφῆς ἐφέστηκεν · αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΔ , ΔΑ , ΔΓ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ . ἐν ᾧ δὲ αἱ ΔΒ , ΔΑ , ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΑΒ · πᾶν γὰρ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ · αἱ ἄρα ΑΒ , ΒΔ , ΔΓ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ . καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ , ΒΔΓ γωνιῶν · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν , παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί , παράλληλος εἰμί ὁ εὐθεῖα . δύο γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . συμβάλλω γάρ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κατά ὁ Β , Δ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ εὐθύς , καί ἄγω ὁ ΒΔ πρός ὀρθός ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὁ ΔΕ , καί κεῖμαι ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΔΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , ΑΕ , ΑΔ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ ὁ ΑΒ ἑκάτερος ὁ ΒΔ , ΒΕ εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος · ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΒΔ , ΑΒΕ γωνία . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΓΔΒ , ΓΔΕ ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ , κοινός δέ ὁ ΒΔ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΔ δύο ὁ ΕΔ , ΔΒ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὀρθός περιέχω · βάσις ἄρα ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΒΕ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ , ἀλλά καί ὁ ΑΔ ὁ ΒΕ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΕ δύο ὁ ΕΔ , ΔΑ ἴσος εἰμί · καί βάσις αὐτός κοινός ὁ ΑΕ · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΕ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΑ εἰμί ἴσος . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΑΒΕ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΕΔΑ · ὁ ΕΔ ἄρα πρός ὁ ΔΑ ὀρθός εἰμί . εἰμί δέ καί πρός ἑκάτερος ὁ ΒΔ , ΔΓ ὀρθός . ὁ ΕΔ ἄρα τρεῖς εὐθεῖα ὁ ΒΔ , ΔΑ , ΔΓ πρός ὀρθός ἐπί ὁ ἁφή ἐφίστημι · ὁ τρεῖς ἄρα εὐθεῖα ὁ ΒΔ , ΔΑ , ΔΓ ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . ἐν ὅς δέ ὁ ΔΒ , ΔΑ , ἐν οὗτος καί ὁ ΑΒ · πᾶς γάρ τρίγωνον ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος · ὁ ἄρα ΑΒ , ΒΔ , ΔΓ εὐθεῖα ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . καί εἰμί ὀρθός ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΒΔ , ΒΔΓ γωνία · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . ἐάν ἄρα δύο εὐθεῖα ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί , παράλληλος εἰμί ὁ εὐθεῖα · ὅς δέω δείκνυμι .