euclides-geom.elementa 10.prop2.54
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων . χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης τῆς ΑΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων . ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη ἡ ΑΔ , διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε , καὶ ἔστω τὸ μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ . φανερὸν δή , ὅτι αἱ ΑΕ , ΕΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΒ μήκει . τετμήσθω δὴ ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ , ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΕ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ . παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΗ , ΗΕ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει . καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η , Ε , Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ , ΓΔ παράλληλοι αἱ ΗΘ , ΕΚ , ΖΛ · καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ , τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τὸ ΝΠ , καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ . καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ παραλληλόγραμμον · τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΣΠ . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΘ πρὸς ΕΛ , τὸ ΕΛ πρὸς ΚΗ · τῶν ΑΘ , ΗΚ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ . ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΝ , τὸ δὲ ΗΚ ἴσον τῷ ΝΠ · τῶν ΣΝ , ΝΠ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ . ἔστι δὲ τῶν αὐτῶν τῶν ΣΝ , ΝΠ μέσον ἀνάλογον καὶ τὸ ΜΡ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ τῷ ΜΡ · ὥστε καὶ τῷ ΟΞ ἴσον ἐστίν . ἔστι δὲ καὶ τὰ ΑΘ , ΗΚ τοῖς ΣΝ , ΝΠ ἴσα · ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν ὅλῳ τῷ ΣΠ , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΜΞ τετραγώνῳ · τὸ ΑΓ ἄρα δύναται ἡ ΜΞ . λέγω , ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ , σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ , ΗΕ . ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρος · καὶ αἱ ΑΗ , ΗΕ ἄρα τῇ ΑΒ σύμμετροί εἰσιν . καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΒ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΗ , ΗΕ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ , ΗΚ , καί ἐστι σύμμετρον τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ . ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἴσον ἐστίν , τὸ δὲ ΗΚ τῷ ΝΠ · καὶ τὰ ΣΝ , ΝΠ ἄρα , τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ , ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει , ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΑΗ ἐστι σύμμετρος , ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρος , ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ · ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν . ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἐστιν ἴσον , τὸ δὲ ΕΛ τῷ ΜΡ · καὶ τὸ ΣΝ ἄρα τῷ ΜΡ ἀσύμμετρόν ἐστιν . ἀλλʼ ὡς τὸ ΣΝ πρὸς ΜΡ , ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΡ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΜΝ , ἡ δὲ ΝΡ τῇ ΝΞ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ . καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ σύμμετρον τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ , καὶ ῥητὸν ἑκάτερον · αἱ ΜΝ , ΝΞ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα πρῶτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐκ δύο ὄνομα . χωρίον γάρ ὁ ΑΓ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΒ καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα πρῶτος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐκ δύο ὄνομα . ἐπεί γάρ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πρῶτος ὁ ΑΔ , διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Ε , καί εἰμί ὁ μέγας ὄνομα ὁ ΑΕ . φανερός δή , ὅτι ὁ ΑΕ , ΕΔ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΑΕ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΑΒ μῆκος . τέμνω δή ὁ ΕΔ δίχα κατά ὁ Ζ σημεῖον . καί ἐπεί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , ἐάν ἄρα ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ἴσος παρά ὁ μέγας ὁ ΑΕ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω . παραβάλλω οὖν παρά ὁ ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ὑπό ΑΗ , ΗΕ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΕΗ μῆκος . καί ἄγω ἀπό ὁ Η , Ε , Ζ ὁπότερος ὁ ΑΒ , ΓΔ παράλληλος ὁ ΗΘ , ΕΚ , ΖΛ · καί ὁ μέν ΑΘ παραλληλόγραμμος ἴσος τετράγωνος συνίστημι ὁ ΣΝ , ὁ δέ ΗΚ ἴσος ὁ ΝΠ , καί κεῖμαι ὥστε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΜΝ ὁ ΝΞ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί καί ὁ ΡΝ ὁ ΝΟ . καί συμπληρόω ὁ ΣΠ παραλληλόγραμμος · τετράγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΣΠ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΗ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ΕΗ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΘ πρός ΕΛ , ὁ ΕΛ πρός ΚΗ · ὁ ΑΘ , ΗΚ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΕΛ . ἀλλά ὁ μέν ΑΘ ἴσος εἰμί ὁ ΣΝ , ὁ δέ ΗΚ ἴσος ὁ ΝΠ · ὁ ΣΝ , ΝΠ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΕΛ . εἰμί δέ ὁ αὐτός ὁ ΣΝ , ΝΠ μέσος ἀνάλογος καί ὁ ΜΡ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΕΛ ὁ ΜΡ · ὥστε καί ὁ ΟΞ ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΑΘ , ΗΚ ὁ ΣΝ , ΝΠ ἴσος · ὅλος ἄρα ὁ ΑΓ ἴσος εἰμί ὅλος ὁ ΣΠ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΜιΞ τετράγωνος · ὁ ΑΓ ἄρα δύναμαι ὁ ΜΞ . λέγω , ὅτι ὁ ΜΞ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΕ , σύμμετρος εἰμί καί ὁ ΑΕ ἑκάτερος ὁ ΑΗ , ΗΕ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ΑΕ ὁ ΑΒ σύμμετρος · καί ὁ ΑΗ , ΗΕ ἄρα ὁ ΑΒ σύμμετρος εἰμί . καί εἰμί ῥητός ὁ ΑΒ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ἑκάτερος ὁ ΑΗ , ΗΕ · ῥητός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΘ , ΗΚ , καί εἰμί σύμμετρος ὁ ΑΘ ὁ ΗΚ . ἀλλά ὁ μέν ΑΘ ὁ ΣΝ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΗΚ ὁ ΝΠ · καί ὁ ΣΝ , ΝΠ ἄρα , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , ΝΞ , ῥητός εἰμί καί σύμμετρος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ μῆκος , ἀλλά ὁ μέν ΑΕ ὁ ΑΗ εἰμί σύμμετρος , ὁ δέ ΔΕ ὁ ΕΖ σύμμετρος , ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ΑΗ ὁ ΕΖ · ὥστε καί ὁ ΑΘ ὁ ΕΛ ἀσύμμετρος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν ΑΘ ὁ ΣΝ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΕΛ ὁ ΜΡ · καί ὁ ΣΝ ἄρα ὁ ΜΡ ἀσύμμετρος εἰμί . ἀλλά ὡς ὁ ΣΝ πρός ΜΡ , ὁ ΟΝ πρός ὁ ΝΡ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΟΝ ὁ ΝΡ . ἴσος δέ ὁ μέν ΟΝ ὁ ΜΝ , ὁ δέ ΝΡ ὁ ΝΞ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΜΝ ὁ ΝΞ . καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΜΝ σύμμετρος ὁ ἀπό ὁ ΝΞ , καί ῥητός ἑκάτερος · ὁ ΜΝ , ΝΞ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . ὁ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί καί δύναμαι ὁ ΑΓ · ὅς δέω δείκνυμι .