euclides-geom.elementa 10.prop3.113
τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων , ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ἔτι δὲ ἡ γινομένη ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ἀποτομῇ . ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α , ἀποτομὴ δὲ ἡ ΒΔ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΚΘ , ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς Α ῥητῆς παρὰ τὴν ΒΔ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ΚΘ · λέγω , ὅτι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ , ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ΒΔ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τὴν αὐτὴν ἔχει τάξιν τῇ ΒΔ . ἔστω γὰρ τῇ ΒΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΓ · αἱ ΒΓ , ΓΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , Η . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , Η . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΓ παραβέβληται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει . ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , Η ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΚΘ , ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Η . μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΒΔ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς Η . κείσθω τῇ Η ἴση ἡ ΚΕ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΒΓ μήκει . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ , ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ . γεγονέτω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ , οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ ἐστιν , ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ , τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ . αἱ δὲ ΒΓ , ΓΔ δυνάμει μόνον σύμμετροι · καὶ αἱ ΚΖ , ΖΘ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ , ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ , ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ , ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ , ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ · ὥστε καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ . σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ · αἱ γὰρ ΚΖ , ΖΘ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι · σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΖ τῇ ΖΕ μήκει · ὥστε ἡ ΚΖ καὶ τῇ ΚΕ σύμμετρός μήκει . ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ , οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ , ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΚΖ , οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς ΖΘ . σύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΚΖ · σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΓΔ μήκει . αἱ ΒΓ , ΓΔ δὲ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · καὶ αἱ ΚΖ , ΖΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΚΘ . εἰ μὲν οὖν ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καὶ ἡ ΚΖ , εἰ δὲ ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καὶ ἡ ΖΘ , εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ , ΓΔ , οὐδετέρα τῶν ΚΖ , ΖΘ . εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καὶ ἡ ΚΖ , εἰ δὲ ἡ ΓΔ , καὶ ἡ ΖΘ , εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ , ΓΔ , οὐδετέρα τῶν ΚΖ , ΖΘ . ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ , ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΚΖ , ΖΘ σύμμετρά τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΒΓ , ΓΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τῇ ΒΓ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ῥητός παρά ἀποτομή παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα , ὅς ὁ ὄνομα σύμμετρος εἰμί ὁ ὁ ἀποτομή ὄνομα καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , ἔτι δέ ὁ γίγνομαι ἐκ δύο ὄνομα ὁ αὐτός τάξις ἔχω ὁ ἀποτομή . εἰμί ῥητός μέν ὁ Α , ἀποτομή δέ ὁ ΒΔ , καί ὁ ἀπό ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΚΘ , ὥστε ὁ ἀπό ὁ Α ῥητός παρά ὁ ΒΔ ἀποτομή παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ΚΘ · λέγω , ὅτι ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ὁ ΚΘ , ὅς ὁ ὄνομα σύμμετρος εἰμί ὁ ὁ ΒΔ ὄνομα καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί ἔτι ὁ ΚΘ ὁ αὐτός ἔχω τάξις ὁ ΒΔ . εἰμί γάρ ὁ ΒΔ προσαρμόζω ὁ ΔΓ · ὁ ΒΓ , ΓΔ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί ὁ ἀπό ὁ Α ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , Η . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ Α · ῥητός ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , Η . καί παρά ῥητός ὁ ΒΓ παραβάλλω · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ Η καί σύμμετρος ὁ ΒΓ μῆκος . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , Η ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΚΘ , ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ΒΔ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός Η . μέγας δέ ὁ ΒΓ ὁ ΒΔ · μέγας ἄρα καί ὁ ΚΘ ὁ Η . κεῖμαι ὁ Η ἴσος ὁ ΚΕ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΚΕ ὁ ΒΓ μῆκος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ΒΔ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ΚΕ , ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός ΘΕ . γίγνομαι ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΕ , οὕτως ὁ ΘΖ πρός ΖΕ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΚΖ πρός ΖΘ εἰμί , ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΕ , τουτέστι ὁ ΒΓ πρός ΓΔ . ὁ δέ ΒΓ , ΓΔ δύναμις μόνος σύμμετρος · καί ὁ ΚΖ , ΖΘ ἄρα δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΕ , ὁ ΚΖ πρός ΖΘ , ἀλλά ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΕ , ὁ ΘΖ πρός ΖΕ , καί ὡς ἄρα ὁ ΚΖ πρός ΖΘ , ὁ ΘΖ πρός ΖΕ · ὥστε καί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δεύτερος · καί ὡς ἄρα ὁ ΚΖ πρός ΖΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΚΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ . σύμμετρος δέ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΘ · ὁ γάρ ΚΖ , ΖΘ δύναμις εἰμί σύμμετρος · σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΚΖ ὁ ΖΕ μῆκος · ὥστε ὁ ΚΖ καί ὁ ΚΕ σύμμετρος μῆκος . ῥητός δέ εἰμί ὁ ΚΕ καί σύμμετρος ὁ ΒΓ μῆκος · ῥητός ἄρα καί ὁ ΚΖ καί σύμμετρος ὁ ΒΓ μῆκος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ΓΔ , οὕτως ὁ ΚΖ πρός ΖΘ , ἐναλλάξ ὡς ὁ ΒΓ πρός ΚΖ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ΖΘ . σύμμετρος δέ ὁ ΒΓ ὁ ΚΖ · σύμμετρος ἄρα καί ὁ ΖΘ ὁ ΓΔ μῆκος . ὁ ΒΓ , ΓΔ δέ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · καί ὁ ΚΖ , ΖΘ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ἄρα ὁ ΚΘ . εἰ μέν οὖν ὁ ΒΓ ὁ ΓΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΚΖ ὁ ΖΘ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰ μέν σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καί ὁ ΚΖ , εἰ δέ ὁ ΓΔ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καί ὁ ΖΘ , εἰ δέ οὐδέτερος ὁ ΒΓ , ΓΔ , οὐδέτερος ὁ ΚΖ , ΖΘ . εἰ δέ ὁ ΒΓ ὁ ΓΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΚΖ ὁ ΖΘ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰ μέν σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καί ὁ ΚΖ , εἰ δέ ὁ ΓΔ , καί ὁ ΖΘ , εἰ δέ οὐδέτερος ὁ ΒΓ , ΓΔ , οὐδέτερος ὁ ΚΖ , ΖΘ . ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΚΘ , ὅς ὁ ὄνομα ὁ ΚΖ , ΖΘ σύμμετρος ὁ ὁ ἀποτομή ὄνομα ὁ ΒΓ , ΓΔ καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί ἔτι ὁ ΚΘ ὁ ΒΓ ὁ αὐτός ἔχω τάξις · ὅς δέω δείκνυμι .