euclides-geom.elementa 10.prop2.71
ῥητοῦ καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη . ἔστω ῥητὸν μὲν τὸ ΑΒ , μέσον δὲ τὸ ΓΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη . τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον . ἔστω πρότερον μεῖζον · καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τῷ ΑΒ ἴσον τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ · τῷ δὲ ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ . καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ , ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΗ . καὶ παρὰ τὴν ΕΖ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ · ἡ ΕΘ ἄρα ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΙ , μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΘΙ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ , ῥητὸν δὲ τὸ ΑΒ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ · ὥστε καὶ τὸ ΕΗ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ΘΙ . ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΚ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΕΘ , ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ . καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ , ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ , τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ , μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ τοῦ ΘΙ · καὶ ἡ ΕΘ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ΘΚ . ἤτοι οὖν ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου . δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΘΕ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ · ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη . ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ · ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν . ἡ ἄρα τὸ ΕΙ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν · ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν . ἀλλὰ δὴ δυνάσθω ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ · καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει · ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη . ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ · ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων . ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη μείζων ἐστίν · ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη μείζων ἐστίν . ἀλλὰ δὴ ἔστω ἔλασσον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ · καὶ τὸ ΕΗ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΘΙ · ὥστε καὶ ἡ ΕΘ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΚ . ἤτοι δὲ ἡ ΘΚ τῆς ΕΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου . δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει · καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει · ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα . ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ · ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη . ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη · ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη . ἀλλὰ δὴ ἡ ΘΚ τῆς ΘΕ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ · ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη . ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ · ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν . ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν · ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν . ῥητοῦ ἄρα καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ῥητός καί μέσος συντίθημι τέσσαρες ἄλογος γίγνομαι ἤτοι ἐκ δύο ὄνομα ἤ ἐκ δύο μέσος πρῶτος ἤ μέγας ἤ ῥητός καί μέσος δύναμαι . εἰμί ῥητός μέν ὁ ΑΒ , μέσος δέ ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΔ χωρίον δύναμαι ἤτοι ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ἤ ἐκ δύο μέσος πρῶτος ἤ μέγας ἤ ῥητός καί μέσος δύναμαι . ὁ γάρ ΑΒ ὁ ΓΔ ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος μέγας · καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ , καί παραβάλλω παρά ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΕΗ πλάτος ποιέω ὁ ΕΘ · ὁ δέ ΔΓ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω ὁ ΘΙ πλάτος ποιέω ὁ ΘΚ . καί ἐπεί ῥητός εἰμί ὁ ΑΒ καί εἰμί ῥητός εἰμί ὁ ΑΒ καί εἰμί ἴσος ὁ ΕΗ , ῥητός ἄρα καί ὁ ΕΗ . καί παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ΕΘ · ὁ ΕΘ ἄρα ῥητός εἰμί καί σύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . πάλιν , ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ΓΔ καί εἰμί ἴσος ὁ ΘΙ , μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΘΙ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΘΚ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . καί ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ΓΔ , ῥητός δέ ὁ ΑΒ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · ὥστε καί ὁ ΕΗ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΘΙ . ὡς δέ ὁ ΕΗ πρός ὁ ΘΙ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΘ πρός ὁ ΘΚ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΘ ὁ ΘΚ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΕΘ , ΘΚ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΕΚ διαιρέω κατά ὁ Θ . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ , ἴσος δέ ὁ μέν ΑΒ ὁ ΕΗ , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΘΙ , μέγας ἄρα καί ὁ ΕΗ ὁ ΘΙ · καί ὁ ΕΘ ἄρα μέγας εἰμί ὁ ΘΚ . ἤτοι οὖν ὁ ΕΘ ὁ ΘΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος ἤ ὁ ἀπό ἀσύμμετρος . δύναμαι πρότερος ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ μέγας ὁ ΘΕ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ · ὁ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πρῶτος . ῥητός δέ ὁ ΕΖ · ἐάν δέ χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα πρῶτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἐκ δύο ὄνομα εἰμί . ὁ ἄρα ὁ ΕΙ δύναμαι ἐκ δύο ὄνομα εἰμί · ὥστε καί ὁ ὁ ΑΔ δύναμαι ἐκ δύο ὄνομα εἰμί . ἀλλά δή δύναμαι ὁ ΕΘ ὁ ΘΚ μέγας ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ · καί εἰμί ὁ μέγας ὁ ΕΘ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ μῆκος · ὁ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τέταρτος . ῥητός δέ ὁ ΕΖ · ἐάν δέ χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα τέταρτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μέγας . ὁ ἄρα ὁ ΕΙ χωρίον δύναμαι μέγας εἰμί · ὥστε καί ὁ ὁ ΑΔ δύναμαι μέγας εἰμί . ἀλλά δή εἰμί ἐλαχύς ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · καί ὁ ΕΗ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ΘΙ · ὥστε καί ὁ ΕΘ ἐλαχύς εἰμί ὁ ΘΚ . ἤτοι δέ ὁ ΘΚ ὁ ΕΘ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ ἤ ὁ ἀπό ἀσύμμετρος . δύναμαι πρότερος ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος · καί εἰμί ὁ ἐλαχύς ὁ ΕΘ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ μῆκος · ὁ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί δεύτερος . ῥητός δέ ὁ ΕΖ · ἐάν δέ χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἐκ δύο μέσος εἰμί πρῶτος . ὁ ἄρα ὁ ΕΙ χωρίον δύναμαι ἐκ δύο μέσος εἰμί πρῶτος · ὥστε καί ὁ ὁ ΑΔ δύναμαι ἐκ δύο μέσος εἰμί πρῶτος . ἀλλά δή ὁ ΘΚ ὁ ΘΕ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ ἐλαχύς ὁ ΕΘ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ · ὁ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πέμπτος . ῥητός δέ ὁ ΕΖ · ἐάν δέ χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα πέμπτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ῥητός καί μέσος δύναμαι εἰμί . ὁ ἄρα ὁ ΕΙ χωρίον δύναμαι ῥητός καί μέσος δύναμαι εἰμί · ὥστε καί ὁ ὁ ΑΔ χωρίον δύναμαι ῥητός καί μέσος δύναμαι εἰμί . ῥητός ἄρα καί μέσος συντίθημι τέσσαρες ἄλογος γίγνομαι ἤτοι ἐκ δύο ὄνομα ἤ ἐκ δύο μέσος πρῶτος ἤ μέγας ἤ ῥητός καί μέσος δύναμαι · ὅς δέω δείκνυμι .