euclides-geom.elementa 6.prop.3
ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ , ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν , τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς · καὶ ἐὰν τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς , ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τεμεῖ τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ . ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΑ παράλληλος ἡ ΓΕ καὶ διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ κατὰ τὸ Ε . καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ , ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΓ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση . πάλιν , ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ , ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ , ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς τῇ ὑπὸ ΑΕΓ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ , ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ . ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΑΓ · ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ . ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ · τριγώνου γὰρ τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ . ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ · ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση . ἀλλʼ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ἐκτὸς τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση . ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας . ἐὰν ἄρα τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ , ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν , τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς · καὶ ἐὰν τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς , ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τέμνει τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρίγωνον ὁ γωνία δίχα τέμνω , ὁ δέ τέμνω ὁ γωνία εὐθύς τέμνω καί ὁ βάσις , ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον πλευρά · καί ἐάν ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον πλευρά , ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ τομή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς δίχα τέμνω ὁ ὁ τρίγωνον γωνία . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , καί τέμνω ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία δίχα ὑπό ὁ ΑΔ εὐθεῖα · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ . ἄγω γάρ διά ὁ Γ ὁ ΔΑ παράλληλος ὁ ΓΕ καί διάγω ὁ ΒΑ συμπίπτω αὐτός κατά ὁ Ε . καί ἐπεί εἰς παράλληλος ὁ ΑΔ , ΕΓ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΑΓ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΕ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΑΔ . ἀλλά ὁ ὑπό ΓΑΔ ὁ ὑπό ΒΑΔάς ὑπόκειμαι ἴσος · καί ὁ ὑπό ΒΑΔάς ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΕ εἰμί ἴσος . πάλιν , ἐπεί εἰς παράλληλος ὁ ΑΔ , ΕΓ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΒΑΕ , ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΒΑΔάς ἴσος εἰμί ὁ ἐντός ὁ ὑπό ΑΕΓ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΑΓΕ ὁ ὑπό ΒΑΔάς ἴσος · καί ὁ ὑπό ΑΓΕ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΑΕΓ εἰμί ἴσος · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΑΕ πλευρά ὁ ΑΓ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΒΓΕ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΕΓ ἄγω ὁ ΑΔ , ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΓ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΕ . ἴσος δέ ὁ ΑΕ ὁ ΑΓ · ὡς ἄρα ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΓ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ . ἀλλά δή εἰμί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΓ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι δίχα τέμνω ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὑπό ὁ ΑΔ εὐθεῖα . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΓ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , ἀλλά καί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΓ , οὕτως εἰμί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΕ · τρίγωνον γάρ ὁ ΒΓΕ παρά εἷς ὁ ΕΓ ἄγω ὁ ΑΔ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΕ . ἴσος ἄρα ὁ ΑΓ ὁ ΑΕ · ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΑΕΓ ὁ ὑπό ΑΓΕ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΑΕΓ ὁ ἐκτός ὁ ὑπό ΒΑΔάς ἴσος , ὁ δέ ὑπό ΑΓΕ ὁ ἐναλλάξ ὁ ὑπό ΓΑΔ εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ΒΑΔάς ἄρα ὁ ὑπό ΓΑΔ εἰμί ἴσος . ὁ ἄρα ὑπό ΒΑΓ γωνία δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΑΔ εὐθεῖα . ἐάν ἄρα τρίγωνον ὁ γωνία δίχα τέμνω , ὁ δέ τέμνω ὁ γωνία εὐθύς τέμνω καί ὁ βάσις , ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον πλευρά · καί ἐάν ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον πλευρά , ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ τομή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς δίχα τέμνω ὁ ὁ τρίγωνον γωνία · ὅς δέω δείκνυμι .