euclides-geom.elementa 10.prop2.66
ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή . ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ . ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ , διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε , καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ · αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ . σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει . σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ , ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΔ . καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΑΕ , ΕΒ · ῥηταὶ ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ . καὶ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ , ἡ ΕΒ πρὸς ΖΔ . ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ . αἱ δὲ ΑΕ , ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροι · καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι . καί εἰσι ῥηταί · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΓΔ . λέγω δή , ὅτι τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ . ἡ γὰρ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται ἤτοι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου . εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται , καὶ διὰ τοῦτο ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη , τουτέστι τῇ τάξει ἡ αὐτή . εἰ δὲ ἡ ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , καὶ ἡ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ , καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τῇ τάξει ἡ αὐτὴ ἔσται τῇ ΑΒ · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἔσται ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα . εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ , ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , οὐδετέρα τῶν ΓΖ , ΖΔ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται , καί ἐστιν ἑκατέρα τρίτη . εἰ δὲ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ εἰ μὲν ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ , καί ἐστιν ἑκατέρα τετάρτη . εἰ δὲ ἡ ΕΒ , καὶ ἡ ΖΔ , καὶ ἔσται ἑκατέρα πέμπτη . εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ , ΕΒ , καὶ τῶν ΓΖ , ΖΔ οὐδετέρα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , καὶ ἔσται ἑκατέρα ἕκτη . ὥστε ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ ἐκ δύο ὄνομα μῆκος σύμμετρος καί αὐτός ἐκ δύο ὄνομα εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός . εἰμί ἐκ δύο ὄνομα ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ μῆκος σύμμετρος εἰμί ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΔ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός ὁ ΑΒ . ἐπεί γάρ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ὁ ΑΒ , διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Ε , καί εἰμί μέγας ὄνομα ὁ ΑΕ · ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . γίγνομαι ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ . σύμμετρος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ μῆκος . σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ μέν ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ δέ ΕΒ ὁ ΖΔ . καί εἰμί ῥητός ὁ ΑΕ , ΕΒ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΓΖ , ΖΔ . καί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΓΖ , ὁ ΕΒ πρός ΖΔ . ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , ὁ ΓΖ πρός ΖΔ . ὁ δέ ΑΕ , ΕΒ δύναμις μόνος σύμμετρος · καί ὁ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος . καί εἰμί ῥητός · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΓΔ . λέγω δή , ὅτι ὁ τάξις εἰμί ὁ αὐτός ὁ ΑΒ . ὁ γάρ ΑΕ ὁ ΕΒ μέγας δύναμαι ἤτοι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ ἤ ὁ ἀπό ἀσύμμετρος . εἰ μέν οὖν ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΓΖ ὁ ΖΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰ μέν σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ἔκκειμαι ῥητός , καί ὁ ΓΖ σύμμετρος αὐτός εἰμί , καί διά οὗτος ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πρῶτος , τουτέστι ὁ τάξις ὁ αὐτός . εἰ δέ ὁ ΕΒ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός , καί ὁ ΖΔ σύμμετρος εἰμί αὐτός , καί διά οὗτος πάλιν ὁ τάξις ὁ αὐτός εἰμί ὁ ΑΒ · ἑκάτερος γάρ αὐτός εἰμί ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος . εἰ δέ οὐδέτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός , οὐδέτερος ὁ ΓΖ , ΖΔ σύμμετρος αὐτός εἰμί , καί εἰμί ἑκάτερος τρίτος . εἰ δέ ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΓΖ ὁ ΖΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰ μέν ὁ ΑΕ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός , καί ὁ ΓΖ σύμμετρος εἰμί αὐτός , καί εἰμί ἑκάτερος τέταρτος . εἰ δέ ὁ ΕΒ , καί ὁ ΖΔ , καί εἰμί ἑκάτερος πέμπτος . εἰ δέ οὐδέτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ , καί ὁ ΓΖ , ΖΔ οὐδέτερος σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός , καί εἰμί ἑκάτερος ἕκτος . ὥστε ὁ ὁ ἐκ δύο ὄνομα μῆκος σύμμετρος ἐκ δύο ὄνομα εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός · ὅς δέω δείκνυμι .