ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 10.prop2.82
τῇ ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα μετὰ τῆς ὅλης τὸ μὲν ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον . ἔστω ἡ ἐλάσσων ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἔστω ἡ ΒΓ · αἱ ἄρα ΑΓ , ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον · λέγω , ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα εὐθεῖα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα . εἰ γὰρ δυνατόν , προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ · καὶ αἱ ΑΔ , ΔΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα . καὶ ἐπεί , ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετραγώνων ὑπερέχει ῥητῷ · ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα · καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα . τῇ ἄρα ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ καὶ ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα ῥητόν , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐλαχύς εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος ποιέω μετά ὁ ὅλος ὁ μέν ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός μέσος . εἰμί ὁ ἐλαχύς ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ προσαρμόζω εἰμί ὁ ΒΓ · ὁ ἄρα ΑΓ , ΓΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός μέσος · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ἕτερος εὐθύς οὐ προσαρμόζω ὁ αὐτός ποιέω . εἰ γάρ δυνατός , προσαρμόζω ὁ ΒΔ · καί ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ προλέγω . καί ἐπεί , ὅς ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , οὗτος ὑπερέχω καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ τετράγωνος ὑπερέχω ῥητός · ῥητός γάρ εἰμί ἀμφότερος · καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός · ὅς εἰμί ἀδύνατος · μέσος γάρ εἰμί ἀμφότερος . ὁ ἄρα ἐλαχύς εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος καί ποιέω ὁ μέν ἀπό αὐτός τετράγωνος ἅμα ῥητός , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός μέσος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.83
τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν . ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ · αἱ ἄρα ΑΓ , ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα · λέγω , ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα . εἰ γὰρ δυνατόν , προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ · καὶ αἱ ΑΔ , ΔΒ ἄρα εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα . ἐπεὶ οὖν , ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἀκολούθως τοῖς πρὸ αὐτοῦ , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ · ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα · καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα . οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ προειρημένα · μία ἄρα μόνον προσαρμόσει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός ῥητός . εἰμί ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΓ · ὁ ἄρα ΑΓ , ΓΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ πρόκειμαι · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ἕτερος οὐ προσαρμόζω ὁ αὐτός ποιέω . εἰ γάρ δυνατός , προσαρμόζω ὁ ΒΔ · καί ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα εὐθεῖα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ πρόκειμαι . ἐπεί οὖν , ὅς ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , οὗτος ὑπερέχω καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἀκόλουθος ὁ πρό αὐτός , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός · ῥητός γάρ εἰμί ἀμφότερος · καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός · ὅς εἰμί ἀδύνατος · μέσος γάρ εἰμί ἀμφότερος . οὐ ἄρα ὁ ΑΒ ἕτερος προσαρμόζω εὐθύς δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ποιέω ὁ προλέγω · εἷς ἄρα μόνος προσαρμόζω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.def3.1
ὑποκειμένης ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς , ἐὰν μὲν ἡ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει , καὶ ἡ ὅλη σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καλείσθω ἀποτομὴ πρώτη .
Lemmas: ὑπόκειμαι ῥητός καί ἀποτομή , ἐάν μέν ὁ ὅλος ὁ προσαρμόζω μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος , καί ὁ ὅλος σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καλέω ἀποτομή πρῶτος .
euclides-geom.elementa 10.def3.2
ἐὰν δὲ ἡ προσαρμόζουσα σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καὶ ἡ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καλείσθω ἀποτομὴ δευτέρα .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ προσαρμόζω σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καί ὁ ὅλος ὁ προσαρμόζω μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καλέω ἀποτομή δεύτερος .
euclides-geom.elementa 10.def3.3
ἐὰν δὲ μηδετέρα σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , ἡ δὲ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καλείσθω ἀποτομὴ τρίτη .
Lemmas: ἐάν δέ μηδέτερος σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , ὁ δέ ὅλος ὁ προσαρμόζω μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καλέω ἀποτομή τρίτος .
euclides-geom.elementa 10.def3.4
πάλιν , ἐὰν ἡ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , ἐὰν μὲν ἡ ὅλη σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καλείσθω ἀποτομὴ τετάρτη .
Lemmas: πάλιν , ἐάν ὁ ὅλος ὁ προσαρμόζω μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , ἐάν μέν ὁ ὅλος σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καλέω ἀποτομή τέταρτος .
euclides-geom.elementa 10.def3.5
ἐὰν δὲ ἡ προσαρμόζουσα , πέμπτη .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ προσαρμόζω , πέμπτος .
euclides-geom.elementa 10.def3.6
ἐὰν δὲ μηδετέρα , ἕκτη .
Lemmas: ἐάν δέ μηδέτερος , ἕκτος .
euclides-geom.elementa 10.prop3.85
εὑρεῖν τὴν πρώτην ἀποτομήν . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α , καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΒΗ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ . καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ , ΕΖ , ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ μὴ ἔστω τετράγωνος · οὐδʼ ἄρα ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΓ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΒΗ , ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστιν . λέγω δή , ὅτι καὶ πρώτη . ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ , ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΖΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ , καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἑκάτερος γὰρ τετράγωνός ἐστιν · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει . καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ · ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καί ἐστιν ἡ ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α . ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι πρώτη . εὕρηται ἄρα ἡ πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ · ὅπερ ἔδει εὑρεῖν .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ πρῶτος ἀποτομή . ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α , καί ὁ Α μῆκος σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΗ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΗ . καί ἔκκειμαι δύο τετράγωνος ἀριθμός ὁ ΔΕ , ΕΖ , ὅς ὁ ὑπεροχή ὁ ΖΔ μή εἰμί τετράγωνος · οὐδέ ἄρα ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . καί ποιέω ὡς ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΗ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ τετράγωνος · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΓ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΒΗ · ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΗΓ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΗΓ . καί ἐπεί ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ ὁ ΗΓ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΒΗ , ΗΓ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ἄρα ΒΓ ἀποτομή εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί πρῶτος . ὅς γάρ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , εἰμί ὁ ἀπό ὁ Θ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΕΔ πρός ὁ ΖΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , καί ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΗΒ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ . ὁ δέ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἑκάτερος γάρ τετράγωνος εἰμί · καί ὁ ἀπό ὁ ΗΒ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ Θ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ ὁ Θ μῆκος . καί δύναμαι ὁ ΒΗ ὁ ΗΓ μέγας ὁ ἀπό ὁ Θ · ὁ ΒΗ ἄρα ὁ ΗΓ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . καί εἰμί ὁ ὅλος ὁ ΒΗ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ Α . ὁ ΒΓ ἄρα ἀποτομή εἰμί πρῶτος . εὑρίσκω ἄρα ὁ πρῶτος ἀποτομή ὁ ΒΓ · ὅς δέω εὑρίσκω .
euclides-geom.elementa 10.prop3.86
εὑρεῖν τὴν δευτέραν ἀποτομήν . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α σύμμετρος μήκει ἡ ΗΓ . ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ . καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ , ΕΖ , ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΔΖ μὴ ἔστω τετράγωνος . καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΔ πρὸς τὸν ΔΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετράγωνον . σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετραγώνῳ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ . ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΗΒ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΓΗ , ΗΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν . λέγω δή , ὅτι καὶ δευτέρα . ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ , ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ , οὕτως ὁ ΕΔ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΔΖ ἀριθμόν , ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ , οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ . καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΔΕ , ΕΖ τετράγωνος · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει . καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ · ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρος τῇ Α . ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι δευτέρα . εὕρηται ἄρα δευτέρα ἀποτομὴ ἡ ΒΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ δεύτερος ἀποτομή . ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α καί ὁ Α σύμμετρος μῆκος ὁ ΗΓ . ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΗΓ . καί ἔκκειμαι δύο τετράγωνος ἀριθμός ὁ ΔΕ , ΕΖ , ὅς ὁ ὑπεροχή ὁ ΔΖ μή εἰμί τετράγωνος . καί ποιέω ὡς ὁ ΖΔ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΗ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΒ τετράγωνος . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΗ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΗΒ τετράγωνος . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΗΓ . ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΗΒ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΗΓ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΒ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΓΗ ὁ ΗΒ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΓΗ , ΗΒ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ΒΓ ἄρα ἀποτομή εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί δεύτερος . ὅς γάρ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , εἰμί ὁ ἀπό ὁ Θ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , οὕτως ὁ ΕΔ ἀριθμός πρός ὁ ΔΖ ἀριθμός , ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ . καί εἰμί ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΖ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ ὁ Θ μῆκος . καί δύναμαι ὁ ΒΗ ὁ ΗΓ μέγας ὁ ἀπό ὁ Θ · ὁ ΒΗ ἄρα ὁ ΗΓ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . καί εἰμί ὁ προσαρμόζω ὁ ΓΗ ὁ ἔκκειμαι ῥητός σύμμετρος ὁ Α . ὁ ΒΓ ἄρα ἀποτομή εἰμί δεύτερος . εὑρίσκω ἄρα δεύτερος ἀποτομή ὁ ΒΓ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.88
εὑρεῖν τὴν τετάρτην ἀποτομήν . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἡ ΒΗ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ . καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ , ΖΕ , ὥστε τὸν ΔΕ ὅλον πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ , ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ . σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΒΗ , ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ . . ὧι οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ , ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ , καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει . καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ · ἡ ἄρα ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί ἐστιν ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ α . ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι τετάρτη . εὕρηται ἄρα ἡ τετάρτη ἀποτομή · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ τέταρτος ἀποτομή . ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α καί ὁ Α μῆκος σύμμετρος ὁ ΒΗ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΗ . καί ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΔΖ , ΖΕ , ὥστε ὁ ΔΕ ὅλος πρός ἑκάτερος ὁ ΔΖ , ΕΖ λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . καί ποιέω ὡς ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΗ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΓ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΒΗ · ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΗΓ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΗΓ . καί ἐπεί ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ ὁ ΗΓ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΒΗ , ΗΓ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ . . ὅς οὖν μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , εἰμί ὁ ἀπό ὁ Θ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , καί ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΗΒ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ . ὁ δέ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΗΒ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ ὁ Θ μῆκος . καί δύναμαι ὁ ΒΗ ὁ ΗΓ μέγας ὁ ἀπό ὁ Θ · ὁ ἄρα ΒΗ ὁ ΗΓ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὅλος ὁ ΒΗ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ α . ὁ ἄρα ΒΓ ἀποτομή εἰμί τέταρτος . εὑρίσκω ἄρα ὁ τέταρτος ἀποτομή · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.89
εὑρεῖν τὴν πέμπτην ἀποτομήν . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α , καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΗ · ῥητὴ ἄρα ἡ ΓΗ . καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ , ΖΕ , ὥστε τὸν ΔΕ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ , ΖΕ λόγον πάλιν μὴ ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΕ πρὸς τὸν ΕΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ . ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ , ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΒΗ , ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν . λέγω δή , ὅτι καὶ πέμπτη . ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ , ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ , οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ , ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει . καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ · ἡ ΗΒ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει · ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι πέμπτη . εὕρηται ἄρα ἡ πέμπτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ πέμπτος ἀποτομή . ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α , καί ὁ Α μῆκος σύμμετρος εἰμί ὁ ΓΗ · ῥητός ἄρα ὁ ΓΗ . καί ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΔΖ , ΖΕ , ὥστε ὁ ΔΕ πρός ἑκάτερος ὁ ΔΖ , ΖΕ λόγος πάλιν μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ποιέω ὡς ὁ ΖΕ πρός ὁ ΕΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΒ . ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΗΒ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΗ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , ὁ δέ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ ὁ ΗΓ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΒΗ , ΗΓ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ΒΓ ἄρα ἀποτομή εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί πέμπτος . ὅς γάρ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , εἰμί ὁ ἀπό ὁ Θ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΓ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ . ὁ δέ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ ὁ Θ μῆκος . καί δύναμαι ὁ ΒΗ ὁ ΗΓ μέγας ὁ ἀπό ὁ Θ · ὁ ΗΒ ἄρα ὁ ΗΓ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . καί εἰμί ὁ προσαρμόζω ὁ ΓΗ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α μῆκος · ὁ ἄρα ΒΓ ἀποτομή εἰμί πέμπτος . εὑρίσκω ἄρα ὁ πέμπτος ἀποτομή ὁ ΒΓ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.103
ἡ τῇ ἀποτομῇ μήκει σύμμετρος ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή . ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ . ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ , ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ · αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ λόγῳ ὁ αὐτὸς γεγονέτω ὁ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ · καὶ ὡς ἓν ἄρα πρὸς ἕν , πάντα πρὸς πάντα · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ὅλη ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΓΖ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ . σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει . σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΕ μὲν τῇ ΓΖ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ . καὶ αἱ ΑΕ , ΕΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ , ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ . ἤτοι δὴ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου . εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καὶ ἡ ΓΖ , εἰ δὲ ἡ ΒΕ , καὶ ἡ ΔΖ , εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ , ΕΒ , καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΖ , ΖΔ . εἰ δὲ ἡ ΑΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει , καὶ ἡ ΓΖ , εἰ δὲ ἡ ΒΕ , καὶ ἡ ΔΖ , εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ , ΕΒ , οὐδετέρα τῶν ΓΖ , ΖΔ . ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ ἀποτομή μῆκος σύμμετρος ἀποτομή εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός . εἰμί ἀποτομή ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ μῆκος σύμμετρος εἰμί ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΓΔ ἀποτομή εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός ὁ ΑΒ . ἐπεί γάρ ἀποτομή εἰμί ὁ ΑΒ , εἰμί αὐτός προσαρμόζω ὁ ΒΕ · ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί ὁ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ λόγος ὁ αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΒΕ πρός ὁ ΔΖ · καί ὡς εἷς ἄρα πρός εἷς , πᾶς πρός πᾶς · εἰμί ἄρα καί ὡς ὅλος ὁ ΑΕ πρός ὅλος ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ . σύμμετρος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ μῆκος . σύμμετρος ἄρα καί ὁ ΑΕ μέν ὁ ΓΖ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΔΖ . καί ὁ ΑΕ , ΕΒ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · καί ὁ ΓΖ , ΖΔ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ὁ ΔΖ , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ . ἤτοι δή ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ ἤ ὁ ἀπό ἀσύμμετρος . εἰ μέν οὖν ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΓΖ ὁ ΖΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰ μέν σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καί ὁ ΓΖ , εἰ δέ ὁ ΒΕ , καί ὁ ΔΖ , εἰ δέ οὐδέτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ , καί οὐδέτερος ὁ ΓΖ , ΖΔ . εἰ δέ ὁ ΑΕ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΓΖ ὁ ΖΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰ μέν σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος , καί ὁ ΓΖ , εἰ δέ ὁ ΒΕ , καί ὁ ΔΖ , εἰ δέ οὐδέτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ , οὐδέτερος ὁ ΓΖ , ΖΔ . ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ καί ὁ τάξις ὁ αὐτός ὁ ΑΒ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.104
ἡ τῇ μέσης ἀποτομῇ σύμμετρος μέσης ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή . ἔστω μέσης ἀποτομὴ ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μέσης ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ . ἐπεὶ γὰρ μέσης ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ , ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΒ . αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ · σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ . αἱ δὲ ΑΕ , ΕΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι · καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι · μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ . λέγω δή , ὅτι καὶ τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ . ἐπεὶ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ , ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ , ῥητὸν ἔσται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ , εἴτε μέσον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ , μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ μέσος ἀποτομή σύμμετρος μέσος ἀποτομή εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός . εἰμί μέσος ἀποτομή ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ μῆκος σύμμετρος εἰμί ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΓΔ μέσος ἀποτομή εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός ὁ ΑΒ . ἐπεί γάρ μέσος ἀποτομή εἰμί ὁ ΑΒ , εἰμί αὐτός προσαρμόζω ὁ ΕΒ . ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί γίγνομαι ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ὁ ΔΖ · σύμμετρος ἄρα καί ὁ ΑΕ ὁ ΓΖ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΔΖ . ὁ δέ ΑΕ , ΕΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · καί ὁ ΓΖ , ΖΔ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · μέσος ἄρα ἀποτομή εἰμί ὁ ΓΔ . λέγω δή , ὅτι καί ὁ τάξις εἰμί ὁ αὐτός ὁ ΑΒ . ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΕ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . σύμμετρος δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ · σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . εἴτε οὖν ῥητός εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ , ῥητός εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ , εἴτε μέσος ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ , μέσος καί ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . μέσος ἄρα ἀποτομή εἰμί ὁ ΓΔ καί ὁ τάξις ὁ αὐτός ὁ ΑΒ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.105
ἡ τῇ ἐλάσσονι σύμμετρος ἐλάσσων ἐστίν . ἔστω γὰρ ἐλάσσων ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἐλάσσων ἐστίν . γεγονέτω γὰρ τὰ αὐτά · καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ , ΕΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι , καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ , ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ . συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ , οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ · σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ · σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων . ῥητὸν δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ , σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ , σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ · αἱ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον . ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ ἐλαχύς σύμμετρος ἐλαχύς εἰμί . εἰμί γάρ ἐλαχύς ὁ ΑΒ καί ὁ ΑΒ σύμμετρος ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΓΔ ἐλαχύς εἰμί . γίγνομαι γάρ ὁ αὐτός · καί ἐπεί ὁ ΑΕ , ΕΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος , καί ὁ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΕ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΔ . συντίθημι ἄρα εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΔ · σύμμετρος δέ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ὁ ἀπό ὁ ΔΖ · σύμμετρος ἄρα καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ τετράγωνος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ τετράγωνος . ῥητός δέ εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ τετράγωνος · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ τετράγωνος . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΕ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ , σύμμετρος δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΓΖ τετράγωνος , σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . μέσος δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ · μέσος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ · ὁ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος . ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.106
ἡ τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἔστω μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ · αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων μέσον , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν . καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω . ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον , ὅτι αἱ ΓΖ , ΖΔ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ ταῖς ΑΕ , ΕΒ , καὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ · ὥστε καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων μέσον , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν . ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω σύμμετρος μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . εἰμί μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω ὁ ΑΒ καί ὁ ΑΒ σύμμετρος ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΓΔ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . εἰμί γάρ ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΕ · ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ τετράγωνος μέσος , ὁ δέ ὑπό αὐτός ῥητός . καί ὁ αὐτός κατασκευάζω . ὅμοιος δή δείκνυμι ὁ πρότερος , ὅτι ὁ ΓΖ , ΖΔ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ ΑΕ , ΕΒ , καί σύμμετρος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ τετράγωνος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ τετράγωνος , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ · ὥστε καί ὁ ΓΖ , ΖΔ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ τετράγωνος μέσος , ὁ δέ ὑπό αὐτός ῥητός . ὁ ΓΔ ἄρα μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.107
ἡ τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος καὶ αὐτὴ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἔστω μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ ἔστω σύμμετρος ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ , καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω · αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπʼ αὐτῶν . καί εἰσιν , ὡς ἐδείχθη , αἱ ΑΕ , ΕΒ σύμμετροι ταῖς ΓΖ , ΖΔ , καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ · καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τῷ ὑπʼ αὐτῶν . ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω σύμμετρος καί αὐτός μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . εἰμί μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ εἰμί σύμμετρος ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΓΔ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . εἰμί γάρ ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΕ , καί ὁ αὐτός κατασκευάζω · ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος καί ὁ ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ὁ ὑπό αὐτός . καί εἰμί , ὡς δείκνυμι , ὁ ΑΕ , ΕΒ σύμμετρος ὁ ΓΖ , ΖΔ , καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ τετράγωνος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ · καί ὁ ΓΖ , ΖΔ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος καί ὁ ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός ὁ ὑπό αὐτός . ὁ ΓΔ ἄρα μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.108
ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ἀφαιρουμένου ἡ τὸ λοιπὸν χωρίον δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων . ἀπὸ γὰρ ῥητοῦ τοῦ ΒΓ μέσον ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν δυναμένη τὸ ΕΓ μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων . Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ , καὶ τῷ μὲν ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ , τῷ δὲ ΔΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΚ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΘ . ἐπεὶ οὖν ῥητὸν μέν ἐστι τὸ ΒΓ , μέσον δὲ τὸ ΒΔ , ἴσον δὲ τὸ μὲν ΒΓ τῷ ΗΘ , τὸ δὲ ΒΔ τῷ ΗΚ , ῥητὸν μὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ , μέσον δὲ τὸ ΗΚ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται · ῥητὴ μὲν ἄρα ἡ ΖΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει , ῥητὴ δὲ ἡ ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΖΚ μήκει . αἱ ΖΘ , ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ , προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΚΖ . ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ οὔ . δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου . καί ἐστιν ὅλη ἡ ΘΖ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ · ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΚΘ . τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πρώτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἀποτομή ἐστιν . ἡ ἄρα τὸ ΛΘ , τουτέστι τὸ ΕΓ , δυναμένη ἀποτομή ἐστιν . εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καί ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ , ἀποτομὴ τετάρτη ἐστὶν ἡ ΚΘ . τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἀπό ῥητός μέσος ἀφαιρέω ὁ ὁ λοιπός χωρίον δύναμαι εἷς δύο ἄλογος γίγνομαι ἤτοι ἀποτομή ἤ ἐλαχύς . ἀπό γάρ ῥητός ὁ ΒΓ μέσος ἀφαιρέω ὁ ΒΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ λοιπός δύναμαι ὁ ΕΓ εἷς δύο ἄλογος γίγνομαι ἤτοι ἀποτομή ἤ ἐλαχύς . ἔκκειμαι γάρ ῥητός ὁ ΖΗ , καί ὁ μέν ΒΓ ἴσος παρά ὁ ΖΗ παραβάλλω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμος ὁ ΗΘ , ὁ δέ ΔΒ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΗΚ · λοιπός ἄρα ὁ ΕΓ ἴσος εἰμί ὁ ΛΘ . ἐπεί οὖν ῥητός μέν εἰμί ὁ ΒΓ , μέσος δέ ὁ ΒΔ , ἴσος δέ ὁ μέν ΒΓ ὁ ΗΘ , ὁ δέ ΒΔ ὁ ΗΚ , ῥητός μέν ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ , μέσος δέ ὁ ΗΚ . καί παρά ῥητός ὁ ΖΗ παράκειμαι · ῥητός μέν ἄρα ὁ ΖΘ καί σύμμετρος ὁ ΖΗ μῆκος , ῥητός δέ ὁ ΖΚ καί ἀσύμμετρος ὁ ΖΗ μῆκος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΘ ὁ ΖΚ μῆκος . ὁ ΖΘ , ΖΚ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΚΘ , προσαρμόζω δέ αὐτός ὁ ΚΖ . ἤτοι δή ὁ ΘΖ ὁ ΖΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἤ οὐ . δύναμαι πρότερος ὁ ἀπό σύμμετρος . καί εἰμί ὅλος ὁ ΘΖ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ ΖΗ · ἀποτομή ἄρα πρῶτος εἰμί ὁ ΚΘ . ὁ δέ ὑπό ῥητός καί ἀποτομή πρῶτος περιέχω ὁ δύναμαι ἀποτομή εἰμί . ὁ ἄρα ὁ ΛΘ , τουτέστι ὁ ΕΓ , δύναμαι ἀποτομή εἰμί . εἰ δέ ὁ ΘΖ ὁ ΖΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί εἰμί ὅλος ὁ ΖΘ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ ΖΗ , ἀποτομή τέταρτος εἰμί ὁ ΚΘ . ὁ δέ ὑπό ῥητός καί ἀποτομή τέταρτος περιέχω ὁ δύναμαι ἐλαχύς εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.109
ἀπὸ μέσου ῥητοῦ ἀφαιρουμένου ἄλλαι δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . ἀπὸ γὰρ μέσου τοῦ ΒΓ ῥητὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ . λέγω , ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ , καὶ παραβεβλήσθω ὁμοίως τὰ χωρία . ἔστι δὴ ἀκολούθως ῥητὴ μὲν ἡ ΖΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει , ῥητὴ δὲ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει · αἱ ΖΘ , ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ , προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ . ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου . εἰ μὲν οὖν ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ , ἀποτομὴ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΚΘ . ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ · ὥστε ἡ τὸ ΛΘ , τουτέστι τὸ ΕΓ , δυναμένη μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἐστίν . εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου , καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ , ἀποτομὴ πέμπτη ἐστὶν ἡ ΚΘ · ὥστε ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἀπό μέσος ῥητός ἀφαιρέω ἄλλος δύο ἄλογος γίγνομαι ἤτοι μέσος ἀποτομή πρῶτος ἤ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ἀπό γάρ μέσος ὁ ΒΓ ῥητός ἀφαιρέω ὁ ΒΔ . λέγω , ὅτι ὁ ὁ λοιπός ὁ ΕΓ δύναμαι εἷς δύο ἄλογος γίγνομαι ἤτοι μέσος ἀποτομή πρῶτος ἤ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ἔκκειμαι γάρ ῥητός ὁ ΖΗ , καί παραβάλλω ὅμοιος ὁ χωρίον . εἰμί δή ἀκόλουθος ῥητός μέν ὁ ΖΘ καί ἀσύμμετρος ὁ ΖΗ μῆκος , ῥητός δέ ὁ ΚΖ καί σύμμετρος ὁ ΖΗ μῆκος · ὁ ΖΘ , ΖΚ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΚΘ , προσαρμόζω δέ οὗτος ὁ ΖΚ . ἤτοι δή ὁ ΘΖ ὁ ΖΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ ἤ ὁ ἀπό ἀσύμμετρος . εἰ μέν οὖν ὁ ΘΖ ὁ ΖΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί εἰμί ὁ προσαρμόζω ὁ ΖΚ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ ΖΗ , ἀποτομή δεύτερος εἰμί ὁ ΚΘ . ῥητός δέ ὁ ΖΗ · ὥστε ὁ ὁ ΛΘ , τουτέστι ὁ ΕΓ , δύναμαι μέσος ἀποτομή πρῶτος εἰμί . εἰ δέ ὁ ΘΖ ὁ ΖΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος , καί εἰμί ὁ προσαρμόζω ὁ ΖΚ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ ΖΗ , ἀποτομή πέμπτος εἰμί ὁ ΚΘ · ὥστε ὁ ὁ ΕΓ δύναμαι μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.110
ἀπὸ μέσου μέσου ἀφαιρουμένου ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳ αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . ἀφῃρήσθω γὰρ ὡς ἐπὶ τῶν προκειμένων καταγραφῶν ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ μέσον τὸ ΒΔ ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μία ἐστὶ δύο ἀλόγων ἤτοι μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΓ , ΒΔ , καὶ ἀσύμμετρον τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ , ἔσται ἀκολούθως ῥητὴ ἑκατέρα τῶν ΖΘ , ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ , τουτέστι τὸ ΗΘ τῷ ΗΚ , ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΖΚ · αἱ ΖΘ , ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ . εἰ μὲν δὴ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ οὐθετέρα τῶν ΖΘ , ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ , ἀποτομὴ τρίτη ἐστὶν ἡ ΚΘ . ῥητὴ δὲ ἡ ΚΛ , τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν , καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν , καλεῖται δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα · ὥστε ἡ τὸ ΛΘ , τουτέστι τὸ ΕΓ , δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα . εἰ δὲ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ οὐθετέρα τῶν ΘΖ , ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει , ἀποτομὴ ἕκτη ἐστὶν ἡ ΚΘ . τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης ἡ δυναμένη ἐστὶ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . ἡ τὸ ΛΘ ἄρα , τουτέστι τὸ ΕΓ , δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἀπό μέσος μέσος ἀφαιρέω ἀσύμμετρος ὁ ὅλος ὁ λοιπός δύο ἄλογος γίγνομαι ἤτοι μέσος ἀποτομή δεύτερος ἤ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ἀφαιρέω γάρ ὡς ἐπί ὁ πρόκειμαι καταγραφή ἀπό μέσος ὁ ΒΓ μέσος ὁ ΒΔ ἀσύμμετρος ὁ ὅλος · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΕΓ δύναμαι εἷς εἰμί δύο ἄλογος ἤτοι μέσος ἀποτομή δεύτερος ἤ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ἐπεί γάρ μέσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΒΓ , ΒΔ , καί ἀσύμμετρος ὁ ΒΓ ὁ ΒΔ , εἰμί ἀκόλουθος ῥητός ἑκάτερος ὁ ΖΘ , ΖΚ καί ἀσύμμετρος ὁ ΖΗ μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΒΔ , τουτέστι ὁ ΗΘ ὁ ΗΚ , ἀσύμμετρος καί ὁ ΘΖ ὁ ΖΚ · ὁ ΖΘ , ΖΚ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΚΘ . εἰ μέν δή ὁ ΖΘ ὁ ΖΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί οὐθέτερος ὁ ΖΘ , ΖΚ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ ΖΗ , ἀποτομή τρίτος εἰμί ὁ ΚΘ . ῥητός δέ ὁ ΚΛ , ὁ δέ ὑπό ῥητός καί ἀποτομή τρίτος περιέχω ὀρθογώνιον ἄλογος εἰμί , καί ὁ δύναμαι αὐτός ἄλογος εἰμί , καλέω δέ μέσος ἀποτομή δεύτερος · ὥστε ὁ ὁ ΛΘ , τουτέστι ὁ ΕΓ , δύναμαι μέσος ἀποτομή εἰμί δεύτερος . εἰ δέ ὁ ΖΘ ὁ ΖΚ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί οὐθέτερος ὁ ΘΖ , ΖΚ σύμμετρος εἰμί ὁ ΖΗ μῆκος , ἀποτομή ἕκτος εἰμί ὁ ΚΘ . ὁ δέ ὑπό ῥητός καί ἀποτομή ἕκτος ὁ δύναμαι εἰμί μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ὁ ὁ ΛΘ ἄρα , τουτέστι ὁ ΕΓ , δύναμαι μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop3.115
ἀπὸ μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται , καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή . ἔστω μέση ἡ Α · λέγω , ὅτι ἀπὸ τῆς Α ἄπειροι ἄλογοι γίνονται , καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Β , καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β , Α ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ · ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Γ · τὸ γὰρ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς ἄλογόν ἐστιν . καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή · τὸ γὰρ ἀπʼ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ μέσην . πάλιν δὴ τῷ ὑπὸ τῶν Β , Γ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ · ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ . ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Δ · καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή · τὸ γὰρ ἀπʼ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν Γ . ὁμοίως δὴ τῆς τοιαύτης τάξεως ἐπʼ ἄπειρον προβαινούσης φανερόν , ὅτι ἀπὸ τῆς μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται , καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή · ὅπερ ἔδει δεῖξαι ] .
Lemmas: ἀπό μέσος ἄπειρος ἄλογος γίγνομαι , καί οὐδείς οὐδείς ὁ πρότερος ὁ αὐτός . εἰμί μέσος ὁ Α · λέγω , ὅτι ἀπό ὁ Α ἄπειρος ἄλογος γίγνομαι , καί οὐδείς οὐδείς ὁ πρότερος ὁ αὐτός . ἔκκειμαι ῥητός ὁ Β , καί ὁ ὑπό ὁ Β , Α ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Γ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ Γ · ὁ γάρ ὑπό ἄλογος καί ῥητός ἄλογος εἰμί . καί οὐδείς ὁ πρότερος ὁ αὐτός · ὁ γάρ ἀπό οὐδείς ὁ πρότερος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω μέσος . πάλιν δή ὁ ὑπό ὁ Β , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Δ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ Δ . ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ Δ · καί οὐδείς ὁ πρότερος ὁ αὐτός · ὁ γάρ ἀπό οὐδείς ὁ πρότερος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ Γ . ὅμοιος δή ὁ τοιοῦτος τάξις ἐπί ἄπειρος προβαίνω φανερός , ὅτι ἀπό ὁ μέσος ἄπειρος ἄλογος γίγνομαι , καί οὐδείς οὐδείς ὁ πρότερος ὁ αὐτός · ὅς δέω δείκνυμι ] .
euclides-geom.elementa 11.def.1
στερεόν ἐστι τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον .
Lemmas: στερεός εἰμί ὁ μῆκος καί πλάτος καί βάθος ἔχω .
euclides-geom.elementa 11.def.2
στερεοῦ δὲ πέρας ἐπιφάνεια .
Lemmas: στερεός δέ πέρας ἐπιφάνεια .
euclides-geom.elementa 11.def.3
εὐθεῖα πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν , ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας .
Lemmas: εὐθύς πρός ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί , ὅταν πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία .
euclides-geom.elementa 11.def.4
ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν , ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν .
Lemmas: ἐπίπεδος πρός ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί , ὅταν ὁ ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἄγω εὐθεῖα ἐν εἷς ὁ ἐπίπεδος ὁ λοιπός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί .
euclides-geom.elementa 11.def.5
εὐθείας πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστίν , ὅταν ἀπὸ τοῦ μετεώρου πέρατος τῆς εὐθείας ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ , καὶ ἀπὸ τοῦ γενομένου σημείου ἐπὶ τὸ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ πέρας τῆς εὐθείας εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ , ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῆς ἀχθείσης καὶ τῆς ἐφεστώσης .
Lemmas: εὐθεῖα πρός ἐπίπεδος κλίσις εἰμί , ὅταν ἀπό ὁ μετέωρος πέρας ὁ εὐθεῖα ἐπί ὁ ἐπίπεδος κάθετος ἄγω , καί ἀπό ὁ γίγνομαι σημεῖον ἐπί ὁ ἐν ὁ ἐπίπεδος πέρας ὁ εὐθεῖα εὐθύς ἐπιζεύγνυμι , ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ ἄγω καί ὁ ἐφίστημι .
euclides-geom.elementa 11.def.6
ἐπιπέδου πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὀξεῖα γωνία ὑπὸ τῶν πρὸς ὀρθὰς τῇ κοινῇ τομῇ ἀγομένων πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων .
Lemmas: ἐπίπεδος πρός ἐπίπεδος κλίσις εἰμί ὁ περιέχω ὀξύς γωνία ὑπό ὁ πρός ὀρθός ὁ κοινός τομή ἄγω πρός ὁ αὐτός σημεῖον ἐν ἑκάτερος ὁ ἐπίπεδος .
euclides-geom.elementa 11.def.7
ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον , ὅταν αἱ εἰρημέναι τῶν κλίσεων γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν .
Lemmas: ἐπίπεδος πρός ἐπίπεδος ὅμοιος κλίνω λέγω καί ἕτερος πρός ἕτερος , ὅταν ὁ λέγω ὁ κλίσις γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
euclides-geom.elementa 11.def.8
παράλληλα ἐπίπεδά ἐστι τὰ ἀσύμπτωτα .
Lemmas: παράλληλος ἐπίπεδος εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος .
euclides-geom.elementa 11.def.9
ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τὸ πλῆθος .
Lemmas: ὅμοιος στερεός σχῆμα εἰμί ὁ ὑπό ὅμοιος ἐπίπεδος περιέχω ἴσος ὁ πλῆθος .
euclides-geom.elementa 11.def.10
ἴσα δὲ καὶ ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τῷ πλήθει καὶ τῷ μεγέθει .
Lemmas: ἴσος δέ καί ὅμοιος στερεός σχῆμα εἰμί ὁ ὑπό ὅμοιος ἐπίπεδος περιέχω ἴσος ὁ πλῆθος καί ὁ μέγεθος .
euclides-geom.elementa 11.def.11
στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐν τῇ αὐτῇ ἐπιφανείᾳ οὐσῶν πρὸς πάσαις ταῖς γραμμαῖς κλίσις . ἄλλως · στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο γωνιῶν ἐπιπέδων περιεχομένη μὴ οὐσῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων .
Lemmas: στερεός γωνία εἰμί ὁ ὑπό πολύς ἤ δύο γραμμή ἅπτω ἀλλήλων καί μή ἐν ὁ αὐτός ἐπιφάνεια εἰμί πρός πᾶς ὁ γραμμή κλίσις . ἄλλος · στερεός γωνία εἰμί ὁ ὑπό πολύς ἤ δύο γωνία ἐπίπεδος περιέχω μή εἰμί ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός εἷς σημεῖον συνίστημι .
euclides-geom.elementa 11.def.12
πυραμίς ἐστι σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περιεχόμενον ἀπὸ ἑνὸς ἐπιπέδου πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνεστώς .
Lemmas: πυραμίς εἰμί σχῆμα στερεός ἐπίπεδος περιέχω ἀπό εἷς ἐπίπεδος πρός εἷς σημεῖον συνίστημι .
euclides-geom.elementa 11.def.13
πρίσμα ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περιεχόμενον , ὧν δύο τὰ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστι καὶ παράλληλα , τὰ δὲ λοιπὰ παραλληλόγραμμα .
Lemmas: πρίσμα εἰμί σχῆμα στερεός ἐπίπεδος περιέχω , ὅς δύο ὁ ἀπεναντίον ἴσος τε καί ὅμοιος εἰμί καί παράλληλος , ὁ δέ λοιπός παραλληλόγραμμος .
euclides-geom.elementa 11.def.14
σφαῖρά ἐστιν , ὅταν ἡμικυκλίου μενούσης τῆς διαμέτρου περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , τὸ περιληφθὲν σχῆμα .
Lemmas: σφαῖρα εἰμί , ὅταν ἡμικύκλιον μένω ὁ διάμετρος περιφέρω ὁ ἡμικύκλιον εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ περιλαμβάνω σχῆμα .
euclides-geom.elementa 11.def.15
ἄξων δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα , περὶ ἣν τὸ ἡμικύκλιον στρέφεται .
Lemmas: ἄξων δέ ὁ σφαῖρα εἰμί ὁ μένω εὐθύς , περί ὅς ὁ ἡμικύκλιος στρέφω .
euclides-geom.elementa 11.def.16
κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶ τὸ αὐτό , ὃ καὶ τοῦ ἡμικυκλίου .
Lemmas: κέντρον δέ ὁ σφαῖρα εἰμί ὁ αὐτός , ὅς καί ὁ ἡμικύκλιον .
euclides-geom.elementa 11.def.17
διάμετρος δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας .
Lemmas: διάμετρος δέ ὁ σφαῖρα εἰμί εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ἄγω καί περατόω ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα .
euclides-geom.elementa 11.def.18
κῶνός ἐστιν , ὅταν ὀρθογωνίου τριγώνου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , τὸ περιληφθὲν σχῆμα . κἂν μὲν ἡ μένουσα εὐθεῖα ἴση ᾖ τῇ λοιπῇ περὶ τὴν ὀρθὴν περιφερομένῃ , ὀρθογώνιος ἔσται ὁ κῶνος , ἐὰν δὲ ἐλάττων , ἀμβλυγώνιος , ἐὰν δὲ μείζων , ὀξυγώνιος .
Lemmas: κῶνος εἰμί , ὅταν ὀρθογώνιον τρίγωνον μένω εἷς πλευρά ὁ περί ὁ ὀρθός γωνία περιφέρω ὁ τρίγωνον εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ περιλαμβάνω σχῆμα . ἐάν μέν ὁ μένω εὐθύς ἴσος εἰμί ὁ λοιπός περί ὁ ὀρθός περιφέρω , ὀρθογώνιος εἰμί ὁ κῶνος , ἐάν δέ ἐλαχύς , ἀμβλυγώνιος , ἐάν δέ μέγας , ὀξυγώνιος .
euclides-geom.elementa 11.def.19
ἄξων δὲ τοῦ κώνου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα , περὶ ἣν τὸ τρίγωνον στρέφεται .
Lemmas: ἄξων δέ ὁ κῶνος εἰμί ὁ μένω εὐθύς , περί ὅς ὁ τρίγωνος στρέφω .
euclides-geom.elementa 11.def.20
βάσις δὲ ὁ κύκλος ὁ ὑπὸ τῆς περιφερομένης εὐθείας γραφόμενος .
Lemmas: βάσις δέ ὁ κύκλος ὁ ὑπό ὁ περιφέρω εὐθεῖα γράφω .
euclides-geom.elementa 11.def.21
κύλινδρός ἐστιν , ὅταν ὀρθογωνίου παραλληλογράμμου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθὲν τὸ παραλληλόγραμμον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , τὸ περιληφθὲν σχῆμα .
Lemmas: κύλινδρος εἰμί , ὅταν ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμος μένω εἷς πλευρά ὁ περί ὁ ὀρθός γωνία περιφέρω ὁ παραλληλόγραμμος εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ περιλαμβάνω σχῆμα .
euclides-geom.elementa 11.def.22
ἄξων δὲ τοῦ κυλίνδρου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα , περὶ ἣν τὸ παραλληλόγραμμον στρέφεται .
Lemmas: ἄξων δέ ὁ κύλινδρος εἰμί ὁ μένω εὐθύς , περί ὅς ὁ παραλληλόγραμμος στρέφω .
euclides-geom.elementa 11.def.23
βάσεις δὲ οἱ κύκλοι οἱ ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον περιαγομένων δύο πλευρῶν γραφόμενοι .
Lemmas: βάσις δέ ὁ κύκλος ὁ ὑπό ὁ ἀπεναντίον περιάγω δύο πλευρά γράφω .
euclides-geom.elementa 11.def.24
ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροί εἰσιν , ὧν οἵ τε ἄξονες καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων ἀνάλογόν εἰσιν .
Lemmas: ὅμοιος κῶνος καί κύλινδρος εἰμί , ὅς ὁ τε ἄξων καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις ἀνάλογος εἰμί .
euclides-geom.elementa 11.def.25
κύβος ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ἓξ τετραγώνων ἴσων περιεχόμενον .
Lemmas: κύβος εἰμί σχῆμα στερεός ὑπό ἕξ τετράγωνος ἴσος περιέχω .
euclides-geom.elementa 11.def.26
ὀκτάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον .
Lemmas: ὀκτάεδρος εἰμί σχῆμα στερεός ὑπό ὀκτώ τρίγων ἴσος καί ἰσόπλευρος περιέχω .
euclides-geom.elementa 11.def.27
εἰκοσάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον .
Lemmas: εἰκοσάεδρος εἰμί σχῆμα στερεός ὑπό εἴκοσι τρίγων ἴσος καί ἰσόπλευρος περιέχω .
euclides-geom.elementa 11.def.28
δωδεκάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον .
Lemmas: δωδεκάεδρος εἰμί σχῆμα στερεός ὑπό δώδεκα πεντάγωνος ἴσος καί ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος περιέχω .
euclides-geom.elementa 11.prop.1
εὐθείας γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ , ἐπιπέδῳ , μέρος δέ τι ἐν μετεωροτέρῳ . εἰ γὰρ δυνατόν , εὐθείας γραμμῆς τῆς ΑΒΓ μέρος μέν τι τὸ ΑΒ ἔστω ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , μέρος δέ τι τὸ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ . ἔσται δή τις τῇ ΑΒ συνεχὴς εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ . ἔστω ἡ ΒΔ · δύο ἄρα εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ , ΑΒΔ κοινὸν τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον , ἐπειδήπερ ἐὰν κέντρῳ τῷ Β καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλον γράψωμεν , αἱ διάμετροι ἀνίσους ἀπολήψονται τοῦ κύκλου περιφερείας . εὐθείας ἄρα γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , τὸ δὲ ἐν μετεωροτέρῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὐθύς γραμμή μέρος μέν τις οὐ εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι , ἐπίπεδος , μέρος δέ τις ἐν μετέωρος . εἰ γάρ δυνατός , εὐθύς γραμμή ὁ ΑΒΓ μέρος μέν τις ὁ ΑΒ εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , μέρος δέ τις ὁ ΒΓ ἐν μετέωρος . εἰμί δή τις ὁ ΑΒ συνεχής εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . εἰμί ὁ ΒΔ · δύο ἄρα εὐθεῖα ὁ ΑΒΓ , ΑΒΔ κοινός τμῆμα εἰμί ὁ ΑΒ · ὅς εἰμί ἀδύνατος , ἐπειδή ἐάν κέντρον ὁ Β καί διάστημα ὁ ΑΒ κύκλος γράφω , ὁ διάμετρος ἄνισος ἀπολαμβάνω ὁ κύκλος περιφέρεια . εὐθύς ἄρα γραμμή μέρος μέν τις οὐ εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , ὁ δέ ἐν μετέωρος · ὅς δέω δείκνυμι .