euclides-geom.elementa 12.prop.5
αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις . ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες , ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ τρίγωνα , κορυφαὶ δὲ τὰ Η , Θ σημεῖα · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα . εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα , ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον . ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Χ , καὶ διῃρήσθω ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα · τὰ δὴ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος . καὶ πάλιν αἱ ἐκ τῆς διαιρέσεως γινόμεναι πυραμίδες ὁμοίως διῃρήσθωσαν , καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω , ἕως οὗ λειφθῶσί τινες πυραμίδες ἀπὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος , αἵ εἰσιν ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς , ᾗ ὑπερέχει ἡ ΔΕ ΖΘ πυραμὶς τοῦ Χ στερεοῦ . λελείφθωσαν καὶ ἔστωσαν λόγου ἕνεκεν αἱ ΔΠΡΣ , ΣΤΥΘ · λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΔΕ ΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Χ στερεοῦ . διῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ὁμοίως καὶ ἰσοπληθῶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα . ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν , οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα · ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα , οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα . μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῶν ἐν αὐτῇ πρισμάτων · μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Χ στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρισμάτων . ἀλλὰ καὶ ἔλαττον · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι οὐδὲ ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν , οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος στερεόν . λέγω δή , ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Χ · ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν , οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα . ὡς δὲ τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα , οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος , ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν , οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος · ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί πυραμίς καί τρίγωνος ἔχω βάσις πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . εἰμί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ τρίγωνος , κορυφή δέ ὁ Η , Θ σημεῖον · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς . εἰ γάρ μή εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς , εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ἤτοι πρός ἐλαχύς τις ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς στερεός ἤ πρός μέγας . εἰμί πρότερος πρός ἐλαχύς ὁ Χ , καί διαιρέω ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς εἰς τε δύο πυραμίς ἴσος ἀλλήλων καί ὅμοιος ὁ ὅλος καί εἰς δύο πρίσμα ἴσος · ὁ δή δύο πρίσμα μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος πυραμίς . καί πάλιν ὁ ἐκ ὁ διαίρεσις γίγνομαι πυραμίς ὅμοιος διαιρέω , καί οὗτος ἀεί γίγνομαι , ἕως ὅς λείπω τις πυραμίς ἀπό ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ΔΕ ΖΘ πυραμίς ὁ Χ στερεός . λείπω καί εἰμί λόγος ἕνεκα ὁ ΔΠΡΣ , ΣΤΥΘ · λοιπός ἄρα ὁ ἐν ὁ ΔΕ ΖΘ πυραμίς πρίσμα μέγας εἰμί ὁ Χ στερεός . διαιρέω καί ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὅμοιος καί ἰσοπληθής ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ἐν ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρίσμα πρός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρίσμα . ἀλλά καί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ὁ Χ στερεός · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ὁ Χ στερεός , οὕτως ὁ ἐν ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρίσμα πρός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρίσμα · ἐναλλάξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ὁ ἐν αὐτός πρίσμα , οὕτως ὁ Χ στερεός πρός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρίσμα . μέγας δέ ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὁ ἐν αὐτός πρίσμα · μέγας ἄρα καί ὁ Χ στερεός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρίσμα . ἀλλά καί ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ἐλαχύς τις ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς στερεός . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ὡς ὁ ΔΕΖ βάσις πρός ὁ ΑΒΓ βάσις , οὕτως ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς στερεός . λέγω δή , ὅτι οὐ εἰμί οὐδέ ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός μέγας τις ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς στερεός . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί πρός μέγας ὁ Χ · ἀνάπαλιν ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΔΕΖ βάσις πρός ὁ ΑΒΓ βάσις , οὕτως ὁ Χ στερεός πρός ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς . ὡς δέ ὁ Χ στερεός πρός ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς , οὕτως ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς , ὡς ἔμπροσθεν δείκνυμι · καί ὡς ἄρα ὁ ΔΕΖ βάσις πρός ὁ ΑΒΓ βάσις , οὕτως ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς · ὅς ἄτοπος δείκνυμι . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός μέγας τις ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς στερεός . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ πρός ἐλαχύς . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΔΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς · ὅς δέω δείκνυμι .