ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 3.prop.20
ἐν κύκλῳ ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ , ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ αὐτοῦ γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ , πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ , ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ · λέγω , ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ . ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΑΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ , ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΑΒ , ΕΒΑ γωνίαι τῆς ὑπὸ ΕΑΒ διπλασίους εἰσίν . ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ταῖς ὑπὸ ΕΑΒ , ΕΒΑ · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ἄρα τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐστι διπλῆ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΑΓ ἐστι διπλῆ . ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὅλης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ ἐστι διπλῆ . Κεκλάσθω δὴ πάλιν , καὶ ἔστω ἑτέρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ , ὧν ἡ ὑπὸ ΗΕΒ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΕΔΒ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΔΓ . ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ , ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν κύκλος ὁ πρός ὁ κέντρον γωνία διπλασίων εἰμί ὁ πρός ὁ περιφέρεια , ὅταν ὁ αὐτός περιφέρεια βάσις ἔχω ὁ γωνία . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί πρός μέν ὁ κέντρον αὐτός γωνία εἰμί ὁ ὑπό ΒΕΓ , πρός δέ ὁ περιφέρεια ὁ ὑπό ΒΑΓ , ἔχω δέ ὁ αὐτός περιφέρεια βάσις ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι διπλασίων εἰμί ὁ ὑπό ΒΕΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΕ διάγω ἐπί ὁ Ζ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΕΑ ὁ ΕΒ , ἴσος καί γωνία ὁ ὑπό ΕΑΒ ὁ ὑπό ΕΒΑ · ὁ ἄρα ὑπό ΕΑΒ , ΕΒΑ γωνία ὁ ὑπό ΕΑΒ διπλάσιος εἰμί . ἴσος δέ ὁ ὑπό ΒΕΖ ὁ ὑπό ΕΑΒ , ΕΒΑ · καί ὁ ὑπό ΒΕΖ ἄρα ὁ ὑπό ΕΑΒ εἰμί διπλόος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΖΕΓ ὁ ὑπό ΕΑΓ εἰμί διπλόος . ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΕΓ ὅλος ὁ ὑπό ΒΑΓ εἰμί διπλόος . κλάω δή πάλιν , καί εἰμί ἕτερος γωνία ὁ ὑπό ΒΔΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Η . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι διπλόος εἰμί ὁ ὑπό ΗΕΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΓ , ὅς ὁ ὑπό ΗΕΒ διπλόος εἰμί ὁ ὑπό ΕΔΒ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΕΓ διπλόος εἰμί ὁ ὑπό ΒΔΓ . ἐν κύκλος ἄρα ὁ πρός ὁ κέντρον γωνία διπλασίων εἰμί ὁ πρός ὁ περιφέρεια , ὅταν ὁ αὐτός περιφέρεια βάσις ἔχω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.21
ἐν κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῷ ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΑΔ , ΒΕΔ · λέγω , ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΔ , ΒΕΔ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . εἰλήφθω γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ κέντρον , καὶ ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ , ΖΔ . καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστίν , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τῇ περιφερείᾳ , καὶ ἔχουσι τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓΔ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΔ ἐστι διπλασίων · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ . ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν κύκλος ὁ ἐν ὁ αὐτός τμῆμα γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καί ἐν ὁ αὐτός τμῆμα ὁ ΒΑΕΔ γωνία εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ΒΕΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ΒΕΔ γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί . λαμβάνω γάρ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ κέντρον , καί εἰμί ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΖ , ΖΔ . καί ἐπεί ὁ μέν ὑπό ΒΖΔ γωνία πρός ὁ κέντρον εἰμί , ὁ δέ ὑπό ΒΑΔάς πρός ὁ περιφέρεια , καί ἔχω ὁ αὐτός περιφέρεια βάσις ὁ ΒΓΔ , ὁ ἄρα ὑπό ΒΖΔ γωνία διπλασίων εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΔάς . διά ὁ αὐτός δή ὁ ὑπό ΒΖΔ καί ὁ ὑπό ΒΕΔ εἰμί διπλασίων · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΔάς ὁ ὑπό ΒΕΔ . ἐν κύκλος ἄρα ὁ ἐν ὁ αὐτός τμῆμα γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.22
τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ · λέγω , ὅτι αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ΒΔ . ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ , ΑΒΓ , ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ · ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ · ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ · ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ , ΑΓΒ ἴση ἐστίν . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΑΓ , ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν . ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΑΓ , ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ , ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐν ὁ κύκλος τετράπλευρος ὁ ἀπεναντίον γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καί ἐν αὐτός τετράπλευρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ἀπεναντίον γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , ΒΔ . ἐπεί οὖν πᾶς τρίγωνον ὁ τρεῖς γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί , ὁ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον ὁ τρεῖς γωνία ὁ ὑπό ΓΑΒ , ΑΒΓ , ΒΓΑ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ἴσος δέ ὁ μέν ὑπό ΓΑΒ ὁ ὑπό ΒΔΓ · ἐν γάρ ὁ αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΒΑΔΓ · ὁ δέ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΑΔΒ · ἐν γάρ ὁ αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΑΔΓΒ · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΔΓ ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΑΓΒ ἴσος εἰμί . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΑΒΓ · ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΓ , ΒΑΓ , ΑΓΒ ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΑΔΓ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΑΓ , ΑΓΒ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . καί ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΑΔΓ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ΔΓΒ γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα ἐν ὁ κύκλος τετράπλευρος ὁ ἀπεναντίον γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.23
ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα οὐ συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη . εἰ γὰρ δυνατόν , ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συνεστάτω ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ ΑΓΒ , ΑΔΒ , καὶ διήχθω ἡ ΑΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ , ΔΒ . ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ τμῆμα τῷ ΑΔΒ τμήματι , ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα δύο τμῆμα κύκλος ὅμοιος καί ἄνισος οὐ συνίστημι ἐπί ὁ αὐτός μέρος . εἰ γάρ δυνατός , ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα ὁ ΑΒ δύο τμῆμα κύκλος ὅμοιος καί ἄνισος συνίστημι ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ ΑΓΒ , ΑΔΒ , καί διάγω ὁ ΑΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΒ , ΔΒ . ἐπεί οὖν ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΓΒ τμῆμα ὁ ΑΔΒ τμῆμα , ὅμοιος δέ τμῆμα κύκλος εἰμί ὁ δέχομαι γωνία ἴσος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ γωνία ὁ ὑπό ΑΔΒ ὁ ἐκτός ὁ ἐντός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα δύο τμῆμα κύκλος ὅμοιος καί ἄνισος συνίστημι ἐπί ὁ αὐτός μέρος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.24
τὰ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΓΔ ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΕΒ , ΓΖΔ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα τῷ ΓΖΔ τμήματι . Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΕΒ τμήματος ἐπὶ τὸ ΓΖΔ καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Γ τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ , ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ · τῆς δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμοσάσης ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ . εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμόσει , τὸ δὲ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ μὴ ἐφαρμόσει , ἤτοι ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ παραλλάξει ὡς τὸ ΓΗΔ , καὶ κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ · ἐφαρμόσει ἄρα , καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται . τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐπί ἴσος εὐθεῖα ὅμοιος τμῆμα κύκλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί γάρ ἐπί ἴσος εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ ὅμοιος τμῆμα κύκλος ὁ ΑΕΒ , ΓΖΔ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΕΒ τμῆμα ὁ ΓΖΔ τμῆμα . ἐφαρμόζω γάρ ὁ ΑΕΒ τμῆμα ἐπί ὁ ΓΖΔ καί τίθημι ὁ μέν Α σημεῖον ἐπί ὁ Γ ὁ δέ ΑΒ εὐθεῖα ἐπί ὁ ΓΔ , ἐφαρμόζω καί ὁ Β σημεῖον ἐπί ὁ Δ σημεῖον διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · ὁ δέ ΑΒ ἐπί ὁ ΓΔ ἐφαρμόζω ἐφαρμόζω καί ὁ ΑΕΒ τμῆμα ἐπί ὁ ΓΖΔ . εἰ γάρ ὁ ΑΒ εὐθύς ἐπί ὁ ΓΔ ἐφαρμόζω , ὁ δέ ΑΕΒ τμῆμα ἐπί ὁ ΓΖΔ μή ἐφαρμόζω , ἤτοι ἐντός αὐτός πίπτω ἤ ἐκτός ἤ παραλλάσσω ὡς ὁ ΓΗΔ , καί κύκλος κύκλος τέμνω κατά πολύς σημεῖον ἤ δύο · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἐφαρμόζω ὁ ΑΒ εὐθεῖα ἐπί ὁ ΓΔ οὐ ἐφαρμόζω καί ὁ ΑΕΒ τμῆμα ἐπί ὁ ΓΖΔ · ἐφαρμόζω ἄρα , καί ἴσος αὐτός εἰμί . ὁ ἄρα ἐπί ἴσος εὐθεῖα ὅμοιος τμῆμα κύκλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.26
ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν , ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι . ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αἱ ὑπὸ ΒΗΓ , ΕΘΖ , πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΕΔΖ · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ , ΕΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλοι , ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων · δύο δὴ αἱ ΒΗ , ΗΓ δύο ταῖς ΕΘ , ΘΖ ἴσαι · καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ η γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμήματι · καί εἰσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν · τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ἴσον ἄρα τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ . ἔστι δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος · λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση . ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν , ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ἴσος κύκλος ὁ ἴσος γωνία ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω , ἐάν τε πρός ὁ κέντρον ἐάν τε πρός ὁ περιφέρεια εἰμί βαίνω . εἰμί ἴσος κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ καί ἐν αὐτός ἴσος γωνία εἰμί πρός μέν ὁ κέντρον ὁ ὑπό ΒΗΓ , ΕΘΖ , πρός δέ ὁ περιφέρεια ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΕΔΖ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΒΚΓ περιφέρεια ὁ ΕΛΖ περιφέρεια . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΓ , ΕΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον · δύο δή ὁ ΒΗ , ΗΓ δύο ὁ ΕΘ , ΘΖ ἴσος · καί γωνία ὁ πρός ὁ η̅ γωνία ὁ πρός ὁ Θ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Α γωνία ὁ πρός ὁ Δ , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΑΓ τμῆμα ὁ ΕΔΖ τμῆμα · καί εἰμί ἐπί ἴσος εὐθεῖα · ὁ δέ ἐπί ἴσος εὐθεῖα ὅμοιος τμῆμα κύκλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ΒΑΓ τμῆμα ὁ ΕΔΖ . εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλος ὁ ΔΕΖ κύκλος ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ΒΚΓ περιφέρεια ὁ ΕΛΖ περιφέρεια εἰμί ἴσος . ἐν ἄρα ὁ ἴσος κύκλος ὁ ἴσος γωνία ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω , ἐάν τε πρός ὁ κέντρον ἐάν τε πρός ὁ περιφέρεια εἰμί βαίνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.27
ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι . ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν τῶν ΒΓ , ΕΖ πρὸς μὲν τοῖς Η , Θ κέντροις γωνίαι βεβηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ , ΕΘΖ , πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΕΔΖ · λέγω , ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση . εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ , μία αὐτῶν μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΗΓ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΚ · αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν , ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν · ἴση ἄρα ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ . ἀλλὰ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ · ἴση ἄρα . καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Α , τῆς δὲ ὑπὸ ΕΘΖ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Δ · ἴση ἄρα καὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ . ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ἴσος κύκλος ὁ ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ἐάν τε πρός ὁ κέντρον ἐάν τε πρός ὁ περιφέρεια εἰμί βαίνω . ἐν γάρ ἴσος κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἐπί ἴσος περιφέρεια ὁ ΒΓ , ΕΖ πρός μέν ὁ Η , Θ κέντρον γωνία βεβηκέω ὁ ὑπό ΒΗΓ , ΕΘΖ , πρός δέ ὁ περιφέρεια ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΕΔΖ · λέγω , ὅτι ὁ μέν ὑπό ΒΗΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΘΖ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ εἰμί ἴσος . εἰ γάρ ἄνισος εἰμί ὁ ὑπό ΒΗΓ ὁ ὑπό ΕΘΖ , εἷς αὐτός μέγας εἰμί . εἰμί μέγας ὁ ὑπό ΒΗΓ , καί συνίστημι πρός ὁ ΒΗ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Η ὁ ὑπό ΕΘΖ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΗΚ · ὁ δέ ἴσος γωνία ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω , ὅταν πρός ὁ κέντρον εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ΒΚ περιφέρεια ὁ ΕΖ περιφέρεια . ἀλλά ὁ ΕΖ ὁ ΒΓ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΒΚ ἄρα ὁ ΒΓ εἰμί ἴσος ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἄνισος εἰμί ὁ ὑπό ΒΗΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΘΖ · ἴσος ἄρα . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΒΗΓ ἥμισυς ὁ πρός ὁ Α , ὁ δέ ὑπό ΕΘΖ ἥμισυς ὁ πρός ὁ Δ · ἴσος ἄρα καί ὁ πρός ὁ Α γωνία ὁ πρός ὁ Δ . ἐν ἄρα ὁ ἴσος κύκλος ὁ ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ἐάν τε πρός ὁ κέντρον ἐάν τε πρός ὁ περιφέρεια εἰμί βαίνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.28
ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι . ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καὶ ἐν τοῖς κύκλοις ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ , ΔΕ τὰς μὲν ΑΓΒ , ΔΖΕ περιφερείας μείζονας ἀφαιροῦσαι τὰς δὲ ΑΗΒ , ΔΘΕ ἐλάττονας · λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΑΓΒ μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείζονι περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάττων περιφέρεια τῇ ΔΘΕ . εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Κ , Λ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ , ΚΒ , ΔΛ , ΛΕ . καὶ ἐπεὶ ἴσοι κύκλοι εἰσίν , ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων · δύο δὴ αἱ ΑΚ , ΚΒ δυσὶ ταῖς ΔΛ , ΛΕ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΔΕ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΕ ἴση ἐστίν . αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν , ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν · ἴση ἄρα ἡ ΑΗΒ περιφέρεια τῇ ΔΘΕ . ἐστὶ δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν . ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ἴσος κύκλος ὁ ἴσος εὐθεῖα ἴσος περιφέρεια ἀφαιρέω ὁ μέν μέγας ὁ μέγας ὁ δέ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς . εἰμί ἴσος κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καί ἐν ὁ κύκλος ἴσος εὐθεῖα εἰμί ὁ ΑΒ , ΔΕ ὁ μέν ΑΓΒ , ΔΖΕ περιφέρεια μέγας ἀφαιρέω ὁ δέ ΑΗΒ , ΔΘΕ ἐλαχύς · λέγω , ὅτι ὁ μέν ΑΓΒ μέγας περιφέρεια ἴσος εἰμί ὁ ΔΖΕ μέγας περιφέρεια , ὁ δέ ΑΗΒ ἐλαχύς περιφέρεια ὁ ΔΘΕ . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Κ , Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΚ , ΚΒ , ΔΛ , ΛΕ . καί ἐπεί ἴσος κύκλος εἰμί , ἴσος εἰμί καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον · δύο δή ὁ ΑΚ , ΚΒ δύο ὁ ΔΛ , ΛΕ ἴσος εἰμί · καί βάσις ὁ ΑΒ βάσις ὁ ΔΕ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΚΒ γωνία ὁ ὑπό ΔΛΕ ἴσος εἰμί . ὁ δέ ἴσος γωνία ἐπί ἴσος περιφέρεια βαίνω , ὅταν πρός ὁ κέντρον εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ΑΗΒ περιφέρεια ὁ ΔΘΕ . εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλος ὁ ΔΕΖ κύκλος ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΓΒ περιφέρεια λοιπός ὁ ΔΖΕ περιφέρεια ἴσος εἰμί . ἐν ἄρα ὁ ἴσος κύκλος ὁ ἴσος εὐθεῖα ἴσος περιφέρεια ἀφαιρέω ὁ μέν μέγας ὁ μέγας ὁ δέ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.29
ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν . ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΒΗΓ , ΕΘΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , ΕΖ εὐθεῖαι · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ . εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων , καὶ ἔστω τὰ Κ , Λ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ , ΚΓ , ΕΛ , ΛΖ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗΓ περιφέρεια τῇ ΕΘΖ περιφερείᾳ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ τῇ ὑπὸ ΕΛΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλοι , ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων · δύο δὴ αἱ ΒΚ , ΚΓ δυσὶ ταῖς ΕΛ , ΛΖ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν · βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν . ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ἴσος κύκλος ὁ ἴσος περιφέρεια ἴσος εὐθεῖα ὑποτείνω . εἰμί ἴσος κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καί ἐν αὐτός ἴσος περιφέρεια ἀπολαμβάνω ὁ ΒΗΓ , ΕΘΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , ΕΖ εὐθεῖα · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , καί εἰμί ὁ Κ , Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΚ , ΚΓ , ΕΛ , ΛΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΗΓ περιφέρεια ὁ ΕΘΖ περιφέρεια , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΒΚΓ ὁ ὑπό ΕΛΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ κύκλος , ἴσος εἰμί καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον · δύο δή ὁ ΒΚ , ΚΓ δύο ὁ ΕΛ , ΛΖ ἴσος εἰμί · καί γωνία ἴσος περιέχω · βάσις ἄρα ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί . ἐν ἄρα ὁ ἴσος κύκλος ὁ ἴσος περιφέρεια ἴσος εὐθεῖα ὑποτείνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.30
τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν . ἔστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ · δεῖ δὴ τὴν ΑΔΒ περιφέρειαν δίχα τεμεῖν . ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΔΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ , δύο δὴ αἱ ΑΓ , ΓΔ δυσὶ ταῖς ΒΓ , ΓΔ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση · ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα · βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν . αἱ δὲ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι · καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΔ , ΔΒ περιφερειῶν ἐλάττων ἡμικυκλίου · ἴση ἄρα ἡ ΑΔ περιφέρεια τῇ ΔΒ περιφερείᾳ . ἡ ἄρα δοθεῖσα περιφέρεια δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι περιφέρεια δίχα τέμνω . εἰμί ὁ δίδωμι περιφέρεια ὁ ΑΔΒ · δέω δή ὁ ΑΔΒ περιφέρεια δίχα τέμνω . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , καί τέμνω δίχα κατά ὁ Γ , καί ἀπό ὁ Γ σημεῖον ὁ ΑΒ εὔθεια πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΔΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , κοινός δέ ὁ ΓΔ , δύο δή ὁ ΑΓ , ΓΔ δύο ὁ ΒΓ , ΓΔ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΓΔ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΔ ἴσος · ὀρθός γάρ ἑκάτερος · βάσις ἄρα ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΔΒ ἴσος εἰμί . ὁ δέ ἴσος εὐθεῖα ἴσος περιφέρεια ἀφαιρέω ὁ μέν μέγας ὁ μέγας ὁ δέ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς · καί εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΔ , ΔΒ περιφέρεια ἐλαχύς ἡμικύκλιον · ἴσος ἄρα ὁ ΑΔ περιφέρεια ὁ ΔΒ περιφέρεια . ὁ ἄρα δίδωμι περιφέρεια δίχα τέμνω κατά ὁ Δ σημεῖον · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 3.prop.34
ἀπὸ τοῦ δοθέντος κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ , ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Δ · δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ . ἤχθω τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΖΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΒΓ . ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ , καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Β ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΒΓ , ἡ ὑπὸ ΖΒΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΓ ἐναλλὰξ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ πρὸς τῷ Δ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ἐν τῷ ΒΑΓ ἄρα τμήματι ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ . ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἄρα κύκλου τοῦ ΑΒΓ τμῆμα ἀφῄρηται τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἀπό ὁ δίδωμι κύκλος τμῆμα ἀφαιρέω δέχομαι γωνία ἴσος ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ πρός ὁ Δ · δέω δή ἀπό ὁ ΑΒΓ κύκλος τμῆμα ἀφαιρέω δέχομαι γωνία ἴσος ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ πρός ὁ Δ . ἄγω ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω ὁ ΕΖ κατά ὁ Β σημεῖον , καί συνίστημι πρός ὁ ΖΒ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Β ὁ πρός ὁ Δ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΖΒΓ . ἐπεί οὖν κύκλος ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΕΖ , καί ἀπό ὁ κατά ὁ Β ἐπαφή διάγω ὁ ΒΓ , ὁ ὑπό ΖΒΓ ἄρα γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ΒΑΓ ἐναλλάξ τμῆμα συνίστημι γωνία . ἀλλά ὁ ὑπό ΖΒΓ ὁ πρός ὁ Δ εἰμί ἴσος · καί ὁ ἐν ὁ ΒΑΓ ἄρα τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Δ . ἀπό ὁ δίδωμι ἄρα κύκλος ὁ ΑΒΓ τμῆμα ἀφαιρέω ὁ ΒΑΓ δέχομαι γωνία ἴσος ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ πρός ὁ Δ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.def.1
σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς σχῆμα εὐθύγραμμον ἐγγράφεσθαι λέγεται , ὅταν ἑκάστη τῶν τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος γωνιῶν ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ , εἰς ὃ ἐγγράφεται , ἅπτηται .
Lemmas: σχῆμα εὐθύγραμμος εἰς σχῆμα εὐθύγραμμος ἐγγράφω λέγω , ὅταν ἕκαστος ὁ ὁ ἐγγράφω σχῆμα γωνία ἕκαστος πλευρά ὁ , εἰς ὅς ἐγγράφω , ἅπτω .
euclides-geom.elementa 4.def.2
σχῆμα δὲ ὁμοίως περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται , ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἑκάστης γωνίας τοῦ , περὶ ὃ περιγράφεται , ἅπτηται .
Lemmas: σχῆμα δέ ὅμοιος περί σχῆμα περιγράφω λέγω , ὅταν ἕκαστος πλευρόν ὁ περιγράφω ἕκαστος γωνία ὁ , περί ὅς περιγράφω , ἅπτω .
euclides-geom.elementa 4.def.3
σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς κύκλον ἐγγράφεσθαι λέγεται , ὅταν ἑκάστη γωνία τοῦ ἐγγραφομένου ἅπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας .
Lemmas: σχῆμα εὐθύγραμμος εἰς κύκλος ἐγγράφω λέγω , ὅταν ἕκαστος γωνία ὁ ἐγγράφω ἅπτω ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια .
euclides-geom.elementa 4.def.4
σχῆμα δὲ εὐθύγραμμον περὶ κύκλον περιγράφεσθαι λέγεται , ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἐφάπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας .
Lemmas: σχῆμα δέ εὐθύγραμμος περί κύκλος περιγράφω λέγω , ὅταν ἕκαστος πλευρόν ὁ περιγράφω ἐφάπτω ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια .
euclides-geom.elementa 4.def.5
κύκλος δὲ εἰς σχῆμα ὁμοίως ἐγγράφεσθαι λέγεται , ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ , εἰς ὃ ἐγγράφεται , ἅπτηται .
Lemmas: κύκλος δέ εἰς σχῆμα ὅμοιος ἐγγράφω λέγω , ὅταν ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ἕκαστος πλευρά ὁ , εἰς ὅς ἐγγράφω , ἅπτω .
euclides-geom.elementa 4.def.6
κύκλος δὲ περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται , ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης γωνίας τοῦ , περὶ ὃ περιγράφεται , ἅπτηται .
Lemmas: κύκλος δέ περί σχῆμα περιγράφω λέγω , ὅταν ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ἕκαστος γωνία ὁ , περί ὅς περιγράφω , ἅπτω .
euclides-geom.elementa 4.def.7
εὐθεῖα εἰς κύκλον ἐναρμόζεσθαι λέγεται , ὅταν τὰ πέρατα αὐτῆς ἐπὶ τῆς περιφερείας ᾖ τοῦ κύκλου .
Lemmas: εὐθύς εἰς κύκλος ἐναρμόζω λέγω , ὅταν ὁ πέρας αὐτός ἐπί ὁ περιφέρεια εἰμί ὁ κύκλος .
euclides-geom.elementa 4.prop.1
εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ , ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα μὴ μείζων τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἡ Δ . δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι . ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου διάμετρος ἡ ΒΓ . εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ Δ , γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν · ἐνήρμοσται γὰρ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΒΓ . εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Δ , κείσθω τῇ Δ ἴση ἡ ΓΕ , καὶ κέντρῳ τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΕ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΑΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ . ἐπεὶ οὖν τὸ Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΑΖ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΓΕ . ἀλλὰ τῇ Δ ἡ ΓΕ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ Δ ἄρα τῇ ΓΑ ἐστιν ἴση . εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τὸν ΑΒΓ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Δ ἴση ἐνήρμοσται ἡ ΓΑ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι κύκλος ὁ δίδωμι εὔθεια μή μέγας εἰμί ὁ ὁ κύκλος διάμετρος ἴσος εὐθεῖα ἐναρμόζω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ δίδωμι εὐθύς μή μέγας ὁ ὁ κύκλος διάμετρος ὁ Δ . δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ Δ εὔθεια ἴσος εὐθεῖα ἐναρμόζω . ἄγω ὁ ΑΒΓ κύκλος διάμετρος ὁ ΒΓ . εἰ μέν οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ Δ , γίγνομαι ἄν εἰμί ὁ ἐπιτάσσω · ἐναρμόζω γάρ εἰς ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ Δ εὔθεια ἴσος ὁ ΒΓ . εἰ δέ μέγας εἰμί ὁ ΒΓ ὁ Δ , κεῖμαι ὁ Δ ἴσος ὁ ΓΕ , καί κέντρον ὁ Γ διάστημα δέ ὁ ΓΕ κύκλος γράφω ὁ ΕΑΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΑ . ἐπεί οὖν ὁ Γ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΕΑΖ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΓΑ ὁ ΓΕ . ἀλλά ὁ Δ ὁ ΓΕ εἰμί ἴσος · καί ὁ Δ ἄρα ὁ ΓΑ εἰμί ἴσος . εἰς ἄρα ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δίδωμι εὔθεια ὁ Δ ἴσος ἐναρμόζω ὁ ΓΑ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.2
εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ , τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΔΕΖ · δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι . ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΗΘ κατὰ τὸ Α , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΘ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΑΓ , πρὸς δὲ τῇ ΑΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ . ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΘ , καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς εἰς τὸν κύκλον διῆκται εὐθεῖα ἡ ΑΓ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΘΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση · . εἰς τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι κύκλος ὁ δίδωμι τρίγωνον ἰσογώνιος τρίγωνος ἐγγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ δίδωμι τρίγωνον ὁ ΔΕΖ · δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ἰσογώνιος τρίγωνον ἐγγράφω . ἄγω ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτω ὁ ΗΘ κατά ὁ Α , καί συνίστημι πρός ὁ ΑΘ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ ὑπό ΔΕΖ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΘΑΓ , πρός δέ ὁ ΑΗ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ ὑπό ΔΖΕ ἴσος ὁ ὑπό ΗΑΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ . ἐπεί οὖν κύκλος ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΑΘ , καί ἀπό ὁ κατά ὁ Α ἐπαφή εἰς ὁ κύκλος διάγω εὐθύς ὁ ΑΓ , ὁ ἄρα ὑπό ΘΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ ὁ κύκλος τμῆμα γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ . ἀλλά ὁ ὑπό ΘΑΓ ὁ ὑπό ΔΕΖ εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ΑΒΓ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΔΖΕ εἰμί ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΓ λοιπός ὁ ὑπό ΕΔΖ εἰμί ἴσος · . εἰς ὁ δίδωμι ἄρα κύκλος ὁ δίδωμι τρίγωνον ἰσογώνιος τρίγωνον ἐγγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.3
περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ , τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΔΕΖ · δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι . Ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΖ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη κατὰ τὰ Η , Θ σημεῖα , καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Κ , καὶ διήχθω , ὡς ἔτυχεν , εὐθεῖα ἡ ΚΒ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ μὲν ὑπὸ ΔΕΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΑ , τῇ δὲ ὑπὸ ΔΖΘ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΓ , καὶ διὰ τῶν Α , Β , Γ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΑΜ , ΜΒΝ , ΝΓΛ . καὶ ἐπεὶ ἐφάπτονται τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΜ , ΜΝ , ΝΛ κατὰ τὰ Α , Β , Γ σημεῖα , ἀπὸ δὲ τοῦ Κ κέντρου ἐπὶ τὰ Α , Β , Γ σημεῖα ἐπεζευγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΑ , ΚΒ , ΚΓ , ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Α , Β , Γ σημείοις γωνίαι . καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΜΒΚ τετραπλεύρου αἱ τέσσαρες γωνίαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , ἐπειδήπερ καὶ εἰς δύο τρίγωνα διαιρεῖται τὸ ΑΜΒΚ , καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΚΑΜ , ΚΒΜ γωνίαι , λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΚΒ , ΑΜΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΕΗ , ΔΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΚΒ , ΑΜΒ ταῖς ὑπὸ ΔΕΗ , ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν , ὧν ἡ ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΝΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΛΝ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ · καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον . περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: περί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ δίδωμι τρίγωνον ἰσογώνιος τρίγωνος περιγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ δίδωμι τρίγωνον ὁ ΔΕΖ · δέω δή περί ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ἰσογώνιος τρίγωνος περιγράφω . ἐκβάλλω ὁ ΕΖ ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος κατά ὁ Η , Θ σημεῖον , καί λαμβάνω ὁ ΑΒΓ κύκλος κέντρον ὁ Κ , καί διάγω , ὡς τυγχάνω , εὐθύς ὁ ΚΒ , καί συνίστημι πρός ὁ ΚΒ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Κ ὁ μέν ὑπό ΔΕΗ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΚΑ , ὁ δέ ὑπό ΔΖΘ ἴσος ὁ ὑπό ΒΚΓ , καί διά ὁ Α , Β , Γ σημεῖον ἄγω ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΛΑΜ , ΜΒΝ , ΝΓΛ . καί ἐπεί ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΛΜ , ΜΝ , ΝΛ κατά ὁ Α , Β , Γ σημεῖον , ἀπό δέ ὁ Κ κέντρον ἐπί ὁ Α , Β , Γ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εἰμί ὁ ΚΑ , ΚΒ , ΚΓ , ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ πρός ὁ Α , Β , Γ σημεῖον γωνία . καί ἐπεί ὁ ΑΜΒΚ τετράπλευρος ὁ τέσσαρες γωνία τέσσαρες ὀρθός ἴσος εἰμί , ἐπειδή καί εἰς δύο τρίγωνος διαιρέω ὁ ΑΜΒΚ , καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΚΑΜ , ΚΒΜ γωνία , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΚΒ , ΑΜΒ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΔΕΗ , ΔΕΖ δύο ὀρθός ἴσος · ὁ ἄρα ὑπό ΑΚΒ , ΑΜΒ ὁ ὑπό ΔΕΗ , ΔΕΖ ἴσος εἰμί , ὅς ὁ ὑπό ΑΚΒ ὁ ὑπό ΔΕΗ εἰμί ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΜΒ λοιπός ὁ ὑπό ΔΕΖ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΛΝΒ ὁ ὑπό ΔΖΕ εἰμί ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΜΛΝ ὁ ὑπό ΕΔΖ εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΛΜΝ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον · καί περιγράφω περί ὁ ΑΒΓ κύκλος . περί ὁ δίδωμι ἄρα κύκλος ὁ δίδωμι τρίγωνον ἰσογώνιος τρίγωνον περιγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.4
εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι . ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ · δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι . τετμήσθωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΓΒ γωνίαι δίχα ταῖς ΒΔ , ΓΔ εὐθείαις , καὶ συμβαλλέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Δ σημεῖον , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΔΕ , ΔΖ , ΔΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ , ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση , δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΒΔ , ΖΒΔ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΔ · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν · ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΖ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση . αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΔΕ , ΔΖ , ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Ε , Ζ , Η κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε , Ζ , Η σημείοις γωνίας . εἰ γὰρ τεμεῖ αὐτάς , ἔσται ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα τοῦ κύκλου · ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη · οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε , Ζ , Η γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ εὐθείας · ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν , καὶ ἔσται ὁ κύκλος ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον . ἐγγεγράφθω ὡς ὁ ΖΗΕ . εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλος ἐγγέγραπται ὁ ΕΖΗ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι τρίγωνος κύκλος ἐγγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΒΓ · δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓ τρίγωνος κύκλος ἐγγράφω . τέμνω ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΑΓΒ γωνία δίχα ὁ ΒΔ , ΓΔ εὐθεῖα , καί συμβάλλω ἀλλήλων κατά ὁ Δ σημεῖον , καί ἄγω ἀπό ὁ Δ ἐπί ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ εὐθεῖα κάθετος ὁ ΔΕ , ΔΖ , ΔΗ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία ὁ ὑπό ΓΒΔ , εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ ὑπό ΒΕΔ ὀρθός ὁ ὑπό ΒΖΔ ἴσος , δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΕΒΔ , ΖΒΔ ὁ δύο γωνία ὁ δύο γωνία ἴσος ἔχω καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ὁ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία κοινός αὐτός ὁ ΒΔ · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω · ἴσος ἄρα ὁ ΔΕ ὁ ΔΖ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΔΗ ὁ ΔΖ εἰμί ἴσος . ὁ τρεῖς ἄρα εὐθεῖα ὁ ΔΕ , ΔΖ , ΔΗ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὁ ἄρα κέντρον ὁ Δ καί διάστημα εἷς ὁ Ε , Ζ , Η κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός σημεῖον καί ἐφάπτω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ εὐθεῖα διά ὁ ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Ε , Ζ , Η σημεῖον γωνία . εἰ γάρ τέμνω αὐτός , εἰμί ὁ ὁ διάμετρον ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ἄκρα ἄγω ἐντός πίπτω ὁ κύκλος · ὅς ἄτοπος δείκνυμι · οὐ ἄρα ὁ κέντρον ὁ Δ διάστημα δέ εἷς ὁ Ε , Ζ , Η γράφω κύκλος τέμνω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ εὐθεῖα · ἐφάπτω ἄρα αὐτός , καί εἰμί ὁ κύκλος ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . ἐγγράφω ὡς ὁ ΖΗΕ . εἰς ἄρα ὁ δίδωμι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐγγράφω ὁ ΕΖΗ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.6
εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ · δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι . ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ , ΒΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ · κέντρον γὰρ τὸ Ε · κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΑ , βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΑΔ ἴση ἐστίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ , ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ , ΑΔ ἴση ἐστίν · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον . λέγω δή , ὅτι καὶ ὀρθογώνιον . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΔ εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΔ · ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΔ , ΓΔΑ ὀρθή ἐστιν · ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον · τετράγωνον ἄρα ἐστίν . καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον . εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγέγραπται τὸ ΑΒΓΔ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι κύκλος τετράγωνος ἐγγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓΔ · δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τετράγωνος ἐγγράφω . ἄγω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος δύο διάμετρος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΑΓ , ΒΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΔ · κέντρον γάρ ὁ Ε · κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΕΑ , βάσις ἄρα ὁ ΑΒ βάσις ὁ ΑΔ ἴσος εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ΒΓ , ΓΔ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΑΔ ἴσος εἰμί · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔ τετράπλευρος . λέγω δή , ὅτι καί ὀρθογώνιον . ἐπεί γάρ ὁ ΒΔ εὐθύς διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ἡμικύκλιον ἄρα εἰμί ὁ ΒΑΔ · ὀρθός ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΔάς γωνία . διά ὁ αὐτός δή καί ἕκαστος ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΔ , ΓΔΑ ὀρθός εἰμί · ὀρθογώνιον ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔ τετράπλευρος . δείκνυμι δέ καί ἰσόπλευρος · τετράγωνος ἄρα εἰμί . καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . εἰς ἄρα ὁ δίδωμι κύκλος τετράγωνος ἐγγράφω ὁ ΑΒΓΔ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.7
περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον περιγράψαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ · δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι . ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ , ΒΔ , καὶ διὰ τῶν Α , Β , Γ , Δ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΖ . ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΖΗ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , ἀπὸ δὲ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Α ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΕΑ , αἱ ἄρα πρὸς τῷ Α γωνίαι ὀρθαί εἰσιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β , Γ , Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία , ἐστὶ δὲ ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος . ὥστε καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΖ , ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστι παράλληλος . παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶ τὰ ΗΚ , ΗΓ , ΑΚ , ΖΒ , ΒΚ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ , ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΖΚ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ , ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΘ , ΖΚ , ἡ δὲ ΒΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ , ΘΚ ἐστιν ἴση , ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρον . λέγω δή , ὅτι καὶ ὀρθογώνιον . ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΗΒΕΑ , καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ , ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ πρὸς τοῖς Θ , Κ , Ζ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν . ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον · τετράγωνον ἄρα ἐστίν . καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον . περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τετράγωνον περιγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: περί ὁ δίδωμι κύκλος τετράγωνος περιγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓΔ · δέω δή περί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τετράγωνος περιγράφω . ἄγω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος δύο διάμετρος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΑΓ , ΒΔ , καί διά ὁ Α , Β , Γ , Δ σημεῖον ἄγω ἐφάπτω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΖ . ἐπεί οὖν ἐφάπτω ὁ ΖΗ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ἀπό δέ ὁ Ε κέντρον ἐπί ὁ κατά ὁ Α ἐπαφή ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΑ , ὁ ἄρα πρός ὁ Α γωνία ὀρθός εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ πρός ὁ Β , Γ , Δ σημεῖον γωνία ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΒ γωνία , εἰμί δέ ὀρθός καί ὁ ὑπό ΕΒΗ , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΑΓ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΑΓ ὁ ΖΚ εἰμί παράλληλος . ὥστε καί ὁ ΗΘ ὁ ΖΚ εἰμί παράλληλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἑκάτερος ὁ ΗΖ , ΘΚ ὁ ΒΕΔ εἰμί παράλληλος . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΗΚ , ΗΓ , ΑΚ , ΖΒ , ΒΚ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΗΖ ὁ ΘΚ , ὁ δέ ΗΘ ὁ ΖΚ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΒΔ , ἀλλά καί ὁ μέν ΑΓ ἑκάτερος ὁ ΗΘ , ΖΚ , ὁ δέ ΒΔ ἑκάτερος ὁ ΗΖ , ΘΚ εἰμί ἴσος , ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗΘΚ τετράπλευρος . λέγω δή , ὅτι καί ὀρθογώνιον . ἐπεί γάρ παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΗΒΕΑ , καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΑΕΒ , ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΑΗΒ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ πρός ὁ Θ , Κ , Ζ γωνία ὀρθός εἰμί . ὀρθογώνιον ἄρα εἰμί ὁ ΖΗΘΚ . δείκνυμι δέ καί ἰσόπλευρος · τετράγωνος ἄρα εἰμί . καί περιγράφω περί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . περί ὁ δίδωμι ἄρα κύκλος τετράγωνος περιγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.8
εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι . ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ · δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι . τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΔ , ΑΒ δίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ σημεῖα , καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ , ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΘ , διὰ δὲ τοῦ Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ , ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΑΚ , ΚΒ , ΑΘ , ΘΔ , ΑΗ , ΗΓ , ΒΗ , ΗΔ , καὶ αἱ ἀπεναντίον αὐτῶν πλευραὶ δηλονότι ἴσαι . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ , καί ἐστι τῆς μὲν ΑΔ ἡμίσεια ἡ ΑΕ , τῆς δὲ ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ · ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΘ , ΗΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΗ , ΗΕ ἐστιν ἴση · αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΗΕ , ΗΖ , ΗΘ , ΗΚ ἴσαι ἀλλήλαις . ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε , Ζ , Θ , Κ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων · καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε , Ζ , Θ , Κ γωνίας · εἰ γὰρ τεμεῖ ὁ κύκλος τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ , ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου · ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε , Ζ , Θ , Κ κύκλος γραφόμενος τεμεῖ τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ εὐθείας . ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν καὶ ἔσται ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον . εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλος ἐγγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι τετράγωνος κύκλος ἐγγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι τετράγωνος ὁ ΑΒΓΔ · δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος κύκλος ἐγγράφω . τέμνω ἑκάτερος ὁ ΑΔ , ΑΒ δίχα κατά ὁ Ε , Ζ σημεῖον , καί διά μέν ὁ Ε ὁπότερος ὁ ΑΒ , ΓΔ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΘ , διά δέ ὁ Ζ ὁπότερος ὁ ΑΔ , ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΖΚ · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ἕκαστος ὁ ΑΚ , ΚΒ , ΑΘ , ΘΔ , ΑΗ , ΗΓ , ΒΗ , ΗΔ , καί ὁ ἀπεναντίον αὐτός πλευρά δηλονότι ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΑΒ , καί εἰμί ὁ μέν ΑΔ ἥμισυς ὁ ΑΕ , ὁ δέ ΑΒ ἥμισυς ὁ ΑΖ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΑΕ ὁ ΑΖ · ὥστε καί ὁ ἀπεναντίον · ἴσος ἄρα καί ὁ ΖΗ ὁ ΗΕ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἑκάτερος ὁ ΗΘ , ΗΚ ἑκάτερος ὁ ΖΗ , ΗΕ εἰμί ἴσος · ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ ΗΕ , ΗΖ , ΗΘ , ΗΚ ἴσος ἀλλήλων . ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ Η διάστημα δέ εἷς ὁ Ε , Ζ , Θ , Κ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός σημεῖον · καί ἐφάπτω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ εὐθεῖα διά ὁ ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Ε , Ζ , Θ , Κ γωνία · εἰ γάρ τέμνω ὁ κύκλος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ , ὁ ὁ διάμετρος ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ἄκρα ἄγω ἐντός πίπτω ὁ κύκλος · ὅς ἄτοπος δείκνυμι . οὐ ἄρα ὁ κέντρον ὁ Η διάστημα δέ εἷς ὁ Ε , Ζ , Θ , Κ κύκλος γράφω τέμνω ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ εὐθεῖα . ἐφάπτω ἄρα αὐτός καί εἰμί ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος . εἰς ἄρα ὁ δίδωμι τετράγωνος κύκλος ἐγγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.9
περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγράψαι . ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ · δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περιγράψαι . ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ , δύο δὴ αἱ ΔΑ , ΑΓ δυσὶ ταῖς ΒΑ , ΑΓ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση ἐστίν · ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΓ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΔ , ΓΔΑ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΔΒ εὐθειῶν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ , καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΔΑΒ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΑΒ , τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΒΑ , καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ , ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΕΓ , ΕΔ ἴση ἐστίν . αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΑ , ΕΒ , ΕΓ , ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Α , Β , Γ , Δ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον . περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓΔ . περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τετράγωνον κύκλος περιγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: περί ὁ δίδωμι τετράγωνος κύκλος περιγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι τετράγωνος ὁ ΑΒΓΔ · δέω δή περί ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος κύκλος περιγράφω . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΓ , ΒΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΒ , κοινός δέ ὁ ΑΓ , δύο δή ὁ ΔΑ , ΑΓ δύο ὁ ΒΑ , ΑΓ ἴσος εἰμί · καί βάσις ὁ ΔΓ βάσις ὁ ΒΓ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΔΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα ὑπό ΔΑΒ γωνία δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΑΓ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΔ , ΓΔΑ δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΑΓ , ΔΒ εὐθεῖα . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΔΑΒ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΔΑΒ ἥμισυς ὁ ὑπό ΕΑΒ , ὁ δέ ὑπό ΑΒΓ ἥμισυς ὁ ὑπό ΕΒΑ , καί ὁ ὑπό ΕΑΒ ἄρα ὁ ὑπό ΕΒΑ εἰμί ἴσος · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΕΑ ὁ ΕΒ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἑκάτερος ὁ ΕΑ , ΕΒ ἑκάτερος ὁ ΕΓ , ΕΔ ἴσος εἰμί . ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ ΕΑ , ΕΒ , ΕΓ , ΕΔ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὁ ἄρα κέντρον ὁ Ε καί διάστημα εἷς ὁ Α , Β , Γ , Δ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός σημεῖον καί εἰμί περιγράφω περί ὁ ΑΒΓΔ τετράγωνος . περιγράφω ὡς ὁ ΑΒΓΔ . περί ὁ δίδωμι ἄρα τετράγωνος κύκλος περιγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.14
περὶ τὸ δοθὲν πεντάγωνον , ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , κύκλον περιγράψαι . ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον , ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , τὸ ΑΒΓΔΕ · δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον περιγράψαι . τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ , ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ , ΔΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου , καθʼ ὃ συμβάλλουσιν αἱ εὐθεῖαι , ἐπὶ τὰ Β , Α , Ε σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ , ΖΑ , ΖΕ . ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΓΒΑ , ΒΑΕ , ΑΕΔ γωνιῶν δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκάστης τῶν ΖΒ , ΖΑ , ΖΕ εὐθειῶν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ , καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΓΔ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΖΓΔ , τῆς δὲ ὑπὸ ΓΔΕ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΓΔΖ , καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΓ πλευρᾷ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΒ , ΖΑ , ΖΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΓ , ΖΔ ἐστιν ἴση · αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΑ , ΖΒ , ΖΓ , ΖΔ , ΖΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΖΑ , ΖΒ , ΖΓ , ΖΔ , ΖΕ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος . περιγεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΓΔΕ . περὶ ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον , ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , κύκλος περιγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: περί ὁ δίδωμι πεντάγωνος , ὅς εἰμί ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , κύκλος περιγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι πεντάγωνος , ὅς εἰμί ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , ὁ ΑΒΓΔΕ · δέω δή περί ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος κύκλος περιγράφω . τέμνω δή ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΓΔ , ΓΔΕ γωνία δίχα ὑπό ἑκάτερος ὁ ΓΖ , ΔΖ , καί ἀπό ὁ Ζ σημεῖον , κατά ὅς συμβάλλω ὁ εὐθεῖα , ἐπί ὁ Β , Α , Ε σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ὁ ΖΒ , ΖΑ , ΖΕ . ὅμοιος δή ὁ πρό οὗτος δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΒΑΕ , ΑΕΔ γωνία δίχα τέμνω ὑπό ἕκαστος ὁ ΖΒ , ΖΆ , ΖΕ εὐθεῖα . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΓΔ γωνία ὁ ὑπό ΓΔΕ , καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ΒΓΔ ἥμισυς ὁ ὑπό ΖΓΔ , ὁ δέ ὑπό ΓΔΕ ἥμισυς ὁ ὑπό ΓΔΖ , καί ὁ ὑπό ΖΓΔ ἄρα ὁ ὑπό ΖΔΓ εἰμί ἴσος · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΖΓ πλευρά ὁ ΖΔ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ ΖΒ , ΖΑ , ΖΕ ἑκάτερος ὁ ΖΓ , ΖΔ εἰμί ἴσος · ὁ πέντε ἄρα εὐθεῖα ὁ ΖΑ , ΖΒ , ΖΓ , ΖΔ , ΖΕ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὁ ἄρα κέντρον ὁ Ζ καί διάστημα εἷς ὁ ΖΆ , ΖΒ , ΖΓ , ΖΔ , ΖΕ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός σημεῖον καί εἰμί περιγράφω . περιγράφω καί εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ . περί ἄρα ὁ δίδωμι πεντάγωνος , ὅς εἰμί ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , κύκλος περιγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 4.prop.16
εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ · δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι . ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τριγώνου μὲν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς αὐτὸν ἐγγραφομένου πλευρὰ ἡ ΑΓ , πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΑΒ · οἵων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἴσων τμημάτων δεκαπέντε , τοιούτων ἡ μὲν ΑΒΓ περιφέρεια τρίτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται πέντε , ἡ δὲ ΑΒ περιφέρεια πέμπτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται τριῶν · λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ τῶν ἴσων δύο . τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΒΕ , ΕΓ περιφερειῶν πεντεκαιδέκατόν ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξαντες τὰς ΒΕ , ΕΓ ἴσας αὐταῖς κατὰ τὸ συνεχὲς εὐθείας ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , ἔσται εἰς αὐτὸν ἐγγεγραμμένον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν , περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον . ἔτι δὲ διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου δείξεων καὶ εἰς τὸ δοθὲν πεντεκαιδεκάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: εἰς ὁ δίδωμι κύκλος πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐγγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓΔ · δέω δή εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἐγγράφω . ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τρίγωνον μέν ἰσόπλευρος ὁ εἰς αὐτός ἐγγράφω πλευρόν ὁ ΑΓ , πεντάγωνος δέ ἰσόπλευρος ὁ ΑΒ · οἷος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἴσος τμῆμα δεκαπέντε , τοιοῦτος ὁ μέν ΑΒΓ περιφέρεια τρίτος εἰμί ὁ κύκλος εἰμί πέντε , ὁ δέ ΑΒ περιφέρεια πέμπτος εἰμί ὁ κύκλος εἰμί τρεῖς · λοιπός ἄρα ὁ ΒΓ ὁ ἴσος δύο . τέμνω ὁ ΒΓ δίχα κατά ὁ Ε · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΒΕ , ΕΓ περιφέρεια πεντεκαιδέκατος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . ἐάν ἄρα ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , ΕΓ ἴσος αὐτός κατά ὁ συνεχής εὐθεῖα ἐναρμόζω εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , εἰμί εἰς αὐτός ἐγγράφω πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος · ὅς δέω ποιέω . ὅμοιος δέ ὁ ἐπί ὁ πεντάγωνος ἐάν διά ὁ κατά ὁ κύκλος διαίρεσις ἐφάπτω ὁ κύκλος ἄγω , περιγράφω περί ὁ κύκλος πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος . ἔτι δέ διά ὁ ὅμοιος ὁ ἐπί ὁ πεντάγωνος δεῖξις καί εἰς ὁ δίδωμι πεντεκαιδεκάγωνον κύκλος ἐγγράφω τε καί περιγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 5.def.1
μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος , ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον .
Lemmas: μέρος εἰμί μέγεθος μέγεθος ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας , ὅταν καταμετρέω ὁ μέγας .
euclides-geom.elementa 5.def.2
πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος , ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος .
Lemmas: πολλαπλάσιος δέ ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς , ὅταν καταμετρέω ὑπό ὁ ἐλαχύς .
euclides-geom.elementa 5.def.3
λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις .
Lemmas: λόγος εἰμί δύο μέγεθος ὁμογενής ὁ κατά πηλικότης ποιος σχέσις .
euclides-geom.elementa 5.def.4
λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται , ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν .
Lemmas: λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων μέγεθος λέγω , ὅς δύναμαι πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ὑπερέχω .
euclides-geom.elementa 5.def.5
ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον , ὅταν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ἑκάτερον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ληφθέντα κατάλληλα .
Lemmas: ἐν ὁ αὐτός λόγος μέγεθος λέγω εἰμί πρῶτος πρός δεύτερος καί τρίτος πρός τέταρτος , ὅταν ὁ ὁ πρῶτος καί τρίτος ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ ὁ δεύτερος καί τέταρτος ἰσάκις πολλαπλασίων κατά ὁποῖος πολλαπλασιασμός ἑκάτερος ἑκάτερος ἤ ἅμα ὑπερέχω ἤ ἅμα ἴσος εἰμί ἤ ἅμα ἐλλείπω λαμβάνω κατάλληλος .
euclides-geom.elementa 5.def.6
τὰ δὲ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον μεγέθη ἀνάλογον καλείσθω .
Lemmas: ὁ δέ ὁ αὐτός ἔχω λόγος μέγεθος ἀνάλογος καλέω .
euclides-geom.elementa 5.def.7
ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου , τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολλαπλασίου , τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λέγεται , ἤπερ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον .
Lemmas: ὅταν δέ ὁ ἰσάκις πολλαπλασίων ὁ μέν ὁ πρῶτος πολλαπλάσιος ὑπερέχω ὁ ὁ δεύτερος πολλαπλάσιος , ὁ δέ ὁ τρίτος πολλαπλάσιος μή ὑπερέχω ὁ ὁ τέταρτος πολλαπλάσιος , τότε ὁ πρῶτος πρός ὁ δεύτερος μέγας λόγος ἔχω λέγω , ἤ ὁ τρίτος πρός ὁ τέταρτος .
euclides-geom.elementa 5.def.8
ἀναλογία δὲ ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν .
Lemmas: ἀναλογία δέ ἐν τρεῖς ὅρος ἐλαχύς εἰμί .
euclides-geom.elementa 5.def.9
ὅταν δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον .
Lemmas: ὅταν δέ τρεῖς μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος διπλάσιος λόγος ἔχω λέγω ἤ πρός ὁ δεύτερος .
euclides-geom.elementa 5.def.10
ὅταν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον , καὶ ἀεὶ ἑξῆς ὁμοίως , ὡς ἂν ἡ ἀναλογία ὑπάρχῃ .
Lemmas: ὅταν δέ τέσσαρες μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , ὁ πρῶτος πρός ὁ τέταρτος τριπλασίων λόγος ἔχω λέγω ἤ πρός ὁ δεύτερος , καί ἀεί ἑξῆς ὅμοιος , ὡς ἄν ὁ ἀναλογία ὑπάρχω .
euclides-geom.elementa 5.def.11
ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις .
Lemmas: ὁμόλογος μέγεθος λέγω ὁ μέν ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι ὁ δέ ἕπομαι ὁ ἕπομαι .
euclides-geom.elementa 5.def.12
ἐναλλὰξ λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον .
Lemmas: ἐναλλάξ λόγος εἰμί λῆψις ὁ ἡγέομαι πρός ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι πρός ὁ ἕπομαι .
euclides-geom.elementa 5.def.13
ἀνάπαλιν λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἑπομένου ὡς ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον ὡς ἑπόμενον .
Lemmas: ἀνάπαλιν λόγος εἰμί λῆψις ὁ ἕπομαι ὡς ἡγέομαι πρός ὁ ἡγέομαι ὡς ἕπομαι .
euclides-geom.elementa 5.def.14
σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ τοῦ ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον .
Lemmas: σύνθεσις λόγος εἰμί λῆψις ὁ ἡγέομαι μετά ὁ ἕπομαι ὡς εἷς πρός αὐτός ὁ ἕπομαι .
euclides-geom.elementa 5.def.15
διαίρεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τῆς ὑπεροχῆς , ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου , πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον .
Lemmas: διαίρεσις λόγος εἰμί λῆψις ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ἡγέομαι ὁ ἕπομαι , πρός αὐτός ὁ ἕπομαι .
euclides-geom.elementa 5.def.16
ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν , ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου .
Lemmas: ἀναστροφή λόγος εἰμί λῆψις ὁ ἡγέομαι πρός ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ἡγέομαι ὁ ἕπομαι .
euclides-geom.elementa 5.def.17
διʼ ἴσου λόγος ἐστὶ πλειόνων ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανομένων καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ὅταν ᾖ ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον , οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον · ἢ ἄλλως · λῆψις τῶν ἄκρων καθʼ ὑπεξαίρεσιν τῶν μέσων .
Lemmas: διά ἴσος λόγος εἰμί πολύς εἰμί μέγεθος καί ἄλλος αὐτός ἴσος ὁ πλῆθος σύνδυο λαμβάνω καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὅταν εἰμί ὡς ἐν ὁ πρῶτος μέγεθος ὁ πρῶτος πρός ὁ ἔσχατος , οὕτως ἐν ὁ δεύτερος μέγεθος ὁ πρῶτος πρός ὁ ἔσχατος · ἤ ἄλλος · λῆψις ὁ ἄκρος κατά ὑπεξαίρεσις ὁ μέσος .