euclides-geom.elementa 12.prop.8
αἱ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . ἔστωσαν ὅμοιαι καὶ ὁμοίως κείμεναι πυραμίδες , ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ τρίγωνα , κορυφαὶ δὲ τὰ Η , θ σημεῖα · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ , ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα . καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ , ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΓ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΘ , καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ , καὶ ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΕΘ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ , καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΠ παραλληλογράμμῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΒΝ τῷ ΕΡ ὅμοιόν ἐστι , τὸ δὲ ΒΚ τῷ ΕΞ · τὰ τρία ἄρα τὰ ΜΒ , ΒΚ , ΒΝ τρισὶ τοῖς ΕΠ , ΕΞ , ΕΡ ὅμοιά ἐστιν . ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τὰ ΜΒ , ΒΚ , ΒΝ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν , τὰ δὲ τρία τὰ ΕΠ , ΕΞ , ΕΡ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν . τὰ ΒΗΜΛ , ΕΘΠΟ ἄρα στερεὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων ἴσων τὸ πλῆθος περιέχεται . ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ . τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . τὸ ΒΗΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΕΖ . ὡς δὲ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεόν , οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα , ἐπειδήπερ ἡ πυραμὶς ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ διὰ τὸ καὶ τὸ πρίσμα ἥμισυ ὂν τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τριπλάσιον εἶναι τῆς πυραμίδος . καὶ ἡ ΑΒΓΗ ἄρα πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι καὶ αἱ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . διαιρεθεισῶν γὰρ αὐτῶν εἰς τὰς ἐν αὐταῖς πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας τῷ καὶ τὰ ὅμοια πολύγωνα τῶν βάσεων εἰς ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖσθαι καὶ ἴσα τῷ πλήθει καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις ἔσται ὡς ἐν τῇ ἑτέρᾳ μία πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ μίαν πυραμίδα τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν , οὕτως καὶ ἅπασαι αἱ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδες τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς τὰς ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας , τουτέστιν αὐτὴ ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν πολύγωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα . ἡ δὲ τρίγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν · καὶ ἡ πολύγωνον ἄρα βάσιν ἔχουσα πρὸς τὴν ὁμοίαν βάσιν ἔχουσαν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν .
Lemmas: ὁ ὅμοιος πυραμίς καί τρίγωνος ἔχω βάσις ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . εἰμί ὅμοιος καί ὅμοιος κεῖμαι πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ τρίγωνος , κορυφή δέ ὁ Η , θ̅ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . συμπληρόω γάρ ὁ ΒΗΜΛ , ΕΘΠΟ στερεός παραλληλεπίπεδον . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ γωνία , ὁ δέ ὑπό ΗΒΓ ὁ ὑπό ΘΕΖ , ὁ δέ ὑπό ΑΒΗ ὁ ὑπό ΔΕΘ , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ , καί ὁ ΒΗ πρός ὁ ΕΘ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ , καί περί ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΜ παραλληλόγραμμος ὁ ΕΠ παραλληλόγραμμος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ΒΝ ὁ ΕΡ ὅμοιος εἰμί , ὁ δέ ΒΚ ὁ ΕΞ · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ΜΒ , ΒΚ , ΒΝ τρεῖς ὁ ΕΠ , ΕΞ , ΕΡ ὅμοιος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν τρεῖς ὁ ΜΒ , ΒΚ , ΒΝ τρεῖς ὁ ἀπεναντίον ἴσος τε καί ὅμοιος εἰμί , ὁ δέ τρεῖς ὁ ΕΠ , ΕΞ , ΕΡ τρεῖς ὁ ἀπεναντίον ἴσος τε καί ὅμοιος εἰμί . ὁ ΒΗΜΛ , ΕΘΠΟ ἄρα στερεός ὑπό ὅμοιος ἐπίπεδος ἴσος ὁ πλῆθος περιέχω . ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗΜΛ στερεός ὁ ΕΘΠΟ στερεός . ὁ δέ ὅμοιος στερεός παραλληλεπίπεδον ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . ὁ ΒΗΜΛ ἄρα στερεός πρός ὁ ΕΘΠΟ στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν ὁ ΒΓ πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά ὁ ΕΖ . ὡς δέ ὁ ΒΗΜΛ στερεός πρός ὁ ΕΘΠΟ στερεός , οὕτως ὁ ΑΒΓΗ πυραμίς πρός ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς , ἐπειδή ὁ πυραμίς ἕκτος μέρος εἰμί ὁ στερεός διά ὁ καί ὁ πρίσμα ἥμισυς εἰμί ὁ στερεός παραλληλεπίπεδον τριπλάσιος εἰμί ὁ πυραμίς . καί ὁ ΑΒΓΗ ἄρα πυραμίς πρός ὁ ΔΕΖΘ πυραμίς τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ · ὅς δέω δείκνυμι . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι καί ὁ πολύγωνος ἔχω βάσις ὅμοιος πυραμίς πρός ἀλλήλων ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . διαιρέω γάρ αὐτός εἰς ὁ ἐν αὐτός πυραμίς τρίγωνος βάσις ἔχω ὁ καί ὁ ὅμοιος πολύγωνον ὁ βάσις εἰς ὅμοιος τρίγωνος διαιρέω καί ἴσος ὁ πλῆθος καί ὁμόλογος ὁ ὅλος εἰμί ὡς ἐν ὁ ἕτερος εἷς πυραμίς τρίγωνος ἔχω βάσις πρός ὁ ἐν ὁ ἕτερος εἷς πυραμίς τρίγωνος ἔχω βάσις , οὕτως καί ἅπας ὁ ἐν ὁ ἕτερος πυραμίς πυραμίς τρίγωνος ἔχω βάσις πρός ὁ ἐν ὁ ἕτερος πυραμίς πυραμίς τρίγωνος βάσις ἔχω , τουτέστι αὐτός ὁ πολύγωνος βάσις ἔχω πυραμίς πρός ὁ πολύγωνος βάσις ἔχω πυραμίς . ὁ δέ τρίγωνος βάσις ἔχω πυραμίς πρός ὁ τρίγωνος βάσις ἔχω ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά · καί ὁ πολύγωνος ἄρα βάσις ἔχω πρός ὁ ὅμοιος βάσις ἔχω τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ πλευρόν πρός ὁ πλευρά .