euclides-geom.elementa 6.prop.18
ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ , τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΓΕ · δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι . ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Α , Β τῇ μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ , τῇ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ . λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΔ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΓΔ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ . ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ , οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ , καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ . πάλιν συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Β , Η τῇ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΘ , τῇ δὲ ὑπὸ ΖΔΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΒΘ . λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Ε λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Θ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΔΕ τρίγωνον τῷ ΗΘΒ τριγώνῳ · ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ , οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΑΗ , οὕτως ἥ τε ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ , ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΕ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ μὲν πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Α ἴση , ἡ δὲ πρὸς τῷ Ε τῇ πρὸς τῷ Θ . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ τῷ ΓΕ · καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας αὐτῶν πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ εὐθύγραμμον τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ . ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΓΕ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγέγραπται τὸ ΑΘ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἀπό ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι εὐθύγραμμος ἀναγράφω . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ ΓΕ · δέω δή ἀπό ὁ ΑΒ εὐθεῖα ὁ ΓΕ εὐθύγραμμος ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι εὐθύγραμμος ἀναγράφω . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΖ , καί συνίστημι πρός ὁ ΑΒ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α , Β ὁ μέν πρός ὁ Γ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΗΑΒ , ὁ δέ ὑπό ΓΔΖ ἴσος ὁ ὑπό ΑΒΗ . λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΓΖΔ ὁ ὑπό ΑΗΒ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΖΓΔ τρίγωνον ὁ ΗΑΒ τρίγωνον . ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΖΔ πρός ὁ ΗΒ , οὕτως ὁ ΖΓ πρός ὁ ΗΑ , καί ὁ ΓΔ πρός ὁ ΑΒ . πάλιν συνίστημι πρός ὁ ΒΗ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Β , Η ὁ μέν ὑπό ΔΖΕ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΗΘ , ὁ δέ ὑπό ΖΔΕ ἴσος ὁ ὑπό ΗΒΘ . λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ Ε λοιπός ὁ πρός ὁ Θ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΖΔΕ τρίγωνον ὁ ΗΘΒ τρίγωνον · ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΖΔ πρός ὁ ΗΒ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ὁ ΗΘ καί ὁ ΕΔ πρός ὁ ΘΒ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΖΔ πρός ὁ ΗΒ , οὕτως ὁ ΖΓ πρός ὁ ΗΑ καί ὁ ΓΔ πρός ὁ ΑΒ · καί ὡς ἄρα ὁ ΖΓ πρός ὁ ΑΗ , οὕτως ὁ τε ΓΔ πρός ὁ ΑΒ καί ὁ ΖΕ πρός ὁ ΗΘ καί ἔτι ὁ ΕΔ πρός ὁ ΘΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ὑπό ΓΖΔ γωνία ὁ ὑπό ΑΗΒ , ὁ δέ ὑπό ΔΖΕ ὁ ὑπό ΒΗΘ , ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΓΖΕ ὅλος ὁ ὑπό ΑΗΘ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΓΔΕ ὁ ὑπό ΑΒΘ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ μέν πρός ὁ Γ ὁ πρός ὁ Α ἴσος , ὁ δέ πρός ὁ Ε ὁ πρός ὁ Θ . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ ὁ ΓΕ · καί ὁ περί ὁ ἴσος γωνία αὐτός πλευρά ἀνάλογος ἔχω · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ εὐθύγραμμος ὁ ΓΕ εὐθύγραμμος . ἀπό ὁ δίδωμι ἄρα εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ ΓΕ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι εὐθύγραμμος ἀναγράφω ὁ ΑΘ · ὅς δέω ποιέω .