euclides-geom.elementa 11.prop.31
τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστω ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ , ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΕ , ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ . ἔστωσαν δὴ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΘΚ , ΒΕ , ΑΗ , ΛΜ , ΟΠ , ΔΖ , ΓΞ , ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ , ΓΔ βάσεσιν , καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΓΡ εὐθεῖα ἡ ΡΤ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΡΤ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ρ τῇ ὑπὸ ΑΛΒ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΤΡΥ , καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΛ ἴση ἡ ΡΤ , τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΡΥ , καὶ συμπεπληρώσθω ἥ τε ΡΧ βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΤΡ , ΡΥ δυσὶ ταῖς ΑΛ , ΛΒ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΡΧ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΛ παραλληλογράμμῳ . καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση μὲν ἡ ΑΛ τῇ ΡΤ , ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΡΣ , καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν , ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΜ παραλληλογράμμῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΛΕ τῷ ΣΥ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον · τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΑΕ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΨΥ στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια . ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια , τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον · ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΨΥ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν . διήχθωσαν αἱ ΔΡ , ΧΥ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ω , καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΔΩ παράλληλος ἤχθω ἡ # 22αΤ#5 , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΟΔ κατὰ τὸ # 22α , καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΩΨ , ΡΙ στερεά . ἴσον δή ἐστι τὸ ΨΩ στερεόν , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ τὸ Ω#4 , τῷ ΨΥ στερεῷ , οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΥΦ · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΨ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΡΩ , ΡΥ , Τ#5 , ΤΧ , Σ#2 , Σο͂ , Ψ#4 , ΨΦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΩΧ , # 2Φ . ἀλλὰ τὸ ΨΥ στερεὸν τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον · καὶ τὸ ΨΩ ἄρα στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΡΥΧΤ παραλληλόγραμμον τῷ ΩΤ παραλληλογράμμῳ · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΤ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΡΤ , ΩΧ · ἀλλὰ τὸ ΡΥΧΤ τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον , ἐπεὶ καὶ τῷ ΑΒ , καὶ τὸ ΩΤ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον . ἄλλο δὲ τὸ ΔΤ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ , οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ . καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΖ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις , ἔστιν ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ βάσιν , οὕτως τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν . διὰ τὰ αὐτὰ δή , ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΩΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΨ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις , ἔστιν ὡς ἡ ΩΤ βάσις πρὸς τὴν ΤΔ βάσιν , οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ , οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν , οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ . ἑκάτερον ἄρα τῶν ΓΖ , ΩΨ στερεῶν πρὸς τὸ ΡΙ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΖ στερεὸν τῷ ΩΨ στερεῷ . ἀλλὰ τὸ ΩΨ τῷ ΑΕ ἐδείχθη ἴσον · καὶ τὸ ΑΕ ἄρα τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον . μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ , ΘΚ , ΒΕ , ΛΜ , ΓΝ , ΟΠ , ΔΖ , ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ , ΓΔ βάσεσιν · λέγω πάλιν , ὅτι ἴσον τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ . ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Κ , Ε , Η , Μ , Π , Ζ , Ν , Σ σημείων ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετοι αἱ ΚΞ , ΕΤ , ΗΥ , ΜΦ , ΠΧ , ΖΨ , ΝΩ , ΣΙ , καὶ συμβαλλέτωσαν τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Ξ , Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω , Ι σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΤ , ΞΥ , ΥΦ , ΤΦ , ΧΨ , ΧΩ , ΩΙ , ΙΨ . ἴσον δή ἐστι τὸ ΚΦ στερεὸν τῷ ΠΙ στερεῷ · ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΚΜ , ΠΣ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι πρὸς ὀρθάς εἰσι ταῖς βάσεσιν . ἀλλὰ τὸ μὲν ΚΦ στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον , τὸ δὲ ΠΙ τῷ ΓΖ · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὔκ εἰσιν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν . καὶ τὸ ΑΕ ἄρα στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ ἐστιν ἴσον . τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί ἐπί ἴσος βάσις ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΑΕ , ΓΖ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ στερεός ὁ ΓΖ στερεός . εἰμί δή πρότερος ὁ ἐφίστημι ὁ ΘΚ , ΒΕ , ΑΗ , ΛΜ , ΟΠ , ΔΖ , ΓΞ , ΡΣ πρός ὀρθός ὁ ΑΒ , ΓΔ βάσις , καί ἐκβάλλω ἐπί εὐθεῖα ὁ ΓΡ εὐθεῖα ὁ ΡΤ , καί συνίστημι πρός ὁ ΡΤ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Ρ ὁ ὑπό ΑΛΒ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΤΡΥ , καί κεῖμαι ὁ μέν ΑΛ ἴσος ὁ ΡΤ , ὁ δέ ΛΒ ἴσος ὁ ΡΥ , καί συμπληρόω ὁ τε ΡΧ βάσις καί ὁ ΨΥ στερεός . καί ἐπεί δύο ὁ ΤΡ , ΡΥ δύο ὁ ΑΛ , ΛΒ ἴσος εἰμί , καί γωνία ἴσος περιέχω , ἴσος ἄρα καί ὅμοιος ὁ ΡΧ παραλληλόγραμμος ὁ ΘΛ παραλληλόγραμμος . καί ἐπεί πάλιν ἴσος μέν ὁ ΑΛ ὁ ΡΤ , ὁ δέ ΛΜ ὁ ΡΣ , καί γωνία ὀρθός περιέχω , ἴσος ἄρα καί ὅμοιος εἰμί ὁ ΡΨ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΜ παραλληλόγραμμος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΛΕ ὁ ΣΥ ἴσος τε εἰμί καί ὅμοιος · τρεῖς ἄρα παραλληλόγραμμος ὁ ΑΕ στερεός τρεῖς παραλληλόγραμμος ὁ ΨΥ στερεός ἴσος τε εἰμί καί ὅμοιος . ἀλλά ὁ μέν τρεῖς τρεῖς ὁ ἀπεναντίον ἴσος τε εἰμί καί ὅμοιος , ὁ δέ τρεῖς τρεῖς ὁ ἀπεναντίον · ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ στερεός παραλληλεπίπεδον ὅλος ὁ ΨΥ στερεός παραλληλεπίπεδον ἴσος εἰμί . διάγω ὁ ΔΡ , ΧΥ καί συμπίπτω ἀλλήλων κατά ὁ Ω , καί διά ὁ Τ ὁ ΔΩ παράλληλος ἄγω ὁ # Τ΄ , καί ἐκβάλλω ὁ ΟΔ κατά ὁ # 22α , καί συμπληρόω ὁ ΩΨ , ΡΙ στερεός . ἴσος δή εἰμί ὁ ΨΩ στερεός , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΡΨ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ὨΩ , ὁ ΨΥ στερεός , ὅς βάσις μέν ὁ ΡΨ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΥΦ · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΡΨ καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι ὁ ΡΩ , ΡΥ , Τ#5 , ΤΧ , Σ#2 , Σοῦ , Ψ#4 , ΨΦ ἐπί ὁ αὐτός εἰμί εὐθεῖα ὁ ΩΧ , # 2Φ . ἀλλά ὁ ΨΥ στερεός ὁ ΑΕ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΨΩ ἄρα στερεός ὁ ΑΕ στερεός εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΡΥΧΤ παραλληλόγραμμος ὁ ΩΤ παραλληλόγραμμος · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΡΤ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΡΤ , ΩΧ · ἀλλά ὁ ΡΥΧΤ ὁ ΓΔ εἰμί ἴσος , ἐπεί καί ὁ ΑΒ , καί ὁ ΩΤ ἄρα παραλληλόγραμμος ὁ ΓΔ εἰμί ἴσος . ἄλλος δέ ὁ ΔΤ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΔ βάσις πρός ὁ ΔΤ , οὕτως ὁ ΩΤ πρός ὁ ΔΤ . καί ἐπεί στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΓΙ ἐπίπεδος ὁ ΡΖ τέμνω παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος , εἰμί ὡς ὁ ΓΔ βάσις πρός ὁ ΔΤ βάσις , οὕτως ὁ ΓΖ στερεός πρός ὁ ΡΙ στερεός . διά ὁ αὐτός δή , ἐπεί στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΩΙ ἐπίπεδος ὁ ΡΨ τέμνω παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος , εἰμί ὡς ὁ ΩΤ βάσις πρός ὁ ΤΔ βάσις , οὕτως ὁ ΩΨ στερεός πρός ὁ ΡΙ . ἀλλά ὡς ὁ ΓΔ βάσις πρός ὁ ΔΤ , οὕτως ὁ ΩΤ πρός ὁ ΔΤ · καί ὡς ἄρα ὁ ΓΖ στερεός πρός ὁ ΡΙ στερεός , οὕτως ὁ ΩΨ στερεός πρός ὁ ΡΙ . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΓΖ , ΩΨ στερεός πρός ὁ ΡΙ ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΓΖ στερεός ὁ ΩΨ στερεός . ἀλλά ὁ ΩΨ ὁ ΑΕ δείκνυμι ἴσος · καί ὁ ΑΕ ἄρα ὁ ΓΖ εἰμί ἴσος . μή εἰμί δή ὁ ἐφίστημι ὁ ΑΗ , ΘΚ , ΒΕ , ΛΜ , ΓΝ , ΟΠ , ΔΖ , ΡΣ πρός ὀρθός ὁ ΑΒ , ΓΔ βάσις · λέγω πάλιν , ὅτι ἴσος ὁ ΑΕ στερεός ὁ ΓΖ στερεός . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Κ , Ε , Η , Μ , Π , Ζ , Ν , Σ σημεῖον ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΚΞ , ΕΤ , ΗΥ , ΜΦ , ΠΧ , ΖΨ , ΝΩ , ΣΙ , καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Ξ , Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω , Ι σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΞΤ , ΞΥ , ΥΦ , ΤΦ , ΧΨ , ΧΩ , ΩΙ , ΙΨ . ἴσος δή εἰμί ὁ ΚΦ στερεός ὁ ΠΙ στερεός · ἐπί τε γάρ ἴσος βάσις εἰμί ὁ ΚΜ , ΠΣ καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι πρός ὀρθός εἰμί ὁ βάσις . ἀλλά ὁ μέν ΚΦ στερεός ὁ ΑΕ στερεός εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΠΙ ὁ ΓΖ · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι οὐ εἰμί ἐπί ὁ αὐτός εὐθύς . καί ὁ ΑΕ ἄρα στερεός ὁ ΓΖ στερεός εἰμί ἴσος . ὁ ἄρα ἐπί ἴσος βάσις εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .