euclides-geom.elementa 10.prop3.87
εὑρεῖν τὴν τρίτην ἀποτομήν . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α , καὶ ἐκκείσθωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Ε , ΒΓ , ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , ὁ δὲ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἐχέτω , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον , ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον , σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετραγώνῳ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον . ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ . λέγω δή , ὅτι καὶ τρίτη . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ . ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει . οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ , ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει . ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ , ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Κ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΒΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ . ὁ δὲ ΒΓ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει , καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ , ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει · ἡ ΖΘ ἄρα ἀποτομή ἐστι τρίτη . εὕρηται ἄρα ἡ τρίτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ τρίτος ἀποτομή . ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α , καί ἔκκειμαι τρεῖς ἀριθμός ὁ Ε , ΒΓ , ΓΔ λόγος μή ἔχω πρός ἀλλήλων , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , ὁ δέ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , καί ποιέω ὡς μέν ὁ Ε πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ τετράγωνος , ὡς δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Ε πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ τετράγωνος , σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΖΗ τετράγωνος . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος . ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ . καί ἐπεί ὁ Ε πρός ὁ ΒΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ ΖΗ μῆκος . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΗΘ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ . καί ἐπεί ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΘ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΖΘ . λέγω δή , ὅτι καί τρίτος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς μέν ὁ Ε πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ὡς δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΗν , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Ε πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΗν . ὁ δέ Ε πρός ὁ ΓΔ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ Α ὁ ΗΘ μῆκος . οὐδέτερος ἄρα ὁ ΖΗ , ΗΘ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α μῆκος . ὅς οὖν μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , εἰμί ὁ ἀπό ὁ Κ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Κ . ὁ δέ ΒΓ πρός ὁ ΒΔ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ Κ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ Κ μῆκος , καί δύναμαι ὁ ΖΗ ὁ ΗΘ μέγας ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί οὐδέτερος ὁ ΖΗ , ΗΘ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α μῆκος · ὁ ΖΘ ἄρα ἀποτομή εἰμί τρίτος . εὑρίσκω ἄρα ὁ τρίτος ἀποτομή ὁ ΖΘ · ὅς δέω δείκνυμι .