euclides-geom.elementa 12.prop.3
πᾶσα πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας τε καὶ ὁμοίας ἀλλήλαις καὶ τῇ ὅλῃ τριγώνους ἐχούσας βάσεις καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα · καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος . ἔστω πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα · καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος . τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ , ΑΔ , ΔΒ , ΔΓ δίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ , Η , Θ , Κ , Λ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ , ΕΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ΛΘ , ΚΖ , ΖΗ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ , ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΔΘ , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΕ ΒΚ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΕΒ . ἀλλὰ ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ ἴση · δύο δὴ αἱ ΕΑ , ΑΘ δυσὶ ταῖς ΚΘ , ΘΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΔ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση . ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΕΘ τρίγωνον τῷ ΘΚΔ τριγώνῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΘΗ τρίγωνον τῷ ΘΛΔ τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον . καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΕΘ , ΘΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΔ , ΔΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι , ἴσας γωνίας περιέξουσιν . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΔΛ γωνίᾳ . καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΘ , ΘΗ δυσὶ ταῖς ΚΔ , ΔΛ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΔΛ ἐστιν ἴση , βάσις ἄρα ἡ ΕΗ βάσει τῇ ΚΛ ἴση · ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΘΗ τρίγωνον τῷ ΚΔΛ τριγώνῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν . ἡ ἄρα πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον , ἴση καὶ ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον . καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΘΚ , ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ , καὶ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχουσιν · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΚΛ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν , τὸ δὲ ΑΔΓ τῷ ΔΛΘ . καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΒΑ , ΑΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΘ , ΘΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , ἴσας γωνίας περιέξουσιν . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΘΛ . καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ . καὶ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον , ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον . ἀλλὰ πυραμίς , ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΚΛ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον , ὁμοία ἐδείχθη πυραμίδι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον . ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕΗΘ , ΘΚΛΔ πυραμίδων ὁμοία ἐστὶ τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι . ¯Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ , διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΖΓ τριγώνου . καὶ ἐπεί , ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ , καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον , τὸ δὲ τρίγωνον , διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου , ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα , ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΒΚΖ , ΕΘΗ , τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΕΒΖΗ , ΕΒΚΘ , ΘΚΖΗ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΖΓ , ΘΚΛ , τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΚΖΓΛ , ΛΓΗΘ , ΘΚΖΗ . καὶ φανερόν , ὅτι ἑκάτερον τῶν πρισμάτων , οὗ τε βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα , καὶ οὗ βάσις τὸ ΗΖΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον , μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρας τῶν πυραμίδων , ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ , ΘΚΛ τρίγωνα , κορυφαὶ δὲ τὰ Θ , Δ σημεῖα , ἐπειδήπερ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΕΖ , ΕΚ εὐθείας , τὸ μὲν πρίσμα , οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα , μεῖζόν ἐστι τῆς πυραμίδος , ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον . ἀλλʼ ἡ πυραμίς , ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον , ἴση ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον · ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται . ὥστε καὶ τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα , μεῖζόν ἐστι πυραμίδος , ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον . ἴσον δὲ τὸ μὲν πρίσμα , οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα , τῷ πρίσματι , οὗ βάσις μὲν τὸ ΗΖΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον · ἡ δὲ πυραμίς , ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον , ἴση ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις τὸ ΘΚΛ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον . τὰ ἄρα εἰρημένα δύο πρίσματα μείζονά ἐστι τῶν εἰρημένων δύο πυραμίδων , ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ , ΘΚΛ τρίγωνα , κορυφαὶ δὲ τὰ Θ , Δ σημεῖα . ἡ ἄρα ὅλη πυραμίς , ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον , διῄρηται εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα , καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς πυραμίς τρίγωνος ἔχω βάσις διαιρέω εἰς δύο πυραμίς ἴσος τε καί ὅμοιος ἀλλήλων καί ὁ ὅλος τρίγωνος ἔχω βάσις καί εἰς δύο πρίσμα ἴσος · καί ὁ δύο πρίσμα μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος πυραμίς . εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓΔ πυραμίς διαιρέω εἰς δύο πυραμίς ἴσος ἀλλήλων τρίγωνος βάσις ἔχω καί ὅμοιος ὁ ὅλος καί εἰς δύο πρίσμα ἴσος · καί ὁ δύο πρίσμα μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος πυραμίς . τέμνω γάρ ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ , ΑΔ , ΔΒ , ΔΓ δίχα κατά ὁ Ε , Ζ , Η , Θ , Κ , Λ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΕ , ΕΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ΛΘ , ΚΖ , ΖΗ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΕ ὁ ΕΒ , ὁ δέ ΑΘ ὁ ΔΘ , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ ὁ ΔΒ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΘΚ ὁ ΑΒ παράλληλος εἰμί . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΘΕ ΒΚ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ ὁ ΕΒ . ἀλλά ὁ ΕΒ ὁ ΕΑ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΑΕ ἄρα ὁ ΘΚ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ΑΘ ὁ ΘΔ ἴσος · δύο δή ὁ ΕΑ , ΑΘ δύο ὁ ΚΘ , ΘΔ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΕΑΘ γωνία ὁ ὑπό ΚΘΔ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΕΘ βάσις ὁ ΚΔ εἰμί ἴσος . ἴσος ἄρα καί ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΕΘ τρίγωνον ὁ ΘΚΔ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΑΘΗ τρίγωνον ὁ ΘΛΔ τρίγωνον ἴσος τε εἰμί καί ὅμοιος . καί ἐπεί δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΕΘ , ΘΗ παρά δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΚΔ , ΔΛ εἰμί οὐ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί , ἴσος γωνία περιέχω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΕΘΗ γωνία ὁ ὑπό ΚΔΛ γωνία . καί ἐπεί δύο εὐθεῖα ὁ ΕΘ , ΘΗ δύο ὁ ΚΔ , ΔΛ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , καί γωνία ὁ ὑπό ΕΘΗ γωνία ὁ ὑπό ΚΔΛ εἰμί ἴσος , βάσις ἄρα ὁ ΕΗ βάσις ὁ ΚΛ ἴσος · ἴσος ἄρα καί ὅμοιος εἰμί ὁ ΕΘΗ τρίγωνον ὁ ΚΔΛ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΑΕΗ τρίγωνον ὁ ΘΚΛ τρίγωνον ἴσος τε καί ὅμοιος εἰμί . ὁ ἄρα πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Θ σημεῖον , ἴσος καί ὅμοιος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΘΚΛ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον . καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΑΔΒ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΑΒ ἄγω ὁ ΘΚ , ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΔΒ τρίγωνον ὁ ΔΘΚ τρίγωνον , καί ὁ πλευρά ἀνάλογος ἔχω · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔΒ τρίγωνον ὁ ΔΘΚ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ΔΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΚΛ τρίγωνον ὅμοιος εἰμί , ὁ δέ ΑΔΓ ὁ ΔΛΘ . καί ἐπεί δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΒΑ , ΑΓ παρά δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΚΘ , ΘΛ εἰμί οὐ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ἴσος γωνία περιέχω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΚΘΛ . καί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΛ · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΘΚΛ τρίγωνον . καί πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον , ὅμοιος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΘΚΛ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον . ἀλλά πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΘΚΛ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον , ὅμοιος δείκνυμι πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Θ σημεῖον . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΕΗΘ , ΘΚΛΔ πυραμίς ὅμοιος εἰμί ὁ ὅλος ὁ ΑΒΓΔ πυραμίς . Κία ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΖΓ , διπλάσιος εἰμί ὁ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμος ὁ ΗΖΓ τρίγωνον . καί ἐπεί , ἐάν εἰμί δύο πρίσμα ἰσουψής , καί ὁ μέν ἔχω βάσις παραλληλόγραμμος , ὁ δέ τρίγωνος , διπλάσιος δέ εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ τρίγωνον , ἴσος εἰμί ὁ πρίσμα , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ πρίσμα ὁ περιέχω ὑπό δύο μέν τρίγων ὁ ΒΚΖ , ΕΘΗ , τρεῖς δέ παραλληλόγραμμος ὁ ΕΒΖΗ , ΕΒΚΘ , ΘΚΖΗ ὁ πρίσμα ὁ περιέχω ὑπό δύο μέν τρίγων ὁ ΗΖΓ , ΘΚΛ , τρεῖς δέ παραλληλόγραμμος ὁ ΚΖΓΛ , ΛΓΗΘ , ΘΚΖΗ . καί φανερός , ὅτι ἑκάτερος ὁ πρίσμα , ὅς τε βάσις ὁ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΘΚ εὐθύς , καί ὅς βάσις ὁ ΗΖΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΘΚΛ τρίγωνον , μέγας εἰμί ἑκάτερος ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕΗ , ΘΚΛ τρίγωνος , κορυφή δέ ὁ Θ , Δ σημεῖον , ἐπειδή ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ , ΕΚ εὐθεῖα , ὁ μέν πρίσμα , ὅς βάσις ὁ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΘΚ εὐθύς , μέγας εἰμί ὁ πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΕΒΖ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Κ σημεῖον . ἀλλά ὁ πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΕΒΖ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Κ σημεῖον , ἴσος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Θ σημεῖον · ὑπό γάρ ἴσος καί ὅμοιος ἐπίπεδος περιέχω . ὥστε καί ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΘΚ εὐθύς , μέγας εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Θ σημεῖον . ἴσος δέ ὁ μέν πρίσμα , ὅς βάσις ὁ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΘΚ εὐθύς , ὁ πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΗΖΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΘΚΛ τρίγωνον · ὁ δέ πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΑΕΗ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Θ σημεῖον , ἴσος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΘΚΛ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον . ὁ ἄρα λέγω δύο πρίσμα μέγας εἰμί ὁ λέγω δύο πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕΗ , ΘΚΛ τρίγωνος , κορυφή δέ ὁ Θ , Δ σημεῖον . ὁ ἄρα ὅλος πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον , διαιρέω εἰς τε δύο πυραμίς ἴσος ἀλλήλων καί εἰς δύο πρίσμα ἴσος , καί ὁ δύο πρίσμα μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος πυραμίς · ὅς δέω δείκνυμι .