euclides-geom.elementa 8.prop.19
δύο ὁμοίων στερεῶν ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί · καὶ ὁ στερεὸς πρὸς τὸν ὅμοιον στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν . ἔστωσαν δύο ὅμοιοι στερεοὶ οἱ Α , Β , καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ , Δ , Ε , τοῦ δὲ Β οἱ Ζ , Η , Θ . καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς , ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , ὡς δὲ ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ . λέγω , ὅτι τῶν Α , Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί , καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ . ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω , ὁ δὲ Ζ τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω . καὶ ἐπεὶ οἱ Γ , Δ τοῖς Ζ , Η ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν , καὶ ἐκ μὲν τῶν Γ , Δ ἐστιν ὁ Κ , ἐκ δὲ τῶν Ζ , Η ὁ Λ , οἱ Κ , Λ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί · τῶν Κ , Λ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός . ἔστω ὁ Μ . ὁ Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ , Ζ , ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ἐδείχθη . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Κ πεποίηκεν , τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ . ἀλλʼ ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ , ὁ Μ πρὸς τὸν Λ . οἱ Κ , Μ , Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Η . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ . οἱ Κ , Μ , Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Θ . ἑκάτερος δὴ τῶν Ε , Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν , Ξ ποιείτω . καὶ ἐπεὶ στερεός ἐστιν ὁ Α , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Γ , Δ , Ε , ὁ Ε ἄρα τὸν ἐκ τῶν Γ , Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ , Δ ἐστιν ὁ Κ · ὁ Ε ἄρα τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Θ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν , ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ν πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν . ὡς δὲ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ , οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν . πάλιν , ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε , Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν , Ξ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ . ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η · καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ πεποίηκεν , ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ , οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Β . ἀλλʼ ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ , οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ . καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως οὐ μόνον ὁ Ξ πρὸς τὸν Β , ἀλλὰ καὶ ὁ Α πρὸς τὸν ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ . οἱ Α , Ν , Ξ , Β ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τοῖς εἰρημένοις τῶν πλευρῶν λόγοις . λέγω , ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν , τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ . ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α , Ν , Ξ , Β , ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ν . ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ν , οὕτως ἐδείχθη ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ . καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν , τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο ὅμοιος στερεός ἀριθμός δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός · καί ὁ στερεός πρός ὁ ὅμοιος στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά . εἰμί δύο ὅμοιος στερεός ὁ Α , Β , καί ὁ μέν Α πλευρά εἰμί ὁ Γ , Δ , Ε , ὁ δέ Β ὁ Ζ , Η , Θ . καί ἐπεί ὅμοιος στερεός εἰμί ὁ ἀνάλογος ἔχω ὁ πλευρά , εἰμί ἄρα ὡς μέν ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Η , ὡς δέ ὁ Δ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Θ . λέγω , ὅτι ὁ Α , Β δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , καί ὁ Α πρός ὁ Β τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η καί ἔτι ὁ Ε πρός ὁ Θ . ὁ Γ γάρ ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Κ ποιέω , ὁ δέ Ζ ὁ Η πολλαπλασιάζω ὁ Λ ποιέω . καί ἐπεί ὁ Γ , Δ ὁ Ζ , Η ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί , καί ἐκ μέν ὁ Γ , Δ εἰμί ὁ Κ , ἐκ δέ ὁ Ζ , Η ὁ Λ , ὁ Κ , Λ ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ἀριθμός · ὁ Κ , Λ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός . εἰμί ὁ Μ . ὁ Μ ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ Δ , Ζ , ὡς ἐν ὁ πρό οὗτος θεώρημα δείκνυμι . καί ἐπεί ὁ Δ ὁ μέν Γ πολλαπλασιάζω ὁ Κ ποιέω , ὁ δέ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Μ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Μ . ἀλλά ὡς ὁ Κ πρός ὁ Μ , ὁ Μ πρός ὁ Λ . ὁ Κ , Μ , Λ ἄρα ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος ἐν ὁ ὁ Γ πρός ὁ Ζ λόγος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Η , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Η . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Δ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Θ . ὁ Κ , Μ , Λ ἄρα ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος ἐν τε ὁ ὁ Γ πρός ὁ Ζ λόγος καί ὁ ὁ Δ πρός ὁ Η καί ἔτι ὁ ὁ Ε πρός ὁ Θ . ἑκάτερος δή ὁ Ε , Θ ὁ Μ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Ν , Ξ ποιέω . καί ἐπεί στερεός εἰμί ὁ Α , πλευρά δέ αὐτός εἰμί ὁ Γ , Δ , Ε , ὁ Ε ἄρα ὁ ἐκ ὁ Γ , Δ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . ὁ δέ ἐκ ὁ Γ , Δ εἰμί ὁ Κ · ὁ Ε ἄρα ὁ Κ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Θ ὁ Λ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . καί ἐπεί ὁ Ε ὁ Κ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω , ἀλλά μήν καί ὁ Μ πολλαπλασιάζω ὁ Ν ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Κ πρός ὁ Μ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Ν . ὡς δέ ὁ Κ πρός ὁ Μ , οὕτως ὁ τε Γ πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η καί ἔτι ὁ Ε πρός ὁ Θ · καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η καί ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Ν . πάλιν , ἐπεί ἑκάτερος ὁ Ε , Θ ὁ Μ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Ν , Ξ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Ν πρός ὁ Ξ . ἀλλά ὡς ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ τε Γ πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η · καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η καί ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ τε Α πρός ὁ Ν καί ὁ Ν πρός ὁ Ξ . πάλιν , ἐπεί ὁ Θ ὁ Μ πολλαπλασιάζω ὁ Ξ ποιέω , ἀλλά μήν καί ὁ Λ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Μ πρός ὁ Λ , οὕτως ὁ Ξ πρός ὁ Β . ἀλλά ὡς ὁ Μ πρός ὁ Λ , οὕτως ὁ τε Γ πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η καί ὁ Ε πρός ὁ Θ . καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η καί ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως οὐ μόνος ὁ Ξ πρός ὁ Β , ἀλλά καί ὁ Α πρός ὁ ν καί ὁ Ν πρός ὁ Ξ . ὁ Α , Ν , Ξ , Β ἄρα ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος ἐν ὁ λέγω ὁ πλευρά λόγος . λέγω , ὅτι καί ὁ Α πρός ὁ Β τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά , τουτέστι ἤ ὁ Γ ἀριθμός πρός ὁ Ζ ἤ ὁ Δ πρός ὁ Η καί ἔτι ὁ Ε πρός ὁ Θ . ἐπεί γάρ τέσσαρες ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ὁ Α , Ν , Ξ , Β , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ Α πρός ὁ Ν . ἀλλά ὡς ὁ Α πρός ὁ Ν , οὕτως δείκνυμι ὁ τε Γ πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η καί ἔτι ὁ Ε πρός ὁ Θ . καί ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά , τουτέστι ἤ ὁ Γ ἀριθμός πρός ὁ Ζ καί ὁ Δ πρός ὁ Η καί ἔτι ὁ Ε πρός ὁ Θ · ὅς δέω δείκνυμι .