euclides-geom.elementa 10.prop1.41
ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων , ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη . Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα · λέγω , ὅτι ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον τὸ ΔΖ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον τὸ ΗΘ · ὅλον ἄρα τὸ ΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ . καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΖ , μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΖ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΗΖ , τουτέστι τῇ ΔΕ , μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΔΖ τῷ ΗΘ · ὥστε καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ ἀσύμμετρός ἐστιν . καί εἰσι ῥηταί · αἱ ΔΗ , ΗΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΚ ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων . ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ · ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΘ καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν . δύναται δὲ τὸ ΘΔ ἡ ΑΓ · ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ , καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη . ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα ὅτι δὲ αἱ εἰρημέναι ἄλογοι μοναχῶς διαιροῦνται εἰς τὰς εὐθείας , ἐξ ὧν σύγκεινται ποιουσῶν τὰ προκείμενα εἴδη , δείξομεν ἤδη προεκθέμενοι λημμάτιον τοιοῦτον · Ἐκκείσθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἡ ὅλη εἰς ἄνισα καθʼ ἑκάτερον τῶν Γ , Δ , ὑποκείσθω δὲ μείζων ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ · λέγω , ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε . καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ , κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΓ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῆς τῆς ΓΒ μείζων ἐστίν . ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ · ἐλάττων ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ · τὰ Γ , Δ ἄρα σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ , ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ · ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ , ΔΒ . καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος συντίθημι ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος καί ὁ ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος , ὁ ὅλος εὐθεῖα ἄλογος εἰμί , καλέω δέ δύο μέσος δύναμαι . σύγκειμαι γάρ δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ ποιέω ὁ πρόκειμαι · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί . ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΔΕ , καί παραβάλλω παρά ὁ ΔΕ ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος ὁ ΔΖ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος ὁ ΗΘ · ὅλος ἄρα ὁ ΔΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος . καί ἐπεί μέσος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΖ , μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΖ . καί παρά ῥητός ὁ ΔΕ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΔΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΗΚ ῥητός εἰμί καί ἀσύμμετρος ὁ ΗΖ , τουτέστι ὁ ΔΕ , μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΔΖ ὁ ΗΘ · ὥστε καί ὁ ΔΗ ὁ ΗΚ ἀσύμμετρος εἰμί . καί εἰμί ῥητός · ὁ ΔΗ , ΗΚ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΔΚ ὁ καλέω ἐκ δύο ὄνομα . ῥητός δέ ὁ ΔΕ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΔΘ καί ὁ δύναμαι αὐτός ἄλογος εἰμί . δύναμαι δέ ὁ ΘΔ ὁ ΑΓ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ , καλέω δέ δύο μέσος δύναμαι . ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα ὅτι δέ ὁ λέγω ἄλογος μοναχῶς διαιρέω εἰς ὁ εὐθεῖα , ἐκ ὅς σύγκειμαι ποιέω ὁ πρόκειμαι εἶδος , δείκνυμι ἤδη προεκτίθεμαι λημμάτιον τοιοῦτος · ἔκκειμαι εὐθεῖα ὁ ΑΒ καί τέμνω ὁ ὅλος εἰς ἄνισος κατά ἑκάτερος ὁ Γ , Δ , ὑπόκειμαι δέ μέγας ὁ ΑΓ ὁ ΔΒ · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . τέμνω γάρ ὁ ΑΒ δίχα κατά ὁ Ε . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΔΒ , κοινός ἀφαιρέω ὁ ΔΓ · λοιπός ἄρα ὁ ΑΔ λοιπός ὁ ΓΒ μέγας εἰμί . ἴσος δέ ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ · ἐλαχύς ἄρα ὁ ΔΕ ὁ ΕΓ · ὁ Γ , Δ ἄρα σημεῖον οὐ ἴσος ἀπέχω ὁ διχοτομία . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΒ , ἀλλά μήν καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ μετά ὁ ἀπό ΔΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΒ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΔΕ · ὅς ὁ ἀπό ὁ ΔΕ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΓ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . ὥστε καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἐλαχύς εἰμί ὁ δίς ὑπό ΑΔ , ΔΒ . καί λοιπός ἄρα ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέγας εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ · ὅς δέω δείκνυμι .