euclides-geom.elementa 11.prop.11
ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου μετεώρου ἐπὶ τὸ δοθὲν ἐπίπεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον μετέωρον τὸ Α , τὸ δὲ δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον · δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . διήχθω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα , ὡς ἔτυχεν , ἡ ΒΓ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ . εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΔ κάθετός ἐστι καὶ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν . εἰ δὲ οὔ , ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΑΖ , καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΑ , ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν , ἡ ΒΓ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΕΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . καί ἐστιν αὐτῇ παράλληλος ἡ ΗΘ · ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι , ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται · καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ , ΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ , ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΘ . ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΑΖ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ , ΔΑ ἐπιπέδῳ · ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΑ · ὥστε καὶ ἡ ΖΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΘΗ . ἔστι δὲ ἡ ΑΖ καὶ πρὸς τὴν ΔΕ ὀρθή · ἡ ΑΖ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ , ΔΕ ὀρθή ἐστιν . ἐὰν δὲ εὐθεῖα δυσὶν εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ , καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται · ἡ ΖΑ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ , ΗΘ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΔ , ΗΘ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον · ἡ ΑΖ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου μετεώρου τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΖ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἀπό ὁ δίδωμι σημεῖον μετέωρος ἐπί ὁ δίδωμι ἐπίπεδος κάθετος εὐθύς γραμμή ἄγω . εἰμί ὁ μέν δίδωμι σημεῖον μετέωρος ὁ Α , ὁ δέ δίδωμι ἐπίπεδος ὁ ὑπόκειμαι · δέω δή ἀπό ὁ Α σημεῖον ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος εὐθύς γραμμή ἄγω . διάγω γάρ τις ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος εὐθύς , ὡς τυγχάνω , ὁ ΒΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α σημεῖον ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΔ . εἰ μέν οὖν ὁ ΑΔ κάθετος εἰμί καί ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , γίγνομαι ἄν εἰμί ὁ ἐπιτάσσω . εἰ δέ οὐ , ἄγω ἀπό ὁ Δ σημεῖον ὁ ΒΓ ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ΔΕ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΔΕ κάθετος ὁ ΑΖ , καί διά ὁ Ζ σημεῖον ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΘ . καί ἐπεί ὁ ΒΓ ἑκάτερος ὁ ΔΑ , ΔΕ πρός ὀρθός εἰμί , ὁ ΒΓ ἄρα καί ὁ διά ὁ ΕΔΑ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . καί εἰμί αὐτός παράλληλος ὁ ΗΘ · ἐάν δέ εἰμί δύο εὐθεῖα παράλληλος , ὁ δέ εἷς αὐτός ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · καί ὁ ΗΘ ἄρα ὁ διά ὁ ΕΔ , ΔΑ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ διά ὁ ΕΔ , ΔΑ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί ὁ ΗΘ . ἅπτω δέ αὐτός ὁ ΑΖ εἰμί ἐν ὁ διά ὁ ΕΔ , ΔΑ ἐπίπεδος · ὁ ΗΘ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΖΆ · ὥστε καί ὁ ΖΑ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΘΗ . εἰμί δέ ὁ ΑΖ καί πρός ὁ ΔΕ ὀρθός · ὁ ΑΖ ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ ΗΘ , ΔΕ ὀρθός εἰμί . ἐάν δέ εὐθύς δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων ἐπί ὁ τομή πρός ὀρθός ἐφίστημι , καί ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · ὁ ΖΑ ἄρα ὁ διά ὁ ΕΔ , ΗΘ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ὁ δέ διά ὁ ΕΔ , ΗΘ ἐπίπεδος εἰμί ὁ ὑπόκειμαι · ὁ ΑΖ ἄρα ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ἀπό ὁ ἄρα δίδωμι σημεῖον μετέωρος ὁ Α ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΖ · ὅς δέω ποιέω .