euclides-geom.elementa 10.prop1.25
τὸ ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν . ὑπὸ γὰρ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΓ ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ , ΒΕ · μέσον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ , ΒΕ . καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΖΗ , καὶ τῷ μὲν ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΘ , τῷ δὲ ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΘΜ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΜΚ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ , καὶ ἔτι τῷ ΒΕ ἴσον ὁμοίως παρὰ τὴν ΚΝ παραβεβλήσθω τὸ ΝΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ , ΘΚ , ΚΛ . ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ , ΒΕ , καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ , τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ , μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΗΘ , ΝΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΖΘ , ΚΛ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει . καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΔ τῷ ΒΕ , σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ . καί ἐστιν ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΚΛ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ μήκει . αἱ ΖΘ , ΚΛ ἄρα ῥηταί εἰσι μήκει σύμμετροι · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ , ΚΛ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΑ , ἡ δὲ ΞΒ τῇ ΒΓ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ · ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ , οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ , οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ . ἴσον δέ ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ , τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ , τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΜΚ , οὕτως τὸ ΜΚ πρὸς τὸ ΝΛ · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΘΚ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΛ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΘ , ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΚ . ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ , ΚΛ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ . καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει , ῥητόν ἐστι τὸ ΘΝ · εἰ δὲ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει , αἱ ΚΘ , ΘΜ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · μέσον ἄρα τὸ ΘΝ . τὸ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν . ἴσον δὲ τὸ ΘΝ τῷ ΑΓ · τὸ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν . τὸ ἄρα ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ὁ ὑπό μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος εὐθεῖα περιέχω ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητός ἤ μέσος εἰμί . ὑπό γάρ μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ ὀρθογώνιον περιέχω ὁ ΑΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ ἤτοι ῥητός ἤ μέσος εἰμί . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος ὁ ΑΔ , ΒΕ · μέσος ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΔ , ΒΕ . καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΖΗ , καί ὁ μέν ΑΔ ἴσος παρά ὁ ΖΗ παραβάλλω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμος ὁ ΗΘ πλάτος ποιέω ὁ ΖΘ , ὁ δέ ΑΓ ἴσος παρά ὁ ΘΜ παραβάλλω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμος ὁ ΜΚ πλάτος ποιέω ὁ ΘΚ , καί ἔτι ὁ ΒΕ ἴσος ὅμοιος παρά ὁ ΚΝ παραβάλλω ὁ ΝΛ πλάτος ποιέω ὁ ΚΛ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ ΖΘ , ΘΚ , ΚΛ . ἐπεί οὖν μέσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΔ , ΒΕ , καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ΑΔ ὁ ΗΘ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΝΛ , μέσος ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΗΘ , ΝΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΖΗ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΖΘ , ΚΛ καί ἀσύμμετρος ὁ ΖΗ μῆκος . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΒΕ , σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΗΘ ὁ ΝΛ . καί εἰμί ὡς ὁ ΗΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως ὁ ΖΘ πρός ὁ ΚΛ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΘ ὁ ΚΛ μῆκος . ὁ ΖΘ , ΚΛ ἄρα ῥητός εἰμί μῆκος σύμμετρος · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΖΘ , ΚΛ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΔΒ ὁ ΒΑ , ὁ δέ ΞΒ ὁ ΒΓ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΞ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΓ · ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΞ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΞ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΞ . ἴσος δέ εἰμί ὁ μέν ΑΔ ὁ ΗΘ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΜΚ , ὁ δέ ΓΞ ὁ ΝΛ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΗΘ πρός ὁ ΜΚ , οὕτως ὁ ΜΚ πρός ὁ ΝΛ · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ΖΘ πρός ὁ ΘΚ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ ΚΛ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΖΘ , ΚΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΚ . ῥητός δέ ὁ ὑπό ὁ ΖΘ , ΚΛ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΘΚ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ . καί εἰ μέν σύμμετρος εἰμί ὁ ΖΗ μῆκος , ῥητός εἰμί ὁ ΘΝ · εἰ δέ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΖΗ μῆκος , ὁ ΚΘ , ΘΜ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · μέσος ἄρα ὁ ΘΝ . ὁ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητός ἤ μέσος εἰμί . ἴσος δέ ὁ ΘΝ ὁ ΑΓ · ὁ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητός ἤ μέσος εἰμί . ὁ ἄρα ὑπό μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ἑξῆς .