ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 10.prop1.47
ἡ δύο μέσα δυναμένη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται . ἔστω ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , ὥστε τὰς ΑΓ , ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται ποιοῦσα τὰ προκείμενα . εἰ γὰρ δυνατόν , διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ , ὥστε πάλιν δηλονότι τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν , ἀλλὰ μείζονα καθʼ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ , καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ · ὅλον ἄρα τὸ ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ . πάλιν δὴ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἴσον τὸ ΕΛ · λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ λοιπῷ τῷ ΜΚ ἴσον ἐστίν . καὶ ἐπεὶ μέσον ὑπόκειται τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , καὶ τὸ ΕΗ ἄρα τῷ ΗΝ ἀσύμμετρόν ἐστιν · ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστιν . καί εἰσι ῥηταί · αἱ ΕΘ , ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ κατὰ τὸ Μ διῄρηται . καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή · ἡ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηται · ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἡ δύο μέσα δυναμένη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται · καθʼ ἓν ἄρα μόνον διαιρεῖται .
Lemmas: ὁ δύο μέσος δύναμαι κατά εἷς μόνος σημεῖον διαιρέω . εἰμί ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὥστε ὁ ΑΓ , ΓΒ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος καί ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ κατά ἄλλος σημεῖον οὐ διαιρέω ποιέω ὁ πρόκειμαι . εἰ γάρ δυνατός , διαιρέω κατά ὁ Δ , ὥστε πάλιν δηλονότι ὁ ΑΓ ὁ ΔΒ μή εἰμί ὁ αὐτός , ἀλλά μέγας κατά ὑπόθεσις ὁ ΑΓ , καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ , καί παραβάλλω παρά ὁ ΕΖ ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος ὁ ΕΗ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος ὁ ΘΚ · ὅλος ἄρα ὁ ΕΚ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος . πάλιν δή παραβάλλω παρά ὁ ΕΖ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἴσος ὁ ΕΛ · λοιπός ἄρα ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ λοιπός ὁ ΜΚ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί μέσος ὑπόκειμαι ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΗ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΘΕ καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΘΝ ῥητός εἰμί καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , καί ὁ ΕΗ ἄρα ὁ ΗΝ ἀσύμμετρος εἰμί · ὥστε καί ὁ ΕΘ ὁ ΘΝ ἀσύμμετρος εἰμί . καί εἰμί ῥητός · ὁ ΕΘ , ΘΝ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί διαιρέω κατά ὁ Θ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί κατά ὁ Μ διαιρέω . καί οὐ εἰμί ὁ ΕΘ ὁ ΜΝ ὁ αὐτός · ὁ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον διαιρέω · ὅς εἰμί ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ δύο μέσος δύναμαι κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον διαιρέω · κατά εἷς ἄρα μόνος διαιρέω .
euclides-geom.elementa 10.def2.1
ὑποκειμένης ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα , ἧς τὸ μεῖζον ὄνομα τοῦ ἐλάσσονος μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει , ἐὰν μὲν τὸ μεῖζον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτη .
Lemmas: ὑπόκειμαι ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα , ὅς ὁ μέγας ὄνομα ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος , ἐάν μέν ὁ μέγας ὄνομα σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός , καλέω ἐκ δύο ὄνομα πρῶτος .
euclides-geom.elementa 10.def2.2
ἐὰν δὲ τὸ ἔλασσον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ἐλαχύς ὄνομα σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός , καλέω ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος .
euclides-geom.elementa 10.def2.3
ἐὰν δὲ μηδέτερον τῶν ὀνομάτων σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτη .
Lemmas: ἐάν δέ μηδέτερος ὁ ὄνομα σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός , καλέω ἐκ δύο ὄνομα τρίτος .
euclides-geom.elementa 10.def2.4
πάλιν δὴ ἐὰν τὸ μεῖζον ὄνομα μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει , ἐὰν μὲν τὸ μεῖζον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτη .
Lemmas: πάλιν δή ἐάν ὁ μέγας ὄνομα μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος , ἐάν μέν ὁ μέγας ὄνομα σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός , καλέω ἐκ δύο ὄνομα τέταρτος .
euclides-geom.elementa 10.def2.5
ἐὰν δὲ τὸ ἔλασσον , πέμπτη .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ἐλαχύς , πέμπτος .
euclides-geom.elementa 10.def2.6
ἐὰν δὲ μηδέτερον , ἕκτη .
Lemmas: ἐάν δέ μηδέτερος , ἕκτος .
euclides-geom.elementa 10.prop2.49
εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν . Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ , καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ἡ ΕΖ μήκει · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ . γεγονέτω δὴ καὶ ὡς ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ . ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει · αἱ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ . δεικτέον δή , ὅτι καὶ δευτέρα . ἐπεὶ γὰρ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ , μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ . ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ , Θ · ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ἀλλʼ ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει · ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΖΗ , ΖΕ δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ τὸ ΕΖ ἔλασσον ὄνομα τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρόν ἐστι τῇ Δ μήκει . ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος . ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε ὁ σύγκειμαι ἐκ αὐτός ὁ ΑΒ πρός μέν ὁ ΒΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , πρός δέ ὁ ΑΓ λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ Δ , καί ὁ Δ σύμμετρος εἰμί ὁ ΕΖ μῆκος · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ . γίγνομαι δή καί ὡς ὁ ΓΑ ἀριθμός πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΗ . καί ἐπεί ὁ ΓΑ ἀριθμός πρός ὁ ΑΒ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΖΗ μῆκος · ὁ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΕΗ . δείκνυμι δή , ὅτι καί δεύτερος . ἐπεί γάρ ἀνάπαλιν εἰμί ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμός πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΗΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , μέγας δέ ὁ ΒΑ ὁ ΑΓ , μέγας ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΗΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΕ . εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΖ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , Θ · ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ . ἀλλά ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ Θ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ Θ μῆκος · ὥστε ὁ ΖΗ ὁ ΖΕ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ῥητός ὁ ΖΗ , ΖΕ δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΕΖ ἐλαχύς ὄνομα ὁ ἔκκειμαι ῥητός σύμμετρος εἰμί ὁ Δ μῆκος . ὁ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί δεύτερος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.51
εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην . Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον μὴ ἔχειν μήτε μὴν πρὸς τὸν ΑΓ , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ , καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ . καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει . αἱ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ὥστε ἡ ΕΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν . λέγω δή , ὅτι καὶ τετάρτη . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ . ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ , Θ · ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει · ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΗΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσιν αἱ ΕΖ , ΖΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΕΖ τῇ Δ σύμμετρός ἐστι μήκει . ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ ἐκ δύο ὄνομα τέταρτος . ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος μή ἔχω μήτε μήν πρός ὁ ΑΓ , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ Δ , καί ὁ Δ σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ΕΖ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΖ . καί γίγνομαι ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμός πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΗ . καί ἐπεί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΖΗ μῆκος . ὁ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὥστε ὁ ΕΗ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί τέταρτος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , μέγας ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . εἰμί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , Θ · ἀναστρέφω ἄρα ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμός πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ . ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ Θ μῆκος · ὁ ΕΖ ἄρα ὁ ΗΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ ΕΖ , ΖΗ ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΕΖ ὁ Δ σύμμετρος εἰμί μῆκος . ὁ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τέταρτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.52
εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην . Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , καὶ ἐκκείσθω ῥητή τις εὐθεῖα ἡ Δ , καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ἡ ΕΖ · ῥητὴ ἄρα ἡ ΕΖ . καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ . ὁ δὲ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . αἱ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ . λέγω δή , ὅτι καὶ πέμπτη . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , ἀνάπαλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ · μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ . ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ , Θ · ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει · ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσιν αἱ ΗΖ , ΖΕ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι καὶ τὸ ΕΖ ἔλαττον ὄνομα σύμμετρόν ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Δ μήκει . ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ ἐκ δύο ὄνομα πέμπτος . ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος αὐτός λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , καί ἔκκειμαι ῥητός τις εὐθεῖα ὁ Δ , καί ὁ Δ σύμμετρος εἰμί ὁ ΕΖ · ῥητός ἄρα ὁ ΕΖ . καί γίγνομαι ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . ὁ δέ ΓΑ πρός ὁ ΑΒ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . ὁ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΕΗ . λέγω δή , ὅτι καί πέμπτος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ἀνάπαλιν ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΕ · μέγας ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΗΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΕ . εἰμί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΗΖ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , Θ · ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμός πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΗΖ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ . ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ Θ μῆκος · ὥστε ὁ ΖΗ ὁ ΖΕ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ ΗΖ , ΖΕ ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος καί ὁ ΕΖ ἐλαχύς ὄνομα σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ Δ μῆκος . ὁ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πέμπτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.56
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα . χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε , ὧν μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα . Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον . καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη ἡ ΑΔ , αἱ ΑΕ , ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΕ , ΕΔ σύμμετρός τῇ ΑΒ μήκει . ὁμοίως δὴ τοῖς προδεδειγμένοις δείξομεν , ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη , καὶ αἱ ΜΝ , ΝΞ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι · ὥστε ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστίν . δεικτέον δή , ὅτι καὶ δευτέρα . ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει , τουτέστι τῇ ΕΚ , σύμμετρος δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει . καί εἰσι ῥηταί · αἱ ΖΕ , ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . μέσον ἄρα τὸ ΕΛ , τουτέστι τὸ ΜΡ · καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝΞ · μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ . ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα τρίτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐκ δύο μέσος δεύτερος . χωρίον γάρ ὁ ΑΒΓΔ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΒ καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα τρίτος ὁ ΑΔ διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Ε , ὅς μέγας εἰμί ὁ ΑΕ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐκ δύο μέσος δεύτερος . κατασκευάζω γάρ ὁ αὐτός ὁ πρότερος . καί ἐπεί ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τρίτος ὁ ΑΔ , ὁ ΑΕ , ΕΔ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί οὐδέτερος ὁ ΑΕ , ΕΔ σύμμετρος ὁ ΑΒ μῆκος . ὅμοιος δή ὁ προδείκνυμι δείκνυμι , ὅτι ὁ ΜΞ εἰμί ὁ ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι , καί ὁ ΜΝ , ΝΞ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὥστε ὁ ΜΞ ἐκ δύο μέσος εἰμί . δείκνυμι δή , ὅτι καί δεύτερος . ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΑΒ μῆκος , τουτέστι ὁ ΕΚ , σύμμετρος δέ ὁ ΔΕ ὁ ΕΖ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΕΚ μῆκος . καί εἰμί ῥητός · ὁ ΖΕ , ΕΚ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . μέσος ἄρα ὁ ΕΛ , τουτέστι ὁ ΜΡ · καί περιέχω ὑπό ὁ ΜΝΞ · μέσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΜΝΞ . ὁ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο μέσος εἰμί δεύτερος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.58
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη . χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε , ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη . Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον δεδειγμένοις · φανερὸν δή , ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ . δεικτέον δή , ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη . ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΘΕ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ · αἱ ΜΝ , ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη , καί ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΕΔ , σύμμετρος ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει . ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἐστιν ἀσύμμετρος · καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΑΕ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει . μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ , τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει , τουτέστι τῇ ΕΚ , ἀλλὰ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρός ἐστιν , καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστιν . καὶ ῥητὴ ἡ ΕΚ · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΛ , τουτέστι τὸ ΜΡ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΝΞ · αἱ ΜΝ , ΝΞ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν . ἡ ΜΞ ἄρα ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα πέμπτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ῥητός καί μέσος δύναμαι . χωρίον γάρ ὁ ΑΓ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΒ καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα πέμπτος ὁ ΑΔ διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Ε , ὥστε ὁ μέγας ὄνομα εἰμί ὁ ΑΕ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ῥητός καί μέσος δύναμαι . κατασκευάζω γάρ ὁ αὐτός ὁ πρότερος δείκνυμι · φανερός δή , ὅτι ὁ ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι εἰμί ὁ ΜΞ . δείκνυμι δή , ὅτι ὁ ΜΞ εἰμί ὁ ῥητός καί μέσος δύναμαι . ἐπεί γάρ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΕ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΑΘ ὁ ΘΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΜΝ ὁ ἀπό ὁ ΝΞ · ὁ ΜΝ , ΝΞ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος . καί ἐπεί ὁ ΑΔ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πέμπτος , καί ἐλαχύς αὐτός τμῆμα ὁ ΕΔ , σύμμετρος ἄρα ὁ ΕΔ ὁ ΑΒ μῆκος . ἀλλά ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ εἰμί ἀσύμμετρος · καί ὁ ΑΒ ἄρα ὁ ΑΕ εἰμί ἀσύμμετρος μῆκος . μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΚ , τουτέστι ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , ΝΞ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΑΒ μῆκος , τουτέστι ὁ ΕΚ , ἀλλά ὁ ΔΕ ὁ ΕΖ σύμμετρος εἰμί , καί ὁ ΕΖ ἄρα ὁ ΕΚ σύμμετρος εἰμί . καί ῥητός ὁ ΕΚ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΕΛ , τουτέστι ὁ ΜΡ , τουτέστι ὁ ὑπό ΜΝΞ · ὁ ΜΝ , ΝΞ ἄρα δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ ὑπό αὐτός ῥητός . ὁ ΜΞ ἄρα ῥητός καί μέσος δύναμαι εἰμί καί δύναμαι ὁ ΑΓ χωρίον · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.59
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη δύο μέσα δυναμένη . χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε , ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν . Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις . φανερὸν δή , ὅτι τὸ ΑΓ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ , καὶ ὅτι ἀσύμμετρός ἐστι ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ δυνάμει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ μήκει , αἱ ΕΑ , ΑΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ , τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ . πάλιν , ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΕΚ · αἱ ΖΕ , ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ , τουτέστι τὸ ΜΡ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρος ἡ ΑΕ τῇ ΕΖ , καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν . ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΚ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ , τὸ δὲ ΕΛ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝΞ τῷ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ . καί ἐστι μέσον ἑκάτερον αὐτῶν , καὶ αἱ ΜΝ , ΝΞ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι . ἡ ΜΞ ἄρα δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα ἕκτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω δύο μέσος δύναμαι . χωρίον γάρ ὁ ΑΒΓΔ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΒ καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα ἕκτος ὁ ΑΔ διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Ε , ὥστε ὁ μέγας ὄνομα εἰμί ὁ ΑΕ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΓ δύναμαι ὁ δύο μέσος δύναμαι εἰμί . κατασκευάζω ὁ αὐτός ὁ προδείκνυμι . φανερός δή , ὅτι ὁ ΑΓ δύναμαι εἰμί ὁ ΜΞ , καί ὅτι ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΜΝ ὁ ΝΞ δύναμις . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΕΑ ὁ ΑΒ μῆκος , ὁ ΕΑ , ΑΒ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΚ , τουτέστι ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , ΝΞ . πάλιν , ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΕΔ ὁ ΑΒ μῆκος , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΕ ὁ ΕΚ · ὁ ΖΕ , ΕΚ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΕΛ , τουτέστι ὁ ΜΡ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΜΝΞ . καί ἐπεί ἀσύμμετρος ὁ ΑΕ ὁ ΕΖ , καί ὁ ΑΚ ὁ ΕΛ ἀσύμμετρος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν ΑΚ εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , ΝΞ , ὁ δέ ΕΛ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΜΝΞ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΜΝΞ ὁ ὑπό ὁ ΜΝΞ . καί εἰμί μέσος ἑκάτερος αὐτός , καί ὁ ΜΝ , ΝΞ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος . ὁ ΜΞ ἄρα δύο μέσος δύναμαι εἰμί καί δύναμαι ὁ ΑΓ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.61
τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν . ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ , ὧν μείζων ἡ ΑΓ , καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ · λέγω , ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα . Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι · ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσα ἐστίν . μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται · ῥητὴ ἄρα ἐστίν ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , ῥητόν ἐστι καὶ τὸ ΜΖ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ καὶ μήκει σύμμετρος τῇ ΜΛ , τουτέστι τῇ ΔΕ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει . καί εἰσι ῥηταί · αἱ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ . δεικτέον δή , ὅτι καὶ δευτέρα . ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ · ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ , σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ · ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν . καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ · ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καί ἐστιν ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ ἐκ δύο μέσος πρῶτος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα δεύτερος . εἰμί ἐκ δύο μέσος πρῶτος ὁ ΑΒ διαιρέω εἰς ὁ μέσος κατά ὁ Γ , ὅς μέγας ὁ ΑΓ , καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΔΕ , καί παραβάλλω παρά ὁ ΔΕ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΔΖ πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ · λέγω , ὅτι ὁ ΔΗ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί δεύτερος . κατασκευάζω γάρ ὁ αὐτός ὁ πρό οὗτος . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ἐκ δύο μέσος εἰμί πρῶτος διαιρέω κατά ὁ Γ , ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος εἰμί . μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΔΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΔΕ παραβάλλω · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΜΔ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . πάλιν , ἐπεί ῥητός εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ῥητός εἰμί καί ὁ ΜΖ . καί παρά ῥητός ὁ ΜΛ παράκειμαι · ῥητός ἄρα καί ὁ ΜΗ καί μῆκος σύμμετρος ὁ ΜΛ , τουτέστι ὁ ΔΕ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ μῆκος . καί εἰμί ῥητός · ὁ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΔΗ . δείκνυμι δή , ὅτι καί δεύτερος . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέγας εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , μέγας ἄρα καί ὁ ΔΛ ὁ ΜΖ · ὥστε καί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΒ , σύμμετρος εἰμί καί ὁ ΔΘ ὁ ΚΛ · ὥστε καί ὁ ΔΚ ὁ ΚΜ σύμμετρος εἰμί . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΚΜ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΜΝ · ὁ ΔΜ ἄρα ὁ ΜΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ ΜΗ σύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . ὁ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί δεύτερος .
euclides-geom.elementa 10.prop2.62
τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην . ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ , ὥστε τὸ μεῖζον τμῆμα εἶναι τὸ ΑΓ , ῥητὴ δέ τις ἔστω ἡ ΔΕ , καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ · λέγω , ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη . Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις . καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι · ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον ἐστίν . καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ . καὶ παράκειται παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ , τουτέστι τῇ ΔΕ , μήκει · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει , ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ , ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ . ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἀσύμμετρόν ἐστιν , τουτέστι τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ · ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ ἀσύμμετρός ἐστιν . καί εἰσι ῥηταί · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ . δεικτέον , ὅτι καὶ τρίτη . ὁμοίως δὴ τοῖς προτέροις ἐπιλογιούμεθα , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ , καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ . καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ · ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΕ μήκει . ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ ἐκ δύο μέσος δεύτερος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα τρίτος . εἰμί ἐκ δύο μέσος δεύτερος ὁ ΑΒ διαιρέω εἰς ὁ μέσος κατά ὁ Γ , ὥστε ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΑΓ , ῥητός δέ τις εἰμί ὁ ΔΕ , καί παρά ὁ ΔΕ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παραλληλόγραμμος παραβάλλω ὁ ΔΖ πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ · λέγω , ὅτι ὁ ΔΗ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τρίτος . κατασκευάζω ὁ αὐτός ὁ προδείκνυμι . καί ἐπεί ἐκ δύο μέσος δεύτερος εἰμί ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω · ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος εἰμί . καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΛ · μέσος ἄρα καί ὁ ΔΛ . καί παράκειμαι παρά ῥητός ὁ ΔΕ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΔ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΜΗ ῥητός εἰμί καί ἀσύμμετρος ὁ ΜΛ , τουτέστι ὁ ΔΕ , μῆκος · ῥητός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΔΜ , ΜΉ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ μῆκος , ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ , ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ . ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓΒ ἀσύμμετρος εἰμί , τουτέστι ὁ ΔΛ ὁ ΜΖ · ὥστε καί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ ἀσύμμετρος εἰμί . καί εἰμί ῥητός · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΔΗ . δείκνυμι , ὅτι καί τρίτος . ὅμοιος δή ὁ πρότερος ἐπιλογίζομαι , ὅτι μέγας εἰμί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ , καί σύμμετρος ὁ ΔΚ ὁ ΚΜ . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΚΜ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΜΝ · ὁ ΔΜ ἄρα ὁ ΜΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί οὐδέτερος ὁ ΔΜ , ΜΉ σύμμετρος εἰμί ὁ ΔΕ μῆκος . ὁ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τρίτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.64
τὸ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην . ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Γ , ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ , καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ · λέγω , ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη . Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου . ἐπεὶ οὖν ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν . ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ · ὥστε ῥητή ἐστιν ἡ ΔΜ καὶ μήκει ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ . πάλιν , ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ , τουτέστι τὸ ΜΖ , ῥητὴ ἄρα ἡ ΜΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ . ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ · αἱ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ . λέγω δή , ὅτι καὶ πέμπτη . ὁμοίως γὰρ δειχθήσεται , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ , καὶ ἀσύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει · ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσιν αἱ ΔΜ , ΜΗ δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ἐλάσσων ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ ῥητός καί μέσος δύναμαι παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα πέμπτος . εἰμί ῥητός καί μέσος δύναμαι ὁ ΑΒ διαιρέω εἰς ὁ εὐθεῖα κατά ὁ Γ , ὥστε μέγας εἰμί ὁ ΑΓ , καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΔΕ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΔΕ παραβάλλω ὁ ΔΖ πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ · λέγω , ὅτι ὁ ΔΗ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πέμπτος . κατασκευάζω ὁ αὐτός ὁ πρό οὗτος . ἐπεί οὖν ῥητός καί μέσος δύναμαι εἰμί ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ ὑπό αὐτός ῥητός . ἐπεί οὖν μέσος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΔΛ · ὥστε ῥητός εἰμί ὁ ΔΜ καί μῆκος ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ . πάλιν , ἐπεί ῥητός εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓΒ , τουτέστι ὁ ΜΖ , ῥητός ἄρα ὁ ΜΗ καί σύμμετρος ὁ ΔΕ . ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ · ὁ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΔΗ . λέγω δή , ὅτι καί πέμπτος . ὅμοιος γάρ δείκνυμι , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΔΚΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΚ ὁ ΚΜ μῆκος · ὁ ΔΜ ἄρα ὁ ΜΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ ΔΜ , ΜΗ δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ἐλαχύς ὁ ΜΗ σύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . ὁ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πέμπτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.65
τὸ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην . ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , ῥητὴ δὲ ἔστω ἡ ΔΕ . καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ · λέγω , ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη . Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων συγκείμενον τῷ ὑπʼ αὐτῶν · ὥστε κατὰ τὰ προδεδειγμένα μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΔΛ , ΜΖ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ . ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ · αἱ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ . λέγω δή , ὅτι καὶ ἕκτη . ὁμοίως δὴ πάλιν δείξομεν , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ , καὶ ὅτι ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει ἐστὶν ἀσύμμετρος · καὶ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει . ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ δύο μέσος δύναμαι παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα ἕκτος . εἰμί δύο μέσος δύναμαι ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ῥητός δέ εἰμί ὁ ΔΕ . καί παρά ὁ ΔΕ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παραβάλλω ὁ ΔΖ πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ · λέγω , ὅτι ὁ ΔΗ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ἕκτος . κατασκευάζω γάρ ὁ αὐτός ὁ πρότερος . καί ἐπεί ὁ ΑΒ δύο μέσος δύναμαι εἰμί διαιρέω κατά ὁ Γ , ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος καί ὁ ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος σύγκειμαι ὁ ὑπό αὐτός · ὥστε κατά ὁ προδείκνυμι μέσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΔΛ , ΜΖ . καί παρά ῥητός ὁ ΔΕ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΔΜ , ΜΉ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΔΛ ὁ ΜΖ . ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ · ὁ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΔΗ . λέγω δή , ὅτι καί ἕκτος . ὅμοιος δή πάλιν δείκνυμι , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΔΚΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , καί ὅτι ὁ ΔΚ ὁ ΚΜ μῆκος εἰμί ἀσύμμετρος · καί διά ὁ αὐτός δή ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . καί οὐδέτερος ὁ ΔΜ , ΜΉ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΔΕ μῆκος . ὁ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί ἕκτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.67
ἡ τῇ ἐκ δύο μέσων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή . ἔστω ἐκ δύο μέσων ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ . ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο μέσων ἐστὶν ἡ ΑΒ , διῃρήσθω εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Ε · αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ , ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ . σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει · σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ , ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ , ΖΔ . μέσαι δὲ αἱ ΑΕ , ΕΒ · μέσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ , αἱ δὲ ΑΕ , ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν , καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν . ἐδείχθησαν δὲ καὶ μέσαι · ἡ ΓΔ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστίν . λέγω δή , ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΑΒ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ , καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ · ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ . σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ · σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ . εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ , καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ ῥητόν ἐστιν . εἴτε μέσον , μέσον , καί ἐστιν ἑκατέρα δευτέρα . καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ἡ ΓΔ τῇ ΑΒ τῇ τάξει ἡ αὐτή · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ ἐκ δύο μέσος μῆκος σύμμετρος καί αὐτός ἐκ δύο μέσος εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός . εἰμί ἐκ δύο μέσος ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΔ ἐκ δύο μέσος εἰμί καί ὁ τάξις ὁ αὐτός ὁ ΑΒ . ἐπεί γάρ ἐκ δύο μέσος εἰμί ὁ ΑΒ , διαιρέω εἰς ὁ μέσος κατά ὁ Ε · ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί γίγνομαι ὡς ὁ ΑΒ πρός ΓΔ , ὁ ΑΕ πρός ΓΖ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ΓΔ . σύμμετρος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ μῆκος · σύμμετρος ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ ἑκάτερος ὁ ΓΖ , ΖΔ . μέσος δέ ὁ ΑΕ , ΕΒ · μέσος ἄρα καί ὁ ΓΖ , ΖΔ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , ὁ ΓΖ πρός ΖΔ , ὁ δέ ΑΕ , ΕΒ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί , καί ὁ ΓΖ , ΖΔ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί . δείκνυμι δέ καί μέσος · ὁ ΓΔ ἄρα ἐκ δύο μέσος εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί ὁ τάξις ὁ αὐτός εἰμί ὁ ΑΒ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , ὁ ΓΖ πρός ΖΔ , καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΕ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΕΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΓΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖΔ · ἐναλλάξ ὡς ὁ ἀπό ὁ ΑΕ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΑΕΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖΔ . σύμμετρος δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ · σύμμετρος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΖΔ . εἴτε οὖν ῥητός εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΕΒ , καί ὁ ὑπό ὁ ΓΖΔ ῥητός εἰμί . εἴτε μέσος , μέσος , καί εἰμί ἑκάτερος δεύτερος . καί διά οὗτος εἰμί ὁ ΓΔ ὁ ΑΒ ὁ τάξις ὁ αὐτός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.69
ἡ τῇ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένῃ σύμμετρος ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν . ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ · δεικτέον , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν . διῃρήσθω ἡ ΑΒ εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε · αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν · καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω τοῖς πρότερον . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι , καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ , τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕ , ΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖ , ΖΔ · ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων ἐστὶ μέσον , τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ ῥητόν . ῥητὸν ἄρα καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΓΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ ῥητός καί μέσος δύναμαι σύμμετρος ῥητός καί μέσος δύναμαι εἰμί . εἰμί ῥητός καί μέσος δύναμαι ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ σύμμετρος εἰμί ὁ ΓΔ · δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΔ ῥητός καί μέσος δύναμαι εἰμί . διαιρέω ὁ ΑΒ εἰς ὁ εὐθεῖα κατά ὁ Ε · ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ ὑπό αὐτός ῥητός · καί ὁ αὐτός κατασκευάζω ὁ πρότερος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΖ , ΖΔ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος , καί σύμμετρος ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ , ὁ δέ ὑπό ΑΕ , ΕΒ ὁ ὑπό ΓΖ , ΖΔ · ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ τετράγωνος εἰμί μέσος , ὁ δέ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ ῥητός . ῥητός ἄρα καί μέσος δύναμαι εἰμί ὁ ΓΔ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.70
ἡ τῇ δύο μέσα δυναμένῃ σύμμετρος δύο μέσα δυναμένη ἐστίν . ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ · δεικτέον , ὅτι καὶ ἡ ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν . ʼἐπεὶ γὰρ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ , διῃρήσθω εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε · αἱ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ · καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ΓΖ , ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ · ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΔ . ἡ ἄρα ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ δύο μέσος δύναμαι σύμμετρος δύο μέσος δύναμαι εἰμί . εἰμί δύο μέσος δύναμαι ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ σύμμετρος ὁ ΓΔ · δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΔ δύο μέσος δύναμαι εἰμί . ’ἐπεί γάρ δύο μέσος δύναμαι εἰμί ὁ ΑΒ , διαιρέω εἰς ὁ εὐθεῖα κατά ὁ Ε · ὁ ΑΕ , ΕΒ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός μέσος καί ὁ ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ τετράγωνος ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ · καί κατασκευάζω ὁ αὐτός ὁ πρότερος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΖ , ΖΔ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος καί σύμμετρος ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ · ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ τετράγωνος μέσος εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΔ τετράγωνος ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΖΔ . ὁ ἄρα ΓΔ δύο μέσος δύναμαι εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.73
ἐὰν ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ ἀποτομή . ἀπὸ γὰρ ῥητῆς τῆς ΑΒ ῥητὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ · λέγω , ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή . ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει , καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνα , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . καὶ ἐπειδήπερ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΑ , καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ · καλείσθω δὲ ἀποτομή . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό ῥητός ῥητός ἀφαιρέω δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , ὁ λοιπός ἄλογος εἰμί · καλέω δέ ἀποτομή . ἀπό γάρ ῥητός ὁ ΑΒ ῥητός ἀφαιρέω ὁ ΒΓ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἀποτομή . ἐπεί γάρ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ σύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . καί ἐπειδή ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΑ , καί λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ · καλέω δέ ἀποτομή . ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.74
ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα , ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη . ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ , μετὰ δὲ τῆς ΑΒ ῥητὸν ποιοῦσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΒ , ΒΓ μέσαι εἰσίν , μέσα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἀσύμμετρα ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ἐπεὶ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ , καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται . ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ · ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ · καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη .
Lemmas: ἐάν ἀπό μέσος μέσος ἀφαιρέω δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ῥητός περιέχω , ὁ λοιπός ἄλογος εἰμί · καλέω δέ μέσος ἀποτομή πρῶτος . ἀπό γάρ μέσος ὁ ΑΒ μέσος ἀφαιρέω ὁ ΒΓ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ , μετά δέ ὁ ΑΒ ῥητός ποιέω ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί · καλέω δέ μέσος ἀποτομή πρῶτος . ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος εἰμί , μέσος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ῥητός δέ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · καί λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ἐπεί ἐάν ὁ ὅλος εἷς αὐτός ἀσύμμετρος εἰμί , καί ὁ ἐκ ἀρχή μέγεθος ἀσύμμετρος εἰμί . ῥητός δέ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἄλογος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ · καλέω δέ μέσος ἀποτομή πρῶτος .
euclides-geom.elementa 10.prop2.76
ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπʼ αὐτῶν ἅμα ῥητόν , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον , ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ ἐλάσσων . ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα τὰ προκείμενα . λέγω , ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων . ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετραγώνων ῥητόν ἐστιν , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μέσον , ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · καὶ ἀναστρέψαντι λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ · ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ · καλείσθω δὲ ἐλάσσων . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό εὐθεῖα εὐθεῖα ἀφαιρέω δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ποιέω ὁ μέν ἀπό αὐτός ἅμα ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος , ὁ λοιπός ἄλογος εἰμί · καλέω δέ ἐλαχύς . ἀπό γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ εὐθεῖα ἀφαιρέω ὁ ΒΓ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος ποιέω ὁ πρόκειμαι . λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . ἐπεί γάρ ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος ῥητός εἰμί , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · καί ἀναστρέφω λοιπός ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἄλογος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ἄλογος ἄρα ὁ ΑΓ · καλέω δέ ἐλαχύς . ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.77
ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν , ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν · καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα · λέγω , ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ προειρημένη . ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστίν , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ῥητόν , ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ῥητόν · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄλογόν ἐστιν · ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ · καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό εὐθεῖα εὐθεῖα ἀφαιρέω δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός ῥητός , ὁ λοιπός ἄλογος εἰμί · καλέω δέ ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ἀπό γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ εὐθεῖα ἀφαιρέω ὁ ΒΓ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ποιέω ὁ πρόκειμαι · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί ὁ προλέγω . ἐπεί γάρ ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος μέσος εἰμί , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ῥητός , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · καί λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ῥητός · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ · καλέω δέ ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω . ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.79
τῇ ἀποτομῇ μία προσαρμόζει εὐθεῖα ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ . ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ , προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ · αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · λέγω , ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ . εἰ γὰρ δυνατόν , προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ · καὶ αἱ ΑΔ , ΔΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ ἐπεί , ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · τῷ γὰρ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀμφότερα ὑπερέχει · ἐναλλὰξ ἄρα , ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τούτῳ ὑπερέχει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ · ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα . καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · μέσα γὰρ ἀμφότερα , μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ . τῇ ἄρα ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ . μία ἄρα μόνη τῇ ἀποτομῇ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀποτομή εἷς προσαρμόζω εὐθεῖα ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος . εἰμί ἀποτομή ὁ ΑΒ , προσαρμόζω δέ αὐτός ὁ ΒΓ · ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ἕτερος οὐ προσαρμόζω ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος . εἰ γάρ δυνατός , προσαρμόζω ὁ ΒΔ · καί ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί ἐπεί , ὅς ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , οὗτος ὑπερέχω καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ὁ γάρ αὐτός ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἀμφότερος ὑπερέχω · ἐναλλάξ ἄρα , ὅς ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , οὗτος ὑπερέχω ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός · ῥητός γάρ ἀμφότερος . καί ὁ δίς ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός · ὅς εἰμί ἀδύνατος · μέσος γάρ ἀμφότερος , μέσος δέ μέσος οὐ ὑπερέχω ῥητός . ὁ ἄρα ΑΒ ἕτερος οὐ προσαρμόζω ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος . εἷς ἄρα μόνος ὁ ἀποτομή προσαρμόζω ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop2.80
τῇ μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα . ἔστω γὰρ μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ , καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ · αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · λέγω , ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα . εἰ γὰρ δυνατόν , προσαρμοζέτω καὶ ἡ ΔΒ . αἱ ἄρα ΑΔ , ΔΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . καὶ ἐπεί , ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · τῷ γὰρ αὐτῷ ὑπερέχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ · ἐναλλὰξ ἄρα , ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ · ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα . καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα , μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ . τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ μέσος ἀποτομή πρῶτος εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθεῖα μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ῥητός περιέχω . εἰμί γάρ μέσος ἀποτομή πρῶτος ὁ ΑΒ , καί ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΓ · ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ἕτερος οὐ προσαρμόζω μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ῥητός περιέχω . εἰ γάρ δυνατός , προσαρμόζω καί ὁ ΔΒ . ὁ ἄρα ΑΔ , ΔΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . καί ἐπεί , ὅς ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , οὗτος ὑπερέχω καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ὁ γάρ αὐτός ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · ἐναλλάξ ἄρα , ὅς ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , οὗτος ὑπερέχω καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός · ῥητός γάρ ἀμφότερος . καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός · ὅς εἰμί ἀδύνατος · μέσος γάρ εἰμί ἀμφότερος , μέσος δέ μέσος οὐ ὑπερέχω ῥητός . ὁ ἄρα μέσος ἀποτομή πρῶτος εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθύς μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ῥητός περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι .