euclides-geom.elementa 9.prop.12
ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν , ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ ἔσχατος πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται , ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μονάδα μετρηθήσεται . ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ · λέγω , ὅτι ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται , ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται . μετρείσθω γὰρ ὁ Δ ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ τοῦ Ε · λέγω , ὅτι ὁ ε τὸν Α μετρεῖ . μὴ γάρ · καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος , ἅπας δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα , ὃν μὴ μετρεῖ , πρῶτός ἐστιν · οἱ Ε , Α ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ , μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ · ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας , ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε , Ζ . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε , ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ . οἱ δὲ Α , Ε πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον · μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Γ . μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η · ὁ Ε ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν διὰ τὸ πρὸ τούτου καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε , Η . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε , ὁ Η πρὸς τὸν Β . οἱ δὲ Α , Ε πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον · μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Β . μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ · ὁ Ε ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε , Θ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α , ὁ Α πρὸς τὸν Θ . οἱ δὲ Α , Ε πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον · μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Α ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον . ἀλλὰ μὴν καὶ οὐ μετρεῖ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα οἱ Ε , Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . σύνθετοι ἄρα . οἱ δὲ σύνθετοι ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετροῦνται . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρῶτος ὑπόκειται , ὁ δὲ πρῶτος ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ οὐ μετρεῖται ἢ ὑφʼ ἑαυτοῦ , ὁ Ε ἄρα τοὺς Α , Ε μετρεῖ · ὥστε ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Δ · ὁ Ε ἄρα τοὺς Α , Δ μετρεῖ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται , ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὑπό ὅσος ἄν ὁ ἔσχατος πρῶτος ἀριθμός μετρέω , ὑπό ὁ αὐτός καί ὁ παρά ὁ μονάς μετρέω . εἰμί ἀπό μονάς ὁσποσοιδηποτοῦν ἀριθμός ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ · λέγω , ὅτι ὑπό ὅσος ἄν ὁ Δ πρῶτος ἀριθμός μετρέω , ὑπό ὁ αὐτός καί ὁ Α μετρέω . μετρέω γάρ ὁ Δ ὑπό τις πρῶτος ἀριθμός ὁ Ε · λέγω , ὅτι ὁ ε ὁ Α μετρέω . μή γάρ · καί εἰμί ὁ Ε πρῶτος , ἅπας δέ πρῶτος ἀριθμός πρός ἅπας , ὅς μή μετρέω , πρῶτος εἰμί · ὁ Ε , Α ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ὁ Ε ὁ Δ μετρέω , μετρέω αὐτός κατά ὁ Ζ · ὁ Ε ἄρα ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . πάλιν , ἐπεί ὁ Α ὁ Δ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Γ μονάς , ὁ Α ἄρα ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Ε ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Ε , Ζ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Ε , ὁ Ζ πρός ὁ Γ . ὁ δέ Α , Ε πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι · μετρέω ἄρα ὁ Ε ὁ Γ . μετρέω αὐτός κατά ὁ Η · ὁ Ε ἄρα ὁ Η πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ἀλλά μήν διά ὁ πρό οὗτος καί ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Β ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Ε , Η . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Ε , ὁ Η πρός ὁ Β . ὁ δέ Α , Ε πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς ἀριθμός μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός ἰσάκις ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι · μετρέω ἄρα ὁ Ε ὁ Β . μετρέω αὐτός κατά ὁ Θ · ὁ Ε ἄρα ὁ Θ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Ε , Θ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Α , ὁ Α πρός ὁ Θ . ὁ δέ Α , Ε πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι · μετρέω ἄρα ὁ Ε ὁ Α ὡς ἡγέομαι ἡγέομαι . ἀλλά μήν καί οὐ μετρέω · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Ε , Α πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . σύνθετος ἄρα . ὁ δέ σύνθετος ὑπό ἀριθμός τις μετρέω . καί ἐπεί ὁ Ε πρῶτος ὑπόκειμαι , ὁ δέ πρῶτος ὑπό ἕτερος ἀριθμός οὐ μετρέω ἤ ὑπό ἑαυτοῦ , ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Ε μετρέω · ὥστε ὁ Ε ὁ Α μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Δ · ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Δ μετρέω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὑπό ὅσος ἄν ὁ Δ πρῶτος ἀριθμός μετρέω , ὑπό ὁ αὐτός καί ὁ Α μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .