euclides-geom.elementa 12.prop.13
ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις , ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον , οὕτως ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα . κύλινδρος γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΑΒ , ΓΔ , καὶ συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Λ , Μ σημεῖα , καὶ ἐκκείσθωσαν τῷ ΕΚ ἄξονι ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΕΝ , ΝΛ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΖΞ , ΞΜ , καὶ νοείσθω ὁ ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἄξονος κύλινδρος ὁ ΟΧ , οὗ βάσεις οἱ ΟΠ , ΦΧ κύκλοι . καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Ν , Ξ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖς ΑΒ , ΓΔ καὶ ταῖς βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺς ΡΣ , ΤΥ κύκλους περὶ τὰ Ν , Ξ κέντρα . καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ , ΝΕ , ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις , οἱ ἄρα ΠΡ , ΡΒ , ΒΗ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις . ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις · ἴσοι ἄρα καὶ οἱ ΠΡ , ΡΒ , ΒΗ κύλινδροι ἀλλήλοις . ἐπεὶ οὖν οἱ ΛΝ , ΝΕ , ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις , εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΠΡ , ΡΒ , ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλήλοις , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει , ὁσαπλασίων ἄρα ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονος , τοσαυταπλασίων ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΒ κυλίνδρου . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονος , τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΧΗ κύλινδρος τοῦ ΗΔ κυλίνδρου . καὶ εἰ μὲν ἴσος ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι , ἴσος ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ , εἰ δὲ μείζων ὁ ἄξων τοῦ ἄξονος , μείζων καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου , καὶ εἰ ἐλάσσων , ἐλάσσων . τεσσάρων δὴ μεγεθῶν ὄντων , ἀξόνων μὲν τῶν ΕΚ , ΚΖ , κυλίνδρων δὲ τῶν ΒΗ , ΗΔ , εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια , τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονος καὶ τοῦ ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΛΚ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος , τοῦ δὲ ΚΖ ἄξονος καὶ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ ὁ ΗΧ κύλινδρος , καὶ δέδεικται , ὅτι εἰ ὑπερέχει ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος , ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΧ κυλίνδρου , καὶ εἰ ἴσος , ἴσος , καὶ εἰ ἐλάσσων , ἐλάσσων . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα , οὕτως ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος , εἰμί ὡς ὁ κύλινδρος πρός ὁ κύλινδρος , οὕτως ὁ ἄξων πρός ὁ ἄξων . κύλινδρος γάρ ὁ ΑΔ ἐπίπεδος ὁ ΗΘ τέμνω παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος ὁ ΑΒ , ΓΔ , καί συμβάλλω ὁ ἄξων ὁ ΗΘ ἐπίπεδος κατά ὁ Κ σημεῖον · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΒΗ κύλινδρος πρός ὁ ΗΔ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΕΚ ἄξων πρός ὁ ΚΖ ἄξων . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ἐπί ὁ Λ , Μ σημεῖον , καί ἔκκειμαι ὁ ΕΚ ἄξων ἴσος ὁσσοιδηποτοῦν ὁ ΕΝ , ΝΛ , ὁ δέ ΖΚ ἴσος ὁσσοιδηποτοῦν ὁ ΖΞ , ΞΜ , καί νοέω ὁ ἐπί ὁ ΛΜ ἄξων κύλινδρος ὁ ΟΧ , ὅς βάσις ὁ ΟΠ , ΦΧ κύκλος . καί ἐκβάλλω διά ὁ Ν , Ξ σημεῖον ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΑΒ , ΓΔ καί ὁ βάσις ὁ ΟΧ κύλινδρος καί ποιέω ὁ ΡΣ , ΤΥ κύκλος περί ὁ Ν , Ξ κέντρον . καί ἐπεί ὁ ΛΝ , ΝΕ , ΕΚ ἄξων ἴσος εἰμί ἀλλήλων , ὁ ἄρα ΠΡ , ΡΒ , ΒΗ κύλινδρος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . ἴσος δέ εἰμί ὁ βάσις · ἴσος ἄρα καί ὁ ΠΡ , ΡΒ , ΒΗ κύλινδρος ἀλλήλων . ἐπεί οὖν ὁ ΛΝ , ΝΕ , ΕΚ ἄξων ἴσος εἰμί ἀλλήλων , εἰμί δέ καί ὁ ΠΡ , ΡΒ , ΒΗ κύλινδρος ἴσος ἀλλήλων , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ πλῆθος , ὁσαπλασίων ἄρα ὁ ΚΛ ἄξων ὁ ΕΚ ἄξων , τοσαυταπλασίων εἰμί καί ὁ ΠΗ κύλινδρος ὁ ΗΒ κύλινδρος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁσαπλασίων εἰμί ὁ ΜΚ ἄξων ὁ ΚΖ ἄξων , τοσαυταπλασίων εἰμί καί ὁ ΧΗ κύλινδρος ὁ ΗΔ κύλινδρος . καί εἰ μέν ἴσος εἰμί ὁ ΚΛ ἄξων ὁ ΚΜ ἄξων , ἴσος εἰμί καί ὁ ΠΗ κύλινδρος ὁ ΗΧ κύλινδρος , εἰ δέ μέγας ὁ ἄξων ὁ ἄξων , μέγας καί ὁ κύλινδρος ὁ κύλινδρος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . τέσσαρες δή μέγεθος εἰμί , ἄξων μέν ὁ ΕΚ , ΚΖ , κύλινδρος δέ ὁ ΒΗ , ΗΔ , λαμβάνω ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ μέν ΕΚ ἄξων καί ὁ ΒΗ κύλινδρος ὁ τε ΛΚ ἄξων καί ὁ ΠΗ κύλινδρος , ὁ δέ ΚΖ ἄξων καί ὁ ΗΔ κύλινδρος ὁ τε ΚΜ ἄξων καί ὁ ΗΧ κύλινδρος , καί δείκνυμι , ὅτι εἰ ὑπερέχω ὁ ΚΛ ἄξων ὁ ΚΜ ἄξων , ὑπερέχω καί ὁ ΠΗ κύλινδρος ὁ ΗΧ κύλινδρος , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρός ὁ ΚΖ ἄξων , οὕτως ὁ ΒΗ κύλινδρος πρός ὁ ΗΔ κύλινδρος · ὅς δέω δείκνυμι .