euclides-geom.elementa 10.prop1.32
εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας , ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . Ἐκκείσθωσαν τρεῖς ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ α , Β , Γ , ὥστε τὴν Α τῆς Γ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α , Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ . μέσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Δ · καὶ ἡ Δ ἄρα μέση ἐστίν . τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β , Γ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ε . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν Α , Β πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β , Γ , οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Γ , ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α , Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β , Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ε , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ε . ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ε , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε · καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Γ , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε · σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει . σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Δ τῇ Ε δυνάμει μόνον . μέση δὲ ἡ Δ · μέση ἄρα καὶ ἡ Ε . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ , ἡ Δ πρὸς τὴν Ε , ἡ δὲ Α τῆς Γ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ Δ ἄρα τῆς Ε μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . λέγω δή , ὅτι καὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ε . ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β , Γ τῷ ὑπὸ τῶν Δ , Ε , μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Β , Γ , μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ε . Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Δ , Ε μέσον περιέχουσαι , ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . ὁμοίως δὴ πάλιν δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου , ὅταν ἡ Α τῆς Γ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . λῆμμα ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν α , καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ , καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ , καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ . καὶ πρῶτον , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ . ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ , τὰ ΑΒΔ , ΑΔΓ ἄρα τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις . καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ . καὶ ἐπεί , ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ , ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ , οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ . λέγω , ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ . ἐπεὶ γάρ , ὡς ἔφαμεν , ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ . τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω , ὥστε ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . ἔκκειμαι τρεῖς ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ α , Β , Γ , ὥστε ὁ Α ὁ Γ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ μέν ὑπό ὁ Α , Β ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Δ . μέσος ἄρα ὁ ἀπό ὁ Δ · καί ὁ Δ ἄρα μέσος εἰμί . ὁ δέ ὑπό ὁ Β , Γ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ὑπό ὁ Α , Β πρός ὁ ὑπό ὁ Β , Γ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Γ , ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ Α , Β ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Δ , ὁ δέ ὑπό ὁ Β , Γ ἴσος ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Δ πρός ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε . ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ Δ πρός ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε · σύμμετρος δέ ὁ Α ὁ Γ δύναμις . σύμμετρος ἄρα καί ὁ Δ ὁ Ε δύναμις μόνος . μέσος δέ ὁ Δ · μέσος ἄρα καί ὁ Ε . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , ὁ Δ πρός ὁ Ε , ὁ δέ Α ὁ Γ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ Δ ἄρα ὁ Ε μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . λέγω δή , ὅτι καί μέσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Β , Γ ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε , μέσος δέ ὁ ὑπό ὁ Β , Γ , μέσος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε . εὑρίσκω ἄρα δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ Δ , Ε μέσος περιέχω , ὥστε ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . ὅμοιος δή πάλιν δείκνυμι καί ὁ ἀπό ἀσύμμετρος , ὅταν ὁ Α ὁ Γ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . λῆμμα εἰμί τρίγωνον ὀρθογώνιον ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω ὁ α , καί ἄγω κάθετος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ μέν ὑπό ὁ ΓΒΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΒΓΔ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΓΑ , καί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , καί ἔτι ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΔ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ . καί πρῶτος , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΓΒΔ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΑ . ἐπεί γάρ ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνον ἀπό ὁ ὀρθός γωνία ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω ὁ ΑΔ , ὁ ΑΒΔ , ΑΔΓ ἄρα τρίγωνος ὅμοιος εἰμί ὁ τε ὅλος ὁ ΑΒΓ καί ἀλλήλων . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΒΔ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΒΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ὁ ΒΓΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ . καί ἐπεί , ἐάν ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνον ἀπό ὁ ὀρθός γωνία ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω , ὁ ἄγω ὁ ὁ βάσις τμῆμα μέσος ἀνάλογος εἰμί , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ΑΔ πρός ὁ ΔΓ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΑ . λέγω , ὅτι καί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΔ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ . ἐπεί γάρ , ὡς φημί , ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΒΔ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΔ . ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΔ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ · ὅς δέω δείκνυμι .