euclides-geom.elementa 8.prop.21
ἐὰν δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί , ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀριθμοί . δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α , Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ , Δ · λέγω , ὅτι οἱ Α , Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν . εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Γ , Δ τρεῖς οἱ Ε , Ζ , Η · οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε , Η πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . καὶ ἐπεὶ τῶν Ε , Η εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ἀριθμὸς ὁ Ζ , οἱ Ε , Η ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν . ἔστωσαν οὖν τοῦ μὲν Ε πλευραὶ οἱ Θ , Κ , τοῦ δὲ Η οἱ Λ , Μ . φανερὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τοῦ πρὸ τούτου , ὅτι οἱ Ε , Ζ , Η ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Θ πρὸς τὸν Λ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Κ πρὸς τὸν Μ . καὶ ἐπεὶ οἱ Ε , Ζ , Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Γ , Δ , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Ε , Ζ , Η τῷ πλήθει τῶν Α , Γ , Δ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Δ . οἱ δὲ Ε , Η πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα , τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Δ . ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ν . ὁ Ν ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . ὁ δὲ Ε ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Θ , Κ · ὁ Ν ἄρα τὸν ἐκ τῶν Θ , Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Α , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Θ , Κ , Ν . πάλιν , ἐπεὶ οἱ Ε , Ζ , Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ , Δ , Β , ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Β . ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ξ . ὁ Η ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ξ μονάδας · ὁ Ξ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . ὁ δὲ Η ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Λ , Μ · ὁ Ξ ἄρα τὸν ἐκ τῶν Λ , Μ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Β , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Λ , Μ , Ξ · οἱ Α , Β ἄρα στερεοί εἰσιν . λέγω , ὅτι καὶ ὅμοιοι . ἐπεὶ γὰρ οἱ Ν , Ξ τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Α , Γ πεποιήκασιν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ , ὁ Α πρὸς τὸν Γ , τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ . ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , ὁ Θ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Λ , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ . καί εἰσιν οἱ μὲν Θ , Κ , Ν πλευραὶ τοῦ Α , οἱ δὲ Ξ , Λ , Μ πλευραὶ τοῦ Β . οἱ Α , Β ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , ὅμοιος στερεός εἰμί ὁ ἀριθμός . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός ὁ Γ , Δ · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β ὅμοιος στερεός εἰμί . λαμβάνω γάρ ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Γ , Δ τρεῖς ὁ Ε , Ζ , Η · ὁ ἄρα ἄκρος αὐτός ὁ Ε , Η πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ὁ Ε , Η εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός ὁ Ζ , ὁ Ε , Η ἄρα ἀριθμός ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί . εἰμί οὖν ὁ μέν Ε πλευρά ὁ Θ , Κ , ὁ δέ Η ὁ Λ , Μ . φανερός ἄρα εἰμί ἐκ ὁ πρό οὗτος , ὅτι ὁ Ε , Ζ , Η ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος ἐν τε ὁ ὁ Θ πρός ὁ Λ λόγος καί ὁ ὁ Κ πρός ὁ Μ . καί ἐπεί ὁ Ε , Ζ , Η ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Γ , Δ , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Ε , Ζ , Η ὁ πλῆθος ὁ Α , Γ , Δ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Ε πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Δ . ὁ δέ Ε , Η πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε ὁ Α μετρέω καί ὁ Η ὁ Δ . ὁσάκις δή ὁ Ε ὁ Α μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ν . ὁ Ν ἄρα ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . ὁ δέ Ε εἰμί ὁ ἐκ ὁ Θ , Κ · ὁ Ν ἄρα ὁ ἐκ ὁ Θ , Κ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . στερεός ἄρα εἰμί ὁ Α , πλευρά δέ αὐτός εἰμί ὁ Θ , Κ , Ν . πάλιν , ἐπεί ὁ Ε , Ζ , Η ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Γ , Δ , Β , ἰσάκις ἄρα ὁ Ε ὁ Γ μετρέω καί ὁ Η ὁ Β . ὁσάκις δή ὁ Ε ὁ Γ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ξ . ὁ Η ἄρα ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ξ μονάς · ὁ Ξ ἄρα ὁ Η πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . ὁ δέ Η εἰμί ὁ ἐκ ὁ Λ , Μ · ὁ Ξ ἄρα ὁ ἐκ ὁ Λ , Μ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . στερεός ἄρα εἰμί ὁ Β , πλευρά δέ αὐτός εἰμί ὁ Λ , Μ , Ξ · ὁ Α , Β ἄρα στερεός εἰμί . λέγω , ὅτι καί ὅμοιος . ἐπεί γάρ ὁ Ν , Ξ ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Α , Γ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ν πρός ὁ Ξ , ὁ Α πρός ὁ Γ , τουτέστι ὁ Ε πρός ὁ Ζ . ἀλλά ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ὁ Θ πρός ὁ Λ καί ὁ Κ πρός ὁ Μ · καί ὡς ἄρα ὁ Θ πρός ὁ Λ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Μ καί ὁ Ν πρός ὁ Ξ . καί εἰμί ὁ μέν Θ , Κ , Ν πλευρά ὁ Α , ὁ δέ Ξ , Λ , Μ πλευρά ὁ Β . ὁ Α , Β ἄρα ἀριθμός ὅμοιος στερεός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .