euclides-geom.elementa 4.prop.10
ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς . Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον , ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ · καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ , καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΔΓ , καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ , ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ . καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β , καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ , ΒΔ , καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνει , ἡ δὲ προσπίπτει , καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ , ἡ ΒΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου . ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ , ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΔΓ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ , κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΓΔΑ · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ , ΔΑΓ . ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ , ΔΑΓ ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΓΒΔ ἐστιν ἴση , ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση . αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ , ΔΒΑ , ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ , ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ . ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΓΑ ὑπόκειται ἴση · καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ , ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους . ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ , ΔΑΓ · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ . ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ , ΔΒΑ · καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ , ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι διπλῆ . ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἰσοσκελής τρίγωνον συνίστημι ἔχω ἑκάτερος ὁ πρός ὁ βάσις γωνία διπλάσιος ὁ λοιπός . ἔκκειμαι τις εὐθεῖα ὁ ΑΒ , καί τέμνω κατά ὁ Γ σημεῖον , ὥστε ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΑ τετράγωνος · καί κέντρον ὁ Α καί διάστημα ὁ ΑΒ κύκλος γράφω ὁ ΒΔΕ , καί ἐναρμόζω εἰς ὁ ΒΔΕ κύκλος ὁ ΑΓ εὐθύς μή μέγας εἰμί ὁ ὁ ΒΔΕ κύκλος διάμετρος ἴσος εὐθύς ὁ ΒΔ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΔΓ , καί περιγράφω περί ὁ ΑΓΔ τρίγωνος κύκλος ὁ ΑΓΔ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ἴσος δέ ὁ ΑΓ ὁ ΒΔ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΔ . καί ἐπεί κύκλος ὁ ΑΓΔ λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός ὁ Β , καί ἀπό ὁ Β πρός ὁ ΑΓΔ κύκλος προσπίπτω δύο εὐθεῖα ὁ ΒΑ , ΒΔ , καί ὁ μέν αὐτός τέμνω , ὁ δέ προσπίπτω , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΔ , ὁ ΒΔ ἄρα ἐφάπτω ὁ ΑΓΔ κύκλος . ἐπεί οὖν ἐφάπτω μέν ὁ ΒΔ , ἀπό δέ ὁ κατά ὁ Δ ἐπαφή διάγω ὁ ΔΓ , ὁ ἄρα ὑπό ΒΔΓ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ ὁ κύκλος τμῆμα γωνία ὁ ὑπό ΔΑΓ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΔΓ ὁ ὑπό ΔΑΓ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΓΔΑ · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΔΑ ἴσος εἰμί δύο ὁ ὑπό ΓΔΑ , ΔΑΓ . ἀλλά ὁ ὑπό ΓΔΑ , ΔΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἐκτός ὁ ὑπό ΒΓΔ · καί ὁ ὑπό ΒΔΑ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΓΔ . ἀλλά ὁ ὑπό ΒΔΑ ὁ ὑπό ΓΒΔ εἰμί ἴσος , ἐπεί καί πλευρόν ὁ ΑΔ ὁ ΑΒ εἰμί ἴσος · ὥστε καί ὁ ὑπό ΔΒΑ ὁ ὑπό ΒΓΔ εἰμί ἴσος . ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ὑπό ΒΔΑ , ΔΒΑ , ΒΓΔ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΔΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΔ , ἴσος εἰμί καί πλευρόν ὁ ΒΔ πλευρά ὁ ΔΓ . ἀλλά ὁ ΒΔ ὁ ΓΑ ὑπόκειμαι ἴσος · καί ὁ ΓΑ ἄρα ὁ ΓΔ εἰμί ἴσος · ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΓΔΑ γωνία ὁ ὑπό ΔΑΓ εἰμί ἴσος · ὁ ἄρα ὑπό ΓΔΑ , ΔΑΓ ὁ ὑπό ΔΑΓ εἰμί διπλάσιος . ἴσος δέ ὁ ὑπό ΒΓΔ ὁ ὑπό ΓΔΑ , ΔΑΓ · καί ὁ ὑπό ΒΓΔ ἄρα ὁ ὑπό ΓΑΔ εἰμί διπλόος . ἴσος δέ ὁ ὑπό ΒΓΔ ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΔΑ , ΔΒΑ · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ὑπό ΒΔΑ , ΔΒΑ ὁ ὑπό ΔΑΒ εἰμί διπλόος . ἰσοσκελής ἄρα τρίγωνον συνίστημι ὁ ΑΒΔ ἔχω ἑκάτερος ὁ πρός ὁ ΔΒ βάσις γωνία διπλάσιος ὁ λοιπός · ὅς δέω ποιέω .