euclides-geom.elementa 3.prop.25
κύκλου τμήματος δοθέντος προσαναγράψαι τὸν κύκλον , οὗπέρ ἐστι τμῆμα . ἔστω τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ · δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ τμήματος προσαναγράψαι τὸν κύκλον , οὗπέρ ἐστι τμῆμα . τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ · ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΑΔ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάττων . ἔστω πρότερον μείζων , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ , καὶ διήχθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΕ , ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΒ εὐθεῖα τῇ ΕΑ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ , κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ , δύο δὴ αἱ ΑΔ , ΔΕ δύο ταῖς ΓΔ , ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση · ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα · βάσις ἄρα ἡ ΑΕ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση . ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση · καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΕΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΑΕ , ΕΒ , ΕΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται προσαναγεγραμμένος . κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος . καὶ δῆλον , ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὸ τὸ Ε κέντρον ἐκτὸς αὐτοῦ τυγχάνειν . ὁμοίως κἂν ᾖ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΒΑΔ , τῆς ΑΔ ἴσης γενομένης ἑκατέρᾳ τῶν ΒΔ , ΔΓ αἱ τρεῖς αἱ ΔΑ , ΔΒ , ΔΓ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται , καὶ ἔσται τὸ Δ κέντρον τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύκλου , καὶ δηλαδὴ ἔσται τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον . ἐὰν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ᾖ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ , καὶ συστησώμεθα πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴσην , ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τμήματος πεσεῖται τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΔΒ , καὶ ἔσται δηλαδὴ τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου . κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: κύκλος τμῆμα δίδωμι προσαναγράφω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί τμῆμα . εἰμί ὁ δίδωμι τμῆμα κύκλος ὁ ΑΒΓ · δέω δή ὁ ΑΒΓ τμῆμα προσαναγράφω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί τμῆμα . τέμνω γάρ ὁ ΑΓ δίχα κατά ὁ Δ , καί ἄγω ἀπό ὁ Δ σημεῖον ὁ ΑΓ πρός ὀρθός ὁ ΔΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ · ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΔάς ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἴσος ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος μέγας , καί συνίστημι πρός ὁ ΒΑ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΕ , καί διάγω ὁ ΔΒ ἐπί ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΓ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΕ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΕ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΒ εὐθύς ὁ ΕΑ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΓ , κοινός δέ ὁ ΔΕ , δύο δή ὁ ΑΔ , ΔΕ δύο ὁ ΓΔ , ΔΕ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΔΕ γωνία ὁ ὑπό ΓΔΕ εἰμί ἴσος · ὀρθός γάρ ἑκάτερος · βάσις ἄρα ὁ ΑΕ βάσις ὁ ΓΕ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ ΑΕ ὁ ΒΕ δείκνυμι ἴσος · καί ὁ ΒΕ ἄρα ὁ ΓΕ εἰμί ἴσος · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΕΓ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὁ ἄρα κέντρον ὁ Ε διάστημα δέ εἷς ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΕΓ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός σημεῖον καί εἰμί προσαναγράφω . κύκλος ἄρα τμῆμα δίδωμι προσαναγράφω ὁ κύκλος . καί δῆλος , ὡς ὁ ΑΒΓ τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ἡμικύκλιον διά ὁ ὁ Ε κέντρον ἐκτός αὐτός τυγχάνω . ὅμοιος ἐάν εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ὁ ΑΔ ἴσος γίγνομαι ἑκάτερος ὁ ΒΔ , ΔΓ ὁ τρεῖς ὁ ΔΑ , ΔΒ , ΔΓ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , καί εἰμί ὁ Δ κέντρον ὁ προσαναπληρόω κύκλος , καί δηλαδή εἰμί ὁ ΑΒΓ ἡμικύκλιον . ἐάν δέ ὁ ὑπό ΑΒΔ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΔάς , καί συνίστημι πρός ὁ ΒΑ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία ἴσος , ἐντός ὁ ΑΒΓ τμῆμα πίπτω ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΔΒ , καί εἰμί δηλαδή ὁ ΑΒΓ τμῆμα μέγας ἡμικύκλιον . κύκλος ἄρα τμῆμα δίδωμι προσαναγράφω ὁ κύκλος · ὅς δέω ποιέω .