euclides-geom.elementa 13.prop.10
ἐὰν εἰς κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ , ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ , καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ . λέγω , ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευρὰν τῶν εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον ἐγγραφομένων . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Η σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΘ , καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Κ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ , ΚΒ , καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΛ , καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Μ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΕΔΗ περιφερείᾳ , ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση . πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ · δεκαγώνου ἄρα ἡ ΓΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ , καὶ κάθετος ἡ ΖΘ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΖΒ . ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση · διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας · δεκαγώνου ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ ΑΚ εὐθεῖα . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας , ἴση δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ , διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας . ἔστι δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια καὶ τῆς ΓΗ διπλῆ · ἴση ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια τῇ ΒΚ περιφερείᾳ . ἀλλὰ ἡ ΒΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΑ · καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ . ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας ἐστὶ διπλῆ · ἴση γὰρ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῇ ΒΑ . καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΗΒ περιφέρεια τῆς ΒΜ ἐστι διπλῆ · ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΖΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΖΜ διπλῆ . ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ καὶ τῆς ὑπὸ ΖΑΒ διπλῆ · ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ . καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΑΒ ἐστιν ἴση . κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων , τοῦ τε ΑΒΖ καὶ τοῦ ΒΖΝ , ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ . ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ , οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΝ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ . πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΚ , κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΛΝ , βάσις ἄρα ἡ ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση · καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση . καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΚΒ καὶ τοῦ ΑΚΝ ἡ πρὸς τῷ Α . λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΝΑ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ τρίγωνον τῷ ΚΝΑ τριγώνῳ . ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΚ , οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΝ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑΝ , ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ , ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ . καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ πενταγώνου πλευρά , ἡ δὲ ΒΖ ἑξαγώνου , ἡ δὲ ΑΚ δεκαγώνου . ἡ ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος πεντάγωνος ἰσόπλευρος ἐγγράφω , ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρόν δύναμαι ὁ τε ὁ ἑξάγωνος καί ὁ ὁ δεκάγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ , καί εἰς ὁ ΑΒΓΔΕ κύκλος πεντάγωνος ἰσόπλευρος ἐγγράφω ὁ ΑΒΓΔΕ . λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος πλευρόν δύναμαι ὁ τε ὁ ἑξάγωνος καί ὁ ὁ δεκάγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ ΑΒΓΔΕ κύκλος ἐγγράφω . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ζ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ διάγω ἐπί ὁ Η σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ , καί ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ἄγω ὁ ΖΘ , καί διάγω ἐπί ὁ Κ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΚ , ΚΒ , καί πάλιν ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ ΑΚ κάθετος ἄγω ὁ ΖΛ , καί διάγω ἐπί ὁ Μ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΝ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓΗ περιφέρεια ὁ ΑΕΔΗ περιφέρεια , ὅς ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΕΔ εἰμί ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΓΗ περιφέρεια λοιπός ὁ ΗΔ εἰμί ἴσος . πεντάγωνος δέ ὁ ΓΔ · δεκάγωνος ἄρα ὁ ΓΗ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΖΑ ὁ ΖΒ , καί κάθετος ὁ ΖΘ , ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΑΖΚ γωνία ὁ ὑπό ΚΖΒ . ὥστε καί περιφέρεια ὁ ΑΚ ὁ ΚΒ εἰμί ἴσος · διπλόος ἄρα ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΒΚ περιφέρεια · δεκάγωνος ἄρα πλευρόν εἰμί ὁ ΑΚ εὐθύς . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΑΚ ὁ ΚΜ εἰμί διπλόος . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΒΚ περιφέρεια , ἴσος δέ ὁ ΓΔ περιφέρεια ὁ ΑΒ περιφέρεια , διπλόος ἄρα καί ὁ ΓΔ περιφέρεια ὁ ΒΚ περιφέρεια . εἰμί δέ ὁ ΓΔ περιφέρεια καί ὁ ΓΗ διπλόος · ἴσος ἄρα ὁ ΓΗ περιφέρεια ὁ ΒΚ περιφέρεια . ἀλλά ὁ ΒΚ ὁ ΚΜ εἰμί διπλόος , ἐπεί καί ὁ ΚΑ · καί ὁ ΓΗ ἄρα ὁ ΚΜ εἰμί διπλόος . ἀλλά μήν καί ὁ ΓΒ περιφέρεια ὁ ΒΚ περιφέρεια εἰμί διπλόος · ἴσος γάρ ὁ ΓΒ περιφέρεια ὁ ΒΑ . καί ὅλος ἄρα ὁ ΗΒ περιφέρεια ὁ ΒΜ εἰμί διπλόος · ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΗΖΒ γωνία ὁ ὑπό ΒΖΜ διπλόος . εἰμί δέ ὁ ὑπό ΗΖΒ καί ὁ ὑπό ΖΑΒ διπλόος · ἴσος γάρ ὁ ὑπό ΖΑΒ ὁ ὑπό ΑΒΖ . καί ὁ ὑπό ΒΖΝ ἄρα ὁ ὑπό ΖΑΒ εἰμί ἴσος . κοινός δέ ὁ δύο τρίγων , ὁ τε ΑΒΖ καί ὁ ΒΖΝ , ὁ ὑπό ΑΒΖ γωνία · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΖΒ λοιπός ὁ ὑπό ΒΝΖ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΖ τρίγωνον ὁ ΒΖΝ τρίγωνον . ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ εὐθύς πρός ὁ ΒΖ , οὕτως ὁ ΖΒ πρός ὁ ΒΝ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒΝ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΖ . πάλιν ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΛ ὁ ΛΚ , κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΛΝ , βάσις ἄρα ὁ ΚΝ βάσις ὁ ΑΝ εἰμί ἴσος · καί γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΛΚΝ γωνία ὁ ὑπό ΛΑΝ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ ὑπό ΛΑΝ ὁ ὑπό ΚΒΝ εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ΛΚΝ ἄρα ὁ ὑπό ΚΒΝ εἰμί ἴσος . καί κοινός ὁ δύο τρίγων ὁ τε ΑΚΒ καί ὁ ΑΚΝ ὁ πρός ὁ Α . λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΚΒ λοιπός ὁ ὑπό ΚΝΑ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΚΒΑ τρίγωνον ὁ ΚΝΑ τρίγωνον . ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΑ εὐθύς πρός ὁ ΑΚ , οὕτως ὁ ΚΑ πρός ὁ ΑΝ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΑΝ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΚ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΝ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΖ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒΝ μετά ὁ ὑπό ΒΑΝ , ὅς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΖ μετά ὁ ἀπό ὁ ΑΚ . καί εἰμί ὁ μέν ΒΑ πεντάγωνος πλευρόν , ὁ δέ ΒΖ ἑξάγωνος , ὁ δέ ΑΚ δεκαγῶνος . ὁ ἄρα ὁ πεντάγωνος πλευρόν δύναμαι ὁ τε ὁ ἑξάγωνος καί ὁ ὁ δεκάγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω · ὅς δέω δείκνυμι .