euclides-geom.elementa 8.prop.2
ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους , ὅσους ἂν ἐπιτάξῃ τις , ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ . ἔστω ὁ δοθεὶς λόγος ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β · δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους , ὅσους ἄν τις ἐπιτάξῃ , ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ . Ἐπιτετάχθωσαν δὴ τέσσαρες , καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω , τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω , καὶ ἔτι ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω , καὶ ἔτι ὁ Α τοὺς Γ , Δ , Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ , Η , Θ ποιείτω , ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω . καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . πάλιν , ἐπεὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , ὁ δὲ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν , ἑκάτερος ἄρα τῶν Α , Β τὸν Β πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Δ , Ε πεποίηκεν . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε . ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , ὁ Δ πρὸς τὸν Ε . καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Γ , Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ , Η πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , ὁ Ζ πρὸς τὸν Η . ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ἦν ὁ Α πρὸς τὸν Β · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Ζ πρὸς τὸν Η . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Δ , Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Η , Θ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , ὁ Η πρὸς τὸν Θ . ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , ὁ Α πρὸς τὸν Β . καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Β τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Θ , Κ πεποιήκασιν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ . ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὅ τε Ζ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Η πρὸς τὸν Θ . καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὅ τε Η πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ · οἱ Γ , Δ , Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ , Η , Θ , Κ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστοι . ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς , οἱ δὲ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , οἱ Α , Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . καὶ ἑκάτερος μὲν τῶν Α , Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Γ , Ε πεποίηκεν , ἑκάτερον δὲ τῶν Γ , Ε πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ζ , Κ πεποίηκεν · οἱ Γ , Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ , Κ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἐὰν δὲ ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον , οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς . οἱ Γ , Δ , Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ , Η , Θ , Κ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ὦσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς , οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν , ἐὰν δὲ τέσσαρες , κύβοι .
Lemmas: ἀριθμός εὑρίσκω ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς , ὅσος ἄν ἐπιτάσσω τις , ἐν ὁ δίδωμι λόγος . εἰμί ὁ δίδωμι λόγος ἐν ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ Α πρός ὁ Β · δέω δή ἀριθμός εὑρίσκω ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς , ὅσος ἄν τις ἐπιτάσσω , ἐν ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόγος . ἐπιτάσσω δή τέσσαρες , καί ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ δέ Β πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , καί ἔτι ὁ Β ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , καί ἔτι ὁ Α ὁ Γ , Δ , Ε πολλαπλασιάζω ὁ Ζ , Η , Θ ποιέω , ὁ δέ Β ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Κ ποιέω . καί ἐπεί ὁ Α ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ δέ Β πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Γ πρός ὁ Δ . πάλιν , ἐπεί ὁ μέν Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ δέ Β ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ἑκάτερος ἄρα ὁ Α , Β ὁ Β πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Δ , Ε ποιέω . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε . ἀλλά ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὁ Δ πρός ὁ Ε . καί ἐπεί ὁ Α ὁ Γ , Δ πολλαπλασιάζω ὁ Ζ , Η ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὁ Ζ πρός ὁ Η . ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως εἰμί ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Ζ πρός ὁ Η . πάλιν , ἐπεί ὁ Α ὁ Δ , Ε πολλαπλασιάζω ὁ Η , Θ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ε , ὁ Η πρός ὁ Θ . ἀλλά ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ε , ὁ Α πρός ὁ Β . καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Θ . καί ἐπεί ὁ Α , Β ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Θ , Κ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ . ἀλλά ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ τε Ζ πρός ὁ Η καί ὁ Η πρός ὁ Θ . καί ὡς ἄρα ὁ Ζ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ τε Η πρός ὁ Θ καί ὁ Θ πρός ὁ Κ · ὁ Γ , Δ , Ε ἄρα καί ὁ Ζ , Η , Θ , Κ ἀνάλογος εἰμί ἐν ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόγος . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς . ἐπεί γάρ ὁ Α , Β ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός , ὁ δέ ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ὁ Α , Β ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . καί ἑκάτερος μέν ὁ Α , Β ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Γ , Ε ποιέω , ἑκάτερος δέ ὁ Γ , Ε πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Ζ , Κ ποιέω · ὁ Γ , Ε ἄρα καί ὁ Ζ , Κ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ἐάν δέ εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος , ὁ δέ ἄκρος αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός . ὁ Γ , Δ , Ε ἄρα καί ὁ Ζ , Η , Θ , Κ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Β · ὅς δέω δείκνυμι . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν τρεῖς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός , ὁ ἄκρος αὐτός τετράγωνος εἰμί , ἐάν δέ τέσσαρες , κύβος .