euclides-geom.elementa 9.prop.13
ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν , ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτος ᾖ , ὁ μέγιστος ὑπʼ οὐδενὸς μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς . ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ , ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτος ἔστω · λέγω , ὅτι ὁ μέγιστος αὐτῶν ὁ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α , Β , Γ . εἰ γὰρ δυνατόν , μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Ε , καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Α , Β , Γ ἔστω ὁ αὐτός . φανερὸν δή , ὅτι ὁ Ε πρῶτος οὔκ ἐστιν . εἰ γὰρ ὁ Ε πρῶτός ἐστι καὶ μετρεῖ τὸν Δ , καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ὁ Ε πρῶτός ἐστιν . σύνθετος ἄρα . πᾶς δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται · ὁ Ε ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται . λέγω δή , ὅτι ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου μετρηθήσεται πλὴν τοῦ Α . εἰ γὰρ ὑφʼ ἑτέρου μετρεῖται ὁ Ε , ὁ δὲ Ε τὸν Δ μετρεῖ , κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει · ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . ὁ Α ἄρα τὸν Ε μετρεῖ . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ , μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ . λέγω , ὅτι ὁ Ζ οὐδενὶ τῶν Α , Β , Γ ἐστιν ὁ αὐτός . εἰ γὰρ ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α , Β , Γ ἐστιν ὁ αὐτὸς καὶ μετρεῖ τὸν Δ κατὰ τὸν Ε , καὶ εἷς ἄρα τῶν Α , Β , Γ τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε . ἀλλὰ εἷς τῶν Α , Β , Γ τὸν Δ μετρεῖ κατά τινα τῶν Α , Β , Γ · καὶ ὁ Ε ἄρα ἑνὶ τῶν Α , Β , Γ ἐστιν ὁ αὐτός · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται . οὐκ ἄρα ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α , Β , Γ ἐστιν ὁ αὐτός . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι μετρεῖται ὁ Ζ ὑπὸ τοῦ Α , δεικνύντες πάλιν , ὅτι ὁ Ζ οὔκ ἐστι πρῶτος . εἰ γάρ , καὶ μετρεῖ τὸν Δ , καὶ τὸν α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα πρῶτός ἐστιν ὁ Ζ · σύνθετος ἄρα . ἅπας δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται · ὁ Ζ ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται . λέγω δή , ὅτι ὑφʼ ἑτέρου πρώτου οὐ μετρηθήσεται πλὴν τοῦ α . εἰ γὰρ ἕτερός τις πρῶτος τὸν Ζ μετρεῖ , ὁ δὲ Ζ τὸν Δ μετρεῖ , κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει · ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . ὁ Α ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ζ , ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε , Ζ . ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ . ὁ δὲ Α τὸν Ε μετρεῖ · καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Γ μετρεῖ . μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α , Β ἐστιν ὁ αὐτός , καὶ ὅτι μετρεῖται ὑπὸ τοῦ Α . καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Η , ὁ Ζ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν · ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α , Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ζ , Η . ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ζ , ὁ Η πρὸς τὸν Β . μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Ζ · μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Η τὸν Β . μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ὁ Θ τῷ Α οὐκ ἔστιν ὁ αὐτός . καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Θ , ὁ Η ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν · ὁ ἄρα ὑπὸ Θ , Η ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α τετραγώνῳ . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Α , ὁ Α πρὸς τὸν Η . μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Η · μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Θ τὸν Α πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ὁ μέγιστος ὁ Δ ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α , Β , Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ μετά ὁ μονάς πρῶτος εἰμί , ὁ μέγας ὑπό οὐδείς μετρέω παρέξ ὁ ὑπάρχω ἐν ὁ ἀνάλογος ἀριθμός . εἰμί ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὁ δέ μετά ὁ μονάς ὁ Α πρῶτος εἰμί · λέγω , ὅτι ὁ μέγας αὐτός ὁ Δ ὑπό οὐδείς ἄλλος μετρέω παρέξ ὁ Α , Β , Γ . εἰ γάρ δυνατός , μετρέω ὑπό ὁ Ε , καί ὁ Ε μηδείς ὁ Α , Β , Γ εἰμί ὁ αὐτός . φανερός δή , ὅτι ὁ Ε πρῶτος οὐ εἰμί . εἰ γάρ ὁ Ε πρῶτος εἰμί καί μετρέω ὁ Δ , καί ὁ Α μετρέω πρῶτος εἰμί μή εἰμί αὐτός ὁ αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Ε πρῶτος εἰμί . σύνθετος ἄρα . πᾶς δέ σύνθετος ἀριθμός ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω · ὁ Ε ἄρα ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω . λέγω δή , ὅτι ὑπό οὐδείς ἄλλος πρῶτος μετρέω πλήν ὁ Α . εἰ γάρ ὑπό ἕτερος μετρέω ὁ Ε , ὁ δέ Ε ὁ Δ μετρέω , ἐκεῖνος ἄρα ὁ Δ μετρέω · ὥστε καί ὁ Α μετρέω πρῶτος εἰμί μή εἰμί αὐτός ὁ αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . ὁ Α ἄρα ὁ Ε μετρέω . καί ἐπεί ὁ Ε ὁ Δ μετρέω , μετρέω αὐτός κατά ὁ Ζ . λέγω , ὅτι ὁ Ζ οὐδείς ὁ Α , Β , Γ εἰμί ὁ αὐτός . εἰ γάρ ὁ Ζ εἷς ὁ Α , Β , Γ εἰμί ὁ αὐτός καί μετρέω ὁ Δ κατά ὁ Ε , καί εἷς ἄρα ὁ Α , Β , Γ ὁ Δ μετρέω κατά ὁ Ε . ἀλλά εἷς ὁ Α , Β , Γ ὁ Δ μετρέω κατά τις ὁ Α , Β , Γ · καί ὁ Ε ἄρα εἷς ὁ Α , Β , Γ εἰμί ὁ αὐτός · ὅς οὐ ὑπόκειμαι . οὐ ἄρα ὁ Ζ εἷς ὁ Α , Β , Γ εἰμί ὁ αὐτός . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι μετρέω ὁ Ζ ὑπό ὁ Α , δείκνυμι πάλιν , ὅτι ὁ Ζ οὐ εἰμί πρῶτος . εἰ γάρ , καί μετρέω ὁ Δ , καί ὁ α μετρέω πρῶτος εἰμί μή εἰμί αὐτός ὁ αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα πρῶτος εἰμί ὁ Ζ · σύνθετος ἄρα . ἅπας δέ σύνθετος ἀριθμός ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω · ὁ Ζ ἄρα ὑπό πρῶτος τις ἀριθμός μετρέω . λέγω δή , ὅτι ὑπό ἕτερος πρῶτος οὐ μετρέω πλήν ὁ α . εἰ γάρ ἕτερος τις πρῶτος ὁ Ζ μετρέω , ὁ δέ Ζ ὁ Δ μετρέω , ἐκεῖνος ἄρα ὁ Δ μετρέω · ὥστε καί ὁ Α μετρέω πρῶτος εἰμί μή εἰμί αὐτός ὁ αὐτός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . ὁ Α ἄρα ὁ Ζ μετρέω . καί ἐπεί ὁ Ε ὁ Δ μετρέω κατά ὁ Ζ , ὁ Ε ἄρα ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Α ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Ε , Ζ . ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Γ . ὁ δέ Α ὁ Ε μετρέω · καί ὁ Ζ ἄρα ὁ Γ μετρέω . μετρέω αὐτός κατά ὁ Η . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ Η οὐδείς ὁ Α , Β εἰμί ὁ αὐτός , καί ὅτι μετρέω ὑπό ὁ Α . καί ἐπεί ὁ Ζ ὁ Γ μετρέω κατά ὁ Η , ὁ Ζ ἄρα ὁ Η πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Β ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Ζ , Η . ἀνάλογος ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Ζ , ὁ Η πρός ὁ Β . μετρέω δέ ὁ Α ὁ Ζ · μετρέω ἄρα καί ὁ Η ὁ Β . μετρέω αὐτός κατά ὁ Θ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ Θ ὁ Α οὐ εἰμί ὁ αὐτός . καί ἐπεί ὁ Η ὁ Β μετρέω κατά ὁ Θ , ὁ Η ἄρα ὁ Θ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω · ὁ ἄρα ὑπό Θ , Η ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Θ πρός ὁ Α , ὁ Α πρός ὁ Η . μετρέω δέ ὁ Α ὁ Η · μετρέω ἄρα καί ὁ Θ ὁ Α πρῶτος εἰμί μή εἰμί αὐτός ὁ αὐτός · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ μέγας ὁ Δ ὑπό ἕτερος ἀριθμός μετρέω παρέξ ὁ Α , Β , Γ · ὅς δέω δείκνυμι .