euclides-geom.elementa 12.prop.2
οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα . ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ , διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΔ , ΖΘ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον . εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸς μεῖζον . ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Σ . καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ · τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν ε , Ζ , Η , Θ σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν , τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον , τοῦ δὲ περιγραφέντος τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλος · ὥστε τὸ ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ , Λ , Μ , Ν σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ , ΚΖ , ΖΛ , ΛΗ , ΗΜ , ΜΘ , ΘΝ , ΝΕ · καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ , ΖΛΗ , ΗΜΘ , ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου , ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Κ , Λ , Μ , Ν σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ εὐθειῶν παραλληλόγραμμα , ἕκαστον τῶν ΕΚΖ , ΖΛΗ , ΗΜΘ , ΘΝΕ τριγώνων ἥμισυ ἔσται τοῦ καθʼ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου , ἀλλὰ τὸ καθʼ ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου · ὥστε ἕκαστον τῶν ΕΚΖ , ΖΛΗ , ΗΜΘ , ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου . τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου , ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς , ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου . ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι τοῦ δεκάτου βιβλίου , ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων , ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ , καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται , λειφθήσεταί τι μέγεθος , ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους . λελείφθω οὖν , καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΚ , ΚΖ , ΖΛ , ΛΗ , ΗΜ , ΜΘ , ΘΝ , ΝΕ τμήματα τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς , ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου . λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗ ΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Σ χωρίου . ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον , οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛ ΗΜΘΝ πολύγωνον . ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον · καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον , οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον · ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον , οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον . μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου · μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου . ἀλλὰ καὶ ἔλαττον · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον . λέγω δή , ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Σ . ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ , οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον . ἀλλʼ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον · ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον . οἱ ἄρα κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα λέγω δή , ὅτι τοῦ Σ χωρίου μείζονος ὄντος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον . γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον . λέγω , ὅτι ἔλαττόν ἐστι τὸ Τ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον , ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον . μεῖζον δὲ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου · μείζων ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Τ χωρίου . ὥστε ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρον τετράγωνος . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΒΔ , ΖΘ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ τετράγωνος . εἰ γάρ μή εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ , εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἤτοι πρός ἐλαχύς τις ὁ ΕΖΗΘ κύκλος χωρίον ἤ πρός μέγας . εἰμί πρότερος πρός ἐλαχύς ὁ Σ . καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τετράγωνος ὁ ΕΖΗΘ · ὁ δή ἐγγράφω τετράγωνος μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , ἐπειδή ἐάν διά ὁ ε , Ζ , Η , Θ σημεῖον ἐφάπτω ὁ κύκλος ἄγω , ὁ περιγράφω περί ὁ κύκλος τετράγωνος ἥμισυς εἰμί ὁ ΕΖΗΘ τετράγωνος , ὁ δέ περιγράφω τετράγωνος ἐλαχύς εἰμί ὁ κύκλος · ὥστε ὁ ΕΖΗΘ ἐγγράφω τετράγωνος μέγας εἰμί ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . τέμνω δίχα ὁ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρεια κατά ὁ Κ , Λ , Μ , Ν σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΚ , ΚΖ , ΖΛ , ΛΗ , ΗΜ , ΜΘ , ΘΝ , ΝΕ · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ΕΚΖ , ΖΛΗ , ΗΜΘ , ΘΝΕ τρίγων μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ κύκλος , ἐπειδή ἐάν διά ὁ Κ , Λ , Μ , Ν σημεῖον ἐφάπτω ὁ κύκλος ἄγω καί ἀναπληρόω ὁ ἐπί ὁ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ εὐθεῖα παραλληλόγραμμος , ἕκαστος ὁ ΕΚΖ , ΖΛΗ , ΗΜΘ , ΘΝΕ τρίγων ἥμισυς εἰμί ὁ κατά ἑαυτοῦ παραλληλόγραμμος , ἀλλά ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος · ὥστε ἕκαστος ὁ ΕΚΖ , ΖΛΗ , ΗΜΘ , ΘΝΕ τρίγων μέγας εἰμί ὁ ἥμισυς ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ κύκλος . τέμνω δή ὁ ὑπολείπω περιφέρεια δίχα καί ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα καί οὗτος ἀεί ποιέω καταλείπω τις ἀπότμημα ὁ κύκλος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ὁ Σ χωρίον . δείκνυμι γάρ ἐν ὁ πρῶτος θεώρημα ὁ δέκατος βιβλίον , ὅτι δύο μέγεθος ἄνισος ἔκκειμαι , ἐάν ἀπό ὁ μέγας ἀφαιρέω μέγας ἤ ὁ ἥμισυς καί ὁ καταλείπω μέγας ἤ ὁ ἥμισυς , καί οὗτος ἀεί γίγνομαι , λείπω τις μέγεθος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ ἔκκειμαι ἐλαχύς μέγεθος . λείπω οὖν , καί εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΕΚ , ΚΖ , ΖΛ , ΛΗ , ΗΜ , ΜΘ , ΘΝ , ΝΕ τμῆμα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ὁ Σ χωρίον . λοιπός ἄρα ὁ ΕΚΖΛΗ ΜΘΝ πολύγωνον μέγας εἰμί ὁ Σ χωρίον . ἐγγράφω καί εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον ὅμοιος πολύγωνον ὁ ΑΞΒΟΓΠΔΡ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ τετράγωνος , οὕτως ὁ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρός ὁ ΕΚΖΛ ΗΜΘΝ πολύγωνον . ἀλλά καί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ Σ χωρίον · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ Σ χωρίον , οὕτως ὁ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρός ὁ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον · ἐναλλάξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ἐν αὐτός πολύγωνον , οὕτως ὁ Σ χωρίον πρός ὁ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον . μέγας δέ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ἐν αὐτός πολύγωνον · μέγας ἄρα καί ὁ Σ χωρίον ὁ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον . ἀλλά καί ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΕΖΗΘ κύκλος χωρίον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ὡς ὁ ἀπό ΖΘ πρός ὁ ἀπό ΒΔ , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος χωρίον . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός μέγας τις ὁ ΕΖΗΘ κύκλος χωρίον . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί πρός μέγας ὁ Σ . ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ὁ ἀπό ὁ ΖΘ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΒ , οὕτως ὁ Σ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . ἀλλά ὡς ὁ Σ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος χωρίον · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΘ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος χωρίον · ὅς ἀδύνατος δείκνυμι . οὐ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός μέγας τις ὁ ΕΖΗΘ κύκλος χωρίον . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ πρός ἐλαχύς · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . ὁ ἄρα κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρον τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα λέγω δή , ὅτι ὁ Σ χωρίον μέγας εἰμί ὁ ΕΖΗΘ κύκλος εἰμί ὡς ὁ Σ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος χωρίον . γίγνομαι γάρ ὡς ὁ Σ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ὁ Τ χωρίον . λέγω , ὅτι ἐλαχύς εἰμί ὁ Τ χωρίον ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Σ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ὁ Τ χωρίον , ἐναλλάξ εἰμί ὡς ὁ Σ χωρίον πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρός ὁ Τ χωρίον . μέγας δέ ὁ Σ χωρίον ὁ ΕΖΗΘ κύκλος · μέγας ἄρα καί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ Τ χωρίον . ὥστε εἰμί ὡς ὁ Σ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος χωρίον · ὅς δέω δείκνυμι .