euclides-geom.elementa 10.prop2.57
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων . χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε , ὧν μεῖζον ἔστω τὸ ΑΕ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη , αἱ ΑΕ , ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρός μήκει . τετμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΑΗ , ΗΕ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει . ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΒ αἱ ΗΘ , ΕΚ , ΖΛ , καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου γεγονέτω · φανερὸν δή , ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ . δεικτέον δή , ὅτι ἡ ΜΞ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων . ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει , ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ , τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ · αἱ ΜΝ , ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ μήκει , ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ · καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει , τουτέστι τῇ ΕΚ , ἀλλὰ ἡ ΔΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΕΖ , ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει . αἱ ΕΚ , ΕΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · μέσον ἄρα τὸ ΛΕ , τουτέστι τὸ ΜΡ . καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ · μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ . καὶ ῥητὸν τὸ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ , ΝΞ , καί εἰσιν ἀσύμμετροι αἱ ΜΝ , ΝΞ δυνάμει . ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον , ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν , καλεῖται δὲ μείζων . ἡ ΜΞ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων , καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα τέταρτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μέγας . χωρίον γάρ ὁ ΑΓ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΒ καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα τέταρτος ὁ ΑΔ διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Ε , ὅς μέγας εἰμί ὁ ΑΕ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μέγας . ἐπεί γάρ ὁ ΑΔ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τέταρτος , ὁ ΑΕ , ΕΔ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΑΕ ὁ ΕΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ ΑΕ ὁ ΑΒ σύμμετρος μῆκος . τέμνω ὁ ΔΕ δίχα κατά ὁ Ζ , καί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἴσος παρά ὁ ΑΕ παραβάλλω παραλληλόγραμμος ὁ ὑπό ΑΗ , ΗΕ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΕ μῆκος . ἄγω παράλληλος ὁ ΑΒ ὁ ΗΘ , ΕΚ , ΖΛ , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ὁ πρό οὗτος γίγνομαι · φανερός δή , ὅτι ὁ ὁ ΑΓ χωρίον δύναμαι εἰμί ὁ ΜΞ . δείκνυμι δή , ὅτι ὁ ΜΞ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μέγας . ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΕΗ μῆκος , ἀσύμμετρος εἰμί καί ὁ ΑΘ ὁ ΗΚ , τουτέστι ὁ ΣΝ ὁ ΝΠ · ὁ ΜΝ , ΝΞ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΑΒ μῆκος , ῥητός εἰμί ὁ ΑΚ · καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , ΝΞ · ῥητός ἄρα καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , ΝΞ . καί ἐπεί ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ ὁ ΑΒ μῆκος , τουτέστι ὁ ΕΚ , ἀλλά ὁ ΔΕ σύμμετρος εἰμί ὁ ΕΖ , ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΕΖ ὁ ΕΚ μῆκος . ὁ ΕΚ , ΕΖ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · μέσος ἄρα ὁ ΛΕ , τουτέστι ὁ ΜΡ . καί περιέχω ὑπό ὁ ΜΝ , ΝΞ · μέσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΜΝ , ΝΞ . καί ῥητός ὁ ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , ΝΞ , καί εἰμί ἀσύμμετρος ὁ ΜΝ , ΝΞ δύναμις . ἐάν δέ δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος συντίθημι ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος , ὁ ὅλος ἄλογος εἰμί , καλέω δέ μέγας . ὁ ΜΞ ἄρα ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μέγας , καί δύναμαι ὁ ΑΓ χωρίον · ὅς δέω δείκνυμι .