euclides-geom.elementa 12.prop.6
αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις . ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες , ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ πολύγωνα , κορυφαὶ δὲ τὰ Μ , ν σημεῖα · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ , ΑΔ , ΖΘ , ΖΚ . ἐπεὶ οὖν δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ , ΑΓΔΜ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον , πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα . καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα . ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα . διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα . καὶ συνθέντι πάλιν , ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ὡς ἡ ΖΗΘΚΛ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν , οὕτως καὶ ἡ ΖΗΘΚΛΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα . καὶ ἐπεὶ δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΔ ΕΜ , ΖΗΘΝ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα . ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕ βάσιν , οὕτως ἦν ἡ ΑΔ ΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕΜ πυραμίδα . καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα . ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ἡ ΖΗΘ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν , οὕτως ἦν καὶ ἡ ΖΗΘΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα . καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας . ἔστω πρίσμα , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ , ΕΓ , ΓΔ . ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΕΔ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΒΔ , ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΔ τριγώνῳ · καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , ἴση ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον . ἀλλὰ ἡ πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον · ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχεται . καὶ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , ἴση ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον . πάλιν , ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΖΓΒΕ , διάμετρος δέ ἐστιν αὐτοῦ ἡ ΓΕ , ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΖ τρίγωνον τῷ ΓΒΕ τριγώνῳ . καὶ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον , ἴση ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΓΖ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον . ἡ δὲ πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον , ἴση ἐδείχθη πυραμίδι , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον · καὶ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΓΕΖ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον , ἴση ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον · διῄρηται ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις . καὶ ἐπεὶ πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι , ἧς βάσις τὸ ΓΑΒ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον · ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχονται · ἡ δὲ πυραμίς , ἧς βάσις τὸ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , τρίτον ἐδείχθη τοῦ πρίσματος , οὗ βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ , καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον , τρίτον ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ ἔχοντος βάσιν τὴν αὐτὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί πυραμίς καί πολύγωνος ἔχω βάσις πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . εἰμί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Μ , ν σημεῖον · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔΕ βάσις πρός ὁ ΖΗΘΚΛ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΕΜ πυραμίς πρός ὁ ΖΗΘΚΛΝ πυραμίς . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΓ , ΑΔ , ΖΘ , ΖΚ . ἐπεί οὖν δύο πυραμίς εἰμί ὁ ΑΒΓΜ , ΑΓΔΜ τρίγωνος ἔχω βάσις καί ὕψος ἴσος , πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ βάσις πρός ὁ ΑΓΔ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΜ πυραμίς πρός ὁ ΑΓΔΜ πυραμίς . καί συντίθημι ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΑΓΔ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΜ πυραμίς πρός ὁ ΑΓΔΜ πυραμίς . ἀλλά καί ὡς ὁ ΑΓΔ βάσις πρός ὁ ΑΔΕ βάσις , οὕτως ὁ ΑΓΔΜ πυραμίς πρός ὁ ΑΔΕΜ πυραμίς . διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΑΔΕ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΜ πυραμίς πρός ὁ ΑΔΕΜ πυραμίς . καί συντίθημι πάλιν , ὡς ὁ ΑΒΓΔΕ βάσις πρός ὁ ΑΔΕ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΕΜ πυραμίς πρός ὁ ΑΔΕΜ πυραμίς . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὡς ὁ ΖΗΘΚΛ βάσις πρός ὁ ΖΗΘ βάσις , οὕτως καί ὁ ΖΗΘΚΛΝ πυραμίς πρός ὁ ΖΗΘΝ πυραμίς . καί ἐπεί δύο πυραμίς εἰμί ὁ ΑΔ ΕΜ , ΖΗΘΝ τρίγωνος ἔχω βάσις καί ὕψος ἴσος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΔΕ βάσις πρός ὁ ΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΑΔΕΜ πυραμίς πρός ὁ ΖΗΘΝ πυραμίς . ἀλλά ὡς ὁ ΑΔΕ βάσις πρός ὁ ΑΒΓΔΕ βάσις , οὕτως εἰμί ὁ ΑΔ ΕΜ πυραμίς πρός ὁ ΑΒΓΔΕΜ πυραμίς . καί διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔΕ βάσις πρός ὁ ΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΕΜ πυραμίς πρός ὁ ΖΗΘΝ πυραμίς . ἀλλά μήν καί ὡς ὁ ΖΗΘ βάσις πρός ὁ ΖΗΘΚΛ βάσις , οὕτως εἰμί καί ὁ ΖΗΘΝ πυραμίς πρός ὁ ΖΗΘΚΛΝ πυραμίς . καί διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔΕ βάσις πρός ὁ ΖΗΘΚΛ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΕΜ πυραμίς πρός ὁ ΖΗΘΚΛΝ πυραμίς · ὅς δέω δείκνυμι . πᾶς πρίσμα τρίγωνος ἔχω βάσις διαιρέω εἰς τρεῖς πυραμίς ἴσος ἀλλήλων τρίγωνος βάσις ἔχω . εἰμί πρίσμα , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΔΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρέω εἰς τρεῖς πυραμίς ἴσος ἀλλήλων τρίγωνος ἔχω βάσις . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΔ , ΕΓ , ΓΔ . ἐπεί παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΑΒΕΔ , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ ΒΔ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ὁ ΕΒΔ τρίγωνον · καί ὁ πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , ἴσος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΔΕΒ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον . ἀλλά ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΔΕΒ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , ὁ αὐτός εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον · ὑπό γάρ ὁ αὐτός ἐπίπεδος περιέχω . καί πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , ἴσος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον . πάλιν , ἐπεί παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΖΓΒΕ , διάμετρος δέ εἰμί αὐτός ὁ ΓΕ , ἴσος εἰμί ὁ ΓΕΖ τρίγωνον ὁ ΓΒΕ τρίγωνον . καί πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΒΓΕ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον , ἴσος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΓΖ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον . ὁ δέ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΒΓΕ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον , ἴσος δείκνυμι πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον · καί πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΓΕΖ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον , ἴσος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον · διαιρέω ἄρα ὁ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰς τρεῖς πυραμίς ἴσος ἀλλήλων τρίγωνος ἔχω βάσις . καί ἐπεί πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , ὁ αὐτός εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΓΑΒ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον · ὑπό γάρ ὁ αὐτός ἐπίπεδος περιέχω · ὁ δέ πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , τρίτος δείκνυμι ὁ πρίσμα , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΔΕΖ , καί ὁ πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Δ σημεῖον , τρίτος εἰμί ὁ πρίσμα ὁ ἔχω βάσις ὁ αὐτός ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , ἀπεναντίον δέ ὁ ΔΕΖ . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι πᾶς πυραμίς τρίτος μέρος εἰμί ὁ πρίσμα ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος · ὅς δέω δείκνυμι .