euclides-geom.elementa 11.prop.25
ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις , ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν , οὕτως τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν . στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΖΗ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΡΑ , ΔΘ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕΖΦ βάσις πρὸς τὴν ΕΘΓΖ βάσιν , οὕτως τὸ ΑΒΖΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΗΓΔ στερεόν . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΘ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη , καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΑΕ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΑΚ , ΚΛ , τῇ δὲ ΕΘ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΘΜ , ΜΝ , καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΛΟ , ΚΦ , ΘΧ , ΜΣ παραλληλόγραμμα καὶ τὰ ΛΠ , ΚΡ , ΔΜ , ΜΤ στερεά . καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΛΚ , ΚΑ , ΑΕ εὐθεῖαι ἀλλήλαις , ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ μὲν ΛΟ , ΚΦ , ΑΖ παραλληλόγραμμα ἀλλήλοις , τὰ δὲ ΚΞ , ΚΒ , ΑΗ ἀλλήλοις καὶ ἔτι τὰ ΛΨ , ΚΠ , ΑΡ ἀλλήλοις · ἀπεναντίον γάρ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ μὲν ΕΓ , ΘΧ , ΜΣ παραλληλόγραμμα ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις , τὰ δὲ ΘΗ , ΘΙ , ΙΝ ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις , καὶ ἔτι τὰ ΔΘ , ΜΩ , ΝΤ · τρία ἄρα ἐπίπεδα τῶν ΛΠ , ΚΡ , ΑΥ στερεῶν τρισὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν ἴσα . ἀλλὰ τὰ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστὶν ἴσα · τὰ ἄρα τρία στερεὰ τὰ ΛΠ , ΚΡ , ΑΥ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ τρία στερεὰ τὰ ΕΔ , ΔΜ , ΜΤ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΑΖ βάσεως , τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΑΥ στερεοῦ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΖ βάσις τῆς ΖΘ βάσεως , τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΝΥ στερεὸν τοῦ ΘΥ στερεοῦ . καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῇ ΝΖ βάσει , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ , καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΝΖ βάσεως , ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ στερεοῦ , καὶ εἰ ἐλλείπει , ἐλλείπει . τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν , δύο μὲν βάσεων τῶν ΑΖ , ΖΘ , δύο δὲ στερεῶν τῶν ΑΥ , ΥΘ , εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΑΖ βάσεως καὶ τοῦ ΑΥ στερεοῦ ἥ τε ΛΖ βάσις καὶ τὸ ΛΥ στερεόν , τῆς δὲ ΘΖ βάσεως καὶ τοῦ ΘΥ στερεοῦ ἥ τε ΝΖ βάσις καὶ τὸ ΝΥ στερεόν , καὶ δέδεικται , ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΖΝ βάσεως , ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ , καὶ εἰ ἴση , ἴσον , καὶ εἰ ἐλλείπει , ἐλλείπει . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΑΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΥΘ στερεόν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν στερεός παραλληλεπίπεδον ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος , εἰμί ὡς ὁ βάσις πρός ὁ βάσις , οὕτως ὁ στερεός πρός ὁ στερεός . στερεός γάρ παραλληλεπίπεδον ὁ ΑΒΓΔ ἐπίπεδος ὁ ΖΗ τέμνω παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος ὁ ΡΑ , ΔΘ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΕΖΦ βάσις πρός ὁ ΕΘΓΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΖΥ στερεός πρός ὁ ΕΗΓΔ στερεός . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΑΘ ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος , καί κεῖμαι ὁ μέν ΑΕ ἴσος ὁσαιδηποτοῦν ὁ ΑΚ , ΚΛ , ὁ δέ ΕΘ ἴσος ὁσαιδηποτοῦν ὁ ΘΜ , ΜΝ , καί συμπληρόω ὁ ΛΟ , ΚΦ , ΘΧ , ΜΣ παραλληλόγραμμος καί ὁ ΛΠ , ΚΡάς , ΔΜ , ΜΤ στερεός . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΛΚ , ΚΑ , ΑΕ εὐθεῖα ἀλλήλων , ἴσος εἰμί καί ὁ μέν ΛΟ , ΚΦ , ΑΖ παραλληλόγραμμος ἀλλήλων , ὁ δέ ΚΞ , ΚΒ , ΑΗ ἀλλήλων καί ἔτι ὁ ΛΨ , ΚΠ , ΑΡ ἀλλήλων · ἀπεναντίον γάρ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ΕΓ , ΘΧ , ΜΣ παραλληλόγραμμος ἴσος εἰμί ἀλλήλων , ὁ δέ ΘΗ , ΘΙ , ΙΝ ἴσος εἰμί ἀλλήλων , καί ἔτι ὁ ΔΘ , ΜΩ , ΝΤ · τρεῖς ἄρα ἐπίπεδος ὁ ΛΠ , ΚΡ , ΑΥ στερεός τρεῖς ἐπίπεδος εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ τρεῖς τρεῖς ὁ ἀπεναντίον εἰμί ἴσος · ὁ ἄρα τρεῖς στερεός ὁ ΛΠ , ΚΡάς , ΑΥ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ τρεῖς στερεός ὁ ΕΔ , ΔΜ , ΜΤ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὁσαπλασίων ἄρα εἰμί ὁ ΛΖ βάσις ὁ ΑΖ βάσις , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ΛΥ στερεός ὁ ΑΥ στερεός . διά ὁ αὐτός δή ὁσαπλασίων εἰμί ὁ ΝΖ βάσις ὁ ΖΘ βάσις , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ΝΥ στερεός ὁ ΘΥ στερεός . καί εἰ ἴσος εἰμί ὁ ΛΖ βάσις ὁ ΝΖ βάσις , ἴσος εἰμί καί ὁ ΛΥ στερεός ὁ ΝΥ στερεός , καί εἰ ὑπερέχω ὁ ΛΖ βάσις ὁ ΝΖ βάσις , ὑπερέχω καί ὁ ΛΥ στερεός ὁ ΝΥ στερεός , καί εἰ ἐλλείπω , ἐλλείπω . τέσσαρες δή εἰμί μέγεθος , δύο μέν βάσις ὁ ΑΖ , ΖΘ , δύο δέ στερεός ὁ ΑΥ , ΥΘ , λαμβάνω ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ μέν ΑΖ βάσις καί ὁ ΑΥ στερεός ὁ τε ΛΖ βάσις καί ὁ ΛΥ στερεός , ὁ δέ ΘΖ βάσις καί ὁ ΘΥ στερεός ὁ τε ΝΖ βάσις καί ὁ ΝΥ στερεός , καί δείκνυμι , ὅτι εἰ ὑπερέχω ὁ ΛΖ βάσις ὁ ΖΝ βάσις , ὑπερέχω καί ὁ ΛΥ στερεός ὁ ΝΥ , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλλείπω , ἐλλείπω . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΖ βάσις πρός ὁ ΖΘ βάσις , οὕτως ὁ ΑΥ στερεός πρός ὁ ΥΘ στερεός · ὅς δέω δείκνυμι .