euclides-geom.elementa 7.prop.36
τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν , ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν . ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ · δεῖ δὴ εὑρεῖν , ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν . εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α , Β ἐλάχιστος μετρούμενος ὁ Δ . ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ . μετρείτω πρότερον . μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α , Β τὸν Δ · οἱ Α , Β , Γ ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστον . εἰ γὰρ μή , μετρήσουσιν ἀριθμὸν οἱ Α , Β , Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ . μετρείτωσαν τὸν Ε . ἐπεὶ οἱ Α , Β , Γ τὸν Ε μετροῦσιν , καὶ οἱ Α , Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν . καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Β μετρούμενος μετρήσει . ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α , Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ · ὁ Δ ἄρα τὸν Ε μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα οἱ Α , Β , Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ · οἱ Α , Β , Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν . μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ , καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Γ , Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Ε . ἐπεὶ οἱ Α , Β τὸν Δ μετροῦσιν , ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ , καὶ οἱ Α , Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν . μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ οἱ Α , Β , Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστον . εἰ γὰρ μή , μετρήσουσί τινα οἱ Α , Β , Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε . μετρείτωσαν τὸν Ζ . ἐπεὶ οἱ Α , Β , Γ τὸν Ζ μετροῦσιν , καὶ οἱ Α , Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν · καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Β μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει . ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α , Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ · ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ · οἱ Δ , Γ ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν · ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Δ , Γ μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει . ὁ δὲ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Γ , Δ μετρούμενός ἐστιν ὁ Ε · ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα οἱ Α , Β , Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε . ὁ Ε ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α , Β , Γ μετρεῖται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: τρεῖς ἀριθμός δίδωμι εὑρίσκω , ὅς ἐλαχύς μετρέω ἀριθμός . εἰμί ὁ δίδωμι τρεῖς ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ · δέω δή εὑρίσκω , ὅς ἐλαχύς μετρέω ἀριθμός . λαμβάνω γάρ ὑπό δύο ὁ Α , Β ἐλαχύς μετρέω ὁ Δ . ὁ δή Γ ὁ Δ ἤτοι μετρέω ἤ οὐ μετρέω . μετρέω πρότερος . μετρέω δέ καί ὁ Α , Β ὁ Δ · ὁ Α , Β , Γ ἄρα ὁ Δ μετρέω . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς . εἰ γάρ μή , μετρέω ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ ἐλαχύς εἰμί ὁ Δ . μετρέω ὁ Ε . ἐπεί ὁ Α , Β , Γ ὁ Ε μετρέω , καί ὁ Α , Β ἄρα ὁ Ε μετρέω . καί ὁ ἐλαχύς ἄρα ὑπό ὁ Α , Β μετρέω μετρέω . ἐλαχύς δέ ὑπό ὁ Α , Β μετρέω εἰμί ὁ Δ · ὁ Δ ἄρα ὁ Ε μετρέω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α , Β , Γ μετρέω τις ἀριθμός ἐλαχύς εἰμί ὁ Δ · ὁ Α , Β , Γ ἄρα ἐλαχύς ὁ Δ μετρέω . μή μετρέω δή πάλιν ὁ Γ ὁ Δ , καί λαμβάνω ὑπό ὁ Γ , Δ ἐλαχύς μετρέω ἀριθμός ὁ Ε . ἐπεί ὁ Α , Β ὁ Δ μετρέω , ὁ δέ Δ ὁ Ε μετρέω , καί ὁ Α , Β ἄρα ὁ Ε μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Γ ὁ Α , Β , Γ ἄρα ὁ Ε μετρέω . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς . εἰ γάρ μή , μετρέω τις ὁ Α , Β , Γ ἐλαχύς εἰμί ὁ Ε . μετρέω ὁ Ζ . ἐπεί ὁ Α , Β , Γ ὁ Ζ μετρέω , καί ὁ Α , Β ἄρα ὁ Ζ μετρέω · καί ὁ ἐλαχύς ἄρα ὑπό ὁ Α , Β μετρέω ὁ Ζ μετρέω . ἐλαχύς δέ ὑπό ὁ Α , Β μετρέω εἰμί ὁ Δ · ὁ Δ ἄρα ὁ Ζ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Γ ὁ Ζ · ὁ Δ , Γ ἄρα ὁ Ζ μετρέω · ὥστε καί ὁ ἐλαχύς ὑπό ὁ Δ , Γ μετρέω ὁ Ζ μετρέω . ὁ δέ ἐλαχύς ὑπό ὁ Γ , Δ μετρέω εἰμί ὁ Ε · ὁ Ε ἄρα ὁ Ζ μετρέω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Α , Β , Γ μετρέω τις ἀριθμός ἐλαχύς εἰμί ὁ Ε . ὁ Ε ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὑπό ὁ Α , Β , Γ μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .