euclides-geom.elementa 9.prop.36
ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐκτεθῶσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ , ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται , καὶ ὁ σύμπας ἐπὶ τὸν ἔσχατον πολλαπλασιασθεὶς ποιῇ τινα , ὁ γενόμενος τέλειος ἔσται . ἀπὸ γὰρ μονάδος ἐκκείσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ , ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται , οἱ Α , Β , Γ , Δ , καὶ τῷ σύμπαντι ἴσος ἔστω ὁ Ε , καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ ποιείτω . λέγω , ὅτι ὁ ΖΗ τέλειός ἐστιν . ὅσοι γάρ εἰσιν οἱ Α , Β , Γ , Δ τῷ πλήθει , τοσοῦτοι ἀπὸ τοῦ Ε εἰλήφθωσαν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ οἱ Ε , ΘΚ , Λ , Μ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Μ . ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε , Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α , Μ . καί ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Ε , Δ ὁ ΖΗ · καὶ ὁ ἐκ τῶν Α , Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ . ὁ Α ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν · ὁ Μ ἄρα τὸν ΖΗ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας . καί ἐστι δυὰς ὁ Α · διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ τοῦ Μ . εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Μ , Λ , ΘΚ , Ε ἑξῆς διπλάσιοι ἀλλήλων · οἱ Ε , ΘΚ , Λ , Μ , ΖΗ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ . ἀφῃρήσθω δὴ ἀπὸ τοῦ δευτέρου τοῦ ΘΚ καὶ τοῦ ἐσχάτου τοῦ ΖΗ τῷ πρώτῳ τῷ Ε ἴσος ἑκάτερος τῶν ΘΝ , ΖΞ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον , οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΝΚ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ ΞΗ πρὸς τοὺς Μ , Λ , ΚΘ , Ε . καί ἐστιν ὁ ΝΚ ἴσος τῷ Ε · καὶ ὁ ΞΗ ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Μ , Λ , ΘΚ , Ε . ἔστι δὲ καὶ ὁ ΖΞ τῷ Ε ἴσος , ὁ δὲ Ε τοῖς Α , Β , Γ , Δ καὶ τῇ μονάδι . ὅλος ἄρα ὁ ΖΗ ἴσος ἐστὶ τοῖς τε Ε , ΘΚ , Λ , Μ καὶ τοῖς Α , Β , Γ , Δ καὶ τῇ μονάδι · καὶ μετρεῖται ὑπʼ αὐτῶν . λέγω , ὅτι καὶ ὁ ΖΗ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α , Β , Γ , Δ , Ε , ΘΚ , Λ , Μ καὶ τῆς μονάδος . εἰ γὰρ δυνατόν , μετρείτω τις τὸν ΖΗ ὁ Ο , καὶ ὁ Ο μηδενὶ τῶν Α , Β , Γ , Δ , Ε , ΘΚ , Λ , Μ ἔστω ὁ αὐτός . καὶ ὁσάκις ὁ Ο τὸν ΖΗ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Π · ὁ Π ἄρα τὸν Ο πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ε πρὸς τὸν Π , ὁ Ο πρὸς τὸν Δ . καὶ ἐπεὶ ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α , Β , Γ , Δ , ὁ Δ ἄρα ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α , Β , Γ . καὶ ὑπόκειται ὁ Ο οὐδενὶ τῶν Α , Β , Γ ὁ αὐτός · οὐκ ἄρα μετρήσει ὁ Ο τὸν Δ . ἀλλʼ ὡς ὁ Ο πρὸς τὸν Δ , ὁ Ε πρὸς τὸν Π · οὐδὲ ὁ Ε ἄρα τὸν Π μετρεῖ . καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος · πᾶς δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα , ὃν μὴ μετρεῖ , πρῶτος . οἱ Ε , Π ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον · καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Π , ὁ Ο πρὸς τὸν Δ · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ . ὁ δὲ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρεῖται παρὲξ τῶν Α , Β , Γ · ὁ Π ἄρα ἑνὶ τῶν Α , Β , Γ ἐστιν ὁ αὐτός . ἔστω τῷ Β ὁ αὐτός . καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Β , Γ , Δ τῷ πλήθει τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε οἱ Ε , ΘΚ , Λ . καί εἰσιν οἱ Ε , ΘΚ , Λ τοῖς Β , Γ , Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Δ , ὁ Ε πρὸς τὸν Λ . ὁ ἄρα ἐκ τῶν Β , Λ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Δ , Ε · ἀλλʼ ὁ ἐκ τῶν Δ , Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν π , Ο · καὶ ὁ ἐκ τῶν Π , Ο ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β , Λ . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Β , ὁ Λ πρὸς τὸν Ο . καί ἐστιν ὁ Π τῷ Β ὁ αὐτός · καὶ ὁ Λ ἄρα τῷ Ο ἐστιν ὁ αὐτός · ὅπερ ἀδύνατον · ὁ γὰρ Ο ὑπόκειται μηδενὶ τῶν ἐκκειμένων ὁ αὐτός . οὐκ ἄρα τὸν ΖΗ μετρήσει τις ἀριθμὸς παρὲξ τῶν α , Β , Γ , Δ , Ε , ΘΚ , Λ , Μ καὶ τῆς μονάδος . καὶ ἐδείχθη ὁ ΖΗ τοῖς Α , Β , Γ , Δ , Ε , ΘΚ , Λ , Μ καὶ τῇ μονάδι ἴσος . τέλειος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν · τέλειος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἐκτίθημι ἐν ὁ διπλασίων ἀναλογία , ἕως ὅς ὁ σύμπας συντίθημι πρῶτος γίγνομαι , καί ὁ σύμπας ἐπί ὁ ἔσχατος πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι τέλειος εἰμί . ἀπό γάρ μονάς ἔκκειμαι ὁσσοιδηποτοῦν ἀριθμός ἐν ὁ διπλασίων ἀναλογία , ἕως ὅς ὁ σύμπας συντίθημι πρῶτος γίγνομαι , ὁ Α , Β , Γ , Δ , καί ὁ σύμπας ἴσος εἰμί ὁ Ε , καί ὁ Ε ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ ΖΗ ποιέω . λέγω , ὅτι ὁ ΖΗ τέλειος εἰμί . ὅσος γάρ εἰμί ὁ Α , Β , Γ , Δ ὁ πλῆθος , τοσοῦτος ἀπό ὁ Ε λαμβάνω ἐν ὁ διπλασίων ἀναλογία ὁ Ε , ΘΚ , Λ , Μ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Μ . ὁ ἄρα ἐκ ὁ Ε , Δ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Α , Μ . καί εἰμί ὁ ἐκ ὁ Ε , Δ ὁ ΖΗ · καί ὁ ἐκ ὁ Α , Μ ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ . ὁ Α ἄρα ὁ Μ πολλαπλασιάζω ὁ ΖΗ ποιέω · ὁ Μ ἄρα ὁ ΖΗ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Α μονάς . καί εἰμί δυάς ὁ Α · διπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ Μ . εἰμί δέ καί ὁ Μ , Λ , ΘΚ , Ε ἑξῆς διπλάσιος ἀλλήλων · ὁ Ε , ΘΚ , Λ , Μ , ΖΗ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ἐν ὁ διπλασίων ἀναλογία . ἀφαιρέω δή ἀπό ὁ δεύτερος ὁ ΘΚ καί ὁ ἔσχατος ὁ ΖΗ ὁ πρῶτος ὁ Ε ἴσος ἑκάτερος ὁ ΘΝ , ΖΞ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ὁ δεύτερος ἀριθμός ὑπεροχή πρός ὁ πρῶτος , οὕτως ὁ ὁ ἔσχατος ὑπεροχή πρός ὁ πρό ἑαυτοῦ πᾶς . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΝΚ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ ΞΗ πρός ὁ Μ , Λ , ΚΘ , Ε . καί εἰμί ὁ ΝΚ ἴσος ὁ Ε · καί ὁ ΞΗ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ Μ , Λ , ΘΚ , Ε . εἰμί δέ καί ὁ ΖΞ ὁ Ε ἴσος , ὁ δέ Ε ὁ Α , Β , Γ , Δ καί ὁ μονάς . ὅλος ἄρα ὁ ΖΗ ἴσος εἰμί ὁ τε Ε , ΘΚ , Λ , Μ καί ὁ Α , Β , Γ , Δ καί ὁ μονάς · καί μετρέω ὑπό αὐτός . λέγω , ὅτι καί ὁ ΖΗ ὑπό οὐδείς ἄλλος μετρέω παρέξ ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε , ΘΚ , Λ , Μ καί ὁ μονάς . εἰ γάρ δυνατός , μετρέω τις ὁ ΖΗ ὁ Ο , καί ὁ Ο μηδείς ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε , ΘΚ , Λ , Μ εἰμί ὁ αὐτός . καί ὁσάκις ὁ Ο ὁ ΖΗ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Π · ὁ Π ἄρα ὁ Ο πολλαπλασιάζω ὁ ΖΗ ποιέω . ἀλλά μήν καί ὁ Ε ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ ΖΗ ποιέω · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ε πρός ὁ Π , ὁ Ο πρός ὁ Δ . καί ἐπεί ἀπό μονάς ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὁ Δ ἄρα ὑπό οὐδείς ἄλλος ἀριθμός μετρέω παρέξ ὁ Α , Β , Γ . καί ὑπόκειμαι ὁ Ο οὐδείς ὁ Α , Β , Γ ὁ αὐτός · οὐ ἄρα μετρέω ὁ Ο ὁ Δ . ἀλλά ὡς ὁ Ο πρός ὁ Δ , ὁ Ε πρός ὁ Π · οὐδέ ὁ Ε ἄρα ὁ Π μετρέω . καί εἰμί ὁ Ε πρῶτος · πᾶς δέ πρῶτος ἀριθμός πρός ἅπας , ὅς μή μετρέω , πρῶτος . ὁ Ε , Π ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι · καί εἰμί ὡς ὁ Ε πρός ὁ Π , ὁ Ο πρός ὁ Δ · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε ὁ Ο μετρέω καί ὁ Π ὁ Δ · ἰσάκις ἄρα ὁ Ε ὁ Ο μετρέω καί ὁ Π ὁ Δ . ὁ δέ Δ ὑπό οὐδείς ἄλλος μετρέω παρέξ ὁ Α , Β , Γ · ὁ Π ἄρα εἷς ὁ Α , Β , Γ εἰμί ὁ αὐτός . εἰμί ὁ Β ὁ αὐτός . καί ὅσος εἰμί ὁ Β , Γ , Δ ὁ πλῆθος τοσοῦτος λαμβάνω ἀπό ὁ Ε ὁ Ε , ΘΚ , Λ . καί εἰμί ὁ Ε , ΘΚ , Λ ὁ Β , Γ , Δ ἐν ὁ αὐτός λόγος · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Δ , ὁ Ε πρός ὁ Λ . ὁ ἄρα ἐκ ὁ Β , Λ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Δ , Ε · ἀλλά ὁ ἐκ ὁ Δ , Ε ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ π , Ο · καί ὁ ἐκ ὁ Π , Ο ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ Β , Λ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Π πρός ὁ Β , ὁ Λ πρός ὁ Ο . καί εἰμί ὁ Π ὁ Β ὁ αὐτός · καί ὁ Λ ἄρα ὁ Ο εἰμί ὁ αὐτός · ὅς ἀδύνατος · ὁ γάρ Ο ὑπόκειμαι μηδείς ὁ ἔκκειμαι ὁ αὐτός . οὐ ἄρα ὁ ΖΗ μετρέω τις ἀριθμός παρέξ ὁ α , Β , Γ , Δ , Ε , ΘΚ , Λ , Μ καί ὁ μονάς . καί δείκνυμι ὁ ΖΗ ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε , ΘΚ , Λ , Μ καί ὁ μονάς ἴσος . τέλειος δέ ἀριθμός εἰμί ὁ ὁ ἑαυτοῦ μέρος ἴσος εἰμί · τέλειος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ · ὅς δέω δείκνυμι .