euclides-geom.elementa 9.prop.15
ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς , δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν . ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α , Β , Γ · λέγω , ὅτι τῶν Α , Β , Γ δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν , οἱ μὲν Α , Β πρὸς τὸν Γ , οἱ δὲ Β , Γ πρὸς τὸν Α καὶ ἔτι οἱ Α , Γ πρὸς τὸν Β . εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β , Γ δύο οἱ ΔΕ , ΕΖ . φανερὸν δή , ὅτι ὁ μὲν ΔΕ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν , τὸν δὲ ΕΖ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν , καὶ ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . καὶ ἐπεὶ οἱ ΔΕ , ΕΖ ἐλάχιστοί εἰσιν , πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοί πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον πρῶτός ἐστιν · καὶ ὁ ΔΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ , ΕΖ πρῶτός ἐστιν . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν · οἱ ΔΖ , ΔΕ ἄρα πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτοί εἰσιν . ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν , καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτός ἐστιν · ὥστε ὁ ἐκ τῶν ΖΔ , ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν · ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ , ΔΕ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν . . ἀλλʼ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ , ΔΕ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΕ ἐστι μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ , ΕΖ · ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΔΕ μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ , ΕΖ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν . καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α , ὁ δὲ ἐκ τῶν ΔΕ , ΕΖ ὁ Β , ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ · οἱ Α , Β ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Γ πρῶτοί εἰσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ οἱ Β , Γ πρὸς τὸν Α πρῶτοί εἰσιν . λέγω δή , ὅτι καὶ οἱ Α , Γ πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν . ἐπεὶ γὰρ ὁ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ , ΕΖ πρῶτός ἐστιν , καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΖ πρὸς τὸν ἐκ τῶν ΔΕ , ΕΖ πρῶτός ἐστιν . ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΔΖ ἴσοι εἰσὶν οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ , ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν ΔΕ , ΕΖ · καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ , ΕΖ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΖ πρῶτοί . διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ , ΕΖ μετὰ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ ΔΕ , ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ , ΕΖ πρῶτοί εἰσιν . ἔτι διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ , ΕΖ ἄρα πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ , ΕΖ πρῶτοί εἰσιν . καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α , ὁ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΖ ὁ Β , ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ . οἱ Α , Γ ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρεῖς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός , δύο ὁποιοιοῦν συντίθημι πρός ὁ λοιπός πρῶτος εἰμί . εἰμί τρεῖς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός ὁ Α , Β , Γ · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β , Γ δύο ὁποιοιοῦν συντίθημι πρός ὁ λοιπός πρῶτος εἰμί , ὁ μέν Α , Β πρός ὁ Γ , ὁ δέ Β , Γ πρός ὁ Α καί ἔτι ὁ Α , Γ πρός ὁ Β . λαμβάνω γάρ ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Β , Γ δύο ὁ ΔΕ , ΕΖ . φανερός δή , ὅτι ὁ μέν ΔΕ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω , ὁ δέ ΕΖ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω , καί ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . καί ἐπεί ὁ ΔΕ , ΕΖ ἐλαχύς εἰμί , πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . ἐάν δέ δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , καί συναμφότεροι πρός ἑκάτερος πρῶτος εἰμί · καί ὁ ΔΖ ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΖ πρῶτος εἰμί . ἀλλά μήν καί ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ πρῶτος εἰμί · ὁ ΔΖ , ΔΕ ἄρα πρός ὁ ΕΖ πρῶτος εἰμί . ἐάν δέ δύο ἀριθμός πρός τις ἀριθμός πρῶτος εἰμί , καί ὁ ἐκ αὐτός γίγνομαι πρός ὁ λοιπός πρῶτος εἰμί · ὥστε ὁ ἐκ ὁ ΖΔ , ΔΕ πρός ὁ ΕΖ πρῶτος εἰμί · ὥστε καί ὁ ἐκ ὁ ΖΔ , ΔΕ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρῶτος εἰμί . . ἀλλά ὁ ἐκ ὁ ΖΔ , ΔΕ ὁ ἀπό ὁ ΔΕ εἰμί μετά ὁ ἐκ ὁ ΔΕ , ΕΖ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΔΕ μετά ὁ ἐκ ὁ ΔΕ , ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρῶτος εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΔΕ ὁ Α , ὁ δέ ἐκ ὁ ΔΕ , ΕΖ ὁ Β , ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ Γ · ὁ Α , Β ἄρα συντίθημι πρός ὁ Γ πρῶτος εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ Β , Γ πρός ὁ Α πρῶτος εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί ὁ Α , Γ πρός ὁ Β πρῶτος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ ΔΖ πρός ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΖ πρῶτος εἰμί , καί ὁ ἀπό ὁ ΔΖ πρός ὁ ἐκ ὁ ΔΕ , ΕΖ πρῶτος εἰμί . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΕ , ΕΖ μετά ὁ δίς ἐκ ὁ ΔΕ , ΕΖ · καί ὁ ἀπό ὁ ΔΕ , ΕΖ ἄρα μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΖ πρῶτος . διαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΔΕ , ΕΖ μετά ὁ ἅπαξ ὑπό ΔΕ , ΕΖ πρός ὁ ὑπό ΔΕ , ΕΖ πρῶτος εἰμί . ἔτι διαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΔΕ , ΕΖ ἄρα πρός ὁ ὑπό ΔΕ , ΕΖ πρῶτος εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΔΕ ὁ Α , ὁ δέ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΖ ὁ Β , ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ Γ . ὁ Α , Γ ἄρα συντίθημι πρός ὁ Β πρῶτος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .