euclides-geom.elementa 6.prop.4
τῶν ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι . ἔστω ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΓΕ ἴσην ἔχοντα τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΓΕ , τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ · λέγω , ὅτι τῶν ΑΒΓ , ΔΓΕ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι . κείσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ . καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΓΒ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν , ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν · αἱ ΒΑ , ΕΔ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται . ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ , παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΓΔ . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ , παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΖΕ . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΑΓΔ · ἴση ἄρα ἡ μὲν ΖΑ τῇ ΔΓ , ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΖΔ . καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ παρὰ μίαν τὴν ΖΕ ἦκται ἡ ΑΓ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΖ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ . ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΓΔ · ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ . πάλιν , ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ . ἴση δὲ ἡ ΖΔ τῇ ΑΓ · ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΕ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ . ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ , ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ , διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ . τῶν ἄρα ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἰσογώνιος τρίγων ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία καί ὁμόλογος ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία ὑποτείνω . εἰμί ἰσογώνιος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΓΕ ἴσος ἔχω ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΓΕ , ὁ δέ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΓΔΕ καί ἔτι ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΓΕΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ , ΔΓΕ τρίγων ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία καί ὁμόλογος ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία ὑποτείνω . κεῖμαι γάρ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΒΓ ὁ ΓΕ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΑΓΒ γωνία δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί , ἴσος δέ ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΔΕΓ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΓ δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί · ὁ ΒΑ , ΕΔ ἄρα ἐκβάλλω συμπίπτω . ἐκβάλλω καί συμπίπτω κατά ὁ Ζ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΔΓΕ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , παράλληλος εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΓΔ . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΔΕΓ , παράλληλος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΖΕ . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΖΑΓΔ · ἴσος ἄρα ὁ μέν ΖΑ ὁ ΔΓ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΖΔ . καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΖΒΕ παρά εἷς ὁ ΖΕ ἄγω ὁ ΑΓ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΖ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΕ . ἴσος δέ ὁ ΑΖ ὁ ΓΔ · ὡς ἄρα ὁ ΒΑ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΕ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ . πάλιν , ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΓΔ ὁ ΒΖ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ΖΔ πρός ὁ ΔΕ . ἴσος δέ ὁ ΖΔ ὁ ΑΓ · ὡς ἄρα ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΔΕ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΔ . ἐπεί οὖν δείκνυμι ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , ὡς δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΔ , διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΕ . ὁ ἄρα ἰσογώνιος τρίγων ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία καί ὁμόλογος ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία ὑποτείνω · ὅς δέω δείκνυμι .