euclides-geom.elementa 10.prop1.4
τριῶν μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν . ἔστω τὰ δοθέντα τρία μεγέθη σύμμετρα τὰ Α , Β , Γ · δεῖ δὴ τῶν Α , Β , Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν . εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α , Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον , καὶ ἔστω τὸ Δ · τὸ δὴ Δ τὸ Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὔ . μετρείτω πρότερον . ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὸ Γ μετρεῖ , μετρεῖ δὲ καὶ τὰ Α , Β , τὸ Δ ἄρα τὰ Α , Β , Γ μετρεῖ · τὸ Δ ἄρα τῶν Α , Β , Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν . καὶ φανερόν , ὅτι καὶ μέγιστον · μεῖζον γὰρ τοῦ Δ μεγέθους τὰ Α , Β οὐ μετρεῖ . μὴ μετρείτω δὴ τὸ Δ τὸ Γ . λέγω πρῶτον , ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Γ , Δ . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α , Β , Γ , μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος , ὃ δηλαδὴ καὶ τὰ Α , Β μετρήσει · ὥστε καὶ τὸ τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ · ὥστε τὸ εἰρημένον μέγεθος μετρήσει τὰ Γ , Δ · σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Γ , Δ . εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον , καὶ ἔστω τὸ Ε . ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ Δ μετρεῖ , ἀλλὰ τὸ Δ τὰ Α , Β μετρεῖ , καὶ τὸ Ε ἄρα τὰ Α , Β μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ . τὸ Ε ἄρα τὰ Α , Β , Γ μετρεῖ · τὸ Ε ἄρα τῶν Α , Β , Γ κοινόν ἐστι μέτρον . λέγω δή , ὅτι καὶ μέγιστον . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω τι τοῦ Ε μεῖζον μέγεθος τὸ Ζ , καὶ μετρείτω τὰ Α , Β , Γ . καὶ ἐπεὶ τὸ Ζ τὰ Α , Β , Γ μετρεῖ , καὶ τὰ Α , Β ἄρα μετρήσει καὶ τὸ τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει . τὸ δὲ τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τὸ Δ · τὸ Ζ ἄρα τὸ Δ μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ · τὸ Ζ ἄρα τὰ Γ , Δ μετρεῖ · καὶ τὸ τῶν Γ , Δ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει τὸ Ζ . ἔστι δὲ τὸ ε · τὸ Ζ ἄρα τὸ Ε μετρήσει , τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα μεῖζόν τι τοῦ Ε μεγέθους τὰ Α , Β , Γ μετρεῖ · τὸ Ε ἄρα τῶν Α , Β , Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν , ἐὰν μὴ μετρῇ τὸ Δ τὸ Γ , ἐὰν δὲ μετρῇ , αὐτὸ τὸ Δ . τριῶν ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι , ἐὰν μέγεθος τρία μεγέθη μετρῇ , καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει . ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πλειόνων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ληφθήσεται , καὶ τὸ πόρισμα προχωρήσει . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: τρεῖς μέγεθος σύμμετρος δίδωμι ὁ μέγας αὐτός κοινός μέτρον εὑρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι τρεῖς μέγεθος σύμμετρος ὁ Α , Β , Γ · δέω δή ὁ Α , Β , Γ ὁ μέγας κοινός μέτρον εὑρίσκω . λαμβάνω γάρ δύο ὁ Α , Β ὁ μέγας κοινός μέτρον , καί εἰμί ὁ Δ · ὁ δή Δ ὁ Γ ἤτοι μετρέω ἤ οὐ . μετρέω πρότερος . ἐπεί οὖν ὁ Δ ὁ Γ μετρέω , μετρέω δέ καί ὁ Α , Β , ὁ Δ ἄρα ὁ Α , Β , Γ μετρέω · ὁ Δ ἄρα ὁ Α , Β , Γ κοινός μέτρον εἰμί . καί φανερός , ὅτι καί μέγας · μέγας γάρ ὁ Δ μέγεθος ὁ Α , Β οὐ μετρέω . μή μετρέω δή ὁ Δ ὁ Γ . λέγω πρῶτος , ὅτι σύμμετρος εἰμί ὁ Γ , Δ . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ Α , Β , Γ , μετρέω τις αὐτός μέγεθος , ὅς δηλαδή καί ὁ Α , Β μετρέω · ὥστε καί ὁ ὁ Α , Β μέγας κοινός μέτρον ὁ Δ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Γ · ὥστε ὁ λέγω μέγεθος μετρέω ὁ Γ , Δ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Γ , Δ . λαμβάνω οὖν αὐτός ὁ μέγας κοινός μέτρον , καί εἰμί ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὁ Ε ὁ Δ μετρέω , ἀλλά ὁ Δ ὁ Α , Β μετρέω , καί ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Γ . ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β , Γ μετρέω · ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β , Γ κοινός εἰμί μέτρον . λέγω δή , ὅτι καί μέγας . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί τις ὁ Ε μέγας μέγεθος ὁ Ζ , καί μετρέω ὁ Α , Β , Γ . καί ἐπεί ὁ Ζ ὁ Α , Β , Γ μετρέω , καί ὁ Α , Β ἄρα μετρέω καί ὁ ὁ Α , Β μέγας κοινός μέτρον μετρέω . ὁ δέ ὁ Α , Β μέγας κοινός μέτρον εἰμί ὁ Δ · ὁ Ζ ἄρα ὁ Δ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Γ · ὁ Ζ ἄρα ὁ Γ , Δ μετρέω · καί ὁ ὁ Γ , Δ ἄρα μέγας κοινός μέτρον μετρέω ὁ Ζ . εἰμί δέ ὁ ε · ὁ Ζ ἄρα ὁ Ε μετρέω , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα μέγας τις ὁ Ε μέγεθος ὁ Α , Β , Γ μετρέω · ὁ Ε ἄρα ὁ Α , Β , Γ ὁ μέγας κοινός μέτρον εἰμί , ἐάν μή μετρέω ὁ Δ ὁ Γ , ἐάν δέ μετρέω , αὐτός ὁ Δ . τρεῖς ἄρα μέγεθος σύμμετρος δίδωμι ὁ μέγας κοινός μέτρον εὑρίσκω . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι , ἐάν μέγεθος τρεῖς μέγεθος μετρέω , καί ὁ μέγας αὐτός κοινός μέτρον μετρέω . ὅμοιος δή καί ἐπί πολύς ὁ μέγας κοινός μέτρον λαμβάνω , καί ὁ πόρισμα προχωρέω . ὅς δέω δείκνυμι .