euclides-geom.elementa 5.prop.17
ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται . ἔστω συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ , ΒΕ , ΓΔ , ΔΖ , ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ , οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ · λέγω , ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται , ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ , οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΔΖ . εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΘ , ΘΚ , ΛΜ , ΜΝ , τῶν δὲ ΕΒ , ΖΔ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΚΞ , ΝΠ . καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ . ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ · ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ . πάλιν , ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ . ἰσάκις δὲ ἦν πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ · ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ . τὰ ΗΚ , ΛΝ ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια . πάλιν , ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ , ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΝΠ τοῦ ΖΔ , καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ ΖΔ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ , οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ , καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ , ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΚ , ΛΝ , τῶν δὲ ΕΒ , ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΘΞ , ΜΠ , εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ , ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ , καὶ εἰ ἴσον , ἴσον , καὶ εἰ ἔλαττον , ἔλαττον . ὑπερεχέτω δὴ τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ , καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ . ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ , ὑπερεῖχε καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ · ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ , καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΜΝ ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ · ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ , ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ , ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ , κἂν ἔλαττον , ἔλαττον . καί ἐστι τὰ μὲν ΗΘ , ΛΜ τῶν ΑΕ , ΓΖ ἰσάκις πολλαπλάσια , τὰ δὲ ΚΞ , ΝΠ τῶν ΕΒ , ΖΔ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ , οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ . ἐὰν ἄρα συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ , καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν σύγκειμαι μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί διαιρέω ἀνάλογος εἰμί . εἰμί σύγκειμαι μέγεθος ἀνάλογος ὁ ΑΒ , ΒΕ , ΓΔ , ΔΖ , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΖ · λέγω , ὅτι καί διαιρέω ἀνάλογος εἰμί , ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΔΖ . λαμβάνω γάρ ὁ μέν ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ ΗΘ , ΘΚ , ΛΜ , ΜΝ , ὁ δέ ΕΒ , ΖΔ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ ΚΞ , ΝΠ . καί ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΗΘ ὁ ΑΕ καί ὁ ΘΚ ὁ ΕΒ , ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΗΘ ὁ ΑΕ καί ὁ ΗΚ ὁ ΑΒ . ἰσάκις δέ εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΗΘ ὁ ΑΕ καί ὁ ΛΜ ὁ ΓΖ · ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΗΚ ὁ ΑΒ καί ὁ ΛΜ ὁ ΓΖ . πάλιν , ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΛΜ ὁ ΓΖ καί ὁ ΜΝ ὁ ΖΔ , ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΛΜ ὁ ΓΖ καί ὁ ΛΝ ὁ ΓΔ . ἰσάκις δέ εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΛΜ ὁ ΓΖ καί ὁ ΗΚ ὁ ΑΒ · ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΗΚ ὁ ΑΒ καί ὁ ΛΝ ὁ ΓΔ . ὁ ΗΚ , ΛΝ ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος . πάλιν , ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΘΚ ὁ ΕΒ καί ὁ ΜΝ ὁ ΖΔ , εἰμί δέ καί ὁ ΚΞ ὁ ΕΒ ἰσάκις πολλαπλάσιος καί ὁ ΝΠ ὁ ΖΔ , καί συντίθημι ὁ ΘΞ ὁ ΕΒ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος καί ὁ ΜΠ ὁ ΖΔ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΖ , καί λαμβάνω ὁ μέν ΑΒ , ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ ΗΚ , ΛΝ , ὁ δέ ΕΒ , ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ ΘΞ , ΜΠ , εἰ ἄρα ὑπερέχω ὁ ΗΚ ὁ ΘΞ , ὑπερέχω καί ὁ ΛΝ ὁ ΜΠ , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . ὑπερέχω δή ὁ ΗΚ ὁ ΘΞ , καί κοινός ἀφαιρέω ὁ ΘΚ ὑπερέχω ἄρα καί ὁ ΗΘ ὁ ΚΞ . ἀλλά εἰ ὑπερέχω ὁ ΗΚ ὁ ΘΞ , ὑπερέχω καί ὁ ΛΝ ὁ ΜΠ · ὑπερέχω ἄρα καί ὁ ΛΝ ὁ ΜΠ , καί κοινός ἀφαιρέω ὁ ΜΝ ὑπερέχω καί ὁ ΛΜ ὁ ΝΠ · ὥστε εἰ ὑπερέχω ὁ ΗΘ ὁ ΚΞ , ὑπερέχω καί ὁ ΛΜ ὁ ΝΠ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ἐάν ἴσος εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΚΞ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΛΜ ὁ ΝΠ , ἐάν ἐλαχύς , ἐλαχύς . καί εἰμί ὁ μέν ΗΘ , ΛΜ ὁ ΑΕ , ΓΖ ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ ΚΞ , ΝΠ ὁ ΕΒ , ΖΔ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ . ἐάν ἄρα σύγκειμαι μέγεθος ἀνάλογος εἰμί , καί διαιρέω ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .