euclides-geom.elementa 10.prop3.94
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν . χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς τετάρτης τῆς ΑΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν . ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει , ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει , ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ . τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ . ἤχθωσαν οὖν διὰ τῶν Ε , Ζ , Η παράλληλοι ταῖς ΑΓ , ΒΔ αἱ ΕΘ , ΖΙ , ΗΚ . ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ ΑΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει , ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ὅλον τὸ ΑΚ . πάλιν , ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΗ τῇ ΑΓ μήκει , καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί , μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚ . πάλιν , ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει , ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ . συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ τὸ ΝΞ . περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα . ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ , ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ , ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ · τῶν ἄρα ΑΙ , ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ . ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ , ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ , καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ , τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ · καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ . ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΘ , τῷ δὲ ΜΝ ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΞ · ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ . ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ , ΝΞ τετραγώνοις , ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ τετραγώνῳ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ · ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ἡ ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων . ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ τετραγώνοις , τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ ῥητόν ἐστιν . πάλιν , ἐπεὶ τὸ ΔΚ μέσον ἐστίν , καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ μέσον ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ , ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ τετραγώνῳ . αἱ ΛΟ , ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον . ἡ ΛΝ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων · καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ἀποτομή τέταρτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ἐλαχύς εἰμί . χωρίον γάρ ὁ ΑΒ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΓ καί ἀποτομή τέταρτος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι ἐλαχύς εἰμί . εἰμί γάρ ὁ ΑΔ προσαρμόζω ὁ ΔΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΔ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΑΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΑΓ μῆκος , ὁ δέ ὅλος ὁ ΑΗ ὁ προσαρμόζω ὁ ΔΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . ἐπεί οὖν ὁ ΑΗ ὁ ΗΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος , ἐάν ἄρα ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΔΉ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς ἀσύμμετρος αὐτός διαιρέω . τέμνω οὖν ὁ ΔΗ δίχα κατά ὁ Ε , καί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί μῆκος ὁ ΑΖ ὁ ΖΗ . ἄγω οὖν διά ὁ Ε , Ζ , Η παράλληλος ὁ ΑΓ , ΒΔ ὁ ΕΘ , ΖΙ , ΗΚ . ἐπεί οὖν ῥητός εἰμί ὁ ΑΗ καί σύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος , ῥητός ἄρα εἰμί ὅλος ὁ ΑΚ . πάλιν , ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΔΗ ὁ ΑΓ μῆκος , καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός , μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΔΚ . πάλιν , ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΗ μῆκος , ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ΑΙ ὁ ΖΚ . συνίστημι οὖν ὁ μέν ΑΙ ἴσος τετράγωνος ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ἴσος ἀφαιρέω περί ὁ αὐτός γωνία ὁ ὑπό ὁ ΛΟΜ ὁ ΝΞ . περί ὁ αὐτός ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος . εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΟΡ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΗ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΑΙ πρός ὁ ΕΚ , ὡς δέ ὁ ΕΗ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΚ πρός ὁ ΖΚ · ὁ ἄρα ΑΙ , ΖΚ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΕΚ . εἰμί δέ καί ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος μέσος ἀνάλογος ὁ ΜΝ , καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ΑΙ ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ὁ ΝΞ · καί ὁ ΕΚ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΜΝ . ἀλλά ὁ μέν ΕΚ ἴσος εἰμί ὁ ΔΘ , ὁ δέ ΜΝ ἴσος εἰμί ὁ ΛΞ · ὅλος ἄρα ὁ ΔΚ ἴσος εἰμί ὁ ΥΦΧ γνώμων καί ὁ ΝΞ . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ΑΚ ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος , ὅς ὁ ΔΚ ἴσος εἰμί ὁ ΥΦΧ γνώμων καί ὁ ΝΞ τετράγωνος , λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ΣΤ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΛΝ τετράγωνος · ὁ ΛΝ ἄρα δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ὁ ΛΝ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . ἐπεί γάρ ῥητός εἰμί ὁ ΑΚ καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ τετράγωνος , ὁ ἄρα σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ ῥητός εἰμί . πάλιν , ἐπεί ὁ ΔΚ μέσος εἰμί , καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΚ ὁ δίς ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ , ὁ ἄρα δίς ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ μέσος εἰμί . καί ἐπεί ἀσύμμετρος δείκνυμι ὁ ΑΙ ὁ ΖΚ , ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΛΟ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΟΝ τετράγωνος . ὁ ΛΟ , ΟΝ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός μέσος . ὁ ΛΝ ἄρα ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς · καί δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . ὁ ἄρα ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι ἐλαχύς εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .