euclides-geom.elementa 3.prop.32
ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα , ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον , ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ , ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις . κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον , καὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου διήχθω τις εὐθεῖα εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τέμνουσα αὐτὸν ἡ ΒΔ . λέγω , ὅτι ἃς ποιεῖ γωνίας ἡ ΒΔ μετὰ τῆς ΕΖ ἐφαπτομένης , ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασι τοῦ κύκλου γωνίαις , τουτέστιν , ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΔ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ , ἡ δὲ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΔΓΒ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΔ περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Γ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΔΓ , ΓΒ . καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β , καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἦκται τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ , ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου . ἡ ΒΑ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου · ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα ὀρθή ἐστιν . λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΔ , ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ ὀρθή · ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ , ΑΒΔ . κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ . καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ , αἱ ἀπεναντίον αὐτοῦ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΖ , ΔΒΕ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΖ , ΔΒΕ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ , ΒΓΔ ἴσαι εἰσίν , ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐδείχθη ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΕ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΔΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση . ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα , ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον , ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ , ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος ἐφάπτω τις εὐθύς , ἀπό δέ ὁ ἁφή εἰς ὁ κύκλος διάζομαι τις εὐθύς τέμνω ὁ κύκλος , ὅς ποιέω γωνία πρός ὁ ἐφάπτω , ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ ὁ κύκλος τμῆμα γωνία . κύκλος γάρ ὁ ΑΒΓΔ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΕΖ κατά ὁ Β σημεῖον , καί ἀπό ὁ Β σημεῖον διάγω τις εὐθεῖα εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τέμνω αὐτός ὁ ΒΔ . λέγω , ὅτι ὅς ποιέω γωνία ὁ ΒΔ μετά ὁ ΕΖ ἐφάπτω , ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ὁ κύκλος γωνία , τουτέστι , ὅτι ὁ μέν ὑπό ΖΒΔ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ΒΑΔάς τμῆμα συνίστημι γωνία , ὁ δέ ὑπό ΕΒΔ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ΔΓΒ τμῆμα συνίστημι γωνία . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Β ὁ ΕΖ πρός ὀρθός ὁ ΒΑ , καί λαμβάνω ἐπί ὁ ΒΔ περιφέρεια τυγχάνω σημεῖον ὁ Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΔΓ , ΓΒ . καί ἐπεί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΕΖ κατά ὁ Β , καί ἀπό ὁ ἁφή ἄγω ὁ ἐφάπτω πρός ὀρθός ὁ ΒΑ , ἐπί ὁ ΒΑ ἄρα ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος . ὁ ΒΑ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος · ὁ ἄρα ὑπό ΑΔΒ γωνία ἐν ἡμικύκλιον εἰμί ὀρθός εἰμί . λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ΑΒΔ εἷς ὀρθός ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΒΖ ὀρθός · ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΖ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ΑΒΔ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΑΒΔ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΔΒΖ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ὁ κύκλος γωνία ὁ ὑπό ΒΑΔάς . καί ἐπεί ἐν κύκλος τετράπλευρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ , ὁ ἀπεναντίον αὐτός γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΔΒΖ , ΔΒΕ δύο ὀρθός ἴσος · ὁ ἄρα ὑπό ΔΒΖ , ΔΒΕ ὁ ὑπό ΒΑΔάς , ΒΓΔ ἴσος εἰμί , ὅς ὁ ὑπό ΒΑΔάς ὁ ὑπό ΔΒΖ δείκνυμι ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΔΒΕ ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ ὁ κύκλος τμῆμα ὁ ΔΓΒ ὁ ὑπό ΔΓΒ γωνία εἰμί ἴσος . ἐάν ἄρα κύκλος ἐφάπτω τις εὐθύς , ἀπό δέ ὁ ἁφή εἰς ὁ κύκλος διάζομαι τις εὐθύς τέμνω ὁ κύκλος , ὅς ποιέω γωνία πρός ὁ ἐφάπτω , ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ ὁ κύκλος τμῆμα γωνία · ὅς δέω δείκνυμι .