ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 7.prop.37
ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται , ὁ μετρούμενος ὁμώνυμον μέρος ἕξει τῷ μετροῦντι . ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ὑπό τινος ἀριθμοῦ τοῦ Β μετρείσθω · λέγω , ὅτι ὁ Α ὁμώνυμον μέρος ἔχει τῷ Β . ὁσάκις γὰρ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Γ . ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας , μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας , ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α . ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α · ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Α . ἡ δὲ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον αὐτῷ · καὶ ὁ Γ ἄρα τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Β . ὥστε ὁ Α μέρος ἔχει τὸν Γ ὁμώνυμον ὄντα τῷ Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ὑπό τις ἀριθμός μετρέω , ὁ μετρέω ὁμώνυμος μέρος ἔχω ὁ μετρέω . ἀριθμός γάρ ὁ Α ὑπό τις ἀριθμός ὁ Β μετρέω · λέγω , ὅτι ὁ Α ὁμώνυμος μέρος ἔχω ὁ Β . ὁσάκις γάρ ὁ Β ὁ Α μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Γ . ἐπεί ὁ Β ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Γ μονάς , μετρέω δέ καί ὁ Δ μονή ὁ Γ ἀριθμός κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς , ἰσάκις ἄρα ὁ Δ μονή ὁ Γ ἀριθμός μετρέω καί ὁ Β ὁ Α . ἐναλλάξ ἄρα ἰσάκις ὁ Δ μονή ὁ Β ἀριθμός μετρέω καί ὁ Γ ὁ Α · ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ Δ μονή ὁ Β ἀριθμός , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Α . ὁ δέ Δ μονή ὁ Β ἀριθμός μέρος εἰμί ὁμώνυμος αὐτός · καί ὁ Γ ἄρα ὁ Α μέρος εἰμί ὁμώνυμος ὁ Β . ὥστε ὁ Α μέρος ἔχω ὁ Γ ὁμώνυμος εἰμί ὁ Β · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.38
ἐὰν ἀριθμὸς μέρος ἔχῃ ὁτιοῦν , ὑπὸ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται τῷ μέρει . ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μέρος ἐχέτω ὁτιοῦν τὸν Β , καὶ τῷ Β μέρει ὁμώνυμος ἔστω ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ . ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Γ , ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ μέρος ὁμώνυμον αὐτῷ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ ἀριθμοῦ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Α · ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α . ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α . ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός μέρος ἔχω ὁστισοῦν , ὑπό ὁμώνυμος ἀριθμός μετρέω ὁ μέρος . ἀριθμός γάρ ὁ Α μέρος ἔχω ὁστισοῦν ὁ Β , καί ὁ Β μέρος ὁμώνυμος εἰμί ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ Γ ὁ Α μετρέω . ἐπεί γάρ ὁ Β ὁ Α μέρος εἰμί ὁμώνυμος ὁ Γ , εἰμί δέ καί ὁ Δ μονή ὁ Γ μέρος ὁμώνυμος αὐτός , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ Δ μονή ὁ Γ ἀριθμός , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Β ὁ Α · ἰσάκις ἄρα ὁ Δ μονή ὁ Γ ἀριθμός μετρέω καί ὁ Β ὁ Α . ἐναλλάξ ἄρα ἰσάκις ὁ Δ μονή ὁ Β ἀριθμός μετρέω καί ὁ Γ ὁ Α . ὁ Γ ἄρα ὁ Α μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 7.prop.39
ἀριθμὸν εὑρεῖν , ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ δοθέντα μέρη . ἔστω τὰ δοθέντα μέρη τὰ Α , Β , Γ · δεῖ δὴ ἀριθμὸν εὑρεῖν , ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ Α , Β , Γ μέρη . ἔστωσαν γὰρ τοῖς Α , Β , Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοὶ οἱ Δ , Ε , Ζ , καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Δ , Ε , Ζ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η . ὁ Η ἄρα ὁμώνυμα μέρη ἔχει τοῖς Δ , Ε , Ζ . τοῖς δὲ Δ , Ε , Ζ ὁμώνυμα μέρη ἐστὶ τὰ Α , Β , Γ · ὁ Η ἄρα ἔχει τὰ Α , Β , Γ μέρη . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστος ὤν . εἰ γὰρ μή , ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός , ὃς ἕξει τὰ Α , Β , Γ μέρη . ἔστω ὁ Θ . ἐπεὶ ὁ Θ ἔχει τὰ Α , Β , Γ μέρη , ὁ Θ ἄρα ὑπὸ ὁμωνύμων ἀριθμῶν μετρηθήσεται τοῖς Α , Β , Γ μέρεσιν . τοῖς δὲ Α , Β , Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ Δ , Ε , Ζ · ὁ Θ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ , Ε , Ζ μετρεῖται . καί ἐστιν ἐλάσσων τοῦ Η · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός , ὃς ἕξει τὰ Α , Β , Γ μέρη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἀριθμός εὑρίσκω , ὅς ἐλαχύς εἰμί ἔχω ὁ δίδωμι μέρος . εἰμί ὁ δίδωμι μέρος ὁ Α , Β , Γ · δέω δή ἀριθμός εὑρίσκω , ὅς ἐλαχύς εἰμί ἔχω ὁ Α , Β , Γ μέρος . εἰμί γάρ ὁ Α , Β , Γ μέρος ὁμώνυμος ἀριθμός ὁ Δ , Ε , Ζ , καί λαμβάνω ὑπό ὁ Δ , Ε , Ζ ἐλαχύς μετρέω ἀριθμός ὁ Η . ὁ Η ἄρα ὁμώνυμος μέρος ἔχω ὁ Δ , Ε , Ζ . ὁ δέ Δ , Ε , Ζ ὁμώνυμος μέρος εἰμί ὁ Α , Β , Γ · ὁ Η ἄρα ἔχω ὁ Α , Β , Γ μέρος . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς εἰμί . εἰ γάρ μή , εἰμί τις ὁ Η ἐλαχύς ἀριθμός , ὅς ἔχω ὁ Α , Β , Γ μέρος . εἰμί ὁ Θ . ἐπεί ὁ Θ ἔχω ὁ Α , Β , Γ μέρος , ὁ Θ ἄρα ὑπό ὁμώνυμος ἀριθμός μετρέω ὁ Α , Β , Γ μέρος . ὁ δέ Α , Β , Γ μέρος ὁμώνυμος ἀριθμός εἰμί ὁ Δ , Ε , Ζ · ὁ Θ ἄρα ὑπό ὁ Δ , Ε , Ζ μετρέω . καί εἰμί ἐλαχύς ὁ Η · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί τις ὁ Η ἐλαχύς ἀριθμός , ὅς ἔχω ὁ Α , Β , Γ μέρος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.1
ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον , οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν , ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς . ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , δ , οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α , Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν · λέγω , ὅτι οἱ Α , Β , Γ , Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς . εἰ γὰρ μή , ἔστωσαν ἐλάττονες τῶν Α , Β , Γ , Δ οἱ Ε , Ζ , Η , Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες αὐτοῖς . καὶ ἐπεὶ οἱ α , Β , Γ , Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Ε , Ζ , Η , Θ , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ , ὁ Ε πρὸς τὸν Θ . οἱ δὲ Α , Δ πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα , τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον . μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Ε ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα οἱ Ε , Ζ , Η , Θ ἐλάσσονες ὄντες τῶν Α , Β , Γ , Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν αὐτοῖς . οἱ Α , Β , Γ , Δ ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὅσσοιδηποτς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος , ὁ δέ ἄκρος αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός . εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , δ , ὁ δέ ἄκρος αὐτός ὁ Α , Δ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β , Γ , Δ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός . εἰ γάρ μή , εἰμί ἐλαχύς ὁ Α , Β , Γ , Δ ὁ Ε , Ζ , Η , Θ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί αὐτός . καί ἐπεί ὁ α , Β , Γ , Δ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ Ε , Ζ , Η , Θ , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ πλῆθος , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Δ , ὁ Ε πρός ὁ Θ . ὁ δέ Α , Δ πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς ἀριθμός μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι . μετρέω ἄρα ὁ Α ὁ Ε ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Ε , Ζ , Η , Θ ἐλαχύς εἰμί ὁ Α , Β , Γ , Δ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί αὐτός . ὁ Α , Β , Γ , Δ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.3
ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς , οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α , Β , Γ , Δ · λέγω , ὅτι οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α , Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α , Β , Γ , Δ λόγῳ οἱ Ε , Ζ , τρεῖς δὲ οἱ Η , Θ , Κ , καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους , ἕως τὸ λαμβανόμενον πλῆθος ἴσον γένηται τῷ πλήθει τῶν Α , Β , Γ , Δ . εἰλήφθωσαν καὶ ἔστωσαν οἱ Λ , Μ , Ν , Ξ . καὶ ἐπεὶ οἱ Ε , Ζ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς , πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε , Ζ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Η , Κ πεποίηκεν , ἑκάτερον δὲ τῶν Η , Κ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ , Ξ πεποίηκεν , καὶ οἱ Η , Κ ἄρα καὶ οἱ Λ , Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Β , Γ , Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς , εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Λ , Μ , Ν , Ξ ἐλάχιστοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α , Β , Γ , Δ , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α , Β , Γ , Δ τῷ πλήθει τῶν Λ , Μ , Ν , Ξ , ἕκαστος ἄρα τῶν Α , Β , Γ , Δ ἑκάστῳ τῶν Λ , Μ , Ν , Ξ ἴσος ἐστίν · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Α τῷ Λ , ὁ δὲ Δ τῷ Ξ . καί εἰσιν οἱ Λ , Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους . καὶ οἱ Α , Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός , ὁ ἄκρος αὐτός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός ὁ Α , Β , Γ , Δ · λέγω , ὅτι ὁ ἄκρος αὐτός ὁ Α , Δ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . λαμβάνω γάρ δύο μέν ἀριθμός ἐλαχύς ἐν ὁ ὁ Α , Β , Γ , Δ λόγος ὁ Ε , Ζ , τρεῖς δέ ὁ Η , Θ , Κ , καί ἑξῆς εἷς πολύς , ἕως ὁ λαμβάνω πλῆθος ἴσος γίγνομαι ὁ πλῆθος ὁ Α , Β , Γ , Δ . λαμβάνω καί εἰμί ὁ Λ , Μ , Ν , Ξ . καί ἐπεί ὁ Ε , Ζ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός , πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ Ε , Ζ ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Η , Κ ποιέω , ἑκάτερος δέ ὁ Η , Κ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Λ , Ξ ποιέω , καί ὁ Η , Κ ἄρα καί ὁ Λ , Ξ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ὁ Α , Β , Γ , Δ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός , εἰμί δέ καί ὁ Λ , Μ , Ν , Ξ ἐλαχύς ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ Α , Β , Γ , Δ , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Α , Β , Γ , Δ ὁ πλῆθος ὁ Λ , Μ , Ν , Ξ , ἕκαστος ἄρα ὁ Α , Β , Γ , Δ ἕκαστος ὁ Λ , Μ , Ν , Ξ ἴσος εἰμί · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν Α ὁ Λ , ὁ δέ Δ ὁ Ξ . καί εἰμί ὁ Λ , Ξ πρῶτος πρός ἀλλήλων . καί ὁ Α , Δ ἄρα πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.5
οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν . ἔστωσαν ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ , Δ ἀριθμοί , τοῦ δὲ Β οἱ Ε , Ζ · λέγω , ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν . λόγων γὰρ δοθέντων τοῦ τε ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΓΕ , ΔΖ λόγοις , οἱ Η , Θ , Κ , ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Γ πρὸς τὸν Ε , οὕτως τὸν Η πρὸς τὸν θ , ὡς δὲ τὸν Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ . καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν , τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ . ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν , ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β . ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Κ , οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Κ , ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ δὲ Η πρὸς τὸν Κ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν · καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐπίπεδος ἀριθμός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά . εἰμί ἐπίπεδος ἀριθμός ὁ Α , Β , καί ὁ μέν Α πλευρά εἰμί ὁ Γ , Δ ἀριθμός , ὁ δέ Β ὁ Ε , Ζ · λέγω , ὅτι ὁ Α πρός ὁ Β λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά . λόγος γάρ δίδωμι ὁ τε ὅς ἔχω ὁ Γ πρός ὁ Ε καί ὁ Δ πρός ὁ Ζ λαμβάνω ἀριθμός ἑξῆς ἐλαχύς ἐν ὁ ΓΕ , ΔΖ λόγος , ὁ Η , Θ , Κ , ὥστε εἰμί ὡς μέν ὁ Γ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Η πρός ὁ θ̅ , ὡς δέ ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ . καί ὁ Δ ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Λ ποιέω . καί ἐπεί ὁ Δ ὁ μέν Γ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω , ὁ δέ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Λ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Λ . ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Θ · καί ὡς ἄρα ὁ Η πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Λ . πάλιν , ἐπεί ὁ Ε ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Λ ποιέω , ἀλλά μήν καί ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Β . ἀλλά ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ · καί ὡς ἄρα ὁ Θ πρός ὁ Κ , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Β . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ Η πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Λ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Η πρός ὁ Κ , ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ δέ Η πρός ὁ Κ λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά · καί ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.6
ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον , ὁ δὲ πρῶτος τὸν δεύτερον μὴ μετρῇ , οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει . ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , δ , Ε , ὁ δὲ Α τὸν Β μὴ μετρείτω · λέγω , ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει . ὅτι μὲν οὖν οἱ Α , Β , Γ , Δ , Ε ἑξῆς ἀλλήλους οὐ μετροῦσιν , φανερόν · οὐδὲ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ . λέγω δή , ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει . εἰ γὰρ δυνατόν , μετρείτω ὁ Α τὸν Γ . καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Α , Β , Γ , τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β , Γ οἱ Ζ , Η , Θ . καὶ ἐπεὶ οἱ Ζ , Η , Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Α , Β , Γ , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α , Β , Γ τῷ πλήθει τῶν Ζ , Η , Θ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β , οὐ μετρεῖ ἄρα οὐδὲ ὁ Ζ τὸν Η · οὐκ ἄρα μονάς ἐστιν ὁ Ζ · ἡ γὰρ μονὰς πάντα ἀριθμὸν μετρεῖ . καί εἰσιν οἱ Ζ , Θ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους . καί ἐστιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ · οὐδὲ ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος , ὁ δέ πρῶτος ὁ δεύτερος μή μετρέω , οὐδέ ἄλλος οὐδείς οὐδείς μετρέω . εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , δ , Ε , ὁ δέ Α ὁ Β μή μετρέω · λέγω , ὅτι οὐδέ ἄλλος οὐδείς οὐδείς μετρέω . ὅτι μέν οὖν ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε ἑξῆς ἀλλήλων οὐ μετρέω , φανερός · οὐδέ γάρ ὁ Α ὁ Β μετρέω . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ἄλλος οὐδείς οὐδείς μετρέω . εἰ γάρ δυνατός , μετρέω ὁ Α ὁ Γ . καί ὅσος εἰμί ὁ Α , Β , Γ , τοσοῦτος λαμβάνω ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Β , Γ ὁ Ζ , Η , Θ . καί ἐπεί ὁ Ζ , Η , Θ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ Α , Β , Γ , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Α , Β , Γ ὁ πλῆθος ὁ Ζ , Η , Θ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Θ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Η , οὐ μετρέω δέ ὁ Α ὁ Β , οὐ μετρέω ἄρα οὐδέ ὁ Ζ ὁ Η · οὐ ἄρα μονή εἰμί ὁ Ζ · ὁ γάρ μονή πᾶς ἀριθμός μετρέω . καί εἰμί ὁ Ζ , Θ πρῶτος πρός ἀλλήλων . καί εἰμί ὡς ὁ Ζ πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Γ · οὐδέ ὁ Α ἄρα ὁ Γ μετρέω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος οὐδείς οὐδείς μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.7
ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον , ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ , καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει . ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ , ὁ δὲ Α τὸν Δ μετρείτω · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ . εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β , οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει · μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Δ . μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἀνάλογος , ὁ δέ πρῶτος ὁ ἔσχατος μετρέω , καί ὁ δεύτερος μετρέω . εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὁ δέ Α ὁ Δ μετρέω · λέγω , ὅτι καί ὁ Α ὁ Β μετρέω . εἰ γάρ οὐ μετρέω ὁ Α ὁ Β , οὐδέ ἄλλος οὐδείς οὐδείς μετρέω · μετρέω δέ ὁ Α ὁ Δ . μετρέω ἄρα καί ὁ Α ὁ Β · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.11
δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός , καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν . ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ , τοῦ δὲ Β ὁ Δ · λέγω , ὅτι τῶν Α , Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός , καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω . καὶ ἐπεὶ τετράγωνός ἐστιν ὁ Α , πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ Γ , ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . ἐπεὶ οὖν ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ , Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α , Ε πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β . καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β . τῶν Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός . λέγω δή , ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ἐπεὶ γὰρ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α , Ε , Β , ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ε . ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πλευρὰ πρὸς τὴν Δ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο τετράγωνος ἀριθμός εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός , καί ὁ τετράγωνος πρός ὁ τετράγωνος διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ πλευρόν πρός ὁ πλευρά . εἰμί τετράγωνος ἀριθμός ὁ Α , Β , καί ὁ μέν Α πλευρόν εἰμί ὁ Γ , ὁ δέ Β ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός , καί ὁ Α πρός ὁ Β διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Δ . ὁ Γ γάρ ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω . καί ἐπεί τετράγωνος εἰμί ὁ Α , πλευρόν δέ αὐτός εἰμί ὁ Γ , ὁ Γ ἄρα ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Δ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . ἐπεί οὖν ὁ Γ ἑκάτερος ὁ Γ , Δ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Α , Ε ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Ε . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Β . καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Β . ὁ Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός . λέγω δή , ὅτι καί ὁ Α πρός ὁ Β διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Δ . ἐπεί γάρ τρεῖς ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί ὁ Α , Ε , Β , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ Α πρός ὁ Ε . ὡς δέ ὁ Α πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ . ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πλευρόν πρός ὁ Δ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.13
ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον , καὶ πολλαπλασιάσας ἕκαστος ἑαυτὸν ποιῇ τινα , οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἀνάλογον ἔσονται · καὶ ἐὰν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας , καὶ αὐτοὶ ἀνάλογον ἔσονται . ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον , οἱ Α , Β , Γ , ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ , καὶ οἱ Α , Β , Γ ἑαυτοὺς μὲν πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ , Ε , Ζ ποιείτωσαν , τοὺς δὲ Δ , Ε , Ζ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η , Θ , Κ ποιείτωσαν · λέγω , ὅτι οἵ τε Δ , Ε , Ζ καὶ οἱ Η , Θ , Κ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν . ὁ μὲν γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω , ἑκάτερος δὲ τῶν Α , Β τὸν Λ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Μ , Ν ποιείτω . καὶ πάλιν ὁ μὲν Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ ποιείτω , ἑκάτερος δὲ τῶν Β , Γ τὸν Ξ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ο , Π ποιείτω . ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν , ὅτι οἱ Δ , Λ , Ε καὶ οἱ Η , Μ , Ν , Θ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ , καὶ ἔτι οἱ Ε , Ξ , Ζ καὶ οἱ Θ , Ο , Π , Κ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Β πρὸς τὸν Γ λόγῳ . καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ · καὶ οἱ Δ , Λ , Ε ἄρα τοῖς Ε , Ξ , Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ ἔτι οἱ Η , Μ , Ν , Θ τοῖς Θ , Ο , Π , Κ . καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν τῶν Δ , Λ , Ε πλῆθος τῷ τῶν Ε , Ξ , Ζ πλήθει , τὸ δὲ τῶν Η , Μ , Ν , Θ τῷ τῶν Θ , Ο , Π , Κ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς μὲν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί ὁσσοιδηποτοῦν ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος , καί πολλαπλασιάζω ἕκαστος ἑαυτοῦ ποιέω τις , ὁ γίγνομαι ἐκ αὐτός ἀνάλογος εἰμί · καί ἐάν ὁ ἐκ ἀρχή ὁ γίγνομαι πολλαπλασιάζω ποιέω τις , καί αὐτός ἀνάλογος εἰμί . εἰμί ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος , ὁ Α , Β , Γ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ , καί ὁ Α , Β , Γ ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Δ , Ε , Ζ ποιέω , ὁ δέ Δ , Ε , Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Η , Θ , Κ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ τε Δ , Ε , Ζ καί ὁ Η , Θ , Κ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί . ὁ μέν γάρ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Λ ποιέω , ἑκάτερος δέ ὁ Α , Β ὁ Λ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Μ , Ν ποιέω . καί πάλιν ὁ μέν Β ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Ξ ποιέω , ἑκάτερος δέ ὁ Β , Γ ὁ Ξ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Ο , Π ποιέω . ὅμοιος δή ὁ ἐπάνω δείκνυμι , ὅτι ὁ Δ , Λ , Ε καί ὁ Η , Μ , Ν , Θ ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος ἐν ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόγος , καί ἔτι ὁ Ε , Ξ , Ζ καί ὁ Θ , Ο , Π , Κ ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος ἐν ὁ ὁ Β πρός ὁ Γ λόγος . καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ · καί ὁ Δ , Λ , Ε ἄρα ὁ Ε , Ξ , Ζ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί καί ἔτι ὁ Η , Μ , Ν , Θ ὁ Θ , Ο , Π , Κ . καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ὁ Δ , Λ , Ε πλῆθος ὁ ὁ Ε , Ξ , Ζ πλῆθος , ὁ δέ ὁ Η , Μ , Ν , Θ ὁ ὁ Θ , Ο , Π , Κ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς μέν ὁ Δ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ὡς δέ ὁ Η πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Κ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.14
ἐὰν τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ , καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει · καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ , καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει . ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ α , Β , πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ , Δ , ὁ δὲ Α τὸν Β μετρείτω · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ . ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω · οἱ Α , Ε , Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β , μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε . καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ . πάλιν δὴ ὁ Γ τὸν Δ μετρείτω · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν , ὅτι οἱ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε , μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ , μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε . καί εἰσιν οἱ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογον · μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β . ἐὰν ἄρα τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ , καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει · καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ , καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τετράγωνος τετράγωνος μετρέω , καί ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μετρέω · καί ἐάν ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μετρέω , καί ὁ τετράγωνος ὁ τετράγωνος μετρέω . εἰμί τετράγωνος ἀριθμός ὁ α , Β , πλευρά δέ αὐτός εἰμί ὁ Γ , Δ , ὁ δέ Α ὁ Β μετρέω · λέγω , ὅτι καί ὁ Γ ὁ Δ μετρέω . ὁ Γ γάρ ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω · ὁ Α , Ε , Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ἐν ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ λόγος . καί ἐπεί ὁ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , καί μετρέω ὁ Α ὁ Β , μετρέω ἄρα καί ὁ Α ὁ Ε . καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · μετρέω ἄρα καί ὁ Γ ὁ Δ . πάλιν δή ὁ Γ ὁ Δ μετρέω · λέγω , ὅτι καί ὁ Α ὁ Β μετρέω . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι ὁ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ἐν ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ λόγος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Ε , μετρέω δέ ὁ Γ ὁ Δ , μετρέω ἄρα καί ὁ Α ὁ Ε . καί εἰμί ὁ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογος · μετρέω ἄρα καί ὁ Α ὁ Β . ἐάν ἄρα τετράγωνος τετράγωνος μετρέω , καί ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μετρέω · καί ἐάν ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μετρέω , καί ὁ τετράγωνος ὁ τετράγωνος μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.15
ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μετρῇ , καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει · καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ , καὶ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει . κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον τὸν Β μετρείτω , καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ , τοῦ δὲ Β ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ . ὁ Γ γὰρ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω , ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω , καὶ ἔτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ , ἑκάτερος δὲ τῶν Γ , Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ , Κ ποιείτω . φανερὸν δή , ὅτι οἱ Ε , Ζ , Η καὶ οἱ Α , Θ , Κ , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Θ , κ , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β , μετρεῖ ἄρα καὶ τὸν Θ . καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ . ἀλλὰ δὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οἱ Α , Θ , Κ , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ . καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ , καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ , καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Θ μετρεῖ · ὥστε καὶ τὸν Β μετρεῖ ὁ Α · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύβος ἀριθμός κύβος ἀριθμός μετρέω , καί ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μετρέω · καί ἐάν ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μετρέω , καί ὁ κύβος ὁ κύβος μετρέω . κύβος γάρ ἀριθμός ὁ Α κύβος ὁ Β μετρέω , καί ὁ μέν Α πλευρόν εἰμί ὁ Γ , ὁ δέ Β ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ Γ ὁ Δ μετρέω . ὁ Γ γάρ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ δέ Δ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω , καί ἔτι ὁ Γ ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Ζ , ἑκάτερος δέ ὁ Γ , Δ ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Θ , Κ ποιέω . φανερός δή , ὅτι ὁ Ε , Ζ , Η καί ὁ Α , Θ , Κ , Β ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ἐν ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ λόγος . καί ἐπεί ὁ Α , Θ , κ , Β ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , καί μετρέω ὁ Α ὁ Β , μετρέω ἄρα καί ὁ Θ . καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · μετρέω ἄρα καί ὁ Γ ὁ Δ . ἀλλά δή μετρέω ὁ Γ ὁ Δ · λέγω , ὅτι καί ὁ Α ὁ Β μετρέω . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ Α , Θ , Κ , Β ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ἐν ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ λόγος . καί ἐπεί ὁ Γ ὁ Δ μετρέω , καί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Θ , καί ὁ Α ἄρα ὁ Θ μετρέω · ὥστε καί ὁ Β μετρέω ὁ Α · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.16
ἐὰν τετράγωνος ἀριθμὸς τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ , οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει · κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ , οὐδὲ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει . ῎ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ , Δ , καὶ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Β · λέγω , ὅτι οὐδὲ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ . εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ , μετρήσει καὶ ὁ Α τὸν Β . οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β · οὐδὲ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει . μὴ μετρείτω πάλιν ὁ Γ τὸν Δ · λέγω , ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει . εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β , μετρήσει καὶ ὁ Γ τὸν Δ . οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ · οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τετράγωνος ἀριθμός τετράγωνος ἀριθμός μή μετρέω , οὐδέ ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μετρέω · ἐάν ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μή μετρέω , οὐδέ ὁ τετράγωνος ὁ τετράγωνος μετρέω . ῎ἐστωσαν τετράγωνος ἀριθμός ὁ Α , Β , πλευρά δέ αὐτός εἰμί ὁ Γ , Δ , καί μή μετρέω ὁ Α ὁ Β · λέγω , ὅτι οὐδέ ὁ Γ ὁ Δ μετρέω . εἰ γάρ μετρέω ὁ Γ ὁ Δ , μετρέω καί ὁ Α ὁ Β . οὐ μετρέω δέ ὁ Α ὁ Β · οὐδέ ἄρα ὁ Γ ὁ Δ μετρέω . μή μετρέω πάλιν ὁ Γ ὁ Δ · λέγω , ὅτι οὐδέ ὁ Α ὁ Β μετρέω . εἰ γάρ μετρέω ὁ Α ὁ Β , μετρέω καί ὁ Γ ὁ Δ . οὐ μετρέω δέ ὁ Γ ὁ Δ · οὐδέ ἄρα ὁ Α ὁ Β μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.17
ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ , οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει · κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ , οὐδὲ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει . κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β μὴ μετρείτω , καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ , τοῦ δὲ Β ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ Γ τὸν Δ οὐ μετρήσει . εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ , καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει . οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β · οὐδʼ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ . ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ · λέγω , ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει . εἰ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ , καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει . οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ · οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύβος ἀριθμός κύβος ἀριθμός μή μετρέω , οὐδέ ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μετρέω · ἐάν ὁ πλευρόν ὁ πλευρά μή μετρέω , οὐδέ ὁ κύβος ὁ κύβος μετρέω . κύβος γάρ ἀριθμός ὁ Α κύβος ἀριθμός ὁ Β μή μετρέω , καί ὁ μέν Α πλευρόν εἰμί ὁ Γ , ὁ δέ Β ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ Γ ὁ Δ οὐ μετρέω . εἰ γάρ μετρέω ὁ Γ ὁ Δ , καί ὁ Α ὁ Β μετρέω . οὐ μετρέω δέ ὁ Α ὁ Β · οὐδέ ἄρα ὁ Γ ὁ Δ μετρέω . ἀλλά δή μή μετρέω ὁ Γ ὁ Δ · λέγω , ὅτι οὐδέ ὁ Α ὁ Β μετρέω . εἰ γάρ ὁ Α ὁ Β μετρέω , καί ὁ Γ ὁ Δ μετρέω . οὐ μετρέω δέ ὁ Γ ὁ Δ · οὐδέ ἄρα ὁ Α ὁ Β μετρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.20
ἐὰν δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ ἀριθμός , ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται οἱ ἀριθμοί . δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α , Β εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπιπτέτω ἀριθμὸς ὁ Γ · λέγω , ὅτι οἱ Α , Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί . εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Γ οἱ Δ , Ε · ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Γ . ὁσάκις δὴ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ · ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . ὥστε ὁ Α ἐπίπεδός ἐστιν , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Δ , Ζ . πάλιν , ἐπεὶ οἱ Δ , Ε ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ , Β , ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Β . ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Β μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η . ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Η μονάδας · ὁ Η ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . ὁ Β ἄρα ἐπίπεδός ἐστι , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Ε , Η . οἱ Α , Β ἄρα ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί . λέγω δή , ὅτι καὶ ὅμοιοι . ἐπεὶ γὰρ ὁ Ζ τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν , τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ , τουτέστιν ὁ Γ πρὸς τὸν Β . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Ε ἑκάτερον τῶν Ζ , Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ , Β πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Β . ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε · καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η . καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η . οἱ Α , Β ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί · αἱ γὰρ πλευραὶ αὐτῶν ἀνάλογόν εἰσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ὁ ἀριθμός . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ἀριθμός . λαμβάνω ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Γ ὁ Δ , Ε · ἰσάκις ἄρα ὁ Δ ὁ Α μετρέω καί ὁ Ε ὁ Γ . ὁσάκις δή ὁ Δ ὁ Α μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ζ · ὁ Ζ ἄρα ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . ὥστε ὁ Α ἐπίπεδος εἰμί , πλευρά δέ αὐτός ὁ Δ , Ζ . πάλιν , ἐπεί ὁ Δ , Ε ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Γ , Β , ἰσάκις ἄρα ὁ Δ ὁ Γ μετρέω καί ὁ Ε ὁ Β . ὁσάκις δή ὁ Ε ὁ Β μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Η . ὁ Ε ἄρα ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Η μονάς · ὁ Η ἄρα ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . ὁ Β ἄρα ἐπίπεδος εἰμί , πλευρά δέ αὐτός εἰμί ὁ Ε , Η . ὁ Α , Β ἄρα ἐπίπεδος εἰμί ἀριθμός . λέγω δή , ὅτι καί ὅμοιος . ἐπεί γάρ ὁ Ζ ὁ μέν Δ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω , ὁ δέ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Γ , τουτέστι ὁ Γ πρός ὁ Β . πάλιν , ἐπεί ὁ Ε ἑκάτερος ὁ Ζ , Η πολλαπλασιάζω ὁ Γ , Β ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ζ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Β . ὡς δέ ὁ Γ πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε · καί ὡς ἄρα ὁ Δ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Η . καί ἐναλλάξ ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Η . ὁ Α , Β ἄρα ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ἀριθμός · ὁ γάρ πλευρά αὐτός ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.22
ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν , ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ , καὶ ὁ τρίτος τετράγωνος ἔσται . ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , ὁ δὲ πρῶτος ὁ Α τετράγωνος ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ ὁ τρίτος ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ τῶν Α , Γ εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ Β , οἱ Α , Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν . τετράγωνος δὲ ὁ Α · τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρεῖς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ πρῶτος τετράγωνος εἰμί , καί ὁ τρίτος τετράγωνος εἰμί . εἰμί τρεῖς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , ὁ δέ πρῶτος ὁ Α τετράγωνος εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ τρίτος ὁ Γ τετράγωνος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Α , Γ εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός ὁ Β , ὁ Α , Γ ἄρα ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί . τετράγωνος δέ ὁ Α · τετράγωνος ἄρα καί ὁ Γ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.23
ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν , ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ , καὶ ὁ τέταρτος κύβος ἔσται . ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ , ὁ δὲ Α κύβος ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Δ κύβος ἐστίν . ἐπεὶ γὰρ τῶν Α , Δ δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ Β , Γ , οἱ Α , Δ ἄρα ὅμοιοί εἰσι στερεοὶ ἀριθμοί . κύβος δὲ ὁ Α · κύβος ἄρα καὶ ὁ Δ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ πρῶτος κύβος εἰμί , καί ὁ τέταρτος κύβος εἰμί . εἰμί τέσσαρες ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὁ δέ Α κύβος εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ Δ κύβος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Α , Δ δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός ὁ Β , Γ , ὁ Α , Δ ἄρα ὅμοιος εἰμί στερεός ἀριθμός . κύβος δέ ὁ Α · κύβος ἄρα καί ὁ Δ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.24
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ , καὶ ὁ δεύτερος τετράγωνος ἔσται . δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν Δ , ὁ δὲ Α τετράγωνος ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Β τετράγωνός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ , Δ τετράγωνοί εἰσιν , οἱ Γ , Δ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν . τῶν Γ , Δ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός . καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , ὁ Α πρὸς τὸν Β · καὶ τῶν Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός . καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος · καὶ ὁ Β ἄρα τετράγωνός ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , ὁ δέ πρῶτος τετράγωνος εἰμί , καί ὁ δεύτερος τετράγωνος εἰμί . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός ὁ Γ πρός τετράγωνος ἀριθμός ὁ Δ , ὁ δέ Α τετράγωνος εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ Β τετράγωνος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Γ , Δ τετράγωνος εἰμί , ὁ Γ , Δ ἄρα ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί . ὁ Γ , Δ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . καί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὁ Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . καί εἰμί ὁ Α τετράγωνος · καί ὁ Β ἄρα τετράγωνος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.25
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν , ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν , ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ , καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται . δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν , ὃν κύβος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς κύβον ἀριθμὸν τὸν Δ , κύβος δὲ ἔστω ὁ Α · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Β κύβος ἐστίν . ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ , Δ κύβοι εἰσίν , οἱ Γ , Δ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν · τῶν Γ , Δ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί . ὅσοι δὲ εἰς τοὺς Γ , Δ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν , τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς · ὥστε καὶ τῶν Α , Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί . ἐμπιπτέτωσαν οἱ Ε , Ζ . ἐπεὶ οὖν τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α , Ε , Ζ , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , καί ἐστι κύβος ὁ Α , κύβος ἄρα καὶ ὁ Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς κύβος ἀριθμός πρός κύβος ἀριθμός , ὁ δέ πρῶτος κύβος εἰμί , καί ὁ δεύτερος κύβος εἰμί . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς κύβος ἀριθμός ὁ Γ πρός κύβος ἀριθμός ὁ Δ , κύβος δέ εἰμί ὁ Α · λέγω , ὅτι καί ὁ Β κύβος εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Γ , Δ κύβος εἰμί , ὁ Γ , Δ ὅμοιος στερεός εἰμί · ὁ Γ , Δ ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . ὅσος δέ εἰς ὁ Γ , Δ μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω , τοσοῦτος καί εἰς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός · ὥστε καί ὁ Α , Β δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . ἐμπίπτω ὁ Ε , Ζ . ἐπεί οὖν τέσσαρες ἀριθμός ὁ Α , Ε , Ζ , Β ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , καί εἰμί κύβος ὁ Α , κύβος ἄρα καί ὁ Β · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.26
οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . ἔστωσαν ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν , τῶν Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός . ἐμπιπτέτω καὶ ἔστω ὁ Γ , καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Γ , Β οἱ Δ , Ε , Ζ · οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Δ , Ζ τετράγωνοί εἰσιν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β , καί εἰσιν οἱ Δ , Ζ τετράγωνοι , ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὅμοιος ἐπίπεδος ἀριθμός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . εἰμί ὅμοιος ἐπίπεδος ἀριθμός ὁ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . ἐπεί γάρ ὁ Α , Β ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί , ὁ Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . ἐμπίπτω καί εἰμί ὁ Γ , καί λαμβάνω ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Γ , Β ὁ Δ , Ε , Ζ · ὁ ἄρα ἄκρος αὐτός ὁ Δ , Ζ τετράγωνος εἰμί . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β , καί εἰμί ὁ Δ , Ζ τετράγωνος , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 8.prop.27
οἱ ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν , ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν . ἔστωσαν ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει , ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν . ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν , τῶν Α , Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί . ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ , Δ , καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Γ , Δ , Β ἴσοι αὐτοῖς τὸ πλῆθος οἱ ε , Ζ , Η , Θ · οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε , Θ κύβοι εἰσίν . καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β · καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει , ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὅμοιος στερεός ἀριθμός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς κύβος ἀριθμός πρός κύβος ἀριθμός . εἰμί ὅμοιος στερεός ἀριθμός ὁ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς κύβος ἀριθμός πρός κύβος ἀριθμός . ἐπεί γάρ ὁ Α , Β ὅμοιος στερεός εἰμί , ὁ Α , Β ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . ἐμπίπτω ὁ Γ , Δ , καί λαμβάνω ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Γ , Δ , Β ἴσος αὐτός ὁ πλῆθος ὁ ε , Ζ , Η , Θ · ὁ ἄρα ἄκρος αὐτός ὁ Ε , Θ κύβος εἰμί . καί εἰμί ὡς ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς κύβος ἀριθμός πρός κύβος ἀριθμός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.1
ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα , ὁ γενόμενος τετράγωνος ἔσται . ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · λέγω , ὅτι ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν . ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω . ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν . ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί , τῶν Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός . ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί , ὅσοι εἰς αὐτοὺς ἐμπίπτουσι , τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας · ὥστε καὶ τῶν Δ , Γ εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός . καί ἐστι τετράγωνος ὁ Δ · τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ὅμοιος ἐπίπεδος ἀριθμός πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ποιέω τις , ὁ γίγνομαι τετράγωνος εἰμί . εἰμί δύο ὅμοιος ἐπίπεδος ἀριθμός ὁ Α , Β , καί ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Γ τετράγωνος εἰμί . ὁ γάρ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . ὁ Δ ἄρα τετράγωνος εἰμί . ἐπεί οὖν ὁ Α ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ δέ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Γ . καί ἐπεί ὁ Α , Β ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ἀριθμός , ὁ Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . ἐάν δέ δύο ἀριθμός μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , ὅσος εἰς αὐτός ἐμπίπτω , τοσοῦτος καί εἰς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω · ὥστε καί ὁ Δ , Γ εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . καί εἰμί τετράγωνος ὁ Δ · τετράγωνος ἄρα καί ὁ Γ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.2
ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι τετράγωνον , ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί . ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τετράγωνον τὸν Γ ποιείτω · λέγω , ὅτι οἱ Α , Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί . ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω · ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Δ πρὸς τὸν Γ . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν , ἀλλὰ καὶ ὁ Γ , οἱ Δ , Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν . τῶν Δ , Γ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει . καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β · καὶ τῶν Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει . ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ , ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί · οἱ ἄρα Α , Β ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ποιέω τετράγωνος , ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ἀριθμός . εἰμί δύο ἀριθμός ὁ Α , Β , καί ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω τετράγωνος ὁ Γ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Α , Β ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ἀριθμός . ὁ γάρ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ὁ Δ ἄρα τετράγωνος εἰμί . καί ἐπεί ὁ Α ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ δέ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Δ πρός ὁ Γ . καί ἐπεί ὁ Δ τετράγωνος εἰμί , ἀλλά καί ὁ Γ , ὁ Δ , Γ ἄρα ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί . ὁ Δ , Γ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω . καί εἰμί ὡς ὁ Δ πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὁ Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω . ἐάν δέ δύο ἀριθμός εἷς μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω , ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ἀριθμός · ὁ ἄρα Α , Β ὅμοιος εἰμί ἐπίπεδος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.3
ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα , ὁ γενόμενος κύβος ἔσται . κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β ποιείτω · λέγω , ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν . εἰλήφθω γὰρ τοῦ Α πλευρὰ ὁ Γ , καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω . φανερὸν δή ἐστιν , ὅτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας . ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ , ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν , ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ , ὁ Δ πρὸς τὸν Α . ἀλλʼ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ , ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · καὶ ὡς ἄρα ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Α . τῆς ἄρα μονάδος καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ δύο μέσοι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοὶ οἱ Γ , Δ . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν , ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α , ὁ Α πρὸς τὸν Β . τῆς δὲ μονάδος καὶ τοῦ Α δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί · καὶ τῶν Α , Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί . ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν , ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ , καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται . καί ἐστιν ὁ Α κύβος · καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύβος ἀριθμός ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι κύβος εἰμί . κύβος γάρ ἀριθμός ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Β κύβος εἰμί . λαμβάνω γάρ ὁ Α πλευρόν ὁ Γ , καί ὁ Γ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω . φανερός δή εἰμί , ὅτι ὁ Γ ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . καί ἐπεί ὁ Γ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ Γ ἄρα ὁ Δ μετρέω κατά ὁ ἐν ἑαυτοῦ μονάς . ἀλλά μήν καί ὁ μονή ὁ Γ μετρέω κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · εἰμί ἄρα ὡς ὁ μονή πρός ὁ Γ , ὁ Γ πρός ὁ Δ . πάλιν , ἐπεί ὁ Γ ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω , ὁ Δ ἄρα ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Γ μονάς . μετρέω δέ καί ὁ μονή ὁ Γ κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · εἰμί ἄρα ὡς ὁ μονή πρός ὁ Γ , ὁ Δ πρός ὁ Α . ἀλλά ὡς ὁ μονή πρός ὁ Γ , ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὡς ἄρα ὁ μονή πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ καί ὁ Δ πρός ὁ Α . ὁ ἄρα μονάς καί ὁ Α ἀριθμός δύο μέσος ἀνάλογος κατά ὁ συνεχής ἐμπίπτω ἀριθμός ὁ Γ , Δ . πάλιν , ἐπεί ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω , ὁ Α ἄρα ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ἑαυτοῦ μονάς . μετρέω δέ καί ὁ μονή ὁ Α κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · εἰμί ἄρα ὡς ὁ μονή πρός ὁ Α , ὁ Α πρός ὁ Β . ὁ δέ μονάς καί ὁ Α δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός · καί ὁ Α , Β ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . ἐάν δέ δύο ἀριθμός δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω , ὁ δέ πρῶτος κύβος εἰμί , καί ὁ δεύτερος κύβος εἰμί . καί εἰμί ὁ Α κύβος · καί ὁ Β ἄρα κύβος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.4
ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα , ὁ γενόμενος κύβος ἔσται . κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · λέγω , ὅτι ὁ Γ κύβος ἐστίν . ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω · ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Β κύβοι εἰσίν , ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ Α , Β . τῶν Α , Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί · ὥστε καὶ τῶν Δ , Γ δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί . καί ἐστι κύβος ὁ Δ · κύβος ἄρα καὶ ὁ Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύβος ἀριθμός κύβος ἀριθμός πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι κύβος εἰμί . κύβος γάρ ἀριθμός ὁ Α κύβος ἀριθμός ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Γ κύβος εἰμί . ὁ γάρ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · ὁ Δ ἄρα κύβος εἰμί . καί ἐπεί ὁ Α ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ δέ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Γ . καί ἐπεί ὁ Α , Β κύβος εἰμί , ὅμοιος στερεός εἰμί ὁ Α , Β . ὁ Α , Β ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός · ὥστε καί ὁ Δ , Γ δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . καί εἰμί κύβος ὁ Δ · κύβος ἄρα καί ὁ Γ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.5
ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ , καὶ ὁ πολλαπλασιασθεὶς κύβος ἔσται . κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Γ ποιείτω · λέγω , ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν . ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω · κύβος ἄρα ἐστίν ὁ Δ . καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν , τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Δ πρὸς τὸν Γ . καὶ ἐπεὶ οἱ Δ , Γ κύβοι εἰσίν , ὅμοιοι στερεοί εἰσιν . τῶν Δ , Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί . καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β · καὶ τῶν α , Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί . καί ἐστι κύβος ὁ Α · κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύβος ἀριθμός ἀριθμός τις πολλαπλασιάζω κύβος ποιέω , καί ὁ πολλαπλασιάζω κύβος εἰμί . κύβος γάρ ἀριθμός ὁ Α ἀριθμός τις ὁ Β πολλαπλασιάζω κύβος ὁ Γ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Β κύβος εἰμί . ὁ γάρ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω · κύβος ἄρα εἰμί ὁ Δ . καί ἐπεί ὁ Α ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Δ ποιέω , ὁ δέ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Δ πρός ὁ Γ . καί ἐπεί ὁ Δ , Γ κύβος εἰμί , ὅμοιος στερεός εἰμί . ὁ Δ , Γ ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . καί εἰμί ὡς ὁ Δ πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὁ α , Β ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός . καί εἰμί κύβος ὁ Α · κύβος ἄρα εἰμί καί ὁ Β · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.6
ἐὰν ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ , καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται . ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β ποιείτω · λέγω , ὅτι καὶ ὁ Α κύβος ἐστίν . ʽὁ γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω . ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν , τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ὁ Γ ἄρα κύβος ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν , ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β . καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας . μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ . ἀλλʼ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β , ὁ Β πρὸς τὸν Γ . καὶ ἐπεὶ οἱ Β , Γ κύβοι εἰσίν , ὅμοιοι στερεοί εἰσιν . τῶν Β , Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί . καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ , ὁ Α πρὸς τὸν Β . καὶ τῶν Α , Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί . καί ἐστι κύβος ὁ Β · κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀριθμός ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω κύβος ποιέω , καί αὐτός κύβος εἰμί . ἀριθμός γάρ ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω κύβος ὁ Β ποιέω · λέγω , ὅτι καί ὁ Α κύβος εἰμί . ὅς γάρ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ἐπεί οὖν ὁ Α ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω , ὁ δέ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ Γ ἄρα κύβος εἰμί . καί ἐπεί ὁ Α ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω , ὁ Α ἄρα ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ἑαυτοῦ μονάς . μετρέω δέ καί ὁ μονή ὁ Α κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς . εἰμί ἄρα ὡς ὁ μονή πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β . καί ἐπεί ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ Β ἄρα ὁ Γ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Α μονάς . μετρέω δέ καί ὁ μονή ὁ Α κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς . εἰμί ἄρα ὡς ὁ μονή πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ . ἀλλά ὡς ὁ μονή πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Β πρός ὁ Γ . καί ἐπεί ὁ Β , Γ κύβος εἰμί , ὅμοιος στερεός εἰμί . ὁ Β , Γ ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός . καί εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ Α πρός ὁ Β . καί ὁ Α , Β ἄρα δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός . καί εἰμί κύβος ὁ Β · κύβος ἄρα εἰμί καί ὁ Α · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 9.prop.7
ἐὰν σύνθετος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα , ὁ γενόμενος στερεὸς ἔσται . σύνθετος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω · λέγω , ὅτι ὁ Γ στερεός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ὁ Α σύνθετός ἐστιν , ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετρηθήσεται . μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Δ , καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε . ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας , ὁ Ε ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , ὁ δὲ Α ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Δ , Ε , ὁ ἄρα ἐκ τῶν Δ , Ε τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . ὁ Γ ἄρα στερεός ἐστιν , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Δ , Ε , Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν σύνθετος ἀριθμός ἀριθμός τις πολλαπλασιάζω ποιέω τις , ὁ γίγνομαι στερεός εἰμί . σύνθετος γάρ ἀριθμός ὁ Α ἀριθμός τις ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω · λέγω , ὅτι ὁ Γ στερεός εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ Α σύνθετος εἰμί , ὑπό ἀριθμός τις μετρέω . μετρέω ὑπό ὁ Δ , καί ὁσάκις ὁ Δ ὁ Α μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὁ Δ ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ε μονάς , ὁ Ε ἄρα ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . καί ἐπεί ὁ Α ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , ὁ δέ Α εἰμί ὁ ἐκ ὁ Δ , Ε , ὁ ἄρα ἐκ ὁ Δ , Ε ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ὁ Γ ἄρα στερεός εἰμί , πλευρά δέ αὐτός εἰμί ὁ Δ , Ε , Β · ὅς δέω δείκνυμι .