euclides-geom.elementa 5.prop.8
τῶν ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον . καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον . ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ , καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΒ , ἄλλο δέ , ὃ ἔτυχεν , τὸ Δ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ . ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ , κείσθω τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΕ · τὸ δὴ ἔλασσον τῶν ΑΕ , ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον . ἔστω πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ ΕΒ , καὶ πεπολλαπλασιάσθω τὸ ΑΕ , καὶ ἔστω αὐτοῦ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ δ , καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ , τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ τὸ δὲ Κ τοῦ Γ · καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Λ , τριπλάσιον δὲ τὸ Μ , καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλεῖον , ἕως ἂν τὸ λαμβανόμενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ , πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ . εἰλήφθω , καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλάσιον μὲν τοῦ Δ , πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ . ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν πρώτως ἐστὶν ἔλαττον , τὸ Κ ἄρα τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον . καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ , ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ . ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ · ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ . τὰ ΖΘ , Κ ἄρα τῶν ΑΒ , Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια . πάλιν , ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ , ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Γ , ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τῷ Κ · τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον · οὐδʼ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ μ ἔλαττόν ἐστιν . μεῖζον δὲ τὸ ΖΗ τοῦ Δ · ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ συναμφοτέρων τῶν Δ , Μ μεῖζόν ἐστιν . ἀλλὰ συναμφότερα τὰ Δ , Μ τῷ Ν ἐστιν ἴσα , ἐπειδήπερ τὸ Μ τοῦ Δ τριπλάσιόν ἐστιν , συναμφότερα δὲ τὰ Μ , Δ τοῦ Δ ἐστι τετραπλάσια , ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιον · συναμφότερα ἄρα τὰ Μ , Δ τῷ Ν ἴσα ἐστίν . ἀλλὰ τὸ ΖΘ τῶν Μ , Δ μεῖζόν ἐστιν · τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει · τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει . καί ἐστι τὰ μὲν ΖΘ , Κ τῶν ΑΒ , Γ ἰσάκις πολλαπλάσια , τὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο , ὃ ἔτυχεν , πολλαπλάσιον · τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ . λέγω δή , ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν , ὅτι τὸ μὲν Ν τοῦ Κ ὑπερέχει , τὸ δὲ Ν τοῦ ΖΘ οὐχ ὑπερέχει . καί ἐστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον , τὰ δὲ ΖΘ , Κ τῶν ΑΒ , Γ ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια · τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ . ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΕ τοῦ ΕΒ μεῖζον ἔστω . τὸ δὴ ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον . πεπολλαπλασιάσθω , καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ΕΒ , μεῖζον δὲ τοῦ Δ · καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ , τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ ΑΕ , τὸ δὲ Κ τοῦ Γ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι τὰ ΖΘ , Κ τῶν ΑΒ , Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια · καὶ εἰλήφθω ὁμοίως τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ , πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ ΖΗ · ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλασσον . μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ · ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ τῶν Δ , Μ , τουτέστι τοῦ Ν , ὑπερέχει . τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει , ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ ΗΘ , τουτέστι τοῦ Κ , τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει . καὶ ὡσαύτως κατακολουθοῦντες τοῖς ἐπάνω περαίνομεν τὴν ἀπόδειξιν . τῶν ἄρα ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον · καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἄνισος μέγεθος ὁ μέγας πρός ὁ αὐτός μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ἐλαχύς . καί ὁ αὐτός πρός ὁ ἐλαχύς μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ μέγας . εἰμί ἄνισος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ , καί εἰμί μέγας ὁ ΑΒ , ἄλλος δέ , ὅς τυγχάνω , ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ πρός ὁ Δ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί ὁ Δ πρός ὁ Γ μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ ΑΒ . ἐπεί γάρ μέγας εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ , κεῖμαι ὁ Γ ἴσος ὁ ΒΕ · ὁ δή ἐλαχύς ὁ ΑΕ , ΕΒ πολλαπλασιάζω εἰμί ποτέ ὁ Δ μέγας . εἰμί πρότερος ὁ ΑΕ ἐλαχύς ὁ ΕΒ , καί πολλαπλασιάζω ὁ ΑΕ , καί εἰμί αὐτός πολλαπλάσιος ὁ ΖΗ μέγας εἰμί ὁ δ , καί ὁσαπλάσιος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΑΕ , τοσαυταπλάσιος γίγνομαι καί ὁ μέν ΗΘ ὁ ΕΒ ὁ δέ Κ ὁ Γ · καί λαμβάνω ὁ Δ διπλάσιος μέν ὁ Λ , τριπλάσιος δέ ὁ Μ , καί ἑξῆς εἷς πολύς , ἕως ἄν ὁ λαμβάνω πολλαπλάσιος μέν γίγνομαι ὁ Δ , πρῶτος δέ μέγας ὁ Κ . λαμβάνω , καί εἰμί ὁ Ν τετραπλάσιος μέν ὁ Δ , πρῶτος δέ μέγας ὁ Κ . ἐπεί οὖν ὁ Κ ὁ Ν πρῶτος εἰμί ἐλαχύς , ὁ Κ ἄρα ὁ Μ οὐ εἰμί ἐλαχύς . καί ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΖΗ ὁ ΑΕ καί ὁ ΗΘ ὁ ΕΒ , ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΖΗ ὁ ΑΕ καί ὁ ΖΘ ὁ ΑΒ . ἰσάκις δέ εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΖΗ ὁ ΑΕ καί ὁ Κ ὁ Γ · ἰσάκις ἄρα εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΖΘ ὁ ΑΒ καί ὁ Κ ὁ Γ . ὁ ΖΘ , Κ ἄρα ὁ ΑΒ , Γ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος . πάλιν , ἐπεί ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος ὁ ΗΘ ὁ ΕΒ καί ὁ Κ ὁ Γ , ἴσος δέ ὁ ΕΒ ὁ Γ , ἴσος ἄρα καί ὁ ΗΘ ὁ Κ · ὁ δέ Κ ὁ Μ οὐ εἰμί ἐλαχύς · οὐδέ ἄρα ὁ ΗΘ ὁ μ ἐλαχύς εἰμί . μέγας δέ ὁ ΖΗ ὁ Δ · ὅλος ἄρα ὁ ΖΘ συναμφότεροι ὁ Δ , Μ μέγας εἰμί . ἀλλά συναμφότεροι ὁ Δ , Μ ὁ Ν εἰμί ἴσος , ἐπειδή ὁ Μ ὁ Δ τριπλάσιος εἰμί , συναμφότεροι δέ ὁ Μ , Δ ὁ Δ εἰμί τετραπλάσιος , εἰμί δέ καί ὁ Ν ὁ Δ τετραπλάσιος · συναμφότεροι ἄρα ὁ Μ , Δ ὁ Ν ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ΖΘ ὁ Μ , Δ μέγας εἰμί · ὁ ΖΘ ἄρα ὁ Ν ὑπερέχω · ὁ δέ Κ ὁ Ν οὐ ὑπερέχω . καί εἰμί ὁ μέν ΖΘ , Κ ὁ ΑΒ , Γ ἰσάκις πολλαπλάσιος , ὁ δέ Ν ὁ Δ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , πολλαπλάσιος · ὁ ΑΒ ἄρα πρός ὁ Δ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Δ . λέγω δή , ὅτι καί ὁ Δ πρός ὁ Γ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Δ πρός ὁ ΑΒ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι ὁ μέν Ν ὁ Κ ὑπερέχω , ὁ δέ Ν ὁ ΖΘ οὐ ὑπερέχω . καί εἰμί ὁ μέν Ν ὁ Δ πολλαπλάσιος , ὁ δέ ΖΘ , Κ ὁ ΑΒ , Γ ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος · ὁ Δ ἄρα πρός ὁ Γ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Δ πρός ὁ ΑΒ . ἀλλά δή ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ μέγας εἰμί . ὁ δή ἐλαχύς ὁ ΕΒ πολλαπλασιάζω εἰμί ποτέ ὁ Δ μέγας . πολλαπλασιάζω , καί εἰμί ὁ ΗΘ πολλαπλάσιος μέν ὁ ΕΒ , μέγας δέ ὁ Δ · καί ὁσαπλάσιος εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΕΒ , τοσαυταπλάσιος γίγνομαι καί ὁ μέν ΖΗ ὁ ΑΕ , ὁ δέ Κ ὁ Γ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ ΖΘ , Κ ὁ ΑΒ , Γ ἰσάκις εἰμί πολλαπλάσιος · καί λαμβάνω ὅμοιος ὁ Ν πολλαπλάσιος μέν ὁ Δ , πρῶτος δέ μέγας ὁ ΖΗ · ὥστε πάλιν ὁ ΖΗ ὁ Μ οὐ εἰμί ἐλαχύς . μέγας δέ ὁ ΗΘ ὁ Δ · ὅλος ἄρα ὁ ΖΘ ὁ Δ , Μ , τουτέστι ὁ Ν , ὑπερέχω . ὁ δέ Κ ὁ Ν οὐ ὑπερέχω , ἐπειδή καί ὁ ΖΗ μέγας εἰμί ὁ ΗΘ , τουτέστι ὁ Κ , ὁ Ν οὐ ὑπερέχω . καί ὡσαύτως κατακολουθέω ὁ ἐπάνω περαίνω ὁ ἀπόδειξις . ὁ ἄρα ἄνισος μέγεθος ὁ μέγας πρός ὁ αὐτός μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ἐλαχύς · καί ὁ αὐτός πρός ὁ ἐλαχύς μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ μέγας · ὅς δέω δείκνυμι .