euclides-geom.elementa 13.prop.13
πυραμίδα συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος . Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον , ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ · καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΑ · καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΕΖΗ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΓ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗ κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΕΖΗ · καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ , ΘΖ , ΘΗ · καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Θ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΚ τῇ ΑΓ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΘΚ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΘ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκάστη τῶν ΘΕ , ΘΖ , ΘΗ · ἡ ΘΚ ἄρα πρὸς ἑκάστην τῶν ΘΕ , ΘΖ , ΘΗ ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΚ , ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ , καὶ ὀρθὰς γωνίας περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΚΕ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΚΖ , ΚΗ τῇ ΔΑ ἐστιν ἴση · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ , τριπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ . ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ , ὡς ἑξῆς δειχθήσεται . τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΘ τριπλάσιον , καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΓ τῇ ΕΘ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΑ τῇ ΕΖ . ἀλλὰ ἡ ΔΑ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ ἐδείχθη ἴση · καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΕΖ , ΖΗ , ΗΕ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ ἐστιν ἴση · ἰσόπλευρα ἄρα ἐστὶ τὰ τέσσαρα τρίγωνα τὰ ΕΖΗ , ΚΕΖ , ΚΖΗ , ΚΕΗ . πυραμὶς ἄρα συνέσταται ἐκ τεσσάρων τριγώνων ἰσοπλεύρων , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΖΗ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον . δεῖ δὴ αὐτὴν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῇ ΚΘ εὐθεῖα ἡ ΘΛ , καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΘΛ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ , ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΚΘ , ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ , ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΘΛ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΚΘ , ΘΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ . καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΚΘΕ , ΕΘΛ γωνιῶν · τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΛ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε . ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΛ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ , Η σημείων ἐπιζευγνυμένων τῶν ΖΛ , ΛΗ καὶ ὀρθῶν ὁμοίως γινομένων τῶν πρὸς τοῖς Ζ , Η γωνιῶν · καὶ ἔσται ἡ πυραμὶς σφαίρᾳ περιειλημμένη τῇ δοθείσῃ . ἡ γὰρ ΚΛ τῆς σφαίρας διάμετρος ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ τῇ ΑΒ , ἐπειδήπερ τῇ μὲν ΑΓ ἴση κεῖται ἡ ΚΘ , τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΘΛ . λέγω δή , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος . ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ , τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ · ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ . ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ . ἡμιόλιον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ . καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος , ἡ δὲ ΑΔ ἴση τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος . ἡ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα δεικτέον , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ . Ἐκκείσθω γὰρ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου καταγραφή , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον τὸ ΕΓ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον . ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΑΓ τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΓ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ΕΒ πρὸς τὸ ΒΖ , καί ἐστι τὸ μὲν ΕΒ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ · ἴση γὰρ ἡ ΕΑ τῇ ΑΓ · τὸ δὲ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ · ἡ γὰρ ΔΓ κάθετος τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΓ , ΓΒ μέση ἀνάλογόν ἐστι διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΔΒ . ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πυραμίς συνίστημι καί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ δίδωμι καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις ἡμιόλιος εἰμί ὁ πλευρά ὁ πυραμίς . ἔκκειμαι ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος ὁ ΑΒ , καί τέμνω κατά ὁ Γ σημεῖον , ὥστε διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ · καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΔΒ , καί ἄγω ἀπό ὁ Γ σημεῖον ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΑ · καί ἔκκειμαι κύκλος ὁ ΕΖΗ ἴσος ἔχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΔΓ , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΕΖΗ κύκλος τρίγωνος ἰσόπλευρος ὁ ΕΖΗ · καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Θ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΘ , ΘΖ , ΘΗ · καί ἀνίστημι ἀπό ὁ Θ σημεῖον ὁ ὁ ΕΖΗ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ΘΚ , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΘΚ ὁ ΑΓ εὔθεια ἴσος ὁ ΘΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ . καί ἐπεί ὁ ΚΘ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΕΖΗ κύκλος ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΕΖΗ κύκλος ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ αὐτός ἕκαστος ὁ ΘΕ , ΘΖ , ΘΗ · ὁ ΘΚ ἄρα πρός ἕκαστος ὁ ΘΕ , ΘΖ , ΘΗν ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΓ ὁ ΘΚ , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΘΕ , καί ὀρθός γωνία περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ΔΑ βάσις ὁ ΚΕ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ΚΖ , ΚΗ ὁ ΔΑ εἰμί ἴσος · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , τριπλόος ἄρα ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΓ , ὡς ἑξῆς δείκνυμι . τριπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΔ ὁ ἀπό ὁ ΔΓ . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΖΕ ὁ ἀπό ὁ ΕΘ τριπλάσιος , καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΓ ὁ ΕΘ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΔΑ ὁ ΕΖ . ἀλλά ὁ ΔΑ ἕκαστος ὁ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ δείκνυμι ἴσος · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ΕΖ , ΖΗ , ΗΕ ἕκαστος ὁ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ εἰμί ἴσος · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ τέσσαρες τρίγωνος ὁ ΕΖΗ , ΚΕΖ , ΚΖΗ , ΚΕΗ . πυραμίς ἄρα συνίστημι ἐκ τέσσαρες τρίγων ἰσόπλευρος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΖΗ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Κ σημεῖον . δέω δή αὐτός καί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ δίδωμι καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος ἡμιόλιος εἰμί δύναμις ὁ πλευρά ὁ πυραμίς . ἐκβάλλω γάρ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΚΘ εὐθύς ὁ ΘΛ , καί κεῖμαι ὁ ΓΒ ἴσος ὁ ΘΛ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΓΒ , ἴσος δέ ὁ μέν ΑΓ ὁ ΚΘ , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΘΕ , ὁ δέ ΓΒ ὁ ΘΛ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΕ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ ΘΛ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΚΘ , ΘΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΘ . καί εἰμί ὀρθός ἑκάτερος ὁ ὑπό ΚΘΕ , ΕΘΛ γωνία · ὁ ἄρα ἐπί ὁ ΚΛ γράφω ἡμικύκλιον ἥκω καί διά ὁ Ε . ἐάν δή μένω ὁ ΚΛ περιφέρω ὁ ἡμικύκλιον εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ἥκω καί διά ὁ Ζ , Η σημεῖον ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΛ , ΛΗ καί ὀρθός ὅμοιος γίγνομαι ὁ πρός ὁ Ζ , Η γωνία · καί εἰμί ὁ πυραμίς σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ δίδωμι . ὁ γάρ ΚΛ ὁ σφαῖρα διάμετρος ἴσος εἰμί ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρον ὁ ΑΒ , ἐπειδή ὁ μέν ΑΓ ἴσος κεῖμαι ὁ ΚΘ , ὁ δέ ΓΒ ὁ ΘΛ . λέγω δή , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος ἡμιόλιος εἰμί δύναμις ὁ πλευρά ὁ πυραμίς . ἐπεί γάρ διπλόος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , τριπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ · ἀναστρέφω ἡμιόλιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΑΓ . ὡς δέ ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΔ . ἡμιόλιος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ . καί εἰμί ὁ μέν ΒΑ ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος , ὁ δέ ΑΔ ἴσος ὁ πλευρά ὁ πυραμίς . ὁ ἄρα ὁ σφαῖρα διάμετρος ἡμιόλιος εἰμί ὁ πλευρά ὁ πυραμίς · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα δείκνυμι , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΓ . ἔκκειμαι γάρ ὁ ὁ ἡμικύκλιον καταγραφή , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος ὁ ΕΓ , καί συμπληρόω ὁ ΖΒ παραλληλόγραμμος . ἐπεί οὖν διά ὁ ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΔΑΒ τρίγωνον ὁ ΔΑΓ τρίγωνον εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΓ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΖ , καί εἰμί ὁ μέν ΕΒ ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ · ἴσος γάρ ὁ ΕΑ ὁ ΑΓ · ὁ δέ ΒΖ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΓΒ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΔΓ · ὁ γάρ ΔΓ κάθετος ὁ ὁ βάσις τμῆμα ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος ἀνάλογος εἰμί διά ὁ ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΑΔΒ . ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΓ · ὅς δέω δείκνυμι .