euclides-geom.elementa 9.prop.8
ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν , ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος τετράγωνος ἔσται καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες , ὁ δὲ τέταρτος κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ ἕβδομος κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες . ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α , Β , Γ , Δ , Ε , Ζ · λέγω , ὅτι ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ ἕβδομος ὁ Ζ κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β , ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β . ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας · καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας . ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν · τετράγωνος ἄρα ἐστὶν ὁ Β . καὶ ἐπεὶ οἱ Β , Γ , Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , ὁ δὲ Β τετράγωνός ἐστιν , καὶ ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνός ἐστιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες τετράγωνοί εἰσιν . λέγω δή , ὅτι καὶ ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α , οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ , ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ . ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας · καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας · ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν . ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν , τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν , κύβος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ . καὶ ἐπεὶ οἱ Γ , Δ , Ε , Ζ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , ὁ δὲ Γ κύβος ἐστίν , καὶ ὁ Ζ ἄρα κύβος ἐστίν . ἐδείχθη δὲ καὶ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἕβδομος ἀπὸ τῆς μονάδος κύβος τέ ἐστι καὶ τετράγωνος . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες κύβοι τέ εἰσι καὶ τετράγωνοι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ μέν τρίτος ἀπό ὁ μονάς τετράγωνος εἰμί καί ὁ εἷς διαλείπω , ὁ δέ τέταρτος κύβος καί ὁ δύο διαλείπω πᾶς , ὁ δέ ἕβδομος κύβος ἅμα καί τετράγωνος καί ὁ πέντε διαλείπω . εἰμί ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε , Ζ · λέγω , ὅτι ὁ μέν τρίτος ἀπό ὁ μονάς ὁ Β τετράγωνος εἰμί καί ὁ εἷς διαλείπω πᾶς , ὁ δέ τέταρτος ὁ Γ κύβος καί ὁ δύο διαλείπω πᾶς , ὁ δέ ἕβδομος ὁ Ζ κύβος ἅμα καί τετράγωνος καί ὁ πέντε διαλείπω πᾶς . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ μονή πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β , ἰσάκις ἄρα ὁ μονή ὁ Α ἀριθμός μετρέω καί ὁ Α ὁ Β . ὁ δέ μονή ὁ Α ἀριθμός μετρέω κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς · καί ὁ Α ἄρα ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Α μονάς . ὁ Α ἄρα ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω · τετράγωνος ἄρα εἰμί ὁ Β . καί ἐπεί ὁ Β , Γ , Δ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ Β τετράγωνος εἰμί , καί ὁ Δ ἄρα τετράγωνος εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Ζ τετράγωνος εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ εἷς διαλείπω πᾶς τετράγωνος εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί ὁ τέταρτος ἀπό ὁ μονάς ὁ Γ κύβος εἰμί καί ὁ δύο διαλείπω πᾶς . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ μονή πρός ὁ Α , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ , ἰσάκις ἄρα ὁ μονή ὁ Α ἀριθμός μετρέω καί ὁ Β ὁ Γ . ὁ δέ μονή ὁ Α ἀριθμός μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Α μονάς · καί ὁ Β ἄρα ὁ Γ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Α μονάς · ὁ Α ἄρα ὁ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω . ἐπεί οὖν ὁ Α ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω , ὁ δέ Β πολλαπλασιάζω ὁ Γ ποιέω , κύβος ἄρα εἰμί ὁ Γ . καί ἐπεί ὁ Γ , Δ , Ε , Ζ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ Γ κύβος εἰμί , καί ὁ Ζ ἄρα κύβος εἰμί . δείκνυμι δέ καί τετράγωνος · ὁ ἄρα ἕβδομος ἀπό ὁ μονάς κύβος τε εἰμί καί τετράγωνος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ πέντε διαλείπω πᾶς κύβος τε εἰμί καί τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .