euclides-geom.elementa 6.prop.1
τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα , τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις . ἔστω τρίγωνα μὲν τὰ ΑΒΓ , ΑΓΔ , παραλληλόγραμμα δὲ τὰ ΕΓ , ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τὸ ΑΓ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον , καὶ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Θ , Λ σημεῖα , καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ βάσει ἴσαι αἱ ΒΗ , ΗΘ , τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΔΚ , ΚΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ , ΑΘ , ΑΚ , ΑΛ . καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ , ΒΗ , ΗΘ ἀλλήλαις , ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ , ΑΗΒ , ΑΒΓ τρίγωνα ἀλλήλοις . ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΒΓ βάσεως , τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΛΓ βάσις τῆς ΓΔ βάσεως , τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΔ τριγώνου · καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῇ ΓΛ βάσει , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΛ τριγώνῳ , καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως , ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΛ τριγώνου , καὶ εἰ ἐλάσσων , ἔλασσον . τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ , ΓΔ , δύο δὲ τριγώνων τῶν ΑΒΓ , ΑΓΔ εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΒΓ βάσεως καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἥ τε ΘΓ βάσις καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον , τῆς δὲ ΓΔ βάσεως καὶ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἄλλα , ἃ ἔτυχεν , ἰσάκις πολλαπλάσια ἥ τε ΛΓ βάσις καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον · καὶ δέδεικται , ὅτι , εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως , ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΛΓ τριγώνου , καὶ εἰ ἴση , ἴσον , καὶ εἰ ἐλάσσων , ἔλασσον · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον . καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον , τοῦ δὲ ΑΓΔ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον , τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον . ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη , ὡς μὲν ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον , ὡς δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν , οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον . τὰ ἄρα τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ τρίγωνος καί ὁ παραλληλόγραμμος , ὁ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . εἰμί τρίγωνος μέν ὁ ΑΒΓ , ΑΓΔ , παραλληλόγραμμος δέ ὁ ΕΓ , ΓΖ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος ὁ ΑΓ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΒΓ βάσις πρός ὁ ΓΔ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΓΔ τρίγωνον , καί ὁ ΕΓ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΓΖ παραλληλόγραμμος . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΒΔ ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ἐπί ὁ Θ , Λ σημεῖον , καί κεῖμαι ὁ μέν ΒΓ βάσις ἴσος ὁ ΒΗ , ΗΘ , ὁ δέ ΓΔ βάσις ἴσος ὁσαιδηποτοῦν ὁ ΔΚ , ΚΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗ , ΑΘ , ΑΚ , ΑΛ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΒ , ΒΗ , ΗΘ ἀλλήλων , ἴσος εἰμί καί ὁ ΑΘΗ , ΑΗΒ , ΑΒΓ τρίγωνος ἀλλήλων . ὁσαπλασίων ἄρα εἰμί ὁ ΘΓ βάσις ὁ ΒΓ βάσις , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ΑΘΓ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή ὁσαπλασίων εἰμί ὁ ΛΓ βάσις ὁ ΓΔ βάσις , τοσαυταπλάσιος εἰμί καί ὁ ΑΛΓ τρίγωνον ὁ ΑΓΔ τρίγωνον · καί εἰ ἴσος εἰμί ὁ ΘΓ βάσις ὁ ΓΛ βάσις , ἴσος εἰμί καί ὁ ΑΘΓ τρίγωνον ὁ ΑΓΛ τρίγωνον , καί εἰ ὑπερέχω ὁ ΘΓ βάσις ὁ ΓΛ βάσις , ὑπερέχω καί ὁ ΑΘΓ τρίγωνον ὁ ΑΓΛ τρίγωνον , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς . τέσσαρες δή εἰμί μέγεθος δύο μέν βάσις ὁ ΒΓ , ΓΔ , δύο δέ τρίγων ὁ ΑΒΓ , ΑΓΔ λαμβάνω ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ μέν ΒΓ βάσις καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ τε ΘΓ βάσις καί ὁ ΑΘΓ τρίγωνον , ὁ δέ ΓΔ βάσις καί ὁ ΑΔΓ τρίγωνον ἄλλος , ὅς τυγχάνω , ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ τε ΛΓ βάσις καί ὁ ΑΛΓ τρίγωνον · καί δείκνυμι , ὅτι , εἰ ὑπερέχω ὁ ΘΓ βάσις ὁ ΓΛ βάσις , ὑπερέχω καί ὁ ΑΘΓ τρίγωνον ὁ ΑΛΓ τρίγωνον , καί εἰ ἴσος , ἴσος , καί εἰ ἐλαχύς , ἐλαχύς · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ βάσις πρός ὁ ΓΔ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΓΔ τρίγωνον . καί ἐπεί ὁ μέν ΑΒΓ τρίγωνον διπλάσιος εἰμί ὁ ΕΓ παραλληλόγραμμος , ὁ δέ ΑΓΔ τρίγωνον διπλάσιος εἰμί ὁ ΖΓ παραλληλόγραμμος , ὁ δέ μέρος ὁ ὡσαύτως πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΓΔ τρίγωνον , οὕτως ὁ ΕΓ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΖΓ παραλληλόγραμμος . ἐπεί οὖν δείκνυμι , ὡς μέν ὁ ΒΓ βάσις πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΓΔ τρίγωνον , ὡς δέ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΓΔ τρίγωνον , οὕτως ὁ ΕΓ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΓΖ παραλληλόγραμμος , καί ὡς ἄρα ὁ ΒΓ βάσις πρός ὁ ΓΔ βάσις , οὕτως ὁ ΕΓ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΖΓ παραλληλόγραμμος . ὁ ἄρα τρίγωνος καί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις · ὅς δέω δείκνυμι .