euclides-geom.elementa 13.prop.2
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται , τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας . εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τμήματος ἑαυτῆς τοῦ ΑΓ πενταπλάσιον δυνάσθω , τῆς δὲ ΑΓ διπλῆ ἔστω ἡ ΓΔ · λέγω , ὅτι τῆς ΓΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΑΒ , ΓΔ τετράγωνα τὰ ΑΖ , ΓΗ , καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΑΖ τὸ σχῆμα , καὶ διήχθω ἡ ΒΕ . καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ , πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ τοῦ ΑΘ . τετραπλάσιος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τοῦ ΑΘ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ , τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΑ , τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ ΜΝΞ γνώμων τετραπλάσιος τοῦ ΑΘ · ἴσος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τῷ ΓΗ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ , ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΚ , ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΘ , διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΚΒ τοῦ ΒΘ . εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ , ΘΒ τοῦ ΘΒ διπλάσια · ἴσον ἄρα τὸ ΚΒ τοῖς ΛΘ , ΘΒ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλος ὁ ΜΝΞ γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ ἴσος · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ τῷ ΒΗ ἐστιν ἴσον . καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ · ἴση γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΗ · τὸ δὲ ΘΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ . μείζων δὲ ἡ ΔΓ τῆς ΓΒ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ . τῆς ΓΔ ἄρα εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται , τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα ὅτι δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΓ , οὕτως δεικτέον . εἰ γὰρ μή , ἔστω , εἰ δυνατόν , ἡ ΒΓ διπλῆ τῆς ΓΑ . τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ · πενταπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΓ , ΓΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ . ὑπόκειται δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ , ΓΑ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ διπλασία ἐστὶ τῆς ΑΓ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἡ ἐλάττων τῆς ΓΒ διπλασίων ἐστὶ τῆς ΓΑ · πολλῷ γὰρ τὸ ἄτοπον . ἡ ἄρα τῆς ΑΓ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆς ΓΒ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τμῆμα ἑαυτοῦ πενταπλάσιος δύναμαι , ὁ διπλάσιος ὁ λέγω τμῆμα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα ὁ λοιπός μέρος εἰμί ὁ ἐκ ἀρχή εὐθεῖα . εὐθύς γάρ γραμμή ὁ ΑΒ τμῆμα ἑαυτοῦ ὁ ΑΓ πενταπλάσιος δύναμαι , ὁ δέ ΑΓ διπλόος εἰμί ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΔ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΓΒ . ἀναγράφω γάρ ἀπό ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ τετράγωνος ὁ ΑΖ , ΓΗ , καί καταγράφω ἐν ὁ ΑΖ ὁ σχῆμα , καί διάγω ὁ ΒΕ . καί ἐπεί πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , πενταπλάσιος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΑΘ . τετραπλάσιος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων ὁ ΑΘ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΔΓ ὁ ΓΑ , τετραπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ΔΓ ὁ ἀπό ΓΑ , τουτέστι ὁ ΓΗ ὁ ΑΘ . δείκνυμι δέ καί ὁ ΜΝΞ γνώμων τετραπλάσιος ὁ ΑΘ · ἴσος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων ὁ ΓΗ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΔΓ ὁ ΓΑ , ἴσος δέ ὁ μέν ΔΓ ὁ ΓΚ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΓΘ , διπλάσιος ἄρα καί ὁ ΚΒ ὁ ΒΘ . εἰμί δέ καί ὁ ΛΘ , ΘΒ ὁ ΘΒ διπλάσιος · ἴσος ἄρα ὁ ΚΒ ὁ ΛΘ , ΘΒ . δείκνυμι δέ καί ὅλος ὁ ΜΝΞ γνώμων ὅλος ὁ ΓΗ ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΘΖ ὁ ΒΗ εἰμί ἴσος . καί εἰμί ὁ μέν ΒΗ ὁ ὑπό ὁ ΓΔΒ · ἴσος γάρ ὁ ΓΔ ὁ ΔΉ · ὁ δέ ΘΖ ὁ ἀπό ὁ ΓΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΔΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ . μέγας δέ ὁ ΔΓ ὁ ΓΒ · μέγας ἄρα καί ὁ ΓΒ ὁ ΒΔ . ὁ ΓΔ ἄρα εὐθεῖα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΓΒ . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τμῆμα ἑαυτοῦ πενταπλάσιος δύναμαι , ὁ διπλάσιος ὁ λέγω τμῆμα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα ὁ λοιπός μέρος εἰμί ὁ ἐκ ἀρχή εὐθεῖα · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα ὅτι δέ ὁ διπλόος ὁ ΑΓ μέγας εἰμί ὁ ΒΓ , οὕτως δείκνυμι . εἰ γάρ μή , εἰμί , εἰ δυνατός , ὁ ΒΓ διπλόος ὁ ΓΑ . τετραπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΑ · πενταπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , ΓΑ ὁ ἀπό ὁ ΓΑ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πενταπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΓΑ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΑ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , ΓΑ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΓΒ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΓ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ὁ ἐλαχύς ὁ ΓΒ διπλασίων εἰμί ὁ ΓΑ · πολύς γάρ ὁ ἄτοπος . ὁ ἄρα ὁ ΑΓ διπλόος μέγας εἰμί ὁ ΓΒ · ὅς δέω δείκνυμι .