euclides-geom.elementa 3.prop.14
ἐν κύκλῳ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου , καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καὶ ἐν αὐτῷ ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι αἱ ΑΒ , ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς ΑΒ , ΓΔ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ , ΕΗ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ , ΕΓ . ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει . ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ · διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΓΗ ἐστι διπλῆ · καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ , ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ , ΕΖ · ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία · τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΓ · ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ , ΖΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ , ΗΕ , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ · ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον ἐστίν · ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ . ἐν δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται , ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπʼ αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν · αἱ ἄρα ΑΒ , ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου . ἀλλὰ δὴ αἱ ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖαι ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου , τουτέστιν ἴση ἔστω ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ . λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν , ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΑΖ , ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΓΗ · καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ , ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΕ · ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΑ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΓ . τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΓ · ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστιν ἴσον · ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ · ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ · καί ἐστι τῆς μὲν ΑΖ διπλῆ ἡ ΑΒ , τῆς δὲ ΓΗ διπλῆ ἡ ΓΔ · ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου , καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν κύκλος ὁ ἴσος εὐθεῖα ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον , καί ὁ ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καί ἐν αὐτός ἴσος εὐθεῖα εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓΔ κύκλος καί εἰμί ὁ Ε , καί ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΑΒ , ΓΔ κάθετος ἄγω ὁ ΕΖ , ΕΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , ΕΓ . ἐπεί οὖν εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ὁ ΕΖ εὐθεῖα τις μή διά ὁ κέντρον ὁ ΑΒ πρός ὀρθός τέμνω , καί δίχα αὐτός τέμνω . ἴσος ἄρα ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ · διπλόος ἄρα ὁ ΑΒ ὁ ΑΖ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΓΔ ὁ ΓΗ εἰμί διπλόος · καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΑΖ ὁ ΓΗ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΓ , ἴσος καί ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΕΓ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΕ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΖ , ΕΖ · ὀρθός γάρ ὁ πρός ὁ Ζ γωνία · ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΓ · ὀρθός γάρ ὁ πρός ὁ Η γωνία · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΖ , ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΗ , ΗΕ , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΑΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΗ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΓΗ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΕ ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ἴσος εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ΕΖ ὁ ΕΗ . ἐν δέ κύκλος ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον εὐθύς λέγω , ὅταν ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα ΑΒ , ΓΔ ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον . ἀλλά δή ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον , τουτέστι ἴσος εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΕΗ . λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί καί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι διπλόος εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΑΖ , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΓΗ · καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΓΕ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΓΕ · ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΆ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΕ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΓ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΖ , ΖΆ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΓ · ὅς ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ἀπό ὁ ΕΗ εἰμί ἴσος · ἴσος γάρ ὁ ΕΖ ὁ ΕΗ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΗ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΖ ὁ ΓΗ · καί εἰμί ὁ μέν ΑΖ διπλόος ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΓΗ διπλόος ὁ ΓΔ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . ἐν κύκλος ἄρα ὁ ἴσος εὐθεῖα ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον , καί ὁ ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .