euclides-geom.elementa 8.prop.18
δύο ὁμοίων ἐπιπέδων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός · καὶ ὁ ἐπίπεδος πρὸς τὸν ἐπίπεδον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν . ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ , Δ ἀριθμοί , τοῦ δὲ Β οἱ Ε , Ζ . καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ . λέγω οὖν , ὅτι τῶν Α , Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός , καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , τουτέστιν ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε , ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ . καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδός ἐστιν ὁ Α , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Γ , Δ , ὁ Δ ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . ὁ Δ δὴ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν , τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η . ἀλλʼ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε , ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Ε τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν , τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β . οἱ Α , Η , Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν . τῶν Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός . λέγω δή , ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν , τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ . ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Η , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν , ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Η . καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Η , οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ . καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο ὅμοιος ἐπίπεδος ἀριθμός εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός · καί ὁ ἐπίπεδος πρός ὁ ἐπίπεδος διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά . εἰμί δύο ὅμοιος ἐπίπεδος ἀριθμός ὁ Α , Β , καί ὁ μέν Α πλευρά εἰμί ὁ Γ , Δ ἀριθμός , ὁ δέ Β ὁ Ε , Ζ . καί ἐπεί ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί ὁ ἀνάλογος ἔχω ὁ πλευρά , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . λέγω οὖν , ὅτι ὁ Α , Β εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός , καί ὁ Α πρός ὁ Β διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Ε ἤ ὁ Δ πρός ὁ Ζ , τουτέστι ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ε , ὁ Δ πρός ὁ Ζ . καί ἐπεί ἐπίπεδος εἰμί ὁ Α , πλευρά δέ αὐτός ὁ Γ , Δ , ὁ Δ ἄρα ὁ Γ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Ε ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . ὁ Δ δή ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω . καί ἐπεί ὁ Δ ὁ μέν Γ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω , ὁ δέ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Η . ἀλλά ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ε , ὁ Δ πρός ὁ Ζ · καί ὡς ἄρα ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Η . πάλιν , ἐπεί ὁ Ε ὁ μέν Δ πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω , ὁ δέ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Β . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Η · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Β . ὁ Α , Η , Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί . ὁ Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός . λέγω δή , ὅτι καί ὁ Α πρός ὁ Β διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά , τουτέστι ἤ ὁ Γ πρός ὁ Ε ἤ ὁ Δ πρός ὁ Ζ . ἐπεί γάρ ὁ Α , Η , Β ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὁ Α πρός ὁ Β διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ Η . καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Η , οὕτως ὁ τε Γ πρός ὁ Ε καί ὁ Δ πρός ὁ Ζ . καί ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Ε ἤ ὁ Δ πρός ὁ Ζ · ὅς δέω δείκνυμι .