euclides-geom.elementa 13.prop.18
τὰς πλευρὰς τῶν πέντε σχημάτων ἐκθέσθαι καὶ συγκρῖναι πρὸς ἀλλήλας . Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΒ , κατὰ δὲ τὸ Δ ὥστε διπλασίονα εἶναι τὴν ΑΔ τῆς ΔΒ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΒ , καὶ ἀπὸ τῶν Γ , Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΓΕ , ΔΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΒ , ΕΒ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ , τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ . ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ . ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ · ἰσογώνιον γάρ ἐστι τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τῷ ΑΖΔ τριγώνῳ · ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΖ . ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἡμιολία τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος . καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος · ἡ ΑΖ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος . πάλιν , ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ , τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ . ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ · τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΖ . ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς . καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος · ἡ ΒΖ ἄρα τοῦ κύβου ἐστὶ πλευρά . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ , διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ . ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ · διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ . ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς . καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος · ἡ ΒΕ ἄρα τοῦ ὀκταέδρου ἐστὶ πλευρά . ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΗ , καὶ κείσθω ἡ ΑΗ ἴση τῇ ΑΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΗΑ τῆς ΑΓ · ἴση γὰρ ἡ ΗΑ τῇ ΑΒ · ὡς δὲ ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΓ , διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΓ . τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΘΚ , ΚΓ , ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ , πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ . ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΓΒ · πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΓΒ , ὧν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ ἐστι διπλῆ , λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ λοιπῆς τῆς ΔΓ ἐστι διπλῆ . τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ · ἐνναπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ . πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ · μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ . μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆς ΓΔ . κείσθω τῇ ΓΚ ἴση ἡ ΓΛ , καὶ ἀπὸ τοῦ Λ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΛΜ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΒ . καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ , καί ἐστι τῆς μὲν ΒΓ διπλῆ ἡ ΑΒ , τῆς δὲ ΓΚ διπλῆ ἡ ΚΛ , πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ . ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται . καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος · ἡ ΚΛ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ κύκλου , ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται · ἡ ΚΛ ἄρα ἑξαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰρημένου κύκλου . καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν εἰρημένον κύκλον ἐγγραφομένων , καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος , ἡ δὲ ΚΛ ἑξαγώνου πλευρά , καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΛΒ , ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΚ , ΛΒ δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον , ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται . καὶ ἐπεὶ δεκαγώνου μὲν ἡ ΛΒ , ἑξαγώνου δὲ ἡ ΜΛ · ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΛ , ἐπεὶ καὶ τῇ ΘΚ · ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου · καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΚ , ΚΛ διπλασίων τῆς ΚΓ · πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ . ἡ δὲ τοῦ πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου · εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά , τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ν , καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΝΒ · ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶ πλευρά . καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἐδείχθη τῆς μὲν ΑΖ πλευρᾶς τῆς πυραμίδος δυνάμει ἡμιολία , τῆς δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς ΒΕ δυνάμει διπλασίων , τῆς δὲ τοῦ κύβου τῆς ΖΒ δυνάμει τριπλασίων , οἵων ἄρα ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἕξ , τοιούτων ἡ μὲν τῆς πυραμίδος τεσσάρων , ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τριῶν , ἡ δὲ τοῦ κύβου δύο . ἡ μὲν ἄρα τῆς πυραμίδος πλευρὰ τῆς μὲν τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς δυνάμει ἐστὶν ἐπίτριτος , τῆς δὲ τοῦ κύβου δυνάμει διπλῆ , ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς τοῦ κύβου δυνάμει ἡμιολία . αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι τῶν τριῶν σχημάτων πλευραί , λέγω δὴ πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου καὶ κύβου , πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς . αἱ δὲ λοιπαὶ δύο , λέγω δὴ ἥ τε τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου , οὔτε πρὸς ἀλλήλας οὔτε πρὸς τὰς προειρημένας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς · ἄλογοι γάρ εἰσιν , ἡ μὲν ἐλάττων , ἡ δὲ ἀποτομή . ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆς τοῦ δωδεκαέδρου τῆς ΝΒ , δείξομεν οὕτως . ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΖΔΒ τρίγωνον τῷ ΖΑΒ τριγώνῳ , ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΖ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΒΑ . καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν , ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ · ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ . τριπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ · τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραπλάσιον · διπλῆ γὰρ ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ · μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ · μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΖΒ · πολλῷ ἄρα ἡ ΑΛ τῆς ΖΒ μείζων ἐστίν . καὶ τῆς μὲν ΑΛ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΚΛ , ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΛΚ ἑξαγώνου ἐστίν , ἡ δὲ ΚΑ δεκαγώνου · τῆς δὲ ΖΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΒ · μείζων ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΝΒ . ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΛΜ · μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆς ΝΒ . πολλῷ ἄρα ἡ ΜΒ πλευρὰ οὖσα τοῦ εἰκοσαέδρου μείζων ἐστὶ τῆς ΝΒ πλευρᾶς οὔσης τοῦ δωδεκαέδρου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λέγω δή , ὅτι παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα οὐ συσταθήσεται ἕτερον σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοις . ὑπὸ μὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὅλως ἐπιπέδων στερεὰ γωνία οὐ συνίσταται . ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων ἡ τῆς πυραμίδος , ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου , ὑπὸ δὲ πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου · ὑπὸ δὲ ἓξ τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων οὐκ ἔσται στερεὰ γωνία · οὔσης γὰρ τῆς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίας διμοίρου ὀρθῆς ἔσονται αἱ ἓξ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι · ὅπερ ἀδύνατον · ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων ὀρθῶν περιέχεται . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλειόνων ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται . ὑπὸ δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται · ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον · ἔσονται γὰρ πάλιν τέσσαρες ὀρθαί . ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων , ὑπὸ μὲν τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου · ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον · οὔσης γὰρ τῆς τοῦ πενταγώνου ἰσοπλεύρου γωνίας ὀρθῆς καὶ πέμπτου , ἔσονται αἱ τέσσαρες γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζους · ὅπερ ἀδύνατον . οὐδὲ μὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων σχημάτων περισχεθήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον . οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα ἕτερον σχῆμα στερεὸν συσταθήσεται ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου , οὕτω δεικτέον . ἔστω γὰρ πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ , καὶ περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος ὁ ΑΒΓ ΔΕ , καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ , ΖΒ , ΖΓ , ΖΔ , ΖΕ . δίχα ἄρα τέμνουσι τὰς πρὸς τοῖς Α , Β , Γ , Δ , Ε τοῦ πενταγώνου γωνίας . καὶ ἐπεὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ πέντε γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶ καί εἰσιν ἴσαι , μία ἄρα αὐτῶν , ὡς ἡ ὑπὸ ΑΖΒ , μιᾶς ὀρθῆς ἐστι παρὰ πέμπτον · λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΖΑΒ , ΑΒΖ μιᾶς εἰσιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου . ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τοῦ πενταγώνου γωνία μιᾶς ἐστιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ πλευρά ὁ πέντε σχῆμα ἐκτίθημι καί συγκρίνω πρός ἀλλήλων . ἔκκειμαι ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος ὁ ΑΒ , καί τέμνω κατά ὁ Γ ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , κατά δέ ὁ Δ ὥστε διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΕΒ , καί ἀπό ὁ Γ , Δ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΓΕ , ΔΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ , ΖΒ , ΕΒ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ , τριπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΔ . ἀναστρέφω ἡμιόλιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΑΔ . ὡς δέ ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΖ · ἰσογώνιος γάρ εἰμί ὁ ΑΖΒ τρίγωνον ὁ ΑΖΔ τρίγωνον · ἡμιόλιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ὁ ἀπό ὁ ΑΖ . εἰμί δέ καί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις ἡμιόλιος ὁ πλευρά ὁ πυραμίς . καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος · ὁ ΑΖ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ πλευρά ὁ πυραμίς . πάλιν , ἐπεί διπλασίων εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ , τριπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΔ . ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ · τριπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΖ . εἰμί δέ καί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις τριπλασίων ὁ ὁ κύβος πλευρά . καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος · ὁ ΒΖ ἄρα ὁ κύβος εἰμί πλευρόν . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , διπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΕ · διπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΕ . εἰμί δέ καί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις διπλασίων ὁ ὁ ὀκτάεδρον πλευρά . καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος · ὁ ΒΕ ἄρα ὁ ὀκτάεδρον εἰμί πλευρόν . ἄγω δή ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ΑΒ εὔθεια πρός ὀρθός ὁ ΑΗ , καί κεῖμαι ὁ ΑΗ ἴσος ὁ ΑΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΓ , καί ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΗΑ ὁ ΑΓ · ἴσος γάρ ὁ ΗΑ ὁ ΑΒ · ὡς δέ ὁ ΗΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ ΚΓ , διπλόος ἄρα καί ὁ ΘΚ ὁ ΚΓ . τετραπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΘΚ , ΚΓ , ὅς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΓ , πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΓ . ἴσος δέ ὁ ΘΓ ὁ ΓΒ · πενταπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΚ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΒ , ὅς ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ εἰμί διπλόος , λοιπός ἄρα ὁ ΒΔ λοιπός ὁ ΔΓ εἰμί διπλόος . τριπλόος ἄρα ὁ ΒΓ ὁ ΓΔ · ἐνναπλασύς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΔ . πενταπλάσιος δέ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΚ · μέγας ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΓΚ ὁ ἀπό ὁ ΓΔ . μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΓΚ ὁ ΓΔ . κεῖμαι ὁ ΓΚ ἴσος ὁ ΓΛ , καί ἀπό ὁ Λ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΛΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΒ . καί ἐπεί πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΚ , καί εἰμί ὁ μέν ΒΓ διπλόος ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΓΚ διπλόος ὁ ΚΛ , πενταπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΚΛ . εἰμί δέ καί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις πενταπλασίων ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ἀπό ὅς ὁ εἰκοσάεδρος ἀναγράφω . καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος · ὁ ΚΛ ἄρα ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ κύκλος , ἀπό ὅς ὁ εἰκοσάεδρος ἀναγράφω · ὁ ΚΛ ἄρα ἑξάγωνος εἰμί πλευρόν ὁ λέγω κύκλος . καί ἐπεί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ἑξάγωνος καί δύο ὁ ὁ δεκάγωνος ὁ εἰς ὁ λέγω κύκλος ἐγγράφω , καί εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος , ὁ δέ ΚΛ ἑξάγωνος πλευρόν , καί ἴσος ὁ ΑΚ ὁ ΛΒ , ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΚ , ΛΒ δεκαγῶνος εἰμί πλευρόν ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ κύκλος , ἀπό ὅς ὁ εἰκοσάεδρος ἀναγράφω . καί ἐπεί δεκάγωνος μέν ὁ ΛΒ , ἑξάγωνος δέ ὁ ΜΛ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΚΛ , ἐπεί καί ὁ ΘΚ · ἴσος γάρ ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον · καί εἰμί ἑκάτερος ὁ ΘΚ , ΚΛ διπλασίων ὁ ΚΓ · πεντάγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΜΒ . ὁ δέ ὁ πεντάγωνος εἰμί ὁ ὁ εἰκοσάεδρος · εἰκοσάεδρος ἄρα εἰμί ὁ ΜΒ . καί ἐπεί ὁ ΖΒ κύβος εἰμί πλευρόν , τέμνω ἄκρος καί μέσος λόγος κατά ὁ Ν , καί εἰμί μέγας τμῆμα ὁ ΝΒ · ὁ ΝΒ ἄρα δωδεκάεδρος εἰμί πλευρόν . καί ἐπεί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δείκνυμι ὁ μέν ΑΖ πλευρά ὁ πυραμίς δύναμις ἡμιόλιος , ὁ δέ ὁ ὀκτάεδρον ὁ ΒΕ δύναμις διπλασίων , ὁ δέ ὁ κύβος ὁ ΖΒ δύναμις τριπλασίων , οἷος ἄρα ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις ἕξ , τοιοῦτος ὁ μέν ὁ πυραμίς τέσσαρες , ὁ δέ ὁ ὀκτάεδρον τρεῖς , ὁ δέ ὁ κύβος δύο . ὁ μέν ἄρα ὁ πυραμίς πλευρόν ὁ μέν ὁ ὀκτάεδρον πλευρά δύναμις εἰμί ἐπίτριτος , ὁ δέ ὁ κύβος δύναμις διπλόος , ὁ δέ ὁ ὀκτάεδρον ὁ ὁ κύβος δύναμις ἡμιόλιος . ὁ μέν οὖν λέγω ὁ τρεῖς σχῆμα πλευρά , λέγω δή πυραμίς καί ὀκτάεδρον καί κύβος , πρός ἀλλήλων εἰμί ἐν λόγος ῥητός . ὁ δέ λοιπός δύο , λέγω δή ὁ τε ὁ εἰκοσάεδρος καί ὁ ὁ δωδεκάεδρος , οὔτε πρός ἀλλήλων οὔτε πρός ὁ προλέγω εἰμί ἐν λόγος ῥητός · ἄλογος γάρ εἰμί , ὁ μέν ἐλαχύς , ὁ δέ ἀποτομή . ὅτι μέγας εἰμί ὁ ὁ εἰκοσάεδρος πλευρόν ὁ ΜΒ ὁ ὁ δωδεκάεδρος ὁ ΝΒ , δείκνυμι οὕτως . ἐπεί γάρ ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΖΔΒ τρίγωνον ὁ ΖΑΒ τρίγωνον , ἀνάλογος εἰμί ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΖ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ὁ ΒΑ . καί ἐπεί τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δεύτερος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΔΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ · ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ . τριπλόος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΒΔ · τριπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΔ . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ ὁ ἀπό ὁ ΔΒ τετραπλάσιος · διπλόος γάρ ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ · μέγας ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΔ ὁ ἀπό ὁ ΖΒ · μέγας ἄρα ὁ ΑΔ ὁ ΖΒ · πολύς ἄρα ὁ ΑΛ ὁ ΖΒ μέγας εἰμί . καί ὁ μέν ΑΛ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΚΛ , ἐπειδή ὁ μέν ΛΚ ἑξάγωνος εἰμί , ὁ δέ ΚΑ δεκαγῶνος · ὁ δέ ΖΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΝΒ · μέγας ἄρα ὁ ΚΛ ὁ ΝΒ . ἴσος δέ ὁ ΚΛ ὁ ΛΜ · μέγας ἄρα ὁ ΛΜ ὁ ΝΒ . πολύς ἄρα ὁ ΜΒ πλευρόν εἰμί ὁ εἰκοσάεδρος μέγας εἰμί ὁ ΝΒ πλευρά εἰμί ὁ δωδεκάεδρος · ὅς δέω δείκνυμι . λέγω δή , ὅτι παρά ὁ λέγω πέντε σχῆμα οὐ συνίστημι ἕτερος σχῆμα περιέχω ὑπό ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ἴσος ἀλλήλων . ὑπό μέν γάρ δύο τρίγων ἤ ὅλος ἐπίπεδος στερεός γωνία οὐ συνίστημι . ὑπό δέ τρεῖς τρίγων ὁ ὁ πυραμίς , ὑπό δέ τέσσαρες ὁ ὁ ὀκτάεδρον , ὑπό δέ πέντε ὁ ὁ εἰκοσάεδρος · ὑπό δέ ἕξ τρίγων ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος πρός εἷς σημεῖον συνίστημι οὐ εἰμί στερεός γωνία · εἰμί γάρ ὁ ὁ ἰσόπλευρος τρίγωνον γωνία δίμοιρος ὀρθός εἰμί ὁ ἕξ τέσσαρες ὀρθός ἴσος · ὅς ἀδύνατος · ἅπας γάρ στερεός γωνία ὑπό ἐλαχύς ἤ τέσσαρες ὀρθός περιέχω . διά ὁ αὐτός δή οὐδέ ὑπό πολύς ἤ ἕξ γωνία ἐπίπεδος στερεός γωνία συνίστημι . ὑπό δέ τετράγωνος τρεῖς ὁ ὁ κύβος γωνία περιέχω · ὑπό δέ τέσσαρες ἀδύνατος · εἰμί γάρ πάλιν τέσσαρες ὀρθός . ὑπό δέ πεντάγωνος ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος , ὑπό μέν τρεῖς ὁ ὁ δωδεκάεδρος · ὑπό δέ τέσσαρες ἀδύνατος · εἰμί γάρ ὁ ὁ πεντάγωνος ἰσόπλευρος γωνία ὀρθός καί πέμπτος , εἰμί ὁ τέσσαρες γωνία τέσσαρες ὀρθός μέγας · ὅς ἀδύνατος . οὐδέ μήν ὑπό πολύγωνος ἕτερος σχῆμα περιέχω στερεός γωνία διά ὁ αὐτός ἄτοπος . οὐ ἄρα παρά ὁ λέγω πέντε σχῆμα ἕτερος σχῆμα στερεός συνίστημι ὑπό ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα ὅτι δέ ὁ ὁ ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος πεντάγωνος γωνία ὀρθός εἰμί καί πέμπτος , οὕτως δείκνυμι . εἰμί γάρ πεντάγωνος ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓΔΕ , καί περιγράφω περί αὐτός κύκλος ὁ ΑΒΓ ΔΕ , καί λαμβάνω αὐτός ὁ κέντρον ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΑ , ΖΒ , ΖΓ , ΖΔ , ΖΕ . δίχα ἄρα τέμνω ὁ πρός ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε ὁ πεντάγωνος γωνία . καί ἐπεί ὁ πρός ὁ Ζ πέντε γωνία τέσσαρες ὀρθός ἴσος εἰμί καί εἰμί ἴσος , εἷς ἄρα αὐτός , ὡς ὁ ὑπό ΑΖΒ , εἷς ὀρθός εἰμί παρά πέμπτος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΖΑΒ , ΑΒΖ εἷς εἰμί ὀρθός καί πέμπτος . ἴσος δέ ὁ ὑπό ΖΑΒ ὁ ὑπό ΖΒΓ · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ ὁ πεντάγωνος γωνία εἷς εἰμί ὀρθός καί πέμπτος · ὅς δέω δείκνυμι .