euclides-geom.elementa 1.prop.26
ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν , καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ , ΕΖΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ · ἐχέτω δὲ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην , πρότερον τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ · λέγω , ὅτι καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ , καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ , τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ . εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ , μία αὐτῶν μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ΑΒ , καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΒΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΔΕ , ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ , δύο δὴ αἱ ΒΗ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν · βάσις ἄρα ἡ ΗΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΗΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ὑπόκειται ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἴση ἐστίν , ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ . ἴση ἄρα . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἴση · δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν , καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν . ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι ἴσαι , ὡς ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ · λέγω πάλιν , ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσαι ἔσονται , ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ , ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ καὶ ἔτι ἡ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν . εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ , μία αὐτῶν μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων , εἰ δυνατόν , ἡ ΒΓ , καὶ κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΒΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΘ τῇ ΕΖ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν · βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΔ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΖΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστιν ἴση · τριγώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΓΑ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ · ἴση ἄρα . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση . δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΓ δύο ταῖς ΔΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι · βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις , ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν , καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ δύο γωνία δύο γωνία ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ἤτοι ὁ πρός ὁ ἴσος γωνία ἤ ὁ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία , καί ὁ λοιπός πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΑ δύο ὁ ὑπό ΔΕΖ , ΕΖΔ ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΔΕΖ , ὁ δέ ὑπό ΒΓΑ ὁ ὑπό ΕΖΔ · ἔχω δέ καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος , πρότερος ὁ πρός ὁ ἴσος γωνία ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι καί ὁ λοιπός πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ ὁ δέ ΑΓ ὁ ΔΖ , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία , ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ . εἰ γάρ ἄνισος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ , εἷς αὐτός μέγας εἰμί . εἰμί μέγας ὁ ΑΒ , καί κεῖμαι ὁ ΔΕ ἴσος ὁ ΒΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΓ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΒΗ ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΒΓ ὁ ΕΖ , δύο δή ὁ ΒΗ , ΒΓ δύο ὁ ΔΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΗΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ ἴσος εἰμί · βάσις ἄρα ὁ ΗΓ βάσις ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΗΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΗΓΒ γωνία ὁ ὑπό ΔΖΕ . ἀλλά ὁ ὑπό ΔΖΕ ὁ ὑπό ΒΓΑ ὑπόκειμαι ἴσος · καί ὁ ὑπό ΒΓΗ ἄρα ὁ ὑπό ΒΓΑ ἴσος εἰμί , ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἄνισος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ . ἴσος ἄρα . εἰμί δέ καί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ ἴσος · δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο ὁ ΔΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ εἰμί ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί , καί λοιπός γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ λοιπός γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ ἴσος εἰμί . ἀλλά δή πάλιν εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία πλευρά ὑποτείνω ἴσος , ὡς ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ · λέγω πάλιν , ὅτι καί ὁ λοιπός πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος εἰμί , ὁ μέν ΑΓ ὁ ΔΖ , ὁ δέ ΒΓ ὁ ΕΖ καί ἔτι ὁ λοιπός γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ λοιπός γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ ἴσος εἰμί . εἰ γάρ ἄνισος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ , εἷς αὐτός μέγας εἰμί . εἰμί μέγας , εἰ δυνατός , ὁ ΒΓ , καί κεῖμαι ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΒΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΒΘ ὁ ΕΖ ὁ δέ ΑΒ ὁ ΔΕ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΘ δύο ὁ ΔΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ἴσος περιέχω · βάσις ἄρα ὁ ΑΘ βάσις ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΒΘ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΒΘΑ γωνία ὁ ὑπό ΕΖΔ . ἀλλά ὁ ὑπό ΕΖΔ ὁ ὑπό ΒΓΑ εἰμί ἴσος · τρίγωνον δή ὁ ΑΘΓ ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΒΘΑ ἴσος εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΒΓΑ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἄνισος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ · ἴσος ἄρα . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ ἴσος . δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο ὁ ΔΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ἴσος περιέχω · βάσις ἄρα ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ἴσος καί λοιπός γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ λοιπός γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ ἴσος . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος ὁ δύο γωνία δύο γωνία ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ἤτοι ὁ πρός ὁ ἴσος γωνία , ἤ ὁ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία , καί ὁ λοιπός πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία · ὅς δέω δείκνυμι .