euclides-geom.elementa 11.prop.36
ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , τὸ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἰσοπλεύρῳ μέν , ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ . ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α , Β , Γ , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ · λέγω , ὅτι τὸ ἐκ τῶν Α , Β , Γ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν , ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ . Ἐκκείσθω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Ε περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΔΕΗ , ΗΕΖ , ΖΕΔ , καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἑκάστη τῶν ΔΕ , ΗΕ , ΕΖ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΕΚ στερεὸν παραλληλεπίπεδον , τῇ δὲ Α ἴση ἡ ΛΜ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΛΜ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Λ τῇ πρὸς τῷ Ε στερεᾷ γωνίᾳ ἴση στερεὰ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΝΛΞ , ΞΛΜ , ΜΛΝ , καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἡ ΛΞ , τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΛΝ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ , ἴση δὲ ἡ μὲν Α τῇ ΛΜ , ἡ δὲ Β ἑκατέρᾳ τῶν ΛΞ , ΕΔ , ἡ δὲ Γ τῇ ΛΝ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΛΝ . καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΝΛΜ , ΔΕΖ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΖ παραλληλογράμμῳ . καὶ ἐπεὶ δύο γωνίαι ἐπίπεδοι εὐθύγραμμοι ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΔΕΖ , ΝΛΜ , καὶ ἐπʼ αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστᾶσιν αἱ ΛΞ , ΕΗ ἴσαι τε ἀλλήλαις καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν Η , Ξ σημείων κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΝΛΜ , ΔΕΖ ἐπίπεδα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν · ὥστε τὰ ΛΘ , ΕΚ στερεὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστίν . τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛ στερεὸν τῷ ΕΚ στερεῷ . καί ἐστι τὸ μὲν ΛΘ τὸ ἐκ τῶν Α , Β , Γ στερεόν , τὸ δὲ ΕΚ τὸ ἀπὸ τῆς Β στερεόν · τὸ ἄρα ἐκ τῶν Α , Β , Γ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν , ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , ὁ ἐκ ὁ τρεῖς στερεός παραλληλεπίπεδον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέσος στερεός παραλληλεπίπεδον ἰσόπλευρος μέν , ἰσογώνιος δέ ὁ προλέγω . εἰμί τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ ἐκ ὁ Α , Β , Γ στερεός ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β στερεός ἰσόπλευρος μέν , ἰσογώνιος δέ ὁ προλέγω . ἔκκειμαι στερεός γωνία ὁ πρός ὁ Ε περιέχω ὑπό ὁ ὑπό ΔΕΗ , ΗΕΖ , ΖΕΔ , καί κεῖμαι ὁ μέν Β ἴσος ἕκαστος ὁ ΔΕ , ΗΕ , ΕΖ , καί συμπληρόω ὁ ΕΚ στερεός παραλληλεπίπεδον , ὁ δέ Α ἴσος ὁ ΛΜ , καί συνίστημι πρός ὁ ΛΜ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Λ ὁ πρός ὁ Ε στερεός γωνία ἴσος στερεός γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΝΛΞ , ΞΛΜ , ΜΛΝ , καί κεῖμαι ὁ μέν Β ἴσος ὁ ΛΞ , ὁ δέ Γ ἴσος ὁ ΛΝ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ , ἴσος δέ ὁ μέν Α ὁ ΛΜ , ὁ δέ Β ἑκάτερος ὁ ΛΞ , ΕΔ , ὁ δέ Γ ὁ ΛΝ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΛΜ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΛΝ . καί περί ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΝΛΜ , ΔΕΖ ὁ πλευρά ἀντιπάσχω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΜΝ παραλληλόγραμμος ὁ ΔΖ παραλληλόγραμμος . καί ἐπεί δύο γωνία ἐπίπεδος εὐθύγραμμος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΔΕΖ , ΝΛΜ , καί ἐπί αὐτός μετέωρος εὐθεῖα ἐφίστημι ὁ ΛΞ , ΕΗ ἴσος τε ἀλλήλων καί ἴσος γωνία περιέχω μετά ὁ ἐκ ἀρχή εὐθεῖα ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ ἄρα ἀπό ὁ Η , Ξ σημεῖον κάθετος ἄγω ἐπί ὁ διά ὁ ΝΛΜ , ΔΕΖ ἐπίπεδος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὥστε ὁ ΛΘ , ΕΚ στερεός ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί . ὁ δέ ἐπί ἴσος βάσις στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΛ στερεός ὁ ΕΚ στερεός . καί εἰμί ὁ μέν ΛΘ ὁ ἐκ ὁ Α , Β , Γ στερεός , ὁ δέ ΕΚ ὁ ἀπό ὁ Β στερεός · ὁ ἄρα ἐκ ὁ Α , Β , Γ στερεός παραλληλεπίπεδον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β στερεός ἰσόπλευρος μέν , ἰσογώνιος δέ ὁ προλέγω · ὅς δέω δείκνυμι .