euclides-geom.elementa 6.prop.16
ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ · κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ , αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται . ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ , ΓΔ , Ε , Ζ , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ , Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Γ σημείων ταῖς ΑΒ , ΓΔ εὐθείαις πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΗ , ΓΘ , καὶ κείσθω τῇ μὲν Ζ ἴση ἡ ΑΓ , τῇ δὲ Ε ἴση ἡ ΓΘ . καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΒΗ , ΔΘ παραλληλόγραμμα . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ , ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΓΘ , ἡ δὲ Ζ τῇ ΑΗ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ . τῶν ΒΗ , ΔΘ ἄρα παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας . ὧν δὲ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΘ παραλληλογράμμῳ . καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , Ζ · ἴση γὰρ ἡ ΑΗ τῇ Ζ · τὸ δὲ ΔΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , Ε · ἴση γὰρ ἡ Ε τῇ ΓΘ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ , Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ , Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἔστω τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ , Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ · λέγω , ὅτι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων , ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ , Ε , καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ , Ζ τὸ ΒΗ · ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ Ζ · τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ , Ε τὸ ΔΘ · ἴση γὰρ ἡ ΓΘ τῇ Ε · τὸ ἄρα ΒΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΘ . καί ἐστιν ἰσογώνια . τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΘ τῇ Ε , ἡ δὲ ΑΗ τῇ Ζ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ . ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ · κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ , αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , ὁ ὑπό ὁ ἄκρος περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος περιέχω ὀρθογώνιον · ἐάν ὁ ὑπό ὁ ἄκρος περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος περιέχω ὀρθογώνιον , ὁ τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί . εἰμί τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος ὁ ΑΒ , ΓΔ , Ε , Ζ , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , Ζ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , Ε περιέχω ὀρθογώνιον . ἄγω ἀπό ὁ Α , Γ σημεῖον ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα πρός ὀρθός ὁ ΑΗ , ΓΘ , καί κεῖμαι ὁ μέν Ζ ἴσος ὁ ΑΓ , ὁ δέ Ε ἴσος ὁ ΓΘ . καί συμπληρόω ὁ ΒΗ , ΔΘ παραλληλόγραμμος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ἴσος δέ ὁ μέν Ε ὁ ΓΘ , ὁ δέ Ζ ὁ ΑΗ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΓΘ πρός ὁ ΑΗ . ὁ ΒΗ , ΔΘ ἄρα παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία . ὅς δέ ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ παραλληλόγραμμος ὁ ΔΘ παραλληλόγραμμος . καί εἰμί ὁ μέν ΒΗ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , Ζ · ἴσος γάρ ὁ ΑΗ ὁ Ζ · ὁ δέ ΔΘ ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , Ε · ἴσος γάρ ὁ Ε ὁ ΓΘ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒ , Ζ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , Ε περιέχω ὀρθογώνιον . ἀλλά δή ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , Ζ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , Ε περιέχω ὀρθογώνιον · λέγω , ὅτι ὁ τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω , ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , Ζ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , Ε , καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ὁ ΑΒ , Ζ ὁ ΒΗ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΑΗ ὁ Ζ · ὁ δέ ὑπό ὁ ΓΔ , Ε ὁ ΔΘ · ἴσος γάρ ὁ ΓΘ ὁ Ε · ὁ ἄρα ΒΗ ἴσος εἰμί ὁ ΔΘ . καί εἰμί ἰσογώνιος . ὁ δέ ἴσος καί ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΓΘ πρός ὁ ΑΗ . ἴσος δέ ὁ μέν ΓΘ ὁ Ε , ὁ δέ ΑΗ ὁ Ζ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . ἐάν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , ὁ ὑπό ὁ ἄκρος περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος περιέχω ὀρθογώνιον · ἐάν ὁ ὑπό ὁ ἄκρος περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ μέσος περιέχω ὀρθογώνιον , ὁ τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .