euclides-geom.elementa 10.prop3.95
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πέμπτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς πέμπτης τῆς ΑΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ προςαρμόζουσα ἡ ΗΔ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ , ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ . τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΓΑ μήκει , καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί , μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ . πάλιν , ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ ΔΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει , ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ . συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΛΟΜ · περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα . ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ἡ ΛΝ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ μέσον ἐστίν . πάλιν , ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , καὶ αὐτὸ ῥητόν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ · αἱ ΛΟ , ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν . ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα · καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . ἡ τὸ ΑΒ ἄρα χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ἀποτομή πέμπτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . χωρίον γάρ ὁ ΑΒ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΓ καί ἀποτομή πέμπτος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . εἰμί γάρ ὁ ΑΔ προσαρμόζω ὁ ΔΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΔ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ προσαρμόζω ὁ ΗΔ σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΑΓ , ὁ δέ ὅλος ὁ ΑΗ ὁ προσαρμόζω ὁ ΔΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . ἐάν ἄρα ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΔΉ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς ἀσύμμετρος αὐτός διαιρέω . τέμνω οὖν ὁ ΔΗ δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον , καί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΗ μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΓΑ μῆκος , καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός , μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΚ . πάλιν , ἐπεί ῥητός εἰμί ὁ ΔΗ καί σύμμετρος ὁ ΑΓ μῆκος , ῥητός εἰμί ὁ ΔΚ . συνίστημι οὖν ὁ μέν ΑΙ ἴσος τετράγωνος ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ἴσος τετράγωνος ἀφαιρέω ὁ ΝΞ περί ὁ αὐτός γωνία ὁ ὑπό ΛΟΜ · περί ὁ αὐτός ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος . εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΟΡ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ ΛΝ δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ὁ ΛΝ ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . ἐπεί γάρ μέσος δείκνυμι ὁ ΑΚ καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ , ὁ ἄρα σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ μέσος εἰμί . πάλιν , ἐπεί ῥητός εἰμί ὁ ΔΚ καί εἰμί ἴσος ὁ δίς ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ , καί αὐτός ῥητός εἰμί . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΙ ὁ ΖΚ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΛΟ ὁ ἀπό ὁ ΟΝ · ὁ ΛΟ , ΟΝ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός ῥητός . ὁ λοιπός ἄρα ὁ ΛΝ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω · καί δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . ὁ ὁ ΑΒ ἄρα χωρίον δύναμαι μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .