euclides-geom.elementa 7.prop.33
ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς . ἔστωσαν οἱ δοθέντες ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ · δεῖ δὴ εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β , Γ . οἱ Α , Β , Γ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ . εἰ μὲν οὖν οἱ Α , Β , Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς . εἰ δὲ οὔ , εἰλήφθω τῶν Α , Β , Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ , καὶ ὁσάκις ὁ Δ ἕκαστον τῶν Α , Β , Γ μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν ἑκάστῳ τῶν Ε , Ζ , Η . καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν Ε , Ζ , Η ἕκαστον τῶν Α , Β , Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας . οἱ Ε , Ζ , Η ἄρα τοὺς Α , Β , Γ ἰσάκις μετροῦσιν · οἱ Ε , Ζ , Η ἄρα τοῖς Α , Β , Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστοι . εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Ε , Ζ , Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β , Γ , ἔσονται τῶν Ε , Ζ , Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α , Β , Γ . ἔστωσαν οἱ Θ , Κ , Λ · ἰσάκις ἄρα ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ καὶ ἑκάτερος τῶν Κ , Λ ἑκάτερον τῶν Β , Γ . ὁσάκις δὲ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Μ · καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν Κ , Λ ἑκάτερον τῶν Β , Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας . καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας , καὶ ὁ Μ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μονάδας . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Μ καὶ ἑκάτερον τῶν Β , Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν ἑκατέρῳ τῶν Κ , Λ μονάδας · ὁ Μ ἄρα τοὺς Α , Β , Γ μετρεῖ . καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας , ὁ Θ ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε , Δ τῷ ἐκ τῶν Θ , Μ . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Δ . μείζων δὲ ὁ Ε τοῦ Θ · μείζων ἄρα καὶ ὁ Μ τοῦ Δ . καὶ μετρεῖ τοὺς Α , Β , Γ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · ὑπόκειται γὰρ ὁ Δ τῶν Α , Β , Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον . οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Ε , Ζ , Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α , Β , Γ . οἱ Ε , Ζ , Η ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β , Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἀριθμός δίδωμι ὁπόσως εὑρίσκω ὁ ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός . εἰμί ὁ δίδωμι ὁπόσος ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ · δέω δή εὑρίσκω ὁ ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Β , Γ . ὁ Α , Β , Γ γάρ ἤτοι πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί ἤ οὐ . εἰ μέν οὖν ὁ Α , Β , Γ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί , ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός . εἰ δέ οὐ , λαμβάνω ὁ Α , Β , Γ ὁ μέγας κοινός μέτρον ὁ Δ , καί ὁσάκις ὁ Δ ἕκαστος ὁ Α , Β , Γ μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ἕκαστος ὁ Ε , Ζ , Η . καί ἕκαστος ἄρα ὁ Ε , Ζ , Η ἕκαστος ὁ Α , Β , Γ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς . ὁ Ε , Ζ , Η ἄρα ὁ Α , Β , Γ ἰσάκις μετρέω · ὁ Ε , Ζ , Η ἄρα ὁ Α , Β , Γ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ Ε , Ζ , Η ἐλαχύς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Β , Γ , εἰμί ὁ Ε , Ζ , Η ἐλαχύς ἀριθμός ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ Α , Β , Γ . εἰμί ὁ Θ , Κ , Λ · ἰσάκις ἄρα ὁ Θ ὁ Α μετρέω καί ἑκάτερος ὁ Κ , Λ ἑκάτερος ὁ Β , Γ . ὁσάκις δέ ὁ Θ ὁ Α μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Μ · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ Κ , Λ ἑκάτερος ὁ Β , Γ μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Μ μονάς . καί ἐπεί ὁ Θ ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Μ μονάς , καί ὁ Μ ἄρα ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Θ μονάς . διά ὁ αὐτός δή ὁ Μ καί ἑκάτερος ὁ Β , Γ μετρέω κατά ὁ ἐν ἑκάτερος ὁ Κ , Λ μονάς · ὁ Μ ἄρα ὁ Α , Β , Γ μετρέω . καί ἐπεί ὁ Θ ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Μ μονάς , ὁ Θ ἄρα ὁ Μ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Ε ὁ Δ πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ Ε , Δ ὁ ἐκ ὁ Θ , Μ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Μ πρός ὁ Δ . μέγας δέ ὁ Ε ὁ Θ · μέγας ἄρα καί ὁ Μ ὁ Δ . καί μετρέω ὁ Α , Β , Γ · ὅς εἰμί ἀδύνατος · ὑπόκειμαι γάρ ὁ Δ ὁ Α , Β , Γ ὁ μέγας κοινός μέτρον . οὐ ἄρα εἰμί τις ὁ Ε , Ζ , Η ἐλαχύς ἀριθμός ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ Α , Β , Γ . ὁ Ε , Ζ , Η ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Β , Γ · ὅς δέω δείκνυμι .