euclides-geom.elementa 11.prop.4
ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ , καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΕΖ δύο εὐθείαις ταῖς ΑΒ , ΓΔ τεμνούσαις ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἐφεστάτω · λέγω , ὅτι ἡ ΕΖ καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΒ , ΓΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΓΕ , ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις , καὶ διήχθω τις διὰ τοῦ Ε , ὡς ἔτυχεν , ἡ ΗΕΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΓΒ , καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ζ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ , ΖΗ , ΖΔ , ΖΓ , ΖΘ , ΖΒ . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΕ , ΕΔ δυσὶ ταῖς ΓΕ , ΕΒ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΓΒ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΕΔ τρίγωνον τῷ ΓΕΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται · ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΕΘ ἴση . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΗΕ , ΒΕΘ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΑΕ τῇ ΕΒ · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν . ἴση ἄρα ἡ μὲν ΗΕ τῇ ΕΘ , ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΒΘ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ , κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΕ , βάσις ἄρα ἡ ΖΑ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση , δύο δὴ αἱ ΖΑ , ΑΔ δυσὶ ταῖς ΖΒ , ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ βάσις ἡ ΖΔ βάσει τῇ ΖΓ ἐδείχθη ἴση · καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση ἐστίν . καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ ἴση , ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση , δύο δὴ αἱ ΖΑ , ΑΗ δυσὶ ταῖς ΖΒ , ΒΘ ἴσαι εἰσίν . καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΑΗ ἐδείχθη ἴση τῇ ὑπὸ ΖΒΘ · βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐδείχθη ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ , δύο δὴ αἱ ΗΕ , ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση ἐστίν . ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΕΖ , ΘΕΖ γωνιῶν . ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ τυχόντως διὰ τοῦ Ε ἀχθεῖσαν ὀρθή ἐστιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ἡ ΖΕ καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν , ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας · ἡ ΖΕ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . τὸ δὲ ὑποκείμενον ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν ΑΒ , ΓΔ εὐθειῶν . ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ διὰ τῶν ΑΒ , ΓΔ ἐπιπέδῳ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ , καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός ἐπί ὁ κοινός τομή ἐφίστημι , καί ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . εὐθύς γάρ τις ὁ ΕΖ δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε σημεῖον ἀπό ὁ Ε πρός ὀρθός ἐφίστημι · λέγω , ὅτι ὁ ΕΖ καί ὁ διά ὁ ΑΒ , ΓΔ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ἀπολαμβάνω γάρ ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΕ , ΕΔ ἴσος ἀλλήλων , καί διάγω τις διά ὁ Ε , ὡς τυγχάνω , ὁ ΗΕΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΓΒ , καί ἔτι ἀπό τυγχάνω ὁ Ζ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΑ , ΖΗ , ΖΔ , ΖΓ , ΖΘ , ΖΒ . καί ἐπεί δύο ὁ ΑΕ , ΕΔ δύο ὁ ΓΕ , ΕΒ ἴσος εἰμί καί γωνία ἴσος περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΓΒ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΕΔ τρίγωνον ὁ ΓΕΒ τρίγωνον ἴσος εἰμί · ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΔΑΕ γωνία ὁ ὑπό ΕΒΓ ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΕΗ γωνία ὁ ὑπό ΒΕΘ ἴσος . δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΑΗΕ , ΒΕΘ ὁ δύο γωνία δύο γωνία ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος ὁ πρός ὁ ἴσος γωνία ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω . ἴσος ἄρα ὁ μέν ΗΕ ὁ ΕΘ , ὁ δέ ΑΗ ὁ ΒΘ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ , κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΖΕ , βάσις ἄρα ὁ ΖΑ βάσις ὁ ΖΒ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΖΓ ὁ ΖΔ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΓΒ , εἰμί δέ καί ὁ ΖΑ ὁ ΖΒ ἴσος , δύο δή ὁ ΖΑ , ΑΔ δύο ὁ ΖΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί βάσις ὁ ΖΔ βάσις ὁ ΖΓ δείκνυμι ἴσος · καί γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΖΑΔ γωνία ὁ ὑπό ΖΒΓ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί πάλιν δείκνυμι ὁ ΑΗ ὁ ΒΘ ἴσος , ἀλλά μήν καί ὁ ΖΑ ὁ ΖΒ ἴσος , δύο δή ὁ ΖΑ , ΑΗ δύο ὁ ΖΒ , ΒΘ ἴσος εἰμί . καί γωνία ὁ ὑπό ΖΑΗ δείκνυμι ἴσος ὁ ὑπό ΖΒΘ · βάσις ἄρα ὁ ΖΗ βάσις ὁ ΖΘ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί πάλιν ἴσος δείκνυμι ὁ ΗΕ ὁ ΕΘ , κοινός δέ ὁ ΕΖ , δύο δή ὁ ΗΕ , ΕΖ δύο ὁ ΘΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί · καί βάσις ὁ ΖΗ βάσις ὁ ΖΘ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΗΕΖ γωνία ὁ ὑπό ΘΕΖ ἴσος εἰμί . ὀρθός ἄρα ἑκάτερος ὁ ὑπό ΗΕΖ , ΘΕΖ γωνία . ὁ ΖΕ ἄρα πρός ὁ ΗΘ τυχόντως διά ὁ Ε ἄγω ὀρθός εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ ΖΕ καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία . εὐθύς δέ πρός ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί , ὅταν πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία · ὁ ΖΕ ἄρα ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ὁ δέ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος εἰμί ὁ διά ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα . ὁ ΖΕ ἄρα πρός ὀρθός εἰμί ὁ διά ὁ ΑΒ , ΓΔ ἐπίπεδος . ἐάν ἄρα εὐθύς δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός ἐπί ὁ κοινός τομή ἐφίστημι , καί ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .