ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 2.prop.3
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ . εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ Γ · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΔΕΒ , καὶ διήχθω ἡ ΕΔ ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ , ΒΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΖ . ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΕ τοῖς ΑΔ , ΓΕ · καί ἐστι τὸ μὲν ΑΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον · περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΕ , ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΒΓ · τὸ δὲ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · ἴση γὰρ ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ · τὸ δὲ ΔΒ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ὑπό ὁ ὅλος καί εἷς ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ προλέγω τμῆμα τετράγωνος . εὐθύς γάρ ὁ ΑΒ τέμνω , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ Γ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος ὁ ΓΔΕΒ , καί διάγω ὁ ΕΔ ἐπί ὁ Ζ , καί διά ὁ Α ὁπότερος ὁ ΓΔ , ΒΕ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΖ . ἴσος δή εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΑΔ , ΓΕ · καί εἰμί ὁ μέν ΑΕ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον · περιέχω μέν γάρ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΕ , ἴσος δέ ὁ ΒΕ ὁ ΒΓ · ὁ δέ ΑΔ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ἴσος γάρ ὁ ΔΓ ὁ ΓΒ · ὁ δέ ΔΒ ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ὑπό ὁ ὅλος καί εἷς ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ προλέγω τμῆμα τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 2.prop.5
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα , τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ , εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ ὁποτέρᾳ τῶν ΓΕ , ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΗ , διὰ δὲ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ , ΕΖ παράλληλος πάλιν ἤχθω ἡ ΚΜ , καὶ πάλιν διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ , ΒΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ παραπλήρωμα τῷ ΘΖ παραπληρώματι , κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΜ · ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν . ἀλλὰ τὸ ΓΜ τῷ ΑΛ ἴσον ἐστίν , ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἐστιν ἴση · καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΘ · ὅλον ἄρα τὸ ΑΘ τῷ ΜΝΞ γνώμονι ἴσον ἐστίν . ἀλλὰ τὸ ΑΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἐστιν · ἴση γὰρ ἡ ΔΘ τῇ ΔΒ · καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ , ΔΒ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ , ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ · ὁ ἄρα ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ . ἀλλὰ ὁ ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΒ τετράγωνον , ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα , τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω εἰς ἴσος καί ἄνισος , ὁ ὑπό ὁ ἄνισος ὁ ὅλος τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ μεταξύ ὁ τομή τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς τετράγωνος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ τέμνω εἰς μέν ἴσος κατά ὁ Γ , εἰς δέ ἄνισος κατά ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος ὁ ΓΕΖΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , καί διά μέν ὁ Δ ὁπότερος ὁ ΓΕ , ΒΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΔΗ , διά δέ ὁ Θ ὁπότερος ὁ ΑΒ , ΕΖ παράλληλος πάλιν ἄγω ὁ ΚΜ , καί πάλιν διά ὁ Α ὁπότερος ὁ ΓΛ , ΒΜ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΚ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΘ παραπλήρωμα ὁ ΘΖ παραπλήρωμα , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΔΜ · ὅλος ἄρα ὁ ΓΜ ὅλος ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ΓΜ ὁ ΑΛ ἴσος εἰμί , ἐπεί καί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΑΛ ἄρα ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΓΘ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΘ ὁ ΜΝΞ γνώμων ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ΑΘ ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ εἰμί · ἴσος γάρ ὁ ΔΘ ὁ ΔΒ · καί ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΔ , ΔΒ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΛΗ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ΜΝΞ γνώμων καί ὁ ΛΗ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος . ἀλλά ὁ ΜΝΞ γνώμων καί ὁ ΛΗ ὅλος εἰμί ὁ ΓΕΖΒ τετράγωνος , ὅς εἰμί ἀπό ὁ ΓΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω εἰς ἴσος καί ἄνισος , ὁ ὑπό ὁ ἄνισος ὁ ὅλος τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ μεταξύ ὁ τομή τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 2.prop.12
ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν , ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει , καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ . ἔστω ἀμβλυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΓΑ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἡ ΒΔ . λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΑ τέτμηται , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ Α σημεῖον , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΔ , ΔΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ , ΔΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΓΔ , ΔΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ · ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία · τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ , ΑΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ · ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ , ΑΒ τετραγώνων μεῖζόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ , ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἐν ἄρα τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν , ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει , καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ἀμβλυγώνιος τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἀμβλύς γωνία ὑποτείνω πλευρά τετράγωνος μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ἀμβλύς γωνία περιέχω πλευρά τετράγωνος ὁ περιέχω δίς ὑπό τε εἷς ὁ περί ὁ ἀμβλύς γωνία , ἐπί ὅς ὁ κάθετος πίπτω , καί ὁ ἀπολαμβάνω ἐκτός ὑπό ὁ καθέτης πρός ὁ ἀμβλύς γωνία . εἰμί ἀμβλυγώνιος τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἀμβλύς ἔχω ὁ ὑπό ΒΑΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Β σημεῖον ἐπί ὁ ΓΑ ἐκβάλλω κάθετος ὁ ΒΔ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ τετράγωνος ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΔ περιέχω ὀρθογώνιον . ἐπεί γάρ εὐθύς ὁ ΓΑ τέμνω , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ Α σημεῖον , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΑ , ΑΔ τετράγωνος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΔ περιέχω ὀρθογώνιον . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΔΒ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΓΔ , ΔΒ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΓΑ , ΑΔ , ΔΒ τετράγωνος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΔ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΓΔ , ΔΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ · ὀρθός γάρ ὁ πρός ὁ Δ γωνία · ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΓΑ , ΑΒ τετράγωνος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΔ περιέχω ὀρθογώνιον · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΓΑ , ΑΒ τετράγωνος μέγας εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΑ , ΑΔ περιέχω ὀρθογώνιον . ἐν ἄρα ὁ ἀμβλυγώνιος τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἀμβλύς γωνία ὑποτείνω πλευρά τετράγωνος μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ἀμβλύς γωνία περιέχω πλευρά τετράγωνος ὁ περιέχω δίς ὑπό τε εἷς ὁ περί ὁ ἀμβλύς γωνία , ἐπί ὅς ὁ κάθετος πίπτω , καί ὁ ἀπολαμβάνω ἐκτός ὑπό ὁ καθέτης πρός ὁ ἀμβλύς γωνία · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 2.prop.13
ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν , ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει , καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ . ἔστω ὀξυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΒ τέτμηται , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ Δ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ , ΔΑ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ τετραγώνοις . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΒΔ , ΔΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ · ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ · τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΑΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ · ὥστε μόνον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἐν ἄρα τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν , ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει , καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ὀξυγώνιος τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀξύς γωνία ὑποτείνω πλευρά τετράγωνος ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀξύς γωνία περιέχω πλευρά τετράγωνος ὁ περιέχω δίς ὑπό τε εἷς ὁ περί ὁ ὀξύς γωνία , ἐπί ὅς ὁ κάθετος πίπτω , καί ὁ ἀπολαμβάνω ἐντός ὑπό ὁ καθέτης πρός ὁ ὀξύς γωνία . εἰμί ὀξυγώνιος τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ὀξύς ἔχω ὁ πρός ὁ Β γωνία , καί ἄγω ἀπό ὁ Α σημεῖον ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ , ΒΑ τετράγωνος ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ περιέχω ὀρθογώνιον . ἐπεί γάρ εὐθύς ὁ ΓΒ τέμνω , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ Δ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΓΒ , ΒΔ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ ΔΓ τετράγωνος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΔΑ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΓΒ , ΒΔ , ΔΑ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ περιέχω ὀρθογώνιον καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΓ τετράγωνος . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΒΔ , ΔΑ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · ὀρθός γάρ ὁ πρός ὁ Δ γωνία · ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΓΒ , ΒΑ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΑΓ καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ · ὥστε μόνος ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ , ΒΑ τετράγωνος ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ περιέχω ὀρθογώνιον . ἐν ἄρα ὁ ὀξυγώνιος τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀξύς γωνία ὑποτείνω πλευρά τετράγωνος ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀξύς γωνία περιέχω πλευρά τετράγωνος ὁ περιέχω δίς ὑπό τε εἷς ὁ περί ὁ ὀξύς γωνία , ἐπί ὅς ὁ κάθετος πίπτω , καί ὁ ἀπολαμβάνω ἐντός ὑπό ὁ καθέτης πρός ὁ ὀξύς γωνία · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 2.prop.14
τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι . ἔστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ Α · δεῖ δὴ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι . συνεστάτω γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ · εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ , γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν . συνέσταται γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΒΔ · εἰ δὲ οὔ , μία τῶν ΒΕ , ΕΔ μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ΒΕ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ κείσθω τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΕΖ , καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ δίχα κατὰ τὸ Η , καὶ κέντρῳ τῷ Η , διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΗΒ , ΗΖ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΘΖ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ . ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΖ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η , εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ . ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΗΘ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘΕ , ΕΗ τετράγωνα · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΕ , ΕΗ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ τετράγωνον · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ τετραγώνῳ . ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ , ΕΖ τὸ ΒΔ ἐστιν · ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΔ · τὸ ἄρα ΒΔ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ τετραγώνῳ . ἴσον δὲ τὸ ΒΔ τῷ Α εὐθυγράμμῳ . καὶ τὸ Α ἄρα εὐθύγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησομένῳ τετραγώνῳ . τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Α ἴσον τετράγωνον συνέσταται τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησόμενον · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ἴσος τετράγωνος συνίστημι . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ Α · δέω δή ὁ Α εὐθύγραμμος ἴσος τετράγωνος συνίστημι . συνίστημι γάρ ὁ Α εὐθύγραμμος ἴσος παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον ὁ ΒΔ · εἰ μέν οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΔ , γίγνομαι ἄν εἰμί ὁ ἐπιτάσσω . συνίστημι γάρ ὁ Α εὐθύγραμμος ἴσος τετράγωνος ὁ ΒΔ · εἰ δέ οὐ , εἷς ὁ ΒΕ , ΕΔ μέγας εἰμί . εἰμί μέγας ὁ ΒΕ , καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ , καί κεῖμαι ὁ ΕΔ ἴσος ὁ ΕΖ , καί τέμνω ὁ ΒΖ δίχα κατά ὁ Η , καί κέντρον ὁ Η , διάστημα δέ εἷς ὁ ΗΒ , ΗΖ ἡμικύκλιον γράφω ὁ ΒΘΖ , καί ἐκβάλλω ὁ ΔΕ ἐπί ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΒΖ τέμνω εἰς μέν ἴσος κατά ὁ Η , εἰς δέ ἄνισος κατά ὁ Ε , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΕ , ΕΖ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΗ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΖ τετράγωνος . ἴσος δέ ὁ ΗΖ ὁ ΗΘ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΕ , ΕΖ μετά ὁ ἀπό ὁ ΗΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΘ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΕ , ΕΗ τετράγωνος · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΕ , ΕΖ μετά ὁ ἀπό ΗΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΕ , ΕΗ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΗΕ τετράγωνος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , ΕΖ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΘ τετράγωνος . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , ΕΖ ὁ ΒΔ εἰμί · ἴσος γάρ ὁ ΕΖ ὁ ΕΔ · ὁ ἄρα ΒΔ παραλληλόγραμμος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΘΕ τετράγωνος . ἴσος δέ ὁ ΒΔ ὁ Α εὐθύγραμμος . καί ὁ Α ἄρα εὐθύγραμμος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΘ ἀναγράφω τετράγωνος . ὁ ἄρα δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ Α ἴσος τετράγωνος συνίστημι ὁ ἀπό ὁ ΕΘ ἀναγράφω · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 3.def.1
ἴσοι κύκλοι εἰσίν , ὧν αἱ διάμετροι ἴσαι εἰσίν , ἢ ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων ἴσαι εἰσίν .
Lemmas: ἴσος κύκλος εἰμί , ὅς ὁ διάμετρος ἴσος εἰμί , ἤ ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί .
euclides-geom.elementa 3.def.2
εὐθεῖα κύκλου ἐφάπτεσθαι λέγεται , ἥτις ἁπτομένη τοῦ κύκλου καὶ ἐκβαλλομένη οὐ τέμνει τὸν κύκλον .
Lemmas: εὐθύς κύκλος ἐφάπτω λέγω , ὅστις ἅπτω ὁ κύκλος καί ἐκβάλλω οὐ τέμνω ὁ κύκλος .
euclides-geom.elementa 3.def.3
κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται οἵτινες ἁπτόμενοι ἀλλήλων οὐ τέμνουσιν ἀλλήλους .
Lemmas: κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων λέγω ὅστις ἅπτω ἀλλήλων οὐ τέμνω ἀλλήλων .
euclides-geom.elementa 3.def.4
ἐν κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται , ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπʼ αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν .
Lemmas: ἐν κύκλος ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ κέντρον εὐθύς λέγω , ὅταν ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί αὐτός κάθετος ἄγω ἴσος εἰμί .
euclides-geom.elementa 3.def.5
μεῖζον δὲ ἀπέχειν λέγεται , ἐφʼ ἣν ἡ μείζων κάθετος πίπτει .
Lemmas: μέγας δέ ἀπέχω λέγω , ἐπί ὅς ὁ μέγας κάθετος πίπτω .
euclides-geom.elementa 3.def.6
τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας .
Lemmas: τμῆμα κύκλος εἰμί ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό τε εὐθεῖα καί κύκλος περιφέρεια .
euclides-geom.elementa 3.def.7
τμήματος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπό τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας .
Lemmas: τμῆμα δέ γωνία εἰμί ὁ περιέχω ὑπό τε εὐθεῖα καί κύκλος περιφέρεια .
euclides-geom.elementa 3.def.8
ἐν τμήματι δὲ γωνία ἐστίν , ὅταν ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ τμήματος ληφθῇ τι σημεῖον καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας , ἥ ἐστι βάσις τοῦ τμήματος , ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι , ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν .
Lemmas: ἐν τμῆμα δέ γωνία εἰμί , ὅταν ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ τμῆμα λαμβάνω τις σημεῖον καί ἀπό αὐτός ἐπί ὁ πέρας ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα , ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα , ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα .
euclides-geom.elementa 3.def.9
ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν εὐθεῖαι ἀπολαμβάνωσί τινα περιφέρειαν , ἐπʼ ἐκείνης λέγεται βεβηκέναι ἡ γωνία .
Lemmas: ὅταν δέ ὁ περιέχω ὁ γωνία εὐθύς ἀπολαμβάνω τις περιφέρεια , ἐπί ἐκεῖνος λέγω βαίνω ὁ γωνία .
euclides-geom.elementa 3.def.10
Τομεὺς δὲ κύκλου ἐστίν , ὅταν πρὸς τῷ κέντρῳ τοῦ κύκλου συσταθῇ γωνία , τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῶν τὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῶν περιφερείας .
Lemmas: τομεύς δέ κύκλος εἰμί , ὅταν πρός ὁ κέντρον ὁ κύκλος συνίστημι γωνία , ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό τε ὁ ὁ γωνία περιέχω εὐθεῖα καί ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό αὐτός περιφέρεια .
euclides-geom.elementa 3.def.11
ὅμοια τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας , ἢ ἐν οἷς αἱ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν .
Lemmas: ὅμοιος τμῆμα κύκλος εἰμί ὁ δέχομαι γωνία ἴσος , ἤ ἐν ὅς ὁ γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
euclides-geom.elementa 3.prop.1
τοῦ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν . ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ · δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν . διήχθω τις εἰς αὐτόν , ὡς ἔτυχεν , εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΓ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε , καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ · λέγω , ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἔστω τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ , ΗΔ , ΗΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ , δύο δὴ αἱ ΑΔ , ΔΗ δύο ταῖς ΗΔ , ΔΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ βάσις ἡ ΗΑ βάσει τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση · ἐκ κέντρου γάρ · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ ἴση ἐστίν . ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ , ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΔΒ . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ὀρθή · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ , ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὸ Η κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδʼ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ζ . τὸ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ , ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι κύκλος ὁ κέντρον εὑρίσκω . εἰμί ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ · δέω δή ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ κέντρον εὑρίσκω . διάγω τις εἰς αὐτός , ὡς τυγχάνω , εὐθύς ὁ ΑΒ , καί τέμνω δίχα κατά ὁ Δ σημεῖον , καί ἀπό ὁ Δ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΔΓ καί διάγω ἐπί ὁ Ε , καί τέμνω ὁ ΓΕ δίχα κατά ὁ Ζ · λέγω , ὅτι ὁ Ζ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , εἰμί ὁ Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΑ , ΗΔ , ΗΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ , κοινός δέ ὁ ΔΗ , δύο δή ὁ ΑΔ , ΔΗ δύο ὁ ΗΔ , ΔΒ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί βάσις ὁ ΗΑ βάσις ὁ ΗΒ εἰμί ἴσος · ἐκ κέντρον γάρ · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΔΗ γωνία ὁ ὑπό ΗΔΒ ἴσος εἰμί . ὅταν δέ εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἵστημι ὁ ἐφεξῆς γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , ὀρθός ἑκάτερος ὁ ἴσος γωνία εἰμί · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΗΔΒ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΖΔΒ ὀρθός · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΖΔΒ ὁ ὑπό ΗΔΒ , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Η κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος τις πλήν ὁ Ζ . ὁ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν ἐν κύκλος εὐθύς τις εὐθεῖα τις δίχα καί πρός ὀρθός τέμνω , ἐπί ὁ τέμνω εἰμί ὁ κέντρον ὁ κύκλος · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 3.prop.2
ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα , ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α , Β · λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΑΕΒ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ δ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ , ΔΒ , καὶ διήχθω ἡ ΔΖΕ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ , ἴση ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ · καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΑΕ μία πλευρὰ προσεκβέβληται ἡ ΑΕΒ , μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΑΕ . ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ · μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ . ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει · μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΕ . ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΔΖ . μείζων ἄρα ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἐπʼ αὐτῆς τῆς περιφερείας · ἐντὸς ἄρα . ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα , ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος ἐπί ὁ περιφέρεια λαμβάνω δύο τυγχάνω σημεῖον , ὁ ἐπί ὁ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐντός πίπτω ὁ κύκλος . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός λαμβάνω δύο τυγχάνω σημεῖον ὁ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Β ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐντός πίπτω ὁ κύκλος . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , πίπτω ἐκτός ὡς ὁ ΑΕΒ , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί εἰμί ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΑ , ΔΒ , καί διάγω ὁ ΔΖΕ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΔΒ , ἴσος ἄρα καί γωνία ὁ ὑπό ΔΑΕ ὁ ὑπό ΔΒΕ · καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΔΑΕ εἷς πλευρόν προσεκβάλλω ὁ ΑΕΒ , μέγας ἄρα ὁ ὑπό ΔΕΒ γωνία ὁ ὑπό ΔΑΕ . ἴσος δέ ὁ ὑπό ΔΑΕ ὁ ὑπό ΔΒΕ · μέγας ἄρα ὁ ὑπό ΔΕΒ ὁ ὑπό ΔΒΕ . ὑπό δέ ὁ μέγας γωνία ὁ μέγας πλευρόν ὑποτείνω · μέγας ἄρα ὁ ΔΒ ὁ ΔΕ . ἴσος δέ ὁ ΔΒ ὁ ΔΖ . μέγας ἄρα ὁ ΔΖ ὁ ΔΕ ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Β ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐκτός πίπτω ὁ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἐπί αὐτός ὁ περιφέρεια · ἐντός ἄρα . ἐάν ἄρα κύκλος ἐπί ὁ περιφέρεια λαμβάνω δύο τυγχάνω σημεῖον , ὁ ἐπί ὁ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐντός πίπτω ὁ κύκλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.3
ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει · καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ , καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ ἐν αὐτῷ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ δίχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον · λέγω , ὅτι καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ , ΕΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ , δύο δυσὶν ἴσαι . καὶ βάσις ἡ ΕΑ βάσει τῇ ΕΒ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν . ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ , ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν · ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ , ΒΖΕ ὀρθή ἐστιν . ἡ ΓΔ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει . ἀλλὰ δὴ ἡ ΓΔ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω · λέγω , ὅτι καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει , τουτέστιν , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ . ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση · δύο ἄρα τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΑΖ , ΕΖΒ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΕΖ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν · καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει · ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ . ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει · καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ , καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἐν κύκλος εὐθύς τις διά ὁ κέντρον εὐθεῖα τις μή διά ὁ κέντρον δίχα τέμνω , καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω · καί ἐάν πρός ὀρθός αὐτός τέμνω , καί δίχα αὐτός τέμνω . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ἐν αὐτός εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ὁ ΓΔ εὐθεῖα τις μή διά ὁ κέντρον ὁ ΑΒ δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ σημεῖον · λέγω , ὅτι καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί εἰμί ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΑ , ΕΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ , κοινός δέ ὁ ΖΕ , δύο δύο ἴσος . καί βάσις ὁ ΕΑ βάσις ὁ ΕΒ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΖΕ γωνία ὁ ὑπό ΒΖΕ ἴσος εἰμί . ὅταν δέ εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἵστημι ὁ ἐφεξῆς γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , ὀρθός ἑκάτερος ὁ ἴσος γωνία εἰμί · ἑκάτερος ἄρα ὁ ὑπό ΑΖΕ , ΒΖΕ ὀρθός εἰμί . ὁ ΓΔ ἄρα διά ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒ μή διά ὁ κέντρον εἰμί δίχα τέμνω καί πρός ὀρθός τέμνω . ἀλλά δή ὁ ΓΔ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός τέμνω · λέγω , ὅτι καί δίχα αὐτός τέμνω , τουτέστι , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΑ ὁ ΕΒ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΕΑΖ ὁ ὑπό ΕΒΖ . εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ ὑπό ΑΖΕ ὀρθός ὁ ὑπό ΒΖΕ ἴσος · δύο ἄρα τρίγωνος εἰμί ὁ ΕΑΖ , ΕΖΒ ὁ δύο γωνία δύο γωνία ἴσος ἔχω καί εἷς πλευρά εἷς πλευρά ἴσος κοινός αὐτός ὁ ΕΖ ὑποτείνω ὑπό εἷς ὁ ἴσος γωνία · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά ὁ λοιπός πλευρά ἴσος ἔχω · ἴσος ἄρα ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ . ἐάν ἄρα ἐν κύκλος εὐθύς τις διά ὁ κέντρον εὐθεῖα τις μή διά ὁ κέντρον δίχα τέμνω , καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω · καί ἐάν πρός ὀρθός αὐτός τέμνω , καί δίχα αὐτός τέμνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.4
ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι , οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ , ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι · λέγω , ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα . εἰ γὰρ δυνατόν , τεμνέτωσαν ἀλλήλας δίχα ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ , τὴν δὲ ΒΕ τῇ ΕΔ · καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ . ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ δίχα τέμνει , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΑ · πάλιν , ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΔ δίχα τέμνει , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει · ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΒ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθή · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΑ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα αἱ ΑΓ , ΒΔ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα . ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι , οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἐν κύκλος δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων μή διά ὁ κέντρον εἰμί , οὐ τέμνω ἀλλήλων δίχα . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καί ἐν αὐτός δύο εὐθεῖα ὁ ΑΓ , ΒΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε μή διά ὁ κέντρον εἰμί · λέγω , ὅτι οὐ τέμνω ἀλλήλων δίχα . εἰ γάρ δυνατός , τέμνω ἀλλήλων δίχα ὥστε ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΕ ὁ ΕΓ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΕΔ · καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , καί εἰμί ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΕ . ἐπεί οὖν εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ὁ ΖΕ εὐθεῖα τις μή διά ὁ κέντρον ὁ ΑΓ δίχα τέμνω , καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΖΕΑ · πάλιν , ἐπεί εὐθύς τις ὁ ΖΕ εὐθεῖα τις ὁ ΒΔ δίχα τέμνω , καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω · ὀρθός ἄρα ὁ ὑπό ΖΕΒ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΖΕΑ ὀρθός · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΖΕΑ ὁ ὑπό ΖΕΒ ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΑΓ , ΒΔ τέμνω ἀλλήλων δίχα . ἐάν ἄρα ἐν κύκλος δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων μή διά ὁ κέντρον εἰμί , οὐ τέμνω ἀλλήλων δίχα · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.5
ἐὰν δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους , οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον . δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΓΔΗ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Β , Γ σημεῖα . λέγω , ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ , καὶ διήχθω ἡ ΕΖΗ , ὡς ἔτυχεν . καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΖ . πάλιν , ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΗ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΗ · ἐδείχθη δὲ ἡ ΕΓ καὶ τῇ ΕΖ ἴση · καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ , ΓΔΗ κύκλων . ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους , οὐκ ἔστιν αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο κύκλος τέμνω ἀλλήλων , οὐ εἰμί αὐτός ὁ αὐτός κέντρον . δύο γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΓΔΗ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Β , Γ σημεῖον . λέγω , ὅτι οὐ εἰμί αὐτός ὁ αὐτός κέντρον . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΓ , καί διάγω ὁ ΕΖΗ , ὡς τυγχάνω . καί ἐπεί ὁ Ε σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΕΓ ὁ ΕΖ . πάλιν , ἐπεί ὁ Ε σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΓΔΗ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΕΓ ὁ ΕΗ · δείκνυμι δέ ὁ ΕΓ καί ὁ ΕΖ ἴσος · καί ὁ ΕΖ ἄρα ὁ ΕΗ εἰμί ἴσος ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Ε σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ , ΓΔΗ κύκλος . ἐάν ἄρα δύο κύκλος τέμνω ἀλλήλων , οὐ εἰμί αὐτός ὁ αὐτός κέντρον · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.6
ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων , οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον . δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ , καὶ διήχθω , ὡς ἔτυχεν , ἡ ΖΕΒ . ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ . πάλιν , ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΕ . ἐδείχθη δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ ἴση · καὶ ἡ ΖΕ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση , ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ , ΓΔΕ κύκλων . ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων , οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων , οὐ εἰμί αὐτός ὁ αὐτός κέντρον . δύο γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ ἐφάπτω ἀλλήλων κατά ὁ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι οὐ εἰμί αὐτός ὁ αὐτός κέντρον . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ , καί διάγω , ὡς τυγχάνω , ὁ ΖΕΒ . ἐπεί οὖν ὁ Ζ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΖΓ ὁ ΖΒ . πάλιν , ἐπεί ὁ Ζ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΓΔΕ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΖΓ ὁ ΖΕ . δείκνυμι δέ ὁ ΖΓ ὁ ΖΒ ἴσος · καί ὁ ΖΕ ἄρα ὁ ΖΒ εἰμί ἴσος , ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Ζ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ , ΓΔΕ κύκλος . ἐάν ἄρα δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων , οὐ εἰμί αὐτός ὁ αὐτός κέντρον · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.9
ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι , τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , ἐντὸς δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΔΑ , ΔΒ , ΔΓ · λέγω , ὅτι τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ , ΒΓ καὶ τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ σημεῖα , καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΔ , ΖΔ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η , Κ , Θ , Λ σημεῖα . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ , δύο δὴ αἱ ΑΕ , ΕΔ δύο ταῖς ΒΕ , ΕΔ ἴσαι εἰσίν · καὶ βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΔΒ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν · ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ , ΒΕΔ γωνιῶν · ἡ ΗΚ ἄρα τὴν ΑΒ τέμνει δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς . καὶ ἐπεί , ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ , ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου , ἐπὶ τῆς ΗΚ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου . καὶ οὐδὲν ἕτερον κοινὸν ἔχουσιν αἱ ΗΚ , ΘΛ εὐθεῖαι ἢ τὸ Δ σημεῖον · τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι , τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος λαμβάνω τις σημεῖον ἐντός , ἀπό δέ ὁ σημεῖον πρός ὁ κύκλος προσπίπτω πολύς ἤ δύο ἴσος εὐθεῖα , ὁ λαμβάνω σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ κύκλος . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ , ἐντός δέ αὐτός σημεῖον ὁ Δ , καί ἀπό ὁ Δ πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος προσπίπτω πολύς ἤ δύο ἴσος εὐθεῖα ὁ ΔΑ , ΔΒ , ΔΓ · λέγω , ὅτι ὁ Δ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΒ , ΒΓ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Ε , Ζ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΔ , ΖΔ διάγω ἐπί ὁ Η , Κ , Θ , Λ σημεῖον . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΒ , κοινός δέ ὁ ΕΔ , δύο δή ὁ ΑΕ , ΕΔ δύο ὁ ΒΕ , ΕΔ ἴσος εἰμί · καί βάσις ὁ ΔΑ βάσις ὁ ΔΒ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΔ γωνία ὁ ὑπό ΒΕΔ ἴσος εἰμί · ὀρθός ἄρα ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΕΔ , ΒΕΔ γωνία · ὁ ΗΚ ἄρα ὁ ΑΒ τέμνω δίχα καί πρός ὀρθός . καί ἐπεί , ἐάν ἐν κύκλος εὐθύς τις εὐθεῖα τις δίχα τε καί πρός ὀρθός τέμνω , ἐπί ὁ τέμνω εἰμί ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ἐπί ὁ ΗΚ ἄρα εἰμί ὁ κέντρον ὁ κύκλος . διά ὁ αὐτός δή καί ἐπί ὁ ΘΛ εἰμί ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος . καί οὐδείς ἕτερος κοινός ἔχω ὁ ΗΚ , ΘΛ εὐθεῖα ἤ ὁ Δ σημεῖον · ὁ Δ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἐάν ἄρα κύκλος λαμβάνω τις σημεῖον ἐντός , ἀπό δέ ὁ σημεῖον πρός ὁ κύκλος προσπίπτω πολύς ἤ δύο ἴσος εὐθεῖα , ὁ λαμβάνω σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ κύκλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.10
κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο . εἰ γὰρ δυνατόν , κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Β , Η , Ζ , Θ , καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ , ΒΗ δίχα τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ κ , Λ σημεῖα · καὶ ἀπὸ τῶν Κ , Λ ταῖς ΒΘ , ΒΗ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΚΓ , ΛΜ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Α , Ε σημεῖα . ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΑΓ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΘ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , ἐπὶ τῆς ΑΓ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου . πάλιν , ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ αὐτῷ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΗ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου . ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ , καὶ κατʼ οὐδὲν συμβάλλουσιν αἱ ΑΓ , ΝΞ εὐθεῖαι ἢ κατὰ τὸ Ο · τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου κέντρον ἐστὶ τὸ Ο · δύο ἄρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλους τῶν ΑΒΓ , ΔΕΖ τὸ αὐτό ἐστι κέντρον τὸ Ο · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: κύκλος κύκλος οὐ τέμνω κατά πολύς σημεῖον ἤ δύο . εἰ γάρ δυνατός , κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΔΕΖ τέμνω κατά πολύς σημεῖον ἤ δύο ὁ Β , Η , Ζ , Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΘ , ΒΗ δίχα τέμνω κατά ὁ κ , Λ σημεῖον · καί ἀπό ὁ Κ , Λ ὁ ΒΘ , ΒΗ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΚΓ , ΛΜ διάγω ἐπί ὁ Α , Ε σημεῖον . ἐπεί οὖν ἐν κύκλος ὁ ΑΒΓ εὐθύς τις ὁ ΑΓ εὐθεῖα τις ὁ ΒΘ δίχα καί πρός ὀρθός τέμνω , ἐπί ὁ ΑΓ ἄρα εἰμί ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος . πάλιν , ἐπεί ἐν κύκλος ὁ αὐτός ὁ ΑΒΓ εὐθύς τις ὁ ΝΞ εὐθεῖα τις ὁ ΒΗ δίχα καί πρός ὀρθός τέμνω , ἐπί ὁ ΝΞ ἄρα εἰμί ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος . δείκνυμι δέ καί ἐπί ὁ ΑΓ , καί κατά οὐδείς συμβάλλω ὁ ΑΓ , ΝΞ εὐθεῖα ἤ κατά ὁ Ο · ὁ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΔΕΖ κύκλος κέντρον εἰμί ὁ Ο · δύο ἄρα κύκλος τέμνω ἀλλήλων ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ αὐτός εἰμί κέντρον ὁ Ο · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα κύκλος κύκλος τέμνω κατά πολύς σημεῖον ἤ δύο · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.11
ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός , καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα , ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων . δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐντὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον , καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Ζ , τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η · λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Α πεσεῖται . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , πιπτέτω ὡς ἡ ΖΗΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΑΗ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ , ΗΖ τῆς ΖΑ , τουτέστι τῆς ΖΘ , μείζονές εἰσιν , κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστίν . ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ · καὶ ἡ ΗΔ ἄρα τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται · κατὰ τὸ Α ἄρα ἐπὶ τῆς συναφῆς πεσεῖται . ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός , , ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων ἐντός , καί λαμβάνω αὐτός ὁ κέντρον , ὁ ἐπί ὁ κέντρον αὐτός ἐπιζεύγνυμι εὐθύς καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ συναφή πίπτω ὁ κύκλος . δύο γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΑΔΕ ἐφάπτω ἀλλήλων ἐντός κατά ὁ Α σημεῖον , καί λαμβάνω ὁ μέν ΑΒΓ κύκλος κέντρον ὁ Ζ , ὁ δέ ΑΔΕ ὁ Η · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Η ἐπί ὁ Ζ ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐκβάλλω ἐπί ὁ Α πίπτω . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , πίπτω ὡς ὁ ΖΗΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ , ΑΗ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΗ , ΗΖ ὁ ΖΆ , τουτέστι ὁ ΖΘ , μέγας εἰμί , κοινός ἀφαιρέω ὁ ΖΗ · λοιπός ἄρα ὁ ΑΗ λοιπός ὁ ΗΘ μέγας εἰμί . ἴσος δέ ὁ ΑΗ ὁ ΗΔ · καί ὁ ΗΔ ἄρα ὁ ΗΘ μέγας εἰμί ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Η ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐκτός πίπτω · κατά ὁ Α ἄρα ἐπί ὁ συναφή πίπτω . ἐάν ἄρα δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων ἐντός , , ὁ ἐπί ὁ κέντρον αὐτός ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐπί ὁ συναφή πίπτω ὁ κύκλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.12
ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός , ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται . δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐκτὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον , καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κέντρον τὸ Ζ , τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η · λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς ἐλεύσεται . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἐρχέσθω ὡς ἡ ΖΓΔΗ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΑΗ . ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ . πάλιν , ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΔΕ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΗΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ ἴση · αἱ ἄρα ΖΑ , ΑΗ ταῖς ΖΓ , ΗΔ ἴσαι εἰσίν · ὥστε ὅλη ἡ ΖΗ τῶν ΖΑ , ΑΗ μείζων ἐστίν · ἀλλὰ καὶ ἐλάττων · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς οὐκ ἐλεύσεται · διʼ αὐτῆς ἄρα . ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός , ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων ἐκτός , ὁ ἐπί ὁ κέντρον αὐτός ἐπιζεύγνυμι διά ὁ ἐπαφή ἔρχομαι . δύο γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΑΔΕ ἐφάπτω ἀλλήλων ἐκτός κατά ὁ Α σημεῖον , καί λαμβάνω ὁ μέν ΑΒΓ κέντρον ὁ Ζ , ὁ δέ ΑΔΕ ὁ Η · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Η ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα διά ὁ κατά ὁ Α ἐπαφή ἔρχομαι . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , ἔρχομαι ὡς ὁ ΖΓΔΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ , ΑΗ . ἐπεί οὖν ὁ Ζ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΖΑ ὁ ΖΓ . πάλιν , ἐπεί ὁ Η σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΔΕ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΗΑ ὁ ΗΔ . δείκνυμι δέ καί ὁ ΖΑ ὁ ΖΓ ἴσος · ὁ ἄρα ΖΑ , ΑΗ ὁ ΖΓ , ΗΔ ἴσος εἰμί · ὥστε ὅλος ὁ ΖΗ ὁ ΖΆ , ΑΗ μέγας εἰμί · ἀλλά καί ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Η ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα διά ὁ κατά ὁ Α ἐπαφή οὐ ἔρχομαι · διά αὐτός ἄρα . ἐάν ἄρα δύο κύκλος ἐφάπτω ἀλλήλων ἐκτός , ὁ ἐπί ὁ κέντρον αὐτός ἐπιζεύγνυμι διά ὁ ἐπαφή ἔρχομαι · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.13
κύκλος κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καθʼ ἕν , ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται . εἰ γὰρ δυνατόν , κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλου τοῦ ΕΒΖΔ ἐφαπτέσθω πρότερον ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ δ , Β . καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου κέντρον τὸ Η , τοῦ δὲ ΕΒΖΔ τὸ Θ . ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη ἐπὶ τὰ Β , Δ πεσεῖται . πιπτέτω ὡς ἡ ΒΗΘΔ . καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ · μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΘΔ · πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΒΘ τῆς ΘΔ . πάλιν , ἐπεὶ τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΘΔ · ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων · ὅπερ ἀδύνατον · οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν . λέγω δή , ὅτι οὐδὲ ἐκτός . εἰ γὰρ δυνατόν , κύκλος ὁ ΑΓΚ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Α , Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ . ἐπεὶ οὖν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ , ΑΓΚ εἴληπται ἐπὶ τῆς περιφερείας ἑκατέρου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α , Γ , ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς ἑκατέρου πεσεῖται · ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ ἐντὸς ἔπεσεν , τοῦ δὲ ΑΓΚ ἐκτός · ὅπερ ἄτοπον · οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ ἐντός . κύκλος ἄρα κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν , ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: κύκλος κύκλος οὐ ἐφάπτω κατά πολύς σημεῖον ἤ κατά εἷς , ἐάν τε ἐντός ἐάν τε ἐκτός ἐφάπτω . εἰ γάρ δυνατός , κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΕΒΖΔ ἐφάπτω πρότερος ἐντός κατά πολύς σημεῖον ἤ εἷς ὁ δ , Β . καί λαμβάνω ὁ μέν ΑΒΓΔ κύκλος κέντρον ὁ Η , ὁ δέ ΕΒΖΔ ὁ Θ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ Η ἐπί ὁ Θ ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ Β , Δ πίπτω . πίπτω ὡς ὁ ΒΗΘΔ . καί ἐπεί ὁ Η σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΒΗ ὁ ΗΔ · μέγας ἄρα ὁ ΒΗ ὁ ΘΔ · πολύς ἄρα μέγας ὁ ΒΘ ὁ ΘΔ . πάλιν , ἐπεί ὁ Θ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΕΒΖΔ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΒΘ ὁ ΘΔ · δείκνυμι δέ αὐτός καί πολύς μέγας · ὅς ἀδύνατος · οὐ ἄρα κύκλος κύκλος ἐφάπτω ἐντός κατά πολύς σημεῖον ἤ εἷς . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ἐκτός . εἰ γάρ δυνατός , κύκλος ὁ ΑΓΚ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ ἐφάπτω ἐκτός κατά πολύς σημεῖον ἤ εἷς ὁ Α , Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ . ἐπεί οὖν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , ΑΓΚ λαμβάνω ἐπί ὁ περιφέρεια ἑκάτερος δύο τυγχάνω σημεῖον ὁ Α , Γ , ὁ ἐπί ὁ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐντός ἑκάτερος πίπτω · ἀλλά ὁ μέν ΑΒΓΔ ἐντός πίπτω , ὁ δέ ΑΓΚ ἐκτός · ὅς ἄτοπος · οὐ ἄρα κύκλος κύκλος ἐφάπτω ἐκτός κατά πολύς σημεῖον ἤ εἷς . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ ἐντός . κύκλος ἄρα κύκλος οὐ ἐφάπτω κατά πολύς σημεῖον ἤ εἷς , ἐάν τε ἐντός ἐάν τε ἐκτός ἐφάπτω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.15
ἐν κύκλῳ μεγίστη μὲν ἡ διάμετρος τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ , κέντρον δὲ τὸ Ε , καὶ ἔγγιον μὲν τῆς ΑΔ διαμέτρου ἔστω ἡ ΒΓ , ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ · λέγω , ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΑΔ , μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ . ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὰς ΒΓ , ΖΗ κάθετοι αἱ ΕΘ , ΕΚ . καὶ ἐπεὶ ἔγγιον μὲν τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΒΓ , ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ , μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΕΘ . κείσθω τῇ ΕΘ ἴση ἡ ΕΛ , καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΚ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΛΜ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ , ΕΝ , ΖΕ , ΕΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΕΛ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΜΝ . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΜ , ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΝ , ἡ ἄρα ΑΔ ταῖς ΜΕ , ΕΝ ἴση ἐστίν . ἀλλʼ αἱ μὲν ΜΕ , ΕΝ τῆς ΜΝ μείζονές εἰσιν [ καὶ ἡ ΑΔ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν , ἴση δὲ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ · ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΒΓ μείζων ἐστίν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΜΕ , ΕΝ δύο ταῖς ΖΕ , ΕΗ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΕΝ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΕΗ μείζων , βάσις ἄρα ἡ ΜΝ βάσεως τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν . ἀλλὰ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ ἐδείχθη ἴση . μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΑΔ διάμετρος , μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ . ἐν κύκλῳ ἄρα μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διάμετρος , τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν κύκλος μέγας μέν ὁ διάμετρος ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ κέντρον ὁ ἀπώτερος μέγας εἰμί . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ ΑΔ , κέντρον δέ ὁ Ε , καί ἐγγίων μέν ὁ ΑΔ διάμετρος εἰμί ὁ ΒΓ , ἀπώτερος δέ ὁ ΖΗ · λέγω , ὅτι μέγας μέν εἰμί ὁ ΑΔ , μέγας δέ ὁ ΒΓ ὁ ΖΗ . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Ε κέντρον ἐπί ὁ ΒΓ , ΖΗ κάθετος ὁ ΕΘ , ΕΚ . καί ἐπεί ἐγγίων μέν ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΒΓ , ἀπώτερος δέ ὁ ΖΗ , μέγας ἄρα ὁ ΕΚ ὁ ΕΘ . κεῖμαι ὁ ΕΘ ἴσος ὁ ΕΛ , καί διά ὁ Λ ὁ ΕΚ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΛΜ διάγω ἐπί ὁ Ν , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΕ , ΕΝ , ΖΕ , ΕΗ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΘ ὁ ΕΛ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΒΓ ὁ ΜΝ . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΕ ὁ ΕΜ , ὁ δέ ΕΔ ὁ ΕΝ , ὁ ἄρα ΑΔ ὁ ΜΕ , ΕΝ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν ΜΕ , ΕΝ ὁ ΜΝ μέγας εἰμί [ καί ὁ ΑΔ ὁ ΜΝ μέγας εἰμί , ἴσος δέ ὁ ΜΝ ὁ ΒΓ · ὁ ΑΔ ἄρα ὁ ΒΓ μέγας εἰμί . καί ἐπεί δύο ὁ ΜΕ , ΕΝ δύο ὁ ΖΕ , ΕΗ ἴσος εἰμί , καί γωνία ὁ ὑπό ΜΕΝ γωνία ὁ ὑπό ΖΕΗ μέγας , βάσις ἄρα ὁ ΜΝ βάσις ὁ ΖΗ μέγας εἰμί . ἀλλά ὁ ΜΝ ὁ ΒΓ δείκνυμι ἴσος . μέγας μέν ἄρα ὁ ΑΔ διάμετρος , μέγας δέ ὁ ΒΓ ὁ ΖΗ . ἐν κύκλος ἄρα μέγας μέν εἰμί ὁ διάμετρος , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ κέντρον ὁ ἀπώτερος μέγας εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.17
ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α , ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος ὁ ΒΓΔ · δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ , ΑΒ · λέγω , ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΑΒ . ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ , ΑΖΗ κύκλων , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ , ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ · δύο δὴ αἱ ΑΕ , ΕΒ δύο ταῖς ΖΕ , ΕΔ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν πρὸς τῷ Ε · βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ . καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου · ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου · ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου . ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντος κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΒ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἀπό ὁ δίδωμι σημεῖον ὁ δίδωμι κύκλος ἐφάπτω εὐθύς γραμμή ἄγω . εἰμί ὁ μέν δίδωμι σημεῖον ὁ Α , ὁ δέ δίδωμι κύκλος ὁ ΒΓΔ · δέω δή ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ΒΓΔ κύκλος ἐφάπτω εὐθύς γραμμή ἄγω . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , καί κέντρον μέν ὁ Ε διάστημα δέ ὁ ΕΑ κύκλος γράφω ὁ ΑΖΗ , καί ἀπό ὁ Δ ὁ ΕΑ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΔΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ , ΑΒ · λέγω , ὅτι ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ΒΓΔ κύκλος ἐφάπτω ἄγω ὁ ΑΒ . ἐπεί γάρ ὁ Ε κέντρον εἰμί ὁ ΒΓΔ , ΑΖΗ κύκλος , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΕΑ ὁ ΕΖ , ὁ δέ ΕΔ ὁ ΕΒ · δύο δή ὁ ΑΕ , ΕΒ δύο ὁ ΖΕ , ΕΔ ἴσος εἰμί · καί γωνία κοινός περιέχω ὁ πρός ὁ Ε · βάσις ἄρα ὁ ΔΖ βάσις ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ὁ ΕΒΑ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΕΔΖ ὁ ὑπό ΕΒΑ . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΕΔΖ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΕΒΑ . καί εἰμί ὁ ΕΒ ἐκ ὁ κέντρον · ὁ δέ ὁ διάμετρον ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ἄκρα ἄγω ἐφάπτω ὁ κύκλος · ὁ ΑΒ ἄρα ἐφάπτω ὁ ΒΓΔ κύκλος . ἀπό ὁ ἄρα δίδωμι σημεῖον ὁ Α ὁ δίδωμι κύκλος ὁ ΒΓΔ ἐφάπτω εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΒ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 3.prop.18
ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα , ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην . κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ · λέγω , ὅτι ἡ ΖΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ . εἰ γὰρ μή , ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΖΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΗΓ γωνία ὀρθή ἐστιν , ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΗ · ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει · μείζων ἄρα ἡ ΖΓ τῆς ΖΗ · ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΖΗ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ΖΗ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδʼ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΖΓ · ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ . ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα , ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος ἐφάπτω τις εὐθύς , ἀπό δέ ὁ κέντρον ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι τις εὐθεῖα , ὁ ἐπιζεύγνυμι κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ἐφάπτω . κύκλος γάρ ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΔΕ κατά ὁ Γ σημεῖον , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Γ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΖΓ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΔΕ . εἰ γάρ μή , ἄγω ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ ΔΕ κάθετος ὁ ΖΗ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΖΗΓ γωνία ὀρθός εἰμί , ὀξύς ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΖΓΗ · ὑπό δέ ὁ μέγας γωνία ὁ μέγας πλευρόν ὑποτείνω · μέγας ἄρα ὁ ΖΓ ὁ ΖΗ · ἴσος δέ ὁ ΖΓ ὁ ΖΒ · μέγας ἄρα καί ὁ ΖΒ ὁ ΖΗ ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΖΗ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΔΕ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος τις πλήν ὁ ΖΓ · ὁ ΖΓ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΔΕ . ἐάν ἄρα κύκλος ἐφάπτω τις εὐθύς , ἀπό δέ ὁ κέντρον ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι τις εὐθύς , ὁ ἐπιζεύγνυμι κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ἐφάπτω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 3.prop.19
ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα , ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ , ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου . κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΑ · λέγω , ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΓ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ . ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ , ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθή · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδʼ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τῆς ΑΓ . ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα , ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ , ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος ἐφάπτω τις εὐθύς , ἀπό δέ ὁ ἁφή ὁ ἐφάπτω πρός ὀρθός εὐθύς γραμμή ἄγω , ἐπί ὁ ἄγω εἰμί ὁ κέντρον ὁ κύκλος . κύκλος γάρ ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΔΕ κατά ὁ Γ σημεῖον , καί ἀπό ὁ Γ ὁ ΔΕ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΓΑ · λέγω , ὅτι ἐπί ὁ ΑΓ εἰμί ὁ κέντρον ὁ κύκλος . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , εἰμί ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ . ἐπεί κύκλος ὁ ΑΒΓ ἐφάπτω τις εὐθύς ὁ ΔΕ , ἀπό δέ ὁ κέντρον ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ , ὁ ΖΓ ἄρα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ΔΕ · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΖΓΕ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΓΕ ὀρθός · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΖΓΕ ὁ ὑπό ΑΓΕ ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Ζ κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος τις πλήν ἐπί ὁ ΑΓ . ἐάν ἄρα κύκλος ἐφάπτω τις εὐθύς , ἀπό δέ ὁ ἁφή ὁ ἐφάπτω πρός ὀρθός εὐθύς γραμμή ἄγω , ἐπί ὁ ἄγω εἰμί ὁ κέντρον ὁ κύκλος · ὅς δέω δείκνυμι .