euclides-geom.elementa 10.prop1.18
ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι , τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ , ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ . ῎ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α , ΒΓ , ὧν μείζων ἡ ΒΓ , τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ , ἀσύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει · λέγω , ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων τῷ πρότερον ὁμοίως δείξομεν , ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ . δεικτέον , ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ μήκει . ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει . ἀλλὰ ἡ ΔΓ σύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ , ΔΓ · καὶ ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ , ΔΓ . ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει . καὶ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ · ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . δυνάσθω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ . δεικτέον , ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν , ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ . ἀλλὰ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει · ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ , ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ . ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ , ΔΓ τῇ ΔΓ σύμμετρός ἐστι μήκει · καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει · ὥστε καὶ διελόντι ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει . ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι , καὶ τὰ ἑξῆς . λῆμμα ἐπεὶ δέδεικται , ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει , αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει , ἀλλὰ δὴ δύνανται μήκει καὶ σύμμετροι εἶναι καὶ ἀσύμμετροι , φανερόν , ὅτι , ἐὰν τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ μήκει , λέγεται ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ οὐ μόνον μήκει , ἀλλὰ καὶ δυνάμει , ἐπεὶ αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει . ἐὰν δὲ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει , εἰ μὲν καὶ μήκει , λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ μήκει καὶ δυνάμει · εἰ δὲ τῇ ἐκκειμένῃ πάλιν ῥητῇ σύμμετρός τις οὖσα δυνάμει μήκει αὐτῇ ᾖ ἀσύμμετρος , λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο εὐθεῖα ἄνισος , ὁ δέ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ἴσος παρά ὁ μέγας παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰς ἀσύμμετρος αὐτός διαιρέω , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί ἐάν ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , ὁ δέ τέταρτος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ἴσος παρά ὁ μέγας παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς ἀσύμμετρος αὐτός διαιρέω . ῎ἐστωσαν δύο εὐθεῖα ἄνισος ὁ Α , ΒΓ , ὅς μέγας ὁ ΒΓ , ὁ δέ τέταρτος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ὁ Α ἴσος παρά ὁ ΒΓ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔΓ , ἀσύμμετρος δέ εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ μῆκος · λέγω , ὅτι ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὁ πρότερος ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΔ . δείκνυμι , ὅτι ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΔΖ μῆκος . ἐπεί γάρ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ μῆκος , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΓ ὁ ΓΔ μῆκος . ἀλλά ὁ ΔΓ σύμμετρος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΒΖ , ΔΓ · καί ὁ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΒΖ , ΔΓ . ὥστε καί λοιπός ὁ ΖΔ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ μῆκος . καί ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΔ · ὁ ΒΓ ἄρα ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . δύναμαι δή πάλιν ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , ὁ δέ τέταρτος ὁ ἀπό ὁ Α ἴσος παρά ὁ ΒΓ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ . δείκνυμι , ὅτι ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ μῆκος . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΔ . ἀλλά ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΖΔ μῆκος · ὥστε καί λοιπός συναμφότεροι ὁ ΒΖ , ΔΓ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ . ἀλλά συναμφότεροι ὁ ΒΖ , ΔΓ ὁ ΔΓ σύμμετρος εἰμί μῆκος · καί ὁ ΒΓ ἄρα ὁ ΔΓ ἀσύμμετρος εἰμί μῆκος · ὥστε καί διαιρέω ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ ἀσύμμετρος εἰμί μῆκος . ἐάν ἄρα εἰμί δύο εὐθεῖα , καί ὁ ἑξῆς . λῆμμα ἐπεί δείκνυμι , ὅτι ὁ μῆκος σύμμετρος πάντως καί δύναμις , ὁ δέ δύναμις οὐ πάντως καί μῆκος , ἀλλά δή δύναμαι μῆκος καί σύμμετρος εἰμί καί ἀσύμμετρος , φανερός , ὅτι , ἐάν ὁ ἔκκειμαι ῥητός σύμμετρος τις εἰμί μῆκος , λέγω ῥητός καί σύμμετρος αὐτός οὐ μόνος μῆκος , ἀλλά καί δύναμις , ἐπεί ὁ μῆκος σύμμετρος πάντως καί δύναμις . ἐάν δέ ὁ ἔκκειμαι ῥητός σύμμετρος τις εἰμί δύναμις , εἰ μέν καί μῆκος , λέγω καί οὕτως ῥητός καί σύμμετρος αὐτός μῆκος καί δύναμις · εἰ δέ ὁ ἔκκειμαι πάλιν ῥητός σύμμετρος τις εἰμί δύναμις μῆκος αὐτός εἰμί ἀσύμμετρος , λέγω καί οὕτως ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος .