euclides-geom.elementa 1.prop.5
τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται . ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ , καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΑΒ , ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ , ΓΕ · λέγω , ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ , ΗΒ εὐθεῖαι . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ , δύο δὴ αἱ ΖΑ , ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ , ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΖΑΗ · βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν , ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ . καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση , ὧν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΗΒ ἴση · δύο δὴ αἱ ΒΖ , ΖΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ , ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση , καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ · καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση , ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση · καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση · καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν . τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἰσοσκελής τρίγων ὁ πρός ὁ βάσις γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , καί προσεκβάλλω ὁ ἴσος εὐθύς ὁ ὑπό ὁ βάσις γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί τρίγωνον ἰσοσκελής ὁ ΑΒΓ ἴσος ἔχω ὁ ΑΒ πλευρά ὁ ΑΓ πλευρά , καί προσεκβάλλω ἐπί εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΑΓ εὐθεῖα ὁ ΒΔ , ΓΕ · λέγω , ὅτι ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΑΓΒ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ὑπό ΓΒΔ ὁ ὑπό ΒΓΕ . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΒΔ τυγχάνω σημεῖον ὁ Ζ , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ μέγας ὁ ΑΕ ὁ ἐλαχύς ὁ ΑΖ ἴσος ὁ ΑΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ , ΗΒ εὐθεῖα . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΖ ὁ ΑΗ ὁ δέ ΑΒ ὁ ΑΓ , δύο δή ὁ ΖΑ , ΑΓ δύο ὁ ΗΑ , ΑΒ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία κοινός περιέχω ὁ ὑπό ΖΑΗ · βάσις ἄρα ὁ ΖΓ βάσις ὁ ΗΒ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΖΓ τρίγωνον ὁ ΑΗΒ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω , ὁ μέν ὑπό ΑΓΖ ὁ ὑπό ΑΒΗ , ὁ δέ ὑπό ΑΖΓ ὁ ὑπό ΑΗΒ . καί ἐπεί ὅλος ὁ ΑΖ ὅλος ὁ ΑΗ εἰμί ἴσος , ὅς ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ εἰμί ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΒΖ λοιπός ὁ ΓΗ εἰμί ἴσος . δείκνυμι δέ καί ὁ ΖΓ ὁ ΗΒ ἴσος · δύο δή ὁ ΒΖ , ΖΓ δύο ὁ ΓΗ , ΗΒ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΒΖΓ γωνία ὁ ὑπό ΓΗΒ ἴσος , καί βάσις αὐτός κοινός ὁ ΒΓ · καί ὁ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον ὁ ΓΗΒ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ὑπό ΖΒΓ ὁ ὑπό ΗΓΒ ὁ δέ ὑπό ΒΓΖ ὁ ὑπό ΓΒΗ . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ὑπό ΑΒΗ γωνία ὅλος ὁ ὑπό ΑΓΖ γωνία δείκνυμι ἴσος , ὅς ὁ ὑπό ΓΒΗ ὁ ὑπό ΒΓΖ ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ λοιπός ὁ ὑπό ΑΓΒ εἰμί ἴσος · καί εἰμί πρός ὁ βάσις ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΖΒΓ ὁ ὑπό ΗΓΒ ἴσος · καί εἰμί ὑπό ὁ βάσις . ὁ ἄρα ἰσοσκελής τρίγων ὁ πρός ὁ βάσις γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , καί προσεκβάλλω ὁ ἴσος εὐθύς ὁ ὑπό ὁ βάσις γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .