euclides-geom.elementa 10.prop2.84
τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν . ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ , προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ · αἱ ἄρα ΑΓ , ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα . λέγω , ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει ποιοῦσα τὰ προειρημένα . εἰ γὰρ δυνατόν , προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ , ὥστε καὶ τὰς ΑΔ , ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τά τε ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ · καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ , καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΛ · ἡ ἄρα ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ . πάλιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τῷ ΕΛ · λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἴσον τῷ ΘΙ . καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ , μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ , μέσον ἄρα καὶ τὸ ΘΗ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ἄρα ΕΜ , ΜΘ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ , προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι ἡ ΕΘ πάλιν ἀποτομή ἐστιν , προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΝ . τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ · ὅπερ ἐδείχθη ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα . τῇ ἄρα ΑΒ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τά τε ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθύς δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος ὁ τε δίς ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός . εἰμί ὁ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω ὁ ΑΒ , προσαρμόζω δέ αὐτός ὁ ΒΓ · ὁ ἄρα ΑΓ , ΓΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ προλέγω . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ἕτερος οὐ προσαρμόζω ποιέω ὁ προλέγω . εἰ γάρ δυνατός , προσαρμόζω ὁ ΒΔ , ὥστε καί ὁ ΑΔ , ΔΒ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ποιέω ὁ τε ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ τετράγωνος ἅμα μέσος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ μέσος καί ἔτι ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἀσύμμετρος ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ · καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ , καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω ὁ ΕΗ πλάτος ποιέω ὁ ΕΜ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω ὁ ΘΗν πλάτος ποιέω ὁ ΘΜ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ΕΛ · ὁ ἄρα ΑΒ δύναμαι ὁ ΕΛ . πάλιν ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω ὁ ΕΙ πλάτος ποιέω ὁ ΕΝ . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΕΛ · λοιπός ἄρα ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἴσος ὁ ΘΙ . καί ἐπεί μέσος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ καί εἰμί ἴσος ὁ ΕΗ , μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΗ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΕΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΕΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . πάλιν , ἐπεί μέσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ καί εἰμί ἴσος ὁ ΘΗ , μέσος ἄρα καί ὁ ΘΗν . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΘΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΘΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ἀσύμμετρος εἰμί καί ὁ ΕΗ ὁ ΘΗν · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΜ ὁ ΜΘ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ἄρα ΕΜ , ΜΘ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ , προσαρμόζω δέ αὐτός ὁ ΘΜ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ ΕΘ πάλιν ἀποτομή εἰμί , προσαρμόζω δέ αὐτός ὁ ΘΝ . ὁ ἄρα ἀποτομή ἄλλος καί ἄλλος προσαρμόζω ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος · ὅς δείκνυμι ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΑΒ ἕτερος προσαρμόζω εὐθύς . ὁ ἄρα ΑΒ εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος ποιέω ὁ τε ἀπό αὐτός τετράγωνος ἅμα μέσος καί ὁ δίς ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ἀσύμμετρος ὁ δίς ὑπό αὐτός · ὅς δέω δείκνυμι .