ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 11.prop.32
τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις . ἔστω ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι τὰ ΑΒ , ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις , τουτέστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν , οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεόν . παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΖΗ τῷ ΑΕ ἴσον τὸ ΖΘ , καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΖΘ , ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΓΔ στερεὸν παραλληλεπίπεδον συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ . ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΗΚ στερεῷ · ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΑΕ , ΖΘ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος . καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΚ ἐπιπέδῳ τῷ ΔΗ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΔΘ στερεόν . ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΘ βάσις τῇ ΑΕ βάσει , τὸ δὲ ΗΚ στερεὸν τῷ ΑΒ στερεῷ · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν , οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεόν . τὰ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . εἰμί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΑΒ , ΓΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ στερεός παραλληλεπίπεδον πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις , τουτέστι ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΕ βάσις πρός ὁ ΓΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΓΔ στερεός . παραβάλλω γάρ παρά ὁ ΖΗ ὁ ΑΕ ἴσος ὁ ΖΘ , καί ἀπό βάσις μέν ὁ ΖΘ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ ΓΔ στερεός παραλληλεπίπεδον συμπληρόω ὁ ΗΚ . ἴσος δή εἰμί ὁ ΑΒ στερεός ὁ ΗΚ στερεός · ἐπί τε γάρ ἴσος βάσις εἰμί ὁ ΑΕ , ΖΘ καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος . καί ἐπεί στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΓΚ ἐπίπεδος ὁ ΔΗ τέμνω παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΖ βάσις πρός ὁ ΖΘ βάσις , οὕτως ὁ ΓΔ στερεός πρός ὁ ΔΘ στερεός . ἴσος δέ ὁ μέν ΖΘ βάσις ὁ ΑΕ βάσις , ὁ δέ ΗΚ στερεός ὁ ΑΒ στερεός · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ΑΕ βάσις πρός ὁ ΓΖ βάσις , οὕτως ὁ ΑΒ στερεός πρός ὁ ΓΔ στερεός . ὁ ἄρα ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.37
ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ἔσται · καὶ ἐὰν τὰ ἀπʼ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ᾖ , καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται . ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ , καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΚΑ , ΛΓ , ΜΕ , ΝΗ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ , οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ . ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΑ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΛΓ , τὸ ΚΑ ἄρα πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ . καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ . καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΛΓ , οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ . ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΛΓ στερεόν , οὕτως τὸ ΜΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΝΗ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ . ἐπεὶ γὰρ πάλιν τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , ἔχει δὲ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ , καί ἐστιν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ , οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ . ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , καί ὁ ἀπό αὐτός στερεός παραλληλεπίπεδον ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω ἀνάλογος εἰμί · καί ἐάν ὁ ἀπό αὐτός στερεός παραλληλεπίπεδον ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω ἀνάλογος εἰμί , καί αὐτός ὁ εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί . εἰμί τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΚΑ , ΛΓ , ΜΕ , ΝΗ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΚΑ πρός ὁ ΛΓ , οὕτως ὁ ΜΕ πρός ὁ ΝΗ . ἐπεί γάρ ὅμοιος εἰμί ὁ ΚΑ στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΛΓ , ὁ ΚΑ ἄρα πρός ὁ ΛΓ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΜΕ πρός ὁ ΝΗ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ . καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΚ πρός ὁ ΛΓ , οὕτως ὁ ΜΕ πρός ὁ ΝΗ . ἀλλά δή εἰμί ὡς ὁ ΑΚ στερεός πρός ὁ ΛΓ στερεός , οὕτως ὁ ΜΕ στερεός πρός ὁ ΝΗ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒ εὐθύς πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ . ἐπεί γάρ πάλιν ὁ ΚΑ πρός ὁ ΛΓ τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , ἔχω δέ καί ὁ ΜΕ πρός ὁ ΝΗ τριπλασίων λόγος ἤ ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ , καί εἰμί ὡς ὁ ΚΑ πρός ὁ ΛΓ , οὕτως ὁ ΜΕ πρός ὁ ΝΗ , καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ . ἐάν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί καί ὁ ἑξῆς ὁ πρότασις · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.39
ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ , καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον , τὸ δὲ τρίγωνον , διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου , ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα . ἔστω δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ τὰ ΑΒΓΔΕΖ , ΗΘΚΛ ΜΝ , καὶ τὸ μὲν ἐχέτω βάσιν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον , τὸ δὲ τὸ ΗΘΚ τρίγωνον , διπλάσιον δὲ ἔστω τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι . συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΑΞ , ΗΟ στερεά . ἐπεὶ διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου , ἔστι δὲ καὶ τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου , ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ . τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΞ στερεὸν τῷ ΗΟ στερεῷ . καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΞ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα , τοῦ δὲ ΗΟ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΗΘΚΛΜΝ πρίσμα · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι . ἐὰν ἄρα ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ , καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον , τὸ δὲ τρίγωνον , διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου , ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο πρίσμα ἰσουψής , καί ὁ μέν ἔχω βάσις παραλληλόγραμμος , ὁ δέ τρίγωνος , διπλάσιος δέ εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ τρίγωνον , ἴσος εἰμί ὁ πρίσμα . εἰμί δύο πρίσμα ἰσουψής ὁ ΑΒΓΔΕΖ , ΗΘΚΛ ΜΝ , καί ὁ μέν ἔχω βάσις ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμος , ὁ δέ ὁ ΗΘΚ τρίγωνον , διπλάσιος δέ εἰμί ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμος ὁ ΗΘΚ τρίγωνον · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα ὁ ΗΘΚΛΜΝ πρίσμα . συμπληρόω γάρ ὁ ΑΞ , ΗΟ στερεός . ἐπεί διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμος ὁ ΗΘΚ τρίγωνον , εἰμί δέ καί ὁ ΘΚ παραλληλόγραμμος διπλάσιος ὁ ΗΘΚ τρίγωνον , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμος ὁ ΘΚ παραλληλόγραμμος . ὁ δέ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΞ στερεός ὁ ΗΟ στερεός . καί εἰμί ὁ μέν ΑΞ στερεός ἥμισυς ὁ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα , ὁ δέ ΗΟ στερεός ἥμισυς ὁ ΗΘΚΛΜΝ πρίσμα · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα ὁ ΗΘΚΛΜΝ πρίσμα . ἐάν ἄρα εἰμί δύο πρίσμα ἰσουψής , καί ὁ μέν ἔχω βάσις παραλληλόγραμμος , ὁ δέ τρίγωνος , διπλάσιος δέ εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ τρίγωνον , ἴσος εἰμί ὁ πρίσμα · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 12.prop.1
τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα . ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓ , ΖΗΘ , καὶ ἐν αὐτοῖς ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ , διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΜ , ΗΝ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον , οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ , ΑΜ , ΗΛ , ΖΝ . καὶ ἐπεὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ , καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΛ . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΑΕ , ΗΖΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΖΛ , περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΗ . ἀλλʼ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΜΒ ἐστιν ἴση · ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν · ἡ δὲ ὑπὸ ΖΛΗ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΜ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΝ ἴση · καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ . ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ . ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον , τοῦ δὲ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου πρὸς τὸ ΖΗ ΘΚΛ πολύγωνον · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον , οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον . τὰ ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐν ὁ κύκλος ὅμοιος πολύγωνος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρον τετράγωνος . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ , ΖΗΘ , καί ἐν αὐτός ὅμοιος πολύγωνον εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ , διάμετρος δέ ὁ κύκλος εἰμί ὁ ΒΜ , ΗΝ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΜ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΝ τετράγωνος , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρός ὁ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΕ , ΑΜ , ΗΛ , ΖΝ . καί ἐπεί ὅμοιος ὁ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον ὁ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον , ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΑΕ γωνία ὁ ὑπό ΗΖΛ , καί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ὁ ΖΛ . δύο δή τρίγωνος εἰμί ὁ ΒΑΕ , ΗΖΛ εἷς γωνία εἷς γωνία ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ΒΑΕ ὁ ὑπό ΗΖΛ , περί δέ ὁ ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ὁ ΖΗΛάς τρίγωνον . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΒ γωνία ὁ ὑπό ΖΛΗ . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΑΕΒ ὁ ὑπό ΑΜΒ εἰμί ἴσος · ἐπί γάρ ὁ αὐτός περιφέρεια βαίνω · ὁ δέ ὑπό ΖΛΗ ὁ ὑπό ΖΝΗ · καί ὁ ὑπό ΑΜΒ ἄρα ὁ ὑπό ΖΝΗ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὀρθός ὁ ὑπό ΒΑΜ ὀρθός ὁ ὑπό ΗΖΝ ἴσος · καί ὁ λοιπός ἄρα ὁ λοιπός εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΜ τρίγωνον ὁ ΖΗΝ τρίγωνον . ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΜ πρός ὁ ΗΝ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΗΖ . ἀλλά ὁ μέν ὁ ΒΜ πρός ὁ ΗΝ λόγος διπλασίων εἰμί ὁ ὁ ἀπό ὁ ΒΜ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΝ τετράγωνος , ὁ δέ ὁ ΒΑ πρός ὁ ΗΖ διπλασίων εἰμί ὁ ὁ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρός ὁ ΖΗ ΘΚΛ πολύγωνον · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΜ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΝ τετράγωνος , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρός ὁ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον . ὁ ἄρα ἐν ὁ κύκλος ὅμοιος πολύγωνος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρον τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 12.prop.14
οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη . ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ , ΓΔ κύκλων κύλινδροι οἱ ΕΒ , ΖΔ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον , καὶ κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσος ὁ ΛΝ , καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΛΝ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΓΜ . ἐπεὶ οὖν οἱ ΕΒ , ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν , πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις . ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις ἀλλήλαις · ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΕΒ , ΓΜ κύλινδροι . καὶ ἐπεὶ κύλινδρος ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τέτμηται τῷ ΓΔ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΜ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΛΝ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα . ἴσος δέ ἐστιν ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ , ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα . ὡς δὲ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον . καὶ ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα , οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐπί ἴσος βάσις εἰμί κῶνος καί κύλινδρος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ὕψος . εἰμί γάρ ἐπί ἴσος βάσις ὁ ΑΒ , ΓΔ κύκλος κύλινδρος ὁ ΕΒ , ΖΔ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρός ὁ ΖΔ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρός ὁ ΚΛ ἄξων . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπί ὁ Ν σημεῖον , καί κεῖμαι ὁ ΗΘ ἄξων ἴσος ὁ ΛΝ , καί περί ἄξων ὁ ΛΝ κύλινδρος νοέω ὁ ΓΜ . ἐπεί οὖν ὁ ΕΒ , ΓΜ κύλινδρος ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί , πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις . ἴσος δέ εἰμί ὁ βάσις ἀλλήλων · ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΒ , ΓΜ κύλινδρος . καί ἐπεί κύλινδρος ὁ ΖΜ ἐπίπεδος τέμνω ὁ ΓΔ παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΜ κύλινδρος πρός ὁ ΖΔ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΛΝ ἄξων πρός ὁ ΚΛ ἄξων . ἴσος δέ εἰμί ὁ μέν ΓΜ κύλινδρος ὁ ΕΒ κύλινδρος , ὁ δέ ΛΝ ἄξων ὁ ΗΘ ἄξων · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρός ὁ ΖΔ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρός ὁ ΚΛ ἄξων . ὡς δέ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρός ὁ ΖΔ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρός ὁ ΓΔΚ κῶνος . καί ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρός ὁ ΚΛ ἄξων , οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρός ὁ ΓΔΚ κῶνος καί ὁ ΕΒ κύλινδρος πρός ὁ ΖΔ κύλινδρος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 12.prop.16
δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰς τὸν μείζονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου . ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Κ · δεῖ δὴ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΑΒΓΔ πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ κέντρου εὐθεῖα ἡ ΒΚΔ , καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΑ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Γ · ἡ ΑΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . τέμνοντες δὴ τὴν ΒΑΔ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομεν περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΑΔ . λελείφθω , καὶ ἔστω ἡ ΛΔ , καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ , ΔΝ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΔ τῇ ΔΝ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΛΝ τῇ ΑΓ , ἡ δὲ ΑΓ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , ἡ ΛΝ ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου · πολλῷ ἄρα αἱ ΛΔ , ΔΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . ἐὰν δὴ τῇ ΛΔ εὐθείᾳ ἴσας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον , ἐγγραφήσεται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΕΖΗΘ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: δύο κύκλος περί ὁ αὐτός κέντρον εἰμί εἰς ὁ μέγας κύκλος πολύγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἀρτιόπλευρος ἐγγράφω μή ψαύω ὁ ἐλαχύς κύκλος . εἰμί ὁ δίδωμι δύο κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ περί ὁ αὐτός κέντρον ὁ Κ · δέω δή εἰς ὁ μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ πολύγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἀρτιόπλευρος ἐγγράφω μή ψαύω ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . ἄγω γάρ διά ὁ Κ κέντρον εὐθύς ὁ ΒΚΔ , καί ἀπό ὁ Η σημεῖον ὁ ΒΔ εὔθεια πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΗΑ καί διάγω ἐπί ὁ Γ · ὁ ΑΓ ἄρα ἐφάπτω ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . τέμνω δή ὁ ΒΑΔάς περιφέρεια δίχα καί ὁ ἥμισυς αὐτός δίχα καί οὗτος ἀεί ποιέω καταλείπω περιφέρεια ἐλαχύς ὁ ΑΔ . λείπω , καί εἰμί ὁ ΛΔ , καί ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ ΒΔ κάθετος ἄγω ὁ ΛΜ καί διάγω ἐπί ὁ Ν , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΔ , ΔΝ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΛΔ ὁ ΔΝ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΛΝ ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΑΓ ἐφάπτω ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , ὁ ΛΝ ἄρα οὐ ἐφάπτω ὁ ΕΖΗΘ κύκλος · πολύς ἄρα ὁ ΛΔ , ΔΝ οὐ ἐφάπτω ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . ἐάν δή ὁ ΛΔ εὔθεια ἴσος κατά ὁ συνεχής ἐναρμόζω εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πολύγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἀρτιόπλευρος μή ψαύω ὁ ἐλαχύς κύκλος ὁ ΕΖΗΘ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 13.prop.1
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου . εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον , καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΓΑ εὐθεῖα ἡ ΑΔ , καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ . ἀναγεγράφθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΔΓ τετράγωνα τὰ ΑΕ , ΔΖ , καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΔΖ τὸ σχῆμα , καὶ διήχθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Η . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ . καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΖΘ · ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΖΘ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ , ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΑ τῇ ΚΑ , ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΑΘ , διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῆς ΑΘ . ὡς δὲ ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ , οὕτως τὸ ΓΚ πρὸς τὸ ΓΘ · διπλάσιον ἄρα τὸ ΓΚ τοῦ ΓΘ . εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ , ΘΓ διπλάσια τοῦ ΓΘ . ἴσον ἄρα τὸ ΚΓ τοῖς ΛΘ , ΘΓ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ΓΕ τῷ ΘΖ ἴσον · ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ , τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ , τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ . ἴσον δὲ τὸ ΑΕ τῷ ΜΝΞ γνώμονι · καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΑΟ · ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΟ . καί ἐστι τὸ μὲν ΔΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ , τὸ δὲ ΑΟ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΔ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ὁ μέγας τμῆμα προσλαμβάνω ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος πενταπλάσιος δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς τετράγωνος . εὐθύς γάρ γραμμή ὁ ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Γ σημεῖον , καί εἰμί μέγας τμῆμα ὁ ΑΓ , καί ἐκβάλλω ἐπί εὐθεῖα ὁ ΓΑ εὐθύς ὁ ΑΔ , καί κεῖμαι ὁ ΑΒ ἥμισυς ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ ὁ ἀπό ὁ ΔΑ . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ , ΔΓ τετράγωνος ὁ ΑΕ , ΔΖ , καί καταγράφω ἐν ὁ ΔΖ ὁ σχῆμα , καί διάγω ὁ ΖΓ ἐπί ὁ Η . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Γ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ὁ ΑΒΓ ὁ ΓΕ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ΖΘ · ἴσος ἄρα ὁ ΓΕ ὁ ΖΘ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΑΔ , ἴσος δέ ὁ μέν ΒΑ ὁ ΚΑ , ὁ δέ ΑΔ ὁ ΑΘ , διπλόος ἄρα καί ὁ ΚΑ ὁ ΑΘ . ὡς δέ ὁ ΚΑ πρός ὁ ΑΘ , οὕτως ὁ ΓΚ πρός ὁ ΓΘ · διπλάσιος ἄρα ὁ ΓΚ ὁ ΓΘ . εἰμί δέ καί ὁ ΛΘ , ΘΓ διπλάσιος ὁ ΓΘ . ἴσος ἄρα ὁ ΚΓ ὁ ΛΘ , ΘΓ . δείκνυμι δέ καί ὁ ΓΕ ὁ ΘΖ ἴσος · ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ΜΝΞ γνώμων . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΑΔ , τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , τουτέστι ὁ ΑΕ ὁ ΔΘ . ἴσος δέ ὁ ΑΕ ὁ ΜΝΞ γνώμων · καί ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΑΟ · ὅλος ἄρα ὁ ΔΖ πενταπλάσιος εἰμί ὁ ΑΟ . καί εἰμί ὁ μέν ΔΖ ὁ ἀπό ὁ ΔΓ , ὁ δέ ΑΟ ὁ ἀπό ὁ ΔΑ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΓΔ πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΑ . ἐάν ἄρα εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ὁ μέγας τμῆμα προσλαμβάνω ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος πενταπλάσιος δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 13.prop.3
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , τὸ ἔλασσον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος τετραγώνου . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον , καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ · λέγω , ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ , καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα . ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΔΓ , τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ , τουτέστι τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ , καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ , τὸ ἄρα ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ΡΣ . τετραπλάσιον δὲ τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ · τετραπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΓΕ τοῦ ΖΗ . πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΚΖ . ὥστε καὶ τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΛ τετραγώνῳ . ἴση ἄρα ἡ ΗΚ τῇ ΚΛ , τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΕ · ὥστε καὶ τὸ ΜΖ τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον . ἀλλὰ τὸ ΜΖ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον · καὶ τὸ ΓΗ ἄρα τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΝ · ὁ ἄρα ΞΟΠ γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ΓΕ . ἀλλὰ τὸ ΓΕ τετραπλάσιον ἐδείχθη τοῦ ΗΖ · καὶ ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ τετραγώνου . ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ . ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΝ . καί ἐστι τὸ μὲν ΔΝ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ , τὸ δὲ ΗΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΒ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ὁ ἐλαχύς τμῆμα προσλαμβάνω ὁ ἥμισυς ὁ μέγας τμῆμα πενταπλάσιος δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ μέγας τμῆμα τετράγωνος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Γ σημεῖον , καί εἰμί μέγας τμῆμα ὁ ΑΓ , καί τέμνω ὁ ΑΓ δίχα κατά ὁ Δ · λέγω , ὅτι πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΔ ὁ ἀπό ὁ ΔΓ . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΕ , καί καταγράφω διπλόος ὁ σχῆμα . ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΔΓ , τετραπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΔΓ , τουτέστι ὁ ΡΣ ὁ ΖΗ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ὁ ΓΕ , ὁ ἄρα ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ΡΣ . τετραπλάσιος δέ ὁ ΡΣ ὁ ΖΗ · τετραπλάσιος ἄρα καί ὁ ΓΕ ὁ ΖΗ . πάλιν ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΓ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΘΚ ὁ ΚΖ . ὥστε καί ὁ ΗΖ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ΘΛ τετράγωνος . ἴσος ἄρα ὁ ΗΚ ὁ ΚΛ , τουτέστι ὁ ΜΝ ὁ ΝΕάς · ὥστε καί ὁ ΜΖ ὁ ΖΕ εἰμί ἴσος . ἀλλά ὁ ΜΖ ὁ ΓΗ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΓΗ ἄρα ὁ ΖΕ εἰμί ἴσος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΓΝ · ὁ ἄρα ΞΟΠ γνώμων ἴσος εἰμί ὁ ΓΕ . ἀλλά ὁ ΓΕ τετραπλάσιος δείκνυμι ὁ ΗΖ · καί ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΖΗ τετράγωνος . ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καί ὁ ΖΗ τετράγωνος πενταπλάσιος εἰμί ὁ ΖΗ . ἀλλά ὁ ΞΟΠ γνώμων καί ὁ ΖΗ τετράγωνος εἰμί ὁ ΔΝ . καί εἰμί ὁ μέν ΔΝ ὁ ἀπό ὁ ΔΒ , ὁ δέ ΗΖ ὁ ἀπό ὁ ΔΓ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΔΒ πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΓ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 13.prop.4
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος , τὰ συναμφότερα τετράγωνα , τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος τετραγώνου .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ὁ ἀπό ὁ ὅλος καί ὁ ἐλαχύς τμῆμα , ὁ συναμφότεροι τετράγωνος , τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέγας τμῆμα τετράγωνος .
euclides-geom.elementa 13.prop.6
ἐὰν εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή . ἔστω εὐθεῖα ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ , καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ · λέγω , ὅτι ἑκατέρα τῶν ΑΓ , ΓΒ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ , καὶ κείσθω τῆς ΒΑ ἡμίσεια ἡ ΑΔ . ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ , καὶ τῷ μείζονι τμήματι τῷ ΑΓ πρόσκειται ἡ ΑΔ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ , τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ τοῦ ἀπὸ ΔΑ πενταπλάσιόν ἐστιν . τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν · σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΔΑ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ ΔΑ · ῥητὴ γὰρ ἡ ΔΑ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ ῥητῆς οὔσης · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΔ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , ἀσύμμετρος ἄρα μήκει ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ · αἱ ΓΔ , ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ , ΒΓ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστίν . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀποτομῆς παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παραβληθὲν πλάτος ποιεῖ τὴν ΒΓ . τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην · ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΓΒ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ ἀποτομή . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθεῖα ῥητός ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ἑκάτερος ὁ τμῆμα ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἀποτομή . εἰμί εὐθεῖα ῥητός ὁ ΑΒ καί τέμνω ἄκρος καί μέσος λόγος κατά ὁ Γ , καί εἰμί μέγας τμῆμα ὁ ΑΓ · λέγω , ὅτι ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἀποτομή . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΒΑ , καί κεῖμαι ὁ ΒΑ ἥμισυς ὁ ΑΔ . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΑΒ τέμνω ἄκρος καί μέσος λόγος κατά ὁ Γ , καί ὁ μέγας τμῆμα ὁ ΑΓ πρόσκειμαι ὁ ΑΔ ἥμισυς εἰμί ὁ ΑΒ , ὁ ἄρα ἀπό ΓΔ ὁ ἀπό ΔΑ πενταπλάσιος εἰμί . ὁ ἄρα ἀπό ΓΔ πρός ὁ ἀπό ΔΑ λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός · σύμμετρος ἄρα ὁ ἀπό ΓΔ ὁ ἀπό ΔΑ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ΔΑ · ῥητός γάρ ὁ ΔΑ ἥμισυς εἰμί ὁ ΑΒ ῥητός εἰμί · ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ΓΔ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΓΔ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ΓΔ πρός ὁ ἀπό ΔΑ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , ἀσύμμετρος ἄρα μῆκος ὁ ΓΔ ὁ ΔΑ · ὁ ΓΔ , ΔΑ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ . πάλιν , ἐπεί ὁ ΑΒ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΑΓ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΒ , ΒΓ ὁ ἀπό ΑΓ ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΓ ἀποτομή παρά ὁ ΑΒ ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ΒΓ . ὁ δέ ἀπό ἀποτομή παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή πρῶτος · ἀποτομή ἄρα πρῶτος εἰμί ὁ ΓΒ . δείκνυμι δέ καί ὁ ΓΑ ἀποτομή . ἐάν ἄρα εὐθεῖα ῥητός ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ἑκάτερος ὁ τμῆμα ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἀποτομή · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 13.prop.12
ἐὰν εἰς κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ , ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓ · λέγω , ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μία πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Δ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ . καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , ἡ ΒΕΓ ἄρα περιφέρεια τρίτον μέρος ἐστὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας . ἡ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ μέρος τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας · ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ εὐθεῖα · ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΕ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ , τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ . ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΕ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΕ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ . διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ . ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΔΕ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ . ἡ ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος τρίγωνος ἰσόπλευρος ἐγγράφω , ὁ ὁ τρίγωνον πλευρόν δύναμις τριπλασίων εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί εἰς αὐτός τρίγωνον ἰσόπλευρος ἐγγράφω ὁ ΑΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρίγωνον εἷς πλευρόν δύναμις τριπλασίων εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ Δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ διάγω ἐπί ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ . καί ἐπεί ἰσόπλευρος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , ὁ ΒΕΓ ἄρα περιφέρεια τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος περιφέρεια . ὁ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτος εἰμί μέρος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια · ἑξάγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΒΕ εὐθύς · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΔΕ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΔΕ , τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΕΔ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΒΕ . ἴσος δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΕ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΕ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΕ τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ . διαιρέω ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΒΕ . ἴσος δέ ὁ ΒΕ ὁ ΔΕ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΕ . ὁ ἄρα ὁ τρίγωνον πλευρόν δύναμις τριπλάσιος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον · ὅς δέω δείκνυμι .