euclides-geom.elementa 6.prop.20
τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις , καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν . ἔστω ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ , ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ · λέγω , ὅτι τὰ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις , καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ , ΕΓ , ΗΛ , ΛΘ . καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ . καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΛ . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΕ , ΖΗΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα , περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ · ὥστε καὶ ὅμοιον · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΛ . ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΗΘ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ , ΖΗΛ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ , οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΖ , ἀλλὰ μὴν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΘ , καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΒΓ , ΛΗΘ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ · ὥστε καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον ὅμοιόν ἐστι τῷ ΛΘΚ τριγώνῳ . τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διῄρηται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος . λέγω , ὅτι καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις , τουτέστιν ὥστε ἀνάλογον εἶναι τὰ τρίγωνα , καὶ ἡγούμενα μὲν εἶναι τὰ ΑΒΕ , ΕΒΓ , ΕΓΔ , ἑπόμενα δὲ αὐτῶν τὰ ΖΗΛ , ΛΗΘ , ΛΘΚ , καὶ ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν , τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ , ΖΘ . καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ , καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ , ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΘ , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΝ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἴση , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἴση ἐστίν · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΗΝΘ τριγώνῳ . ἀνάλογον ἄρα ἐστίν , ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ , οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΗ , ὡς δὲ ἡ ΒΜ πρὸς ΜΓ , οὕτως ἡ ΗΝ πρὸς ΝΘ · ὥστε καὶ διʼ ἴσου , ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ , οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ , οὕτως τὸ ΑΒΜ πρὸς τὸ ΜΒΓ , καὶ τὸ ΑΜΕ πρὸς τὸ ΕΜΓ · πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις . καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα · ὡς ἄρα τὸ ΑΜΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΜΓ , οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ΓΒΕ . ἀλλʼ ὡς τὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ΒΜΓ , οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ , οὕτως τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΓ τρίγωνον . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ , οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον . καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ , οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον , καὶ ἐναλλὰξ , ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον . ὁμοίως δὴ δείξομεν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΔ , ΗΚ , ὅτι καὶ ὡς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΗΘ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΘΚ τρίγωνον . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ , καὶ ἔτι τὸ ΕΓΔ πρὸς τὸ ΛΘΚ , καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον , οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον . ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν · τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν . τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις , καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν · . Πόρισμα ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τετραπλεύρων δειχθήσεται , ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων · ὥστε καὶ καθόλου τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὅμοιος πολύγωνον εἰς τε ὅμοιος τρίγωνος διαιρέω καί εἰς ἴσος ὁ πλῆθος καί ὁμόλογος ὁ ὅλος , καί ὁ πολύγωνον πρός ὁ πολύγωνον διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά . εἰμί ὅμοιος πολύγωνον ὁ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ , ὁμόλογος δέ εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΖΗ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ πολύγωνον εἰς τε ὅμοιος τρίγωνος διαιρέω καί εἰς ἴσος ὁ πλῆθος καί ὁμόλογος ὁ ὅλος , καί ὁ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρός ὁ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΖΗ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , ΕΓ , ΗΛ , ΛΘ . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον ὁ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΕ γωνία ὁ ὑπό ΗΖΛ . καί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ΖΛ . ἐπεί οὖν δύο τρίγωνος εἰμί ὁ ΑΒΕ , ΖΗΛ εἷς γωνία εἷς γωνία ἴσος ἔχω , περί δέ ὁ ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ὁ ΖΗΛάς τρίγωνον · ὥστε καί ὅμοιος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΕ γωνία ὁ ὑπό ΖΗΛάς . εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ὑπό ΑΒΓ ὅλος ὁ ὑπό ΖΗΘ ἴσος διά ὁ ὁμοιότης ὁ πολύγωνον · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΛΗΘ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΑΒΕ , ΖΗΛ τρίγων εἰμί ὡς ὁ ΕΒ πρός ΒΑ , οὕτως ὁ ΛΗ πρός ΗΖ , ἀλλά μήν καί διά ὁ ὁμοιότης ὁ πολύγωνον εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ΗΘ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΕΒ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΛΗ πρός ΗΘ , καί περί ὁ ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΕΒΓ , ΛΗΘ ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΕΒΓ τρίγωνον ὁ ΛΗΘ τρίγωνον · ὥστε καί ὅμοιος εἰμί ὁ ΕΒΓ τρίγωνον ὁ ΛΗΘ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΕΓΔ τρίγωνον ὅμοιος εἰμί ὁ ΛΘΚ τρίγωνον . ὁ ἄρα ὅμοιος πολύγωνον ὁ ΑΒΓΔΕ , ΖΗΘΚΛ εἰς τε ὅμοιος τρίγωνος διαιρέω καί εἰς ἴσος ὁ πλῆθος . λέγω , ὅτι καί ὁμόλογος ὁ ὅλος , τουτέστι ὥστε ἀνάλογος εἰμί ὁ τρίγωνος , καί ἡγέομαι μέν εἰμί ὁ ΑΒΕ , ΕΒΓ , ΕΓΔ , ἕπομαι δέ αὐτός ὁ ΖΗΛ , ΛΗΘ , ΛΘΚ , καί ὅτι ὁ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρός ὁ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά , τουτέστι ὁ ΑΒ πρός ὁ ΖΗ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΓ , ΖΘ . καί ἐπεί διά ὁ ὁμοιότης ὁ πολύγωνον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΖΗΘ , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ΗΘ , ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΖΗΘ τρίγωνον · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΗΖΘ , ὁ δέ ὑπό ΒΓΑ ὁ ὑπό ΗΘΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΜ γωνία ὁ ὑπό ΗΖΝ , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΒΜ ὁ ὑπό ΖΗΝ ἴσος , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΜΒ λοιπός ὁ ὑπό ΖΝΗ ἴσος εἰμί · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΜ τρίγωνον ὁ ΖΗΝ τρίγωνον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΗΝΘ τρίγωνον . ἀνάλογος ἄρα εἰμί , ὡς μέν ὁ ΑΜ πρός ΜΒ , οὕτως ὁ ΖΝ πρός ΝΗ , ὡς δέ ὁ ΒΜ πρός ΜΓ , οὕτως ὁ ΗΝ πρός ΝΘ · ὥστε καί διά ἴσος , ὡς ὁ ΑΜ πρός ΜΓ , οὕτως ὁ ΖΝ πρός ΝΘ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΜ πρός ΜΓ , οὕτως ὁ ΑΒΜ πρός ὁ ΜΒΓ , καί ὁ ΑΜΕ πρός ὁ ΕΜΓ · πρός ἀλλήλων γάρ εἰμί ὡς ὁ βάσις . καί ὡς ἄρα εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι · ὡς ἄρα ὁ ΑΜΒ τρίγωνον πρός ὁ ΒΜΓ , οὕτως ὁ ΑΒΕ πρός ὁ ΓΒΕ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΜΒ πρός ὁ ΒΜΓ , οὕτως ὁ ΑΜ πρός ΜΓ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΜ πρός ΜΓ , οὕτως ὁ ΑΒΕ τρίγωνον πρός ὁ ΕΒΓ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ ΖΝ πρός ΝΘ , οὕτως ὁ ΖΗΛ τρίγωνον πρός ὁ ΗΛΘ τρίγωνον . καί εἰμί ὡς ὁ ΑΜ πρός ΜΓ , οὕτως ὁ ΖΝ πρός ΝΘ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒΕ τρίγωνον πρός ὁ ΒΕΓ τρίγωνον , οὕτως ὁ ΖΗΛ τρίγωνον πρός ὁ ΗΛΘ τρίγωνον , καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΑΒΕ τρίγωνον πρός ὁ ΖΗΛάς τρίγωνον , οὕτως ὁ ΒΕΓ τρίγωνον πρός ὁ ΗΛΘ τρίγωνον . ὅμοιος δή δείκνυμι ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ , ΗΚ , ὅτι καί ὡς ὁ ΒΕΓ τρίγωνον πρός ὁ ΛΗΘ τρίγωνον , οὕτως ὁ ΕΓΔ τρίγωνον πρός ὁ ΛΘΚ τρίγωνον . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒΕ τρίγωνον πρός ὁ ΖΗΛάς τρίγωνον , οὕτως ὁ ΕΒΓ πρός ὁ ΛΗΘ , καί ἔτι ὁ ΕΓΔ πρός ὁ ΛΘΚ , καί ὡς ἄρα εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΕ τρίγωνον πρός ὁ ΖΗΛάς τρίγωνον , οὕτως ὁ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρός ὁ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον . ἀλλά ὁ ΑΒΕ τρίγωνον πρός ὁ ΖΗΛάς τρίγωνον διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ΖΗ ὁμόλογος πλευρά · ὁ γάρ ὅμοιος τρίγωνος ἐν διπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . καί ὁ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρός ὁ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ΖΗ ὁμόλογος πλευρά . ὁ ἄρα ὅμοιος πολύγωνον εἰς τε ὅμοιος τρίγωνος διαιρέω καί εἰς ἴσος ὁ πλῆθος καί ὁμόλογος ὁ ὅλος , καί ὁ πολύγωνον πρός ὁ πολύγωνον διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά · . πόρισμα ὡσαύτως δέ καί ἐπί ὁ τετράπλευρος δείκνυμι , ὅτι ἐν διπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . δείκνυμι δέ καί ἐπί ὁ τρίγων · ὥστε καί καθόλου ὁ ὅμοιος εὐθύγραμμος σχῆμα πρός ἀλλήλων ἐν διπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . ὅς δέω δείκνυμι .