euclides-geom.elementa 9.prop.10
ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν , ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα μὴ ᾖ τετράγωνος , οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων πάντων . καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος μὴ ᾖ , οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων πάντων . ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ , Δ , Ε , Ζ , ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α μὴ ἔστω τετράγωνος · λέγω , ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω ὁ Γ τετράγωνος . ἔστι δὲ καὶ ὁ Β τετράγωνος · οἱ Β , Γ ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ , ὁ Α πρὸς τὸν Β · οἱ Α , Β ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ὥστε οἱ Α , Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν . καί ἐστι τετράγωνος ὁ Β · τετράγωνος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α · ὅπερ οὐχ ὑπέκειτο . οὐκ ἄρα ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνός ἐστι χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων . ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ Α κύβος . λέγω , ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω ὁ Δ κύβος . ἔστι δὲ καὶ ὁ Γ κύβος · τέταρτος γάρ ἐστιν ἀπὸ τῆς μονάδος . καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , ὁ Β πρὸς τὸν Γ · καὶ ὁ Β ἄρα πρὸς τὸν Γ λόγον ἔχει , ὃν κύβος πρὸς κύβον . καί ἐστιν ὁ Γ κύβος · καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α , ὁ Α πρὸς τὸν Β , ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας , καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας · ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β πεποίηκεν . ἐὰν δὲ ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ , καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται . κύβος ἄρα καὶ ὁ Α · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται . οὐκ ἄρα ὁ Δ κύβος ἐστίν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἐστὶ χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἀπό μονάς ὁπόσος ἀριθμός ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ μετά ὁ μονάς μή εἰμί τετράγωνος , οὐδέ ἄλλος οὐδείς τετράγωνος εἰμί χωρίς ὁ τρίτος ἀπό ὁ μονάς καί ὁ εἷς διαλείπω πᾶς . καί ἐάν ὁ μετά ὁ μονάς κύβος μή εἰμί , οὐδέ ἄλλος οὐδείς κύβος εἰμί χωρίς ὁ τέταρτος ἀπό ὁ μονάς καί ὁ δύο διαλείπω πᾶς . εἰμί ἀπό μονάς ἑξῆς ἀνάλογος ὁσσοιδηποτοῦν ἀριθμός ὁ Α , Β , Γ , Δ , Ε , Ζ , ὁ δέ μετά ὁ μονάς ὁ Α μή εἰμί τετράγωνος · λέγω , ὅτι οὐδέ ἄλλος οὐδείς τετράγωνος εἰμί χωρίς ὁ τρίτος ἀπό ὁ μονάς . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί ὁ Γ τετράγωνος . εἰμί δέ καί ὁ Β τετράγωνος · ὁ Β , Γ ἄρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . καί εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ Α πρός ὁ Β · ὁ Α , Β ἄρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ὥστε ὁ Α , Β ὅμοιος ἐπίπεδος εἰμί . καί εἰμί τετράγωνος ὁ Β · τετράγωνος ἄρα εἰμί καί ὁ Α · ὅς οὐ ὑπόκειμαι . οὐ ἄρα ὁ Γ τετράγωνος εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος οὐδείς τετράγωνος εἰμί χωρίς ὁ τρίτος ἀπό ὁ μονάς καί ὁ εἷς διαλείπω . ἀλλά δή μή εἰμί ὁ Α κύβος . λέγω , ὅτι οὐδέ ἄλλος οὐδείς κύβος εἰμί χωρίς ὁ τέταρτος ἀπό ὁ μονάς καί ὁ δύο διαλείπω . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί ὁ Δ κύβος . εἰμί δέ καί ὁ Γ κύβος · τέταρτος γάρ εἰμί ἀπό ὁ μονάς . καί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὁ Β πρός ὁ Γ · καί ὁ Β ἄρα πρός ὁ Γ λόγος ἔχω , ὅς κύβος πρός κύβος . καί εἰμί ὁ Γ κύβος · καί ὁ Β ἄρα κύβος εἰμί . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ μονή πρός ὁ Α , ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ δέ μονή ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς , καί ὁ Α ἄρα ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ἑαυτοῦ μονάς · ὁ Α ἄρα ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω κύβος ὁ Β ποιέω . ἐάν δέ ἀριθμός ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω κύβος ποιέω , καί αὐτός κύβος εἰμί . κύβος ἄρα καί ὁ Α · ὅς οὐ ὑπόκειμαι . οὐ ἄρα ὁ Δ κύβος εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος οὐδείς κύβος εἰμί χωρίς ὁ τέταρτος ἀπό ὁ μονάς καί ὁ δύο διαλείπω · ὅς δέω δείκνυμι .