euclides-geom.elementa 3.prop.36
ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι , καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον , ἡ δὲ ἐφάπτηται , ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ . κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓ , ΔΒ · καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν ΑΒΓ κύκλον , ἡ δὲ ΒΔ ἐφαπτέσθω · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγώνῳ . ἡ ἄρα ΓΑ ἤτοι διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἢ οὔ . ἔστω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου , καὶ ἔστω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΔ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ , πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ . ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΒ , ΒΔ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ , ΒΔ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐφαπτομένης . ἀλλὰ δὴ ἡ ΔΓΑ μὴ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τὸ Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ , ΕΓ , ΕΔ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΔ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει , καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει · ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον , πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ . κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΔ , ΖΕ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ · ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ · τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ , ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ . ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ ΕΒ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΒ , ΒΔ · ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΒ , ΒΔ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ . ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι , καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον , ἡ δὲ ἐφάπτηται , ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός , καί ἀπό αὐτός πρός ὁ κύκλος προσπίπτω δύο εὐθεῖα , καί ὁ μέν αὐτός τέμνω ὁ κύκλος , ὁ δέ ἐφάπτω , εἰμί ὁ ὑπό ὅλος ὁ τέμνω καί ὁ ἐκτός ἀπολαμβάνω μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ κυρτός περιφέρεια ἴσος ὁ ἀπό ὁ ἐφάπτω τετράγωνος . κύκλος γάρ ὁ ΑΒΓ λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός ὁ Δ , καί ἀπό ὁ Δ πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος προσπίπτω δύο εὐθεῖα ὁ ΔΓ , ΔΒ · καί ὁ μέν ΔΓΑ τέμνω ὁ ΑΒΓ κύκλος , ὁ δέ ΒΔ ἐφάπτω · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ περιέχω ὀρθογώνιον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΒ τετράγωνος . ὁ ἄρα ΓΑ ἤτοι διά ὁ κέντρον εἰμί ἤ οὐ . εἰμί πρότερος διά ὁ κέντρον , καί εἰμί ὁ Ζ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΖΒΔ . καί ἐπεί εὐθύς ὁ ΑΓ δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ , πρόσκειμαι δέ αὐτός ὁ ΓΔ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΔ . ἴσος δέ ὁ ΖΓ ὁ ΖΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΔ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΖΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΒ , ΒΔ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΒ , ΒΔ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΖΒ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΒ ἐφάπτω . ἀλλά δή ὁ ΔΓΑ μή εἰμί διά ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ Ε , καί ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΑΓ κάθετος ἄγω ὁ ΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ , ΕΓ , ΕΔ · ὀρθός ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΕΒΔ . καί ἐπεί εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ὁ ΕΖ εὐθεῖα τις μή διά ὁ κέντρον ὁ ΑΓ πρός ὀρθός τέμνω , καί δίχα αὐτός τέμνω · ὁ ΑΖ ἄρα ὁ ΖΓ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί εὐθύς ὁ ΑΓ τέμνω δίχα κατά ὁ Ζ σημεῖον , πρόσκειμαι δέ αὐτός ὁ ΓΔ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΔ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΕ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΔ , ΖΕ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΖ , ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΓ · ὀρθός γάρ ὁ ὑπό ΕΖΓ · ὁ δέ ἀπό ὁ ΔΖ , ΖΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΔ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΔ . ἴσος δέ ὁ ΕΓ ὁ ΕΒ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΔ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΒ , ΒΔ · ὀρθός γάρ ὁ ὑπό ΕΒΔ γωνία · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΒ , ΒΔ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΕΒ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΒ . ἐάν ἄρα κύκλος λαμβάνω τις σημεῖον ἐκτός , καί ἀπό αὐτός πρός ὁ κύκλος προσπίπτω δύο εὐθεῖα , καί ὁ μέν αὐτός τέμνω ὁ κύκλος , ὁ δέ ἐφάπτω , εἰμί ὁ ὑπό ὅλος ὁ τέμνω καί ὁ ἐκτός ἀπολαμβάνω μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ κυρτός περιφέρεια ἴσος ὁ ἀπό ὁ ἐφάπτω τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .