euclides-geom.elementa 11.prop.8
ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι , ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται . ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ , ΓΔ , ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΓΔ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται . συμβαλλέτωσαν γὰρ αἱ ΑΒ , ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β , Δ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ · αἱ ΑΒ , ΓΔ , ΒΔ ἄρα ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ . ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ , καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ , ΑΕ , ΑΔ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΒ · ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ , ΑΒΕ γωνιῶν . καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ , ΓΔΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ · ἡ ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΔ ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ , ΔΒ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΒ ἴση · ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα · βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΑΔ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ , ΔΑ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ . καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ · ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΑΔ ὀρθή ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ πρὸς τὴν ΔΒ ὀρθή · ἡ ΕΔ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ , ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν . καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΕΔ . ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ἐστὶν ἡ ΔΓ , ἐπειδήπερ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἱ ΑΒ , ΒΔ , ἐν ᾧ δὲ αἱ ΑΒ , ΒΔ , ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ . ἡ ΕΔ ἄρα τῇ ΔΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν · ὥστε καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς . ἡ ΓΔ ἄρα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ταῖς ΔΕ , ΔΒ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Δ τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν · ὥστε ἡ ΓΔ καὶ τῷ διὰ τῶν ΔΕ , ΔΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . τὸ δὲ διὰ τῶν ΔΕ , ΔΒ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν · ἡ ΓΔ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι , ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο εὐθεῖα παράλληλος , ὁ δέ ἕτερος αὐτός ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . εἰμί δύο εὐθεῖα παράλληλος ὁ ΑΒ , ΓΔ , ὁ δέ ἕτερος αὐτός ὁ ΑΒ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · λέγω , ὅτι καί ὁ λοιπός ὁ ΓΔ ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . συμβάλλω γάρ ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κατά ὁ Β , Δ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ · ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΒΔ ἄρα ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . ἄγω ὁ ΒΔ πρός ὀρθός ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὁ ΔΕ , καί κεῖμαι ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΔΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ , ΑΕ , ΑΔ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒ · ὀρθός ἄρα ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΒΔ , ΑΒΕ γωνία . καί ἐπεί εἰς παράλληλος ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ΒΔ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΔ , ΓΔΒ γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΑΒΔ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΓΔΒ · ὁ ΓΔ ἄρα πρός ὁ ΒΔ ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ , κοινός δέ ὁ ΒΔ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΔ δύο ὁ ΕΔ , ΔΒ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΒ ἴσος · ὀρθός γάρ ἑκάτερος · βάσις ἄρα ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΒΕ ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΑΔ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΕ δύο ὁ ΕΔ , ΔΑ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος . καί βάσις αὐτός κοινός ὁ ΑΕ · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΕ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΑ εἰμί ἴσος . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΑΒΕ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΕΔΑ · ὁ ΕΔ ἄρα πρός ὁ ΑΔ ὀρθός εἰμί . εἰμί δέ καί πρός ὁ ΔΒ ὀρθός · ὁ ΕΔ ἄρα καί ὁ διά ὁ ΒΔ , ΔΑ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί . καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ διά ὁ ΒΔΑ ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία ὁ ΕΔ . ἐν δέ ὁ διά ὁ ΒΔΑ ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΔΓ , ἐπειδή ἐν ὁ διά ὁ ΒΔΑ ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΔ , ἐν ὅς δέ ὁ ΑΒ , ΒΔ , ἐν οὗτος εἰμί καί ὁ ΔΓ . ὁ ΕΔ ἄρα ὁ ΔΓ πρός ὀρθός εἰμί · ὥστε καί ὁ ΓΔ ὁ ΔΕ πρός ὀρθός εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΓΔ ὁ ΒΔ πρός ὀρθός . ὁ ΓΔ ἄρα δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων ὁ ΔΕ , ΔΒ ἀπό ὁ κατά ὁ Δ τομή πρός ὀρθός ἐφίστημι · ὥστε ὁ ΓΔ καί ὁ διά ὁ ΔΕ , ΔΒ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ὁ δέ διά ὁ ΔΕ , ΔΒ ἐπίπεδος ὁ ὑπόκειμαι εἰμί · ὁ ΓΔ ἄρα ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ἐάν ἄρα εἰμί δύο εὐθεῖα παράλληλος , ὁ δέ εἷς αὐτός ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .