euclides-geom.elementa 10.prop3.114
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων , ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά τέ ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν . περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ ὑπὸ ἀποτομῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς ΓΔ , ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω τὸ ΓΕ , καὶ ἔστω τὰ ὀνόματα τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τὰ ΓΕ , ΕΔ σύμμετρά τε τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΑΖ , ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , καὶ ἔστω ἡ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ δυναμένη ἡ Η · λέγω , ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ Η . Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ Θ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Θ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ , ἧς τὰ ὀνόματα ἔστω τὰ ΚΜ , ΜΛ σύμμετρα τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΕ , ΕΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ . ἀλλὰ καὶ αἱ ΓΕ , ΕΔ σύμμετροί τέ εἰσι ταῖς ΑΖ , ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ , οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ . ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΚΜ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΛΜ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΚΛ ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΚΜ . σύμμετρος δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΚΜ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΚΛ . καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΚΛ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΚΛ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΚΛ . ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΚΛ τῷ ἀπὸ τῆς Θ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς Θ . τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΑΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η τῷ ἀπὸ τῆς Θ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Θ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η . καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΑΒ . ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων , ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν . Πόρισμα καὶ γέγονεν ἡμῖν καὶ διὰ τούτου φανερόν , ὅτι δυνατόν ἐστι ῥητὸν χωρίον ὑπὸ ἀλόγων εὐθειῶν περιέχεσθαι . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ἀποτομή καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα , ὅς ὁ ὄνομα σύμμετρος τε εἰμί ὁ ὁ ἀποτομή ὄνομα καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ῥητός εἰμί . περιέχω γάρ χωρίον ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΓΔ ὑπό ἀποτομή ὁ ΑΒ καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα ὁ ΓΔ , ὅς μέγας ὄνομα εἰμί ὁ ΓΕ , καί εἰμί ὁ ὄνομα ὁ ἐκ δύο ὄνομα ὁ ΓΕ , ΕΔ σύμμετρος τε ὁ ὁ ἀποτομή ὄνομα ὁ ΑΖ , ΖΒ καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί εἰμί ὁ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΓΔ δύναμαι ὁ Η · λέγω , ὅτι ῥητός εἰμί ὁ Η . ἔκκειμαι γάρ ῥητός ὁ Θ , καί ὁ ἀπό ὁ Θ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ΚΛ · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΚΛ , ὅς ὁ ὄνομα εἰμί ὁ ΚΜ , ΜΛ σύμμετρος ὁ ὁ ἐκ δύο ὄνομα ὄνομα ὁ ΓΕ , ΕΔ καί ἐν ὁ αὐτός λόγος . ἀλλά καί ὁ ΓΕ , ΕΔ σύμμετρος τε εἰμί ὁ ΑΖ , ΖΒ καί ἐν ὁ αὐτός λόγος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΖ πρός ὁ ΖΒ , οὕτως ὁ ΚΜ πρός ΜΛ . ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΖ πρός ὁ ΚΜ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ὁ ΛΜ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ πρός λοιπός ὁ ΚΛ εἰμί ὡς ὁ ΑΖ πρός ΚΜ . σύμμετρος δέ ὁ ΑΖ ὁ ΚΜ · σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΑΒ ὁ ΚΛ . καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ΚΛ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΚΛ · σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΑΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΚΛ . ἴσος δέ ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΚΛ ὁ ἀπό ὁ Θ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΑΒ ὁ ἀπό ὁ Θ . ὁ δέ ὑπό ὁ ΓΔ , ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Η · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ Η ὁ ἀπό ὁ Θ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ Θ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ Η · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ Η . καί δύναμαι ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΑΒ . ἐάν ἄρα χωρίον περιέχω ὑπό ἀποτομή καί ὁ ἐκ δύο ὄνομα , ὅς ὁ ὄνομα σύμμετρος εἰμί ὁ ὁ ἀποτομή ὄνομα καί ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι ῥητός εἰμί . πόρισμα καί γίγνομαι ἐγώ καί διά οὗτος φανερός , ὅτι δυνατός εἰμί ῥητός χωρίον ὑπό ἄλογος εὐθεῖα περιέχω . ὅς δέω δείκνυμι .