euclides-geom.elementa 6.prop.7
ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆς , ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας , περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ , τῶν δὲ λοιπῶν τῶν πρὸς τοῖς Γ , Ζ πρότερον ἑκατέραν ἅμα ἐλάσσονα ὀρθῆς · λέγω , ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ , καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση . εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , μία αὐτῶν μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ . καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ , οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ . ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ , ὑπόκειται ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ · ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΓ , ΒΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ἴση ἄρα ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ . ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἐστιν ἴση . ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ὑπόκειται ἡ πρὸς τῷ Γ · ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ · ὥστε ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΒ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς . καὶ ἐδείχθη ἴση οὖσα τῇ πρὸς τῷ Ζ · καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς . ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς · ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ · ἴση ἄρα . ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α ἴση τῇ πρὸς τῷ Δ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . ἀλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Γ , Ζ μὴ ἐλάσσων ὀρθῆς · λέγω πάλιν , ὅτι καὶ οὕτως ἐστὶν ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ · ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστίν . οὐκ ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ πρὸς τῷ Γ · οὐκ ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ . τριγώνου δὴ τοῦ ΒΗΓ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν οὔκ εἰσιν ἐλάττονες · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα πάλιν ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ · ἴση ἄρα . ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἐλάττονα ἢ μὴ ἐλάττονα ὀρθῆς , ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας , περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος εἷς γωνία εἷς γωνία ἴσος ἔχω , περί δέ ἄλλος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ὁ δέ λοιπός ἑκάτερος ἅμα ἤτοι ἐλαχύς ἤ μή ἐλαχύς ὀρθός , ἰσογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος καί ἴσος ἔχω ὁ γωνία , περί ὅς ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ εἷς γωνία εἷς γωνία ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ , περί δέ ἄλλος γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ πλευρά ἀνάλογος , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , ὁ δέ λοιπός ὁ πρός ὁ Γ , Ζ πρότερος ἑκάτερος ἅμα ἐλαχύς ὀρθός · λέγω , ὅτι ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον , καί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ , καί λοιπός δηλονότι ὁ πρός ὁ Γ λοιπός ὁ πρός ὁ Ζ ἴσος . εἰ γάρ ἄνισος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ , εἷς αὐτός μέγας εἰμί . εἰμί μέγας ὁ ὑπό ΑΒΓ . καί συνίστημι πρός ὁ ΑΒ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Β ὁ ὑπό ΔΕΖ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΑΒΗ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν Α γωνία ὁ Δ , ὁ δέ ὑπό ΑΒΗ ὁ ὑπό ΔΕΖ , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΗΒ λοιπός ὁ ὑπό ΔΖΕ εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΗ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ . ὡς δέ ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , ὑπόκειμαι ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ · ὁ ΑΒ ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ ΒΓ , ΒΗ ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἴσος ἄρα ὁ ΒΓ ὁ ΒΗ . ὥστε καί γωνία ὁ πρός ὁ Γ γωνία ὁ ὑπό ΒΗΓ εἰμί ἴσος . ἐλαχύς δέ ὀρθός ὑπόκειμαι ὁ πρός ὁ Γ · ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὀρθός καί ὁ ὑπό ΒΗΓ · ὥστε ὁ ἐφεξῆς αὐτός γωνία ὁ ὑπό ΑΗΒ μέγας εἰμί ὀρθός . καί δείκνυμι ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Ζ · καί ὁ πρός ὁ Ζ ἄρα μέγας εἰμί ὀρθός . ὑπόκειμαι δέ ἐλαχύς ὀρθός · ὅς εἰμί ἄτοπος . οὐ ἄρα ἄνισος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ · ἴσος ἄρα . εἰμί δέ καί ὁ πρός ὁ Α ἴσος ὁ πρός ὁ Δ · καί λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ Γ λοιπός ὁ πρός ὁ Ζ ἴσος εἰμί . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . ἀλλά δή πάλιν ὑπόκειμαι ἑκάτερος ὁ πρός ὁ Γ , Ζ μή ἐλαχύς ὀρθός · λέγω πάλιν , ὅτι καί οὕτως εἰμί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΒΗ · ὥστε καί γωνία ὁ πρός ὁ Γ ὁ ὑπό ΒΗΓ ἴσος εἰμί . οὐ ἐλαχύς δέ ὀρθός ὁ πρός ὁ Γ · οὐ ἐλαχύς ἄρα ὀρθός οὐδέ ὁ ὑπό ΒΗΓ . τρίγωνον δή ὁ ΒΗΓ ὁ δύο γωνία δύο ὀρθός οὐ εἰμί ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα πάλιν ἄνισος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ · ἴσος ἄρα . εἰμί δέ καί ὁ πρός ὁ Α ὁ πρός ὁ Δ ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ Γ λοιπός ὁ πρός ὁ Ζ ἴσος εἰμί . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος εἷς γωνία εἷς γωνία ἴσος ἔχω , περί δέ ἄλλος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ὁ δέ λοιπός ἑκάτερος ἅμα ἐλαχύς ἤ μή ἐλαχύς ὀρθός , ἰσογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος καί ἴσος ἔχω ὁ γωνία , περί ὅς ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά · ὅς δέω δείκνυμι .