euclides-geom.elementa 10.prop1.5
τὰ σύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . ἔστω σύμμετρα μεγέθη τὰ Α , Β · λέγω , ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α , Β , μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος . μετρείτω , καὶ ἔστω τὸ Γ . καὶ ὁσάκις τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ , ὁσάκις δὲ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ , τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε . ἐπεὶ οὖν τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας , μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Δ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας , ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Δ μετρεῖ ἀριθμὸν καὶ τὸ Γ μέγεθος τὸ Α · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α , οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ · ἀνάπαλιν ἄρα , ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα . πάλιν ἐπεὶ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας , μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Ε κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας , ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Ε μετρεῖ καὶ τὸ Γ τὸ Β · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β , οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε . τὰ ἄρα σύμμετρα μεγέθη τὰ Α , Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν , σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη . δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α , Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω , ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε · λέγω , ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Α , Β μεγέθη . ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Δ μονάδες , εἰς τοσαῦτα ἴσα διῃρήσθω τὸ Α , καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔστω τὸ Γ · ὅσαι δέ εἰσιν ἐν τῷ Ε μονάδες , ἐκ τοσούτων μεγεθῶν ἴσων τῷ Γ συγκείσθω τὸ Ζ . ἐπεὶ οὖν , ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Δ μονάδες , τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Α μεγέθη ἴσα τῷ Γ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ μονὰς τοῦ Δ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τὸ Γ τοῦ Α · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α , οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ . μετρεῖ δὲ ἡ μονὰς τὸν Δ ἀριθμόν · μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Γ τὸ Α . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α , οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ , ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὴν μονάδα . πάλιν ἐπεί , ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες , τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Ζ ἴσα τῷ Γ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ , οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Ζ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε . ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ἐστὶ τὸ Α πρὸς τὸ Β · καὶ ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως καὶ πρὸς τὸ Ζ . τὸ Α ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Β , Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τῷ Ζ . μετρεῖ δὲ τὸ Γ τὸ Ζ · μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Β . ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Α · τὸ Γ ἄρα τὰ Α , Β μετρεῖ . σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β . ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα , καὶ τὰ ἑξῆς . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι , ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοί , ὡς οἱ Δ , Ε , καὶ εὐθεῖα , ὡς ἡ Α , δύνατόν ἐστι ποιῆσαι ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν , οὕτως τὴν εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν . ἐὰν δὲ καὶ τῶν Α , Ζ μέση ἀνάλογον ληφθῇ , ὡς ἡ Β , ἔσται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β , τουτέστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον . ἀλλʼ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ , οὕτως ἐστὶν ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν · γέγονεν ἄρα καὶ ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β εὐθείας · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ σύμμετρος μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . εἰμί σύμμετρος μέγεθος ὁ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α πρός ὁ Β λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ Α , Β , μετρέω τις αὐτός μέγεθος . μετρέω , καί εἰμί ὁ Γ . καί ὁσάκις ὁ Γ ὁ Α μετρέω τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Δ , ὁσάκις δέ ὁ Γ ὁ Β μετρέω , τοσοῦτος μονάς εἰμί ἐν ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὁ Γ ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς , μετρέω δέ καί ὁ μονή ὁ Δ κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς , ἰσάκις ἄρα ὁ μονή ὁ Δ μετρέω ἀριθμός καί ὁ Γ μέγεθος ὁ Α · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Α , οὕτως ὁ μονή πρός ὁ Δ · ἀνάπαλιν ἄρα , ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ μονάς . πάλιν ἐπεί ὁ Γ ὁ Β μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Ε μονάς , μετρέω δέ καί ὁ μονή ὁ Ε κατά ὁ ἐν αὐτός μονάς , ἰσάκις ἄρα ὁ μονή ὁ Ε μετρέω καί ὁ Γ ὁ Β · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Β , οὕτως ὁ μονή πρός ὁ Ε . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , ὁ Δ πρός ὁ μονάς · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Δ ἀριθμός πρός ὁ Ε . ὁ ἄρα σύμμετρος μέγεθος ὁ Α , Β πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός ὁ Δ πρός ἀριθμός ὁ Ε · ὅς δέω δείκνυμι . ἐάν δύο μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός , σύμμετρος εἰμί ὁ μέγεθος . δύο γάρ μέγεθος ὁ Α , Β πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός ὁ Δ πρός ἀριθμός ὁ Ε · λέγω , ὅτι σύμμετρος εἰμί ὁ Α , Β μέγεθος . ὅσος γάρ εἰμί ἐν ὁ Δ μονάς , εἰς τοσοῦτος ἴσος διαιρέω ὁ Α , καί εἷς αὐτός ἴσος εἰμί ὁ Γ · ὅσος δέ εἰμί ἐν ὁ Ε μονάς , ἐκ τοσοῦτος μέγεθος ἴσος ὁ Γ σύγκειμαι ὁ Ζ . ἐπεί οὖν , ὅσος εἰμί ἐν ὁ Δ μονάς , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ Α μέγεθος ἴσος ὁ Γ , ὅς ἄρα μέρος εἰμί ὁ μονή ὁ Δ , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Α · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Α , οὕτως ὁ μονή πρός ὁ Δ . μετρέω δέ ὁ μονή ὁ Δ ἀριθμός · μετρέω ἄρα καί ὁ Γ ὁ Α . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Α , οὕτως ὁ μονή πρός ὁ Δ , ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ ἀριθμός πρός ὁ μονάς . πάλιν ἐπεί , ὅσος εἰμί ἐν ὁ Ε μονάς , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ Ζ ἴσος ὁ Γ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ μονή πρός ὁ Ε . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ μονάς · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε . ἀλλά ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ε , οὕτως εἰμί ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως καί πρός ὁ Ζ . ὁ Α ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ Β , Ζ ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Β ὁ Ζ . μετρέω δέ ὁ Γ ὁ Ζ · μετρέω ἄρα καί ὁ Β . ἀλλά μήν καί ὁ Α · ὁ Γ ἄρα ὁ Α , Β μετρέω . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ Β . ἐάν ἄρα δύο μέγεθος πρός ἀλλήλων , καί ὁ ἑξῆς . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι , ἐάν εἰμί δύο ἀριθμός , ὡς ὁ Δ , Ε , καί εὐθύς , ὡς ὁ Α , δυνατός εἰμί ποιέω ὡς ὁ Δ ἀριθμός πρός ὁ Ε ἀριθμός , οὕτως ὁ εὐθύς πρός εὐθύς . ἐάν δέ καί ὁ Α , Ζ μέσος ἀνάλογος λαμβάνω , ὡς ὁ Β , εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ Β , τουτέστι ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ἀπό ὁ δεύτερος ὁ ὅμοιος καί ὅμοιος ἀναγράφω . ἀλλά ὡς ὁ Α πρός ὁ Ζ , οὕτως εἰμί ὁ Δ ἀριθμός πρός ὁ Ε ἀριθμός · γίγνομαι ἄρα καί ὡς ὁ Δ ἀριθμός πρός ὁ Ε ἀριθμός , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α εὐθεῖα πρός ὁ ἀπό ὁ Β εὐθεῖα · ὅς δέω δείκνυμι .