euclides-geom.elementa 10.prop3.100
τὸ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην . ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΒ , ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη . ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τετραγώνων ῥητόν , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον . καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ · ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . καί ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ῥητόν · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΓΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ , ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ , ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΖΛ , καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ῥητόν ἐστιν , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον , ἀσύμμετρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . ἴσον δέ τὸ ΓΛ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ · ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ . λέγω , ὅτι καὶ τετάρτη . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΗ , ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι , ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ . καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει . καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ ΝΛ , τῶν ἄρα ΓΘ , ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ , ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ · ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ , τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ , ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί ἐστιν ὅλη ἡ ΓΜ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ · ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη . τὸ ἄρα ἀπὸ ἐλάσσονος καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ὁ ἀπό ἐλαχύς παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή τέταρτος . εἰμί ἐλαχύς ὁ ΑΒ , ῥητός δέ ὁ ΓΔ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ῥητός ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΕ πλάτος ποιέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΖ ἀποτομή εἰμί τέταρτος . εἰμί γάρ ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος . καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΘ πλάτος ποιέω ὁ ΓΚ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΗ ἴσος ὁ ΚΛ πλάτος ποιέω ὁ ΚΜ · ὅλος ἄρα ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . καί εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ῥητός · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΓΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΓΔ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΓΜ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΓΜ καί σύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . καί ἐπεί ὅλος ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὅς ὁ ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , λοιπός ἄρα ὁ ΖΛ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . τέμνω οὖν ὁ ΖΜ δίχα κατά ὁ Ν σημεῖον , καί ἄγω διά ὁ Ν ὁπότερος ὁ ΓΔ , ΜΛ παράλληλος ὁ ΝΞ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΖΞ , ΝΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . καί ἐπεί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος εἰμί καί εἰμί ἴσος ὁ ΖΛ , καί ὁ ΖΛ ἄρα μέσος εἰμί . καί παρά ῥητός ὁ ΖΕ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΖΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΖΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . καί ἐπεί ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ῥητός εἰμί , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . ἴσος δέ ὁ ΓΛ ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος ὁ ΖΛ · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΓΛ ὁ ΖΛ . ὡς δέ ὁ ΓΛ πρός ὁ ΖΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΜ πρός ὁ ΜΖ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ ὁ ΜΖ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΓΖ . λέγω , ὅτι καί τέταρτος . ἐπεί γάρ ὁ ΑΗ , ΗΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος , ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΒ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΒ ἴσος ὁ ΚΛ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΘ ὁ ΚΛ . ὡς δέ ὁ ΓΘ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΚ πρός ὁ ΚΜ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΚ ὁ ΚΜ μῆκος . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΒ ὁ ΚΛ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ ΝΛ , ὁ ἄρα ΓΘ , ΚΛ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΝΛ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΚ πρός ὁ ΝΜ , ὡς δέ ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΝΜ πρός ὁ ΚΜ · ὡς ἄρα ὁ ΓΚ πρός ὁ ΜΝ , οὕτως εἰμί ὁ ΜΝ πρός ὁ ΚΜ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΚ , ΚΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΜΝ , τουτέστι ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΖΜ . ἐπεί οὖν δύο εὐθεῖα ἄνισος εἰμί ὁ ΓΜ , ΜΖ , καί ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΜΖ ἴσος παρά ὁ ΓΜ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος ὁ ὑπό ὁ ΓΚ , ΚΜ καί εἰς ἀσύμμετρος αὐτός διαιρέω , ὁ ἄρα ΓΜ ὁ ΜΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὅλος ὁ ΓΜ σύμμετρος μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ΓΖ ἀποτομή εἰμί τέταρτος . ὁ ἄρα ἀπό ἐλαχύς καί ὁ ἑξῆς .