euclides-geom.elementa 3.prop.31
ἐν κύκλῳ ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν , ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς , ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήματι μείζων ὀρθῆς · καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς , ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἐλάττων ὀρθῆς . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΓ , κέντρον δὲ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ , ΑΓ , ΑΔ , ΔΓ · λέγω , ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν , ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς , ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς . ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ , καὶ διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΑ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΕΑ , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΕ · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΓΒ ἴση ἐστίν . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΓΒ γωνίαις ἴση · ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΓ · ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα · ἡ ἄρα ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΑΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν , ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ , ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία · καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι . καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ , τῶν δὲ ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , καί ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ὀρθῆς · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία μείζων ὀρθῆς ἐστιν · καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι . λέγω , ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας μείζων ἐστὶν ὀρθῆς , ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τῆς ΑΔ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς . καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν . ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν , ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας περιεχομένη μείζων ἐστὶν ὀρθῆς . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΑΖ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν , ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΓΑ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔ περιφερείας περιεχομένη ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς . ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν , ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς , ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι μείζων ὀρθῆς , καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος μείζων ὀρθῆς , ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος ἐλάττων ὀρθῆς · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν κύκλος ὁ μέν ἐν ὁ ἡμικύκλιον γωνία ὀρθός εἰμί , ὁ δέ ἐν ὁ μέγας τμῆμα ἐλαχύς ὀρθός , ὁ δέ ἐν ὁ ἐλαχύς τμῆμα μέγας ὀρθός · καί ἔτι ὁ μέν ὁ μέγας τμῆμα γωνία μέγας εἰμί ὀρθός , ὁ δέ ὁ ἐλαχύς τμῆμα γωνία ἐλαχύς ὀρθός . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ ΒΓ , κέντρον δέ ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑ , ΑΓ , ΑΔ , ΔΓ · λέγω , ὅτι ὁ μέν ἐν ὁ ΒΑΓ ἡμικύκλιον γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ὀρθός εἰμί , ὁ δέ ἐν ὁ ΑΒΓ μέγας ὁ ἡμικύκλιον τμῆμα γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ ἐλαχύς εἰμί ὀρθός , ὁ δέ ἐν ὁ ΑΔΓ ἐλαχύς ὁ ἡμικύκλιον τμῆμα γωνία ὁ ὑπό ΑΔΓ μέγας εἰμί ὀρθός . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , καί διάγω ὁ ΒΑ ἐπί ὁ Ζ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΕΑ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΕ ὁ ὑπό ΒΑΕ . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΕ ὁ ΕΑ , ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ΑΓΕ ὁ ὑπό ΓΑΕ · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΓ δύο ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΑΓΒ ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΖΑΓ ἐκτός ὁ ΑΒΓ τρίγωνον δύο ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΑΓΒ γωνία ἴσος · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΖΑΓ · ὀρθός ἄρα ἑκάτερος · ὁ ἄρα ἐν ὁ ΒΑΓ ἡμικύκλιον γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον δύο γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΑΓ δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί , ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΒΑΓ , ἐλαχύς ἄρα ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία · καί εἰμί ἐν ὁ ΑΒΓ μέγας ὁ ἡμικύκλιον τμῆμα . καί ἐπεί ἐν κύκλος τετράπλευρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ , ὁ δέ ἐν ὁ κύκλος τετράπλευρος ὁ ἀπεναντίον γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί , καί εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ ἐλαχύς ὀρθός · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΔΓ γωνία μέγας ὀρθός εἰμί · καί εἰμί ἐν ὁ ΑΔΓ ἐλαχύς ὁ ἡμικύκλιον τμῆμα . λέγω , ὅτι καί ὁ μέν ὁ μέγας τμῆμα γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΒΓ περιφέρεια καί ὁ ΑΓ εὐθεῖα μέγας εἰμί ὀρθός , ὁ δέ ὁ ἐλαχύς τμῆμα γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΔ περιφέρεια καί ὁ ΑΓ εὐθεῖα ἐλαχύς εἰμί ὀρθός . καί εἰμί αὐτόθεν φανερός . ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ εὐθεῖα ὀρθός εἰμί , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΒΓ περιφέρεια καί ὁ ΑΓ εὐθεῖα περιέχω μέγας εἰμί ὀρθός . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΑΖ εὐθεῖα ὀρθός εἰμί , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΑ εὐθεῖα καί ὁ ΑΔ περιφέρεια περιέχω ἐλαχύς εἰμί ὀρθός . ἐν κύκλος ἄρα ὁ μέν ἐν ὁ ἡμικύκλιον γωνία ὀρθός εἰμί , ὁ δέ ἐν ὁ μέγας τμῆμα ἐλαχύς ὀρθός , ὁ δέ ἐν ὁ ἐλαχύς μέγας ὀρθός , καί ἔτι ὁ μέν ὁ μέγας τμῆμα μέγας ὀρθός , ὁ δέ ὁ ἐλαχύς τμῆμα ἐλαχύς ὀρθός · ὅς δέω δείκνυμι .