ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 10.prop1.14
ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , δύνηται δὲ ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ ἐὰν ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ , καὶ ἡ Α μὲν τῆς β μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ε , ἡ δὲ Γ τῆς Δ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ζ · λέγω , ὅτι , εἴτε σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε , σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ , εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε , ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ , ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Ε , Β , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Γ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Δ , Ζ . ἔστιν ἄρα ὡς τὰ ἀπὸ τῶν Ε , Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β , οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν Δ , Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ · διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Ζ πρὸς τὴν Δ · ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ . ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ . εἴτε οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε , σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ , εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε , ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ . ἐὰν ἄρα , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , δύναμαι δέ ὁ πρῶτος ὁ δεύτερος μέγας ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ τρίτος ὁ τέταρτος μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί ἐάν ὁ πρῶτος ὁ δεύτερος μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ τρίτος ὁ τέταρτος μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . εἰμί τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , καί ὁ Α μέν ὁ β μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ὁ Ε , ὁ δέ Γ ὁ Δ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ὁ Ζ · λέγω , ὅτι , εἴτε σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Ε , σύμμετρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Ζ , εἴτε ἀσύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Ε , ἀσύμμετρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Ζ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ἀπό ὁ Δ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε , Β , ὁ δέ ἀπό ὁ Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Δ , Ζ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ἀπό ὁ Ε , Β πρός ὁ ἀπό ὁ Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Δ , Ζ πρός ὁ ἀπό ὁ Δ · διαιρέω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ Ε πρός ὁ ἀπό ὁ Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Ζ πρός ὁ ἀπό ὁ Δ · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ Ε πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ζ πρός ὁ Δ · ἀνάπαλιν ἄρα εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ζ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ζ . εἴτε οὖν σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Ε , σύμμετρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Ζ , εἴτε ἀσύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Ε , ἀσύμμετρος εἰμί καί ὁ Γ ὁ Ζ . ἐάν ἄρα , καί ὁ ἑξῆς .
euclides-geom.elementa 10.prop1.15
ἐὰν δύο μεγέθη σύμμετρα συντεθῇ , καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον ἔσται · κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ , καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρα ἔσται . Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἐστι σύμμετρον . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ , ΒΓ , μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος . μετρείτω , καὶ ἔστω τὸ Δ . ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ , ΒΓ μετρεῖ , καὶ ὅλον τὸ ΑΓ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὰ ΑΒ , ΒΓ . τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ μετρεῖ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἔστω σύμμετρον τῷ ΑΒ · λέγω δή , ὅτι καὶ τὰ ΑΒ , ΒΓ σύμμετρά ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΓ , ΑΒ , μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος . μετρείτω , καὶ ἔστω τὸ Δ . ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ , ΑΒ μετρεῖ , καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ · τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ , ΒΓ μετρήσει · σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ , ΒΓ . ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος σύμμετρος συντίθημι , καί ὁ ὅλος ἑκάτερος αὐτός σύμμετρος εἰμί · ἐάν ὁ ὅλος εἷς αὐτός σύμμετρος εἰμί , καί ὁ ἐκ ἀρχή μέγεθος σύμμετρος εἰμί . σύγκειμαι γάρ δύο μέγεθος σύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι καί ὅλος ὁ ΑΓ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ εἰμί σύμμετρος . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ , μετρέω τις αὐτός μέγεθος . μετρέω , καί εἰμί ὁ Δ . ἐπεί οὖν ὁ Δ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετρέω , καί ὅλος ὁ ΑΓ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ ΑΒ , ΒΓ . ὁ Δ ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ μετρέω · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἀλλά δή ὁ ΑΓ εἰμί σύμμετρος ὁ ΑΒ · λέγω δή , ὅτι καί ὁ ΑΒ , ΒΓ σύμμετρος εἰμί . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΓ , ΑΒ , μετρέω τις αὐτός μέγεθος . μετρέω , καί εἰμί ὁ Δ . ἐπεί οὖν ὁ Δ ὁ ΓΑ , ΑΒ μετρέω , καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΓ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ ΑΒ · ὁ Δ ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ μετρέω · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἐάν ἄρα δύο μέγεθος , καί ὁ ἑξῆς .
euclides-geom.elementa 10.prop1.19
τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ῥητόν ἐστιν . ὑπὸ γὰρ ῥητῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ · λέγω , ὅτι ῥητόν ἐστι τὸ ΑΓ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει , ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ , σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ μήκει . καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ . σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ . ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΓ . τὸ ἄρα ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ὁ ὑπό ῥητός μῆκος σύμμετρος κατά τις ὁ προλέγω τρόπος εὐθεῖα περιέχω ὀρθογώνιον ῥητός εἰμί . ὑπό γάρ ῥητός μῆκος σύμμετρος εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ ὀρθογώνιον περιέχω ὁ ΑΓ · λέγω , ὅτι ῥητός εἰμί ὁ ΑΓ . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΔ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος , ἴσος δέ εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΔ , σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΒΓ μῆκος . καί εἰμί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΓ . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ . ῥητός δέ ὁ ΔΑ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΑΓ . ὁ ἄρα ὑπό ῥητός μῆκος σύμμετρος , καί ὁ ἑξῆς .
euclides-geom.elementa 10.prop1.20
ἐὰν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ , πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ , παρʼ ἣν παράκειται , μήκει . ῥητὸν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ ῥητὴν κατά τινα πάλιν τῶν προειρημένων τρόπων τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΒΓ · λέγω , ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΑ μήκει . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ . ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ΑΓ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ . καί ἐστιν ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ , οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ . σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ · ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ · σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ . ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΑΒ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει . ἐὰν ἄρα ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν ῥητός παρά ῥητός παραβάλλω , πλάτος ποιέω ῥητός καί σύμμετρος ὁ , παρά ὅς παράκειμαι , μῆκος . ῥητός γάρ ὁ ΑΓ παρά ῥητός κατά τις πάλιν ὁ προλέγω τρόπος ὁ ΑΒ παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι ῥητός εἰμί ὁ ΒΓ καί σύμμετρος ὁ ΒΑ μῆκος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΔ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ . ῥητός δέ καί ὁ ΑΓ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ . καί εἰμί ὡς ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΓ . σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΒ ὁ ΒΓ · ἴσος δέ ὁ ΔΒ ὁ ΒΑ · σύμμετρος ἄρα καί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . ῥητός δέ εἰμί ὁ ΑΒ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΓ καί σύμμετρος ὁ ΑΒ μῆκος . ἐάν ἄρα ῥητός παρά ῥητός παραβάλλω , καί ὁ ἑξῆς .
euclides-geom.elementa 10.prop1.21
τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν , καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ μέση . ὑπὸ γὰρ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ · λέγω , ὅτι ἄλογόν ἐστι τὸ ΑΓ , καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ μέση . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει · δυνάμει γὰρ μόνον ὑπόκεινται σύμμετροι · ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει . καί ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΑΓ · ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ . ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ · ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ · ὥστε καὶ ἡ δυναμένη τὸ ΑΓ ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ μέση · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι , ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν . ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΖΕ , ΕΗ . λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ , ΕΗ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ , καί ἐστι τὸ μὲν ΖΔ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ , τὸ δὲ ΔΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ , ΕΗ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ , ΕΗ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ τὴν ΕΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ , ΕΗ . ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΕ , ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ , τουτέστιν ὡς τὸ ΗΔ πρὸς τὸ ΖΔ , οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὑπό ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος εὐθεῖα περιέχω ὀρθογώνιον ἄλογος εἰμί , καί ὁ δύναμαι αὐτός ἄλογος εἰμί , καλέω δέ μέσος . ὑπό γάρ ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ ὀρθογώνιον περιέχω ὁ ΑΓ · λέγω , ὅτι ἄλογος εἰμί ὁ ΑΓ , καί ὁ δύναμαι αὐτός ἄλογος εἰμί , καλέω δέ μέσος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΔ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος · δύναμις γάρ μόνος ὑπόκειμαι σύμμετρος · ἴσος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΒΔ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΒ ὁ ΒΓ μῆκος . καί εἰμί ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΑΔ πρός ὁ ΑΓ · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ . ῥητός δέ ὁ ΔΑ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ · ὥστε καί ὁ δύναμαι ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί , καλέω δέ μέσος · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα ἐάν εἰμί δύο εὐθεῖα , εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ δεύτερος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος πρός ὁ ὑπό ὁ δύο εὐθεῖα . εἰμί δύο εὐθεῖα ὁ ΖΕ , ΕΗ . λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΖΕ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΕ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΕΗ . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΖΕ τετράγωνος ὁ ΔΖ , καί συμπληρόω ὁ ΗΔ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΖΕ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΖΔ πρός ὁ ΔΗ , καί εἰμί ὁ μέν ΖΔ ὁ ἀπό ὁ ΖΕ , ὁ δέ ΔΗ ὁ ὑπό ὁ ΔΕ , ΕΗ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΕΗ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΖΕ ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΕ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΕΗ . ὅμοιος δέ καί ὡς ὁ ὑπό ὁ ΗΕ , ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , τουτέστι ὡς ὁ ΗΔ πρός ὁ ΖΔ , οὕτως ὁ ΗΕ πρός ὁ ΕΖ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.22
τὸ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ , παρʼ ἣν παράκειται , μήκει . ἔστω μέση μὲν ἡ Α , ῥητὴ δὲ ἡ ΓΒ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΔ · λέγω , ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει . ἐπεὶ γὰρ μέση ἐστὶν ἡ Α , δύναται χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων . δυνάσθω τὸ ΗΖ . δύναται δὲ καὶ τὸ ΒΔ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔ τῷ ΗΖ . ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον · τῶν δὲ ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ . ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ . σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ · ῥητὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ . ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ μήκει · δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι · ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ , ΕΗ , ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΖΕ , ΕΗ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΖ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ · ῥηταὶ γάρ εἰσι δυνάμει · τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΕ , ΕΗ σύμμετρόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · ἴσα γάρ ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς Α · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ , ΓΒ . ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ , ΓΒ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ μήκει . ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό μέσος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ῥητός καί ἀσύμμετρος ὁ , παρά ὅς παράκειμαι , μῆκος . εἰμί μέσος μέν ὁ Α , ῥητός δέ ὁ ΓΒ , καί ὁ ἀπό ὁ Α ἴσος παρά ὁ ΒΓ παραβάλλω χωρίον ὀρθογώνιον ὁ ΒΔ πλάτος ποιέω ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι ῥητός εἰμί ὁ ΓΔ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΒ μῆκος . ἐπεί γάρ μέσος εἰμί ὁ Α , δύναμαι χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος . δύναμαι ὁ ΗΖ . δύναμαι δέ καί ὁ ΒΔ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΗΖ . εἰμί δέ αὐτός καί ἰσογώνιος · ὁ δέ ἴσος τε καί ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΓΔ . εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΔ . σύμμετρος δέ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΕΗ · ῥητός γάρ εἰμί ἑκάτερος αὐτός · σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ἀπό ὁ ΓΔ . ῥητός δέ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΕΗ μῆκος · δύναμις γάρ μόνος εἰμί σύμμετρος · ὡς δέ ὁ ΕΖ πρός ὁ ΕΗ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΕΗ , ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΕΗ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΕΖ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ · ῥητός γάρ εἰμί δύναμις · ὁ δέ ὑπό ὁ ΖΕ , ΕΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ ὁ ὑπό ὁ ΔΓ , ΓΒ . ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΓΔ πρός ὁ ὑπό ὁ ΔΓ , ΓΒ , οὕτως εἰμί ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΒ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΔΓ ὁ ΓΒ μῆκος . ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΒ μῆκος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.23
ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος μέση ἐστίν . ἔστω μέση ἡ Α , καὶ τῇ Α σύμμετρος ἔστω ἡ Β · λέγω , ὅτι καὶ ἡ Β μέση ἐστίν . Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΓΔ , καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΔ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ . ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β , σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Β . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ . καί ἐστιν ὡς τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ΓΖ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ μήκει . ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει · αἱ ΓΔ , ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . ἡ δὲ τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων δυναμένη μέση ἐστίν . ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΔΖ δυναμένη μέση ἐστίν · καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ , ΔΖ ἡ Β · μέση ἄρα ἐστὶν ἡ Β . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι τὸ τῷ μέσῳ χωρίῳ σύμμετρον μέσον ἐστίν . ὡσαύτως δὲ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοις καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ , τὴν τῇ μέσῃ μήκει σύμμετρον λέγεσθαι μέσην καὶ σύμμετρον αὐτῇ μὴ μόνον μήκει , ἀλλὰ καὶ δυνάμει , ἐπειδήπερ καθόλου αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει . ἐὰν δὲ τῇ μέσῃ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει , εἰ μὲν καὶ μήκει , λέγονται καὶ οὕτως μέσαι καὶ σύμμετροι μήκει καὶ δυνάμει , εἰ δὲ δυνάμει μόνον , λέγονται μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι .
Lemmas: ὁ ὁ μέσος σύμμετρος μέσος εἰμί . εἰμί μέσος ὁ Α , καί ὁ Α σύμμετρος εἰμί ὁ Β · λέγω , ὅτι καί ὁ Β μέσος εἰμί . ἔκκειμαι γάρ ῥητός ὁ ΓΔ , καί ὁ μέν ἀπό ὁ Α ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω χωρίον ὀρθογώνιον ὁ ΓΕ πλάτος ποιέω ὁ ΕΔ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΕΔ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . ὁ δέ ἀπό ὁ Β ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω χωρίον ὀρθογώνιον ὁ ΓΖ πλάτος ποιέω ὁ ΔΖ . ἐπεί οὖν σύμμετρος εἰμί ὁ Α ὁ Β , σύμμετρος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ Α ὁ ἀπό ὁ Β . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ ΕΓ , ὁ δέ ἀπό ὁ Β ἴσος εἰμί ὁ ΓΖ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΓ ὁ ΓΖ . καί εἰμί ὡς ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΔ ὁ ΔΖ μῆκος . ῥητός δέ εἰμί ὁ ΕΔ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΓ μῆκος · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΖ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΓ μῆκος · ὁ ΓΔ , ΔΖ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . ὁ δέ ὁ ὑπό ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος δύναμαι μέσος εἰμί . ὁ ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΔΖ δύναμαι μέσος εἰμί · καί δύναμαι ὁ ὑπό ὁ ΓΔ , ΔΖ ὁ Β · μέσος ἄρα εἰμί ὁ Β . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ὁ ὁ μέσος χωρίον σύμμετρος μέσος εἰμί . ὡσαύτως δέ ὁ ἐπί ὁ ῥητός λέγω καί ἐπί ὁ μέσος ἐξακολουθέω , ὁ ὁ μέσος μῆκος σύμμετρος λέγω μέσος καί σύμμετρος αὐτός μή μόνος μῆκος , ἀλλά καί δύναμις , ἐπειδή καθόλου ὁ μῆκος σύμμετρος πάντως καί δύναμις . ἐάν δέ ὁ μέσος σύμμετρος τις εἰμί δύναμις , εἰ μέν καί μῆκος , λέγω καί οὕτως μέσος καί σύμμετρος μῆκος καί δύναμις , εἰ δέ δύναμις μόνος , λέγω μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος .
euclides-geom.elementa 10.prop1.24
τὸ ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν κατά τινα τῶν εἰρημένων τρόπων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέσον ἐστίν . ὑπὸ γὰρ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχέσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΓ μέσον ἐστίν . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ · μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει , ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ , σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει · ὥστε καὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ σύμμετρόν ἐστιν . μέσον δὲ τὸ ΔΑ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ΑΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὑπό μέσος μῆκος σύμμετρος εὐθεῖα κατά τις ὁ λέγω τρόπος περιέχω ὀρθογώνιον μέσος εἰμί . ὑπό γάρ μέσος μῆκος σύμμετρος εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον ὁ ΑΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ μέσος εἰμί . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΔ · μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος , ἴσος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΒΔ , σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΒ ὁ ΒΓ μῆκος · ὥστε καί ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ σύμμετρος εἰμί . μέσος δέ ὁ ΔΑ · μέσος ἄρα καί ὁ ΑΓ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.26
μέσον μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ . εἰ γὰρ δυνατόν , μέσον τὸ ΑΒ μέσου τοῦ ΑΓ ὑπερεχέτω ῥητῷ τῷ ΔΒ , καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ , καὶ τῷ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ , τῷ δὲ ΑΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΖΗ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΔ λοιπῷ τῷ ΚΘ ἐστιν ἴσον . ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ΔΒ · ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ . ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΑΓ , καί ἐστι τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΖΘ ἴσον , τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΖΗ , μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΖΘ , ΖΗ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΕ , ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΚΘ , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΘ μήκει . καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΘ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ τετράγωνα · ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα · τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ · διπλάσιον γάρ ἐστιν αὐτοῦ · ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ · καὶ συναμφότερα ἄρα τά τε ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ , ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ , ἀσύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ . ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ , ΗΘ · ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ . ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ . ἀλλὰ καὶ ῥητή · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . μέσον ἄρα μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: μέσος μέσος οὐ ὑπερέχω ῥητός . εἰ γάρ δυνατός , μέσος ὁ ΑΒ μέσος ὁ ΑΓ ὑπερέχω ῥητός ὁ ΔΒ , καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ , καί ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον ὁ ΖΘ πλάτος ποιέω ὁ ΕΘ , ὁ δέ ΑΓ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΖΗ · λοιπός ἄρα ὁ ΒΔ λοιπός ὁ ΚΘ εἰμί ἴσος . ῥητός δέ εἰμί ὁ ΔΒ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΚΘ . ἐπεί οὖν μέσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΑΓ , καί εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΖΘ ἴσος , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΖΗ , μέσος ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΖΘ , ΖΗ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΘΕ , ΕΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . καί ἐπεί ῥητός εἰμί ὁ ΔΒ καί εἰμί ἴσος ὁ ΚΘ , ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΚΘ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ καί σύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . ἀλλά καί ὁ ΕΗ ῥητός εἰμί καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΗ ὁ ΗΘ μῆκος . καί εἰμί ὡς ὁ ΕΗ πρός ὁ ΗΘ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΗ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΗ , ΗΘ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ὁ ὑπό ὁ ΕΗ , ΗΘ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΕΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΘ τετράγωνος · ῥητός γάρ ἀμφότερος · ὁ δέ ὑπό ὁ ΕΗ , ΗΘ σύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΕΗ , ΗΘ · διπλάσιος γάρ εἰμί αὐτός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΘ ὁ δίς ὑπό ὁ ΕΗ , ΗΘ · καί συναμφότεροι ἄρα ὁ τε ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΘ καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΕΗ , ΗΘ , ὅς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΘ , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΘ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΕΗ , ΗΘ · ἄλογος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΕΘ . ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ . ἀλλά καί ῥητός · ὅς εἰμί ἀδύνατος . μέσος ἄρα μέσος οὐ ὑπερέχω ῥητός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.27
μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας . Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α , Β , καὶ εἰλήφθω τῶν Α , Β μέση ἀνάλογον ἡ Γ , καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ . καὶ ἐπεὶ αἱ Α , Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Β , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ , μέσον ἐστίν . μέση ἄρα ἡ Γ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , ἡ Γ πρὸς τὴν Δ , αἱ δὲ Α , Β δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ αἱ Γ , Δ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι . καί ἐστι μέση ἡ Γ · μέση ἄρα καὶ ἡ Δ . αἱ Γ , Δ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι . λέγω , ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ , ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ , ἡ Β πρὸς τὴν Δ . ἀλλʼ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ , ἡ Γ πρὸς τὴν Β · καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Δ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ , Δ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ , Δ . Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: μέσος εὑρίσκω δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω . ἔκκειμαι δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ Α , Β , καί λαμβάνω ὁ Α , Β μέσος ἀνάλογος ὁ Γ , καί γίγνομαι ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ . καί ἐπεί ὁ Α , Β ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α , Β , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ Γ , μέσος εἰμί . μέσος ἄρα ὁ Γ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὁ δέ Α , Β δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ Γ , Δ ἄρα δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος . καί εἰμί μέσος ὁ Γ · μέσος ἄρα καί ὁ Δ . ὁ Γ , Δ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . λέγω , ὅτι καί ῥητός περιέχω . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , ὁ Β πρός ὁ Δ . ἀλλά ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , ὁ Γ πρός ὁ Β · καί ὡς ἄρα ὁ Γ πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Δ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Γ , Δ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ Β · ῥητός ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ Γ , Δ . εὑρίσκω ἄρα μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.29
εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους , ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . Ἐκκείσθω γάρ τις ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ , ΔΕ , ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ μὴ εἶναι τετράγωνον , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ , καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ . ἐπεὶ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ , οὕτως ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ , τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς ὁ ΔΓ πρὸς ἀριθμὸν τὸν ΓΕ · σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΖ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΖ μήκει · αἱ ΒΑ , ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ ἐπεί ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ , ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ . ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει . καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ , ΖΒ · ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῇ ΒΖ συμμέτρῳ ἑαυτῇ . Εὕρηνται ἄρα δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΒΑ , ΑΖ , ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΑΖ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος , ὥστε ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . ἔκκειμαι γάρ τις ῥητός ὁ ΑΒ καί δύο τετράγωνος ἀριθμός ὁ ΓΔ , ΔΕ , ὥστε ὁ ὑπεροχή αὐτός ὁ ΓΕ μή εἰμί τετράγωνος , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΖΒ , καί ποιέω ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΑ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΖ τετράγωνος καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ . ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΖ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΖ λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός ὁ ΔΓ πρός ἀριθμός ὁ ΓΕ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ὁ ἀπό ὁ ΑΖ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΖ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΑΖ . καί ἐπεί ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΖ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΑΖ μῆκος · ὁ ΒΑ , ΑΖ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί ἐπεί ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΖ , ἀναστρέφω ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ . ὁ δέ ΓΔ πρός ὁ ΔΕ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΖ μῆκος . καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΖ , ΖΒ · ὁ ΑΒ ἄρα ὁ ΑΖ μέγας δύναμαι ὁ ΒΖ σύμμετρος ἑαυτοῦ . εὑρίσκω ἄρα δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ ΒΑ , ΑΖ , ὥστε ὁ μέγας ὁ ΑΒ ὁ ἐλαχύς ὁ ΑΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ΒΖ σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.30
εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους , ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΕ , ΕΔ , ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μὴ εἶναι τετράγωνον , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ , καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ . ὁμοίως δὴ δείξομεν τῷ πρὸ τούτου , ὅτι αἱ ΒΑ , ΑΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ , ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ . ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει . καὶ δύναται ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . αἱ ΑΒ , ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος , ὥστε ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΑΒ καί δύο τετράγωνος ἀριθμός ὁ ΓΕ , ΕΔ , ὥστε ὁ σύγκειμαι ἐκ αὐτός ὁ ΓΔ μή εἰμί τετράγωνος , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΖΒ , καί ποιέω ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ . ὅμοιος δή δείκνυμι ὁ πρό οὗτος , ὅτι ὁ ΒΑ , ΑΖ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΒΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΖ , ἀναστρέφω ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ . ὁ δέ ΓΔ πρός ὁ ΔΕ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΖ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΖ μῆκος . καί δύναμαι ὁ ΑΒ ὁ ΑΖ μέγας ὁ ἀπό ὁ ΖΒ ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . ὁ ΑΒ , ΑΖ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΑΒ ὁ ΑΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΒ ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.31
εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας , ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ α , Β , ὥστε τὴν Α μείζονα οὖσαν τῆς ἐλάσσονος τῆς Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α , Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ . μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α , Β · μέσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ · μέση ἄρα καὶ ἡ Γ . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Γ , Δ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ , Δ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α , Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β , ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α , Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Γ , δ , ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ , Δ . ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ , Δ , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ · καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ . σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Β δυνάμει μόνον · σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Δ δυνάμει μόνον . καί ἐστι μέση ἡ Γ · μέση ἄρα καὶ ἡ Δ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , ἡ Γ πρὸς τὴν Δ , ἡ δὲ Α τῆς Β μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ἡ Γ ἄρα τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Γ , Δ ῥητὸν περιέχουσαι , καὶ ἡ Γ τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου , ὅταν ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ .
Lemmas: εὑρίσκω δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω , ὥστε ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . ἔκκειμαι δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ α , Β , ὥστε ὁ Α μέγας εἰμί ὁ ἐλαχύς ὁ Β μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . καί ὁ ὑπό ὁ Α , Β ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Γ . μέσος δέ ὁ ὑπό ὁ Α , Β · μέσος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ Γ · μέσος ἄρα καί ὁ Γ . ὁ δέ ἀπό ὁ Β ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Γ , Δ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ Β · ῥητός ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ Γ , Δ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ ὑπό ὁ Α , Β πρός ὁ ἀπό ὁ Β , ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ Α , Β ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Γ , ὁ δέ ἀπό ὁ Β ἴσος ὁ ὑπό ὁ Γ , δ , ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ὑπό ὁ Γ , Δ . ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ Γ πρός ὁ ὑπό ὁ Γ , Δ , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Δ . σύμμετρος δέ ὁ Α ὁ Β δύναμις μόνος · σύμμετρος ἄρα καί ὁ Γ ὁ Δ δύναμις μόνος . καί εἰμί μέσος ὁ Γ · μέσος ἄρα καί ὁ Δ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ Γ πρός ὁ Δ , ὁ δέ Α ὁ Β μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὁ Γ ἄρα ὁ Δ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . εὑρίσκω ἄρα δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ Γ , Δ ῥητός περιέχω , καί ὁ Γ ὁ Δ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . ὅμοιος δή δείκνυμι καί ὁ ἀπό ἀσύμμετρος , ὅταν ὁ Α ὁ Β μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ .
euclides-geom.elementa 10.prop1.34
εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν . Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπʼ αὐτῶν , ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔΒ ἡμικύκλιον , καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ · ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει . καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΔΒ . ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΖ . ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ . καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ , μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ τῆς ΔΖ , διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΖΔ . ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΖΔ . τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ · ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ῥητόν ἐστιν . Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΔ , ΔΒ ποιοῦσαι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ ὑπό αὐτός ῥητός . ἔκκειμαι δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ ῥητός περιέχω ὁ ὑπό αὐτός , ὥστε ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ὁ ΑΔΒ ἡμικύκλιον , καί τέμνω ὁ ΒΓ δίχα κατά ὁ Ε , καί παραβάλλω παρά ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΕ ἴσος παραλληλόγραμμος ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος ὁ ὑπό ὁ ΑΖΒ · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ μῆκος . καί ἄγω ἀπό ὁ Ζ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΖΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΔΒ . ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΖ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΖ . ἴσος δέ ὁ μέν ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΖ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΖ ὁ ἀπό ὁ ΔΒ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ ὁ ἀπό ὁ ΔΒ . καί ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , μέσος ἄρα καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . καί ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΔΖ , διπλάσιος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΖΔ . ῥητός δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ῥητός ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΖΔ . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΖΔ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ῥητός εἰμί . εὑρίσκω ἄρα δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος ὁ ΑΔ , ΔΒ ποιέω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ ὑπό αὐτός ῥητός · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.35
εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνῳ . Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ μέσον περιέχουσαι , ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ , καὶ τὰ λοιπὰ γεγονέτω τοῖς ἐπάνω ὁμοίως . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει , ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ δυνάμει . καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ , μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΒΕ , ΔΖ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΔΖ · διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΔ · ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΖΔ . μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΖΔ . καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει , σύμμετρος δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ , ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ μήκει · ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΕ ἀσύμμετρόν ἐστιν . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΖΔ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ , ΔΒ δυνάμει ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος καί ὁ ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος . ἔκκειμαι δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος περιέχω , ὥστε ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΔΒ , καί ὁ λοιπός γίγνομαι ὁ ἐπάνω ὅμοιος . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΒ μῆκος , ἀσύμμετρος εἰμί καί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ δύναμις . καί ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , μέσος ἄρα καί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ ΒΕ , ΔΖ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΔΖ · διπλόος ἄρα ὁ ΒΓ ὁ ΖΔ · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ διπλάσιος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΖΔ . μέσος δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · μέσος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΖΔ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ · μέσος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος , σύμμετρος δέ ὁ ΓΒ ὁ ΒΕ , ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ΑΒ ὁ ΒΕ μῆκος · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΕ ἀσύμμετρος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΕ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΖΔ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . εὑρίσκω ἄρα δύο εὐθεῖα ὁ ΑΔ , ΔΒ δύναμις ἀσύμμετρος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός μέσος καί ὁ ὑπό αὐτός μέσος καί ἔτι ἀσύμμετρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.36
ἐὰν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν , ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων . Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει · δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι · ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ . ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · αἱ γὰρ ΑΒ , ΒΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . καὶ συνθέντι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ , ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ · ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος συντίθημι , ὁ ὅλος ἄλογος εἰμί , καλέω δέ ἐκ δύο ὄνομα . σύγκειμαι γάρ δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι ὅλος ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί . ἐπεί γάρ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος · δύναμις γάρ μόνος εἰμί σύμμετρος · ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ σύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΓ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ὁ γάρ ΑΒ , ΒΓ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . καί συντίθημι ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ῥητός δέ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἄλογος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ὥστε καί ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί , καλέω δέ ἐκ δύο ὄνομα · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.37
ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι , ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη . Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι · λέγω , ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · καὶ συνθέντι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ , ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ὑπόκεινται γὰρ αἱ ΑΒ , ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι · ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ · ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ , καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος συντίθημι ῥητός περιέχω , ὁ ὅλος ἄλογος εἰμί , καλέω δέ ἐκ δύο μέσος πρῶτος . σύγκειμαι γάρ δύο μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ ῥητός περιέχω · λέγω , ὅτι ὅλος ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί . ἐπεί γάρ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ μῆκος , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · καί συντίθημι ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὅς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ῥητός δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ὑπόκειμαι γάρ ὁ ΑΒ , ΒΓ ῥητός περιέχω · ἄλογος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ἄλογος ἄρα ὁ ΑΓ , καλέω δέ ἐκ δύο μέσος πρῶτος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.39
ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον , ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ μείζων . Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα · λέγω , ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μέσον ἐστίν , καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μέσον ἐστίν . τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ῥητόν · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ , ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ . ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ μείζων . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος συντίθημι ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος , ὁ ὅλος εὐθεῖα ἄλογος εἰμί , καλέω δέ μέγας . σύγκειμαι γάρ δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ ποιέω ὁ πρόκειμαι · λέγω , ὅτι ἄλογος εἰμί ὁ ΑΓ . ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος εἰμί , καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος εἰμί . ὁ δέ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ῥητός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὅς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ἀσύμμετρος εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἄλογος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ . ὥστε καί ὁ ΑΓ ἄλογος εἰμί , καλέω δέ μέγας . ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.40
ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν , ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν , καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη . Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ , ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα · λέγω , ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ . ἐπεὶ γὰρ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ μέσον ἐστίν , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ῥητόν , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ . ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ . ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ , καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος συντίθημι ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ ὑπό αὐτός ῥητός , ὁ ὅλος εὐθεῖα ἄλογος εἰμί , καλέω δέ ῥητός καί μέσος δύναμαι . σύγκειμαι γάρ δύο εὐθεῖα δύναμις ἀσύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ ποιέω ὁ πρόκειμαι · λέγω , ὅτι ἄλογος εἰμί ὁ ΑΓ . ἐπεί γάρ ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ μέσος εἰμί , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ῥητός , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἀσύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ . ῥητός δέ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἄλογος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ . ἄλογος ἄρα ὁ ΑΓ , καλέω δέ ῥητός καί μέσος δύναμαι . ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.42
ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατὰ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα . ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ · αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται εἰς δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους . εἰ γὰρ δυνατόν , διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ , ὥστε καὶ τὰς ΑΔ , ΔΒ ῥητὰς εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους . φανερὸν δή , ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω . ἔσται δὴ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή · καὶ ἔσται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ , καὶ ἔσται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ αὐτὸ τῇ κατὰ τὸ Γ διαιρέσει διαιρεθεῖσα καὶ κατὰ τὸ Δ · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται . οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἐστιν ἡ αὐτή . διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὰ Γ , Δ σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας . ᾧ ἄρα διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ διὰ τὸ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἴσα εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ . ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ διαφέρει ῥητῷ · ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα · καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ διαφέρει ῥητῷ μέσα ὄντα · ὅπερ ἄτοπον · μέσον γὰρ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ . οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται · καθʼ ἓν ἄρα μόνον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐκ δύο ὄνομα κατά εἷς μόνος σημεῖον διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα . εἰμί ἐκ δύο ὄνομα ὁ ΑΒ διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα κατά ὁ Γ · ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ κατά ἄλλος σημεῖον οὐ διαιρέω εἰς δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος . εἰ γάρ δυνατός , διαιρέω καί κατά ὁ Δ , ὥστε καί ὁ ΑΔ , ΔΒ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . φανερός δή , ὅτι ὁ ΑΓ ὁ ΔΒ οὐ εἰμί ὁ αὐτός . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί . εἰμί δή καί ὁ ΑΔ ὁ ΓΒ ὁ αὐτός · καί εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ , καί εἰμί ὁ ΑΒ κατά ὁ αὐτός ὁ κατά ὁ Γ διαίρεσις διαιρέω καί κατά ὁ Δ · ὅς οὐ ὑπόκειμαι . οὐ ἄρα ὁ ΑΓ ὁ ΔΒ εἰμί ὁ αὐτός . διά δή οὗτος καί ὁ Γ , Δ σημεῖον οὐ ἴσος ἀπέχω ὁ διχοτομία . ὅς ἄρα διαφέρω ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , οὗτος διαφέρω καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ διά ὁ καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ διαφέρω ῥητός · ῥητός γάρ ἀμφότερος · καί ὁ δίς ἄρα ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ διαφέρω ῥητός μέσος εἰμί · ὅς ἄτοπος · μέσος γάρ μέσος οὐ ὑπερέχω ῥητός . οὐ ἄρα ὁ ἐκ δύο ὄνομα κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον διαιρέω · κατά εἷς ἄρα μόνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.43
ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται . ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , ὥστε τὰς ΑΓ , ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ , ὥστε καὶ τὰς ΑΔ , ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας . ἐπεὶ οὖν , ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τούτῳ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , ῥητῷ δὲ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα · ῥητῷ ἄρα διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ μέσα ὄντα · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα · καθʼ ἓν ἄρα μόνον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐκ δύο μέσος πρῶτος κατά εἷς μόνος σημεῖον διαιρέω . εἰμί ἐκ δύο μέσος πρῶτος ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὥστε ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ κατά ἄλλος σημεῖον οὐ διαιρέω . εἰ γάρ δυνατός , διαιρέω καί κατά ὁ Δ , ὥστε καί ὁ ΑΔ , ΔΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος ῥητός περιέχω . ἐπεί οὖν , ὅς διαφέρω ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , οὗτος διαφέρω ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , ῥητός δέ διαφέρω ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ῥητός γάρ ἀμφότερος · ῥητός ἄρα διαφέρω καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ μέσος εἰμί · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ ἐκ δύο μέσος πρῶτος κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον διαιρέω εἰς ὁ ὄνομα · κατά εἷς ἄρα μόνος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.45
ἡ μείζων κατὰ τὸ αὐτὸ μόνον σημεῖον διαιρεῖται . ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , ὥστε τὰς ΑΓ , ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετραγώνων ῥητόν , τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ , ὥστε καὶ τὰς ΑΔ , ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ῥητόν , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον . καὶ ἐπεί , ᾧ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ · ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα · καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ μείζων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται · κατὰ τὸ αὐτὸ ἄρα μόνον διαιρεῖται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ μέγας κατά ὁ αὐτός μόνος σημεῖον διαιρέω . εἰμί μέγας ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὥστε ὁ ΑΓ , ΓΒ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ κατά ἄλλος σημεῖον οὐ διαιρέω . εἰ γάρ δυνατός , διαιρέω καί κατά ὁ Δ , ὥστε καί ὁ ΑΔ , ΔΒ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος . καί ἐπεί , ὅς διαφέρω ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , οὗτος διαφέρω καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὑπερέχω ῥητός · ῥητός γάρ ἀμφότερος · καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός μέσος εἰμί · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ μέγας κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον διαιρέω · κατά ὁ αὐτός ἄρα μόνος διαιρέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 10.prop1.46
ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται . ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , ὥστε τὰς ΑΓ , ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ῥητόν · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ , ὥστε καὶ τὰς ΑΔ , ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ μέσον , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ῥητόν . ἐπεὶ οὖν , ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , τούτῳ διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται . κατὰ ἓν ἄρα σημεῖον διαιρεῖται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ῥητός καί μέσος δύναμαι κατά εἷς μόνος σημεῖον διαιρέω . εἰμί ῥητός καί μέσος δύναμαι ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὥστε ὁ ΑΓ , ΓΒ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ῥητός · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ κατά ἄλλος σημεῖον οὐ διαιρέω . εἰ γάρ δυνατός , διαιρέω καί κατά ὁ Δ , ὥστε καί ὁ ΑΔ , ΔΒ δύναμις ἀσύμμετρος εἰμί ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ μέσος , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ῥητός . ἐπεί οὖν , ὅς διαφέρω ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , οὗτος διαφέρω καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ὑπερέχω ῥητός , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὑπερέχω ῥητός μέσος εἰμί · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ῥητός καί μέσος δύναμαι κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον διαιρέω . κατά εἷς ἄρα σημεῖον διαιρέω · ὅς δέω δείκνυμι .