euclides-geom.elementa 13.prop.17
δωδεκάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν , ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα , καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή . Ἐκκείσθωσαν τοῦ προειρημένου κύβου δύο ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλοις τὰ ΑΒΓΔ , ΓΒΕΖ , καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ , ΕΖ , ΕΒ , ΖΓ πλευρῶν δίχα κατὰ τὰ Η , Θ , Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ , ΘΛ , ΜΘ , ΝΞ , καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΝΟ , ΟΞ , ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὰ Ρ , Σ , Τ σημεῖα , καὶ ἔστω αὐτῶν μείζονα τμήματα τὰ ΡΟ , ΟΣ , ΤΠ , καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ρ , Σ , Τ σημείων τοῖς τοῦ κύβου ἐπιπέδοις πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὰ ἐκτὸς μέρη τοῦ κύβου αἱ ΡΥ , ΣΦ , ΤΧ , καὶ κείσθωσαν ἴσαι ταῖς ΡΟ , ΟΣ , ΤΠ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΥΒ , ΒΧ , ΧΓ , ΓΦ , ΦΥ . λέγω , ὅτι τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ ἔτι ἰσογώνιόν ἐστιν . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΡΒ , ΣΒ , ΦΒ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ , ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΟ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΝΒ , ἡ δὲ ΟΡ τῇ ΡΥ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΝ , ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΝ , ΝΡ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΡ ἐστιν ἴσον · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΡ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ · ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΒΡ , ΡΥ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΡ , ΡΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΥ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΥ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΥΡ · διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΥ τῆς ΡΥ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΥΡ διπλῆ , ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΣΡ τῆς ΟΡ , τουτέστι τῆς ΡΥ , ἐστι διπλῆ · ἴση ἄρα ἡ ΒΥ τῇ ΥΦ . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ , ΧΓ , ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ , ΥΦ ἐστιν ἴση . ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἑκατέρᾳ τῶν ΡΥ , ΣΦ παράλληλος ἐπὶ τὰ ἐκτὸς τοῦ κύβου μέρη ἡ ΟΨ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΘ , ΘΧ · λέγω , ὅτι ἡ ΨΘΧ εὐθεῖά ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Τ , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΠΤ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΠ πρὸς τὴν ΠΤ , οὕτως ἡ ΠΤ πρὸς τὴν ΤΘ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΘΠ τῇ ΘΟ , ἡ δὲ ΠΤ ἑκατέρᾳ τῶν ΤΧ , ΟΨ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΟ πρὸς τὴν ΟΨ , οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς τὴν ΤΘ . καί ἐστι παράλληλος ἡ μὲν ΘΟ τῇ ΤΧ · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν · ἡ δὲ ΤΘ τῇ ΟΨ · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΖ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν , ὡς τὰ ΨΟΘ , ΘΤΧ , τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶν ἀνάλογον ἔχοντα , ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι , αἱ λοιπαὶ εὐθεῖαι ἐπʼ εὐθείας ἔσονται · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΨΘ τῇ ΘΧ . πᾶσα δὲ εὐθεῖα ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ · ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον . λέγω δή , ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΡ , ἴση δὲ ἡ ΟΡ τῇ ΟΣ , ἡ ΝΣ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ , ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΝΒ , ἡ δὲ ΟΣ τῇ ΣΦ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ , ΣΦ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ · ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΦΣ , ΣΝ , ΝΒ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΣΝ , ΝΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΣΒ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΣ , ΣΦ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ 1 , τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ · διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΒ τῆς ΒΝ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΒΝ διπλῆ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΦ τῇ ΒΓ . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ , ΥΦ δυσὶ ταῖς ΒΧ , ΧΓ ἴσαι εἰσίν , καὶ βάσις ἡ ΒΦ βάσει τῇ ΒΓ ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΥΦ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ ἐστιν ἴση . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΥΦΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΧΓ , ΒΥΦ , ΥΦΓ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ἐὰν δὲ πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν , ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον · τὸ ἄρα ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ ἰσογώνιον , καί ἐστιν ἐπὶ μιᾶς τοῦ κύβου πλευρᾶς τῆς ΒΓ . ἐὰν ἄρα ἐφʼ ἑκάστης τῶν τοῦ κύβου δώδεκα πλευρῶν τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν , συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον , ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον . δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΨΟ , καὶ ἔστω ἡ ΨΩ · συμβάλλει ἄρα ἡ ΟΩ τῇ τοῦ κύβου διαμέτρῳ , καὶ δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας · τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ παρατελεύτῳ θεωρήματι τοῦ ἑνδεκάτου βιβλίου . τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ω · τὸ Ω ἄρα κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον , καὶ ἡ ΩΟ ἡμίσεια τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου . ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΥΩ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΣ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ , ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ τῇ ΨΩ , ἐπειδήπερ καὶ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΟΩ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΨΟ τῇ ΟΣ . ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΣ τῇ ΨΥ , ἐπεὶ καὶ τῇ ΡΟ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΩΨ , ΨΥ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ . τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΩΨ , ΨΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΥΩ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΥΩ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον δυνάμει τριπλασίων τῆς ἡμισείας τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς · προδέδεικται γὰρ κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου . εἰ δὲ ὅλη τῆς ὅλης , καὶ ἡμίσεια τῆς ἡμισείας · καί ἐστιν ἡ ΝΟ ἡμίσεια τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς · ἡ ἄρα ΥΩ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον . καί ἐστι τὸ Ω κέντρον τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον · τὸ Υ ἄρα σημεῖον πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας · περιείληπται ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ . λέγω δή , ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή . ἐπεὶ γὰρ τῆς ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ , τῆς δὲ ΟΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΣ , ὅλης ἄρα τῆς ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ . οἷον ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ , ἡ ΟΡ πρὸς τὴν ΡΝ , καὶ τὰ διπλάσια · τὰ γὰρ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ὡς ἄρα ἡ ΝΞ πρὸς τὴν ΡΣ , οὕτως ἡ ΡΣ πρὸς συναμφότερον τὴν ΝΡ , ΣΞ . μείζων δὲ ἡ ΝΞ τῆς ΡΣ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΡΣ συναμφοτέρου τῆς ΝΡ , ΣΞ · ἡ ΝΞ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ . ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ · τῆς ἄρα ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΥΦ . καὶ ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος καί ἐστι δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς , ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ πλευρὰ οὖσα τοῦ κύβου . ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἀποτομή . ἡ ΥΦ ἄρα πλευρὰ οὖσα τοῦ δωδεκαέδρου ἄλογός ἐστιν ἀποτομή . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δωδεκάεδρος συνίστημι καί σφαῖρα περιλαμβάνω , ὅς καί ὁ προλέγω σχῆμα , καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ δωδεκάεδρος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἀποτομή . ἔκκειμαι ὁ προλέγω κύβος δύο ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΑΒΓΔ , ΓΒΕΖ , καί τέμνω ἕκαστος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ , ΕΖ , ΕΒ , ΖΓ πλευρά δίχα κατά ὁ Η , Θ , Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΚ , ΘΛ , ΜΘ , ΝΞ , καί τέμνω ἕκαστος ὁ ΝΟ , ΟΞ , ΘΠ ἄκρος καί μέσος λόγος κατά ὁ Ρ , Σ , Τ σημεῖον , καί εἰμί αὐτός μέγας τμῆμα ὁ ΡΟ , ΟΣ , ΤΠ , καί ἀναστατόω ἀπό ὁ Ρ , Σ , Τ σημεῖον ὁ ὁ κύβος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἐπί ὁ ἐκτός μέρος ὁ κύβος ὁ ΡΥ , ΣΦ , ΤΧ , καί κεῖμαι ἴσος ὁ ΡΟ , ΟΣ , ΤΠ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΥΒ , ΒΧ , ΧΓ , ΓΦ , ΦΥ . λέγω , ὅτι ὁ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἐν εἷς ἐπίπεδος καί ἔτι ἰσογώνιος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΡΒ , ΣΒ , ΦΒ . καί ἐπεί εὐθύς ὁ ΝΟ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ρ , καί ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΡΟ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΟΝ , ΝΡ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΡΟ . ἴσος δέ ὁ μέν ΟΝ ὁ ΝΒ , ὁ δέ ΟΡ ὁ ΡΥ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΝ , ΝΡ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΡΥ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΝ , ΝΡ ὁ ἀπό ὁ ΒΡ εἰμί ἴσος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΡ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΡΥ · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΒΡ , ΡΥ τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΡΥ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΡ , ΡΥ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΥ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΥ τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΥΡ · διπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΒΥ ὁ ΡΥ . εἰμί δέ καί ὁ ΦΥ ὁ ΥΡ διπλόος , ἐπειδή καί ὁ ΣΡ ὁ ΟΡ , τουτέστι ὁ ΡΥ , εἰμί διπλόος · ἴσος ἄρα ὁ ΒΥ ὁ ΥΦ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ ΒΧ , ΧΓ , ΓΦ ἑκάτερος ὁ ΒΥ , ΥΦ εἰμί ἴσος . ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνος . λέγω δή , ὅτι καί ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Ο ἑκάτερος ὁ ΡΥ , ΣΦ παράλληλος ἐπί ὁ ἐκτός ὁ κύβος μέρος ὁ ΟΨ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΨυΘ , ΘΧ · λέγω , ὅτι ὁ ΨΘΧ εὐθύς εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ ΘΠ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Τ , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΠΤ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΘΠ πρός ὁ ΠΤ , οὕτως ὁ ΠΤ πρός ὁ ΤΘ . ἴσος δέ ὁ μέν ΘΠ ὁ ΘΟάς , ὁ δέ ΠΤ ἑκάτερος ὁ ΤΧ , ΟΨ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΘΟάς πρός ὁ ΟΨ , οὕτως ὁ ΧΤ πρός ὁ ΤΘ . καί εἰμί παράλληλος ὁ μέν ΘΟάς ὁ ΤΧ · ἑκάτερος γάρ αὐτός ὁ ΒΔ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · ὁ δέ ΤΘ ὁ ΟΨ · ἑκάτερος γάρ αὐτός ὁ ΒΖ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ἐάν δέ δύο τρίγωνος συντίθημι κατά εἷς γωνία , ὡς ὁ ΨΟΘ , ΘΤΧ , ὁ δύο πλευρά ὁ δύο ἀνάλογος ἔχω , ὥστε ὁ ὁμόλογος αὐτός πλευρά καί παράλληλος εἰμί , ὁ λοιπός εὐθεῖα ἐπί εὐθεῖα εἰμί · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ ΨυΘ ὁ ΘΧ . πᾶς δέ εὐθύς ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος · ἐν εἷς ἄρα ἐπίπεδος εἰμί ὁ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνος . λέγω δή , ὅτι καί ἰσογώνιος εἰμί . ἐπεί γάρ εὐθύς γραμμή ὁ ΝΟ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ρ , καί ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΟΡ , ἴσος δέ ὁ ΟΡ ὁ ΟΣ , ὁ ΝΣ ἄρα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ο , καί ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΝΟ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΝΣ , ΣΟ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΟ . ἴσος δέ ὁ μέν ΝΟ ὁ ΝΒ , ὁ δέ ΟΣ ὁ ΣΦι · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΝΣ , ΣΦ τετράγωνος τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΒ · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΦΣ , ΣΝ , ΝΒ τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΒ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΣΝ , ΝΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΣΒ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΣ , ΣΦι , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΒΦ 1 , τετραπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΒ · διπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΦΒ ὁ ΒΝ . εἰμί δέ καί ὁ ΒΓ ὁ ΒΝ διπλόος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΦ ὁ ΒΓ . καί ἐπεί δύο ὁ ΒΥ , ΥΦ δύο ὁ ΒΧ , ΧΓ ἴσος εἰμί , καί βάσις ὁ ΒΦ βάσις ὁ ΒΓ ἴσος , γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΒΥΦ γωνία ὁ ὑπό ΒΧΓ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΥΦΓ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΧΓ · ὁ ἄρα ὑπό ΒΧΓ , ΒΥΦ , ΥΦΓ τρεῖς γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ἐάν δέ πεντάγωνος ἰσόπλευρος ὁ τρεῖς γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ἰσογώνιος εἰμί ὁ πεντάγωνος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνος . δείκνυμι δέ καί ἰσόπλευρος · ὁ ἄρα ΒΥΦΓΧ πεντάγωνος ἰσόπλευρος εἰμί καί ἰσογώνιος , καί εἰμί ἐπί εἷς ὁ κύβος πλευρά ὁ ΒΓ . ἐάν ἄρα ἐπί ἕκαστος ὁ ὁ κύβος δώδεκα πλευρά ὁ αὐτός κατασκευάζω , συνίστημι τις σχῆμα στερεός ὑπό δώδεκα πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος περιέχω , ὅς καλέω δωδεκάεδρος . δέω δή αὐτός καί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ δίδωμι καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ δωδεκάεδρος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἀποτομή . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΨΌ , καί εἰμί ὁ ΨΩ · συμβάλλω ἄρα ὁ ΟΩ ὁ ὁ κύβος διάμετρον , καί δίχα τέμνω ἀλλήλων · οὗτος γάρ δείκνυμι ἐν ὁ παρατέλευτος θεώρημα ὁ ἑνδέκατος βιβλίον . τέμνω κατά ὁ Ω · ὁ Ω ἄρα κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα ὁ περιλαμβάνω ὁ κύβος , καί ὁ ΩΟ ἥμισυς ὁ πλευρά ὁ κύβος . ἐπιζεύγνυμι δή ὁ ΥΩ . καί ἐπεί εὐθύς γραμμή ὁ ΝΣ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Ο , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΝΟ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΝΣ , ΣΟ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΟ . ἴσος δέ ὁ μέν ΝΣ ὁ ΨΩ , ἐπειδή καί ὁ μέν ΝΟ ὁ ΟΩ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΨΟ ὁ ΟΣ . ἀλλά μήν καί ὁ ΟΣ ὁ ΨΥ , ἐπεί καί ὁ ΡΟ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΩΨ , ΨΥ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΟ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΩΨ , ΨΥ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΥΩ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΥΩ τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΟ . εἰμί δέ καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ περιλαμβάνω ὁ κύβος δύναμις τριπλασίων ὁ ἥμισυς ὁ ὁ κύβος πλευρά · προδείκνυμι γάρ κύβος συνίστημι καί σφαῖρα περιλαμβάνω καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις τριπλασίων εἰμί ὁ πλευρά ὁ κύβος . εἰ δέ ὅλος ὁ ὅλος , καί ἥμισυς ὁ ἥμισυς · καί εἰμί ὁ ΝΟ ἥμισυς ὁ ὁ κύβος πλευρά · ὁ ἄρα ΥΩ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ περιλαμβάνω ὁ κύβος . καί εἰμί ὁ Ω κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ περιλαμβάνω ὁ κύβος · ὁ Υ ἄρα σημεῖον πρός ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ σφαῖρα . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ λοιπός γωνία ὁ δωδεκάεδρος πρός ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ σφαῖρα · περιλαμβάνω ἄρα ὁ δωδεκάεδρος ὁ δίδωμι σφαῖρα . λέγω δή , ὅτι ὁ ὁ δωδεκάεδρος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἀποτομή . ἐπεί γάρ ὁ ΝΟ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΡΟ , ὁ δέ ΟΞ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΟΣ , ὅλος ἄρα ὁ ΝΞ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΡΣ . οἷον ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΝΟ πρός ὁ ΟΡ , ὁ ΟΡ πρός ὁ ΡΝ , καί ὁ διπλάσιος · ὁ γάρ μέρος ὁ ἰσάκις πολλαπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ὡς ἄρα ὁ ΝΞ πρός ὁ ΡΣ , οὕτως ὁ ΡΣ πρός συναμφότεροι ὁ ΝΡ , ΣΞ . μέγας δέ ὁ ΝΞ ὁ ΡΣ · μέγας ἄρα καί ὁ ΡΣ συναμφότεροι ὁ ΝΡ , ΣΞ · ὁ ΝΞ ἄρα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΡΣ . ἴσος δέ ὁ ΡΣ ὁ ΥΦ · ὁ ἄρα ΝΞ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ΥΦ . καί ἐπεί ῥητός εἰμί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος καί εἰμί δύναμις τριπλασίων ὁ ὁ κύβος πλευρά , ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΝΞ πλευρόν εἰμί ὁ κύβος . ἐάν δέ ῥητός γραμμή ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ἑκάτερος ὁ τμῆμα ἄλογος εἰμί ἀποτομή . ὁ ΥΦ ἄρα πλευρόν εἰμί ὁ δωδεκάεδρος ἄλογος εἰμί ἀποτομή . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ὁ ὁ κύβος πλευρά ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα εἰμί ὁ ὁ δωδεκάεδρος πλευρόν . ὅς δέω δείκνυμι .