euclides-geom.elementa 4.prop.5
περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι . ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ · δεῖ 2 περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον περιγράψαι . τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ , ΑΓ εὐθεῖαι δίχα κατὰ τὰ Δ , Ε σημεῖα , καὶ ἀπὸ τῶν Δ , Ε σημείων ταῖς ΑΒ , ΑΓ πρὸς ὁρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΔΖ , ΕΖ · συμπεσοῦνται δὴ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἢ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας ἢ ἐκτὸς τῆς ΒΓ . συμπιπτέτωσαν πρότερον ἐντὸς κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ , ΖΓ , ΖΑ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ , κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ , βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΖΑ , ΖΒ , ΖΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Α , Β , Γ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων , καὶ ἔσται περιγεγραμμένος ὁ κύκλος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον . περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓ . ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ , ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας κατὰ τὸ Ζ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου . ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ , ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κατὰ τὸ Ζ πάλιν , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΒΖ , ΓΖ . καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ , κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ , βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση · ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ , ΖΒ , ΖΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων , καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον . περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγραπται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . καὶ φανερόν , ὅτι , ὅτε μὲν ἐντὸς τοῦ τριγώνου πίπτει τὸ κέντρον τοῦ κύκλου , ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν μείζονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς · ὅτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτει , ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν · ὅτε δὲ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τοῦ τριγώνου πίπτει , ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν ἐλάττονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς .
Lemmas: περί ὁ δίδωμι τρίγωνος κύκλος περιγράφω . εἰμί ὁ δίδωμι τρίγωνον ὁ ΑΒΓ · δέω 2 περί ὁ δίδωμι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ κύκλος περιγράφω . τέμνω ὁ ΑΒ , ΑΓ εὐθεῖα δίχα κατά ὁ Δ , Ε σημεῖον , καί ἀπό ὁ Δ , Ε σημεῖον ὁ ΑΒ , ΑΓ πρός ὁρθαί ἄγω ὁ ΔΖ , ΕΖ · συμπίπτω δή ἤτοι ἐντός ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἤ ἐπί ὁ ΒΓ εὐθεῖα ἤ ἐκτός ὁ ΒΓ . συμπίπτω πρότερος ἐντός κατά ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ , ΖΓ , ΖΑ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ , κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΔΖ , βάσις ἄρα ὁ ΑΖ βάσις ὁ ΖΒ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΖ ὁ ΑΖ εἰμί ἴσος · ὥστε καί ὁ ΖΒ ὁ ΖΓ εἰμί ἴσος · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ΖΑ , ΖΒ , ΖΓ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὁ ἄρα κέντρον ὁ Ζ διάστημα δέ εἷς ὁ Α , Β , Γ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός σημεῖον , καί εἰμί περιγράφω ὁ κύκλος περί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . περιγράφω ὡς ὁ ΑΒΓ . ἀλλά δή ὁ ΔΖ , ΕΖ συμπίπτω ἐπί ὁ ΒΓ εὐθεῖα κατά ὁ Ζ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δεύτερος καταγραφή , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ Ζ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ περί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος περιγράφω κύκλος . ἀλλά δή ὁ ΔΖ , ΕΖ συμπίπτω ἐκτός ὁ ΑΒΓ τρίγωνον κατά ὁ Ζ πάλιν , ὡς ἔχω ἐπί ὁ τρίτος καταγραφή , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ , ΒΖ , ΓΖ . καί ἐπεί πάλιν ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΔΒ , κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΔΖ , βάσις ἄρα ὁ ΑΖ βάσις ὁ ΒΖ εἰμί ἴσος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΓΖ ὁ ΑΖ εἰμί ἴσος · ὥστε καί ὁ ΒΖ ὁ ΖΓ εἰμί ἴσος · ὁ ἄρα κέντρον ὁ Ζ διάστημα δέ εἷς ὁ ΖΆ , ΖΒ , ΖΓ κύκλος γράφω ἥκω καί διά ὁ λοιπός σημεῖον , καί εἰμί περιγράφω περί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος . περί ὁ δίδωμι ἄρα τρίγωνος κύκλος περιγράφω · ὅς δέω ποιέω . καί φανερός , ὅτι , ὅτε μέν ἐντός ὁ τρίγωνον πίπτω ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ἐν μέγας τμῆμα ὁ ἡμικύκλιον τυγχάνω ἐλαχύς εἰμί ὀρθός · ὅτε δέ ἐπί ὁ ΒΓ εὐθεῖα ὁ κέντρον πίπτω , ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ἐν ἡμικύκλιον τυγχάνω ὀρθός εἰμί · ὅτε δέ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἐκτός ὁ τρίγωνον πίπτω , ὁ ὑπό ΒΑΓ ἐν ἐλαχύς τμῆμα ὁ ἡμικύκλιον τυγχάνω μέγας εἰμί ὀρθός .