euclides-geom.elementa 10.prop1.16
ἐὰν δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συντεθῇ , καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται · κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ , καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται . Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν . εἰ γὰρ μή ἐστιν ἀσύμμετρα τὰ ΓΑ , ΑΒ , μετρήσει τι μέγεθος . μετρείτω , εἰ δυνατόν , καὶ ἔστω τὸ Δ . ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ , ΑΒ μετρεῖ , καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ · τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ , ΒΓ μετρεῖ . σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ , ΒΓ · ὑπέκειντο δὲ καὶ ἀσύμμετρα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὰ ΓΑ , ΑΒ μετρήσει τι μέγεθος · ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ , ΑΒ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τὰ ΑΓ , ΓΒ ἀσύμμετρά ἐστιν . τὸ ΑΓ ἄρα ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν . ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἑνὶ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἀσύμμετρον ἔστω . ἔστω δὴ πρότερον τῷ ΑΒ · λέγω , ὅτι καὶ τὰ ΑΒ , ΒΓ ἀσύμμετρά ἐστιν . εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα , μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος . μετρείτω , καὶ ἔστω τὸ Δ . ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ , ΒΓ μετρεῖ , καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ μετρήσει . μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ · τὸ Δ ἄρα τὰ ΓΑ , ΑΒ μετρεῖ . σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ , ΑΒ · ὑπέκειτο δὲ καὶ ἀσύμμετρα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ , ΒΓ μετρήσει τι μέγεθος · ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ , ΒΓ . ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη , καὶ τὰ ἑξῆς . λῆμμα ἐὰν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , τὸ παραβληθὲν ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένων τμημάτων τῆς εὐθείας . παρὰ γὰρ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΔ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΒ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν · ἐπεὶ γὰρ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΒ , ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ , καί ἐστι τὸ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΔ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . ἐὰν ἄρα παρά τινα εὐθεῖαν , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος ἀσύμμετρος συντίθημι , καί ὁ ὅλος ἑκάτερος αὐτός ἀσύμμετρος εἰμί · ἐάν ὁ ὅλος εἷς αὐτός ἀσύμμετρος εἰμί , καί ὁ ἐκ ἀρχή μέγεθος ἀσύμμετρος εἰμί . σύγκειμαι γάρ δύο μέγεθος ἀσύμμετρος ὁ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι καί ὅλος ὁ ΑΓ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ ἀσύμμετρος εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί ἀσύμμετρος ὁ ΓΑ , ΑΒ , μετρέω τις μέγεθος . μετρέω , εἰ δυνατός , καί εἰμί ὁ Δ . ἐπεί οὖν ὁ Δ ὁ ΓΑ , ΑΒ μετρέω , καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΓ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ ΑΒ · ὁ Δ ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ μετρέω . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ · ὑπόκειμαι δέ καί ἀσύμμετρος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΓΑ , ΑΒ μετρέω τις μέγεθος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΑ , ΑΒ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΑΓ , ΓΒ ἀσύμμετρος εἰμί . ὁ ΑΓ ἄρα ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ ἀσύμμετρος εἰμί . ἀλλά δή ὁ ΑΓ εἷς ὁ ΑΒ , ΒΓ ἀσύμμετρος εἰμί . εἰμί δή πρότερος ὁ ΑΒ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΒ , ΒΓ ἀσύμμετρος εἰμί . εἰ γάρ εἰμί σύμμετρος , μετρέω τις αὐτός μέγεθος . μετρέω , καί εἰμί ὁ Δ . ἐπεί οὖν ὁ Δ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετρέω , καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΓ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ ΑΒ · ὁ Δ ἄρα ὁ ΓΑ , ΑΒ μετρέω . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΑ , ΑΒ · ὑπόκειμαι δέ καί ἀσύμμετρος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ μετρέω τις μέγεθος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἐάν ἄρα δύο μέγεθος , καί ὁ ἑξῆς . λῆμμα ἐάν παρά τις εὐθεῖα παραβάλλω παραλληλόγραμμος ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , ὁ παραβάλλω ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι τμῆμα ὁ εὐθεῖα . παρά γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ παραβάλλω παραλληλόγραμμος ὁ ΑΔ ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος ὁ ΔΒ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . καί εἰμί αὐτόθεν φανερός · ἐπεί γάρ τετράγωνος εἰμί ὁ ΔΒ , ἴσος εἰμί ὁ ΔΓ ὁ ΓΒ , καί εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΔ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . ἐάν ἄρα παρά τις εὐθεῖα , καί ὁ ἑξῆς .