euclides-geom.elementa 12.prop.12
οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων . ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι , ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλοι , διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΒΔ , ΖΘ , ἄξονες δὲ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων οἱ ΚΛ , ΜΝ · λέγω , ὅτι ὁ κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον , πρὸς τὸν κῶνον , οὗ βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον , τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ . εἰ γὰρ μὴ ἔχει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ , ἕξει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος ἢ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μεῖζον . ἐχέτω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ · τὸ ἄρα ΕΖΗΘ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ · ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου . τετμήσθωσαν δὴ αἱ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο , Π , Ρ , Σ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ , ΟΖ , ΖΠ , ΠΗ , ΗΡ , ΡΘ , ΘΣ , ΣΕ . καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΟΖ , ΖΠΗ , ΗΡΘ , ΘΣΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . καὶ ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΕΟΖ , ΖΠΗ , ΗΡΘ , ΘΣΕ τριγώνων πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ · καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου . τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου , ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς , ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος τοῦ Ξ στερεοῦ . λελείφθω , καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΟ , ΟΖ , ΖΠ , ΠΗ , ΗΡ , ΡΘ , ΘΣ , ΣΕ · λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον , μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ . ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ , καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολυγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ , καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυραμίδα , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΤΒΥ ΓΦΔΧ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον , ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΛΒΤ , τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον , ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΝΖΟ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΤ , ΜΟ . καὶ ἐπεὶ ὅμοιός ἐστιν ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος τῷ ΕΖΗΘΝ κώνῳ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ , οὕτως ὁ ΚΛ ἄξων πρὸς τὸν ΜΝ ἄξονα . ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ , οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ , οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΜΝ . καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ , οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ . καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΛ , ΖΜΝ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΖΜΝ τριγώνῳ . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΤ , οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΟ , καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΤ , ΖΜΟ , ἐπειδήπερ , ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΚΤ γωνία τῶν πρὸς τῷ Κ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΜΟ γωνία τῶν πρὸς τῷ Μ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν · ἐπεὶ οὖν περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΤ τρίγωνον τῷ ΖΜΟ τριγώνῳ . πάλιν , ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ , οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ , ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΚ τῇ ΚΤ , ἡ δὲ ΖΜ τῇ ΟΜ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΤΚ πρὸς τὴν ΚΛ , οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς τὴν ΜΝ . καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΤΚΛ , ΟΜΝ · ὀρθαὶ γάρ · αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΚΤ τρίγωνον τῷ ΝΜΟ τριγώνῳ . καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΚΒ , ΝΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ , οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΜ , διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΤ , ΖΜΟ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΤ , οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΟ , διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΤ , οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΟ . πάλιν , ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΤΚ , ΝΟΜ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΚ , οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΜ , διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΤΚΒ , ΟΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΚΤ πρὸς τὴν ΤΒ , οὕτως ἡ ΜΟ πρὸς τὴν ΟΖ , διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΒ , οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΖ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΛ , οὕτως ἡ ΟΖ πρὸς τὴν ΖΝ . διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΛ πρὸς τὴν ΛΒ , οὕτως ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΖ . τῶν ΛΤΒ , ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί · ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΛΤΒ , ΝΟΖ τρίγωνα · ὥστε καὶ ὅμοια . καὶ πυραμὶς ἄρα , ἧς βάσις μὲν τὸ ΒΚΤ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον , ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι , ἧς βάσις μὲν τὸ ΖΜΟ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον · ὑπὸ γὰρ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται ἴσων τὸ πλῆθος . αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . ἡ ἄρα ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ . ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνύντες ἀπὸ τῶν Α , Χ , Δ , Φ , Γ , Υ ἐπὶ τὸ Κ εὐθείας καὶ ἀπὸ τῶν Ε , Σ , Θ , Ρ , Η , Π ἐπὶ τὸ Μ καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τοῖς κώνοις δείξομεν , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὁμοταγῶν πυραμίδων πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΒΚ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΜ ὁμόλογον πλευράν , τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ . καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα · ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα , οὕτως ἡ ὅλη πυραμίς , ἧς βάσις τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον , πρὸς τὴν ὅλην πυραμίδα , ἧς βάσις μὲν τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον · ὥστε καὶ πυραμίς , ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ , κορυφὴ δὲ τὸ Λ , πρὸς τὴν πυραμίδα , ἧς βάσις τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον , τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ . ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος , οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον , πρὸς τὸ Ξ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχων ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ κῶνος , οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Λ , πρὸς τὸ Ξ στερεόν , οὕτως ἡ πυραμίς , ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ , κορυφὴ δὲ τὸ Λ , πρὸς τὴν πυραμίδα , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν · ἐναλλὰξ ἄρα , ὡς ὁ κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Λ , πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα , ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Λ , οὕτως τὸ Ξ πρὸς τὴν πυραμίδα , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν . μείζων δὲ ὁ εἰρημένος κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος · ἐμπεριέχει γὰρ αὐτήν . μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς πυραμίδος , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Ν . ἀλλὰ καὶ ἔλαττον · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ὁ κῶνος , οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Λ , πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ κώνου στερεόν , οὗ βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον , τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ . λέγω δή , ὅτι οὐδὲ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ . εἰ γὰρ δυνατόν , ἐχέτω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ . ἀνάπαλιν ἄρα τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ . ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον , οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεόν . καὶ ὁ ΕΖΗΘΝ ἄρα κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ · ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλαττον . ὁ ΑΒΓΔΛ ἄρα κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ . ὡς δὲ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον , ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον · τριπλάσιος γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ὁ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ καὶ ἰσοϋψὴς αὐτῷ . καὶ ὁ κύλινδρος ἄρα πρὸς τὸν κύλινδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ . οἱ ἄρα ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὅμοιος κῶνος καί κύλινδρος πρός ἀλλήλων ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ἐν ὁ βάσις διάμετρον . εἰμί ὅμοιος κῶνος καί κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλος , διάμετρος δέ ὁ βάσις ὁ ΒΔ , ΖΘ , ἄξων δέ ὁ κῶνος καί κύλινδρος ὁ ΚΛ , ΜΝ · λέγω , ὅτι ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Λ σημεῖον , πρός ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον , τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ . εἰ γάρ μή ἔχω ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρός ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος τριπλασίων λόγος ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ , ἔχω ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος ἤ πρός ἐλαχύς τις ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος στερεός τριπλασίων λόγος ἤ πρός μέγας . ἔχω πρότερος πρός ἐλαχύς ὁ Ξ , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τετράγωνος ὁ ΕΖΗΘ · ὁ ἄρα ΕΖΗΘ τετράγωνος μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . καί ἀνίστημι ἐπί ὁ ΕΖΗΘ τετράγωνος πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος · ὁ ἄρα ἀνίστημι πυραμίς μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς μέρος ὁ κῶνος . τέμνω δή ὁ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Ο , Π , Ρ , Σ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΟ , ΟΖ , ΖΠ , ΠΗ , ΗΡ , ΡΘ , ΘΣ , ΣΕ . καί ἕκαστος ἄρα ὁ ΕΟΖ , ΖΠΗ , ΗΡΘ , ΘΣΕ τρίγων μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς μέρος ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος . καί ἀνίστημι ἐπί ἕκαστος ὁ ΕΟΖ , ΖΠΗ , ΗΡΘ , ΘΣΕ τρίγων πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος · καί ἕκαστος ἄρα ὁ ἀνίστημι πυραμίς μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς μέρος ὁ κατά ἑαυτοῦ τμῆμα ὁ κῶνος . τέμνω δή ὁ ὑπολείπω περιφέρεια δίχα καί ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα καί ἀνίστημι ἐπί ἕκαστος ὁ τρίγων πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος καί οὗτος ἀεί ποιέω καταλείπω τις ἀπότμημα ὁ κῶνος , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος ὁ Ξ στερεός . λείπω , καί εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΕΟ , ΟΖ , ΖΠ , ΠΗ , ΗΡ , ΡΘ , ΘΣ , ΣΕ · λοιπός ἄρα ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον , μέγας εἰμί ὁ Ξ στερεός . ἐγγράφω καί εἰς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ὁ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι πολύγωνον ὁ ΑΤΒΥΓΦΔΧ , καί ἀνίστημι ἐπί ὁ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος , καί ὁ μέν περιέχω ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΤΒΥ ΓΦΔΧ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Λ σημεῖον , εἷς τρίγωνον εἰμί ὁ ΛΒΤ , ὁ δέ περιέχω ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον , εἷς τρίγωνος εἰμί ὁ ΝΖΟ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΤ , ΜΟ . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΚΛ ἄξων πρός ὁ ΜΝ ἄξων . ὡς δέ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ , οὕτως ὁ ΒΚ πρός ὁ ΖΜ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΚ πρός ὁ ΖΜ , οὕτως ὁ ΚΛ πρός ὁ ΜΝ . καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΒΚ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΖΜ πρός ὁ ΜΝ . καί περί ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΒΚΛ , ΖΜΝ ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΚΛ τρίγωνον ὁ ΖΜΝ τρίγωνον . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΚ πρός ὁ ΚΤ , οὕτως ὁ ΖΜ πρός ὁ ΜΟ , καί περί ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΒΚΤ , ΖΜΟ , ἐπειδή , ὅς μέρος εἰμί ὁ ὑπό ΒΚΤ γωνία ὁ πρός ὁ Κ κέντρον τέσσαρες ὀρθός , ὁ αὐτός μέρος εἰμί καί ὁ ὑπό ΖΜΟ γωνία ὁ πρός ὁ Μ κέντρον τέσσαρες ὀρθός · ἐπεί οὖν περί ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΚΤ τρίγωνον ὁ ΖΜΟ τρίγωνον . πάλιν , ἐπεί δείκνυμι ὡς ὁ ΒΚ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΖΜ πρός ὁ ΜΝ , ἴσος δέ ὁ μέν ΒΚ ὁ ΚΤ , ὁ δέ ΖΜ ὁ ΟΜ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΤΚ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΟΜ πρός ὁ ΜΝ . καί περί ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΤΚΛ , ΟΜΝ · ὀρθός γάρ · ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΛΚΤ τρίγωνον ὁ ΝΜΟ τρίγωνον . καί ἐπεί διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΛΚΒ , ΝΜΖ τρίγων εἰμί ὡς ὁ ΛΒ πρός ὁ ΒΚ , οὕτως ὁ ΝΖ πρός ὁ ΖΜ , διά δέ ὁ ὁμοιότης ὁ ΒΚΤ , ΖΜΟ τρίγων εἰμί ὡς ὁ ΚΒ πρός ὁ ΒΤ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΖΟ , διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΛΒ πρός ὁ ΒΤ , οὕτως ὁ ΝΖ πρός ὁ ΖΟ . πάλιν , ἐπεί διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΛΤΚ , ΝΟΜάς τρίγων εἰμί ὡς ὁ ΛΤ πρός ὁ ΤΚ , οὕτως ὁ ΝΟ πρός ὁ ΟΜ , διά δέ ὁ ὁμοιότης ὁ ΤΚΒ , ΟΜΖ τρίγων εἰμί ὡς ὁ ΚΤ πρός ὁ ΤΒ , οὕτως ὁ ΜΟ πρός ὁ ΟΖ , διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΛΤ πρός ὁ ΤΒ , οὕτως ὁ ΝΟ πρός ὁ ΟΖ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΤΒ πρός ὁ ΒΛ , οὕτως ὁ ΟΖ πρός ὁ ΖΝ . διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΤΛ πρός ὁ ΛΒ , οὕτως ὁ ΟΝ πρός ὁ ΝΖ . ὁ ΛΤΒ , ΝΟΖ ἄρα τρίγων ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΛΤΒ , ΝΟΖ τρίγωνος · ὥστε καί ὅμοιος . καί πυραμίς ἄρα , ὅς βάσις μέν ὁ ΒΚΤ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Λ σημεῖον , ὅμοιος εἰμί πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΖΜΟ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον · ὑπό γάρ ὅμοιος ἐπίπεδος περιέχω ἴσος ὁ πλῆθος . ὁ δέ ὅμοιος πυραμίς καί τρίγωνος ἔχω βάσις ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . ὁ ἄρα ΒΚΤΛ πυραμίς πρός ὁ ΖΜΟΝ πυραμίς τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΚ πρός ὁ ΖΜ . ὅμοιος δή ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Α , Χ , Δ , Φ , Γ , Υ ἐπί ὁ Κ εὐθεῖα καί ἀπό ὁ Ε , Σ , Θ , Ρ , Η , Π ἐπί ὁ Μ καί ἀνίστημι ἐπί ἕκαστος ὁ τρίγων πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ ὁμοταγής πυραμίς πρός ἕκαστος ὁμοταγής πυραμίς τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΚ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ΖΜ ὁμόλογος πλευρά , τουτέστι ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ . καί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ΒΚΤΛ πυραμίς πρός ὁ ΖΜΟΝ πυραμίς , οὕτως ὁ ὅλος πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Λ σημεῖον , πρός ὁ ὅλος πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον · ὥστε καί πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΤΒΥΓΦΔΧ , κορυφή δέ ὁ Λ , πρός ὁ πυραμίς , ὅς βάσις ὁ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον , τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Λ σημεῖον , πρός ὁ Ξ στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Λ , πρός ὁ Ξ στερεός , οὕτως ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΤΒΥΓΦΔΧ , κορυφή δέ ὁ Λ , πρός ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν · ἐναλλάξ ἄρα , ὡς ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Λ , πρός ὁ ἐν αὐτός πυραμίς , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Λ , οὕτως ὁ Ξ πρός ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν . μέγας δέ ὁ λέγω κῶνος ὁ ἐν αὐτός πυραμίς · ἐμπεριέχω γάρ αὐτός . μέγας ἄρα καί ὁ Ξ στερεός ὁ πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ν . ἀλλά καί ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Λ , πρός ἐλαχύς τις ὁ κῶνος στερεός , ὅς βάσις μέν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον , τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΖΘ πρός ὁ ΒΔ . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρός μέγας τις ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ . εἰ γάρ δυνατός , ἔχω πρός μέγας ὁ Ξ . ἀνάπαλιν ἄρα ὁ Ξ στερεός πρός ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΖΘ πρός ὁ ΒΔ . ὡς δέ ὁ Ξ στερεός πρός ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος , οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος στερεός . καί ὁ ΕΖΗΘΝ ἄρα κῶνος πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΖΘ πρός ὁ ΒΔ · ὅς ἀδύνατος δείκνυμι . οὐ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρός μέγας τις ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος στερεός τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ πρός ἐλαχύς . ὁ ΑΒΓΔΛ ἄρα κῶνος πρός ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ . ὡς δέ ὁ κῶνος πρός ὁ κῶνος , ὁ κύλινδρος πρός ὁ κύλινδρος · τριπλάσιος γάρ ὁ κύλινδρος ὁ κῶνος ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ κῶνος καί ἰσουψής αὐτός . καί ὁ κύλινδρος ἄρα πρός ὁ κύλινδρος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ . ὁ ἄρα ὅμοιος κῶνος καί κύλινδρος πρός ἀλλήλων ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ἐν ὁ βάσις διάμετρον · ὅς δέω δείκνυμι .