euclides-geom.elementa 1.prop.4
ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην , καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει , καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ , ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΕ , ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην . λέγω , ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν , ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ . Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΔΕ , ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΔΕ · ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΑΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐφαρμόσει καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΔΖ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΔΖ · ὥστε καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον ἐφαρμόσει διὰ τὸ ἴσην πάλιν εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ . ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφηρμόκει · ὥστε βάσις ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει . εἰ γὰρ τοῦ μὲν Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφαρμόσαντος τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ οὐκ ἐφαρμόσει , δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . ἐφαρμόσει ἄρα ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται · ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπὶ ὅλον τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφαρμόσει καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἐπὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ἐφαρμόσουσι καὶ ἴσαι αὐταῖς ἔσονται , ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην , καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει , καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ δύο πλευρά δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί ὁ γωνία ὁ γωνία ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθύς περιέχω , καί ὁ βάσις ὁ βάσις ἴσος ἔχω , καί ὁ τρίγωνον ὁ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ δύο πλευρά ὁ ΑΒ , ΑΓ ὁ δύο πλευρά ὁ ΔΕ , ΔΖ ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ ὁ δέ ΑΓ ὁ ΔΖ καί γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ ἴσος . λέγω , ὅτι καί βάσις ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω , ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΔΕΖ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΔΖΕ . ἐφαρμόζω γάρ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπί ὁ ΔΕΖ τρίγωνον καί τίθημι ὁ μέν Α σημεῖον ἐπί ὁ Δ σημεῖον ὁ δέ ΑΒ εὐθεῖα ἐπί ὁ ΔΕ , ἐφαρμόζω καί ὁ Β σημεῖον ἐπί ὁ Ε διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ · ἐφαρμόζω δή ὁ ΑΒ ἐπί ὁ ΔΕ ἐφαρμόζω καί ὁ ΑΓ εὐθύς ἐπί ὁ ΔΖ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ · ὥστε καί ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ Ζ σημεῖον ἐφαρμόζω διά ὁ ἴσος πάλιν εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΔΖ . ἀλλά μήν καί ὁ Β ἐπί ὁ Ε ἐφαρμόζω · ὥστε βάσις ὁ ΒΓ ἐπί βάσις ὁ ΕΖ ἐφαρμόζω . εἰ γάρ ὁ μέν Β ἐπί ὁ Ε ἐφαρμόζω ὁ δέ Γ ἐπί ὁ Ζ ὁ ΒΓ βάσις ἐπί ὁ ΕΖ οὐ ἐφαρμόζω , δύο εὐθεῖα χωρίον περιέχω · ὅς εἰμί ἀδύνατος . ἐφαρμόζω ἄρα ὁ ΒΓ βάσις ἐπί ὁ ΕΖ καί ἴσος αὐτός εἰμί · ὥστε καί ὅλος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπί ὅλος ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφαρμόζω καί ἴσος αὐτός εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ἐπί ὁ λοιπός γωνία ἐφαρμόζω καί ἴσος αὐτός εἰμί , ὁ μέν ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΔΕΖ ὁ δέ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΔΖΕ . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος ὁ δύο πλευρά δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί ὁ γωνία ὁ γωνία ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθύς περιέχω , καί ὁ βάσις ὁ βάσις ἴσος ἔχω , καί ὁ τρίγωνον ὁ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω · ὅς δέω δείκνυμι .