euclides-geom.elementa 10.prop1.44
ἡ ἐκ μέσων δευτέρα καθʼ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται . ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , ὥστε τὰς ΑΓ , ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας · φανερὸν δή , ὅτι τὸ Γ οὐκ ἔστι κατὰ τῆς διχοτομίας , ὅτι οὐκ εἰσὶ μήκει σύμμετροι . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ κατʼ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ , ὥστε τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν , ἀλλὰ μείζονα καθʼ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ · δῆλον δή , ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , ὡς ἐπάνω ἐδείξαμεν , ἐλάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · καὶ τὰς ΑΔ , ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας . καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ , καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον παραβεβλήσθω τὸ ΕΚ , τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΗ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , ἅπερ ἐλάσσονα ἐδείχθη τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΜΚ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . καὶ ἐπεὶ μέσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , μέσον ἄρα τὸ ΕΗ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ , ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει . ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · δυνάμει γάρ εἰσι σύμμετροι αἱ ΑΓ , ΓΒ . τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΚ · ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει . καί εἰσι ῥηταί · αἱ ΕΘ , ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . ἐὰν δὲ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν , ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων · ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ . κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ ΕΜ , ΜΝ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι · καὶ ἔσται ἡ ΕΝ ἐκ δύο ὀνομάτων κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο διῃρημένη τό τε Θ καὶ τὸ Μ , καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή , ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ , ΔΒ · πολλῷ ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τουτέστι τὸ ΕΗ , μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , τουτέστι τοῦ ΜΚ · ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν . ἡ ἄρα ΕΘ τῇ ΜΝ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐκ μέσος δεύτερος κατά εἷς μόνος σημεῖον διαιρέω . εἰμί ἐκ δύο μέσος δεύτερος ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὥστε ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω · φανερός δή , ὅτι ὁ Γ οὐ εἰμί κατά ὁ διχοτομία , ὅτι οὐ εἰμί μῆκος σύμμετρος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ κατά ἄλλος σημεῖον οὐ διαιρέω . εἰ γάρ δυνατός , διαιρέω καί κατά ὁ Δ , ὥστε ὁ ΑΓ ὁ ΔΒ μή εἰμί ὁ αὐτός , ἀλλά μέγας κατά ὑπόθεσις ὁ ΑΓ · δῆλος δή , ὅτι καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , ὡς ἐπάνω δείκνυμι , ἐλαχύς ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · καί ὁ ΑΔ , ΔΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω . καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ , καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον παραβάλλω ὁ ΕΚ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΕΗ · λοιπός ἄρα ὁ ΘΚ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . πάλιν δή ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , ὅς ἐλαχύς δείκνυμι ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΕΛ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΜΚ ἴσος ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . καί ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , μέσος ἄρα ὁ ΕΗ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΘΝ ῥητός εἰμί καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . καί ἐπεί ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ μῆκος . ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · δύναμις γάρ εἰμί σύμμετρος ὁ ΑΓ , ΓΒ . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ σύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ ΕΗ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος ὁ ΘΚ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΗ ὁ ΘΚ · ὥστε καί ὁ ΕΘ ὁ ΘΝ ἀσύμμετρος εἰμί μῆκος . καί εἰμί ῥητός · ὁ ΕΘ , ΘΝ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . ἐάν δέ δύο ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος συντίθημι , ὁ ὅλος ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐκ δύο ὄνομα · ὁ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί διαιρέω κατά ὁ Θ . κατά ὁ αὐτός δή δείκνυμι καί ὁ ΕΜ , ΜΝ ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος · καί εἰμί ὁ ΕΝ ἐκ δύο ὄνομα κατά ἄλλος καί ἄλλος διαιρέω ὁ τε Θ καί ὁ Μ , καί οὐ εἰμί ὁ ΕΘ ὁ ΜΝ ὁ αὐτός , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ μέγας εἰμί ὁ δίς ὑπό ΑΔ , ΔΒ · πολύς ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , τουτέστι ὁ ΕΗ , μέγας εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ , τουτέστι ὁ ΜΚ · ὥστε καί ὁ ΕΘ ὁ ΜΝ μέγας εἰμί . ὁ ἄρα ΕΘ ὁ ΜΝ οὐ εἰμί ὁ αὐτός · ὅς δέω δείκνυμι .