euclides-geom.elementa 6.prop.6
ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ , περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας , ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην ἔχοντα , περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ · λέγω , ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , τὴν δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ . συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Δ , Ζ ὁποτέρᾳ μὲν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ , ΕΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΔΗ , τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΖΗ · λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἴση ἐστίν . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΗΖ τριγώνῳ . ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ . ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ , οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ . ἴση ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΔΗ · καὶ κοινὴ ἡ ΔΖ · δύο δὴ αἱ ΕΔ , ΔΖ δυσὶ ταῖς ΗΔ , ΔΖ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΖ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΕΖ βάσει τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση , καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΔΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΗΖ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση . ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ε ἴση ἐστίν · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ , περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας , ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος εἷς γωνία εἷς γωνία ἴσος ἔχω , περί δέ ὁ ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ἰσογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος καί ἴσος ἔχω ὁ γωνία , ὑπό ὅς ὁ ὁμόλογος πλευρά ὑποτείνω . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ εἷς γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ εἷς γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ ἴσος ἔχω , περί δέ ὁ ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ · λέγω , ὅτι ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον καί ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΒ ὁ ὑπό ΔΖΕ . συνίστημι γάρ πρός ὁ ΔΖ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Δ , Ζ ὁπότερος μέν ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΕΔΖ ἴσος ὁ ὑπό ΖΔΗ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΒ ἴσος ὁ ὑπό ΔΖΗ · λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ Β γωνία λοιπός ὁ πρός ὁ Η ἴσος εἰμί . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΗΖ τρίγωνον . ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΗΔ πρός ὁ ΔΖ . ὑπόκειμαι δέ καί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΔ πρός ὁ ΔΖ , οὕτως ὁ ΗΔ πρός ὁ ΔΖ . ἴσος ἄρα ὁ ΕΔ ὁ ΔΉ · καί κοινός ὁ ΔΖ · δύο δή ὁ ΕΔ , ΔΖ δύο ὁ ΗΔ , ΔΖ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ γωνία ὁ ὑπό ΗΔΖ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΕΖ βάσις ὁ ΗΖ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΔΕΖ τρίγωνον ὁ ΗΔΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ὑπό ΔΖΗ ὁ ὑπό ΔΖΕ , ὁ δέ ὑπό ΔΗΖ ὁ ὑπό ΔΕΖ . ἀλλά ὁ ὑπό ΔΖΗ ὁ ὑπό ΑΓΒ εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ΑΓΒ ἄρα ὁ ὑπό ΔΖΕ εἰμί ἴσος . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΕΔΖ ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ Β λοιπός ὁ πρός ὁ Ε ἴσος εἰμί · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος εἷς γωνία εἷς γωνία ἴσος ἔχω , περί δέ ὁ ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ἰσογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος καί ἴσος ἔχω ὁ γωνία , ὑπό ὅς ὁ ὁμόλογος πλευρά ὑποτείνω · ὅς δέω δείκνυμι .