ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 11.prop.2
ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας , ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ , καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον · λέγω , ὅτι αἱ ΑΒ , ΓΔ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ , καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῶν ΕΓ , ΕΒ τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ , Η , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ , ΖΗ , καὶ διήχθωσαν αἱ ΖΘ , ΗΚ · λέγω πρῶτον , ὅτι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ . εἰ γάρ ἐστι τοῦ ΕΓΒ τριγώνου μέρος ἤτοι τὸ ΖΘΓ ἢ τὸ ΗΒΚ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ , τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ , ἔσται καὶ μιᾶς τῶν ΕΓ , ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ . εἰ δὲ τοῦ ΕΓΒ τριγώνου τὸ ΖΓΒΗ μέρος ᾖ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ , ἔσται καὶ ἀμφοτέρων τῶν ΕΓ , ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ · ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη . τὸ ἄρα ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ . ἐν ᾧ δέ ἐστι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον , ἐν τούτῳ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΓ , ΕΒ , ἐν ᾧ δὲ ἑκατέρα τῶν ΕΓ , ΕΒ , ἐν τούτῳ καὶ αἱ ΑΒ , ΓΔ . αἱ ΑΒ , ΓΔ ἄρα εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ , καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων , ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος , καί πᾶς τρίγωνον ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . δύο γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΓΔ ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος , καί πᾶς τρίγωνον ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΕΓ , ΕΒ τυγχάνω σημεῖον ὁ Ζ , Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΒ , ΖΗ , καί διάγω ὁ ΖΘ , ΗΚ · λέγω πρῶτος , ὅτι ὁ ΕΓΒ τρίγωνον ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . εἰ γάρ εἰμί ὁ ΕΓΒ τρίγωνον μέρος ἤτοι ὁ ΖΘΓ ἤ ὁ ΗΒΚ ἐν ὁ ὑπόκειμαι , ὁ δέ λοιπός ἐν ἄλλος , εἰμί καί εἷς ὁ ΕΓ , ΕΒ εὐθεῖα μέρος μέν τις ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , ὁ δέ ἐν ἄλλος . εἰ δέ ὁ ΕΓΒ τρίγωνον ὁ ΖΓΒΗ μέρος εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , ὁ δέ λοιπός ἐν ἄλλος , εἰμί καί ἀμφότερος ὁ ΕΓ , ΕΒ εὐθεῖα μέρος μέν τις ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , ὁ δέ ἐν ἄλλος · ὅς ἄτοπος δείκνυμι . ὁ ἄρα ΕΓΒ τρίγωνον ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . ἐν ὅς δέ εἰμί ὁ ΕΓΒ τρίγωνον , ἐν οὗτος καί ἑκάτερος ὁ ΕΓ , ΕΒ , ἐν ὅς δέ ἑκάτερος ὁ ΕΓ , ΕΒ , ἐν οὗτος καί ὁ ΑΒ , ΓΔ . ὁ ΑΒ , ΓΔ ἄρα εὐθεῖα ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος , καί πᾶς τρίγωνον ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.3
ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα , ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν . δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ , ΒΓ τεμνέτω ἄλληλα , κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΔΒ γραμμή · λέγω , ὅτι ἡ ΔΒ γραμμὴ εὐθεῖά ἐστιν . εἰ γὰρ μή , ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΕΒ , ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΖΒ . ἔσται δὴ δύο εὐθειῶν τῶν ΔΕΒ , ΔΖΒ τὰ αὐτὰ πέρατα , καὶ περιέξουσι δηλαδὴ χωρίον · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα αἱ ΔΕΒ , ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἔσται πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ , ΒΓ ἐπιπέδων . ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα , ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἐπίπεδος τέμνω ἀλλήλων , ὁ κοινός αὐτός τομή εὐθύς εἰμί . δύο γάρ ἐπίπεδος ὁ ΑΒ , ΒΓ τέμνω ἀλλήλων , κοινός δέ αὐτός τομή εἰμί ὁ ΔΒ γραμμή · λέγω , ὅτι ὁ ΔΒ γραμμή εὐθύς εἰμί . εἰ γάρ μή , ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Δ ἐπί ὁ Β ἐν μέν ὁ ΑΒ ἐπίπεδος εὐθύς ὁ ΔΕΒ , ἐν δέ ὁ ΒΓ ἐπίπεδος εὐθύς ὁ ΔΖΒ . εἰμί δή δύο εὐθεῖα ὁ ΔΕΒ , ΔΖΒ ὁ αὐτός πέρας , καί περιέχω δηλαδή χωρίον · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ ΔΕΒ , ΔΖΒ εὐθεῖα εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος τις ἀπό ὁ Δ ἐπί ὁ Β ἐπιζεύγνυμι εὐθύς εἰμί πλήν ὁ ΔΒ κοινός τομή ὁ ΑΒ , ΒΓ ἐπίπεδος . ἐάν ἄρα δύο ἐπίπεδος τέμνω ἀλλήλων , ὁ κοινός αὐτός τομή εὐθύς εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.5
ἐὰν εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ , αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΓ , ΒΔ , ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κατὰ τὸ Β ἁφῆς ἐφεστάτω · λέγω , ὅτι αἱ ΒΓ , ΒΔ , ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἔστωσαν αἱ μὲν ΒΔ , ΒΕ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ , ἡ δὲ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ , καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἐπίπεδον · κοινὴν δὴ τομὴν ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν . ποιείτω τὴν ΒΖ . ἐν ἑνὶ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ διηγμένῳ διὰ τῶν ΑΒ , ΒΓ αἱ τρεῖς εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΒΖ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ , ΒΕ , καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ , ΒΕ ἄρα ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ . τὸ δὲ διὰ τῶν ΒΔ , ΒΕ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν · ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΑΒ . ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΒΖ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ · ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν . ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ . καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ · αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΓ , ΒΔ , ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων ἐπὶ τῆς ἁφῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ , αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθεῖα τρεῖς εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων πρός ὀρθός ἐπί ὁ κοινός τομή ἐφίστημι , ὁ τρεῖς εὐθεῖα ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ τρεῖς εὐθεῖα ὁ ΒΓ , ΒΔ , ΒΕ πρός ὀρθός ἐπί ὁ κατά ὁ Β ἁφή ἐφίστημι · λέγω , ὅτι ὁ ΒΓ , ΒΔ , ΒΕ ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , εἰμί ὁ μέν ΒΔ , ΒΕ ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , ὁ δέ ΒΓ ἐν μετέωρος , καί ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ΑΒ , ΒΓ ἐπίπεδος · κοινός δή τομή ποιέω ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος εὐθύς . ποιέω ὁ ΒΖ . ἐν εἷς ἄρα εἰμί ἐπίπεδος ὁ δίειμι διά ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ τρεῖς εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΒΖ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ ΒΔ , ΒΕ , καί ὁ διά ὁ ΒΔ , ΒΕ ἄρα ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒ . ὁ δέ διά ὁ ΒΔ , ΒΕ ἐπίπεδος ὁ ὑπόκειμαι εἰμί · ὁ ΑΒ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . ὥστε καί πρός πᾶς ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία ὁ ΑΒ . ἅπτω δέ αὐτός ὁ ΒΖ εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος · ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΖ γωνία ὀρθός εἰμί . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὑπό ΑΒΓ ὀρθός · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΖ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ . καί εἰμί ἐν εἷς ἐπίπεδος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΒΓ εὐθύς ἐν μετέωρος εἰμί ἐπίπεδος · ὁ τρεῖς ἄρα εὐθεῖα ὁ ΒΓ , ΒΔ , ΒΕ ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . ἐάν ἄρα εὐθύς τρεῖς εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων ἐπί ὁ ἁφή πρός ὀρθός ἐφίστημι , ὁ τρεῖς εὐθεῖα ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.7
ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι , ληφθῇ δὲ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα , ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις . ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ , ΓΔ , καὶ εἰλήφθω ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα τὰ Ε , Ζ · λέγω , ὅτι ἡ ἐπὶ τὰ Ε , Ζ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἔστω ἐν μετεωροτέρῳ ὡς ἡ ΕΗΖ , καὶ διήχθω διὰ τῆς ΕΗΖ ἐπίπεδον · τομὴν δὴ ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν . ποιείτω ὡς τὴν ΕΖ · δύο ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΕΗΖ , ΕΖ χωρίον περιέξουσιν · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ · ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ , ΓΔ ἄρα παραλλήλων ἐστὶν ἐπιπέδῳ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα . ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι , ληφθῇ δὲ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα , ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο εὐθεῖα παράλληλος , λαμβάνω δέ ἐπί ἑκάτερος αὐτός τυγχάνω σημεῖον , ὁ ἐπί ὁ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ παράλληλος . εἰμί δύο εὐθεῖα παράλληλος ὁ ΑΒ , ΓΔ , καί λαμβάνω ἐπί ἑκάτερος αὐτός τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε , Ζ · λέγω , ὅτι ὁ ἐπί ὁ Ε , Ζ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ παράλληλος . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , εἰμί ἐν μετέωρος ὡς ὁ ΕΗΖ , καί διάγω διά ὁ ΕΗΖ ἐπίπεδος · τομή δή ποιέω ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος εὐθύς . ποιέω ὡς ὁ ΕΖ · δύο ἄρα εὐθεῖα ὁ ΕΗΖ , ΕΖ χωρίον περιέχω · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Ζ ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐν μετέωρος εἰμί ἐπίπεδος · ἐν ὁ διά ὁ ΑΒ , ΓΔ ἄρα παράλληλος εἰμί ἐπίπεδος ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Ζ ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα . ἐάν ἄρα εἰμί δύο εὐθεῖα παράλληλος , λαμβάνω δέ ἐπί ἑκάτερος αὐτός τυγχάνω σημεῖον , ὁ ἐπί ὁ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ παράλληλος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.9
αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι . ἔστω γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ · λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ τῇ ΕΖ ἐν μὲν τῷ διὰ τῶν ΕΖ , ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΘ , ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΖΕ , ΓΔ τῇ ΕΖ πάλιν πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΚ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ , ΗΚ ὀρθή ἐστιν , ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ , ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . καί ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ παράλληλος · καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ , ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν , παράλληλοί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ αὐτός εὔθεια παράλληλος καί μή εἰμί αὐτός ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος καί ἀλλήλων εἰμί παράλληλος . εἰμί γάρ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ ΕΖ παράλληλος μή εἰμί αὐτός ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΕΖ τυγχάνω σημεῖον ὁ Η , καί ἀπό αὐτός ὁ ΕΖ ἐν μέν ὁ διά ὁ ΕΖ , ΑΒ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΗΘ , ἐν δέ ὁ διά ὁ ΖΕ , ΓΔ ὁ ΕΖ πάλιν πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΗΚ . καί ἐπεί ὁ ΕΖ πρός ἑκάτερος ὁ ΗΘ , ΗΚ ὀρθός εἰμί , ὁ ΕΖ ἄρα καί ὁ διά ὁ ΗΘ , ΗΚ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . καί εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ παράλληλος · καί ὁ ΑΒ ἄρα ὁ διά ὁ ΘΗΚ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΓΔ ὁ διά ὁ ΘΗΚ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ διά ὁ ΘΗΚ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ἐάν δέ δύο εὐθεῖα ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί , παράλληλος εἰμί ὁ εὐθεῖα · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.10
ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , ἴσας γωνίας περιέξουσιν . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΕ , ΕΖ ἁπτομένας ἀλλήλων ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ . Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ , ΒΓ , ΕΔ , ΕΖ ἴσαι ἀλλήλαις , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΓΖ , ΒΕ , ΑΓ , ΔΖ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῇ ΕΔ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος , καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΔ , ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος . αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ καὶ ἴση . καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΑΓ , ΔΖ · καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῇ ΔΖ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσίν , καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση . ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , ἴσας γωνίας περιέξουσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων παρά δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων εἰμί μή ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ἴσος γωνία περιέχω . δύο γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ ἅπτω ἀλλήλων παρά δύο εὐθεῖα ὁ ΔΕ , ΕΖ ἅπτω ἀλλήλων εἰμί μή ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ . ἀπολαμβάνω γάρ ὁ ΒΑ , ΒΓ , ΕΔ , ΕΖ ἴσος ἀλλήλων , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΓΖ , ΒΕ , ΑΓ , ΔΖ . καί ἐπεί ὁ ΒΑ ὁ ΕΔ ἴσος εἰμί καί παράλληλος , καί ὁ ΑΔ ἄρα ὁ ΒΕ ἴσος εἰμί καί παράλληλος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΓΖ ὁ ΒΕ ἴσος εἰμί καί παράλληλος · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΔ , ΓΖ ὁ ΒΕ ἴσος εἰμί καί παράλληλος . ὁ δέ ὁ αὐτός εὐθύς παράλληλος καί μή εἰμί αὐτός ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος καί ἀλλήλων εἰμί παράλληλος · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΓΖ καί ἴσος . καί ἐπιζεύγνυμι αὐτός ὁ ΑΓ , ΔΖ · καί ὁ ΑΓ ἄρα ὁ ΔΖ ἴσος εἰμί καί παράλληλος . καί ἐπεί δύο ὁ ΑΒ , ΒΓ δύο ὁ ΔΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί , καί βάσις ὁ ΑΓ βάσις ὁ ΔΖ ἴσος , γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΖ εἰμί ἴσος . ἐάν ἄρα δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων παρά δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων εἰμί μή ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ἴσος γωνία περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.12
τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι . ἔστω τὸ μὲν δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον , τὸ δὲ πρὸς αὐτῷ σημεῖον τὸ Α · δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι . νενοήσθω τι σημεῖον μετέωρον τὸ Β , καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΓ , καὶ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν αἱ ΑΔ , ΓΒ , ἡ δὲ μία αὐτῶν ἡ ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν , καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . τῷ ἄρα δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ σημείου τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΑΔ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι ἐπίπεδος ἀπό ὁ πρός αὐτός δίδωμι σημεῖον πρός ὀρθός εὐθεῖα γραμμή ἀνίστημι . εἰμί ὁ μέν δίδωμι ἐπίπεδος ὁ ὑπόκειμαι , ὁ δέ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α · δέω δή ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εὐθύς γραμμή ἀνίστημι . νοέω τις σημεῖον μετέωρος ὁ Β , καί ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος κάθετος ἄγω ὁ ΒΓ , καί διά ὁ Α σημεῖον ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΔ . ἐπεί οὖν δύο εὐθεῖα παράλληλος εἰμί ὁ ΑΔ , ΓΒ , ὁ δέ εἷς αὐτός ὁ ΒΓ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ λοιπός ἄρα ὁ ΑΔ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ὁ ἄρα δίδωμι ἐπίπεδος ἀπό ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α πρός ὀρθός ἀνίστημι ὁ ΑΔ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 11.prop.13
ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἀναστήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη . εἰ γὰρ δυνατόν , ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Α τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη , καὶ διήχθω τὸ διὰ τῶν ΒΑ , ΑΓ ἐπίπεδον · τομὴν δὴ ποιήσει διὰ τοῦ Α ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν . ποιείτω τὴν ΔΑΕ · αἱ ἄρα ΑΒ , ΑΓ , ΔΑΕ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΔΑΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ · ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ γωνία ὀρθή ἐστιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ὀρθή ἐστιν · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ . καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ αὐτός ἐπίπεδος δύο εὐθεῖα πρός ὀρθός οὐ ἀνίστημι ἐπί ὁ αὐτός μέρος . εἰ γάρ δυνατός , ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΑΓ πρός ὀρθός ἀναστατόω ἐπί ὁ αὐτός μέρος , καί διάγω ὁ διά ὁ ΒΑ , ΑΓ ἐπίπεδος · τομή δή ποιέω διά ὁ Α ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος εὐθύς . ποιέω ὁ ΔΑΕ · ὁ ἄρα ΑΒ , ΑΓ , ΔΑΕ εὐθεῖα ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . καί ἐπεί ὁ ΓΑ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ αὐτός ὁ ΔΑΕ εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος · ὁ ἄρα ὑπό ΓΑΕ γωνία ὀρθός εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΒΑΕ ὀρθός εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΓΑΕ ὁ ὑπό ΒΑΕ . καί εἰμί ἐν εἷς ἐπίπεδος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον ὁ αὐτός ἐπίπεδος δύο εὐθεῖα πρός ὀρθός ἀνίστημι ἐπί ὁ αὐτός μέρος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.14
πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν , παράλληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΔ , ΕΖ ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἔστω · λέγω , ὅτι παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα . εἰ γὰρ μή , ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται . συμπιπτέτωσαν · ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν . ποιείτωσαν τὴν ΗΘ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΗΘ τυχὸν σημεῖον τὸ Κ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ , ΒΚ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΕΖ ἐπίπεδον , καὶ πρὸς τὴν ΒΚ ἄρα εὐθεῖαν οὖσαν ἐν τῷ ΕΖ ἐκβληθέντι ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ · ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΚ γωνία ὀρθή ἐστιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΚ ὀρθή ἐστιν . τριγώνου δὴ τοῦ ΑΒΚ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΚ , ΒΑΚ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὰ ΓΔ , ΕΖ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται · παράλληλα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΔ , ΕΖ ἐπίπεδα . πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἄρα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν , παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πρός ὅς ἐπίπεδος ὁ αὐτός εὐθύς ὀρθός εἰμί , παράλληλος εἰμί ὁ ἐπίπεδος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος ὁ ΓΔ , ΕΖ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ἐπίπεδος . εἰ γάρ μή , ἐκβάλλω συμπίπτω . συμπίπτω · ποιέω δή κοινός τομή εὐθύς . ποιέω ὁ ΗΘ , καί λαμβάνω ἐπί ὁ ΗΘ τυγχάνω σημεῖον ὁ Κ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΚ , ΒΚ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΕΖ ἐπίπεδος , καί πρός ὁ ΒΚ ἄρα εὐθεῖα εἰμί ἐν ὁ ΕΖ ἐκβάλλω ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒ · ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΚ γωνία ὀρθός εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΒΑΚ ὀρθός εἰμί . τρίγωνον δή ὁ ΑΒΚ ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό ΑΒΚ , ΒΑΚ δύο ὀρθός εἰμί ἴσος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΓΔ , ΕΖ ἐπίπεδος ἐκβάλλω συμπίπτω · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ , ΕΖ ἐπίπεδος . πρός ὅς ἐπίπεδος ἄρα ὁ αὐτός εὐθύς ὀρθός εἰμί , παράλληλος εἰμί ὁ ἐπίπεδος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.15
ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι , παράλληλά ἐστι τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα . δύο γὰρ εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΑΒ , ΒΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔΕ , ΕΖ ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι · λέγω , ὅτι ἐκβαλλόμενα τὰ διὰ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται ἀλλήλοις . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΔΕ , ΕΖ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΒΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον , καὶ διὰ τοῦ Η τῇ μὲν ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ , τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΗΚ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΔΕ , ΕΖ ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ , ΕΖ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας . ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΗΘ , ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ , ΕΖ ἐπιπέδῳ · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΘ , ΒΗΚ γωνιῶν . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ τῇ ΗΘ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΗΒΑ , ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΘ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΑ · ἡ ΗΒ ἄρα τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΗΒ καὶ τῇ ΒΓ ἐστι πρὸς ὀρθάς . ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΒ δυσὶν εὐθείαις ταῖς ΒΑ , ΒΓ τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν , ἡ ΗΒ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΑ , ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . . πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν , παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα · παράλληλον ἄρα ἐστὶ τὸ διὰ τῶν ΑΒ , ΒΓ ἐπίπεδον τῷ διὰ τῶν ΔΕ , ΕΖ . ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , παράλληλά ἐστι τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων παρά δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων εἰμί μή ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί , παράλληλος εἰμί ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος . δύο γάρ εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΑΒ , ΒΓ παρά δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων ὁ ΔΕ , ΕΖ εἰμί μή ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί · λέγω , ὅτι ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ , ΕΖ ἐπίπεδος οὐ συμπίπτω ἀλλήλων . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Β σημεῖον ἐπί ὁ διά ὁ ΔΕ , ΕΖ ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΒΗ καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Η σημεῖον , καί διά ὁ Η ὁ μέν ΕΔ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΘ , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΗΚ . καί ἐπεί ὁ ΒΗ ὀρθός εἰμί πρός ὁ διά ὁ ΔΕ , ΕΖ ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ διά ὁ ΔΕ , ΕΖ ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία . ἅπτω δέ αὐτός ἑκάτερος ὁ ΗΘ , ΗΚ εἰμί ἐν ὁ διά ὁ ΔΕ , ΕΖ ἐπίπεδος · ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΗΘ , ΒΗΚ γωνία . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΗΘ , ὁ ἄρα ὑπό ΗΒΑ , ΒΗΘ γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΒΗΘ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΗΒΑ · ὁ ΗΒ ἄρα ὁ ΒΑ πρός ὀρθός εἰμί . διά ὁ αὐτός δή ὁ ΗΒ καί ὁ ΒΓ εἰμί πρός ὀρθός . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΗΒ δύο εὐθεῖα ὁ ΒΑ , ΒΓ τέμνω ἀλλήλων πρός ὀρθός ἐφίστημι , ὁ ΗΒ ἄρα καί ὁ διά ὁ ΒΑ , ΒΓ ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . . πρός ὅς δέ ἐπίπεδος ὁ αὐτός εὐθύς ὀρθός εἰμί , παράλληλος εἰμί ὁ ἐπίπεδος · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ διά ὁ ΑΒ , ΒΓ ἐπίπεδος ὁ διά ὁ ΔΕ , ΕΖ . ἐάν ἄρα δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων παρά δύο εὐθεῖα ἅπτω ἀλλήλων εἰμί μή ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος , παράλληλος εἰμί ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.16
ἐὰν δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται , αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν . δύο γὰρ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ , ΓΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΖΗΘ τεμνέσθω , κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ ἔστωσαν αἱ ΕΖ , ΗΘ · λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ . εἰ γὰρ μή , ἐκβαλλόμεναι αἱ ΕΖ , ΗΘ ἤτοι ἐπὶ τὰ Ζ , Θ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ε , Η συμπεσοῦνται . ἐκβεβλήσθωσαν ὡς ἐπὶ τὰ Ζ , Θ μέρη καὶ συμπιπτέτωσαν πρότερον κατὰ τὸ Κ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖΚ ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ , καὶ πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ΕΖΚ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ . ἓν δὲ τῶν ἐπὶ τῆς ΕΖΚ εὐθείας σημείων ἐστὶ τὸ Κ · τὸ Κ ἄρα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ Κ καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἐστιν ἐπιπέδῳ · τὰ ΑΒ , ΓΔ ἄρα ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται . οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παράλληλα ὑποκεῖσθαι · οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ , ΗΘ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Ζ , Θ μέρη συμπεσοῦνται . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι αἱ ΕΖ , ΗΘ εὐθεῖαι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Ε , Η μέρη ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται . αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ . ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται , αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὑπό ἐπίπεδος τις τέμνω , ὁ κοινός αὐτός τομή παράλληλος εἰμί . δύο γάρ ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΑΒ , ΓΔ ὑπό ἐπίπεδος ὁ ΕΖΗΘ τέμνω , κοινός δέ αὐτός τομή εἰμί ὁ ΕΖ , ΗΘ · λέγω , ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΗΘ . εἰ γάρ μή , ἐκβάλλω ὁ ΕΖ , ΗΘ ἤτοι ἐπί ὁ Ζ , Θ μέρος ἤ ἐπί ὁ Ε , Η συμπίπτω . ἐκβάλλω ὡς ἐπί ὁ Ζ , Θ μέρος καί συμπίπτω πρότερος κατά ὁ Κ . καί ἐπεί ὁ ΕΖΚ ἐν ὁ ΑΒ εἰμί ἐπίπεδος , καί πᾶς ἄρα ὁ ἐπί ὁ ΕΖΚ σημεῖον ἐν ὁ ΑΒ εἰμί ἐπίπεδος . εἷς δέ ὁ ἐπί ὁ ΕΖΚ εὐθεῖα σημεῖον εἰμί ὁ Κ · ὁ Κ ἄρα ἐν ὁ ΑΒ εἰμί ἐπίπεδος . διά ὁ αὐτός δή ὁ Κ καί ἐν ὁ ΓΔ εἰμί ἐπίπεδος · ὁ ΑΒ , ΓΔ ἄρα ἐπίπεδος ἐκβάλλω συμπίπτω . οὐ συμπίπτω δέ διά ὁ παράλληλος ὑπόκειμαι · οὐ ἄρα ὁ ΕΖ , ΗΘ εὐθεῖα ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ , Θ μέρος συμπίπτω . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ ΕΖ , ΗΘ εὐθεῖα οὐδέ ἐπί ὁ Ε , Η μέρος ἐκβάλλω συμπίπτω . ὁ δέ ἐπί μηδέτερος ὁ μέρος συμπίπτω παράλληλος εἰμί . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΗΘ . ἐάν ἄρα δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὑπό ἐπίπεδος τις τέμνω , ὁ κοινός αὐτός τομή παράλληλος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.17
ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΓΔ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΗΘ , ΚΛ , ΜΝ τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Α , Ε , Β , Γ , Ζ , Δ σημεῖα · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΒ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΔ , ΑΔ , καὶ συμβαλλέτω ἡ ΑΔ τῷ ΚΛ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΞ , ΞΖ . καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΛ , ΜΝ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΒΔΞ τέμνεται , αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΕΞ , ΒΔ παράλληλοί εἰσιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΗΘ , ΚΛ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΞΖΓ τέμνεται , αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΑΓ , ΞΖ παράλληλοί εἰσιν . καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΔ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΔ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΕΞ , ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , οὕτως ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ . πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΞΖ , ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ . ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται , εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος τέμνω εἰς ὁ αὐτός λόγος τέμνω . δύο γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος ὁ ΗΘ , ΚΛ , ΜΝ τέμνω κατά ὁ Α , Ε , Β , Γ , Ζ , Δ σημεῖον · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΕ εὐθύς πρός ὁ ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΓ , ΒΔ , ΑΔ , καί συμβάλλω ὁ ΑΔ ὁ ΚΛ ἐπίπεδος κατά ὁ Ξ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΞ , ΞΖ . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΚΛ , ΜΝ ὑπό ἐπίπεδος ὁ ΕΒΔΞ τέμνω , ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ ΕΞ , ΒΔ παράλληλος εἰμί . διά ὁ αὐτός δή ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΗΘ , ΚΛ ὑπό ἐπίπεδος ὁ ΑΞΖΓ τέμνω , ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ ΑΓ , ΞΖ παράλληλος εἰμί . καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΑΒΔ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΒΔ εὐθύς ἄγω ὁ ΕΞ , ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ ΑΞ πρός ΞΔ . πάλιν ἐπεί τρίγωνον ὁ ΑΔΓ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΑΓ εὐθύς ἄγω ὁ ΞΖ , ἀνάλογος εἰμί ὡς ὁ ΑΞ πρός ΞΔ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ΖΔ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΑΞ πρός ΞΔ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΒ · καί ὡς ἄρα ὁ ΑΕ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ΖΔ . ἐάν ἄρα δύο εὐθεῖα ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος τέμνω , εἰς ὁ αὐτός λόγος τέμνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.18
ἐὰν εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω · λέγω , ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . Ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον τὸ ΔΕ , καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ τοῦ ΔΕ ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑποκειμένου ἡ ΓΕ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΕ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΓΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἐν τῷ ΔΕ ἐπιπέδῳ ἡ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ · ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΓΕ ὀρθή ἐστιν · ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ ὀρθή · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ . ἡ δὲ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν · καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . καὶ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν , ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν . καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΓΕ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐδείχθη τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς · τὸ ἄρα ΔΕ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα ὀρθὰ τυγχάνοντα πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθεῖα ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί πᾶς ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · λέγω , ὅτι καί πᾶς ὁ διά ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . ἐκβάλλω γάρ διά ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ὁ ΔΕ , καί εἰμί κοινός τομή ὁ ΔΕ ἐπίπεδος καί ὁ ὑπόκειμαι ὁ ΓΕ , καί λαμβάνω ἐπί ὁ ΓΕ τυγχάνω σημεῖον ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ Ζ ὁ ΓΕ πρός ὀρθός ἄγω ἐν ὁ ΔΕ ἐπίπεδος ὁ ΖΗ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒ · ὥστε καί πρός ὁ ΓΕ ὀρθός εἰμί · ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΖ γωνία ὀρθός εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΗΖΒ ὀρθός · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΖΗ . ὁ δέ ΑΒ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · καί ὁ ΖΗ ἄρα ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . καί ἐπίπεδος πρός ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί , ὅταν ὁ ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἄγω εὐθεῖα ἐν εἷς ὁ ἐπίπεδος ὁ λοιπός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . καί ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ ΓΕ ἐν εἷς ὁ ἐπίπεδος ὁ ΔΕ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΖΗ δείκνυμι ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός · ὁ ἄρα ΔΕ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι . ὅμοιος δή δείκνυμι καί πᾶς ὁ διά ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ὀρθός τυγχάνω πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . ἐάν ἄρα εὐθύς ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί πᾶς ὁ διά αὐτός ἐπίπεδος ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.19
ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται . δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ , ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω , κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΒΔ · λέγω , ὅτι ἡ ΒΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν . μὴ γάρ , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῇ ΑΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ , ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ . καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον , καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἦκται ἡ ΔΕ , ἡ ΔΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΔΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον . ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ Δ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνεσταμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἀνασταθήσεται πρὸς ὀρθὰς πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ , ΒΓ ἐπιπέδων . ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἐπίπεδος τέμνω ἀλλήλων ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . δύο γάρ ἐπίπεδος ὁ ΑΒ , ΒΓ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί , κοινός δέ αὐτός τομή εἰμί ὁ ΒΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΒΔ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί . μή γάρ , καί ἄγω ἀπό ὁ Δ σημεῖον ἐν μέν ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ὁ ΑΔ εὐθύς πρός ὀρθός ὁ ΔΕ , ἐν δέ ὁ ΒΓ ἐπίπεδος ὁ ΓΔ πρός ὀρθός ὁ ΔΖ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι , καί ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ ΑΔ πρός ὀρθός ἐν ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ἄγω ὁ ΔΕ , ὁ ΔΕ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΔΖ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος . ἀπό ὁ αὐτός ἄρα σημεῖον ὁ Δ ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος δύο εὐθεῖα πρός ὀρθός ἀνίστημι εἰμί ἐπί ὁ αὐτός μέρος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ἀπό ὁ Δ σημεῖον ἀνίστημι πρός ὀρθός πλήν ὁ ΔΒ κοινός τομή ὁ ΑΒ , ΒΓ ἐπίπεδος . ἐάν ἄρα δύο ἐπίπεδος τέμνω ἀλλήλων ἐπίπεδος τις πρός ὀρθός εἰμί , καί ὁ κοινός αὐτός τομή ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.20
ἐὰν στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται , δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι . στερεὰ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ περιεχέσθω · λέγω , ὅτι τῶν ὑπὸ ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ γωνιῶν δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι . εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , φανερόν , ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν . εἰ δὲ οὔ , ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ , καὶ κείσθω τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ , καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου διαχθεῖσα ἡ ΒΕΓ τεμνέτω τὰς ΑΒ , ΑΓ εὐθείας κατὰ τὰ Β , Γ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ , ΔΓ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ , δύο δυσὶν ἴσαι · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΔΒ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΔ , ΔΓ τῆς ΒΓ μείζονές εἰσιν , ὧν ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ λοιπῆς τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ , καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσεως τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΑΓ μείζων ἐστίν . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση · αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ , ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζονές εἰσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ σύνδυο λαμβανόμεναι τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν . ἐὰν ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται , δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν στερεός γωνία ὑπό τρεῖς γωνία ἐπίπεδος περιέχω , δύο ὁποιαιοῦν ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω . στερεός γάρ γωνία ὁ πρός ὁ Α ὑπό τρεῖς γωνία ἐπίπεδος ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ περιέχω · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ γωνία δύο ὁποιαιοῦν ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω . εἰ μέν οὖν ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , φανερός , ὅτι δύο ὁσποσιαιοῦν ὁ λοιπός μέγας εἰμί . εἰ δέ οὐ , εἰμί μέγας ὁ ὑπό ΒΑΓ , καί συνίστημι πρός ὁ ΑΒ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ ὑπό ΔΑΒ γωνία ἐν ὁ διά ὁ ΒΑΓ ἐπίπεδος ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΕ , καί κεῖμαι ὁ ΑΔ ἴσος ὁ ΑΕ , καί διά ὁ Ε σημεῖον διάγω ὁ ΒΕΓ τέμνω ὁ ΑΒ , ΑΓ εὐθεῖα κατά ὁ Β , Γ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ , ΔΓ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΕ , κοινός δέ ὁ ΑΒ , δύο δύο ἴσος · καί γωνία ὁ ὑπό ΔΑΒ γωνία ὁ ὑπό ΒΑΕ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΔΒ βάσις ὁ ΒΕ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί δύο ὁ ΒΔ , ΔΓ ὁ ΒΓ μέγας εἰμί , ὅς ὁ ΔΒ ὁ ΒΕ δείκνυμι ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΔΓ λοιπός ὁ ΕΓ μέγας εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΕ , κοινός δέ ὁ ΑΓ , καί βάσις ὁ ΔΓ βάσις ὁ ΕΓ μέγας εἰμί , γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΔΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΑΓ μέγας εἰμί . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΔΑΒ ὁ ὑπό ΒΑΕ ἴσος · ὁ ἄρα ὑπό ΔΑΒ , ΔΑΓ ὁ ὑπό ΒΑΓ μέγας εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ λοιπός σύνδυο λαμβάνω ὁ λοιπός μέγας εἰμί . ἐάν ἄρα στερεός γωνία ὑπό τρεῖς γωνία ἐπίπεδος περιέχω , δύο ὁποιαιοῦν ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.21
ἅπασα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται . ἔστω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α περιεχομένη ὑπὸ ἐπιπέδων γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ · λέγω , ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν . εἰλήφθω γὰρ ἐφʼ ἑκάστης τῶν ΑΒ , ΑΓ , ΑΔ τυχόντα σημεῖα τὰ Β , Γ , Δ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , ΓΔ , ΔΒ . καὶ ἐπεὶ στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται τῶν ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΔ , ΓΒΔ , δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΓΒΔ μείζονές εἰσιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ , ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΓΔ μείζονές εἰσιν , αἱ δὲ ὑπὸ ΓΔΑ , ΑΔΒ τῆς ὑπὸ ΓΔΒ μείζονές εἰσιν · αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΔ , ΒΓΑ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΑΔΒ τριῶν τῶν ὑπὸ ΓΒΔ , ΒΓΔ , ΓΔΒ μείζονές εἰσιν . ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΓΒΔ , ΒΔΓ , ΒΓΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · αἱ ἓξ ἄρα αἱ ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΔ , ΒΓΑ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΑΔΒ δύο ὀρθῶν μείζονές εἰσιν . καὶ ἐπεὶ ἑκάστου τῶν ΑΒΓ , ΑΓΔ , ΑΔΒ τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , αἱ ἄρα τῶν τριῶν τριγώνων ἐννέα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΓΒ , ΒΑΓ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΓΑΔ , ΑΔΒ , ΔΒΑ , ΒΑΔ ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , ὧν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΑ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΑΔΒ , ΔΒΑ ἓξ γωνίαι δύο ὀρθῶν εἰσι μείζονες · λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ τρεῖς περιέχουσαι τὴν στερεὰν γωνίαν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν . ἅπασα ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἅπας στερεός γωνία ὑπό ἐλαχύς τέσσαρες ὀρθός γωνία ἐπίπεδος περιέχω . εἰμί στερεός γωνία ὁ πρός ὁ Α περιέχω ὑπό ἐπίπεδος γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ τέσσαρες ὀρθός ἐλαχύς εἰμί . λαμβάνω γάρ ἐπί ἕκαστος ὁ ΑΒ , ΑΓ , ΑΔ τυγχάνω σημεῖον ὁ Β , Γ , Δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ , ΓΔ , ΔΒ . καί ἐπεί στερεός γωνία ὁ πρός ὁ Β ὑπό τρεῖς γωνία ἐπίπεδος περιέχω ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΔ , ΓΒΔ , δύο ὁποιαιοῦν ὁ λοιπός μέγας εἰμί · ὁ ἄρα ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΔ ὁ ὑπό ΓΒΔ μέγας εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ὑπό ΒΓΑ , ΑΓΔ ὁ ὑπό ΒΓΔ μέγας εἰμί , ὁ δέ ὑπό ΓΔΑ , ΑΔΒ ὁ ὑπό ΓΔΒ μέγας εἰμί · ὁ ἕξ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΔ , ΒΓΑ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΑΔΒ τρεῖς ὁ ὑπό ΓΒΔ , ΒΓΔ , ΓΔΒ μέγας εἰμί . ἀλλά ὁ τρεῖς ὁ ὑπό ΓΒΔ , ΒΔΓ , ΒΓΔ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ὁ ἕξ ἄρα ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΔ , ΒΓΑ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΑΔΒ δύο ὀρθός μέγας εἰμί . καί ἐπεί ἕκαστος ὁ ΑΒΓ , ΑΓΔ , ΑΔΒ τρίγων ὁ τρεῖς γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί , ὁ ἄρα ὁ τρεῖς τρίγων ἐννέα γωνία ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΓΒ , ΒΑΓ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΓΑΔ , ΑΔΒ , ΔΒΑ , ΒΑΔάς ἕξ ὀρθός ἴσος εἰμί , ὅς ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΑ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΑΔΒ , ΔΒΑ ἕξ γωνία δύο ὀρθός εἰμί μέγας · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΓΑΔ , ΔΑΒ τρεῖς περιέχω ὁ στερεός γωνία τέσσαρες ὀρθός ἐλαχύς εἰμί . ἅπας ἄρα στερεός γωνία ὑπό ἐλαχύς τέσσαρες ὀρθός γωνία ἐπίπεδος περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.24
ἐὰν στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται , τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν . στερεὸν γὰρ τὸ ΓΔΘΗ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιεχέσθω τῶν ΑΓ , ΗΖ , ΑΘ , ΔΖ , ΒΖ , ΑΕ · λέγω , ὅτι τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΗ , ΓΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται , αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ . πάλιν , ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ , ΑΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται , αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΑΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ παράλληλος · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν ΔΖ , ΖΗ , ΗΒ , ΒΖ , ΑΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν . ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ , ΔΖ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ , ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΓΖ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΘ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΓ , ΓΖ ἁπτομένας ἀλλήλων εἰσὶν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ · ἴσας ἄρα γωνίας περιέξουσιν · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΖ . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΓ , ΓΖ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἐστιν ἴση , βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση , καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν . καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΒΘ διπλάσιον τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον , τοῦ δὲ ΔΓΖ διπλάσιον τὸ ΓΕ παραλληλόγραμμον · ἴσον ἄρα τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΕ παραλληλογράμμῳ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τὸ μὲν ΑΓ τῷ ΗΖ ἐστιν ἴσον , τὸ δὲ ΑΕ τῷ ΒΖ . ἐὰν ἄρα στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται , τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν στερεός ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος περιέχω , ὁ ἀπεναντίον αὐτός ἐπίπεδος ἴσος τε καί παραλληλόγραμμος εἰμί . στερεός γάρ ὁ ΓΔΘΗ ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος περιέχω ὁ ΑΓ , ΗΖ , ΑΘ , ΔΖ , ΒΖ , ΑΕ · λέγω , ὅτι ὁ ἀπεναντίον αὐτός ἐπίπεδος ἴσος τε καί παραλληλόγραμμος εἰμί . ἐπεί γάρ δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΒΗ , ΓΕ ὑπό ἐπίπεδος ὁ ΑΓ τέμνω , ὁ κοινός αὐτός τομή παράλληλος εἰμί . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΓ . πάλιν , ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΒΖ , ΑΕ ὑπό ἐπίπεδος ὁ ΑΓ τέμνω , ὁ κοινός αὐτός τομή παράλληλος εἰμί . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΑΔ . δείκνυμι δέ καί ὁ ΑΒ ὁ ΔΓ παράλληλος · παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ ΔΖ , ΖΗ , ΗΒ , ΒΖ , ΑΕ παραλληλόγραμμος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ , ΔΖ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΓ , ὁ δέ ΒΘ ὁ ΓΖ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΘ ἅπτω ἀλλήλων παρά δύο εὐθεῖα ὁ ΔΓ , ΓΖ ἅπτω ἀλλήλων εἰμί οὐ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος · ἴσος ἄρα γωνία περιέχω · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΘ γωνία ὁ ὑπό ΔΓΖ . καί ἐπεί δύο ὁ ΑΒ , ΒΘ δύο ὁ ΔΓ , ΓΖ ἴσος εἰμί , καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΘ γωνία ὁ ὑπό ΔΓΖ εἰμί ἴσος , βάσις ἄρα ὁ ΑΘ βάσις ὁ ΔΖ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΑΒΘ τρίγωνον ὁ ΔΓΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν ΑΒΘ διπλάσιος ὁ ΒΗ παραλληλόγραμμος , ὁ δέ ΔΓΖ διπλάσιος ὁ ΓΕ παραλληλόγραμμος · ἴσος ἄρα ὁ ΒΗ παραλληλόγραμμος ὁ ΓΕ παραλληλόγραμμος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν ΑΓ ὁ ΗΖ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΑΕ ὁ ΒΖ . ἐάν ἄρα στερεός ὑπό παράλληλος ἐπίπεδος περιέχω , ὁ ἀπεναντίον αὐτός ἐπίπεδος ἴσος τε καί παραλληλόγραμμος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.27
ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ , τὸ δὲ δοθὲν στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΔ · δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι . συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Γ στερεᾷ γωνίᾳ ἴση ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΘ , ΘΑΚ , ΚΑΒ , ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ ΒΑΘ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΖ , τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ ΕΓΗ , τὴν δὲ ὑπὸ ΚΑΘ τῇ ὑπὸ ΗΓΖ · καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ , ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ . καὶ διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΘ . καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΒ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΑΛ στερεόν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ , καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΓΗ , ΒΑΚ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΚΒ παραλληλογράμμῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΘ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΖ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι καὶ ἔτι τὸ ΖΕ τῷ ΘΒ · τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΓΔ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΑΛ στερεοῦ ὅμοιά ἐστιν . ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια , τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια · ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΑΛ στερεῷ ὅμοιόν ἐστιν . ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον ἀναγέγραπται τὸ ΑΛ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἀπό ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ δίδωμι στερεός παραλληλεπίπεδον ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι στερεός παραλληλεπίπεδον ἀναγράφω . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΓΔ · δέω δή ἀπό ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΓΔ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι στερεός παραλληλεπίπεδον ἀναγράφω . συνίστημι γάρ πρός ὁ ΑΒ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ πρός ὁ Γ στερεός γωνία ἴσος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΑΘ , ΘΑΚ , ΚΑΒ , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ μέν ὑπό ΒΑΘ γωνία ὁ ὑπό ΕΓΖ , ὁ δέ ὑπό ΒΑΚ ὁ ὑπό ΕΓΗ , ὁ δέ ὑπό ΚΑΘ ὁ ὑπό ΗΓΖ · καί γίγνομαι ὡς μέν ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΗ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΚ , ὡς δέ ὁ ΗΓ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΚΑ πρός ὁ ΑΘ . καί διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΖ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΘ . καί συμπληρόω ὁ ΘΒ παραλληλόγραμμος καί ὁ ΑΛ στερεός . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΗ , οὕτως ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΚ , καί περί ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΕΓΗ , ΒΑΚ ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΗΕ παραλληλόγραμμος ὁ ΚΒ παραλληλόγραμμος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν ΚΘ παραλληλόγραμμος ὁ ΗΖ παραλληλόγραμμος ὅμοιος εἰμί καί ἔτι ὁ ΖΕ ὁ ΘΒ · τρεῖς ἄρα παραλληλόγραμμος ὁ ΓΔ στερεός τρεῖς παραλληλόγραμμος ὁ ΑΛ στερεός ὅμοιος εἰμί . ἀλλά ὁ μέν τρεῖς τρεῖς ὁ ἀπεναντίον ἴσος τε εἰμί καί ὅμοιος , ὁ δέ τρεῖς τρεῖς ὁ ἀπεναντίον ἴσος τε εἰμί καί ὅμοιος · ὅλος ἄρα ὁ ΓΔ στερεός ὅλος ὁ ΑΛ στερεός ὅμοιος εἰμί . ἀπό ὁ δίδωμι ἄρα εὐθεῖα ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΓΔ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ἀναγράφω ὁ ΑΛ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 11.prop.28
ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων , δίχα τμηθήσεται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου . στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῷ ΓΔΕΖ τετμήσθω κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τὰς ΓΖ , ΔΕ · λέγω , ὅτι δίχα τμηθήσεται τὸ ΑΒ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου . ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΓΗΖ τρίγωνον τῷ ΓΖΒ τριγώνῳ , τὸ δὲ ΑΔΕ τῷ ΔΕΘ , ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΑ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΒ ἴσον · ἀπεναντίον γάρ · τὸ δὲ ΗΕ τῷ ΓΘ , καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΗΖ , ΑΔΕ , τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΗΕ , ΑΓ , ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΖΒ , ΔΕΘ , τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΓΘ , ΒΕ , ΓΕ · ὑπὸ γὰρ ἴσων ἐπιπέδων περιέχονται τῷ τε πλήθει καὶ τῷ μεγέθει . ὥστε ὅλον τὸ ΑΒ στερεὸν δίχα τέτμηται ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν στερεός παραλληλεπίπεδον ἐπίπεδος τέμνω κατά ὁ διαγώνιος ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος , δίχα τέμνω ὁ στερεός ὑπό ὁ ἐπίπεδος . στερεός γάρ παραλληλεπίπεδον ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ὁ ΓΔΕΖ τέμνω κατά ὁ διαγώνιος ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος ὁ ΓΖ , ΔΕ · λέγω , ὅτι δίχα τέμνω ὁ ΑΒ στερεός ὑπό ὁ ΓΔΕΖ ἐπίπεδος . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΓΗΖ τρίγωνον ὁ ΓΖΒ τρίγωνον , ὁ δέ ΑΔΕ ὁ ΔΕΘ , εἰμί δέ καί ὁ μέν ΓΑ παραλληλόγραμμος ὁ ΕΒ ἴσος · ἀπεναντίον γάρ · ὁ δέ ΗΕ ὁ ΓΘ , καί ὁ πρίσμα ἄρα ὁ περιέχω ὑπό δύο μέν τρίγων ὁ ΓΗΖ , ΑΔΕ , τρεῖς δέ παραλληλόγραμμος ὁ ΗΕ , ΑΓ , ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ πρίσμα ὁ περιέχω ὑπό δύο μέν τρίγων ὁ ΓΖΒ , ΔΕΘ , τρεῖς δέ παραλληλόγραμμος ὁ ΓΘ , ΒΕ , ΓΕ · ὑπό γάρ ἴσος ἐπίπεδος περιέχω ὁ τε πλῆθος καί ὁ μέγεθος . ὥστε ὅλος ὁ ΑΒ στερεός δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΓΔΕΖ ἐπίπεδος · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.29
τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν , ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ , ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ , ΑΖ , ΛΜ , ΛΝ , ΓΔ , ΓΕ , ΒΘ , ΒΚ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἔστωσαν τῶν ΖΝ , ΔΚ · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ . ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΓΘ , ΓΚ , ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΘ , ΕΚ · ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΕΚ ἐστιν ἴση . κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΘ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση . ὥστε καὶ τὸ μὲν ΔΓΕ τρίγωνον τῷ ΘΒΚ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , τὸ δὲ ΔΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΝ παραλληλογράμμῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΖΗ τρίγωνον τῷ ΜΛΝ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν . ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΜ παραλληλογράμμῳ ἴσον , τὸ δὲ ΓΗ τῷ ΒΝ · ἀπεναντίον γάρ · καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΑΖΗ , ΔΓΕ , τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΑΔ , ΔΗ , ΓΗ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΜΛΝ , ΘΒΚ , τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΒΜ , ΘΝ , ΒΝ . κοινὸν προσκείσθω τὸ στερεόν , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΘΜ · ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΓΝ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν . τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν , ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι ἐπί ὁ αὐτός εἰμί εὐθεῖα , ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ ΑΒ στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΓΜ , ΓΝ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι ὁ ΑΗ , ΑΖ , ΛΜ , ΛΝ , ΓΔ , ΓΕ , ΒΘ , ΒΚ ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα εἰμί ὁ ΖΝ , ΔΚ · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΓΜ στερεός ὁ ΓΝ στερεός . ἐπεί γάρ παραλληλόγραμμος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΓΘ , ΓΚ , ἴσος εἰμί ὁ ΓΒ ἑκάτερος ὁ ΔΘ , ΕΚ · ὥστε καί ὁ ΔΘ ὁ ΕΚ εἰμί ἴσος . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΕΘ · λοιπός ἄρα ὁ ΔΕ λοιπός ὁ ΘΚ εἰμί ἴσος . ὥστε καί ὁ μέν ΔΓΕ τρίγωνον ὁ ΘΒΚ τρίγωνον ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΔΗ παραλληλόγραμμος ὁ ΘΝ παραλληλόγραμμος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΑΖΗ τρίγωνον ὁ ΜΛΝ τρίγωνον ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ μέν ΓΖ παραλληλόγραμμος ὁ ΒΜ παραλληλόγραμμος ἴσος , ὁ δέ ΓΗ ὁ ΒΝ · ἀπεναντίον γάρ · καί ὁ πρίσμα ἄρα ὁ περιέχω ὑπό δύο μέν τρίγων ὁ ΑΖΗ , ΔΓΕ , τρεῖς δέ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΔ , ΔΉ , ΓΗ ἴσος εἰμί ὁ πρίσμα ὁ περιέχω ὑπό δύο μέν τρίγων ὁ ΜΛΝ , ΘΒΚ , τρεῖς δέ παραλληλόγραμμος ὁ ΒΜ , ΘΝ , ΒΝ . κοινός πρόσκειμαι ὁ στερεός , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΗΕΘΜ · ὅλος ἄρα ὁ ΓΜ στερεός παραλληλεπίπεδον ὅλος ὁ ΓΝ στερεός παραλληλεπίπεδον ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι ἐπί ὁ αὐτός εἰμί εὐθεῖα , ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 11.prop.30
τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν , ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ , ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ , ΑΗ , ΛΜ , ΛΝ , ΓΔ , ΓΕ , ΒΘ , ΒΚ μὴ ἔστωσαν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν · λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ . ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ ΝΚ , ΔΘ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ρ , καὶ ἔτι ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΜ , ΗΕ ἐπὶ τὰ Ο , Π , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΞ , ΛΟ , ΓΠ , ΒΡ . ἴσον δή ἐστι τὸ ΓΜ στερεόν , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΖΔΘΜ , τῷ ΓΟ στερεῷ , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ , ΑΞ , ΛΜ , ΛΟ , ΓΔ , ΓΠ , ΒΘ , ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΖΟ , ΔΡ . ἀλλὰ τὸ ΓΟ στερεόν , οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ , ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ , οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον , ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΚΝ · ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ , ΑΞ , ΓΕ , ΓΠ , ΛΝ , ΛΟ , ΒΚ , ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΗΠ , ΝΡ . ὥστε καὶ τὸ ΓΜ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ . τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν , ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἐπί ὁ αὐτός βάσις εἰμί στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι οὐ εἰμί ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα , ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί ἐπί ὁ αὐτός βάσις ὁ ΑΒ στερεός παραλληλεπίπεδον ὁ ΓΜ , ΓΝ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι ὁ ΑΖ , ΑΗ , ΛΜ , ΛΝ , ΓΔ , ΓΕ , ΒΘ , ΒΚ μή εἰμί ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΓΜ στερεός ὁ ΓΝ στερεός . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΝΚ , ΔΘ καί συμπίπτω ἀλλήλων κατά ὁ Ρ , καί ἔτι ἐκβάλλω ὁ ΖΜ , ΗΕ ἐπί ὁ Ο , Π , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΞ , ΛΟ , ΓΠ , ΒΡ . ἴσος δή εἰμί ὁ ΓΜ στερεός , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΖΔΘΜ , ὁ ΓΟ στερεός , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΞΠΡΟ · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΑΓΒΛ καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι ὁ ΑΖ , ΑΞ , ΛΜ , ΛΟ , ΓΔ , ΓΠ , ΒΘ , ΒΡ ἐπί ὁ αὐτός εἰμί εὐθεῖα ὁ ΖΟ , ΔΡ . ἀλλά ὁ ΓΟ στερεός , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΞΠΡΟ , ἴσος εἰμί ὁ ΓΝ στερεός , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμος , ἀπεναντίον δέ ὁ ΗΕΚΝ · ἐπί τε γάρ πάλιν ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΑΓΒΛ καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι ὁ ΑΗ , ΑΞ , ΓΕ , ΓΠ , ΛΝ , ΛΟ , ΒΚ , ΒΡ ἐπί ὁ αὐτός εἰμί εὐθεῖα ὁ ΗΠ , ΝΡ . ὥστε καί ὁ ΓΜ στερεός ἴσος εἰμί ὁ ΓΝ στερεός . ὁ ἄρα ἐπί ὁ αὐτός βάσις στερεός παραλληλεπίπεδον καί ὑπό ὁ αὐτός ὕψος , ὅς ὁ ἐφίστημι οὐ εἰμί ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα , ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .