euclides-geom.elementa 13.prop.16
εἰκοσάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν , ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα , καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων . Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε τετραπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ , καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΕΖΗΘΚ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω τῇ ΔΒ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΖΗΘΚ , καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΜ , ΜΝ , ΝΞ , ΞΟ , ΟΛ , ΕΟ . ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜΝΞΟ πεντάγωνον , καὶ δεκαγώνου ἡ ΕΟ εὐθεῖα . καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ε , Ζ , Η , Θ , Κ σημείων τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι αἱ ΕΠ , ΖΡ , ΗΣ , ΘΤ , ΚΥ ἴσαι οὖσαι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΡ , ΡΣ , ΣΤ , ΤΥ , ΥΠ , ΠΛ , ΛΡ , ΡΜ , ΜΣ , ΣΝ , ΝΤ , ΤΞ , ΞΥ , ΥΟ , ΟΠ . καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΠ , ΚΥ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΚΥ . ἔστι δὲ αὐτῇ καὶ ἴση · αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπιζευγνύουσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν . ἡ ΠΥ ἄρα τῇ ΕΚ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν . πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΕΚ · πενταγώνου ἄρα ἰσοπλεύρου καὶ ἡ ΠΥ τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ , ΡΣ , ΣΤ , ΤΥ πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου · ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΠΡΣΤΥ πεντάγωνον . καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΕ , δεκαγώνου δὲ ἡ ΕΟ , καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΕΟ , πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΟ · ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΟΥ πενταγώνου ἐστὶ πλευρά . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΟΥ τρίγωνον . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΠΛΡ , ΡΜΣ , ΣΝΤ , ΤΞΥ ἰσόπλευρόν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ πενταγώνου ἐδείχθη ἑκατέρα τῶν ΠΛ , ΠΟ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΟ πενταγώνου , ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΛΟ τρίγωνον . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΛΡΜ , ΜΣΝ , ΝΤΞ , ΞΥΟ τριγώνων ἰσόπλευρόν ἐστιν . εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΕΖΗ ΘΚ κύκλου τὸ Φ σημεῖον · καὶ ἀπὸ τοῦ Φ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΦΩ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡς ἡ ΦΨ , καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΧ , δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ , ΧΩ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΩ , ΠΧ , ΥΩ , ΕΦ , ΛΦ , ΛΨ , ΨΜ . καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΦΧ , ΠΕ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ ΠΕ . εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι · καὶ αἱ ΕΦ , ΠΧ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν . ἑξαγώνου δὲ ἡ ΕΦ · ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΠΧ . καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΧ , δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ , καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΠΧΩ γωνία , πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΩ πενταγώνου ἐστίν , ἐπειδήπερ , ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΦΚ , ΧΥ , ἴσαι καὶ ἀπεναντίον ἔσονται , καί ἐστιν ἡ ΦΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ἑξαγώνου · ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΧΥ . δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ , καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΥΧΩ · πενταγώνου ἄρα ἡ ΥΩ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΥΩ τρίγωνον . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων , ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΠΡ , ΡΣ , ΣΤ , ΤΥ εὐθεῖαι , κορυφὴ δὲ τὸ Ω σημεῖον , ἰσόπλευρόν ἐστιν . πάλιν , ἐπεὶ ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΛ , δεκαγώνου δὲ ἡ ΦΨ , καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΦΨ γωνία , πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΨ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΜΦ οὖσαν ἑξαγώνου , συνάγεται καὶ ἡ ΜΨ πενταγώνου . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ πενταγώνου · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΨ τρίγωνον . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων , ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΜΝ , ΝΞ , ΞΟ , ΟΛ , κορυφὴ δὲ τὸ Ψ σημεῖον , ἰσόπλευρόν ἐστιν . συνέσταται ἄρα εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον . δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων . ἐπεὶ γὰρ ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ , δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ , ἡ ΦΩ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Χ , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΦΧ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ , οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ . ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ τῇ ΦΕ , ἡ δὲ ΧΩ τῇ ΦΨ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΕ , οὕτως ἡ ΕΦ πρὸς τὴν ΦΨ . καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΩΦΕ , ΕΦΨ γωνίαι · ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΩ εὐθεῖαν , ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΕΩ γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΨΕΩ , ΦΕΩ τριγώνων . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ , οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ , ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ , ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς τὴν ΧΠ , οὕτως ἡ ΠΧ πρὸς τὴν ΧΩ . καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΠΨ , ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Π γωνία · τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π . καὶ ἐὰν μενούσης τῆς ΨΩ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π καὶ τῶν λοιπῶν σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου , καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ εἰκοσάεδρον . λέγω δή , ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ . τετμήσθω γὰρ ἡ ΦΧ δίχα κατὰ τὸ Α # . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΦΩ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Χ , καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΩΧ , ἡ ἄρα ΩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος τὴν ΧΑ # πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος · πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ # τοῦ ἀπὸ τῆς Α#Χ . καί ἐστι τῆς μὲν ΩΑ # διπλῆ ἡ ΩΨ , τῆς δὲ Α#Χ διπλῆ ἡ ΦΧ · πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ . καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ , πενταπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ . ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ · πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ . καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΦΧ · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΨΩ . καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος · καὶ ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ . τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαίρᾳ περιείληπται τὸ εἰκοσάεδρον . λέγω δή , ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων . ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος , καί ἐστι δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου , ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου · ὥστε καὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ ῥητή ἐστιν . ἐὰν δὲ εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ , ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων . ἡ δὲ τοῦ ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρὰ ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν . ἡ ἄρα τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται , καὶ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰκοσάεδρος συνίστημι καί σφαῖρα περιλαμβάνω , ὅς καί ὁ προλέγω σχῆμα , καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ εἰκοσάεδρος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . ἔκκειμαι ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος ὁ ΑΒ καί τέμνω κατά ὁ Γ ὥστε τετραπλόος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΔΒ , καί ἄγω ἀπό ὁ Γ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός γωνία εὐθύς γραμμή ὁ ΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ , καί ἔκκειμαι κύκλος ὁ ΕΖΗΘΚ , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΔΒ , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΕΖΗΘΚ κύκλος πεντάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ὁ ΕΖΗΘΚ , καί τέμνω ὁ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ , ΚΕ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΜ , ΜΝ , ΝΞ , ΞΟ , ΟΛ , ΕΟ . ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΛΜΝΞΟ πεντάγωνος , καί δεκαγῶνος ὁ ΕΟ εὐθύς . καί ἀναστατόω ἀπό ὁ Ε , Ζ , Η , Θ , Κ σημεῖον ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός γωνία εὐθεῖα ὁ ΕΠ , ΖΡ , ΗΣ , ΘΤ , ΚΥ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗΘΚ κύκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΠΡ , ΡΣ , ΣΤ , ΤΥ , ΥΠ , ΠΛ , ΛΡ , ΡΜ , ΜΣ , ΣΝ , ΝΤ , ΤΞ , ΞΥ , ΥΟ , ΟΠ . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ ΕΠ , ΚΥ ὁ αὐτός ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΕΠ ὁ ΚΥ . εἰμί δέ αὐτός καί ἴσος · ὁ δέ ὁ ἴσος τε καί παράλληλος ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ αὐτός μέρος εὐθεῖα ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . ὁ ΠΥ ἄρα ὁ ΕΚ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . πεντάγωνος δέ ἰσόπλευρος ὁ ΕΚ · πεντάγωνος ἄρα ἰσόπλευρος καί ὁ ΠΥ ὁ εἰς ὁ ΕΖΗΘΚ κύκλος ἐγγράφω . διά ὁ αὐτός δή καί ἕκαστος ὁ ΠΡ , ΡΣ , ΣΤ , ΤΥ πεντάγωνος εἰμί ἰσόπλευρος ὁ εἰς ὁ ΕΖΗΘΚ κύκλος ἐγγράφω · ἰσόπλευρος ἄρα ὁ ΠΡΣΤΥ πεντάγωνος . καί ἐπεί ἑξάγωνος μέν εἰμί ὁ ΠΕ , δεκαγῶνος δέ ὁ ΕΟ , καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΠΕΟ , πεντάγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΠΟ · ὁ γάρ ὁ πεντάγωνος πλευρόν δύναμαι ὁ τε ὁ ἑξάγωνος καί ὁ ὁ δεκάγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΟΥ πεντάγωνος εἰμί πλευρόν . εἰμί δέ καί ὁ ΠΥ πεντάγωνος · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΠΟΥ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ἕκαστος ὁ ΠΛΡ , ΡΜΣ , ΣΝΤ , ΤΞΥ ἰσόπλευρος εἰμί . καί ἐπεί πεντάγωνος δείκνυμι ἑκάτερος ὁ ΠΛ , ΠΟ , εἰμί δέ καί ὁ ΛΟ πεντάγωνος , ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΠΛΟ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ἕκαστος ὁ ΛΡΜ , ΜΣΝ , ΝΤΞ , ΞΥΟ τρίγων ἰσόπλευρος εἰμί . λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗ ΘΚ κύκλος ὁ Φ σημεῖον · καί ἀπό ὁ Φ ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἀνίστημι ὁ ΦΩ , καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ ἕτερος μέρος ὡς ὁ ΦΨ , καί ἀφαιρέω ἑξάγωνος μέν ὁ ΦΧ , δεκάγωνος δέ ἑκάτερος ὁ ΦΨ , ΧΩ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΠΩ , ΠΧ , ΥΩ , ΕΦ , ΛΦ , ΛΨ , ΨΜ . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ ΦΧ , ΠΕ ὁ ὁ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός εἰμί , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΦΧ ὁ ΠΕ . εἰμί δέ καί ἴσος · καί ὁ ΕΦ , ΠΧ ἄρα ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . ἑξάγωνος δέ ὁ ΕΦ · ἑξάγωνος ἄρα καί ὁ ΠΧ . καί ἐπεί ἑξάγωνος μέν εἰμί ὁ ΠΧ , δεκαγῶνος δέ ὁ ΧΩ , καί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΠΧΩ γωνία , πεντάγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΠΩ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΥΩ πεντάγωνος εἰμί , ἐπειδή , ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΦΚ , ΧΥ , ἴσος καί ἀπεναντίον εἰμί , καί εἰμί ὁ ΦΚ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ἑξάγωνος · ἑξάγωνος ἄρα καί ὁ ΧΥ . δεκάγωνος δέ ὁ ΧΩ , καί ὀρθός ὁ ὑπό ΥΧΩ · πεντάγωνος ἄρα ὁ ΥΩ . εἰμί δέ καί ὁ ΠΥ πεντάγωνος · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΠΥΩ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ἕκαστος ὁ λοιπός τρίγων , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΠΡ , ΡΣ , ΣΤ , ΤΥ εὐθεῖα , κορυφή δέ ὁ Ω σημεῖον , ἰσόπλευρος εἰμί . πάλιν , ἐπεί ἑξάγωνος μέν ὁ ΦΛ , δεκαγῶνος δέ ὁ ΦΨ , καί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΛΦΨ γωνία , πεντάγωνος ἄρα εἰμί ὁ ΛΨ . διά ὁ αὐτός δή ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΦ εἰμί ἑξάγωνος , συνάγω καί ὁ ΜΨ πεντάγωνος . εἰμί δέ καί ὁ ΛΜ πεντάγωνος · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΛΜΨ τρίγωνον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ λοιπός τρίγων , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΜΝ , ΝΞ , ΞΟ , ΟΛ , κορυφή δέ ὁ Ψ σημεῖον , ἰσόπλευρος εἰμί . συνίστημι ἄρα εἰκοσάεδρος ὑπό εἴκοσι τρίγων ἰσόπλευρος περιέχω . δέω δή αὐτός καί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ δίδωμι καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ εἰκοσάεδρος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . ἐπεί γάρ ἑξάγωνος εἰμί ὁ ΦΧ , δεκάγωνος δέ ὁ ΧΩ , ὁ ΦΩ ἄρα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Χ , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΦΧ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΩΦ πρός ὁ ΦΧ , οὕτως ὁ ΦΧ πρός ὁ ΧΩ . ἴσος δέ ὁ μέν ΦΧ ὁ ΦΕ , ὁ δέ ΧΩ ὁ ΦΨ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΩΦ πρός ὁ ΦΕ , οὕτως ὁ ΕΦ πρός ὁ ΦΨ . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΩΦΕ , ΕΦΨ γωνία · ἐάν ἄρα ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΩ εὐθεῖα , ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΨΕΩ γωνία διά ὁ ὁμοιότης ὁ ΨΕΩ , ΦΕΩ τρίγων . διά ὁ αὐτός δή ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΩΦ πρός ὁ ΦΧ , οὕτως ὁ ΦΧ πρός ὁ ΧΩ , ἴσος δέ ὁ μέν ΩΦ ὁ ΨΧ , ὁ δέ ΦΧ ὁ ΧΠ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΨΧ πρός ὁ ΧΠ , οὕτως ὁ ΠΧ πρός ὁ ΧΩ . καί διά οὗτος πάλιν ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΠΨ , ὀρθός εἰμί ὁ πρός ὁ Π γωνία · ὁ ἄρα ἐπί ὁ ΨΩ γράφω ἡμικύκλιον ἥκω καί διά ὁ Π . καί ἐάν μένω ὁ ΨΩ περιφέρω ὁ ἡμικύκλιον εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ἥκω καί διά ὁ Π καί ὁ λοιπός σημεῖον ὁ εἰκοσάεδρος , καί εἰμί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ εἰκοσάεδρος . λέγω δή , ὅτι καί ὁ δίδωμι . τέμνω γάρ ὁ ΦΧ δίχα κατά ὁ Α # . καί ἐπεί εὐθύς γραμμή ὁ ΦΩ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Χ , καί ὁ ἐλαχύς αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΩΧ , ὁ ἄρα ΩΧ προσλαμβάνω ὁ ἥμισυς ὁ μέγας τμῆμα ὁ Χα # πενταπλάσιος δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ μέγας τμῆμα · πενταπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΩΑ # ὁ ἀπό ὁ ΧΑΧΑΧΑ . καί εἰμί ὁ μέν ΩΑ # διπλόος ὁ ΩΨ , ὁ δέ ΧΑΧΑΧΑ διπλόος ὁ ΦΧ · πενταπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΩΨ ὁ ἀπό ὁ ΧΦ . καί ἐπεί τετραπλόος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , πενταπλόος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ · πενταπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΔ . δείκνυμι δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΩΨ πενταπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΦΧ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΒ ὁ ΦΧ · ἑκάτερος γάρ αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗΘΚ κύκλος · ἴσος ἄρα καί ὁ ΑΒ ὁ ΨΩ . καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος · καί ὁ ΨΩ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρον . ὁ ἄρα δίδωμι σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ εἰκοσάεδρος . λέγω δή , ὅτι ὁ ὁ εἰκοσάεδρος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . ἐπεί γάρ ῥητός εἰμί ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος , καί εἰμί δύναμις πενταπλασίων ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗΘΚ κύκλος , ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΕΖΗΘΚ κύκλος · ὥστε καί ὁ διάμετρος αὐτός ῥητός εἰμί . ἐάν δέ εἰς κύκλος ῥητός ἔχω ὁ διάμετρος πεντάγωνος ἰσόπλευρος ἐγγράφω , ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . ὁ δέ ὁ ΕΖΗΘΚ πεντάγωνος πλευρόν ὁ ὁ εἰκοσάεδρος εἰμί . ὁ ἄρα ὁ εἰκοσάεδρος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις πενταπλασίων εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ἀπό ὅς ὁ εἰκοσάεδρος ἀναγράφω , καί ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ἑξάγωνος καί δύο ὁ ὁ δεκάγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω . ὅς δέω δείκνυμι .