euclides-geom.elementa 13.prop.9
ἐὰν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων συντεθῶσιν , ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ τῶν εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐγγραφομένων σχημάτων , δεκαγώνου μὲν ἔστω πλευρὰ ἡ ΒΓ , ἑξαγώνου δὲ ἡ ΓΔ , καὶ ἔστωσαν ἐπʼ εὐθείας · λέγω , ὅτι ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ ΒΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΔ . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ , ΕΓ , ΕΔ , καὶ διήχθω ἡ ΒΕ ἐπὶ τὸ Α . ἐπεὶ δεκαγώνου ἰσοπλεύρου πλευρά ἐστιν ἡ ΒΓ , πενταπλασίων ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΓ περιφερείας · τετραπλασίων ἄρα ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΓΒ . ὡς δὲ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΕΒ · τετραπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ εὐθεῖα τῇ ΓΔ · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον · ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ γωνίᾳ · διπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΓΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ . ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ διπλασία ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΑΕΓ · τετραπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΓ . ἐδείχθη δὲ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΓ τετραπλασία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΕΓ . κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων , τοῦ τε ΒΕΓ καὶ τοῦ ΒΕΔ , ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΔ τῇ ὑπὸ ΕΓΒ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ . ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ , οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ . ἴση δὲ ἡ ΕΒ τῇ ΓΔ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ , οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ . μείζων δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΔΓ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΔΓ τῆς ΓΒ . ἡ ΒΔ ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἐστιν ἡ ΔΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρόν καί ὁ ὁ δεκάγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω συντίθημι , ὁ ὅλος εὐθεῖα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρόν . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ὁ εἰς ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐγγράφω σχῆμα , δεκάγωνος μέν εἰμί πλευρόν ὁ ΒΓ , ἑξάγωνος δέ ὁ ΓΔ , καί εἰμί ἐπί εὐθεῖα · λέγω , ὅτι ὁ ὅλος εὐθεῖα ὁ ΒΔ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα εἰμί ὁ ΓΔ . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ε σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ , ΕΓ , ΕΔ , καί διάγω ὁ ΒΕ ἐπί ὁ Α . ἐπεί δεκάγωνος ἰσόπλευρος πλευρόν εἰμί ὁ ΒΓ , πενταπλασίων ἄρα ὁ ΑΓΒ περιφέρεια ὁ ΒΓ περιφέρεια · τετραπλασίων ἄρα ὁ ΑΓ περιφέρεια ὁ ΓΒ . ὡς δέ ὁ ΑΓ περιφέρεια πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ὑπό ΑΕΓ γωνία πρός ὁ ὑπό ΓΕΒ · τετραπλασίων ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΓ ὁ ὑπό ΓΕΒ . καί ἐπεί ἴσος ὁ ὑπό ΕΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΓΒ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΕΓ γωνία διπλάσιος εἰμί ὁ ὑπό ΕΓΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΓ εὐθύς ὁ ΓΔ · ἑκάτερος γάρ αὐτός ἴσος εἰμί ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ ΑΒΓ κύκλος · ἴσος εἰμί καί ὁ ὑπό ΓΕΔ γωνία ὁ ὑπό ΓΔΕ γωνία · διπλάσιος ἄρα ὁ ὑπό ΕΓΒ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΓ . ἀλλά ὁ ὑπό ΕΓΒ διπλάσιος δείκνυμι ὁ ὑπό ΑΕΓ · τετραπλάσιος ἄρα ὁ ὑπό ΑΕΓ ὁ ὑπό ΕΔΓ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΒΕΓ τετραπλάσιος ὁ ὑπό ΑΕΓ · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΕΔΓ ὁ ὑπό ΒΕΓ . κοινός δέ ὁ δύο τρίγων , ὁ τε ΒΕΓ καί ὁ ΒΕΔ , ὁ ὑπό ΕΒΔ γωνία · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΕΔ ὁ ὑπό ΕΓΒ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΕΒΔ τρίγωνον ὁ ΕΒΓ τρίγωνον . ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΓ . ἴσος δέ ὁ ΕΒ ὁ ΓΔ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΓ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΒ . μέγας δέ ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ · μέγας ἄρα καί ὁ ΔΓ ὁ ΓΒ . ὁ ΒΔ ἄρα εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , καί ὁ μέγας τμῆμα αὐτός εἰμί ὁ ΔΓ · ὅς δέω δείκνυμι .