euclides-geom.elementa 8.prop.4
λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις . ἔστωσαν οἱ δοθέντες λόγοι ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὅ τε τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ · δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ . εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Β , Γ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η . καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Β τὸν Η μετρεῖ , τοσαυτάκις καὶ ὁ Α τὸν Θ μετρείτω , ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Η μετρεῖ , τοσαυτάκις καὶ ὁ Δ τὸν Κ μετρείτω . ὁ δὲ Ε τὸν Κ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ . μετρείτω πρότερον . καὶ ὁσάκις ὁ Ε τὸν Κ μετρεῖ , τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Λ μετρείτω . καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Α τὸν Θ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Η , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Κ , καὶ ἔτι ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ · οἱ Θ , Η , Κ , Λ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστοι . εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Θ , Η , Κ , Λ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις , ἔστωσαν οἱ Ν , Ξ , Μ , Ο . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ , οἱ δὲ Α , Β ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα , τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον , ὁ Β ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ξ μετρεῖ · οἱ Β , Γ ἄρα τὸν Ξ μετροῦσιν · καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β , Γ μετρούμενος τὸν Ξ μετρήσει . ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β , Γ μετρεῖται ὁ Η · ὁ Η ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Θ , Η , Κ , Λ ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ . μὴ μετρείτω δὴ ὁ Ε τὸν Κ . καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Ε , Κ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Μ . καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Κ τὸν Μ μετρεῖ , τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ , Η ἑκάτερον τῶν Ν , Ξ μετρείτω , ὁσάκις δὲ ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ , τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Ο μετρείτω . ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Θ τὸν Ν μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Ξ , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ . ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν ξ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Μ . πάλιν , ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Ο , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Ο · οἱ Ν , Ξ , Μ , Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τοῖς τοῦ τε Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις . λέγω δή , ὅτι καὶ ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ λόγοις . εἰ γὰρ μή , ἔσονταί τινες τῶν Ν , Ξ , Μ , Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐν τοῖς ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ λόγοις . ἔστωσαν οἱ Π , Ρ , Σ , Τ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Ρ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β , οἱ δὲ Α , Β ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον , ὁ Β ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ρ μετρεῖ · οἱ Β , Γ ἄρα τὸν Ρ μετροῦσιν . καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β , Γ μετρούμενος τὸν Ρ μετρήσει . ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β , Γ μετρούμενός ἐστιν ὁ Η · ὁ Η ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ . καί ἐστιν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ρ , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Σ · καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ . μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Ε τὸν Σ · οἱ Ε , Κ ἄρα τὸν Σ μετροῦσιν . καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Ε , Κ μετρούμενος τὸν Σ μετρήσει . ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Ε , Κ μετρούμενός ἐστιν ὁ Μ · ὁ Μ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Ν , Ξ , Μ , Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις · οἱ Ν , Ξ , Μ , Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοί εἰσιν ἐν τοῖς ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ λόγοις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: λόγος δίδωμι ὁπόσως ἐν ἐλαχύς ἀριθμός ἀριθμός εὑρίσκω ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς ἐν ὁ δίδωμι λόγος . εἰμί ὁ δίδωμι λόγος ἐν ἐλαχύς ἀριθμός ὁ τε ὁ Α πρός ὁ Β καί ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ καί ἔτι ὁ ὁ Ε πρός ὁ Ζ · δέω δή ἀριθμός εὑρίσκω ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς ἐν τε ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόγος καί ἐν ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ καί ἔτι ἐν ὁ ὁ Ε πρός ὁ Ζ . λαμβάνω γάρ ὁ ὑπό ὁ Β , Γ ἐλαχύς μετρέω ἀριθμός ὁ Η . καί ὁσάκις μέν ὁ Β ὁ Η μετρέω , τοσαυτάκις καί ὁ Α ὁ Θ μετρέω , ὁσάκις δέ ὁ Γ ὁ Η μετρέω , τοσαυτάκις καί ὁ Δ ὁ Κ μετρέω . ὁ δέ Ε ὁ Κ ἤτοι μετρέω ἤ οὐ μετρέω . μετρέω πρότερος . καί ὁσάκις ὁ Ε ὁ Κ μετρέω , τοσαυτάκις καί ὁ Ζ ὁ Λ μετρέω . καί ἐπεί ἰσάκις ὁ Α ὁ Θ μετρέω καί ὁ Β ὁ Η , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Η . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Κ , καί ἔτι ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Λ · ὁ Θ , Η , Κ , Λ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ἐν τε ὁ ὁ Α πρός ὁ Β καί ἐν ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ καί ἔτι ἐν ὁ ὁ Ε πρός ὁ Ζ λόγος . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ Θ , Η , Κ , Λ ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς ἐν τε ὁ ὁ Α πρός ὁ Β καί ὁ Γ πρός ὁ Δ καί ἐν ὁ ὁ Ε πρός ὁ Ζ λόγος , εἰμί ὁ Ν , Ξ , Μ , Ο . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ν πρός ὁ Ξ , ὁ δέ Α , Β ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι , ὁ Β ἄρα ὁ Ξ μετρέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Γ ὁ Ξ μετρέω · ὁ Β , Γ ἄρα ὁ Ξ μετρέω · καί ὁ ἐλαχύς ἄρα ὑπό ὁ Β , Γ μετρέω ὁ Ξ μετρέω . ἐλαχύς δέ ὑπό ὁ Β , Γ μετρέω ὁ Η · ὁ Η ἄρα ὁ Ξ μετρέω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί τις ὁ Θ , Η , Κ , Λ ἐλαχύς ἀριθμός ἑξῆς ἐν τε ὁ ὁ Α πρός ὁ Β καί ὁ ὁ Γ πρός ὁ Δ καί ἔτι ὁ ὁ Ε πρός ὁ Ζ λόγος . μή μετρέω δή ὁ Ε ὁ Κ . καί λαμβάνω ὑπό ὁ Ε , Κ ἐλαχύς μετρέω ἀριθμός ὁ Μ . καί ὁσάκις μέν ὁ Κ ὁ Μ μετρέω , τοσαυτάκις καί ἑκάτερος ὁ Θ , Η ἑκάτερος ὁ Ν , Ξ μετρέω , ὁσάκις δέ ὁ Ε ὁ Μ μετρέω , τοσαυτάκις καί ὁ Ζ ὁ Ο μετρέω . ἐπεί ἰσάκις ὁ Θ ὁ Ν μετρέω καί ὁ Η ὁ Ξ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Θ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Ν πρός ὁ Ξ . ὡς δέ ὁ Θ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ν πρός ὁ ξ . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ , οὕτως ὁ Ξ πρός ὁ Μ . πάλιν , ἐπεί ἰσάκις ὁ Ε ὁ Μ μετρέω καί ὁ Ζ ὁ Ο , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Μ πρός ὁ Ο · ὁ Ν , Ξ , Μ , Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί ἐν ὁ ὁ τε Α πρός ὁ Β καί ὁ Γ πρός ὁ Δ καί ἔτι ὁ Ε πρός ὁ Ζ λόγος . λέγω δή , ὅτι καί ἐλαχύς ἐν ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ λόγος . εἰ γάρ μή , εἰμί τις ὁ Ν , Ξ , Μ , Ο ἐλαχύς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ἐν ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ λόγος . εἰμί ὁ Π , Ρ , Σ , Τ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Π πρός ὁ Ρ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β , ὁ δέ Α , Β ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός ἰσάκις ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι , ὁ Β ἄρα ὁ Ρ μετρέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Γ ὁ Ρ μετρέω · ὁ Β , Γ ἄρα ὁ Ρ μετρέω . καί ὁ ἐλαχύς ἄρα ὑπό ὁ Β , Γ μετρέω ὁ Ρ μετρέω . ἐλαχύς δέ ὑπό ὁ Β , Γ μετρέω εἰμί ὁ Η · ὁ Η ἄρα ὁ Ρ μετρέω . καί εἰμί ὡς ὁ Η πρός ὁ Ρ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Σ · καί ὁ Κ ἄρα ὁ Σ μετρέω . μετρέω δέ καί ὁ Ε ὁ Σ · ὁ Ε , Κ ἄρα ὁ Σ μετρέω . καί ὁ ἐλαχύς ἄρα ὑπό ὁ Ε , Κ μετρέω ὁ Σ μετρέω . ἐλαχύς δέ ὑπό ὁ Ε , Κ μετρέω εἰμί ὁ Μ · ὁ Μ ἄρα ὁ Σ μετρέω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί τις ὁ Ν , Ξ , Μ , Ο ἐλαχύς ἀριθμός ἑξῆς ἀνάλογος ἐν τε ὁ ὁ Α πρός ὁ Β καί ὁ Γ πρός ὁ Δ καί ἔτι ὁ Ε πρός ὁ Ζ λόγος · ὁ Ν , Ξ , Μ , Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογος ἐλαχύς εἰμί ἐν ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ λόγος · ὅς δέω δείκνυμι .