euclides-geom.elementa 13.prop.14
ὀκτάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν , ᾗ καὶ τὰ πρότερα , καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀκταέδρου . Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ , καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν τῇ ΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ , ΕΗ , καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἡ ΚΛ καὶ διήχθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ἐπιπέδου ὡς ἡ ΚΜ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΚΛ , ΚΜ μιᾷ τῶν ΕΚ , ΖΚ , ΗΚ , ΘΚ ἴση ἑκατέρα τῶν ΚΛ , ΚΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΕ , ΛΖ , ΛΗ , ΛΘ , ΜΕ , ΜΖ , ΜΗ , ΜΘ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΚΘ , καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΚΘ γωνία , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΕ , καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΛΚΕ γωνία , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΕΚ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΕ τῇ ΕΘ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΕΘ τρίγωνον . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων , ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πλευραί , κορυφαὶ δὲ τὰ Λ , Μ σημεῖα , ἰσόπλευρόν ἐστιν · ὀκτάεδρον ἄρα συνέσταται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον . δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς . ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς αἱ ΛΚ , ΚΜ , ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΛΜ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε . καὶ διὰ τὰ αὐτά , ἐὰν μενούσης τῆς ΛΜ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ , Η , Θ σημείων , καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ ὀκτάεδρον . λέγω δή , ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΜ , κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ , καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ΛΕ βάσει τῇ ΕΜ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία · ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ , διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ . ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ · διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ . καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ · ἴση γὰρ κεῖται ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ . ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ · ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΜ . καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος · ἡ ΛΜ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ . περιείληπται ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ . καὶ συναποδέδεικται , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὀκτάεδρον συνίστημι καί σφαῖρα περιλαμβάνω , ὅς καί ὁ πρότερος , καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις διπλάσιος εἰμί ὁ πλευρά ὁ ὀκτάεδρον . ἔκκειμαι ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος ὁ ΑΒ , καί τέμνω δίχα κατά ὁ Γ , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΔΒ , καί ἄγω ἀπό ὁ Γ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ , καί ἔκκειμαι τετράγωνος ὁ ΕΖΗΘ ἴσος ἔχω ἕκαστος ὁ πλευρά ὁ ΔΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΖ , ΕΗ , καί ἀνίστημι ἀπό ὁ Κ σημεῖον ὁ ὁ ΕΖΗΘ τετράγωνος ἐπίπεδος πρός ὀρθός εὐθεῖα ὁ ΚΛ καί διάγω ἐπί ὁ ἕτερος μέρος ὁ ἐπίπεδος ὡς ὁ ΚΜ , καί ἀφαιρέω ἀπό ἑκάτερος ὁ ΚΛ , ΚΜ εἷς ὁ ΕΚ , ΖΚ , ΗΚ , ΘΚ ἴσος ἑκάτερος ὁ ΚΛ , ΚΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΕ , ΛΖ , ΛΗ , ΛΘ , ΜΕ , ΜΖ , ΜΗ , ΜΘ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΚΕ ὁ ΚΘ , καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΕΚΘ γωνία , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΘΕ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΚ . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΛΚ ὁ ΚΕ , καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ΛΚΕ γωνία , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΛ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ΕΚ . δείκνυμι δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΘΕ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΕΚ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΛΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΘ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΛΕ ὁ ΕΘ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΛΘ ὁ ΘΕ εἰμί ἴσος · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΛΕΘ τρίγωνον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ἕκαστος ὁ λοιπός τρίγων , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ὁ ΕΖΗΘ τετράγωνος πλευρά , κορυφή δέ ὁ Λ , Μ σημεῖον , ἰσόπλευρος εἰμί · ὀκτάεδρος ἄρα συνίστημι ὑπό ὀκτώ τρίγων ἰσόπλευρος περιέχω . δέω δή αὐτός καί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ δίδωμι καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις διπλασίων εἰμί ὁ ὁ ὀκτάεδρον πλευρά . ἐπεί γάρ ὁ τρεῖς ὁ ΛΚ , ΚΜ , ΚΕ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ὁ ἄρα ἐπί ὁ ΛΜ γράφω ἡμικύκλιον ἥκω καί διά ὁ Ε . καί διά ὁ αὐτός , ἐάν μένω ὁ ΛΜ περιφέρω ὁ ἡμικύκλιον εἰς ὁ αὐτός ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , ἥκω καί διά ὁ Ζ , Η , Θ σημεῖον , καί εἰμί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ ὀκτάεδρον . λέγω δή , ὅτι καί ὁ δίδωμι . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΛΚ ὁ ΚΜ , κοινός δέ ὁ ΚΕ , καί γωνία ὀρθός περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ΛΕ βάσις ὁ ΕΜ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΛΕΜ γωνία · ἐν ἡμικύκλιον γάρ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΛΜ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΕ . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ . ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ · διπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΔ . δείκνυμι δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΛΜ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΛΕ . καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΔΒ ὁ ἀπό ὁ ΛΕ · ἴσος γάρ κεῖμαι ὁ ΕΘ ὁ ΔΒ . ἴσος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΛΜ · ἴσος ἄρα ὁ ΑΒ ὁ ΛΜ . καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος · ὁ ΛΜ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρον . περιλαμβάνω ἄρα ὁ ὀκτάεδρον ὁ δίδωμι σφαῖρα . καί συναποδείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις διπλασίων εἰμί ὁ ὁ ὀκτάεδρον πλευρά · ὅς δέω δείκνυμι .