euclides-geom.elementa 10.prop2.63
τὸ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην . ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ , ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ · λέγω , ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη . Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις . καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , αἱ ΑΓ , ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν , τὸ δὲ ὑπʼ αὐτῶν μέσον . ἐπεὶ οὖν ῥητόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΔΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τουτέστι τὸ ΜΖ , καὶ παρὰ ῥητήν ἐστι τὴν ΜΛ , ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει . αἱ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ . δεικτέον , ὅτι καὶ τετάρτη . ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ , καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ . ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ · ὥστε ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ ἐστιν . ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι , τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παραλληλόγραμμον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ , ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει · ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσιν αἱ ΔΜ , ΜΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ ἡ ΔΜ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ . ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ μέγας παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ἐκ δύο ὄνομα τέταρτος . εἰμί μέγας ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὥστε μέγας εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , ῥητός δέ ὁ ΔΕ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΔΕ παραβάλλω ὁ ΔΖ παραλληλόγραμμος πλάτος ποιέω ὁ ΔΉ · λέγω , ὅτι ὁ ΔΗ ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τέταρτος . κατασκευάζω ὁ αὐτός ὁ προδείκνυμι . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΑΒ διαιρέω κατά ὁ Γ , ὁ ΑΓ , ΓΒ δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ῥητός , ὁ δέ ὑπό αὐτός μέσος . ἐπεί οὖν ῥητός εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΔΛ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΔΜ καί σύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος . πάλιν , ἐπεί μέσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , τουτέστι ὁ ΜΖ , καί παρά ῥητός εἰμί ὁ ΜΛ , ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΗ καί ἀσύμμετρος ὁ ΔΕ μῆκος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ μῆκος . ὁ ΔΜ , ΜΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΔΗ . δείκνυμι , ὅτι καί τέταρτος . ὅμοιος δή δείκνυμι ὁ πρότερος , ὅτι μέγας εἰμί ὁ ΔΜ ὁ ΜΉ , καί ὅτι ὁ ὑπό ΔΚΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΜΝ . ἐπεί οὖν ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΒ , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΘ ὁ ΚΛ · ὥστε ἀσύμμετρος καί ὁ ΔΚ ὁ ΚΜ εἰμί . ἐάν δέ εἰμί δύο εὐθεῖα ἄνισος , ὁ δέ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ἴσος παραλληλόγραμμος παρά ὁ μέγας παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος καί εἰς ἀσύμμετρος αὐτός διαιρέω , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος · ὁ ΔΜ ἄρα ὁ ΜΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ ΔΜ , ΜΗ ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος , καί ὁ ΔΜ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΔΕ . ὁ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί τέταρτος · ὅς δέω δείκνυμι .