ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.elementa 1.def.1
σημεῖόν ἐστιν , οὗ μέρος οὐθέν .
Lemmas: σημεῖον εἰμί , ὅς μέρος οὐδείς .
euclides-geom.elementa 1.def.2
γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές .
Lemmas: γραμμή δέ μῆκος ἀπλατής .
euclides-geom.elementa 1.def.3
γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα .
Lemmas: γραμμή δέ πέρας σημεῖον .
euclides-geom.elementa 1.def.4
εὐθεῖα γραμμή ἐστιν , ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφʼ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται .
Lemmas: εὐθύς γραμμή εἰμί , ὅστις ἐκ ἴσος ὁ ἐπί ἑαυτοῦ σημεῖον κεῖμαι .
euclides-geom.elementa 1.def.5
ἐπιφάνεια δέ ἐστιν , ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει .
Lemmas: ἐπιφάνεια δέ εἰμί , ὅς μῆκος καί πλάτος μόνος ἔχω .
euclides-geom.elementa 1.def.6
ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί .
Lemmas: ἐπιφάνεια δέ πέρας γραμμή .
euclides-geom.elementa 1.def.7
ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν , ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφʼ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται .
Lemmas: ἐπίπεδος ἐπιφάνεια εἰμί , ὅστις ἐκ ἴσος ὁ ἐπί ἑαυτοῦ εὐθεῖα κεῖμαι .
euclides-geom.elementa 1.def.8
ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπʼ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις .
Lemmas: ἐπίπεδος δέ γωνία εἰμί ὁ ἐν ἐπίπεδος δύο γραμμή ἅπτω ἀλλήλων καί μή ἐπί εὐθεῖα κεῖμαι πρός ἀλλήλων ὁ γραμμή κλίσις .
euclides-geom.elementa 1.def.9
ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν , εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία .
Lemmas: ὅταν δέ ὁ περιέχω ὁ γωνία γραμμή εὐθύς εἰμί , εὐθύγραμμος καλέω ὁ γωνία .
euclides-geom.elementa 1.def.10
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ , ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι , καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται , ἐφʼ ἣν ἐφέστηκεν .
Lemmas: ὅταν δέ εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἵστημι ὁ ἐφεξῆς γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , ὀρθός ἑκάτερος ὁ ἴσος γωνία εἰμί , καί ὁ ἐφίστημι εὐθύς κάθετος καλέω , ἐπί ὅς ἐφίστημι .
euclides-geom.elementa 1.def.11
ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς .
Lemmas: ἀμβλύς γωνία εἰμί ὁ μέγας ὀρθός .
euclides-geom.elementa 1.def.12
ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς .
Lemmas: ὀξύς δέ ὁ ἐλαχύς ὀρθός .
euclides-geom.elementa 1.def.13
ὅρος ἐστίν , ὅ τινός ἐστι πέρας .
Lemmas: ὅρος εἰμί , ὅς τις εἰμί πέρας .
euclides-geom.elementa 1.def.14
σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον .
Lemmas: σχῆμα εἰμί ὁ ὑπό τις ἤ τις ὅρος περιέχω .
euclides-geom.elementa 1.def.15
κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον , πρὸς ἣν ἀφʼ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν .
Lemmas: κύκλος εἰμί σχῆμα ἐπίπεδος ὑπό εἷς γραμμή περιέχω , πρός ὅς ἀπό εἷς σημεῖον ὁ ἐντός ὁ σχῆμα κεῖμαι πᾶς ὁ προσπίπτω εὐθεῖα ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
euclides-geom.elementa 1.def.16
κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται .
Lemmas: κέντρον δέ ὁ κύκλος ὁ σημεῖον καλέω .
euclides-geom.elementa 1.def.17
διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας , ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον .
Lemmas: διάμετρος δέ ὁ κύκλος εἰμί εὐθύς τις διά ὁ κέντρον ἄγω καί περατόω ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ὑπό ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια , ὅστις καί δίχα τέμνω ὁ κύκλος .
euclides-geom.elementa 1.def.18
ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῆς περιφερείας . κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό , ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν .
Lemmas: ἡμικύκλιον δέ εἰμί ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό τε ὁ διάμετρος καί ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό αὐτός περιφέρεια . κέντρον δέ ὁ ἡμικύκλιον ὁ αὐτός , ὅς καί ὁ κύκλος εἰμί .
euclides-geom.elementa 1.def.19
σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα , τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν , τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων , πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα .
Lemmas: σχῆμα εὐθύγραμμος εἰμί ὁ ὑπό εὐθεῖα περιέχω , τρίπλευρος μέν ὁ ὑπό τρεῖς , τετράπλευρος δέ ὁ ὑπό τέσσαρες , πολύπλευρος δέ ὁ ὑπό πολύς ἤ τέσσαρες εὐθύς περιέχω .
euclides-geom.elementa 1.def.20
τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς .
Lemmas: ὁ δέ τρίπλευρος σχῆμα ἰσόπλευρος μέν τρίγωνος εἰμί ὁ ὁ τρεῖς ἴσος ἔχω πλευρά , ἰσοσκελής δέ ὁ ὁ δύο μόνος ἴσος ἔχω πλευρά , σκαληνός δέ ὁ ὁ τρεῖς ἄνισος ἔχω πλευρά .
euclides-geom.elementa 1.def.21
ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν , ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν , ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας .
Lemmas: ἔτι δέ ὁ τρίπλευρος σχῆμα ὀρθογώνιον μέν τρίγωνος εἰμί ὁ ἔχω ὀρθός γωνία , ἀμβλυγώνιος δέ ὁ ἔχω ἀμβλύς γωνία , ὀξυγώνιος δέ ὁ ὁ τρεῖς ὀξύς ἔχω γωνία .
euclides-geom.elementa 1.def.22
τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν , ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον , ἑτερόμηκες δέ , ὃ ὀρθογώνιον μέν , οὐκ ἰσόπλευρον δέ , ῥόμβος δέ , ὃ ἰσόπλευρον μέν , οὐκ ὀρθογώνιον δέ , ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον , ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον · τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω .
Lemmas: ὁ δέ τετράπλευρος σχῆμα τετράγωνος μέν εἰμί , ὅς ἰσόπλευρος τε εἰμί καί ὀρθογώνιον , ἑτερομήκης δέ , ὅς ὀρθογώνιον μέν , οὐ ἰσόπλευρος δέ , ῥόμβος δέ , ὅς ἰσόπλευρος μέν , οὐ ὀρθογώνιον δέ , ῥομβοειδής δέ ὁ ὁ ἀπεναντίον πλευρά τε καί γωνία ἴσος ἀλλήλων ἔχω , ὅς οὔτε ἰσόπλευρος εἰμί οὔτε ὀρθογώνιον · ὁ δέ παρά οὗτος τετράπλευρος τραπέζιον καλέω .
euclides-geom.elementa 1.def.23
παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι , αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις .
Lemmas: παράλληλος εἰμί εὐθεῖα , ὅστις ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί καί ἐκβάλλω εἰς ἄπειρος ἐπί ἑκάτερος ὁ μέρος ἐπί μηδέτερος συμπίπτω ἀλλήλων .
euclides-geom.elementa 1.post.1
Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν .
Lemmas: αἰτέω ἀπό πᾶς σημεῖον ἐπί πᾶς σημεῖον εὐθύς γραμμή ἄγω .
euclides-geom.elementa 1.post.2
καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπʼ εὐθείας ἐκβαλεῖν .
Lemmas: καί περαίνω εὐθεῖα κατά ὁ συνεχής ἐπί εὐθεῖα ἐκβάλλω .
euclides-geom.elementa 1.post.3
καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι .
Lemmas: καί πᾶς κέντρον καί διάστημα κύκλος γράφω .
euclides-geom.elementa 1.post.4
καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι .
Lemmas: καί πᾶς ὁ ὀρθός γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
euclides-geom.elementa 1.post.5
καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ , ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπʼ ἄπειρον συμπίπτειν , ἐφʼ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες .
Lemmas: καί ἐάν εἰς δύο εὐθεῖα εὐθύς ἐμπίπτω ὁ ἐντός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος γωνία δύο ὀρθός ἐλαχύς ποιέω , ἐκβάλλω ὁ δύο εὐθεῖα ἐπί ἄπειρος συμπίπτω , ἐπί ὅς μέρος εἰμί ὁ ὁ δύο ὀρθός ἐλαχύς .
euclides-geom.elementa 1.comm_not.1
τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα .
Lemmas: ὁ ὁ αὐτός ἴσος καί ἀλλήλων εἰμί ἴσος .
euclides-geom.elementa 1.comm_not.2
καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ , τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα .
Lemmas: καί ἐάν ἴσος ἴσος προστίθημι , ὁ ὅλος εἰμί ἴσος .
euclides-geom.elementa 1.comm_not.3
καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ , τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα .
Lemmas: καί ἐάν ἀπό ἴσος ἴσος ἀφαιρέω , ὁ καταλείπω εἰμί ἴσος .
euclides-geom.elementa 1.comm_not.7
καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπʼ ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν .
Lemmas: καί ὁ ἐφαρμόζω ἐπί ἀλλήλων ἴσος ἀλλήλων εἰμί .
euclides-geom.elementa 1.comm_not.8
καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον .
Lemmas: καί ὁ ὅλος ὁ μέρος μέγας .
euclides-geom.elementa 1.comm_not.9
καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν .
Lemmas: καί δύο εὐθεῖα χωρίον οὐ περιέχω .
euclides-geom.elementa 1.prop.1
ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι . ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ . δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι . κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ , καὶ πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΕ , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου , καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι , ἐπὶ τὰ Α , Β σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΑ , ΓΒ . καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΒ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ · πάλιν , ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΑΕ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ ἴση · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ , ΓΒ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση . τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα · καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἐστὶν ἴση · αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ , ΑΒ , ΒΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ . · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα περαίνω τρίγωνος ἰσόπλευρος συνίστημι . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθεῖα περαίνω ὁ ΑΒ . δέω δή ἐπί ὁ ΑΒ εὐθεῖα τρίγωνος ἰσόπλευρος συνίστημι . κέντρον μέν ὁ Α διάστημα δέ ὁ ΑΒ κύκλος γράφω ὁ ΒΓΔ , καί πάλιν κέντρον μέν ὁ Β διάστημα δέ ὁ ΒΑ κύκλος γράφω ὁ ΑΓΕ , καί ἀπό ὁ Γ σημεῖον , κατά ὅς τέμνω ἀλλήλων ὁ κύκλος , ἐπί ὁ Α , Β σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ὁ ΓΑ , ΓΒ . καί ἐπεί ὁ Α σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΓΔΒ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ · πάλιν , ἐπεί ὁ Β σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΓΑΕ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΒΑ . δείκνυμι δέ καί ὁ ΓΑ ὁ ΑΒ ἴσος · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΓΑ , ΓΒ ὁ ΑΒ εἰμί ἴσος . ὁ δέ ὁ αὐτός ἴσος καί ἀλλήλων εἰμί ἴσος · καί ὁ ΓΑ ἄρα ὁ ΓΒ εἰμί ἴσος · ὁ τρεῖς ἄρα ὁ ΓΑ , ΑΒ , ΒΓ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , καί συνίστημι ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα περαίνω ὁ ΑΒ . · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.2
πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι . ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α , ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ · δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι . ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ , καὶ συνεστάτω ἐπʼ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΔΑ , ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ , ΒΖ , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ , καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ . ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ . πάλιν , ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ , ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν . λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ , ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση . τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα · καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση . πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: πρός ὁ δίδωμι σημεῖον ὁ δίδωμι εὐθύς ἴσος εὐθεῖα τίθημι . εἰμί ὁ μέν δίδωμι σημεῖον ὁ Α , ὁ δέ δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΒΓ · δέω δή πρός ὁ Α σημεῖον ὁ δίδωμι εὔθεια ὁ ΒΓ ἴσος εὐθεῖα τίθημι . ἐπιζεύγνυμι γάρ ἀπό ὁ Α σημεῖον ἐπί ὁ Β σημεῖον εὐθύς ὁ ΑΒ , καί συνίστημι ἐπί αὐτός τρίγωνον ἰσόπλευρος ὁ ΔΑΒ , καί ἐκβάλλω ἐπί εὐθεῖα ὁ ΔΑ , ΔΒ εὐθεῖα ὁ ΑΕ , ΒΖ , καί κέντρον μέν ὁ Β διάστημα δέ ὁ ΒΓ κύκλος γράφω ὁ ΓΗΘ , καί πάλιν κέντρον ὁ Δ καί διάστημα ὁ ΔΗ κύκλος γράφω ὁ ΗΚΛ . ἐπεί οὖν ὁ Β σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΓΗΘ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΒΗ . πάλιν , ἐπεί ὁ Δ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΚΛΗ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΔΛ ὁ ΔΉ , ὅς ὁ ΔΑ ὁ ΔΒ ἴσος εἰμί . λοιπός ἄρα ὁ ΑΛ λοιπός ὁ ΒΗ εἰμί ἴσος . δείκνυμι δέ καί ὁ ΒΓ ὁ ΒΗ ἴσος · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΛ , ΒΓ ὁ ΒΗ εἰμί ἴσος . ὁ δέ ὁ αὐτός ἴσος καί ἀλλήλων εἰμί ἴσος · καί ὁ ΑΛ ἄρα ὁ ΒΓ εἰμί ἴσος . πρός ἄρα ὁ δίδωμι σημεῖον ὁ Α ὁ δίδωμι εὔθεια ὁ ΒΓ ἴσος εὐθύς κεῖμαι ὁ ΑΛ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.3
δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ , Γ , ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ · δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν . κείσθω πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΑΔ · καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΕΖ . καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΔ · ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση . ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕ , Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση . δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ , Γ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴση ἀφῄρηται ἡ ΑΕ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: δύο δίδωμι εὐθεῖα ἄνισος ἀπό ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς ἴσος εὐθεῖα ἀφαιρέω . εἰμί ὁ δίδωμι δύο εὐθεῖα ἄνισος ὁ ΑΒ , Γ , ὅς μέγας εἰμί ὁ ΑΒ · δέω δή ἀπό ὁ μέγας ὁ ΑΒ ὁ ἐλαχύς ὁ Γ ἴσος εὐθεῖα ἀφαιρέω . κεῖμαι πρός ὁ Α σημεῖον ὁ Γ εὐθύς ἴσος ὁ ΑΔ · καί κέντρον μέν ὁ Α διάστημα δέ ὁ ΑΔ κύκλος γράφω ὁ ΔΕΖ . καί ἐπεί ὁ Α σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΔΕΖ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΑΔ · ἀλλά καί ὁ Γ ὁ ΑΔ εἰμί ἴσος . ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΕ , Γ ὁ ΑΔ εἰμί ἴσος · ὥστε καί ὁ ΑΕ ὁ Γ εἰμί ἴσος . δύο ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ἄνισος ὁ ΑΒ , Γ ἀπό ὁ μέγας ὁ ΑΒ ὁ ἐλαχύς ὁ Γ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΑΕ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.6
ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν , καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ · λέγω , ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση . εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ , ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ΑΒ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ , δύο δὴ αἱ ΔΒ , ΒΓ δύο ταῖς ΑΓ , ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , τὸ ἔλασσον τῷ μείζονι · ὅπερ ἄτοπον · οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ · ἴση ἄρα . ἐὰν ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν , καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρίγωνον ὁ δύο γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία ὑποτείνω πλευρά ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΑΓΒ γωνία · λέγω , ὅτι καί πλευρόν ὁ ΑΒ πλευρά ὁ ΑΓ εἰμί ἴσος . εἰ γάρ ἄνισος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ , ὁ ἕτερος αὐτός μέγας εἰμί . εἰμί μέγας ὁ ΑΒ , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ μέγας ὁ ΑΒ ὁ ἐλαχύς ὁ ΑΓ ἴσος ὁ ΔΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΓ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΔΒ ὁ ΑΓ κοινός δέ ὁ ΒΓ , δύο δή ὁ ΔΒ , ΒΓ δύο ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , καί γωνία ὁ ὑπό ΔΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΑΓΒ εἰμί ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΔΓ βάσις ὁ ΑΒ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΔΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΓΒ τρίγωνον ἴσος εἰμί , ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς ἄτοπος · οὐ ἄρα ἄνισος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΑΓ · ἴσος ἄρα . ἐάν ἄρα τρίγωνον ὁ δύο γωνία ἴσος ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ ὑπό ὁ ἴσος γωνία ὑποτείνω πλευρά ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.7
ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ οὐ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις . εἰ γὰρ δυνατόν , ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς ΑΓ , ΓΒ ἄλλαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ , ΔΒ ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συνεστάτωσαν πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ τε Γ καὶ Δ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι , ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΑ τῇ ΔΑ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Α , τὴν δὲ ΓΒ τῇ ΔΒ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Β , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΔ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ · μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ · πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΔΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ . πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΔΒ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ . ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα δύο ὁ αὐτός εὐθεῖα ἄλλος δύο εὐθεῖα ἴσος ἑκάτερος ἑκάτερος οὐ συνίστημι πρός ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ αὐτός πέρας ἔχω ὁ ἐκ ἀρχή εὐθεῖα . εἰ γάρ δυνατός , ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα ὁ ΑΒ δύο ὁ αὐτός εὐθεῖα ὁ ΑΓ , ΓΒ ἄλλος δύο εὐθεῖα ὁ ΑΔ , ΔΒ ἴσος ἑκάτερος ἑκάτερος συστατόω πρός ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον ὁ τε Γ καί Δ ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ αὐτός πέρας ἔχω , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ μέν ΓΑ ὁ ΔΑ ὁ αὐτός πέρας ἔχω αὐτός ὁ Α , ὁ δέ ΓΒ ὁ ΔΒ ὁ αὐτός πέρας ἔχω αὐτός ὁ Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΔ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΔ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΑΓΔ ὁ ὑπό ΑΔΓ · μέγας ἄρα ὁ ὑπό ΑΔΓ ὁ ὑπό ΔΓΒ · πολύς ἄρα ὁ ὑπό ΓΔΒ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΔΓΒ . πάλιν ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΒ ὁ ΔΒ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΓΔΒ γωνία ὁ ὑπό ΔΓΒ . δείκνυμι δέ αὐτός καί πολύς μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα δύο ὁ αὐτός εὐθεῖα ἄλλος δύο εὐθεῖα ἴσος ἑκάτερος ἑκάτερος συνίστημι πρός ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ αὐτός πέρας ἔχω ὁ ἐκ ἀρχή εὐθεῖα · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.8
ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρα , ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην , καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ , ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ , ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ , τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ · ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴσην · λέγω , ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση . Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ · ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ , ΓΑ ἐπὶ τὰς ΕΔ , ΔΖ . εἰ γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει , αἱ δὲ ΒΑ , ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ , ΔΖ οὐκ ἐφαρμόσουσιν ἀλλὰ παραλλάξουσιν ὡς αἱ ΕΗ , ΗΖ , συσταθήσονται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι . οὐ συνίστανται δέ · οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ΕΖ βάσιν οὐκ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ , ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ , ΔΖ . ἐφαρμόσουσιν ἄρα · ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΔΖ ἐφαρμόσει καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται . ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἔχῃ , καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ δύο πλευρά δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ἔχω δέ καί ὁ βάσις ὁ βάσις ἴσος , καί ὁ γωνία ὁ γωνία ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθύς περιέχω . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ὁ δύο πλευρά ὁ ΑΒ , ΑΓ ὁ δύο πλευρά ὁ ΔΕ , ΔΖ ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ ὁ δέ ΑΓ ὁ ΔΖ · ἔχω δέ καί βάσις ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΕΖ ἴσος · λέγω , ὅτι καί γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ εἰμί ἴσος . ἐφαρμόζω γάρ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπί ὁ ΔΕΖ τρίγωνον καί τίθημι ὁ μέν Β σημεῖον ἐπί ὁ Ε σημεῖον ὁ δέ ΒΓ εὐθεῖα ἐπί ὁ ΕΖ ἐφαρμόζω καί ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ Ζ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ · ἐφαρμόζω δή ὁ ΒΓ ἐπί ὁ ΕΖ ἐφαρμόζω καί ὁ ΒΑ , ΓΑ ἐπί ὁ ΕΔ , ΔΖ . εἰ γάρ βάσις μέν ὁ ΒΓ ἐπί βάσις ὁ ΕΖ ἐφαρμόζω , ὁ δέ ΒΑ , ΑΓ πλευρά ἐπί ὁ ΕΔ , ΔΖ οὐ ἐφαρμόζω ἀλλά παραλήγω ὡς ὁ ΕΗ , ΗΖ , συνίστημι ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα δύο ὁ αὐτός εὐθεῖα ἄλλος δύο εὐθεῖα ἴσος ἑκάτερος ἑκάτερος πρός ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ αὐτός πέρας ἔχω . οὐ συνίστημι δέ · οὐ ἄρα ἐφαρμόζω ὁ ΒΓ βάσις ἐπί ὁ ΕΖ βάσις οὐ ἐφαρμόζω καί ὁ ΒΑ , ΑΓ πλευρά ἐπί ὁ ΕΔ , ΔΖ . ἐφαρμόζω ἄρα · ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΒΑΓ ἐπί γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ ἐφαρμόζω καί ἴσος αὐτός εἰμί . ἐάν ἄρα δύο τρίγωνος ὁ δύο πλευρά δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκάτερος καί ὁ βάσις ὁ βάσις ἴσος ἔχω , καί ὁ γωνία ὁ γωνία ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθεῖα περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.9
τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν . ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ . δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν . εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ , καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ · λέγω , ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ , δύο δὴ αἱ ΔΑ , ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ , ΑΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ . καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν . ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος δίχα τέμνω . εἰμί ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ ὑπό ΒΑΓ . δέω δή αὐτός δίχα τέμνω . λαμβάνω ἐπί ὁ ΑΒ τυγχάνω σημεῖον ὁ Δ , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ΑΔ ἴσος ὁ ΑΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ , καί συνίστημι ἐπί ὁ ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρος ὁ ΔΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΑΖ εὐθεῖα . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΑΕ , κοινός δέ ὁ ΑΖ , δύο δή ὁ ΔΑ , ΑΖ δύο ὁ ΕΑ , ΑΖ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος . καί βάσις ὁ ΔΖ βάσις ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΔΑΖ γωνία ὁ ὑπό ΕΑΖ ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ ὑπό ΒΑΓ δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΑΖ εὐθεῖα · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.10
τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν . ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ · δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν . συνεστάτω ἐπʼ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ , καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία δίχα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ , κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ , δύο δὴ αἱ ΑΓ , ΓΔ δύο ταῖς ΒΓ , ΓΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίν · βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν . ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθεῖα περαίνω δίχα τέμνω . εἰμί ὁ δίδωμι εὐθεῖα περαίνω ὁ ΑΒ · δέω δή ὁ ΑΒ εὐθεῖα περαίνω δίχα τέμνω . συνίστημι ἐπί αὐτός τρίγωνον ἰσόπλευρος ὁ ΑΒΓ , καί τέμνω ὁ ὑπό ΑΓΒ γωνία δίχα ὁ ΓΔ εὔθεια · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ εὐθύς δίχα τέμνω κατά ὁ Δ σημεῖον . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , κοινός δέ ὁ ΓΔ , δύο δή ὁ ΑΓ , ΓΔ δύο ὁ ΒΓ , ΓΔ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΓΔ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΔ ἴσος εἰμί · βάσις ἄρα ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΒΔ ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα δίδωμι εὐθεῖα περαίνω ὁ ΑΒ δίχα τέμνω κατά ὁ Δ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.11
τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς τὸ Γ · δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ , καὶ κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΓΕ , καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΖΔΕ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ · λέγω , ὅτι τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΓ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ , δύο δὴ αἱ ΔΓ , ΓΖ δυσὶ ταῖς ΕΓ , ΓΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΕ ἴση ἐστίν · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ ἴση ἐστίν · καί εἰσιν ἐφεξῆς . ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ , ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΓΖ , ΖΓΕ . τῇ ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΓΖ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὔθεια ἀπό ὁ πρός αὐτός δίδωμι σημεῖον πρός ὀρθός γωνία εὐθύς γραμμή ἄγω . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ ὁ δέ δίδωμι σημεῖον ἐπί αὐτός ὁ Γ · δέω δή ἀπό ὁ Γ σημεῖον ὁ ΑΒ εὐθύς πρός ὀρθός γωνία εὐθύς γραμμή ἄγω . λαμβάνω ἐπί ὁ ΑΓ τυγχάνω σημεῖον ὁ Δ , καί κεῖμαι ὁ ΓΔ ἴσος ὁ ΓΕ , καί συνίστημι ἐπί ὁ ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρος ὁ ΖΔΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ · λέγω , ὅτι ὁ δίδωμι εὔθεια ὁ ΑΒ ἀπό ὁ πρός αὐτός δίδωμι σημεῖον ὁ Γ πρός ὀρθός γωνία εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΖΓ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΔΓ ὁ ΓΕ , κοινός δέ ὁ ΓΖ , δύο δή ὁ ΔΓ , ΓΖ δύο ὁ ΕΓ , ΓΖ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί βάσις ὁ ΔΖ βάσις ὁ ΖΕ ἴσος εἰμί · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΔΓΖ γωνία ὁ ὑπό ΕΓΖ ἴσος εἰμί · καί εἰμί ἐφεξῆς . ὅταν δέ εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἵστημι ὁ ἐφεξῆς γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , ὀρθός ἑκάτερος ὁ ἴσος γωνία εἰμί · ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΔΓΖ , ΖΓΕ . ὁ ἄρα δίδωμι εὔθεια ὁ ΑΒ ἀπό ὁ πρός αὐτός δίδωμι σημεῖον ὁ Γ πρός ὀρθός γωνία εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΓΖ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.12
ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου , ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς , κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον , ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς , τὸ Γ · δεῖ δὴ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ , ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς , κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ Δ , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ , καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατὰ τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ , ΓΘ , ΓΕ εὐθεῖαι · λέγω , ὅτι ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ , ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς , κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ , δύο δὴ αἱ ΗΘ , ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ , ΘΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ βάσις ἡ ΓΗ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση . καί εἰσιν ἐφεξῆς . ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ , ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν , καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται ἐφʼ ἣν ἐφέστηκεν . ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ , ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς , κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα ἄπειρος ἀπό ὁ δίδωμι σημεῖον , ὅς μή εἰμί ἐπί αὐτός , κάθετος εὐθύς γραμμή ἄγω . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ἄπειρος ὁ ΑΒ ὁ δέ δίδωμι σημεῖον , ὅς μή εἰμί ἐπί αὐτός , ὁ Γ · δέω δή ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα ἄπειρος ὁ ΑΒ ἀπό ὁ δίδωμι σημεῖον ὁ Γ , ὅς μή εἰμί ἐπί αὐτός , κάθετος εὐθύς γραμμή ἄγω . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ἕτερος μέρος ὁ ΑΒ εὐθεῖα τυγχάνω σημεῖον ὁ Δ , καί κέντρον μέν ὁ Γ διάστημα δέ ὁ ΓΔ κύκλος γράφω ὁ ΕΖΗ , καί τέμνω ὁ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατά ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΗ , ΓΘ , ΓΕ εὐθεῖα · λέγω , ὅτι ἐπί ὁ δίδωμι εὐθεῖα ἄπειρος ὁ ΑΒ ἀπό ὁ δίδωμι σημεῖον ὁ Γ , ὅς μή εἰμί ἐπί αὐτός , κάθετος ἄγω ὁ ΓΘ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΘΕ , κοινός δέ ὁ ΘΓ , δύο δή ὁ ΗΘ , ΘΓ δύο ὁ ΕΘ , ΘΓ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί βάσις ὁ ΓΗ βάσις ὁ ΓΕ εἰμί ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΓΘΗ γωνία ὁ ὑπό ΕΘΓ εἰμί ἴσος . καί εἰμί ἐφεξῆς . ὅταν δέ εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἵστημι ὁ ἐφεξῆς γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω , ὀρθός ἑκάτερος ὁ ἴσος γωνία εἰμί , καί ὁ ἐφίστημι εὐθύς κάθετος καλέω ἐπί ὅς ἐφίστημι . ἐπί ὁ δίδωμι ἄρα εὐθεῖα ἄπειρος ὁ ΑΒ ἀπό ὁ δίδωμι σημεῖον ὁ Γ , ὅς μή εἰμί ἐπί αὐτός , κάθετος ἄγω ὁ ΓΘ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.13
ἐὰν εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ , ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ σταθεῖσα γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΔ · λέγω , ὅτι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΔ γωνίαι ἤτοι δύο ὀρθαί εἰσιν ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι . εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ , δύο ὀρθαί εἰσιν . εἰ δὲ οὔ , ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ , ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν · καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΕ ἴση ἐστίν , κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΕΒΔ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ , ΕΒΔ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΕ , ΕΒΔ ἴσαι εἰσίν . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ , ΕΒΑ ἴση ἐστίν , κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΑ , ΑΒΓ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ , ΕΒΑ , ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν . ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ , ΕΒΔ τρισὶ ταῖς αὐταῖς ἴσαι · τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα · καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ , ΕΒΔ ἄρα ταῖς ὑπὸ ΔΒΑ , ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν · ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ , ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν · καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΑ , ΑΒΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ , ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἵστημι γωνία ποιέω , ἤτοι δύο ὀρθός ἤ δύο ὀρθός ἴσος ποιέω . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΓΔ ἵστημι γωνία ποιέω ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΔ γωνία ἤτοι δύο ὀρθός εἰμί ἤ δύο ὀρθός ἴσος . εἰ μέν οὖν ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΒΑ ὁ ὑπό ΑΒΔ , δύο ὀρθός εἰμί . εἰ δέ οὐ , ἄγω ἀπό ὁ Β σημεῖον ὁ ΓΔ πρός ὀρθός ὁ ΒΕ · ὁ ἄρα ὑπό ΓΒΕ , ΕΒΔ δύο ὀρθός εἰμί · καί ἐπεί ὁ ὑπό ΓΒΕ δύο ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΕ ἴσος εἰμί , κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΕΒΔ · ὁ ἄρα ὑπό ΓΒΕ , ΕΒΔ τρεῖς ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΕ , ΕΒΔ ἴσος εἰμί . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ΔΒΑ δύο ὁ ὑπό ΔΒΕ , ΕΒΑ ἴσος εἰμί , κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΑΒΓ · ὁ ἄρα ὑπό ΔΒΑ , ΑΒΓ τρεῖς ὁ ὑπό ΔΒΕ , ΕΒΑ , ΑΒΓ ἴσος εἰμί . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΓΒΕ , ΕΒΔ τρεῖς ὁ αὐτός ἴσος · ὁ δέ ὁ αὐτός ἴσος καί ἀλλήλων εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ΓΒΕ , ΕΒΔ ἄρα ὁ ὑπό ΔΒΑ , ΑΒΓ ἴσος εἰμί · ἀλλά ὁ ὑπό ΓΒΕ , ΕΒΔ δύο ὀρθός εἰμί · καί ὁ ὑπό ΔΒΑ , ΑΒΓ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ἐάν ἄρα εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ἵστημι γωνία ποιέω , ἤτοι δύο ὀρθός ἤ δύο ὀρθός ἴσος ποιέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.14
ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν , ἐπʼ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι . πρὸς γάρ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ , ΒΔ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιείτωσαν · λέγω , ὅτι ἐπʼ εὐθείας ἐστὶ τῇ ΓΒ ἡ ΒΔ . εἰ γὰρ μή ἐστι τῇ ΒΓ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ , ἔστω τῇ ΓΒ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΕ . ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΒΕ ἐφέστηκεν , αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΒΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ , ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΕ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ , ΑΒΔ ἴσαι εἰσίν . κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΓΒΑ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση , ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἐπʼ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΒ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΒΔ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ . ἐὰν ἄρα πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν , ἐπʼ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πρός τις εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον δύο εὐθεῖα μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος κεῖμαι ὁ ἐφεξῆς γωνία δύο ὀρθός ἴσος ποιέω , ἐπί εὐθεῖα εἰμί ἀλλήλων ὁ εὐθεῖα . πρός γάρ τις εὔθεια ὁ ΑΒ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Β δύο εὐθεῖα ὁ ΒΓ , ΒΔ μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος κεῖμαι ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΑΒΔ δύο ὀρθός ἴσος ποιέω · λέγω , ὅτι ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΓΒ ὁ ΒΔ . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ ΒΓ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΒΔ , εἰμί ὁ ΓΒ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΒΕ . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΑΒ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΓΒΕ ἐφίστημι , ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΓ , ΑΒΕ γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΑΒΔ δύο ὀρθός ἴσος · ὁ ἄρα ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΕ ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΑΒΔ ἴσος εἰμί . κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΓΒΑ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΕ λοιπός ὁ ὑπό ΑΒΔ εἰμί ἴσος , ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΓΒ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἄλλος τις πλήν ὁ ΒΔ · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ ΓΒ ὁ ΒΔ . ἐάν ἄρα πρός τις εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον δύο εὐθεῖα μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος κεῖμαι ὁ ἐφεξῆς γωνία δύο ὀρθός ἴσος ποιέω , ἐπί εὐθεῖα εἰμί ἀλλήλων ὁ εὐθεῖα · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.15
ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας , τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον · λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ . ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΓΕΑ , ΑΕΔ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ , ΑΕΔ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . πάλιν , ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΔΕ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑΕΔ , ΔΕΒ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ , ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΑ , ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ , ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΑΕΔ , ΔΕΒ ἴσαι εἰσίν . κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΕΔ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν · ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΒ , ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν . ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας , τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων , ὁ κατά κορυφή γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω . δύο γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε σημεῖον · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ μέν ὑπό ΑΕΓ γωνία ὁ ὑπό ΔΕΒ , ὁ δέ ὑπό ΓΕΒ ὁ ὑπό ΑΕΔ . ἐπεί γάρ εὐθύς ὁ ΑΕ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΓΔ ἐφίστημι γωνία ποιέω ὁ ὑπό ΓΕΑ , ΑΕΔ , ὁ ἄρα ὑπό ΓΕΑ , ΑΕΔ γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . πάλιν , ἐπεί εὐθύς ὁ ΔΕ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΑΒ ἐφίστημι γωνία ποιέω ὁ ὑπό ΑΕΔ , ΔΕΒ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΕΔ , ΔΕΒ γωνία δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΓΕΑ , ΑΕΔ δύο ὀρθός ἴσος · ὁ ἄρα ὑπό ΓΕΑ , ΑΕΔ ὁ ὑπό ΑΕΔ , ΔΕΒ ἴσος εἰμί . κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΑΕΔ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΓΕΑ λοιπός ὁ ὑπό ΒΕΔ ἴσος εἰμί · ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΓΕΒ , ΔΕΑ ἴσος εἰμί . ἐάν ἄρα δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων , ὁ κατά κορυφή γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.16
παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ · λέγω , ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΓΒΑ , ΒΑΓ γωνιῶν . τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΕ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ , καὶ διήχθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Η . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ , δύο δὴ αἱ ΑΕ , ΕΒ δυσὶ ταῖς ΓΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΓ ἴση ἐστίν · κατὰ κορυφὴν γάρ · βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΕΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ . μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ · μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ . ὁμοίως δὴ τῆς ΒΓ τετμημένης δίχα δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ , μείζων καὶ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ . παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς τρίγωνον εἷς ὁ πλευρά προσεκβάλλω ὁ ἐκτός γωνία ἑκάτερος ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον γωνία μέγας εἰμί . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , καί προσεκβάλλω αὐτός εἷς πλευρόν ὁ ΒΓ ἐπί ὁ Δ · λέγω , ὅτι ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΑΓΔ μέγας εἰμί ἑκάτερος ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΓΒΑ , ΒΑΓ γωνία . τέμνω ὁ ΑΓ δίχα κατά ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΕ ἐκβάλλω ἐπί εὐθεῖα ἐπί ὁ Ζ , καί κεῖμαι ὁ ΒΕ ἴσος ὁ ΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΓ , καί διάγω ὁ ΑΓ ἐπί ὁ Η . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΕ ὁ ΕΓ , ὁ δέ ΒΕ ὁ ΕΖ , δύο δή ὁ ΑΕ , ΕΒ δύο ὁ ΓΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΕΒ γωνία ὁ ὑπό ΖΕΓ ἴσος εἰμί · κατά κορυφή γάρ · βάσις ἄρα ὁ ΑΒ βάσις ὁ ΖΓ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ὁ ΖΕΓ τρίγωνον εἰμί ἴσος , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΕ ὁ ὑπό ΕΓΖ . μέγας δέ εἰμί ὁ ὑπό ΕΓΔ ὁ ὑπό ΕΓΖ · μέγας ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΔ ὁ ὑπό ΒΑΕ . ὅμοιος δή ὁ ΒΓ τέμνω δίχα δείκνυμι καί ὁ ὑπό ΒΓΗ , τουτέστι ὁ ὑπό ΑΓΔ , μέγας καί ὁ ὑπό ΑΒΓ . πᾶς ἄρα τρίγωνον εἷς ὁ πλευρά προσεκβάλλω ὁ ἐκτός γωνία ἑκάτερος ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον γωνία μέγας εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.17
παντὸς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ · λέγω , ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ . καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ , μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΑΒΓ . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ , ΑΓΒ τῶν ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΑ μείζονές εἰσιν . ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ , ΑΓΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ , ΒΓΑ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ , ΑΓΒ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ , ΑΒΓ . παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς τρίγωνον ὁ δύο γωνία δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ δύο γωνία δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω . ἐκβάλλω γάρ ὁ ΒΓ ἐπί ὁ Δ . καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ἐκτός εἰμί γωνία ὁ ὑπό ΑΓΔ , μέγας εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΑΒΓ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΑΓΒ · ὁ ἄρα ὑπό ΑΓΔ , ΑΓΒ ὁ ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΑ μέγας εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΓΔ , ΑΓΒ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ὁ ἄρα ὑπό ΑΒΓ , ΒΓΑ δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΑΓΒ δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί καί ἔτι ὁ ὑπό ΓΑΒ , ΑΒΓ . πᾶς ἄρα τρίγωνον ὁ δύο γωνία δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.18
παντὸς τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει . ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΓ πλευρὰν τῆς ΑΒ · λέγω , ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ . ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ , κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ . καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΔ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΒ , μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΔΓΒ · ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ , ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση · μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ · πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ . παντὸς ἄρα τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς τρίγωνον ὁ μέγας πλευρόν ὁ μέγας γωνία ὑποτείνω . εἰμί γάρ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ μέγας ἔχω ὁ ΑΓ πλευρά ὁ ΑΒ · λέγω , ὅτι καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΒΓΑ . ἐπεί γάρ μέγας εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ , κεῖμαι ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΑΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ . καί ἐπεί τρίγωνον ὁ ΒΓΔ ἐκτός εἰμί γωνία ὁ ὑπό ΑΔΒ , μέγας εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΔΓΒ · ἴσος δέ ὁ ὑπό ΑΔΒ ὁ ὑπό ΑΒΔ , ἐπεί καί πλευρόν ὁ ΑΒ ὁ ΑΔ εἰμί ἴσος · μέγας ἄρα καί ὁ ὑπό ΑΒΔ ὁ ὑπό ΑΓΒ · πολύς ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΓ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΑΓΒ . πᾶς ἄρα τρίγωνον ὁ μέγας πλευρόν ὁ μέγας γωνία ὑποτείνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.19
παντὸς τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΓΑ · λέγω , ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΓ πλευρᾶς τῆς ΑΒ μείζων ἐστίν . εἰ γὰρ μή , ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ ἢ ἐλάσσων · ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ · ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ · οὐκ ἔστι δέ · οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ . οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ · ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ · οὐκ ἔστι δέ · οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ ἴση ἐστίν . μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ . παντὸς ἄρα τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς τρίγωνον ὑπό ὁ μέγας γωνία ὁ μέγας πλευρόν ὑποτείνω . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ μέγας ἔχω ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΑ · λέγω , ὅτι καί πλευρόν ὁ ΑΓ πλευρά ὁ ΑΒ μέγας εἰμί . εἰ γάρ μή , ἤτοι ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ ἤ ἐλαχύς · ἴσος μέν οὖν οὐ εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ · ἴσος γάρ ἄν εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΑΓΒ · οὐ εἰμί δέ · οὐ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ . οὐδέ μήν ἐλαχύς εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ · ἐλαχύς γάρ ἄν εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ ὁ ὑπό ΑΓΒ · οὐ εἰμί δέ · οὐ ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ ἴσος εἰμί . μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ . πᾶς ἄρα τρίγωνον ὑπό ὁ μέγας γωνία ὁ μέγας πλευρόν ὑποτείνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.20
παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι . ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ · λέγω , ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , αἱ μὲν ΒΑ , ΑΓ τῆς ΒΓ , αἱ δὲ ΑΒ , ΒΓ τῆς ΑΓ , αἱ δὲ ΒΓ , ΓΑ τῆς ΑΒ . διήχθω γὰρ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον , καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ · μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ τῆς ὑπὸ ΑΔΓ · καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΔΓΒ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΔΓ , ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει , ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΓ ἐστι μείζων . ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ · μείζονες ἄρα αἱ ΒΑ , ΑΓ τῆς ΒΓ · ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΒ , ΒΓ τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν , αἱ δὲ ΒΓ , ΓΑ τῆς ΑΒ . παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς τρίγωνον ὁ δύο πλευρά ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω . εἰμί γάρ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ δύο πλευρά ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω , ὁ μέν ΒΑ , ΑΓ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΑΒ , ΒΓ ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΒΓ , ΓΑ ὁ ΑΒ . διάγω γάρ ὁ ΒΑ ἐπί ὁ Δ σημεῖον , καί κεῖμαι ὁ ΓΑ ἴσος ὁ ΑΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΓ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΑΔΓ ὁ ὑπό ΑΓΔ · μέγας ἄρα ὁ ὑπό ΒΓΔ ὁ ὑπό ΑΔΓ · καί ἐπεί τρίγωνον εἰμί ὁ ΔΓΒ μέγας ἔχω ὁ ὑπό ΒΓΔ γωνία ὁ ὑπό ΒΔΓ , ὑπό δέ ὁ μέγας γωνία ὁ μέγας πλευρόν ὑποτείνω , ὁ ΔΒ ἄρα ὁ ΒΓ εἰμί μέγας . ἴσος δέ ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ · μέγας ἄρα ὁ ΒΑ , ΑΓ ὁ ΒΓ · ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ μέν ΑΒ , ΒΓ ὁ ΓΑ μέγας εἰμί , ὁ δέ ΒΓ , ΓΑ ὁ ΑΒ . πᾶς ἄρα τρίγωνον ὁ δύο πλευρά ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.21
ἐὰν τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν , αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μὲν ἔσονται , μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσιν . τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΒΓ ἀπὸ τῶν περάτων τῶν Β , Γ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάτωσαν αἱ ΒΔ , ΔΓ · λέγω , ὅτι αἱ ΒΔ , ΔΓ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τῶν ΒΑ , ΑΓ ἐλάσσονες μέν εἰσιν , μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΒΔΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ . διήχθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε . καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν , τοῦ ΑΒΕ ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΑΒ , ΑΕ τῆς ΒΕ μείζονές εἰσιν · κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ · αἱ ἄρα ΒΑ , ΑΓ τῶν ΒΕ , ΕΓ μείζονές εἰσιν . πάλιν , ἐπεὶ τοῦ ΓΕΔ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΓΕ , ΕΔ τῆς ΓΔ μείζονές εἰσιν , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ · αἱ ΓΕ , ΕΒ ἄρα τῶν ΓΔ , ΔΒ μείζονές εἰσιν . ἀλλὰ τῶν ΒΕ , ΕΓ μείζονες ἐδείχθησαν αἱ ΒΑ , ΑΓ · πολλῷ ἄρα αἱ ΒΑ , ΑΓ τῶν ΒΔ , ΔΓ μείζονές εἰσιν . πάλιν , ἐπεὶ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστίν , τοῦ ΓΔΕ ἄρα τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ . διὰ ταὐτὰ τοίνυν καὶ τοῦ ΑΒΕ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ . ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΓ · πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ . ἐὰν ἄρα τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν , αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μέν εἰσιν , μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τρίγωνον ἐπί εἷς ὁ πλευρά ἀπό ὁ πέρας δύο εὐθεῖα ἐντός συνίστημι , ὁ συνίστημι ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον δύο πλευρά ἐλαχύς μέν εἰμί , μέγας δέ γωνία περιέχω . τρίγωνον γάρ ὁ ΑΒΓ ἐπί εἷς ὁ πλευρά ὁ ΒΓ ἀπό ὁ πέρας ὁ Β , Γ δύο εὐθεῖα ἐντός συστατόω ὁ ΒΔ , ΔΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΒΔ , ΔΓ ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον δύο πλευρά ὁ ΒΑ , ΑΓ ἐλαχύς μέν εἰμί , μέγας δέ γωνία περιέχω ὁ ὑπό ΒΔΓ ὁ ὑπό ΒΑΓ . διάγω γάρ ὁ ΒΔ ἐπί ὁ Ε . καί ἐπεί πᾶς τρίγωνον ὁ δύο πλευρά ὁ λοιπός μέγας εἰμί , ὁ ΑΒΕ ἄρα τρίγωνον ὁ δύο πλευρά ὁ ΑΒ , ΑΕ ὁ ΒΕ μέγας εἰμί · κοινός πρόσκειμαι ὁ ΕΓ · ὁ ἄρα ΒΑ , ΑΓ ὁ ΒΕ , ΕΓ μέγας εἰμί . πάλιν , ἐπεί ὁ ΓΕΔ τρίγωνον ὁ δύο πλευρά ὁ ΓΕ , ΕΔ ὁ ΓΔ μέγας εἰμί , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΔΒ · ὁ ΓΕ , ΕΒ ἄρα ὁ ΓΔ , ΔΒ μέγας εἰμί . ἀλλά ὁ ΒΕ , ΕΓ μέγας δείκνυμι ὁ ΒΑ , ΑΓ · πολύς ἄρα ὁ ΒΑ , ΑΓ ὁ ΒΔ , ΔΓ μέγας εἰμί . πάλιν , ἐπεί πᾶς τρίγωνον ὁ ἐκτός γωνία ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον μέγας εἰμί , ὁ ΓΔΕ ἄρα τρίγωνον ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΒΔΓ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΓΕΔ . διά αὐτός τοίνυν καί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΓΕΒ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ . ἀλλά ὁ ὑπό ΓΕΒ μέγας δείκνυμι ὁ ὑπό ΒΔΓ · πολύς ἄρα ὁ ὑπό ΒΔΓ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ . ἐάν ἄρα τρίγωνον ἐπί εἷς ὁ πλευρά ἀπό ὁ πέρας δύο εὐθεῖα ἐντός συνίστημι , ὁ συνίστημι ὁ λοιπός ὁ τρίγωνον δύο πλευρά ἐλαχύς μέν εἰμί , μέγας δέ γωνία περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι .
euclides-geom.elementa 1.prop.22
ἐκ τριῶν εὐθειῶν , αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις , τρίγωνον συστήσασθαι · δεῖ δὲ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α , Β , Γ , ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , αἱ μὲν Α , Β τῆς Γ , αἱ δὲ Α , Γ τῆς Β , καὶ ἔτι αἱ Β , Γ τῆς Α · δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς Α , Β , Γ τρίγωνον συστήσασθαι . Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ Ε , καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΖ , τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΖΗ , τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΗΘ · καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ , διαστήματι δὲ τῷ ΖΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΛ · πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Η , διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ , ΚΗ · λέγω , ὅτι ἐκ τριῶν εὐθειῶν τῶν ἴσων ταῖς Α , Β , Γ τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ . ἐπεὶ γὰρ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΚΛ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ ΖΚ · ἀλλὰ ἡ ΖΔ τῇ Α ἐστιν ἴση . καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ Α ἐστιν ἴση . πάλιν , ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΛΚΘ κύκλου , ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ · ἀλλὰ ἡ ΗΘ τῇ Γ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ΚΗ ἄρα τῇ Γ ἐστιν ἴση . ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῇ Β ἴση · αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΚΖ , ΖΗ , ΗΚ τρισὶ ταῖς Α , Β , Γ ἴσαι εἰσίν . ἐκ τριῶν ἄρα εὐθειῶν τῶν ΚΖ , ΖΗ , ΗΚ , αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις εὐθείαις ταῖς Α , Β , Γ , τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: ἐκ τρεῖς εὐθεῖα , ὅς εἰμί ἴσος τρεῖς ὁ δίδωμι , τρίγωνος συνίστημι · δέω δέ ὁ δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω . εἰμί ὁ δίδωμι τρεῖς εὐθεῖα ὁ Α , Β , Γ , ὅς ὁ δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω , ὁ μέν Α , Β ὁ Γ , ὁ δέ Α , Γ ὁ Β , καί ἔτι ὁ Β , Γ ὁ Α · δέω δή ἐκ ὁ ἴσος ὁ Α , Β , Γ τρίγωνος συνίστημι . ἔκκειμαι τις εὐθύς ὁ ΔΕ περαίνω μέν κατά ὁ Δ ἄπειρος δέ κατά ὁ Ε , καί κεῖμαι ὁ μέν Α ἴσος ὁ ΔΖ , ὁ δέ Β ἴσος ὁ ΖΗ , ὁ δέ Γ ἴσος ὁ ΗΘ · καί κέντρον μέν ὁ Ζ , διάστημα δέ ὁ ΖΔ κύκλος γράφω ὁ ΔΚΛ · πάλιν κέντρον μέν ὁ Η , διάστημα δέ ὁ ΗΘ κύκλος γράφω ὁ ΚΛΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΖ , ΚΗ · λέγω , ὅτι ἐκ τρεῖς εὐθεῖα ὁ ἴσος ὁ Α , Β , Γ τρίγωνον συνίστημι ὁ ΚΖΗ . ἐπεί γάρ ὁ Ζ σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΔΚΛ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΖΔ ὁ ΖΚ · ἀλλά ὁ ΖΔ ὁ Α εἰμί ἴσος . καί ὁ ΚΖ ἄρα ὁ Α εἰμί ἴσος . πάλιν , ἐπεί ὁ Η σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ ΛΚΘ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΗΚ · ἀλλά ὁ ΗΘ ὁ Γ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΚΗ ἄρα ὁ Γ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ΖΗ ὁ Β ἴσος · ὁ τρεῖς ἄρα εὐθεῖα ὁ ΚΖ , ΖΗ , ΗΚ τρεῖς ὁ Α , Β , Γ ἴσος εἰμί . ἐκ τρεῖς ἄρα εὐθεῖα ὁ ΚΖ , ΖΗ , ΗΚ , ὅς εἰμί ἴσος τρεῖς ὁ δίδωμι εὐθεῖα ὁ Α , Β , Γ , τρίγωνον συνίστημι ὁ ΚΖΗ · ὅς δέω ποιέω .
euclides-geom.elementa 1.prop.23
πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ , τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ σημεῖον τὸ Α , ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΔΓΕ · δεῖ δὴ πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι . εἰλήφθω ἐφʼ ἑκατέρας τῶν ΓΔ , ΓΕ τυχόντα σημεῖα τὰ Δ , Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ · καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν , αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς ΓΔ , ΔΕ , ΓΕ , τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΑΖΗ , ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΔ τῇ ΑΖ , τὴν δὲ ΓΕ τῇ ΑΗ , καὶ ἔτι τὴν ΔΕ τῇ ΖΗ . ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΔΓ , ΓΕ δύο ταῖς ΖΑ , ΑΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΔΕ βάσει τῇ ΖΗ ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΑΗ ἐστιν ἴση . πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴση γωνία εὐθύγραμμος συνέσταται ἡ ὑπὸ ΖΑΗ · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: πρός ὁ δίδωμι εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ἴσος γωνία εὐθύγραμμος συνίστημι . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ δέ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α , ὁ δέ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ ὑπό ΔΓΕ · δέω δή πρός ὁ δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ ὑπό ΔΓΕ ἴσος γωνία εὐθύγραμμος συνίστημι . λαμβάνω ἐπί ἑκάτερος ὁ ΓΔ , ΓΕ τυγχάνω σημεῖον ὁ Δ , Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ · καί ἐκ τρεῖς εὐθεῖα , ὅς εἰμί ἴσος τρεῖς ὁ ΓΔ , ΔΕ , ΓΕ , τρίγωνον συνίστημι ὁ ΑΖΗ , ὥστε ἴσος εἰμί ὁ μέν ΓΔ ὁ ΑΖ , ὁ δέ ΓΕ ὁ ΑΗ , καί ἔτι ὁ ΔΕ ὁ ΖΗ . ἐπεί οὖν δύο ὁ ΔΓ , ΓΕ δύο ὁ ΖΆ , ΑΗ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , καί βάσις ὁ ΔΕ βάσις ὁ ΖΗ ἴσος , γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΔΓΕ γωνία ὁ ὑπό ΖΑΗ εἰμί ἴσος . πρός ἄρα ὁ δίδωμι εὔθεια ὁ ΑΒ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος ὁ ὑπό ΔΓΕ ἴσος γωνία εὐθύγραμμος συνίστημι ὁ ὑπό ΖΑΗ · ὅς δέω ποιέω .