euclides-geom.elementa 12.prop.18
αἱ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἰδίων διαμέτρων . Νενοήσθωσαν σφαῖραι αἱ ΑΒΓ , ΔΕΖ , διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΓ , ΕΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . εἰ γὰρ μὴ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ , ἕξει ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μείζονα ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . ἐχέτω πρότερον πρὸς ἐλάσσονα τὴν ΗΘΚ , καὶ νενοήσθω ἡ ΔΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας τῆς ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν , ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εἰς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον · τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . ἔχει δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν , οὕτως τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον · ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον , οὕτως ἡ ΗΘΚ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον . μείζων δὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ πολυέδρου . ἀλλὰ καὶ ἐλάττων · ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ . οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ . λέγω δή , ὅτι οὐδὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . εἰ γὰρ δυνατόν , ἐχέτω πρὸς μείζονα τὴν ΛΜΝ · ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ διάμετρος πρὸς τὴν ΒΓ διάμετρον . ὡς δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν , οὕτως ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας , ἐπειδήπερ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜΝ τῆς ΔΕΖ , ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη . καὶ ἡ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ · ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη . οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα . ἡ ἄρα ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ σφαῖρα πρός ἀλλήλων ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ἴδιος διάμετρον . νοέω σφαῖρα ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΒΓ , ΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός ὁ ΔΕΖ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . εἰ γάρ μή ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός ὁ ΔΕΖ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ , ἔχω ἄρα ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός ἐλαχύς τις ὁ ΔΕΖ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἤ πρός μέγας ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . ἔχω πρότερος πρός ἐλαχύς ὁ ΗΘΚ , καί νοέω ὁ ΔΕΖ ὁ ΗΘΚ περί ὁ αὐτός κέντρον , καί ἐγγράφω εἰς ὁ μέγας σφαῖρα ὁ ΔΕΖ στερεός πολύεδρος μή ψαύω ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ὁ ΗΘΚ κατά ὁ ἐπιφάνεια , ἐγγράφω δέ καί εἰς ὁ ΑΒΓ σφαῖρα ὁ ἐν ὁ ΔΕΖ σφαῖρα στερεός πολύεδρος ὅμοιος στερεός πολύεδρος · ὁ ἄρα ἐν ὁ ΑΒΓ στερεός πολύεδρος πρός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖ στερεός πολύεδρος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . ἔχω δέ καί ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός ὁ ΗΘΚ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός ὁ ΗΘΚ σφαῖρα , οὕτως ὁ ἐν ὁ ΑΒΓ σφαῖρα στερεός πολύεδρος πρός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖ σφαῖρα στερεός πολύεδρος · ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός ὁ ἐν αὐτός πολύεδρος , οὕτως ὁ ΗΘΚ σφαῖρα πρός ὁ ἐν ὁ ΔΕΖ σφαῖρα στερεός πολύεδρος . μέγας δέ ὁ ΑΒΓ σφαῖρα ὁ ἐν αὐτός πολύεδρος · μέγας ἄρα καί ὁ ΗΘΚ σφαῖρα ὁ ἐν ὁ ΔΕΖ σφαῖρα πολύεδρος . ἀλλά καί ἐλαχύς · ἐμπεριέχω γάρ ὑπό αὐτός . οὐ ἄρα ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός ἐλαχύς ὁ ΔΕΖ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ διάμετρος πρός ὁ ΕΖ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ὁ ΔΕΖ σφαῖρα πρός ἐλαχύς ὁ ΑΒΓ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖ πρός ὁ ΒΓ . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός μέγας τις ὁ ΔΕΖ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . εἰ γάρ δυνατός , ἔχω πρός μέγας ὁ ΛΜΝ · ἀνάπαλιν ἄρα ὁ ΛΜΝ σφαῖρα πρός ὁ ΑΒΓ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖ διάμετρος πρός ὁ ΒΓ διάμετρος . ὡς δέ ὁ ΛΜΝ σφαῖρα πρός ὁ ΑΒΓ σφαῖρα , οὕτως ὁ ΔΕΖ σφαῖρα πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓ σφαῖρα , ἐπειδή μέγας εἰμί ὁ ΛΜΝ ὁ ΔΕΖ , ὡς ἔμπροσθεν δείκνυμι . καί ὁ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρός ἐλαχύς τις ὁ ΑΒΓ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΖ πρός ὁ ΒΓ · ὅς ἀδύνατος δείκνυμι . οὐ ἄρα ὁ ΑΒΓ σφαῖρα πρός μέγας τις ὁ ΔΕΖ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ πρός ἐλαχύς . ὁ ἄρα ΑΒΓ σφαῖρα πρός ὁ ΔΕΖ σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ · ὅς δέω δείκνυμι .