euclides-geom.elementa 11.prop.26
πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι . ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ , τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ δοθὲν σημεῖον τὸ Α , ἡ δὲ δοθεῖσα στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ δ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΕΔΓ , ΕΔΖ , ΖΔΓ γωνιῶν ἐπιπέδων · δεῖ δὴ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΔΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΕΔ , ΔΓ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ , καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ μὲν ὑπὸ ΕΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΛ , τῇ δὲ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΚ , καὶ κείσθω τῇ ΔΗ ἴση ἡ ΑΚ , καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ διὰ τῶν ΒΑΛ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΘ , καὶ κείσθω ἴση τῇ ΗΖ ἡ ΚΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ · λέγω , ὅτι ἡ πρὸς τῷ Α στερεὰ γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΛ , ΒΑΘ , ΘΑΛ γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ , ΕΔΖ , ΖΔΓ γωνιῶν . Ἀπειλήφθωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΑΒ , ΔΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΒ , ΚΒ , ΖΕ , ΗΕ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας · ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΖΗΔ , ΖΗΕ γωνιῶν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΘΚΑ , ΘΚΒ γωνιῶν ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ , ΑΒ δύο ταῖς ΗΔ , ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΗΕ ἴση ἐστίν . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΗΖ ἴση · καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΖΕ . πάλιν ἐπεὶ δύο αἱ ΑΚ , ΚΘ δυσὶ ταῖς ΔΗ , ΗΖ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΖΔ ἴση ἐστίν . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση · δύο δὴ αἱ ΘΑ , ΑΒ δύο ταῖς ΔΖ , ΔΕ ἴσαι εἰσίν . καὶ βάσις ἡ ΘΒ βάσει τῇ ΖΕ ἴση · γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΛ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΛ τῇ ὑπὸ ΕΔΓ ἴση . πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση συνέσταται · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι .
Lemmas: πρός ὁ δίδωμι εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ δίδωμι στερεός γωνία ἴσος στερεός γωνία συνίστημι . εἰμί ὁ μέν δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ὁ δέ πρός αὐτός δίδωμι σημεῖον ὁ Α , ὁ δέ δίδωμι στερεός γωνία ὁ πρός ὁ δ περιέχω ὑπό ὁ ὑπό ΕΔΓ , ΕΔΖ , ΖΔΓ γωνία ἐπίπεδος · δέω δή πρός ὁ ΑΒ εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ πρός ὁ Δ στερεός γωνία ἴσος στερεός γωνία συνίστημι . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΔΖ τυγχάνω σημεῖον ὁ Ζ , καί ἄγω ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ διά ὁ ΕΔ , ΔΓ ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΖΗ , καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΗ , καί συνίστημι πρός ὁ ΑΒ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ μέν ὑπό ΕΔΓ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΛ , ὁ δέ ὑπό ΕΔΗ ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΚ , καί κεῖμαι ὁ ΔΉ ἴσος ὁ ΑΚ , καί ἀνίστημι ἀπό ὁ Κ σημεῖον ὁ διά ὁ ΒΑΛ̅ ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ΚΘ , καί κεῖμαι ἴσος ὁ ΗΖ ὁ ΚΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΑ · λέγω , ὅτι ὁ πρός ὁ Α στερεός γωνία περιέχω ὑπό ὁ ΒΑΛ , ΒΑΘ , ΘΑΛ γωνία ἴσος εἰμί ὁ πρός ὁ Δ στερεός γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΕΔΓ , ΕΔΖ , ΖΔΓ γωνία . ἀπολαμβάνω γάρ ἴσος ὁ ΑΒ , ΔΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΒ , ΚΒ , ΖΕ , ΗΕ . καί ἐπεί ὁ ΖΗ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθύς καί εἰμί ἐν ὁ ὑπόκειμαι ἐπίπεδος ὀρθός ποιέω γωνία · ὀρθός ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΖΗΔ , ΖΗΕ γωνία . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΘΚΑ , ΘΚΒ γωνία ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί δύο ὁ ΚΑ , ΑΒ δύο ὁ ΗΔ , ΔΕ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , καί γωνία ἴσος περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ΚΒ βάσις ὁ ΗΕ ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΚΘ ὁ ΗΖ ἴσος · καί γωνία ὀρθός περιέχω · ἴσος ἄρα καί ὁ ΘΒ ὁ ΖΕ . πάλιν ἐπεί δύο ὁ ΑΚ , ΚΘ δύο ὁ ΔΉ , ΗΖ ἴσος εἰμί , καί γωνία ὀρθός περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ΑΘ βάσις ὁ ΖΔ ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ ὁ ΔΕ ἴσος · δύο δή ὁ ΘΑ , ΑΒ δύο ὁ ΔΖ , ΔΕ ἴσος εἰμί . καί βάσις ὁ ΘΒ βάσις ὁ ΖΕ ἴσος · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΘ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ΘΑΛ ὁ ὑπό ΖΔΓ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΒΑΛ ὁ ὑπό ΕΔΓ ἴσος . πρός ἄρα ὁ δίδωμι εὔθεια ὁ ΑΒ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α ὁ δίδωμι στερεός γωνία ὁ πρός ὁ Δ ἴσος συνίστημι · ὅς δέω ποιέω .