euclides-geom.elementa 10.prop3.101
τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην . ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ , ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη . ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΒ εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον , τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν . καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ · ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἅμα μέσον ἐστίν · μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ . καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ , ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ , ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ῥητόν ἐστι καί ἴσον τῷ ΖΛ , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΓΛ μέσον ἐστίν , τὸ δὲ ΖΛ ῥητόν , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ , οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ . λέγω δή , ὅτι καὶ πέμπτη . ὁμοίως γὰρ δείξομεν , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ , τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ , ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ , ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ · ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ , ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ · ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή πέμπτος . εἰμί ὁ μετά ῥητός μέσος ὁ ὅλος ποιέω ὁ ΑΒ , ῥητός δέ ὁ ΓΔ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΕ πλάτος ποιέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΖ ἀποτομή εἰμί πέμπτος . εἰμί γάρ ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΒ εὐθεῖα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ μέν σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος , ὁ δέ δίς ὑπό αὐτός ῥητός . καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΒ ἴσος ὁ ΚΛ · ὅλος ἄρα ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . ὁ δέ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἅμα μέσος εἰμί · μέσος ἄρα εἰμί ὁ ΓΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΓΔ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΓΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ . καί ἐπεί ὅλος ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὅς ὁ ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , λοιπός ἄρα ὁ ΖΛ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . τέμνω οὖν ὁ ΖΜ δίχα κατά ὁ Ν , καί ἄγω διά ὁ Ν ὁπότερος ὁ ΓΔ , ΜΛ παράλληλος ὁ ΝΞ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΖΞ , ΝΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . καί ἐπεί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ῥητός εἰμί καί ἴσος ὁ ΖΛ , ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΖΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΖΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΖΜ καί σύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . καί ἐπεί ὁ μέν ΓΛ μέσος εἰμί , ὁ δέ ΖΛ ῥητός , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΛ ὁ ΖΛ . ὡς δέ ὁ ΓΛ πρός ὁ ΖΛ , οὕτως ὁ ΓΜ πρός ὁ ΜΖ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ ὁ ΜΖ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΓΖ . λέγω δή , ὅτι καί πέμπτος . ὅμοιος γάρ δείκνυμι , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΓΚΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΜ , τουτέστι ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΖΜ . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΒ , ἴσος δέ ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΒ ὁ ΚΛ , ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΓΘ ὁ ΚΛ . ὡς δέ ὁ ΓΘ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΓΚ πρός ὁ ΚΜ · ἀσύμμετρος ἄρα ὁ ΓΚ ὁ ΚΜ μῆκος . ἐπεί οὖν δύο εὐθεῖα ἄνισος εἰμί ὁ ΓΜ , ΜΖ , καί ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΖΜ ἴσος παρά ὁ ΓΜ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος καί εἰς ἀσύμμετρος αὐτός διαιρέω , ὁ ἄρα ΓΜ ὁ ΜΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ὁ προσαρμόζω ὁ ΖΜ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ΓΖ ἀποτομή εἰμί πέμπτος · ὅς δέω δείκνυμι .