euclides-geom.elementa 12.prop.15
τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν · καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι . ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι , ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλοι , διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΓ , ΕΗ , ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ , ΜΝ , οἵτινες καὶ ὕψη εἰσὶ τῶν κώνων ἢ κυλίνδρων , καὶ συμπεπληρώσθωσαν οἱ ΑΞ , ΕΟ κύλινδροι . λέγω , ὅτι τῶν ΑΞ , ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος . τὸ γὰρ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ . ἔστω πρότερον ἴσον . ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ ἴσος . οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒΓΔ βάσις τῇ ΕΖΗΘ βάσει . ὥστε καὶ ἀντιπέπονθεν , ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος . ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ἴσον , ἀλλʼ ἔστω μεῖζον τὸ ΜΝ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΜΝ ὕψους τῷ ΚΛ ἴσον τὸ ΠΝ , καὶ διὰ τοῦ Π σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ παραλλήλῳ τοῖς τῶν ΕΖΗΘ , ΡΟ κύκλων ἐπιπέδοις , καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , ὕψους δὲ τοῦ ΝΠ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΕΣ . καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον . ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον , οὕτως ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ · ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσὶν οἱ ΑΞ , ΕΣ κύλινδροι · ὡς δὲ ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ , οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος · ὁ γὰρ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις . ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος . ἴσον δὲ τὸ ΠΝ ὕψος τῷ ΚΛ ὕψει · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος . τῶν ἄρα ΑΞ , ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν . ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΞ , ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος , ἴσον δὲ τὸ ΚΛ ὕψος τῷ ΠΝ ὕψει , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν , οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν , οὕτως ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον · ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν · ὡς δὲ τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ , οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ . ἴσος ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ . ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κώνων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἴσος κῶνος καί κύλινδρος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος · καί ὅς κῶνος καί κύλινδρος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος . εἰμί ἴσος κῶνος καί κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλος , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΑΓ , ΕΗ , ἄξων δέ ὁ ΚΛ , ΜΝ , ὅστις καί ὕψος εἰμί ὁ κῶνος ἤ κύλινδρος , καί συμπληρόω ὁ ΑΞ , ΕΟ κύλινδρος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΞ , ΕΟ κύλινδρος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΚΛ ὕψος . ὁ γάρ ΛΚ ὕψος ὁ ΜΝ ὕψος ἤτοι ἴσος εἰμί ἤ οὐ . εἰμί πρότερος ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ΑΞ κύλινδρος ὁ ΕΟ κύλινδρος ἴσος . ὁ δέ ὑπό ὁ αὐτός ὕψος εἰμί κῶνος καί κύλινδρος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ βάσις · ἴσος ἄρα καί ὁ ΑΒΓΔ βάσις ὁ ΕΖΗΘ βάσις . ὥστε καί ἀντιπάσχω , ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΚΛ ὕψος . ἀλλά δή μή εἰμί ὁ ΛΚ ὕψος ὁ ΜΝ ἴσος , ἀλλά εἰμί μέγας ὁ ΜΝ , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΜΝ ὕψος ὁ ΚΛ ἴσος ὁ ΠΝ , καί διά ὁ Π σημεῖον τέμνω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπίπεδος ὁ ΤΥΣ παράλληλος ὁ ὁ ΕΖΗΘ , ΡΟ κύκλος ἐπίπεδος , καί ἀπό βάσις μέν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΝΠ κύλινδρος νοέω ὁ ΕΣ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΞ κύλινδρος ὁ ΕΟ κύλινδρος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρός ὁ ΕΣ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρός ὁ ΕΣ κύλινδρος . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΞ κύλινδρος πρός ὁ ΕΣ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ · ὑπό γάρ ὁ αὐτός ὕψος εἰμί ὁ ΑΞ , ΕΣ κύλινδρος · ὡς δέ ὁ ΕΟ κύλινδρος πρός ὁ ΕΣ , οὕτως ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΠΝ ὕψος · ὁ γάρ ΕΟ κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος εἰμί ὁ ἀπεναντίον ἐπίπεδος . εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΠΝ ὕψος . ἴσος δέ ὁ ΠΝ ὕψος ὁ ΚΛ ὕψος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΚΛ ὕψος . ὁ ἄρα ΑΞ , ΕΟ κύλινδρος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος . ἀλλά δή ὁ ΑΞ , ΕΟ κύλινδρος ἀντιπεπονθέω ὁ βάσις ὁ ὕψος , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΚΛ ὕψος · λέγω , ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΑΞ κύλινδρος ὁ ΕΟ κύλινδρος . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΚΛ ὕψος , ἴσος δέ ὁ ΚΛ ὕψος ὁ ΠΝ ὕψος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΠΝ ὕψος . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΒΓΔ βάσις πρός ὁ ΕΖΗΘ βάσις , οὕτως ὁ ΑΞ κύλινδρος πρός ὁ ΕΣ κύλινδρος · ὑπό γάρ ὁ αὐτός ὕψος εἰμί · ὡς δέ ὁ ΜΝ ὕψος πρός ὁ ΠΝ , οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρός ὁ ΕΣ κύλινδρος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρός ὁ ΕΣ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρός ὁ ΕΣ . ἴσος ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδρος ὁ ΕΟ κύλινδρος . ὡσαύτως δέ καί ἐπί ὁ κῶνος · ὅς δέω δείκνυμι .