euclides-geom.elementa 2.prop.8
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ . εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ , ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ . Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ , καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΔ τετράγωνον τὸ ΑΕΖΔ , καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ , ἀλλὰ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΒΔ τῇ ΚΝ , καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΝ ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΡ τῇ ΡΟ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΔ , ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΚΝ , ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΓΚ τῷ ΚΔ , τὸ δὲ ΗΡ τῷ ΡΝ . ἀλλὰ τὸ ΓΚ τῷ ΡΝ ἐστιν ἴσον · παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΓΟ παραλληλογράμμου · καὶ τὸ ΚΔ ἄρα τῷ ΗΡ ἴσον ἐστίν · τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΔΚ , ΓΚ , ΗΡ , ΡΝ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν . τὰ τέσσαρα ἄρα τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΓΚ . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ , ἀλλὰ ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΚ , τουτέστι τῇ ΓΗ ἴση , ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΗΚ , τουτέστι τῇ ΗΠ , ἐστιν ἴση , καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῇ ΗΠ ἴση ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΓΗ τῇ ΗΠ , ἡ δὲ ΠΡ τῇ ΡΟ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ ΜΠ , τὸ δὲ ΠΛ τῷ ΡΖ . ἀλλὰ τὸ ΜΠ τῷ ΠΛ ἐστιν ἴσον · παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΜΛ παραλληλογράμμου · καὶ τὸ ΑΗ ἄρα τῷ ΡΖ ἴσον ἐστίν · τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΑΗ , ΜΠ , ΠΛ , ΡΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν · τὰ τέσσαρα ἄρα τοῦ ΑΗ ἐστι τετραπλάσια . ἐδείχθη δὲ καὶ τὰ τέσσαρα τὰ ΓΚ , ΚΔ , ΗΡ , ΡΝ τοῦ ΓΚ τετραπλάσια · τὰ ἄρα ὀκτώ , ἃ περιέχει τὸν ΣΤΥ γνώμονα , τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ . καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ ἐστιν · ἴση γὰρ ἡ ΒΚ τῇ ΒΔ · τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΚ . ἐδείχθη δὲ τοῦ ΑΚ τετραπλάσιος καὶ ὁ ΣΤΥ γνώμων · τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι . κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΘ , ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ · τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι καὶ τῷ ΞΘ . ἀλλὰ ὁ ΣΤΥ γνώμων καὶ τὸ ΞΘ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΕΖΔ τετράγωνον , ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΔ · τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ · ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ . τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ τετράκις ὑπό ὁ ὅλος καί εἷς ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό τε ὁ ὅλος καί ὁ λέγω τμῆμα ὡς ἀπό εἷς ἀναγράφω τετράγωνος . εὐθύς γάρ τις ὁ ΑΒ τέμνω , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ Γ σημεῖον · λέγω , ὅτι ὁ τετράκις ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ ὡς ἀπό εἷς ἀναγράφω τετράγωνος . ἐκβάλλω γάρ ἐπί εὐθεῖα ὁ ΒΔ , καί κεῖμαι ὁ ΓΒ ἴσος ὁ ΒΔ , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΔ τετράγωνος ὁ ΑΕΖΔ , καί καταγράφω διπλόος ὁ σχῆμα . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΓΒ ὁ ΒΔ , ἀλλά ὁ μέν ΓΒ ὁ ΗΚ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΒΔ ὁ ΚΝ , καί ὁ ΗΚ ἄρα ὁ ΚΝ εἰμί ἴσος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΠΡ ὁ ΡΟ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΒΔ , ὁ δέ ΗΚ ὁ ΚΝ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ μέν ΓΚ ὁ ΚΔ , ὁ δέ ΗΡ ὁ ΡΝ . ἀλλά ὁ ΓΚ ὁ ΡΝ εἰμί ἴσος · παραπλήρωμα γάρ ὁ ΓΟ παραλληλόγραμμος · καί ὁ ΚΔ ἄρα ὁ ΗΡ ἴσος εἰμί · ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ ΔΚ , ΓΚ , ΗΡ , ΡΝ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ὁ τέσσαρες ἄρα τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΓΚ . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΒ ὁ ΒΔ , ἀλλά ὁ μέν ΒΔ ὁ ΒΚ , τουτέστι ὁ ΓΗ ἴσος , ὁ δέ ΓΒ ὁ ΗΚ , τουτέστι ὁ ΗΠ , εἰμί ἴσος , καί ὁ ΓΗ ἄρα ὁ ΗΠ ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΓΗ ὁ ΗΠ , ὁ δέ ΠΡ ὁ ΡΟ , ἴσος εἰμί καί ὁ μέν ΑΗ ὁ ΜΠ , ὁ δέ ΠΛ ὁ ΡΖ . ἀλλά ὁ ΜΠ ὁ ΠΛ εἰμί ἴσος · παραπλήρωμα γάρ ὁ ΜΛ παραλληλόγραμμος · καί ὁ ΑΗ ἄρα ὁ ΡΖ ἴσος εἰμί · ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ ΑΗ , ΜΠ , ΠΛ , ΡΖ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · ὁ τέσσαρες ἄρα ὁ ΑΗ εἰμί τετραπλάσιος . δείκνυμι δέ καί ὁ τέσσαρες ὁ ΓΚ , ΚΔ , ΗΡ , ΡΝ ὁ ΓΚ τετραπλάσιος · ὁ ἄρα ὀκτώ , ὅς περιέχω ὁ ΣΤΥ γνώμων , τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΑΚ . καί ἐπεί ὁ ΑΚ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ εἰμί · ἴσος γάρ ὁ ΒΚ ὁ ΒΔ · ὁ ἄρα τετράκις ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΑΚ . δείκνυμι δέ ὁ ΑΚ τετραπλάσιος καί ὁ ΣΤΥ γνώμων · ὁ ἄρα τετράκις ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ ἴσος εἰμί ὁ ΣΤΥ γνώμων . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΞΘ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος · ὁ ἄρα τετράκις ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ΑΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ΣΤΥ γνώμων καί ὁ ΞΘ . ἀλλά ὁ ΣΤΥ γνώμων καί ὁ ΞΘ ὅλος εἰμί ὁ ΑΕΖΔ τετράγωνος , ὅς εἰμί ἀπό ὁ ΑΔ · ὁ ἄρα τετράκις ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ μετά ὁ ἀπό ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΑΔ τετράγωνος · ἴσος δέ ὁ ΒΔ ὁ ΒΓ . ὁ ἄρα τετράκις ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ΑΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΑΒ καί ΒΓ ὡς ἀπό εἷς ἀναγράφω τετράγωνος . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ τετράκις ὑπό ὁ ὅλος καί εἷς ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό τε ὁ ὅλος καί ὁ λέγω τμῆμα ὡς ἀπό εἷς ἀναγράφω τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .