euclides-geom.elementa 6.prop.22
ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται · κἂν τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ , καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται . ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ , καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ , ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΚΑΒ , ΛΓΔ , ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ , ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΜΖ , ΝΘ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ . εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΒ , ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ξ , τῶν δὲ ΕΖ , ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ , ὡς δὲ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Ξ , οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν Ο , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ο . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ , οὕτως τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ , ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ο , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ . ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ · λέγω , ὅτι ἐστὶ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ . εἰ γὰρ μή ἐστιν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ , ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΠΡ ὁποτέρῳ τῶν ΜΖ , ΝΘ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΣΡ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ , καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ , ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΚΑΒ , ΛΓΔ , ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ , ΠΡ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΜΖ , ΣΡ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ . ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ . τὸ ΜΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΝΘ , ΣΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ τῷ ΣΡ . ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον · ἴση ἄρα ἡ ΗΘ τῇ ΠΡ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ , ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ . ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται · κἂν τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ , καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , καί ὁ ἀπό αὐτός εὐθύγραμμος ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω ἀνάλογος εἰμί · ἐάν ὁ ἀπό αὐτός εὐθύγραμμος ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω ἀνάλογος εἰμί , καί αὐτός ὁ εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί . εἰμί τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ , καί ἀναγράφω ἀπό μέν ὁ ΑΒ , ΓΔ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι εὐθύγραμμος ὁ ΚΑΒ , ΛΓΔ , ἀπό δέ ὁ ΕΖ , ΗΘ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι εὐθύγραμμος ὁ ΜΖ , ΝΘ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΚΑΒ πρός ὁ ΛΓΔ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΝΘ . λαμβάνω γάρ ὁ μέν ΑΒ , ΓΔ τρίτος ἀνάλογος ὁ Ξ , ὁ δέ ΕΖ , ΗΘ τρίτος ἀνάλογος ὁ Ο . καί ἐπεί εἰμί ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ , ὡς δέ ὁ ΓΔ πρός ὁ Ξ , οὕτως ὁ ΗΘ πρός ὁ Ο , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Ξ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ Ο . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ Ξ , οὕτως ὁ ΚΑΒ πρός ὁ ΛΓΔ , ὡς δέ ὁ ΕΖ πρός ὁ Ο , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΝΘ · καί ὡς ἄρα ὁ ΚΑΒ πρός ὁ ΛΓΔ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΝΘ . ἀλλά δή εἰμί ὡς ὁ ΚΑΒ πρός ὁ ΛΓΔ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΝΘ · λέγω , ὅτι εἰμί καί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ . εἰ γάρ μή εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ , εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΠΡ , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΠΡ ὁπότερος ὁ ΜΖ , ΝΘ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι εὐθύγραμμος ὁ ΣΡ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΠΡ , καί ἀναγράφω ἀπό μέν ὁ ΑΒ , ΓΔ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ΚΑΒ , ΛΓΔ , ἀπό δέ ὁ ΕΖ , ΠΡ ὅμοιος τε καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ΜΖ , ΣΡ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΚΑΒ πρός ὁ ΛΓΔ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΣΡ . ὑπόκειμαι δέ καί ὡς ὁ ΚΑΒ πρός ὁ ΛΓΔ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΝΘ · καί ὡς ἄρα ὁ ΜΖ πρός ὁ ΣΡ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΝΘ . ὁ ΜΖ ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ ΝΘ , ΣΡ ὁ αὐτός ἔχω λόγος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΝΘ ὁ ΣΡ . εἰμί δέ αὐτός καί ὅμοιος καί ὅμοιος κεῖμαι · ἴσος ἄρα ὁ ΗΘ ὁ ΠΡ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΠΡ , ἴσος δέ ὁ ΠΡ ὁ ΗΘ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΗΘ . ἐάν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , καί ὁ ἀπό αὐτός εὐθύγραμμος ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω ἀνάλογος εἰμί · ἐάν ὁ ἀπό αὐτός εὐθύγραμμος ὅμοιος τε καί ὅμοιος ἀναγράφω ἀνάλογος εἰμί , καί αὐτός ὁ εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .