euclides-geom.elementa 3.prop.7
ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον , ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες , μεγίστη μὲν ἔσται , ἐφʼ ἧς τὸ κέντρον , ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή , τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν , δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ , καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ , ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου , κέντρον δὲ τοῦ κύκλου ἔστω τὸ Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον προσπιπτέτωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΖΒ , ΖΓ , ΖΗ · λέγω , ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΖΑ , ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ , τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ μείζων , ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ , ΓΕ , ΗΕ . καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν , αἱ ἄρα ΕΒ , ΕΖ τῆς ΒΖ μείζονές εἰσιν . ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ · μείζων ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΒΖ . πάλιν , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ , δύο δὴ αἱ ΒΕ , ΕΖ δυσὶ ταῖς ΓΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΕΖ μείζων . βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσεως τῆς ΓΖ μείζων ἐστίν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν . πάλιν , ἐπεὶ αἱ ΗΖ , ΖΕ τῆς ΕΗ μείζονές εἰσιν , ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΕΔ , αἱ ἄρα ΗΖ , ΖΕ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν . κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΖ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ λοιπῆς τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν . μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΖΑ , ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ , μείζων δὲ ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ , ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ . λέγω , ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου δύο μόνον ἴσαι προσπεσοῦνται πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΖΔ ἐλαχίστης . συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ , κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ , δύο δὴ αἱ ΗΕ , ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ , ΕΖ ἴσαι εἰσίν · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση ἐστίν . λέγω δή , ὅτι τῇ ΖΗ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου . εἰ γὰρ δυνατόν , προσπιπτέτω ἡ ΖΚ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν , ἀλλὰ ἡ ΖΘ τῇ ΖΗ , καὶ ἡ ΖΚ ἄρα τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση , ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῇ ἀπώτερον ἴση · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἑτέρα τις προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἴση τῇ ΗΖ · μία ἄρα μόνη . ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον , ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες , μεγίστη μὲν ἔσται , ἐφʼ ἧς τὸ κέντρον , ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή , τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν , δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος ἐπί ὁ διάμετρος λαμβάνω τις σημεῖον , ὅς μή εἰμί κέντρον ὁ κύκλος , ἀπό δέ ὁ σημεῖον πρός ὁ κύκλος προσπίπτω εὐθεῖα τις , μέγας μέν εἰμί , ἐπί ὅς ὁ κέντρον , ἐλαχύς δέ ὁ λοιπός , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ διά ὁ κέντρον ὁ ἀπώτερος μέγας εἰμί , δύο δέ μόνος ἴσος ἀπό ὁ σημεῖον προσπίπτω πρός ὁ κύκλος ἐπί ἑκάτερος ὁ ἐλαχύς . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ ΑΔ , καί ἐπί ὁ ΑΔ λαμβάνω τις σημεῖον ὁ Ζ , ὅς μή εἰμί κέντρον ὁ κύκλος , κέντρον δέ ὁ κύκλος εἰμί ὁ Ε , καί ἀπό ὁ Ζ πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος προσπίπτω εὐθεῖα τις ὁ ΖΒ , ΖΓ , ΖΗ · λέγω , ὅτι μέγας μέν εἰμί ὁ ΖΑ , ἐλαχύς δέ ὁ ΖΔ , ὁ δέ ἄλλος ὁ μέν ΖΒ ὁ ΖΓ μέγας , ὁ δέ ΖΓ ὁ ΖΗ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΕ , ΓΕ , ΗΕ . καί ἐπεί πᾶς τρίγωνον ὁ δύο πλευρά ὁ λοιπός μέγας εἰμί , ὁ ἄρα ΕΒ , ΕΖ ὁ ΒΖ μέγας εἰμί . ἴσος δέ ὁ ΑΕ ὁ ΒΕ · μέγας ἄρα ὁ ΑΖ ὁ ΒΖ . πάλιν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ ΓΕ , κοινός δέ ὁ ΖΕ , δύο δή ὁ ΒΕ , ΕΖ δύο ὁ ΓΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί . ἀλλά καί γωνία ὁ ὑπό ΒΕΖ γωνία ὁ ὑπό ΓΕΖ μέγας . βάσις ἄρα ὁ ΒΖ βάσις ὁ ΓΖ μέγας εἰμί . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΓΖ ὁ ΖΗ μέγας εἰμί . πάλιν , ἐπεί ὁ ΗΖ , ΖΕ ὁ ΕΗ μέγας εἰμί , ἴσος δέ ὁ ΕΗ ὁ ΕΔ , ὁ ἄρα ΗΖ , ΖΕ ὁ ΕΔ μέγας εἰμί . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΕΖ · λοιπός ἄρα ὁ ΗΖ λοιπός ὁ ΖΔ μέγας εἰμί . μέγας μέν ἄρα ὁ ΖΑ , ἐλαχύς δέ ὁ ΖΔ , μέγας δέ ὁ μέν ΖΒ ὁ ΖΓ , ὁ δέ ΖΓ ὁ ΖΗ . λέγω , ὅτι καί ἀπό ὁ Ζ σημεῖον δύο μόνος ἴσος προσπίπτω πρός ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἐπί ἑκάτερος ὁ ΖΔ ἐλαχύς . συνίστημι γάρ πρός ὁ ΕΖ εὔθεια καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Ε ὁ ὑπό ΗΕΖ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΖΕΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΘ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΗΕ ὁ ΕΘ , κοινός δέ ὁ ΕΖ , δύο δή ὁ ΗΕ , ΕΖ δύο ὁ ΘΕ , ΕΖ ἴσος εἰμί · καί γωνία ὁ ὑπό ΗΕΖ γωνία ὁ ὑπό ΘΕΖ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΖΗ βάσις ὁ ΖΘ ἴσος εἰμί . λέγω δή , ὅτι ὁ ΖΗ ἄλλος ἴσος οὐ προσπίπτω πρός ὁ κύκλος ἀπό ὁ Ζ σημεῖον . εἰ γάρ δυνατός , προσπίπτω ὁ ΖΚ . καί ἐπεί ὁ ΖΚ ὁ ΖΗ ἴσος εἰμί , ἀλλά ὁ ΖΘ ὁ ΖΗ , καί ὁ ΖΚ ἄρα ὁ ΖΘ εἰμί ἴσος , ὁ ἐγγίων ὁ διά ὁ κέντρον ὁ ἀπώτερος ἴσος · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἀπό ὁ Ζ σημεῖον ἕτερος τις προσπίπτω πρός ὁ κύκλος ἴσος ὁ ΗΖ · εἷς ἄρα μόνος . ἐάν ἄρα κύκλος ἐπί ὁ διάμετρος λαμβάνω τις σημεῖον , ὅς μή εἰμί κέντρον ὁ κύκλος , ἀπό δέ ὁ σημεῖον πρός ὁ κύκλος προσπίπτω εὐθεῖα τις , μέγας μέν εἰμί , ἐπί ὅς ὁ κέντρον , ἐλαχύς δέ ὁ λοιπός , ὁ δέ ἄλλος ἀεί ὁ ἐγγίων ὁ διά ὁ κέντρον ὁ ἀπώτερος μέγας εἰμί , δύο δέ μόνος ἴσος ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον προσπίπτω πρός ὁ κύκλος ἐπί ἑκάτερος ὁ ἐλαχύς · ὅς δέω δείκνυμι .