euclides-geom.elementa 10.prop1.28
μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας . Ἐκκείσθωσαν ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α , Β , Γ , καὶ εἰλήφθω τῶν Α , Β μέση ἀνάλογον ἡ Δ , καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ , ἡ Δ πρὸς τὴν Ε . ἐπεὶ αἱ Α , Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Β , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Δ , μέσον ἐστίν . μέση ἄρα ἡ Δ . καὶ ἐπεὶ αἱ Β , Γ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι , καί ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ , ἡ Δ πρὸς τὴν Ε , καὶ αἱ Δ , Ε ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι . μέση δὲ ἡ Δ · μέση ἄρα καὶ ἡ Ε · αἱ Δ , Ε ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι . λέγω δή , ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ , ἡ Δ πρὸς τὴν Ε , ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Δ , ἡ Γ πρὸς τὴν Ε . ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Δ , ἡ Δ πρὸς τὴν Α · καὶ ὡς ἄρα ἡ Δ πρὸς τὴν Α , ἡ Γ πρὸς τὴν Ε · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ , Ε . μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ε . Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς , ὥστε καὶ τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν εἶναι τετράγωνον . Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ , ΒΓ , ἔστωσαν δὲ ἤτοι ἄρτιοι ἢ περιττοί . καὶ ἐπεί , ἐάν τε ἀπὸ ἀρτίου ἄρτιος ἀφαιρεθῇ , ἐάν τε ἀπὸ περισσοῦ περισσός , ὁ λοιπὸς ἄρτιός ἐστιν , ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιός ἐστιν . τετμήσθω ὁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ . ἔστωσαν δὲ καὶ οἱ ΑΒ , ΒΓ ἤτοι ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἢ τετράγωνοι , οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι · ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετραγώνῳ . καί ἐστι τετράγωνος ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ἐπειδήπερ ἐδείχθη , ὅτι , ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα , ὁ γενόμενος τετράγωνός ἐστιν . εὕρηνται ἄρα δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ ὅ τε ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ , οἳ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετράγωνον . καὶ φανερόν , ὅτι εὕρηνται πάλιν δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ , ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ὑπὸ ΑΒ , ΒΓ εἶναι τετράγωνον , ὅταν οἱ ΑΒ , ΒΓ ὅμοιοι ὦσιν ἐπίπεδοι . ὅταν δὲ μὴ ὦσιν ὅμοιοι ἐπίπεδοι , εὕρηνται δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΓ , ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνος · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λῆμμα εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς , ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκείμενον μὴ εἶναι τετράγωνον . ἔστω γὰρ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ὡς ἔφαμεν , τετράγωνος , καὶ ἄρτιος ὁ ΓΑ , καὶ τετμήσθω ὁ ΓΑ δίχα τῷ Δ . φανερὸν δή , ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ . ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΔΕ · ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνου . λέγω οὖν , ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ οὐκ ἔσται τετράγωνος . εἰ γὰρ ἔσται τετράγωνος , ἤτοι ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ ἢ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ , οὐκέτι δὲ καὶ μείζων , ἵνα μὴ τμηθῇ ἡ μονάς . ἔστω , εἰ δυνατόν , πρότερον ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΕ , καὶ ἔστω τῆς ΔΕ μονάδος διπλασίων ὁ ΗΑ . ἐπεὶ οὖν ὅλος ὁ ΑΓ ὅλου τοῦ ΓΔ ἐστι διπλασίων , ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλασίων , καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι διπλασίων · δίχα ἄρα τέτμηται ὁ ΗΓ τῷ Ε . ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ . ἀλλὰ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ὑπόκειται τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ · ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ . καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ συνάγεται ὁ ΑΒ ἴσος τῷ ΗΒ · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ . λέγω δή , ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ . εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω τῷ ἀπὸ ΒΖ ἴσος , καὶ τοῦ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ . καὶ συναχθήσεται πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ τοῦ ΓΖ · ὥστε καὶ τὸν ΓΘ δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Ζ , καὶ διὰ τοῦτο τὸν ἐκ τῶν ΘΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ ΒΖ . ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΖ . ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΘΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσος ἔσται τῷ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ ἐλάσσονι τοῦ ἀπὸ ΒΕ . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ τῷ ἀπὸ ΒΕ . οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνός ἐστιν . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: μέσος εὑρίσκω δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω . ἔκκειμαι ῥητός δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ Α , Β , Γ , καί λαμβάνω ὁ Α , Β μέσος ἀνάλογος ὁ Δ , καί γίγνομαι ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ Δ πρός ὁ Ε . ἐπεί ὁ Α , Β ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α , Β , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ Δ , μέσος εἰμί . μέσος ἄρα ὁ Δ . καί ἐπεί ὁ Β , Γ δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος , καί εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ Δ πρός ὁ Ε , καί ὁ Δ , Ε ἄρα δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος . μέσος δέ ὁ Δ · μέσος ἄρα καί ὁ Ε · ὁ Δ , Ε ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . λέγω δή , ὅτι καί μέσος περιέχω . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ Δ πρός ὁ Ε , ἐναλλάξ ἄρα ὡς ὁ Β πρός ὁ Δ , ὁ Γ πρός ὁ Ε . ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Δ , ὁ Δ πρός ὁ Α · καί ὡς ἄρα ὁ Δ πρός ὁ Α , ὁ Γ πρός ὁ Ε · ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε . μέσος δέ ὁ ὑπό ὁ Α , Γ · μέσος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ Δ , Ε . εὑρίσκω ἄρα μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα εὑρίσκω δύο τετράγωνος ἀριθμός , ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ αὐτός εἰμί τετράγωνος . ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΑΒ , ΒΓ , εἰμί δέ ἤτοι ἄρτιος ἤ περισσός . καί ἐπεί , ἐάν τε ἀπό ἄρτιος ἄρτιος ἀφαιρέω , ἐάν τε ἀπό περισσός περισσός , ὁ λοιπός ἄρτιος εἰμί , ὁ λοιπός ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιος εἰμί . τέμνω ὁ ΑΓ δίχα κατά ὁ Δ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ , ΒΓ ἤτοι ὅμοιος ἐπίπεδος ἤ τετράγωνος , ὅς καί αὐτός ὅμοιος εἰμί ἐπίπεδος · ὁ ἄρα ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΔ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος . καί εἰμί τετράγωνος ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ , ἐπειδή δείκνυμι , ὅτι , ἐάν δύο ὅμοιος ἐπίπεδος πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ποιέω τις , ὁ γίγνομαι τετράγωνος εἰμί . εὑρίσκω ἄρα δύο τετράγωνος ἀριθμός ὁ τε ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ καί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ , ὅς συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΒΔ τετράγωνος . καί φανερός , ὅτι εὑρίσκω πάλιν δύο τετράγωνος ὁ τε ἀπό ὁ ΒΔ καί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ , ὥστε ὁ ὑπεροχή αὐτός ὁ ὑπό ΑΒ , ΒΓ εἰμί τετράγωνος , ὅταν ὁ ΑΒ , ΒΓ ὅμοιος εἰμί ἐπίπεδος . ὅταν δέ μή εἰμί ὅμοιος ἐπίπεδος , εὑρίσκω δύο τετράγωνος ὁ τε ἀπό ὁ ΒΔ καί ὁ ἀπό ὁ ΔΓ , ὅς ὁ ὑπεροχή ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ οὐ εἰμί τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι . λῆμμα εὑρίσκω δύο τετράγωνος ἀριθμός , ὥστε ὁ ἐκ αὐτός σύγκειμαι μή εἰμί τετράγωνος . εἰμί γάρ ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ , ὡς φημί , τετράγωνος , καί ἄρτιος ὁ ΓΑ , καί τέμνω ὁ ΓΑ δίχα ὁ Δ . φανερός δή , ὅτι ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος μετά ὁ ἀπό ΓΔ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΔ τετράγωνος . ἀφαιρέω μονή ὁ ΔΕ · ὁ ἄρα ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ΒΔ τετράγωνος . λέγω οὖν , ὅτι ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ τετράγωνος μετά ὁ ἀπό ΓΕ οὐ εἰμί τετράγωνος . εἰ γάρ εἰμί τετράγωνος , ἤτοι ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΕ ἤ ἐλαχύς ὁ ἀπό ΒΕ , οὐκέτι δέ καί μέγας , ἵνα μή τέμνω ὁ μονή . εἰμί , εἰ δυνατός , πρότερος ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος ὁ ἀπό ΒΕ , καί εἰμί ὁ ΔΕ μονάς διπλασίων ὁ ΗΑ . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ΑΓ ὅλος ὁ ΓΔ εἰμί διπλασίων , ὅς ὁ ΑΗ ὁ ΔΕ εἰμί διπλασίων , καί λοιπός ἄρα ὁ ΗΓ λοιπός ὁ ΕΓ εἰμί διπλασίων · δίχα ἄρα τέμνω ὁ ΗΓ ὁ Ε . ὁ ἄρα ἐκ ὁ ΗΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΕ τετράγωνος . ἀλλά καί ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος ὑπόκειμαι ὁ ἀπό ΒΕ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἐκ ὁ ΗΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ . καί κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ΓΕ συνάγω ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΒ · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΕ . λέγω δή , ὅτι οὐδέ ἐλαχύς ὁ ἀπό ΒΕ . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί ὁ ἀπό ΒΖ ἴσος , καί ὁ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ . καί συνάγω πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ ὁ ΓΖ · ὥστε καί ὁ ΓΘ δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ , καί διά οὗτος ὁ ἐκ ὁ ΘΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΖΓ ἴσος γίγνομαι ὁ ἀπό ΒΖ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος ὁ ἀπό ΒΖ . ὥστε καί ὁ ἐκ ὁ ΘΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΖ ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ ἴσος εἰμί ἐλαχύς ὁ ἀπό ΒΕ . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ ὁ ἀπό ΒΕ . οὐ ἄρα ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ μετά ὁ ἀπό ΓΕ τετράγωνος εἰμί . ὅς δέω δείκνυμι .