euclides-geom.elementa 1.prop.47
ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις . ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν · λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ τετραγώνοις . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ , ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ , ΑΓ τὰ ΗΒ , ΘΓ , καὶ διὰ τοῦ α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ , ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΖΓ . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ , ΒΑΗ γωνιῶν , πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ , ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπʼ εὐθείας . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ · ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα · κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ , ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ , δύο δὴ αἱ ΔΒ , ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ , ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση · βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ ἴση , καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον · καὶ τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον · βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ , ΑΛ · τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον · βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ , ΗΓ . ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ . ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ , ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ · ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ , ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν . καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν , τὰ δὲ ΗΒ , ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις . ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐν ὁ ὀρθογώνιον τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀρθός γωνία ὑποτείνω πλευρά τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀρθός γωνία περιέχω πλευρά τετράγωνος . εἰμί τρίγωνον ὀρθογώνιον ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ τετράγωνος . ἀναγράφω γάρ ἀπό μέν ὁ ΒΓ τετράγωνος ὁ ΒΔΕΓ , ἀπό δέ ὁ ΒΑ , ΑΓ ὁ ΗΒ , ΘΓ , καί διά ὁ α ὁπότερος ὁ ΒΔ , ΓΕ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΛ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , ΖΓ . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΑΓ , ΒΑΗ γωνία , πρός δή τις εὐθύς ὁ ΒΑ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Α δύο εὐθεῖα ὁ ΑΓ , ΑΗ μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος κεῖμαι ὁ ἐφεξῆς γωνία δύο ὀρθός ἴσος ποιέω · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί ὁ ΓΑ ὁ ΑΗ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΑ ὁ ΑΘ εἰμί ἐπί εὐθεῖα . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΔΒΓ γωνία ὁ ὑπό ΖΒΑ · ὀρθός γάρ ἑκάτερος · κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΑΒΓ · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΔΒΑ ὅλος ὁ ὑπό ΖΒΓ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΔΒ ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΖΒ ὁ ΒΑ , δύο δή ὁ ΔΒ , ΒΑ δύο ὁ ΖΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΔΒΑ γωνία ὁ ὑπό ΖΒΓ ἴσος · βάσις ἄρα ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΖΓ ἴσος , καί ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ὁ ΖΒΓ τρίγωνον εἰμί ἴσος · καί ὁ μέν ΑΒΔ τρίγωνον διπλάσιος ὁ ΒΛ παραλληλόγραμμος · βάσις τε γάρ ὁ αὐτός ἔχω ὁ ΒΔ καί ἐν ὁ αὐτός εἰμί παράλληλος ὁ ΒΔ , ΑΛ · ὁ δέ ΖΒΓ τρίγωνον διπλάσιος ὁ ΗΒ τετράγωνος · βάσις τε γάρ πάλιν ὁ αὐτός ἔχω ὁ ΖΒ καί ἐν ὁ αὐτός εἰμί παράλληλος ὁ ΖΒ , ΗΓ . ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΛ παραλληλόγραμμος ὁ ΗΒ τετράγωνος . ὅμοιος δή ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , ΒΚ δείκνυμι καί ὁ ΓΛ παραλληλόγραμμος ἴσος ὁ ΘΓ τετράγωνος · ὅλος ἄρα ὁ ΒΔΕΓ τετράγωνος δύο ὁ ΗΒ , ΘΓ τετράγωνος ἴσος εἰμί . καί εἰμί ὁ μέν ΒΔΕΓ τετράγωνος ἀπό ὁ ΒΓ ἀναγράφω , ὁ δέ ΗΒ , ΘΓ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΓ πλευρά τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ πλευρά τετράγωνος . ἐν ἄρα ὁ ὀρθογώνιον τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀρθός γωνία ὑποτείνω πλευρά τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ ὀρθός περιέχω πλευρά τετράγωνος · ὅς δέω δείκνυμι .