euclides-geom.elementa 10.prop3.90
εὑρεῖν τὴν ἕκτην ἀποτομήν . Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Ε , ΒΓ , ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἔτι δὲ καὶ ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον μὴ ἐχέτω , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν . λέγω δή , ὅτι καὶ ἕκτη . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ . ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει · οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ , ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ Α ῥητῇ μήκει . ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ , ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Κ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ . ὁ δὲ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει . καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Κ · ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ , ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α . ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη . εὕρηται ἄρα ἡ ἕκτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ ἕκτος ἀποτομή . ἔκκειμαι ῥητός ὁ Α καί τρεῖς ἀριθμός ὁ Ε , ΒΓ , ΓΔ λόγος μή ἔχω πρός ἀλλήλων , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἔτι δέ καί ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ποιέω ὡς μέν ὁ Ε πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ὡς δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Ε πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , σύμμετρος ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ Α · ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΗ . καί ἐπεί ὁ Ε πρός ὁ ΒΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ ΖΗ μῆκος . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , σύμμετρος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ · ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΗΘ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΗΘ . καί ἐπεί ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΘ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΖΗ , ΗΘ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ἄρα ΖΘ ἀποτομή εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί ἕκτος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς μέν ὁ Ε πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ὡς δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Ε πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ . ὁ δέ Ε πρός ὁ ΓΔ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ Α ὁ ΗΘ μῆκος · οὐδέτερος ἄρα ὁ ΖΗ , ΗΘ σύμμετρος εἰμί ὁ Α ῥητός μῆκος . ὅς οὖν μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , εἰμί ὁ ἀπό ὁ Κ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Κ . ὁ δέ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · οὐδέ ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΖΗ πρός ὁ ἀπό ὁ Κ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ Κ μῆκος . καί δύναμαι ὁ ΖΗ ὁ ΗΘ μέγας ὁ ἀπό ὁ Κ · ὁ ΖΗ ἄρα ὁ ΗΘ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . καί οὐδέτερος ὁ ΖΗ , ΗΘ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός μῆκος ὁ Α . ὁ ἄρα ΖΘ ἀποτομή εἰμί ἕκτος . εὑρίσκω ἄρα ὁ ἕκτος ἀποτομή ὁ ΖΘ · ὅς δέω δείκνυμι .