euclides-geom.elementa 1.prop.29
ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας . εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ · λέγω , ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΗΘ , ΗΘΔ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας . εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ , μία αὐτῶν μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ · κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ μείζονές εἰσιν . ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν . αἱ δὲ ἀπʼ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπίπτουσιν · αἱ ἄρα ΑΒ , ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται · οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι · οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ · ἴση ἄρα . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ · αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ , ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ , ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἡ ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι . ἔστω ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος · λέγω , ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἐστι παράλληλος . ἐμπιπτέτω γὰρ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΗΚ . καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ , ΕΖ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ , ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ . πάλιν , ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΖ , ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴση . καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΚΔ ἐστιν ἴση · καί εἰσιν ἐναλλάξ . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ εἰς ὁ παράλληλος εὐθεῖα εὐθύς ἐμπίπτω ὁ τε ἐναλλάξ γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω καί ὁ ἐκτός ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ἴσος καί ὁ ἐντός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος δύο ὀρθός ἴσος . εἰς γάρ παράλληλος εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτω ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ἐναλλάξ γωνία ὁ ὑπό ΑΗΘ , ΗΘΔ ἴσος ποιέω καί ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΕΗΒ ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΗΘΔ ἴσος καί ὁ ἐντός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ ὑπό ΒΗΘ , ΗΘΔ δύο ὀρθός ἴσος . εἰ γάρ ἄνισος εἰμί ὁ ὑπό ΑΗΘ ὁ ὑπό ΗΘΔ , εἷς αὐτός μέγας εἰμί . εἰμί μέγας ὁ ὑπό ΑΗΘ · κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΒΗΘ · ὁ ἄρα ὑπό ΑΗΘ , ΒΗΘ ὁ ὑπό ΒΗΘ , ΗΘΔ μέγας εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΗΘ , ΒΗΘ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα ὑπό ΒΗΘ , ΗΘΔ δύο ὀρθός ἐλαχύς εἰμί . ὁ δέ ἀπό ἐλαχύς ἤ δύο ὀρθός ἐκβάλλω εἰς ἄπειρος συμπίπτω · ὁ ἄρα ΑΒ , ΓΔ ἐκβάλλω εἰς ἄπειρος συμπίπτω · οὐ συμπίπτω δέ διά ὁ παράλληλος αὐτός ὑπόκειμαι · οὐ ἄρα ἄνισος εἰμί ὁ ὑπό ΑΗΘ ὁ ὑπό ΗΘΔ · ἴσος ἄρα . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΗΘ ὁ ὑπό ΕΗΒ εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ΕΗΒ ἄρα ὁ ὑπό ΗΘΔ εἰμί ἴσος . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΒΗΘ · ὁ ἄρα ὑπό ΕΗΒ , ΒΗΘ ὁ ὑπό ΒΗΘ , ΗΘΔ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ὑπό ΕΗΒ , ΒΗΘ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · καί ὁ ὑπό ΒΗΘ , ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὁ ἄρα εἰς ὁ παράλληλος εὐθεῖα εὐθύς ἐμπίπτω ὁ τε ἐναλλάξ γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω καί ὁ ἐκτός ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ἴσος καί ὁ ἐντός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος δύο ὀρθός ἴσος · ὅς δέω δείκνυμι . ὁ ὁ αὐτός εὔθεια παράλληλος καί ἀλλήλων εἰμί παράλληλος . εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ ΕΖ παράλληλος · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ εἰμί παράλληλος . ἐμπίπτω γάρ εἰς αὐτός εὐθεῖα ὁ ΗΚ . καί ἐπεί εἰς παράλληλος εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΕΖ εὐθεῖα ἐμπίπτω ὁ ΗΚ , ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΑΗΚ ὁ ὑπό ΗΘΖ . πάλιν , ἐπεί εἰς παράλληλος εὐθεῖα ὁ ΕΖ , ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτω ὁ ΗΚ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΗΘΖ ὁ ὑπό ΗΚΔ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΑΗΚ ὁ ὑπό ΗΘΖ ἴσος . καί ὁ ὑπό ΑΗΚ ἄρα ὁ ὑπό ΗΚΔ εἰμί ἴσος · καί εἰμί ἐναλλάξ . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ . ὅς δέω δείκνυμι .