euclides-geom.elementa 8.prop.10
ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἑκατέρου καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί , ὅσοι ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται . δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α , Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἵ τε Δ , Ε καὶ οἱ Ζ , η · λέγω , ὅτι ὅσοι ἑκατέρου τῶν Α , Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α , Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται . ὁ Δ γὰρ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ ποιείτω , ἑκάτερος δὲ τῶν Δ , Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ , Λ ποιείτω . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε , ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε . ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας · καὶ ὁ Δ ἄρα ἀριθμὸς τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας · ὁ Δ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν . πάλιν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Α , ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Α . ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας · καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας · ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν , τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν , τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η . καὶ ὡς ἄρα ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η . πάλιν , ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ε , Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α , Κ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ . ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ . πάλιν , ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Δ , Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ , Λ πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ . ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ . ἔτι ἐπεὶ ὁ Ζ ἑκάτερον τῶν Θ , Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ , Β πεποίηκεν , ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β . ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Λ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ , οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β . οἱ Α , Κ , Λ , Β ἄρα κατὰ τὸ συνεχὲς ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον . ὅσοι ἄρα ἑκατέρου τῶν Α , Β καὶ τῆς Γ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α , Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεσοῦνται · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός ἑκάτερος καί μονάς μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , ὅσος ἑκάτερος αὐτός καί μονάς μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί εἰς αὐτός μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β καί μονάς ὁ Γ μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός ὁ τε Δ , Ε καί ὁ Ζ , η̅ · λέγω , ὅτι ὅσος ἑκάτερος ὁ Α , Β καί μονάς ὁ Γ μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί εἰς ὁ Α , Β μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω . ὁ Δ γάρ ὁ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Θ ποιέω , ἑκάτερος δέ ὁ Δ , Ζ ὁ Θ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Κ , Λ ποιέω . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Γ μονή πρός ὁ Δ ἀριθμός , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ε , ἰσάκις ἄρα ὁ Γ μονή ὁ Δ ἀριθμός μετρέω καί ὁ Δ ὁ Ε . ὁ δέ Γ μονή ὁ Δ ἀριθμός μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς · καί ὁ Δ ἄρα ἀριθμός ὁ Ε μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς · ὁ Δ ἄρα ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω . πάλιν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Γ πρός ὁ Δ ἀριθμός , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Α , ἰσάκις ἄρα ὁ Γ μονή ὁ Δ ἀριθμός μετρέω καί ὁ Ε ὁ Α . ὁ δέ Γ μονή ὁ Δ ἀριθμός μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς · καί ὁ Ε ἄρα ὁ Α μετρέω κατά ὁ ἐν ὁ Δ μονάς · ὁ Δ ἄρα ὁ Ε πολλαπλασιάζω ὁ Α ποιέω . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ μέν Ζ ἑαυτοῦ πολλαπλασιάζω ὁ Η ποιέω , ὁ δέ Η πολλαπλασιάζω ὁ Β ποιέω . καί ἐπεί ὁ Δ ἑαυτοῦ μέν πολλαπλασιάζω ὁ Ε ποιέω , ὁ δέ Ζ πολλαπλασιάζω ὁ Θ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Θ . διά ὁ αὐτός δή καί ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Η . καί ὡς ἄρα ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Θ πρός ὁ Η . πάλιν , ἐπεί ὁ Δ ἑκάτερος ὁ Ε , Θ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Α , Κ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Κ . ἀλλά ὡς ὁ Ε πρός ὁ Θ , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ζ · καί ὡς ἄρα ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Κ . πάλιν , ἐπεί ἑκάτερος ὁ Δ , Ζ ὁ Θ πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Κ , Λ ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Λ . ἀλλά ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Κ · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Κ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Λ . ἔτι ἐπεί ὁ Ζ ἑκάτερος ὁ Θ , Η πολλαπλασιάζω ἑκάτερος ὁ Λ , Β ποιέω , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Θ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Β . ὡς δέ ὁ Θ πρός ὁ Η , οὕτως ὁ Δ πρός ὁ Ζ · καί ὡς ἄρα ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ Λ πρός ὁ Β . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ Δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ τε Α πρός ὁ Κ καί ὁ Κ πρός ὁ Λ · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Κ , οὕτως ὁ Κ πρός ὁ Λ καί ὁ Λ πρός ὁ Β . ὁ Α , Κ , Λ , Β ἄρα κατά ὁ συνεχής ἑξῆς εἰμί ἀνάλογος . ὅσος ἄρα ἑκάτερος ὁ Α , Β καί ὁ Γ μονάς μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί εἰς ὁ Α , Β μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἐμπίπτω · ὅς δέω δείκνυμι .