euclides-geom.elementa 10.prop3.99
τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην . ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ , ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη . ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι . καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον παρὰ τὴν ΚΘ παραβεβλήσθω τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ · ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον , καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ , ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ · μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΖΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ , ΗΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι , ἀσύμμετρος ἄρα μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ · ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΖΛ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ . λέγω δή , ὅτι καὶ τρίτη . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ , σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ · ὥστε καὶ ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ . καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ , καὶ τῶν ΓΘ , ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ , ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ · ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ , ἡ ΓΜ ἄρα τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΜ , ΜΖ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ · ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη . τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό μέσος ἀποτομή δεύτερος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή τρίτος . εἰμί μέσος ἀποτομή δεύτερος ὁ ΑΒ , ῥητός δέ ὁ ΓΔ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΕ πλάτος ποιέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΖ ἀποτομή εἰμί τρίτος . εἰμί γάρ ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω . καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΘ πλάτος ποιέω ὁ ΓΚ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΗ ἴσος παρά ὁ ΚΘ παραβάλλω ὁ ΚΛ πλάτος ποιέω ὁ ΚΜ · ὅλος ἄρα ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ · μέσος ἄρα καί ὁ ΓΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΓΔ παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ΓΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . καί ἐπεί ὅλος ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὅς ὁ ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , λοιπός ἄρα ὁ ΛΖ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . τέμνω οὖν ὁ ΖΜ δίχα κατά ὁ Ν σημεῖον , καί ὁ ΓΔ παράλληλος ἄγω ὁ ΝΞ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΖΞ , ΝΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . μέσος δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ · μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΖΜ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΖΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . καί ἐπεί ὁ ΑΗ , ΗΒ δύναμις μόνος εἰμί σύμμετρος , ἀσύμμετρος ἄρα μῆκος ὁ ΑΗ ὁ ΗΒ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος εἰμί ὁ ΓΛ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος εἰμί ὁ ΖΛ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΛ ὁ ΖΛ . ὡς δέ ὁ ΓΛ πρός ὁ ΖΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΜ πρός ὁ ΖΜ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ ὁ ΖΜ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΓΖ . λέγω δή , ὅτι καί τρίτος . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΒ , σύμμετρος ἄρα καί ὁ ΓΘ ὁ ΚΛ · ὥστε καί ὁ ΓΚ ὁ ΚΜ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΗΒ ἴσος ὁ ΚΛ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος ὁ ΝΛ , καί ὁ ΓΘ , ΚΛ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΝΛ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΚ πρός ὁ ΝΜ , ὡς δέ ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΝΜ πρός ὁ ΚΜ · ὡς ἄρα ὁ ΓΚ πρός ὁ ΜΝ , οὕτως εἰμί ὁ ΜΝ πρός ὁ ΚΜ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΚ , ΚΜ ἴσος εἰμί ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΖΜ . ἐπεί οὖν δύο εὐθεῖα ἄνισος εἰμί ὁ ΓΜ , ΜΖ , καί ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΖΜ ἴσος παρά ὁ ΓΜ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος καί εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω , ὁ ΓΜ ἄρα ὁ ΜΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί οὐδέτερος ὁ ΓΜ , ΜΖ σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ΓΖ ἀποτομή εἰμί τρίτος . ὁ ἄρα ἀπό μέσος ἀποτομή δεύτερος παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή τρίτος · ὅς δέω δείκνυμι .