euclides-geom.elementa 6.prop.8
ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ , τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις . ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒΔ , ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοις . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ · ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα · καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τοῦ ΑΒΔ ἡ πρὸς τῷ Β , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΑ ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου , οὕτως αὐτὴ ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Γ γωνίαν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΔ ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην τὴν ὑπὸ ΒΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου , καὶ ἔτι ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν κοινὴν τῶν δύο τριγώνων . τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει . ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ , ΑΔΓ ὅμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓ . λέγω δή , ὅτι καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια τὰ ΑΒΔ , ΑΔΓ τρίγωνα . ἐπεὶ γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ ἐστιν ἴση , ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐδείχθη ἴση , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Γ ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΔ , οὕτως αὐτὴ ἡ ΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν πρὸς τὴν ΔΓ ὑποτείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἴσην τῇ πρὸς τῷ Β , καὶ ἔτι ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ ὑποτείνουσαι τὰς ὀρθάς · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ . ἐὰν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ , τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ , ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνον ἀπό ὁ ὀρθός γωνία ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω , ὁ πρός ὁ κάθετος τρίγωνος ὅμοιος εἰμί ὁ τε ὅλος καί ἀλλήλων . εἰμί τρίγωνον ὀρθογώνιον ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία , καί ἄγω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὅμοιος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒΔ , ΑΔΓ τρίγων ὅλος ὁ ΑΒΓ καί ἔτι ἀλλήλων . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὑπό ΑΔΒ · ὀρθός γάρ ἑκάτερος · καί κοινός ὁ δύο τρίγων ὁ τε ΑΒΓ καί ὁ ΑΒΔ ὁ πρός ὁ Β , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΒ λοιπός ὁ ὑπό ΒΑΔάς εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΒΔ τρίγωνον . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ ὑποτείνω ὁ ὀρθός ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΒΑ ὑποτείνω ὁ ὀρθός ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , οὕτως αὐτός ὁ ΑΒ ὑποτείνω ὁ πρός ὁ Γ γωνία ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΒΔ ὑποτείνω ὁ ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΔάς ὁ ΑΒΔ τρίγωνον , καί ἔτι ὁ ΑΓ πρός ὁ ΑΔ ὑποτείνω ὁ πρός ὁ Β γωνία κοινός ὁ δύο τρίγων . ὁ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ἰσογώνιος τε εἰμί καί ὁ περί ὁ ἴσος γωνία πλευρά ἀνάλογος ἔχω . ὅμοιος ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΒΔ τρίγωνον . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΑΔΓ τρίγωνον ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΒΔ , ΑΔΓ ὅμοιος εἰμί ὅλος ὁ ΑΒΓ . λέγω δή , ὅτι καί ἀλλήλων εἰμί ὅμοιος ὁ ΑΒΔ , ΑΔΓ τρίγωνος . ἐπεί γάρ ὀρθός ὁ ὑπό ΒΔΑ ὀρθός ὁ ὑπό ΑΔΓ εἰμί ἴσος , ἀλλά μήν καί ὁ ὑπό ΒΑΔάς ὁ πρός ὁ Γ δείκνυμι ἴσος , καί λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ Β λοιπός ὁ ὑπό ΔΑΓ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ὁ ΑΔΓ τρίγωνον . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΔ ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ὑποτείνω ὁ ὑπό ΒΑΔάς πρός ὁ ΔΑ ὁ ΑΔΓ τρίγωνον ὑποτείνω ὁ πρός ὁ Γ ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΔάς , οὕτως αὐτός ὁ ΑΔ ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ὑποτείνω ὁ πρός ὁ Β γωνία πρός ὁ ΔΓ ὑποτείνω ὁ ὑπό ΔΑΓ ὁ ΑΔΓ τρίγωνον ἴσος ὁ πρός ὁ Β , καί ἔτι ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ ὑποτείνω ὁ ὀρθός · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ὁ ΑΔΓ τρίγωνον . ἐάν ἄρα ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνον ἀπό ὁ ὀρθός γωνία ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω , ὁ πρός ὁ κάθετος τρίγωνος ὅμοιος εἰμί ὁ τε ὅλος καί ἀλλήλων . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ἐάν ἐν ὀρθογώνιος τρίγωνον ἀπό ὁ ὀρθός ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω , ὁ ἄγω ὁ ὁ βάσις τμῆμα μέσος ἀνάλογος εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .