euclides-geom.elementa 3.prop.16
ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου , καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται , καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν , ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων . ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ · λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΓΑ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ · τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ , ΑΓΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδʼ ἐπὶ τῆς περιφερείας · ἐκτὸς ἄρα . πιπτέτω ὡς ἡ ΑΕ · λέγω δή , ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΕ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ κάθετος ἡ ΔΗ . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ , ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΑΗ , μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΗ . ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ · μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ , ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται . λέγω , ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν , ἡ δὲ λοιπὴ ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων ἐστίν . εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος μείζων μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας , ἐλάττων δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας , εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα περεμπεσεῖται , ἥτις ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην , ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας . οὐ παρεμπίπτει δέ · οὐκ ἄρα τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη , οὐδὲ μὴν ἐλάττων τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου . ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὁ διάμετρον ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ἄκρα ἄγω ἐκτός πίπτω ὁ κύκλος , καί εἰς ὁ μεταξύ τόπος ὁ τε εὐθεῖα καί ὁ περιφέρεια ἕτερος εὐθύς οὐ παρεμπίπτω , καί ὁ μέν ὁ ἡμικύκλιον γωνία ἅπας γωνία ὀξύς εὐθύγραμμος μέγας εἰμί , ὁ δέ λοιπός ἐλαχύς . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ Δ καί διάμετρος ὁ ΑΒ · λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Α ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἀπό ἄκρα ἄγω ἐκτός πίπτω ὁ κύκλος . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , πίπτω ἐντός ὡς ὁ ΓΑ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΓ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΔΓ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΔΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΑΓΔ . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΔΑΓ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΑΓΔ · τρίγωνον δή ὁ ΑΓΔ ὁ δύο γωνία ὁ ὑπό ΔΑΓ , ΑΓΔ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ΒΑ πρός ὀρθός ἄγω ἐντός πίπτω ὁ κύκλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ἐπί ὁ περιφέρεια · ἐκτός ἄρα . πίπτω ὡς ὁ ΑΕ · λέγω δή , ὅτι εἰς ὁ μεταξύ τόπος ὁ τε ΑΕ εὐθεῖα καί ὁ ΓΘΑ περιφέρεια ἕτερος εὐθύς οὐ παρεμπίπτω . εἰ γάρ δυνατός , παρεμπίπτω ὡς ὁ ΖΑ , καί ἄγω ἀπό ὁ Δ σημεῖον ἐπί ὁ ΖΆ κάθετος ὁ ΔΗ . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΑΗΔ , ἐλαχύς δέ ὀρθός ὁ ὑπό ΔΑΗ , μέγας ἄρα ὁ ΑΔ ὁ ΔΉ . ἴσος δέ ὁ ΔΑ ὁ ΔΘ · μέγας ἄρα ὁ ΔΘ ὁ ΔΉ , ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰς ὁ μεταξύ τόπος ὁ τε εὐθεῖα καί ὁ περιφέρεια ἕτερος εὐθύς παρεμπίπτω . λέγω , ὅτι καί ὁ μέν ὁ ἡμικύκλιον γωνία ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΒΑ εὐθεῖα καί ὁ ΓΘΑ περιφέρεια ἅπας γωνία ὀξύς εὐθύγραμμος μέγας εἰμί , ὁ δέ λοιπός ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΓΘΑ περιφέρεια καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα ἅπας γωνία ὀξύς εὐθύγραμμος ἐλαχύς εἰμί . εἰ γάρ εἰμί τις γωνία εὐθύγραμμος μέγας μέν ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΒΑ εὐθεῖα καί ὁ ΓΘΑ περιφέρεια , ἐλαχύς δέ ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΓΘΑ περιφέρεια καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα , εἰς ὁ μεταξύ τόπος ὁ τε ΓΘΑ περιφέρεια καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα εὐθύς περεμπεσίημι , ὅστις ποιέω μέγας μέν ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΒΑ εὐθεῖα καί ὁ ΓΘΑ περιφέρεια ὑπό εὐθεῖα περιέχω , ἐλαχύς δέ ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΓΘΑ περιφέρεια καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα . οὐ παρεμπίπτω δέ · οὐ ἄρα ὁ περιέχω γωνία ὑπό τε ὁ ΒΑ εὐθεῖα καί ὁ ΓΘΑ περιφέρεια εἰμί μέγας ὀξύς ὑπό εὐθύς περιέχω , οὐδέ μήν ἐλαχύς ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΓΘΑ περιφέρεια καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι ὁ ὁ διάμετρος ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀπό ἄκρα ἄγω ἐφάπτω ὁ κύκλος . ὅς δέω δείκνυμι .