euclides-geom.elementa 8.prop.8
ἐὰν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί , ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται . δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α , Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ , Δ , καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ · λέγω , ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α , Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε , Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται . ὅσοι γάρ εἰσι τῷ πλήθει οἱ Α , Β , Γ , Δ , τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Γ , Δ , Β οἱ Η , Θ , Κ , Λ · οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Η , Λ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Γ , Δ , Β τοῖς Η , Θ , Κ , Λ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α , Γ , Δ , Β τῷ πλήθει τῶν Η , Θ , Κ , Λ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ . ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Λ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ . οἱ δὲ Η , Λ πρῶτοι , οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι , οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα , τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον . ἰσάκις ἄρα ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ καὶ ὁ Λ τὸν Ζ . ὁσάκις δὴ ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ , τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ , Κ ἑκάτερον τῶν Μ , Ν μετρείτω · οἱ Η , Θ , Κ , Λ ἄρα τοὺς Ε , Μ , Ν , Ζ ἰσάκις μετροῦσιν . οἱ Η , Θ , Κ , Λ ἄρα τοῖς Ε , Μ , Ν , Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν . ἀλλὰ οἱ Η , Θ , Κ , Λ τοῖς Α , Γ , Δ , Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν · καὶ οἱ Α , Γ , Δ , Β ἄρα τοῖς Ε , Μ , Ν , Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν . οἱ δὲ Α , Γ , Δ , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν · καὶ οἱ Ε , Μ , Ν , Ζ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν . ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α , Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε , Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν δύο ἀριθμός μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , ὅσος εἰς αὐτός μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί εἰς ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω . δύο γάρ ἀριθμός ὁ Α , Β μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός ὁ Γ , Δ , καί ποιέω ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ · λέγω , ὅτι ὅσος εἰς ὁ Α , Β μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί εἰς ὁ Ε , Ζ μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω . ὅσος γάρ εἰμί ὁ πλῆθος ὁ Α , Β , Γ , Δ , τοσοῦτος λαμβάνω ἐλαχύς ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α , Γ , Δ , Β ὁ Η , Θ , Κ , Λ · ὁ ἄρα ἄκρος αὐτός ὁ Η , Λ πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί . καί ἐπεί ὁ Α , Γ , Δ , Β ὁ Η , Θ , Κ , Λ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί , καί εἰμί ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Α , Γ , Δ , Β ὁ πλῆθος ὁ Η , Θ , Κ , Λ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Η πρός ὁ Λ . ὡς δέ ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ · καί ὡς ἄρα ὁ Η πρός ὁ Λ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ . ὁ δέ Η , Λ πρῶτος , ὁ δέ πρῶτος καί ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς ἀριθμός μετρέω ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ἰσάκις ὁ τε μέγας ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς ὁ ἐλαχύς , τουτέστι ὁ τε ἡγέομαι ὁ ἡγέομαι καί ὁ ἕπομαι ὁ ἕπομαι . ἰσάκις ἄρα ὁ Η ὁ Ε μετρέω καί ὁ Λ ὁ Ζ . ὁσάκις δή ὁ Η ὁ Ε μετρέω , τοσαυτάκις καί ἑκάτερος ὁ Θ , Κ ἑκάτερος ὁ Μ , Ν μετρέω · ὁ Η , Θ , Κ , Λ ἄρα ὁ Ε , Μ , Ν , Ζ ἰσάκις μετρέω . ὁ Η , Θ , Κ , Λ ἄρα ὁ Ε , Μ , Ν , Ζ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί . ἀλλά ὁ Η , Θ , Κ , Λ ὁ Α , Γ , Δ , Β ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί · καί ὁ Α , Γ , Δ , Β ἄρα ὁ Ε , Μ , Ν , Ζ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί . ὁ δέ Α , Γ , Δ , Β ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί · καί ὁ Ε , Μ , Ν , Ζ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί . ὅσος ἄρα εἰς ὁ Α , Β μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός , τοσοῦτος καί εἰς ὁ Ε , Ζ μεταξύ κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος ἐμπίπτω ἀριθμός · ὅς δέω δείκνυμι .