euclides-geom.elementa 2.prop.4
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τετμήσθω , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ Γ . λέγω , ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ , καὶ διὰ μὲν τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ , ΕΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ , διὰ δὲ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ , ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΖ τῇ ΑΔ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ , ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΔΒ . ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση , ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΑ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΗΒΓ ἐστιν ἴση · ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΓ πλευρᾷ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση · ἀλλʼ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΓΗ τῇ ΚΒ · καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ . λέγω δή , ὅτι καὶ ὀρθογώνιον . ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΒΚ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΚΒΓ , ΗΓΒ γωνίαι δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι . ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΚΒΓ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ · ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον αἱ ὑπὸ ΓΗΚ , ΗΚΒ ὀρθαί εἰσιν . ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ · ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον · τετράγωνον ἄρα ἐστίν · καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΘΖ τετράγωνόν ἐστιν · καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΘΗ , τουτέστιν τῆς ΑΓ · τὰ ἄρα ΘΖ , ΚΓ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ εἰσιν . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ , καί ἐστι τὸ ΑΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · ἴση γὰρ ἡ ΗΓ τῇ ΓΒ · καὶ τὸ ΗΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ , ΓΒ · τὰ ἄρα ΑΗ , ΗΕ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . ἔστι δὲ καὶ τὰ ΘΖ , ΓΚ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · τὰ ἄρα τέσσαρα τὰ ΘΖ , ΓΚ , ΑΗ , ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἀλλὰ τὰ ΘΖ , ΓΚ , ΑΗ , ΗΕ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ , ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ . ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ , ὡς ἔτυχεν , τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ἀπό ὁ ὅλος τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ τμῆμα τετράγωνος καί ὁ δίς ὑπό ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον . εὐθύς γάρ γραμμή ὁ ΑΒ τέμνω , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ Γ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ τετράγωνος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ περιέχω ὀρθογώνιον . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΑΔΕΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ , καί διά μέν ὁ Γ ὁπότερος ὁ ΑΔ , ΕΒ παράλληλος ἄγω ὁ ΓΖ , διά δέ ὁ Η ὁπότερος ὁ ΑΒ , ΔΕ παράλληλος ἄγω ὁ ΘΚ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΓΖ ὁ ΑΔ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω ὁ ΒΔ , ὁ ἐκτός γωνία ὁ ὑπό ΓΗΒ ἴσος εἰμί ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΑΔΒ . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΔΒ ὁ ὑπό ΑΒΔ εἰμί ἴσος , ἐπεί καί πλευρόν ὁ ΒΑ ὁ ΑΔ εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ΓΗΒ ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΗΒΓ εἰμί ἴσος · ὥστε καί πλευρόν ὁ ΒΓ πλευρά ὁ ΓΗ εἰμί ἴσος · ἀλλά ὁ μέν ΓΒ ὁ ΗΚ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΓΗ ὁ ΚΒ · καί ὁ ΗΚ ἄρα ὁ ΚΒ εἰμί ἴσος · ἰσόπλευρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΗΚΒ . λέγω δή , ὅτι καί ὀρθογώνιον . ἐπεί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ ΓΗ ὁ ΒΚ , ὁ ἄρα ὑπό ΚΒΓ , ΗΓΒ γωνία δύο ὀρθός εἰμί ἴσος . ὀρθός δέ ὁ ὑπό ΚΒΓ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ΒΓΗ · ὥστε καί ὁ ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΓΗΚ , ΗΚΒ ὀρθός εἰμί . ὀρθογώνιον ἄρα εἰμί ὁ ΓΗΚΒ · δείκνυμι δέ καί ἰσόπλευρος · τετράγωνος ἄρα εἰμί · καί εἰμί ἀπό ὁ ΓΒ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΘΖ τετράγωνος εἰμί · καί εἰμί ἀπό ὁ ΘΗ , τουτέστι ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ΘΖ , ΚΓ τετράγωνος ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΕ , καί εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ἴσος γάρ ὁ ΗΓ ὁ ΓΒ · καί ὁ ΗΕ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΓ , ΓΒ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΕ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . εἰμί δέ καί ὁ ΘΖ , ΓΚ τετράγωνος ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ὁ ἄρα τέσσαρες ὁ ΘΖ , ΓΚ , ΑΗ , ΗΕ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ τετράγωνος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ περιέχω ὀρθογώνιον . ἀλλά ὁ ΘΖ , ΓΚ , ΑΗ , ΗΕ ὅλος εἰμί ὁ ΑΔΕΒ , ὅς εἰμί ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ τετράγωνος καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ περιέχω ὀρθογώνιον . ἐάν ἄρα εὐθύς γραμμή τέμνω , ὡς τυγχάνω , ὁ ἀπό ὁ ὅλος τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ τμῆμα τετράγωνος καί ὁ δίς ὑπό ὁ τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιον · ὅς δέω δείκνυμι . .