euclides-geom.elementa 10.prop3.97
τὸ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην . ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ , ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη . ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ . ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ · ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . τετμήσθω ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ , ΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ῥητά ἐστιν , καί ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον τὸ ΔΜ , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ , μέσον ἄρα τὸ ΖΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . καὶ ἐπεὶ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ῥητά ἐστιν , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον , ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ . καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τὸ ΖΛ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ τῷ ΖΛ . ὡς δὲ τὸ ΔΜ πρὸς τὸ ΖΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ . ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν . λέγω δή , ὅτι καὶ πρώτη . ἐπεὶ γὰρ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ , καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΒ τὸ ΝΛ , καὶ τῶν ΓΘ , ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ · ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ · ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ , τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ . καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ , σύμμετρόν καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ · σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ , καί ἐστι σύμμετρος ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ , ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καί ἐστιν ἡ ΓΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ μήκει · ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη . τὸ ἄρα ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ἀπό ἀποτομή παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή πρῶτος . εἰμί ἀποτομή ὁ ΑΒ , ῥητός δέ ὁ ΓΔ , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΕ πλάτος ποιέω ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΖ ἀποτομή εἰμί πρῶτος . εἰμί γάρ ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΒ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος παρά ὁ ΓΔ παραβάλλω ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΗ ὁ ΚΛ . ὅλος ἄρα ὁ ΓΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ · ὅς ὁ ΓΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · λοιπός ἄρα ὁ ΖΛ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . τέμνω ὁ ΖΜ δίχα κατά ὁ Ν σημεῖον , καί ἄγω διά ὁ Ν ὁ ΓΔ παράλληλος ὁ ΝΞ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΖΞ , ΛΝ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ῥητός εἰμί , καί εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος ὁ ΔΜ , ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΔΜ . καί παρά ῥητός ὁ ΓΔ παραβάλλω πλάτος ποιέω ὁ ΓΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ καί σύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . πάλιν , ἐπεί μέσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος ὁ ΖΛ , μέσος ἄρα ὁ ΖΛ . καί παρά ῥητός ὁ ΓΔ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΖΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΖΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΓΔ μῆκος . καί ἐπεί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ῥητός εἰμί , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ . καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ἴσος εἰμί ὁ ΓΛ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ ΖΛ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΔΜ ὁ ΖΛ . ὡς δέ ὁ ΔΜ πρός ὁ ΖΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΜ πρός ὁ ΖΜ . ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ ὁ ΖΜ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ἄρα ΓΜ , ΜΖ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ὁ ΓΖ ἄρα ἀποτομή εἰμί . λέγω δή , ὅτι καί πρῶτος . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , ΗΒ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΗ ἴσος ὁ ΓΘ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΒΗ ἴσος ὁ ΚΛ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΒ ὁ ΝΛ , καί ὁ ΓΘ , ΚΛ ἄρα μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΝΛ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΘ πρός ὁ ΝΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΓΚ πρός ὁ ΝΜ · ὡς δέ ὁ ΝΛ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως εἰμί ὁ ΝΜ πρός ὁ ΚΜ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΚ , ΚΜ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΝΜ , τουτέστι ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΖΜ . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΗ ὁ ἀπό ὁ ΗΒ , σύμμετρος καί ὁ ΓΘ ὁ ΚΛ . ὡς δέ ὁ ΓΘ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΓΚ πρός ὁ ΚΜ · σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΓΚ ὁ ΚΜ . ἐπεί οὖν δύο εὐθεῖα ἄνισος εἰμί ὁ ΓΜ , ΜΖ , καί ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΖΜ ἴσος παρά ὁ ΓΜ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος ὁ ὑπό ὁ ΓΚ , ΚΜ , καί εἰμί σύμμετρος ὁ ΓΚ ὁ ΚΜ , ὁ ἄρα ΓΜ ὁ ΜΖ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . καί εἰμί ὁ ΓΜ σύμμετρος ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΓΔ μῆκος · ὁ ἄρα ΓΖ ἀποτομή εἰμί πρῶτος . ὁ ἄρα ἀπό ἀποτομή παρά ῥητός παραβάλλω πλάτος ποιέω ἀποτομή πρῶτος · ὅς δέω δείκνυμι .