euclides-geom.elementa 10.prop2.81
τῇ μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα . ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΓ · αἱ ἄρα ΑΓ , ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · λέγω , ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα . εἰ γὰρ δυνατόν , προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ · καὶ αἱ ΑΔ , ΔΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ , καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ · τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ · ὥστε ἡ ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ . πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ · ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΙ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ . καὶ ἐπεὶ μέσαι εἰσὶν αἱ ΑΓ , ΓΒ , μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . καί ἐστιν ἴσα τῷ ΕΗ · μέσον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μέσον ἐστίν . καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ · καὶ τὸ ΘΗ ἄρα μέσον ἐστίν . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ , ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει . ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ · ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ . καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ , τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ ἴσον τὸ ΗΘ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ . ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΗ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΜ πρὸς τὴν ΘΜ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει . καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί · αἱ ΕΜ , ΜΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ , προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΘΝ αὐτῇ προσαρμόζει · τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ μέσος ἀποτομή δεύτερος εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθύς μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος μέσος περιέχω . εἰμί μέσος ἀποτομή δεύτερος ὁ ΑΒ καί ὁ ΑΒ προσαρμόζω ὁ ΒΓ · ὁ ἄρα ΑΓ , ΓΒ μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ἕτερος οὐ προσαρμόζω εὐθύς μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος μέσος περιέχω . εἰ γάρ δυνατός , προσαρμόζω ὁ ΒΔ · καί ὁ ΑΔ , ΔΒ ἄρα μέσος εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος μέσος περιέχω ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . καί ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΕΖ , καί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω ὁ ΕΗ πλάτος ποιέω ὁ ΕΜ · ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος ἀφαιρέω ὁ ΘΗν πλάτος ποιέω ὁ ΘΜ · λοιπός ἄρα ὁ ΕΛ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · ὥστε ὁ ΑΒ δύναμαι ὁ ΕΛ . πάλιν δή ὁ ἀπό ὁ ΑΔ , ΔΒ ἴσος παρά ὁ ΕΖ παραβάλλω ὁ ΕΙ πλάτος ποιέω ὁ ΕΝ · εἰμί δέ καί ὁ ΕΛ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος · λοιπός ἄρα ὁ ΘΙ ἴσος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΔ , ΔΒ . καί ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ΑΓ , ΓΒ , μέσος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΕΗ · μέσος ἄρα καί ὁ ΕΗ . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΕΜ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΕΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . πάλιν , ἐπεί μέσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μέσος εἰμί . καί εἰμί ἴσος ὁ ΘΗ · καί ὁ ΘΗ ἄρα μέσος εἰμί . καί παρά ῥητός ὁ ΕΖ παράκειμαι πλάτος ποιέω ὁ ΘΜ · ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΘΜ καί ἀσύμμετρος ὁ ΕΖ μῆκος . καί ἐπεί ὁ ΑΓ , ΓΒ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ μῆκος . ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ σύμμετρος εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος ὁ ΕΗ , ὁ δέ δίς ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος ὁ ΗΘ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΗ ὁ ΘΗν . ὡς δέ ὁ ΕΗ πρός ὁ ΘΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΜ πρός ὁ ΘΜ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΜ ὁ ΜΘ μῆκος . καί εἰμί ἀμφότερος ῥητός · ὁ ΕΜ , ΜΘ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ , προσαρμόζω δέ αὐτός ὁ ΘΜ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΘΝ αὐτός προσαρμόζω · ὁ ἄρα ἀποτομή ἄλλος καί ἄλλος προσαρμόζω εὐθύς δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . ὁ ἄρα μέσος ἀποτομή δεύτερος εἷς μόνος προσαρμόζω εὐθύς μέσος δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , μετά δέ ὁ ὅλος μέσος περιέχω · ὅς δέω δείκνυμι .