euclides-geom.elementa 13.prop.8
ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς δύο γωνίας ὑποτείνωσιν εὐθεῖαι , ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλλήλας , καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ . πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τοῦ ΑΒΓ ΔΕ δύο γωνίας τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς πρὸς τοῖς Α , Β ὑποτεινέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ , ΒΕ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Θ σημεῖον · λέγω , ὅτι ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ σημεῖον , καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ . περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ . καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΑ , ΑΒ δυσὶ ταῖς ΑΒ , ΒΓ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΕ · διπλῆ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΕ τῆς ὑπὸ ΒΑΘ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ διπλῆ , ἐπειδήπερ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΔΓ περιφερείας τῆς ΓΒ ἐστι διπλῆ · ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΘΕ · ὥστε καὶ ἡ ΘΕ εὐθεῖα τῇ ΕΑ , τουτέστι τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ εὐθεῖα τῇ ΑΕ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐδείχθη ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐστιν ἴση . καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΕ καὶ τοῦ ΑΒΘ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΘΒ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΘ τριγώνῳ · ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΘ . ἴση δὲ ἡ ΒΑ τῇ ΕΘ · ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΘ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΒ . μείζων δὲ ἡ ΒΕ τῆς ΕΘ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΘΒ . ἡ ΒΕ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΘΕ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμα ἡ ΓΘ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν πεντάγωνος ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος ὁ κατά ὁ ἑξῆς δύο γωνία ὑποτείνω εὐθεῖα , ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ἀλλήλων , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρά . πεντάγωνος γάρ ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓ ΔΕ δύο γωνία ὁ κατά ὁ ἑξῆς ὁ πρός ὁ Α , Β ὑποτείνω εὐθεῖα ὁ ΑΓ , ΒΕ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Θ σημεῖον · λέγω , ὅτι ἑκάτερος αὐτός ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Θ σημεῖον , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρά . περιγράφω γάρ περί ὁ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνος κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ . καί ἐπεί δύο εὐθεῖα ὁ ΕΑ , ΑΒ δύο ὁ ΑΒ , ΒΓ ἴσος εἰμί καί γωνία ἴσος περιέχω , βάσις ἄρα ὁ ΒΕ βάσις ὁ ΑΓ ἴσος εἰμί , καί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΕ · διπλόος ἄρα ὁ ὑπό ΑΘΕ ὁ ὑπό ΒΑΘ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΕΑΓ ὁ ὑπό ΒΑΓ διπλόος , ἐπειδή καί περιφέρεια ὁ ΕΔΓ περιφέρεια ὁ ΓΒ εἰμί διπλόος · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΘΑΕ γωνία ὁ ὑπό ΑΘΕ · ὥστε καί ὁ ΘΕ εὐθύς ὁ ΕΑ , τουτέστι ὁ ΑΒ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΑ εὐθύς ὁ ΑΕ , ἴσος εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΑΒΕ ὁ ὑπό ΑΕΒ . ἀλλά ὁ ὑπό ΑΒΕ ὁ ὑπό ΒΑΘ δείκνυμι ἴσος · καί ὁ ὑπό ΒΕΑ ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΘ εἰμί ἴσος . καί κοινός ὁ δύο τρίγων ὁ τε ΑΒΕ καί ὁ ΑΒΘ εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΕ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΕ γωνία λοιπός ὁ ὑπό ΑΘΒ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΕ τρίγωνον ὁ ΑΒΘ τρίγωνον · ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΘ . ἴσος δέ ὁ ΒΑ ὁ ΕΘ · ὡς ἄρα ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΘ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ὁ ΘΒ . μέγας δέ ὁ ΒΕ ὁ ΕΘ · μέγας ἄρα καί ὁ ΕΘ ὁ ΘΒ . ὁ ΒΕ ἄρα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Θ , καί ὁ μέγας τμῆμα ὁ ΘΕ ἴσος εἰμί ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρά . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ΑΓ ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ Θ , καί ὁ μέγας αὐτός τμῆμα ὁ ΓΘ ἴσος εἰμί ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρά · ὅς δέω δείκνυμι .