euclides-geom.elementa 10.prop2.48
εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην . Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , πρὸς δὲ τὸν ΓΑ λόγον μὴ ἔχειν , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ ἡ Δ , καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ . ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ . καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ . ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν · ὥστε σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ . καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΕΖ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ . καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν , οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει . αἱ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ . λέγω , ὅτι καὶ πρώτη . ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ , μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ . ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ , Θ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ , ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ . ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν . σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει · ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΕΖ , ΖΗ , καὶ σύμμετρος ἡ ΕΖ τῇ Δ μήκει . ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εὑρίσκω ὁ ἐκ δύο ὄνομα πρῶτος . ἔκκειμαι δύο ἀριθμός ὁ ΑΓ , ΓΒ , ὥστε ὁ σύγκειμαι ἐκ αὐτός ὁ ΑΒ πρός μέν ὁ ΒΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , πρός δέ ὁ ΓΑ λόγος μή ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , καί ἔκκειμαι τις ῥητός ὁ Δ , καί ὁ Δ σύμμετρος εἰμί μῆκος ὁ ΕΖ . ῥητός ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΖ . καί γίγνομαι ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμός πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΑΓ λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός · καί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός · ὥστε σύμμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . καί εἰμί ῥητός ὁ ΕΖ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΖΗ . καί ἐπεί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός , οὐδέ ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΖΗ μῆκος . ὁ ΕΖ , ΖΗ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος · ἐκ δύο ἄρα ὄνομα εἰμί ὁ ΕΗ . λέγω , ὅτι καί πρῶτος . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμός πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , μέγας δέ ὁ ΒΑ ὁ ΑΓ , μέγας ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ἀπό ὁ ΖΗ . εἰμί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , Θ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΕΖ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ . ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · καί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ Θ λόγος ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ Θ μῆκος · ὁ ΕΖ ἄρα ὁ ΖΗ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί εἰμί ῥητός ὁ ΕΖ , ΖΗ , καί σύμμετρος ὁ ΕΖ ὁ Δ μῆκος . ὁ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὄνομα εἰμί πρῶτος · ὅς δέω δείκνυμι .