euclides-geom.elementa 13.prop.15
κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν , ᾗ καὶ τὴν πυραμίδα , καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς . Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ , καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον τὴν πλευρὰν τῇ ΔΒ , καὶ ἀπὸ τῶν Ε , Ζ , Η , Θ τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΕΚ , ΖΛ , ΗΜ , ΘΝ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν ΕΚ , ΖΛ , ΗΜ , ΘΝ μιᾷ τῶν ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ ἴση ἑκάστη τῶν ΕΚ , ΖΛ , ΗΜ , ΘΝ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ , ΛΜ , ΜΝ , ΝΚ · κύβος ἄρα συνέσταται ὁ ΖΝ ὑπὸ ἓξ τετραγώνων ἴσων περιεχόμενος . δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΚΗ , ΕΗ . καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΗ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΚΕ ὀρθὴν εἶναι πρὸς τὸ ΕΗ ἐπίπεδον δηλαδὴ καὶ πρὸς τὴν ΕΗ εὐθεῖαν , τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΗ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ΗΖ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΖΛ , ΖΕ , καὶ πρὸς τὸ ΖΚ ἄρα ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΖ · ὥστε καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΖΚ , ἡ ΗΖ ὀρθὴ ἔσται καὶ πρὸς τὴν ΖΚ · καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τὸ ἐπὶ τῆς ΗΚ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ζ . ὁμοίως καὶ διὰ τῶν λοιπῶν τοῦ κύβου σημείων ἥξει . ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΗ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ , ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένος ὁ κύβος . λέγω δή , ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΖΕ , καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ . ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ · ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΗΕ , ΕΚ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ , τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ . καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ , ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ , τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΕ τριπλάσιον . καὶ κεῖται ἴση ἡ ΚΕ τῇ ΔΒ · ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ ΑΒ . καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος · καὶ ἡ ΚΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ . τῇ δοθείσῃ ἄρα σφαίρᾳ περιείληπται ὁ κύβος · καὶ συναποδέδεικται , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: κύβος συνίστημι καί σφαῖρα περιλαμβάνω , ὅς καί ὁ πυραμίς , καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις τριπλασίων εἰμί ὁ ὁ κύβος πλευρά . ἔκκειμαι ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος ὁ ΑΒ καί τέμνω κατά ὁ Γ ὥστε διπλόος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ , καί γράφω ἐπί ὁ ΑΒ ἡμικύκλιον ὁ ΑΔΒ , καί ἀπό ὁ Γ ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΒ , καί ἔκκειμαι τετράγωνος ὁ ΕΖΗΘ ἴσος ἔχω ὁ πλευρά ὁ ΔΒ , καί ἀπό ὁ Ε , Ζ , Η , Θ ὁ ὁ ΕΖΗΘ τετράγωνος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΕΚ , ΖΛ , ΗΜ , ΘΝ , καί ἀφαιρέω ἀπό ἕκαστος ὁ ΕΚ , ΖΛ , ΗΜ , ΘΝ εἷς ὁ ΕΖ , ΖΗ , ΗΘ , ΘΕ ἴσος ἕκαστος ὁ ΕΚ , ΖΛ , ΗΜ , ΘΝ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΛ , ΛΜ , ΜΝ , ΝΚ · κύβος ἄρα συνίστημι ὁ ΖΝ ὑπό ἕξ τετράγωνος ἴσος περιέχω . δέω δή αὐτός καί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ δίδωμι καί δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις τριπλάσιος εἰμί ὁ πλευρά ὁ κύβος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΚΗ , ΕΗ . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ΚΕΗ γωνία διά ὁ καί ὁ ΚΕ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΕΗ ἐπίπεδος δηλαδή καί πρός ὁ ΕΗ εὐθεῖα , ὁ ἄρα ἐπί ὁ ΚΗ γράφω ἡμικύκλιον ἥκω καί διά ὁ Ε σημεῖον . πάλιν , ἐπεί ὁ ΗΖ ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ ΖΛ , ΖΕ , καί πρός ὁ ΖΚ ἄρα ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί ὁ ΗΖ · ὥστε καί ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΚ , ὁ ΗΖ ὀρθός εἰμί καί πρός ὁ ΖΚ · καί διά οὗτος πάλιν ὁ ἐπί ὁ ΗΚ γράφω ἡμικύκλιον ἥκω καί διά ὁ Ζ . ὅμοιος καί διά ὁ λοιπός ὁ κύβος σημεῖον ἥκω . ἐάν δή μένω ὁ ΚΗ περιφέρω ὁ ἡμικύκλιον εἰς ὁ αὐτός ἀποκαθίστημι , ὅθεν ἄρχω φέρω , εἰμί σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ κύβος . λέγω δή , ὅτι καί ὁ δίδωμι . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΗΖ ὁ ΖΕ , καί εἰμί ὀρθός ὁ πρός ὁ Ζ γωνία , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ . ἴσος δέ ὁ ΕΖ ὁ ΕΚ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΕΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΚ · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΗΕ , ΕΚ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΗΚ , τριπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΚ . καί ἐπεί τριπλασίων εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΒΓ , ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ , τριπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΔ . δείκνυμι δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΗΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΕ τριπλάσιος . καί κεῖμαι ἴσος ὁ ΚΕ ὁ ΔΒ · ἴσος ἄρα καί ὁ ΚΗ ὁ ΑΒ . καί εἰμί ὁ ΑΒ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρος · καί ὁ ΚΗ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὁ δίδωμι σφαῖρα διάμετρον . ὁ δίδωμι ἄρα σφαῖρα περιλαμβάνω ὁ κύβος · καί συναποδείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ σφαῖρα διάμετρος δύναμις τριπλασίων εἰμί ὁ ὁ κύβος πλευρά · ὅς δέω δείκνυμι .