euclides-geom.elementa 13.prop.11
ἐὰν εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ , ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων . εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔΕ ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ · λέγω , ὅτι ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΒ καὶ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η , Θ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ , καὶ κείσθω τῆς ΑΖ τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ . ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ · ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΚ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΖ ῥητή · ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ ῥητή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΔΗ περιφερείᾳ , ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση . καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΔ , συνάγονται ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Λ γωνίαι , καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆς ΓΛ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τῷ Μ ὀρθαί εἰσιν , καὶ διπλῆ ἡ ΑΓ τῆς ΓΜ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΜΖ , κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΓΛ καὶ τοῦ ΑΜΖ ἡ ὑπὸ ΛΑΓ , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΛ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΜΖΑ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ ΑΜΖ τριγώνῳ · ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ , οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΖΑ · καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια · ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ . ὡς δὲ ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ , οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ · καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ . καὶ τῶν ἑπομένων τὰ ἡμίσεα · ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΑ , οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὸ τέταρτον τῆς ΖΑ . καί ἐστι τῆς μὲν ΛΓ διπλῆ ἡ ΔΓ , τῆς δὲ ΓΑ ἡμίσεια ἡ ΓΜ , τῆς δὲ ΖΑ τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΜ , οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΚ . συνθέντι καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΔΓΜ πρὸς τὴν ΓΜ , οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΖ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΓΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ . καὶ ἐπεὶ τῆς ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πενταγώνου ὑποτεινούσης , οἷον τῆς ΑΓ , ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ , τουτέστι τῇ ΔΓ , τὸ δὲ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης , καί ἐστιν ὅλης τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ ΓΜ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΜ . ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΜ , οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ · πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ . ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ · ῥητὴ γὰρ ἡ διάμετρος · ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ · ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΚ . καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΚ , πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆς ΚΖ · εἰκοσιπενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ . πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ · πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΜ λόγον οὐκ ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΜ μήκει . καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν . αἱ ΒΚ , ΚΜ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι . ἐὰν δὲ ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ , ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν ἀποτομή · ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ , προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΜΚ . λέγω δή , ὅτι καὶ τετάρτη . ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ , ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Ν · ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῇ Ν . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ΖΒ , καὶ συνθέντι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ΖΒ . ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν · καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν . καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ λόγον ἔχει , ὃν ε πρὸς ἕν . ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ν λόγον ἔχει , ὃν ε πρὸς δ , οὐχ ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ Ν · ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΒΚ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ , καὶ ὅλη ἡ ΒΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΒΘ , ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΜΒ . τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν , καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν , καλεῖται δὲ ἐλάττων . δύναται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ ἡ ΑΒ διὰ τὸ ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΘ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΑΒΜ τριγώνῳ καὶ εἶναι ὡς τὴν ΘΒ πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΜ . ἡ ἄρα ΑΒ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος ῥητός ἔχω ὁ διάμετρος πεντάγωνος ἰσόπλευρος ἐγγράφω , ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . εἰς γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ ῥητός ἔχω ὁ διάμετρος πεντάγωνος ἰσόπλευρος ἐγγράφω ὁ ΑΒΓΔΕ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ζ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ , ΖΒ καί διάγω ἐπί ὁ Η , Θ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , καί κεῖμαι ὁ ΑΖ τέταρτος μέρος ὁ ΖΚ . ῥητός δέ ὁ ΑΖ · ῥητός ἄρα καί ὁ ΖΚ . εἰμί δέ καί ὁ ΒΖ ῥητός · ὅλος ἄρα ὁ ΒΚ ῥητός εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΓΗ περιφέρεια ὁ ΑΔΗ περιφέρεια , ὅς ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΕΔ εἰμί ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ΓΗ λοιπός ὁ ΗΔ εἰμί ἴσος . καί ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , συνάγω ὀρθός ὁ πρός ὁ Λ γωνία , καί διπλόος ὁ ΓΔ ὁ ΓΛ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ πρός ὁ Μ ὀρθός εἰμί , καί διπλόος ὁ ΑΓ ὁ ΓΜ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΛΓ γωνία ὁ ὑπό ΑΜΖ , κοινός δέ ὁ δύο τρίγων ὁ τε ΑΓΛ καί ὁ ΑΜΖ ὁ ὑπό ΛΑΓ , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΛ λοιπός ὁ ὑπό ΜΖΑ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓΛ τρίγωνον ὁ ΑΜΖ τρίγωνον · ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΛΓ πρός ΓΑ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ΖΆ · καί ὁ ἡγέομαι ὁ διπλάσιος · ὡς ἄρα ὁ ὁ ΛΓ διπλόος πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ὁ ΜΖ διπλόος πρός ὁ ΖΆ . ὡς δέ ὁ ὁ ΜΖ διπλόος πρός ὁ ΖΆ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ἥμισυς ὁ ΖΆ · καί ὡς ἄρα ὁ ὁ ΛΓ διπλόος πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ἥμισυς ὁ ΖΆ . καί ὁ ἕπομαι ὁ ἥμισυς · ὡς ἄρα ὁ ὁ ΛΓ διπλόος πρός ὁ ἥμισυς ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ τέταρτος ὁ ΖΆ . καί εἰμί ὁ μέν ΛΓ διπλόος ὁ ΔΓ , ὁ δέ ΓΑ ἥμισυς ὁ ΓΜ , ὁ δέ ΖΆ τέταρτος μέρος ὁ ΖΚ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΜ , οὕτως ὁ ΜΖ πρός ὁ ΖΚ . συντίθημι καί ὡς συναμφότεροι ὁ ΔΓΜ πρός ὁ ΓΜ , οὕτως ὁ ΜΚ πρός ΚΖ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΔΓΜ πρός ὁ ἀπό ΓΜ , οὕτως ὁ ἀπό ΜΚ πρός ὁ ἀπό ΚΖ . καί ἐπεί ὁ ὑπό δύο πλευρά ὁ πεντάγωνος ὑποτείνω , οἷος ὁ ΑΓ , ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω ὁ μέγας τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρά , τουτέστι ὁ ΔΓ , ὁ δέ μέγας τμῆμα προσλαμβάνω ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος πενταπλάσιος δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος , καί εἰμί ὅλος ὁ ΑΓ ἥμισυς ὁ ΓΜ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΔΓΜ ὡς εἷς πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΜ . ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΔΓΜ ὡς εἷς πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΜ , οὕτως δείκνυμι ὁ ἀπό ὁ ΜΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΖ · πενταπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΜΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΖ . ῥητός δέ ὁ ἀπό ὁ ΚΖ · ῥητός γάρ ὁ διάμετρος · ῥητός ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΜΚ · ῥητός ἄρα εἰμί ὁ ΜΚ . καί ἐπεί τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΖΚ , πενταπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΚ ὁ ΚΖ · ἐκοσιπενταπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΖ . πενταπλάσιος δέ ὁ ἀπό ὁ ΜΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΖ · πενταπλάσιος ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΜ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΚ πρός ὁ ἀπό ΚΜ λόγος οὐ ἔχω , ὅς τετράγωνος ἀριθμός πρός τετράγωνος ἀριθμός · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΚ ὁ ΚΜ μῆκος . καί εἰμί ῥητός ἑκάτερος αὐτός . ὁ ΒΚ , ΚΜ ἄρα ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος . ἐάν δέ ἀπό ῥητός ῥητός ἀφαιρέω δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί ὁ ὅλος , ὁ λοιπός ἄλογος εἰμί ἀποτομή · ἀποτομή ἄρα εἰμί ὁ ΜΒ , προσαρμόζω δέ αὐτός ὁ ΜΚ . λέγω δή , ὅτι καί τέταρτος . ὅς δή μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΜ , ἐκεῖνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ν · ὁ ΒΚ ἄρα ὁ ΚΜ μέγας δύναμαι ὁ Ν . καί ἐπεί σύμμετρος εἰμί ὁ ΚΖ ὁ ΖΒ , καί συντίθημι σύμμετρος εἰμί ὁ ΚΒ ὁ ΖΒ . ἀλλά ὁ ΒΖ ὁ ΒΘ σύμμετρος εἰμί · καί ὁ ΒΚ ἄρα ὁ ΒΘ σύμμετρος εἰμί . καί ἐπεί πενταπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΚ ὁ ἀπό ὁ ΚΜ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΜ λόγος ἔχω , ὅς ε πρός εἷς . ἀναστρέφω ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΚ πρός ὁ ἀπό ὁ Ν λόγος ἔχω , ὅς ε πρός δ , οὐ ὅς τετράγωνος πρός τετράγωνος · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΚ ὁ Ν · ὁ ΒΚ ἄρα ὁ ΚΜ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ . ἐπεί οὖν ὅλος ὁ ΒΚ ὁ προσαρμόζω ὁ ΚΜ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ , καί ὅλος ὁ ΒΚ σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΒΘ , ἀποτομή ἄρα τέταρτος εἰμί ὁ ΜΒ . ὁ δέ ὑπό ῥητός καί ἀποτομή τέταρτος περιέχω ὀρθογώνιον ἄλογος εἰμί , καί ὁ δύναμαι αὐτός ἄλογος εἰμί , καλέω δέ ἐλαχύς . δύναμαι δέ ὁ ὑπό ὁ ΘΒΜ ὁ ΑΒ διά ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ ἰσογώνιος γίγνομαι ὁ ΑΒΘ τρίγωνον ὁ ΑΒΜ τρίγωνον καί εἰμί ὡς ὁ ΘΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΜ . ὁ ἄρα ΑΒ ὁ πεντάγωνος πλευρόν ἄλογος εἰμί ὁ καλέω ἐλαχύς · ὅς δέω δείκνυμι .