euclides-geom.elementa 10.prop1.17
ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι , τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ μήκει , ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ μήκει . ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α , ΒΓ , ὧν μείζων ἡ ΒΓ , τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α , τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α , ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ , σύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει · λέγω , ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον , καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ . λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΒΖ . καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΒΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε , εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ , ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ · καὶ τὰ τετραπλάσια · τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ μετὰ τοῦ τετραπλασίου τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ . ἀλλὰ τῷ μέν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον , τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον · διπλασίων γάρ ἐστιν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ . τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον · διπλασίων γάρ ἐστι πάλιν ἡ ΒΓ τῆς ΓΕ . τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν Α , ΔΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ · ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς Α μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ · ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῇ ΔΖ . δεικτέον , ὅτι καὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ . ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει , σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει . ἀλλὰ ἡ ΓΔ ταῖς ΓΔ , ΒΖ ἐστι σύμμετρος μήκει · ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ . καὶ ἡ ΒΓ ἄρα σύμμετρός ἐστι ταῖς ΒΖ , ΓΔ μήκει · ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει · ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . ἀλλὰ δὴ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ , τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ . δεικτέον , ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει . τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν , ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ . δύναται δὲ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ . σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει · ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ , ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει . ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ , ΔΓ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΓ . ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ σύμμετρός ἐστι μήκει · καὶ διελόντι ἄρα ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἐστι σύμμετρος μήκει . ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι , καὶ τὰ ἑξῆς .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο εὐθεῖα ἄνισος , ὁ δέ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ἴσος παρά ὁ μέγας παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος καί εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω μῆκος , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . καί ἐάν ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , ὁ δέ τέταρτος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ἴσος παρά ὁ μέγας παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς σύμμετρος αὐτός διαιρέω μῆκος . εἰμί δύο εὐθεῖα ἄνισος ὁ Α , ΒΓ , ὅς μέγας ὁ ΒΓ , ὁ δέ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ὁ Α , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ Α , ἴσος παρά ὁ ΒΓ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ , σύμμετρος δέ εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ μῆκος · λέγω , ὅτι ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . τέμνω γάρ ὁ ΒΓ δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον , καί κεῖμαι ὁ ΔΕ ἴσος ὁ ΕΖ . λοιπός ἄρα ὁ ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ΒΖ . καί ἐπεί εὐθύς ὁ ΒΓ τέμνω εἰς μέν ἴσος κατά ὁ Ε , εἰς δέ ἄνισος κατά ὁ Δ , ὁ ἄρα ὑπό ΒΔ , ΔΓ περιέχω ὀρθογώνιον μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΔ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΓ τετράγωνος · καί ὁ τετραπλάσιος · ὁ ἄρα τετράκις ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ μετά ὁ τετραπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΔΕ ἴσος εἰμί ὁ τετράκις ἀπό ὁ ΕΓ τετράγωνος . ἀλλά ὁ μέν τετραπλάσιος ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος , ὁ δέ τετραπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΔΕ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΖ τετράγωνος · διπλασίων γάρ εἰμί ὁ ΔΖ ὁ ΔΕ . ὁ δέ τετραπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΕΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος · διπλασίων γάρ εἰμί πάλιν ὁ ΒΓ ὁ ΓΕ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ Α , ΔΖ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ τετράγωνος · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὁ ἀπό ὁ Α μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΖ · ὁ ΒΓ ἄρα ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ΔΖ . δείκνυμι , ὅτι καί σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΔΖ . ἐπεί γάρ σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ μῆκος , σύμμετρος ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΓ ὁ ΓΔ μῆκος . ἀλλά ὁ ΓΔ ὁ ΓΔ , ΒΖ εἰμί σύμμετρος μῆκος · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΓΔ ὁ ΒΖ . καί ὁ ΒΓ ἄρα σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΖ , ΓΔ μῆκος · ὥστε καί λοιπός ὁ ΖΔ σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ μῆκος · ὁ ΒΓ ἄρα ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . ἀλλά δή ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ , ὁ δέ τέταρτος ὁ ἀπό ὁ Α ἴσος παρά ὁ ΒΓ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ . δείκνυμι , ὅτι σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ μῆκος . ὁ γάρ αὐτός κατασκευάζω ὅμοιος δείκνυμι , ὅτι ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ΖΔ . δύναμαι δέ ὁ ΒΓ ὁ Α μέγας ὁ ἀπό σύμμετρος ἑαυτοῦ . σύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΖΔ μῆκος · ὥστε καί λοιπός συναμφότεροι ὁ ΒΖ , ΔΓ σύμμετρος εἰμί ὁ ΒΓ μῆκος . ἀλλά συναμφότεροι ὁ ΒΖ , ΔΓ σύμμετρος εἰμί ὁ ΔΓ . ὥστε καί ὁ ΒΓ ὁ ΓΔ σύμμετρος εἰμί μῆκος · καί διαιρέω ἄρα ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ εἰμί σύμμετρος μῆκος . ἐάν ἄρα εἰμί δύο εὐθεῖα ἄνισος , καί ὁ ἑξῆς .