euclides-geom.elementa 6.prop.24
παντὸς παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις . ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ , περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα ἔστω τὰ ΕΗ , ΘΚ · λέγω , ὅτι ἑκάτερον τῶν ΕΗ , ΘΚ παραλληλογράμμων ὅμοιόν ἐστι ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοις . ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΕΖ , ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ , οὕτως , ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ . πάλιν , ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τὴν ΓΔ ἦκται ἡ ΖΗ , ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ , οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ , οὕτως ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ , οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ , καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΗ , καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ . τῶν ἄρα ΑΒΓΔ , ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν κοινὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΖ τῇ ΔΓ , ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΑ · καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΓ , ΑΗΖ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΓΒ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖΕ τριγώνῳ , καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν ἐστιν . ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΖ , ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ , ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ , καὶ ἔτι ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΑ . καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ , ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ . τῶν ἄρα ΑΒΓΔ , ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΚΘ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν · ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΗ , ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ ὅμοιόν ἐστιν . τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια · καὶ τὸ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν . παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς παραλληλόγραμμος ὁ περί ὁ διάμετρος παραλληλόγραμμος ὅμοιος εἰμί ὁ τε ὅλος καί ἀλλήλων . εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓΔ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΑΓ , περί δέ ὁ ΑΓ παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΕΗ , ΘΚ · λέγω , ὅτι ἑκάτερος ὁ ΕΗ , ΘΚ παραλληλόγραμμος ὅμοιος εἰμί ὅλος ὁ ΑΒΓΔ καί ἀλλήλων . ἐπεί γάρ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΕΖ , ἀνάλογος εἰμί ὡς ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΑ , οὕτως , ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΆ . πάλιν , ἐπεί τρίγωνον ὁ ΑΓΔ παρά εἷς ὁ ΓΔ ἄγω ὁ ΖΗ , ἀνάλογος εἰμί ὡς ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΆ , οὕτως ὁ ΔΗ πρός ὁ ΗΑ . ἀλλά ὡς ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΆ , οὕτως δείκνυμι καί ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΑ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΑ , οὕτως ὁ ΔΗ πρός ὁ ΗΑ , καί συντίθημι ἄρα ὡς ὁ ΒΑ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ΔΑ πρός ΑΗ , καί ἐναλλάξ ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΗ . ὁ ἄρα ΑΒΓΔ , ΕΗ παραλληλόγραμμος ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά ὁ περί ὁ κοινός γωνία ὁ ὑπό ΒΑΔάς . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΗΖ ὁ ΔΓ , ἴσος εἰμί ὁ μέν ὑπό ΑΖΗ γωνία ὁ ὑπό ΔΓΑ · καί κοινός ὁ δύο τρίγων ὁ ΑΔΓ , ΑΗΖ ὁ ὑπό ΔΑΓ γωνία · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔΓ τρίγωνον ὁ ΑΗΖ τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΑΓΒ τρίγωνον ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΖΕ τρίγωνον , καί ὅλος ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος ὁ ΕΗ παραλληλόγραμμος ἰσογώνιος εἰμί . ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΔ πρός ὁ ΔΓ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΖ , ὡς δέ ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ὁ ΖΆ , ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ΑΖ πρός ὁ ΖΕ , καί ἔτι ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΑ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ὁ ΕΑ . καί ἐπεί δείκνυμι ὡς μέν ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ὁ ΖΆ , ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ΑΖ πρός ὁ ΖΕ , διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΔΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ὁ ΖΕ . ὁ ἄρα ΑΒΓΔ , ΕΗ παραλληλόγραμμος ἀνάλογος εἰμί ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος ὁ ΕΗ παραλληλόγραμμος . διά ὁ αὐτός δή ὁ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμος καί ὁ ΚΘ παραλληλόγραμμος ὅμοιος εἰμί · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΕΗ , ΘΚ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓΔ ὅμοιος εἰμί . ὁ δέ ὁ αὐτός εὐθύγραμμος ὅμοιος καί ἀλλήλων εἰμί ὅμοιος · καί ὁ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμος ὁ ΘΚ παραλληλόγραμμος ὅμοιος εἰμί . πᾶς ἄρα παραλληλόγραμμος ὁ περί ὁ διάμετρος παραλληλόγραμμος ὅμοιος εἰμί ὁ τε ὅλος καί ἀλλήλων · ὅς δέω δείκνυμι .