euclides-geom.elementa 6.prop.19
τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἴσην ἔχοντα τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν τῇ πρὸς τῷ Ε , ὡς δὲ τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ , ὥστε ὁμόλογον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ , ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ , ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ . καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΔΕ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ · τῶν ΑΒΗ , ΔΕΖ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας . ὧν δὲ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας , ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα . ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ , ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν , ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΕΖ . ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΗ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον · καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . ἴσον δὲ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ · καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ . τὰ ἄρα ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν · . Πόρισμα ἐκ δὴ τούτου φανερόν , ὅτι , ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ ὅμοιος τρίγωνος πρός ἀλλήλων ἐν διπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά . εἰμί ὅμοιος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΖ ἴσος ἔχω ὁ πρός ὁ Β γωνία ὁ πρός ὁ Ε , ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , ὥστε ὁμόλογος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΔΕΖ τρίγωνον διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . λαμβάνω γάρ ὁ ΒΓ , ΕΖ τρίτος ἀνάλογος ὁ ΒΗ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΒΗ · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΗ . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΖ , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . ἀλλά ὡς ὁ ΒΓ πρός ΕΖ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΖ πρός ΒΗ . καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ΔΕ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ΒΗ · ὁ ΑΒΗ , ΔΕΖ ἄρα τρίγων ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία . ὅς δέ εἷς εἷς ἴσος ἔχω γωνία τρίγων ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία , ἴσος εἰμί ἐκεῖνος . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΗ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΒΗ , ἐάν δέ τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ δεύτερος , ὁ ΒΓ ἄρα πρός ὁ ΒΗ διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΒ πρός ὁ ΕΖ . ὡς δέ ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΗ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΒΗ τρίγωνον · καί ὁ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρός ὁ ΑΒΗ διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . ἴσος δέ ὁ ΑΒΗ τρίγωνον ὁ ΔΕΖ τρίγωνον · καί ὁ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρός ὁ ΔΕΖ τρίγωνον διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ . ὁ ἄρα ὅμοιος τρίγωνος πρός ἀλλήλων ἐν διπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά · . πόρισμα ἐκ δή οὗτος φανερός , ὅτι , ἐάν τρεῖς εὐθεῖα ἀνάλογος εἰμί , εἰμί ὡς ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ ἀπό ὁ πρῶτος εἶδος πρός ὁ ἀπό ὁ δεύτερος ὁ ὅμοιος καί ὅμοιος ἀναγράφω · ὅς δέω δείκνυμι .