euclides-geom.elementa 12.prop.17
δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν . Νενοήσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Α · δεῖ δὴ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν . τετμήσθωσαν αἱ σφαῖραι ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ κέντρου · ἔσονται δὴ αἱ τομαὶ κύκλοι , ἐπειδήπερ μενούσης τῆς διαμέτρου καὶ περιφερομένου τοῦ ἡμικυκλίου ἐγίγνετο ἡ σφαῖρα · ὥστε καὶ καθʼ οἵας ἂν θέσεως ἐπινοήσωμεν τὸ ἡμικύκλιον , τὸ διʼ αὐτοῦ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον ποιήσει ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας κύκλον . καὶ φανερόν , ὅτι καὶ μέγιστον , ἐπειδήπερ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας , ἥτις ἐστὶ καὶ τοῦ ἡμικυκλίου διάμετρος δηλαδὴ καὶ τοῦ κύκλου , μείζων ἐστὶ πασῶν τῶν εἰς τὸν κύκλον ἢ τὴν σφαῖραν διαγομένων . ἔστω οὖν ἐν μὲν τῇ μείζονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΒΓΔΕ , ἐν δὲ τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΖΗΘ , καὶ ἤχθωσαν αὐτῶν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΒΔ , ΓΕ , καὶ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τῶν ΒΓΔΕ , ΖΗΘ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΒΓΔΕ πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΖΗΘ , οὗ πλευραὶ ἔστωσαν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ αἱ ΒΚ , ΚΛ , ΛΜ , ΜΕ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΑ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν , καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΞ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ξ , καὶ διὰ τῆς ΑΞ καὶ ἑκατέρας τῶν ΒΔ , ΚΝ ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω · ποιήσουσι δὴ διὰ τὰ εἰρημένα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας μεγίστους κύκλους . ποιείτωσαν , ὧν ἡμικύκλια ἔστω ἐπὶ τῶν ΒΔ , ΚΝ διαμέτρων τὰ ΒΞΔ , ΚΞΝ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον , καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΞΑ ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον · ὥστε καὶ τὰ ΒΞΔ , ΚΞΝ ἡμικύκλια ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον . καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΒΕΔ , ΒΞΔ , ΚΞΝ ἡμικύκλια · ἐπὶ γὰρ ἴσων εἰσὶ διαμέτρων τῶν ΒΔ , ΚΝ · ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΒΕ , ΒΞ , ΚΞ τεταρτημόρια ἀλλήλοις . ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου , τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΞ , ΚΞ τεταρτημορίοις ἴσαι ταῖς ΒΚ , ΚΛ , ΛΜ , ΜΕ εὐθείαις . ἐγγεγράφθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΒΟ , ΟΠ , ΠΡ , ΡΞ , ΚΣ , ΣΤ , ΤΥ , ΥΞ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΟ , ΤΠ , ΥΡ , καὶ ἀπὸ τῶν Ο , Σ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι ἤχθωσαν · πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς τῶν ἐπιπέδων τὰς ΒΔ , ΚΝ , ἐπειδήπερ καὶ τὰ τῶν ΒΞΔ , ΚΞΝ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον . πιπτέτωσαν , καὶ ἔστωσαν αἱ ΟΦ , ΣΧ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΦ . καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις ἡμικυκλίοις τοῖς ΒΞΔ , ΚΞΝ ἴσαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΒΟ , ΚΣ , καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΟΦ , ΣΧ , ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΟΦ τῇ ΣΧ , ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ . ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΑ ὅλῃ τῇ ΚΑ ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΦΑ λοιπῇ τῇ ΧΑ ἐστιν ἴση · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΦ πρὸς τὴν ΦΑ , οὕτως ἡ ΚΧ πρὸς τὴν ΧΑ · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ . καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ , ΣΧ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον , παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΦ τῇ ΣΧ . ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση · καὶ αἱ ΧΦ , ΣΟ ἄρα ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ , ἀλλὰ ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος , καὶ ἡ ΣΟ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος . καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΒΟ , ΚΣ · τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ , ἐπειδήπερ , ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι , καὶ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν ληφθῇ τυχόντα σημεῖα , ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΟΠΤ , ΤΠΡΥ τετραπλεύρων ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ . ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἀπὸ τῶν Ο , Σ , Π , Τ , Ρ , Υ σημείων ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένας εὐθείας , συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν πολύεδρον μεταξὺ τῶν ΒΞ , ΚΞ περιφερειῶν ἐκ πυραμίδων συγκείμενον , ὧν βάσεις μὲν τὰ ΚΒΟΣ , ΣΟΠΤ , ΤΠΡΥ τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον . ἐὰν δὲ καὶ ἐπὶ ἑκάστης τῶν ΚΛ , ΛΜ , ΜΕ πλευρῶν καθάπερ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν καὶ ἔτι ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριῶν τεταρτημορίων , συσταθήσεταί τι σχῆμα πολύεδρον ἐγγεγραμμένον εἰς τὴν σφαῖραν πυραμίσι περιεχόμενον , ὧν βάσεις τὰ εἰρημένα τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον καὶ τὰ ὁμοταγῆ αὐτοῖς , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον . λέγω , ὅτι τὸ εἰρημένον πολύεδρον οὐκ ἐφάψεται τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν , ἐφʼ ἧς ἐστιν ὁ ΖΗΘ κύκλος . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ψ σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΒ , ΨΚ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΨ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον , καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ τετραπλεύρου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν . ἡ ΑΨ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΨ , ΨΚ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΚ , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ . καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ , ΨΒ · ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ψ · τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ , ΨΚ . τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΨ , ΨΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΨ , ΨΚ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΚ ἴσον ἐστίν · ἴση ἄρα ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ τὰ Ο , Σ ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΒΨ , ΨΚ . ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ψ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΨΒ , ΨΚ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ο , Σ , καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον . καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς ΧΦ , ἴση δὲ ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ , μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆς ΣΟ . ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ , ΒΟ · καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΣ , ΒΟ τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ , καὶ ἴσαι αἱ ΚΒ , ΒΟ , ΚΣ , καὶ ἐλάττων ἡ ΟΣ , καὶ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἡ ΒΨ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΒΦ κάθετος ἡ ΚΩ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ τῆς ΔΩ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ , καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΩ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ , ΒΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΩ , ΩΒ , ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΒΩ τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆς ΩΔ παραλληλογράμμου καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒ , ΒΩ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΔΩ , ΩΒ ἔλαττόν ἐστιν ἢ διπλάσιον . καί ἐστι τῆς ΚΔ ἐπιζευγνυμένης τὸ μὲν ὑπὸ ΔΒ , ΒΩ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΩ , ΩΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΩ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΩ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον . ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον · μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΚΑ , ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ . καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΨ , ΨΑ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΚΩ , ΩΑ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΨ , ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΩ , ΩΑ , ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΨΑ . μείζων ἄρα ἡ ΑΨ τῆς ΑΩ · πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆς ΑΗ . καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΨ ἐπὶ μίαν τοῦ πολυέδρου βάσιν , ἡ δὲ ΑΗ ἐπὶ τὴν τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπιφάνειαν · ὥστε τὸ πολύεδρον οὐ ψαύσει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν . δύο ἄρα σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγέγραπται μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν · ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . Πόρισμα ἐὰν δὲ καὶ εἰς ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγραφῇ , τὸ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ τῆς ΒΓΔΕ σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον . διαιρεθέντων γὰρ τῶν στερεῶν εἰς τὰς ὁμοιοπληθεῖς καὶ ὁμοιοταγεῖς πυραμίδας ἔσονται αἱ πυραμίδες ὅμοιαι . αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν · ἡ ἄρα πυραμίς , ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον , πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν , τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περὶ κέντρον τὸ Α πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας . ὁμοίως καὶ ἑκάστη πυραμὶς τῶν ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ τριπλασίονα λόγον ἕξει , ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας . καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα · ὥστε ὅλον τὸ ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς ὅλον τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἕξει , ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας , τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: δύο σφαῖρα περί ὁ αὐτός κέντρον εἰμί εἰς ὁ μέγας σφαῖρα στερεός πολύεδρος ἐγγράφω μή ψαύω ὁ ἐλαχύς σφαῖρα κατά ὁ ἐπιφάνεια . νοέω δύο σφαῖρα περί ὁ αὐτός κέντρον ὁ Α · δέω δή εἰς ὁ μέγας σφαῖρα στερεός πολύεδρος ἐγγράφω μή ψαύω ὁ ἐλαχύς σφαῖρα κατά ὁ ἐπιφάνεια . τέμνω ὁ σφαῖρα ἐπίπεδος τις διά ὁ κέντρον · εἰμί δή ὁ τομή κύκλος , ἐπειδή μένω ὁ διάμετρος καί περιφέρω ὁ ἡμικύκλιον γίγνομαι ὁ σφαῖρα · ὥστε καί κατά οἷος ἄν θέσις ἐπινοέω ὁ ἡμικύκλιον , ὁ διά αὐτός ἐκβάλλω ἐπίπεδος ποιέω ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κύκλος . καί φανερός , ὅτι καί μέγας , ἐπειδή ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , ὅστις εἰμί καί ὁ ἡμικύκλιον διάμετρος δηλαδή καί ὁ κύκλος , μέγας εἰμί πᾶς ὁ εἰς ὁ κύκλος ἤ ὁ σφαῖρα διάγω . εἰμί οὖν ἐν μέν ὁ μέγας σφαῖρα κύκλος ὁ ΒΓΔΕ , ἐν δέ ὁ ἐλαχύς σφαῖρα κύκλος ὁ ΖΗΘ , καί ἄγω αὐτός δύο διάμετρος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΒΔ , ΓΕ , καί δύο κύκλος περί ὁ αὐτός κέντρον εἰμί ὁ ΒΓΔΕ , ΖΗΘ εἰς ὁ μέγας κύκλος ὁ ΒΓΔΕ πολύγωνον ἰσόπλευρος καί ἀρτιόπλευρος ἐγγράφω μή ψαύω ὁ ἐλαχύς κύκλος ὁ ΖΗΘ , ὅς πλευρά εἰμί ἐν ὁ ΒΕ τεταρτημόριον ὁ ΒΚ , ΚΛ , ΛΜ , ΜΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΑ διάγω ἐπί ὁ Ν , καί ἀνίστημι ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ὁ ΒΓΔΕ κύκλος ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ΑΞ καί συμβάλλω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα κατά ὁ Ξ , καί διά ὁ ΑΞ καί ἑκάτερος ὁ ΒΔ , ΚΝ ἐπίπεδος ἐκβάλλω · ποιέω δή διά ὁ λέγω ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα μέγας κύκλος . ποιέω , ὅς ἡμικύκλιον εἰμί ἐπί ὁ ΒΔ , ΚΝ διάμετρον ὁ ΒΞΔ , ΚΞΝ . καί ἐπεί ὁ ΞΑ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΒΓΔΕ κύκλος ἐπίπεδος , καί πᾶς ἄρα ὁ διά ὁ ΞΑ ἐπίπεδος εἰμί ὀρθός πρός ὁ ὁ ΒΓΔΕ κύκλος ἐπίπεδος · ὥστε καί ὁ ΒΞΔ , ΚΞΝ ἡμικύκλιον ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΒΓΔΕ κύκλος ἐπίπεδος . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΕΔ , ΒΞΔ , ΚΞΝ ἡμικύκλιον · ἐπί γάρ ἴσος εἰμί διάμετρον ὁ ΒΔ , ΚΝ · ἴσος εἰμί καί ὁ ΒΕ , ΒΞ , ΚΞ τεταρτημόριον ἀλλήλων . ὅσος ἄρα εἰμί ἐν ὁ ΒΕ τεταρτημόριον πλευρά ὁ πολύγωνον , τοσοῦτος εἰμί καί ἐν ὁ ΒΞ , ΚΞ τεταρτημόριος ἴσος ὁ ΒΚ , ΚΛ , ΛΜ , ΜΕ εὐθεῖα . ἐγγράφω καί εἰμί ὁ ΒΟ , ΟΠ , ΠΡ , ΡΞ , ΚΣ , ΣΤ , ΤΥ , ΥΞ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΣΟ , ΤΠ , ΥΡ , καί ἀπό ὁ Ο , Σ ἐπί ὁ ὁ ΒΓΔΕ κύκλος ἐπίπεδος κάθετος ἄγω · πίπτω δή ἐπί ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ ΒΔ , ΚΝ , ἐπειδή καί ὁ ὁ ΒΞΔ , ΚΞΝ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΒΓΔΕ κύκλος ἐπίπεδος . πίπτω , καί εἰμί ὁ ΟΦ , ΣΧ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΧΦ . καί ἐπεί ἐν ἴσος ἡμικύκλιον ὁ ΒΞΔ , ΚΞΝ ἴσος ἀπολαμβάνω εἰμί ὁ ΒΟ , ΚΣ , καί κάθετος ἄγω εἰμί ὁ ΟΦ , ΣΧ , ἴσος εἰμί ὁ μέν ΟΦ ὁ ΣΧάς , ὁ δέ ΒΦ ὁ ΚΧ . εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΒΑ ὅλος ὁ ΚΑ ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ΦΑ λοιπός ὁ ΧΆ εἰμί ἴσος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΦ πρός ὁ ΦΑ , οὕτως ὁ ΚΧ πρός ὁ ΧΆ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΧΦ ὁ ΚΒ . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ ΟΦ , ΣΧάς ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΒΓΔΕ κύκλος ἐπίπεδος , παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΟΦ ὁ ΣΧάς . δείκνυμι δέ αὐτός καί ἴσος · καί ὁ ΧΦ , ΣΟ ἄρα ἴσος εἰμί καί παράλληλος . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΧΦ ὁ ΣΟ , ἀλλά ὁ ΧΦ ὁ ΚΒ εἰμί παράλληλος , καί ὁ ΣΟ ἄρα ὁ ΚΒ εἰμί παράλληλος . καί ἐπιζεύγνυμι αὐτός ὁ ΒΟ , ΚΣ · ὁ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρος ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος , ἐπειδή , ἐάν εἰμί δύο εὐθεῖα παράλληλος , καί ἐπί ἑκάτερος αὐτός λαμβάνω τυγχάνω σημεῖον , ὁ ἐπί ὁ σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ παράλληλος . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ΣΟΠΤ , ΤΠΡΥ τετράπλευρος ἐν εἷς εἰμί ἐπίπεδος . εἰμί δέ καί ὁ ΥΡΞ τρίγωνον ἐν εἷς ἐπίπεδος . ἐάν δή νοέω ἀπό ὁ Ο , Σ , Π , Τ , Ρ , Υ σημεῖον ἐπί ὁ Α ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα , συνίστημι τις σχῆμα στερεός πολύεδρος μεταξύ ὁ ΒΞ , ΚΞ περιφέρεια ἐκ πυραμίς σύγκειμαι , ὅς βάσις μέν ὁ ΚΒΟΣ , ΣΟΠΤ , ΤΠΡΥ τετράπλευρος καί ὁ ΥΡΞ τρίγωνον , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον . ἐάν δέ καί ἐπί ἕκαστος ὁ ΚΛ , ΛΜ , ΜΕ πλευρά καθά ἐπί ὁ ΒΚ ὁ αὐτός κατασκευάζω καί ἔτι ἐπί ὁ λοιπός τρεῖς τεταρτημόριον , συνίστημι τις σχῆμα πολύεδρος ἐγγράφω εἰς ὁ σφαῖρα πυραμίς περιέχω , ὅς βάσις ὁ λέγω τετράπλευρος καί ὁ ΥΡΞ τρίγωνον καί ὁ ὁμοταγής αὐτός , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον . λέγω , ὅτι ὁ λέγω πολύεδρος οὐ ἐφάπτω ὁ ἐλαχύς σφαῖρα κατά ὁ ἐπιφάνεια , ἐπί ὅς εἰμί ὁ ΖΗΘ κύκλος . ἄγω ἀπό ὁ Α σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ΚΒΟΣ τετράπλευρος ἐπίπεδος κάθετος ὁ ΑΨ καί συμβάλλω ὁ ἐπίπεδος κατά ὁ Ψ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΨΒ , ΨΚ . καί ἐπεί ὁ ΑΨ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ὁ ΚΒΟΣ τετράπλευρος ἐπίπεδος , καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός εὐθεῖα καί εἰμί ἐν ὁ ὁ τετράπλευρος ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί . ὁ ΑΨ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ ΒΨ , ΨΚ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΑΚ , ἴσος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΑΚ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΨ , ΨΒ · ὀρθός γάρ ὁ πρός ὁ Ψ · ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΚ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΨ , ΨΚ . ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΑΨ , ΨΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΨ , ΨΚ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΑΨ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΒΨ λοιπός ὁ ἀπό ὁ ΨΚ ἴσος εἰμί · ἴσος ἄρα ὁ ΒΨ ὁ ΨΚ . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ἀπό ὁ Ψ ἐπί ὁ Ο , Σ ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἴσος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΒΨ , ΨΚ . ὁ ἄρα κέντρον ὁ Ψ καί διάστημα εἷς ὁ ΨΒ , ΨΚ γράφω κύκλος ἥκω καί διά ὁ Ο , Σ , καί εἰμί ἐν κύκλος ὁ ΚΒΟΣ τετράπλευρος . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΚΒ ὁ ΧΦ , ἴσος δέ ὁ ΧΦ ὁ ΣΟ , μέγας ἄρα ὁ ΚΒ ὁ ΣΟ . ἴσος δέ ὁ ΚΒ ἑκάτερος ὁ ΚΣ , ΒΟ · καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΚΣ , ΒΟ ὁ ΣΟ μέγας εἰμί . καί ἐπεί ἐν κύκλος τετράπλευρος εἰμί ὁ ΚΒΟΣ , καί ἴσος ὁ ΚΒ , ΒΟ , ΚΣ , καί ἐλαχύς ὁ ΟΣ , καί ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος εἰμί ὁ ΒΨ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΨ μέγας εἰμί ἤ διπλάσιος . ἄγω ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ ΒΦ κάθετος ὁ ΚΩ . καί ἐπεί ὁ ΒΔ ὁ ΔΩ ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλόος , καί εἰμί ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΩ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΔΒ , ΒΩ πρός ὁ ὑπό ΔΩ , ΩΒ , ἀναγράφω ἀπό ὁ ΒΩ τετράγωνος καί συμπληρόω ὁ ἐπί ὁ ΩΔ παραλληλόγραμμος καί ὁ ὑπό ΔΒ , ΒΩ ἄρα ὁ ὑπό ΔΩ , ΩΒ ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος . καί εἰμί ὁ ΚΔ ἐπιζεύγνυμι ὁ μέν ὑπό ΔΒ , ΒΩ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΚ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΔΩ , ΩΒ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΚΩ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΚΒ ὁ ἀπό ὁ ΚΩ ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΚΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΨ μέγας εἰμί ἤ διπλάσιος · μέγας ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΚΩ ὁ ἀπό ὁ ΒΨ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΚΑ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΑ ὁ ἀπό ὁ ΑΚ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΒΑ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΨ , ΨΑ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΚΑ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΚΩ , ΩΑ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΨ , ΨΑ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΚΩ , ΩΑ , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΚΩ μέγας ὁ ἀπό ὁ ΒΨ · λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ ΩΑ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΨΑ . μέγας ἄρα ὁ ΑΨ ὁ ΑΩ · πολύς ἄρα ὁ ΑΨ μέγας εἰμί ὁ ΑΗ . καί εἰμί ὁ μέν ΑΨ ἐπί εἷς ὁ πολύεδρος βάσις , ὁ δέ ΑΗ ἐπί ὁ ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ἐπιφάνεια · ὥστε ὁ πολύεδρος οὐ ψαύω ὁ ἐλαχύς σφαῖρα κατά ὁ ἐπιφάνεια . δύο ἄρα σφαῖρα περί ὁ αὐτός κέντρον εἰμί εἰς ὁ μέγας σφαῖρα στερεός πολύεδρος ἐγγράφω μή ψαύω ὁ ἐλαχύς σφαῖρα κατά ὁ ἐπιφάνεια · ὅς δέω ποιέω . πόρισμα ἐάν δέ καί εἰς ἕτερος σφαῖρα ὁ ἐν ὁ ΒΓΔΕ σφαῖρα στερεός πολύεδρος ὅμοιος στερεός πολύεδρος ἐγγράφω , ὁ ἐν ὁ ΒΓΔΕ σφαῖρα στερεός πολύεδρος πρός ὁ ἐν ὁ ἕτερος σφαῖρα στερεός πολύεδρος τριπλασίων λόγος ἔχω , ἤ ὁ ὁ ΒΓΔΕ σφαῖρα διάμετρος πρός ὁ ὁ ἕτερος σφαῖρα διάμετρος . διαιρέω γάρ ὁ στερεός εἰς ὁ ὁμοιοπληθής καί ὁμοιοταγής πυραμίς εἰμί ὁ πυραμίς ὅμοιος . ὁ δέ ὅμοιος πυραμίς πρός ἀλλήλων ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ὁμόλογος πλευρά · ὁ ἄρα πυραμίς , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ ΚΒΟΣ τετράπλευρος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , πρός ὁ ἐν ὁ ἕτερος σφαῖρα ὁμοιοτηγής πυραμίς τριπλασίων λόγος ἔχω , ἤ ὁ ὁμόλογος πλευρόν πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά , τουτέστι ἤ ὁ ΑΒ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ περί κέντρον ὁ Α πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἕτερος σφαῖρα . ὅμοιος καί ἕκαστος πυραμίς ὁ ἐν ὁ περί κέντρον ὁ Α σφαῖρα πρός ἕκαστος ὁμοταγής πυραμίς ὁ ἐν ὁ ἕτερος σφαῖρα τριπλασίων λόγος ἔχω , ἤ ὁ ΑΒ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἕτερος σφαῖρα . καί ὡς εἷς ὁ ἡγέομαι πρός εἷς ὁ ἕπομαι , οὕτως ἅπας ὁ ἡγέομαι πρός ἅπας ὁ ἕπομαι · ὥστε ὅλος ὁ ἐν ὁ περί κέντρον ὁ Α σφαῖρα στερεός πολύεδρος πρός ὅλος ὁ ἐν ὁ ἕτερος στερεός πολύεδρος τριπλασίων λόγος ἔχω , ἤ ὁ ΑΒ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἕτερος σφαῖρα , τουτέστι ἤ ὁ ΒΔ διάμετρος πρός ὁ ὁ ἕτερος σφαῖρα διάμετρος · ὅς δέω δείκνυμι .