euclides-geom.elementa 10.prop3.96
ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης , ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς ἕκτης τῆς ΑΔ · λέγω , ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ · αἱ ἄρα ΑΗ , ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει , ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει , ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ . τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΖΗ · ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει . ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΖΚ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ , ΑΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι , μέσον ἐστὶ τὸ ΑΚ . πάλιν , ἐπεὶ αἱ ΑΓ , ΔΗ ῥηταί εἰσι καὶ ἀσύμμετροι μήκει , μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ΔΚ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ , ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν , ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ μήκει . ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΔ , οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΚΔ · ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΚΔ . συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ , τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὸ ΝΞ · περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνα . ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν , ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ἡ ΛΝ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ μέσον ἐστίν . πάλιν , ἐπεὶ μέσον ἐδείχθη τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ μέσον ἐστίν . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΚ τῷ ΔΚ , ἀσύμμετρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ , ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ · αἱ ΛΟ , ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν . ἡ ἄρα ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα · καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον . ἡ ἄρα τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν χωρίον περιέχω ὑπό ῥητός καί ἀποτομή ἕκτος , ὁ ὁ χωρίον δύναμαι μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . χωρίον γάρ ὁ ΑΒ περιέχω ὑπό ῥητός ὁ ΑΓ καί ἀποτομή ἕκτος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΒ χωρίον δύναμαι μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . εἰμί γάρ ὁ ΑΔ προσαρμόζω ὁ ΔΗ · ὁ ἄρα ΑΗ , ΗΔ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , καί οὐδέτερος αὐτός σύμμετρος εἰμί ὁ ἔκκειμαι ῥητός ὁ ΑΓ μῆκος , ὁ δέ ὅλος ὁ ΑΗ ὁ προσαρμόζω ὁ ΔΉ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος . ἐπεί οὖν ὁ ΑΗ ὁ ΗΔ μέγας δύναμαι ὁ ἀπό ἀσύμμετρος ἑαυτοῦ μῆκος , ἐάν ἄρα ὁ τέταρτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΔΉ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , εἰς ἀσύμμετρος αὐτός διαιρέω . τέμνω οὖν ὁ ΔΗ δίχα κατά ὁ Ε , καί ὁ ἀπό ὁ ΕΗ ἴσος παρά ὁ ΑΗ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος τετράγωνος , καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΖΗ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖ ὁ ΖΗ μῆκος . ὡς δέ ὁ ΑΖ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως εἰμί ὁ ΑΙ πρός ὁ ΖΚ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΙ ὁ ΖΚ . καί ἐπεί ὁ ΑΗ , ΑΓ ῥητός εἰμί δύναμις μόνος σύμμετρος , μέσος εἰμί ὁ ΑΚ . πάλιν , ἐπεί ὁ ΑΓ , ΔΗ ῥητός εἰμί καί ἀσύμμετρος μῆκος , μέσος εἰμί καί ὁ ΔΚ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΗ , ΗΔ δύναμις μόνος σύμμετρος εἰμί , ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΗΔ μῆκος . ὡς δέ ὁ ΑΗ πρός ὁ ΗΔ , οὕτως εἰμί ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚΔ · ἀσύμμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΚ ὁ ΚΔ . συνίστημι οὖν ὁ μέν ΑΙ ἴσος τετράγωνος ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΖΚ ἴσος ἀφαιρέω περί ὁ αὐτός γωνία ὁ ΝΞ · περί ὁ αὐτός ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΛΜ , ΝΞ τετράγωνος . εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΟΡ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . ὅμοιος δή ὁ ἐπάνω δείκνυμι , ὅτι ὁ ΛΝ δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . λέγω , ὅτι ὁ ΛΝ μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί . ἐπεί γάρ μέσος δείκνυμι ὁ ΑΚ καί εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ , ὁ ἄρα σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ μέσος εἰμί . πάλιν , ἐπεί μέσος δείκνυμι ὁ ΔΚ καί εἰμί ἴσος ὁ δίς ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ , καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ μέσος εἰμί . καί ἐπεί ἀσύμμετρος δείκνυμι ὁ ΑΚ ὁ ΔΚ , ἀσύμμετρος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΛΟ , ΟΝ τετράγωνος ὁ δίς ὑπό ὁ ΛΟ , ΟΝ . καί ἐπεί ἀσύμμετρος εἰμί ὁ ΑΙ ὁ ΖΚ , ἀσύμμετρος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΛΟ ὁ ἀπό ὁ ΟΝ · ὁ ΛΟ , ΟΝ ἄρα δύναμις εἰμί ἀσύμμετρος ποιέω ὁ τε σύγκειμαι ἐκ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος μέσος καί ὁ δίς ὑπό αὐτός μέσος ἔτι τε ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος ἀσύμμετρος ὁ δίς ὑπό αὐτός . ὁ ἄρα ΛΝ ἄλογος εἰμί ὁ καλέω μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω · καί δύναμαι ὁ ΑΒ χωρίον . ὁ ἄρα ὁ χωρίον δύναμαι μετά μέσος μέσος ὁ ὅλος ποιέω εἰμί · ὅς δέω δείκνυμι .