ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.data 57
Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ , δέδοται τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς . δοθὲν γὰρ τὸ ΑΗ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΒΑ παρα - βεβλήσθω ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ · λέγω , ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΑ . ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΕΒ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒ . καὶ διήχθωσαν αἱ ΕΑ , ΖΒ , ΓΗ ἐπὶ τὰ Δ , Θ . καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΒ , ΑΗ , λόγος ἄρα τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΗ δοθείς . ἴσον δὲ τὸ ΗΑ τῷ ΑΘ · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΘ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἴση δὲ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ δοθείς . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ , ὧν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ δοθεῖσά ἐστιν , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΔ ἐστι δοθεῖσα . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΔΑ δοθεῖσα · ὀρθὴ γάρ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς . τῆς δὲ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΓΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΒΑ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ . καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος .
Lemmas: ἐάν δίδωμι παρά δίδωμι παραβάλλω ἐν δίδωμι γωνία , δίδωμι ὁ πλάτος ὁ παραβολή . δίδωμι γάρ ὁ ΑΗ παρά δίδωμι ὁ ΒΑ παρά - βάλλω ἐν δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ὁ ΓΑ . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ ΕΒ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΕΒ . καί διάγω ὁ ΕΑ , ΖΒ , ΓΗ ἐπί ὁ δ , Θ . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΕΒ , ΑΗ , λόγος ἄρα ὁ ΕΒ πρός ὁ ΑΗ δίδωμι . ἴσος δέ ὁ ΗΑ ὁ ΑΘ · λόγος ἄρα καί ὁ ΕΒ πρός ὁ ΑΘ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ἴσος δέ ὁ ΕΑ ὁ ΑΒ · λόγος ἄρα καί ὁ ΒΑ πρός ΑΔ δίδωμι . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ , ὅς ὁ ὑπό ΔΑΒ δίδωμι εἰμί , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΓΑΔ εἰμί δίδωμι . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΓΔΑ δίδωμι · ὀρθός γάρ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΓΔ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΓΔ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΔ δίδωμι . ὁ δέ ΔΑ πρός ὁ ΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΓΑ ἄρα πρός ὁ ΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΒΑ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΓ . καί εἰμί ὁ πλάτος ὁ παράβλημα .
euclides-geom.data 58
Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ εἴδει , δέδοται τὰ πλάτη τοῦ ἐλλεί - ματος . δοθὲν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΑΔ παρα - βεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΓΔ · λέγω , ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΓ ΒΔ . τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον · δο - θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ . καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΔ τῷ ΓΔ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΕΖ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ τῷ εἴδει . καὶ ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΕΔ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγέγραπται τὸ ΕΖ , δέδοται ἄρα τὸ ΕΖ τῷ μεγέθει . καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ , ΚΘ · δέδοται ἄρα καὶ τὰ ΑΓ , ΚΘ τῷ μεγέθει . καί ἐστι τὸ ΑΓ δοθὲν τῷ μεγέθει · ὑπόκειται γάρ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΘ δοθέν ἐστι τῷ μεγέθει . ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει δοθέν · ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΓΔ τοῦ ΘΚ ἄρα δεδομέναι εἰσὶν αἱ πλευραί · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ καί ἐστιν ἴση τῇ ΕΒ δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΒ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΕΔ δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ δοθεῖσά ἐστιν . καὶ λόγος τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ .
Lemmas: ἐάν δίδωμι παρά δίδωμι παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος δίδωμι ὁ εἶδος , δίδωμι ὁ πλάτη ὁ ἐλλή - μα . δίδωμι γάρ ὁ ΑΓ παρά δίδωμι ὁ ΑΔ παρά - βάλλω ἐλλείπω εἶδος δίδωμι ὁ ΓΔ · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΒΓ ΒΔ . τέμνω γάρ ὁ ΑΔ δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον · δο - τίθημι ἄρα εἰμί ὁ ΕΔ . καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΕΔ ὁ ΓΔ ὅμοιος καί ὁμοίως κεῖμαι εὐθύγραμμος ὁ ΕΖ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΕΖ ὁ εἶδος . καί ἐπεί ἀπό δίδωμι εὐθύς ὁ ΕΔ δίδωμι ὁ εἶδος εἶδος ἀναγράφω ὁ ΕΖ , δίδωμι ἄρα ὁ ΕΖ ὁ μέγεθος . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΓ , ΚΘ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΓ , ΚΘ ὁ μέγεθος . καί εἰμί ὁ ΑΓ δίδωμι ὁ μέγεθος · ὑπόκειμαι γάρ · λοιπός ἄρα ὁ ΚΘ δίδωμι εἰμί ὁ μέγεθος . εἰμί δέ καί ὁ εἶδος δίδωμι · ὅμοιος γάρ εἰμί ὁ ΓΔ ὁ ΘΚ ἄρα δίδωμι εἰμί ὁ πλευρά · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΚΓ καί εἰμί ἴσος ὁ ΕΒ δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΒ . εἰμί δέ καί ὁ ΕΔ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΔ δίδωμι εἰμί . καί λόγος ὁ ΒΔ πρός ὁ ΒΓ δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΓ .
euclides-geom.data 59
Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ὑπερβάλλον εἴδει δεδομένῳ , δέδοται τὰ πλάτη τῆς ὑπερβολῆς . δοθὲν γὰρ τὸ ΑΒ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΑΓ παρα - βεβλήσθω ὑπερβάλλον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΓΒ · λέγω , ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΓ ΓΕ . τετμήσθω γὰρ δίχα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ΓΒ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΖΗ · περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΖΗ τῷ ΓΒ . ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΘΕΜ , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα . καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΓΒ τῷ ΖΗ , δέδοται δὲ τὸ ΓΒ τῷ εἴδει , δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΖΗ τῷ εἴδει · καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΖΕ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗ τῷ μεγέθει . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν · δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ , ΖΗ . καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛ τῷ μεγέθει . ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει · ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΓΒ · τοῦ ΚΛ ἄρα αἱ πλευραὶ δεδομέναι εἰσίν · δο - θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ , ὧν ἡ ΚΓ δοθεῖσά ἐστιν · ἴση γάρ ἐστι τῇ ΕΖ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ ἐστι δοθεῖσα · καὶ λόγον ἔχει πρὸς τὴν ΘΒ δοθέντα · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΒ .
Lemmas: ἐάν δίδωμι παρά δίδωμι παραβάλλω ὑπερβάλλω εἶδος δίδωμι , δίδωμι ὁ πλάτη ὁ ὑπερβολή . δίδωμι γάρ ὁ ΑΒ παρά δίδωμι ὁ ΑΓ παρά - βάλλω ὑπερβάλλω εἶδος δίδωμι ὁ ΓΒ · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΘΓ ΓΕ . τέμνω γάρ δίχα ὁ ΔΕ κατά ὁ Ζ σημεῖον , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΕΖ ὁ ΓΒ ὅμοιος καί ὁμοίως κεῖμαι ὁ ΖΗ · περί ὁ αὐτός ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΓΒ . ἄγω αὐτός διάμετρος ὁ ΘΜ , καί καταγράφω ὁ σχῆμα . καί ἐπεί ὁμοῖος εἰμί ὁ ΓΒ ὁ ΖΗ , δίδωμι δέ ὁ ΓΒ ὁ εἶδος , δίδωμι ἄρα καί ὁ ΖΗ ὁ εἶδος · καί ἀναγράφω ἀπό δίδωμι εὐθύς ὁ ΖΕ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ ὁ μέγεθος . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ , ΖΗ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΚΛ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΚΛ ὁ μέγεθος . εἰμί δέ καί ὁ εἶδος · ὅμοιος γάρ εἰμί ὁ ΓΒ · ὁ ΚΛ ἄρα ὁ πλευρά δίδωμι εἰμί · δο - τίθημι ἄρα εἰμί ὁ ΚΘ , ὅς ὁ ΚΓ δίδωμι εἰμί · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΕΖ · λοιπός ἄρα ὁ ΓΘ εἰμί δίδωμι · καί λόγος ἔχω πρός ὁ ΘΒ δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΘΒ .
euclides-geom.data 60
Ἐὰν παραλληλόγραμμον δεδομενον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένῳ γνώμονι αὐξηθῇ ἢ μειωθῇ , δέδοται τὰ πλάτη τοῦ γνώμονος . παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει ηὐξήσθω πρότερον δεδομένῳ γνώμονι τῷ ΕΓΒΔΖΗ · λέγω , ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΓΕ , ΔΖ . ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστι τὸ ΑΒ , ἔστι δὲ καὶ ὁ ΕΒΔΗΖ γνώμων δοθείς , καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΗ δοθέν ἐστιν · ἀλλὰ καὶ τῷ εἴδει · ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ · τοῦ ΑΗ ἄρα δεδομέναι εἰσὶν αἱ πλευραί · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΕ , ΑΖ . ἔστι δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΑ , ΑΔ δοθεῖσα · λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΕΓ , ΔΖ ἐστι δοθεῖσα . πάλιν δὴ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ δεδομένον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει μεμειώσθω δεδομένῳ γνώμονι τῷ ΕΓΒΔΖΗ · λέγω , ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΓΕ , ΔΖ . ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστι τὸ ΑΗ , οὗ ὁ ΕΓΒΔΖΗ γνώμων δοθείς ἐστιν , λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ δοθέν ἐστιν · ἀλλὰ καὶ τῷ εἴδει · τοῦ ΑΒ ἄρα αἱ πλευραὶ δεδομέναι εἰσίν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΓΑ , ΑΔ . ἔστι δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ , ΑΖ δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΕΓ , ΔΖ δοθεῖσά ἐστιν .
Lemmas: ἐάν παραλληλόγραμμος δίδωμι ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος δίδωμι γνώμων αὐξάνω ἢ μειόω , δίδωμι ὁ πλάτη ὁ γνώμων . παραλληλόγραμμος γάρ ὁ ΑΒ δίδωμι ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος αὐξάνω πρότερος δίδωμι γνώμων ὁ ΖΗ · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΓΕ , ΔΖ . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ὁ ΑΒ , εἰμί δέ καί ὁ ΖΗ γνώμων δίδωμι , καί ὅλος ἄρα ὁ ΑΗ δίδωμι εἰμί · ἀλλά καί ὁ εἶδος · ὅμοιος γάρ εἰμί ὁ ΑΒ · ὁ ΑΗ ἄρα δίδωμι εἰμί ὁ πλευρά · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΕ , αζʹ . εἰμί δέ καί ἑκάτερος ὁ ΓΑ , ΑΔ δίδωμι · λοιπός ἄρα ἑκάτερος ὁ ΕΓ , ΔΖ εἰμί δίδωμι . πάλιν δή παραλληλόγραμμος ὁ ΑΗ δίδωμι ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος μειόω δίδωμι γνώμων ὁ ΖΗ · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΓΕ , ΔΖ . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ὁ ΑΗ , ὅς ὁ ΖΗ γνώμων δίδωμι εἰμί , λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ δίδωμι εἰμί · ἀλλά καί ὁ εἶδος · ὁ ΑΒ ἄρα ὁ πλευρά δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΓΑ , ΑΔ . εἰμί δέ καί ἑκάτερος ὁ ΕΑ , αζʹ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ἑκάτερος ὁ ΕΓ , ΔΖ δίδωμι εἰμί .
euclides-geom.data 62
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο - μένον καὶ ἀναγραφῇ ἀπὸ μὲν τῆς μιᾶς δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος , ἀπὸ δὲ τῆς ἑτέρας χωρίον παραλληλό - γραμμον ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ , ἔχῃ δὲ τὸ εἶδος πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον λόγον δεδομένον , δέδοται παρ - αλληλόγραμμον τῷ εἴδει . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ μὲν τῆς ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος τὸ ΑΕΒ , ἀπὸ δὲ τῆς ΓΔ παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΖΓΔ , λόγος δὲ ἔστω τοῦ ΕΒ εἴδους πρὸς τὸ ΖΔ παραλληλόγραμμον δοθείς · λέγω , ὅτι δέδοται τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει . ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ΔΖ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ AH . ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ δοθείς , καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύ - γραμμα τὰ ΑΗ , ΖΔ , λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΖΔ δοθείς . τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς τὸ ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ τοῦ ΕΒ ἄρα πρὸς τὸ ΑΗ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΘ γωνία · ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΖΓΔ . ἐπεὶ οὖν δεδομένου τῷ εἴδει εἴδους τοῦ ΕΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ παραβέβληται τὸ ΑΗ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΒ καὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΕΒ εἴδους πρὸς τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον δοθείς , δέδοται ἄρα τὸ ΑΗ τῷ εἴδει . καί ἐστιν ὅμοιον τῷ ΖΔ · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΖΔ τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι - μένω καί ἀναγραφή ἀπό μέν ὁ εἷς δίδωμι ὁ εἶδος εἶδος , ἀπό δέ ὁ ἕτερος χωρίον παράλληλος - γραμμός ἐν δίδωμι γωνία , ἔχω δέ ὁ εἶδος πρός ὁ παραλληλόγραμμος λόγος δίδωμι , δίδωμι παρά - αλληλογραμμος ὁ εἶδος . δύο γάρ εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΔ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ἀναγράφω ἀπό μέν ὁ ΑΒ δίδωμι ὁ εἶδος εἶδος ὁ ΑΕΒ , ἀπό δέ ὁ ΓΔ παραλληλόγραμμος ὁ ΔΖ ἐν δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ὁ ΖΓΔ , λόγος δέ ἵστημι ὁ ΕΒ εἶδος πρός ὁ ΖΔ παραλληλόγραμμος δίδωμι · λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ ΔΖ παραλληλόγραμμος ὁ εἶδος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ΔΖ ὅμοιος καί ὁμοίως κεῖμαι παραλληλόγραμμος ὁ AH . ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΒ , ΓΔ ὅμοιος καί ὁμοίως κεῖμαι εὐθύς - γράμμα ὁ ΑΗ , ΖΔ , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΗ πρός ὁ ΖΔ δίδωμι . ὁ δέ ΖΔ πρός ὁ ΕΒ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ὁ ΕΒ ἄρα πρός ὁ ΑΗ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΒΑΘ γωνία · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ὑπό ΖΓΔ . ἐπεί οὖν δίδωμι ὁ εἶδος εἶδος ὁ ΕΒ παρά εἷς ὁ πλευρά ὁ ΑΒ παραβάλλω ὁ ΑΗ ἐν δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ὁ ΘΑΒ καί λόγος εἰμί ὁ ΕΒ εἶδος πρός ὁ ΑΗ παραλληλόγραμμος δίδωμι , δίδωμι ἄρα ὁ ΑΗ ὁ εἶδος . καί εἰμί ὅμοιος ὁ ΖΔ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΖΔ ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 63
Ἐὰν τρίγωνον τῷ εἴδει δεδομένον ᾖ , τὸ ἀπὸ ἑκάστης τῶν πλευρῶν αὐτοῦ πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδο - μένον . ἔστω τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τετρά - γωνα τὰ EΒ , ΓΔ , ΓΖ · λέγω , ὅτι ἕκαστον τῶν ΕΒ , ΓΔ , ΓΖ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον . ἐπεὶ γὰρ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΒΓ εὐθύ - γραμμα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται , ἃ ἔτυχεν , τὰ ΑΒΓ ΓΔ , λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρου τῶν ΕΒ , ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ὁ εἶδος δίδωμι εἰμί , ὁ ἀπό ἕκαστος ὁ πλευρά αὐτός πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι - μένω . ἵστημι τρίγωνος δίδωμι ὁ εἶδος ὁ ΑΒΓ , καί ἀναγράφω ἀπό ἕκαστος ὁ πλευρά αὐτός τετρᾶς - γωνα ὁ EΒ , ΓΔ , ΓΖ · λέγω , ὅτι ἕκαστος ὁ ΕΒ , ΓΔ , ΓΖ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . ἐπεί γάρ ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς ὁ ΒΓ εὐθύς - γράμμα δίδωμι ὁ εἶδος ἀναγράφω , ὁ τυγχάνω , ὁ ΑΒΓ ΓΔ , λόγος ἄρα ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι . διά ὁ αὐτός δή καί ἑκάτερος ὁ ΕΒ , ΖΓ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 64
Ἐὰν τρίγωνον ἀμβλεῖαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην , ᾦ μεῖζον δύναται ἡ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρὰ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευ - ρῶν , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν γωνίαν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ δεδομένην , καὶ διήχθω ἐπʼ εὐθείας τῆς ΒΓ εὐθεῖα ἡ ΒΔ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι , ᾦ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , τουτέστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ , ΒΓ ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον . ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ , καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ δοθεῖσά ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ δοθεῖσα . καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΒ δο - θεῖσά ἐστιν . δέδοται ἄρα τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ δοθείς . καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ , ΒΓ · ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΑ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ , ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ , ΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΑ , ΒΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ , ΒΓ , ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ἐκεῖνο ἄρα τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ἀμβλύς ἔχω γωνία δίδωμι , οἶς μείζων δύναμαι ὁ ὁ ἀμβλύς γωνία ὑποτείνω πλευρόν ὁ ὁ ἀμβλύς γωνία περιέχω πλεύς - ῥόος , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι τρίγωνος ἀμβλυγώνιος ὁ ΑΒΓ ἀμβλύς γωνία ἔχω ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ δίδωμι , καί διάγω ἐπί εὐθύς ὁ ΒΓ εὐθύς ὁ ΒΔ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΓΔ κάθετος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι , οἶς μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , τουτέστι ὁ δίς ὑπό ὁ ΔΒ , ΒΓ ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ , καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΔ δίδωμι εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΒ δίδωμι . καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΔΑΒ δο - τίθημι εἰμί . δίδωμι ἄρα ὁ ΔΑΒ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα ὁ ΑΔ πρός ὁ ΔΒ δίδωμι . καί εἰμί ὡς ὁ ΑΔ πρός ὁ ΔΒ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΔΒ , ΒΓ · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΔΑ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΔΒ , ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΔΒ , ΒΓ ἄρα πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΔΑ , ΒΓ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ δίς ὑπό ὁ δΒΓ ἄρα πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΔΒ , ΒΓ , ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ἐκεῖνος ἄρα ὁ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι .
euclides-geom.data 65
Ἐὰν τρίγωνον ὀξεῖαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην , ᾧ ἔλασσον δύναται ἡ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρὰ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ , ὀξεῖαν ἔχον γωνίαν δεδομένην τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι , ᾧ ἔλασ - σόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ τουτ - έστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον . ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΔ ἐστι δοθεῖσα · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΑΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ ἄρα . ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΔ πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ , ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ · ᾧ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ἐκεῖνο τὸ χωορίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ὀξύς ἔχω γωνία δίδωμι , ὅς μικρός δύναμαι ὁ ὁ ὀξύς γωνία ὑποτείνω πλευρόν ὁ ὁ ὀξύς γωνία περιέχω πλευρά , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι τρίγωνος ὀξυγώνιος ὁ ΑΒΓ , ὀξύς ἔχω γωνία δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι , ὅς ἐλαύνω - σός εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ οὗτος - εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΔ γωνία , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΒ δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΕΑΔ εἰμί δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΔ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΓΒΔ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΒ , ΑΔ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ ἄρα . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΔ πρός ὁ ΑΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ ἄρα πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ , ὅς ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ · ὅς ἄρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , ἐκεῖνος ὁ χωορίον πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι .
euclides-geom.data 66
Ἐὰν τρίγωνον δεδομένην ἔχῃ γωνίαν , τὸ ὑπὸ τῶν τὴν δεδομένην γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν ὀρθο - γώνιον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α · λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΔ . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ γωνία δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία δέδοται · δέδοται ἄρα τὸ ΑΕΔ τρίγωνον τῷ εἴδει . λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς . ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΑΓ · ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρί - γωνον λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος δίδωμι ἔχω γωνία , ὁ ὑπό ὁ ὁ δίδωμι γωνία περιέχω εὐθύς ορθός - γώνιος πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ δίδωμι ἔχω γωνία ὁ πρός ὁ Α · λέγω , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ΑΓ κάθετος ὁ ΒΔ . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΒ γωνία δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΕΔ τρίγωνος ὁ εἶδος . λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ δίδωμι . ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ΒΔ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΑΓ · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΓ ΒΔ πρός ὁ ΑΒΓ τρεῖς - γωνον λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ ἄρα πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 68
Ἐὰν δύο ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ μία πλευρὰ πρὸς μίαν πλευ - ρὰν λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ ἡ λοιπὴ πλευρὰ πρὸς τὴν λοιπὴν πλευρὰν λόγον ἕξει δεδομένον . δύο γὰρ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ , ΓΔ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον , ἐχέτω δὲ καὶ μία πλευρὰ πρὸς μίαν πλευρὰν λόγον δεδομένον , καὶ ἕστω τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΖΔ λόγος δοθείς · λέγω , ὅτι καὶ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΖΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΕΒ τῷ ΓΔ ἴσοι παραλληλόγραμμον τὸ ΕΗ , καὶ κείσθω , ὥστε ἐπʼ εὐ - θείας εἶναι τὴν ΑΕ τῇ ΕΘ · ἔπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΒ τῇ ΒΗ . ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς ἴσον δὲ τὸ ΓΔ τῷ ΕΗ , λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΒ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΓΔ , ἐστι δὲ καὶ ἰσογώνιον , τῶν ΕΗ , ΓΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ , οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΕΘ . λόγος δὲ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ δοθείς · καὶ τῆς ΓΖ ἄρα πρὸς τὴν ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . τῆς δὲ ΕΘ πρὸς τὴν ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΑΕ ἄρα πρὸς τὴν ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί εἷς πλευρόν πρός εἷς πλεύς - ρά λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ λοιπός πλευρόν πρός ὁ λοιπός πλευρά λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ , ΓΔ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , ἔχω δέ καί εἷς πλευρόν πρός εἷς πλευρά λόγος δίδωμι , καί εἱμί ὁ ΒΕ πρός ὁ ΖΔ λόγος δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΕ πρός ὁ ΖΓ λόγος εἰμί δίδωμι . παραβάλλω γάρ παρά ὁ ΕΒ ὁ ΓΔ ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΕΗ , καί κεῖμαι , ὥστε ἐπί εὕω - θεῖος εἰμί ὁ ΑΕ ὁ ΕΘ · ἐπί εὐθύς ἄρα εἰμί καί ὁ ΚΒ ὁ ΒΗ . ἐπεί οὖν λόγος εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι ἴσος δέ ὁ ΓΔ ὁ ΕΗ , λόγος ἄρα ὁ ΑΒ πρός ὁ ΕΒ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΑΕ πρός ὁ ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΗ ὁ ΓΔ , εἰμί δέ καί ἰσογώνιος , ὁ ΕΗ , ΓΔ ἄρα ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρός ὁ ΖΔ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός ὁ ΕΘ . λόγος δέ ὁ ΕΒ πρός ὁ ΖΔ δίδωμι · καί ὁ ΓΖ ἄρα πρός ὁ ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΕΘ πρός ὁ ΑΕ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΑΕ ἄρα πρός ὁ ΓΖ λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 69
Ἐὰν δύο παραλληλόγραμμα δεδομένας ἔχῃ γωνίας καὶ λόγον πρὸς ἄλληλα ἔχῃ δεδομένον , καὶ μία πλευρὰ πρὸς μίαν πλευρὰν λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ ἡ λοιπὴ πλευρὰ πρὸς τὴν λοιπὴν πλευρὰν λόγον ἕξει δεδομένον . δύο γὰρ παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ , ΗΕ δεδομένας ἔχοντα γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Δ , Ζ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον , λόγος δὲ ἔστω τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΖΗ δοθείς · λέγω , ὅτι καὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος δέδοται . εἰ μὲν οὖν ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒ παραλληλόγραμ — μον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ , φανερόν . εἰ δὲ οὔ , συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶ ΒΔΚ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΛ παραλληλόγραμμον . ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΑΓ , ΑΚΔ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΚ ἐστι δοθεῖσα · δέδοται ἄρα τὸ ΑΔΚ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΚ δοθείς . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΔΓ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς · ὑπόκειται γάρ · καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΓ τῷ ΔΛ , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΔΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς . καί ἐστιν ἰσογώνιον τὸ ΔΛ τῷ ΖΘ , καὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΔΛ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς , καί ἐστι τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΖH · ὑπόκειται γάρ · λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ΔΚ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς . τῆς δὲ ΔΚ πρὸς τὴν ΔΑ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΑΔ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο παραλληλόγραμμος δίδωμι ἔχω γωνία καί λόγος πρός ἀλλήλων ἔχω δίδωμι , καί εἷς πλευρόν πρός εἷς πλευρά λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ λοιπός πλευρόν πρός ὁ λοιπός πλευρά λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ , ΗΕ δίδωμι ἔχω γωνία ὁ πρός ὁ δ , Ζ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , λόγος δέ ἵστημι ὁ ΔΒ πρός ὁ ΖΗ δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΔ πρός ὁ ΕΖ λόγος δίδωμι . εἰμί μέν οὖν ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒ παραλληλόγραμμο — νυμφότιμον ὁ ΕΗ παραλληλόγραμμος , φανερός . εἰμί δέ οὖον , συνίστημι πρός ὁ ΔΒ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ δ ὁ ὑπό ὁ ΕΖΗ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΔΚ , καί συμπληρόω ὁ δΛ παραλληλόγραμμος . ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό δΑΓ , ακδʹ , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΚΑΔ εἰμί δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ ΚΑΔ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ πρός ὁ δΚ δίδωμι . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΔΓ πρός ὁ ΖΘ δίδωμι · ὑπόκειμαι γάρ · καί εἰμί ἴσος ὁ ΔΓ ὁ δΛ , λόγος ἄρα καί ὁ δΛ πρός ὁ ΖΘ δίδωμι . καί εἰμί ἰσογώνιος ὁ δΛ ὁ ΖΘ , καί λόγος εἰμί ὁ δΛ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι , καί εἰμί ὁ ΔΒ πρός ὁ ΖH · ὑπόκειμαι γάρ · λόγος ἄρα εἰμί καί ὁ δΚ πρός ὁ ΕΖ δίδωμι . ὁ δέ δΚ πρός ὁ ΔΑ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΑΔ ἄρα πρός ὁ ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 71
Ἐὰν δύο τριγώνων περὶ ἴσας γωνίας ἢ περὶ ἀνί - σους μέν , δεδομένας δέ , αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λό - γον ἔχωσι δεδομένον , καὶ αὐτὰ τὰ τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον . δύο γὰρ τριγώνων τῶν ΑΒΓ , ΔΕΘ πέρὶ ἴσας . γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Α , Δ ἢ περὶ ἀνίσους μέν , δεδο - μένος δέ , αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον , καὶ ἔστω λόγος τῆς μὲν ΒΑ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς , τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΘ · λέγω , ὅτι καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου λόγος ἐστὶ δοθεὶς πρὸς τὸ ΕΔΘ τρίγωνον . συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΑΗ , ΔΖ παραλληλόγραμμα . ἐπεὶ οὖν δύο παραλληλογράμμων τῶν ΑΗ , ΔΖ περὶ τὰς ἴσας γωνίας ἢ περὶ ἀνίσους μέν , δεδομένας δὲ τὰς πρὸς τοῖς Α , Δ αἰ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχουσι δεδομένον , καὶ τὰ παραλληλόγραμμα λόγον ἕξει δεδομένον πρὸς ἄλληλα · λόγος ἄρα τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΖ δοθείς . καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΗ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , τοῦ δὲ ΔΖ τὸ ΔΚΘ · λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΔΕΘ τρίγωνον δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος περί ἴσος γωνία ἢ περί ἰδμάν - σός μέν , δίδωμι δέ , ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων λό - γος ἔχω δίδωμι , καί αὐτός ὁ τρίγωνος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΘ περί ἴσος . γωνία ὁ πρός ὁ Α , δ ἢ περί ἄνισος μέν , δίδωμι - μένος δέ , ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ἵστημι λόγος ὁ μέν ΒΑ πρός ὁ ΕΔ δίδωμι , ὁ δέ ΑΓ πρός ὁ ΔΘ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι πρός ὁ ΘΕ τρίγωνος . συμπληρόω γάρ ὁ ΑΗ , ΔΖ παραλληλόγραμμος . ἐπεί οὖν δύο παραλληλόγραμμος ὁ ΑΗ , ΔΖ περί ὁ ἴσος γωνία ἢ περί ἄνισος μέν , δίδωμι δέ ὁ πρός ὁ Α , δ ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ παραλληλόγραμμος λόγος ἔχω δίδωμι πρός ἀλλήλων · λόγος ἄρα ὁ ΑΗ πρός ὁ ΔΖ δίδωμι . καί εἰμί ὁ μέν ΑΗ ἥμισυς ὁ ΑΒΓ τρίγωνος , ὁ δέ ΔΖ ὁ ΔΚΘ · λόγος ἄρα ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ΔΕΘ τρίγωνος δίδωμι .
euclides-geom.data 72
Ἐὰν δύο τριγώνων αἵ τε βάσεις ἐν δεδομένῳ λόγῳ ὦσι καὶ αἰ ἐπʼ αὐτὰς ἠγμέναι ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἤτοι ἴσας γωνίας ποιοῦσαι ἢ ἀνίσους μέν , δεδομένας δέ , τὰς πρὸς ταῖς βάσεσιν , καὶ αὐτὰ τὰ τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καὶ ἤχθωσαν αἱ ΑΗ , ΔΘ ἤτοι ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ τῶν ΑΗΓ ΔΘΖ ἢ ἀνίσους μέν , δεδομένας δέ , καὶ ἔστω λόγος τῆς μὲν ΒΓ πρὸς ΕΖ δοθείς , τῆς δὲ ΑΗ πρὸς τὴν ΔΘ δοθείς · λέγω , ὅτι καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς . συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΚΓ ΛΖ παραλληλόγραμμα . καὶ ἐπεὶ αἰ ὑπὸ τῶν ΑΗΓ ΔΘΖ γωνίαι ἤτοι ἴσαι εἰσίν , ἢ ἄνισοι μέν , δεδομέναι δέ , ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΗΓ τῇ ὑπὸ ΚΒΓ , ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΘΖ τῇ ὑπὸ τῶν ΛΕΖ , καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β , Ε ἄρα γωνίαι ἤτοι ἴσαι εἰσὶν ἢ ἄνισοι μέν , δεδομέναι δέ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΗ πρὸς τὴν ΔΘ δοθείς , ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΚΒ , ἡ δὲ ΔΘ τῇ ΛΕ , λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ΚΒ πρὸς τὴν ΛΕ δοθείς . ἔστι δὲ καὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος δοθείς , καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β , Ε σημείοις γωνίαι ἤτοι ἴσαι εἰσίν , ἢ ἄνισοι μέν , δεδομέναι δέ · καὶ τοῦ ΓΚ ἄρα παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΛΖ παραλληλόγραμμον λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὁ τε βάσις ἐν δίδωμι λόγος εἰμί καί ὁ ἐπί αὐτός ἄγω ἀπό ὁ γωνία ἤτοι ἴσος γωνία ποιέω ἢ ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , ὁ πρός ὁ βάσις , καί αὐτός ὁ τρίγωνος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ , καί ἄγω ὁ ΑΗ , ΔΘ ἤτοι ἴσος γωνία ποιέω ὁ ὑπό ὁ ΑΗΓ ΔΘΖ ἢ ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , καί ἵστημι λόγος ὁ μέν ΒΓ πρός ΕΖ δίδωμι , ὁ δέ ΑΗ πρός ὁ ΔΘ δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πρός ὁ δΕΖ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι . συμπληρόω γάρ ὁ ΚΓ ΛΖ παραλληλόγραμμος . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΑΗΓ ΔΘΖ γωνία ἤτοι Ἴσαι εἰμί , ἢ ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , ἴσος δέ ὁ μέν ὑπό ὁ ΑΗΓ ὁ ὑπό ΚΒΓ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΔΘΖ ὁ ὑπό ὁ ΕΖ , καί ὁ πρός ὁ Β , Ε ἄρα γωνία ἤτοι Ἴσαι εἰμί ἢ ἄνισος μέν , δίδωμι δέ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΑΗ πρός ὁ ΔΘ δίδωμι , ἴσος δέ ὁ μέν ΑΗ ὁ ΚΒ , ὁ δέ ΔΘ ὁ ΛΕ , λόγος ἄρα εἰμί καί ὁ ΚΒ πρός ὁ ΛΕ δίδωμι . εἰμί δέ καί ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ λόγος δίδωμι , καί ὁ πρός ὁ Β , Ε σημεῖον γωνία ἤτοι Ἴσαι εἰμί , ἢ ἄνισος μέν , δίδωμι δέ · καί ὁ ΓΚ ἄρα παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΛΖ παραλληλόγραμμος λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πρός ὁ δΕΖ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 75
Ἐὰν δύο τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδο - μένον , ἤτοι ἐν ἴσαις γωνίαις ἢ ἐν ἀνίσοις μέν , δεδο - μέναις δέ , ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου πλευράν , οὕτως ἡ ἑτέρα τοῦ δευτέρου πλευρὰ πρὸς ἣν ἡ λοιπὴ τοῦ πρώτου λόγον ἔχει δεδο - μένον . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΧ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον , καὶ ἔστωσαν αί πρὸς τοῖς Α , Δ γωνίαι ἤτοι ἴσαι ἢ ἄνισοι μέν , δεδομέναι δέ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ῆν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον . συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΑΗ , ΔΘ παραλληλόγραμμα . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον δοθείς , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ παρ - αλληλογράμμου πρὸς τὸ ΔΘ παραλληλόγραμμον δο - θείς . ἐπεὶ οὖν δύο παραλληλόγραμμα τὰ ΑΗ , ΔΘ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον ἤτοι ἐν ἴσαις γω - νίαις ἢ ἀνίσοις μέν , δεδομέναις δέ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ἢν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δοθέντα .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι - μένω , ἤτοι ἐν ἴσος γωνία ἢ ἐν ἄνισος μέν , δίδωμι - Μεναί δέ , εἰμί ὡς ὁ ὁ πρῶτος πλευρόν πρός ὁ ὁ δύο πλευρά , οὕτως ὁ ἕτερος ὁ δύο πλευρόν πρός ὅς ὁ λοιπός ὁ πρῶτος λόγος ἔχω δίδωμι - μένω . ἵστημι δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΔΕΧ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί εἰμί ὅς πρός ὁ Α , δ γωνία ἤτοι Ἴσαι ἢ ἄνισος μέν , δίδωμι δέ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΔΖ πρός ἐάν ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι . συμπληρόω γάρ ὁ ΑΗ , ΔΘ παραλληλόγραμμος . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος πρός ὁ δΕΖ τρίγωνος δίδωμι , λόγος ἄρα καί ὁ ΑΗ παρά - αλληλογραμμος πρός ὁ ΔΘ παραλληλόγραμμος δο - θέω . ἐπεί οὖν δύο παραλληλόγραμμος ὁ ΑΗ , ΔΘ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι ἤτοι ἐν ἴσος εγώ - νία ἢ ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΔΖ πρός εἄν ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι .
euclides-geom.data 76
Ἐὰν τριγώνου δεδομένου τῷ εἴδει ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ , ἡ ἀχθεῖσα πρὸς τὴν βάσιν λόγον ἔχει δεδομένον . ἔστω τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ · λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς . ἐπεὶ γάρ δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει , δο - θεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία . ἔστι δὲ καὶ ΔΕ ] ΒΕ b . 5 . ῆν ἡ ] τήν b . 6 . ΔΘ ] ΔΕ b . 8 . Post τρίγωνον add . ἔστω · εἰ δὲ ὁ b . 12 . ἤ ] ἤτοι Vat . , - τοι del . m . 2 . ἐν ἀνίσοις b . 13 . ἢν ἡ ] τήν b . 18 . δεδομένον τῷ εἴδει b . 19 . ἔστω — 20 . εἴει ] om . b . 22 . Ante ἡ ΑΔ add . ἦκται b . λόγος ] ἡμίλογός b . 25 . ἐστὶ καί ] om . b . ΑΒΔ ] τῶν ΑΔ ΑΔΒ b . ἡ ὑπὸ τῶν ΒΔΑ δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ ἐστι δοθεῖσα · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ δο - θείς . τῆς δὲ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΑΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος δίδωμι ὁ εἶδος ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω , ὁ ἄγω πρός ὁ βάσις λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι τρίγωνος δίδωμι ὁ εἶδος ὁ ΑΒΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΔ · λέγω , ὅτι λόγος εἰμί ὁ ΑΔ πρός ὁ ΒΓ δίδωμι . ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος , δο - τίθημι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία . εἰμί δέ καί ΔΕ ] ΒΕ b . 5 . ἐάν ὁ ] ὁ b . 6 . ΔΘ ] ΔΕ b . 8 . Post τρίγωνος add . ἵστημι · εἰμί δέ ὁ b . 12 . ἤ ] ἤτοι Vat . , - ὅς del . m . 2 . ἐν ἄνισος b . 13 . εἄν ὁ ] ὁ b . 18 . δίδωμι ὁ εἶδος b . 19 . ἵστημι — 20 . εἴεω ] om . b . 22 . Ante ὁ ΑΔ add . ἄγω b . λόγος ] ἡμίλογός b . 25 . εἰμί καί ] om . b . ΑΒΔ ] ὁ ΑΔ ΑΔΒ b . ὁ ὑπό ὁ ΒΔΑ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΔΑΒ εἰμί δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΔ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΔ δο - θέω . ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΑΔ ἄρα πρός ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 77
Ἐὰν δύο εἴδη δεδομένα τῴ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ μία πλευρὰ ὁποιαοῦν ἑνὸς τῶν εἰδῶν πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τοῦ ἑτέρου λόγον ἕξει δεδομένον . δύο γὰρ εἴδη τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι καὶ μία πλευρὰ ὁποιαοῦν τοῦ ΑΒΓ πρὸς μίαν πλευρὰν ὁποιανοῦν τοῦ ΔΕΖ λόγον ἔχει δεδομένον . ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΒΓ , ΕΖ τετράγωνα τὰ ΒΗ , EΘ . ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΒΓ δύο εἴδη ἀναγέγραπται , ἃ ἔτυχεν , δεδομένα τῷ εἴδει τὰ ΑΒΓ , ΒΗ , λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ δο - θείς . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ πάλιν καὶ τοῦ ΔΕΖ πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΔΕΖ δοθείς , ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ λόγος ἐστὶ δοθείς , τοῦ δὲ ΔΕΖ πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο εἶδος δίδωμι ὁ εἶδος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί εἷς πλευρόν ὁποιοσοῦν εἷς ὁ εἶδος πρός ὁποῖος ὁ ὁ ἕτερος λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ εἶδος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ δίδωμι ὁ εἶδος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι καί εἷς πλευρόν ὁποιοσοῦν ὁ ΑΒΓ πρός εἷς πλευρά ὁποῖος ὁ δΕΖ λόγος ἔχω δίδωμι . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΒΓ , ΕΖ τετράγωνος ὁ ΒΗ , EΘ . ἐπεί ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς ὁ ΒΓ δύο εἶδος ἀναγράφω , ὁ τυγχάνω , δίδωμι ὁ εἶδος ὁ ΑΒΓ , ΒΗ , λόγος ἄρα ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ΒΗ δο - θέω . διά ὁ αὐτός δή πάλιν καί ὁ δΕΖ πρός ὁ ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί οὖν λόγος εἰμί ὁ ΑΒΓ πρός ὁ δΕΖ δίδωμι , ἀλλά ὁ μέν ΑΒΓ πρός ὁ ΒΗ λόγος εἰμί δίδωμι , ὁ δέ δΕΖ πρός ὁ ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι , καί ὁ ΒΗ ἄρα πρός ὁ ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΒΓ πρός ὁ ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 78
Ἐὰν δοθὲν εἶδος πρός τι ὀρθογώνιον λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ μία πλευρὰ πρὸς μίαν πλευρὰν λόγον ἔχῃ δοθέντα , δέδοται τὸ ὀρθογώνιον τῷ εἴδει . δοθὲν γὰρ εἶδος τὸ ΑΖΒ πρός τι ὀρθογώνιον τὸ ΓΔ λόγον ἐχέτω δεδομένον , καὶ ἔστω λόγος τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς · λέγω , ὅτι δέδοται τὸ ΓΔ τῷ εἴδει . ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΒ τετράγωνον τὸ ΖΗ , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΔ τῷ ΖΗ ἴσον παρ - αλληλόγραμμον τὸ ΕΚ , καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΕ τῇ ΕΘ · ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ τῇ ΔΚ . καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΖΒ δύο εὐθύγραμμα , ἃ ἔτυχεν , δεδομένα τῷ εἴδει ἀνα - γέγραπται τὰ ΑΖΒ , ΖΗ , λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΖΒ πρὸς τὸ ΖΗ δοθείς . τοῦ δὲ ΑΖΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἀλλὰ τὸ ΖΗ τῷ ΕΚ ἐστι ἱσον · καὶ τοῦ ΓΔ ἄρα πρὸς τὸ ΕΚ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΓΕ πρὸς τὴν ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ καὶ ἰσογώνιον τὸ ΖΗ τῷ ΕΚ , [ ἔστι δὲ καὶ ὀρθο - γώνιον · ] ἀντιπεπόνθασιν ἄρα αὐτῶν αἱ πλευραί , καί ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΕΔ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΖΛ . λόγος δὲ ὑπόκειται τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΖΛ δοθείς . τῆς δὲ ΕΘ πρὸς τὴν ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς τὴν ΖΛ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἴση δὲ ἡ ΛΖ τῇ ΖΒ · [ τετράγωνον γάρ · τῆς ΛΖ ἄρα πρὸς ΕΔ λόγος δοθείς · σύγκειται γάρ · ] καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς τὴν ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία · δέδοται ἄρα τὸ ΓΔ τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν δίδωμι εἶδος πρός τίς ὀρθογώνιος λόγος ἔχω δίδωμι , καί εἷς πλευρόν πρός εἷς πλευρά λόγος ἔχω δίδωμι , δίδωμι ὁ ὀρθογώνιος ὁ εἶδος . δίδωμι γάρ εἶδος ὁ ΑΖΒ πρός τίς ὀρθογώνιος ὁ ΓΔ λόγος ἔχω δίδωμι , καί ἵστημι λόγος ὁ ΖΒ πρός ὁ ΕΔ δίδωμι · λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ ΓΔ ὁ εἶδος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΖΒ τετράγωνος ὁ ΖΗ , καί παραβάλλω παρά ὁ ΕΔ ὁ ΖΗ ἴσος παρά - αλληλογραμμος ὁ ΕΚ , καί κεῖμαι ὥστε ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ ΓΕ ὁ ΕΘ · ἐπί εὐθύς ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΔ ὁ δΚ . καί ἐπεί ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς ὁ ΖΒ δύο εὐθύγραμμος , ὁ τυγχάνω , δίδωμι ὁ εἶδος ἀνα - γράφω ὁ ΑΖΒ , ΖΗ , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖΒ πρός ὁ ΖΗ δίδωμι . ὁ δέ ΑΖΒ πρός ὁ ΓΔ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΖΗ ἄρα πρός ὁ ΓΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ἀλλά ὁ ΖΗ ὁ ΕΚ εἰμί ἴσος · καί ὁ ΓΔ ἄρα πρός ὁ ΕΚ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΓΕ πρός ὁ ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί ἴσος εἰμί καί ἰσογώνιος ὁ ΖΗ ὁ ΕΚ , [ εἰμί δέ καί ορθός - γώνιος · ] ἀντιπάσχω ἄρα αὐτός ὁ πλευρά , καί εἰμί ὡς ὁ ΖΒ πρός ΕΔ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ΖΛ . λόγος δέ ὑπόκειμαι ὁ ΖΒ πρός ὁ ΕΔ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΕΘ πρός ὁ ΖΛ δίδωμι . ὁ δέ ΕΘ πρός ὁ ΓΕ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΓΕ ἄρα πρός ὁ ΖΛ λόγος εἰμί δίδωμι . ἴσος δέ ὁ ΛΖ ὁ ΖΒ · [ τετράγωνος γάρ · ὁ ΛΖ ἄρα πρός ΕΔ λόγος δίδωμι · σύγκειμαι γάρ · ] καί ὁ ΓΕ ἄρα πρός ὁ ΕΔ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὀρθός ὁ πρός ὁ Ε γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ΓΔ ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 79
Ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ , καὶ ἀπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν , ᾖ δέ , ὡς ἡ τοῦ πρώτου τρι - γώνου βάσις πρὸς τὴν κάθετον , οὕτως ἡ τοῦ ἑτέρου τριγώνου βάσις πρὸς τὴν κάθετον , ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα . ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΘΖΗ ἴσας ἔχοντα γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Ζ , Β , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Ζ , Β κάθετοι αἱ ΒΔ , ΖΚ · ἔστω δέ , ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΚΖ · λέγω , ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΖΗ τριγώνῳ . περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ ΘΖΗ τρίγωνον κύκλος , οὗ τμῆμα ἔστω τὸ ΘΖΗ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΘΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΗΘΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΛ , ΛΗ , καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΛΜ . ἐπεὶ ἱση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ τῇ ὑπὸ τῶν ΛΘΗ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΘΛΗ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΗΛ ἐστιν ἴση · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τρίγωνον τῷ ΘΗΛ τριγώνῳ . καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ , ΛΜ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΛΜ · ἧν δέ , ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΖΚ · ὑπόκειται γάρ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΛΜ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΖΚ · ἱση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΛΜ · ἔστι δὲ καὶ παράλληλος · καὶ ἡ ΖΛ ἄρα τῇ ΘΗ παράλληλός ἐστιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΛΘ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΘΗ . ἀλλʼ ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΛΘΗ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἐστιν ἴση · ἡ δὲ ὑπὸ ΖΛΘ τῇ ὑπὸ τῶν ΖΗΘ ἐστιν ἴση · καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἄρα τῇ ὑπὸ τῶν ΖΗΘ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖΗ ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΗ ἐστιν · ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΘΗ τριγώνῳ .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος εἷς γωνία εἷς γωνία ἴσος ἔχω , καί ἀπό ὁ ἴσος γωνία ἐπί ὁ βάσις κάθετος εὐθύς γραμμή ἄγω , εἰμί δέ , ὡς ὁ ὁ πρῶτος τρι - γώνον βάσις πρός ὁ κάθετος , οὕτως ὁ ὁ ἕτερος τρίγωνος βάσις πρός ὁ κάθετος , ἰσογώνιος εἰμί ὁ τρίγωνος . ἵστημι δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΘΖΗ ἴσος ἔχω γωνία ὁ πρός ὁ Ζ , Β , καί ἄγω ἀπό ὁ Ζ , Β κάθετος ὁ ΒΔ , ΖΚ · ἵστημι δέ , ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΚΖ · λέγω , ὅτι ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ΘΖΗ τρίγωνος . περιγράφω γάρ περί ὁ ΘΖΗ τρίγωνος κύκλος , ὅς τμῆμα ἵστημι ὁ ΘΖΗ , καί συνίστημι πρός ὁ τίθημι εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Θ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΗΘΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΛ , ΛΗ , καί ἄγω κάθετος ὁ ΛΜ . ἐπεί ἱσης εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΑΒ ὁ ὑπό ὁ ΘΗΛ , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΘΛ ὁ ὑπό ΑΒΓ ἴσος , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΓΑ λοιπός ὁ ὑπό ὁ ΘΗΛ εἰμί ἴσος · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΒΑΓ τρίγωνος ὁ ΘΗΛ τρίγωνος . καί κάθετος ἄγω εἰμί ὁ ΒΔ , ΛΜ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΛΜ · ἧμαι δέ , ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΖΚ · ὑπόκειμαι γάρ · καί ὡς ἄρα ὁ τίθημι πρός ὁ ΛΜ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΖΚ · ἱσης ἄρα εἰμί ὁ ΖΚ ὁ ΛΜ · εἰμί δέ καί παράλληλος · καί ὁ ΖΛ ἄρα ὁ τίθημι παράλληλος εἰμί · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΖΛΘ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΘΗΛ . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ ΘΗΛ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ εἰμί ἴσος · ὁ δέ ὑπό ΖΛΘ ὁ ὑπό ὁ ΖΗΘ εἰμί ἴσος · καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΖΗΘ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ὁ ὑπό ὁ ΘΖΗ ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΓΑ λοιπός ὁ ὑπό ὁ ΖΗΘ εἰμί · ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ΖΗΘ τρίγωνος .
euclides-geom.data 81
Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον οὖσαι τρισὶν εὐθείαις ἀνάλογον οὔσαις τὰς ἄκρας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἔχωσιν , καὶ τὰς μέσας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἕξουσιν · καὶ ἐὰν ἡ ἄκρα πρὸς τὴν ἄκραν λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ ἡ μέση πρὸς τὴν μέσην καὶ ἡ λοιπὴ ἄκρα πρὸς τὴν λοιπὴν ἄκραν λόγον ἕξει δεδομένον . τρεῖς γὰρ εὐθεῖαι ἀνάλογον οὖσαι αἱ Α , Β , Γ τρι - σὶν εὐθείαις ἀνάλογον οὔσαις ταῖς Δ , Ε , Ζ τὰς ἄκρας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἐχέτωσαν , καὶ ἔστω λόγος τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ δοθείς , τῆς δὲ Γ πρὸς τὴν Ζ λόγος δο - θείς · λέγω , ὅτι καὶ τῆς Β πρὸς τὴν Ε λόγος ἐστὶ δοθείς . ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ δοθείς , τῆς δὲ Γ πρὸς τὴν Ζ δοθείς , λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν Α , Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ζ δοθείς . ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β , τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Δ , Ζ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε . λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τῆς Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε δοθείς · ὥστε καὶ τῆς Β πρὸς τὴν Ε λόγος ἐστὶ δοθείς . ἔστω δὴ πάλιν τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ λόγος δοθείς , τῆς δὲ Β πρὸς τὴν Ε λόγος δοθείς · λέγω , ὅτι καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ , τῆς δὲ Β πρὸς τὴν Ε δοθείς , λόγος ἐστὶ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε δοθείς . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Ε ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ζ · λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α , Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ζ δοθείς . καὶ μιᾶς πλευρᾶς τῆς Α πρὸς μίαν πλευρὰν τὴν Δ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς Γ πρὸς λοιπὴν τὴν Ζ λό ος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος εἰμί τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος εἰμί ὁ ἄκρος ἐν δίδωμι λόγος ἔχω , καί ὁ μέσος ἐν δίδωμι λόγος ἔχω · καί ἐάν ὁ ἄκρος πρός ὁ ἄκρος λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ μέσος πρός ὁ μέσος καί ὁ λοιπός ἄκρος πρός ὁ λοιπός ἄκρος λόγος ἔχω δίδωμι . τρεῖς γάρ εὐθύς ἀνάλογος εἰμί ὁ Α , Β , Γ τρι - ἵν εὐθύς ἀνάλογος εἰμί ὁ δ , Ε , Ζ ὁ ἄκρος ἐν δίδωμι λόγος ἔχω , καί ἵστημι λόγος ὁ μέν Α πρός ὁ δ δίδωμι , ὁ δέ Γ πρός ὁ Ζ λόγος δο - θέω · λέγω , ὅτι καί ὁ Β πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ μέν Α πρός ὁ δ δίδωμι , ὁ δέ Γ πρός ὁ Ζ δίδωμι , λόγος ἄρα ὁ ὑπό ὁ Α , Γ πρός ὁ ὑπό ὁ δ , Ζ δίδωμι . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β , ὁ δέ ὑπό ὁ δ , Ζ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε . λόγος ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β πρός ὁ ἀπό ὁ Ε δίδωμι · ὥστε καί ὁ Β πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι . ἵστημι δή πάλιν ὁ μέν Α πρός ὁ δ λόγος δίδωμι , ὁ δέ Β πρός ὁ Ε λόγος δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ Γ πρός ὁ Ζ λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί λόγος εἰμί ὁ μέν Α πρός ὁ δ , ὁ δέ Β πρός ὁ Ε δίδωμι , λόγος εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ Β πρός ὁ ἀπό ὁ Ε δίδωμι . ἀλλά ὁ μέν ἀπό ὁ Β ἴσος ὁ ὑπό ὁ Α , Γ , ὁ δέ ἀπό ὁ Ε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ δ , Ζ · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α , Γ πρός ὁ ὑπό ὁ δ , Ζ δίδωμι . καί εἷς πλευρά ὁ Α πρός εἷς πλευρά ὁ δ λόγος εἰμί δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ Γ πρός λοιπός ὁ Ζ λό ὅς εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 82
Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , ἔσται , ὡς ἡ πρώτη πρὸς ἣν ἡ δευτέρα λόγον ἔχει δεδομένον , οὕτως ἡ τρίτη πρὸς ἣν ἡ τετάρτη λόγον ἔχει δεδομένον . ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α , Β , Γ Δ , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ · λέγω , ὅτι ἐστίν , ὥς ἡ Α πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον , οὕτως ἡ Γ πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον . ἔστω γὰρ πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον ἡ Ε , καὶ πεποιήσθω , ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ . λόγος δὲ τῆς Β πρὸς τὴν Ε δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ ἐστι δοθείς . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ , ἔστι δὲ καί , ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ , διʼ ἴσου ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ . καί ἐστιν ἡ μὲν Ε πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον , ἡ δὲ Ζ πρὸς ἣν ἡ Δ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον , οὕτως ἡ Γ πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες εὐθύς ἀνάλογος εἰμί , εἰμί , ὡς ὁ πρῶτος πρός ὅς ὁ δύο λόγος ἔχω δίδωμι , οὕτως ὁ τρίτος πρός ὅς ὁ τέταρτος λόγος ἔχω δίδωμι . εἰμί τέσσαρες εὐθύς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ δ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ δ · λέγω , ὅτι εἰμί , ὅς ὁ Α πρός ὅς ὁ Β λόγος ἔχω δίδωμι , οὕτως ὁ Γ πρός ὅς ὁ δ λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι γάρ πρός ὅς ὁ Β λόγος ἔχω δίδωμι ὁ Ε , καί ποιέω , ὡς ὁ Β πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ δ πρός ὁ Ζ . λόγος δέ ὁ Β πρός ὁ Ε δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ δ πρός ὁ Ζ εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ δ , εἰμί δέ καί , ὡς ὁ Β πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ δ πρός ὁ Ζ , διά ἴσος ἄρα εἰμί , ὡς ὁ Α πρός ὁ Ε , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ζ . καί εἰμί ὁ μέν Ε πρός ὅς ὁ Β λόγος ἔχω δίδωμι , ὁ δέ Ζ πρός ὅς ὁ δ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὅς ὁ Β λόγος ἔχω δίδωμι , οὕτως ὁ Γ πρός ὅς ὁ δ λόγος ἔχω δίδωμι .
euclides-geom.data 83
Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι οὕτως ἔχωσι πρὸς ἀλλήλας , ὥστε τριῶν ληφθεισῶν ἐξ αὐτῶν ὁποιωνοῦν καὶ τε - τάρτης αὐταῖς προσληφθείσης ἀνάλογον , πρὸς ἣν ἡ λοιπὴ τῶν ἐξ ἀρχῆς τεσσάρων εὐθειῶν λόγον ἔχει δεδο - μένον , ἀνάλογον γίγνεσθαι τὰς τέσσαρας εὐθείας , ἔσται , ὡς ἡ τετάρτη πρὸς τὴν τρίτην , οὕτως ἡ δευτέρα πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον . ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ Α , Β , Γ , Δ οὕτως ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας , ὥστε τριῶν ληφθεισῶν ἐξ αὐτῶν ὁποιωνοῦν τῶν Α , Β , Γ καὶ τετάρτης αὐταῖς προσ - ληφθείσης τῆς Ε , πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον , ἀνάλογον εἶναι τὰς Α , Β , Γ , Ε εὐθείας · λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ Δ πρὸς τὴν Γ , οὕτως ἡ Β πρὸς ἣν ἡ Α λόγον ἔχει δεδομένον . ἐπεὶ γάρ ἐστιν , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ε , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α , Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β , Γ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς Ε πρὸς τὴν Δ . δοθείς , λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α , Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α , Ε δοθείς · τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Α , Κ ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Β , Γ · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Δ , Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β , Γ ἐστι δοθείς . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Δ πρὸς τὴν Γ , οὕτως ἡ Β πρὸς ἣν ἡ Α λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: ἐάν τέσσαρες εὐθύς οὕτως ἔχω πρός ἀλλήλων , ὥστε τρεῖς λαμβάνω ἐκ αὐτός ὁπόιως καί τε - τάρτη αὐτός προσλαμβάνω ἀνάλογος , πρός ὅς ὁ λοιπός ὁ ἐκ ἀρχή τέσσαρες εὐθύς λόγος ἔχω δίδωμι - μένω , ἀνάλογος γίγνομαι ὁ τέσσαρες εὐθύς , εἰμί , ὡς ὁ τέταρτος πρός ὁ τρίτος , οὕτως ὁ δύο πρός ὅς ὁ πρῶτος λόγος ἔχω δίδωμι . εἰμί τέσσαρες εὐθύς ὁ Α , Β , Γ , δ οὕτως ἔχω πρός ἀλλήλων , ὥστε τρεῖς λαμβάνω ἐκ αὐτός ὁπόιως ὁ Α , Β , Γ καί τέταρτος αὐτός προς - λαμβάνω ὁ Ε , πρός ὅς ὁ δ λόγος ἔχω δίδωμι , ἀνάλογος εἰμί ὁ Α , Β , Γ , Ε εὐθύς · λέγω , ὅτι εἰμί , ὡς ὁ δ πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὅς ὁ Α λόγος ἔχω δίδωμι . ἐπεί γάρ εἰμί , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ Ε , ὁ ἄρα ὑπό ὁ Α , Ε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Β , Γ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Ε πρός ὁ δ . δίδωμι , λόγος ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ Α , δ πρός ὁ ὑπό ὁ Α , Ε δίδωμι · ὁ δέ ὑπό ὁ Α , Κ εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ Β , Γ · λόγος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ δ , Α πρός ὁ ὑπό ὁ Β , Γ εἰμί δίδωμι . εἰμί ἄρα ὡς ὁ δ πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὅς ὁ Α λόγος ἔχω δίδωμι .
euclides-geom.data 84
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο - μένῃ γωνίᾳ , ἡ δὲ ἑτέρα τῆς ἑτέρας δοθείσῃ μείζων ᾗ , καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ δοθὲν χωρίον περι - εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ , ἡ δὲ ΓΒ τῆς ΒΑ δοθείσῃ μείζων ἔστω · λέγω , ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΑ , ΒΓ . ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τῆς ΒΑ δοθείσῃ μείζων ἐστιν , ἔστω ἡ δοθεῖσα ἡ ΔΓ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ ἴση ἐστίν . καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΔ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΒ , λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς · δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία · δέδοται ἄρα τὸ ΑΔ τῷ εἴδει . ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΔΓ παραβέβληται ὑπερ - βάλλον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΑΔ , δέδοται ἄρα τὸ πλάτος τῆς ὑπερβολῆς · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΓ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ δοθεῖσα · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ , ΒΓ δο - θεῖσά ἐστιν .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς δίδωμι χωρίον περιέχω ἐν δίδωμι - μένω γωνία , ὁ δέ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μείζων ὅς , καί ἑκάτερος αὐτός εἰμί δίδωμι . δύο γάρ εὐθύς ὁ ΑΒ , ΒΓ δίδωμι χωρίον περί - χέω ὁ ΑΓ ἐν δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ΓΒ ὁ ΒΑ δίδωμι μείζων ἵστημι · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΒΑ , ΒΓ . ἐπεί γάρ ὁ ΒΓ ὁ ΒΑ δίδωμι μείζων εἰμί , ἵστημι ὁ δίδωμι ὁ ΔΓ · λοιπός ἄρα ὁ ΔΒ ὁ ΒΑ ἴσος εἰμί . καί συμπληρόω ὁ ΑΔ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΔΒ , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ δίδωμι · δίδωμι δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΔ γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΔ ὁ εἶδος . ἐπεί οὖν ὁ ΑΓ δίδωμι παρά δίδωμι ὁ ΔΓ παραβάλλω ὑπερ - βάλλω εἶδος δίδωμι ὁ ΑΔ , δίδωμι ἄρα ὁ πλάτος ὁ ὑπερβολή · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΒΔ . ἀλλά καί ὁ ΔΓ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΒΓ δίδωμι εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ δίδωμι · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ δο - τίθημι εἰμί .
euclides-geom.data 85
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο - μένῃ γωνίᾳ , ῇ δὲ συναμφότερος δοθεῖσα , καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ δοθὲν χωρίον περι - εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ , καὶ ἔστω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δοθεῖσα · λέγω , ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΒΓ ἐστι δοθεῖσα . διήχθω γὰρ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Δ , καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΒΔ , καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΒΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΔ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ , καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία , ἐπεὶ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ δοθεῖσά ἐστιν , δέδοται ἄρα τὸ ΕΒ τῷ εἴδει . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστι συν - αμφότερος ἡ ΑΒΓ , ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ , δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ . ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ ΑΓ παρὰ δο - θεῖσαν τὴν ΔΓ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΕΒ , δέδοται τὰ πλάτη τοῦ ἐλλείμματος · δοθεῖσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΒ , ΒΔ . ἀλλὰ καὶ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δοθεῖσά ἐστιν · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκαέρα τῶν ΑΒ , ΒΓ .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς δίδωμι χωρίον περιέχω ἐν δίδωμι - μένω γωνία , ᾗ δέ συναμφότερος δίδωμι , καί ἑκάτερος αὐτός εἰμί δίδωμι . δύο γάρ εὐθύς ὁ ΑΒ , ΒΓ δίδωμι χωρίον περί - χέω ὁ ΑΓ ἐν δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ , καί ἵστημι συναμφότερος ὁ ΑΒΓ δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ εἰμί δίδωμι . διάγω γάρ ὁ ΓΒ ἐπί ὁ δ , καί κεῖμαι ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΒΔ , καί διά ὁ δ ὁ ΒΑ παράλληλος ἄγω ὁ ΔΕ , καί συμπληρόω ὁ ΑΔ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΔΒ ὁ ΒΑ , καί εἰμί δίδωμι ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία , ἐπεί καί ὁ ἐφεξῆς αὐτός δίδωμι εἰμί , δίδωμι ἄρα ὁ ΕΒ ὁ εἶδος . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί σῦς - ἀμφότερος ὁ ΑΒΓ , ἴσος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΒΔ , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΔΓ . ἐπεί οὖν δίδωμι ὁ ΑΓ παρά δο - θέω ὁ ΔΓ παραβάλλω ἐλλείπω εἶδος δίδωμι ὁ ΕΒ , δίδωμι ὁ πλάτη ὁ ἔλλειμμα · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΔ . ἀλλά καί συναμφότερος ὁ ΑΒΓ δίδωμι εἰμί · καί λοιπός ἄρα ὁ ΒΓ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκαέρα ὁ ΑΒ , ΒΓ .
euclides-geom.data 87
Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ - σαν , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῷ μεγέθει . εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ διήχθω ἡ ΑΓ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα τὸ ΑΕΓ δεχό - μενον γωνίαν δοθεῖσαν · λέγω , ὅτι ἡ ΑΓ δέδοται τῷ μεγέθει . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ · ὀρθὴ γάρ · ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς . δοθεῖσα δὲ ἡ ΕΑ τῷ μεγέθει , ἐπεὶ καὶ . ὁ κύκλος δέδοται τῷ μεγέθει · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῷ μεγέθει .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος δίδωμι ὁ μέγεθος εὐθύς γραμμή ἄγω ἀπολαμβάνω τμῆμα δέχομαι γωνία δίνω - σάω , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ μέγεθος . εἰς γάρ κύκλος δίδωμι ὁ μέγεθος ὁ ΑΒΓ διάγω ὁ ΑΓ ἀπολαμβάνω τμῆμα ὁ ΑΕΓ δέχομαι - μένω γωνία δίδωμι · λέγω , ὅτι ὁ ΑΓ δίδωμι ὁ μέγεθος . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ διάγω ἐπί ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓΕ · ὀρθός γάρ · εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΕΓ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΓΑΕ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΓΕ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ πρός ὁ ΑΓ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΕΑ ὁ μέγεθος , ἐπεί καί . ὁ κύκλος δίδωμι ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ μέγεθος .