euclides-geom.data 80
Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην , καὶ τὸ ὑπὸ τῶν τὴν δεδομένην γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς λοιπῆς πλευρᾶς τετράγωνον λόγον ἔχῃ δεδομένον , δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον γωονίαν τὴν πρὸς τῷ Α , καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Α , Β ἐπὶ τὰς ΒΓ , ΓΑ κάθετοι αἱ ΒΔ , ΑΕ . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ δοθεῖσα , δέδοται ἄρα τὸ ΑΔ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΒΔ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ΑΕ · ἑκάτερον γὰρ αὐτῶν διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΕ δοθείς · τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἐκκείσθω τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ τμῆμα τὸ ΖΘΗ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ · δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ἐν τῷ ΖΘΗ τμήματι γωνία · θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΘΒ τμῆμα . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ · θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΚ . καὶ πεποιήσθω , ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ . λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΖΗ · πρὸς τὴν ΗΚ δοθείς · δοθεῖσα δὲ ἡ ΖΗ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΚ . ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει · καί ἐστι δοθὲν τὸ Η · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Κ . ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παρ - άλληλος ἡ ΚΘ · θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ · θέσει δὲ καὶ τὸ ΖΘΗ τμῆμα · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον . ἐπε - ζεύχθωσαν αἱ ΖΘ,ΘΗ , καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΘΛ · δο - θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ . ἔστι δὲ καὶ τὸ Θ σημεῖον δοθέν , καὶ ἑκάτερον τῶν Ζ , H · δέδοται ἄρα ἑκάστη τῶν ΘΖ , ΖΗ , ΘΗ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει · δέδοται ἄρα τὸ ΖΘΗ τρίγωνον τῷ εἴδει . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ , ἴση δὲ ἡ ΗΚ τῇ ΘΛ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΘΛ . καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΗ · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΖΗ τριγώνῳ . δέδοται δὲ τὸ ΘΖΗ τρίγωνον τῷ εἴδει · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος εἷς ἔχω γωνία δίδωμι , καί ὁ ὑπό ὁ ὁ δίδωμι γωνία περιέχω εὐθύς πρός ὁ ἀπό ὁ λοιπός πλευρά τετράγωνος λόγος ἔχω δίδωμι , δίδωμι ὁ τρίγωνος ὁ εἶδος . ἵστημι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ δίδωμι ἔχω γωονίαν ὁ πρός ὁ Α , καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Α , Β ἐπί ὁ ΒΓ , ΓΑ κάθετος ὁ ΒΔ , ΑΕ . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΔΑΒ γωνία , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΒ δίδωμι , δίδωμι ἄρα ὁ ΑΔ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΕΔ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΓ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΓ , ΒΔ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ ΑΕ · ἑκάτερος γάρ αὐτός διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος · λόγος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΕ δίδωμι · ὁ δέ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΑΕ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι , καί ὁ ΒΓ πρός ΑΕ λόγος εἰμί δίδωμι . ἔκκειμαι ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι εὐθύς ὁ ΖΗ , καί γράφω ἐπί ὁ ΖΗ τμῆμα ὁ ΖΗΘ δέχομαι γωνία ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ · δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἐν ὁ ΖΗΘ τμῆμα γωνία · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΖΘΒ τμῆμα . ἄγω ἀπό ὁ ὁ ὁ ΖΗ πρός ὀρθός ὁ ΗΚ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΗΚ . καί ποιέω , ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΚ . λόγος δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΑΕ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΖΗ · πρός ὁ ΗΚ δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ ΖΗ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΗΚ . ἀλλά καί ὁ θέσις · καί εἰμί δίδωμι ὁ ὁ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Κ . ἄγω διά ὁ Κ ὁ ΖΗ παρά - άλλος ὁ ΚΘ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ · θέσις δέ καί ὁ ΖΗΘ τμῆμα · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Θ σημεῖον . ἔπω - ζεύγνυμι ὁ Θ , καί ἄγω κάθετος ὁ ΘΛ · δο - τίθημι ἄρα εἰμί ὁ ΘΛ . εἰμί δέ καί ὁ Θ σημεῖον δίδωμι , καί ἑκάτερος ὁ Ζ , H · δίδωμι ἄρα ἕκαστος ὁ ΘΖ , ΖΗ , τίθημι ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα ὁ ΖΗΘ τρίγωνος ὁ εἶδος . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΚ , ἴσος δέ ὁ ΗΚ ὁ ΘΛ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ὁ ΘΛ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΖΗΘ · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ΘΖΗ τρίγωνος . δίδωμι δέ ὁ ΘΖΗ τρίγωνος ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος .