ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.data toc
α΄ . Δεδομένα τῷ μεγέθει λέγεται χωρία τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαι , οἷς δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι . β΄ . Λόγος δεδόσθαι λέγεται , ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι . γʹ . Εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται , ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ κατὰ μίαν καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας δεδομένοι . δʹ . Τῇ θέσει δεδόσθαι λέγονται σημεῖά τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαι , ἃ τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχει . εʹ . Κύκλος τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται , οὗ δέδοται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει . ϛʹ . Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδό - σθαι λέγεται , οὗ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει . ζ΄ . Τμήματα κύκλων τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέ - γεται , ἐν οἷς αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ βάσεις τῶν τμημάτων τῷ μεγέθει . η΄ . Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει τμήματα δε - δόσθαι λέγεται , ἐν οἷς αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ τῷ μεγέθει καὶ αἱ βάσεις τῶν τμημάτων τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει . θʹ . Μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεῖζόν ἐστιν , ὅταν , ἀφαιρεθέντος τοῦ δοθέντος , τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἴσον ᾖ . ιʹ . Μέγεθος μεγέθους δοθέντι ἔλασσόν ἐστιν , ὅταν , προστεθέντος τοῦ δοθέντος , τὸ ὅλον τῷ αὐτῷ ἴσον ᾖ . ια΄ . Μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεἵζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ὅταν , ἀφαιρεθέντος τοῦ δοθέντος , τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχῃ δεδομένον . ιβ΄ . Μέγεθος μεγέθους δοθέντι ἔλασσόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ὅταν , προστεθέντος τοῦ δοθέντος , τὸ ὅλον πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχῃ δεδομένον . [ ιγʹ . Κατηγμένη ἐστὶν ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει εὐθεῖαν ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ . ιδʹ . Ἀνηγμένη ἐστὶν ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου πρὸς θέσει εὐθείᾳ ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ . ιεʹ . Παρὰ θέσει ἐστὶν ἡ διὰ δεδομένου σημείου θέσει εὐθείᾳ παράλληλος ἀγομένη . ]
Lemmas: Α΄ . δίδωμι ὁ μέγεθος λέγω χωρίον τε καί γραμμή καί γωνία , ὅς δύναμαι ἴσος πορίζω . Β΄ . Λόγος δίδωμι λέγω , ὅς δύναμαι ὁ αὐτός πορίζω . γε . εὐθύγραμμος σχῆμα ὁ εἶδος δίδωμι λέγω , ὅς ὁ τε γωνία δίδωμι εἰμί κατά εἷς καί ὁ λόγος ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων δίδωμι . δέ . ὁ θέσις δίδωμι λέγω σημεῖον τε καί γραμμή καί γωνία , ὁ ὁ αὐτός ἀεί τόπος ἐπέχω . εἰ . Κύκλος ὁ μέγεθος δίδωμι λέγω , ὅς δίδωμι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μέγεθος . ϛυʹ . ὁ θέσις δέ καί ὁ μέγεθος κύκλος δίδωμι - ἕπομαι λέγω , ὅς δίδωμι ὁ μέν κέντρον ὁ θέσις , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μέγεθος . Ζ΄ . τμῆμα κύκλος ὁ μέγεθος δίδωμι λεʹ - Γέτης , ἐν ὅς ὁ γωνία δίδωμι εἰμί καί ὁ βάσις ὁ τμῆμα ὁ μέγεθος . Η΄ . ὁ θέσις δέ καί ὁ μέγεθος τμῆμα δέ - δίδωμι λέγω , ἐν ὅς ὁ τε γωνία δίδωμι εἰμί ὁ μέγεθος καί ὁ βάσις ὁ τμῆμα ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος . ὁ . μέγεθος μέγεθος δίδωμι μέγας εἰμί , ὅταν , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι , ὁ λοιπός ὁ αὐτός ἴσος εἰμί . εἷς . μέγεθος μέγεθος δίδωμι ἐλαχύς εἰμί , ὅταν , προστίθημι ὁ δίδωμι , ὁ ὅλος ὁ αὐτός ἴσος εἰμί . ΙΑ΄ . μέγεθος μέγεθος δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος , ὅταν , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι , ὁ λοιπός πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω δίδωμι . ἰβʹ . μέγεθος μέγεθος δίδωμι ἐλαχύς εἰμί ἢ ἐν λόγος , ὅταν , προστίθημι ὁ δίδωμι , ὁ ὅλος πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω δίδωμι . [ πνίξ . κατάγω εἰμί ὁ ἀπό δίδωμι σημεῖον ἐπί θέσις εὐθύς ἄγω εὐθύς ἐν δίδωμι γωνία . ἴδη . ἀνάγω εἰμί ὁ ἀπό δίδωμι σημεῖον πρός θέσις εὐθύς ἄγω εὐθύς ἐν δίδωμι γωνία . ἵημι . παρά θέσις εἰμί ὁ διά δίδωμι σημεῖον θέσις εὐθύς παράλληλος ἄγω . ]
euclides-geom.data 1
Τῶν δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἄλληλα δέδοται . ἔστω δεδομένα μεγέθη τὰ Α , Β · λέγω , ὅτι τοῦ Α πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς . ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ Α , δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι . πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Γ . πάλιν , ἐπεὶ δεδομένον ἐστὶ τὸ Β , δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορί - σασθαι . πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Δ . ἐπεὶ οὗν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν Α τῷ Γ , τὸ δὲ Β τῷ Δ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ · ἐναλλὰξ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ πρὸς τὸ Δ . τοῦ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς · ὁ αὐτὸς γὰρ αὐτῷ πε - πόρισται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ .
Lemmas: ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ λόγος ὁ πρός ἀλλήλων δίδωμι . ἵστημι δίδωμι μέγεθος ὁ Α , Β · λέγω , ὅτι ὁ Α πρός ὁ Β λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ Α , δυνατός εἰμί αὐτός ἴσος πορίζω . πορίζω καί ἵστημι ὁ Γ . πάλιν , ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ Β , δυνατός εἰμί αὐτός ἴσος πόρις - σάω . πορίζω καί ἵστημι ὁ δ . ἐπεί ἐν ἴσος εἰμί ὁ μέν Α ὁ Γ , ὁ δέ Β ὁ δ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὁ δ · ἐναλλάξ ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ πρός ὁ δ . ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος εἰμί δίδωμι · ὁ αὐτός γάρ αὐτός μετά - ποριστής ὁ ὁ Γ πρός ὁ δ .
euclides-geom.data 2
Ἐὰν δεδομένον μέγεθος πρὸς ἄλλο τι μέγεθος λό - γον ἔχῃ δεδομένον , δέδοται κᾀκεῖνο τῷ μεγέθει . δεδομένον γὰρ μέγεθος τὸ Α πρὸς ἄλλο τι μέγεθος τὸ Β λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι δέδοται καὶ τὸ Β τῷ μεγέθει . ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ Α , δυναπτόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι . πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Γ . καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ Α πρὸς τὸ Β λόγος · οὕτως γὰρ ὑπό - κειται · δυνατόν ἐστιν αὐτῷ τὸν αὐτὸν πορίσασθαι . πεπορίσθω καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ λόγος . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ , ἐναλλὰξ ἄρᾳ ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ . ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Γ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ Β τῷ Δ · δέδοται ἄρα τὸ Β μέγεθος · ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ Δ .
Lemmas: ἐάν δίδωμι μέγεθος πρός ἄλλος τίς μέγεθος λό - γος ἔχω δίδωμι , δίδωμι κᾀκεῖνος ὁ μέγεθος . δίδωμι γάρ μέγεθος ὁ Α πρός ἄλλος τίς μέγεθος ὁ Β λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι δίδωμι καί ὁ Β ὁ μέγεθος . ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ Α , δυναπτόν εἰμί αὐτός ἴσος πορίζω . πορίζω καί ἵστημι ὁ Γ . καί ἐπεί δίδωμι ὁ ὁ Α πρός ὁ Β λόγος · οὕτως γάρ ὑπό - κεῖμαι · δυνατός εἰμί αὐτός ὁ αὐτός πορίζω . πορίζω καί ἵστημι ὁ ὁ Γ πρός ὁ δ λόγος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Γ πρός ὁ δ , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Β πρός ὁ δ . ἴσος δέ ὁ Α ὁ Γ · ἴσος ἄρα καί ὁ Β ὁ δ · δίδωμι ἄρα ὁ Β μέγεθος · ἴσος γάρ αὐτός πορίζω ὁ δ .
euclides-geom.data 3
Ἐὰν δεδομένα μεγέθη ὁποσαοῦν συντεθῇ , καὶ τὸ ἐξ αὐτῶν συγκείμενον δεδομένον ἔσται . συγκείσθω γὰρ ὁποσαοῦν δεδομένα μεγέθη τὰ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι καὶ τὸ ἐκ τῶν ΑΒ , ΒΓ συγκείμενον τὸ ΑΓ δεδομένον ἐστίν . ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ ΑΒ , δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι . πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΕ . πάλιν , ἐπεὶ δέδοται τὸ ΒΓ , δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι . πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΕΖ . ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΔΕ , τὸ δὲ ΒΓ τῷ ΕΖ , ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἐστιν ἴσον · δέδοται ἄρα τὸ ΑΓ · ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ ΔΖ .
Lemmas: ἐάν δίδωμι μέγεθος ὁποσοσοῦν συντίθημι , καί ὁ ἐκ αὐτός σύγκειμαι δίδωμι εἰμί . σύγκειμαι γάρ ὁποσοσοῦν δίδωμι μέγεθος ὁ ΑΒ , ΒΓ · λέγω , ὅτι καί ὁ ἐκ ὁ ΑΒ , ΒΓ σύγκειμαι ὁ ΑΓ δίδωμι εἰμί . ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ ΑΒ , δυνατός εἰμί αὐτός ἴσος πορίζω . πορίζω καί ἵστημι ὁ ΔΕ . πάλιν , ἐπεί δίδωμι ὁ ΒΓ , δυνατός εἰμί αὐτός ἴσος πορίζω . πορίζω καί ἵστημι ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΕ , ὁ δέ ΒΓ ὁ ΕΖ , ὅλος ἄρα ὁ ΑΓ ὅλος ὁ ΔΖ εἰμί ἴσος · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΓ · ἴσος γάρ αὐτός πορίζω ὁ ΔΖ .
euclides-geom.data 4
Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου μεγέθους δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ , τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται . ἀπὸ γὰρ δεδομένου μεγέθους τοῦ ΑΒ δεδομένον μέγεθος ἀφῃρήσθω τὸ ΑΓ · λέγω , ὅτι τὸ λοιπὸν τὸ ΓΒ δεδομένον ἐστίν . ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ ΑΒ , δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσαςθαι . πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΖ . πάλιν , ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΓ , δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι . πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΕ . ἐπεὶ οὗν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΔΖ , τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΔΕ , λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ λοιπῷ τῷ ΕΖ ἐστιν ἴσον · δέδοται ἄρα το ΒΓ . ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ ΕΖ .
Lemmas: ἐάν ἀπό δίδωμι μέγεθος δίδωμι μέγεθος ἀφαιρέω , ὁ λοιπός δίδωμι εἰμί . ἀπό γάρ δίδωμι μέγεθος ὁ ΑΒ δίδωμι μέγεθος ἀφαιρέω ὁ ΑΓ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπός ὁ ΓΒ δίδωμι εἰμί . ἐπεί γάρ δίδωμι ὁ ΑΒ , δυνατός εἰμί αὐτός ἴσος πορίζω . πορίζω καί ἵστημι ὁ ΔΖ . πάλιν , ἐπεί δίδωμι ὁ ΑΓ , δυνατός εἰμί αὐτός ἴσος πορίζω . πορίζω καί ἵστημι ὁ ΔΕ . ἐπεί ἐν ἴσος εἰμί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΔΖ , ὁ δέ ΑΓ ὁ ΔΕ , λοιπός ἄρα ὁ ΒΓ λοιπός ὁ ΕΖ εἰμί ἴσος · δίδωμι ἄρα ὁ ΒΓ . ἴσος γάρ αὐτός πορίζω ὁ ΕΖ .
euclides-geom.data 5
Ἐὰν μέγεθος πρὸς ἑαυτοῦ τι μέρος λόγον ἔχῃ δεδο - μένον , καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν λόγον ἕξει δεδομένον . μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς ἑαυτοῦ τι μέρος τὸ Α λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον . κείσθω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ ΔΖ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ δοθεὶς ὁ τοῦ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΓ , ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω ὁ τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΕ . λόγος ἄρα ἐστὶν ὁ τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΕ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΖΔ . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΔΕ · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΖ δοθέν ἐστιν . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΔΖ δοθέν · λόγος ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ δοθείς . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΔΖ πρὸς ΔΕ , οὕτως καὶ τὸ ΑΒ πρὸς ΑΓ , ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ , οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ . λόγος δὲ τοῦ ΔΖ πρὸς ΖΕ δοθείς , ὡς δέ - δεικται · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ δοθείς .
Lemmas: ἐάν μέγεθος πρός ἑαυτοῦ τίς μέρος λόγος ἔχω δίδωμι - μένω , καί πρός ὁ λοιπός λόγος ἔχω δίδωμι . μέγεθος γάρ ὁ ΑΒ πρός ἑαυτοῦ τίς μέρος ὁ Α λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι καί πρός ὁ λοιπός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι . κεῖμαι γάρ δίδωμι μέγεθος ὁ ΔΖ . καί ἐπεί λόγος εἰμί δίδωμι ὁ ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , ὁ αὐτός αὐτός πορίζω ὁ ὁ ΖΔ πρός ΔΕ . λόγος ἄρα εἰμί ὁ ὁ ΖΔ πρός ΔΕ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΖΔ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΔΕ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΖ δίδωμι εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ΔΖ δίδωμι · λόγος ἄρα ὁ ΔΖ πρός ὁ ΖΕ δίδωμι . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΔΖ πρός ΔΕ , οὕτως καί ὁ ΑΒ πρός ΑΓ , ἀναστρέφω ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΔΖ πρός ὁ ΖΕ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ . λόγος δέ ὁ ΔΖ πρός ΖΕ δίδωμι , ὡς δέ - δείκτης · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ δίδωμι .
euclides-geom.data 6
Ἐὰν δύο μεγέθη συντεθῇ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον , καὶ τὸ ὅλον πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον ἕξει δεδομένον . συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη τὰ ΑΓ , ΓΒ , πρὸς ἄλ - ληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον · λέγω , ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΓΒ λόγον ἔχει δεδομένον . ἐκκείσθω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ ΔΕ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ ΔΕ πρὸς ΕΖ . ὁ ἄρα τοῦ ΔΕ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς · δοθὲν δὲ τὸ ΔΕ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΕΖ · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ δοθέν ἐστιν . ἔστι δὲ ἑκάτερον τῶν ΔΕ , ΕΖ δοθέν · λόγος ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ , ΕΖ δοθείς . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ , οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ , συνθέντι ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ , οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς ΖΕ · καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΓ , οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς ΔΕ . καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ , ΕΖ , οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΓΒ , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΓΒ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος συντίθημι πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ ὅλος πρός ἑκάτερος αὐτός λόγος ἔχω δίδωμι . σύγκειμαι γάρ δύο μέγεθος ὁ ΑΓ , ΓΒ , πρός ἄλμα - ληλα λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὅλος ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΒ λόγος ἔχω δίδωμι . ἔκκειμαι γάρ δίδωμι μέγεθος ὁ ΔΕ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΑΓ πρός ΓΒ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός ποιέω ὁ ὁ ΔΕ πρός ΕΖ . ὁ ἄρα ὁ ΔΕ πρός ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ ΔΕ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΕΖ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΔΖ δίδωμι εἰμί . εἰμί δέ ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΖ δίδωμι · λόγος ἄρα ὁ ΔΖ πρός ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΖ δίδωμι . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , οὕτως ὁ ΔΕ πρός ΕΖ , συντίθημι ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΖ πρός ΖΕ · καί ἀναστρέφω ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΔΖ πρός ΔΕ . καί ἐπεί ὡς ὁ ΔΖ πρός ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΕΖ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΒ , λόγος ἄρα καί ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΒ δίδωμι .
euclides-geom.data 7
Ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς δεδομένον λόγον διαι - ρεθῇ , ἑκάτερον τῶν τμημάτων δεδομένον ἐστίν . δεδομένον γὰρ μέγεθος τὸ ΑΒ εἰς δεδομένον λόγον διῃρήσθω τὸν τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ · λέγω , ὅτι ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΓΒ δοθέν ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ δοθείς , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΓΕ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΑΒ · δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΓΒ .
Lemmas: ἐάν δίδωμι μέγεθος εἰς δίδωμι λόγος διά - εἴρω , ἑκάτερος ὁ τμῆμα δίδωμι εἰμί . δίδωμι γάρ μέγεθος ὁ ΑΒ εἰς δίδωμι λόγος διαιρέω ὁ ὁ ΑΓ πρός ΓΒ · λέγω , ὅτι ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΒ δίδωμι εἰμί . ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ ΑΓ πρός ΓΒ δίδωμι , λόγος ἄρα καί ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΕ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΑΒ · δίδωμι ἄρα καί ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΓΒ .
euclides-geom.data 8
Τὰ πρὸς τὸ αὐΤὸ λόγον ἔχοντα δεδομένον καὶ πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον . ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α , Γ πρὸς τὸ Β λόγον δεδομένον · λέγω , ὅτι καὶ τὸ Α πρὸς τὸ Γ λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ Δ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ Δ πρὸς τὸ Ε . δοθὲν δὲ τὸ Δ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε . πάλιν , ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ . δοθὲν δὲ τὸ Ε · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ . ἔστι δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν · λόγος ἄρα τοῦ Δ πρὸς τὸ Ζ ἐστι δοθείς . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε , ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ , οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ , διΐσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ . λόγος δὲ τοῦ Δ πρὸς τὸ Ζ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ δοθείς .
Lemmas: ὁ πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω δίδωμι καί πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . ἔχω γάρ ἑκάτερος ὁ Α , Γ πρός ὁ Β λόγος δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ Α πρός ὁ Γ λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι γάρ δίδωμι μέγεθος ὁ δ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Α πρός ὁ Β δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός ποιέω ὁ ὁ δ πρός ὁ Ε . δίδωμι δέ ὁ δ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ε . πάλιν , ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Β πρός ὁ Γ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός ποιέω ὁ ὁ Ε πρός ὁ Ζ . δίδωμι δέ ὁ Ε · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ζ . εἰμί δέ καί ὁ δ δίδωμι · λόγος ἄρα ὁ δ πρός ὁ Ζ εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί εἰμί ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ δ πρός ὁ Ε , ὡς δέ ὁ Β πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , δίσιος ἄρα εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ οὕτως ὁ δ πρός ὁ Ζ . λόγος δέ ὁ δ πρός ὁ Ζ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ Α πρός ὁ Γ δίδωμι .
euclides-geom.data 9
Ἐὰν δύο ἢ πλείονα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον , ἔχῃ δὲ τὰ αὐτὰ μεγέθη πρὸς ἄλλα τινὰ μεγέθη λόγους δεδομένους , εἰ καὶ μὴ τοὺς αὐτούς , κᾀκεῖνα τὰ μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγους ἕξει δεδομένους . δύο γὰρ ἢ πλείονα μεγέθη τὰ Α , Β , Γ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον , ἐχέτω δὲ τὰ αὐτὰ μεγέθη τὰ Α , Β , Γ πρὸς ἄλλα τινὰ μεγέθη τὰ Δ , Ε , Ζ λόγους δεδομένους , μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ · λέγω , ὅτι καὶ τὰ Δ , Ε , Ζ , μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον . ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς , τοῦ δὲ Α πρὸς τὸ Δ λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ τοῦ Δ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς . ἀλλὰ τοῦ Β πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς . πάλιν , ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ δοθείς , τοῦ δὲ Β πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ Γ πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς · τὰ Δ , Ε , Ζ ἄρα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: ἐάν δύο ἢ πλείων μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , ἔχω δέ ὁ αὐτός μέγεθος πρός ἄλλος τις μέγεθος λόγος δίδωμι , εἰμί καί μή ὁ αὐτός , ἐκεῖνος ὁ μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ ἢ πλείων μέγεθος ὁ Α , Β , Γ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , ἔχω δέ ὁ αὐτός μέγεθος ὁ Α , Β , Γ πρός ἄλλος τις μέγεθος ὁ δ , Ε , Ζ λόγος δίδωμι , μή ὁ αὐτός δέ · λέγω , ὅτι καί ὁ δ , Ε , Ζ , μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ Α πρός ὁ Β δίδωμι , ὁ δέ Α πρός ὁ δ λόγος εἰμί δίδωμι , καί ὁ δ ἄρα πρός ὁ Β λόγος εἰμί δίδωμι . ἀλλά ὁ Β πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ δ ἄρα πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι . πάλιν , ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Β πρός ὁ Γ δίδωμι , ὁ δέ Β πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι , καί ὁ Ε ἄρα πρός ὁ Γ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ Γ πρός ὁ Ζ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ Ε ἄρα πρός ὁ Ζ λόγος εἰμί δίδωμι · ὁ δ , Ε , Ζ ἄρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι .
euclides-geom.data 12
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ τὸ μὲν πρῶτον μετὰ τοῦ δευτέρου ᾖ δοθέν , ᾖ δὲ καὶ τὸ δεύτερον μετὰ τοῦ τρίτου δοθέν , τὸ πρῶτον τῷ τρίτῳ ἤτοι ἴσον ἐστίν , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν . ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , καὶ τὸ μὲν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΓ δοθὲν ἔστω τὸ ΑΓ , τὸ δὲ ΒΓ μετὰ τοῦ ΓΔ δοθὲν ἔστω τὸ ΒΔ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ ἤτοι ἴσον ἐστίν , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖ - ζόν ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΓ , ΒΔ , τὰ δὴ δοθέντα ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἄνισα . ἔστω πρότερον ἴσα · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ τῷ ΒΔ . κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΓ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ λοιπῷ τῷ ΓΔ ἴσον ἐστίν . μὴ ἔστω δὴ ἴσα , ἀλλʼ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΓ τοῦ ΒΔ , καὶ κείσθω τῷ ΒΔ ἴσον τὸ ΓΕ · δοθὲν δὲ τὸ ΒΔ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΕ · ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΓ δοθέν · καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΒΔ , κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΓ · λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΕ λοιπῷ τῷ ΓΔ ἴσον ἐστίν . καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΕ · τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος καί ὁ μέν πρῶτος μετά ὁ δύο εἰμί δίδωμι , εἰμί δέ καί ὁ δύο μετά ὁ τρίτος δίδωμι , ὁ πρῶτος ὁ τρίτος ἤτοι ἴσος εἰμί , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί . ἵστημι τρεῖς μέγεθος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , καί ὁ μέν ΑΒ μετά ὁ ΒΓ δίδωμι ἵστημι ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΒΓ μετά ὁ ΓΔ δίδωμι ἵστημι ὁ ΒΔ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ ἤτοι ἴσος εἰμί , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μείς - ζῶ εἰμί . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΓ , ΒΔ , ὁ δή δίδωμι ἤτοι ἴσος εἰμί ἢ ἄνισος . ἵστημι πρότερος ἴσος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΒΔ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΒΓ · λοιπός ἄρα ὁ ΑΒ λοιπός ὁ ΓΔ ἴσος εἰμί . μή ἵστημι δή ἴσος , ἀλλά ἵστημι μείζων ὁ ΑΓ ὁ ΒΔ , καί κεῖμαι ὁ ΒΔ ἴσος ὁ ΓΕ · δίδωμι δέ ὁ ΒΔ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΓΕ · εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ΑΓ δίδωμι · καί λοιπός ὁ ΑΕ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΓ ὁ ΒΔ , κοινός ἀφαιρέω ὁ ΒΓ · λοιπός ἄρα ὁ ΒΕ λοιπός ὁ ΓΔ ἴσος εἰμί . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΑΕ · ὁ ΑΒ ἄρα ὁ ΓΔ δίδωμι μέγας εἰμί .
euclides-geom.data 13
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη , καὶ τὸ μὲν πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον λόγον ἔχῃ δεδομένον , τὸ δὲ δεύτερον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ , καὶ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ . ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ , ΓΔ , Ε , καὶ τὸ μὲν ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγον ἐχέτω δεδομένον , τὸ δὲ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ · λέγω , ὅτι καὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΖ · λοιποῦ . ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΖ . λόγος ἄρα καὶ τοῦ AH πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ δοῦὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ · καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ΔΖ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστὶ δοθὲν τὸ ΑΗ · τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος , καί ὁ μέν πρῶτος πρός ὁ δύο λόγος ἔχω δίδωμι , ὁ δέ δύο ὁ τρίτος δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος , καί ὁ πρῶτος ὁ τρίτος δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἵστημι τρεῖς μέγεθος ὁ ΑΒ , ΓΔ , Ε , καί ὁ μέν ΑΒ πρός ὁ ΓΔ λόγος ἔχω δίδωμι , ὁ δέ ΓΔ ὁ Ε δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΒ ὁ Ε δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ ὁ ΓΔ ὁ Ε δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ ΓΖ · λοιπός . ἄρα ὁ ΔΖ πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί λόγος εἰμί δίδωμι ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΖ . λόγος ἄρα καί ὁ AH πρός ὁ ΓΖ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΓΖ δῦεͅσκω ἄρα καί ὁ ΑΗ · καί λοιπός ὁ ΗΒ πρός λοιπός ὁ ΔΖ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΔΖ πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΗΒ ἄρα πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΑΗ · ὁ ΑΒ ἄρα ὁ Ε δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 14
Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ προστεθῇ ἑκατέρῳ αὐτῶν δεδομένον μέγεθος , τὰ ὅλα πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτε - ρον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ , ΓΔ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον , καὶ προσκείσθω ἑκατέρῳ αὐτῶν δεδο - μένον μέγεθος , τό τε ΑΕ καὶ τὸ ΓΖ · λέγω , ὅτι τὰ ὅλα τὰ ΕΒ , ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει · δεδο - μένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΑ , ΖΓ , λόγος ἄρα τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ δοθείς . καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ , ἔσται καὶ ὄλου τοῦ ΕΒ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος δοθείς . μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτὸς καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ , οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς ΓΖ · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΑ πρὸς τὸ ΖΓ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΖΓ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΑ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΑ δοθέν · καὶ λοι - πὸν ἄρα τὸ ΕΗ δοθέν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ , οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς τὸ ΖΓ , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΒ πρὸς ΖΔ δοθείς . καί ἐστι δοθὲν τὸ ΕΗ · τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστι ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί προστίθημι ἑκάτερος αὐτός δίδωμι μέγεθος , ὁ ὅλος πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἵημι - ἀντίμοιρος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . δύο γάρ μέγεθος ὁ ΑΒ , ΓΔ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί πρόσκειμαι ἑκάτερος αὐτός δίδωμι - μένω μέγεθος , ὁ τε ΑΕ καί ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ ὅλος ὁ ΕΒ , ΖΔ πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω · δίδωμι - μένω , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΕΑ , ΖΓ , λόγος ἄρα ὁ ΕΑ πρός ὁ ΖΓ δίδωμι . καί εἰμί μέν ὁ αὐτός ὁ ὁ ΑΒ πρός ΓΔ , εἰμί καί ὄλλυμι ὁ ΕΒ πρός ὅλος ὁ ΖΔ λόγος δίδωμι . μή ἵστημι δή ὁ αὐτός καί ποιέω ὡς ὁ ΑΒ πρός ΓΔ , οὕτως ὁ ΗΑ πρός ΓΖ · λόγος ἄρα καί ὁ ΗΑ πρός ὁ ΖΓ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΖΓ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΗΑ . εἰμί δέ καί ὁ ΕΑ δίδωμι · καί Λόι - πως ἄρα ὁ ΕΗ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΗΑ πρός ὁ ΖΓ , λόγος ἄρα καί ὁ ΗΒ πρός ΖΔ δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΕΗ · ὁ ΕΒ ἄρα ὁ ΖΔ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 15
Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον καὶ ἀφαιρεθῇ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν δεδομένον μέγεθος , τὰ λοιπὰ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ , ΓΔ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον , καὶ ἀφῃρήσθω ἀφʼ ἑκατέρου αὐτῶν δεδομένον μέγεθος , ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ τὸ ΕΑ , ἀπὸ δὲ τοῦ ΓΔ τὸ ΓΖ · λέγω , ὅτι τὰ λοιπὰ τὰ ΕΒ , ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΑΕ , ΓΖ δοθέν ἐστι , λόγος ἄρα τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς . καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ , ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος δοθείς . μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτός , καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ . λόγος δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς · δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΕ δοθέν · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΗ δοθέν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ , λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι δοθὲν τὸ ΕΗ · τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι καί ἀφαιρέω ἀπό ἑκάτερος αὐτός δίδωμι μέγεθος , ὁ λοιπάς πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . δύο γάρ μέγεθος ὁ ΑΒ , ΓΔ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ἀφαιρέω ἀπό ἑκάτερος αὐτός δίδωμι μέγεθος , ἀπό μέν ὁ ΑΒ ὁ ΕΑ , ἀπό δέ ὁ ΓΔ ὁ ΓΖ · λέγω , ὅτι ὁ λοιπάς ὁ ΕΒ , ΖΔ πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΓΖ δίδωμι εἰμί , λόγος ἄρα ὁ ΑΕ πρός ΓΖ δίδωμι . καί εἰμί μέν ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΑΒ πρός ΓΔ , εἰμί καί λοιπός ὁ ΕΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ λόγος δίδωμι . μή ἵστημι δή ὁ αὐτός , καί ποιέω ὡς ὁ ΑΒ πρός ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΓΖ . λόγος δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΗ πρός ὁ ΓΖ δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ ΓΖ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΗ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΕ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ΕΗ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΓΖ , λοιπός ἄρα ὁ ΗΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΕΗ · ὁ ΕΒ ἄρα ὁ ΖΔ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 16
Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ ἑνὸς αὐτῶν δεδομένον μέγεθος ἀφαι - ρεθῇ , τῷ δὲ ἑτέρῳ αὐτῶν δεδομένον μέγεθος προστεθῇ , τὸ ὅλον τοῦ λοιποῦ δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ . δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ , ΓΔ λόγον ἐχέτω δεδο - μένον , καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ ΓΔ δεδομένον μέγεθος ἀφῃ - ρήσθω τὸ ΓΕ , τῷ δὲ ΑΒ δεδομένον μέγεθος προσ - κείσθω τὸ ΖΑ . λέγω , ὅτι ὅλον τὸ ΖΒ τοῦ λοιποῦ τοῦ ΕΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΕ · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΕ δοθείς · δοθὲν δὲ τὸ ΓΕ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΖ δοθέν · ὅλον ἄρα τὸ ΖΗ δοθέν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΓΕ , καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι δοθὲν τὸ ΗΖ · τὸ ΖΒ ἄρα τοῦ ΕΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ἀπό μέν ὁ εἷς αὐτός δίδωμι μέγεθος ἁφή - εἴρω , ὁ δέ ἕτερος αὐτός δίδωμι μέγεθος προστίθημι , ὁ ὅλος ὁ λοιπός δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος . δύο γάρ μέγεθος ὁ ΑΒ , ΓΔ λόγος ἔχω δίδωμι - μένω , καί ἀπό μέν ὁ ΓΔ δίδωμι μέγεθος ἁφή - ῥήγνυμι ὁ ΓΕ , ὁ δέ ΑΒ δίδωμι μέγεθος προς - κεῖμαι ὁ Γῆ . λέγω , ὅτι ὅλος ὁ ΖΒ ὁ λοιπός ὁ ΕΔ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ ΑΒ πρός ΓΔ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ΑΗ πρός ὁ ΓΕ · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΗ πρός ὁ ΓΕ δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ ΓΕ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΗ . εἰμί δέ καί ὁ αζʹ δίδωμι · ὅλος ἄρα ὁ ΖΗ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΓΕ , καί λοιπός ὁ ΗΒ πρός λοιπός ὁ ΕΔ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΗΖ · ὁ ΖΒ ἄρα ὁ ΕΔ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 17
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη , καὶ τὸ πρῶτον τοῦ δευτέρου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ , ᾖ δὲ καὶ τὸ τρίτον τοῦ αὐτοῦ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ , τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ . ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ , ΔΕ , καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΔΕ τοῦ Γ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ · λέγω , ὅτι τὰ ΑΒ , ΔΕ ἤτοι πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ΔΕ τοῦ Γ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΔΗ · λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΕ πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ΖΒ ἄρα πρὸς τὸ ΗΕ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ πρόσκειται αὐτοῖς δεδομένα μεγέθη τὰ ΑΖ , ΔΗ · τὰ ὅλα ἄρα τὰ ΑΒ , ΔΕ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος , καί ὁ πρῶτος ὁ δύο δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος , εἰμί δέ καί ὁ τρίτος ὁ αὐτός δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος , ὁ πρῶτος πρός ὁ τρίτος ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἵστημι τρεῖς μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ , ΔΕ , καί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΔΕ ὁ Γ δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ , ΔΕ ἤτοι πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ ὁ ΔΕ ὁ Γ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ δΗ · λοιπός ἄρα ὁ ΗΕ πρός ὁ Γ λόγος εἰμί δίδωμι . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΖΒ πρός ὁ Γ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΖΒ ἄρα πρός ὁ ΗΕ λόγος εἰμί δίδωμι . καί πρόσκειμαι αὐτός δίδωμι μέγεθος ὁ αζʹ , δΗ · ὁ ὅλος ἄρα ὁ ΑΒ , ΔΕ πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 18
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη , ἓν δὲ αὐτῶν ἑκατέρου τῶν λοιπῶν δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ , τὰ λοιπὰ δύο πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , ἓν δὲ αὐτῶν τὸ ΓΔ ἑκατέρου τῶν λοιπῶν τῶν ΑΒ , ΕΖ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ . λέγω , ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΖ ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΗ . λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΔ πρὸς τὸ ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς . ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΓΗ πρὸς τὸ ΑΘ . λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΓΗ πρὸς τὸ ΑΘ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΓΗ . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΘ . καὶ ὅλου τοῦ ΓΔ πρὸς ὅλον τὸ ΘΒ λόγος ἐστὶ δοθείς . πάλιν , ἐπεὶ τὸ ΓΔ τοῦ ΕΖ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΚ . λοιποῦ τοῦ ΚΔ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΓΚ πρὸς ΛΕ . λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΓΚ πρὸς ΛΕ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΓΚ . δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΛΕ . καὶ ὅλου τοῦ ΓΔ πρὸς ὅλον τὸ ΛΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ΓΔ πρὸς ΘΒ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ τοῦ ΘΒ ἄρα πρὸς ΛΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἀφῄρηται ἀπʼ αὐτῶν δε - δομένα μεγέθη τὰ ΘΑ , ΛΕ . τὰ ΑΒ , ΕΖ ἄρα ἤτοι πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος , εἷς δέ αὐτός ἑκάτερος ὁ λοιπός δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος , ὁ λοιπάς δύο πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἵστημι τρεῖς μέγεθος ὁ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ , εἷς δέ αὐτός ὁ ΓΔ ἑκάτερος ὁ λοιπός ὁ ΑΒ , ΕΖ δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒ πρός ὁ ΕΖ ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ ὁ ΓΔ ὁ ΑΒ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ ΓΗ . λοιπός ἄρα ὁ ΗΔ πρός ὁ ΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΓΗ πρός ὁ ΑΘ . λόγος ἄρα καί ὁ ΓΗ πρός ὁ ΑΘ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΓΗ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΘ . καί ὅλος ὁ ΓΔ πρός ὅλος ὁ ΘΒ λόγος εἰμί δίδωμι . πάλιν , ἐπεί ὁ ΓΔ ὁ ΕΖ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ ΓΚ . λοιπός ὁ ΚΔ πρός ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΓΚ πρός ΛΕ . λόγος ἄρα καί ὁ ΓΚ πρός ΛΕ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΓΚ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΛΕ . καί ὅλος ὁ ΓΔ πρός ὅλος ὁ ΛΖ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΓΔ πρός ΘΒ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ὁ ΘΒ ἄρα πρός ΛΖ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἀφαιρέω ἀπό αὐτός δέ - δίδωμι μέγεθος ὁ ΘΑ , ΛΕ . ὁ ΑΒ , ΕΖ ἄρα ἤτοι πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 19
Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη , καὶ τὸ μὲν πρῶτον τοῦ δευ - τέρου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ , ᾖ δὲ καὶ τὸ δεύ - τερον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ , καὶ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ . ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ , ΓΔ , Ε , καὶ τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ , τὸ δὲ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ . λέγω , ὅτι καὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΖ · λοιποῦ ἄρα τὸῦ ΖΔ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς . πάλιν ; ἐπεὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΗ · λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΗΑ δοθέν · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΑ δοθέν ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΗΒ πρὸς τὸ ΓΔ , οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ , καὶ λοιποῦ τοῦ ΘΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ΘΒ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ δοθὲν τὸ ΘΑ · τὸ ΒΑ ἄρα τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν εἰμί τρεῖς μέγεθος , καί ὁ μέν πρῶτος ὁ δήω - τέρας δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος , εἰμί δέ καί ὁ δήω - τέρος ὁ τρίτος δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος , καί ὁ πρῶτος ὁ τρίτος δίδωμι μείζων εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἵστημι τρεῖς μέγεθος ὁ ΑΒ , ΓΔ , Ε , καί ὁ μέν ΑΒ ὁ ΓΔ δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος , ὁ δέ ΓΔ ὁ Ε δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος . λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΒ ὁ Ε δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ ὁ ΓΔ ὁ Ε δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ ΓΖ · λοιπός ἄρα τό́ς ΖΔ πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι . πάλιν ; ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ ΓΔ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ ΑΗ · λοιπός ἄρα ὁ ΗΒ πρός ὁ ΓΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ΗΘ πρός ὁ ΓΖ · λόγος ἄρα καί ὁ ΗΘ πρός ὁ ΓΖ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΓΖ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΗΘ . εἰμί δέ καί ὁ ΗΑ δίδωμι · καί ὅλος ἄρα ὁ ΘΑ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί ὡς ὁ ΗΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως ὁ ΗΘ πρός ὁ ΓΖ , καί λοιπός ὁ ΘΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΖΔ πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΘΒ ἄρα πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι . καί δίδωμι ὁ ΘΑ · ὁ ΒΑ ἄρα ὁ Ε δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 20
Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη δεδομένα , καὶ ἀφαιρεθῇ ἀπʼ αὐτῶν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον , τὰ λοιπὰ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἔστω δύο μεγέθη δεδομένα τὰ ΑΒ , ΓΔ , καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ ἀφῃρήσθω μεγέθη τὰ ΑΕ , ΓΖ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δεδομένον · λέγω , ὅτι τὰ ΕΒ , ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΓΔ , λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς . καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ , ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος δοθείς . μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτός , καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΕΑ πρὸς ΓΖ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΓΔ . λόγος δὲ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς ΓΔ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΓΔ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ . δοθέν ἐστιν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ πρὸς ΓΖ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΔ , καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΕ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · δοθὲν δὲ τὸ ΗΒ · τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο μέγεθος δίδωμι , καί ἀφαιρέω ἀπό αὐτός μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , ὁ λοιπάς πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἵστημι δύο μέγεθος δίδωμι ὁ ΑΒ , ΓΔ , καί ἀπό ὁ ΑΒ , ΓΔ ἀφαιρέω μέγεθος ὁ ΑΕ , ΓΖ λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων δίδωμι · λέγω , ὅτι ὁ ΕΒ , ΖΔ πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ , λόγος ἄρα ὁ ΑΒ πρός ΓΔ δίδωμι . καί εἰμί μέν ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΑΕ πρός ΓΖ , εἰμί καί λοιπός ὁ ΕΒ πρός λοιπός ὁ ΖΔ λόγος δίδωμι . μή ἵστημι δή ὁ αὐτός , καί ποιέω ὡς ὁ ΕΑ πρός ΓΖ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ΓΔ . λόγος δέ ὁ ΑΕ πρός ΓΖ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΗ πρός ΓΔ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΓΔ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΗ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ΗΒ . δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ΓΖ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΓΔ , καί λοιπός ὁ ΗΕ πρός λοιπός ὁ ΖΔ λόγος εἰμί δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ ΗΒ · ὁ ΕΒ ἄρα ὁ ΖΔ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 21
Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη δεδομένα , καὶ προστεθῇ αὐτοῖς μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον , τὰ ὅλα πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἔστω δύο μεγέθη δεδομένα τὰ ΑΒ , ΓΔ , καὶ προσ - κείσθω αὐτοῖς μεγέθη τὰ ΑΕ , ΓΖ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δεδομένον · λέγω , ὅτι τὰ ὅλα τὰ ΕΒ , ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον , ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΓΔ , λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς . καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΓΖ , ἔσται καὶ ὅλου τοῦ ΕΒ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος δοθείς . εἰ δὲ οὔ , πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΕ πρὸς ΓΖ , οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς τὸ ΓΔ · λόγος ἄρα τοῦ ΗΑ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΓΔ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΑ . ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν · καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ δοθέν ἐστιν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΕΑ πρὸς ΖΓ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΔ , καὶ ὅλου τοῦ ΕΗ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ δοθὲν τὸ ΗΒ · τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο μέγεθος δίδωμι , καί προστίθημι αὐτός μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , ὁ ὅλος πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἵστημι δύο μέγεθος δίδωμι ὁ ΑΒ , ΓΔ , καί προς - κεῖμαι αὐτός μέγεθος ὁ ΑΕ , ΓΖ λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων δίδωμι · λέγω , ὅτι ὁ ὅλος ὁ ΕΒ , ΖΔ πρός ἀλλήλων ἤτοι λόγος ἔχω δίδωμι , ἢ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ , λόγος ἄρα ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι . καί εἰμί μέν ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΕΑ πρός ὁ ΓΖ , εἰμί καί ὅλος ὁ ΕΒ πρός ὅλος ὁ ΖΔ λόγος δίδωμι . εἰμί δέ οὖον , ποιέω ὡς ὁ ΑΕ πρός ΓΖ , οὕτως ὁ ΗΑ πρός ὁ ΓΔ · λόγος ἄρα ὁ ΗΑ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΓΔ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΗΑ . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ΗΒ δίδωμι εἰμί . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΕΑ πρός ΖΓ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΓΔ , καί ὅλος ὁ ΕΗ πρός ὅλος ὁ ΖΔ λόγος εἰμί δίδωμι . καί δίδωμι ὁ ΗΒ · ὁ ΕΒ ἄρα ὁ ΖΔ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος .
euclides-geom.data 22
Ἐὰν δύο μεγέθη πρός τι μέγεθος λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἕξει δεδομένον , δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ , ΒΓ πρός τι μέγεθος τὸ Δ λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι καὶ τὸ συναμφότερον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ Δ λόγον ἔχει δεδομένον . ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΑΒ , ΒΓ πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει δεδομένον , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ δοθείς · καὶ συνθέντι τοῦ ΑΓ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ΒΓ πρὸς Δ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ ποῦ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο μέγεθος πρός τίς μέγεθος λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ συναμφότεροι πρός ὁ αὐτός λόγος ἔχω δίδωμι , δύο γάρ μέγεθος ὁ ΑΒ , ΒΓ πρός τίς μέγεθος ὁ δ λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ συναμφότεροι ὁ ΑΓ πρός ὁ αὐτός ὁ δ λόγος ἔχω δίδωμι . ἐπεί γάρ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ πρός ὁ δ λόγος ἔχω δίδωμι , λόγος ἄρα καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ δίδωμι · καί συντίθημι ὁ ΑΓ πρός ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΒΓ πρός δ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ποῦ ΑΓ ἄρα πρός ὁ δ λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 23
Ἐὰν ὅλον πρὸς ὅλον λόγον ἔχῃ δεδομένον , ἔχῃ δὲ καὶ τὰ μέρη πρὸς τὰ μέρη λόγους δεδομένους , μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ , καὶ πάντα πρὸς πάντα λόγους ἕξει δεδο - μένους . ἐχέτω γὰρ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ λόγον δεδομένον , ἐχέτω δὲ καὶ τὰ ΑΕ , ΕΒ μέρη πρὸς τὰ ΓΖ , ΖΔ μέρη λόγους δεδομένους , μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ · λέγω , ὅτι καὶ πάντα πρὸς πάντα λόγους ἕξει δεδο - μένους . ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓH · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΗ δοθείς . ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΗ λόγος δοθείς . τοῦ δὲ ΕΒ πρὸς τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ΖΔ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ ἀναστρέψαντι τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΓ , ΓΗ , καὶ τοῦ ΔΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓH λόγος ἐστὶ δοθείς · ἀναστρέψαντι καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἀλλὰ τοῦ ΗΔ πρὸς ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ΓΔ ἄρα πρὸς ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἀλλὰ τοῦ μὲν ΓΖ πρὸς ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς , τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς ΒΕ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε πάντων πρὸς πάντα λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν ὅλος πρός ὅλος λόγος ἔχω δίδωμι , ἔχω δέ καί ὁ μέρος πρός ὁ μέρος λόγος δίδωμι , μή ὁ αὐτός δέ , καί πᾶς πρός πᾶς λόγος ἔχω δίδωμι - μένος . ἔχω γάρ ὅλος ὁ ΑΒ πρός ὅλος ὁ ΓΔ λόγος δίδωμι , ἔχω δέ καί ὁ ΑΕ , ΕΒ μέρος πρός ὁ ΓΖ , ΖΔ μέρος λόγος δίδωμι , μή ὁ αὐτός δέ · λέγω , ὅτι καί πᾶς πρός πᾶς λόγος ἔχω δίδωμι - μένος . ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ ΑΕ πρός ΓΖ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΑΒ πρός ΓH · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΒ πρός ΓΗ δίδωμι . εἰμί καί λοιπός ὁ ΕΒ πρός λοιπός ὁ ΖΗ λόγος δίδωμι . ὁ δέ ΕΒ πρός ὁ ΖΔ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΖΔ ἄρα πρός ΖΗ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ἀναστρέφω ὁ ΖΔ πρός δΗ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΑΒ πρός ἑκάτερος ὁ ΔΓ , ΓΗ , καί ὁ ΔΓ ἄρα πρός ὁ ΓH λόγος εἰμί δίδωμι · ἀναστρέφω καί ὁ ΓΔ πρός δΗ λόγος εἰμί δίδωμι . ἀλλά ὁ ΗΔ πρός ΔΖ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΓΔ ἄρα πρός ΔΖ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΓΖ πρός ὁ ΖΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ἀλλά ὁ μέν ΓΖ πρός ΑΕ λόγος εἰμί δίδωμι , ὁ δέ ΖΔ πρός ΒΕ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε πᾶς πρός πᾶς λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 24
Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν , ἡ δὲ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ πρὸς τὴν δευ - τέραν λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α , Β , Γ , ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ , ἡ δὲ Α πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι καὶ πρὸς τὴν Β λόγον ἕξει δεδομένον . ἐκκείσθω γὰρ δοθεῖσα ἡ Δ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς Α πρὸς τὴν Γ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ · λόγος ἄρα καὶ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ δοθείς · δοθεῖσα δὲ ἡ Δ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ . εἰλήφθω τῶν Δ , Ζ μέση ἀνάλογον ἡ Ε · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ , Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Ε . δοθὲν δὲ τὸ ῦπὸ τῶν Δ , Ζ · δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα αὐτῶν · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Ε · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε . ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ δοθεῖσα · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς Δ πρὸς τὴν E δοθείς . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ , ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν Γ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ , ὡς δὲ ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ζ , ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ , Ζ . ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β · αἱ γὰρ Α , Β , Γ ἀνάλογσν εἰσιν · τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Δ , Ζ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε · καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε . λόγος δὲ τῆς Δ πρὸς τὴν Ε δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς Α πρὸς τὴν Β δοθείς .
Lemmas: ἐάν τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος εἰμί , ὁ δέ πρῶτος πρός ὁ τρίτος λόγος ἔχω δίδωμι , καί πρός ὁ δήω - τέρα λόγος ἔχω δίδωμι . εἰμί τρεῖς εὐθύς ἀνάλογος ὁ Α , Β , Γ , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Β πρός ὁ Γ , ὁ δέ Α πρός ὁ Γ λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι καί πρός ὁ Β λόγος ἔχω δίδωμι . ἔκκειμαι γάρ δίδωμι ὁ δ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Α πρός ὁ Γ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ δ πρός ὁ Ζ · λόγος ἄρα καί ὁ δ πρός ὁ Ζ δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ δ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ζ . λαμβάνω ὁ δ , Ζ μέσος ἀνάλογος ὁ Ε · ὁ ἄρα ὑπό ὁ δ , Ζ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ δ , Ζ · δίδωμι γάρ κατεράω αὐτός · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό Ε · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Ε . εἰμί δέ καί ὁ δ δίδωμι · λόγος ἄρα εἰμί ὁ δ πρός ὁ E δίδωμι . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ δ πρός ὁ Ζ , ἀλλά ὡς μέν ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ὑπό ὁ Α , Γ , ὡς δέ ὁ δ πρός ὁ Ζ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ δ πρός ὁ ὑπό ὁ δ , Ζ , ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ὑπό ὁ Α , Γ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ δ πρός ὁ ὑπό ὁ δ , Ζ . ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β · ὁ γάρ Α , Β , Γ ἀνάλογος εἰμί · ὁ δέ ὑπό ὁ δ , Ζ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Ε · ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὁ Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ δ πρός ὁ ἀπό ὁ Ε · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ δ πρός ὁ Ε . λόγος δέ ὁ δ πρός ὁ Ε δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ Α πρός ὁ Β δίδωμι .
euclides-geom.data 25
Ἐὰν δύο γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι τέμνωσιν ἀλλήλας , δέδοται τὸ σημεῖον , καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλή - λας , τῇ θέσει . δύο γὰρ γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι αἱ ΑΒ , ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον . λέγω , ὅτι δοθέν ἐστι τὸ Ε σημεῖον . εἰ γὰρ μή , μεταπεσεῖται τὸ Ε σημεῖον . μεταπεσεῖται ἄρα καὶ μιᾶς τῶν ΑΒ , ΓΔ ἡ θέσις . οὐ μεταπίπτει δέ . δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ε σημεῖον .
Lemmas: ἐάν δύο γραμμή ὁ θέσις δίδωμι τέμνω ἀλλήλων , δίδωμι ὁ σημεῖον , κατά ὅς τέμνω ἀλλά - λᾶας , ὁ θέσις . δύο γάρ γραμμή ὁ θέσις δίδωμι ὁ ΑΒ , ΓΔ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ε σημεῖον . λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ὁ Ε σημεῖον . εἰμί γάρ μή , μεταπίπτω ὁ Ε σημεῖον . μεταπίπτω ἄρα καί εἷς ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ θέσις . οὖον μεταπίπτω δέ . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Ε σημεῖον .
euclides-geom.data 26
Ἐὰν εὐθείας γραμμῆς τὰ πέρατα ᾖ δεδομένα τῇ θέσει , δέδοται ἡ εὐθεῖα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει . εὐθείας γὰρ γραμμῆς τὰ πέρατα τὰ Α , Β δεδομένα ἔστω τῇ θέσει . λέγω , ὅτι δέδοται ἡ ΑΒ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει . εἰ γὰρ μένοντος τοῦ Α μεταπεσεῖται τῆς ΑΒ εὐθείας ἤτοι ἡ θέσις ἢ τὸ μέγεθος , μεταπεσεῖται καὶ τὸ Β σημεῖον . οὐ μεταπίπτει δέ . δέδοται ἄρα ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή ὁ πέρας εἰμί δίδωμι ὁ θέσις , δίδωμι ὁ εὐθύς ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος . εὐθύς γάρ γραμμή ὁ πέρας ὁ Α , Β δίδωμι ἵστημι ὁ θέσις . λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ ΑΒ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος . εἰμί γάρ Μένων ὁ Α μεταπίπτω ὁ ΑΒ εὐθύς ἤτοι ὁ θέσις ἢ ὁ μέγεθος , μεταπίπτω καί ὁ Β σημεῖον . οὖον μεταπίπτω δέ . δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒ εὐθύς ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος .
euclides-geom.data 27
Ἐὰν εὐθείας γραμμῆς τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τὸ ἕν πέρας δοθὲν ᾖ , καὶ τὸ ἕτερον δο - θήσεται . εὐθείας γὰρ γραμμῆς τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τῆς ΑΒ τὸ ἕν πέρας τὸ Α δοθὲν ἔστω . λέγω , ὅτι καὶ τὸ Β δοθέν ἐστιν . εἰ γὰρ μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται τὸ Β σημεῖον , μεταπεσεῖται ἄρα καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἤτοι ἡ θέσις ἢ τὸ μέγεθος . οὐ μεταπίπτει δέ . δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Β σημεῖον .
Lemmas: ἐάν εὐθύς γραμμή ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι ὁ εἷς πέρας δίδωμι εἰμί , καί ὁ ἕτερος δο - τίθημι . εὐθύς γάρ γραμμή ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι ὁ ΑΒ ὁ εἷς πέρας ὁ Α δίδωμι ἵστημι . λέγω , ὅτι καί ὁ Β δίδωμι εἰμί . εἰμί γάρ Μένων ὁ Α σημεῖον μεταπίπτω ὁ Β σημεῖον , μεταπίπτω ἄρα καί ὁ ΑΒ εὐθύς ἤτοι ὁ θέσις ἢ ὁ μέγεθος . οὖον μεταπίπτω δέ . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Β σημεῖον .
euclides-geom.data 28
Ἐὰν διὰ δεδομένου σημείου παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσςι . διὰ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α παρὰ θέσει δεδο - μένην εὐθείαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΔΑΕ . λέγω , ὅτι δέδοται ἡ ΔΑΕ τῇ θέσει . εἰ γὰρ μή , μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΔΑΕ ἡ θέσις . διαμενούσης τῆς ΒΓ παραλλήλου μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΖΑΗ . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῃ ΖΑΗ . ἀλλά ἡ ΒΓ τῇ ΔΑΕ ἐστι παράλληλος . καὶ ἡ ΔΑΕ ἄρα τῇ ΗΑΖ παράλληλός ἐστιν . ἀλλὰ καὶ συμπίπτει · ὅπερ ἐστὶν ἄτο - πον . οὐκ ἄρα μεταπεσεῖται τῆς ΔΑΕ ἡ θέσις . θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑΕ .
Lemmas: ἐάν διά δίδωμι σημεῖον παρά θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ θέσις . διά γάρ δίδωμι σημεῖον ὁ Α παρά θέσις δίδωμι - μένω εὐθεία ὁ ΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΔΑΕ . λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ ΔΑΕ ὁ θέσις . εἰμί γάρ μή , Μένων ὁ Α σημεῖον μεταπίπτω ὁ ΔΑΕ ὁ θέσις . διαμένω ὁ ΒΓ παράλληλος μεταπίπτω καί ἵστημι ὁ ΖΑΗ . παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΓΒ πῃ ΖΑΗ . ἀλλά ὁ ΒΓ ὁ ΔΑΕ εἰμί παράλληλος . καί ὁ ΔΑΕ ἄρα ὁ ΗΑΖ παράλληλος εἰμί . ἀλλά καί συμπίπτω · ὅσπερ εἰμί ατο - πως . οὐ ἄρα μεταπίπτω ὁ ΔΑΕ ὁ θέσις . θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΔΑΕ .
euclides-geom.data 29
Ἐὰν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποι - οῦσα γωνίαν , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει . πρὸς θέσει γὰρ δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ τῷ Γ εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΓΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΓΔ . λέγω , ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΓΔ . εἰ γὰρ μή , μένοντος τοῦ Γ σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΓΔ ἡ θέσις διατηροῦσα τῆς ὑπὸ τῶν ΒΓΔ γω - νίας τὸ μέγεθος . μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΓΕ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ , ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα μετα - πεσεῖται τῆς ΔΓ ἡ θέσις . θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ .
Lemmas: ἐάν πρός θέσις δίδωμι εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον δίδωμι εὐθύς γραμμή ἄγω δίδωμι ποῖ - εἰμί γωνία , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ θέσις . πρός θέσις γάρ δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον δίδωμι ὁ Γ εὐθύς ἄγω ὁ ΓΔ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ΒΓΔ . λέγω , ὅτι θέσις εἰμί ὁ ΓΔ . εἰμί γάρ μή , Μένων ὁ Γ σημεῖον μεταπίπτω ὁ ΓΔ ὁ θέσις διατηρέω ὁ ὑπό ὁ ΒΓΔ εγώ - νία ὁ μέγεθος . μεταπίπτω καί ἵστημι ὁ ΓΕ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΓΒ γωνία ὁ ὑπό ΕΓΒ , ὁ μείζων ὁ μικρός · ὅσπερ ἄτοπος . οὐ ἄρα μετά - πίπτω ὁ ΔΓ ὁ θέσις . θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ .
euclides-geom.data 30
Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποιοῦσα γω - νίαν , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει . ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο - μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΔΓ . λέγω , ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΑΔ . εἰ γὰρ μή , μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΑΔ ἡ θέσις διατηροῦσα τῆς ὑπὸ ΑΔΓ γωνίας τὸ μέγεθος . μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΑΖ . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ . ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . οὐκ ἄρα μεταπεσεῖται τῆς ΑΔ ἡ θέσις . θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ .
Lemmas: ἐάν ἀπό δίδωμι σημεῖον ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω δίδωμι ποιέω εγώ - νία , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ θέσις . ἀπό γάρ δίδωμι σημεῖον ὁ Α ἐπί θέσις δίδωμι - μένω εὐθύς ὁ ΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΔ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ . λέγω , ὅτι θέσις εἰμί ὁ ΑΔ . εἰμί γάρ μή , Μένων ὁ Α σημεῖον μεταπίπτω ὁ ΑΔ ὁ θέσις διατηρέω ὁ ὑπό ΑΔΓ γωνία ὁ μέγεθος . μεταπίπτω καί ἵστημι ὁ αζʹ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΖΓ . ὁ μείζων ὁ μικρός · ὅσπερ εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα μεταπίπτω ὁ ΑΔ ὁ θέσις . θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ .
euclides-geom.data 31
Ἐἀν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ προσβληθῇ δεδομένη τῷ με - γέθει , δέδοται καὶ τῇ θέσει . ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο - μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω δεδο - μένη τῷ μεγέθει . λέγω , ὅτι καὶ τῇ θέσει δέδοται . κέντρῳ γὰρ τῷ Α , διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΔΖ . θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΔΖ κύκλος · δέδοται γὰρ αὐτοῦ τὸ Α κέντρον τῇ θέσει καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΑΔ τῷ μεγέθει . θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα . ἐὰν δὲ δύο γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι τέμνω - σιν ἀλλήλας , δέδοται τὸ σημεῖον , καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλας · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Δ . ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν . θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ .
Lemmas: ἐἀν ἀπό δίδωμι σημεῖον ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή προσβάλλω δίδωμι ὁ ἐγώ - γίγνομαι , δίδωμι καί ὁ θέσις . ἀπό γάρ δίδωμι σημεῖον ὁ Α ἐπί θέσις δίδωμι - μένω εὐθύς ὁ ΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω δίδωμι - μένω ὁ μέγεθος . λέγω , ὅτι καί ὁ θέσις δίδωμι . κέντρον γάρ ὁ Α , διάστημα δέ ὁ ΑΔ κύκλος γράφω ὁ ΕΔΖ . θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΕΔΖ κύκλος · δίδωμι γάρ αὐτός ὁ Α κέντρον ὁ θέσις καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΔ ὁ μέγεθος . θέσις δέ καί ὁ ΒΓ εὐθύς . ἐάν δέ δύο γραμμή ὁ θέσις δίδωμι τέμνω - βρόχος ἀλλήλων , δίδωμι ὁ σημεῖον , κατά ὅς τέμνω ἀλλήλων · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ δ . εἰμί δέ καί ὁ Α δίδωμι . θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ .