euclides-geom.data 67
Ἐὰν τρίγωνον δεδομένην ἔχῃ γωνίαν , ᾧ μεῖζον δύνανται αἱ τὴν δεδομένην γωνίαν περιέχουσαι πλευραὶ ὡς μία τοῦ ἀπὸ τῆς λοιπῆς , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ · λέγω , ὅτι , ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον . διήχθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἡ ΑΔ , καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΑΔ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΓ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β τῇ ΑΓ παρ - άλληλος ἡ ΒΕ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΓ , ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῆ ΒΕ . καὶ διῆκταί τις ἡ ΒΓ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΓΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ . ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ · ὥστε τὸ ἀπὸ συναμφο - τέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ μεῖζόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓΕ . λέγω δή , ὅτι τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΓΕ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς . ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία , καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ ἐστι δοθεῖσα . ἔστι δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΔΓ , ΔΓΑ δοθεῖσα · ἡμίσειαι γάρ εἰσι τῆς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ · [ δέδοται γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ · ] δέδοται ἄρα τὸ ΔΑΓ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΔΑ πρὸς τὴν ΔΓ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΔ , ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΑ , ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ , ὡς δὲ ἧ ΕΓ πρὸς ΓΔ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ , ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ , καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ · καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ . λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ δο - θείς · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν EΓΔ δοθείς . ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ · λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς , διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΓΕ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι τὸ ὑπὸ ΔΓΕ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ · ᾧ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος δίδωμι ἔχω γωνία , ὅς μείζων δύναμαι ὁ ὁ δίδωμι γωνία περιέχω πλευρά ὡς εἷς ὁ ἀπό ὁ λοιπός , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ δίδωμι ἔχω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ · λέγω , ὅτι , ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι . διάγω γάρ ἐπί εὐθύς ὁ ΑΒ εὐθύς ὁ ΑΔ , καί κεῖμαι ὁ ΑΓ ἴσος ὁ ΑΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΓ διάγω ἐπί ὁ Ε , καί ἄγω διά ὁ Β ὁ ΑΓ παρά - άλλος ὁ ΒΕ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΑΓ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΒ τῆ ΒΕ . καί διάγω τις ὁ ΒΓ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΔΓΕ μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΔ . ἴσος δέ ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΓΕ μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΓ · ὥστε ὁ ἀπό συναμφέω - τέρας ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ μέγας εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΓΕ . λέγω δή , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΔΓΕ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία , καί ὁ ἐφεξῆς ἄρα ὁ ὑπό ὁ δΑΓ εἰμί δίδωμι . εἰμί δέ καί ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ , ΔΓΑ δίδωμι · ἥμισυς γάρ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ · [ δίδωμι γάρ ὁ ὑπό ΒΑΓ · ] δίδωμι ἄρα ὁ δΑΓ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΔΑ πρός ὁ ΔΓ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΓ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΔ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΒΑ πρός ΑΔ , οὕτως ὁ ὑπό ΒΑ , ΑΔ πρός ὁ ἀπό ΑΔ , ὡς δέ ἧ ΕΓ πρός ΓΔ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΕΓ , ΓΔ πρός ὁ ἀπό ΓΔ , καί ὡς ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΑ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΕΓΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΔ · καί ἐναλλάξ , ὡς ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΔΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΓΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΓ . λόγος δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΓ δο - θέω · λόγος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΔΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ EΓΔ δίδωμι . ἴσος δέ ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ · λόγος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΓΔ δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι , διά ὁ δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ καί ὁ ὑπό ὁ ΔΓΕ ἄρα πρός ὁ ΑΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὁ ὑπό ΔΓΕ ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ · ὅς ἄρα μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι .