euclides-geom.data 73
Ἐὰν δύο παραλληλογράμμων περὶ ἴσας γωνίας ἢ περὶ ἀνίσους μέν , δεδομένας δέ , αἱ πλευραὶ οὕτως ἔχωσιν , ὥστε εἶναι ὡς τὴν τοῦ πρώτου πλευρὰν πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου πλευράν , οὕτως τὴν λοιπὴν τοῦ δευ - τέρου πλευρὰν πρὸς ἄλλην τινά , ἔχῃ δὲ ἡ λοιπὴ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς αὐτὴν λόγον δεδομένον , καὶ αὐτὰ τὰ παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδο - μένον . δύο γὰρ παραλληλογράμμων τῶν ΑΒ , ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας ἢ περὶ ἀνίσους μέν , δεδομένας δέ , τὰς πρὸς τοῖς Γ , Ζ αἱ πλευραὶ οὕτως ἐχέτωσαν πρὸς ἀλλή - λας , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ , τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἔστω δοθείς · λέγω , ὅτι καὶ τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΕΗ παραλληλόγραμμον λόγος ἐστὶ δοθείς . ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΑΒ τῷ ΕΗ ἐσογώνιον , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΒΓ εὐθεῖαν τῷ ΕΗ παρ - αλληλογράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον το ΓΘ , καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΚΓ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΘΒ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΕΗ , ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον , τῶν ΓΘ , ΕΗ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἰ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ · ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ καὶ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον · λόγος ἄρα τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΘ , τουτέστι πρὸς τὸ ΕΗ λόγος ἐστὶ δοθείς . μὴ ἔστω δὴ ἰσογώνιον , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΓΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ τῇ ὑπὸ τῶν EΖΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΛ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΜ παραλληλόγραμμον . ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΓΒ , ΛΓΒ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΛ ἐστι δοθεῖσα . δέδοται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΛ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΛΑ δέδοται · ὥστε δέδοται τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΛ δοθείς . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἥν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον , τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΛ λόγος ἐστὶ δοθείς , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΓΛ . καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ ΒΓΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ · λόγος ἄρα τοῦ ΓΜ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΕΗ παραλληλόγραμι - μον δοθείς . ἴσον δέ ἐστι τὸ ΓΜ τῷ ΓΔ · λόγος ἄρα τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο παραλληλόγραμμος περί ἴσος γωνία ἢ περί ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , ὁ πλευρά οὕτως ἔχω , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ὁ πρῶτος πλευρά πρός ὁ ὁ δύο πλευρά , οὕτως ὁ λοιπός ὁ δήω - τέρας πλευρά πρός ἄλλος τις , ἔχω δέ ὁ λοιπός ὁ πρῶτος πλευρόν πρός αὐτός λόγος δίδωμι , καί αὐτός ὁ παραλληλόγραμμος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι - μένω . δύο γάρ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ , ΕΗ περί ἴσος γωνία ἢ περί ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , ὁ πρός ὁ Γ , Ζ ὁ πλευρά οὕτως ἔχω πρός ἀλλά - λᾶας , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΓΚ , ὁ δέ ΑΓ πρός ὁ ΓΚ λόγος ἵστημι δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ ΓΔ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΕΗ παραλληλόγραμμος λόγος εἰμί δίδωμι . ἵστημι γάρ πρότερος ὁ ΑΒ ὁ ΕΗ ἐσογώνιον , καί παραβάλλω παρά ὁ ΒΓ εὐθύς ὁ ΕΗ παρά - αλληλογραμμος ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΓΘ , καί κεῖμαι ὥστε ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΚΓ · ἐπί εὐθύς ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΒ ὁ ΘΒ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΘ ὁ ΕΗ , εἰμί δέ καί ἰσογώνιος , ὁ ΓΘ , ΕΗ ἄρα ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΓΚ · ὡς δέ ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ καί πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι · λόγος ἄρα ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΚ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΘ , τουτέστι πρός ὁ ΕΗ λόγος εἰμί δίδωμι . μή ἵστημι δή ἰσογώνιος , καί συνίστημι πρός ὁ ΓΒ εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Γ ὁ ὑπό ὁ ΖΗ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΓΛ , καί συμπληρόω ὁ ΓΜ παραλληλόγραμμος . ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ , ΛΓΒ , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΓΛ εἰμί δίδωμι . δίδωμι δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΛ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΛ δίδωμι · ὥστε δίδωμι ὁ ΑΓΛ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΛ δίδωμι . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι , ὁ δέ ΑΓ πρός ὁ ΓΛ λόγος εἰμί δίδωμι , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ὁ ΓΛ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΒΓΛ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΕΖΗ · λόγος ἄρα ὁ ΓΜ παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΕΗ παραλληλόγραμμος - νυμφότιμον δίδωμι . ἴσος δέ εἰμί ὁ ΓΜ ὁ ΓΔ · λόγος ἄρα ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι .