euclides-geom.data 93
Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ - σαν , καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία δίχα τμηθῇ , συν - αμφότεροι αἱ τὴν δεδομένην γωνίαν περιέχουσαι πρὸς τὴν δίχα τέμνουσαν τὴν γωίαν λόγον ἕξουσι δεδο - μένον , καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῶν τὴν δεδομένην γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ τῆς κάτω ἀπολαμβανο - μένης ἀπὸ τῆς δίχα τεμνούσης τὴν γωνίαν πρὸς τῇ περιφερείᾳ δοθὲν ἔσται . εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΒΓ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ , καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ · λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς , καὶ ὅτι δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ . ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ . καὶ ἐπεὶ εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΔΑΓ διῆκται εὐθεῖα ἡ ΒΓ ἀπο - λαμβάνουσα τμῆμα τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ - σαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῷ μεγέθει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΔ δοθεῖσά ἐστι τῷ μεγέθει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς . καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται τῇ ΑΔ εὐθείᾳ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ · ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓE · καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ . καὶ ἐπεί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔE ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ ἐστιν ἴση . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΒΔ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ · ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ . οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ · ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ , οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ · λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς . λέγω , ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ δοθέν ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΒ τριγώνῳ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ . ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως ἐστὶ συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ · καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ · τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ . δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος δίδωμι ὁ μέγεθος εὐθύς γραμμή ἄγω ἀπολαμβάνω τμῆμα δέχομαι γωνία δίνω - σάω , καί ὁ ἐν ὁ τμῆμα γωνία δίχα τέμνω , σῦς - ἀμφότερος ὁ ὁ δίδωμι γωνία περιέχω πρός ὁ δίχα τέμνω ὁ γωίαν λόγος ἔχω δίδωμι - μένω , καί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ὁ δίδωμι γωνία περιέχω εὐθύς καί ὁ κάτω ἀπολαμβάνω - μένω ἀπό ὁ δίχα τέμνω ὁ γωνία πρός ὁ περιφέρεια δίδωμι εἰμί . εἰς γάρ κύκλος δίδωμι ὁ μέγεθος ὁ ΑΒΓ εὐθύς ἄγω ὁ ΒΓ ἀπολαμβάνω τμῆμα δέχομαι γωνία δίδωμι ὁ ὑπό ΒΑΓ , καί τέμνω ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία δίχα ὁ ΑΔ εὐθύς · λέγω , ὅτι λόγος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΑΔ δίδωμι , καί ὅτι δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ καί ὁ ΕΔ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ . καί ἐπεί εἰς κύκλος δίδωμι ὁ μέγεθος ὁ δΑΓ διάγω εὐθύς ὁ ΒΓ ἀπος - λαμβάνω τμῆμα ὁ ΒΑΓ δέχομαι γωνία δίνω - σάω ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ ὁ μέγεθος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΔ δίδωμι εἰμί ὁ μέγεθος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ πρός ὁ ΒΔ δίδωμι . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία δίχα τέμνω ὁ ΑΔ εὐθύς , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΒΕ πρός ὁ ΕΓ · ἐναλλάξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΕ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓE · καί ὡς ἄρα συναμφότερος ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΕ . καί ἐπεί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΑΕ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΕΑΓ , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΓΕ ὁ ὑπό ὁ ΒΔE ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΕΓ λοιπός ὁ ὑπό ὁ ΑΒΔ εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΕΓ τρίγωνος ὁ ΑΒΔ τρίγωνος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ΑΔ πρός ὁ ΒΔ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ΒΓ · εἰμί ἄρα ὡς συναμφότερος ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ΒΓ . οὕτως ὁ ΑΔ πρός ὁ ΔΒ · ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΑΔ , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΒΔ · λόγος δέ ὁ ΒΓ πρός ὁ ΒΔ δίδωμι · λόγος ἄρα καί συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΑΔ δίδωμι . λέγω , ὅτι καί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ καί ὁ ΕΔ δίδωμι εἰμί . ἐπεί γάρ ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΑΕΓ τρίγωνος ὁ δΕΒ τρίγωνος , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΕ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΕ . ὡς δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως εἰμί συναμφότερος ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΒΓ · καί ὡς συναμφότερος ἄρα ὁ ΕΑΓ πρός ὁ ΓΒ , οὕτως εἰμί ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΕ · ὁ ἄρα ὑπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ καί ὁ ΕΔ εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ καί ὁ ΕΔ .