euclides-geom.data 86
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο . μένῃ γωνίᾳ , δύνηται δὲ ἡ ἑτέρα τῆς ἑτέρας δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ , καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ δοθὲν χωρίον περι - εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ · λέγω , ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΒΓ ἐστι δοθεῖσα . ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ · λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ , ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ δοθέν , λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ δοθείς . ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ · ὥστε καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · τοῦ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶ τῆς ΒΓ , ΓΔ . λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΓ , ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ δοθείς · ὥστε καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ συν - θέντι ἄρα δύο τῶν ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δο - θείς · ὥστε καὶ μιᾶς τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ · καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ · ὥστε καὶ ἡ ΒΓ δο - θεῖσά ἐστιν · τῆς γὰρ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ δέδοται ἡ ΒΔ · καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΓ , καὶ δοθεῖσα ἡ Β γωνία · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ , ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς δίδωμι χωρίον περιέχω ἐν δίδωμι . μένω γωνία , δύναμαι δέ ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος δίδωμι μείζων ἢ ἐν λόγος , καί ἑκάτερος αὐτός εἰμί δίδωμι . δύο γάρ εὐθύς ὁ ΑΒ , ΒΓ δίδωμι χωρίον περί - χέω ὁ ΑΓ ἐν δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΑ δίδωμι μείζων ἵστημι ἢ ἐν λόγος · λέγω , ὅτι καί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ εἰμί δίδωμι . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό ὁ ΓΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΑ δίδωμι μέγας εἰμί ἢ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΓΒΔ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΔΓΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ δίδωμι , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΒΔ δίδωμι . ὡς δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ · ὥστε καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΓΔ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ὑπό ὁ ΒΓΔ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΒ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ τετράκις ὑπό ὁ ΒΓΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι · ὁ τετράκις ὑπό ὁ ΒΓΔ ἄρα μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ἀλλά ὁ τετράκις ὑπό ὁ ΒΓΔ μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΔ ὁ ἀπό συναμφότεροι εἰμί ὁ ΒΓ , ΓΔ . λόγος ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΓ , ΓΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ δίδωμι · ὥστε καί συναμφότεροι ὁ ΒΓΔ πρός ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι · καί σῦς - θέω ἄρα δύο ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δο - θέω · ὥστε καί εἷς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ὡς δέ ὁ ΓΒ πρός ΒΔ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΓΒΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ · καί ὁ ὑπό ὁ ΓΒΔ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΓΒ , ΒΔ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΒΔ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΒΔ · ὥστε καί ὁ ΒΓ δο - τίθημι εἰμί · ὁ γάρ ΓΒ πρός ὁ ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι , καί δίδωμι ὁ ΒΔ · καί εἰμί δίδωμι ὁ ΑΓ , καί δίδωμι ὁ Β γωνία · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ΑΒ · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΑΒ , ΒΓ δίδωμι εἰμί .