euclides-geom.data 74
Ἐὰν δύο παραλληλόγραμμα λόγον ἔχῃ δεδομένον , ἤτοι ἐν ἴσαις γωνίαις ἢ ἀνίσοις μέν , δεδομέναις δέ , ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δευ - τέρου πλευράν , οὕτως ἡ ἑτέρα τοῦ δευτέρου πλευρὰ πρὸς ἢν ἡ λοιπὴ τοῦ πρώτου λόγον ἔχει δεδομένον . δύο γὰρ παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ , ΕΗ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον ἤτοι ἐν ἴσαις γωνίαις ἢ ἐν ἀνίσοις μέν , δεδομέναις δέ , ταῖς πρὸς τοῖς Γ , Ζ · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον . τὸ γὰρ ΑΒ τῷ ΕΗ ἤτοι ἰσογώνιόν ἐστιν ἢ οὔ . ἔστω πρότερον ἰσογώνιον , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΓΒ εὐθεῖαν τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἴσον παρ - αλληλόγραμμον τὸ ΓΘ , καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΚ · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΘ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς , ἴσον δὲ τὸ ΕΗ τῷ ΓΘ , λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΘ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΕΗ , ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον , τῶν ΓΘ , ΕΗ ἄρα ἀντι - πεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ . τῆς δὲ ΓΚ πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον . μὴ ἔστω δὴ ἰσογώνιον , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΓΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΓΒ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΜ παραλληλόγραμμον . ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς , ἴσον δὲ τὸ ΓΔ τῷ ΓΜ , λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΜ πρὸς τὸ EΗ δοθείς . καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἢν ἡ ΓΛ λόγον ἔχει δεδομένον . τῆς δὲ ΓΑ πρὸς τὴν ΓΛ λόγος ἐστὶ δοθείς · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἢν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: ἐάν δύο παραλληλόγραμμος λόγος ἔχω δίδωμι , ἤτοι ἐν ἴσος γωνία ἢ ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , εἰμί ὡς ὁ ὁ πρῶτος πλευρόν πρός ὁ ὁ δήω - τέρας πλευρά , οὕτως ὁ ἕτερος ὁ δύο πλευρόν πρός εἄν ὁ λοιπός ὁ πρῶτος λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ , ΕΗ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι ἤτοι ἐν ἴσος γωνία ἢ ἐν ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , ὁ πρός ὁ Γ , Ζ · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι . ὁ γάρ ΑΒ ὁ ΕΗ ἤτοι ἰσογώνιος εἰμί ἢ οὖον . ἵστημι πρότερος ἰσογώνιος , καί παραβάλλω παρά ὁ ΓΒ εὐθύς ὁ ΕΗ παραλληλόγραμμος ἴσος παρά - αλληλογραμμος ὁ ΓΘ , καί κεῖμαι ὥστε ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΚ · ἐπί εὐθύς ἄρα εἰμί καί ὁ ΔΒ ὁ ΒΘ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι , ἴσος δέ ὁ ΕΗ ὁ ΓΘ , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΘ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΚ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΘ ὁ ΕΗ , εἰμί δέ καί ἰσογώνιος , ὁ ΓΘ , ΕΗ ἄρα ἀντι - πάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΓΚ . ὁ δέ ΓΚ πρός ὁ ΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ ἀναπομπός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὅς ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι . μή ἵστημι δή ἰσογώνιος , καί συνίστημι πρός ὁ ΓΒ εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Γ ὁ ὑπό ΕΖΗ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΓΒ , καί συμπληρόω ὁ ΓΜ παραλληλόγραμμος . ἐπεί οὖν λόγος εἰμί ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι , ἴσος δέ ὁ ΓΔ ὁ ΓΜ , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΓΜ πρός ὁ Η δίδωμι . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΛΓΒ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΕΖΗ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός εἄν ὁ ΓΛ λόγος ἔχω δίδωμι . ὁ δέ ΓΑ πρός ὁ ΓΛ λόγος εἰμί δίδωμι · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός εἄν ὁ ΑΓ λόγος ἔχω δίδωμι .