ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.data 88
Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένη τῷ μεγέθει , ἀπολήψεται τμῆμα δεχόμε - νον γωνίαν δοθεῖσαν . εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΓ δεδομένη τῷ μεγέθει · λέγω , ὅτι ἀπολήψεται τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ . ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΕΑ , ΑΓ , λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς . καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ γωνία · δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ γωνία .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος δίδωμι ὁ μέγεθος εὐθύς γραμμή ἄγω δίδωμι ὁ μέγεθος , ἀπολαμβάνω τμῆμα δέχομαι - νοῦς γωνία δίδωμι . εἰς γάρ κύκλος δίδωμι ὁ μέγεθος ὁ ΑΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΓ δίδωμι ὁ μέγεθος · λέγω , ὅτι ἀπολαμβάνω τμῆμα δέχομαι γωνία δίδωμι . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ διάγω ἐπί ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΕ . ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΕΑ , ΑΓ , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΓ δίδωμι . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ὁ ΑΓΕ γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΓΕ τρίγωνος ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕΓ γωνία .
euclides-geom.data 89
Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ἐπὶ τῆς περιφερείας δοθὲν σημεῖον ληφθῇ , ἀπὸ δὲ τούτου πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν κλασθῇ τις εὐθεῖα δεδομένην γω - νίαν ποιοῦσα , δέδοται τὸ ἕτερον πέρας τῆς κλασθείσης . κύκλου γὰρ τῇ θέσει δεδομένου τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας δοθὲν σημεῖον τὸ Β , ἀπὸ δὲ τοῦ Β κεκλάσθω εὐθεῖα ἡ ΒΑΓ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ · λέγω , ὅτι δέδοται τὸ Γ σημεῖον . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τὸ Δ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ , ΔΓ . ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Β , Δ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία , δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ . ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΔΓ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΔΓ , δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ θέσει · θέσει δὲ δοθεὶς καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Γ σημεῖον .
Lemmas: ἐάν κύκλος δίδωμι ὁ θέσις ἐπί ὁ περιφέρεια δίδωμι σημεῖον λαμβάνω , ἀπό δέ οὗτος πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια κλάω τις εὐθύς δίδωμι εγώ - νία ποιέω , δίδωμι ὁ ἕτερος πέρας ὁ κλάω . κύκλος γάρ ὁ θέσις δίδωμι ὁ ΑΒΓ λαμβάνω ἐπί ὁ περιφέρεια δίδωμι σημεῖον ὁ Β , ἀπό δέ ὁ Β κλάω εὐθύς ὁ ΒΑΓ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ · λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ Γ σημεῖον . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ , ΔΓ . ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ Β , δ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΒΔ . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΒΔΓ . ἐπεί οὖν πρός θέσις εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ δ εὐθύς ἄγω ὁ ΔΓ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΒΔΓ , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΔΓ ὁ θέσις · θέσις δέ δίδωμι καί ὁ ΑΒΓ κύκλος · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Γ σημεῖον .
euclides-geom.data 90
Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου θέσει δεδομένου κύ - κλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἀχθῇ , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει . ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Γ θέσει δεδομένου κύκλου τοῦ ΑΒ ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΓΑ · λέγω , ὅτι ἡ ΓΑ εὐθεῖα δέδοται τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ , ΔΓ . ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Δ , Γ , δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ . καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ γωνία · τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΔΓ γραφό - μενον ἡμικύκλιον ἤξει διὰ τοῦ Α . ἡκέτω καὶ ἔστω τὸ ΔΑΓ · θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑΓ · θέσει δὲ καὶ ὁ ΑΒ κύκλος · δοθέν ἐστιν ἄρα τὸ Α . ἀλλὰ καὶ τὸ Γ δοθέν ἐστιν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει .
Lemmas: ἐάν ἀπό δίδωμι σημεῖον θέσις δίδωμι κύ - καλέω ἐφάπτω εὐθύς ἄγω , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος . ἀπό γάρ δίδωμι σημεῖον ὁ Γ θέσις δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒ ἐφάπτω εὐθύς ἄγω ὁ ΓΑ · λέγω , ὅτι ὁ ΓΑ εὐθύς δίδωμι ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΑ , ΔΓ . ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ δ , Γ , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΔΓ . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ὁ δΑΓ γωνία · ὁ ἄρα ἐπί ὁ ΔΓ γράφος - μένω ἡμικύκλιον ἦξις διά ὁ Α . ἥκω καί ἵστημι ὁ δΑΓ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ δΑΓ · θέσις δέ καί ὁ ΑΒ κύκλος · δίδωμι εἰμί ἄρα ὁ Α . ἀλλά καί ὁ Γ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος .
euclides-geom.data 91
Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτὸς δοθέν , ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα , τὸ ὑπὸ τῆς ἀχθείσης καὶ τῆς μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας περιεχόμενον ὀρθο - γώνιον δοθέν ἐστιν . κύκλου γὰρ δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ , ἀπὸ δὲ τοῦ Δ σημείου διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΒ τέμνουσά τὸν κύκλον · λέγω , ὅτι δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφ - απτομένη εὐθεῖα ἡ ΑΔ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΔ , δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ . καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ .
Lemmas: ἐάν κύκλος δίδωμι ὁ θέσις λαμβάνω τίς σημεῖον ἐκτός δίδωμι , ἀπό δέ ὁ σημεῖον εἰς ὁ κύκλος διάζομαι τις εὐθύς , ὁ ὑπό ὁ ἄγω καί ὁ μεταξύ ὁ σημεῖον καί ὁ κυρτός περιφέρεια περιέχω ορθός - γώνιος δίδωμι εἰμί . κύκλος γάρ δίδωμι ὁ θέσις ὁ ΑΒΓ λαμβάνω τίς σημεῖον ἐκτός ὁ δ , ἀπό δέ ὁ δ σημεῖον διάγω τις εὐθύς ὁ ΔΒ τέμνω ὁ κύκλος · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ . ἄγω ἀπό ὁ δ σημεῖον ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπί - ἅπτω εὐθύς ὁ ΑΔ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ΑΔ , δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΔ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΔΓ · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΒΔΓ .
euclides-geom.data 92
Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ληφθῇ τι σημεῖον ἐντὸς δοθέν διὰ δὲ τοῦ σημείου διαχθῇ τις εὐθεῖα εἰς τὸν κύκλον , τὸ ὑπὸ τῶν τῆς ἀχθείσης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον δοθέν ἐστιν . κύκλου γὰρ δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐντὸς τὸ Α δοθέν , διὰ δὲ τοῦ Α διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΓΒ · λέγω , ὅτι δεδομένον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὰ Ζ , Ε . ἐπεὶ οὖν δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Δ , Α , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑ . θέσει δὲ καὶ ὁ ΓΒΖ κύκλος · δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Ζ , Ε . ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν Ζ Α , ΑΕ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Ζ Α , ΑΕ . καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΑΓ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ .
Lemmas: ἐάν κύκλος δίδωμι ὁ θέσις λαμβάνω τίς σημεῖον ἐντός δίδωμι διά δέ ὁ σημεῖον διάζομαι τις εὐθύς εἰς ὁ κύκλος , ὁ ὑπό ὁ ὁ ἄγω τμῆμα περιέχω ὀρθογώνιος δίδωμι εἰμί . κύκλος γάρ δίδωμι ὁ θέσις ὁ ΒΓ λαμβάνω τίς σημεῖον ἐντός ὁ Α δίδωμι , διά δέ ὁ Α διάγω τις εὐθύς ὁ ΓΒ · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ διάγω ἐπί ὁ Ζ , Ε . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ δ , Α , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΔΑ . θέσις δέ καί ὁ ΓΒΖ κύκλος · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ Ζ , Ε . εἰμί δέ καί ὁ Α δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ Ζ Α , ΑΕ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ Ζ Α , ΑΕ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΒΑΓ · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ .
euclides-geom.data 94
Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ἐπὶ τῆς δὲαμέτρου δοθὲν σημεῖον ληφθῇ , ἀπὸ δὲ τὸῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσβληθῇ τις εὐθεῖα καὶ ἀπὸ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἀχθῇ τῇ διαχθείσῃ , διὰ δὲ τοῦ σημείου , καθʼ ὃ συμβάλλει ἡ πρὸς ὀρθὰς τῇ περιφερείᾳ , παράλληλος ἀχθῇ τῇ διαχθείσῃ , δοθέν ἐστι τὸ σημεῖον , καθʼ ὃ συμβάλλει ἡ παράλληλος τῇ διαμέτρῳ , καὶ τὸ ὑπὸ τῶν παραλλήλων περιεχόμενον ὀρθογώνιον δοθὲν ἔσται . κύκλου γὰρ τῇ θέσει δεδομένου τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ δια - μέτρου τῆς ΒΓ εἰλήφθω δοθὲν σημεῖον τὸ Δ , διὰ δὲ τοῦ Δ πρὸς τὸν κύκλον προσβεβλήσθω τις τυχοῦσα ἡ ΔΑ , ἀπὸ δὲ τοῦ Α τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΑΕ , διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ · λέγω , ὅτι δοθέν ἐστι τὸ Ζ , καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΕΖ χωρίον δοθέν ἐστιν . διήχθω ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ . ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΘΕΑ γωνία , ἡ ΘΑ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου · ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ · τὸ Η ἄρα κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Η . ἔστι δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ τῷ μεγέθει . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΕΘ , καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΗ τῇ ΗΑ , ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΔΗ τῇ ΗΖ , ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΖΘ · δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΗ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΗ · ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει · ἑκατέρα ἄρα τῶν ΗΖ , ΗΔ δοθεῖσά ἐστιν . καί ἐστι δοθὲν τὸ Η · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ ἐστιν . καὶ ἐπεὶ κύκλου δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΑΒΓ εἴληπται ση - μεῖον τὸ Ζ δοθέν , καὶ διῆκται ἡ ΕΖΘ , δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ · ἴση δὲ ἡ ΘΖ τῇ ΔΑ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΕΖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν κύκλος δίδωμι ὁ θέσις ἐπί ὁ δὲαμέτρου δίδωμι σημεῖον λαμβάνω , ἀπό δέ τό́ς σημεῖον πρός ὁ κύκλος προσβάλλω τις εὐθύς καί ἀπό ὁ τομή πρός ὀρθός ἄγω ὁ διάγω , διά δέ ὁ σημεῖον , κατά ὅς συμβάλλω ὁ πρός ὀρθός ὁ περιφέρεια , παράλληλος ἄγω ὁ διάγω , δίδωμι εἰμί ὁ σημεῖον , κατά ὅς συμβάλλω ὁ παράλληλος ὁ διάμετρος , καί ὁ ὑπό ὁ παράλληλος περιέχω ὀρθογώνιος δίδωμι εἰμί . κύκλος γάρ ὁ θέσις δίδωμι ὁ ΑΒΓ ἐπί διά - μέτρον ὁ ΒΓ λαμβάνω δίδωμι σημεῖον ὁ δ , διά δέ ὁ δ πρός ὁ κύκλος προσβάλλω τις τυγχάνω ὁ ΔΑ , ἀπό δέ ὁ Α ὁ ΔΑ πρός ὀρθός γωνία εὐθύς ἄγω ὁ ΑΕ , διά δέ ὁ Ε ὁ ΑΔ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΖ · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ὁ Ζ , καί ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΕΖ χωρίον δίδωμι εἰμί . διάγω ὁ ΕΖ ἐπί ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ . ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό ὁ Θεός γωνία , ὁ ΘΑ διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος · εἰμί δέ καί ὁ ΒΓ · ὁ ὁ ἄρα κέντρον εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὁ . εἰμί δέ καί ὁ δ δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ δΗ ὁ μέγεθος . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΑΔ ὁ ΕΘ , καί εἰμί ἴσος ὁ τίθημι ὁ ΗΑ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ μέν δΗ ὁ ΗΖ , ὁ δέ ΑΔ ὁ ΖΘ · δίδωμι δέ ὁ δΗ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΖΗ · ἀλλά καί ὁ θέσις · ἑκάτερος ἄρα ὁ ΗΖ , ΗΔ δίδωμι εἰμί . καί εἰμί δίδωμι ὁ ὁ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ζ εἰμί . καί ἐπεί κύκλος δίδωμι ὁ θέσις ὁ ΑΒΓ λαμβάνω σός - μείων ὁ Ζ δίδωμι , καί διάγω ὁ ΕΖΘ , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΖΘ · ἴσος δέ ὁ ΘΖ ὁ ΔΑ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΕΖ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι .