ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.data 32
Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένας ποιοῦσα γωνίας , δέ - δοται ἡ ἀχθεῖσα τῷ μεγέθει . εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ δεδομένας ποιοῦσα γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΕΖ , ΕΖΔ . λέγω , ὅτι δέ . δοται ἡ ΕΖ τῷ μεγέθει . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΓΔ δοθὲν σημεῖον τὸ Η , καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ . ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΘ τῇ ΕΖ καὶ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΓΔ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ EΖΔ τῇ ὑπὸ ΘHΔ . δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΗΔ . ἐπεὶ οὖν πρός θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΓΔ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ τῷ Η εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΗΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΘΗΖ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒ . δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ τὸ Η δοθέν . δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῷ μεγέθει · καί ἐστιν ἱση τῇ ΕΖ . δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Ε τῷ μεγέθει .
Lemmas: ἐάν εἰς παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω δίδωμι ποιέω γωνία , δέ - δοτός ὁ ἄγω ὁ μέγεθος . εἰς γάρ παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΖ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ΒΕΖ , ΕΖΔ . λέγω , ὅτι δέ . δοτός ὁ ΕΖ ὁ μέγεθος . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΓΔ δίδωμι σημεῖον ὁ ὁ , καί διά ὁ ὁ ὁ ΕΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΘ . ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΕΖ καί εἰς αὐτός εὐθύς ἐμπίτνω ὁ ΓΔ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό EΖΔ ὁ ὑπό ΘHΔ . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΕΖΔ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ΔΗΘ . ἐπεί οὖν πρός θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΓΔ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον δίδωμι ὁ ὁ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΗΘ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ΘΗΖ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ . θέσις δέ καί ὁ ΑΒ . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Θ σημεῖον . εἰμί δέ καί ὁ ὁ δίδωμι . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ ὁ μέγεθος · καί εἰμί ἱσης ὁ ΕΖ . δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ Ε ὁ μέγεθος .
euclides-geom.data 33
Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένη τῷ μεγέθει , δεδομένας ποιήσει γωνίας . εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΔ εὑθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ , δεδομένη τῷ μεγέθει . λέγω , ὅτι δεδομένας ποιήσει γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΒΕΖ , ΕΖΔ . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Η καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ . ἱση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΗΘ . δοθεῖσα δὲ ἡ ΕΖ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ . καί ἐστι τὸ Η δοθέν . ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η , διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ κύκλος γραφόμενος ἔσται τῇ θέσει . γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΚΘΛ . θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΚΘΛ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ . δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ τὸ Η δοθέν · θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ . δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΘΔ γωνία . καί ἐστι τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴση . δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν EΖΔ . καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖEΒ δοθεῖσά ἐστιν .
Lemmas: ἐάν εἰς παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω δίδωμι ὁ μέγεθος , δίδωμι ποιέω γωνία . εἰς γάρ παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΖ , δίδωμι ὁ μέγεθος . λέγω , ὅτι δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΒΕΖ , ΕΖΔ . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΑΒ δίδωμι σημεῖον ὁ ὁ καί διά ὁ ὁ ὁ ΕΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΗΘ . ἱσης ἄρα εἰμί ὁ ΖΕ ὁ ΗΘ . δίδωμι δέ ὁ ΕΖ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΗΘ . καί εἰμί ὁ ὁ δίδωμι . ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ ὁ , διάστημα δέ ὁ ΗΘ κύκλος γράφω εἰμί ὁ θέσις . γράφω καί ἵστημι ὁ ΚΘΛ . θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΚΘΛ . θέσις δέ καί ὁ ΓΔ . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Θ σημεῖον . εἰμί δέ καί ὁ ὁ δίδωμι · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ . θέσις δέ καί ὁ ΓΔ . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΗΘΔ γωνία . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΖΔ ἴσος . δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ EΖΔ . καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΖEΒ δίδωμι εἰμί .
euclides-geom.data 34
Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας ἀπὸ δεδομένου σημείου εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ , εἰς δεδο - μένον λόγον τμηθήσεται . εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΔ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Ε εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖH . λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ δοθείς . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθε — τος ἡ ΕΚΘ . ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ E ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΕΘH , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ EΘ · θέσει δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΓΔ · δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Κ , Θ . ἔστι δὲ καὶ τὸ E δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΕΚ , ΚΘ . λόγος ἄρα τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ δοθείς . καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖH . λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ δοθείς .
Lemmas: ἐάν εἰς παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς ἀπό δίδωμι σημεῖον εὐθύς γραμμή ἄγω , εἰς δίδωμι - μένω λόγος τέμνω . εἰς γάρ παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΔ ἀπό δίδωμι σημεῖον ὁ Ε εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΖ . λέγω , ὅτι λόγος εἰμί ὁ ΕΖ πρός ΖΗ δίδωμι . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ΓΔ κάθε — ὅς ὁ ΕΚΘ . ἐπεί ἀπό δίδωμι σημεῖον ὁ E ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΘ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΕΘH , θέσις ἄρα εἰμί ὁ EΘ · θέσις δέ καί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ Κ , Θ . εἰμί δέ καί ὁ E δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΕΚ , ΚΘ . λόγος ἄρα ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΘ δίδωμι . καί εἰμί ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ ΚΘ , οὕτως ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖH . λόγος ἄρα καί ὁ ΕΖ πρός ὁ ΖΗ δίδωμι .
euclides-geom.data 35
Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ τμηθῇ εἰς δεδομένον λόγον , διὰ δὲ τῆς τομῆς παρὰ τὴν θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει . ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο - μένην εὐθεῖαν τὴν ΓΒ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ καὶ τετμήσθω εἰς δεδομένον λόγον τὸν τῆς ΔΕ πρὸς ΕΑ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε τῃ ΒΓ παράλληλος ἡ ΖΕΗ . λέγω , ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΖEΗ . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΘ . ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΘΔ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ · δοθὲν ἄρα τὸ Θ σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν . δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ . καὶ ἐπεὶ λόγος τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς , ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΑ , λόγος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΚΑ δοθείς . συν - θέντι ἄρα λόγος ἐστὶ τῆς ΘΑ πρὸς ΑΚ δοθείς . δο - θεῖσα δὲ ἡ ΘΑ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΚ . ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει . καί ἐστι τὸ Α δοθέν · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Κ . ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Κ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΗ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ .
Lemmas: ἐάν ἀπό δίδωμι σημεῖον ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω καί τέμνω εἰς δίδωμι λόγος , διά δέ ὁ τομή παρά ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ θέσις . ἀπό γάρ δίδωμι σημεῖον ὁ Α ἐπί θέσις δίδωμι - μένω εὐθύς ὁ ΓΒ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΔ καί τέμνω εἰς δίδωμι λόγος ὁ ὁ ΔΕ πρός ΕΑ , καί ἄγω διά ὁ Ε πῃ ΒΓ παράλληλος ὁ ΖΕΗ . λέγω , ὅτι θέσις εἰμί ὁ ΖΗ . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΘ . ἐπεί ἀπό δίδωμι σημεῖον ὁ Α ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΘ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΘΔ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ . θέσις δέ καί ὁ ΒΓ · δίδωμι ἄρα ὁ Θ σημεῖον . εἰμί δέ καί ὁ Α δίδωμι . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ . καί ἐπεί λόγος ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΑ δίδωμι , ὡς δέ ὁ ΔΕ πρός ὁ ΕΑ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ ΚΑ , λόγος ἄρα καί ὁ ὁ ΘΚ πρός ὁ ΚΑ δίδωμι . σῦς - θέω ἄρα λόγος εἰμί ὁ ΘΑ πρός ΑΚ δίδωμι . δο - τίθημι δέ ὁ ΘΑ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΚ . ἀλλά καί ὁ θέσις . καί εἰμί ὁ Α δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ Κ . ἐπεί οὖν διά δίδωμι σημεῖον ὁ Κ παρά θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΖΗ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΖΗ .
euclides-geom.data 36
Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ προστεθῇ τις αὐτῇ εὐθεῖα λόγον ἔχουσα πρὸς αὐτὴν δεδομένον , διὰ δὲ τοῦ πέρατος τῆς προστεθείσης παρὰ τὴν τῇ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει . ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο - μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ , καὶ προσκείσθω τῇ ΑΔ ἡ ΑΕ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν ΑΔ δεδομένον , διὰ δὲ τοῦ E τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ . λέγω , ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΖΚ . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΘ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Η . ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΘΓ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΑΗ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΑ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς , ὡς δὲ ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΕ , οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς τὴν ΑΗ , λόγος ἄρα καὶ τῆς ΘΑ πρὸς τὴν ΑΗ δοθείς . δοθεῖσα δὲ ἡ ΘΑ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ . ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει . καί ἐστι δοθὲν τὸ Α · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ H . ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ H παρὰ θέσει δεδομένην εὐ - θεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΗΚ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗΚ .
Lemmas: ἐάν ἀπό δίδωμι σημεῖον ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω καί προστίθημι τις αὐτός εὐθύς λόγος ἔχω πρός αὐτός δίδωμι , διά δέ ὁ πέρας ὁ προστίθημι παρά ὁ ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ θέσις . ἀπό γάρ δίδωμι σημεῖον ὁ Α ἐπί θέσις δίδωμι - μένω εὐθύς ὁ ΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΔ , καί πρόσκειμαι ὁ ΑΔ ὁ ΑΕ λόγος ἔχω πρός ὁ ΑΔ δίδωμι , διά δέ ὁ E ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΖΚ . λέγω , ὅτι θέσις εἰμί ὁ ΖΚ . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΘ καί διάγω ἐπί ὁ ὁ . ἐπεί ἀπό δίδωμι σημεῖον ὁ Α ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΘ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ΑΘΓ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΘΑΗ . θέσις δέ καί ὁ ΒΓ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Θ σημεῖον . εἰμί δέ καί ὁ Α δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΑΘ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΕ δίδωμι , ὡς δέ ὁ ΔΑ πρός ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ ΘΑ πρός ὁ ΑΗ , λόγος ἄρα καί ὁ ΘΑ πρός ὁ ΑΗ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΘΑ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΗ . ἀλλά καί ὁ θέσις . καί εἰμί δίδωμι ὁ Α · δίδωμι ἄρα καί ὁ H . ἐπεί οὖν διά δίδωμι σημεῖον ὁ H παρά θέσις δίδωμι εὕω - θεῖος ὁ ΒΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΖΗΚ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΖΗΚ .
euclides-geom.data 37
Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ τμηθῇ εἰς δεδομένον λόγον , διὰ δὲ τῆς τομῆς παρὰ τὰς τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει . εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ καὶ τετμήσθω εἰς δεδομένον λόγον τὸν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗE , καὶ διήχθω διὰ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ , ΓΔ παράλληλος ἡ ΘΚ . λέγω , ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΘΚ . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Λ , καὶ κατήχθω ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΛΝ . ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Λ ἐπὶ θέσει δεδο - μένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΛΝ . δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΝΔ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ · δοθὲν ἄρα τὸ Ν σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ τὸ Λ δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ δοθείς , ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΛ , λόγος ἄρα καὶ τῆς ΝΜ πρὸς τὴν ΜΛ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΝΛ πρὸς τὴν ΜΛ ἐστι δοθεὶς λόγος . δοθεῖσα δὲ ἡ ΝΛ . δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΜ . ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει . καί ἐστι δοθὲν τὸ Λ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Μ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΘΚ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ .
Lemmas: ἐάν εἰς παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω καί τέμνω εἰς δίδωμι λόγος , διά δέ ὁ τομή παρά ὁ ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ θέσις . εἰς γάρ παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΖ καί τέμνω εἰς δίδωμι λόγος ὁ ὁ ΖΗ πρός ὁ Η , καί διάγω διά ὁ ὁ ὁπότερος ὁ ΑΒ , ΓΔ παράλληλος ὁ ΘΚ . λέγω , ὅτι θέσις εἰμί ὁ ΘΚ . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΑΒ δίδωμι σημεῖον ὁ Λ , καί κατάγω ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ ΓΔ κάθετος ὁ ΛΝ . ἐπεί ἀπό δίδωμι σημεῖον ὁ Λ ἐπί θέσις δίδωμι - μένω εὐθύς ὁ ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΛΝ . δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΛΝΔ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΛΝ . θέσις δέ καί ὁ ΓΔ · δίδωμι ἄρα ὁ Ν σημεῖον . εἰμί δέ καί ὁ Λ δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΛΝ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΕ δίδωμι , ὡς δέ ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΕ , οὕτως ὁ ΝΜ πρός ὁ ΜΛ , λόγος ἄρα καί ὁ ΝΜ πρός ὁ ΜΛ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΝΛ πρός ὁ ΜΛ εἰμί δίδωμι λόγος . δίδωμι δέ ὁ ΝΛ . δίδωμι ἄρα καί ὁ ΛΜ . ἀλλά καί ὁ θέσις . καί εἰμί δίδωμι ὁ Λ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Μ . ἐπεί οὖν διά δίδωμι σημεῖον ὁ Μ παρά θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΘΚ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ .
euclides-geom.data 38
Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ προστεθῇ τις αὐτῇ εὐθεῖα λόγον ἔχουσα πρὸς αὐτὴν δεδομένον , διὰ δὲ τοῦ πέρα - τος παρὰ τὰς τῇ θέσει δεδομένας παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει . εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ , ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ , καὶ προσ - κείσθω τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΕΗ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν ΕΖ δεδομένον , διὰ δὲ τοῦ H ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ , ΓΔ εὐθειῶν παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΘΚ . λέγω , ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΘΚ . εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Ν , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Λ . ἐπεὶ ἀπὸ δεδο - μένου σημείου τοῦ Ν ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΝΜ δεδομένην ποι - οῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΝΜΔ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝΜ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ . δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ν σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν δοθέν . δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΜ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς , ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΝΛ , λόγος ἄρα καὶ τῆς ΜΛ πρὸς τὴν ΝΛ δοθείς . δοθεῖσα δὲ ἡ ΝΜ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΝΛ . ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει . καί ἐστι τὸ Λ δοθέν · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Λ . ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Λ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΑΒ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΘΚ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ .
Lemmas: ἐάν εἰς παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς εὐθύς γραμμή ἄγω καί προστίθημι τις αὐτός εὐθύς λόγος ἔχω πρός αὐτός δίδωμι , διά δέ ὁ πέρα - ὅς παρά ὁ ὁ θέσις δίδωμι παράλληλος εὐθύς γραμμή ἄγω , δίδωμι ὁ ἄγω ὁ θέσις . εἰς γάρ παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΖ , καί προς - κεῖμαι τις αὐτός εὐθύς ὁ ΕΗ λόγος ἔχω πρός ὁ ΕΖ δίδωμι , διά δέ ὁ H ὁπότερος ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύς παράλληλος εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΘΚ . λέγω , ὅτι θέσις εἰμί ὁ ΘΚ . λαμβάνω γάρ ἐπί ὁ ΑΒ δίδωμι σημεῖον ὁ Ν , καί ἄγω ἀπό ὁ Ν ἐπί ὁ ΓΔ κάθετος εὐθύς γραμμή ὁ ΝΜ καί διάγω ἐπί ὁ Λ . ἐπεί ἀπό δίδωμι - μένω σημεῖον ὁ Ν ἐπί θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΝΜ δίδωμι ποῖ - εἰμί γωνία ὁ ὑπό ΝΜΔ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΛΝΜ . θέσις δέ καί ὁ ΓΔ . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Ν σημεῖον . εἰμί δέ καί ὁ Ν δίδωμι . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΝΜ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΖΕ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι , ὡς δέ ὁ ΖΕ πρός ὁ ΗΕ , οὕτως ὁ ΝΜ πρός ὁ ΝΛ , λόγος ἄρα καί ὁ ΜΛ πρός ὁ ΝΛ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΝΜ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΝΛ . ἀλλά καί ὁ θέσις . καί εἰμί ὁ Λ δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ Λ . ἐπεί οὖν διά δίδωμι σημεῖον ὁ Λ παρά θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΑΒ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΘΚ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ .
euclides-geom.data 39
Ἐὰν τριγώνου ἑκάστη τῶν πλευρῶν δεδομένη ῇ τῷ μεγέθει , δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει . τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἑκάστη τῶν πλευρῶν δεδομένη ἔστω τῷ μεγέθει · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓ τρί - γωνον δέδοται τῷ εἴδει . ἐκκείσθω γὰρ εὐθεῖα τῇ θέσει δεδομένη ἡ ΔΜ , πεπερατωμένη μὲν κατὰ τὸ Δ , ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ λοιπόν , καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ · δοθεῖσα δὲ ἡ ΑΒ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΕ · ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει · καί ἐστι δοθὲν τὸ Δ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε · τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ EΖ · δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ · δο - θεῖσα ἄρα καὶ ἡ EΖ · ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει · καί ἐστι δοθὲν τὸ E · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ · τῃ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΖΗ . δοθεῖσα δὲ ἡ ΑΓ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΗ . ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει . καί ἐστι δοθὲν τὸ Ζ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Η . καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε , διαστήματι δὲ τῷ ΕΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΘ · θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΔΚΘ . πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Ζ , διαστήματι δὲ τῷ ΖΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ · θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΚΛ · θέσει δὲ καὶ ὁ ΔΘΚ κύκλος · δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ Κ σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ ἑκά - τερον τῶν Ε , Ζ δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΚΕ , EΖ , ΖΚ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει · δέδοται ἄρα τὸ ΚΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει . καί ἐστιν ἴσον τε καὶ ὅμοιον τῷ ΑΒΓ · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ἕκαστος ὁ πλευρά δίδωμι ᾗ ὁ μέγεθος , δίδωμι ὁ τρίγωνος ὁ εἶδος . τρίγωνος γάρ ὁ ΑΒΓ ἕκαστος ὁ πλευρά δίδωμι ἵστημι ὁ μέγεθος · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρεῖς - γωνον δίδωμι ὁ εἶδος . ἔκκειμαι γάρ εὐθύς ὁ θέσις δίδωμι ὁ δΜ , περατωμένος μέν κατά ὁ δ , ἤπειρος δέ κατά ὁ λοιπός , καί κεῖμαι ὁ μέν ΑΒ ἴσος ὁ ΔΕ · δίδωμι δέ ὁ ΑΒ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΔΕ · ἀλλά καί ὁ θέσις · καί εἰμί δίδωμι ὁ δ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ε · ὁ δέ ΒΓ ἴσος ὁ EΖ · δίδωμι δέ ὁ ΒΓ · δο - τίθημι ἄρα καί ὁ EΖ · ἀλλά καί ὁ θέσις · καί εἰμί δίδωμι ὁ E · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ζ · πῃ δέ ΑΓ ἴσος ὁ ΖΗ . δίδωμι δέ ὁ ΑΓ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΖΗ . ἀλλά καί ὁ θέσις . καί εἰμί δίδωμι ὁ Ζ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὁ . καί κέντρον μέν ὁ Ε , διάστημα δέ ὁ ΕΔ κύκλος γράφω ὁ ΔΚΘ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΔΚΘ . πάλιν κέντρον μέν ὁ Ζ , διάστημα δέ ὁ ΖΗ κύκλος γράφω ὁ ΗΚΛ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΗΚΛ · θέσις δέ καί ὁ ΔΘΚ κύκλος · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ Κ σημεῖον . εἰμί δέ καί ἑκα - τέρος ὁ Ε , Ζ δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ἕκαστος ὁ ΚΕ , EΖ , ΖΚ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα ὁ ΚΕΖ τρίγωνος ὁ εἶδος . καί εἰμί ἴσος τε καί ὅμοιος ὁ ΑΒΓ · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 40
Ἐὰν τριγώνου ἑκάστη τῶν γωνιῶν δεδομένη ᾗ τῷ μεγέθει , δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει . τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἑκάστη τῶν γωνιῶν δεδο - μένη ἔστω τῷ μεγέθει · λέγω , ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΕ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Δ , Ε τῇ μὲν ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ ἴση γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΕΔΖ , τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἱση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λοιπῇ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ ἐστιν . δοθεῖσα δὲ ἑκάστη τῶν πρὸς τοῖς Α , Β , Γ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκάστη τῶν πρὸς τοῖς Δ , Ε , Ζ . ἐπεὶ οὕν πρὸς θέσει δεδο - μένῃ εὐθείᾳ τῇ ΔΕ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδο - μένῳ τῷ Δ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΔΖ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Δ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ θέσει ἐστίν · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ , Ε δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΔΖ , ΔΕ , EΖ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει · δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τρί - γωνον τῷ εἴδει . καί ἐστιν ὄμοιον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ἕκαστος ὁ γωνία δίδωμι ὅς ὁ μέγεθος , δίδωμι ὁ τρίγωνος ὁ εἶδος . τρίγωνος γάρ ὁ ΑΒΓ ἕκαστος ὁ γωνία δίδωμι - μένω ἵστημι ὁ μέγεθος · λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος . ἔκκειμαι γάρ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι εὐθύς ὁ ΔΕ , καί συνίστημι πρός ὁ ΔΕ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ δ , Ε ὁ μέν ὑπό ΓΒΑ γωνία ἴσος γωνία εὐθύγραμμος ὁ ὑπό ΕΔΖ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΓΒ ἱσης ὁ ὑπό ὁ δΕΖ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ λοιπός ἴσος ὁ ὑπό ὁ δΖΕ εἰμί . δίδωμι δέ ἕκαστος ὁ πρός ὁ Α , Β , Γ · δίδωμι ἄρα καί ἕκαστος ὁ πρός ὁ δ , Ε , Ζ . ἐπεί οὖν πρός θέσις δίδωμι - μένω εὐθύς ὁ ΔΕ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον δίδωμι - μένος ὁ δ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΔΖ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ πρός ὁ δ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΔΖ . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΕΖ θέσις εἰμί · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Ζ σημεῖον . εἰμί δέ καί ἑκάτερος ὁ δ , Ε δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ἕκαστος ὁ ΔΖ , ΔΕ , EΖ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα ὁ δΖΕ τρεῖς - γωνον ὁ εἶδος . καί εἰμί ὅμοιος ὁ ΑΒΓ τρίγωνος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 41
Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην , περὶ δὲ τὴν δεδομένην γωνίαν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον , δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἐχέτω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν γωνίαν δεδο - μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , περὶ δὲ τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΒΑ , ΑΓ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει . ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΖ καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ζ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ . δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ . ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΔΖ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ δεδο - μένῳ σημείῳ τῷ Ζ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΕ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΔΖΕ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΖE καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΖE δοθείς · δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΖ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΕ . ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει . καί ἐστι τὸ Ζ δοθέν · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε . ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ , Ζ δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΔΖ , ΖΕ , ΔΕ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει · δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τῷ εἴδει . καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ μίαν γωνίαν μίᾳ γωνίᾳ ἴσην ἔχει , τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ , περὶ δὲ τὰς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , ΔΖΕ γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔEΖ τριγώνῳ . δέ - δόται δὲ τὸ ΔΖΕ τῷ εἴδει · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος εἷς ἔχω γωνία δίδωμι , περί δέ ὁ δίδωμι γωνία ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , δίδωμι ὁ τρίγωνος ὁ εἶδος . ἔχω γάρ τρίγωνος ὁ ΑΒΓ εἷς γωνία δίδωμι - μένω ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ , περί δέ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ ὁ πλευρά ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρίγωνος δίδωμι ὁ εἶδος . ἔκκειμαι γάρ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι εὐθύς ὁ ΔΖ καί συνίστημι πρός ὁ ΔΖ εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Ζ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ὁ δΖΕ . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ δΖΕ . ἐπεί οὖν πρός θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΔΖ καί ὁ πρός αὐτός δίδωμι - μένος σημεῖον ὁ Ζ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΖΕ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ δΖΕ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΖΕ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΔΖ πρός ὁ ΖE καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ · λόγος ἄρα καί ὁ ΔΖ πρός ὁ ΖE δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ ΔΖ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΖΕ . ἀλλά καί ὁ θέσις . καί εἰμί ὁ Ζ δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ε . εἰμί δέ καί ἑκάτερος ὁ δ , Ζ δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ἕκαστος ὁ ΔΖ , ΖΕ , ΔΕ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα ὁ δΖΕ ὁ εἶδος . καί ἐπεί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , δΕΖ εἷς γωνία μῖος γωνία ἴσος ἔχω , ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ ὁ ὑπό ὁ δΖΕ , περί δέ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ , δΖΕ γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ΔEΖ τρίγωνος . δέ - δότης δέ ὁ δΖΕ ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 42
Ἐὰν τριγώνου αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον , δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει . τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓ τρί - γωνον δέδοται τῷ εἴδει . ἐκκείσθω γὰρ δεδομένη τῷ μεγέθει εὐθεῖα ἡ Δ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Δ πρὸς τὴν Ε . δοθεῖσα δὲ ἡ Δ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ε . πάλιν ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Ε πρὸς τὴν Ζ . δοθεῖσα δὲ ἡ E · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ . καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν , αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθεί - σαις ταῖς Δ , Ε , Ζ , ὧν αἰ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΗΘΚ · ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν Δ τῇ ΗΘ , τὴν δὲ Ε τῇ ΘΚ , τὴν δὲ Ζ τῇ ΗΚ . δοθεῖσα δὲ ἑκάστη τῶν Δ , Ε , Ζ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκάστη τῶν ΗΘ , ΘΚ , ΚΗ τῷ μεγέθει · δέδοται ἄρα τὸ ΗΘΚ τρίγωνον τῷ εἴδει . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε , ἴση δὲ ἡ μὲν Δ τῃ ΗΘ , ἡ δὲ Ε τῇ ΘΚ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΚ . πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓʼ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ , ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΘΚ , ἡ δὲ Ζ τῃ ΗΚ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ . οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΘΚ · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ . ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρί - γωνον τῷ ΗΘΚ τριγώνῳ . δέδοται δὲ τὸ ΗΘΚ τρί - γωνον τῷ εἴδει · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , δίδωμι ὁ τρίγωνος ὁ εἶδος . τρίγωνος γάρ ὁ ΑΒΓ ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρεῖς - γωνον δίδωμι ὁ εἶδος . ἔκκειμαι γάρ δίδωμι ὁ μέγεθος εὐθύς ὁ δ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΑΒ πρός ΒΓ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ δ πρός ὁ Ε . δίδωμι δέ ὁ δ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ε . πάλιν ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΒΓ πρός ὁ ΑΓ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ Ε πρός ὁ Ζ . δίδωμι δέ ὁ E · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ζ . καί ἐκ τρεῖς εὐθύς , ὁ εἰμί Ἴσαι τρεῖς ὁ δίνω - Σάϊς ὁ δ , Ε , Ζ , ὅς ὁ δύο ὁ λοιπός μέγας εἰμί πάντῃ μεταλαμβάνω , τρίγωνος συνίστημι ὁ ΗΘΚ · ὥστε ἴσος εἰμί ὁ μέν δ ὁ ΗΘ , ὁ δέ Ε ὁ ΘΚ , ὁ δέ Ζ ὁ ΗΚ . δίδωμι δέ ἕκαστος ὁ δ , Ε , Ζ · δίδωμι ἄρα καί ἕκαστος ὁ ΗΘ , ΘΚ , ΚΗ ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα ὁ ΗΘΚ τρίγωνος ὁ εἶδος . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ δ πρός ὁ Ε , ἴσος δέ ὁ μέν δ πῃ ΗΘ , ὁ δέ Ε ὁ ΘΚ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΗΘ πρός ὁ ΘΚ . πάλιν ἐπεί εἰμί ὡς ὁ βγαίνω πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ Ε πρός ὁ Ζ , ἴσος δέ ὁ μέν Ε ὁ ΘΚ , ὁ δέ Ζ πῃ ΗΚ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΑ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ὁ ΚΗ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ . οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΘΚ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ τίθημι πρός ὁ ΗΚ . ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρεῖς - γωνον ὁ ΗΘΚ τρίγωνος . δίδωμι δέ ὁ ΗΘΚ τρεῖς - γωνον ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ τρίγων ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 43
Ἐὰν τριγώνου ὀρθογωνίου περὶ μίαν τῶν ὀξειῶν γωνιῶν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο – μένον , δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει . τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον - τος τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν , περὶ μίαν τῶν ὀξειῶν αὐτοῦ γωνιῶν τὴν ὑπὸ ΑΒΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΓΒ , ΒΑ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον · λέγω , ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΕ , καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΔΕ ἡμικύκλιον τὸ ΔΗE · θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΗΕ ἡμικύκλιον . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν Ζ · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν Ζ δοθείς . δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΕ · δο – θεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ . καί ἐστι μείζων ἡ ΓΒ τῆς ΒΑ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΔ τῆς Ζ . ἐνηρμόσθω τῇ Ζ ἱση ἡ ΔΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗE , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ , διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΗΚ · θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΘΗΚ κύκλος · δέδοται γὰρ αὐτοῦ τὸ κέντρον τῇ θέσει καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει . θέσει δὲ καὶ τὸ ΔΗE ἡμικύκλιον . δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Η σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ , Ε δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΗΔ , ΔΕ , ΕΗ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει · δέδοται ἄρα τὸ ΗΔΕ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ , ΔEΗ μίαν γωνίαν μίᾳ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΗΕ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΒΑ , ΕΔΗ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , τῶν δὲ λοιπῶν τῶν ὑπὸ ΒΓΑ , ΔΕΗ ἑκατέραν ἄμα ἐλάσσονα ὀρθῆς , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΗ τριγώνῳ . δέδοται δὲ τὸ ΔΕΗ τρίγωνον τῷ εἴδει · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος ὀρθογώνιος περί εἷς ὁ ὀξύς γωνία ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι – μένω , δίδωμι ὁ τρίγωνος ὁ εἶδος . τρίγωνος γάρ ὀρθογώνιος ὁ ΑΒΓ ὀρθός ἔχω - ὅς ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία , περί εἷς ὁ ὀξύς αὐτός γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ ὁ πλευρά ὁ ΓΒ , ΒΑ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος . ἔκκειμαι γάρ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι εὐθύς ὁ ΔΕ , καί γράφω ἐπί ὁ ΔΕ ἡμικύκλιον ὁ ΔΗ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ δΗΕ ἡμικύκλιον . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΓΒ πρός ὁ ΒΑ δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ ΔΕ πρός ὁ Ζ · λόγος ἄρα καί ὁ ΔΕ πρός ὁ Ζ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΔΕ · δο – τίθημι ἄρα καί ὁ Ζ . καί εἰμί μείζων ὁ ΓΒ ὁ ΒΑ · μείζων ἄρα καί ὁ ΕΔ ὁ Ζ . ἐναρμόζω ὁ Ζ ἱσης ὁ δΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Η , καί κέντρον μέν ὁ δ , διάστημα δέ ὁ δΗ κύκλος γράφω ὁ ΘΗΚ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΘΗΚ κύκλος · δίδωμι γάρ αὐτός ὁ κέντρον ὁ θέσις καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μέγεθος . θέσις δέ καί ὁ ΔΗ ἡμικύκλιον . δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὁ σημεῖον . εἰμί δέ καί ἑκάτερος ὁ δ , Ε δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ἕκαστος ὁ ΗΔ , ΔΕ , ΕΗ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα ὁ ΗΔΕ τρίγωνος ὁ εἶδος . ἐπεί οὖν δύο τρίγωνος εἰμί ὁ ΑΒΓ , ΔΗ εἷς γωνία μῖος γωνία ἴσος ἔχω ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ ὁ ὑπό ὁ δΗΕ , περί δέ ἄλλος γωνία ὁ ὑπό ὁ ΓΒΑ , ΕΔΗ ὁ πλευρά ἀνάλογος , ὁ δέ λοιπός ὁ ὑπό ΒΓΑ , ΔΕΗ ἑκάτερος ἄμη μικρός ὀρθός , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ ΔΕΗ τρίγωνος . δίδωμι δέ ὁ ΔΕΗ τρίγωνος ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 45
Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην , αἱ δὲ περὶ τὴν δεδομένην γωνίαν πλευραὶ συναμφότεραι ὡς μία πρὸς τὴν λοιπὴν λόγον ἔχωσι δεδομένον , δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν γωνίαν δεδομένην ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , περὶ δὲ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γω - νίαν αἰ πλευραί , τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ ὡς μία πρὸς τὴν ΓΒ λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει . τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ , ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ · καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ . λόγος δὲ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς . καί ἐστι δο - θεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΗ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος εἷς ἔχω γωνία δίδωμι , ὁ δέ περί ὁ δίδωμι γωνία πλευρά συναμφότεροι ὡς εἷς πρός ὁ λοιπός λόγος ἔχω δίδωμι , δίδωμι ὁ τρίγωνος ὁ εἶδος . ἵστημι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ εἷς γωνία δίδωμι ἔχω ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ , περί δέ ὁ ὑπό ΒΑΓ εγώ - νία ὁ πλευρά , τουτέστι συναμφότερος ὁ ΒΑΓ ὡς εἷς πρός ὁ ΓΒ λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρίγωνος δίδωμι ὁ εἶδος . τέμνω γάρ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία δίχα ὁ ΑΔ εὐθύς · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΑΒ γωνία . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΓ , ἐναλλάξ ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΔ · καί ὡς συναμφότερος ἄρα ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΒΓ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ . λόγος δέ συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΒΓ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΒΔ δίδωμι . καί εἰμί δο - τίθημι ὁ ὑπό ὁ ΔΑΒ γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΔ τρίγωνος ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΔ γωνία . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΓΗ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 46
Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην , περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν αἱ πλευραὶ συναμφότεραι ὡς μία πρὸς τὴν λοιπὴν λόγον ἔχωσι δεδομένον , δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν ἔχον γωνίαν δεδο - μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ , περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ αἱ πλευραί , τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει . τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ · ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ . λόγος δὲ τοῦ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς . καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία . καί ἐστιν αὐτῆς διπλασίων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐάν τρίγωνος εἷς ἔχω γωνία δίδωμι , περί δέ ἄλλος γωνία ὁ πλευρά συναμφότεροι ὡς εἷς πρός ὁ λοιπός λόγος ἔχω δίδωμι , δίδωμι ὁ τρίγωνος ὁ εἶδος . ἵστημι τρίγωνος ὁ ΑΒΓ εἷς ἔχω γωνία δίδωμι - μένω ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ , περί δέ ἄλλος γωνία ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ ὁ πλευρά , τουτέστι συναμφότερος ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΒΓ λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ τρίγωνος δίδωμι ὁ εἶδος . τέμνω γάρ ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία δίχα ὁ ΑΔ εὐθύς · εἰμί ἄρα ὡς συναμφότερος ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΓΒ , ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ . λόγος δέ ὁ συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΓΒ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΔ δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΑΒΔ γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΔ τρίγωνος ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΔΑΒ γωνία . καί εἰμί αὐτός διπλάσιος ὁ ὑπό ΒΑΓ · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνος ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 47
Τὰ δεδομένα εὐθύγραμμα τῷ εἴδει εἰς δεδομένα τρίγωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει . ἔστω δεδομένον εὐθύγραμμον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓΔΕ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμον εἰς δεδομένα τρί - γωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ , ΕΓ . ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμον τῷ εἴδει , δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία . καί ἐστι λόγος τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία καί ἐστι λόγος τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς , δέδοται ἄρα τὸ ΒΑΕ τρίγωνον τῷ εἴδει · δο - θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ γωνία . ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ γωνία δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΒΓ δοθεῖσά ἐστιν . καί ἐστι λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ δοθείς , τῆς δὲ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΒΕ γωνία · δέδοται ἄρα τὸ ΒΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον τῷ εἴδει δέδοται · τὰ ἄρα δεδομένα εὐθύγραμμα τῷ εἴδει εἰς δεδομένα τρίγωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει .
Lemmas: ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ εἶδος εἰς δίδωμι τρίγωνος διαιρέω ὁ εἶδος . ἵστημι δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ εἶδος ὁ ΑΒΓΔΕ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμος εἰς δίδωμι τρεῖς - γωνα διαιρέω ὁ εἶδος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΕ , ΕΓ . ἐπεί δίδωμι ὁ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμος ὁ εἶδος , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΕ γωνία . καί εἰμί λόγος ὁ ΒΑ πρός ὁ ΕΑ δίδωμι . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΕ γωνία καί εἰμί λόγος ὁ ΒΑ πρός ὁ ΕΑ δίδωμι , δίδωμι ἄρα ὁ ΒΑΕ τρίγωνος ὁ εἶδος · δο - τίθημι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΕ γωνία . εἰμί δέ καί ὅλος ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ γωνία δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΕΒΓ δίδωμι εἰμί . καί εἰμί λόγος ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ δίδωμι , ὁ δέ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΕΒ ἄρα πρός ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΓΒΕ γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ΒΓΕ τρίγωνος ὁ εἶδος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΓΔΕ τρίγωνος ὁ εἶδος δίδωμι · ὁ ἄρα δίδωμι εὐθύγραμμος ὁ εἶδος εἰς δίδωμι τρίγωνος διαιρέω ὁ εἶδος .
euclides-geom.data 48
Ἐὰν ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τρίγωνα ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει , λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον . ἀπὸ γὰρ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τρίγωνα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΒΓ , ΑΔΒ · λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓΒ πρὸς τὸ ΑΔΒ δοθείς . ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Β σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς αἱ AΕ , ΗΒ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ,Θ . καὶ διὰ τῶν Γ Δ σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλοι ῆχθωσαν αἱ ΕΓΗ , ΖΔΘ . ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΒΓ τρί - γωνον τῷ εἴδει , λόγος ἐστὶ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΒΑ δο - θείς . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ γωνία , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΒ δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ ἐστι δοθεῖσα . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ γωνία δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς . τῆς δὲ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΑΖ , οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΘΑ · ὥστε καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΑΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΗ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ , τοῦ δὲ ΑΘ ἥμισυ τὸ ΑΔΒ · καὶ τοῦ ΑΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς δύο τρίγωνος ἀναγραφή δίδωμι ὁ εἶδος , λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων δίδωμι . ἀπό γάρ ὁ αὐτός εὐθύς ὁ ΑΒ δύο τρίγωνος δίδωμι ὁ εἶδος ἀναγράφω ὁ ΑΒΓ , ΑΔΒ · λέγω , ὅτι λόγος εἰμί ὁ ΑΓΒ πρός ὁ ΑΔΒ δίδωμι . ἄγω ἀπό ὁ Α , Β σημεῖον ὁ ΑΒ εὐθύς πρός ὀρθός ὁ Εὖ , ΗΒ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ,Θ . καί διά ὁ Γ δ σημεῖον ὁ ΑΒ εὐθύς παράλληλος ἄγω ὁ ΕΓΗ , ΖΔΘ . ἐπεί δίδωμι ὁ ΑΒΓ τρεῖς - γωνον ὁ εἶδος , λόγος εἰμί ὁ ΓΑ πρός ὁ ΒΑ δο - θέω . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ γωνία , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΕΑΒ δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΕΑΓ εἰμί δίδωμι . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΕΓ γωνία δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΓΕ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΕΓ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΓ δίδωμι . ὁ δέ ΓΑ πρός ὁ ΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΕΑ ἄρα πρός ὁ ΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Γῆ πρός ὁ ΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΕΑ πρός ὁ αζʹ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός ὁ αζʹ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός ὁ ΘΑ · ὥστε καί ὁ ΑΗ πρός ὁ ΑΘ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὁ μέν ΑΗ ἥμισυς ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ΑΘ ἥμισυς ὁ ΑΔΒ · καί ὁ ΑΒΓ ἄρα πρός ὁ ΑΔΒ λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 49
Ἐὰν ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο εὐθύγραμμα , ἃ ἔτυχεν , ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει , λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον . ἀπὸ γὰρ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο εὐθύ - γραμμα , ἅ ἔτυχεν , δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΕΓΖΒ , ΑΔΒ · λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΓΖΒ πρὸς ΑΔΒ δοθείς . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΖ , ΖE · δέδοται ἄρα ἕκα - στον τῶν ΕΓΖ , ΕΖΑ , ΖΑΒ τριγώνων τῷ εἴδει . καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΕΖ δύο τρίγωνα δεδο - μένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται τὰ ΕΖΓ , EΖΑ , λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΕΖ πρὸς τὸ ΖΕΑ δοθείς · καὶ συν - θέντι ἄρα λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΕΑΖ πρὸς τὸ ΖEΑ δο - θείς . τοῦ δὲ ΖΕΑ πρὸς τὸ ΖΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς , ἐπειδήπερ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΖ ἀναγέγραπται · καὶ τοῦ ΓEΑΖ ἄρα πρὸς τὸ ΖΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ συνθέντι τοῦ ΓΕΒΖΑ πρὸς τὸ ΖΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ΖΑΒ πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δο - θείς · καὶ τοῦ ΓEΑΒΖ ἄρα πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς δύο εὐθύγραμμος , ὁ τυγχάνω , ἀναγραφή δίδωμι ὁ εἶδος , λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων δίδωμι . ἀπό γάρ ὁ αὐτός εὐθύς ὁ ΑΒ δύο εὐθύς - γράμμα , ὅς τυγχάνω , δίδωμι ὁ εἶδος ἀναγράφω ὁ ΓΑΖ , ΑΔΒ · λέγω , ὅτι λόγος εἰμί ὁ ΓΑΖ πρός ΑΔΒ δίδωμι . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ αζʹ , ΖE · δίδωμι ἄρα ἕκατι - στον ὁ ΕΓΖ , ΕΖΑ , ΖΑΒ τρίγωνος ὁ εἶδος . καί ἐπεί ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς ὁ ΕΖ δύο τρίγωνος δίδωμι - Μένα ὁ εἶδος ἀναγράφω ὁ ΕΖΓ , EΖΑ , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΓΕΖ πρός ὁ ΖΕΑ δίδωμι · καί σῦς - θέω ἄρα λόγος εἰμί ὁ ΓΕΖ πρός ὁ ΖEΑ δο - θέω . ὁ δέ ΖΕΑ πρός ὁ ΖΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι , ἐπεί ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς ὁ αζʹ ἀναγράφω · καί ὁ ΓΑ ἄρα πρός ὁ ΖΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι · καί συντίθημι ὁ ΓΑΖ πρός ὁ ΖΒΑ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΖΑΒ πρός ὁ ΑΔΒ λόγος εἰμί δο - θέω · καί ὁ ΓΑ ἄρα πρός ὁ ΑΔΒ λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 50
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο - μένον , καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ AΒ , ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ Ε , Ζ · λέγω , ὅτι καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα αὐτῶν λόγος ἔσται δοθείς . εἰλήφθω γὰρ τῶν ΑΒ , ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Η · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Η · λόγος δὲ ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν Η δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Η λόγος ἐστὶ δοθείς . ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η . οὕτως τὸ Ε πἐρὸς τὸ Ζ · λόγος ἄρα τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι - μένω , καί ὁ ἀπό αὐτός εὐθύγραμμος ὅμοιος καί ὁμοίως ἀναγράφω πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ εὐθύς ὁ AΒ , ΓΔ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΒ , ΓΔ ὅμοιος καί ὁμοίως κεῖμαι εὐθύγραμμος ὁ Ε , Ζ · λέγω , ὅτι καί ὁ πρός ἀλλήλων αὐτός λόγος εἰμί δίδωμι . λαμβάνω γάρ ὁ ΑΒ , ΓΔ τρίτος ἀνάλογος ὁ ὁ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ , ὁ ΓΔ πρός ὁ ὁ · λόγος δέ ὁ ὁ ΑΒ πρός ΓΔ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΓΔ πρός ὁ ὁ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ὁ λόγος εἰμί δίδωμι . ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ὁ . οὕτως ὁ Ε Περός ὁ Ζ · λόγος ἄρα ὁ Ε πρός ὁ Ζ δίδωμι .
euclides-geom.data 51
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο - μένον καὶ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα , ἂ ἔτυχεν , ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει , λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ εὐθύγραμμα , ἅ ἔτυχεν , δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Ε , Ζ · λέγω , ὅτι τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ Ζ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΑΗΒ . δέδοται δὲ τὸ Ζ τῷ εἴδει · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΗΒ τῷ εἴδει . ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Ε δέδοται τῷ εἴδει καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ · λόγος ἄρα τοῦ Ε πρὸς τὸ ΑΗΒ δοθείς . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ δοθείς , καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῶν ΑΒ , ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΗΒ , Ζ , λόγος ἄρα τοῦ ΑΗΒ πρὸς τὸ Ζ δοθείς · τοῦ δὲ ΑΗΒ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθύς πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι - μένω καί ἀπό αὐτός εὐθύγραμμος , ὅς τυγχάνω , ἀναγραφή δίδωμι ὁ εἶδος , λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων δίδωμι . δύο γάρ εὐθύς ὁ ΑΒ , ΓΔ πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΒ , ΓΔ εὐθύγραμμος , ὅς τυγχάνω , δίδωμι ὁ εἶδος ὁ Ε , Ζ · λέγω , ὅτι ὁ Ε πρός ὁ Ζ λόγος εἰμί δίδωμι . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ Ζ ὅμοιος καί ὁμοίως κεῖμαι ὁ ΑΗΒ . δίδωμι δέ ὁ Ζ ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΗΒ ὁ εἶδος . ἀλλά μήv καί ὁ Ε δίδωμι ὁ εἶδος καί ἀναγράφω ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς ὁ ΑΒ · λόγος ἄρα ὁ Ε πρός ὁ ΑΗΒ δίδωμι . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΑΒ , ΓΔ ὅμοιος καί ὁμοίως κεῖμαι εὐθύγραμμος ὁ ΑΗΒ , Ζ , λόγος ἄρα ὁ ΑΗΒ πρός ὁ Ζ δίδωμι · ὁ δέ ΑΗΒ πρός ὁ Ε λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ Ε ἄρα πρός ὁ λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 52
Ἐὰν ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγραφῇ , δέδοται τὸ ἀναγραφὲν τῷ μεγέθει . ἀπὸ γὰρ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει τῆς ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγεγράφθω τὸ ΑΓΔΕΒ · λέγω , ὅτι τὸ ΑΓΔΕΒ δέδοται τῷ μεγέθει . ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΖ · δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει . καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο εὐθύγραμμα ἀνα - γέγραπται δεδομένα τῷ εἴδει τὰ ΑΓΔΕΒ , ΑΖ , λόγος ἄρα τοῦ ΑΓΔΕΒ πρὸς τὸ ΑΖ δοθείς · δέδοται δὲ τὸ ΑΖ τῷ μεγέθει · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔΕΒ τῷ μεγέθει .
Lemmas: ἐάν ἀπό δίδωμι εὐθύς ὁ μέγεθος δίδωμι ὁ εἶδος εἶδος ἀναγραφή , δίδωμι ὁ ἀναγράφω ὁ μέγεθος . ἀπό γάρ δίδωμι εὐθύς ὁ μέγεθος ὁ ΑΒ δίδωμι ὁ εἶδος εἶδος ἀναγράφω ὁ ΑΒΓ · λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ δίδωμι ὁ μέγεθος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος ὁ αζʹ · δίδωμι ἄρα ὁ αζʹ ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος . καί ἐπεί ἀπό ὁ αὐτός εὐθύς ὁ ΑΒ δύο εὐθύγραμμος ἀνα - γράφω δίδωμι ὁ εἶδος ὁ ΑΒΓ , αζʹ , λόγος ἄρα ὁ ΑΒΓ πρός ὁ αζʹ δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ αζʹ ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΒΓ ὁ μέγεθος .
euclides-geom.data 53
Ἐἁν δύο εἴδη τῷ εἴδει δεδομένα ᾖ καὶ μία πλευρὰ τοῦ ἑνὸς πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ ἑτέρου λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον . ἔστω δύο εἴδη τῷ εἴδει δεδομένα τὰ ΑΔ , ΕΘ , καὶ λόγος τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ δοθείς · λέγω , ὅτι καὶ τῶν λοιπῶν πελευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγος ἐστὶ δοθείς . ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΖΘ δοθείς , τῆς δὲ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΖΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . τῆς δὲ ΖΘ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῶν λοιπῶν πλευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο εἶδος ὁ εἶδος δίδωμι εἰμί καί εἷς πλευρόν ὁ εἷς πρός εἷς πλευρά ὁ ἕτερος λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ λοιπός πλευρά πρός ὁ λοιπάς πλευρά λόγος ἔχω δίδωμι . ἵστημι δύο εἶδος ὁ εἶδος δίδωμι ὁ ΑΔ , ΕΘ , καί λόγος ὁ ΒΔ πρός ὁ ΖΘ δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ λοιπός πελευροος πρός ὁ λοιπάς πλευρά λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί γάρ λόγος εἰμί ὁ ΔΒ πρός ὁ ΖΘ δίδωμι , ὁ δέ ΔΒ πρός ὁ ΒΑ λόγος εἰμί δίδωμι , καί ὁ ΑΒ ἄρα πρός ὁ ΖΘ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΖΘ πρός ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΑΒ ἄρα πρός ὁ ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ λοιπός πλευρά πρός ὁ λοιπάς λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 54
Ἐὰν δύο εἴδη δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον , καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον . δύο γὰρ εἴδη δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α , Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι καὶ αἱ πλευράὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον . τὸ γὰρ Α τῷ Β ἤτοι ὅμοιόν ἐστιν ἢ οὔ . ἔστω πρότερον ὅμοιον , καὶ εἰλήφθω τῶν ΓΔ , ΕΖ τρίτη ἀνά - λογον ἡ Η . ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Η , οὕτως τὸ Α πρὸς τὸ Β . λόγος δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν δοθείς . καί εἰσιν αἱ ΓΔ , ΕΖ , Η ἀνάλογον · καὶ τῆς ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β · καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον . μὴ ἔστω δὴ ὅμοιον τὸ Α τῷ Β , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ Α ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΘ · δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΘ τῷ εἴδει · δέδοται δὲ καὶ τὸ Β · λόγος ἄρα τοῦ Β πρὸς τὸ ΕΘ δοθείς · τοῦ δὲ Β πρὸς τὸ Α λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ Α ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ὅμοιον τὸ Α τῷ ΕΘ · λόγος ἄρα τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῶν λοιπῶν πλευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο εἶδος δίδωμι ὁ εἶδος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , καί ὁ πλευρά αὐτός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ εἶδος δίδωμι ὁ εἶδος ὁ Α , Β πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι καί ὁ πλευρά αὐτός πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . ὁ γάρ Α ὁ Β ἤτοι ὁμοῖος εἰμί ἢ οὖον . ἵστημι πρότερος ὅμοιος , καί λαμβάνω ὁ ΓΔ , ΕΖ τρίτος ἀνά - λόγος ὁ ὁ . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ὁ , οὕτως ὁ Α πρός ὁ Β . λόγος δέ ὁ Α πρός ὁ Β δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΓΔ πρός ὁ δίδωμι . καί εἰμί ὁ ΓΔ , ΕΖ , ὁ ἀνάλογος · καί ὁ ΓΔ ἄρα πρός ὁ ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὅμοιος ὁ Α ὁ Β · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά πρός ὁ λοιπάς πλευρά λόγος ἔχω δίδωμι . μή ἵστημι δή ὅμοιος ὁ Α ὁ Β , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΕΖ ὁ Α ὅμοιος καί ὁμοίως κεῖμαι ὁ ΕΘ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΕΘ ὁ εἶδος · δίδωμι δέ καί ὁ Β · λόγος ἄρα ὁ Β πρός ὁ ΕΘ δίδωμι · ὁ δέ Β πρός ὁ Α λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ Α ἄρα πρός ὁ ΕΘ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ὅμοιος ὁ Α ὁ ΕΘ · λόγος ἄρα ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ δίδωμι . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ λοιπός πλευρά πρός ὁ λοιπάς πλευρά λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data 55
Ἐὰν χωρίον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον ᾖ , καὶ αἰ πλευραὶ αὐτοῦ τῷ μεγέθει δεδομέναι ἔσονται . ἔστω χωρίον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον τὸ Α · λέγω , ὅτι καὶ αἱ πλευραὶ αὐτοῦ δεδομέναι εἰσὶ τῷ μεγέθει . ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἠ ΒΓ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τῷ Α ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ Δ . δέδοται δὴ τὸ Δ τῷ εἴδει . καὶ ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΒΓ τῷ μεγέθει δεδομένον εἶδος ἀναγέγραπται τὸ Δ , δέδοται ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ μεγέθει · δέδοται δὲ καὶ τὸ Α · λόγος ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸ Δ δοθείς . καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Δ · λόγος ἄρα τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς . δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ . καί ἐστι λόγος τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΗ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν λοι - πῶν δέδοται τῷ μεγέθει .
Lemmas: ἐάν χωρίον ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος δίδωμι εἰμί , καί ὁ πλευρά αὐτός ὁ μέγεθος δίδωμι εἰμί . ἵστημι χωρίον ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος δίδωμι ὁ Α · λέγω , ὅτι καί ὁ πλευρά αὐτός δίδωμι εἰμί ὁ μέγεθος . ἔκκειμαι γάρ ὁ θέσις καί ὁ μέγεθος δίδωμι εὐθύς ὁ ΒΓ , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΒΓ ὁ Α ὁμοῖος τε καί ὁμοίως κεῖμαι ὁ δ . δίδωμι δή ὁ δ ὁ εἶδος . καί ἐπεί ἀπό δίδωμι εὐθύς ὁ ΒΓ ὁ μέγεθος δίδωμι εἶδος ἀναγράφω ὁ δ , δίδωμι ἄρα καί ὁ δ ὁ μέγεθος · δίδωμι δέ καί ὁ Α · λόγος ἄρα ὁ Α πρός ὁ δ δίδωμι . καί εἰμί ὅμοιος ὁ Α ὁ δ · λόγος ἄρα ὁ ΕΖ πρός ὁ ΒΓ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΒΓ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΕΖ . καί εἰμί λόγος ὁ ΖΕ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΕΗ . διά ὁ αὐτός δή καί ἕκαστος ὁ Λόι - ποῦ δίδωμι ὁ μέγεθος .
euclides-geom.data 56
Ἐὰν δύο ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον , ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου πλευράν , οὕτως ἡ λοιπὴ τοῦ δευτέρου πλευρὰ πρὸς ἢν ἡ ἑτέρα τοῦ πρώτου λόγον ἔχει δεδομένον , ὃν τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον . δύο γὰρ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ Α , Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον · λέγω , ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ἣν ἡ ΓΘ λόγον ἔχει δεδομένον , ὄν τὸ Α παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ Β παραλληλόγραμμον . ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΓΘ εὐθεῖα ἡ ΓΚ , καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΛ παραλληλό - γραμμον . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ , ἴση δέ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΚΛ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ . καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΚΛ , ΗΕΖ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΔ τῷ ΗΖ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς , ἴσον δὲ τὸ Β τῷ ΓΛ , λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΘΔ πρὸς τὸ ΓΛ δοθείς . ὡς δὲ τὸ ΘΔ πρὸς τὸ ΓΛ , οὕτως ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΓΚ · καὶ τῆς ΘΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ , ἡ δὲ ΓΘ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δοθέντα , ὄν τὸ Α χωρίον πρὸς τὸ Β , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ἣν ἡ ΘΓ λόγον ἔχει , ὅν τὸ Α χωρίον πρὸς τὸ Β χωρίον .
Lemmas: ἐάν δύο ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι , εἰμί ὡς ὁ ὁ πρῶτος πλευρόν πρός ὁ ὁ δύο πλευρά , οὕτως ὁ λοιπός ὁ δύο πλευρόν πρός εἄν ὁ ἕτερος ὁ πρῶτος λόγος ἔχω δίδωμι , ὅς ὁ παραλληλόγραμμος πρός ὁ παραλληλόγραμμος . δύο γάρ ἰσογώνιος παραλληλόγραμμος ὁ Α , Β πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι · λέγω , ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὅς ὁ ΓΘ λόγος ἔχω δίδωμι , εἰμί ὁ Α παραλληλόγραμμος πρός ὁ Β παραλληλόγραμμος . ἐκβάλλω γάρ ἐπί εὐθύς ὁ ΓΘ εὐθύς ὁ ΓΚ , καί ποιέω ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΓΚ , καί συμπληρόω ὁ ΓΛ παράλληλος - γραμμός . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΓΚ , ἴσος δέ εἰμί ὁ ΓΔ ὁ ΚΛ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΚΛ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΓΚ . καί περί ἴσος γωνία ὁ ὑπό ὁ ΓΚΛ , ΗΕΖ ὁ πλευρά ἀντιπάσχω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΚΔ ὁ ΗΖ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Α πρός ὁ Β δίδωμι , ἴσος δέ ὁ Β ὁ ΓΛ , λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΘΔ πρός ὁ ΓΛ δίδωμι . ὡς δέ ὁ ΘΔ πρός ὁ ΓΛ , οὕτως ὁ ΘΓ πρός ὁ ΓΚ · καί ὁ ΘΓ ἄρα πρός ὁ ΓΚ λόγος εἰμί δίδωμι . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὁ ΓΚ , ὁ δέ ΓΘ πρός ὁ ΓΚ λόγος ἔχω δίδωμι , εἰμί ὁ Α χωρίον πρός ὁ Β , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ὅς ὁ ΘΓ λόγος ἔχω , ὅς ὁ Α χωρίον πρός ὁ Β χωρίον .