euclides-geom.data 70
Ἐὰν δύο παραλληλογράμμων περὶ ἴσας γωνίας ἤ περὶ ἀνίσους μέν , δεδομένας δέ , αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλή - λας λόγον ἔχωσι δεδομένον , καὶ αὐτὰ τὰ παραλληλό - γραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον . δύο γὰρ παραλληλογράμμων τῶν ΑΒ , ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Γ , Ζ ἢ περὶ ἀνίσους μέν , δεδομένας δέ , αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτω - σαν δεδομένον , τουτέστι λόγος ἔστω τῆς μὲν ΑΓ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς , τῆς δὲ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ · λέγω , ὅτι καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΘ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἔστω γὰρ ἰσογώνιον τὸ ΓΔ τῷ ΖΘ , καὶ παρα - βεβλήσθω παρὰ τὴν ΓΒ εὐθεῖαν τῴ ΖΘ παραλληλο - γράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ , καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΝ · καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΒΜ ἐστιν ἐπʼ εὐθείας . καὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΝ τῷ ΖΘ · ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον · τῶν ΒΝ , ΘΖ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΓΝ . λόγος δὲ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΓΝ δοθείς . τῆς δὲ ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΓΜ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἔστι δὲ τὸ ΓΜ τῷ ΖΘ ἔσον · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς . μὴ ἔστω δὴ ἰσογώνιον τὸ ΑΒ τῷ ΖΘ , καὶ συν - εστάτω πρὸς τῇ ΒΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΚ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΚ ἐστι δοθεῖσα . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΚ δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΚΓ ἐστι δοθεῖσα · δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΚ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ δοθείς · τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΓΚ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἔστι δὲ καὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ λόγος δοθείς , καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ · λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς . ἴσον δὲ τὸ ΓΛ τῷ ΓΔ · λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ φῶ δοθείς .
Lemmas: ἐάν δύο παραλληλόγραμμος περί ἴσος γωνία ἤ περί ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , ὁ πλευρά πρός ἀλλά - λᾶας λόγος ἔχω δίδωμι , καί αὐτός ὁ παράλληλος - γράμμα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω δίδωμι . δύο γάρ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒ , ΕΗ περί ἴσος γωνία ὁ πρός ὁ Γ , Ζ ἢ περί ἄνισος μέν , δίδωμι δέ , ὁ πλευρά πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω - σάω δίδωμι , τουτέστι λόγος ἵστημι ὁ μέν ΑΓ πρός ὁ ΕΖ δίδωμι , ὁ δέ ΒΓ πρός ὁ ΖΗ · λέγω , ὅτι καί ὁ ΓΔ πρός ὁ ΖΘ λόγος εἰμί δίδωμι . ἵστημι γάρ ἰσογώνιος ὁ ΓΔ ὁ ΖΘ , καί παρά - βάλλω παρά ὁ ΓΒ εὐθύς ὁ ΖΘ παράλληλος - γραμμός ἴσος παραλληλόγραμμος ὁ ΓΜ , καί κεῖμαι ὥστε ἐπί εὐθύς εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΝ · καί ὁ ΔΒ ἄρα ὁ ΒΜ εἰμί ἐπί εὐθύς . καί ἴσος εἰμί ὁ ΒΝ ὁ ΖΘ · εἰμί δέ καί ἰσογώνιος · ὁ ΒΝ , ΘΖ ἄρα ἀντιπάσχω ὁ πλευρά ὁ περί ὁ ἴσος γωνία · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ , οὕτως ὁ ΖΕ πρός ὁ ΓΝ . λόγος δέ ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΕΖ πρός ὁ ΓΝ δίδωμι . ὁ δέ ΕΖ πρός ὁ ΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΑΓ ἄρα πρός ὁ ΓΝ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΓΔ πρός ὁ ΓΜ λόγος εἰμί δίδωμι . εἰμί δέ ὁ ΓΜ ὁ ΖΘ ἕννυμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι . μή ἵστημι δή ἰσογώνιος ὁ ΑΒ ὁ ΖΘ , καί σῦς - ἵστημι πρός ὁ ΒΓ εὐθύς καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον ὁ Γ ὁ ὑπό ὁ ΕΖΗ γωνία ἴσος γωνία ὁ ὑπό ΒΓΚ , καί συμπληρόω ὁ ΓΛ παραλληλόγραμμος . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΚΓΒ δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΚ εἰμί δίδωμι . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΚ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΚΓ εἰμί δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΓΚ τρίγωνος ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΚ δίδωμι · ὁ δέ ΑΓ πρός ὁ ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΓΚ ἄρα πρός ὁ ΕΖ λόγος εἰμί δίδωμι . εἰμί δέ καί ὁ ΓΒ πρός ὁ ΖΗ λόγος δίδωμι , καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΚΓΒ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΕΖΗ · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΓΛ πρός ὁ ΖΘ δίδωμι . ἴσος δέ ὁ ΓΛ ὁ ΓΔ · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΓΔ πρός ὁ φημί δίδωμι .