euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 14
Ἤτοι γὰρ ἡ Α γωνία ὀρθή ἐστιν ἢ ὀξεῖα ἢ ἀμβλεῖα . ἔστω πρότερον ὀρθή · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ ὑπερέχει τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ . καί ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς . ἔστω δὴ ὀξεῖα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἡ ΓΔ . ἐπεὶ ὀξυγώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΓΔ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΔ . κοινὸν προσκείσθω τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ , ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΔ καὶ ἔτι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑΔ καὶ τῆς ΑΒ · ὥστε τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΑΓ καὶ τῆς ΒΑ . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ γωνία δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΓΑ ἐστι δοθεῖσα · δέδοται ἄρα τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς · ὥστε καὶ συναμφοτέρου τῆς ΔΑΓ πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΔΑΓ καὶ τῆς Α Β πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς , καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΑΓ καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν · καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΑΓ καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς . ἀλλὰ δὴ ἔστω ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ , καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΒΑ ἤχθω ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΓΕ , καὶ κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΑΖ . ἐπεὶ οὖν ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία , καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΓΕ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΕ , τουτέστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΖ , ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ . κοινὸν προσκείσθω τὸ δὶς ὑπὸ τῶν , ΒΑΓ · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , τουτέστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΖ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ , τῆς ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ · κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΖ · τὸ ἄρα ἀπὸ συν - αμφοτέρου τῆς ΒΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΓΖ · ὥστε τὸ ἀπὸ συναμφο - τέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ ὑπερέχει τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΓΖ . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία , καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ ἄρα δοθεῖσά ἐστιν . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΚΓ τρίγωνον τῷ εἴδει . λόγος ἄρα τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς , τουτέστι πρὸς τὴν ΑΖ · ὥστε καὶ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθείς . τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΕΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ , ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΓΕ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ ΓΖ , ΒΑ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρί - γωνον λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΓ , ΒA , ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ · ᾧ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφο - τέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: ἤτοι γάρ ὁ Α γωνία ὀρθός εἰμί ἤ ὀξύς ἤ ἀμβλύς . εἰμί πρότερος ὀρθός · ὁ ἄρα ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὑπερέχω ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος δίδωμι . εἰμί δή ὀξύς ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος ὁ ΓΔ . ἐπεί ὀξυγώνιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , καί κάθετος ἄγω ὁ ΓΔ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΑΓ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΒΓ καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΔάς . κοινός πρόσκειμαι ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΑΓ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ , ὅς εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ , ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΒΓ καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΔάς καί ἔτι ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ , τουτέστι ὁ δίς ὑπό συναμφότεροι ὁ ΓΑΔ καί ὁ ΑΒ · ὥστε ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὁ δίς ὑπό συναμφότεροι ὁ ΔΑΓ καί ὁ ΒΑ . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ γωνία δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΔΓΑ εἰμί δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΔΓ τρίγωνον ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ πρός ὁ ΑΓ δίδωμι · ὥστε καί συναμφότεροι ὁ ΔΑΓ πρός ὁ ΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ὑπό συναμφότεροι ἄρα ὁ ΔΑΓ καί ὁ Α Β πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι , εἰ ὁ δίς ὑπό συναμφότεροι ὁ ΔΑΓ καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΒΑΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία · καί ὁ δίς ὑπό συναμφότεροι ὁ ΔΑΓ καί ὁ ΑΒ ἄρα πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι . ἀλλά δή εἰμί ἀμβλύς ὁ ὑπό ΒΑΓ , καί ἐκβάλλω ὁ ΒΑ ἄγω ἐπί αὐτός κάθετος ὁ ΓΕ , καί κεῖμαι ὁ ΑΕ ἴσος ὁ ΑΖ . ἐπεί οὖν ἀμβλύς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία , καί κάθετος ἄγω ὁ ΓΕ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΑ , ΑΓ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΕ , τουτέστι ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΖ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ . κοινός πρόσκειμαι ὁ δίς ὑπό ὁ , ΒΑΓ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ΒΑΓ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ , τουτέστι ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΖ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό , ὁ ΒΓ μετά ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΓ · κοινός ἀφαιρέω ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑΖ · ὁ ἄρα ἀπό σῦς - ἀμφότερος ὁ ΒΑΓ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ καί ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑ , ΓΖ · ὥστε ὁ ἀπό συναμφέω - τέρας ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὑπερέχω ὁ δίς ὑπό ὁ ΒΑ , ΓΖ . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία , καί ὁ ὑπό ΕΑΓ ἄρα δίδωμι εἰμί . ἀλλά καί ὁ ὑπό ΓΕΑ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΓΕ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΚΓ τρίγωνον ὁ εἶδος . λόγος ἄρα ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΕ δίδωμι , τουτέστι πρός ὁ ΑΖ · ὥστε καί ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΖ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΑΓ πρός ὁ ΓΕ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΕΓ ἄρα πρός ὁ ΓΖ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΕΓ , ΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΓΖ , ΑΒ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΒ , ΓΕ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ δίς ὑπό ΓΖ , ΒΑ πρός ὁ ΑΒΓ τρίς - γωνον λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὁ δίς ὑπό ὁ ΖΓ , ΒA , ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ · ὅς ἄρα μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφέω - τέρας ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι .