euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 15
Διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ , καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία , καί ἐστιν αὐτῆς ἡμίσεια ἐκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΔΓ , ΑΓΔ , δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΔΓ , ΑΓΔ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ δοθείς . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ , κατήχθω αὐτῇ ἴση ἐκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΕΓ , ΑΖΓ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ , κοινὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τοῦ ΔΒΕ τριγώνου οὗσα καὶ τοῦ ΔΒΓ , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΕ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΔ , οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς ΒΓ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΒ , ΒΓ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν EΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ , ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΔ , τουτέστι τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ · ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓE . λέγω οὖν , ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓE πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δοθείς . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ , ὦν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστιν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΔΕ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΕΓ τῇ ὑπὸ ΑΖΓ ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΓE ἐστιν ἴση . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΓ τριγώνῳ · ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΖ , οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς ΓΕ · καὶ ἐναλλὰξ ἄρα , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΔΓ , οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΓΕ . λόγος δὲ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΖ πρὸς τὴν ΓE δοθείς . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΗ . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΓ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΖ δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΑΖ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΗΖ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΗ δοθείς . τῆς δὲ ΖΑ πρὸς τὴν ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΑΗ ἄρα πρὸς τὴν ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΒΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΓΕ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δο - θείς · καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΓΕ , ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ · ᾧ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: διάγω ὁ ΒΑ ἐπί ὁ Δ , καί κεῖμαι ὁ ΓΑ ἴσος ὁ ΑΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΓ . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία , εἰ εἰμί αὐτός ἥμισυς κατεράω ὁ ὑπό ΑΔΓ , ΑΓΔ , δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ , ΑΓΔ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό δΑΓ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΓΔ τρίγωνον ὁ εἶδος · λόγος ἄρα ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΑΔΓ , κατάγω αὐτός ἴσος κατεράω ὁ ὑπό ΔΕΓ , ΑΖΓ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΔΓ ὁ ὑπό ΔΕΓ , κοινός δέ ὁ ὑπό ΑΒΓ ὁ ΔΒΕ τρίγωνον ὕω καί ὁ ΔΒΓ , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΔΕ λοιπός ὁ ὑπό ΒΓΔ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΒΔΕ τρίγωνον ὁ ΔΒΓ τρίγωνον · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρός ὁ ΒΔ , οὕτως ὁ ΔΒ πρός ΒΓ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΕΒ , ΒΓ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ EΓΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΓΒ , ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΒΔ , τουτέστι ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΕΓΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΓΒ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ · ὁ ἄρα ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὑπερέχω ὁ ὑπό ὁ ΒΓE . λέγω οὖν , ὅτι λόγος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΓE πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος δίδωμι . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΔΕ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΔ , ὅς ὁ ὑπό ΑΔΓ ὁ ὑπό ΑΓΔ εἰμί ἴσος , λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΓΔΕ λοιπός ὁ ὑπό ΑΓΒ εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΔΕΓ ὁ ὑπό ΑΖΓ ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΖΑΓ λοιπός ὁ ὑπό ΔΓE εἰμί ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖΓ τρίγωνον ὁ ΔΕΓ τρίγωνον · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΖ , οὕτως ὁ ΔΓ πρός ΓΕ · καί ἐναλλάξ ἄρα , ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ ΔΓ , οὕτως ὁ ἄζω πρός ὁ ΓΕ . λόγος δέ ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ἄζω πρός ὁ ΓE δίδωμι . ἄγω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΓ κάθετος ὁ ΑΗ . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΑΖΓ , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΑΗΖ δίδωμι , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΗΑΖ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΗΖ τρίγωνον ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΖΆ πρός ὁ ΑΗ δίδωμι . ὁ δέ ΖΆ πρός ὁ ΓΕ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΑΗ ἄρα πρός ὁ ΓΕ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΑΗ , ΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΓΕ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΗ , ΒΓ πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΓΕ ἄρα πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δο - τίθημι · καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΓΕ , ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ · ὅς ἄρα μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι .