ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 1
Δυνατὸν δέ ἐστί καὶ οὕτως . ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ , Γ , Δ , καὶ τὸ μὲν ΑΒ τοῦ δοθέντι μεῖζον ἔστω - ἢ ἐν λόγῳ , τὸ δὲ Γ τοῦ Δ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ · λέγω , ὅτι καὶ τὸ ΑΒ τοῦ Δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ Γ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΕ · λοιποῦ ἄρα τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθέίς · τὸ δὲ Γ τοῦ Δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ · καὶ τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ Δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . ἀφῃρήσθω οὖν τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΕΖ λοιποῦ ἄρα τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Δ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΖ τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ .
Lemmas: δυνατός δέ εἰμί καί οὕτως . εἰμί τρεῖς μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ , Δ , καί ὁ μέν ΑΒ ὁ δίδωμι μέγας εἰμί - ἤ ἐν λόγος , ὁ δέ Γ ὁ Δ δίδωμι μέγας ἤ ἐν λόγος · λέγω , ὅτι καί ὁ ΑΒ ὁ Δ δίδωμι μέγας εἰμί ἤ ἐν λόγος . ἐπεί γάρ ὁ ΑΒ ὁ Γ δίδωμι μέγας εἰμί ἤ ἐν λόγος , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ ΑΕ · λοιπός ἄρα ὁ ΕΒ πρός ὁ Γ λόγος εἰμί δοθέις · ὁ δέ Γ ὁ Δ δίδωμι μέγας εἰμί ἤ ἐν λόγος · καί ὁ ΕΒ ἄρα ὁ Δ δίδωμι μέγας εἰμί ἤ ἐν λόγος . ἀφαιρέω οὖν ὁ δίδωμι μέγεθος ὁ ΕΖ λοιπός ἄρα ὁ ΖΒ πρός ὁ Δ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΑΖ ὁ ΑΒ ἄρα ὁ Δ δίδωμι μέγας εἰμί ἤ ἐν λόγος .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 2
Ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς Α πρὸς τὴν Γ δοθείς , ὡς δὲ ἡ Α πρὸς τὴν Γ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α , Γ δοθείς . τῷῦ δὲ ὑπὸ τῶν Α , Γ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β · λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ ὸ τῆς Β δοθείς · ὥστε καὶ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγος ἐστὶ δοθείς .
Lemmas: ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Α πρός ὁ Γ δίδωμι , ὡς δέ ὁ Α πρός ὁ Γ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ὑπό ὁ Α , Γ , λόγος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ὑπό ὁ Α , Γ δίδωμι . ῷ̔ δέ ὑπό ὁ Α , Γ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β · λόγος ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἀπό ὸ ὁ Β δίδωμι · ὥστε καί ὁ Α πρός ὁ Β λόγος εἰμί δίδωμι .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 3
Κέντρῳ γὰρ τῷ Α , διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ περι - φέρεια γεγράφθω ἡ ΓΒΔ · θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒΔ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒ εὐθεῖα · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Β σημεῖον .
Lemmas: κέντρον γάρ ὁ Α , διάστημα δέ ὁ ΑΒ περί - φέρω γράφω ὁ ΓΒΔ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΓΒΔ . θέσις δέ καί ὁ ΑΒ εὐθύς · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Β σημεῖον .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 4
Ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΔΓ εὐθείᾳ παρ - άλληλος ἡ ΕΑΖ , ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Α παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΔΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑΖ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΑΖ τῇ ΒΔΓ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΔΑ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΑΔ γωνία , τῇ ὑπὸ ΑΔΓ γωνίᾳ . δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ ΑΔΓ · δο - θεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΔ . ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει δεδο - μένῃ εὐθείᾳ τῇ ΕΑΖ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδο - μένῳ τῷ Α εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΕΑΔ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ .
Lemmas: ἄγω διά ὁ Α σημεῖον ὁ ΒΔΓ εὔθεια παρά - άλλος ὁ ΕΑΖ , ἐπεί οὖν διά δίδωμι σημεῖον ὁ Α παρά θέσις δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΒΔΓ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΑΖ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΕΑΖ . καί ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΕΑΖ ὁ ΒΔΓ , καί εἰς αὐτός ἐμπίπτω ὁ ΔΑ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΕΑΔ γωνία , ὁ ὑπό ΑΔΓ γωνία . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ΑΔΓ · δο - τίθημι ἄρα καί ὁ ὑπό ΕΑΔ . ἐπεί οὖν πρός θέσις δέω - μένω εὐθύς ὁ ΕΑΖ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον δέω - μένος ὁ Α εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΔ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΕΑΔ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 5
Είλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ δοθὲν σημεῖον τὸ Ε , καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ . ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΕ τῇ ΑΔ , καὶ εἰς αὐτὰς ἐμ - πέπτωκεν ἡ ΒΕΔ , ἱση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ γωνίᾳ · δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΖΕΓ . ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ τῷ Ε εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΖ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΖΕΓ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ . ἐπεὶ οὖν διὰ δεδο - μένου σημείου τοῦ Α παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΖΕ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΔ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ .
Lemmas: λαμβάνω ἐπί ὁ ΒΓ δίδωμι σημεῖον ὁ Ε , καί διά ὁ Ε σημεῖον ὁ ΑΔ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΖ . ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΖΕ ὁ ΑΔ , καί εἰς αὐτός ἐν - πίπτω ὁ ΒΕΔ , ἱσης ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΖΕΔ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ γωνία · δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΖΕΓ . ἐπεί οὖν πρός θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΒΓ καί ὁ πρός αὐτός σημεῖον δίδωμι ὁ Ε εὐθύς γραμμή ἡκτσομαι ὁ ΕΖ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΖΕΓ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ . ἐπεί οὖν διά δέω - μένω σημεῖον ὁ Α παρά θέσις δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΖΕ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΑΔ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 6
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ . ἐπεὶ δοθέν ἐστιν τὸ Α σημεῖον , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ · θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνία . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ γωνία δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΔ δοθεῖσά ἐστιν . ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΕΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ δεδομένῳ σημείῳ τῷ Α εὐθεῖα γραμμὴ ἧκται ἡ ΑΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΕΑΔ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ .
Lemmas: λαμβάνω ἐπί ὁ ΒΓ τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ . ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ Α σημεῖον , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ · θέσις δέ καί ὁ ΒΓ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΕΔ γωνία . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΕ γωνία δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΕΑΔ δίδωμι εἰμί . ἐπεί οὖν πρός θέσις δίδωμι εὐθύς ὁ ΕΑ καί ὁ πρός αὐτός δίδωμι σημεῖον ὁ Α εὐθύς γραμμή ἁο͂κ ὁ ΑΔ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΕΑΔ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΑΔ .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 7
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΔ δοθὲν σημεῖον τὸ Η , καὶ κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΗΔ . κέντρῳ μὲν τῷ Η , δια - στήματι δὲ τῷ ΗΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΒ · θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΔΒ κύκλος · δέδοται γὰρ αὐτοῦ τὸ κέντρον τῇ θέσει καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει . θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Β σημεῖον . ἔστι δὲ καὶ τὸ δοθέν · θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ . θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΗΔ γωνία . καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΒ , ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΗ γωνία δοθεῖσα · ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΖΕΒ γωνία δοθεῖσά ἐστιν . εἰ δὲ οὔ , συμπιπτέτωσαν αἱ ΕΖ , ΗΒ κατὰ τὸ Θ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΔΗ , τουτέστι τῇ ΗΒ , καί ἐστι παράλληλος ἡ ΕΒ τῇ ΖΗ , ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΘΗ · ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΘΗΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΖ ἐστιν ἴση . δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΘΗΖ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΗΖΘ · ὥστε καὶ ἡ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ ΗΖΕ δοθεῖσά ἐστιν · καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΖΕΒ δοθεῖσά ἐστιν .
Lemmas: λαμβάνω ἐπί ὁ ΓΔ δίδωμι σημεῖον ὁ Η , καί κεῖμαι ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΗΔ . κέντρον μέν ὁ Η , δα - στῆμα δέ ὁ ΗΔ κύκλος γράφω ὁ ΔΒ · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΔΒ κύκλος · δίδωμι γάρ αὐτός ὁ κέντρον ὁ θέσις καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μέγεθος . θέσις δέ καί ὁ ΑΒ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ Β σημεῖον . εἰμί δέ καί ὁ δίδωμι · θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΒΗ . θέσις δέ καί ὁ ΓΔ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΗΔ γωνία . καί εἰ μέν παράλληλος εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΗΒ , εἰμί καί ὁ ὑπό ΕΖΗ γωνία δίδωμι · ὥστε καί λοιπός ὁ ὑπό ΖΕΒ γωνία δίδωμι εἰμί . εἰ δέ οὐ , συμπίπτω ὁ ΕΖ , ΗΒ κατά ὁ Θ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΔΉ , τουτέστι ὁ ΗΒ , καί εἰμί παράλληλος ὁ ΕΒ ὁ ΖΗ , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΖΘ ὁ ΘΗν · ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΘΗΖ γωνία ὁ ὑπό ΘΖ εἰμί ἴσος . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΘΗΖ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΗΖΘ · ὥστε καί ὁ ἐφεξῆς ὁ ὑπό ΗΖΕ δίδωμι εἰμί · καί λοιπός ὁ ὑπό ὁ ΖΕΒ δίδωμι εἰμί .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 8
Εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας τὰς ΑΒ , ΓΔ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Ε εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖΗ · λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τῆς ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΕΘ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Κ . ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Ε ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΕΘΗ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕΚ · θέσει δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΓΔ · δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Θ , Κ σημείων . ἔστι δὲ καὶ τὸ Ε δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΕ , ΕΚ · λόγος ἄρα τῆς ΘΕ πρὸς ΕΚ δοθείς · ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ , οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς ΕΖ · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΗΕ πρὸς EΖ δοθείς .
Lemmas: εἰς γάρ παράλληλος ὁ θέσις δίδωμι ὁ ΑΒ , ΓΔ ἀπό δίδωμι σημεῖον ὁ Ε εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΖΗ · λέγω , ὅτι λόγος εἰμί ὁ ΗΕ πρός ὁ ΕΖ δίδωμι . ἄγω γάρ ἀπό ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ΓΔ κάθετος ὁ ΕΘ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Κ . ἐπεί ἀπό δίδωμι σημεῖον ὁ Ε ἐπί θέσις δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΓΔ εὐθύς γραμμή ἄγω ὁ ΕΘ δίδωμι ποιέω γωνία ὁ ὑπό ὁ ΕΘΗ , θέσις ἄρα εἰμί ὁ ΘΕΚ · θέσις δέ καί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ Θ , Κ σημεῖον . εἰμί δέ καί ὁ Ε δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΘΕ , ΕΚ · λόγος ἄρα ὁ ΘΕ πρός ΕΚ δίδωμι · ὡς δέ ὁ ΘΕ πρός ὁ ΕΚ , οὕτως ὁ ΗΕ πρός ΕΖ · λόγος ἄρα καί ὁ ΗΕ πρός EΖ δίδωμι .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 9
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ ἐπʼ εὐθείας , καὶ τῇ ΑΓ κείσθω ἴση , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ συν - αμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ δοθείς , ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῇ ΔΑ , λόγος ἄρα τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ δο - θείς · καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ · ἡμίσεια γάρ ἐστι τῆς ὑπὸ BΑΓ · δέδοται ἄρα τὸ ΒΔΓ τρίγωνον τῷ εἴδει · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ γωνία . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ δοθεῖσα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: ἐκβάλλω ὁ ΒΑ ἐπί εὐθεῖα , καί ὁ ΑΓ κεῖμαι ἴσος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΓ καί ἐπεί λόγος εἰμί σῦς - ἀμφότερος ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΓΒ δίδωμι , ἴσος δέ ὁ ΓΑ ὁ ΔΑ , λόγος ἄρα ὁ ΒΔ πρός ὁ ΒΓ δο - τίθημι · καί εἰμί δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΑΔΓ · ἥμισυς γάρ εἰμί ὁ ὑπό ΓΑ · δίδωμι ἄρα ὁ ΒΔΓ τρίγωνον ὁ εἶδος · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ γωνία . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ δίδωμι · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ εἶδος .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 10
Κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΔΑ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ . ἐπεὶ λόγος ἐστὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ δοθείς , ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῇ ΑΔ , λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς . καί ἐστι δο - θεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ γωνία · δέδο - ται ἄρα τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ εῖδει · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ γωνία . καί ἐστιν αὐτῆς διπλῆ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ · ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δοθεῖσά ἐστιν · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: κεῖμαι ὁ ΓΑ ἴσος ὁ ΔΑ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΓ . ἐπεί λόγος εἰμί συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΓΒ δίδωμι , ἴσος δέ ὁ ΓΑ ὁ ΑΔ , λόγος ἄρα καί ὁ ΔΒ πρός ὁ ΒΓ δίδωμι . καί εἰμί δο - τίθημι ὁ ὑπό ὁ ΔΒΓ γωνία · δίδωμι - ται ἄρα ὁ ΔΒΓ τρίγωνον ὁ εῖδος · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΔΓ γωνία . καί εἰμί αὐτός διπλόος ὁ ὑπό ΒΑΓ · ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ εἶδος .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 11
Ἐκκείσθω δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΗΘ . τὸ δὴ Α τῷ Β ἤτοι ὅμοιόν ἐστιν ἢ οὔ . ἔστω πρότερον ὃμοιον , καὶ πεποιήσθω , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΚΛ , καὶ ἀνα - γεγράφθω ἀπὸ τῶν ΗΘ , ΚΛ τοῖς Α , Β ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ Μ , Ν · δέδοται ἄρα ἑκάτερον τῶν Μ , Ν τῷ εἴδει . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΚΛ , καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῶν ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ , ΚΛ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ Α , Β , Μ , Ν , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β , οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν . λόγος δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τοῦ Μ πρὸς τὸ Ν δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ Μ · ἀπὸ γὰρ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει ἀναγέγραπται δεδομένον εἶδος · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ν . ἀναγεγράφθω δὴ ἀπὸ τῆς ΚΛ τετράγωνον τὸ Ξ · δέδοται ἄρα τὸ Ξ τῷ εἴδει · λόγος ἄρα τοῦ Ν πρὸς τὸ Ξ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ Ν · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ξ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΗΘ δοθεῖσα · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΗΘ πρὸς τὴν ΚΛ δοθείς . καί ἐστιν ὡς ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΚΛ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς . καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β · καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ , πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον . · μὴ ἔστω δὴ ὅμοιον · ἀκολούθως δὴ τῇ προτέρᾳ ἀπο - δείξει τοῦ πρώτου δείκνυται .
Lemmas: ἔκκειμαι δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΗΘ . ὁ δή Α ὁ Β ἤτοι ὅμοιος εἰμί ἤ οὐ . εἰμί πρότερος ὅμοιος , καί ποιέω , ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ὁ ΚΛ , καί ἀνα - γράφω ἀπό ὁ ΗΘ , ΚΛ ὁ Α , Β ὅμοιος καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ Μ , Ν · δίδωμι ἄρα ἑκάτερος ὁ Μ , Ν ὁ εἶδος . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΗΘ πρός ὁ ΚΛ , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ΓΔ , ΕΖ , ΗΘ , ΚΛ ὅμοιος καί ὅμοιος κεῖμαι εὐθύγραμμος ὁ Α , Β , Μ , Ν , εἰμί ἄρα ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ Μ πρός ὁ Ν . λόγος δέ ὁ Α πρός ὁ Β δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ Μ πρός ὁ Ν δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ Μ · ἀπό γάρ δίδωμι εὐθεῖα ὁ μέγεθος ἀναγράφω δίδωμι εἶδος · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ν . ἀναγράφω δή ἀπό ὁ ΚΛ τετράγωνος ὁ Ξ · δίδωμι ἄρα ὁ Ξ ὁ εἶδος · λόγος ἄρα ὁ Ν πρός ὁ Ξ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ Ν · δίδωμι ἄρα καί ὁ Ξ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΚΛ . εἰμί δέ καί ὁ ΗΘ δίδωμι · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ πρός ὁ ΚΛ δίδωμι . καί εἰμί ὡς ὁ ΗΘ πρός ὁ ΚΛ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ λόγος ἄρα καί ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ δίδωμι . καί εἰμί ὅμοιος ὁ Α ὁ Β · καί ὁ λοιπός ἄρα πλευρά , πρός ὁ λοιπός πλευρά λόγος ἔχω δίδωμι . · μή εἰμί δή ὅμοιος · ἀκόλουθος δή ὁ πρότερος ἀπος - δεῖξις ὁ πρῶτος δείκνυμι .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 12
Ἔστω χωρίον τὸ ΚΛΜΝΞ δεδομένον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει · λέγω , ὅτι καὶ αἱ πλευραὶ αὐτοῦ δεδομέναι εἰσὶ τῷ μεγέθει . ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΜΝ τετράγωνον τὸ ΜΟ · δέδοται ἄρα τῷ εἴδει . ἀλλὰ καὶ τὸ ΛΝ · λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΛΝ πρὸς τὸ ΜΟ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ΛΝ τῷ μεγέθει · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΜΟ τῷ μεγέθει . καί ἐστι τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῷ μεγέθει . διά τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΜΛ , ΛΚ , KΞ , ΞΝ δοθεῖσά ἐστι τῷ μεγέθει .
Lemmas: εἰμί χωρίον ὁ ΚΛΜΝΞ δίδωμι ὁ εἶδος καί ὁ μέγεθος · λέγω , ὅτι καί ὁ πλευρά αὐτός δίδωμι εἰμί ὁ μέγεθος . ἀναγράφω γάρ ἀπό ὁ ΜΝ τετράγωνος ὁ ΜΟ · δίδωμι ἄρα ὁ εἶδος . ἀλλά καί ὁ ΛΝ · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΛΝ πρός ὁ ΜΟ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΛΝ ὁ μέγεθος · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΜΟ ὁ μέγεθος . καί εἰμί τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΜΝ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΜΝ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΜΝ ὁ μέγεθος . διά ὁ αὐτός δή καί ἕκαστος ὁ ΜΛ , ΛΚ , KΞ , ΞΝ δίδωμι εἰμί ὁ μέγεθος .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 13
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΕΓ κάθετος ἡ ΑΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ . καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν . ΒΑΓ γωνία καί ἐστιν αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ , ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ δοθεῖσα , δέδοται ἄρα τὸ ΑΖΓ τρί - γωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΖ πρὸς τὴν ΖΓ δοθείς . τῆς δὲ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς · διπλασίων γάρ ἐστιν αὐτῆς · καὶ τῆς ΕΓ ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ἐστὶ δοθείς · ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΖ , ΓΔ πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς · διπλάσιον γάρ ἐστιν αὐτοῦ · καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν EΓΔ ἄρα πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς . ἴσον δὲ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ · ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΑΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΓ , ΒΔ · καὶ . τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ , ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ ᾧ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ , ΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον .
Lemmas: κατασκευάζω γάρ ὁ αὐτός ὁ πρότερος , καί ἄγω ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΕΓ κάθετος ὁ ΑΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ . ΒΑΓ γωνία καί εἰμί αὐτός ἥμισυς ὁ ὑπό ὁ ΑΓΖ , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΖΓ δίδωμι , δίδωμι ἄρα ὁ ΑΖΓ τρίς - γωνον ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΑΖ πρός ὁ ΖΓ δίδωμι . ὁ δέ ΖΓ πρός ὁ ΓΕ λόγος εἰμί δίδωμι · διπλασίων γάρ εἰμί αὐτός · καί ὁ ΕΓ ἄρα πρός ὁ ΑΖ λόγος εἰμί δίδωμι · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ ΕΓΔ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΖ , ΓΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΖ , ΓΔ πρός ὁ ΑΓΔ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι · διπλάσιος γάρ εἰμί αὐτός · καί ὁ ὑπό ὁ EΓΔ ἄρα πρός ὁ ΑΓΔ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι . ἴσος δέ ὁ ΑΓΔ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ τρίγωνον · ἐπί τε γάρ ὁ αὐτός βάσις εἰμί ὁ ΑΓ καί ἐν ὁ αὐτός παράλληλος ὁ ΑΓ , ΒΔ · καί . ὁ ὑπό ὁ ΕΓΔ ἄρα πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΓΔ , ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὅς ἄρα μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑ , ΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΒ , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ τρίγωνος λόγος ἔχω δίδωμι .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 16
Ἐκκείσθω δεδομένη εὐθεῖα ἡ Κ . καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Κ πρὸς τὴν Λ . λόγος δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς Κ πρὸς τὴν Λ δοθείς . δοθεῖσα δὲ ἡ Κ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Λ . πάλιν ἐπεὶ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Κ πρὸς τὴν Μ · λόγος ἄρα καὶ τῆς Κ πρὸς τὴν Μ δοθείς · δοθεῖσα δὲ ἡ Κ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Μ . ἔστι δὲ καὶ ἡ Λ δοθεῖσα · λόγος ἄρα τῆς Λ πρὸς τὴν Μ δοθείς . καὶ ἐπεὶ ἰσο - γώνιόν ἐστι τὸ Α τῷ Β , τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν , τουτέστιν ἐξ οὗ ὅν ἔχει λόγον ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ , καὶ ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΗΕ . ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ Κ πρὸς τὴν Λ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς τὴν Μ καὶ ἡ M πρὸς τὴν Λ · ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ καὶ ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΗΕ ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς τὴν Μ καὶ ἡ M πρὸς τὴν Λ , ὧν ὁ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς Κ πρὸς τὴν Μ λόγῳ · λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς Μ πρὸς τὴν Λ . τῆς δὲ Μ πρὸς τὴν Λ λόγος δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς .
Lemmas: ἔκκειμαι δίδωμι εὐθεῖα ὁ Κ . καί ἐπεί λόγος εἰμί ὁ Α πρός ὁ Β δίδωμι , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ Κ πρός ὁ Λ . λόγος δέ ὁ Α πρός ὁ Β δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ Κ πρός ὁ Λ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ Κ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Λ . πάλιν ἐπεί λόγος εἰμί δίδωμι ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , ὁ αὐτός αὐτός γίγνομαι ὁ ὁ Κ πρός ὁ Μ · λόγος ἄρα καί ὁ Κ πρός ὁ Μ δίδωμι · δίδωμι δέ ὁ Κ · δίδωμι ἄρα καί ὁ Μ . εἰμί δέ καί ὁ Λ δίδωμι · λόγος ἄρα ὁ Λ πρός ὁ Μ δίδωμι . καί ἐπεί ἰος - γώνιος εἰμί ὁ Α ὁ Β , ὁ Α ἄρα πρός ὁ Β λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ πλευρά , τουτέστι ἐκ ὅς ὅς ἔχω λόγος ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ , καί ὁ ΘΓ πρός ὁ ΗΕ . ἀλλά μήν καί ὁ Κ πρός ὁ Λ λόγος ἔχω ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ Κ πρός ὁ Μ καί ὁ M πρός ὁ Λ · ὁ ἄρα σύγκειμαι λόγος ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ καί ὁ ΘΓ πρός ὁ ΗΕ ὁ αὐτός εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ Κ πρός ὁ Μ καί ὁ M πρός ὁ Λ , ὅς ὁ ὁ ΓΔ πρός ὁ ΕΖ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Κ πρός ὁ Μ λόγος · λοιπός ἄρα ὁ ὁ ΘΓ πρός ὁ ΗΕ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Μ πρός ὁ Λ . ὁ δέ Μ πρός ὁ Λ λόγος δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΘΓ πρός ὁ ΕΗ δίδωμι .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 17
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α , λόγος δὲ ἔστω τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ δοθείς · λέγω , ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει . ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία , ᾧ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ ΒΓ , ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρί - γωνον λόγον ἔχει δεδομένον . ᾧ δή ἐστι μεῖζον τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ , ἔστω τὸ Δ χωρίον · λόγος ἄρα τοῦ Δ χωρίου πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δοθείς . τοῦ δὲ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν · καὶ τοῦ Δ ἄρα χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τοῦ Δ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ συν - θέντι λόγος ἄρα τοῦ Δ χωρίου μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐστι δοθείς . ἀλλὰ τὸ Δ χωρίον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ ἐστιν · λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθείς · ὥστε καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . καί ἐστι δο - θεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία · δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει .
Lemmas: εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ δίδωμι ἔχω γωνία ὁ πρός ὁ Α , λόγος δέ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΒ δίδωμι · λέγω , ὅτι δίδωμι ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ εἶδος . ἐπεί γάρ δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία , ὅς ἄρα μέγας εἰμί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ΒΓ , ἐκεῖνος ὁ χωρίον πρός ὁ ΒΑΓ τρίς - γωνον λόγος ἔχω δίδωμι . ὅς δή εἰμί μέγας ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ , εἰμί ὁ Δ χωρίον · λόγος ἄρα ὁ Δ χωρίον πρός ὁ ΑΒΓ τρίγωνος δίδωμι . ὁ δέ ΑΒΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι διά ὁ δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία · καί ὁ Δ ἄρα χωρίον πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ λόγος εἰμί δίδωμι · ὁ δέ ὑπό ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ Δ ἄρα πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί σῦς - τίθημι λόγος ἄρα ὁ Δ χωρίον μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ εἰμί δίδωμι . ἀλλά ὁ Δ χωρίον μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΓ ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ εἰμί · λόγος ἄρα ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ δίδωμι · ὥστε καί συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι . καί εἰμί δο - τίθημι ὁ ὑπό ὁ ΒΑΓ γωνία · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ εἶδος .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 18.2
Πῶς δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ὀρθογώνιον ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας ; ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου κάθετος ἡ ΒΔ , καὶ ἐκ - βεβλήσθω ἡ ΓΔ ἐπὶ τὸ Θ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΒΔΘΑ ὀρθογώνιον · ἴσον ἄρα ἐστὶ τῷ ΑΓ . καὶ ἐκ - βεβλήσθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΒΖ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΖ ὀρθογώνιον . ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὑπόκειται γάρ · δο - θεῖσα δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ · ὀρθὴ γάρ · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΓ δοθεῖσά ἐστιν . καὶ ὀρθὴ ἡ Δ · λοιπὴ ἄρα , ἡ Γ δοθεῖσά ἐστιν · δοθὲν ἄρα τὸ ΒΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς . ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΒΖ · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΖ δο - θείς · ὥστε καὶ τοῦ ΒΘ πρὸς ΖΑ λόγος δοθείς . ἴσον δὲ τὸ ΒΘ τῷ ΑΓ · λόγος ἄρα τοῦ ΑΓ πρὸς ΑΖ δοθείς . καὶ δοθὲν τὸ ΑΓ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΒΖ , τουτέστι τὸ ὑπὸ AΒΓ .
Lemmas: πῶς δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ ὀρθογώνιον ἀμβλύς ὑπόκειμαι ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία ; ἄγω ἀπό ὁ Β σημεῖον κάθετος ὁ ΒΔ , καί ἐκ - βάλλω ὁ ΓΔ ἐπί ὁ Θ , καί συμπληρόω ὁ ΒΔΘΑ ὀρθογώνιον · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ . καί ἐκ - βάλλω ὁ ΔΒ ἐπί ὁ Ζ , καί κεῖμαι ὁ ΒΓ ἴσος ὁ ΒΖ , καί συμπληρόω ὁ ΑΖ ὀρθογώνιον . ἐπεί οὖν δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΓ ὑπόκειμαι γάρ · δο - τίθημι δέ καί ὁ ὑπό ΑΒΔ · ὀρθός γάρ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΔΒΓ δίδωμι εἰμί . καί ὀρθός ὁ Δ · λοιπός ἄρα , ὁ Γ δίδωμι εἰμί · δίδωμι ἄρα ὁ ΒΓΔ τρίγωνον ὁ εἶδος · λόγος ἄρα ὁ ΔΒ πρός ΒΓ δίδωμι . ἴσος δέ ὁ ΒΓ ὁ ΒΖ · λόγος ἄρα καί ὁ ΔΒ πρός ΒΖ δο - τίθημι · ὥστε καί ὁ ΒΘ πρός ΖΆ λόγος δίδωμι . ἴσος δέ ὁ ΒΘ ὁ ΑΓ · λόγος ἄρα ὁ ΑΓ πρός ΑΖ δίδωμι . καί δίδωμι ὁ ΑΓ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΑΖ , τουτέστι ὁ ὑπό ΑΒΖ , τουτέστι ὁ ὑπό AΒΓ .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 19
Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε , καὶ ἐπε - ζεύχθω ἡ ΔΕ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Α . καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Ε , Δ , δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ · θέσει δὲ καὶ ὁ ΑΒΖ κύκλος · δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτε - ρον τῶν Α , Ζ . ἔστι δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΔ , ΔΖ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΖ · καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ · δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΔΓ .
Lemmas: λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ε , καί ἐπε - ζεύγνυμι ὁ ΔΕ καί διάγω ἐπί ὁ Α . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ Ε , Δ , δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ΕΔ · θέσις δέ καί ὁ ΑΒΖ κύκλος · δίδωμι ἄρα εἰμί Εκάτος - ἀντίμοιρος ὁ Α , Ζ . εἰμί δέ καί ὁ Δ δίδωμι · δίδωμι ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΔ , ΔΖ · δίδωμι ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΔΖ · καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΔΓ .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 20
Διήχθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ε , καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΓΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ , ΒΔ . ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἑκατέρας τῶν ὑπὸ τῶν ΑΓΔ , ΓΒΕ , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ , τουτέστι τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ · ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ τῶν ΖΒE ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ ἴση · λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΕΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ ἐστιν ἴση · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΑΒ τρίγωνον τῷ ΓΔΒ τριγώνῳ · ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ · ἡ δὲ ΕΑ συναμφότερός ἐστιν ἡ ΑΓΒ · ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓΒ πρὸς τὴν ΑΒ , οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ · καὶ ἐναλλὰξ ἄρα , ὡς συν - αμφότερός ἐστιν ἡ ΑΓΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἐστὶν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΒ · λόγος δέ ἐστι τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΔΒ δοθείς · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν δοθεῖσα · λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΓΒ πρὸς τὴν ΓΔ δοθείς . καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΕΑΒ τρίγωνον τῷ ΖΒΔ τριγώνῳ , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ , οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΖ · ἡ δὲ ΕΑ συναμφότερός ἐστιν ἡ ΑΓΒ · ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓΒ πρὸς τὴν ΑΒ , οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓΒ καὶ τῆς ΖΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ · δοθὲν δέ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ · δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν · δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓΒ καὶ τῆς ΖΔ .
Lemmas: διάγω ὁ ΑΓ ἐπί ὁ Ε , καί κεῖμαι ὁ ΒΓ ἴσος ὁ ΓΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ , ΒΔ . ἐπεί διπλόος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓΒ ἑκάτερος ὁ ὑπό ὁ ΑΓΔ , ΓΒΕ , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΓΒΕ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΓΔ , τουτέστι ὁ ὑπό ὁ ΑΒΔ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ · ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΔΒΓ ὅλος ὁ ὑπό ὁ ΖΒE εἰμί ἴσος . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΓΑΒ ὁ ὑπό ὁ ΓΔΒ ἴσος · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΓΕΒ λοιπός ὁ ὑπό ὁ ΔΓΒ εἰμί ἴσος · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΕΑΒ τρίγωνον ὁ ΓΔΒ τρίγωνον · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΔΒ · ὁ δέ ΕΑ συναμφότεροι εἰμί ὁ ΑΓΒ · ὡς ἄρα συναμφότεροι ὁ ΑΓΒ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΓΔ πρός ὁ ΒΔ · καί ἐναλλάξ ἄρα , ὡς σῦς - ἀμφότερος εἰμί ὁ ΑΓΒ πρός ὁ ΓΔ , οὕτως εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΒ · λόγος δέ εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΔΒ δίδωμι · ἑκάτερος γάρ αὐτός δίδωμι · λόγος ἄρα εἰμί καί συναμφότεροι ὁ ΑΓΒ πρός ὁ ΓΔ δίδωμι . καί ἐπεί ἰσογώνιος εἰμί ὁ ΕΑΒ τρίγωνον ὁ ΖΒΔ τρίγωνον , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΕΑ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΖ · ὁ δέ ΕΑ συναμφότεροι εἰμί ὁ ΑΓΒ · ὡς ἄρα συναμφότεροι ὁ ΑΓΒ πρός ὁ ΑΒ , οὕτως ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΖ · ὁ ἄρα ὑπό συναμφότεροι ὁ ΑΓΒ καί ὁ ΖΔ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ · δίδωμι δέ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ · δίδωμι γάρ ἑκάτερος αὐτός · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό συναμφότεροι ὁ ΑΓΒ καί ὁ ΖΔ .
euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 21
Διήχθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΓΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ , ΔΓ , ΔΖ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΑ τῇ ΓΖ , ἡ δὲ ΔΒ τῇ ΔΓ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΒΔ δυσὶ ταῖς ΖΓ , ΓΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ · καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΓΖ ἐστιν ἴση , ἐπειδήπερ ἐν κύκλῳ ἐστἱ τὸ ΑΒΔΓ τετράπλευρον · βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση , καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΓΔΖ τρι - γώνῳ ἐστὶν ἴσον , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑπο - τείνουσιν · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΓ · δοθεῖσα δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΓ γωνία . ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΖ γωνία δοθεῖσα · δέδοται ἄρα τὸ ΑΔΖ τρίγωνον τῷ εἴδει · λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς · ἡ δὲ ΑΖ συναμφότερός ἐστιν ἡ ΒΑΓ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΖ τῇ ΒΑ · λόγος ἄρα ἐστὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς . καὶ ὁμοίως τῷ πρότερον δείξομεν , ὅτι τὸ ὑπὸ συν - αμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ δοθέν ἐστιν .
Lemmas: διάγω ὁ ΑΓ ἐπί ὁ Ζ , καί κεῖμαι ὁ ΒΑ ἴσος ὁ ΓΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ , ΔΓ , ΔΖ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ μέν ΒΑ ὁ ΓΖ , ὁ δέ ΔΒ ὁ ΔΓ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΒΔ δύο ὁ ΖΓ , ΓΔ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος · καί γωνία ὁ ὑπό ΑΕΔ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΔΓΖ εἰμί ἴσος , ἐπειδή ἐν κύκλος εἰμί ὁ ΑΒΔΓ τετράπλευρος · βάσις ἄρα ὁ ΑΔ βάσις ὁ ΔΖ εἰμί ἴσος , καί ὁ ΑΒΔ τρίγωνον ὁ ΓΔΖ τρι - γῶνος εἰμί ἴσος , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑπο - τείνω · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΔάς γωνία ὁ ὑπό ὁ ΔΖΓ · δίδωμι δέ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΒΑΔάς γωνία · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ὁ ΔΖΓ γωνία . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΔΑΖ γωνία δίδωμι · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΔΖ τρίγωνον ὁ εἶδος · λόγος ἄρα εἰμί ὁ ΖΆ πρός ὁ ΑΔ δίδωμι · ὁ δέ ΑΖ συναμφότεροι εἰμί ὁ ΒΑΓ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΓΖ ὁ ΒΑ · λόγος ἄρα εἰμί συναμφότεροι ὁ ΒΑΓ πρός ὁ ΑΔ δίδωμι . καί ὅμοιος ὁ πρότερος δείκνυμι , ὅτι ὁ ὑπό σῦς - ἀμφότερος ὁ ΒΑΓ καί ὁ ΕΔ δίδωμι εἰμί .