euclides-geom.data-demonstrationes-alterae 18.1
Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο - μένῃ γωνίᾳ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος δοθέντι μεῖζον ᾖ , καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα . δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , ΒΓ δοθὲν περιεχέτωσαν χωρίον τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ · λέγω , ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΒ , ΒΓ . ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν , ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ · λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν BA , ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ . καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ δοθέν , λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ δοθείς . καί ἐστιν , ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ , οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς ΒΓ · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ δοθείς . τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΔ · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθείς · καὶ τοῦ τετράκις ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος δοθείς . ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ , ΑΔ ἐστιν · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ , ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ , ΑΔ πρὸς ΔΒ δοθείς . καὶ συνθέντι συναμφοτέρου τῆς ΒΑ , ΑΔ μετὰ τῆς ΔΒ , τουτέστι δύο τῶν ΑΒ πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς . τῆς δὲ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς · καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ λόγος δοθείς . καὶ ἐπεὶ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς ΒΔ δοθείς , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ , λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ δοθείς . δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΔ · οὕτως γὰρ δοθὲν ἀφῄρηται · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ · δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΒ . καί ἐστι λόγος τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ δοθείς · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΓ .
Lemmas: ἐάν δύο εὐθεῖα δίδωμι χωρίον περιέχω ἐν δέω - μένω γωνία , ὁ δέ ἀπό ὁ μέγας ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς δίδωμι μέγας εἰμί , καί ἑκάτερος αὐτός εἰμί δίδωμι . δύο γάρ εὐθεῖα ὁ ΑΒ , ΒΓ δίδωμι περιέχω χωρίον ὁ ΑΓ ἐν δίδωμι γωνία ὁ ὑπό ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΒ δίδωμι μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ · λέγω , ὅτι δίδωμι εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ὁ ἀπό ὁ ΒΓ δίδωμι μέγας εἰμί , ἀφαιρέω ὁ δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ · λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ὁ BA , ΑΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΓ . καί ἐπεί δίδωμι εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ δίδωμι , λόγος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ δίδωμι . καί εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΓ , οὕτως ὁ ΔΒ πρός ΒΓ · λόγος ἄρα καί ὁ ΔΒ πρός ΒΓ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΔΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΓ δίδωμι . ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΒ ἴσος ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΔ · λόγος ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΒ δίδωμι · καί ὁ τετράκις ἄρα ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΔ μετά ὁ ἀπό ὁ ΔΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΔ λόγος δίδωμι . ἀλλά ὁ τετράκις ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΔ μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΔ ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑ , ΑΔ εἰμί · λόγος ἄρα καί ὁ ἀπό συναμφότεροι ὁ ΒΑ , ΑΔ πρός ὁ ἀπό ὁ ΔΒ δίδωμι · λόγος ἄρα καί συναμφότεροι ὁ ΒΑ , ΑΔ πρός ΔΒ δίδωμι . καί συντίθημι συναμφότεροι ὁ ΒΑ , ΑΔ μετά ὁ ΔΒ , τουτέστι δύο ὁ ΑΒ πρός ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΑΒ ἄρα πρός ΒΔ λόγος εἰμί δίδωμι . ὁ δέ ΔΒ πρός ὁ ΒΓ λόγος εἰμί δίδωμι · καί ὁ ΑΒ ἄρα πρός ΒΓ λόγος δίδωμι . καί ἐπεί λόγος ὁ ΑΒ πρός ΒΔ δίδωμι , καί εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ΒΔ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ , λόγος ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΒΔ · οὕτως γάρ δίδωμι ἀφαιρέω · δίδωμι ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · δίδωμι ἄρα ὁ ΑΒ . καί εἰμί λόγος ὁ ΑΒ πρός ΒΓ δίδωμι · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΒΓ .