ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis pr
Όψιν εἶναι εὐθεῖαν , ἧς τὰ μέσα πάντα τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ . Τὰ ὁρώμενα ἅπαντα καθʼ εὐθείας ὁρᾶσθαι . Ἐνόπτρου τεθέντος ἐν ἐπιπέδῳ καὶ θεωρουμένου τινὸς ὕψους , ὃ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ἐπιπέδῳ , γίγνονται ἀνάλογον , ὡς ἡ μεταξὺ τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ θεωροῦντος εὐθεῖα πρὸς τὴν μεταξὺ τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς ὕψους , οὕτω τὸ τοῦ θεωροῦντος ὕψος πρὸς τὸ πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ὕψος . Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τοῦ τόπου καταληφθέντος , ἐφʼ ὃν ἡ κάθετος πίπτει ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου , οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον . Καὶ ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις καταληφθέντος τοῦ τόπου , διʼ οὗ ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον ἄγεται τῆς σφαίρας , οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον . τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἐν τοῖς κοίλοις συμβαίνει . Ἐὰν εἰς ἀγγεῖον ἐμβληθῇ τι καὶ λάβῃ ἀπόστημα ὡς μηκέτι ὁρᾶσθαι , τοῦ αὐτοῦ ἀποστήματος ὄντος ἐὰν ὕδωρ ἐγχυθῇ , ὀφθήσεται τὸ ἐμβληθέν .
Lemmas: ὄψις εἰμί εὐθύς , ὅς ὁ μέσος πᾶς ὁ ἄκρος ἐπιπροσθέω . ὁ ὁράω ἅπας κατά εὐθεῖα ὁράω . ἔνοπτρον τίθημι ἐν ἐπίπεδος καί θεωρέω τις ὕψος , ὅς πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἐπίπεδος , γίγνομαι ἀνάλογος , ὡς ὁ μεταξύ ὁ ἔνοπτρον καί ὁ θεωρέω εὐθύς πρός ὁ μεταξύ ὁ ἔνοπτρον καί ὁ πρός ὀρθός ὕψος , οὕτως ὁ ὁ θεωρέω ὕψος πρός ὁ πρός ὀρθός ὁ ἐπίπεδος ὕψος . ἐν ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον ὁ τόπος καταλαμβάνω , ἐπί ὅς ὁ κάθετος πίπτω ἀπό ὁ ὁράω , οὐκέτι ὁράω ὁ ὁράω . καί ἐν ὁ κυρτός ἔνοπτρον καταλαμβάνω ὁ τόπος , διά ὅς ἀπό ὁ ὁράω εἰς ὁ κέντρον ἄγω ὁ σφαῖρα , οὐκέτι ὁράω ὁ ὁράω . ὁ δέ αὐτός καί ἐν ὁ κοῖλος συμβαίνω . ἐάν εἰς ἀγγεῖον ἐμβάλλω τις καί λαμβάνω ἀπόστημα ὡς μηκέτι ὁράω , ὁ αὐτός ἀπόστημα εἰμί ἐάν ὕδωρ ἐγχύνω , ὁράω ὁ ἐμβάλλω .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 1
Ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται . ἔστω ὄμμα τὸ Β , ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ . ὄψις δʼ ἀπὸ τοῦ ὄμματος φερέσθω ἡ ΒΚ καὶ ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ ∠ . φημὶ δὴ τὴν Ε γωνίαν ἴσην εἶναι τῇ Ζ . ἤχθωσαν κάθετοι ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον αἱ ΒΓ , ∠Α . οὐκοῦν ἐστιν , ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ , ἡ ∠Α πρὸς ΑΚ · τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς ὅροις ὑπέκειτο · ὅμοιον ἄρα τὸ ΒΓΚ τρί γωνον τῷ ∠ΑΚ τριγώνῳ . ἴση ἄρα ἡ Ε γωνία τῇ γωνίᾳ · τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἰσογώνιά ἐστιν . ἔστω δὴ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΚΓ , ὄψις δὲ ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ ∠ . λέγω , ὅτι ἴδη ἐστὶν ἡ Ε , Θ γωνία τῇ Ζ , Λ . παρέθηκα ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΝΜ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ε γωνία τῇ Ζ . ἀλλὰ καὶ ἡ Θ τῇ Λ · ἐφάπτεται γὰρ ἡ ΜΝ . ὅλη ἄρα ἡ Ε , Θ ὅλῃ τῇ Λ , Ζ ἐστιν ἴση . ἔστω δὴ πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΓ , ὄψις δὲ ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ ∠ . λέγω , ὅτι ἡ Ε γωνία ἴση ἐστὶ τῇ Ζ . παρατεθέντος γὰρ ἐπιπέδου ἐνόπτρου ἴση γίγνεται ἡ Θ , Ε γωνία τῇ Ζ , Λ · ἴση δὲ καὶ ἡ Θ τῇ Λ · λοιπὴ ἄρα ἡ Ε τῇ Ζ ἴση ἔσται .
Lemmas: ἀπό ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον καί κυρτός καί κοῖλος ὁ ὄψις ἐν ἴσος γωνία ἀνακλάω . εἰμί ὄμμα ὁ Β , ἔνοπτρον ἐπίπεδος ὁ ΑΓ . ὄψις δέ ἀπό ὁ ὄμμα φέρω ὁ ΒΚ καί ἀνακλάω ἐπί ὁ ∠ . φημί δή ὁ Ε γωνία ἴσος εἰμί ὁ Ζ . ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ἔνοπτρον ὁ ΒΓ , ∠Α . οὐκοῦν εἰμί , ὡς ὁ ΒΓ πρός ΓΚ , ὁ ∠Α πρός ΑΚ · οὗτος γάρ ἐν ὁ ὅρος ὑπόκειμαι · ὅμοιος ἄρα ὁ ΒΓΚ τρίς γωνον ὁ ∠ΑΚ τρίγωνον . ἴσος ἄρα ὁ Ε γωνία ὁ γωνία · ὁ γάρ ὅμοιος τρίγωνος ἰσογώνιος εἰμί . εἰμί δή κυρτός ἔνοπτρον ὁ ΑΚΓ , ὄψις δέ ὁ ΒΚ ἀνακλάω ἐπί ὁ ∠ . λέγω , ὅτι ἴδη εἰμί ὁ Ε , Θ γωνία ὁ Ζ , Λ . παρατίθημι ἐπίπεδος ἔνοπτρον ὁ ΝΜ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ε γωνία ὁ Ζ . ἀλλά καί ὁ Θ ὁ Λ · ἐφάπτω γάρ ὁ ΜΝ . ὅλος ἄρα ὁ Ε , Θ ὅλος ὁ Λ , Ζ εἰμί ἴσος . εἰμί δή πάλιν κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΚΓ , ὄψις δέ ὁ ΒΚ ἀνακλάω ἐπί ὁ ∠ . λέγω , ὅτι ὁ Ε γωνία ἴσος εἰμί ὁ Ζ . παρατίθημι γάρ ἐπίπεδος ἔνοπτρον ἴσος γίγνομαι ὁ Θ , Ε γωνία ὁ Ζ , Λ · ἴσος δέ καί ὁ Θ ὁ Λ · λοιπός ἄρα ὁ Ε ὁ Ζ ἴσος εἰμί .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 2
Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπέσῃ ὄψις ἴσας ποιοῦσα γωνίας , αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται . ἔστω ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπεπτωκέτω ἴσας ποιοῦσα γωνίας τὴν Ε , Ζ τῇ Θ . λέγω , ὅτι ἀνακλωμένη ἡ ΒΚ ἐφʼ ἑαυτῆς ἥξει , τουτέστιν ἐπὶ τὸ Β . μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἡκέτω ἐπὶ τὸ ∠ . καὶ ἐπειδὴ αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις ἀνακλῶνται γωνίαις , ἴση ἐστὶν ἡ Ε γωνία τῇ Θ , ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ Ε , Ζ γωνία τῇ Θ ἴση . καὶ ἡ Ε , Ζ ἄρα γωνία τῇ Ε γωνίᾳ ἔσται ἴση , ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . ἡ ἄρα ΒΚ διʼ αὑτῆς ἀνακλασθήσεται . ἡ δʼ αὐτὴ ἀπόδειξις ἁρμόσειεν ἂν ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ τῶν κοίλων ἐνόπτρων .
Lemmas: πρός ὁποῖος ἄν ὁ ἔνοπτρον προσπίπτω ὄψις ἴσος ποιέω γωνία , αὐτός διά ἑαυτοῦ ἀνακλάω . εἰμί ἔνοπτρον ἐπίπεδος ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ὁ ΒΚ προσπίπτω ἴσος ποιέω γωνία ὁ Ε , Ζ ὁ Θ . λέγω , ὅτι ἀνακλάω ὁ ΒΚ ἐπί ἑαυτοῦ ἥκω , τουτέστι ἐπί ὁ Β . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , ἥκω ἐπί ὁ ∠ . καί ἐπειδή ὁ ὄψις ἐν ἴσος ἀνακλάω γωνία , ἴσος εἰμί ὁ Ε γωνία ὁ Θ , δείκνυμι δέ καί ὁ Ε , Ζ γωνία ὁ Θ ἴσος . καί ὁ Ε , Ζ ἄρα γωνία ὁ Ε γωνία εἰμί ἴσος , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς εἰμί ἀδύνατος . ὁ ἄρα ΒΚ διά ἑαυτοῦ ἀνακλάω . ὁ δέ αὐτός ἀπόδειξις ἁρμόζω ἄν ἐπί ὁ κυρτός καί ὁ κοῖλος ἔνοπτρον .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 3
Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπίπτουσα ὄψις ἀνίσους ποιῇ γωνίας , οὔτε διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος γωνίας . ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΗΓ , ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπιπτέτω μείζονα ποιοῦσα γωνίαν τὴν Ζ τῆς Θ , Λ . λέγω , ὅτι ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη οὔτε αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τὴν Θ , Λ γωνίαν . εἰ μὲν γὰρ ἥξει ἐπὶ τὸ Β , ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ , Λ ἴση · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γὰρ μείζων . εἰ δὲ διὰ τοῦ ∠ , ἴση ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ · ἔστι δὲ μείζων . ἡ ἄρα ΒΚ ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν Ζ · δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφαιρεθῆναι . ἔστι δὲ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ κοίλων .
Lemmas: πρός ὁποῖος ἄν ὁ ἔνοπτρον προσπίπτω ὄψις ἄνισος ποιέω γωνία , οὔτε διά ἑαυτοῦ ἀνακλάω οὔτε ἐπί ὁ ἐλαχύς γωνία . εἰμί ἐπίπεδος ἔνοπτρον ὁ ΑΚΗΓ , ὄψις δέ ὁ ΒΚ προσπίπτω μέγας ποιέω γωνία ὁ Ζ ὁ Θ , Λ . λέγω , ὅτι ὁ ΒΚ ἀνακλάω οὔτε αὐτός διά ἑαυτοῦ ἀνακλάω οὔτε ἐπί ὁ Θ , Λ γωνία . εἰ μέν γάρ ἥκω ἐπί ὁ Β , εἰμί ὁ Ζ γωνία ὁ Θ , Λ ἴσος · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ μέγας . εἰ δέ διά ὁ ∠ , ἴσος εἰμί ὁ Ζ γωνία ὁ Θ · εἰμί δέ μέγας . ὁ ἄρα ΒΚ ἀνακλάω ἐπί ὁ μέγας γωνία ὁ Ζ · δυνατός γάρ ἀπό ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς ἴσος ἀφαιρέω . εἰμί δέ ὁ αὐτός ἀπόδειξις ἐπί ὁ κυρτός καί κοῖλος .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 4
Αἱ ὄψεις ἐπὶ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν ἀνακλώμεναι οὔτε συμπεσοῦνται ἀλλήλαις οὔτε παράλληλοι ἔσονται . ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΓ∠ , ΒΑΕ . λέγω , ὅτι αἱ Γ∠ , ΑΕ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ ∠ , Ε . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ γωνία τῇ Θ , ἡ δὲ Κ τῇ Μ , μείζων δὲ ἡ Ζ τῆς Κ διὸ τὸ ἐκτὸς εἶναι ἐν τῷ ΒΑΓ τριγώνῳ , μείζων ἂν εἴη καὶ ἡ Θ τῆς Μ . οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ Γ∠ τῇ ΑΕ ἐστιν , οὐδὲ συμπίπτουσιν ἐπὶ τὰ Ε , ∠ . ἔστω πάλιν κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΖΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΖ∠ , ΒΗΕ . λέγω , ὅτι αἱ Ζ∠ , ΕΗ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμ - πεσοῦνται ἐπὶ τὰ Ε , ∠ . ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΖ εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ , Θ τῇ Λ διὰ τὸ ἐν ἴσαις ἀνακλᾶσθαι γωνίαις , εἴη ἂν μείζων ἡ Λ , Μ τῆς Κ . ἡ δὲ Κ τῆς Ν , Ξ ἐστι μείζων , ἡ δὲ Ν , Ξ τῆς Ο , Π μείζων · αὐτὴ γὰρ ἡ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ Ο , Π · μείζων ἄρα ἡ Λ , Μ τῆς Ο , Π . πολλῷ ἄρα ἡ Λ , Μ τῆς Ο μείζων ἐστίν . οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται αἱ Ζ∠ , ΗΕ εὐθεῖαι οὐδὲ παράλληλοί εἰσιν .
Lemmas: ὁ ὄψις ἐπί ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον καί κυρτός ἀνακλάω οὔτε συμπίπτω ἀλλήλων οὔτε παράλληλος εἰμί . εἰμί ἐπίπεδος ἔνοπτρον ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ἀνακλάω ὁ ΒΓ∠ , ΒΑΕ . λέγω , ὅτι ὁ Γ∠ , ΑΕ οὔτε παράλληλος εἰμί οὔτε συμπίπτω ἐπί ὁ ∠ , Ε . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ γωνία ὁ Θ , ὁ δέ Κ ὁ Μ , μέγας δέ ὁ Ζ ὁ Κ διό ὁ ἐκτός εἰμί ἐν ὁ ΒΑΓ τρίγωνον , μέγας ἄν εἰμί καί ὁ Θ ὁ Μ . οὐ ἄρα παράλληλος ὁ Γ∠ ὁ ΑΕ εἰμί , οὐδέ συμπίπτω ἐπί ὁ Ε , ∠ . εἰμί πάλιν κυρτός ἔνοπτρον ὁ ΑΖΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ἀνακλάω ὁ ΒΖ∠ , ΒΗΕ . λέγω , ὅτι ὁ Ζ∠ , ΕΗ οὔτε παράλληλος εἰμί οὔτε σναυ - πίπτω ἐπί ὁ Ε , ∠ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΗΖ εὐθύς καί ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ Κ , Θ ὁ Λ διά ὁ ἐν ἴσος ἀνακλάω γωνία , εἰμί ἄν μέγας ὁ Λ , Μ ὁ Κ . ὁ δέ Κ ὁ Ν , Ξ εἰμί μέγας , ὁ δέ Ν , Ξ ὁ Ο , Π μέγας · αὐτός γάρ ὁ Ξ ἴσος εἰμί ὁ Ο , Π · μέγας ἄρα ὁ Λ , Μ ὁ Ο , Π . πολύς ἄρα ὁ Λ , Μ ὁ Ο μέγας εἰμί . οὐ ἄρα συμπίπτω ὁ Ζ∠ , ΗΕ εὐθύς οὐδέ παράλληλος εἰμί .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 5
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἢ ἐπὶ τὸ κέντρον ἢ ἐπὶ τῆς περιφερείας ἢ ἐκτὸς τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα , τουτέστι μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας , αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι συμπεσοῦνται . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠ , κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Β , καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεις πρὸς τὴν περιφέρειαν αἱ ΒΑ , ΒΓ , Β∠ . ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς σημείοις τοῖς Α , ∠ , Γ γωνίαι · ἡμικυκλίου γάρ εἰσιν . αἱ ἄρα ὄψεις ἀνακλώμεναι διʼ ἑαυτῶν ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ , ΒΓ , Β∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται . ὥστε συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Β . ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ , ὄμμα δὲ τὸ Β , κείσθω δὲ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ , καὶ ἀπὸ τοῦ Β προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ , ΒΑ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠ , Ε σημεῖα . ἐπεὶ μεῖζον τὸ ΑΓΒ τμῆμα τοῦ ΒΓ τμήματος , μείζων ἡ Ζ γωνία τῆς γωνίας . καὶ ἡ ἄρα τῆς Κ μείζων . αἱ ἄρα Ζ , τῶν Θ , Κ μείζους εἰσίν . λοιπὴ ἄρα ἡ Λ τῆς Μ ἐλάσσων · πολλῷ μᾶλλον ἄρα τῆς Ν . συμπεσοῦνται ἄρα αἱ Γ∠ , ΑΕ κατὰ τὸ Ξ ὁμοίως δειχθήσεται , κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας πίπτῃ τὸ ὄμμα , ὡς ἐπὶ τοῦ ἑξῆς θεωρήματος .
Lemmas: ἐν ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἐάν ἤ ἐπί ὁ κέντρον ἤ ἐπί ὁ περιφέρεια ἤ ἐκτός ὁ περιφέρεια τίθημι ὁ ὄμμα , τουτέστι μεταξύ ὁ κέντρον καί ὁ περιφέρεια , ὁ ὄψις ἀνακλάω συμπίπτω . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΓ∠ , κέντρον δέ ὁ σφαῖρα ὁ Β , καί κεῖμαι ὁ ὄμμα ἐπί ὁ Β , καί προσπίπτω ἀπό ὁ Β ὄψις πρός ὁ περιφέρεια ὁ ΒΑ , ΒΓ , Β∠ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ πρός ὁ σημεῖον ὁ Α , ∠ , Γ γωνία · ἡμικύκλιον γάρ εἰμί . ὁ ἄρα ὄψις ἀνακλάω διά ἑαυτοῦ ἀνακλάω ὁ ΒΑ , ΒΓ , Β∠ οὗτος γάρ δείκνυμι . ὥστε συμπίπτω κατά ὁ Β . εἰμί πάλιν κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΓΒ , ὄμμα δέ ὁ Β , κεῖμαι δέ ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός , καί ἀπό ὁ Β προσπίπτω ὄψις ὁ ΒΓ , ΒΑ ἀνακλάω ἐπί ὁ ∠ , Ε σημεῖον . ἐπεί μέγας ὁ ΑΓΒ τμῆμα ὁ ΒΓ τμῆμα , μέγας ὁ Ζ γωνία ὁ γωνία . καί ὁ ἄρα ὁ Κ μέγας . ὁ ἄρα Ζ , ὁ Θ , Κ μέγας εἰμί . λοιπός ἄρα ὁ Λ ὁ Μ ἐλαχύς · πολύς μάλα ἄρα ὁ Ν . συμπίπτω ἄρα ὁ Γ∠ , ΑΕ κατά ὁ Ξ ὅμοιος δείκνυμι , ἐάν ἐκτός ὁ περιφέρεια πίπτω ὁ ὄμμα , ὡς ἐπί ὁ ἑξῆς θεώρημα .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 6
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἀνὰ μέσον τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα , ὁτὲ μὲν συμπεσοῦνται αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι , ὁτὲ δὲ οὐ συμπεσοῦνται . ἔστω ἔνοπτρον κοῖλον τὸ ΑΓ , κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ ∠ , ὄμμα δὲ κείσθω τὸ Β μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας , ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ , ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Η , Ζ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἕως τοῦ ἐνόπτρου αἱ ΑΘ , ΓΚ . ἡ ΑΘ δὴ τῆς ΓΚΘ ἢ μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων . εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ ὄψις τῇ ΓΚ ὄψει , ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΓΘ περιφέρεια τῇ ΓΘΚ περιφερείᾳ . ὥστε καὶ ἡ Μ γωνία τῇ Ξ · αἱ γὰρ τῶν ἴσων περιφερειῶν γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις . καὶ αἱ Μ , Λ γωνίαι ἄρα ταῖς Ν , Ξ εἰσιν ἴσαι διὰ τὴν ἀνάκλασιν . καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Ο τῇ Π ἴση ἐστίν . μείζων ἄρα ἡ Ρ τῆς Ο . ἐπεὶ γὰρ ἡ Ρ γωνία τῆς Π μείζων ἐστὶ διὰ τὸ ἐκτὸς εἶναι , ἡ δὲ Π τῇ Ο ἴση , καὶ ἡ Ρ ἄρα τῆς Ο μείζων ἐστίν . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΟΡΖ . συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΓΖ , ΑΗ ὡς ἐπὶ τὰ Η , Ζ . τὸ δʼ αὐτὸ ἔσται , κἂν μείζων ἡ ΑΘ ὄψις τῆς ΓΚ · μείζονες γὰρ ἔσονται αἱ Λ , Μ γωνίαι τῶν Ν , Ξ , ἡ δὲ Π τῆς Ο μείζων ἔσται καὶ ἡ Ρ τῆς Ο . ἐὰν δὲ ἡ ΑΘ εὐθεῖα ἐλάσσων τῆς ΓΚ , διὰ τὰ αὐτὰ μείζων ἔσται ἡ Ο γωνία τῆς Π . ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς Π μείζων . οὐδὲν ἄρα κωλύει ἴσην εἶναι τὴν Ρ τῇ Ο ἢ ἐλάσσονα τῆς Ο , καὶ μὴ συμπίπτειν τὴν ΑΗ τῇ ΓΖ . φανερὸν δέ , ὅτι , κἄν τε μείζων ᾖ ἡ ΑΘ περιφέρεια τῆς ΓΚ , ἐάν τε ἴση , ἡ σύμπτωσις τῶν ἀνακλάσεων οὔτε ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου οὔτε ἐκτὸς οὐ μὴ γίνηται , ἀλλʼ ἐντὸς μόνον .
Lemmas: ἐν ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἐάν ἀνά μέσος ὁ κέντρον καί ὁ περιφέρεια τίθημι ὁ ὄμμα , ὅτε μέν συμπίπτω ὁ ὄψις ἀνακλάω , ὅτε δέ οὐ συμπίπτω . εἰμί ἔνοπτρον κοῖλος ὁ ΑΓ , κέντρον δέ αὐτός ὁ ∠ , ὄμμα δέ κεῖμαι ὁ Β μεταξύ ὁ κέντρον καί ὁ περιφέρεια , ὄψις δέ ὁ ΒΑ , ΒΓ ἀνακλάω ἐπί ὁ Η , Ζ , καί ἐκβάλλω ὁ ὄψις ἕως ὁ ἔνοπτρον ὁ ΑΘ , ΓΚ . ὁ ΑΘ δή ὁ ΓΚΘ ἤ μέγας εἰμί ἤ ἴσος ἤ ἐλαχύς . εἰ μέν οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΑΘ ὄψις ὁ ΓΚ ὄψις , ἴσος εἰμί καί ὁ ΑΓΘ περιφέρεια ὁ ΓΘΚ περιφέρεια . ὥστε καί ὁ Μ γωνία ὁ Ξ · ὁ γάρ ὁ ἴσος περιφέρεια γωνία ἴσος εἰμί ἀλλήλων . καί ὁ Μ , Λ γωνία ἄρα ὁ Ν , Ξ εἰμί ἴσος διά ὁ ἀνάκλασις . καί λοιπός ἄρα ὁ Ο ὁ Π ἴσος εἰμί . μέγας ἄρα ὁ Ρ ὁ Ο . ἐπεί γάρ ὁ Ρ γωνία ὁ Π μέγας εἰμί διά ὁ ἐκτός εἰμί , ὁ δέ Π ὁ Ο ἴσος , καί ὁ Ρ ἄρα ὁ Ο μέγας εἰμί . κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΟΡΖ . συμπίπτω ἄρα ὁ ΓΖ , ΑΗ ὡς ἐπί ὁ Η , Ζ . ὁ δέ αὐτός εἰμί , ἐάν μέγας ὁ ΑΘ ὄψις ὁ ΓΚ · μέγας γάρ εἰμί ὁ Λ , Μ γωνία ὁ Ν , Ξ , ὁ δέ Π ὁ Ο μέγας εἰμί καί ὁ Ρ ὁ Ο . ἐάν δέ ὁ ΑΘ εὐθύς ἐλαχύς ὁ ΓΚ , διά ὁ αὐτός μέγας εἰμί ὁ Ο γωνία ὁ Π . εἰμί δέ καί ὁ ὁ Π μέγας . οὐδείς ἄρα κωλύω ἴσος εἰμί ὁ Ρ ὁ Ο ἤ ἐλαχύς ὁ Ο , καί μή συμπίπτω ὁ ΑΗ ὁ ΓΖ . φανερός δέ , ὅτι , ἐάν τε μέγας εἰμί ὁ ΑΘ περιφέρεια ὁ ΓΚ , ἐάν τε ἴσος , ὁ σύμπτωσις ὁ ἀνάκλασις οὔτε ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος οὔτε ἐκτός οὐ μή γίγνομαι , ἀλλά ἐντός μόνος .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 7
Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων ἀνεστραμμένα φαίνεται . ἔστω ὕψος μὲν τὸ ΑΕ , ἔνοπτρον δὲ ἐπίπεδον τὸ ΑΛ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ αἱ ΒΓ , Β∠ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε , Κ . οὐκοῦν φαίνεται ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων ἐπʼ εὐθείας τὸ μὲν Ε τὸ ἄνω ἐπὶ τοῦ Θ κάτω ὄντος , τὸ δὲ Κ κάτω ὄν ἐπὶ τοῦ Ζ τοῦ ἄνω ὄντος . ὥστε ἀνεστραμμένα ἐστὶ τῇ φαντασίᾳ . ἔστω πάλιν βάθος μὲν τὸ ΕΑ , ἔνοπτρον δὲ ἐπίπεδον τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ ∠ , ὄψεις δὲ αἱ ∠Γ , ∠Β ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε , Ζ . ὁμοίως τῶν ὄψεων ἐκβληθεισῶν ἐπὶ τὰ Θ , Κ φανεῖται τὸ μὲν Ε κάτω ὄν ἐπὶ τοῦ Θ ἄνω ὄντος , τὸ δὲ Ζ ἄνω ὄν ἐπὶ τοῦ Κ κάτω ὄντος .
Lemmas: ὁ ὕψος καί ὁ βάθος ἀπό ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον ἀναστρέφω φαίνω . εἰμί ὕψος μέν ὁ ΑΕ , ἔνοπτρον δέ ἐπίπεδος ὁ ΑΛ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ὁ ΒΓ , Β∠ ἀνακλάω ἐπί ὁ Ε , Κ . οὐκοῦν φαίνω ἐκβάλλω ὁ ὄψις ἐπί εὐθεῖα ὁ μέν Ε ὁ ἄνω ἐπί ὁ Θ κάτω εἰμί , ὁ δέ Κ κάτω εἰμί ἐπί ὁ Ζ ὁ ἄνω εἰμί . ὥστε ἀναστρέφω εἰμί ὁ φαντασία . εἰμί πάλιν βάθος μέν ὁ ΕΑ , ἔνοπτρον δέ ἐπίπεδος ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ ∠ , ὄψις δέ ὁ ∠Γ , ∠Β ἀνακλάω ἐπί ὁ Ε , Ζ . ὅμοιος ὁ ὄψις ἐκβάλλω ἐπί ὁ Θ , Κ φαίνω ὁ μέν Ε κάτω εἰμί ἐπί ὁ Θ ἄνω εἰμί , ὁ δέ Ζ ἄνω εἰμί ἐπί ὁ Κ κάτω εἰμί .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 8
Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν κυρτῶν ἐνόπτρων ἀνεστραμμένα φαίνεται . ἔστω ὕψος τὸ ΑΕ , ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ Α∠Γ , ὄψεις δὲ αἱ Β∠ , Β ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε , Θ . δέδεικται , ὅτι οὐ συμπεσοῦνται . τὰ δὲ λοιπὰ ὁμοίως τοῖς ἐν τοῖς ἐπιπέδοις . ἔστω πάλιν βάθος τὸ ΑΕ , ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε , Θ αἱ ΒΓΕ , Β∠Θ . τὰ δὲ λοιπὰ καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις .
Lemmas: ὁ ὕψος καί ὁ βάθος ἀπό ὁ κυρτός ἔνοπτρον ἀναστρέφω φαίνω . εἰμί ὕψος ὁ ΑΕ , ἔνοπτρον δέ κυρτός ὁ Α∠Γ , ὄψις δέ ὁ Β∠ , Β ἀνακλάω ἐπί ὁ Ε , Θ . δείκνυμι , ὅτι οὐ συμπίπτω . ὁ δέ λοιπός ὅμοιος ὁ ἐν ὁ ἐπίπεδος . εἰμί πάλιν βάθος ὁ ΑΕ , ἔνοπτρον δέ κυρτός ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ἀνακλάω ἐπί ὁ Ε , Θ ὁ ΒΓΕ , Β∠Θ . ὁ δέ λοιπός καθά ἐν ὁ ἐπίπεδος .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 9
Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων , ὡς τῇ ἀληθείᾳ ἔχει , οὕτω καὶ φαίνεται . ἔστω ὄμμα τὸ Β , μῆκος δὲ πλάγιον τὸ ∠Ε , ἔνοπτρον δὲ τὸ ΑΓ . οὐκοῦν ἀνακλασθεισῶν τῶν ὄψεων φαίνεται τὸ μὲν ∠ ἐπὶ τὸ Α , τὸ δὲ Ε ἐπὶ τὸ Γ , καί ἐστιν οὕτω τῇ φαντασίᾳ , καθάπερ καὶ τῇ ἀληθείᾳ ἔχει , τὸ ἔγγιον ἔγγιον , τὸ ἀπώτερον ἀπώτερον .
Lemmas: ὁ πλάγιος μῆκος ἀπό ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον , ὡς ὁ ἀλήθεια ἔχω , οὕτως καί φαίνω . εἰμί ὄμμα ὁ Β , μῆκος δέ πλάγιος ὁ ∠Ε , ἔνοπτρον δέ ὁ ΑΓ . οὐκοῦν ἀνακλάω ὁ ὄψις φαίνω ὁ μέν ∠ ἐπί ὁ Α , ὁ δέ Ε ἐπί ὁ Γ , καί εἰμί οὕτως ὁ φαντασία , καθά καί ὁ ἀλήθεια ἔχω , ὁ ἐγγίων ἐγγίων , ὁ ἀπώτερος ἀπώτερος .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 10
Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν κυρτῶν ἐνόπτρων , καθάπερ ἐστὶν ἀληθῶς , καὶ φαίνεται . ἔστω μῆκος τὸ Ε∠ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ ΑΓ , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε , ∠ . τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτά .
Lemmas: ὁ πλάγιος μῆκος ἀπό ὁ κυρτός ἔνοπτρον , καθά εἰμί ἀληθής , καί φαίνω . εἰμί μῆκος ὁ Ε∠ , ὄμμα δέ ὁ Β , ἔνοπτρον δέ κυρτός ὁ ΑΓ , ὄψις δέ ἀνακλάω ἐπί ὁ Ε , ∠ . ὁ δέ ἄλλος ὁ αὐτός .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 11
Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν κοίλων ἐνόπτρων , ὅσα μέν ἐστιν ἐντὸς τῆς συμπτώσεως τῶν ὄψεων , ἀνεστραμμένα φαίνεται καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις , ὅσα δέ ἐστιν ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως , καθάπερ ἔστιν , καὶ φαίνεται . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ , ΒΓ , σύμπτωσις δὲ αὐτῶν ἐπὶ τὸ Ζ , ὕψη δὲ τό τε ∠Ε καὶ τὸ ΚΝ , καὶ τὸ μὲν ΚΝ ἐντὸς τῆς τοῦ Ζ συμπτώσεως , τὸ δὲ ∠Ε ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως . οὐκοῦν ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις φαίνεται τὸ μὲν Κ ἐπὶ τοῦ Μ , τὸ δὲ Ν ἐπὶ τοῦ Λ ὥστε ἀνεστραμμένα φαίνεται . πάλιν ἐπὶ τοῦ ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως ὕψους φαίνεται τὸ μὲν ∠ ἐπὶ τοῦ Η , τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Θ , ὡς ἔχει , οὕτως φαίνεται . πάλιν βάθος μὲν τὸ ∠Ε καὶ ΚΘ , ἔνοπτρον δὲ κοῖλον τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Ζ . οὐκοῦν ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων ὁμοίως τὰ μὲν Κ , Θ φαίνεται ἀνεστραμμένα , τὸ μὲν Κ κατὰ τὸ Γ , τὸ δὲ Θ κατὰ τὸ Α , καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις , τὰ δὲ ∠ , Ε , καθάπερ καὶ ἔστιν , τὸ μὲν Ε κάτω κατὰ τὸ Α , τὸ δὲ ∠ ἄνω κατὰ τὸ Γ .
Lemmas: ὁ ὕψος καί ὁ βάθος ἀπό ὁ κοῖλος ἔνοπτρον , ὅσος μέν εἰμί ἐντός ὁ σύμπτωσις ὁ ὄψις , ἀναστρέφω φαίνω καθά ἐν ὁ ἐπίπεδος καί κυρτός ἔνοπτρον , ὅσος δέ εἰμί ἐκτός ὁ σύμπτωσις , καθά εἰμί , καί φαίνω . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ἀνακλάω ὁ ΒΑ , ΒΓ , σύμπτωσις δέ αὐτός ἐπί ὁ Ζ , ὕψος δέ ὁ τε ∠Ε καί ὁ ΚΝ , καί ὁ μέν ΚΝ ἐντός ὁ ὁ Ζ σύμπτωσις , ὁ δέ ∠Ε ἐκτός ὁ σύμπτωσις . οὐκοῦν ἐκβάλλω ὁ ὄψις καθά ἐν ὁ ἐπίπεδος καί κυρτός ἔνοπτρον φαίνω ὁ μέν Κ ἐπί ὁ Μ , ὁ δέ Ν ἐπί ὁ Λ ὥστε ἀναστρέφω φαίνω . πάλιν ἐπί ὁ ἐκτός ὁ σύμπτωσις ὕψος φαίνω ὁ μέν ∠ ἐπί ὁ Η , ὁ δέ Ε ἐπί ὁ Θ , ὡς ἔχω , οὕτως φαίνω . πάλιν βάθος μέν ὁ ∠Ε καί ΚΘ , ἔνοπτρον δέ κοῖλος ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ἀνακλάω καί συμπίπτω κατά ὁ Ζ . οὐκοῦν ἐκβάλλω ὁ ὄψις ὅμοιος ὁ μέν Κ , Θ φαίνω ἀναστρέφω , ὁ μέν Κ κατά ὁ Γ , ὁ δέ Θ κατά ὁ Α , καθά ἐν ὁ ἐπίπεδος καί κυρτός ἔνοπτρον , ὁ δέ ∠ , Ε , καθά καί εἰμί , ὁ μέν Ε κάτω κατά ὁ Α , ὁ δέ ∠ ἄνω κατά ὁ Γ .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 12
Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν κοίλων ἐνόπτρων , ὅσα μὲν ἐντὸς τῆς συμπτώσεως κεῖται τῶν ὄψεων , καθάπερ ἔστιν , οὕτω καὶ φαίνεται , ὅσα δʼ ἐκτός , ἀντεστραμμένα . ἔστω γὰρ μήκη μὲν πλάγια τὰ Ε∠ , ΘΚ , κοῖλον δὲ ἔνοπτρον τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι καὶ συμπίπτουσαι κατὰ Η τὸ αἱ ΒΑ∠ , ΒΓΕ , καὶ τὸ μὲν ΘΚ πλάγιον μῆκος ἔστω ἐντὸς τῆς συμπτώσεως τῆς Η , τὸ δὲ ∠Ε ἐκτός . οὐκοῦν τὰ μὲν Θ , Κ κατὰ φύσιν φαίνεται , καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις , τὰ δὲ Ε , ∠ ἀντεστραμμένα · τὸ μὲν γὰρ ∠ ἐπὶ τοῦ Α φαίνεται , τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Γ .
Lemmas: ὁ πλάγιος μῆκος ἀπό ὁ κοῖλος ἔνοπτρον , ὅσος μέν ἐντός ὁ σύμπτωσις κεῖμαι ὁ ὄψις , καθά εἰμί , οὕτως καί φαίνω , ὅσος δέ ἐκτός , ἀντιστρέφω . εἰμί γάρ μῆκος μέν πλάγιος ὁ Ε∠ , ΘΚ , κοῖλος δέ ἔνοπτρον ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ἀνακλάω καί συμπίπτω κατά Η ὁ ὁ ΒΑ∠ , ΒΓΕ , καί ὁ μέν ΘΚ πλάγιος μῆκος εἰμί ἐντός ὁ σύμπτωσις ὁ Η , ὁ δέ ∠Ε ἐκτός . οὐκοῦν ὁ μέν Θ , Κ κατά φύσις φαίνω , καθά ἐν ὁ ἐπίπεδος καί κυρτός ἔνοπτρον , ὁ δέ Ε , ∠ ἀντιστρέφω · ὁ μέν γάρ ∠ ἐπί ὁ Α φαίνω , ὁ δέ Ε ἐπί ὁ Γ .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 13
Δυνατόν ἐστι διὰ πλειόνων ἐνόπτρων ἐπιπέδων ἰδεῖν τὸ αὐτό . ἔστω , ὃ δεῖ ὀφθῆναι , τὸ Α , ὄμμα δὲ τὸ Β , ἔνοπτρα δὲ τρία τὰ Γ∠ , ∠Ε , ΕΖ . ἤχθω δὴ κάθετος ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ∠ ἔνοπτρον ἡ ΒΓ , ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ . καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ΕΖ κάθετος ἡ ΑΖ , καὶ τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΘ , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ∠Ε ἔνοπτρον κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ , καὶ ἔστω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΚΛ , καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Σ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜΞΣ , ἀπὸ δὲ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Θ ἡ ΜΡΘ , ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΑΡ , ΒΞ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ , καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Γ γωνίαι , δύο δὴ αἰ ΒΓ , ΓΦ δυσὶ ταῖς ΣΓ , ΓΦ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΦ ὀρθὴ οὖσα γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Σῶ ὀρθῇ οὔσῃ ἴση ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν , ἡ μὲν πρὸς τῷ Β γωνία τῇ πρὸς τῷ Σ , ἡ δὲ γωνία τῇ Τ . ἀλλʼ ἡ Τ τῇ Ν ἐστιν ἴση · κατὰ κορυφὴν γάρ · ὥστε ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Ν γωνία τῇ Ξ . ἡ ἄρα ΒΞ ὄψις ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὸ Μ . πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ Κ Λ , καὶ ὀρθαὶ δὲ αἱ πρὸς τῷ Κ , ἴση ἐστὶν ἡ Ο γωνία τῇ Π . ἀνακλᾶται ἄρα ἡ . αὐτὴ ὄψις ἡ ΒΞΜ ἐπὶ τὸ Ρ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τὸ Α διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΡΑ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΡΜ ὁμοίως ταῖς λοιπαῖς ἀποδείξεσιν . ὁρᾷ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις τὸ Α διὰ τῶν τριῶν ἐνόπτρων ὄντων ἐπιπέδων τῶν Γ∠ , ∠Ε , ΕΖ .
Lemmas: δυνατός εἰμί διά πολύς ἔνοπτρον ἐπίπεδος ὁράω ὁ αὐτός . εἰμί , ὅς δέω ὁράω , ὁ Α , ὄμμα δέ ὁ Β , ἔνοπτρον δέ τρεῖς ὁ Γ∠ , ∠Ε , ΕΖ . ἄγω δή κάθετος ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Γ∠ ἔνοπτρον ὁ ΒΓ , ἴσος δέ ὁ ΒΓ ὁ ΓΣ . καί πάλιν ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΕΖ κάθετος ὁ ΑΖ , καί ὁ ΑΖ ἴσος ὁ ΖΘ , καί ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ ∠Ε ἔνοπτρον κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ , καί εἰμί ὁ ΘΚ ἴσος ὁ ΚΛ , καί ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ Σ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΜΞΣ , ἀπό δέ ὁ Μ ἐπί ὁ Θ ὁ ΜΡΘ , ἐπιζεύγνυμι δέ καί ὁ ΑΡ , ΒΞ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΓΣ , καί ὀρθός ὁ πρός ὁ Γ γωνία , δύο δή ὁ ΒΓ , ΓΦ δύο ὁ ΣΓ , ΓΦ ἴσος εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , καί γωνία ὁ ὑπό ΒΓΦ ὀρθός εἰμί γωνία ὁ ὑπό Σῶς ὀρθός εἰμί ἴσος εἰμί , καί ὁ λοιπός γωνία ὁ λοιπός γωνία ἴσος εἰμί , ὑπό ὅς ὁ ἴσος πλευρά ὑποτείνω , ὁ μέν πρός ὁ Β γωνία ὁ πρός ὁ Σ , ὁ δέ γωνία ὁ Τ . ἀλλά ὁ Τ ὁ Ν εἰμί ἴσος · κατά κορυφή γάρ · ὥστε ἴσος εἰμί καί ὁ Ν γωνία ὁ Ξ . ὁ ἄρα ΒΞ ὄψις ἀνακλάω ἐπί ὁ Μ . πάλιν ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΘΚ ὁ Κ Λ , καί ὀρθός δέ ὁ πρός ὁ Κ , ἴσος εἰμί ὁ Ο γωνία ὁ Π . ἀνακλάω ἄρα ὁ . αὐτός ὄψις ὁ ΒΞΜ ἐπί ὁ Ρ διά ὁ αὐτός δή καί ἐπί ὁ Α διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΖΡΑ γωνία ὁ ὑπό ΕΡΜ ὅμοιος ὁ λοιπός ἀπόδειξις . ὁράω ἄρα ὁ ἀπό ὁ Β ὄμμα ὄψις ὁ Α διά ὁ τρεῖς ἔνοπτρον εἰμί ἐπίπεδος ὁ Γ∠ , ∠Ε , ΕΖ .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 14
Ἔστι δὲ καί , διʼ ὅσων ἄν τις ἐπιτάξῃ ἐνόπτρων ἐπιπέδων , ἰδεῖν τὸ αὐτό · δεῖ δὲ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῶν ἐνόπτρων πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον συνίστασθαι δυσὶ πλείους ἔχον πλευρὰς τῶν ἐνόπτρων . ἔστω γάρ , ὃ μὲν ὀφθῆναι δεῖ , τὸ Α , ὄμμα δὲ τὸ Β , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ , καὶ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀναγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον δύο πλευρὰς , πλείους ἔχον τῶν ἐνόπτρων καὶ ἔστω τὸ ΑΒ∠ πολυγώνιον , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ γραφομένου περὶ τὸ πολύγωνον τὸ Θ , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ , ΘΕ , Θ∠ , ΘΒ , ΘΑ ἐπὶ τὰς γωνίας , καὶ προσκείσθωσαν ἔνοπτρα ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ταῖς ἐπεζευγμέναις . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ Ζ Λ γωνία τῇ ΝΚ ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα · ὧν ἡ Ν τῇ Λ ἴση ἐστίν , λοιπὴ ἄρα ἡ Ζ τῇ Κ ἴση ἐστίν . ὥστε ἡ ἀνάκλασις τῆς ΒΓ ὄψεως ἐπὶ τὸ ∠ ἔσται · διὰ γὰρ ἴσων γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίνονται . ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ πρὸς τοῖς ∠ , Ε σημείοις γωνίαι ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς ἐνόπτροις . ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις ἀνακλωμένη καὶ προσπεσοῦσα πρὸς πάντα τὰ ἔνοπτρα ἥξει ἐπὶ τὸ Α .
Lemmas: εἰμί δέ καί , διά ὅσος ἄν τις ἐπιτάσσω ἔνοπτρον ἐπίπεδος , ὁράω ὁ αὐτός · δέω δέ κατά ὁ ἀριθμός ὁ ἔνοπτρον πολύγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος συνίστημι δύο πολύς ἔχω πλευρά ὁ ἔνοπτρον . εἰμί γάρ , ὅς μέν ὁράω δέω , ὁ Α , ὄμμα δέ ὁ Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , καί ἀπό ὁ ΑΒ ἀναγράφω πολύγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος δύο πλευρά , πολύς ἔχω ὁ ἔνοπτρον καί εἰμί ὁ ΑΒ∠ πολυγώνιος , καί λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ γράφω περί ὁ πολύγωνον ὁ Θ , καί ἀπό αὐτός ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΓ , ΘΕ , Θ∠ , ΘΒ , ΘΑ ἐπί ὁ γωνία , καί πρόσκειμαι ἔνοπτρον ἐπίπεδος πρός ὀρθός ὁ ἐπιζεύγνυμι . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ Ζ Λ γωνία ὁ ΝΚ ὀρθός γάρ εἰμί ἑκάτερος · ὅς ὁ Ν ὁ Λ ἴσος εἰμί , λοιπός ἄρα ὁ Ζ ὁ Κ ἴσος εἰμί . ὥστε ὁ ἀνάκλασις ὁ ΒΓ ὄψις ἐπί ὁ ∠ εἰμί · διά γάρ ἴσος γωνία ὁ ἀνάκλασις γίγνομαι . ὅμοιος δέ δείκνυμι καί ὁ πρός ὁ ∠ , Ε σημεῖον γωνία ἴσος ὁ πρός ὁ ἔνοπτρον . ὁ ἄρα ἀπό ὁ Β ὄμμα ὄψις ἀνακλάω καί προσπίπτω πρός πᾶς ὁ ἔνοπτρον ἥκω ἐπί ὁ Α .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 15
Ἔστι δὲ καὶ διὰ κυρτῶν ἐνόπτρων καὶ διὰ κοίλων ἰδεῖν τὸ αὐτό . ἔστω γάρ , δεῖ ἰδεῖν , τὸ Α , ὄμμα δὲ τὸ Β , καὶ ὁμοίως ἀναγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε καὶ πρὸς τοῖς Γ , ∠ , Ε σημείοις ἔστω ἔνοπτρα ἐπίπεδα , ἀφʼ ὧν ὁρᾶται τὸ Α , καθάπερ δέδεικται , καὶ προσκείσθω τούτοις κοῖλα ἢ κυρτὰ ἒνοπτρα κατὰ τὰς ἁφὰς τῶν ὄψεων . οὐκοῦν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ζ τῇ Θ , ἡ δὲ Κ τῇ Λ ὅλη ἄρα ἡ ΚΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΘΛ . ἀνακλασθήσεται ἄρα ἡ ὄψις ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τοῦ Γ ἐπὶ τὸ ∠ καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ Ε καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Α . φανερὸν οὖν , ὅτι καὶ κυρτῶν ἢ κοίλων ὄντων ἀπάντων καὶ ἀναμεμιγμένων ἔστιν ἰδεῖν τὸ αὐτό .
Lemmas: εἰμί δέ καί διά κυρτός ἔνοπτρον καί διά κοῖλος ὁράω ὁ αὐτός . εἰμί γάρ , δέω ὁράω , ὁ Α , ὄμμα δέ ὁ Β , καί ὅμοιος ἀναγράφω πολύγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος ὁ ΑΒΓ∠Ε καί πρός ὁ Γ , ∠ , Ε σημεῖον εἰμί ἔνοπτρον ἐπίπεδος , ἀπό ὅς ὁράω ὁ Α , καθά δείκνυμι , καί πρόσκειμαι οὗτος κοῖλος ἤ κυρτός ἔνοπτρον κατά ὁ ἁφή ὁ ὄψις . οὐκοῦν ἴσος εἰμί ὁ μέν Ζ ὁ Θ , ὁ δέ Κ ὁ Λ ὅλος ἄρα ὁ ΚΖ ἴσος εἰμί ὁ ΘΛ . ἀνακλάω ἄρα ὁ ὄψις ἀπό ὁ κυρτός ἔνοπτρον ὁ Γ ἐπί ὁ ∠ καί ἀπό ὁ ∠ ἐπί ὁ Ε καί ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Α . φανερός οὖν , ὅτι καί κυρτός ἤ κοῖλος εἰμί ἀπαντάω καί ἀναμίσγω εἰμί ὁράω ὁ αὐτός .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 16
Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου κάθετον ὁρᾶται . ἔστω ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ Γ∠ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὁρώμενον δὲ τὸ Α , καὶ ἔστω κάθετος ἡ ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον ἡ ΑΓ . οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις , ὅτι καταληφθέντος τοῦ τόπου τοῦ Γ οὐχ ὁρᾶται τὸ Α , τὸ Α ἄρα ὀφθήσεται ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΓ . ἀλλὰ δὴ καὶ ἐπʼ εὐθείας τῇ Β∠ ὄψει · κατὰ τὸ Ε ἄρα · ὑπέκειτο γὰρ ἡμῖν τὸ εὐθύ , οὗ τὸ μέσον τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ · ὥστε εὐθεῖα ἔσται ἡ ΑΕ καὶ ἡ ΒΕ .
Lemmas: ἐν ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον ἕκαστος ὁ ὁράω κατά ὁ ἀπό ὁ ὁράω κάθετος ὁράω . εἰμί ἔνοπτρον ἐπίπεδος ὁ Γ∠ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὁράω δέ ὁ Α , καί εἰμί κάθετος ὁ ἀπό ὁ ὁράω ἐπί ὁ ἔνοπτρον ὁ ΑΓ . οὐκοῦν ἐπεί ὑπόκειμαι ἐν ὁ φαίνω , ὅτι καταλαμβάνω ὁ τόπος ὁ Γ οὐ ὁράω ὁ Α , ὁ Α ἄρα ὁράω ἐπί εὐθεῖα ὁ ΑΓ . ἀλλά δή καί ἐπί εὐθεῖα ὁ Β∠ ὁράω · κατά ὁ Ε ἄρα · ὑπόκειμαι γάρ ἐγώ ὁ εὐθύς , ὅς ὁ μέσος ὁ ἄκρον ἐπιπροσθέω · ὥστε εὐθύς εἰμί ὁ ΑΕ καί ὁ ΒΕ .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 17
Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται . ἔστω κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ Γ∠ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψις δὲ ἡ Β∠ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Α , καὶ ὁράσθω τὸ Α , κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠ ὄψις ἐπὶ τὸ Ε . οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις , ὅτι καταληφθέντος τοῦ Γ τὸ Α οὐχ ὁρᾶται , ὀφθήσεται ἄρα ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΓ κατὰ τὴν σύμβασιν τῆς Β∠ ὄψεως καὶ τῆς ΑΓ ἐπὶ τοῦ Ε , καθάπερ ἐπὶ τοῖς ἐπιπέδοις .
Lemmas: ἐν ὁ κυρτός ἔνοπτρον ἕκαστος ὁ ὁράω κατά ὁ ἀπό ὁ ὁράω εἰς ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἄγω εὐθεῖα ὁράω . εἰμί κυρτός ἔνοπτρον ὁ Γ∠ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ὁ Β∠ ἀνακλάω ἐπί ὁ Α , καί ὁράω ὁ Α , κέντρον δέ ὁ σφαῖρα εἰμί ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΖ , καί ἐκβάλλω ὁ Β∠ ὄψις ἐπί ὁ Ε . οὐκοῦν ἐπεί ὑπόκειμαι ἐν ὁ φαίνω , ὅτι καταλαμβάνω ὁ Γ ὁ Α οὐ ὁράω , ὁράω ἄρα ἐπί εὐθεῖα ὁ ΑΓ κατά ὁ σύμβασις ὁ Β∠ ὄψις καί ὁ ΑΓ ἐπί ὁ Ε , καθά ἐπί ὁ ἐπίπεδος .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 18
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ Γ∠ , ὄψις δὲ ἀνακλωμένη ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Α ὁρώμενον , τῆς δὲ σφαίρας κέντρον ἔστω τὸ Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Ε ἐπεζεύχθω εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω . οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις , ὅτι καταληφθέντος τοῦ τόπου τοῦ ∠ τὸ Α οὐχ ὁρᾶται , ὥστε φαίνεται ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΕ , ὀφθήσεται ἄρα κατὰ τὴν συμβολὴν τῆς Α∠ εὐθείας καὶ τῆς ΒΓ ὄψεως κατὰ τὸ Ζ .
Lemmas: ἐν ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἕκαστος ὁ ὁράω κατά ὁ ἀπό ὁ ὁράω εἰς ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἄγω εὐθεῖα ὁράω . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ Γ∠ , ὄψις δέ ἀνακλάω ὁ ΒΓ ἐπί ὁ Α ὁράω , ὁ δέ σφαῖρα κέντρον εἰμί ὁ Ε , καί ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Ε ἐπιζεύγνυμι εὐθύς καί ἐκβάλλω . οὐκοῦν ἐπεί ὑπόκειμαι ἐν ὁ φαίνω , ὅτι καταλαμβάνω ὁ τόπος ὁ ∠ ὁ Α οὐ ὁράω , ὥστε φαίνω ἐπί εὐθεῖα ὁ ΑΕ , ὁράω ἄρα κατά ὁ συμβολή ὁ Α∠ εὐθεῖα καί ὁ ΒΓ ὄψις κατά ὁ Ζ .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 19
Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἴσον τῷ ὁρωμένῳ , καὶ τὸ ἀπόστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου ἴσον ἐστίν . ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ , ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε , ∠ , ὁρώμενον δὲ ἔστω τὸ Ε ∠ , καὶ ἀπὸ τῶν Ε , ∠ ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον κάθετοι ἤχθωσαν αἱ Ε Ζ , ∠Θ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν , ἐκβεβλήσθωσαν δὲ καὶ αἱ ΒΓ , ΒΑ ὄψεις καὶ συμπιπτέτωσαν ταῖς καθέτοις κατὰ τὰ Κ , Λ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΚ . οὐκοῦν φαίνεται τὸ μὲν Ε ἐπὶ τοῦ Κ , τὸ δὲ ∠ ἐπὶ τοῦ Λ · τοῦτο γὰρ προεδείχθη . τὰ ἄρα ἀριστερ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά . καὶ ἐπεὶ ἴσ ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΙΕ , κ εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ , ἴση ἂν εἴη καὶ ἡ ΖΚ τ ΖΕ . διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ∠Θ τῇ ΘΑ . ἴσον ἄρα τὸ ἀπόστημα , ὃ ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ Ε∠ , τῷ , ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ Κ Λ . καὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠ τῷ εἰδώλῳ τῷ Κ Λ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΕΖ τῇ ΖΚ , τὴν δὲ ∠Θ τῇ ΘΛ , κοινὴν δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΖ .
Lemmas: ἐν ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον ὁ δεξιός ἀριστερός φαίνω καί ὁ ἀριστερός δεξιός καί ὁ εἴδωλον ἴσος ὁ ὁράω , καί ὁ ἀπόστημα ὁ ἀπό ὁ ἔνοπτρον ἴσος εἰμί . εἰμί ἐπίπεδος ἔνοπτρον ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ὁ ΒΑ , ΒΓ ἀνακλάω ἐπί ὁ Ε , ∠ , ὁράω δέ εἰμί ὁ Ε ∠ , καί ἀπό ὁ Ε , ∠ ἐπί ὁ ἔνοπτρον κάθετος ἄγω ὁ Ε Ζ , ∠Θ καί ἐκβάλλω , ἐκβάλλω δέ καί ὁ ΒΓ , ΒΑ ὄψις καί συμπίπτω ὁ κάθετος κατά ὁ Κ , Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΚ . οὐκοῦν φαίνω ὁ μέν Ε ἐπί ὁ Κ , ὁ δέ ∠ ἐπί ὁ Λ · οὗτος γάρ προδείκνυμι . ὁ ἄρα ἀρερ δεξιός φαίνω καί ὁ δεξιός ἀριστερός . καί ἐπεί ἴς εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΚΓΖ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΖΙΕ , κ εἰμί ὀρθός ὁ πρός ὁ Ζ , ἴσος ἄν εἰμί καί ὁ ΖΚ τ̅ ΖΕ . διά ὁ αὐτός καί ὁ ∠Θ ὁ ΘΑ . ἴσος ἄρα ὁ ἀπόστημα , ὅς ἀπέχω ἀπό ὁ ἔνοπτρον ὁ Ε∠ , ὁ , ὅς ἀπέχω ὁ εἴδωλον ὁ Κ Λ . καί ἴσος ὁ ὁράω ὁ Ε∠ ὁ εἴδωλον ὁ Κ Λ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΕΖ ὁ ΖΚ , ὁ δέ ∠Θ ὁ ΘΛ , κοινός δέ καί πρός ὀρθός ὁ ΘΖ .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 20
Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά , καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον ἔχει . ἔστω ἔνοπτρον κυρτὸν τὸ ΑΓ , κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Θ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεῖς δὲ αἱ ΒΑ , ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠ , Ε , ὁρώμενον δὲ τὸ ∠Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κέντρου ἤχθωσαν ἐπὶ τὰ ∠ , Ε αἱ Θ∠ , ΘΕ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἐπὶ τὰ Ζ , Η , καὶ ἐπεζεύχθω τὸ ΖΗ εἴδωλον . οὐκοῦν τὸ μὲν ∠ φαίνεται ἐπὶ τοῦ Η , τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Ζ . τὰ ἄρα δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιά . λέγω , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ . ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΡΑΚ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΑ , ΑΕ πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσας ποιοῦσι γωνίας διὰ τὴν ἀνάκλασιν , ἐφάπτεται δὲ ἡ ΚΑΡ δίχα ἂν εἴη τετμημένη ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΖ γωνία . καὶ ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ Κ γωνία · μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ πολλῷ μᾶλλον ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ . ἔλασσον ἄρα ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ ΖΗ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου , μεῖζον δὲ τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠ .
Lemmas: ἐν ὁ κυρτός ἔνοπτρον ὁ ἀριστερός δεξιός φαίνω καί ὁ δεξιός ἀριστερός , καί ὁ ἀπόστημα ἀπό ὁ ἔνοπτρον ὁ εἴδωλον ἐλαχύς ἔχω . εἰμί ἔνοπτρον κυρτός ὁ ΑΓ , κέντρον δέ ὁ σφαῖρα ὁ Θ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ὁ ΒΑ , ΒΓ ἀνακλάω ἐπί ὁ ∠ , Ε , ὁράω δέ ὁ ∠Ε , καί ἀπό ὁ Θ κέντρον ἄγω ἐπί ὁ ∠ , Ε ὁ Θ∠ , ΘΕ , καί ἐκβάλλω ὁ ὄψις ἐπί ὁ Ζ , Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ εἴδωλον . οὐκοῦν ὁ μέν ∠ φαίνω ἐπί ὁ Η , ὁ δέ Ε ἐπί ὁ Ζ . ὁ ἄρα δεξιός ἀριστερός φαίνω καί ὁ ἀριστερός δεξιός . λέγω , ὅτι μέγας εἰμί ὁ ΕΛ ὁ ΛΖ . ἄγω γάρ διά ὁ Α ἐφάπτω ὁ περιφέρεια ὁ ΡΑΚ . ἐπεί οὖν ὁ ΒΑ , ΑΕ πρός ὁ περιφέρεια ἴσος ποιέω γωνία διά ὁ ἀνάκλασις , ἐφάπτω δέ ὁ ΚΑΡ δίχα ἄν εἰμί τέμνω ὁ ὑπό ὁ ΕΑΖ γωνία . καί ἀμβλύς εἰμί ὁ Κ γωνία · μέγας ἄρα ὁ ΕΚ ὁ ΚΖ πολύς μάλα ὁ ΕΛ ὁ ΛΖ . ἐλαχύς ἄρα ἀπέχω ὁ εἴδωλον ὁ ΖΗ ἀπό ὁ ἔνοπτρον , μέγας δέ ὁ ὁράω ὁ Ε∠ .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 21
Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὸ εἴδωλον ἔλασσόν ἐστι τῶν ὁρωμένων . ἔστω γὰρ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΟΓ , ὄμμα δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ , ΒΓ ἐπὶ τὰ ∠ , Ε . οὐκοῦν ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου θεωρεῖται τὸ Ε∠ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ . παρακείσθω δὴ ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ ἁπτόμενον τῶν ὄψεων κατὰ τὰ Α , Γ . οὐκοῦν ἡ ὄψις ἡ μέλλουσα ἰδεῖν τὸ Ε ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου οὐκ ἔστιν ἡ ΒΑΕ · οὐ γὰρ ποιεῖ γωνίας ἴσας πρὸς τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ . οὐδὲ μὴν κλασθήσεται μεταξὺ τῶν Α , Γ . κεκλάσθω γάρ , εἰ δυνατόν , καὶ ἔστω ἡ ΒΖΕ ὄψις . ἴση ἄρα ἡ Η γωνία τῇ Θ διὰ τὴν ἀνάκλασιν . ἡ δὲ Θ μείζων τῆς ΝΙ , ἡ δὲ Μ τῆς Η · ὥστε καὶ ἡ Μ τῆς ΝΙ μείζων ἐστίν · ὅπερ ἀδύνατον . αὐτὴ γὰρ ἡ Ι μείζων τῆς Μ ἐστιν · ἴση γάρ ἐστιν ὅλῃ τῇ πρὸς τῇ περιφερείᾳ . ἐκτὸς ἄρα ἀνακλασθήσεται τοῦ Α . κεκλάσθω καὶ ἔστω ἡ ΒΚΕ . ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΒΛ∠ πεσεῖται ἐκτός . τὸ ἄρα Ε∠ ὑπὸ μείζονος γωνίας θεωρεῖται ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου τῆς περιεχομένης ὑπὸ ΚΒΛ ἤπερ ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ . ἴσον δὲ ἐδείχθη φαινόμενον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ . φανερὸν οὖν , ὅτι ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον φαίνεται τοῦ ὁρωμένου .
Lemmas: ἐν ὁ κυρτός ἔνοπτρον ὁ εἴδωλον ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁράω . εἰμί γάρ κυρτός ἔνοπτρον ὁ ΑΟΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , ὄψις δέ ἀνακλάω ὁ ΒΑ , ΒΓ ἐπί ὁ ∠ , Ε . οὐκοῦν ἀπό ὁ κυρτός ἔνοπτρον θεωρέω ὁ Ε∠ ἐν γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ . παράκειμαι δή ἔνοπτρον ἐπίπεδος ὁ ΑΓ ἅπτω ὁ ὄψις κατά ὁ Α , Γ . οὐκοῦν ὁ ὄψις ὁ μέλλω ὁράω ὁ Ε ἀπό ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον οὐ εἰμί ὁ ΒΑΕ · οὐ γάρ ποιέω γωνία ἴσος πρός ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον . οὐδέ μήν κλάω μεταξύ ὁ Α , Γ . κλάω γάρ , εἰ δυνατός , καί εἰμί ὁ ΒΖΕ ὄψις . ἴσος ἄρα ὁ Η γωνία ὁ Θ διά ὁ ἀνάκλασις . ὁ δέ Θ μέγας ὁ ΝΙν , ὁ δέ Μ ὁ Η · ὥστε καί ὁ Μ ὁ ΝΙν μέγας εἰμί · ὅς ἀδύνατος . αὐτός γάρ ὁ Ι μέγας ὁ Μ εἰμί · ἴσος γάρ εἰμί ὅλος ὁ πρός ὁ περιφέρεια . ἐκτός ἄρα ἀνακλάω ὁ Α . κλάω καί εἰμί ὁ ΒΚΕ . ὅμοιος δέ καί ὁ ΒΛ∠ πίπτω ἐκτός . ὁ ἄρα Ε∠ ὑπό μέγας γωνία θεωρέω ἀπό ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον ὁ περιέχω ὑπό ΚΒΛ ἤ ἀπό ὁ κυρτός . ἴσος δέ δείκνυμι φαίνω ἐν ὁ ἐπίπεδος ἔνοπτρον . φανερός οὖν , ὅτι ἀπό ὁ κυρτός ἔνοπτρον ὁ εἴδωλον ἐλαχύς φαίνω ὁ ὁράω .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 23
Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ εἴδωλα κυρτὰ φαόνεται . ἔστω κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΓ , ὄμμα δὲ τὸ Ε , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΕΑ , ΕΓ ἐπὶ τὰ ∠ , Β , ἡ δὲ ΖΕ ἀνακλωμένη διʼ ἑαυτῆς ἐπὶ τὸ Ε . οὐκοῦν τῶν ὄψεων μέγισται μέν εἰσι τῷ μήκει αἱ πορρωτάτω , ἐλάχισται δὲ αἱ κατὰ μέσον , ὥσπερ ἡ ΕΖ . φαίνεται ἄρα τοῦ ἐνόπτρου ἔγγιον μᾶλλον τὸ Ε , πορρωτάτω δὲ τὸ Β καὶ τὸ ∠ . ὥστε ὅλον κυρτὸν φαίνεται .
Lemmas: ἐν ὁ κυρτός ἔνοπτρον ὁ εἴδωλον κυρτός φαόνω . εἰμί κυρτός ἔνοπτρον ὁ ΑΓ , ὄμμα δέ ὁ Ε , ὄψις δέ ἀνακλάω ὁ ΕΑ , ΕΓ ἐπί ὁ ∠ , Β , ὁ δέ ΖΕ ἀνακλάω διά ἑαυτοῦ ἐπί ὁ Ε . οὐκοῦν ὁ ὄψις μέγας μέν εἰμί ὁ μῆκος ὁ πόρρω , ἐλαχύς δέ ὁ κατά μέσος , ὥσπερ ὁ ΕΖ . φαίνω ἄρα ὁ ἔνοπτρον ἐγγίων μάλα ὁ Ε , πόρρω δέ ὁ Β καί ὁ ∠ . ὥστε ὅλος κυρτός φαίνω .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 24
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τοῦ κέντρου τὸ ὄμμα τεθῇ , αὐτὸ μόνον φαίνεται τὸ ὄμμα . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ ∠ , κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Β , ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ , ΒΓ , Β∠ . οὐκοῦν ἴση ἡ Ε γωνία τῇ Ζ . ἥξει ἄρα ἀνακλωμένη ἡ ΒΓ ὄψις ἐπὶ τὸ Β . ὁμοίως δὲ καὶ αἱ λοιπαί . αὐτὸ μόνον ἄρα ὁρᾶται τὸ Β .
Lemmas: ἐν ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἐάν ἐπί ὁ κέντρον ὁ ὄμμα τίθημι , αὐτός μόνος φαίνω ὁ ὄμμα . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΓ ∠ , κέντρον δέ αὐτός ὁ Β , ὄψις δέ ὁ ΒΑ , ΒΓ , Β∠ . οὐκοῦν ἴσος ὁ Ε γωνία ὁ Ζ . ἥκω ἄρα ἀνακλάω ὁ ΒΓ ὄψις ἐπί ὁ Β . ὅμοιος δέ καί ὁ λοιπός . αὐτός μόνος ἄρα ὁράω ὁ Β .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 25
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα ἢ ἔξω τῆς περιφερείας , οὐ φαίνεται τὸ ὄμμα . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ , καὶ τὸ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τὸ Β , ὄψεις δὲ προσπιπτέτωσαν αἱ ΒΑ , ΒΓ καὶ ἀνακεκλάσθωσαν . οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΜΘ γωνία τῆς Κ , ἡ δὲ ΕΛ τῆς Ζ . ὥστε οὐκ ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ , ΒΓ ὄψεις ἐπὶ τὸ Β ὄμμα . εἰς τὸ ὄμμα δὲ εἰ ἀνεκλῶντο , ἴσαι ἂν αἱ γωνίαι πρὸς τοῖς Α , Γ ἐγίγνοντο . δειχθήσεται δέ , κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας γένηται τὸ ὄμμα , τὰ αὐτὰ συμβαίνοντα , τουτέστι τὸ μὴ ὁρᾶσθαι τὸ ὄμμα διὰ τὸ τὰς ἀνακλάσεις μὴ γενέσθαι ἐπʼ αὐτό .
Lemmas: ἐν ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἐάν ἐπί ὁ περιφέρεια τίθημι ὁ ὄμμα ἤ ἔξω ὁ περιφέρεια , οὐ φαίνω ὁ ὄμμα . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΓΒ , καί ὁ ὄμμα κεῖμαι ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός ὁ Β , ὄψις δέ προσπίπτω ὁ ΒΑ , ΒΓ καί ἀνακλάω . οὐκοῦν μέγας εἰμί ὁ μέν ΜΘ γωνία ὁ Κ , ὁ δέ ΕΛ ὁ Ζ . ὥστε οὐ ἀνακλάω ὁ ΒΑ , ΒΓ ὄψις ἐπί ὁ Β ὄμμα . εἰς ὁ ὄμμα δέ εἰ ἀνακλάω , ἴσος ἄν ὁ γωνία πρός ὁ Α , Γ γίγνομαι . δείκνυμι δέ , ἐάν ἐκτός ὁ περιφέρεια γίγνομαι ὁ ὄμμα , ὁ αὐτός συμβαίνω , τουτέστι ὁ μή ὁράω ὁ ὄμμα διά ὁ ὁ ἀνάκλασις μή γίγνομαι ἐπί αὐτός .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 26
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐκβαλὼν διάμετρον τῆς σφαίρας ἐκ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀναγάγῃς καὶ εἰς τὸ ἕτερον μέρος θῇς τὸ ὄμμα , οὐδὲν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ μέρει , ἐν τὸ ὄμμα ἐστίν , ὀφθήσεται , τουτέστιν οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠ , διάμετρος δὲ ἔστω τῆς σφαίρας ἡ Α∠ , καὶ τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Ζ ἡ ΖΓ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β , ὄψις δὲ ἡ ΒΕ . οὐκοῦν ἡ ΒΕ ἀνακλωμένη οὐχ ἥξει οὔτε ἐπὶ τὸ Β οὔτε ἐπὶ τὸ Ζ · ἐν γὰρ ἴσαις γωνίαις ἀνακλᾶται . ἥξει ἄρα ὡς ἡ ΕΘ . ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν ἐντὸς ἐμπέσῃ τὸ ὄμμα , ὅπου τὸ Θ , ἢ ἐπὶ τῆς διαμέτρου , ὅπου τὸ Μ , ἀνακλώμεναι αἱ ὄψεις αἱ ΘΚ , ΜΝ ἥξουσιν ὡς αἱ ΚΛ , ΝΞ . οὐκ ἄρα ὁρᾶται οὐδὲν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ μέρει , ὅπου ἐστὶ τὸ ὄμμα , οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου .
Lemmas: ἐν ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἐάν ἐκβάλλω διάμετρος ὁ σφαῖρα ἐκ ὁ κέντρον πρός ὀρθός ἀνάγω καί εἰς ὁ ἕτερος μέρος τίθημι ὁ ὄμμα , οὐδείς ὁ ἐν ὁ αὐτός μέρος , ἐν ὁ ὄμμα εἰμί , ὁράω , τουτέστι οὔτε ὁ ἐπί ὁ διάμετρος οὔτε ὁ ἐκτός ὁ διάμετρος . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΓ∠ , διάμετρος δέ εἰμί ὁ σφαῖρα ὁ Α∠ , καί ὁ Α∠ πρός ὀρθός ἀνίστημι ἀπό ὁ κέντρον ὁ Ζ ὁ ΖΓ , ὄμμα δέ εἰμί ὁ Β , ὄψις δέ ὁ ΒΕ . οὐκοῦν ὁ ΒΕ ἀνακλάω οὐ ἥκω οὔτε ἐπί ὁ Β οὔτε ἐπί ὁ Ζ · ἐν γάρ ἴσος γωνία ἀνακλάω . ἥκω ἄρα ὡς ὁ ΕΘ . ὅμοιος δέ καί ἐάν ἐντός ἐμπίπτω ὁ ὄμμα , ὅπου ὁ Θ , ἤ ἐπί ὁ διάμετρος , ὅπου ὁ Μ , ἀνακλάω ὁ ὄψις ὁ ΘΚ , ΜΝ ἥκω ὡς ὁ ΚΛ , ΝΞ . οὐ ἄρα ὁράω οὐδείς ὁ ἐν ὁ αὐτός μέρος , ὅπου εἰμί ὁ ὄμμα , οὔτε ὁ ἐπί ὁ διάμετρος οὔτε ὁ ἐκτός ὁ διάμετρος .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 27
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου , οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων ὀφθήσεται . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠ , διάμετρος δὲ ἡ Α∠ , κέντρον δὲ τὸ Ζ , πρὸς ὀρθὰς δὲ ἡ ΖΓ , ὄμματα δὲ τὰ Β , Ε ἴσον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου , ὄψις δὲ ἡ ΒΓ . οὐκοῦν ἀνακλωμένη ἥξει ἐπὶ τὸ Ε · ἐν ἴσαις γὰρ γωνίαις ἀνακλᾶται . ἄλλη δὲ οὐδεμία ἥξει ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε . εἰ γὰρ ἥξει ὡς ἡ ΒΘ , ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ , ΘΖ · δίχα ἄρα τμηθήσεται ἡ ὑπὸ ΒΘΕ ὑπὸ τῆς ΖΘ , καὶ ἀνάλογον ἔσται ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ , ἡ ΒΖ πρὸς ΖΕ · ὅπερ ἀδύνατον · ἡ μὲν γὰρ ΒΘ μείζων ἐστὶ τῆς ΘΕ , ἡ δὲ ΒΖ ἴση τῇ ΖΕ . οὐδεμία ἄρα ἥξει ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε . μία ἄρα ὄψις μόνον ἀνακλασθήσεται ἐφʼ ἑκατέρου τῶν Β , Ε ὀμμάτων , καὶ οὐκ ὀφθήσεται τὸ Ε · οὐ γὰρ συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ἐκβαλλομένη τῇ Β∠ ἐπὶ τὰ Γ , ∠ μέρη , ἐφαίνετο δὲ ἕκαστον κατὰ τὴν συμβολὴν μόνον τῶν ὁρωμένων · οὐδὲ ἡ ΕΓ οὐ μὴ συμπέσῃ τῇ ΕΑ ἐπὶ τὰ Γ , Α μέρη · ἐν γὰρ τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται .
Lemmas: ἐν ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἐάν ἐπί ὁ διάμετρος τίθημι ὁ ὄμμα ἴσος ἀπέχω ὁ κέντρον , οὐδέτερος ὁ ὄμμα ὁράω . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΓ∠ , διάμετρος δέ ὁ Α∠ , κέντρον δέ ὁ Ζ , πρός ὀρθός δέ ὁ ΖΓ , ὄμμα δέ ὁ Β , Ε ἴσος ἀπέχω ὁ κέντρον , ὄψις δέ ὁ ΒΓ . οὐκοῦν ἀνακλάω ἥκω ἐπί ὁ Ε · ἐν ἴσος γάρ γωνία ἀνακλάω . ἄλλος δέ οὐδείς ἥκω ἀνακλάω ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Ε . εἰ γάρ ἥκω ὡς ὁ ΒΘ , ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΕ , ΘΖ · δίχα ἄρα τέμνω ὁ ὑπό ΒΘΕ ὑπό ὁ ΖΘ , καί ἀνάλογος εἰμί ὡς ὁ ΒΘ πρός ΘΕ , ὁ ΒΖ πρός ΖΕ · ὅς ἀδύνατος · ὁ μέν γάρ ΒΘ μέγας εἰμί ὁ ΘΕ , ὁ δέ ΒΖ ἴσος ὁ ΖΕ . οὐδείς ἄρα ἥκω ἀνακλάω ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Ε . εἷς ἄρα ὄψις μόνος ἀνακλάω ἐπί ἑκάτερος ὁ Β , Ε ὄμμα , καί οὐ ὁράω ὁ Ε · οὐ γάρ συμπίπτω ὁ ΒΓ ἐκβάλλω ὁ Β∠ ἐπί ὁ Γ , ∠ μέρος , φαίνω δέ ἕκαστος κατά ὁ συμβολή μόνος ὁ ὁράω · οὐδέ ὁ ΕΓ οὐ μή συμπίπτω ὁ ΕΑ ἐπί ὁ Γ , Α μέρος · ἐν γάρ ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἕκαστος ὁ ὁράω κατά ὁ ἀπό ὁ ὁράω εἰς ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἄγω εὐθεῖα ὁράω .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 29
Δυνατόν ἐστιν ἔνοπτρον κατασκευασθῆναι ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ φαίνεσθαι πλείω πρόσωπα , τὰ μὲν μείζονα , τὰ δὲ ἐλάσσονα , καὶ τὰ μὲν ἔγγιον , τὰ δὲ πορρώτερον , καὶ τῶν μὲν τὰ δεξιὰ δεξιά , τὰ δὲ ἀριστερὰ ἀριστερά , τῶν δὲ τὰ ἀριστερὰ δεξιά , τὰ δὲ δεξιὰ ἀριστερά . ἔστω γὰρ ἐπίπεδον τὸ ΑΜ . οὐκοῦν ἐν τούτῳ γένοιτʼ ἂν κυρτὰ μὲν ἔνοπτρα οἷα τὰ ΑΟΓ , ΘΡΚ , κοῖλα δὲ οἷα τὰ Γ∠Ε , ΖΗΘ , ἐπίπεδα δὲ οἷα τὰ ΕΖ , ΛΜ . τεθέντος οὖν τοῦ προσώπου , ὅπου τὸ Ν , φαίνεται ἀπὸ μὲν τῶν ἐπιπέδων ἴσα τὰ εἴδωλα καὶ ἴσον ἀπέχοντα , ἀπὸ δὲ τῶν κυρτῶν ἐλάσσονα καὶ ἔλασσον ἀπέχοντα , ἀπὸ δὲ τῶν κοίλων παντοδαπῶς , καθάπερ δέδεικται .
Lemmas: δυνατός εἰμί ἔνοπτρον κατασκευάζω ὥστε ἐν ὁ αὐτός φαίνω πολύς πρόσωπον , ὁ μέν μέγας , ὁ δέ ἐλαχύς , καί ὁ μέν ἐγγίων , ὁ δέ πρόσω , καί ὁ μέν ὁ δεξιός δεξιός , ὁ δέ ἀριστερός ἀριστερός , ὁ δέ ὁ ἀριστερός δεξιός , ὁ δέ δεξιός ἀριστερός . εἰμί γάρ ἐπίπεδος ὁ ΑΜ . οὐκοῦν ἐν οὗτος γίγνομαι ἄν κυρτός μέν ἔνοπτρον οἷος ὁ ΑΟΓ , ΘΡΚ , κοῖλος δέ οἷος ὁ Γ∠Ε , ΖΗΘ , ἐπίπεδος δέ οἷος ὁ ΕΖ , ΛΜ . τίθημι οὖν ὁ πρόσωπον , ὅπου ὁ Ν , φαίνω ἀπό μέν ὁ ἐπίπεδος ἴσος ὁ εἴδωλον καί ἴσος ἀπέχω , ἀπό δέ ὁ κυρτός ἐλαχύς καί ἐλαχύς ἀπέχω , ἀπό δέ ὁ κοῖλος παντοδαπής , καθά δείκνυμι .
euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 30
Ἐκ τῶν κοίλων ἐνόπτρων πρὸς τὸν ἥλιον τεθέντων πῦρ ἐξάπτεται . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΒΓ , ἥλιος δὲ ὁ ΕΖ , κέντρον δὲ τοῦ κατόπτρου τὸ Θ , καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ ∠ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἐπὶ τὸ Θ κέντρον ἡ ∠Θ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β , προσπεπτωκέτω δὲ ἡ ∠Γ ἀκτὶς καὶ ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ Κ . ἀνακλασθήσεται δὴ ἐπάνω τοῦ Θ κέντρου · ἡ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῇ περιφερείᾳ ἡ Π ἐλάσσων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΒΓ∠ . καὶ ἔστω ἡ Α Β περιφέρεια ἴση τῇ ΒΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἄλλη τις ἀκτὶς προσπιπτέτω ἡ ∠Α . φανερὸν οὖν , ὅτι ἀνακλωμένη ἡ Α ∠ ἀκτὶς πεσεῖται ἐπὶ τὸ Κ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ περιφέρειαν τῇ ΒΓ . ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , ὅτι πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ ∠ προσπίπτουσαι πρὸς τὸ ἔνοπτρον καὶ ἴσας ἀπολαμβάνουσαι εἰς τὸ αὐτὸ συμπεσοῦνται τῇ Θ ἀνώτερον τοῦ Θ . ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΒΓ , ἥλιος δὲ ὁ ∠ΕΖ , καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε διὰ τοῦ Θ κέντρου ἔστω ἡ ΕΘΒ , καὶ ἀπʼ ἄλλων [ διὰ ] τῶν ∠ , Ζ αἱ ∠ΘΓ ΖΘΑ . οὐκοῦν προδεδείχαμεν , ὅτι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε ἀκτῖνες συμπεσοῦνται εἰς ἑαυτὰς διὰ τὰς Π , Ρ γωνίας ἴσας οὔσας · διάμετροι γάρ εἰσιν · αἰ δὲ ἀπὸ τοῦ Ζ διὰ τὰς Κ , Λ γωνίας , αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὴν ∠Γ διὰ τὰς Ν , γωνίας ἴσας οὔσας . ὅτι δὲ πᾶσαι αὐταὶ εἰς ἑαυτὰς ἀνακλῶνται , δῆλον · ἐκ τοῦ γὰρ κέντρου οὖσαι ἡμικύκλια ποιοῦσιν , αἱ δὲ τῶν ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι εἰσίν · διʼ ἴσων ἄρα γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίγνονται · εἰς ἑαυτὰς οὖν ἀνακλῶνται . πᾶσαι ἄρα συμπεσοῦνται ἀπὸ πάντων τῶν σημείων ἐπὶ τὰς διὰ τοῦ κέντρου καὶ ἐν τῷ κέντρῳ [ ἀκτῖνας ] . τούτων οὖν τῶν ἀκτίνων ἐκθερμαινομένων περὶ τὸ κέντρον πῦρ ἀθροίζεται . ὥστε ἐνταῦθα στύππιον τεθὲν ἐξαφθήσεται .
Lemmas: ἐκ ὁ κοῖλος ἔνοπτρον πρός ὁ ἥλιος τίθημι πῦρ ἐξάπτω . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΒΓ , ἥλιος δέ ὁ ΕΖ , κέντρον δέ ὁ κάτοπτρον ὁ Θ , καί ἀπό τις σημεῖον ὁ ∠ ἐπιζεύγνυμι μέν ἐπί ὁ Θ κέντρον ὁ ∠Θ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Β , προσπίπτω δέ ὁ ∠Γ ἀκτίς καί ἀνακλάω ἐπί ὁ Κ . ἀνακλάω δή ἐπάνω ὁ Θ κέντρον · ὁ γάρ γωνία ὁ πρός ὁ περιφέρεια ὁ Π ἐλαχύς εἰμί ὁ πρός ὁ περιφέρεια λοιπός ὁ ὑπό ΒΓ∠ . καί εἰμί ὁ Α Β περιφέρεια ἴσος ὁ ΒΓ , καί ἀπό ὁ ∠ ἄλλος τις ἀκτίς προσπίπτω ὁ ∠Α . φανερός οὖν , ὅτι ἀνακλάω ὁ Α ∠ ἀκτίς πίπτω ἐπί ὁ Κ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ ΒΓ . ὅμοιος δέ δείκνυμι , ὅτι πᾶς ὁ ἀπό ὁ ∠ προσπίπτω πρός ὁ ἔνοπτρον καί ἴσος ἀπολαμβάνω εἰς ὁ αὐτός συμπίπτω ὁ Θ ἀνώτερος ὁ Θ . εἰμί πάλιν κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΒΓ , ἥλιος δέ ὁ ∠ΕΖ , καί ἀπό τις σημεῖον ὁ Ε διά ὁ Θ κέντρον εἰμί ὁ ΕΘΒ , καί ἀπό ἄλλος [ διά ] ὁ ∠ , Ζ ὁ ∠ΘΓ ΖΘΑ . οὐκοῦν προδείκνυμι , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Ε ἀκτίς συμπίπτω εἰς ἑαυτοῦ διά ὁ Π , Ρ γωνία ἴσος εἰμί · διάμετρος γάρ εἰμί · ὁ δέ ἀπό ὁ Ζ διά ὁ Κ , Λ γωνία , ὁ δέ ἀπό ὁ ∠ ἐπί ὁ ∠Γ διά ὁ Ν , γωνία ἴσος εἰμί . ὅτι δέ πᾶς αὐτός εἰς ἑαυτοῦ ἀνακλάω , δῆλος · ἐκ ὁ γάρ κέντρον εἰμί ἡμικύκλιον ποιέω , ὁ δέ ὁ ἡμικύκλιον γωνία ἴσος εἰμί · διά ἴσος ἄρα γωνία ὁ ἀνάκλασις γίγνομαι · εἰς ἑαυτοῦ οὖν ἀνακλάω . πᾶς ἄρα συμπίπτω ἀπό πᾶς ὁ σημεῖον ἐπί ὁ διά ὁ κέντρον καί ἐν ὁ κέντρον [ ἀκτίς ] . οὗτος οὖν ὁ ἀκτίς ἐκθερμαίνω περί ὁ κέντρον πῦρ ἀθροίζω . ὥστε ἐνταῦθα στύππιον τίθημι ἐξάπτω .