euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 22
Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἀπὸ τῶν ἐλασσόνων ἐνόπτρων ἐλάσσονα φαίνεται τὰ εἴδωλα . ἔστω σφαῖρα μείζων μὲν ἡ ΑΓ , ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΛ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Θ , ὄμμα δὲ τὸ Β , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΑΘ , καὶ ἀπὸ τῆς σφαίρας ἀνακεκλάσθω ὄψις ἡ ΒΓ∠ . λέγω , ὅτι ἡ ἀνακλασθησομένη ὄψις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπὶ τὸ ∠ οὔτε διὰ τοῦ Γ πεσεῖται οὔτε ἐκτὸς τοῦ πιπτέτω γὰρ πρότερον , εἰ δυνατόν , διὰ τοῦ Γ καὶ ἀνακεκλάσθω ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπὶ τὸ ∠ καὶ ἔστω ἡ ΒΕ∠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Κ . δίχα δὴ τεμεῖ ἡ ΘΓΚ τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓ∠ γωνίαν διὰ τὸ τὴν ΒΓ∠ ἴσας ποιεῖν γωνίας πρὸς τῇ περιφερείᾳ διὰ τὴν ἀνάκλασιν . διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζευγνυμένη καὶ ἐκβληθεῖσα δίχα τεμεῖ τὴν ὑπὸ ΒΕ∠ . τεμνέτω καὶ ἔστω ἡ ΘΕΖ . ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ ΒΕ∠ , καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ἡμισείας μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΚ τῆς ὑπὸ ΒΕΖ . ἔστι δὲ καὶ ἐλάσσων · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἥξει διὰ τοῦ Γ ἡ ἀνακλωμένη ὄψις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας . ὑποκείσθω δὲ πάλιν τὰ αὐτά , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἀνακλωμένη ὄψις ἡ ΒΕ∠ ἐκτὸς πιπτέτω τοῦ Γ , καὶ τεμνέτω ἡ ΒΕ τὴν μείζονα σφαῖραν κατὰ τὸ Ζ . ἡ δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀνακλωμένη ὄψις ἡ ΒΖΚ οὐ συμπεσεῖται τῇ Γ∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται . τῇ ἄρα Ε∠ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ . ἡ ἄρα ΒΖΚ ὄψις ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ μείζονος ἐνόπτρου ὁρᾷ τὸ Κ , καὶ ἡ αὐτὴ ἡ ΒΕΚ ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ὁρᾷ τὸ αὐτὸ Κ · τοῦτο δὲ ἐπάνω ἐδείχθηἀδύνατον . μεταξὺ ἄρα πεσεῖται τῶν Γ Α ἡ ἀνακλωμένη ὄψις ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ἐπὶ τὸ ∠ . ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου μέρους τὸ αὐτὸ ποιοῦσα . ὑπὸ ἐλάσσονος ἄρα γωνίας θεωρεῖται τῆς πρὸς τῷ Β γιγνονένης ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ἤπερ ἀπὸ τοῦ μείζονος . ἔλασσον ἄρα φαίνεται τὸ εἴδωλον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου .
Lemmas: ἐν ὁ κυρτός ἔνοπτρον ἀπό ὁ ἐλαχύς ἔνοπτρον ἐλαχύς φαίνω ὁ εἴδωλον . εἰμί σφαῖρα μέγας μέν ὁ ΑΓ , ἐλαχύς δέ ὁ ΕΛ περί ὁ αὐτός κέντρον ὁ Θ , ὄμμα δέ ὁ Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑΘ , καί ἀπό ὁ σφαῖρα ἀνακλάω ὄψις ὁ ΒΓ∠ . λέγω , ὅτι ὁ ἀνακλάω ὄψις ἀπό ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ἐπί ὁ ∠ οὔτε διά ὁ Γ πίπτω οὔτε ἐκτός ὁ πίπτω γάρ πρότερος , εἰ δυνατός , διά ὁ Γ καί ἀνακλάω ἀπό ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ἐπί ὁ ∠ καί εἰμί ὁ ΒΕ∠ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Γ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Κ . δίχα δή τέμνω ὁ ΘΓΚ ὁ ὑπό ὁ ΒΓ∠ γωνία διά ὁ ὁ ΒΓ∠ ἴσος ποιέω γωνία πρός ὁ περιφέρεια διά ὁ ἀνάκλασις . διά ὁ αὐτός δέ καί ὁ ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Ε ἐπιζεύγνυμι καί ἐκβάλλω δίχα τέμνω ὁ ὑπό ΒΕ∠ . τέμνω καί εἰμί ὁ ΘΕΖ . ἐπεί μέγας εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΓ∠ ὁ ὑπό ΒΕ∠ , καί ὁ ἥμισυς ὁ ἥμισυς μέγας εἰμί ὁ ὑπό ΒΓΚ ὁ ὑπό ΒΕΖ . εἰμί δέ καί ἐλαχύς · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ἥκω διά ὁ Γ ὁ ἀνακλάω ὄψις ἀπό ὁ ἐλαχύς σφαῖρα . ὑπόκειμαι δέ πάλιν ὁ αὐτός , καί ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ἀνακλάω ὄψις ὁ ΒΕ∠ ἐκτός πίπτω ὁ Γ , καί τέμνω ὁ ΒΕ ὁ μέγας σφαῖρα κατά ὁ Ζ . ὁ δή ἀπό ὁ Ζ ἀνακλάω ὄψις ὁ ΒΖΚ οὐ συμπίπτω ὁ Γ∠ οὗτος γάρ δείκνυμι . ὁ ἄρα Ε∠ συμπίπτω κατά ὁ Κ . ὁ ἄρα ΒΖΚ ὄψις ἀνακλάω ἀπό ὁ μέγας ἔνοπτρον ὁράω ὁ Κ , καί ὁ αὐτός ὁ ΒΕΚ ἀνακλάω ἀπό ὁ ἐλαχύς ἔνοπτρον ὁράω ὁ αὐτός Κ · οὗτος δέ ἐπάνω εδειχθηαδυναω . μεταξύ ἄρα πίπτω ὁ Γ Α ὁ ἀνακλάω ὄψις ἀπό ὁ ἐλαχύς ἔνοπτρον ἐπί ὁ ∠ . ὅμοιος δέ δείκνυμι καί ὁ ἀπό ὁ ἕτερος μέρος ὁ αὐτός ποιέω . ὑπό ἐλαχύς ἄρα γωνία θεωρέω ὁ πρός ὁ Β γίγνοναι ἀπό ὁ ἐλαχύς ἔνοπτρον ἤ ἀπό ὁ μέγας . ἐλαχύς ἄρα φαίνω ὁ εἴδωλον ἀπό ὁ ἐλαχύς ἔνοπτρον .