euclides-geom.catoptrica-recensio-theonis 28
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν τὴν ἐκ τοῦ κέντρου δίχα τεμὼν καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγὼν θῇς τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , θῇς δὲ ἢ ἀνὰ μέσον τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἢ ἐπʼ αὐτῆς τῆς πρὸς ὀρθάς , οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων φαίνεται . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠ , διάμετρος δὲ ἡ Α∠ , κέντρον δὲ τὸ Κ , καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΓ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Π , πρὸς ὀρθὰς δὲ αὐτῇ ἔστω ἡ ΕΠΖ , καὶ ὄμματα τὰ Β , Θ μεταξὺ κείμενα τῆς τε διαμέτρου τῆς Α∠ καὶ τῆς ΕΖ ἐν παραλλήλοις ταῖς ΕΖ , ΒΘ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ΚΓ , ὄψις δὲ ἔστω ἡ ΒΓ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Θ ἴσας γὰρ ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ περιφερείᾳ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΖΕ τῇ ΒΘ καὶ ἴσην τὴν ΒΝ τῇ ΝΘ . καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΒ , ΚΘ ἐκβεβλήσθωσαν , ἐκβεβλήσθω δὲ καὶ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Φ . καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Β Κ , μείζων ἐστὶν ἡ Ρ γωνία τῆς Ι . ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΘ μείζων τῆς ὑπὸ ΘΒΚ , τουτέστι τῆς ὑπὸ ΒΘΚ . οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ τῇ ΚΘ . οὐκ ἄρα ὀφθήσεται τὸ Θ κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν φαίνεται τῶν ΒΓ , ΚΘ . ἔστω πάλιν τὰ αὐτὰ τῇ ἐπάνω , τὰ δὲ Β , Θ ὄμματα ἔστωσαν ἐπὶ τῆς δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμνούσης τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τῆς Α∠ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΒΖ , ἡ δὲ ΓΘ τῇ Ζ Θ , παράλληλος ἂν εἴη ἡ ΒΓ τῇ ΖΘ . οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ὄψις τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ ὁρώμενον , τουτέστι τῇ ΖΘ , ἐπὶ τὰ Θ , μέρη . ὥστε οὐ φαίνεται τὸ Θ ὄμμα · κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν ἐφαίνετο τῶν ΒΓ , ΖΘ . ἔστω πάλιν τὰ αὐτά , τῆς δὲ διχοτομίας ἀνωτέρω κείσθω τὰ ὄμματα τὰ Β , Γ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς Ζ Α . φημὶ δὴ φαίνεσθαι τὰ Β , Γ καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον μεῖζον τοῦ προσώπου καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου ἔχον μεῖζον τὸ εἴδωλον . ἔστω γὰρ ἡ ΒΑ ὄψις ἀνακλωμένη , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ Β , Γ αἱ ΖΒ , ΖΓ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ . ἐπεὶ οὖν διχοτομία ἐστὶ τὸ Ν , μείζων ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΒΑ καὶ ἡ Κ γωνία τῆς Ε . ἴση δὲ ἡ Κ τῇ ∠ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ∠ τῆς Ε . συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΖΒ , ΓΑ ἐκβληθεῖσαι . συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Π . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΒΑ , ΖΓ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Θ . ὀφθήσεται ἄρα τὸ μὲν Γ ἐπὶ τοῦ Θ , τὸ δὲ Β ἐπὶ τοῦ Π , καὶ φαίνεται τὰ μὲν δεξιὰ ἀριστερά , τὰ δὲ ἀριστερὰ δεξιά . ἀλλὰ μὴν καὶ μείζων ἡ ΘΠ τῆς ΒΙ παράλληλοι γάρ εἰσιν . τὸ ἄρα εἴδωλον φαίνεται μεῖζον καὶ μεῖζον ἀπέχον τοῦ ἐνόπτρου · μείζων γὰρ ἡ ΜΑ τῆς ΑΛ . ἐὰν δὲ ἔξω τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα , τὰ δεξιὰ φαίνεται δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ προσώπου καὶ ἐν τῷ ἀνὰ μέσον τοῦ προσώπου καὶ τοῦ ἐνόπτρου . ἔστω γὰρ ὄμματα τὰ Β , Γ , κέντρον δὲ τὸ Ζ τοῦ ἐνόπτρου , καὶ τῇ διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω ἡ Α Ζ ∠ , καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΓ , καὶ ἴση τῇ ΒΑ ἔστω ἡ ΑΓ . καὶ ὄψις ἡ Β∠ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Γ καὶ διὰ τοῦ κέντρου αἱ ΒΖΚ , ΓΖΕ , καὶ ἀπὸ τῶν Ε , Κ ἡ ΚΕ ἐπεζεύχθω . οὐκοῦν τὸ μὲν Β ἐπὶ τοῦ Κ φαίνεται , τὸ δὲ Γ ἐπὶ τοῦ Ε . τὰ ἄρα δεξιὰ δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὸ ΕΚ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ ΒΓ προσώπου · παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΕΚ τῇ ΒΓ · καὶ ἀνὰ μέσον τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ προσώπου φαίνεται τὸ εἴδωλον . ἀναγομένου δὲ τοῦ προσώπου ἔτι ἔλασσον φαίνεται τὸ εἴδωλον . ἔστω γὰρ τὸ ΜΝ πρόσωπον τὸ αὐτὸ τῷ ΒΓ ἀφεστηκὸς ἀπὸ τοῦ ΒΓ κείμενον ὁμοίως . οὐκοῦν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ἀνώτερον πεσεῖται τοῦ Κ ὡς τὸ Λ , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ζ ἀνώτερον τοῦ Ε ὡς τὸ Θ . φαίνεται ἄρα τὸ ΜΝ ὡς τὸ ΘΛ . καί ἐστιν ἔλασσον τὸ ΘΛ τοῦ ΕΚ καὶ ἔγγιον τοῦ ἐνόπτρου .
Lemmas: ἐν ὁ κοῖλος ἔνοπτρον ἐάν ὁ ἐκ ὁ κέντρον δίχα τέμνω καί πρός ὀρθός ἄγω τίθημι ὁ ὄμμα ἴσος ἀπέχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον , τίθημι δέ ἤ ἀνά μέσος ὁ διάμετρος καί ὁ πρός ὀρθός ἤ ἐπί αὐτός ὁ πρός ὀρθός , οὐδέτερος ὁ ὄμμα φαίνω . εἰμί κοῖλος ἔνοπτρον ὁ ΑΓ∠ , διάμετρος δέ ὁ Α∠ , κέντρον δέ ὁ Κ , καί ὁ πρός ὀρθός ὁ ΚΓ δίχα τέμνω κατά ὁ Π , πρός ὀρθός δέ αὐτός εἰμί ὁ ΕΠΖ , καί ὄμμα ὁ Β , Θ μεταξύ κεῖμαι ὁ τε διάμετρος ὁ Α∠ καί ὁ ΕΖ ἐν παράλληλος ὁ ΕΖ , ΒΘ ἴσος ἀπέχω ὁ ΚΓ , ὄψις δέ εἰμί ὁ ΒΓ ἀνακλάω ἐπί ὁ Θ ἴσος γάρ ποιέω γωνία πρός ὁ περιφέρεια διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ ΖΕ ὁ ΒΘ καί ἴσος ὁ ΒΝ ὁ ΝΘ . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΒ , ΚΘ ἐκβάλλω , ἐκβάλλω δέ καί ὁ ΓΒ ἐπί ὁ Φ . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΒΓ ὁ Β Κ , μέγας εἰμί ὁ Ρ γωνία ὁ Ι . ὥστε καί ὁ ὑπό ΓΒΘ μέγας ὁ ὑπό ΘΒΚ , τουτέστι ὁ ὑπό ΒΘΚ . οὐ ἄρα συμπίπτω ὁ ΒΓ ὁ ΚΘ . οὐ ἄρα ὁράω ὁ Θ κατά γάρ ὁ συμβολή φαίνω ὁ ΒΓ , ΚΘ . εἰμί πάλιν ὁ αὐτός ὁ ἐπάνω , ὁ δέ Β , Θ ὄμμα εἰμί ἐπί ὁ δίχα καί πρός ὀρθός τέμνω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἐπί ὁ Α∠ . ἐπεί οὖν ἴσος ὁ μέν ΒΓ ὁ ΒΖ , ὁ δέ ΓΘ ὁ Ζ Θ , παράλληλος ἄν εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΖΘ . οὐ ἄρα συμπίπτω ὁ ΒΓ ὄψις ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἐπί ὁ ὁράω , τουτέστι ὁ ΖΘ , ἐπί ὁ Θ , μέρος . ὥστε οὐ φαίνω ὁ Θ ὄμμα · κατά γάρ ὁ συμβολή φαίνω ὁ ΒΓ , ΖΘ . εἰμί πάλιν ὁ αὐτός , ὁ δέ διχοτομία ἀνώτερος κεῖμαι ὁ ὄμμα ὁ Β , Γ ἴσος ἀπέχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ζ Α . φημί δή φαίνω ὁ Β , Γ καί ὁ δεξιός ἀριστερός καί ὁ ἀριστερός δεξιός καί ὁ εἴδωλον μέγας ὁ πρόσωπον καί ὁ ἀπόστημα ἀπό ὁ ἔνοπτρον ἔχω μέγας ὁ εἴδωλον . εἰμί γάρ ὁ ΒΑ ὄψις ἀνακλάω , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ Β , Γ ὁ ΖΒ , ΖΓ , καί ἐκβάλλω ὁ ΒΑ . ἐπεί οὖν διχοτομία εἰμί ὁ Ν , μέγας εἰμί ὁ ΒΖ ὁ ΒΑ καί ὁ Κ γωνία ὁ Ε . ἴσος δέ ὁ Κ ὁ ∠ · μέγας ἄρα καί ὁ ∠ ὁ Ε . συμπίπτω ἄρα ὁ ΖΒ , ΓΑ ἐκβάλλω . συμπίπτω κατά ὁ Π . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΒΑ , ΖΓ συμπίπτω κατά ὁ Θ . ὁράω ἄρα ὁ μέν Γ ἐπί ὁ Θ , ὁ δέ Β ἐπί ὁ Π , καί φαίνω ὁ μέν δεξιός ἀριστερός , ὁ δέ ἀριστερός δεξιός . ἀλλά μήν καί μέγας ὁ ΘΠ ὁ ΒΙ παράλληλος γάρ εἰμί . ὁ ἄρα εἴδωλον φαίνω μέγας καί μέγας ἀπέχω ὁ ἔνοπτρον · μέγας γάρ ὁ ΜΑ ὁ ΑΛ . ἐάν δέ ἔξω ὁ διάμετρος τίθημι ὁ ὄμμα , ὁ δεξιός φαίνω δεξιός καί ὁ ἀριστερός ἀριστερός καί ὁ εἴδωλον ἐλαχύς ὁ πρόσωπον καί ἐν ὁ ἀνά μέσος ὁ πρόσωπον καί ὁ ἔνοπτρον . εἰμί γάρ ὄμμα ὁ Β , Γ , κέντρον δέ ὁ Ζ ὁ ἔνοπτρον , καί ὁ διάμετρος πρός ὀρθός εἰμί ὁ Α Ζ ∠ , καί οὗτος πρός ὀρθός ὁ ΒΓ , καί ἴσος ὁ ΒΑ εἰμί ὁ ΑΓ . καί ὄψις ὁ Β∠ ἀνακλάω ἐπί ὁ Γ καί διά ὁ κέντρον ὁ ΒΖΚ , ΓΖΕ , καί ἀπό ὁ Ε , Κ ὁ ΚΕ ἐπιζεύγνυμι . οὐκοῦν ὁ μέν Β ἐπί ὁ Κ φαίνω , ὁ δέ Γ ἐπί ὁ Ε . ὁ ἄρα δεξιός δεξιός καί ὁ ἀριστερός ἀριστερός φαίνω καί ὁ ΕΚ εἴδωλον ἐλαχύς ὁ ΒΓ πρόσωπον · παράλληλος γάρ εἰμί ὁ ΕΚ ὁ ΒΓ · καί ἀνά μέσος ὁ ἔνοπτρον καί ὁ πρόσωπον φαίνω ὁ εἴδωλον . ἀνάγω δέ ὁ πρόσωπον ἔτι ἐλαχύς φαίνω ὁ εἴδωλον . εἰμί γάρ ὁ ΜΝ πρόσωπον ὁ αὐτός ὁ ΒΓ ἀφίστημι ἀπό ὁ ΒΓ κεῖμαι ὅμοιος . οὐκοῦν ὁ ἀπό ὁ Μ ἐπί ὁ Ζ κέντρον ἐπιζεύγνυμι καί ἐκβάλλω ἀνώτερος πίπτω ὁ Κ ὡς ὁ Λ , ὁ δέ ἀπό ὁ Ν ἐπί ὁ Ζ ἀνώτερος ὁ Ε ὡς ὁ Θ . φαίνω ἄρα ὁ ΜΝ ὡς ὁ ΘΛ . καί εἰμί ἐλαχύς ὁ ΘΛ ὁ ΕΚ καί ἐγγίων ὁ ἔνοπτρον .