ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 1
Διοφάντου ἐπιπεδομετρικά .
Lemmas: Διόφαντος επιπεδομετρικός .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 2
Ἔχει ὁ κύκλος διαμέτρῳ πόδας ζ · εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: Ἔχις ὁ κύκλος διάμετρος πόδι ζʹ · εὑρίσκω ὁ περίμετρον καί ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 3
Ποίει τὴν διάμετρον τρισσάκις καὶ αὐτῇ τῇ διαμέτρῳ πρόσβαλε μέρος ζ τῶν ζ · γίνονται κβ · τοσοῦτον ἡ περίμετρος .
Lemmas: ποιέω ὁ διάμετρος τρισσάκις καί αὐτός ὁ διάμετρος προσβάλλω μέρος ζʹ ὁ ζʹ · γίγνομαι κβʹ · τοσοῦτος ὁ περίμετρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 4
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως · τοὺς ζ ἐφʼ ἑαυτούς , γίνονται μθ · τούτους διαπαντὸς ἐπὶ τὰ ια , γίνονται φλθ · τούτων ιδʹ , λη U+2220΄ · ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον .
Lemmas: Τέ δέ ἐμβαδόν οὕτως · ὁ ζ ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι μθʹ · οὗτος διαπαντός ἐπί ὁ ἰά , γίγνομαι φλθʹ · οὗτος ἴδη , λα U+2220΄ · εἰμί ὁ ἐμβαδόν τοσοῦτος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 5
Κύκλος οὗ ἡ μὲν διάμετρος ιδ , ἡ δὲ περίμετρος μδ · εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ τῆς περιμέτρου καὶ διαμέτρου . ποίει οὕτως · λάβε τῆς περιμέτρου τὸ U+2220΄ , γίνονται κβ · καὶ τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄ , γίνονται ζ · πολυπλασίασον τὰ ζ ἐπὶ τὰ κβ , γίνονται ρνδ · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: Κύκλος ὅς ὁ μέν διάμετρος ιδʹ , ὁ δέ περίμετρος μδʹ · εὑρίσκω ὁ ἐμβαδόν ἀπό ὁ περίμετρος καί διάμετρος . ποιέω οὕτως · λαμβάνω ὁ περίμετρος ὁ U+2220΄ , γίγνομαι κβʹ · καί ὁ διάμετρος ὁ U+2220΄ , γίγνομαι ζʹ · πολυπλασιάζω ὁ ζ ἐπί ὁ κβʹ , γίγνομαι ρνδ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 6
Καὶ ἄλλως . πολυπλασίασον τὰ μδ ἐπὶ τὰ ιδ , γίνονται χις · τούτων λάβε δʹ , γίνονται ρνδ · τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: καί ἄλλως . πολυπλασιάζω ὁ μδʹ ἐπί ὁ ιδʹ , γίγνομαι χι · οὗτος λαμβάνω δέ , γίγνομαι ρνδ · τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 7
Ἔτι . κύκλου περίμετρος μδ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον . ποίησον καθολικῶς τοὺς μδ ἑπτάκις , γίνονται τῆ · τούτων τὸ κβ΄ , ιδ · τοσοῦτον ἡ διάμετρος .
Lemmas: ἔτι . κύκλος περίμετρος μδʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ διάμετρος . ποιέω καθολικός ὁ μδʹ ἑπτάκις , γίγνομαι τῆ · οὗτος ὁ ΚΒ΄ , ιδʹ · τοσοῦτος ὁ διάμετρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 8
Τριῶν κύκλων ἁπτομένων ἀλλήλων , εὑρεῖν τοῦ μέσου σχήματος τὸ ἐμβαδόν · ἔστωσαν δὲ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἀνᾶ ζ . ποίει οὕτως · τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν , γίνονται μθ · ταῦτα δίς , γίνονται ?? η · τούτων τὸ ιδʹ , γίνονται ζ · ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον .
Lemmas: Τριών κύκλος ἅπτω ἀλλήλων , εὑρίσκω ὁ μέσος σχῆμα ὁ ἐμβαδόν · εἰμί δέ αὐτός ὁ διάμετρος ἀνά ζʹ . ποιέω οὕτως · ὁ διάμετρος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι μθʹ · οὗτος δίς , γίγνομαι ?? η̅ · οὗτος ὁ ἴδη , γίγνομαι ζʹ · εἰμί ὁ ἐμβαδόν τοσοῦτος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 9
Τεσσάρων κύκλων ἁπτομένων ἀλλήλων , εὑρεῖν τοῦ μέσου σχήματος τὸ ἐμβαδόν · ἔστωσαν δὲ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἀνὰ ζ . ποίει οὕτως · τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν , γίνονται μθ · ταῦτα τρισσάκις , γίνονται ρμζ ὧν ιδʹ , ι U+2220΄ · τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: τέσσαρες κύκλος ἅπτω ἀλλήλων , εὑρίσκω ὁ μέσος σχῆμα ὁ ἐμβαδόν · εἰμί δέ αὐτός ὁ διάμετρος ἀνά ζʹ . ποιέω οὕτως · ὁ διάμετρος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι μθʹ · οὗτος τρισσάκις , γίγνομαι ρμζʹ ὅς ἴδη , ιʹ U+2220΄ · τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 10
Ἔστω ἡμικύκλιον οὗ ἡ βάσις ιδ , ἡ δὲ κάθετος ζ · εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδόν . ποίει οὕτως · σύνθες τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον , τουτέστι τοὺς ιδ ἐπὶ τοὺς ζ , γίνονται ?? η · ταῦτα καθολικῶς ἑνδεκάκις , γίνονται αοη · τούτων τὸ ιδʹ , οζ · τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: εἰμί ἡμικύκλιον ὅς ὁ βάσις ιδʹ , ὁ δέ κάθετος ζʹ · εὑρίσκω ὁ περίμετρον καί ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · συντίθημι ὁ βάσις ἐπί ὁ κάθετος , τουτέστι ὁ ιδʹ ἐπί ὁ ζʹ , γίγνομαι ?? η̅ · οὗτος καθολικός ἑνδεκάκις , γίγνομαι αοη · οὗτος ὁ ἴδη , οζʹ · τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 11
Ἔστω σφαῖρα ἔχουσα τὴν διάμετρον ι · εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν . ποίει οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρ · ταῦτα ἐπὶ τὰ ια , γίνονται αρ · τούτων τὸ ιδʹ , οη U+2220΄ ιδʹ · ταῦτα τετράκις , γίνονται τιδ δʹ κη · τοσοῦτον ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας .
Lemmas: εἰμί σφαῖρα ἔχω ὁ διάμετρος Ι · εὑρίσκω αὐτηες͂ς ὁ ἐπιφάνεια . ποιέω οὕτως · ὁ Ι ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · οὗτος ἐπί ὁ ἰά , γίγνομαι αρʹ · οὗτος ὁ ἴδη , οηʹ U+2220΄ ἴδη · οὗτος τετράκις , γίγνομαι τιδʹ δέ καί · τοσοῦτος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 12
Τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐπὶ τῶνδε τῶν ἀριθμῶν · Ϛ , η , θ , ιβ ὁ μὲν οὖν η πρὸς τὸν ϛ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ , καθʼ ἣν ἡ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἁρμονία · ὁ δὲ ιβ πρὸς τὸν ϛ ἐν διπλασίῳ , καθʼ ἣν ἡ διὰ πασῶν ἕξεων ἔλεγχοι καὶ τῆς ἀναλογίας ἀριθμητικῆς μὲν ἐκ τῶν ϛ καὶ θ καὶ ιβ · οἷς γὰρ ἂν ὑπερέχῃ ὁ μέσος τοῦ πρώτου , τοσούτοις ὑπερέχεται τοῦ τελευταίου . γεωμετρικὴ δὲ ἡ τῶν τεσσάρων · ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ η πρὸς τὰ ϛ , τοσοῦτον τὰ ιβ πρὸς τὰ θ ὁ δὲ λόγος ἐπίτριτος .
Lemmas: Τέ δέ πλινθίον συνίστημι ἐπί ὅδε ὁ ἀριθμός · Ϛ , η̅ , θ , Ἶβ ὁ μέν οὖν η̅ πρός ὁ ϛ ἐν ἐπίτριτος λόγος , κατά ὅς ὁ διά τέσσαρες εἰμί ἁρμονία · ὁ δέ Ἶβ πρός ὁ ϛ ἐν διπλάσιος , κατά ὅς ὁ διά πᾶς ἕξις ἔλεγχος καί ὁ ἀναλογία ἀριθμητικός μέν ἐκ ὁ ϛ καί θ καί ιβʹ · ὅς γάρ ἄν ὑπερέχω ὁ μέσος ὁ πρῶτος , τοσοῦτος ὑπερέχω ὁ τελευταῖος . γεωμετρικός δέ ὁ ὁ τέσσαρες · ὅς γάρ λόγος ἔχω ὁ η̅ πρός ὁ ϛ , τοσοῦτος ὁ ιβʹ πρός ὁ θ ὁ δέ λόγος ἐπίτριτος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 13
Ἡμικυκλίου λώρου τοῦ λεγομένου ἡ διάμετρος ζ καὶ τὰ πάχη ἀνὰ β . σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὰ δύο πάχη , γίνονται ια · ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρκα · ἀπὸ τούτων ὕφειλον τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν , γίνονται μθ , λοιπὸν οβ · ταῦτα ἐπὶ τὰ ια , γίνονται ψ ?? β · τούτων τὸ κηʹ , γίνονται κη δʹ κηʹ · τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τοῦ λώρου .
Lemmas: ἡμικύκλιον λῶρος ὁ λέγω ὁ διάμετρος ζ καί ὁ πάχος ἀνά β . συντίθημι ὁ διάμετρος καί ὁ δύο πάχος , γίγνομαι ἰά · οὗτος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρκαʹ · ἀπό οὗτος ὑφαιρέω ὁ διάμετρος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι μθʹ , λοιπός οβʹ · οὗτος ἐπί ὁ ἰά , γίγνομαι ψ ?? β · οὗτος ὁ καίω , γίγνομαι καί δέ καίω · τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν ὁ λῶρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 14
ἄλλως . σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὸ ἓν πάχος , γίνονται θ · ταῦτα ἐπὶ τὰ ια , γίνονται ?? θ · τούτων τὸ ζʹ , γίνονται ιδ ζʹ · τοσοῦτον ἡ περίμετρος ἐν τῷ μέσῳ · ταῦτα ἐπὶ τὸ πάχος , ἐπὶ τὰ β , γίνονται κη δʹ κη΄ .
Lemmas: ἄλλως . συντίθημι ὁ διάμετρος καί ὁ εἷς πάχος , γίγνομαι θʹ · οὗτος ἐπί ὁ ἰά , γίγνομαι ?? θʹ · οὗτος ὁ γῆ , γίγνομαι ιδʹ γῆ · τοσοῦτος ὁ περίμετρος ἐν ὁ μέσος · οὗτος ἐπί ὁ πάχος , ἐπί ὁ β , γίγνομαι καί δέ κη΄ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 15
Μέθοδος τῶν πολυγώνων .
Lemmas: μέθοδος ὁ πολύγωνον .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 16
Πεντάγωνον μετρήσομεν οὕτως οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . ποιῶ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρ · ταῦτα ποιῶ πεντάκις , γίνονται φ · ὧν γʹ ρξς ?? · ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ρξς ?? .
Lemmas: πεντάγωνος μετρέω οὕτως ὅς ἕκαστος πλευρά ιʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · ὁ Ι ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · οὗτος ποιέω πεντάκις , γίγνομαι Φ · ὅς γε ρξς ?? · εἰμί ὁ ἐμβαδόν ρξς ?? .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 17
Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν διάμετρον · ἔσται ιζ · ποιῶ δὲ οὕτως · τὰ ι τῆς πλευρᾶς ἐπὶ τὰ ιζ , γίνονται ρο · ταῦτα μερίζω ἐπὶ τὰ ι , γίνονται ιζ · ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ περιγραφομένου κύκλου ιζ .
Lemmas: εὑρίσκω δέ καί ὁ περιγράφω κύκλος ὁ διάμετρος · εἰμί ιζʹ · ποιέω δέ οὕτως · ὁ Ι ὁ πλευρά ἐπί ὁ ιζʹ , γίγνομαι ροʹ · οὗτος μερίζω ἐπί ὁ ιʹ , γίγνομαι ιζʹ · εἰμί ὁ διάμετρος ὁ περιγράφω κύκλος ιζʹ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 18
Ἑξάγωνον δὲ μετρήσομεν οὕτως . ἐὰν ἔχῃ τὴν διάμετρον ξ , ἡ δὲ πλευρὰ λ , ποιῶ οὕτως · τὰ λ ἐφʼ ἑαυτῇ , γίνονται ?? · ταῦτα ποιῶ ἑξάκις , γίνονται ευ · ὧν τρίτον καὶ δέκατον , γίνονται βτμ · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἑξάγωνον .
Lemmas: ἑξάγωνος δέ μετρέω οὕτως . ἐάν ἔχω ὁ διάμετρος ξ , ὁ δέ πλευρά λ , ποιέω οὕτως · ὁ λ ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ?? · οὗτος ποιέω ἑξάκις , γίγνομαι ευ · ὅς τρίτος καί δέκατος , γίγνομαι βτμ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἑξάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 19
Ἄλλως δὲ . πάλιν τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν , γίνονται ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ ιγ , γίνονται α . αψ · ἄρτι μερίζω · ὧν εʹ , γίνονται βτμ · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδσν .
Lemmas: ἄλλος δέ . πάλιν ὁ πλευρά ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι οὗτος πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ιγʹ , γίγνομαι α . ἄψ · ἄρτι μερίζω · ὅς εἰ , γίγνομαι βτμ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδίζω .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 20
Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . ποιῶ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρ · καὶ τὰ ρ ἐπὶ μγ , γίνονται δτ · ὧν τὸ ιβʹ , τμη γʹ · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: εἰμί ἑπτάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , ὅς ἕκαστος πλευρά ιʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · ὁ Ι ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · καί ὁ ρ ἐπί μγʹ , γίγνομαι δτ · ὅς ὁ ἶβις , τμη γε · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 21
Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . ποιῶ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρ · ταῦτα ἐπὶ τὰ κθ , γίνονται β ?? · τούτων ποιῶ πάντοτε τὸ Ϛʹ , γίνονται υπγ γʹ · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου .
Lemmas: εἰμί ὀκτάγωνος ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , ὅς ἕκαστος πλευρά ιʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · ὁ Ι ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · οὗτος ἐπί ὁ κθʹ , γίγνομαι β ?? · οὗτος ποιέω πάντοτε ὁ ϛηʹ , γίγνομαι υπʹ γε · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ ὀκτάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 22
Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν διάμετρον · ἔσται πόδες κϚ · ποιῶ δὲ οὕτως · τὰ κϚ πεντάκις , γίνονται ρλ · ὧν τὸ ιγʹ , ι · τοσοῦτον ἡ πλευρὰ ἑκάστη τοῦ ὀκταγώνου .
Lemmas: εὑρίσκω δέ καί ὁ περιγράφω κύκλος ὁ διάμετρος · εἰμί πούς κϚʹ · ποιέω δέ οὕτως · ὁ κϚʹ πεντάκις , γίγνομαι ρλʹ · ὅς ὁ πνίξ , ιʹ · τοσοῦτος ὁ πλευρά ἕκαστος ὁ ὀκτάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 23
Ἐὰν δὲ εἰς τετράγωνον θέλῃς ἐγγράψαι ὀκτάγωνον , ἐὰν ἔχῃ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου κδ , τούτους πεντάκις , γίνονται ρκ · ὧν τὸ ιβ΄ , γίνονται ι · τοσοῦτον ἡ πλευρὰ τοῦ ὀκταγώνου .
Lemmas: ἐάν δέ εἰς τετράγωνος ἐθέλω ἐγγράφω ὀκτάγωνος , ἐάν ἔχω ὁ πλευρά ὁ τετράγωνος κδʹ , οὗτος πεντάκις , γίγνομαι ρκʹ · ὅς ὁ ἰβʹ , γίγνομαι ιʹ · τοσοῦτος ὁ πλευρά ὁ ὀκτάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 24
Ἔδστω ἐννάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . ποιῶ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρ · ταῦτα ἐπὶ τὰ να , γίνονται ερ · τούτων τὸ η΄ , γίνονται χλζ U+2220΄ · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: Ἔδστω ἐννάγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , ὅς ἕκαστος πλευρά ιʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · ὁ Ι ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · οὗτος ἐπί ὁ ναʹ , γίγνομαι ἄρα · οὗτος ὁ Η΄ , γίγνομαι χλζ U+2220΄ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 25
Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν διάμετρον . ἔσται πόδες λ · ποιῶ οὕτως · ἑκάστη πλευρὰ ἔχει ι · ἡ δὲ διάμετρος τριπλάσιον , γίνονται πόδες λ .
Lemmas: εὑρίσκω δέ καί ὁ περιγράφω κύκλος ὁ διάμετρος . εἰμί πούς λ · ποιέω οὕτως · ἕκαστος πλευρά ἔχω ιʹ · ὁ δέ διάμετρος τριπλάσιος , γίγνομαι πούς λ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 26
Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον , οὗ ἑκάστη πλευρὰ πόδες ι · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . ποιῶ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά , γίνεται ρ · ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε , γίνεται αφ · ὧν τὸ U+2220΄ , γίνεται ψν · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου , πόδες ψν .
Lemmas: εἰμί δεκάγωνος ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος , ὅς ἕκαστος πλευρά πούς ιʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · ὁ Ι ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · οὗτος ἐπί ὁ ιεʹ , γίγνομαι ἀπό · ὅς ὁ U+2220΄ , γίγνομαι ψ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν ὁ δεκάγωνος , πούς ψ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 27
Ἄλλως δὲ πάλιν τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά , γίνεται ρ · ταῦτα ἐπὶ τὰ λη , γίνονται γω · τούτων ἀεὶ τὸ εʹ , γίνεται ψξ · αὕτη ἡ μέθοδος ἀκριβῶς ἔχει , ἡ δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου τοῦ περιεχομένου τῷ δεκαγώνῳ ἐστὶ πόδες κε .
Lemmas: ἄλλος δέ πάλιν ὁ Ι ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · οὗτος ἐπί ὁ λα , γίγνομαι γο · οὗτος ἀεί ὁ εἰ , γίγνομαι ψξ · οὗτος ὁ μέθοδος ἀκριβῶς ἔχω , ὁ δέ διάμετρος ὁ κύκλος ὁ περιέχω ὁ δεκάγωνος εἰμί πούς ἄν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 28
Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον , οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . ποιῶ οὕτως · τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρ · ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϚ , γίνονται Ϛχ · ὧν ἕβδομον , ?? μγ · ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον .
Lemmas: εἰμί ἑνδεκάγωνος ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος , ὅς ἕκαστος πλευρά ιʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · ὁ Ι ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · οὗτος ἐπί ὁ ξϛʹ , γίγνομαι ϛχʹ · ὅς ἕβδομος , ?? μγʹ · εἰμί ὁ ἐμβαδόν τοσοῦτος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 29
Ἔστω δωδεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον , οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν . ποιῶ οὕτως · τὰ ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρ · ταῦτα ἐπὶ τὰ με , γίνονται δφ · ὧν τὸ δʹ , γίνονται αρκε · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: εἰμί δωδεκάγωνον ἰσόπλευρος καί ἰσογώνιος , ὅς ἕκαστος πλευρά ιʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ ἐμβαδόν . ποιέω οὕτως · ὁ ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρ · οὗτος ἐπί ὁ ἐγώ , γίγνομαι δφ · ὅς ὁ δέ , γίγνομαι ἄρξ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 30
Ἐὰν θέλῃς ἀπὸ διαμέτρου κύκλου εὑρεῖν πλευρὰν ὀκταγωνικήν , ποίει οὕτως · τὴν διάμετρον πεντάκις οὖσαν ιβ , γίνονται ξ · ἄρτι μερίζω · ὧν τὸ ιβʹ , γίνονται ε · τοσοῦτόν ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ ὀκταγώνου , ἡ δὲ διάμετρος ιβ .
Lemmas: ἐάν ἐθέλω ἀπό διάμετρος κύκλος εὑρίσκω πλευρά ὀκταγωνικός , ποιέω οὕτως · ὁ διάμετρος πεντάκις εἰμί ιβʹ , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω · ὅς ὁ ἶβις , γίγνομαι ε · τοσοῦτος εἰμί ὁ πλευρά ὁ ὀκτάγωνος , ὁ δέ διάμετρος ιβʹ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 31
Πάλιν δὲ προστιθῶ μίαν πλευρὰν τῇ διαμέτρῳ τοῦ ὀκταγώνου , ὁμοῦ γίνονται ιζ , ὅπερ ἐστὶ διαγώνιος τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου .
Lemmas: πάλιν δέ προστίθημι εἷς πλευρά ὁ διάμετρος ὁ ὀκτάγωνος , ὁμοῦ γίγνομαι ιζʹ , ὅς εἰμί διαγώνιος ὁ ἔξωθεν τετράγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 32
Ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν θέλῃς ἐκ τῆς πλευρᾶς εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ ὀκταγώνου , ποίει οὕτως · ἐὰν ἡ πλευρὰ ε , πάντοτε ποίει τὴν πλευρὰν δωδεκάκις · ἄρτι μερίζω · ὧν πέμπτον , γίνονται ιβ · τοσοῦτόν ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ ὀκταγώνου .
Lemmas: Ὅμοιος δέ καί ἐάν ἐθέλω ἐκ ὁ πλευρά εὑρίσκω ὁ διάμετρος ὁ ὀκτάγωνος , ποιέω οὕτως · ἐάν ὁ πλευρά ε , πάντοτε ποιέω ὁ πλευρά δωδεκάκις · ἄρτι μερίζω · ὅς πέμπτος , γίγνομαι ιβʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ὀκτάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 33
Ἄλλως δὲ πάλιν ἡ διαγώνιος ἐπὶ τετραγώνου · ἐὰν ἔχῃ ἡ διάμετρος ιβ , λάμβανε πλευρὰν ὀκταγωνικήν , ὅ ἐστιν ἕ , λοιπὸν μένουσιν ζ · τούτων τὸ U+2220΄ , U+222΄ · ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ιβ , λοιπὸν μένουσιν η U+2220΄ · ταῦτα δίς , γίνονται ιζ · τοσοῦτόν ἐστιν ἡ διαγώνιος τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου .
Lemmas: ἄλλος δέ πάλιν ὁ διαγώνιος ἐπί τετράγωνος · ἐάν ἔχω ὁ διάμετρος ιβʹ , λαμβάνω πλευρά ὀκταγωνικός , ὁ εἰμί ε , λοιπός μένω ζʹ · οὗτος ὁ U+2220΄ , U+222΄ · οὗτος ὑφαιρέω ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ιβʹ , λοιπός μένω η̅ U+2220΄ · οὗτος δίς , γίγνομαι ιζʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ διαγώνιος ὁ ἔξωθεν τετράγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 34
Eἰ δέ ἐστιν ἡ μία πλευρὰ τοῦ τετραγώνου μείζων , κοινοῦται καὶ λαμβάνω · ὧν U+2220΄ · ἐκ τούτου δὲ καὶ εἰ ἔστι συγγών΄ . , εὑρίσκεται τῇ μεθόδῳ ταύτῃ .
Lemmas: ὁ δέ εἰμί ὁ εἷς πλευρά ὁ τετράγωνος μέγας , κοινόω καί λαμβάνω · ὅς U+2220΄ · ἐκ οὗτος δέ καί εἰμί εἰμί συγγών΄ . , εὑρίσκω ὁ μέθοδος οὗτος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 35
Ὅπως δὲ πάλιν εὐρίσκεταιτὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου . ποιῶ οὕτως · ἐὰν ἔχῃ τὴν διάμετρον ιβ , ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρμδ · τούτων ὑφαιρῶ ἕκιον μέρος , γίνονται κδ · λοιπὸν μένουσιν ρκ · τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ὅπως δέ πάλιν εὐρίσκεταιτὸ ἐμβαδόν ὁ ὀκτάγωνος . ποιέω οὕτως · ἐάν ἔχω ὁ διάμετρος ιβʹ , οὗτος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρμδʹ · οὗτος ὑφαιρέω ἕϊκων μέρος , γίγνομαι κδʹ · λοιπός μένω ρκʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 36
Ἄλλως δὲ πάλιν μετρήσομεν · ἐὰν ἔστιν ἡ διάμετρος ιβ ᾖ , πλευρὰ ἡ μία ἔχει ε · νῦν ποιῶ τὴν πλευρὰν ἐπὶ τὴν διάμετρον τῶν ιβ , γίνονται ξ · ταῦτα δίς , γίνονται ὅ · τοσοῦτόν ἐστι τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ἄλλως δέ πάλιν μετρέω · ἐάν εἰμί ὁ διάμετρος ιβʹ εἰμί , πλευρά ὁ εἷς ἔχω ε · νῦν ποιέω ὁ πλευρά ἐπί ὁ διάμετρος ὁ ιβʹ , γίγνομαι ξ · οὗτος δίς , γίγνομαι ὁ · τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 37
Ὅπως μετρεῖται ὀκτάγωνος , μᾶλλον δὲ καὶ θεμελιοῦται . ποίησον οἶκον τετράγωνον , οὗ τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος ιβ , καὶ λαβὼν τῆς διαγωνίου U+2220΄ , ἀπότιθε ἀπὸ γωνίας εἰς γωνίαν , καὶ δυνήσῃ στῆσαι τὸ ὀκτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον .
Lemmas: ὅπως μετρέω ὀκτάγωνος , μᾶλλον δέ καί θεμελιόω . ποιέω οἶκος τετράγωνος , ὅς ὁ μῆκος καί ὁ πλάτος ιβʹ , καί λαμβάνω ὁ διαγώνιος U+2220΄ , ἀποτίθημι ἀπό γωνία εἰς γωνία , καί δύναμαι ἵστημι ὁ ὀκτάγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 38
Ἔχουσι τὰ ια τετράγωνα ιδ κύκλους .
Lemmas: ἔχω ὁ ἰά τετράγωνος ιδʹ κύκλος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 39
ἔχουσι τὰ ιγ τετράγωνα λ τρίγωνα ἰσόπλευρα · ἔστι δὲ τὰ ιγ τῶν λ μέρος τρίτον 〈 καὶ 〉 δέκατον .
Lemmas: ἔχω ὁ ιγʹ τετράγωνος λ τρίγωνος ἰσόπλευρος · εἰμί δέ ὁ ιγʹ ὁ λ μέρος τρίτος 〈 καί 〉 δέκατος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 40
ἔχουσι τὰ ε τετράγωνα γ πεντάγωνα .
Lemmas: ἔχω ὁ ε τετράγωνος γ πεντάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 41
ἔχουσι τὰ ιγ τετράγωνα ε ἑξάγωνα .
Lemmas: ἔχω ὁ ιγʹ τετράγωνος ε ἑξάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 42
ἔχουσι τὰ μγ τετράγωνα ιβ ἑπτάγωνα .
Lemmas: ἔχω ὁ μγʹ τετράγωνος Ἶβ ἑπτάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 43
ἔχουσι τὰ κθ τετράγωνα Ϛ ὀκτάγωνα .
Lemmas: ἔχω ὁ κθʹ τετράγωνος Ϛ ὀκτάγωνον .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 44
ἔχουσι τὰ να τετράγωνα η ἐννάγωνα .
Lemmas: ἔχω ὁ να τετράγωνος η̅ ἐννάγωνον .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 45
ἔχουσι τὰ ιε τετράγωνα β δεκάγωνα .
Lemmas: ἔχω ὁ ιος τετράγωνος β δεκάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 46
ἄλλως δὲ πάλιν ἔχουσι τὰ λη τετράγωνα ε δεκάγωνα . αὕτη καὶ ἀκριβεστάτη .
Lemmas: ἄλλως δέ πάλιν ἔχω ὁ λα τετράγωνος ε δεκάγωνος . οὗτος καί ἀκριβής .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 47
ἔχουσι τὰ ξς τετράγωνα ζ ἑνδεκάγωνα .
Lemmas: ἔχω ὁ ξς τετράγωνος ζ ενδεκάγωνο .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 48
ἔχουσι τὰ με τετράγωνα δ δωδεκάγωνα .
Lemmas: ἔχω ὁ ἐγώ τετράγωνος δ δωδεκάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 49
Ἀπέδειξεν Ἀρχιμήδης ὅτι τὰ λ τρίγωνα ἰσόπλευρα ἴσα ἐστὶν ιγ τετραγώνοις , ἃ τῶν λ ἐστὶ μέρος τρίτον καὶ δέκατον · ποίει οὖν τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν , καὶ τῶν γινομένων τὸ τρίτον καὶ δέκατον ἔσται τὸ ἐμβαδόν · τουτέστι λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ?? · ὧν τρίτον καὶ δέκατον , γίνονται τ??῾ · τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ἀποδείκνυμι Ἀρχιμήδης ὅτι ὁ λ τρίγωνος ἰσόπλευρος ἴσος εἰμί ιγʹ τετράγωνος , ὅς ὁ λ εἰμί μέρος τρίτος καί δέκατος · ποιέω οὖν ὁ πλευρά ἐπί ἑαυτοῦ , καί ὁ γίγνομαι ὁ τρίτος καί δέκατος εἰμί ὁ ἐμβαδόν · τουτέστι λ ὁ εἷς πλευρά ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ?? · ὅς τρίτος καί δέκατος , γίγνομαι ὅς · τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 50
Ἄλίως τὸ αὐτὸ κάλλιον . τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ?? · ταῦτα ἐπὶ τὰ ιγ τετράγωνα , γίνονται α . αψ · ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ λ τρίγωνα , γίνονται τ ?? .
Lemmas: ἁλιεύς ὁ αὐτός καλός . ὁ λ ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ?? · οὗτος ἐπί ὁ ιγʹ τετράγωνος , γίγνομαι α . ἄψ · οὗτος μερίζω παρά ὁ λ τρίγωνος , γίγνομαι τ ?? .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 51
Ἄλλως . εὑρεῖν πρῶτον τὴν κάθετον . τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ?? · τούτων ἆρον τὸ δʹ , γίνονται σκε · λοιπὸν χοε · ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ Ϛκ · τοσοῦτον ἡ κάθετος .
Lemmas: ἄλλος . εὑρίσκω πρῶτος ὁ κάθετος . ὁ λ ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ?? · οὗτος αἴρω ὁ δέ , γίγνομαι σκεʹ · λοιπός χόω · ὅς πλευρά τετραγωνικός Ϛκ · τοσοῦτος ὁ κάθετος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 52
Ἄλλως . τὰ λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως , τουτέστι τὰ ιε , ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται σκϚ · ταῦτα ἀπὸ τῶν ?? , λοιπὸν χοε · ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ κϚ · τοσοῦτον ἡ κάθετος · ταῦτα ἐπὶ τὸ U+2220ʹ τῆς μιᾶς πλευρᾶς , τουτέστι τῆς βάσεως , ἐπὶ τὰ ιε , γίνονται τ ?? · τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν .
Lemmas: ἄλλος . ὁ λ ὁ εἷς πλευρά ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι καί ὁ μισός ὁ βάσις , τουτέστι ὁ ιεʹ , ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι σκϛʹ · οὗτος ἀπό ὁ ?? , λοιπός χόω · ὅς πλευρά τετραγωνικός κϚʹ · τοσοῦτος ὁ κάθετος · οὗτος ἐπί ὁ U+2220ʹ ὁ εἷς πλευρά , τουτέστι ὁ βάσις , ἐπί ὁ ιεʹ , γίγνομαι τ ?? · τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 53
Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου μετρῆσαι , οὗ ἡ διάμετρος ιβ καὶ ἡ κάθετος δ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν . τῆς βάσεως U+2220ʹ ἐφʼ ἑαυτό , γίνονται λϚ · ταῦτα τρισσάκις , γίνονται ρη · καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν , γίνονται ιϚ · σύνθες ὁμοῦ , γίνονται ρκδ · ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὴν κάθετον , γίνονταιυ ?? Ϛ · ταῦτα ἑνδεκάκις , γίνονται ευνϚ τούτων τὸ καʹ , γίνονται σνθ ?? ζ΄ · τοσοῦτον τὸ στερεόν .
Lemmas: τμῆμα κακός ἡμισφαίριον μετρέω , ὅς ὁ διάμετρος ιβʹ καί ὁ κάθετος δ · εὑρίσκω αὐτός ὁ στερεός . ὁ βάσις U+2220ʹ ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι λϚʹ · οὗτος τρισσάκις , γίγνομαι ρηʹ · καί ὁ κάθετος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ιϚʹ · συντίθημι ὁμοῦ , γίγνομαι ρκδʹ · οὗτος πάλιν ἐπί ὁ κάθετος , γίνομαι ?? Ϛ · οὗτος ἑνδεκάκις , γίγνομαι εὐνάω οὗτος ὁ καί , γίγνομαι σνθʹ ?? Ζ΄ · τοσοῦτος ὁ στερεός .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 54
Eὑρεῖν δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς καθέτου τὴν διάμετρον ὅλης τῆς σφαίρας . τῆς βάσεως τὸ U+2220ʹ ἐφʼ ἑαυτό , γίνονται λῶ · ταύτην μέριζε παρὰ τὴν κάθετον , παρὰ τὰ δ , γίνονται θ · μῖξον ὁμοῦ μετὰ τὰ δ , γίνονται ιγ · τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας .
Lemmas: εὑρίσκω δέ ἀπό ὁ διάμετρος καί ὁ καθέτης ὁ διάμετρος ὅλος ὁ σφαῖρα . ὁ βάσις ὁ U+2220ʹ ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι λάω · οὗτος μερίζω παρά ὁ κάθετος , παρά ὁ δ , γίγνομαι θ · μείγνυμι ὁμοῦ μετά ὁ δ , γίγνομαι ιγʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 55
Ἔστω κῶνος ἀτέλεστος , οὗ ἡ περίμετρος τῆς βάσεως ξ , a ἡ δὲ τῆς κορυφῆς Ϛ , τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ιε · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν . λαμβάνω τὸ γʹ τῆς βάσεως τῶν ξ , γίνονται κ , ἥτις ἐστὶν ἡ διάμετρος · καὶ τῶν Ϛ τῆς κορυφῆς τὸ γʹ , γίνονται β · καὶ ποιῶ ὡς τραπέζιον ἰσοσκελές , καὶ ἀφαιρῶ τὰ β ἀπὸ τῶν κ , λοιπὸν ιη · τούτων τὸ U+2220 , θ · ἐπὶ ταῦτα πεσεῖται ἡ κάθετος · ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται κα · καὶ τὰ ιε τοῦ κλίματος ἐφ ἑαυτά , γίνονται σκε · ἀπὸ τούτων ἀφαιρῶ τὰ πα , λοιπὸν ρμδ · τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ ιβ . ἔσται ἡ κάθετος τοῦ κώνου , τουτέστι τὸ ὕψος , ιβ .
Lemmas: εἰμί κῶνος ἀτέλεστος , ὅς ὁ περίμετρος ὁ βάσις ξ , a ὁ δέ ὁ κορυφή Ϛ , ὁ δέ κλίμα ἀνά ιεʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ στερεός . λαμβάνω ὁ γε ὁ βάσις ὁ ξ , γίγνομαι κ , ὅστις εἰμί ὁ διάμετρος · καί ὁ Ϛ ὁ κορυφή ὁ γε , γίγνομαι β · καί ποιέω ὡς τραπέζιον ἰσοσκελής , καί ἀφαιρέω ὁ β ἀπό ὁ κ , λοιπός ιηʹ · οὗτος ὁ U+2220 , θ · ἐπί οὗτος πίπτω ὁ κάθετος · οὗτος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ἄν · καί ὁ ιος ὁ κλίμα ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι σκεʹ · ἀπό οὗτος ἀφαιρέω ὁ πῃ , λοιπός ρμδʹ · Τούτων πλευρά τετραγωνικός ιβʹ . εἰμί ὁ κάθετος ὁ κῶνος , τουτέστι ὁ ὕψος , ιβʹ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 56
Εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν . σύνθες τὰ ϛ τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ξ τῆς βάσεως , γίνονται ξϚ · τούτων τὸ ἥμισυ , λγ · ἀναγεγράφθω κύκλος οὗ ἡ περίμετρος λγ · γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν πϚ U+2220 η΄ . καὶ ὁμοίως ἀφαιρῶ τὰ ϛ τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ξ τῆς βάσεως , λοιπὸν νδ τούτων τὸ ἥμισυ , κζ . ἀναγεγράφθω ἕτερος κύκλος , οὗ ἡ περίμετρος κζ · γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν νη · τούτων τὸ γʹ , ιθ γ΄ · ταῦτα προστιθῶ τοῖς ῆϚ U+2220΄η΄ · γίνονται ὁμοῦ ρε U+2220 γʹ η΄ · ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον , ἐπὶ τὰ ιβ , γίνονται ασοα U+2220΄ · τοσοῦτον ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου .
Lemmas: εὑρίσκω αὐτός ὁ στερεός . συντίθημι ὁ ϛ ὁ κορυφή καί ὁ ξ ὁ βάσις , γίγνομαι ξϛʹ · οὗτος ὁ μισός , λγʹ · ἀναγράφω κύκλος ὅς ὁ περίμετρος λγʹ · γίγνομαι αὐτός ὁ ἐμβαδόν πϛʹ U+2220 Η΄ . καί ὅμοιος ἀφαιρέω ὁ ϛ ὁ κορυφή ἀπό ὁ ξ ὁ βάσις , λοιπός νδʹ οὗτος ὁ μισός , κζ . ἀναγράφω ἕτερος κύκλος , ὅς ὁ περίμετρος κζ · γίγνομαι αὐτός ὁ ἐμβαδόν νη · οὗτος ὁ γε , ιθʹ Γ΄ · οὗτος προστίθημι ὁ ῆϚ U+2220΄η΄ · γίγνομαι ὁμοῦ ρε U+2220 γε Η΄ · οὗτος ἐπί ὁ κάθετος , ἐπί ὁ ιβʹ , γίγνομαι ἀσος U+2220΄ · τοσοῦτος εἰμί ὁ στερεός ὁ κῶνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 57
Μέθοδος καθολικὴ ἐπὶ τῶν πολυγώνων . οὕτως ·
Lemmas: μέθοδος καθολικός ἐπί ὁ πολύγωνον . οὕτως ·
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 58
Ἔστω πεντάγωνον οὗ ἡ διάμετρος κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν · οὕτως · πάντοτε τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασιάζεις · τρισσάκις , γίνονται ξ · καὶ μερίζω παρὰ τὸν ε , γίνονται ιβ · τοσοῦτόν ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ πενταγώνου .
Lemmas: εἰμί πεντάγωνος ὅς ὁ διάμετρος κ · εὑρίσκω αὐτός ὁ πλευρά · οὕτως · πάντοτε ὁ διάμετρος καθολικός τριπλασιάζω · τρισσάκις , γίγνομαι ξ · καί μερίζω παρά ὁ ε , γίγνομαι ιβʹ · τοσοῦτος εἰμί ὁ πλευρά ὁ πεντάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 59
Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ πενταγώνου ἀπὸ τῆς πλευρᾶς , ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως · πάντοτε τὸ πεντάκις , γίνονται ξ · ἄρτι μερίζω καθολικῶς · ὧν γʹ , γίνονται κ . τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ πενταγώνου .
Lemmas: ἐάν δέ ἐθέλω ὁ διάμετρος εὑρίσκω ὁ αὐτός πεντάγωνος ἀπό ὁ πλευρά , ποιέω ὁ ἀνάπαλιν οὕτως · πάντοτε ὁ πεντάκις , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω καθολικός · ὅς γε , γίγνομαι κ . τοσοῦτος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ πεντάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 60
Ἔστω ἑξάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν . ποίει οὕτως · πάντοτε , καθὼς προεῖπον , τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασίαζε , γίνονται ξ · καὶ μέριζε · ὡν Ϛʹ , ἐπειδὴ ἑξάγωνόν ἐστι , γίνεται ἡ πλευρὰ ι . τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τούτου .
Lemmas: εἰμί ἑξάγωνος καί ἔχω ὁ διάμετρος κ · εὑρίσκω αὐτός ὁ πλευρά . ποιέω οὕτως · πάντοτε , καθώς προλέγω , ὁ διάμετρος καθολικός τριπλασιάζω , γίγνομαι ξ · καί μερίζω · ὅς ϛηʹ , ἐπεί ἑξάγωνος εἰμί , γίγνομαι ὁ πλευρά ιʹ . τοσοῦτος εἰμί ὁ πλευρά οὗτος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 61
Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ , ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως · πάντοτε τὴν πλευρὰν ποίει ἑξάκις , ἐπειδὴ ἑξάγωνόν ἐστι , γίνονται ξ · ἄρτι μέριζε καθολικῶς · ὧν γʹ , γίνονται κ . τοσοῦτον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἑξαγώνου .
Lemmas: ἐάν ἐθέλω ὁ διάμετρος εὑρίσκω ἀπό ὁ πλευρά ὁ αὐτός , ποιέω ὁ ἀνάπαλιν οὕτως · πάντοτε ὁ πλευρά ποιέω ἑξάκις , ἐπεί ἑξάγωνος εἰμί , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω καθολικός · ὅς γε , γίγνομαι κ . τοσοῦτος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ἑξάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 62
Ἔστω ἑπτάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν . ποίει οὕτως · πάντοτε τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασίαζε , γίνονται ξ · ἄρτι μέριζε παρὰ τὴν πολύγωνον , τουτέστι παρὰ τὸν ζ , γίνονται η U+2220΄ ιδʹ . τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τοῦ ἑπταγώνου .
Lemmas: εἰμί ἑπτάγωνος καί ἔχω ὁ διάμετρος κ · εὑρίσκω αὐτός ὁ πλευρά . ποιέω οὕτως · πάντοτε ὁ διάμετρος καθολικός τριπλασιάζω , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω παρά ὁ πολύγωνος , τουτέστι παρά ὁ ζʹ , γίγνομαι η̅ U+2220΄ ἴδη . τοσοῦτος εἰμί ὁ πλευρά ὁ ἑπτάγωνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 63
Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ , ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως · πάντοτε τὴν πλευρὰν ἑπτάκις , ἐπειδὴ ἑπτάγωνός ἐστι , γίνονται ξ · ἄρτι μέριζε καθολικῶς · ὧν γʹ , γίνονται κ . τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος .
Lemmas: ἐάν ἐθέλω ὁ διάμετρος εὑρίσκω ἀπό ὁ πλευρά ὁ αὐτός , ποιέω ὁ ἀνάπαλιν οὕτως · πάντοτε ὁ πλευρά ἑπτάκις , ἐπεί ἑπτάγωνος εἰμί , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω καθολικός · ὅς γε , γίγνομαι κ . τοσοῦτος εἰμί ὁ διάμετρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 64
Ἔστω ὀκτάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν . ποιῶ οὕτως · πάντοτε τὴν διάμετρον πεντάκις , γίνονται ρ · ἄρτι μερίζω · ὧν ιβʹ , γίνονται η U+2220΄ .
Lemmas: εἰμί ὀκτάγωνος καί ἔχω ὁ διάμετρος κ · εὑρίσκω αὐτός ὁ πλευρά . ποιέω οὕτως · πάντοτε ὁ διάμετρος πεντάκις , γίγνομαι ρ · ἄρτι μερίζω · ὅς ἶβις , γίγνομαι η̅ U+2220΄ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 65
Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς , ποίει τὸ ἀνάπαλιν · πάντοτε τὴν πλευρὰν δωοδεκάκις , γίνονται ρ · καὶ μερίζω καθολικῶς , ὡς προεῖπον · ὧν εʹ , γίνονται κ . τοσοῦτον ἡ διάμετρος τοῦ ὀκταγώνου . Ἔστωο ἐννάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν . ποίει οὕτως · πάντοτε τὴν διάμετρον τριπλασίαζε , γίνονται ξ · ἄρτι μερίζω · ὧν θʹ , γίνονται Ϛ ?? . τοσοῦτον ἡ πλευρά .
Lemmas: ἐάν δέ ἐθέλω ὁ διάμετρος εὑρίσκω ἀπό ὁ πλευρά , ποιέω ὁ ἀνάπαλιν · πάντοτε ὁ πλευρά δωδεκάκις , γίγνομαι ρ · καί μερίζω καθολικός , ὡς προλέγω · ὅς εἰ , γίγνομαι κ . τοσοῦτος ὁ διάμετρος ὁ ὀκτάγωνος . ἔσσωος ἐννάγωνον καί ἔχω ὁ διάμετρος κ · εὑρίσκω αὐτός ὁ πλευρά . ποιέω οὕτως · πάντοτε ὁ διάμετρος τριπλασιάζω , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω · ὅς ὁ , γίγνομαι Ϛ ?? . τοσοῦτος ὁ πλευρά .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 66
Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ , ποίει τὸ ἀνάπαλιν · τὴν πλευρὰν ἐννάκις , γίνονται ξ · ἄρτι μερίζω καθολικῶς · ὧν τρίτον , κ . τοσοῦτον ἔστω ἡ διάμετρος .
Lemmas: ἐάν δέ ἐθέλω ὁ διάμετρος εὑρίσκω ἀπό ὁ αὐτός , ποιέω ὁ ἀνάπαλιν · ὁ πλευρά ἐννάκις , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω καθολικός · ὅς τρίτος , κ . τοσοῦτος εἰμί ὁ διάμετρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 67
Ἔστω δεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν . πάντοτε τὴν διάμετρον τριπλασίαζε , γίνονται ξ · ἄρτι μερίζω · ὧν δέκατον , γίνονται ϛ . τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρά .
Lemmas: εἰμί δεκάγωνος καί ἔχω ὁ διάμετρος κ · εὑρίσκω αὐτός ὁ πλευρά . πάντοτε ὁ διάμετρος τριπλασιάζω , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω · ὅς δέκατος , γίγνομαι ϛ . τοσοῦτος εἰμί ὁ πλευρά .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 68
Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ , ποίει οὕτως τὸ ἀνάπαλιν · τὴν πλευρὰν δεκάκις , γίνονται ξ · ἄρτι μερίζω καθολικῶς τρισσάκις , γίνονται κ . τοσοῦτον ἡ διάμετρος .
Lemmas: ἐάν δέ ἐθέλω ὁ διάμετρος εὑρίσκω ἀπό ὁ πλευρά ὁ αὐτός , ποιέω οὕτως ὁ ἀνάπαλιν · ὁ πλευρά δεκάκις , γίγνομαι ξ · ἄρτι μερίζω καθολικός τρισσάκις , γίγνομαι κ . τοσοῦτος ὁ διάμετρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 69
Ἔστω ἑνδεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κβ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν . ποιῶ οὕτως · καθολικῶς τὴν διάμετρον τριπλασιάζω , γίνονται ξϚ · ἄρτι μερίζω · ὧν ἑνδέκατον , Ϛ . τοσοῦτον ἡ πλευρά .
Lemmas: εἰμί ἑνδεκάγωνος καί ἔχω ὁ διάμετρος κβʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ πλευρά . ποιέω οὕτως · καθολικός ὁ διάμετρος τριπλασιάζω , γίγνομαι ξϛʹ · ἄρτι μερίζω · ὅς ἑνδέκατος , Ϛ . τοσοῦτος ὁ πλευρά .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 70
Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς , ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως · τὴν πλευρὰν ἑνδεκάκις , γίνονται ξϚ · καὶ μέριζε καθολικῶς · ὧν τρίτον , κβ . ἔστω ἡ διάμετρος τοσοῦτον .
Lemmas: ἐάν δέ ἐθέλω ὁ διάμετρος εὑρίσκω ἀπό ὁ πλευρά , ποιέω ὁ ἀνάπαλιν οὕτως · ὁ πλευρά ἑνδεκάκις , γίγνομαι ξϛʹ · καί μερίζω καθολικός · ὅς τρίτος , κβʹ . εἰμί ὁ διάμετρος τοσοῦτος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 71
Ἔστω δωδεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν . ποιῶ οὕτως · πάντοτε τὴν διάμετρον τρισσάκις , γίνονται ξ · ἄρτι καθολικῶς μερίζω · ὧν δωδέκατον , ε . τοσοῦτον ἡ πλευρά .
Lemmas: εἰμί δωδεκάγωνον καί ἔχω ὁ διάμετρος κ · εὑρίσκω αὐτός ὁ πλευρά . ποιέω οὕτως · πάντοτε ὁ διάμετρος τρισσάκις , γίγνομαι ξ · ἄρτι καθολικός μερίζω · ὅς δωδέκατος , ε . τοσοῦτος ὁ πλευρά .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 72
Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς , ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως · τὴν πλευρὰν δωδεκάκις , γίνονται ξ · καὶ μερίζω καθολικῶς · ὧν τρίτον , κ . ἔστω τοσοῦτον ἡ διάμετρος .
Lemmas: ἐάν δέ ἐθέλω ὁ διάμετρος εὑρίσκω ἀπό ὁ πλευρά , ποιέω ὁ ἀνάπαλιν οὕτως · ὁ πλευρά δωδεκάκις , γίγνομαι ξ · καί μερίζω καθολικός · ὅς τρίτος , κ . εἰμί τοσοῦτος ὁ διάμετρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 73
Ὁμοίως καὶ ἐπὶ οἱουδήποτε πολυγώνου , ἐὰν δοθῇ σοι ἡ διάμετρος , πάντοτε καθολικῶς τριπλασίαζε τὴν διάμετρον , καὶ τὰ συναχθέντα μέριζε παρὰ τὴν ὀνομασίαν τῶν πολυγώνων , καὶ ἕξεις τὴν πλευρὰν τοσοῦτον ἀποφήνασθαι .
Lemmas: Ὅμοιος καί ἐπί οἱουδήποτε πολύγωνο , ἐάν δίδωμι σύ ὁ διάμετρος , πάντοτε καθολικός τριπλασιάζω ὁ διάμετρος , καί ὁ συνάγω μερίζω παρά ὁ ὀνομασία ὁ πολύγωνον , καί ἔχω ὁ πλευρά τοσοῦτος ἀποφαίνω .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 74
Ἐὰν δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς εὑρεῖν τὴν διάμετρον , ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως · πάντοτε τὴν πλευρὰν πολυπλασίαζε ἐπὶ τὴν ὀνομασίαν τῶν πολυγώνων · οἷον ἐὰν τρισκαιδεκάγωνον , ποίει τρισκαιδεκάκις τὴν πλευράν , καὶ τὰ συναχθέντα μέριζε καθολικῶς , ὧν γʹ , καὶ ἕξεις τὴν διάμετρον .
Lemmas: ἐάν δέ ἀπό ὁ πλευρά εὑρίσκω ὁ διάμετρος , ποιέω ὁ ἀνάπαλιν οὕτως · πάντοτε ὁ πλευρά πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ὀνομασία ὁ πολύγωνον · οἷος ἐάν τρισκαιδεκάγωνον , ποιέω τρισκαιδεκάκις ὁ πλευρά , καί ὁ συνάγω μερίζω καθολικός , ὅς γε , καί ἔχω ὁ διάμετρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 75
Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῇ αὐτῇ μεθόδῳ χρῶ .
Lemmas: Ὅμοιος δέ καί ἐπί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός μέθοδος χράομαι .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 76
Περὶ κυλίνδρου .
Lemmas: περι κύλινδρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 77
Ἀπέδειξε καὶ ἐνταῦθα Ἀρχιμήδης ὅτι ὅνπερ ἔχει λόγον ὁ κύκλος πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ περὶ αὐτὸν περιγραφόμενον , τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύβον τὸν περιέχοντα αὐτὸν καὶ ἴσας πλευρὰς ἔχοντα τῇ διαμέτρῳ τοῦ κυλίνδρου καὶ τὸ ὕψος ἴσον , καὶ ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων εἰπεῖν ὅτι τὰ ἕνδεκα τετράγωνα , τὰ ἐκτὸς περιγραφόμενα τοῦ κύκλου , ἴσα ἐστὶ δεκατέτρασι κύκλοις τοῖς τὴν αὐτὴν διάμετρον ἔχουσιν , οὕτως καὶ οἱ ἕνδεκα κύβοι ἴσοι εἰσὶ δεκατέτρασι κυλίνδροις , ὧν αἱ πλευραὶ ἴσαι εἰσὶ τῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ ὕψει , καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῶν κύκλων λαμβάνομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου καὶ ποιοῦμεν ἑνδεκάκις καὶ μερίζομεν παρὰ ιδ , καὶ ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: ἀποδείκνυμι καί ἐνταῦθα Ἀρχιμήδης ὅτι ὅς ἔχω λόγος ὁ κύκλος πρός ὁ τετράγωνος ὁ περί αὐτός περιγράφω , ὁ αὐτός λόγος ἔχω καί ὁ κύλινδρος πρός ὁ κύβος ὁ περιέχω αὐτός καί ἴσος πλευρά ἔχω ὁ διάμετρος ὁ κύλινδρος καί ὁ ὕψος ἴσος , καί ὡς ἐπί ὁ κύκλος λέγω ὅτι ὁ ἕνδεκα τετράγωνος , ὁ ἐκτός περιγράφω ὁ κύκλος , ἴσος εἰμί δεκατέτρασι κύκλος ὁ ὁ αὐτός διάμετρος ἔχω , οὕτως καί ὁ ἕνδεκα κύβος ἴσος εἰμί δεκατέτρασι κύλινδρος , ὅς ὁ πλευρά ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος καί ὁ ὕψος , καί ὥσπερ ἐπί ὁ κύκλος λαμβάνω ὁ ἐμβαδόν ὁ τετράγωνος καί ποιέω ἕνδεκα καί μερίζω παρά ιδʹ , καί εἰμί ὁ στερεός ὁ κύλινδρος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 78
Ἔστω κύλινδρος οὗ ἡ διάμετρος ζ καὶ τὸ ὕψος ζ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν . τὰ ζ κύβισον , γίνονται τ γ ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ια , γίνονται γψογ · ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ ιδ , γίνονται σξθ U+2220΄ .
Lemmas: εἰμί κύλινδρος ὅς ὁ διάμετρος ζʹ καί ὁ ὕψος ζʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ στερεός . ὁ ζ κυβίζω , γίγνομαι τ γ οὗτος πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ἰά , γίγνομαι γψογʹ · οὗτος μερίζω παρά ὁ ιδʹ , γίγνομαι σξθ U+2220΄ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 79
Τινὲς δὲ πρῶτον τὸ ἐμβαδὸν λαμβάνουσιν ὡς ἐπὶ τοῦ κύκλου , καὶ τότε ποιοῦσιν ἐπὶ τὸ ὕψος .
Lemmas: Τινές δέ πρῶτος ὁ ἐμβαδόν λαμβάνω ὡς ἐπί ὁ κύκλος , καί τότε ποιέω ἐπί ὁ ὕψος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 80
Περὶ δὲ τῆς σφαίρας καὶ κυλίνδρου ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν ὅτι ἡ σφαῖρα δίμοιρον μέρος ἐστὶ τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου , καὶ πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ κυλίνδρου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον .
Lemmas: περι δέ ὁ σφαῖρα καί κύλινδρος ὁ αὐτός Ἀρχιμήδης ἀποδείκνυμι ὅτι ὁ σφαῖρα δίμοιρος μέρος εἰμί ὁ περιλαμβάνω αὐτός κύλινδρος , καί πᾶς κῶνος τρίτος μέρος εἰμί κύλινδρος ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 81
Ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου θέλῃς εὑρεῖν τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας , ὅσον ἂν εὐρέθῃ ὁ κύλινδρος , λαμβάνεις αὐτοῦ τὸ ?? . καὶ ἔσται τὸ στερεόν · καὶ ὡς ἐπὶ τῶν ζ , ὅτι ἐστὶ σξθ U+2220΄ , τὸ γʹ , γίνονται πθ U+2220΄ γ΄ . Κάλλιον ἀπὸ τοῦ κύβου , ὡς ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου , τὰ πολυπλασιασθέντα μερίζειν παρὰ τὸ ιδ · ἔστι δὲ ἡ σφαῖρα δίμοιρον μέρος τοῦ κυλίνδρου · τὰ οὖν ιδ τίνος ἐστὶ δίμοιρον ; τῶν κα · μέρισον τὰ γινόμενα παρὰ τὰ κα · οὕτως ἐδόθη σφαῖρα ταῦτα κύβισον , γίνονται τμγ · ταῦτα πολυπλασίασον ἑνδεκάκις , γίνονται γψογ · ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ κα , γίνονται ροθ ?? . οὕτω μέτρει πᾶσαν σφαῖραν .
Lemmas: ἐάν οὖν ἀπό ὁ κύλινδρος ἐθέλω εὑρίσκω ὁ στερεός ὁ σφαῖρα , ὅσον ἄν εὑρίσκω ὁ κύλινδρος , λαμβάνω αὐτός ὁ ?? . καί εἰμί ὁ στερεός · καί ὡς ἐπί ὁ ζʹ , ὅτι εἰμί σξθ U+2220΄ , ὁ γε , γίγνομαι ΠΘ U+2220΄ Γ΄ . Κάλλιον ἀπό ὁ κύβος , ὡς ἐπί ὁ κύλινδρος , ὁ πολυπλασιάζω μερίζω παρά ὁ ιδʹ · εἰμί δέ ὁ σφαῖρα δίμοιρος μέρος ὁ κύλινδρος · ὁ οὖν ιδʹ τίς εἰμί δίμοιρος ; ὁ ἄν · μερίζω ὁ γίγνομαι παρά ὁ ἄν · οὕτως δίδωμι σφαῖρα οὗτος κυβίζω , γίγνομαι τμγʹ · οὗτος πολυπλασιάζω ἑνδεκάκις , γίγνομαι γψογʹ · οὗτος μερίζω παρά ὁ ἄν , γίγνομαι ροθʹ ?? . οὕτως μετρέω πᾶς σφαῖρα .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 82
Καὶ ἐπὶ τοῦ κώνου , ἐπειδὴ τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου , μέριζε παρὰ τὰ ιδ · τὰ ιδ τίνος ἐστὶ γ΄ ; τῶν μβ . μέτρει ἐπὶ τοῦ κώνου οὕτως · τὰ ζ κύβισον , γίνονται τμγ · ταῦτα ἐπὶ τὰ ια , γίνονται γψογ · μέριζε παρὰ τὰ μβ , γίνονται πθ U+2220΄ γ΄ .
Lemmas: καί ἐπί ὁ κῶνος , ἐπεί τρίτος μέρος εἰμί ὁ κύλινδρος , μερίζω παρά ὁ ιδʹ · ὁ ιδʹ τίς εἰμί Γ΄ ; ὁ μβʹ . μετρέω ἐπί ὁ κῶνος οὕτως · ὁ ζ κυβίζω , γίγνομαι τμγʹ · οὗτος ἐπί ὁ ἰά , γίγνομαι γψογʹ · μερίζω παρά ὁ μβʹ , γίγνομαι ΠΘ U+2220΄ Γ΄ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 83
Τινὲς δὲ μετρήσαντες τὸν κύλινδρον , λαμβάνουσι τὸ γ΄ , καὶ ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου .
Lemmas: Τινές δέ μετρέω ὁ κύλινδρος , λαμβάνω ὁ Γ΄ , καί εἰμί ὁ στερεός ὁ κῶνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 84
Σφαίρας ἡ διάμετρος ιγ · εὑρεῖν ἀήτης τὸ στερεόν . ποιῶ οὕτως · ιγ κύβισον , γίνονται βρ??ζ · ταῦτα ἑνδεκάκις , β . δρξζ γίνονται · τούτων τὸ καʹ , αρ U+2220΄ δ΄κα΄ πδ΄ . τοσοῦτον τὸ στερεόν .
Lemmas: Σφαιρᾶς ὁ διάμετρος ιγʹ · εὑρίσκω ἀήτης ὁ στερεός . ποιέω οὕτως · ιγʹ κυβίζω , γίγνομαι βρ??ζ · οὗτος ἑνδεκάκις , β . δρξζʹ γίγνομαι · οὗτος ὁ καί , ἄρα U+2220΄ ὁ πδ΄ . τοσοῦτος ὁ στερεός .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 85
Εὑρεῖν δὲ αὐτῆς καὶ τὴν ἐπιφάνειαν . ποίει οὕτως · τα ιγ ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ρξθ · ταῦτα καθολικῶς τετράκις , γίνονται χοϚ · ταῦτα ἑνδεκάκις , γίνονται ζυλϚ · τούτων τὸ ιδʹ , φλα ζ΄ . τοσοῦτον ἔσται ἡ ἐπιφάνεια .
Lemmas: εὑρίσκω δέ αὐτηες͂ς καί ὁ ἐπιφάνεια . ποιέω οὕτως · τα ιγʹ ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ρξθʹ · οὗτος καθολικός τετράκις , γίγνομαι χοϛʹ · οὗτος ἑνδεκάκις , γίγνομαι ζυλϛʹ · οὗτος ὁ ἴδη , φλαʹ Ζ΄ . τοσοῦτος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 86
Ἡμισφαίριον μετρῆσαι οὗ ἡ διάμετρος ιγ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν . ποίει οὕτως · τὰ ιγ κύβισον ) γίνονται βρ ?? ζ · ταῦτα ἐνδεκάκις , γίνονται β . δρξζ · τοῦ αὐτοῦ μβʹ , γίνονται φοε δ η΄ . τοσοῦτον τὸ στερεόν .
Lemmas: ἡμισφαίριον μετρέω ὅς ὁ διάμετρος ιγʹ · εὑρίσκω αὐτός ὁ στερεός . ποιέω οὕτως · ὁ ιγʹ κυβίζω ) γίγνομαι βρ ?? ζʹ · οὗτος ἐνδεκάκις , γίγνομαι β . δρξζʹ · ὁ αὐτός μβʹ , γίγνομαι φοεʹ δ Η΄ . τοσοῦτος ὁ στερεός .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 87
Εύρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν · τὰ ιγ ἐφʼἑαυτά
Lemmas: εὑρίσκω αὐτός καί ὁ ἐπιφάνεια · ὁ ιγʹ ἐφʼἑαυτά
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 88
Μεῖζον τμῆμα ἡμισφαιρίου οὗ ἡ βάσις ιβ , ἡ δὲ κάθετος θ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν . λαμβάνω τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως · ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται λϛ · ταῦτα τρισσάκις , γίνονται ρη · καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν , γίνονται κα · σύνθες ὁμοῦ , γίνονται ρπθ · ταῦτα ἐπὶ κάθετον , ἐπὶ τὰ θ , γίνονται αψα · ταῦτα ἑνδεκάκις , γίνονται α . ηψια · τούτωον τὸ κα΄ , γίνονται ω??α . τοσοῦτον ἔσται τὸ στερεόν .
Lemmas: Μέγας τμῆμα ἡμισφαίριον ὅς ὁ βάσις ιβʹ , ὁ δέ κάθετος θ · εὑρίσκω αὐτός ὁ στερεός . λαμβάνω ὁ μισός ὁ βάσις · ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι λϛʹ · οὗτος τρισσάκις , γίγνομαι ρηʹ · καί ὁ κάθετος ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ἄν · συντίθημι ὁμοῦ , γίγνομαι ρπθʹ · οὗτος ἐπί κάθετος , ἐπί ὁ θʹ , γίγνομαι αψιά · οὗτος ἑνδεκάκις , γίγνομαι α . ηψια · έτωος ὁ ΚΑ΄ , γίγνομαι Ἔω . τοσοῦτος εἰμί ὁ στερεός .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 89
Εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν · τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ ἐφʼ ἑαυτό , γίνονται λϚ · καὶ τὴν κάθετον , ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται πα · ὁμοῦ γίνονται ριζ · ταῦτα τετράκις , γίνονται υξη · ταῦτα ἑνδεκάκις , γίνονται ερμη · τούτων τὸ ιδʹ , τξζ U+2220΄ . τοσοῦτον ἡ ἐπιφάνεια τοῦ μείζονος τμήματος τοῦ ἡμισφαιρίου .
Lemmas: εὑρίσκω αὐτός καί ὁ ἐπιφάνεια · ὁ βάσις ὁ μισός ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι λϚʹ · καί ὁ κάθετος , ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι πῃ · ὁμοῦ γίγνομαι ριζʹ · οὗτος τετράκις , γίγνομαι υξηʹ · οὗτος ἑνδεκάκις , γίγνομαι Ἑρμῆς · οὗτος ὁ ἴδη , τξζʹ U+2220΄ . τοσοῦτος ὁ ἐπιφάνεια ὁ μέγας τμῆμα ὁ ἡμισφαίριον .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 90
Σφαίρας ἔσται ἡ διάμετρος δ · εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεὸν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου . ποιῶ οὕτως · ἐν τῇ βάσει μέτρει κύκλον ἀπὸ τῆς διαμέτρου . τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσομεν οὕτως · ποιοῦμεν τὴν διάμετρον , τὰ δ , ἐφʼ ἑαυτά , γίνονται ιϚ ταῦτα ἑνδεκάκις , γίνονται ρο τούτων τὸ ιδʹ , γίνονται ιβ U+2220΄ ιδ΄ · τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν . ταῦτα ποίει ἐπὶ τὴν διάμετρον , ἐπὶ τὰ δ · τὰ γὰρ ἐστὶ τὸ ὕψος τοῦ περιλαμβάνοντος κυλίνδρου τὴν σφαῖραν , δύο ὄντων διαμέτρων τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κυλίνδρου · ἐποίησα οὖν τὰ δ ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν , ἐπὶ τὰ ιβ U+2220΄ ιδʹ , γίνονται ν καὶ δύο ἕβδομα . τοσοῦτον ὁ κύλινδρος , ὅσον ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας . δέδειχε δὲ Ἀρχιμήδης ὅτι κύλινδρος ὁ περιλαμβάνων τὴν σφαῖραν ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας · εἰ οὖν U+2220΄ πρόσθεμα , γʹ ἀφαίρεμα . ἀφαιρῶ οὖν τοῦ κυλίνδρου , ὅ ἐστιν ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας , τῶν καὶ β ἑβδόμων τὸ γʹ , καταλείπεται λγ γ΄ ζ΄ κα΄ . τοσοῦτον τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας . ἐὰν δὲ τὸ ?? λάβωμεν τῶν ν καὶ δύο ἑβδόμων , γίνονται ὁμοίως λγ γʹ ζʹ κα΄ · ἔσται ἄρα ἡ μὲν ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ν καὶ δύο ἑβδόμων , τὸ δὲ στερεὸν λγ γ΄ ζ΄ κα΄ .
Lemmas: Σφαιρᾶς εἰμί ὁ διάμετρος δ · εὑρίσκω αὐτηες͂ς ὁ στερεός ἀπό ὁ κύλινδρος . ποιέω οὕτως · ἐν ὁ βάσις μετρέω κύκλος ἀπό ὁ διάμετρος . ὁ ἐμβαδόν εὑρίσκω οὕτως · ποιέω ὁ διάμετρος , ὁ δ , ἐπί ἑαυτοῦ , γίγνομαι ιϚʹ οὗτος ἑνδεκάκις , γίγνομαι ροʹ οὗτος ὁ ἴδη , γίγνομαι ιβʹ U+2220΄ ὁ · τοσοῦτος ὁ ἐμβαδόν . οὗτος ποιέω ἐπί ὁ διάμετρος , ἐπί ὁ δ · ὁ γάρ εἰμί ὁ ὕψος ὁ περιλαμβάνω κύλινδρος ὁ σφαῖρα , δύο εἰμί διάμετρος ὁ σφαῖρα καί ὁ κύλινδρος · ποιέω οὖν ὁ δ ἐπί ὁ ἐμβαδόν , ἐπί ὁ ιβʹ U+2220΄ ἴδη , γίγνομαι ν καί δύο ἕβδομος . τοσοῦτος ὁ κύλινδρος , ὅσον ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . δείκνυμι δέ Ἀρχιμήδης ὅτι κύλινδρος ὁ περιλαμβάνω ὁ σφαῖρα ἡμιόλιος εἰμί ὁ σφαῖρα · εἰμί οὖν U+2220΄ πρόσθεμα , γε ἀφαίρεμα . ἀφαιρέω οὖν ὁ κύλινδρος , ὁ εἰμί ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὁ καί β ἕβδομος ὁ γε , καταλείπω λγʹ Γ΄ Ζ΄ ΚΑ΄ . τοσοῦτος ὁ στερεός ὁ σφαῖρα . ἐάν δέ ὁ ?? λαμβάνω ὁ ν καί δύο ἕβδομος , γίγνομαι ὅμοιος λγʹ γε γῆ ΚΑ΄ · εἰμί ἄρα ὁ μέν ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ν καί δύο ἕβδομος , ὁ δέ στερεός λγʹ Γ΄ Ζ΄ ΚΑ΄ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 91
Καὶ ἔστω σφαίρας ἡ περίμετρος ιη , εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν . ποιῶ οὕτως · ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων , τὰ ιη ἐπὶ τὰ ζ , γίνονται ρκϚ · καὶ τούτων τὸ κβʹ , ἑ καὶ ἑνδέκατα η · ταῦτα ἑνδεκάκις , γίνονται ξγ · ταῦτα κύβισοκ , γίνονται κε καὶ μζ · ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ βφμα , γίνονται ?? η δʹια λγ μδ ρκαʹ τξγ΄ .
Lemmas: καί εἰμί σφαῖρα ὁ περίμετρος ιηʹ , εὑρίσκω αὐτός ὁ στερεός . ποιέω οὕτως · ὡς ἐπί ὁ κύκλος , ὁ ιηʹ ἐπί ὁ ζʹ , γίγνομαι ρκϚʹ · καί οὗτος ὁ κβʹ , ἕ καί ἑνδέκατος η̅ · οὗτος ἑνδεκάκις , γίγνομαι ξγʹ · οὗτος κύβισοκ , γίγνομαι ἄν καί μζʹ · οὗτος μερίζω παρά ὁ β , γίγνομαι ?? η̅ δʹια λγʹ μδʹ ρκαʹ τξγ΄ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-gr-2448 92
Ἔτεμον σφαῖραν εἰς μέρη τέσσαρα καὶ εὑρέθη τὸ ἓν τμῆμα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μερῶν ἀνὰ ζ · εὑρεῖν τὸ στερεόν . ποιῶ οὕτως · κυβίζω τὰ ζ , γίνονται τμγ · ταῦτα δίς , γίνονται χπϚ · ταῦτα ἑνδεκάκις , γίνονται ζφμϚ · τούτων τὸ κα΄ , γίνονται τνθ γʹ . τοσοῦτον τὸ στερεὸν τοῦ τμήματος .
Lemmas: τέμνω σφαῖρα εἰς μέρος τέσσερα καί εὑρίσκω ὁ εἷς τμῆμα ἐκ ἀμφότερος ὁ Μέρα ἀνά ζʹ · εὑρίσκω ὁ στερεός . ποιέω οὕτως · κυβίζω ὁ ζ , γίγνομαι τμγʹ · οὗτος δίς , γίγνομαι χπϛʹ · οὗτος ἑνδεκάκις , γίγνομαι ζφμϚ · οὗτος ὁ ΚΑ΄ , γίγνομαι τνθʹ γε . τοσοῦτος ὁ στερεός ὁ τμῆμα .