diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 7
Λέγεται μὲν καὶ ἄλλῃ σύνθεσις , ἀλλʼ οὐ πολλαπλασιασμός · καὶ γὰρ ὁ ἐκ τῶν δοθέντων εἴτε ἴσων εἴτε ἀνίσων ἀριθμῶν καὶ εἴτε δύο ἢ τριῶν ἢ καὶ πλειόνων συντεθείς , ἀπλῶς λέγεται συγκεῖσθαι , οὐ μέντοι πολλαπλασίων . πολλαπλασιάζομεν δὲ ἢ μοῖραν ἐπὶ μοῖραν ἢ μοίρας ἐπὶ μοίρας , καὶ πάλιν ἢ λεπτὸν ἐπὶ λεπτὸν ἢ λεπτὰ ἐπὶ λεπτά , καὶ ἀνάμιξ μοῖραν ἐπὶ λεπτὸν καὶ λεπτά · ἀλλʼ ἡ μὲν μοῖρα ἐφʼ ὃ ἂν εἶδος πολλαπλασιασθῇ , τὸ αὐτὸ εἶδος ποιεῖ · ἐπὶ γὰρ πρῶτα λεπτὰ πολυπλασιαζομένη ἡ μοῖρα ἢ μοῖραι πρῶτα λεπτὰ ποιοῦσιν · καὶ ἀνάπαλιν λεπτὰ πρῶτα ἐπὶ μοῖραν ἢ μοίρας ποιεῖ πρῶτα λεπτά , καὶ ἐξῆς ὁμοίως ·· μοῖρα ἐπὶ δεύτερα , δεύτερα ποιεῖ καὶ ἐπὶ τρίτα , τρίτα καὶ ἑξῆς · πρῶτα δὲ ἐπὶ πρῶτα ποιεῖ δεύτερα , ἅπερ ἐστὶν ἐλάσσονα τῶν πρώτων ( τῶν μὲν γὰρ πρώτων τὸ ἕν λεπτὸν ξ ἐστι τῆς μοίρας · τῶν δὲ δευτέρων , γχον ) · ὅπερ ἐναντίον ἐστὶ τῷ πολλαπλασιασμῷ τῶν λοιπῶν ἀριθμῶν · ἐπαυξήσει γὰρ πολλαπλασιάζονται ὡς ἐὰν πεντάκις τὸν Ϛ πλάττοντες συνθῶμεν καὶ ποιήσωμεν τὸν λ · πρῶτα δὲ ε λεπτὰ ἐπὶ πρῶτα πολλαπλασιάζοντες , λ δεύτερα ποιοῦμεν , ὅπερ ἥμισύ ἐστιν ἑνὸς πρώτου λεπτοῦ · τοῦτο δὲ γίνεται διὰ τὴν τῶν μορίων πρὸς τὴν μονάδα ἀντιπεπόνθησιν . ἀεὶ γὰρ τὰ μόρια πολλαπλασιαζόμενα ἐναντίως ταῖς μοίραις ἐπʼ ἔλαττον χωρεῖ · ἐφʼ ἑαυτὸ γὰρ τὸ ἥμισυ πολλαπλασιαζόμενον τέταρτον γίνεται · β δὲ μονάδες ἐπὶ β , δ ποιοῦσιν . ὁμοίως καὶ τρίτον ἐπὶ τρίτον , ἔνναιον γίνεται · γ δὲ ἐπὶ γ , θ , ὅπερ δοκεῖ λῆρον . τοῦτο δὲ συμβαίνει τοῖς μορίοις ὅτι οὐ συντίθενται κατὰ μονάδα , ἀλλὰ τοὐναντίον μερίζονται κατὰ τὰ ὁμώνυμα μέρη ταῖς μονάσιν · τὸ γὰρ ἥμισυ ἐπὶ τὸ ἥμισυ νῦν οὐ συνετέθη καθʼ ὅλον ἑαυτό , ὥσπερ τὰ β ἐπὶ τὰ β , ἀλλὰ κατὰ τὸ ἥμισυ ἑαυτοῦ , ὡς ἔστιν ἰδεῖν καὶ ἐπὶ διαγράμματος οὕτως .
Lemmas: λέγω μέν καί ἄλλος σύνθεσις , ἀλλά οὐ πολλαπλασιασμός · καί γάρ ὁ ἐκ ὁ δίδωμι εἴτε ἴσος εἴτε ἄνισος ἀριθμός καί εἴτε δύο ἢ τρεῖς ἢ καί πολύς συντίθημι , ἀπλόος λέγω σύγκειμαι , οὐ μέντοι πολλαπλασίων . πολλαπλασιάζω δέ ἢ μοῖρα ἐπί μοῖρα ἢ μοῖρα ἐπί μοῖρα , καί πάλιν ἢ λεπτός ἐπί λεπτός ἢ λεπτός ἐπί λεπτός , καί ἀναμίξ μοῖρα ἐπί λεπτός καί λεπτός · ἀλλά ὁ μέν μοῖρα ἐπί ὁ ἄν εἶδος πολλαπλασιάζω , ὁ αὐτός εἶδος ποιέω · ἐπί γάρ πρῶτος λεπτός πολυπλασιάζω ὁ μοῖρα ἢ μοῖρα πρῶτος λεπτός ποιέω · καί ἀνάπαλιν λεπτός πρῶτος ἐπί μοῖρα ἢ μοῖρα ποιέω πρῶτος λεπτός , καί ἑξῆς ὅμοιος ·· μοῖρα ἐπί δεύτερος , δεύτερος ποιέω καί ἐπί τρίτος , τρίτος καί ἑξῆς · πρῶτος δέ ἐπί πρῶτος ποιέω δεύτερος , ὅς εἰμί μικρός ὁ πρῶτος ( ὁ μέν γάρ πρῶτος ὁ εἷς λεπτός ξ εἰμί ὁ μοῖρα · ὁ δέ δεύτερος , γχον ) · ὅς ἐναντίος εἰμί ὁ πολλαπλασιασμός ὁ λοιπός ἀριθμός · ἐπαύξησις γάρ πολλαπλασιάζω ὡς ἐάν πεντάκις ὁ Ϛ πλάσσω συντίθημι καί ποιέω ὁ λ · πρῶτος δέ ε λεπτός ἐπί πρῶτος πολλαπλασιάζω , λ δεύτερος ποιέω , ὅς μισός εἰμί εἷς πρῶτος λεπτός · οὗτος δέ γίγνομαι διά ὁ ὁ μόριον πρός ὁ μόνος ἀντιπεπόνθησις . ἀεί γάρ ὁ μόριον πολλαπλασιάζω ἐναντίος ὁ μοῖρα ἐπί μικρός χωρέω · ἐπί ἑαυτοῦ γάρ ὁ μισός πολλαπλασιάζω τέταρτος γίγνομαι · β δέ μόνος ἐπί β , δ ποιέω . ὅμοιος καί τρίτος ἐπί τρίτος , ἔνναιον γίγνομαι · γ δέ ἐπί γ , θ , ὅς δοκέω λῆρος . οὗτος δέ συμβαίνω ὁ μόριον ὅτι οὐ συντίθημι κατά μόνος , ἀλλά ἐναντίος μερίζω κατά ὁ ὁμώνυμος μέρος ὁ μόνος · ὁ γάρ μισός ἐπί ὁ μισός νῦν οὐ συντίθημι κατά ὅλος ἑαυτοῦ , ὥσπερ ὁ β ἐπί ὁ β , ἀλλά κατά ὁ μισός ἑαυτοῦ , ὡς εἰμί ὁράω καί ἐπί διάγραμμα οὕτως .