ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 1
Μέθοδοι εὔχρηστοι πρὸς τοὺς ἀπὸ μορίων πολλαπλασιοσμοὺς κατὰ τὸν τῆς ἀστρονομίας κανόνα πλέον τῶν ἄλλων μεθόδων σώζουσαι τὴν ἀκριβείαν · πᾶσαν .
Lemmas: μέθοδος εὔχρηστος πρός ὁ ἀπό μόριον πολλαπλασιοσμοὺς κατά ὁ ὁ ἀστρονομία κανών πλείων ὁ ἄλλος μέθοδος σῴζω ὁ ἀκρίβεια · πᾶς .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 2
Ἐπειδὴ τὰς ἐφόδους ὡς ἔνι μάλιστα τοῦ ἀκριβοῦς ἕνεκεν δεῖ εἶναι , εὑρίσκομεν δὲ πλέον τῶν ἄλλων τούς ἀστρονόμους περιεργότερον καταγινομένους πρὸς τοῦτο , ἀγαπητὸν ἡγούμενοι καὶ πρὸς τὰ χωρὶς ἀστρονομίας πάντα , ὅσα τε πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἕπεται , εὐθετοῦν , ἀπεγραψάμεθα τοῦτο τὸ μεθόδιον .
Lemmas: ἐπειδή ὁ ἔφοδος ὡς ἔνειμι μάλιστα ὁ ἀκριβής ἕνεκα δέω ἔρχομαι , εὑρίσκω δέ πλείων ὁ ἄλλος ὁ ἀστρονόμος περίεργος καταγίγνομαι πρός οὗτος , ἀγαπητός ἡγέομαι καί πρός ὁ Χωρὶς ἀστρονομία πᾶς , ὅσος τε πολλαπλασιασμός καί μερισμός ἕπομαι , εὐθετέω , ἀπογράφω οὗτος ὁ Μεθόδιος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 4
Περὶ πολλαπλασιασμοῦ .
Lemmas: περι πολλαπλασιασμός .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 5
Πολλαπλασιασμοῦ ὁρισμός .
Lemmas: πολλαπλασιασμός ὁρισμός .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 6
Πολλαπλασιασμός ἐστι σύνθεσις ἀριθμοῦ τινος δοθέντος καθʼ ἕτερον ἀριθμὸν δοθέντα · οἱονεὶ ὅταν ὁ ἕτερος τοσαυτάκις συντιθέμενος ὁπόσος ἐστὶν ὁ ἕτερος ἐν τῷ πλήθει τῶν μονάδων καὶ ποιῇ τινα κατὰ τὸ πλῆθος τῆς συνθέσεως , ὁ γενόμενος λέγεται πολλαπλασιασμὸς τοῦ ἑτέρου κατὰ τὸν ἕτερον .
Lemmas: πολλαπλασιασμός εἰμί σύνθεσις ἀριθμός τις δίδωμι κατά ἕτερος ἀριθμός δίδωμι · οἱονεί ὅταν ὁ ἕτερος τοσαυτάκις συντίθημι ὁπόσος εἰμί ὁ ἕτερος ἐν ὁ πλῆθος ὁ μόνος καί ποιέω τις κατά ὁ πλῆθος ὁ σύνθεσις , ὁ γίγνομαι λέγω πολλαπλασιασμός ὁ ἕτερος κατά ὁ ἕτερος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 8
Ἔστω γὰρ μοναδιαῖον χωρίον τὸ ΑΒ ἐκ πλευρᾶς τῆς ΑΖ τετράγωνον δίχα διῃρημένης κατὰ τὸ Γ , καὶ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀναγεγράφθω χωρίον τετράγωνον τὸ Α∠Ε τοῦτο δὴ τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ΑΒ μοναδιαίου χωρίου , καὶ ἔστιν ἥμισυ ἐπὶ ἥμισυ · ἡ ΑΓ γὰρ ἐπὶ τὴν Α∠ γέγονεν . ὁμοίως οὖν δείξεις ὅτι καὶ γʹ ἐπὶ γʹ , θʹ γίνεται , καὶ δʹ ἐπὶ δʹ , ιϛʹ · οὕτως οὖν δεῖ νοεῖν καὶ ἐπὶ τῶν λεπτῶν μορίων ὄντων .
Lemmas: εἰμί γάρ μοναδιαῖος χωρίον ὁ ΑΒ ἐκ πλευρά ὁ αζʹ τετράγωνος δίχα διαιρέω κατά ὁ Γ , καί ἀπό ὁ ΑΓ ἀναγράφω χωρίον τετράγωνος ὁ Α∠Ε οὗτος δή τέταρτος μέρος εἰμί ὁ ΑΒ μοναδιαίος χωρίον , καί εἰμί μισός ἐπί μισός · ὁ ΑΓ γάρ ἐπί ὁ Α∠ γίγνομαι . ὅμοιος οὖν δείκνυμι ὅτι καί γε ἐπί γε , ὁ γίγνομαι , καί δέ ἐπί δέ , ιϛʹ · οὕτως οὖν δέω νοέω καί ἐπί ὁ λεπτός μόριον εἰμί .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 9
Ὁμοίως δὲ καὶ πρῶτα ἐπὶ δεύτερα , τρίτα ποιεῖ , καὶ
Lemmas: Ὅμοιος δέ καί πρῶτος ἐπί δεύτερος , τρίτος ποιέω , καί
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 10
πλασιάζωμεν τὴν Α∠ οὖσαν μοῖραν α , ἐπὶ τὸ ἓν ξον , λέγω δὴ τὴν ΑΞ , ἔσται τὸ πρῶτον χωρίον τὸ ΑΟ ξ ἑνός · εἰ δὲ ἐπὶ τὰ β λεπτὰ τὰ ΑΞ , ΞΖ , ἔσται λεπτὰ ἤτοι ξξ β καὶ τὰ ἑξῆς · ὁμοίως οὖν καὶ μοῖρα ἐπὶ ἓν πρῶτον λεπτὸν ἢ δύο , ποιοῦσι πρῶτα , τῆς Α∠ ὑποτεθείσης μοίρας , ἓν ἢ δύο καὶ ἑξῆς .
Lemmas: πλησιάζω ὁ Α∠ εἰμί μοῖρα α , ἐπί ὁ εἷς ξον , λέγω δή ὁ ΑΞ , εἰμί ὁ πρῶτος χωρίον ὁ ΑΟ ξ εἷς · εἰμί δέ ἐπί ὁ β λεπτός ὁ ΑΞ , ΞΖ , εἰμί λεπτός ἤτοι ξξ β καί ὁ ἑξῆς · ὅμοιος οὖν καί μοῖρα ἐπί εἷς πρῶτος λεπτός ἢ δύο , ποιέω πρῶτος , ὁ Α∠ ὑποτίθημι μοῖρα , εἷς ἢ δύο καί ἑξῆς .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 11
Φανερὸν ὅτι μοῖρα ἤτοι μοῖραι ἐπὶ λεπτὸν ἢ καὶ λεπτὰ πρῶτα , πρῶτα λεπτὰ ποιεῖ · ἀλλὰ δὴ πάλιν τὸ πρῶτον ξον , τὸ ΑΞ , διῃρήσθω εἰς ξ καὶ ὁμοίως αἱ παράλληλοι ἐπινοείσθωσαν διὰ τῶν Π , Η · ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ∠ΑΠ ὑπό τε μοίρας καὶ λεπτοῦ δευτέρου ἑνός , καὶ γίνεται διὰ τὰ αὐτὰ μοῖρα ἐπὶ δεύτερον λεπτὸν ἔν , δεύτερον λεπτὸν ἕν · καὶ ὁμοίως ἐπὶ δύο δεύτερα , δεύτερα δύο . διαιρεθέντος δὲ τοῦ πρώτου ξ τῶν δευτέρων ἔξ τοῦ ΑΠ εἰς ξ , τὰ αὐτὰ φήσομεν καὶ τοῦτο ἀεί · ὥστε μοῖρα ἢ καὶ μοῖραι ἐφʼ ἄν εἶδος πολλαπλασιασθῶσι ποιήσουσι τὸ αὐτὸ ἐξ ἀνάγκης εἶδος .
Lemmas: Φανερός ὅτι μοῖρα ἤτοι μοῖρα ἐπί λεπτός ἢ καί λεπτός πρῶτος , πρῶτος λεπτός ποιέω · ἀλλά δή πάλιν ὁ πρῶτος ξον , ὁ ΑΞ , διαιρέω εἰς ξ καί ὅμοιος ὁ παράλληλος ἐπινοέω διά ὁ Π , ὁ · εἰμί ἄρα ὁ ὑπό ὁ ∠ΑΠ ὑπό τε μοῖρα καί λεπτός δεύτερος εἷς , καί γίγνομαι διά ὁ αὐτός μοῖρα ἐπί δεύτερος λεπτός εἷς , δεύτερος λεπτός εἷς · καί ὅμοιος ἐπί δύο δεύτερος , δεύτερος δύο . διαιρέω δέ ὁ πρῶτος ξ ὁ δεύτερος ἐκ ὁ ΑΠ εἰς ξ , ὁ αὐτός φημί καί οὗτος ἀεί · ὥστε μοῖρα ἢ καί μοῖρα ἐπί ἄν εἶδος πολλαπλασιάζω ποιέω ὁ αὐτός ἐκ ἀνάγκη εἶδος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 12
Πάλιν δὴ ἔστω ἡ Α∠ διῃρημένη εἰς ξ , ὧν δύο ἔστω τὰ ΑΣ , ΣΥ ξξ πρῶτα · ἐὰν δὴ πολλαπλασιάσω τὸ πρῶτον ξ τὸ ΑΞ ἐπὶ τὸ πρῶτον τὸ ΑΣ , ἔσται τὸ γενόμενον τὸ ΑΧ δεύτερον γενόμενον · γίνεται γὰρ τοῦ ΑΒ γχ μέρος . ὁμοίως κἂν δύο πρῶτα λεπτὰ τὰ Υ ἐπὶ δύο ὁμοίως πρῶτα τὰ Α πολλαπλασιάζοις , ἕξεις χωορίον γινόμενον τὸ ΑΦ , τοιούτων γὰρ ὂν τεσσάρων οἵων τὸ ΑΒ γχ , ὥστε τὰ γινόμενα ἔσται δεύτερα καὶ τοῦτο ἑξῆς · ὥστε πρῶτα ἐπὶ πρῶτα ποιεῖ δεύτερα .
Lemmas: πάλιν δή εἰμί ὁ Α∠ διαιρέω εἰς ξ , ὅς δύο εἰμί ὁ ΑΣ , ΣΥ ξξ πρῶτος · ἐάν δή πολλαπλασιάζω ὁ πρῶτος ξ ὁ ΑΞ ἐπί ὁ πρῶτος ὁ ΑΣ , εἰμί ὁ γίγνομαι ὁ ΑΧ δεύτερος γίγνομαι · γίγνομαι γάρ ὁ ΑΒ γχ μέρος . ὅμοιος κἀν δύο πρῶτος λεπτός ὁ Υ ἐπί δύο ὅμοιος πρῶτος ὁ Α πολλαπλασιάζω , ἔχω χωορίον γίγνομαι ὁ ΑΦ , τοιοῦτος γάρ εἰμί τέσσαρες οἷος ὁ ΑΒ γχ , ὥστε ὁ γίγνομαι εἰμί δεύτερος καί οὗτος ἑξῆς · ὥστε πρῶτος ἐπί πρῶτος ποιέω δεύτερος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 13
Πάλιν δὴ ἔστω · τοῦ ΑΣ διαιρεθέντος πρώτου ξου εἰς δεύτερα ξξα , ὧν δύο τὰ ΑΡ ΡΨ , ἐὰν μὲν πρῶτα ἐπὶ δεύτερα , οἷον τὸ ΞΑ ἐπὶ τὴν ΨΑ τουτέστι πρῶτον λεπτὸν ἓν ἐπὶ δεύτερα δύο , γίνονται τρίτα λεπτὰ δύο · τὰ δὲ τρίτα λεπτὰ δύο γίνεται δευτέρου ἑξηκοστὰ δύο , ὅπερ δὴ καὶ ὁρᾶται · ἔστι γὰρ τοῦ Α ὄντος δευτέρου . ξ δύο ἑξηκοστά . ἀλλὰ δὴ κἂν δύο πρῶτα ἐπὶ δύο δεύτερα πολλαπλασιάζοις ἑξῆς , γίνεται τρίτα διὰ τὰ εἰρημένα · εἰ δὲ δεύτερα ἐπὶ δεύτερα , τέταρτα · ἐὰν γὰρ τὰ ΑΡ ΡΨ δεύτερα δύο ἐπὶ τὰ ΑΠ , ΠΗ ὁμοίως δύο δεύτερα ποιῶν πολλαπλασιάσῃς , ἓξεις τὸ Α χωρίον γινόμενον λεπτῶν δ τετάρτων · γίνεται γὰρ ὁμοίως τοιούτων τὸ ΑΤ τεσσάρων οἵων τὸ ΑΧ γχ .
Lemmas: πάλιν δή εἰμί · ὁ ΑΣ διαιρέω πρῶτος ξέω εἰς δεύτερος ξξα , ὅς δύο ὁ ΑΡ ΡΨ , ἐάν μέν πρῶτος ἐπί δεύτερος , οἷος ὁ ΞΑ ἐπί ὁ ΨΑ τουτέστι πρῶτος λεπτός εἷς ἐπί δεύτερος δύο , γίγνομαι τρίτος λεπτός δύο · ὁ δέ τρίτος λεπτός δύο γίγνομαι δεύτερος ἑξηκοστός δύο , ὅς δή καί ὁράω · εἰμί γάρ ὁ Α εἰμί δεύτερος . ξ δύο ἑξηκοστός . ἀλλά δή κἀν δύο πρῶτος ἐπί δύο δεύτερος πολλαπλασιάζω ἑξῆς , γίγνομαι τρίτος διά ὁ λέγω · εἰμί δέ δεύτερος ἐπί δεύτερος , τέταρτος · ἐάν γάρ ὁ ΑΡ ΡΨ δεύτερος δύο ἐπί ὁ ΑΠ , ΠΗ ὅμοιος δύο Δευτέρα ποιέω πολλαπλασιάζω , ἔχω ὁ Α χωρίον γίγνομαι λεπτός δ τέταρτος · γίγνομαι γάρ ὅμοιος τοιοῦτος ὁ ΑΤ τέσσαρες οἷος ὁ ΑΧ γχ .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 14
Σαφηνισθέντωον δὴ τῶν πολλαπλασιασμῶν , δεικτέον ἑξῆς πῶς τε δεῖ πολλαπλασιάζειν καὶ ἔτι πῶς μερίζειν , πρῶτον ὁρισαμένους τί ἐστι μερισμός · μερισμὸς γάρ ἐστιν ἀριθμοῦ τινος κατὰ ἕτερον ἀριθμὸν διαίρεσις εἰς ἴσα τε καὶ ἰσοπληθῆ ταῖς τοῦ ἀριθμοῦ μονάσι διαιρουμένου , εἴτε μονάδας ἐπὶ μονάδας μερίζειν δέοι , εἴτε λεπτὰ ἐπὶ λεπτά , εἴτε λεπτὰ καὶ μονάδας ἐπὶ λεπτὰ καὶ μονάδας .
Lemmas: Σαφηνίζω δή ὁ πολλαπλασιασμός , δείκνυμι ἑξῆς πῶς τε δέω πολλαπλασιάζω καί ἔτι πῶς μερίζω , πρῶτος ὁρίζω τίς εἰμί μερισμός · μερισμός γάρ εἰμί ἀριθμός τις κατά ἕτερος ἀριθμός διαίρεσις εἰς ἴσος τε καί ἰσοπληθής ὁ ὁ ἀριθμός μόνος διαιρέω , εἴτε μόνος ἐπί μόνος μερίζω δέω , εἴτε λεπτός ἐπί λεπτός , εἴτε λεπτός καί μόνος ἐπί λεπτός καί μόνος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 15
Λέγεται δὲ καὶ ἄλλως μερίζεσθαι ἀριθμός , ὁπόταν διαιρῆται εἰς ἄνισα ὁποσαοῦν , ἀπλῶς γὰρ παρὰ τὸ διαμερίζεσθαι τὴν τοῦ ἀριθμοῦ σύνθεσιν · ἀλλʼ ἐπιστῆσαί ἐστιν ὅτι ἄλλο τι ποιεῖ ὁ μερισμὸς οὗτος · διὸ καὶ οἱ πολλοὶ μᾶλλον τὸ τοιοῦτο διαίρεσιν ἀριθμοῦ καλοῦσιν , οὐκέτι δὲ μερισμόν · ὁ γὰρ κυρίως μερισμὸς τεταγμένος ἐστί · κατὰ γὰρ τὴν αὐτὴν τάξιν τῷ πολλαπλασιασμῷ τέτακται , κἂν δοκῇ ἐναντίως αὐτῷ ἔχειν , ὅτι ὁ μὲν σύνθεσις , οὗτος δὲ διαίρεσίς ἐστι · τάξιν δὲ ὁμοίαν ἔχουσιν ὅτι , ὥσπερ ἐκεῖνος ἰσάκις συνετέθη , οὕτως καὶ οὗτος ἰσάκις μερίζεται . ὁ γὰρ μερίζων κατὰ ἕτερον ἀριθμὸν μερίζει δοθέντα · τοῦτο γὰρ τέλος τοῦ μερισμοῦ , τὸ εὑρεῖν ἀριθμόν τινα ὃς πολλαπλασιαζόμενος ἤτοι συντιθέμενος ἐπὶ τὸν παρʼ ὃν γίνεται ὁ μερισμός , ποιήσει τὸ τοῦ μεριζομένου πλῆθος .
Lemmas: λέγω δέ καί ἄλλως μερίζω ἀριθμός , ὁπόταν διαιρέω εἰς ἄνισος ὁποσοσοῦν , ἀπλόος γάρ παρά ὁ διαμερίζω ὁ ὁ ἀριθμός σύνθεσις · ἀλλά ἐφίστημι εἰμί ὅτι ἄλλος τίς ποιέω ὁ μερισμός οὗτος · διό καί ὁ πολύς μᾶλλον ὁ τοιοῦτος διαίρεσις ἀριθμός καλέω , οὐκέτι δέ μερισμός · ὁ γάρ κυρίως μερισμός τάσσω εἰμί · κατά γάρ ὁ αὐτός τάξις ὁ πολλαπλασιασμός τάσσω , κἀν δοκέω ἐναντίος αὐτός ἔχω , ὅτι ὁ μέν σύνθεσις , οὗτος δέ διαίρεσις εἰμί · τάξις δέ ὅμοιος ἔχω ὅτι , ὥσπερ ἐκεῖνος ἰσάκις συντίθημι , οὕτως καί οὗτος ἰσάκις μερίζω . ὁ γάρ μερίζω κατά ἕτερος ἀριθμός μερίζω δίδωμι · οὗτος γάρ τέλος ὁ μερισμός , ὁ εὑρίσκω ἀριθμός τις ὅς πολλαπλασιάζω ἤτοι συντίθημι ἐπί ὁ παρά ὅς γίγνομαι ὁ μερισμός , ποιέω ὁ ὁ μερίζω πλῆθος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 16
Καλεῖται δὲ παρὰ τοῖς γεωμέτραις παραβολὴ χωρίου · τὸ γὰρ δοθὲν χωρίον παραβάλλεται , οἷον , εἰ τύχοι , τὸ τῶν ρ μ° παρά τινα , ὑπόθου τὸν ε ἀριθμόν , καὶ ποίει τὸν κ ἀριθμὸν πλάτος γινόμενον τοῦ χωρίου · ἦν δὲ ὁ ὁ ἐπιζητούμενος ὃς καὶ εὕρηται ἤδη · διὰ γὰρ τούτου ὁ μερισμὸς παντελῶς ἀνεφάνθη · τοῦτο δὲ ἦν τὸ λεγόμενον ὅτι οὐδὲν ἕτερόν ἐστι τὸ μερίσαι ἢ τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμὸν ὃς συντεθεὶς ἐπὶ τὸν παρʼ ὃν γίνεται ὁ μερισμός , οἷον ὁ κ ὃς εὕρηται , ἐπὶ τὸν ε ποιῆσαι ὀφείλει τὸ τοῦ μεριζομένου πλῆθος · ὃ καὶ ἔστιν · ὁ γὰρ εἰρημένος κ παρὰ τὸν ε ποιεῖ τὸν ρ . ὥστε δεῖ ἐπιστῆσαι ὅτι ὁ μέλλων μερίζειν τι , πρότερον ἀποβλέπει εἰς τὸ βάθος τῆς γενέσεως τοῦ μέλλοντος μερίζεσθαι · ἦν γὰρ ὁ πολλαπλασιάσας τὸν μέλλοντα μερίζεσθαι ἡ γένεσις αὐτοῦ ἰδοῦ γὰρ ὅτι καὶ ὁ μερισμὸς γέγονεν ἡμῖν ἐκ τῆς θεωρίας τοῦ πολλαπλασιάζοντος τὸν μερίζοντα .
Lemmas: καλέω δέ παρά ὁ γεωμέτρης παραβολή χωρίον · ὁ γάρ δίδωμι χωρίον παραβάλλω , οἷος , εἰμί τυγχάνω , ὁ ὁ ρ μ° παρά τις , ὑποτίθημι ὁ ε ἀριθμός , καί ποιέω ὁ κ ἀριθμός πλάτος γίγνομαι ὁ χωρίον · εἰμί δέ ὁ ὁ ἐπιζητέω ὅς καί εὑρίσκω ἤδη · διά γάρ οὗτος ὁ μερισμός παντελής ἀναφαίνω · οὗτος δέ εἰμί ὁ λέγω ὅτι οὐδείς ἕτερος εἰμί ὁ μερίζω ἢ ὁ εὑρίσκω τις ἀριθμός ὅς συντίθημι ἐπί ὁ παρά ὅς γίγνομαι ὁ μερισμός , οἷος ὁ κ ὅς εὑρίσκω , ἐπί ὁ ε ποιέω ὀφείλω ὁ ὁ μερίζω πλῆθος · ὁ καί εἰμί · ὁ γάρ λέγω κ παρά ὁ ε ποιέω ὁ ρ . ὥστε δέω ἐφίστημι ὅτι ὁ μέλλω μερίζω τίς , πρότερος ἀποβλέπω εἰς ὁ βάθος ὁ γένεσις ὁ μέλλω μερίζω · εἰμί γάρ ὁ πολλαπλασιάζω ὁ μέλλω μερίζω ὁ γένεσις αὐτός ὁράω γάρ ὅτι καί ὁ μερισμός γίγνομαι ἐγώ ἐκ ὁ θεωρία ὁ πολλαπλασιάζω ὁ μερίζω .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 17
Σαφῶς τούτων εἰρημένων , εἴπωμεν τί τε παρά τι μεριζόμενον ποιεῖ τί , δήλου ὄντος τοῦ ὅτι μοῖραι παρὰ μοίρας μεριζόμεναι μοίρας ποιοῦσιν , ζητουμένου δὲ τοῦ περὶ τῶν ξξ λόγου , περὶ τούτου ῥητέον · ἰστέον τοίνυν , ὁποιονοῦν εἶδος λεπτῶν ἐπὶ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ προσεχὲς μεριζόμενον , ἓν ὁποιονοῦν τῶν πρὸ αὐτοῦ εἶδος ποιεῖ , χωρὶς τῶν πρώτων λεπτῶν μόνων · ι γὰρ τυχὸν λεπτὰ πρῶτα παρὰ β μοίρας μεριζόμενα , πρῶτα λεπτὰ ποιεῖ ε · καὶ φανερὸν ὅτι τὰ πρῶτα λεπτὰ παρὰ τὸ πρὸ αὐτῶν εἶδος μερισθέντα , τουτέστι παρὰ μοίρας , τὸ ἐξ ἀρχῆς ἴδιον εἶδος πεποίηκε , πρῶτα γὰρ μεμένηκεν .
Lemmas: σαφής οὗτος λέγω , λέγω τίς τε παρά τίς μερίζω ποιέω τίς , δῆλος εἰμί ὁ ὅτι μοῖρα παρά μοῖρα μερίζω μοῖρα ποιέω , ζητάω δέ ὁ περί ὁ ξξ λόγος , περί οὗτος λέγω · οἶδα τοίνυν , ὁποῖος εἶδος λεπτός ἐπί ὁ πρό ἑαυτοῦ προσεχής μερίζω , εἷς ὁποῖος ὁ πρό αὐτός εἶδος ποιέω , Χωρὶς ὁ πρῶτος λεπτός μόνος · Ι γάρ τυγχάνω λεπτός πρῶτος παρά β μοῖρα μερίζω , πρῶτος λεπτός ποιέω ε · καί φανερός ὅτι ὁ πρῶτος λεπτός παρά ὁ πρό αὐτός εἶδος μερίζω , τουτέστι παρά μοῖρα , ὁ ἐκ ἀρχή ἴδιος εἶδος ποιέω , πρῶτος γάρ μένω .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 18
Ἐπὶ δὲ τῶν μετὰ ταῦτα οὐχ οὕτως ἔχει λοιπῶν εἰδῶν · δεύτερα γὰρ παρὰ τὰ προσεχῆ αὐτοῖς πρῶτα μεριζόμενα , πρῶτα ποιεῖ , καὶ οὐκέτι τὰ αὐτὰ δεύτερα · τοῦτο δὲ ῥᾷον ἐπιστῆσαι ἐκ τῶν ἐπάνω εἰρημένων . ἐλέγετο δὲ ὅτι δεῖ ζητῆσαι ἀριθμὸν ὃς συντιθέμενος ἐπὶ τὸν παρʼ ὃν γίνεται ὁ μερισμός , καὶ τὰ ἑξῆς . κἀνταῦθα οὖν τὸ αὐτό ἐστι · δεῖ γὰρ ζητῆσαι ἀριθμὸν ὃς συντιθέμενος ἐπὶ τὸν μερίζοντα πάντως ποιῆσαι ὀφείλει τὸ μεριζόμενον εἶδος · εἴρηται δὲ ἐν τοῖς πολλαπλασιασμοῖς καὶ τοῦτο ὅτι μοῖρα ἤτοι μοῖραι , ἐφʼ ὃ ἂν εἶδος πολλαπλασιασθῶσιν , τὸ αὐτὸ εἶδος φυλάξουσιν . εἰ δὲ ταῦτα οὕτως , καὶ ἀνάπαλιν πᾶν εἶδος παρὰ μοῖραν ἢ μοίρας μεριζόμενον , ἤτοι παραβαλλόμενον , τὸ αὐτὸ εἶδος φυλάξει . πρῶτα δὲ λεπτὰ παρὰ πρῶτα μεριζόμενα μοίρας ποιεῖ , ὥσπερ καὶ μοῖραι ἐπὶ λεπτὰ πρῶτα πολλαπλασιαζόμεναι ἐποίουν λεπτὰ πρῶτα · ὁμοίως καὶ δεύτερα παρὰ δεύτερα μοίρας , καὶ τρίτα παρὰ τρίτα μεριζόμενα μοίρας ποιήσει , ἐπεὶ καὶ μοῖραι ἐπὶ τρίτα λεπτὰ πολλαπλασιαζόμεναι τρίτα λεπτὰ ποιοῦσιν · καὶ ἀπλῶς πᾶν εἶδος παρʼ ἑαυτὸ μεριζόμενον μοῖραν ποιεῖ .
Lemmas: ἐπί δέ ὁ μετά οὗτος οὐ οὕτως ἔχω λοιπός εἶδος · δεύτερος γάρ παρά ὁ προσεχής αὐτός πρῶτος μερίζω , πρῶτος ποιέω , καί οὐκέτι ὁ αὐτός δεύτερος · οὗτος δέ ῥᾴδιος ἐφίστημι ἐκ ὁ ἐπάνω λέγω . λέγω δέ ὅτι δέω ζητέω ἀριθμός ὅς συντίθημι ἐπί ὁ παρά ὅς γίγνομαι ὁ μερισμός , καί ὁ ἑξῆς . ἐνταῦθα οὖν ὁ αὐτός εἰμί · δέω γάρ ζητέω ἀριθμός ὅς συντίθημι ἐπί ὁ μερίζω πάντως ποιέω ὀφείλω ὁ μερίζω εἶδος · λέγω δέ ἐν ὁ πολλαπλασιασμός καί οὗτος ὅτι μοῖρα ἤτοι μοῖρα , ἐπί ὁ ἄν εἶδος πολλαπλασιάζω , ὁ αὐτός εἶδος φυλάσσω . εἰμί δέ οὗτος οὕτως , καί ἀνάπαλιν πᾶς εἶδος παρά μοῖρα ἢ μοῖρα μερίζω , ἤτοι παραβάλλω , ὁ αὐτός εἶδος φυλάσσω . πρῶτος δέ λεπτός παρά πρῶτος μερίζω μοῖρα ποιέω , ὥσπερ καί μοῖρα ἐπί λεπτός πρῶτος πολλαπλασιάζομαι ποιέω λεπτός πρῶτος · ὅμοιος καί δεύτερος παρά δεύτερος μοῖρα , καί τρίτος παρά τρίτος μερίζω μοῖρα ποιέω , ἐπεί καί μοῖρα ἐπί τρίτος λεπτός πολλαπλασιάζομαι τρίτος λεπτός ποιέω · καί ἀπλόος πᾶς εἶδος παρά ἑαυτοῦ μερίζω μοῖρα ποιέω .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 19
Οὐ δεῖ οὖν ἀπατᾶσθαι , εἴ που καθʼ ὑπόθεσιν τρίτα ἑξηκοστὰ ξ μεριζόμενα παρʼ ἑαυτά , εἰ τύχοι , παρὰ β λεπτὰ τρίτα , ποιήσει μοίρας λ , ἐνθυμούμενος ὅτι τὰ ξ τρίτα μεριζόμενα ὀφείλει ποιεῖν ἐλάσσονα ἑαυτῶν ἀριθμὸν καὶ οὐχὶ μοίρας λ , αἵτινες πολλαπλάσιαι τυγχάνουσι τῶν ξ λεπτῶν · οὐδὲν γὰρ ἄτοπον ἀπαντᾶ , κἂν γεγόνασιν αἱ λ μοῖραι ἐκ τοῦ μερισμοῦ τῶν τρίτων λεπτῶν παρʼ ἑαυτά , παραβολῆς γινομένης τῶν ξ τρίτῶν λεπτῶν παρὰ μικρότερόν τινα , οἷον τὰ β τρίτα λεπτά , διότι ἐξ ἀνάγκης μακροτέραν πλευρὰν ἐκ τοῦ μερισμοῦ τῶν λεπτῶν ἔδει γενέσθαι ἐναντίως ταῖς μονάσι · μόρια γάρ εἰσι τὰ λεπτά . ἐπὶ δὲ τῶν μορίων ἀεὶ τοῦτο οὕτως εὑρίσκεται μεριζομένων παρὰ μόρια , ὥσπερ τὸ ιβʹ καθʼ ὑπόθεσιν παρὰ τὸ δʹ μεριζόμενον ἐξ ἀνάγκης ποιεῖ τὸ γʹ . φανερὸν δὲ ἔσται πάλιν τὸ λεγόμενον διʼ ἀναγραφῆς χωρίου τῷ βουλομένῳ · σεσημειώσθω δὲ τὸ εἰρημένον ὡς ἀναγκαῖον καὶ τοῖς πολλοῖς οὐκ εὔδηλον .
Lemmas: οὐ δέω οὖν ἀπατάω , εἰμί ποῦ κατά ὑπόθεσις τρίτος ἑξηκοστός ξ μερίζω παρά ἑαυτοῦ , εἰμί τυγχάνω , παρά β λεπτός τρίτος , ποιέω μοῖρα λ , ἐνθυμέομαι ὅτι ὁ ξ τρίτος μερίζω ὀφείλω ποιέω μικρός ἑαυτοῦ ἀριθμός καί οὐ μοῖρα λ , ὅστις πολλαπλάσιος τυγχάνω ὁ ξ λεπτός · οὐδείς γάρ ἄτοπος ἀπαντάω , κἀν γίγνομαι ὁ λ μοῖρα ἐκ ὁ μερισμός ὁ τρίτος λεπτός παρά ἑαυτοῦ , παραβολή γίγνομαι ὁ ξ τρίτος λεπτός παρά μικρός τις , οἷος ὁ β τρίτος λεπτός , διότι ἐκ ἀνάγκη μακρός πλευρά ἐκ ὁ μερισμός ὁ λεπτός δέω γίγνομαι ἐναντίος ὁ μόνος · μόριον γάρ εἰμί ὁ λεπτός . ἐπί δέ ὁ μόριον ἀεί οὗτος οὕτως εὑρίσκω μερίζω παρά μόριον , ὥσπερ ὁ ἶβις κατά ὑπόθεσις παρά ὁ δέ μερίζω ἐκ ἀνάγκη ποιέω ὁ γε . φανερός δέ εἰμί πάλιν ὁ λέγω διά ἀναγραφή χωρίον ὁ βούλομαι · σημειόω δέ ὁ λέγω ὡς ἀναγκαῖος καί ὁ πολύς οὐ εὔδηλος .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 20
Δεύτερα μέντοι λεπτὰ παρὰ πρῶτα ποιεῖ πρῶτα , ἐπειδὴ καὶ πρῶτα ἐπὶ πρῶτα πολλαπλασιαζόμενα ἐποίει δεύτερα , καὶ εἴρηται ὅτι ὁ μερισμὸς οὐδέν ἐστιν ἕτερον ἢ κατὰ βάθος πολλαπλασιασμοῦ τινος θεωρία τοῦ γεννήσαντος τὸν μεριζόμενον , καὶ ὅτι μερίζειν ἐστὶ τὸ εὑρίσκειν ἀριθμόν τινα ὃς πολλαπλασιαζόμενος ἐπὶ τὸν παρʼ ὃν γίνεται ὁ μερισμός , ποιήσει τὸ τῶν μεριζομένων εἶδός τε καὶ πλῆθος τῶν μορίων . διὰ δὴ τὰ αὐτὰ καὶ τρίτα παρὰ δεύτερα μεριζόμενα πρῶτα ποιεῖ , ἐπεὶ καὶ δεύτερα ἐπὶ πρῶτα πολλαπλασιαζόμενα τρίτα ποιεῖ · καὶ τρίτα παρὰ πρῶτα μεριζόμενα ποιεῖ δεύτερα , καὶ πέμπτα παρὰ δεύτερα , τρίτα καὶ ἑξῆς . κοινωνία οὖν τις καὶ ἐναντιότης , ὡς εἴρηται , θεωρεῖται ἐν τοῖς πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς · πρῶτα γὰρ ἐπὶ πρῶτα πολλαπλασιαζόμενα δεύτερα ποιεῖ , δεύτερα δὲ παρὰ πρῶτα μεριζόμενα πρῶτα ποιεῖ · καὶ πάλιν πρῶτα ἐπὶ δεύτερα , τρίτα ποιεῖ , καὶ μεριζόμενα ταῦτα παρὰ πρῶτα ποιεῖ δεύτερα . πάλιν πρῶτα ἐπὶ τρίτα , τέταρτα ποιεῖ , καὶ μεριζόμενα ταῦτα παρὰ τρίτα ποιεῖ πρῶτα , καὶ ἑξῆς ὁμοίως . καὶ δεύτερα ἐπὶ δεύτερα ποιεῖ τέταρτα καὶ μεριζόμενα παρὰ τὰ δεύτερα τὰ εἰρημένα τέταρτα ποιεῖ δεύτερα · δῆλον οὖν ὅτι ὁ μὲν πολλαπλασιασμὸς παρωνύμως γίνεται ἐκ τοῦ κατὰ σύνθεσιν , ὡς εἴρηται · δεύτερα γάρ , εἰ τύχοι , ἐπὶ τρίτα , πέμπτα ποιεῖ , ἐπεὶ καὶ β καὶ γ συντιθέμενα γίνεται ε · ὁ δὲ μερισμὸς κατὰ τὸ ἐναντίον τούτῳ , ἐκ τοῦ κατὰ διαίρεσιν γάρ · πέμπτα γὰρ παρὰ τρίτα μεριζόμενα γίνεται δεύτερα , καὶ ἀπὸ τῶν ε ἀφαιρουμένων γ καταλείπονται β · κα φανερὸν ὅτι ἐκ τοῦ κατὰ διαίρεσιν παρωνύμου γίνεται ὁ μερισμός .
Lemmas: Δευτέρα μέντοι λεπτός παρά πρῶτος ποιέω πρῶτος , ἐπεί καί πρῶτος ἐπί πρῶτος πολλαπλασιάζω ποιέω δεύτερος , καί λέγω ὅτι ὁ μερισμός οὐδείς εἰμί ἕτερος ἢ κατά βάθος πολλαπλασιασμός τις θεωρία ὁ γεννάω ὁ μερίζω , καί ὅτι μερίζω εἰμί ὁ εὑρίσκω ἀριθμός τις ὅς πολλαπλασιάζω ἐπί ὁ παρά ὅς γίγνομαι ὁ μερισμός , ποιέω ὁ ὁ μερίζω εἶδος τε καί πλῆθος ὁ μόριον . διά δή ὁ αὐτός καί τρίτος παρά δεύτερος μερίζω πρῶτος ποιέω , ἐπεί καί δεύτερος ἐπί πρῶτος πολλαπλασιάζω τρίτος ποιέω · καί τρίτος παρά πρῶτος μερίζω ποιέω δεύτερος , καί πέμπτος παρά δεύτερος , τρίτος καί ἑξῆς . κοινωνία οὖν τις καί ἐναντιότης , ὡς λέγω , θεωρέω ἐν ὁ πολλαπλασιασμός καί μερισμός · πρῶτος γάρ ἐπί πρῶτος πολλαπλασιάζω δεύτερος ποιέω , δεύτερος δέ παρά πρῶτος μερίζω πρῶτος ποιέω · καί πάλιν πρῶτος ἐπί δεύτερος , τρίτος ποιέω , καί μερίζω οὗτος παρά πρῶτος ποιέω δεύτερος . πάλιν πρῶτος ἐπί τρίτος , τέταρτος ποιέω , καί μερίζω οὗτος παρά τρίτος ποιέω πρῶτος , καί ἑξῆς ὅμοιος . καί δεύτερος ἐπί δεύτερος ποιέω τέταρτος καί μερίζω παρά ὁ δεύτερος ὁ λέγω τέταρτος ποιέω δεύτερος · δῆλος οὖν ὅτι ὁ μέν πολλαπλασιασμός παρώνυμος γίγνομαι ἐκ ὁ κατά σύνθεσις , ὡς λέγω · δεύτερος γάρ , εἰμί τυγχάνω , ἐπί τρίτος , πέμπτος ποιέω , ἐπεί καί β καί γ συντίθημι γίγνομαι ε · ὁ δέ μερισμός κατά ὁ ἐναντίος οὗτος , ἐκ ὁ κατά διαίρεσις γάρ · πέμπτος γάρ παρά τρίτος μερίζω γίγνομαι δεύτερος , καί ἀπό ὁ ε ἀφαιρέω γ καταλείπω β · ἄν φανερός ὅτι ἐκ ὁ κατά διαίρεσις παρώνυμος γίγνομαι ὁ μερισμός .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 21
Οὕτως οὖν τὰ προσεχῆ γίνεται καὶ τοῦτο χρὴ εἰδέναι ὅτι πᾶν εἶδος παρὰ τὸν ξ ἀπλῶς μεριζόμενον ποιεῖ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ εἶδος , ἐπινοουμένων τῶν ξ πρώτων λεπτῶν ξ · εἰ γὰρ καθʼ ὑπόθεσιν τὰ σμ πρῶτα λεπτὰ παρὰ τὸν ξ μερίσω , τουτέστι παρὰ πρῶτα λεπτὰ ξ , ἕξω μοίρας δ , ἐπεὶ καὶ δ μοῖραι ἐπὶ πρῶτα ἑξηκοστὰ ξ ποιοῦσι πρῶτα λεπτὰ σμ · μοῖρα γὰρ καὶ μοῖραι ἐφʼ ὃ ἄν εἶδος πολλαπλασιασθῶσι , τὸ αὐτὸ εἶδος ποιοῦσιν · εἰσὶν οὖν τὰ ξ λεπτὰ πρῶτα , παρʼ ἃ γίνεται ὁ μερισμός , μοῖρα α , παρʼ ἣν ἐὰν μερίσωμεν τὰ σμ πρῶτα λεπτά , τὸ αὐτὸ ἔσται · σμ γὰρ λεπτὰ πρῶτα μοῖραί εἰσι δ , αἵτινες μεριζόμεναι παρὰ τὴν μίαν μοῖραν γίνονται δ · τετράκις γὰρ μία , δ · ἐπειδὴ καὶ μοῖραι ἐπὶ μοῖραν μοίρας ποιεῖ .
Lemmas: οὕτως οὖν ὁ προσεχής γίγνομαι καί οὗτος χράω οἶδα ὅτι πᾶς εἶδος παρά ὁ ξ ἀπλόος μερίζω ποιέω ὁ πρό ἑαυτοῦ εἶδος , ἐπινοέω ὁ ξ πρῶτος λεπτός ξ · εἰμί γάρ κατά ὑπόθεσις ὁ σμʹ πρῶτος λεπτός παρά ὁ ξ μερίζω , τουτέστι παρά πρῶτος λεπτός ξ , ἔσσομαι μοῖρα δ , ἐπεί καί δ μοῖρα ἐπί πρῶτος ἑξηκοστός ξ ποιέω πρῶτος λεπτός σμʹ · μοῖρα γάρ καί μοῖρα ἐπί ὁ ἄν εἶδος πολλαπλασιάζω , ὁ αὐτός εἶδος ποιέω · εἰμί οὖν ὁ ξ λεπτός πρῶτος , παρά ὅς γίγνομαι ὁ μερισμός , μοῖρα α , παρά ὅς ἐάν μερίζω ὁ σμʹ πρῶτος λεπτός , ὁ αὐτός εἰμί · σμʹ γάρ λεπτός πρῶτος μοῖρα εἰμί δ , ὅστις μερίζω παρά ὁ εἷς μοῖρα γίγνομαι δ · τετράκις γάρ εἷς , δ · ἐπεί καί μοῖρα ἐπί μοῖρα μοῖρα ποιέω .
diophantus-mathematics.fragmentum-sp-e-cod-paris-453 22
Καὶ δεύτερα δὲ λεπτὰ εἰ τύχοι τ παρὰ τὸν ξ μεριζόμενα ποιεῖ πρῶτα ε , δηλονότι ἐπινοουμένων , ὡς εἴρηται , τῶν ξ πρώτων ξ , διὸ καὶ πρῶτα ἐπὶ πρῶτα πολλαπλασιαζόμενα δεύτερα ποιεῖ · τὰ γὰρ ξ πρῶτα ἐπὶ τὰ ἑ πρῶτα , δεύτερα ποιεῖ . εἰ δὲ τρίτα ὑποθώμεθα τὰ τ ταῦτα καὶ μερίσωμεν αὐτὰ παρὰ τὸν ξ , ἔσονται τὰ πρὸ αὐτῶν τουτέστι ε δεύτερα , ἐπεὶ καὶ πρῶτα ἐπὶ δεύτερα , τρίτα ποιεῖ · ὡς οὖν εἴρηται , τὰ ἀπλῶς λαμβανόμενα ξ παρʼ ἃ δεῖ γίνεσθαι τοὺς μερισμούς , πάντῃ δεῖ ἐπινοεῖσθαι πρῶτα λεπτὰ ὄντα · οὕτω δὲ καὶ πέμπτα λεπτὰ παρὰ τὸν ξ τέταρτα ποιεῖ , καὶ ἕκτα , πέμπτα .
Lemmas: καί δεύτερος δέ λεπτός εἰμί τυγχάνω τ παρά ὁ ξ μερίζω ποιέω πρῶτος ε , δηλονότι ἐπινοέω , ὡς λέγω , ὁ ξ πρῶτος ξ , διό καί πρῶτος ἐπί πρῶτος πολλαπλασιάζω δεύτερος ποιέω · ὁ γάρ ξ πρῶτος ἐπί ὁ ἕ πρῶτος , δεύτερος ποιέω . εἰμί δέ τρίτος ὑποτίθημι ὁ τ οὗτος καί μερίζω αὐτός παρά ὁ ξ , εἰμί ὁ πρό αὐτός τουτέστι ε δεύτερος , ἐπεί καί πρῶτος ἐπί δεύτερος , τρίτος ποιέω · ὡς οὖν λέγω , ὁ ἀπλόος λαμβάνω ξ παρά ὅς δέω γίγνομαι ὁ μερισμός , πάντῃ δέω ἐπινοέω πρῶτος λεπτός εἰμί · οὕτως δέ καί πέμπτος λεπτός παρά ὁ ξ τέταρτος ποιέω , καί ἕκτος , πέμπτος .