claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 3.5
Ἕνεκεν δὲ τοῦ καὶ τὰς κατὰ μέρος ἀνωμάλους κινήσεις ἑκάστοτε δύνασθαι διακρίνειν δείξομεν πάλιν ἐφʼ ἑκατέρας τῶν ὑποθέσεων , πῶς ἂν μιᾶς τῶν ἐκκειμένων περιφερειῶν δοθείσης λαμβάνοιμεν καὶ τὰς λοιπάς . ἔστω δὴ πρῶτον μὲν ὁμόκεντρος τῷ ζῳδιακῷ κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ , ὁ δʼ ἔκκεντρος ὁ ΕΖΗ περὶ κέντρον τὸ Θ , ἡ δὲ διʼ ἀμφοτέρων τῶν κέντρων καὶ τοῦ Ε ἀπογείου διάμετρος ἡ ΕΑΘΔΗ , καὶ ἀποληφθείσης τῆς ΕΖ περιφερείας ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΖΔ καὶ ἡ ΖΘ . δεδόσθω δὲ πρῶτον ἡ ΕΖ περιφέρεια μοιρῶν οὖσα λόγου ἕνεκεν λ , καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΖΘ κάθετος ἐπʼ αὐτὴν ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἡ ΔΚ . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΕΖ περιφέρεια ὑπόκειται μοιρῶν λ , καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΖ ἄρα γωνία , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΔΘΚ , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν λ , οἵων δὲ αἰ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ξ . καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΔΚ ἄρα περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ξ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΘΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ἐπὶ τῆς ΚΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρκ . καὶ αἱ ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθεῖαι ἔσονται ἡ μὲν ΔΚ τοιούτων ξ , οἵων ἐστὶν ἡ ΔΘ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΚΘ τῶν αὐτῶν ργ νε · ὥστε καὶ οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΔΘ εὐθεῖα β λ , ἡ δὲ ΖΘ ἐκ τοῦ κέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΔΚ ἔσται α ιε , ἡ δὲ ΘΚ τῶν αὐτῶν β ι , ἡ δὲ ΚΘΖ ὅλη ξβ ι . καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Δ , ἔσται καὶ ἡ ΖΔ ὑποτείνουσα τοιούτων ξβ ια ἔγγιστα . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΔ ρκ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν ΔΚ εὐθεῖα β κε , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων β ιη , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΖΔΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΚ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν β ιη , οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α θ . τοσούτων ἄρα ἐστὶν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν τότε διάφορον . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν ἡ ὑπὸ ΕΘΖ γωνία λ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία , τουτέστιν ἡ ΑΒ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια , μοιρῶν ἐστιν κη να . ὅτι δέ , κἂν ἄλλη τις τῶν γωνιῶν δοθῇ , καὶ αἱ λοιπαὶ δοθήσονται , φανερὸν αὐτόθεν ἔσται καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΖΔ τῆς ΘΛ . ἐάν τε γὰρ τὴν ΑΒ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν ὑποθώμεθα δεδομένην , τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΘΔ Λ γωνίαν , διὰ τοῦτο ἔσται καὶ ὁ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΛ λόγος δεδομένος . δεδομένου δὲ καὶ τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΖ δοθήσεται κοὶ ὁ τῆς ΘΖ πρὸς ΘΛ , διὰ τοῦτο δὲ ἕξομεν δεδομένας τήν τε ὑπὸ ΘΖΛ γωνίαν , τουτέστιν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον , καὶ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ , τουτέστιν τὴν ΕΖ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν . ἐάν τε τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον ὑποθώμεθα δεδομένον , τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΘΖΔ γωνίαν , ἀνάπαλιν τὰ αὐτὰ συμβήσεται , δεδομένου μὲν διὰ τοῦτο τοῦ τῆς ΘΖ πρὸς ΘΛ λόγου , δεδομένου δὲ ἐξ ἀρχῆς καὶ τοῦ τῆς ΘΖ πρὸς ΘΛ ὥστε δεδόσθαι μὲν καὶ τὸν τῆς ΔΘ πρὸς ΘΑ λόγον , δεδόσθαι δὲ διὰ τοῦτο καὶ τὴν ὑπὸ ΘΔ Λ γωνίαν , τουτέστιν τὴν ΑΒ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν , καὶ τὴν ὑπὸ ΕΘΖ , τουτέστιν τὴν ΕΖ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν . πάλιν ἔστω ὁ μὲν ὁμόκεντρος τῷ διὰ μέσων κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΔΓ , ὁ δὲ κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον ἐπίκυκλος ὁ ΕΖΗΘ περὶ κέντρον τὸ Α , καὶ ἀποληφθείσης τῆς ΕΖ περιφερείας ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΖΒΔ καὶ ἡ ΖΑ ὑποκείσθω δὲ πάλιν ἡ ΕΖ περιφέρεια τῶν αὐτῶν μοιρῶν λ · καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΕ ἡ ΚΖ . ἐπεὶ ἡ ΕΖ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν λ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΑ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λ , οἵων δὲ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΖΚ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ξ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΖΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΚ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρκ . καὶ αἱ ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθεῖαι ἔσονται ἡ μὲν ΖΚ τοιούτων ξ , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΖ διάμετρος ρκ , ἡ δὲ ΚΑ τῶν αὐτῶν ργ νε · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ ὑποτείνουσα β λ , ἡ δὲ ΑΔ ἐκ τοῦ κέντρου ξ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν ΖΚ εὐθεῖα α ιε , ἡ δὲ ΚΑ τῶν αὐτῶν β ι , ἡ δὲ ΚΑΔ ὅλη εβ ι . καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Ζ Β Δ , ἔσται καὶ ἡ ΖΔ μήκει τοιούτων ξβ ια , οἵων ἡ ΖΚ ἦν α ιε . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν ΖΚ εὐθεῖα β κὲ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων β ιη , οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΖΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΚ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν β ιη , οἵων δʼ αἰ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α θ . τοσούτων ἄρα ἐστὶν πάλιν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον τῆς ΑΒ περιφερείας . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία λ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Α Ζ Δ γωνία , τουτέστιν ἡ φαινομένη τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια , μοιρῶν ἐστιν κη ἀᾶ συμφώνως ταῖς ἐπὶ τῆς ἐκκεντρότητος ἀποδεδειγμέναις πηλικότησιν . ὁμοίως δὲ καὶ ἐνθάδε , κἂν ἄλλη δοθῇ γωνία , δεδομέναι ἔσονται καὶ αἱ λοιπαὶ ἀχθείσης καθέτου ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν Δ Ζ τῆς Α Λ . ἐάν τε γὰρ πάλιν τὴν φαινομένην τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν δῶμεν , τουτέστιν τὴν ὑπὸ Α ΖΔ γωνίαν , δεδομένος μὲν διὰ τοῦτο ἔσται καὶ ὁ τῆς Ζ Α πρὸς Α Λ λόγος , δεδομένου δὲ ἐξ ἀρχῆς καὶ τοῦ τῆς Α πρὸς ΑΔ δοθήσεται καὶ ὁ τῆς Δ Α πρὸς Α Λ . διὰ δὲ τοῦτο καὶ ἥ τε ὑπὸ ΑΔΒ γωνία δοθήσεται , τουτέστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου , καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ , τουτέστιν ἡ ΕΖ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια . ἐάν τε τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον ὑποθώμεθα δεδομένον , τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΑΔΒ γωνίαν , ἀνάπαλιν ὡσαύτως δοθήσεται μὲν διὰ τοῦτο καὶ ὁ τῆς ΑΔ πρὸς ΑΛ λόγος , δεδομένου δὲ ἐξ ἀρχῆς καὶ τοῦ τῆς Δ Α πρὸς ΑΖ δοθήσεται καὶ ὁ τῆς ΖΑ πρὸς Α Λ , διὰ δὲ τοῦτο καὶ ἥ τε ὑπὸ Α ΖΔ γωνία δεδομένη ἔσται , τουτἐστιν ἡ φαινομένη τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια , καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ , τουτέστιν ἡ ΕΖ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια . πάλιν ἐπὶ τῆς προκειμένης τοῦ ἐκκέντρου κύκλου καταγραφῆς ἀπειλήφθω ἀπὸ τοῦ Η περιγείου τοῦ ἐκκέντρου ἡ ΗΖ περιφέρεια ὑποκειμένη τῶν αὐτῶν μοιρῶν λ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΔΖΒ καὶ ἡ ΖΘ , καὶ κάθετος ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἡ ΔΚ . ἐπεὶ ἡ ΖΗ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν λ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἰ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λ , οἵων δὲ αἰ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ξ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΔΚ εὐθείας περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ξ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΘΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΚΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον τμημάτων ρκ · καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ἄρα αὐτὰς εὐθεῖαι ἔσονται ἡ μὲν ΔΚ τοιούτων ξ , οἵων ἐστὶν ἡ ΔΘ διάμετρος ρκ , ἡ δὲ ΚΘ τῶν αὐτῶν ργ νε . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΔΘ ὑποτείνουσα β λ , ἡ δὲ ΘΖ ἐκ τοῦ κέντρου ξ , τοιούτων ἐστὶν καὶ ἡ μὲν ΔΚ εὐθεῖα α ιε , ἡ δὲ ΘΚ ὁμοίως β ι , ἡ δὲ ΚΖ τῶν λοιπῶν νζ ν . καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ , ἔσται καὶ αὐτὴ μήκει τοιούτων νζ να ἔγγιστα , οἵων ἡ ΔΚ ἦν α ιε . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ Δ Ζ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΔΚ ἔσται β λδ λϛ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων β κζ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΖΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΚ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν β κζ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α ιδ ἔγγιστα . τοσούτων ἄρα ἐστὶ τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον . καὶ ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ὑπόκειται καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘ γωνία λ , ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ ὅλη , τουτέστιν ἡ ΓΒ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια , μοιρῶν λα ιδ . κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἐνθάδε ἐκβληθείσης τῆς Β Δ καὶ καθέτου ἐπʼ αὐτὴν ἀχθείσης τῆς ΘΔ , ἐάν τε τὴν ΓΒ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν δῶμεν , τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΘΔ Λ γωνίαν , δοθήσεται μὲν διὰ τοῦτο καὶ ὁ τῆς ΔΘ πρὸς Θ Λ λόγος , δεδομένου δὲ ἐξ ἀρχῆς καὶ τοῦ τῆς ΘΔ πρὸς ΘΖ δοθήσεται καὶ ὁ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΛ . διὰ τοῦτο δʼ ἕξομεν δεδομένας τήν τε ὑπὸ ΘΖΔ γωνίαν , τουτέστιν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον , καὶ τὴν ὑπὸ ΖΘΔ , τουτέστιν τὴν ΗΖ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν . ἐάν τε τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον δῶμεν , τουτἐστιν τὴν ὑπὸ ΘΖΔ γωνίαν , ἀνάπαλιν δοθήσεται μὲν διὰ τοῦτο καὶ ὁ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΛ λόγος , δεδομένου δʼ ἐξ ἀρχῆς καὶ τοῦ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΔ δοθήσεται καὶ ὁ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΛ . διὰ δὲ τοῦτο δεδομένας ἕξομεν τήν τε ὑπὸ ΘΔΛ γωνίαν , τουτέστιν τὴν ΓΒ περιφέρειαν τοῦ ζῳδιακοῦ , καὶ τὴν ὑπὸ ΖΘΗ , τουτέστιν τὴν ΗΖ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν . ὡσαύτως ἐπὶ τῆς προκειμένης τοῦ ὁμοκέντρου καὶ τοῦ ἐπικύκλου καταγραφῆς ἀποληφθείσης ἀπὸ τοῦ Θ περιγείου τῆς ΘΗ περιφερείας τῶν αὐτῶν μοιρῶν λ ἐπεζεύχθωσαν μὲν ἥ τε ΑΗ καὶ ἡ ΔΗΒ , κάθετος δὲ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΔ ἤχθω ἡ ΗΚ . ἐπεὶ οὖν πάλιν ἡ ΘΗ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν λ , εἴη ἄν καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΗ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λ , οἵων δʼ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΗΚ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ξ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΗΚΑ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ἐπὶ τῆς ΑΚ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρκ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΗΚ ἔσται τοιούτων ξ , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΗ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΑΚ τῶν αὐτῶν ργ νε . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ εὐθεῖα β λ , ἡ δὲ ΑΔ ἐκ τοῦ κέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΗΚ ἔσται ᾱ ῑε , ἡ δὲ ΑΚ ὁμοίως β ῑ , ἡ δὲ ΚΔ τῶν λοιπῶν νζ ν . καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ , μήκει ἄρα ἔσται καὶ αὐτὴ τοιούτων νζ νᾱ ἔγγιστα , οἵων ἡ ΚΗ εὐθεῖα ἦν ᾱ ῑε . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν ΗΚ εὐθεῖα β λδ λϛ , ἡ δὲ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων β κζ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΗΚ κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΗΔΚ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν β κζ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α ιδ ἔγγιστα . τοσούτων ἄρα ἐστὶν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον καὶ ἐνταῦθα , τουτέστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια . καὶ ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ὑπόκειται ἡ ὑπὸ ΚΑΗ γωνία λ , ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΑ ὅλη , ἥτις περιέχει τὴν φαινομένην τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν , μοιρῶν λα ιδ συμφώνως ταῖς ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου πηλικότησιν . κατὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐνθάδε καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν ΔΒ τῆς ΑΛ , ἐάν τε τὴν τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν δῶμεν , τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΑΗΛ γωνίαν , δοθήσεται μὲν διὰ τοῦτο ὁ τῆς ΗΑ πρὸς ΑΛ λόγος , δεδομένου δʼ ἐξ ἀρχῆς καὶ τοῦ τῆς ΗΑ πρὸς ΑΔ δοθήσεται καὶ ὁ τῆς ΔΑ πρὸς ΑΛ . διὰ δὲ τοῦτο δεδομένας ἕξομεν τήν τε ὑπὸ ΑΔΒ γωνίαν , τουτἑστιν τὴν ΑΒ περιφέρειαν τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου , καὶ τὴν ὑπὸ ΘΑΗ , τουτέστιν τὴν ΘΗ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαν . ἐάν τε πάλιν τὴν ΑΒ περιφέρειαν δῶμεν τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου , τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΑΔΒ γωνίαν , ἀνάπαλιν ὡσαύτως δοθήσεται μὲν διὰ τοῦτο ὁ τῆς ΔΑ πρὸς ΑΑ λόγος , δεδομένου δʼ ἐξ ἀρχῆς καὶ τοῦ τῆς ΔΑ πρὸς ΑΗ δοθήσεται καὶ ὁ τῆς ΗΑ πρὸς ΑΛ . διὰ δὲ τοῦτο δεδομένας ἕξομεν τήν τε ὑπὸ AH Λ γωνίαν , τουτέστιν τὴν τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν , καὶ τὴν ὑπὸ ΘΑΗ , τουτέστιν τὴν ΘΗ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαν . καὶ δέδεικται ἡμῖν τὰ προτεθέντα . ποικίλης δὴ διὰ τούτων τῶν θεωρημάτων δυναμένης συνίστασθαι κανονοποιίας τῶν περιεχόντων τμημάτων τὰς ἐκ τῆς ἀνωμαλίας τῶν φαινομένων παρόδων διακρίσεις πρὸς τὸ ἐξ ἑτοίμου λαμβάνειν τὰς τῶν κατὰ μέρος διορθώσεων πηλικότητας ἀρέσκει μᾶλλον ἡμῖν ἡ ταῖς ὁμαλαῖς περιφερείαις παρακειμένας ἔχουσα τὰς παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφορὰς διά τε τὸ κατʼ αὐτὰς τὰς ὑποθέσεις ἀκόλουθον καὶ διὰ τὸ ἀπλοῦν τε καὶ εὐεπίβολον τῆς καθʼ ἕκαστα ψηφοφορίας . ἔνθεν ἀκολουθήσαντες τοῖς πρώτοις καὶ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν ἐκτεθειμένοις τῶν θεωρημάτων καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος τμημάτων ἐπελογισάμεθα διὰ τῶν γραμμῶν ὡσαύτως τοῖς ἀποδεδειγμένοις τὰς ἑκάστῃ τῶν ὁμαλῶν περιφερειῶν ἐπιβαλλούσας τῆς ἀνωμαλίας διαφοράς . καθόλου δὲ τὰ μὲν πρὸς ἀπογείοις τεταρτημόρια καὶ ἐπὶ τοῦ ἡλίου καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων διείλομεν εἰς τμήματα ιε , ὡς γίνεσθαι τὴν παράθεσιν ἐπʼ αὐτῶν διὰ μοιρῶν ς , τὰ δὲ πρὸς τοῖς περιγείοις εἰς τμήματα λ , ὡς καὶ ἐπὶ τούτων γίνεσθαι τὴν παράθεσιν διὰ μοιρῶν γ , ἐπειδήπερ μείζονές εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς περιγείοις διαφοραὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν ἐπιβαλλόντων τοῖς ἴσοις τμήμασιν διαφόρων τῶν πρὸς τοῖς ἀπογείοις γινομένων . τάξομεν οὖν καὶ τὸ τῆς τοῦ ἡλίου ἀνωμαλίας κανόνιον ἐπὶ στίχους μὲν πάλιν με , σελίδια δὲ γ , ὧν τὰ μὲν πρῶτα δύο περιέχει τοὺς ἀριθμοὺς τῶν τῆς ὁμαλῆς κινήσεως τξ μοιρῶν , τῶν μὲν πρώτων ιε στίχων περιεχόντων τὰ πρὸς τῷ ἀπογείῳ β τεταρτημόρια , τῶν δὲ λοιπῶν λ τὰ πρὸς τῷ περιγείῳ , τὸ δὲ γ΄ τὰς ἑκάστῳ τῶν ὁμαλῶν ἀριθμῶν ἐπιβαλλούσας μοίρας τῆς προσθαφαιρέσεως τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου . καί ἐστι τὸ κανόνιον τοιοῦτο ·
Lemmas: ἕνεκα δέ ὁ καί ὁ κατά μέρος ἀνώμαλος κινέω ἑκάστοτε δύναμαι διακρίνω δείκνυμι πάλιν ἐπί ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις , πῶς εἄν εἷς ὁ ἔκκειμαι περιφέρεια δίδωμι λαμβάνω καί ὁ λοιπός . ἵστημι δή πρῶτος μέν ὁμόκεντρος ὁ ζῳδιακός κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ δ , ὁ δέ ἔκκεντρος ὁ ΕΖΗ περί κέντρον ὁ Θ , ὁ δέ διά ἀμφότερος ὁ κέντρον καί ὁ Ε ἀπόγειον διάμετρος ὁ ΑΗΘ , καί ἀπολαμβάνω ὁ ΕΖ περιφέρεια ἐπιζεύγνυμι ὅς τε ΖΔ καί ὁ ΖΘ . δίδωμι δέ πρῶτος ὁ ΕΖ περιφέρεια μοῖρα εἰμί λόγος ἕνεκα λ , καί ἐκβάλλω ὁ ΖΘ κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω ἀπό ὁ δ ὁ δΚ . ἐπεί τοίνυν ὁ ΕΖ περιφέρεια ὑπόκειμαι μοῖρα λ , καί ὁ ὑπό ΕΘΖ ἄρα γωνία , τουτέστιν ὁ ὑπό ΔΘΚ , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί λ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ξ . καί ὁ μέν ἐπί ὁ δΚ ἄρα περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ξ , οἷος ὁ περί ὁ ΔΘΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΚΘ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρκʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς εἰμί ὁ μέν δΚ τοιοῦτος ξ , οἷος εἰμί ὁ ΔΘ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΚΘ ὁ αὐτός ργ νε · ὥστε καί οἷος εἰμί ὁ μέν ΔΘ εὐθύς Β λ , ὁ δέ ΖΘ ἐκ ὁ κέντρον ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν δΚ εἰμί ὅς εἶμι , ὁ δέ ΘΚ ὁ αὐτός Β ι , ὁ δέ ΚΘΖ ὅλος ξβʹ ι . καί ἐπεί ὁ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ δ , εἰμί καί ὁ ΖΔ ὑποτείνω τοιοῦτος ξβʹ ἰά ἔγγιστος . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ ΖΔ ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν δΚ εὐθύς Β κε , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Β ἔρχομαι , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΖΔΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΔΖΚ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί Β ἔρχομαι , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς θ . τοσοῦτος ἄρα εἰμί ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία τότε διάφορος . ὁ δέ αὐτός εἰμί ὁ ὑπό ΕΘΖ γωνία λ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΔΒ γωνία , τουτέστιν ὁ ΑΒ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια , μοῖρα εἰμί καί νάω . ὅτι δέ , κἀν ἄλλος τις ὁ γωνία δίδωμι , καί ὁ λοιπός δίδωμι , φανερός αὐτόθεν εἰμί κάθετος ἄγω ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ ΖΔ ὁ ΘΛ . ἐάν τε γάρ ὁ ΑΒ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια ὑποτίθημι δίδωμι , τουτέστιν ὁ ὑπό ΘΔ Λ γωνία , διά οὗτος εἰμί καί ὁ ὁ ΔΘ πρός ΘΛ λόγος δίδωμι . δίδωμι δέ καί ὁ ὁ ΔΘ πρός ΘΖ δίδωμι κοί ὁ ὁ ΘΖ πρός ΘΛ , διά οὗτος δέ ἔχω δίδωμι ὁ τε ὑπό ΘΖΛ γωνία , τουτέστιν ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος , καί ὁ ὑπό ΕΘΖ , τουτέστιν ὁ ΕΖ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια . ἐάν τε ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος ὑποτίθημι δίδωμι , τουτέστιν ὁ ὑπό ΘΖΔ γωνία , ἀνάπαλιν ὁ αὐτός συμβαίνω , δίδωμι μέν διά οὗτος ὁ ὁ ΘΖ πρός ΘΛ λόγος , δίδωμι δέ ἐκ ἀρχή καί ὁ ὁ ΘΖ πρός ΘΛ ὥστε δίδωμι μέν καί ὁ ὁ ΔΘ πρός ΘΑ λόγος , δίδωμι δέ διά οὗτος καί ὁ ὑπό ΘΔ Λ γωνία , τουτέστιν ὁ ΑΒ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια , καί ὁ ὑπό ΕΘΖ , τουτέστιν ὁ ΕΖ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια . πάλιν ἵστημι ὁ μέν ὁμόκεντρος ὁ διά μέσος κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ δ καί διάμετρος ὁ ΑΔΓ , ὁ δέ κατά ὁ αὐτός λόγος ἐπίκυκλος ὁ ΕΖΗΘ περί κέντρον ὁ Α , καί ἀπολαμβάνω ὁ ΕΖ περιφέρεια ἐπιζεύγνυμι ὅς τε ΖΒΔ καί ὁ Γῆ ὑπόκειμαι δέ πάλιν ὁ ΕΖ περιφέρεια ὁ αὐτός μοῖρα λ · καί ἄγω ἀπό ὁ Ζ κάθετος ἐπί ὁ ΑΕ ὁ ΚΖ . ἐπεί ὁ ΕΖ περιφέρεια μοῖρα εἰμί λ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ὑπό ΕΑ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ξ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΖΚ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ξ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΖΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΑΚ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρκʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς εἰμί ὁ μέν ΖΚ τοιοῦτος ξ , οἷος εἰμί ὁ αζʹ διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ ΚΑ ὁ αὐτός ργ νε · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν αζʹ ὑποτείνω Β λ , ὁ δέ ΑΔ ἐκ ὁ κέντρον ξ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν ΖΚ εὐθύς ὅς εἶμι , ὁ δέ ΚΑ ὁ αὐτός Β ι , ὁ δέ ΚΑΔ ὅλος βαίνω ι . καί ἐπεί ὁ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ Ζ Β δ , εἰμί καί ὁ ΖΔ μῆκος τοιοῦτος ξβʹ ἰά , οἷος ὁ ΖΚ εἰμί ὅς εἶμι . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ ΔΖ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν ΖΚ εὐθύς Β ἄν , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Β ἔρχομαι , οἷος ὁ περί ὁ ΔΖΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΖΔΚ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί Β ἔρχομαι , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς θ . τοσοῦτος ἄρα εἰμί πάλιν ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος ὁ ΑΒ περιφέρεια . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΕΑΖ γωνία λ λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Α Ζ δ γωνία , τουτέστιν ὁ φαίνω ὁ ζῳδιακός περιφέρεια , μοῖρα εἰμί καί ἀᾶ σύμφωνος ὁ ἐπί ὁ ἐκκεντρότης ἀποδείκνυμι πηλικότης . ὁμοίως δέ καί ἐνθάδε , κἀν ἄλλος δίδωμι γωνία , δίδωμι εἰμί καί ὁ λοιπός ἄγω κάθετος ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ δ Ζ ὁ Α Λ . ἐάν τε γάρ πάλιν ὁ φαίνω ὁ ζῳδιακός περιφέρεια δήω , τουτέστιν ὁ ὑπό Α ΖΔ γωνία , δίδωμι μέν διά οὗτος εἰμί καί ὁ ὁ Ζ Α πρός Α Λ λόγος , δίδωμι δέ ἐκ ἀρχή καί ὁ ὁ Α πρός ΑΔ δίδωμι καί ὁ ὁ δ Α πρός Α Λ . διά δέ οὗτος καί ὅς τε ὑπό ΑΔΒ γωνία δίδωμι , τουτέστιν ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος , καί ὁ ὑπό ΕΑΖ , τουτέστιν ὁ ΕΖ ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια . ἐάν τε ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος ὑποτίθημι δίδωμι , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΔΒ γωνία , ἀνάπαλιν ὡσαύτως δίδωμι μέν διά οὗτος καί ὁ ὁ ΑΔ πρός ΑΛ λόγος , δίδωμι δέ ἐκ ἀρχή καί ὁ ὁ δ Α πρός αζʹ δίδωμι καί ὁ ὁ Γῆ πρός Α Λ , διά δέ οὗτος καί ὅς τε ὑπό Α ΖΔ γωνία δίδωμι εἰμί , τουτέστιν ὁ φαίνω ὁ ζῳδιακός περιφέρεια , καί ὁ ὑπό ΕΑΖ , τουτέστιν ὁ ΕΖ ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια . πάλιν ἐπί ὁ πρόκειμαι ὁ ἔκκεντρος κύκλος καταγραφή ἀπολαμβάνω ἀπό ὁ ὁ περίγειος ὁ ἔκκεντρος ὁ ΗΖ περιφέρεια ὑπόκειμαι ὁ αὐτός μοῖρα λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς τε δΖΒ καί ὁ ΖΘ , καί κάθετος ἄγω ἀπό ὁ δ ἐπί ὁ ΘΖ ὁ δΚ . ἐπεί ὁ ΖΗ περιφέρεια μοῖρα εἰμί λ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΖΘ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ξ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ δΚ εὐθύς περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ξ , οἷος ὁ περί ὁ ΔΘΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΚΘ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον τμῆμα ρκʹ · καί ὁ ὑποτείνω ἄρα αὐτός εὐθύς εἰμί ὁ μέν δΚ τοιοῦτος ξ , οἷος εἰμί ὁ ΔΘ διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ ΚΘ ὁ αὐτός ργ νε . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΔΘ ὑποτείνω Β λ , ὁ δέ ΘΖ ἐκ ὁ κέντρον ξ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν δΚ εὐθύς ὅς εἶμι , ὁ δέ ΘΚ ὁμοίως Β ι , ὁ δέ ΚΖ ὁ λοιπός νζʹ Ν . καί ἐπεί ὁ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΔΖ , εἰμί καί αὐτός μῆκος τοιοῦτος νζʹ νάω ἔγγιστος , οἷος ὁ δΚ εἰμί ὅς εἶμι . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ δ Ζ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν δΚ εἰμί Β λδʹ λϛ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Β κζ , οἷος ὁ περί ὁ ΔΖΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΔΖΚ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί Β κζ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς ιδʹ ἔγγιστος . τοσοῦτος ἄρα εἰμί ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος . καί ἐπεί ὁ αὐτός ὑπόκειμαι καί ὁ ὑπό ΖΘ γωνία λ , εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΔΓ ὅλος , τουτέστιν ὁ ΓΒ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια , μοῖρα λάω ιδʹ . κατά ὁ αὐτός δέ καί ἐνθάδε ἐκβάλλω ὁ Β δ καί κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω ὁ ΘΔ , ἐάν τε ὁ ΓΒ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια δήω , τουτέστιν ὁ ὑπό ΘΔ Λ γωνία , δίδωμι μέν διά οὗτος καί ὁ ὁ ΔΘ πρός Θ Λ λόγος , δίδωμι δέ ἐκ ἀρχή καί ὁ ὁ ΘΔ πρός ΘΖ δίδωμι καί ὁ ὁ ΖΘ πρός ΘΛ . διά οὗτος δέ ἔχω δίδωμι ὁ τε ὑπό ΘΖΔ γωνία , τουτέστιν ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος , καί ὁ ὑπό ΖΘΔ , τουτέστιν ὁ ΗΖ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια . ἐάν τε ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος δήω , τουτέστιν ὁ ὑπό ΘΖΔ γωνία , ἀνάπαλιν δίδωμι μέν διά οὗτος καί ὁ ὁ ΖΘ πρός ΘΛ λόγος , δίδωμι δέ ἐκ ἀρχή καί ὁ ὁ ΖΘ πρός ΘΔ δίδωμι καί ὁ ὁ ΔΘ πρός ΘΛ . διά δέ οὗτος δίδωμι ἔχω ὁ τε ὑπό ΘΔΛ γωνία , τουτέστιν ὁ ΓΒ περιφέρεια ὁ ζῳδιακός , καί ὁ ὑπό ΖΗΘ , τουτέστιν ὁ ΗΖ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια . ὡσαύτως ἐπί ὁ πρόκειμαι ὁ ὁμόκεντρος καί ὁ ἐπίκυκλος καταγραφή ἀπολαμβάνω ἀπό ὁ Θ περίγειος ὁ τίθημι περιφέρεια ὁ αὐτός μοῖρα λ ἐπιζεύγνυμι μέν ὅς τε ΑΗ καί ὁ ΔΗΒ , κάθετος δέ ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ ΑΔ ἄγω ὁ ΗΚ . ἐπεί οὖν πάλιν ὁ τίθημι περιφέρεια μοῖρα εἰμί λ , εἰμί ἄν καί ὁ ὑπό ΘΑΗ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ξ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΗΚ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ξ , οἷος ὁ περί ὁ ΗΚΑ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΑΚ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρκʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΗΚ εἰμί τοιοῦτος ξ , οἷος εἰμί ὁ ΑΗ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΑΚ ὁ αὐτός ργ νε . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΗ εὐθύς Β λ , ὁ δέ ΑΔ ἐκ ὁ κέντρον ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΗΚ εἰμί ὅς ιεʹ , ὁ δέ ΑΚ ὁμοίως Β Ι , ὁ δέ ΚΔ ὁ λοιπός νζʹ Ν . καί ἐπεί ὁ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ δΗ , μῆκος ἄρα εἰμί καί αὐτός τοιοῦτος νζʹ νάω ἔγγιστος , οἷος ὁ ΚΗ εὐθύς εἰμί ὅς ιεʹ . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ δΗ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν ΗΚ εὐθύς Β λδʹ λϛ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Β κζ , οἷος ὁ περί ὁ ΔΗ κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΔΗ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί Β κζ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς ιδʹ ἔγγιστος . τοσοῦτος ἄρα εἰμί ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος καί ἐνταῦθα , τουτέστιν ὁ ΑΒ περιφέρεια . καί ἐπεί ὁ αὐτός ὑπόκειμαι ὁ ὑπό καίω γωνία λ , εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΗΑ ὅλος , ὅστις περιέχω ὁ φαίνω ὁ ζῳδιακός περιφέρεια , μοῖρα λάω ιδʹ σύμφωνος ὁ ἐπί ὁ ἔκκεντρος πηλικότης . κατά αὐτός δέ καί ἐνθάδε κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΔΒ ὁ ΑΛ , ἐάν τε ὁ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια δήω , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΗΛ γωνία , δίδωμι μέν διά οὗτος ὁ ὁ ΗΑ πρός ΑΛ λόγος , δίδωμι δέ ἐκ ἀρχή καί ὁ ὁ ΗΑ πρός ΑΔ δίδωμι καί ὁ ὁ ΔΑ πρός ΑΛ . διά δέ οὗτος δίδωμι ἔχω ὁ τε ὑπό ΑΔΒ γωνία , τουτέστιν ὁ ΑΒ περιφέρεια ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος , καί ὁ ὑπό ΘΑΗ , τουτέστιν ὁ τίθημι ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια . ἐάν τε πάλιν ὁ ΑΒ περιφέρεια δήω ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΔΒ γωνία , ἀνάπαλιν ὡσαύτως δίδωμι μέν διά οὗτος ὁ ὁ ΔΑ πρός ΑΑ λόγος , δίδωμι δέ ἐκ ἀρχή καί ὁ ὁ ΔΑ πρός ΑΗ δίδωμι καί ὁ ὁ ΗΑ πρός ΑΛ . διά δέ οὗτος δίδωμι ἔχω ὁ τε ὑπό AH Λ γωνία , τουτέστιν ὁ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια , καί ὁ ὑπό ΘΑΗ , τουτέστιν ὁ τίθημι ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια . καί δείκνυμι ἐγώ ὁ προτίθημι . ποικίλος δή διά οὗτος ὁ θεώρημα δύναμαι συνίστημι κανονοποιία ὁ περιέχω τμῆμα ὁ ἐκ ὁ ἀνωμαλία ὁ φαίνω πάροδος διάκρισις πρός ὁ ἐκ ἑτοῖμος λαμβάνω ὁ ὁ κατά μέρος διόρθωσις πηλικότης ἀρέσκω μᾶλλον ἐγώ ὁ ὁ ὁμαλός περιφέρεια παράκειμαι ἔχω ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διαφορά διά τε ὁ κατά αὐτός ὁ ὑπόθεσις ἀκόλουθος καί διά ὁ ἀπολόω τε καί εὐεπίβολος ὁ κατά ἕκαστος ψηφοφορία . ἔνθεν ἀκολουθέω ὁ πρῶτος καί ἐπί ὁ ἀριθμός ἐκτίθημι ὁ θεώρημα καί ἐπί ὁ κατά μέρος τμῆμα ἐπιλογίζομαι διά ὁ γραμμή ὡσαύτως ὁ ἀποδείκνυμι ὁ ἕκαστος ὁ ὁμαλός περιφέρεια ἐπιβάλλω ὁ ἀνωμαλία διαφορά . καθόλου δέ ὁ μέν πρός ἀπόγειον τεταρτημόριον καί ἐπί ὁ ἥλιος καί ἐπί ὁ ἄλλος διαιρέω εἰς τμῆμα εἶμι , ὡς γίγνομαι ὁ παράθεσις ἐπί αὐτός διά μοῖρα Σ , ὁ δέ πρός ὁ περίγειος εἰς τμῆμα λ , ὡς καί ἐπί οὗτος γίγνομαι ὁ παράθεσις διά μοῖρα γ , ἐπεί μέγας εἰμί ὁ πρός ὁ περίγειος διαφορά ὁ ὑπεροχή ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία ἐπιβάλλω ὁ ἴσος τμῆμα διάφορος ὁ πρός ὁ ἀπόγειον γίγνομαι . τάσσω οὖν καί ὁ ὁ ὁ ἥλιος ἀνωμαλία κανόνιον ἐπί στίχος μέν πάλιν ἐγώ , σελίδιον δέ γ , ὅς ὁ μέν πρῶτος δύο περιέχω ὁ ἀριθμός ὁ ὁ ὁμαλός κίνησις τξʹ μοῖρα , ὁ μέν πρῶτος εἶμι στίχος περιέχω ὁ πρός ὁ ἀπόγειον Β τεταρτημόριον , ὁ δέ λοιπός λ ὁ πρός ὁ περίγειος , ὁ δέ Γ΄ ὁ ἕκαστος ὁ ὁμαλός ἀριθμός ἐπιβάλλω μοῖρα ὁ προσθαφαίρεσις ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος . καί εἰμί ὁ κανόνιον τοιοῦτος ·