claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 2.11
Ἐφεξῆς δὲ δείξομεν , πῶς ἂν λαμβάνοιμεν ἐπὶ τοῦ διδομένου κλίματος καὶ τὰς πρὸς τὸν ὁρίζοντα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου γινομένας γωνίας ἁπλουστέραν καὶ αὐτὰς ἐχούσας τὴν μέθοδον τῶν λοιπῶν . ὅτι μὲν οὖν αἱ πρὸς τὸν μεσημβρινὸν γινόμεναι αἰ αὐταί εἰσιν ταῖς πρὸς τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα , φανερόν · ἕνεκεν δὲ τοῦ καὶ τὰς ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας λαμβάνεσθαι δεικτέον πάλιν πρῶτον , ὅτι τὰ ἴσον ἀπέχοντα σημεῖα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου τὰς γινομένας πρὸς τὸν αὐτὸν ὁρίζοντα γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ . ἔστω γὰρ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ ἰσημερινοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ , ὁρίζοντος δὲ τὸ ΒΕΔ , καὶ γεγράφθω τοῦ λοξοῦ κύκλου δύο τμήματα τό τε ΖΗΘ καὶ τὸ ΚΛΜ οὕτως ἔχοντα , ὥστε ἑκάτερον μὲν τῶν Ζ καὶ Κ σημείων ὑποκεῖσθαι τὸ μετοπωρινὸν ἰσημερινόν , τὴν δὲ ΖΗ περιφέρειαν τῇ ΚΛ ἴσην . λέγω , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΘ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΛΚ . καί ἐστιν αὐτόθεν δῆλον · ἰσογώνιον γὰρ πάλιν γίνεται τὸ EΖΗ τρίπλευρον τῷ ΕΚΛ , ἐπεὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὰς τρεῖς πλευρὰς ταῖς τρισὶ πλευραῖς ἴσας ἔχει ἑκάστην ἑκάστῃ , τὴν μὲν ΖΗ τῇ ΚΛ , τὴν δὲ ΗE τῆς τομῆς τοῦ ὁρίζοντος τῇ ΚΛ , τὴν δὲ ΕΖ τῆς ἀναφορᾶς τῇ ΕΚ . ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΛΚ , λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΛΚ ἴση ἐστίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . λέγω δέ , ὅτι καὶ τῶν διαμετρούντων σημείων ἡτοῦ ἑτέρου ἀνατολικὴ μετὰ τῆς τοῦ ἑτέρου δυτικῆς δυσὶν ὀρθαῖς ἴση ἐστίν . ἐὰν γὰρ γράψωμεν ὁρίζοντα μὲν κύκλον τὸν ΑΒΓΛ , τὸν δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸν ΑΕΓΖ τέμνοντας ἀλλήλους κατὰ τὰ Α καὶ Ι σημεῖα , συναμφότεραι μὲν ἢ τε ὑπὸ ΖΒΓΔ , καὶ ἡ ὑπὸ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι γίνονται . ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΔ τῇ ὑπὸ ΖΓΔ ὥστε καὶ συναμφοτέρας τήν τε ὑπὸ ΖΓΔ καὶ τὴν ὑπὸ ΔΑΕ δύο ὀρθὰς ποιεῖν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ἐπισυμβήσεταί τε τούτων οὕτως ἐχόντων , ἐπείπερ ἐδείχθησαν καὶ τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου αἰ πρὸς τὸν αὐτὸν ὁρίζοντα θεωρούμεναι γωνίαι ἴσαι , τὸ καὶ τῶν τὸ ἵσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου τὴν τοῦ ἑτέρου ἀνατολικὴν καὶ τὴν τοῦ ἑτέρου δυτικὴν συναμφοτέρας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι . ὥστε καὶ διὰ τοῦτο , ἐὰν τὰς ἀπὸ Κριοῦ μέχρι τῶν Χηλῶν γινομένας ἀνατολικὰς γωνίας εὕρωμεν , συναποδεδειγμέναι ἔσονται καὶ αἱ τοῦ ἑτέρου ἡμικυκλίου ἀνατολικαὶ καὶ ἔτι αἱ τῶν δύο ἡμικυκλίων δυτικαί . ὃν δὲ τρόπον δείκνυται , διὰ βραχέων ἐκθησόμεθα χρησάμενοι πάλιν ὑποδείγματος ἕνεκεν τῷ αὐτῷ παραλλήλῳ , τουτέστιν καθʼ ὃν ὁ βόρειος πόλος ἐξῆρται τοῦ ὁρίζοντος μοίρας λς . αἱ μὲν οὖν ὑπὸ τῶν ἰσημερινῶν σημείων τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου πρὸς τὸν ὁρίζοντα γινόμεναι γωνίαι προχείρως δύνανται λαμβάνεσθαι · ἐὰν γὰρ γράψωμεν μεσημβρινὸν μὲν κύκλον τὸν ΑΒΓΔ , τοῦ δὲ ὑποκειμένου ὁρίζοντος τὸ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΔ καὶ τοῦ μὲν ἰσημερινοῦ τεταρτημόριον τὸ ΕΖ , τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων δύο τό τε ΕΒ καὶ ΕΓ οὕτως ἔχοντα , ὥστε τὸ Ε σημεῖον πρὸς μὲν τὸ ΕΒ τεταρτημόριον νοεῖσθαι μετοπωρινόν , πρὸς δὲ τὸ ΕΓ ἐαρινόν , καὶ τὸ μὲν Β γίνεσθαι χειμερινὸν τροπικόν , τὸ δὲ Γ θερινόν , συνάγεται , ὅτι τῆς μὲν ΔΖ περιφερείας ὑποκειμένης μοιρῶν νδ , ἑκατέρας δὲ τῶν ΒΖ καὶ ΖΓ τῶν ἴσων κγ να ἔγγιστα , καὶ ἡ μὲν ΓΔ γίνεται μοιρῶν λ θ , ἡ δὲ ΒΔ τῶν αὐτῶν οζ να . ὥστʼ , ἐπεὶ τὸ Ε πόλος ἐστὶν τοῦ ΑΒΓ μεσημβρινοῦ , καὶ τὴν μὲν ὑπὸ ΔΕΓ γωνίαν τὴν γινομένην ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Κριοῦ τοιούτων εἶναι λ θ , οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ?? τὴν δὲ ὑπὸ ΔΕΒ τὴν γινομένην ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τῶν Χηλῶν τῶν αὐτῶν οζ να . ἵνα δὲ καὶ ἡ τῶν λοιπῶν ἔφοδος φανερὰ γένηται , προκείσθω ὑποδείγματος ἕνεκεν εὑρεῖν τὴν γινομένην ἀνατολικὴν γωνίαν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Ταύρου καὶ τοῦ ὁρίζοντος , καὶ ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , τοῦ δʼ ὑποκειμένου ὁρίζοντος τὸ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ , καὶ γεγράφθω τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον , ὥστε τὸ Ε σημεῖον τὴν ἀρχὴν εἶναι τοῦ Ταύρου . καὶ ἐπεὶ ἐν τούτῳ τῷ κλίματι τῆς ἀρχῆς τοῦ Ταύρου ἀνατελλούσης μεσουρανοῦσιν ὑπὸ γῆν αἱ τοῦ Καρκίνου μοῖραι ιζ μα · δεδείχαμεν γάρ , πῶς τὰ τοιαῦτα ἐξ εὐχεροῦς λαμβάνεται διὰ τῶν ἐκτεθειμένων ἡμῖν ἀναφορῶν · ἐλάσσων γίνεται ἡ ΕΓ περιφέρεια τεταρτημορίου . γεγράφθω δὴ πόλῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΘΗΖ , καὶ προσαναπεπληρώσθω τό τε ΕΓΗ τεταρτημόριον καὶ τὸ ΕΔΘ . γίνεται δὲ καὶ ἢ τε ΑΓΖ καὶ ἡ ΖΗΘ ἑκατέρα τεταρτημορίου διὰ τὸ τὸν ΒΕΘ ὁρίζοντα διὰ τῶν πόλων εἶναι τοῦ τε ΖΓΔ μεσημβρινοῦ καὶ τοῦ ΖΗΘ μεγίστου κύκλου . πάλιν ἐπεὶ αἱ μὲν τοῦ Καρκίνου ιζ μᾱ μοῖραι ἀπέχουσιν τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τὰς ἄρκτους ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ μεγίστου κύκλου μοίρας κβ μ · ἐκτέθειται γὰρ ἡμῖν καὶ ταῦτα · ὁ δὲ ἰσημερινὸς ἀπέχει τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΖΓΔ μοίρας λς , συνάγεται καὶ ἡ ΖΓ περιφέρεια μοιρῶν νη μ . τούτων δὴ δοθέντων γίνεται λοιπὸν διὰ τὴν καταγραφὴν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΔΖ λόγος ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζῶ . ἀλλὰ διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΓΔ μοιρῶν ἐστιν ξβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξβ κδ , ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΔΖ μοιρῶν ρ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ , καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΓΕ μοιρῶν ρνε κβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ ιδ , ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΕΗ μοιρῶν ρ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ . ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν ξβ κδ πρὸς τὰ ρκ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριζ ιδ πρὸς τὰ ρκ , καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ λόγος ὁ τῶν ξγ νβ πρὸς τὰ ρκ . καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ τμημάτων ρκ · καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΗΘ τῶν αὐτῶν ἐστιν ξγ νβ . ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΗΘ μοιρῶν ἐστιν ξδ κ , ἡ δὲ ΗΘ αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΘ γωνία τῶν αὐτῶν λβ ι ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ὁ δʼ αὐτὸς τρόπος , ἵνα μὴ καθʼ ἕκαστον ταυτολογοῦντες μηκύνωμεν τὸν ὑπομνηματισμὸν τῆς συντάξεως , καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δωδεκατημορίων τε καὶ κλιμάτων ἡμῖν νοηθήσεται .
Lemmas: ἐφεξῆς δέ δείκνυμι , πῶς εἄν λαμβάνω ἐπί ὁ δίδωμι κλίμα καί ὁ πρός ὁ ὁρίζων ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος γίγνομαι γωνία ἁπλόος καί αὐτός ἔχω ὁ μέθοδος ὁ λοιπός . ὅτι μέν οὖν ὁ πρός ὁ μεσημβρινός γίγνομαι ὁ αὐτός εἰμί ὁ πρός ὁ ἐπί ὀρθός ὁ σφαῖρα ὁρίζων , φανερός · ἕνεκα δέ ὁ καί ὁ ἐπί ὁ ἐγκλίνω σφαῖρα λαμβάνω δεικτέος πάλιν πρῶτος , ὅτι ὁ ἴσος ἀπέχω σημεῖον ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ αὐτός ἰσημερινός σημεῖον ὁ γίγνομαι πρός ὁ αὐτός ὁρίζων γωνία ἴσος ἀλλήλων ποιέω . ἵστημι γάρ μεσημβρινός κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καί ἰσημερινός μέν ἡμικύκλιον ὁ ΑΕΓ , ὁρίζων δέ ὁ ΒΕΔ , καί γράφω ὁ λοξός κύκλος δύο τμῆμα ὁ τε ΖΗΘ καί ὁ ΚΛΜ οὕτως ἔχω , ὥστε ἑκάτερος μέν ὁ Ζ καί Κ σημεῖον ὑπόκειμαι ὁ μετοπωρινός ἰσημερινός , ὁ δέ ΖΗ περιφέρεια ὁ ΚΛ ἴσος . λέγω , ὅτι καί ὁ ὑπό ΕΗΘ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΔΛΚ . καί εἰμί αὐτόθεν δῆλος · ἰσογώνιος γάρ πάλιν γίγνομαι ὁ ΖΗ τρίπλευρος ὁ ΕΛΚ , ἐπεί διά ὁ προδείκνυμι καί ὁ τρεῖς πλευρά ὁ τρεῖς πλευρά ἴσος ἔχω ἕκαστος ἕκαστος , ὁ μέν ΖΗ ὁ ΚΛ , ὁ δέ Η ὁ τομή ὁ ὁρίζων ὁ ΚΛ , ὁ δέ ΕΖ ὁ ἀναφορά ὁ ΕΚ . ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ μέν ὑπό ΕΗΖ γωνία ὁ ὑπό ΕΛΚ , λοιπός δέ ὁ ὑπό ΕΗΘ λοιπός ὁ ὑπό ΔΛΚ ἴσος εἰμί · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . λέγω δέ , ὅτι καί ὁ διαμετρέω σημεῖον αἰτέω ἕτερος ἀνατολικός μετά ὁ ὁ ἕτερος δυτικός δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ἐάν γάρ γράφω ὁρίζων μέν κύκλος ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ διά μέσος ὁ ζῴδιον ὁ ΑΕΓΖ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Α καί Ι σημεῖον , συναμφότεροι μέν ἢ τε ὑπό ΖΒΓΔ , καί ὁ ὑπό δύο ὀρθός Ἴσαι γίγνομαι . ἴσος δέ ὁ ὑπό ΖΑΔ ὁ ὑπό ΖΓΔ ὥστε καί συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΖΓΔ καί ὁ ὑπό ΔΑΕ δύο ὀρθός ποιέω · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ἐπισυμβαίνω τε οὗτος οὕτως ἔχω , ἐπεί δείκνυμι καί ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ αὐτός ἰσημερινός σημεῖον ὁ πρός ὁ αὐτός ὁρίζων θεωρέω γωνία Ἴσαι , ὁ καί ὁ ὁ ἵζω ἀπέχω ὁ αὐτός τροπικός σημεῖον ὁ ὁ ἕτερος ἀνατολικός καί ὁ ὁ ἕτερος δυτικός συναμφότεροι δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . ὥστε καί διά οὗτος , ἐάν ὁ ἀπό Κριός μέχρι ὁ Χῆλαι γίγνομαι ἀνατολικός γωνία εὑρίσκω , συναποδείκνυμι εἰμί καί ὁ ὁ ἕτερος ἡμικύκλιον ἀνατολικός καί ἔτι ὁ ὁ δύο ἡμικύκλιον δυτικός . ὅς δέ τρόπος δείκνυμι , διά βραχύς ἐκτίθημι χράω πάλιν ὑπόδειγμα ἕνεκα ὁ αὐτός παράλληλος , τουτέστιν κατά ὅς ὁ βόρειος πόλος ἐξαίρω ὁ ὁρίζων μοῖρα λςʹ . ὁ μέν οὖν ὑπό ὁ ἰσημερινός σημεῖον ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος πρός ὁ ὁρίζων γίγνομαι γωνία προχείρως δύναμαι λαμβάνω · ἐάν γάρ γράφω μεσημβρινός μέν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , ὁ δέ ὑπόκειμαι ὁρίζων ὁ ἀνατολικός ἡμικύκλιον ὁ ΑΕΔ καί ὁ μέν ἰσημερινός τεταρτημόριον ὁ ΕΖ , ὁ δέ διά μέσος ὁ ζῴδιον δύο ὁ τε ΕΒ καί ΕΓ οὕτως ἔχω , ὥστε ὁ Ε σημεῖον πρός μέν ὁ ΕΒ τεταρτημόριον νοέω μετοπωρινός , πρός δέ ὁ ΕΓ ἐαρινός , καί ὁ μέν Β γίγνομαι χειμερινός τροπικός , ὁ δέ Γ θερινός , συνάγω , ὅτι ὁ μέν ΔΖ περιφέρεια ὑπόκειμαι μοῖρα νδʹ , ἑκάτερος δέ ὁ ΒΖ καί ΖΓ ὁ ἴσος κγʹ νάω ἔγγιστος , καί ὁ μέν ΓΔ γίγνομαι μοῖρα λ θ , ὁ δέ ΒΔ ὁ αὐτός οζʹ νάω . ὥστε , ἐπεί ὁ Ε πόλος εἰμί ὁ ΑΒΓ μεσημβρινός , καί ὁ μέν ὑπό ΔΕΓ γωνία ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ ἀρχή ὁ Κριός τοιοῦτος εἰμί λ θ , οἷος εἰμί ὁ εἷς ὀρθός ?? ὁ δέ ὑπό δΕΒ ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ ἀρχή ὁ Χῆλαι ὁ αὐτός οζʹ νάω . ἵνα δέ καί ὁ ὁ λοιπός ἔφοδος φανερός γίγνομαι , πρόκειμαι ὑπόδειγμα ἕνεκα εὑρίσκω ὁ γίγνομαι ἀνατολικός γωνία ὑπό ὁ ἀρχή ὁ Ταῦρος καί ὁ ὁρίζων , καί ἵστημι μεσημβρινός μέν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , ὁ δέ ὑπόκειμαι ὁρίζων ὁ ἀνατολικός ἡμικύκλιον ὁ ΒΕΔ , καί γράφω ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον ὁ ΑΕΓ ἡμικύκλιον , ὥστε ὁ Ε σημεῖον ὁ ἀρχή εἰμί ὁ Ταῦρος . καί ἐπεί ἐν οὗτος ὁ κλίμα ὁ ἀρχή ὁ Ταῦρος ἀνατέλλω μεσουρανέω ὑπό γῆ ὁ ὁ Κάρκινος μοῖρα ιζʹ μή · δείκνυμι γάρ , πῶς ὁ τοιοῦτος ἐκ εὐχερής λαμβάνω διά ὁ εκτεθειμένος ἐγώ ἀναφορά · μικρός γίγνομαι ὁ ΕΓ περιφέρεια τεταρτημόριον . γράφω δή πόλος ὁ Ε καί διάστημα ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά μέγας κύκλος τμῆμα ὁ ΘΗΖ , καί προσαναπληρόω ὁ τε ΕΓΗ τεταρτημόριον καί ὁ ΘΕ . γίγνομαι δέ καί ἢ τε ΑΓΖ καί ὁ ΖΗΘ ἑκάτερος τεταρτημόριον διά ὁ ὁ ΒΕΘ ὁρίζων διά ὁ πόλος εἰμί ὁ τε ΖΓΔ μεσημβρινός καί ὁ ΖΗΘ μέγας κύκλος . πάλιν ἐπεί ὁ μέν ὁ Κάρκινος ιζʹ μή μοῖρα ἀπέχω ὁ ἰσημερινός πρός ὁ ἄρκτος ἐπί ὁ διά ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος μοῖρα κβʹ μ · ἐκτίθημι γάρ ἐγώ καί οὗτος · ὁ δέ ἰσημερινός ἀπέχω ὁ πόλος ὁ ὁρίζων ἐπί ὁ αὐτός περιφέρεια ὁ ΖΓΔ μοῖρα λςʹ , συνάγω καί ὁ ΖΓ περιφέρεια μοῖρα νη μ . οὗτος δή δίδωμι γίγνομαι λοιπός διά ὁ καταγραφή ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΓΔ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΔΖ λόγος ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΓΕ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΗΘ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ζῶ . ἀλλά διά ὁ πρόκειμαι ὁ μέν διπλόος ὁ ΓΔ μοῖρα εἰμί ξβʹ μ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ξβʹ ΚΔ , ὁ δέ διπλόος ὁ ΔΖ μοῖρα ρ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρκʹ , καί πάλιν ὁ μέν διπλόος ὁ ΓΕ μοῖρα ρνεʹ κβʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ριζʹ ιδʹ , ὁ δέ διπλόος ὁ ΕΗ μοῖρα ρ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρκʹ . ἐάν ἄρα ἀπό ὁ λόγος ὁ ξβʹ ΚΔ πρός ὁ ρκʹ ἀφαιρέω ὁ ὁ ριζʹ ιδʹ πρός ὁ ρκʹ , καταλείπω ἐγώ ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ τίθημι πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΘΖ λόγος ὁ ὁ ξγʹ νβʹ πρός ὁ ρκʹ . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΘΖ τμῆμα ρκʹ · καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ἄρα ὁ ΗΘ ὁ αὐτός εἰμί ξγʹ νβʹ . ὥστε καί ὁ μέν διπλόος ὁ ΗΘ μοῖρα εἰμί ξδʹ Κ , ὁ δέ ΗΘ αὐτός τε καί ὁ ὑπό ΗΕΘ γωνία ὁ αὐτός λβʹ ι ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ὁ δέ αὐτός τρόπος , ἵνα μή κατά ἕκαστος ταυτολογέω μηκύνω ὁ ὑπομνηματισμός ὁ σύνταξις , καί ἐπί ὁ λοιπός δωδεκατημόριον τε καί κλίμα ἐγώ νοέω .