claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 10.6
ς΄ . Προλαμβανόμενα εἰς τὰς περὶ τῶν λοιπῶν ἀστέρων ἀποδείξεις . Ἐπὶ μὲν δὴ τῶν β τούτων ἀστέρων τοῦ τε τοῦ Ἑρμοῦ καὶ τοῦ τῆς Ἀφροδίτης τοιαύταις ἐφόδοις κεχρημένοι τυγχάνομεν πρός τε τὰς ἐπιβολὰς τῶν ὑποθέσεων καὶ τὰς ἀποδείξεις τῶν ἀνωμαλιῶν · ἐπὶ δὲ τῶν λοιπῶν γ τοῦ τε τοῦ Ἄρεως καὶ τοῦ τοῦ Διὸς καὶ τοῦ τοῦ Κρόνου τὴν μὲν ὑπόθεσιν τῆς κινήσεως μίαν καὶ τὴν ὁμοίαν εὑρίσκομεν τῇ περὶ τὸν τῆς Ἀφροδίτης ἀστέρα κατειλημμένῃ , τουτέστιν καθʼ ἣν ὁ ἔκκεντρος κύκλος , ἐφʼ οὗ πάντοτε φέρεται τὸ τοῦ ἐπικύκλου κέντρον , γράφεται κέντρῳ τῷ διχοτομοῦντι σημείῳ τὴν μεταξὺ τῶν κέντρων τοῦ τε ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ τὴν ὁμαλὴν ποιοῦντος τοῦ ἐπικύκλου περιαγωγήν , ἐπειδήπερ καὶ ἐφʼ ἑκάστου τούτων κατὰ τὸ ὁλοσχερέστερον τῆς ἐπιβολῆς τῆς συνισταμένης ἐκκεντρότητος ἐκ τῆς πηλικότητος τῶν περὶ τὰς μεγίστας καὶ ἐλαχίστας ἀποστάσεις τοῦ ἐπικύκλου προηγήσεων ἡ διὰ τοῦ μεγίστου διαφόρου τῆς παρὰ τὸν ζῳδιακὸν ἀνωμαλίας εὑρισκομένη διπλασίων ἔγγιστα καταλαμβάνεται , τὰς δὲ ἀποδείξεις , διʼ ὧν τὰς πηλικότητας ἑκατέρας τῶν ἀνωμαλιῶν καὶ τὰ ἀπόγεια συνιστάμεθα , μηκέτι δυναμένας τὸν αὐτὸν τρόπον τοῖς δυσὶν ἐκείνοις καὶ ἐπὶ τούτων ἐφοδευθῆναι διὰ τὸ πᾶσαν αὐτοὺς ἀπὸ τοῦ ἡλίου ποιεῖσθαι διάστασιν καὶ μὴ γίνεσθαι φανερὸν ἐκ τηρήσεων , ὥσπερ ἐπὶ τῶν μεγίστων ἀποστάσεων τοῦ τε τοῦ Ἑρμοῦ καὶ τοῦ τῆς Ἀφροδίτης , πότε κατὰ τὴν ἐπαφὴν ὁ ἀστὴρ γίγνεται τῆς ἐκβαλλομένης εὐθείας ἀπὸ τῆς ὄψεως ἡμῶν ἐφαπτομένης τοῦ ἐπικύκλου . τοῦ τοιούτου δὴ μὴ προχωροῦντος συγκεχρήμεθα ταῖς πρὸς τὴν μέσην τοῦ ἡλίου πάροδον τηρουμέναις αὐτῶν διαμέτροις στάσεσιν , ἀφʼ ὧν πρῶτον τοὺς τῆς ἐκκεντρότητος λόγους καὶ τὰ ἀπόγεια δείκνυμεν , ἐπειδήπερ ἐν μόναις ταῖς οὕτω θεωρουμέναις παρόδοις χωριζομένην εὑρίσκομεν καθʼ ἑαυτὴν τὴν ζῳδιακὴν ἀνωμαλίαν μηδεμιᾶς γινομένης τότε παρὰ τὴν πρὸς τὸν ἥλιον ἀνωμαλίαν διαφορᾶς . ἔστω γὰρ ἔκκεντρος κύκλος τοῦ ἀστέρος , ἐφʼ οὗ τὸ κέντρον φέρεται τοῦ ἐπικύκλου , ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠ ; , καὶ ἡ μὲν διὰ τοῦ ἀπογείου διάμετρος ἡ ΑΓ , ἐπʼ αὐτῆς δὲ τὸ μὲν Ε σημεῖον τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ , τὸ δὲ Ζ τοῦ ἐκκέντρου , πρὸς ὃν ἡ κατὰ μῆκος μέση πάροδος τοῦ ἐπικύκλου θεωρεῖται , καὶ γραφέντος περὶ τὸ Β τοῦ ΗΘΚΛ ἐπικύκλου ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΖΛΒΘ καὶ ἡ ΗΒΚΕΜ . λέγω πρῶτον , ὅτι , ὅταν ὁ ἀστὴρ κατὰ τὴν ΕΗ διὰ τοῦ Β κέντρου τοῦ ἐπικύκλου φαίνηται , καὶ ἡ μέση πάντοτε τοῦ ἡλίου πάροδος ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἔσται , καὶ κατὰ μὲν τὸ γιγνόμενος ὁ ἀστὴρ συνοδεύει τῇ μέσῃ τοῦ ἡλίου παρόδῳ καὶ αὐτῇ πρὸς τῷ Η θεωρουμένῃ , κατὰ δὲ τὸ Κ διάμετρος αὐτῇ γενήσεται πρὸς τῷ Μ σημείῳ θεωρουμένῃ . ἐπειδὴ γὰρ αἱ ἀπὸ τῶν ἀπογείων ἐφʼ ἑκάστου τούτων τῶν ἀστέρων μέσαι διαστάσεις μήκους τε καὶ ἀνωμαλίας συντεθεῖσαι ποιοῦσιν τὴν ἀπὸ τῆς αὐτῆς ἀρχῆς μέσην τοῦ ἡλίου πάροδον , τῆς δὲ πρὸς τῷ Ζ κέντρῳ γωνίας , ἥτις περιέχει τὴν κατὰ μῆκος τοῦ ἀστέρος ὁμαλὴν κίνησιν , καὶ τῆς πρὸς τῷ Ε , ἥτις περιέχει τὴν φαινομένην , ὑπεροχὴ πάντοτε γίγνεται ἡ πρὸς τῷ Β γωνία περιέχουσα τὴν ὁμαλὴν κατὰ τὸν ἐπίκυκλον αὐτοῦ πάροδον , δῆλον , ὅτι , ὅταν μὲν κατὰ τὸ Η σημεῖον ὁ ἀστήρ , ἐλλείψει τῆς ἐπὶ τὸ Θ ἀπόγειον ἀποκαταστάσεως τὴν ὑπὸ ΗΒΘ γωνίαν , ἥτις συντεθεῖσα μετὰ τῆς ὑπὸ ΑΖΒ , τουτέστιν λειφθεῖσα ὑπʼ αὐτῆς , ποιεῖ τὴν περιχομένην ὑπὸ τῆς ἡλιακῆς μέσης παρόδου γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΗ τὴν αὐτὴν οὖσαν τῇ φαινομένῃ τοῦ ἀστέρος · ὅταν δὲ κατὰ τὸ Κ σημεῖον ᾖ , κεκινημένος πάλιν ἔσται κατὰ τὸν ἐπίκυκλον τὴν ὑπὸ ΘΒΚ γωνίαν , ἥτις συντεθεῖσα μετὰ τῆς ὑπὸ ΑΖΒ ποιήσει τὴν ἀπὸ τοῦ Α ἀπογείου μέσην τοῦ ἡλίου πάροδον περιέχουσαν ἡμικύκλιόν τε καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΖΒ γωνίαν λείπουσαν τὴν ὑπὸ ΛΒΚ , τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΓΕΜ , πάλιν κατὰ διάμετρον οὖσαν τῇ φαινομένῃ τοῦ ἀστέρος . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἐπὶ μὲν τῶν τοιούτων σχηματισμῶν ἥ τε ἀπὸ τοῦ Β κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἐπὶ τὸν ἀστέρα ἐκβαλλομένη εὐθεῖα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε τοῦ κατὰ τὴν ὄψιν ἡμῶν ἐπὶ τὴν μέσην πάροδον τοῦ ἡλίου κατὰ μιᾶς καὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας συμπίπτουσιν ἀμφότεραι , ἐπὶ δὲ τῶν ἄλλων πασῶν διαστάσεων διαφόρους μὲν ποιοῦσιν τὰς προσνεύσεις , παραλλήλους δʼ ἀλλήλαις πάντοτε . ἐὰν γὰρ καθʼ ἡνδήποτε θέσιν ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης καταγραφῆς ἀπὸ μὲν τοῦ Β ἐπὶ τὸν ἀστέρα ἀγάγωμεν εὐθεῖαν ὡς τὴν ΒΝ , ἀπὸ δὲ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν μέσην τοῦ ἡλίου πάροδον ὡς τὴν ΕΞ , ἴση μὲν ἔσται διὰ τὰ προειρημένα ἡ ὑπὸ ΑΕΞ γωνία συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΑΖΘ καὶ τῇ ὑπὸ ΝΒΘ , ἴση δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΘ συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΑΕΗ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΒΘ κοινῆς δʼ ἀφαιρεθείσης τῆς ὑπὸ ΑΕΗ καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΗΕΞ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΒΝ ἴση ἔσται · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε εὐθεῖα τῇ ΒΝ . ἐπειδὴ οὖν κατὰ τοὺς εἰρημένους σχηματισμοὺς συνοδικούς τε καὶ ἀκρωνύκτους τοὺς πρὸς τὴν μέσην τοῦ ἡλίου πάροδον θεωρουμένους διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου τὸν ἀστέρα θεωρούμενον εὑρίσκομεν , ὥσπερ ἂν εἰ μηδʼ ὅλως κατʼ ἐπικύκλου τὴν κίνησιν εἶχεν , ἀλλʼ αὐτὸς ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὴν θέσιν ἔχων ὑπὸ τῆς ΖΒ εὐθείας ὁμαλῶς περιήγετο τὸν αὐτὸν τρόπον τῷ κέντρῳ τοῦ ἐκικύκλου , δῆλον , ὅτι δυνατὸν μὲν ἔσται διὰ τῶν τοιούτων παρόδων τοὺς παρὰ τὴν ἐκκεντρότητα τῆς ζῳδιακῆς ἀνωμαλίας λόγους καθʼ αὐτοὺς ἀποδεῖξαι , μὴ φαινομένων δὲ τῶν συνοδικῶν σχηματισμῶν ὑπολείπεται διὰ τῶν ἀκρωνύκτων τὰς ἐφόδους τῶν ἀποδείξεων ποιήσασθαι .
Lemmas: ς΄ . προλαμβάνω εἰς ὁ περί ὁ λοιπός ἀστήρ ἀποδείκνυμι . ἐπί μέν δή ὁ Β οὗτος ἀστήρ ὁ τε ὁ Ἑρμῆς καί ὁ ὁ Ἀφροδίτη τοιοῦτος ἔφοδος χράομαι τυγχάνω πρός τε ὁ ἐπιβολή ὁ ὑπόθεσις καί ὁ ἀποδείκνυμι ὁ ἀνωμαλία · ἐπί δέ ὁ λοιπός γ ὁ τε ὁ Ἄρης καί ὁ ὁ Ζεύς καί ὁ ὁ Κρόνος ὁ μέν ὑπόθεσις ὁ κίνησις εἷς καί ὁ ὅμοιος εὑρίσκω ὁ περί ὁ ὁ Ἀφροδίτη ἀστήρ καταλαμβάνω , τουτέστιν κατά ὅς ὁ ἔκκεντρος κύκλος , ἐπί ὅς πάντοτε φέρω ὁ ὁ ἐπίκυκλος κέντρον , γράφω κέντρον ὁ διχοτομέω σημεῖον ὁ μεταξύ ὁ κέντρον ὁ τε ζῳδιακός καί ὁ ὁ ὁμαλός ποιέω ὁ ἐπίκυκλος περιαγωγή , ἐπεί καί ἐπί ἕκαστος οὗτος κατά ὁ ὁλοσχερής ὁ ἐπιβολεύς ὁ συνίστημι ἐκκεντρότης ἐκ ὁ πηλικότης ὁ περί ὁ μέγας καί μικρός ἀπόστασις ὁ ἐπίκυκλος προήγησις ὁ διά ὁ μέγας διάφορος ὁ παρά ὁ ζῳδιακός ἀνωμαλία εὑρίσκω διπλάσιος ἔγγιστος καταλαμβάνω , ὁ δέ ἀποδείκνυμι , διά ὅς ὁ πηλικότης ἑκάτερος ὁ ἀνωμαλία καί ὁ ἀπόγειον συνίστημι , μηκέτι δύναμαι ὁ αὐτός τρόπος ὁ δύο ἐκεῖνος καί ἐπί οὗτος ἐφοδεύω διά ὁ πᾶς αὐτός ἀπό ὁ ἥλιος ποιέω διάστασις καί μή γίγνομαι φανερός ἐκ τήρησις , ὥσπερ ἐπί ὁ μέγας ἀπόστασις ὁ τε ὁ Ἑρμῆς καί ὁ ὁ Ἀφροδίτη , πότε κατά ὁ ἐπαφή ὁ ἀστήρ γίγνομαι ὁ ἐκβάλλω εὐθύς ἀπό ὁ ὄψις ἐγώ ἐφάπτω ὁ ἐπίκυκλος . ὁ τοιοῦτος δή μή προχωρέω συγχράομαι ὁ πρός ὁ μέσος ὁ ἥλιος πάροδος τηρέω αὐτός διάμετρος στάσις , ἀπό ὅς πρῶτος ὁ ὁ ἐκκεντρότης λόγος καί ὁ ἀπόγειον δείκνυμι , ἐπεί ἐν μόνος ὁ οὗτος θεωρέω πάροδος χωρίζω εὑρίσκω κατά ἑαυτοῦ ὁ ζῳδιακός ἀνωμαλία μηδείς γίγνομαι τότε παρά ὁ πρός ὁ ἥλιος ἀνωμαλία διαφορά . ἵστημι γάρ ἔκκεντρος κύκλος ὁ ἀστήρ , ἐπί ὅς ὁ κέντρον φέρω ὁ ἐπίκυκλος , ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ ∠ ; , καί ὁ μέν διά ὁ ἀπόγειον διάμετρος ὁ ΑΓ , ἐπί αὐτός δέ ὁ μέν Ε σημεῖον ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός , ὁ δέ Ζ ὁ ἔκκεντρος , πρός ὅς ὁ κατά μῆκος μέσος πάροδος ὁ ἐπίκυκλος θεωρέω , καί γράφω περί ὁ Β ὁ ΗΘΚΛ ἐπίκυκλος ἐπιζεύγνυμι ὅς τε ΖΛΒΘ καί ὁ ΒΕΚ . λέγω πρῶτος , ὅτι , ὅταν ὁ ἀστήρ κατά ὁ ΕΗ διά ὁ Β κέντρον ὁ ἐπίκυκλος φαίνω , καί ὁ μέσος πάντοτε ὁ ἥλιος πάροδος ἐπί ὁ αὐτός εὐθύς εἰμί , καί κατά μέν ὁ γίγνομαι ὁ ἀστήρ συνοδεύω ὁ μέσος ὁ ἥλιος πάροδος καί αὐτός πρός ὁ ὁ θεωρέω , κατά δέ ὁ Κ διάμετρος αὐτός γίγνομαι πρός ὁ Μ σημεῖον θεωρέω . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον ἐπί ἕκαστος οὗτος ὁ ἀστήρ μέσος διάστασις μῆκος τε καί ἀνωμαλία συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ αὐτός ἀρχή μέσος ὁ ἥλιος πάροδος , ὁ δέ πρός ὁ Ζ κέντρον γωνία , ὅστις περιέχω ὁ κατά μῆκος ὁ ἀστήρ ὁμαλός κίνησις , καί ὁ πρός ὁ Ε , ὅστις περιέχω ὁ φαίνω , ὑπεροχή πάντοτε γίγνομαι ὁ πρός ὁ Β γωνία περιέχω ὁ ὁμαλός κατά ὁ ἐπίκυκλος αὐτός πάροδος , δῆλος , ὅτι , ὅταν μέν κατά ὁ ὁ σημεῖον ὁ ἀστήρ , ἔλλειψις ὁ ἐπί ὁ Θ ἀπόγειον ἀποκατάστασις ὁ ὑπό ΗΒΘ γωνία , ὅστις συντίθημι μετά ὁ ὑπό ΑΖΒ , τουτέστιν λείπω ὑπό αὐτός , ποιέω ὁ περιχέω ὑπό ὁ ἡλιακός μέσος πάροδος γωνία ὁ ὑπό ΑΕΗ ὁ αὐτός εἰμί ὁ φαίνω ὁ ἀστήρ · ὅταν δέ κατά ὁ Κ σημεῖον εἰμί , κινέω πάλιν εἰμί κατά ὁ ἐπίκυκλος ὁ ὑπό ΘΒΚ γωνία , ὅστις συντίθημι μετά ὁ ὑπό ΑΖΒ ποιέω ὁ ἀπό ὁ Α ἀπόγειον μέσος ὁ ἥλιος πάροδος περιέχω ἡμικύκλιος τε καί ἔτι ὁ ὑπό ΑΖΒ γωνία λείπω ὁ ὑπό ΛΒΚ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΓΕΜ , πάλιν κατά διάμετρος εἰμί ὁ φαίνω ὁ ἀστήρ . διά οὗτος δέ καί ἐπί μέν ὁ τοιοῦτος σχηματισμός ὅς τε ἀπό ὁ Β κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ἐπί ὁ ἀστήρ ἐκβάλλω εὐθύς καί ὁ ἀπό ὁ Ε ὁ κατά ὁ ὄψις ἐγώ ἐπί ὁ μέσος πάροδος ὁ ἥλιος κατά εἷς καί ὁ αὐτός εὐθύς συμπίπτω ἀμφότερος , ἐπί δέ ὁ ἄλλος πᾶς διάστασις διάφορος μέν ποιέω ὁ πρόσνευσις , παράλληλος δέ ἀλλήλων πάντοτε . ἐάν γάρ κατά ὁστισδήποτε θέσις ἐπί ὁ ἔκκειμαι καταγραφή ἀπό μέν ὁ Β ἐπί ὁ ἀστήρ ἄγω εὐθύς ὡς ὁ ΒΝ , ἀπό δέ ὁ Ε ἐπί ὁ μέσος ὁ ἥλιος πάροδος ὡς ὁ ΕΞ , ἴσος μέν εἰμί διά ὁ προερέω ὁ ὑπό ΕΞ γωνία συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΑΖΘ καί ὁ ὑπό ΝΒΘ , ἴσος δέ καί ὁ ὑπό ΑΖΘ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΑΕΗ καί ὁ ὑπό ΗΒΘ κοινός δέ ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΑΕΗ καί λοιπός ὁ ὑπό ΗΞ λοιπός ὁ ὑπό ΒΗ ἴσος εἰμί · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ Ε εὐθύς ὁ ΒΝ . ἐπεί οὖν κατά ὁ εἴρω σχηματισμός συνοδικός τε καί ἀκρόνυκτος ὁ πρός ὁ μέσος ὁ ἥλιος πάροδος θεωρέω διά ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ὁ ἀστήρ θεωρέω εὑρίσκω , ὥσπερ εἄν εἰμί μηδέ ὅλως κατά ἐπίκυκλος ὁ κίνησις ἔχω , ἀλλά αὐτός ἐπί ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ θέσις ἔχω ὑπό ὁ ΖΒ εὐθύς ὁμαλός περιάγω ὁ αὐτός τρόπος ὁ κέντρον ὁ εκικυκλος , δῆλος , ὅτι δυνατός μέν εἰμί διά ὁ τοιοῦτος πάροδος ὁ παρά ὁ ἐκκεντρότης ὁ ζῳδιακός ἀνωμαλία λόγος κατά αὐτός ἀποδείκνυμι , μή φαίνω δέ ὁ συνοδικός σχηματισμός ὑπολείπω διά ὁ ακρωνυκτεω ὁ ἔφοδος ὁ ἀπόδειξις ποιέω .