claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 2.3
Προκείσθω δὴ πάλιν τούτου δεδομένου καὶ τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου λαβεῖν , τουτέστιν τὴν Β Ζ περιφέρειαν τοῦ μεσημβρινοῦ . γίνεται τοίνυν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ A λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α . ἀλλ᾿ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Θ μοιρ ἐστιν λζ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λη λδ κβ , ἡ δὲ διπλῆ τῆς Θ Α μοιρῶν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ , καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Η μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ , ἡ δὲ διπλῆ τῆς Η Β μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ργ νε κγ · ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν λη λδ κβ πρὸς τὰ ριγ λζ νδ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ργ νε κγ , καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος ὁ τῶν λγ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ . καί ἐστιν πάλιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α περιφερείας τμημάτων ρκ · καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Β Ζ τῶν αὐτῶν ἐστιν ο λγ · ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Β Ζ περιφερείας ἔσται μοιρῶν οβ α , ἡ δὲ Β Ζ τῶν αὐτῶν λς ἔγγιστα . πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀνάπαλιν ἡ μὲν Β Ζ περιφέρεια τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δεδόσθω τετηρημένη μοιρῶν λς , προκείσθω δὲ εὑρεῖν τὸ διάφορον τῆς ἐλαχίστης ἢ μεγίστης ἡμέρας παρὰ τὴν ἰσημερινήν , τουτέστιν τὴν διπλῆν τῆς ΕΘ περιφερείας . γίνεται τοίνυν διὰ τὰ αὐτὰ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΒ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ . ἀλλʼ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ μοιρῶν ἐστιν οβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ο λβ γ , ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΒΑ μοιρῶν ρη καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ?? ζ δ νς , καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΗ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ῑζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ , ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΗΘ μοιρῶν μζ μβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λᾱ νε · ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ο λβ γ πρὸς ?? ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μη λᾱ νε , καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος ὁ τῶν λᾱ ῑᾱ κγ πρὸς τὰ ?? ζ δ νς . καὶ ἐπειδὴ ὁ αὐτὸς λόγος ἐστὶν ἔγγιστα καὶ τῶν λη λδ πρὸς τὰ ρκ , ἡ δὲ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α τμημάτων ἐστὶν ρκ , συνάγεται καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ τῶν αὐτῶν λη λδ ὥστε καὶ ἡ διπλῆ τῆς Ε Θ περιφερείας μοιρῶν μὲν ἔσται λζ λ ἔγγιστα , ὡρῶν δὲ ἰσημερινῶν βU+2220΄ ὅπερ ἔδει δεῖξαι . κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δοθήσεται καὶ ἡ Ε Η τοῦ ὁρίζοντος περιφέρεια διὰ τὸ καὶ τὸν τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β λόγον δεδομένον συνῆφθαι ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η δεδομένου καὶ αὐτοῦ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β , ὥστε καὶ τῆς Ε Β δεδομένης καταλείπεσθαι καὶ τὸ τῆς Ε Η μέγεθος . φανερὸν δʼ , ὅτι , κἂν μὴ τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον ὑποθώμεθα τὸ Η , τῶν ἄλλων δέ τι τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων , κατὰ τὰ αὐτὰ πάλιν ἑκατέρα τῶν Ε Θ καὶ Ε Η περιφερειῶν δοθήσεται προεκτιθεμένων τε ἡμῖν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου τῶν ἀπολαμβανομένων τοῦ μεσημβρινοῦ περιφερειῶν ὑφʼ ἑκάστου τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ , τουτέστιν τῶν ὁμοίων τῇ Η Θ περιφερείᾳ , καὶ παρακολουθοῦντος μὲν αὐτόθεν τοῦ τὰ ὑπὸ τῶν αὐτῶν παραλλήλων γινόμενα τμήματα τοῦ διὰ μέσων , τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου , τὰς αὐτὰς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν τὰς τοῦ ὁρίζοντος τομὰς καὶ τὰ τῶν νυχθημέρων μεγέθη ἴσα ἑκάτερα ἑκατέροις τῶν ὁμοίων , συναποδεικνυμένου δὲ τοῦ καὶ τὰ ὑπὸ τῶν ἴσων παραλλήλων γινόμενα , τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου , τάς τε τοῦ ὁρίζοντος περιφερείας ἴσας ἑκατέρωθεν τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν καὶ τῶν νυχθημέρων ἐναλλὰξ ἴσα τὰ μεγέθη τῶν ἀνομοίων . ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης καταγραφῆς ὑποθώμεθα καὶ τὸ Κ σημεῖον , καθʼ ὃ τέμνει τὸ Β Ε Δ τοῦ ὁρίζοντος ἡμικύκλιον ὁ ἴσος καὶ παράλληλος τῷ διὰ τοῦ Η γραφομένῳ , καὶ συναναπληρώσωμεν τὰ Η Δ καὶ Κ Μ τῶν παραλλήλων τμήματα ἐναλλὰξ καὶ ἴσα δηλονότι γινόμενα διά τε τοῦ Κ καὶ τοῦ βορείου πόλου τὸ Ν Κ Ξ γράψωμεν τεταρτημόριον , ἴσαι μὲν ἔσονται ἡ μὲν Θ Α περιφέρεια τῇ Ξ Γ διὰ τὸ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τῶν Λ Η καὶ Μ Κ ὁμοίαν εἶναι , καταλειφθήσεται δὲ καὶ λοιπὴ ἡ Ε Θ λοιπῇ τῇ Ε Ξ ἴση , γενήσονται δὲ καὶ δύο τριπλεύρων ὁμοίων τῶν ΕΗΘ καὶ ΕΚΞ αἱ δύο μὲν πλευραὶ ταῖς δυσὶν ἴσαι , ἡ μὲν ΕΘ τῇ ΕΞ , ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΚΞ , ὀρθὴ δὲ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Θ καὶ Ξ γωνιῶν , ὥστε καὶ βάσιν τὴν ΕΗ βάσει τῇ ΚΕ γίνεσθαι ἴσην .
Lemmas: πρόκειμαι δή πάλιν οὗτος δίδωμι καί ὁ ἔξαρμα ὁ πόλος λαμβάνω , τουτέστιν ὁ Β Ζ περιφέρεια ὁ μεσημβρινός . γίγνομαι τοίνυν ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Θ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ A λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε ὁ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ὁ Β καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Ζ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Α . ἀλλά ὁ μέν διπλόος ὁ Ε Θ μοιρ εἰμί λζʹ λ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα λα λδʹ κβʹ , ὁ δέ διπλόος ὁ Θ Α μοῖρα ρμβʹ λ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ριγʹ λζʹ νδʹ , καί πάλιν ὁ μέν διπλόος ὁ Ε ὁ μοῖρα ξ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ξ , ὁ δέ διπλόος ὁ ὁ Β μοῖρα ρκʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ργ νε κγʹ · ἐάν ἄρα ἀπό ὁ λόγος ὁ λα λδʹ κβʹ πρός ὁ ριγʹ λζʹ νδʹ ἀφαιρέω ὁ ὁ ξ πρός ὁ ργ νε κγʹ , καταλείπω ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Ζ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Α λόγος ὁ ὁ λγʹ ἔγγιστος πρός ὁ ρκʹ . καί εἰμί πάλιν ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Α περιφέρεια τμῆμα ρκʹ · καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ἄρα ὁ Β Ζ ὁ αὐτός εἰμί ὁ λγʹ · ὥστε καί ὁ μέν διπλόος ὁ Β Ζ περιφέρεια εἰμί μοῖρα οβʹ ὅς , ὁ δέ Β Ζ ὁ αὐτός λςʹ ἔγγιστος . πάλιν ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ἀνάπαλιν ὁ μέν Β Ζ περιφέρεια ὁ ἔξαρμα ὁ πόλος δίδωμι τηρέω μοῖρα λςʹ , πρόκειμαι δέ εὑρίσκω ὁ διάφορος ὁ μικρός ἢ μέγας ἡμέρα παρά ὁ ἰσημερινός , τουτέστιν ὁ διπλόος ὁ ΕΘ περιφέρεια . γίγνομαι τοίνυν διά ὁ αὐτός ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΖΒ περιφέρεια πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΒΑ λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΖΗ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΗΘ καί ἐκ ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΘΕ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΕΑ . ἀλλά ὁ μέν διπλόος ὁ ΖΒ μοῖρα εἰμί οβʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ὁ λβʹ γ , ὁ δέ διπλόος ὁ ΒΑ μοῖρα ῥέω καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ?? ζ δ ΝΣ , καί πάλιν ὁ μέν διπλόος ὁ ΖΗ μοῖρα εἰμί ρλβʹ ιζʹ Κ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρθ μδʹ νγʹ , ὁ δέ διπλόος ὁ ΗΘ μοῖρα μζʹ μβʹ μ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα μη λαʹ νε · ἐάν ἄρα ἀπό ὁ ὁ ὁ λβʹ γ πρός ?? ζ δ ΝΣ λόγος ἀφαιρέω ὁ ὁ ρθ μδʹ νγʹ πρός ὁ μη λαʹ νε , καταλείπω ἐγώ ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΘΕ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΕΑ λόγος ὁ ὁ λαʹ ιαʹ κγʹ πρός ὁ ?? ζ δ ΝΣ . καί ἐπεί ὁ αὐτός λόγος εἰμί ἔγγιστος καί ὁ λα λδʹ πρός ὁ ρκʹ , ὁ δέ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Α τμῆμα εἰμί ρκʹ , συνάγω καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Θ ὁ αὐτός λα λδʹ ὥστε καί ὁ διπλόος ὁ Ε Θ περιφέρεια μοῖρα μέν εἰμί λζʹ λ ἔγγιστος , ὥρα δέ ἰσημερινός βU+2220΄ ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . κατά ὁ αὐτός δέ δίδωμι καί ὁ Ε ὁ ὁ ὁρίζων περιφέρεια διά ὁ καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Α πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β λόγος δίδωμι συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Θ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ ὁ δίδωμι καί αὐτός καί ἐκ ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ὁ Ε πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Β , ὥστε καί ὁ Ε Β δίδωμι καταλείπω καί ὁ ὁ Ε ὁ μέγεθος . φανερός δέ , ὅτι , κἀν μή ὁ χειμερινός τροπικός σημεῖον ὑποτίθημι ὁ ὁ , ὁ ἄλλος δέ τίς ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος τμῆμα , κατά ὁ αὐτός πάλιν ἑκάτερος ὁ Ε Θ καί Ε ὁ περιφέρεια δίδωμι προεκτίθημι τε ἐγώ διά ὁ ὁ λόξωσις κανονίας ὁ ἀπολαμβάνω ὁ μεσημβρινός περιφέρεια ὑπό ἕκαστος τμῆμα ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος καί ὁ ἰσημερινός , τουτέστιν ὁ ὅμοιος ὁ ὁ Θ περιφέρεια , καί παρακολουθέω μέν αὐτόθεν ὁ ὁ ὑπό ὁ αὐτός παράλληλος γίγνομαι τμῆμα ὁ διά μέσος , τουτέστιν ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ αὐτός τροπικός σημεῖον , ὁ αὐτός καί ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ ἰσημερινός ποιέω ὁ ὁ ὁρίζων τομή καί ὁ ὁ νυχθήμερον μέγεθος ἴσος ἑκάτερος ἑκάτερος ὁ ὅμοιος , συναποδείκνυμι δέ ὁ καί ὁ ὑπό ὁ ἴσος παράλληλος γίγνομαι , τουτέστιν ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ αὐτός ἰσημερινός σημεῖον , ὁ τε ὁ ὁρίζων περιφέρεια ἴσος ἑκατέρωθεν ὁ ἰσημερινός ποιέω καί ὁ νυχθήμερον ἐναλλάξ ἴσος ὁ μέγεθος ὁ ἀνόμοιος . ἐάν γάρ ἐπί ὁ ἔκκειμαι καταγραφή ὑποτίθημι καί ὁ Κ σημεῖον , κατά ὅς τέμνω ὁ Β Ε δ ὁ ὁρίζων ἡμικύκλιον ὁ ἴσος καί παράλληλος ὁ διά ὁ ὁ γράφω , καί συναναπληρόω ὁ ὁ δ καί Κ Μ ὁ παράλληλος τμῆμα ἐναλλάξ καί ἴσος δηλονότι γίγνομαι διά τε ὁ Κ καί ὁ βόρειος πόλος ὁ Ν Κ Ξ γράφω τεταρτημόριον , Ἴσαι μέν εἰμί ὁ μέν Θ Α περιφέρεια ὁ Ξ Γ διά ὁ ἑκάτερος ἑκάτερος ὁ Λ ὁ καί Μ Κ ὅμοιος εἰμί , καταλείπω δέ καί λοιπός ὁ Ε Θ λοιπός ὁ Ε Ξ ἴσος , γίγνομαι δέ καί δύο τρίπλευρος ὅμοιος ὁ ΕΗΘ καί ΕΚΞ ὁ δύο μέν πλευρά ὁ δύο Ἴσαι , ὁ μέν ΕΘ ὁ ΕΞ , ὁ δέ ΗΘ ὁ ΚΞ , ὀρθός δέ ἑκάτερος ὁ πρός ὁ Θ καί Ξ γωνία , ὥστε καί βάσις ὁ ΕΗ βάσις ὁ ΚΕ γίγνομαι ἴσος .