claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 12.4
δʹ . Ἀπόδειξις τῶν τοῦ τοῦ Ἄρεως προηγήσεων . Πάλιν ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἄρεως κατὰ μὲν τοὺς περὶ τὸ μέσον ἀπόστημα λογισμοὺς ὁ μὲν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ λόγος συνάγεται ὁ τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ Ο νβ να , ὁ δὲ τῆς ΕΓ πρὸς τὴν Γ Ζ ὁ τῶν β νβ να πρὸς τὰ Ο νβ να , τὸ δὲ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον β λβ ιε . καὶ πάλιν ὁ μὲν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ λό γος ὁ τῶν ξ πρὸς τὰ λθ λ , ὁ δὲ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΗ ὁ τῶν 𝒢θ λ πρὸς τὰ λ , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον βλθ με . τῶν δʼ ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων ωγ ν ν ἡ πλευρὰ τὰ κη κα η πολυπλασιασθέντα ἐπὶ τὸν ἐκκείμενον λόγον τῶν Θ Ζ καὶ ΖΓ εὐθειῶν τὴν μὲν Θ Ζ ποιεῖ πρὸς τὰς ἐκκειμένας τῶν Γ καὶ ΑΖ πηλικότητας κη κα η , τὴν δὲ ΓΖ τῶν αὐτῶν κδ νη κε , τὴν δὲ ΓΘ ὅλην νγ ιθ λγ · διὰ τοῦτο δὲ καὶ πρὸς μὲν τὸν τῶν ρκ λόγον ἑκατέρας τῶν ΑΖ καὶ ΑΓ ὑποτεινουσῶν ἡ μὲν ΖΘ γίνεται π Ο , ἡ δὲ ΓΘ ὁμοίως ρϚ λθ ϛ , τῶν δὲ περιφερειῶν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΖΘ μοιρῶν 𝒢α μδ λδ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΘ μοιρῶν ρκε κϚ ι . ἀκολούθως δὲ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑΘ γωνία τοιούτων μέ νβ ιζ , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ τῶν αὐτῶν ξβ μγ ε . καὶ τῶν λοιπῶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΓΑ τῆς παρὰ τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος προηγήσεως μοιρῶν κζ ιϚ νε , ἡ δὲ ὑπὸ Ζ ΑΗ τῶν τῆς ἀνωμαλίας ιϚ ν μη · αἷς ἐπιβαλλουσῶν κατὰ τὸν ἐκκείμενον λόγον τῆς κατὰ μῆκος παρόδου μοιρῶν ιθ ζ λγ καὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς προηγήσεως γίνεται μοιρῶν η θ κβ καὶ ἡμερῶν λϚ ∠ʹ ἔγγιστα , ἡ δὲ ὅλη προήγησις μοιρῶν ιϚ ιη μδ καὶ ἡμερῶν ογ , τὸ δὲ περὶ τὴν ἀποχὴν τοῦ ἀπογείου καὶ τοῦ περιγείου τῶν στηριγμῶν ἀπόστημα εἴκοσι ἑξηκοστοῖς τοῦ μέσου ἀποστήματος ἔγγιστα ἔλασσον μὲν τοῦ μεγίστου , μεῖζον δὲ τοῦ ἐλαχίστου . κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸ μέγιστον ἀπόστημα λογισμοὺς ἡ μὲν τῆς διευκρινήσεως προσθαφαίρεσις κατὰ τὴν τῆς α μοίρας ἐπιβολὴν εὑρίσκεται ἑξηκοστῶν ι γʹ · διὰ τοῦτο δὲ καὶ ὁ μὲν τῆς ΘΖ πρὸς τὴν ΖΓ λόγος ὁ τῶν Ο μθ μ πρὸς τὰ α γ ια , ὁ δὲ τῆς ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ ὁ τῶν β μβ λα πρὸς τὰ α γ ια , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον β να η . καὶ πάλιν ὁ μὲ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ λόγος ὁ τῶν ξε μ πρὸς τὰ λθ λ , ὁ δὲ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΗ ὁ τῶν ρε ι πρὸς τὰ κϚ ι , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον βψνα να μ . τῶν δʼ ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων Ϡξδ μη μζ ἡ πλευρὰ τὰ λα γ μα πολυπλασιασθέντα ἐπὶ τὸν ἐκκείμενον λόγον τῶν ΘΖ καὶ ΖΓ εὐθειῶν τὴν μὲν ΘΖ ποιεῖ πρὸς τὰς ἐκκειμένας τῶν ΓΑ καὶ Α πηλικότητας κὲ μβ μγ , τὴν δὲ ΓΖ τῶν αὐτῶν λβ μβ λδ , τὴν δὲ ΓΘ ὅλην νη κε ιζ . διὰ τοῦτο δὲ καὶ πρὸς μὲν τὸν τῶν ρκ λόγον ἑκατέρας τῶν Α Ζ καὶ ΑΓ ὑποτεινουσῶν ἡ μὲν Ζ γίνεται οη Ϛ μδ , ἡ δὲ ΓΘ ὁμοίως ρϚ με λϚ , τῶν δὲ περιφερειῶν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΖΘ μοιρῶν πα ιγ η , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς Γ Θ μοιρῶν ρκε λθ μϚ . ταύταις δʼ ἀκολούθως καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Ζ ΑΘ γωνία τοιούτων ἔσται μ λϚ λδ , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , ἡ δʼ ὑπὸ ΓΑΘ τῶν αὐτῶν ξβ μθ νγ · καὶ τῶν λοιπῶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΓΑ τῆς παρὰ τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος προηγήσεως μορῶν κζ ι ζ , ἡ δὲ ὑπὸ ΖΑΗ τῶν τῆς φαινομένης ἀνωμαλίας μοιρῶν κβ ιγ ιθ · αἷς ἐπιβαλλουσῶν κατὰ τούς τοῦ ἀπογείου λόγους διευκρινημένου μὲν μήκους μοιρῶν ιζ ιγ κα , περιοδικοῦ δὲ μοιρῶν κ νη κα , καὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς προηγήσεως συνάγεται μοιρῶν θ νϛ μϚ καὶ ἡμερῶν μ ἔγγιστα , ἡ δὲ ὅλη προήγησις μοιρῶν ιθ νγ λβ καὶ ἡμερῶν π . κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα λογισμοὺς ἡ μὲν τῆς διευκρινήσεως προσθαφαίρεσις εὑρίσκεται ἑξηκοστῶν ιβ ?? διὰ τοῦτο δὲ καὶ ὁ μὲν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ λόγος ὁ τῶν α ιβ μ πρὸς τὰ ο μ ια , ὁ δὲ τῆς ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ ὁ τῶν γ ε λα πρὸς τὰ μ ια , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον β δ ιδ . καὶ πάλιν ὁ μὲν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ λόγος ὁ τῶν νδ πρὸς τὰ λθ λ , ὁ δὲ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΗ ὁ τῶν 𝒢γ ν πρὸς τὰ ιδ ν , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ατ𝒢α να μ . τῶν δʼ ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων χοβ ιγ ἡ πλευρὰ τὰ κε νε λη πολυπλασιασθέντα ἐπὶ τὸν ἐκκείμενον λόγον τῶν Θ Ζ καὶ Ζ Γ εὐθειῶν τὴν μὲν ΘΖ ποιεῖ πρὸς τὰς ἐκκειμένας τῶν Γ καὶ ΑΖ πηλικότητας λα κδ γ , τὴν δὲ ΓΖ τῶν αὐτῶν ιζ κα να , τὴν δὲ ΓΘ ὅλην μη με νδ . διὰ τοῦτο δὲ καὶ πρὸς τὸν τῶν λόγον ἑκατέρας τῶν Α καὶ ΑΓ ὑποτεινουσῶν ἡ μὲν ΖΘ γίνεται 𝒢ε κγ μβ , ἡ δὲ ΓΘ ὁμοίως ρζ μβ ζ , τῶν δὲ περιφερειῶν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΖΘ μοιρῶν ρε ιη ι , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΘ μοιρῶν ρκζ μ κβ . ταύταις δʼ ἀκολούθως καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΘ γωνία τοιούτων νβ λθ ε , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ τῶν αὐτῶν ξγ ν ια καὶ τῶν λοιπῶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΓΑ τῆς παρὰ τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος προηγήσεως μοιρῶν κϚ θ μθ , ἡ δʼ ὑπὸ ΖΑ τῶν τῆς φαινομένης ἀνωμαλίας μοιρῶν ια ια Ϛ αἷς ἐπιβαλλουσῶν κατὰ τοὺς ἐπὶ τοῦ περιγείου λόγους τοῦ μὲν διευκρινημένου μήκους μοιρῶν κ λγ μβ , τοῦ δὲ περιοδικοῦ μοιρῶν ιϚ νβ νβ , καὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς προηγήσεως συνάγεται μοιρῶν ε λϚ ζ καὶ ἡμερῶν λβ δ΄ ἔγγιστα , ἡ δὲ ὅλη προήγησις μοιρῶν ια ιβ ιδ καὶ ἡμερῶν ξδ . U+2220΄ .
Lemmas: δέ . Ἀπόδειξις ὁ ὁ ὁ Ἄρης προήγησις . πάλιν ἐπί ὁ ὁ Ἄρης κατά μέν ὁ περί ὁ μέσος ἀπόστημα λογισμός ὁ μέν ὁ Θ Ζ πρός ὁ ΖΓ λόγος συνάγω ὁ ὁ εἷς πρός ὁ ὁ νβʹ νάω , ὁ δέ ὁ ΕΓ πρός ὁ Γ Ζ ὁ ὁ Β νβʹ νάω πρός ὁ ὁ νβʹ νάω , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος Β λβʹ εἶμι . καί πάλιν ὁ μέν ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΗ λό γος ὁ ὁ ξ πρός ὁ λθʹ λ , ὁ δέ ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΗ ὁ ὁ 𝒢θ λ πρός ὁ λ , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος βλθ ἐγώ . ὁ δέ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι Ωγ Ν Ν ὁ πλευρόν ὁ καί ἄν ὁ πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ Θ Ζ καί ΖΓ εὐθύς ὁ μέν Θ Ζ ποιέω πρός ὁ ἔκκειμαι ὁ Γ καί αζʹ πηλικότης καί ἄν ὁ , ὁ δέ ΓΖ ὁ αὐτός ΚΔ νη κε , ὁ δέ ΓΘ ὅλος νγʹ ιθʹ λγʹ · διά οὗτος δέ καί πρός μέν ὁ ὁ ρκʹ λόγος ἑκάτερος ὁ αζʹ καί ΑΓ ὑποτείνω ὁ μέν ΖΘ γίγνομαι π ὁ , ὁ δέ ΓΘ ὁμοίως ρϚʹ λθʹ ϛ , ὁ δέ περιφέρεια ὁ μέν ἐπί ὁ ΖΘ μοῖρα αʹ μδʹ λδʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΘ μοῖρα ρκεʹ κϚʹ ι . ἀκόλουθος δέ καί ὁ μέν ὑπό ΑΖΘ γωνία τοιοῦτος ἐγώ νβʹ ιζʹ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁ αὐτός ξβʹ μγʹ ε . καί ὁ λοιπός ὁ μέν ὑπό ΓΖ ὁ παρά ὁ τάχος ὁ ἀστήρ προήγησις μοῖρα κζ ιϚʹ νε , ὁ δέ ὑπό Ζ ΑΗ ὁ ὁ ἀνωμαλία ιϚʹ Ν μη · ὅς ἐπιβάλλω κατά ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ κατά μῆκος πάροδος μοῖρα ιθʹ ζ λγʹ καί ὁ μέν ἥμισυς ὁ προήγησις γίγνομαι μοῖρα ὁ θ κβʹ καί ἡμέρα λϚʹ ∠ʹ ἔγγιστος , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα ιϚʹ ἔρχομαι μδʹ καί ἡμέρα ογʹ , ὁ δέ περί ὁ ἀποχή ὁ ἀπόγειον καί ὁ περίγειος ὁ στηριγμός ἀπόστημα εἴκοσι ἑξηκοστός ὁ μέσος ἀπόστημα ἔγγιστος μικρός μέν ὁ μέγας , μείζων δέ ὁ μικρός . κατά δέ ὁ περί ὁ μέγας ἀπόστημα λογισμός ὁ μέν ὁ διευκρίνησις προσθαφαίρεσις κατά ὁ ὁ ὅς μοῖρα ἐπιβολή εὑρίσκω ἑξηκοστός ι γε · διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ὁ ΘΖ πρός ὁ ΖΓ λόγος ὁ ὁ ὁ μθʹ μ πρός ὁ ὅς γ ἰά , ὁ δέ ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΖ ὁ ὁ Β μβʹ λάω πρός ὁ ὅς γ ἰά , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος Β νάω ὁ . καί πάλιν ὁ ἐγώ ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΗ λόγος ὁ ὁ ξεʹ μ πρός ὁ λθʹ λ , ὁ δέ ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΗ ὁ ὁ ρε ι πρός ὁ κϚʹ ι , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος βψνα νάω μ . ὁ δέ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι Ϡξδ μη μζʹ ὁ πλευρόν ὁ λάω γ μή πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ ΘΖ καί ΖΓ εὐθύς ὁ μέν ΘΖ ποιέω πρός ὁ ἔκκειμαι ὁ ΓΑ καί Α πηλικότης ἄν μβʹ μγʹ , ὁ δέ ΓΖ ὁ αὐτός λβʹ μβʹ λδʹ , ὁ δέ ΓΘ ὅλος νη κε ιζʹ . διά οὗτος δέ καί πρός μέν ὁ ὁ ρκʹ λόγος ἑκάτερος ὁ Α Ζ καί ΑΓ ὑποτείνω ὁ μέν Ζ γίγνομαι οηʹ Ϛ μδʹ , ὁ δέ ΓΘ ὁμοίως ρϚʹ ἐγώ λϚʹ , ὁ δέ περιφέρεια ὁ μέν ἐπί ὁ ΖΘ μοῖρα πῃ ιγʹ ὁ , ὁ δέ ἐπί ὁ Γ Θ μοῖρα ρκεʹ λθʹ μϛʹ . οὗτος δέ ἀκόλουθος καί ὁ μέν ὑπό Ζ ΑΘ γωνία τοιοῦτος εἰμί μ λϚʹ λδʹ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁ αὐτός ξβʹ μθʹ νγʹ · καί ὁ λοιπός ὁ μέν ὑπό ΓΖ ὁ παρά ὁ τάχος ὁ ἀστήρ προήγησις μόρον κζ ι ζ , ὁ δέ ὑπό ΖΑΗ ὁ ὁ φαίνω ἀνωμαλία μοῖρα κβʹ ιγʹ ιθʹ · ὅς ἐπιβάλλω κατά ὁ ὁ ἀπόγειον λόγος διευκρίνω μέν μῆκος μοῖρα ιζʹ ιγʹ ἄν , περιοδικός δέ μοῖρα Κ νη ἄν , καί ὁ μέν ἥμισυς ὁ προήγησις συνάγω μοῖρα θ νϛʹ μϛʹ καί ἡμέρα μ ἔγγιστος , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα ιθʹ νγʹ λβʹ καί ἡμέρα π . κατά δέ ὁ περί ὁ μικρός ἀπόστημα λογισμός ὁ μέν ὁ διευκρίνησις προσθαφαίρεσις εὑρίσκω ἑξηκοστός Ἶβ ?? διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ὁ Θ Ζ πρός ὁ ΖΓ λόγος ὁ ὁ ὅς Ἶβ μ πρός ὁ ὁ μ ἰά , ὁ δέ ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΖ ὁ ὁ γ ε λάω πρός ὁ μ ἰά , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος Β δ ιδʹ . καί πάλιν ὁ μέν ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΗ λόγος ὁ ὁ νδʹ πρός ὁ λθʹ λ , ὁ δέ ὁ ∠Γ πρός ὁ ΓΗ ὁ ὁ 𝒢γ Ν πρός ὁ ιδʹ Ν , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος ἀτάω νάω μ . ὁ δέ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι χο ιγʹ ὁ πλευρόν ὁ κε νε λα πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ Θ Ζ καί Ζ Γ εὐθύς ὁ μέν ΘΖ ποιέω πρός ὁ ἔκκειμαι ὁ Γ καί αζʹ πηλικότης λάω ΚΔ γ , ὁ δέ ΓΖ ὁ αὐτός ιζʹ ἄν νάω , ὁ δέ ΓΘ ὅλος μη ἐγώ νδʹ . διά οὗτος δέ καί πρός ὁ ὁ λόγος ἑκάτερος ὁ Α καί ΑΓ ὑποτείνω ὁ μέν ΖΘ γίγνομαι ἀείδω κγʹ μβʹ , ὁ δέ ΓΘ ὁμοίως ρζʹ μβʹ ζ , ὁ δέ περιφέρεια ὁ μέν ἐπί ὁ ΖΘ μοῖρα ρε ἔρχομαι ι , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΘ μοῖρα ρκζʹ μ κβʹ . οὗτος δέ ἀκόλουθος καί ὁ μέν ὑπό ΑΘ γωνία τοιοῦτος νβʹ λθʹ ε , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁ αὐτός ξγʹ Ν ἰά καί ὁ λοιπός ὁ μέν ὑπό ΓΖ ὁ παρά ὁ τάχος ὁ ἀστήρ προήγησις μοῖρα κϚʹ θ μθʹ , ὁ δέ ὑπό Γῆ ὁ ὁ φαίνω ἀνωμαλία μοῖρα ἰά ἰά Ϛ ὅς ἐπιβάλλω κατά ὁ ἐπί ὁ περίγειος λόγος ὁ μέν διευκρίνω μῆκος μοῖρα Κ λγʹ μβʹ , ὁ δέ περιοδικός μοῖρα ιϚʹ νβʹ νβʹ , καί ὁ μέν ἥμισυς ὁ προήγησις συνάγω μοῖρα ε λϚʹ ζ καί ἡμέρα λβʹ Δ΄ ἔγγιστος , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα ἰά Ἶβ ιδʹ καί ἡμέρα ξδʹ . U+2220΄ .