claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 2.5
Ὅτι δὲ καὶ οί προκείμενοι λόγοι τῶν σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας ἁπλούστερον λαμβάνονται δοθέντων ἅπαξ τῆς τε μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφερείας καὶ τῆς μεταξὺ τοῦ ὁρίζοντος καὶ τῶν πόλων , οὕτως ἂν γένοιτο δῆλον . ἔστω γὰρ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε , καὶ ὑποκειμένου τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου τοῦ Α διήχθω ἡ ΑΚΓ διάμετρος , ᾗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἐν τῷ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΚΖΝ , παράλληλος δηλονότι γινομένη τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τε ὁρίζοντος καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ . καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ γῆ σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχει πρὸς αἴσθησιν πρὸς τὴν τοῦ ἡλίου σφαῖραν , ὥστε ἀδιαφορεῖν τὸ Ε κέντρον τῆς τοῦ γνώμονος κορυφῆς , νοείσθω γνώμων μὲν ὁ ΓΕ , ἡ δὲ ΓΚΖΝ εὐθεῖα , ἐφʼ ἣν ἐν ταῖς μεσημβρίαις πεσεῖται τὰ ἄκρα τῶν σκιῶν , καὶ διήχθωσαν διὰ τοῦ Ε ἥ τε ἰσημερινὴ καὶ αἰ τροπικαὶ μεσημβριναὶ ἀκτῖνες . ἔστω δὲ ἰσημερινὴ μὲν ἡ ΒΕΔΖ , θερινὴ δὲ ἡ ΗΕΘΚ , χειμερινὴ δὲ ἡ ΛΕΜΝ , ὥστε καὶ τὴν μὲν ΓΚ θερινὴν γίνεσθαι σκιάν , τὴν δὲ ΓΖ ἰσημερινήν , τὴν δὲ ΓΝ χειμερινήν . ἐπεὶ τοίνυν ἡ μὲν ΓΔ περιφέρεια , ᾗ τὴν ἴσην ἐξῆρται ὁ βόρειος πόλος τοῦ ὁρίζοντος , ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου κλίματος τοιούτων ἐστὶν λς , οἵων ὁ ΑΒΓ μεσημβρινὸς τξ , ἑκατέρα δὲ τῶν ΘΔ καὶ ΔΜ τῶν αὐτῶν κγ να κ , φανερόν , ὅτι καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ΓΘ περιφέρεια τμημάτων ἔσται ῑβ η μ , ὅλη δὲ ἡ ΓΜ τῶν αὐτῶν νθ να κ . ὥστε καὶ τῶν ὑπὸ αὐτὰς γωνιῶν , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΚΕΓ γωνία ἐστὶν ιβ η μ , ἡ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ τῶν αὐτῶν λς , ἡ δὲ ὑπὸ ΝΕΓ ὁμοίως νθ να κ , οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΚΕΓ γωνία κδ ῑζ κ , ἡ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ τῶν αὐτῶν οβ , ἡ δὲ ὑπὸ ΝΕΓ ὁμοίως ριθ μβ μ . καὶ τῶν γραφομένων ἄρα κύκλων περὶ τὰ ΚΕΓ καὶ ΖΕΓ καὶ ΝΕΓ τρίγωνα ὀρθογώνια ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΓΚ εὐθείας περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν κδ ιζ κ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ , λείπουσα δὲ εἰς τὸ ἡμικύκλιον , τῶν αὐτῶν ριθ μβ μ , ἡ δὲ ἐπὶ τῆς μοιρῶν οβ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ ὁμοίως τῶν αὐτῶν ρη , ἡ δὲ ἐπὶ τῆς ΓΝ μοιρῶν ριθ μβ μ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ τῶν λοιπῶν πάλιν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ξ ιζ κ . ὥστε καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς εὐθειῶν ἡ ΓΕ συνάγεται , οἵων μὲν ἡ ΓΚ ἐστιν κε ιδ μγ , τοιούτων ριζ ιη να , οἵων δὲ ἡ ΓΖ πάλιν ο λβ δ , τοιούτων ?? ζ δ νς , οἵων δὲ ἡ ΓΝ ὁμοίως ργ μς ῑς , τοιούτων ξ ῑε μβ . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΕ γνώμων ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΓΚ θερινὴ σκιὰ συναχθήσεται ιβ νε , ἡ δὲ ΓΖ ἰσημερινὴ μγ λϛ , ἡ δὲ ΓΝ χειμερινὴ ργ κ ἔγγιστα . φανερὸν δὲ αὐτόθεν , ὅτι καὶ ἀνάπαλιν , κἂν δύο μόνοι λόγοι δοθῶσιν ὁποιοιοῦν ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων τριῶν τοῦ ΓΕ γνώμονος πρὸς τὰς σκιάς , τό τε τοῦ πόλου ἔξαρμα δίδοται καὶ ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν , ἐπειδήπερ καὶ δύο δοθεισῶν ὁποιωνοῦν πρὸς τῷ Ε γωνιῶν δίδοται καὶ ἡ λοιπὴ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ΘΔ , ΔΜ περιφερείας . τοῦ μέντοι περὶ τὰς τηρήσεῖς αὐτὰς ἀκριβοῦς ἕνεκεν ἐκεῖνα μὲν ἀδιστάκτως ἂν λαμβάνοιτο , καθʼ ὃν ὑπεδείξαμιεν τρόπον , οἱ δὲ τῶν ἐκκειμένων σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας λόγοι οὐχ ὁμοίως διὰ τὸ τῶν μὲν ἰσημερινῶν τὸν χρόνον ἀόριστόν πως καθʼ αὐτὸν εἶναι , τῶν δὲ χειμερινῶν τὰ τῶν κορυφῶν ἄκρα δυσδιάκριτα .
Lemmas: ὅτι2 δέ καί οἷ πρόκειμαι λόγος ὁ σκιά πρός ὁ γνώμων ἁπλόος λαμβάνω δίδωμι ἅπαξ ὁ τε μεταξύ ὁ τροπικός περιφέρεια καί ὁ μεταξύ ὁ ὁρίζων καί ὁ πόλος , οὕτως εἄν γίγνομαι δῆλος . ἵστημι γάρ μεσημβρινός κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περί κέντρον ὁ Ε , καί ὑπόκειμαι ὁ κατά κορυφή σημεῖον ὁ Α διάγω ὁ ΑΚΓ διάμετρος , ὅς πρός ὀρθός γωνία ἄγω ἐν ὁ ὁ μεσημβρινός ἐπίπεδος ὁ ΓΚΖΝ , παράλληλος δηλονότι γίγνομαι ὁ κοινός τομή ὁ τε ὁρίζων καί ὁ μεσημβρινός . καί ἐπεί ὅλος ὁ γῆ σημεῖον καί κέντρον λόγος ἔχω πρός αἴσθησις πρός ὁ ὁ ἥλιος σφαῖρα , ὥστε ἀδιαφορέω ὁ Ε κέντρον ὁ ὁ γνώμων κορυφή , νοέω γνώμων μέν ὁ ΓΕ , ὁ δέ ΓΚΖΝ εὐθύς , ἐπί ὅς ἐν ὁ μεσημβρία πίπτω ὁ ἄκρος ὁ σκιά , καί διάγω διά ὁ Ε ὅς τε ἰσημερινός καί ὁ τροπικός μεσημβρινή ἀκτίς . ἵστημι δέ ἰσημερινός μέν ὁ ΖΔΕ , θερινός δέ ὁ ΘΕ , χειμερινός δέ ὁ ΛΕ , ὥστε καί ὁ μέν ΓΚ θερινός γίγνομαι σκιά , ὁ δέ ΓΖ ἰσημερινός , ὁ δέ ΓΝ χειμερινός . ἐπεί τοίνυν ὁ μέν ΓΔ περιφέρεια , ὅς ὁ ἴσος ἐξαίρω ὁ βόρειος πόλος ὁ ὁρίζων , ἐπί ὁ ὑπόκειμαι κλίμα τοιοῦτος εἰμί λςʹ , οἷος ὁ ΑΒΓ μεσημβρινός τξʹ , ἑκάτερος δέ ὁ ΘΔ καί δΜ ὁ αὐτός κγʹ νάω Κ , φανερός , ὅτι καί λοιπός μέν ὁ ΓΘ περιφέρεια τμῆμα εἰμί ιβʹ ὁ μ , ὅλος δέ ὁ ΓΜ ὁ αὐτός νθʹ νάω Κ . ὥστε καί ὁ ὑπό αὐτός γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ μέν ὑπό ΚΕΓ γωνία εἰμί Ἶβ ὁ μ , ὁ δέ ὑπό ΖΕΓ ὁ αὐτός λςʹ , ὁ δέ ὑπό ΕΓ ὁμοίως νθʹ νάω Κ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ μέν ὑπό ΚΕΓ γωνία ΚΔ ιζʹ Κ , ὁ δέ ὑπό ΖΕΓ ὁ αὐτός οβʹ , ὁ δέ ὑπό ΕΓ ὁμοίως ριθʹ μβʹ μ . καί ὁ γράφω ἄρα κύκλος περί ὁ ΚΕΓ καί ΖΕΓ καί ΕΓ τρίγωνος ὀρθογώνιος ὁ μέν ἐπί ὁ ΓΚ εὐθύς περιφέρεια μοῖρα εἰμί ΚΔ ιζʹ Κ καί ὁ ἐπί ὁ ΓΕ , λείπω δέ εἰς ὁ ἡμικύκλιον , ὁ αὐτός ριθʹ μβʹ μ , ὁ δέ ἐπί ὁ μοῖρα οβʹ καί ὁ ἐπί ὁ ΓΕ ὁμοίως ὁ αὐτός ῥέω , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΝ μοῖρα ριθʹ μβʹ μ καί ὁ ἐπί ὁ ΓΕ ὁ λοιπός πάλιν εἰς ὁ ἡμικύκλιον ξ ιζʹ Κ . ὥστε καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς ὁ ΓΕ συνάγω , οἷος μέν ὁ ΓΚ εἰμί κε ιδʹ μγʹ , τοιοῦτος ριζʹ ἔρχομαι νάω , οἷος δέ ὁ ΓΖ πάλιν ὁ λβʹ δ , τοιοῦτος ?? ζ δ ΝΣ , οἷος δέ ὁ ΓΝ ὁμοίως ργ μς ἴς , τοιοῦτος ξ ιεʹ μβʹ . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ ΓΕ γνώμων ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΓΚ θερινός σκιά συνάγω Ἶβ νε , ὁ δέ ΓΖ ἰσημερινός μγʹ λϛ , ὁ δέ ΓΝ χειμερινός ργ Κ ἔγγιστος . φανερός δέ αὐτόθεν , ὅτι καί ἀνάπαλιν , κἀν δύο μόνος λόγος δίδωμι ὁποιοιοῦν ἀπό ὁ ἔκκειμαι τρεῖς ὁ ΓΕ γνώμων πρός ὁ σκιά , ὁ τε ὁ πόλος ἔξαρμα δίδωμι καί ὁ μεταξύ ὁ τροπικός , ἐπεί καί δύο δίδωμι ὁπόιως πρός ὁ Ε γωνία δίδωμι καί ὁ λοιπός διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΘΔ , δΜ περιφέρεια . ὁ μέντοι περί ὁ τηρέω αὐτός ἀκριβής ἕνεκα ἐκεῖνος μέν ἀδιστάκτως εἄν λαμβάνω , κατά ὅς ὑποδείκνυμι τρόπος , ὁ δέ ὁ ἔκκειμαι σκιά πρός ὁ γνώμων λόγος οὐ ὁμοίως διά ὁ ὁ μέν ἰσημερινός ὁ χρόνος ἀόριστος πως κατά αὐτός εἰμί , ὁ δέ χειμερινός ὁ ὁ κορυφή ἄκρος δυσδιάκριτος .