claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 9.9
θʹ . Περὶ τοῦ λόγου καὶ τῆς πηλικότητος τῶν τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ ἀνωμαλιῶν . Τούτων δὴ προεφωδευμένων λοιπὸν ἂν εἴη δεῖξαι , περὶ ποῖόν τε σημεῖον τῆς ΑΒ εὐθείας ἡ εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων γίνεται τοῦ ἐπικύκλου καθʼ ὁμαλὴν κίνησιν ἐνιαύσιος ἀποκατάστασις , καὶ πόσον ἀπέχει τοῦ Ζ τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου τοῦ εἰς τὰ προηγούμενα τὴν ἰσοχρόνιον ἀποκατάστασιν ποιουμένου . συγκέχρήμεθα οὖν καὶ εἰς τὴν τοιαύτην ἐπίσκεψιν δύο τηρήσεσι μεγίστων ἀποστάσεων ἑῴας τε καὶ ἑσπερίας , ἀμφοτέρων μέντοι τῆς μέσης τεταρτημόριον ἀπεχούσης ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ ἀπογειοτάτου , καθʼ ἣν θέσιν ἔγγιστα τὸ πλεῖστον γίνεται διάφορον τῆς ζῳδιακῆς ἀνωμαλίας . τῷ μὲν γὰρ ιδʹ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Μεσορὴ ιηʹ ἑσπέρας , ὡς ἐν ταῖς παρὰ Θέωνος εἰλημμέναις τηρήσεσιν εὕρομεν , τὸ πλεῖστον , φησίν , ἀπέστη τοῦ ἡλίου ὑπολειπόμενος τοῦ ἐπὶ τῆς καρδίας τοῦ Λέοντος μοίρας γ ∠ʹ γʹ ὥστε ἐπέχειν κατὰ τὰς ἡμετέρας ἀρχὰς Λέοντος μοίρας Ϛ γʹ ἔγγιστα τοῦ μέσου ἡλίου τότε ὄντος περὶ Καρκίνου μοίρας ῑ καὶ ιβ´ , ὥστε γεγονέναι τὴν ἑσπερίαν μεγίστην ἀπόστασιν μοιρῶν κϚ δ΄ . τῷ δὲ βʹ ἔτει Ἀντωνίνου κατʼ Αἰγυπτίους Μεσορὴ εἰς τὴν κδʹ ὄρθρου ἡμεῖς διὰ τοῦ ἀστρολάβου τηροῦντες τὴν μεγίστην αὐτοῦ διάστασιν καὶ διοπτεύοντες αὐτὸν πρὸς τὴν λαμπρὰν Ὑάδα εὕρομεν ἐπέχοντα Διδύμων μοίρας κ καὶ ιβʹ τοῦ μέσου ἡλίου πάλιν ὄντος περὶ Καρκίνου μοίρας ῑ καὶ γ´ , ὥστε γεγονέναι καὶ τὴν ἑῴαν μεγίστην ἀπόστασιν μοιρῶν καὶ δ´ . τούτων τοίνυν ὑποκειμένων ἔστω πάλιν ἡ διὰ τῆς ιʹ μοίρας τῶν Χηλῶν καὶ τοῦ Κριοῦ διάμετρος ἡ ΑΖΒΓ , καὶ ὑποκείσθω καθάπερ ἐπὶ τῆς προτέρας καταγραφῆς τὸ μὲν Α , καθʼ οὗ γίνεται τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου , ὅταν ὑπὸ τὴν ιʹ μοῖραν τῶν Χηλῶν , τὸ δὲ Γ , καθʼ οὗ γίνεται , ὅταν ὑπὸ τὴν ιʹ μοῖραν ἡ τοῦ Κριοῦ , τὸ δὲ Β τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ , τὸ δὲ Ζ , περὶ ὃ τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου τὴν εἰς τὰ προηγούμενα ποιεῖται μετάβασιν , καὶ προκείσθω πρῶτον εὑρεῖν , πόσον ἀπέχει τοῦ Β σημείου τὸ κέντρον , περὶ ὃ τὴν ὁμαλὴν καὶ εἰς τὰ ἑπόμενά φαμεν γίνεσθαι κίνησιν τοῦ ἐπικύκλου . ἔστω δὴ τὸ Η , καὶ διήχθω τις διὰ τοῦ Η εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῇ ΑΓ , ἵνα τεταρτημόριον ἀπέχῃ τοῦ ἀπογείου , εἰλήφθω τε ἐπʼ αὐτῆς τὸ κατὰ τὰς ἐκκειμένας τηρήσεις τοῦ ἐπικύκλου κέντρον τὸ Θ διὰ τὸ καὶ κατὰ ταύτας τεταρτημόριον ἀπέχειν τοῦ ἀπογείου τὴν μέσην πάροδον τοῦ ἡλίου περὶ τὴν ι´ μοῖραν ὄντος τοῦ Καρκίνου , καὶ γραφέντος περὶ τὸ Θ τοῦ ΚΛ ἐπικύκλου ἤχθωσαν μὲν ἀπὸ τοῦ Β ἐφαπτόμεναι αὐτοῦ αἰ ΒΚ καὶ ΒΛ , ἐπεζεύχθωσαν δὲ αἱ ΘΚ καὶ ΘΛ καὶ ΒΘ . ἐπεὶ τοίνυν κατὰ τὴν ἐκκειμένην μέσην πάροδον ἡ μὲν ἑῴα μεγίστη τῆς μέσης ἀπόστασις ὑπόκειται μοιρῶν καὶ δʹ , ἡ δὲ ἑσπερία μοιρῶν κϚ δ´ , εἴη ἄν ἡ ὑπὸ ΚΒΛ γωνία , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μϚ λ · καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα αὐτῆς ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία τῶν αὐτῶν ἐστιν μϛ λ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΘΚ εὐθείας περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν μϚ λ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΘΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ὑπ᾿ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ ΘΚ τοιούτων μζ κβ , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΘ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ΘΚ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου λθ θ , ἡ δὲ ΒΖ ἐδείχθη ῑ κε , τοιούτων καὶ ἡ ΒΘ ἔσται ?? θ θ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ τῶν προκειμένων μεγίστων ἀποστάσεων ὑπεροχὴ μοιρῶν Ϛ οὖσα δὶς περιέχει τὸ παρὰ τὴν ζῳδιακὴν ἀνωμαλίαν διάφορον , τοῦτο δὲ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΒΘΗ γωνίας περιέχεται · τοῦτο γὰρ ἡμῖν προαποδέδεικται · εἴη ἄν ἡ ὑπὸ Βῶ γωνία , οἵων μέν εἴσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων γ , οἵων δ᾿ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ϛ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΗ εὐθείας περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ϛ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΗΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ ΒΗ εὐθεῖα τοιούτων ϛ ιζ , οἵων ἐστὶν ἡ Βῶ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΘ εὐθεῖα ?? θ θ , ἡ δὲ ΒΖ ὁμοίως ῑ κε , τοιούτων καὶ ἡ ΒΗ ἔσται ε ιβ . ἡμίσειά ἐστιν ἄρα ἔγγιστα ἡ ΒΗ τῆς ΒΖ καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΗ καὶ ΗΖ τοιούτων ε ιβ ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου λθ θ . πάλιν ἤχθω ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς καὶ διὰ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰ ἐναντία τῇ ΗΘ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῇ ΑΓ εὐθεῖα ἡ ΖΜΝ , ἐφʼ ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , ἐφʼ οὗ ἐστιν τὸ Θ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου , καὶ κείσθω τῇ ΖΑ ἴση ἡ ΖΝ , ὥστε καὶ τὴν ΖΝ καθάπερ καὶ τὴν ΑΖ συγκεῖσθαι ἔκ τε τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου καὶ τῆς μεταξὺ τῶν κέντρων αὐτοῦ τε καὶ τοῦ σημείου , εἰλήφθω τε ἐπʼ αὐτῆς τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου καὶ ἔστω τὸ M , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ . ἐπεὶ τοίνυν ἡ μὲν ὑπὸ MZH γωνία ὀρθὴ ἐστιν , ἀδιαφορεῖ δὲ ἔγγιστα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΗ ὀρθῆς , ὥστε καὶ τὴν ΝΖΘ ἀδιαφορεῖν εὐθείας , δέδεικται δʼ , ὅτι , οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου λθ θ , τοιούτων ἐστὶν ἡ μὲν ΝΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΖ εὐθείᾳ ρθ λδ , ἡ δὲ Ζῶ ἴση οὖσα τῇ ΒΘ τῶν αὐτῶν ?? Θ θ , καὶ ὅλη μὲν ἡ ΝΖΘ ἔσται ση μγ , ἡ δʼ ἡμίσεια αὐτῆς ἡ ΝΜ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ρδ κβ ἔγγιστα , λοιπὴ δὲ ἡ ΖΜ μεταξὺ τῶν κέντρων ε ιβ . τῶν αὐτῶν δὲ ἐδείχθη καὶ ἐκατέρα τῶν ΒΗ καὶ ΒΖ εὐθειῶν ε ιβ συνῆκται ἄρα ἡμῖν , τι , οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ρδ κβ , τοιούτων ἐστὶν ἑκάστη μὲν τῶν μεταξὺ τῶν κέντρων ε ιβ , ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου λθ θ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἑκάστη μὲν τῶν μεταξὺ τῶν κέντρων ἔσται γ Ο , ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου κβ λ · ὅπερ προέκειτο δεῖξαι . ὅτι δὲ τούτων ὑποκειμένων καὶ αἱ κατὰ τὰ περιγειότατα μέγισται ἀποστάσεις σύμφωνοι γίνονται ταῖς τετηρημέναις , τουτέστιν ὅταν ἡ μέση πάροδος κατὰ τὴν ιʹ μοῖραν τοῦ Ὑδροχόυ ἢ τῶν Διδύμων καὶ τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν ἀπέχῃ τοῦ ἀπογείου , ἡ πρὸς τῇ ὄψει τὸν ἐπίκυκλον ὑποτείνουσα γωνία μοιρῶν ἐστιν μζ U+2220΄ δʹ ἔγγιστα , μάθοιμεν ἄν οὕτως · ἔστω γὰρ ἡ διὰ τοῦ ἀπογείου διάμετρος ἡ ΑΒΓΔΕ , ἧς τὸ μὲν Α σημεῖον ὑποκείσθω τὸ πρὸς τῷ ἀπογείῳ , τὸ δὲ Β , περὶ ὃ τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου τὴν εἰς τὰ προηγούμενα ποιεῖται μετάβασιν , τὸ δὲ Γ , περὶ ὅ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τὴν εἰς τὰ ἑπόμενα ποιεῖται μετάβασιν , τὸ δὲ ∠ τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ , καὶ ἀπειληφέτωσαν ἀμφότεραι αἱ κινήσεις περὶ τὰ ιδια κέντρα ὁμαλῶς καὶ ἰσοχρονίως ἐπὶ τὰ ἐναντία ἀπὸ τοῦ Α ἀπογείου τὴν τοῦ τριγώνου πλευράν , ἔστω τε ἡ μὲν τὸν ἐπίκυκλον ἄγουσα εὐθεῖα ἡ Γ Ζ , ἡ δὲ τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου ἡ Β Η , καὶ ἔστω τὸ μὲν τοῦ ἐκκέντρου κέντρον τὸ Η , τὸ δὲ τοῦ ἐπικύκλου τὸ Ζ , καὶ γραφέντος περὶ αὐτὸ τοῦ ἐπικύκλου ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Θ καὶ ∠Κ ἐφαπτόμεναι τοῦ ἐπικύκλου , καὶ ἐπεζεύχθωσαν μὲν αἱ ΓΗ καὶ ∠ Ζ καὶ ΖΘ καὶ ΖΚ , κάθετος δʼ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὴν Γ ἤχθω ἡ ∠Λ . δεικτέον , ὅτι ἡ ὑπὸ Θ∠ Κ γωνία τοιούτων ἐστὶν μζ U+2220' δ' , οἵων εἰσὶν αἰ δ ὀρθαὶ τξ . ἐπεὶ τοίνυν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΗ καὶ ὑπὸ ΑΓΛ γωνιῶν τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν ὑποτείνει καὶ τοιούτων ἐστὶν ρκ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ ρπ , ὥστε καὶ ἑκατέραν τῶν ὑπὸ Γ ΒΗ καὶ ὑπὸ U+2220ΓΛ τῶν αὐτῶν εἶναι ξ , ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ΒΓΗ διὰ τὸ καὶ τὴν ΒΓ τῇ ΒΗ ἴσην ὑποκεῖσθαι , συναμφότεραι δὲ τῶν λοιπῶν εἰσιν εἰς τὰς β ὀρθὰς ρκ , καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται τῶν ἴσων ξ · ἰσογώνιόν τε ἄρα καὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ Β τρίγωνον . ἴση δὲ καὶ ἡ ὑπὸ U+2220ΓΛ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΗ · ἐπʼ εὐθείας εἰσὶν ἄρα τὰ Η , Γ , Ζ σημεῖα . ὥστε καὶ ἡ μὲν ΗΖ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐκκέντρου τοιούτων ἐστὶν ξ , οἵων ἡ ΓΗ ἴση οὖσα τῇ Γ∠ μεταξὺ τῶν κέντρων γ , λοιπὴ δὲ ἡ ΓΖ τῶν αὐτῶν νζ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ∠ΓΛ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν ξ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ρκ , εἴη ἄν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Λ εὐθείας περιφέρεια τοιούτων ρκ , οἵων ὁ περὶ τὸ Γ∠Λ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΛ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ξ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Λ τοιούτων ἐστὶν ργ νε οἵων ἡ Γ∠ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΓΛ τῶν αὐτῶν ξ . ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Γ εὐθεῖα γ , ἡ δὲ ΓΖ ὁμοίως νζ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΔΛ ἔσται β λϚ , ἡ δὲ ΓΛ τῶν αὐτῶν α λ , ἡ δὲ ΛΖ τῶν λοιπῶν βε λ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Λ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ , ἔσται καὶ ἡ ∠ Ζ μήκει τοιούτων λδ , οἵων καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου , τουτέστιν ἑκατέρα τῶν ΖΘ καὶ ΖΚ , ὑπέκειτο κβ λ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ∠ Ζ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἐκατέρα μὲν τῶν ΘΖ καὶ ΖΚ ἔσται μη λε , ἐκατέρα δὲ τῶν ὑπὸ Ζ∠Θ καὶ Ζ ∠Κ γωνιῶν τοιούτων μζ μϚ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . ὥστε καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ Θ∠Κ γωνία τῶν αὐτῶν ἐστιν μζ μϚ , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ ὅπερ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: ὁ . περι ὁ λόγος καί ὁ πηλικότης ὁ ὁ ὁ Ἑρμῆς ἀνωμαλία . οὗτος δή προεφωδευμένων λοιπός εἄν εἰμί δείκνυμι , περί ποῖος τε σημεῖον ὁ ΑΒ εὐθύς ὁ εἰς ὁ ἕπομαι ὁ ζῴδιον γίγνομαι ὁ ἐπίκυκλος κατά ὁμαλός κίνησις ἐνιαύσιος ἀποκατάστασις , καί πόσος ἀπέχω ὁ Ζ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ὁ εἰς ὁ προηγούμενος ὁ ἰσοχρόνιος ἀποκατάστασις ποιέω . συγχράομαι οὖν καί εἰς ὁ τοιοῦτος ἐπίσκεψις δύο τήρησις μέγας ἀπόστασις ἑῷος τε καί ἑσπέριος , ἀμφότερος μέντοι ὁ μέσος τεταρτημόριον ἀπέχω ἐπί ὁ αὐτός ὁ ἀπόγειος , κατά ὅς θέσις ἔγγιστος ὁ πλεῖστος γίγνομαι διάφορος ὁ ζῳδιακός ἀνωμαλία . ὁ μέν γάρ ἴδη ἔτος Ἀδριανός κατά Αἰγύπτιος Μεσορή ΙΗΥ ἑσπέρα , ὡς ἐν ὁ παρά Θέων λαμβάνω τήρησις εὑρίσκω , ὁ πλεῖστος , φημί , ἀφίστημι ὁ ἥλιος ὑπολείπω ὁ ἐπί ὁ Καρδία ὁ Λέων μοῖρα γ ∠ʹ γε ὥστε ἐπέχω κατά ὁ ἡμέτερος ἀρχή Λέων μοῖρα Ϛ γε ἔγγιστος ὁ μέσος ἥλιος τότε εἰμί περί Κάρκινος μοῖρα Ι καί ιβ´ , ὥστε γίγνομαι ὁ ἑσπέριος μέγας ἀπόστασις μοῖρα κϚʹ Δ΄ . ὁ δέ βε ἔτος Ἀντωνῖνος κατά Αἰγύπτιος Μεσορή εἰς ὁ κδέʹ ὄρθρος ἐγώ διά ὁ ἀστρολάβος τηρέω ὁ μέγας αὐτός διάστασις καί διοπτεύω αὐτός πρός ὁ λαμπρός Ὑάς εὑρίσκω ἐπέχω Διδύμων μοῖρα Κ καί ἶβις ὁ μέσος ἥλιος πάλιν εἰμί περί Κάρκινος μοῖρα Ι καί γγʹ , ὥστε γίγνομαι καί ὁ ἑῷος μέγας ἀπόστασις μοῖρα καί δδʹ . οὗτος τοίνυν ὑπόκειμαι ἵστημι πάλιν ὁ διά ὁ εἷς μοῖρα ὁ Χῆλαι καί ὁ Κριός διάμετρος ὁ ΒΓΑ , καί ὑπόκειμαι καθάπερ ἐπί ὁ πρότερος καταγραφή ὁ μέν Α , κατά ὅς γίγνομαι ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος , ὅταν ὑπό ὁ εἷς μοῖρα ὁ Χῆλαι , ὁ δέ Γ , κατά ὅς γίγνομαι , ὅταν ὑπό ὁ εἷς μοῖρα ὁ ὁ Κριός , ὁ δέ Β ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός , ὁ δέ Ζ , περί ὅς ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ὁ εἰς ὁ προηγούμενος ποιέω μετάβασις , καί πρόκειμαι πρῶτος εὑρίσκω , πόσος ἀπέχω ὁ Β σημεῖον ὁ κέντρον , περί ὅς ὁ ὁμαλός καί εἰς ὁ ἕπομαι φημί γίγνομαι κίνησις ὁ ἐπίκυκλος . ἵστημι δή ὁ ὁ , καί διάγω τις διά ὁ ὁ εὐθύς πρός ὀρθός γωνία ὁ ΑΓ , ἵνα τεταρτημόριον ἀπέχω ὁ ἀπόγειον , λαμβάνω τε ἐπί αὐτός ὁ κατά ὁ ἔκκειμαι τηρέω ὁ ἐπίκυκλος κέντρον ὁ Θ διά ὁ καί κατά οὗτος τεταρτημόριον ἀπέχω ὁ ἀπόγειον ὁ μέσος πάροδος ὁ ἥλιος περί ὁ ἰ μοῖρα εἰμί ὁ Κάρκινος , καί γράφω περί ὁ Θ ὁ ΚΛ ἐπίκυκλος ἄγω μέν ἀπό ὁ Β ἐφάπτω αὐτός ὁ ΒΚ καί ΒΛ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ ΘΚ καί ΘΛ καί ΒΘ . ἐπεί τοίνυν κατά ὁ ἔκκειμαι μέσος πάροδος ὁ μέν ἑῷος μέγας ὁ μέσος ἀπόστασις ὑπόκειμαι μοῖρα καί δέ , ὁ δέ Ἑσπερία μοῖρα κϚʹ δδʹ , εἰμί ἄν ὁ ὑπό ΚΒΛ γωνία , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μϛʹ λ · καί ὁ ἥμισυς ἄρα αὐτός ὁ ὑπό ΚΒΘ γωνία ὁ αὐτός εἰμί μϛʹ λ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΘΚ εὐθύς περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί μϛʹ λ , οἷος ὁ περί ὁ ΒΘΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς ὁ ΘΚ τοιοῦτος μζʹ κβʹ , οἷος εἰμί ὁ ΒΘ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ΘΚ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος λθʹ θ , ὁ δέ ΒΖ δείκνυμι Ι κε , τοιοῦτος καί ὁ ΒΘ εἰμί ?? θ θ . πάλιν , ἐπεί ὁ ὁ πρόκειμαι μέγας ἀπόστασις ὑπεροχή μοῖρα Ϛ εἰμί δίς περιέχω ὁ παρά ὁ ζῳδιακός ἀνωμαλία διάφορος , οὗτος δέ ὑπό ὁ ὑπό ΒΘΗ γωνία περιέχω · οὗτος γάρ ἐγώ προαποδείκνυμι · εἰμί ἄν ὁ ὑπό βαίνω γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος γ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ϛ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΒΗ εὐθύς περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ϛ , οἷος ὁ περί ὁ ΒΗΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ ΒΗ εὐθύς τοιοῦτος ϛ ιζʹ , οἷος εἰμί ὁ βαίνω ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΒΘ εὐθύς ?? θ θ , ὁ δέ ΒΖ ὁμοίως Ι κε , τοιοῦτος καί ὁ ΒΗ εἰμί ε Ἶβ . ἥμισυς εἰμί ἄρα ἔγγιστος ὁ ΒΗ ὁ ΒΖ καί ἑκάτερος ὁ ΒΗ καί ΗΖ τοιοῦτος ε Ἶβ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος λθʹ θ . πάλιν ἄγω ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή καί διά ὁ Ζ ἐπί ὁ ἐναντίος ὁ ΗΘ πρός ὀρθός γωνία ὁ ΑΓ εὐθύς ὁ ΖΜΝ , ἐπί ὅς εἰμί τότε δηλονότι διά ὁ ἰσοχρόνιος ὁ ΗΘ , ΖΝ εἰς ὁ ἐναντίος συναποκατάστασις ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ Θ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος , καί κεῖμαι ὁ Γῆ ἴσος ὁ ΖΝ , ὥστε καί ὁ ΖΝ καθάπερ καί ὁ αζʹ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος καί ὁ μεταξύ ὁ κέντρον αὐτός τε καί ὁ σημεῖον , λαμβάνω τε ἐπί αὐτός ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος καί ἵστημι ὁ M , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΘ . ἐπεί τοίνυν ὁ μέν ὑπό MZH γωνία ὀρθός εἰμί , ἀδιαφορέω δέ ἔγγιστος καί ὁ ὑπό ΘΖΗ ὀρθός , ὥστε καί ὁ ΝΖΘ ἀδιαφορέω εὐθύς , δείκνυμι δέ , ὅτι , οἷος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος λθʹ θ , τοιοῦτος εἰμί ὁ μέν ΝΖ ἴσος εἰμί ὁ αζʹ εὐθύς ρθ λδʹ , ὁ δέ ζῶ ἴσος εἰμί ὁ ΒΘ ὁ αὐτός ?? Θ θ , καί ὅλος μέν ὁ ΝΖΘ εἰμί σός μγʹ , ὁ δέ ἥμισυς αὐτός ὁ ΝΜ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ρδʹ κβʹ ἔγγιστος , λοιπός δέ ὁ ΖΜ μεταξύ ὁ κέντρον ε Ἶβ . ὁ αὐτός δέ δείκνυμι καί κατεράω ὁ ΒΗ καί ΒΖ εὐθύς ε Ἶβ συνάγω ἄρα ἐγώ , τίς , οἷος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ρδʹ κβʹ , τοιοῦτος εἰμί ἕκαστος μέν ὁ μεταξύ ὁ κέντρον ε Ἶβ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος λθʹ θ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ἕκαστος μέν ὁ μεταξύ ὁ κέντρον εἰμί γ ὁ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος κβʹ λ · ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι . ὅτι δέ οὗτος ὑπόκειμαι καί ὁ κατά ὁ περίγειος μέγας ἀπόστασις σύμφωνος γίγνομαι ὁ τηρέω , τουτέστιν ὅταν ὁ μέσος πάροδος κατά ὁ εἷς μοῖρα ὁ Ὑδροχόος ἢ ὁ Διδύμων καί ὁ ὁ τρίγωνος πλευρά ἀπέχω ὁ ἀπόγειον , ὁ πρός ὁ ὁράω ὁ ἐπίκυκλος ὑποτείνω γωνία μοῖρα εἰμί μζʹ U+2220΄ δέ ἔγγιστος , μανθάνω ἄν οὕτως · ἵστημι γάρ ὁ διά ὁ ἀπόγειον διάμετρος ὁ ΑΒΓΔΕ , ὅς ὁ μέν Α σημεῖον ὑπόκειμαι ὁ πρός ὁ ἀπόγειον , ὁ δέ Β , περί ὅς ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ὁ εἰς ὁ προηγούμενος ποιέω μετάβασις , ὁ δέ Γ , περί ὅς ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ὁ εἰς ὁ ἕπομαι ποιέω μετάβασις , ὁ δέ ∠ ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός , καί ἀπολαμβάνω ἀμφότερος ὁ κινέω περί ὁ ἴδιος κέντρον ὁμαλός καί ἰσοχρόνιος ἐπί ὁ ἐναντίος ἀπό ὁ Α ἀπόγειον ὁ ὁ τρίγωνος πλευρά , ἵστημι τε ὁ μέν ὁ ἐπίκυκλος ἄγω εὐθύς ὁ Γ Ζ , ὁ δέ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ὁ Β ὁ , καί ἵστημι ὁ μέν ὁ ἔκκεντρος κέντρον ὁ ὁ , ὁ δέ ὁ ἐπίκυκλος ὁ Ζ , καί γράφω περί αὐτός ὁ ἐπίκυκλος ἐκβάλλω ὁ ∠Θ καί ∠Κ ἐφάπτω ὁ ἐπίκυκλος , καί ἐπιζεύγνυμι μέν ὁ ΓΗ καί ∠ Ζ καί ΖΘ καί ΖΚ , κάθετος δέ ἀπό ὁ ∠ ἐπί ὁ Γ ἄγω ὁ ∠Λ . δεικτέος , ὅτι ὁ ὑπό Θ∠ Κ γωνία τοιοῦτος εἰμί μζʹ U+2220' δέ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ . ἐπεί τοίνυν ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΒΗ καί ὑπό ΑΓΛ γωνία ὁ ὁ τρίγωνος πλευρά ὑποτείνω καί τοιοῦτος εἰμί ρκʹ , οἷος ὁ Β ὀρθός ρπʹ , ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ὑπό Γ ΒΗ καί ὑπό U+2220ΓΛ ὁ αὐτός εἰμί ξ , ἴσος δέ ὁ ὑπό ΒΗΓ ὁ ὑπό ΒΓΗ διά ὁ καί ὁ ΒΓ ὁ ΒΗ ἴσος ὑπόκειμαι , συναμφότεροι δέ ὁ λοιπός εἰμί εἰς ὁ Β ὀρθός ρκʹ , καί ἑκάτερος αὐτός εἰμί ὁ ἴσος ξ · ἰσογώνιος τε ἄρα καί ἰσόπλευρος εἰμί ὁ Β τρίγωνος . ἴσος δέ καί ὁ ὑπό U+2220ΓΛ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΗ · ἐπί εὐθύς εἰμί ἄρα ὁ ὁ , Γ , Ζ σημεῖον . ὥστε καί ὁ μέν ΗΖ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ἔκκεντρος τοιοῦτος εἰμί ξ , οἷος ὁ ΓΗ ἴσος εἰμί ὁ Γ∠ μεταξύ ὁ κέντρον γ , λοιπός δέ ὁ ΓΖ ὁ αὐτός νζʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ∠ΓΛ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ξ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ρκʹ , εἰμί ἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Λ εὐθύς περιφέρεια τοιοῦτος ρκʹ , οἷος ὁ περί ὁ Γ∠Λ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΛ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ξ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Λ τοιοῦτος εἰμί ργ νε οἷος ὁ Γ∠ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΓΛ ὁ αὐτός ξ . ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Γ εὐθύς γ , ὁ δέ ΓΖ ὁμοίως νζʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν δΛ εἰμί Β λϚʹ , ὁ δέ ΓΛ ὁ αὐτός ὅς λ , ὁ δέ ΛΖ ὁ λοιπός βε λ . καί ἐπεί ὁ ἀπό αὐτός καί ὁ ἀπό ὁ ∠Λ συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ∠Ζ , εἰμί καί ὁ ∠ Ζ μῆκος τοιοῦτος λδʹ , οἷος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος , τουτέστιν ἑκάτερος ὁ ΖΘ καί ΖΚ , ὑπόκειμαι κβʹ λ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ∠ Ζ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί κατεράω μέν ὁ ΘΖ καί ΖΚ εἰμί μη λεʹ , κατεράω δέ ὁ ὑπό Ζ∠Θ καί Ζ ∠Κ γωνία τοιοῦτος μζʹ μϛʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὥστε καί ὅλος ὁ ὑπό Θ∠Κ γωνία ὁ αὐτός εἰμί μζʹ μϛʹ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι .