claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 11.1
α΄ . Ἀπόδειξις τῆς τοῦ τοῦ Διὸς ἐκκεντρότητος . Δεδειγμένων δὲ τῶν περὶ τὸν τοῦ Ἄρεως ἀστέρα περιοδικῶν κινήσεων καὶ ἀνωμαλιῶν καὶ ἐποχῶν ἑξῆς καὶ τὰς περὶ τὸν τοῦ Διὸς ἀστέρα πραγματευσόμεθα κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον λαμβάνοντες πάλιν πρῶτον εἰς τὴν δεῖξιν τοῦ τε ἀπογείου καὶ τῆς ἐκκεντρότητος γ ἀκρωνύκτους διαμέτρους πρὸς τὴν μέσην τοῦ ἡλίου πάροδον , ὧν τὴν μὲν πρώτην ἐτηρήσαμεν διὰ τῶν ἀστρολάβων ὀργάνων τῷ ιζ΄ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Ἐπιφὶ α΄ εἰς τὴν β΄ πρὸ μιᾶς ὥρας τοῦ μεσονυκτίου περὶ Σκορπίου μοίρας κγ ια , τὴν δὲ δευτέραν τῷ κα΄ ἔτει Φαωφὶ ιγ΄ εἰς τὴν ιδ΄ πρὸ β ὡρῶν τοῦ μεσονυκτίου περὶ Ἰχθύων μοίρας ζ νδ , τὴν δὲ τρίτην τῷ α΄ ἔτει Ἀντωνίνου Ἀθὺρ κ΄ εἰς τὴν κα΄ μετὰ ε ὥρας τοῦ μεσονυκτίου περὶ Κριοῦ μοίρας ιδ κγ . τῶν δὴ δύο διαστάσεων ἡ μὲν ἀπὸ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὴν δευτέραν ἔτη μὲν Αἰγυπτιακὰ περιέχει γ καὶ ἡμέρας ρϚ καὶ ὥρας κγ , μοίρας δὲ τῆς φαινομένης τοῦ ἀστέρος παρόδου ρδ μγ , ἡ δʼ ἀπὸ τῆς δευτέρας ἐπὶ τὴν τρίτην ἔτος μὲν Αῖγυπτιακὸν ᾱ καὶ ἡμέρας λζ καὶ ὥρας ζ , μοίρας δὲ ὁμοίως λϚ κθ , συνάγεται δὲ καὶ ἡ μέση κατὰ μῆκος πάροδος τοῦ μὲν τῆς πρώτης διαστάσεως χρόνου μοιρῶν ?? θ νε , τοῦ δὲ τῆς δευτέρας μοιρῶν λγ κϚ . ἀπὸ δὲ τούτων τῶν διαστάσεων ἀκολούθως ταῖς ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἄρεως ἡμῖν ἐκτεθειμέναις ἐφόδοις πεποιήμεθα πρῶτον τὴν δεῖξιν τῶν προκειμένων ἡμῖν εὑρεῖν ὡς ἑνὸς πάλιν ὄντος τοῦ ἐκκέντρου κύκλου τὸν τρόπον τοῦτον · ἔστω γὰρ ὁ ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ ὑποκείσθω τὸ μὲν Α σημεῖον , ἐφʼ οὐ ἦν τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὴν πρώτην ἀκρώνυκτον , τὸ δὲ Β τὸ τῆς δευτέρας ἀκρωνύκτου , τὸ δὲ Γ τὸ τῆς τρίτης , καὶ ληφθέντος ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ ἐκκέντρου τοῦ ∠ κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ καὶ Β∠ καὶ Γ∠ ; , καὶ ἐκβληθείσης τῆς Γ∠Ε ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ καὶ ΚΒ καὶ ΑΒ , κάθετοι δʼ ἤχθωσαν ἀπὸ μὲν τοῦ Ε ἐπὶ τὰς Α∠ καὶ Β∠ αἱ ΕΖ καὶ ΕΗ , ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΕΒ ἡ ΑΘ . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΒΓ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια ὑπόκειται ὑποτείνουσα τοῦ ζῳδιακοῦ μοίρας λϚ κθ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β∠Γ γωνία , τουτέστιν ἡ ὑπὸ Ε∠Η , πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λϚ κθ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων οβ νη · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΗ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν οβ νη , οἵων ὁ περὶ τὸ Ε∠Η ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΕΗ εὐθεῖα τοιούτων οᾱ κᾱ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ε ὑποτείνουσα ρκ . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ ΒΓ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν λγ κϚ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΕΓ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων λγ κϚ , οἵων εἰσὶν αἱ β δροαὶ τξ , λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῶν αὐτῶν λθ λβ , ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΗ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν λθ λβ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΕΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΕΗ εὐθεῖα τοιούτων μ λε , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΕ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἄρα ἡ μὲν ΕΗ ἐδείχθη οᾱ κᾱ , ἡ δὲ Ε∠ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ ΒΕ ἔσται σῑ νη . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ΑΒΓ ὅλη περιφέρεια τοῦ ἐκκέντρου ὑποτείνουσα ὑπόκειται τοῦ ζῳδιακοῦ τὰς συναγομένας ἀμφοτέρων τῶν διαστάσεων μοίρας ρμα ῑβ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Α∠Γ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ρμᾱ ῑβ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων σπβ κδ , ἡ δὲ ἐφεξῆς αὐτῇ ἡ ὑπὸ Α∠Ε τῶν αὐτῶν οζ λϚ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν οζ λϚ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΕΖ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΕΖ εὐθεῖα τοιούτων οε ῑβ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ε ὑποτείνουσα ρκ . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ ΑΒΓ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια συνάγεται μοιρῶν ρλγ κᾱ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ρλγ κᾱ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Α∠Ε γωνία οζ λϚ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῶν αὐτῶν ἔσται ρμθ γ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ρμθ γ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΕΖ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΕΖ εὐθεῖα τοιούτων ρῑε λθ , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΑ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἄρα ἡ μὲν ΕΖ ἐδείχθη σε ῑβ , ἡ δὲ Ε∠ ὑπόκειται ρκ , τοιούτων καὶ ἡ ΕΑ ἔσται οη β . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ΑΒ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ?? θ νε , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ?? θ νε , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΑΘ περιφέρεια τοιούτων ?? θ νε , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ἐπὶ τῆς ΕΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον π ε . καὶ τῶν ὑπ᾿ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΑΘ ἔσται τοιούτων ?? ᾱ νβ , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΑ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΕΘ τῶν αὐτῶν οζ ῑβ · ὥστε καί , οἵων ἡ μὲν ΑΕ ἐδείχθη οη β , ἡ δὲ ∠Ε εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΑΘ ἔσται νθ μδ , ἡ δὲ ΕΘ ὁμοίως ν ῑβ . τῶν δʼ αὐτῶν ἐδέδεικτο καὶ ἡ ΕΒ ὅλη σῑ νη · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ τοιούτων ἔσται ρξ μϚ , οἵων ἐστὶν καὶ ἡ ΑΘ εὐθεῖα νθ μδ . καί ἐστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΘΒ τετράγωνον Μ εωμε νε , τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ΘΑ ὁμοίως γφξη δ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον Μ θυιγ νθ · μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΑΒ τοιούτων ροᾱ λ , οἵων ἡ μὲν Ε∠ ἦν ρκ , ἡ δὲ ΕΑ ὁμοίως οη β . ἔστι δὲ καί , οἵων ἡ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ , τοιούτων ἡ ΑΒ εὐθεῖα ?? ᾱ νβ · ὑποτείνει γὰρ περιφέρειαν μοιρῶν ?? θ νε · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ?? ᾱ νβ , ἡ δὲ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν Ε∠ ἔσται ξδ ῑζ , ἡ δὲ ΕΑ εὐθεῖα μᾱ μζ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΑ περιφέρεια τοῦ ἐκκέντρου μοιρῶν ἐστιν μ με , ὅλη δὲ ἡ ΕΑΒΓ μοιρῶν ροδ Ϛ . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ Ε∠Γ εὐθεῖα τοιούτων ριθ ν ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ . ἐπεὶ οὖν ἔλασσόν ἐστιν τὸ ΕΑΒΓ τμῆμα ἡμικυκλίου , καὶ διὰ τοῦτο ἐκτὸς αὐτοῦ πίπτει τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , ὑποκείσθω τὸ Κ , καὶ διήχθω διʼ αὐτοῦ καὶ τοῦ ∠ ἡ διʼ ἀμφοτέρων τῶν κέντρων διάμετρος ἡ ΛΚ∠Μ , καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΓΕ κάθετος ἀχθεῖσα ἐκβεβλήσθω ἡ ΚΝΞ . ἐπεὶ τοίνυν , οἵων ἐστὶν ἡ ΛΜ διάμετρος ρκ , τοιούτων ἡ μὲν ΕΓ ὅλη ἐδείχθη ρῑθ ν , ἡ δὲ Ε∠ εὐθεῖα ξδ ῑζ , καὶ λοιπὴν ἕξομεν τὴν Γ∠ τῶν αὐτῶν νε λγ · ὥστʼ , ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Ε∠ ; , ∠Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Λ∠ ; , ∠Μ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ , ἕξομεν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠ ; , ∠Μ τοιούτων γφο νϚ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Μ διάμετρος ρκ . ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠ ; , ∠Μ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Κ τετραγώνου ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς διαμέτρου , τουτέστι τῆς ΛΚ , τετράγωνον · ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῆς ἡμισείας τετραγώνου , τουτέστι τῶν γινομένων γχ , ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠ ; , ∠Μ τουτέστι τὰ γφο νϚ , καταλειφθήσεται ἡμῖν τὸ ἀπὸ τῆς ∠Κ τετράγωνον τῶν αὐτῶν κθ δ . καὶ μήκει ἄρα ἕξομεν τὴν ∠Κ μεταξὺ τῶν κέντρων τοιούτων ε κγ ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς ΓΕ , τουτέστιν ἡ ΓΝ , τοιούτων ἐστὶν νθ νε , οἵων ἡ ΛΜ διάμετρος ρκ , τῶν δʼ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Γ∠ εὐθεῖα νε λγ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Ν τοιούτων ἐστὶν δ κβ , οἵων ἡ ∠Κ ἦν ε κγ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Κ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Ν ἔσται ?? ζ κ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ρη κδ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ∠ΚΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΚΝ ἄρα γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν ρη κδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων νδ ῑβ . καὶ ἐπεὶ πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστὶν τοῦ ἐκκέντρου , ἕξομεν καὶ τὴν ΜΞ περιφέρειαν νδ ῑβ ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΜΞ ὅλη ἡμίσεια οὖσα τῆς ΓΞΕ μοιρῶν πζ γ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΜΓ ἡ ἀπὸ τοῦ περιγείου ἐπὶ τὴν γ΄ ἀκρώνυκτον μοιρῶν ἔσται λβ νᾱ . φανερὸν δʼ , ὅτι καὶ τῆς μὲν ΒΓ διαστάσεως ὑποκειμένης μοιρῶν λγ κϚ καὶ λοιπὴν ἕξομεν τὴν ΒΜ περιφέρειαν τὴν ἀπὸ τῆς δευτέρας ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὸ περίγειον ἑξηκοστῶν λε , τῆς δὲ ΑΒ διαστάσεως ὑποκειμένης μοιρῶν ?? θ νε καὶ λοιπὴν τὴν ΛΑ ἕξομεν τὴν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου ἐπὶ τὴν πρώτην ἀκρώνυκτον μοιρῶν οθ λ . εἰ μὲν οὖν ἐπὶ τούτου τοῦ ἐκκέντρου τὸ κέντρον ἐφέρετο τοῦ ἐπικύκλου , ταύταις ἂν ἀπήρκεσε ταῖς πηλικότησιν ὡς ἀπαραλλάκτοις συγχρήσασθαι · ἐπεὶ δὲ κατὰ τὸ ἀκόλουθον τῆς ὑποθέσεως ἐφʼ ἑτέρου κύκλου κινεῖται , τουτέστι τοῦ γραφομένου κέντρῳ τῷ διχοτομοῦντι τὴν ∠Κ καὶ διαστήματι τῷ ΚΛ , δεήσει πάλιν ὥσπερ καὶ ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἄρεως ἐπιλογίσασθαι πρῶτον τὰς γινομένας διαφορὰς τῶν φαινομένων διαστάσεων καὶ δεῖξαι , πηλίκαι τινὲς ἂν ἦσαν ὡς τούτων ἔγγιστα ὄντων τῶν λόγων τῆς ἐκκεντρότητος , εἰ μὴ ἐπὶ τοῦ ἑτέρου ἐκκέντρου , ἀλλʼ ἐπὶ τοῦ πρώτου καὶ τὴν ζῳδιακὴν ἀνωμαλίαν περιέχοντος ἐφέρετο τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου , τουτέστι τοῦ περὶ τὸ Κ κέντρον γραφομένου . ἔστω δὴ ὁ μὲν τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου φέρων ἔκκεντρος ὁ ∠Μ περὶ κέντρον τὸ ∠ ; , ὁ δὲ τῆς ὁμαλῆς αὐτοῦ κινήσεως ὁ ΝΞ περὶ κέντρον τὸ Ζ ἴσος τῷ ΛΜ , καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς διὰ τῶν κέντρων διαμέτρου τῆς ΝΛΜ εἰλήφθω ἐπʼ αὐτῆς καὶ τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Ε . καὶ ὑποκείσθω πρῶτον ἐπὶ τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ Α σημεῖον , καὶ ἐπεξεύχθωσαν μὲν αἱ ∠Α καὶ ΕΑ καὶ ΖΑΞ καὶ ΕΞ , κάθετοι δ᾿ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠ καὶ Ε σημείων ἐπὶ τὴν ΑΖ ἐκβληθεῖσαν αἱ ∠Η καὶ ΕΘ . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΝΖΞ γωνία τῆς ὁμαλῆς κατὰ μῆκος παρόδου τοιούτων οθ λ ἐδείχθη , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , εἴη ἂν καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ∠ΖΗ , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων οθ λ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ρνθ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ρνθ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΖΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΖΗ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον κᾱ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Η τοιούτων ἔσται ριζ νθ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν κᾱ νβ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΕΖ εὐθείας β μβ ἔγγιστα , ἡ δὲ ∠Α ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται β λθ , ἡ δὲ ΖΗ ὁμοίως Ο λ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Η λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Α ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ , καὶ τὴν ΑΗ ἕξομεν τῶν αὐτῶν νθ νς . ὁμοίως δʼ , ἐπεὶ ἡ μὲν ΖΗ τῇ ΗΘ ἐστιν ἴση , διπλὴ δὲ ἡ ΕΘ τῆς ∠Η , καὶ ἡ ΑΘ ὅλη ἔσται τοιούτων ξ κϚ , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΘ εὐθεῖα ε ῑη , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΑΕ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν ξ μ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΕ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται ῑ κθ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ῑ καὶ ἐξηκοστοῦ ἑνὸς ἔγγιστα , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνία τοιούτων ἐστὶν ῑ καὶ ἐξηκοστοῦ ἑνός , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . πάλιν , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΘ εὐθεῖα ε ῑη , τοιούτων ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΖΞ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , ἡ δὲ ΖΘ εὐθεῖα ᾱ , ὅλη δὲ ἡ ΞΘ δηλονότι ξᾱ , ἕξομεν καὶ τὴν ΕΞ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν ξᾱ ῑδ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΞ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται ῖ κγ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων θ νε , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΕΘΞ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ ἡ ὑπὸ ΕΞΘ ἄρα γωνία τοιούτων ἐστὶν θ νε , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνία ῑ καὶ ἐξηκοστοῦ ἑνός · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΞ γωνία τῆς ἐπιζητουμένης διαφορᾶς , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἔσται Ο ϛ , οἵων δʼ αἱ ὁ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων Ο γ . ἀλλὰ ἐφαίνετο κατὰ τὴν α΄ ἀκρώνυκτον ὁ ἀστὴρ ἐπὶ τῆς ΕΑ εὐθείας θεωρούμενος ἐπέχων Σκορπίου μοίρας κγ ῑᾱ · φανερὸν ἄρα , ὅτι , εἰ μὴ ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἐκκέντρου τὸ κέντρον ἐφέρετο τοῦ ἐπικύκλου , ἀλλʼ ἐπὶ τοῦ ΝΞ , ἦν μὲν ἂν κατὰ τὸ Ξ αὐτοῦ σημεῖον , ἐφαίνετο δʼ ὁ ἀστὴρ ἐπὶ τῆς ΕΞ εὐθείας διαφέρων τοῖς τρισὶν ἑξηκοστοῖς καὶ ἐπέχων τοῦ Σκορπίου μοίρας κγ καὶ ἑξηκοστὰ ῑδ . πάλιν ἐπὶ τοῦ ὁμοίου σχήματος ἐκκείσθω καὶ ἡ τῆς β΄ ἀκρωνύκτου καταγραφὴ μικρὸν εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ περιγείου ἐσχηματισμένη . ἐπεὶ ἡ ΞΝ περιφέρεια τοῦ ἐκκέντρου ἐδείχθη ἑξηκοστῶν λε , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΝ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἰ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων Ο λε , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ . τοιούτων ᾱ ῑ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ᾱ ῑ , οἵων ὁ περὶτὸ ∠ΖΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΖΗ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροη ν . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Η τοιούτων ἔσται ᾱ ῑγ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν ἔγγιστα ρκ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα β μβ , ἡ δὲ ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται Ο β , ἡ δὲ ΖΗ ὁμοίως β μβ . ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ΗΒ , ἐπειδὴ ἀδιαφορεῖ τῆς Β∠ ὑποτεινούσης , τῶν αὐτῶν ξ . καὶ ἐπεὶ πάλιν ἡ μὲν ΘΗ τῇ ΗΖ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ΕΘ τῆς ∠Η διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΘΒ ἕξομεν τοιούτων νζ ῑη , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΘ εὐθεῖα Ο δ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν ΕΒ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν νζ ῑη · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΒ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται Ο η ἔγγιστα , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων Ο η πάλιν , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΘ ἄρα γωνία τοιούτων ἐστὶν Ο η , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . ὡσαύτως , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΖΞ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων ἡ ΖΘ ὅλη ἐδείχθη ε κδ , ἕξομεν καὶ λοιπὴν τὴν ΘΞ τοιούτων νδ λϚ , οἵων καὶ ἡ ΕΘ ἦν Ο δ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν ΕΣ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν νδ λϚ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΕΞ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται Ο ῑ ἔγγιστα , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ο ῑ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΕΘΞ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΘΞ γωνία τοιούτων ἐστὶν Ο ῑ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ , λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΞ τῶν μὲν αὐτῶν Ο β , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων Ο ᾱ . φανερὸν οὖν καὶ ἐνταῦθα , ὅτι , ἐπειδὴ καὶ κατὰ τὴν δευτέραν ἀκρώνυκτον ὁ ἀστὴρ ἐπὶ τῆς ΕΒ φαινόμενος ἐπεῖχεν Ἰχθύων μοίρας ζ νδ . εἰ ἐπὶ τῆς ΕΞ πάλιν ἐφαίνετο , ἐπεῖχεν ἂν μόνας τῶν Ἰχθύων μοίρας ζ νγ . ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς τρίτης ἀκρωνύκτου καταγραφὴ εἰς τὰ ἑπόμενα τοῦ περιγείου ἐσχηματισμένη . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΝΞ περιφέρεια τοῦ ἐκκέντρου ὑπόκειται μοιρῶν λβ νᾱ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΝΖΞ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λβ νᾱ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ξε μβ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ξε μβ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΖΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΖΗ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρῑδ ῑη . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Η ἔσται τοιούτων ξε ϛ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν ρ καὶ ἑξηκοστῶν μθ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα β μβ , ἡ δὲ ∠Γ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ᾱ κη , ἡ δὲ ∠Η ὁμοίως β ιϚ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Η λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ∠ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Η , ἕξομεν καὶ αὐτὴν τῶν αὐτῶν νθ νθ ἔγγιστα . ὁμοίως δέ , ἐπεὶ ἡ μὲν ΘΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΕΘ τῆς ∠Η διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΓΘ ἕξομεν τοιούτων νζ μγ , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΘ εὐθεῖα β νϚ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν ΕΓ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν νζ μζ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΕΓ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται ϛ ε , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ε μη ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΓΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΕΓΘ γωνία τοιούτων ε μη , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . ὡσαύτως , ἐπειδή , οἵων ἐστὶν ἡ ΖΞ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ ΖΘ ὅλη συνάγεται δ λβ , καὶ λοιπὴν τὴν ΞΘ ἕξομεν τοιούτων νε κη , οἵων καὶ ἡ ΕΘ ἦν β νϚ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν ΕΞ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν νε λγ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΞ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται ϛ κ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ϛ β , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΕΘΞ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΞΘ ἄρα γωνία τοιούτων ἐστὶν ϛ β , οἵων εἰσὶν αἰ ‵ β ὀρθαὶ τξ , λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕΞ τῶν μὲν αὐτῶν Ο ῑδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων Ο ζ · ὥστʼ , ἐπεὶ κατὰ τὴν τρίτην ἀκρώνθκτον ὁ ἀστὴρ ἐπὶ τῆς ΕΓ θεωρούμενος ἐπεῖχε Κριοῦ μοίρας ῑδ κγ , φανερόν , ὅτι πάλιν , εἰ ἐπὶ τῆς ΕΞ εὐθείας ἐτύγχανεν , ἐπεῖχεν ἂν τοῦ Κριοῦ μοίρας ῑδ λ . ἐδείχθη δʼ , ὅτι καὶ κατὰ μὲν τὴν α' ἀκρώνθκτον ἐπεῖχεν Σκορπίου μοίρας κγ ῑδ , κατὰ δὲ τὴν β΄ Ἰχθύων μοίρας ζ νγ · συνάγουσιν ἄρα αἱ φαινόμεναι τοῦ ἀστέρος διαστάσεις , ἐὰν μὴ πρὸς τὸν φέροντα τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἔκκεντρον θεωρῶνται , ἀλλὰ πρὸς τὸν τὴν ὁμαλὴν αὐτοῦ περιέχοντα κίνησιν , ἀπὸ μὲν τῆς α΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὴν β΄ μοίρας ρδ λθ , ἀπὸ δὲ τῆς δευτέρας ἐπὶ τὴν τρίτην μοίρας λϚ λζ · αἷς ἀκολουθήσαντες ἐπὶ τοῦ προδεδειγμένου θεωρήματος εὑρίσκομεν τὴν μὲν μεταξὺ τῶν κέντρων τοῦ τε ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ τὴν ὁμαλὴν κίνησιν τοῦ ἐπικύκλου περιέχοντος ἐκκέντρου τοιούτων ε λ ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ , τῶν δὲ τοῦ ἐκκέντρου περιφερειῶν τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου ἐπὶ τὴν α΄ ἀκρώνυκτον μοιρῶν οζ ιε , τὴν δʼ ἀπὸ τῆς δευτέρας ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὸ περίγειον μοιρῶν β ν , τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ περιγείου ἐπὶ τὴν τρίτην ἀκρώνυκτον μοιρῶν λ λϚ . ὅτι δὲ καὶ ἐντεῦθεν ἀκριβῶς εἰλημμέναι τυγχάνουσιν αἱ ἐκκείμεναι πηλικότητες διὰ τὸ τὰ διάφορα τῶν διαστάσεων τὰ αὐτὰ ἔγγιστα τοῖς πρότερον καὶ διὰ τούτων συνάγεσθαι , φανερὸν ἐκ τοῦ καὶ τὰς φαινομένας τοῦ ἀστέρος διαστάσεις διὰ τῶν εὑρεθέντων λόγων τὰς αὐτὰς εὑρίσκεσθαι ταῖς τετηρημέναις , ὡς ἐκ τούτων ἡμῖν ἔσται δῆλον · ἐκκείσθω γὰρ πάλιν ἡ τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου καταγραφὴ μόνον ἔχουσα τὸν ἔκκεντρον τὸν φέροντα τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΛΖΑ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐδείχθη οζ ῑε , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ∠ΖΗ γωνία ρνδ λ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠ περιφέρεια τοιούτων ρνδ λ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΖΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΖΗ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον κε λ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Η τοιούτων ἐστὶν ρῑζ β , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν κϚ κθ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν Ζ∠ εὐθεῖα β με , ἡ δὲ ∠Α ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται β μα , ἡ δὲ ΖΗ ὁμοίως Ο λϚ . διὰ τὰ αὐτὰ δὲ τοῖς προδεδειγμένοις καὶ ἡ μὲν ΑΗd ἔσται τῶν αὐτῶν νθ νϚ , ὅλη δὲ ἡ ΑΘ τοιούτων ξ λβ , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΘ διπλῆ οὖσα τῆς ∠Η εὐθείας ε κβ , ὥστε καὶ τὴν ΑΕ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν συνάγεσθαι ξ μϛ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ΑΕ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται ῑ λϚ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ῑ καὶ ἑξηκοστῶν η , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΑΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΑΘ ἄρα γωνία τοιούτων ἐστὶν ῑ η , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ , λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΛΕΑ τῶν μὲν αὐτῶν ρμδ κβ , οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων οβ ῑα . τοσαύτας ἄρα μοίρας ἀπεῖχεν ὁ ἀστὴρ κατὰ τὴν πρώτην ἀκρώνυκτον ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ζώδιακοῦ . πάλιν ἐκκείσθω ἡ τῆς δευτέρας ἀκρωνύκτου καταγραφή . ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΜ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ὑπόκειται β ν , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε μ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοιούτων ε μ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΖΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΖΗ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροδ κ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Η ἔσται τοιούτων ε νε , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν ριθ νᾱ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα β με , ἡ δὲ ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται Ο η , ἡ δὲ ΖΗ ὁμοίως β με ἔγγιστα . διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ μὲν ΒΗ τῶν αὐτῶν ἐστιν ξ ἔγγιστα , λοιπὴ δὲ ἡ ΒΘ τοιούτων νζ ῑε , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΘ εὐθεῖα Ο ιϚ · ὥστε καὶ τὴν ΕΒ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν συνάγεσθαι νζ ῑε . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΕΒ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται Ο λγ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων Ο λβ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΒΘ γωνία τοιούτων ἐστὶν Ο λβ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ , ὅλη δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΜ τῶν μὲν αὐτῶν Ϛ ῑβ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων γ ϛ . ἀπεῖχεν ἄρα καὶ κατὰ τὴν δευτέραν ἀκρώνυκτον ὁ ἀστὴρ εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ περιγείου μοίρας γ ϛ . ἐδείχθη δὲ καὶ κατὰ τὴν πρώτην ἀπέχων εἰς τὰ ἑπόμενα μοίρας οβ ῑᾱ · συνάγεται ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὴν δευτέραν φαινομένη διάστασις τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον μοιρῶν ρδ μγ συμφώνως τῇ ἐκ τῶν τηρήσεων κατειλημμένῃ διαστάσει . ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς τρίτης ἀκρωνύκτου καταγραφή . ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΜΖΓ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐδείχθη λ λϚ , οἵων δὲ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ξᾱ ῑβ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοιούτων ξᾱ ῑβ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ∠ΖΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρῑη μη · καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Η τοιούτων ἔσται ξᾱ ϛ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν ργ ῑζ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα β με , ἡ δὲ Γ∠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ᾱ κδ , ἡ δὲ ΖΗ ὁμοίως β κβ . διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ μὲν ΓΗ ἔσται τῶν αὐτῶν νθ νθ , λοιπὴ δὲ ἡ ΓΘ τοιούτων νζ λζ , οἵων καὶ ἡ ΕΘ συνάγεται β μη · ὥστε καὶ τὴν ΕΓ γίνεσθαι ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν νζ μα . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΕΓ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΘ ἔσται ε ν , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ε λδ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΓΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΓΘ τοιούτων ἐστὶν ε λδ , οἵων αἱ β ὀρσαι τξ , ὅλη δὲ ἡ ὑπὸ ΜΕΓ τῶν αὐτῶν ξϚ μϛ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λγ κγ . τοσαύτας ἄρα μοίρας καὶ κατὰ τὴν τρίτην ἀκρώνυκτον ἀπεῖχεν ὁ ἀστὴρ εἰς τὰ ἑπόμενα τοῦ περιγείου . ἐδείχθη δʼ ἀπέχων καὶ κατὰ τὴν β΄ εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ αὐτοῦ περιγείου μοίρας γ Ϛ · συνάγεται ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τῆς β΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὴν τρίτην φαινομένη διάστασις τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ μοιρῶν λϚ κθ συμφώνως πάλιν ταῖς τετηρημέναις . δῆλον δʼ αὐτόθεν , ὅτι καί , ἐπειδὴ κατὰ τὴν τρίτην ἀκρώνυκτον ἐπεῖχεν ὁ ἀστὴρ τὰς τετηρημένας τοῦ Κριοῦ μοίρας ιδ κγ ἀπέχων , ὡς ἐδείχθη , εἰς τὰ ἑπόμένα τοῦ περιγείου μοίρας λγ κγ , τὸ μὲν περίγειον αὐτοῦ τότε τῆς ἐκκεντρότητος ἐπεῖχεν Ἰχθύων μοίρας ῑᾱ , τὸ δʼ ἀπόγειον τὰς κατὰ διάμετρον τῆς Παρθένου μοίρας ῑᾱ . κἂν γράψωμεν δὲ περὶ τὸ Γ κέντρον τὸν ΗΘΚ ἐπίκυκλον , τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ Λ ἀπογείου τοῦ ἐκἄ κέντρου μέσην κατὰ μῆκος πάροδον ἕξομεν αὐτόθεν μοιρῶν σῑ λϚ διὰ τὸ τὴν ὑπὸ ΜΖΓ γωνίαν δεδεῖχθαι τοιούτων λ λϚ , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τὴν δὲ ΘΚ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαν τὴν ἀπὸ τοῦ Θ περιγείου ἐπὶ τὸν κατὰ τὸ Κ ἀστέρα μοιρῶν β μζ διὰ τὸ καὶ τὴν ὑπὸ ΕΓΖ γωνίαν τοιούτων δεδεῖχθαι λδ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . οἵων δὲ αἰ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β μζ . ἐν ἄρα τῷ χρόνῳ τῆς τρίτης ἀκρωνύκτου , τουτέστιν τῷ α΄ ἔτει Ἀντωνίνου , κατʼ Αἰγυπτίους Ἀθύρ κ΄ εἰς τὴν κα΄ μετὰ ε ὥρας τοῦ μεσονυκτίου ὁ τσῦ Διὸς ἀστὴρ πρὸς τὰς μέσας παρόδους θεωρούμενος κατὰ μῆκος μὲν ἀπεῖχε τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου μοίρας σῑ λϚ , τουτέστιν ἐπεῖχε Κριοῦ μοίρας ῑᾱ λϚ , ἀνωμαλίας δʼ ἀπὸ τοῦ Η ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας ρπβ μζ .
Lemmas: Α΄ . Ἀπόδειξις ὁ ὁ ὁ Ζεύς ἐκκεντρότης . δείκνυμι δέ ὁ περί ὁ ὁ Ἄρης ἀστήρ περιοδικός κίνησις καί ἀνωμαλία καί ἐποχή ἑξῆς καί ὁ περί ὁ ὁ Ζεύς ἀστήρ πραγματεύομαι κατά ὁ αὐτός τρόπος λαμβάνω πάλιν πρῶτος εἰς ὁ δεῖξις ὁ τε ἀπόγειον καί ὁ ἐκκεντρότης γ ἀκρόνυκτος διάμετρος πρός ὁ μέσος ὁ ἥλιος πάροδος , ὅς ὁ μέν πρῶτος τηρέω διά ὁ ἀστρολάβος ὄργανον ὁ ιζʹ ἔτος Ἀδριανός κατά Αἰγύπτιος Ἐπείφ Α΄ εἰς ὁ Β΄ πρό εἷς ὥρα ὁ μεσονύκτιος περί Σκορπίος μοῖρα κγʹ ἰά , ὁ δέ δύο ὁ ΚΑ΄ ἔτος Φαῶφι ἰ εἰς ὁ ὁράω πρό Β ὥρα ὁ μεσονύκτιος περί ἰχθύς μοῖρα ζ νδʹ , ὁ δέ τρίτος ὁ Α΄ ἔτος Ἀντωνῖνος Ἀθύρ Κ΄ εἰς ὁ ΚΑ΄ μετά ε ὥρα ὁ μεσονύκτιος περί Κριός μοῖρα ιδʹ κγʹ . ὁ δή δύο διάστασις ὁ μέν ἀπό ὁ Α΄ ακρωνυκτεω ἐπί ὁ δύο ἔτος μέν Αἰγυπτιακός περιέχω γ καί ἡμέρα ρϚʹ καί ὥρα κγʹ , μοῖρα δέ ὁ φαίνω ὁ ἀστήρ πάροδος ρδʹ μγʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ δύο ἐπί ὁ τρίτος ἔτος μέν Αἰγυπτιακός ὅς καί ἡμέρα λζʹ καί ὥρα ζ , μοῖρα δέ ὁμοίως λϚʹ κθʹ , συνάγω δέ καί ὁ μέσος κατά μῆκος πάροδος ὁ μέν ὁ πρῶτος διάστασις χρόνος μοῖρα ?? θ νε , ὁ δέ ὁ δύο μοῖρα λγʹ κϚʹ . ἀπό δέ οὗτος ὁ διάστασις ἀκόλουθος ὁ ἐπί ὁ ὁ Ἄρης ἐγώ ἐκτίθημι ἔφοδος ποιέω πρῶτος ὁ δεῖξις ὁ πρόκειμαι ἐγώ εὑρίσκω ὡς εἷς πάλιν εἰμί ὁ ἔκκεντρος κύκλος ὁ τρόπος οὗτος · ἵστημι γάρ ὁ ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ὑπόκειμαι ὁ μέν Α σημεῖον , ἐπί οὖον εἰμί ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος κατά ὁ πρῶτος ακρωνυκτω , ὁ δέ Β ὁ ὁ δύο ακρωνυκτεω , ὁ δέ Γ ὁ ὁ τρίτος , καί λαμβάνω ἐντός ὁ ΑΒΓ ἔκκεντρος ὁ ∠ κέντρον ὁ ζῳδιακός ἐπιζεύγνυμι ὁ Α∠ καί Β∠ καί Γ∠ ; , καί ἐκβάλλω ὁ Γ∠Ε ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΚ καί ΚΒ καί ΑΒ , κάθετος δέ ἄγω ἀπό μέν ὁ Ε ἐπί ὁ Α∠ καί Β∠ ὁ ΕΖ καί ΕΗ , ἀπό δέ ὁ Α ἐπί ὁ ΕΒ ὁ ΑΘ . ἐπεί τοίνυν ὁ ΒΓ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια ὑπόκειμαι ὑποτείνω ὁ ζῳδιακός μοῖρα λϚʹ κθʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Β∠Γ γωνία , τουτέστιν ὁ ὑπό Ε∠Η , πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ζῳδιακός , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λϚʹ κθʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος οβʹ νη · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΗ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί οβʹ νη , οἷος ὁ περί ὁ Ε∠Η ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΕΗ εὐθύς τοιοῦτος οαʹ καʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ε ὑποτείνω ρκʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ ΒΓ περιφέρεια μοῖρα εἰμί λγʹ κϚʹ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ὑπό ΒΕΓ γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος λγʹ κϚʹ , οἷος εἰμί ὁ Β δροαὶ τξʹ , λοιπός δέ ὁ ὑπό ΕΒΗ ὁ αὐτός λθʹ λβʹ , ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΗ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί λθʹ λβʹ , οἷος ὁ περί ὁ βιόω ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΕΗ εὐθύς τοιοῦτος μ λεʹ , οἷος εἰμί ὁ ΒΕ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος ἄρα ὁ μέν ΕΗ δείκνυμι οαʹ καʹ , ὁ δέ Ε∠ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ ΒΕ εἰμί σιʹ νη . πάλιν , ἐπεί ὁ ΑΒΓ ὅλος περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος ὑποτείνω ὑπόκειμαι ὁ ζῳδιακός ὁ συνάγω ἀμφότερος ὁ διάστασις μοῖρα ρμαʹ ιβʹ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ὑπό Α∠Γ γωνία πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ζῳδιακός , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ρμαʹ ιβʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος σπβ ΚΔ , ὁ δέ ἐφεξῆς αὐτός ὁ ὑπό Α∠Ε ὁ αὐτός οζʹ λϚʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΖ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί οζʹ λϚʹ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΕΖ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΕΖ εὐθύς τοιοῦτος οεʹ ιβʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ε ὑποτείνω ρκʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ ΑΒΓ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια συνάγω μοῖρα ρλγʹ καʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΑΕΓ γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος ρλγʹ καʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό Α∠Ε γωνία οζʹ λϚʹ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΑΖ ὁ αὐτός εἰμί ρμθʹ γ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΖ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ρμθʹ γ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΕΖ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΕΖ εὐθύς τοιοῦτος Ριέ λθʹ , οἷος εἰμί ὁ ΕΑ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος ἄρα ὁ μέν ΕΖ δείκνυμι σύ ιβʹ , ὁ δέ Ε∠ ὑπόκειμαι ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ ΕΑ εἰμί οηʹ Β . πάλιν , ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια μοῖρα εἰμί ?? θ νε , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΑΕΒ γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος ?? θ νε , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΑΘ περιφέρεια τοιοῦτος ?? θ νε , οἷος ὁ περί ὁ ΑΕΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΕΘ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον π ε . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΑΘ εἰμί τοιοῦτος ?? ὅς νβʹ , οἷος εἰμί ὁ ΕΑ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΕΘ ὁ αὐτός οζʹ ιβʹ · ὥστε καί , οἷος ὁ μέν ΑΕ δείκνυμι οηʹ Β , ὁ δέ ∠Ε εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΑΘ εἰμί νθʹ μδʹ , ὁ δέ ΕΘ ὁμοίως Ν ιβʹ . ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ ΕΒ ὅλος σιʹ νη · καί λοιπός ἄρα ὁ ΘΒ τοιοῦτος εἰμί ρξʹ μϛʹ , οἷος εἰμί καί ὁ ΑΘ εὐθύς νθʹ μδʹ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΘΒ τετράγωνος Μ ὦμος νε , ὁ δέ ἀπό ὁ ΘΑ ὁμοίως γʹ δ , ὁ συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος Μ θυιγ νθʹ · μῆκος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒ τοιοῦτος ῥόος λ , οἷος ὁ μέν Ε∠ εἰμί ρκʹ , ὁ δέ ΕΑ ὁμοίως οηʹ Β . εἰμί δέ καί , οἷος ὁ ὁ ἔκκεντρος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος ὁ ΑΒ εὐθύς ?? ὅς νβʹ · ὑποτείνω γάρ περιφέρεια μοῖρα ?? θ νε · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ΑΒ εὐθύς ?? ὅς νβʹ , ὁ δέ ὁ ἔκκεντρος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν Ε∠ εἰμί ξδʹ ιζʹ , ὁ δέ ΕΑ εὐθύς μή μζʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΑ περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος μοῖρα εἰμί μ ἐγώ , ὅλος δέ ὁ αβγʹ μοῖρα ροδ Ϛ . διά οὗτος δέ καί ὁ Ε∠Γ εὐθύς τοιοῦτος ριθʹ Ν ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ ὁ ἔκκεντρος διάμετρος ρκʹ . ἐπεί οὖν ἐλαχύς εἰμί ὁ αβγʹ τμῆμα ἡμικύκλιον , καί διά οὗτος ἐκτός αὐτός πίπτω ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος , ὑπόκειμαι ὁ Κ , καί διάγω διά αὐτός καί ὁ ∠ ὁ διά ἀμφότερος ὁ κέντρον διάμετρος ὁ ΛΚ∠Μ , καί ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ ΓΕ κάθετος ἄγω ἐκβάλλω ὁ ΚΝΞ . ἐπεί τοίνυν , οἷος εἰμί ὁ ΛΜ διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος ὁ μέν ΕΓ ὅλος δείκνυμι ρῑθ Ν , ὁ δέ Ε∠ εὐθύς ξδʹ ιζʹ , καί λοιπός ἔχω ὁ Γ∠ ὁ αὐτός νε λγʹ · ὥστε , ἐπεί ὁ ὑπό ὁ Ε∠ ; , ∠Γ περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Λ∠ ; , ∠Μ περιέχω ὀρθογώνιος , ἔχω καί ὁ ὑπό ὁ Λ∠ ; , ∠Μ τοιοῦτος γφο νϚʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Μ διάμετρος ρκʹ . ἀλλά ὁ ὑπό ὁ Λ∠ ; , ∠Μ μετά ὁ ἀπό ὁ ∠Κ τετράγωνος ποιέω ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ διάμετρος , τουτέστι ὁ ΛΚ , τετράγωνος · ἐάν ἄρα ἀπό ὁ ὁ ἥμισυς τετράγωνος , τουτέστι ὁ γίγνομαι γχ , ἀφαιρέω ὁ ὑπό ὁ Λ∠ ; , ∠Μ τουτέστι ὁ γφο νϚʹ , καταλείπω ἐγώ ὁ ἀπό ὁ ∠Κ τετράγωνος ὁ αὐτός κθʹ δ . καί μῆκος ἄρα ἔχω ὁ ∠Κ μεταξύ ὁ κέντρον τοιοῦτος ε κγʹ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ ΚΛ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ . πάλιν , ἐπεί ὁ μέν ἥμισυς ὁ ΓΕ , τουτέστιν ὁ ΓΝ , τοιοῦτος εἰμί νθʹ νε , οἷος ὁ ΛΜ διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ Γ∠ εὐθύς νε λγʹ , καί λοιπός ἄρα ὁ ∠Ν τοιοῦτος εἰμί δ κβʹ , οἷος ὁ ∠Κ εἰμί ε κγʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ∠Κ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Ν εἰμί ?? ζ Κ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ῥέω ΚΔ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ∠ΚΝ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ ὑπό ∠ΚΝ ἄρα γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ῥέω ΚΔ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος νδʹ ιβʹ . καί ἐπεί πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ἔκκεντρος , ἔχω καί ὁ μξ περιφέρεια νδʹ ιβʹ εἰμί δέ καί ὁ ΓΜΞ ὅλος ἥμισυς εἰμί ὁ ΓΞΕ μοῖρα πζʹ γ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΜΓ ὁ ἀπό ὁ περίγειος ἐπί ὁ Γ΄ ακρωνυκτω μοῖρα εἰμί λβʹ νάω . φανερός δέ , ὅτι καί ὁ μέν ΒΓ διάστασις ὑπόκειμαι μοῖρα λγʹ κϚʹ καί λοιπός ἔχω ὁ ΒΜ περιφέρεια ὁ ἀπό ὁ δύο ακρωνυκτεω ἐπί ὁ περίγειον ἑξηκοστός λεʹ , ὁ δέ ΑΒ διάστασις ὑπόκειμαι μοῖρα ?? θ νε καί λοιπός ὁ ΛΑ ἔχω ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον ἐπί ὁ πρῶτος ακρωνυκτω μοῖρα οθ λ . εἰμί μέν οὖν ἐπί οὗτος ὁ ἔκκεντρος ὁ κέντρον φέρω ὁ ἐπίκυκλος , οὗτος εἄν ἀπαρκέω ὁ πηλικότης ὡς ἀπαράλλακτος συγχράομαι · ἐπεί δέ κατά ὁ ἀκόλουθος ὁ ὑπόθεσις ἐπί ἕτερος κύκλος κινέω , τουτέστι ὁ γράφω κέντρον ὁ διχοτομέω ὁ ∠Κ καί διάστημα ὁ ΚΛ , δήω πάλιν ὥσπερ καί ἐπί ὁ ὁ Ἄρης ἐπιλογίζομαι πρῶτος ὁ γίγνομαι διαφορά ὁ φαίνω διάστασις καί δείκνυμι , πηλίκος τις εἄν εἰμί ὡς οὗτος ἔγγιστος εἰμί ὁ λόγος ὁ ἐκκεντρότης , εἰμί μή ἐπί ὁ ἕτερος ἔκκεντρος , ἀλλά ἐπί ὁ πρῶτος καί ὁ ζῳδιακός ἀνωμαλία περιέχω φέρω ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος , τουτέστι ὁ περί ὁ Κ κέντρον γράφω . ἵστημι δή ὁ μέν ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος φέρω ἔκκεντρος ὁ ∠Μ περί κέντρον ὁ ∠ ; , ὁ δέ ὁ ὁμαλός αὐτός κίνησις ὁ ΝΞ περί κέντρον ὁ Ζ ἴσος ὁ ΛΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ διά ὁ κέντρον διάμετρος ὁ ΝΛΜ λαμβάνω ἐπί αὐτός καί ὁ ὁ ζῳδιακός κέντρον ὁ Ε . καί ὑπόκειμαι πρῶτος ἐπί ὁ πρῶτος ακρωνυκτεω ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος κατά ὁ Α σημεῖον , καί ἐπεξεύχομαι μέν ὁ ∠Α καί ΕΑ καί Ζαξ καί ΕΞ , κάθετος δέ ἄγω ἀπό ὁ ∠ καί Ε σημεῖον ἐπί ὁ αζʹ ἐκβάλλω ὁ ∠Η καί ΕΘ . ἐπεί τοίνυν ὁ ὑπό ΝΖΞ γωνία ὁ ὁμαλός κατά μῆκος πάροδος τοιοῦτος οθ λ δείκνυμι , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , εἰμί εἄν καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ∠ΖΗ , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος οθ λ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ρνθ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Η περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ρνθ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΖΗ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΖΗ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον καʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Η τοιοῦτος εἰμί ριζʹ νθʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁ αὐτός καʹ νβʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Ζ ἥμισυς εἰμί ὁ ΕΖ εὐθύς Β μβʹ ἔγγιστος , ὁ δέ ∠Α ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί Β λθʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁμοίως ὁ λ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Η λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ∠Α ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΗ , καί ὁ ΑΗ ἔχω ὁ αὐτός νθʹ ΝΣ . ὁμοίως δέ , ἐπεί ὁ μέν ΖΗ ὁ ΗΘ εἰμί ἴσος , διπλόος δέ ὁ ΕΘ ὁ ∠Η , καί ὁ ΑΘ ὅλος εἰμί τοιοῦτος ξ κϚʹ , οἷος εἰμί ὁ ΕΘ εὐθύς ε ιηʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΑΕ ὑποτείνω ὁ αὐτός ξ μ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΕ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί Ι κθʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Ι καί ἐξακοστάω εἷς ἔγγιστος , οἷος ὁ περί ὁ ΑΕΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΕΑΘ γωνία τοιοῦτος εἰμί Ι καί ἐξακοστάω εἷς , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . πάλιν , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ ΕΘ εὐθύς ε ιηʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν ΖΞ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , ὁ δέ ΖΘ εὐθύς ὅς , ὅλος δέ ὁ ΞΘ δηλονότι ξαʹ , ἔχω καί ὁ ΕΞ ὑποτείνω ὁ αὐτός ξαʹ ιδʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΕΞ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί ἵ κγʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος θ νε , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΕΘΞ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ ὑπό ΕΞΘ ἄρα γωνία τοιοῦτος εἰμί θ νε , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ ὑπό ΕΑΘ γωνία Ι καί ἐξακοστάω εἷς · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΞ γωνία ὁ ἐπιζητέω διαφορά , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ὁ ϛ , οἷος δέ ὁ ὁ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ γ . ἀλλά φαίνω κατά ὁ Α΄ ακρωνυκτω ὁ ἀστήρ ἐπί ὁ ΕΑ εὐθύς θεωρέω ἐπέχω Σκορπίος μοῖρα κγʹ ιαʹ · φανερός ἄρα , ὅτι , εἰμί μή ἐπί ὁ ΛΜ ἔκκεντρος ὁ κέντρον φέρω ὁ ἐπίκυκλος , ἀλλά ἐπί ὁ ΝΞ , εἰμί μέν εἄν κατά ὁ Ξ αὐτός σημεῖον , φαίνω δέ ὁ ἀστήρ ἐπί ὁ ΕΞ εὐθύς διαφέρω ὁ τρεῖς ἑξηκοστός καί ἐπέχω ὁ Σκορπίος μοῖρα κγʹ καί ἑξηκοστός ιδʹ . πάλιν ἐπί ὁ ὁμοιόω σχῆμα ἔκκειμαι καί ὁ ὁ Β΄ ακρωνυκτεω καταγραφή μικρός εἰς ὁ προηγούμενος ὁ περίγειος σχηματίζω . ἐπεί ὁ ΞΝ περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος δείκνυμι ἑξηκοστός λεʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΕΖΝ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ λεʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ . τοιοῦτος ὅς Ι · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Η περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ὅς Ι , οἷος ὁ περιτο ∠ΖΗ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΖΗ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ῥοή Ν . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Η τοιοῦτος εἰμί ὅς ιγʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁ αὐτός ἔγγιστος ρκʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς Β μβʹ , ὁ δέ ∠Β ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί ὁ Β , ὁ δέ ΖΗ ὁμοίως Β μβʹ . ὡσαύτως δέ καί ὁ ΗΒ , ἐπεί ἀδιαφορέω ὁ Β∠ ὑποτείνω , ὁ αὐτός ξ . καί ἐπεί πάλιν ὁ μέν τίθημι ὁ ΗΖ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΕΘ ὁ ∠Η διπλόος , καί λοιπός ὁ ΘΒ ἔχω τοιοῦτος νζʹ ιηʹ , οἷος εἰμί ὁ ΕΘ εὐθύς ὁ δ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΕΒ ὑποτείνω ὁ αὐτός νζʹ ιηʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΕΒ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί ὁ ὁ ἔγγιστος , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ὁ ὁ πάλιν , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΒΕΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ ὑπό ΕΒΘ ἄρα γωνία τοιοῦτος εἰμί ὁ ὁ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὡσαύτως , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ ΖΞ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος ὁ ΖΘ ὅλος δείκνυμι ε ΚΔ , ἔχω καί λοιπός ὁ ΘΞ τοιοῦτος νδʹ λϚʹ , οἷος καί ὁ ΕΘ εἰμί ὁ δ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΕΣ ὑποτείνω ὁ αὐτός νδʹ λϚʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΕΞ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί ὁ Ι ἔγγιστος , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ὁ Ι , οἷος ὁ περί ὁ ΕΘΞ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ μέν ὑπό ΕΘΞ γωνία τοιοῦτος εἰμί ὁ Ι , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , λοιπός δέ ὁ ὑπό ΒΕΞ ὁ μέν αὐτός ὁ Β , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ ὅς . φανερός οὖν καί ἐνταῦθα , ὅτι , ἐπεί καί κατά ὁ δύο ακρωνυκτω ὁ ἀστήρ ἐπί ὁ ΕΒ φαίνω ἐπέχω ἰχθύς μοῖρα ζ νδʹ . εἰμί ἐπί ὁ ΕΞ πάλιν φαίνω , ἐπέχω εἄν μόνος ὁ ἰχθύς μοῖρα ζ νγʹ . ἔκκειμαι δή καί ὁ ὁ τρίτος ακρωνυκτεω καταγραφή εἰς ὁ ἕπομαι ὁ περίγειος σχηματίζω . ἐπεί τοίνυν ὁ ΝΞ περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος ὑπόκειμαι μοῖρα λβʹ νάω , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΝΖΞ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λβʹ νάω , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ξεʹ μβʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Η περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ξεʹ μβʹ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΖΗ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΖΗ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ριδʹ ιηʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Η εἰμί τοιοῦτος ξεʹ ϛ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁ αὐτός ρ καί ἑξηκοστός μθʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς Β μβʹ , ὁ δέ ∠Γ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί ὅς καί , ὁ δέ ∠Η ὁμοίως Β ιϚʹ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Η λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ Γ∠ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ∠Η , ἔχω καί αὐτός ὁ αὐτός νθʹ νθʹ ἔγγιστος . ὁμοίως δέ , ἐπεί ὁ μέν τίθημι ὁ ΗΖ εἰμί ἴσος , ὁ δέ ΕΘ ὁ ∠Η διπλόος , καί λοιπός ὁ ΓΘ ἔχω τοιοῦτος νζʹ μγʹ , οἷος εἰμί ὁ ΕΘ εὐθύς Β νϚʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΕΓ ὑποτείνω ὁ αὐτός νζʹ μζʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΕΓ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί ϛ ε , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ε μη ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΘΕ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΕΘΓ γωνία τοιοῦτος ε μη , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὡσαύτως , ἐπειδή , οἷος εἰμί ὁ ΖΞ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ ΖΘ ὅλος συνάγω δ λβʹ , καί λοιπός ὁ ΞΘ ἔχω τοιοῦτος νε καί , οἷος καί ὁ ΕΘ εἰμί Β νϚʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΕΞ ὑποτείνω ὁ αὐτός νε λγʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΕΞ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί ϛ Κ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ϛ Β , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΕΘΞ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ μέν ὑπό ΕΞΘ ἄρα γωνία τοιοῦτος εἰμί ϛ Β , οἷος εἰμί ὁ ‵ Β ὀρθός τξʹ , λοιπός δέ ὁ ὑπό ΓΕ ὁ μέν αὐτός ὁ ιδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ ζ · ὥστε , ἐπεί κατά ὁ τρίτος ἀκρώνθκτον ὁ ἀστήρ ἐπί ὁ ΕΓ θεωρέω ἐπέχω Κριός μοῖρα ιδʹ κγʹ , φανερός , ὅτι πάλιν , εἰμί ἐπί ὁ ΕΞ εὐθύς τυγχάνω , ἐπέχω εἄν ὁ Κριός μοῖρα ιδʹ λ . δείκνυμι δέ , ὅτι καί κατά μέν ὁ ὅς ἀκρώνθκτον ἐπέχω Σκορπίος μοῖρα κγʹ ιδʹ , κατά δέ ὁ Β΄ ἰχθύς μοῖρα ζ νγʹ · συνάγω ἄρα ὁ φαίνω ὁ ἀστήρ διάστασις , ἐάν μή πρός ὁ φέρω ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ἔκκεντρος θεωρέω , ἀλλά πρός ὁ ὁ ὁμαλός αὐτός περιέχω κίνησις , ἀπό μέν ὁ Α΄ ακρωνυκτεω ἐπί ὁ Β΄ μοῖρα ρδʹ λθʹ , ἀπό δέ ὁ δύο ἐπί ὁ τρίτος μοῖρα λϚʹ λζʹ · ὅς ἀκολουθέω ἐπί ὁ προδείκνυμι θεώρημα εὑρίσκω ὁ μέν μεταξύ ὁ κέντρον ὁ τε ζῳδιακός καί ὁ ὁ ὁμαλός κίνησις ὁ ἐπίκυκλος περιέχω ἔκκεντρος τοιοῦτος ε λ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ ὁ ἔκκεντρος διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια ὁ μέν ἀπό ὁ ἀπόγειον ἐπί ὁ Α΄ ακρωνυκτω μοῖρα οζʹ εἶμι , ὁ δέ ἀπό ὁ δύο ακρωνυκτεω ἐπί ὁ περίγειον μοῖρα Β Ν , ὁ δέ ἀπό ὁ περίγειος ἐπί ὁ τρίτος ακρωνυκτω μοῖρα λ λϚʹ . ὅτι δέ καί ἐντεῦθεν ἀκριβῶς λαμβάνω τυγχάνω ὁ ἔκκειμαι πηλικότης διά ὁ ὁ διάφορος ὁ διάστασις ὁ αὐτός ἔγγιστος ὁ πρότερος καί διά οὗτος συνάγω , φανερός ἐκ ὁ καί ὁ φαίνω ὁ ἀστήρ διάστασις διά ὁ εὑρίσκω λόγος ὁ αὐτός εὑρίσκω ὁ τηρέω , ὡς ἐκ οὗτος ἐγώ εἰμί δῆλος · ἔκκειμαι γάρ πάλιν ὁ ὁ πρῶτος ακρωνυκτεω καταγραφή μόνος ἔχω ὁ ἔκκεντρος ὁ φέρω ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος . ἐπεί τοίνυν ὁ ὑπό ΛΖΑ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δείκνυμι οζʹ ιεʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος αὐτός τε καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ∠ΖΗ γωνία ρνδ λ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠ περιφέρεια τοιοῦτος ρνδ λ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΖΗ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΖΗ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον κε λ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Η τοιοῦτος εἰμί ριζʹ Β , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁ αὐτός κϚʹ κθʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν Ζ∠ εὐθύς Β ἐγώ , ὁ δέ ∠Α ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί Β μή , ὁ δέ ΖΗ ὁμοίως ὁ λϚʹ . διά ὁ αὐτός δέ ὁ προδείκνυμι καί ὁ μέν ΑΗ εἰμί ὁ αὐτός νθʹ νϚʹ , ὅλος δέ ὁ ΑΘ τοιοῦτος ξ λβʹ , οἷος εἰμί ὁ ΕΘ διπλόος εἰμί ὁ ∠Η εὐθύς ε κβʹ , ὥστε καί ὁ ΑΕ ὑποτείνω ὁ αὐτός συνάγω ξ μϛʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ΑΕ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί Ι λϚʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Ι καί ἑξηκοστός ὁ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΑΕΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ μέν ὑπό ΕΑΘ ἄρα γωνία τοιοῦτος εἰμί Ι ὁ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , λοιπός δέ ὁ ὑπό ΛΕΑ ὁ μέν αὐτός ρμδʹ κβʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος οβʹ ἰά . τοσοῦτος ἄρα μοῖρα ἀπέχω ὁ ἀστήρ κατά ὁ πρῶτος ακρωνυκτω ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ζῳδιακός . πάλιν ἔκκειμαι ὁ ὁ δύο ακρωνυκτεω καταγραφή . ἐπεί ὁ ὑπό ΒΖΜ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὑπόκειμαι Β Ν , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε μ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Η περιφέρεια τοιοῦτος ε μ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΖΗ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΖΗ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ροδ Κ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Η εἰμί τοιοῦτος ε νε , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁ αὐτός ριθʹ νάω · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς Β ἐγώ , ὁ δέ ∠Β ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί ὁ ὁ , ὁ δέ ΖΗ ὁμοίως Β ἐγώ ἔγγιστος . διά ὁ αὐτός δέ καί ὁ μέν ΒΗ ὁ αὐτός εἰμί ξ ἔγγιστος , λοιπός δέ ὁ ΒΘ τοιοῦτος νζʹ ιεʹ , οἷος εἰμί ὁ ΕΘ εὐθύς ὁ ιϚʹ · ὥστε καί ὁ ΕΒ ὑποτείνω ὁ αὐτός συνάγω νζʹ ιεʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΕΒ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί ὁ λγʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ὁ λβʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΒΕΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ μέν ὑπό ΕΒΘ γωνία τοιοῦτος εἰμί ὁ λβʹ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ , ὅλος δέ ὁ ὑπό Βεμ ὁ μέν αὐτός Ϛ ιβʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος γ ϛ . ἀπέχω ἄρα καί κατά ὁ δύο ακρωνυκτω ὁ ἀστήρ εἰς ὁ προηγούμενος ὁ περίγειος μοῖρα γ ϛ . δείκνυμι δέ καί κατά ὁ πρῶτος ἀπέχω εἰς ὁ ἕπομαι μοῖρα οβʹ ιαʹ · συνάγω ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ πρῶτος ακρωνυκτεω ἐπί ὁ δύο φαίνω διάστασις ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον μοῖρα ρδʹ μγʹ σύμφωνος ὁ ἐκ ὁ τήρησις καταλαμβάνω διάστασις . ἔκκειμαι δή καί ὁ ὁ τρίτος ακρωνυκτεω καταγραφή . ἐπεί ὁ ὑπό ΜΖΓ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δείκνυμι λ λϚʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ξαʹ ιβʹ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Η περιφέρεια τοιοῦτος ξαʹ ιβʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ∠ΖΗ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρηʹ μη · καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Η τοιοῦτος εἰμί ξαʹ ϛ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁ αὐτός ργ ιζʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς Β ἐγώ , ὁ δέ Γ∠ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί ὅς ΚΔ , ὁ δέ ΖΗ ὁμοίως Β κβʹ . διά ὁ αὐτός δέ καί ὁ μέν ΓΗ εἰμί ὁ αὐτός νθʹ νθʹ , λοιπός δέ ὁ ΓΘ τοιοῦτος νζʹ λζʹ , οἷος καί ὁ ΕΘ συνάγω Β μη · ὥστε καί ὁ ΕΓ γίγνομαι ὑποτείνω ὁ αὐτός νζʹ μή . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΕΓ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΘ εἰμί ε Ν , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ε λδʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΘΕ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ μέν ὑπό ΕΘΓ τοιοῦτος εἰμί ε λδʹ , οἷος ὁ Β ὄρνυμι τξʹ , ὅλος δέ ὁ ὑπό ΕΜ ὁ αὐτός ξϛʹ μϛʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λγʹ κγʹ . τοσοῦτος ἄρα μοῖρα καί κατά ὁ τρίτος ακρωνυκτω ἀπέχω ὁ ἀστήρ εἰς ὁ ἕπομαι ὁ περίγειος . δείκνυμι δέ ἀπέχω καί κατά ὁ Β΄ εἰς ὁ προηγούμενος ὁ αὐτός περίγειος μοῖρα γ Ϛ · συνάγω ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ Β΄ ακρωνυκτεω ἐπί ὁ τρίτος φαίνω διάστασις ὁ ἐπί ὁ αὐτός μοῖρα λϚʹ κθʹ σύμφωνος πάλιν ὁ τηρέω . δῆλος δέ αὐτόθεν , ὅτι καί , ἐπεί κατά ὁ τρίτος ακρωνυκτω ἐπέχω ὁ ἀστήρ ὁ τηρέω ὁ Κριός μοῖρα ιδʹ κγʹ ἀπέχω , ὡς δείκνυμι , εἰς ὁ επόμενος ὁ περίγειος μοῖρα λγʹ κγʹ , ὁ μέν περίγειον αὐτός τότε ὁ ἐκκεντρότης ἐπέχω ἰχθύς μοῖρα ιαʹ , ὁ δέ ἀπόγειον ὁ κατά διάμετρος ὁ παρθένος μοῖρα ιαʹ . κἀν γράφω δέ περί ὁ Γ κέντρον ὁ ΗΘΚ ἐπίκυκλος , ὁ μέν ἀπό ὁ κατά ὁ Λ ἀπόγειον ὁ καίω κέντρον μέσος κατά μῆκος πάροδος ἔχω αὐτόθεν μοῖρα σιʹ λϚʹ διά ὁ ὁ ὑπό ΜΖΓ γωνία δείκνυμι τοιοῦτος λ λϚʹ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ΘΚ ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια ὁ ἀπό ὁ Θ περίγειος ἐπί ὁ κατά ὁ Κ ἀστήρ μοῖρα Β μζʹ διά ὁ καί ὁ ὑπό ΕΓΖ γωνία τοιοῦτος δείκνυμι λδʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β μζʹ . ἐν ἄρα ὁ χρόνος ὁ τρίτος ακρωνυκτεω , τουτέστιν ὁ Α΄ ἔτος Ἀντωνῖνος , κατά Αἰγύπτιος Ἀθύρ Κ΄ εἰς ὁ ΚΑ΄ μετά ε ὥρα ὁ μεσονύκτιος ὁ τσῦ Ζεύς ἀστήρ πρός ὁ μέσος πάροδος θεωρέω κατά μῆκος μέν ἀπέχω ὁ ἀπόγειον ὁ ἔκκεντρος μοῖρα σιʹ λϚʹ , τουτέστιν ἐπέχω Κριός μοῖρα ιαʹ λϚʹ , ἀνωμαλία δέ ἀπό ὁ ὁ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα ρπβʹ μζʹ .