claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 1.14
Τούτου δὴ τοῦ θεωρήματος προεκτεθειμένου ποιησόμεθα πρώτην τὴν τῶν προκειμένων περιφερειῶν ἀπόδειξιν οὕτως . ἔστω γὰρ ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὸ μὲν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ , τὸ δὲ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΕΔ , τὸ δὲ Ε σημεῖον ἡ κατὰ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν αὐτῶν τομή , ὥστε τὸ μὲν Β χειμερινὸν τροπικὸν εἶναι , τὸ δὲ Δ θερινόν , εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς ΑΒ Γ περιφερείας ὁ πόλος τοῦ ΑΕΓ ἰσημερινοῦ καὶ ἔστω τὸ Ζ σημεῖον , καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΕΗ περιφέρεια τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων ὑποκειμένη λ , οἵων ἐστὶν ὁ μέγιστος κύκλος τξ , διὰ δὲ τῶν Ζ , Η γεγράφθω μεγίστου κύκλου περιφέρεια ἡ Ζ Η Θ , καὶ προκείσθω τὴν Η Θ δηλονότι εὑρεῖν . προειλήφθω δὴ καὶ ἐνταῦθα καὶ καθόλου ἐπὶ πασῶν τῶν ὁμοίων δείξεων , ἵνα μὴ καθʼ ἑκάστην ταυτολογῶμεν , ὅτι , ὅταν τὰς πηλικότητας λέγωμεν περιφερειῶν ἢ εὐθειῶν , ὅσων εἰσὶν μοιρῶν ἢ τμημάτων , ἐπὶ μὲν τῶν περιφερειῶν τοιούτων φαμέν , οἵων ἡ τοῦ μεγίστου κύκλου περιφέρεια τμημάτων τξ , ἐπὶ δὲ τῶν εὐθειῶν τοιούτων , οἵων ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκ . ἐπεὶ τοίνυν ἐν καταγραφῇ μεγίστων κύκλων εἰς δύο τὰς Α Ζ καὶ Α Ε περιφερείας γεγραμμέναι εἰσὶ δύο ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ Ε Β τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η , ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Κ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β . ἀλλ᾿ ἡ μὲν τῆς Ζ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ , ἡ δὲ τῆς Α Β διπλῆ κατὰ τὸν συμπεφωνημένον . ἡμῖν τῶν πγ πρὸς τὰ ια λόγον μοιρῶν μζ μβ μ , ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λα νε , καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Η Ε περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ , ἡ δὲ τῆς Ε Β διπλῆ μοιρῶν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ · ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ρκ , καταλείπεται ὁ λόγος τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ κδ ιε νζ . καί ἐστιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ζ Θ περιφερείας μοιρῶν ρπ , ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ · καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἐστιν κδ ιε νζ . ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Θ Η περιφερείας μοιρῶν ἐστιν κγ ιθ νθ , αὐτὴ δὲ ἡ Θ Η τῶν αὐτῶν ια μ ἔγγιστα . πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε περιφέρεια μοιρῶν ξ , ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ε Η γίνεσθαι μοιρῶν ρκ , τὴν δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ . ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ , καταλειφθήσεται ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ μβ α μη . καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ τμημάτων ρκ ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπτλῆν τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἔσται μβ α μη . καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ H περιφερείας μοιρῶν ἐστιν μα ο ιη , ἡ δὲ Θ Η τῶν αὐτῶν κ λ θ · ἅπερ ἔδει δεῖξαι . τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος περιφερειῶν ἐπιλογιζόμενοι τὰς πηλικότητας ἐκθησόμεθα κανόνιον τῶν τοῦ τεταρτημορίου μοιρῶν παρακειμένας ἔχον τὰς πηλικότητας τῶν ὁμοίων ταῖς ἀποδεδειγμέναις περιφερειῶν · καί ἐστιν τὸ κανόνιον τοιοῦτον ·
Lemmas: οὗτος δή ὁ θεώρημα προεκτίθημι ποιέω πρῶτος ὁ ὁ πρόκειμαι περιφέρεια ἀπόδειξις οὕτως . ἵστημι γάρ ὁ διά ἀμφότερος ὁ πόλος ὁ τε ἰσημερινός καί ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καί ὁ μέν ὁ ἰσημερινός ἡμικύκλιον ὁ ΑΕΓ , ὁ δέ ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον ὁ ΒΕΔ , ὁ δέ Ε σημεῖον ὁ κατά ὁ ἐαρινός ἰσημερία αὐτός τομή , ὥστε ὁ μέν Β χειμερινός τροπικός εἰμί , ὁ δέ δ θερινός , λαμβάνω δέ ἐπί ὁ ΑΒ Γ περιφέρεια ὁ πόλος ὁ ΑΕΓ ἰσημερινός καί ἵστημι ὁ Ζ σημεῖον , καί ἀπολαμβάνω ὁ ΕΗ περιφέρεια ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος τμῆμα ὑπόκειμαι λ , οἷος εἰμί ὁ μέγας κύκλος τξʹ , διά δέ ὁ Ζ , ὁ γράφω μέγας κύκλος περιφέρεια ὁ Ζ ὁ Θ , καί πρόκειμαι ὁ ὁ Θ δηλονότι εὑρίσκω . προλαμβάνω δή καί ἐνταῦθα καί καθόλου ἐπί πᾶς ὁ ὅμοιος δεῖξις , ἵνα μή κατά ἕκαστος ταυτολογέω , ὅτι , ὅταν ὁ πηλικότης λέγω περιφέρεια ἢ εὐθύς , ὅσος εἰμί μοῖρα ἢ τμῆμα , ἐπί μέν ὁ περιφέρεια τοιοῦτος φημί , οἷος ὁ ὁ μέγας κύκλος περιφέρεια τμῆμα τξʹ , ἐπί δέ ὁ εὐθύς τοιοῦτος , οἷος ὁ ὁ κύκλος διάμετρος ρκʹ . ἐπεί τοίνυν ἐν καταγραφή μέγας κύκλος εἰς δύο ὁ Α Ζ καί Α Ε περιφέρεια γράφω εἰμί δύο ὅς τε ΖΘ καί ὁ Ε Β τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ ὁ , ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Α λόγος πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ Ζ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ ὁ καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ὁ Κ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Β . ἀλλά ὁ μέν ὁ Ζ Α περιφέρεια διπλόος μοῖρα εἰμί ρπʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρκʹ , ὁ δέ ὁ Α Β διπλόος κατά ὁ συμφωνέω . ἐγώ ὁ πγʹ πρός ὁ ἰά λόγος μοῖρα μζʹ μβʹ μ , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα μη λάω νε , καί πάλιν ὁ μέν ὁ ὁ Ε περιφέρεια διπλόος μοῖρα ξ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ξ , ὁ δέ ὁ Ε Β διπλόος μοῖρα ρπʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρκʹ · ἐάν ἄρα ἀπό ὁ ὁ ρκʹ πρός ὁ μη λάω νε λόγος ἀφαιρέω ὁ ὁ ξ πρός ὁ ρκʹ , καταλείπω ὁ λόγος ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Θ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ ὁ ὁ ὁ ρκʹ πρός ὁ ΚΔ εἶμι νζʹ . καί εἰμί ὁ μέν διπλόος ὁ Ζ Θ περιφέρεια μοῖρα ρπʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρκʹ · καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ἄρα ὁ Θ ὁ ὁ αὐτός εἰμί ΚΔ εἶμι νζʹ . ὥστε καί ὁ μέν διπλόος ὁ Θ ὁ περιφέρεια μοῖρα εἰμί κγʹ ιθʹ νθʹ , αὐτός δέ ὁ Θ ὁ ὁ αὐτός ἰά μ ἔγγιστος . πάλιν ὑπόκειμαι ὁ Ε περιφέρεια μοῖρα ξ , ὥστε ὁ ἄλλος μένω ὁ αὐτός ὁ μέν διπλόος ὁ Ε ὁ γίγνομαι μοῖρα ρκʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ργ νε κγʹ . ἐάν ἄρα πάλιν ἀπό ὁ ὁ ρκʹ πρός ὁ μη λάω νε λόγος ἀφαιρέω ὁ ὁ ργ νε κγʹ πρός ὁ ρκʹ , καταλείπω ὁ λόγος ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΖΘ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ ὁ ὁ ὁ ρκʹ πρός ὁ μβʹ ὅς μη . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Θ τμῆμα ρκʹ ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ διπτλῆν ὁ Θ ὁ ὁ αὐτός εἰμί μβʹ ὅς μη . καί ὁ μέν διπλόος ἄρα ὁ Θ H περιφέρεια μοῖρα εἰμί μή ὁ ἔρχομαι , ὁ δέ Θ ὁ ὁ αὐτός Κ λ θ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ὁ αὐτός δή τρόπος καί ἐπί ὁ κατά μέρος περιφέρεια ἐπιλογίζομαι ὁ πηλικότης ἐκτίθημι κανόνιον ὁ ὁ τεταρτημόριον μοῖρα παράκειμαι ἔχω ὁ πηλικότης ὁ ὅμοιος ὁ ἀποδείκνυμι περιφέρεια · καί εἰμί ὁ κανόνιον τοιοῦτος ·