claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 1.13
ιγ΄ . Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις . Ἀκολούθου δʼ ὄντος ἀποδεῖξαι καὶ τὰς κατὰ μέρος γινομένας πηλικότητας τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν γραφομένων μεγίστων κύκλων διὰ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων προεκθησόμεθα λημμάτια βραχέα καὶ εὔχρηστα , διʼ ὧν τὰς πλείστας σχεδὸν δείξεις τῶν σφαιρικῶς θεωρουμένων , ὡς ἔνι μάλιστα , ἁπλούστερον καὶ μεθοδικώτερον ποιησόμεθα . εἰς δύο δὴ εὐθείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἢ τε Β Ε καὶ ἡ Γ Δ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον . λέγω , ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε . ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Γ Δ παράλληλος ἡ Ε Η . ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ Γ Δ καὶ Ε Η , ὁ τῆς Γ Α πρὸς Ε Α λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Γ Δ πρὸς Ε Η . ἔξωθεν δὲ ἡ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Δ πρὸς Ε λόγος συγκείμενος ἔσται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε ὥστε καὶ ὁ τῆς Γ Α πρὸς Α Ε λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε . ἔστιν δὲ καὶ ὁ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε διὰ τὸ παραλλήλους πάλιν εἶναι τὰς Ε καὶ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Α πρὸς ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε ὅπερ προέκειτο δεῖξαι . κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται , ὅτι καὶ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α , διὰ τοῦ Α τῇ Ε Β παραλλήλου ἀχθείσης καὶ προσεκβληθείσης ἑπ᾿ αὐτὴν τῆς ΓΔΗ . ἐπεὶ γὰρ πάλιν παράλληλός ἐστιν ἡ Α Η τῇ Ε Ζ , ἔστιν , ὡς ἡ Γ Ε πρὸς Ε Α , ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ Η . ἀλλὰ τῆς Ζ Δ ἔξωθεν λαμβανομένης ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Ζ Η ἔστιν δὲ ὁ τῆς Δ πρὸς Ζ Η λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Δ Β πρὸς Β Α διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὰς Α Η καὶ Ζ Β διῆχθαι τὰς Β Α καὶ Ζ Η ὁ ἄρα τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α . ἀλλὰ τῷ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α καὶ ὁ τῆς Γ Ε ἄρα πρὸς Ε Α λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α ὅπερ ἔδει δεῖξαι . πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Δ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχόντα τρία σημεῖα τὰ Α , Β , Γ , ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β , Β Γ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου · καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α Γ καὶ ΔΕΒ . λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ οὕτως ἡ Α Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε Γ εὐθεῖαν . ἤχθωσαν γὰρ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α καὶ Γ σημείων ἐπὶ τὴν Δ Β ἥ τε Α Ζ καὶ ἡ Γ Η . ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ Α τῇ Γ Η , καὶ διῆκται εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΑΕΓ , ἔστιν , ὡς ἡ Δ Ζ πρὸς τὴν Γ Η , οὕτως ἡ Α Ε πρὸς Ε Ι . ἀλλʼ ὁ αὐτός ἐστιν λόγος ὁ τῆς Α πρὸς Γ Η καὶ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ ἡμίσεια γὰρ ἐκατέρα ἑκατέρας · καὶ ὁ τῆς Α Ε ἄρα πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . παρακολουθεῖ δʼ αὐτόθεν , ὅτι , κἂν δοθῶσιν ἢ τε Α Γ ὅλη περιφέρεια καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ , δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν Α Β καὶ Β Γ περιφερειῶν . ἐκτεθείσης γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐπεζεύχθω ἡ Α Δ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν Α Ε Γ ἡ Δ Ζ . ὅτι μὲν οὖν τῆς Α Γ περιφερείας δοθείσης ἥ τε ὑπὸ Α Δ Ζ γωνία τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς ὑποτείνουσα δεδομένη ἔσται καὶ ὅλον τὸ Α Δ Ζ τρίγωνον , δῆλον · ἐπεὶ δὲ τῆς Α Γ εὐθείας ὅλης δεδομένης ὑπόκειται καὶ ὁ τῆς Α Ε πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ , ἥ τε Α Ε ἔσται δοθεῖσα καὶ λοιπὴ ἡ Ζ Ε . καὶ διὰ τοῦτο καὶ τῆς Δ Ζ δεδομένης δοθήσεται καὶ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ ΕΔΖ ὀρθογωνίου καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ Α Δ Β ὥστε καὶ ἥ τε Α Β περιφέρεια δοθήσεται καὶ λοιπὴ ἡ Β Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . πάλιν ἔστω κύκλος ὁ Α Β Γ περὶ κέντρον τὸ Δ , καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω τρία σημεῖα τὰ Α , Β , Γ , ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β , ΑΓ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου · καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω · καὶ ἐπιζευχθεῖσαι ἥ τε Δ Α καὶ ἡ Γ Β ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ε σημεῖον . λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β , οὕτως ἡ Γ Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Β Ε . ὁμοίως γὰρ τῷ προτέρῳ λημματίῳ , ἐὰν ἀπὸ τῶν Β καὶ Γ ἀγάγωμεν καθέτους ἐπὶ τὴν Δ Α τήν τε ΒΖ καὶ τὴν Γ Η , ἔσται διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς εἶναι , ὡς ἡ Γ Η , πρὸς τὴν Β Ζ , οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β . ὥστε καί , ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β , οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β ὅπερ ἔδει δεῖξαι . καὶ ἐνταῦθα δὲ αὐτόθεν παρακολουθεῖ , διότι , κἂν ἡ Γ Β περιφέρεια μόνη δοθῇ , καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β δοθῇ , καὶ ἡ Α Β περιφέρεια δοθήσεται . πάλιν γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἐπιζευχθείσης τῆς Δ Β καὶ καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν Β Γ τῆς Δ Ζ ἡ μὲν ὑπὸ Β Δ Ζ γωνία τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς Β Γ περιφερείας ἔσται δεδομένη · καὶ ὅλον ἄρα τὸ Β Δ Ζ ὀρθογώνιον . ἐπεὶ δὲ καὶ ὅ τε τῆς Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β λόγος δέδοται καὶ ἔτι ἡ Γ Β εὐθεῖα , δοθήσεται καὶ ἥ τε Ε Β καὶ ἔτι ὅλη ἡ Ε Β ὥστε καί , ἐπεὶ ἡ Δ Ζ δέδοται , δοθήσεται καὶ ἥ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ Ε Δ Β . ὥστε καὶ ἡ Α Β περιφέρεια ἔσται δεδομένη . τούτων προληφθέντων γεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι , ὥστε εἰς δύο τὰς Α Β καὶ Α Γ δύο γραφείσας τὰς Β Ε καὶ Γ Δ τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ σημεῖον · ἔστω δὲ ἑκάστη αὐτῶν ἐλάσσων ἡμικυκλίου · τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν καταγραφῶν ὑπακουέσθω . λέγω δή , ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α . εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Η , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς Β , Ζ , Ε τομὰς τῶν κύκλων ἥ τε Η Β καὶ ἡ Η Ζ καὶ ἡ Η Ε , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α Δ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ Η Β ἐκβληθείσῃ καὶ αὐτῇ κατὰ τὸ Θ σημεῖον , ὁμοίως δὲ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Δ Γ καὶ Α Γ τεμνέτωσαν τὰς Η Ζ καὶ Η Ε κατὰ τὸ Κ καὶ Λ σημεῖον · ἐπὶ μιᾶς δὴ γίνεται εὐθείας τὰ Θ , Κ , Λ σημεῖα διὰ τὸ ἐν δυσὶν ἅμα εἶναι ἐπιπέδοις τῷ τε τοῦ Α Γ Δ τριγώνου καὶ τῷ τοῦ Β Ζ Ε κύκλου , ἥτις ἐπιζευχθεῖσα ποιεῖ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΘΛ καὶ Γ Α διηγμένας τὰς Θ Λ καὶ Γ Δ τεμνούσας ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ σημεῖον · ὁ ἄρα τῆς Γ Λ πρὸς Λ Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Κ πρὸς Κ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ πρὸς . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Γ Λ πρὸς Λ Α , οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α περιφερείας , ὡς δὲ ἡ Γ Κ πρὸς Κ Δ , οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ , ὡς δὲ ἡ Θ Δ πρὸς Θ Α , οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α . καὶ ὁ λόγος ἄρα ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α . κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἐπιπέδου καταγραφῆς τῶν εὐθειῶν δείκνυται , ὅτι καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Δ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε ἅπερ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: ἰ . προλαμβάνω εἰς ὁ σφαιρικός δείκνυμι . ἀκόλουθος δέ εἰμί ἀποδείκνυμι καί ὁ κατά μέρος γίγνομαι πηλικότης ὁ ἀπολαμβάνω περιφέρεια μεταξύ ὁ τε ἰσημερινός καί ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ γράφω μέγας κύκλος διά ὁ ὁ ἰσημερινός πόλος προεκθέω λημμάτιον βραχύς καί εὔχρηστος , διά ὅς ὁ πλεῖστος σχεδόν δείκνυμι ὁ σφαιρικός θεωρέω , ὡς ἐν μάλιστα , ἁπλόος καί μεθοδικός ποιέω . εἰς δύο δή εὐθύς ὁ ΑΒ καί ΑΓ διαχέω δύο εὐθύς ἢ τε Β Ε καί ὁ Γ δ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ζ σημεῖον . λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΓΑ πρός Α Ε λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΓΔ πρός δ Ζ καί ὁ ὁ Ζ Β πρός Β Ε . ἄγω γάρ διά ὁ Ε ὁ Γ δ παράλληλος ὁ Ε ὁ . ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ Γ δ καί Ε ὁ , ὁ ὁ Γ Α πρός Ε Α λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Γ δ πρός Ε ὁ . ἔξωθεν δέ ὁ Ζ δ ὁ ἄρα ὁ Γ δ πρός Ε λόγος σύγκειμαι εἰμί ἐκ τε ὁ ὁ Γ δ πρός δ Ζ καί ὁ ὁ δ Ζ πρός ὁ Ε ὥστε καί ὁ ὁ Γ Α πρός Α Ε λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ Γ δ πρός δ Ζ καί ὁ ὁ δ Ζ πρός ὁ Ε . εἰμί δέ καί ὁ ὁ δ Ζ πρός ὁ Ε λόγος ὁ αὐτός ὁ ὁ Ζ Β πρός Β Ε διά ὁ παράλληλος πάλιν εἰμί ὁ Ε καί Ζ δ ὁ ἄρα ὁ Γ Α πρός ΑΕ λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ Γ δ πρός δ καί ὁ ὁ Ζ Β πρός Β Ε ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι . κατά ὁ αὐτός δέ δείκνυμι , ὅτι καί κατά διαίρεσις ὁ ὁ Γ Ε πρός Ε Α λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ Γ Ζ πρός δ Ζ καί ὁ ὁ δ Β πρός Β Α , διά ὁ Α ὁ Ε Β παράλληλος ἄγω καί προσεκβάλλω ἐπί αὐτός ὁ ΓΔΗ . ἐπεί γάρ πάλιν παράλληλος εἰμί ὁ Α ὁ ὁ Ε Ζ , εἰμί , ὡς ὁ Γ Ε πρός Ε Α , ὁ Γ Ζ πρός Ζ ὁ . ἀλλά ὁ Ζ δ ἔξωθεν λαμβάνω ὁ ὁ Γ Ζ πρός Ζ ὁ λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ Γ Ζ πρός Ζ δ καί ὁ ὁ δ Ζ πρός Ζ ὁ εἰμί δέ ὁ ὁ δ πρός Ζ ὁ λόγος ὁ αὐτός ὁ ὁ δ Β πρός Β Α διά ὁ εἰς παράλληλος ὁ Α ὁ καί Ζ Β διάγω ὁ Β Α καί Ζ ὁ ὁ ἄρα ὁ Γ Ζ πρός Ζ ὁ λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ Γ Ζ πρός δ Ζ καί ὁ ὁ δ Β πρός Β Α . ἀλλά ὁ ὁ Γ Ζ πρός Ζ ὁ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Γ Ε πρός Ε Α καί ὁ ὁ Γ Ε ἄρα πρός Ε Α λόγος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ Γ Ζ πρός δ Ζ καί ὁ ὁ δ Β πρός Β Α ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . πάλιν ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓ ὅς κέντρον ὁ δ , καί λαμβάνω ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός τυγχάνω τρεῖς σημεῖον ὁ Α , Β , Γ , ὥστε ἑκάτερος ὁ Α Β , Β Γ περιφέρεια μικρός εἰμί ἡμικύκλιον · καί ἐπί ὁ ἑξῆς δέ λαμβάνω περιφέρεια ὁ ὅμοιος ὑπακούω · καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α Γ καί δΕΒ . λέγω , ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β περιφέρεια πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Γ οὕτως ὁ Α Ε εὐθύς πρός ὁ Ε Γ εὐθύς . ἄγω γάρ κάθετος ἀπό ὁ Α καί Γ σημεῖον ἐπί ὁ δ Β ὅς τε Α Ζ καί ὁ Γ ὁ . ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ Α ὁ Γ ὁ , καί διάγω εἰς αὐτός εὐθύς ὁ ΑΕΓ , εἰμί , ὡς ὁ δ Ζ πρός ὁ Γ ὁ , οὕτως ὁ Α Ε πρός Ε Ι . ἀλλά ὁ αὐτός εἰμί λόγος ὁ ὁ Α πρός Γ ὁ καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β περιφέρεια πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Γ ἥμισυς γάρ κατεράω ἑκάτερος · καί ὁ ὁ Α Ε ἄρα πρός Ε Γ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Γ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . παρακολουθέω δέ αὐτόθεν , ὅτι , κἀν δίδωμι ἢ τε Α Γ ὅλος περιφέρεια καί ὁ λόγος ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Γ , δίδωμι καί ἑκάτερος ὁ Α Β καί Β Γ περιφέρεια . ἐκτίθημι γάρ ὁ αὐτός καταγραφή ἐπιζεύγνυμι ὁ Α δ , καί ἄγω ἀπό ὁ δ κάθετος ἐπί ὁ Α Ε Γ ὁ δ Ζ . ὅτι μέν οὖν ὁ Α Γ περιφέρεια δίδωμι ὅς τε ὑπό Α δ Ζ γωνία ὁ ἥμισυς αὐτός ὑποτείνω δίδωμι εἰμί καί ὅλος ὁ Α δ Ζ τρίγωνος , δῆλος · ἐπεί δέ ὁ Α Γ εὐθύς ὅλος δίδωμι ὑπόκειμαι καί ὁ ὁ Α Ε πρός Ε Γ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Γ , ὅς τε Α Ε εἰμί δίδωμι καί λοιπός ὁ Ζ Ε . καί διά οὗτος καί ὁ δ Ζ δίδωμι δίδωμι καί τε ὑπό Ε δ Ζ γωνία ὁ ΕΔΖ ὀρθογώνιος καί ὅλος ὁ ὑπό Α δ Β ὥστε καί ὅς τε Α Β περιφέρεια δίδωμι καί λοιπός ὁ Β Γ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . πάλιν ἵστημι κύκλος ὁ Α Β Γ περί κέντρον ὁ δ , καί ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός λαμβάνω τρεῖς σημεῖον ὁ Α , Β , Γ , ὥστε ἑκάτερος ὁ Α Β , ΑΓ περιφέρεια μικρός εἰμί ἡμικύκλιον · καί ἐπί ὁ ἑξῆς δέ λαμβάνω περιφέρεια ὁ ὅμοιος ὑπακούω · καί ἐπιζεύγνυμι ὅς τε δ Α καί ὁ Γ Β ἐκβάλλω καί συμπίπτω κατά ὁ Ε σημεῖον . λέγω , ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Α περιφέρεια πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β , οὕτως ὁ Γ Ε εὐθύς πρός ὁ Β Ε . ὁμοίως γάρ ὁ πρότερος λημμάτιον , ἐάν ἀπό ὁ Β καί Γ ἄγω κάθετος ἐπί ὁ δ Α ὁ τε ΒΖ καί ὁ Γ ὁ , εἰμί διά ὁ παράλληλος αὐτός εἰμί , ὡς ὁ Γ ὁ , πρός ὁ Β Ζ , οὕτως ὁ Γ Ε πρός ὁ Ε Β . ὥστε καί , ὡς ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΓΑ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β , οὕτως ὁ Γ Ε πρός ὁ Ε Β ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . καί ἐνταῦθα δέ αὐτόθεν παρακολουθέω , διότι , κἀν ὁ Γ Β περιφέρεια μόνος δίδωμι , καί ὁ λόγος ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Α πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Α Β δίδωμι , καί ὁ Α Β περιφέρεια δίδωμι . πάλιν γάρ ἐπί ὁ ὅμοιος καταγραφή ἐπιζεύγνυμι ὁ δ Β καί κάθετος ἄγω ἐπί ὁ Β Γ ὁ δ Ζ ὁ μέν ὑπό Β δ Ζ γωνία ὁ ἥμισυς ὑποτείνω ὁ Β Γ περιφέρεια εἰμί δίδωμι · καί ὅλος ἄρα ὁ Β δ Ζ ὀρθογώνιος . ἐπεί δέ καί ὅς τε ὁ Γ Ε πρός ὁ Ε Β λόγος δίδωμι καί ἔτι ὁ Γ Β εὐθύς , δίδωμι καί ὅς τε Ε Β καί ἔτι ὅλος ὁ Ε Β ὥστε καί , ἐπεί ὁ δ Ζ δίδωμι , δίδωμι καί ὅς τε ὑπό Ε δ Ζ γωνία ὁ αὐτός ὀρθογώνιος καί λοιπός ὁ ὑπό Ε δ Β . ὥστε καί ὁ Α Β περιφέρεια εἰμί δίδωμι . οὗτος προλαμβάνω γράφω ἐπί σφαιρικός ἐπιφάνεια μέγας κύκλος περιφέρεια , ὥστε εἰς δύο ὁ Α Β καί Α Γ δύο γράφω ὁ Β Ε καί Γ δ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ σημεῖον · ἵστημι δέ ἕκαστος αὐτός μικρός ἡμικύκλιον · ὁ δέ αὐτός καί ἐπί πᾶς ὁ καταγραφή ὑπακούω . λέγω δή , ὅτι ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Ε περιφέρεια πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Α λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Ζ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ δ καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ δ Β πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Α . λαμβάνω γάρ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ἵστημι ὁ ὁ , καί ἄγω ἀπό ὁ ὁ ἐπί ὁ Β , Ζ , Ε τομή ὁ κύκλος ὅς τε ὁ Β καί ὁ ὁ Ζ καί ὁ ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α δ ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ ὁ Β ἐκβάλλω καί αὐτός κατά ὁ Θ σημεῖον , ὁμοίως δέ ἐπιζεύγνυμι ὁ δ Γ καί Α Γ τέμνω ὁ ὁ Ζ καί ὁ Ε κατά ὁ Κ καί Λ σημεῖον · ἐπί εἷς δή γίγνομαι εὐθύς ὁ Θ , Κ , Λ σημεῖον διά ὁ ἐν δύο ἅμα εἰμί ἐπίπεδος ὁ τε ὁ Α Γ δ τρίγωνος καί ὁ ὁ Β Ζ Ε κύκλος , ὅστις ἐπιζεύγνυμι ποιέω εἰς δύο εὐθύς ὁ ΘΛ καί Γ Α διάγω ὁ Θ Λ καί Γ δ τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Κ σημεῖον · ὁ ἄρα ὁ Γ Λ πρός Λ Α λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ Γ Κ πρός Κ δ καί ὁ ὁ δ πρός . ἀλλά ὡς μέν ὁ Γ Λ πρός Λ Α , οὕτως ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Ε πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Α περιφέρεια , ὡς δέ ὁ Γ Κ πρός Κ δ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Ζ περιφέρεια πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ δ , ὡς δέ ὁ Θ δ πρός Θ Α , οὕτως ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ δ Β περιφέρεια πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Α . καί ὁ λόγος ἄρα ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Ε πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Α συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Ζ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ δ καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ δ Β πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Α . κατά ὁ αὐτός δή καί ὥσπερ ἐπί ὁ ἐπίπεδος καταγραφή ὁ εὐθύς δείκνυμι , ὅτι καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ Α πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Γ δ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ δ Ζ καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Β πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Ε ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι .