claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 3.3
Ἐξῆς δʼ ὄντος καὶ τὴν φαινομένην ἀνωμαλίαν τοῦ ἡλίου δεῖξαι προληπτέον καθόλου , διότι καὶ αἱ τῶν πλανωμένων εἰς τὰ ἑπόμενα τοῦ οὐρανοῦ μετακινήσεις , ὥσπερ καὶ ἡ εἰς τὰ ἡγούμενα φορὰ τῶν ὅλων , ὁμαλαὶ μέν εἰσιν πᾶσαι καὶ ἐγκύκλιοι τῇ φύσει , τουτέστιν αἱ νοούμεναι περιάγειν εὐθεῖαι τοὺς ἀστέρας ἢ καὶ τοὺς κύκλους αὐτῶν ἐπὶ πάντων ἀπλῶς ἐν τοῖς ἴσοις χρόνοις ἴσας γωνίας ἀπολαμβάνουσιν πρὸς τοῖς κέντροις ἑκάστης τῶν περιφορῶν , αἱ δὲ φαινόμεναι περὶ αὐτὰς ἀνωμαλίαι παρὰ τὰς θέσεις καὶ τάξεις τῶν ἐν ταῖς σφαίραις αὐτῶν κύκλων , διʼ ὧν ποιοῦνται τὰς κινήσεις , ἀποτελοῦνται , καὶ οὐδὲν ἀλλότριον αὐτῶν τῆς ἀιδιότητος περὶ τὴν ὑπονοουμένην τῶν φαινομένων ἀταξίαν τῷ ὄντι πέφυκε συμβαίνειν . τὸ δʼ αἴτιον τῆς ἀνωμάλου φαντασίας κατὰ δύο μάλιστα τὰς πρώτας καὶ ἀπλᾶς ὑποθέσεις ἐνδέχεται γίνεσθαι . τῆς γὰρ κινήσεως αὐτῶν θεωρουμένης πρὸς τὸν ὁμόκεντρόν τε τῷ κόσμῳ καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ διὰ μέσου τῶν ζῳδίων νοούμενον κύκλον , ὡς ἀδιαφορεῖν πρὸς τὸ κέντρον αὐτοῦ τὴν ἡμετέραν ὄψιν , αὐτοὺς ἤτοι κατὰ μὴ ὁμοκέντρων τῷ κόσμῳ κύκλων ὁμαλὰς ὑποληπτέον ποιεῖσθαι τὰς κινήσεις ἢ κατὰ ὁμοκέντρων μέν , οὐχ ἀπλῶς δὲ ἐπʼ αὐτῶν , ἀλλʼ ἐπὶ ἑτέρων ὑπʼ ἐκείνων φερομένων , καλουμένων δὲ ἐπικύκλων . καθʼ ἑκατέραν γὰρ τούτων τῶν ὑποθέσεων ἐνδεχόμενον φανήσεται τὸ ἐν ἴσοις αὐτοὺς χρόνοις ἀνίσους φαίνεσθαι ταῖς ὄψεσιν ἡμῶν διερχομένους τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου ὁμοκέντρου τῷ κόσμῳ περιφερείας . ἐάν τε γὰρ ἐπὶ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως νοήσωμεν τὸν μὲν ἔκκεντρον κύκλον , ἐφʼ οὗ ὁμαλῶς ὁ ἀστὴρ κινεῖται , τὸν Α Β Γ Δ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν Α Ε Δ , τὸ δὲ Ζ σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς τὴν ἡμετέραν ὄψιν , ὥστε καὶ τὸ μὲν Α τὸ ἀπογειότατον γίνεσθαι σημεῖον , τὸ δὲ Δ περιγειότατον , ἀπολαβόντες τε ἴσας περιφερείας τήν τε Α Β καὶ τὴν Δ Ι ἐπιζεύξωμεν τὰς Β Ε καὶ Β Ζ καὶ Γ Ε καὶ ΓΖ , αὐτόθεν δῆλον ἔσται , διότι τὰς Α Β καὶ Γ Δ περιφερείας ἑκατέραν ἐν ἴσῳ χρόνῳ κινηθεὶς ὁ ἀστὴρ ἀνίσους δόξει τοῦ περὶ τὸ Ζ κέντρον γραφομένου κύκλου διεληλυθέναι περιφερείας διὰ τὸ ἴσης οὔσης τῆς ὑπὸ Β Ε Α γωνίας τῇ ὑπὸ Γ Ε Δ ἐλάσσονα μὲν γίνεσθαι τὴν ὑπὸ Β Ζ Α ἑκατέρας αὐτῶν , μείζονα δὲ τὴν ὑπὸ Γ Ζ Δ . ἐάν τʼ ἐπὶ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως νοήσωμεν τὸν μὲν ὁμόκεντρον τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον τὸν Α Β Γ Δ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν Α Ε Γ , τὸν δʼ ἐπʼ αὐτοῦ φερόμενον ἐπίκυκλον , ἐφʼ οὗ κινεῖται ὁ ἀστήρ , τὸν Ζ Η Θ Κ περὶ κέντρον τὸ Α , φανερὸν καὶ οὕτως αὐτόθεν ἔσται , διότι τοῦ ἐπικύκλου ὁμαλῶς διερχομένου τὸν Α Β Γ Δ κύκλον ὡς ἀπὸ τοῦ Α λόγου ἕνεκα ἐπὶ τὸ Β καὶ τοῦ ἀστέρος τὸν ἐπίκυκλον , ὅταν μὲν κατὰ τῶν Ζ καὶ Θ γένηται ὁ ἀστήρ , ἀδιαφόρως φανήσεται τῷ Α κέντρῳ τοῦ ἐπικύκλου , ὅταν δὲ κατὰ ἄλλων , οὐκέτι , ἀλλὰ κατὰ μὲν τοῦ φέρε εἰπεῖν γινόμενος πλείονα δόξει πεποιῆσθαι κίνησιν τῆς ὁμαλῆς τῇ Α Η περιφερείᾳ , κατὰ δὲ τοῦ Κ ἐλάσσονα ὁμοίως τῇ Α Κ περιφερείᾳ . ἐπὶ μὲν οὖν τῆς τοιαύτης κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως ἀεὶ συμβέβηκε τὴν μὲν ἐλαχίστην κίνησιν κατὰ τὸ ἀπογειότατον παρακολουθεῖν , τὴν δὲ μεγίστην κατὰ τὸ περιγειότατον , ἐπεὶ καὶ πάντοτε ἡ ὑπὸ Α Ζ Β γωνία ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ Δ Ζ Γ , ἐπὶ δὲ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ἀμφότερα δύναται συμβαίνειν . τοῦ γὰρ ἐπικύκλου εἰς τὰ ἑπόμενα τοῦ οὐρανοῦ τὴν μετάβασιν ποιουμένου , ὡς λόγου ἕνεκεν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β , ἐὰν μὲν ὁ ἀστὴρ οὕτως ἐν τῷ ἐπικύκλῳ ποιῆται τὴν κίνησιν , ὥστε τὴν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου μετάβασιν εἰς τὰ ἑπόμενα πάλιν ἀποτελεῖσθαι , τουτέστιν ἀπὸ τοῦ ὡς ἐπὶ τὸ Η , κατὰ τὸ ἀπόγειον τὴν μεγίστην πάροδον γίνεσθαι συμβήσεται διὰ τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τόν τε ἐπίκυκλον τότε καὶ τὸν ἀστέρα κινεῖσθαι , ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἀστέρος μετάβασις εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ ἐπικύκλου γίνηται , τουτέστιν ἀπὸ τοῦ Ζ ὡς ἐπὶ τὸ Κ , κατὰ τὸ ἀπόγειον ἀνάπαλιν ἡ ἐλαχίστη πάροδος ἀποτελεσθήσεται διὰ τὸ εἰς τὰ ἐναντία τῆς τοῦ ἐπικύκλου μεταβάσεως τὸν ἀστέρα τότε μετακινεῖσθαι . τούτων δʼ οὕτως ἐχόντων ἐφεξῆς κἀκεῖνα προληπτέον , ὅτι τε ἐπὶ μὲν τῶν δισσὰς ποιουμένων ἀνωμαλίας ἀμφοτέρας τὰς ὑποθέσεις ταύτας ἐνδέχεται συμπεπλέχθαι , ὡς ἐν τοῖς περὶ αὐτῶν ἀποδείξομεν , ἐπὶ δὲ τῶν μιᾷ καὶ τῇ αὐτῇ κεχρημένων ἀνωμαλίᾳ καὶ μία τῶν ἐκκειμένων ὑποθέσεων ἀρκέσει , καὶ ὅτι πάντα τὰ φαινόμενα καθʼ ἑκατέραν αὐτῶν ἀπαραλλάκτως ἀποτελεσθήσεται τῶν αὐτῶν λόγων ἐν ἀμφοτέραις περιεχομένων , τουτέστιν ὅταν , ὃν ἔχει λόγον ἡ μεταξὺ τῶν κέντρων ἐπὶ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως τῆς τε ὄψεως καὶ τοῦ ἐκκέντρου κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου , τοῦτον ἔχῃ τὸν λόγον ἐπὶ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ φέροντος αὐτὸν κύκλου , καὶ ἔτι ἐν ὅσῳ χρόνῳ τὸν ἔκκεντρον κύκλον ὁ ἀστὴρ ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα ποιούμενος τὴν κίνησιν ἀμετάπτωτον ὄντα διαπορεύεται , ἐν τοσούτῳ καὶ ὁ μὲν ἐπίκυκλος τὸν ὁμόκεντρον τῇ ὄψει κύκλον διέρχηται πάλιν ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα μετακινούμενος , ὁ δʼ ἀστὴρ τὸν ἐπίκυκλον ἰσοταχῶς , ὡς μέντοι τῆς κατὰ τὸ ἀπόγειον μεταβάσεως εἰς τὰ προηγούμενα γιγνομένης . ὅτι δὲ τούτων οὕτως ὑποκειμένων τὰ αὐτὰ περὶ ἑκατέραν τῶν ὑποθέσεων φαινόμενα συμβήσεται , διὰ βραχέων ἐφοδεύσομεν διά τε τῶν λόγων αὐτῶν καὶ μετὰ ταῦτα καὶ διὰ τῶν ἐφοδευομένων ἐν αὐτοῖς ἐπὶ τῆς τοῦ ἡλίου ἀνωμαλίας ἀριθμῶν . λέγω δὴ πρῶτον , ὅτι καθʼ ἑκατέραν αὐτῶν ἡ μεγίστη διαφορὰ γίνεται τῆς ὁμαλῆς κινήσεως παρὰ τὴν φαινομένην ἀνώμαλον , καθʼ ἣν καὶ ἡ μέση πάροδος τῶν ἀστέρων νοεῖται , ὅταν ἡ φαινομένη διάστασις ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τεταρτημόριον ἀπολαμβάνῃ , καὶ ὅτι ὁ ἀπὸ τοῦ ἀπογειοτάτου μέχρι τῆς εἰρημένης μέσης παρόδου χρόνος μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μέσης ἐπὶ τὸ περιγειότατον . ὅθεν συμβαίνει κατὰ μὲν τὴν τῶν ἐκκέντρων ὑπόθεσιν ἀεί , καὶ κατὰ τὴν τῶν ἐπικύκλων δέ , ὅταν αἱ ἀπὸ τῶν ἀπογείων αὐτῶν μεταβάσεις εἰς τὰ προηγούμενα γίνωνται , τὸν ἀπὸ τῆς ἐλαχίστης κινήσεως ἐπὶ τὴν μέσην χρόνον μείζονα γίνεσθαι τοῦ ἀπὸ τῆς μέσης ἐπὶ τὴν μεγίστην διὰ τὸ κατὰ τὸ ἀπόγειον ἐν ἑκατέρᾳ τὴν ἐλαχίστην πάροδον ἀποτελεῖσθαι , κατὰ δὲ τὴν εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ἐπικύκλων τὰς ἀπὸ τοῦ ἀπογείου ποιοῦσαν περιαγωγὰς τῶν ἀστέρων ἀνάπαλιν τὸν ἀπὸ τῆς μεγίστης κινήσεως ἐπὶ τὴν μέσην χρόνον μείζονα γίνεσθαι τοῦ ἀπὸ τῆς μέσης ἐπὶ τὴν ἐλαχίστην διὰ τὸ καὶ ἐνταῦθα κατὰ τὸ ἀπόγειον τὴν μεγίστην πάροδον ἀποτελεῖσθαι . ἔστω δὴ πρῶτον ὁ ἔκκεντρος τοῦ ἀστέρος κύκλος ὁ Α Β Γ Δ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν Α Ε Γ , ἐφʼ ἧς εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ , τουτέστιν τὸ κατὰ τὴν ὄψιν , καὶ ἔστω τὸ Ζ , καὶ διὰ τοῦ Ζ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῇ Α Ε Γ διαχθείσης τῆς Β Ζ Δ ὑποκείσθω ὁ ἀστὴρ ἐπὶ τῶν Β καὶ Δ σημείων , ἵνα δηλονότι τεταρτημόριον ἑκατέρωθεν ἡ φαινομένη διάστασις ἀπέχῃ τοῦ Α ἀπογείου . δεικτέον , ὅτι πρὸς τοῖς Β καὶ Δ σημείοις ἡ μεγίστη γίνεται διαφορὰ τῆς ὁμαλῆς κινήσεως παρὰ τὴν ἀνώμαλον . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἥ τε Ε Β καὶ ἡ Ε Δ . ὅτι μὲν οὖν , ὃν ἄν ἔχῃ λόγον ἡ ὑπὸ Ε Β Ζ γωνία πρὸς τὰς δ ὀρθάς , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἡ τοῦ παρὰ τὴν ἀνω - μαλίαν διαφόρου περιφέρεια πρὸς τὸν ὅλον κύκλον , αὐτόθεν γίνεται φανερόν , ἐπειδήπερ ἡ μὲν ὑπὸ Α Ε Β γωνία τὴν τῆς ὁμαλῆς κινήσεως ὑποτείνει περιφέρειαν , ἡ δὲ ὑπὸ Α Ζ Β τὴν τῆς φαινομένης ἀνωμάλου , ὑπεροχὴ δὲ αὐτῶν ἐστιν ἡ ὑπὸ Ε Β Ζ γωνία . φημὶ δή , ὅτι τούτων ἑκατέρας ἄλλη γωνία μείζων οὐ συσταθήσεται πρὸς τῇ τοῦ Α Β Γ Δ κύκλου περιφερείᾳ ἐπὶ τῆς Ε Ζ εὐθείας . συνεστάτωσαν γὰρ γωνίαι πρὸς τοῖς Θ καὶ Κ σημείοις ἡ ὑπὸ Ε Θ Ζ καὶ ἡ ὑπὸ Ε Κ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΘΔ καὶ ἡ ΚΔ . ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει , μείζων δέ ἐστιν ἡ Θ Ζ τῆς Ζ Δ , μείζων ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ Θ Δ Ζ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΘΖ . ἴση δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ Ε Δ Θ τῇ ὑπὸ Ε Θ Δ , ἐπείπερ καὶ ἡ Ε Θ τῇ Ε Α ἐστιν ἴση · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία , τουτέστιν ἡ ὑπὸ Ε Β Δ , μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ Ε Θ Ζ . πάλιν ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Δ Ζ τῆς Κ Ζ , μείζων ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ Ζ Κ Δ τῆς ὑπὸ Ζ Δ Κ ἴση δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ Ε Κ Δ ὅλῃ τῇ ὑπὸ Ε Δ Κ , ἐπείπερ καὶ ἡ Ε Κ πάλιν τῇ Ε Δ ἐστιν ἴση · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε Δ Ζ , τουτέστιν ἡ ὑπὸ Ε Β Ζ , τῆς ὑπὸ Ε Κ Ζ ἐστιν μείζων . οὐκ ἄρα δυνατὸν ἄλλας μείζονας συστήσασθαι γωνίας , καθʼ ὃν εἰρήκαμεν τρόπον , τῶν πρὸς τοῖς Β καὶ Δ σημείοις . συναποδείκνυται δʼ , ὅτι καὶ ἡ ΑΒ περιφέρεια , ἥτις περιέχει τὸν ἀπὸ τῆς ἐλαχίστης κινήσεως ἐπὶ τὴν μέσην χρόνον , μείζων ἐστὶν τῆς ΒΙ ἥτις περιέχει τὸν ἀπὸ τῆς μέσης κινήσεως ἐπὶ τὴν μεγίστην χρόνον , δυσὶ ταῖς τὸ διάφορον τῆς ἀνωμαλίας περιεχούσαις περιφερείαις , ἐπειδήπερ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς , τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΕΖΒ , τῇ ὑπὸ EΒΖ γωνίᾳ , ἡ δʼ ὑπὸ ΒΕΓ ἐλάσσων τῇ αὐτῇ . πάλιν ἕνεκεν τοῦ καὶ ἐπὶ τῆς ἑτέρας ὑποθέσεως δεῖξαι τὸ αὐτὸ συμβαῖνον ἔστω ὁ μὲν ὁμόκεντρος τῷ κόσμῳ κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΔΒ , ὁ δʼ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ φερόμενος ἐπʼ αὐτοῦ ἐπίκυκλος ὁ Ε ΖΗ περὶ κέντρον τὸ Α , καὶ ὑποκείσθω ὁ ἀστὴρ κατὰ τὸ Η , ὅταν τεταρτημόριον ἀπέχων φαίνηται τοῦ κατὰ τὸ ἀπόγειον σημείου , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε Α καὶ ΔΗΓ . λέγω , ὅτι ἡ ΔHΓ ἐφάπτεται τοῦ ἐπικύκλου · τότε γὰρ τὸ πλεῖστον γίνεται διάφορον τῆς ὁμαλῆς κινήσεως παρὰ τὴν ἀνώ - μαλον . ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὁμαλὴ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου κίνησις περιέχεται ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΕΑΗ γωνίας · ἰσοταχῶς γὰρ ὅ τε ἀστὴρ τὸν ἐπίκυκλον καὶ ὁ ἐπίκυκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον διέρχονται · τὸ δὲ διάφορον τῆς ὁμαλῆς κινήσεως παρὰ τὴν φαινομένην ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΑΔΗ γωνίας περιέχεται , φανερόν , ὅτι καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῆς ὑπὸ ΕΑΗ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΗ , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ γωνία , τὴν φαινομένην τοῦ ἀστέρος ἀπὸ τοῦ ἀπογείου διάστασιν περιέχει . ὥστε ἐπεὶ ὑπόκειται αὕτη τεταρτημορίου , ὀρθὴ μὲν ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΔ γωνία , ἐφαπτομένη δὲ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΔΗΓ εὐθεῖα τοῦ ΕΖΗ ἐπικύκλου . ἡ ΑΓ ἄρα περιφέρεια μεταξὺ τοῦ Α κέντρου καὶ τῆς ἐφαπτομένης ἡ μεγίστη ἐστὶν διαφορὰ τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν . καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΕΗ περιφέρεια , ἥτις περιέχει κατὰ τὴν ἐνταῦθα ὑποκειμένην ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου μετάβασιν τὸν ἀπὸ τῆς ἐλαχίστης κινήσεως ἐπὶ τὴν μέσην χρόνον , μείζων ἐστὶν τῆς ΗΖ , ἥτις περιέχει τὸν ἀπὸ τῆς μέσης κινήσεως ἐπὶ τὴν μεγίστην χρόνον , δυσὶ ταῖς ΑΓ περιφερείαις , ἐπείπερ , ἐὰν ἐκβάλωμεν τὴν ΔΒΘ καὶ ἀγάγωμεν τῇ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τὴν ΑΚΘ , ἴσαι μὲν γίνονται ἥ τε ὑπὸ ΚΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΓ καὶ ἡ ΚΗ περιφέρεια τῆ ΑΓ ὁμοία , ταύτῃ δὲ τοῦ ἑνὸς τεταρτημορίου μείζων μέν ἐστιν ἡ ΕΚΗ , ἐλάσσων δὲ ἡ ΖΗ ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ὅτι δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος κινήσεων ἐφʼ ἑκατέρας τῶν ὑποθέσεων ἐν τοῖς ἴσοις χρόνοις τὰ αὐτὰ γίνεται πάντα περί τε τὰς ὁμαλὰς καὶ τὰς φαινομένας κινήσεις καὶ ἔτι τὰς ὑπεροχὰς αὐτῶν , τουτἐστιν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον , ἐντεῦθεν ἄν τις μάλιστα καταμάθοι . ἔστω γὰρ ὁ μὲν ὁμόκεντρος τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ , ὁ δὲ ἔκκεντρος μέν , ἴσος δὲ τῷ ΑΒΓ ὁμοκέντρῳ , ὁ ΕΖ περὶ κέντρον τὸ Θ , κοινὴ δʼ ἀμφοτέρων διάμετρος διὰ τῶν Δ καὶ Θ κέντρων καὶ τοῦ Ε ἀπογείου ἡ ΕΑΘΔ , καὶ ἀποληφθείσης ἐπὶ τοῦ ὁμοκέντρου τυχούσης περιφερείας τῆς ΑΒ κέντρῳ τῷ Β , διαστήματι δὲ τῷ ΔΘ γεγράφθω ὁ ΚΖ ἐπίκυκλος , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΒΔ . λέγω , ὅτι ὁ μὲν ἀστὴρ ὑφʼ ἑκατέρας τῶν κινήσεων ἐπὶ τὴν Ζ τομὴν τοῦ ἐκκέντρου καὶ τοῦ ἐπικύκλου πάντως κατὰ τὸν ἴσον χρόνον ἐνεχθήσεται , τουτέστιν αἱ γ περιφέρειαι ὅμοιαι ἔσονται ἀλλήλαις ἥ τε ΕΖ τοῦ ἐκκέντρου καὶ ἡ ΑΒ τοῦ ὁμοκέντρου καὶ ἡ ΚΖ τοῦ ἐπικύκλου , ἡ δὲ διαφορὰ τῆς ὁμαλῆς κινήσεως παρὰ τὴν ἀνώμαλον καὶ ἡ φαινομένη τοῦ ἀστέρος πάροδος καθʼ ἑκατέραν τῶν ὑποθέσεων ὁμοία καὶ ἡ αὐτὴ συμβήσεται . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ ΒΖ καὶ ἔτι ἡ ΔΖ . ἐπεὶ τετραπλεύρου τοῦ ΒΔΘΖ αἱ ἀπεναντίον πλευραὶ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , ἡ μὲν ΖΘ τῇ ΒΔ , ἡ δὲ ΒΖ τῇ ΔΘ , παραλληλόγραμμον ἔσται τὸ ΒΑΖΘ τετράπλευρον . ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ γ γωνίαι ἥ τε ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΚ ὥστʼ ἐπεὶ πρὸς τοῖς κέντροις εἰσί , καὶ τὰς ὑποτεινομένας ὑπʼ αὐτῶν περιφερείας ὁμοίας ἀλλήλαις γίνεσθαι τήν τε ΕΖ τοῦ ἐκκέντρου καὶ τὴν ΑΒ τοῦ ὁμοκέντρου καὶ τὴν ΚΖ τοῦ ἐπικύκλου . κατʼ ἀμφοτέρας ἄρα τὰς κινήσεις ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὸ Ζ ἐνεχθήσεται ὁ ἀστὴρ καὶ τὴν αὐτὴν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφέρειαν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τὴν Α Λ φανήσεται διεληλυθώς , ἔσται τε ἀκολούθως καὶ τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον τὸ αὐτὸ καθʼ ἑκατέραν τῶν ὑποθέσεων , ἐπειδὴ τὴν τοιαύτην διαφορὰν ἐδείξαμεν περιεχομένην ἐπὶ μὲν τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΔΖΘ γωνίας , ἐπὶ δὲ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑπὸ τῆς ὑπὸ Β Δ Ζ , καὶ αὗται δὲ ἴσαι τε καὶ ἐναλλὰξ γίνονται διὰ τὸ παράλληλον δεδεῖχθαι τὴν ΖΘ τῇ ΒΔ . δῆλον δʼ , ὅτι καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν διαστάσεων τὰ αὐτὰ παρακολουθήσει παραλληλογράμμου πάντοτε γινομένου τοῦ ΘΔΖΒ τετραπλεύρου καὶ γραφομένου τοῦ ἐκκέντρου κύκλου ὑπʼ αὐτῆς τῆς κατὰ τὸν ἐπίκυκλον τοῦ ἀστέρος μεταβάσεως , ὅταν οἱ λόγοι καθʼ ἑκατέραν τῶν ὑποθέσεων ὅμοιοί τε καὶ ἴσοι συμβαίνωσιν . ὅτι δέ , κἂν ὅμοιοι μόνον ὦσιν , ἄνισοι δὲ τῷ μεγέθει , τὰ αὐτὰ πάλιν φαινόμενα συμβήσεται , φανερὸν καὶ οὕτως γενήσεται . ἔστω γὰρ ὡσαύτως ὁ μὲν ὁμόκεντρος τῷ κόσμῳ κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον , καθʼ ἣν ἀπογειότατός τε καὶ περιγειότατος ὁ ἀστὴρ γίνεται , τὴν ΑΔΓ ὁ δὲ περὶ τὸ Β ἐπίκυκλος ἀπέχων ἀπὸ τοῦ Α ἀπογείου τὴν ΑΒ τυχοῦσαν περιφέρειαν , καὶ κεκινήσθω ὁ ἀστὴρ τὴν Ε Ζ περιφέρειαν ὁμοίαν γινομένην δηλονότι τῇ ΑΒ διὰ τὸ ἰσοχρονίους εἶναι τὰς τῶν κύκλων ἀποκαταστάσεις , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΔΒΕ καὶ ἡ ΒΖ καὶ ἡ ΔΖ . ὅτι μὲν οὖν ἴσαι τέ εἰσιν πάντοτε ἥ τε ὑπὸ ΑΔΕ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ , καὶ ὅτι ἐπὶ τῆς ΔΖ εὐθείας ὁ ἀστὴρ φανήσεται , κατὰ ταύτην τὴν ὑπόθεσιν αὐτόθεν ἐστὶ δῆλον . λέγω δʼ , ὅτι καὶ διὰ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα , ἐάν τε μείζων ἐάν τε ἐλάττων ᾖ ὁ ἔκκεντρος τοῦ ΑΒΓ ὁμοκέντρου , τῆς τε τῶν λόγων ὁμιοιότητος μόνης ὑποκειμένης καὶ τῆς τῶν ἀποκαταστάσεων ἰσοχρονιότητος ἐπὶ τῆς αὐτῆς πάλιν εὐθείας τῆς Δ φανήσεται ὁ ἀστήρ . γεγράφθω γὰρ μείζων μέν , ὡς ἔφαμεν , ἔκκεντρος ὁ ΗΘ περὶ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ Κ , ἐλάσσων δὲ ὁ ΑΜ περὶ κέντρον ὁμοίως τὸ Ν , καὶ ἐκβληθεισῶν τῆς τε ΔΜΖΘ καὶ τῆς ΔΛΑΗ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΘΚ καὶ ἡ ΜΝ . ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ Δ Β πρὸς Β Ζ , οὕτως ἥ τε ΘΚ πρὸς ΚΔ καὶ ἡ ΜΝ πρὸς ΝΔ , καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΜΔΝ ἴση διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΔΑ τῇ ΒΖ , ἰσογώνιά ἐστιν τὰ γ τρίγωνα καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἀνάλογον πλευρὰς γωνίαι ἴσαι ἥ τε ὑπὸ ΒΔΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΘΚ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΜΝ παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΒΔ καὶ ΘΚ καὶ ΜΝ εὐθεῖαι . ὥστε καὶ γωνίαι ἡ ὑπὸ ΑΔΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚΘ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΝΜ ἴσαι εἰσί . καὶ ἐπεὶ πρὸς τοῖς κέντροις εἰσὶ τῶν κύκλων , ὅμοιαι ἔσονται καὶ αἱ ἐπ αὐτῶν περιφέρειαι ἥ τε ΑΒ καὶ ΗΘ καὶ ΔΜ ἐν τῷ ἴσῳ ἄρα χρόνῳ οὐ μόνον ὅ τε ἐπίκυκλος τὴν ΑΒ περιφέρειαν καὶ ὁ ἀστὴρ τὴν ΕΖ διεληλύθασιν , ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἐκκέντρων ὁ ἀστὴρ τήν τε ΗΘ καὶ τὴν ΛΜ διεληλυθὼς ἔσται , καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας πάντοτε τῆς ΔΜΖΘ διὰ τοῦτο θεωρηθήσεται καὶ κατὰ μὲν τὸν ἐπίκυκλον ἐπὶ τοῦ σημείου γινόμενος , κατὰ δὲ τὸν μείζονα ἔκκεντρον ἐπὶ τοῦ Θ , κατὰ δὲ τὸν ἐλάττονα ἐπὶ τοῦ Μ , καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν θέσεων ὁμοίως . ἐπισυμβαίνει δʼ , ὅτι καί , ὅταν ἴσην περιφέρειαν ὁ ἀστὴρ ἀπειληφὼς φαίνηται ἀπό τε τοῦ ἀπογείου καὶ τοῦ περιγείου , ἴσον ἔσται καθʼ ἑκατέραν θέσιν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον . ἐπί τε γὰρ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα , ἐὰν γράψωμεν τὸν ΑΒΓΔ ἔκκεντρον κύκλον περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΕΓ διὰ τοῦ Α ἀπογείου τῆς ὄψεως ὑποκειμένης ἐπʼ αὐτῆς κατὰ τὸ Ζ σημεῖον καὶ διὰ τοῦ Ζ τὴν ΒΖ Δ τυχοῦσαν διαγαγόντες ἐπιζεύξωμεν τὰς ΕΒ καὶ ΕΔ , αἵ τε φαινόμεναι πάροδοι ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον ἔσονται , τουτέστιν ἥ τε ὑπὸ ΑΖΒ γωνία τῆς ἀπὸ τοῦ ἀπογείου καὶ ἡ ὑπὸ ΓΖΔ τῆς ἀπὸ τοῦ περιγείου , τό τε παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον τὸ αὐτὸ ἔσται διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΒΕ τῇ ΕΔ , τὴν δὲ ὑπὸ ΕΒΖ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ὥστε τῷ αὐτῷ διαφόρῳ τῆς φαινομένης περιφερείας , τουτέστιν τῆς ὑφʼ ἑκατέρας τῶν ὑπὸ ΑΖΒ καὶ ΓΖ Δ γωνιῶν περιεχομένης , μείζονα μὲν γίνεσθαι τὴν ἀπὸ τοῦ Α ἀπογείου τῆς ὁμαλῆς κινήσεως περιφέρειαν , ἐλάσσονα δὲ τὴν ἀπὸ τοῦ Γ περιγείου τῆς ὁμαλῆς κινήσεως περιφέρειαν , διὰ τὸ καὶ τὴν μὲν ὑπὸ ΑΕΒ γωνίαν μείζονα εἶναι τῆς ὑπὸ ΑΖΒ , τὴν δὲ ὑπὸ ΓΕΔ ἐλάσσονα τῆς ὑπὸ ΓΖΔ . καὶ ἐπὶ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως , ἐὰν γράψωμεν τὸν μὲν ὁμόκεντρον ὁμοίως κύκλον τὸν ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΔΓ , τὸν δʼ ἐπίκυκλον τὸν ΕΖΗ περὶ κέντρον τὸ Α , καὶ διαγαγόντες τὴν ΔΗΒΖ τυχοῦσαν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΑΖ καὶ ΑΗ , ἡ μὲν τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου περιφέρεια ἡ ΑΒ ἡ αὐτὴ πάλιν ἔσται ὑποκειμένη κατʼ ἀμφοτέρας τὰς θέσεις , τουτέστιν ἐάν τε κατὰ τὸ Ζ ἐάν τε κατὰ τὸ ὁ ἀστήρ , καὶ ἴσον δὲ ἀπέχων φανήσεται ἀπό τε τοῦ κατὰ τὸ ἀπόγειον σημείου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων , ὅταν κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ περίγειον , ὅταν κατὰ τὸ Η , ἐπειδήπερ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου φαινομένη περιφέρεια περιέχεται ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΔΖΑ γωνίας · ὑπεροχὴ γὰρ οὖσα ἐδείχθη τῆς τε ὁμαλῆς κινήσεως καὶ τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου · ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ περιγείου φαινομένη περιέχεται ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΖΗΑ γωνίας · ἴση γάρ ἐστιν καὶ αὐτὴ τῇ τε ἀπὸ τοῦ περιγείου ὁμαλῇ κινήσει καὶ τῷ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρῳ · ἴση δέ ἐστιν καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΑ διὰ τὸ καὶ τὴν ΑΖ τῇ ΑΗ ἴσην εἶναι . ὥστε καὶ ἐντεῦθεν πάλιν συνάγεσθαι , ὅτι τῷ αὐτῷ διαφόρῳ , τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ , μείζων μέν ἐστιν ἡ πρὸς τῷ ἀπογείῳ μέση τῆς φαινομένης , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΖΔ , ἐλάσσων δὲ ἡ πρὸς τῷ περιγείῳ μέση τῆς φαινομένης τῆς αὐτῆς οὔσης , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΗΑΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΗΖ · ὅπερ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: ἑξῆς δέ εἰμί καί ὁ φαίνω ἀνωμαλία ὁ ἥλιος δείκνυμι προληπτέον καθόλου , διότι καί ὁ ὁ πλανάω εἰς ὁ ἕπομαι ὁ οὐρανός μετακίνησις , ὥσπερ καί ὁ εἰς ὁ ἡγέομαι φορά ὁ ὅλος , ὁμαλός μέν εἰμί πᾶς καί ἐγκύκλιος ὁ φύσις , τουτέστιν ὁ νοέω περιάγω εὐθύς ὁ ἀστήρ ἢ καί ὁ κύκλος αὐτός ἐπί πᾶς ἀπλόος ἐν ὁ ἴσος χρόνος ἴσος γωνία ἀπολαμβάνω πρός ὁ κέντρον ἕκαστος ὁ περιφορά , ὁ δέ φαίνω περί αὐτός ἀνωμαλία παρά ὁ θέσις καί τάξις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα αὐτός κύκλος , διά ὅς ποιέω ὁ κινέω , ἀποτελέω , καί οὐδείς ἀλλότριος αὐτός ὁ ἀιδιότης περί ὁ ὑπονοέω ὁ φαίνω ἀταξία ὁ εἰμί φύω συμβαίνω . ὁ δέ αἴτιος ὁ ἀνώμαλος φαντασία κατά δύο μάλιστα ὁ πρῶτος καί ἁπλόος ὑπόθεσις ἐνδέχομαι γίγνομαι . ὁ γάρ κίνησις αὐτός θεωρέω πρός ὁ ὁμόκεντρος τε ὁ κόσμος καί ἐν ὁ ἐπίπεδος ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον νοέω κύκλος , ὡς ἀδιαφορέω πρός ὁ κέντρον αὐτός ὁ ἡμέτερος ὄψις , αὐτός ἤτοι κατά μή ὁμόκεντρος ὁ κόσμος κύκλος ὁμαλός ὑποληπτέον ποιέω ὁ κινέω ἢ κατά ὁμόκεντρος μέν , οὐ ἀπλόος δέ ἐπί αὐτός , ἀλλά ἐπί ἕτερος ὑπό ἐκεῖνος φέρω , καλέω δέ ἐπίκυκλος . κατά ἑκάτερος γάρ οὗτος ὁ ὑπόθεσις ἐνδέχομαι φαίνω ὁ ἐν ἴσος αὐτός χρόνος ἄνισος φαίνω ὁ ὄψις ἐγώ διέρχομαι ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁμόκεντρος ὁ κόσμος περιφέρεια . ἐάν τε γάρ ἐπί ὁ κατά ἐκκεντρότης ὑπόθεσις νοέω ὁ μέν ἔκκεντρος κύκλος , ἐπί ὅς ὁμαλός ὁ ἀστήρ κινέω , ὁ Α Β Γ δ περί κέντρον ὁ Ε καί διάμετρος ὁ Α Ε δ , ὁ δέ Ζ σημεῖον ἐπί αὐτός ὁ ἡμέτερος ὄψις , ὥστε καί ὁ μέν Α ὁ ἀπόγαιος γίγνομαι σημεῖον , ὁ δέ δ περιγίγνομαι , ἀπολαμβάνω τε ἴσος περιφέρεια ὁ τε Α Β καί ὁ δ Ι ἐπιζεύγνυμι ὁ Β Ε καί Β Ζ καί Γ Ε καί ΓΖ , αὐτόθεν δῆλος εἰμί , διότι ὁ Α Β καί Γ δ περιφέρεια ἑκάτερος ἐν ἴσος χρόνος κινέω ὁ ἀστήρ ἄνισος δοκέω ὁ περί ὁ Ζ κέντρον γράφω κύκλος διέρχομαι περιφέρεια διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Β Ε Α γωνία ὁ ὑπό Γ Ε δ μικρός μέν γίγνομαι ὁ ὑπό Β Ζ Α ἑκάτερος αὐτός , μείζων δέ ὁ ὑπό Γ Ζ δ . ἐάν τε ἐπί ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπόθεσις νοέω ὁ μέν ὁμόκεντρος ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ Α Β Γ δ περί κέντρον ὁ Ε καί διάμετρος ὁ Α Ε Γ , ὁ δέ ἐπί αὐτός φέρω ἐπίκυκλος , ἐπί ὅς κινέω ὁ ἀστήρ , ὁ Ζ ὁ Θ Κ περί κέντρον ὁ Α , φανερός καί οὕτως αὐτόθεν εἰμί , διότι ὁ ἐπίκυκλος ὁμαλός διέρχομαι ὁ Α Β Γ δ κύκλος ὡς ἀπό ὁ Α λόγος ἕνεκα ἐπί ὁ Β καί ὁ ἀστήρ ὁ ἐπίκυκλος , ὅταν μέν κατά ὁ Ζ καί Θ γίγνομαι ὁ ἀστήρ , ἀδιάφορος φαίνω ὁ Α κέντρον ὁ ἐπίκυκλος , ὅταν δέ κατά ἄλλος , οὐκέτι , ἀλλά κατά μέν ὁ φέρω εἶπον γίγνομαι πλείων δοκέω ποιέω κίνησις ὁ ὁμαλός ὁ Α ὁ περιφέρεια , κατά δέ ὁ Κ μικρός ὁμοίως ὁ Α Κ περιφέρεια . ἐπί μέν οὖν ὁ τοιοῦτος κατά ἐκκεντρότης ὑπόθεσις ἀεί συμβαίνω ὁ μέν μικρός κίνησις κατά ὁ ἀπόγαιος παρακολουθέω , ὁ δέ μέγας κατά ὁ περιγίγνομαι , ἐπεί καί πάντοτε ὁ ὑπό Α Ζ Β γωνία μικρός εἰμί ὁ ὑπό δ Ζ Γ , ἐπί δέ ὁ κατά ἐπίκυκλος ἀμφότερος δύναμαι συμβαίνω . ὁ γάρ ἐπίκυκλος εἰς ὁ ἕπομαι ὁ οὐρανός ὁ μετάβασις ποιέω , ὡς λόγος ἕνεκα ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Β , ἐάν μέν ὁ ἀστήρ οὕτως ἐν ὁ ἐπίκυκλος ποιέω ὁ κίνησις , ὥστε ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον μετάβασις εἰς ὁ ἕπομαι πάλιν ἀποτελέω , τουτέστιν ἀπό ὁ ὡς ἐπί ὁ ὁ , κατά ὁ ἀπόγειον ὁ μέγας πάροδος γίγνομαι συμβαίνω διά ὁ ἐπί ὁ αὐτός ὁ τε ἐπίκυκλος τότε καί ὁ ἀστήρ κινέω , ἐάν δέ ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ἀστήρ μετάβασις εἰς ὁ προηγούμενος ὁ ἐπίκυκλος γίγνομαι , τουτέστιν ἀπό ὁ Ζ ὡς ἐπί ὁ Κ , κατά ὁ ἀπόγειον ἀνάπαλιν ὁ μικρός πάροδος ἀποτελέω διά ὁ εἰς ὁ ἐναντίος ὁ ὁ ἐπίκυκλος μετάβασις ὁ ἀστήρ τότε μετακινέω . οὗτος δέ οὕτως ἔχω ἐφεξῆς ἐκεῖνος προληπτέον , ὅτι τε ἐπί μέν ὁ δισσός ποιέω ἀνωμαλία ἀμφότερος ὁ ὑπόθεσις οὗτος ἐνδέχομαι συμπλέκω , ὡς ἐν ὁ περί αὐτός ἀποδείκνυμι , ἐπί δέ ὁ εἷς καί ὁ αὐτός χράομαι ἀνωμαλία καί εἷς ὁ ἔκκειμαι ὑπόθεσις ἀρκέω , καί ὅτι πᾶς ὁ φαίνω κατά ἑκάτερος αὐτός ἀπαραλλάκτως ἀποτελέω ὁ αὐτός λόγος ἐν ἀμφότερος περιέχω , τουτέστιν ὅταν , ὅς ἔχω λόγος ὁ μεταξύ ὁ κέντρον ἐπί ὁ κατά ἐκκεντρότης ὑπόθεσις ὁ τε ὄψις καί ὁ ἔκκεντρος κύκλος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ἐπί ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπόθεσις ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ φέρω αὐτός κύκλος , καί ἔτι ἐν ὅσος χρόνος ὁ ἔκκεντρος κύκλος ὁ ἀστήρ ὡς εἰς ὁ ἕπομαι ποιέω ὁ κίνησις ἀμετάπτωτος εἰμί διαπορεύω , ἐν τοσοῦτος καί ὁ μέν ἐπίκυκλος ὁ ὁμόκεντρος ὁ ὁράω κύκλος διέρχομαι πάλιν ὡς εἰς ὁ ἕπομαι μετακινέω , ὁ δέ ἀστήρ ὁ ἐπίκυκλος ἰσοταχής , ὡς μέντοι ὁ κατά ὁ ἀπόγειον μετάβασις εἰς ὁ προηγούμενος γίγνομαι . ὅτι δέ οὗτος οὕτως ὑπόκειμαι ὁ αὐτός περί ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις φαίνω συμβαίνω , διά βραχύς ἐφοδεύω διά τε ὁ λόγος αὐτός καί μετά οὗτος καί διά ὁ ἐφοδεύω ἐν αὐτός ἐπί ὁ ὁ ἥλιος ἀνωμαλία ἀριθμός . λέγω δή πρῶτος , ὅτι κατά ἑκάτερος αὐτός ὁ μέγας διαφορά γίγνομαι ὁ ὁμαλός κίνησις παρά ὁ φαίνω ἀνώμαλος , κατά ὅς καί ὁ μέσος πάροδος ὁ ἀστήρ νοέω , ὅταν ὁ φαίνω διάστασις ἀπό ὁ ἀπόγειον τεταρτημόριον ἀπολαμβάνω , καί ὅτι ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειος μέχρι ὁ εἴρω μέσος πάροδος χρόνος μείζων εἰμί ὁ ἀπό ὁ μέσος ἐπί ὁ περιγίγνομαι . ὅθεν συμβαίνω κατά μέν ὁ ὁ ἔκκεντρος ὑπόθεσις ἀεί , καί κατά ὁ ὁ ἐπίκυκλος δέ , ὅταν ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον αὐτός μετάβασις εἰς ὁ προηγούμενος γίγνομαι , ὁ ἀπό ὁ μικρός κίνησις ἐπί ὁ μέσος χρόνος μείζων γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ μέσος ἐπί ὁ μέγας διά ὁ κατά ὁ ἀπόγειον ἐν ἑκάτερος ὁ μικρός πάροδος ἀποτελέω , κατά δέ ὁ εἰς ὁ ἕπομαι ὁ ἐπίκυκλος ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον ποιέω περιαγωγή ὁ ἀστήρ ἀνάπαλιν ὁ ἀπό ὁ μέγας κίνησις ἐπί ὁ μέσος χρόνος μείζων γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ μέσος ἐπί ὁ μικρός διά ὁ καί ἐνταῦθα κατά ὁ ἀπόγειον ὁ μέγας πάροδος ἀποτελέω . ἵστημι δή πρῶτος ὁ ἔκκεντρος ὁ ἀστήρ κύκλος ὁ Α Β Γ δ περί κέντρον ὁ Ε καί διάμετρος ὁ Α Ε Γ , ἐπί ὅς λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός , τουτέστιν ὁ κατά ὁ ὄψις , καί ἵστημι ὁ Ζ , καί διά ὁ Ζ πρός ὀρθός γωνία ὁ Α Ε Γ διάγω ὁ Β Ζ δ ὑπόκειμαι ὁ ἀστήρ ἐπί ὁ Β καί δ σημεῖον , ἵνα δηλονότι τεταρτημόριον ἑκατέρωθεν ὁ φαίνω διάστασις ἀπέχω ὁ Α ἀπόγειον . δεικτέος , ὅτι πρός ὁ Β καί δ σημεῖον ὁ μέγας γίγνομαι διαφορά ὁ ὁμαλός κίνησις παρά ὁ ἀνώμαλος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὅς τε Ε Β καί ὁ Ε δ . ὅτι μέν οὖν , ὅς ἄν ἔχω λόγος ὁ ὑπό Ε Β Ζ γωνία πρός ὁ δ ὀρθός , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ ὁ παρά ὁ ἄνω - μαλιάω διάφορος περιφέρεια πρός ὁ ὅλος κύκλος , αὐτόθεν γίγνομαι φανερός , ἐπεί ὁ μέν ὑπό Α Ε Β γωνία ὁ ὁ ὁμαλός κίνησις ὑποτείνω περιφέρεια , ὁ δέ ὑπό Α Ζ Β ὁ ὁ φαίνω ἀνώμαλος , ὑπεροχή δέ αὐτός εἰμί ὁ ὑπό Ε Β Ζ γωνία . φημί δή , ὅτι οὗτος ἑκάτερος ἄλλος γωνία μείζων οὖον συνίστημι πρός ὁ ὁ Α Β Γ δ κύκλος περιφέρεια ἐπί ὁ Ε Ζ εὐθύς . συστατόω γάρ γωνία πρός ὁ Θ καί Κ σημεῖον ὁ ὑπό Ε Θ Ζ καί ὁ ὑπό Ε Κ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς τε ΘΔ καί ὁ ΚΔ . ἐπεί οὖν πᾶς τρίγωνος ὁ μείζων πλευρόν ὑπό ὁ μείζων γωνία ὑποτείνω , μείζων δέ εἰμί ὁ Θ Ζ ὁ Ζ δ , μείζων εἰμί καί ὁ ὑπό Θ δ Ζ γωνία ὁ ὑπό ΔΘΖ . ἴσος δέ εἰμί ὁ ὑπό Ε δ Θ ὁ ὑπό Ε Θ δ , ἐπεί καί ὁ Ε Θ ὁ Ε Α εἰμί ἴσος · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό Ε δ Ζ γωνία , τουτέστιν ὁ ὑπό Ε Β δ , μείζων εἰμί ὁ ὑπό Ε Θ Ζ . πάλιν ἐπεί μείζων εἰμί ὁ δ Ζ ὁ Κ Ζ , μείζων εἰμί καί ὁ ὑπό Ζ Κ δ ὁ ὑπό Ζ δ Κ ἴσος δέ εἰμί ὁ ὑπό Ε Κ δ ὅλος ὁ ὑπό Ε δ Κ , ἐπεί καί ὁ Ε Κ πάλιν ὁ Ε δ εἰμί ἴσος · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Ε δ Ζ , τουτέστιν ὁ ὑπό Ε Β Ζ , ὁ ὑπό Ε Κ Ζ εἰμί μείζων . οὐ ἄρα δυνατός ἄλλος μείζων συνίστημι γωνία , κατά ὅς εἴρω τρόπος , ὁ πρός ὁ Β καί δ σημεῖον . συναποδείκνυμι δέ , ὅτι καί ὁ ΑΒ περιφέρεια , ὅστις περιέχω ὁ ἀπό ὁ μικρός κίνησις ἐπί ὁ μέσος χρόνος , μείζων εἰμί ὁ ΒΙ ὅστις περιέχω ὁ ἀπό ὁ μέσος κίνησις ἐπί ὁ μέγας χρόνος , δύο ὁ ὁ διάφορος ὁ ἀνωμαλία περιέχω περιφέρεια , ἐπεί ὁ μέν ὑπό ΑΕΒ γωνία μείζων εἰμί ὀρθός , τουτέστιν ὁ ὑπό ΕΖΒ , ὁ ὑπό EΒΖ γωνία , ὁ δέ ὑπό ΒΕΓ μικρός ὁ αὐτός . πάλιν ἕνεκα ὁ καί ἐπί ὁ ἕτερος ὑπόθεσις δείκνυμι ὁ αὐτός συμβαίνω ἵστημι ὁ μέν ὁμόκεντρος ὁ κόσμος κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ δ καί διάμετρος ὁ ΑΔΒ , ὁ δέ ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος φέρω ἐπί αὐτός ἐπίκυκλος ὁ Ε ΖΗ περί κέντρον ὁ Α , καί ὑπόκειμαι ὁ ἀστήρ κατά ὁ ὁ , ὅταν τεταρτημόριον ἀπέχω φαίνω ὁ κατά ὁ ἀπόγειον σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς τε Α καί δΗΓ . λέγω , ὅτι ὁ ΔHΓ ἐφάπτω ὁ ἐπίκυκλος · τότε γάρ ὁ πλεῖστος γίγνομαι διάφορος ὁ ὁμαλός κίνησις παρά ὁ Ἀνώ - μῆλον . ἐπεί γάρ ὁ μέν ὁμαλός ἀπό ὁ ἀπόγειον κίνησις περιέχω ὑπό ὁ ὑπό ἐάω γωνία · ἰσοταχής γάρ ὅς τε ἀστήρ ὁ ἐπίκυκλος καί ὁ ἐπίκυκλος ὁ ΑΒΓ κύκλος διέρχομαι · ὁ δέ διάφορος ὁ ὁμαλός κίνησις παρά ὁ φαίνω ὑπό ὁ ὑπό ΑΔΗ γωνία περιέχω , φανερός , ὅτι καί ὁ ὑπεροχή ὁ ὑπό ἐάω γωνία πρός ὁ ὑπό ΑΔΗ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΗΔ γωνία , ὁ φαίνω ὁ ἀστήρ ἀπό ὁ ἀπόγειον διάστασις περιέχω . ὥστε ἐπεί ὑπόκειμαι οὗτος τεταρτημόριον , ὀρθός μέν εἰμί καί ὁ ὑπό ΑΗΔ γωνία , ἐφάπτω δέ διά οὗτος καί ὁ δΗΓ εὐθύς ὁ ΕΖΗ ἐπίκυκλος . ὁ ΑΓ ἄρα περιφέρεια μεταξύ ὁ Α κέντρον καί ὁ ἐφάπτω ὁ μέγας εἰμί διαφορά ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία . καί κατά ὁ αὐτός ὁ ΕΗ περιφέρεια , ὅστις περιέχω κατά ὁ ἐνταῦθα ὑπόκειμαι ἐπί ὁ ἐπίκυκλος μετάβασις ὁ ἀπό ὁ μικρός κίνησις ἐπί ὁ μέσος χρόνος , μείζων εἰμί ὁ ΗΖ , ὅστις περιέχω ὁ ἀπό ὁ μέσος κίνησις ἐπί ὁ μέγας χρόνος , δύο ὁ ΑΓ περιφέρεια , ἐπεί , ἐάν ἐκβάλλω ὁ ΔΒΘ καί ἄγω ὁ ΕΖ πρός ὀρθός γωνία ὁ ΑΚΘ , Ἴσαι μέν γίγνομαι ὅς τε ὑπό καίω γωνία ὁ ὑπό ΑΔΓ καί ὁ ΚΗ περιφέρεια τῆ ΑΓ ὅμοιος , οὗτος δέ ὁ εἷς τεταρτημόριον μείζων μέν εἰμί ὁ ἔκω , μικρός δέ ὁ ΖΗ ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ὅτι δέ καί ἐπί ὁ κατά μέρος κίνησις ἐπί ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις ἐν ὁ ἴσος χρόνος ὁ αὐτός γίγνομαι πᾶς περί τε ὁ ὁμαλός καί ὁ φαίνω κινέω καί ἔτι ὁ ὑπεροχή αὐτός , τουτέστιν ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος , ἐντεῦθεν ἄν τις μάλιστα καταμανθάνω . ἵστημι γάρ ὁ μέν ὁμόκεντρος ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ δ , ὁ δέ ἔκκεντρος μέν , ἴσος δέ ὁ ΑΒΓ ὁμόκεντρος , ὁ ΕΖ περί κέντρον ὁ Θ , κοινός δέ ἀμφότερος διάμετρος διά ὁ δ καί Θ κέντρον καί ὁ Ε ἀπόγειον ὁ ΑΘ , καί ἀπολαμβάνω ἐπί ὁ ὁμόκεντρος τυγχάνω περιφέρεια ὁ ΑΒ κέντρον ὁ Β , διάστημα δέ ὁ ΔΘ γράφω ὁ ΚΖ ἐπίκυκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΒΔ . λέγω , ὅτι ὁ μέν ἀστήρ ὑπό ἑκάτερος ὁ κίνησις ἐπί ὁ Ζ τομή ὁ ἔκκεντρος καί ὁ ἐπίκυκλος πάντως κατά ὁ ἴσος χρόνος φέρω , τουτέστιν ὁ γ περιφέρεια ὅμοιος εἰμί ἀλλήλων ὅς τε ΕΖ ὁ ἔκκεντρος καί ὁ ΑΒ ὁ ὁμόκεντρος καί ὁ ΚΖ ὁ ἐπίκυκλος , ὁ δέ διαφορά ὁ ὁμαλός κίνησις παρά ὁ ἀνώμαλος καί ὁ φαίνω ὁ ἀστήρ πάροδος κατά ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις ὅμοιος καί ὁ αὐτός συμβαίνω . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὅς τε ΖΘ καί ὁ ΒΖ καί ἔτι ὁ ΔΖ . ἐπεί τετράπλευρος ὁ ΒΔΘΖ ὁ ἀπεναντίον πλευρά Ἴσαι εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , ὁ μέν ΖΘ ὁ ΒΔ , ὁ δέ ΒΖ ὁ ΔΘ , παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΑΒΖ τετράπλευρος . Ἴσαι ἄρα εἰμί ὁ γ γωνία ὅς τε ὑπό ΕΘΖ καί ὁ ὑπό ΑΔΒ καί ὁ ὑπό ΖΒΚ ὥστε ἐπεί πρός ὁ κέντρον εἰμί , καί ὁ ὑποτείνω ὑπό αὐτός περιφέρεια ὅμοιος ἀλλήλων γίγνομαι ὁ τε ΕΖ ὁ ἔκκεντρος καί ὁ ΑΒ ὁ ὁμόκεντρος καί ὁ ΚΖ ὁ ἐπίκυκλος . κατά ἀμφότερος ἄρα ὁ κινέω ἐν ὁ ἴσος χρόνος ἐπί ὁ αὐτός σημεῖον ὁ Ζ φέρω ὁ ἀστήρ καί ὁ αὐτός ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος περιφέρεια ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ Α Λ φαίνω διέρχομαι , εἰμί τε ἀκόλουθος καί ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος ὁ αὐτός κατά ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις , ἐπεί ὁ τοιοῦτος διαφορά δείκνυμι περιέχω ἐπί μέν ὁ κατά ἐκκεντρότης ὑπόθεσις ὑπό ὁ ὑπό δΖΘ γωνία , ἐπί δέ ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπό ὁ ὑπό Β δ Ζ , καί οὗτος δέ Ἴσαι τε καί ἐναλλάξ γίγνομαι διά ὁ παράλληλος δείκνυμι ὁ ΖΘ ὁ ΒΔ . δῆλος δέ , ὅτι καί ἐπί πᾶς ὁ διάστασις ὁ αὐτός παρακολούθησις παραλληλόγραμμος πάντοτε γίγνομαι ὁ ΘΔΖΒ τετράπλευρος καί γράφω ὁ ἔκκεντρος κύκλος ὑπό αὐτός ὁ κατά ὁ ἐπίκυκλος ὁ ἀστήρ μετάβασις , ὅταν ὁ λόγος κατά ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις ὁμοῖος τε καί ἴσος συμβαίνω . ὅτι δέ , κἀν ὅμοιος μόνος εἰμί , ἄνισος δέ ὁ μέγεθος , ὁ αὐτός πάλιν φαίνω συμβαίνω , φανερός καί οὕτως γίγνομαι . ἵστημι γάρ ὡσαύτως ὁ μέν ὁμόκεντρος ὁ κόσμος κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ δ καί διάμετρος , κατά ὅς ἀπόγειος τε καί περίγειος ὁ ἀστήρ γίγνομαι , ὁ ΑΔΓ ὁ δέ περί ὁ Β ἐπίκυκλος ἀπέχω ἀπό ὁ Α ἀπόγειον ὁ ΑΒ τυγχάνω περιφέρεια , καί κινέω ὁ ἀστήρ ὁ Ε Ζ περιφέρεια ὅμοιος γίγνομαι δηλονότι ὁ ΑΒ διά ὁ ἰσοχρόνιος εἰμί ὁ ὁ κύκλος ἀποκατάστασις , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς τε δΒΕ καί ὁ ΒΖ καί ὁ ΔΖ . ὅτι μέν οὖν Ἴσαι τε εἰμί πάντοτε ὅς τε ὑπό ΑΔΕ γωνία καί ὁ ὑπό ΖΒΕ , καί ὅτι ἐπί ὁ ΔΖ εὐθύς ὁ ἀστήρ φαίνω , κατά οὗτος ὁ ὑπόθεσις αὐτόθεν εἰμί δῆλος . λέγω δέ , ὅτι καί διά ὁ κατά ἐκκεντρότης , ἐάν τε μείζων ἐάν τε μικρός εἰμί ὁ ἔκκεντρος ὁ ΑΒΓ ὁμόκεντρος , ὁ τε ὁ λόγος ομιοιοτης μόνος ὑπόκειμαι καί ὁ ὁ ἀποκατάστασις ἰσοχρονιότης ἐπί ὁ αὐτός πάλιν εὐθύς ὁ δ φαίνω ὁ ἀστήρ . γράφω γάρ μείζων μέν , ὡς φημί , ἔκκεντρος ὁ ΗΘ περί κέντρον ἐπί ὁ ΑΓ ὁ Κ , μικρός δέ ὁ ΑΜ περί κέντρον ὁμοίως ὁ Ν , καί ἐκβάλλω ὁ τε ΔΜΖΘ καί ὁ ΔΑΔ ἐπιζεύγνυμι ὅς τε ΘΚ καί ὁ ΜΝ . ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ δ Β πρός Β Ζ , οὕτως ὅς τε ΘΚ πρός ΚΔ καί ὁ ΜΝ πρός ΝΔ , καί γωνία ὁ ὑπό ΒΖΔ γωνία ὁ ὑπό ΜΔΝ ἴσος διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ ΔΑ ὁ ΒΖ , ἰσογώνιος εἰμί ὁ γ τρίγωνος καί ὁ ὑπό ὁ ἀνάλογος πλευρά γωνία Ἴσαι ὅς τε ὑπό ΒΔΖ καί ὁ ὑπό ΔΘΚ καί ὁ ὑπό ΔΜΝ παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΒΔ καί ΘΚ καί ΜΝ εὐθύς . ὥστε καί γωνία ὁ ὑπό ΑΔΒ καί ὁ ὑπό ΑΚΘ καί ὁ ὑπό ΑΜ Ἴσαι εἰμί . καί ἐπεί πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ κύκλος , ὅμοιος εἰμί καί ὁ ἔπος αὐτός περιφέρεια ὅς τε ΑΒ καί ΗΘ καί δΜ ἐν ὁ ἴσος ἄρα χρόνος οὖον μόνος ὅς τε ἐπίκυκλος ὁ ΑΒ περιφέρεια καί ὁ ἀστήρ ὁ ΕΖ διέρχομαι , ἀλλά καί ἐπί ὁ ἔκκεντρος ὁ ἀστήρ ὁ τε ΗΘ καί ὁ ΛΜ διέρχομαι εἰμί , καί ἐπί ὁ αὐτός εὐθύς πάντοτε ὁ ΔΜΖΘ διά οὗτος θεωρέω καί κατά μέν ὁ ἐπίκυκλος ἐπί ὁ σημεῖον γίγνομαι , κατά δέ ὁ μείζων ἔκκεντρος ἐπί ὁ Θ , κατά δέ ὁ μικρός ἐπί ὁ Μ , καί ἐπί πᾶς ὁ θέσις ὁμοίως . ἐπισυμβαίνω δέ , ὅτι καί , ὅταν ἴσος περιφέρεια ὁ ἀστήρ ἀπολαμβάνω φαίνω ἀπό τε ὁ ἀπόγειον καί ὁ περίγειος , ἴσος εἰμί κατά ἑκάτερος θέσις ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος . ἐπί τε γάρ ὁ κατά ἐκκεντρότης , ἐάν γράφω ὁ ΑΒΓΔ ἔκκεντρος κύκλος περί κέντρον ὁ Ε καί διάμετρος ὁ ΑΕΓ διά ὁ Α ἀπόγειον ὁ ὄψις ὑπόκειμαι ἐπί αὐτός κατά ὁ Ζ σημεῖον καί διά ὁ Ζ ὁ ΒΖ δ τυγχάνω διάγω ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ καί ΕΔ , ὁ τε φαίνω πάροδος Ἴσαι τε καί ἀπεναντίον εἰμί , τουτέστιν ὅς τε ὑπό ΑΖΒ γωνία ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον καί ὁ ὑπό ΓΖΔ ὁ ἀπό ὁ περίγειος , ὁ τε παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος ὁ αὐτός εἰμί διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΒΕ ὁ ΕΔ , ὁ δέ ὑπό ΕΒΖ γωνία ὁ ὑπό ΕΔΖ ὥστε ὁ αὐτός διάφορος ὁ φαίνω περιφέρεια , τουτέστιν ὁ ὑπό ἑκάτερος ὁ ὑπό ΑΖΒ καί ΓΖ δ γωνία περιέχω , μείζων μέν γίγνομαι ὁ ἀπό ὁ Α ἀπόγειον ὁ ὁμαλός κίνησις περιφέρεια , μικρός δέ ὁ ἀπό ὁ Γ περίγειος ὁ ὁμαλός κίνησις περιφέρεια , διά ὁ καί ὁ μέν ὑπό ΑΕΒ γωνία μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΑΖΒ , ὁ δέ ὑπό ΓΕΔ μικρός ὁ ὑπό ΓΖΔ . καί ἐπί ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπόθεσις , ἐάν γράφω ὁ μέν ὁμόκεντρος ὁμοίως κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ δ καί διάμετρος ὁ ΑΔΓ , ὁ δέ ἐπίκυκλος ὁ ΕΖΗ περί κέντρον ὁ Α , καί διάγω ὁ ΔΖΗ τυγχάνω ἐπιζεύγνυμι ὁ αζʹ καί ΑΗ , ὁ μέν ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος περιφέρεια ὁ ΑΒ ὁ αὐτός πάλιν εἰμί ὑπόκειμαι κατά ἀμφότερος ὁ θέσις , τουτέστιν ἐάν τε κατά ὁ Ζ ἐάν τε κατά ὁ ὁ ἀστήρ , καί ἴσος δέ ἀπέχω φαίνω ἀπό τε ὁ κατά ὁ ἀπόγειον σημεῖον ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον , ὅταν κατά ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ κατά ὁ περίγειον , ὅταν κατά ὁ ὁ , ἐπεί ὁ μέν ἀπό ὁ ἀπόγειον φαίνω περιφέρεια περιέχω ὑπό ὁ ὑπό δΖΑ γωνία · ὑπεροχή γάρ εἰμί δείκνυμι ὁ τε ὁμαλός κίνησις καί ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος · ὁ δέ ἀπό ὁ περίγειος φαίνω περιέχω ὑπό ὁ ὑπό ΖΗΑ γωνία · ἴσος γάρ εἰμί καί αὐτός ὁ τε ἀπό ὁ περίγειος ὁμαλός κινέω καί ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος · ἴσος δέ εἰμί καί ὁ ὑπό δΖΑ γωνία ὁ ὑπό ΖΗΑ διά ὁ καί ὁ αζʹ ὁ ΑΗ ἴσος εἰμί . ὥστε καί ἐντεῦθεν πάλιν συνάγω , ὅτι ὁ αὐτός διάφορος , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΔΗ γωνία , μείζων μέν εἰμί ὁ πρός ὁ ἀπόγειον μέσος ὁ φαίνω , τουτέστιν ὁ ὑπό ΕΑΖ γωνία ὁ ὑπό ΑΖΔ , μικρός δέ ὁ πρός ὁ περίγειος μέσος ὁ φαίνω ὁ αὐτός εἰμί , τουτέστιν ὁ ὑπό ΗΑΔ γωνία ὁ ὑπό ΑΗΖ · ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι .