claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 12.3
γ΄ . Ἀπόδειξις τῶν τοῦ τοῦ Διὸς προηγήσεων . Ἐπὶ δὲ τοῦ τοῦ Διὸς ἀστέρος κατὰ μὲν τοὺς περὶ τὸ μέσον ἀπόστημα λογισμοὺς ὁ μὲν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ΓΖ λόγος συνάγεται τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ ι να κθ , ὁ δὲ τῆς ΕΓ πρὸς τὴν ΖΓ ὁ τῶν ιβ να κθ πρὸς τὰ ι να κθ , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ρλθ λ λθ , καὶ πάλιν ὁ μὲν τῆς Γ πρὸς τὴν Α∠ ὁ τῶν ξ πρὸς τὰ ια λ , ὁ δὲ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ΓΗ ὁ τῶν οα λ πρὸς τὰ μη λ , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον γυξζ με . τῶν δʼ ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων κδ θ ἡ πλευρὰ τὰ δ νθ α πολυπλασιασθέντα ἐπὶ τὸν ἐκκείμενον λόγον τῶν ΘΖ καὶ ΖΓ τὴν μὲν ΘΖ ποιεῖ πρὸς τὰς ἐκκειμένας τῶν ΓΑ καὶ ΑΖ πηλικότητας δ νθ α , τὴν δὲ ΓΖ τῶν αὐτῶν νδ ϛ μδ , τὴν δὲ ΓΘ ὅλην νθ ε με · διὰ τοῦτο δὲ καὶ πρὸς μὲν τὸν τῶν λόγον ἑκατέρας τῶν Α Ζ καὶ ΑΓ ὑποτεινουσῶν ἡ μὲν ΘΖ εὐθεῖα γίγνεται νβ ο ι , ἡ δὲ ΓΘ ὁμοίως ριη ια λ , τῶν δʼ ἐπʼ αὐτῶν περιφερειῶν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΖΘ μοιρῶν να κα μα , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς Γ Θ μοιρῶν ρξ δ νε . ἀκολούθως δὲ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Ζ ΑΘ γωνία συνάγεται τοιούτων κε μ ν ἔγγιστα , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ τῶν αὐτῶν π β κη , τῶν δὲ λοιπῶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΓΑ τῆς παρὰ τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος προηγήσεως μοιρῶν θ νζ λβ , ἡ δὲ ὑπὸ Ζ ΑΗ τῶν τῆς φαινομένης ἀνωμαλίας μοιρῶν νδ κα λη . ταύταις δʼ ἐπιβαλλουσῶν κατὰ τοὺς ἐκκειμένους λόγους τῆς κατὰ μῆκος παρόδου μοιρῶν ε α κδ καὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς προηγήσεως γίνεται μοιρῶν δ νϚ η καὶ ἡμερῶν ξ U+2220΄ ἔγγιστα , ἡ δὲ ὅλη προήγησις μοιρῶν θ νβ ιϚ καὶ ἡμερῶν ρκα , τὸ δὲ περὶ τὴν ἀποχὴν τῶν ε μοιρῶν τοῦ τε ἀπογείου καὶ τοῦ περιγείου διάστημα ἀδιαφόρῳ τοῦ μὲν μεγίστου ἔλασσον , τοῦ δὲ ἐλαχίστου μεῖζον . κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸ μέγιστον ἀπόστημα ἐπιλογισμοὺς ἡ μὲν τῆς διευκρινήσεως προσθαφαίρεσις εὑρίσκεται ἑξηκοστῶν ε Ϛ · διὰ τοῦτο δὲ καὶ ὁ μὲν τῆς ΘΖ πρὸς τὴν Γ Ζ λόγος ὁ τῶν ο νδ ν πρὸς τὰ ι νᾷ λθ , ὁ δὲ τῆς ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ ὁ τῶν ιβ μϛ ιθ πρὸς τὰ νϚ λθ , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ρλθ μϚ μβ . καὶ πάλιν ὁ μὲν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑU+2220 λόγος ὁ τῶν ξβ με πρὸς τὰ ια λ , ὁ δὲ τῆς U+2220Γ πρὸς τὴν ΓH ὁ τῶν οδ ιε πρὸς τὰ να ιε , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον γωε ιη με . τῶν δὲ ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων κζ ιγ κϛ ἡ πλευρὰ τὰ ε ι δ πολυπλασιασθέντα ἐπὶ τὸν ἐκκείμενον λόγον τῶν Θ Ζ καὶ ΖΓ εὐθειῶν τὴν μὲν ΖΘ ποιεῖ πρὸς τὰς ἐκκειμένας τῶν ΓΑ καὶ Α πηλικότητας δ μϛ Ϛ , τὴν δὲ Γ τῶν αὐτῶν νζ ϛ ιθ , τὴν δὲ ΓΘ ὅλην ξα νβ κε . διὰ τοῦτο δὲ καὶ πρὸς μὲν τὸν τῶν ρκ λόγον ἑκατέρας τῶν ΑΖ καὶ ΑΓ ὑποτεινουσῶν ἡ μὲν ΖΘ γίνεται μθ με κγ , ἡ δὲ ΓΘ ὁμοίως ριη ιθ κζ , τῶν δʼ ἐπʼ αὐτῶν περιφερειῶν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ζ μοιρῶν μη νθ λδ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς Γ Θ μοιρῶν ρξ μθ λϛ . ταύταις δʼ ἀκολούθως καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Ζ ΑΘ γωνία τοιούτων κδ κθ μζ , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ τῶν αὐτῶν π κδ μη . καὶ τῶν λοιπῶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΓΑ τῆς παρὰ τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος προηγήσεως μοιρῶν θ λε ιβ , ἡ δὲ ὑπὸ Ζ ΑΗ τῶν τῆς φαινομένης ἀνωμαλίας μοιρῶν νε νε α · αἷς ἐπιβαλλουσῶν κατὰ τοὺς ἀπογείους λόγους τοῦ μὲν διευκρινημένου μήκους μοιρῶν δ μ λε , τοῦ δὲ περιοδικοῦ μοιρῶν ε ϛ λε , καὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς προηγήσεως γίνεται μοιρῶν δ νδ λζ καὶ ἡμερῶν ξα U+2220ʹ ἔγγιστα , ἡ δὲ ὅλη προήγησις μοιρῶν θ μθ ιδ καὶ ἡμερῶν ρκγ . κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα λογισμοὺς ἡ μὲν τῆς διευκρινήσεως προσθαφαίρεσις εὑρίσκεται ἑξηκοστῶν ?? . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ὁ μὲν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ λόγος ὁ τῶν α ε μ πρὸς τὰ ι με μθ , ὁ δὲ τῆς ΕΓ πρὸς τὴν ΖΓ ὁ τῶν ιβ νζ θ πρὸς τὰ ι με μθ , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ρλθ κδ νϚ . καὶ πάλιν ὁ μὲν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν Α Α∠ λόγος ὁ τῶν νζ ιε πρὸς τὰ ια λ , ὁ δὲ τῆς U+2220Γ πρὸς τὴν ΓΗ ὁ τῶν ξη με πρὸς τὰ με με , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον γρμε ιη με . τῶν δʼ ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων κβ λγ λθ ἡ πλευρὰ τὰ δ με Ο πολυπλασιασθέντα ἐπὶ τὸν ἐκκείμενον λόγον τῶν Θ Ζ καὶ ΖΓ εὐθειῶν τὴν μὲν ΘΖ ποιεῖ πρὸς τὰς ἐκκειμένας τῶν ΓΑ καὶ Α πηλικότητας ε ια νε , τὴν δὲ Ζ τῶν αὐτῶν να ζ λη , τὴν δὲ ΓΘ ὅλην νϚ ιθ λγ . διὰ τοῦτο δὲ καὶ πρὸς μὲν τὸν τῶν ρκ λόγον ἑκατέρας τῶν Ζ Α καὶ ΑΓ ὑποτεινουσῶν ἡ μὲν ΖΘ γίνεται νδ ιδ μζ , ἡ δὲ ΓΘ ὁμοίως ριη γ μϛ , τῶν δὲ ἐπʼ οὐτων περιφερειῶν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΖΘ μοιρῶν νγ μὲ δ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς Γ Θ μοιρῶν ρνθ κβ μ . ταύταις δʼ ἀκολούθως καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΘ γωνία τοιούτων κϚ νβ λβ , οἵων εἰσὶν αἱ ὁ ὀρθαὶ τξ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ τῶν αὐτῶν οθ μᾶ κ . καὶ τῶν λοιπῶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΓΑ τῆς παρὰ τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος προηγήσεως μοιρῶν ι ιη μ , ἡ δὲ ὑπὸ Ζ ΑΗ τῶν τῆς φαινομένης ἀνωμαλίας μοιρῶν νβ μη μη · αἷς ἐπιβαλλουσῶν κατὰ τοὺς ἐπὶ τοῦ περιγείου λόγους τοῦ μὲν διευκρινημένου μήκους μοιρῶν ε κα κ , τοῦ δὲ περιοδικοῦ μοιρῶν δ νδ κ , καὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς προηγήσεως συνάγεται μοιρῶν δ νζ κ καὶ ἡμερῶν νθ ἔγγιστα , ἡ δὲ ὅλη προήγησις μοιρῶν θ νδ μ καὶ ἡμερῶν ριη .
Lemmas: Γ΄ . Ἀπόδειξις ὁ ὁ ὁ Ζεύς προήγησις . ἐπί δέ ὁ ὁ Ζεύς ἀστήρ κατά μέν ὁ περί ὁ μέσος ἀπόστημα λογισμός ὁ μέν ὁ Θ Ζ πρός ὁ ΓΖ λόγος συνάγω ὁ εἷς πρός ὁ ι νάω κθʹ , ὁ δέ ὁ ΕΓ πρός ὁ ΖΓ ὁ ὁ Ἶβ νάω κθʹ πρός ὁ ι νάω κθʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος ρλθʹ λ λθʹ , καί πάλιν ὁ μέν ὁ Γ πρός ὁ Α∠ ὁ ὁ ξ πρός ὁ ἰά λ , ὁ δέ ὁ Γ∠ πρός ὁ ΓΗ ὁ ὁ ὄα λ πρός ὁ μη λ , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος γυξζ ἐγώ . ὁ δέ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι ΚΔ θ ὁ πλευρόν ὁ δ νθʹ ὅς πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ ΘΖ καί ΖΓ ὁ μέν ΘΖ ποιέω πρός ὁ ἔκκειμαι ὁ ΓΑ καί αζʹ πηλικότης δ νθʹ ὅς , ὁ δέ ΓΖ ὁ αὐτός νδʹ ϛ μδʹ , ὁ δέ ΓΘ ὅλος νθʹ ε ἐγώ · διά οὗτος δέ καί πρός μέν ὁ ὁ λόγος ἑκάτερος ὁ Α Ζ καί ΑΓ ὑποτείνω ὁ μέν ΘΖ εὐθύς γίγνομαι νβʹ ὁ ι , ὁ δέ ΓΘ ὁμοίως ριος ἰά λ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια ὁ μέν ἐπί ὁ ΖΘ μοῖρα νάω ἄν μή , ὁ δέ ἐπί ὁ Γ Θ μοῖρα ρξʹ δ νε . ἀκόλουθος δέ καί ὁ μέν ὑπό Ζ ΑΘ γωνία συνάγω τοιοῦτος κε μ Ν ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁ αὐτός π Β καί , ὁ δέ λοιπός ὁ μέν ὑπό ΓΖ ὁ παρά ὁ τάχος ὁ ἀστήρ προήγησις μοῖρα θ νζʹ λβʹ , ὁ δέ ὑπό Ζ ΑΗ ὁ ὁ φαίνω ἀνωμαλία μοῖρα νδʹ ἄν λα . οὗτος δέ ἐπιβάλλω κατά ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ κατά μῆκος πάροδος μοῖρα ε ὅς ΚΔ καί ὁ μέν ἥμισυς ὁ προήγησις γίγνομαι μοῖρα δ νϚʹ ὁ καί ἡμέρα ξ U+2220΄ ἔγγιστος , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα θ νβʹ ιϚʹ καί ἡμέρα ρκαʹ , ὁ δέ περί ὁ ἀποχή ὁ ε μοῖρα ὁ τε ἀπόγειον καί ὁ περίγειος διάστημα ἀδιάφορος ὁ μέν μέγας μικρός , ὁ δέ μικρός μείζων . κατά δέ ὁ περί ὁ μέγας ἀπόστημα ἐπιλογισμός ὁ μέν ὁ διευκρίνησις προσθαφαίρεσις εὑρίσκω ἑξηκοστός ε Ϛ · διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ὁ ΘΖ πρός ὁ Γ Ζ λόγος ὁ ὁ ὁ νδʹ Ν πρός ὁ ι νάω λθʹ , ὁ δέ ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΖ ὁ ὁ Ἶβ μϛʹ ιθʹ πρός ὁ νϚʹ λθʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος ρλθʹ μϛʹ μβʹ . καί πάλιν ὁ μέν ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑU+2220 λόγος ὁ ὁ ξβʹ ἐγώ πρός ὁ ἰά λ , ὁ δέ ὁ U+2220Γ πρός ὁ ΓH ὁ ὁ οδʹ εἶμι πρός ὁ νάω εἶμι , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος γωε ἔρχομαι ἐγώ . ὁ δέ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι κζ ιγʹ κϛʹ ὁ πλευρόν ὁ ε ι δ πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ Θ Ζ καί ΖΓ εὐθύς ὁ μέν ΖΘ ποιέω πρός ὁ ἔκκειμαι ὁ ΓΑ καί Α πηλικότης δ μϛʹ Ϛ , ὁ δέ Γ ὁ αὐτός νζʹ ϛ ιθʹ , ὁ δέ ΓΘ ὅλος ξαʹ νβʹ κε . διά οὗτος δέ καί πρός μέν ὁ ὁ ρκʹ λόγος ἑκάτερος ὁ αζʹ καί ΑΓ ὑποτείνω ὁ μέν ΖΘ γίγνομαι μθʹ ἐγώ κγʹ , ὁ δέ ΓΘ ὁμοίως ριος ιθʹ κζ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια ὁ μέν ἐπί ὁ Ζ μοῖρα μη νθʹ λδʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ Γ Θ μοῖρα ρξʹ μθʹ λϛ . οὗτος δέ ἀκόλουθος καί ὁ μέν ὑπό Ζ ΑΘ γωνία τοιοῦτος ΚΔ κθʹ μζʹ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁ αὐτός π ΚΔ μη . καί ὁ λοιπός ὁ μέν ὑπό ΓΖ ὁ παρά ὁ τάχος ὁ ἀστήρ προήγησις μοῖρα θ λεʹ Ἶβ , ὁ δέ ὑπό Ζ ΑΗ ὁ ὁ φαίνω ἀνωμαλία μοῖρα νε νε ὅς · ὅς ἐπιβάλλω κατά ὁ ἀπόγειος λόγος ὁ μέν διευκρίνω μῆκος μοῖρα δ μ λεʹ , ὁ δέ περιοδικός μοῖρα ε ϛ λεʹ , καί ὁ μέν ἥμισυς ὁ προήγησις γίγνομαι μοῖρα δ νδʹ λζʹ καί ἡμέρα ξαʹ U+2220ʹ ἔγγιστος , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα θ μθʹ ιδʹ καί ἡμέρα ρκγʹ . κατά δέ ὁ περί ὁ μικρός ἀπόστημα λογισμός ὁ μέν ὁ διευκρίνησις προσθαφαίρεσις εὑρίσκω ἑξηκοστός ?? . διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ὁ Θ Ζ πρός ὁ ΖΓ λόγος ὁ ὁ ὅς ε μ πρός ὁ ι ἐγώ μθʹ , ὁ δέ ὁ ΕΓ πρός ὁ ΖΓ ὁ ὁ Ἶβ νζʹ θ πρός ὁ ι ἐγώ μθʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος ρλθʹ ΚΔ νϚʹ . καί πάλιν ὁ μέν ὁ ΓΑ πρός ὁ Α Α∠ λόγος ὁ ὁ νζʹ εἶμι πρός ὁ ἰά λ , ὁ δέ ὁ U+2220Γ πρός ὁ ΓΗ ὁ ὁ ξέω ἐγώ πρός ὁ ἐγώ ἐγώ , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιέχω ὀρθογώνιος γρμε ἔρχομαι ἐγώ . ὁ δέ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι κβʹ λγʹ λθʹ ὁ πλευρόν ὁ δ ἐγώ ὁ πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ Θ Ζ καί ΖΓ εὐθύς ὁ μέν ΘΖ ποιέω πρός ὁ ἔκκειμαι ὁ ΓΑ καί Α πηλικότης ε ἰά νε , ὁ δέ Ζ ὁ αὐτός νάω ζ λα , ὁ δέ ΓΘ ὅλος νϚʹ ιθʹ λγʹ . διά οὗτος δέ καί πρός μέν ὁ ὁ ρκʹ λόγος ἑκάτερος ὁ Ζ Α καί ΑΓ ὑποτείνω ὁ μέν ΖΘ γίγνομαι νδʹ ιδʹ μζʹ , ὁ δέ ΓΘ ὁμοίως ριος γ μϛʹ , ὁ δέ ἐπί οὐτάω περιφέρεια ὁ μέν ἐπί ὁ ΖΘ μοῖρα νγʹ ἐγώ δ , ὁ δέ ἐπί ὁ Γ Θ μοῖρα ρνθ κβʹ μ . οὗτος δέ ἀκόλουθος καί ὁ μέν ὑπό ΑΘ γωνία τοιοῦτος κϚʹ νβʹ λβʹ , οἷος εἰμί ὁ ὁ ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁ αὐτός οθ Μᾶ Κ . καί ὁ λοιπός ὁ μέν ὑπό ΓΖ ὁ παρά ὁ τάχος ὁ ἀστήρ προήγησις μοῖρα ι ἔρχομαι μ , ὁ δέ ὑπό Ζ ΑΗ ὁ ὁ φαίνω ἀνωμαλία μοῖρα νβʹ μη μη · ὅς ἐπιβάλλω κατά ὁ ἐπί ὁ περίγειος λόγος ὁ μέν διευκρίνω μῆκος μοῖρα ε ἄν Κ , ὁ δέ περιοδικός μοῖρα δ νδʹ Κ , καί ὁ μέν ἥμισυς ὁ προήγησις συνάγω μοῖρα δ νζʹ Κ καί ἡμέρα νθʹ ἔγγιστος , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα θ νδʹ μ καί ἡμέρα ριος .