claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 12.2
β΄ . Ἀπόδειξις τῶν τοῦ τοῦ Κρόνου προηγήσεων . Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐκθησόμεθα λοιπὸν τὸν τῶν προηγήσεων ἐπιλογισμὸν καθʼ ἕκαστον τῶν ἀστέρων ἀκολούθως ταῖς ἀποδεδειγμέναις ὑποθέσεσιν ἀπὸ τοῦ τοῦ Κρόνου ποιησάμενοι τὴν ἀρχὴν τρόπῳ τοιῷδε · ἔστω γὰρ ὁ κύκλος ὁ τὸ κέντρον φέρων τοῦ ἐπικύκλου ὁ ΑΒ περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ Β , ἐφʼ ἧς ὑποκείσθω τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ , τουτέστιν ἡ ὄψις ἡμῶν , κατὰ τὸ Γ , καὶ γραφέντος περὶ τὸ Α κέντρον τοῦ ∠ΕΖΗ ἐπικύκλου διήχθω ἡ ΓΖΕ εὐθεῖα οὕτως , ὥστε καθέτου ἐπʼ αὐτὴν ἀχθείσης τῆς ΑΘ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΕΖ , τουτέστιν τὴν Θ Ζ , πρὸς τὴν ΖΓ λόγον ἔχειν , ὃν τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος · ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ὁ ἐπίκυκλος κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα τὴν θέσιν ἔχων , ὥστε τὰς περιοδικὰς κινήσεις μήκους τε καὶ ἀνωμαλίας τὰς αὐτὰς ἔγγιστα γίνεσθαι ταῖς πρὸς τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ θεωρουμέναις . ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τοῦ τοῦ Κρόνου ἀστέρος , οἵων ἐστὶν ἡ ΓΑ τοῦ μέσου ἀποστήματος ξ , τοιούτων ἐδείξαμεν τὴν Α ∠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ϛ U+2220΄ , ὥστε τὴν μὲν ∠γ ὅλην γίνεσθαι ξϚ λ , λοιπὴν δὲ τὴν ΓΗ τῶν αὐτῶν νγ λ , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιχόμενον ὀρθογώνιον γφνζ με , ἴσον δέ ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν ∠Γ , ΓΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ὑπὸ τῶν ΕΓ . ΓΖ περιεχομένῳ , ἕξομεν καὶ τὺ ὑπὸ ΕΓ ΓΖ τῶν αὐτῶν γφνζ με . πάλιν , ἐπεὶ ταῖς μέσαις παρόδοις ἀκολούθως , οἵου ἐστὶν ἑνὸς τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου , τουτέστιν ἡ Θ Ζ εὐθεῖα , τοιούτων ἐστὶν κη κε μϛ ἔγγιστα τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος , τουτέστιν ἡ ΖΓ εὐθεῖα , ὥστε καὶ τὴν μὲν ΕΓ ὅλην συνάγεσθαι λ κε μϛ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΓ , Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῶν αὐτῶν ωξε ε λβ , ἐὰν παραβάλωμεν παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῶν ωξε ε λβ τὰ γφνζ με καὶ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων δ ϛ με τὴν πλευρὰν λαβόντες τὰ β α μ πολυπλασιάσωμεν χωρὶς ἐπί τε τὸν τῆς ΘΖ τοῦ ἑνὸς ἀριθμὸν καὶ ἐπὶ τὸν τῶν κη κε μϚ τῆς ΖΓ , ἕξομεν καὶ τὴν μὲν ΘΖ τοιούτων β α μ , οἵων ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ , Γ ὀρθογώνιον γφνζ με , τὴν δὲ ΖΓ τῶν αὐτῶν νζ λη νε . ἐπεὶ τοίνυν ἐπιζευχθείσης τῆς ΑΖ , οἵων μέν ἐστιν ϛ λ ἡ Α Ζ , τοιούτων ἐστὶν ἡ ΖΘ εὐθεῖα β α μ , οἵων δὲ ρκ , τοιούτων λζ κϚ θ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΘΖ περιφέρεια τοιούτων λϚ κα ιε , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ Α ΖΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ὑπὸ ΖΑΘ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λϚ κα ιε , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ιη ι λη ἔγγιστα . πάλιν , ἐπεί , οἵων μέν ἐστιν ξ ἡ Γ ΗΑ ὑποτείνουσα , τοιούτων συνάγεται καὶ ἡ ΓΖΘ ὅλη νθ μ λε , οἵων δὲ ρκ , τοιούτων ριθ κα ι , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Γ Θ περιφέρεια τοιούτων ρξη ε λθ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΓΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ρξη ε λθ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων πδ β ν ἔγγιστα . διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν μὲν ὑπὸ ΑΓΘ γωνίαν ἕξομεν τῶν λοιπῶν εἰς τὴν α ὀρθὴν ε νζ ι , τὴν δὲ ὑπὸ Ζ ΑΗ τῶν μετὰ τὴν ὑπὸ ΖΑΘ γωνίαν ξε νβ ιβ . ἐπειδὴ οὖν κατὰ μὲν τὸν αʹ στηριγμὸν ἐπὶ τῆς ΓΖ φαίνεται ὁ ἀστήρ , κατὰ δὲ τὴν ἀκρώνυκτον ἐπὶ τῆς ΓΗ , δῆλον , ὅτι , εἰ μὲν μηδὲν ἐκινεῖτο εἰς τὰ ἑπόμενα τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου , αἱ τῆς ΖΗ περιφερείας αὐτοῦ μοῖραι ξε νβ ιβ περιεῖχον ἂν προηγήσεως τὰς τῆς ὑπὸ ΑΓ Ζ γωνίας μοίρας ε νζ ι , ἐπεὶ δὲ κατὰ τὸν ἐκκείμενον λόγον τοῦ τάχους τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος ἐπιβάλλουσι τοῖς προκειμένοις τῆς ἀνωμαλίας τμήμασιν ξε νβ ιβ μήκους μοῖραι β ιθ ἔγγιστα , τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν στηριγμῶν ἐπὶ τὴν ἀκρώνυκτον προήγησιν ἕξομεν τῶν λοιπῶν μοιρῶν γ λη ι καὶ ἡμερῶν ξθ , ἐν ὅσαις ἔγγιστα τὰς β ιθ μοίρας τοῦ περιοδικοῦ μήκους ὁ ἀστὴρ κινεῖται , τὴν δὲ ὅλην προήγησιν μοιρῶν ζ ιϚ κ καὶ ἡμερῶν ρλη . ἑξῆς δὲ τὰς περὶ τὸ μέγιστον ἀπόστημα πηλικότητας ἐπισκεψόμεθα διὰ τῶν αὐτῶν , τουτέστιν ὅταν ἡ μὲν μέση τῶν στηριγμῶν ἀκρώνυκτος κατʼ αὐτὸ τὸ ἀπογειότατον τοῦ ἐκκέντρου σημεῖον τὸ κέντρον ποιῇ τοῦ ἐπικύκλου , τῶν δὲ στηριγμῶν ἑκάτερον δηλονότι περὶ τὴν σύνεγγυς τῶν πρὸς μέσον λόγον δεδειγμένων β ιθ μοιρῶν ἀπὸ τῆς ἀκρωνύκτου , τουτέστιν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ διευκρινημένου μήκους , διάστασιν · καθʼ ἣν θέσιν ἡ μὲν Α Γ εὐθεῖα τοῦ τότε ἀποστήματος ἀδιαφοροῦσα τῆς τοῦ μεγίστου διὰ τῶν προεφωδευμένων ἡμῖν θεωρημάτων καταλαμβάνεται , ἡ δὲ τῇ α μοίρᾳ τοῦ μήκους ἐπιβάλλουσα προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῶν λ ἔγγιστα · ὥστε τὸ διευκρινημένον μῆκος πρὸς τὴν διευκρινημένην ἀνωμαλίαν , τουτέστιν τὸ φαινόμενον τότε τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ φαινόμενον τάχος τοῦ ἀστέρος , λόγον ἔχει , ὃν τὰ ο νγ λ πρὸς τὰ κη λβ ιϛ . ἐπεὶ οὖν τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐκτεθείσης , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Α ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου Ϛ λ , τοιούτων ἐστὶν ἡ ΓΑ ἀδιαφοροῦσα τοῦ μεγίστου ἀποστήματος ξγ κε , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μὲν ∠Γ ὅλη συνάγεται ξθ νε , ἡ δὲ ΓΗ λοιπὴ νε , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν , τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΕΓ , ΓΖ , περιεχόμενον ὀρθογώνιον γϠοθ κὲ κε , ἐστὶν δὲ καί , οἵων ἡ μὲν ΖΘ ὑπόκειται τοῦ τάχους τοῦ ἐπικύκλου ο γ λ , τοιούτων ἡ ΓΖ τοῦ τάχους τοῦ ἀστέρος κη λβ ιϚ , ἡ δὲ ΕΓ ὅλη λ ιθ ιϛ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΓ , ΓΖ τοιούτων ωξε ιζ ν , παραβάλλοντες πάλιν τὰ γϠοθ κε κε παρὰ τὰ ωξε ιζ ν καὶ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένων δ λε νϚ τὴν πλευρὰν τὰ β η μ πολυπλασιάσαντες χωρὶς ἐπί τε τὰ τῆς ΘΖ εὐθείας ο νγ λ καὶ ἐπὶ τὰ τῆς ΖΓ ὁμοίως κη λβ ιϚ τὴν μὲν Θ Ζ ἕξομεν τοιούτων α νδ μδ , οἵων ἡ μὲν ΑΖ ἐστιν ϛ λ , ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως ξγ κε , τὴν δὲ ΓΖ τῶν αὐτῶν ξα ια νβ , τὴν δὲ ΓΘ ὅλην ξγ ϛ λϛ . καὶ οἵων μὲν ἄρα ἐστὶν ἡ Α Ζ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων ἡ ΘΖ ἔσται λε ιη θ , οἵων δὲ καὶ ἡ ΓΑ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων ἡ Γ Θ εὐθεῖα ριθ κε ια . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Θ Ζ περιφέρεια τοιούτων ἔσται λδ ιγ δ , οἵων ὁ περὶ τὸ Α ΖΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΘ τοιούτων ρξη μγ λη , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΓ Θ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ οἵων μὲν ἄρα εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑΘ γωνία ἔσται λδ ιγ δ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ ὁμοίως ρξη μγ λη , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑ γωνία ιζ ϛ λβ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ ὁμοίως πδ κα μθ · ὥστε καὶ λοιπὴν μὲν τὴν ὑπὸ ΑΓΘ γωνίαν τοῦ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν στηριγμῶν ἐπὶ τὴν ἀκρώνυκτον , εἰ μηδενὸς ὁ ἐπίκυκλος ὑπελείπετο προηγήσεως , τμημάτων ἕξομεν ε λη ια , λοιπὴν δὲ καὶ τὴν ὑπὸ Ζ ΑΗ γωνίαν τῆς κατὰ τὴν αὐτὴν διάστασιν φαινομένης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου παρόδου τμημάτων ξζ ιε ιζ . οἷς ἐπειδὴ κατὰ τοὺς ἐπὶ τοῦ ἀπογείου τῶν ταχῶν λόγους ἐπιβάλλουσι τοῦ διευκρινημένου μήκους μοῖραι β Ϛ Ϛ , τὴν μὲν ἡμίσειαν τῆς ὅλης προηγήσεως ἕξομεν τῶν λοιπῶν γ λβ ε μοιρῶν καὶ ἡμερῶν ο γ΄ , ἐν ὅσαις ὁ ἀστὴρ ἔγγιστα κινεῖται τὰς ἐπιβαλλούσας ταῖς προκειμέναις τοῦ διευκρινημένου μήκους μοίραις β Ϛ Ϛ περιοδικὰς μοίρας β κα κε , τὴν δὲ ὅλην προήγησιν μοιρῶν ζ δ ι καὶ ἡμερῶν ρμ ?? . πάλιν καὶ τὰς περὶ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα πηλικότητας ἐπισκεψόμεθα διὰ τῶν ὁμοίων ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς , ὅταν ἡ μὲν μέση τῶν στηριγμῶν ἀκρώνυκτος κατʼ αὐτὸ τὸ περιγειότατον τοῦ ἐκκέντρου γίνηται , τῶν δὲ στηριγμῶν ἑκάτερος περὶ τὴν ἐκκειμένην ἀπὸ τῆς ἀκρωνύκτου , τουτέστιν ἀπὸ τοῦ περιγείου , κατὰ μῆκος διάστασιν · καθʼ ἣν θέσιν ἡ μὲν ΑΓ τοῦ τότε ἀποστήματος ἀδιαφοροῦσα ὡσαύτως τῆς τοῦ ἐλαχίστου καταλαμβάνεται , ἡ δὲ τῇ μιᾷ μοίρᾳ τοῦ μήκους ἐπιβάλλουσα προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῶν ζ ἔγγιστα · ὥστε καὶ ἐνθάδε τὸ φαινόμενον τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ φαινόμενον τάχος τοῦ ἀστέρος λόγον ἔχειν , ὃν τὰ α ζ κ πρὸς τὰ κη ιη κϚ , καὶ διὰ τοῦτο , οἵων ἐστὶν ἡ Θ εὐθεῖα α ζ κ , τοιούτων τὴν μὲν Γ Ζ γίνεσθαι κὴ ιη κϛ , τὴν δὲ ΕΓ ὅλην τοιούτων λ λγ Ϛ , τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΕΓ , ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ωξδ μθ ν . ἐπεὶ οὖν καί , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Α ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου Ϛ λ , τοιούτων ἐστὶν ἡ ΑΓ ἀδιαφοροῦσα τοῦ ἐλαχίστου ἀποστήματος νϚ λε , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μὲν ∠Γ ὅλη τῶν αὐτῶν ξγ ε , ἡ δὲ Γ λοιπὴ ν καὶ ἑξηκοστῶν ε , τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν , τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ , ΓΖ , περιεχόμενον ὀρθογώνιον γρνθ κὲ κε , ἐὰν ὡσαύτως παραβάλωμεν τὰ γρνθ κε κε παρὰ τὰ ωξδ μθ νη καὶ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων γ λθ ιβ τὴν πλευρὰν λαβόντες τὰ α νδ μβ πολυπλασιάσωμεν χωρὶς ἐπί τε τὰ τῆς ΘΖ εὐθείας α ζ κ καὶ ἐπὶ τὰ τῆς ΖΓ ὁμοίως κη ιη κϛ , τὴν μὲν ΘΖ ἕξομεν τοιούτων β η μγ , οἵων ἡ μὲν ΑΖ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἐστὶν Ϛ λ , ἡ δὲ ΑΓ τοῦ τότε ἀποστήματος νς λε , τὴν δὲ ΓΖ τῶν αὐτῶν νδ Ϛ κβ , τὴν δὲ ΓΘ ὅλην ὁμοίως νϚ ιε ε . καὶ οἵων μὲν ἄρα ἐστὶν ἡ Α Ζ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων ἡ ΘΖ εὐθεῖα ἔσται λθ λϚ ιη , οἵων δὲ καὶ ἡ ΓΑ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ ΓΘ ὁμοίως ριθ ιζ μϚ · διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΖΘ περιφέρεια τοιούτων λη λβ λδ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΖΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΘ τοιούτων ρξζ λδ νδ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΓΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . ὥστε καί , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑΘ γωνία ἔσται λη λβ λδ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ ὁμοίως ρξζ λδ νδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑ γωνία ιθ ιϛ ιζ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ ὁμοίως πγ μζ κζ . καὶ λοιπὴν μὲν ἄρα τὴν ὑπὸ ΑΓ Θ γωνίαν τῆς ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν στηριγμῶν ἐπὶ τὴν ἀκρώνυκτον παρὰ τὸ τοῦ ἀστέρος τάχος προηγήσεως τμημάτων ἕξομεν Ϛ ιβ λγ , λοιπὴν δὲ καὶ τὴν ὑπὸ Ζ ΑΗ γωνίαν τῆς κατὰ τὴν αὐτὴν διάστασιν φαινομένης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου παρόδου τμημάτων ξδ λα ι · οἷς ἐπειδὴ κατὰ τὸν ἐπὶ τοῦ περιγείου τῶν ταχῶν λόγον ἐπιβάλλουσι τοῦ διευκρινημένου μήκους μοῖραι β λγ κη , τὴν μὲν ἡμίσειαν τῆς ὅλης προηγήσεως ἕξομεν μοιρῶν γ λθ ε καὶ ἡμερῶν ξη , ἐν ὅσαις ὁ ἀστὴρ ἔγγιστα μέσως κινεῖται τὰς ἐπιβαλλούσας ταῖς προκειμέναις τοῦ διευκρινημένου μήκους μοίραις β λγ κὴ περιοδικὰς μοίρας β ιϚ με , τὴν δὲ ὅλην προήγησιν μοιρῶν ζ ιη ι καὶ ἡμερῶν ρλϚ .
Lemmas: Β΄ . Ἀπόδειξις ὁ ὁ ὁ Κρόνος προήγησις . οὗτος οὕτως ἔχω ἐκτίθημι λοιπός ὁ ὁ προήγησις ἐπιλογισμός κατά ἕκαστος ὁ ἀστήρ ἀκόλουθος ὁ ἀποδείκνυμι ὑπόθεσις ἀπό ὁ ὁ Κρόνος ποιέω ὁ ἀρχή τρόπος τοιόσδε · ἵστημι γάρ ὁ κύκλος ὁ ὁ κέντρον φέρω ὁ ἐπίκυκλος ὁ ΑΒ περί διάμετρος ὁ ΑΓ Β , ἐπί ὅς ὑπόκειμαι ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός , τουτέστιν ὁ ὄψις ἐγώ , κατά ὁ Γ , καί γράφω περί ὁ Α κέντρον ὁ ∠ΕΖΗ ἐπίκυκλος διάγω ὁ ΓΖΕ εὐθύς οὕτως , ὥστε κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω ὁ ΑΘ ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖ , τουτέστιν ὁ Θ Ζ , πρός ὁ ΖΓ λόγος ἔχω , ὅς ὁ τάχος ὁ ἐπίκυκλος πρός ὁ τάχος ὁ ἀστήρ · ὑπόκειμαι δέ πρῶτος ὁ ἐπίκυκλος κατά ὁ μέσος ἀπόστημα ὁ θέσις ἔχω , ὥστε ὁ περιοδικός κινέω μῆκος τε καί ἀνωμαλία ὁ αὐτός ἔγγιστος γίγνομαι ὁ πρός ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός θεωρέω . ἐπεί οὖν ἐπί ὁ ὁ Κρόνος ἀστήρ , οἷος εἰμί ὁ ΓΑ ὁ μέσος ἀπόστημα ξ , τοιοῦτος δείκνυμι ὁ Α ∠ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ϛ U+2220΄ , ὥστε ὁ μέν ∠γ ὅλος γίγνομαι ξϛʹ λ , λοιπός δέ ὁ ΓΗ ὁ αὐτός νγʹ λ , ὁ δέ ὑπό αὐτός περιχέω ὀρθογώνιος γφνζ ἐγώ , ἴσος δέ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ∠Γ , ΓΗ περιέχω ὀρθογώνιος ὁ ὑπό ὁ ΕΓ . ΓΖ περιέχω , ἔχω καί σύ ὑπό ΕΓ ΓΖ ὁ αὐτός γφνζ ἐγώ . πάλιν , ἐπεί ὁ μέσος πάροδος ἀκόλουθος , οἷος εἰμί εἷς ὁ τάχος ὁ ἐπίκυκλος , τουτέστιν ὁ Θ Ζ εὐθύς , τοιοῦτος εἰμί καί κε μϛʹ ἔγγιστος ὁ τάχος ὁ ἀστήρ , τουτέστιν ὁ ΖΓ εὐθύς , ὥστε καί ὁ μέν ΕΓ ὅλος συνάγω λ κε μϛʹ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΕΓ , Γ περιέχω ὀρθογώνιος ὁ αὐτός Ὦξος ε λβʹ , ἐάν παραβάλλω παρά ὁ ἀριθμός ὁ Ὦξος ε λβʹ ὁ γφνζ ἐγώ καί ὁ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι δ ϛ ἐγώ ὁ πλευρά λαμβάνω ὁ Β ὅς μ πολυπλασιάζω Χωρὶς ἐπί τε ὁ ὁ ΘΖ ὁ εἷς ἀριθμός καί ἐπί ὁ ὁ καί κε μϛʹ ὁ ΖΓ , ἔχω καί ὁ μέν ΘΖ τοιοῦτος Β ὅς μ , οἷος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΕΓ , Γ ὀρθογώνιος γφνζ ἐγώ , ὁ δέ ΖΓ ὁ αὐτός νζʹ λα νε . ἐπεί τοίνυν ἐπιζεύγνυμι ὁ αζʹ , οἷος μέν εἰμί ϛ λ ὁ Α Ζ , τοιοῦτος εἰμί ὁ ΖΘ εὐθύς Β ὅς μ , οἷος δέ ρκʹ , τοιοῦτος λζʹ κϚʹ θ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΘΖ περιφέρεια τοιοῦτος λϚʹ ἄν εἶμι , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ Α ΖΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΖΘ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λϚʹ ἄν εἶμι , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἔρχομαι ι λα ἔγγιστος . πάλιν , ἐπεί , οἷος μέν εἰμί ξ ὁ Γ ΗΑ ὑποτείνω , τοιοῦτος συνάγω καί ὁ ΓΖΘ ὅλος νθʹ μ λεʹ , οἷος δέ ρκʹ , τοιοῦτος ριθʹ ἄν ι , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ Γ Θ περιφέρεια τοιοῦτος ἔρδω ε λθʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΓΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἔρδω ε λθʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος πδʹ Β Ν ἔγγιστος . διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ὑπό ΑΓΘ γωνία ἔχω ὁ λοιπός εἰς ὁ ὅς ὀρθός ε νζʹ ι , ὁ δέ ὑπό Ζ ΑΗ ὁ μετά ὁ ὑπό ΑΖΘ γωνία ξεʹ νβʹ Ἶβ . ἐπεί οὖν κατά μέν ὁ ὅς στηριγμός ἐπί ὁ ΓΖ φαίνω ὁ ἀστήρ , κατά δέ ὁ ακρωνυκτω ἐπί ὁ ΓΗ , δῆλος , ὅτι , εἰμί μέν μηδείς κινέω εἰς ὁ ἕπομαι ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος , ὁ ὁ ΖΗ περιφέρεια αὐτός μοῖρα ξεʹ νβʹ Ἶβ περιέχω εἄν προήγησις ὁ ὁ ὑπό ΑΓ Ζ γωνία μοῖρα ε νζʹ ι , ἐπεί δέ κατά ὁ ἔκκειμαι λόγος ὁ τάχος ὁ ἐπίκυκλος πρός ὁ τάχος ὁ ἀστήρ ἐπιβάλλω ὁ πρόκειμαι ὁ ἀνωμαλία τμῆμα ξεʹ νβʹ Ἶβ μῆκος μοῖρα Β ιθʹ ἔγγιστος , ὁ μέν ἀπό ὁ ἕτερος ὁ στηριγμός ἐπί ὁ ακρωνυκτω προήγησις ἔχω ὁ λοιπός μοῖρα γ λα ι καί ἡμέρα ξθ , ἐν ὅσος ἔγγιστος ὁ Β ιθʹ μοῖρα ὁ περιοδικός μῆκος ὁ ἀστήρ κινέω , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα ζ ιϚʹ Κ καί ἡμέρα ρληʹ . ἑξῆς δέ ὁ περί ὁ μέγας ἀπόστημα πηλικότης ἐπισκοπέω διά ὁ αὐτός , τουτέστιν ὅταν ὁ μέν μέσος ὁ στηριγμός ἀκρώνυκτος κατά αὐτός ὁ ἀπόγαιος ὁ ἔκκεντρος σημεῖον ὁ κέντρον ποιέω ὁ ἐπίκυκλος , ὁ δέ στηριγμός ἑκάτερος δηλονότι περί ὁ σύνεγγυς ὁ πρός μέσος λόγος δείκνυμι Β ιθʹ μοῖρα ἀπό ὁ ακρωνυκτεω , τουτέστιν ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ διευκρίνω μῆκος , διάστασις · κατά ὅς θέσις ὁ μέν Α Γ εὐθύς ὁ τότε ἀπόστημα ἀδιαφορέω ὁ ὁ μέγας διά ὁ προεφωδευμένων ἐγώ θεώρημα καταλαμβάνω , ὁ δέ ὁ ὅς μοῖρα ὁ μῆκος ἐπιβάλλω προσθαφαίρεσις ἑξηκοστός λ ἔγγιστος · ὥστε ὁ διευκρίνω μῆκος πρός ὁ διακρίνω ἀνωμαλία , τουτέστιν ὁ φαίνω τότε τάχος ὁ ἐπίκυκλος πρός ὁ φαίνω τάχος ὁ ἀστήρ , λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὁ νγʹ λ πρός ὁ καί λβʹ ιϛʹ . ἐπεί οὖν ὁ αὐτός καταγραφή ἐκτίθημι , οἷος εἰμί ὁ ∠Α ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος Ϛ λ , τοιοῦτος εἰμί ὁ ΓΑ ἀδιαφορέω ὁ μέγας ἀπόστημα ξγʹ κε , διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ∠Γ ὅλος συνάγω ξθ νε , ὁ δέ ΓΗ λοιπός νε , ὁ δέ ὑπό αὐτός , τουτέστιν ὁ ὑπό ΕΓ , ΓΖ , περιέχω ὀρθογώνιος γϠοθ ἄν κε , εἰμί δέ καί , οἷος ὁ μέν ΖΘ ὑπόκειμαι ὁ τάχος ὁ ἐπίκυκλος ὁ γ λ , τοιοῦτος ὁ ΓΖ ὁ τάχος ὁ ἀστήρ καί λβʹ ιϚʹ , ὁ δέ ΕΓ ὅλος λ ιθʹ ιϛʹ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΕΓ , ΓΖ τοιοῦτος Ὦξος ιζʹ Ν , παραβάλλω πάλιν ὁ γϠοθ κε κε παρά ὁ Ὦξος ιζʹ Ν καί ὁ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι δ λεʹ νϚʹ ὁ πλευρά ὁ Β ὁ μ πολυπλασιάζω Χωρὶς ἐπί τε ὁ ὁ ΘΖ εὐθύς ὁ νγʹ λ καί ἐπί ὁ ὁ ΖΓ ὁμοίως καί λβʹ ιϚʹ ὁ μέν Θ Ζ ἔχω τοιοῦτος ὅς νδʹ μδʹ , οἷος ὁ μέν αζʹ εἰμί ϛ λ , ὁ δέ ΑΓ ὁμοίως ξγʹ κε , ὁ δέ ΓΖ ὁ αὐτός ξαʹ ἰά νβʹ , ὁ δέ ΓΘ ὅλος ξγʹ ϛ λϛ . καί οἷος μέν ἄρα εἰμί ὁ Α Ζ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος ὁ ΘΖ εἰμί λεʹ ἔρχομαι θ , οἷος δέ καί ὁ ΓΑ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος ὁ Γ Θ εὐθύς ριθʹ κε ἰά . διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ἐπί ὁ Θ Ζ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί λδʹ ιγʹ δ , οἷος ὁ περί ὁ Α ΖΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΘ τοιοῦτος ἔρδω μγʹ λα , οἷος ὁ περί ὁ ΑΓ Θ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί οἷος μέν ἄρα εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ μέν ὑπό ΑΖΘ γωνία εἰμί λδʹ ιγʹ δ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁμοίως ἔρδω μγʹ λα , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ μέν ὑπό Γῆ γωνία ιζʹ ϛ λβʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁμοίως πδʹ ἄν μθʹ · ὥστε καί λοιπός μέν ὁ ὑπό ΑΓΘ γωνία ὁ ἀπό ὁ ἕτερος ὁ στηριγμός ἐπί ὁ ακρωνυκτω , εἰμί μηδείς ὁ ἐπίκυκλος ὑπολείπω προήγησις , τμῆμα ἔχω ε λα ἰά , λοιπός δέ καί ὁ ὑπό Ζ ΑΗ γωνία ὁ κατά ὁ αὐτός διάστασις φαίνω ἐπί ὁ ἐπίκυκλος πάροδος τμῆμα ξζ εἶμι ιζʹ . ὅς ἐπεί κατά ὁ ἐπί ὁ ἀπόγειον ὁ τάχος λόγος ἐπιβάλλω ὁ διευκρίνω μῆκος μοῖρα Β Ϛ Ϛ , ὁ μέν ἥμισυς ὁ ὅλος προήγησις ἔχω ὁ λοιπός γ λβʹ ε μοῖρα καί ἡμέρα ὁ Γ΄ , ἐν ὅσος ὁ ἀστήρ ἔγγιστος κινέω ὁ ἐπιβάλλω ὁ πρόκειμαι ὁ διευκρίνω μῆκος μοῖρα Β Ϛ Ϛ περιοδικός μοῖρα Β ἄν κε , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα ζ δ ι καί ἡμέρα ρμʹ ?? . πάλιν καί ὁ περί ὁ μικρός ἀπόστημα πηλικότης ἐπισκοπέω διά ὁ ὅμοιος ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή , ὅταν ὁ μέν μέσος ὁ στηριγμός ἀκρώνυκτος κατά αὐτός ὁ περιγίγνομαι ὁ ἔκκεντρος γίγνομαι , ὁ δέ στηριγμός ἑκάτερος περί ὁ ἔκκειμαι ἀπό ὁ ακρωνυκτεω , τουτέστιν ἀπό ὁ περίγειος , κατά μῆκος διάστασις · κατά ὅς θέσις ὁ μέν ΑΓ ὁ τότε ἀπόστημα ἀδιαφορέω ὡσαύτως ὁ ὁ μικρός καταλαμβάνω , ὁ δέ ὁ εἷς μοῖρα ὁ μῆκος ἐπιβάλλω προσθαφαίρεσις ἑξηκοστός ζ ἔγγιστος · ὥστε καί ἐνθάδε ὁ φαίνω τάχος ὁ ἐπίκυκλος πρός ὁ φαίνω τάχος ὁ ἀστήρ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὅς ζ Κ πρός ὁ καί ἔρχομαι κϚʹ , καί διά οὗτος , οἷος εἰμί ὁ Θ εὐθύς ὅς ζ Κ , τοιοῦτος ὁ μέν Γ Ζ γίγνομαι πη ἔρχομαι κϛʹ , ὁ δέ ΕΓ ὅλος τοιοῦτος λ λγʹ Ϛ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΕΓ , ΓΖ περιέχω ὀρθογώνιος ωξδʹ μθʹ Ν . ἐπεί οὖν καί , οἷος εἰμί ὁ ∠Α ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος Ϛ λ , τοιοῦτος εἰμί ὁ ΑΓ ἀδιαφορέω ὁ μικρός ἀπόστημα νϚʹ λεʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ∠Γ ὅλος ὁ αὐτός ξγʹ ε , ὁ δέ Γ λοιπός Ν καί ἑξηκοστός ε , ὁ δέ ὑπό αὐτός , τουτέστιν ὁ ὑπό ὁ ΕΓ , ΓΖ , περιέχω ὀρθογώνιος γρνθ ἄν κε , ἐάν ὡσαύτως παραβάλλω ὁ γρνθ κε κε παρά ὁ ωξδʹ μθʹ νη καί ὁ ἐκ ὁ παραβολή γίγνομαι γ λθʹ Ἶβ ὁ πλευρά λαμβάνω ὁ ὅς νδʹ μβʹ πολυπλασιάζω Χωρὶς ἐπί τε ὁ ὁ ΘΖ εὐθύς ὅς ζ Κ καί ἐπί ὁ ὁ ΖΓ ὁμοίως καί ἔρχομαι κϛʹ , ὁ μέν ΘΖ ἔχω τοιοῦτος Β ὁ μγʹ , οἷος ὁ μέν αζʹ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος εἰμί Ϛ λ , ὁ δέ ΑΓ ὁ τότε ἀπόστημα ΝΣ λεʹ , ὁ δέ ΓΖ ὁ αὐτός νδʹ Ϛ κβʹ , ὁ δέ ΓΘ ὅλος ὁμοίως νϚʹ εἶμι ε . καί οἷος μέν ἄρα εἰμί ὁ Α Ζ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος ὁ ΘΖ εὐθύς εἰμί λθʹ λϚʹ ἔρχομαι , οἷος δέ καί ὁ ΓΑ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ ΓΘ ὁμοίως ριθʹ ιζʹ μϛʹ · διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΖΘ περιφέρεια τοιοῦτος λα λβʹ λδʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΖΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΘ τοιοῦτος ρξζ λδʹ νδʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΓΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . ὥστε καί , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ μέν ὑπό ΑΖΘ γωνία εἰμί λα λβʹ λδʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁμοίως ρξζ λδʹ νδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ μέν ὑπό Γῆ γωνία ιθʹ ιϛʹ ιζʹ , ὁ δέ ὑπό ΑΓΘ ὁμοίως πγʹ μζʹ κζ . καί λοιπός μέν ἄρα ὁ ὑπό ΑΓ Θ γωνία ὁ ἀπό ὁ ἕτερος ὁ στηριγμός ἐπί ὁ ακρωνυκτω παρά ὁ ὁ ἀστήρ τάχος προήγησις τμῆμα ἔχω Ϛ Ἶβ λγʹ , λοιπός δέ καί ὁ ὑπό Ζ ΑΗ γωνία ὁ κατά ὁ αὐτός διάστασις φαίνω ἐπί ὁ ἐπίκυκλος πάροδος τμῆμα ξδʹ λάω ι · ὅς ἐπεί κατά ὁ ἐπί ὁ περίγειος ὁ τάχος λόγος ἐπιβάλλω ὁ διευκρίνω μῆκος μοῖρα Β λγʹ καί , ὁ μέν ἥμισυς ὁ ὅλος προήγησις ἔχω μοῖρα γ λθʹ ε καί ἡμέρα ξέω , ἐν ὅσος ὁ ἀστήρ ἔγγιστος μέσος κινέω ὁ ἐπιβάλλω ὁ πρόκειμαι ὁ διευκρίνω μῆκος μοῖρα Β λγʹ πη περιοδικός μοῖρα Β ιϚʹ ἐγώ , ὁ δέ ὅλος προήγησις μοῖρα ζ ἔρχομαι ι καί ἡμέρα ρλϚ .