claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 4.6
Ταῦτα μὲν οὖν μέχρι τοσούτων ἡμῖν προτεθεωρήσθω , ποιησόμεθα δὲ τὴν ἀπόδειξιν τῆς ἐκκειμένης σεληνιακῆς ἀνωμαλίας ἐπὶ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως , διʼ ἣν εἴπομεν αἰτίαν , τὸ μὲν πρῶτον ἀφʼ ὧν ἔχομεν ἀρχαιοτάτων ἐκλείψεων τρισὶ ταῖς ἀδιστάκτως δοκούσαις ἀναγεγράφθαι συγχρησάμενοι , ἐφεξῆς δὲ καὶ ἀπὸ τῶν ἐν τῷ νῦν χρόνῳ τρισὶ πάλιν ταῖς ὑφʼ ἡμῶν αὐτῶν ἀκριβέστατα τετηρημέναις · οὕτως γὰρ ἥ τε ἐξέτασις ἡμῖν ὑπάρξει , διʼ ὅσου γε μάλιστα δυνατὸν ἦν μακροῦ χρόνου , καὶ ἄλλως φανερὸν ἔσται , διότι τό τε παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον τὸ αὐτὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν δείξεων ἔγγιστα ἀποβήσεται , καὶ ἡ τῶν μέσων κινήσεων ἐπουσία σύμφωνος ἀεὶ εὑρεθήσεται τῇ κατὰ τοὺς ἐκκειμένους περιοδικοὺς χρόνους κατὰ τὴν ἡμετέραν διόρθωσιν ἐπισυναγομένῃ . πρὸς δὴ τὴν δεῖξιν τῆς πρώτης καὶ ὡς καθʼ αὑτὴν θεωρουμένης ἀνωμαλίας ἡ κατʼ ἐπίκυκλον ὑπόθεσις , ὡς ἔφαμεν , περιεχέτω τὸν τρόπον τοῦτον . νοείσθω γὰρ ἐν τῇ τῆς σελήνης σφαίρᾳ κύκλος ὁμόκεντρός τε καὶ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κείμενος τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων , πρὸς δὲ τοῦτον ἕτερος ἐγκεκλιμένος ἀναλόγως τῇ πηλικότητι τῆς κατὰ πλάτος παρόδου τῆς σελήνης περιφερόμενος ὁμαλῶς εἰς τὰ προηγούμενα περὶ τὸ κέντρον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοσοῦτον , ὅσον ἡ κατὰ πλάτος κίνησις ὑπερέχει τῆς κατὰ μῆκος . ἐπὶ μὲν οὖν τοῦ λοξοῦ τούτου κύκλου φερόμενον ὑποτιθέμεθα τὸν καλούμενον ἐπίκυκλον ὁμαλῶς πάλιν εἰς τὰ ἑπόμενα τοῦ κόσμου ἀκολούθως τῇ κατὰ πλάτος ἀποκαταστάσει , ἥτις δηλονότι πρὸς αὐτὸν τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων θεωρουμένη τὴν κατὰ μῆκος ποιεῖται κίνησιν , ἐπὶ δὲ αὐτοῦ τοῦ ἐπικύκλου τὴν σελήνην ὡς κατὰ τὴν ἀπόγειον περιφέρειαν εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ κόσμου τὴν μετάβασιν ποιουμένην ἀκολούθως τῇ τῆς ἀνωμαλίας ἀποκαταστάσει . πρὸς μέντοι τὴν ὑποκειμένην δεῖξιν οὐδὲν ἂν παραποδιζοίμεθα μήτε τῆς διὰ τὸ πλάτος προηγήσεως μήτε τῆς λοξώσεως τοῦ σεληνιακοῦ κύκλου συμπαραλαμβανομένης οὐδεμιᾶς ἀξιολόγου διαφορᾶς τῇ κατὰ μῆκος παρόδῳ προσγινομένης ἐκ τῆς ἐπὶ τοσοῦτον ἐγκλίσεως . ὧν τοίνυν εἰλήφαμεν παλαιῶν τριῶν ἐκλείψεων ἐκ τῶν ἐν Βαβυλῶνι τετηρημένων , ἡ μὲν πρώτη ἀναγέγραπται γεγονυῖα τῷ πρώτῳ ἔτει Μαρδοκεμπάδου κατʼ Αἰγυπτίους Θὼθ κθʹ εἰς τὴν λ΄ . ἤρξατο δέ , φησίν , ἐκλείπειν μετὰ τὴν ἀνατολὴν μιᾶς ὥρας ἱκανῶς παρελθούσης καὶ ἐξέλειπεν ὅλη . ἐπειδὴ οὖν ὁ ἥλιος περὶ τὰ ἔσχατα τῶν Ἰχθύων ἦν , καὶ ἡ νὺξ ὡρῶν ἰσημερινῶν ιβ ἔγγιστα , ἡ μὲν ἀρχὴ τῆς ἐκλείψεως ἐγένετο δηλονότι πρὸ δ U+2220΄ ἁρῶν ἰσημεριῶν τοῦ μεσονυκτίου , ὁ δὲ μέσος χρόνος , ἐπειδήπερ τελεία ἦν ἡ ἔκλειψις , πρὸ β U+2220΄ ὡρῶν . ἐν Ἀλεξανδρείᾳ ἄρα , ἐπειδήπερ πρὸς τὸν διʼ αὐτῆς μεσημβρινὸν τὰς ὡριαίας ἐποχὰς συνιστάμεθα , προηγεῖται δὲ ὁ διʼ αὐτῆς μεσημβρινὸς τοῦ διὰ Βαβυλῶνος ἡμίσει καὶ τρίτῳ ἔγγιστα μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς , ὁ μέσος χρόνος γέγονεν τῆς προκειμένης ἐκλείψεως πρὸ γ καὶ γ΄ ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου , καθʼ ἣν ὥραν ὁ ἥλιος κατὰ τοὺς ἐκτεθειμένους ἡμῖν ἐπιλογισμοὺς ἐπεῖχεν ἀκριβῶς τῶν Ἰχθύων μοίρας κδ U+2220΄ ἔγγιστα . ἡ δὲ δευτέρα τῶν ἐκλείψεων ἀναγέγραπται γεγονυῖα τῷ δευτέρῳ ἔτει τοῦ αὐτοῦ Μαρδοκεμπάδου κατʼ Αἰγυπτίους Θὼθ ιη΄ εἰς τὴν ιθ΄ . ἐξέλειπε δέ , φησίν , ἀπὸ νότου δακτύλους γ αὐτοῦ τοῦ μεσονυκτίου . ἐπεὶ οὖν ὁ μέσος χρόνος ἐν Βαβυλῶνι φαίνεται γεγονὼς κατʼ αὐτὸ τὸ μεσονύκτιον , ἐν Ἀλεξανδρείᾳ ὀφείλει γεγονέναι πρὸ U+2220΄ καὶ γʹ μέρους μιᾶς ὥρας τοῦ μεσονυκτίου , καθʼ ἣν ὥραν ὁ ἥλιος ἐπεῖχεν ἀκριβῶς τῶν Ἰχθύων μοίρας ιγ U+2220΄ δ΄ . ἡ δὲ γ΄ τῶν ἐκλείψεων ἀναγέγραπται γεγονυῖα τῷ αὐτῷ δευτέρῳ ἔτει τοῦ Μαρδοκεμπάδου κατʼ Αἰγυπτίους Φαμενὼθ ιεʹ εἰς τὴν ιϛ΄ . ἤρξατο δέ , φησίν , ἐκλείπειν μετὰ τὴν ἀνατολὴν καὶ ἐξέλειπεν ἀπʼ ἄρκτων πλεῖον τοῦ ἡμίσους . ἐπειδὴ οὖν ὁ ἥλιος περὶ τὴν ἀρχὴν ἦν τῆς Παρθένου , τὸ μὲν τῆς νυκτὸς μέγεθος ἐν Βαβυλῶνι ια ἔγγιστα ὡρῶν ἐτύγχανεν ἰσημερινῶν , τὸ δὲ ἥμισυ τῆς νυκτὸς ε U+2220΄ ὡρῶν · καὶ ἡ μὲν ἀρχὴ ἄρα τῆς ἐκλείψεως γέγονε πρὸ πέντε μάλιστα ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου διὰ τὸ μετὰ τὴν ἀνατολὴν ἦρχθαι , ὁ δὲ μέσος χρόνος πρὸ γ U+2220΄ ὡρῶν , ἐπειδήπερ ὁ πᾶς χρόνος τοῦ τηλικούτου μεγέθους τῆς ἐπισκοτήσεως τριῶν ἔγγιστα ὡρῶν ὀφείλει γεγονέναι . ἐν Ἀλεξανδρείᾳ πάλιν ἄρα ὁ μέσος χρόνος τῆς ἐκλείψεως ἀπετελέσθη πρὸ δ καὶ γʹ ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου , καθʼ ἣν ὥραν ὁ ἥλιος ἐπεῖχεν ἀκριβῶς τῆς Παρθένου μοίρας γ δ΄ ἔγγιστα . φανερὸν οὖν , ὅτι ἀπὸ μὲν τοῦ μέσου χρόνου τῆς πρώτης ἐκλείψεως ἐπὶ τὸν τῆς δευτέρας κεκίνηται ὁ ἥλιος , τουτέστι καὶ ἡ σελήνη , μεθʼ ὅλους κύκλους μοίρας τμθ ιε , ἀπὸ δὲ τοῦ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως μέσου χρόνου ἐπὶ τὸν τῆς τρίτης μοίρας ρξθ λ . ἀλλὰ καὶ ἡ τῶν μεταξὺ χρόνων διάστασις ἀπὸ μὲν τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸν δεύτερον ἡμέρας περιέχει τνδ καὶ ὥρας ἰσημερινὰς ἁπλῶς μὲν οὕτως θεωροῦσιν δύο ἥμισυ , πρὸς δὲ τὸν τῶν ὁμαλῶν νυχθημέρων ἐπιλογισμὸν δύο ἥμισυ πεντεκαιδέκατον , ἀπὸ δὲ τοῦ δευτέρου ἐπὶ τὸν τρίτον ἡμέρας ρος καὶ ὥρας ἰσημερινὰς ἀπλῶς μὲν πάλιν κ U+2220΄ , ἀκριβῶς δὲ κ πέμπτον . κινεῖται δὲ ὁμαλῶς ἡ σελήνη · πρὸς γὰρ τὸν τοσοῦτον χρόνον οὐδενὶ αἰσθητῷ διοίσει , κἂν ταῖς σύνεγγυς τῶν ἀκριβῶν περιόδων τις ἀκολουθήσῃ · ἐν μὲν ταῖς τνδ ἡμέραις καὶ ὥραις ἰσημεριναῖς β U+2220΄ ιε΄ ἀνωμαλίας μὲν μεθʼ ὅλους κύκλους μοίρας τ κε , μήκους δὲ μοίρας τμε να , ἐν δὲ ταῖς ρος ἡμέραις καὶ ὥραις ἰσημεριναῖς κ καὶ πέμπτῳ ἀνωμαλίας μὲν μοίρας ρ κς , μήκους δὲ μοίρας ρο ζ ἔγγιστα . δῆλον οὖν , ὅτι αἰ μὲν τῆς πρώτης διαστάσεως τοῦ ἐπικύκλου μοῖραι ις κε προστεθείκασι τῇ μέσῃ κινήσει τῆς σελήνης μοίρας γ κδ , αἱ δὲ τῆς δευτέρας διαστάσεως μοῖραι ρ κς ἀφῃρήκασι τῆς μέσης κινήσεως μοίρας ο λξ . τούτων ὑποκειμένων ἔστω ὁ τῆς σελήνης ἐπίκυκλος ὁ Α Β Γ , καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ἔστω , καθʼ οὗ ἦν ἡ σελήνη ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς πρώτης ἐκλείψεως , τὸ δὲ Β , καθʼ οὗ ἦν ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως , τὸ δὲ Γ , καθʼ οὗ ἦν ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς τρίτης ἐκλείψεως . νοείσθω δὲ ἡ τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου μετάβασις ὡς ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Α καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ γινομένη , ὥστε τὴν μὲν Α Γ Β περιφέρειαν , ἣν ἐπικεκίνηται ἀπὸ τῆς πρώτης ἐκλείψεως ἐπὶ τὴν δευτέραν , μοιρῶν οὖσαν ις κε προστιθέναι τῇ μέσῃ μοίρας γ κδ , τὴν δὲ Β Α Γ , ἣν κεκίνηται ἀπὸ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως ἐπὶ τὴν τρίτην , μοιρῶν οὖσαν ρ κς ἀφαιρεῖν τῆς μέσης μοίρας ο λζ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Α πάροδον μοιρῶν οὖσαν νγ λε ἀφαιρεῖν τῆς μέσης τὰς αὐτὰς μοίρας γ κδ , τὴν δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ μοιρῶν οὖσαν ?? ς να προστιθέναι τῇ μέσῃ μοίρας β μζ . ὅτι μὲν οὖν οὐ δυνατὸν ἐπὶ τῆς Β Α Γ περιφερείας τὸ περιγειότατον εἶναι τοῦ ἐπικύκλου , φανερὸν ἐκ τοῦ ἀφαιρετικήν τε αὐτὴν ὑπάρχειν καὶ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου τῆς μεγίστης κινήσεως κατὰ τὸ περίγειον ὑποκειμένης . ἐπεὶ δὲ πάντως ἐπὶ τῆς Β Ε Γ , εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ φέροντος τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου καὶ ἔστω τὸ Δ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ τῶν γ ἐκλείψεων σημεῖα εὐθεῖαι αἱ Δ Α , Δ Ε Β , Δ Γ . καθόλου τοίνυν , ἵνα καὶ πρὸς τὰς ὁμοίας δείξεις εὐεπίβολον τὴν μεταγωγὴν τοῦ θεωρήματος ποιώμεθα , ἐάν τε διὰ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως αὐτὰς ὡς νῦν δεικνύωμεν ἐάν τε διὰ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα τοῦ Δ κέντρου τότε ἐντὸς λαμβανομένου , μία μὲν τῶν ἐπιζευγνυμένων τριῶν εὐθειῶν ἐκβαλλέσθω ἐπὶ τὴν ἀντικειμένην περιφέρειαν , ὡς ἐνθάδε τὴν Δ Ε Β αὐτόθεν ἔχομεν διεκβεβλημένην ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Β τῆς δευτέρας ἐκλείψεως , τὰ δὲ λοιπὰ δύο σημεῖα τῶν ἐκλείψεων ἐπιζευγνύτω εὐθεῖα ὡς ἐνθάδε ἡ Α Γ , καὶ ἀπὸ τῆς γενομένης τομῆς ὑπὸ τῆς ἐκβεβλημένης , οἷον τοῦ Ε , ἐπιζευγνύσθωσαν μὲν ἐπὶ τὰ λοιπὰ δύο σημεῖα εὐθεῖαι , ὡς ἐνθάδε αἱ Ε Α , Ε Γ , κάθετοι δὲ ἀγέσθωσαν ἐπὶ τὰς ἀπὸ τῶν λοιπῶν δύο σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον ἐπιζευγνυμένας εὐθείας ἐπὶ μὲν τὴν Α Δ ἡ Ε Ζ , ἐπὶ δὲ τὴν Γ Δ ἡ Ε Η , καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν εἰρημένων δύο σημείων , ὡς ἐνθάδε ἀπὸ τοῦ Γ , κάθετος ἀγέσθω ἐπὶ τὴν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν , οἷον τοῦ Α , ἐπὶ τὴν γενομένην ὑπὸ τῆς διεκβολῆς περισσὴν τομήν , οἷον τὸ Ε , ἐπιζευχθεῖσαν εὐθεῖαν , ὡς ἐνθάδε ἐπὶ τὴν Α Ε ἡ Γ Θ · ὁπόθεν γὰρ ἂν χρησώμεθα τῇ τῆς καταγραφῆς ἀγωγῇ , τοὺς αὐτοὺς εὑρήσομεν ἐκβαίνοντας λόγους διὰ τῶν τῆς δείξεως ἀριθμῶν τῆς ἐκλογῆς πρὸς τὸ εὔχρηστον μόνον καταλειπομένης . ἐπεὶ τοίνυν ἡ Β Α περιφέρεια ὑποτείνουσα ἐδείχθη τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου μοίρας γ κδ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Α γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ αὐτοῦ οὖσα , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων γ κδ , οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ϛ μη . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Ζ εὐθείας περιφέρεια τοιούτων ς μη , οἵων ὁ περὶ τὸ Δ Ε Ζ ὀρθογώνιον γραφόμενος κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ Ε Ζ εὐθεῖα τοιούτων ζ ζ o , οἵων ἐστὶ ἡ Δ Ε ὑποτείνουσα ρκ . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ Β Α περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν νγ λε , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Ε Α γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων νγ λε , οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ . τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Α γωνία ς μη · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε Α Ζ γωνία τῶν αὐτῶν ἐστιν μς μζ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Ζ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν μς μζ , οἵων ὁ περὶ τὸ Α Ε Ζ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ Ε Ζ εὐθεῖα τοιούτων μζ λη λ , οἵων ἐστὶν ἡ Ε Α ὑποτείνουσα ρκ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν Ε Ζ εὐθεῖα ζ ζ o , ἡ δὲ Ε Α ρκ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ A Ε εὐθεῖα ιζ νε λβ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ Β Α Γ περιφέρεια ὑποτείνει τοῦ ζῳδιακοῦ μοίρας o λζ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Γ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ τοῦ αὐτοῦ οὖσα , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων o λζ , οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α ιδ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν α ιδ , οἵων ὁ περὶ τὸ Δ Ε Η τρίγωνον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ Ε Η εὐθεῖα τοιούτων α ιζ λ , οἵων ἐστὶν ἡ Δ Ε ὑποτείνουσα ρκ . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ Β Α Ι’ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρν κς , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Ε Γ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ρν κς , οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ . τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Γ γωνία α ιδ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε Γ Δ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρμθ ιβ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ρμθ ιβ , οἵων ὁ περὶ τὸ Γ Ε ὀρθογώνιον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ Ε Η εὐθεῖα τοιούτων ριε μα κα , οἵων ἐστὶν ἡ Γ Ε ὑποτείνουσα ρκ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν Ε Η εὐθεῖα α ιζ λ , ἡ δὲ Δ Ε ρκ , τοιούτων ἐστὶν ἡ Γ Ε εὐθεῖα α κ κγ . τῶν δὲ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Ε Α εὐθεῖα ιζ νε λβ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ Α Γ περιφέρεια μοιρῶν ἐδείχθη ?? ς να , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Ε Γ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ?? s να , οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Γ Θ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ?? ς αν , οἵων ὁ περὶ τὸ Γ Ε Θ τρίγωνον τξ , ἡ δὲ ἐπὶ τῆς Ε Θ περιφέρεια τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον πγ θ · καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ἄρα αὐτὰς εὐθεῖαι ἔσονται ἡ μὲν Γ Θ τοιούτων πθ μς ιδ , οἵων ἐστὶν ἡ Γ Ε ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ Ε Θ τῶν αὐτῶν οθ λζ νε . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ Γ Ε εὐθεῖα α κ κγ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν Γ Θ εὐθεῖα α o η , ἡ δὲ Ε Θ ὁμοίως o νγ κα . τῶν δὲ αὐτων ἦν ἡ Ε Α ὅλη ιζ νε λβ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Θ Α τοιούτων ἐστὶν ιζ β ια , οἵων ἡ Γ Θ ἐδείχθη α η . καί ἐστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς Α Θ τετράγωνον σ ιδ ιθ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Γ Θ ὁμοίως α o ιζ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α Γ τετράγωνον σ??α ιδ λς · μήκει ἄρα ἐστὶν ἡ Α Γ τοιούτων ιζ γ νζ , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν Δ Ε εὐθεῖα ρκ , ἡ δὲ Γ Ε τῶν αὐτῶν α κγ . ἔστι δὲ καί , οἵων ἡ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ , τοιούτων ἡ Α Γ εὐθεῖα πθ μς ιδ · ὑποτείνει γὰρ τὴν Α Γ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ?? ς να . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α Γ εὐθεῖα πθ μς ιδ , ἡ δὲ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν Δ Ε εὐθεῖα χλα ιγ μη , ἡ δὲ Γ Ε τῶν αὐτῶν ζ β ν · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια ἡ Γ Ε τοιούτων ϛ μδ α , οἵων ἐστὶν ὁ ἐπίκυκλος τξ . τῶν δὲ αὐτῶν ὑπόκειται καὶ ἡ Β Α Ι’ περιφέρεια ρν κς · καὶ ὅλη μὲν ἄρα ἡ Β Γ Ε περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρνζ ι α , ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ Β Ε τοίουτῶν ριζ λ λβ , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ , ἡ δὲ Ε Δ εὐθεῖα χλα ιγ μὴ . εἰ μὲν οὖν ἡ Β Ε εὐθεῖα ἵση ἦν εὑρημένη τῇ διαμέτρῳ τοῦ ἐπικύκλου , ἐπʼ αὐτῆς ἂν ἐτύγχανεν δηλονότι τὸ κέντρον αὐτοῦ , καὶ αὐτόθεν ἂν ἐφαίνετο τῶν διαμέτρων ὁ λόγος · ἐπεὶ δʼ ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς , ἐλάσσων δὲ καὶ ἡ Β Γ Ε περιφέρεια ἡμικυκλίου , δῆλον , ὅτι τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ Β Α Γ Ε τμήματος . ὑποκείσθω δὴ τὸ Κ σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Δ κέντρου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου διὰ τοῦ Κ εὐθεῖα ἡ Δ Μ Κ Λ , ὥστε τὸ μὲν Λ σημεῖον γίνεσθαι τὸ ἀπογειότατον τοῦ ἐπικύκλου , τὸ δὲ Μ τὸ περιγειότατον . ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν Β Δ καὶ Δ Ε περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Λ Δ καὶ Δ M περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ , δέδεικται δʼ Δ ἡμῖν , ὅτι , οἵων ἐστὶν τοῦ ἐπικύκλου ἡ διάμετρος , τουτέστιν ἡ Λ Κ Μ εὐθεῖα , ρκ , τοιούτων ἐστὶν ἡ μὲν Β Ε εὐθεῖα ριζ λζ λβ , ἡ δὲ Ε Δ τῶν αὐτῶν χλα ιγ μη , ἡ δὲ Β Δ ὅλη δηλονότι ψμη να κ , γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν Β Δ καὶ Δ Ε , τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν Λ Δ καὶ Δ Μ , περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῶν αὐτῶν M μζ β καὶ ἑξηκοστῶν ε λβ . πάλιν δέ , ἐπεὶ καὶ τὸ ὑπὸ Λ Δ καὶ Δ Μ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Κ Μ ποιεῖ τὸ ἀπὸ Δ Κ τετράγωνον , ἡ δὲ Κ Μ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου τῶν αὐτῶν ἐστιν ξ , ἐὰν τὰ γχ τοῦ ἀπʼ αὐτῆς τετραγώνου προσθῶμεν ταῖς Μ β ε λβ , ἕξομεν τὸ ἀπὸ Δ Κ τετράγωνον τῶν αὐτῶν Μ μζ ς ε λβ καὶ μήκει ἄρα ἔσται ἡ Δ Κ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ φέροντος τὸν ἐπίκυκλον ὁμοκέντρου τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοιούτων χ ?? καὶ ἑξηκοστῶν η μβ , οἵων ἐστὶν ἡ Κ Μ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου ἑξήκοντα . ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ φέροντος τὸν ἐπίκυκλον ὁμοκέντρου τῇ ὄψει κύκλου ἑξήκοντα , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ιγ ἔγγιστα . ἤχθω δὴ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἀπὸ τοῦ Κ κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν Β Ε ἡ Κ Ν Ξ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Β Κ . ἐπεὶ τοίνυν , οἵων ἐστὶν ἡ Δ χ ?? η μβ , τοιούτων ἦν καὶ ἡ μὲν Δ Κ εὐθεῖα χλα ιγ μη , ἡ δὲ Ν Ε ἡμίσεια οὖσα τῆς Β Ε τῶν αὐτῶν νη μη μς , ὥστε καὶ ὅλην τὴν Δ Ε Ν τῶν αὐτῶν γίνεσθαι χ ?? καὶ ἑξηκοστῶν β λδ , καὶ οἵων ἄρα ἡ Δ Κ ὑποτείνουσά ἐστιν ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν Δ Ν ἔσται ριθ νη νζ , ἡ δὲ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ροη β ἔγγιστα , οἵωον ἐστὶν ὁ περὶ τὸ Δ Ν Κ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ Δ Κ Ν γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν ροη β , οἵων δὲ αἰ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων πθ α . καὶ ἡ μὲν Ξ Μ ἄρα τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν πθ α , ἡ δὲ Λ Β Ξ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ?? νθ . τῶν δὲ αὐτῶν ἐστιν ἡ Ξ Β περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τῆς Β Ξ Ε μοιρῶν οη λε , ἐπειδήπερ ἡ Β Ε ὅλη ἀπεδείχθη μοιρῶν ρνζ ι ἔγγιστα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Λ Β τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια , ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ ἀπογειοτάτου κατὰ τὸν ἐκκείμενον μέσον χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως , μοιρῶν ἐστιν ιβ κδ . ὁμοίως δέ , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ Δ Κ Ν γωνία ἐδείχθη τοιούτων πθ α , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , καὶ λοιπὴ ἔσται ἡ ὑπὸ Κ Δ Ν γωνία , ἥτις ὑποτείνει τὴν ἀφαιρουμένην τῆς μέσης κατὰ μῆκος παρόδου περιφέρειαν ἐκ τῆς παρὰ τὴν Λ Β τοῦ ἐπικύκλου γινομένης ἀνωμαλίας , τῶν λοιπῶν εἰς τὴν μίαν ὀρθὴν μοιρῶν ο νθ . καὶ κατὰ μῆκος ἄρα μέσως ἐπεῖχεν ἡ σελήνη κατὰ τὸν μέσο χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως Παρθένου μοίρας ιδ μδ , ἐπειδήπερ ἀκριβῶς ἐπεῖχε μοίρας ιγ με , ὅσας καὶ ὁ ἥλιος ἐν τοῖς Ἰχθύσι . πάλιν , ὧν εἰλήφαμεν τριῶν ἐκλείψεων ἐκ τῶν ἐπιμελέστατα ἡμῖν ἐν Ἀλεξανδρείᾳ τετηρημένων , ἡ μὲν πρώτη γέγονε τῷ ιζʹ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Παϋνὶ κʹ εἰς τὴν καʹ , τὸν δὲ μέσον χρόνον ἀκριβῶς ἐπελογισάμεθα γεγονέναι πρὸ ἡμίσους καὶ τετάρτου μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς τοῦ μεσονυκτίου · καὶ ἐξέλειπεν ὅλη , καθʼ ἣν ὥραν ἀκριβῶς ἐπεῖχεν ὁ ἥλιος τοῦ Ταύρου μοίρας ιγ δʹ ἔγγιστα . ἡ δὲ δευτέρα γέγονε τῷ ιθʹ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Χοϊὰκ βʹ εἰς τὴν γʹ , τὸν δὲ μέσον χρόνον ἐπελογισάμεθα γεγονέναι πρὸ α ὥρας ἰσημερινῆς τοῦ μεσονυκτίου · καὶ ἐξέλειπεν ἀπʼ ἄρκτων τὸ U+2220ʹ καὶ γʹ τῆς διαμέτρου , καθʼ ἣν ὥραν ἐπεῖχεν ὁ ἥλιος ἀκριβῶς τῶν Χηλῶν μοίρας κε ςʹ ἔγγιστα . ἡ δὲ τρίτη τῶν ἐκλείψεων γέγονεν τῷ κʹ ἔτει Αδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Φαρμουθὶ ιθʹ εἰς τὴν κʹ , τὸν δὲ μέσον χρόνον ἐπελογισάμεθα γεγονέναι μετὰ δ ὥρας ἰσημερινὰς τοῦ μεσονυκτίου · καὶ ἐξέλειπε τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου ἀπʼ ἄρκτων , ἐπεῖχε δὲ καὶ κατὰ ταύτην τὴν ὥραν ὁ ἥλιος τῶν Ἰχθύων μοίρας ιδ ιβ΄ ἔγγιστα . Φανερὸν οὖν , ὅτι καὶ ἐνταῦθα κεκίνηται ἡ σελήνη μεθʼ ὅλους κύκλους ἀπὸ μὲν τοῦ μέσου χρόνου τῆς πρώτης ἐκλείψεως ἐπὶ τὸν μέσον χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως , ὅσας καὶ ὁ ἥλιος , μοίρας ρξα νε , ἀπὸ δὲ τοῦ τῆς δευτέρας ἐπὶ τὸν τῆς τρίτης μοίρας ρλη νε . ἔστιν δὲ καὶ ὁ μεταξὺ χρόνος τῆς μὲν πρώτης διαστάσεως ἐνιαυτοῦ Αἰγυπτιακοῦ ἑνὸς καὶ ἡμερῶν ρξς καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ἀπλῶς μὲν κγ U+2220΄ δʹ , ἀκριβῶς δὲ κγ U+2220ʹ ηʹ , τῆς δὲ δευτέρας διαστάσεως ἐνιαυτοῦ πάλιν Αἰγυπτιακοῦ ἑνὸς καὶ ἡμερῶν ρλζ καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ἁπλῶς μὲν ε , ἀκριβῶς δὲ ε U+2220΄ . κινεῖται δὲ πάλιν ἡ σελήνη μέσως μεθʼ ὅλους κύκλους ἐν μὲν τῷ ἑνὶ ἔτει καὶ ἡμέραις ρξς καὶ ὥραις ἰσημεριναῖς κγ U+2220΄ ηʹ ἀνωμαλίας μὲν μοίρας ρι κα , μήκους δὲ μοίρας ρξθ λζ ἔγγιστα , ἐν δὲ τῷ ἑνὶ ἔτει καὶ ἡμέραις ρλζ καὶ ὥραις ἰσημεριναῖς U+2220΄ ἀνωμαλίας μὲν μοίρας πα λς , μήκους δὲ μοίρας ρλζ λδ ἔγγιστα . δῆλον οὖν , ὅτι καὶ αἱ μὲν τῆς πρώτης διαστάσεως τοῦ ἐπικύκλου μοῖραι ρι κα ἀφῃρήκασιν τῆς κατὰ μῆκος μέσης παρόδου μοίρας ζ μβ , αἱ δὲ τῆς δευτέρας διαστάσεως μοῖραι πα λς προστεθείκασιν τῇ κατὰ μῆκος μέσῃ παρόδῳ μοίρας α κα . τούτων οὖν ὑποκειμένων ἔστω πάλιν ὁ ἐπίκυκλος τῆς σελήνης ὁ Α Β Γ , καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ὑποκείσθω , καθʼ οὗ ἦν ἡ σελήνη ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς πρώτης ἐκλείψεως , τὸ δὲ Β τὸ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως , τὸ δὲ Γ τὸ τῆς τρίτης , νοείσθω δὲ ὡσαύτως ἡ μετάβασις τῆς σελήνης ὡς ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β , εἶτα ἐπὶ τὸ Γ γινομένη , ὥστε τὴν μὲν Α Β περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ρι κα ἀφαιρεῖν , ὡς ἔφαμεν , τῆς κατὰ μῆκος μέσης παρόδου μοίρας ζ μβ , τὴν δὲ Β Γ μοιρῶν οὖσαν πα λς προστιθέναι τῷ μήκει μοῖραν α κα , λοιπὴν δὲ τὴν Γ Α μοιρῶν οὖσαν ρξη γ προστιθέναι τῷ μήκει τὰς λοιπὰς μοίρας ς κα . ὅτι μὲν οὖν ἐπὶ τῆς Α Β περιφερείας τὸ ἀπογειότατον εἶναι δεῖ , φανερὸν ἐκ τοῦ μήτε ἐπὶ τῆς Β Γ εἶναι δύνασθαι μήτε ἐπὶ τῆς Γ Α διὰ τὸ ἑκατέραν αὐτῶν προσθετικήν τε εἶναι καὶ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου . εἰλήφθω δὲ ὅμως ὡς μὴ ὑποκειμένου τούτου τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ κύκλου , ἐφʼ οὗ φέρεται ὁ ἐπίκυκλος , καὶ ἔστω τὸ Δ , ἐπεζεύχθωσάν τε ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ τῶν γ ἐκλείψεων σημεῖα εὐθεῖαι αἱ Δ Ε Α , Δ Β , Δ Γ , καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς Β Γ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου εὐθεῖαι ἐπὶ μὲν τὰ Β , αἱ Ε Β , Ε Γ . ἐπὶ δὲ τὰς Β Δ , Δ Γ εὐθείας κάθετοι αἱ Ε καὶ Ε Η , καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν Β Ε κάθετος ἤχθω ἡ Γ Θ . ἐπεὶ τοίνυν ἡ Α Β περιφέρεια ὑποτείνει τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου μοίρας ζ μβ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Β γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ζ μβ , οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ιε κδ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Ζ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ιε κδ , οἵων ὁ περὶ τὸ Δ Ε Ζ τρίγωνον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ Ε Ζ εὐθεῖα τοιούτων ις δ μβ , οἵων ἐστὶν ἡ Δ Ε ὑποτείνουσα ρκ . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ Α Β περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρι κα εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Ε Β γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ρι κα , οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτων ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Β ιε κδ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε Β Δ γωνία τῶν αὐτῶν ἐστιν ?? δ νζ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Ζ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ?? δ νζ , οἵων ὁ περὶ τὸ Β Ε κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ Ε Ζ εὐθεῖα τοιούτων πη κς ιζ , οἵων ἐστὶν ἡ Β Ε ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Ε Ζ εὐθεῖα ις δ μβ , ἡ δὲ Δ Ε ρκ , τοιούτων ἐστὶν καὶ ἡ Β Ε εὐθεῖα κα μη νθ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ Γ Ε Α περιφέρεια ὑποτείνουσα ἐδείχθη τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου μοίρας ς κα , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Γ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ς κα , οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ιβ μβ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ιβ μβ , οἵων ὁ περὶ τὸ Δ Ε Η ὀρθογώνιον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ Ε Η εὐθεῖα τοιούτων ιγ ις ιθ , οἵων ἐστὶν ἡ Δ Ε ὑποτείνουσα ρκ . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ Α Β Γ περιφέρεια συνάγεται μοιρῶν ρ??α νζ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Α Ε Γ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων ρ??α νζ , οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ . τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Γ γωνία ιβ μβ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ E Γ Δ τῶν αὐτῶν ἐστιν ροθ ιε . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Ε Η περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ροθ ιε , οἵων ὁ περὶ τὸ Γ Ε Η τρίγωνον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ Ε Η εὐθεῖα τοιούτων ἐστὶν ριθ νθ ν , οἵων ἐστὶν ἡ Γ Ε ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Ε Η εὐθεῖα ιγ ις ιθ , ἡ δὲ Δ Ε ἐδείχθη ρκ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ Γ E εὐθεῖα ιγ ιϛ κ . τῶν δὲ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Β Ε εὐθεῖα κα μη νθ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ Β Γ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν πα λς , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ Β Ε Γ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων πα λς , οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Γ Θ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν πα λς , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ Γ Ε Θ τρίγωνον κύκλος τξ , ἡ δὲ ἐπὶ τῆς Ε Θ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον κδ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν Γ Θ ἔσται τοιούτων οη κδ λζ , οἵων ἐστὶν ἡ Ε Γ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ Ε Θ τῶν αὐτῶν κβ · καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ Γ Ε εὐθεῖα ιγ ις κ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν Γ Θ ἔσται η μ κ , ἡ δὲ Ε Θ ὁμοίως ι β μθ . τῶν δὲ αὐτῶν ἦν ἡ Ε Β ὅλη κα μη νθ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Θ Β τοιούτων ἔσται ια μϛ ι , οἵων καὶ ἡ Γ Θ ἦν η μ κ . καί ἐστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς Θ Β τετράγωνον ρλη λα ια , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Γ Θ τῶν αὐτῶν οε ιβ κζ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Β Γ τετράγωνον σιγ μγ λη · μήκει ἄρα ἐστὶν ἡ Β Γ τοιούτων ιδ λζ ι , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν Δ Ε εὐθεῖα ρκ , ἡ δὲ Γ Ε ὁμοίως ιγ ις κ . ἔστιν δὲ καί , οἵων ἡ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ , τοιούτων ἡ Γ Β εὐθεῖα οη κδ λζ · ὑποτείνει γὰρ τὴν Β Γ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν πα λς · καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Β Γ εὐθεῖα οη κδ λζ , ἡ δὲ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν Δ Ε εὐθεῖα χμγ λϛ λθ , ἡ δὲ Γ Ε τῶν αὐτων οα ια δ . ὥστε καὶ ἡ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια ἡ Γ Ε τοιούτων ἐστὶν οβ μς ι , οἵων ὁ ἐπίκυκλος τξ . τῶν δὲ αὐτῶν ἡ Γ Ε Α ὑπόκειται ρξη γ · καὶ λοιπὴ μὲν ἄρα ἡ Ε Α περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ?? ε ις ν , ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ Α Ε τοιούτων πη μ ιζ , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ , ἡ δὲ Ε Δ εὐθεῖα χμγ λϛ λθ . ἐπεὶ οὖν πάλιν ἡ Ε Α περιφέρεια ἐλάσσων ἐδείχθη ἡμικυκλίου , δῆλον , ὅτι τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ Ε Α τμήματος . εἰλήφθω δὴ καὶ ἔστω τὸ Κ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Δ Μ Κ Λ , ὥστε πάλιν τὸ μὲν Λ σημεῖον γίνεσθαι τὸ ἀπογειότατον , τὸ δὲ Μ τὸ περιγειότατον . ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ Α Δ καὶ Δ Ε περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Λ Δ καὶ ΔΜ , δέδεικται δʼ ἡμῖν , ὅτι , οἵων ἐστὶν ἡ Λ Κ Μ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ρκ , τοιούτων ἐστὶν ἡ μὲν Α Ε εὐθεῖα πη μ ιζ , ἡ δὲ Ε Δ τῶν αὐτων χμγ λς λθ , ἡ δὲ Α Δ ὅλη δηλονότι ψλβ ιϛ νς , γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν Α Δ καὶ Δ Ε , τουτέστιν τὸ ὑπὸ Λ Δ καὶ Δ Μ , τῶν αὐτων M μζ ᾳτδ μς ιζ . πάλιν δέ , ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Λ Δ Μ μετὰ τοῦ ἀπὸ Κ Μ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Δ Κ τετράγωνον , ἡ δὲ Κ Μ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου ποιεῖ τὸ ἀπʼ αὐτῆς γχ , ἐὰν τὰ γχ προσθῶμεν ταῖς προκειμέναις Μ μζ ᾳτδ μς ιζ , ἕξομεν τὸ ἀπὸ Δ Κ τετράγωνον τῶν αὐτων Μ δϡδ μς ιζκαὶ μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΔΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ φέροντος τὸν ἐπίκυκλον ὁμοκέντρου τῷ διὰ μέσων τοιούτων χπθ η , οἵων ἐστὶν ἡ ΚΜ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου ἐξήκοντα . ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μεταξὺ τῶν κέντρων τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ τοῦ ἐπικύκλου ἑξήκοντα , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ιδ . καί ἐστιν ὁ αὐτὸς ἔγγιστα λόγος τῷ διὰ τῶν παλαιοτέρων ἐκλείψεων μικρῷ πρόσθεν ἀποδεδειγμένῳ . ἤχθω δὴ πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀπὸ τοῦ Κ κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν ΔΕΑ ἡ ΚΝΞ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ . ἐπεὶ οὖν , οἵων ἡ ΔΚ ἐδείχθη χπθ η , τοιούτων ἦν καὶ ἡ μὲν ΔΕ εὐθεῖα χμγ λς λθ , ἡ δὲ ΝΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν μδ κ η , ὥστε καὶ ὅλην τὴν ΔΕΝ τῶν αὐτῶν χπζ νς μζ , καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΔΚ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ ΔΝ ἔσται ριθ μζ λς , ἡ δὲ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ρογ ιζ ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΔΚΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΚΝ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν ρογ ιζ , οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν πϛ λη U+2220΄ . καὶ ἡ μὲν ΜΕΞ ἄρα τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν πς λη λ , ἡ δὲ Λ Α Ξ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ?? γ κα λ . τῶν δὲ αὐτῶν ἐστιν ἡ Α Ξ περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τῆς Α Ε μοιρῶν μζ λη λ ἔγγιστα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Α Λ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν μὲ μγ . ὑπέκειτο δὲ καὶ ἡ Α Β ὅλη τῶν αὐτῶν ρι κα · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Λ Β περιφέρεια , ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ ἀπογειοτάτου κατὰ τὸν ἐκκείμενον μέσον χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως , μοιρῶν ἐστιν ξδ λη . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ Δ Κ Ν γωνία ἀπεδείχθη τοιούτων πς λη . ἔγγιστα , οἵων αἱ δ ὀρθαὶ τξ , ἡ δὲ ὑπὸ Κ Δ Ν γίνεται τῶν λοιπῶν εἰς τὴν μίαν ὀρθὴν γ κβ , ὑπέκειτο δὲ καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Β ὅλη τῶν αὐτῶν ζ μβ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Λ Δ Β γωνία , ἥτις ὑποτείνει τὴν ἀφαιρουμένην τῆς μέσης κατὰ μῆκος παρόδου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφέρειαν ἐκ τῆς παρὰ τὴν Λ Β γινομένης τοῦ ἐπικύκλου ἀνωμαλίας , μοιρῶν ἔσται δ κ . καὶ κατὰ μῆκος ἄρα μέσως ἐπεῖχεν ἡ σελήνη κατὰ τὸν μέσον χρόνον τῆς δευτέρας ἐκλείψεως τοῦ Κριοῦ μοίρας κθ λ , ἐπειδήπερ ἀκριβῶς ἐπεῖχεν μοίρας κε ι , ὅσας καὶ ὁ ἥλιος τῶν Χηλῶν .
Lemmas: οὗτος μέν οὖν μέχρι τοσοῦτος ἐγώ προθεωρέω , ποιέω δέ ὁ ἀπόδειξις ὁ ἔκκειμαι σεληνιακός ἀνωμαλία ἐπί ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπόθεσις , διά ὅς εἶπον αἴτιος , ὁ μέν πρῶτος ἀπό ὅς ἔχω ἀρχαῖος ἔκλειψις τρεῖς ὁ ἀδιστάκτως δοκέω ἀναγράφω συγχράομαι , ἐφεξῆς δέ καί ἀπό ὁ ἐν ὁ νῦν χρόνος τρεῖς πάλιν ὁ ὑπό ἐγώ αὐτός ἀκριβής τηρέω · οὕτως γάρ ὅς τε ἐξέτασις ἐγώ ὑπάρχω , διά ὅσος γε μάλιστα δυνατός εἰμί μακρός χρόνος , καί ἄλλως φανερός εἰμί , διότι ὁ τε παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος ὁ αὐτός ἐκ ἀμφότερος ὁ δεῖξις ἔγγιστος ἀποβαίνω , καί ὁ ὁ μέσος κίνησις ἐπουσία σύμφωνος ἀεί εὑρίσκω ὁ κατά ὁ ἔκκειμαι περιοδικός χρόνος κατά ὁ ἡμέτερος διόρθωσις ἐπισυνάγω . πρός δή ὁ δεῖξις ὁ πρῶτος καί ὡς κατά ἑαυτοῦ θεωρέω ἀνωμαλία ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπόθεσις , ὡς φημί , περιέχω ὁ τρόπος οὗτος . νοέω γάρ ἐν ὁ ὁ σελήνη σφαῖρα κύκλος ομόκεντρος τε καί ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος κεῖμαι ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον , πρός δέ οὗτος ἕτερος ἐγκλίνω ἀνάλογος ὁ πηλικότης ὁ κατά πλάτος πάροδος ὁ σελήνη περιφέρω ὁμαλός εἰς ὁ προηγούμενος περί ὁ κέντρον ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος τοσοῦτος , ὅσος ὁ κατά πλάτος κίνησις ὑπερέχω ὁ κατά μῆκος . ἐπί μέν οὖν ὁ λοξός οὗτος κύκλος φέρω ὑποτίθημι ὁ καλέω ἐπίκυκλος ὁμαλός πάλιν εἰς ὁ ἕπομαι ὁ κόσμος ἀκόλουθος ὁ κατά πλάτος ἀποκατάστασις , ὅστις δηλονότι πρός αὐτός ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον θεωρέω ὁ κατά μῆκος ποιέω κίνησις , ἐπί δέ αὐτός ὁ ἐπίκυκλος ὁ σελήνη ὡς κατά ὁ ἀπόγειον περιφέρεια εἰς ὁ προηγούμενος ὁ κόσμος ὁ μετάβασις ποιέω ἀκόλουθος ὁ ὁ ἀνωμαλία ἀποκατάστασις . πρός μέντοι ὁ ὑπόκειμαι δεῖξις οὐδείς εἄν παραποδίζω μήτε ὁ διά ὁ πλάτος προήγησις μήτε ὁ λόξωσις ὁ σεληνιακός κύκλος συμπαραλαμβάνω οὐδείς ἀξιόλογος διαφορά ὁ κατά μῆκος πάροδος προσγίγνομαι ἐκ ὁ ἐπί τοσοῦτος ἔγκλισις . ὅς τοίνυν λαμβάνω παλαιός τρεῖς ἔκλειψις ἐκ ὁ ἐν Βαβυλών τηρέω , ὁ μέν πρῶτος ἀναγράφω γίγνομαι ὁ πρῶτος ἔτος Μαρδοκεμπάδου κατά Αἰγύπτιος Θώθ τύ εἰς ὁ Λ΄ . ἄρχω δέ , φημί , ἐκλείπω μετά ὁ ἀνατολή εἷς ὥρα ἱκανῶς παρέρχομαι καί ἐκλείπω ὅλος . ἐπεί οὖν ὁ ἥλιος περί ὁ ἔσχατος ὁ ἰχθύς εἰμί , καί ὁ νύξ ὥρα ἰσημερινός Ἶβ ἔγγιστος , ὁ μέν ἀρχή ὁ ἔκλειψις γίγνομαι δηλονότι πρό δ U+2220΄ ἀρόω ἰσημερία ὁ μεσονύκτιος , ὁ δέ μέσος χρόνος , ἐπεί τέλειος εἰμί ὁ ἔκλειψις , πρό Β U+2220΄ ὥρα . ἐν Ἀλεξάνδρεια ἄρα , ἐπεί πρός ὁ διά αὐτός μεσημβρινός ὁ ωριαίος ἐποχή συνίστημι , προηγέομαι δέ ὁ διά αὐτός μεσημβρινός ὁ διά Βαβυλών ἥμισυς καί τρίτος ἔγγιστος εἷς ὥρα ἰσημερινός , ὁ μέσος χρόνος γίγνομαι ὁ πρόκειμαι ἔκλειψις πρό γ καί Γ΄ ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος , κατά ὅς ὥρα ὁ ἥλιος κατά ὁ εκτεθειμένος ἐγώ ἐπιλογισμός ἐπέχω ἀκριβῶς ὁ ἰχθύς μοῖρα ΚΔ U+2220΄ ἔγγιστος . ὁ δέ δύο ὁ ἔκλειψις ἀναγράφω γίγνομαι ὁ δύο ἔτος ὁ αὐτός Μαρδοκεμπάδου κατά Αἰγύπτιος Θώθ ιη΄ εἰς ὁ ΙΘ΄ . ἐκλείπω δέ , φημί , ἀπό νότος δάκτυλος γ αὐτός ὁ μεσονύκτιος . ἐπεί οὖν ὁ μέσος χρόνος ἐν Βαβυλών φαίνω γίγνομαι κατά αὐτός ὁ μεσονύκτιον , ἐν Ἀλεξάνδρεια ὀφείλω γίγνομαι πρό U+2220΄ καί γε μέρος εἷς ὥρα ὁ μεσονύκτιος , κατά ὅς ὥρα ὁ ἥλιος ἐπέχω ἀκριβῶς ὁ ἰχθύς μοῖρα ιγʹ U+2220΄ Δ΄ . ὁ δέ Γ΄ ὁ ἔκλειψις ἀναγράφω γίγνομαι ὁ αὐτός δύο ἔτος ὁ Μαρδοκεμπάδου κατά Αἰγύπτιος Φαμενώθ ἵημι εἰς ὁ ΙΣΤ΄ . ἄρχω δέ , φημί , ἐκλείπω μετά ὁ ἀνατολή καί ἐκλείπω ἀπό ἄρκτος πλείων ὁ ἥμισυς . ἐπεί οὖν ὁ ἥλιος περί ὁ ἀρχή εἰμί ὁ παρθένος , ὁ μέν ὁ νύξ μέγεθος ἐν Βαβυλών ἰά ἔγγιστος ὥρα τυγχάνω ἰσημερινός , ὁ δέ ἥμισυς ὁ νύξ ε U+2220΄ ὥρα · καί ὁ μέν ἀρχή ἄρα ὁ ἔκλειψις γίγνομαι πρό πέντε μάλιστα ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος διά ὁ μετά ὁ ἀνατολή ἄρχω , ὁ δέ μέσος χρόνος πρό γ U+2220΄ ὥρα , ἐπεί ὁ πᾶς χρόνος ὁ τηλικόσδε μέγεθος ὁ ἐπισκότησις τρεῖς ἔγγιστος ὥρα ὀφείλω γίγνομαι . ἐν Ἀλεξάνδρεια πάλιν ἄρα ὁ μέσος χρόνος ὁ ἔκλειψις ἀποτελέω πρό δ καί γε ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος , κατά ὅς ὥρα ὁ ἥλιος ἐπέχω ἀκριβῶς ὁ παρθένος μοῖρα γ Δ΄ ἔγγιστος . φανερός οὖν , ὅτι ἀπό μέν ὁ μέσος χρόνος ὁ πρῶτος ἔκλειψις ἐπί ὁ ὁ δύο κινέω ὁ ἥλιος , τουτέστι καί ὁ σελήνη , μετά ὅλος κύκλος μοῖρα τμθ εἶμι , ἀπό δέ ὁ ὁ δύο ἔκλειψις μέσος χρόνος ἐπί ὁ ὁ τρίτος μοῖρα ρξθʹ λ . ἀλλά καί ὁ ὁ μεταξύ χρόνος διάστασις ἀπό μέν ὁ πρῶτος ἐπί ὁ δύο ἡμέρα περιέχω τνδʹ καί ὥρα ἰσημερινός ἁπλόος μέν οὕτως θεωρέω δύο ἥμισυς , πρός δέ ὁ ὁ ὁμαλός νυχθήμερον ἐπιλογισμός δύο ἥμισυς πεντεκαιδέκατος , ἀπό δέ ὁ δύο ἐπί ὁ τρίτος ἡμέρα ρος καί ὥρα ἰσημερινός ἀπλόος μέν πάλιν Κ U+2220΄ , ἀκριβῶς δέ Κ πέμπτος . κινέω δέ ὁμαλός ὁ σελήνη · πρός γάρ ὁ τοσοῦτος χρόνος οὐδείς αἰσθητός διαφέρω , κἀν ὁ σύνεγγυς ὁ ἀκριβής περίοδος τις ἀκολουθέω · ἐν μέν ὁ τνδʹ ἡμέρα καί ὥρα ἰσημερινός Β U+2220΄ ἵημι ἀνωμαλία μέν μετά ὅλος κύκλος μοῖρα τ κε , μῆκος δέ μοῖρα τ νάω , ἐν δέ ὁ ρος ἡμέρα καί ὥρα ἰσημερινός Κ καί πέμπτος ἀνωμαλία μέν μοῖρα ρ ΚΣ , μῆκος δέ μοῖρα ροʹ ζ ἔγγιστος . δῆλος οὖν , ὅτι ὁ μέν ὁ πρῶτος διάστασις ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα ἴς κε προστίθημι ὁ μέσος κινέω ὁ σελήνη μοῖρα γ ΚΔ , ὁ δέ ὁ δύο διάστασις μοῖρα ρ ΚΣ ἀφαιρέω ὁ μέσος κίνησις μοῖρα ὁ λξ . οὗτος ὑπόκειμαι ἵστημι ὁ ὁ σελήνη ἐπίκυκλος ὁ Α Β Γ , καί ὁ μέν Α σημεῖον ἵστημι , κατά ὅς εἰμί ὁ σελήνη ἐν ὁ μέσος χρόνος ὁ πρῶτος ἔκλειψις , ὁ δέ Β , κατά ὅς εἰμί ἐν ὁ μέσος χρόνος ὁ δύο ἔκλειψις , ὁ δέ Γ , κατά ὅς εἰμί ἐν ὁ μέσος χρόνος ὁ τρίτος ἔκλειψις . νοέω δέ ὁ ὁ σελήνη ἐπί ὁ ἐπίκυκλος μετάβασις ὡς ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Α καί ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Γ γίγνομαι , ὥστε ὁ μέν Α Γ Β περιφέρεια , ὅς ἐπικινέω ἀπό ὁ πρῶτος ἔκλειψις ἐπί ὁ δύο , μοῖρα εἰμί ἴς κε προστίθημι ὁ μέσος μοῖρα γ ΚΔ , ὁ δέ Β Α Γ , ὅς κινέω ἀπό ὁ δύο ἔκλειψις ἐπί ὁ τρίτος , μοῖρα εἰμί ρ ΚΣ ἀφαιρέω ὁ μέσος μοῖρα ὁ λζʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Α πάροδος μοῖρα εἰμί νγʹ λεʹ ἀφαιρέω ὁ μέσος ὁ αὐτός μοῖρα γ ΚΔ , ὁ δέ ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Γ μοῖρα εἰμί ?? Σ νάω προστίθημι ὁ μέσος μοῖρα Β μζʹ . ὅτι μέν οὖν οὖον δυνατός ἐπί ὁ Β Α Γ περιφέρεια ὁ περιγίγνομαι εἰμί ὁ ἐπίκυκλος , φανερός ἐκ ὁ ἀφαιρετικός τε αὐτός ὑπάρχω καί μικρός ἡμικύκλιον ὁ μέγας κίνησις κατά ὁ περίγειον ὑπόκειμαι . ἐπεί δέ πάντως ἐπί ὁ Β Ε Γ , λαμβάνω ὁ κέντρον ὁ τε διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος καί ὁ φέρω ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος καί ἵστημι ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό αὐτός ἐπί ὁ ὁ γ ἔκλειψις σημεῖον εὐθύς ὁ δ Α , δ Ε Β , δ Γ . καθόλου τοίνυν , ἵνα καί πρός ὁ ὅμοιος δείκνυμι εὐεπίβολος ὁ μεταγωγή ὁ θεώρημα ποιέω , ἐάν τε διά ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπόθεσις αὐτός ὡς νῦν δείκνυμι ἐάν τε διά ὁ κατά ἐκκεντρότης ὁ δ κέντρον τότε ἐντός λαμβάνω , εἷς μέν ὁ ἐπιζεύγνυμι τρεῖς εὐθύς ἐκβάλλω ἐπί ὁ ἀντίκειμαι περιφέρεια , ὡς ἐνθάδε ὁ δ Ε Β αὐτόθεν ἔχω διεκβάλλω ἐπί ὁ Ε σημεῖον ἀπό ὁ Β ὁ δύο ἔκλειψις , ὁ δέ λοιπάς δύο σημεῖον ὁ ἔκλειψις ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὡς ἐνθάδε ὁ Α Γ , καί ἀπό ὁ γίγνομαι τομή ὑπό ὁ ἐκβάλλω , οἷος ὁ Ε , ἐπιζεύγνυμι μέν ἐπί ὁ λοιπάς δύο σημεῖον εὐθύς , ὡς ἐνθάδε ὁ Ε Α , Ε Γ , κάθετος δέ ἄγω ἐπί ὁ ἀπό ὁ λοιπός δύο σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ζῳδιακός κέντρον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ἐπί μέν ὁ Α δ ὁ Ε Ζ , ἐπί δέ ὁ Γ δ ὁ Ε ὁ , καί ἔτι ἀπό ὁ ἕτερος ὁ εἴρω δύο σημεῖον , ὡς ἐνθάδε ἀπό ὁ Γ , κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ἀπό ὁ ἕτερος αὐτός , οἷος ὁ Α , ἐπί ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ διεκβολή περισσός τομή , οἷος ὁ Ε , ἐπιζεύγνυμι εὐθύς , ὡς ἐνθάδε ἐπί ὁ Α Ε ὁ Γ Θ · ὁπόθεν γάρ εἄν χράω ὁ ὁ καταγραφή ἀγωγή , ὁ αὐτός εὑρίσκω ἐκβαίνω λόγος διά ὁ ὁ δεῖξις ἀριθμός ὁ ἐκλογή πρός ὁ εὔχρηστος μόνος καταλιμπάνω . ἐπεί τοίνυν ὁ Β Α περιφέρεια ὑποτείνω δείκνυμι ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος μοῖρα γ ΚΔ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Β δ Α γωνία πρός ὁ κέντρον αὐτός εἰμί , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος γ ΚΔ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ϛ μη . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Ε Ζ εὐθύς περιφέρεια τοιοῦτος Σ μη , οἷος ὁ περί ὁ δ Ε Ζ ὀρθογώνιος γράφω κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ Ε Ζ εὐθύς τοιοῦτος ζ ζ o , οἷος εἰμί ὁ δ Ε ὑποτείνω ρκʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ Β Α περιφέρεια μοῖρα εἰμί νγʹ λεʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Β Ε Α γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος νγʹ λεʹ , οἷος εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό Β δ Α γωνία Σ μη · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Ε Α Ζ γωνία ὁ αὐτός εἰμί μς μζʹ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Ε Ζ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί μς μζʹ , οἷος ὁ περί ὁ Α Ε Ζ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ Ε Ζ εὐθύς τοιοῦτος μζʹ λα λ , οἷος εἰμί ὁ Ε Α ὑποτείνω ρκʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν Ε Ζ εὐθύς ζ ζ o , ὁ δέ Ε Α ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ A Ε εὐθύς ιζʹ νε λβʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ Β Α Γ περιφέρεια ὑποτείνω ὁ ζῳδιακός μοῖρα o λζʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Β δ Γ γωνία πρός ὁ κέντρον ὁ αὐτός εἰμί , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος o λζʹ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς ιδʹ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Ε ὁ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ὅς ιδʹ , οἷος ὁ περί ὁ δ Ε ὁ τρίγωνος κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ Ε ὁ εὐθύς τοιοῦτος ὅς ιζʹ λ , οἷος εἰμί ὁ δ Ε ὑποτείνω ρκʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ Β Α εἷς περιφέρεια μοῖρα εἰμί ρ ΚΣ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Β Ε Γ γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος ρ ΚΣ , οἷος εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό Β δ Γ γωνία ὅς ιδʹ καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Ε Γ δ ὁ αὐτός εἰμί ρμθʹ Ἶβ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Ε ὁ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ρμθʹ Ἶβ , οἷος ὁ περί ὁ Γ Ε ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ Ε ὁ εὐθύς τοιοῦτος Ριέ μή ἄν , οἷος εἰμί ὁ Γ Ε ὑποτείνω ρκʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν Ε ὁ εὐθύς ὅς ιζʹ λ , ὁ δέ δ Ε ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί ὁ Γ Ε εὐθύς ὅς Κ κγʹ . ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ Ε Α εὐθύς ιζʹ νε λβʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ Α Γ περιφέρεια μοῖρα δείκνυμι ?? Σ νάω , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Α Ε Γ γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος ?? s νάω , οἷος εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Γ Θ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ?? Σ αν , οἷος ὁ περί ὁ Γ Ε Θ τρίγωνος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ Ε Θ περιφέρεια ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον πγʹ θ · καί ὁ ὑποτείνω ἄρα αὐτός εὐθύς εἰμί ὁ μέν Γ Θ τοιοῦτος ΠΘ μς ιδʹ , οἷος εἰμί ὁ Γ Ε ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ Ε Θ ὁ αὐτός οθ λζʹ νε . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ Γ Ε εὐθύς ὅς Κ κγʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν Γ Θ εὐθύς ὅς o ὁ , ὁ δέ Ε Θ ὁμοίως o νγʹ ἄν . ὁ δέ αὐτῖς εἰμί ὁ Ε Α ὅλος ιζʹ νε λβʹ · καί λοιπός ἄρα ὁ Θ Α τοιοῦτος εἰμί ιζʹ Β ἰά , οἷος ὁ Γ Θ δείκνυμι ὅς ὁ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ Α Θ τετράγωνος Σ ιδʹ ιθʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ Γ Θ ὁμοίως ὅς o ιζʹ , ὁ συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ Α Γ τετράγωνος Ἕσα ιδʹ λςʹ · μῆκος ἄρα εἰμί ὁ Α Γ τοιοῦτος ιζʹ γ νζʹ , οἷος εἰμί ὁ μέν δ Ε εὐθύς ρκʹ , ὁ δέ Γ Ε ὁ αὐτός ὅς κγʹ . εἰμί δέ καί , οἷος ὁ ὁ ἐπίκυκλος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος ὁ Α Γ εὐθύς ΠΘ μς ιδʹ · ὑποτείνω γάρ ὁ Α Γ περιφέρεια μοῖρα εἰμί ?? Σ νάω . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ μέν Α Γ εὐθύς ΠΘ μς ιδʹ , ὁ δέ ὁ ἐπίκυκλος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν δ Ε εὐθύς χλη ιγʹ μη , ὁ δέ Γ Ε ὁ αὐτός ζ Β Ν · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί αὐτός περιφέρεια ὁ Γ Ε τοιοῦτος ϛ μδʹ ὅς , οἷος εἰμί ὁ ἐπίκυκλος τξʹ . ὁ δέ αὐτός ὑπόκειμαι καί ὁ Β Α εἷς περιφέρεια ρ ΚΣ · καί ὅλος μέν ἄρα ὁ Β Γ Ε περιφέρεια μοῖρα εἰμί ρνζʹ ι ὅς , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς ὁ Β Ε τοιοῦτος ριζʹ λ λβʹ , οἷος εἰμί ὁ μέν ὁ ἐπίκυκλος διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ Ε δ εὐθύς χλη ιγʹ μή . εἰμί μέν οὖν ὁ Β Ε εὐθύς ἴσος εἰμί εὑρίσκω ὁ διάμετρος ὁ ἐπίκυκλος , ἐπί αὐτός εἄν τυγχάνω δηλονότι ὁ κέντρον αὐτός , καί αὐτόθεν εἄν φαίνω ὁ διάμετρος ὁ λόγος · ἐπεί δέ μικρός εἰμί αὐτός , μικρός δέ καί ὁ Β Γ Ε περιφέρεια ἡμικύκλιον , δῆλος , ὅτι ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ἐκτός πίπτω ὁ Β Α Γ Ε τμῆμα . ὑπόκειμαι δή ὁ Κ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ δ κέντρον ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος διά ὁ Κ εὐθύς ὁ δ Μ Κ Λ , ὥστε ὁ μέν Λ σημεῖον γίγνομαι ὁ ἀπόγαιος ὁ ἐπίκυκλος , ὁ δέ Μ ὁ περιγίγνομαι . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ὁ Β δ καί δ Ε περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Λ δ καί δ M περιέχω ὀρθογώνιος , δείκνυμι δέ δ ἐγώ , ὅτι , οἷος εἰμί ὁ ἐπίκυκλος ὁ διάμετρος , τουτέστιν ὁ Λ Κ Μ εὐθύς , ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί ὁ μέν Β Ε εὐθύς ριζʹ λζʹ λβʹ , ὁ δέ Ε δ ὁ αὐτός χλη ιγʹ μη , ὁ δέ Β δ ὅλος δηλονότι ψμη νάω Κ , γίγνομαι ὁ ὑπό ὁ Β δ καί δ Ε , τουτέστιν ὁ ὑπό ὁ Λ δ καί δ Μ , περιέχω ὀρθογώνιος ὁ αὐτός M μζʹ Β καί ἑξηκοστός ε λβʹ . πάλιν δέ , ἐπεί καί ὁ ὑπό Λ δ καί δ Μ μετά ὁ ἀπό ὁ Κ Μ ποιέω ὁ ἀπό δ Κ τετράγωνος , ὁ δέ Κ Μ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ἐπίκυκλος ὁ αὐτός εἰμί ξ , ἐάν ὁ γχ ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος προστίθημι ὁ Μ Β ε λβʹ , ἔχω ὁ ἀπό δ Κ τετράγωνος ὁ αὐτός Μ μζʹ Σ ε λβʹ καί μῆκος ἄρα εἰμί ὁ δ Κ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ φέρω ὁ ἐπίκυκλος ὁμόκεντρος ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος τοιοῦτος χ ?? καί ἑξηκοστός ὁ μβʹ , οἷος εἰμί ὁ Κ Μ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ἐπίκυκλος ἑξήκοντα . ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ φέρω ὁ ἐπίκυκλος ὁμόκεντρος ὁ ὁράω κύκλος ἑξήκοντα , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ε ιγʹ ἔγγιστος . ἄγω δή ἐπί ὁ ὅμοιος καταγραφή ἀπό ὁ Κ κέντρον κάθετος ἐπί ὁ Β Ε ὁ Κ Ν Ξ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Β Κ . ἐπεί τοίνυν , οἷος εἰμί ὁ δ χ ?? ὁ μβʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν δ Κ εὐθύς χλη ιγʹ μη , ὁ δέ Ν Ε ἥμισυς εἰμί ὁ Β Ε ὁ αὐτός νη μη μς , ὥστε καί ὅλος ὁ δ Ε Ν ὁ αὐτός γίγνομαι χ ?? καί ἑξηκοστός Β λδʹ , καί οἷος ἄρα ὁ δ Κ ὑποτείνω εἰμί ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν δ Ν εἰμί ριθʹ νη νζʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ῥοή Β ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ δ Ν Κ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . ὥστε καί ὁ ὑπό δ Κ Ν γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ῥοή Β , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ΠΘ ὅς . καί ὁ μέν Ξ Μ ἄρα ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια μοῖρα εἰμί ΠΘ ὅς , ὁ δέ Λ Β Ξ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ?? νθʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί ὁ Ξ Β περιφέρεια ἥμισυς εἰμί ὁ Β Ξ Ε μοῖρα οηʹ λεʹ , ἐπεί ὁ Β Ε ὅλος ἀποδείκνυμι μοῖρα ρνζʹ ι ἔγγιστος · καί λοιπός ἄρα ὁ Λ Β ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια , ὅς ἀπέχω ὁ σελήνη ὁ ἀπόγειος κατά ὁ ἔκκειμαι μέσος χρόνος ὁ δύο ἔκλειψις , μοῖρα εἰμί Ἶβ ΚΔ . ὁμοίως δέ , ἐπεί ὁ ὑπό δ Κ Ν γωνία δείκνυμι τοιοῦτος ΠΘ ὅς , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , καί λοιπός εἰμί ὁ ὑπό Κ δ Ν γωνία , ὅστις ὑποτείνω ὁ ἀφαιρέω ὁ μέσος κατά μῆκος πάροδος περιφέρεια ἐκ ὁ παρά ὁ Λ Β ὁ ἐπίκυκλος γίγνομαι ἀνωμαλία , ὁ λοιπός εἰς ὁ εἷς ὀρθός μοῖρα ὁ νθʹ . καί κατά μῆκος ἄρα μέσος ἐπέχω ὁ σελήνη κατά ὁ μέσος χρόνος ὁ δύο ἔκλειψις παρθένος μοῖρα ιδʹ μδʹ , ἐπεί ἀκριβῶς ἐπέχω μοῖρα ιγʹ ἐγώ , ὅσος καί ὁ ἥλιος ἐν ὁ ἰχθύς . πάλιν , ὅς λαμβάνω τρεῖς ἔκλειψις ἐκ ὁ ἐπιμελής ἐγώ ἐν Ἀλεξάνδρεια τηρέω , ὁ μέν πρῶτος γίγνομαι ὁ ἵζω ἔτος Ἀδριανός κατά Αἰγύπτιος παῦνι καί εἰς ὁ καί , ὁ δέ μέσος χρόνος ἀκριβῶς ἐπιλογίζομαι γίγνομαι πρό ἥμισυς καί τέταρτος εἷς ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος · καί ἐκλείπω ὅλος , κατά ὅς ὥρα ἀκριβῶς ἐπέχω ὁ ἥλιος ὁ Ταῦρος μοῖρα ιγʹ δέ ἔγγιστος . ὁ δέ δύο γίγνομαι ὁ εὐθύς ἔτος Ἀδριανός κατά Αἰγύπτιος Χοίακ βε εἰς ὁ γε , ὁ δέ μέσος χρόνος ἐπιλογίζομαι γίγνομαι πρό ὅς ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος · καί ἐκλείπω ἀπό ἄρκτος ὁ U+2220ʹ καί γε ὁ διάμετρος , κατά ὅς ὥρα ἐπέχω ὁ ἥλιος ἀκριβῶς ὁ Χῆλαι μοῖρα κε ςʹ ἔγγιστος . ὁ δέ τρίτος ὁ ἔκλειψις γίγνομαι ὁ καί ἔτος Ἁδριανός κατά Αἰγύπτιος Φαρμοῦθι εὐθύς εἰς ὁ καί , ὁ δέ μέσος χρόνος ἐπιλογίζομαι γίγνομαι μετά δ ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος · καί ἐκλείπω ὁ ἥμισυς ὁ διάμετρος ἀπό ἄρκτος , ἐπέχω δέ καί κατά οὗτος ὁ ὥρα ὁ ἥλιος ὁ ἰχθύς μοῖρα ιδʹ ἰβʹ ἔγγιστος . Φανερός οὖν , ὅτι καί ἐνταῦθα κινέω ὁ σελήνη μετά ὅλος κύκλος ἀπό μέν ὁ μέσος χρόνος ὁ πρῶτος ἔκλειψις ἐπί ὁ μέσος χρόνος ὁ δύο ἔκλειψις , ὅσος καί ὁ ἥλιος , μοῖρα ρξαʹ νε , ἀπό δέ ὁ ὁ δύο ἐπί ὁ ὁ τρίτος μοῖρα ρληʹ νε . εἰμί δέ καί ὁ μεταξύ χρόνος ὁ μέν πρῶτος διάστασις ἐνιαυτός Αἰγυπτιακός εἷς καί ἡμέρα ρξς καί ὥρα ἰσημερινός ἀπλόος μέν κγʹ U+2220΄ δέ , ἀκριβῶς δέ κγʹ U+2220ʹ ἤ , ὁ δέ δύο διάστασις ἐνιαυτός πάλιν Αἰγυπτιακός εἷς καί ἡμέρα ρλζ καί ὥρα ἰσημερινός ἁπλόος μέν ε , ἀκριβῶς δέ ε U+2220΄ . κινέω δέ πάλιν ὁ σελήνη μέσος μετά ὅλος κύκλος ἐν μέν ὁ εἷς ἔτος καί ἡμέρα ρξς καί ὥρα ἰσημερινός κγʹ U+2220΄ ἤ ἀνωμαλία μέν μοῖρα ριʹ ἄν , μῆκος δέ μοῖρα ρξθʹ λζʹ ἔγγιστος , ἐν δέ ὁ εἷς ἔτος καί ἡμέρα ρλζ καί ὥρα ἰσημερινός U+2220΄ ἀνωμαλία μέν μοῖρα πῃ λςʹ , μῆκος δέ μοῖρα ρλζ λδʹ ἔγγιστος . δῆλος οὖν , ὅτι καί ὁ μέν ὁ πρῶτος διάστασις ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα ριʹ ἄν ἀφαιρέω ὁ κατά μῆκος μέσος πάροδος μοῖρα ζ μβʹ , ὁ δέ ὁ δύο διάστασις μοῖρα πῃ λςʹ προστίθημι ὁ κατά μῆκος μέσος πάροδος μοῖρα ὅς ἄν . οὗτος οὖν ὑπόκειμαι ἵστημι πάλιν ὁ ἐπίκυκλος ὁ σελήνη ὁ Α Β Γ , καί ὁ μέν Α σημεῖον ὑπόκειμαι , κατά ὅς εἰμί ὁ σελήνη ἐν ὁ μέσος χρόνος ὁ πρῶτος ἔκλειψις , ὁ δέ Β ὁ ὁ δύο ἔκλειψις , ὁ δέ Γ ὁ ὁ τρίτος , νοέω δέ ὡσαύτως ὁ μετάβασις ὁ σελήνη ὡς ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Β , εἶτα ἐπί ὁ Γ γίγνομαι , ὥστε ὁ μέν Α Β περιφέρεια μοῖρα εἰμί ριʹ ἄν ἀφαιρέω , ὡς φημί , ὁ κατά μῆκος μέσος πάροδος μοῖρα ζ μβʹ , ὁ δέ Β Γ μοῖρα εἰμί πῃ λςʹ προστίθημι ὁ μῆκος μοῖρα ὅς ἄν , λοιπός δέ ὁ Γ Α μοῖρα εἰμί ἔρδω γ προστίθημι ὁ μῆκος ὁ λοιπάς μοῖρα Σ ἄν . ὅτι μέν οὖν ἐπί ὁ Α Β περιφέρεια ὁ ἀπόγαιος εἰμί δεῖ , φανερός ἐκ ὁ μήτε ἐπί ὁ Β Γ εἰμί δύναμαι μήτε ἐπί ὁ Γ Α διά ὁ ἑκάτερος αὐτός προσθετικός τε εἰμί καί μικρός ἡμικύκλιον . λαμβάνω δέ ὅμως ὡς μή ὑπόκειμαι οὗτος ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός καί ὁ κύκλος , ἐπί ὅς φέρω ὁ ἐπίκυκλος , καί ἵστημι ὁ δ , ἐπιζεύγνυμι τε ἀπό αὐτός ἐπί ὁ ὁ γ ἔκλειψις σημεῖον εὐθύς ὁ δ Ε Α , δ Β , δ Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Β Γ ἄγω ἀπό ὁ Ε σημεῖον εὐθύς ἐπί μέν ὁ Β , ὁ Ε Β , Ε Γ . ἐπί δέ ὁ Β δ , δ Γ εὐθύς κάθετος ὁ Ε καί Ε ὁ , καί ἔτι ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ Β Ε κάθετος ἄγω ὁ Γ Θ . ἐπεί τοίνυν ὁ Α Β περιφέρεια ὑποτείνω ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος μοῖρα ζ μβʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Α δ Β γωνία πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ζῳδιακός , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ζ μβʹ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἶμι ΚΔ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Ε Ζ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί εἶμι ΚΔ , οἷος ὁ περί ὁ δ Ε Ζ τρίγωνος κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ Ε Ζ εὐθύς τοιοῦτος ἴς δ μβʹ , οἷος εἰμί ὁ δ Ε ὑποτείνω ρκʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ Α Β περιφέρεια μοῖρα εἰμί ριʹ ἄν εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Α Ε Β γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος ριʹ ἄν , οἷος εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτῖς εἰμί καί ὁ ὑπό Α δ Β εἶμι ΚΔ λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Ε Β δ γωνία ὁ αὐτός εἰμί ?? δ νζʹ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Ε Ζ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ?? δ νζʹ , οἷος ὁ περί ὁ Β Ε κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ Ε Ζ εὐθύς τοιοῦτος πῇ ΚΣ ιζʹ , οἷος εἰμί ὁ Β Ε ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ μέν Ε Ζ εὐθύς ἴς δ μβʹ , ὁ δέ δ Ε ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ Β Ε εὐθύς ἄν μη νθʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ Γ Ε Α περιφέρεια ὑποτείνω δείκνυμι ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος μοῖρα Σ ἄν , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Α δ Γ γωνία πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ζῳδιακός , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Σ ἄν , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Ἶβ μβʹ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Ε ὁ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί Ἶβ μβʹ , οἷος ὁ περί ὁ δ Ε ὁ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ Ε ὁ εὐθύς τοιοῦτος ιγʹ ἴς ιθʹ , οἷος εἰμί ὁ δ Ε ὑποτείνω ρκʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ Α Β Γ περιφέρεια συνάγω μοῖρα Ἔρα νζʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Α Ε Γ γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος Ἔρα νζʹ , οἷος εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό Α δ Γ γωνία Ἶβ μβʹ καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό E Γ δ ὁ αὐτός εἰμί ροθʹ εἶμι . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Ε ὁ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ροθʹ εἶμι , οἷος ὁ περί ὁ Γ Ε ὁ τρίγωνος κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ Ε ὁ εὐθύς τοιοῦτος εἰμί ριθʹ νθʹ Ν , οἷος εἰμί ὁ Γ Ε ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ μέν Ε ὁ εὐθύς ιγʹ ἴς ιθʹ , ὁ δέ δ Ε δείκνυμι ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ Γ E εὐθύς ιγʹ ιϛʹ Κ . ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ Β Ε εὐθύς ἄν μη νθʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ Β Γ περιφέρεια μοῖρα εἰμί πῃ λςʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Β Ε Γ γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος πῃ λςʹ , οἷος εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ Γ Θ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί πῃ λςʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ Γ Ε Θ τρίγωνος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ Ε Θ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ΚΔ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν Γ Θ εἰμί τοιοῦτος οηʹ ΚΔ λζʹ , οἷος εἰμί ὁ Ε Γ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ Ε Θ ὁ αὐτός κβʹ · καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ Γ Ε εὐθύς ιγʹ ἴς Κ , τοιοῦτος καί ὁ μέν Γ Θ εἰμί ὁ μ Κ , ὁ δέ Ε Θ ὁμοίως ι Β μθʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί ὁ Ε Β ὅλος ἄν μη νθʹ · καί λοιπός ἄρα ὁ Θ Β τοιοῦτος εἰμί ἰά μϛʹ ι , οἷος καί ὁ Γ Θ εἰμί ὁ μ Κ . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ Θ Β τετράγωνος ρληʹ λάω ἰά , ὁ δέ ἀπό ὁ Γ Θ ὁ αὐτός οεʹ Ἶβ κζ , ὁ συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ Β Γ τετράγωνος σι μγʹ λα · μῆκος ἄρα εἰμί ὁ Β Γ τοιοῦτος ιδʹ λζʹ ι , οἷος εἰμί ὁ μέν δ Ε εὐθύς ρκʹ , ὁ δέ Γ Ε ὁμοίως ιγʹ ἴς Κ . εἰμί δέ καί , οἷος ὁ ὁ ἐπίκυκλος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος ὁ Γ Β εὐθύς οηʹ ΚΔ λζʹ · ὑποτείνω γάρ ὁ Β Γ περιφέρεια μοῖρα εἰμί πῃ λςʹ · καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ μέν Β Γ εὐθύς οηʹ ΚΔ λζʹ , ὁ δέ ὁ ἐπίκυκλος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν δ Ε εὐθύς χμγ λϛ λθʹ , ὁ δέ Γ Ε ὁ αὐτῖς ὄα ἰά δ . ὥστε καί ὁ ἐπί αὐτός περιφέρεια ὁ Γ Ε τοιοῦτος εἰμί οβʹ μς ι , οἷος ὁ ἐπίκυκλος τξʹ . ὁ δέ αὐτός ὁ Γ Ε Α ὑπόκειμαι ἔρδω γ · καί λοιπός μέν ἄρα ὁ Ε Α περιφέρεια μοῖρα εἰμί ?? ε ἴς Ν , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς ὁ Α Ε τοιοῦτος πῇ μ ιζʹ , οἷος εἰμί ὁ μέν ὁ ἐπίκυκλος διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ Ε δ εὐθύς χμγ λϛ λθʹ . ἐπεί οὖν πάλιν ὁ Ε Α περιφέρεια μικρός δείκνυμι ἡμικύκλιον , δῆλος , ὅτι ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ἐκτός πίπτω ὁ Ε Α τμῆμα . λαμβάνω δή καί ἵστημι ὁ Κ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ δ Μ Κ Λ , ὥστε πάλιν ὁ μέν Λ σημεῖον γίγνομαι ὁ ἀπόγαιος , ὁ δέ Μ ὁ περιγίγνομαι . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό Α δ καί δ Ε περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Λ δ καί δΜ , δείκνυμι δέ ἐγώ , ὅτι , οἷος εἰμί ὁ Λ Κ Μ ὁ ἐπίκυκλος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί ὁ μέν Α Ε εὐθύς πῇ μ ιζʹ , ὁ δέ Ε δ ὁ αὐτῖς χμγ λςʹ λθʹ , ὁ δέ Α δ ὅλος δηλονότι ψλβ ιϛʹ ΝΣ , γίγνομαι ὁ ὑπό ὁ Α δ καί δ Ε , τουτέστιν ὁ ὑπό Λ δ καί δ Μ , ὁ αὐτῖς M μζʹ ΑΤΔ μς ιζʹ . πάλιν δέ , ἐπεί ὁ ὑπό Λ δ Μ μετά ὁ ἀπό Κ Μ ποιέω ὁ ἀπό ὁ δ Κ τετράγωνος , ὁ δέ Κ Μ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ἐπίκυκλος ποιέω ὁ ἀπό αὐτός γχ , ἐάν ὁ γχ προστίθημι ὁ πρόκειμαι Μ μζʹ ΑΤΔ μς ιζʹ , ἔχω ὁ ἀπό δ Κ τετράγωνος ὁ αὐτῖς Μ δϡδ μς ιζκαὶ μῆκος ἄρα εἰμί ὁ δΚ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ φέρω ὁ ἐπίκυκλος ὁμόκεντρος ὁ διά μέσος τοιοῦτος χπθ ὁ , οἷος εἰμί ὁ ΚΜ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ἐπίκυκλος ἐξήκω . ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μεταξύ ὁ κέντρον ὁ τε διά μέσος ὁ ζῴδιον καί ὁ ἐπίκυκλος ἑξήκοντα , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ε ιδʹ . καί εἰμί ὁ αὐτός ἔγγιστος λόγος ὁ διά ὁ παλαιός ἔκλειψις μικρός πρόσθεν ἀποδείκνυμι . ἄγω δή πάλιν ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ἀπό ὁ Κ κέντρον κάθετος ἐπί ὁ ΔΕΑ ὁ ΚΝΞ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΚ . ἐπεί οὖν , οἷος ὁ δΚ δείκνυμι χπθ ὁ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν ΔΕ εὐθύς χμγ λςʹ λθʹ , ὁ δέ Νε ἥμισυς εἰμί ὁ ΑΕ ὁ αὐτός εἰμί μδʹ Κ ὁ , ὥστε καί ὅλος ὁ δεν ὁ αὐτός χπζ ΝΣ μζʹ , καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ δΚ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ ΔΝ εἰμί ριθʹ μζʹ λςʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ρο ιζʹ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΔΚΝ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΔΚΝ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ρο ιζʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί πϛʹ λα U+2220΄ . καί ὁ μέν ΜΕΞ ἄρα ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια μοῖρα εἰμί ΠΣ λα λ , ὁ δέ Λ Α Ξ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ?? γ ἄν λ . ὁ δέ αὐτός εἰμί ὁ Α Ξ περιφέρεια ἥμισυς εἰμί ὁ Α Ε μοῖρα μζʹ λα λ ἔγγιστος · καί λοιπός ἄρα ὁ Α Λ περιφέρεια μοῖρα εἰμί ἐγώ μγʹ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ Α Β ὅλος ὁ αὐτός ριʹ ἄν · καί λοιπός ἄρα ὁ Λ Β περιφέρεια , ὅς ἀπέχω ὁ σελήνη ὁ ἀπόγειος κατά ὁ ἔκκειμαι μέσος χρόνος ὁ δύο ἔκλειψις , μοῖρα εἰμί ξδʹ λα . ὁμοίως , ἐπεί ὁ μέν ὑπό δ Κ Ν γωνία ἀποδείκνυμι τοιοῦτος ΠΣ λα . ἔγγιστος , οἷος ὁ δ ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ὑπό Κ δ Ν γίγνομαι ὁ λοιπός εἰς ὁ εἷς ὀρθός γ κβʹ , ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὑπό Α δ Β ὅλος ὁ αὐτός ζ μβʹ , καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό Λ δ Β γωνία , ὅστις ὑποτείνω ὁ ἀφαιρέω ὁ μέσος κατά μῆκος πάροδος ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος περιφέρεια ἐκ ὁ παρά ὁ Λ Β γίγνομαι ὁ ἐπίκυκλος ἀνωμαλία , μοῖρα εἰμί δ Κ . καί κατά μῆκος ἄρα μέσος ἐπέχω ὁ σελήνη κατά ὁ μέσος χρόνος ὁ δύο ἔκλειψις ὁ Κριός μοῖρα κθʹ λ , ἐπεί ἀκριβῶς ἐπέχω μοῖρα κε ι , ὅσος καί ὁ ἥλιος ὁ Χῆλαι .