claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 10.7
ζ΄ . Ἀπόδειξις τῆς τοῦ τοῦ Ἄρεως ἐκκεντρότητος καὶ τοῦ ἀπογείου . Ὥσπερ οὖν ἐπὶ τῆς σελήνης λαβόντες τριῶν πανσεληνιακῶν ἐκλείψεων τούς τε τόπους καὶ τοὺς χρόνους ἀπεδείκνυμεν διὰ τῶν γραμμῶν τόν τε τῆς ἀνωμαλίας λόγον καὶ τὸν τοῦ ἀπογείου τόπον , τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐνταῦθα τριῶν ἀκρωνύκτων τῶν πρὸς τὴν μέσην τοῦ ἡλίου πάροδον διαμέτρων καθʼ ἕκαστον τῶν ἀστέρων τούτων τούς τε τόπους τηρήσαντες ὡς ἔνι μάλιστα ἀκριβῶς διὰ τῶν ἀστρολάβων ὀργάνων καὶ ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς τηρήσεις μέσων τοῦ ἡλίου παρόδων τὸν πρὸς τὸ λεπτομερέστερον τῆς διαστάσεως χρόνον τε καὶ τόπον προσεπιλογισάμενοι ἀπὸ τούτων δείκνυμεν τόν τε τῆς ἐκκεντρότητος λόγον καὶ τὸ ἀπόγειον . ἐπὶ πρώτου τοίνυν τοῦ τοῦ Ἄρεως ἐλάβομεν τρεῖς ἀκρωνύκτους , ὧν τὴν μὲν πρώτην ἐτηρήσαμεν τῷ ιε΄ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Τυβὶ κς΄ εἰς τὴν κζ΄ μετὰ μίαν ὥραν ἰσημερινὴν τοῦ μεσονυκτίου περὶ Διδύμων μοίρας κα , τὴν δὲ δευτέραν τῷ ιθ΄ ἔτει Ἀδριανοῦ κατʼ Αἰγυπτίους Φαρμουθὶ ς΄ εἰς τὴν ζ΄ πρὸ ὡρῶν γ τοῦ μεσονυκτίου περὶ Λέοντος μοίρας κη ν , τὴν δὲ γ΄ τῷ β΄ ἔτει Ἀντωνίνου κατʼ Αἰγυπτίους Ἐπιφὶ ιβ΄ εἰς τὴν ιγ΄ πρὸ δύο ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου περὶ Τοξότου μοίρας β λδ . οἱ μὲν οὖν χρόνοι τῶν διαστάσεων περιέχουσιν ἀπὸ μὲν τῆς α΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὴν β΄ ἔτη Αἰγυπτιακὰ δ καὶ ἡμέρας ξθ καὶ ὥρας ἰσημερινὰς κ , ἀπὸ δὲ τῆς β΄ ἐπὶ τὴν γ΄ ἔτη δ ὁμοίως καὶ ἡμέρας 𝒢Ϛ καὶ ὥραν ἰσημερινὴν α . συνάγονται δὲ ἐκ μὲν τοῦ τῆς α΄ διαστάσεως χρόνου μεθʼ ὅλους κύκλους μήκους κινήσεως μοῖραι πα μδ , ἐκ δὲ τοῦ τῆς δευτέρας μοῖραι 𝒢ε κη · οὐδενὶ γὰρ ἀξιολόγῳ διοίσει , κἂν ἀπὸ τῶν ὁλοσχερέστερον ἐκτεθειμένων περιοδικῶν ἀποκαταστάσεων ἐπί γε τοῦ τοσούτου χρόνου τὰς μέσας κινήσεις ἐπιλογιζώμεθα . δῆλον δʼ , ὅτι καὶ κατὰ μὲν τὴν πρώτην διάστασιν ὁ φαινόμενος ἀστὴρ κεκίνηται μεθʼ ὅλους κύκλους μοίρας ξζ ν , κατὰ δὲ τὴν δευτέραν μοίρας 𝒢γ μδ . γεγράφθωσαν δὴ ἐν τῷ τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπιπέδῳ γ ἴσοι κύκλοι , ὧν ὁ μὲν τὸ κέντρον φέρων τοῦ ἐπικύκλου τοῦ τοῦ Ἄρεως ἔστω ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠ ; , ὁ δὲ τῆς ὁμαλῆς κινήσεως ἔκκεντρος ὁ ΕΖΗ περὶ κέντρον τὸ Θ , ὁ δὲ ὁμόκεντρος τῷ ζῳδιακῷ ὁ ΚΛΜ περὶ κέντρον τὸ Ν , ἡ δὲ διὰ πάντων τῶν κέντρων διάμετρος ἡ ΞΟ ΠΡ · ὑποκείσθω δὲ τὸ μὲν Α , καθʼ οὗ ἦν τὸ τοῦ ἐπικύκλου κέντρον ἐν τῇ α΄ ἀκρωνύκτῳ , τὸ δὲ Β , καθʼ οὗ ἦν ἐν τῇ β΄ ἀκρωνύκτῳ , τὸ δὲ Γ , καθʼ οὗ ἦν ἐν τῇ γ΄ ἀκρωνύκτῳ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΘΑΕ καὶ ΘΒΖ καὶ ΘΗΓ καὶ ΝΚΑ καὶ ΝΛΒ καὶ ΝΓΜ , ὥστε τὴν μὲν ΕΖ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν μοιρῶν εἶναι τῶν τῆς α΄ περιοδικῆς διαστάσεως πα μδ , τὴν δὲ ΖΗ τῶν τῆς β΄ 𝒢ε κη , καὶ πάλιν τὴν μὲν ΚΑ περιφέρειαν τοῦ ζῳδιακοῦ τῶν τῆς φαινομένης α΄ διαστάσεως μοιρῶν ξζ ν , τὴν δὲ ΛΜ τῶν τῆς β΄ 𝒢γ μδ . εἰ μὲν οὖν αἱ ΕΖ καὶ ΖΗ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαι ὑπὸ τῶν ΚΛ καὶ ΛΜ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερειῶν ὑπετείνοντο , οὐδὲν ἂν ἄλλο πρὸς τὴν δεῖξιν ἔτι τῆς ἐκκεντρότητος ἐζητοῦμεν · ἐπεὶ δʼ αὐταὶ μὲν τὰς ΑΒ καὶ ΒΓ τοῦ μέσου ἐκκέντρου ὑποτείνουσι μὴ δεδομένας , ἐὰν δʼ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΝΣΕ καὶ ΝΤΖ καὶ ΝΗΥ , πάλιν τὰς ΕΖ καὶ ΖΗ τοῦ ἐκκέντρου περιφερείας αἱ ΣΤ καὶ ΤΥ τοῦ ζῳδιακοῦ ὑποτείνουσι μηδὲ αὐταὶ δηλονότι δεδομέναι , δεήσει πρότερα δοθῆναι τὰ ΚΣ καὶ ΛΤ καὶ ΜΥ διάφορα τμήματα , ἵνα ἀπὸ τῶν συζυγουσῶν περιφερειῶν τῶν τε ΕΖΗ καὶ τῶν ΣΤΥ πρὸς ἀκρίβειαν ὁ τῆς ἐκκεντρότητος λόγος ἀποδειχθῇ . ἐπεὶ δʼ οὐδὲ ταύτας οἷόν τέ ἐστιν ἀκριβῶς λαβεῖν πρότερον τοῦ τε τῆς ἐκκεντρότητος λόγου καὶ τοῦ ἀπογείου , δοθήσονται μέντοι ἔγγιστα , κἂν μὴ ἀκριβῶς ἐκεῖνα προυπαρχθῇ , διὰ τὸ μὴ μεγάλας αὐτῶν γίγνεσθαι τὰς διαφοράς , ποιησόμεθα πρότερον τὸν ἐπιλογισμὸν ὡς μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφερουσῶν παρὰ τὰς ΚΛΜ ΣΤΥ περιφερειῶν . ἔστω γὰρ ὁ τῆς ὁμαλῆς παρόδου τοῦ τοῦ Ἄρεως ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ ὑποκείσθω τὸ μὲν Α σημεῖον τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου , τὸ δὲ Β τῆς δευτέρας , τὸ δὲ Γ τῆς τρίτης , εἰλήφθω δὲ ἐντὸς αὐτοῦ τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ , ἐφʼ οὗ ἡ ὄψις ἡμῶν , τὸ ∠ ; , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι πάντοτε ἀπὸ τῶν γ σημείων τῶν ἀκρωνύκτων ἐπὶ τὸ τῆς ὄψεως , ὡς νῦν ἥ τε Α ∠ καὶ ἡ Β ∠ Α καὶ ἡ Γ∠ ; , καὶ ἐκβεβλήσθω μὲν καθόλου μία τῶν ἐπεζευγμένων γ εὐθειῶν ἐπὶ τὴν ἐναντίαν τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν , ὡς ἐνθάδε ἡ Γ∠Ε , τὰ δὲ λοιπὰ δύο σημῖα τῶν ἀκρωνύκτων ἐπιζευγνύτω εὐθεῖα , ὡς ἐπὶ τούτων ἡ ΑΒ ἔπειτα ἀπὸ τῆς γενομένης τομῆς τοῦ ἐκκέντρου ὑπὸ τῆς ἐκβεβλημένης εὐθείας , οἷον τοῦ Ε , ἐπιζευγνύσθωσαν μὲν εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ λοιπὰ δύο σημεῖα τῶν ἀκρωνύκτων , ὡς ἐνθάδε ἥ τε ΕΑ καὶ ΕΒ , κάθετοι δʼ ἀγέσθωσαν ἐπὶ τὰς ἀπὸ τῶν εἰρημένων β σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον ἐπιζευγνυμένας εὐθείας , ὡς ἐπὶ τούτων ἐπὶ μὲν τὴν Α∠ ἡ ΕΖ , ἐπὶ δὲ τὴν Β ∠ ἡ ΕΗ , καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν εἰρημένων β σημείων κάθετος ἀγέσθω πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἐπὶ τὸ γενόμενον τοῦ ἐκκέντρου περισσὸν σημεῖον ἐπιζευχθεῖσαν , ὡς ἐνθάδε ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΕ εὐθεῖαν ἡ ΑΘ . ταῦτα μὲν οὖν ἀεὶ τηροῦντες ἐπὶ τῆς τοιαύτης καταγραφῆς , καθʼ ὃν ἂν βουλώμεθα τρόπον , τοὺς αὐτοὺς λόγους ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν εὑρήσομεν φερομένους , ἡ δὲ λοιπὴ δεῖξις ἀπὸ τῶν προκειμένων ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἄρεως περιφερειῶν ἔσται φανερὰ τὸν τρόπον τοῦτον · ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια ὑπόκειται ὑποτείνουσα τοῦ ζῳδιακοῦ μοίρας 𝒢γ μδ , εἴη ἂν ἡ μὲν ὑπὸ Β∠Γ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων 𝒢γ μδ , οἵων δὲ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ρπζ κη , ἡ δʼ ἐφεξῆς αὐτῇ ἡ ὑπὸ Ε∠Η τῶν αὐτῶν ροβ λβ ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΗ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ροβ λβ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΕΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΕΗ εὐθεῖα τοιούτων ριθ με , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ε ὑποτείνουσα ρκ . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ ΒΓ περιφέρειά ἐστι μοιρῶν 𝒢ε κη , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσα τοιούτων 𝒢ε κη , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Β∠Ε γωνία ροβ λβ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῶν αὐτῶν ἔσται 𝒢β . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΗ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν 𝒢β , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΕΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΕΗ εὐθεῖα τοιούτων πϛ ιθ , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΕ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἄρα ἡ μὲν ΕΗ ἐδείχθη ριθ με , ἡ δὲ Ε∠ ὁμοίως ρκ , τοιούτων καὶ ἡ ΒΕ ἔσται ρξς κθ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ΑΒΓ ὅλη περιφέρεια τοῦ ἐκκέντρου ὑποτείνουσα ὑπόκειται τοῦ ζῳδιακοῦ τὰς συναγομένας ἀμφοτέρων τῶν διαστάσεων μοίρας ρξα λδ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Α∠Γ γωνία τοιούτων ρξα λδ , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ Α∠Ε τῶν αὐτῶν μὲν ιη κς , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λς νβ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶ λς νβ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΕΖ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΕΖ εὐθεῖα τοιούτων λζ νζ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ε ὑποτείνουσα ρκ . ὁμοίως , ἐπεὶ ἡ ΑΒΓ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια συνάγεται μοιρῶν ροζ ιβ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τοιούτων ροζ ιβ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ Α∠Ε γωνία λϛ νβ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΑΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρμε νς . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ρμε νς , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΕΖ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΕΖ εὐθεῖα τοιούτων ριδ μδ , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΕ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἄρα ἡ μὲν ΕΖ ἐδείχθη λζ νζ , ἡ δὲ Ε∠ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ ΑΕ ἔσται λθ μβ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ΑΒ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν πα μδ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τοιούτων πα μδ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΑΘ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν πα μδ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΕΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δ᾿ ἐπὶ τῆς ΕΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον 𝒢η ις . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΑΘ ἔσται τοιούτων οη λα , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΕ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ Ε τῶν αὐτῶν με · ὥστε καί , οἵων ἡ μὲν ΑΕ ἐδείχθη λθ μβ , ἡ δὲ ∠Ε ὑπόκειται ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΑ ἔσται κε νη , ἡ δὲ ΕΘ ὁμοίως λ καὶ ἑξηκοστῶν β . τῶν δʼ αὐτῶν ἐδέδεικτο καὶ ἡ ΕΒ ὅλη ρξς κθ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ τοιούτων ἐστὶν ρλς κζ , οἵων ἡ ΘΑ ἦν κε νη . καί ἐστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΘΒ τετράγωνον Μ ηχιε ιϛ , τὸ δ᾿ ἀπὸ τῆς ΘΑ ὁμοίως χοδ ιϛ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον Μ θσπθ λβ μήκει ἄρα ἡ ΑΒ τοιούτων ρλη νγ , οἵων ἡ μὲν Ε∠ ἦν ρκ , ἡ δὲ ΑΕ εὐθεῖα λθ μβ . ἔστιν δὲ καί , οἵων ἡ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ , τοιούτων ἡ ΑΒ εὐθεῖα οη λα · ὑποτείνει γὰρ περιφέρειαν μοιρῶν πα μδ · καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα οη λα , ἡ δὲ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν Ε∠ ἔσται ξζ ν , ἡ δὲ ΑΕ τῶν αὐτῶν κβ μδ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοῦ ἐκκέντρου μοιρῶν ἐστιν κα μα , ὅλη δὲ ἡ ΕΑΒΓ μοιρῶν ρ𝒢η νγ . καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ μὲν ΓΕ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρξα ζ , ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ Γ∠Ε τοιούτων ριη κβ , οἵων ἐστὶν ἡ τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ρκ . εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΕ εὐθεῖα ἴση ἦν εὑρημένη τῇ διαμέτρῳ τοῦ ἐκκέντρου , δῆλον , ὅτι καὶ ἐπʼ αὐτῆς ἂν ἐτύγχανε τὸ κέντρον αὐτοῦ , καὶ αὐτόθεν ἂν ἐφαίνετο τῆς ἐκκεντρότητος ὁ λόγος · ἐπεὶ δὲ οὐ γέγονεν ἴση , μεῖζον δὲ καὶ τὸ ΕΑΒΓ τμῆμα πεποίηκεν ἡμικυκλίου , φανερόν , ὅτι πρὸς τούτῳ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ ἐκκέντρου . ὑποκείσθω δὴ τὸ Κ , καὶ διήχθω διὰ τούτου καὶ τοῦ ∠ ἡ διʼ ἀμφοτέρων τῶν κέντρων διάμετρος ἡ ΛΚ∠Μ , καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΓΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΚΝΞ . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων ριη κβ , οἵων ἐστὶν ἡ ΛΜ διάμετρος ρκ , τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ∠Ε εὐθεῖα ξζ ν , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ ἔσται τῶν αὐτῶν ν λβ . ὥστε , ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Ε∠ ; , ∠Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Λ∠ ; , ∠Μ περιεχομένῳ , τοιούτων ἕξομεν τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠ ; , ∠Μ περιεχόμενον ὀρθογώνιον γυκζ να . ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠ ; , ∠Μ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Κ τετραγώνου ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης , τουτέστιν τῆς ΛΚ , τετράγωνον . ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου τῶν γινομένων γχ ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν Λ∠ ; , ∠Μ τὰ γυκζ να , καταλειφθήσεται ἡμῖν τὸ ἀπὸ τῆς ∠Κ τετράγωνον τῶν αὐτῶν ροβ θ . καὶ μήκει ἄρα ἕξομεν τὴν ∠Κ μεταξὺ τῶν κέντρων οὖσαν τοιούτων ιγ ζ ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ μὲν ἡμίσεια τῆς ΓΕ , τουτέστιν ἡ ΓΝ , τοιούτων ἐστὶν νθ ια , οἵων ἡ ΛΜ διάμετρος ρκ , τῶν δʼ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Γ∠ εὐθεῖα ν λβ , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Ν τοιούτων ἐστὶν η λθ , οἵων ἡ ∠Κ εὑρέθη ιγ ζ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Κ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Ν ἔσται οθ η , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων πβ λ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΚΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΚΝ ἄρα γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν πβ λ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μα ιε . καὶ ἐπεὶ πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστὶν τοῦ ἐκκέντρου , ἕξομεν καὶ τὴν ΜΞ περιφέρειαν μοιρῶν μα ιε . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΓΜΞ ὅλη ἡμίσεια οὖσα τῆς ΓΞΕ π λδ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΜ ἡ ἀπὸ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὸ περίγειον μοιρῶν ἐστιν λθ ιθ . φανερὸν δέ , ὅτι καὶ τῆς μὲν ΒΓ ὑποκειμένης 𝒢ε κη μοιρῶν καὶ λοιπὴ ἡ ΛΒ ἡ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου ἐπὶ τὴν β΄ ἀκρώνυκτον μοιρῶν ἔσται με ιγ , τῆς δὲ ΑΒ ὑποκειμένης μοιρῶν πα μδ καὶ λοιπὴ ἡ ΑΛ ἡ ἀπὸ τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὸ ἀπόγειον μοιρῶν λϚ λα . τούτων τοίνυν ὑποκειμένων σκεψώμεθα τὰς συναγομένας ἀπʼ αὐτῶν διαφορὰς τῶν ἐπιζητουμένων καθʼ ἑκάστην ἀκρώνυκτον τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερειῶν τὸν τρόπον τοῦτον · ἐκκείσθω γὰρ ἐκ τοῦ τῶν γ ἀκρωνύκτων προκειμένου σχήματος ἡ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου μόνης καταγραφή , καὶ προσεπιζευχθείσης τῆς Α∠ κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠ καὶ Ν σημείων ἐπὶ τὴν ΑΘ ἐκβληθεῖσαν αἱ ∠Φ καὶ ΝΧ . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΞΕ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν λς λα , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΞ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λϚ λα , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ∠ΘΦ ογ β · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ογ β , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠Θ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΘΦ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρϚ νη . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων ἐστὶν οα κε , οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν ?? ς κζ . ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα Ϛ λγ U+2220΄ , ἡ δὲ ∠Α ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται γ νδ , ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως ε ις . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Α ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΦΑ , ἔσται καὶ ἡ μὲν ΑΦ μήκει νθ νβ , ὅλη δὲ ἡ ΧΑ , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΦΘ , τοιούτων ξε η , οἵων καὶ ἡ ΝΧ διπλῆ οὖσα τῆς ∠Φ συνάγεται ζ μη . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΑ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν ἔσται ξε λς . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΝΑ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΧΝ ἔσται ιδ ις , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιγ μ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΑΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιγ μ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . πάλιν , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΘΕ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΧΝ ἐδείχθη ζ μη , ἡ δὲ ΧΘ ὁμοίως ι λβ , καὶ ὅλη μὲν ἔσται ἡ ΧΘΕ τῶν αὐτῶν ο λβ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΕ ὑποτείνουσα οα ἔγγιστα καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΝΕ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΧΝ εὐθεῖα ἔσται ιγ ι , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιβ λς , οἵων ὁ περὶ τὸ ΕΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΕΧ τοιούτων ἐστὶν ιβ λς , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΝΑΧ γωνία ιγ μ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΝΕ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν α δ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ο λβ . τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΚΣ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια . ἐκκείσθω δὴ τὸ ὅμοιον σχῆμα περιέχον τὴν τῆς δευτέρας ἀκρωνύκτου καταγραφήν . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΞΖ μοιρῶν ὑπόκειται με ιγ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΞΘΖ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων με ιγ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ∠ΘΦ γωνία κς · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν κς , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΦΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον πθ λδ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων πε ι , οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν πδ λβ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα ς λγ U+2220΄ , ἡ δὲ ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται δ λθ , ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως δ λη . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ τετράγωνον , ἔσται καὶ ἡ μὲν ΦΒ μήκει νθ μθ , ἡ δὲ ΧΒ ὅλη διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΦΧ τῇ ΦΘ τοιούτων ξδ κζ , οἵων καὶ ἡ ΝΧ διπλῆ οὖσα τῆς ∠Φ συνάγεται θ ιη . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΒ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν ἔσται ξθ ϛ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ρκ ἡ ΝΒ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιζ θ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ις κς , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΒΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ις κς , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . πάλιν , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΖΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἐδείχθη θ ιη , ἡ δὲ ΧΘ ὁμοίως θ ις , καὶ ὅλη μὲν ἔσται ἡ ΧΘΖ τῶν αὐτῶν ξθ ις , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΖ ὑποτείνουσα ξθ νβ · καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ις ἔγγιστα , ἡ δὲ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιε κ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΖΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΝΖΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιε κ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δὲ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΝΒΧ γωνία ις κϛ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΖ τῶν μὲν αὐτῶν α ϛ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ο λγ . τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΛΤ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια . ἐπεὶ οὖν καὶ ἐπὶ τῆς πρώτης ἀκρωνύκτου τὴν ΚΣ εὑρήκειμεν ο λβ , δῆλον , ὅτι τοῖς ἀμφοτέρων τῶν περιφερειῶν τμήμασιν α ε μείζων ἔσται ἡ πρὸς τὸν ἔκκεντρον θεωρουμένη πρώτη διάστασις τῆς φαινομένης καὶ περιέξει μοίρας ξη νε . ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς τρίτης ἀκρωνύκτου καταγραφή . ἐπεὶ τοίνυν καὶ ἡ ΠΗ περιφέρεια ὑπόκειται μοιρῶν λθ ιθ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΠΘΗ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων λθ ιθ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων οη λη . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν οη λη , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΘΦ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρα κβ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων ἐστὶν ος β , οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΘΦ τῶν αὐτῶν 𝒢β ν · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ μεταξὺ τῶν κέντρων ϛ λγ U+2220΄ , ἡ δὲ ∠Γ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται δ θ , ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως ε δ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ∠ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΦ , ἔσται καὶ ἡ μὲν ΓΦ εὐθεῖα νθ να , λοιπὴ δὲ ἡ ΓΧ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΘΦ τῇ ΦΧ τοιούτων νδ μζ , οἵων καὶ ἡ ΝΧ διπλῆ οὖσα τῆς ∠Φ συνάγεται η ιη . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΓ ὑποτείνουσα γίνεται τῶν αὐτῶν νε κε . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ρκ ἡ ΝΓ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιζ νθ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιζ ιδ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΓΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΓΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιζ ιδ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . πάλιν , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΘΗ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἐδείχθη η ιη , ἡ δὲ ΘΧ ὁμοίως ι η , καὶ λοιπὴ μὲν ἔσται ἡ τῶν αὐτῶν μθ νβ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΗ ὑποτείνουσα ν λγ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ρκ ἡ ΝΗ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιθ μβ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιη νδ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΗΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΗΧ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιη νδ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ ὑπὸ ΝΓΧ γωνία ιζ ιδ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΝΓ τῶν μὲν αὐτῶν ἐστιν α μ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ο ν . τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΜΥ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια . ἐπεὶ οὖν καὶ ἐπὶ τῆς δευτέρας ἀκρωνύκτου τὴν ΛΤ εὑρήκειμεν Ο λγ , δῆλον , ὅτι τοῖς συναμφοτέρων τῶν περιφερειῶν τμήμασιν α κγ ἐλάσσων ἔσται ἡ πρὸς τὸν ἑκκεντρον θεωρουμένη τῆς φαινομένης β΄ διάστασις καὶ περιέξει μοίρας 𝒢β κα . κατὰ ταύτας τοίνυν τὰς συνηγμένας τῶν β διαστάσεων τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερείας καὶ τὰς φύσει πάλιν κατὰ τὸν ἔκκεντρον ὑποκειμένας ἀκολουθήσαντες τῷ προδεδειγμένῳ τούτων θεωρήματι , διʼ οὗ τό τε ἀπόγειον καὶ τὸν τῆς ἐκκεντρότητος λόγον δείκνυμεν , εὑρίσκομεν , ἵνα μὴ διὰ τῶν αὐτῶν μακροποιώμεθα τὸν ὑπομνηματισμόν , τὴν μὲν μεταξὺ τῶν κέντρων τὴν ∠Κ τοιούτων γινομένην ια ν , οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τὴν δὲ ΓΜ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν , τουτέστιν τὴν ἀπὸ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὸ περίγειον , μοιρῶν με λγ , ἀφʼ ἧς πάλιν καὶ ἡ μὲν ΛΒ γίνεται μοιρῶν λη νθ , ἡ δὲ ΑΛ ὁμοίως μβ με . τούτοις δʼ ὡσαύτως ἀκολουθήσαντες ἐπὶ τῶν καθʼ ἑκάστην ἀκρώνυκτον δείξεων εὕρομεν λοιπὸν τὰς ἀκριβεῖς πηλικότητας ἑκάστης τῶν ζητουμένων περιφερειῶν τῆς μὲν ΚΣ ἑξηκοστὰ κη , τῆς δὲ ΛΤ τὰ ἴσα ἔγγιστα ὡσαύτως κη , τῆς δὲ ΜΥ ἑξηκοστὰ μ . ὧν τὰ μὲν τῆς α καὶ τὰ τῆς β΄ ἀκρωνύκτου συνθέντες καὶ τὰ γενόμενα ἑξηκοστὰ νς προσθέντες ταῖς τῆς πρώτης διαστάσεως τοῦ ζῳδιακοῦ μοίραις ξζ ν τὴν πρὸς τὸν ἔκκεντρον ἀκριβῶς θεωρουμένην διάστασιν ἔσχομεν μοιρῶν ξη μϛ , τὰ δὲ τῆς β΄ καὶ τῆς γ΄ ἄκρωνύκτου συνθέντες καὶ τὴν γενομένην μοῖραν α ἀφελόντες τῶν κατὰ τὴν β΄ διάστασιν φαινομένων τοῦ ζῳδιακοῦ μοιρῶν 𝒢γ μδ τὴν πρὸς τὸν ἔκκεντρον πάλιν ἀκριβῶς θεωρουμένην διάστασιν εὕρομεν μοιρῶν 𝒢β λς . ἀφʼ ὧν λοιπὸν τῇ αὐτῇ δείξει χρησάμενοι τόν τε λόγον τῆς ἐκκεντρότητος καὶ τὸ ἀπόγειον ἠκριβώσαμεν καὶ εὕρομεν τὴν μὲν μεταξὺ τῶν κέντρων τὴν ∠Κ τοιούτων ιβ ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τὴν δὲ ΓΜ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν μοιρῶν μδ κα , ἀφʼ ἧς πάλιν καὶ ἡ μὲν ΛΒ γίνεται μοιρῶν μ ια , ἡ δὲ ΑΛ ὁμοίως μα λγ . ὅτι δὲ ταύταις λοιπὸν ταῖς πηλικότησιν καὶ αἱ τετηρημέναι τῶν γ ἀκρωνύκτων φαινόμεναι διαστάσεις σύμφωνοι καταλαμβάνονται , διὰ τῶν αὐτῶν ποιήσομεν δῆλον . ἐκκείσθω γὰρ ἡ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου καταγραφὴ μόνον ἔχουσα τὸν ΕΖ ἔκκεντρον , ἐφʼ οὗ πάντοτε φέρεται τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΑΘΕ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν μα λγ , οἵων δʼ αἰ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ∠ΘΦ γωνία πγ ϛ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠ΘΦ περιφέρεια τοιούτων πγ Ϛ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΦΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον 𝒢Ϛ νδ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων ἐστὶν οθ λε , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν πθ ν ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα Ϛ , ἡ δὲ ∠Α ὑποτείνουσα ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται γ νη U+2220΄ ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως δ λ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Α ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΦΑ , ἔσται καὶ αὕτη μήκει τῶν αὐτῶν νθ ν . πάλιν , ἐπεὶ ἡ μὲν ΦΘ τῇ ΦΧ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ΝΧ τῆς ∠Φ διπλῆ , καὶ ὅλην τὴν ΑΧ ἕξομεν τοιούτων ξδ κ , οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ εὐθεῖα ζ νξ . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΝΑ ὑποτείνουσα ἔσται τῶν αὐτων ξδ νβ ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΝΑ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιδ μδ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιδ ϛ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΑΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ ἡ ὑπὸ ΝΑΧ ἄρα γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν ιδ Ϛ , οἵων δʼαἱ δ᾿ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ζ γ . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΕ γωνία μα λγ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΝΕ γωνία τῆς φαινομένης παρόδου μοιρῶν ἔσται λδ λ , ἃς προηγεῖτο τοῦ ἀπογείου κατὰ τὴν α΄ ἀκρώνυκτον ὁ ἀστήρ . πάλιν ἐκκείσθω ἡ ὁμοία τῆς β΄ ἀκρωνύκτου καταγραφή . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΒΘΕ γωνία τῆς μέσης τοῦ ἐπικύκλου παρόδου , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶ μ ια , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων αὐτή τε καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῆς ἡ ὑπὸ ΧΘΝ γωνία π κβ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ περιφέρεια τοιούτων π κβ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΦΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ?? θ λη . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ ιούτων ἐστὶν οζ κϚ , οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν ?? α μα · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα Ϛ , ἡ δὲ ∠Β ὑποτείνουσα ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται γ νβ , ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως δ λε . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ , ἔσται καὶ αὕτη μήκει τῶν αὐτῶν νθ νγ . κατὰ ταῦτα δέ , ἐπεὶ ἡ μὲν ΘΦ τῇ ΦX ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ΝΧ τῆς ∠Φ διπλῆ , καὶ ἡ ΒΧ ὅλη ἔσται τοιούτων ξδ κη , οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ εὐθεῖα ζ μδ . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΒΝ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν ἔσται ξδ νς . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΒΝ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιδ ιθ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιγ μβ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΒ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶ ιγ μβ , οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ϛ να . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΘΕ γωνία μ ια · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΝΒ γωνία τῆς φαινομένης παρόδου τῶν αὐτῶν ἐστιν λγ κ . τοσαύτας ἄρα μοίρας ὑπολειπόμενος ἐφαίνετο τοῦ ἀπογείου κατὰ τὴν β΄ ἀκρώνυκτον ὁ ἀστήρ . ἐδέδεικτο δὲ καὶ ἐπὶ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου προηγούμενος τοῦ ἀπογείου μοίρας λδ λ ὅλη ἄρα ἡ ἀπὸ τῆς α΄ ἀκρωνύκτου ἐπὶ τὴν β΄ διάστασις συνάγεται μοιρῶν ξζ ν συμφώνως ταῖς ὑπὸ τῶν τηρήσεων κατειλημμέναις . ἐκκείσθω δὴ ὡσαύτως καὶ ἡ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου καταγραφή . ἐπεὶ οὖν καὶ ἐνταῦθα ἡ ὑπὸ ΓΘΖ γωνία τῆς ὁμαλῆς τοῦ ἐπικύκλου παρόδου , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν μδ κα , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων πη μβ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Φ εὐθείας περιφέρεια τοιούτων πη μβ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ∠ΘΦ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΦΘ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον 𝒢α ιη . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Φ τοιούτων ἐστὶν πγ νγ , οἵων ἡ ∠Θ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΦΘ τῶν αὐτῶν πε μθ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Θ εὐθεῖα ϛ , ἡ δὲ ∠Γ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Φ ἔσται δ ια U+2220΄ , ἡ δὲ ΦΘ ὁμοίως δ ιζ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Φ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Γ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΦ τετράγωνον , ἕξομεν καὶ ταύτην μήκει τῶν αὐτῶν νθ να . πάλιν δʼ , ἐπεὶ καὶ ἡ μὲν ΦΘ τῇ ΦΧ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ΝΧ τῆς ∠Φ διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΧΝ ἕξομεν τοιούτων νε λδ , οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ εὐθεῖα η κγ . διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν ΓΝ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν ἕξομεν νϛ ιβ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΓΝ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΝΧ ἔσται ιζ νε , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιζ ι , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΓΝΧ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΘΓΝ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν ιζ ι , οἵων δʼ αἱ δ ὁρθαὶ τξ , τοιούτων η λε . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΓΘΖ γωνία μδ κα · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΝΖ γωνία τῶν αὐτῶν ἐστιν νβ νς . τοσαύτας ἄρα μοίρας προηγούμενος ἐφαίνετο τοῦ περιγείου κατὰ τὴν γ΄ ἀκρώνυκτον ὁ ἀστήρ . ἐδέδεικτο δὲ καὶ ἐπὶ τῆς β΄ ἀκρωνύκτου λειπόμενος τοῦ ἀπογείου μοίρας λγ κ · καὶ λοιπαὶ ἄρα αἱ ἀπὸ τῆς β' ἀκρωνύκτου πάλιν ἐπὶ τὴν γʹ συναγόμεναι μοῖραι 𝒢γ μδ σύμφωνοι εὑρέθησαν ταῖς ἐπὶ τῆς β΄ διαστάσεως τετηρημέναις . δῆλον δʼ , ὅτι καί , ἐπειδήπερ ἐπὶ μὲν τῆς ΓΝ εὐθείας θεωρούμενος ὁ ἀστὴρ κατὰ τὴν γ΄ ἀκρώνυτκον ἐπεῖχεν τὰς τετηρημένας τοῦ Τοξότου μοίρας β λδ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΝΖ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ζῳδιακοῦ ἐδείχθη τοιούτων νβ νς , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , καὶ τὸ μὲν περίγειον τῆς ἐκκεντρότητος τὸ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον ἐπεῖχεν Αἰγόκερω μοίρας κε λ , τὸ δʼ ἀπόγειον τὰς κατὰ διάμετρον τοῦ Καρκίνου μοίρας κε λ . κἂν γράφωμεν δὲ περὶ τὸ Γ κέντρον τὸν ΚΛΜ ἐπίκυκλον τοῦ τοῦ Ἄρεως καὶ ἐκβάλωμεν τὴν ΘΓ εὐθεῖαν , ἕξομεν ἐν τῷ χρόνῳ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου μέσην πάροδον τοῦ ἐπικύκλου μοιρῶν ρλε λθ , ἐπειδήπερ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΘΖ γωνία τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἐδείχθη μοιρῶν μδ κα , τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Μ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μέσην τοῦ ἀστέρος πάροδον , τουτέστιν τὴν ΜΚ περιφέρειαν , μοιρῶν ροα κε διὰ τὸ τῆς ὑπὸ ΘΓΝ γωνίας δεδειγμένης τοιούτων η λε , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , πρὸς τῷ κέντρῳ τε οὔσης τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὴν μὲν ΚΛ περιφέρειαν τὴν ἀπὸ τοῦ Κ ἀστέρος ἐπὶ τὸ Λ περίγειον τῶν αὐτῶν γίνεσθαι μοιρῶν η λε , τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Μ ἀπογείου ἐπὶ τὸν κατὰ τὸ Κ ἀστέρα τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον , ὡς πρόκειται , ροα κε . καὶ γέγονεν ἡμῖν μετὰ τῶν ἄλλων δῆλον , ὅτι κατὰ τὸν τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου χρόνον , τουτέστιν τῷ β΄ ἔτει Ἀντωνίνου κατʼ Αἰγυπτίους Ἐπιφὶ ιβ΄ εἰς τὴν ιγ΄ πρὸ β ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου , ὁ τοῦ Ἄρεως ἀστὴρ κατὰ μὲν τὸ καλούμενον μῆκος ἀπεῖχε μέσως τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου μοίρας ρλε λθ , κατὰ δὲ τὴν ἀνωμαλίαν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας ροα κε · ἅπερ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: Ζ΄ . Ἀπόδειξις ὁ ὁ ὁ Ἄρης ἐκκεντρότης καί ὁ ἀπόγειον . ὥσπερ οὖν ἐπί ὁ σελήνη λαμβάνω τρεῖς πανσεληνιακός ἔκλειψις ὁ τε τόπος καί ὁ χρόνος ἀποδείκνυμι διά ὁ γραμμή ὁ τε ὁ ἀνωμαλία λόγος καί ὁ ὁ ἀπόγειον τόπος , ὁ αὐτός τρόπος καί ἐνταῦθα τρεῖς ακρωνυκτεω ὁ πρός ὁ μέσος ὁ ἥλιος πάροδος διάμετρος κατά ἕκαστος ὁ ἀστήρ οὗτος ὁ τε τόπος τηρέω ὡς ἐν μάλιστα ἀκριβῶς διά ὁ ἀστρολάβος ὄργανον καί ἀπό ὁ κατά ὁ τηρέω μέσος ὁ ἥλιος πάροδος ὁ πρός ὁ λεπτομερής ὁ διάστασις χρόνος τε καί τόπος προσεπιλογίζομαι ἀπό οὗτος δείκνυμι ὁ τε ὁ ἐκκεντρότης λόγος καί ὁ ἀπόγειον . ἐπί πρῶτος τοίνυν ὁ ὁ Ἄρης λαμβάνω τρεῖς ἀκρόνυκτος , ὅς ὁ μέν πρῶτος τηρέω ὁ ἵημι ἔτος Ἀδριανός κατά Αἰγύπτιος Τῦβι κς΄ εἰς ὁ κζ΄ μετά εἷς ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος περί Διδύμων μοῖρα ἄν , ὁ δέ δύο ὁ ΙΘ΄ ἔτος Ἀδριανός κατά Αἰγύπτιος Φαρμοῦθι ς΄ εἰς ὁ Ζ΄ πρό ὥρα γ ὁ μεσονύκτιος περί Λέων μοῖρα καί Ν , ὁ δέ Γ΄ ὁ Β΄ ἔτος Ἀντωνῖνος κατά Αἰγύπτιος Ἐπείφ ἰβʹ εἰς ὁ ἰ πρό δύο ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος περί τοξότης μοῖρα Β λδʹ . ὁ μέν οὖν χρόνος ὁ διάστασις περιέχω ἀπό μέν ὁ Α΄ ακρωνυκτεω ἐπί ὁ Β΄ ἔτος Αἰγυπτιακός δ καί ἡμέρα ξθ καί ὥρα ἰσημερινός Κ , ἀπό δέ ὁ Β΄ ἐπί ὁ Γ΄ ἔτος δ ὁμοίως καί ἡμέρα 𝒢Ϛ καί ὥρα ἰσημερινός ὅς . συνάγω δέ ἐκ μέν ὁ ὁ Α΄ διάστασις χρόνος μετά ὅλος κύκλος μῆκος κίνησις μοῖρα πῃ μδʹ , ἐκ δέ ὁ ὁ δύο μοῖρα ἀείδω καί · οὐδείς γάρ ἀξιόλογος διαφέρω , κἀν ἀπό ὁ ὁλοσχερής εκτεθειμένος περιοδικός ἀποκατάστασις ἐπί γε ὁ τοσοῦτος χρόνος ὁ μέσος κινέω ἐπιλογίζομαι . δῆλος δέ , ὅτι καί κατά μέν ὁ πρῶτος διάστασις ὁ φαίνω ἀστήρ κινέω μετά ὅλος κύκλος μοῖρα ξζ Ν , κατά δέ ὁ δύο μοῖρα 𝒢γ μδʹ . γράφω δή ἐν ὁ ὁ ζῳδιακός ἐπίπεδος γ ἴσος κύκλος , ὅς ὁ μέν ὁ κέντρον φέρω ὁ ἐπίκυκλος ὁ ὁ Ἄρης ἵστημι ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ ∠ ; , ὁ δέ ὁ ὁμαλός κίνησις ἔκκεντρος ὁ ΕΖΗ περί κέντρον ὁ Θ , ὁ δέ ὁμόκεντρος ὁ ζῳδιακός ὁ ΚΛΜ περί κέντρον ὁ Ν , ὁ δέ διά πᾶς ὁ κέντρον διάμετρος ὁ ΞΟ ΠΡ · ὑπόκειμαι δέ ὁ μέν Α , κατά ὅς εἰμί ὁ ὁ ἐπίκυκλος κέντρον ἐν ὁ Α΄ ἀκρωνύκτῳ , ὁ δέ Β , κατά ὅς εἰμί ἐν ὁ Β΄ ἀκρωνύκτῳ , ὁ δέ Γ , κατά ὅς εἰμί ἐν ὁ Γ΄ ἀκρωνύκτῳ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ τε ΘΑΕ καί ΘΒΖ καί ΓΗΘ καί ΚΑΝ καί ΝΛΒ καί ΝΓΜ , ὥστε ὁ μέν ΕΖ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια μοῖρα εἰμί ὁ ὁ Α΄ περιοδικός διάστασις πῃ μδʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁ ὁ Β΄ ἀείδω καί , καί πάλιν ὁ μέν ΚΑ περιφέρεια ὁ ζῳδιακός ὁ ὁ φαίνω Α΄ διάστασις μοῖρα ξζ Ν , ὁ δέ ΛΜ ὁ ὁ Β΄ 𝒢γ μδʹ . εἰμί μέν οὖν ὁ ΕΖ καί ΖΗ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια ὑπό ὁ ΚΛ καί ΛΜ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια ὑποτείνω , οὐδείς εἄν ἄλλος πρός ὁ δεῖξις ἔτι ὁ ἐκκεντρότης ζητέω · ἐπεί δέ αὐτός μέν ὁ ΑΒ καί ΒΓ ὁ μέσος ἔκκεντρος ὑποτείνω μή δίδωμι , ἐάν δέ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΝΣΕ καί ΝΤΖ καί ναῦς , πάλιν ὁ ΕΖ καί ΖΗ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια ὁ ΣΤ καί ΤΥ ὁ ζῳδιακός ὑποτείνω μηδέ αὐτός δηλονότι δίδωμι , δήω πρότερος δίδωμι ὁ ΚΣ καί ΛΤ καί Μῦς διάφορος τμῆμα , ἵνα ἀπό ὁ συζυγέω περιφέρεια ὁ τε ΕΖΗ καί ὁ ΣΤΥ πρός ἀκρίβεια ὁ ὁ ἐκκεντρότης λόγος ἀποδείκνυμι . ἐπεί δέ οὐδέ οὗτος οἷος τε εἰμί ἀκριβῶς λαμβάνω πρότερος ὁ τε ὁ ἐκκεντρότης λόγος καί ὁ ἀπόγειον , δίδωμι μέντοι ἔγγιστος , κἀν μή ἀκριβῶς ἐκεῖνος προυπαρχθῇ , διά ὁ μή μέγας αὐτός γίγνομαι ὁ διαφορά , ποιέω πρότερος ὁ ἐπιλογισμός ὡς μηδείς ἀξιόλογος διαφέρω παρά ὁ ΚΛΜ ΣΤΥ περιφέρεια . ἵστημι γάρ ὁ ὁ ὁμαλός πάροδος ὁ ὁ Ἄρης ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί ὑπόκειμαι ὁ μέν Α σημεῖον ὁ πρῶτος ακρωνυκτεω , ὁ δέ Β ὁ δύο , ὁ δέ Γ ὁ τρίτος , λαμβάνω δέ ἐντός αὐτός ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός , ἐπί ὅς ὁ ὄψις ἐγώ , ὁ ∠ ; , καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς πάντοτε ἀπό ὁ γ σημεῖον ὁ ακρωνυκτεω ἐπί ὁ ὁ ὄψις , ὡς νῦν ὅς τε Α ∠ καί ὁ Β ∠ Α καί ὁ Γ∠ ; , καί ἐκβάλλω μέν καθόλου εἷς ὁ ἐπιζεύγνυμι γ εὐθύς ἐπί ὁ ἐναντίος ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια , ὡς ἐνθάδε ὁ Γ∠Ε , ὁ δέ λοιπάς δύο Σήμια ὁ ακρωνυκτεω ἐπιζεύγνυμι εὐθύς , ὡς ἐπί οὗτος ὁ ΑΒ ἔπειτα ἀπό ὁ γίγνομαι τομή ὁ ἔκκεντρος ὑπό ὁ ἐκβάλλω εὐθύς , οἷος ὁ Ε , ἐπιζεύγνυμι μέν εὐθύς ἐπί ὁ λοιπάς δύο σημεῖον ὁ ακρωνυκτεω , ὡς ἐνθάδε ὅς τε ΕΑ καί ΕΒ , κάθετος δέ ἄγω ἐπί ὁ ἀπό ὁ εἴρω Β σημεῖον ἐπί ὁ ὁ ζῳδιακός κέντρον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς , ὡς ἐπί οὗτος ἐπί μέν ὁ Α∠ ὁ ΕΖ , ἐπί δέ ὁ Β ∠ ὁ ΕΗ , καί ἔτι ἀπό ὁ ἕτερος ὁ εἴρω Β σημεῖον κάθετος ἄγω πρός ὁ ἀπό ὁ ἕτερος αὐτός ἐπί ὁ γίγνομαι ὁ ἔκκεντρος περισσός σημεῖον ἐπιζεύγνυμι , ὡς ἐνθάδε ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ ΒΕ εὐθύς ὁ ΑΘ . οὗτος μέν οὖν ἀεί τηρέω ἐπί ὁ τοιοῦτος καταγραφή , κατά ὅς εἄν βούλομαι τρόπος , ὁ αὐτός λόγος ἐπί ὁ ἀριθμός εὑρίσκω φέρω , ὁ δέ λοιπός δεῖξις ἀπό ὁ πρόκειμαι ἐπί ὁ ὁ Ἄρης περιφέρεια εἰμί φανερός ὁ τρόπος οὗτος · ἐπεί γάρ ὁ ΒΓ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια ὑπόκειμαι ὑποτείνω ὁ ζῳδιακός μοῖρα 𝒢γ μδʹ , εἰμί εἄν ὁ μέν ὑπό Β∠Γ γωνία πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ζῳδιακός , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος 𝒢γ μδʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ρπζʹ καί , ὁ δέ ἐφεξῆς αὐτός ὁ ὑπό Ε∠Η ὁ αὐτός ροʹ λβʹ ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΗ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ροʹ λβʹ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΕΗ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΕΗ εὐθύς τοιοῦτος ριθʹ ἐγώ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ε ὑποτείνω ρκʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ ΒΓ περιφέρεια εἰμί μοῖρα ἀείδω καί , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΒΕΓ γωνία πρός ὁ περιφέρεια εἰμί τοιοῦτος ἀείδω καί , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό Β∠Ε γωνία ροʹ λβʹ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΒΗ ὁ αὐτός εἰμί 𝒢β . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΗ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί 𝒢β , οἷος ὁ περί ὁ βιόω ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΕΗ εὐθύς τοιοῦτος πϛʹ ιθʹ , οἷος εἰμί ὁ ΒΕ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος ἄρα ὁ μέν ΕΗ δείκνυμι ριθʹ ἐγώ , ὁ δέ Ε∠ ὁμοίως ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ ΒΕ εἰμί ρξς κθʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ ΑΒΓ ὅλος περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος ὑποτείνω ὑπόκειμαι ὁ ζῳδιακός ὁ συνάγω ἀμφότερος ὁ διάστασις μοῖρα ρξαʹ λδʹ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ὑπό Α∠Γ γωνία τοιοῦτος ρξαʹ λδʹ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , λοιπός δέ ὁ ὑπό Α∠Ε ὁ αὐτός μέν ἔρχομαι ΚΣ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λςʹ νβʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΖ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί λςʹ νβʹ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΕΖ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΕΖ εὐθύς τοιοῦτος λζʹ νζʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ε ὑποτείνω ρκʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ ΑΒΓ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια συνάγω μοῖρα ροζ Ἶβ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΑΕΓ γωνία τοιοῦτος ροζ Ἶβ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό Α∠Ε γωνία λϛ νβʹ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ∠ΑΕ ὁ αὐτός εἰμί ρ ΝΣ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΕΖ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ρ ΝΣ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΕΖ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΕΖ εὐθύς τοιοῦτος ριδʹ μδʹ , οἷος εἰμί ὁ ΑΕ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος ἄρα ὁ μέν ΕΖ δείκνυμι λζʹ νζʹ , ὁ δέ Ε∠ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ ΑΕ εἰμί λθʹ μβʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια μοῖρα εἰμί πῃ μδʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΑΕΒ γωνία τοιοῦτος πῃ μδʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΑΘ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί πῃ μδʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΕΘ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΕΘ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ἡηʹ ἴς . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΑΘ εἰμί τοιοῦτος οηʹ λάω , οἷος εἰμί ὁ ΑΕ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ Ε ὁ αὐτός ἐγώ · ὥστε καί , οἷος ὁ μέν ΑΕ δείκνυμι λθʹ μβʹ , ὁ δέ ∠Ε ὑπόκειμαι ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΑ εἰμί κε νη , ὁ δέ ΕΘ ὁμοίως λ καί ἑξηκοστός Β . ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ ΕΒ ὅλος ρξς κθʹ καί λοιπός ἄρα ὁ ΘΒ τοιοῦτος εἰμί ρλς κζ , οἷος ὁ ΘΑ εἰμί κε νη . καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ὁ ΘΒ τετράγωνος Μ ηχιε ιϛʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΘΑ ὁμοίως χοδʹ ιϛʹ , ὁ συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος Μ θσπθ λβʹ μῆκος ἄρα ὁ ΑΒ τοιοῦτος ρληʹ νγʹ , οἷος ὁ μέν Ε∠ εἰμί ρκʹ , ὁ δέ ΑΕ εὐθύς λθʹ μβʹ . εἰμί δέ καί , οἷος ὁ ὁ ἔκκεντρος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος ὁ ΑΒ εὐθύς οηʹ λάω · ὑποτείνω γάρ περιφέρεια μοῖρα πῃ μδʹ · καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΒ εὐθύς οηʹ λάω , ὁ δέ ὁ ἔκκεντρος διάμετρος ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν Ε∠ εἰμί ξζ Ν , ὁ δέ ΑΕ ὁ αὐτός κβʹ μδʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί αὐτός περιφέρεια ὁ ἔκκεντρος μοῖρα εἰμί ἄν μή , ὅλος δέ ὁ αβγʹ μοῖρα ρηʹ νγʹ . καί λοιπός ἄρα ὁ μέν ΓΕ περιφέρεια μοῖρα εἰμί ρξαʹ ζ , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς ὁ Γ∠Ε τοιοῦτος ριος κβʹ , οἷος εἰμί ὁ ὁ ἔκκεντρος διάμετρος ρκʹ . εἰμί μέν οὖν ὁ ΓΕ εὐθύς ἴσος εἰμί εὑρίσκω ὁ διάμετρος ὁ ἔκκεντρος , δῆλος , ὅτι καί ἐπί αὐτός εἄν τυγχάνω ὁ κέντρον αὐτός , καί αὐτόθεν εἄν φαίνω ὁ ἐκκεντρότης ὁ λόγος · ἐπεί δέ οὖον γίγνομαι ἴσος , μείζων δέ καί ὁ αβγʹ τμῆμα ποιέω ἡμικύκλιον , φανερός , ὅτι πρός οὗτος ὁ κέντρον πίπτω ὁ ἔκκεντρος . ὑπόκειμαι δή ὁ Κ , καί διάγω διά οὗτος καί ὁ ∠ ὁ διά ἀμφότερος ὁ κέντρον διάμετρος ὁ ΛΚ∠Μ , καί ἀπό ὁ Κ ἐπί ὁ ΓΕ κάθετος ἄγω ὁ ΚΝΞ . ἐπεί τοίνυν ὁ ΕΓ εὐθύς δείκνυμι τοιοῦτος ριος κβʹ , οἷος εἰμί ὁ ΛΜ διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ∠Ε εὐθύς ξζ Ν , καί λοιπός ἄρα ὁ Γ∠ εἰμί ὁ αὐτός Ν λβʹ . ὥστε , ἐπεί ὁ ὑπό ὁ Ε∠ ; , ∠Γ περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ Λ∠ ; , ∠Μ περιέχω , τοιοῦτος ἔχω ὁ ὑπό ὁ Λ∠ ; , ∠Μ περιέχω ὀρθογώνιος γυκζ νάω . ἀλλά καί ὁ ὑπό ὁ Λ∠ ; , ∠Μ μετά ὁ ἀπό ὁ ∠Κ τετράγωνος ποιέω ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ ὅλος , τουτέστιν ὁ ΛΚ , τετράγωνος . ἐάν ἄρα ἀπό ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς τετράγωνος ὁ γίγνομαι γχ ἀφαιρέω ὁ ὑπό ὁ Λ∠ ; , ∠Μ ὁ γυκζ νάω , καταλείπω ἐγώ ὁ ἀπό ὁ ∠Κ τετράγωνος ὁ αὐτός ροʹ θ . καί μῆκος ἄρα ἔχω ὁ ∠Κ μεταξύ ὁ κέντρον εἰμί τοιοῦτος ιγʹ ζ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ ΚΛ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ . πάλιν , ἐπεί ὁ μέν ἥμισυς ὁ ΓΕ , τουτέστιν ὁ ΓΝ , τοιοῦτος εἰμί νθʹ ἰά , οἷος ὁ ΛΜ διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ Γ∠ εὐθύς Ν λβʹ , καί λοιπός ἄρα ὁ ∠Ν τοιοῦτος εἰμί ὁ λθʹ , οἷος ὁ ∠Κ εὑρίσκω ιγʹ ζ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ∠Κ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Ν εἰμί οθ ὁ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ΠΒ λ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΚΝ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ ὑπό ∠ΚΝ ἄρα γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ΠΒ λ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μή εἶμι . καί ἐπεί πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ἔκκεντρος , ἔχω καί ὁ μξ περιφέρεια μοῖρα μή εἶμι . εἰμί δέ καί ὁ ΓΜΞ ὅλος ἥμισυς εἰμί ὁ ΓΞΕ π λδʹ καί λοιπός ἄρα ὁ ΓΜ ὁ ἀπό ὁ Γ΄ ακρωνυκτεω ἐπί ὁ περίγειον μοῖρα εἰμί λθʹ ιθʹ . φανερός δέ , ὅτι καί ὁ μέν ΒΓ ὑπόκειμαι ἀείδω καί μοῖρα καί λοιπός ὁ ΛΒ ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον ἐπί ὁ Β΄ ακρωνυκτω μοῖρα εἰμί ἐγώ ιγʹ , ὁ δέ ΑΒ ὑπόκειμαι μοῖρα πῃ μδʹ καί λοιπός ὁ ΑΛ ὁ ἀπό ὁ πρῶτος ακρωνυκτεω ἐπί ὁ ἀπόγειον μοῖρα λϚʹ λάω . οὗτος τοίνυν ὑπόκειμαι σκέπτομαι ὁ συνάγω ἀπό αὐτός διαφορά ὁ ἐπιζητέω κατά ἕκαστος ακρωνυκτω ὁ ζῳδιακός περιφέρεια ὁ τρόπος οὗτος · ἔκκειμαι γάρ ἐκ ὁ ὁ γ ακρωνυκτεω πρόκειμαι σχῆμα ὁ ὁ Α΄ ακρωνυκτεω μόνος καταγραφή , καί προσεπιζευχθεισος ὁ Α∠ κάθετος ἄγω ἀπό ὁ ∠ καί Ν σημεῖον ἐπί ὁ ΑΘ ἐκβάλλω ὁ ∠Φ καί ΝΧ . ἐπεί τοίνυν ὁ ΞΕ περιφέρεια μοῖρα εἰμί λςʹ λάω , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΕΘΞ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λϚʹ λάω , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος αὐτός τε καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ∠ΘΦ ογʹ Β · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Φ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ογʹ Β , οἷος ὁ περί ὁ ∠Θ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΘΦ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρϚʹ νη . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Φ τοιοῦτος εἰμί ὄα κε , οἷος ὁ ∠Θ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΦΘ ὁ αὐτός ?? Σ κζ . ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Θ εὐθύς Ϛ λγʹ U+2220΄ , ὁ δέ ∠Α ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Φ εἰμί γ νδʹ , ὁ δέ ΦΘ ὁμοίως ε ἴς . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Φ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ∠Α ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΦΑ , εἰμί καί ὁ μέν ΑΦ μῆκος νθʹ νβʹ , ὅλος δέ ὁ ΧΑΑ , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΧΦ ὁ ΦΘ , τοιοῦτος ξεʹ ὁ , οἷος καί ὁ ΝΧ διπλόος εἰμί ὁ ∠Φ συνάγω ζ μη . διά οὗτος δέ καί ὁ ΝΑ ὑποτείνω ὁ αὐτός εἰμί ξεʹ λςʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΝΑ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΧΝ εἰμί ιδʹ ἴς , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ιγʹ μ , οἷος ὁ περί ὁ ΧΑΝ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . ὥστε καί ὁ ὑπό ΧΑΝ γωνία τοιοῦτος εἰμί ιγʹ μ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . πάλιν , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ ΘΕ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΧΝ δείκνυμι ζ μη , ὁ δέ ΧΘ ὁμοίως ι λβʹ , καί ὅλος μέν εἰμί ὁ ΘΕ ὁ αὐτός ὁ λβʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ Νε ὑποτείνω ὄα ἔγγιστος καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ Νε εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΧΝ εὐθύς εἰμί ιγʹ ι , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Ἶβ λςʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΕΝ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΧΕ τοιοῦτος εἰμί Ἶβ λςʹ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΧΑΝ γωνία ιγʹ μ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΝΕ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ὅς δ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ λβʹ . τοσοῦτος εἰμί ἄρα καί ὁ ΚΣ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια . ἔκκειμαι δή ὁ ὅμοιος σχῆμα περιέχω ὁ ὁ δύο ακρωνυκτεω καταγραφή . ἐπεί τοίνυν ὁ ΞΖ μοῖρα ὑπόκειμαι ἐγώ ιγʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΞΘΖ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἐγώ ιγʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος αὐτός τε καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ∠ΘΦ γωνία ΚΣ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Φ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ΚΣ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΘΦ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΦΘ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ΠΘ λδʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Φ τοιοῦτος μετά ι , οἷος ὁ ∠Θ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΦΘ ὁ αὐτός πδʹ λβʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Θ εὐθύς Σ λγʹ U+2220΄ , ὁ δέ ∠Β ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Φ εἰμί δ λθʹ , ὁ δέ ΦΘ ὁμοίως δ λα . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Φ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ∠Β ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΒΦ τετράγωνος , εἰμί καί ὁ μέν ΦΒ μῆκος νθʹ μθʹ , ὁ δέ ΧΒ ὅλος διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΦΧ ὁ ΦΘ τοιοῦτος ξδʹ κζ , οἷος καί ὁ ΝΧ διπλόος εἰμί ὁ ∠Φ συνάγω θ ἔρχομαι . διά οὗτος δέ καί ὁ ΝΒ ὑποτείνω ὁ αὐτός εἰμί ξθ ϛ . καί οἷος εἰμί ἄρα ρκʹ ὁ ΝΒ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ εἰμί ιζʹ θ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ἴς ΚΣ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΒΝΧ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . ὥστε καί ὁ ὑπό ΝΒΧ γωνία τοιοῦτος εἰμί ἴς ΚΣ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . πάλιν , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ ΖΘ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ δείκνυμι θ ἔρχομαι , ὁ δέ ΧΘ ὁμοίως θ ἴς , καί ὅλος μέν εἰμί ὁ ΧΘΖ ὁ αὐτός ξθ ἴς , διά οὗτος δέ καί ὁ ΝΖ ὑποτείνω ξθ νβʹ · καί οἷος ἄρα εἰμί ὁ ΝΖ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ εἰμί ἴς ἔγγιστος , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος εἶμι Κ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΖΝΧ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ μέν ὑπό ΝΖΧ γωνία τοιοῦτος εἰμί εἶμι Κ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΝΒΧ γωνία ἴς κϛʹ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΝΖ ὁ μέν αὐτός ὅς ϛ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ λγʹ . τοσοῦτος εἰμί ἄρα καί ὁ ΛΤ ὁ ζῳδιακός περιφέρεια . ἐπεί οὖν καί ἐπί ὁ πρῶτος ακρωνυκτεω ὁ ΚΣ εὑρίσκω ὁ λβʹ , δῆλος , ὅτι ὁ ἀμφότερος ὁ περιφέρεια τμῆμα ὅς ε μείζων εἰμί ὁ πρός ὁ ἔκκεντρος θεωρέω πρῶτος διάστασις ὁ φαίνω καί περιέχω μοῖρα ξέω νε . ἔκκειμαι δή καί ὁ ὁ τρίτος ακρωνυκτεω καταγραφή . ἐπεί τοίνυν καί ὁ ΠΗ περιφέρεια ὑπόκειμαι μοῖρα λθʹ ιθʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό Θ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος λθʹ ιθʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος οηʹ λα . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Φ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί οηʹ λα , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΘΦ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΘΦ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ῥεῖα κβʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Φ τοιοῦτος εἰμί ὅς Β , οἷος ὁ ∠Θ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΘΦ ὁ αὐτός 𝒢β Ν · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Θ μεταξύ ὁ κέντρον ϛ λγʹ U+2220΄ , ὁ δέ ∠Γ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Φ εἰμί δ θ , ὁ δέ ΦΘ ὁμοίως ε δ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Φ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ Γ∠ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΓΦ , εἰμί καί ὁ μέν ΓΦ εὐθύς νθʹ νάω , λοιπός δέ ὁ ΓΧ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΘΦ ὁ ΦΧ τοιοῦτος νδʹ μζʹ , οἷος καί ὁ ΝΧ διπλόος εἰμί ὁ ∠Φ συνάγω ὁ ἔρχομαι . διά οὗτος δέ καί ὁ ΝΓ ὑποτείνω γίγνομαι ὁ αὐτός νε κε . καί οἷος εἰμί ἄρα ρκʹ ὁ ΝΓ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ εἰμί ιζʹ νθʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ιζʹ ιδʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΓΝΧ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΝΓΧ γωνία τοιοῦτος εἰμί ιζʹ ιδʹ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . πάλιν , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ τίθημι ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ δείκνυμι ὁ ἔρχομαι , ὁ δέ ΘΧ ὁμοίως ι ὁ , καί λοιπός μέν εἰμί ὁ ὁ αὐτός μθʹ νβʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΝΗ ὑποτείνω Ν λγʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ρκʹ ὁ ΝΗ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ εἰμί ιθʹ μβʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ἔρχομαι νδʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΧΗ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΧΗ γωνία τοιοῦτος εἰμί ἔρχομαι νδʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ ὑπό ΝΓΧ γωνία ιζʹ ιδʹ καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΓΝΓ ὁ μέν αὐτός εἰμί ὅς μ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ Ν . τοσοῦτος εἰμί ἄρα καί ὁ Μῦς ὁ ζῳδιακός περιφέρεια . ἐπεί οὖν καί ἐπί ὁ δύο ακρωνυκτεω ὁ ΛΤ εὑρίσκω ὁ λγʹ , δῆλος , ὅτι ὁ συναμφότεροι ὁ περιφέρεια τμῆμα ὅς κγʹ μικρός εἰμί ὁ πρός ὁ ἔκκεντρος θεωρέω ὁ φαίνω Β΄ διάστασις καί περιέχω μοῖρα 𝒢β ἄν . κατά οὗτος τοίνυν ὁ σύνειμι ὁ Β διάστασις ὁ ζῳδιακός περιφέρεια καί ὁ φύσις πάλιν κατά ὁ ἔκκεντρος ὑπόκειμαι ἀκολουθέω ὁ προδείκνυμι οὗτος θεώρημα , διά ὅς ὁ τε ἀπόγειον καί ὁ ὁ ἐκκεντρότης λόγος δείκνυμι , εὑρίσκω , ἵνα μή διά ὁ αὐτός μακροποιέω ὁ ὑπομνηματισμός , ὁ μέν μεταξύ ὁ κέντρον ὁ ∠Κ τοιοῦτος γίγνομαι ἰά Ν , οἷος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , ὁ δέ ΓΜ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ Γ΄ ακρωνυκτεω ἐπί ὁ περίγειον , μοῖρα ἐγώ λγʹ , ἀπό ὅς πάλιν καί ὁ μέν ΛΒ γίγνομαι μοῖρα λα νθʹ , ὁ δέ ΑΛ ὁμοίως μβʹ ἐγώ . οὗτος δέ ὡσαύτως ἀκολουθέω ἐπί ὁ κατά ἕκαστος ακρωνυκτω δεῖξις εὑρίσκω λοιπός ὁ ἀκριβής πηλικότης ἕκαστος ὁ ζητέω περιφέρεια ὁ μέν ΚΣ ἑξηκοστός καί , ὁ δέ ΛΤ ὁ ἴσος ἔγγιστος ὡσαύτως καί , ὁ δέ Μῦς ἑξηκοστός μ . ὅς ὁ μέν ὁ ὅς καί ὁ ὁ Β΄ ακρωνυκτεω συντίθημι καί ὁ γίγνομαι ἑξηκοστός ΝΣ προστίθημι ὁ ὁ πρῶτος διάστασις ὁ ζῳδιακός μοῖρα ξζ Ν ὁ πρός ὁ ἔκκεντρος ἀκριβῶς θεωρέω διάστασις ἔχω μοῖρα ξέω μϛʹ , ὁ δέ ὁ Β΄ καί ὁ Γ΄ ἄκρων συντίθημι καί ὁ γίγνομαι μοῖρα ὅς ἀφαιρέω ὁ κατά ὁ Β΄ διάστασις φαίνω ὁ ζῳδιακός μοῖρα 𝒢γ μδʹ ὁ πρός ὁ ἔκκεντρος πάλιν ἀκριβῶς θεωρέω διάστασις εὑρίσκω μοῖρα 𝒢β λςʹ . ἀπό ὅς λοιπός ὁ αὐτός δείκνυμι χράω ὁ τε λόγος ὁ ἐκκεντρότης καί ὁ ἀπόγειον ἀκριβόω καί εὑρίσκω ὁ μέν μεταξύ ὁ κέντρον ὁ ∠Κ τοιοῦτος Ἶβ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ ΚΛ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , ὁ δέ ΓΜ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια μοῖρα μδʹ ἄν , ἀπό ὅς πάλιν καί ὁ μέν ΛΒ γίγνομαι μοῖρα μ ἰά , ὁ δέ ΑΛ ὁμοίως μή λγʹ . ὅτι δέ οὗτος λοιπός ὁ πηλικότης καί ὁ τηρέω ὁ γ ακρωνυκτεω φαίνω διάστασις σύμφωνος καταλαμβάνω , διά ὁ αὐτός ποιέω δῆλος . ἔκκειμαι γάρ ὁ ὁ Α΄ ακρωνυκτεω καταγραφή μόνος ἔχω ὁ ΕΖ ἔκκεντρος , ἐπί ὅς πάντοτε φέρω ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος . ἐπεί τοίνυν ὁ ὑπό ΑΘΕ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί μή λγʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος αὐτός τε καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ∠ΘΦ γωνία πγʹ ϛ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠ΘΦ περιφέρεια τοιοῦτος πγʹ Ϛ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ∠ΘΦ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΦΘ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον 𝒢Ϛ νδʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Φ τοιοῦτος εἰμί οθ λεʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Θ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΦΘ ὁ αὐτός ΠΘ Ν ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Θ εὐθύς Ϛ , ὁ δέ ∠Α ὑποτείνω ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Φ εἰμί γ νη U+2220΄ ὁ δέ ΦΘ ὁμοίως δ λ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Φ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ∠Α ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΦΑ , εἰμί καί οὗτος μῆκος ὁ αὐτός νθʹ Ν . πάλιν , ἐπεί ὁ μέν ΦΘ ὁ ΦΧ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΝΧ ὁ ∠Φ διπλόος , καί ὅλος ὁ ΑΧ ἔχω τοιοῦτος ξδʹ Κ , οἷος εἰμί ὁ ΝΧ εὐθύς ζ νξ . διά οὗτος δέ καί ὁ ΝΑ ὑποτείνω εἰμί ὁ αὐτῖς ξδʹ νβʹ ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΝΑ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ εἰμί ιδʹ μδʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ιδʹ ϛ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΧΑΝ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ ὑπό ΧΑΝ ἄρα γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ιδʹ Ϛ , οἷος ὅδε δέ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ζ γ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΑΘΕ γωνία μή λγʹ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΝΕ γωνία ὁ φαίνω πάροδος μοῖρα εἰμί λδʹ λ , ὅς προηγέομαι ὁ ἀπόγειον κατά ὁ Α΄ ακρωνυκτω ὁ ἀστήρ . πάλιν ἔκκειμαι ὁ ὅμοιος ὁ Β΄ ακρωνυκτεω καταγραφή . ἐπεί τοίνυν ὁ ὑπό ΒΘΕ γωνία ὁ μέσος ὁ ἐπίκυκλος πάροδος , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί μ ἰά , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος αὐτός τε καί ὁ κατά κορυφή αὐτός ὁ ὑπό ΧΘΝ γωνία π κβʹ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Φ περιφέρεια τοιοῦτος π κβʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ∠ΘΦ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΦΘ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ?? θ λα . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Φ γιούτα εἰμί οζʹ κϚʹ , οἷος ὁ ∠Θ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΦΘ ὁ αὐτός ?? ὅς μή · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Θ εὐθύς Ϛ , ὁ δέ ∠Β ὑποτείνω ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Φ εἰμί γ νβʹ , ὁ δέ ΦΘ ὁμοίως δ λεʹ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Φ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ∠Β ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΒΦ , εἰμί καί οὗτος μῆκος ὁ αὐτός νθʹ νγʹ . κατά οὗτος δέ , ἐπεί ὁ μέν ΘΦ ὁ ΦX ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΝΧ ὁ ∠Φ διπλόος , καί ὁ ΒΧ ὅλος εἰμί τοιοῦτος ξδʹ καί , οἷος εἰμί ὁ ΝΧ εὐθύς ζ μδʹ . διά οὗτος δέ καί ὁ ΒΝ ὑποτείνω ὁ αὐτός εἰμί ξδʹ ΝΣ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΒΝ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ εἰμί ιδʹ ιθʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ιγʹ μβʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΒΝΧ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΝΒ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ιγʹ μβʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ϛ νάω . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΘΕ γωνία μ ἰά · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΕΝΒ γωνία ὁ φαίνω πάροδος ὁ αὐτός εἰμί λγʹ Κ . τοσοῦτος ἄρα μοῖρα ὑπολείπω φαίνω ὁ ἀπόγειον κατά ὁ Β΄ ακρωνυκτω ὁ ἀστήρ . δείκνυμι δέ καί ἐπί ὁ Α΄ ακρωνυκτεω προηγούμενος ὁ ἀπόγειον μοῖρα λδʹ λ ὅλος ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α΄ ακρωνυκτεω ἐπί ὁ Β΄ διάστασις συνάγω μοῖρα ξζ Ν σύμφωνος ὁ ὑπό ὁ τήρησις καταλαμβάνω . ἔκκειμαι δή ὡσαύτως καί ὁ ὁ Γ΄ ακρωνυκτεω καταγραφή . ἐπεί οὖν καί ἐνταῦθα ὁ ὑπό ΓΘΖ γωνία ὁ ὁμαλός ὁ ἐπίκυκλος πάροδος , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί μδʹ ἄν , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος πῇ μβʹ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Φ εὐθύς περιφέρεια τοιοῦτος πῇ μβʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ∠ΘΦ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΦΘ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον αʹ ἔρχομαι . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Φ τοιοῦτος εἰμί πγʹ νγʹ , οἷος ὁ ∠Θ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΦΘ ὁ αὐτός μετά μθʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Θ εὐθύς ϛ , ὁ δέ ∠Γ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Φ εἰμί δ ἰά U+2220΄ , ὁ δέ ΦΘ ὁμοίως δ ιζʹ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Φ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ∠Γ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΓΦ τετράγωνος , ἔχω καί οὗτος μῆκος ὁ αὐτός νθʹ νάω . πάλιν δέ , ἐπεί καί ὁ μέν ΦΘ ὁ ΦΧ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΝΧ ὁ ∠Φ διπλόος , καί λοιπός ὁ ΧΝ ἔχω τοιοῦτος νε λδʹ , οἷος εἰμί ὁ ΝΧ εὐθύς ὁ κγʹ . διά οὗτος δέ καί ὁ ΓΝ ὑποτείνω ὁ αὐτός ἔχω νϛʹ Ἶβ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΓΝ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΝΧ εἰμί ιζʹ νε , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ιζʹ ι , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΓΝΧ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΘΓΝ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ιζʹ ι , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ λεʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΓΘΖ γωνία μδʹ ἄν · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΓΝΖ γωνία ὁ αὐτός εἰμί νβʹ ΝΣ . τοσοῦτος ἄρα μοῖρα προηγούμενος φαίνω ὁ περίγειος κατά ὁ Γ΄ ακρωνυκτω ὁ ἀστήρ . δείκνυμι δέ καί ἐπί ὁ Β΄ ακρωνυκτεω λείπω ὁ ἀπόγειον μοῖρα λγʹ Κ · καί λοιπός ἄρα ὁ ἀπό ὁ βε ακρωνυκτεω πάλιν ἐπί ὁ γε συνάγω μοῖρα 𝒢γ μδʹ σύμφωνος εὑρίσκω ὁ ἐπί ὁ Β΄ διάστασις τηρέω . δῆλος δέ , ὅτι καί , ἐπεί ἐπί μέν ὁ ΓΝ εὐθύς θεωρέω ὁ ἀστήρ κατά ὁ Γ΄ ἀκρώνυτκον ἐπέχω ὁ τηρέω ὁ τοξότης μοῖρα Β λδʹ , ὁ δέ ὑπό ΓΝΖ γωνία πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ζῳδιακός δείκνυμι τοιοῦτος νβʹ ΝΣ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , καί ὁ μέν περίγειον ὁ ἐκκεντρότης ὁ κατά ὁ Ζ σημεῖον ἐπέχω αἰγόκερως μοῖρα κε λ , ὁ δέ ἀπόγειον ὁ κατά διάμετρος ὁ Κάρκινος μοῖρα κε λ . κἀν γράφω δέ περί ὁ Γ κέντρον ὁ ΚΛΜ ἐπίκυκλος ὁ ὁ Ἄρης καί ἐκβάλλω ὁ ΘΓ εὐθύς , ἔχω ἐν ὁ χρόνος ὁ Γ΄ ακρωνυκτεω ὁ μέν ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ἔκκεντρος μέσος πάροδος ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα ρλεʹ λθʹ , ἐπεί ὁ μέν ὑπό ΓΘΖ γωνία ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον δείκνυμι μοῖρα μδʹ ἄν , ὁ δέ ἀπό ὁ Μ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος μέσος ὁ ἀστήρ πάροδος , τουτέστιν ὁ ΜΚ περιφέρεια , μοῖρα ῥόος κε διά ὁ ὁ ὑπό ΘΓΝ γωνία δείκνυμι τοιοῦτος ὁ λεʹ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , πρός ὁ κέντρον τε εἰμί ὁ ἐπίκυκλος καί ὁ μέν ΚΛ περιφέρεια ὁ ἀπό ὁ Κ ἀστήρ ἐπί ὁ Λ περίγειον ὁ αὐτός γίγνομαι μοῖρα ὁ λεʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ Μ ἀπόγειον ἐπί ὁ κατά ὁ Κ ἀστήρ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον , ὡς πρόκειμαι , ῥόος κε . καί γίγνομαι ἐγώ μετά ὁ ἄλλος δῆλος , ὅτι κατά ὁ ὁ Γ΄ ακρωνυκτεω χρόνος , τουτέστιν ὁ Β΄ ἔτος Ἀντωνῖνος κατά Αἰγύπτιος Ἐπείφ ἰβʹ εἰς ὁ ἰ πρό Β ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος , ὁ ὁ Ἄρης ἀστήρ κατά μέν ὁ καλέω μῆκος ἀπέχω μέσος ὁ ἀπόγειον ὁ ἔκκεντρος μοῖρα ρλεʹ λθʹ , κατά δέ ὁ ἀνωμαλία ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα ῥόος κε · ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι .