claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 13.4
δʹ . Πραγματεία κανονίων εἰς τὰς κατὰ μέρος τοῦ πλάτους παρόδους . Ἐκ μὲν οὖν τούτων ἡμῖν συνεστάθησαν αἱ καθόλου πηλικότητες τῶν μεγίστων ἐγκλίσεων τῶν τε ἐκκέντρων καὶ τῶν ἐπικύκλων · ἵνα δὲ καὶ τὰς τῶν κατὰ μέρος διαστάσεων πλατικὰς παρόδους ἑκάστοτε δυνώμεθα προχείρως μεθοδεύειν , ἐπραγματευσάμεθα κανόνια ε τῶν ε πλανωμένων στίχων μὲν ἕκαστον , ὅσων καὶ τὰ τῆς ἀνωμαλίας , σελιδίων δὲ ε · τούτων δὲ τὰ μὲν πρῶτα β περιέχει τοὺς ἀριθμούς , ὥσπερ καὶ ἐν ἐκείνοις , τὰ δὲ τρίτα τὰς ἐπιβαλλούσας κατὰ πλάτος ἀποστάσεις τοῦ διὰ μέσων τοῖς κατὰ μέρος τῶν ἐπικύκλων τμήμασιν ἐπʼ αὐτῶν τῶν μεγίστων ἐγκλίσεων , τὸ μὲν τῆς Ἀφροδίτης καὶ τὸ τοῦ Ἑρμοῦ τῶν κατὰ τοὺς συνδέσμους τῶν ἐκκέντρων , τὰ δὲ τῶν λοιπῶν γ ἀστέρων τῶν περὶ τὰ βόρεια πέρατα τῶν ἐκκέντρων · ἐπὶ τούτων δὲ καὶ τὰ δʹ σελίδια περιέξει τὰς περὶ τὰ νότια πέρατα τῶν ἐκκέντρων ὁμοίας ἐπιβολὰς συνεπιλελογισμένης ἐπὶ τῶν γ τούτων καὶ τῆς αὐτῶν τῶν ἐκκέντρων πρὸς ἄρκτους τε καὶ μεσημβρίαν πλείστης παραχωρήσεως . γέγονεν δʼ ἡμῖν ἡ πραγματεία τῶν τμημάτων τούτων ἐπὶ μὲν τοῦ τῆς Ἀφροδίτης καὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ διʼ ἑνὸς πάλιν θεωρήματος τρόπῳ τοιῷδε · ἔστω γὰρ ἐν τῷ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἐπιπέδῳ ἡ μὲν ΑΒΓ ἡ κοινὴ τομὴ πρὸς αὐτὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ζῳδιακοῦ , ἡ δὲ ΔΒΕ ἡ κοινὴ τομὴ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐπικύκλου , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Α , τοῦ δὲ ἐπικύκλου τὸ Β , ἡ δὲ ΑΒ τὸ περὶ τὰς μεγίστας ἐγκλίσεις ἀπόστημα τῶν ἐπικύκλων , καὶ γραφέντος περὶ τὸ Β τοῦ ∠ΖΕΗ ἐπικύκλου ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒΗ διάμετρος ὀρθὴ πρὸς τὴν ∠Ε , ὑποκείσθω δὲ καὶ τὸ τοῦ ἐπικύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ ὑποκείμενον ὀρθόν , ὥστε τῶν τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀγομένων ἐν αὐτῷ τὰς μὲν ἄλλας πάσας παραλλήλους εἶναι τῷ τοῦ διὰ μέσων ἐπιπέδῳ , τὴν δὲ μόνην ἐν αὐτῷ , καὶ προκείσθω δοθέντων τοῦ τε λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τῆς πηλικότητος τῆς ἐγκλίσεως , τουτἐστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΕ γωνίας , εὑρεῖν τὰς κατὰ πλάτος τῶν ἀστέρων παρόδους , ὅταν ὑποδείγματοςἔνεκεν ἀπέχωσι τοῦ Ε περιγείου τοῦ ἐπικύκλου με μοίρας , οἵων ἐστὶν ὁ ἐπίκυκλος τξ , ἐπειδήπερ καὶ τὰς γινομένας διαφορὰς ταῖς κατὰ μῆκος παρόδοις διὰ τὰς τοιαύτας ἐγκλίσεις προαιρούμεθα συναποδεικνύειν , αὗται δὲ περὶ τὰς μεταξύ που τοῦ τε Ε περιγείου καὶ τῶν Ζ , Η παρόδους τὸ πλεῖστον ἂν ὀφείλοιεν διενεγκεῖν διὰ τὸ τὰς ἐπὶ τῶν εἰρημένων σημείων τὰς αὐτὰς γίνεσθαι ταῖς καὶ χωρὶς τῆς ἐγκλίσεως ἀποτελουμέναις . ἀπειλήφθω δὴ περιφέρεια τῶν εἰρημένων με μοιρῶν ἡ ΕΘ , καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΒΕ ἡ ΘΚ , ἐπὶ δὲ τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον αἱ ΚΛ καὶ ΘΜ , ἐπεζεύχθωσάν τε αἱ ΘΒ καὶ ΛΜ καὶ ΑΜ καὶ ΑΘ . ὅτι μὲν οὖν τὸ ΛΚΘ Μ2 τετράπλευρον παραλληλόγραμμόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον διὰ τὸ τὴν ΚΘ παράλληλον εἶναι τῷ τοῦ διὰ μέσων ἐπιπέδῳ , καὶ ὅτι τὴν μὲν κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσιν ἡ ὑπὸ ΛΑΜ γωνία περιέχει , τὴν δὲ κατὰ πλάτος πάροδον ἡ ὑπὸ ΘΑΜ , τῶν ὑπὸ ΑΛΜ καὶ ὑπὸ ΑΜΘ γωνιῶν ὀρθῶν καὶ αὐτῶν συνισταμένων διὰ τὸ καὶ τὴν ΑΜ ἐν τῷ τοῦ διὰ μέσων ἐπιπέδῳ πίπτειν , αὐτόθεν ἂν εἴη φανερόν · πηλίκαι δὲ αἱ ἐπιζητούμεναι πάροδοι συνάγονται καθʼ ἑκάτερον τῶν προειρημένων ἀστέρων , ἤδη δεικτέον , καὶ πρότερον ἐπὶ τοῦ τῆς Ἀφροδίτης . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΕΘ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν με , οἵων ὁ ἐπίκυκλος τξ , εἴη ἂν ἡ ὑπὸ ΕΒΘ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ἐπικύκλου , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων με , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ἐπὶ τῆς ΒΚ καὶ τῆς ΚΘ περιφερειῶν τοιούτων ἐστὶν ?? , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΘΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἐκατέρα τοιούτων ἐστὶν πδ νβ , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΘ ὑποτείνουσα ρκ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου μγ ῑ , ἡ δὲ ΑΒ τοῦ μέσου ἀποστήματος ξ , διὰ τὸ περὶ τοῦτο μάλιστα τὴν μεγίστην ἔγκλισιν γίνεσθαι τοῦ ἐπικύκλου , τοιούτων καὶ ἐκατέρα τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ εὐθειῶν ἔσται λ λβ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῆς ἐγκλίσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ὑπόκειται β λ , οἵων δὲ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΛΚ περιφέρεια τοιούτων ε , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ Β ΛΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς Β Λ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροε . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν Κ Λ τοιούτων ἔσται ε ιδ , οἵων ἡ ΒΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ Β Λ τῶν αὐτῶν ριθ νγ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΚ ὑποτείνουσα λ λβ , ἡ δὲ ΑΒ εὐθεῖα ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΛ ἔσται ᾱ κ , ἡ δὲ Β Λ τῶν αὐτῶν λ λ , ἡ δὲ ΑΛ τῶν λοιπῶν κθ λ . τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν καὶ ἡ ΛΜ ἴση οὖσα τῇ ΚΘ εὐθείᾳ λ λβ · ὥστε καὶ τὴν ΑΜ ὑποτείνουσαν συνάγεσθαι τῶν αὐτῶν μω κζ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΜ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΜ ἔσται πϚ ιθ , ἡ δʼ ὑπὸ ΛΑΜ τῆς τότε κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων 𝒢β o , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μϛ Ο . ὁμοίως δʼ , ἐπεὶ καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΜ εὐθεῖα μβ κζ , τοιούτων ἐστὶν καὶ ἡ ΘΜ ἴση οὖσα τῇ Κ Λ εὐθείᾳ ᾱ κ , τὰ δὲ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , ἔσται καὶ ἡ ΑΘ μήκει τῶν αὐτῶν μῆ κθ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΜ ἔσται γ μϚ , ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΜ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων γ λϚ , οἵων δʼ αἰ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ᾱ μη , ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ τρίτῳ σελιδίῳ τοῦ τῆς Ἀφροδίτης κανόνος κατὰ τοῦ περιέχοντος στίχου τὸν τῶν ρλε μοιρῶν ἀριθμόν . ἕνεκεν δὲ τοῦ συγκρῖναι τὴν γινομένην διαφορὰν τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως ἐκκείσθω ἡ ὁμοία καταγραφψὴ ἀνέγκλιτον ἔχουσα τὸν ἐπίκυκλον . καὶ ἐπεὶ ἐδείξαμεν ἑκατέραν τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ εὐθειῶν τοιούτων λ λβ , οἵων ἐστὶν ἡ Α Β εὐθεῖα ξ , ὥστε καὶ τὴν ΑΚ γίνεσθαι τῶν λοιπῶν κθ κη , τὸ δʼ ἀπὸ ταύτης καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ συτεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , ἔσται καὶ ἡ ΑΘ μήκει τῶν αὐτῶν μβ κϚ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΘ ἔσται πϚ κα , ἡ δʼ ὑπὸ Θ ΑΚ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων 𝒢β γ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μϚ β ἔγγιστα . ἐδέδεικτο δὲ ἐπὶ τῆς ἐγκλίσεως τῶν αὐτῶν μϚ · ἐνέλειπεν ἄρα ἡ κατὰ τὸ μῆκος προσθαφαίρεσις διὰ τὴν ἔγκλισιν τοῦ ἐπικύκλου μιᾶς μοίρας ἑξηκοστοῖς β · ἅπερ ἔδει εὑρεῖν . πάλιν , ἵνα καὶ τὰς ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ παρόδους δείξωμεν , ἐκκείσθω ἡ ὁμοία τῇ πρὸ ταύτης καταγραφῇ τῆς ΕΘ περιφερείας τῶν αὐτῶν ὑποκειμένης με μοιρῶν , ὥστε καὶ τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ ἑκατέραν τοιούτων πάλιν συνάγεσθαι πδ νβ , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΘ ὑποτείνουσα ρκ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ΒΘ ἐκ τοῦ κέντροῦ τοῦ ἐπικύκλου κβ λ , ἡ δὲ ΑΒ τοῦ κατὰ τὰς μεγίστας ἐγκλίσεις ἀποστήματος νϚ μ · ταῦτα γὰρ ἡμῖν πάντα προαποδέδεικται · τοιούτων καὶ ἐκατέρα τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ ἔσται ιε νε . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ὑπόκειται Ϛ ιε , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ιβ λ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΛΚ περιφέρεια τοιούτων ιβ λ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΚ Λ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς Β Λ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρξζ λ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν Κ Λ τοιούτων ἐστὶν ιγ δ , οἵων ἡ ΒΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ Β Λ τῶν αὐτῶν ριθ ιζ ὥστε καί , οἵων ἡ μὲν Β Κ ἐδείχθη ιε νε , ἡ δὲ ΑΒ ὑπόκειται νϚ μ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν Κ Λ ἔσται ᾱ μδ , ἡ δὲ Β Λ ὁμοίως ιε μθ , λοιπὴ δὲ ἡ ΑΛ τῶν αὐτῶν μ να . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ ἴση οὖσα τῇ ΚΘ τῶν αὐτῶν ιε νε · καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α Λ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΜ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΜ , ἕξομεν καὶ αὐτὴν μήκει τοιούτων μγ ν , οἵων ἐστὶν ἡ ΛΜ εὐθεῖα ιε νε · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΜ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΜ ἔσται μγ λδ , ἡ δʼ ὑπὸ ΛΑΜ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μβ λδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων κα ιζ . ὁμοίως δʼ , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΜ εὐθεῖα μγ ν , τοιούτων καὶ ἡ Θ Μ ἴση οὖσα τῇ Κ Λ γίνεται ᾱ μδ , τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν μγ νβ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΜ ἔσται δ μδ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΑΜ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων δ λβ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β ιϚ , ἃ καὶ παραθήσομεν πάλιν ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ κανόνος κατὰ τοῦ αὐτοῦ στίχου , τουτέστιν τοῦ περιέχοντος τὸν τῶν ρλε μοιρῶν ἀριθμόν . πάλιν καὶ τῆς συγκρίσεως τῆς προσθαφαιρέσεως ἕνεκεν ἐκκείσθω καὶ ἡ χωρὶς τῆς ἐγκλίσεως καταγραφή . καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη , ὅτι , οἵων ἡ ΑΒ εὐθεῖα νϚ μ , τοιούτων ἐστὶν ἑκατέρα μὲν τῶν ΘΚ καὶ ΚΒ εὐθειῶν ιε νε , λοιπὴ δὲ ἡ ΑΚ τῶν αὐτῶν δηλονότι μ με , τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ΑΚ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , μήκει ἄρα καὶ αὐτὴν ἕξομεν τοιούτων μγ με , οἵων ἦν καὶ ἡ ΘΚ εὐθεῖα ιε νε · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ εὐθεῖα ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΚ ἔστεα μγ λθ , ἡ δʼ ὑπὸ Κ ΑΘ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μβ μ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων κα κ . ἐδέ . δεικτο δʼ ἐπὶ τῆς ἐγκλίσεως τῶν αὐτῶν κα ιζ · ἐνέλειπεν ἄρα καὶ ἐνταῦθα ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις διὰ τὴν ἔγκλισιν τοῦ ἐπικύκλου ᾱ μοίρας ἑξηκοστοῖς γ ἅπερ ἔδει εὑρεῖν . τῶν μὲν οὖν δύο τούτων ἀστέρων τὰς ἐν ταῖς μεγίσταις ἐγκλίσεσιν κατὰ πλάτος παρόδους τὸν ἐκκείμενον τρόπον ἐπραγματευσάμεθα διὰ τὸ συνίστασθαι αὐτάς , ὅταν καὶ ὁ ἔκκεντρος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τυγχάνῃ τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων , τὰς δὲ τῶν λοιπῶν γ ἀστέρων διʼ ἑτέρου τῇ καταγραφῇ θεωρήματος , ἐπειδὴ κατὰ τὰς μεγίστας τῶν ἐκκέντρων ἐγκλίσεις καὶ αἱ μέγισται τῶν ἐπικύκλων συνίστανται , καὶ πρὸ ὁδοῦ ἂν εἴη συνεπιλελογισμένας ἔχειν τὰς ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἐγκλίσεων συναγομένας πλατικὰς παρόδους . ἔστω γὰρ πάλιν ἐν τῷ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἐπιπέδῳ τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡ κοινὴ πρὸς αὐτὸ τομὴ τοῦ μὲν ἐπιπέδου τοῦ διὰ μέσων ἡ ΑΒ , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἐκκέντρου ἡ ΑΓ , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἐπικύκλου ἡ ΔΓΕ , ὑποκείσθω τε τοῦ μὲν ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Α , τοῦ δὲ ἐπικύκλου τὸ Γ , καὶ γεγράφθω περὶ τὸ Γ ὁ ∠ΖΕΗ ἐπίκυκλος οὕτως πάλιν , ὥστε τῶν τῇ ∠ Ε πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀγομένων τὴν μὲν ΖΓΗ διάμετρον ἐν μὲν τῷ τοῦ ἐκκέντρου εἶναι ἐπιπέδῳ , τῷ δὲ τοῦ διὰ μέσων παράλληλον , τὰς δὲ λοιπὰς παραλλήλους ἀμφοτέροις τοῖς εἰρημένοις ἐπιπέδοις , ἀπειλήφθω τε ὁμοίως ἡ ΕΘ περιφέρεια τῶν αὐτῶν ὑποκειμένη με μοιρῶν , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ τοῦ κατὰ τὸν ἀστέρα σημείου καθέτου ἀχθείσης τῆς ΘΚ καὶ ἔτι ἀπὸ τῶν Θ καὶ Κ σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον τῶν ΚΒ καὶ ΘΛ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β Λ καὶ ΑΛ , προκείσθω τε εὑρεῖν τήν τε κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσιν περιεχομένην ὑπὸ τῆς ὑπὸ Β Α Λ γωνίας καὶ τὴν κατὰ πλάτος πάροδον περιεχομένην ὑπὸ τῆς ὑπὸ Λ ΑΘ γωνίας . ἤχθω δὴ καὶ ἐπὶ τὴν ΑΙ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετος ἡ ΚΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΘ καὶ ΑΚ καὶ ΑΘ , ὑποκείσθω τε πάλιν διὰ τὰ προδεδειγμένα τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ ἐκατέρα τοιούτων πδ νβ , οἵων ἐστὶν ἡ Γ Θ ὑποτείνουσα ρκ . ἐπὶ δὴ τοῦ τοῦ Κρόνου πρῶτον τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου τοιούτων ἀποδεδειγμένης ϛ λ , οἵων ἐστὶ τὸ μέσον ἀπόστημα ξ , ἔσται καὶ ἐκατέρα τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ εὐθειῶν τοιούτων δ λϚ , οἵων ἐστὶν ἡ ΓΘ ὑποτείνουσα Ϛ λ . καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως ὑπόκειται , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων δ λ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων θ , εἴη ἂν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΜ περιφέρεια τοιούτων θ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΓΚΜ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροα · καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν Κ Μ ἔσται τοιούτων θ κε , οἵων ἐστὶν ἡ ΓΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ Γ Μ τῶν αὐτῶν ριθ λη . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΓΚ εὐθεῖα δ λς , τοιούτων καὶ ἡ μὲν Κ Μ ἔσται Ο κβ , ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως δ λε . ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῆς κατὰ τὸ ἀπογειότερον ἡμικύκλιον μεγίστης ἐγκλίσεως ἡ ΑΓ τοῦ περὶ τὰς ἀρχὰς τῶν Χηλῶν ἀποστήματος ἐκ τῶν προεφωδευμένων ἐν ταῖς ἀνωμαλίαις θεωρημάτων συνάγεται τῶν αὐτῶν ξβ ῖ , ὥστε καὶ λοιπὴν τὴν ΑΜ τοιούτων καταλείπεσθαι νζ λε , οἵων ἐστὶν ἡ ΜΚ εὐθεῖα Ο κβ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν ΑΚ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν νζ λε . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται Ο μϚ , ἡ δʼ ὑπὸ Κ ΛΜ γωνία τοιούτων Ο μδ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ · ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ Β ΑΓ τῆς τοῦ ἐκκέντρου ἐγκλίσεως , οἵων μέν εἰσιν α δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β λ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τοιούτων ἐστὶν ε μδ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΚ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ἔ μδ , οἵων ὁ περὶ τὸ Β ΑΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροδ ιϚ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ τοιούτων ἐστὶν Ο , οἵων ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ να · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα νζ λε , τοιούτων ἡ μὲν ΒΚ ἔσται β νγ , ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως νζ λα , τῶν δʼ αὐτῶν καὶ ἡ Β Λ ἴση οὖσα τῇ ΚΘ γίνεται δ λϚ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΛ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α Λ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν νζ μβ . ὁμοίως δʼ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΘ ἴση οὖσα τῇ ΒΚ γίνεται τῶν αὐτῶν β νγ , τὸ δʼ ἀπὸ τῆς Α Λ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , μήκει καὶ ταύτην ἕξοψμεν τῶν αὐτῶν νζ μϚ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΛ ἔσται ε νθ , ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑ Λ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε μδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β νβ , ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ τοῦ τοῦ Κρόνου κανονίου κατὰ τῶν ρλε μοιρῶν . ἐπὶ δὲ τῆς κατὰ τὸ περιγειότερον ἡμικύκλιον μεγίστης ἐγκλίσεως , ἐπειδήπερ ἡ ΑΓ τοῦ κατὰ τὰς ἀρχὰς τοῦ Κριοῦ ἀποστήματος τοιούτων συνάγεται νζ μ , οἵων ἡ μὲν ΚΜ ἐδείχθη Ο κβ , ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως δ λε , καὶ διὰ τοῦτο λοιπὴ μὲν ἡ ΑΜ γίνεται νγ ε , τῶν δʼ αὐτῶν καὶ ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα διὰ τὸ ἀδιαφόρῳ μείζων εἶναι τῆς ΑΜ εὐθείας νγ ε , καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται Ο ν , ἡ δὲ ὑπὸ Κ ΑΜ γωνία τοιούτων Ο μη , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτῶν ὑπόκειται καὶ ἡ ὑπὸ Β ΑΓ γωνία ε · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τοιούτων ἐστὶ ε μη , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΚ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶ ε μη , οἵων ὁ περὶ τὸ Β ΑΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροδ ιβ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ γίνεται τοιούτων ϛ δ , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ να · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα νγ ε , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΒΚ ἔσται β μα , ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως νγ ᾱ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς θ Λ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α Λ , τῶν δʼ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Β Λ δ λϚ , ἕξομεν καὶ τὴν ΑΛ μήκει τῶν αὐτῶν νγ ιγ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ Α Λ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν Β Λ ἔσται ῑ κγ , ἡ δʼ ὑπὸ Β ΑΛ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων θ νϚ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων δ νη . πάλιν , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ Α Λ εὐθεῖα νγ ιγ , τοιούτων καὶ ἡ ΘΛ ἴση οὖσα τῇ ΚΒ γίνεται β μα , τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν νγ ιζ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΛ ἔσται Ϛ γ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε μϚ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β νγ , ἃ καὶ αὐτὰ παραθήσομεν ἐν τῷ δ΄ σελιδίῳ τοῦ κανονίου κατὰ τῶν ρλε μοιρῶν . ἵνα δὴ καὶ τὴν σύγκρισιν τῶν κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεων ἐπὶ τῆς περιγειοτέρας ἐγκλίσεως ποιησώμεθα , καταγεγράφθω πάλιν τὸ μηδεμίαν ἔγκλισιν ἔχον σχῆμα . καὶ ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ τότε ἀποστήματος νζ μ , τοιούτων ἐκατέρα μὲν τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ ὑπόκειται δ λϚ , λοιπὴ δὲ ἡ ΑΚ τῶν αὐτῶν νγ δ , τὸ δʼ ἀπʼ αὐτῆς μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , ἕξομεν καὶ τὴν ΑΘ μήκει νγ ιϛ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΘ ἔσται ῑ κβ , ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΚ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων θ νδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων δ νζ . ἐδέδεικτο δʼ ἐπὶ τῶν ἐγκλίσεων τῶν αὐτῶν δ νη · ἐπλεόνασεν ἄρα παρʼ ἀμφοτέρας τὰς ἐγκλίσεις ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῷ α · ὅπερ ἔδει εὑρεῖν . πάλιν ἐκκείσθω πρῶτον ἡ ἐπὶ τῶν ἐγκλίσεων καταγραφὴ περιέχουσα τοὺς ἐπὶ τοῦ τοῦ Διὸς ἀποδεδειγμένους λόγους , ὥστε , οἵων ἐστὶν ἡ ΓΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ια λ , τοιούτων ἑκατέραν τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ συνάγεσθαι η η . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ὑπόκειται β λ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΜ περιφέρεια τοιούτων ε , οἵων ὁ περὶ τὸ ΓΚΜ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροε . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΚΜ τοιούτων ἐστὶν ε ιδ , οἵων ἡ ΓΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΓΜ τῶν αὐτῶν ριθ νγ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΓΚ εὐθεῖα η η , ἡ δὲ ΑΓ τοῦ περὶ τὰς ἀρχὰς τῶν Χηλῶν ἀποστήματος ξβ λ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται Ο κα , ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως η η , λοιπὴ δὲ ἡ ΜΑ εὐθεῖα νδ κβ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα , ἐπεὶ ἀδιαφόρῳ μείζων ἐστὶν τῆς ΜΑ , τῶν αὐτῶν νδ κβ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται Ο μϚ , ἡ δʼ ὑπὸ ΚΑΜ γωνία τοιούτων Ο μδ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς τοῦ ἐκκέντρου ἐγκλίσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α λ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων γ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τοιούτων ἐστὶ γ μδ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΒ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶ γ μδ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΑΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρος ιϚ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΚΒ τοιούτων ἐστὶν γ νδ , οἵων ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ νϚ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα νδ κβ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΒ ἔσται α μϚ , ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως νδ κ . τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν διὰ τὰ προαποδεδειγμένα καὶ ἡ ΒΛ εὐθεῖα η η · καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ , ἕξομεν καὶ αὐτὴν μήκει τῶν αὐτῶν νδ νς . ὁμοίως δʼ , ἐπεὶ καὶ ἡ ∠Θ τῶν αὐτῶν ἐστι α μς , τὰ δὲ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , καὶ ταύτην ἕξομεν τῶν αὐτῶν νδ νη · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΘ ἔσται γ νβ , ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων γ μβ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α να , ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ τοῦ τοῦ Διὸς κανονίου κατὰ τῶν ρλε μοιρῶν . ὡσαύτως δʼ , ἐπειδὴ πάλιν ἡ ΑΓ τοῦ κατὰ τὰς ἀρχὰς τοῦ Κριοῦ ἀποστήματος τοιούτων συνάγεται νζ λ , οἵων ἐδείξαμεν τὴν μὲν ΚΜ εὐθεῖαν ο κα , τὴν δὲ ΓΜ ὁμοίως η η , ὡς καὶ λοιπὴν τὴν ΑΜ , τουτέστιν τὴν ΑΚ ἀδιαφόρῳ μείζονα οὖσαν , τῶν αὐτῶν καταλείπεσθαι μθ κβ , διὰ τοῦτο δὲ καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ γίνεται ο να , ἡ δʼ ὑπὸ ΚΑΜ γωνία τοιούτων ο μθ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ , συναχθήσεται καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τῶν αὐτῶν γ μθ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΒ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν γ μθ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΚΒ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρος ια . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ τοιούτων ἐστὶν γ νθ . οἵων ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ νς · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα μθ κβ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΒ ἔσται α λθ , ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως μθ κ . διὰ τοῦτο δʼ , ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΛ τῶν αὐτῶν ἐστιν η η , τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει ο ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΛ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΒΛ ἔσται ιθ λα , ἡ δʼ ὑπὸ ΒΑΛ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ιη μδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων θ κβ . πάλιν , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΛ εὐθεῖα ν ο , τοιούτων καὶ ἡ ΘΛ γίνεται α λθ , τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ . καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν ν καὶ ἑξηκοστῶν β · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΘ ἔσται γ νζ , ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ τὸ πλάτος ἀποστάσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων γ μς , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α νγ , καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ δ΄ σελιδίῳ τοῦ κανονίου κατὰ τῶν αὐτῶν ρλε μοιρῶν . καὶ τῆς συγκρίσεως δὲ τῶν κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεων ἕνεκεν ἐκκείσθω ἡ χωρὶς τῶν ἐγκλίσεω καταγραφή . καὶ ἐπεὶ κατὰ τὸ ἐκκείμενον ἀπόστημα , οἵων ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΚ καὶ ΓΚ εὐθειῶν η η , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἐστιν ὅλη νζ λ , λοιπὴ δὲ ἡ ΑΚ τῶν αὐτῶν μθ κβ , τὸ δʼ ἀπʼ αὐτῆς μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν ν καὶ ἑξηκοστῶν β · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΚ ἔσται , ιθ λ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΑΚ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ . τοιούτων ιη μβ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων θ κα . ἐδέδεικτο δὲ ἐπὶ τῶν ἐγκλίσεων τῶν αὐτῶν θ κβ ἐπλεόνασεν ἄρα πάλιν παῤ ἀμφοτέρας τὰς ἐγκλίσεις ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις ἑνὶ μόνῳ ἑξηκοστῷ · ἅπερ προέκειτο εὑρεῖν . ἑξῆς δὲ καὶ τῶν τοῦ Ἄρεως λόγων ἕνεκεν ἐκκείσθω πρῶτον ἡ τῶν ἐγκλίσεων καταγραφή , καὶ συναγέσθω πάλιν ἑκατέρα τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ τοιούτων κζ νς , οἵων ἐστὶν ἡ ΓΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου λθ λ . ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως ὑπόκειται , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β ιε , οἵων δὲ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων δ λ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΜ περιφέρεια τοιούτων δ λ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΓΜΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροε λ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΚΜ τοιούτων ἐστὶν δ μγ , οἵων ἐστὶν ἡ ΓΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΓΜ τῶν αὐτῶν ριθ νδ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΓΚ εὐθεῖα κζ νς , ἡ δὲ ΑΓ τοῦ μεγίστου ἀποστήματος ξς , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται α ς , ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως κζ νδ , ἡ δὲ ΑΜ τῶν λοιπῶν λη ς , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν λη ζ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται γ κη , ἡ δὲ ὑπὸ ΚΑΜ γωνία τοιούτων γ ιθ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ . ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς τοῦ ἐκκέντρου ἐγκλίσεως , οἵων μέν εἴσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τοιούτων συνάγεται ε ιθ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΒ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ε ιθ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΑΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροδ μα . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ τοιούτων ἐστὶν ε λδ , οἵων ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ νβ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα λη ζ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΒ ἔσται α μς , ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως λη ε . τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν καὶ ἡ ΒΛ εὐθεῖα κζ νς · καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΛ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει μζ ιδ . ὁμοίως δʼ , ἐπεὶ καὶ ἡ μὲν ΘΛ τῶν αὐτῶν α μς , τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ΑΛ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν μζ ις · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΛ ἔσται δ κθ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ πλάτος ἀποστάσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων δ ιη , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β θ , ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ τοῦ τοῦ Ἄρεως κανονίο κατὰ τῶν ρλε μοιρῶν . ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα ἐγκλίσεων , ἐπειδὴ τοιούτων ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα νδ , οἵων ἡ μὲν ΚΜ ἐδείχθη a ϛ , ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως κζ νδ , ὡς καὶ τὴν μὲν ΑΜ καταλείπεσθαι τῶν λοιπῶν κς ς , τὴν δὲ ΑΚ ὑποτείνουσαν συνάγεσθαι τῶν αὐτῶν κς ζ , καὶ οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται γ , ἡ δὲ ὑπὸ ΚΑΜ γωνία τοιούτων δ μθ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῶν αὐτῶν ϛ μθ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΚ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ς μθ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΒΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρογ ια . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ ἔσται τοιούτων ζ η , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ μζ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα κς ζ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΒΚ ἔσται α λγ , ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως κς δ . τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν πάλιν καὶ ἡ ΒΛ εὐθεῖα κζ νς · καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΛ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει λη ιβ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΛ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΒΛ ἔσται πζ με , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΛ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων 𝒢δ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μζ . ὁμοίως δʼ , ἐπεί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΛ εὐθεῖα λη ιβ , τοιούτων καὶ ἡ ΛΘ γίνεται α λγ , τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ τετράγωνον , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν λη ιδ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΘ ἔσται δ νβ , ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ πλάτος ἀποστάσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων δ μ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β κ , ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ δ΄ σελιδίῳ τοῦ κανόνος κατὰ τῶν αὐτῶν ρλε μοιρῶν . καὶ τῆς συγκρίσεως οὖν πάλιν ἕνεκεν τῶν κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεων , ἐὰν ἐκθώμεθα τὴν χωρὶς τῶν ἐγκλίσεων καταγραφήν , γίνεται κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα , ὅπου μάλιστα τὴν διαφορὰν αἰσθητὴν ἀνάγκη συμβαίνειν , λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ ὁ τῶν νδ πρὸς τὰ κζ νς , ὡς διὰ τοῦτο τὴν μὲν ΑΚ καταλείπεσθαι τῶν λοιπῶν κς δ , τὴν δὲ ΑΘ ὑποτείνουσαν συνάγεσθαι τῶν αὐτῶν ληιβ , διὰ τοῦτο δὲ καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ τὴν μὲν ΘΚ εὐθεῖαν γίνεσθαι πάλιν πζ με , τὴν δʼ ὑπὸ ΘΑΚ γωνίαν τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων 𝒢δ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μζ . τοσούτων δὲ ἐδέδεικτο καὶ ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς ἐγκλίσεις ἐπιλογισμῶν · οὐδενὶ ἄρα ἐπὶ τοῦ Ἄρεως διήνεγκεν παρὰ τὰς ἐγκλίσεις τῶν κύκλων ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις · ἅπερ ἔδει εὑρεῖν . τὰ δὲ δ΄ σελίδια τῶν δύο κανονίων τοῦ τε τῆς Ἀφροδίτης καὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ περιέξει τὰς ὑπὸ τῶν μεγίστων λοξώσεων τῶν ἐπικύκλων αὐτῶν , αἵτινες περὶ τὰ ἀπόγεια καὶ περίγεια τῶν ἐκκέντρων συνίστανται , περιεχομένας πλατικὰς παρόδους , πεπραγματευμένας ἡμῖν μέντοι καθʼ αὑτὰς χωρὶς τῆς παρὰ τὰς τῶν ἐκκέντρων ἐγκλίσεις γινομένης διαφορᾶς , ἐπειδήπερ καὶ πλειόνων ἂν ἐδέησε κανονίων ψηφοφορίας τε κατασκελεστέρας ἀνίσων καὶ μὴ πάντως ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ διὰ μέσων συνίστασθαι μελλουσῶν τῶν τε ἑσπερίων καὶ τῶν ἑῴων παρόδων , καὶ ἄλλως τῆς ἐγκλίσεως τῶν ἐκκέντρων μὴ μενούσης αἰ τῶν παρὰ τὰς μεγίστας ἐγκλίσεις μειώσεων ὑπεροχαὶ διαφωνεῖν ἔμελλον πρὸς τὰς τῶν παρὰ τὰς μεγίστας λοξώσεις μειώσεων · χωρισθείσης μέντοι τῆς διαφορᾶς ἕκαστα ἡμῖν προχειρότερον μεθοδευθήσεται , ὡς ἐξ αὐτῶν τῶν ἐπενεχθησομένων ἔσται δῆλον . ἔστω τοίνυν ἡ ΑΒ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ τοῦ τοῦ ἐπικύκλου , καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ὑποκείσθω τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ , τὸ δὲ Β τὸ κέντρον . τοῦ ἐπικύκλου , γεγράφθω τε περὶ αὐτὸ ὁ Γ∠ΕΖΗ ἐπίκυκλος λοξὸς πρὸς τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον , τουτέστιν ὥστε τὰς ἀγομένας ἐνʼ αὐτοῖς εὐθείας ὀρθὰς πρὸς τὴν ΓΗ κοινὴν τομὴν ἴσας ποιεῖν τὰς γωνίας ἁπάσας τὰς πρὸς τοῖς αὐτῆς τῆς ΓΗ σημείοις συνισταμένας , διήχθωσάν τε ἡ μὲν ΑΕ ἐφαπτομένη τοῦ ἐπικύκλου , ἡ δὲ ΑΖ∠ τέμνουσα αὐτόν , ὡς ἔτυχεν , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠ ; , Ε , Ζ σημείων κάθετοι ἐπὶ μὲν τὴν ΓΗ αἱ ∠Θ καὶ ΕΚ καὶ ΖΛ , ἐπὶ δὲ τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον αἱ ∠Μ καὶ ΕΝ καὶ ΖΣ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΘΜ καὶ ΚΝ καὶ ΛΞ καὶ ἔτι αἱ ΑΝ καὶ ΑΞΜ ἡ γὰρ ΑΞΜ εὐθεῖά ἐστιν , ἐπειδήπερ ἐν δυσὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν τὰ γ σημεῖα τῷ τε τοῦ διὰ μέσων καὶ τῳ διὰ τῆς ΑΖ∠ ὀρθῷ πρὸς τὸ τοῦ διὰ μέσων . ὅτι μὲν οὖν ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης λοξώσεως τὰς μὲν κατὰ μῆκος τῶν ἀστέρων προσθαφαιρέσεις περιέχουσιν ἥ τε ὑπὸ ΘΑΜ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΚΑΝ , τὰς δὲ κατὰ πλάτος ἥ τε ὑπὸ ∠ΑΜ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΑΝ , φανερόν . δεικτέον δὲ πρῶτον , ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΝ κατὰ πλάτος πάροδος ἡ κατὰ τὴν ἐπαφὴν συνισταμένη πασῶν ἐστι μείζων , καθάπερ καὶ ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις . ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΚ γωνία μείζων ἐστὶν πασῶν , ἡ ΚΕ πρὸς τὴν ΕΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἐκατέρα τῶν Θ∠ καὶ ΛΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ∠Α καὶ ΖΑ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΕΝ , οὕτως ἥ τε Θ∠ πρὸς τὴν ∠Μ καὶ ἡ Λ πρὸς τὴν ΖΞ · ἰσογώνια γὰρ πάντα ἐστίν , ὡς ἔφαμεν , τὰ οὕτω συνιστάμενα τρίγωνα καὶ ὀρθαὶ αἰ πρὸς τοῖς Μ , Ν , γωνίαι · καὶ ἡ ΝΕ ἄρα πρὸς τὴν ΕΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἑκατέρα τῶν Μ∠ καὶ Ζ πρὸς ἑκατέραν τῶν ∠Α καὶ ΖΑ . καί εἴσιν πάλιν ὀρθαὶ α ὑπὸ ∠ΜΑ καὶ ὑπὸ ΕΝΑ καὶ ὑπὸ ΖΞΑ γωνίαι · μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΝ γωνία τῆς ὑπὸ ∠ΑΜ γωνίας καὶ πασῶν δηλονότι τῶν τὸν αὐτὸν τρόπον συνισταμένων . φανερὸν δʼ αὐτόθεν , ὅτι καὶ τῶν γινομένων ἐν ταῖς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεσιν ἐκ τῆς λοξώσεως διαφορῶν μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς ταῖς κατὰ τὸ Ε μεγίσταις παρόδοις ἀποτελούμενη , ἐπειδήπερ περιέχουσι μὲν αὐτὰς αἱ ὑποτείνουσαι γωνίαι τὰς ὑπεροχὰς τῶν Θ∠ καὶ ΚΕ καὶ ΛΖ πρὸς τὰς ΘΜ καὶ ΚΝ καὶ ΛΞ . τοῦ δʼ αὐτοῦ λόγου καθʼ ἑκάστην αὐτῶν μένοντος καὶ πρὸς τὰς ὑπεροχὰς ἐξακολουθεῖ τὸ καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΕΚ καὶ ΚΝ μείζονα λόγον ἔχειν πρὸς τὴν ΕΑ ἤπερ τὰς τῶν λοιπῶν πρὸς τὰς ὁμοίας τῇ Α∠ ; . δῆλον δʼ αὐτόθεν , ὅτι καί , ὃν ἂν ἔχῃ λόγον ἡ κατὰ μῆκος μεγίστη προσθαφαίρεσις πρὸς τὴν κατὰ πλάτος μεγίστην πάροδον , τοῦτον ἔχουσι τὸν λόγον καὶ ἐπὶ πάντων τῶν τοῦ ἐπικύκλου τμημάτων αἱ κατὰ μῆκος ἐφʼ ἑκάστου προσθαφαιρέσεις πρὸς τὰς κατὰ πλάτος παρόδους , ἐπειδήπερ , ὡς ἡ ΚΕ πρὸς τὴν ΕΝ , οὕτως καὶ πᾶσαι αἱ ὅμοιαι ταῖς ΛΖ καὶ Θ∠ πρὸς τὰς ὁμοίας ταῖς καὶ ∠Μ ἅπερ προέκειτο δεῖξαι . τούτων δὴ προεφωδευμένων ἴδωμεν πρῶτον , πηλίκη γωνία καθʼ ἑκάτερον τῶν ἀστέρων ὑπὸ τῆς λοξώσεως τῶν ἐπιπέδων περιέχεται , ὑποθέμενοι κατὰ τὰ ἐν ἀρχῇ προδιειλημμένα , διότι περὶ τὰ μεταξὺ τοῦ τε μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ἀποστήματος ε μοίραις ἑκάτερος αὐτῶν τὸ πλεῖστον βορειότερος καὶ νοτιώτερος γίνεται τῶν ἐναντίων κατὰ τὸν ἐπίκυκλον παρόδων , ἐπειδήπερ ὁ μὲν τῆς Ἀφροδίτης ἀδιαφόρῳ μείζονα καὶ ἐλάττονα τῶν ε μοιρῶν τὴν κατὰ τὸ περίγειον καὶ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου παραχώρησιν φαίνεται ποιούμενος , ὁ δὲ τοῦ Ἑρμοῦ μιᾶς ἔγγιστα μοίρας ἡμίσει . ἔστω τοίνυν πάλιν ἡ ΑΒΓ κοινὴ τομὴ τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ τοῦ ἐπικύκλου , καὶ γραφέντος περὶ τὸ Β σημεῖον τοῦ Γ∠Ε ἐπικύκλου λοξοῦ πρὸς τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον , καθʼ ὃν ἐκτεθείμεθα τρόπον , ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ ἐφαπτομένη τοῦ ἐπικύκλου ἡ Α∠ ; , ἤχθωσάν τε ἀπὸ τοῦ ∠ κάθετοι ἐπὶ μὲν τὴν ΓΒΕ ἡ ∠Ζ , ἐπὶ δὲ τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον ἡ ∠Η , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β∠ καὶ ΖΗ καὶ ΑΗ , ὑποκείσθω δὲ ἡ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία περιέχουσα τὴν ἡμίσειαν τῆς ἐκκειμένης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως καθʼ ἑκάτερον τῶν ἀστέρων οὖσαν τοιούτων β U+2220΄ , οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ . καὶ προκείσθω τὴν πηλικότητα τῆς λοξώσεως ἑκατέρου τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν , τουτέστι τὴν πηλικότητα τῆς ὑπὸ ∠ΖΗ γωνίας . ἐπὶ μὲν δὴ τοῦ τῆς Ἀφροδίτης , ἐπειδή , οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου μγ ι , τοιούτων τὸ μὲν μέγιστον ἀπόστημα ξα ιε , τὸ δὲ ἐλάχιστον νη με , καὶ τὸ μεταξὺ τούτων γίνεται ξ , ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν Β∠ λόγον ἕξει , ὃν τὰ ξ πρὸς τὰ μγ ι . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ λειφθὲν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν μα μ . ὁμοίως δʼ , ἐπεί , ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν Α∠ ; , καὶ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ , τῶν αὐτῶν καὶ τὴν ∠Ζ ἕξομεν κθ νη . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία ὑπόκειται , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β λ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε , εἴη ἂν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοι - ούτων ε , οἵων ὁ περὶ τὸ Α∠Η ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ ∠Η τοιούτων ε ιδ , οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ Α∠ εὐθεῖα μία μ , τοιούτων ἡ ∠Η ἔσται α ν . τῶν δʼ αὐτῶν καὶ ἡ ∠Ζ ἐδέδεικτο κθ νη · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ζ κ , ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΖΗ γωνία τῆς λοξώσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ζ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων γ λ . ἀλλʼ ἐπεὶ καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῆς ὑπὸ ∠ΑΖ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΖ περιέχει τὴν γινομένην τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως διαφοράν , αὐτόθεν καὶ ταύτην συνεπιλογιστέον ἀπὸ τῆς καταλαμβανομένης αὐτῶν πηλικότητος . ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Η εὐθεῖα ν , τοιούτων ἡ μὲν Α∠ ὑποτείνουσα μα μ , ἡ δὲ ∠Ζ ὁμοίως κθ νη , καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Η λειφθὲν ὑπὸ τῶν ἀφʼ ἑκατέρας τῶν Α∠ καὶ ∠ ποιεῖ τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΑΗ καὶ ΗΖ , ἕξομεν καὶ τὴν μὲν ΑΗ μήκει τῶν αὐτῶν μα λζ , τὴν δὲ ΗΖ ὁμοίως κθ νε · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΗ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΖΗ ἔσται πς ις , ἡ δʼ ὑπὸ ΖΑΗ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων 𝒢α νς , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων με νη . ὁμοίως δʼ , ἐπεὶ καί , οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ ∠Ζ γίνεται πς ιη , καὶ τὴν ὑπὸ ∠Α γωνίαν ἕξομεν , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων 𝒢α νη , οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων με νθ . ἐνέλειπεν ἄρα παρὰ τὴν λόξωσιν ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῷ ἑνί . ἐπὶ δὲ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ , ἐπειδή , οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου κβ λ , τοιούτων τὸ μὲν μέγιστον ἀπόστημα ἐδείχθη ξθ , τὸ δὲ διάμετρον νζ , καὶ τὸ μεταξὺ τούτων συνάγεται τῶν αὐτῶν ξγ , ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ λόγον ἔχει , ὃν τὰ ξγ πρὸς τὰ κβ λ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Β λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει νη να . ὁμοίως δʼ , ἐπεί , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Α∠ ; , καὶ ἡ Β∠ πρὸς ∠Ζ , τῶν αὐτῶν καὶ ἡ ∠Ζ ἔσται κα α . πάλιν , ἐπεῖ ἡ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία τοιούτων ὑπόκειται ε , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοιούτων ε , οἵων ὁ περὶ τὸ Α∠Η ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ ∠Η τοιούτων ε ιδ , οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ Α∠ εὐθεῖα νη να , τοιούτων καὶ ἡ ∠Η ἔσται β λδ . τῶν δʼ αὐτῶν καὶ ἡ ∠ ἐδέδεικτο κα α · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ιδ μ , ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΖΗ γωνία τῆς λοξώσεως , οἵων μέν εἴσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ιδ , οἵων δʼ αἰ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ζ . ὁμοίως δὲ καὶ τῆς συγκρίσεως τῶν τῆς προσθαφαιρέσεως γωνιῶν ἕνεκεν , ἐπειδὴ πάλιν , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Η εὐθεῖα β λδ , τοιούτων ἡ μὲν Α∠ ὑποτείνουσα ἐδείχθη νη να , ἡ δὲ ∠Ζ ὁμοίως κα α , τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ∠ λειφθὲν ὑπὸ τῶν ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ∠Α καὶ ∠Ζ ποιεῖ τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΑΗ καὶ , ἕξομεν καὶ τὴν μὲν ΑΗ μήκει νη μζ , τὴν δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν νγ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΗ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΗΖ ἔσται μβ λη , ἡ δὲ ὑπὸ ΖΑ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μα λη , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων κ μθ . κατὰ ταὐτὰ δʼ , ἐπεὶ καί , οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ ∠Ζ συνάγεται μβ ν , καὶ τὴν ὑπὸ ∠ΑΖ γωνίαν ἕξομεν , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μα ν , οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων νε . ἐνέλειπεν ἄρα καὶ ἐπὶ τούτου παρὰ τὴν λόξωσιν ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστοῖς ς · ἅπερ προέκειτο εὑρεῖν . τούτοις δὲ ἐφεξῆς ἴδωμεν , εἰ ταύτας ὑποθέμενοι τὰς τῶν λοξώσεων πηλικότητας συμφώνους εὑρίσκομεν τὰς κατὰ τὰ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα ἀποστήματα μεγίστας κατὰ πλάτος παρόδους ταῖς ἐκ τῶν τηρήσεων κατειλημμέναις , ὑποκείσθω τε πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς τὸ μέγιστον πρῶτον ἀπόστημα τοῦ τῆς Ἀφροδίτης ἀστέρος , τουτέστιν ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ὁ τῶν ξα ιε πρὸς τὰ μγ ι , ὥστʼ , ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ∠ , καὶ ταύτην συνάγεσθαι τῶν αὐτῶν μγ κζ . ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Α∠ ; , καὶ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ · καὶ ἡ ∠Ζ ἄρα εὐθεῖα τῶν αὐτῶν ἔσται λ λζ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ∠ΖΗ γωνία τῆς λοξώσεως ὑπόκειται τοιούτων ζ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ , ἡ δὲ ∠Η εὐθεῖα τοιούτων ζ κ , οἵων ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα λ λζ , ἡ δὲ Α∠ ὁμοίως μγ κζ , τοιούτων καὶ ἡ ∠Η ἔσται α νβ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠ ἔσται ε θ , ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία τῆς μεγίστης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων δ νδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β κζ . κατὰ δὲ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα , ἐπειδή , οἵων ἐστὶν ἡ Β∠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου μγ ι , τοιούτων καὶ ἡ ΑΒ ὑπόκειται νη με , τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ∠Β λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν λθ να . ὁμοίως τʼ , ἐπεί , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Α∠ ; , καὶ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ , καὶ ἡ ∠Ζ ἔσται τῶν αὐτῶν κθ ιζ . ἀλλʼ ὁ τῆς ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Η λόγος ὑπόκειται ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ ζ κ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα κθ ιζ , ἡ δὲ Α∠ ὁμοίως λθ να , τοιούτων καὶ ἡ ∠Η γίνεται α μζ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ε κβ , ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία τῆς μεγίστης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε η , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β λδ . ἀδιαφόρῳ ἄρα πρὸς αἴσθησιν τῆς κατὰ τὸν μέσον λόγον κατὰ πλάτος παραχωρήσεως β U+2220΄μοιρῶν ὑποκειμένης ἐλάττων μὲν γέγονεν ἡ κατὰ τὸ ἀπόγειον , πλείων δʼ ἡ κατὰ τὸ περίγειον , ἐπειδήπερ ἡ μὲν κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα τρισὶ μόνοις ἐνέλειπεν ἑξηκοστοῖς , ἡ δὲ κατὰ τὸ ἐλάχιστον τέτρασιν ἑξηκοστοῖς ἐπλεόνασεν , ἅπερ ἐκ τῶν τηρήσεων εὐκατανόητα γίνεσθαι παντάπασιν οὐκ ἐνεδέχετο . πάλιν ὑποκείσθω τὸ μέγιστον ἀπόστημα τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ , τουτέστιν ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ὁ τῶν ξθ πρὸς τὰ κβ λ , ὡς διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἐπάνω συνάγεσθαι τὴν μὲν Α∠ τῶν αὐτῶν ξε ιδ , τὴν δὲ ∠ ὁμοίως κα ιϛ . ἀλλὰ καὶ ἐνθάδε τὴν ὑπὸ ∠ΖΗ γωνίαν ἔχομεν τῆς λοξώσεως ὑποκειμένην τοιούτων ιδ , οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τὴν δὲ ∠Η εὐθεῖαν διὰ τοῦτο τοιούτων ιδ μ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ · καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα κα ιϛ , ἡ δὲ Α∠ ὁμοίως ξε ιδ , τοιούτων καὶ ἡ ∠Η ἔσται β λς . ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται δ μζ , ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία τῆς μεγίστης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως , οἵων μέν εἰσιν α β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ὁ λδ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β ιζ . ἐπὶ δὲ τοῦ ἐλαχίστου ἀποστήματος ὁ μὲν τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ὑπόκεται ὁ τῶν νζ πρὸς τὰ κβ λ , διὰ ταὐτὰ δὲ πάλιν ἡ μὲν Α∠ τῶν αὐτῶν νβ κβ , ἡ δὲ ∠Ζ ὁμοίως κ μ . ἐπεὶ δὲ διὰ τὴν αὐτὴν λόξωσιν ὑπόκειται ὁ τῆς Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Η λόγος ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ ιδ μ , καὶ οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα κ μ , ἡ δὲ Α∠ ὁμοίως νβ κβ , τοιούτων καὶ ἡ ∠Η ἐστιν β λβ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ε μη , ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ε λβ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β μς . διήνεγκεν ἄρα τῆς κατὰ τὸν μέσον λόγον μεγίστης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως β U+2220΄ καὶ ἐνθάδε μοιρῶν ὑποκειμένης ἡ μὲν κατὰ τὸ ἀπόγειον ἐπὶ τὸ ἐλάχιστον ιγ ἑξηκοστοῖς , ἡ δὲ κατὰ τὸ περίγειον ἐπὶ τὸ πλεῖστον ις ἑξηκοστοῖς , ἀνθʼ ὧν εἰς τὴν ἐν τῇ ψηφοφορίᾳ παρὰ τὸν μέσον λόγον διόρθωσιν τῷ δ΄ τῆς ᾱ μοίρας κατὰ τὸ τῶν τηρήσεων πρὸς αἴσθησιν διάφορον συγχρησόμεθα . τούτων δʼ ἀποδεδειγμένων , καὶ ὅτι , ὡς αἱ μέγισται κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεις πρὸς τὰς μεγίστας κατὰ πλάτος παρόδους , οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τοῦ ἐπικύκλου τμημάτων αἱ κατὰ μέρος τοῦ μήκους προσθαφαιρέσεις πρὸς τὰς κατὰ μέρος τοῦ πλάτους παρόδους , αὐτόθεν ἡμῖν πρόχειρος γέγονεν ἐν τοῖς ἐκκειμένοις δ΄ σελιδίοις τῶν κανονίων τοῦ τε τῆς Ἀφροδίτης καὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ ἡ τῶν ἐκ τῆς λοξώσεως κατὰ πλάτος παρόδων παράθεσις , τῶν μέντοι παῤ αὐτὴν μόνην τὴν λόξωσιν τῶν ἐπικύκλων καὶ ἀπὸ τῆς μέσης ἐπιβολῆς , ὡς ἔφαμεν , συναγομένων , τῆς παρά τε τὴν τῶν ἐκκέντρων ἔγκλισιν καὶ ἔτι παρὰ τὸ ἀπόγειον καὶ περίγειον τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ διαφορᾶς διὰ τὸ εὐμεθόδευτον ἐκ τῆς ἐπενεχθησομένης ψηφοφορίας τὴν διόρθωσιν ἀποληψομένης . ἐπεὶ γὰρ κατὰ τοὺς ἐκκειμένους μέσους λόγους ἡ μὲν κατὰ πλάτος ἀμφοτέρων τῶν ἀστέρων ἐκ τῆς λοξώσεως ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων μεγίστη πάροδος ἐδείχθη μοιρῶν β λ , ἡ δὲ κατὰ μῆκος μεγίστη προσθαφαίρεσις ἐπὶ μὲν τοῦ τῆς Ἀφροδίτης μϚ μοιρῶν , ἐπὶ δὲ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ κβ ἔγγιστα , ἔχομεν δὲ ἐκκειμένας ἐν τοῖς τῆς ἀνωμαλίας αὐτῶν κανόσι τὰς ἐπιβαλλούσας τοῖς κατὰ μέρος τμήμασιν τῶν ἐπικύκλων προσθαφαιρέσεις , ὅσον ἂν ὦσι μέρος αὗται τῶν ὅλων κατὰ μῆκος μεγίστων προσθαφαιρέσεων , τὸ τοσοῦτον μέρος λαμβάνοντες ἐφʼ ἑκατέρου τῶν ἀστέρων οἰκείως τῶν β λ μοιρῶν τὰ γινόμενα παραθήσομεν ἐν τοῖς δ΄ σελιδίοις τῶν τοῦ πλάτους κανονίων τοῖς αὐτοῖς ἀριθμοῖς . τὰ δὲ πέμπτα σελίδια γέγονεν ἡμῖν ὑπὲρ τοῦ καὶ τὰς ἐν ταῖς ἄλλαις τῶν ἐκκέντρων παρόδοις συνισταμένας κατὰ πλάτος παραχωρήσεις διευκρινεῖν ἐκ τῆς τῶν παρατιθεμένων ἑξηκοστῶν μεθοδείας . ἐπεὶ γάρ , ὡς ἔφαμεν , ἀναλόγως τῇ πρὸς τὸν ἔκκεντρον ἀποκαταστάσει καὶ αἱ τῶν ἐπικύκλων ἐγκλίσεις τε καὶ λοξώσεις τὴν τῆς αὐξομειώσεως ἀποκατάστασιν ποιοῦνται διὰ τῆς τῶν κυκλίσκων παραθέσεως , αἱ δὲ πηλικότητες τῶν ἐγκλίσεων καὶ τῶν λοξώσεων πασῶν οὐ μακράν εἰσι τῆς κατὰ τὸν λοξὸν τῆς σελήνης κύκλον , καὶ ἀνάλογον μὲν ἔχουσιν ἔγγιστα πάλιν αἱ μέχρι τῶν τηλικούτων ἐγκλίσεων κατὰ μέρος παραχωρήσεις , πεπραγματευμένας δὲ ἔχομεν γραμμικῶς τὰς τῆς σελήνης , δωδεκάκις ἑκάστην τῶν ἐκεῖ παραθέσεων ποιήσαντες διὰ τὸ τὴν μεγίστην ἐπιβολὴν ἐκεῖ μὲν εἶναι μοιρῶν ε ἔγγιστα , νῦν δὲ ἡμᾶς ποιεῖν αὐτὴν ξ , τὰ γενόμενα παρεθήκαμεν τοῖς οἰκείοις ἀριθμοῖς ἐφʼ ἑκάστου τῶν πέμπτων σελιδίων . καί ἐστιν ἡ τῶν κανονίων ἔκθεσις τοιαύτη ·
Lemmas: δέ . πραγματεία κανόνιον εἰς ὁ κατά μέρος ὁ πλάτος πάροδος . ἐκ μέν οὖν οὗτος ἐγώ συνίστημι ὁ καθόλου πηλικότης ὁ μέγας ἔγκλισις ὁ τε ἔκκεντρος καί ὁ ἐπίκυκλος · ἵνα δέ καί ὁ ὁ κατά μέρος διάστασις πλατίκα πάροδος ἑκάστοτε δύναμαι προχείρως μεθοδεύω , πραγματεύομαι κανόνιον ε ὁ ε πλανάω στίχος μέν ἕκαστος , ὅσος καί ὁ ὁ ἀνωμαλία , σελίδιον δέ ε · οὗτος δέ ὁ μέν πρῶτος Β περιέχω ὁ ἀριθμός , ὥσπερ καί ἐν ἐκεῖνος , ὁ δέ τρίτος ὁ ἐπιβάλλω κατά πλάτος ἀπόστασις ὁ διά μέσος ὁ κατά μέρος ὁ ἐπίκυκλος τμῆμα ἐπί αὐτός ὁ μέγας ἔγκλισις , ὁ μέν ὁ Ἀφροδίτη καί ὁ ὁ Ἑρμῆς ὁ κατά ὁ σύνδεσμος ὁ ἔκκεντρος , ὁ δέ ὁ λοιπός γ ἀστήρ ὁ περί ὁ βόρειος πέρας ὁ ἔκκεντρος · ἐπί οὗτος δέ καί ὁ δέ σελίδιον περιέχω ὁ περί ὁ νότιος πέρας ὁ ἔκκεντρος ὅμοιος ἐπιβολή συνεπιλογίζομαι ἐπί ὁ γ οὗτος καί ὁ αὐτός ὁ ἔκκεντρος πρός ἄρκτος τε καί μεσημβρία πλεῖστος παραχώρησις . γίγνομαι δέ ἐγώ ὁ πραγματεία ὁ τμῆμα οὗτος ἐπί μέν ὁ ὁ Ἀφροδίτη καί ὁ ὁ Ἑρμῆς διά εἷς πάλιν θεώρημα τρόπος τοιόσδε · ἵστημι γάρ ἐν ὁ πρός ὀρθός γωνία ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον ἐπίπεδος ὁ μέν ΑΒΓ ὁ κοινός τομή πρός αὐτός ὁ ἐπίπεδος ὁ ζῳδιακός , ὁ δέ δΒΕ ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐπίκυκλος , καί ἵστημι ὁ μέν ζῳδιακός κέντρον ὁ Α , ὁ δέ ἐπίκυκλος ὁ Β , ὁ δέ ΑΒ ὁ περί ὁ μέγας ἔγκλισις ἀπόστημα ὁ ἐπίκυκλος , καί γράφω περί ὁ Β ὁ ∠ΖΕΗ ἐπίκυκλος ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒΗ διάμετρος ὀρθός πρός ὁ ∠Ε , ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὁ ἐπίκυκλος ἐπίπεδος πρός ὁ ὑπόκειμαι ὀρθός , ὥστε ὁ ὁ ∠Ε πρός ὀρθός γωνία ἄγω ἐν αὐτός ὁ μέν ἄλλος πᾶς παράλληλος εἰμί ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος , ὁ δέ μόνος ἐν αὐτός , καί πρόκειμαι δίδωμι ὁ τε λόγος ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ καί ὁ πηλικότης ὁ ἔγκλισις , τουτέστιν ὁ ὑπό ΑΒΕ γωνία , εὑρίσκω ὁ κατά πλάτος ὁ ἀστήρ πάροδος , ὅταν ὑποδείκνυμι ἀπέχω ὁ Ε περίγειος ὁ ἐπίκυκλος ἐγώ μοῖρα , οἷος εἰμί ὁ ἐπίκυκλος τξʹ , ἐπεί καί ὁ γίγνομαι διαφορά ὁ κατά μῆκος πάροδος διά ὁ τοιοῦτος ἔγκλισις προαιρέω συναποδεικνύω , οὗτος δέ περί ὁ μεταξύ ποῦ ὁ τε Ε περίγειος καί ὁ Ζ , ὁ πάροδος ὁ πλεῖστος εἄν ὀφείλω διαφέρω διά ὁ ὁ ἐπί ὁ εἴρω σημεῖον ὁ αὐτός γίγνομαι ὁ καί Χωρὶς ὁ ἔγκλισις ἀποτελέω . ἀπολαμβάνω δή περιφέρεια ὁ εἴρω ἐγώ μοῖρα ὁ ΕΘ , καί κάθετος ἄγω ἐπί μέν ὁ ΒΕ ὁ ΘΚ , ἐπί δέ ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος ὁ ΚΛ καί ΘΜ , ἐπιζεύγνυμι τε ὁ ΘΒ καί ΛΜ καί ΑΜ καί ΑΘ . ὅτι μέν οὖν ὁ ΛΚΘ Μ2 τετράπλευρος παραλληλόγραμμος τε εἰμί καί ὀρθογώνιος διά ὁ ὁ ΚΘ παράλληλος εἰμί ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος , καί ὅτι ὁ μέν κατά μῆκος προσθαφαίρεσις ὁ ὑπό ΛΑΜ γωνία περιέχω , ὁ δέ κατά πλάτος πάροδος ὁ ὑπό Θαμ , ὁ ὑπό ΑΜ καί ὑπό ΑΘΜ γωνία ὀρθός καί αὐτός συνίστημι διά ὁ καί ὁ ΑΜ ἐν ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος πίπτω , αὐτόθεν εἄν εἰμί φανερός · πηλίκος δέ ὁ ἐπιζητέω πάροδος συνάγω κατά ἑκάτερος ὁ προερέω ἀστήρ , ἤδη δεικτέος , καί πρότερος ἐπί ὁ ὁ Ἀφροδίτη . ἐπεί τοίνυν ὁ ΕΘ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ἐγώ , οἷος ὁ ἐπίκυκλος τξʹ , εἰμί εἄν ὁ ὑπό ΕΒΘ γωνία πρός ὁ κέντρον εἰμί ὁ ἐπίκυκλος , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἐγώ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ἐπί ὁ ΒΚ καί ὁ ΚΘ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ?? , οἷος ὁ περί ὁ ΒΘΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς κατεράω τοιοῦτος εἰμί πδʹ νβʹ , οἷος εἰμί ὁ ΒΘ ὑποτείνω ρκʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ΒΘ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος μγʹ Ι , ὁ δέ ΑΒ ὁ μέσος ἀπόστημα ξ , διά ὁ περί οὗτος μάλιστα ὁ μέγας ἔγκλισις γίγνομαι ὁ ἐπίκυκλος , τοιοῦτος καί κατεράω ὁ ΒΚ καί ΚΘ εὐθύς εἰμί λ λβʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ΑΒΕ γωνία ὁ ἔγκλισις , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὑπόκειμαι Β λ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΛΚ περιφέρεια τοιοῦτος ε , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ Β ΛΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ Β Λ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ῥόος . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν Κ Λ τοιοῦτος εἰμί ε ιδʹ , οἷος ὁ ΒΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ Β Λ ὁ αὐτός ριθʹ νγʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ΒΚ ὑποτείνω λ λβʹ , ὁ δέ ΑΒ εὐθύς ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΛ εἰμί ὅς Κ , ὁ δέ Β Λ ὁ αὐτός λ λ , ὁ δέ ΑΛ ὁ λοιπός κθʹ λ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ΛΜ ἴσος εἰμί ὁ ΚΘ εὐθύς λ λβʹ · ὥστε καί ὁ ΑΜ ὑποτείνω συνάγω ὁ αὐτός μάω κζ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΜ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΛΜ εἰμί πϛʹ ιθʹ , ὁ δέ ὑπό ΛΑΜ ὁ τότε κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος 𝒢β o , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μϛʹ ὁ . ὁμοίως δέ , ἐπεί καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΜ εὐθύς μβʹ κζ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ ΘΜ ἴσος εἰμί ὁ Κ Λ εὐθύς ὅς Κ , ὁ δέ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , εἰμί καί ὁ ΑΘ μῆκος ὁ αὐτός μής κθʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΜ εἰμί γ μϛʹ , ὁ δέ ὑπό Θαμ γωνία ὁ κατά πλάτος παραχώρησις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος γ λϚʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς μη , ὁ καί παρατίθημι ἐν ὁ τρίτος σελίδιον ὁ ὁ Ἀφροδίτη κανών κατά ὁ περιέχω στίχος ὁ ὁ ρλεʹ μοῖρα ἀριθμός . ἕνεκα δέ ὁ συγκρίνω ὁ γίγνομαι διαφορά ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις ἔκκειμαι ὁ ὅμοιος καταγραφή ἀνέγκλιτος ἔχω ὁ ἐπίκυκλος . καί ἐπεί δείκνυμι ἑκάτερος ὁ ΒΚ καί ΚΘ εὐθύς τοιοῦτος λ λβʹ , οἷος εἰμί ὁ Α Β εὐθύς ξ , ὥστε καί ὁ ΑΚ γίγνομαι ὁ λοιπός κθʹ καί , ὁ δέ ἀπό οὗτος καί ὁ ἀπό ὁ ΚΘ συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , εἰμί καί ὁ ΑΘ μῆκος ὁ αὐτός μβʹ κϚʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΘ εἰμί πϛʹ ἄν , ὁ δέ ὑπό Θ ΑΚ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος 𝒢β γ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μϛʹ Β ἔγγιστος . δείκνυμι δέ ἐπί ὁ ἔγκλισις ὁ αὐτός μϛʹ · ἐλλείπω ἄρα ὁ κατά ὁ μῆκος προσθαφαίρεσις διά ὁ ἔγκλισις ὁ ἐπίκυκλος εἷς μοῖρα ἑξηκοστός Β · ὅσπερ ἐσθίω εὑρίσκω . πάλιν , ἵνα καί ὁ ἐπί ὁ ὁ Ἑρμῆς πάροδος δείκνυμι , ἔκκειμαι ὁ ὅμοιος ὁ πρό οὗτος καταγραφή ὁ ΕΘ περιφέρεια ὁ αὐτός ὑπόκειμαι ἐγώ μοῖρα , ὥστε καί ὁ ΒΚ καί ΚΘ ἑκάτερος τοιοῦτος πάλιν συνάγω πδʹ νβʹ , οἷος εἰμί ὁ ΒΘ ὑποτείνω ρκʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ΒΘ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος κβʹ λ , ὁ δέ ΑΒ ὁ κατά ὁ μέγας ἔγκλισις ἀπόστημα νϚʹ μ · οὗτος γάρ ἐγώ πᾶς προαποδείκνυμι · τοιοῦτος καί κατεράω ὁ ΒΚ καί ΚΘ εἰμί εἶμι νε . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ΑΒΕ γωνία ὁ ὁ ἐπίκυκλος ἔγκλισις , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὑπόκειμαι Ϛ εἶμι , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Ἶβ λ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΛΚ περιφέρεια τοιοῦτος Ἶβ λ , οἷος ὁ περί ὁ ΒΚ Λ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ Β Λ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρξζ λ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν Κ Λ τοιοῦτος εἰμί ιγʹ δ , οἷος ὁ ΒΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ Β Λ ὁ αὐτός ριθʹ ιζʹ ὥστε καί , οἷος ὁ μέν Β Κ δείκνυμι εἶμι νε , ὁ δέ ΑΒ ὑπόκειμαι νϚʹ μ , τοιοῦτος καί ὁ μέν Κ Λ εἰμί ὅς μδʹ , ὁ δέ Β Λ ὁμοίως εἶμι μθʹ , λοιπός δέ ὁ ΑΛ ὁ αὐτός μ νάω . εἰμί δέ καί ὁ ΛΜ ἴσος εἰμί ὁ ΚΘ ὁ αὐτός εἶμι νε · καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Α Λ μετά ὁ ἀπό ὁ ΛΜ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΜ , ἔχω καί αὐτός μῆκος τοιοῦτος μγʹ Ν , οἷος εἰμί ὁ ΛΜ εὐθύς εἶμι νε · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΜ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΛΜ εἰμί μγʹ λδʹ , ὁ δέ ὑπό ΛΑΜ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μβʹ λδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἄν ιζʹ . ὁμοίως δέ , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ ΑΜ εὐθύς μγʹ Ν , τοιοῦτος καί ὁ Θ Μ ἴσος εἰμί ὁ Κ Λ γίγνομαι ὅς μδʹ , ὁ δέ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός μγʹ νβʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΜ εἰμί δ μδʹ , ὁ δέ ὑπό Θαμ γωνία ὁ κατά πλάτος παραχώρησις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δ λβʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β ιϚʹ , ὁ καί παρατίθημι πάλιν ἐν ὁ Γ΄ σελίδιον ὁ ὁ Ἑρμῆς κανών κατά ὁ αὐτός στίχος , τουτέστιν ὁ περιέχω ὁ ὁ ρλεʹ μοῖρα ἀριθμός . πάλιν καί ὁ σύγκρισις ὁ προσθαφαίρεσις ἕνεκα ἔκκειμαι καί ὁ Χωρὶς ὁ ἔγκλισις καταγραφή . καί ἐπεί δείκνυμι , ὅτι , οἷος ὁ ΑΒ εὐθύς νϚʹ μ , τοιοῦτος εἰμί ἑκάτερος μέν ὁ ΘΚ καί ΚΒ εὐθύς εἶμι νε , λοιπός δέ ὁ ΑΚ ὁ αὐτός δηλονότι μ ἐγώ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΚ μετά ὁ ἀπό ὁ ΚΘ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , μῆκος ἄρα καί αὐτός ἔχω τοιοῦτος μγʹ ἐγώ , οἷος εἰμί καί ὁ ΘΚ εὐθύς εἶμι νε · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΘ εὐθύς ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΚ ἵστημι μγʹ λθʹ , ὁ δέ ὑπό Κ ΑΘ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μβʹ μ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἄν Κ . ἐδέ . δεικτός δέ ἐπί ὁ ἔγκλισις ὁ αὐτός ἄν ιζʹ · ἐλλείπω ἄρα καί ἐνταῦθα ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις διά ὁ ἔγκλισις ὁ ἐπίκυκλος ὅς μοῖρα ἑξηκοστός γ ὅσπερ ἐσθίω εὑρίσκω . ὁ μέν οὖν δύο οὗτος ἀστήρ ὁ ἐν ὁ μέγας ἔγκλισις κατά πλάτος πάροδος ὁ ἔκκειμαι τρόπος πραγματεύομαι διά ὁ συνίστημι αὐτός , ὅταν καί ὁ ἔκκεντρος ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος τυγχάνω ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον , ὁ δέ ὁ λοιπός γ ἀστήρ διά ἕτερος ὁ καταγραφή θεώρημα , ἐπεί κατά ὁ μέγας ὁ ἔκκεντρος ἔγκλισις καί ὁ μέγας ὁ ἐπίκυκλος συνίστημι , καί πρό ὁδός εἄν εἰμί συνεπιλογίζομαι ἔχω ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ ἔγκλισις συνάγω πλατίκα πάροδος . ἵστημι γάρ πάλιν ἐν ὁ πρός ὀρθός γωνία ἐπίπεδος ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον ὁ κοινός πρός αὐτός τομή ὁ μέν ἐπίπεδος ὁ διά μέσος ὁ ΑΒ , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἔκκεντρος ὁ ΑΓ , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἐπίκυκλος ὁ ΔΓΕ , ὑπόκειμαι τε ὁ μέν ζῳδιακός κέντρον ὁ Α , ὁ δέ ἐπίκυκλος ὁ Γ , καί γράφω περί ὁ Γ ὁ ∠ΖΕΗ ἐπίκυκλος οὕτως πάλιν , ὥστε ὁ ὁ ∠ Ε πρός ὀρθός γωνία ἄγω ὁ μέν ΖΓΗ διάμετρος ἐν μέν ὁ ὁ ἔκκεντρος εἰμί ἐπίπεδος , ὁ δέ ὁ διά μέσος παράλληλος , ὁ δέ λοιπάς παράλληλος ἀμφότερος ὁ εἴρω ἐπίπεδος , ἀπολαμβάνω τε ὁμοίως ὁ ΕΘ περιφέρεια ὁ αὐτός ὑπόκειμαι ἐγώ μοῖρα , καί ἀπό ὁ Θ ὁ κατά ὁ ἀστήρ σημεῖον κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ καί ἔτι ἀπό ὁ Θ καί Κ σημεῖον ἐπί ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος ὁ ΚΒ καί ΘΛ ἐπιζεύγνυμι ὁ Β Λ καί ΑΛ , πρόκειμαι τε εὑρίσκω ὁ τε κατά μῆκος προσθαφαίρεσις περιέχω ὑπό ὁ ὑπό Β Α Λ γωνία καί ὁ κατά πλάτος πάροδος περιέχω ὑπό ὁ ὑπό Λ ΑΘ γωνία . ἄγω δή καί ἐπί ὁ ὁ ἀπό ὁ Κ κάθετος ὁ ΚΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΘ καί ΑΚ καί ΑΘ , ὑπόκειμαι τε πάλιν διά ὁ προδείκνυμι ὁ ΓΚ καί ΚΘ κατεράω τοιοῦτος πδʹ νβʹ , οἷος εἰμί ὁ Γ Θ ὑποτείνω ρκʹ . ἐπί δή ὁ ὁ Κρόνος πρῶτος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος τοιοῦτος ἀποδείκνυμι ϛ λ , οἷος εἰμί ὁ μέσος ἀπόστημα ξ , εἰμί καί κατεράω ὁ ΓΚ καί ΚΘ εὐθύς τοιοῦτος δ λϚʹ , οἷος εἰμί ὁ ΓΘ ὑποτείνω Ϛ λ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ΑΓΕ γωνία ὁ ὁ ἐπίκυκλος ἔγκλισις ὑπόκειμαι , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δ λ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος θ , εἰμί εἄν ὁ μέν ἐπί ὁ ΚΜ περιφέρεια τοιοῦτος θ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΓΚΜ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΜ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ῥόος · καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν Κ Μ εἰμί τοιοῦτος θ κε , οἷος εἰμί ὁ ΓΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ Γ Μ ὁ αὐτός ριθʹ λα . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΓΚ εὐθύς δ λςʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν Κ Μ εἰμί ὁ κβʹ , ὁ δέ ΓΜ ὁμοίως δ λεʹ . ἀλλά ἐπί μέν ὁ κατά ὁ ἀπόγειος ἡμικύκλιον μέγας ἔγκλισις ὁ ΑΓ ὁ περί ὁ ἀρχή ὁ Χῆλαι ἀπόστημα ἐκ ὁ προεφωδευμένων ἐν ὁ ἀνωμαλία θεώρημα συνάγω ὁ αὐτός ξβʹ ἵ , ὥστε καί λοιπός ὁ ΑΜ τοιοῦτος καταλείπω νζʹ λεʹ , οἷος εἰμί ὁ ΜΚ εὐθύς ὁ κβʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΑΚ ὑποτείνω ὁ αὐτός νζʹ λεʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΜ εἰμί ὁ μϛʹ , ὁ δέ ὑπό Κ ΛΜ γωνία τοιοῦτος ὁ μδʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ · ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὑπό Β ΑΓ ὁ ὁ ἔκκεντρος ἔγκλισις , οἷος μέν εἰμί ὅς δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β λ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΚ γωνία τοιοῦτος εἰμί ε μδʹ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΒΚ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ἔ μδʹ , οἷος ὁ περί ὁ Β ΑΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΑΒ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ροδ ιϚʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΒΚ τοιοῦτος εἰμί ὁ , οἷος ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁ αὐτός ριθʹ νάω · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ εὐθύς νζʹ λεʹ , τοιοῦτος ὁ μέν ΒΚ εἰμί Β νγʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁμοίως νζʹ λάω , ὁ δέ αὐτός καί ὁ Β Λ ἴσος εἰμί ὁ ΚΘ γίγνομαι δ λϚʹ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΛ ποιέω ὁ ἀπό ὁ Α Λ , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός νζʹ μβʹ . ὁμοίως δέ , ἐπεί καί ὁ ΛΘ ἴσος εἰμί ὁ ΒΚ γίγνομαι ὁ αὐτός Β νγʹ , ὁ δέ ἀπό ὁ Α Λ μετά ὁ ἀπό ὁ ΛΘ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , μῆκος καί οὗτος ἕψω ὁ αὐτός νζʹ μϛʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΛ εἰμί ε νθʹ , ὁ δέ ὑπό ΘΑ Λ γωνία ὁ κατά πλάτος παραχώρησις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε μδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β νβʹ , ὁ καί παρατίθημι ἐν ὁ Γ΄ σελίδιον ὁ ὁ Κρόνος κανονίας κατά ὁ ρλεʹ μοῖρα . ἐπί δέ ὁ κατά ὁ περίγειος ἡμικύκλιον μέγας ἔγκλισις , ἐπεί ὁ ΑΓ ὁ κατά ὁ ἀρχή ὁ Κριός ἀπόστημα τοιοῦτος συνάγω νζʹ μ , οἷος ὁ μέν ΚΜ δείκνυμι ὁ κβʹ , ὁ δέ ΓΜ ὁμοίως δ λεʹ , καί διά οὗτος λοιπός μέν ὁ ΑΜ γίγνομαι νγʹ ε , ὁ δέ αὐτός καί ὁ ΑΚ ὑποτείνω διά ὁ ἀδιάφορος μείζων εἰμί ὁ ΑΜ εὐθύς νγʹ ε , καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΜ εἰμί ὁ Ν , ὁ δέ ὑπό Κ ΑΜ γωνία τοιοῦτος ὁ μη , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός ὑπόκειμαι καί ὁ ὑπό Β ΑΓ γωνία ε · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΚ γωνία τοιοῦτος εἰμί ε μη , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΒΚ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ε μη , οἷος ὁ περί ὁ Β ΑΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΑΒ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ροδ Ἶβ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΒΚ γίγνομαι τοιοῦτος ϛ δ , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁ αὐτός ριθʹ νάω · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ εὐθύς νγʹ ε , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΒΚ εἰμί Β μή , ὁ δέ ΑΒ ὁμοίως νγʹ ὅς . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ μετά ὁ ἀπό ὁ θ Λ ποιέω ὁ ἀπό ὁ Α Λ , ὁ δέ αὐτός δείκνυμι καί ὁ Β Λ δ λϚʹ , ἔχω καί ὁ ΑΛ μῆκος ὁ αὐτός νγʹ ιγʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ Α Λ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν Β Λ εἰμί Ι κγʹ , ὁ δέ ὑπό Β ΑΛ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος θ νϚʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δ νη . πάλιν , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ Α Λ εὐθύς νγʹ ιγʹ , τοιοῦτος καί ὁ ΘΛ ἴσος εἰμί ὁ ΚΒ γίγνομαι Β μή , ὁ δέ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός νγʹ ιζʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΛ εἰμί Ϛ γ , ὁ δέ ὑπό ΘΑΛ γωνία ὁ κατά πλάτος παραχώρησις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε μϛʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β νγʹ , ὁ καί αὐτός παρατίθημι ἐν ὁ Δ΄ σελίδιον ὁ κανονίας κατά ὁ ρλεʹ μοῖρα . ἵνα δή καί ὁ σύγκρισις ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις ἐπί ὁ περίγειος ἔγκλισις ποιέω , καταγράφω πάλιν ὁ μηδείς ἔγκλισις ἔχω σχῆμα . καί ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ ΑΓ ὁ τότε ἀπόστημα νζʹ μ , τοιοῦτος κατεράω μέν ὁ ΓΚ καί ΚΘ ὑπόκειμαι δ λϚʹ , λοιπός δέ ὁ ΑΚ ὁ αὐτός νγʹ δ , ὁ δέ ἀπό αὐτός μετά ὁ ἀπό ὁ ΚΘ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , ἔχω καί ὁ ΑΘ μῆκος νγʹ ιϛʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΘ εἰμί Ι κβʹ , ὁ δέ ὑπό ΘΑΚ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος θ νδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δ νζʹ . δείκνυμι δέ ἐπί ὁ ἔγκλισις ὁ αὐτός δ νη · πλεονάζω ἄρα παρά ἀμφότερος ὁ ἔγκλισις ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστός ὅς · ὅσπερ ἐσθίω εὑρίσκω . πάλιν ἔκκειμαι πρῶτος ὁ ἐπί ὁ ἔγκλισις καταγραφή περιέχω ὁ ἐπί ὁ ὁ Ζεύς ἀποδείκνυμι λόγος , ὥστε , οἷος εἰμί ὁ ΓΘ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ἰά λ , τοιοῦτος ἑκάτερος ὁ ΓΚ καί ΚΘ συνάγω ὁ ὁ . ἐπεί τοίνυν ὁ ὑπό ΑΓΕ γωνία ὁ ὁ ἐπίκυκλος ἔγκλισις , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὑπόκειμαι Β λ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΚΜ περιφέρεια τοιοῦτος ε , οἷος ὁ περί ὁ ΓΚΜ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΜ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ῥόος . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΚΜ τοιοῦτος εἰμί ε ιδʹ , οἷος ὁ ΓΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΓΜ ὁ αὐτός ριθʹ νγʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ΓΚ εὐθύς ὁ ὁ , ὁ δέ ΑΓ ὁ περί ὁ ἀρχή ὁ Χῆλαι ἀπόστημα ξβʹ λ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΜ εἰμί ὁ ἄν , ὁ δέ ΓΜ ὁμοίως ὁ ὁ , λοιπός δέ ὁ μή εὐθύς νδʹ κβʹ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΑΚ ὑποτείνω , ἐπεί ἀδιάφορος μείζων εἰμί ὁ μή , ὁ αὐτός νδʹ κβʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΜ εἰμί ὁ μϛʹ , ὁ δέ ὑπό ΚΑΜ γωνία τοιοῦτος ὁ μδʹ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὑπό ΒΑΓ γωνία ὁ ὁ ἔκκεντρος ἔγκλισις , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς λ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος γ · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΚ γωνία τοιοῦτος εἰμί γ μδʹ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΚΒ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί γ μδʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΒΑΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΑΒ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρος ιϚʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΚΒ τοιοῦτος εἰμί γ νδʹ , οἷος ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁ αὐτός ριθʹ νϚʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ εὐθύς νδʹ κβʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΒ εἰμί ὅς μϛʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁμοίως νδʹ Κ . ὁ δέ αὐτός εἰμί διά ὁ προαποδείκνυμι καί ὁ ΒΛ εὐθύς ὁ ὁ · καί ἐπεί ὁ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΛ , ἔχω καί αὐτός μῆκος ὁ αὐτός νδʹ ΝΣ . ὁμοίως δέ , ἐπεί καί ὁ ∠Θ ὁ αὐτός εἰμί ὅς μς , ὁ δέ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , καί οὗτος ἔχω ὁ αὐτός νδʹ νη · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΛΘ εἰμί γ νβʹ , ὁ δέ ὑπό ΘΑΛ γωνία ὁ κατά πλάτος παραχώρησις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος γ μβʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς νάω , ὁ καί παρατίθημι ἐν ὁ Γ΄ σελίδιον ὁ ὁ Ζεύς κανονίας κατά ὁ ρλεʹ μοῖρα . ὡσαύτως δέ , ἐπεί πάλιν ὁ ΑΓ ὁ κατά ὁ ἀρχή ὁ Κριός ἀπόστημα τοιοῦτος συνάγω νζʹ λ , οἷος δείκνυμι ὁ μέν ΚΜ εὐθύς ὁ ἄν , ὁ δέ ΓΜ ὁμοίως ὁ ὁ , ὡς καί λοιπός ὁ ΑΜ , τουτέστιν ὁ ΑΚ ἀδιάφορος μείζων εἰμί , ὁ αὐτός καταλείπω μθʹ κβʹ , διά οὗτος δέ καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΜ γίγνομαι ὁ νάω , ὁ δέ ὑπό ΚΑΜ γωνία τοιοῦτος ὁ μθʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , συνάγω καί ὅλος ὁ ὑπό ΒΑΚ γωνία ὁ αὐτός γ μθʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΚΒ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί γ μθʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΚΒ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΑΒ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρος ἰά . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΒΚ τοιοῦτος εἰμί γ νθʹ . οἷος ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁ αὐτός ριθʹ ΝΣ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ εὐθύς μθʹ κβʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΒ εἰμί ὅς λθʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁμοίως μθʹ Κ . διά οὗτος δέ , ἐπεί καί ὁ ΒΛ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ , ὁ δέ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΛ , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΛ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΒΛ εἰμί ιθʹ λάω , ὁ δέ ὑπό Βαλ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἔρχομαι μδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος θ κβʹ . πάλιν , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ ΑΛ εὐθύς Ν ὁ , τοιοῦτος καί ὁ ΘΛ γίγνομαι ὅς λθʹ , ὁ δέ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ . καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός Ν καί ἑξηκοστός Β · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΛΘ εἰμί γ νζʹ , ὁ δέ ὑπό ΘΑΛ γωνία ὁ κατά ὁ πλάτος ἀπόστασις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος γ μς , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς νγʹ , καί παρατίθημι ἐν ὁ Δ΄ σελίδιον ὁ κανονίας κατά ὁ αὐτός ρλεʹ μοῖρα . καί ὁ σύγκρισις δέ ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις ἕνεκα ἔκκειμαι ὁ Χωρὶς ὁ ἔγκλισις καταγραφή . καί ἐπεί κατά ὁ ἔκκειμαι ἀπόστημα , οἷος εἰμί ἑκάτερος ὁ ΘΚ καί ΓΚ εὐθύς ὁ ὁ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΑΓ εἰμί ὅλος νζʹ λ , λοιπός δέ ὁ ΑΚ ὁ αὐτός μθʹ κβʹ , ὁ δέ ἀπό αὐτός μετά ὁ ἀπό ὁ ΚΘ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός Ν καί ἑξηκοστός Β · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΚ εἰμί , ιθʹ λ , ὁ δέ ὑπό ΘΑΚ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . τοιοῦτος ἔρχομαι μβʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος θ ἄν . δείκνυμι δέ ἐπί ὁ ἔγκλισις ὁ αὐτός θ κβʹ πλεονάζω ἄρα πάλιν παρά ἀμφότερος ὁ ἔγκλισις ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις εἷς μόνος ἑξηκοστός · ὅσπερ πρόκειμαι εὑρίσκω . ἑξῆς δέ καί ὁ ὁ Ἄρης λόγος ἕνεκα ἔκκειμαι πρῶτος ὁ ὁ ἔγκλισις καταγραφή , καί συνάγω πάλιν ἑκάτερος ὁ ΓΚ καί ΚΘ τοιοῦτος κζ ΝΣ , οἷος εἰμί ὁ ΓΘ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος λθʹ λ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΑΓΕ γωνία ὁ ὁ ἐπίκυκλος ἔγκλισις ὑπόκειμαι , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β εἶμι , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δ λ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΚΜ περιφέρεια τοιοῦτος δ λ , οἷος ὁ περί ὁ ΓΜΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΓΜ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ῥόος λ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΚΜ τοιοῦτος εἰμί δ μγʹ , οἷος εἰμί ὁ ΓΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΓΜ ὁ αὐτός ριθʹ νδʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ΓΚ εὐθύς κζ ΝΣ , ὁ δέ ΑΓ ὁ μέγας ἀπόστημα ξς , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΜ εἰμί ὅς Σ , ὁ δέ ΓΜ ὁμοίως κζ νδʹ , ὁ δέ ΑΜ ὁ λοιπός λα Σ , διά οὗτος δέ καί ὁ ΑΚ ὑποτείνω ὁ αὐτός λα ζ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΜ εἰμί γ καί , ὁ δέ ὑπό ΚΑΜ γωνία τοιοῦτος γ ιθʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ὁ ἔκκεντρος ἔγκλισις , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΑΚ γωνία τοιοῦτος συνάγω ε ιθʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΚΒ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ε ιθʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΒΑΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΑΒ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ροδ μή . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΒΚ τοιοῦτος εἰμί ε λδʹ , οἷος ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁ αὐτός ριθʹ νβʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ εὐθύς λα ζ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΒ εἰμί ὅς μς , ὁ δέ ΑΒ ὁμοίως λα ε . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ΒΛ εὐθύς κζ ΝΣ · καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΛ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΛ , καί οὗτος ἔχω μῆκος μζʹ ιδʹ . ὁμοίως δέ , ἐπεί καί ὁ μέν ΘΛ ὁ αὐτός ὅς μς , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΛ μετά ὁ ἀπό ὁ ΛΘ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός μζʹ ἴς · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΛ εἰμί δ κθʹ , ὁ δέ ὑπό ΘΑΛ γωνία ὁ κατά πλάτος ἀπόστασις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δ ἔρχομαι , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β θ , ὁ καί παρατίθημι ἐν ὁ Γ΄ σελίδιον ὁ ὁ Ἄρης κανονίζω κατά ὁ ρλεʹ μοῖρα . ὡσαύτως δέ ἐπί ὁ κατά ὁ μικρός ἀπόστημα ἔγκλισις , ἐπεί τοιοῦτος εἰμί ὁ ΑΓ εὐθύς νδʹ , οἷος ὁ μέν ΚΜ δείκνυμι a ϛ , ὁ δέ ΓΜ ὁμοίως κζ νδʹ , ὡς καί ὁ μέν ΑΜ καταλείπω ὁ λοιπός ΚΣ Σ , ὁ δέ ΑΚ ὑποτείνω συνάγω ὁ αὐτός ΚΣ ζ , καί οἷος εἰμί ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΚΜ εἰμί γ , ὁ δέ ὑπό ΚΑΜ γωνία τοιοῦτος δ μθʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , διά οὗτος δέ καί ὅλος ὁ ὑπό ΒΑΚ ὁ αὐτός ϛ μθʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΒΚ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί Σ μθʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΑΒΚ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΑΒ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρο ἰά . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΒΚ εἰμί τοιοῦτος ζ ὁ , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁ αὐτός ριθʹ μζʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΚ εὐθύς ΚΣ ζ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΒΚ εἰμί ὅς λγʹ , ὁ δέ ΑΒ ὁμοίως ΚΣ δ . ὁ δέ αὐτός εἰμί πάλιν καί ὁ ΒΛ εὐθύς κζ ΝΣ · καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ μετά ὁ ἀπό ὁ ΒΛ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΛ , καί οὗτος ἔχω μῆκος λα Ἶβ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΛ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΒΛ εἰμί πζʹ ἐγώ , ὁ δέ ὑπό Βαλ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος 𝒢δ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μζʹ . ὁμοίως δέ , ἐπεί , οἷος εἰμί ὁ ΑΛ εὐθύς λα Ἶβ , τοιοῦτος καί ὁ ΛΘ γίγνομαι ὅς λγʹ , ὁ δέ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΘ τετράγωνος , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός λα ιδʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΛΘ εἰμί δ νβʹ , ὁ δέ ὑπό ΘΑΛ γωνία ὁ κατά πλάτος ἀπόστασις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δ μ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β Κ , ὁ καί παρατίθημι ἐν ὁ Δ΄ σελίδιον ὁ κανών κατά ὁ αὐτός ρλεʹ μοῖρα . καί ὁ σύγκρισις οὖν πάλιν ἕνεκα ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , ἐάν ἐκτίθημι ὁ Χωρὶς ὁ ἔγκλισις καταγραφή , γίγνομαι κατά ὁ μικρός ἀπόστημα , ὅπου μάλιστα ὁ διαφορά αἰσθητός ἀνάγκη συμβαίνω , λόγος ὁ ΑΓ πρός ἑκάτερος ὁ ΓΚ καί ΚΘ ὁ ὁ νδʹ πρός ὁ κζ ΝΣ , ὡς διά οὗτος ὁ μέν ΑΚ καταλείπω ὁ λοιπός ΚΣ δ , ὁ δέ ΑΘ ὑποτείνω συνάγω ὁ αὐτός ληιβ , διά οὗτος δέ καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΘ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΘΚ εὐθύς γίγνομαι πάλιν πζʹ ἐγώ , ὁ δέ ὑπό ΘΑΚ γωνία ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος 𝒢δ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μζʹ . τοσοῦτος δέ δείκνυμι καί ἀπό ὁ κατά ὁ ἔγκλισις ἐπιλογισμός · οὐδείς ἄρα ἐπί ὁ Ἄρης διαφέρω παρά ὁ ἔγκλισις ὁ κύκλος ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις · ὅσπερ ἐσθίω εὑρίσκω . ὁ δέ Δ΄ σελίδιον ὁ δύο κανόνιον ὁ τε ὁ Ἀφροδίτη καί ὁ ὁ Ἑρμῆς περιέχω ὁ ὑπό ὁ μέγας λόξωσις ὁ ἐπίκυκλος αὐτός , ὅστις περί ὁ ἀπόγειον καί περίγειος ὁ ἔκκεντρος συνίστημι , περιέχω πλατίκα πάροδος , πραγματεύομαι ἐγώ μέντοι κατά ἑαυτοῦ Χωρὶς ὁ παρά ὁ ὁ ἔκκεντρος ἔγκλισις γίγνομαι διαφορά , ἐπεί καί πλείων εἄν δήω κανόνιον ψηφοφορία τε κατασκελής ἄνισος καί μή πάντως ἐπί ὁ αὐτός ὁ διά μέσος συνίστημι μέλλω ὁ τε ἑσπέριος καί ὁ ἑῷος πάροδος , καί ἄλλως ὁ ἔγκλισις ὁ ἔκκεντρος μή Μένων ὁ ὁ παρά ὁ μέγας ἔγκλισις μείωσις ὑπεροχή διαφωνέω μέλλω πρός ὁ ὁ παρά ὁ μέγας λοξόω μείωσις · χωρίζω μέντοι ὁ διαφορά ἕκαστος ἐγώ πρόχειρος μεθοδεύω , ὡς ἐκ αὐτός ὁ ἐπιφέρω εἰμί δῆλος . ἵστημι τοίνυν ὁ ΑΒ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ τε διά μέσος ὁ ζῴδιον καί ὁ ὁ ἐπίκυκλος , καί ὁ μέν Α σημεῖον ὑπόκειμαι ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός , ὁ δέ Β ὁ κέντρον . ὁ ἐπίκυκλος , γράφω τε περί αὐτός ὁ Γ∠ΕΖΗ ἐπίκυκλος λοξός πρός ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος , τουτέστιν ὥστε ὁ ἄγω ἐν αὐτός εὐθύς ὀρθός πρός ὁ ΓΗ κοινός τομή ἴσος ποιέω ὁ γωνία ἅπας ὁ πρός ὁ αὐτός ὁ ΓΗ σημεῖον συνίστημι , διάγω τε ὁ μέν ΑΕ ἐφάπτω ὁ ἐπίκυκλος , ὁ δέ ΑΖ∠ τέμνω αὐτός , ὡς τυγχάνω , καί ἄγω ἀπό ὁ ∠ ; , Ε , Ζ σημεῖον κάθετος ἐπί μέν ὁ ΓΗ ὁ ∠Θ καί ΕΚ καί ΖΛ , ἐπί δέ ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος ὁ ∠Μ καί ΕΝ καί ΖΣ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ τε ΘΜ καί ΚΝ καί ΛΞ καί ἔτι ὁ ΑΝ καί ΑΜ ὁ γάρ ΑΜ εὐθύς εἰμί , ἐπεί ἐν δύο ἐπίπεδος εἰμί ὁ γ σημεῖον ὁ τε ὁ διά μέσος καί ὁ διά ὁ ΑΖ∠ ὀρθός πρός ὁ ὁ διά μέσος . ὅτι μέν οὖν ἐπί ὁ ἔκκειμαι λόξωσις ὁ μέν κατά μῆκος ὁ ἀστήρ προσθαφαίρεσις περιέχω ὅς τε ὑπό Θαμ γωνία καί ὁ ὑπό καν , ὁ δέ κατά πλάτος ὅς τε ὑπό ∠ΑΜ καί ὁ ὑπό καν , φανερός . δεικτέος δέ πρῶτος , ὅτι καί ὁ ὑπό ἐάν κατά πλάτος πάροδος ὁ κατά ὁ ἐπαφή συνίστημι πᾶς εἰμί μείζων , καθάπερ καί ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις . ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ΕΑΚ γωνία μείζων εἰμί πᾶς , ὁ ΚΕ πρός ὁ ΕΑ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 κατεράω ὁ Θ∠ καί ΛΖ πρός ἑκάτερος ὁ ∠Α καί Γῆ . ἀλλά ὡς ὁ ΕΚ πρός ΕΝ , οὕτως ὅς τε Θ∠ πρός ὁ ∠Μ καί ὁ Λ πρός ὁ ΖΞ · ἰσογώνιος γάρ πᾶς εἰμί , ὡς φημί , ὁ οὗτος συνιστάω τρίγωνος καί ὀρθός ὁ πρός ὁ Μ , Ν , γωνία · καί ὁ Νε ἄρα πρός ὁ ΕΑ μείζων λόγος ἔχω ἤ2 ἑκάτερος ὁ Μ∠ καί Ζ πρός ἑκάτερος ὁ ∠Α καί Γῆ . καί εἰμί πάλιν ὀρθός ὅς ὑπό ∠ΜΑ καί ὑπό ΕΝΑ καί ὑπό ΞΖ γωνία · μείζων ἄρα εἰμί καί ὁ ὑπό ἐάν γωνία ὁ ὑπό ∠ΑΜ γωνία καί πᾶς δηλονότι ὁ ὁ αὐτός τρόπος συνίστημι . φανερός δέ αὐτόθεν , ὅτι καί ὁ γίγνομαι ἐν ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις ἐκ ὁ λόξωσις διαφορά μείζων εἰμί ὁ πρός ὁ κατά ὁ Ε μέγας πάροδος αποτελώ , ἐπεί περιέχω μέν αὐτός ὁ ὑποτείνω γωνία ὁ ὑπεροχή ὁ Θ∠ καί ΚΕ καί ΛΖ πρός ὁ ΘΜ καί ΚΝ καί ΛΞ . ὁ δέ αὐτός λόγος κατά ἕκαστος αὐτός Μένων καί πρός ὁ ὑπεροχή ἐξακολουθέω ὁ καί ὁ ὑπεροχή ὁ ΕΚ καί ΚΝ μείζων λόγος ἔχω πρός ὁ ΕΑ ἤ2 ὁ ὁ λοιπός πρός ὁ ὅμοιος ὁ Α∠ ; . δῆλος δέ αὐτόθεν , ὅτι καί , ὅς εἄν ἔχω λόγος ὁ κατά μῆκος μέγας προσθαφαίρεσις πρός ὁ κατά πλάτος μέγας πάροδος , οὗτος ἔχω ὁ λόγος καί ἐπί πᾶς ὁ ὁ ἐπίκυκλος τμῆμα ὁ κατά μῆκος ἐπί ἕκαστος προσθαφαίρεσις πρός ὁ κατά πλάτος πάροδος , ἐπεί , ὡς ὁ ΚΕ πρός ὁ ΕΝ , οὕτως καί πᾶς ὁ ὅμοιος ὁ ΛΖ καί Θ∠ πρός ὁ ὅμοιος ὁ καί ∠Μ ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι . οὗτος δή προεφωδευμένων ὁράω πρῶτος , πηλίκος γωνία κατά ἑκάτερος ὁ ἀστήρ ὑπό ὁ λόξωσις ὁ ἐπίπεδος περιέχω , ὑποτίθημι κατά ὁ ἐν ἀρχή προδιαλαμβάνω , διότι περί ὁ μεταξύ ὁ τε μέγας καί ὁ μικρός ἀπόστημα ε μοῖρα ἑκάτερος αὐτός ὁ πλεῖστος βόρειος καί νότιος γίγνομαι ὁ ἐναντίος κατά ὁ ἐπίκυκλος πάροδος , ἐπεί ὁ μέν ὁ Ἀφροδίτη ἀδιάφορος μείζων καί μικρός ὁ ε μοῖρα ὁ κατά ὁ περίγειον καί ἀπόγειον ὁ ἔκκεντρος παραχώρησις φαίνω ποιέω , ὁ δέ ὁ Ἑρμῆς εἷς ἔγγιστος μοῖρα ἥμισυς . ἵστημι τοίνυν πάλιν ὁ ΑΒΓ κοινός τομή ὁ τε διά μέσος ὁ ζῴδιον καί ὁ ἐπίκυκλος , καί γράφω περί ὁ Β σημεῖον ὁ Γ∠Ε ἐπίκυκλος λοξός πρός ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος , κατά ὅς ἐκτίθημι τρόπος , ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ Α κέντρον ὁ ζῳδιακός ἐφάπτω ὁ ἐπίκυκλος ὁ Α∠ ; , ἄγω τε ἀπό ὁ ∠ κάθετος ἐπί μέν ὁ ΓΒΕ ὁ ∠Ζ , ἐπί δέ ὁ ὁ διά μέσος ἐπίπεδος ὁ ∠Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Β∠ καί ΖΗ καί ΑΗ , ὑπόκειμαι δέ ὁ ὑπό ∠ΑΗ γωνία περιέχω ὁ ἥμισυς ὁ ἔκκειμαι κατά πλάτος παραχώρησις κατά ἑκάτερος ὁ ἀστήρ εἰμί τοιοῦτος Β U+2220΄ , οἷος εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ . καί πρόκειμαι ὁ πηλικότης ὁ λόξωσις ἑκάτερος ὁ ἐπίπεδος εὑρίσκω , τουτέστι ὁ πηλικότης ὁ ὑπό ∠ΖΗ γωνία . ἐπί μέν δή ὁ ὁ Ἀφροδίτη , ἐπειδή , οἷος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος μγʹ ι , τοιοῦτος ὁ μέν μέγας ἀπόστημα ξαʹ εἶμι , ὁ δέ μικρός νη ἐγώ , καί ὁ μεταξύ οὗτος γίγνομαι ξ , ὁ ΑΒ ἄρα πρός ὁ Β∠ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ξ πρός ὁ μγʹ ι . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Β∠ λείπω ἀπό ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ποιέω ὁ ἀπό ὁ Α∠ , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός μή μ . ὁμοίως δέ , ἐπεί , ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ Α∠ ; , καί ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Ζ , ὁ αὐτός καί ὁ ∠Ζ ἔχω κθʹ νη . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ∠ΑΗ γωνία ὑπόκειμαι , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β λ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε , εἰμί εἄν ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Η περιφέρεια ὅς - οὐτάω ε , οἷος ὁ περί ὁ Α∠Η ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς ὁ ∠Η τοιοῦτος ε ιδʹ , οἷος εἰμί ὁ Α∠ ὑποτείνω ρκʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ Α∠ εὐθύς εἷς μ , τοιοῦτος ὁ ∠Η εἰμί ὅς Ν . ὁ δέ αὐτός καί ὁ ∠Ζ δείκνυμι κθʹ νη · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί ζ Κ , ὁ δέ ὑπό ∠ΖΗ γωνία ὁ λόξωσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ζ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος γ λ . ἀλλά ἐπεί καί ὁ ὑπεροχή ὁ ὑπό ∠ΑΖ γωνία πρός ὁ ὑπό αζʹ περιέχω ὁ γίγνομαι ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις διαφορά , αὐτόθεν καί οὗτος συνεπιλογιστέον ἀπό ὁ καταλαμβάνω αὐτός πηλικότης . ἐπεί γάρ δείκνυμι , οἷος εἰμί ὁ ∠Η εὐθύς Ν , τοιοῦτος ὁ μέν Α∠ ὑποτείνω μή μ , ὁ δέ ∠Ζ ὁμοίως κθʹ νη , καί ὁ ἀπό ὁ ∠Η λείπω ὑπό ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ Α∠ καί ∠ ποιέω ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ ΑΗ καί ΗΖ , ἔχω καί ὁ μέν ΑΗ μῆκος ὁ αὐτός μή λζʹ , ὁ δέ ΗΖ ὁμοίως κθʹ νε · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΗ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΖΗ εἰμί ΠΣ ἴς , ὁ δέ ὑπό ΖΑΗ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος αʹ ΝΣ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἐγώ νη . ὁμοίως δέ , ἐπεί καί , οἷος εἰμί ὁ Α∠ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ ∠Ζ γίγνομαι ΠΣ ἔρχομαι , καί ὁ ὑπό ∠Α γωνία ἔχω , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος αʹ νη , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ἐγώ νθʹ . ἐλλείπω ἄρα παρά ὁ λόξωσις ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστός εἷς . ἐπί δέ ὁ ὁ Ἑρμῆς , ἐπειδή , οἷος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος κβʹ λ , τοιοῦτος ὁ μέν μέγας ἀπόστημα δείκνυμι ξθ , ὁ δέ διάμετρος νζʹ , καί ὁ μεταξύ οὗτος συνάγω ὁ αὐτός ξγʹ , ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ξγʹ πρός ὁ κβʹ λ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Β λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ποιέω ὁ ἀπό ὁ Α∠ , καί οὗτος ἔχω μῆκος νη νάω . ὁμοίως δέ , ἐπεί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Α∠ ; , καί ὁ Β∠ πρός ∠Ζ , ὁ αὐτός καί ὁ ∠Ζ εἰμί ἄν ὅς . πάλιν , ἐπεῖ ὁ ὑπό ∠ΑΗ γωνία τοιοῦτος ὑπόκειμαι ε , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Η περιφέρεια τοιοῦτος ε , οἷος ὁ περί ὁ Α∠Η ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς ὁ ∠Η τοιοῦτος ε ιδʹ , οἷος εἰμί ὁ Α∠ ὑποτείνω ρκʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ Α∠ εὐθύς νη νάω , τοιοῦτος καί ὁ ∠Η εἰμί Β λδʹ . ὁ δέ αὐτός καί ὁ ∠ δείκνυμι ἄν ὅς · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί ιδʹ μ , ὁ δέ ὑπό ∠ΖΗ γωνία ὁ λόξωσις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ιδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ζ . ὁμοίως δέ καί ὁ σύγκρισις ὁ ὁ προσθαφαίρεσις γωνία ἕνεκα , ἐπεί πάλιν , οἷος εἰμί ὁ ∠Η εὐθύς Β λδʹ , τοιοῦτος ὁ μέν Α∠ ὑποτείνω δείκνυμι νη νάω , ὁ δέ ∠Ζ ὁμοίως ἄν ὅς , ὁ δέ ἀπό ὁ ∠ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ ∠Α καί ∠Ζ ποιέω ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ ΑΗ καί , ἔχω καί ὁ μέν ΑΗ μῆκος νη μζʹ , ὁ δέ ΖΗ ὁ αὐτός νγʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΑΗ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΗΖ εἰμί μβʹ λα , ὁ δέ ὑπό Γῆ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μή λα , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Κ μθʹ . κατά αὐτός δέ , ἐπεί καί , οἷος εἰμί ὁ Α∠ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ ∠Ζ συνάγω μβʹ Ν , καί ὁ ὑπό ∠ΑΖ γωνία ἔχω , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μή Ν , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος νε . ἐλλείπω ἄρα καί ἐπί οὗτος παρά ὁ λόξωσις ὁ κατά μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστός Σ · ὅσπερ πρόκειμαι εὑρίσκω . οὗτος δέ ἐφεξῆς ὁράω , εἰμί οὗτος ὑποτίθημι ὁ ὁ λόξωσις πηλικότης σύμφωνος εὑρίσκω ὁ κατά ὁ μέγας καί μικρός ἀπόστημα μέγας κατά πλάτος πάροδος ὁ ἐκ ὁ τήρησις καταλαμβάνω , ὑπόκειμαι τε πάλιν ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ὁ μέγας πρῶτος ἀπόστημα ὁ ὁ Ἀφροδίτη ἀστήρ , τουτέστιν ὁ ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ λόγος ὁ ὁ ξαʹ εἶμι πρός ὁ μγʹ ι , ὥστε , ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Β∠ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ποιέω ὁ ἀπό ὁ ∠ , καί οὗτος συνάγω ὁ αὐτός μγʹ κζ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Α∠ ; , καί ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Ζ · καί ὁ ∠Ζ ἄρα εὐθύς ὁ αὐτός εἰμί λ λζʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ μέν ὑπό ∠ΖΗ γωνία ὁ λόξωσις ὑπόκειμαι τοιοῦτος ζ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ∠Η εὐθύς τοιοῦτος ζ Κ , οἷος ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς λ λζʹ , ὁ δέ Α∠ ὁμοίως μγʹ κζ , τοιοῦτος καί ὁ ∠Η εἰμί ὅς νβʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ Α∠ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠ εἰμί ε θ , ὁ δέ ὑπό ∠ΑΗ γωνία ὁ μέγας κατά πλάτος παραχώρησις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος δ νδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β κζ . κατά δέ ὁ μικρός ἀπόστημα , ἐπειδή , οἷος εἰμί ὁ Β∠ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος μγʹ ι , τοιοῦτος καί ὁ ΑΒ ὑπόκειμαι νη ἐγώ , ὁ δέ ἀπό ὁ ∠Β λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ΑΒ ποιέω ὁ ἀπό ὁ Α∠ , καί οὗτος ἔχω μῆκος ὁ αὐτός λθʹ νάω . ὁμοίως τε , ἐπεί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ Α∠ ; , καί ὁ Β∠ πρός ὁ ∠Ζ , καί ὁ ∠Ζ εἰμί ὁ αὐτός κθʹ ιζʹ . ἀλλά ὁ ὁ ∠Ζ πρός ὁ ∠Η λόγος ὑπόκειμαι ὁ ὁ ρκʹ πρός ὁ ζ Κ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς κθʹ ιζʹ , ὁ δέ Α∠ ὁμοίως λθʹ νάω , τοιοῦτος καί ὁ ∠Η γίγνομαι ὅς μζʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ Α∠ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί ε κβʹ , ὁ δέ ὑπό ∠ΑΗ γωνία ὁ μέγας κατά πλάτος παραχώρησις , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε ὁ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β λδʹ . ἀδιάφορος ἄρα πρός αἴσθησις ὁ κατά ὁ μέσος λόγος κατά πλάτος παραχώρησις Β u+2220΄μοιροος ὑπόκειμαι μικρός μέν γίγνομαι ὁ κατά ὁ ἀπόγειον , πλείων δέ ὁ κατά ὁ περίγειον , ἐπεί ὁ μέν κατά ὁ μέγας ἀπόστημα τρεῖς μόνος ἐλλείπω ἑξηκοστός , ὁ δέ κατά ὁ μικρός τέσσαρες ἑξηκοστός πλεονάζω , ὅσπερ ἐκ ὁ τήρησις ευκατανόητα γίγνομαι παντάπασι οὐ ἐνδέχομαι . πάλιν ὑπόκειμαι ὁ μέγας ἀπόστημα ὁ ὁ Ἑρμῆς , τουτέστιν ὁ ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ λόγος ὁ ὁ ξθ πρός ὁ κβʹ λ , ὡς διά ὁ αὐτός ὁ ἐπάνω συνάγω ὁ μέν Α∠ ὁ αὐτός ξεʹ ιδʹ , ὁ δέ ∠ ὁμοίως ἄν ιϛʹ . ἀλλά καί ἐνθάδε ὁ ὑπό ∠ΖΗ γωνία ἔχω ὁ λόξωσις ὑπόκειμαι τοιοῦτος ιδʹ , οἷος εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , ὁ δέ ∠Η εὐθύς διά οὗτος τοιοῦτος ιδʹ μ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ · καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς ἄν ιϛʹ , ὁ δέ Α∠ ὁμοίως ξεʹ ιδʹ , τοιοῦτος καί ὁ ∠Η εἰμί Β λςʹ . ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ Α∠ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί δ μζʹ , ὁ δέ ὑπό ∠ΑΗ γωνία ὁ μέγας κατά πλάτος παραχώρησις , οἷος μέν εἰμί ὅς Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὁ λδʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β ιζʹ . ἐπί δέ ὁ μικρός ἀπόστημα ὁ μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ Β∠ λόγος ὑπόκειμαι ὁ ὁ νζʹ πρός ὁ κβʹ λ , διά αὐτός δέ πάλιν ὁ μέν Α∠ ὁ αὐτός νβʹ κβʹ , ὁ δέ ∠Ζ ὁμοίως Κ μ . ἐπεί δέ διά ὁ αὐτός λόξωσις ὑπόκειμαι ὁ ὁ Ζ∠ πρός ὁ ∠Η λόγος ὁ ὁ ρκʹ πρός ὁ ιδʹ μ , καί οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς Κ μ , ὁ δέ Α∠ ὁμοίως νβʹ κβʹ , τοιοῦτος καί ὁ ∠Η εἰμί Β λβʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ Α∠ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Η εἰμί ε μη , ὁ δέ ὑπό ∠ΑΗ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ε λβʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Β μς . διαφέρω ἄρα ὁ κατά ὁ μέσος λόγος μέγας κατά πλάτος παραχώρησις Β U+2220΄ καί ἐνθάδε μοῖρα ὑπόκειμαι ὁ μέν κατά ὁ ἀπόγειον ἐπί ὁ μικρός ιγʹ ἑξηκοστός , ὁ δέ κατά ὁ περίγειον ἐπί ὁ πλεῖστος ἴς ἑξηκοστός , ἀντί ὅς εἰς ὁ ἐν ὁ ψηφοφορία παρά ὁ μέσος λόγος διόρθωσις ὁ Δ΄ ὁ ὅς μοῖρα κατά ὁ ὁ τήρησις πρός αἴσθησις διάφορος συγχράομαι . οὗτος δέ ἀποδείκνυμι , καί ὅτι , ὡς ὁ μέγας κατά μῆκος προσθαφαίρεσις πρός ὁ μέγας κατά πλάτος πάροδος , οὗτος καί ἐπί ὁ λοιπός ὁ ἐπίκυκλος τμῆμα ὁ κατά μέρος ὁ μῆκος προσθαφαίρεσις πρός ὁ κατά μέρος ὁ πλάτος πάροδος , αὐτόθεν ἐγώ πρόχειρος γίγνομαι ἐν ὁ ἔκκειμαι Δ΄ σελίδιον ὁ κανόνιον ὁ τε ὁ Ἀφροδίτη καί ὁ ὁ Ἑρμῆς ὁ ὁ ἐκ ὁ λόξωσις κατά πλάτος πάροδος παράθεσις , ὁ μέντοι παρά αὐτός μόνος ὁ λόξωσις ὁ ἐπίκυκλος καί ἀπό ὁ μέσος ἐπιβολεύς , ὡς φημί , συνάγω , ὁ παρά τε ὁ ὁ ἔκκεντρος ἔγκλισις καί ἔτι παρά ὁ ἀπόγειον καί περίγειον ὁ ὁ Ἑρμῆς διαφορά διά ὁ εὐμεθόδευτος ἐκ ὁ ἐπιφέρω ψηφοφορία ὁ διόρθωσις ἀπολαμβάνω . ἐπεί γάρ κατά ὁ ἔκκειμαι μέσος λόγος ὁ μέν κατά πλάτος ἀμφότερος ὁ ἀστήρ ἐκ ὁ λόξωσις ἐπί ἑκάτερος ὁ διά μέσος μέγας πάροδος δείκνυμι μοῖρα Β λ , ὁ δέ κατά μῆκος μέγας προσθαφαίρεσις ἐπί μέν ὁ ὁ Ἀφροδίτη μϛʹ μοῖρα , ἐπί δέ ὁ ὁ Ἑρμῆς κβʹ ἔγγιστος , ἔχω δέ ἔκκειμαι ἐν ὁ ὁ ἀνωμαλία αὐτός κανών ὁ ἐπιβάλλω ὁ κατά μέρος τμῆμα ὁ ἐπίκυκλος προσθαφαίρεσις , ὅσος εἄν εἰμί μέρος οὗτος ὁ ὅλος κατά μῆκος μέγας προσθαφαίρεσις , ὁ τοσοῦτος μέρος λαμβάνω ἐπί ἑκάτερος ὁ ἀστήρ οἰκεῖος ὁ Β λ μοῖρα ὁ γίγνομαι παρατίθημι ἐν ὁ Δ΄ σελίδιον ὁ ὁ πλάτος κανόνιον ὁ αὐτός ἀριθμός . ὁ δέ πέμπτος σελίδιον γίγνομαι ἐγώ ὑπέρ ὁ καί ὁ ἐν ὁ ἄλλος ὁ ἔκκεντρος πάροδος συνίστημι κατά πλάτος παραχώρησις διευκρινέω ἐκ ὁ ὁ παρατίθημι ἑξηκοστός μεθοδεία . ἐπεί γάρ , ὡς φημί , ἀνάλογος ὁ πρός ὁ ἔκκεντρος ἀποκατάστασις καί ὁ ὁ ἐπίκυκλος ἔγκλισις τε καί λοξόω ὁ ὁ αὐξομείωσις ἀποκατάστασις ποιέω διά ὁ ὁ κυκλίσκος παράθεσις , ὁ δέ πηλικότης ὁ ἔγκλισις καί ὁ λόξωσις πᾶς οὖον μακρός εἰμί ὁ κατά ὁ λοξός ὁ σελήνη κύκλος , καί ἀνάλογος μέν ἔχω ἔγγιστος πάλιν ὁ μέχρι ὁ τηλικόσδε ἔγκλισις κατά μέρος παραχώρησις , πραγματεύομαι δέ ἔχω γραμμικός ὁ ὁ σελήνη , δώδεκα ἕκαστος ὁ ἐκεῖ παράθεσις ποιέω διά ὁ ὁ μέγας ἐπιβολή ἐκεῖ μέν εἰμί μοῖρα ε ἔγγιστος , νῦν δέ ἐγώ ποιέω αὐτός ξ , ὁ γίγνομαι παρατίθημι ὁ οἰκέω ἀριθμός ἐπί ἕκαστος ὁ πέμπτος σελίδιον . καί εἰμί ὁ ὁ κανόνιον ἔκθεσις τοιοῦτος ·