claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 5.6
Τούτων δὲ οὕτως ἀποδεδειγμένων ἀκολούθου τε ὄντος συνάψαι , τίνα ἂν τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος τῆς σελήνης παρόδων τὰς τῶν μέσων κινήσεων ἐποχὰς λαμβάνοντες εὑρίσκοιμεν ἀπό τε τοῦ τῆς ἀποχῆς ἀριθμοῦ καὶ ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸν ἐπίκυκλον τῆς σελήνης τὴν γινομένην πρόσθεσιν ἢ ἀφαίρεσιν τῇ κατὰ μῆκος μέσῃ παρόδῳ τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου , διὰ μὲν τῶν γραμμῶν ἡ τοιαύτη καταλαμβάνεται διάκρισις ἀπὸ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐκτεθειμένοις θεωρημάτων . ἐὰν γὰρ ὑποδείγματος ἕνεκεν ἐπὶ τῆς ὑστέρας τῶν προκειμένων καταγραφῶν τὰς αὐτὰς ὑποθώμεθα περιοδικὰς κινήσεις ἀποχῆς καὶ ἀνωμαλίας , τουτέστιν ἀποχῆς μὲν τὰς ἐκ τοῦ διπλασιασμοῦ συνηγμένας μοίρας 𝒢 λ , ἀνωμαλίας δʼ ἀπὸ τοῦ μέσου ἀπογείου τοῦ ἐπι - κύκλου μοίρας τλγ ιβ , καὶ ἀντὶ μὲν τῆς ΕΞ καθέτου τὴν ΝΞ ἄγωμεν , ἀντὶ δὲ τῆς Β Λ τὴν ΗΛ , διὰ μὲν τῶν αὐτῶν πάλιν ἐκ τοῦ δεδόσθαι τὰς πρὸς τῷ Ε κέντρῳ γωνίας καὶ τὰς ΔΕ καὶ ΕΝ ὑποτεινούσας ἴσας οὔσας ἑκατέρα μὲν τῶν Δ Κ καὶ ΜΞ εὐθειῶν τοιούτων δειχθήσεται ι ιθ ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ , ἐκκέντρου μθ μα , ἡ δὲ ΒΗ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ιε , ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΚ καὶ ΕΞ τῶν αὐτῶν ο ε , καὶ διὰ τοῦτο ἡ μὲν ΒΚ ὅλη ἔσται , καθάπερ ἐδείξαμεν ἔμπροσθεν , τῶν αὐτῶν μη λς , ἡ δὲ ΒΕ ὁμοίως μη λα , ἡ δὲ ΒΞ τῶν λοιπῶν μη κς . ὥστʼ ἐπεὶ καὶ τὰ ἀπὸ ΒΞ καὶ Ξ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Β Ν , καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τοιούτων μθ λα , οἵων ἦν ἡ ΝΕ εὐθεῖα ι ιθ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΒΝ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν ΝΕ εὐθεῖα κε ἔγγιστα , ἡ δʼ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων κδ γ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΝΞ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΝΒΞ γωνία , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΖΒΜ , οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἔσται κδ γ , οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ιβ α ἔγγιστα . τοσούτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΖΜ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια . ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον τῆς σελήνης ἀπέχει τοῦ Μ μέσου ἀπογείου τὰς λοιπὰς εἰς τὸν ἕνα κύκλον μοίρας κς μῆ , καὶ λοιπὴν ἕξομεν τὴν ΗΖ περιφέρειαν μοιρῶν ιδ μζ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΖ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν ιδ μζ , οἵων δʼ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων κθ λδ , καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΗΛ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν κθ λδ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΗΒ Λ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΛΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρν κς . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΗΔ ἔσται τοιούτων λ λζ , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΗ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΛΒ τῶν αὐτῶν ρις β . ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ιε , ἡ δὲ ΒΕ ἐδείχθη μῆ λα , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΗΛ ἔσται α κ , ἡ δὲ ΛΒ ὁμοίως ε ε . καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΕΒ Λ τοιούτων ἐστὶν νγ λς , οἵων καὶ ἡ ΛΗ ἦν α κ . καὶ ἐπεὶ πάλιν τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετράγωνον , ἕξομεν καὶ τὴν Ε μήκει τῶν αὐτῶν νγ λζ ἔγγιστα . ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΗ ὑποτείνουσα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΗΛ ἔσται β νθ , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων β νβ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΕΗΛ ὀρθογώνιον κύκλος τξ . καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΛ ἄρα γωνία τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου , οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ἐστὶν β νβ , οἵων δʼ αἰ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων α κς · ὅπερ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: οὗτος δέ οὕτως ἀποδείκνυμι ἀκόλουθος τε εἰμί συνάπτω , τίς εἄν τρόπος καί ἐπί ὁ κατά μέρος ὁ σελήνη πάροδος ὁ ὁ μέσος κίνησις ἐποχή λαμβάνω εὑρίσκω ἀπό τε ὁ ὁ ἀποχή ἀριθμός καί ἀπό ὁ κατά ὁ ἐπίκυκλος ὁ σελήνη ὁ γίγνομαι πρόσθεσις ἢ ἀφαίρεσις ὁ κατά μῆκος μέσος πάροδος ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος , διά μέν ὁ γραμμή ὁ τοιοῦτος καταλαμβάνω διάκρισις ἀπό ὁ ὅμοιος ὁ ἐκτίθημι θεώρημα . ἐάν γάρ ὑπόδειγμα ἕνεκα ἐπί ὁ ὕστερος ὁ πρόκειμαι καταγραφή ὁ αὐτός ὑποτίθημι περιοδικός κινέω ἀποχή καί ἀνωμαλία , τουτέστιν ἀποχή μέν ὁ ἐκ ὁ διπλασιασμός σύνειμι μοῖρα 𝒢 λ , ἀνωμαλία δέ ἀπό ὁ μέσος ἀπόγειον ὁ ἐπι - κύκλος μοῖρα τλγ Ἶβ , καί ἀντί μέν ὁ ΕΞ κάθετος ὁ ΝΞ ἄγω , ἀντί δέ ὁ Β Λ ὁ ΗΛ , διά μέν ὁ αὐτός πάλιν ἐκ ὁ δίδωμι ὁ πρός ὁ Ε κέντρον γωνία καί ὁ ΔΕ καί ΕΝ ὑποτείνω ἴσος εἰμί ἑκάτερος μέν ὁ δ Κ καί μξ εὐθύς τοιοῦτος δείκνυμι ι ιθʹ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ μέν ΔΒ ἐκ ὁ κέντρον ὁ , ἔκκεντρος μθʹ μή , ὁ δέ ΒΗ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ε εἶμι , ἑκάτερος δέ ὁ ΕΚ καί ΕΞ ὁ αὐτός ὁ ε , καί διά οὗτος ὁ μέν ΒΚ ὅλος εἰμί , καθάπερ δείκνυμι ἔμπροσθεν , ὁ αὐτός μη λςʹ , ὁ δέ ΒΕ ὁμοίως μη λάω , ὁ δέ ΒΞ ὁ λοιπός μη ΚΣ . ὥστε ἐπεί καί ὁ ἀπό ΒΞ καί Ξ συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ Β Ν , καί οὗτος ἔχω μῆκος τοιοῦτος μθʹ λάω , οἷος εἰμί ὁ Νε εὐθύς ι ιθʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΒΝ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος εἰμί καί ὁ μέν Νε εὐθύς κε ἔγγιστος , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ΚΔ γ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΒΝΞ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . ὥστε καί ὁ ὑπό ΝΒΞ γωνία , τουτέστιν ὁ ὑπό ΖΒΜ , οἷος μέν εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ΚΔ γ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος Ἶβ ὅς ἔγγιστος . τοσοῦτος εἰμί ἄρα ὁ ΖΜ ὁ ἐπίκυκλος περιφέρεια . ἀλλά ἐπεί ὁ ὁ σημεῖον ὁ σελήνη ἀπέχω ὁ Μ μέσος ἀπόγειον ὁ λοιπάς εἰς ὁ εἷς κύκλος μοῖρα ΚΣ μής , καί λοιπός ἔχω ὁ ΗΖ περιφέρεια μοῖρα ιδʹ μζʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΗΒΖ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ιδʹ μζʹ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος κθʹ λδʹ , καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΗΛ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί κθʹ λδʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΗΒ Λ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΛΒ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ρ ΚΣ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ΗΔ εἰμί τοιοῦτος λ λζʹ , οἷος εἰμί ὁ ΒΗ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΛΒ ὁ αὐτός ῥίς Β . ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ΒΗ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ε εἶμι , ὁ δέ ΒΕ δείκνυμι μής λάω , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΗΛ εἰμί ὅς Κ , ὁ δέ ΛΒ ὁμοίως ε ε . καί ὅλος ἄρα ὁ ΕΒ Λ τοιοῦτος εἰμί νγʹ λςʹ , οἷος καί ὁ ΛΗ εἰμί ὅς Κ . καί ἐπεί πάλιν ὁ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΕΗ τετράγωνος , ἔχω καί ὁ Ε μῆκος ὁ αὐτός νγʹ λζʹ ἔγγιστος . ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ ΕΗ ὑποτείνω ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΗΛ εἰμί Β νθʹ , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Β νβʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΕΗΛ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ . καί ὁ ὑπό ΗΕΛ ἄρα γωνία ὁ παρά ὁ ἀνωμαλία διάφορος , οἷος μέν εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί Β νβʹ , οἷος δέ ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὅς ΚΣ · ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι .