claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 10.8
η΄ . Ἀπόδειξις τῆς τοῦ ἐπικύκλου τοῦ τοῦ Ἄρεως πηλικότητος . Ἐφεξῆς δʼ ὄντος καὶ τὸν τῆς πηλικότητος τοῦ ἐπικύκλου λόγον ἀποδεῖξαι ἐλάβομεν εἰς τοῦτο τήρησιν , ἣν διωπτεύσαμεν μετὰ γ ἔγγιστα ἡμέρας τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου , τουτέστιν τῷ β΄ ἔτει Ἀντωνίνου κατʼ Αἰγυπτίους Ἐπιφὶ ιε΄ εἰς τὴν ις΄ πρὸ τριῶν ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσονυκτίου , ἐπειδήπερ ἐμεσουράνει κατὰ τὸν ἀστρολάβον ἡ κ΄ μοῖρα τῶν Χηλῶν τοῦ ἡλίου κατ μέσην πάροδον ἐπέχοντος τότε Διδύμων μοίρας ε κζ . τοῦ μὲν οὖν ἐπὶ τοῦ Στάχυος διοπτευομένου πρὸς τὴν οἰκείαν θέσιν ὁ τοῦ Ἄρεως ἐφαίνετο ἐπέχων τοῦ Τοξότου μοῖραν α καὶ γ πεμπτημόρια , κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν χρόνον καὶ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἀπ - έχων ἐφαίνετο εἰς τὰ ἑπόμενα τὴν αὐτὴν μίαν μοῖραν καὶ γ πεμπτημόρια . καὶ ἦν ἡ μὲν μέση πάροδος τότε τῆς σελήνης περὶ Τοξότου μοίρας δ κ , ἡ δʼ ἀκριβὴς περὶ Σκορπίου μοίρας κθ κ , ἐπειδήπερ καὶ κατὰ τὴν ἀνωμαλίαν ἀπεῖχεν τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας 𝒢β , ἡ δὲ φαινομένη περὶ τὴν ἀρχὴν τοῦ Τοξότου , ὡς καὶ ἐντεῦθεν ἐπέχειν τότε συμφώνως τὸν τοῦ Ἄρεως , καθάπερ καὶ διωπτεύετο , Τοξότου μοῖραν α λς καὶ διεστάναι δηλονότι τοῦ περιγείου εἰς τὰ προηγούμενα μοίρας νγ νδ . περιέχονται δὲ καὶ ἐν τῷ μεταξὺ χρόνῳ τῆς τε γ΄ ἀκρωνύκτου καὶ ταύτης τῆς τηρήσεως μήκους μὲν μοῖρα α λβ , ἀνωμαλίας δὲ μοῖρα α κα ἔγγιστα · ἃς ἐὰν προσθῶμεν ταῖς κατὰ τὴν ὑποκειμένην γ΄ ἀκρώνυκτον ἀποδεδειγμέναις ἐποχαῖς , ἕξομεν καὶ ἐν τῷ χρόνῳ ταύτης τῆς τηρήσεως ἀπέχοντα τὸν τοῦ Ἄρεως μήκους μὲν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου μοίρας ρλζ ια , ἀνωμαλίας δὲ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας ροβ μς . τούτων οὖν ὑποκειμένων ἔστω ὁ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου φέρων ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠ καὶ διάμετρον τὴν Α∠Γ , ἐφʼ ἧς τὸ μὲν τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον ὑποκείσθω τὸ Ε , τὸ δὲ τῆς μείζονος ἐκκεντρότητος τὸ Ζ . καὶ γραφέντος περὶ τὸ Β τοῦ ΗΘΚ ἐπικύκλου διήχθωσαν ἥ τε ΖΚΒΗ καὶ ἡ ΕΘΒ καὶ ἔτι ἡ ∠Β , καὶ ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τῶν ∠ καὶ Ε σημείων ἐπὶ τὴν ΖΒ ἥ τε ΕΛ καὶ ἡ ∠M . ὑποκείσθω δὲ καὶ ὁ ἀστὴρ κατὰ τὸ Ν σημεῖον τοῦ ἐπικύκλου , καὶ ἐπιζευχθεισῶν τῆς τε ΕΝ καὶ τῆς ΒΝ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΕΝ ἐκβληθεῖσαν ἀπὸ τοῦ Β ἡ ΒΞ . ἐπεὶ τοίνυν ὁ ἀστὴρ ρλζ ια μοίρας ἀπέχει τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου , ὥστε καὶ τὴν ὑπὸ ΒΖΓ γωνίαν , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων εἶναι μβ μθ , οἵων δʼ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ , τοιούτων πε λη , εἴ ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Μ περιφέρεια τοιούτων πε λη , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΔΖΜ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΖΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον 𝒢δ κβ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Μ ἔσται τοιούτων πα λδ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΜ τῶν αὐτῶν πη α ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ μεταξὺ τῶν κέντρων ϛ , ἡ δὲ ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Μ ἔσται δ ε , ἡ δὲ ΖΜ ὁμοίως δ κδ . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Μ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον , ἔσται καὶ ἡ ΒΜ εὐθεῖα τῶν αὐτῶν νθ νβ . ὁμοίως δέ , ἐπεὶ καὶ ἡ μὲν ΖΜ τῇ ΜΛ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ΕΛ τῆς ∠Μ διπλῆ , καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ΒΛ ἔσται νε κη , ἡ δὲ ΕΛ τῶν αὐτῶν η ι · . διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΕΒ ὑποτείνουσα νς δ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΕΒ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΛ ἔσται ιζ κη , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ιϛ μδ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΕΛ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ γωνία τοιούτων ἐστὶν ιϚ μδ , οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΞ γωνία , ἣν ἐφαίνετο προηγούμενος ὁ τοῦ Ἄρεως ἀστὴρ τοῦ Γ περιγείου , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ὑπόκειται νγ νδ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ρ μη , τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΒ γωνία ρβ κβ διὰ τὸ ἴσην αὐτὴν εἶναι συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΖΒΕ δεδειγμένῃ τῶν αὐτῶν ιϛ μδ καὶ τῇ ὑπὸ ΓΖΒ ὑποκειμένῃ τῶν αὐτῶν πε λη , εἴη ἂν καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ὑπὸ ΒΕΞ γωνία τῶν αὐτῶν ε κϛ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΒΞ περιφέρεια τοιούτων ε κϚ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΕΞ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΒΞ εὐθεῖα τοιούτων ε μα , οἵων ἐστὶν ἡ ΚΒ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἄρα ἡ μὲν ΕΒ ἐδείχθη νϛ δ , ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ ΒΞ ἔσται β λθ . ὁμοίως , ἐπειδὴ τὸ Ν σημεῖον ἀπεῖχεν τοῦ μὲν Η ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας ροβ μϛ , τοῦ δὲ περιγείου μοίρας ζ ιδ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΝ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ζ ιδ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ιδ κη . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία ιϚ μδ · καὶ λοιπὴ μὲν ἄρα ἔσται ἡ ὑπὸ ΝΒΘ γωνία β ιϚ , ἡ δὲ ὑπὸ ΞΝΒ ὅλη τῶν αὐτῶν ζ μβ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΞΒ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ζ μβ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΝΞ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ ΒΞ εὐθεῖα τοιούτων η γ , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΝ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ΒΞ εὐθεῖα β λθ , ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ ΒΝ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἔσται λθ λ ἔγγιστα · καὶ λόγος ἄρα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ὁ τῶν ξ πρὸς τὰ λθ λ · ὅπερ προέκειτο εὑρεῖν .
Lemmas: Η΄ . Ἀπόδειξις ὁ ὁ ἐπίκυκλος ὁ ὁ Ἄρης πηλικότης . ἐφεξῆς δέ εἰμί καί ὁ ὁ πηλικότης ὁ ἐπίκυκλος λόγος ἀποδείκνυμι λαμβάνω εἰς οὗτος τήρησις , ὅς διοπτεύω μετά γ ἔγγιστος ἡμέρα ὁ Γ΄ ακρωνυκτεω , τουτέστιν ὁ Β΄ ἔτος Ἀντωνῖνος κατά Αἰγύπτιος Ἐπείφ ἵημι εἰς ὁ ΙΣΤ΄ πρό τρεῖς ὥρα ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος , ἐπεί μεσουρανέω κατά ὁ ἀστρολάβος ὁ Κ΄ μοῖρα ὁ Χῆλαι ὁ ἥλιος κατά μέσος πάροδος ἐπέχω τότε Διδύμων μοῖρα ε κζ . ὁ μέν οὖν ἐπί ὁ Στάχυς διοπτεύω πρός ὁ οἰκεῖος θέσις ὁ ὁ Ἄρης φαίνω ἐπέχω ὁ τοξότης μοῖρα ὅς καί γ πεμπτημόριον , κατά δέ ὁ αὐτός χρόνος καί ὁ κέντρον ὁ σελήνη ἀπό - ἔχω φαίνω εἰς ὁ ἕπομαι ὁ αὐτός εἷς μοῖρα καί γ πεμπτημόριον . καί εἰμί ὁ μέν μέσος πάροδος τότε ὁ σελήνη περί τοξότης μοῖρα δ Κ , ὁ δέ ἀκριβής περί Σκορπίος μοῖρα κθʹ Κ , ἐπεί καί κατά ὁ ἀνωμαλία ἀπέχω ὁ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα 𝒢β , ὁ δέ φαίνω περί ὁ ἀρχή ὁ τοξότης , ὡς καί ἐντεῦθεν ἐπέχω τότε σύμφωνος ὁ ὁ Ἄρης , καθάπερ καί διοπτεύω , τοξότης μοῖρα ὅς λςʹ καί διίστημι δηλονότι ὁ περίγειος εἰς ὁ προηγούμενος μοῖρα νγʹ νδʹ . περιέχω δέ καί ἐν ὁ μεταξύ χρόνος ὁ τε Γ΄ ακρωνυκτεω καί οὗτος ὁ τήρησις μῆκος μέν μοῖρα ὅς λβʹ , ἀνωμαλία δέ μοῖρα ὅς ἄν ἔγγιστος · ὅς ἐάν προστίθημι ὁ κατά ὁ ὑπόκειμαι Γ΄ ακρωνυκτω ἀποδείκνυμι ἐποχή , ἔχω καί ἐν ὁ χρόνος οὗτος ὁ τήρησις ἀπέχω ὁ ὁ Ἄρης μῆκος μέν ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ἔκκεντρος μοῖρα ρλζ ἰά , ἀνωμαλία δέ ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα ροʹ μς . οὗτος οὖν ὑπόκειμαι ἵστημι ὁ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος φέρω ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ ∠ καί διάμετρος ὁ Α∠Γ , ἐπί ὅς ὁ μέν ὁ ζῳδιακός κέντρον ὑπόκειμαι ὁ Ε , ὁ δέ ὁ μείζων ἐκκεντρότης ὁ Ζ . καί γράφω περί ὁ Β ὁ ΗΘΚ ἐπίκυκλος διάγω ὅς τε ΒΖΗ καί ὁ ΕΘΒ καί ἔτι ὁ ∠Β , καί ἄγω κάθετος ἀπό ὁ ∠ καί Ε σημεῖον ἐπί ὁ ΖΒ ὅς τε ΕΛ καί ὁ ∠M . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ἀστήρ κατά ὁ Ν σημεῖον ὁ ἐπίκυκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ τε ΕΝ καί ὁ ΒΝ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΕΝ ἐκβάλλω ἀπό ὁ Β ὁ ΒΞ . ἐπεί τοίνυν ὁ ἀστήρ ρλζ ἰά μοῖρα ἀπέχω ὁ ἀπόγειον ὁ ἔκκεντρος , ὥστε καί ὁ ὑπό ΒΖΓ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος εἰμί μβʹ μθʹ , οἷος δέ ὁ δύο ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μετά λα , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Μ περιφέρεια τοιοῦτος μετά λα , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΔΖΜ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΖΜ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον 𝒢δ κβʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Μ εἰμί τοιοῦτος πῃ λδʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ΖΜ ὁ αὐτός πῇ ὅς ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Ζ μεταξύ ὁ κέντρον ϛ , ὁ δέ ∠Β ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Μ εἰμί δ ε , ὁ δέ ΖΜ ὁμοίως δ ΚΔ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Μ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ∠Β ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΒΜ τετράγωνος , εἰμί καί ὁ ΒΜ εὐθύς ὁ αὐτός νθʹ νβʹ . ὁμοίως δέ , ἐπεί καί ὁ μέν ΖΜ ὁ ΜΛ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΕΛ ὁ ∠Μ διπλόος , καί λοιπός μέν ὁ ΒΛ εἰμί νε καί , ὁ δέ ΕΛ ὁ αὐτός ὁ ι · . διά οὗτος δέ καί ὁ ΕΒ ὑποτείνω ΝΣ δ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΕΒ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΛ εἰμί ιζʹ καί , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος ιϛʹ μδʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ Βέλ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΖΒΕ γωνία τοιοῦτος εἰμί ιϚʹ μδʹ , οἷος εἰμί ὁ δύο ὀρθός τξʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ ὑπό ΓΕ γωνία , ὅς φαίνω προηγούμενος ὁ ὁ Ἄρης ἀστήρ ὁ Γ περίγειος , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ὑπόκειμαι νγʹ νδʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ρ μη , ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΓΕΒ γωνία ρβʹ κβʹ διά ὁ ἴσος αὐτός εἰμί συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΖΒΕ δείκνυμι ὁ αὐτός ιϛʹ μδʹ καί ὁ ὑπό ΓΖΒ ὑπόκειμαι ὁ αὐτός μετά λα , εἰμί εἄν καί λοιπός μέν ὁ ὑπό ΒΕΞ γωνία ὁ αὐτός ε κϛʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΒΞ περιφέρεια τοιοῦτος ε κϚʹ , οἷος εἰμί ὁ περί ὁ ΒΕΞ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · διά οὗτος δέ καί ὁ ΒΞ εὐθύς τοιοῦτος ε μή , οἷος εἰμί ὁ ΚΒ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος ἄρα ὁ μέν ΕΒ δείκνυμι νϛʹ δ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ ΒΞ εἰμί Β λθʹ . ὁμοίως , ἐπεί ὁ Ν σημεῖον ἀπέχω ὁ μέν ὁ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα ροʹ μϛʹ , ὁ δέ περίγειος μοῖρα ζ ιδʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΚΒΝ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ζ ιδʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ιδʹ καί . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΚΒΘ γωνία ιϚʹ μδʹ · καί λοιπός μέν ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΝΒΘ γωνία Β ιϚʹ , ὁ δέ ὑπό ΞΝΒ ὅλος ὁ αὐτός ζ μβʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΞΒ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ζ μβʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΒΝΞ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , αὐτός δέ ὁ ΒΞ εὐθύς τοιοῦτος ὁ γ , οἷος εἰμί ὁ ΒΝ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ΒΞ εὐθύς Β λθʹ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ ΒΝ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος εἰμί λθʹ λ ἔγγιστος · καί λόγος ἄρα ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος ὁ ὁ ξ πρός ὁ λθʹ λ · ὅσπερ πρόκειμαι εὑρίσκω .