claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 5.19
Ὅτανταν οὖν προαιρώμεθα λαμβάνειν , πόσον ἡ σελήνη καθʼ ἑκάστην τῶν παρόδων παραλλάσσει πρῶτον ἐπὶ τοῦ διʼ αὐτῆς καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου μεγίστου κύκλου , ἐπισκεψόμεθα , πόσας ἰσημερινὰς ὥρας ἀπέχει τοῦ μεσημβρινοῦ κατὰ τὸ ὑποκείμενον κλίμα , καὶ τὰς εὑρεθείσας εἰσενεγκόντες εἰς τὸν τῶν γωνιῶν κανόνα τοῦ οἰκείου κλίματος καὶ τοῦ οἰκείου δωδεκατημορίου τὰς παρακειμένας τῇ ὥρᾳ μοίρας ἐν τῷ δευτέρῳ σελιδίῳ ἢ ὅλας ἢ τὰς ἐπιβαλλούσας τῷ μέρει τῆς ὥρας ἕξομεν , ἃς ἀπέχει τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἡ σελήνη ἐπὶ τοῦ διʼ αὐτῶν γραφομένου μεγίστου κύκλου , ἃς εἰσενεγκόντες εἰς τὸν τῶν παραλλάξεων κανόνα σκεψόμεθα , κατὰ ποῖόν ἐστι στίχον τοῦ πρώτου σελιδίου , καὶ τὰ παρακείμενα τῷ ἀριθμῷ ἐν τοῖς ἐφεξῆς μετὰ τὸ τῶν ἡλιακῶν παραλλάξεων τέσσαρσι σελιδίοις , τουτέστιν τῷ τε γ΄ καὶ τῷ δ΄ καὶ τῷ ε΄ καὶ τῷ ϛʹ , χωρὶς ἕκαστον ἀπογραόμεθα · ἔπειτα τὸν κατʼ ἐκείνην τὴν ὥραν διακεκριμένον τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμὸν πρὸς τὸ ἀκριβὲς ἀπόγειον λαβόντες ἢ αὐτὸν ἤ , ἐὰν ὑπερπίπτῃ τὰς ρ μοίρας , τὸν λείποντα εἰς τὰς τξ τὸ ἥμισυ πάντοτε τῶν οὕτως εἰλημμένων μοιρῶν εἰσενεγκόντες εἰς τοὺς αὐτοὺς ἀριθμοὺς σκεψόμεθα , πόσα ἑξηκοστὰ παράκειται τῷ ἀριθμῷ χωρὶς ἔν τε τῷ ζ΄ καὶ η΄ σελιδίῳ , καὶ ὅσα μὲν ἂν ἐν τῷ ζ΄ σελιδίῳ εὑρεθῇ , τὰ τοσαῦτα ἑξηκοστὰ λαβόντες τοῦ ἐν τῷ δ΄ σελιδίῳ διαφόρου προσθήσομεν αἰεὶ τῇ τοῦ τρίτου σελιδίου παραλλάξει , ὅσα δʼ ἂν ἐν τῷ η΄ σελιδίῳ εὑρεθῇ , τὰ τοσαῦτα ἑξηκοστὰ λαβόντες τοῦ ἐν τῷ ϛ΄ σελιδίῳ διαφόρου προσθήσομεν αἰεὶ πάλιν τῇ τοῦ ε΄ σελιδίου παραλλάξει καὶ τῶν οὕτως γενομένων δύο παραλλάξεων ἐκθησόμεθα τὴν ὑπεροχήν · ἐξῆς δὲ λαβόντες , ὅσας ἀπέχει μέσως ἡ σελήνη μοίρας ἤτοι τῆς ἡλιακῆς ἢ τῆς ταύτην διαμετρούσης κατὰ τὴν ἐγγυτέραν ὁποτέρας αὐτῶν διάστασιν , εἰσοίσομεν καὶ ταύτας εἰς τοὺς ἐν τῷ α΄ σελιδίῳ ἀριθμούς , καὶ ὅσα ἐὰν παρακέηται πάλιν ἑξηκοστὰ ἐν τῷ θ΄ καὶ τελευταίῳ σελιδίῳ , τὰ τοσαῦτα ἑξηκοστὰ λαβόντες , ἧς ἐξεθέμεθα τῶν δύο παραλλάξεων ὑπεροχῆς , τὰ γενόμενα προσθήσομεν αἰεὶ τῇ ἐλάσσονι , τουτέστιν τῇ ἐκ τοῦ γ΄ καὶ δ΄ σελιδίου διακεκριμένῃ , καὶ τὰ συναχθέντα ἕξομεν , ἃ παραλλάσσει ἡ σελήνη ἐπὶ τοῦ διʼ αὐτῆς καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου μεγίστου κύκλου , θεωρουμένης αὐτόθεν ἀπλῶς καὶ τῆς ἡλιακῆς παραλλάξεως κατὰ τὴν ὁμοίαν θέσιν ἕνεκα τῶν ἡλιακῶν ἐκλείψεων ἐκ τῶν ἐν τῷ β΄ σελιδίῳ παρακειμένων μοιρῶν τῇ πηλικότητι τῆς ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν περιφερείας . ἵνα οὖν καὶ τὴν πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τότε γινομένην παράλλαξιν διακρίνωμεν κατά τε μῆκος καὶ κατὰ πλάτος , τὰς αὐτὰς πάλιν ἰσημερινὰς ὥρας , ἃς ἀπέχει τοῦ μεσημβρινοῦ ἡ σελήνη , εἰσενεγκόντες εἰς τὸ αὐτὸ μέρος τοῦ τῶν γωνιῶν κανόνος ἐπισκεψόμεθα τὰς παρακειμένας τῷ ἀριθμῷ τῶν ὡρῶν μοίρας , ἐὰν μὲν πρὸ τοῦ μεσημβρινοῦ ᾖ ἡ σελήνη , τὰς ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ , ἐὰν δὲ μετὰ τὸν μεσημβρινόν , τὰς ἐν τῷ δ΄ , κἂν μὲν ἐντὸς τῶν μοιρῶν ὦσιν , αὐτὰς ἀπογραψόμεθα , ἐὰν δʼ ὑπὲρ τὰς ?? , τὰς λειπούσας εἰς τὰς ρη · τοσούτων γὰρ ἔσται ἡ ἐλάσσων τῶν περὶ τὴν ἐκκειμένην τομὴν γωνιῶν , οἵων ἡ μία ὀρθὴ ?? τὰς ἀπογεγραμμένας οὖν μοίρας διπλώσαντες εἰσοίσομεν εἰς τὸ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν κανόνιον αὐτάς τε καὶ τὰς λειπούσας εἰς τὰς ρπ , καὶ ὄν ἄν ἔχῃ λόγον ἡ τὴν τῶν δεδιπλωμένων μοιρῶν περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα πρὸς τὴν ὑποτείνουσαν τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκλιον , τοῦτον ἕξει τὸν λόγον ἡ κατὰ πλάτος παράλλαξις πρὸς τὴν κατὰ μῆκος , ἐπειδήπερ αἱ τηλι - καῦται τῶν κύκλων περιφέρειαι ἀδιαφοροῦσιν εὐθειῶν . πολυπλασιάζοντες οὖν τὸν ἀριθμὸν τῶν παρακειμένων εὐθειῶν ἐπὶ τὴν εὑρισκομένην ὡς ἐπὶ τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου κύκλου παράλλαξιν καὶ τὰ γινόμενα μερίζοντες εἰς τὸν ρκ χωρὶς τὰ ἐκ τοῦ μερισμοῦ συναγόμενα μόρια ἕξομεν τῆς οἰκείας παραλλάξεως . καθόλου δὲ ἐπὶ μὲν τῶν κατὰ πλάτος παραλλάξεων , ὅταν μὲν τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ βορειότερον τοῦ τότε μεσουρανοῦντος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου , ἡ παράλλαξις ἔσται πρὸς μεσημβρίαν αὐτοῦ , ὅταν δὲ νοτιώτερον τὸ κατὰ κορυφὴν τοῦ μεσουρανοῦντος , πρὸς τὰς ἄρκτους ἡ κατὰ πλάτος ἔσται παράλλαξις , ἐπὶ δὲ τῶν κατὰ μῆκος , ἐπειδὴ αἱ πηλικότητες τῶν ἐν τῷ κανόνι παρακειμένων γωνιῶν τὴν ἀπʼ ἄρκτων περιέχουσι τῶν δύο τῶν ὑπὸ τοῦ ἑπομένου τμήματος τοῦ διὰ μέσων ἑκατέρωθεν περιεχομένων , τῆς μὲν κατὰ πλάτος παραλλάξεως πρὸς ἄρκτους γινομένης , ἐὰν μὲν μείζων ὀρθῆς ἡ ἐκκειμένη γωνία , εἰς τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων ἡ κατὰ μῆκος ἔσται παράλλαξις , ἐὰν δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς , εἰς τὰ ἑπόμενα , τῆς δὲ κατὰ πλάτος παραλλάξεως πρὸς μεσημβρίαν γινομένης ἀνάπαλιν , ἐὰν μὲν μείζων ᾖ ὀρθῆς ἡ ἐκκειμένη γωνία , εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἡ κατὰ μῆκος ἔσται παράλλαξις , ἐὰν δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς , εἰς τὰ προηγούμενα . συνεχρησάμεθα μέντοι τοῖς προαποδεδειγμένοις περὶ τὸν ἥλιον ὡς μηδὲν αἰσθητὸν αὐτοῦ παραλλάσσοντος οὐκ ἀγνοοῦντες , ὅτι ποιήσει τινὰ περὶ αὐτὰ διαφορὰν ἡ κατανενοημένη καὶ περὶ αὐτὸν ἐκ τῶν ἐφεξῆς παράλλαξις , ἀλλʼ ἐπεὶ μὴ οὕτως ἀξιόλογον ἡγούμεθα περὶ τὰ φαινόμενα διὰ τοῦτο παρακολουθήσειν ἁμαρτίαν , ὥστʼ ἀναγκαῖον εἶναι κινῆσαί τινα τῶν ἄνευ τῆς τοιαύτης ἐπιστάσεως βραχείας γε οὔσης προδιειλημμένων · ὁμοίως δὲ καὶ πρὸς τὰς παραλλάξεις τῆς σελήνης ἠρκέσθημεν ταῖς πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον γινομέναις ὑπὸ τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος γραφομένου μεγίστου κύκλου περιφερείαις τε καὶ γωνίαις ἀντὶ τῶν πρὸς τὸν λοξὸν τῆς σελήνης θεωρουμένων , ἐπεὶ τὸ μὲν ἐν ταῖς ἐκλειπτικαῖς συζυγίαις ἐσόμενον παρὰ τοῦτο διάφορον ἀνεπαίσθητον ἧν , τὸ δὲ καὶ ταύτας ἐκθέσθαι πολύχουν τε ταῖς δείξεσιν καὶ ἐργῶδες ἐν τοῖς ἐπιλογισμοῖς μὴ ὡρισμένων καθʼ ἑκάστην τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ παρόδων τῆς σελήνης καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ συνδέσμου διαστάσεων , ἀλλὰ καὶ τοῖς μεγέθεσιν καὶ ταῖς θέσεσιν αὐταῖς ποικίλας μεταβάσεις λαμβανουσῶν . ἵνα δʼ εὐκατανόητον γένηται τὸ λεγόμενον , ἐκκείσθω τὸ μὲν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμῆμα τὸ ΑΒΓ , τοῦ δὲ λοξοῦ τῆς σελήνης τὸ ΑΔ , καὶ σύνδεσμος μὲν ὑποκείσθω τὸ Α σημεῖον , τῆς δὲ σελήνης κέντρον τὸ Δ , καὶ γεγράφθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον ὀρθὴ ἡ ΔΒ , ἔστω δὲ πόλος τοῦ ὁρίζοντος τὸ Ε σημεῖον , καὶ γεγράφθω δι᾿ αὐτοῦ μεγίστου κύκλου τμῆμα διὰ μὲν τοῦ κέντρου τῆς σελήνης τὸ ΕΔΖ , διὰ δὲ τοῦ Β τὸ ΕΒ , παραλλασσέτω τε ἡ σελήνη τὴν ΔΗ περιφέρειαν , καὶ γεγράφθωσαν διʼ αὐτοῦ πρὸς τὰς ΒΔ καὶ ΒΖ ὀρθαὶ αἱ ΗΘ καὶ ΗΚ , ὥστε τῶν μὲν κατὰ μῆκος ἀποχῶν τοῦ συνδέσμου τὴν μὲν ἀκριβῆ γίνεσθαι τὴν ΑΒ , τὴν δὲ φαινομένην τὴν ΑΚ , τῶν δὲ κατὰ πλάτος ἀπὸ τοῦ διὰ μέσων τὴν μὲν ἀκριβῆ τὴν ΒΔ , τὴν δὲ φαινομένην τὴν ΚΗ , καὶ τῶν ἀπὸ τῆς ΔΗ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν θεωρουμένων παραλλάξεων κατὰ μῆκος μὲν τὴν ἴσην τῇ ΘΗ , κατὰ πλάτος δὲ τὴν ἴσην τῇ ΔΘ . ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΔΗ παράλλαξις εὑρίσκεται διὰ τῶν προεκτεθειμένων τῆς ΕΔ περιφερείας δοθείσης , ἑκατέρα δὲ τῶν ΔΘ καὶ ΘΗ παραλλάξεων τῆς ὑπὸ ΓΖΕ γωνίας δοθείσης , ἡμεῖς δʼ ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἀπεδείξαμεν τὰς πρὸς τὰ δοθέντα τοῦ ζῳδιακοῦ σημεῖα γινομένας τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν περιφερείας τε καὶ γωνίας , μόνον δʼ ἔχομεν ἐνταῦθα δεδομένον τοῦ διὰ μέσων σημεῖον τὸ Β , φανερόν , ὅτι τῇ μὲν ΕΒ περιφερείᾳ συγχρώμεθα ἀντὶ τῆς ΕΔ , τῇ δὲ ὑπὸ ΓΒΕ γωνίᾳ ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΓΖΕ . ὁ μὲν οὖν Ἵππαρχος ἐπεχείρησε μὲν καὶ τὴν τοιαύτην διόρθωσιν ποιήσασθαι , πάνυ δʼ ἀνεπιστάτως καὶ παρὰ τὸν λόγον αὐτῇ φαίνεται προσβεβληκώς . πρῶτον μὲν γὰρ μιᾷ διαστάσει τῆς ΑΔ συγκέχρηται καὶ οὐχὶ πάσαις ἢ πλείοσιν , ὅπερ ἧν ἀκόλουθον τῷ καὶ περὶ τῶν μικρῶν ἀκριβολογεῖσθαι προελομένῳ · ἔπειτα καὶ πλείοσι τοῖς ἀτοπωτέροις ἔλαθεν περιπεσών . ἐπεὶ γὰρ καὶ αὐτὸς τάς τε περιφερείας καὶ τὰς γωνίας τὰς πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων θεωρουμένας ἐτύγχανεν προαποδεδειχώς , καὶ ὅτι τῆς ΕΔ δοθείσης ἡ ΔΗ λαμβάνεται · τοῦτο γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ τῶν παραλλακτικῶν ἀποδείκνυσιν · συγχρῆται πρὸς τὴν τῆς ΕΔ περιφερείας δόσιν τῇ τε ΕΖ περιφερείᾳ καὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ γωνίᾳ ὡς δεδομέναις · οὕτως γὰρ ἐν τῷ δευτέρῳ τὴν ΖΔ ἐπιλογισάμενος καὶ λοιπὴν τὴν ΕΔ ὑποτίθεται . παρήγαγεν αὐτὸν μέντοι τὸ μὴ ἐπιστῆσαι , διότι τὸ Β καὶ οὐχὶ τὸ Ζ σημεῖόν ἐστι τοῦ διὰ μέσων τὸ δεδομένον , καὶ διὰ τοῦτο τῶν τε περιφερειῶν ἡ ΕΒ δέδοται καὶ οὐχὶ ἡ ΕΖ καὶ τῶν γωνιῶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ καὶ οὐχὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ . ἔνθεν καὶ πρὸς τὸ ποιήσασθαί τινα κἂν μερικὴν διόρθωσιν κεκίνηται πολλαχῆ γινομένης αἰσθητῆς πάνυ διαφορᾶς τῶν ΕΔ περιφερειῶν πρὸς τὰς ΕΖ διὰ τὸ πολὺ μᾶλλον ἐκείνων αὐτὰς μὴ δεδόσθαι , τῆς δὲ ΒΕ τῆς τῷ ὄντι δεδομένης ἡ πρὸς τὴν ΕΔ διαφορὰ τὸ πλεῖστον διοίσει μόνῳ τῷ τῆς ΒΔ καθʼ ἑκάστην τῶν ἀπὸ τοῦ συνδέσμου διαστάσεων μεγέθει . τὸ μέντοι τῆς κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐσομένης διορθώσεως ἀκόλουθον γένοιτʼ ἂν ἡμῖν ὑπ’ ὄψιν οὕτως . ἔστω γὰρ ζῳδιακὸς ὁ ΑΒΓ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῷ ὁ ΔΒΕ , ἡ δὲ σελήνη ἤτοι κατὰ τὸ Δ ἢ κατὰ τὸ Ε ἀπέχουσα κατὰ πλάτος τοῦ ΑΒΓ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου δεδομένην περιφέρειαν , οἷον τὴν ΒΔ καὶ τὴν ΒΕ , ὥστε τὰς μὲν πρὸς τὸ Β σημεῖον τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερείας ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ γωνίας δεδόσθαι , ζητεῖσθαι δὲ τὰς πρὸς τὸ Δ ἢ τὸ Ε γινομένας . ἐὰν μὲν δὴ τοιαύτην ἔχῃ θέσιν ὁ ζῳδιακός , ὥστε πρὸς ὀρθὰς γωνίας εἶναι τῷ διὰ τοῦ Ζ σημείου , ὃ ὑποκείσθω πόλος τοῦ ὁρίζοντος , καὶ διὰ τοῦ Β γραφομένῳ μεγίστῳ κύκλῳ , οἷον τῷ ΖΒ , συμπεσεῖται οὗτος δηλονότι τῇ ΔΕ περιφερείᾳ , καὶ ἡ μὲν γωνία ἡ πρὸς τὰ Δ καὶ Ε θεωρουμένη ἀδιάφορος ἔσται τῆς πρὸς τὸ Β ὑποκειμένης · ὀρθαὶ γὰρ καὶ αἱ διὰ τούτων πρὸς τὸν ζῳδιακὸν γινόμεναι · τῆς δὲ ΖΒ περιφερείας ἡ μὲν ΖΔ ἐλάσσων ἔσται τῇ ΒΔ , ἡ δὲ ΖΕ μείζων τῇ ΒΕ δεδομέναις καὶ αὐταῖς . ἐὰν δὲ συμπίπτῃ ὁ ΑΒΓ ζῳδιακὸς τῷ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένῳ μεγίστῳ κύκλῳ , καὶ ὑποθέμενοι πόλον τοῦ ὁρίζοντος τὸ Α ἐπιζεύξωμεν τὰς ΑΔ καὶ ΑΕ , καὶ αὗται διοίσουσι τῆς ΑΒ περιφερείας καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ καὶ ΒΑΕ γωνίαι τῆς μὴ οὔσης πρότερον . δίδονται δὲ αἱ μὲν ΑΔ καὶ ΑΕ τοῦ λόγου ὄντος ὡς ἐπʼ εὐθειῶν διὰ τὸ ἀδιάφορον ἀπό τε τῆς ΑΒ καὶ τῶν ΒΔ καὶ ΒΕ δεδομένων · τὰ γὰρ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ καὶ ΑΕ · ἀκολούθως δὲ αὐταῖς καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ καὶ ΒΑΕ γωνίαι . τῆς δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ θέσεως ἐγκεκλιμένης , ἐὰν ἀπὸ τοῦ Ζ πόλου τοῦ ὁρίζοντος ἐπιζεύξωμεν τὰς ΖΒ καὶ ΖΗΔ καὶ ΖΕΘ , δεδομένη μὲν ἔσται ἥ τε ΖΒ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία καὶ πάλιν δηλονότι αἰ ΒΔ καὶ ΒΕ . ὀφείλουσιν δὲ δοθῆναι αἵ τε ΖΔ καὶ ΖΕ περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΖ καὶ ὑπὸ ΑΘΖ γωνίαι , δίδονται δὲ καὶ αὗται καθέτων ἀχθεισῶν ἐπὶ τὴν ΖΒ τῶν ΔΚ καὶ ΕΛ . ἐπειδὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία δέδοται , ὀρθὴ δὲ πάντοτε ἡ ὑπὸ ΑΒΕ , δίδοται τὰ ΒΚΔ καὶ ΒΛΕ ὀρθογώνια καὶ λόγος τῆς ΖΒ πρὸς τὰς περὶ τὴν ὀρθήν , ἐπεὶ καὶ πρὸς τὰς ΔΒ καὶ ΒΕ ὑποτεινούσας · ὥστε καὶ αἱ ΖΔ , ΖΕ ὑποτείνουσαι δοθήσονται διὰ τοῦτό τε καὶ αἱ ὑπὸ ΔΖΚ καὶ ὑπὸ ΕΖΛ γωνίαι ὑπεροχαὶ οὖσαι τῶν ἐπιζητουμένων · ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ ΑΗΖ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΑΒΖ τῇ ὑπὸ ΔΖΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΘΖ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΒΖ τῇ ὑπὸ ΕΖΛ . φανερὸν δʼ , ὅτι καὶ πλείστη γίνεται διαφορὰ τῆς αὐτῆς κατὰ πλάτος ἀποχῆς ὑποκειμένης τῶν μὲν γωνιῶν , ὅταν τὸ Β σημεῖον αὐτὸ ᾖ τὸ κατὰ κορυφήν · μηδεμιᾶς γὰρ πρὸς τὸ Β γινομένης γωνίας αἱ ἐπὶ τὰ Δ καὶ Ε ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ὀρθὰς ποιοῦσιν πρὸς τῷ ζῳδιακῷ γωνίας · τῶν δὲ περιφερειῶν , ὅταν ἡ αὐτὴ θέσις ᾖ · μηδεμιᾶς γὰρ πάλιν γινομένης πρὸς τὸ Β περιφερείας αἰ πρὸς τὰ Δ καὶ Ε τηλικαῦται ἔσονται , ἡλίκαι ἂν ὦσιν καὶ αἰ τῆς κατὰ πλάτος παρόδου τῆς σελήνης · καὶ ὅταν ὀρθὸς πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ὁ διὰ τοῦ κατὰ κορυφήν · ὅλῃ γὰρ πάλιν τῇ κατὰ πλάτος παρόδῳ διοίσουσι τῆς ΖΒ αἱ ΖΔ καὶ ΖΕ περιφέρειαι · ἐν δὲ ταῖς ἄλλαις θέσεσιν ἐγκλινομένης τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΖΒ αἵ τε τῶν περιφερειῶν καὶ αἱ τῶν γωνιῶν ὑπεροχαὶ ἐπὶ τὸ ἔλαττον συναχθήσονται . ὥστε καί , ὅταν μὲν ε μοίρας ἡ σελήνη κατὰ πλάτος ἀπέχῃ τοῦ διὰ μέσων , ἡ πλείστη διαφορὰ τῶν παραλλάξεων ἔσται δέκα ἔγγιστα ἑξηκοστῶν · αἰ γὰρ τοῦ μεγίστου διαφόρου τῶν περιφερειῶν μοῖραι ε τοσαῦτα ποιοῦσιν ἑξηκοστὰ παραλλάξεως ἐπὶ τῶν μεγίστων ὑπεροχῶν καὶ ἐλαχίστων ἀποστημάτων · ὅταν δὲ τὴν ἐν ταῖς ἡλιακαῖς ἐκλείψεσιν μεγίστην πάροδον ἀπέχῃ · αὕτη δὲ γίνεται μιᾶς μοίρας ἔγγιστα καὶ ἡμίσους · τὰ ἴσα ἑξηκοστὰ ᾱ U+2220΄ διάφορον ἔσται τῆς παραλλάξεως τοῦ τοιούτου σπανίως συμπίπτοντος . ἡ μέντοι μέθοδος ἡ πρὸς τὴν τοιαύτην διόρθωσιν τῶν τε γωνιῶν καὶ τῶν περιφερειῶν γένοιτο ἂν πρόχέιρος τοῖς βουλομένοις ὡς ἐν οὕτως μικροῖς λόγοις τὸν τρόπον τοῦτον . καθόλου γὰρ τὸν τῶν γωνιῶν ἀριθμὸν διπλώσαντες καὶ εἰσενεγκόντες εἰς τὸ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν κανόνιον τὰ παρακείμενα αὐτῷ τε καὶ τῷ λείποντι εἰς τὰς τῶν δύο ὀρθῶν μοίρας ρπ χωρὶς πολυπλασιάσαντες ἐπὶ τὰς τοῦ πλάτους μοίρας τὸ ρκ΄ ἑκατέρων ἀπογραψόμεθα καὶ τὰ ἐκ τῆς πρώτης γωνίας γενόμενα ἀφελοῦμεν μὲν ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν περιφερείας , ὅταν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ᾖ τῷ κατὰ κορυφὴν ἡ σελήνη , προσθήσομεν δέ , ὅταν ἐπὶ τὰ ἐναντία , καὶ τὰ γενόμενα ποιήσαντες ἐφʼ ἑαυτὰ συνθέντες τε τοῖς ἐκ τῆς λειπούσης γωνίας γενομένοις τετραγωνισθεῖσι καὶ αὐτοῖς τῶν συναχθέντων τὴν πλευρὰν ἕξομεν οἰκείως τὴν ἐπιζητουμένην περιφέρειαν . ἔπειτα τὰ ἐκ τῆς λειπούσης γωνίας ἀπογεγραμμένα ἑκατοντακικαιεικοσάκι ποιήσαντες καὶ μερίσαντες χωρὶς εἰς τὰς εὑρημένας περιφερείας τῶν τοῖς γενομένοις παρακειμένων περιφερειῶν ἐν τῷ κανόνι τῶν εὐθειῶν τὰς ἡμισείας , ἐὰν μὲν μείζων ᾖ ἡ διωρθωμένη περιφέρεια τῆς πρώτης , προσθήσομεν ταῖς τῆς πρώτης γωνίας , ἐὰν δὲ ἐλάσσων , ἀφελοῦμεν αὐτῶν , καὶ ἕξομεν καὶ τὴν γωνίαν διωρθωμένην . ὑποδείγματος δὲ ἕνεκεν ὑποκείσθω ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς ἡ μὲν ΖΒ περιφέρεια μοιρῶν με , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τοιούτων λ , οἵων ἡ μία ὀρθὴ ?? , ἐκατέρα δὲ τῶν ΔΒ καὶ ΒΕ τοῦ πλάτους μοιρῶν ε . ἐπεὶ τοίνυν ταῖς μὲν διπλαῖς τῶν λ μοιρῶν , τουτἐστιν ταῖς ξ , παράκειται εὐθεῖα τμημάτων ξ , ταῖς δὲ λειπούσαις εἰς τὰς δύο ὀρθάς , τουτέστιν ταῖς ρκ , παράκειται εὐθεῖα τμημάτων ρδ ἔγγιστα , γίνεται λόγος τῆς ΒΛ πρὸς ΛΕ ὁ τῶν ξ πρὸς τὰ ρδ . ὁ δʼ αὐτὸς καὶ τῆς ΒΚ πρὸς ΔΚ , οἵων ἡ ὑποτείνουσα ρκ . πολυπλασιάσαντες οὖν ἑκάτερον τῶν ἀριθμῶν ἐπὶ τὰς ε μοίρας τῆς ὑποτεινούσης καὶ τὸ ρκ΄ αὐτῶν λαβόντες ἕξομεν ἑκατέραν μὲν τῶν ΚΒ καὶ ΒΛ τῶν αὐτῶν β λ , ἑκατέραν δὲ τῶν ΔΚ καὶ ΕΛ ὁμοίως δ κ . τὰ δὴ β λ πρῶτον , ἐὰν μὲν κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἡ σελήνη ὑποκέηται , ἀφελόντες τῶν τῆς ΖΒ περιφερείας μοιρῶν με διὰ τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ κατὰ κορυφὴν εἶναι τὴν κατὰ πλάτος ἀποχὴν τῆς σελήνης , τουτέστιν διὰ τὸ ἀμφότερα ἢ νοτιώτερα ἢ βορειότερα εἶναι τοῦ ζῳδιακοῦ , ἕξομεν τὴν ΖΛ μοιρῶν μβ λ , ἐὰν δὲ κατὰ τὸ Δ ᾖ σελήνη , προσθέντες αὐταῖς διὰ τὸ ἐναντίον ἕξομεν τὴν ΖΚ μοιρῶν μζ λ . συνθέντες οὖν τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΖΛ καὶ ΖΚ χωρὶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΔΚ καὶ ΚΛ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῶν δ κ μετά τε τοῦ ἀπὸ τῶν μβ λ καὶ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῶν μζ λ , καὶ τῶν συναχθέντων χωρὶς λαβόντες τὴν πλευρὰν ἕξομεν καὶ τὴν μὲν ΖΕ περιφέρειαν μοιρῶν μβ μς ἔγγιστα , τὴν δὲ ΖΔ ὁμοίως μζ μδ . λοιπὸν δὲ τὰ δ κ ἑκατοντακικαιεικοσάκι ποιήσαντες καὶ παραβαλόντες χωρὶς παρά τε τὰ μβ μς καὶ παρὰ τὰ μζ μδ ἕξομεν τὴν μὲν ΕΛ τοιούτων ιβ η ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ ΖΕ ὑποτείνουσα ρκ , τὴν δὲ ΔΚ τοιούτων ῑ U+2220΄ γ΄ ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ ΖΔ ὑποτείνουσα ρκ . παράκειται δὲ τῇ μὲν τῶν ιβ η εὐθείᾳ περιφέρεια μοιρῶν ῑᾱ καὶ γ ε΄ , τῇ δὲ τῶν ῑ U+2220΄ γ΄ περιφέρεια μοιρῶν ῑ γ΄ ἔγγιστα , ὧν τὰ ἡμίση λαβόντες τὰ μὲν ε καὶ δ ε΄ τῆς ὑπὸ ΕΖΛ γωνίας ἀφείλομεν τῶν τῆς ὑπὸ ΑΒΖ γωνίας μοιρῶν λ διὰ τὸ καὶ τὴν ΖΕ περιφέρειαν ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΖΒ καὶ ἔσχομεν τὴν ὑπὸ ΑΘΖ γωνίαν μοιρῶν κδ ε΄ , τὰ δὲ ε ς΄ τῆς ὑπὸ ΔΖΚ γωνίας προσθέντες τοῖς αὐτοῖς λ διὰ τὸ καὶ τὴν ΖΔ περιφέρειαν μείζονα εἶναι τῆς ΖΒ ἔσχομεν καὶ τὴν ὑπὸ ΑΗΖ γωνίαν μοιρῶν λε ς΄ · ἄπερ προέκειτο μεθοδεῦσαι .
Lemmas: Ὅτανταν οὖν προαίρω λαμβάνω , πόσος ὁ σελήνη κατά ἕκαστος ὁ πάροδος παραλλάσσω πρῶτος ἐπί ὁ διά αὐτός καί ὁ κατά κορυφή σημεῖον γράφω μέγας κύκλος , ἐπισκοπέω , πόσος ἰσημερινός ὥρα ἀπέχω ὁ μεσημβρινός κατά ὁ ὑπόκειμαι κλίμα , καί ὁ εὑρίσκω εἰσφέρω εἰς ὁ ὁ γωνία κανών ὁ οἰκεῖος κλίμα καί ὁ οἰκεῖος δωδεκατημόριον ὁ παράκειμαι ὁ ὥρα μοῖρα ἐν ὁ δύο σελίδιον ἢ ὅλος ἢ ὁ ἐπιβάλλω ὁ μέρος ὁ ὥρα ἔχω , ὅς ἀπέχω ὁ κατά κορυφή σημεῖον ὁ σελήνη ἐπί ὁ διά αὐτός γράφω μέγας κύκλος , ὅς εἰσφέρω εἰς ὁ ὁ παράλλαξις κανών σκέπτομαι , κατά ποῖος εἰμί στίχος ὁ πρῶτος σελίδιον , καί ὁ παράκειμαι ὁ ἀριθμός ἐν ὁ ἐφεξῆς μετά ὁ ὁ ἡλιακός παράλλαξις τέσσαρες σελίδιον , τουτέστιν ὁ τε Γ΄ καί ὁ Δ΄ καί ὁ Ε΄ καί ὁ ϛυʹ , Χωρὶς ἕκαστος ἀπογράφω · ἔπειτα ὁ κατά ἐκεῖνος ὁ ὥρα διακρίνω ὁ ἀνωμαλία ἀριθμός πρός ὁ ἀκριβής ἀπόγειον λαμβάνω ἢ αὐτός ἤ , ἐάν ὑπερπίπτω ὁ ρ μοῖρα , ὁ λείπω εἰς ὁ τξʹ ὁ ἥμισυς πάντοτε ὁ οὕτως λαμβάνω μοῖρα εἰσφέρω εἰς ὁ αὐτός ἀριθμός σκέπτομαι , πόσος ἑξηκοστός παράκειμαι ὁ ἀριθμός Χωρὶς ἐν τε ὁ Ζ΄ καί Η΄ σελίδιον , καί ὅσος μέν εἄν ἐν ὁ Ζ΄ σελίδιον εὑρίσκω , ὁ τοσοῦτος ἑξηκοστός λαμβάνω ὁ ἐν ὁ Δ΄ σελίδιον διάφορος προστίθημι ἀεί ὁ ὁ τρίτος σελίδιον παράλλαξις , ὅσος δέ εἄν ἐν ὁ Η΄ σελίδιον εὑρίσκω , ὁ τοσοῦτος ἑξηκοστός λαμβάνω ὁ ἐν ὁ ΣΤ΄ σελίδιον διάφορος προστίθημι ἀεί πάλιν ὁ ὁ Ε΄ σελίδιον παράλλαξις καί ὁ οὕτως γίγνομαι δύο παράλλαξις ἐκτίθημι ὁ ὑπεροχή · ἑξῆς δέ λαμβάνω , ὅσος ἀπέχω μέσος ὁ σελήνη μοῖρα ἤτοι ὁ ἡλιακός ἢ ὁ οὗτος διαμετρέω κατά ὁ ἐγγύς ὁπότερος αὐτός διάστασις , εἰσφέρω καί οὗτος εἰς ὁ ἐν ὁ Α΄ σελίδιον ἀριθμός , καί ὅσος ἐάν παράκειμαι πάλιν ἑξηκοστός ἐν ὁ Θ΄ καί τελευταῖος σελίδιον , ὁ τοσοῦτος ἑξηκοστός λαμβάνω , ὅς ἐκτίθημι ὁ δύο παράλλαξις ὑπεροχή , ὁ γίγνομαι προστίθημι ἀεί ὁ μικρός , τουτέστιν ὁ ἐκ ὁ Γ΄ καί Δ΄ σελίδιον διακρίνω , καί ὁ συνάγω ἔχω , ὁ παραλλάσσω ὁ σελήνη ἐπί ὁ διά αὐτός καί ὁ κατά κορυφή σημεῖον γράφω μέγας κύκλος , θεωρέω αὐτόθεν ἀπλόος καί ὁ ἡλιακός παράλλαξις κατά ὁ ὅμοιος θέσις ἕνεκα ὁ ἡλιακός ἔκλειψις ἐκ ὁ ἐν ὁ Β΄ σελίδιον παράκειμαι μοῖρα ὁ πηλικότης ὁ ἀπό ὁ κατά κορυφή περιφέρεια . ἵνα οὖν καί ὁ πρός ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον τότε γίγνομαι παράλλαξις διακρίνω κατά τε μῆκος καί κατά πλάτος , ὁ αὐτός πάλιν ἰσημερινός ὥρα , ὅς ἀπέχω ὁ μεσημβρινός ὁ σελήνη , εἰσφέρω εἰς ὁ αὐτός μέρος ὁ ὁ γωνία κανών ἐπισκοπέω ὁ παράκειμαι ὁ ἀριθμός ὁ ὥρα μοῖρα , ἐάν μέν πρό ὁ μεσημβρινός εἰμί ὁ σελήνη , ὁ ἐν ὁ Γ΄ σελίδιον , ἐάν δέ μετά ὁ μεσημβρινός , ὁ ἐν ὁ Δ΄ , κἀν μέν ἐντός ὁ μοῖρα εἰμί , αὐτός ἀπογράφω , ἐάν δέ ὑπέρ ὁ ?? , ὁ λείπω εἰς ὁ ῥέω · τοσοῦτος γάρ εἰμί ὁ μικρός ὁ περί ὁ ἔκκειμαι τομή γωνία , οἷος ὁ εἷς ὀρθός ?? ὁ ἀπογράφω οὖν μοῖρα διπλόω εἰσφέρω εἰς ὁ ὁ ἐν κύκλος εὐθύς κανόνιον αὐτός τε καί ὁ λείπω εἰς ὁ ρπʹ , καί εἰμί ἄν ἔχω λόγος ὁ ὁ ὁ διπλώνω μοῖρα περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς πρός ὁ ὑποτείνω ὁ λείπω εἰς ὁ ἡμικύκλιον , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ κατά πλάτος παράλλαξις πρός ὁ κατά μῆκος , ἐπεί ὁ τῆλις - καυτής ὁ κύκλος περιφέρεια ἀδιαφορέω εὐθύς . πολυπλασιάζω οὖν ὁ ἀριθμός ὁ παράκειμαι εὐθύς ἐπί ὁ εὑρίσκω ὡς ἐπί ὁ διά ὁ κατά κορυφή σημεῖον γράφω κύκλος παράλλαξις καί ὁ γίγνομαι μερίζω εἰς ὁ ρκʹ Χωρὶς ὁ ἐκ ὁ μερισμός συνάγω μόριον ἔχω ὁ οἰκεῖος παράλλαξις . καθόλου δέ ἐπί μέν ὁ κατά πλάτος παράλλαξις , ὅταν μέν ὁ κατά κορυφή σημεῖον ἐπί ὁ μεσημβρινός βόρειος ὁ τότε μεσουρανέω ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος , ὁ παράλλαξις εἰμί πρός μεσημβρία αὐτός , ὅταν δέ νότιος ὁ κατά κορυφή ὁ μεσουρανέω , πρός ὁ ἄρκτος ὁ κατά πλάτος εἰμί παράλλαξις , ἐπί δέ ὁ κατά μῆκος , ἐπεί ὁ πηλικότης ὁ ἐν ὁ κανών παράκειμαι γωνία ὁ ἀπό ἄρκτος περιέχω ὁ δύο ὁ ὑπό ὁ ἕπομαι τμῆμα ὁ διά μέσος ἑκατέρωθεν περιέχω , ὁ μέν κατά πλάτος παράλλαξις πρός ἄρκτος γίγνομαι , ἐάν μέν μείζων ὀρθός ὁ ἔκκειμαι γωνία , εἰς ὁ προηγούμενος ὁ ζῴδιον ὁ κατά μῆκος εἰμί παράλλαξις , ἐάν δέ μικρός ὀρθός , εἰς ὁ ἕπομαι , ὁ δέ κατά πλάτος παράλλαξις πρός μεσημβρία γίγνομαι ἀνάπαλιν , ἐάν μέν μείζων εἰμί ὀρθός ὁ ἔκκειμαι γωνία , εἰς ὁ ἕπομαι ὁ ζῴδιον ὁ κατά μῆκος εἰμί παράλλαξις , ἐάν δέ μικρός ὀρθός , εἰς ὁ προηγούμενος . συγχράομαι μέντοι ὁ προαποδείκνυμι περί ὁ ἥλιος ὡς μηδείς αἰσθητός αὐτός παραλλάσσω οὐ ἀγνοέω , ὅτι ποιέω τις περί αὐτός διαφορά ὁ κατανοέω καί περί αὐτός ἐκ ὁ ἐφεξῆς παράλλαξις , ἀλλά ἐπεί μή οὕτως ἀξιόλογος ἡγέομαι περί ὁ φαίνω διά οὗτος παρακολουθέω ἁμαρτία , ὥστε ἀναγκαῖος εἰμί κινέω τις ὁ ἄνευ ὁ τοιοῦτος ἐπίστασις βραχύς γε εἰμί προδιαλαμβάνω · ὁμοίως δέ καί πρός ὁ παράλλαξις ὁ σελήνη ἀρκέω ὁ πρός ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος γίγνομαι ὑπό ὁ διά ὁ πόλος ὁ ὁρίζων γράφω μέγας κύκλος περιφέρεια τε καί γωνία ἀντί ὁ πρός ὁ λοξός ὁ σελήνη θεωρέω , ἐπεί ὁ μέν ἐν ὁ ἐκλειπτικός συζυγία εἰμί παρά οὗτος διάφορος ἀνεπαίσθητος ἧμαι , ὁ δέ καί οὗτος ἐκτίθημι πολύχοος τε ὁ δεῖξις καί ἐργώδης ἐν ὁ ἐπιλογισμός μή ὁρίζω κατά ἕκαστος ὁ ἐπί ὁ ζῳδιακός πάροδος ὁ σελήνη καί ὁ ἀπό ὁ σύνδεσμος διάστασις , ἀλλά καί ὁ μέγεθος καί ὁ θέσις αὐτός ποικίλος μετάβασις λαμβάνω . ἵνα δέ εὐκατανόητος γίγνομαι ὁ λέγω , ἔκκειμαι ὁ μέν ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος τμῆμα ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ λοξός ὁ σελήνη ὁ ΑΔ , καί σύνδεσμος μέν ὑπόκειμαι ὁ Α σημεῖον , ὁ δέ σελήνη κέντρον ὁ δ , καί γράφω ἀπό ὁ δ ἐπί ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὀρθός ὁ ΔΒ , ἵστημι δέ πόλος ὁ ὁρίζων ὁ Ε σημεῖον , καί γράφω διά αὐτός μέγας κύκλος τμῆμα διά μέν ὁ κέντρον ὁ σελήνη ὁ ΕΔΖ , διά δέ ὁ Β ὁ ΕΒ , παραλλάσσω τε ὁ σελήνη ὁ δΗ περιφέρεια , καί γράφω διά αὐτός πρός ὁ ΒΔ καί ΒΖ ὀρθός ὁ ΗΘ καί ΗΚ , ὥστε ὁ μέν κατά μῆκος ἀποχή ὁ σύνδεσμος ὁ μέν ἀκριβής γίγνομαι ὁ ΑΒ , ὁ δέ φαίνω ὁ ΑΚ , ὁ δέ κατά πλάτος ἀπό ὁ διά μέσος ὁ μέν ἀκριβής ὁ ΒΔ , ὁ δέ φαίνω ὁ ΚΗ , καί ὁ ἀπό ὁ δΗ πρός ὁ ζῳδιακός θεωρέω παράλλαξις κατά μῆκος μέν ὁ ἴσος ὁ τίθημι , κατά πλάτος δέ ὁ ἴσος ὁ ΔΘ . ἐπεί οὖν ὁ μέν δΗ παράλλαξις εὑρίσκω διά ὁ προεκτίθεμαι ὁ ΕΔ περιφέρεια δίδωμι , ἑκάτερος δέ ὁ ΔΘ καί τίθημι παράλλαξις ὁ ὑπό ΓΖΕ γωνία δίδωμι , ἐγώ δέ ἐν ὁ ἔμπροσθεν ἀποδείκνυμι ὁ πρός ὁ δίδωμι ὁ ζῳδιακός σημεῖον γίγνομαι ὁ διά ὁ κατά κορυφή περιφέρεια τε καί γωνία , μόνος δέ ἔχω ἐνταῦθα δίδωμι ὁ διά μέσος σημεῖον ὁ Β , φανερός , ὅτι ὁ μέν ΕΒ περιφέρεια συγχράομαι ἀντί ὁ ΕΔ , ὁ δέ ὑπό ΓΒΕ γωνία ἀντί ὁ ὑπό ΓΖΕ . ὁ μέν οὖν Ἵππαρχος ἐπιχειρέω μέν καί ὁ τοιοῦτος διόρθωσις ποιέω , πάνυ δέ ἀνεπίστατος καί παρά ὁ λόγος αὐτός φαίνω προσβάλλω . πρῶτος μέν γάρ εἷς διάστασις ὁ ΑΔ συγχράω καί οὐ πᾶς ἢ πλείων , ὅσπερ ἧμαι ἀκόλουθος ὁ καί περί ὁ μικρός ἀκριβολογέομαι προαιρέω · ἔπειτα καί πλείων ὁ ἄτοπος λανθάνω περιπίπτω . ἐπεί γάρ καί αὐτός ὁ τε περιφέρεια καί ὁ γωνία ὁ πρός ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον θεωρέω τυγχάνω προαποδείκνυμι , καί ὅτι ὁ ΕΔ δίδωμι ὁ δΗ λαμβάνω · οὗτος γάρ ἐν ὁ πρῶτος ὁ παραλλακτικός ἀποδείκνυμι · συγχράομαι πρός ὁ ὁ ΕΔ περιφέρεια δόσις ὁ τε ΕΖ περιφέρεια καί ὁ ὑπό ΕΖΓ γωνία ὡς δίδωμι · οὕτως γάρ ἐν ὁ δύο ὁ ΖΔ ἐπιλογίζομαι καί λοιπός ὁ ΕΔ ὑποτίθημι . παράγω αὐτός μέντοι ὁ μή ἐφίστημι , διότι ὁ Β καί οὐ ὁ Ζ σημεῖον εἰμί ὁ διά μέσος ὁ δίδωμι , καί διά οὗτος ὁ τε περιφέρεια ὁ ΕΒ δίδωμι καί οὐ ὁ ΕΖ καί ὁ γωνία ὁ ὑπό ΕΒΓ καί οὐ ὁ ὑπό ΕΖΓ . ἔνθεν καί πρός ὁ ποιέω τις κἀν μερικός διόρθωσις κινέω πολλαχῆ γίγνομαι αἰσθητός πάνυ διαφορά ὁ ΕΔ περιφέρεια πρός ὁ ΕΖ διά ὁ πολύς μᾶλλον ἐκεῖνος αὐτός μή δίδωμι , ὁ δέ ΒΕ ὁ ὁ εἰμί δίδωμι ὁ πρός ὁ ΕΔ διαφορά ὁ πλεῖστος διαφέρω μόνος ὁ ὁ ΒΔ κατά ἕκαστος ὁ ἀπό ὁ σύνδεσμος διάστασις μέγεθος . ὁ μέντοι ὁ κατά ὁ ὑγιής τρόπος εἰμί διόρθωσις ἀκόλουθος γίγνομαι εἄν ἐγώ ὑπό ὄψις οὕτως . ἵστημι γάρ ζῳδιακός ὁ ΑΒΓ καί πρός ὀρθός αὐτός ὁ δΒΕ , ὁ δέ σελήνη ἤτοι κατά ὁ δ ἢ κατά ὁ Ε ἀπέχω κατά πλάτος ὁ ΑΒΓ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος δίδωμι περιφέρεια , οἷος ὁ ΒΔ καί ὁ ΒΕ , ὥστε ὁ μέν πρός ὁ Β σημεῖον ὁ ζῳδιακός περιφέρεια ἀπό ὁ κατά κορυφή καί γωνία δίδωμι , ζητέω δέ ὁ πρός ὁ δ ἢ ὁ Ε γίγνομαι . ἐάν μέν δή τοιοῦτος ἔχω θέσις ὁ ζῳδιακός , ὥστε πρός ὀρθός γωνία εἰμί ὁ διά ὁ Ζ σημεῖον , ὅς ὑπόκειμαι πόλος ὁ ὁρίζων , καί διά ὁ Β γράφω μέγας κύκλος , οἷος ὁ ΖΒ , συμπίπτω οὗτος δηλονότι ὁ ΔΕ περιφέρεια , καί ὁ μέν γωνία ὁ πρός ὁ δ καί Ε θεωρέω ἀδιάφορος εἰμί ὁ πρός ὁ Β ὑπόκειμαι · ὀρθός γάρ καί ὁ διά οὗτος πρός ὁ ζῳδιακός γίγνομαι · ὁ δέ ΖΒ περιφέρεια ὁ μέν ΖΔ μικρός εἰμί ὁ ΒΔ , ὁ δέ ΖΕ μείζων ὁ ΒΕ δίδωμι καί αὐτός . ἐάν δέ συμπίπτω ὁ ΑΒΓ ζῳδιακός ὁ διά ὁ κατά κορυφή σημεῖον γράφω μέγας κύκλος , καί ὑποτίθημι πόλος ὁ ὁρίζων ὁ Α ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ καί ΑΕ , καί οὗτος διαφέρω ὁ ΑΒ περιφέρεια καί ὁ ὑπό ΔΑΒ καί ΒΑΕ γωνία ὁ μή εἰμί πρότερος . δίδωμι δέ ὁ μέν ΑΔ καί ΑΕ ὁ λόγος εἰμί ὡς ἐπί εὐθύς διά ὁ ἀδιάφορος ἀπό τε ὁ ΑΒ καί ὁ ΒΔ καί ΒΕ δίδωμι · ὁ γάρ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΑΔ καί ΑΕ · ἀκόλουθος δέ αὐτός καί ὁ ὑπό ΔΑΒ καί ΒΑΕ γωνία . ὁ δέ ὁ ζῳδιακός θέσις ἐγκλίνω , ἐάν ἀπό ὁ Ζ πόλος ὁ ὁρίζων ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ καί ΖΗΔ καί ΖΕΘ , δίδωμι μέν εἰμί ὅς τε ΖΒ περιφέρεια καί ὁ ὑπό ΑΒΖ γωνία καί πάλιν δηλονότι ὁ ΒΔ καί ΒΕ . ὀφείλω δέ δίδωμι ὁ τε ΖΔ καί ΖΕ περιφέρεια καί ὁ ὑπό ΑΗΖ καί ὑπό ΑΘΖ γωνία , δίδωμι δέ καί οὗτος κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΖΒ ὁ δΚ καί ΕΛ . ἐπεί γάρ ὁ ὑπό ΑΒΖ γωνία δίδωμι , ὀρθός δέ πάντοτε ὁ ὑπό ΑΒΕ , δίδωμι ὁ ΒΚΔ καί ΕΛΒ ὀρθογώνιος καί λόγος ὁ ΖΒ πρός ὁ περί ὁ ὀρθός , ἐπεί καί πρός ὁ ΔΒ καί ΒΕ ὑποτείνω · ὥστε καί ὁ ΖΔ , ΖΕ ὑποτείνω δίδωμι διά οὗτος τε καί ὁ ὑπό ΔΖΚ καί ὑπό ΕΖ γωνία ὑπεροχή εἰμί ὁ ἐπιζητέω · ὁ μέν γάρ ὑπό ΑΗΖ μείζων εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΖ ὁ ὑπό δΖΒ , ὁ δέ ὑπό ΑΘΖ μικρός ὁ ὑπό ΑΒΖ ὁ ὑπό ΕΖ . φανερός δέ , ὅτι καί πλεῖστος γίγνομαι διαφορά ὁ αὐτός κατά πλάτος ἀποχή ὑπόκειμαι ὁ μέν γωνία , ὅταν ὁ Β σημεῖον αὐτός εἰμί ὁ κατά κορυφή · μηδείς γάρ πρός ὁ Β γίγνομαι γωνία ὁ ἐπί ὁ δ καί Ε ἀπό ὁ κατά κορυφή ὀρθός ποιέω πρός ὁ ζῳδιακός γωνία · ὁ δέ περιφέρεια , ὅταν ὁ αὐτός θέσις εἰμί · μηδείς γάρ πάλιν γίγνομαι πρός ὁ Β περιφέρεια ὁ πρός ὁ δ καί Ε τηλικοῦτος εἰμί , ἡλίκος εἄν εἰμί καί ὁ ὁ κατά πλάτος πάροδος ὁ σελήνη · καί ὅταν ὀρθός πρός ὁ ζῳδιακός ὁ διά ὁ κατά κορυφή · ὅλος γάρ πάλιν ὁ κατά πλάτος πάροδος διαφέρω ὁ ΖΒ ὁ ΖΔ καί ΖΕ περιφέρεια · ἐν δέ ὁ ἄλλος θέσις ἐγκλίνω ὁ ΔΕ πρός ὁ ΖΒ ὁ τε ὁ περιφέρεια καί ὁ ὁ γωνία ὑπεροχή ἐπί ὁ μικρός συνάγω . ὥστε καί , ὅταν μέν ε μοῖρα ὁ σελήνη κατά πλάτος ἀπέχω ὁ διά μέσος , ὁ πλεῖστος διαφορά ὁ παράλλαξις εἰμί δέκα ἔγγιστος ἑξηκοστός · ὁ γάρ ὁ μέγας διάφορος ὁ περιφέρεια μοῖρα ε τοσοῦτος ποιέω ἑξηκοστός παράλλαξις ἐπί ὁ μέγας ὑπεροχή καί μικρός ἀπόστημα · ὅταν δέ ὁ ἐν ὁ ἡλιακός ἔκλειψις μέγας πάροδος ἀπέχω · οὗτος δέ γίγνομαι εἷς μοῖρα ἔγγιστος καί ἥμισυς · ὁ ἴσος ἑξηκοστός ὅς U+2220΄ διάφορος εἰμί ὁ παράλλαξις ὁ τοιοῦτος σπανίως συμπίπτω . ὁ μέντοι μέθοδος ὁ πρός ὁ τοιοῦτος διόρθωσις ὁ τε γωνία καί ὁ περιφέρεια γίγνομαι εἄν πρόχειρος ὁ βούλομαι ὡς ἐν οὕτως μικρός λόγος ὁ τρόπος οὗτος . καθόλου γάρ ὁ ὁ γωνία ἀριθμός διπλόω καί εἰσφέρω εἰς ὁ ὁ ἐν κύκλος εὐθύς κανόνιον ὁ παράκειμαι αὐτός τε καί ὁ λείπω εἰς ὁ ὁ δύο ὀρθός μοῖρα ρπʹ Χωρὶς πολυπλασιάζω ἐπί ὁ ὁ πλάτος μοῖρα ὁ ρκ΄ ἑκάτερος ἀπογράφω καί ὁ ἐκ ὁ πρῶτος γωνία γίγνομαι ἀφαιρέω μέν ἀπό ὁ ὑπόκειμαι ἀπό ὁ κατά κορυφή περιφέρεια , ὅταν ἐπί ὁ αὐτός εἰμί ὁ κατά κορυφή ὁ σελήνη , προστίθημι δέ , ὅταν ἐπί ὁ ἐναντίος , καί ὁ γίγνομαι ποιέω ἐπί ἑαυτοῦ συντίθημι τε ὁ ἐκ ὁ λείπω γωνία γίγνομαι τετραγωνίζω καί αὐτός ὁ συνάγω ὁ πλευρά ἔχω οἰκεῖος ὁ ἐπιζητέω περιφέρεια . ἔπειτα ὁ ἐκ ὁ λείπω γωνία απογεγραμμένος ἑκατοντακικαιεικοσάκι ποιέω καί μερίζω Χωρὶς εἰς ὁ εὑρίσκω περιφέρεια ὁ ὁ γίγνομαι παράκειμαι περιφέρεια ἐν ὁ κανών ὁ εὐθύς ὁ ἥμισυς , ἐάν μέν μείζων εἰμί ὁ διορθόω περιφέρεια ὁ πρῶτος , προστίθημι ὁ ὁ πρῶτος γωνία , ἐάν δέ μικρός , ἀφαιρέω αὐτός , καί ἔχω καί ὁ γωνία διορθόω . ὑπόδειγμα δέ ἕνεκα ὑπόκειμαι ἐπί ὁ πρόκειμαι καταγραφή ὁ μέν ΖΒ περιφέρεια μοῖρα ἐγώ , ὁ δέ ὑπό ΑΒΖ γωνία τοιοῦτος λ , οἷος ὁ εἷς ὀρθός ?? , κατεράω δέ ὁ ΔΒ καί ΒΕ ὁ πλάτος μοῖρα ε . ἐπεί τοίνυν ὁ μέν διπλόος ὁ λ μοῖρα , τουτέστιν ὁ ξ , παράκειμαι εὐθύς τμῆμα ξ , ὁ δέ λείπω εἰς ὁ δύο ὀρθός , τουτέστιν ὁ ρκʹ , παράκειμαι εὐθύς τμῆμα ρδʹ ἔγγιστος , γίγνομαι λόγος ὁ ΒΛ πρός ΛΕ ὁ ὁ ξ πρός ὁ ρδʹ . ὁ δέ αὐτός καί ὁ ΒΚ πρός δΚ , οἷος ὁ ὑποτείνω ρκʹ . πολυπλασιάζω οὖν ἑκάτερος ὁ ἀριθμός ἐπί ὁ ε μοῖρα ὁ ὑποτείνω καί ὁ ρκ΄ αὐτός λαμβάνω ἔχω ἑκάτερος μέν ὁ ΚΒ καί ΒΛ ὁ αὐτός Β λ , ἑκάτερος δέ ὁ δΚ καί ΕΛ ὁμοίως δ Κ . ὁ δή Β λ πρῶτος , ἐάν μέν κατά ὁ Ε σημεῖον ὁ σελήνη ὑπόκειμαι , ἀφαιρέω ὁ ὁ ΖΒ περιφέρεια μοῖρα ἐγώ διά ὁ ἐπί ὁ αὐτός ὁ κατά κορυφή εἰμί ὁ κατά πλάτος ἀποχή ὁ σελήνη , τουτέστιν διά ὁ ἀμφότερος ἢ νότιος ἢ βόρειος εἰμί ὁ ζῳδιακός , ἔχω ὁ ΖΛ μοῖρα μβʹ λ , ἐάν δέ κατά ὁ δ εἰμί σελήνη , προστίθημι αὐτός διά ὁ ἐναντίος ἔχω ὁ ΖΚ μοῖρα μζʹ λ . συντίθημι οὖν ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ ΖΛ καί ΖΚ Χωρὶς μετά ὁ ἀπό ἑκάτερος ὁ δΚ καί ΚΛ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ δ Κ μετά τε ὁ ἀπό ὁ μβʹ λ καί μετά ὁ ἀπό ὁ μζʹ λ , καί ὁ συνάγω Χωρὶς λαμβάνω ὁ πλευρά ἔχω καί ὁ μέν ΖΕ περιφέρεια μοῖρα μβʹ μς ἔγγιστος , ὁ δέ ΖΔ ὁμοίως μζʹ μδʹ . λοιπός δέ ὁ δ Κ ἑκατοντακικαιεικοσάκι ποιέω καί παραβάλλω Χωρὶς παρά τε ὁ μβʹ μς καί παρά ὁ μζʹ μδʹ ἔχω ὁ μέν ΕΛ τοιοῦτος Ἶβ ὁ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ ΖΕ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ δΚ τοιοῦτος Ι U+2220΄ Γ΄ ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ ΖΔ ὑποτείνω ρκʹ . παράκειμαι δέ ὁ μέν ὁ Ἶβ ὁ εὐθύς περιφέρεια μοῖρα ιαʹ καί γ Ε΄ , ὁ δέ ὁ Ι U+2220΄ Γ΄ περιφέρεια μοῖρα Ι Γ΄ ἔγγιστος , ὅς ὁ ἥμισυς λαμβάνω ὁ μέν ε καί δ Ε΄ ὁ ὑπό ΕΖ γωνία ἀφαιρέω ὁ ὁ ὑπό ΑΒΖ γωνία μοῖρα λ διά ὁ καί ὁ ΖΕ περιφέρεια μικρός εἰμί ὁ ΖΒ καί ἔχω ὁ ὑπό ΑΘΖ γωνία μοῖρα ΚΔ Ε΄ , ὁ δέ ε ς΄ ὁ ὑπό ΔΖΚ γωνία προστίθημι ὁ αὐτός λ διά ὁ καί ὁ ΖΔ περιφέρεια μείζων εἰμί ὁ ΖΒ ἔχω καί ὁ ὑπό ΑΗΖ γωνία μοῖρα λεʹ ς΄ · Ἄπερ πρόκειμαι μεθοδεύω .