claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 11.2
β΄ . Ἀπόδειξις τῆς τοῦ ἐπικύκλου τοῦ τοῦ Διὸς πηλικότητος . Πάλιν ἐφεξῆς εἰς τὴν δεῖξιν τῆς τοῦ ἐπικύκλου πηλικότητος ἐλάβομεν τήρησιν , ἣν διωπτεύσαμεν τῷ β΄ ἔτει Ἀντωνίνου κατʼ Αἰγυπτίους Μεσορὴ κϚ΄ εἰς τὴν κζ΄ πρὸ τῆς τοῦ ἡλίου ἀνατολῆς , τουτέστιν μετὰ ε ὥρας ἔγγιστα ἰσημερινὰς τοῦ μεσονυκτίου , ἐπειδήπερ ἡ μὲν μέση τοῦ ἡλίου πάροδος ἐπεῖχεν Καρκίνου μοίρας ῑϚ ῑᾱ , ἐμεσουράνει δʼ ἐν τῷ ἀστρολάβῳ ἡ β΄ μοῖρα τοῦ Κριοῦ · τότε δὲ πρὸς μὲν τὴν λαμπρὰν Ὑάδα διοπτευόμενος ὁ τοῦ Διὸς ἐπέχων ἐφαίνετο Διδύμων μοίρας ῑε U+2220 δ΄ , τῷ δὲ κέντρῳ τῆς σελήνης νοτιωτέρας οὔσης ἐξ ἴσου ἐφαίνετο . ἀλλʼ εἰς ἐκείνην τὴν ὥραν διὰ τῶν προεκτεθειμένων ἐπιλογισμῶν εὑρίσκομεν τὴν σελήνην μέσως μὲν ἐπέχουσαν Διδύμων μοίρας θ Ο , ἀνωμαλίας δʼ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας σοβ ε , διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν μὲν ἀκριβῆ πάροδον αὐτῆς περὶ τὰς ῑδ ν μοίρας τῶν Διδύμων , τὴν δʼ ἐν Ἀλεξανδρείᾳ φαινομένην περὶ τὰς ῑε με · ὁ ἄρα τοῦ Διὸς ἀστὴρ καὶ οὕτως ἐπεῖχεν τὰς ῑε U+2220΄ δ΄ μοίρας τῶν Διδύμων . πάλιν δʼ , ἐπεὶ ὁ ἀπὸ τῆς γ΄ ἀκρωνύκτου μέχρι τῆς προκειμένης τηρήσεως χρόνος ἐνιαυτοῦ ἐστιν Αἰγυπτιακοῦ ἑνὸς καὶ ἡμερῶν σοϚ , περιέχει δʼ ὁ χρόνος οὗτος · οὐδενὶ γὰρ αἰσθητῷ διοίσει , κἂν ὁλοσχερέστερον τὸ τοιοῦτον λαμβάνηται · μήκους μὲν μοίρας νγ ῑζ , ἀνωμαλίας δὲ μοίρας σῑη λᾱ , ἐὰν προσθῶμεν ταύτας ταῖς κατὰ τὴν γ΄ ἀκρώνυκτον ἀποδεδειγμέναις ἐποχαῖς , ἕξομεν καὶ εἰς τὸν ταύτης τῆς τηρήσεως χρόνον μήκους μὲν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἔγγιστα ἀπογείου μοίρας σξγ νγ , ἀνωμαλίας δʼ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας μᾱ ῑη . τούτων δὴ ὑποκειμένων ἐκκείσθω πάλιν ἡ τῆς ὁμοίας δείξεως ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἄρεως καταγραφὴ τὴν μὲν τοῦ ἐπικύκλου θέσιν ἔχουσα πρὸς τοῖς ἑπομένοις μέρεσι τοῦ περιγείου τοῦ ἐκκέντρου , τὴν δὲ τοῦ ἀστέρος πρὸς τοῖς μετὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου ἀκολούθως ταῖς ἐκκειμέναις ἐνθάδε μέσαις παρόδοις μήκους τε καὶ ἀνωμαλίας . ἐπεὶ τοίνυν ἡ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου κατὰ μῆκος μέση πάροδος μοιρῶν ἐστιν σξγ νγ , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων πγ νγ , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ρξζ μϚ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Μ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ρξζ μϚ , οἵων ὁ περὶ τὸ ∠ΖΜ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΖΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ῑβ ῑδ . καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ∠Μ τοιούτων ἐστὶν ριθ ῑθ , οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ∠Μ τῶν αὐτῶν ῑβ μζ · ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα β με , ἡ δὲ ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Μ ἔσται β μδ ἔγγιστα , ἡ δὲ ΖΜ ὁμοίως Ο ῑη . καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Μ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΒ , ἔσται καὶ ἡ ΜΒ τῶν αὐτῶν νθ νϚ . ὁμοίως δέ , ἐπεὶ ἡ μὲν ΖΜ τῇ ΜΛ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ΕΛ τῆς ∠Μ διπλῆ , καὶ λοιπὴ ἡ ΛΒ ἔσται τοιούτων νθ λη , οἵων καὶ ἡ ΕΛ συνάγεται ε κη , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΕΒ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν νθ νβ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΕΒ εὐθεῖα ρκ , τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΕΛ ἔσται ῑ νη ἔγγιστα , ἡ δʼ ἐπʼ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ῑ λ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΕΛ ὀρθογώνιον κύκλος τξ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΖ γωνία τοιούτων ἐστὶν ῖ λ , οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνία ρξζ μϚ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ τῶν αὐτῶν ἔσται ροη ῑϛ . πάλιν , ἐπειδὴ τὸ μὲν Γ περίγειον ἐπέχει τῶν Ἰχθύων μοίρας ῑᾱ ἔγγιστα , ὁ δʼ ἀστὴρ ἐφαίνετο ἐπὶ τῆς ΕΚ ἐπέχων Διδύμων μοίρας ῑε με , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΚΕΓ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ?? δ με , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων ρπθ λ , λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΚ τῶν αὐτῶν ῑᾱ ῑδ ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΝ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ῑᾱ ῑδ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΕΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΒΝ εὐθεῖα τοιούτων ῑᾱ μδ , οἵων ἐστὶν ἡ ΕΒ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ΕΒ εὐθεῖα νθ νβ , ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ ΒΝ ἔσται ε ν . ὁμοίως δʼ , ἐπεὶ ἡ ΗΚ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν μᾱ ῑη , εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΚ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων μᾱ ῑη , οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ , τοιούτων πβ λϚ . τῶν δʼ αὐτῶν ἦν καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΖ , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΗΒΘ , γωνία ῑ λ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΒΚ ἔσται οβ Ϛ . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΕΘ γωνία τῶν αὐτῶν ῑᾱ ῑδ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΚΝ τῶν αὐτῶν ἐστιν ξ νβ · ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΝ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ξ νβ , οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΚΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ΒΝ εὐθεῖα τοιούτων ξ μζ , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΚ ὑποτείνουσα ρκ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ΒΝ εὐθεῖα ε ν , ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , τοιούτων καὶ ἡ ΒΚ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἔσται ῑᾱ λ ἔγγιστα · ὅπερ ἔδει εὑρεῖν .
Lemmas: Β΄ . Ἀπόδειξις ὁ ὁ ἐπίκυκλος ὁ ὁ Ζεύς πηλικότης . πάλιν ἐφεξῆς εἰς ὁ δεῖξις ὁ ὁ ἐπίκυκλος πηλικότης λαμβάνω τήρησις , ὅς διοπτεύω ὁ Β΄ ἔτος Ἀντωνῖνος κατά Αἰγύπτιος Μεσορή κϚ΄ εἰς ὁ κζ΄ πρό ὁ ὁ ἥλιος ἀνατολή , τουτέστιν μετά ε ὥρα ἔγγιστος ἰσημερινός ὁ μεσονύκτιος , ἐπεί ὁ μέν μέσος ὁ ἥλιος πάροδος ἐπέχω Κάρκινος μοῖρα ιϛʹ ιαʹ , μεσουρανέω δέ ἐν ὁ ἀστρολάβος ὁ Β΄ μοῖρα ὁ Κριός · τότε δέ πρός μέν ὁ λαμπρός Ὑάς διοπτεύω ὁ ὁ Ζεύς ἐπέχω φαίνω Διδύμων μοῖρα ιεʹ U+2220 Δ΄ , ὁ δέ κέντρον ὁ σελήνη νότιος εἰμί ἐκ ἴσος φαίνω . ἀλλά εἰς ἐκεῖνος ὁ ὥρα διά ὁ προεκτίθεμαι ἐπιλογισμός εὑρίσκω ὁ σελήνη μέσος μέν ἐπέχω Διδύμων μοῖρα θ ὁ , ἀνωμαλία δέ ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα σοβʹ ε , διά οὗτος δέ καί ὁ μέν ἀκριβής πάροδος αὐτός περί ὁ ιδʹ Ν μοῖρα ὁ Διδύμων , ὁ δέ ἐν Ἀλεξάνδρεια φαίνω περί ὁ ιεʹ ἐγώ · ὁ ἄρα ὁ Ζεύς ἀστήρ καί οὕτως ἐπέχω ὁ ιεʹ U+2220΄ Δ΄ μοῖρα ὁ Διδύμων . πάλιν δέ , ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Γ΄ ακρωνυκτεω μέχρι ὁ πρόκειμαι τήρησις χρόνος ἐνιαυτός εἰμί Αἰγυπτιακός εἷς καί ἡμέρα σοʹ , περιέχω δέ ὁ χρόνος οὗτος · οὐδείς γάρ αἰσθητός διαφέρω , κἀν ὁλοσχερής ὁ τοιοῦτος λαμβάνω · μῆκος μέν μοῖρα νγʹ ιζʹ , ἀνωμαλία δέ μοῖρα σίμαι λαʹ , ἐάν προστίθημι οὗτος ὁ κατά ὁ Γ΄ ακρωνυκτω ἀποδείκνυμι ἐποχή , ἔχω καί εἰς ὁ οὗτος ὁ τήρησις χρόνος μῆκος μέν ἀπό ὁ αὐτός ἔγγιστος ἀπόγειον μοῖρα σξγ νγʹ , ἀνωμαλία δέ ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος μοῖρα μή ιηʹ . οὗτος δή ὑπόκειμαι ἔκκειμαι πάλιν ὁ ὁ ὅμοιος δεῖξις ἐπί ὁ ὁ Ἄρης καταγραφή ὁ μέν ὁ ἐπίκυκλος θέσις ἔχω πρός ὁ ἕπομαι μέρος ὁ περίγειος ὁ ἔκκεντρος , ὁ δέ ὁ ἀστήρ πρός ὁ μετά ὁ ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος ἀκόλουθος ὁ εκκειμεναι ἐνθάδε μέσος πάροδος μῆκος τε καί ἀνωμαλία . ἐπεί τοίνυν ὁ ἀπό ὁ ἀπόγειον ὁ ἔκκεντρος κατά μῆκος μέσος πάροδος μοῖρα εἰμί σξγ νγʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΒΖΓ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος πγʹ νγʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ρξζ μϛʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ∠Μ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ρξζ μϛʹ , οἷος ὁ περί ὁ ∠ΖΜ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ἐπί ὁ ΖΜ ὁ λοιπός εἰς ὁ ἡμικύκλιον ιβʹ ιδʹ . καί ὁ ὑπό αὐτός ἄρα εὐθύς ὁ μέν ∠Μ τοιοῦτος εἰμί ριθʹ ιθʹ , οἷος εἰμί ὁ ∠Ζ ὑποτείνω ρκʹ , ὁ δέ ∠Μ ὁ αὐτός ιβʹ μζʹ · ὥστε καί , οἷος εἰμί ὁ μέν ∠Ζ εὐθύς Β ἐγώ , ὁ δέ ∠Β ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ∠Μ εἰμί Β μδʹ ἔγγιστος , ὁ δέ ΖΜ ὁμοίως ὁ ιηʹ . καί ἐπεί ὁ ἀπό ὁ ∠Μ λείπω ὑπό ὁ ἀπό ὁ ∠Β ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΜΒ , εἰμί καί ὁ ΜΒ ὁ αὐτός νθʹ νϚʹ . ὁμοίως δέ , ἐπεί ὁ μέν ΖΜ ὁ ΜΛ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΕΛ ὁ ∠Μ διπλόος , καί λοιπός ὁ ΛΒ εἰμί τοιοῦτος νθʹ λα , οἷος καί ὁ ΕΛ συνάγω ε καί , διά οὗτος δέ καί ὁ ΕΒ ὑποτείνω ὁ αὐτός νθʹ νβʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ ΕΒ εὐθύς ρκʹ , τοιοῦτος καί ὁ μέν ΕΛ εἰμί Ι νη ἔγγιστος , ὁ δέ ἐπί αὐτός περιφέρεια τοιοῦτος Ι λ , οἷος ὁ περί ὁ Βέλ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΕΒΖ γωνία τοιοῦτος εἰμί ἵ λ , οἷος ὁ Β ὀρθός τξʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΒΖΓ γωνία ρξζ μϛʹ καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΕΓ ὁ αὐτός εἰμί ῥοή ιϛʹ . πάλιν , ἐπεί ὁ μέν Γ περίγειον ἐπέχω ὁ ἰχθύς μοῖρα ιαʹ ἔγγιστος , ὁ δέ ἀστήρ φαίνω ἐπί ὁ ΕΚ ἐπέχω Διδύμων μοῖρα ιεʹ ἐγώ , εἰμί εἄν καί ὁ μέν ὑπό ΚΕΓ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ?? δ ἐγώ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ρπθʹ λ , λοιπός δέ ὁ ὑπό ΒΕΚ ὁ αὐτός ιαʹ ιδʹ ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΒΝ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ιαʹ ιδʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΒΕΝ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΒΝ εὐθύς τοιοῦτος ιαʹ μδʹ , οἷος εἰμί ὁ ΕΒ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ΕΒ εὐθύς νθʹ νβʹ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ ΒΝ εἰμί ε Ν . ὁμοίως δέ , ἐπεί ὁ ΗΚ περιφέρεια μοῖρα εἰμί μή ιηʹ , εἰμί εἄν καί ὁ ὑπό ΗΒΚ γωνία , οἷος μέν εἰμί ὁ δ ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος μή ιηʹ , οἷος δέ ὁ Β ὀρθός τξʹ , τοιοῦτος ΠΒ λϚʹ . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί ὁ ὑπό ΕΒΖ , τουτέστιν ὁ ὑπό ΗΒΘ , γωνία Ι λ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΘΒΚ εἰμί οβʹ Ϛ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΘΚΕ γωνία ὁ αὐτός ιαʹ ιδʹ · καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΒΚΝ ὁ αὐτός εἰμί ξ νβʹ · ὥστε καί ὁ μέν ἐπί ὁ ΒΝ περιφέρεια τοιοῦτος εἰμί ξ νβʹ , οἷος ὁ περί ὁ ΒΚΝ ὀρθογώνιος κύκλος τξʹ , ὁ δέ ΒΝ εὐθύς τοιοῦτος ξ μζʹ , οἷος εἰμί ὁ ΒΚ ὑποτείνω ρκʹ . καί οἷος εἰμί ἄρα ὁ μέν ΒΝ εὐθύς ε Ν , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἔκκεντρος ξ , τοιοῦτος καί ὁ ΒΚ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐπίκυκλος εἰμί ιαʹ λ ἔγγιστος · ὅσπερ ἐσθίω εὑρίσκω .