claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 4.5
Ἑπομένου δὲ τούτοις τοῦ δεῖξαι τόν τε τρόπον καὶ τὴν πηλικότητα τῆς σεληνιακῆς ἀνωμαλίας νῦν μὲν ποιησόμεθα τὸν περὶ τούτου λόγον ὡς μιᾶς ταύτης ὑπαρχούσης , ᾗ μόνῃ καὶ πάντες σχεδὸν οἱ πρὸ ἡμῶν ἐπιβεβληκότες φαίνονται , λέγω δὲ τῇ κατὰ τὸν ἐκκείμενον ἀποκαταστατικὸν χρόνον ἀπαρτιζομένῃ , μετὰ δὲ ταῦτα δείξομεν , ὅτι ποιεῖταί τινα καὶ δευτέραν ἀνωμαλίαν ἡ σελήνη παρὰ τὰς πρὸς τὸν ἥλιον ἀποστάσεις μεγίστην μὲν γινομένην περὶ τὰς διχοτόμους ἀμφοτέρας , ἀποκαθισταμένην δὲ δὶς ἐν τῷ μηνιαίῳ χρόνῳ περὶ αὐτάς τε τὰς συνόδους καὶ τὰς πανσελήνους . Οὕτω δὲ τῇ τάξει τῆς ἀποδείξεως χρησόμεθα διὰ τὸ ταύτην μὲν ἄνευ τῆς πρώτης συμπεπλεγμένης γε αὐτῇ πάντοτε μηδαμῶς εὑρεθῆναι δύνασθαι , ἐκείνην δὲ καὶ ἄνευ τῆς δευτέρας , ἐπειδήπερ ἀπὸ τῶν σεληνιακῶν ἐκλείψεων λαμβάνεται , καθʼ ἃς οὐδὲν αἰσθητὸν γίνεται διάφορον ἐκ τῆς παρὰ τὸν ἣλιον συμβαινούσης . ἐπὶ δὲ τῆς προηγουμένης ἀποδείξεως ἀκολουθήσομεν ταῖς τοῦ θεωρήματος ἐφόδοις , αἷς καὶ τὸν Ιππαρχον ὁρῶμεν συγκεχρημένον . λαμιβάνοντες γὰρ καὶ αὐτοὶ τρεῖς ἐκλείψεις σεληνιακὰς δείξομεν , ὅσον τε τὸ πλεῖστον διάφορον γίνεται παρὰ τὴν μέσην κίνησιν καὶ τὴν κατὰ τὸ ἀπογειότατον ἐποχήν , ὡς τῆς τοιαύτης ἀνωμαλίας καθʼ ἑαυτὴν θεωρουμένης καὶ διὰ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως ἀποτελουμένης , τῶν μὲν αὐτῶν πάλιν ἐσομένων φαινομένων καὶ διὰ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως , οἰκειότερον δʼ ἂν προσάφθησομένης τῆς τοιαύτης κατὰ τὴν μῖξιν ἀμφοτέρων τῶν ἀνωμαλιῶν τῇ δευτέρᾳ καὶ παρὰ τὸν ἥλιον συμβαινούσῃ . ὅτι μέντοι τὰ αὐτὰ πάλιν καὶ ἐνταῦθα γίνεται φαινόμενα διʼ ἑκατέρας τῶν ἐκκειμένων ὑποθέσεων , κἂν μὴ ἰσοι ὦσιν ἀλλήλοις , ὥσπερ ἐπὶ τοῦ ἡλίου δεδείχαμεν , οἱ χρόνοι τῶν ἀποκαταστάσεων ἀμφοτέρων τῆς τε κατὰ τὴν ἀνωμαλίαν καὶ τῆς πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον θεωρουμένης , ἀλλὰ καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῆς σελήνης ἄνισοι τῶν λόγων πάλιν μόνων ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν , οὕτως ἂν κατανοήσαιμεν ἐπʼ αὐτῆς τῆς ἐκκειμένης ἁπλῆς ἀνωμαλίας τῆς σελήνης ποιούμενοι τὴν ἐπίσκεψιν . ἐπειδὴ τοίνυν τάχιον ἡ σελήνη ποιεῖται τὴν πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον ἀποκατάστασιν τῆς πρὸς τὴν ὑποκειμένην ἀνωμαλίαν , ἐν τοῖς ἰσοις χρόνοις δηλονότι κατὰ μὲν τὴν κατʼ ἐπίκυκλον ὑπόθεσιν μείζονα ἢ κατὰ τὸ ὅμοιον περιφέρειαν ὁ ἐπίκυκλος ἀεὶ κινηθήσεται ἐπὶ τοῦ ὁμο - κέντρου τῷ ζῳδιακῷ κύκλου τῆς ὑπὸ τῆς σελήνης κατὰ τὸν ἐπίκυκλον ἀπολαμβανομένης , ἐπὶ δὲ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ἡ μὲν σελήνη τὴν ὁμοίαν τῇ ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου καὶ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου κινηθήσεται περιφέρειαν , ὁ δὲ ἔκκεντρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῇ σελήνῃ περὶ τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ τηλικαύτην , ἡλίκῃ μείζων ἐστὶν ἡ κατὰ μῆκος πάροδος τῆς κατὰ τὴν ἀνωμαλίαν , τουτἐστιν ἡ γινομένη τοῦ ὁμοκέντρου περιφέρεια τῆς τοῦ ἐπικύκλου · οὕτως γὰρ ἂν οὐ μόνον αἱ τῶν λόγων , ἀλλὰ καὶ αἱ τῶν χρόνων ἑκατέρας τῶν κινήσεων ὁμοιότητες ἐν ἀμφοτέραις ταῖς ὑποθέσεσιν διασώζοιντο . τούτων δὴ κατὰ τὸ ἀκόλουθον αὐτόθεν ἀναγκαίως ὑποκειμένων ἔστω ὁ μὲν ὁμόκεντρος τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΔ , ὁ δὲ ἐπίκυκλος ὁ ΕΖ περὶ κέντρον τὸ Γ . ὑποκείσθω δέ , ὅτε μὲν ἦν ὁ ἐπίκυκλος κατὰ τὸ Α , καὶ ἡ σελήνη κατὰ τὸ Ε ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου γεγενημένη , ἐν τῷ ἴσῳ δὲ χρόνῳ ὁ μὲν ἐπίκυκλος τὴν ΑΓ περιφέρειαν διεληλυθώς , ἡ δὲ σελήνη τὴν ΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΔ , ΓΖ . καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἢ κατὰ τὸ ὅμοιον ἡ ΑΙ περιφέρεια τῆς ΕΖ , ἀπειλήφθω ἡ ΒΓ ὁμοία τῇ ΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ . ὅτι μὲν οὖν ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ καὶ ὁ ἔκκεντρος τὴν ὑπὸ ΑΔΒ γωνίαν τῆς τῶν παρόδων ἀμφοτέρων ὑπεροχῆς κεκίνηται , καὶ γέγονεν αὐτοῦ τό τε κέντρον καὶ τὸ ἀπόγειον ἐπὶ τῆς ΒΔ , φανερόν . τούτου δʼ οὕτως ἔχοντος κείσθω τῇ ΓΖ ἴση ἡ ΔΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ , καὶ κέντρῳ τῷ Η , διαστήματι δὲ τῷ ΗΖ γεγράφθω ὁ ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΖΘ . λέγω , ὅτι καὶ ὁ μὲν τῆς ΖΗ πρὸς ΗΔ λόγος ὁ αὐτὸς ἔσται τῷ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΖ , καὶ κατὰ ταύτην δὲ τὴν ὑπόθεσιν ἡ σελήνη κατὰ τὸ σημεῖον ἔσται , τουτέστιν ὁμοία καὶ ἡ ΖΘ περιφέρεια ἔσται τῇ ΕΖ . ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΖ , παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΖ . τῇ ΔΗ . καί ἐστιν ἴση ἡ ΓΖ τῇ ΔΗ · καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῇ ΓΔ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος , καὶ ὁ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΔ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΖ . πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΓ τῇ ΗΖ , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ . ὑπέκειτο δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ ἴση · ὥστε καὶ ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ ΕΖ ὁμοία ἐστίν . ἐν τῷ ἴσῳ ἄρα χρόνῳ καθʼ ἑκατέραν τῶν ὑποθέσεων κατὰ τὸ Ζ σημεῖον γέγονεν ἡ σελήνη , ἐπειδήπερ αὐτὴ μὲν τήν τε ΕΖ τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὴν ΘΖ τοῦ ἐκκέντρου περιφερείας ὁμοίας δεδειγμένας κεκίνηται , τὸ δὲ τοῦ ἐπικύκλου κέντρον τὴν ΑΓ , τὸ δὲ τοῦ ἐκκέντρου τὴν ΑΒ ὑπεροχὴν τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΕΖ ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ὅτι δέ , κἂν ὅμοιοι μόνον ὦσιν οἱ λόγοι καὶ μὴ ἴσοι μήτε αὐτοὶ μήτε ὁ ἔκκεντρος τῷ ὁμοκέντρῳ , τὸ αὐτὸ πάλιν συμβαίνει , καὶ οὕτως ἡμῖν ἔσται δῆλον . διαγεγράφθω γὰρ χωρὶς ἑκατέρα τῶν ὑποθέσεων , καὶ ἔστω ὁ μὲν ὁμόκεντρος τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΔ , ὁ δὲ ἐπίκυκλος ὁ ΕΖ περὶ κέντρον τὸ Γ , ἡ δὲ σελήνη τὸ Ζ , καὶ πάλιν ὁ μὲν ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΗΘΚ περὶ κέντρον τὸ Λ καὶ διάμετρον τὴν ΘΛΜ , ἐφʼ ἧς τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον ἔστω τὸ Μ , τὸ δὲ Κ σημεῖον ἡ σελήνη , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐκεῖ μὲν αἱ ΔΓΕ , ΓΖ , ΔΖ , ἐνθάδε δὲ αἱ ΗΜ , ΚΜ , ΚΛ , ὑποκείσθω δὲ ὁ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΘΛ πρὸς ΛΜ , καὶ κεκινήσθωσαν ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ ὁ μὲν ἐπίκυκλος τὴν ὑπὸ ΑΔΓ γωνίαν καὶ ἡ σελήνη πάλιν τὴν ὑπὸ ΕΓΖ , ὁ δὲ ἔκκεντρος τὴν ὑπὸ ΗΜΘ γωνίαν καὶ ἡ σελήνη πάλιν τὴν ὑπὸ ΘΛΚ . ἴση ἄρα ἐστὶ διὰ τοὺς ὑποκειμένους τῶν κινήσεων λόγους ἡ μὲν ὑπὸ ΕΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΛΚ , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΔΓ συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΗΜΘ καὶ τῇ ὑπὸ ΘΛΚ . τούτου δὲ οὕτως ἔχοντος λέγω , ὅτι πάλιν καθʼ ἑκατέραν τῶν ὑποθέσεων ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὴν ἴσην περιφέρειαν ἡ σελήνη φανήσεται διεληλυθυῖα , τουτέστιν ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΜΚ , ἐπειδὴ κατὰ μὲν τὴν ἀρχὴν τῆς διαστάσεως ἐπὶ τῶν ἀπογείων οὖσα ἡ σελήνη κατὰ τῶν ΔΑ καὶ ΜΗ εὐθειῶν ἐφαίνετο , κατὰ δὲ τὸ τέλος ἐπὶ τῶν Ζ καὶ Κ σημείων οὖσα διὰ τῶν Δ , ΜΚ . κείσθω δὴ ἑκατέρᾳ τῶν Θ Κ καὶ Ε Ζ περιφερειῶν ὁμοία πάλιν ἡ Β Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Β Δ . ἐπεὶ τοίνυν ἐστίν , ὡς ἡ Δ Γ πρὸς Γ Ζ , ἡ Κ Λ πρὸς Λ Μ , καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Γ , Λ σημείοις αἰ πλευραὶ ἀνάλογον , ἰσογώνιόν ἐστι τὸ Γ Δ Ζ τρίγωνον τῷ Κ Λ Μ τριγώνῳ , καὶ ὑπὸ τὰς ἀνάλογον πλευρὰς αἰ γωνίαι ἴσαι ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Γ Ζ Δ γωνία τῇ ὑπὸ Α Μ Κ . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ Β Δ Ζ τῇ ὑπὸ Γ Ζ Δ ἴση διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς Γ Ζ , Β Δ ἴσων ὑποκειμένων τῶν ὑπὸ Ζ Γ Ε Β Δ Γ γωνιῶν · ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Ζ Δ Β γωνία τῇ ὑπὸ Λ Μ Κ . ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ Α Δ Β τῆς ὑπεροχῆς τῶν κινήσεων τῇ ὑπὸ Η Μ Θ τοῦ ἐκκέντρου παρόδῳ ἴση · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ Α Δ Ζ ἴση ἐστὶν ὅλῃ τῇ ὑπὸ Κ Μ Η ὅπερ προέκειτο δεῖξαι .
Lemmas: ἕπομαι δέ οὗτος ὁ δείκνυμι ὁ τε τρόπος καί ὁ πηλικότης ὁ σεληνιακός ἀνωμαλία νῦν μέν ποιέω ὁ περί οὗτος λόγος ὡς εἷς οὗτος ὑπάρχω , ὅς μόνος καί πᾶς σχεδόν ὁ πρό ἐγώ ἐπιβάλλω φαίνω , λέγω δέ ὁ κατά ὁ ἔκκειμαι ἀποκαταστατικός χρόνος ἀπαρτίζω , μετά δέ οὗτος δείκνυμι , ὅτι ποιέω τις καί δύο ἀνωμαλία ὁ σελήνη παρά ὁ πρός ὁ ἥλιος ἀπόστασις μέγας μέν γίγνομαι περί ὁ διχότομος ἀμφότερος , ἀποκαθίστημι δέ δίς ἐν ὁ μηνιαῖος χρόνος περί αὐτός τε ὁ σύνοδος καί ὁ πανσέληνος . οὕτως δέ ὁ τάξις ὁ ἀπόδειξις χράω διά ὁ οὗτος μέν ἄνευ ὁ πρῶτος συμπλέκω γε αὐτός πάντοτε μηδαμῶς εὑρίσκω δύναμαι , ἐκεῖνος δέ καί ἄνευ ὁ δύο , ἐπεί ἀπό ὁ σεληνιακός ἔκλειψις λαμβάνω , κατά ὅς οὐδείς αἰσθητός γίγνομαι διάφορος ἐκ ὁ παρά ὁ ἥλιος συμβαίνω . ἐπί δέ ὁ προηγούμενος ἀπόδειξις ἀκολουθέω ὁ ὁ θεώρημα ἔφοδος , ὅς καί ὁ Ἵππαρχος ὁράω συγχράομαι . λαμβάνω γάρ καί αὐτός τρεῖς ἔκλειψις σεληνιακός δείκνυμι , ὅσος τε ὁ πλεῖστος διάφορος γίγνομαι παρά ὁ μέσος κίνησις καί ὁ κατά ὁ ἀπόγαιος ἐποχή , ὡς ὁ τοιοῦτος ἀνωμαλία κατά ἑαυτοῦ θεωρέω καί διά ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπόθεσις ἀποτελέω , ὁ μέν αὐτός πάλιν εἰμί φαίνω καί διά ὁ κατά ἐκκεντρότης ὑπόθεσις , οἰκεῖος δέ εἄν προσάπτω ὁ τοιοῦτος κατά ὁ μῖξις ἀμφότερος ὁ ἀνωμαλία ὁ δύο καί παρά ὁ ἥλιος συμβαίνω . ὅτι μέντοι ὁ αὐτός πάλιν καί ἐνταῦθα γίγνομαι φαίνω διά ἑκάτερος ὁ ἔκκειμαι ὑπόθεσις , κἀν μή ἴσος εἰμί ἀλλήλων , ὥσπερ ἐπί ὁ ἥλιος δείκνυμι , ὁ χρόνος ὁ ἀποκατάστασις ἀμφότερος ὁ τε κατά ὁ ἀνωμαλία καί ὁ πρός ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος θεωρέω , ἀλλά καί ὥσπερ ἐπί ὁ σελήνη ἄνισος ὁ λόγος πάλιν μόνος ὑπόκειμαι ὁ αὐτός , οὕτως εἄν κατανοέω ἐπί αὐτός ὁ ἔκκειμαι ἁπλόος ἀνωμαλία ὁ σελήνη ποιέω ὁ ἐπίσκεψις . ἐπεί τοίνυν τάχα ὁ σελήνη ποιέω ὁ πρός ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ἀποκατάστασις ὁ πρός ὁ ὑπόκειμαι ἀνωμαλία , ἐν ὁ ἴσος χρόνος δηλονότι κατά μέν ὁ κατά ἐπίκυκλος ὑπόθεσις μείζων ἢ κατά ὁ ὅμοιος περιφέρεια ὁ ἐπίκυκλος ἀεί κινέω ἐπί ὁ ὁμος - κέντρον ὁ ζῳδιακός κύκλος ὁ ὑπό ὁ σελήνη κατά ὁ ἐπίκυκλος ἀπολαμβάνω , ἐπί δέ ὁ κατά ἐκκεντρότης ὁ μέν σελήνη ὁ ὅμοιος ὁ ἐπί ὁ ἐπίκυκλος καί ἐπί ὁ ἔκκεντρος κινέω περιφέρεια , ὁ δέ ἔκκεντρος ἐπί ὁ αὐτός ὁ σελήνη περί ὁ κέντρον ὁ ζῳδιακός τηλικόσδε , ἡλίκος μείζων εἰμί ὁ κατά μῆκος πάροδος ὁ κατά ὁ ἀνωμαλία , τουτέστιν ὁ γίγνομαι ὁ ὁμόκεντρος περιφέρεια ὁ ὁ ἐπίκυκλος · οὕτως γάρ εἄν οὖον μόνος ὁ ὁ λόγος , ἀλλά καί ὁ ὁ χρόνος ἑκάτερος ὁ κίνησις ὁμοιότης ἐν ἀμφότερος ὁ ὑπόθεσις διασῴζω . οὗτος δή κατά ὁ ἀκόλουθος αὐτόθεν ἀναγκαῖος ὑπόκειμαι ἵστημι ὁ μέν ὁμόκεντρος ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ δ καί διάμετρος ὁ ΑΔ , ὁ δέ ἐπίκυκλος ὁ ΕΖ περί κέντρον ὁ Γ . ὑπόκειμαι δέ , ὅτε μέν εἰμί ὁ ἐπίκυκλος κατά ὁ Α , καί ὁ σελήνη κατά ὁ Ε ἀπόγειον ὁ ἐπίκυκλος γίγνομαι , ἐν ὁ ἴσος δέ χρόνος ὁ μέν ἐπίκυκλος ὁ ΑΓ περιφέρεια διέρχομαι , ὁ δέ σελήνη ὁ ΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΔ , ΓΖ . καί ἐπεί μείζων εἰμί ἢ κατά ὁ ὅμοιος ὁ ὁ περιφέρεια ὁ ΕΖ , ἀπολαμβάνω ὁ ΒΓ ὅμοιος ὁ ΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ . ὅτι μέν οὖν ἐν ὁ ἴσος χρόνος καί ὁ ἔκκεντρος ὁ ὑπό ΑΔΒ γωνία ὁ ὁ πάροδος ἀμφότερος ὑπεροχή κινέω , καί γίγνομαι αὐτός ὁ τε κέντρον καί ὁ ἀπόγειον ἐπί ὁ ΒΔ , φανερός . οὗτος δέ οὕτως ἔχω κεῖμαι ὁ ΓΖ ἴσος ὁ δΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ , καί κέντρον ὁ ὁ , διάστημα δέ ὁ ΗΖ γράφω ὁ ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΖΘ . λέγω , ὅτι καί ὁ μέν ὁ ΖΗ πρός ΗΔ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΔΓ πρός ΓΖ , καί κατά οὗτος δέ ὁ ὑπόθεσις ὁ σελήνη κατά ὁ σημεῖον εἰμί , τουτέστιν ὅμοιος καί ὁ ΖΘ περιφέρεια εἰμί ὁ ΕΖ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΔΓ γωνία ὁ ὑπό ΕΓΖ , παράλληλος εἰμί ὁ ΓΖ . ὁ δΗ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΓΖ ὁ δΗ · καί ὁ ΖΗ ἄρα ὁ ΓΔ ἴσος τε εἰμί καί παράλληλος , καί ὁ ὁ ΖΗ πρός ΗΔ λόγος ὁ αὐτός ὁ ὁ ΔΓ πρός ΓΖ . πάλιν ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ΔΓ ὁ ΗΖ , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΔΒ γωνία ὁ ὑπό ΖΗΘ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὑπό ΓΔΒ ὁ ὑπό ΕΓΖ ἴσος · ὥστε καί ὁ ΖΘ περιφέρεια ὁ ΕΖ ὅμοιος εἰμί . ἐν ὁ ἴσος ἄρα χρόνος κατά ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις κατά ὁ Ζ σημεῖον γίγνομαι ὁ σελήνη , ἐπεί αὐτός μέν ὁ τε ΕΖ ὁ ἐπίκυκλος καί ὁ ΘΖ ὁ ἔκκεντρος περιφέρεια ὅμοιος δείκνυμι κινέω , ὁ δέ ὁ ἐπίκυκλος κέντρον ὁ ΑΓ , ὁ δέ ὁ ἔκκεντρος ὁ ΑΒ ὑπεροχή ὁ ΑΓ πρός ὁ ΕΖ ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ὅτι δέ , κἀν ὅμοιος μόνος εἰμί ὁ λόγος καί μή ἴσος μήτε αὐτός μήτε ὁ ἔκκεντρος ὁ ὁμόκεντρος , ὁ αὐτός πάλιν συμβαίνω , καί οὕτως ἐγώ εἰμί δῆλος . διαγράφω γάρ Χωρὶς ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις , καί ἵστημι ὁ μέν ὁμόκεντρος ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ΑΒΓ περί κέντρον ὁ δ καί διάμετρος ὁ ΑΔ , ὁ δέ ἐπίκυκλος ὁ ΕΖ περί κέντρον ὁ Γ , ὁ δέ σελήνη ὁ Ζ , καί πάλιν ὁ μέν ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΗΘΚ περί κέντρον ὁ Λ καί διάμετρος ὁ ΘΛΜ , ἐπί ὅς ὁ ὁ ζῳδιακός κέντρον ἵστημι ὁ Μ , ὁ δέ Κ σημεῖον ὁ σελήνη , καί ἐπιζεύγνυμι ἐκεῖ μέν ὁ ΔΓΕ , ΓΖ , ΔΖ , ἐνθάδε δέ ὁ ΗΜ , ΚΜ , ΚΛ , ὑπόκειμαι δέ ὁ ὁ ΔΓ πρός ΓΕ λόγος ὁ αὐτός ὁ ὁ ΘΛ πρός ΛΜ , καί κινέω ἐν ὁ ἴσος χρόνος ὁ μέν ἐπίκυκλος ὁ ὑπό ΑΔΓ γωνία καί ὁ σελήνη πάλιν ὁ ὑπό ΕΓΖ , ὁ δέ ἔκκεντρος ὁ ὑπό ΗΜΘ γωνία καί ὁ σελήνη πάλιν ὁ ὑπό ΘΛΚ . ἴσος ἄρα εἰμί διά ὁ ὑπόκειμαι ὁ κίνησις λόγος ὁ μέν ὑπό ΕΓΖ γωνία ὁ ὑπό ΘΛΚ , ὁ δέ ὑπό ΑΔΓ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΗΜΘ καί ὁ ὑπό ΘΛΚ . οὗτος δέ οὕτως ἔχω λέγω , ὅτι πάλιν κατά ἑκάτερος ὁ ὑπόθεσις ἐν ὁ ἴσος χρόνος ὁ ἴσος περιφέρεια ὁ σελήνη φαίνω διέρχομαι , τουτέστιν ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΔΖ γωνία ὁ ὑπό ΗΜΚ , ἐπεί κατά μέν ὁ ἀρχή ὁ διάστασις ἐπί ὁ ἀπόγειον εἰμί ὁ σελήνη κατά ὁ ΔΑ καί μη εὐθύς φαίνω , κατά δέ ὁ τέλος ἐπί ὁ Ζ καί Κ σημεῖον εἰμί διά ὁ δ , ΜΚ . κεῖμαι δή ἑκάτερος ὁ Θ Κ καί Ε Ζ περιφέρεια ὅμοιος πάλιν ὁ Β Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Β δ . ἐπεί τοίνυν εἰμί , ὡς ὁ δ Γ πρός Γ Ζ , ὁ Κ Λ πρός Λ Μ , καί περί ἴσος γωνία ὁ πρός ὁ Γ , Λ σημεῖον ὁ πλευρά ἀνάλογος , ἰσογώνιος εἰμί ὁ Γ δ Ζ τρίγωνος ὁ Κ Λ Μ τρίγωνος , καί ὑπό ὁ ἀνάλογος πλευρά ὁ γωνία Ἴσαι ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ὑπό Γ Ζ δ γωνία ὁ ὑπό Α Μ Κ . ἀλλά καί ὁ ὑπό Β δ Ζ ὁ ὑπό Γ Ζ δ ἴσος διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ Γ Ζ , Β δ ἴσος ὑπόκειμαι ὁ ὑπό Ζ Γ Ε Β δ Γ γωνία · ἴσος ἄρα καί ὁ ὑπό Ζ δ Β γωνία ὁ ὑπό Λ Μ Κ . ὑπόκειμαι δέ καί ὁ ὑπό Α δ Β ὁ ὑπεροχή ὁ κίνησις ὁ ὑπό ὁ Μ Θ ὁ ἔκκεντρος πάροδος ἴσος · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό Α δ Ζ ἴσος εἰμί ὅλος ὁ ὑπό Κ Μ ὁ ὅσπερ πρόκειμαι δείκνυμι .