claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 2.12
Λειπομένης δὴ τῆς ἐφόδου , καθʼ ἣν ἄν λαμβάνοιμεν καὶ τὰς πρὸς τὸν διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος καθʼ ἑκάστην ἔγκλισιν καὶ καθʼ ἑκάστην θέσιν γινομένας τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου γωνίας συναποδεικνυμένης , ὡς ἔφαμεν , ἑκάστοτε καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης περιφερείας τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ δρίζοντος κύκλου ὑπό τε τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου καὶ τῆς πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον αὐτοῦ τομῆς , ἐκθησόμεθα πάλιν καὶ τὰ εἰς τοῦτο τὸ μέρος προλαμβανόμενα καὶ δείξομεν πρῶτον , ὅτι τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου σημείων ἴσους χρόνους ἀπολαμβανόντων ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ , τοῦ μὲν πρὸς ἀνατολάς , τοῦ δʼ ἑτέρου πρὸς δυσμάς , αἵ τε ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπʼ αὐτὰ περιφέρειαι τῶν μεγίστων κύκλων ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν καὶ αἰ πρὸς αὐτὰ γινόμεναι γωνίαι , καθʼ ὃν διεστειλάμεθα τρόπον , δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι . ἔστω γὰρ μεσημβρινοῦ τμῆμα τὸ ΑΒΓ , καὶ ὑποκείσθω ἐπʼ αὐτοῦ τὸ μὲν κατὰ κορυφὴν σημεῖον τὸ Β , ὁ δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ πόλος τὸ Γ , καὶ γεγράφθω τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου δύο τμήματα τό τε ΑΔΕ καὶ τὸ ΑΖΒ οὕτως ἔχοντα , ὥστε τὰ Δ καὶ Z σημεῖα ἴσον τε ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ καὶ ἴσας ἀπολαμβάνειν περιφερείας τοῦ διʼ αὐτῶν παραλλήλου ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ ΑΒΓ μεσημβρινοῦ . γεγράφθωσαν δὲ καὶ μεγίστων κύκλων περιφέρειαι διὰ τῶν Δ , Ν σημείων , ἀπὸ μὲν τοῦ Γ πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ ἢ τε ΓΔ καὶ ἡ ΓΖ , ἀπὸ δὲ τοῦ Β τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΒΖ . λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΒΔ περιφέρεια τῇ ΒΖ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΔΕ γωνία μετὰ τῆς ὑπὸ Βῶ ΒΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴση . ἐπεὶ γὰρ τὰ Δ καὶ Ζ σημεῖα ἴσας τοῦ διʼ αὐτῶν παραλλήλου περιφερείας ἀπέχει τοῦ ΑΒΓ μεσημβρινοῦ , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΖ . δύο δὴ τρίπλευρά ἐστιν τό τε ΒΓΔ καὶ τὸ ΒΓΖ τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρφ , τὴν μὲν ΓΔ τῇ ΓΖ , κοινὴν δὲ τὴν ΒΓ , καὶ γωνίαν γωνίᾳ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν περιεχομένην τὴν ὑπὸ ΒΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ καὶ βάσιν ἄρα τὴν ΒΔ βάσει τῇ ΒΖ ἴσην ἔξει καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ . ἀλλʼ ἐπεὶ δέδεικται μικρῷ πρόσθεν , ὅτι τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου αἱ πρὸς τὸν διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ γινόμεναι γωνίαι συναμφότεραι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , συναμφότεραι ἄρα ἢ τε ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΖΓ ἔση · καὶ συναμφότεραι ἄρα ἢ τε ὑπὸ ΒΔΕ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . πάλιν δὴ δεικτέον , ὅτι τῶν αὐτῶν σημείων τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου ἴσους χρόνους ἀπεχόντων ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ αἵ τε ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπʼ αὐτὰ γραφόμεναι μεγίστων κύκλων περιφέρειαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , καὶ αἱ πρὸς αὐτὰς γινόμεναι γωνίαι συναμφότεραι ἥ τε πρὸς ἀνατολὰς καὶ ἡ πρὸς δυσμὰς δυσὶ ταῖς ὑπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον γινομέναις ἴσαι εἰσίν , ὅταν ἐφʼ ἑκατέρας θέσεως τὰ μεσουρανοῦντα ἀμφότερα ἤτοι βορειότερα ἢ νοτιώτερα τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου τυγχάνῃ . πρῶτον δʼ ὑποκείσθω ἀμφότερα νοτιώτερα , καὶ ἔστω μεσημβρινοῦ τμῆμα τὸ ΑΒΓΔ , ἐπʼ αὐτοῦ δὲ τὸ μὲν κατὰ κορυφὴν σημεῖον τὸ Γ πόλος δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ τὸ Δ , καὶ γεγράφθω δύο τμήματα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τό τε ΑΕΖ καὶ τὸ Βῶ οὕτως ἔχοντα , ὥστε τὸ Ε σημεῖον καὶ τὸ H τὸ αὐτὸ ὑποκείμενον ἴσην ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ διʼ αὐτοῦ παραλλήλου περιφέρειαν ἀπέχειν τοῦ ΑΒΓΔ μεσημβρινοῦ . καὶ γεγράφθω πάλιν διʼ αὐτῶν τμήματα μεγίστων κύκλων ἀπὸ μὲν τοῦ Γ τό τε καὶ τὸ ΓΗ , ἀπὸ δὲ τοῦ Δ τό τε ΔΕ καὶ τὸ ΔΗ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν , ἐπεὶ τὰ Ε , H σημεῖα τὸν αὐτὸν ποιοῦντα παράλληλον ἴσας αὐτοῦ περιφερείας ἐφʼ ἑκάτερα ποιεῖ τοῦ μεσημβρινοῦ , ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΓΔΕ τρίπλευρον τῷ ΓΔΗ , ὥστε καὶ τὴν ΓΕ τῇ ΓΗ ἴσην γίνεσθαι . λέγω δή , ὅτι καὶ συναμφότεραι ἥ τε ὑπὸ ΓΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΚΖ , ΔΗΒ ἴσαι εἰσίν . ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὑπὸ ΔEΖ ἡ αὐτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΓΚΔ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΗΓ , καὶ συναμφότεραι ἄρα ἥ τε ὑπὸ ΓΚΔ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἴσαι εἰσὶν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ὥστε καὶ συναμφότεραι ἥ τε ὑπὸ ΓΕΖ ὅλη καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ , ΔΗΒ ἴσαι εἰσίν · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . καταγεγράφθω πάλιν τὰ αὐτὰ τμήματα τῶν ἐκκειμένων κύκλων , ὥστε μέντοι τό τε Α σημεῖον καὶ τὸ βορειότερα γίνεσθαι τοῦ Γ σημείου . λέγω , ὅτι τὸ αὐτὸ καὶ οὕτως συμβήσεται , τουτέστιν συναμφότεραι ἥ τε ὑπὸ ΚΕΖ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗΒ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν . ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ ἡ αὐτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΒ , ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΚ τῇ ὑπὸ ΔΗΛ , καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΗΒ ἔση ἐστὶν συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔΕΖ καὶ τῇ ὑπὸ ΔΕΚ ὥστε καὶ συναμφότεραι ἥ τε ὑπὸ ΛΗΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΕΖ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν . ἐκκείσθω δὴ πάλιν ἡ ὁμοία καταγραφή , ὥστε μέντοι τὸ μὲν τοῦ ἀνατολικοῦ τμήματος μεσουρανοῦν σημεῖον , τουτέστιν τὸ Α , νοτιώτερον εἶναι τοῦ Γ κατὰ κορυφὴν σημείου , τὸ δὲ τοῦ πρὸς δυσμὰς τμήματος μεσουρανοῦν , τουτέστιν τὸ B , βορειότερον τοῦ αὐτοῦ . λέγω , ὅτι συναμφότεραι ἤ τε ὑπὸ ΓΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗΒ δύο τῶν ὑπὸ ΔΕΖ μείζονές εἰσιν δυσὶν ὀρθαῖς . ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΕΓ , συναμφότεραι δὲ ἥ τε ὑπὸ ΔΗΓ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΛ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , καὶ συναμφότεραι ἄρα ἥ τε ὑπὸ ΔΕΓ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΛ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνία ἡ αὐτὴ τῇ ὑπὸ ΔΗΒ ὥστε καὶ συναμφοτέρας τήν τε ὑπὸ ΓΕΖ καὶ τὴν ὑπὸ ΔΜΒ συναμιφοτέρων τῶν ὑπὸ ΔΕΖ καὶ ΔΗΒ , τουτέστιν δὶς τῆς ὑπὸ ΔΕΖ , μείζονας εἶναι συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔEΓ καὶ τῇ ὑπὸ ΔΗΛ , αἵπερ εἰσὶν δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ἐκκείσθωο δʼ , ὅπερ ὑπολείπεται , κατὰ τὴν ὁμοίαν καταγραφὴν τὸ μὲν τοῦ πρὸς ἀνατολὰς τμήματος μεσουρανοῦν σημεῖον τὸ Α βορειότερον γινόμενον τοῦ Γ , τὸ δὲ τοῦ πρὸς δυσμὰς τμήματος μεσουρανοῦν τὸ Β νοτιώτερον . λέγω , ὅτι συναμφότεραι ἢ τε ὑπὸ ΚΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΒ δύο τῶν ὑπὸ ΔΚΖ ἐλάττονές εἰσιν δυσὶν ὀρθαῖς . διὰ τὰ αὐτὰ γὰρ πάλιν συναμφότεραι μὲν ἥτε ὑπὸ ΚΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ συναμφοτέρωντῆς τε ὑπὸ ΛΕΖ καὶ τῆς ὑπὸ ΔΗΒ , τουτέστιν δύο τῶν ὑπὸ ΔΕΖ , ἐλάττονες γίνονται συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔΕΚ καὶ τῇ ὑπὸ ΔHΓ αὗται δὲ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ καὶ συναμφοτέρας μὲν τήν τε ὑπὸ ΔΕΚ καὶ τὴν ὑπὸ ΔEΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι , ἴσην δὲ καὶ τὴν ὑπὸ ΔΚΓ τῇ ὑπὸ ΔΗΓ ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ὅτι δὲ ἐκ προχείρου δύνανται λαμβάνεσθαι τῶν γινομένων ὑπὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου πρὸς τὸν διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου μέγιστον κύκλον γωνιῶν τε καὶ περιφερειῶν , καθʼ ὄν εἰρήκαμεν τρόπον , αἵ τε ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος γινόμεναι , αὐτόθεν ἂν οὕτως γένοιτο δῆλον . ἐὰν γὰρ γράψωμεν μεσημβρινὸν κύκλον τὸν ΑΒΓΔ καὶ ὁρίζοντος μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ , τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τὸ ΖΕΗ ὁπωσδήποτε ἔχον , ὅταν μὲν διὰ τοῦ μεσουρανοῦντος αὐτοῦ σημείου τοῦ Ζ νοῶμεν τὸν διὰ τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου γραφόμενον μέγιστον κύκλον , ὁ αὐτὸς γενήσεται τῷ ΑΒΓΔ μεσημβρινῷ , καὶ ἔσται ἥ τε ὑπὸ ΔΖΕ γωνία αὐτόθεν ἡμῖν δεδομένη διὰ τὸ καὶ τὸ σημεῖον καὶ τὴν πρὸς τὸν μεσημβρινὸν αὐτοῦ γινομένην γωνίαν δεδόσθαι καὶ αὐτὴ ἡ ΑΖ περιφέρεια διὰ τὸ ἔχειν ἡμᾶς , πόσας μοίρας ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ τό τε Ζ σημεῖον ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ ὁ ἰσημερινὸς τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου . ὅταν δὲ διὰ τοῦ ἀνατέλλοντος αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε νοῶμεν τὸν διὰ τοῦ Α γραφόμενον μέγιστον κύκλον ὡς τὸν ΑΕΓ , αὐτόθεν καὶ οὕτως γίνεται δῆλον , ὅτι ἡ μὲν ΑΕ περιφέρεια πάντοτε γενήσεται τεταρτημορίου , διὰ τὸ τὸ Α σημεῖον πόλον εἶναι τοῦ ΒΕΔ ὁρίζοντος . ὀρθῆς δὲ οὔσης ἀεὶ διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν τῆς ὑπὸ ΑΕΔ γωνίας καὶ δεδομένης τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου πρὸς τὸν ὁρίζοντα , τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΔΕΗ , δοθήσεται καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ὥστε φανερόν , ὅτι τούτων οὕτως ἐχόντων , ἐὰν ἐφʼ ἑκάστης ἐγκλίσεως τὰς πρὸ τοῦ μεσημβρινοῦ μόνας γωνίας τε καὶ περιφερείας καὶ μόνων τῶν ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Καρκίνου μέχρι τῆς ἀρχῆς τοῦ Αἰγόκερω δωδεκατημορίων ἐπιλογισώμεθα , συναποδεδειγμένας ἕξομεν καὶ τάς τε μετὰ τὸν μεσημβρινὸν αὐτῶν γωνίας τε καὶ περιφερείας καὶ ἔτι τῶν λοιπῶν τάς τε πρὸ τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ τὰς μετὰ τὸν μεσημβρινόν . ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ τούτων ἡ καθʼ ἑκάστην θέσιν ἔφοδος φανερὰ γένηται , παραδείγματος πάλιν ἕνεκεν ἐκθησόμεθα τὴν ἐσομένην καθόλου δεῖξιν δι᾿ ἑνὸς θεωρήματος ὑποθέμενοι κατὰ τὴν αὐτὴν ἔγκλισιν τουτέστιν καθʼ ἣν ὁ βόρειος πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐξῆρται μοίρας λϚ , τὴν ἀρχὴν τοῦ Καρκίνου λόγου χάριν μίαν ὥραν ἰσημερινὴν ἀπέχειν πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ , καθʼ ἣν θέσιν ἐν τῷ προκειμένῳ παραλλήλῳ μεσουρανοῦσιν μὲν αἱ τῶν Διδύμων μοῖραι ῑϚ ῑβ , ἀνατέλλουσιν δὲ αἱ τῆς Παρθένου μοῖραι ῑζ λζ . ἔστω δὴ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ ὁρίζοντος μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ , τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΖΗΘ οὕτως ἔχον , ὥστε τὸ μὲν Η σημεῖον τὴν ἀρχὴν εἶναι τοῦ Καρκίνου , τὸ δὲ Ζ ἐπέχειν Διδύμων μοίρας ῑϚ ῑβ , τὸ δὲ Θ Παρθένου μοίρας ῑζ λζ , καὶ γεγράφθω διά τε τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου καὶ διὰ τοῦ Η τῆς ἀρχῆς τοῦ Καρκίνου μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΑΗΕΓ , προκείσθω δὲ πρῶτον τὴν ΑΗ περιφέρειαν εὑρεῖν . φανερὸν δή , ὅτι ἡ μὲν ΖΘ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ?? ᾱ κε , ἡ δὲ ΗΘ μοιρῶν οζ λζ . ὁμοίως δέ , ἐπειδήπερ αἱ μὲν τῶν Διδύμων μοῖραι ῑϚ ῑβ ἀπολαμβάνουσι τοῦ μεσημβρινοῦ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς ἄρκτους μοίρας κγ ζ , ὁ δὲ ἰσημερινὸς τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου μοίρας λϚ , ἔσται καὶ ἡ μὲν ΑΖ περιφέρεια μοιρῶν ῑβ νγ , ἡ δὲ ΖΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ τεταρτημόριον μοιρῶν οζ ζ . τούτων δοθέντων γίνεται πάλιν διὰ τὴν καταγραφὴν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ . ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς ΖΒ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρνδ ῑδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑς νθ , ἡ δὲ τῆς ΒΑ μοιρῶν ρπ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ , καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς ΖΘ διπλῆ μοιρῶν ρπβ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑθ νη , ἡ δὲ τῆς μοιρῶν ρνε ῑδ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑζ ῑβ . ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρις νθ πρὸς τὰ ρκ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρῑθ ῆ πρὸς τὰ ρῑζ ῑβ , καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος ὁ τῶν ρῑδ ῑϚ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ . καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ τμημάτων ρκ · καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΕΗ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρῑδ ῑϚ · ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΕΗ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν ρμδ δϚ ἔγγιστα , αὐτὴ δὲ ἡ ΗΕ τῶν αὐτῶν οβ ῑγ . καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ τῶν λειπουσῶν ἐστιν εἰς τὸ τεταρτημόριον μοιρῶν ῑζ μζ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ἐφεξῆς δὲ καὶ τὴνὑπὸ ΑΗΘ γωνίαν εὑρήσομεν οὕτως · ἐκκείσθω γὰρ ἡ αὐτὴ καταγραφή , καὶ πόλῳ τῷ καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΚΛΜ , ὥστε , ἐπεὶ ὁ ΑΗΕ κύκλος διά τε τῶν τοῦ ΕΘΜ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΚΛΜ πόλων γέγραπται , ἑκατέραν τῶν ΕΜ καὶ ΚΜ τεταρτημορίου γίνεσθαι . πάλιν οὖν διὰ τὴν καταγραφὴν ἔσται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΚ λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΛ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΛΜ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΚΜ . ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς ΗΕ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρμδ δς καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑδ ῑς , ἡ δὲ τῆς ΕΚ μοιρῶν λε λδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λς λη , καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς ΘΗ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρνε ῑδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑζ ῑβ , ἡ δὲ τῆς ΘΛ μοιρῶν κδ μς καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κε μδ · ὥστε , ἐὰν ἀπὸ τοῦ λόγου τοῦ τῶν ρῑδ ῑϚ πρὸς τὰ λϚ λη ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρῑζ ιβ πρὸς τὰ κε μδ , καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Λ Μ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΚ λόγος ὁ τῶν πβ ῑᾱ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ . καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΚ τμημάτων ρκ · καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΛΜ τῶν αὐτῶν ἐστιν πβ ῑᾱ . ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΛΜ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν πς κη , αὐτὴ δὲ ἡ ΛΜ τῶν αὐτῶν μγ ῑδ . καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΚ περιφέρεια αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗΚ γωνία τμημάτων ἐστὶν μς μϚ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ γωνία τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἔσται μοιρῶν ρλγ ιδ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ὁ μὲν οὖν τρόπος τῆς τῶν προκειμένων εὑρέσεως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁ αὐτὸς συνάγεται , ἡμεῖς δέ , ἵνα καὶ τὰς ἄλλας γωνίας τε καὶ περιφερείας , ὅσων γε εἰκὸς χρείαν ἐν ταῖς κατὰ μέρος ἐπισκέψεσιν ἔσεσθαι , προχείρως ἔχωμεν ἐκτεθειμένας , ἐπελογισάμεθα καὶ ταύτας γραμμικῶς ἀρξάμενοι μὲν ἀπὸ τοῦ διὰ Μερόης παραλλήλου , καθʼ ὃν ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ῑγ , φθάσαντες δὲ μέχρι τοῦ γραφομένου ὑπὲρ τὸν Πόντον διὰ τῶν ἐκβολῶν Βορυσθένους , ὅπου ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ῑς . ἐχρησάμεθα δὲ τῇ καθʼ ἕκαστον παραυξήσει ἐπὶ μὲν τῶν κλιμάτων τῇ καθʼ ἡμιώριον πάλιν , ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀναφορῶν , ἐπὶ δὲ τῶν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων τῇ διʼ ἑνὸς δωδεκατημορίου , ἐπὶ δὲ τῶν πρὸς ἀνατολὰς ἢ καὶ πρὸς δυσμὰς τοῦ μεσημβρινοῦ θέσεων τῇ διὰ μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς . ποιησόμεθα δὲ καὶ τὴν τούτων ἔκθεσιν κανονικῶς καθʼ ἕκαστον κλῑμα τε καὶ δωδεκατημόριον παρατιθέντες ἐν μὲν τοῖς πρώτοις μέρεσιν τὴν ποσότητα τῶν τῆς ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ διαστάσεως μετὰ τὴν κατʼ αὐτὸν θέσιν ἰσημερινῶν ὡρῶν , ἐν δὲ τοῖς δευτέροις τὰς πηλικότητας τῶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου μέχρι τῆς ἀρχῆς τοῦ ἐκκειμένου δωδεκατημορίου γινομένων , ὡς ἔφαμεν , περιφερειῶν , ἐν δὲ τοῖς τρίτοις καὶ τετάρτοις τὰς πηλικότητας τῶν ὑπὸ τῆς προκειμένης τομῆς κατὰ τὸν διωρισμένον ἡμῖν τρόπον περιεχομένων γωνιῶν , ἐν μὲν τοῖς τρίτοις τὰς τῶν πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ θέσεων , ἐν δὲ τοῖς τετάρτοις τὰς τῶν πρὸς δυσμάς . ὡς καὶ ἐν ἀρχῇ μέντοι διεστειλάμεθα , μεμνῆσθαι δεῖ , ὅτι τῶν δύο τῶν ὑπὸ τοῦ ἑπομένου τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιεχομένων γωνιῶν τὴν ἀπʼ ἄρκτων τοῦ αὐτοῦ τμήματος ἀεὶ παρειλήφαμεν τοσούτων ἐφʼ ἑκάστης αὐτῶν τὴν πηλικότητα παρατιθέντες , οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ?? . καί ἐστιν ἡ τῶν κανονίων ἔκθεσις τοιαύτη .
Lemmas: λείπω δή ὁ ἔφοδος , κατά ὅς ἄν λαμβάνω καί ὁ πρός ὁ διά ὁ πόλος ὁ ὁρίζων κατά ἕκαστος ἔγκλισις καί κατά ἕκαστος θέσις γίγνομαι ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος γωνία συναποδείκνυμι , ὡς φημί , ἑκάστοτε καί ὁ ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ διά ὁ πόλος ὁ δρίζοντος κύκλος ὑπό τε ὁ κατά κορυφή σημεῖον καί ὁ πρός ὁ λοξός κύκλος αὐτός τομή , ἐκτίθημι πάλιν καί ὁ εἰς οὗτος ὁ μέρος προλαμβάνω καί δείκνυμι πρῶτος , ὅτι ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ αὐτός τροπικός σημεῖον ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος σημεῖον ἴσος χρόνος ἀπολαμβάνω ἐπί ἑκάτερος ὁ μεσημβρινός , ὁ μέν πρός ἀνατολή , ὁ δέ ἕτερος πρός δυσμή , ὁ τε ἀπό ὁ κατά κορυφή ἐπί αὐτός περιφέρεια ὁ μέγας κύκλος Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί καί ὁ πρός αὐτός γίγνομαι γωνία , κατά ὅς διαστέλλω τρόπος , δύο ὀρθός Ἴσαι . ἵστημι γάρ μεσημβρινός τμῆμα ὁ ΑΒΓ , καί ὑπόκειμαι ἐπί αὐτός ὁ μέν κατά κορυφή σημεῖον ὁ Β , ὁ δέ ὁ ἰσημερινός πόλος ὁ Γ , καί γράφω ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος δύο τμῆμα ὁ τε ΑΔΕ καί ὁ ΑΖΒ οὕτως ἔχω , ὥστε ὁ δ καί Z σημεῖον ἴσος τε ἀπέχω ἀπό ὁ αὐτός τροπικός καί ἴσος ἀπολαμβάνω περιφέρεια ὁ διά αὐτός παράλληλος ἐπί ἑκάτερος ὁ ΑΒΓ μεσημβρινός . γράφω δέ καί μέγας κύκλος περιφέρεια διά ὁ δ , Ν σημεῖον , ἀπό μέν ὁ Γ πόλος ὁ ἰσημερινός ἢ τε ΓΔ καί ὁ ΓΖ , ἀπό δέ ὁ Β ὁ κατά κορυφή σημεῖον ὅς τε ΒΔ καί ὁ ΒΖ . λέγω , ὅτι ὁ μέν ΒΔ περιφέρεια ὁ ΒΖ ἴσος εἰμί , ὁ δέ ὑπό ΒΔΕ γωνία μετά ὁ ὑπό βαίνω ΒΖΑ δύο ὀρθός ἴσος . ἐπεί γάρ ὁ δ καί Ζ σημεῖον ἴσος ὁ διά αὐτός παράλληλος περιφέρεια ἀπέχω ὁ ΑΒΓ μεσημβρινός , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΓΔ γωνία ὁ ὑπό ΒΓΖ . δύο δή τρίπλευρος εἰμί ὁ τε ΒΓΔ καί ὁ ΒΓΖ ὁ δύο πλευρά ὁ δύο πλευρά ἴσος ἔχω ἑκάτερος ἑκατέρφ , ὁ μέν ΓΔ ὁ ΓΖ , κοινός δέ ὁ ΒΓ , καί γωνία γωνία ὁ ὑπό ὁ ἴσος πλευρά περιέχω ὁ ὑπό ΒΓΔ ὁ ὑπό ΒΓΖ καί βάσις ἄρα ὁ ΒΔ βάσις ὁ ΒΖ ἴσος ἔξειμι καί γωνία ὁ ὑπό ΒΖΓ ὁ ὑπό ΒΔΓ . ἀλλά ἐπεί δείκνυμι μικρός πρόσθεν , ὅτι ὁ ἴσος ἀπέχω ὁ αὐτός τροπικός σημεῖον ὁ πρός ὁ διά ὁ πόλος ὁ ἰσημερινός γίγνομαι γωνία συναμφότεροι δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί , συναμφότεροι ἄρα ἢ τε ὑπό ΓΔΕ καί ὁ ὑπό ΓΖΑ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΒΔΓ ὁ ὑπό ΒΖΓ σέω · καί συναμφότεροι ἄρα ἢ τε ὑπό ΒΔΕ καί ὁ ὑπό ΒΖΑ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . πάλιν δή δεικτέος , ὅτι ὁ αὐτός σημεῖον ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ἴσος χρόνος ἀπέχω ἐπί ἑκάτερος ὁ μεσημβρινός ὁ τε ἀπό ὁ κατά κορυφή ἐπί αὐτός γράφω μέγας κύκλος περιφέρεια Ἴσαι ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ πρός αὐτός γίγνομαι γωνία συναμφότεροι ὅς τε πρός ἀνατολή καί ὁ πρός δυσμή δύο ὁ ὑπό ὁ μεσημβρινός πρός ὁ αὐτός σημεῖον γίγνομαι Ἴσαι εἰμί , ὅταν ἐπί ἑκάτερος θέσις ὁ μεσουρανέω ἀμφότερος ἤτοι βόρειος ἢ νότιος ὁ κατά κορυφή σημεῖον τυγχάνω . πρῶτος δέ ὑπόκειμαι ἀμφότερος νότιος , καί ἵστημι μεσημβρινός τμῆμα ὁ ΑΒΓΔ , ἐπί αὐτός δέ ὁ μέν κατά κορυφή σημεῖον ὁ Γ πόλος δέ ὁ ἰσημερινός ὁ δ , καί γράφω δύο τμῆμα ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ τε ΑΕΖ καί ὁ βαίνω οὕτως ἔχω , ὥστε ὁ Ε σημεῖον καί ὁ H ὁ αὐτός ὑπόκειμαι ἴσος ἐπί ἑκάτερος ὁ διά αὐτός παράλληλος περιφέρεια ἀπέχω ὁ ΑΒΓΔ μεσημβρινός . καί γράφω πάλιν διά αὐτός τμῆμα μέγας κύκλος ἀπό μέν ὁ Γ ὁ τε καί ὁ ΓΗ , ἀπό δέ ὁ δ ὁ τε ΔΕ καί ὁ δΗ . διά ὁ αὐτός δή ὁ ἔμπροσθεν , ἐπεί ὁ Ε , H σημεῖον ὁ αὐτός ποιέω παράλληλος ἴσος αὐτός περιφέρεια ἐπί ἑκάτερος ποιέω ὁ μεσημβρινός , ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος γίγνομαι ὁ ΓΔΕ τρίπλευρος ὁ ΓΔΗ , ὥστε καί ὁ ΓΕ ὁ ΓΗ ἴσος γίγνομαι . λέγω δή , ὅτι καί συναμφότεροι ὅς τε ὑπό ΓΕΖ καί ὁ ὑπό ΓΗΕ δύο ὁ ὑπό ΔΚΖ , ΔΗΒ Ἴσαι εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ μέν ὑπό ΔEΖ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὑπό ΔΗΒ , ὁ δέ ὑπό ΓΚΔ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό δΗΓ , καί συναμφότεροι ἄρα ὅς τε ὑπό ΓΚΔ καί ὁ ὑπό ΓΗΒ Ἴσαι εἰμί ὁ ὑπό δΕΖ ὥστε καί συναμφότεροι ὅς τε ὑπό ΓΕΖ ὅλος καί ὁ ὑπό ΓΗΒ δύο ὁ ὑπό δΕΖ , ΔΗΒ Ἴσαι εἰμί · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . καταγράφω πάλιν ὁ αὐτός τμῆμα ὁ ἔκκειμαι κύκλος , ὥστε μέντοι ὁ τε Α σημεῖον καί ὁ βόρειος γίγνομαι ὁ Γ σημεῖον . λέγω , ὅτι ὁ αὐτός καί οὕτως συμβαίνω , τουτέστιν συναμφότεροι ὅς τε ὑπό ΚΕΖ γωνία καί ὁ ὑπό ΒΗΛ δύο ὁ ὑπό δΕΖ Ἴσαι εἰμί . ἐπεί γάρ ὁ μέν ὑπό δΕΖ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὑπό ΔΗΒ , ἴσος δέ ὁ ὑπό ΔΕΚ ὁ ὑπό ΔΗ , καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΒΗΛ σέω εἰμί συναμφότεροι ὁ τε ὑπό δΕΖ καί ὁ ὑπό ΔΕΚ ὥστε καί συναμφότεροι ὅς τε ὑπό ΒΗΛ καί ὁ ὑπό ΚΕΖ δύο ὁ ὑπό δΕΖ Ἴσαι εἰμί . ἔκκειμαι δή πάλιν ὁ ὅμοιος καταγραφή , ὥστε μέντοι ὁ μέν ὁ ἀνατολικός τμῆμα μεσουρανέω σημεῖον , τουτέστιν ὁ Α , νότιος εἰμί ὁ Γ κατά κορυφή σημεῖον , ὁ δέ ὁ πρός δυσμή τμῆμα μεσουρανέω , τουτέστιν ὁ B , βόρειος ὁ αὐτός . λέγω , ὅτι συναμφότεροι ἤ τε ὑπό ΓΕΖ καί ὁ ὑπό ΒΗΛ δύο ὁ ὑπό δΕΖ μέγας εἰμί δύο ὀρθός . ἐπεί γάρ ὁ μέν ὑπό δΗΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΔΕΓ , συναμφότεροι δέ ὅς τε ὑπό δΗΓ καί ὁ ὑπό ΔΗ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί , καί συναμφότεροι ἄρα ὅς τε ὑπό ΔΕΓ καί ὁ ὑπό ΔΗ δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό δΕΖ γωνία ὁ αὐτός ὁ ὑπό ΔΗΒ ὥστε καί συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΓΕΖ καί ὁ ὑπό δΜΒ συναμιφοτερας ὁ ὑπό δΕΖ καί ΔΗΒ , τουτέστιν δίς ὁ ὑπό δΕΖ , μείζων εἰμί συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΔEΓ καί ὁ ὑπό ΔΗ , ὅσπερ εἰμί δύο ὀρθός Ἴσαι · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ἐκκείσθωο δέ , ὅσπερ ὑπολείπω , κατά ὁ ὅμοιος καταγραφή ὁ μέν ὁ πρός ἀνατολή τμῆμα μεσουρανέω σημεῖον ὁ Α βόρειος γίγνομαι ὁ Γ , ὁ δέ ὁ πρός δυσμή τμῆμα μεσουρανέω ὁ Β νότιος . λέγω , ὅτι συναμφότεροι ἢ τε ὑπό ΚΕΖ καί ὁ ὑπό ΓΕΒ δύο ὁ ὑπό ΔΚΖ ἐλαχύς εἰμί δύο ὀρθός . διά ὁ αὐτός γάρ πάλιν συναμφότεροι μέν ὅστε ὑπό ΚΕΖ καί ὁ ὑπό ΓΗΒ συναμφοτέρωντῆς τε ὑπό ΕΖ καί ὁ ὑπό ΔΗΒ , τουτέστιν δύο ὁ ὑπό δΕΖ , μικρός γίγνομαι συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΔΕΚ καί ὁ ὑπό ΔHΓ οὗτος δέ δύο ὀρθός Ἴσαι διά ὁ καί συναμφότεροι μέν ὁ τε ὑπό ΔΕΚ καί ὁ ὑπό ΔEΓ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί , ἴσος δέ καί ὁ ὑπό ΔΚΓ ὁ ὑπό δΗΓ ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ὅτι δέ ἐκ πρόχειρος δύναμαι λαμβάνω ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ λοξός κύκλος πρός ὁ διά ὁ κατά κορυφή σημεῖον μέγας κύκλος γωνία τε καί περιφέρεια , κατά εἰμί εἴρω τρόπος , ὁ τε ἐπί ὁ μεσημβρινός καί ἐπί ὁ ὁρίζων γίγνομαι , αὐτόθεν εἄν οὕτως γίγνομαι δῆλος . ἐάν γάρ γράφω μεσημβρινός κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καί ὁρίζων μέν ἡμικύκλιον ὁ ΒΕΔ , ὁ δέ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος ὁ ΖΕΗ ὅπως ἔχω , ὅταν μέν διά ὁ μεσουρανέω αὐτός σημεῖον ὁ Ζ νοέω ὁ διά ὁ Α κατά κορυφή σημεῖον γράφω μέγας κύκλος , ὁ αὐτός γίγνομαι ὁ ΑΒΓΔ μεσημβρινός , καί εἰμί ὅς τε ὑπό δΖΕ γωνία αὐτόθεν ἐγώ δίδωμι διά ὁ καί ὁ σημεῖον καί ὁ πρός ὁ μεσημβρινός αὐτός γίγνομαι γωνία δίδωμι καί αὐτός ὁ αζʹ περιφέρεια διά ὁ ἔχω ἐγώ , πόσος μοῖρα ἐπί ὁ μεσημβρινός ὁ τε Ζ σημεῖον ἀπέχω ὁ ἰσημερινός καί ὁ ἰσημερινός ὁ Α κατά κορυφή σημεῖον . ὅταν δέ διά ὁ ἀνατέλλω αὐτός σημεῖον ὁ Ε νοέω ὁ διά ὁ Α γράφω μέγας κύκλος ὡς ὁ ΑΕΓ , αὐτόθεν καί οὕτως γίγνομαι δῆλος , ὅτι ὁ μέν ΑΕ περιφέρεια πάντοτε γίγνομαι τεταρτημόριον , διά ὁ ὁ Α σημεῖον πόλος εἰμί ὁ ΒΕΔ ὁρίζων . ὀρθός δέ εἰμί ἀεί διά ὁ αὐτός αἴτιος ὁ ὑπό ΑΕΔ γωνία καί δίδωμι ὁ ὁ λοξός κύκλος πρός ὁ ὁρίζων , τουτέστιν ὁ ὑπό ΔΕΗ , δίδωμι καί ὅλος ὁ ὑπό ΑΕΗ γωνία · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ὥστε φανερός , ὅτι οὗτος οὕτως ἔχω , ἐάν ἐπί ἕκαστος ἔγκλισις ὁ πρό ὁ μεσημβρινός μόνος γωνία τε καί περιφέρεια καί μόνος ὁ ἀπό ὁ ἀρχή ὁ Κάρκινος μέχρι ὁ ἀρχή ὁ αἰγόκερως δωδεκατημόριον ἐπιλογίζομαι , συναποδείκνυμι ἔχω καί ὁ τε μετά ὁ μεσημβρινός αὐτός γωνία τε καί περιφέρεια καί ἔτι ὁ λοιπός ὁ τε πρό ὁ μεσημβρινός καί ὁ μετά ὁ μεσημβρινός . ἵνα δέ καί ἐπί οὗτος ὁ κατά ἕκαστος θέσις ἔφοδος φανερός γίγνομαι , παράδειγμα πάλιν ἕνεκα ἐκτίθημι ὁ εἰμί καθόλου δεῖξις διά εἷς θεώρημα ὑποτίθημι κατά ὁ αὐτός ἔγκλισις τουτέστιν κατά ὅς ὁ βόρειος πόλος ὁ ὁρίζων ἐξαίρω μοῖρα λϚʹ , ὁ ἀρχή ὁ Κάρκινος λόγος χάρις εἷς ὥρα ἰσημερινός ἀπέχω πρός ἀνατολή ὁ μεσημβρινός , κατά ὅς θέσις ἐν ὁ πρόκειμαι παράλληλος μεσουρανέω μέν ὁ ὁ Διδύμων μοῖρα ιϛʹ ιβʹ , ἀνατέλλω δέ ὁ ὁ παρθένος μοῖρα ιζʹ λζʹ . ἵστημι δή μεσημβρινός κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καί ὁρίζων μέν ἡμικύκλιον ὁ ΒΕΔ , ὁ δέ διά μέσος ὁ ζῴδιον ὁ ΖΗΘ οὕτως ἔχω , ὥστε ὁ μέν ὁ σημεῖον ὁ ἀρχή εἰμί ὁ Κάρκινος , ὁ δέ Ζ ἐπέχω Διδύμων μοῖρα ιϛʹ ιβʹ , ὁ δέ Θ παρθένος μοῖρα ιζʹ λζʹ , καί γράφω διά τε ὁ Α κατά κορυφή σημεῖον καί διά ὁ ὁ ὁ ἀρχή ὁ Κάρκινος μέγας κύκλος τμῆμα ὁ ΑΗΓ , πρόκειμαι δέ πρῶτος ὁ ΑΗ περιφέρεια εὑρίσκω . φανερός δή , ὅτι ὁ μέν ΖΘ περιφέρεια μοῖρα εἰμί ?? ὅς κε , ὁ δέ ΗΘ μοῖρα οζʹ λζʹ . ὁμοίως δέ , ἐπεί ὁ μέν ὁ Διδύμων μοῖρα ιϛʹ ιβʹ ἀπολαμβάνω ὁ μεσημβρινός ἀπό ὁ ἰσημερινός πρός ἄρκτος μοῖρα κγʹ ζ , ὁ δέ ἰσημερινός ὁ Α κατά κορυφή σημεῖον μοῖρα λϚʹ , εἰμί καί ὁ μέν αζʹ περιφέρεια μοῖρα ιβʹ νγʹ , ὁ δέ ΖΒ ὁ λοιπός εἰς ὁ τεταρτημόριον μοῖρα οζʹ ζ . οὗτος δίδωμι γίγνομαι πάλιν διά ὁ καταγραφή ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΖΒ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΒΑ λόγος ὁ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΖΘ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ τίθημι καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΗΕ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΕΑ . ἀλλά ὁ μέν ὁ ΖΒ διπλόος μοῖρα εἰμί ρνδ ιδʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ῥίς νθʹ , ὁ δέ ὁ ΒΑ μοῖρα ρπʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρκʹ , καί πάλιν ὁ μέν ὁ ΖΘ διπλόος μοῖρα ρπβʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρῑθ νη , ὁ δέ ὁ μοῖρα ρνεʹ ιδʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ριζʹ ιβʹ . ἐάν ἄρα ἀπό ὁ ὁ ῥίς νθʹ πρός ὁ ρκʹ λόγος ἀφαιρέω ὁ ὁ ρῑθ ἤ πρός ὁ ριζʹ ιβʹ , καταλείπω ἐγώ ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΕΗ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΕΑ λόγος ὁ ὁ ριδʹ ιϛʹ ἔγγιστος πρός ὁ ρκʹ . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΕΑ τμῆμα ρκʹ · καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ἄρα ὁ ΕΗ ὁ αὐτός εἰμί ριδʹ ιϛʹ · ὥστε καί ὁ μέν διπλόος ὁ ΕΗ περιφέρεια μοῖρα εἰμί ρμδʹ δϚ ἔγγιστος , αὐτός δέ ὁ ΗΕ ὁ αὐτός οβʹ ιγʹ . καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΗ ὁ λείπω εἰμί εἰς ὁ τεταρτημόριον μοῖρα ιζʹ μζʹ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ἐφεξῆς δέ καί τὴνὑπὸ ΑΗΘ γωνία εὑρίσκω οὕτως · ἔκκειμαι γάρ ὁ αὐτός καταγραφή , καί πόλος ὁ καί διάστημα ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά γράφω μέγας κύκλος τμῆμα ὁ ΚΛΜ , ὥστε , ἐπεί ὁ ΑΗΕ κύκλος διά τε ὁ ὁ ΘΜ καί διά ὁ ὁ ΚΛΜ πόλος γράφω , ἑκάτερος ὁ ΕΜ καί ΚΜ τεταρτημόριον γίγνομαι . πάλιν οὖν διά ὁ καταγραφή εἰμί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΗΕ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΕΚ λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΗΘ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΘΛ καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΛΜ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΚΜ . ἀλλά ὁ μέν ὁ ΗΕ διπλόος μοῖρα εἰμί ρμδʹ ΔΣ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ριδʹ ἴς , ὁ δέ ὁ ΕΚ μοῖρα λεʹ λδʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα λςʹ λα , καί πάλιν ὁ μέν ὁ τίθημι διπλόος μοῖρα εἰμί ρνεʹ ιδʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ριζʹ ιβʹ , ὁ δέ ὁ ΘΛ μοῖρα ΚΔ μς καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα κε μδʹ · ὥστε , ἐάν ἀπό ὁ λόγος ὁ ὁ ριδʹ ιϛʹ πρός ὁ λϚʹ λα ἀφαιρέω ὁ ὁ ριζʹ Ἶβ πρός ὁ κε μδʹ , καταλείπω ἐγώ ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Λ Μ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΜΚ λόγος ὁ ὁ ΠΒ ιαʹ ἔγγιστος πρός ὁ ρκʹ . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ΜΚ τμῆμα ρκʹ · καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ἄρα ὁ ΛΜ ὁ αὐτός εἰμί ΠΒ ιαʹ . ὥστε καί ὁ μέν διπλόος ὁ ΛΜ περιφέρεια μοῖρα εἰμί ΠΣ καί , αὐτός δέ ὁ ΛΜ ὁ αὐτός μγʹ ιδʹ . καί λοιπός ἄρα ὁ ΛΚ περιφέρεια αὐτός τε καί ὁ ὑπό ΛΗΚ γωνία τμῆμα εἰμί μς μϛʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ΑΗΘ γωνία ὁ λοιπός εἰς ὁ δύο ὀρθός εἰμί μοῖρα ρλγʹ ιδʹ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . ὁ μέν οὖν τρόπος ὁ ὁ πρόκειμαι εὕρεσις καί ἐπί ὁ λοιπός ὁ αὐτός συνάγω , ἐγώ δέ , ἵνα καί ὁ ἄλλος γωνία τε καί περιφέρεια , ὅσος γε εἰκός χρεία ἐν ὁ κατά μέρος ἐπίσκεψις εἰμί , προχείρως ἔχω ἐκτίθημι , ἐπιλογίζομαι καί οὗτος γραμμικός ἄρχω μέν ἀπό ὁ διά Μερόη παράλληλος , κατά ὅς ὁ μέγας ἡμέρα ὥρα εἰμί ἰσημερινός ιγʹ , φθάνω δέ μέχρι ὁ γράφω ὑπέρ ὁ Πόντος διά ὁ ἐκβολή Βορυσθένης , ὅπου ὁ μέγας ἡμέρα ὥρα εἰμί ἰσημερινός ἴς . χράω δέ ὁ κατά ἕκαστος παραύξησις ἐπί μέν ὁ κλίμα ὁ κατά ἡμιώριον πάλιν , ὥσπερ καί ἐπί ὁ ἀναφορά , ἐπί δέ ὁ ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος τμῆμα ὁ διά εἷς δωδεκατημόριον , ἐπί δέ ὁ πρός ἀνατολή ἢ καί πρός δυσμή ὁ μεσημβρινός θέσις ὁ διά εἷς ὥρα ἰσημερινός . ποιέω δέ καί ὁ οὗτος ἔκθεσις κανονικός κατά ἕκαστος κλίμα τε καί δωδεκατημόριον παρατίθημι ἐν μέν ὁ πρῶτος μέρος ὁ ποσότης ὁ ὁ ἐπί ἑκάτερος ὁ μεσημβρινός διάστασις μετά ὁ κατά αὐτός θέσις ἰσημερινός ὥρα , ἐν δέ ὁ δύο ὁ πηλικότης ὁ ἀπό ὁ κατά κορυφή σημεῖον μέχρι ὁ ἀρχή ὁ ἔκκειμαι δωδεκατημόριον γίγνομαι , ὡς φημί , περιφέρεια , ἐν δέ ὁ τρίτος καί τέταρτος ὁ πηλικότης ὁ ὑπό ὁ πρόκειμαι τομή κατά ὁ διορίζω ἐγώ τρόπος περιέχω γωνία , ἐν μέν ὁ τρίτος ὁ ὁ πρός ἀνατολή ὁ μεσημβρινός θέσις , ἐν δέ ὁ τέταρτος ὁ ὁ πρός δυσμή . ὡς καί ἐν ἀρχή μέντοι διαστέλλω , μιμνήσκω δεῖ , ὅτι ὁ δύο ὁ ὑπό ὁ ἕπομαι τμῆμα ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος περιέχω γωνία ὁ ἀπό ἄρκτος ὁ αὐτός τμῆμα ἀεί παραλαμβάνω τοσοῦτος ἐπί ἕκαστος αὐτός ὁ πηλικότης παρατίθημι , οἷος εἰμί ὁ εἷς ὀρθός ?? . καί εἰμί ὁ ὁ κανόνιον ἔκθεσις τοιοῦτος .