claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 1.10
Πρὸς μὲν οὖν τὴν ἐξ ἑτοίμου χρῆσιν κανονικήν τινα μετὰ ταῦτα ἔκθεσιν ποιησόμεθα τῆς πηλικότητος αὐτῶν τὴν μὲν περίμετρον εἰς τξ τμήματα διελόντες , παρατιθέντες δὲ τὰς ὑπὸ τὰς καθʼ ἡμιμοίριον παραυξήσεις τῶν περιφερειῶν ὑποτεινομένας εὐθείας , τουτέστι πόσων εἰσὶν τμημάτων ὡς τῆς διαμέτρου διὰ τὸ ἐξ αὐτῶν τῶν ἐπιλογισμῶν φανησόμενον ἐν τοῖς ἀριθμοῖς εὔχρηστον εἰς ρκ τμήματα διῃρημένης . πρότερον δὲ δείξομεν , πῶς ἂν ὡς ἔνι μάλιστα διʼ ὀλίγων καὶ τῶν αὐτῶν θεωρημάτων εὐμεθόδευτον καὶ ταχεῖαν τὴν ἐπιβολὴν τὴν πρὸς τὰς πηλικότητας αὐτῶν ποιοίμεθα , ὅπως μὴ μόνον ἐκτεθειμένα τὰ μεγέθη τῶν εὐθειῶν ἔχωμεν ἀνεπιστάτως , ἀλλὰ καὶ διὰ τῆς ἐκ τῶν γραμμῶν μεθοδικῆς αὐτῶν συστάσεως τὸν ἔλεγχον ἐξ εὐχεροῦς μεταχειριζώμεθα . καθόλου μέντοι χρησόμεθα ταῖς τῶν ἀριθμῶν ἐφόδοις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοντάδος τρόπον διὰ τὸ δύσχρηστον τῶν μοριασμῶν ἔτι τε τοῖς πολυπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἀκολουθήσομεν τοῦ συνεγγίζοντος ἀεὶ καταστοχαζόμενοι , καὶ καθʼ ὅσον ἂν τὸ παραλειπόμενον ηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρῃ τοῦ πρὸς αἴσθησιν ἀκριβοῦς . Ἔστω δὴ πρῶτον ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Δ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἡ ΔΒ , καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ , καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ . λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου ἐστὶν πλευρά , ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου . ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΔΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ πρόσκειταί τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΔΖ , τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ , τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ , ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΖΕ . ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΒ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΔ καὶ ΔΒ τετράγωνα τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ , ΔΒ τετραγώνοις . καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΔ τετραγώνου λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ , τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ · ἡ ΖΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Δ . ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ ἑξαγώνου καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνονται , ἡ δὲ ΓΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιέχει πλευράν , ἡ ΔΖ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ τοῦ δεκαγώνου πλευρᾷ . ὁμοίως δέ , ἐπεὶ ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων , τοῦ δὲ ΒΔΖ ὀρθογωνίου τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΔ , ἥτις ἐστὶν ἑξαγώνου πλευρά , καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ , ἥτις ἐστὶν δεκαγώνου πλευρά , ἡ ΒΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ . ἐπεὶ οὖν , ὡς ἔφην , ὑποτιθέμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τμημάτων ρκ , γίνεται διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν ΔΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων λ καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς Ϡ , ἡ δὲ ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τμημάτων ξ καὶ τὸ ἀπὸ αὐτῆς γχ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΒ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ , τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ δφ · μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΖ τμημάτων ξζ δ νε . ἔγγιστα , καὶ λοιπὴ ἡ ΔΖ τῶν αὐτῶν λζ δ νε . ἡ ἄρα τοῦ δεκαγώνου πλευρά , ὑποτείνουσα δὲ περιφέρειαν τοιούτων λς , οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ , τοιούτων ἔσται λζ δ νε , οἵων ἡ διάμετρος ρκ . πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ λζ δ νε , τὸ δὲ ἀπὸ αὐτῆς ατοε δ ιε , ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῶν αὐτῶν γχ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον δϠοε δ ιε , μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΒΖ τμημάτων ο λβ γ ἔγγιστα . καὶ ἡ τοῦ πενταγώνου ἄρα πλευρά , ὑποτείνουσα δὲ μοίρας οβ , οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ , τοιούτων ἐστὶν ο λβ γ , οἵων ἡ διάμετρος ρκ . φανερὸν δὲ αὐτόθεν , ὅτι καὶ ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά , ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ξ , καὶ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν ξ . ὁμοίως δέ , ἐπεὶ ἡ μὲν τοῦ τετραγώνου πλευρά , ὑποτείνουσα δὲ μοίρας Ϛ , δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , ἡ δὲ τοῦ τριγώνου πλευρά , ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ρκ , δυνάμει τῆς αὐτῆς ἐστιν τριπλασίων , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν γχ , συναχθήσεται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ζσ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τοῦ τριγώνου Μω . ὥστε καὶ μήκει ἡ μὲν τὰς μοίρας ὑποτείνουσα εὐθεῖα τοιούτων ἔσται πδ να ι ἔγγιστα , οἵων ἡ διάμετρος ρκ , ἡ δὲ τὰς ρκ τῶν αὐτῶν ργ νε κγ . αἵδε μὲν οὕτως ἡμῖν ἐκ προχείρου καὶ καθʼ αὑτὰς εἰλήφθωσαν , καὶ ἔσται φανερὸν ἐντεῦθεν , ὅτι τῶν διδομένων εὐθειῶν ἐξ εὐχεροῦς δίδονται καὶ αἱ ὑπὸ τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφερείας ὑποτείνουσαι διὰ τὸ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντιθέμενα ποιεῖν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον · οἷον , ἐπειδὴ ἡ ὑπὸ τὰς λϛ μοίρας εὐθεῖα τμημάτων ἐδείχθη λζ δ νε καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ατοε δ ιε , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τμημάτων ἐστὶν Μα δυ , ἔσται καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον μοίρας ρμδ τῶν λοιπῶν Μα με , αὐτὴ δὲ μήκει τῶν αὐτῶν ριδ ζ λζ ἔγγιστα , καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως . ὅν δὲ τρόπον ἀπὸ τούτων καὶ αἰ λοιπαὶ τῶν κατὰ μέρος δοθήσονται , δείξομεν ἐφεξῆς προεκθέμενοι λημμάτιον εὔχρηστον πάνυ πρὸς τὴν παροῦσαν πραγματείαν . ἔστω γὰρ κύκλος ἐγγεγραμμένον ἔχων τετράπλευρον τυχὸν τὸ ΑΒΓΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ καὶ ΒΔ . δεικτέον , ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΒΓ . κείσθω γὰρ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΕ . ἐὰν οὖν κοινὴν προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ , ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ BΓΕ ἴση τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνουσιν · ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ . ὥστε καὶ ἀνάλογόν ἐστιν , ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ , οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΓ , ΑΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ , ΓΕ . πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ , ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΔΓ . ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ · ἀνάλογον ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ , ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑ , ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ , ΑΕ . ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔ , ΓΕ · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ , ΒΔ ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ ΑΒ , ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ , ΒΓ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . τούτου προεκτεθέντος ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ , καὶ ἀπὸ τοῦ Α δύο διήχθωσαν αἱ ΑΒ , ΑΓ καὶ ἔστω ἑκατέρα αὐτῶν δοθεῖσα τῷ μεγέθει , οἵων ἡ διάμετρος δοθεῖσα ρκ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ . λέγω , ὅτι καὶ αὕτη δέδοται . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ , ΓΔ · δεδομέναι ἄρα εἰσὶν δηλονότι καὶ αὗται διὰ τὸ λείπειν ἐκείνων εἰς τὸ ἡμικύκλιον . ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΓΔ , τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ , ΓΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΒΓ ἔσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓ , ΒΔ . καί ἐστιν τό τε ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΒΔ δοθὲν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒ , ΓΔ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ , ΒΓ δοθέν ἐστιν . καί ἐστιν ἡ ΑΔ διάμετρος · δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα . καὶ φανερὸν ἡμῖν γέγονεν , ὅτι , ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι , δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ τὴν ὑπεροχὴν τῶν δύο περιφερειῶν ὑποτείνουσα εὐθεῖα . δῆλον δέ , ὅτι διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος ἄλλας τε οὐκ ὀλίγας εὐθείας ἐγγράψομεν ἀπὸ τῶν ἐν ταῖς καθʼ αὐτὰς δεδομένων ὑπεροχῶν καὶ δὴ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς δώδεκα μοίρας , ἐπειδήπερ ἔχομεν τήν τε ὑπὸ τὰς ξ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς οβ . πάλιν προκείσθω δοθείσης τινὸς εὐθείας ἐν κύκλῳ τὴν ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς ὑποτεινομένης περιφερείας εὐθεῖαν εὑρεῖν . καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ καὶ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΓΒ , καὶ ἡ ΓΜ περιφέρεια δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Δ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΑΔ , ΒΔ , ΔΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΖ . λέγω , ὅτι ἡ ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ ὑπεροχῆς . κείσθω γὰρ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΕ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ . ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ , κοινὴ δὲ ἡ ΑΔ , δύο δὴ αἱ ΑΒ , ΑΔ δύο ταῖς ΑΕ , ΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἕκατέρᾳ . καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΔ ἴση ἐστίν καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΔ βάσει τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν . ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἴση ἐστίν · καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν . ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελοῦς ὄντος τριγώνου τοῦ ΔΕΓ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΔΖ , ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΓ . ἀλλʼ ἡ ΕΓ ὅλη ἡ ὑπεροχή ἐστιν τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ εὐθειῶν · ἡ ἄρα ΖΓ ἡμίσειά ἐστιν τῆς τῶν αὐτῶν ὑπεροχῆς . ὥστε , ἐπεὶ τῆς ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρεταν εὐθείας ὑποκειμένης αὐτόθεν δέδοται καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΑΒ , δοθήσεται καὶ ἡ ΖΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς τῶν ΑΓ καὶ ΑΒ ὑπεροχῆς . ἀλλʼ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τῷ ΑΓΔ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΔΖ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΔΓ ὁρθογώνιον τῷ ΔΓΖ , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ , ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ . δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον . ὥστε καὶ μήκει ἡ ΓΔ εὐθεῖα δοθήσεται τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς ΒΓ περιφερείας . καὶ διὰ τούτου δὴ πάλιν τοῦ θεωρήματος ἄλλαι τε ληφθήσονται πλεῖσται κατὰ τὰς ἡμισείας τῶν προεκτεθειμένων , καὶ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς τὰς ιβ μοίρας ὑποτεινούσης εὐθείας ἥ τε ὑπὸ τὰς καὶ ἡ ὑπὸ τὰς γ καὶ ἡ ὑπὸ τὴν μία ἥμισυ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ἥμισυ τέταρτον τῆς μιᾶς μοίρας . εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν τὴν μὲν ὑπὸ τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν τοιούτων ᾱ λδ ιε ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ , τὴν δὲ ὑπὸ τὸ U+2220΄δ΄ τῶν αὐτῶν o μζ η . πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ διάμετρον μὲν τὴν ΑΔ , κέντρον δὲ τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀπειλήφθωσαν δύο περιφέρειαι δοθεῖσαι κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ ΑΒ , ΒΓ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΓ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ δεδομέναι . λέγω , ὅτι , ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΓ , δοθήσεται καὶ αὐτή . διήχθω γὰρ διὰ τοῦ Β διάμετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΖΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ , ΔΓ , ΓΕ , ΔΕ · δῆλον δὴ αὐτόθεν , ὅτι διὰ μὲν τὴν ΒΓ δοθήσεται καὶ ἡ ΓΕ , διὰ δὲ τὴν ΑΒ δοθήσεται ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΔΕ . καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν , ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΒΓΔΕ , καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ , ΓΕ , τὸ ὑπὸ τῶν διηγμένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον · ὥστε , ἐπεὶ δεδομένου τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΓΕ , δέδοται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , ΔΕ , δέδοται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΕ , ΓΔ . δέδοται δὲ καὶ ἡ ΒΚ διάμετρος , καὶ λοιπὴ ἡ ΓΔ ἔσται δεδομένη , καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΓΑ · ὥστε , ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἰ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι , δοθήσεται καὶ ἡ συναμφοτέρας τὰς περιφερείας κατὰ σύνθεσιν ὑποτείνουσα εὐθεῖα διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος . φανερὸν δέ , ὅτι συντιθέντες ἀεὶ μετὰ τῶν προεκτεθειμένων πασῶν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν καὶ τὰς συναπτομένας ἐπιλογιζόμενοι πάσας ἀπλῶς ἐγγράψομεν , ὅσαι δὶς γινόμεναι τρίτον μέρος ἕξουσιν , καὶ μόναι ἔτι περιλειφθήσονται αἱ μεταξὺ τῶν ἀνὰ ᾱ U+2220΄ μοῖραν διαστημάτων δύο καθʼ ἕκαστον ἐσόμεναι , ἐπειδήπερ καθʼ ἡμιμοίριον ποιούμεθα τὴν ἐγγραφήν . ὥστε , ἐὰν τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον εὐθεῖαν εὕρωμεν , αὕτη κατά τε τὴν σύνθεσιν καὶ τὴν ὑπεροχὴν τὴν πρὸς τὰς τὰ διαστήματα περιεχούσας καὶ δεδομένας εὐθείας καὶ τὰς λοιπὰς τὰς μεταξὺ πάσας ἡμῖν συναναπληρώσει . ἐπεὶ δὲ δοθείσης τινὸς εὐθείας ὡς τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν ἡ τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσα διὰ τῶν γραμμῶν οὐ δίδοταί πως · εἰ δέ γε δυνατὸν ἦν , εἴχομεν ἂν 3αὐτόθεν καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον · πρότερον μεθοδεύσομεν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ μοῖραν ἀπό τε τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν καὶ τῆς ὑπὸ U+2220΄ δ΄ ὑποθέμενοι λημμάτιον , ὅ , κἂν μὴ πρὸς τὸ καθόλου δύνηται τὰς πηλικότητας ὁρίζειν , ἐπί γε τῶν οὕτως ἐλαχίστων τὸ πρὸς τὰς ὡρισμένας ἀπαράλλακτον δύναιτʼ ἂν συντηρεῖν . λέγω γάρ , ὅτι , ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι , ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος . ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ , μείζων δὲ ἡ ΒΓ . λέγω , ὅτι ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν . τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΒΔ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΕΓ καὶ ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΓΔ . καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΕΔ εὐθείας , ἴση μέν ἐστιν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῇ ΑΔ , μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΕΑ . ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΕΓ ἡ ΔΖ . ἐπεὶ τοίνυν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῆς ΕΔ , ἡ δὲ EΔ τῆς ΔΖ , ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Δ , διαστήματι δὲ τῷ ΔΕ γραφόμενος κύκλος τὴν μὲν ΑΔ τεμεῖ , ὑπερπεσεῖται δὲ τὴν ΔΖ . γεγράφθω δὴ ὁ ΗΕΘ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΖΘ . καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΔΕΘ τομεὺς μείζων ἐστὶν τοῦ ΔΕΖ τριγώνου , τὸ δὲ ΔΕΑ τρίγωνον μεῖζον τοῦ ΔΕΗ τομέως , τὸ ἄρα ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τόν ΔΕΗ . ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΚΑ τρίγωνον , οὕτως ἡ ΕΖ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΑ , ὡς δὲ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΚΔΑ ἡ ἄρα ΖΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ . καὶ συνθέντι ἄρα ἡ ΖΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΑ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΕ καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια , ἡ ΓΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ · καὶ διελόντι ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ , οὕτως ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ , ὡς δὲ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΔΑ , οὕτως ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ · ἡ ΓΒ ἄρα εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν . τούτου δὴ οὖν ὑποκειμένου ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΑΓ , ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ἡ μὲν ΑΒ ὑποτείνουσα μιᾶς μοίρας U+2220΄δʹ , ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱ . ἐπεὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ , ἡ δὲ ΑΓ περιφέρεια ἐπίτριτός ἐστιν τῆς ΑΒ , ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος . ἀλλὰ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων ○ μζ η , οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ · ἡ ἄρα ΓΑ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν · ταῦτα γὰρ ἐπίτριτά ἐστιν ἔγγιστα τῶν ○ μζ η . Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ὑποκείσθω ὑποτείνουσα μοῖραν ᾱ , ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱU+2220΄ . κατὰ τὰ αὐτὰ δή , ἐπεὶ ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΑΒ ἐστιν ἡμιολία , ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος . ἀλλὰ τὴν ΑΓ ἀπεδείξαμεν τοιούτων οὖσαν ᾱ λδ ῑε , οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ · ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν · τούτων γὰρ ἡμιόλιά ἐστιν τὰ προκείμενα ᾱ λδ ῑε . ὥστε , ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων ἡ τὴν μίαν μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα , καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων ᾱ β ν ἔγγιστα , οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ , καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον , ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν ○ λα κε ἔγγιστα . καὶ συναναπληρωθήσεται τὰ λοιπά , ὡς ἔφαμεν , διαστήματα ἐκ μὲν τῆς πρὸς τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν λόγου ἕνεκεν ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου διαστήματος συνθέσεως τοῦ ἡμιμοιρίου δεικνυμένης τῆς ὑπὸ τὰς β μοίρας , ἐκ δὲ τῆς ὑπεροχῆς τῆς πρὸς τὰς γ μοίρας καὶ τῆς ὑπὸ τὰς β U+2220΄ διδομένης · ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν . ἡ μὲν οὖν πραγματεία τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν οὕτως ἂν οἶμαι ῥᾷστα μεταχειρισθείη . ἵνα δέ , ὡς ἔφην , ἐφʼ ἑκάστης τῶν χρειῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς πηλικότητας ἔχωμεν τῶν εὐθειῶν ἐκκειμένας , κανόνια ὑποτάξομεν ἀνὰ στίχους με διὰ τὸ σύμμετρον , ὧν τὰ μὲν πρῶτα μέρη περιέξει τὰς πηλικότητας τῶν περιφερειῶν καθʼ ἡμιμοίριον παρηυξημένας , τὰ δὲ δεύτερα τὰς τῶν παρακειμένων ταῖς περιφερείαις εὐθειῶν πηλικότητας ὡς τῆς διαμέτρου τῶν ρκ τμημάτων ὑποκειμένης , τὰ δὲ τρίτα τὸ λ΄ μέρος τῆς καθʼ ἕκαστον ἡμιμοίριον τῶν εὐθειῶν παραυξήσεως , ἵνα ἔχοντες καὶ τὴν τοῦ ἑνὸς ἑξηκοστοῦ μέσην ἐπιβολὴν ἀδιαφοροῦσαν πρὸς αἴσθησιν τῆς ἀκριβοῦς καὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἡμίσους μερῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς ἐπιβαλλούσας πηλικότητας ἐπιλογίζεσθαι δυνώμεθα . εὐκατανόητον δʼ , ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν καὶ προκειμένων θεωρημάτων , κἂν ἐν δισταγμῷ γενώμεθα γραφικῆς ἁμαρτίας περί τινα τῶν ἐν τῷ κανονίῳ παρακειμένων εὐθειῶν , ῥᾳδίαν ποιησόμεθα τήν τε ἐξέτασιν καὶ τὴν ἐπανόρθωσιν ἤτοι ἀπὸ τῆς ὑπὸ τὴν διπλασίονα τῆς ἐπιζητουμένης ἢ τῆς πρὸς ἄλλας τινὰς τῶν δεδομένων ὑπεροχῆς ἢ τῆς τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφέρειαν ὑποτεινούσης εὐθείας . καί ἐστιν ἡ τοῦ κανονίου καταγραφὴ τοιαύτη ·
Lemmas: πρός μέν οὖν ὁ ἐκ ἑτοῖμος χρῆσις κανονικός τις μετά οὗτος ἔκθεσις ποιέω ὁ πηλικότης αὐτός ὁ μέν περίμετρον εἰς τξʹ τμῆμα διαιρέω , παρατίθημι δέ ὁ ὑπό ὁ κατά ἡμιμοίριον παραύξησις ὁ περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς , τουτέστι πόσος εἰμί τμῆμα ὡς ὁ διάμετρος διά ὁ ἐκ αὐτός ὁ ἐπιλογισμός φαίνω ἐν ὁ ἀριθμός εὔχρηστος εἰς ρκʹ τμῆμα διαιρέω . πρότερος δέ δείκνυμι , πῶς εἄν ὡς ἐν μάλιστα διά ὀλίγος καί ὁ αὐτός θεώρημα εὐμεθόδευτος καί ταχύς ὁ ἐπιβολή ὁ πρός ὁ πηλικότης αὐτός ποιέω , ὅπως μή μόνος ἐκτίθημι ὁ μέγεθος ὁ εὐθύς ἔχω ἀνεπίστατος , ἀλλά καί διά ὁ ἐκ ὁ γραμμή μεθοδικός αὐτός σύστασις ὁ ἔλεγχος ἐκ εὐχερής μεταχειρίζω . καθόλου μέντοι χράω ὁ ὁ ἀριθμός ἔφοδος κατά ὁ ὁ ἑξηκοντάς τρόπος διά ὁ δύσχρηστος ὁ μοριασμός ἔτι τε ὁ πολυπλασιασμός καί μερισμός ἀκολουθέω ὁ συνεγγίζω ἀεί καταστοχάζομαι , καί κατά ὅσος εἄν ὁ παραλείπω ἡδύς ἀξιόλογος διαφέρω ὁ πρός αἴσθησις ἀκριβής . ἔστω δή πρῶτος ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ ἐπί διάμετρος ὁ ΑΔΓ περί κέντρον ὁ δ , καί ἀπό ὁ δ ὁ ΑΓ πρός ὀρθός γωνία ἄγω ὁ ΔΒ , καί τέμνω δίχα ὁ ΔΓ κατά ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΒ , καί κεῖμαι αὐτός ἴσος ὁ ΕΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ . λέγω , ὅτι ὁ μέν ΖΔ δεκάγωνος εἰμί πλευρά , ὁ δέ ΒΖ πεντάγωνος . ἐπεί γάρ εὐθύς γραμμή ὁ ΔΓ τέμνω δίχα κατά ὁ Ε , καί πρόσκειμαι τις αὐτός εὐθύς ὁ ΔΖ , ὁ ὑπό ὁ ΓΖ καί ΖΔ περιέχω ὀρθογώνιος μετά ὁ ἀπό ὁ ΕΔ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΖ τετράγωνος , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΒΕ , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΒ ὁ ΖΕ . ἀλλά ὁ ἀπό ὁ ΚΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΔ καί ΔΒ τετράγωνος ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΓΖ καί ΖΔ περιέχω ὀρθογώνιος μετά ὁ ἀπό ὁ ΔΕ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΕΔ , ΔΒ τετράγωνος . καί κοινός ἀφαιρέω ὁ ἀπό ὁ ΚΔ τετράγωνος λοιπός ὁ ὑπό ὁ ΓΖ καί ΖΔ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΔΒ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΔΓ · ὁ ΖΓ ἄρα ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω κατά ὁ δ . ἐπεί οὖν ὁ ὁ ἑξάγωνος καί ὁ ὁ δεκάγωνος πλευρόν ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω ἐπί ὁ αὐτός εὐθύς ἄκρος καί μέσος λόγος τέμνω , ὁ δέ ΓΔ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ὁ ἑξάγωνος περιέχω πλευρά , ὁ ΔΖ ἄρα εἰμί ἴσος ὁ ὁ δεκάγωνος πλευρά . ὁμοίως δέ , ἐπεί ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρόν δύναμαι ὁ τε ὁ ἑξάγωνος καί ὁ ὁ δεκάγωνος ὁ εἰς ὁ αὐτός κύκλος ἐγγράφω , ὁ δέ ΒΔΖ ὀρθογώνιος ὁ ἀπό ὁ ΒΖ τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΒΔ , ὅστις εἰμί ἑξάγωνος πλευρά , καί ὁ ἀπό ὁ ΔΖ , ὅστις εἰμί δεκάγωνος πλευρά , ὁ ΒΖ ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὁ πεντάγωνος πλευρά . ἐπεί οὖν , ὡς φημί , ὑποτίθημι ὁ ὁ κύκλος διάμετρος τμῆμα ρκʹ , γίγνομαι διά ὁ πρόκειμαι ὁ μέν ΔΕ ἥμισυς εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον τμῆμα λ καί ὁ ἀπό αὐτός Ϡ , ὁ δέ ΒΔ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί τμῆμα ξ καί ὁ ἀπό αὐτός γχ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΒ , τουτέστιν ὁ ἀπό ὁ ΕΖ , ὁ ἐπί ὁ αὐτός δφ · μῆκος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ τμῆμα ξζ δ νε . ἔγγιστος , καί λοιπός ὁ ΔΖ ὁ αὐτός λζʹ δ νε . ὁ ἄρα ὁ δεκάγωνος πλευρά , ὑποτείνω δέ περιφέρεια τοιοῦτος λςʹ , οἷος εἰμί ὁ κύκλος τξʹ , τοιοῦτος εἰμί λζʹ δ νε , οἷος ὁ διάμετρος ρκʹ . πάλιν ἐπεί ὁ μέν ΔΖ τμῆμα εἰμί λζʹ δ νε , ὁ δέ ἀπό αὐτός ατοε δ εἶμι , εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΔΒ ὁ αὐτός γχ , ὁ συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ ΒΖ τετράγωνος δϠοε δ εἶμι , μῆκος ἄρα εἰμί ὁ ΒΖ τμῆμα ὁ λβʹ γ ἔγγιστος . καί ὁ ὁ πεντάγωνος ἄρα πλευρά , ὑποτείνω δέ μοῖρα οβʹ , οἷος εἰμί ὁ κύκλος τξʹ , τοιοῦτος εἰμί ὁ λβʹ γ , οἷος ὁ διάμετρος ρκʹ . φανερός δέ αὐτόθεν , ὅτι καί ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρά , ὑποτείνω δέ μοῖρα ξ , καί ἴσος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον τμῆμα εἰμί ξ . ὁμοίως δέ , ἐπεί ὁ μέν ὁ τετράγωνος πλευρά , ὑποτείνω δέ μοῖρα Ϛ , δύναμις διπλάσιος εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ δέ ὁ τρίγωνος πλευρά , ὑποτείνω δέ μοῖρα ρκʹ , δύναμις ὁ αὐτός εἰμί τριπλασίων , ὁ δέ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον τμῆμα εἰμί γχ , συνάγω ὁ μέν ἀπό ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ζς , ὁ δέ ἀπό ὁ ὁ τρίγωνος μάω . ὥστε καί μῆκος ὁ μέν ὁ μοῖρα ὑποτείνω εὐθύς τοιοῦτος εἰμί πδʹ νάω ι ἔγγιστος , οἷος ὁ διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ ὁ ρκʹ ὁ αὐτός ργ νε κγʹ . ὅδε μέν οὕτως ἐγώ ἐκ πρόχειρος καί κατά ἑαυτοῦ λαμβάνω , καί εἰμί φανερός ἐντεῦθεν , ὅτι ὁ δίδωμι εὐθύς ἐκ εὐχερής δίδωμι καί ὁ ὑπό ὁ λείπω εἰς ὁ ἡμικύκλιον περιφέρεια ὑποτείνω διά ὁ ὁ ἀπό αὐτός συντίθημι ποιέω ὁ ἀπό ὁ διάμετρος τετράγωνος · οἷος , ἐπεί ὁ ὑπό ὁ λϛ μοῖρα εὐθύς τμῆμα δείκνυμι λζʹ δ νε καί ὁ ἀπό αὐτός ατοε δ εἶμι , ὁ δέ ἀπό ὁ διάμετρος τμῆμα εἰμί Μα δύο , εἰμί καί ὁ μέν ἀπό ὁ ὑποτείνω ὁ λείπω εἰς ὁ ἡμικύκλιον μοῖρα ρμδʹ ὁ λοιπός Μα ἐγώ , αὐτός δέ μῆκος ὁ αὐτός ριδʹ ζ λζʹ ἔγγιστος , καί ἐπί ὁ ἄλλος ὁμοίως . ὅς δέ τρόπος ἀπό οὗτος καί ὁ λοιπός ὁ κατά μέρος δίδωμι , δείκνυμι ἐφεξῆς προεκτίθεμαι λημμάτιον εὔχρηστος πάνυ πρός ὁ πάρειμι πραγματεία . ἵστημι γάρ κύκλος ἐγγράφω ἔχω τετράπλευρος τυγχάνω ὁ ΑΒΓΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ καί ΒΔ . δεικτέος , ὅτι ὁ ὑπό ὁ ΑΓ καί ΒΔ περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΑΒ , ΔΓ καί ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΒΓ . κεῖμαι γάρ ὁ ὑπό ὁ δΒΓ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΑΒΕ . ἐάν οὖν κοινός προστίθημι ὁ ὑπό ΕΒΔ , εἰμί καί ὁ ὑπό ΑΒΔ γωνία ἴσος ὁ ὑπό ΕΒΓ εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΒΔΑ ὁ ὑπό ΓΕ ἴσος ὁ γάρ αὐτός τμῆμα ὑποτείνω · ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΔ τρίγωνος ὁ ΒΓΕ τρίγωνος . ὥστε καί ἀνάλογος εἰμί , ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ ΓΕ , οὕτως ὁ ΒΔ πρός ὁ ΔΑ ὁ ἄρα ὑπό ΒΓ , ΑΔ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΔ , ΓΕ . πάλιν ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΑΒΕ γωνία ὁ ὑπό δΒΓ γωνία , εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΒΑΕ ἴσος ὁ ὑπό ΒΔΓ . ἰσογώνιος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΕ τρίγωνος ὁ ΒΓΔ τρίγωνος · ἀνάλογος ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΒΑ πρός ΑΕ , ὁ ΒΔ πρός ΔΓ ὁ ἄρα ὑπό ΒΑ , ΔΓ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΔ , ΑΕ . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΒΓ ΑΔ ἴσος ὁ ὑπό ΒΔ , ΓΕ · καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό ΑΓ , ΒΔ ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΑΒ , ΔΓ καί ὁ ὑπό ΑΔ , ΒΓ · ὅσπερ ἐσθίω δείκνυμι . οὗτος προεκτίθεμαι ἵστημι ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓΔ ἐπί διάμετρος ὁ ΑΔ , καί ἀπό ὁ Α δύο διάγω ὁ ΑΒ , ΑΓ καί ἵστημι ἑκάτερος αὐτός δίδωμι ὁ μέγεθος , οἷος ὁ διάμετρος δίδωμι ρκʹ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ . λέγω , ὅτι καί οὗτος δίδωμι . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΔ , ΓΔ · δίδωμι ἄρα εἰμί δηλονότι καί οὗτος διά ὁ λείπω ἐκεῖνος εἰς ὁ ἡμικύκλιον . ἐπεί οὖν ἐν κύκλος τετράπλευρος εἰμί ὁ ΑΒΓΔ , ὁ ἄρα ὑπό ΑΒ , ΓΔ μετά ὁ ὑπό ὁ ΑΔ , ΒΓ ἕννυμι εἰμί ὁ ὑπό ΑΓ , ΒΔ . καί εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ ΑΓ , ΒΔ δίδωμι καί ὁ ὑπό ΑΒ , ΓΔ καί λοιπός ἄρα ὁ ὑπό ΑΔ , ΒΓ δίδωμι εἰμί . καί εἰμί ὁ ΑΔ διάμετρος · δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ΒΓ εὐθύς . καί φανερός ἐγώ γίγνομαι , ὅτι , ἐάν δίδωμι δύο περιφέρεια καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς , δίδωμι εἰμί καί ὁ ὁ ὑπεροχή ὁ δύο περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς . δῆλος δέ , ὅτι διά οὗτος ὁ θεώρημα ἄλλος τε οὐ ὀλίγος εὐθύς ἐγγράφω ἀπό ὁ ἐν ὁ κατά αὐτός δίδωμι ὑπεροχή καί δή καί ὁ ὑπό ὁ δώδεκα μοῖρα , ἐπεί ἔχω ὁ τε ὑπό ὁ ξ καί ὁ ὑπό ὁ οβʹ . πάλιν πρόκειμαι δίδωμι τις εὐθύς ἐν κύκλος ὁ ὑπό ὁ ἥμισυς ὁ ὑποτείνω περιφέρεια εὐθύς εὑρίσκω . καί ἵστημι ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ ἐπί διάμετρος ὁ ΑΓ καί δίδωμι εὐθύς ὁ ΓΒ , καί ὁ ΓΜ περιφέρεια δίχα τέμνω κατά ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΑΔ , ΒΔ , ΔΓ , καί ἀπό ὁ δ ἐπί ὁ ΑΓ κάθετος ἄγω ὁ ΔΖ . λέγω , ὅτι ὁ ΖΓ ἥμισυς εἰμί ὁ ὁ ΑΒ καί ΑΓ ὑπεροχή . κεῖμαι γάρ ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΑΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΑΕ , κοινός δέ ὁ ΑΔ , δύο δή ὁ ΑΒ , ΑΔ δύο ὁ ΑΕ , ΑΔ Ἴσαι εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος . καί γωνία ὁ ὑπό ΔΑΒ γωνία ὁ ὑπό ΕΑΔ ἴσος εἰμί καί βάσις ἄρα ὁ ΒΔ βάσις ὁ ΔΕ ἴσος εἰμί . ἀλλά ὁ ΒΔ ὁ ΔΓ ἴσος εἰμί · καί ὁ ΔΓ ἄρα ὁ ΔΕ ἴσος εἰμί . ἐπεί οὖν ἰσοσκελής εἰμί τρίγωνος ὁ ΔΕΓ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἄγω ὁ ΔΖ , ἴσος εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΖΓ . ἀλλά ὁ ΕΓ ὅλος ὁ ὑπεροχή εἰμί ὁ ΑΒ καί ΑΓ εὐθύς · ὁ ἄρα ΖΓ ἥμισυς εἰμί ὁ ὁ αὐτός ὑπεροχή . ὥστε , ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ περιφέρω εὐθύς ὑπόκειμαι αὐτόθεν δίδωμι καί ὁ λείπω εἰς ὁ ἡμικύκλιον ὁ ΑΒ , δίδωμι καί ὁ ΖΓ ἥμισυς εἰμί ὁ ὁ ΑΓ καί ΑΒ ὑπεροχή . ἀλλά ἐπεί ἐν ὀρθογώνιος ὁ ΑΓΔ κάθετος ἄγω ὁ ΔΖ ἰσογώνιος γίγνομαι ὁ ΑΔΓ ὀρθογώνιος ὁ ΔΓΖ , καί εἰμί , ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΔ , ὁ ΓΔ πρός ΓΖ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΓ ΓΖ περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος . δίδωμι δέ ὁ ὑπό ὁ ΑΓΔ δίδωμι ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΓΔ τετράγωνος . ὥστε καί μῆκος ὁ ΓΔ εὐθύς δίδωμι ὁ ἥμισυς ὑποτείνω ὁ ΒΓ περιφέρεια . καί διά οὗτος δή πάλιν ὁ θεώρημα ἄλλος τε λαμβάνω πλεῖστος κατά ὁ ἥμισυς ὁ προεκτίθεμαι , καί δή καί ἀπό ὁ ὁ Ἶβ μοῖρα ὑποτείνω εὐθύς ὅς τε ὑπό ὁ καί ὁ ὑπό ὁ γ καί ὁ ὑπό ὁ εἷς ἥμισυς καί ὁ ὑπό ὁ ἥμισυς τέταρτος ὁ εἷς μοῖρα . εὑρίσκω δέ ἐκ ὁ ἐπιλογισμός ὁ μέν ὑπό ὁ εἷς ἥμισυς μοῖρα τοιοῦτος ὅς λδʹ εἶμι ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ διάμετρος ρκʹ , ὁ δέ ὑπό ὁ U+2220΄δ΄ ὁ αὐτός o μζʹ ὁ . πάλιν ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περί διάμετρος μέν ὁ ΑΔ , κέντρον δέ ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ Α ἀπολαμβάνω δύο περιφέρεια δίδωμι κατά ὁ ἑξῆς ὁ ΑΒ , ΒΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΓ ὑπό αὐτός εὐθύς καί αὐτός δίδωμι . λέγω , ὅτι , ἐάν ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , δίδωμι καί αὐτός . διάγω γάρ διά ὁ Β διάμετρος ὁ κύκλος ὁ ΒΖΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΔ , ΔΓ , ΓΕ , ΔΕ · δῆλος δή αὐτόθεν , ὅτι διά μέν ὁ ΒΓ δίδωμι καί ὁ ΓΕ , διά δέ ὁ ΑΒ δίδωμι ὅς τε ΒΔ καί ὁ ΔΕ . καί διά ὁ αὐτός ὁ ἔμπροσθεν , ἐπεί ἐν κύκλος τετράπλευρος εἰμί ὁ ΒΓΔΕ , καί διάγω εἰμί ὁ ΒΔ , ΓΕ , ὁ ὑπό ὁ διάγω περιέχω ὀρθογώνιος ἴσος εἰμί συναμφότεροι ὁ ὑπό ὁ ἀπεναντίον · ὥστε , ἐπεί δίδωμι ὁ ὑπό ὁ ΒΔ , ΓΕ , δίδωμι καί ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , ΔΕ , δίδωμι ἄρα καί ὁ ὑπό ΒΕ , ΓΔ . δίδωμι δέ καί ὁ ΒΚ διάμετρος , καί λοιπός ὁ ΓΔ εἰμί δίδωμι , καί διά οὗτος καί ὁ λείπω εἰς ὁ ἡμικύκλιον ὁ ΓΑ · ὥστε , ἐάν δίδωμι δύο περιφέρεια καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς , δίδωμι καί ὁ συναμφότεροι ὁ περιφέρεια κατά σύνθεσις ὑποτείνω εὐθύς διά οὗτος ὁ θεώρημα . φανερός δέ , ὅτι συντίθημι ἀεί μετά ὁ προεκτίθεμαι πᾶς ὁ ὑπό ὁ ὅς U+2220΄ μοῖρα καί ὁ συνάπτω ἐπιλογίζομαι πᾶς ἀπλόος ἐγγράφω , ὅσος δίς γίγνομαι τρίτος μέρος ἔχω , καί μόνος ἔτι περιλείπω ὁ μεταξύ ὁ ἀνά ὅς U+2220΄ μοῖρα διάστημα δύο κατά ἕκαστος εἰμί , ἐπεί κατά ἡμιμοίριον ποιέω ὁ ἐγγραφή . ὥστε , ἐάν ὁ ὑπό ὁ ἡμιμοίριον εὐθύς εὑρίσκω , οὗτος κατά τε ὁ σύνθεσις καί ὁ ὑπεροχή ὁ πρός ὁ ὁ διάστημα περιέχω καί δίδωμι εὐθύς καί ὁ λοιπάς ὁ μεταξύ πᾶς ἐγώ συναναπληρόω . ἐπεί δέ δίδωμι τις εὐθύς ὡς ὁ ὑπό ὁ ὅς U+2220΄ μοῖρα ὁ ὁ τρίτος ὁ αὐτός περιφέρεια ὑποτείνω διά ὁ γραμμή οὖον δίδωμι πως · εἰμί δέ γε δυνατός εἰμί , ἔχω εἄν αὐτόθεν καί ὁ ὑπό ὁ ἡμιμοίριον · πρότερος μεθοδεύω ὁ ὑπό ὁ ὅς μοῖρα ἀπό τε ὁ ὑπό ὁ ὅς U+2220΄ μοῖρα καί ὁ ὑπό U+2220΄ Δ΄ ὑποτίθημι λημμάτιον , ὅς , κἀν μή πρός ὁ καθόλου δύναμαι ὁ πηλικότης ὁρίζω , ἐπί γε ὁ οὕτως μικρός ὁ πρός ὁ ὁρίζω ἀπαράλλακτος δύο εἄν συντηρέω . λέγω γάρ , ὅτι , ἐάν ἐν κύκλος διάζομαι ἄνισος δύο εὐθύς , ὁ μείζων πρός ὁ μικρός μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ἐπί ὁ μείζων εὐθύς περιφέρεια πρός ὁ ἐπί ὁ μικρός . ἵστημι γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ , καί διάγω ἐν αὐτός δύο εὐθύς ἄνισος μικρός μέν ὁ ΑΒ , μείζων δέ ὁ ΒΓ . λέγω , ὅτι ὁ ΓΒ εὐθύς πρός ὁ ΒΑ εὐθύς μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΒΓ περιφέρεια πρός ὁ ΒΑ περιφέρεια . τέμνω γάρ ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπό ὁ ΒΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς τε ΑΕΓ καί ὁ ΑΔ καί ὁ ΓΔ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ΑΒΓ γωνία δίχα τέμνω ὑπό ὁ ΒΕΔ εὐθύς , ἴσος μέν εἰμί ὁ ΓΔ εὐθύς ὁ ΑΔ , μείζων δέ ὁ ΓΕ ὁ ΕΑ . ἄγω δή ἀπό ὁ δ κάθετος ἐπί ὁ ΑΕΓ ὁ ΔΖ . ἐπεί τοίνυν μείζων εἰμί ὁ μέν ΑΔ ὁ ΕΔ , ὁ δέ EΔ ὁ ΔΖ , ὁ ἄρα κέντρον μέν ὁ δ , διάστημα δέ ὁ ΔΕ γράφω κύκλος ὁ μέν ΑΔ τέμνω , ὑπερπίπτω δέ ὁ ΔΖ . γράφω δή ὁ ΗΕΘ , καί ἐκβάλλω ὁ δΖΘ . καί ἐπεί ὁ μέν ΔΕΘ τομεύς μείζων εἰμί ὁ δΕΖ τρίγωνος , ὁ δέ ΔΕΑ τρίγωνος μείζων ὁ ΔΕΗ τομεύς , ὁ ἄρα δΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΔΕΑ τρίγωνος μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΔΕΘ τομεύς πρός ὁ ΔΕΗ . ἀλλά ὡς μέν ὁ δΕΖ τρίγωνος πρός ὁ ΚΑΔ τρίγωνος , οὕτως ὁ ΕΖ εὐθύς πρός ὁ ΚΑ , ὡς δέ ὁ ΔΕΘ τομεύς πρός ὁ ΔΕΗ τομεύς , οὕτως ὁ ὑπό ΖΔΕ γωνία πρός ὁ ὑπό ΚΑΔ ὁ ἄρα ΖΕ εὐθύς πρός ὁ ΚΑ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΖΔΕ γωνία πρός ὁ ὑπό ΕΔΑ . καί συντίθημι ἄρα ὁ Γῆ εὐθύς πρός ὁ ΕΑ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΖΑΔ γωνία πρός ὁ ὑπό ΑΔΕ καί ὁ ἡγέομαι ὁ διπλάσιος , ὁ ΓΑ εὐθύς πρός ὁ ΑΕ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΓΔΑ γωνία πρός ὁ ὑπό ΕΔΑ · καί διαιρέω ὁ ΓΕ εὐθύς πρός ὁ ΕΑ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ὑπό ΓΔΕ γωνία πρός ὁ ὑπό ΕΔΑ . ἀλλά ὡς μέν ὁ ΓΕ εὐθύς πρός ὁ ΕΑ , οὕτως ὁ ΓΒ εὐθύς πρός ὁ ΒΑ , ὡς δέ ὁ ὑπό ΓΔΒ γωνία πρός ὁ ὑπό ΒΔΑ , οὕτως ὁ ΓΒ περιφέρεια πρός ὁ ΒΑ · ὁ ΓΒ ἄρα εὐθύς πρός ὁ ΒΑ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΓΒ περιφέρεια πρός ὁ ΒΑ περιφέρεια . οὗτος δή οὖν ὑπόκειμαι ἵστημι κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί διάγω ἐν αὐτός δύο εὐθύς ὅς τε ΑΒ καί ὁ ΑΓ , ὑπόκειμαι δέ πρῶτος ὁ μέν ΑΒ ὑποτείνω εἷς μοῖρα U+2220΄δʹ , ὁ δέ ΑΓ μοῖρα ὅς . ἐπεί ὁ ΑΓ εὐθύς πρός ὁ ΒΑ εὐθύς μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὁ ΑΓ περιφέρεια πρός ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΑΓ περιφέρεια ἐπίτριτος εἰμί ὁ ΑΒ , ὁ ΓΑ ἄρα εὐθύς ὁ ΒΑ μικρός εἰμί ἢ ἐπίτριτος . ἀλλά ὁ ΑΒ εὐθύς δείκνυμι τοιοῦτος ○ μζʹ ὁ , οἷος εἰμί ὁ διάμετρος ρκʹ · ὁ ἄρα ΓΑ εὐθύς μικρός εἰμί ὁ αὐτός ὅς Β Ν · οὗτος γάρ ἐπίτριτος εἰμί ἔγγιστος ὁ ○ μζʹ ὁ . πάλιν ἐπί ὁ αὐτός καταγραφή ὁ μέν ΑΒ εὐθύς ὑπόκειμαι ὑποτείνω μοῖρα ὅς , ὁ δέ ΑΓ μοῖρα ὅς . κατά ὁ αὐτός δή , ἐπεί ὁ ΑΓ περιφέρεια ὁ ΑΒ εἰμί ἡμιολία , ὁ ΓΑ ἄρα εὐθύς ὁ ΒΑ μικρός εἰμί ἢ ἡμιόλιος . ἀλλά ὁ ΑΓ ἀποδείκνυμι τοιοῦτος εἰμί ὅς λδʹ ιεʹ , οἷος εἰμί ὁ διάμετρος ρκʹ · ὁ ἄρα ΑΒ εὐθύς μείζων εἰμί ὁ αὐτός ὅς Β Ν · οὗτος γάρ ἡμιόλιος εἰμί ὁ πρόκειμαι ὅς λδʹ ιεʹ . ὥστε , ἐπεί ὁ αὐτός δείκνυμι καί μείζων καί μικρός ὁ ὁ εἷς μοῖρα ὑποτείνω εὐθύς , καί οὗτος δηλονότι ἔχω τοιοῦτος ὅς Β Ν ἔγγιστος , οἷος εἰμί ὁ διάμετρος ρκʹ , καί διά ὁ προδείκνυμι καί ὁ ὑπό ὁ ἡμιμοίριον , ὅστις εὑρίσκω ὁ αὐτός ○ λάω κε ἔγγιστος . καί συναναπληρόω ὁ λοιπός , ὡς φημί , διάστημα ἐκ μέν ὁ πρός ὁ εἷς ἥμισυς μοῖρα λόγος ἕνεκα ὡς ἐπί ὁ πρῶτος διάστημα σύνθεσις ὁ ἡμιμοίριον δείκνυμι ὁ ὑπό ὁ Β μοῖρα , ἐκ δέ ὁ ὑπεροχή ὁ πρός ὁ γ μοῖρα καί ὁ ὑπό ὁ Β U+2220΄ δίδωμι · ὡσαύτως δέ καί ἐπί ὁ λοιπός . ὁ μέν οὖν πραγματεία ὁ ἐν ὁ κύκλος εὐθύς οὕτως εἄν οἴομαι ῥᾳδίως μεταχειρίζω . ἵνα δέ , ὡς φημί , ἐπί ἕκαστος ὁ χρεία ἐκ ἑτοῖμος ὁ πηλικότης ἔχω ὁ εὐθύς ἔκκειμαι , κανόνιον ὑποτάσσω ἀνά στίχος ἐγώ διά ὁ σύμμετρος , ὅς ὁ μέν πρῶτος μέρος περιέχω ὁ πηλικότης ὁ περιφέρεια κατά ἡμιμοίριον παραυξάνω , ὁ δέ δύο ὁ ὁ παράκειμαι ὁ περιφέρεια εὐθύς πηλικότης ὡς ὁ διάμετρος ὁ ρκʹ τμῆμα ὑπόκειμαι , ὁ δέ τρίτος ὁ Λ΄ μέρος ὁ κατά ἕκαστος ἡμιμοίριον ὁ εὐθύς παραύξησις , ἵνα ἔχω καί ὁ ὁ εἷς ἑξηκοστός μέσος ἐπιβολή αδιαφορώ πρός αἴσθησις ὁ ἀκριβής καί ὁ μεταξύ ὁ ἥμισυς μέρος ἐκ ἑτοῖμος ὁ ἐπιβάλλω πηλικότης ἐπιλογίζομαι δύναμαι . εὐκατανόητος δέ , ὅτι διά ὁ αὐτός καί πρόκειμαι θεώρημα , κἀν ἐν δισταγμός γίγνομαι γραφικός ἁμαρτία περί τις ὁ ἐν ὁ κανόνιον παράκειμαι εὐθύς , ῥᾴδιος ποιέω ὁ τε ἐξέτασις καί ὁ ἐπανόρθωσις ἤτοι ἀπό ὁ ὑπό ὁ διπλασίων ὁ ἐπιζητέω ἢ ὁ πρός ἄλλος τις ὁ δίδωμι ὑπεροχή ἢ ὁ ὁ λείπω εἰς ὁ ἡμικύκλιον περιφέρεια ὑποτείνω εὐθύς . καί εἰμί ὁ ὁ κανονίας καταγραφή τοιοῦτος ·