claudius-ptolemaeus.syntaxis-mathematica 1.16
Ἐξῆς δʼ ἂν εἴη συναποδεῖξαι τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν τὰς γινομένας πηλικότητας ὑπὸ τῶν γραφομένων κύκλων διά τε τῶν πόλων αὐτοῦ καὶ τῶν διδομένων τοῦ λοξοῦ κύκλου τμημάτων · οὕτω γὰρ ἕξομεν , ἐν ὁπόσοις χρόνοις ἰσημερινοῖς τὰ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τμήματα διελεύσεται τόν τε μεσημβρινὸν πανταχῆ καὶ τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα διὰ τὸ καὶ αὐτὸν τότε μόνον διὰ τῶν πόλων γράφεσθαι τοῦ ἰσημερινοῦ . ἐκκείσθω τοίνυν ἡ προδεδειγμένη καταγραφή , καὶ δοθείσης πάλιν τῆς Ε Η περιφερείας τοῦ λοξοῦ κύκλου πρότερον τμημάτων λ δέον ἔστω τὴν Ε Θ τοῦ ἰσημερινοῦ περιφέρειαν εὑρεῖν . κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Θ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α . ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς Ζ Β περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ιζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ , ἡ δὲ τῆς Β Α μοιρῶν μζ μβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λ νε καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Ζ Η περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ρ μ α καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ λα ιε , ἡ δὲ τῆς Η Θ μοιρῶν κγ ιθ νθ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κδ ιε νζ . ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριζ λα ιε πρὸς τὰ κδ ιε νζ , καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος ὁ τῶν νδ νβ κς πρὸς τὰ ριζ λα ιε · ὁ δʼ αὐτὸς λόγος ἐστὶν καὶ τῶν νς α κε πρὸς τὰ ρκ . καί ἐστιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΕΑ μοιρῶν ρπ , ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ · καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Θ Ε τμημάτων τῶν αὐτῶν ἐστιν νς α κε . ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Θ Ε περιφερείας ἔσται μοιρῶν νε μ ἔγγιστα , ἡ δὲ Θ Ε τῶν αὐτῶν κζ ν . πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε Η περιφέρεια μοιρῶν ξ , ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ζ περιφερείας γίνεσθαι μοιρῶν ρλη νθ μρ καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κγ νς , τὴν δὲ διπλῆν τῆς Η Θ περιφερείας μοιρῶν μα ο ιη καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ α μη . ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μ λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριβ κγ νς πρὸς τὰ μβ α μη , καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α ὁ τῶν ?? ε β μ πρὸς τὰ ριβ κγ νς ὁ δʼ αὐτὸς τούτῳ λόγος ἐστὶν καὶ ὁ τῶν ρα κη κ πρὸς τὰ ρκ . καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α περιφερείας εὐθεῖα τμημάτων ρκ · ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε τῶν αὐτῶν ἐστιν ρα κη κ . καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ Ε περιφερείας ἔσται μοιρῶν ριε κη ἔγγιστα , αὐτὴ δὲ ἡ Θ Ε τῶν αὐτῶν νζ μδ . καὶ δέδεικται , ὅτι τὸ μὲν α΄ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ σημείου δωδεκατημόριον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου συγχρονεῖ τοῖς τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸν ἐκκείμενον τρόπον τμήμασιν κζ ν , τὸ δὲ δεύτερον τμήμασιν κθ νδ , ἐπειδήπερ ἀμφότερα ἀπεδείχθη μοιρῶν νζ μδ · καὶ τὸ τρίτον δὲ δηλονότι δωδεκατημόριον συγχρονίσει ταῖς λοιπαῖς εἰς τὸ τεταρτημόριον μοίραις λβ ις διὰ τὸ καὶ ὅλον τὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου τεταρτημόριον ὅλῳ τῷ τοῦ ἰσημερινοῦ συγχρονίζειν ὡς πρὸς τοὺς διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ γραφομένους κύκλους . τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῇ προκειμένῃ δείξει κατακολουθοῦντες ἐπελογισάμεθα καὶ τὰς ἑκάστῃ δεκαμοιρίᾳ τοῦ λοξοῦ κύκλου συγχρονούσας περιφερείας τοῦ ἰσημερινοῦ διὰ τὸ τὰς ἔτι τούτων μικρομερεστέρας μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρειν τῶν πρὸς ὁμαλὴν παραύξησιν ὑπεροχῶν . ἐκθησόμεθα οὖν καὶ ταύτας , ἵνα κατὰ τὸ πρόχειρον ἔχωμεν , ἐν ὅσοις χρόνοις αὐτῶν ἑκάστη τόν τε μεσημβρινόν , ὡς ἔφαμεν , πανταχῆ καὶ τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα διελεύσεται , τὴν ἀρχὴν ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ ἰσημερινῷ σημείῳ δεκαμοιρίας ποιησάμενοι . ἡ μὲν οὖν πρώτη περιέχει χρόνους θ ι , ἡ δὲ δευτέρα χρόνους θ ιε , ἡ δὲ τρίτη χρόνους θ κε , ὥστε τοὺς ἐπὶ τὸ αὐτὸ τοῦ α΄ δωδεκατημορίου συνάγεσθαι χρόνους κζ ν · ἡ δὲ τετάρτη χρόνους θ μ , ἡ δὲ πέμπτη χρόνους θ νη , ἡ δὲ ἕκτη χρόνους ι ις , ὥστε καὶ τοῦ δευτέρου δωδεκατημορίου τοὺς κθ νδ χρόνους συνάγεσθαι · ἡ δὲ ἑβδόμη χρόνους ι λδ , ἡ δὲ ὀγδόη χρόνους ι μζ , ἡ δὲ ἐνάτη χρόνους ι νε , ὡς πάλιν συνάγεσθαι καὶ τοῦ μὲν τρίτου καὶ πρὸς τοῖς τροπικοῖς σημείοις δωδεκατημορίου τοὺς λβ ις χρόνους , ὅλου δὲ τοῦ τεταρτημορίου τοὺς ?? συμφώνως . καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν , ὅτι καὶ ἡ τῶν λοιπῶν τεταρτημορίων τάξις ἡ αὐτὴ τυγχάνει οὖσα , πάντων καθʼ ἕκαστον τῶν αὐτῶν συμβαινόντων διὰ τὸ τὴν σφαῖραν ὀρθὴν ὑποκεῖσθαι , τουτέστιν τὸν ἰσημερινὸν ἀνέγκλιτον πρὸς τὸν ὁρίζοντα .
Lemmas: ἑξῆς δέ εἄν εἰμί συναποδείκνυμι ὁ ὁ ἰσημερινός περιφέρεια ὁ γίγνομαι πηλικότης ὑπό ὁ γράφω κύκλος διά τε ὁ πόλος αὐτός καί ὁ δίδωμι ὁ λοξός κύκλος τμῆμα · οὗτος γάρ ἔχω , ἐν ὁπόσος χρόνος ἰσημερινός ὁ ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον τμῆμα διέρχομαι ὁ τε μεσημβρινός πανταχῇ καί ὁ ἐπί ὀρθός ὁ σφαῖρα ὁρίζων διά ὁ καί αὐτός τότε μόνος διά ὁ πόλος γράφω ὁ ἰσημερινός . ἔκκειμαι τοίνυν ὁ προδείκνυμι καταγραφή , καί δίδωμι πάλιν ὁ Ε ὁ περιφέρεια ὁ λοξός κύκλος πρότερος τμῆμα λ δήω ἵστημι ὁ Ε Θ ὁ ἰσημερινός περιφέρεια εὑρίσκω . κατά ὁ αὐτός δή ὁ ἔμπροσθεν ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ Β πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Β Α λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ζ ὁ πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ ὁ Θ καί ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ Ε πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Α . ἀλλά ὁ μέν ὁ Ζ Β περιφέρεια διπλόος μοῖρα εἰμί ρλβʹ ιζʹ Κ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρθ μδʹ νγʹ , ὁ δέ ὁ Β Α μοῖρα μζʹ μβʹ μ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα μη λ νε καί πάλιν ὁ μέν ὁ Ζ ὁ περιφέρεια διπλόος μοῖρα ρ μ ὅς καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ριζʹ λάω εἶμι , ὁ δέ ὁ ὁ Θ μοῖρα κγʹ ιθʹ νθʹ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ΚΔ εἶμι νζʹ . ἐάν ἄρα ἀπό ὁ ὁ ρθ μδʹ νγʹ πρός ὁ μη λάω νε λόγος ἀφαιρέω ὁ ὁ ριζʹ λάω εἶμι πρός ὁ ΚΔ εἶμι νζʹ , καταλείπω ἐγώ ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ Ε πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Α λόγος ὁ ὁ νδʹ νβʹ ΚΣ πρός ὁ ριζʹ λάω εἶμι · ὁ δέ αὐτός λόγος εἰμί καί ὁ ΝΣ ὅς κε πρός ὁ ρκʹ . καί εἰμί ὁ μέν διπλόος ὁ ΕΑ μοῖρα ρπʹ , ὁ δέ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ρκʹ · καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ἄρα ὁ Θ Ε τμῆμα ὁ αὐτός εἰμί ΝΣ ὅς κε . ὥστε καί ὁ μέν διπλόος ὁ Θ Ε περιφέρεια εἰμί μοῖρα νε μ ἔγγιστος , ὁ δέ Θ Ε ὁ αὐτός κζ Ν . πάλιν ὑπόκειμαι ὁ Ε ὁ περιφέρεια μοῖρα ξ , ὥστε ὁ ἄλλος μένω ὁ αὐτός ὁ μέν διπλόος ὁ Ζ περιφέρεια γίγνομαι μοῖρα ρληʹ νθʹ ΜΡ καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα ριβʹ κγʹ ΝΣ , ὁ δέ διπλόος ὁ ὁ Θ περιφέρεια μοῖρα μή ὁ ἔρχομαι καί ὁ ὑπό αὐτός εὐθύς τμῆμα μβʹ ὅς μη . ἐάν ἄρα ἀπό ὁ ὁ ρθ μδʹ νγʹ πρός ὁ μ λάω νε λόγος ἀφαιρέω ὁ ὁ ριβʹ κγʹ ΝΣ πρός ὁ μβʹ ὅς μη , καταλείπω ὁ ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ Ε λόγος πρός ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Α ὁ ὁ ?? ε Β μ πρός ὁ ριβʹ κγʹ ΝΣ ὁ δέ αὐτός οὗτος λόγος εἰμί καί ὁ ὁ ῥεῖα καί Κ πρός ὁ ρκʹ . καί εἰμί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Ε Α περιφέρεια εὐθύς τμῆμα ρκʹ · ὥστε καί ὁ ὑπό ὁ διπλόος ὁ Θ Ε ὁ αὐτός εἰμί ῥεῖα καί Κ . καί ὁ μέν διπλόος ἄρα ὁ Θ Ε περιφέρεια εἰμί μοῖρα Ριέ καί ἔγγιστος , αὐτός δέ ὁ Θ Ε ὁ αὐτός νζʹ μδʹ . καί δείκνυμι , ὅτι ὁ μέν Α΄ ἀπό ὁ ἰσημερινός σημεῖον δωδεκατημόριον ὁ διά μέσος ὁ ζῴδιον κύκλος συγχρονέω ὁ ὁ ἰσημερινός κατά ὁ ἔκκειμαι τρόπος τμῆμα κζ Ν , ὁ δέ δύο τμῆμα κθʹ νδʹ , ἐπεί ἀμφότερος ἀποδείκνυμι μοῖρα νζʹ μδʹ · καί ὁ τρίτος δέ δηλονότι δωδεκατημόριον συγχρονίζω ὁ λοιπός εἰς ὁ τεταρτημόριον μοῖρα λβʹ ἴς διά ὁ καί ὅλος ὁ ὁ λοξός κύκλος τεταρτημόριον ὅλος ὁ ὁ ἰσημερινός συγχρονίζω ὡς πρός ὁ διά ὁ πόλος ὁ ἰσημερινός γράφω κύκλος . ὁ αὐτός δή τρόπος ὁ πρόκειμαι δείκνυμι κατακολουθέω ἐπιλογίζομαι καί ὁ ἕκαστος δεκαμοιρία ὁ λοξός κύκλος συγχρονέω περιφέρεια ὁ ἰσημερινός διά ὁ ὁ ἔτι οὗτος μικρομερής μηδείς ἀξιόλογος διαφέρω ὁ πρός ὁμαλός παραύξησις ὑπεροχή . ἐκτίθημι οὖν καί οὗτος , ἵνα κατά ὁ πρόχειρον ἔχω , ἐν ὅσος χρόνος αὐτός ἕκαστος ὁ τε μεσημβρινός , ὡς φημί , πανταχῇ καί ὁ ἐπί ὀρθός ὁ σφαῖρα ὁρίζων διέρχομαι , ὁ ἀρχή ἀπό ὁ πρός ὁ ἰσημερινός σημεῖον δεκαμοιρία ποιέω . ὁ μέν οὖν πρῶτος περιέχω χρόνος θ ι , ὁ δέ δύο χρόνος θ εἶμι , ὁ δέ τρίτος χρόνος θ κε , ὥστε ὁ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Α΄ δωδεκατημόριον συνάγω χρόνος κζ Ν · ὁ δέ τέταρτος χρόνος θ μ , ὁ δέ πέμπτος χρόνος θ νη , ὁ δέ ἕκτος χρόνος ι ἴς , ὥστε καί ὁ δύο δωδεκατημόριον ὁ κθʹ νδʹ χρόνος συνάγω · ὁ δέ ἕβδομος χρόνος ι λδʹ , ὁ δέ ὄγδοος χρόνος ι μζʹ , ὁ δέ ἔνατος χρόνος ι νε , ὡς πάλιν συνάγω καί ὁ μέν τρίτος καί πρός ὁ τροπικός σημεῖον δωδεκατημόριον ὁ λβʹ ἴς χρόνος , ὅλος δέ ὁ τεταρτημόριον ὁ ?? σύμφωνος . καί εἰμί αὐτόθεν φανερός , ὅτι καί ὁ ὁ λοιπός τεταρτημόριον τάξις ὁ αὐτός τυγχάνω εἰμί , πᾶς κατά ἕκαστος ὁ αὐτός συμβαίνω διά ὁ ὁ σφαῖρα ὀρθός ὑπόκειμαι , τουτέστιν ὁ ἰσημερινός ἀνέγκλιτος πρός ὁ ὁρίζων .