autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.2
βʹ . Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα , πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται . Σφαῖρα γὰρ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ , πόλοι δὲ τῆς σφαίρας ἔστωσαν τὰ Α Β σημεῖα , καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ Γ ∠ λέγω ὅτι τὰ ∠ σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξἐρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται . Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧν φέρεται τὰ Γ ∠ σημεῖα οἱ ΓΕ ∠Ζ , καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΑΒ καὶ τοῦ Ι ἐπίπεδον · ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον . ἔστω δὲ αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ ἤτοι δὴ ἐλεύσεται καὶ διὰ τοῦ ∠ ἢ οὔ . Ἐρχέσθω πρότερον καὶ ἔστω τὸ ΑΓ∠Β , καὶ ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας μετακεκινήσθω τὸ ΑΓ∠Β ( ε ) ἡμικύκλιον , καὶ ἐχέτω θέσιν ὡς τὴν ΑΕΖΒ . ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ ΓΕ ∠Ζ , καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οἱ ΑΓ∠Β ΑΕΖ Β , ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ∠ Ζ περιφερείᾳ · λέγω οὖν ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Ζ . Μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον παραγιγνέσθω τὸ δὲ ∠ ἐπὶ τὸ H στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας , ὅταν τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται , καὶ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η καὶ τὸ ( Ϛ ) ΑΓ∠Β ἡμικύκλιον θέσιν ἔξει ὡς τὴν ΑΕΗΒ΄ . καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΑΕΖΒ ΑΕΗΒ΄ . κύκλων , ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Βʹ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας . ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ , ὅπερ ἄτοπον · οὐκ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἐπʼ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον . Μὴ ἐρχέσθω δὴ τὸ ἡμικύκλιον τὸ διὰ τῶν ΑΓΒ διὰ τοῦ ∠ , ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς , καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθʼ οὗ έρεται τὸ ∠ σημεῖον ὁ ∠ΔΘΖ , καὶ κείσθω τῇ ΓΕ ὁμοία ἡ ∠Η . ἀλλʼ ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία · καὶ ἡ ∠Η ἄρα τῇ ΘΖ ἐστὶν ὁμοία . καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Η περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ παραγίγνεται καὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ . ἐν ὅσῳ δὲ χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται , καὶ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η .
Lemmas: β# . ἐάν σφαῖρα στρέφω ὁμαλής περί ὁ ἑαυτοῦ ἄξων , πᾶς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον ἐν ὁ ἴσος χρόνος ὁ ὅμοιος περιφέρεια διεξέρχομαι ὁ παράλληλος κύκλος κατά ὅς φέρω . σφαῖρα γάρ στρέφω ὁμαλής περί ὁ ἑαυτοῦ ἄξων ὁ ΑΒ , πόλος δέ ὁ σφαῖρα εἰμί ὁ Α Β σημεῖον , καί λαμβάνω τις σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ Γ ∠ λέγω ὅτι ὁ ∠ σημεῖον ἐν ὁ ἴσος χρόνος ὁ ὅμοιος περιφέρεια διεξέρχομαι ὁ παράλληλος κύκλος κατά ὅς φέρω . εἰμί γάρ παράλληλος κύκλος κατά ὅς φέρω ὁ Γ ∠ σημεῖον ὁ ΓΕ ∠Ζ , καί ἐκβάλλω ὁ διά ὁ ΑΒ καί ὁ Ι ἐπίπεδος · ποιέω δή τομή ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος . εἰμί δέ αὐτός ἡμικύκλιον ὁ ΑΓΒ ἤτοι δή ἔρχομαι καί διά ὁ ∠ ἤ οὐ . ἔρχομαι πρότερος καί εἰμί ὁ ΑΓ∠Β , καί ἐν ὁ περιφορά ὁ σφαῖρα μετακινέω ὁ ΑΓ∠Β ( ε ) ἡμικύκλιον , καί ἔχω θέσις ὡς ὁ ΑΕΖΒ . ἐπεί ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος εἰμί ὁ ΓΕ ∠Ζ , καί διά ὁ πόλος αὐτός μέγας κύκλος γράφω εἰμί ὁ ΑΓ∠Β ΑΕΖ Β , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΓΕ περιφέρεια ὁ ∠ Ζ περιφέρεια · λέγω οὖν ὅτι ἐν ἴσος χρόνος ὁ Γʹ σημεῖον ἐπί ὁ Ε παραγίγνομαι καί ὁ ∠ ἐπί ὁ Ζ . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , ἐν ἴσος χρόνος ὁ μέν Γ σημεῖον ἐπί ὁ Ε σημεῖον παραγίγνομαι ὁ δέ ∠ ἐπί ὁ H στρέφω ἄρα ὁ σφαῖρα , ὅταν ὁ Γ ἐπί ὁ Ε παραγίγνομαι , καί ὁ ∠ ἐπί ὁ Η καί ὁ ( Ϛ ) ΑΓ∠Β ἡμικύκλιος θέσις ἔχω ὡς ὁ ΑΕΗΒʹ . καί ἐπεί μέγας εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΕΖΒ ΑΕΗΒʹ . κύκλος , ὁ ἄρα ἀπό ὁ Α ἐπί ὁ Βʹ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς διάμετρος εἰμί ὁ σφαῖρα . ἀλλά καί ὁ ΑΒ , ὅς ἄτοπος · οὐ ἄρα ἐν ἴσος χρόνος ὁ Γ σημεῖον ἐπί ὁ Ε παραγίγνομαι καί ὁ ∠ ἐπί ὁ Η . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι οὐδέ ἐπί ἄλλος τις πλήν ἐπί ὁ Ζ σημεῖον . μή ἔρχομαι δή ὁ ἡμικύκλιον ὁ διά ὁ ΑΓΒ διά ὁ ∠ , ἀλλά διά ὁ Θ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δεύτερος καταγραφή , καί εἰμί παράλληλος κύκλος κατά ὅς έρω ὁ ∠ σημεῖον ὁ ∠ΔΘΖ , καί κεῖμαι ὁ ΓΕ ὅμοιος ὁ ∠Η . ἀλλά ὁ ΓΕ περιφέρεια ὁ ΘΖ περιφέρεια εἰμί ὅμοιος · καί ὁ ∠Η ἄρα ὁ ΘΖ εἰμί ὅμοιος . καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ∠Η περιφέρεια ὁ ΘΖ περιφέρεια · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ ∠ ἐπί ὁ παραγίγνομαι καί ὁ Θ ἐπί ὁ Ζ . ἐν ὅσος δέ χρόνος ὁ Θ ἐπί ὁ Ζ παραγίγνομαι , καί ὁ Γ ἐπί ὁ Ε ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Γ ἐπί ὁ Ε παραγίγνομαι καί ὁ ∠ ἐπί ὁ Η .