ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
autolycus.de-sphaera-quae-movetur definitiones.1
α΄ , Ὁμαλῶς λέγεται φέρεσθαι σημεῖα , ὅσα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἴσα τε καὶ ὅμοια μεγέθη διεξέρχεται .
Lemmas: Α΄ , ὁμαλής λέγω φέρω σημεῖον , ὅσος ἐν ἴσος χρόνος ἴσος τε καί ὅμοιος μέγεθος διεξέρχομαι .
autolycus.de-sphaera-quae-movetur definitiones.2
βʹ . Ἐὰν δὲ ἐπί τινος γραμμῆς φερόμενόν τι σημεῖον ὁμαλῶς δύο γραμμὰς διεξέλθῃ , τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὅ τε χρόνος πρὸς τὸν χρόνον , ἐν τὸ σημεῖον ἑκατέραν τῶν γραμμῶν διεξῆλθεν , καὶ ἡ γραμμὴ πρὸς τὴν γραμμήν .
Lemmas: β# . ἐάν δέ ἐπί τις γραμμή φέρω τις σημεῖον ὁμαλής δύο γραμμή διεξέρχομαι , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ τε χρόνος πρός ὁ χρόνος , ἐν ὁ σημεῖον ἑκάτερος ὁ γραμμή διεξέρχομαι , καί ὁ γραμμή πρός ὁ γραμμή .
autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.3
γʹ . Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα , ἃς ἐν ἴσῳ χρόνῳ περιφερείας διεξέρχεται σημεῖά τινα τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται , αὗταί ὅμοιαί εἰσιν . Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ὁ ΑΒ , πόλοι δὲ τὰ Α Β σημεῖα , καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ Γ ∠ , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧβ φέρεται τὰ Γ ∠ σημεῖα οἱ ΓΕ ∠Ζ , καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Γ Ε περιφέρειαν διαπορευέσθω καὶ τὸ ∠ σημεῖον τὴν ∠Ζ περιφέρειαν · λέγω ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ∠ περιφερείᾳ . Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁμοία ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ , ἔστω ὁμοία ἡ ΓΕ τῇ ∠Η ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον τὴν ΓΕ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ ∠ τὴν ∠Η . ἀλλὰ καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ τὴν ΓΕ διαπορεύεται καὶ τὸ ∠ τὴν ∠Ζ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ∠ τὴν ∠Ζ διαπορεύεται καὶ τὸ ∠ τὴν ∠Η . καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Η τῇ ∠Ζ , ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα ὁμοία ἐστὶν ἢ ΓΕ τῇ ∠Η . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλῃ τινὶ πλὴν τῇ ∠Ζ · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ .
Lemmas: γ# . ἐάν σφαῖρα στρέφω ὁμαλής περί ὁ ἑαυτοῦ ἄξων , ὅς ἐν ἴσος χρόνος περιφέρεια διεξέρχομαι σημεῖον τις ὁ παράλληλος κύκλος κατά ὅς φέρω , οὗτος ὅμοιος εἰμί . εἰμί σφαῖρα ὅς ἄξων ὁ ΑΒ , πόλος δέ ὁ Α Β σημεῖον , καί λαμβάνω τις σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ Γ ∠ , καί εἰμί παράλληλος κύκλος κατά ὧβʹ φέρω ὁ Γ ∠ σημεῖον ὁ ΓΕ ∠Ζ , καί ἐν ἴσος χρόνος ὁ σημεῖον ὁ Γ Ε περιφέρεια διαπορεύω καί ὁ ∠ σημεῖον ὁ ∠Ζ περιφέρεια · λέγω ὅτι ὅμοιος εἰμί ὁ ΓΕ περιφέρεια ὁ ∠ περιφέρεια . εἰ γάρ μή εἰμί ὅμοιος ὁ ΓΕ περιφέρεια ὁ ΔΖ , εἰμί ὅμοιος ὁ ΓΕ ὁ ∠Η ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Γ σημεῖον ὁ ΓΕ περιφέρεια διαπορεύω καί ὁ ∠ ὁ ∠Η . ἀλλά καί ἐν ἴσος χρόνος ὁ Γ ὁ ΓΕ διαπορεύω καί ὁ ∠ ὁ ∠Ζ · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ ∠ ὁ ∠Ζ διαπορεύω καί ὁ ∠ ὁ ∠Η . καί εἰμί ὁ αὐτός κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ∠Η ὁ ∠Ζ , ὁ ἐλαχύς ὁ μέγας , ὅς εἰμί ἀδύνατος · οὐ ἄρα ὅμοιος εἰμί ἤ ΓΕ ὁ ∠Η . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι οὐδέ ἄλλος τις πλήν ὁ ∠Ζ · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ΓΕ περιφέρεια ὁ ΔΖ .
autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.4
δʹ . Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁρίζῃ τό τε ἀφανὲς καὶ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας , στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐδὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ , ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ αἰεί ἐστι φανερά , τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ αἰεί ἐστιν ἀφανῆ . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές · λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐ . δὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ . Ὅ ἐστιν ἐπὶ τῆς μυλοειδοῦς κινήσεως · τότε γὰρ καὶ ὁ ἰσημερινὸς ὁρίζων γίνεται , καὶ ἓξ μηνῶν ἡ ἡμέρα καὶ ἓξ μηνῶν ἠ νύξ . Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ , καὶ ἔστω [ παράλληλος ] κύκλος καθʼ ου φέρεται τὸ Γ σημεῖον ὁ Γ∠ ὁ Γ∠ ἄρα κύκλος πρὸς ὀρθάς ἐστιν τῷ ἄξονι . ἀλλὰ καὶ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ∠ κύκλος τῷ ΑΒ κύκλῳ . εἰ ἄρα τὸ Γ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ , συμβαλεῖ ὁ Γ∠ κύκλος τῷ ΑΒ ὁρίζοντι , ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον · ἔστιν γὰρ αὐτῷ παράλληλος · οὐκ ἄρα τὸ Γ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα οὕτη δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ , ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ φανερῷ , τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ ἀφανεῖ .
Lemmas: δέ . ἐάν ἐν σφαῖρα μένω μέγας κύκλος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἄξων ὁρίζω ὁ τε ἀφανής καί ὁ φανερός ἡμισφαίριον ὁ σφαῖρα , στρέφω ὁ σφαῖρα περί ὁ ἑαυτοῦ ἄξων οὐδείς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον οὔτε δύω ἵημι ἀνατέλλω , ἀλλά ὁ μέν ἐν ὁ φανερός ἡμισφαίριον ἀεί εἰμί φανερός , ὁ δέ ἐν ὁ ἀφανής ἀεί εἰμί ἀφανής . ἐν γάρ σφαῖρα μένω μέγας κύκλος ὁ ΑΒ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἄξων ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής · λέγω ὅτι στρέφω ὁ σφαῖρα περί ὁ ἑαυτοῦ ἄξων οὐ . δές ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον οὔτε δύω ἵημι ἀνατέλλω . ὅς εἰμί ἐπί ὁ μυλοειδής κίνησις · τότε γάρ καί ὁ ἰσημερινός ὁρίζων γίγνομαι , καί ἕξ μείς ὁ ἡμέρα καί ἕξ μείς ὁ νύξ . λαμβάνω γάρ τις σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ Γ , καί εἰμί [ παράλληλος ] κύκλος κατά ο̅υ̅ φέρω ὁ Γ σημεῖον ὁ Γ∠ ὁ Γ∠ ἄρα κύκλος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἄξων . ἀλλά καί ὁ ΑΒ παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ Γ∠ κύκλος ὁ ΑΒ κύκλος . εἰ ἄρα ὁ Γ σημεῖον δύω ἤ ἀνατέλλω , συμβάλλω ὁ Γ∠ κύκλος ὁ ΑΒ ὁρίζω , ὅς εἰμί ἄτοπος · εἰμί γάρ αὐτός παράλληλος · οὐ ἄρα ὁ Γ σημεῖον δύω ἤ ἀνατέλλω . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι καί πᾶς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον ἔτος δύω οὔτε ἀνατέλλω , ἀλλά ὁ μέν ἐν ὁ φανερός διά πᾶς εἰμί ἐν ὁ φανερός , ὁ δέ ἐν ὁ ἀφανής διά πᾶς εἰμί ἐν ὁ ἀφανής .
autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.5
ε΄ . Ἐὰν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν καὶ τὸ ἀφανές , πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης αὐτῆς καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα . Διὰ γὰρ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ο ΑΒΓ ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές · λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐν τῇ περιφορὰ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύνει καὶ ἀνατέλλει . Ἔστω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ ∠ , καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθʼ οὗ φέρεται τὸ ∠ σημεῖον ὁ Β∠ΓΕ · ἐν τῇ ἄρα περιφορᾷ τῆς σφαίρας τὸ ∠ σημεῖον , ὅταν μὲν κατὰ τὸ Γ γένηται , ἀνατέλλει , ὅταν δὲ κατὰ τὸ Β , δύνει . καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος τὸν Β∠ΓΕ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΕΓ Β∠Γ · τὸ ∠ ἄρα σημεῖον αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον . ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα .
Lemmas: Ε΄ . ἐάν διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα κύκλος μένω ὁρίζω ὁ τε φανερός καί ὁ ἀφανής , πᾶς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον στρέφω αὐτός καί δύω καί ἀνατέλλω καί ὁ ἴσος χρόνος ὑπέρ τε ὁ ὁρίζων ἐνεχθέω καί ὑπό ὁ ὁρίζων . διά γάρ ὁ πόλος ὁ σφαῖρα κύκλος μένω ο̅ ΑΒΓ ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής · λέγω ὅτι στρέφω ὁ σφαῖρα ἐν ὁ περιφορά πᾶς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον καί δύω καί ἀνατέλλω . εἰμί γάρ τις σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ ∠ , καί εἰμί παράλληλος κύκλος κατά ὅς φέρω ὁ ∠ σημεῖον ὁ Β∠ΓΕ · ἐν ὁ ἄρα περιφορά ὁ σφαῖρα ὁ ∠ σημεῖον , ὅταν μέν κατά ὁ Γ γίγνομαι , ἀνατέλλω , ὅταν δέ κατά ὁ Β , δύω . καί ἐπεί ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ Β∠ΓΕ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω ἡμικύκλιον ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΒΕΓ Β∠Γ · ὁ ∠ ἄρα σημεῖον ἀεί κατά ὁ αὐτός σημεῖον ὁ ΑΒΓ κύκλος καί δύω καί ἀνατέλλω καί ὁ ἴσος χρόνος . ὑπέρ ὁ ὁρίζων ἐνεχθέω καί ὑπό ὁ ὁρίζων . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι καί πᾶς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον καί δύω καί ἀνατέλλω καί ὁ ἴσος χρόνος ὑπέρ τε ὁ ὁρίζων ἐνεχθέω καί ὑπό ὁ ὁρίζων .
autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.8
η΄ . Οἱ τῶν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι μέγιστοι κύκλοι , ὧν καὶ ὁ ὁρίζων ἅπτεται , στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐφαρμόσουσιν ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , μέγιστος δὲ τῶν μὲν αἰεὶ ἀφανῶν ἔστω ὁ ΛΕ , τῶν δὲ αἰεὶ φανερῶν ἔστω ὁ Α∠ , ὧν ἐφάπτεται ὁ ΑΒΓ ὁρίζων , καὶ γεγράφθω τις μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν Α∠ ΛΕ ὁ ∠ΒΕΓ · λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ὁ ∠ΒΕΓ κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα . Γεγράφθω γάρ τις τῷ Α∠ παράλληλος κύκλος ὁ ΗΖΘ · ἀσύμπτωτον δή ἐστιν τὸ ἀπὸ τοῦ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Γ Ζ Ε μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Η Β Λ μέρη . ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν κύκλοι οἱ Α∠ ΖΗΘ , καὶ γεγραμμένοι εἰσὶν κύκλοι μέγιστοι οἱ ΑΒΓ ∠ΒΕΓ ἑνὸς μὲν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι τοῦ . Α∠ , τὸν δὲ ΗΖΘ τέμνοντες , καὶ εἰσὶν μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων αἱ ∠ΚΑ ΖΗ ΛΕ περιπεριφέρεια φέρειαι , ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ∠ΚΑ περιφέρεια τῇ ΖΗ καὶ τῇ ΛΕ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ∠ τὴν ∠ΚΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγίγνεται καὶ τὸ Ζ τὴν ΖΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται καὶ ἔτι τὸ Ε τὴν ΛΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται · ὥστε ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας , ὅταν το ∠ ἐπὶ τὸ Α παραγένηται , τότε καὶ τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Η παρέσται καὶ τὸ Ε ἐπὶ τὸ Λ , καὶ ἐφαρμόσει ἡ ∠ΖΕ ἐπὶ τὴν ΑΗΛ ὥστε καὶ ὅλος ὁ ∠ΒΚΓ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐφαρμόσει · εἰ γὰρ οὐκ ἐφαρμόσει , δύο κύκλοι τεμοῦσιν ἀλλήλους κατὰ πλείονα σημεῖα , ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον · στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἐφαρμόσει ὁ ∠ΒΕ κύκλος ἐπὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον .
Lemmas: Η΄ . ὁ ὁ αὐτός ἐφάπτω μέγας κύκλος , ὅς καί ὁ ὁρίζων ἅπτω , στρέφω ὁ σφαῖρα ἐφαρμόζω ἐπί ὁ ὁρίζων . εἰμί ἐν σφαῖρα ὁρίζων ὁ ΑΒΓ , μέγας δέ ὁ μέν ἀεί ἀφανής εἰμί ὁ ΛΕ , ὁ δέ ἀεί φανερός εἰμί ὁ Α∠ , ὅς ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ ὁρίζων , καί γράφω τις μέγας κύκλος ἐφάπτω ὁ Α∠ ΛΕ ὁ ∠ΒΕΓ · λέγω ὅτι στρέφω ὁ σφαῖρα ὁ ∠ΒΕΓ κύκλος ἐφαρμόζω ἐπί ὁ ΑΒΓ ὁρίζων . γράφω γάρ τις ὁ Α∠ παράλληλος κύκλος ὁ ΗΖΘ · ἀσύμπτωτος δή εἰμί ὁ ἀπό ὁ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Γ Ζ Ε μέρος ὁ ἀπό ὁ Α ἡμικύκλιον ὡς ἐπί ὁ Η Β Λ μέρος . ἐπεί οὖν παράλληλος εἰμί κύκλος ὁ Α∠ ΖΗΘ , καί γράφω εἰμί κύκλος μέγας ὁ ΑΒΓ ∠ΒΕΓ εἷς μέν αὐτός ἐφάπτω ὁ . Α∠ , ὁ δέ ΗΖΘ τέμνω , καί εἰμί μεταξύ ὁ ἀσύμπτωτος ἡμικύκλιον ὁ ∠ΚΑ ΖΗ ΛΕ περιπεριφέρεια φέρεια , ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ∠ΚΑ περιφέρεια ὁ ΖΗ καί ὁ ΛΕ περιφέρεια · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ ∠ ὁ ∠ΚΑ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Α παραγίγνομαι καί ὁ Ζ ὁ ΖΗ διέρχομαι ἐπί ὁ Η παραγίγνομαι καί ἔτι ὁ Ε ὁ ΛΕ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Λ παραγίγνομαι · ὥστε ἐν ὁ περιφορά ὁ σφαῖρα , ὅταν το ∠ ἐπί ὁ Α παραγίγνομαι , τότε καί ὁ Ζ ἐπί ὁ Η πάρειμι καί ὁ Ε ἐπί ὁ Λ , καί ἐφαρμόζω ὁ ∠ΖΕ ἐπί ὁ ΑΗΛ ὥστε καί ὅλος ὁ ∠ΒΚΓ κύκλος ἐπί ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφαρμόζω · εἰ γάρ οὐ ἐφαρμόζω , δύο κύκλος τέμνω ἀλλήλων κατά πολύς σημεῖον , ὅς εἰμί ἄτοπος · στρέφω ἄρα ὁ σφαῖρα ἐφαρμόζω ὁ ∠ΒΕ κύκλος ἐπί ὁ ΑΒΓ κύκλος .