autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.6
ϛ΄ . Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα , ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις , καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός , ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἀφανής . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές · λέγω ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις , καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός , ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἔσται ἀφανής . Ἐστω γὰρ ὁ πόλος τῆς σφαίρας ὁ φανερὸς ὁ ∠ , καὶ διὰ τοῦ ∠ καὶ τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ Α∠Ε , καὶ κείσθω τῇ Α∠ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΓΕ , καὶ πόλῳ τῷ ∠ διαστήματι δὲ τῷ Α∠ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ , πόλῳ δὲ τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΘΚ φανερὸν δὴ ὅτι ὁ ΑΖH κύκλος τῷ ΓΘΚ κύκλῳ ἴσος τε καὶ παράλληλός ἐστιν καὶ ἔτι ὁ ΑΒΓ κύκλος τῶν ΑΖΗ ΓΘΚ κύκλων ἐφάπτεται · λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁ μὲν ΑΖΗ κύκλος αἰεί ἐστι φανερός , ὁ δὲ ΓΘΚ αἰεί ἐστιν ἀφανής . Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁ ΑΖΗ κύκλος αἰεὶ φανερὸς ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας , ὁ ΑΖΗ κύκλος συμβαλεῖ τῷ ΑΒΓ ὁρίζοντι . συμβαλλέτω κατὰ τὸ Λ σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Λ ΑΓ . ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ Α∠Γ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου . καὶ ὁ Α∠Γ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον · κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ Α∠Γ καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα τέμνεται κατὰ τὸ ∠ , καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ Α∠ ( τοῦτο γὰρ φανερόν ) · ἡ ἄρα Α∠ εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ∠ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν · ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Α∠ εὐθεῖα τῆς ∠Λ εὐθείας . ἀλλὰ καὶ ἴση ( πόλος γάρ ἐστιν τὸ ∠ σημεῖον τοῦ ΑΖΗ κύκλου ) , ὅπερ ἄτοπον · ἐν ἄρα τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ ΑΖΗ κύκλος οὐ δύσεται . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ὁ ΓΘΚ ἀνατελεῖ · ὁ μὲν ΑΖΗ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν φανερός , ὁ δὲ ΓΘΚ αἰεί ἐστιν ἀφανής .
Lemmas: ϛʹ . ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος μένω ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής λοξός εἰμί πρός ὁ ἄξων , ἐφάπτω δύο κύκλος ἴσος τε καί παράλληλος ἀλλήλων , καί οὗτος ὁ μέν πρός ὁ φανερός πόλος ἀεί εἰμί φανερός , ὁ δέ πρός ὁ ἀφανής ἀεί ἀφανής . ἐν γάρ σφαῖρα μένω μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξός εἰμί πρός ὁ ἄξων ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής · λέγω ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτω δύο κύκλος ἴσος τε καί παράλληλος ἀλλήλων , καί οὗτος ὁ μέν πρός ὁ φανερός πόλος ἀεί εἰμί φανερός , ὁ δέ πρός ὁ ἀφανής ἀεί εἰμί ἀφανής . εἰμί γάρ ὁ πόλος ὁ σφαῖρα ὁ φανερός ὁ ∠ , καί διά ὁ ∠ καί ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ Α∠Ε , καί κεῖμαι ὁ Α∠ περιφέρεια ἴσος ὁ ΓΕ , καί πόλος ὁ ∠ διάστημα δέ ὁ Α∠ κύκλος γράφω ὁ ΑΖΗ , πόλος δέ ὁ Ε διάστημα δέ ὁ ΕΓ κύκλος γράφω ὁ ΓΘΚ φανερός δή ὅτι ὁ ΑΖH κύκλος ὁ ΓΘΚ κύκλος ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί καί ἔτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΑΖΗ ΓΘΚ κύκλος ἐφάπτω · λέγω δή ὅτι καί ὁ μέν ΑΖΗ κύκλος ἀεί εἰμί φανερός , ὁ δέ ΓΘΚ ἀεί εἰμί ἀφανής . εἰ γάρ μή εἰμί ὁ ΑΖΗ κύκλος ἀεί φανερός ἐν ὁ περιφορά ὁ σφαῖρα , ὁ ΑΖΗ κύκλος συμβάλλω ὁ ΑΒΓ ὁρίζω . συμβάλλω κατά ὁ Λ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α∠ ∠Λ ΑΓ . ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ Α∠Γ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΓ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΑΒΓ κύκλος . καί ὁ Α∠Γ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒ κύκλος · κύκλος δή τις ὁ ΑΒΓ ἐπί διάμετρος ὁ ΑΓ τμῆμα κύκλος ὀρθός ἐφίστημι ὁ Α∠Γ καί ὁ ὁ ἐφίστημι τμῆμα περιφέρεια εἰς ἄνισος τέμνω κατά ὁ ∠ , καί εἰμί ἐλαχύς ὁ Α∠ ( οὗτος γάρ φανερός ) · ὁ ἄρα Α∠ εὐθεῖα ἐλαχύς εἰμί πᾶς ὁ ἀπό ὁ ∠ πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος προσπίπτω εὐθεῖα · ὥστε ἐλαχύς εἰμί ὁ Α∠ εὐθύς ὁ ∠Λ εὐθεῖα . ἀλλά καί ἴσος ( πόλος γάρ εἰμί ὁ ∠ σημεῖον ὁ ΑΖΗ κύκλος ) , ὅς ἄτοπος · ἐν ἄρα ὁ περιφορά ὁ σφαῖρα ὁ ΑΖΗ κύκλος οὐ δύω . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι οὐδέ ὁ ΓΘΚ ἀνατέλλω · ὁ μέν ΑΖΗ ἄρα κύκλος ἀεί εἰμί φανερός , ὁ δέ ΓΘΚ ἀεί εἰμί ἀφανής .