autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.10
ι΄ . Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές , ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα , καὶ ἔστω μέγιστος τῶν αἰεὶ φανερῶν ὁ ΑΖΕ κύκλος , ὁ δὲ φανερὸς πόλος τῆς σφαίρας ἔστω ὁ ∠ , ὁ δὲ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἔστω ὁ Β∠Γ λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ Β ∠Γ κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα . Γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν Α ∠ σημείων μέγιστος κύκλος ὁ Α∠Θ ἤξει δὴ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν . καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ζ∠Η Α∠Ε τὸν ΑΖΗ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελεύσεται καὶ τὸ Η τὴν ΗΕ · στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας , ὅταν τὸ Ζ τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται , καὶ τὸ τὴν ΗΕ διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται , ἡ Ζ∠Η περιφέρεια ἐφαρμόσει ἐπὶ τὴν Α∠Ε περιφέρειαν · ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν Α∠Θ κύκλον ἐφαρμόσει . ἀλλʼ ὁ Α∠Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον · καὶ ὁ Β∠Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον . πάλιν δὴ στρεφομένης τῆς σφαίρας , ὅταν τὸ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τὴν ΕΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται , τότε καὶ τὸ Ζ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α σημείου τὴν ΑΗΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παρέσται , καὶ ἐφαρμόσει ἡ ΖΔΗ περιφέρεια ἐπὶ τὴν Α∠Ε περιφέρειαν · ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν Α∠Θ κύκλον ἐφαρμόσει . ὁ δὲ Α∠Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον · καὶ ὁ Β∠;Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον . πάλιν δὴ ὅταν τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγένηται , καὶ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ παρέσται , καὶ ὁ Β∠ΓΘ κύκλος θέσιν ἕξει ἣν εἶχεν ἐξ ἀρχῆς ὥστε οὐκ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα πλέον ἢ δὶς ἔσται · ἐν μιᾷ ἄρα περιφορὰ τῆς σφαίρας ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα .
Lemmas: Ι΄ . ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος λοξός ἀνά πρός ὁ ἄξων ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής , ὁ διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα κύκλος ἐν εἷς περιφορά ὁ σφαῖρα δίς εἰμί ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής λοξός ἐάν πρός ὁ ἄξων , καί εἰμί μέγας ὁ ἀεί φανερός ὁ ΑΖΕ κύκλος , ὁ δέ φανερός πόλος ὁ σφαῖρα εἰμί ὁ ∠ , ὁ δέ διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ Β∠Γ λέγω ὅτι ἐν εἷς περιφορά ὁ σφαῖρα ὁ Β ∠Γ κύκλος δίς εἰμί ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ ὁρίζων . γράφω γάρ διά ὁ Α ∠ σημεῖον μέγας κύκλος ὁ Α∠Θ ἔσσομαι δή καί διά ὁ ὁ ΑΒΓ πόλος καί εἰμί ὀρθός πρός αὐτός . καί ἐπεί ἑκάτερος ὁ Ζ∠Η Α∠Ε ὁ ΑΖΗ κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω , ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΑ περιφέρεια ὁ ΕΗ περιφέρεια · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Ζ σημεῖον ὁ ΖΆ περιφέρεια διέρχομαι καί ὁ Η ὁ ΗΕ · στρέφω ἄρα ὁ σφαῖρα , ὅταν ὁ Ζ ὁ ΖΆ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Α παραγίγνομαι , καί ὁ ὁ ΗΕ διέρχομαι ἐπί ὁ Ε παραγίγνομαι , ὁ Ζ∠Η περιφέρεια ἐφαρμόζω ἐπί ὁ Α∠Ε περιφέρεια · ὥστε καί ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ἐπί ὅλος ὁ Α∠Θ κύκλος ἐφαρμόζω . ἀλλά ὁ Α∠Θ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος · καί ὁ Β∠Γ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος . πάλιν δή στρέφω ὁ σφαῖρα , ὅταν ὁ σημεῖον ἄρχω ἀπό ὁ Ε σημεῖον ὁ ΕΖΑ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Α παραγίγνομαι , τότε καί ὁ Ζ σημεῖον ἄρχω ἀπό ὁ Α σημεῖον ὁ ΑΗΕ περιφέρεια διέρχομαι ἐπί ὁ Ε πάρειμι , καί ἐφαρμόζω ὁ ΖΔΗ περιφέρεια ἐπί ὁ Α∠Ε περιφέρεια · ὥστε καί ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ἐπί ὅλος ὁ Α∠Θ κύκλος ἐφαρμόζω . ὁ δέ Α∠Θ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος · καί ὁ Β∠;Γ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒΓ κύκλος . πάλιν δή ὅταν ὁ Η ἄρχω ἀπό ὁ Α ὁ ΑΗ διέρχομαι ἐπί ὁ Η παραγίγνομαι , καί ὁ Ζ ἄρχω ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Ζ πάρειμι , καί ὁ Β∠ΓΘ κύκλος θέσις ἔχω ὅς ἔχω ἐκ ἀρχή ὥστε οὐ ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων πολύς ἤ δίς εἰμί · ἐν εἷς ἄρα περιφορά ὁ σφαῖρα ὁ διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα κύκλος δίς εἰμί ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων .