autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.9
Θ΄ . Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὣν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές , τῶν ἅμα ἀνατελλόντων σημείων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ ὕστερον δύνει , τῶν δὲ ἅμα δυνόντων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ πρότερον ἀνατέλλει . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανέρὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ . ἀφανές , καὶ εἰλήφθω δύο σημεῖα τὰ Γ Ε ὁμόσε ἀνατέλλοντα , καὶ ἔστω ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τὸ Γ ἤπερ τὸ Ε λέγω ὅτι τὰ Γ Ε σημεῖα οὐχ ὁμόσε δύσεται , ἀλλʼ ὕστερον δύσεται τὸ Γ τοῦ Ε . Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧν φέρεται τὰ ΓΕ σημεῖα οἱ ΓΖΘ ΕΗΚ . ἐπεὶ ὁ ΑΒΓ ὁρίζων λοξός ἐστιν πρὸς τὸν ἄξονα , καὶ πρὸς τοὺς παραλλήλους λοξός ἐστιν · ἡ ΓΖ ἄρα περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία . ἔστω τῇ ΕΗ ὁμοία ἡ ΓΛ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται καὶ τὸ Ε ἐπὶ τὸ Η . ἀλλʼ ὅταν μὲν τὸ Ε ἐπὶ τὸ Η παραγένηται , δύνει τὸ Ε , ὅταν δὲ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Λ παραγένηται , οὐδέπωδύνει τὸ Γ , ἀλλʼ ἔτι ὑπὲρ γῆν ἐστιν · πρότερον ἄρα δύνει τὸ Ε τοῦ Γ · ὥστε ὕστερον δύνει τὸ Γ τοῦ Ε . Πάλιν δὲ δυνέτω τὰ ΖΗ ἄστρα ὁμόσε · λέγω ὅτι οὐχ ἅμα ἀνατέλλει , ἀλλὰ πρότερον τὸ Ζ τοῦ Η . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘΓ λοιπῆς τῆς ΗΚΕ ἐλάσσων ἐστὶν ὁμοία . ἔστω ἡ ΖΘΓ ὁμοία τῇ ΗΚ . ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΖΘΓ περιφέρεια τῇ ΗΚ περιφερείᾳ , στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἅμα τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται καὶ τὸ Η ἐπὶ τὸ Κ . πρότερον δὲ τὸ Η ἐπὶ τὸ Κ παραγίγνεται ἤπερ ἐπὶ τὸ Ε · πρότερον ἄρα καὶ τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται ἤπερ τὸ Η ἐπὶ τὸ Ε . ἀλλʼ ὅταν μὲν τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγένηται , ἀνατέλλει τὸ Ζ , ὅταν δὲ τὸ Η ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται , ἀνατέλλει τὸ Η · πρότερον ἄρα ἀνατέλλει τὸ Ζ τοῦ Η .
Lemmas: Θʹ . ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος λοξός ἐάν πρός ὁ ἄξων ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής , ὁ ἅμα ἀνατέλλω σημεῖον ὁ πρός ὁ φανερός πόλος ὕστερον δύω , ὁ δέ ἅμα δύω ὁ πρός ὁ φανερός πόλος πρότερος ἀνατέλλω . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξός εἰμί πρός ὁ ἄξων ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ . ἀφανής , καί λαμβάνω δύο σημεῖον ὁ Γ Ε ὁμόσε ἀνατέλλω , καί εἰμί ἐγγίων ὁ φανερός πόλος ὁ Γ ἤ ὁ Ε λέγω ὅτι ὁ Γ Ε σημεῖον οὐ ὁμόσε δύω , ἀλλά ὕστερον δύω ὁ Γ ὁ Ε . εἰμί γάρ παράλληλος κύκλος κατά ὅς φέρω ὁ ΓΕ σημεῖον ὁ ΓΖΘ ΕΗΚ . ἐπεί ὁ ΑΒΓ ὁρίζων λοξός εἰμί πρός ὁ ἄξων , καί πρός ὁ παράλληλος λοξός εἰμί · ὁ ΓΖ ἄρα περιφέρεια ὁ ΕΗ περιφέρεια μέγας εἰμί ἤ ὅμοιος . εἰμί ὁ ΕΗ ὅμοιος ὁ ΓΛ · ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ Γ ἐπί ὁ Λ παραγίγνομαι καί ὁ Ε ἐπί ὁ Η . ἀλλά ὅταν μέν ὁ Ε ἐπί ὁ Η παραγίγνομαι , δύω ὁ Ε , ὅταν δέ ὁ Γ ἐπί ὁ Λ παραγίγνομαι , οὐ-δ̔έπωδυνω ὁ Γ , ἀλλά ἔτι ὑπέρ γῆ εἰμί · πρότερος ἄρα δύω ὁ Ε ὁ Γ · ὥστε ὕστερον δύω ὁ Γ ὁ Ε . πάλιν δέ δύω ὁ ΖΗ ἄστρον ὁμόσε · λέγω ὅτι οὐ ἅμα ἀνατέλλω , ἀλλά πρότερος ὁ Ζ ὁ Η . ἐπεί γάρ ὁ ΓΖ περιφέρεια ὁ ΕΗ περιφέρεια μέγας εἰμί ἤ ὅμοιος , λοιπός ἄρα ὁ ΖΘΓ λοιπός ὁ ΗΚΕ ἐλαχύς εἰμί ὅμοιος . εἰμί ὁ ΖΘΓ ὅμοιος ὁ ΗΚ . ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΖΘΓ περιφέρεια ὁ ΗΚ περιφέρεια , στρέφω ἄρα ὁ σφαῖρα ἅμα ὁ Ζ ἐπί ὁ Γ παραγίγνομαι καί ὁ Η ἐπί ὁ Κ . πρότερος δέ ὁ Η ἐπί ὁ Κ παραγίγνομαι ἤ ἐπί ὁ Ε · πρότερος ἄρα καί ὁ Ζ ἐπί ὁ Γ παραγίγνομαι ἤ ὁ Η ἐπί ὁ Ε . ἀλλά ὅταν μέν ὁ Ζ ἐπί ὁ Γ παραγίγνομαι , ἀνατέλλω ὁ Ζ , ὅταν δέ ὁ Η ἐπί ὁ Ε παραγίγνομαι , ἀνατέλλω ὁ Η · πρότερος ἄρα ἀνατέλλω ὁ Ζ ὁ Η .