autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.7
ζ΄ . Ἐὰν ὁ ὁρίζων ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλος τό τε φανερὸν τῇς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς πρὸς τὸν ἄξονα , οἱ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες τὸν ὁρίζοντα κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται , ἔτι δὲ καὶ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι πρὸς τὸν ὁρίζοντα . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁρίζων τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς ὁ ΑΒ∠Γ λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα , οἱ δὲ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι ἔστωσαν οἱ ΑΒ Γ∠ λέγω ὅτι οἱ ΑΒ Γ∠ κύκλοι κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται . Μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ποιείσθω ὁ ΑΒ κύκλος διʼ ἄλλου τινὸς σημείου τὴν ἀνατολὴν τοῦ Ε , διὰ δὲ τοῦ Α τὴν δύσιν , καὶ ἔστω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τὸ σημεῖον , καὶ διὰ τοῦ καὶ τῶν τοῦ ΑΒ∠Γ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΖΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΖ ΖΕ ΖΒ . ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΗΖΘ κύκλον τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒ∠Γ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τοῦ ΑΒ∠Γ κύκλου . καὶ ὁ ΓΖΘ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον · κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒ∠Γ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΗΘ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ΗΖΘ , καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος τοῦ ΗΖΘ περιφέρεια εἰς ἄνισα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ σημεῖον , καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΖΗ περιφέρεια · ἡ ΖΗ ἄρα εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶν πασῶντῶν ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν · καὶ ἡ ἔγγιον ἄρα τῆς ΖΗ ἐλάσσων ἐστίν · ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῆς ΖΒ . ἀλλὰ καὶ ἴση , ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον · οὐκ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος διʼ ἄλλου τινὸς σημείου ἢ διὰ τοῦ Β τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται , διὰ δὲ τοῦ Α τὴν δύσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ὁ Γ∠ κύκλος διὰ μὲν τοῦ ∠ τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται , διὰ δὲ τοῦ Γ τὴν δύσιν · ὥστε οἱ ΑΒ Γ∠ κύκλοι αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται . Λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ ὁρίζοντα . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ Γ∠ ΚΜ ΛΝ . ἐπεὶ ὁ ΗΖΘ κύκλος τοὺς ΑΒ Γ∠ ΑΓ∠Β κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει , καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτοὺς τεμεῖ · ὁ ΓΖΘ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΑΒ Γ∠ ΑΒ∠Γ κύκλων · ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒ ΑΒ∠Γ κύκλων ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΗΖΘ καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ ἡ τῶν ΑΒ Γ∠ΒΑ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστιν πρὸς τὸν ΗΖΘ κύκλον · καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς ἐν τῷ ΗΖΚΘ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ . ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΗΘ ΚΜ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΗΖΘ κύκλου ἐπιπέδῳ · ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν Ηθ ΚΜ ὀρθή ἐστιν · ὥστε ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΘ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν ἐν ᾗ κέκλιται ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνία ἐστὶν ἡ κλίσις ἔν ᾗ κέκλιται ὁ Γ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ . καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ Γ∠ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΖΘ τέμνεται , αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ αἱ ΚΜ ΛΝ εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν · ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΝ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνίᾳ . καὶ ἔστιν ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΚΜΘ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον , ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ Γ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον · οἱ ΑΒ Γ∠ ἄρα κύκλοι ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον .
Lemmas: Ζ΄ . ἐάν ὁ ὁρίζω ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής λοξός πρός ὁ ἄξων , ὁ ὁ ἄξων πρός ὀρθός εἰμί κύκλος καί τέμνω ὁ ὁρίζων κατά ὁ αὐτός σημεῖον ἀεί ὁ ὁρίζων ὁ τε ἀνατολή καί ὁ δύσις ποιέω , ἔτι δέ καί ὅμοιος εἰμί κλίνω πρός ὁ ὁρίζων . εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος ὁρίζων ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής ὁ ΑΒ∠Γ λοξός ἀνά πρός ὁ ἄξων , ὁ δέ ὁ ἄξων πρός ὀρθός εἰμί κύκλος εἰμί ὁ ΑΒ Γ∠ λέγω ὅτι ὁ ΑΒ Γ∠ κύκλος κατά ὁ αὐτός σημεῖον ἀεί ὁ ὁρίζων ὁ τε ἀνατολή καί ὁ δύσις ποιέω . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , ποιέω ὁ ΑΒ κύκλος διά ἄλλος τις σημεῖον ὁ ἀνατολή ὁ Ε , διά δέ ὁ Α ὁ δύσις , καί εἰμί ὁ πόλος ὁ παράλληλος κύκλος ὁ σημεῖον , καί διά ὁ καί ὁ ὁ ΑΒ∠Γ κύκλος πόλος μέγας κύκλος γράφω ὁ ΗΖΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ ΗΖ ΖΕ ΖΒ . ἐπεί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΗΖΘ κύκλος τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒ∠Γ διά ὁ πόλος τέμνω , δίχα τε αὐτός τέμνω καί πρός ὀρθός · διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΗΘ ὁ ΑΒ∠Γ κύκλος . καί ὁ ΓΖΘ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒ∠Γ κύκλος · κύκλος δή τις ὁ ΑΒ∠Γ ἐπί διάμετρος ὁ ΗΘ τμῆμα κύκλος ὀρθός ἐφίστημι ὁ ΗΖΘ , καί ὁ ὁ ἐφίστημι τμῆμα ὁ ΗΖΘ περιφέρεια εἰς ἄνισος τέμνω κατά ὁ Ζ σημεῖον , καί εἰμί ἐλαχύς ὁ ΖΗ περιφέρεια · ὁ ΖΗ ἄρα εὐθύς ἐλαχύς εἰμί πασῶντός ἀπό ὁ Ζ σημεῖον πρός ὁ ΑΒ∠Γ κύκλος προσπίπτω εὐθεῖα · καί ὁ ἐγγίων ἄρα ὁ ΖΗ ἐλαχύς εἰμί · ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὁ ΖΕ ὁ ΖΒ . ἀλλά καί ἴσος , ὅς εἰμί ἄτοπος · οὐ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος διά ἄλλος τις σημεῖον ἤ διά ὁ Β ὁ ἀνατολή ποιέω , διά δέ ὁ Α ὁ δύσις . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι καί ὁ Γ∠ κύκλος διά μέν ὁ ∠ ὁ ἀνατολή ποιέω , διά δέ ὁ Γ ὁ δύσις · ὥστε ὁ ΑΒ Γ∠ κύκλος ἀεί κατά ὁ αὐτός σημεῖον ὁ ὁρίζων ὁ τε ἀνατολή καί ὁ δύσις ποιέω . λέγω δή ὅτι καί ὅμοιος εἰμί κλίνω πρός ὁ ΑΒ∠Γ ὁρίζων . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΒ Γ∠ ΚΜ ΛΝ . ἐπεί ὁ ΗΖΘ κύκλος ὁ ΑΒ Γ∠ ΑΓ∠Β κύκλος διά ὁ πόλος τέμνω , καί πρός ὀρθός αὐτός τέμνω · ὁ ΓΖΘ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ἕκαστος ὁ ΑΒ Γ∠ ΑΒ∠Γ κύκλος · ὥστε καί ἑκάτερος ὁ ΑΒ ΑΒ∠Γ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΗΖΘ καί ὁ κοινός ἄρα τομή ὁ ὁ ΑΒ Γ∠ΒΑ ὁ ΑΒ ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΗΖΘ κύκλος · καί πρός πᾶς ἄρα ὁ ἅπτω αὐτός ἐν ὁ ΗΖΚΘ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒ . ἅπτω δέ ὁ ΑΒ ἑκάτερος ὁ ΗΘ ΚΜ εἰμί ἐν ὁ ὁ ΗΖΘ κύκλος ἐπίπεδος · ὁ ΑΒ ἄρα πρός ἑκάτερος ὁ Ηθʹ ΚΜ ὀρθός εἰμί · ὥστε ὁ ὑπό ὁ ΚΜΘ γωνία ὁ κλίσις εἰμί ἐν ὅς κλίνω ὁ ΑΒ κύκλος πρός ὁ ΑΒ∠Γ κύκλος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ὑπό ὁ ΛΝΘ γωνία εἰμί ὁ κλίσις ἐν ὅς κλίνω ὁ Γ∠ κύκλος πρός ὁ ΑΒ∠Γ . καί ἐπεί δύο ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ΑΒ Γ∠ ὑπό τις ἐπίπεδος ὁ ΖΘ τέμνω , ὁ κοινός ἄρα αὐτός τομή ὁ ΚΜ ΛΝ εὐθεῖα παράλληλος εἰμί · ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΚΜΝ γωνία ὁ ὑπό ὁ ΛΝΘ γωνία . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ὁ ΚΜΘ γωνία ὁ κλίσις ὅς κλίνω ὁ ΑΒ κύκλος πρός ὁ ΑΒ∠Γ κύκλος , ὁ δέ ὑπό ὁ ΛΝΘ γωνία ὁ κλίσις ὅς κλίνω ὁ Γ∠ κύκλος πρός ὁ ΑΒ∠Γ κύκλος · ὁ ΑΒ Γ∠ ἄρα κύκλος ὅμοιος εἰμί κλίνω πρός ὁ ΑΒ∠Γ κύκλος .