autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.11
ιά . Ἐἀν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές , ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος μειζόνων ἄπτηται ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἄπτεται , κατὰ πᾶσαντὴντοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ών ἐφάπτεται τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται . Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὢν πρὸς , τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές , καὶ ἐφαπτέσθω τινὸς κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος ὁ ΓΖ μειζόνων ἁπτέσθω τῶν ΖΓ ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται , καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ Ζ Η δυτικὰ δὲ τὰ Β Γ · λέγω ὅτι ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΗ περιφερείας ἀνατελεῖ , διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύσεται . Είλήφθω γάρ τινα σημεῖα ἐπὶ τῆς ΖΓ περιφερείας τυχόντα τὰ Θ Κ , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ών φέρεται τὰ Θ Κ σημεῖα οἱ ΑΘΜ ΜΚΞ ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ ἀνατέλλει διὰμ δὲ τοῦ Β δύνει , τὸ δὲ Θ αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Μ ἀνατέλλει διὰ δὲ τοῦ Λ δύνει , ἡ ΖΘ ἄρα περιφέρεια αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΜ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΛ δύνει · διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια διὰ μὲν τῆς ΜΞ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΛΜ δύνει , ἡ δὲ ΚΓ διὰ μὲν τῆς ΞΗ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΝΓ δύνει · ὅλον ἄρα τὸ ΖΓ ἡμικύκλιον αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖH περιφερείας ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύνει . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον · ὥστε ὅλος ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ κατὰ πᾶσαν τὴν τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξύ τῶν παραλλήλων κύκλων τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται . ιβʹ . Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος φερόμενόν τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ αἰεὶ δίχα τέμνῃ , μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας , ἑκάτερος αὐτῶν μέγιστος ἔσται . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος ὁ ΑΒΓ , φερόμενον δέ τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων τὸν Γ∠Β αἰεὶ δίχα τεμνέτω , μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας · λέγω ὅτι ἕκάτερος τῶν ΑΓΒ Γ∠Β κύκλων μέγιστός ἐστιν . Ἕστω γὰρ αὐτῶν κοινὴτομὴ ἡ Β ἡ ΒΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ Γ∠Β κύκλου . τετμήσθωε ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον · τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ Γ∠Β κύκλου . καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Ε σημεῖον αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδω καὶ κατὰ πᾶσαν περιφορὰν τῆς σφαίρας · λέγω δὴ ὅτι τὸ Ε σημεῖον ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν . Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος , στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον γράψει κύκλον πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι . γραφέτω τὸν ΕΖΗ . ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον αἰεὶ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶν καὶ φέρεται κατὰ κύκλου τοῦ ΕΖΗ , ὁ ΚΖ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ . καὶ ἔστιν ὁ ΕΖΗ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα · καὶ ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ἄξονα , ὅπερ οὐχ ὑπόκειται · οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον οὐκ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος · ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἄρα ἐστίν . Λέγω δὴ ὅτι κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον . Μὴ γάρ , ἀλλʼ εἰ δυνατόν , ἔστω κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Θ σημεῖον , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ ἄξων ἄρα ἐστὶ τῆς σφαίρας ἡ ΘΚ εὐθεῖα ( ἑκάτερον γὰρ τῶν Θ Ε σημείων ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν ) . καὶ ἔπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἔστὶν ὁ ΓΔΒ , ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ Θ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ Γ∠Β κύκλου ἔπέζευκται εὐθεῖα ἡ ΘΕ , ἡ ΘΕ ἄρα ὀρθή ἔστι πρὸς τὸν Γ∠Β κύκλον · ὥστε καὶ ὁ Γ∠Β κύκλος ὀρθός ἔστι πρὸς τῆ ΘΕ . καὶ ἔστιν ἡ ΘΕ ἄξων · ὁ Γ∠Β ἄρα κύκλος ὀρθός ἔστιν πρὸς τὸν ἄξονα , ὅπερ οὐχ ὑπόκειται · οὐκ ἄρα τὸ Θ σημεῖον κέντρον ὲστὶ τῆς σφαίρας . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ε τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἔστὶ τῆς σφαίρας . Καὶ ἔστιν ἔν ἑκατέρῳ τῶν ΑΒΓ ΓΔΒ κύκλων · μέγιστος ἄρα ἔστὶν ἑκάτερος τῶν ΑΒΓ Γ#8736;Β κύκλων .
Lemmas: ιά . ἐάν ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος λοξός εἰμί πρός ὁ ἄξων ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής , ἄλλος δέ τις λοξός μέγας κύκλος μέγας ἀιπτάω ἤ ὅς ὁ ὁρίζων ἄπτω , κατά πᾶσαντηντοῦ ὁρίζων περιφέρεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος κύκλος ών ἐφάπτω ὁ τε ἀνατολή καί ὁ δύσις ποιέω . ἐν γάρ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξός εἰμί πρός , ὁ ἄξων ὁρίζω ὁ τε φανερός ὁ σφαῖρα καί ὁ ἀφανής , καί ἐφάπτω τις κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ἄλλος δέ τις λοξός μέγας κύκλος ὁ ΓΖ μέγας ἅπτω ὁ ΖΓ ἤ ὅς ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτω , καί εἰμί ἀνατολικός μέν μέρος ὁ Ζ Η δυτικός δέ ὁ Β Γ · λέγω ὅτι ὁ ΖΓ κύκλος ἀεί διά μέν ὁ ΖΗ περιφέρεια ἀνατέλλω , διά δέ ὁ ΒΓ δύω . λαμβάνω γάρ τις σημεῖον ἐπί ὁ ΖΓ περιφέρεια τυγχάνω ὁ Θ Κ , καί εἰμί παράλληλος κύκλος κατά ωῦ φέρω ὁ Θ Κ σημεῖον ὁ ΑΘΜ ΜΚΞ ἐπεί ὁ Ζ σημεῖον ἀεί διά μέν ὁ Ζ ἀνατέλλω διάμʹ δέ ὁ Β δύω , ὁ δέ Θ ἀεί διά μέν ὁ Μ ἀνατέλλω διά δέ ὁ Λ δύω , ὁ ΖΘ ἄρα περιφέρεια ἀεί διά μέν ὁ ΖΜ ἀνατέλλω διά δέ ὁ ΒΛ δύω · διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΘΚ περιφέρεια διά μέν ὁ ΜιΞ ἀνατέλλω διά δέ ὁ ΛΜ δύω , ὁ δέ ΚΓ διά μέν ὁ ΞΗ ἀνατέλλω διά δέ ὁ ΝΓ δύω · ὅλος ἄρα ὁ ΖΓ ἡμικύκλιον ἀεί διά μέν ὁ ΖH περιφέρεια ἀνατέλλω διά δέ ὁ ΒΓ δύω . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι καί ὁ ἕτερος ἡμικύκλιον · ὥστε ὅλος ὁ ΖΓ κύκλος ἀεί κατά πᾶς ὁ ὁ ὁρίζων περιφέρεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος κύκλος ὁ τε ἀνατολή καί ὁ δύσις ποιέω . ιβʹ . ἐάν ἐν σφαῖρα μένω κύκλος φέρω τις κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἀεί δίχα τέμνω , μηδέτερος δέ αὐτός μήτε πρός ὀρθός ὁ ἄξων μήτε διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα , ἑκάτερος αὐτός μέγας εἰμί . εἰμί ἐν σφαῖρα μένω κύκλος ὁ ΑΒΓ , φέρω δέ τις ὁ ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος ὁ Γ∠Β ἀεί δίχα τέμνω , μηδέτερος δέ αὐτός μήτε πρός ὀρθός εἰμί ὁ ἄξων μήτε διά ὁ πόλος ὁ σφαῖρα · λέγω ὅτι ἕκατεροςς ὁ ΑΓΒ Γ∠Β κύκλος μέγας εἰμί . εἰμί γάρ αὐτός κοινήτομη ὁ Β ὁ ΒΓ ἄρα διάμετρος εἰμί ὁ Γ∠Β κύκλος . τετμάθωε ὁ ΒΓ δίχα κατά ὁ Ε σημεῖον · ὁ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ Γ∠Β κύκλος . καί φανερός ὅτι ὁ Ε σημεῖον ἀεί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος καί κατά πᾶς περιφορά ὁ σφαῖρα · λέγω δή ὅτι ὁ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ἄξων εἰμί . εἰ γάρ μή εἰμί ἐπί ὁ ἄξων , στρέφω ἄρα ὁ σφαῖρα ὁ Ε σημεῖον γράφω κύκλος πρός ὀρθός ὁ ἄξων . γράφω ὁ ΕΖΗ . ἐπεί ὁ Κ σημεῖον ἀεί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος εἰμί καί φέρω κατά κύκλος ὁ ΕΖΗ , ὁ ΚΖ ἄρα κύκλος ἀεί εἰμί ἐν ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐπίπεδος . καί εἰμί ὁ ΕΖΗ κύκλος ὀρθός πρός ὁ ἄξων · καί ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἄξων , ὅς οὐ ὑπόκειμαι · οὐ ἄρα ὁ Ε σημεῖον οὐ εἰμί ἐπί ὁ ἄξων · ἐπί ὁ ἄξων ἄρα εἰμί . λέγω δή ὅτι κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα ὁ Ε σημεῖον . μή γάρ , ἀλλά εἰ δυνατός , εἰμί κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ Θ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΕ ἄξων ἄρα εἰμί ὁ σφαῖρα ὁ ΘΚ εὐθύς ( ἑκάτερος γάρ ὁ Θ Ε σημεῖον ἐπί ὁ ἄξων εἰμί ) . καί ἔπος ἐν σφαῖρα κύκλος εἰμί ὁ ΓΔΒ , ἀπό δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ Θ ἐπί ὁ κέντρον ὁ Γ∠Β κύκλος ἐεζευκ́ννυμι εὐθύς ὁ ΘΕ , ὁ ΘΕ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός ὁ Γ∠Β κύκλος · ὥστε καί ὁ Γ∠Β κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΘΕ . καί εἰμί ὁ ΘΕ ἄξων · ὁ Γ∠Β ἄρα κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἄξων , ὅς οὐ ὑπόκειμαι · οὐ ἄρα ὁ Θ σημεῖον κέντρον έστι ὁ σφαῖρα . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι οὐδέ ἄλλος τις πλήν ὁ Ε ὁ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ σφαῖρα . καί εἰμί ἐν ἑκάτερος ὁ ΑΒΓ ΓΔΒ κύκλος · μέγας ἄρα εἰμί ἑκάτερος ὁ ΑΒΓ Γ#8736;Β κύκλος .