autolycus.de-sphaera-quae-movetur propositiones.1
α΄ . Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα , πάντα τα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα , ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος , κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα . Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα , πόλοι δὲ αὐτῆς τὰ Α Β σημεῖα , καὶ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ λέγω ὅτι πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα , ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος , κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα . Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν κάθετος ἡ Γ∠ , καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν πόλων τῶν Α Β καὶ τῆς Γ∠ ἐπίπεδον · ποιήσει δὴ τομὴν κύκλον . ἔστω αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ . ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΒ εὐθείας περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , συμπεριενεχθήσεται αὐτῷ καὶ ἡ Γ∠ εὐθεῖα κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν τοῦ ΑΓΒ ἡμικυκλίου διαμένουσα τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθάς , καὶ γράψει κύκλον ἐν τῇ σφαίρᾳ , οὐ κέντρον ἔσται τὸ ∠ σημεῖον , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ ΑΒ ἄξονι [ διὰ τὸ καὶ τὴν Γ∠ αἰεὶ διαμένειν τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθάς ] . καὶ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΒ σημεῖα πόλοι ἔσονται τοῦ γραφέντος κύκλου , ἐπειδήπερ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετος ἦκται καὶ ἐκβέβληται ἡ ΑΒ ἕως τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας . ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα , ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος , κύκλους γράψει πρὸς ὀρθὰς τῷ ΑΒ ἄξονι τοὺς αὐτούς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ . οἱ δὲ περὶ τοὺς αὐτούς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσί · πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα , ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος , κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα .
Lemmas: Α΄ . ἐάν σφαῖρα στρέφω ὁμαλής περί ὁ ἑαυτοῦ ἄξων , πᾶς τα ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον , ὅσος μή εἰμί ἐπί ὁ ἄξων , κύκλος γράφω παράλληλος ὁ αὐτός πόλος ἔχω ὁ σφαῖρα καί ἔτι ὀρθός πρός ὁ ἄξων . εἰμί σφαῖρα ὅς ἄξων εἰμί ὁ ΑΒ εὐθύς , πόλος δέ αὐτός ὁ Α Β σημεῖον , καί στρέφω ὁμαλής περί ὁ ἑαυτοῦ ἄξων ὁ ΑΒ λέγω ὅτι πᾶς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον , ὅσος μή εἰμί ἐπί ὁ ἄξων , κύκλος γράφω παράλληλος ὁ αὐτός πόλος ἔχω ὁ σφαῖρα καί ἔτι ὀρθός πρός ὁ ἄξων . λαμβάνω γάρ τις σημεῖον ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ Γ , καί ἄγω ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ ΑΒ εὐθεῖα κάθετος ὁ Γ∠ , καί ἐκβάλλω ὁ διά ὁ πόλος ὁ Α Β καί ὁ Γ∠ ἐπίπεδος · ποιέω δή τομή κύκλος . εἰμί αὐτός ἡμικύκλιον ὁ ΑΓΒ . ἐάν δή μένω ὁ ΑΒ εὐθεῖα περιφέρω ὁ ἡμικύκλιον εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι ὅθεν ἄρχω φέρω , συμπεριφέρω αὐτός καί ὁ Γ∠ εὐθύς κατά πᾶς μετακίνησις ὁ ΑΓΒ ἡμικύκλιον διαμένω ὁ ΑΒ εὔθεια πρός ὀρθός , καί γράφω κύκλος ἐν ὁ σφαῖρα , οὐ κέντρον εἰμί ὁ ∠ σημεῖον , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Γ∠ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒ ἄξων [ διά ὁ καί ὁ Γ∠ ἀεί διαμένω ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ] . καί φανερός ὅτι ὁ ΑΒ σημεῖον πόλος εἰμί ὁ γράφω κύκλος , ἐπειδή ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα κάθετος ἄγω καί ἐκβάλλω ὁ ΑΒ ἕως ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι καί πᾶς ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον , ὅσος μή εἰμί ἐπί ὁ ἄξων , κύκλος γράφω πρός ὀρθός ὁ ΑΒ ἄξων ὁ αὐτός πόλος ἔχω ὁ σφαῖρα . ὁ δέ περί ὁ αὐτός πόλος εἰμί ἐν σφαῖρα παράλληλος κύκλος εἰμί · πᾶς ἄρα ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα σημεῖον , ὅσος μή εἰμί ἐπί ὁ ἄξων , κύκλος γράφω παράλληλος ὁ αὐτός πόλος ἔχω ὁ σφαῖρα καί ἔτι ὀρθός πρός ὁ ἄξων .