aristarchus-astronomy.de-magnitudinibus-et-distantiis-solis-et-lunae 1
Δύο σφαίρας ἴσας μὲν ὁ αὐτὸς κύλινδρος περιλαμβάνει , ἀνίσους δὲ ὁ αὐτὸς κῶνος τὴν κορυφὴν ἔχων πρὸς τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ · καὶ ἡ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν πρὸς ἑκάτερον τῶν κύκλων , καθ᾿ ὦν ἐφάπτεται ἡ τοῦ κυλίνδρου ἢ ἡ τοῦ κώνου ἑπιφάνεια τῶν σφαιρῶν . Ἔστωσαν ἴσαι σφαῖραι , ὦν κέντρα ἔστω τὰ Α , Β σημεῖα , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω , καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τοῦ ΑΒ ἐπίπεδον · ποιήσει δὴ τομὰς ἐν ταῖς σφαίραις μεγίστους κύκλους . ποιείτω οὖν τοὺς Γ∠Ε , ΖΗΘ κύκλους , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς αἱ ΓΑΕ , ΖΒΘ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΓΑ , ΖΒ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν , καὶ αἱ ΓΖ , ΑΒ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν . παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΓΖΑΒ , καὶ αἱ πρὸς τοῖς Γ , Ζ γωνίαι ὀρθαὶ ἔσονται · ὥστε ἡ ΓΖ τῶν Γ∠Ε , ΖΗΘ κύκλων ἐφάπτεται . ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΒ τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον καὶ τὰ ΚΓ∠ , ΗΖΛ ἡμικύκλια περιενεχθέντα εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , τὰ μὲν ΚΓ∠ , ΗΖΛ ἡμικύκλια ἐνεχθήσεται κατὰ τῶν σφαιρῶν , τὸ δὲ ΑΖ παραλληλόγραμμον γεννήσει κύλινδρον , οὗ βάσεις ἔσονται οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΓΕ , ΖΘ κύκλοι , ὀρθοὶ ὄντες πρὸς τὴν ΑΒ , διὰ τὸ ἐν πάσῃ μετακινήσει διαμένειν τὰς ΓΕ , ΘΖ ὀρθὰς τῇ ΑΒ . καὶ φανερὸν ὅτι ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐφάπτεται τῶν σφαιρῶν , ἐπειδὴ ἡ ΓΖ κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν ἐφάπτεται τῶν ΚΓ∠ ΗΖΛ ἡμικυκλίων . Ἔστωσαν δὴ αἱ σφαῖραι πάλιν , ὦν κέντρα ἔστω τὰ Α , Β , ἄνισοι , καὶ μείζων ἧς κέντρον τὸ Α λέγω ὅτι τὰς σφαίρας ὁ αὐτὸς κῶνος περιλαμβάνει τὴν κορυφὴν ἔχων πρὸς τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ . Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ , καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον ποιήσει δὴ τομὰς ἐν ταῖς σφαίραις κύκλους . ποιείτω τοὺς Γ∠Ε , ΖΗΘ · μείζων ἄρα ὁ Γ∠.Ε κύκλος τοῦ ΗΖΘ κύκλου · ὥστε καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Γ∠Ε κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΖΗΘ κύκλου . δυνατὸν δή ἐστι λαβεῖν τι σημεῖον , ὡς τὸ Κ , ἵν᾿ ᾖ , ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Γ∠Ε κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΖΗΘ κύκλου , οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΒ . ἔστω οὖν εἰλημμένον τὸ Κ σημεῖον , καὶ ἤχθω ἡ ΚΖ ἐφαπτομένη τοῦ ΖΗΘ κύκλου , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ , καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΑΚ . πρὸς τὴν ΚΒ , ἡ Α∠ . πρὸς τὴν ΒΝ , ἴση δὲ ἡ μὲν Α∠ τῇ ΑΓ , ἡ δὲ ΒΝ τῇ ΒΖ , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚB , ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΖ . καὶ ἔστιν παράλληλος ἡ ΑΓ τῇ ΒΖ · εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖΚ . καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΚΖΒ · ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΑ . ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΚΓ τοῦ Γ∠Ε κύκλου . ἤχθωσαν δὴ αἱ ΓΛ , ΖΜ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετοι . ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΞ τά τε ΞΓ∠ , ΗΖΝ ἡμικύκλια καὶ τὰ ΚΓΛ , ΚΖΜ . τρίγωνα περιενεχθέντα εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , τὰ μὲν ΞΓ∠ , ΗΖΝ ἡμικύκλια ἐνεχθήσεται κατὰ τῶν σφαιρῶν , τὸ δὲ ΞΓΛ . τρίγωνον καὶ τὸ ΚΖΜ . γεννήσει κώνους , ὦν βάσεις εἰσὶν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΓΕ , ΖΘ κύκλοι , ὀρθοὶ ὄντες πρὸς τὸν ΚΛ . ἄξονα · κέντρα δὲ αὐτῶν τὰ Λ , Μ · καὶ ὁ κῶνος τῶν σφαιρῶν ἐφάψεται κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν , ἐπειδὴ καὶ ἡ ΚΖΓ . ἐφάπτεται τῶν ΞΓ∠ , ΗΖΝ ἡμικυκλίων κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν .
Lemmas: δύο σφαῖρα ἴσος μέν ὁ αὐτός κύλινδρος περιλαμβάνω , ἄνισος δέ ὁ αὐτός κῶνος ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ἐλαχύς σφαῖρα · καί ὁ διά ὁ κέντρον αὐτός ἄγω εὐθύς ὀρθός εἰμί πρός ἑκάτερος ὁ κύκλος , κατά ὅς ἐφάπτω ὁ ὁ κύλινδρος ἤ ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . εἰμί ἴσος σφαῖρα , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Α , Β σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ ἐκβάλλω , καί ἐκβάλλω διά ὁ ΑΒ ἐπίπεδος · ποιέω δή τομή ἐν ὁ σφαῖρα μέγας κύκλος . ποιέω οὖν ὁ Γ∠Ε , ΖΗΘ κύκλος , καί ἄγω ἀπό ὁ Α , Β ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ ΓΑΕ , ΖΒΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ . καί ἐπεί ὁ ΓΑ , ΖΒ ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί , καί ὁ ΓΖ , ΑΒ ἄρα ἴσος τε καί παράλληλος εἰμί . παραλληλόγραμμος ἄρα εἰμί ὁ ΓΖΑΒ , καί ὁ πρός ὁ Γ , Ζ γωνία ὀρθός εἰμί · ὥστε ὁ ΓΖ ὁ Γ∠Ε , ΖΗΘ κύκλος ἐφάπτω . ἐάν δή μένω ὁ ΑΒ ὁ ΑΖ παραλληλόγραμμος καί ὁ ΚΓ∠ , ΗΖΛ ἡμικύκλιον περιφέρω εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ μέν ΚΓ∠ , ΗΖΛ ἡμικύκλιον ἐνεχθέω κατά ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ΑΖ παραλληλόγραμμος γεννάω κύλινδρος , ὅς βάσις εἰμί ὁ περί διάμετρος ὁ ΓΕ , ΖΘ κύκλος , ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΒ , διά ὁ ἐν πᾶς μετακίνησις διαμένω ὁ ΓΕ , ΘΖ ὀρθός ὁ ΑΒ . καί φανερός ὅτι ὁ ἐπιφάνεια αὐτός ἐφάπτω ὁ σφαῖρα , ἐπειδή ὁ ΓΖ κατά πᾶς μετακίνησις ἐφάπτω ὁ ΚΓ∠ ΗΖΛ ἡμικύκλιον . εἰμί δή ὁ σφαῖρα πάλιν , ὅς κέντρον εἰμί ὁ Α , Β , ἄνισος , καί μέγας ὅς κέντρον ὁ Α λέγω ὅτι ὁ σφαῖρα ὁ αὐτός κῶνος περιλαμβάνω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ἐλαχύς σφαῖρα . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , καί ἐκβάλλω διά ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ποιέω δή τομή ἐν ὁ σφαῖρα κύκλος . ποιέω ὁ Γ∠Ε , ΖΗΘ · μέγας ἄρα ὁ Γ∠.Ε κύκλος ὁ ΗΖΘ κύκλος · ὥστε καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Γ∠Ε κύκλος μέγας εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΖΗΘ κύκλος . δυνατός δή εἰμί λαμβάνω τις σημεῖον , ὡς ὁ Κ , ἵνα εἰμί , ὡς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Γ∠Ε κύκλος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΖΗΘ κύκλος , οὕτως ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚΒ . εἰμί οὖν λαμβάνω ὁ Κ σημεῖον , καί ἄγω ὁ ΚΖ ἐφάπτω ὁ ΖΗΘ κύκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΒ , καί διά ὁ Α ὁ ΒΖ παράλληλος ἄγω ὁ ΑΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΑΚ . πρός ὁ ΚΒ , ὁ Α∠ . πρός ὁ ΒΝ , ἴσος δέ ὁ μέν Α∠ ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΒΝ ὁ ΒΖ , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚB , ὁ ΑΓ πρός ὁ ΒΖ . καί εἰμί παράλληλος ὁ ΑΓ ὁ ΒΖ · εὐθύς ἄρα εἰμί ὁ ΓΖΚ . καί εἰμί ὀρθός ὁ ὑπό ὁ ΚΖΒ · ὀρθός ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΚΓΑ . ἐφάπτω ἄρα ὁ ΚΓ ὁ Γ∠Ε κύκλος . ἄγω δή ὁ ΓΛ , ΖΜ ἐπί ὁ ΑΒ κάθετος . ἐάν δή μένω ὁ ΚΞ ὁ τε ΞΓ∠ , ΗΖΝ ἡμικύκλιον καί ὁ ΚΓΛ , ΚΖΜ . τρίγωνος περιφέρω εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι ὅθεν ἄρχω φέρω , ὁ μέν ΞΓ∠ , ΗΖΝ ἡμικύκλιον ἐνεχθέω κατά ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ΞΓΛ . τρίγωνον καί ὁ ΚΖΜ . γεννάω κῶνος , ὅς βάσις εἰμί ὁ περί διάμετρος ὁ ΓΕ , ΖΘ κύκλος , ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΚΛ . ἄξων · κέντρον δέ αὐτός ὁ Λ , Μ · καί ὁ κῶνος ὁ σφαῖρα ἐφάπτω κατά ὁ ἐπιφάνεια , ἐπειδή καί ὁ ΚΖΓ . ἐφάπτω ὁ ΞΓ∠ , ΗΖΝ ἡμικύκλιον κατά πᾶς μετακίνησις .