archimedes.stomachion 1
Ἀρχιμήδους Στομάχιον Τοῦ λεγομένου Στομαχίου ποικίλαν ἔχοντος τᾶς ἐξ ὧν συνέστακε σχημάτων μεταθέσεως θεωρίαν ἀναγκαῖον ἡγησάμην πραττον του ρῶν ἐκθέσθαι , εἴς τε ἃ διαιρεῖται , ἕκαστόν τε αὐτῶν τίνι ἐστὶν ὁμοιούμενον , ἔτι δὲ καὶ ποῖαι γωνίαι σύνδυο λαμβανόμεναι καὶ θάς , εἴρηται πρὸς τὸ τὰς ἐναρμόσεις τῶν ἐξ αὐτῶν γεννωμένων σχαμάτων γιγνώσκεσθαι , εἴτε ἐπʼ εὐθείας εἰσὶν αἱ γεννώμεναι ἐν τοῖς σχάμασι πλευραί , εἴτε καὶ μικρῶς λείπουσαι τᾷ θεωρίᾳ λανθάνουσιν τὰ γὰρ τοιαῦτα φιλότεχνα καὶ ἐὰν ἐλάχιστον μὲν λείπηται , τᾷ δὲ θεωρίᾳ λανθάνῃ , οὐ παρὰ τοῦτʼ ἐστὶν ἔκβλητα ἃ συνίσταται . Ἔστι μὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχημάτων ο διὰ τὸντον εἶναι εἰς ἕτερον τόπον τοῦ ἴσου καὶ ἰσογωνίου σχάματος μετατιθεμε καὶ ἑτέ λαμβάνοντας . Ἐνιότε δὲ καὶ δύο σχημάτων συνάμφω ἑνὶ σχήματι ἴσων ὄντων καὶ ὁμοίων τῷ ἑνὶ σχήματι ἢ καὶ δύο σχημάτων συνάμφω ἴσων τε καὶ ὁμοίων ὄντων δυσὶ σχήμασι συνάμφω πλείονα σχήματα συνίσταται ἐκ τῆς μεταθέσεως . Προγράφομεν οὖν τι θεώρημα εἰς αὐτὸ συντεῖνον . Ἔστω γὰρ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΓ , καὶ δε . ιω ἡ ΕΖ τῷ Κ , καὶ .. διήχθωσαν ἀπὸ τῶν Γ , Β αἱ ΓΚ , ΒΕ . ειωντῶνΓ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΓΚ , ΒΖ καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ △ ἡ ΓΗ . Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΚΖ , ἴση καὶ ἡ ΓΕ , τουτέστιν ἡ ΒΖ , τῇ Ζ△ ὥστε μείζων ἡ ΓΖ τῆς Ζ△ καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν Ζ△Γ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΓ△ μείζων . Ἶσοι δέ εἰσιν αἱ ὑπὸ ΗΒ△ , ΖΓΒ · ἡμίσεια γὰρ ὀρθῆς ἑκατέρα μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΗΒ , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΗΒ△ , Η△Β , τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ . Ἐὰν ἄρα δίχα τμηθῇ ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἀμβλεῖα μὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῇ ΧΗ , καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ , δύο δυσὶν ἴσαι καὶ βάσις ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ μείζων καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας μείζων . Ἀμβλεῖα μὲν ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΧΒ , ὀξεῖα δὲ ἡ ἐφεξῆς . Ἡμίσεια δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τοῦτο γάρ ἐστιν ὑποκείμενον τοῦ παραλληλογράμμου ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΒΧΗ . Καὶ . τι δὴ ἴση ἡ λοιπαὶ ΓΒΗ καὶ συνίσταται καὶ διαιρεῖται τοῦτο ἐπ . ον τὸν βάσιος τι αστα ἄρα ο ΑΒανοτὴν ΓΑνῶνέχοντὸ ἐπίλοιπδύνασθαι ἀρξειν ἑκτῶν τομῶν τῶν τάξιν ἐχοντ . Τετμήσθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε , καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ ΓΖ , ΖΑ . Ἤχθωσαν διάμετροι αἱ Γ△ , ΒΕ , Ε△ , καὶ τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΓΗ , Ε△ κατὰ τὰ Θ , Χ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ , ΧΖ , καὶ διὰ τῶν , Κ τῇ Β△ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ Κ,Ξ . Διὰ τὸ προκείμενον ἄρα θεώρημα τοῦ ΒΓΘ τριγώνου ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία ἀμβλεῖα , ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖα νερὸν φανερὸν δὲει .
Lemmas: Ἀρχιμήδης Στομάχιον Τώς λέγω Στομάχιον ποικίλος ἔχω ὁ ἐκ ὅς συνίστημι σχῆμα μετάθεσις θεωρία ἀναγκαῖος ἡγέομαι πράσσω τις ῥόος ἐκτίθημι , εἰς τε ὅς διαιρέω , ἕκαστος τε αὐτός τίς εἰμί ὁμοιόω , ἔτι δέ καί ποῖος γωνία σύνδυο λαμβάνω καί τίθημι , λέγω πρός ὁ ὁ ἐνάρμοσις ὁ ἐκ αὐτός γεννάω σχ͂αμα γιγνώσκω , εἴτε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ γεννάω ἐν ὁ σχάμα πλευρά , εἴτε καί μικρός λείπω ὁ θεωρία λανθάνω ὁ γάρ τοιοῦτος φιλότεχνος καί ἐάν ἐλαχύς μέν λείπω , ὁ δέ θεωρία λανθάνω , οὐ παρά οὗτος εἰμί ἔκβλητος ὅς συνίστημι . εἰμί μέν οὖν ἐκ αὐτός οὐ ὀλίγος σχῆμα ὁ διά τόντος εἰμί εἰς ἕτερος τόπος ὁ ἴσος καί ἰσογώνιος σχάμα μετατίθημι καί ἑτός λαμβάνω . ἐνιότε δέ καί δύο σχῆμα συνάμφω εἷς σχῆμα ἴσος εἰμί καί ὅμοιος ὁ εἷς σχῆμα ἤ καί δύο σχῆμα συνάμφω ἴσος τε καί ὅμοιος εἰμί δύο σχῆμα συνάμφω πολύς σχῆμα συνίστημι ἐκ ὁ μετάθεσις . προγράφω οὖν τις θεώρημα εἰς αὐτός συντείνω . εἰμί γάρ παραλληλόγραμμος ὀρθογώνιον ὁ ΖΓ , καί δε . ἰός ὁ ΕΖ ὁ Κ , καί .. διάγω ἀπό ὁ Γ , Β ὁ ΓΚ , ΒΕ . ειωντῶνΓ ἐκβάλλω ὁ ΓΚ , ΒΖ καί συμπίπτω κατά ὁ △ ὁ ΓΗ . ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΕΚ ὁ ΚΖ , ἴσος καί ὁ ΓΕ , τουτέστι ὁ ΒΖ , ὁ Ζ△ ὥστε μέγας ὁ ΓΖ ὁ Ζ△ καί γωνία ἄρα ὁ ὑπό ὁ Ζ△Γ ὁ ὑπό ὁ ΖΓ△ μέγας . ἴσος δέ εἰμί ὁ ὑπό ΒΗ , ΖΓΒ · ἥμισυς γάρ ὀρθός ἑκάτερος μέγας ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΓΗΒ , ἐπεί ὁ ὑπό ΓΗΒ ἴσος δύο ὁ ἐντός καί ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΒΗ , ΒΗ , ὁ ὑπό ὁ ΗΓΒ ὥστε μέγας εἰμί ὁ ΓΒ ὁ ΒΗ . ἐάν ἄρα δίχα τέμνω ὁ ΓΗ κατά Χ , εἰμί ἀμβλύς μέν ὁ ὑπό ΓΧΒ ἐπεί γάρ ἴσος ὁ ΓΧ ὁ ΧΗ , καί κοινός ὁ ΧΒ , δύο δύο ἴσος καί βάσις ὁ ΓΒ ὁ ΒΗ μέγας καί ὁ γωνία ἄρα ὁ γωνία μέγας . ἀμβλύς μέν ἄρα ὁ ὑπό ΓΧΒ , ὀξύς δέ ὁ ἐφεξῆς . ἥμισυς δέ ὀρθός ὁ ὑπό ΓΒΗ οὗτος γάρ εἰμί ὑπόκειμαι ὁ παραλληλόγραμμος ὀξύς δέ ὁ ὑπό ΒΧΗ . καί . τις δή ἴσος ὁ λοιπός ΓΒΗ καί συνίστημι καί διαιρέω οὗτος ἐπ . ον ὁ βάσις τίς ἀστή ἄρα ὁ αβανοος ΓΑνῶνέχοντὸ επιλοιπδυναω ἄρχω ἕκτος τομή ὁ τάξις ἔχω . τέμνω ὁ ΓΑ δίχα κατά ὁ Ε , καί διά ὁ Ε ὁ ΒΓ παράλληλος ἄγω ὁ ΕΖ εἰμί οὖν τετράγωνος ὁ ΓΖ , ΖΑ . ἄγω διάμετρος ὁ Γ△ , ΒΕ , Ε△ , καί τέμνω δίχα ὁ ΓΗ , Ε△ κατά ὁ Θ , Χ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΘ , ΧΖ , καί διά ὁ , Κ ὁ Β△ παράλληλος ἄγω ὁ Κ,Ξ . διά ὁ πρόκειμαι ἄρα θεώρημα ὁ ΒΓΘ τρίγωνον ὁ πρός ὁ Θ γωνία ἀμβλύς , ὁ δέ λοιπός ὀξύς νύς φανερός δέω .