archimedes.quadratura-parabolae pr
Ἀρχιμήδης Δοσιθέῳ εὖ πράττειν . Ἀκούσας Κόνωνα μὲν τετελευτηκέναι , ὃς ἧν οὐδὲν ἐπιλείπων ἁμῖν ἐν φιλίᾳ , τὶν δὲ Κόνωνος γνώριμον γεγενῆσθαι καὶ γεωμετρίας οἰκεῖον εἶμεν τοῦ μὲν τετελευτηκότος εἵνεκεν ἐλυπήθημες ὡς καὶ φίλου τοῦ ἀνδρὸς γεναμένου καὶ ἐν τοῖς μαθημάτεσσι θαυμαστοῦ τινος , ἐπροχειριξάμεθα δὲ ἀποστεῖλαί τοι γράψαντες , ὡς Κόνωνι γράφειν ἐγνωκότες ἧμες , γεωμετρικῶν θεωρημάτων , ὃ πρότερον μὲν οὐκ ἦν τεθεωρημένον , νῦν δὲ ὑφʼ ἁμῶν τεθεώρηται , πρότερον μὲν διὰ μηχανικῶν εὑρεθέν , ἔπειτα δὲ καὶ διὰ τῶν γεωμετρικῶν ἐπιδειχθέν , Τῶν μὲν οὖν πρότερον περὶ γεωμετρίαν πραγματευθέντων ἐπεχείρησάν τινες γράφειν ὡς δυνατὸν ἐὸν κύκλῳ τῷ δοθέντι καὶ κύκλου τμάματι τῷ δοθέντι χωρίον εὑρεῖν εὐθύγραμμον ἴσον , καὶ μετὰ ταῦτα τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ὅλου τοῦ κώνου τομᾶς καὶ εὐθείας τετραγωνίζειν ἐπειρῶντο λαμβάνοντες οὐκ εὐπαραχώρητα λήμματα , διόπερ αὐτοῖς ὑπὸ τῶν πλείστων οὐχ εὑρισκόμενα ταῦτα κατεγνώσθεν , Τὸ δὲ ὑπʼ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τμᾶμα περιεχόμενον οὐδένα τῶν προτέρων ἐγχειρήσαντα τετραγωνίζειν ἐπιστάμεθα , ὃ δὴ νῦν ὑφʼ ἁμῶν εὕρηται · δείκνυται γὰρ ὅτι πᾶν τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ τριγώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν καὶ ὕψος ἴσον τῷ τμάματι λαμβανομένου τοῦδε τοῦ λήμματος ἐς τὰν ἀπόδειξιν αὐτοῦ · τῶν ἀνίσων χωρίων τὰν ὑπεροχάν , ᾆ ὑπερέχει τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονος , δυνατὸν εἶμεν αὐτὰν ἑαυτᾷ συντιθεμέναν παντὸς ὑπερέχειν τοῦ προτεθέντος πεπερασμένου χωρίου . Κέχρηνται δὲ καὶ οἱ πρότερον γεωμέτραι τῷδε τῷ λήμματι · τούς τε γὰρ κύκλους διπλασίονα λόγον ἔχειν ποτʼ ἀλλάλους τᾶν διαμέτρων ἀποδεδείχασιν αὐτῷ τούτῳ τῷ λήμματι χρώμενοι , καὶ τὰς σφαίρας ὅτι τριπλασίονα λόγον ἔχοντι ποτʼ ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων , ἔτι δὲ καὶ ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντος τᾷ πυραμίδι καὶ ὕψος ἴσον · καὶ διότι πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου τοῦ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντος τῷ κώνῳ καὶ ὕψος ἴσον , ὁμοῖον τῷ προειρημένῳ λῆμμά τι λαμβάνοντες ἔγραφον . Συμβαίνει δὲ τῶν προειρημένων θεωρημάτων ἕκαστον μηδενὸς ἧσσον τῶν ἄνευ τούτου τοῦ λήμματος ἀποδεδειγμένων πεπιστευκέναι · ἀρκεῖ δὲ ἐς τὰν ὁμοίαν πίστιν τούτοις ἀναγμένων τῶν ὑφʼ ἁμῶν ἐκδιδομένων . Ἀναγράψαντες οὖν αὐτοῦ τὰς ἀποδείξιας ἀποστέλλομες πρῶτον μὲν ὡς διὰ τῶν μηχανικῶν ἐθεωρήθη , μετὰ ταῦτα δὲ καὶ ὡς διὰ τῶν γεωμετρουμένων ἀποδείκνυται . Προγράφεται δὲ καὶ στοιχεῖα κωνικὰ χρεῖαν ἔχοντα ἐς τὰν ἀπόδειξιν , Ἔρρωσο .
Lemmas: Ἀρχιμήδης Δοσίθεος εὖ πράσσω . ἀκούω Κόνων μέν τελευτάω , ὅς ἧμαι οὐδείς ἐπιλείπω ἐγώ ἐν φιλία , σύ δέ Κόνων γνώριμος γίγνομαι καί γεωμετρία οἰκεῖος εἰμί ὁ μέν τελευτάω ἕνεκα λυπέω ὡς καί φίλος ὁ ἀνήρ γίγνομαι καί ἐν ὁ μάθημα θαυμαστός τις , προχειρίζω δέ ἀποστέλλω σύ γράφω , ὡς Κόνων γράφω γιγνώσκω εἱμί , γεωμετρικός θεώρημα , ὅς πρότερος μέν οὐ εἰμί θεωρέω , νῦν δέ ὑπό ἐγώ θεωρέω , πρότερος μέν διά μηχανικός εὑρίσκω , ἔπειτα δέ καί διά ὁ γεωμετρικός ἐπιδείκνυμι , Τεῖς μέν οὖν πρότερος περί γεωμετρία πραγματεύομαι ἐπιχειρέω τις γράφω ὡς δυνατός εἰμί κύκλος ὁ δίδωμι καί κύκλος τμῆμα ὁ δίδωμι χωρίον εὑρίσκω εὐθύγραμμος ἴσος , καί μετά οὗτος ὁ περιέχω χωρίον ὑπό τε ὁ ὅλος ὁ κῶνος τομή καί εὐθύς τετραγωνίζω πειράω λαμβάνω οὐ εὐπαραχώρητος λῆμμα , διόπερ αὐτός ὑπό ὁ πολύς οὐ εὑρίσκω οὗτος κατεγνώσθεν , Τέ δέ ὑπό εὐθύς τε καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή τμῆμα περιέχω οὐδείς ὁ πρότερος ἐγχειρέω τετραγωνίζω ἐπίσταμαι , ὅς δή νῦν ὑπό ἁμός εὑρίσκω · δείκνυμι γάρ ὅτι πᾶς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ἐπίτριτος εἰμί ὁ τρίγωνον ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός καί ὕψος ἴσος ὁ τμῆμα λαμβάνω ὅδε ὁ λῆμμα εἰς ὁ ἀπόδειξις αὐτός · ὁ ἄνισος χωρίον ὁ ὑπεροχή , ἆ ὑπερέχω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς , δυνατός εἰμί αὐτός ἑαυτοῦ συντίθημι πᾶς ὑπερέχω ὁ προτίθημι περαίνω χωρίον . χράω δέ καί ὁ πρότερος γεωμέτρης ὅδε ὁ λῆμμα · ὁ τε γάρ κύκλος διπλάσιος λόγος ἔχω ποτέ ἀλλήλων ὁ διάμετρον ἀποδείκνυμι αὐτός οὗτος ὁ λῆμμα χράω , καί ὁ σφαῖρα ὅτι τριπλασίων λόγος ἔχω ποτέ ἀλλήλων ὁ διάμετρον , ἔτι δέ καί ὅτι πᾶς πυραμίς τρίτος μέρος εἰμί ὁ πρίσμα ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ πυραμίς καί ὕψος ἴσος · καί διότι πᾶς κῶνος τρίτος μέρος εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ κῶνος καί ὕψος ἴσος , ὅμοιος ὁ προλέγω λῆμμα τις λαμβάνω γράφω . συμβαίνω δέ ὁ προλέγω θεώρημα ἕκαστος μηδείς ἥσσων ὁ ἄνευ οὗτος ὁ λῆμμα ἀποδείκνυμι πιστεύω · ἀρκέω δέ εἰς ὁ ὅμοιος πίστις οὗτος ἀνάσσω ὁ ὑπό ἐγώ ἐκδίδωμι . ἀναγράφω οὖν αὐτός ὁ ἀπόδειξις ἀποστέλλω πρῶτος μέν ὡς διά ὁ μηχανικός θεωρέω , μετά οὗτος δέ καί ὡς διά ὁ γεωμετρέω ἀποδείκνυμι . προγράφω δέ καί στοιχεῖον κωνικός χρεῖα ἔχω εἰς ὁ ἀπόδειξις , Ἔρρωσο .