archimedes.quadratura-parabolae 15
Ἔστω πάλιν τὸ ΒΘΓ τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , ἁ δὲ ΒΓ μὴ ἔστω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ διαμέτρῳ ἀναγκαῖον δὴ ἤτοι τὰν ἀπὸ τοῦ Β σαμείου παρὰ τὰν διάμετρον ἀγμέναν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ τμάματι ἢ τὰν ἀπὸ τοῦ Γ ἀμβλεῖαν ποιεῖν γωνίαν ποτὶ τὰν ΒΓ , Ἔστω ἁ τὰν ἀμβλεῖαν ποιοῦσα ἁ ποτὶ τῷ Β , καὶ ἄχθω παρὰ τὰν διάμετρον ἀπὸ τοῦ Β ἁ Β△ , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ , καὶ διῃρήσθω ἁ ΒΓ εἰς τμάματα ἴσα ὁποσαοῦν τὰ ΒΕ , ΕΖ , ΖΗ , ΗΙ , ΙΓ , ἀπὸ δὲ τῶν Ε , Ζ , Η , Ι παρὰ τὰν διάμετρον ἄχθωσαν αἱ ΕΣ , ΖΤ , ΗΥ , ΙΞ , καὶ ἀπὸ τῶν σαμείων , καθʼ ἃ τέμνοντι αὗται τὰν τοῦ κώνου τομάν , ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν . Φαμὶ δὴ καὶ νῦν τὸ Β△Γ τρίγωνον τῶν μὲν τραπεζίων τῶν ΒΦ , ΛΖ , ΜΗ , ΝΙ καὶ τοῦ ΓΙΞ τριγώνου ἔλασσον εἶμεν ἢ τριπλάσιον , τῶν δὲ ΖΦ , ΗΘ , ΙΠ καὶ τοῦ ΓΟΙ τριγώνου μεῖζον ἢ τριπλάσιον . Ἐκβεβλήσθω ἁ △Β ἐπὶ θάτερα . Ἀγαγὼν οὖν κάθετον τὰν ΓΚ τᾷ ΓΚ ἴσαν ἀπέλαβον τὰν ΑΚ . Νοείσθω δὴ πάλιν ζύγιον τὸ ΑΓ , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Κ , καὶ κρεμάσθω ἐκ τοῦ Κ , κρεμάσθω δὲ καὶ τὸ ΓΚ△ τρίγωνον ἐκ τοῦ ἡμίσεος τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὰ Γ , Κ ἔχον ὡς νῦν κεῖται , καὶ ἐκ τοῦ θατέρου μέρεος τοῦ ζυγοῦ κρεμάσθωσαν κατὰ τὸ Α τὰ Ρ , Χ , Ψ , Ω , △ χωρία , καὶ τὸ μὲν Ρ τῷ △Ε τραπεζίῳ ἰσορροπείτω οὕτως ἔχοντι ὡς νῦν κεῖται , τὸ δὲ Χ τῷ ΖΣ τραπεζίῳ , τὸ δὲ Ψ τῷ ΤΗ , τὸ δὲ Ω τῷ ΥΙ , τὸ δὲ △ τῷ ΓΙΞ τριγώνω ἰσορροπήσει δὴ καὶ τὸ ὅλον τῷ ὅλῳ ὥστε εἴη ἂν καὶ τὸ △ΒΓ τρίγωνον τριπλάσιον τοῦ ΡΧΨΩ△ χωρίου . Ὁμοίως δὴ τῷ πρότερον δειχθήσεται τό τε ΒΦ τραπέζιον τοῦ P χωρίου μεῖζον , καὶ τὸ μὲν ΘΕ τραπέζιον μεῖζον ἐὸν τοῦ Χ χωρίου , τὸ δὲ ΖΦ ἔλαττον , καὶ τὸ μὲν ΜΗ τραπέζιον μεῖζον ἐὸν τοῦ Ψ χωρίου , τὸ δὲ ΗΘ ἔλασσον , καὶ ἔτι τὸ μὲν ΝΙ τραπέζιον μεῖζον ἐὸν τοῦ Ω χωρίου , τὸ δὲ ΠΙ ἔλασσον , καὶ τὸ μὲν ΞlΓ τρίγωνον μεῖζον τοῦ △ χωρίου , τὸ δὲ ΓΙΟ ἔλασσον · δῆλον οὖν ἐστιν .
Lemmas: εἰμί πάλιν ὁ ΒΘΓ τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ὁ δέ ΒΓ μή εἰμί ποτέ ὀρθός ὁ διάμετρος ἀναγκαῖος δή ἤτοι ὁ ἀπό ὁ Β σαμεῖον παρά ὁ διάμετρος ἄγω ἐπί ὁ αὐτός ὁ τμῆμα ἤ ὁ ἀπό ὁ Γ ἀμβλύς ποιέω γωνία πρός ὁ ΒΓ , Εἰμί ὁ ὁ ἀμβλύς ποιέω ὁ πρός ὁ Β , καί ἄγω παρά ὁ διάμετρος ἀπό ὁ Β ὁ Β△ , καί ἀπό ὁ Γ ὁ Γ△ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Γ , καί διαιρέω ὁ ΒΓ εἰς τμῆμα ἴσος ὁποσοσοῦν ὁ ΒΕ , ΕΖ , ΖΗ , ΗΙ , ΙΓ , ἀπό δέ ὁ Ε , Ζ , Η , Ι παρά ὁ διάμετρος ἄγω ὁ ΕΣ , ΖΤ , ΗΥ , ΙΞ , καί ἀπό ὁ σαμεῖον , κατά ὅς τέμνω οὗτος ὁ ὁ κῶνος τομή , ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ Γ καί ἐκβάλλω . φημί δή καί νῦν ὁ Β△Γ τρίγωνον ὁ μέν τραπέζιον ὁ ΒΦ , ΛΖ , ΜΗ , ΝΙν καί ὁ ΓΙΞ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος , ὁ δέ ΖΦ , ΗΘ , ΙΠ καί ὁ ΓΟΙ τρίγωνον μέγας ἤ τριπλάσιος . ἐκβάλλω ὁ △Β ἐπί ἕτερος . ἄγω οὖν κάθετος ὁ ΓΚ ὁ ΓΚ ἴσος ἀπολαμβάνω ὁ ΑΚ . νοέω δή πάλιν ζύγιον ὁ ΑΓ , μέσος δέ αὐτός ὁ Κ , καί κρεμάννυμι ἐκ ὁ Κ , κρεμάννυμι δέ καί ὁ ΓΚ△ τρίγωνον ἐκ ὁ ἥμισυς ὁ ζυγόν κατά ὁ Γ , Κ ἔχω ὡς νῦν κεῖμαι , καί ἐκ ὁ ἕτερος μέρος ὁ ζυγόν κρεμάννυμι κατά ὁ Α ὁ Ρ , Χ , Ψ , Ω , △ χωρίον , καί ὁ μέν Ρ ὁ △Ε τραπέζιον ἰσορροπέω οὕτως ἔχω ὡς νῦν κεῖμαι , ὁ δέ Χ ὁ ΖΣ τραπέζιον , ὁ δέ Ψ ὁ ΤΗ , ὁ δέ Ω ὁ ΥΙ , ὁ δέ △ ὁ ΓΙΞ τρίγωνος ἰσορροπέω δή καί ὁ ὅλος ὁ ὅλος ὥστε εἰμί ἄν καί ὁ △ΒΓ τρίγωνον τριπλάσιος ὁ Ω χωρίον . ὅμοιος δή ὁ πρότερος δείκνυμι ὁ τε ΒΦ τραπέζιον ὁ P χωρίον μέγας , καί ὁ μέν ΘΕ τραπέζιον μέγας εἰμί ὁ Χ χωρίον , ὁ δέ ΖΦ ἐλαχύς , καί ὁ μέν ΜΗ τραπέζιον μέγας εἰμί ὁ Ψ χωρίον , ὁ δέ ΗΘ ἐλαχύς , καί ἔτι ὁ μέν ΝΙ τραπέζιον μέγας εἰμί ὁ Ω χωρίον , ὁ δέ ΠΙ ἐλαχύς , καί ὁ μέν ΞlΓ τρίγωνον μέγας ὁ △ χωρίον , ὁ δέ ΓΙΟ ἐλαχύς · δῆλος οὖν εἰμί .