ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
archimedes.quadratura-parabolae 1
Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομά , ἐφʼ ἆς ἁ ΑΒΓ , ἁ δὲ Β△ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος , ἁ δὲ ΑΓ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς , ἴσα ἐσσεῖται ἁ Α△ τᾷ △Γ · κἂν ἴσα ᾖ ἁ Α△ τᾷ △Γ , παράλληλοι ἐσσοῦνται ἅ τε ΑΓ καὶ ἁ κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς .
Lemmas: εἰ ἄν εἰμί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ἐπί ἕως ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ Β△ παρά ὁ διάμετρος ἤ αὐτός διάμετρος , ὁ δέ ΑΓ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή , ἴσος εἰμί ὁ Α△ ὁ △Γ · ἐάν ἴσος εἰμί ὁ Α△ ὁ △Γ , παράλληλος εἰμί ὁ τε ΑΓ καί ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή .
archimedes.quadratura-parabolae 2
Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ , ᾖ δὲ ἁ μὲν Β△ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος , ἁ δὲ Α△Γ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς , ἁ δὲ ΕΓ τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ Γ , ἐσσοῦνται αἱ Β△ , ΒΕ ἴσαι .
Lemmas: εἰ ἄν εἰμί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ , εἰμί δέ ὁ μέν Β△ παρά ὁ διάμετρος ἤ αὐτός διάμετρος , ὁ δέ ΓΑ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή , ὁ δέ ΕΓ ὁ ὁ κῶνος τομή ἐπιψαύω κατά ὁ Γ , εἰμί ὁ Β△ , ΒΕ ἴσος .
archimedes.quadratura-parabolae 3
Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ , ἁ δὲ Β△ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος , καὶ ἀχθέωντί τινες αἱ Α△ , ΕΖ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς , ἐσσεῖται , ὡς ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΒΖ , δυνάμει ἁ Α△ ποτὶ τὰν ΕΖ . Ἀποδέδεικται δὲ ταῦτα ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις .
Lemmas: εἰ ἄν εἰμί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ Β△ παρά ὁ διάμετρος ἤ αὐτός διάμετρος , καί ἀχθέω τις ὁ Α△ , ΕΖ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή , εἰμί , ὡς ὁ Β△ πρός ὁ ΒΖ , δύναμις ὁ Α△ πρός ὁ ΕΖ . ἀποδείκνυμι δέ οὗτος ἐν ὁ κωνικός στοιχεῖον .
archimedes.quadratura-parabolae 4
Ἔστω τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὸ ΑΒΓ , ἁ δὲ Β△ ἀπὸ μέσας τᾶς ΑΓ παρὰ τὰν διάμετρον ἄχθω ἢ αὐτὰ διάμετρος ἔστω , καὶ ἁ ΒΓ εὐθεῖα ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω . Εἰ δή κα ἀχθῇ τις ἄλλα ἁ ΖΘ παρὰ τὰν Β△ τέμνουσα τὰν διὰ τῶν Β , Γ εὐθεῖαν , τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ ΖΘ ποτὶ τὰν ΘΗ , ὃν ἁ △Α ποτὶ τὰν △Z . Ἄχθω γὰρ διὰ τοῦ Η παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΚΗ · ἔστιν ἄρα ὡς ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΒΚ μάκει , οὕτως ἁ △Γ ποτὶ τὰν ΚΗ δυνάμει · ἀποδέδεικται γὰρ τοῦτο . Ἐσσεῖται ἄρα ὡς ἁ ΒΓ ποτὶ τὰν Βl μάκει , οὕτως ἁ ΒΓ ποτὶ τὰν ΒΘ δυνάμει · ἴσαι γὰρ αἱ △Ζ , ΚΗ · ἀνάλογον ἄρα ἐντὶ αἱ ΒΓ , ΒΘ , ΒΙ γραμμαί . Ὥστε τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ ΒΓ ποτὶ τὰν ΒΘ , ὃν ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΙ · ἔστιν ἄρα ὡς ἁ Γ△ ποτὶ τὰν △Ζ , οὕτως ἁ ΘΖ ποτὶ τὰν ΘΗ . Τᾷ δὲ △Γ ἴσα ἐστὶν ἁ △Α · δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ △Α ποτὶ τὰν △Ζ , ὃν ἁ ΖΘ ποτὶ τὰν ΘΗ .
Lemmas: εἰμί τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ Β△ ἀπό μέσος ὁ ΑΓ παρά ὁ διάμετρος ἄγω ἤ αὐτός διάμετρος εἰμί , καί ὁ ΒΓ εὐθύς ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω . εἰ δή ἄν ἄγω τις ἄλλος ὁ ΖΘ παρά ὁ Β△ τέμνω ὁ διά ὁ Β , Γ εὐθεῖα , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΖΘ πρός ὁ ΘΗ , ὅς ὁ △Α πρός ὁ △Z . ἄγω γάρ διά ὁ Η παρά ὁ ΑΓ ὁ ΚΗ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Β△ πρός ὁ ΒΚ μῆκος , οὕτως ὁ △Γ πρός ὁ ΚΗ δύναμις · ἀποδείκνυμι γάρ οὗτος . εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΒΓ πρός ὁ Βl μῆκος , οὕτως ὁ ΒΓ πρός ὁ ΒΘ δύναμις · ἴσος γάρ ὁ △Ζ , ΚΗ · ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὁ ΒΓ , ΒΘ , ΒΙ γραμμή . ὥστε ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΒΓ πρός ὁ ΒΘ , ὅς ὁ ΓΘ πρός ὁ ΘΙ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Γ△ πρός ὁ △Ζ , οὕτως ὁ ΘΖ πρός ὁ ΘΗ . ὁ δέ △Γ ἴσος εἰμί ὁ △Α · δῆλος οὖν ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ △Α πρός ὁ △Ζ , ὅς ὁ ΖΘ πρός ὁ ΘΗ .
archimedes.quadratura-parabolae 5
Ἔστω τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὸ ΑΒΓ , καὶ ἄχθω ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τὰν διάμετρον ἁ ΖΑ , ἀπὸ δὲ τοῦ Γ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ ἁ ΓΖ . Εἰ δή τις ἀχθείη ἐν τῷ ΖΑΓ τριγώνῳ παρὰ τὰν ΑΖ , τὸν αὐτὸν λόγον ἁ ἀχθεῖσα τετμήσεται ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς καὶ ἁ ΑΓ ὑπὸ τᾶς ἀχθείσας , ὁμόλογον δὲ ἐσσεῖται τὸ τμᾶμα τᾶς ΑΓ τὸ ποτὶ τῷ Α τῷ τμάματι τᾶς ἀχθείσας τῷ ποτὶ τῷ A . Ἄχθω γάρ τις ἁ △Ε παρὰ τὰν ΑΖ , καὶ τεμνέτω πρῶτον ἁ △Ε τὰν ΑΓ δίχα . Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ καὶ ἀγμένα ἁ Β△ παρὰ τὰν διάμετρον , αἱ δὲ Α△ , △Γ ἴσαι , ἐσσεῖται τᾷ ΑΓ παράλληλος ἁ κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς . Πάλιν , ἐπεὶ παρὰ τὰν διάμετρόν ἐστιν ἁ △Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἁ ΓΕ ἆκται ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ , ἁ δὲ △Γ παράλληλος τᾷ κατὰ τὸ Β ἐπιψαυούσᾳ , ἴσα ἐστὶν ἁ ΕΒ τᾷ Β△ ὥστε τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Γ , ὃν ἁ △Β ποτὶ τὰν ΒΕ . Εἰ μὲν οὖν δίχα τέμνει ἁ ἀχθεῖσα τὰν ΑΓ , δέδεικται · εἰ δὲ μή , ἄχθω τις ἄλλα ἁ ΚΛ παρὰ τὰν ΑΖ δεικτέον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ ΑΚ ποτὶ τὰν ΚΓ , ὃν ἁ ΚΘ ποτὶ τὰν ΘΛ . Ἐπεὶ γὰρ ἴσα ἐστὶν ἁ ΒΕ τᾷ Β△ , ἴσα ἐστὶ καὶ ἁ ΙΛ τᾷ ΚΙ · τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΛΚ ποτὶ τὰν ΚΙ , ὃν ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν △Α . Ἔχει δὲ καὶ ἁ ΚΙ ποτὶ τὰν ΚΘ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ △Α ποτὶ τὰν ΑΚ · δέδεικται γὰρ ἐν τῷ πρότερον ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΚΘ ποτὶ τὰν ΘΛ , ὃν ἁ ΑΚ ποτὶ τὰν ΚΓ . Δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰμί τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α παρά ὁ διάμετρος ὁ ΖΑ , ἀπό δέ ὁ Γ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Γ ὁ ΓΖ . εἰ δή τις ἄγω ἐν ὁ ΖΑΓ τρίγωνον παρά ὁ ΑΖ , ὁ αὐτός λόγος ὁ ἄγω τετμίναμαι ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΑΓ ὑπό ὁ ἄγω , ὁμόλογος δέ εἰμί ὁ τμῆμα ὁ ΑΓ ὁ πρός ὁ Α ὁ τμῆμα ὁ ἄγω ὁ πρός ὁ A . ἄγω γάρ τις ὁ △Ε παρά ὁ ΑΖ , καί τέμνω πρῶτος ὁ △Ε ὁ ΑΓ δίχα . ἐπεί οὖν εἰμί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ καί ἄγω ὁ Β△ παρά ὁ διάμετρος , ὁ δέ Α△ , △Γ ἴσος , εἰμί ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή . πάλιν , ἐπεί παρά ὁ διάμετρος εἰμί ὁ △Ε , καί ἀπό ὁ Γ ὁ ΓΕ ἄγω ἐπιψαύω ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή κατά ὁ Γ , ὁ δέ △Γ παράλληλος ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω , ἴσος εἰμί ὁ ΕΒ ὁ Β△ ὥστε ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ Α△ πρός ὁ △Γ , ὅς ὁ △Β πρός ὁ ΒΕ . εἰ μέν οὖν δίχα τέμνω ὁ ἄγω ὁ ΑΓ , δείκνυμι · εἰ δέ μή , ἄγω τις ἄλλος ὁ ΚΛ παρά ὁ ΑΖ δείκνυμι οὖν ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚΓ , ὅς ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΛ . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΒΕ ὁ Β△ , ἴσος εἰμί καί ὁ ΙΛ ὁ ΚΙς · ὁ αὐτός ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΛΚ πρός ὁ ΚΙς , ὅς ὁ ΑΓ πρός ὁ △Α . ἔχω δέ καί ὁ ΚΙ πρός ὁ ΚΘ ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ △Α πρός ὁ ΑΚ · δείκνυμι γάρ ἐν ὁ πρότερος ὥστε ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ ΚΘ πρός ὁ ΘΛ , ὅς ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚΓ . δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.quadratura-parabolae 7
Ἔστω πάλιν ζυγὸς ἁ ΑΓ γραμμά , μέσον δὲ αὐτᾶς ἔστω τὸ Β , καὶ κρεμάσθω κατὰ τὸ Β , τὸ δὲ Γ△Η ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον βάσιν μὲν ἔχον τὰν △Η , ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἐοῦσαν τᾷ ἡμισείᾳ τοῦ ζυγοῦ , καὶ κρεμάσθω τὸ △ΓΗ τρίγωνον ἐκ τῶν Β , Γ σαμείων , τὸ δὲ Ζ χωρίον κρεμάμενον κατὰ τὸ Α ἰσσορροπὲς ἔστω τῷ Γ△Η τριγώνῳ οὕτως ἔχοντι ὡς νῦν κεῖται . Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται τὸ Ζ χωρίον τρίτον μέρος τοῦ Γ△Η τριγώνου . Κρεμάσθω γάρ τι καὶ ἄλλο χωρίον ἐκ τοῦ Α τρίτον μέρος ἐὸν τοῦ ΒΓΗ τριγώνου ἰσορροπήσει δὴ τὸ Β△Γ τρίγωνον τῷ ΖΛ . Ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΒΓΗ τρίγωνον ἰσορροπεῖ τῷ Λ , τὸ δὲ ΒΓ△ τῷ ΖΛ , καὶ τρίτον ἐστὶ τοῦ ΒΓ△ τὸ ΖΛ , φανερὸν ὅτι καὶ τὸ Γ△Η τρίγωνον τριπλάσιον τοῦ Ζ .
Lemmas: εἰμί πάλιν ζυγός ὁ ΑΓ γραμμή , μέσος δέ αὐτός εἰμί ὁ Β , καί κρεμάννυμι κατά ὁ Β , ὁ δέ ΓΗ εἰμί τρίγωνον ἀμβλυγώνιος βάσις μέν ἔχω ὁ △Η , ὕψος δέ ὁ ἴσος εἰμί ὁ ἡμίσεια ὁ ζυγόν , καί κρεμάννυμι ὁ ΓΗ τρίγωνον ἐκ ὁ Β , Γ σαμεῖον , ὁ δέ Ζ χωρίον κρεμάννυμι κατά ὁ Α ἰσορροπής εἰμί ὁ ΓΗ τρίγωνον οὕτως ἔχω ὡς νῦν κεῖμαι . ὅμοιος δή δείκνυμι ὁ Ζ χωρίον τρίτος μέρος ὁ ΓΗ τρίγωνον . κρεμάννυμι γάρ τις καί ἄλλος χωρίον ἐκ ὁ Α τρίτος μέρος εἰμί ὁ ΒΓΗ τρίγωνον ἰσορροπέω δή ὁ Β△Γ τρίγωνον ὁ ΖΛ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΒΓΗ τρίγωνον ἰσορροπέω ὁ Λ , ὁ δέ ΒΓ△ ὁ ΖΛ , καί τρίτος εἰμί ὁ ΒΓ△ ὁ ΖΛ , φανερός ὅτι καί ὁ ΓΗ τρίγωνον τριπλάσιος ὁ Ζ .
archimedes.quadratura-parabolae 8
Ἔστω ζυγὸς ὁ ΑΒΓ , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Β , καὶ κρεμάσθω κατὰ τὸ Β , τὸ δὲ Γ△Ε τρίγωνον ὀρθογώνιον ὀρθὰν ἔχον τὰν ποτὶ τῷ Ε γωνίαν , καὶ κρεμάσθω ἐκ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὰ Γ , Ε , τὸ δὲ Ζ χωρίον κρεμάσθω κατὰ τὸ Α καὶ ἰσορροπείτω τῷ Γ△Ε οὕτως ἔχοντι , ὡς νῦν κεῖται , ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΕ , τοῦτον ἐχέτω τὸ Γ△Ε τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ χωρίον . Θαμὶ δὴ τὸ Ζ χωρίον τοῦ μὲν Γ△Ε τριγώνου ἔλασσον εἶμεν , τοῦ δὲ Κ μεῖζον . Λελάφθω γὰρ τοῦ △ΕΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος καὶ ἔστω τὸ Θ , καὶ ἁ ΘΗ ἄχθω παρὰ τὰν △Ε . Ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ τὸ Γ△Ε τρίγωνον τῷ Ζ χωρίῳ , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τὸ Γ△Ε χωρίον ποτὶ τὸ Ζ , ὃν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΗ · ὥστε ἔλασσόν ἐστι τὸ Ζ τοῦ Γ△Ε . Καὶ ἐπεὶ τὸ Γ△Ε τρίγωνον ποτὶ μὲν τὸ Ζ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΒΗ , ποτὶ δὲ τὸ Κ ὃν ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΒΕ , δῆλον ὡς μείζονα λόγον ἔχει τὸ Γ△Ε τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ ἢ ποτὶ τὸ Ζ ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Ζ τοῦ Κ .
Lemmas: εἰμί ζυγός ὁ ΑΒΓ , μέσος δέ αὐτός ὁ Β , καί κρεμάννυμι κατά ὁ Β , ὁ δέ ΓΕ τρίγωνον ὀρθογώνιον ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Ε γωνία , καί κρεμάννυμι ἐκ ὁ ζυγόν κατά ὁ Γ , Ε , ὁ δέ Ζ χωρίον κρεμάννυμι κατά ὁ Α καί ἰσορροπέω ὁ ΓΕ οὕτως ἔχω , ὡς νῦν κεῖμαι , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὗτος ἔχω ὁ ΓΕ τρίγωνον πρός ὁ Κ χωρίον . Θαμί δή ὁ Ζ χωρίον ὁ μέν ΓΕ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί , ὁ δέ Κ μέγας . λαμβάνω γάρ ὁ ΓΕ τρίγωνον ὁ κέντρον ὁ βάρος καί εἰμί ὁ Θ , καί ὁ ΘΗ ἄγω παρά ὁ △Ε . ἐπεί οὖν ἰσορροπέω ὁ ΓΕ τρίγωνον ὁ Ζ χωρίον , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΓΕ χωρίον πρός ὁ Ζ , ὅς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ · ὥστε ἐλαχύς εἰμί ὁ Ζ ὁ ΓΕ . καί ἐπεί ὁ ΓΕ τρίγωνον πρός μέν ὁ Ζ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΒΗ , πρός δέ ὁ Κ ὅς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΒΕ , δῆλος ὡς μέγας λόγος ἔχω ὁ ΓΕ τρίγωνον πρός ὁ Κ ἤ πρός ὁ Ζ ὥστε μέγας εἰμί ὁ Ζ ὁ Κ .
archimedes.quadratura-parabolae 9
Ἔστω πάλιν τὸ μὲν ΑΓ ζύγιον , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Β , τὸ δὲ Γ△Κ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον βάσιν μὲν ἔχον τὰν △Κ , ὕψος δὲ τὰν ΕΓ , καὶ κρεμάσθω ἐκ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὰ Γ , Ε , τὸ δὲ Ζ χωρίον κρεμάσθω κατὰ τὸ Α καὶ ἰσορροπείτω τῷ △ΓΚ τριγώνῳ οὕτως ἔχοντι ὡς νῦν κεῖται , ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΕ , τοῦτον ἐχέτω τὸ Γ△Κ τρίγωνον ποτὶ τὸ Λ . Φαμὶ δὴ τὸ Ζ τοῦ μὲν Λ μεῖζον εἶμεν , τοῦ δὲ △ΓΚ ἔλασσον . Δειχθήσεται ὁμοίως τῷ πρότερον .
Lemmas: εἰμί πάλιν ὁ μέν ΑΓ ζύγιον , μέσος δέ αὐτός ὁ Β , ὁ δέ Γ△Κ τρίγωνον ἀμβλυγώνιος βάσις μέν ἔχω ὁ △Κ , ὕψος δέ ὁ ΕΓ , καί κρεμάννυμι ἐκ ὁ ζυγόν κατά ὁ Γ , Ε , ὁ δέ Ζ χωρίον κρεμάννυμι κατά ὁ Α καί ἰσορροπέω ὁ △ΓΚ τρίγωνον οὕτως ἔχω ὡς νῦν κεῖμαι , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὗτος ἔχω ὁ Γ△Κ τρίγωνον πρός ὁ Λ . φημί δή ὁ Ζ ὁ μέν Λ μέγας εἰμί , ὁ δέ △ΓΚ ἐλαχύς . δείκνυμι ὅμοιος ὁ πρότερος .
archimedes.quadratura-parabolae 10
Ἔστω πάλιν τὸ μὲν ΑΒΓ ζύγιον καὶ μέσον αὐτοῦ τὸ Β , τὸ δὲ Β△ΗΚ τραπέζιον τὰς μὲν ποτὶ τοῖς Β , Η σαμείοις γωνίας ὀρθὰς ἔχον , τὰν δὲ Κ△ πλευρὰν ἐπὶ τὸ Γ νεύουσαν , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΗ , τοῦτον ἐχέτω τὸ Β△ΚΗ τραπέζιον ποτὶ τὸ Λ , κρεμάσθω δὲ τὸ Β△ΗΚ τραπέζιον ἐκ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὰ Β , Η σαμεῖα , κρεμάσθω δὲ καὶ τὸ Ζ χωρίον κατὰ τὸ Α καὶ ἰσορροπείτω τῷ Β△ΚΗ τραπεζίῳ οὕτως ἔχοντι ὡς νῦν ὑπόκειται . Φαμὶ τὸ Ζ χωρίον ἔλασσον εἶμεν τοῦ Λ . Τετμάσθω γὰρ ἁ ΑΓ κατὰ τὸ Ε οὕτως ὥστε , ὃν ἔχει λόγον ἁ διπλασία τᾶς △Β καὶ ἁ ΚΗ ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς ΚΗ καὶ τὰν Β△ , τοῦτον ἔχειν τὰν ΕΗ ποτὶ τὰν ΒΕ , καὶ διὰ τοῦ Ε παρὰ τὰν Β△ ἀχθεῖσα ἁ ΕΝ τετμάσθω δίχα κατὰ τὸ Θ τοῦ δὴ Β△ΗΚ τραπεζίου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Θ δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς Μηχανικοῖς . Ἢν οὖν τὸ Β△ΗΚ τραπέζιον κατὰ μὲν τὸ Ε κρεμασθῇ , ἀπὸ δὲ τῶν Β , Η σαμείων λυθῇ , μένει τὰν αὐτὰν ἔχον κατάστασιν διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον καὶ ἰσορροπεῖ τῷ Ζ χωρίῳ . Ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ τὸ Β△ΗΚ τραπέζιον κατὰ τὸ Ε κρεμάμενον τῷ χωρίῳ κατὰ τὸ Α κρεμαμένῳ , ἐσσεῖται ὡς ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΕ , τὸ Β△ΗΚ τραπέζιον ποτὶ τὸ Ζ χωρίον · μείζονα ἄρα λόγον ἔχει τὸ Β△ΗΚ τραπέζιον ποτὶ τὸ Ζ ἤπερ ποτὶ τὸ Λ , ἐπεὶ καὶ ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ποτὶ τὰν ΒΗ · ὥστε ἔλασσον ἐσσεῖται τὸ Ζ τοῦ Λ .
Lemmas: εἰμί πάλιν ὁ μέν ΑΒΓ ζύγιον καί μέσος αὐτός ὁ Β , ὁ δέ ΒΗΚ τραπέζιον ὁ μέν πρός ὁ Β , Η σαμεῖον γωνία ὀρθός ἔχω , ὁ δέ Κ△ πλευρά ἐπί ὁ Γ νεύω , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὗτος ἔχω ὁ ΒΗΚ τραπέζιον πρός ὁ Λ , κρεμάννυμι δέ ὁ ΒΗΚ τραπέζιον ἐκ ὁ ζυγόν κατά ὁ Β , Η σαμεῖον , κρεμάννυμι δέ καί ὁ Ζ χωρίον κατά ὁ Α καί ἰσορροπέω ὁ ΒΗΚ τραπέζιον οὕτως ἔχω ὡς νῦν ὑπόκειμαι . φημί ὁ Ζ χωρίον ἐλαχύς εἰμί ὁ Λ . τέμνω γάρ ὁ ΑΓ κατά ὁ Ε οὕτως ὥστε , ὅς ἔχω λόγος ὁ διπλάσιος ὁ △Β καί ὁ ΚΗ πρός ὁ διπλάσιος ὁ ΚΗ καί ὁ Β△ , οὗτος ἔχω ὁ ΕΗ πρός ὁ ΒΕ , καί διά ὁ Ε παρά ὁ Β△ ἄγω ὁ ΕΝ τέμνω δίχα κατά ὁ Θ ὁ δή ΒΗΚ τραπέζιον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ δείκνυμι γάρ οὗτος ἐν ὁ Μηχανικός . ἐάν οὖν ὁ ΒΗΚ τραπέζιον κατά μέν ὁ Ε κρεμάννυμι , ἀπό δέ ὁ Β , Η σαμεῖον λύω , μένω ὁ αὐτός ἔχω κατάστασις διά ὁ αὐτός ὁ πρότερος καί ἰσορροπέω ὁ Ζ χωρίον . ἐπεί οὖν ἰσορροπέω ὁ ΒΗΚ τραπέζιον κατά ὁ Ε κρεμάννυμι ὁ χωρίον κατά ὁ Α κρεμάννυμι , εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , ὁ ΒΗΚ τραπέζιον πρός ὁ Ζ χωρίον · μέγας ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΒΗΚ τραπέζιον πρός ὁ Ζ ἤ πρός ὁ Λ , ἐπεί καί ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ ΒΗ · ὥστε ἐλαχύς εἰμί ὁ Ζ ὁ Λ .
archimedes.quadratura-parabolae 11
Ἔστω πάλιν τὸ μὲν ΑΓ ζύγιον καὶ μέσον αὐτοῦ τὸ Β , τὸ δὲ Κ△ΤΡ τραπέζιον ἔστω τὰς μὲν Κ△ , ΤΡ πλευρὰς ἔχον ἐπὶ τὸ Γ νευούσας , τὰς δὲ △Ρ , ΚΤ καθέτους ἐπὶ τὰν ΒΓ , καὶ ἁ △Ρ ἐπὶ τὸ Β πιπτέτω , ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΗ , τοῦτον ἐχέτω τὸ △ΚΤΡ τραπέζιον ποτὶ τὸ Λ , τὸ δὲ △ΚΤΡ τραπέζιον κρεμάσθω ἐκ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὰ Β , Η καὶ τὸ Ζ κατὰ τὸ Α , καὶ ἰσορροπείτω τὸ Ζ τῷ △ΚΡΤ τραπεζίῳ οὕτως ἔχοντι ὡς νῦν κεῖται . Ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ἔλασσον τὸ Ζ χωρίον τοῦ Λ .
Lemmas: εἰμί πάλιν ὁ μέν ΑΓ ζύγιον καί μέσος αὐτός ὁ Β , ὁ δέ Κ△ΤΡ τραπέζιον εἰμί ὁ μέν Κ△ , ΤιΡ πλευρά ἔχω ἐπί ὁ Γ νεύω , ὁ δέ △Ρ , ΚΤ κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ , καί ὁ △Ρ ἐπί ὁ Β πίπτω , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὗτος ἔχω ὁ △ΚΤΡ τραπέζιον πρός ὁ Λ , ὁ δέ △ΚΤΡ τραπέζιον κρεμάννυμι ἐκ ὁ ζυγόν κατά ὁ Β , Η καί ὁ Ζ κατά ὁ Α , καί ἰσορροπέω ὁ Ζ ὁ △ΚΡΤ τραπέζιον οὕτως ἔχω ὡς νῦν κεῖμαι . ὅμοιος δή ὁ πρότερος δείκνυμι ἐλαχύς ὁ Ζ χωρίον ὁ Λ .
archimedes.quadratura-parabolae 12
Ἔστω πάλιν τὸ μὲν ΑΓ ζύγιον , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Β , τὸ δὲ △ΕΚΗ τραπέζιον ἔστω τὰς μὲν ποτὶ τοῖς Ε , Η σαμείοις γωνίας ὀρθὰς ἔχον , τὰς δὲ Κ△ , ΕΗ γραμμὰς ποτὶ τὸ Γ νευούσας , καὶ ὃν μὲν λόγον ἔχει ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΗ , τοῦτον ἐχέτω τὸ △ΚΕΗ τραπέζιον ποτὶ τὸ Μ , ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΕ , τοῦτον τὸν λόγον ἐχέτω τὸ △ΚΕΗ τραπέζιον ποτὶ τὸ Λ , κρεμάσθω δὲ τὸ △ΚΕΗ τραπέζιον ἐκ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὰ Ε , Η , τὸ δὲ Ζ χωρίον κρεμάσθω κατὰ τὸ Α , καὶ ἰσορροπείτω τῷ τραπεζίῳ οὕτως ἔχοντι ὡς νῦν ὑπόκειται . Θαμὶ δὴ τὸ Ζ τοῦ μὲν Λ μεῖζον εἶμεν , τοῦ δὲ Μ ἔλασσον . Ἔλαβον γὰρ τοῦ △ΚΕΗ τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος , ἔστω δὲ τὸ Θ λαφθήσεται δὲ ὁμοίως τῷ πρότερον καὶ ἄγω τὰν ΘΙ παρὰ τὰν △Ε . Ἂν οὖν τὸ τραπέζιον ἐκ τοῦ ζυγοῦ κρεμασθῇ κατὰ τὸ Ι , ἀπὸ δὲ τῶν Ε , Η λυθῇ , μενεῖ τὰν αὐτὰν ἔχον κατάστασιν καὶ ἰσορροπήσει τῷ Ζ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον . Ἐπεὶ δὲ ἰσορροπεῖ τὸ τραπέζιον κρεμάμενον κατὰ τὸ Ι τῷ Ζ κρεμαμένῳ κατὰ τὸ Α , τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὸ τραπέζιον ποτὶ τὸ Ζ , ὃν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΙ · δῆλον οὖν ὅτι τὸ △ΚΕΗ ποτὶ μὲν τὸ Λ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ποτὶ τὸ Ζ , ποτὶ δὲ τὸ Μ ἐλάσσονα ἢ ποτὶ τὸ Ζ ὥστε τὸ Ζ τοῦ μὲν Λ μεῖζόν ἐστι , τοῦ δὲ Μ ἔλασσον .
Lemmas: εἰμί πάλιν ὁ μέν ΑΓ ζύγιον , μέσος δέ αὐτός ὁ Β , ὁ δέ △ΕΚΗ τραπέζιον εἰμί ὁ μέν πρός ὁ Ε , Η σαμεῖον γωνία ὀρθός ἔχω , ὁ δέ Κ△ , ΕΗ γραμμή πρός ὁ Γ νεύω , καί ὅς μέν λόγος ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὗτος ἔχω ὁ △ΚΕΗ τραπέζιον πρός ὁ Μ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὗτος ὁ λόγος ἔχω ὁ △ΚΕΗ τραπέζιον πρός ὁ Λ , κρεμάννυμι δέ ὁ △ΚΕΗ τραπέζιον ἐκ ὁ ζυγόν κατά ὁ Ε , Η , ὁ δέ Ζ χωρίον κρεμάννυμι κατά ὁ Α , καί ἰσορροπέω ὁ τραπέζιον οὕτως ἔχω ὡς νῦν ὑπόκειμαι . Θαμί δή ὁ Ζ ὁ μέν Λ μέγας εἰμί , ὁ δέ Μ ἐλαχύς . λαμβάνω γάρ ὁ △ΚΕΗ τραπέζιον ὁ κέντρον ὁ βάρος , εἰμί δέ ὁ Θ λάπτω δέ ὅμοιος ὁ πρότερος καί ἄγω ὁ ΘΙ παρά ὁ △Ε . ἐάν οὖν ὁ τραπέζιον ἐκ ὁ ζυγόν κρεμάννυμι κατά ὁ Ι , ἀπό δέ ὁ Ε , Η λύω , μένω ὁ αὐτός ἔχω κατάστασις καί ἰσορροπέω ὁ Ζ διά ὁ αὐτός ὁ πρότερος . ἐπεί δέ ἰσορροπέω ὁ τραπέζιον κρεμάννυμι κατά ὁ Ι ὁ Ζ κρεμάννυμι κατά ὁ Α , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ τραπέζιον πρός ὁ Ζ , ὅς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΙ · δῆλος οὖν ὅτι ὁ △ΚΕΗ πρός μέν ὁ Λ μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ Ζ , πρός δέ ὁ Μ ἐλαχύς ἤ πρός ὁ Ζ ὥστε ὁ Ζ ὁ μέν Λ μέγας εἰμί , ὁ δέ Μ ἐλαχύς .
archimedes.quadratura-parabolae 13
Ἔστω πάλιν τὸ μὲν ΑΓ ζύγιον , κατὰ μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Β , τὸ δὲ Κ△ΤΡ τραπέζιον , ὥστε τὰς μὲν Κ△ , ΤΡ πλευρὰς νευούσας εἶμεν ἐπὶ τὸ Γ , τὰς δὲ △Τ , ΚΡ καθέτους ἐπὶ τὰν ΒΓ , κρεμάσθω δὲ ἐκ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὰ Ε , Η , τὸ δὲ Ζ χωρίον κρεμάσθω κατὰ τὸ Α καὶ ἰσορροπείτω τῷ △ΚΤΡ τραπεζίῳ οὕτως ἔχοντι ὡς νῦν κεῖται , καὶ ὃν μὲν λόγον ἔχει ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΕ , τοῦτον ἐχέτω τὸ △ΚΤΡ τραπέζιον ποτὶ τὸ Λ χωρίον , ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΗ , τοῦτον ἐχέτω τὸ αὐτὸ τραπέζιον ποτὶ τὸ Μ . Ὁμοίως δὴ τῷ πρότερον δειχθήσεται τὸ Ζ τοῦ μὲν Λ μεῖζον , τοῦ δὲ Μ ἔλασσον .
Lemmas: εἰμί πάλιν ὁ μέν ΑΓ ζύγιον , κατά μέσος δέ αὐτός ὁ Β , ὁ δέ Κ△ΤΡ τραπέζιον , ὥστε ὁ μέν Κ△ , ΤΡ πλευρά νεύω εἰμί ἐπί ὁ Γ , ὁ δέ △Τ , ΚΡ κάθετος ἐπί ὁ ΒΓ , κρεμάννυμι δέ ἐκ ὁ ζυγόν κατά ὁ Ε , Η , ὁ δέ Ζ χωρίον κρεμάννυμι κατά ὁ Α καί ἰσορροπέω ὁ △ΚΤΡ τραπέζιον οὕτως ἔχω ὡς νῦν κεῖμαι , καί ὅς μέν λόγος ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὗτος ἔχω ὁ △ΚΤΡ τραπέζιον πρός ὁ Λ χωρίον , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΗ , οὗτος ἔχω ὁ αὐτός τραπέζιον πρός ὁ Μ . ὅμοιος δή ὁ πρότερος δείκνυμι ὁ Ζ ὁ μέν Λ μέγας , ὁ δέ Μ ἐλαχύς .
archimedes.quadratura-parabolae 17
Τούτου δεδειγμένου φανερὸν ὅτι πᾶν τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ τριγώνου τοῦ ἔχοντος βάσιν τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον . Ἔστω γὰρ τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , κορυφὰ δὲ αὐτοῦ ἔστω τὸ Θ σαμεῖον , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ τρίγωνον τὸ ΒΘΓ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον . Ἐπεὶ οὖν τὸ Θ σαμεῖον κορυφά ἐστι τοῦ τμάματος , ἁ ἀπὸ τοῦ Θ εὐθεῖα παρὰ τὰν διάμετρον ἀχθεῖσα δίχα τέμνει τὰν ΒΓ , καὶ ἁ ΒΓ ἐστὶ παρὰ τὰν ἐπιψαύουσαν τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Θ . Ἄχθω δὲ ἁ ΕΘ παρὰ τὰν διάμετρον , ἄχθω δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τὰν διάμετρον ἁ Β△ , ἀπὸ δὲ τοῦ Γ ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ . Ἐπεὶ οὖν ἁ μὲν ΚΘ παρὰ τὰν διάμετρόν ἐστιν , ἁ δὲ Γ△ ἐπιψαύουσα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Γ , ἁ δὲ ΕΓ παράλληλός ἐστι τᾷ ἐπιψαυούσᾳ τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Θ , τὸ Β△Γ τρίγωνον τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΘΓ τριγώνου . Ἐπεὶ δὲ τὸ Β△Γ τρίγωνον τοῦ μὲν ΒΘΓ τμάματος τριπλάσιόν ἐστι , τοῦ δὲ ΒΘΓ τριγώνου τετραπλάσιον , δῆλον ὡς ἐπίτριτόν ἐστι τὸ ΒΘΓ τμᾶμα τοῦ ΒΘΓ τριγώνου . Τῶν τμαμάτων τῶν περιεχομένων ὑπό τε εὐθείας καὶ καμπύλας γραμμᾶς βάσιν μὲν καλέω τὰν εὐθεῖαν , ὕψος δὲ τὰν μεγίσταν κάθετον ἀπὸ τᾶς καμπύλας γραμμᾶς ἀγομέναν ἐπὶ τὰν βάσιν τοῦ τμάματος , κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον , ἀφʼ οὗ ἁ μεγίστα κάθετος ἄγεται .
Lemmas: οὗτος δείκνυμι φανερός ὅτι πᾶς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα τε καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ἐπίτριτος εἰμί ὁ τρίγωνον ὁ ἔχω βάσις ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος . εἰμί γάρ τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα τε καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , κορυφή δέ αὐτός εἰμί ὁ Θ σαμεῖον , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός τρίγωνον ὁ ΒΘΓ ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος . ἐπεί οὖν ὁ Θ σαμεῖον κορυφή εἰμί ὁ τμῆμα , ὁ ἀπό ὁ Θ εὐθύς παρά ὁ διάμετρος ἄγω δίχα τέμνω ὁ ΒΓ , καί ὁ ΒΓ εἰμί παρά ὁ ἐπιψαύω ὁ τομή κατά ὁ Θ . ἄγω δέ ὁ ΕΘ παρά ὁ διάμετρος , ἄγω δέ καί ἀπό ὁ Β παρά ὁ διάμετρος ὁ Β△ , ἀπό δέ ὁ Γ ὁ Γ△ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Γ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΚΘ παρά ὁ διάμετρος εἰμί , ὁ δέ Γ△ ἐπιψαύω ὁ τομή κατά ὁ Γ , ὁ δέ ΕΓ παράλληλος εἰμί ὁ ἐπιψαύω ὁ τομή κατά ὁ Θ , ὁ Β△Γ τρίγωνον τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΒΘΓ τρίγωνον . ἐπεί δέ ὁ Β△Γ τρίγωνον ὁ μέν ΒΘΓ τμῆμα τριπλάσιος εἰμί , ὁ δέ ΒΘΓ τρίγωνον τετραπλάσιος , δῆλος ὡς ἐπίτριτος εἰμί ὁ ΒΘΓ τμῆμα ὁ ΒΘΓ τρίγωνον . ὁ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό τε εὐθύς καί καμπύλος γραμμή βάσις μέν καλέω ὁ εὐθύς , ὕψος δέ ὁ μέγας κάθετος ἀπό ὁ καμπύλος γραμμή ἄγω ἐπί ὁ βάσις ὁ τμῆμα , κορυφή δέ ὁ σαμεῖον , ἀπό ὅς ὁ μέγας κάθετος ἄγω .
archimedes.quadratura-parabolae 18
Εἴ κα ἐν τμάματι , ὃ περιέχεται ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , ἀπὸ μέσας τᾶς βάσιος ἀχθῇ εὐθεῖα παρὰ τὰν διάμετρον , κορυφὰ ἐσσεῖται τοῦ τμάματος τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ ἁ παρὰ τὰν διάμετρον ἀχθεῖσα τέμνει τὰν τοῦ κώνου τομάν . Ἔστω γὰρ τμᾶμα τὸ ΑΒΓ περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , καὶ ἀπὸ μέσας τᾶς ΑΓ ἄχθω ἁ △Β παρὰ τὰν διάμετρον . Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίου κώνου τομᾷ ἁ Β△ ἆκται παρὰ τὰν διάμετρον , καὶ ἴσαι ἐντὶ αἱ Α△ , △Γ , δῆλον ὡς παράλληλοί ἐντι ἅ τε ΑΓ καὶ ἁ κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς , Φανερὸν οὖν ὅτι τᾶν ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν ΑΓ ἀγομενᾶν καθέτων μεγίστα ἐσσεῖται ἁ ἀπὸ τοῦ Β ἀγομένα κορυφὰ οὖν ἐστιν τοῦ τμάματος τὸ Β σαμεῖον .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν τμῆμα , ὅς περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ἀπό μέσος ὁ βάσις ἄγω εὐθύς παρά ὁ διάμετρος , κορυφή εἰμί ὁ τμῆμα ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ὁ παρά ὁ διάμετρος ἄγω τέμνω ὁ ὁ κῶνος τομή . εἰμί γάρ τμῆμα ὁ ΑΒΓ περιέχω ὑπό τε εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , καί ἀπό μέσος ὁ ΑΓ ἄγω ὁ △Β παρά ὁ διάμετρος . ἐπεί οὖν ἐν ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ Β△ ἄγω παρά ὁ διάμετρος , καί ἴσος εἰμί ὁ Α△ , △Γ , δῆλος ὡς παράλληλος εἰμί ὁ τε ΑΓ καί ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή , Φανερός οὖν ὅτι ὁ ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ ΑΓ ἄγω κάθετος μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ Β ἄγω κορυφή οὖν εἰμί ὁ τμῆμα ὁ Β σαμεῖον .
archimedes.quadratura-parabolae 19
Ἐν τμάματι περιεχομένῳ ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ἁ ἀπὸ μέσας τᾶς βάσιος ἀχθεῖσα τᾶς ἀπὸ μέσας τᾶς ἡμισείας ἀγομένας ἐπίτριτος ἐσσεῖται μάκει . Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , καὶ ἄχθω παρὰ τὰν διάμετρον ἁ μὲν Β△ ἀπὸ μέσας τᾶς ΑΓ , ἁ δὲ ΕΖ ἀπὸ μέσας τᾶς Α△ , ἄχθω δὲ καὶ ἁ ΖΘ παρὰ ΑΓ . Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίου κώνου τομᾷ ἁ Β△ παρὰ τὰν διάμετρον ἆκται , καὶ αἱ Α△ , ΖΘ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσάν ἐντι , δῆλον ὡς τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΒΘ μάκει , ὃν ἁ Α△ ποτὶ τὰν ΖΘ δυνάμει · τετραπλασία ἄρα ἐστὶν καὶ ἁ Β△ τᾶς ΒΘ μάκει . Φανερὸν οὖν ὅτι ἐπίτριτός ἐστιν ἁ Β△ τᾶς ΕΖ μάκει .
Lemmas: ἐν τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ἀπό μέσος ὁ βάσις ἄγω ὁ ἀπό μέσος ὁ ἥμισυς ἄγω ἐπίτριτος εἰμί μῆκος . εἰμί γάρ ὁ ΑΒΓ τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , καί ἄγω παρά ὁ διάμετρος ὁ μέν Β△ ἀπό μέσος ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΕΖ ἀπό μέσος ὁ Α△ , ἄγω δέ καί ὁ ΖΘ παρά ΑΓ . ἐπεί οὖν ἐν ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ Β△ παρά ὁ διάμετρος ἄγω , καί ὁ Α△ , ΖΘ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω εἰμί , δῆλος ὡς ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ Β△ πρός ὁ ΒΘ μῆκος , ὅς ὁ Α△ πρός ὁ ΖΘ δύναμις · τετραπλάσιος ἄρα εἰμί καί ὁ Β△ ὁ ΒΘ μῆκος . φανερός οὖν ὅτι ἐπίτριτος εἰμί ὁ Β△ ὁ ΕΖ μῆκος .
archimedes.quadratura-parabolae 20
Εἴ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τρίγωνον ἐγγραφῇ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό , μεῖζον ἐσσεῖται τὸ ἐγγραφὲν τρίγωνον ἢ ἥμισυ τοῦ τμάματος . Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τμᾶμα οἷον εἴρηται , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ τὰν αὐτὰν ἔχον βάσιν τῷ ὅλῳ καὶ ὕψος ἴσον . Ἐπεὶ οὖν τὸ τρίγωνον τῷ τμάματι τὰν αὐτὰν ἔχει βάσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό , ἀναγκαῖον τὸ Β σαμεῖον κορυφὰν εἶμεν τοῦ τμάματος παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἁ ΑΓ τᾷ κατὰ τὸ Β ἐπιψαυούσᾳ τᾶς τομᾶς . Ἄχθω ἁ △Ε διὰ τοῦ Β παρὰ τὰν ΑΓ καὶ ἀπὸ τῶν Α , Γ αἱ Α△ , ΓΕ παρὰ τὰν διάμετρον · πεσοῦνται δὴ αὗται ἐκτὸς τοῦ τμάματος . Ἐπεὶ οὖν ἥμισύ ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ Α△ΕΓ παραλληλογράμμου , φανερὸν ὅτι μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ τμάματος . ΠΟΡΙΣΜΑ Δεδειγμένου δὲ τούτου δῆλον ὅτι ὡς ἐς τοῦτο τὸ τμᾶμα δυνατόν ἐστι πολύγωνον ἐγγράψαι , ὥστε εἶμεν τὰ περιλειπόμενα τμάματα παντὸς ἐλάσσονα τοῦ προτεθέντος χωρίου · ἀφαιρουμένου γὰρ ἀεὶ μείζονος τοῦ ἡμίσεος διὰ τοῦτο φανερὸν ὅτι ἐλασσοῦντες ἀεὶ τὰ λειπόμενα τμάματα ποιήσομες ταῦτα ἐλάσσονα παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου .
Lemmas: εἰ ἄν εἰς τμῆμα περιέχω ὑπό τε εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή τρίγωνον ἐγγράφω ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός , μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω τρίγωνον ἤ ἥμισυς ὁ τμῆμα . εἰμί γάρ ὁ ΑΒΓ τμῆμα οἷος λέγω , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός τρίγωνον ὁ ΑΒΓ ὁ αὐτός ἔχω βάσις ὁ ὅλος καί ὕψος ἴσος . ἐπεί οὖν ὁ τρίγωνον ὁ τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω βάσις καί ὕψος ὁ αὐτός , ἀναγκαῖος ὁ Β σαμεῖον κορυφή εἰμί ὁ τμῆμα παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓ ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω ὁ τομή . ἄγω ὁ △Ε διά ὁ Β παρά ὁ ΑΓ καί ἀπό ὁ Α , Γ ὁ Α△ , ΓΕ παρά ὁ διάμετρος · πίπτω δή οὗτος ἐκτός ὁ τμῆμα . ἐπεί οὖν ἥμισυς εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΓΕ παραλληλόγραμμος , φανερός ὅτι μέγας εἰμί ἤ ὁ ἥμισυς ὁ τμῆμα . πόρισμα δείκνυμι δέ οὗτος δῆλος ὅτι ὡς εἰς οὗτος ὁ τμῆμα δυνατός εἰμί πολύγωνος ἐγγράφω , ὥστε εἰμί ὁ περιλείπομαι τμῆμα πᾶς ἐλαχύς ὁ προτίθημι χωρίον · ἀφαιρέω γάρ ἀεί μέγας ὁ ἥμισυς διά οὗτος φανερός ὅτι ἐλασσόω ἀεί ὁ λείπω τμῆμα ποιέω οὗτος ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον .
archimedes.quadratura-parabolae 21
Εἴ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τρίγωνον ἐγγραφῇ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό , ἐγγραφέωντι δὲ καὶ ἄλλα τρίγωνα εἰς τὰ λειπόμενα τμάματα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό , ἑκατέρου τῶν τριγώνων τῶν εἰς τὰ περιλειπόμενα τμάματα ἐγγραφέντων ὀκταπλάσιον ἐσσεῖται τὸ τρίγωνον τὸ εἰς τὸ ὅλον τμᾶμα ἐγγραφέν . Ἔστω τὸ ΑΒΓ τμᾶμα οἷον εἴρηται , καὶ τετμάσθω ἁ ΑΓ δίχα τῷ △ , ἁ δὲ Β△ ἄχθω παρὰ τὰν διάμετρον · τὸ Β ἄρα σαμεῖον κορυφά ἐστιν τοῦ τμάματος . Τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχει τῷ τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό . Πάλιν τετμάσθω δίχα ἁ Α△ τῷ Ε , καὶ ἀχθῶ ἁ ΕΖ παρὰ τὰν διάμετρον , τετμάσθω δὲ ἁ ΑΒ κατὰ τὸ Θ · τὸ ἄρα Ζ σαμεῖον κορυφά ἐστι τοῦ τμάματος τοῦ ΑΖΒ . Τὸ δὴ ΑΖΒ τρίγωνον τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχει τῷ τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό , Δεικτέον ὅτι ὀκταπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΑΖΒ τριγώνου . Ἔστιν οὖν ἁ Β△ τᾶς μὲν ΕΖ ἐπίτριτος , τᾶς δὲ ΕΘ διπλασία · διπλασία ἄρα ἐστὶν ἁ ΕΘ τᾶς ΘΖ . Ὥστε καὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΖΒΑ τὸ μὲν γὰρ ΑΕΘ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΘΖ , τὸ δὲ ΘΒΕ τοῦ ΖΘΒ . Ὥστε τὸ ΑΒΓ τοῦ ΑΖΒ ἐστὶν ὀκταπλάσιον . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ τοῦ εἰς τὸ ΒΗΓ τμᾶμα ἐγγραφέντος .
Lemmas: εἰ ἄν εἰς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή τρίγωνον ἐγγράφω ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός , ἐγγράφω δέ καί ἄλλος τρίγωνος εἰς ὁ λείπω τμῆμα ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός , ἑκάτερος ὁ τρίγων ὁ εἰς ὁ περιλείπομαι τμῆμα ἐγγράφω ὀκταπλάσιος εἰμί ὁ τρίγωνον ὁ εἰς ὁ ὅλος τμῆμα ἐγγράφω . εἰμί ὁ ΑΒΓ τμῆμα οἷος λέγω , καί τέμνω ὁ ΑΓ δίχα ὁ △ , ὁ δέ Β△ ἄγω παρά ὁ διάμετρος · ὁ Β ἄρα σαμεῖον κορυφή εἰμί ὁ τμῆμα . ὁ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός . πάλιν τέμνω δίχα ὁ Α△ ὁ Ε , καί ἄγω ὁ ΕΖ παρά ὁ διάμετρος , τέμνω δέ ὁ ΑΒ κατά ὁ Θ · ὁ ἄρα Ζ σαμεῖον κορυφή εἰμί ὁ τμῆμα ὁ ΑΖΒ . ὁ δή ΑΖΒ τρίγωνον ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός , Δείκνυμι ὅτι ὀκταπλάσιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΑΖΒ τρίγωνον . εἰμί οὖν ὁ Β△ ὁ μέν ΕΖ ἐπίτριτος , ὁ δέ ΕΘ διπλάσιος · διπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΕΘ ὁ ΘΖ . ὥστε καί ὁ ΑΕΒ τρίγωνον διπλάσιος εἰμί ὁ ΖΒΑ ὁ μέν γάρ ΑΕΘ διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΘΖ , ὁ δέ ΘΒΕ ὁ ΖΘΒ . ὥστε ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΖΒ εἰμί ὀκταπλάσιος . ὅμοιος δέ δείκνυμι καί ὁ εἰς ὁ ΒΗΓ τμῆμα ἐγγράφω .
archimedes.quadratura-parabolae 22
Εἴ κα ᾖ τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , καὶ χωρία τεθέωντι ἑξῆς ὁποσαοῦν ἐν τῷ τετραπλασίονι λόγῳ , ᾖ δὲ τὸ μέγιστον τῶν χωρίων ἴσον τῷ τριγώνῳ τῷ βάσιν ἔχοντι τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος τὸ αὐτό , σύμπαντα τὰ χωρία ἐλάσσονα ἐσσεῖται τοῦ τμάματος . Ἔστω γὰρ τμᾶμα τὸ Α△ΒΕΓ περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , χωρία δὲ ἔστω ὁποσαοῦν ἑξῆς κείμενα τὰ Ζ , Η , Θ , Ι , τετραπλάσιον δὲ ἔστω τὸ ἁγούμενον τοῦ ἑπομένου , μέγιστον δὲ ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἔστω τὸ Ζ ἴσον τῷ τριγώνῳ τῷ βάσιν ἔχοντι τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον . Λέγω ὅτι τὸ τμᾶμα τῶν Ζ , Η , Θ , Ι χωρίων μεῖζόν ἐστιν . Ἔστω τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κορυφὰ τὸ Β , τῶν δὲ περιλειπομένων τμαμάτων τὰ △ , Ε . Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὀκταπλάσιόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν Α△Β , ΒΕΓ τριγώνων , δῆλον ὅτι ὡς ἀμφοτέρων αὐτῶν ἐστι τετραπλάσιον . Καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ Ζ χωρίῳ , κατὰ ταῦτα δὴ καὶ τὰ Α△Β , ΒΕΓ τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ Η χωρίῳ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ὅτι καὶ τὰ εἰς τὰ περιλειπόμενα τμάματα ἐγγραφόμενα τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ ἴσα ἐντὶ τῷ Θ καὶ τὰ ἐς τὰ ὕστερον γενόμενα τμάματα ἐγγραφόμενα τρίγωνα ἴσα τῷ Ι χωρίῳ σύμπαντα ἄρα τὰ προτεθέντα χωρία ἴσα ἐσσοῦνται πολυγώνῳ τινὶ ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμᾶμα . Θανερὸν οὖν ὅτι ἐλάσσονά ἐστι τοῦ τμάματος .
Lemmas: εἰ ἄν εἰμί τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , καί χωρίον τίθημι ἑξῆς ὁσποσσαοῦν ἐν ὁ τετραπλασίων λόγος , εἰμί δέ ὁ μέγας ὁ χωρίον ἴσος ὁ τρίγωνον ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός , σύμπας ὁ χωρίον ἐλαχύς εἰμί ὁ τμῆμα . εἰμί γάρ τμῆμα ὁ Α△ΒΕΓ περιέχω ὑπό τε εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , χωρίον δέ εἰμί ὁσποσσαοῦν ἑξῆς κεῖμαι ὁ Ζ , Η , Θ , Ι , τετραπλάσιος δέ εἰμί ὁ ἡγέομαι ὁ ἕπομαι , μέγας δέ εἰμί ὁ Ζ , καί εἰμί ὁ Ζ ἴσος ὁ τρίγωνον ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος . λέγω ὅτι ὁ τμῆμα ὁ Ζ , Η , Θ , Ι χωρίον μέγας εἰμί . εἰμί ὁ μέν ὅλος τμῆμα κορυφή ὁ Β , ὁ δέ περιλείπομαι τμῆμα ὁ △ , Ε . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὀκταπλάσιος εἰμί ἑκάτερος ὁ Α△Β , ΒΕΓ τρίγων , δῆλος ὅτι ὡς ἀμφότερος αὐτός εἰμί τετραπλάσιος . καί ἐπεί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος εἰμί ὁ Ζ χωρίον , κατά οὗτος δή καί ὁ Α△Β , ΒΕΓ τρίγωνος ἴσος εἰμί ὁ Η χωρίον . ὅμοιος δέ δείκνυμι ὅτι καί ὁ εἰς ὁ περιλείπομαι τμῆμα ἐγγράφω τρίγωνος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός ἴσος εἰμί ὁ Θ καί ὁ εἰς ὁ ὕστερον γίγνομαι τμῆμα ἐγγράφω τρίγωνος ἴσος ὁ Ι χωρίον σύμπας ἄρα ὁ προτίθημι χωρίον ἴσος εἰμί πολύγωνος τις ἐγγράφω εἰς ὁ τμῆμα . θανύς οὖν ὅτι ἐλαχύς εἰμί ὁ τμῆμα .
archimedes.quadratura-parabolae 23
Εἴ κα μεγέθεα τεθέωντι ἑξῆς ἐν τῷ τετραπλασίονι λόγῳ , τὰ πάντα μεγέθεα καὶ ἔτι τοῦ ἐλαχίστου τὸ τρίτον μέρος ἐς τὸ αὐτὸ συντεθέντα ἐπίτριτα ἐσσοῦνται τοῦ μεγίστου . Ἔστω οὖν ὁποσαοῦν μεγέθεα ἑξῆς κείμενα τὰ Α , Β , Γ , △ , Ε τετραπλασίονα ἕκαστον τοῦ ἑπομένου , μέγιστον δὲ ἔστω τὸ Α , ἔστω δὲ τὸ μὲν Ζ τρίτον τοῦ Β , τὸ δὲ Η τοῦ Γ , τὸ δὲ Θ τοῦ △ , τὸ δὲ Ι τοῦ Ε . Ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν Ζ τοῦ Β τρίτον μέρος ἐστίν , τὸ δὲ Β τοῦ Α τέταρτον μέρος ἐστίν , ἀμφότερα τὰ Β , Ζ μέρος τρίτον ἐστὶ τοῦ Α . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ Η , Γ τοῦ Β καὶ τὰ Θ , △ τοῦ Γ καὶ τὰ Ι , Ε τοῦ △ καὶ τὰ σύμπαντα δὴ τὰ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ , Ι τρίτον μέρος ἐστὶ τῶν συμπάντων τῶν Α , Β , Γ , △ . Ἐντὶ δὲ καὶ αὐτὰ τὰ Ζ , Η , Θ τρίτον μέρος αὐτῶν τῶν Β , Γ , △ · καὶ τὰ λοιπὰ ἄρα τὰ Β , Γ , △ , Ε , Ι τοῦ λοιποῦ τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ Α . Δῆλον οὖν ὅτι τὰ σύμπαντα τὰ Α , Β , Γ , △ , Ε καὶ τὸ Ι , τουτέστι τὸ τρίτον τοῦ Ε , τοῦ Α ἐστὶν ἐπίτριτα .
Lemmas: εἰ ἄν μέγεθος τίθημι ἑξῆς ἐν ὁ τετραπλασίων λόγος , ὁ πᾶς μέγεθος καί ἔτι ὁ ἐλαχύς ὁ τρίτος μέρος εἰς ὁ αὐτός συντίθημι ἐπίτριτος εἰμί ὁ μέγας . εἰμί οὖν ὁσποσσαοῦν μέγεθος ἑξῆς κεῖμαι ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε τετραπλασίων ἕκαστος ὁ ἕπομαι , μέγας δέ εἰμί ὁ Α , εἰμί δέ ὁ μέν Ζ τρίτος ὁ Β , ὁ δέ Η ὁ Γ , ὁ δέ Θ ὁ △ , ὁ δέ Ι ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὁ μέν Ζ ὁ Β τρίτος μέρος εἰμί , ὁ δέ Β ὁ Α τέταρτος μέρος εἰμί , ἀμφότερος ὁ Β , Ζ μέρος τρίτος εἰμί ὁ Α . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Η , Γ ὁ Β καί ὁ Θ , △ ὁ Γ καί ὁ Ι , Ε ὁ △ καί ὁ σύμπας δή ὁ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ , Ι τρίτος μέρος εἰμί ὁ σύμπας ὁ Α , Β , Γ , △ . εἰμί δέ καί αὐτός ὁ Ζ , Η , Θ τρίτος μέρος αὐτός ὁ Β , Γ , △ · καί ὁ λοιπός ἄρα ὁ Β , Γ , △ , Ε , Ι ὁ λοιπός τρίτος μέρος εἰμί ὁ Α . δῆλος οὖν ὅτι ὁ σύμπας ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε καί ὁ Ι , τουτέστι ὁ τρίτος ὁ Ε , ὁ Α εἰμί ἐπίτριτος .