archimedes.quadratura-parabolae 24
Πᾶν τμᾶμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου ταῦ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον . Ἔστω γὰρ τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον ἔστω τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον , τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου ἔστω ἐπίτριτον τὸ Κ χωρίον . Δεικτέον ὅτι ἴσον ἐστὶ τῷ Α△ΒΕΓ τμάματι . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσον , ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον . Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατόν , μεῖζον τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου . Ἐνέγραψα δὴ τὰ Α△Β , ΒΕΓ τρίγωνα , ὡς εἴρηται , ἐνέγραψα δὲ καὶ εἰς τὰ περιλειπόμενα τμάματα ἄλλα τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό , καὶ ἀεὶ εἰς τὰ ὕστερον γινόμενα τμάματα ἐγγράφω δύο τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό · ἐσσοῦνται δὴ τὰ καταλειπόμενα τμάματα ἐλάσσονα τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου . Ὥστε τὸ ἐγγραφόμενον πολύγωνον μεῖζον ἐσσεῖται τοῦ Κ ὅπερ ἀδύνατον . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ἑξῆς κείμενα χωρία ἐν τῷ τετραπλασίονι λόγῳ , πρῶτον μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τετραπλάσιον τῶν Α△Β , ΒΕΓ τριγώνων , ἔπειτα δὲ αὐτὰ ταῦτα τετραπλάσια τῶν εἰς τὰ ἑπόμενα τμάματα ἐγγραφέντων καὶ ἀεὶ οὕτω , δῆλον ὡς σύμπαντα τὰ χωρία ἐλάσσονά ἐστιν ἢ ἐπίτριτα τοῦ μεγίστου , τὸ δὲ Κ ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ μεγίστου χωρίου . Οὐκ ἄρα ἐστὶν μεῖζον τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου . Ἔστω δέ , εἰ δυνατόν , ἔλασσον . Κείσθω δὴ τὸ μὲν ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον τῷ Ζ , τοῦ δὲ Ζ τέταρτον τὸ Η , καὶ ὁμοίως τοῦ Η τὸ Θ , καὶ ἀεὶ ἑξῆς τιθέσθω , ἕως κα γένηται τὸ ἔσχατον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾆ ὑπερέχει τὸ Κ χωρίον τοῦ τμάματος , καὶ ἔστω ἔλασσον τὸ Ι · ἔστιν δὴ τὰ Ζ , Η , Θ , I χωρία καὶ τὸ τρίτον τοῦ Ι ἐπίτριτα τοῦ Ζ . Ἔστιν δὲ καὶ τὸ Κ τοῦ Ζ ἐπίτριτον · ἴσον ἄρα τὸ Κ τοῖς Ζ , Η , Θ , Ι καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ Ι . Ἐπεὶ οὖν τὸ Κ χωρίον τῶν μὲν Ζ , Η , Θ , I χωρίων ὑπερέχει ἐλάσσονι τοῦ I , τοῦ δὲ τμάματος μείζονι τοῦ Ι , δῆλον ὡς μείζονά ἐντι τὰ Ζ , Η , Θ , I χωρία τοῦ τμάματος · ὅπερ ἀδύνατον · ἐδείχθη γὰρ ὅτι , ἐὰν ᾗ ὁποσαοῦν χωρία ἑξῆς κείμενα ἐν τετραπλασίονι λόγῳ , τὸ δὲ μέγιστον ἴσον ᾖ τῷ εἰς τὸ τμᾶμα ἐγγραφομένῳ τριγώνῳ , τὰ σύμπαντα χωρία ἐλάσσονα ἐσσεῖται τοῦ τμάματος . Οὐκ ἄρα τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Κ χωρίου . Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ μεῖζον · ἴσον ἄρα ἐστὶν τῷ Κ . Τὸ δὲ Κ χωρίον ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ καὶ τὸ Α△ΒΕΓ ἄρα τμᾶμα ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου .
Lemmas: πᾶς τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ἐπίτριτος εἰμί τρίγωνον ταῦ ὁ αὐτός βάσις ἔχω αὐτός καί ὕψος ἴσος . εἰμί γάρ ὁ Α△ΒΕΓ τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ὁ δέ ΑΒΓ τρίγωνον εἰμί ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος , ὁ δέ ΑΒΓ τρίγωνον εἰμί ἐπίτριτος ὁ Κ χωρίον . δείκνυμι ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Α△ΒΕΓ τμῆμα . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος , εἰ δυνατός , μέγας ὁ Α△ΒΕΓ τμῆμα ὁ Κ χωρίον . ἐγγράφω δή ὁ Α△Β , ΒΕΓ τρίγωνος , ὡς λέγω , ἐγγράφω δέ καί εἰς ὁ περιλείπομαι τμῆμα ἄλλος τρίγωνος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός , καί ἀεί εἰς ὁ ὕστερον γίγνομαι τμῆμα ἐγγράφω δύο τρίγων ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός · εἰμί δή ὁ καταλείπω τμῆμα ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ Α△ΒΕΓ τμῆμα ὁ Κ χωρίον . ὥστε ὁ ἐγγράφω πολύγωνον μέγας εἰμί ὁ Κ ὅς ἀδύνατος . ἐπεί γάρ εἰμί ἑξῆς κεῖμαι χωρίον ἐν ὁ τετραπλασίων λόγος , πρῶτος μέν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον τετραπλάσιος ὁ Α△Β , ΒΕΓ τρίγων , ἔπειτα δέ αὐτός οὗτος τετραπλάσιος ὁ εἰς ὁ ἕπομαι τμῆμα ἐγγράφω καί ἀεί οὕτως , δῆλος ὡς σύμπας ὁ χωρίον ἐλαχύς εἰμί ἤ ἐπίτριτος ὁ μέγας , ὁ δέ Κ ἐπίτριτος εἰμί ὁ μέγας χωρίον . οὐ ἄρα εἰμί μέγας ὁ Α△ΒΕΓ τμῆμα ὁ Κ χωρίον . εἰμί δέ , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . κεῖμαι δή ὁ μέν ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος ὁ Ζ , ὁ δέ Ζ τέταρτος ὁ Η , καί ὅμοιος ὁ Η ὁ Θ , καί ἀεί ἑξῆς τίθημι , ἕως ἄν γίγνομαι ὁ ἔσχατος ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ἆ ὑπερέχω ὁ Κ χωρίον ὁ τμῆμα , καί εἰμί ἐλαχύς ὁ Ι · εἰμί δή ὁ Ζ , Η , Θ , I χωρίον καί ὁ τρίτος ὁ Ι ἐπίτριτος ὁ Ζ . εἰμί δέ καί ὁ Κ ὁ Ζ ἐπίτριτος · ἴσος ἄρα ὁ Κ ὁ Ζ , Η , Θ , Ι καί ὁ τρίτος μέρος ὁ Ι . ἐπεί οὖν ὁ Κ χωρίον ὁ μέν Ζ , Η , Θ , I χωρίον ὑπερέχω ἐλαχύς ὁ I , ὁ δέ τμῆμα μέγας ὁ Ι , δῆλος ὡς μέγας εἰμί ὁ Ζ , Η , Θ , I χωρίον ὁ τμῆμα · ὅς ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ ὅτι , ἐάν ἵημι ὁσποσσαοῦν χωρίον ἑξῆς κεῖμαι ἐν τετραπλασίων λόγος , ὁ δέ μέγας ἴσος εἰμί ὁ εἰς ὁ τμῆμα ἐγγράφω τρίγωνον , ὁ σύμπας χωρίον ἐλαχύς εἰμί ὁ τμῆμα . οὐ ἄρα ὁ Α△ΒΕΓ τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Κ χωρίον . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ μέγας · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Κ . ὁ δέ Κ χωρίον ἐπίτριτος εἰμί ὁ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ καί ὁ Α△ΒΕΓ ἄρα τμῆμα ἐπίτριτος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον .