archimedes.quadratura-parabolae 16
Ἔστω πάλιν τμᾶμα τὸ ΒΘΓ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , καὶ ἄχθω διὰ μὲν τοῦ Β ἁ Β△ παρὰ τὰν διάμετρον , ἀπὸ δὲ τοῦ Γ ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ , ἔστω δὲ τοῦ Β△Γ τριγώνου τρίτον μέρος τῷ Ζ χωρίον . Θαμὶ δὴ τὸ ΒΘΓ τμᾶμα ἴσον εἶμεν τῷ Ζ χωρίῳ . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσον , ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον . Ἔστω δὴ πρότερον , εἰ δυνατόν , μεῖζον · ἁ δὴ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ ΒΘΓ τμᾶμα τοῦ Ζ χωρίου , συντιθεμένα αὐτὰ ἑαυτᾷ ἐσσεῖται μείζων τοῦ ΒΓ△ τριγώνου . Δυνατὸν δὲ ἐστι λαβεῖν τι χωρίον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς , ὃ ἐσσεῖται μέρος τοῦ Β△Γ τριγώνου . Ἔστω δὴ τὸ ΒΓΕ τρίγωνον ἔλασσόν τε τᾶς εἰρημένας ὑπεροχᾶς καὶ μέρος τοῦ Β△Γ τριγώνου ἐσσεῖται δὲ τὸ αὐτὸ ἁ ΒΕ μέρος τᾶς Β△ . Διῃρήσθω οὖν ἁ Β△ ἐς τὰ μέρεα , καὶ ἔστω τὰ τῶν διαιρέσιων σαμεῖα τὰ Η , Ι , Κ , καὶ ἀπὸ τῶν Η , Ι , Κ σαμείων ἐπὶ τὸ Γ εὐθεῖαι ἐπεζεύχθωσαν · τέμνοντι δὴ αὗται τὰν τοῦ κώνου τομάν , ἐπεὶ ἁ Γ△ ἐπιψαύουσά ἐντι αὐτᾶς κατὰ τὸ Γ · καὶ διὰ τῶν σαμείων , καθʼ ἃ τέμνοντι τὰν τομὰν αἱ εὐθεῖαι , ἄχθωσαν παρὰ τὰν διάμετρον αἱ ΜΦ , ΝΡ , ΞΘ , ΠΟ ἐσσοῦνται δὲ αὗται καὶ παρὰ τὰν Β△ . Ἐπεὶ οὖν ἔλασσόν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει τὸ ΒΘΓ τμᾶμα τοῦ Ζ χωρίου , δῆλον ὡς τὰ συναμφότερα τό τε Ζ χωρίον καὶ τὸ ΒΓΕ τρίγωνον ἐλάσσονά ἐντι τοῦ τμάματος . Καὶ τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ ἴσα τὰ τραπέζιά ἐντι , διʼ ὧν ἁ τοῦ κώνου τομὰ πορεύεται , τὰ ΜΕ , ΦΛ , ΘΡ , ΘΟ , καὶ τὸ ΓΟΣ τρίγωνον τὸ μὲν γὰρ ΜΕ τραπέζιον κοινόν , τὸ δὲ ΜΛ ἴσον τῷ ΦΛ καὶ τὸ ΛΞ ἴσον τῷ ΘΡ καὶ τὸ ΧΞ ἴσον τῷ ΟΘ καὶ τὸ ΓΧΠ τρίγωνον τῷ ΓΟΣ τριγώνῳ · τὸ δὴ Ζ χωρίον ἔλασσόν ἐστι τῶν τραπεζίων τῶν ΜΛ , ΞΡ , ΠΘ καὶ τοῦ ΠΟΓ τριγώνου . Καί ἐστι τὸ Β△Γ τρίγωνον τριπλάσιον τοῦ Ζ χωρίου τὸ δὲ Β△Γ ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τῶν ΜΛ , ΡΞ , ΘΠ τραπεζίων καὶ τοῦ ΠΟΓ τριγώνου ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη γὰρ μεῖζον ἐὸν ἢ τριπλάσιον . Οὐκοῦν οὐ μεῖζόν ἐστι τὸ ΒΘΓ τμᾶμα τοῦ Ζ χωρίου . Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον . Ἔστω γάρ , εἰ δυνατόν , ἔλασσον . Πάλιν ἄρα ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΒΘΓ τμάματος , αὐτὰ ἑαυτᾷ συντιθεμένα ὑπερέχει καὶ τοῦ Β△Γ τριγώνου . Δυνατὸν δὲ ἐστι λαβεῖν χωρίον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς , ὃ ἐσσεῖται μέρος τοῦ Β△Γ τριγώνου . Ἔστω οὖν τὸ ΒΓΕ τρίγωνον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς καὶ μέρος τοῦ Β△Γ τριγώνου , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω . Ἐπεὶ οὖν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΒΘΓ τμάματος , τὸ ΒΕΓ τρίγωνον καὶ τὸ ΒΘΓ τμᾶμα ἀμφότερα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ Ζ . Ἔστιν δὲ καὶ τὸ Ζ χωρίον ἔλασσον τῶν τετραπλεύρων τῶν ΕΜ , ΦΝ , ΨΞ , ΠΤ καὶ τοῦ ΓΠΣ τριγώνου · ἔστιν γὰρ τὸ Β△Γ τοῦ μὲν Ζ τριπλάσιον , τῶν δὲ εἰρημένων χωρίων ἔλασσον ἢ τριπλάσιον , ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου ἐδείχθη ἔλασσον ἄρα τὸ ΒΓΕ τρίγωνον καὶ τὸ ΒΘΓ τμᾶμα τῶν τετραπλεύρων τῶν ΕΜ , ΦΝ . ΞΨ , ΠΤ καὶ τοῦ ΓΠΣ τριγώνου . Ὥστε κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ τμάματος ἔλασσον εἴη κα καὶ τὸ ΓΒΕ τρίγωνον τῶν περιλειπομένων χωρίων ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · ἐδείχθη γὰρ ἴσον ἐὸν τὸ ΒΕΓ τρίγωνον τοῖς τραπεζίοις τοῖς ΕΜ , ΦΛ , ΘΡ , ΘΟ καὶ τῷ ΓΟΣ τριγώνῳ , ἅ ἐντι μείζονα τῶν περιλειπομένων χωρίων . Οὐκ ἄρα ἔλασσον τὸ ΒΘΓ τμᾶμα τοῦ Ζ χωρίου . Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ μεῖζον ἴσον ἄρα τὸ τμᾶμα τῷ Ζ χωρίῳ .
Lemmas: εἰμί πάλιν τμῆμα ὁ ΒΘΓ περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , καί ἄγω διά μέν ὁ Β ὁ Β△ παρά ὁ διάμετρος , ἀπό δέ ὁ Γ ὁ Γ△ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Γ , εἰμί δέ ὁ Β△Γ τρίγωνον τρίτος μέρος ὁ Ζ χωρίον . Θαμί δή ὁ ΒΘΓ τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ Ζ χωρίον . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί δή πρότερος , εἰ δυνατός , μέγας · ὁ δή ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ΒΘΓ τμῆμα ὁ Ζ χωρίον , συντίθημι αὐτός ἑαυτοῦ εἰμί μέγας ὁ ΒΓ△ τρίγωνον . δυνατός δέ εἰμί λαμβάνω τις χωρίον ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς εἰμί μέρος ὁ Β△Γ τρίγωνον . εἰμί δή ὁ ΒΓΕ τρίγωνον ἐλαχύς τε ὁ λέγω ὑπεροχή καί μέρος ὁ Β△Γ τρίγωνον εἰμί δέ ὁ αὐτός ὁ ΒΕ μέρος ὁ Β△ . διαιρέω οὖν ὁ Β△ εἰς ὁ μέρος , καί εἰμί ὁ ὁ δίαιρεσια σαμεῖον ὁ Η , Ι , Κ , καί ἀπό ὁ Η , Ι , Κ σαμεῖον ἐπί ὁ Γ εὐθεῖα ἐπιζεύγνυμι · τέμνω δή οὗτος ὁ ὁ κῶνος τομή , ἐπεί ὁ Γ△ ἐπιψαύω εἰμί αὐτός κατά ὁ Γ · καί διά ὁ σαμεῖον , κατά ὅς τέμνω ὁ τομή ὁ εὐθεῖα , ἄγω παρά ὁ διάμετρος ὁ ΜΦ , ΝΡ , ΞΘ , ΠΟ εἰμί δέ οὗτος καί παρά ὁ Β△ . ἐπεί οὖν ἐλαχύς εἰμί ὁ ΒΓΕ τρίγωνον ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ΒΘΓ τμῆμα ὁ Ζ χωρίον , δῆλος ὡς ὁ συναμφότεροι ὁ τε Ζ χωρίον καί ὁ ΒΓΕ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ὁ τμῆμα . καί ὁ ΒΓΕ τρίγωνον ἴσος ὁ τραπέζιον εἰμί , διά ὅς ὁ ὁ κῶνος τομή πορεύω , ὁ ΜΕ , ΦΛ , ΘΡ , ΘΟ , καί ὁ ΓΟΣ τρίγωνον ὁ μέν γάρ ΜΕ τραπέζιον κοινός , ὁ δέ ΜΛ ἴσος ὁ ΦΛ καί ὁ ΛΞ ἴσος ὁ ΘΡ καί ὁ ΧΞ ἴσος ὁ ΟΘ καί ὁ ΓΧΠ τρίγωνον ὁ ΓΟΣ τρίγωνον · ὁ δή Ζ χωρίον ἐλαχύς εἰμί ὁ τραπέζιον ὁ ΜΛ , ΞΡ , ΠΘ καί ὁ ΠΟΓ τρίγωνον . καί εἰμί ὁ Β△Γ τρίγωνον τριπλάσιος ὁ Ζ χωρίον ὁ δέ Β△Γ ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ ΜΛ , ΡΞ , ΘΠ τραπέζιον καί ὁ ΠΟΓ τρίγωνον ὅς ἀδύνατος δείκνυμι γάρ μέγας εἰμί ἤ τριπλάσιος . οὐκοῦν οὐ μέγας εἰμί ὁ ΒΘΓ τμῆμα ὁ Ζ χωρίον . λέγω δή ὅτι οὐδέ ἐλαχύς . εἰμί γάρ , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . πάλιν ἄρα ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ Ζ χωρίον ὁ ΒΘΓ τμῆμα , αὐτός ἑαυτοῦ συντίθημι ὑπερέχω καί ὁ Β△Γ τρίγωνον . δυνατός δέ εἰμί λαμβάνω χωρίον ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς εἰμί μέρος ὁ Β△Γ τρίγωνον . εἰμί οὖν ὁ ΒΓΕ τρίγωνον ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή καί μέρος ὁ Β△Γ τρίγωνον , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός κατασκευάζω . ἐπεί οὖν εἰμί ὁ ΒΓΕ τρίγωνον ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ Ζ χωρίον ὁ ΒΘΓ τμῆμα , ὁ ΒΕΓ τρίγωνον καί ὁ ΒΘΓ τμῆμα ἀμφότερος ἐλαχύς εἰμί ὁ Ζ . εἰμί δέ καί ὁ Ζ χωρίον ἐλαχύς ὁ τετράπλευρος ὁ ΕΜ , ΦΝ , ΨΞ , ΠΤ καί ὁ ΓΠΣ τρίγωνον · εἰμί γάρ ὁ Β△Γ ὁ μέν Ζ τριπλάσιος , ὁ δέ λέγω χωρίον ἐλαχύς ἤ τριπλάσιος , ὡς ἐν ὁ πρό οὗτος δείκνυμι ἐλαχύς ἄρα ὁ ΒΓΕ τρίγωνον καί ὁ ΒΘΓ τμῆμα ὁ τετράπλευρος ὁ ΕΜ , ΦΝ . ΞΨ , ΠΤ καί ὁ ΓΠΣ τρίγωνον . ὥστε κοινός ἀφαιρέω ὁ τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ἄν καί ὁ ΓΒΕ τρίγωνον ὁ περιλείπομαι χωρίον ὅς εἰμί ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΒΕΓ τρίγωνον ὁ τραπέζιον ὁ ΕΜ , ΦΛ , ΘΡ , ΘΟ καί ὁ ΓΟΣ τρίγωνον , ὅς εἰμί μέγας ὁ περιλείπομαι χωρίον . οὐ ἄρα ἐλαχύς ὁ ΒΘΓ τμῆμα ὁ Ζ χωρίον . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ μέγας ἴσος ἄρα ὁ τμῆμα ὁ Ζ χωρίον .