archimedes.quadratura-parabolae 14
Ἔστω τμᾶμα τὸ ΒΘΓ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς . Ἔστω δὴ πρῶτον ἁ ΒΓ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ διαμέτρῳ , καὶ ἄχθω ἀπὸ μὲν τοῦ Β σαμείου ἁ Β△ παρὰ τὰν διάμετρον , ἀπὸ δὲ τοῦ Γ ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ · ἐσσεῖται δὴ τὸ ΒΓ△ τρίγωνον ὀρθογώνιον . Διῃρήσθω δὴ ἁ ΒΓ ἐς ἴσα τμάματα ὁποσαοῦν τὰ ΒΕ , ΕΖ , ΖΗ , ΗΙ , ΙΓ , καὶ ἀπὸ τᾶν τομᾶν ἄχθωσαν παρὰ τὰν διάμετρον αἱ ΕΣ , ΖΤ , ΗΥ , ΙΞ , ἀπὸ δὲ τῶν σαμείων , καθʼ ἃ τέμνοντι αὗται τὰν τοῦ κώνου τομάν , ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν . Φαμὶ δὴ τὸ τρίγωνον τὸ Β△Γ τῶν μὲν τραπεζίων τῶν ΚΕ , ΛΖ , ΜΗ , ΝΙ καὶ τοῦ ΞΙΓ τριγώνου ἔλασσον εἶμεν ἢ τριπλάσιον , τῶν δὲ τραπεζίων τῶν ΖΦ , ΗΘ , ΙΠ καὶ τοῦ ΙΟΓ τριγώνου μεῖζον ἢ τριπλάσιον . Διάχθω γὰρ εὐθεῖα ἁ ΑΒΓ , καὶ ἀπολελάφθω ἁ ΑΒ ἴσα τᾷ ΒΓ , καὶ νοείσθω ζύγιον τὸ ΑΓ · μέσον δὲ αὐτοῦ ἐσσεῖται τὸ Β · καὶ κρεμάσθω ἐκ τοῦ Β , κρεμάσθω δὲ καὶ τὸ Β△Γ ἐκ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὰ Β , Γ , ἐκ δὲ τοῦ θατέρου μέρεος τοῦ ζυγοῦ κρεμάσθω τὰ Ρ , Χ , Ψ , Ω , △ χωρία κατὰ τὸ Α , καὶ ἰσορροπείτω τὸ μὲν P χωρίον τῷ △Ε τραπεζίῳ οὕτως ἔχοντι , τὸ δὲ Χ τῷ ΖΣ τραπεζίῳ , τὸ δὲ Ψ τῷ ΤΗ , τὸ δὲ Ω τῷ ΥΙ , τὸ δὲ △ τῷ ΞΙΓ τριγώνῳ · ἰσορροπήσει δὴ καὶ τὸ ὅλον τῷ ὅλῳ · ὥστε τριπλάσιον ἂν εἴη τὸ Β△Γ τρίγωνον τοῦ ΡΧΨΩ△ χωρίου . Καὶ ἐπεί ἐστιν τμᾶμα τὸ ΒΓΘ , ὃ περιέχεται ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Β παρὰ τὰν διάμετρον ἆκται ἁ Β△ , ἀπὸ δὲ τοῦ Γ ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Γ , ἆκται δέ τις καὶ ἄλλα παρὰ τὰν διάμετρον ἁ ΣΕ , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ ΒΓ ποτὶ τὰν ΒΕ , ὃν ἁ ΣΕ ποτὶ τὰν ΕΦ ὥστε καὶ ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΒΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ △Ε τραπέζιον ποτὶ τὸ ΚΕ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΖ τὸν αὐτὸν ἔχουσα λόγον , ὃν τὸ ΣΖ τραπέζιον ποτὶ τὸ ΛΖ , ποτὶ δὲ τὰν ΒΗ , ὃν τὸ ΤΗ ποτὶ τὸ ΜΗ , ποτὶ δὲ τὰν ΒΙ , ὃν τὸ ΥΙ ποτὶ τὸ ΝΙ . Ἐπεὶ οὖν ἐστι τραπέζιον τὸ △Ε τὰς μὲν ποτὶ τοῖς Β , Ε σαμείοις γωνίας ὀρθὰς ἔχον , τὰς δὲ πλευρὰς ἐπὶ τὸ Γ νευούσας , ἰσορροπεῖ δὲ τι χωρίον αὐτῷ τὸ Ρ κρεμάμενον ἐκ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Α οὕτως ἔχοντος τοῦ τραπεζίου ὡς νῦν κεῖται , καὶ ἔστιν ὡς ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΒΕ , οὕτως τὸ △Ε τραπέζιον ποτὶ τὸ ΚΕ , μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ ΚΕ χωρίον τοῦ P χωρίου : δέδεικται γὰρ τοῦτο . Πάλιν δὲ καὶ τὸ ΖΣ τραπέζιον τὰς μὲν ποτὶ τοῖς Ζ , Ε γωνίας ὀρθὰς ἔχον , τὰν δὲ ΣΤ νεύουσαν ἐπὶ τὸ Γ , ἰσορροπεῖ δὲ αὐτῷ χωρίον τὸ Χ ἐκ τοῦ ζυγοῦ κρεμάμενον κατὰ τὸ Α οὕτως ἔχοντος τοῦ τραπεζίου ὡς νῦν κεῖται , καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΕ , οὕτως τὸ ΖΣ τραπέζιον ποτὶ τὸ ΖΦ , ὡς δὲ ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΖ , οὕτως τὸ ΖΣ τραπέζιον ποτὶ τὸ ΛΖ εἴη οὖν κα τὸ Χ χωρίον τοῦ μὲν ΛΖ τραπεζίου ἔλασσον , τοῦ δὲ ΖΦ μεῖζον · δέδεικται γὰρ καὶ τοῦτο . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Ψ χωρίον τοῦ μὲν ΜΗ τραπεζίου ἔλασσον , τοῦ δὲ ΘΗ μεῖζον , καὶ τὸ χωρίον τοῦ μὲν ΝΟΙΗ τραπεζίου ἔλασσον , τοῦ δὲ ΠΙ μεῖζον , ὁμοίως δὲ καὶ τὸ △ χωρίον τοῦ μὲν ΞΙΓ τριγώνου ἔλασσον , τοῦ δὲ ΓΙΟ μεῖζον . Ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΚΕ τραπέζιον μεῖζόν ἐστι τοῦ P χωρίου , τὸ δὲ ΛΖ τοῦ Χ , τὸ δὲ ΜΗ τοῦ Ψ , τὸ δὲ ΝΙ τοῦ Ω , τὸ δὲ ΞΙΓ τρίγωνον τοῦ △ , φανερὸν ὅτι καὶ πάντα τὰ εἰρημένα χωρία μείζονά ἐστι τοῦ ΡΧΨΩ△ χωρίου . Ἔστιν δὲ τὸ ΡΧΨΩ△ τρίτον μέρος τοῦ ΒΓ△ τριγώνου δῆλον ἄρα ὅτι τὸ ΒΓ△ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τῶν ΚΕ , ΛΖ , ΜΗ , ΝΙ τραπεζίων καὶ τοῦ ΞΙΓ τριγώνου . Πάλιν , ἐπεὶ τὸ μὲν ΖΦ τραπέζιον ἔλασσόν ἐστι τοῦ Χ χωρίου , τὸ δὲ ΘΗ τοῦ Ψ△ , τὸ δὲ ΙΠ τοῦ Ω , τὸ δὲ ΙΟΓ τρίγωνον τοῦ △ , φανερὸν ὅτι καὶ πάντα τὰ εἰρημένα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ △ΩΨΧ χωρίου · φανερὸν οὖν ὅτι καὶ τὸ Β△Γ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τῶν ΦΖ , ΘΗ , lΠ τραπεζίων καὶ τοῦ lΓΟ τριγώνου , ἔλασσον δὲ ἢ τριπλάσιον τῶν προγεγραμμένων .
Lemmas: εἰμί τμῆμα ὁ ΒΘΓ περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή . εἰμί δή πρῶτος ὁ ΒΓ ποτέ ὀρθός ὁ διάμετρον , καί ἄγω ἀπό μέν ὁ Β σαμεῖον ὁ Β△ παρά ὁ διάμετρος , ἀπό δέ ὁ Γ ὁ Γ△ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Γ · εἰμί δή ὁ ΒΓ△ τρίγωνον ὀρθογώνιον . διαιρέω δή ὁ ΒΓ εἰς ἴσος τμῆμα ὁποσοσοῦν ὁ ΒΕ , ΕΖ , ΖΗ , ΗΙ , ΙΓ , καί ἀπό ὁ τομή ἄγω παρά ὁ διάμετρος ὁ ΕΣ , ΖΤ , ΗΥ , ΙΞ , ἀπό δέ ὁ σαμεῖον , κατά ὅς τέμνω οὗτος ὁ ὁ κῶνος τομή , ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ Γ καί ἐκβάλλω . φημί δή ὁ τρίγωνον ὁ Β△Γ ὁ μέν τραπέζιον ὁ ΚΕ , ΛΖ , ΜΗ , ΝΙν καί ὁ ΞΙΓ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος , ὁ δέ τραπέζιον ὁ ΖΦ , ΗΘ , ΙΠ καί ὁ ΙΟΓ τρίγωνον μέγας ἤ τριπλάσιος . διάγω γάρ εὐθύς ὁ ΑΒΓ , καί ἀπολαμβάνω ὁ ΑΒ ἴσος ὁ ΒΓ , καί νοέω ζύγιον ὁ ΑΓ · μέσος δέ αὐτός εἰμί ὁ Β · καί κρεμάννυμι ἐκ ὁ Β , κρεμάννυμι δέ καί ὁ Β△Γ ἐκ ὁ ζυγόν κατά ὁ Β , Γ , ἐκ δέ ὁ ἕτερος μέρος ὁ ζυγόν κρεμάννυμι ὁ Ρ , Χ , Ψ , Ω , △ χωρίον κατά ὁ Α , καί ἰσορροπέω ὁ μέν P χωρίον ὁ △Ε τραπέζιον οὕτως ἔχω , ὁ δέ Χ ὁ ΖΣ τραπέζιον , ὁ δέ Ψ ὁ ΤΗ , ὁ δέ Ω ὁ ΥΙ , ὁ δέ △ ὁ ΞΙΓ τρίγωνον · ἰσορροπέω δή καί ὁ ὅλος ὁ ὅλος · ὥστε τριπλάσιος ἄν εἰμί ὁ Β△Γ τρίγωνον ὁ Ω χωρίον . καί ἐπεί εἰμί τμῆμα ὁ ΒΓΘ , ὅς περιέχω ὑπό τε εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , καί ἀπό μέν ὁ Β παρά ὁ διάμετρος ἄγω ὁ Β△ , ἀπό δέ ὁ Γ ὁ Γ△ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Γ , ἄγω δέ τις καί ἄλλος παρά ὁ διάμετρος ὁ ΣΕ , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΒΓ πρός ὁ ΒΕ , ὅς ὁ ΣΕ πρός ὁ ΕΦ ὥστε καί ὁ ΒΑ πρός ὁ ΒΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ △Ε τραπέζιον πρός ὁ ΚΕ . ὅμοιος δέ δείκνυμι ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΖ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΣΖ τραπέζιον πρός ὁ ΛΖ , πρός δέ ὁ ΒΗ , ὅς ὁ ΤΗ πρός ὁ ΜΗ , πρός δέ ὁ ΒΙ , ὅς ὁ ΥΙ πρός ὁ ΝΙ . ἐπεί οὖν εἰμί τραπέζιον ὁ △Ε ὁ μέν πρός ὁ Β , Ε σαμεῖον γωνία ὀρθός ἔχω , ὁ δέ πλευρά ἐπί ὁ Γ νεύω , ἰσορροπέω δέ τις χωρίον αὐτός ὁ Ρ κρεμάννυμι ἐκ ὁ ζυγόν κατά ὁ Α οὕτως ἔχω ὁ τραπέζιον ὡς νῦν κεῖμαι , καί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ △Ε τραπέζιον πρός ὁ ΚΕ , μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΚΕ χωρίον ὁ P χωρίον : δείκνυμι γάρ οὗτος . πάλιν δέ καί ὁ ΖΣ τραπέζιον ὁ μέν πρός ὁ Ζ , Ε γωνία ὀρθός ἔχω , ὁ δέ ΣΤ νεύω ἐπί ὁ Γ , ἰσορροπέω δέ αὐτός χωρίον ὁ Χ ἐκ ὁ ζυγόν κρεμάννυμι κατά ὁ Α οὕτως ἔχω ὁ τραπέζιον ὡς νῦν κεῖμαι , καί εἰμί ὡς μέν ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ ΖΣ τραπέζιον πρός ὁ ΖΦ , ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΖ , οὕτως ὁ ΖΣ τραπέζιον πρός ὁ ΛΖ εἰμί οὖν ἄν ὁ Χ χωρίον ὁ μέν ΛΖ τραπέζιον ἐλαχύς , ὁ δέ ΖΦ μέγας · δείκνυμι γάρ καί οὗτος . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ Ψ χωρίον ὁ μέν ΜΗ τραπέζιον ἐλαχύς , ὁ δέ ΘΗ μέγας , καί ὁ χωρίον ὁ μέν ΝΟΙΗ τραπέζιον ἐλαχύς , ὁ δέ ΠΙ μέγας , ὅμοιος δέ καί ὁ △ χωρίον ὁ μέν ΞΙΓ τρίγωνον ἐλαχύς , ὁ δέ ΓΙΟ μέγας . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΚΕ τραπέζιον μέγας εἰμί ὁ P χωρίον , ὁ δέ ΛΖ ὁ Χ , ὁ δέ ΜΗ ὁ Ψ , ὁ δέ ΝΙ ὁ Ω , ὁ δέ ΞΙΓ τρίγωνον ὁ △ , φανερός ὅτι καί πᾶς ὁ λέγω χωρίον μέγας εἰμί ὁ Ω χωρίον . εἰμί δέ ὁ Ω τρίτος μέρος ὁ ΒΓ△ τρίγωνον δῆλος ἄρα ὅτι ὁ ΒΓ△ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ ΚΕ , ΛΖ , ΜΗ , ΝΙν τραπέζιον καί ὁ ΞΙΓ τρίγωνον . πάλιν , ἐπεί ὁ μέν ΖΦ τραπέζιον ἐλαχύς εἰμί ὁ Χ χωρίον , ὁ δέ ΘΗ ὁ Ψ△ , ὁ δέ ΙΠ ὁ Ω , ὁ δέ ΙΟΓ τρίγωνον ὁ △ , φανερός ὅτι καί πᾶς ὁ λέγω ἐλαχύς εἰμί ὁ Ω χωρίον · φανερός οὖν ὅτι καί ὁ Β△Γ τρίγωνον μέγας εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ ΦΖ , ΘΗ , lΠ τραπέζιον καί ὁ ΓΟ τρίγωνον , ἐλαχύς δέ ἤ τριπλάσιος ὁ προγράφω .