archimedes.quadratura-parabolae 6
Νοείσθω δὲ τὸ προκείμενον ἐπίπεδον ὀρθὸν ποτὶ τὸν ὁρίζοντα , καὶ τᾶς ΑΒ γραμμᾶς τὰ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ △ κάτω νοείσθω , τὰ δὲ ἐπὶ θάτερα ἄνω , τὸ δὲ Β△Γ τρίγωνον ἔστω ὀρθογώνιον ὀρθὰν ἔχον τὰν ποτὶ τῷ Β γωνίαν καὶ τὰν ΒΓ πλευρὰν ἴσαν τᾷ ἡμισείᾳ τοῦ ζυγοῦ , κρεμάσθω δὲ τὸ τρίγωνον ἐκ τῶν Β , Γ σαμείων , κρεμάσθω δὲ καὶ ἄλλο χωρίον τὸ Ζ ἐκ τοῦ ἑτέρου μέρεος τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Α , καὶ ἰσορροπείτω τὸ Ζ χωρίον κατὰ τὸ Α κρεμάμενον τῷ Β△Γ τριγώνῳ οὕτως ἔχοντι , ὡς νῦν κεῖται . Φαμὶ δὴ τὸ Ζ χωρίον τοῦ Β△Γ τριγώνου μέρος τρίτον εἶμεν . Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται ἰσορροπέων ὁ ζυγός , εἴη κα ἁ ΑΓ γραμμὰ παρὰ τὸν ὁρίζοντα , αἱ δὲ ποτʼ ὀρθὰς ἀγόμεναι τᾷ ΑΓ ἐν τῷ ὀρθῷ ἐπιπέδῳ ποτὶ τὸν ὁρίζοντα κάθετοι ἐσσοῦνται ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα . Τετμάσθω ἁ ΒΓ γραμμὰ κατὰ τὸ Ε οὕτως , ὥστε διπλασίονα εἶμεν τὰν ΓΕ τᾶς ΕΒ , καὶ ἄχθω παρὰ τὰν △Β ἁ ΚΕ καὶ τετμάσθω δίχα κατὰ τὸ Θ · τοῦ δὴ Β△Γ τριγώνου κέντρον βάρεός ἐστι τὸ Θ σαμεῖον δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς Μηχανικοῖς Εἴ κα οὖν τοῦ Β△Γ τριγώνου ἁ μὲν κατὰ τὰ Β , Γ κρέμασις λυθῇ , κατὰ δὲ τὸ Ε κρεμασθῇ , μενεῖ τὸ τρίγωνον ὡς νῦν ἔχει · ἕκαστον γὰρ τῶν κρεμαμένων , ἐξ οὗ σαμείου κα κατασταθῇ , μένει , ὥστε κατὰ κάθετον εἶμεν τό τε σαμεῖον τοῦ κρεμαστοῦ καὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ κρεμαμένου · δέδεικται γὰρ καὶ τοῦτο . Ἐπεὶ οὖν τὰν αὐτὰν ἕξει κατάστασιν τὸ Β△Γ τρίγωνον ποτὶ τὸν ζυγόν , ἰσορροπήσει ὁμοίως τὸ Ζ χωρίον . Ἐπεὶ δὲ ἰσορροπέοντι τὸ μὲν Ζ κρεμάμενον κατὰ τὸ Α , τὸ δὲ Β△Γ κατὰ τὸ Ε , δῆλον ὡς ἀντιπέπονθε τοῖς μάκεσιν , καί ἐστιν ὡς ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΕ , οὕτως τὸ Β△Γ τρίγωνον ποτὶ τὸ Ζ χωρίον . Τριπλασία δὲ ἁ ΑΒ τᾶς ΒΕ · καὶ τὸ Β△Γ ἄρα τρίγωνον τριπλάσιόν ἐστι τοῦ Ζ χωρίου . Φανερὸν δὲ καί , εἴ κα τριπλάσιον ᾖ τὸ Β△Γ τρίγωνον τοῦ Ζ χωρίου , ὅτι ἰσορροπήσει .
Lemmas: νοέω δέ ὁ πρόκειμαι ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ὁρίζων , καί ὁ ΑΒ γραμμή ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός ὁ △ κάτω νοέω , ὁ δέ ἐπί ἕτερος ἄνω , ὁ δέ Β△Γ τρίγωνον εἰμί ὀρθογώνιον ὀρθός ἔχω ὁ πρός ὁ Β γωνία καί ὁ ΒΓ πλευρά ἴσος ὁ ἡμίσεια ὁ ζυγόν , κρεμάννυμι δέ ὁ τρίγωνον ἐκ ὁ Β , Γ σαμεῖον , κρεμάννυμι δέ καί ἄλλος χωρίον ὁ Ζ ἐκ ὁ ἕτερος μέρος ὁ ζυγόν κατά ὁ Α , καί ἰσορροπέω ὁ Ζ χωρίον κατά ὁ Α κρεμάννυμι ὁ Β△Γ τρίγωνον οὕτως ἔχω , ὡς νῦν κεῖμαι . φημί δή ὁ Ζ χωρίον ὁ Β△Γ τρίγωνον μέρος τρίτος εἰμί . ἐπεί γάρ ὑπόκειμαι ἰσορροπέω ὁ ζυγός , εἰμί ἄν ὁ ΑΓ γραμμή παρά ὁ ὁρίζων , ὁ δέ ποτέ ὀρθός ἄγω ὁ ΑΓ ἐν ὁ ὀρθός ἐπίπεδος πρός ὁ ὁρίζων κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὁρίζων . τέμνω ὁ ΒΓ γραμμή κατά ὁ Ε οὕτως , ὥστε διπλάσιος εἰμί ὁ ΓΕ ὁ ΕΒ , καί ἄγω παρά ὁ △Β ὁ ΚΕ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Θ · ὁ δή Β△Γ τρίγωνον κέντρον βάρος εἰμί ὁ Θ σαμεῖον δείκνυμι γάρ οὗτος ἐν ὁ Μηχανικός Εἰ ἄν οὖν ὁ Β△Γ τρίγωνον ὁ μέν κατά ὁ Β , Γ κρέμασις λύω , κατά δέ ὁ Ε κρεμάννυμι , μένω ὁ τρίγωνον ὡς νῦν ἔχω · ἕκαστος γάρ ὁ κρεμάννυμι , ἐκ ὅς σαμεῖον ἄν καθίστημι , μένω , ὥστε κατά κάθετος εἰμί ὁ τε σαμεῖον ὁ κρεμαστός καί ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ κρεμάω · δείκνυμι γάρ καί οὗτος . ἐπεί οὖν ὁ αὐτός ἔχω κατάστασις ὁ Β△Γ τρίγωνον πρός ὁ ζυγόν , ἰσορροπέω ὅμοιος ὁ Ζ χωρίον . ἐπεί δέ ἰσορροπέω ὁ μέν Ζ κρεμάννυμι κατά ὁ Α , ὁ δέ Β△Γ κατά ὁ Ε , δῆλος ὡς ἀντιπάσχω ὁ μῆκος , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , οὕτως ὁ Β△Γ τρίγωνον πρός ὁ Ζ χωρίον . τριπλάσιος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΒΕ · καί ὁ Β△Γ ἄρα τρίγωνος τριπλάσιος εἰμί ὁ Ζ χωρίον . φανερός δέ καί , εἰ ἄν τριπλάσιος εἰμί ὁ Β△Γ τρίγωνον ὁ Ζ χωρίον , ὅτι ἰσορροπέω .