ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
archimedes.liber-assumptorum 1
Εἴ κα ᾗ δύο κύκλοι ἐπιψαύοντες ἀλλάλων ἐντός , διάμετροι δὲ αὐτῶν παράλληλοι , ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφῆς καὶ τῶν περάτων τῶν διαμέτρων δύο εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας . Ἔστωσαν δύο κύκλοι , ὧν κέντρα τὰ Ζ , Η , ἐπιψαύοντες ἀλλάλων κατὰ τὸ Ε σαμεῖον , διάμετρος δὲ ἁ ΑΒ παρὰ διάμετρον τὰν Γ△ · φαμὶ δή , ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Ε△ , △Β εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΖΗ καὶ ἐκβεβλήσθω ποτὶ τὸ Ε , ἄχθω δὲ ἁ △Θ παρὰ τὰν ΖΗ . Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ , ΖΕ ἴσαι ἐντὶ καὶ ἁ H△ τᾷ ΖΘ , κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΘ , τουτέστιν ἁ ΗΕ · λοιπαὶ ἄρα εὐθεῖαι αἱ Θ△ , ΘΒ ἴσαι ἀλλαλαις ἐντί · γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΘΒ△ , τουτέστιν τᾷ ὑπὸ H△Ε , ἐστὶν ἴσα · κοινὰ ποτικείσθω γωνία ἁ ὑπὸ H△Β συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ H△Β , △ΒΖ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ Η△Β . Ε△Η ἐστὶν ἴσα · ἔστι δὲ συναμφότερος ἁ ὑπὸ Η△Β , △ΒΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα · συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Η△Β , Ε△Η δυσὶν ὀρθαῖς ἐστιν ἴσα · ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐντὶ εὐθεῖαι αἱ Ε△ , △Β · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν ἵημι δύο κύκλος ἐπιψαύω ἀλλήλων ἐντός , διάμετρος δέ αὐτός παράλληλος , ἐπιζεύγνυμι ὁ ἀπό ὁ σαμεῖον ἁφή καί ὁ πέρας ὁ διάμετρον δύο εὐθεῖα εἰμί ἀλλήλων ἐπί εὐθεῖα . εἰμί δύο κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Ζ , Η , ἐπιψαύω ἀλλήλων κατά ὁ Ε σαμεῖον , διάμετρος δέ ὁ ΑΒ παρά διάμετρος ὁ Γ△ · φημί δή , ἐπιζεύγνυμι ὁ Ε△ , △Β εὐθεῖα εἰμί ἀλλήλων ἐπί εὐθεῖα . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΖΗ καί ἐκβάλλω πρός ὁ Ε , ἄγω δέ ὁ △Θ παρά ὁ ΖΗ . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΖΒ , ΖΕ ἴσος εἰμί καί ὁ H△ ὁ ΖΘ , κοινός ἀφαιρέω ὁ ΖΘ , τουτέστι ὁ ΗΕ · λοιπός ἄρα εὐθεῖα ὁ Θ△ , ΘΒ ἴσος ἀλλαλαι εἰμί · γωνία ἄρα ὁ ὑπό Θ△Β γωνία ὁ ὑπό ΘΒ△ , τουτέστι ὁ ὑπό H△Ε , εἰμί ἴσος · κοινός πρόσκειμαι γωνία ὁ ὑπό H△Β συναμφότεροι ἄρα γωνία ὁ ὑπό H△Β , △ΒΖ συναμφότεροι ὁ ὑπό ΒΗ . ΕΗ εἰμί ἴσος · εἰμί δέ συναμφότεροι ὁ ὑπό ΒΗ , △ΒΖ δύο ὀρθός ἴσος · συναμφότεροι ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΒΗ , ΕΗ δύο ὀρθός εἰμί ἴσος · ἐπί εὐθεῖα ἄρα εἰμί εὐθεῖα ὁ Ε△ , △Β · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 2
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ αἱ △Β , △Γ , ἁ δὲ ΒΕ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ , ἐπεζεύχθω δὲ ἁ Α△ · φαμὶ δὴ τὰν ΒΖ ἴσαν εἶμεν τᾷ ΖΕ . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ ΑΒ , Γ△ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η σαμεῖον καὶ ἄχθω ἁ ΒΓ . Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ὀρθά ἐστιν , ἐσσεῖται καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒΗ ὀρθά ἔστι δὲ καὶ εὐθεῖα ἁ Β△ τᾷ △Γ ἴσα · ἐσσεῖται ἄρα καὶ εὐθεῖα ἁ △Η τᾷ △Β , τουτέστι τᾷ △Γ ἴσα . Καὶ ἐπεὶ ἁ ΒΕ παρὰ τὰν ΗΓ ἐστίν , ἐσσεῖται ἄρα καὶ ἁ ΒΖ τᾷ ΖΕ ἴσα · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰμί ἁμικύκλιον ὁ ΑΒΓ καί δύο εὐθεῖα ἐπιψαύω αὐτός ὁ △Β , △Γ , ὁ δέ ΒΕ ἄγω ποτέ ὀρθός ὁ ΑΓ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ Α△ · φημί δή ὁ ΒΖ ἴσος εἰμί ὁ ΖΕ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΒ καί ἐκβάλλω ὁ ΑΒ , Γ△ συμπίπτω κατά ὁ Η σαμεῖον καί ἄγω ὁ ΒΓ . ἐπεί οὖν γωνία ὁ ὑπό ὀρθός εἰμί , εἰμί καί γωνία ὁ ὑπό ΓΒΗ ὀρθός εἰμί δέ καί εὐθύς ὁ Β△ ὁ △Γ ἴσος · εἰμί ἄρα καί εὐθύς ὁ △Η ὁ △Β , τουτέστι ὁ △Γ ἴσος . καί ἐπεί ὁ ΒΕ παρά ὁ ΗΓ εἰμί , εἰμί ἄρα καί ὁ ΒΖ ὁ ΖΕ ἴσος · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 3
Ἔστω τμᾶμα κύκλου τὸ ΑΓ καὶ ἀπὸ σαμείου τινος Β τᾶς περιφερείας ἄχθω τᾷ ΑΓ ποτ᾿ ὀρθὰς ἁ Β△ , λελάφθω δὲ εὐθεῖα ἁ △Ε εὐθείᾳ τᾷ △Α ἴσα καὶ περιφέρεια ἁ ΒΖ τᾷ ΑΒ · φαμὶ δή , ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΓΖ εὐθεῖα τᾷ ΓΕ ἐστὶν ἴσα . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ , ΒΖ , ΖΕ , ΕΒ εὐθεῖαι · καὶ ἐπεὶ ἁ Α△ τᾷ △Ε ἐστὶν ἴσα , κοινὰ δὲ ἁ Β△ , δύο δὴ αἱ Α△ , △Β δυσὶ ταῖς Ε△ , △Β ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί · ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Ε△Β ἴσα βάσις ἄρα ἁ ΕΒ βάσει τᾷ ΑΒ , τουτέστι τᾷ ΒΖ , ἐστὶν ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΖΕ ἐστὶν ἴσα . Καὶ ἐπεὶ τετράπλευρον τὸ ΑΒΖΓ ἐν κύκλῳ ἐστίν , γωνίαι αἱ ἀπεναντίον αἱ ὑπὸ ΓΖΒ , ΓΑΒ , τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΓΖΒ , ΒΕΑ , δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί . Ἔστι δὲ καὶ συναμφότερος ἁ ὑπὸ ΓΕΒ , ΒΕΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΓΖΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΓΕΒ ἐστὶν ἴσα κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΖΕ , τουτέστιν ἁ ὑπὸ ΒΕΖ · λοιπαὶ ἄρα αἱ ποτὶ τᾷ βάσει τᾷ ΕΖ τριγώνου τοῦ ΕΓΖ · γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΖΕ , ΖΕΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί · πλευρὰ ἄρα ἁ ΖΓ πλευρᾷ τᾷ ΕΓ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰμί τμῆμα κύκλος ὁ ΑΓ καί ἀπό σαμεῖον τις Β ὁ περιφέρεια ἄγω ὁ ΑΓ ποτέ ὀρθός ὁ Β△ , λαμβάνω δέ εὐθύς ὁ △Ε εὐθύς ὁ △Α ἴσος καί περιφέρεια ὁ ΒΖ ὁ ΑΒ · φημί δή , ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΖ εὐθύς ὁ ΓΕ εἰμί ἴσος . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΒ , ΒΖ , ΖΕ , ΕΒ εὐθεῖα · καί ἐπεί ὁ Α△ ὁ △Ε εἰμί ἴσος , κοινός δέ ὁ Β△ , δύο δή ὁ Α△ , △Β δύο ὁ Ε△ , △Β ἑκάτερος ἑκάτερος ἴσος εἰμί · εἰμί δέ γωνία ὁ ὑπό Α△Β γωνία ὁ ὑπό ΕΒ ἴσος βάσις ἄρα ὁ ΕΒ βάσις ὁ ΑΒ , τουτέστι ὁ ΒΖ , εἰμί ἴσος γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΒΕΖ γωνία ὁ ὑπό ΒΖΕ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί τετράπλευρος ὁ ΑΒΖΓ ἐν κύκλος εἰμί , γωνία ὁ ἀπεναντίον ὁ ὑπό ΓΖΒ , ΓΑΒ , τουτέστι ὁ ὑπό ΓΖΒ , ΒΕΑ , δύο ὀρθός ἴσος εἰμί . εἰμί δέ καί συναμφότεροι ὁ ὑπό ΓΕΒ , ΒΕΑ δύο ὀρθός ἴσος κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΒΕΑ γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΓΖΒ γωνία ὁ ὑπό ΓΕΒ εἰμί ἴσος κοινός ἀφαιρέω ὁ ὑπό ΒΖΕ , τουτέστι ὁ ὑπό ΒΕΖ · λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ βάσις ὁ ΕΖ τρίγωνον ὁ ΕΓΖ · γωνία ὁ ὑπό ΓΖΕ , ΖΕΓ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · πλευρόν ἄρα ὁ ΖΓ πλευρά ὁ ΕΓ εἰμί ἴσος δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 4
Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν · τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ , γραφέωντι δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός , ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λαφθέντος σαμείου εὐθεῖα ποτὶ τᾷ περιφερείᾳ τᾷ διαμέτρῳ ποτʼ ὀρθάς , σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ κύκλῳ , οὗ διάμετρος ἁ ἀναστακεῖσα κάθετος . Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ σαμεῖόν τι ἐπὶ διαμέτρου τᾶς ΑΓ τὸ △ , καὶ ἀπὸ διαμέτρων τῶν Γ△ , △Α ἁμικύκλια ἀναγεγράφθων ἐντός , ἀπὸ δὲ τοῦ △ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ ἁ △Β φαμὶ δή , σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον , τουτέστι τοῦ μείζονος ἁμικυκλίου καὶ τῶν δύο ἀναγραφέντων ἐντός , ὅπερ Et ἄρβηλος καλείσθω , κύκλῳ , οὗ διάμετρος ἁ △Β , ἴσον ἐστίν . Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖαι αἱ △Α , △Β , △Γ ἑξῆς ἀνάλογόν ἐντι , ἐσσεῖται τὸ ὑπὸ τῶν Α△ , △Γ τῷ ἀπὸ τᾶς Β△ ἴσον · κοινὸν ποτικείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Α△ , △Γ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν Α△ , △Γ · τὸ ἄρα ἀπὸ τᾶς ὅλας τετράγωνον , τουτέστι τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ , τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ἀπὸ τῶν Α△ , △Γ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς Β△ ἐστὶν ἴσον . Καὶ ἐπεὶ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλάλους ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων τετράγωνά ἐντι , ἐσσεῖται δὴ κύκλος , οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ , δυσὶ κύκλοις , ὧν διάμετρος ἁ △Β , καὶ δυσὶ κύκλοις , ὧν διάμετροι αἱ Α△ , △Γ , ἴσος , τουτέστιν ἁμικύκλιον τὸ ΑΓ ἴσον κύκλῳ , οὗ διάμετρος ἁ △Β , καὶ δυσὶν ἁμικυκλίοις , ὧν διάμετροι αἱ Α△ , △Γ · κοινὸν ἀφαιρήσθω ἁμικύκλια τὰ Α△ , △Γ · λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ περιφερειῶν τᾶν ΑΓ , Α△ , △Γ , ὅπερ ἄρβηλος καλεῖται , κύκλῳ , οὗ διάμετρος ἁ △Β , ἐστὶν ἴσον · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν ἁμικύκλιον σαμεῖον · τις ἐπί ὁ διάμετρος εἰμί , γράφω δέ ἀπό ὁ τμῆμα ὁ διάμετρος δύο ἁμικύκλιον ἐντός , ἀναστακέρχομαι δέ ἀπό ὁ λάπτω σαμεῖον εὐθύς πρός ὁ περιφέρεια ὁ διάμετρος ποτέ ὀρθός , σχῆμα ὁ ὑπό ὁ τρεῖς περιφέρεια περιέχω ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ἀναστατίκημι κάθετος . εἰμί ἁμικύκλιον ὁ ΑΒΓ καί σαμεῖον τις ἐπί διάμετρος ὁ ΑΓ ὁ △ , καί ἀπό διάμετρον ὁ Γ△ , △Α ἁμικύκλιον ἀναγράφω ἐντός , ἀπό δέ ὁ △ σαμεῖον ἀνίστημι ποτέ ὀρθός ὁ ΑΓ ὁ △Β φημί δή , σχῆμα ὁ ὑπό ὁ τρεῖς περιφέρεια περιέχω , τουτέστι ὁ μέγας ἁμικύκλιον καί ὁ δύο ἀναγράφω ἐντός , ὅς Et ἄρβηλος καλέω , κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ △Β , ἴσος εἰμί . ἐπεί γάρ εὐθεῖα ὁ △Α , △Β , △Γ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , εἰμί ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Γ ὁ ἀπό ὁ Β△ ἴσος · κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Γ καί ὁ ἀπό ὁ Α△ , △Γ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ ὅλος τετράγωνος , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΑΓ , ὁ ἀπό ὁ τμῆμα ὁ ἀπό ὁ Α△ , △Γ τετράγωνος καί ὁ δίς ὁ ἀπό ὁ Β△ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρον τετράγωνος εἰμί , εἰμί δή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΑΓ , δύο κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ △Β , καί δύο κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ Α△ , △Γ , ἴσος , τουτέστι ἁμικύκλιον ὁ ΑΓ ἴσος κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ △Β , καί δύο ἁμικύκλιον , ὅς διάμετρος ὁ Α△ , △Γ · κοινός ἀφαιρέω ἁμικύκλιον ὁ Α△ , △Γ · λοιπός ἄρα χωρίον ὁ περιέχω ὑπό περιφέρεια ὁ ΑΓ , Α△ , △Γ , ὅς ἄρβηλος καλέω , κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ △Β , εἰμί ἴσος · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 7
Ὁ τετραγώνῳ περιγεγραμμένος κύκλος διπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστίν . Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒ περὶ τετράγωνον τὸ ΑΒ καὶ ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένος κύκλος ὁ Γ△ , διάμετρος δὲ τοῦ περιγεγραμμένου κύκλου καὶ τοῦ τετραγώνου ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ ἐγγεγραμμένου κύκλου ἁ Γ△ παρὰ τὰν ΑΕ · φαμὶ Et δή , ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστὶ διπλασίων . Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ△ , οἱ κύκλοι δὲ ἐντι ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων αὐτῶν τετράγωνα , ἐσσεῖται ἄρα καὶ ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλασίων · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: ὁ τετράγωνος περιγράφω κύκλος διπλασίων ὁ ἐγγράφω εἰμί . εἰμί γάρ κύκλος ὁ ΑΒ περί τετράγωνος ὁ ΑΒ καί ἐν αὐτός ἐγγράφω κύκλος ὁ Γ△ , διάμετρος δέ ὁ περιγράφω κύκλος καί ὁ τετράγωνος ἄγω δέ διάμετρος ὁ ἐγγράφω κύκλος ὁ Γ△ παρά ὁ ΑΕ · φημί Et δή , ὁ περιγράφω κύκλος ὁ ἐγγράφω εἰμί διπλασίων . ἐπεί οὖν ὁ ἀπό ὁ ΑΒ διπλάσιος ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ Γ△ , ὁ κύκλος δέ εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρον αὐτός τετράγωνος , εἰμί ἄρα καί ὁ περιγράφω κύκλος ὁ ἐγγράφω διπλασίων · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 8
Εἴ κα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις ΑΒ προσαρμοσμένα ᾖ , ἐκβληθῇ δὲ κατὰ τὸ Γ σαμεῖον , ὥστε τὰν ΒΓ εὐθεῖαν τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσαν εἶμεν , διαχθῇ δὲ εὐθεῖά τις ἀπὸ τοῦ Γ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὸ Ε σαμεῖον , ἐσσεῖται περιφέρεια ἁ ΑΕ περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων . Ἄχθω γὰρ ἁ ΕΗ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ △Β , △Η . Ἐπεὶ οὖν γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΓ△ , Β△Γ , △ΕΗ , △ΗΕ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί , γωνία δὲ ἁ ὑπὸ Γ△Η γωνίας τᾶς ὑπὸ △ΕΗ ἐστὶ διπλασίων , ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Β△Η γωνίας τᾶς ὑπὸ Β△Γ τριπλασίων . Ἐσσεῖται ἄρα περιφέρεια ἁ ΒΗ , τουτέστιν ἁ ΑΕ , περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν κύκλος εὐθύς τις ΑΒ προσαρμόζω εἰμί , ἐκβάλλω δέ κατά ὁ Γ σαμεῖον , ὥστε ὁ ΒΓ εὐθεῖα ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί , διάζομαι δέ εὐθύς τις ἀπό ὁ Γ διά ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἐπί ὁ Ε σαμεῖον , εἰμί περιφέρεια ὁ ΑΕ περιφέρεια ὁ ΒΖ τριπλασίων . ἄγω γάρ ὁ ΕΗ παρά ὁ ΑΒ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ △Β , △Η . ἐπεί οὖν γωνία ὁ ὑπό ΒΓ△ , Β△Γ , ΕΗ , ΗΕ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , γωνία δέ ὁ ὑπό ΓΗ γωνία ὁ ὑπό ΕΗ εἰμί διπλασίων , εἰμί ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΒΗ γωνία ὁ ὑπό Β△Γ τριπλασίων . εἰμί ἄρα περιφέρεια ὁ ΒΗ , τουτέστι ὁ ΑΕ , περιφέρεια ὁ ΒΖ τριπλασίων · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 9
Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι , δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί . Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , Γ△ τέμνουσαι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθάς , μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι · φαμὶ δή , δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ Α△ , ΓΒ δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ταῖς ΑΓ , Β△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί . Τετμάσθω γὰρ δίχα ἁ Γ△ κατὰ τὸ H σαμεῖον καὶ διὰ τοῦ H διάχθω διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΕΖ παρὰ τὰν ΑΒ . Ἐπεὶ οὖν περιφέρεια ἁ ΕΓ περιφερείαις ταῖς ΕΑ , Α△ ἴσα ἐστίν , ἐσσοῦνται ἄρα περιφέρειαι αἱ ΓΖ , ΕΑ , Α△ ἁμικυκλίῳ ἴσαι · ἔστι δὲ περιφέρεια ἁ ΕΑ περιφερείᾳ τᾷ ΒΖ ἴσα · συναμφότερος ἄρα περιφέρεια ἁ ΓΒ , Α△ ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα · λοιπὴ ἄρα περιφέρεια ἁ ΑΓ , △Β ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν κύκλος δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων ποτέ ὀρθός μή διά ὁ κέντρον εἰμί , δύο ὁ ἀπεναντίον περιφέρεια δύο ὁ ἀπεναντίον ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ καί δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , Γ△ τέμνω ἀλλήλων ποτέ ὀρθός , μή διά ὁ κέντρον εἰμί · φημί δή , δύο ὁ ἀπεναντίον περιφέρεια ὁ Α△ , ΓΒ δύο ὁ ἀπεναντίον ὁ ΑΓ , Β△ ἴσος ἀλλήλων εἰμί . τέμνω γάρ δίχα ὁ Γ△ κατά ὁ H σαμεῖον καί διά ὁ H διάγω διάμετρος ὁ κύκλος ὁ ΕΖ παρά ὁ ΑΒ . ἐπεί οὖν περιφέρεια ὁ ΕΓ περιφέρεια ὁ ΕΑ , Α△ ἴσος εἰμί , εἰμί ἄρα περιφέρεια ὁ ΓΖ , ΕΑ , Α△ ἁμικύκλιον ἴσος · εἰμί δέ περιφέρεια ὁ ΕΑ περιφέρεια ὁ ΒΖ ἴσος · συναμφότεροι ἄρα περιφέρεια ὁ ΓΒ , Α△ ἁμικύκλιον εἰμί ἴσος · λοιπός ἄρα περιφέρεια ὁ ΑΓ , △Β ἁμικύκλιον εἰμί ἴσος δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 10
Εἴ κα ᾖ κύκλος καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ △Α , △Γ ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ Α , Γ σαμεῖα , τέμνουσα δὲ εὐθεῖα ἁ △Β , ἀχθῇ δὲ ἁ ΕΓ παρὰ τὰν Β△ , ἐπιζευχθῇ δὲ ἁ ΕΑ τέμνουσα τὰν △Β κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΕΓ ἀχθῇ ἁ ΖΗ , ἁ ἀγμένα τὰν ΕΓ δίχα τέμνει . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΓ . Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ △Α ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν , ἁ δὲ ΑΓ τέμνουσα αὐτόν , γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΓ τᾷ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμάματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ , τουτέστι τᾷ ὑπὸ ΑΖ△ , ἐστὶν ἴσα . Ἔστι γὰρ ἁ ΓΕ παρὰ τὰν Β△ . Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς △ΑΖ , ΑΘ△ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΖ△ , ΘΑ△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί , γωνία δὲ ἁ πρὸς τῷ △ κοινά , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ△ , △Θ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τᾶς △Α , τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς △Γ τετραγώνῳ , ἐστὶν ἴσον ἐπεὶ οὖν ὃν λόγον ἔχει ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν △Γ , τοῦτον ἔχει καὶ ἁ △Γ ποτὶ τὰν △Θ , γωνία δὲ ἁ ποτὶ τὸ △ σαμεῖον κοινά ἐστιν , τρίγωνα ἄρα τὰ △ΖΓ , △ΓΘ ἐστὶν ὅμοια καὶ γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΖΓ , △ΓΘ , △ΑΘ , ΑΖ△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί · ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΖΓ τᾷ ὑπὸ ΖΓΕ ἴσα · ἦν δὲ καὶ ἁ ὑπὸ △ΖΑ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσα ἐν δυσὶ τριγώνοις ἄρα τοῖς ΕΗΖ , ΓΗΖ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΕΖ , ΗΓΖ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ καὶ αἱ ποτὶ τῷ Η σαμείῳ γωνίαι ὀρθαί · ἔστι ὲ πλευρὰ ἁ ΗΖ κοινά ἔστιν ἄρα ἁ ΕΗ τᾷ ΗΓ ἴσα · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν εἰμί κύκλος καί δύο εὐθεῖα ὁ △Α , △Γ ἐπιψαύω αὐτός κατά ὁ Α , Γ σαμεῖον , τέμνω δέ εὐθύς ὁ △Β , ἄγω δέ ὁ ΕΓ παρά ὁ Β△ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ ΕΑ τέμνω ὁ △Β κατά ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ Ζ ποτέ ὀρθός ὁ ΕΓ ἄγω ὁ ΖΗ , ὁ ἄγω ὁ ΕΓ δίχα τέμνω . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΓ . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ △Α ἐπιψαύω ὁ κύκλος εἰμί , ὁ δέ ΑΓ τέμνω αὐτός , γωνία ὁ ὑπό ΓΑ ὁ ἐν ὁ ἐναλλάξ τμῆμα ὁ κύκλος γωνία ὁ ὑπό ΑΕΓ , τουτέστι ὁ ὑπό ΑΖ△ , εἰμί ἴσος . εἰμί γάρ ὁ ΓΕ παρά ὁ Β△ . καί ἐπεί ἐν δύο τρίγωνος ὁ △ΑΖ , ΘΑ δύο γωνία ὁ ὑπό ΑΖ△ , ΘΑ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , γωνία δέ ὁ πρός ὁ △ κοινός , ὁ ἄρα ὑπό ὁ Ζ△ , △Θ περιέχω ὀρθογώνιον ὁ ἀπό ὁ △Α , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ △Γ τετράγωνος , εἰμί ἴσος ἐπεί οὖν ὅς λόγος ἔχω ὁ Ζ△ πρός ὁ △Γ , οὗτος ἔχω καί ὁ △Γ πρός ὁ △Θ , γωνία δέ ὁ πρός ὁ △ σαμεῖον κοινός εἰμί , τρίγωνος ἄρα ὁ △ΖΓ , △ΓΘ εἰμί ὅμοιος καί γωνία ὁ ὑπό △ΖΓ , △ΓΘ , ΘΑ , ΑΖ△ ἴσος ἀλλήλων εἰμί · εἰμί δέ καί γωνία ὁ ὑπό △ΖΓ ὁ ὑπό ΖΓΕ ἴσος · εἰμί δέ καί ὁ ὑπό △ΖΑ ὁ ὑπό ΑΕΓ ἴσος ἐν δύο τρίγωνος ἄρα ὁ ΕΗΖ , ΓΗΖ δύο γωνία ὁ ὑπό ΗΕΖ , ΗΓΖ ἴσος ἀλλήλων εἰμί καί ὁ πρός ὁ Η σαμεῖον γωνία ὀρθός · εἰμί ε πλευρόν ὁ ΗΖ κοινός εἰμί ἄρα ὁ ΕΗ ὁ ΗΓ ἴσος · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 11
Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι , τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν εὐθειῶν τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐντί . Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , Γ△ τετμάσθων ποτʼ ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σαμεῖον · φαμὶ δή , τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ , ΕΒ , ΓΕ , Ε△ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν . Ἄχθω γὰρ διάμετρος τοῦ induoκύκλου ἁ ΑΖ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ ΑΓ , Α△ , ΓΖ , △Β εὐθεῖαι . Ἐπεὶ οὖν ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Α△Ε , ΑΖΓ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΕ△ , Α△Ε , καὶ ΑΓΖ , ΑΖΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΖ , △ΑΕ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἴσαι · περιφέρειαι ἄρα αἱ ΓΖ , △Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί , καὶ αἱ ταύτας ὑποτείνουσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ , △Β ἔστι δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν △Ε , ΕΒ τῷ ἀπὸ τᾶς △Β , τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΖ , ἴσον , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ , ΕΓ τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΑ , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ , ΓΑ τῷ ἀπὸ τᾶς ΖΑ , τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου , ἴσα · ἐσσοῦνται ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ , ΕΒ , ΓΕ , Ε△ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν κύκλος δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων ποτέ ὀρθός μή διά ὁ κέντρον εἰμί , ὁ ἀπό ὁ τμῆμα ὁ εὐθεῖα τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ἴσος εἰμί . εἰμί γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί δύο εὐθεῖα ὁ ΑΒ , Γ△ τέμνω ποτέ ὀρθός κατά ὁ Ε σαμεῖον · φημί δή , ὁ ἀπό ὁ τμῆμα ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΕ , Ε△ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ἴσος εἰμί . ἄγω γάρ διάμετρος ὁ induoκυκαλεω ὁ ΑΖ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , Α△ , ΓΖ , △Β εὐθεῖα . ἐπεί οὖν ἐν δύο τρίγωνος ὁ Α△Ε , ΑΖΓ γωνία ὁ ὑπό ΑΕ△ , Α△Ε , καί ΑΓΖ , ΑΖΓ ἴσος ἀλλήλων εἰμί ἑκάτερος ἑκάτερος , λοιπός ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΓΑΖ , △ΑΕ εἰμί ἀλλήλων ἴσος · περιφέρεια ἄρα ὁ ΓΖ , △Β ἴσος ἀλλήλων εἰμί , καί ὁ οὗτος ὑποτείνω εὐθεῖα ὁ ΓΖ , △Β εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ △Ε , ΕΒ ὁ ἀπό ὁ △Β , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ἴσος , καί ὁ ἀπό ὁ ΑΕ , ΕΓ ὁ ἀπό ὁ ΓΑ , καί ὁ ἀπό ὁ ΓΖ , ΓΑ ὁ ἀπό ὁ ΖΆ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ διάμετρος , ἴσος · εἰμί ἄρα ὁ ἀπό ὁ τμῆμα ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΕ , Ε△ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ἴσος δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .
archimedes.liber-assumptorum 13
Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς ὦσιν , ἁ μὲν διάμετρος ἁ δὲ οὔ , ἀχθέωντι δὲ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ἄλλᾳ εὐθεία , αἱ ἀπολαφθεῖσαι ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί . Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς αἱ ΑΒ , Γ△ , ἇν ἁ ΑΒ διάμετρος τοῦ κύκλου , καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α , Β ἄχθωσαν τᾷ Γ△ ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖαι αἱ ΑΕ , ΒΖ φαμὶ δή , αἱ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου ἀπολαφθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ , △Ε ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΕΒ καὶ ἀπὸ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Ι τᾷ Γ△ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΙΗ καὶ ἐκβληθεῖσα συμβαλλέτω τᾷ ΕΒ κατὰ τὸ Θ σαμεῖον . Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ ΙΗ παρὰ τὰν ΑΕ ἐστίν , ἁ δὲ ΒΙ τᾷ ΙΑ ἴσα , εὐθεῖα ἄρα ἁ ΒΘ τᾷ ΘΕ ἐστὶν ἴσα . Πάλιν , ἐπεὶ ἁ ΒΖ παρὰ τὰν ΘΗ ᾖ , ἐστίν εὐθεῖα ἄρα ἁ ΖΗ εὐθείᾳ τᾷ ΗΕ ἐστὶν ἴσα ἔστι δὲ καὶ ἁ ΗΓ τᾷ Η△ ἴσα · κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΗ , τουτέστιν ἁ ΗΕ · λοιπὰ ἄρα ἁ ΖΓ λοιπᾷ τᾷ Ε△ ἐστὶν ἴσα · φανερὸν οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν κύκλος δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων μή ποτέ ὀρθός εἰμί , ὁ μέν διάμετρος ὁ δέ οὐ , ἄγω δέ ἀπό ὁ πέρας ὁ διάμετρος εὐθύς ποτέ ὀρθός ὁ ἄλλος εὐθεῖα , ὁ ἀπολάπτω ἀπό ὁ πέρας ὁ διάμετρος εὐθεῖα ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ καί ἐν αὐτός δύο εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων μή ποτέ ὀρθός ὁ ΑΒ , Γ△ , ὅς ὁ ΑΒ διάμετρος ὁ κύκλος , καί ἀπό ὁ πέρας ὁ διάμετρος ὁ Α , Β ἄγω ὁ Γ△ ποτέ ὀρθός εὐθεῖα ὁ ΑΕ , ΒΖ φημί δή , ὁ ἀπό ὁ πέρας ὁ διάμετρος ἀπολάπτω εὐθεῖα ὁ ΓΖ , △Ε ἴσος ἀλλήλων εἰμί . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΕΒ καί ἀπό κέντρον ὁ κύκλος ὁ Ι ὁ Γ△ ἄγω ποτέ ὀρθός εὐθύς ὁ ΙΗ καί ἐκβάλλω συμβάλλω ὁ ΕΒ κατά ὁ Θ σαμεῖον . ἐπεί οὖν εὐθύς ὁ ΙΗ παρά ὁ ΑΕ εἰμί , ὁ δέ ΒΙ ὁ ΙΑ ἴσος , εὐθύς ἄρα ὁ ΒΘ ὁ ΘΕ εἰμί ἴσος . πάλιν , ἐπεί ὁ ΒΖ παρά ὁ ΘΗ εἰμί , εἰμί εὐθύς ἄρα ὁ ΖΗ εὐθύς ὁ ΗΕ εἰμί ἴσος εἰμί δέ καί ὁ ΗΓ ὁ Η△ ἴσος · κοινός ἀφαιρέω ὁ ΖΗ , τουτέστι ὁ ΗΕ · λοιπός ἄρα ὁ ΖΓ λοιπός ὁ Ε△ εἰμί ἴσος · φανερός οὖν ὅς δέω δείκνυμι .