archimedes.liber-assumptorum 14
Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἴσα τμάματα λαφθέωντι καὶ ἀπὸ τούτων ἁμικύκλια ἐντὸς γραφέωντι , γραφῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τᾶς διαμέτρου ἁμικύκλιον ἐκτός , ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος συναμφότερος ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἁμικυκλίου καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκτός , χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων , ὅπερ σελήνιον καλείσθω , ἴσος ἐστίν . Ἔστω ἁμικύκλιον , οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ , καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α , Β δύο τμάματα ἴσα ἀλλάλοις λελάφθω τὰ ΑΓ , Β△ , γεγράφθω δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων δύο ἁμικύκλια ἐντός , καὶ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τοῦ Γ△ γεγράφθω ἁμικύκλιον ἐκτός , διὰ κέντρου δὲ τοῦ ἀμικυκλίου τοῦ Ε διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον · φαμὶ δή , ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ , χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων , ὅπερ σελήνιον καλείσθω , ἴσος ἐστίν . Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα · γραμμὰ ἁ △Γ δίχα τέτμαται κατὰ τὸ Ε σαμεῖον , ποτίκειται δὲ αὐτᾷ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἁ ΓΑ , τὸ ἀπὸ τᾶς △Α καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ποτικειμένας τᾶς ΓΑ τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλασίονά ἐντι τοῦ τε ἀπὸ τᾶς ἁμισείας τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου . Ἔστι δὲ ἁ ΖΗ τᾷ △Α ἴσα ἔστιν ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ , ΓΑ διπλασίονα τοῦ τε ἀπὸ τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ . Καὶ ἐπεὶ ἁ ΑΒ τᾶς ΑΕ διπλασίων ἐστὶ καὶ ἁ Γ△ τᾶς △Ε , ἐσσεῖται καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ , Γ△ τοῖς ἀπὸ τῶν △Ε , ΕΑ τετραπλασίονα , τουτέστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ , ΓΑ διπλασίονα · κύκλοι ἄρα , ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ , △Γ εὐθεῖαι , κύκλων , ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ , ΓΑ , διπλασίονές ἐντι · ἁμικύκλια ἄρα , ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ , △Γ εὐθεῖαι , κύκλοις , ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ , ΓΑ , ἴσα ἐστίν · κοινὸν ἀφαιρήσθω κύκλος , οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ , τουτέστι δύο ἁμικύκλια , ὧν διάμετροι αἱ ΑΓ , △Β · λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων περιεχόμενον , ὅπερ σελήνιον καλεῖται , κύκλῳ , οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ , ἴσον ἐστίν · δῆλον οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν ἁμικύκλιον ἀπό ὁ πέρας ὁ διάμετρος δύο ἴσος τμῆμα λάπτω καί ἀπό οὗτος ἁμικύκλιον ἐντός γράφω , γράφω δέ ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα ὁ διάμετρος ἁμικύκλιον ἐκτός , ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος συναμφότεροι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἁμικύκλιος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐκτός , χωρίον ὁ περιέχω ὑπό ὁ περιφέρεια ὁ ἁμικύκλιον , ὅς σελήνιον καλέω , ἴσος εἰμί . εἰμί ἁμικύκλιον , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , καί ἀπό ὁ πέρας ὁ διάμετρος ὁ Α , Β δύο τμῆμα ἴσος ἀλλήλων λαμβάνω ὁ ΑΓ , Β△ , γράφω δέ ἀπό ὁ τμῆμα δύο ἁμικύκλιον ἐντός , καί ἀπό ὁ λοιπός τμῆμα ὁ Γ△ γράφω ἁμικύκλιον ἐκτός , διά κέντρον δέ ὁ ἀμικύκλιος ὁ Ε διάμετρον ὁ ΑΒ ἄγω ποτέ ὀρθός εὐθύς ὁ ΕΖ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Η σαμεῖον · φημί δή , ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΖΗ , χωρίον ὁ περιέχω ὑπό ὁ περιφέρεια ὁ ἁμικύκλιον , ὅς σελήνιον καλέω , ἴσος εἰμί . ἐπεί γάρ εὐθύς · γραμμή ὁ △Γ δίχα τέμνω κατά ὁ Ε σαμεῖον , πρόσκειμαι δέ αὐτός εὐθύς ἐπί εὐθεῖα ὁ ΓΑ , ὁ ἀπό ὁ △Α καί ὁ ἀπό ὁ πρόσκειμαι ὁ ΓΑ ὁ συναμφότεροι τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ἁμισεία ὁ △Ε καί ὁ ἀπό ὁ ΕΑ τετράγωνος . εἰμί δέ ὁ ΖΗ ὁ △Α ἴσος εἰμί ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ΓΑ διπλάσιος ὁ τε ἀπό ὁ △Ε καί ὁ ἀπό ὁ ΕΑ . καί ἐπεί ὁ ΑΒ ὁ ΑΕ διπλασίων εἰμί καί ὁ Γ△ ὁ △Ε , εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , Γ△ ὁ ἀπό ὁ △Ε , ΕΑ τετραπλασίων , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ΖΗ , ΓΑ διπλάσιος · κύκλος ἄρα , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , △Γ εὐθεῖα , κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΖΗ , ΓΑ , διπλασίων εἰμί · ἁμικύκλιον ἄρα , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , △Γ εὐθεῖα , κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΖΗ , ΓΑ , ἴσος εἰμί · κοινός ἀφαιρέω κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΑΓ , τουτέστι δύο ἁμικύκλιον , ὅς διάμετρος ὁ ΑΓ , △Β · λοιπός ἄρα χωρίον ὁ ὑπό ὁ περιφέρεια ὁ ἁμικύκλιον περιέχω , ὅς σελήνιον καλέω , κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΖΗ , ἴσος εἰμί · δῆλος οὖν ὁ προτίθημι .