archimedes.liber-assumptorum 5
Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ , καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός , ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου εὐθεῖα τᾷ διαμέτρῳ ποτ᾿ ὀρθάς , καὶ δύο κύκλοι γραφέωντι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας ἐπιψαύοντες αὐτᾶς καὶ τῶν ἁμικυκλίων , οἱ γραφέντες κύκλοι ἐσσοῦνται ἀλλάλοις ἴσοι . Ἔστω ἁμικύκλιον , οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ , σαμεῖον δέ τι ἐπʼ αὐτᾶς τὸ Γ · ἀναγεγράφθω δὲ ἀπὸ τμαμάτων τῶν ΑΓ , ΓΒ ἁμικύκλια ἐντός , καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς διαμέτρω τᾷ ΑΒ ἁ Γ△ , γεγράφθων δὲ δύο κύκλοι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας εὐθείας ἐπιψαύοντες τᾶς τε ἀνεστακούσας καὶ τῶν ἁμικυκλίων · φαμὶ δή , οἱ γραφέντες κύκλοι ἴσοι ἀλλάλοις ἐντί . Ἔστω γὰρ πρότερον κύκλος ὁ ἐπιψαύων τᾶς Γ△ κατὰ τὸ Ε σαμεῖον καὶ ἁμικυκλίου μὲν τοῦ ΑΓ κατὰ τὸ H , ἁμικυκλίου δὲ τοῦ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ , ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΘΕ · ἐπιζευχθεῖσαι δὴ αἱ ΑΘ , ΘΖ εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας , ἐκβληθεῖσαι δὲ αἱ ΑΖ , ΓΕ εὐθεῖαι συμβαλέτωσαν κατὰ τὸ △ σαμεῖον ὁμοίως δὴ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΖΕ , ΕΒ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας , καὶ αἱ ΘΗ , ΗΓ , καὶ αἱ ΕΗ . ΗΑ , ἐκβεβλήσθω δὲ ἁ ΑΕ ἐπὶ τὸ Ι σαμεῖον , ἄχθω δὲ ἁ ΒΙ εὐθεῖα καὶ ἁ Ζ△ . Ἐπεὶ οὖν αἱ Α△ , ΑΒ εὐθεῖαί ἐντι καὶ ἀπὸ τοῦ △ σαμείου τᾷ ΑΒ ἆκται ποτʼ ὀρθὰς ἁ △Γ , καὶ ἀπὸ τοῦ Β ποτʼ ὀρθὰς τᾷ △Α ἁ ΒΖ τέμνουσα τὰν △Γ Bl , κατὰ τὸ Ε , εὐθεῖα δὲ ἁ ΑΕΙ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΒΙ ἐστίν , ἐσσοῦνται ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΙ , Ι△ ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας , ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ ὀρθογωνίων τριγώνων δέδεικται Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Β△ παρὰ τὰν ΓΗ ἐστίν , τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Θ , ὃν ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΘΕ , τουτέστιν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΓ τὸ ἄρα ὑπὸ τᾶν ΑΓ , ΓΒ τῷ ὑπὸ τᾶν ΑΒ , ΘΕ ἐστὶν ἴσον · ὅμοίως δὴ δείξομες ὅτι ἐν κύκλῳ τῷ ΛΜΝ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΓ , ΓΒ τῷ ὑπὸ ΑΒ καὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἴσον ἐστίν · αἱ διάμετροι ἄρα κύκλων τῶν ἴσαι ἐντί , τουτέστιν οἱ δύο κύκλοι ἴσοι ἐντί · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν ἁμικύκλιον σαμεῖον τις ἐπί ὁ διάμετρος εἰμί , καί γράφω ἀπό ὁ τμῆμα ὁ διάμετρος δύο ἁμικύκλιον ἐντός , ἀναστακέρχομαι δέ ἀπό ὁ σαμεῖον εὐθύς ὁ διάμετρον ποτέ ὀρθός , καί δύο κύκλος γράφω ἐπί ἀμφότερος ὁ ἀνειστήκω ἐπιψαύω αὐτός καί ὁ ἁμικύκλιον , ὁ γράφω κύκλος εἰμί ἀλλήλων ἴσος . εἰμί ἁμικύκλιον , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , σαμεῖον δέ τις ἐπί αὐτός ὁ Γ · ἀναγράφω δέ ἀπό τμῆμα ὁ ΑΓ , ΓΒ ἁμικύκλιον ἐντός , καί ἀπό ὁ Γ σαμεῖον ἀνίστημι ποτέ ὀρθός διάμετρον ὁ ΑΒ ὁ Γ△ , γράφω δέ δύο κύκλος ἐπί ἀμφότερος ὁ ἀνειστήκω εὐθεῖα ἐπιψαύω ὁ τε ἀνειστήκω καί ὁ ἁμικύκλιον · φημί δή , ὁ γράφω κύκλος ἴσος ἀλλήλων εἰμί . εἰμί γάρ πρότερος κύκλος ὁ ἐπιψαύω ὁ Γ△ κατά ὁ Ε σαμεῖον καί ἁμικύκλιος μέν ὁ ΑΓ κατά ὁ H , ἁμικύκλιος δέ ὁ ΑΒ κατά ὁ Ζ , ἄγω δέ διάμετρος ὁ κύκλος ὁ ΘΕ · ἐπιζεύγνυμι δή ὁ ΑΘ , ΘΖ εὐθεῖα εἰμί ἀλλήλων ἐπί εὐθεῖα , ἐκβάλλω δέ ὁ ΑΖ , ΓΕ εὐθεῖα συμβαλέω κατά ὁ △ σαμεῖον ὅμοιος δή ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΕ , ΕΒ εἰμί ἀλλήλων ἐπί εὐθεῖα , καί ὁ ΘΗ , ΗΓ , καί ὁ ΕΗ . ΗΑ , ἐκβάλλω δέ ὁ ΑΕ ἐπί ὁ Ι σαμεῖον , ἄγω δέ ὁ ΒΙ εὐθύς καί ὁ Ζ△ . ἐπεί οὖν ὁ Α△ , ΑΒ εὐθύς εἰμί καί ἀπό ὁ △ σαμεῖον ὁ ΑΒ ἄγω ποτέ ὀρθός ὁ △Γ , καί ἀπό ὁ Β ποτέ ὀρθός ὁ △Α ὁ ΒΖ τέμνω ὁ △Γ Bl , κατά ὁ Ε , εὐθύς δέ ὁ ΑΕΙ ποτέ ὀρθός ὁ ΒΙ εἰμί , εἰμί ἄρα εὐθεῖα ὁ ΒΙ , Ι△ ἀλλήλων ἐπί εὐθεῖα , ὡς παρά ἐγώ ἐν ὁ Περι ὀρθογώνιον τρίγων δείκνυμι Καὶ ἐπεί εὐθύς ὁ Β△ παρά ὁ ΓΗ εἰμί , ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α△ πρός ὁ △Θ , ὅς ἔχω ὁ ΑΓ πρός ὁ ΘΕ , τουτέστι ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΓ ὁ ἄρα ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ ὑπό ὁ ΑΒ , ΘΕ εἰμί ἴσος · ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι ἐν κύκλος ὁ ΛΜΝ ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΒ ὁ ὑπό ΑΒ καί ὁ διάμετρος ὁ ΛΜΝ κύκλος ἴσος εἰμί · ὁ διάμετρος ἄρα κύκλος ὁ ἴσος εἰμί , τουτέστι ὁ δύο κύκλος ἴσος εἰμί · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .