archimedes.liber-assumptorum 15
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ καὶ ἁ ΑΓ πλευρὰ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἰσοπλεύρου τε καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου , τετμάσθω δὲ περιφέρεια ἁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ △ , ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἁ Γ△ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε , καὶ ἀπὸ τοῦ △ σαμείου διάχθω ἁ △Β τέμνουσα πλευρὰν τὰν ΑΓ κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἄχθω τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθὰς ἁ ΖΗ φαμὶ δή , εὐθεῖα ἁ ΕΗ τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν . Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΓΒ , καὶ ἔστω κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σαμεῖον , καὶ ἄχθωσαν αἱ Θ△ , △Η , Α△ εὐθεῖαι . Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν , γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒ△ , τουτέστι ἁ ὑπὸ △ΒΑ , ἓν πεμπταμόριον ὀρθᾶς ἐστιν · γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΘΑ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν . Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒΖ , ΗΒΖ δύο γωνίαι αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί , ὀρθαὶ δὲ αἱ ποτὶ τὰ Η , Γ σαμεῖα , κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ ΒΖ , ἐσσεῖται ἄρα καὶ βάσις ἁ ΒΓ βάσει τᾷ ΒΗ ἴσα . Πάλιν ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒ△ , ΗΒ△ δύο πλευραὶ αἱ ΓΒ , ΒΗ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί , γωνίαι δὲ αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι , κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ Β△ , ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΓ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΗ△ , τουτέστιν ἐπιπέμπτῳ ὀρθᾶς , ἴσα · ἔστι BD δὲ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓ△ , ΒΗ△ γωνιῶν γωνίᾳ τᾷ ἐκτὸς τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύτοῦ ῥοῦ ΒΑ△Γ , τουτέστι τᾷ △ΑΕ , ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΑ ἔστιν ἴσα , καὶ πλευρὰ ἁ △Α τᾷ △Η . Καὶ ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΘΗ βε΄ ὀρθᾶς ἐστι καὶ ἁ ὑπὸ △ΗΘ ἐπίπεμπτος ὀρθᾶς , γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Η βέ ὀρθᾶς ἐστιν πλευρὰ ἄρα ἁ △ Η πλευρᾷ τᾷ ΗΘ ἐστὶν ἴσα . Πάλιν , ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύρου τοῦ Α△ΓΒ ἐκτός ἐστιν , ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσα · ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ βγ΄ ὀρθᾶς γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Η△Θ ἐστὶν ἴσα . Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Ε△Α , Θ△Η δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ Ε△Α , △ΑΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ Θ△Η . △ΗΘ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί , βάσις δὲ ἁ △Α βάσει τᾷ △Η ἴσα , πλευρὰ ἄρα ἁ ΕΑ πλευρᾷ τᾷ ΘΗ ἴσα ἐστίν . Κοινὰ ποτικείσθω ἁ ΑΗ εὐθεῖα ἄρα ἁ ΕΗ εὐθείᾳ τᾷ ΑΘ , τουτέστι τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , ἴσα ἐστίν · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν . ΠΟΡΙΣΜΑ Ἐκ τούτου δὴ φανερὸν ὅτι εὐθεῖα ἁ △Ε τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἴσα . Ἐπεὶ γὰρ γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΘ ἴσα ἐστίν , ἐσσεῖται καὶ πλευρὰ ἁ △Θ πλευρᾷ τᾷ △Ε , τουτέστι τᾷ ΑΘ , ἴσα . ΠΟΡΙΣΜΑ Καὶ ἔτι δῆλον ὅτι εὐθεῖα ἁ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον τέτμαται κατὰ τὸ △ σαμεῖον τμᾶμα δὲ τὸ △Ε τὸ μεῖζόν ἐστιν , ἐπεὶ ἁ Ε△ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου , ἁ δὲ △Γ πλευρὰ τοῦ δεκαγώνου τῶν ἐν τῷ κύκλῳ ἐγγραφομένων .
Lemmas: εἰμί ἁμικύκλιον ὁ ΑΒ καί ὁ ΑΓ πλευρόν ὁ ἐγγράφω ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος πεντάγωνος , τέμνω δέ περιφέρεια ὁ ΑΓ δίχα κατά ὁ △ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ Γ△ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ε , καί ἀπό ὁ △ σαμεῖον διάγω ὁ △Β τέμνω πλευρά ὁ ΑΓ κατά ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ Ζ ἄγω ὁ ΑΒ ποτέ ὀρθός ὁ ΖΗ φημί δή , εὐθύς ὁ ΕΗ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἴσος εἰμί . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΓΒ , καί εἰμί κέντρον ὁ κύκλος ὁ Θ σαμεῖον , καί ἄγω ὁ Θ△ , △Η , Α△ εὐθεῖα . ἐπεί οὖν γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ δύο πέμπτος ὀρθός εἰμί , γωνία ὁ ὑπό ΓΒ△ , τουτέστι ὁ ὑπό △ΒΑ , εἷς πεμπταμόριον ὀρθός εἰμί · γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΘΑ δύο πέμπτος ὀρθός εἰμί . καί ἐπεί ἐν δύο τρίγωνος ὁ ΓΒΖ , ΗΒΖ δύο γωνία ὁ πρός ὁ Β ἴσος ἀλλήλων εἰμί , ὀρθός δέ ὁ πρός ὁ Η , Γ σαμεῖον , κοινός δέ πλευρόν ὁ ΒΖ , εἰμί ἄρα καί βάσις ὁ ΒΓ βάσις ὁ ΒΗ ἴσος . πάλιν ἐπεί ἐν δύο τρίγωνος ὁ ΓΒ△ , ΒΗ δύο πλευρά ὁ ΓΒ , ΒΗ ἴσος ἀλλήλων εἰμί , γωνία δέ ὁ πρός ὁ Β ἴσος , κοινός δέ πλευρόν ὁ Β△ , εἰμί ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΒΓ△ γωνία ὁ ὑπό ΒΗ , τουτέστι ἐπίπεμπτος ὀρθός , ἴσος · εἰμί BD δέ ἑκάτερος ὁ ὑπό ΒΓ△ , ΒΗ γωνία γωνία ὁ ἐκτός ὁ ἐν ὁ κύκλος τετραπλεύτός ῥόος ΒΑ△Γ , τουτέστι ὁ △ΑΕ , ἴσος γωνία ἄρα ὁ ὑπό △ΑΒ γωνία ὁ ὑπό ΑΗ εἰμί ἴσος , καί πλευρόν ὁ △Α ὁ △Η . καί ἐπεί γωνία ὁ ὑπό △ΘΗ βεʹ ὀρθός εἰμί καί ὁ ὑπό △ΗΘ ἐπίπεμπτος ὀρθός , γωνία ἄρα ὁ ὑπό Θ△Η βέ ὀρθός εἰμί πλευρόν ἄρα ὁ △ Η πλευρά ὁ ΗΘ εἰμί ἴσος . πάλιν , ἐπεί γωνία ὁ ὑπό Α△Ε ὁ ἐν ὁ κύκλος τετράπλευρος ὁ Α△ΓΒ ἐκτός εἰμί , εἰμί ἄρα γωνία ὁ ὑπό Α△Ε γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ ἴσος · εἰμί δέ γωνία ὁ ὑπό ΑΒΓ βγʹ ὀρθός γωνία ἄρα ὁ ὑπό Α△Ε γωνία ὁ ὑπό Η△Θ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί ἐν δύο τρίγωνος ὁ Ε△Α , Θ△Η δύο γωνία ὁ ὑπό Ε△Α , △ΑΕ δύο ὁ ὑπό Θ△Η . △ΗΘ ἑκάτερος ἑκάτερος ἴσος εἰμί , βάσις δέ ὁ △Α βάσις ὁ △Η ἴσος , πλευρόν ἄρα ὁ ΕΑ πλευρά ὁ ΘΗν ἴσος εἰμί . κοινός πρόσκειμαι ὁ ΑΗ εὐθύς ἄρα ὁ ΕΗ εὔθεια ὁ ΑΘ , τουτέστι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ἴσος εἰμί · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι . πόρισμα ἐκ οὗτος δή φανερός ὅτι εὐθύς ὁ △Ε ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος εἰμί ἴσος . ἐπεί γάρ γωνία ὁ ὑπό △ΑΕ γωνία ὁ ὑπό △ΗΘ ἴσος εἰμί , εἰμί καί πλευρόν ὁ △Θ πλευρά ὁ △Ε , τουτέστι ὁ ΑΘ , ἴσος . πόρισμα καί ἔτι δῆλος ὅτι εὐθύς ὁ ΑΓ ἄκρος καί μέσος τέμνω κατά ὁ △ σαμεῖον τμῆμα δέ ὁ △Ε ὁ μέγας εἰμί , ἐπεί ὁ Ε△ πλευρόν ὁ ἑξάγωνος , ὁ δέ △Γ πλευρόν ὁ δεκαγῶνος ὁ ἐν ὁ κύκλος ἐγγράφω .