archimedes.liber-assumptorum 6
Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ , καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός , τραφῇ δὲ ἐν τῷ ἀρβήλῳ κύκλος ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων , τὸν λόγον τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου εὑρεῖν . ΑΒΓ , σαμεῖον δὲ τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου τὸ △ καὶ πεποιήσθω οὕτως , ὥστε τὸ μεῖζον τμᾶμα τὸ Α△ ἐλάσσονος τοῦ △Γ ἁμιόλιον εἶμεν , καὶ ἀπὸ τμαμάτων τῶν Α△ , △Β ἀναγεγράφθων ἁμικύκλια , γεγράφθω δὲ ἐν τῷ ἀρβήλω κύκλος ὁ ΕΖ ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων , καὶ ἄχθω διάμετρος αὐτοῦ παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΕΖ . Εὑρεῖν τὸν λόγον διαμέτρου τᾶς ΑΓ ποτὶ διάμετρον τὰν ΕΖ . Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ , ΕΒ εὐθεῖαι καὶ αἱ ΓΖ , ΖΒ · εὐθεῖαι δή ἐντι αἱ ΑΒ , ΓΒ , ὡς ἐν τοῖς πρότερον ἐδείχθη . Ἐπεζεύχθωσαν ἔτι αἱ ΖΗΑ , ΕΘΓ δείκνυνται δὴ αὗται εὐθεῖαι οὖσαι ἔτι δὲ ἐπεζεύχθωσαν αἱ △Ε , △Ζ , καὶ αἱ △Ι , △Λ , καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΜ , ΖΝ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ο , Ρ σαμεῖα . Ἐπεὶ οὖν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΕ△ ἁ ΑΗ τᾷ Ε△ ποτʼ ὀρθάς ἐστιν , καὶ ἁ △Ι τᾷ ΑΕ , τέμνοντι δὲ ἀλλάλας κατὰ τὸ Μ σαμεῖον , ἁ ΕΜΟ τᾷ ΑΓ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς , ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τριγώνων ἐδείχθη καὶ τῷ πρότερον ὑπέκειτο · διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΖΝΡ τᾷ ΓΑ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς · ἔστι δὲ εὐθεῖα ἁ △Λ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἁ △Ι παρὰ τὰν ΓΒ · ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Γ , ὃν ἔχει ἁ ΑΜ ποτὶ τὰν ΜΖ , τουτέστιν ἁ ΑΟ ποτὶ τὰν καὶ ἁ Γ△ ποτὶ τὰν △Α τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει , ὃν ἔχει ἁ ΓΝ ποτὶ τὰν ΝΕ , τουτέστιν ἁ ΓΡ ποτὶ τὰν ΡΟ · ἦν δὲ ἁ Α△ ἁμιόλιος τᾶς △Γ · καὶ ἁ ΑΟ ἄρα τᾶς ΟΡ ἐστὶν ἁμιόλιος , καὶ ἁ ΟΡ τᾶς ΓΡ · εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΑΟ , ΟΡ , ΡΓ ἑξῆς ἀνάλόγον ἐντι , ἇν ἁ μὲν ΡΓ ἴσα γίνεται τέσσαρα , ἁ δὲ ΟΡ ἕξ , ἁ δὲ ΑΟ ἐννέα , ἁ δὲ ΓΑ ἐννεακαίδεκα . Ἔστι δὲ ἁ ΡΟ τᾷ ΕΖ ἴσα ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΕΖ , ὃν ἔχει τὰ ἐννεακαίδεκα ποτὶ τὰ ἕξ · καί ἐστιν ἁ ΑΓ διάμετρος ἁμικυκλίου τοῦ ΑΒΓ , ἁ δὲ ΕΖ κύκλου τοῦ ΕΒΖ · εὑρέθη ἄρα ὁ αἰτούμενος λόγος . Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται εἴ κα ὁ λόγος τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου ἐπιμόριος ᾖ .
Lemmas: εἰ ἄν ἐν ἁμικύκλιον σαμεῖον τις ἐπί ὁ διάμετρος εἰμί , καί γράφω ἀπό ὁ τμῆμα ὁ διάμετρος δύο ἁμικύκλιον ἐντός , τρέφω δέ ἐν ὁ ἄρβηλος κύκλος ἐπιψαύω ὁ τρεῖς ἁμικύκλιον , ὁ λόγος ὁ διάμετρος ὁ δίδωμι ἁμικύκλιος πρός ὁ διάμετρος ὁ ἐγγράφω κύκλος εὑρίσκω . ΑΒΓ , σαμεῖον δέ τις ἐπί ὁ διάμετρος ὁ △ καί ποιέω οὕτως , ὥστε ὁ μέγας τμῆμα ὁ Α△ ἐλαχύς ὁ △Γ ἡμιόλιος εἰμί , καί ἀπό τμῆμα ὁ Α△ , △Β ἀναγράφω ἁμικύκλιον , γράφω δέ ἐν ὁ ἄρβηλος κύκλος ὁ ΕΖ ἐπιψαύω ὁ τρεῖς ἁμικύκλιον , καί ἄγω διάμετρος αὐτός παρά ὁ ΑΓ ὁ ΕΖ . εὑρίσκω ὁ λόγος διάμετρος ὁ ΑΓ πρός διάμετρος ὁ ΕΖ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , ΕΒ εὐθεῖα καί ὁ ΓΖ , ΖΒ · εὐθύς δή εἰμί ὁ ΑΒ , ΓΒ , ὡς ἐν ὁ πρότερος δείκνυμι . ἐπιζεύγνυμι ἔτι ὁ ΖΗΑ , ΕΘΓ δείκνυμι δή οὗτος εὐθύς εἰμί ἔτι δέ ἐπιζεύγνυμι ὁ △Ε , △Ζ , καί ὁ △Ι , △Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΜ , ΖΝ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ο , Ρ σαμεῖον . ἐπεί οὖν ἐν τρίγωνον ὁ ΑΕ△ ὁ ΑΗ ὁ Ε△ ποτέ ὀρθός εἰμί , καί ὁ △Ι ὁ ΑΕ , τέμνω δέ ἀλλήλων κατά ὁ Μ σαμεῖον , ὁ ΕΜΟ ὁ ΑΓ εἰμί ποτέ ὀρθός , ὡς παρά ἐγώ ἐν ὁ Περι τρίγων δείκνυμι καί ὁ πρότερος ὑπόκειμαι · διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΖΝΡ ὁ ΓΑ εἰμί ποτέ ὀρθός · εἰμί δέ εὐθύς ὁ △Λ παρά ὁ ΑΒ καί ὁ △Ι παρά ὁ ΓΒ · ὥστε ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ Α△ πρός ὁ △Γ , ὅς ἔχω ὁ ΑΜ πρός ὁ ΜΖ , τουτέστι ὁ ΑΟ πρός ὁ καί ὁ Γ△ πρός ὁ △Α ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς ἔχω ὁ ΓΝ πρός ὁ ΝΕάς , τουτέστι ὁ ΓΡ πρός ὁ ΡΟ · εἰμί δέ ὁ Α△ ἡμιόλιος ὁ △Γ · καί ὁ ΑΟ ἄρα ὁ ΟΡ εἰμί ἡμιόλιος , καί ὁ ΟΡ ὁ ΓΡ · εὐθύς ἄρα ὁ ΑΟ , ΟΡ , ΡΓ ἑξῆς ἀνάλογος εἰμί , ὅς ὁ μέν ΡΓ ἴσος γίγνομαι τέσσαρες , ὁ δέ ΟΡ ἕξ , ὁ δέ ΑΟ ἐννέα , ὁ δέ ΓΑ ἐννεακαίδεκα . εἰμί δέ ὁ ΡΟ ὁ ΕΖ ἴσος ὥστε ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ ΑΓ πρός ὁ ΕΖ , ὅς ἔχω ὁ ἐννεακαίδεκα πρός ὁ ἕξ · καί εἰμί ὁ ΑΓ διάμετρος ἁμικύκλιος ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ΕΖ κύκλος ὁ ΕΒΖ · εὑρίσκω ἄρα ὁ αἰτέω λόγος . ὅμοιος δή δείκνυμι εἰ ἄν ὁ λόγος ὁ διάμετρος ὁ δίδωμι ἁμικύκλιος πρός ὁ διάμετρος ὁ ἐγγράφω κύκλος ἐπιμόριος εἰμί .