archimedes.liber-assumptorum 12
Εἴ κα ἐκ σαμείου ἐκτὸς ἁμικυκλίου δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ , ἀχθέωντι δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς δύο εὐθεῖαι ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τέμνουσαι ἀλλάλας , ἁ ἐκ τοῦ ἐκτὸς σαμείου ποτὶ τὸ σαμεῖον τομᾶς τῶν δύο εὐθειῶν ἀχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ποτὶ τὰν διάμετρον ἐσσεῖται ταύτᾳ ποτʼ ὀρθάς . Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ , σαμεῖον δὲ τι ἐκτὸς αὐτοῦ τὸ Γ , καὶ ἐκ τοῦ Γ ἄχθων δύο εὐθεῖαι αἱ Γ△ , ΓΕ ἐπίψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ △ , Ε σαμεῖα , ἐπεζεύχθων δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τὰ Α , Β εὐθεῖαι αἱ ΕΑ , △Β τέμνουσαι ἀλλάλας κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἀχθεῖσα ἁ ΓΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον φαμὶ δή , εὐθεῖα ἁ ΓΗ διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς . Ἐπεζεύχθων γὰρ αἱ Α△ , ΕΒ . Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ △ΑΒ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β ὀρθά ἐστιν , λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΑΒ , △ΒΑ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσαι ἐντί ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα κοινὰ ποτικείσθω ἁ ὑπὸ ΖΒΕ συναμφότερος ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ , ΑΒΕ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ ΖΒΕ , ΖΕΒ , τουτέστιν ἐξωτερικᾷ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ ἐστὶν ἴσα . Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν , διᾶκται δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφᾶς τοῦ κλου ἁ △Β τέμνουσα τὸν κύκλον , ἐσσεῖται γωνία ἁ ὑπὸ Γ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΑΒ ἴσα διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ τᾷ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστὶν ἴσα καὶ συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ , Γ△Ζ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ ἐστὶν ἴσα καὶ δέδεικται παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τετραπλεύρων ὅτι εἴ κα μεταξὺ δύο ἰσᾶν εὐθειᾶν τεμνομενᾶν , οἷον τᾶν Γ△ , ΓΕ , δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι τεμνόμεναί , οἷον αἱ △Ζ , ΕΖ , γωνία δὲ ἁ ὑπὸ τούτων περιεχομὲνα , ὡς ἁ ποτὶ τῷ Ζ , συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ τῶν δύο τεμνομενᾶν εὐθειᾶν περιεχομένᾳ , ὡς αἱ ποτὶ τοῖς Ε , △ σαμείοις , ἴσα ἐστίν , ἁ ἐπιζευγνυμένα ἐκ τοῦ σαμείου καθʼ ὃ αἱ δύο εὐθεῖαι συμβάλλοντι ἐπὶ τὸ σαμεῖον καθʼ ὃ αὗται τὲμνοντι ἀλλάλας , ὡς ἁ ΓΖ εὐθεῖα , ἑκατέρᾳ τᾶν τεμνομενᾶν εὐθειᾶν , ὡς αἱ Γ△ , ΓΕ , ἐστὶν ἴσα · ἁ ΓΖ εὐθεῖα ἄρα τᾷ Γ△ ἐστὶν ἴσα καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΖ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Γ△Ζ , τουτέστι τᾷ ὑπὸ △ΑΗ · γωνίαι δὲ αἱ ὑπὸ ΓΖ△ , △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί · συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΗ , △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα ἐστίν · λοιπαὶ ἄρα γωνίαι τετραπλεύρου τοῦ Α△ΖΗ αἱ ὑπὸ Α△Ζ , ΑΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί · ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΗΓ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα ἐστίν · ἔστιν ἄρα εὐθεῖα ἁ △Η διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθάς · δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν ἐκ σαμεῖον ἐκτός ἁμικύκλιος δύο εὐθεῖα ἀχθέω ἐπιψαύω αὐτός , ἀχθέω δέ ἐκ ὁ σαμεῖον ἁφή δύο εὐθεῖα πρός ὁ ἀπεναντίον πέρας ὁ διάμετρος τέμνω ἀλλήλων , ὁ ἐκ ὁ ἐκτός σαμεῖον πρός ὁ σαμεῖον τομή ὁ δύο εὐθεῖα ἄγω καί ἐκβάλλω πρός ὁ διάμετρος εἰμί οὗτος ποτέ ὀρθός . εἰμί ἁμικύκλιον ὁ ΑΒ , σαμεῖον δέ τις ἐκτός αὐτός ὁ Γ , καί ἐκ ὁ Γ ἄγω δύο εὐθεῖα ὁ Γ△ , ΓΕ ἐπίψᾳυω αὐτός κατά ὁ △ , Ε σαμεῖον , ἐπιζεύγνυμι δέ ἐκ ὁ σαμεῖον ἁφή πρός ὁ ἀπεναντίον πέρας ὁ διάμετρος ὁ Α , Β εὐθεῖα ὁ ΕΑ , △Β τέμνω ἀλλήλων κατά ὁ Ζ , καί ἄγω ὁ ΓΖ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Η σαμεῖον φημί δή , εὐθύς ὁ ΓΗ διάμετρον ὁ ΑΒ εἰμί ποτέ ὀρθός . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ Α△ , ΕΒ . ἐπεί οὖν τρίγωνον ὁ △ΑΒ γωνία ὁ ὑπό Α△Β ὀρθός εἰμί , λοιπός ἄρα γωνία ὁ ὑπό △ΑΒ , △ΒΑ εἷς ὀρθός ἴσος εἰμί εἰμί δέ καί γωνία ὁ ὑπό ΑΕΒ εἷς ὀρθός ἴσος κοινός πρόσκειμαι ὁ ὑπό ΖΒΕ συναμφότεροι ἄρα ὁ ὑπό △ΑΒ , ΑΒΕ συναμφότεροι ὁ ὑπό ΖΒΕ , ΖΕΒ , τουτέστι ἐξωτερικός γωνία ὁ ὑπό ΕΖ τρίγωνον ὁ ΖΒΕ εἰμί ἴσος . καί ἐπεί εὐθύς ὁ Γ△ ἐπιψαύω ὁ κύκλος εἰμί , διάγω δέ ἀπό ὁ σαμεῖον ἁφή ὁ κλον ὁ △Β τέμνω ὁ κύκλος , εἰμί γωνία ὁ ὑπό Γ△Β γωνία ὁ ὑπό △ΑΒ ἴσος διά ὁ αὐτός δή καί γωνία ὁ ὑπό ΓΕΖ ὁ ὑπό ΕΒΑ εἰμί ἴσος καί συναμφότεροι ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΓΕΖ , Γ△Ζ ὁ ὑπό ΕΖ εἰμί ἴσος καί δείκνυμι παρά ἐγώ ἐν ὁ Περι τετράπλευρος ὅτι εἰ ἄν μεταξύ δύο ἴσος εὐθεῖα τέμνω , οἷος ὁ Γ△ , ΓΕ , δύο εὐθεῖα ἀχθέω τέμνω , οἷος ὁ △Ζ , ΕΖ , γωνία δέ ὁ ὑπό οὗτος περιέχω , ὡς ὁ πρός ὁ Ζ , συναμφότεροι ὁ ὑπό ὁ δύο τέμνω εὐθεῖα περιέχω , ὡς ὁ πρός ὁ Ε , △ σαμεῖον , ἴσος εἰμί , ὁ ἐπιζεύγνυμι ἐκ ὁ σαμεῖον κατά ὅς ὁ δύο εὐθεῖα συμβάλλω ἐπί ὁ σαμεῖον κατά ὅς οὗτος τέμνω ἀλλήλων , ὡς ὁ ΓΖ εὐθύς , ἑκάτερος ὁ τέμνω εὐθεῖα , ὡς ὁ Γ△ , ΓΕ , εἰμί ἴσος · ὁ ΓΖ εὐθύς ἄρα ὁ Γ△ εἰμί ἴσος καί γωνία ὁ ὑπό ΓΖ△ γωνία ὁ ὑπό Γ△Ζ , τουτέστι ὁ ὑπό ΑΗ · γωνία δέ ὁ ὑπό ΓΖ△ , ΖΗ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · συναμφότεροι ἄρα γωνία ὁ ὑπό ΑΗ , ΖΗ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · λοιπός ἄρα γωνία τετράπλευρος ὁ ΑΗΖ ὁ ὑπό Α△Ζ , ΑΗΖ δύο ὀρθός ἴσος εἰμί · εἰμί δέ γωνία ὁ ὑπό Α△Β εἷς ὀρθός ἴσος γωνία ἄρα ὁ ὑπό ΑΗΓ εἷς ὀρθός ἴσος εἰμί · εἰμί ἄρα εὐθύς ὁ △Η διάμετρον ὁ ΑΒ ποτέ ὀρθός · δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .