archimedes.fragmenta 1.1
Ταῦτα δ᾿ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα , τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἑξάεδρον , ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον , πέμπτον δ᾿ εἰκοσάεδρον , ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων , οὐχ ὁμοίων δὲ πολυγώνων περιεχόμενα . Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων △Ζ καὶ ἑξαγώνων δ . Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η καὶ τετραγώνοις ς΄ , τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ς΄ καὶ ἑξαγώνοις η , τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις ς΄ . Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η καὶ τετραγώνοις ιη , τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβ , ἑξαγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις ς΄ . Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ καὶ πενταγώνοις ιβ , τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις κ , τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ καὶ δεκαγώνοις ιβ . Μετὰ δὲ ταῦτα ἔν ἐστιν ὁκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ καὶ τετραγώνων ς΄ . Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τργώνοις κ καὶ τετραγώνοις λ καὶ πενταγώνοις ιβ , τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ καὶ ἑξαγώνοις κ καὶ δεκαγώνοις ιβ . Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον , ὃ περιέχεται τριγώνοις π καὶ πενταγώνοις ιβ . Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεὰς τῶν ιγ τούτων σχημάτων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς , διὰ τοῦδε τοῦ τρόπου θεωρεῖται ὅσων μὲν γὰρ ἁπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίαις , ἐξαριθμηθεισῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν , ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου , δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ , ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις , ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν , ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου , τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου ὁμοίως δὲ καὶ ὅσων πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ ε γωνιῶν ἐπιπέδων , τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν . Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος , ἃς ἕκαστον ἔχει τῶν πολυέδρων , τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν . Ἐξαριθμηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν , ἂς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχοντα τὸ πολύεδρον , ὁ ἀριθμὸς αὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τὸν ἐπιπέδων γωνιῶν . Ἀλλ᾿ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἑκὰστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν , δῆλον ὅτι τοῦ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου . Τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ πολυέδρων , ἐπεὶ περιέχετοι τριγώνοις △Ζ καὶ ἑξαγώνοις δ , γωνίας μὲν ἔχει στερεὰς ιβ , πλευρὰς δὲ ιη . Τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἵ τε γωνίαι ιβ εἰσὶν καὶ αἱ πλευραὶ ιβ , τῶν δὲ δ ἑξαγώνων αἵ τε γωνίαι κδ εἰσὶν καὶ αἱ πλευραὶ κδ · γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϚ΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ , ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ , τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ , τουτέστιν τοῦ λϚ΄ , ὥστε εἶναι πλευρὰς ιη . Τῶν δὲ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τργώνοις η καὶ τετραγώνοις Ϛ΄ , ὥστε ἔχειν στερεὰς μὲν γωνίας ιβ ἑκάστη γὰρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γωνιῶν περιέχεται · πλευρὰς δὲ ἔχει κδ , Τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ ἑκάστη γὰρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γ γωνιῶν ἐπιπέδων πλευρὰς δὲ ἔχει λϚ΄ , Τὸ δὲ τρίτον τῶν τετρακαιδεκαέδρων , ἐπεὶ περιέχετοι τριγώνοις η καὶ ὁκταγώνοις Ϛ΄ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ , πλευρὰς δὲ λς΄1 . Tῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μὲν πρῶτον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε η καὶ τετραγώνοις ιη , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ , πλευρὰς δὲ μη , Τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας μη , πλευρὰς δὲ οβ . Τῶν δὲ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ πενταγώνοις ιβ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας λ , πλευρὰς δὲ ξ . Τὸ δὲ δεύτερον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων , ἐπεὶ περιέχεται πενταγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις κ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ , πλευρὰς δὲ 𝔮 . Τὸ δὲ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ δεκαγώνοις ιβ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ , πλευρὰς δὲ ( ?? ) . Τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε λβ καὶ τετραγώνοις ἕξ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ , πλευρὰς δὲ ξ . Tῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ τετραγώνοις λ καὶ πενταγώνοις ιβ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ , πλευρὰς δὲ ρκ . Τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις λ καὶ ἑξαγωνοις καὶ δεκαγώνοις ιβ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκ , πλευρὰς δὲ ρπ . Τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε π καὶ πενταγώνοις ιβ , ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ , πλευρὰς δὲ ρν .
Lemmas: οὗτος δέ εἰμί οὐ μόνος ὁ παρά ὁ θεῖος Πλάτων πέντε σχῆμα , τουτέστι τετράεδρος τε καί ἑξάεδρος , ὀκτάεδρος τε καί δωδεκάεδρος , πέμπτος δέ εἰκοσάεδρος , ἀλλά καί ὁ ὑπό Ἀρχιμήδης εὑρίσκω τρεισκαίδεκα ὁ ἀριθμός ὑπό ἰσόπλευρος μέν καί ἰσογώνιος , οὐ ὅμοιος δέ πολύγωνος περιέχω . ὁ μέν γάρ πρῶτος ὀκτάεδρον εἰμί περιέχω ὑπό τρίγων △Ζ καί ἑξάγωνος δ . τρεῖς δέ μετά οὗτος τεσσαρεσκαιδεκάεδρον , ὅς ὁ μέν πρῶτος περιέχω τρίγωνος η̅ καί τετράγωνος ς# , ὁ δέ δεύτερος τετράγωνος ς# καί ἑξάγωνος η̅ , ὁ δέ τρίτος τρίγωνος η̅ καί ὀκτάγωνος ς# . μετά δέ οὗτος ἑκκαιεικοσάεδρον εἰμί δύο , ὅς ὁ μέν πρῶτος περιέχω τρίγωνος η̅ καί τετράγωνος ιηʹ , ὁ δέ δεύτερος τετράγωνος ιβʹ , ἑξάγωνος η̅ καί ὀκτάγωνος ς# . μετά δέ οὗτος δυοκαιτριακοντάεδρος εἰμί τρεῖς , ὅς ὁ μέν πρῶτος περιέχω τρίγωνος κ καί πεντάγωνος ιβʹ , ὁ δέ δεύτερος πεντάγωνος ιβʹ καί ἑξάγωνος κ , ὁ δέ τρίτος τρίγωνος κ καί δεκαγώνοις ιβʹ . μετά δέ οὗτος ἐν εἰμί ὁκτωκαιτριακοντάεδρον περιέχω ὑπό τρίγων λβʹ καί τετράγωνος ς# . μετά δέ οὗτος δυοκαιεξηκοντάεδρος εἰμί δύο , ὅς ὁ μέν πρῶτος περιέχω τργώνοιςʹ κ καί τετράγωνος λ καί πεντάγωνος ιβʹ , ὁ δέ δεύτερος τετράγωνος λ καί ἑξάγωνος κ καί δεκαγώνοις ιβʹ . μετά δέ οὗτος τελευταῖος εἰμί δυοκαιενενηκοντάεδρος , ὅς περιέχω τρίγωνος π καί πεντάγωνος ιβʹ . ὅσος δέ γωνία ἕκαστος ἔχω στερεός ὁ ιγʹ οὗτος σχῆμα πολύεδρος καί ὅσος πλευρά , διά ὅδε ὁ τρόπος θεωρέω ὅσος μέν γάρ ἁπλῶς πολύεδρος ὁ στερεός γωνία τρεῖς ἐπίπεδος περιέχω γωνία , ἐξαριθμέω ὁ ἐπίπεδος γωνία , ὅς ἔχω πᾶς ὁ ἕδρα ὁ πολύεδρος , δῆλος ὡς ὁ ὁ στερεός γωνία ἀριθμός τρίτος μέρος εἰμί ὁ γίγνομαι ἀριθμός , ὅσος δέ πολύεδρος ὁ στερεός γωνία περιέχω τέσσαρες ἐπίπεδος , ἐξαριθμέω πᾶς ὁ ἐπίπεδος γωνία , ὅς ἔχω ὁ ἕδρα ὁ πολύεδρος , ὁ γίγνομαι ἀριθμός ὁ τέταρτος μέρος εἰμί ὁ ἀριθμός ὁ ὁ στερεός γωνία ὁ πολύεδρος ὅμοιος δέ καί ὅσος πολύεδρος ὁ στερεός γωνία περιέχω ὑπό ε γωνία ἐπίπεδος , ὁ πέμπτος ὁ πλῆθος ὁ ἐπίπεδος γωνία εἰμί ὁ ἀριθμός ὁ πλῆθος ὁ στερεός γωνία . ὁ δέ πλευρά ὁ πλῆθος , ὅς ἕκαστος ἔχω ὁ πολύεδρος , ὅδε ὁ τρόπος εὑρίσκω . ἐξαριθμέω γάρ πᾶς ὁ πλευρά , ὅς ἔχω ὁ ἐπίπεδος ὁ περιέχω ὁ πολύεδρος , ὁ ἀριθμός αὐτός δῆλος ὡς ἴσος εἰμί ὁ πλῆθος ὁ ἐπίπεδος γωνία . ἀλλά ἐπειδή δύο ἐπίπεδος ἕκαστος ὁ πλευρά αὐτός κοινός εἰμί , δῆλος ὅτι ὁ πλῆθος ὁ ἥμισυς ὁ πλευρά εἰμί ὁ πολύεδρος . ὁ μέν οὖν πρῶτος ὁ ἀνομοιογενής ιγʹ πολύεδρος , ἐπεί περιέχετος τρίγωνος △Ζ καί ἑξάγωνος δ , γωνία μέν ἔχω στερεός ιβʹ , πλευρά δέ ιηʹ . ὁ μέν γάρ τέσσαρες τρίγων ὁ τε γωνία ιβʹ εἰμί καί ὁ πλευρά ιβʹ , ὁ δέ δ ἑξάγωνος ὁ τε γωνία κδʹ εἰμί καί ὁ πλευρά κδʹ · γίγνομαι δή ὁ ἀριθμός πᾶς λϚʹ ἀναγκαῖος εἰμί ὁ μέν ὁ στερεός γωνία ἀριθμός τρίτος μέρος εἰμί ὁ προλέγω ἀριθμός , ἐπεί καί ἕκαστος ὁ στερεός αὐτός γωνία ἐπίπεδος γωνία περιέχω γ , ὁ δέ ὁ πλευρά πλῆθος ὁ ἥμισυς ὁ ἀριθμός , τουτέστι ὁ λϚʹ , ὥστε εἰμί πλευρά ιηʹ . ὁ δέ τετρακαιδεκάεδρον ὁ πρῶτος περιέχω τργώνοιςʹ η̅ καί τετράγωνος Ϛʹ , ὥστε ἔχω στερεός μέν γωνία ιβʹ ἕκαστος γάρ αὐτός γωνία ὑπό τέσσαρες ἐπίπεδος γωνία περιέχω · πλευρά δέ ἔχω κδʹ , Τέ δέ δεύτερος ὁ τετρακαιδεκάεδρον , ἐπεί περιέχω τετράγωνος Ϛʹ καί ἑξάγωνος η̅ , ἔχω στερεός μέν γωνία κδʹ ἕκαστος γάρ ὁ γωνία αὐτός περιέχω ὑπό γ γωνία ἐπίπεδος πλευρά δέ ἔχω λϚʹ , Τέ δέ τρίτος ὁ τετρακαιδεκάεδρον , ἐπεί περιέχετος τρίγωνος η̅ καί ὁκταγῶνος Ϛʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία κδʹ , πλευρά δέ λς΄1 . Tῶν δέ ἑκκαιεικοσάεδρον ὁ μέν πρῶτος , ἐπεί περιέχω τρίγωνος τε η̅ καί τετράγωνος ιηʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία κδʹ , πλευρά δέ μηδέ , Τέ δέ δεύτερος ὁ ἑκκαιεικοσάεδρον , ἐπεί περιέχω τετράγωνος ιβʹ καί ἑξάγωνος η̅ καί ὀκτάγωνος Ϛʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία μηδέ , πλευρά δέ οβʹ . ὁ δέ δύοκαιτριακονταεδρος ὁ μέν πρῶτος , ἐπεί περιέχω τρίγωνος τε κ καί πεντάγωνος ιβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία λ , πλευρά δέ ξ . ὁ δέ δεύτερος ὁ δύοκαιτριακονταεδρος , ἐπεί περιέχω πεντάγωνος ιβʹ καί ἑξάγωνος κ , ἔχω στερεός μέν γωνία ξ , πλευρά δέ 𝔮 . ὁ δέ τρίτος ὁ δύοκαιτριακονταεδρος , ἐπεί περιέχω τρίγωνος τε κ καί δεκάγωνος ιβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία ξ , πλευρά δέ ( ?? ) . ὁ δέ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον , ἐπεί περιέχω τρίγωνος τε λβʹ καί τετράγωνος ἕξ , ἔχω στερεός μέν γωνία κδʹ , πλευρά δέ ξ . Tῶν δέ δύοκαιεξηκονταεδρος ὁ μέν πρῶτος , ἐπεί περιέχω τρίγωνος τε κ καί τετράγωνος λ καί πεντάγωνος ιβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία ξ , πλευρά δέ ρκʹ . ὁ δέ λοιπός ὁ δύοκαιεξηκονταεδρος , ἐπεί περιέχω τετράγωνος λ καί ἑσσογωνοις καί δεκήγωνος ιβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία ρκʹ , πλευρά δέ ρπʹ . ὁ δέ δυοκαιενενηκοντάεδρος , ἐπεί περιέχω τρίγωνος τε π καί πεντάγωνος ιβʹ , ἔχω στερεός μέν γωνία ξ , πλευρά δέ ρ .