archimedes.dimensio-circuli 3
Παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει τῆς διαμέτρου , μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδομηκοστομόνοις . Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ Ε καὶ ἡ ΓΛΖ ἐφαπτομένη καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου ὀρθῆς · ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει , ὃν τς τρὸς ρνγ , ἡ δὲ ΕΓ πρὸς ΓΖ λόγον ἔχει , ὃν σξε πρὸς ρνγ , Τετμήσθω οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ · ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ , ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ . Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΖΕ . ΕΓ πρὸς ΖΓ , ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ · ὥστε ἡ ΓΕ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοα πρὸς ρνγ . Ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει , ὃν Μ θυν πρὸς Μ γυθ · μήκει ἄρα , ὃν φU+A7FCα η΄ πρὸς ρνγ . Πάλιν δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΕΘ · διὰ τὰ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αρξβ η΄πρὸς ρνγ · ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αροβ η΄ πρὸς ρνγ . Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ · ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἐχει ἢ ὃν βτλδ δ᾿ πρὸς ρνγ · ἡ ΕΚ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα ἢ ὃν βτλθ δ᾿ πρὸς ρνγ . Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΛΕ · ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΛΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ δχογ U+2220΄ πρὸς ρνγ . Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου οὖσα ὀρθῆς τέτμηται τετράκις δίχα , ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ὀρθῆς ἐστι μη΄ . Κείσθω οὖν αὐτῇ ἴση πρὸς τῷ Ε ἡ ὑπὸ ΓΕΜ · ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ ὀρθῆς ἐστι κδ΄ . Καὶ ἡ ΛΜ ἄρα εὐθεῖα τοῦ περὶ τὸν κύκλον ἐστὶ πολυγώνου πλευρὰ πλευρὰς ἔχοντος ( ?? ) ς . Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΛ ἐδείχθη μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ δχογ U+2220΄ πρὸς ρνγ , ἀλλὰ τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ , τῆς δὲ ΓΛ διπλασίων ἡ ΛΜ , καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν τοῦ ( ?? ) ς γώνου περίμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δχογ U+2220΄πρὸς Μ δχπη . Καὶ ἐστιν τριπλασία , καὶ ὑπερέχουσιν χξζ U+2220΄ , ἅπερ τῶν δχογ U+2220΄ ἐλάττονά ἐστιν ἢ τὸ ἕβδομον · ὥστε τὸ πολύγωνον τὸ περὶ τὸν κύκλον τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλάσιον καὶ ἐλάττονι ἢ τῷ ἑβδόμῳ μέρει μεῖζον · ἡ τοῦ κύκλου ἄρα περίμετρος πολὺ μᾶλλον ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τριπλασίων καὶ ἑβδόμῳ μέρει μείζων . Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τρίτου ὀρθῆς · ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αταν πρὸς ψπ . Δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΗ . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ , ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ , καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστὶν ἴση . Καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀρθή · καὶ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ τρίτῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἴση . Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΗΓ τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ · ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ , ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ . Ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ , συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΒΓ · καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ , ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ . Διὰ τοῦτο οὖν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βϡια πρὸς ψπ , ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἐλάσσονα ἢ ὃν γιγ U+2220΄ δ΄ πρὸς ψπ . Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ · ἡ ΑΘ ἄρα διὰ τὰ αὐτὰ πρὸς τὴν ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν εϡκδ U+2220΄ δ΄ πρὸς ψπ ἢ ὃν αωκγ πρὸς σμ · ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας δ ιγ΄ · ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΘ ἢ ὃν αωλη θ ια΄ πρὸς σμ . Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ΚΑ · καὶ ὁ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αζ πρὸς ξς · ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ια μ΄ . Ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΚΓ ἢ ὃν αθ ϛ΄ πρὸς ξς . Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ τῇ ΛΑ · ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ βις ϛ΄ πρὸς ξς , ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα ἢ τὰ βιζ δ΄ πρὸς ξς . Ἀνάπαλιν ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ςτλς πρὸς βιζ δ΄ . ἅπερ τῶν βιζ δ΄ μείζονά ἐστιν ἢ τριπλασίονα καὶ δέκα οα΄ · καὶ ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ ( ?? ) ςγώνου τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι οα΄ · ὥστε καὶ ὁ κύκλος ἔτι μᾶλλον τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι οα΄ . Ἡ ἄρα τοῦ κύκλου περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει , μείζονι δὲ ἢ ι οα΄ μείζων .
Lemmas: πᾶς κύκλος ὁ περίμετρος ὁ διάμετρος τριπλασίων εἰμί καί ἔτι ὑπερέχω ἐλαχύς μέν ἤ ἕβδομος μέρος ὁ διάμετρος , μέγας δέ ἤ δέκα ἑβδομηκοστόμονος . εἰμί κύκλος καί διάμετρος ὁ ΑΓ καί κέντρον ὁ Ε καί ὁ ΓΛΖ ἐφάπτω καί ὁ ὑπό ΖΕΓ τρίτου ὀρθός · ὁ ΕΖ ἄρα πρός ΖΓ λόγος ἔχω , ὅς τςʹ τρος ρνγʹ , ὁ δέ ΕΓ πρός ΓΖ λόγος ἔχω , ὅς σξεʹ πρός ρνγʹ , τέμνω οὖν ὁ ὑπό ΖΕΓ δίχα ὁ ΕΗ · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΖΕ πρός ΕΓ , ὁ ΖΗ πρός ΗΓ . ὡς ἄρα συναμφότεροι ὁ ΖΕ . ΕΓ πρός ΖΓ , ὁ ΕΓ πρός ΓΗ · ὥστε ὁ ΓΕ πρός ΓΗ μέγας λόγος ἔχω ἤ φοαʹ πρός ρνγʹ . ὁ ΕΗ ἄρα πρός ΗΓ δύναμις λόγος ἔχω , ὅς Μ θυνʹ πρός Μ γυθʹ · μῆκος ἄρα , ὅς φU+A7FCα ηʹ πρός ρνγʹ . πάλιν δίχα ὁ ὑπό ΗΕΓ ὁ ΕΘ · διά ὁ αὐτός ἄρα ὁ ΕΓ πρός ΓΘ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅς αρξβʹ η΄πρὸς ρνγʹ · ὁ ΘΕ ἄρα πρός ΘΓ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅς αροβʹ ηʹ πρός ρνγʹ . ἔτι δίχα ὁ ὑπό ΘΕΓ ὁ ΕΚ · ὁ ΕΓ ἄρα πρός ΓΚ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅς βτλδʹ δέ πρός ρνγʹ · ὁ ΕΚ ἄρα πρός ΓΚ μέγας ἤ ὅς βτλθʹ δέ πρός ρνγʹ . ἔτι δίχα ὁ ὑπό ΚΕΓ ὁ ΛΕ · ὁ ΕΓ ἄρα πρός ΛΓ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ δχογ U+2220΄ πρός ρνγ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ΖΕΓ τρίτος εἰμί ὀρθός τέμνω τετράκις δίχα , ὁ ὑπό ΛΕΓ ὀρθός εἰμί μηʹ . κεῖμαι οὖν αὐτός ἴσος πρός ὁ Ε ὁ ὑπό ΓΕΜ · ὁ ἄρα ὑπό ΛΕΜ ὀρθός εἰμί κδʹ . καί ὁ ΛΜ ἄρα εὐθύς ὁ περί ὁ κύκλος εἰμί πολύγωνον πλευρά πλευρά ἔχω ( ?? ) ϛ . ἐπεί οὖν ὁ ΕΓ πρός ὁ ΓΛ δείκνυμι μέγας λόγος ἔχω ἤ δχογ U+2220΄ πρός ρνγ , ἀλλά ὁ μέν ΕΓ διπλόος ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΓΛ διπλασίων ὁ ΛΜ , καί ὁ ΑΓ ἄρα πρός ὁ ὁ ( ?? ) ϛ γώνον περίμετρος μέγας λόγος ἔχω ἤ δχογ Ὦψ Μ δχπηʹ . καί εἰμί τριπλάσιος , καί ὑπερέχω χξζʹ U+2220΄ , ὅς ὁ δχογʹ U+2220΄ ἐλαχύς εἰμί ἤ ὁ ἕβδομος · ὥστε ὁ πολύγωνον ὁ περί ὁ κύκλος ὁ διάμετρος εἰμί τριπλάσιος καί ἐλαχύς ἤ ὁ ἕβδομος μέρος μέγας · ὁ ὁ κύκλος ἄρα περίμετρος πολύς μάλα ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλασίων καί ἕβδομος μέρος μέγας . εἰμί κύκλος καί διάμετρος ὁ ΑΓ , ὁ δέ ὑπό ΒΑΓ τρίτος ὀρθός · ὁ ΑΒ ἄρα πρός ΒΓ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὅς ἄτη πρός ψπʹ . δίχα ὁ ὑπό ΒΑΓ ὁ ΑΗ . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΗ ὁ ὑπό ΗΓΒ , ἀλλά καί ὁ ὑπό ΗΑΓ , καί ὁ ὑπό ΗΓΒ ὁ ὑπό ΗΑΓ εἰμί ἴσος . καί κοινός ὁ ὑπό ΑΗΓ ὀρθός · καί τρίτος ἄρα ὁ ὑπό ΗΖΓ τρίτος ὁ ὑπό ΑΓΗ ἴσος . ἰσογώνιος ἄρα ὁ ΑΗΓ ὁ ΓΗΖ τρίγωνον · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΑΗ πρός ΗΓ , ὁ ΓΗ πρός ΗΖ καί ὁ ΑΓ πρός ΓΖ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΖ , συναμφότεροι ὁ ΓΑΒ πρός ΒΓ · καί ὡς συναμφότεροι ἄρα ὁ ΒΑΓ πρός ΒΓ , ὁ ΑΗ πρός ΗΓ . διά οὗτος οὖν ὁ ΑΗ πρός ΗΓ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ βϡιαʹ πρός ψπ , ὁ δέ ΑΓ πρός ὁ ΓΗ ἐλαχύς ἤ ὅς γιγʹ U+2220΄ δʹ πρός ψπ . δίχα ὁ ὑπό ΓΑΗ ὁ ΑΘ · ὁ ΑΘ ἄρα διά ὁ αὐτός πρός ὁ ΘΓ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὅς εϡκδʹ U+2220΄ δʹ πρός ψπʹ ἤ ὅς αωκγʹ πρός σμʹ · ἑκάτερος γάρ ἑκάτερος δ ιγʹ · ὥστε ὁ ΑΓ πρός ὁ ΓΘ ἤ ὅς αωληʹ θʹ ιαʹ πρός σμʹ . ἔτι δίχα ὁ ὑπό ΘΑΓ ὁ ΚΑ · καί ὁ ΑΚ πρός ὁ ΚΓ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὅς αζʹ πρός ξς · ἑκάτερος γάρ ἑκάτερος ιαʹ μʹ . ὁ ΑΓ ἄρα πρός ΚΓ ἤ ὅς αθʹ ϛʹ πρός ξςʹ . ἔτι δίχα ὁ ὑπό ΚΑΓ ὁ ΛΑ · ὁ ΑΛ ἄρα πρός ΛΓ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὅς ὁ βιςʹ ϛʹ πρός ξςʹ , ὁ δέ ΑΓ πρός ΓΛ ἐλαχύς ἤ ὁ βιζʹ δʹ πρός ξςʹ . ἀνάπαλιν ἄρα ὁ περίμετρος ὁ πολύγωνον πρός ὁ διάμετρος μέγας λόγος ἔχω ἤ στλςʹ πρός βιζ δʹ . ὅς ὁ βιζʹ δʹ μέγας εἰμί ἤ τριπλασίων καί δέκα οαʹ · καί ὁ περίμετρος ἄρα ὁ ( ?? ) ςγώνου ὁ ἐν ὁ κύκλος ὁ διάμετρος τριπλασίων εἰμί καί μέγας ἤ ιʹ οαʹ · ὥστε καί ὁ κύκλος ἔτι μάλα τριπλασίων εἰμί καί μέγας ἤ ιʹ οαʹ . ὁ ἄρα ὁ κύκλος περίμετρος ὁ διάμετρος τριπλασίων εἰμί καί ἐλαχύς μέν ἤ ἕβδομος μέρος , μέγας δέ ἤ ιʹ οαʹ μέγας .