archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.3
Τρίτον ἧν πρόβλημα τόδε · Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν , ὅπως αἱ τῶν τμημάτων ἐπιφάνειαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσιν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι . Γεγονέτω , καὶ ἔστω τῆς σφαίρας μέγιστος κύκλος ὁ Α△ΒΕ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΒ , καὶ ἐκβεβλήσθω πρὸς τὴν ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθόν , καὶ ποιείτω τὸ ἐπίπεδον ἐν τῷ Α△ΒΕ κύκλῳ τομὴν τὴν △Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α△ , Β△ . Ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ △ΑΕ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ △ΒΕ τμήματος , ἀλλὰ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΑΕ τμήματος ἴσος ἐστὶ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ Α△ , τῇ δὲ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΒΕ τμήματος ἴσος ἐστὶ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ △Β , ὡς δὲ οἱ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους , οὕτως τὸ ἀπὸ Α△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Β , τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , λόγος ἄρα τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ δοθείς · ὥστε δοθέν ἐστι τὸ Γ σημεῖον . Καί ἐστι τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ △Ε · θέσει ἄρα καὶ τὸ διὰ τῆς △Ε ἐπίπεδον . Συντεθήσεται δὴ οὕτως · ἔστω σφαῖρα , ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ△Ε καὶ διάμετρος ἡ ΑΒ , ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Ζ πρὸς Η , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ , ὥστε εἶναι , ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΒΓ , οὕτως τὴν Ζ πρὸς Η , καὶ διὰ τοῦ Γ ἐπιπέδῳ τετμήσθω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ , καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ ἡ △Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α△ , △Β , καὶ ἐκκείσθωσαν δύο κύκλοι οἱ Θ , Κ , ὁ μὲν Θ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ Α△ , ὁ δὲ Κ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῇ △Β · ἔστιν ἄρα ὁ μὲν Θ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΑΕ τμήματος , ὁ δὲ Κ τοῦ △ΒΕ τμήματος · τοῦτο γὰρ προδέδεικται ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ . Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ Α△Β καὶ κάθετος ἡ Γ△ , ἔστιν , ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ , τουτέστιν ἡ Ζ πρὸς Η , τὸ ἀπὸ Α△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Β , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου , τουτέστιν ὁ Θ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον , τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ △ΑΕ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ △ΒΕ τμήματος τῆς σφαίρας .
Lemmas: τρίτος ἧμαι πρόβλημα ὅδε · ὁ δίδωμι σφαῖρα ἐπίπεδος τέμνω , ὅπως ὁ ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ αὐτός ὁ δίδωμι . γίγνομαι , καί εἰμί ὁ σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΕ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΑΒ , καί ἐκβάλλω πρός ὁ ΑΒ ἐπίπεδος ὀρθός , καί ποιέω ὁ ἐπίπεδος ἐν ὁ ΑΒΕ κύκλος τομή ὁ △Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α△ , Β△ . ἐπεί οὖν λόγος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ △ΑΕ τμῆμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΒ τμῆμα , ἀλλά ὁ ἐπιφάνεια ὁ △ΑΕ τμῆμα ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ Α△ , ὁ δέ ἐπιφάνεια ὁ ΕΒ τμῆμα ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ △Β , ὡς δέ ὁ λέγω κύκλος πρός ἀλλήλων , οὕτως ὁ ἀπό Α△ πρός ὁ ἀπό △Β , τουτέστι ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , λόγος ἄρα ὁ ΑΓ πρός ΓΒ δίδωμι · ὥστε δίδωμι εἰμί ὁ Γ σημεῖον . καί εἰμί ὁ ΑΒ πρός ὀρθός ὁ △Ε · θέσις ἄρα καί ὁ διά ὁ △Ε ἐπίπεδος . συντίθημι δή οὕτως · εἰμί σφαῖρα , ὅς μέγας κύκλος ὁ ΑΒΕ καί διάμετρος ὁ ΑΒ , ὁ δέ δίδωμι λόγος ὁ ὁ Ζ πρός Η , καί τέμνω ὁ ΑΒ κατά ὁ Γ , ὥστε εἰμί , ὡς ὁ ΑΓ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ Ζ πρός Η , καί διά ὁ Γ ἐπίπεδος τέμνω ὁ σφαῖρα πρός ὀρθός ὁ ΑΒ εὔθεια , καί εἰμί κοινός τομή ὁ △Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Α△ , △Β , καί ἔκκειμαι δύο κύκλος ὁ Θ , Κ , ὁ μέν Θ ἴσος ἔχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Α△ , ὁ δέ Κ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος ἔχω ὁ △Β · εἰμί ἄρα ὁ μέν Θ κύκλος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ △ΑΕ τμῆμα , ὁ δέ Κ ὁ ΕΒ τμῆμα · οὗτος γάρ προδείκνυμι ἐν ὁ πρῶτος βιβλίον . καί ἐπεί ὀρθός εἰμί ὁ ὑπό Α△Β καί κάθετος ὁ Γ△ , εἰμί , ὡς ὁ ΑΓ πρός ΓΒ , τουτέστι ὁ Ζ πρός Η , ὁ ἀπό Α△ πρός ὁ ἀπό △Β , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Θ κύκλος πρός ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Κ κύκλος , τουτέστι ὁ Θ κύκλος πρός ὁ Κ κύκλος , τουτέστι ὁ ἐπιφάνεια ὁ △ΑΕ τμῆμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΒ τμῆμα ὁ σφαῖρα .