archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.33
Πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ . Ἔστω γὰρ σφαῖρά τις καὶ ἔστω τετραπλάσιος τοῦ μεγίστου κύκλου ὁ Α · λέγω ὅτι ὁ Α ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανεία τῆς σφαίρας . Εἰ γὰρ μή , ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων . Ἔστω πρότερον μείζων ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας τοῦ κύκλου . Ἔστι δὴ δύο μεγέθη ἄνισα ἥ τε ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας καὶ ὁ Α κύκλος · δυνατὸν ἄρα ἐστὶ λαβεῖν δύο εὐθείας ἀνίσους , ὥστε τὴν μείζονα πρὸς τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἐλάσσονα τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας πρὸς τὸν κύκλον . Εἰλήφθωσαν αἱ Β , Γ , καὶ τῶν Β , Γ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ △ , νοείσθω δὲ καὶ ἡ σφαῖρα ἐπιπέδῳ τετμημένη διὰ τοῦ κέντρου κατὰ τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , νοείσθω δὲ καὶ εἰς τὸν κύκλον ἐγγεγραμμένον καὶ περιγεγραμμένον πολύγωνον , ὥστε ὅμοιον εἶναι τὸ περιγεγραμμένον τῷ ἐγγεγραμμένῳ πολυγώνῳ καὶ τὴν τοῦ περιγεγραμμένου πλευρὰν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ἡ Β πρὸς △ · ἡ ἐπιφάνεια ἄρα τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος περὶ τὴν σφαῖραν πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας πρὸς τὸν Α κύκλον · ὅπερ ἄτοπον · ἡ μὲν γὰρ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας μείζων ἐστίν , ἡ δὲ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος τοῦ Α κύκλου ἐλάσσων ἐστί . Οὐκ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας μείζων ἐστὶ τοῦ Α κύκλου . Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων . Εἰ γὰρ δυνατόν , ἔστω · καὶ ὁμοίως εὑρήσθωσαν αἱ Β , Γ εὐθεῖαι ὥστε τὴν Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας , καὶ τῶν Β , Γ μέση ἀνάλογον ἡ △ , καὶ ἐγγεγράφθω καὶ περιγεγράφθω πάλιν , ὥστε τὴν τοῦ περιγεγραμμένου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ τῆς Β πρὸς △ · ἡ ἐπιφάνεια ἄρα τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας · ὅπερ ἄτοπον ἡ μὲν γὰρ τοῦ περιγεγραμμένου ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ Α κύκλου , ἡ δὲ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσσων τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας . Οὐκ ἄρα οὐδὲ ἐλάσσων ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας τοῦ Α κύκλου . Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ μείζων · ἡ ἄρα ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶ τῷ Α κύκλῳ , τουτέστι τῷ τετραπλασίῳ τοῦ μεγίστου κύκλου .
Lemmas: πᾶς σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια τετραπλάσιος εἰμί ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν αὐτός . εἰμί γάρ σφαῖρα τις καί εἰμί τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος ὁ Α · λέγω ὅτι ὁ Α ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . εἰ γάρ μή , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος μέγας ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ κύκλος . εἰμί δή δύο μέγεθος ἄνισος ὁ τε ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα καί ὁ Α κύκλος · δυνατός ἄρα εἰμί λαμβάνω δύο εὐθεῖα ἄνισος , ὥστε ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἐλαχύς ὁ ὅς ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα πρός ὁ κύκλος . λαμβάνω ὁ Β , Γ , καί ὁ Β , Γ μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ △ , νοέω δέ καί ὁ σφαῖρα ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ κέντρον κατά ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , νοέω δέ καί εἰς ὁ κύκλος ἐγγράφω καί περιγράφω πολύγωνον , ὥστε ὅμοιος εἰμί ὁ περιγράφω ὁ ἐγγράφω πολύγωνος καί ὁ ὁ περιγράφω πλευρά ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ Β πρός △ · ὁ ἐπιφάνεια ἄρα ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ σφαῖρα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα πρός ὁ Α κύκλος · ὅς ἄτοπος · ὁ μέν γάρ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα μέγας εἰμί , ὁ δέ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ Α κύκλος ἐλαχύς εἰμί . οὐ ἄρα ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα μέγας εἰμί ὁ Α κύκλος . λέγω δή ὅτι οὐδέ ἐλαχύς . εἰ γάρ δυνατός , εἰμί · καί ὅμοιος εὑρίσκω ὁ Β , Γ εὐθεῖα ὥστε ὁ Β πρός Γ ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ Α κύκλος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , καί ὁ Β , Γ μέσος ἀνάλογος ὁ △ , καί ἐγγράφω καί περιγράφω πάλιν , ὥστε ὁ ὁ περιγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὁ Β πρός △ · ὁ ἐπιφάνεια ἄρα ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Α κύκλος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα · ὅς ἄτοπος ὁ μέν γάρ ὁ περιγράφω ἐπιφάνεια μέγας εἰμί ὁ Α κύκλος , ὁ δέ ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . οὐ ἄρα οὐδέ ἐλαχύς ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὁ Α κύκλος . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ μέγας · ὁ ἄρα ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί ὁ Α κύκλος , τουτέστι ὁ τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος .