archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.19
Ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει , ἀπὸ δὲ τοῦ γενομένου κύκλου κῶνος ἀναγραφῇ κορυφὴν ἔχων τὸ κέντρον τῆς βάσεως , ὁ δὲ γενόμενος ῥόμβος ἀφαιρεθῇ ἀπὸ τοῦ ὅλου κώνου , τῷ περιλείμματι ἴσος ἔσται κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου καθέτῳ ἠγμένῃ . Ἔστω κῶνος ἰσοσκελὴς ὁ ΑΒΓ καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει , καὶ ποιείτω τομὴν τὴν △Ε , κέντρον δὲ τῆς βάσεως ἔστω τὸ Ζ , καὶ ἀπὸ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν △Ε κύκλου κῶνος ἀναγεγράφθω κορυφὴν ἔχων τὸ Ζ ἔσται δὴ ῥόμβος ὁ Β△ΖΕ ἐξ ἰσοσκελῶν κώνων συγκείμενος . Ἐκκείσθω δή τις κῶνος ὁ ΚΘΛ , οὗ ἡ μὲν βάσις ἔστω ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ μεταξὺ τῶν △Ε , ΑΓ , τὸ δὲ ὕψος , ἀχθείσης ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου καθέτου ἐπὶ τὴν ΑΒ τῆς ΖΗ , ἔστω ἴσον τῇ ΖΗ · λέγω ὅτι , ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ κώνου νοηθῇ ἀφῃρημένος ὁ Β△ΖΕ ῥόμβος , τῷ περιλείμματι ἴσος ἔσται ὁ ΘΚΛ κῶνος . Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κῶνοι οἱ ΜΝΞ , ΟΠΡ , ὥστε τὴν μὲν τοῦ ΜΝΞ βάσιν ἴσην εἶναι τοῦ ΑΒΓ κώνου τῇ ἐπιφανείᾳ , τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ ΖΗ , τὴν δὲ τοῦ ΟΠΡ κώνου βάσιν ἴσην εἶναι τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΒΕ κώνου , ὕψος δὲ τῇ ΖΗ . Ἐπεὶ δὲ ἡ τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ △ΒΕ ἐπιφανείας καὶ τῆς μεταξὺ τῶν △Ε , ΑΓ , ἀλλʼ ἡ μὲν τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ ΜΝΞ κώνου , ἡ δὲ τοῦ △ΒΕ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ βάσει τοῦ ΟΠΡ , ἡ δὲ μεταξὺ τῶν △Ε , ΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ ΘΚΛ , ἡ ἄρα τοῦ ΜΝΞ βάσις ἴση ἐστὶ ταῖς βάσεσιν τῶν ΘΚΛ , ΟΠΡ . Καί εἰσιν οἱ κῶνοι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσος ἄρα ἐστὶν καὶ ὁ ΜΝΞ κῶνος τοῖς ΘΚΛ , ΟΠΡ κώνοις . Ἀλλʼ ὁ μὲν ΜΝΞ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΑΒΓ κώνῳ , ὁ δὲ ΠΟΡ τῷ Β△ΕΖ ὁόμβῳ · λοιπὸς ἄρα ὁ ΘΚΛ κῶνος τῷ περιλείμματι ἴσος ἐστίν .
Lemmas: ἐάν κῶνος ἰσοσκελής ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος ὁ βάσις , ἀπό δέ ὁ γίγνομαι κύκλος κῶνος ἀναγράφω κορυφή ἔχω ὁ κέντρον ὁ βάσις , ὁ δέ γίγνομαι ῥόμβος ἀφαιρέω ἀπό ὁ ὅλος κῶνος , ὁ περίλειμμα ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ βάσις ἐπί εἷς πλευρά ὁ κῶνος κάθετος ἄγω . εἰμί κῶνος ἰσοσκελής ὁ ΑΒΓ καί τέμνω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις , καί ποιέω τομή ὁ △Ε , κέντρον δέ ὁ βάσις εἰμί ὁ Ζ , καί ἀπό ὁ περί διάμετρος ὁ △Ε κύκλος κῶνος ἀναγράφω κορυφή ἔχω ὁ Ζ εἰμί δή ῥόμβος ὁ ΒΕΖ ἐκ ἰσοσκελής κῶνος σύγκειμαι . ἔκκειμαι δή τις κῶνος ὁ ΚΘΛ , ὅς ὁ μέν βάσις εἰμί ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ △Ε , ΑΓ , ὁ δέ ὕψος , ἄγω ἀπό ὁ Ζ σημεῖον καθέτης ἐπί ὁ ΑΒ ὁ ΖΗ , εἰμί ἴσος ὁ ΖΗ · λέγω ὅτι , ἐάν ἀπό ὁ ΑΒΓ κῶνος νοέω ἀφαιρέω ὁ ΒΕΖ ῥόμβος , ὁ περίλειμμα ἴσος εἰμί ὁ ΘΚΛ κῶνος . ἔκκειμαι γάρ δύο κῶνος ὁ ΜΝΞ , ΟΠΡ , ὥστε ὁ μέν ὁ ΜΝΞ βάσις ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ κῶνος ὁ ἐπιφάνεια , ὁ δέ ὕψος ἴσος ὁ ΖΗ , ὁ δέ ὁ ΟΠΡ κῶνος βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΒ κῶνος , ὕψος δέ ὁ ΖΗ . ἐπεί δέ ὁ ὁ ΑΒΓ κῶνος ἐπιφάνεια σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ΕΒ ἐπιφάνεια καί ὁ μεταξύ ὁ △Ε , ΑΓ , ἀλλά ὁ μέν ὁ ΑΒΓ κῶνος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΜΝΞ κῶνος , ὁ δέ ὁ ΕΒ ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΟΠΡ , ὁ δέ μεταξύ ὁ △Ε , ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΘΚΛ , ὁ ἄρα ὁ ΜΝΞ βάσις ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΘΚΛ , ΟΠΡ . καί εἰμί ὁ κῶνος ὑπό ὁ αὐτός ὕψος ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΜΝΞ κῶνος ὁ ΘΚΛ , ΟΠΡ κῶνος . ἀλλά ὁ μέν ΜΝΞ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ κῶνος , ὁ δέ ΠΟΡ ὁ ΒΕΖ ὁόμβος · λοιπός ἄρα ὁ ΘΚΛ κῶνος ὁ περίλειμμα ἴσος εἰμί .