archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.16
Ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει , τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς τε πλευρᾶς τοῦ κώνου τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς παραλλήλοις ἐπιπέδοις . Ἔστω κῶνος , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον ἴσον τῷ ΑΒΓ , καὶ τετμήσθω παραλλήλῳ ἐπιπέδῳ τῇ βάσει , καὶ ποιείτω τομὴν △Ε , ἄξων δὲ τοῦ κώνου ἔστω ὁ ΒΗ , κύκλος δέ τις ἐκκείσθω , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέση ἀνάλογόν ἐστι τῆς τε Α△ καὶ συναμφοτέρου τῆς △Ζ , ΗΑ , ἔστω δὲ κύκλος ὁ Θ λέγω ὅτι ὁ Θ κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τῇ μεταξὺ τῶν △Ε , ΑΓ . Ἐκκείσθωσαν γὰρ κύκλοι οἱ Λ , Κ , καὶ τοῦ μὲν Κ κύκλου ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Β△Ζ , τοῦ δὲ Λ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΗ ὁ μὲν ἄρα Λ κύκλος ἴσος ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΑΒΓ κώνου , ὁ δὲ Κ κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΕΒ . Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν Β△ , △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς Α△ καὶ συναμφοτέρου τῆς △Ζ , ΑΗ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν △Ζ τῇ ΑΗ , ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒ , ΑΗ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Λ κύκλου , τὸ δὲ ὑπὸ Β△ , △Ζ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου , τὸ δὲ ὑπὸ τῆς △Α καὶ συναμφοτέρου τῆς △Ζ , ΑΗ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Λ κύκλου ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ἐκ τῶν κέντρων τῶν Κ , Θ κύκλων ὥστε καὶ ὁ Λ κύκλος ἴσος ἐστὶ τοῖς Κ , Θ κύκλοις . Ἀλλʼ ὁ μὲν Λ ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΒΑΓ κώνου , ὁ δὲ Κ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΒΕ κώνου · λοιπὴ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἡ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν △Ε , ΑΓ ἴση ἐστὶ τῷ Θ κύκλῳ . παραλληλόγραμμον τὸ ΒΑΗ , καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΗ . Τετμήσθω ἡ ΒΑ πλευρά , ὡς ἔτυχεν , κατὰ τὸ △ , καὶ διὰ τοῦ △ ἤχθω παράλληλος τῇ ΑΗ ἡ △Θ , διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΒΑ ἡ ΚΛ λέγω ὅτι τὸ ὑπὸ ΒΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Β△Ζ καὶ τῷ ὑπὸ △Α καὶ συναμφοτέρου τῆς △Ζ , ΑΗ . Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ ΒΑΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΒΗ , τὸ δὲ ὑπὸ Β△Ζ τὸ ΒΖ , τὸ δὲ ὑπὸ △Α καὶ συναμφοτέρου τῆς △Ζ , ΑΗ ὁ ΜΝΞ γνώμων · τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ △ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ΚΗ διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ΚΘ παραπλήρωμα τῷ △Λ παραπληρώματι , τὸ δὲ ὑπὸ △Α , △Ζ τῷ △Λ · ὅλον ἄρα τὸ ΒΗ , ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΗ , ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Β△Ζ καὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι , ὅς ἐστιν ἴσος τῷ ὑπὸ △Α καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ , . ΛΗΜΜΑΤΑ . α΄ . Οἱ κῶνοι οἱ ἴσον ὕψος ἔχοντες τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς βάσεσιν καὶ οἱ ἴσας ἔχοντες βάσεις τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον τοῖς ὕψεσιν . β΄ . Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παρὰ τὴν βάσιν , ἔστιν , ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον , ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα . γ΄ . Τοῖς δὲ κυλίνδροις ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν οἱ κῶνοι οἱ ἔχοντες τὰς αὐτὰς βάσεις τοῖς κυλίνδροις . δ΄ . Καὶ τῶν ἴσων κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν καὶ ὧν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν , ἴσοι εἰσίν . ε΄ . Καὶ οἱ κῶνοι , ὧν αἱ διάμετροι τῶν βάσεων τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν τοῖς ἄξοσιν , πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶν τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων . Ταῦτα δὲ πάντα ὑπὸ τῶν πρότερον ἀπεδείχθη .
Lemmas: ἐάν κῶνος ἰσοσκελής ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος ὁ βάσις , ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος λόγος ἔχω ὁ τε πλευρά ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος καί ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ παράλληλος ἐπίπεδος . εἰμί κῶνος , ὅς ὁ διά ὁ ἄξων τρίγωνον ἴσος ὁ ΑΒΓ , καί τέμνω παράλληλος ἐπίπεδος ὁ βάσις , καί ποιέω τομή △Ε , ἄξων δέ ὁ κῶνος εἰμί ὁ ΒΗ , κύκλος δέ τις ἔκκειμαι , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ τε Α△ καί συναμφότεροι ὁ △Ζ , ΗΑ , εἰμί δέ κύκλος ὁ Θ λέγω ὅτι ὁ Θ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ △Ε , ΑΓ . ἔκκειμαι γάρ κύκλος ὁ Λ , Κ , καί ὁ μέν Κ κύκλος ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό Β△Ζ , ὁ δέ Λ ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ΒΑΗ ὁ μέν ἄρα Λ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ κῶνος , ὁ δέ Κ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΒ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΒΑ , ΑΗ ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ Β△ , △Ζ καί ὁ ὑπό ὁ Α△ καί συναμφότεροι ὁ △Ζ , ΑΗ διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ △Ζ ὁ ΑΗ , ἀλλά ὁ μέν ὑπό ΑΒ , ΑΗ δύναμαι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Λ κύκλος , ὁ δέ ὑπό Β△ , △Ζ δύναμαι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Κ κύκλος , ὁ δέ ὑπό ὁ △Α καί συναμφότεροι ὁ △Ζ , ΑΗ δύναμαι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Θ , ὁ ἄρα ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Λ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Κ , Θ κύκλος ὥστε καί ὁ Λ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ Κ , Θ κύκλος . ἀλλά ὁ μέν Λ ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΒΑΓ κῶνος , ὁ δέ Κ ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΒ κῶνος · λοιπός ἄρα ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ △Ε , ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ Θ κύκλος . παραλληλόγραμμος ὁ ΒΑΗ , καί διάμετρος αὐτός εἰμί ὁ ΒΗ . τέμνω ὁ ΒΑ πλευρόν , ὡς τυγχάνω , κατά ὁ △ , καί διά ὁ △ ἄγω παράλληλος ὁ ΑΗ ὁ △Θ , διά δέ ὁ Ζ ὁ ΒΑ ὁ ΚΛ λέγω ὅτι ὁ ὑπό ΒΑΗ ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό Β△Ζ καί ὁ ὑπό △Α καί συναμφότεροι ὁ △Ζ , ΑΗ . ἐπεί γάρ ὁ μέν ὑπό ΒΑΗ ὅλος εἰμί ὁ ΒΗ , ὁ δέ ὑπό Β△Ζ ὁ ΒΖ , ὁ δέ ὑπό △Α καί συναμφότεροι ὁ △Ζ , ΑΗ ὁ ΜΝΞ γνώμων · ὁ μέν γάρ ὑπό ΑΗ ἴσος εἰμί ὁ ΚΗ διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΚΘ παραπλήρωμα ὁ △Λ παραπλήρωμα , ὁ δέ ὑπό △Α , △Ζ ὁ △Λ · ὅλος ἄρα ὁ ΒΗ , ὅς εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΗ , ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό Β△Ζ καί ὁ ΜΝΞ γνώμων , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ὑπό △Α καί συναμφότεροι ὁ ΑΗ , . λῆμμα . αʹ . ὁ κῶνος ὁ ἴσος ὕψος ἔχω ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ βάσις καί ὁ ἴσος ἔχω βάσις ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ὕψος . βʹ . ἐάν κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω παρά ὁ βάσις , εἰμί , ὡς ὁ κύλινδρος πρός ὁ κύλινδρος , ὁ ἄξων πρός ὁ ἄξων . γʹ . ὁ δέ κύλινδρος ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί ὁ κῶνος ὁ ἔχω ὁ αὐτός βάσις ὁ κύλινδρος . δʹ . καί ὁ ἴσος κῶνος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος καί ὅς ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος , ἴσος εἰμί . πέντε . καί ὁ κῶνος , ὅς ὁ διάμετρος ὁ βάσις ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ ἄξων , πρός ἀλλήλων ἐν τριπλασίων λόγος εἰμί ὁ ἐν ὁ βάσις διάμετρον . οὗτος δέ πᾶς ὑπό ὁ πρότερος ἀποδείκνυμι .