archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.9
Ἐὰν κώνου τινὸς ἰσοπλεύρου εἰς τὸν κύκλον , ὅς ἐστι βάσις τοῦ κώνου , εὐθεῖα γραμμὴ ἐμπέσῃ , ἀπὸ δὲ τῶν περάτων αὐτῆς εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου , τὸ περιληφθὲν τρίγωνον ὑπό τε τῆς ἐμπεσούσης καὶ τῶν ἐπιζευχθεισῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν ἔλασσον ἔσται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου τῆς μεταξὺ τῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν ἐπιζευχθεισῶν . Ἔστω κώνου ἰσοσκελοῦς βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ △ , καὶ διήχθω τις εἰς αὐτὸν εὐθεῖα ἡ ΑΓ , καὶ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ Α , Γ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α△ , △Γ · λέγω ὅτι τὸ Α△Γ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν τῆς ἐπιφανείας τῆς κωνικῆς τῆς μεταξὺ τῶν Α△Γ . Τετμήσθω ἡ ΑΒΓ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Β , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΓΒ , △Β · ἔσται δὴ τὰ ΑΒ△ , ΒΓ△ τρίγωνα μείζονα τοῦ Α△Γ τριγώνου . Ὧι δὴ ὑπερέχει τὰ εἰρημένα τρίγωνα τοῦ Α△Γ τριγώνου , ἔστω τὸ Θ . Τὸ δὴ Θ ἤτοι τῶν ΑΒ , ΒΓ τμημάτων ἔλασσόν ἐστι ἢ οὔ . Ἔστω μὴ ἔλασσον πρότερον . Ἐπεὶ οὖν δύο εἰσὶν ἐπιφάνειαι ἥ τε κωνικὴ ἡ μεταξὺ τῶν Α△Β μετὰ τοῦ ΑΕΒ τμήματος καὶ ἡ τοῦ Α△Β τριγώνου τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαι τὴν περίμετρον τοῦ τριγώνου τοῦ Α△Β , μείζων ἔσται ἡ περιλαμβάνουσα τῆς περιλαμβανομένης · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν Α△Β μετὰ τοῦ ΑΕΒ τμήματος τοῦ ΑΒ△ τριγώνου . Ὁμοίως δὲ καὶ ἡ μεταξὺ τῶν Β△Γ μετὰ τοῦ ΓΖΒ τμήματος μείζων ἐστὶν τοῦ Β△Γ τριγώνου · ὅλη ἄρα ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια μετὰ τοῦ Θ χωρίου μείζων ἐστὶ τῶν εἰρημένων τριγώνων . Τὰ δὲ εἰρημένα τρίγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ τε Α△Γ τριγώνῳ καὶ τῷ Θ χωρίῳ . Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ Θ χωρίον · λοιπὴ ἄρα ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν Α△Γ μείζων ἐστὶν τοῦ Α△Γ τριγώνου . Ἔστω δὴ τὸ Θ ἔλασσον τῶν ΑΒ , ΒΓ τμημάτων . Τέμνοντες δὴ τὰς ΑΒ , ΒΓ περιφερείας δίχα καὶ τὰς ἡμισείας αὐτῶν δίχα λείψομεν τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Θ χωρίου . Λελείφθω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ εὐθειῶν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ △Ε , △Ζ . Πάλιν τοίνυν κατὰ τὰ αὐτὰ ἡ μὲν ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἡ μεταξὺ τῶν Α△Ε μετὰ τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ τμήματος μείζων ἐστὶν τοῦ Α△Ε τριγώνου , ἡ δὲ μεταξὺ τῶν Ε△Β μετὰ τοῦ ἐπὶ τῆς ΕΒ τμήματος μείζων ἐστὶν τοῦ Ε△Β τριγώνου · ἡ ἄρα ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν Α△Β μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΑΕ , ΕΒ τμημάτων μείζων ἐστὶν τῶν Α△Ε , ΕΒ△ τριγώνων . Ἐπεὶ δὲ τὰ ΑΕ△ , △ΕΒ τρίγωνα μείζονά ἐστιν τοῦ ΑΒ△ τριγώνου , καθὼς δέδεικται , πολλῷ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἡ μεταξὺ τῶν Α△Β μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΑΕ , ΕΒ τμημάτων μείζων ἐστὶ τοῦ Α△Β τριγώνου . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν Β△Γ μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΒΖ , ΖΓ τμημάτων μείζων ἐστὶν τοῦ Β△Γ τριγώνου · ὅλη ἄρα ἡ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν Α△Γ μετὰ τῶν εἰρημένων τμημάτων μείζων ἐστὶ τῶν ΑΒ△ , △ΒΓ τριγώνων . Ταῦτα δέ ἐστιν ἴσα τῷ Α△Γ τριγώνῳ καὶ τῷ Θ χωρίῳ ὧν τὰ εἰρημένα τμήματα ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου λοιπὴ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν Α△Γ μείζων ἐστὶν τοῦ Α△Γ τριγώνου .
Lemmas: ἐάν κῶνος τις ἰσόπλευρος εἰς ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ κῶνος , εὐθύς γραμμή ἐμπίπτω , ἀπό δέ ὁ πέρας αὐτός εὐθύς γραμμή ἄγω ἐπί ὁ κορυφή ὁ κῶνος , ὁ περιλαμβάνω τρίγωνον ὑπό τε ὁ ἐμπίπτω καί ὁ ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ κορυφή ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ ἐπί ὁ κορυφή ἐπιζεύγνυμι . εἰμί κῶνος ἰσοσκελής βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος , κορυφή δέ ὁ △ , καί διάγω τις εἰς αὐτός εὐθύς ὁ ΑΓ , καί ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ Α , Γ ἐπιζεύγνυμι ὁ Α△ , △Γ · λέγω ὅτι ὁ ΓΑ τρίγωνον ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κωνικός ὁ μεταξύ ὁ ΓΑ . τέμνω ὁ ΑΒΓ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΓΒ , △Β · εἰμί δή ὁ ΑΒ△ , ΒΓ△ τρίγωνος μέγας ὁ ΓΑ τρίγωνον . ὅς δή ὑπερέχω ὁ λέγω τρίγωνος ὁ ΓΑ τρίγωνον , εἰμί ὁ Θ . ὁ δή Θ ἤτοι ὁ ΑΒ , ΒΓ τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ἤ οὐ . εἰμί μή ἐλαχύς πρότερος . ἐπεί οὖν δύο εἰμί ἐπιφάνεια ὁ τε κωνικός ὁ μεταξύ ὁ Α△Β μετά ὁ ΑΕΒ τμῆμα καί ὁ ὁ Α△Β τρίγωνον ὁ αὐτός πέρας ἔχω ὁ περίμετρον ὁ τρίγωνον ὁ Α△Β , μέγας εἰμί ὁ περιλαμβάνω ὁ περιλαμβάνω · μέγας ἄρα εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ Α△Β μετά ὁ ΑΕΒ τμῆμα ὁ ΑΒ△ τρίγωνον . ὅμοιος δέ καί ὁ μεταξύ ὁ Β△Γ μετά ὁ ΓΖΒ τμῆμα μέγας εἰμί ὁ Β△Γ τρίγωνον · ὅλος ἄρα ὁ κωνικός ἐπιφάνεια μετά ὁ Θ χωρίον μέγας εἰμί ὁ λέγω τρίγων . ὁ δέ λέγω τρίγωνος ἴσος εἰμί ὁ τε ΓΑ τρίγωνον καί ὁ Θ χωρίον . κοινός ἀφαιρέω ὁ Θ χωρίον · λοιπός ἄρα ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΓΑ μέγας εἰμί ὁ ΓΑ τρίγωνον . εἰμί δή ὁ Θ ἐλαχύς ὁ ΑΒ , ΒΓ τμῆμα . τέμνω δή ὁ ΑΒ , ΒΓ περιφέρεια δίχα καί ὁ ἥμισυς αὐτός δίχα λείπω τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Θ χωρίον . λείπω ὁ ἐπί ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ , ΖΓ εὐθεῖα , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ △Ε , △Ζ . πάλιν τοίνυν κατά ὁ αὐτός ὁ μέν ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ Α△Ε μετά ὁ ἐπί ὁ ΑΕ τμῆμα μέγας εἰμί ὁ Α△Ε τρίγωνον , ὁ δέ μεταξύ ὁ ΕΒ μετά ὁ ἐπί ὁ ΕΒ τμῆμα μέγας εἰμί ὁ ΕΒ τρίγωνον · ὁ ἄρα ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ Α△Β μετά ὁ ἐπί ὁ ΑΕ , ΕΒ τμῆμα μέγας εἰμί ὁ Α△Ε , ΕΒ τρίγων . ἐπεί δέ ὁ ΑΕ△ , ΕΒ τρίγωνος μέγας εἰμί ὁ ΑΒ△ τρίγωνον , καθώς δείκνυμι , πολύς ἄρα ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ Α△Β μετά ὁ ἐπί ὁ ΑΕ , ΕΒ τμῆμα μέγας εἰμί ὁ Α△Β τρίγωνον . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ Β△Γ μετά ὁ ἐπί ὁ ΒΖ , ΖΓ τμῆμα μέγας εἰμί ὁ Β△Γ τρίγωνον · ὅλος ἄρα ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΓΑ μετά ὁ λέγω τμῆμα μέγας εἰμί ὁ ΑΒ△ , △ΒΓ τρίγων . οὗτος δέ εἰμί ἴσος ὁ ΓΑ τρίγωνον καί ὁ Θ χωρίον ὅς ὁ λέγω τμῆμα ἐλαχύς ὁ Θ χωρίον λοιπός ἄρα ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΓΑ μέγας εἰμί ὁ ΓΑ τρίγωνον .