archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.40
Τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος τῷ τομεῖ ἡ ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ κύκλου , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἠγμένῃ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος . Ἔστω γὰρ σφαῖρα καὶ μέγιστος κύκλος ἐπʼ αὐτῆς ὁ ΑΒΓ△ καὶ κέντρον τὸ Ε , καὶ περὶ τὸν τομέα περιγεγράφθω τὸ ΛΚΖ πολύγωνον , καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος περιγεγράφθω , καὶ γεγενήσθω σχῆμα , καθάπερ πρότερον , καὶ ἔστω κύκλος ὁ Ν , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ πολυγώνου καὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν σὺν τῇ ἡμισείᾳ τῆς ΚΛ . Ἀλλὰ τὸ εἰρημένον χωρίον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς ΜΘ καὶ ΖΗ . Τοῦ ἄρα Ν κύκλου ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ ὑπὸ ΜΘ , ΗΖ περιεχομένῳ . Ἀλλʼ ἡ μὲν ΗΖ μείζων ἐστὶ τῆς △Ξ , ἴση δὲ ἡ ΜΘ τῇ διαμέτρῳ τῇ Γ△ , τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Γ△ , △Ξ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Α△ · ἡ ἄρα τοῦ σχήματος τοῦ ΚΖΛ ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένῃ τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος , τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ · ὁ γὰρ Ν κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ περιγεγραμμένου περὶ τὸν τομέα σχήματος . ΠΟΡΙΣΜΑ α΄ . Γίνεται δὴ καὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα περὶ τὸν τομέα σὺν τῷ κώνῳ , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ κέντρον , ἴσον κώνῳ , οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος , ὕψος δὲ τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν πλευρὰν καθέτῳ ἠγμένῃ . ΠΟΡΙΣΜΑ β΄ . Ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα σὺν τῷ κώνῳ μεῖζόν ἐστι κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένῃ τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος , ὕψος δὲ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου · ὁ γὰρ ἴσος κῶνος τῷ σχήματι σὺν τῷ κώνῳ τὴν μὲν βάσιν μείζονα ἕξει τοῦ εἰρημένου κύκλου , τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας .
Lemmas: ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ τομεύς ὁ ἐπιφάνεια μέγας εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἄγω ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα . εἰμί γάρ σφαῖρα καί μέγας κύκλος ἐπί αὐτός ὁ ΑΒΓ△ καί κέντρον ὁ Ε , καί περί ὁ τομεύς περιγράφω ὁ ΛΚΖ πολύγωνον , καί περί αὐτός κύκλος περιγράφω , καί γίγνομαι σχῆμα , καθά πρότερος , καί εἰμί κύκλος ὁ Ν , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον καί πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι σύν ὁ ἡμίσεια ὁ ΚΛ . ἀλλά ὁ λέγω χωρίον ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΜΘ καί ΖΗ . ὁ ἄρα Ν κύκλος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ ὑπό ΜΘ , ΗΖ περιέχω . ἀλλά ὁ μέν ΗΖ μέγας εἰμί ὁ △Ξ , ἴσος δέ ὁ ΜΘ ὁ διάμετρος ὁ Γ△ , ὁ δέ ὑπό ὁ Γ△ , △Ξ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Α△ · ὁ ἄρα ὁ σχῆμα ὁ ΚΖΛ ἐπιφάνεια μέγας εἰμί ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἐπί ὁ περιφέρεια ἄγω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα , ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ · ὁ γάρ Ν κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω περί ὁ τομεύς σχῆμα . πόρισμα Α΄ . γίγνομαι δή καί ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ τομεύς σύν ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ κύκλος , κορυφή δέ ὁ κέντρον , ἴσος κῶνος , ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ πλευρά κάθετος ἄγω . πόρισμα Β΄ . ἐκ οὗτος δέ φανερός ὅτι ὁ περιγράφω σχῆμα σύν ὁ κῶνος μέγας εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ἐπί ὁ περιφέρεια ἄγω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον · ὁ γάρ ἴσος κῶνος ὁ σχῆμα σύν ὁ κῶνος ὁ μέν βάσις μέγας ἔχω ὁ λέγω κύκλος , ὁ δέ ὕψος ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς σφαῖρα .