archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.32
Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ σχῆμα ἐγγεγραμμένον καὶ ἄλλο περιγεγραμμένον ὑπὸ ὁμοίων πολυγώνων τὸν αὐτὸν τρόπον τοῖς πρότερον κατεσκευασμένα , ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου περὶ τὸν μέγιστον κύκλον πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου ἐν τῷ αὐτῷ κύκλῳ , αὐτὸ δὲ τὸ σχῆμα πρὸς τὸ σχῆμα τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγου . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν πολύγωνον ἰσόπλευρον , τὸ δὲ πλῆθος τῶν πλευρῶν αὐτοῦ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον ὅμοιον τῷ ἐγγεγραμένῳ , ἔτι δὲ αἱ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πλευραὶ ἐπιψαυέτωσαν τοῦ κύκλου κατὰ μέσα τῶν περιφερειῶν τῶν ἀποτεμνομένων ὑπὸ τῶν τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου πλευρῶν , αἱ δὲ ΕΗ , ΖΘ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἔστωσαν ἀλλήλαις τοῦ κύκλου τοῦ περιλαμβάνοντος τὸ περιγεγραμμένον πολύγωνον καὶ ὁμοίως κείμεναι ταῖς ΑΓ , Β△ διαμέτροις , καὶ νοείσθωσαν ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τὰς ἀπεναντίον γωνίας τοῦ πολυγώνου , αἳ γίγνονται ἀλλήλαις τε καὶ τῇ ΖΒ△Θ παράλληλοι . Μενούσης δὴ τῆς ΕΗ διαμέτρου καὶ περιενεχθεισῶν τῶν περιμέτρων τῶν πολυγώνων περὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν τὸ μὲν ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἔσται ἐν τῇ σφαίρᾳ , τὸ δὲ περιγεγραμμένον · δεικτέον οὖν ὅτι ἡ μὲν ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ , τὸ δὲ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγου . Ἔστω γὰρ ὁ μὲν Μ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ περιγεγραμμένου περὶ τὴν σφαῖραν , ὁ δὲ Ν ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου · δύναται ἄρα τοῦ μὲν Μ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΕΛ καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ἐπιζευγνυούσαις τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου τοῦ περιγεγραμμένου , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν τὸ ὑπὸ τῆς ΑΚ καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ἐπιζευγνυούσαις τὰς γωνίας . Καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστιν τὰ πολύγωνα , ὅμοια ἂν εἴη καὶ τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν εἰρημένων γραμμῶν τῶν ἐπὶ τὰς γωνίας καὶ τῶν πλευρῶν τῶν πολυγώνων , ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα , ὃν ἔχουσιν αἱ τῶν πολυγώνων πλευραὶ δυνάμει . Ἀλλὰ καὶ ὃν ἔχει λόγον τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν εἰρημένων γραμμῶν , τοῦτον ἔχουσιν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν Μ , Ν κύκλων πρὸς ἀλλήλας δυνάμει · ὥστε καὶ αἱ τῶν Μ , Ν διάμετροι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς τῶν πολυγώνων πλευραῖς . Οἱ δὲ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους διπλασίονα λόγον ἔχουσιν τῶν διαμέτρων , οἵτινες ἴσοι εἰσὶν ταῖς ἐπιφανείαις τοῦ περιγεγραμμένου καὶ τοῦ · δῆλον οὖν ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος περὶ τὴν σφαῖραν πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος εἰς τὴν σφαῖραν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ . Εἰλήφθωσαν δὴ δύο κῶνοι οἱ Ο , Ξ , καὶ ἔστω ὁ μὲν Ξ κῶνος βάσιν ἔχων τὸν Ξ κύκλον ἴσον τῷ Μ , ὁ δὲ Ο βάσιν ἔχων τὸν Ο κύκλον ἴσον τῷ Ν , ὕψος δὲ ὁ μὲν Ξ κῶνος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ὁ δὲ Ο τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετον ἠγμένην · ἴσος ἄρα ὁ μὲν Ξ κῶνος τῷ σχήματι τῷ περιγεγραμμένῳ περὶ τὴν σφαῖραν , ὁ δὲ Ο τῷ ἐγγεγραμμένῳ . Καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ πολύγωνα , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΕΛ πρὸς τὴν ΑΚ , ὃν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετον ἀγομένην · τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ὕψος τοῦ Ξ κώνου πρὸς τὸ ὕψος τοῦ Ο κώνου , ὃν ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ . Ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν κύκλου λόγον , ὃν ἔχει ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ · τῶν ἄρα Ξ , Ο κώνων αἱ διάμετροι τῶν βάσεων τοῖς ὕψεσι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον , καὶ διὰ τοῦτο τριπλασίονα λόγον ἕξει ὁ Ξ κῶνος πρὸς τὸν Ο κῶνον ἤπερ ἡ διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν κύκλου . Δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ .
Lemmas: ἐάν εἰμί ἐν σφαῖρα σχῆμα ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω ὑπό ὅμοιος πολύγωνον ὁ αὐτός τρόπος ὁ πρότερος κατασκευάζω , ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα πρός ὁ ὁ ἐγγράφω ἐπιφάνεια διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ πλευρόν ὁ περιγράφω πολύγωνον περί ὁ μέγας κύκλος πρός ὁ πλευρά ὁ ἐγγράφω πολύγωνον ἐν ὁ αὐτός κύκλος , αὐτός δέ ὁ σχῆμα πρός ὁ σχῆμα τριπλασίων λόγος ἔχω ὁ αὐτός λόγος . εἰμί ἐν σφαῖρα κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός πολύγωνον ἰσόπλευρος , ὁ δέ πλῆθος ὁ πλευρά αὐτός μετρέω ὑπό τετράς , καί ἄλλος περιγράφω περί ὁ κύκλος ὅμοιος ὁ ἐγγράω , ἔτι δέ ὁ ὁ περιγράφω πολύγωνον πλευρά ἐπιψαύω ὁ κύκλος κατά μέσος ὁ περιφέρεια ὁ ἀποτέμνω ὑπό ὁ ὁ ἐγγράφω πολύγωνον πλευρά , ὁ δέ ΕΗ , ΖΘ διάμετρος πρός ὀρθός εἰμί ἀλλήλων ὁ κύκλος ὁ περιλαμβάνω ὁ περιγράφω πολύγωνον καί ὅμοιος κεῖμαι ὁ ΑΓ , Β△ διάμετρον , καί νοέω ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ ἀπεναντίον γωνία ὁ πολύγωνον , ὅς γίγνομαι ἀλλήλων τε καί ὁ ΖΒ△Θ παράλληλος . μένω δή ὁ ΕΗ διάμετρος καί περιφέρω ὁ περίμετρος ὁ πολύγωνον περί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ὁ μέν ἐγγράφω σχῆμα εἰμί ἐν ὁ σφαῖρα , ὁ δέ περιγράφω · δείκνυμι οὖν ὅτι ὁ μέν ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΛ πρός ΑΚ , ὁ δέ σχῆμα ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω τριπλασίων λόγος ἔχω ὁ αὐτός λόγος . εἰμί γάρ ὁ μέν Μ κύκλος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω περί ὁ σφαῖρα , ὁ δέ Ν ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω · δύναμαι ἄρα ὁ μέν Μ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΕΛ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία ὁ πολύγωνον ὁ περιγράφω , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν ὁ ὑπό ὁ ΑΚ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ πολύγωνον , ὅμοιος ἄν εἰμί καί ὁ περιέχω χωρίον ὑπό ὁ λέγω γραμμή ὁ ἐπί ὁ γωνία καί ὁ πλευρά ὁ πολύγωνος , ὥστε ὁ αὐτός λόγος ἔχω πρός ἀλλήλων , ὅς ἔχω ὁ ὁ πολύγωνος πλευρά δύναμις . ἀλλά καί ὅς ἔχω λόγος ὁ περιέχω ὑπό ὁ λέγω γραμμή , οὗτος ἔχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ , Ν κύκλος πρός ἀλλήλων δύναμις · ὥστε καί ὁ ὁ Μ , Ν διάμετρος ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ὁ πολύγωνον πλευρά . ὁ δέ κύκλος πρός ἀλλήλων διπλάσιος λόγος ἔχω ὁ διάμετρον , ὅστις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω καί ὁ · δῆλος οὖν ὅτι ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ σφαῖρα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα εἰς ὁ σφαῖρα διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΛ πρός ΑΚ . λαμβάνω δή δύο κῶνος ὁ Ο , Ξ , καί εἰμί ὁ μέν Ξ κῶνος βάσις ἔχω ὁ Ξ κύκλος ἴσος ὁ Μ , ὁ δέ Ο βάσις ἔχω ὁ Ο κύκλος ἴσος ὁ Ν , ὕψος δέ ὁ μέν Ξ κῶνος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ δέ Ο ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΑΚ κάθετος ἄγω · ἴσος ἄρα ὁ μέν Ξ κῶνος ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ σφαῖρα , ὁ δέ Ο ὁ ἐγγράφω . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ πολύγωνον , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΕΛ πρός ὁ ΑΚ , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί ὁ ΑΚ κάθετος ἄγω · ὁ αὐτός ἄρα λόγος ἔχω ὁ ὕψος ὁ Ξ κῶνος πρός ὁ ὕψος ὁ Ο κῶνος , ὅς ὁ ΕΛ πρός ΑΚ . ἔχω δέ καί ὁ διάμετρος ὁ Μ κύκλος πρός ὁ διάμετρος ὁ Ν κύκλος λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΕΛ πρός ΑΚ · ὁ ἄρα Ξ , Ο κῶνος ὁ διάμετρος ὁ βάσις ὁ ὕψος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , καί διά οὗτος τριπλασίων λόγος ἔχω ὁ Ξ κῶνος πρός ὁ Ο κῶνος ἤ ὁ διάμετρος ὁ Μ κύκλος πρός ὁ διάμετρος ὁ Ν κύκλος . δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΛ πρός ΑΚ .