archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.4
Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν τεμεῖν , ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι . Ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα ἡ ΑΒΓ△ · δεῖ δὴ αὐτὴν τεμεῖν ἐπιπέδῳ , ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα . Τετμήσθω διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδῳ · λόγος ἄρα τοῦ Α△Γ τμήματος τῆς σφαίρας πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα τῆς σφαίρας δοθείς . Τετμήσθω δὲ ἡ σφαῖρα διὰ τοῦ κέντρου , καὶ ἔστω ἡ τομὴ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , κέντρον δὲ τὸ Κ καὶ διάμετρος ἡ △Β , καὶ πεποιήσθω , ὡς μὲν συναμφότερος ἡ Κ△Χ πρὸς △Χ , οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ , ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ , οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς Χ△ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΛ , ΛΓ , ΑΡ , ΡΓ · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΛΓ κῶνος τῷ Α△Γ τμήματι τῆς σφαίρας , ὁ δὲ ΑΡΓ τῷ ΑΒΓ · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΛΓ κώνου πρὸς τὸν ΑΡΓ κῶνον δοθείς . Ὡς δὲ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον , οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς ΧΡ · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΛΧ πρὸς ΧΡ δοθείς . Καὶ διὰ ταὐτὰ τοῖς πρότερον διὰ τῆς κατασκευῆς , ὡς ἡ Λ△ πρὸς Κ△ , ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ καὶ ἡ △Χ πρὸς ΧΒ . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΡΒ πρὸς ΒΚ , ἡ Κ△ πρὸς Λ△ , συνθέντι , ὡς ἡ ΡΚ πρὸς ΚΒ , τουτέστι πρὸς Κ△ , οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς ὅλην τὴν ΚΛ ἐστίν , ὡς ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ . Ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΡΛ△ τῷ ἀπὸ ΛΚ . Ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△ . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ , οὕτως ἡ △Χ πρὸς ΧΒ , ἔσται ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι , ὡς ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ , οὕτως ἡ Β△ πρὸς △Χ . Καὶ κείσθω τῇ ΚΒ ἴση ἡ ΒΖ · ὅτι γὰρ ἐκτὸς τοῦ Ρ πεσεῖται δῆλον . Ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶ τῆς △Λ πρὸς ΛΧ δοθείς , καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς ΛΧ λόγος ἐστὶ δοθείς . Ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , καὶ ἡ △Λ πρὸς ΛΧ , ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , ὡς δὲ ἡ △Λ πρὸς ΛΧ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ , ὁ ἄρα τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ . Πεποιήσθω δέ , ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ , ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ · λόγος δὲ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΖΘ δοθείς . Δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΖ · ἴση γάρ ἐστι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ . Καὶ ὁ τῆς ΒΖ ἄρα λόγος πρὸς ΖΘ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ . Ἀλλʼ ὁ ΒΖ πρὸς ΖΘ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τοῦ τῆς ΖΧ πρὸς ΖΘ · λοιπὸν ἄρα ἐστίν , ὡς τὸ ἀπὸ Β△ , τουτέστι δοθέν , πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , οὕτως ἡ ΧΖ πρὸς ΖΘ , τουτέστι πρὸς δοθέν , Καί ἐστιν δοθεῖσα ἡ Ζ△ εὐθεῖα · εὐθεῖαν ἄρα δοθεῖσαν τὴν △Ζ τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν , ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν , οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ . Τοῦτο οὕτως ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορισμόν , προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων οὐκ ἔχει διορισμόν · καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον · δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Β△ , ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς Β△ τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν , ὡς τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , τὴν ΧΖ πρὸς ΖΘ · ἑκάτερα δὲ ταῦτα ἐπὶ τέλει ἀναλυθήσεταί τε καὶ συντεθήσεται . Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως · ἔστω ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Π πρὸς Σ μείζονος πρὸς ἐλάσσονα , καὶ δεδόσθω τις σφαῖρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ κέντρου , καὶ ἔστω τομὴ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , καὶ διάμετρος ἔστω ἡ Β△ , κέντρον δὲ τὸ Κ , καὶ τῇ ΚΒ ἴση κείσθω ἡ ΒΖ , καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ κατὰ τὸ Θ , ὥστε εἶναι , ὡς τὴν ΘΖ πρὸς ΘΒ , τὴν Π πρὸς Σ , καὶ ἔτι τετμήσθω ἡ Β△ κατὰ τὸ Χ , ὥστε εἶναι , ὡς τὴν ΧΖ πρὸς ΘΖ , τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , καὶ διὰ τοῦ Χ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω ὀρθὸν πρὸς τὴν Β△ · λέγω ὅτι τὸ ἐπίπεδον τοῦτο τεμεῖ τὴν σφαῖραν , ὥστε εἶναι , ὡς τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλασσον , τὴν Π πρὸς Σ . Πεποιήσθω γάρ , ὡς μὲν συναμφότερος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ , οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς △Χ , ὡς δὲ συναμφότερος ἡ Κ△Χ πρὸς Χ△ , ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΛ , ΛΓ , ΑΡ , ΡΓ · ἔσται δὴ διὰ τὴν κατασκευήν , ὡς ἐδείξαμεν ἐν τῇ ἀναλύσει , ἴσον τὸ ὑπὸ ΡΛ△ τῷ ἀπὸ ΛΚ , καὶ ὡς ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ , ἡ Β△ πρὸς △Χ · ὥστε καί , ὡς τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△ , τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ . Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΡΛ△ τῷ ἀπὸ ΛΚ ἐστὶν ἴσον , ἔσται ἄρα καί , ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ , τουτέστιν ἡ ΧΖ πρὸς ΖΘ . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς συναμφότερος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ , οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς Χ△ , ἴση δέ ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ΒΖ , ἔσται ἄρα καί , ὡς ἡ ΖΧ πρὸς ΧΒ , οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς Χ△ . Ἀναστρέψαντι , ὡς ἡ ΧΖ πρὸς ΖΒ , οὕτως ἡ ΧΛ πρὸς Λ△ · ὥστε καί , ὡς ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△ , οὕτως ἡ ΧΖ πρὸς ΖΘ , ὡς δὲ ἡ △Λ πρὸς ΛΧ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ , καὶ δι᾿ ἴσου ἐν τῇ τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ , ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΧ πρὸς ΧΡ , οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΒ . Ὡς δὲ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΒ , οὕτως ἡ Π πρὸς Σ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΧ πρὸς ΧΡ , τουτέστιν ὁ ΑΓΛ κῶνος πρὸς τὸν ΑΡΓ κῶνον , τουτέστι τὸ Α△Γ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα τῆς σφαίρας , οὕτως ἡ Π πρὸς Σ .
Lemmas: ὁ δίδωμι σφαῖρα τέμνω , ὥστε ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ αὐτός ὁ δίδωμι . εἰμί ὁ δίδωμι σφαῖρα ὁ ΑΒΓ△ · δέω δή αὐτός τέμνω ἐπίπεδος , ὥστε ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω ὁ δίδωμι . τέμνω διά ὁ ΑΓ ἐπίπεδος · λόγος ἄρα ὁ ΓΑ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα δίδωμι . τέμνω δέ ὁ σφαῖρα διά ὁ κέντρον , καί εἰμί ὁ τομή μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , κέντρον δέ ὁ Κ καί διάμετρος ὁ △Β , καί ποιέω , ὡς μέν συναμφότεροι ὁ Κ△Χ πρός △Χ , οὕτως ὁ ΡΧ πρός ΧΒ , ὡς δέ συναμφότεροι ὁ ΚΒΧ πρός ΒΧ , οὕτως ὁ ΛΧ πρός Χ△ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΛ , ΛΓ , ΑΡ , ΡΓ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΛΓ κῶνος ὁ ΓΑ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ΑΡΓ ὁ ΑΒΓ · λόγος ἄρα καί ὁ ΑΛΓ κῶνος πρός ὁ ΑΡΓ κῶνος δίδωμι . ὡς δέ ὁ κῶνος πρός ὁ κῶνος , οὕτως ὁ ΛΧ πρός ΧΡ · λόγος ἄρα καί ὁ ΛΧ πρός ΧΡ δίδωμι . καί διά αὐτός ὁ πρότερος διά ὁ κατασκευή , ὡς ὁ Λ△ πρός Κ△ , ὁ ΚΒ πρός ΒΡ καί ὁ △Χ πρός ΧΒ . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΡΒ πρός ΒΚ , ὁ Κ△ πρός Λ△ , συντίθημι , ὡς ὁ ΡΚ πρός ΚΒ , τουτέστι πρός Κ△ , οὕτως ὁ ΚΛ πρός Λ△ · καί ὅλος ἄρα ὁ ΡΛ πρός ὅλος ὁ ΚΛ εἰμί , ὡς ὁ ΚΛ πρός Λ△ . ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΡΛ△ ὁ ἀπό ΛΚ . ὡς ἄρα ὁ ΡΛ πρός Λ△ , ὁ ἀπό ΚΛ πρός ὁ ἀπό Λ△ . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ Λ△ πρός △Κ , οὕτως ὁ △Χ πρός ΧΒ , εἰμί ἀνάπαλιν καί συντίθημι , ὡς ὁ ΚΛ πρός Λ△ , οὕτως ὁ Β△ πρός △Χ . καί κεῖμαι ὁ ΚΒ ἴσος ὁ ΒΖ · ὅτι γάρ ἐκτός ὁ Ρ πίπτω δῆλος . ἐπεί δέ λόγος εἰμί ὁ △Λ πρός ΛΧ δίδωμι , καί ὁ ΡΛ ἄρα πρός ΛΧ λόγος εἰμί δίδωμι . ἐπεί οὖν ὁ ὁ ΡΛ πρός ΛΧ λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ΡΛ πρός Λ△ , καί ὁ △Λ πρός ΛΧ , ἀλλά ὡς μέν ὁ ΡΛ πρός Λ△ , ὁ ἀπό △Β πρός ὁ ἀπό △Χ , ὡς δέ ὁ △Λ πρός ΛΧ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ΖΧ , ὁ ἄρα ὁ ΡΛ πρός ΛΧ λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ , καί ὁ ΒΖ πρός ΖΧ . ποιέω δέ , ὡς ὁ ΡΛ πρός ΛΧ , ὁ ΒΖ πρός ΖΘ · λόγος δέ ὁ ΡΛ πρός ΛΧ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΖΒ πρός ΖΘ δίδωμι . δίδωμι δέ ὁ ΒΖ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΖΘ . καί ὁ ὁ ΒΖ ἄρα λόγος πρός ΖΘ συνάπτω ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ , καί ὁ ΒΖ πρός ΖΧ . ἀλλά ὁ ΒΖ πρός ΖΘ λόγος συνάπτω ἐκ τε ὁ ὁ ΒΖ πρός ΖΧ καί ὁ ὁ ΖΧ πρός ΖΘ · λοιπός ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ἀπό Β△ , τουτέστι δίδωμι , πρός ὁ ἀπό △Χ , οὕτως ὁ ΧΖ πρός ΖΘ , τουτέστι πρός δίδωμι , Καί εἰμί δίδωμι ὁ Ζ△ εὐθεῖα · εὐθεῖα ἄρα δίδωμι ὁ △Ζ τέμνω δέω κατά ὁ Χ καί ποιέω , ὡς ὁ ΧΖ πρός δίδωμι , οὕτως ὁ δίδωμι πρός ὁ ἀπό △Χ . οὗτος οὕτως ἁπλῶς μέν λέγω ἔχω διορισμός , προστίθημι δέ ὁ πρόβλημα ὁ ἐνθάδε ὑπάρχω οὐ ἔχω διορισμός · καί εἰμί ὁ πρόβλημα τοιοῦτος · δύο δίδωμι εὐθεῖα ὁ Β△ , ΒΖ καί διπλάσιος εἰμί ὁ Β△ ὁ ΒΖ καί σημεῖον ἐπί ὁ ΒΖ ὁ Θ τέμνω ὁ △Β κατά ὁ Χ καί ποιέω , ὡς ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ , ὁ ΧΖ πρός ΖΘ · ἑκάτερος δέ οὗτος ἐπί τέλος ἀναλύω τε καί συντίθημι . συντίθημι δή ὁ πρόβλημα οὕτως · εἰμί ὁ δίδωμι λόγος ὁ ὁ Π πρός Σ μέγας πρός ἐλαχύς , καί δίδωμι τις σφαῖρα καί τέμνω ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον , καί εἰμί τομή ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , καί διάμετρος εἰμί ὁ Β△ , κέντρον δέ ὁ Κ , καί ὁ ΚΒ ἴσος κεῖμαι ὁ ΒΖ , καί τέμνω ὁ ΒΖ κατά ὁ Θ , ὥστε εἰμί , ὡς ὁ ΘΖ πρός ΘΒ , ὁ Π πρός Σ , καί ἔτι τέμνω ὁ Β△ κατά ὁ Χ , ὥστε εἰμί , ὡς ὁ ΧΖ πρός ΘΖ , ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ , καί διά ὁ Χ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὀρθός πρός ὁ Β△ · λέγω ὅτι ὁ ἐπίπεδος οὗτος τέμνω ὁ σφαῖρα , ὥστε εἰμί , ὡς ὁ μέγας τμῆμα πρός ὁ ἐλαχύς , ὁ Π πρός Σ . ποιέω γάρ , ὡς μέν συναμφότεροι ὁ ΚΒΧ πρός ΒΧ , οὕτως ὁ ΛΧ πρός △Χ , ὡς δέ συναμφότεροι ὁ Κ△Χ πρός Χ△ , ὁ ΡΧ πρός ΧΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΛ , ΛΓ , ΑΡ , ΡΓ · εἰμί δή διά ὁ κατασκευή , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ ἀνάλυσις , ἴσος ὁ ὑπό ΡΛ△ ὁ ἀπό ΛΚ , καί ὡς ὁ ΚΛ πρός Λ△ , ὁ Β△ πρός △Χ · ὥστε καί , ὡς ὁ ἀπό ΚΛ πρός ὁ ἀπό Λ△ , ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ . καί ἐπεί ὁ ὑπό ὁ ΡΛ△ ὁ ἀπό ΛΚ εἰμί ἴσος , εἰμί ἄρα καί , ὡς ὁ ΡΛ πρός Λ△ , ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό △Χ , τουτέστι ὁ ΧΖ πρός ΖΘ . καί ἐπεί εἰμί , ὡς συναμφότεροι ὁ ΚΒΧ πρός ΒΧ , οὕτως ὁ ΛΧ πρός Χ△ , ἴσος δέ εἰμί ὁ ΚΒ ὁ ΒΖ , εἰμί ἄρα καί , ὡς ὁ ΖΧ πρός ΧΒ , οὕτως ὁ ΛΧ πρός Χ△ . ἀναστρέφω , ὡς ὁ ΧΖ πρός ΖΒ , οὕτως ὁ ΧΛ πρός Λ△ · ὥστε καί , ὡς ὁ Λ△ πρός ΛΧ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ΖΧ . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΡΛ πρός Λ△ , οὕτως ὁ ΧΖ πρός ΖΘ , ὡς δέ ὁ △Λ πρός ΛΧ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ΖΧ , καί διά ἴσος ἐν ὁ ταράσσω ἀναλογία , ὡς ὁ ΡΛ πρός ΛΧ , οὕτως ὁ ΒΖ πρός ΖΘ · καί ὡς ἄρα ὁ ΛΧ πρός ΧΡ , οὕτως ὁ ΖΘ πρός ΘΒ . ὡς δέ ὁ ΖΘ πρός ΘΒ , οὕτως ὁ Π πρός Σ · καί ὡς ἄρα ὁ ΛΧ πρός ΧΡ , τουτέστι ὁ ΑΓΛ κῶνος πρός ὁ ΑΡΓ κῶνος , τουτέστι ὁ ΓΑ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα , οὕτως ὁ Π πρός Σ .