archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.6
Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων δοθέντων καὶ τομέως δυνατόν ἐστιν περὶ τὸν τομέα πολύγωνον περιγράψαι καὶ ἄλλο ἐγγράψαι ὅμοιον αὐτῷ , ἵνα τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγγραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον . Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο ὅτι , ἐὰν δοθῇ κύκλος ἢ τομεὺς καὶ χωρίον τι , δυνατόν ἐστιν ἐγγράφοντα εἰς τὸν κύκλον ἢ τὸν τομέα πολύγωνα ἰσόπλευρα καὶ ἔτι ἀεὶ εἰς τὰ περιλειπόμενα τμήματα λείπειν τινὰ τμήματα τοῦ κύκλου ἢ τομέως , ἅπερ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ προκειμένου χωρίου · ταῦτα γὰρ ἐν τῇ Στοιχειώσει παραδέδοται . Δεικτέον δὲ ὅτι καὶ κύκλου δοθέντος ἢ τομέως καὶ χωρίου δυνατόν ἐστι περιγράψαι πολύγωνον περὶ τὸν κύκλον ἢ τὸν τομέα , ὥστε τὰ περιλειπόμενα τῆς περιγραφῆς τμήματα ἐλάσσονα εἶναι τοῦ δοθέντος χωρίου ἔσται γὰρ ἐπὶ κύκλου δείξαντα μεταγαγεῖν τὸν ὅμοιον λόγον καὶ ἐπὶ τοῦ τομέως . Δεδόσθω κύκλος ὁ Α καὶ χωρίον τι τὸ Β . Δυνατὸν δὴ περιγράψαι περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον , ὥστε τὰ ἀπολειφθέντα τμήματα μεταξὺ τοῦ κύκλου καὶ τοῦ πολυγώνου ἐλάσσοναι εἶναι τοῦ Β χωρίου · καὶ γὰρ ὄντων δύο μεγεθῶν ἀνίσων , μείζονος μὲν συναμφοτέρου τοῦ τε χωρίου καὶ τοῦ κύκλου , ἐλάσσονος δὲ τοῦ κύκλου , περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον καὶ ἄλλο ἐγγεγράφθω , ὥστε τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγγραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ τὸ εἰρημένον μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον . Τοῦτο δὴ τὸ περιγραφόμενον πολύγωνόν ἐστιν , οὗ τὰ περιλείμματα ἔσται ἐλάσσονα τοῦ προτεθέντος χωρίου τοῦ Β . Εἰ γὰρ τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγγραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ τὸ συναμφότερον ὅ τε κύκλος καὶ τὸ Β χωρίον πρὸς αὐτὸν τὸν κύκλον , τοῦ δὲ ἐγγραφομένου μείζων ὁ κύκλος , πολλῷ μᾶλλον τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸν κύκλον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ τὸ συναμφότερον ὅ τε κύκλος καὶ τὸ Β χωρίον πρὸς αὐτὸν τὸν κύκλον · καὶ διελόντι ἄρα τα ἀπολείμματα τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πρὸς τὸν κύκλον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Β χωρίον πρὸς τὸν κύκλον · ἐλάσσονα ἄρα τὰ ἀπολείμματα τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου τοῦ Β χωρίου . Ἢ οὕτως · ἐπεὶ τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸν κύκλον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ τὸ συναμφότερον ὅ τε κύκλος καὶ τὸ Β χωρίον πρὸς τὸν κύκλον , διὰ τοῦτο δὴ ἔλασσον ἔσται τὸ περιγραφὲν συναμφοτέρου · ὥστε καὶ ὅλα τὰ περιλείμματα ἐλάσσονα ἔσται τοῦ χωρίου τοῦ Β . Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ τομέως .
Lemmas: ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι δύο μέγεθος ἄνισος δίδωμι καί τομεύς δυνατός εἰμί περί ὁ τομεύς πολύγωνος περιγράφω καί ἄλλος ἐγγράφω ὅμοιος αὐτός , ἵνα ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ μέγας μέγεθος πρός ὁ ἐλαχύς . φανερός δέ καί οὗτος ὅτι , ἐάν δίδωμι κύκλος ἤ τομεύς καί χωρίον τις , δυνατός εἰμί ἐγγράφω εἰς ὁ κύκλος ἤ ὁ τομεύς πολύγωνον ἰσόπλευρος καί ἔτι ἀεί εἰς ὁ περιλείπομαι τμῆμα λείπω τις τμῆμα ὁ κύκλος ἤ τομεύς , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ πρόκειμαι χωρίον · οὗτος γάρ ἐν ὁ Στοιχείωσις παραδίδωμι . δείκνυμι δέ ὅτι καί κύκλος δίδωμι ἤ τομεύς καί χωρίον δυνατός εἰμί περιγράφω πολύγωνος περί ὁ κύκλος ἤ ὁ τομεύς , ὥστε ὁ περιλείπομαι ὁ περιγραφή τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ δίδωμι χωρίον εἰμί γάρ ἐπί κύκλος δείκνυμι μετάγω ὁ ὅμοιος λόγος καί ἐπί ὁ τομεύς . δίδωμι κύκλος ὁ Α καί χωρίον τις ὁ Β . δυνατός δή περιγράφω περί ὁ κύκλος πολύγωνος , ὥστε ὁ ἀπολείπω τμῆμα μεταξύ ὁ κύκλος καί ὁ πολύγωνον ἐλαχύι εἰμί ὁ Β χωρίον · καί γάρ εἰμί δύο μέγεθος ἄνισος , μέγας μέν συναμφότεροι ὁ τε χωρίον καί ὁ κύκλος , ἐλαχύς δέ ὁ κύκλος , περιγράφω περί ὁ κύκλος πολύγωνος καί ἄλλος ἐγγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ λέγω μέγας μέγεθος πρός ὁ ἐλαχύς . οὗτος δή ὁ περιγράφω πολύγωνος εἰμί , ὅς ὁ περίλειμμα εἰμί ἐλαχύς ὁ προτίθημι χωρίον ὁ Β . εἰ γάρ ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ συναμφότεροι ὁ τε κύκλος καί ὁ Β χωρίον πρός αὐτός ὁ κύκλος , ὁ δέ ἐγγράφω μέγας ὁ κύκλος , πολύς μάλα ὁ περιγράφω πρός ὁ κύκλος ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ συναμφότεροι ὁ τε κύκλος καί ὁ Β χωρίον πρός αὐτός ὁ κύκλος · καί διαιρέω ἄρα τα ἀπόλειμμα ὁ περιγράφω πολύγωνον πρός ὁ κύκλος ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Β χωρίον πρός ὁ κύκλος · ἐλαχύς ἄρα ὁ ἀπόλειμμα ὁ περιγράφω πολύγωνον ὁ Β χωρίον . ἤ οὕτως · ἐπεί ὁ περιγράφω πρός ὁ κύκλος ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ συναμφότεροι ὁ τε κύκλος καί ὁ Β χωρίον πρός ὁ κύκλος , διά οὗτος δή ἐλαχύς εἰμί ὁ περιγράφω συναμφότεροι · ὥστε καί ὅλος ὁ περίλειμμα ἐλαχύς εἰμί ὁ χωρίον ὁ Β . ὅμοιος δέ καί ἐπί ὁ τομεύς .