archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.38
Τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ τμήματι ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον σὺν τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν τὴν αὐτὴν ἔχοντι τῷ σχήματι , κορυφὴν δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας , ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν ἔχοντι ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος , ὕψος δὲ τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ μίαν πλευρὰν τῶν τοῦ πολυγώνου καθέτῳ ἠγμένῃ . Ἔστω γὰρ σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος καὶ τμῆμα ἔλασσον ἡμικυκλίου τὸ ΑΒΓ καὶ κέντρον τὸ Ε , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πολύγωνον ἀρτιόπλευρον χωρὶς τῆς ΑΓ ὁμοίως τοῖς πρότερον , καὶ μενούσης τῆς ΒΛ περιενεχθεῖσα ἡ σφαῖρα ποιείτω σχῆμά τι ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον , καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ κῶνος ἀναγεγράφθω κορυφὴν ἔχων τὸ κέντρον , καὶ εἰλήφθω κῶνος ὁ Κ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος , ὕψος δὲ τῇ ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου καθέτῳ ἠγμένῃ · δεικτέον ὅτι ὁ Κ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ σχήματι σὺν τῷ κώνῳ τῷ ΑΕΓ . Ἀναγεγράφθωσαν δὴ καὶ κῶνοι ἀπὸ τῶν κύκλων τῶν περὶ διαμέτρους τὰς ΘΗ , △Ζ κορυφὴν ἔχοντες τὸ Ε σημεῖον · οὐκοῦν ὁ μὲν ΗΒΘΕ ὁόμβος στερεὸς ἴσος ἐστὶ κώνῳ , οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΗΒΘ κὼνου , τὸ ὕψος δὲ τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΗΒ ἀγομένῃ καθέτῳ , τὸ δὲ περίλειμμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΗΘ , Ζ△ καὶ τῶν κωνικῶν τῶν ΖΕ△ , ΗΕΘ ἴσον ἐστὶ κώνῳ , οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΗΘ , Ζ△ , ὕψος δὲ τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΖΗ καθέτῳ ἠγμένῃ , Πάλιν τὸ περίλειμμα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς Ζ△ , ΑΓ καὶ τῶν κωνικῶν τῶν ΑΕΓ , ΖΕ△ ἴσον ἐστὶ κώνῳ , οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς Ζ△ , ΑΓ , ὕψος δὲ τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΖΑ καθέτῳ ἠγμένῃ · οἱ οὖν εἰρημένοι κῶνοι ἴσοι ἔσονται τῷ σχήματι μετὰ τοῦ ΑΕΓ κώνου . Καὶ ὕψος μὲν ἴσον ἔχουσιν τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου καθέτῳ ἠγμένῃ , τὰς δὲ βάσεις ἴσας τῇ ἐπιφανείᾳ του ΑΖΗΒΘ△Γ σχήματος · ἔχει δὲ καὶ ὁ Κ κῶνος τὸ αὐτὸ ὕψος καὶ βάσιν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ κῶνος τοῖς εἰρημένοις κώνοις . Οἱ δὲ εἰρημένοι κῶνοι ἐδείχθησαν ἴσοι τῷ σχήματι καὶ τῷ ΑΕΓ κώνῳ · καὶ ὁ Κ ἄρα κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ τε σχήματι καὶ τῷ ΑΕΓ κώνῳ . ΠΟΡΙΣΜΑ . Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένῃ τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , μείζων ἐστὶ τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος σὺν τῷ κώνῳ · ὁ γὰρ προειρημένος κῶνος μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ ἴσου τῷ σχήματι σὺν τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν βάσιν τοῦ τμήματος , τὴν δὲ κορυφὴν πρὸς τῷ κέντρῳ , τουτέστι τοῦ τὴν βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος , ὕψος δὲ τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου καθέτῳ ἠγμένῃ · ἥ τε γὰρ βάσις τῆς βάσεως μείζων ἐστὶ καὶ τὸ ὕψος τοῦ ὕψους .
Lemmas: ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ τμῆμα ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω σύν ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ὁ αὐτός ἔχω ὁ σχῆμα , κορυφή δέ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί εἷς πλευρά ὁ ὁ πολύγωνον κάθετος ἄγω . εἰμί γάρ σφαῖρα καί ἐν αὐτός μέγας κύκλος καί τμῆμα ἐλαχύς ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ καί κέντρον ὁ Ε , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓ τμῆμα πολύγωνον ἀρτιόπλευρος χωρίς ὁ ΑΓ ὅμοιος ὁ πρότερος , καί μένω ὁ ΒΛ περιφέρω ὁ σφαῖρα ποιέω σχῆμα τις ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω , καί ἀπό ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ κῶνος ἀναγράφω κορυφή ἔχω ὁ κέντρον , καί λαμβάνω κῶνος ὁ Κ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Ε κέντρον ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον κάθετος ἄγω · δείκνυμι ὅτι ὁ Κ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ περιέχω σχῆμα σύν ὁ κῶνος ὁ ΑΕΓ . ἀναγράφω δή καί κῶνος ἀπό ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΗ , △Ζ κορυφή ἔχω ὁ Ε σημεῖον · οὐκοῦν ὁ μέν ΗΒΘΕ ὁόμβος στερεός ἴσος εἰμί κῶνος , ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΗΒΘ κῶνος , ὁ ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΗΒ ἄγω κάθετος , ὁ δέ περίλειμμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΗΘ , Ζ△ καί ὁ κωνικός ὁ ΖΕ , ΗΕΘ ἴσος εἰμί κῶνος , ὅς ὁ βάσις μέν εἰμί ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΗΘ , Ζ△ , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΖΗ κάθετος ἄγω , Πάλις ὁ περίλειμμα ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ Ζ△ , ΑΓ καί ὁ κωνικός ὁ ΑΕΓ , ΖΕ ἴσος εἰμί κῶνος , ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ Ζ△ , ΑΓ , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ ΖΆ κάθετος ἄγω · ὁ οὖν λέγω κῶνος ἴσος εἰμί ὁ σχῆμα μετά ὁ ΑΕΓ κῶνος . καί ὕψος μέν ἴσος ἔχω ὁ ἀπό ὁ Ε ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον κάθετος ἄγω , ὁ δέ βάσις ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΒΗΓ σχῆμα · ἔχω δέ καί ὁ Κ κῶνος ὁ αὐτός ὕψος καί βάσις ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ κῶνος ὁ λέγω κῶνος . ὁ δέ λέγω κῶνος δείκνυμι ἴσος ὁ σχῆμα καί ὁ ΑΕΓ κῶνος · καί ὁ Κ ἄρα κῶνος ἴσος εἰμί ὁ τε σχῆμα καί ὁ ΑΕΓ κῶνος . πόρισμα . ἐκ δή οὗτος φανερός ὅτι ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἐπί ὁ περιφέρεια ἄγω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα σύν ὁ κῶνος · ὁ γάρ προλέγω κῶνος μέγας εἰμί ὁ κῶνος ὁ ἴσος ὁ σχῆμα σύν ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ βάσις ὁ τμῆμα , ὁ δέ κορυφή πρός ὁ κέντρον , τουτέστι ὁ ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον κάθετος ἄγω · ὁ τε γάρ βάσις ὁ βάσις μέγας εἰμί καί ὁ ὕψος ὁ ὕψος .