archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.pr
Πρότερον μὲν ἀπέσταλκά σοι τῶν ὑφʼ ἡμῶν τεθεωρημένων γράψας μετὰ ἀποδείξεως , ὅτι πᾶν τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν τὴν αὐτὴν ἔχοντος τῷ τμήματι καὶ ὕψος ἴσον · ὕστερον δὲ ἡμῖν ὑποπεσόντων θεωρημάτων ἀξίων λόγου πεπραγματεύμεθα περὶ τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν . Ἔστιν δὲ τάδε · πρῶτον μέν , ὅτι πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ · ἔπειτα δέ , ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας τῇ ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ εὐθείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἀγομένῃ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος · πρὸς δὲ τούτοις , ὅτι πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας , καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας . Ταῦτα δὲ τὰ συμπτώματα τῇ φύσει προυπῆρχεν περὶ τὰ εἰρημένα σχήματα , ἠγνοεῖτο δὲ ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν περὶ γεωμετρίαν ἀνεστραμμένων οὐδενὸς αὐτῶν ἐπινενοηκότος ὅτι τούτων τῶν σχημάτων ἐστὶν συμμετρία · διόπερ οὐκ ἂν ὀκνήσαιμι ἀντιπαραβαλεῖν αὐτὰ πρός τε τὰ τοῖς ἄλλοις γεωμέτραις τεθεωρημένα καὶ πρὸς τὰ δόξαντα πολὺ ὑπερέχειν τῶν ὑπὸ Εὐδόξου περὶ τὰ στερεὰ θεωρηθέντων , ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον ἐστὶ μέρος πρίσματος τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῇ πυραμίδι καὶ ὕψος ἴσον , καὶ ὅτι πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶν τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῷ κώνῳ καὶ ὕψος ἴσον · καὶ γὰρ τούτων προυπαρχόντων φυσικῶς περὶ ταῦτα τὰ σχήματα , πολλῶν πρὸ Ἐὐδόξου γεγενημένων ἀξίων λόγου γεωμετρῶν συνέβαινεν ὑπὸ πάντων ἀγνοεῖσθαι μηδ᾿ ὑφʼ ἑνὸς κατανοτηθῆναι . Ἐξέσται δὲ περὶ τούτων ἐπισκέψασθαι τοῖς δυνησομένοις . Ὤφειλε μὲν οὖν Κόνωνος ἔτι ζῶντος ἐκδίδοσθαι ταῦτα τῆνον γὰρ ὑπολαμβάνομέν που μάλιστα ἂν δύνασθαι κατανοῆσαι ταῦτα καὶ τὴν ἁρμόζουσαν ὑπὲρ αὐτῶν ἀπόφασιν ποιήσασθαι · δοκιμάζοντες δὲ καλῶς ἔχειν μεταδιδόναι τοῖς οἰκείοις τῶν μαθημάτων ἀποστέλλομέν σοι τὰς ἀποδείξεις ἀναγράψαντες , ὑπὲρ ὧν ἐξέσται τοῖς περὶ τὰ μαθήματα ἀναστρεφομένοις ἐπισκέψασθαι . Ἐρρωμένως . Γράφονται πρῶτον τά τε ἀξιώματα καὶ τὰ λαμβανόμενα εἰς τὰς ἀποδείξες αὐτῶν . ΑΞΙΩΜΑΤΑ α΄ . Εἰσί τινες ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλαι γραμμαὶ πεπερασμέναι , αἳ τῶν τὰ πέρατα ἐπιζευγνυουσῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰ αὐτά εἰσιν ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα . β΄ . Ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλην καλῶ τὴν τοιαύτην γραμμήν , ἐν ᾗ ἐὰν δύο σημείων λαμβανομένων ὁποιωνοῦν αἱ μεταξὺ τῶν σημείων εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ πίπτουσιν τῆς γραμμῆς , ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά , τινὲς δὲ κατʼ αὐτῆς , ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μηδεμία . γ΄ . Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπιφάνειαί τινές εἰσιν πεπερασμέναι , αὐταὶ μὲν οὐκ ἐν ἐπιπέδῳ , τὰ δὲ πέρατα ἔχουσαι ἐν ἐπιπέδῳ , αἳ τοῦ ἐπιπέδου , ἐν ᾧ τὰ πέρατα ἔχουσιν , ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἔσονται ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα . δ΄ . Ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλας καλῶ τὰς τοιαύτας ἐπιφανείας , ἐν αἷς ἂν δύο σημείων λαμβανομένων αἱ μεταξὺ τῶν σημείων εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ πίπτουσιν τῆς ἐπιφανείας , ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά , τινὲς δὲ κατʼ αὐτῆς , ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μηδεμία . ε΄ . Τομέα δὲ στερεὸν καλῶ , ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμνῃ κορυφὴν ἔχων πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς σφαίρας , τὸ ἐμπεριεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ἐντὸς τοῦ κώνου . ϛ΄ . Ῥόμβον δὲ καλῶ στερεόν , ἐπειδὰν δύο κῶνοι τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντες τὰς κορυφὰς ἔχωσιν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου τῆς βάσεως , ὅπως οἱ ἄξονες αὐτῶν ἐπʼ εὐθείας ὦσι κείμενοι , τὸ ἐξ ἀμφοῖν τοῖν κώνοιν συγκείμενον στερεὸν σχῆμα . ΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΑ Λαμβάνω δὲ ταῦτα · α΄ . Τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐλαχίστην εἶναι τὴν εὐθεῖαν . β΄ . Τῶν δὲ ἄλλων γραμμῶν , ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ οὖσαι τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχωσιν , ἀνίσους εἶναι τὰς τοιαύτας , ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι , καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ἡ ἑτέρα αὐτῶν ὑπὸ τῆς ἑτέρας καὶ τῆς εὐθείας τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῇ , ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνηται , τινὰ δὲ κοινὰ ἔχῃ , καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περιλαμβανομένην . γ΄ . Ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν , ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ τὰ πέρατα ἔχωσιν , ἐλάσσονα εἶναι τὴν ἐπίπεδον . δ΄ . Τῶν δὲ ἄλλων ἐπιφανειῶν καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν , ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ τὰ πέρατα ᾖ , ἀνίσους εἶναι τὰς τοιαύτας , ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι , καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἡ ἑτέρα ἐπιφάνεια καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῇ , ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνηται , τινὰ δὲ κοινὰ ἔχῃ , καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περιλαμβανομένην . ε΄ . Ἔτι δὲ τῶν ἀνίσων γραμμῶν καὶ τῶν ἀνίσων ἐπιφανειῶν καὶ τῶν ἀνίσων στερεῶν τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονος ὑπερέχειν τοιούτῳ , ὃ συντιθέμενον αὐτὸ ἑαυτῷ δυνατόν ἐστιν ὑπερέχειν παντὸς τοῦ προτεθέντος τῶν πρὸς ἄλληλα λεγομένων . Τούτων δὲ ὑποκειμένων , ἐὰν εἰς κύκλον πολύγωνον ἐγγραφῇ , φανερὸν ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγώνου ἐλάσσων ἐστὶν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας ἑκάστη γὰρ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τῆς ὑπὸ τῆς αὐτῆς ἀποτεμνομένης .
Lemmas: πρότερος μέν ἀποστέλλω σύ ὁ ὑπό ἐγώ θεωρέω γράφω μετά ἀπόδειξις , ὅτι πᾶς τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό τε εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ἐπίτριτος εἰμί τρίγωνον ὁ βάσις ὁ αὐτός ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος · ὕστερον δέ ἐγώ ὑποπίπτω θεώρημα ἄξιος λόγος πραγματεύομαι περί ὁ ἀπόδειξις αὐτός . εἰμί δέ ὅδε · πρῶτος μέν , ὅτι πᾶς σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια τετραπλάσιος εἰμί ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν αὐτός · ἔπειτα δέ , ὅτι πᾶς τμῆμα σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ εὐθύς ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἄγω ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα · πρός δέ οὗτος , ὅτι πᾶς σφαῖρα ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα αὐτός τε ἡμιόλιος εἰμί ὁ σφαῖρα , καί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . οὗτος δέ ὁ σύμπτωμα ὁ φύσις προυπάρχω περί ὁ λέγω σχῆμα , ἀγνοέω δέ ὑπό ὁ πρό ἐγώ περί γεωμετρία ἀναστρέφω οὐδείς αὐτός ἐπινοέω ὅτι οὗτος ὁ σχῆμα εἰμί συμμετρία · διόπερ οὐ ἄν ὀκνέω ἀντιπαραβάλλω αὐτός πρός τε ὁ ὁ ἄλλος γεωμέτρης θεωρέω καί πρός ὁ δοκέω πολύς ὑπερέχω ὁ ὑπό Εὔδοξος περί ὁ στερεός θεωρέω , ὅτι πᾶς πυραμίς τρίτος εἰμί μέρος πρίσμα ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ πυραμίς καί ὕψος ἴσος , καί ὅτι πᾶς κῶνος τρίτος μέρος εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ κῶνος καί ὕψος ἴσος · καί γάρ οὗτος προυπάρχω φυσικός περί οὗτος ὁ σχῆμα , πολύς πρό Ἐὔδοξος γίγνομαι ἄξιος λόγος γεωμέτρης συμβαίνω ὑπό πᾶς ἀγνοέω μηδέ ὑπό εἷς κατανοτέω . ἔξεστι δέ περί οὗτος ἐπισκοπέω ὁ δύναμαι . ὀφέλλω μέν οὖν Κόνων ἔτι ζάω ἐκδίδωμι οὗτος τῆνος γάρ ὑπολαμβάνω που μάλα ἄν δύναμαι κατανοέω οὗτος καί ὁ ἁρμόζω ὑπέρ αὐτός ἀπόφασις ποιέω · δοκιμάζω δέ καλός ἔχω μεταδίδωμι ὁ οἰκεῖος ὁ μάθημα ἀποστέλλω σύ ὁ ἀπόδειξις ἀναγράφω , ὑπέρ ὅς ἔξεστι ὁ περί ὁ μάθημα ἀναστρέφω ἐπισκοπέω . ἐρρωμένος . γράφω πρῶτος ὁ τε ἀξίωμα καί ὁ λαμβάνω εἰς ὁ ἀποδείκνυμι αὐτός . Ἀξίωμα αʹ . εἰμί τις ἐν ἐπίπεδος καμπύλος γραμμή περαίνω , ὅς ὁ ὁ πέρας ἐπιζεύγνυμι αὐτός εὐθεῖα ἤτοι ὅλος ἐπί ὁ αὐτός εἰμί ἤ οὐδείς ἔχω ἐπί ὁ ἕτερος . βʹ . ἐπί ὁ αὐτός δή κοῖλος καλέω ὁ τοιοῦτος γραμμή , ἐν ὅς ἄν δύο σημεῖον λαμβάνω ὁπόιως ὁ μεταξύ ὁ σημεῖον εὐθύς ἤτοι πᾶς ἐπί ὁ αὐτός πίπτω ὁ γραμμή , ἤ τις μέν ἐπί ὁ αὐτός , τις δέ κατά αὐτός , ἐπί ὁ ἕτερος δέ μηδείς . γʹ . ὅμοιος δέ καί ἐπιφάνεια τις εἰμί περαίνω , αὐτός μέν οὐ ἐν ἐπίπεδος , ὁ δέ πέρας ἔχω ἐν ἐπίπεδος , ὅς ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς ὁ πέρας ἔχω , ἤτοι ὅλος ἐπί ὁ αὐτός εἰμί ἤ οὐδείς ἔχω ἐπί ὁ ἕτερος . δʹ . ἐπί ὁ αὐτός δή κοῖλος καλέω ὁ τοιοῦτος ἐπιφάνεια , ἐν ὅς ἄν δύο σημεῖον λαμβάνω ὁ μεταξύ ὁ σημεῖον εὐθεῖα ἤτοι πᾶς ἐπί ὁ αὐτός πίπτω ὁ ἐπιφάνεια , ἤ τις μέν ἐπί ὁ αὐτός , τις δέ κατά αὐτός , ἐπί ὁ ἕτερος δέ μηδείς . πέντε . τομεύς δέ στερεός καλέω , ἐπειδάν σφαῖρα κῶνος τέμνω κορυφή ἔχω πρός ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ ἐμπεριέχω σχῆμα ὑπό τε ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ἐντός ὁ κῶνος . ϛʹ . ῥόμβος δέ καλέω στερεός , ἐπειδάν δύο κῶνος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ κορυφή ἔχω ἐπί ἑκάτερος ὁ ἐπίπεδος ὁ βάσις , ὅπως ὁ ἄξων αὐτός ἐπί εὐθεῖα εἰμί κεῖμαι , ὁ ἐκ ἄμφω ὁ κῶνος σύγκειμαι στερεός σχῆμα . ΑΒ λαμβάνω δέ οὗτος · αʹ . ὁ ὁ αὐτός πέρας ἔχω γραμμή ἐλαχύς εἰμί ὁ εὐθεῖα . βʹ . ὁ δέ ἄλλος γραμμή , ἐάν ἐν ἐπίπεδος εἰμί ὁ αὐτός πέρας ἔχω , ἄνισος εἰμί ὁ τοιοῦτος , ἐπειδάν εἰμί ἀμφότερος ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος , καί ἤτοι ὅλος περιλαμβάνω ὁ ἕτερος αὐτός ὑπό ὁ ἕτερος καί ὁ εὐθεῖα ὁ ὁ αὐτός πέρας ἔχω αὐτός , ἤ τις μέν περιλαμβάνω , τις δέ κοινός ἔχω , καί ἐλαχύς εἰμί ὁ περιλαμβάνω . γʹ . ὅμοιος δέ καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὁ αὐτός πέρας ἔχω , ἐάν ἐν ἐπίπεδος ὁ πέρας ἔχω , ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπίπεδος . δʹ . ὁ δέ ἄλλος ἐπιφάνεια καί ὁ αὐτός πέρας ἔχω , ἐάν ἐν ἐπίπεδος ὁ πέρας εἰμί , ἄνισος εἰμί ὁ τοιοῦτος , ἐπειδάν εἰμί ἀμφότερος ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος , καί ἤτοι ὅλος περιλαμβάνω ὑπό ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος ἐπιφάνεια καί ὁ ἐπίπεδος ὁ ὁ αὐτός πέρας ἔχω αὐτός , ἤ τις μέν περιλαμβάνω , τις δέ κοινός ἔχω , καί ἐλαχύς εἰμί ὁ περιλαμβάνω . πέντε . ἔτι δέ ὁ ἄνισος γραμμή καί ὁ ἄνισος ἐπιφάνεια καί ὁ ἄνισος στερεός ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς ὑπερέχω τοιοῦτος , ὅς συντίθημι αὐτός ἑαυτοῦ δυνατός εἰμί ὑπερέχω πᾶς ὁ προτίθημι ὁ πρός ἀλλήλων λέγω . οὗτος δέ ὑπόκειμαι , ἐάν εἰς κύκλος πολύγωνος ἐγγράφω , φανερός ὅτι ὁ περίμετρος ὁ ἐγγράφω πολύγωνον ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ἕκαστος γάρ ὁ ὁ πολύγωνον πλευρά ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ὁ ὑπό ὁ αὐτός ἀποτέμνω .