archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.11
Ἐὰν ἐν ἐπιφανείᾳ ὀρθοῦ κυλίνδρου δύο εὐθεῖαι ὦσιν , ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἡ μεταξὺ τῶν εὐθειῶν μείζων ἐστὶν τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῶν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου εὐθειῶν καὶ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ πέρατα αὐτῶν . Ἔστω κύλινδρος ὀρθός , οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος , ἀπεναντίον δὲ ὁ Γ△ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , Β△ · λέγω ὅτι ἡ ἀποτεμνομένη κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΓΒ△ παραλληλογράμμου . Τετμήσθω γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΒ , Γ△ δίχα κατὰ τὰ Ε , Ζ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ . Καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ , ΕΒ τῆς ΑΒ μείζους εἰσίν , καί ἐστιν ἰσουψῆ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπʼ αὐτῶν , μείζονα οὖν ἐστιν τὰ παραλληλόγραμμα , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , τοῦ ΑΒ△Γ παραλληλογράμμου . Τίνι ἄρα μείζονά ἐστιν ; Ἔστω τῷ Η χωρίῳ . Τὸ δὴ Η χωρίον ἤτοι ἔλασσον τῶν ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ ἐπιπέδων ἐστὶ τμημάτων ἢ οὐκ ἔλασσον . Ἔστω πρότερον μὴ ἔλασσον . Καὶ ἐπεὶ ἡ ἀποτεμνομένη κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν καὶ τὰ ΑΕΒ , ΓΖ△ πέρας ἔχει τὸ τοῦ ΑΓΒ△ παραλληλογράμμου ἐπίπεδον , ἀλλὰ καὶ ἡ συγκειμένη ἐπιφάνεια ἐκ τῶν παραλληλογράμμων , ὧν βάσεις μὲν ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , καὶ τὰ ΑΕΒ , ΓΖ△ πέρας ἔχει τὸ τοῦ Α△ΒΓ παραλληλογράμμου ἐπίπεδον , καὶ ἡ ἑτέρα τὴν ἑτέραν περιλαμβάνει , καὶ ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαί εἰσιν , μείζων οὖν ἐστιν ἡ ἀποτεμνομένη κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν καὶ τὰ ΑΕΒ , ΓΖ△ ἐπίπεδα τμήματα τῆς συγκειμένης ἐπιφανείας ἐκ τῶν παραλληλογράμμων , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , καὶ τῶν ΑΕΒ , ΓΖ△ τριγώνων . Κοινὰ ἀφῃρήσθω τὰ ΑΕΒ , ΓΖ△ τρίγωνα λοιπὴ οὖν ἡ ἀποτεμνομένη κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν καὶ τὰ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ ἐπίπεδα τμήματα μείζονά ἐστι τῆς συγκειμένης ἐπιφανείας ἐκ τῶν παραλληλογράμμων , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ . Τὰ δὲ παραλληλόγραμμα , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , ἴσα ἐστὶν τῷ ΑΓΒ△ παραλληλογράμμῳ καὶ τῷ Η χωρίῳ λοιπὴ ἄρα ἡ ἀποτεμνομένη κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν μείζων ἐστὶ τοῦ ΑΓΒ△ παραλληλογράμμου . Ἀλλὰ δὴ ἔστω ἔλασσον τὸ Η χωρίον τῶν ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ ἐπιπέδων τμημάτων . Καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ περιφερειῶν δίχα κατὰ τὰ Θ , Κ , Λ , Μ σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ . Τούτου οὖν ἑξῆς γινομένου καταλειφθήσεταί τινα τμήματα , ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Η χωρίου . Καταλελείφθω καὶ ἔστω τὰ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ . Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι τὰ παραλληλόγραμμα , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ μείζονα ἔσται τῶν παραλληλογράμμων , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , Καὶ ἐπεὶ ἡ ἀποτεμνομένη κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν καὶ τὰ ΑΕΒ , ΓΖ△ ἐπίπεδα τμήματα πέρας ἔχει τὸ τοῦ ΑΓΒ△ παραλληλογράμμου ἐπίπεδον , ἀλλὰ καὶ ἡ συγκειμένη ἐπιφάνεια ἐκ τῶν παραλληλογράμμων , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , καὶ τῶν ΑΘΕΚΒ , ΓΛΖΜ△ εὐθυγράμμων , κοινὰ ἀφῃρήσθω τὰ ΑΘΕΚΒ , ΓΛΖΜ△ εὐθύγραμμα λοιπὴ ἄρα ἡ ἀποτεμνομένη κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν καὶ τὰ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ ἐπίπεδα τμήματα μείζονά ἐστιν τῆς συγκειμένης ἐπιφανείας ἐκ τῶν παραλληλογράμμων , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ . Τὰ δὲ παραλληλόγραμμα , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , μείζονά ἐστιν τῶν παραλληλογράμμων , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ · καὶ ἡ ἀποτεμνομένη ἄρα κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν καὶ τὰ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ ἐπίπεδα τμήματα μείζονά ἐστιν τῶν παραλληλογράμμων , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ . Τὸ δὲ παραλληλόγραμμα , ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ , ἴσα ἐστὶν τῷ ΑΓ△Β παραλληλογράμμῳ καὶ τῷ Η χωρίῳ καὶ ἡ ἀποτεμνομένη ἄρα κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν καὶ τὰ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ ἐπίπεδα τμήματα μείζονά ἐστιν τοῦ ΑΓΒ△ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ Η χωρίου . Ἀφαιρεθέντα δὲ τὰ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ τμήματα τοῦ Η χωρίου ἐλάσσονα λοιπὴ ἄρα ἡ ἀποτεμνομένη κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ , Β△ εὐθειῶν μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΓΒ△ παραλληλογράμμου .
Lemmas: ἐάν ἐν ἐπιφάνεια ὀρθός κύλινδρος δύο εὐθεῖα εἰμί , ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ μεταξύ ὁ εὐθύς μέγας εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος εὐθεῖα καί ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ πέρας αὐτός . εἰμί κύλινδρος ὀρθός , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒ κύκλος , ἀπεναντίον δέ ὁ Γ△ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , Β△ · λέγω ὅτι ὁ ἀποτέμνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα μέγας εἰμί ὁ ΑΓΒ△ παραλληλόγραμμος . τέμνω γάρ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , Γ△ δίχα κατά ὁ Ε , Ζ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ . καί ἐπεί ὁ ΑΕ , ΕΒ ὁ ΑΒ μέγας εἰμί , καί εἰμί ἰσουψής ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ἐπί αὐτός , μέγας οὖν εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , ὁ ΑΒ△Γ παραλληλόγραμμος . τίς ἄρα μέγας εἰμί ; εἰμί ὁ Η χωρίον . ὁ δή Η χωρίον ἤτοι ἐλαχύς ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ ἐπίπεδος εἰμί τμῆμα ἤ οὐ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος μή ἐλαχύς . καί ἐπεί ὁ ἀποτέμνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα καί ὁ ΑΕΒ , ΓΖ△ πέρας ἔχω ὁ ὁ ΑΓΒ△ παραλληλόγραμμος ἐπίπεδος , ἀλλά καί ὁ σύγκειμαι ἐπιφάνεια ἐκ ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , καί ὁ ΑΕΒ , ΓΖ△ πέρας ἔχω ὁ ὁ Α△ΒΓ παραλληλόγραμμος ἐπίπεδος , καί ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος περιλαμβάνω , καί ἀμφότερος ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος εἰμί , μέγας οὖν εἰμί ὁ ἀποτέμνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα καί ὁ ΑΕΒ , ΓΖ△ ἐπίπεδος τμῆμα ὁ σύγκειμαι ἐπιφάνεια ἐκ ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , καί ὁ ΑΕΒ , ΓΖ△ τρίγων . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΑΕΒ , ΓΖ△ τρίγωνος λοιπός οὖν ὁ ἀποτέμνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθύς καί ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ ἐπίπεδος τμῆμα μέγας εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐπιφάνεια ἐκ ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος . ὁ δέ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , ἴσος εἰμί ὁ ΑΓΒ△ παραλληλόγραμμος καί ὁ Η χωρίον λοιπός ἄρα ὁ ἀποτέμνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα μέγας εἰμί ὁ ΑΓΒ△ παραλληλόγραμμος . ἀλλά δή εἰμί ἐλαχύς ὁ Η χωρίον ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ ἐπίπεδος τμῆμα . καί τέμνω ἕκαστος ὁ ΑΕ , ΕΒ , ΓΖ , Ζ△ περιφέρεια δίχα κατά ὁ Θ , Κ , Λ , Μ σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ . οὗτος οὖν ἑξῆς γίγνομαι καταλείπω τις τμῆμα , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ Η χωρίον . καταλείπω καί εἰμί ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅτι ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος μέγας εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , Καὶ ἐπεί ὁ ἀποτέμνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα καί ὁ ΑΕΒ , ΓΖ△ ἐπίπεδος τμῆμα πέρας ἔχω ὁ ὁ ΑΓΒ△ παραλληλόγραμμος ἐπίπεδος , ἀλλά καί ὁ σύγκειμαι ἐπιφάνεια ἐκ ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , καί ὁ ΑΘΕΚΒ , ΓΛΖΜ△ εὐθύγραμμος , κοινός ἀφαιρέω ὁ ΑΘΕΚΒ , ΓΛΖΜ△ εὐθύγραμμος λοιπός ἄρα ὁ ἀποτέμνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα καί ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ ἐπίπεδος τμῆμα μέγας εἰμί ὁ σύγκειμαι ἐπιφάνεια ἐκ ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος . ὁ δέ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , μέγας εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος · καί ὁ ἀποτέμνω ἄρα κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα καί ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ ἐπίπεδος τμῆμα μέγας εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος . ὁ δέ παραλληλόγραμμος , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΕ , ΕΒ , ὕψος δέ ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος , ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ△Β παραλληλόγραμμος καί ὁ Η χωρίον καί ὁ ἀποτέμνω ἄρα κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα καί ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ ἐπίπεδος τμῆμα μέγας εἰμί ὁ ΑΓΒ△ παραλληλόγραμμος καί ὁ Η χωρίον . ἀφαιρέω δέ ὁ ΑΘ , ΘΕ , ΕΚ , ΚΒ , ΓΛ , ΛΖ , ΖΜ , Μ△ τμῆμα ὁ Η χωρίον ἐλαχύς λοιπός ἄρα ὁ ἀποτέμνω κυλινδρικός ἐπιφάνεια ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ εὐθεῖα μέγας εἰμί ὁ ΑΓΒ△ παραλληλόγραμμος .