archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.28
Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , περὶ δὲ τὸν ΑΒΓ△ κύκλον περιγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον , τὸ δὲ πλῆθος τῶν πλευρῶν αὐτοῦ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος , τὸ δὲ περὶ τὸν κύκλον περιγεγραμμένον πολύγωνον κύκλος περιγεγραμμένος περιλαμβανέτω περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον γενόμενος τῷ ΑΒΓ△ . Μενούσης δὴ τῆς ΕΗ περιενεχθήτω τὸ ΕΖΗΘ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ τό τε πολύγωνον καὶ ὁ κύκλος · δῆλον οὖν ὅτι ἡ μὲν περιφέρεια τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου κατὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας οἰσθήσεται , ἡ δὲ περιφέρεια τοῦ ΕΖΗΘ κατʼ ἄλλης ἐπιφανείας σφαίρας τὸ αὐτὸ κέντρον ἐχούσης τῇ ἐλάσσονι οἰσθήσεται , αἱ δὲ ἁφαί , καθʼ ἃς ἐπιψαύουσιν αἱ πλευραί , γράφουσιν κύκλους ὀρθοὺς πρὸς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον ἐν τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ , αἱ δὲ γωνίαι τοῦ πολυγώνου χωρὶς τῶν πρὸς τοῖς Ε , Η σημείοις κατὰ κύκλων περιφερειῶν οἰσθήσονται ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς μείζονος σφαίρας γεγραμμένων ὀρθῶν πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον , αἱ δὲ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου κατὰ κωνικῶν ἐπιφανειῶν οἰσθήσονται , καθάπερ ἐπὶ τῶν πρὸ τούτου · ἔσται οὖν τὸ σχῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν κωνικῶν περὶ μὲν τὴν ἐλάσσονα σφαῖραν περιγεγραμμένον , ἐν δὲ τῇ μείζονι ἐγγεγραμμένον . Ὅτι δὲ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος μείζων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας οὕτως δειχθήσεται · ἔστω γὰρ ἡ Κ△ διάμετρος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ τῶν Κ , △ σημείων ὄντων , καθʼ ἃ ἅπτονται τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου αἱ πλευραὶ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου . Διῃρημένης δὴ τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ κατὰ τὴν Κ△ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος περὶ τὴν σφαῖραν διαιρεθήσεται ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου . Καὶ φανερὸν ὅτι τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ · ἀμφοτέρων γὰρ τῶν ἐπιπέδων πέρας ἐστὶν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τοῦ περὶ διάμετρον τὴν Κ△ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον · καί εἰσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι , καὶ περιλαμβάνεται ἡ ἑτέρα αὐτῶν ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἐπιφανείας καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης · ἐλάσσων οὖν ἐστιν ἡ περιλαμβανομένη τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας τοῦ σχήματος τοῦ περιγεγεγραμμένου περὶ αὐτήν , Ὁμοίως δὲ καὶ ἡ τοῦ λοιποῦ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τοῦ σχήματος τοῦ περιγεγραμμένου περὶ αὐτήν · δῆλον οὖν ὅτι καὶ ὅλη ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ σχήματος τοῦ περιγεγραμμένου περὶ αὐτήν .
Lemmas: εἰμί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , περί δέ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος περιγράφω πολύγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἰσογώνιος , ὁ δέ πλῆθος ὁ πλευρά αὐτός μετρέω ὑπό τετράς , ὁ δέ περί ὁ κύκλος περιγράφω πολύγωνον κύκλος περιγράφω περιλαμβάνω περί ὁ αὐτός κέντρον γίγνομαι ὁ ΑΒΓ△ . μένω δή ὁ ΕΗ περιφέρω ὁ ΕΖΗΘ ἐπίπεδος , ἐν ὅς ὁ τε πολύγωνον καί ὁ κύκλος · δῆλος οὖν ὅτι ὁ μέν περιφέρεια ὁ ΑΒΓ△ κύκλος κατά ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα φέρω , ὁ δέ περιφέρεια ὁ ΕΖΗΘ κατά ἄλλος ἐπιφάνεια σφαῖρα ὁ αὐτός κέντρον ἔχω ὁ ἐλαχύς φέρω , ὁ δέ ἁφή , κατά ὅς ἐπιψαύω ὁ πλευρά , γράφω κύκλος ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ△ κύκλος ἐν ὁ ἐλαχύς σφαῖρα , ὁ δέ γωνία ὁ πολύγωνον χωρίς ὁ πρός ὁ Ε , Η σημεῖον κατά κύκλος περιφέρεια φέρω ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ μέγας σφαῖρα γράφω ὀρθός πρός ὁ ΕΖΗΘ κύκλος , ὁ δέ πλευρά ὁ πολύγωνον κατά κωνικός ἐπιφάνεια φέρω , καθά ἐπί ὁ πρό οὗτος · εἰμί οὖν ὁ σχῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ κωνικός περί μέν ὁ ἐλαχύς σφαῖρα περιγράφω , ἐν δέ ὁ μέγας ἐγγράφω . ὅτι δέ ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα οὕτως δείκνυμι · εἰμί γάρ ὁ Κ△ διάμετρος κύκλος τις ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ὁ Κ , △ σημεῖον εἰμί , κατά ὅς ἅπτω ὁ ΑΒΓ△ κύκλος ὁ πλευρά ὁ περιγράφω πολύγωνον . διαιρέω δή ὁ σφαῖρα ὑπό ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ Κ△ ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ△ κύκλος καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ σφαῖρα διαιρέω ὑπό ὁ ἐπίπεδος . καί φανερός ὅτι ὁ αὐτός πέρας ἔχω ἐν ἐπίπεδος · ἀμφότερος γάρ ὁ ἐπίπεδος πέρας εἰμί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ὁ περί διάμετρος ὁ Κ△ ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ△ κύκλος · καί εἰμί ἀμφότερος ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος , καί περιλαμβάνω ὁ ἕτερος αὐτός ὑπό ὁ ἕτερος ἐπιφάνεια καί ὁ ἐπίπεδος ὁ ὁ αὐτός πέρας ἔχω · ἐλαχύς οὖν εἰμί ὁ περιλαμβάνω ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα ὁ περιγεγράφω περί αὐτός , Ὅμοιος δέ καί ὁ ὁ λοιπός τμῆμα ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί αὐτός · δῆλος οὖν ὅτι καί ὅλος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί αὐτός .