archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.10
Ἐὰν ἐπιψαύουσαι ἀχθῶσιν τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ κώνου , ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι τῷ κύκλῳ καὶ συμπίπτουσαι ἀλλήλαις , ἀπὸ δὲ τῶν ἁφῶν καὶ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου εὐθεῖαι ἀχθῶσιν , τὰ περιεχόμενα τρίγωνα ὑπὸ τῶν ἐπιψαυουσῶν καὶ τῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν μείζονά ἐστιν τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῶν . Ἔστω κῶνος οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον , καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι αἱ Α△ , Γ△ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου , ὅ ἐστιν κορυφὴ τοῦ κώνου , ἐπὶ τὰ Α , △ , Γ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ , Ε△ , ΕΓ · λέγω ὅτι τὰ Α△Ε , △ΕΓ τρίγωνα μείζονά ἐστι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕ , ΓΕ εὐθειῶν καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας . Ἤχθω γὰρ ἡ ΗΒΖ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου καὶ παράλληλος οὖσα τῇ ΑΓ δίχα τμηθείσης τῆς ΑΒΓ περιφερείας κατὰ τὸ Β , καὶ ἀπὸ τῶν Η , Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΕ , ΖΕ . Καὶ ἐπεὶ μείζους εἰσὶν αἱ Η△ , △Ζ τῆς ΗΖ , κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΗΑ , ΖΓ ὅλαι ἄρα αἱ Α△ , △Γ μείζους εἰσὶν τῶν ΑΗ , ΗΖ , ΖΓ . Καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ , ΕΒ , EΓ πλευραί εἰσιν τοῦ κώνου , ἴσαι εἰσὶν διὰ τὸ ἰσοσκελῆ εἶναι τὸν κῶνον ὁμοίως δὲ καὶ κάθετοί εἰσιν · μείζονα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΕ△ , △ΕΓ τρίγωνα τῶν ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τριγώνων . Ὧι δὴ μείζονά ἐστιν τὰ ΑΕ△ , △ΓΕ τρίγωνα τῶν ΑΕΗ . ΗΕΖ , ΖΕΓ τριγώνων , ἔστω τὸ Θ χωρίον . Τὸ δὴ Θ χωρίον ἤτοι ἔλαττόν ἐστιν τῶν ΑΗΒΚ , ΒΖΓΛ ἀποτμημάτων ἢ οὐκ ἔλαττον . Ἔστω πρότερον μὴ ἔλαττον , Ἐπεὶ οὖν εἰσιν ἐπιφάνειαι σύνθετοι , ἥ τε τῆς πυραμίδος τῆς ἐπὶ βάσεως τοῦ ΗΑΓΖ τραπεζίου κορυφὴν ἔχουσα τὸ Ε καὶ ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΕΓ μετὰ τοῦ ΑΒΓ τμήματος , καὶ πέρας ἔχουσι τὴν αὐτὴν περίμετρον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου , δῆλον ὡς ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τοῦ ΑΕΓ τριγώνου μείζων ἐστὶν τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας μετὰ τοῦ τμήματος τοῦ ΑΒΓ . Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒΓ τμῆμα · λοιπὰ ἄρα τὰ τρίγωνα τὰ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ μετὰ τῶν ΑΗΒΚ , ΒΖΓΛ περιλειμμάτων μείζονά ἐστιν τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕ , ΕΓ . Τῶν δὲ ΑΗΒΚ , ΒΖΓΛ περιλειμμάτων οὐκ ἔλασσόν ἐστιν τὸ Θ χωρίον · πολλῷ ἄρα τὰ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνα μετὰ τοῦ Θ μείζονα ἔσται τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕΓ . Ἀλλὰ τὰ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνα μετὰ τοῦ Θ ἐστὶν τὰ ΑΕ△ , △ΕΓ τρίγωνα · τὰ ἄρα ΑΕ△ , △ΕΓ τρίγωνα μείζονα ἔσται τῆς εἰρημένης κωνικῆς ἐπιφανείας . Ἔστω δὴ τὸ Θ ἔλασσον τῶν περιλειμμάτων . Ἀεὶ δὴ περιγράφοντες πολύγωνα περὶ τὰ τμήματα ὁμοίως δίχα τεμνομένων τῶν περιλειπομένων περιφερειῶν καὶ ἀγομένων ἐφαπτομένων λείψομέν τινα ἀπολείμματα , ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου . Λελείφθω καὶ ἔστω τὰ ΑΜΚ , ΚΝΒ , ΒΞΛ , ΛΟΓ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Θ χωρίου , καὶ ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ Ε . Πάλιν δὴ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνα τῶν ΑΕΜ , ΜΕΝ , ΝΕΞ , ΞΕΟ , ΟΕΓ τριγώνων ἔσται μείζονα . Ἔτι δὲ πάλιν ὁμοίως μείζονα ἔχει ἐπιφάνειαν ἡ πυραμὶς ἡ βάσιν μὲν ἔχουσα τὸ ΑΜΝΞΟΓ πολύγωνον , κορυφὴν δὲ τὸ Ε , χωρὶς τοῦ ΑΕΓ τριγώνου , τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕΓ μετὰ τοῦ ΑΒΓ τμήματος . Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒΓ τμῆμα · λοιπὰ ἄρα τὰ ΑΕΜ , ΜΕΝ . ΝΕΞ , ΞΕΟ , ΟΕΓ τρίγωνα μετὰ τῶν ΑΜΚ , ΚΝΒ , ΒΞΛ , ΛΟΓ περιλειμμάτων μείζονα ἔσται τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕΓ . Ἀλλὰ τῶν μὲν εἰρημένων περιλειμμάτων μεῖζόν ἐστιν τὸ Θ χωρίον , τῶν δὲ ΑΕΜ , ΜΕΝ . ΝΕΞ , ΞΕΟ , ΟΕΓ τριγώνων μείζονα ἐδείχθη τὰ ΑΕΗ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνα πολλῷ ἄρα τὰ ΑΕΗ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνα μετὰ τοῦ Θ χωρίου , τουτέστι τὰ Α△Ε , △ΕΓ τρίγωνα , μείζονά ἐστιν τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕΓ εὐθειῶν .
Lemmas: ἐάν ἐπιψαύω ἄγω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ κῶνος , ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ κύκλος καί συμπίπτω ἀλλήλων , ἀπό δέ ὁ ἁφή καί ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ κορυφή ὁ κῶνος εὐθεῖα ἄγω , ὁ περιέχω τρίγωνος ὑπό ὁ ἐπιψαύω καί ὁ ἐπί ὁ κορυφή ὁ κῶνος ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα μέγας εἰμί ὁ ὁ κῶνος ἐπιφάνεια ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό αὐτός . εἰμί κῶνος ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Ε σημεῖον , καί ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτω ἄγω ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί ὁ Α△ , Γ△ , καί ἀπό ὁ Ε σημεῖον , ὅς εἰμί κορυφή ὁ κῶνος , ἐπί ὁ Α , △ , Γ ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΑ , Ε△ , ΕΓ · λέγω ὅτι ὁ Α△Ε , ΓΕ τρίγωνος μέγας εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΑΕ , ΓΕ εὐθεῖα καί ὁ ΑΒΓ περιφέρεια . ἄγω γάρ ὁ ΗΒΖ ἐφάπτω ὁ κύκλος καί παράλληλος εἰμί ὁ ΑΓ δίχα τέμνω ὁ ΑΒΓ περιφέρεια κατά ὁ Β , καί ἀπό ὁ Η , Ζ ἐπί ὁ Ε ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΕ , ΖΕ . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ Η△ , △Ζ ὁ ΗΖ , κοινός πρόσκειμαι ὁ ΗΑ , ΖΓ ὅλος ἄρα ὁ Α△ , △Γ μέγας εἰμί ὁ ΑΗ , ΗΖ , ΖΓ . καί ἐπεί ὁ ΑΕ , ΕΒ , EΓ πλευρά εἰμί ὁ κῶνος , ἴσος εἰμί διά ὁ ἰσοσκελής εἰμί ὁ κῶνος ὅμοιος δέ καί κάθετος εἰμί · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ΑΕ△ , ΓΕ τρίγωνος ὁ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγων . ὅς δή μέγας εἰμί ὁ ΑΕ△ , ΓΕ τρίγωνος ὁ ΑΕΗ . ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγων , εἰμί ὁ Θ χωρίον . ὁ δή Θ χωρίον ἤτοι ἐλαχύς εἰμί ὁ ΑΗΒΚ , ΒΖΓΛ ἀπότμημα ἤ οὐ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος μή ἐλαχύς , Ἐπεί οὖν εἰμί ἐπιφάνεια σύνθετος , ὁ τε ὁ πυραμίς ὁ ἐπί βάσις ὁ ΗΑΓΖ τραπέζιον κορυφή ἔχω ὁ Ε καί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΑΕΓ μετά ὁ ΑΒΓ τμῆμα , καί πέρας ἔχω ὁ αὐτός περίμετρον ὁ ΑΕΓ τρίγωνον , δῆλος ὡς ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς χωρίς ὁ ΑΕΓ τρίγωνον μέγας εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια μετά ὁ τμῆμα ὁ ΑΒΓ . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΑΒΓ τμῆμα · λοιπός ἄρα ὁ τρίγωνος ὁ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ μετά ὁ ΑΗΒΚ , ΒΖΓΛ περίλειμμα μέγας εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΑΕ , ΕΓ . ὁ δέ ΑΗΒΚ , ΒΖΓΛ περίλειμμα οὐ ἐλαχύς εἰμί ὁ Θ χωρίον · πολύς ἄρα ὁ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνος μετά ὁ Θ μέγας εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΑΕΓ . ἀλλά ὁ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνος μετά ὁ Θ εἰμί ὁ ΑΕ△ , ΓΕ τρίγωνος · ὁ ἄρα ΑΕ△ , ΓΕ τρίγωνος μέγας εἰμί ὁ λέγω κωνικός ἐπιφάνεια . εἰμί δή ὁ Θ ἐλαχύς ὁ περίλειμμα . ἀεί δή περιγράφω πολύγωνον περί ὁ τμῆμα ὅμοιος δίχα τέμνω ὁ περιλείπομαι περιφέρεια καί ἄγω ἐφάπτω λείπω τις ἀπόλειμμα , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ Θ χωρίον . λείπω καί εἰμί ὁ ΑΜΚ , ΚΝΒ , ΒΞΛ , ΛΟΓ ἐλαχύς εἰμί ὁ Θ χωρίον , καί ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ Ε . πάλιν δή φανερός ὅτι ὁ ΑΗΕ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνος ὁ ΑΕΜ , ΜΕΝ , ΝΕΞ , ΞΕΟ , ΟΕΓ τρίγων εἰμί μέγας . ἔτι δέ πάλιν ὅμοιος μέγας ἔχω ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ΑΜΝΞΟΓ πολύγωνον , κορυφή δέ ὁ Ε , χωρίς ὁ ΑΕΓ τρίγωνον , ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΑΕΓ μετά ὁ ΑΒΓ τμῆμα . κοινός ἀφαιρέω ὁ ΑΒΓ τμῆμα · λοιπός ἄρα ὁ ΑΕΜ , ΜΕΝ . ΝΕΞ , ΞΕΟ , ΟΕΓ τρίγωνος μετά ὁ ΑΜΚ , ΚΝΒ , ΒΞΛ , ΛΟΓάς περίλειμμα μέγας εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΑΕΓ . ἀλλά ὁ μέν λέγω περίλειμμα μέγας εἰμί ὁ Θ χωρίον , ὁ δέ ΑΕΜ , ΜΕΝ . ΝΕΞ , ΞΕΟ , ΟΕΓ τρίγων μέγας δείκνυμι ὁ ΑΕΗ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνος πολύς ἄρα ὁ ΑΕΗ , ΗΕΖ , ΖΕΓ τρίγωνος μετά ὁ Θ χωρίον , τουτέστι ὁ Α△Ε , ΓΕ τρίγωνος , μέγας εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΑΕΓ εὐθεῖα .