archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.23
Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν πολύγωνον ἰσόπλευρον , τὸ δὲ πλῆθος τῶν πλευρῶν αὐτοῦ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος , αἱ δὲ ΑΓ , △Β διάμετροι ἔστωσαν . Ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΓ διαμέτρου περιενεχθῇ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος ἔχων τὸ πολύγωνον , δῆλον ὅτι ἡ μὲν περιφέρεια αὐτοῦ κατὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ἐνεχθήσεται , αἱ δὲ τοῦ πολυγώνου γωνίαι χωρὶς τῶν πρὸς τοῖς Α , Γ σημείοις κατὰ κύκλων περιφερειῶν ἐνεχθήσονται ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας γεγραμμένων ὀρθῶν πρὸς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον · διάμετροι δὲ αὐτῶν ἔσονται αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου παρὰ τὴν Β△ οὖσαι . Αἱ δὲ τοῦ πολυγώνου πλευραὶ κατά τινων κώνων ἐνεχθήσονται , αἱ μὲν ΑΖ , ΑΝ κατʼ ἐπιφανείας κώνου , οὗ βάσις μὲν ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΖΝ , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον , αἱ δὲ ΖΗ , ΜΝ κατά τινος κωνικῆς ἐπιφανείας οἰσθήσονται , ἧς βάσις μὲν ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΜΗ , κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον , καθʼ ὃ συμβάλλουσιν ἐκβαλλόμεναι αἱ ΖΗ , ΜΝ ἀλλήλαις τε καὶ τῇ ΑΓ , αἱ δὲ ΒΗ , Μ△ πλευραὶ κατὰ κωνικῆς ἐπιφανείας οἰσθήσονται , ἧς βάσις μέν ἐστιν ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον , κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον , καθ᾿ ὃ συμβάλλουσιν ἐκβαλλόμεναι αἱ ΒΗ , △Μ ἀλλήλαις τε καὶ τῇ ΓΑ · ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ πλευραὶ κατὰ κωνικῶν ἐπιφανειῶν οἰσθήσονται πάλιν ὁμοίων ταύταις . Ἔσται δή τι σχῆμα ἐγγεγραμμένον ἐν τῇ σφαίρᾳ ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον τῶν προειρημένων , οὗ ἡ ἐπιφάνεια ἐλάσσων ἔσται τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας . Διαιρεθείσης γὰρ τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ κατὰ τὴν Β△ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἑτέρου ἡμισφαιρίου καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ σχήματος τοῦ ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένου τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ · ἀμφοτέρων γὰρ τῶν ἐπιφανειῶν πέρας ἐστὶν τοῦ κύκλου ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περὶ διάμετρον τὴν Β△ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον καί εἰσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι , καὶ περιλαμβάνεται αὐτῶν ἡ ἑτέρα ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἐπιφανείας καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῇ . Ὁμοίως δὲ καὶ τοῦ ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμισφαιρίῳ σχήματος ἡ ἐπιφάνεια ἐλάσσων ἐστὶν τῆς τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφανείας · καὶ ὅλη οὖν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ σχήματος τοῦ ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας .
Lemmas: εἰμί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός πολύγωνον ἰσόπλευρος , ὁ δέ πλῆθος ὁ πλευρά αὐτός μετρέω ὑπό τετράς , ὁ δέ ΑΓ , △Β διάμετρος εἰμί . ἐάν δή μένω ὁ ΑΓ διάμετρος περιφέρω ὁ ΑΒΓ△ κύκλος ἔχω ὁ πολύγωνον , δῆλος ὅτι ὁ μέν περιφέρεια αὐτός κατά ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ἐνεχθέω , ὁ δέ ὁ πολύγωνον γωνία χωρίς ὁ πρός ὁ Α , Γ σημεῖον κατά κύκλος περιφέρεια φέρω ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα γράφω ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ△ κύκλος · διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία ὁ πολύγωνον παρά ὁ Β△ εἰμί . ὁ δέ ὁ πολύγωνον πλευρά κατά τις κῶνος φέρω , ὁ μέν ΑΖ , ΑΝ κατά ἐπιφάνεια κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΝ , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , ὁ δέ ΖΗ , ΜΝ κατά τις κωνικός ἐπιφάνεια φέρω , ὅς βάσις μέν ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΜΉ , κορυφή δέ ὁ σημεῖον , κατά ὅς συμβάλλω ἐκβάλλω ὁ ΖΗ , ΜΝ ἀλλήλων τε καί ὁ ΑΓ , ὁ δέ ΒΗ , Μ△ πλευρά κατά κωνικός ἐπιφάνεια φέρω , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , κορυφή δέ ὁ σημεῖον , κατά ὅς συμβάλλω ἐκβάλλω ὁ ΒΗ , △Μ ἀλλήλων τε καί ὁ ΓΑ · ὅμοιος δέ καί ὁ ἐν ὁ ἕτερος ἡμικύκλιον πλευρά κατά κωνικός ἐπιφάνεια φέρω πάλιν ὅμοιος οὗτος . εἰμί δή τις σχῆμα ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω ὁ προλέγω , ὅς ὁ ἐπιφάνεια ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . διαιρέω γάρ ὁ σφαῖρα ὑπό ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ Β△ ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ△ κύκλος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἕτερος ἡμισφαίριον καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα ὁ ἐν αὐτός ἐγγράφω ὁ αὐτός πέρας ἔχω ἐν εἷς ἐπίπεδος · ἀμφότερος γάρ ὁ ἐπιφάνεια πέρας εἰμί ὁ κύκλος ὁ ἐπιφάνεια ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ△ κύκλος καί εἰμί ἀμφότερος ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος , καί περιλαμβάνω αὐτός ὁ ἕτερος ὑπό ὁ ἕτερος ἐπιφάνεια καί ὁ ἐπίπεδος ὁ ὁ αὐτός πέρας ἔχω αὐτός . ὅμοιος δέ καί ὁ ἐν ὁ ἕτερος ἡμισφαίριον σχῆμα ὁ ἐπιφάνεια ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ ἡμισφαίριον ἐπιφάνεια · καί ὅλος οὖν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα .