archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.35
Ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος εἰς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου ἐν τῷ τμήματι τοῦ μεγίστου κύκλου καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς παραλλήλοις τῇ βάσει τοῦ τμήματος σὺν τῇ ἡμισείᾳ τῆς τοῦ τμήματος βάσεως . Ἔστω σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῇ τμῆμα , οὗ βάσις ὁ περὶ τὴν ΑΗ κύκλος , καὶ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΗΘ καὶ ἀρτιόπλευρον πολύγωνον τὸ ΑΓΕΘΖ△Η χωρὶς τῆς ΑΗ πλευρᾶς , καὶ εἰλήφθω κύκλος ὁ Λ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς ΑΓ πλευρᾶς καὶ ὑπὸ πασῶν τῶν ΕΖ , Γ△ καὶ ἔτι τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως , τουτέστι τῆς ΑΚ · δεικτέον ὅτι ὁ κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ τοῦ σχήματος ἐπιφανείᾳ . Εἰλήφθω γὰρ κύκλος ὁ Μ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΘ πλευρᾶς καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΕΖ · γίνεται δὴ ὁ Μ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὴν ΕΖ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον . Εἰλήφθω δὲ καὶ ἄλλος ὁ Ν , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς ΕΓ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρου τῆς ΕΖ , Γ△ · ἔσται οὖν οὗτος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΕΖ , Γ△ . Καὶ ἄλλος ὁμοίως ὁ Ξ εἰλήφθω κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΓ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρων τῶν Γ△ , ΑΗ · καὶ αὐτὸς οὖν ἴσος ἐστὶ τῇ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΑΗ , Γ△ . Πάντες οὖν οἱ κύκλοι ἴσοι ἔσονται τῇ ὅλῃ τοῦ σχήματος ἐπιφανείᾳ , καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων αὐτῶν ἴσον δυνήσονται τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΑΓ καὶ τῆς ἴσης ταῖς ΕΖ , Γ△ καὶ τῇ ἡμισείᾳ τῆς βάσεως τῇ ΑΚ . Ἐδύνατο δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Λ κύκλου ἴσον τῷ αὐτῷ χωρίῳ · ὁ ἄρα Λ κύκλος ἴσος ἔσται τοῖς Μ , Ν , Ξ κύκλοις · ὥστε καὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος .
Lemmas: ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα εἰς ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε εἷς πλευρά ὁ ἐγγράφω πολύγωνον ἐν ὁ τμῆμα ὁ μέγας κύκλος καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ παράλληλος ὁ βάσις ὁ τμῆμα σύν ὁ ἡμίσεια ὁ ὁ τμῆμα βάσις . εἰμί σφαῖρα καί ἐν αὐτός τμῆμα , ὅς βάσις ὁ περί ὁ ΑΗ κύκλος , καί μέγας κύκλος ὁ ΑΗΘ καί ἀρτιόπλευρος πολύγωνον ὁ ΕΖΗ χωρίς ὁ ΑΗ πλευρά , καί λαμβάνω κύκλος ὁ Λ , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΓ πλευρά καί ὑπό πᾶς ὁ ΕΖ , Γ△ καί ἔτι ὁ ἥμισυς ὁ βάσις , τουτέστι ὁ ΑΚ · δείκνυμι ὅτι ὁ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ὁ σχῆμα ἐπιφάνεια . λαμβάνω γάρ κύκλος ὁ Μ , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΕΘ πλευρά καί ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖ · γίγνομαι δή ὁ Μ κύκλος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ ΕΖ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Θ σημεῖον . λαμβάνω δέ καί ἄλλος ὁ Ν , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΕΓ καί ὁ ἥμισυς συναμφότεροι ὁ ΕΖ , Γ△ · εἰμί οὖν οὗτος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΕΖ , Γ△ . καί ἄλλος ὅμοιος ὁ Ξ λαμβάνω κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΓ καί ὁ ἥμισυς συναμφότεροι ὁ Γ△ , ΑΗ · καί αὐτός οὖν ἴσος εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΗ , Γ△ . πᾶς οὖν ὁ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ὅλος ὁ σχῆμα ἐπιφάνεια , καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον αὐτός ἴσος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό εἷς πλευρά ὁ ΑΓ καί ὁ ἴσος ὁ ΕΖ , Γ△ καί ὁ ἡμίσεια ὁ βάσις ὁ ΑΚ . δύναμαι δέ καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Λ κύκλος ἴσος ὁ αὐτός χωρίον · ὁ ἄρα Λ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ Μ , Ν , Ξ κύκλος · ὥστε καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα .