archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.20
Ἐὰν ῥόμβου ἐξ ἰσοσκελῶν κώνων συγκειμένου ὁ ἕτερος κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει , ἀπὸ δὲ τοῦ γενομένου κύκλου κῶνος ἀναγραφῇ κορυφὴν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ ἑτέρῳ κώνῳ , ἀπὸ δε τοῦ ὅλου ὁόμβου ὁ γενόμενος ῥόμβος ἀφαιρεθῇ , τῷ περιλείμματι ἴσος ἔσται ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ ἑτέρου κώνου καθέτῳ ἠγμένῃ . Ἔστω ῥόμβος ἐξ ἰσοσκελῶν κώνων συγκείμενος ὁ ΑΒΓ△ , καὶ τμηθήτω ὁ ἕτερος κῶνος ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει , καὶ ποιείτω τομὴν τὴν ΕΖ , ἀπὸ δὲ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλου κῶνος ἀναγεγράφθω τὴν κορυφὴν ἔχων τὸ μετρον σημεῖον · ἔσται δὴ γεγονὼς ῥόμβος ὁ ΕΒ△Ζ . Καὶ νοείσθω ἀφῃρημένος ἀπὸ τοῦ ὅλου ῥόμβου , ἐκκείσθω δέ τις κῶνος ὁ ΘΚΛ τὴν μὲν βάσιν ἴσην ἔχων τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ μεταξὺ τῶν ΑΓ , ΕΖ , τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ △ σημείου καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὴν ΒΑ ἢ τὴν ἐπʼ εὐθείας αὐτῇ · λέγω ὅτι ὁ ΘΚΛ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ εἰρημένῳ περιλείμματι . Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κῶνοι οἱ ΜΝΞ , ΟΠΡ , καὶ ἡ μὲν βάσις τοῦ ΜΝΞ κώνου ἴση ἔστω τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΑΒΓ , τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ △Η , τοῦ δὲ ΟΠΡ κώνου ἡ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΕΒΖ κώνου , τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ △Η . Ἐπεὶ δὲ ὁμοίως ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ κώνου σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ΕΒΖ καὶ τῆς μεταξὺ τῶν ΕΖ , ΑΓ , ἀλλὰ ἡ μὲν τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ ΜΝΞ , ἡ δὲ τοῦ ΕΒΖ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ ΟΡΠ κώνου , ἡ δὲ μεταξὺ τῶν ΕΖ , ΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ ΘΚΛ , ἡ ἄρα βάσις τοῦ ΜΝΞ ἴση ἐστὶ ταῖς βάσεσιν τῶν ΟΠΡ , ΘΚΛ . Καί εἰσιν οἱ κῶνοι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος · καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα κῶνος ἴσος ἐστὶ τοῖς ΘΚΛ , ΟΠΡ κώνοις . Ἀλλʼ ὁ μὲν ΜΝΞ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΑΒΓ△ ῥόμβῳ , ὁ δὲ ΟΠΡ κῶνος τῷ ΕΒ△Ζ ῥόμβῳ · λοιπὸς ἄρα ὁ κῶνος ὁ ΘΚΛ ἴσος ἐστὶ τῷ περιλείμματι τῷ λοιπῷ .
Lemmas: ἐάν ῥόμβος ἐκ ἰσοσκελής κῶνος σύγκειμαι ὁ ἕτερος κῶνος ἐπίπεδος τέμνω παράλληλος ὁ βάσις , ἀπό δέ ὁ γίγνομαι κύκλος κῶνος ἀναγράφω κορυφή ἔχω ὁ αὐτός ὁ ἕτερος κῶνος , ἀπό δε ὁ ὅλος ὁόμβος ὁ γίγνομαι ῥόμβος ἀφαιρέω , ὁ περίλειμμα ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ ἕτερος κῶνος ἐπί ὁ πλευρά ὁ ἕτερος κῶνος κάθετος ἄγω . εἰμί ῥόμβος ἐκ ἰσοσκελής κῶνος σύγκειμαι ὁ ΑΒΓ△ , καί τέμνω ὁ ἕτερος κῶνος ἐπίπεδος παράλληλος ὁ βάσις , καί ποιέω τομή ὁ ΕΖ , ἀπό δέ ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΖ κύκλος κῶνος ἀναγράφω ὁ κορυφή ἔχω ὁ μετρω σημεῖον · εἰμί δή γίγνομαι ῥόμβος ὁ ΕΖ . καί νοέω ἀφαιρέω ἀπό ὁ ὅλος ῥόμβος , ἔκκειμαι δέ τις κῶνος ὁ ΘΚΛ ὁ μέν βάσις ἴσος ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ ΑΓ , ΕΖ , ὁ δέ ὕψος ἴσος ὁ ἀπό ὁ △ σημεῖον κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΒΑ ἤ ὁ ἐπί εὐθεῖα αὐτός · λέγω ὅτι ὁ ΘΚΛ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ λέγω περίλειμμα . ἔκκειμαι γάρ δύο κῶνος ὁ ΜΝΞ , ΟΠΡ , καί ὁ μέν βάσις ὁ ΜΝΞ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ὕψος ἴσος ὁ △Η , ὁ δέ ΟΠΡ κῶνος ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΒΖ κῶνος , ὁ δέ ὕψος ἴσος ὁ △Η . ἐπεί δέ ὅμοιος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ κῶνος σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ὁ ΕΒΖ καί ὁ μεταξύ ὁ ΕΖ , ΑΓ , ἀλλά ὁ μέν ὁ ΑΒΓ κῶνος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΜΝΞ , ὁ δέ ὁ ΕΒΖ κῶνος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΟΡΠ κῶνος , ὁ δέ μεταξύ ὁ ΕΖ , ΑΓ ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΘΚΛ , ὁ ἄρα βάσις ὁ ΜΝΞ ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΟΠΡ , ΘΚΛ . καί εἰμί ὁ κῶνος ὑπό ὁ αὐτός ὕψος · καί ὁ ΜΝΞ ἄρα κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΘΚΛ , ΟΠΡ κῶνος . ἀλλά ὁ μέν ΜΝΞ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος , ὁ δέ ΟΠΡ κῶνος ὁ ΕΖ ῥόμβος · λοιπός ἄρα ὁ κῶνος ὁ ΘΚΛ ἴσος εἰμί ὁ περίλειμμα ὁ λοιπός .