ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.1
Ἐὰν περὶ κύκλον πολύγωνον περιγραφῇ , ἡ τοῦ περιγραφέντος πολυγώνου περίμετρος μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου . Περὶ γὰρ κύκλον πολύγωνον περιγεγράφθω τὸ ὑποκείμενον . Λέγω ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου . Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΒΑΛ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΛ περιφερείας διὰ τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαν περιλαμβάνειν τὴν περιφέρειαν , ὁμοίως δὲ καὶ συναμφότερος μὲν ἡ △Γ , ΓΒ τῆς △Β , συναμφότερος δὲ ἡ ΛΚ , ΚΘ τῆς ΛΘ , συναμφότερος δὲ ἡ ΖΗΘ τῆς ΖΘ , ἔτι δὲ συναμφότερος ἡ △Ε , ΕΖ τῆς △Ζ , ὅλη ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου μείζων ἐστὶ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου .
Lemmas: ἐάν περί κύκλος πολύγωνος περιγράφω , ὁ ὁ περιγράφω πολύγωνον περίμετρος μέγας εἰμί ὁ περίμετρος ὁ κύκλος . περί γάρ κύκλος πολύγωνος περιγράφω ὁ ὑπόκειμαι . λέγω ὅτι ὁ περίμετρος ὁ πολύγωνον μέγας εἰμί ὁ περίμετρος ὁ κύκλος . ἐπεί γάρ συναμφότεροι ὁ ΒΑΛ μέγας εἰμί ὁ ΒΛ περιφέρεια διά ὁ ὁ αὐτός πέρας ἔχω περιλαμβάνω ὁ περιφέρεια , ὅμοιος δέ καί συναμφότεροι μέν ὁ △Γ , ΓΒ ὁ △Β , συναμφότεροι δέ ὁ ΛΚ , ΚΘ ὁ ΛΘ , συναμφότεροι δέ ὁ ΖΗΘ ὁ ΖΘ , ἔτι δέ συναμφότεροι ὁ △Ε , ΕΖ ὁ △Ζ , ὅλος ἄρα ὁ περίμετρος ὁ πολύγωνον μέγας εἰμί ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.2
Δύο μεγεθῶν ἀνίσων δοθέντων δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο εὐθείας ἀνίσους , ὥστε τὴν μείζονα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἐλάσσονα ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον . Ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ , △ , καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΒ . Λέγω ὅτι δυνατόν ἐστι δύο εὐθείας ἀνίσους εὑρεῖν τὸ εἰρημένον ἐπίταγμα ποιούσας . Κείσθω διὰ τὸ β΄ τοῦ α΄ τῶν Εὐκλείδου τῷ △ ἴσον τὸ ΒΓ , καὶ κείσθω τις εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ · τὸ δὴ ΓΑ ἑαυτῷ ἐπισυντιθέμενον ὑπερέξει τοῦ △ . Πεπολλαπλασιάσθω οὖν , καὶ ἔστω τὸ ΑΘ , καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ , τοσαυταπλάσιος ἔστω ἡ ΖΗ τῆς ΗΕ · ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ΘΑ πρὸς ΑΓ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ · καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν , ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ , οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς ΑΘ . Καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστιν τὸ ΑΘ τοῦ △ , τουτέστι τοῦ ΓΒ , τὸ ἄρα ΓΑ πρὸς τὸ ΑΘ λόγον ἐλάσσονα ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ . Ἀλλʼ ὡς τὸ ΓΑ πρὸς ΑΘ , οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ · καὶ συνθέντι ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ . Ἴσον δὲ τὸ ΒΓ τῷ △ · ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ △ . Εὑρημέναι εἰσὶν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ποιοῦσαι τὸ εἰρημένον ἐπίταγμα .
Lemmas: δύο μέγεθος ἄνισος δίδωμι δυνατός εἰμί εὑρίσκω δύο εὐθεῖα ἄνισος , ὥστε ὁ μέγας εὐθεῖα πρός ὁ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἐλαχύς ἤ ὁ μέγας μέγεθος πρός ὁ ἐλαχύς . εἰμί δύο μέγεθος ἄνισος ὁ ΑΒ , △ , καί εἰμί μέγας ὁ ΑΒ . λέγω ὅτι δυνατός εἰμί δύο εὐθεῖα ἄνισος εὑρίσκω ὁ λέγω ἐπίταγμα ποιέω . κεῖμαι διά ὁ βʹ ὁ αʹ ὁ Εὐκλείδης ὁ △ ἴσος ὁ ΒΓ , καί κεῖμαι τις εὐθύς γραμμή ὁ ΖΗ · ὁ δή ΓΑ ἑαυτοῦ ἐπισυντίθημι ὑπερέχω ὁ △ . πολλαπλασιάζω οὖν , καί εἰμί ὁ ΑΘ , καί ὁσαπλάσιος εἰμί ὁ ΑΘ ὁ ΑΓ , τοσαυταπλάσιος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΗΕ · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΘΑ πρός ΑΓ , οὕτως ὁ ΖΗ πρός ΗΕ · καί ἀνάπαλιν εἰμί , ὡς ὁ ΕΗ πρός ΗΖ , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ΑΘ . καί ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΑΘ ὁ △ , τουτέστι ὁ ΓΒ , ὁ ἄρα ΓΑ πρός ὁ ΑΘ λόγος ἐλαχύς ἔχω ἤ ὁ ΓΑ πρός ΓΒ . ἀλλά ὡς ὁ ΓΑ πρός ΑΘ , οὕτως ὁ ΕΗ πρός ΗΖ ὁ ΕΗ ἄρα πρός ΗΖ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΑ πρός ΓΒ · καί συντίθημι ὁ ΕΖ πρός ΖΗ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒ πρός ΒΓ . ἴσος δέ ὁ ΒΓ ὁ △ · ὁ ΕΖ ἄρα πρός ΖΗ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒ πρός ὁ △ . εὑρίσκω εἰμί ἄρα δύο εὐθεῖα ἄνισος ποιέω ὁ λέγω ἐπίταγμα .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.3
Δύο μεγεθῶν ἀνίσων δοθέντων καὶ κύκλου δυνατόν ἐστιν εἰς τὸν κύκλον πολύγωνον ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι , ὅπως ἡ τοῦ περιγραφομένου πολυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγραφομένου πολυγώνου πλευρὰν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλαττον . Ἔστω τὰ δοθέντα δύο μεγέθη τὰ Α , Β , ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος ὁ ὑποκείμενος . Λέγω οὖν ὅτι δυνατόν ἐστι ποιεῖν τὸ ἐπίταγμα . Εὑρήσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ Θ , ΚΛ , ὧν μείζων ἔστω ἡ Θ , ὥστε τὴν Θ πρὸς τὴν ΚΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλαττον , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ τῇ ΛΚ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΛΜ , καὶ ἀπὸ τοῦ Κ τῇ Θ ἴση κατήχθω ἡ ΚΜ , καὶ ἤχθωσαν τοῦ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΓΕ , △Ζ . Τέμνοντες οὖν τὴν ὑπὸ τῶν △ΗΓ γωνίαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα καὶ αἰεὶ τοῦτο ποιοῦντες λείψομέν τινα γωνίαν ἐλάσσονα ἢ διπλασίαν τῆς ὑπὸ ΛΚΜ . Λελείφθω καὶ ἔστω ἡ ὑπὸ ΝΗΓ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΝΓ · ἡ ἄρα ΝΓ πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ ἰσοπλεύρου , Καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΓΗΝ γωνία δίχα τῇ ΗΞ εὐθείᾳ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐφαπτέσθω τοῦ κύκλου ἡ ΟΞΠ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΗΝΠ , ΗΓΟ · ὥστε καὶ ἡ ΠΟ πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον καὶ ἰσοπλεύρου . Ἐπεὶ δὲ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία ἡ ὑπὸ ΝΗΓ τῆς ὑπὸ ΛΚΜ , διπλασία δὲ τῆς ὑπὸ ΤΗΓ , ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΤΗΓ τῆς ὑπὸ ΛΚΜ . Καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Λ , Τ · ἡ ἄρα ΜΚ πρὸς ΛΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ . Ἴση δὲ ἡ ΓΗ τῇ ΗΞ · ὥστε ἡ ΗΞ πρὸς ΗΤ ἐλάσσονα λόγον ἔχει , τουτέστιν ἡ ΠΟ πρὸς ΝΓ , ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΛ · ἔτι δὲ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Α πρὸς τὸ Β . Καί ἐστιν ἡ μὲν ΠΟ πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου πολυγώνου , ἡ δὲ ΓΝ τοῦ ἐγγραφομένου · ὅπερ προέκειτο εὑρεῖν .
Lemmas: δύο μέγεθος ἄνισος δίδωμι καί κύκλος δυνατός εἰμί εἰς ὁ κύκλος πολύγωνος ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω , ὅπως ὁ ὁ περιγράφω πολύγωνον πλευρόν πρός ὁ ὁ ἐγγράφω πολύγωνον πλευρά ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ μέγας μέγεθος πρός ὁ ἐλαχύς . εἰμί ὁ δίδωμι δύο μέγεθος ὁ Α , Β , ὁ δέ δίδωμι κύκλος ὁ ὑπόκειμαι . λέγω οὖν ὅτι δυνατός εἰμί ποιέω ὁ ἐπίταγμα . εὑρίσκω γάρ δύο εὐθεῖα ὁ Θ , ΚΛ , ὅς μέγας εἰμί ὁ Θ , ὥστε ὁ Θ πρός ὁ ΚΛ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ μέγας μέγεθος πρός ὁ ἐλαχύς , καί ἄγω ἀπό ὁ Λ ὁ ΛΚ πρός ὀρθός ὁ ΛΜ , καί ἀπό ὁ Κ ὁ Θ ἴσος κατάγω ὁ ΚΜ , καί ἄγω ὁ κύκλος δύο διάμετρος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΓΕ , △Ζ . τέμνω οὖν ὁ ὑπό ὁ ΓΗ γωνία δίχα καί ὁ ἥμισυς αὐτός δίχα καί ἀεί οὗτος ποιέω λείπω τις γωνία ἐλαχύς ἤ διπλάσιος ὁ ὑπό ΛΚΜ . λείπω καί εἰμί ὁ ὑπό ΝΗΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΝΓ · ὁ ἄρα ΝΓ πολύγωνον εἰμί πλευρόν ἰσόπλευρος , Καί τέμνω ὁ ὑπό ΓΗΝ γωνία δίχα ὁ ΗΞ εὔθεια , καί ἀπό ὁ Ξ ἐφάπτω ὁ κύκλος ὁ ΟΞΠ , καί ἐκβάλλω ὁ ΗΝΠ , ΗΓΟ · ὥστε καί ὁ ΠΟ πολύγωνον εἰμί πλευρόν ὁ περιγράφω περί ὁ κύκλος καί ἰσόπλευρος . ἐπεί δέ ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος ὁ ὑπό ΝΗΓ ὁ ὑπό ΛΚΜ , διπλάσιος δέ ὁ ὑπό ΤΗΓ , ἐλαχύς ἄρα ὁ ὑπό ΤΗΓ ὁ ὑπό ΛΚΜ . καί εἰμί ὀρθός ὁ πρός ὁ Λ , Τ · ὁ ἄρα ΜΚ πρός ΛΚ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΗ πρός ΗΤ . ἴσος δέ ὁ ΓΗ ὁ ΗΞ · ὥστε ὁ ΗΞ πρός ΗΤ ἐλαχύς λόγος ἔχω , τουτέστι ὁ ΠΟ πρός ΝΓ , ἤ ὁ ΜΚ πρός ΚΛ · ἔτι δέ ὁ ΜΚ πρός ΚΛ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Α πρός ὁ Β . καί εἰμί ὁ μέν ΠΟ πλευρόν ὁ περιγράφω πολύγωνον , ὁ δέ ΓΝ ὁ ἐγγράφω · ὅς πρόκειμαι εὑρίσκω .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.4
Πάλιν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ὄντων καὶ τομέως δυνατόν ἐστι περὶ τὸν τομεά πολύγωνον περιγράψαι καὶ ἄλλο ἐγγράψαι , ὥστε τὴν τοῦ περιγεγραμμένου πλευρὰν πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου πλευρὰν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον . Ἔστω γὰρ πάλιν δύο μεγέθη ἄνισα τὰ Ε , Ζ , ὧν μεῖζον ἔστω τὸ Ε , κύκλος δὲ τις ὁ ΑΒΓ κέντρον ἔχων τὸ △ , καὶ πρὸς τῷ △ τομεὺς συνεστάτω ὁ Α△Β · δεῖ δὴ περιγράψαι καὶ ἐγγράψαι πολύγωνον περὶ τὸν ΑΒ△ τομέα ἴσας ἔχον τὰς πλευρὰς χωρὶς τῶν Β△Α , ὅπως γένηται τὸ ἐπίταγμα . Εὐρήσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ Η , ΘΚ ἄνισοι καὶ μείζων ἡ Η , ὥστε τὴν Η πρὸς τὴν ΘΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ὁμοίως ἀχθείσης πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΘ προσβεβλήσθω τῇ Η ἴση ἡ ΚΛ γάρ , ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Η τῆς . Τεμνομένης δὴ τῆς ὑπὸ τῶν Α△Β γωνίας δίχα καὶ τῆς ἡμισείας δίχα καὶ ἀεὶ τούτου γινομένου λειφθήσεταί τις γωνία ἐλάσσων οὖσα ἢ διπλασία τῆς ὑπὸ ΛΚΘ . Λελείφθω οὖν ἡ ὑπὸ Α△Μ · ἡ ΑΜ οὖν γίνεται πολυγώνου πλευρὰ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον . Καὶ ἐὰν τέμωμεν τὴν ὑπὸ Α△Μ γωνίαν δίχα τῇ △Ν καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ἀγάγωμεν ἐφαπτομένην τοῦ κύκλου τὴν ΝΞΟ , αὕτη πλευρὰ ἔσται τοῦ πολυγώνου τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν αὐτὸν κύκλον ὁμοίου τῷ εἰρημένῳ καὶ ὁμοίως τοῖς προειρημένοις ἡ ΞΟ πρὸς τὴν ΑΜ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε μέγεθος πρὸς τὸ Ζ .
Lemmas: πάλιν δύο μέγεθος ἄνισος εἰμί καί τομεύς δυνατός εἰμί περί ὁ τομεύς πολύγωνος περιγράφω καί ἄλλος ἐγγράφω , ὥστε ὁ ὁ περιγράφω πλευρά πρός ὁ ὁ ἐγγράφω πλευρά ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ μέγας μέγεθος πρός ὁ ἐλαχύς . εἰμί γάρ πάλιν δύο μέγεθος ἄνισος ὁ Ε , Ζ , ὅς μέγας εἰμί ὁ Ε , κύκλος δέ τις ὁ ΑΒΓ κέντρον ἔχω ὁ △ , καί πρός ὁ △ τομεύς συνίστημι ὁ Α△Β · δέω δή περιγράφω καί ἐγγράφω πολύγωνον περί ὁ ΑΒ△ τομεύς ἴσος ἔχω ὁ πλευρά χωρίς ὁ Β△Α , ὅπως γίγνομαι ὁ ἐπίταγμα . εύ̓ρημαι γάρ δύο εὐθεῖα ὁ Η , ΘΚ ἄνισος καί μέγας ὁ Η , ὥστε ὁ Η πρός ὁ ΘΚ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ μέγας μέγεθος πρός ὁ ἐλαχύς , καί ἀπό ὁ Θ ὅμοιος ἄγω πρός ὀρθός ὁ ΚΘ προσβάλλω ὁ Η ἴσος ὁ ΚΛ γάρ , ἐπεί μέγας εἰμί ὁ Η ὁ . τέμνω δή ὁ ὑπό ὁ Α△Β γωνία δίχα καί ὁ ἥμισυς δίχα καί ἀεί οὗτος γίγνομαι λείπω τις γωνία ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος ὁ ὑπό ΛΚΘ . λείπω οὖν ὁ ὑπό ΑΜ · ὁ ΑΜ οὖν γίγνομαι πολύγωνον πλευρόν ἐγγράφω εἰς ὁ κύκλος . καί ἐάν τέμνω ὁ ὑπό ΑΜ γωνία δίχα ὁ △Ν καί ἀπό ὁ Ν ἄγω ἐφάπτω ὁ κύκλος ὁ ΝΞΟ , οὗτος πλευρόν εἰμί ὁ πολύγωνον ὁ περιγράφω περί ὁ αὐτός κύκλος ὅμοιος ὁ λέγω καί ὅμοιος ὁ προλέγω ὁ ΞΟ πρός ὁ ΑΜ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Ε μέγεθος πρός ὁ Ζ .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.5
Κύκλου δοθέντος καὶ δύο μεγεθῶν ἀνίσων περιγράψαι περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι ὥστε τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγγραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον . Ἐκκείσθω κύκλος ὁ Α καὶ δύο μεγέθη ἄνισα τὰ Ε , Ζ , καὶ μεῖζον τὸ Ε · δεῖ οὖν πολύγωνον ἐγγράψαι εἰς τὸν κύκλον καὶ ἄλλο περιγράψαι , ἵνα γένηται τὸ ἐπιταχθέν . Λαμβάνω γὰρ δύο εὐθείας ἀνίσους τὰς Γ , △ , ὧν μείζων ἔστω ἡ Γ , ὥστε τὴν Γ πρὸς τὴν △ ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ τὴν Ε πρὸς τὴν Ζ · καὶ τῶν Γ , △ μέσης ἀνάλογον ληφθείσης τῆς Η μείζων ἄρα καὶ ἡ Γ τῆς Η . Περιγεγράφθω δὴ περὶ κύκλον πολύγωνον καὶ ἄλλο ἐγγεγράφθω , ὥστε τὴν τοῦ περιγραφέντος πολυγώνου πλευρὰν πρὸς τὴν τοῦ ἐγγραφέντος ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ τὴν Γ πρὸς τὴν Η · διὰ τοῦτο δὴ καὶ ὁ διπλάσιος λόγος τοῦ διπλασίου ἐλάσσων ἐστί . Καὶ τοῦ μὲν τῆς πλευρᾶς πρὸς τὴν πλευρὰν διπλάσιός ἐστι ὁ τοῦ πολυγώνου πρὸς τὸ πολύγωνον , τῆς δὲ Γ πρὸς τὴν Η ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν △ · καὶ τὸ περιγραφὲν ἄρα πολύγωνον πρὸς τὸ ἐγγραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν △ · πολλῷ ἄρα τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγγραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ .
Lemmas: κύκλος δίδωμι καί δύο μέγεθος ἄνισος περιγράφω περί ὁ κύκλος πολύγωνος καί ἄλλος ἐγγράφω ὥστε ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ μέγας μέγεθος πρός ὁ ἐλαχύς . ἔκκειμαι κύκλος ὁ Α καί δύο μέγεθος ἄνισος ὁ Ε , Ζ , καί μέγας ὁ Ε · δέω οὖν πολύγωνος ἐγγράφω εἰς ὁ κύκλος καί ἄλλος περιγράφω , ἵνα γίγνομαι ὁ ἐπιτάσσω . λαμβάνω γάρ δύο εὐθεῖα ἄνισος ὁ Γ , △ , ὅς μέγας εἰμί ὁ Γ , ὥστε ὁ Γ πρός ὁ △ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Ε πρός ὁ Ζ · καί ὁ Γ , △ μέσος ἀνάλογος λαμβάνω ὁ Η μέγας ἄρα καί ὁ Γ ὁ Η . περιγράφω δή περί κύκλος πολύγωνος καί ἄλλος ἐγγράφω , ὥστε ὁ ὁ περιγράφω πολύγωνον πλευρά πρός ὁ ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ Η · διά οὗτος δή καί ὁ διπλάσιος λόγος ὁ διπλάσιος ἐλαχύς εἰμί . καί ὁ μέν ὁ πλευρά πρός ὁ πλευρά διπλάσιος εἰμί ὁ ὁ πολύγωνον πρός ὁ πολύγωνον , ὁ δέ Γ πρός ὁ Η ὁ ὁ Γ πρός ὁ △ · καί ὁ περιγράφω ἄρα πολύγωνον πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Γ πρός ὁ △ · πολύς ἄρα ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Ε πρός ὁ Ζ .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.8
Ἐὰν περὶ κῶνον ἰσοσκελῆ πυραμὶς περιγραφῇ , ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστὶν τριγώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῇ περιμέτρῳ τῆς βάσεως , ὕψος δὲ τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου . Ἔστω κῶνος , οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος , καὶ πυραμὶς περιγεγράφθω , ὥστε τὴν βάσιν αὐτῆς , τουτέστι τὸ △ΕΖ πολύγωνον , περιγεγραμμένον περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον εἶναι · λέγω ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῷ εἰρημένῳ τριγώνῳ . Ἐπεὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι κάθετοί εἰσιν ἐπὶ τὰς ἐφαπτομένας , ἔσονται ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύμεναι κάθετοι ἐπὶ τὰς △Ε , ΖΕ , Ζ△ . Αἱ ΗΑ , ΗΒ , ΗΓ ἄρα αἱ εἰρημέναι κάθετοι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις · πλευραὶ γάρ εἰσιν τοῦ κώνου . Κείσθω δὴ τὸ τρίγωνον τὸ ΘΚΛ ἴσην ἔχον τὴν μὲν ΘΚ τῇ περιμέτρῳ τοῦ △ΕΖ τριγώνου , τὴν δὲ ΛΜ κάθετον ἴσην τῇ ΗΑ . Ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ △Ε , ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ Ε△Η τριγώνου , τὸ δὲ ὑπὸ △Ζ , ΗΒ διπλάσιόν ἐστι τοῦ △ΖΗ τριγώνου , τὸ δὲ ὑπὸ ΕΖ , ΓΗ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΕΗΖ τριγώνου , ἔστιν ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΘΚ καὶ τῆς ΑΗ , τουτέστι τῆς ΜΛ , διπλάσιον τῶν Ε△Η , Ζ△Η , ΕΗΖ τριγώνων . Ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΚ , ΛΜ διπλάσιον τοῦ ΛΚΘ τριγώνου διὰ τοῦτο δὴ ἴση ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως τριγώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι ἴσην τῇ περιμέτρῳ τοῦ △ΕΖ , ὕψος δὲ τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου .
Lemmas: ἐάν περί κῶνος ἰσοσκελής πυραμίς περιγράφω , ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς χωρίς ὁ βάσις ἴσος εἰμί τρίγωνον βάσις μέν ἔχω ὁ ἴσος ὁ περίμετρος ὁ βάσις , ὕψος δέ ὁ πλευρά ὁ κῶνος . εἰμί κῶνος , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί πυραμίς περιγράφω , ὥστε ὁ βάσις αὐτός , τουτέστι ὁ ΕΖ πολύγωνον , περιγράφω περί ὁ ΑΒΓ κύκλος εἰμί · λέγω ὅτι ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς χωρίς ὁ βάσις ἴσος εἰμί ὁ λέγω τρίγωνον . ἐπεί γάρ ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ἐφάπτω , εἰμί ἄρα καί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος ἐπί ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι κάθετος ἐπί ὁ △Ε , ΖΕ , Ζ△ . ὁ ΗΑ , ΗΒ , ΗΓ ἄρα ὁ λέγω κάθετος ἴσος εἰμί ἀλλήλων · πλευρά γάρ εἰμί ὁ κῶνος . κεῖμαι δή ὁ τρίγωνον ὁ ΘΚΛ ἴσος ἔχω ὁ μέν ΘΚ ὁ περίμετρος ὁ ΕΖ τρίγωνον , ὁ δέ ΛΜ κάθετος ἴσος ὁ ΗΑ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ὑπό △Ε , ΑΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ΕΗ τρίγωνον , ὁ δέ ὑπό △Ζ , ΗΒ διπλάσιος εἰμί ὁ ΖΗ τρίγωνον , ὁ δέ ὑπό ΕΖ , ΓΗ διπλάσιος εἰμί ὁ ΕΗΖ τρίγωνον , εἰμί ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΘΚ καί ὁ ΑΗ , τουτέστι ὁ ΜΛ , διπλάσιος ὁ ΕΗ , ΖΗ , ΕΗΖ τρίγων . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΘΚ , ΛΜ διπλάσιος ὁ ΛΚΘ τρίγωνον διά οὗτος δή ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς χωρίς ὁ βάσις τρίγωνον βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ περίμετρος ὁ ΕΖ , ὕψος δέ ὁ πλευρά ὁ κῶνος .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.15
Παντὸς κώνου ἰσοσκελοῦς ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν βάσιν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἡ πλευρὰ τοῦ κώνου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τοῦ κώνου . Ἔστω κῶνος ἰσοσκελής , οὗ βάσις ὁ Α κύκλος , ἔστω δὲ τῇ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α ἴση ἡ Β , τῇ δὲ πλευρᾷ τοῦ κώνου ἡ Γ · δεικτέον ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου πρὸς τὸν Α κύκλον καὶ ἡ Γ πρὸς τὴν Β . Εἰλήφθω γὰρ τῶν Β , Γ μέση ἀνάλογον ἡ Ε , καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ △ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ Ε · ὁ △ ἄρα κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου . Ἐδείχθη δὲ ὁ △ κύκλος πρὸς τὸν Α κύκλον λόγον ἔχων τὸν αὐτὸν τῷ τῆς Γ πρὸς Β μήκει γὰρ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς Ε πρὸς Β δυνάμει διὰ τὸ τοὺς κύκλους πρὸς ἀλλήλους εἶναι ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα , ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων εἰ γὰρ αἱ διάμετροι , καὶ τὰ ἡμίση , τουτέστιν αἱ ἐκ τῶν κέντρων ταῖς δὲ ἐκ τῶν κέντρων ἴσαι εἰσὶν αἱ Β , . Δῆλον οὖν ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου πρὸς τὸν Α κύκλον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἡ Γ πρὸς Β μήκει .
Lemmas: πᾶς κῶνος ἰσοσκελής ὁ ἐπιφάνεια πρός ὁ βάσις ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ πλευρόν ὁ κῶνος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις ὁ κῶνος . εἰμί κῶνος ἰσοσκελής , ὅς βάσις ὁ Α κύκλος , εἰμί δέ ὁ μέν ἐκ ὁ κέντρον ὁ Α ἴσος ὁ Β , ὁ δέ πλευρά ὁ κῶνος ὁ Γ · δείκνυμι ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος πρός ὁ Α κύκλος καί ὁ Γ πρός ὁ Β . λαμβάνω γάρ ὁ Β , Γ μέσος ἀνάλογος ὁ Ε , καί ἔκκειμαι κύκλος ὁ △ ἴσος ἔχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ε · ὁ △ ἄρα κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος . δείκνυμι δέ ὁ △ κύκλος πρός ὁ Α κύκλος λόγος ἔχω ὁ αὐτός ὁ ὁ Γ πρός Β μῆκος γάρ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ Ε πρός Β δύναμις διά ὁ ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρον τετράγωνος πρός ἀλλήλων , ὅμοιος δέ καί ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος εἰ γάρ ὁ διάμετρος , καί ὁ ἥμισυς , τουτέστι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ Β , . δῆλος οὖν ὅτι ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος πρός ὁ Α κύκλος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Γ πρός Β μῆκος .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.17
Ἐὰν ὦσιν δύο κῶνοι ἰσοσκελεῖς , ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπιφάνεια ἴση ᾖ τῇ τοῦ ἑτέρου βάσει , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου κάθετος ἀγομένη τῷ ὕψει ἴση ᾖ , ἴσοι ἔσονται οἱ κῶνοι . Ἔστωσαν δύο κῶνοι ἰσοσκελεῖς οἱ ΑΒΓ , △ΕΖ , καὶ τοῦ ΑΒΓ ἡ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΕΖ , τὸ δὲ ὕψος τὸ ΑΗ ἴσον ἔστω τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τοῦ Θ ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου , οἷον ἐπὶ τὴν △Ε , καθέτῳ ἠγμένῃ τῇ ΚΘ · λέγω ὅτι ἴσοι εἰσὶν οἱ κῶνοι . Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ βάσις τοῦ ΑΒΓ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΕΖ , ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΒΑΓ βάσις πρὸς τὴν τοῦ △ΕΖ βάσιν , οὕτως ἡ ἐπιφάνεια τοῦ △ΕΖ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ △ΕΖ . Ἀλλʼ ὡς ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ἰδίαν βάσιν , οὕτως ἡ △Θ πρὸς τὴν ΘΚ γὰρ τοῦτο , ὅτι παντὸς κώνου ἰσοσκελοῦς ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν βάσιν τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει , ὃν ἡ πλευρὰ τοῦ κώνου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως , ἡ △Ε τουτέστι πρὸς ΕΘ . Ὡς δὲ ἡ Ε△ πρὸς Θ△ , οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ . Ἴση δέ ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΗ ὡς ἄρα ἡ βάσις τοῦ ΒΑΓ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ △ΕΖ , οὕτως τὸ ὕψος τοῦ △ΕΖ πρὸς τὸ ὕψος τοῦ ΑΒΓ . Τῶν ΑΒΓ , △ΕΖ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΑΓ τῷ △ΕΖ κώνῳ .
Lemmas: ἐάν εἰμί δύο κῶνος ἰσοσκελής , ὁ δέ ὁ ἕτερος κῶνος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί ὁ ὁ ἕτερος βάσις , ὁ δέ ἀπό ὁ κέντρον ὁ βάσις ἐπί ὁ πλευρά ὁ κῶνος κάθετος ἄγω ὁ ὕψος ἴσος εἰμί , ἴσος εἰμί ὁ κῶνος . εἰμί δύο κῶνος ἰσοσκελής ὁ ΑΒΓ , ΕΖ , καί ὁ ΑΒΓ ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΖ , ὁ δέ ὕψος ὁ ΑΗ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ βάσις ὁ Θ ἐπί εἷς πλευρά ὁ κῶνος , οἷος ἐπί ὁ △Ε , κάθετος ἄγω ὁ ΚΘ · λέγω ὅτι ἴσος εἰμί ὁ κῶνος . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΑΒΓ ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΖ , ὡς ἄρα ὁ ὁ ΒΑΓ βάσις πρός ὁ ὁ ΕΖ βάσις , οὕτως ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΖ πρός ὁ βάσις ὁ ΕΖ . ἀλλά ὡς ὁ ἐπιφάνεια πρός ὁ ἴδιος βάσις , οὕτως ὁ △Θ πρός ὁ ΘΚ γάρ οὗτος , ὅτι πᾶς κῶνος ἰσοσκελής ὁ ἐπιφάνεια πρός ὁ βάσις ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς ὁ πλευρόν ὁ κῶνος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ βάσις , ὁ △Ε τουτέστι πρός ΕΘ . ὡς δέ ὁ Ε△ πρός Θ△ , οὕτως ὁ ΕΘ πρός ΘΚ ἰσογώνιος γάρ εἰμί ὁ . ἴσος δέ εἰμί ὁ ΘΚ ὁ ΑΗ ὡς ἄρα ὁ βάσις ὁ ΒΑΓ πρός ὁ βάσις ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ὕψος ὁ ΕΖ πρός ὁ ὕψος ὁ ΑΒΓ . ὁ ΑΒΓ , ΕΖ ἄρα ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΑΓ ὁ ΕΖ κῶνος .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.21
Ἐὰν εἰς κύκλον πολύγωνον ἐγγραφῇ ἀρτιόπλευρόν τε καὶ ἰσόπλευρον , καὶ διαχθῶσιν εὐθεῖαι ἐπιζευγνύουσα τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου , ὥστε αὐτὰς παραλλήλους εἶναι μιᾷ ὁποιᾳοῦν τῶν ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πολυγώνου ὑποτεινουσῶν , αἱ ἐπιζευγνύουσαι πᾶσαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τοῦτον ἔχουσι τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἡ ὑποτείνουσα τὰς μιᾷ ἐλάσσονας τῶν ἡμίσεων πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου . Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καὶ ἐν αὐτῷ πολύγωνον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΕΖΒΗΘΓΜΝ△ΛΚ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ ΖΛ , Β△ , ΗΝ , ΘΜ · δῆλον δὴ ὅτι παράλληλοί εἰσιν τῇ ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πολυγώνου ὑποτεινούσῃ · λέγω οὖν ὅτι αἱ εἰρημέναι πᾶσαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τὴν ΑΓ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσι τῷ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΑ . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΖΚ , ΛΒ , Η△ , ΘΝ · παράλληλος ἄρα ἡ μὲν ΖΚ τῇ ΕΑ , ἡ δὲ ΒΛ τῇ ΖΚ , καὶ ἔτι ἡ μὲν △Η τῇ ΒΛ , ἡ δὲ ΘΝ τῇ △Η , καὶ ἡ ΓΜ τῇ ΘΝ ἐπεὶ δύο παράλληλοί εἰσιν αἱ ΕΑ , ΚΖ , καὶ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΚ , , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ , ἡ ΚΞ πρὸς ΞΟ . Ὡς δ᾿ ἡ ΚΞ πρὸς ΞΟ , ἡ ΖΠ πρὸς ΠΟ , ὡς δὲ ἡ ΖΠ πρὸς ΠΟ , ἡ ΛΠ πρὸς ΠΡ , ὡς δὲ ἡ ΛΠ πρὸς ΠΡ , οὕτως ἡ ΒΣ πρὸς ΣΡ , καὶ ἔτι ὡς ἡ μὲν ΒΣ πρὸς ΣΡ , ἡ △Σ πρὸς ΣΓ , ὡς δὲ ἡ △Σ πρὸς ΣΤ , ἡ ΗΥ πρὸς ΥΤ , καὶ ἔτι ὡς ἡ μὲν ΗΥ πρὸς ΥΤ , ἡ ΝΥ πρὸς ΥΦ , ὡς δὲ ἡ ΝΥ πρὸς ΥΦ , ἡ ΘΧ πρὸς ΧΦ , καὶ ἔτι ὡς μὲν ἡ ΘΧ πρὸς ΧΦ , ἡ ΜΧ πρὸς ΧΓ · ὡς ἄρα ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ , οὕτως αἱ ΕΚ , ΖΛ , Β△ , ΗΝ , ΘΜ πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον . Ὡς δὲ ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ · ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ , οὕτω πᾶσαι αἱ ΕΚ , ΖΛ , Β△ , ΗΝ , ΘΜ πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον .
Lemmas: ἐάν εἰς κύκλος πολύγωνος ἐγγράφω ἀρτιόπλευρος τε καί ἰσόπλευρος , καί διάζομαι εὐθεῖα ἐπιζεύγνυμι ὁ πλευρά ὁ πολύγωνον , ὥστε αὐτός παράλληλος εἰμί εἷς ὁσποιᾳοῦν ὁ ὑπό δύο πλευρά ὁ πολύγωνον ὑποτείνω , ὁ ἐπιζεύγνυμι πᾶς πρός ὁ ὁ κύκλος διάμετρος οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ὑποτείνω ὁ εἷς ἐλαχύς ὁ ἥμισυς πρός ὁ πλευρά ὁ πολύγωνον . εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καί ἐν αὐτός πολύγωνον ἐγγράφω ὁ ΑΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΚ ΖΛ , Β△ , ΗΝ , ΘΜ · δῆλος δή ὅτι παράλληλος εἰμί ὁ ὑπό δύο πλευρά ὁ πολύγωνον ὑποτείνω · λέγω οὖν ὅτι ὁ λέγω πᾶς πρός ὁ ὁ κύκλος διάμετρος ὁ ΑΓ ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ ὁ ΓΕ πρός ΕΑ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΖΚ , ΛΒ , Η△ , ΘΝ · παράλληλος ἄρα ὁ μέν ΖΚ ὁ ΕΑ , ὁ δέ ΒΛ ὁ ΖΚ , καί ἔτι ὁ μέν △Η ὁ ΒΛ , ὁ δέ ΘΝ ὁ △Η , καί ὁ ΓΜ ὁ ΘΝ ἐπεί δύο παράλληλος εἰμί ὁ ΕΑ , ΚΖ , καί δύο διάγω εἰμί ὁ ΕΚ , , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΕΞ πρός ΞΑ , ὁ ΚΞ πρός ΞΟ . ὡς δέ ὁ ΚΞ πρός ΞΟ , ὁ ΖΠ πρός ΠΟ , ὡς δέ ὁ ΖΠ πρός ΠΟ , ὁ ΛΠ πρός ΠΡ , ὡς δέ ὁ ΛΠ πρός ΠΡ , οὕτως ὁ ΒΣ πρός ΣΡ , καί ἔτι ὡς ὁ μέν ΒΣ πρός ΣΡ , ὁ △Σ πρός ΣΓ , ὡς δέ ὁ △Σ πρός ΣΤ , ὁ ΗΥ πρός ΥΤ , καί ἔτι ὡς ὁ μέν ΗΥ πρός ΥΤ , ὁ ΝΥ πρός ΥΦ , ὡς δέ ὁ ΝΥ πρός ΥΦ , ὁ ΘΧ πρός ΧΦ , καί ἔτι ὡς μέν ὁ ΘΧ πρός ΧΦ , ὁ ΜΧ πρός ΧΓ · ὡς ἄρα ὁ ΕΞ πρός ΞΑ , οὕτως ὁ ΕΚ , ΖΛ , Β△ , ΗΝ , ΘΜ πρός ὁ ΑΓ διάμετρος . ὡς δέ ὁ ΕΞ πρός ΞΑ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ΕΑ · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ΓΕ πρός ΕΑ , οὕτως πᾶς ὁ ΕΚ , ΖΛ , Β△ , ΗΝ , ΘΜ πρός ὁ ΑΓ διάμετρος .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.22
Ἐὰν εἰς τμῆμα κύκλου πολύγωνον ἐγγραφῇ τὰς πλευρὰς ἔχον χωρὶς τῆς βάσεως ἴσας καὶ ἀρτίους , ἀχθῶσιν δὲ εὐθεῖαι παρὰ τὴν βάσιν τοῦ τμήματος αἱ τὰς πλευρὰς ἐπιζευγνύουσαι τοῦ πολυγώνου , αἱ ἀχθεῖσαι πᾶσαι καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς βάσεως πρὸς τὸ ὕψος τοῦ τμήματος τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν , ὃν ἡ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου ἐπιζευγνυμένη πρὸς τὴν τοῦ πολυγώνου πλευράν . Εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓ△ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΓ , καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ πολύγωνον ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἀρτιόπλευρόν τε καὶ ἴσας ἔχον τὰς πλευρὰς χωρὶς τῆς βάσεως τῆς ΑΓ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΗ , ΕΘ , αἵ εἰσιν παράλληλοι τῇ βάσει τοῦ τμήματος · λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς αἱ ΖΗ , ΕΘ , ΑΞ πρὸς ΒΞ , οὕτως ἡ △Ζ πρὸς ΖΒ . Πάλιν γὰρ ὁμοίως ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΕ , ΑΘ · παράλληλοι ἄρα εἰσὶν τῇ ΒΖ · διὰ δὴ ταὐτά ἐστιν , ὡς ἡ ΚΖ πρὸς ΚΒ , ἥ τε ΗΚ πρὸς ΚΛ καὶ ἡ ΕΜ πρὸς ΜΛ καὶ ἡ ΜΘ πρὸς ΜΝ καὶ ἡ ΞΑ πρὸς ΞΝ · ὡς ἄρα αἱ ΖΗ , ΕΘ , ΑΞ πρὸς ΒΞ , οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΒ . Ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΒ , οὕτως ἡ △Ζ πρὸς ΖΒ · ὡς ἄρα ἡ △Ζ πρὸς ΖΒ , οὕτως αἱ ΖΗ , ΕΘ , ΑΞ πρὸς ΞΒ .
Lemmas: ἐάν εἰς τμῆμα κύκλος πολύγωνος ἐγγράφω ὁ πλευρά ἔχω χωρίς ὁ βάσις ἴσος καί ἄρτιος , ἄγω δέ εὐθεῖα παρά ὁ βάσις ὁ τμῆμα ὁ ὁ πλευρά ἐπιζεύγνυμι ὁ πολύγωνον , ὁ ἄγω πᾶς καί ὁ ἥμισυς ὁ βάσις πρός ὁ ὕψος ὁ τμῆμα ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς ὁ ἀπό ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ἐπί ὁ πλευρά ὁ πολύγωνον ἐπιζεύγνυμι πρός ὁ ὁ πολύγωνον πλευρά . εἰς γάρ κύκλος ὁ ΑΒΓ△ διάγω τις εὐθύς ὁ ΑΓ , καί ἐπί ὁ ΑΓ πολύγωνον ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓ τμῆμα ἀρτιόπλευρος τε καί ἴσος ἔχω ὁ πλευρά χωρίς ὁ βάσις ὁ ΑΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ , ΕΘ , ὅς εἰμί παράλληλος ὁ βάσις ὁ τμῆμα · λέγω ὅτι εἰμί ὡς ὁ ΖΗ , ΕΘ , ΑΞ πρός ΒΞ , οὕτως ὁ △Ζ πρός ΖΒ . πάλιν γάρ ὅμοιος ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΕ , ΑΘ · παράλληλος ἄρα εἰμί ὁ ΒΖ · διά δή αὐτός εἰμί , ὡς ὁ ΚΖ πρός ΚΒ , ὁ τε ΗΚ πρός ΚΛ καί ὁ ΕΜ πρός ΜΛ καί ὁ ΜΘ πρός ΜΝ καί ὁ ΞΑ πρός ΞΝ · ὡς ἄρα ὁ ΖΗ , ΕΘ , ΑΞ πρός ΒΞ , οὕτως ὁ ΖΚ πρός ΚΒ . ὡς δέ ὁ ΖΚ πρός ΚΒ , οὕτως ὁ △Ζ πρός ΖΒ · ὡς ἄρα ὁ △Ζ πρός ΖΒ , οὕτως ὁ ΖΗ , ΕΘ , ΑΞ πρός ΞΒ .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.27
Τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν κωνικῶν ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ἔστω γὰρ γινόμενος κῶνος ἴσος τῷ σχήματι τῷ ἐγγεγραμμένῳ ἐν τῇ σφαίρᾳ τὴν βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος , τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ ἐγγραφέντος πολυγώνου ὁ Ρ , ὁ δὲ κῶνος ὁ Ξ ἔστω βάσιν ἔχων ἴσην τῷ ΑΒΓ△ κύκλῳ , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου . Ἐπεὶ οὖν ὁ Ρ κῶνος βάσιν ἔχει ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὴν ΑΖ , ἐδείχθη δὲ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐλάσσων ἢ τετραπλασία τοῦ ἐν τῇ σφαίρᾳ μεγίστου κύκλου , ἔσται ἄρα ἡ τοῦ Ρ κώνου βάσις ἐλάσσων ἢ τετραπλασία τῆς βάσεως τοῦ Ξ κώνου . Ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὕψος τοῦ Ρ ἔλασσον τοῦ ὕψους τοῦ Ξ κώνου · ἐπεὶ οὖν ὁ Ρ κῶνος τὴν μὲν βάσιν ἔχει ἐλάσσονα ἢ τετραπλασίαν τῆς τοῦ Ξ βάσεως , τὸ δὲ ὕψος ἔλασσον τοῦ ὕψους , δῆλον ὡς καὶ αὐτὸς ὁ Ρ κῶνος ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλάσιος τοῦ Ξ κώνου . Ἀλλὰ καὶ ὁ Ρ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι · τὸ ἄρα ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἔλασσόν ἐστὶν ἢ τετραπλάσιον τοῦ Ξ κώνου .
Lemmas: ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ σφαῖρα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ κωνικός ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . εἰμί γάρ γίγνομαι κῶνος ἴσος ὁ σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα , ὁ δέ ὕψος ἴσος ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος κάθετος ἄγω ἐπί εἷς πλευρά ὁ ἐγγράφω πολύγωνον ὁ Ρ , ὁ δέ κῶνος ὁ Ξ εἰμί βάσις ἔχω ἴσος ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ△ κύκλος . ἐπεί οὖν ὁ Ρ κῶνος βάσις ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Χ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΖ , δείκνυμι δέ ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς ἤ τετραπλάσιος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα μέγας κύκλος , εἰμί ἄρα ὁ ὁ Ρ κῶνος βάσις ἐλαχύς ἤ τετραπλάσιος ὁ βάσις ὁ Ξ κῶνος . εἰμί δέ καί ὁ ὕψος ὁ Ρ ἐλαχύς ὁ ὕψος ὁ Ξ κῶνος · ἐπεί οὖν ὁ Ρ κῶνος ὁ μέν βάσις ἔχω ἐλαχύς ἤ τετραπλάσιος ὁ ὁ Ξ βάσις , ὁ δέ ὕψος ἐλαχύς ὁ ὕψος , δῆλος ὡς καί αὐτός ὁ Ρ κῶνος ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ Ξ κῶνος . ἀλλά καί ὁ Ρ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα · ὁ ἄρα ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ Ξ κῶνος .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.29
Τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος περὶ τὴν σφαῖραν ἴσος ἐστὶ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ἐπιζευγνυούσαις τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου οὔσαις παρά τινα τῶν ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πολυγώνου ὑποτεινουσῶν . Τὸ γὰρ περιγεγραμμένον περὶ τὴν ἐλάσσονα σφαῖραν ἐγγέγραπται εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν · τοῦ δὲ ἐγγεγραμμένου ἐν τῇ σφαίρᾳ περιεχομένου ὑπὸ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν κωνικῶν δέδεικται ὅτι τῇ ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶν ὁ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ἐπιζευγνυούσαις τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου οὔσαις παρά τινα τῶν ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτεινουσῶν · δῆλον οὖν ἐστι τὸ προειρημένον .
Lemmas: ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία ὁ πολύγωνον εἰμί παρά τις ὁ ὑπό δύο πλευρά ὁ πολύγωνον ὑποτείνω . ὁ γάρ περιγράφω περί ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ἐγγράφω εἰς ὁ μέγας σφαῖρα · ὁ δέ ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα περιέχω ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ κωνικός δείκνυμι ὅτι ὁ ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία ὁ πολύγωνον εἰμί παρά τις ὁ ὑπό δύο πλευρά ὑποτείνω · δῆλος οὖν εἰμί ὁ προλέγω .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.30
Τοῦ σχήματος τοῦ περιγεγραμμένου περὶ τὴν σφαῖραν ἡ ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ . Ἔστω γὰρ ἥ τε σφαῖρα καὶ ὁ κύκλος καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον προκειμένοις , καὶ ὁ Λ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ ἔστω τοῦ προκειμένου περιγεγραμμένου περὶ τὴν ἐλάσσονα σφαῖραν . Ἐπεὶ οὖν ἐν τῷ ΕΖΗΘ κύκλῳ πολύγωνον ἰσόπλευρον ἐγγέγραπται καὶ ἀρτιογώνιον , αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ πολυγώνου πλευρὰς παράλληλοι οὖσαι τῇ ΖΘ πρὸς τὴν ΖΘ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν , ὃν ἡ ΘΚ πρὸς ΚΖ · ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ἐπιζευγνυούσαις τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν ΖΘΚ · ὥστε ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Λ κύκλου ἴσον δύναται τῷ ὑπὸ ΖΘΚ · μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Λ κύκλου τῆς ΘΚ . Ἡ δὲ ΘΚ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου · δῆλον οὖν ὅτι μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλάσιος ὁ Λ κύκλος , τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος περὶ τὴν ἐλάσσονα σφαῖραν , τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ .
Lemmas: ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια μέγας εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα . εἰμί γάρ ὁ τε σφαῖρα καί ὁ κύκλος καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός ὁ πρότερος πρόκειμαι , καί ὁ Λ κύκλος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ πρόκειμαι περιγράφω περί ὁ ἐλαχύς σφαῖρα . ἐπεί οὖν ἐν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πολύγωνον ἰσόπλευρος ἐγγράφω καί ἀρτιογώνιος , ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ὁ πολύγωνον πλευρά παράλληλος εἰμί ὁ ΖΘ πρός ὁ ΖΘ ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς ὁ ΘΚ πρός ΚΖ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ περιέχω σχῆμα ὑπό τε εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία ὁ πολύγωνον ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΘΚ · ὥστε ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Λ κύκλος ἴσος δύναμαι ὁ ὑπό ΖΘΚ · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Λ κύκλος ὁ ΘΚ . ὁ δέ ΘΚ ἴσος εἰμί ὁ διάμετρον ὁ ΑΒΓ△ κύκλος · δῆλος οὖν ὅτι μέγας εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ Λ κύκλος , τουτέστι ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ ἐλαχύς σφαῖρα , ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.31
Τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι περὶ τὴν ἐλάσσονα σφαῖραν ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Τὸ γὰρ περιγεγραμμένον σχῆμα περὶ τὴν ἐλάσσονα σφαῖραν ἐγγέγραπται ἐν τῇ μείζονι σφαίρᾳ · τῷ δὲ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν κωνικῶν ἐπιφανειῶν δέδεικται ἴσος κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου καθέτῳ ἠγμένῃ · αὕτη δέ ἐστιν ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας · δῆλον οὖν ἐστι τὸ προτεθέν . ΠΟΡΙΣΜΑ . Ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι τὸ σχῆμα τὸ περιγραφόμενον περὶ τὴν ἐλάσσονα σφαῖραν μεῖζόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ἐπειδὴ γὰρ ἴσος ἐστὶ τῷ σχήματι κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ αὐτοῦ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας , ἔστι δὲ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος περὶ τὴν σφαῖραν μείζων ἢ τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , μεῖζον ἄρα ἢ τετραπλάσιον ἔσται τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον περὶ τὴν σφαῖραν τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ἐπειδὴ καὶ ὁ κῶνος ὁ ἴσος αὐτῷ μείζων ἢ τετραπλάσιος γίνεται τοῦ εἰρημένου κώνου .
Lemmas: ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . ὁ γάρ περιγράφω σχῆμα περί ὁ ἐλαχύς σφαῖρα ἐγγράφω ἐν ὁ μέγας σφαῖρα · ὁ δέ ἐγγράφω σχῆμα περιέχω ὑπό ὁ κωνικός ἐπιφάνεια δείκνυμι ἴσος κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον κάθετος ἄγω · οὗτος δέ εἰμί ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς σφαῖρα · δῆλος οὖν εἰμί ὁ προτίθημι . πόρισμα . ἐκ οὗτος δέ φανερός ὅτι ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ ἐλαχύς σφαῖρα μέγας εἰμί ἤ τετραπλάσιος κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . ἐπειδή γάρ ἴσος εἰμί ὁ σχῆμα κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια αὐτός , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς σφαῖρα , εἰμί δέ ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ σφαῖρα μέγας ἤ τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , μέγας ἄρα ἤ τετραπλάσιος εἰμί ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ σφαῖρα ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ μέγας κύκλος , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ἐπειδή καί ὁ κῶνος ὁ ἴσος αὐτός μέγας ἤ τετραπλάσιος γίγνομαι ὁ λέγω κῶνος .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.36
Τετμήσθω σφαῖρα μὴ διὰ τοῦ κέντρου ἐπιπέδῳ , καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΖ τέμνων πρὸς ὀρθὰς τὸ ἐπίπεδον τὸ τέμνον , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόγωνον χωρὶς τῆς βάσεως τῆς ΑΒ . Ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον , ἐὰν μενούσης τῆς ΓΖ περιενεχθῇ τὸ σχῆμα , αἱ μὲν △ , Ε , Α , Β γωνίαι κατὰ κύκλων οἰσθήσονται , ὧν διάμετροι αἱ △Ε , ΑΒ , αἱ δὲ πλευραὶ τοῦ τμήματος κατὰ κωνικῆς ἐπιφανείας , καὶ ἔσται τὸ γενηθὲν σχῆμα στερεὸν ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον βάσιν μὲν ἔχον κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ , κορυφὴν δὲ τὸ Γ . Ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον τὴν ἐπιφάνειαν ἐλάσσονα ἕξει τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας τοῦ περιλαμβάνοντος · τὸ γὰρ αὐτὸ πέρας αὐτῶν ἐστιν ἐν ἐπιπέδῳ τοῦ τε τμήματος καὶ τοῦ σχήματος ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου , οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ , καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι ἀμφότεραί εἰσιν αἱ ἐπιφάνειαι , καὶ περιλαμβάνεται ἡ ἑτέρα ὑπὸ τῆς ἑτέρας .
Lemmas: τέμνω σφαῖρα μή διά ὁ κέντρον ἐπίπεδος , καί ἐν αὐτός μέγας κύκλος ὁ ΑΕΖ τέμνω πρός ὀρθός ὁ ἐπίπεδος ὁ τέμνω , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓ τμῆμα πολύγωνον ἰσόπλευρος τε καί ἀρτιόγωνος χωρίς ὁ βάσις ὁ ΑΒ . ὅμοιος δή ὁ πρότερος , ἐάν μένω ὁ ΓΖ περιφέρω ὁ σχῆμα , ὁ μέν △ , Ε , Α , Β γωνία κατά κύκλος φέρω , ὅς διάμετρος ὁ △Ε , ΑΒ , ὁ δέ πλευρά ὁ τμῆμα κατά κωνικός ἐπιφάνεια , καί εἰμί ὁ γίγνομαι σχῆμα στερεός ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω βάσις μέν ἔχω κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , κορυφή δέ ὁ Γ . ὅμοιος δή ὁ πρότερος ὁ ἐπιφάνεια ἐλαχύς ἔχω ὁ ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια ὁ περιλαμβάνω · ὁ γάρ αὐτός πέρας αὐτός εἰμί ἐν ἐπίπεδος ὁ τε τμῆμα καί ὁ σχῆμα ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΑΒ , καί ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος ἀμφότερος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια , καί περιλαμβάνω ὁ ἕτερος ὑπό ὁ ἕτερος .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.37
Ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐν τῷ τμήματι τῆς σφαίρας ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ κύκλου , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένῃ τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος . Ἔστω σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΕΖ , καὶ ἔστω τμῆμα ἐν τῇ σφαίρᾳ , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ , καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ διαμέτρου μὲν τῆς σφαίρας οὔσης τῆς ΘΛ , ἐπεζευγμένων δὲ τῶν ΛΕ , ΘΑ , καὶ ἔστω κύκλος ὁ Μ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω τῇ ΑΘ · δεικτέον ὅτι ὁ Μ κύκλος μείζων ἐστὶ τῆς τοῦ σχήματος ἐπιφανείας . Ἡ γὰρ ἐπιφάνεια τοῦ σχήματος δέδεικται ἴση οὖσα κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς ΕΘ καὶ τῶν ΕΖ , Γ△ , ΚΑ · τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΕΘ καὶ τῶν ΕΖ , Γ△ , ΚΑ δέδεικται ἴσον · τῷ ὑπὸ τῶν ΕΛ , ΚΘ περιεχομένῳ · τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΛ , ΚΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΘ · φανερὸν οὖν ὅτι ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , ὅς ἐστιν ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος , ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ · δῆλον ἄρα ὅτι ὁ Μ κύκλος μείζων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ σχήματος .
Lemmas: ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἐλαχύς εἰμί ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἐπί ὁ περιφέρεια ἄγω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα . εἰμί σφαῖρα καί ἐν αὐτός μέγας κύκλος ὁ ΑΒΕΖ , καί εἰμί τμῆμα ἐν ὁ σφαῖρα , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός διάμετρος μέν ὁ σφαῖρα εἰμί ὁ ΘΛ , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ ΛΕ , ΘΑ , καί εἰμί κύκλος ὁ Μ , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΘ · δείκνυμι ὅτι ὁ Μ κύκλος μέγας εἰμί ὁ ὁ σχῆμα ἐπιφάνεια . ὁ γάρ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα δείκνυμι ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΕΘ καί ὁ ΕΖ , Γ△ , ΚΑ · ὁ δέ ὑπό ὁ ΕΘ καί ὁ ΕΖ , Γ△ , ΚΑ δείκνυμι ἴσος · ὁ ὑπό ὁ ΕΛ , ΚΘ περιέχω · ὁ δέ ὑπό ὁ ΕΛ , ΚΘ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΘ · φανερός οὖν ὅτι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα , ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ · δῆλος ἄρα ὅτι ὁ Μ κύκλος μέγας εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.43
Καὶ ἐὰν μεῖζον ἡμισφαιρίου ᾗ τμῆμα , ὁμοίως αὐτοῦ ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔσται τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένῃ τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος . Ἔστω γὰρ σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος , καὶ νοείσθω τετμημένη ἐπιπέδῳ ὀρθῷ τῷ κατὰ τὴν Α△ , καὶ τὸ ΑΒ△ ἔλασσον ἔστω ἡμισφαιρίου , καὶ διάμετρος ἡ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ Α△ , καὶ ἀπὸ τῶν Β , Γ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ , ΑΓ , καὶ ἔστω ὁ μὲν Ε κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ , ὁ δὲ Ζ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΓ , ὁ δὲ Η κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΓ · καὶ ὁ Η ἄρα κύκλος ἴσος ἐστὶ τοῖς δυσὶ κύκλοις τοῖς Ε , Ζ . Ὁ δὲ Η κύκλος ἴσος ἐστὶν ὅλῃ τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας , ὁ δὲ Ε κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΑΒ△ τμήματος · λοιπὸς ἄρα ὁ Ζ κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ τοῦ ΑΓ△ τμήματος ἐπιφανείᾳ , ὃ δή ἐστι μεῖζον ἡμισφαιρίου .
Lemmas: καί ἐάν μέγας ἡμισφαίριον ἵημι τμῆμα , ὅμοιος αὐτός ὁ ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ περιφέρεια ἄγω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα . εἰμί γάρ σφαῖρα καί ἐν αὐτός μέγας κύκλος , καί νοέω τέμνω ἐπίπεδος ὀρθός ὁ κατά ὁ Α△ , καί ὁ ΑΒ△ ἐλαχύς εἰμί ἡμισφαίριον , καί διάμετρος ὁ ΒΓ πρός ὀρθός ὁ Α△ , καί ἀπό ὁ Β , Γ ἐπί ὁ Α ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑ , ΑΓ , καί εἰμί ὁ μέν Ε κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ , ὁ δέ Ζ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ , ὁ δέ Η κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ · καί ὁ Η ἄρα κύκλος ἴσος εἰμί ὁ δύο κύκλος ὁ Ε , Ζ . ὁ δέ Η κύκλος ἴσος εἰμί ὅλος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὁ δέ Ε κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒ△ τμῆμα · λοιπός ἄρα ὁ Ζ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΓΑ τμῆμα ἐπιφάνεια , ὅς δή εἰμί μέγας ἡμισφαίριον .
archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.pr
Πρότερον μὲν ἐπέστειλάς μοι γράψαι τῶν προβλημάτων τὰς ἀποδείξεις , ὧν αὐτὸς τὰς προτάσεις ἀπέστειλα Κόνωνι · συμβαίνει δὲ αὐτῶν τὰ πλεῖστα γράφεσθαι διὰ τῶν θεωρημάτων , ὧν πρότερον ἀπέστειλά σοι τὰς ἀποδείξεις , ὅτι τε πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , καὶ δὴ ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας τῇ ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ εὐθείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως ἀγομένῃ , καὶ διότι πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν μέγιστον κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας , αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστι τῷ μεγέθει τῆς σφαίρας καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἡμιολία τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας , καὶ διότι πᾶς τομεὺς στερεὸς ἴσος ἐστὶ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον τὸν ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας τοῦ ἐν τῷ τομεῖ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ὅσα μὲν οὖν τῶν θεωρημάτων καὶ προβλημάτων γράφεται διὰ τούτων τῶν θεωρημάτων , ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ γράψας ἀπέσταλκά σοι , ὅσα δὲ διʼ ἄλλης εὑρίσκονται θεωρίας , τά τε περὶ ἑλίκων καὶ τὰ περὶ τῶν κωνοειδῶν , πειράσομαι διὰ τάχους ἀποστεῖλαι . Τὸ δὲ πρῶτον ἦν τῶν προβλημάτων τόδε · Σφαίρας δοθείσης ἐπίπεδον χωρίον εὑρεῖν ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας . Ἔστιν δὲ τοῦτο φανερὸν δεδειγμένον ἐκ τῶν προειρημένων θεωρημάτων · τὸ γὰρ τετραπλάσιον τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐπίπεδόν τε χωρίον ἐστὶ καὶ ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας .
Lemmas: πρότερος μέν ἐπιστέλλω ἐγώ γράφω ὁ πρόβλημα ὁ ἀπόδειξις , ὅς αὐτός ὁ πρότασις ἀποστέλλω Κόνων · συμβαίνω δέ αὐτός ὁ πολύς γράφω διά ὁ θεώρημα , ὅς πρότερος ἀποστέλλω σύ ὁ ἀπόδειξις , ὅτι τε πᾶς σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια τετραπλάσιος εἰμί ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , καί δή ὅτι πᾶς τμῆμα σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ εὐθύς ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ βάσις ἄγω , καί διότι πᾶς σφαῖρα ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , αὐτός τε ἡμιόλιος εἰμί ὁ μέγεθος ὁ σφαῖρα καί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός ἡμιόλιος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , καί διότι πᾶς τομεύς στερεός ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ ἐν ὁ τομάω , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . ὅσος μέν οὖν ὁ θεώρημα καί πρόβλημα γράφω διά οὗτος ὁ θεώρημα , ἐν ὅδε ὁ βιβλίον γράφω ἀποστέλλω σύ , ὅσος δέ διά ἄλλος εὑρίσκω θεωρία , ὁ τε περί ἑλίκων καί ὁ περί ὁ κωνοειδής , πειράω διά τάχος ἀποστέλλω . ὁ δέ πρῶτος εἰμί ὁ πρόβλημα ὅδε · σφαῖρα δίδωμι ἐπίπεδος χωρίον εὑρίσκω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . εἰμί δέ οὗτος φανερός δείκνυμι ἐκ ὁ προλέγω θεώρημα · ὁ γάρ τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἐπίπεδος τε χωρίον εἰμί καί ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα .