archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.34
Πᾶσα σφαῖρα τετραπλασία ἐστὶ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῷ μεγίστω κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ἔστω γὰρ σφαῖρά τις καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ . Εἰ οὖν μή ἐστιν ἡ σφαῖρα τετραπλασία τοῦ εἰρημένου κώνου , ἔστω , εἰ δυνατόν , μείζων ἢ τετραπλασία · ἔστω δὲ ὁ Ξ κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τετραπλασίαν τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας · μείζων οὖν ἐστιν ἡ σφαῖρα τοῦ Ξ κώνου . Ἔσται δὴ δύο μεγέθη ἄνισα ἥ τε σφαῖρα καὶ ὁ κῶνος · δυνατὸν οὖν δύο εὐθείας λαβεῖν ἀνίσους , ὥστε ἔχειν τὴν μείζονα πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἡ σφαῖρα πρὸς τὸν Ξ κῶνον . Ἔστωσαν οὖν αἱ Κ , Η , αἱ δὲ Ι , Θ εἰλημμέναι , ὥστε τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν τὴν Κ τῆς I καὶ τὴν I τῆς Θ καὶ τὴν Θ τῆς Η , νοείσθω δὲ καὶ εἰς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον ἐγγεγραμμένον πολύγωνον , οὗ τὸ πλῆθος τῶν πλευρῶν μετρείσθω ὑπὸ τετράδος , καὶ ἄλλο περιγεγραμμένον ὅμοιον τῷ ἐγγεγραμμένῳ , καθάπερ ἐπὶ τῶν πρότερον , ἡ δὲ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω τοῦ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς I , καὶ ἔστωσαν αἱ ΑΓ , Β△ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις . Εἰ οὖν μενούσης τῆς ΑΓ διαμέτρου περιενεχθείη τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ τὰ πολύγωνα , ἔσται σχήματα τὸ μὲν ἐγγεγραμμένον ἐν τῇ σφαίρᾳ , τὸ δὲ περιγεγραμμένον , καὶ ἕξει τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου εἰς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον , Ἡ δὲ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευρὰν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Κ πρὸς τὴν Ι · ὥστε τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον ἐλασσονα λόγον ἔχει ἢ τριπλασίονα τοῦ Κ πρὸς Ι . Ἔχει δὲ καὶ ἡ Κ πρὸς Η μείζονα λόγον ἢ τριπλάσιον τοῦ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς Ι · πολλῷ ἄρα τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγγραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς Η . Ἡ δὲ Κ πρὸς Η ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ σφαῖρα πρὸς τὸν Ξ κῶνον · καὶ ἐναλλάξ · ὅπερ ἀδύνατον · τὸ γὰρ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον μεῖζόν ἐστι τῆς σφαίρας , τὸ δὲ ἐγγεγραμμένον ἔλασσον τοῦ Ξ κώνου Οὐκ ἄρα μείζων ἢ τετραπλασία ἡ σφαῖρα τοῦ εἰρημένου . Ἔστω , εἰ δυνατόν , ἐλάσσων ἢ τετραπλασία · ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ σφαῖρα τοῦ Ξ κώνου . Εἰλήφθωσαν δὴ αἱ Κ , Η εὐθεῖαι , ὥστε τὴν Κ μείζονα εἶναι τῆς Η καὶ ἐλάσσονα λόγον ἔχειν πρὸς αὐτὴν τοῦ ὃν ἔχει ὁ Ξ κῶνος πρὸς τὴν σφαῖραν , καὶ αἱ Θ , Ι ἐκκείσθωσαν , καθὼς πρότερον , καὶ εἰς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον νοείσθω πολύγωνον ἐγγεγραμμένον καὶ ἄλλο περιγεγραμμένον , ὥστε τὴν πλευρὰν τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἤπερ ἡ Κ πρὸς Ι , καὶ τὰ ἄλλα κατεσκευασμένα τὸν αὐτὸν τρόπον τοῖς πρότερον · ἕξει ἄρα καὶ τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν σχῆμα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου περὶ τὸν ΑΒΓ△ κύκλον πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου . Ἡ δὲ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευρὰν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Κ πρὸς Ι · ἕξει οὖν τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἢ τριπλάσιον τοῦ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς τὴν Ι . Ἡ δὲ Κ πρὸς τὴν Η μείζονα λόγον ἔχει ἢ τριπλάσιον τοῦ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς τὴν Ι · ὥστε ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἢ ἡ Κ πρὸς τὴν Η . Ἡ δὲ Κ πρὸς τὴν Η ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ Ξ κῶνος πρὸς τὴν σφαῖραν · ὅπερ ἀδύνατον · τὸ μὲν γὰρ ἐγγεγραμμένον ἔλασσόν ἐστι τῆς σφαίρας , τὸ δὲ περιγεγραμμένον μεῖζον τοῦ Ξ κώνου . Οὐκ ἄρα οὐδὲ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία ἡ σφαῖρα τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῷ ΑΒΓ△ κύκλῳ , ὕψος δὲ τὴν ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ἐδείχθη δὲ , ὅτι οὐδὲ μείζων · τετραπλασία ἄρα . Προδεδειγμένων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι πᾶς κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν μέγιστον κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας , ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ μετὰ τῶν βάσεων ἡμιολία τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας . Ὁ μὲν γὰρ κύλινδρος ὁ προειρημένος ἑξαπλάσιός ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτήν , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου , ἡ δὲ σφαῖρα δέδεικται τοῦ αὐτοῦ κώνου τετραπλασία οὖσα · δῆλον οὖν ὅτι ὁ κύλινδρος ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας . Πάλιν , ἐπεὶ ἡ ἐπειφάνεια τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῶν βάσεων ἴση δέδεικται κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέση ἀνάλογόν ἐστι τῆς τοῦ κυλίνδρου πλευρᾶς καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως , τοῦ δὲ εἰρημένου κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν σφαῖραν ἡ πλευρὰ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς βάσεως , ὁ δὲ κύκλος ὁ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἔχων ἴσην τῇ διαμέτρῳ τῆς βάσεως τετραπλάσιός ἐστι τῆς βάσεως , τουτέστι τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ἔσται ἄρα καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῶν βάσεων τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου · ὅλη ἄρα μετὰ τῶν βάσεων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἑξαπλασία ἔσται τοῦ μεγίστου κύκλου . Ἔστιν δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου . Ὅλη ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἡμιολία ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας .
Lemmas: πᾶς σφαῖρα τετραπλάσιος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . εἰμί γάρ σφαῖρα τις καί ἐν αὐτός μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ . εἰ οὖν μή εἰμί ὁ σφαῖρα τετραπλάσιος ὁ λέγω κῶνος , εἰμί , εἰ δυνατός , μέγας ἤ τετραπλάσιος · εἰμί δέ ὁ Ξ κῶνος βάσις μέν ἔχω τετραπλάσιος ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα · μέγας οὖν εἰμί ὁ σφαῖρα ὁ Ξ κῶνος . εἰμί δή δύο μέγεθος ἄνισος ὁ τε σφαῖρα καί ὁ κῶνος · δυνατός οὖν δύο εὐθεῖα λαμβάνω ἄνισος , ὥστε ἔχω ὁ μέγας πρός ὁ ἐλαχύς ἐλαχύς λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ σφαῖρα πρός ὁ Ξ κῶνος . εἰμί οὖν ὁ Κ , Η , ὁ δέ Ι , Θ λαμβάνω , ὥστε ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ Κ ὁ I καί ὁ I ὁ Θ καί ὁ Θ ὁ Η , νοέω δέ καί εἰς ὁ ΑΒΓ△ κύκλος ἐγγράφω πολύγωνον , ὅς ὁ πλῆθος ὁ πλευρά μετρέω ὑπό τετράς , καί ἄλλος περιγράφω ὅμοιος ὁ ἐγγράφω , καθά ἐπί ὁ πρότερος , ὁ δέ ὁ περιγράφω πολύγωνον πλευρόν πρός ὁ ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ Κ πρός I , καί εἰμί ὁ ΑΓ , Β△ διάμετρος πρός ὀρθός ἀλλήλων . εἰ οὖν μένω ὁ ΑΓ διάμετρος περιφέρω ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς ὁ πολύγωνον , εἰμί σχῆμα ὁ μέν ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα , ὁ δέ περιγράφω , καί ἔχω ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω τριπλασίων λόγος ἤ ὁ πλευρόν ὁ περιγράφω πρός ὁ ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , Ἡ δέ πλευρόν πρός ὁ πλευρά ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Κ πρός ὁ Ι · ὥστε ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω ἐλχυας λόγος ἔχω ἤ τριπλασίων ὁ Κ πρός Ι . ἔχω δέ καί ὁ Κ πρός Η μέγας λόγος ἤ τριπλάσιος ὁ ὅς ἔχω ὁ Κ πρός Ι · πολύς ἄρα ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ Κ πρός Η . ὁ δέ Κ πρός Η ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ σφαῖρα πρός ὁ Ξ κῶνος · καί ἐναλλάξ · ὅς ἀδύνατος · ὁ γάρ σχῆμα ὁ περιγράφω μέγας εἰμί ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ἐγγράφω ἐλαχύς ὁ Ξ κῶνος οὐ ἄρα μέγας ἤ τετραπλάσιος ὁ σφαῖρα ὁ λέγω . εἰμί , εἰ δυνατός , ἐλαχύς ἤ τετραπλάσιος · ὥστε ἐλαχύς εἰμί ὁ σφαῖρα ὁ Ξ κῶνος . λαμβάνω δή ὁ Κ , Η εὐθεῖα , ὥστε ὁ Κ μέγας εἰμί ὁ Η καί ἐλαχύς λόγος ἔχω πρός αὐτός ὁ ὅς ἔχω ὁ Ξ κῶνος πρός ὁ σφαῖρα , καί ὁ Θ , Ι ἔκκειμαι , καθώς πρότερος , καί εἰς ὁ ΑΒΓ△ κύκλος νοέω πολύγωνον ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω , ὥστε ὁ πλευρά ὁ περιγράφω πρός ὁ πλευρά ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Κ πρός Ι , καί ὁ ἄλλος κατασκευάζω ὁ αὐτός τρόπος ὁ πρότερος · ἔχω ἄρα καί ὁ περιγράφω στερεός σχῆμα πρός ὁ ἐγγράφω τριπλασίων λόγος ἤ ὁ πλευρόν ὁ περιγράφω περί ὁ ΑΒΓ△ κύκλος πρός ὁ ὁ ἐγγράφω . ὁ δέ πλευρόν πρός ὁ πλευρά ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Κ πρός Ι · ἔχω οὖν ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἤ τριπλάσιος ὁ ὅς ἔχω ὁ Κ πρός ὁ Ι . ὁ δέ Κ πρός ὁ Η μέγας λόγος ἔχω ἤ τριπλάσιος ὁ ὅς ἔχω ὁ Κ πρός ὁ Ι · ὥστε ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἤ ὁ Κ πρός ὁ Η . ὁ δέ Κ πρός ὁ Η ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Ξ κῶνος πρός ὁ σφαῖρα · ὅς ἀδύνατος · ὁ μέν γάρ ἐγγράφω ἐλαχύς εἰμί ὁ σφαῖρα , ὁ δέ περιγράφω μέγας ὁ Ξ κῶνος . οὐ ἄρα οὐδέ ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ σφαῖρα ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . δείκνυμι δέ , ὅτι οὐδέ μέγας · τετραπλάσιος ἄρα . προδείκνυμι δέ οὗτος φανερός ὅτι πᾶς κύλινδρος βάσις μέν ἔχω ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ διάμετρος ὁ σφαῖρα , ἡμιόλιος εἰμί ὁ σφαῖρα καί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός μετά ὁ βάσις ἡμιόλιος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα . ὁ μέν γάρ κύλινδρος ὁ προλέγω ἑξαπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον , ὁ δέ σφαῖρα δείκνυμι ὁ αὐτός κῶνος τετραπλάσιος εἰμί · δῆλος οὖν ὅτι ὁ κύλινδρος ἡμιόλιος εἰμί ὁ σφαῖρα . πάλιν , ἐπεί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος χωρίς ὁ βάσις ἴσος δείκνυμι κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ὁ κύλινδρος πλευρά καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις , ὁ δέ λέγω κύλινδρος ὁ περί ὁ σφαῖρα ὁ πλευρόν ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ βάσις , ὁ δέ κύκλος ὁ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἔχω ἴσος ὁ διάμετρος ὁ βάσις τετραπλάσιος εἰμί ὁ βάσις , τουτέστι ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , εἰμί ἄρα καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος χωρίς ὁ βάσις τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος · ὅλος ἄρα μετά ὁ βάσις ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ἑξαπλάσιος εἰμί ὁ μέγας κύκλος . εἰμί δέ καί ὁ ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος . ὅλος ἄρα ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ἡμιόλιος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα .