archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.18
Παντὶ ῥόμβῳ ἐξ ἰσοσκελῶν κώνων συγκειμένῳ ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἑτέρου κώνου τῶν περιεχόντων τὸν ῥόμβον , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ ἑτέρου κώνου καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ ἑτερου κώνου . Ἔστω ῥόμβος ἐξ ἰσοσκελῶν κώνων συγκείμενος ὁ ΑΒΓ△ , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΓ κύκλος , ὕψος δὲ τὸ Α△ , ἐκκείσθω δέ τις ἕτερος ὁ ΗΘΚ τὴν μὲν βάσιν ἔχων τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΑΒΓ κώνου ἴσην , τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ △ σημείου καθέτῳ ἐπὶ τὴν ΑΒ ἢ τὴν ἐπʼ εὐθείας αὐτῇ ἠγμένῃ , ἔστω δὲ ἡ △Ζ , τὸ δὲ ὕψος τοῦ ΘΗΚ κώνου ἔστω τὸ ΘΛ ἴσον δή ἐστιν τὸ ΘΛ τῇ △Ζ λέγω ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ κῶνος τῷ ῥόμβῳ . Ἐκκείσθω γὰρ ἕτερος κῶνος ὁ ΜΝΞ τὴν μὲν βάσιν ἔχων ἴσην τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ κώνου , τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ Α△ , καὶ ἔστω τὸ ὕψος αὐτοῦ τὸ ΝΟ . Ἐπεὶ οὖν ἡ ΝΟ τῇ Α△ ἴση ἐστίν , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΝΟ πρὸς △Ε , οὕτως ἡ Α△ πρὸς △Ε . Ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Α△ πρὸς △Ε , οὕτως ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον , ὡς δὲ ἡ ΝΟ πρὸς τὴν △Ε , οὕτως ὁ ΜΝΞ κῶνος πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον ὡς ἄρα ὁ ΜΝΞ κῶνος πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον , οὕτως ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΜΝΞ τῷ ΑΒΓ△ ῥόμβῳ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ ΗΘΚ , ὡς ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὴν ἰδίαν βάσιν , οὕτως ἡ βάσις τοῦ ΗΘΚ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΜΝΞ . Ὡς δὲ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὴν ἰδίαν βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ , τουτέστιν ἡ Α△ πρὸς △Ζ · ὡς ἄρα ἡ βάσις τοῦ ΗΘΚ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΜΝΞ , οὕτως ἡ Α△ πρὸς △Ζ . Ἴση δὲ ἡ μὲν Α△ τῇ ΝΟ , ἡ δὲ △Ζ τῇ ΘΛ · ὡς ἄρα ἡ βάσις τοῦ ΗΘΚ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΜΝΞ , οὕτως τὸ ΝΟ ὕψος πρὸς τὸ ΘΛ . Τῶν ΗΘΚ , ΜΝΞ ἄρα κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν · ἴσοι ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι . Ἐδείχθη δὲ ὁ ΜΝΞ ἴσος τῷ ΑΒΓ△ ῥόμβῳ καὶ ὁ ΗΘΚ ἄρα κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΑΒΓ△ ῥόμβῳ .
Lemmas: πᾶς ῥόμβος ἐκ ἰσοσκελής κῶνος σύγκειμαι ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἕτερος κῶνος ὁ περιέχω ὁ ῥόμβος , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ ἕτερος κῶνος κάθετος ἄγω ἐπί εἷς πλευρά ὁ ἑτρειος κῶνος . εἰμί ῥόμβος ἐκ ἰσοσκελής κῶνος σύγκειμαι ὁ ΑΒΓ△ , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΓ κύκλος , ὕψος δέ ὁ Α△ , ἔκκειμαι δέ τις ἕτερος ὁ ΗΘΚ ὁ μέν βάσις ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ κῶνος ἴσος , ὁ δέ ὕψος ἴσος ὁ ἀπό ὁ △ σημεῖον κάθετος ἐπί ὁ ΑΒ ἤ ὁ ἐπί εὐθεῖα αὐτός ἄγω , εἰμί δέ ὁ △Ζ , ὁ δέ ὕψος ὁ ΘΗΚ κῶνος εἰμί ὁ ΘΛ ἴσος δή εἰμί ὁ ΘΛ ὁ △Ζ λέγω ὅτι ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ ῥόμβος . ἔκκειμαι γάρ ἕτερος κῶνος ὁ ΜΝΞ ὁ μέν βάσις ἔχω ἴσος ὁ βάσις ὁ ΑΒΓ κῶνος , ὁ δέ ὕψος ἴσος ὁ Α△ , καί εἰμί ὁ ὕψος αὐτός ὁ ΝΟ . ἐπεί οὖν ὁ ΝΟ ὁ Α△ ἴσος εἰμί , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΝΟ πρός △Ε , οὕτως ὁ Α△ πρός △Ε . ἀλλά ὡς μέν ὁ Α△ πρός △Ε , οὕτως ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος πρός ὁ ΒΓ△ κῶνος , ὡς δέ ὁ ΝΟ πρός ὁ △Ε , οὕτως ὁ ΜΝΞ κῶνος πρός ὁ ΒΓ△ κῶνος ὡς ἄρα ὁ ΜΝΞ κῶνος πρός ὁ ΒΓ△ κῶνος , οὕτως ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος πρός ὁ ΒΓ△ κῶνος ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΜΝΞ ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος . καί ἐπεί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ ἴσος εἰμί ὁ βάσις ὁ ΗΘΚ , ὡς ἄρα ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ἴδιος βάσις , οὕτως ὁ βάσις ὁ ΗΘΚ πρός ὁ βάσις ὁ ΜΝΞ . ὡς δέ ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ πρός ὁ ἴδιος βάσις , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ ΒΕ , τουτέστι ὁ Α△ πρός △Ζ · ὡς ἄρα ὁ βάσις ὁ ΗΘΚ πρός ὁ βάσις ὁ ΜΝΞ , οὕτως ὁ Α△ πρός △Ζ . ἴσος δέ ὁ μέν Α△ ὁ ΝΟ , ὁ δέ △Ζ ὁ ΘΛ · ὡς ἄρα ὁ βάσις ὁ ΗΘΚ πρός ὁ βάσις ὁ ΜΝΞ , οὕτως ὁ ΝΟ ὕψος πρός ὁ ΘΛ . ὁ ΗΘΚ , ΜΝΞ ἄρα κῶνος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ ὕψος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ κῶνος . δείκνυμι δέ ὁ ΜΝΞ ἴσος ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος καί ὁ ΗΘΚ ἄρα κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος .