archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.12
Ἐὰν ἐν ἐπιφανείᾳ κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ δύο εὐθεῖαι ὦσιν , ἀπὸ δὲ τῶν περάτων τῶν εὐθειῶν ἀχθῶσίν τινες ἐπιψαύουσαι τῶν κύκλων , οἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου , ἐν τῷ ἐπιπέδῳ αὐτῶν οὖσαι καὶ συμπέσωσιν , τὰ παραλληλόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπό τε τῶν ἐπιψαυουσῶν καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζονα ἔσται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου τῆς μεταξὺ τῶν εὐθειῶν τῶν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου . Ἔστω κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος , καὶ ἔστωσαν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ αὐτοῦ δύο εὐθεῖαι , ὧν πέρατα τὰ Α , Γ , ἀπὸ δὲ τῶν Α , Γ ἤχθωσαν ἐπιψαύουσαι τοῦ κύκλου ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η , νοείσθωσαν δὲ καὶ ἐν τῇ ἑτέρᾳ βάσει τοῦ κυλίνδρου ἀπὸ τῶν περάτων τῶν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ εὐθεῖαι ἠγμέναι ἐπιψαύουσαι τοῦ κύκλου · δεικτέον ὅτι τὰ παραλληλόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ἐπιψαυουσῶν καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζονά ἐστι τῆς κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου . Ἤχθω γὰρ ἡ ΕΖ ἐπιψαύουσα , καὶ ἀπὸ τῶν Ε , Ζ σημείων ἤχθωσάν τινες εὐθεῖαι παρὰ τὸν ἄξονα τοῦ κυλίνδρου ἕως τῆς ἑτέρας βάσεως τὰ δὴ παραλληλόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΗΓ καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζονά ἐστιν τῶν παραλληλογράμμων τῶν περιεχομένων ὑπό τε τῶν ΑΕ , ΕΖ , ΖΓ καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου . Ὡι δὴ μείζονά ἐστιν , ἔστω τὸ Κ χωρίον . Τοῦ δὴ Κ χωρίου τὸ ἥμισυ ἤτοι μεῖζόν ἐστι τῶν σχημάτων τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν ΑΕ , ΕΖ , ΖΓ εὐθειῶν καὶ τῶν Α△ , △Β , ΒΘ , ΘΓ περιφερειῶν ἢ οὔ . Ἔστω πρότερον μεῖζον . Τῆς δὴ ἐπιφανείας τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῶν παραλληλογράμμων τῶν κατὰ τὰς ΑΕ , ΕΖ , ΖΓ καὶ τοῦ ΑΕΖΓ τραπεζίου καὶ τοῦ κατεναντίον αὐτοῦ ἐν τῇ ἑτέρα βάσει τοῦ κυλίνδρου πέρας ἐστὶν ἡ περίμετρος τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ κατὰ τὴν ΑΓ . Ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου τῆς κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν καὶ τῶν τμημάτων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τοῦ ἀπεναντίον αὐτοῦ πέρας ἡ αὐτὴ περίμετρος · αἱ οὖν εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαι τυγχάνουσιν , ὅπερ ἐστὶν ἐν ἐπιπέδῳ , καί εἰσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι , καί τινα μὲν περιλαμβάνει ἡ ἑτέρα αὐτῶν , τινὰ δὲ κοινὰ ἔχουσιν ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ περιλαμβανομένη , Ἀφαιρεθέντων οὖν κοινῶν τοῦ τε ΑΒΓ τμήματος καὶ τοῦ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἡ κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν τῆς συγκειμένης ἐπιφανείας ἔκ τε τῶν παραλληλογράμμων τῶν κατὰ τὰς ΑΕ , ΕΖ , ΖΓ καὶ τῶν σχημάτων τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ καὶ τῶν ἀπεναντίον αὐτῶν . Αἱ δὲ τῶν εἰρημένων παραλληλογράμμων ἐπιφάνειαι μετὰ τῶν εἰρημένων σχημάτων ἐλάττους εἰσὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῶν παραλληλογράμμων τῶν κατὰ τὰς ΑΗ , ΗΓ · δῆλον οὖν ὅτι τὰ παραλληλόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ΑΗ , ΓΗ καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζονά ἐστι τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου τῆς κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν . Εἰ δὲ μή ἐστιν μεῖζον τὸ ἥμισυ τοῦ Κ χωρίου τῶν εἰρημένων σχημάτων , ἀχθήσονται εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι τοῦ τμήματος , ὥστε γενέσθαι τὰ περιλειπόμενα σχήματα ἐλάσσονα τοῦ ἡμίσους τοῦ Κ , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν δειχθήσεται . ΠΟΡΙΣΜΑ . Τούτων δὴ δεδειγμένων φανερὸν ὅτι , ἐὰν εἰς κῶνον ἰσοσκελῆ πυραμὶς ἐγγραφῇ , ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἐλάσσων ἐστὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας , καὶ ὅτι , ἐὰν περὶ κῶνον ἰσοσκελῆ πυραμὶς περιγραφῇ , ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βάσεως . ΠΟΡΙΣΜΑ . Φανερὸν δὲ ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ὅτι τε , ἐὰν εἰς κύλινδρον ὀρθὸν πρίσμα ἐγγραφῇ , ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος ἡ ἐκ τῶν παραλληλογράμμων συγκειμένη ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῆς βάσεως , καὶ ὅτι , ἐὰν περὶ κύλινδρον ὀρθὸν πρίσμα περιγραφῇ , ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος ἡ ἐκ τῶν παραλληλογράμμων συγκειμένη μείζων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῆς βάσεως .
Lemmas: ἐάν ἐν ἐπιφάνεια κύλινδρος τις ὀρθός δύο εὐθεῖα εἰμί , ἀπό δέ ὁ πέρας ὁ εὐθύς ἄγω τις ἐπιψαύω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ κύλινδρος , ἐν ὁ ἐπίπεδος αὐτός εἰμί καί συμπίπτω , ὁ παραλληλόγραμμος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἐπιψαύω καί ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος μέγας εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ μεταξύ ὁ εὐθύς ὁ ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος . εἰμί κύλινδρος τις ὀρθός βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια αὐτός δύο εὐθεῖα , ὅς πέρας ὁ Α , Γ , ἀπό δέ ὁ Α , Γ ἄγω ἐπιψαύω ὁ κύκλος ἐν ὁ αὐτός ἐπίπεδος εἰμί καί συμπίπτω κατά ὁ Η , νοέω δέ καί ἐν ὁ ἕτερος βάσις ὁ κύλινδρος ἀπό ὁ πέρας ὁ ἐν ὁ ἐπιφάνεια εὐθεῖα ἄγω ἐπιψαύω ὁ κύκλος · δείκνυμι ὅτι ὁ παραλληλόγραμμος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ἐπιψαύω καί ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος μέγας εἰμί ὁ κατά ὁ ΑΒΓ περιφέρεια ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος . ἄγω γάρ ὁ ΕΖ ἐπιψαύω , καί ἀπό ὁ Ε , Ζ σημεῖον ἄγω τις εὐθεῖα παρά ὁ ἄξων ὁ κύλινδρος ἕως ὁ ἕτερος βάσις ὁ δή παραλληλόγραμμος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΗ , ΗΓ καί ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος μέγας εἰμί ὁ παραλληλόγραμμος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΕ , ΕΖ , ΖΓ καί ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος . ὅς δή μέγας εἰμί , εἰμί ὁ Κ χωρίον . ὁ δή Κ χωρίον ὁ ἥμισυς ἤτοι μέγας εἰμί ὁ σχῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΖ , ΖΓ εὐθεῖα καί ὁ Α△ , △Β , ΒΘ , ΘΓ περιφέρεια ἤ οὐ . εἰμί πρότερος μέγας . ὁ δή ἐπιφάνεια ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ παραλληλόγραμμος ὁ κατά ὁ ΑΕ , ΕΖ , ΖΓ καί ὁ ΑΕΖΓ τραπέζιον καί ὁ κατεναντίον αὐτός ἐν ὁ ἕτερος βάσις ὁ κύλινδρος πέρας εἰμί ὁ περίμετρος ὁ παραλληλόγραμμος ὁ κατά ὁ ΑΓ . εἰμί δέ καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ κατά ὁ ΑΒΓ περιφέρεια καί ὁ τμῆμα ὁ τε ΑΒΓ καί ὁ ἀπεναντίον αὐτός πέρας ὁ αὐτός περίμετρος · ὁ οὖν λέγω ἐπιφάνεια ὁ αὐτός πέρας ἔχω τυγχάνω , ὅς εἰμί ἐν ἐπίπεδος , καί εἰμί ἀμφότερος ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος , καί τις μέν περιλαμβάνω ὁ ἕτερος αὐτός , τις δέ κοινός ἔχω ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὁ περιλαμβάνω , Ἀφαιρέω οὖν κοινός ὁ τε ΑΒΓ τμῆμα καί ὁ ἀπεναντίον αὐτός ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ κατά ὁ ΑΒΓ περιφέρεια ὁ σύγκειμαι ἐπιφάνεια ἐκ τε ὁ παραλληλόγραμμος ὁ κατά ὁ ΑΕ , ΕΖ , ΖΓ καί ὁ σχῆμα ὁ ΑΕΒ , ΒΖΓ καί ὁ ἀπεναντίον αὐτός . ὁ δέ ὁ λέγω παραλληλόγραμμος ἐπιφάνεια μετά ὁ λέγω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ παραλληλόγραμμος ὁ κατά ὁ ΑΗ , ΗΓ · δῆλος οὖν ὅτι ὁ παραλληλόγραμμος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΗ , ΓΗ καί ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος μέγας εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ κατά ὁ ΑΒΓ περιφέρεια . εἰ δέ μή εἰμί μέγας ὁ ἥμισυς ὁ Κ χωρίον ὁ λέγω σχῆμα , ἄγω εὐθεῖα ἐπιψαύω ὁ τμῆμα , ὥστε γίγνομαι ὁ περιλείπομαι σχῆμα ἐλαχύς ὁ ἥμισυς ὁ Κ , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός ὁ ἔμπροσθεν δείκνυμι . πόρισμα . οὗτος δή δείκνυμι φανερός ὅτι , ἐάν εἰς κῶνος ἰσοσκελής πυραμίς ἐγγράφω , ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς χωρίς ὁ βάσις ἐλαχύς εἰμί ὁ κωνικός ἐπιφάνεια , καί ὅτι , ἐάν περί κῶνος ἰσοσκελής πυραμίς περιγράφω , ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς χωρίς ὁ βάσις μέγας εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος χωρίς ὁ βάσις . πόρισμα . φανερός δέ ἐκ ὁ ἀποδείκνυμι ὅτι τε , ἐάν εἰς κύλινδρος ὀρθός πρίσμα ἐγγράφω , ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα ὁ ἐκ ὁ παραλληλόγραμμος σύγκειμαι ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος χωρίς ὁ βάσις , καί ὅτι , ἐάν περί κύλινδρος ὀρθός πρίσμα περιγράφω , ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα ὁ ἐκ ὁ παραλληλόγραμμος σύγκειμαι μέγας εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος χωρίς ὁ βάσις .