archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.1
Τὸ δεύτερον ἦν · Κώνου δοθέντος ἢ κυλίνδρου σφαῖραν εὑρεῖν τῷ κώνῳ ἢ τῷ κυλίνδρῳ ἴσην . Ἔστω διδόμενος κῶνος ἢ κύλινδρος ὁ Α καὶ τῷ Α ἴση ἡ Β σφαῖρα , καὶ κείσθω τοῦ Α κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος ὁ ΓΖ△ , τῆς δὲ Β σφαίρας ἡμιόλιος κύλινδρος , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΗΘ κύκλος , ἄξων δὲ ὁ ΚΛ ἴσος τῇ διαμέτρῳ τῆς Β σφαίρας · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε κύλινρδος τῷ Κ κυλίνδρῳ · ὡς ἄρα ὁ Ε κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον , τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Γ△ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς ΕΖ . Ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΗΘ · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Γ△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ , οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΕΖ . Ἔστω τῷ ἀπὸ ΗΘ ἴσον τὸ ὑπὸ Γ△ , ΜΝ · ὡς ἄρα ἡ Γ△ πρὸς ΜΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ Γ△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ , τουτέστιν ἡ ΗΘ πρὸς ΕΖ , καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ Γ△ πρὸς τὴν ΗΘ , οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΜΝ καὶ ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΕΖ . Καί ἐστιν δοθεῖσα ἑκατέρα τῶν Γ△ , ΕΖ δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Γ△ , ΕΖ δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΗΘ , ΜΝ · δοθεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῶν ΗΘ , ΜΝ . Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως · ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς κῶνος ἢ κύλινδρος ὁ Α · δεῖ δὴ τῷ Α κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ ἴσην σφαῖραν εὑρεῖν . Ἔστω τοῦ Α κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλος , ἄξων δὲ ὁ ΕΖ , καὶ εἰλήφθω τῶν Γ△ , ΕΖ δύο μέσαι ἀνάλογον αἱ ΗΘ , ΜΝ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν Γ△ πρὸς τὴν ΗΘ , τὴν ΗΘ πρὸς τὴν ΜΝ καὶ τὴν ΜΝ πρὸς τὴν ΕΖ , καὶ νοείσθω κύλινδρος , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΗΘ κύκλος , ἄξων δὲ ὁ ΚΛ ἴσος τῇ ΗΘ διαμέτρῳ · λέγω δὴ ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ε κύλινδρος τῷ Κ κυλίνδρῳ . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ Γ△ πρὸς ΗΘ , ἡ ΜΝ πρὸς ΕΖ , καὶ ἐναλλάξ , καὶ ἴση ἡ ΗΘ τῇ ΚΛ , ὡς ἄρα ὁ Ε κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον , οὕτως ἡ Κ△ πρὸς τὴν ΕΖ ἄρα Ε , Κ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς · ἴσος ἄρα ὁ Ε κύλινδρος τῷ Κ κυλίνδρῳ . Ὁ δὲ Κ κύλινδρος τῆς σφαίρας , ἧς διάμετρος ἡ ΗΘ , ἡμιόλιός ἐστιν · καὶ ἡ σφαῖρα ἄρα , ἧς ἡ διάμετρος ἴση ἐστὶ τῇ ΗΘ , τουτέστιν ἡ Β , ἴση ἐστὶ τῷ Α κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ .
Lemmas: ὁ δεύτερος εἰμί · κῶνος δίδωμι ἤ κύλινδρος σφαῖρα εὑρίσκω ὁ κῶνος ἤ ὁ κύλινδρος ἴσος . εἰμί δίδωμι κῶνος ἤ κύλινδρος ὁ Α καί ὁ Α ἴσος ὁ Β σφαῖρα , καί κεῖμαι ὁ Α κῶνος ἤ κύλινδρος ἡμιόλιος κύλινδρος ὁ ΓΖ△ , ὁ δέ Β σφαῖρα ἡμιόλιος κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΗΘ κύκλος , ἄξων δέ ὁ ΚΛ ἴσος ὁ διάμετρον ὁ Β σφαῖρα · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ε κύλινρδος ὁ Κ κύλινδρος · ὡς ἄρα ὁ Ε κύκλος πρός ὁ Κ κύκλος , τουτέστι ὡς ὁ ἀπό ὁ Γ△ πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ , οὕτως ὁ ΚΛ πρός ΕΖ . ἴσος δέ ὁ ΚΛ ὁ ΗΘ · ὡς ἄρα ὁ ἀπό Γ△ πρός ὁ ἀπό ΗΘ , οὕτως ὁ ΗΘ πρός ὁ ΕΖ . εἰμί ὁ ἀπό ΗΘ ἴσος ὁ ὑπό Γ△ , ΜΝ · ὡς ἄρα ὁ Γ△ πρός ΜΝ , οὕτως ὁ ἀπό Γ△ πρός ὁ ἀπό ΗΘ , τουτέστι ὁ ΗΘ πρός ΕΖ , καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ Γ△ πρός ὁ ΗΘ , οὕτως ὁ ΗΘ πρός ὁ ΜΝ καί ὁ ΜΝ πρός ὁ ΕΖ . καί εἰμί δίδωμι ἑκάτερος ὁ Γ△ , ΕΖ δύο ἄρα δίδωμι εὐθεῖα ὁ Γ△ , ΕΖ δύο μέσος ἀνάλογος εἰμί ὁ ΗΘ , ΜΝ · δίδωμι ἄρα ἑκάτερος ὁ ΗΘ , ΜΝ . συντίθημι δή ὁ πρόβλημα οὕτως · εἰμί δή ὁ δίδωμι κῶνος ἤ κύλινδρος ὁ Α · δέω δή ὁ Α κῶνος ἤ κύλινδρος ἴσος σφαῖρα εὑρίσκω . εἰμί ὁ Α κῶνος ἤ κύλινδρος ἡμιόλιος κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ Γ△ κύκλος , ἄξων δέ ὁ ΕΖ , καί λαμβάνω ὁ Γ△ , ΕΖ δύο μέσος ἀνάλογος ὁ ΗΘ , ΜΝ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ Γ△ πρός ὁ ΗΘ , ὁ ΗΘ πρός ὁ ΜΝ καί ὁ ΜΝ πρός ὁ ΕΖ , καί νοέω κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΗΘ κύκλος , ἄξων δέ ὁ ΚΛ ἴσος ὁ ΗΘ διάμετρος · λέγω δή ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Ε κύλινδρος ὁ Κ κύλινδρος . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ Γ△ πρός ΗΘ , ὁ ΜΝ πρός ΕΖ , καί ἐναλλάξ , καί ἴσος ὁ ΗΘ ὁ ΚΛ , ὡς ἄρα ὁ Ε κύκλος πρός ὁ Κ κύκλος , οὕτως ὁ Κ△ πρός ὁ ΕΖ ἄρα Ε , Κ κύλινδρος ἀντιπάσχω ὁ βάσις ὁ · ἴσος ἄρα ὁ Ε κύλινδρος ὁ Κ κύλινδρος . ὁ δέ Κ κύλινδρος ὁ σφαῖρα , ὅς διάμετρος ὁ ΗΘ , ἡμιόλιος εἰμί · καί ὁ σφαῖρα ἄρα , ὅς ὁ διάμετρος ἴσος εἰμί ὁ ΗΘ , τουτέστι ὁ Β , ἴσος εἰμί ὁ Α κῶνος ἤ κύλινδρος .