archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.41
Ἔστω πάλιν σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος καὶ τμῆμα ἔλασσον ἡμικυκλίου τὸ ΑΒΓ καὶ κέντρον τὸ △ , καὶ εἰς τὸν ΑΒΓ τομέα ἐγγεγράφθω πολύγωνον ἀρτιόγωνον , καὶ τούτῳ ὅμοιον περιγεγράφθω , καὶ παράλληλοι ἔστωσαν αἱ πλευραὶ ταῖς πλευραῖς , καὶ κύκλος περιγεγράφθω περὶ τὸ περιγεγραμμένον πολύγωνον , καὶ ὁμοίως τοῖς πρότερον μενούσης τῆς ΗΒ περιενεχθέντες οἱ κύκλοι ποιείτωσαν σχήματα ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενα · δεικτέον ὅτι ἡ τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἢ ἡ πλευρὰ ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου , τὸ δὲ σχῆμα σὺν τῷ κώνῳ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ . Ἔστω γὰρ ὁ Μ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου καὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς γωνίας καὶ ἔτι τῆς ἡμισείας τῆς ΕΖ · ἔσται δὴ ὁ Μ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος . Εἰλήφθω δὴ καὶ ὁ Ν κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου καὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς γωνίας σὺν τῇ ἡμισείᾳ τῆς ΑΓ · ἔσται δὴ καὶ οὗτος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος . Ἀλλὰ τὰ εἰρημένα χωρία ἐστὶ πρὸς ἄλληλα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ πλευρᾶς · φανερὸν οὖν ὅτι καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ . Ἔστω πάλιν κῶνος ὁ Ξ βάσιν μὲν ἔχων τῷ Μ ἴσην , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας · ἴσος δὴ οὗτός ἐστιν ὁ κῶνος τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι σὺν τῷ κώνῳ , οὗ βάσις ὁ περὶ τὴν ΕΖ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ △ . Καὶ ἔστω ἄλλος κῶνος ὁ Ο βάσιν μὲν ἴσην ἔχων τῷ Ν , ὕψος δὲ τὴν ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον ἠγμένην · ἔσται δὴ καὶ οὗτος ἴσος τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι σὺν τῷ κώνῳ , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ △ κέντρον · ταῦτα γὰρ πάντα προγέγραπται . Καὶ ἐστιν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον ἠγμένην , ἐδείχθη δε ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΑΛ οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν κύκλου · ἔσται ἄρα ὡς ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ Ξ , πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ Ο , οὕτως τὸ ὕψος τοῦ Ξ κώνου πρὸς τὸ ὕψος τοῦ Ο κώνου , Ὁ Ξ ἄρα κῶνος πρὸς τὸν Ο κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον · φανερὸν οὖν ὅτι καὶ τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον σὺν τῷ κώνῳ πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον σὺν τῷ κώνῳ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ .
Lemmas: εἰμί πάλιν σφαῖρα καί ἐν αὐτός μέγας κύκλος καί τμῆμα ἐλαχύς ἡμικύκλιον ὁ ΑΒΓ καί κέντρον ὁ △ , καί εἰς ὁ ΑΒΓ τομεύς ἐγγράφω πολύγωνον ἀρτιόγωνος , καί οὗτος ὅμοιος περιγράφω , καί παράλληλος εἰμί ὁ πλευρά ὁ πλευρά , καί κύκλος περιγράφω περί ὁ περιγράφω πολύγωνον , καί ὅμοιος ὁ πρότερος μένω ὁ ΗΒ περιφέρω ὁ κύκλος ποιέω σχῆμα ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω · δείκνυμι ὅτι ὁ ὁ περιγράφω σχῆμα ἐπιφάνεια πρός ὁ ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐπιφάνεια διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ πλευρόν ὁ ὁ περιγράφω πολύγωνον πρός ὁ πλευρά ὁ ἐγγράφω πολύγωνον , ὁ δέ σχῆμα σύν ὁ κῶνος τριπλασίων λόγος ἔχω ὁ αὐτός . εἰμί γάρ ὁ Μ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ ὑπό τε εἷς πλευρά ὁ περιγράφω πολύγωνον καί πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία καί ἔτι ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖ · εἰμί δή ὁ Μ κύκλος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα . λαμβάνω δή καί ὁ Ν κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε εἷς πλευρά ὁ ἐγγράφω πολύγωνον καί πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία σύν ὁ ἡμίσεια ὁ ΑΓ · εἰμί δή καί οὗτος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα . ἀλλά ὁ λέγω χωρίον εἰμί πρός ἀλλήλων ὡς ὁ ἀπό ὁ ΕΚ πλευρά πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΛ πλευρά · φανερός οὖν ὅτι καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω σχῆμα διπλάσιος λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΚ πρός ΑΛ . εἰμί πάλιν κῶνος ὁ Ξ βάσις μέν ἔχω ὁ Μ ἴσος , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς σφαῖρα · ἴσος δή οὗτος εἰμί ὁ κῶνος ὁ περιγράφω σχῆμα σύν ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ περί ὁ ΕΖ κύκλος , κορυφή δέ ὁ △ . καί εἰμί ἄλλος κῶνος ὁ Ο βάσις μέν ἴσος ἔχω ὁ Ν , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ △ ἐπί ὁ ΑΛ κάθετος ἄγω · εἰμί δή καί οὗτος ἴσος ὁ ἐγγράφω σχῆμα σύν ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ κύκλος , κορυφή δέ ὁ △ κέντρον · οὗτος γάρ πᾶς προγράφω . καί εἰμί ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς σφαῖρα οὕτως ὁ ΑΛ πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΑΛ κάθετος ἄγω , δείκνυμι ε ὡς ὁ ΕΚ πρός ὁ ΑΛ οὕτως ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ κύκλος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν κύκλος · εἰμί ἄρα ὡς ὁ διάμετρος ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ Ξ , πρός ὁ διάμετρος ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ Ο , οὕτως ὁ ὕψος ὁ Ξ κῶνος πρός ὁ ὕψος ὁ Ο κῶνος , Ὁ Ξ ἄρα κῶνος πρός ὁ Ο κῶνος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ διάμετρος πρός ὁ διάμετρος · φανερός οὖν ὅτι καί ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω σύν ὁ κῶνος πρός ὁ ἐγγράφω σύν ὁ κῶνος τριπλασίων λόγος ἔχω ἤ ὁ ΕΚ πρός ΑΛ .