archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.13
Παντὸς κυλίνδρου ὀρθοῦ ἡ ἐπιφάνεια χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου . Ἔστω κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ βάσις ὁ Α κύκλος , καὶ ἔστω τῇ μὲν διαμέτρῳ τοῦ Α κύκλου ἴση ἡ Γ△ , τῇ δὲ πλευρᾷ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΕΖ , ἐχέτω δὲ μέσον λόγον τῶν △Γ , ΕΖ ἡ Η , καὶ κείσθω κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ Η , ὁ Β · δεικτέον ὅτι ὁ Β κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῆς βάσεως . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσος , ἤτοι μείζων ἐστὶ ἢ ἐλάσσων . Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατόν , ἐλάσσων . Δύο δὴ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῆς τε ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ Β κύκλου δυνατόν ἐστιν εἰς τὸν Β κύκλον ἰσόπλευρον πολύγωνον ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι , ὥστε τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγγραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον . Νοείσθω δὴ περιγεγραμμένον καὶ ἐγγεγραμμένον , καὶ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγράφθω εὐθύγραμμον ὅμοιον τῷ περὶ τὸν Β περιγεγραμμένῳ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τοῦ εὐθυγράμμου πρίσμα · ἔσται δὴ περὶ τὸν κύλινδρον περιγεγραμμένον . Ἔστω δὲ καὶ τῇ περιμέτρῳ τοῦ εὐθυγράμμου τοῦ περὶ τὸν Α κύκλον ἴση ἡ Κ△ καὶ τῇ Κ△ ἴση ἡ △Ζ , τῆς δὲ Γ△ ἡμίσεια ἔστω ἡ ΓΤ · ἔσται δὴ τὸ Κ△Τ τρίγωνον ἴσον τῷ περιγεγραμμένῳ εὐθυγράμμῳ περὶ τὸν Α κύκλον , τὸ δὲ ΕΛ παραλληλόγραμμον τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ πρίσματος τοῦ περὶ τὸν κύλινδρον περιγεγραμμένου περιέχεται ὑπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς ἴσης τῇ περιμέτρῳ τῆς βάσεως τοῦ . Κείσθω δὴ τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΕΡ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΖΡΛ τρίγωνον τῷ ΕΛ παραλληλογράμμῳ , ὥστε καὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ πρίσματος . Καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστιν τὰ εὐθύγραμμα τὰ περὶ τοὺς Α , Β κύκλους περιγεγραμμένα , τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον , ὅνπερ αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει · ἕξει ἄρα τὸ ΚΤ△ τρίγωνον πρὸς τὸ περὶ τὸν Β κύκλον εὐθύγραμμον λόγον , ὃν ἡ Τ△ πρὸς Η δυνάμει . Ἀλλʼ ὃν ἔχει λόγον ἡ Τ△ πρὸς Η δυνάμει , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἡ Τ△ πρὸς ΡΖ μήκει · ὃν δὲ λόγον ἔχει ἡ Τ△ πρὸς ΡΖ μήκει , τοῦτον ἔχει τὸ ΚΤ△ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΛΖ · τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΚΤ△ τρίγωνον πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον , ὅνπερ τὸ ΤΚ△ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΖΛ τρίγωνον . Ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΖΛΡ τρίγωνον τῷ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένῳ εὐθυγράμμῳ ὥστε καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος τοῦ περὶ τὸν Α κύλινδρον περιγεγραμμένου τῷ εὐθυγράμμῳ τῷ περὶ τὸν Β κύκλον ἴση ἐστίν . Καὶ ἐπεὶ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ κύκλῳ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ Α κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον , ἐλάσσονα λόγον ἕξει καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος τοῦ περὶ τὸν κύλινδρον περιγεγραμμένου πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ κύκλῳ τῷ Β ἐγγεγραμμένον ἤπερ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον · καὶ ἐναλλάξ · ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ Β κύκλος ἐλάσσων τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου . Ἔστω δή , εἰ δυνατόν , μείζων . Πάλιν δὴ νοείσθω εἰς τὸν Β κύκλον εὐθύγραμμον ἐγγεγραμμένον καὶ ἄλλο περιγεγραμμένον , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ τὸν Β κύκλον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν Α κύκλον πολύγωνον ὅμοιον τῷ εἰς τὸν Β κύκλον ἐγγεγραμμένῳ , καὶ πρίσμα ἀναγεγράφθω ἀπὸ τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου καὶ πάλιν ἡ Κ△ ἴση ἔστω τῇ περιμέτρῳ τοῦ εὐθυγράμμου τοῦ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένου , καὶ ἡ ΖΛ ἴση αὐτῇ ἔστω . Ἔσται δὴ τὸ μὲν ΚΤ△ τρίγωνον μεῖζον τοῦ εὐθυγράμμου τοῦ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεραμμένου βάσιν μὲν ἔχει τὴν περίμετρον αὐτοῦ , ὕψος δὲ μεῖζον τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου { πλευρᾶς } ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου ἀγομένης , τὸ δὲ ΕΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ πρίσματος τῇ ἐκ τῶν παραλληλογράμμων συγκειμένῃ ὥστε καὶ τὸ ΡΛΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ πρίσματος . Καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ εὐθύγραμμα τὰ ἐν τοῖς Α , Β κύκλοις ἐγγεγραμμένα , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον πρὸς ἄλληλα ὃν αἱ ἐκ τῶν κέντρων αὐτῶν δυνάμει . Ἔχει δὲ καὶ τὰ ΚΤ△ , ΖΡ△ τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον , ὃν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων δυνάμει · τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ Β ἐγγεγραμμένον καὶ τὸ ΚΤ△ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΖΡ τρίγωνον , Ἔλασσον δὲ ἐστι τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον τοῦ ΚΤ△ τριγώνου · ἔλασσον ἄρα καὶ τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ Β κύκλῳ ἐγγεγραμμένον τοῦ ΖΡΛ τριγώνου ὥστε καὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ πρίσματος τοῦ ἐν τῷ κυλίνδρῳ ἐγγεγραμμένου ὅπερ ἀδύνατον , Οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ Β κύκλος τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου . Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων · ἴσος ἄρα ἐστίν .
Lemmas: πᾶς κύλινδρος ὀρθός ὁ ἐπιφάνεια χωρίς ὁ βάσις ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος λόγος ἔχω ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος καί ὁ διάμετρος ὁ βάσις ὁ κύλινδρος . εἰμί κύλινδρος τις ὀρθός βάσις ὁ Α κύκλος , καί εἰμί ὁ μέν διάμετρος ὁ Α κύκλος ἴσος ὁ Γ△ , ὁ δέ πλευρά ὁ κύλινδρος ὁ ΕΖ , ἔχω δέ μέσος λόγος ὁ △Γ , ΕΖ ὁ Η , καί κεῖμαι κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ Η , ὁ Β · δείκνυμι ὅτι ὁ Β κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος χωρίς ὁ βάσις . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . δύο δή μέγεθος εἰμί ἄνισος ὁ τε ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος καί ὁ Β κύκλος δυνατός εἰμί εἰς ὁ Β κύκλος ἰσόπλευρος πολύγωνον ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος πρός ὁ Β κύκλος . νοέω δή περιγράφω καί ἐγγράφω , καί περί ὁ Α κύκλος περιγράφω εὐθύγραμμος ὅμοιος ὁ περί ὁ Β περιγράφω , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ εὐθύγραμμος πρίσμα · εἰμί δή περί ὁ κύλινδρος περιγράφω . εἰμί δέ καί ὁ περίμετρος ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Α κύκλος ἴσος ὁ Κ△ καί ὁ Κ△ ἴσος ὁ △Ζ , ὁ δέ Γ△ ἥμισυς εἰμί ὁ ΓΤ · εἰμί δή ὁ Κ△Τ τρίγωνον ἴσος ὁ περιγράφω εὐθύγραμμος περί ὁ Α κύκλος , ὁ δέ ΕΛ παραλληλόγραμμος ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα ὁ περί ὁ κύλινδρος περιγράφω περιέχω ὑπό ὁ πλευρά ὁ κύλινδρος καί ὁ ἴσος ὁ περίμετρος ὁ βάσις ὁ . κεῖμαι δή ὁ ΕΖ ἴσος ὁ ΕΡ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΡΛ τρίγωνον ὁ ΕΛ παραλληλόγραμμος , ὥστε καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Α , Β κύκλος περιγράφω , ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμις · ἔχω ἄρα ὁ ΚΤ△ τρίγωνον πρός ὁ περί ὁ Β κύκλος εὐθύγραμμος λόγος , ὅς ὁ Τ△ πρός Η δύναμις . ἀλλά ὅς ἔχω λόγος ὁ Τ△ πρός Η δύναμις , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ Τ△ πρός ΡΖ μῆκος · ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ Τ△ πρός ΡΖ μῆκος , οὗτος ἔχω ὁ ΚΤ△ τρίγωνον πρός ὁ ΡΛΖ · ὁ αὐτός ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΚΤ△ τρίγωνον πρός ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Β κύκλος περιγράφω , ὅς ὁ ΤΚ△ τρίγωνον πρός ὁ ΡΖΛ τρίγωνον . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΖΛΡ τρίγωνον ὁ περί ὁ Β κύκλος περιγράφω εὐθύγραμμος ὥστε καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα ὁ περί ὁ Α κύλινδρος περιγράφω ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Β κύκλος ἴσος εἰμί . καί ἐπεί ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Β κύκλος πρός ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ κύκλος ὁ ὅς ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ Α κύλινδρος πρός ὁ Β κύκλος , ἐλαχύς λόγος ἔχω καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα ὁ περί ὁ κύλινδρος περιγράφω πρός ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ κύκλος ὁ Β ἐγγράφω ἤ ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος πρός ὁ Β κύκλος · καί ἐναλλάξ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα εἰμί ὁ Β κύκλος ἐλαχύς ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος . εἰμί δή , εἰ δυνατός , μέγας . πάλιν δή νοέω εἰς ὁ Β κύκλος εὐθύγραμμος ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Β κύκλος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος , καί ἐγγράφω εἰς ὁ Α κύκλος πολύγωνον ὅμοιος ὁ εἰς ὁ Β κύκλος ἐγγράφω , καί πρίσμα ἀναγράφω ἀπό ὁ ἐν ὁ κύκλος ἐγγράφω πολύγωνον καί πάλιν ὁ Κ△ ἴσος εἰμί ὁ περίμετρος ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Α κύκλος ἐγγράφω , καί ὁ ΖΛ ἴσος αὐτός εἰμί . εἰμί δή ὁ μέν ΚΤ△ τρίγωνον μέγας ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Α κύκλος ἔγγεραμμι βάσις μέν ἔχω ὁ περίμετρον αὐτός , ὕψος δέ μέγας ὁ ἀπό ὁ κέντρον { πλευρά } ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον ἄγω , ὁ δέ ΕΛ παραλληλόγραμμος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα ὁ ἐκ ὁ παραλληλόγραμμος σύγκειμαι ὥστε καί ὁ ΡΛΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Α , Β κύκλος ἐγγράφω , ὁ αὐτός ἔχω λόγος πρός ἀλλήλων ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον αὐτός δύναμις . ἔχω δέ καί ὁ ΚΤ△ , ΖΡ△ τρίγωνος πρός ἀλλήλων λόγος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος δύναμις · ὁ αὐτός ἄρα λόγος ἔχω ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Α κύκλος ἐγγράφω πρός ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Β ἐγγράφω καί ὁ ΚΤ△ τρίγωνον πρός ὁ ΛΖΡ τρίγωνος , Ἔλασσον δέ εἰμί ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Α κύκλος ἐγγράφω ὁ ΚΤ△ τρίγωνον · ἐλαχύς ἄρα καί ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Β κύκλος ἐγγράφω ὁ ΖΡΛ τρίγωνον ὥστε καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πρίσμα ὁ ἐν ὁ κύλινδρος ἐγγράφω ὅς ἀδύνατος , Οὐ ἄρα μέγας εἰμί ὁ Β κύκλος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ ἐλαχύς · ἴσος ἄρα εἰμί .