archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.24
Ἡ τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος εἰς τὴν σφαῖραν ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς πλευρᾶς τοῦ σχήματος καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ἐπιζευγνυούσαις τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου παραλλήλοις οὔσαις τῇ ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πολυγώνου ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καὶ ἐν αὐτῷ πολύγωνον ἐγγεγράφθω ἰσόπλευρον , οὗ αἱ πλευραὶ ὑπὸ τετράδος μετροῦνται , καὶ ἀπὸ τοῦ πολυγώνου τοῦ ἐγγεγραμμένου νοείσθω τι εἰς τὴν σφαῖραν ἐγγραφὲν σχῆμα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ παράλληλοι οὖσαι τῇ ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ , κύκλος δέ τις ἐκκείσθω ὁ Ξ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τῆς ἴσης ταῖς ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ · λέγω ὅτι ὁ κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ εἰς τὴν σφαῖραν ἐγγραφομένου σχήματος . Ἐκκείσθωσαν γὰρ κύκλοι οἱ Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ , καὶ τοῦ μὲν Ο ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΕΖ , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Π δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΕΖ , ΗΘ , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΗΘ , Γ△ , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Σ δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν Γ△ , Κ△ , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Τ δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΚΛ , ΜΝ , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Υ δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΜΝ . Διὰ δὴ ταῦτα ὁ μὲν Ο κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΑΕΖ κώνου , ὁ δὲ Π τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τῇ μεταξὺ τῶν ΕΖ , ΗΘ , ὁ δὲ Ρ τῇ μεταξὺ τῶν ΗΘ , Γ△ , ὁ δὲ Σ τῇ μεταξὺ τῶν △Γ , ΚΛ , καὶ ἔτι ὁ μὲν Τ ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τῇ μεταξὺ τῶν ΚΛ , ΜΝ , ὁ δὲ Υ τῇ τοῦ ΜΒΝ κώνου ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστίν · οἱ πάντες ἄρα κύκλοι ἴσοι εἰσὶν τῇ τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐπιφανείᾳ . Καὶ φανερὸν ὅτι αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν Ο , Π , Ρ , Σ , Τ κύκλων δύνανται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ δὶς τῶν ἡμίσεων τῆς ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ , αἳ ὅλαι εἰσὶν αἱ ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ · αἱ ἄρα ἐκ τῶν κέντρων τῶν Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ κύκλων δύνανται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ πασῶν τῶν ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ . Ἀλλὰ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ξ κύκλου δύναται τὸ ὑπὸ τῆς ΑΕ καὶ τῆς συγκειμένης ἐκ πασῶν τῶν ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ · ἡ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ξ κύκλου δύναται τὰ ἀπὸ τῶν ἐκ τῶν κέντρων τῶν Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ κύκλων · καὶ ὁ κύκλος ἄρα ὁ Ξ ἴσος ἐστὶ τοῖς Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ κύκλοις . Οἱ δὲ Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ κύκλοι ἀπεδείχθησαν ἴσοι τῇ εἰρημένῃ τοῦ σχήματος ἐπιφανείᾳ · καὶ ὁ Ξ ἄρα κύκλος ἴσος ἔσται τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος .
Lemmas: ὁ ὁ ἐγγράφω σχῆμα εἰς ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ πλευρά ὁ σχῆμα καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ πλευρά ὁ πολύγωνον παράλληλος εἰμί ὁ ὑπό δύο πλευρά ὁ πολύγωνον ὑποτείνω εὔθεια . εἰμί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καί ἐν αὐτός πολύγωνον ἐγγράφω ἰσόπλευρος , ὅς ὁ πλευρά ὑπό τετράς μετρέω , καί ἀπό ὁ πολύγωνον ὁ ἐγγράφω νοέω τις εἰς ὁ σφαῖρα ἐγγράφω σχῆμα , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ παράλληλος εἰμί ὁ ὑπό δύο πλευρά ὑποτείνω εὔθεια , κύκλος δέ τις ἔκκειμαι ὁ Ξ , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΕ καί ὁ ἴσος ὁ ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ · λέγω ὅτι ὁ κύκλος οὗτος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ εἰς ὁ σφαῖρα ἐγγράφω σχῆμα . ἔκκειμαι γάρ κύκλος ὁ Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ , καί ὁ μέν Ο ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΕΑ καί ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Π δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΕΑ καί ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖ , ΗΘ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ρ δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΕΑ καί ὁ ἥμισυς ὁ ΗΘ , Γ△ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Σ δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΕΑ καί ὁ ἥμισυς ὁ Γ△ , Κ△ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Τ δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΕ καί ὁ ἥμισυς ὁ ΚΛ , ΜΝ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Υ δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΕ καί ὁ ἥμισυς ὁ ΜΝ . διά δή οὗτος ὁ μέν Ο κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΕΖ κῶνος , ὁ δέ Π ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ ΕΖ , ΗΘ , ὁ δέ Ρ ὁ μεταξύ ὁ ΗΘ , Γ△ , ὁ δέ Σ ὁ μεταξύ ὁ △Γ , ΚΛ , καί ἔτι ὁ μέν Τ ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ ΚΛ , ΜΝ , ὁ δέ Υ ὁ ὁ ΜΒΝ κῶνος ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί · ὁ πᾶς ἄρα κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐπιφάνεια . καί φανερός ὅτι ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ο , Π , Ρ , Σ , Τ κύκλος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΕ καί δίς ὁ ἥμισυς ὁ ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ , ὅς ὅλος εἰμί ὁ ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ · ὁ ἄρα ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ κύκλος δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΕ καί πᾶς ὁ ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ . ἀλλά καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ξ κύκλος δύναμαι ὁ ὑπό ὁ ΑΕ καί ὁ σύγκειμαι ἐκ πᾶς ὁ ΕΖ , ΗΘ , Γ△ , ΚΛ , ΜΝ · ὁ ἄρα ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ξ κύκλος δύναμαι ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ κύκλος · καί ὁ κύκλος ἄρα ὁ Ξ ἴσος εἰμί ὁ Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ κύκλος . ὁ δέ Ο , Π , Ρ , Σ , Τ , Υ κύκλος ἀποδείκνυμι ἴσος ὁ λέγω ὁ σχῆμα ἐπιφάνεια · καί ὁ Ξ ἄρα κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα .