archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.39
Ἔστω σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ τετμήσθω ἔλασσον ἡμικυκλίου , ὃ ἀποτέμνει ἡ ΑΒ , καὶ κέντρον τὸ △ , καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ △ ἐπὶ τὰ Α , Β ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α△ , △Β , καὶ περὶ τὸν γεννηθέντα τομέα περιγεγράφθω πολύγωνον καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος ἕξει δὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ ΑΒΓ κύκλῳ . Ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΕΚ περιενεχθὲν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ , ὁ περιγεγραμμένος κύκλος κατὰ ἐπιφανείας οἰσθήσεται σφαίρας , καὶ αἱ γωνίαι τοῦ πολυγώνου κύκλους γράψουσιν , ὧν αἱ διάμετροι ἐπιζευγνύουσιν τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου οὖσαι παράλληλοι τῇ ΑΒ , τὰ δὲ σημεῖα , καθʼ ἃ ἅπτονται τοῦ ἐλάσσονος κύκλου αἱ τοῦ πολυγώνου πλευραί , κύκλους γράφουσιν ἐν τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ , ὧν διάμετροι ἔσονται αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς ἁφὰς παράλληλοι οὖσαι τῇ ΑΒ , αἱ δὲ πλευραὶ κατὰ κωνικῶν ἐπιφανειῶν οἰσθήσονται , καὶ ἔσται τὸ περιγραφὲν σχῆμα ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον , οὗ βάσις ὁ περὶ τὴν ΖΗ κύκλος · ἡ δὴ τοῦ εἰρημένου σχήματος ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τῆς τοῦ ἐλάσσονος τμήματος ἐπιφανείας , οὗ βάσις ὁ περὶ τὴν ΑΒ κύκλος . Ἤχθωσαν γὰρ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΜ , ΒΝ · κατὰ κωνικῆς ἄρα ἐπιφανείας οἰσθήσονται , καὶ τὸ σχῆμα τὸ γενηθὲν ὑπὸ τοῦ πολυγώνου τοῦ ΑΜΘΕΛΝΒ μείζονα ἕξει τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας , οὗ βασις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος . Ἀλλʼ ἡ γεγενημένη ὑπὸ τῶν ΖΜ , ΗΝ ἐπιφάνεια κώνου μείζων ἐστὶ τῆς γεγενημένης ὑπὸ τῶν ΜΑ , ΝΒ · ἡ μὲν γὰρ ΖΜ τῆς ΜΑ μείζων ἐστὶ , ἡ δὲ ΝΗ τῆς ΝΒ , ὅταν δὲ τοῦτο ᾖ , μείζων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας . Δῆλον οὖν ὅτι καὶ τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος ἡ ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας τῆς ἐλάσσονος σφαίρας . ΠΟΡΙΣΜΑ . Καὶ φανερὸν ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος τοῦ περὶ τὸν τομέα ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ πολυγώνου καὶ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν πασῶν τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου καὶ ἔτι τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ εἰρημένου πολυγώνου .
Lemmas: εἰμί σφαῖρα καί ἐν αὐτός μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ , καί τέμνω ἐλαχύς ἡμικύκλιον , ὅς ἀποτέμνω ὁ ΑΒ , καί κέντρον ὁ △ , καί ἀπό ὁ κέντρον ὁ △ ἐπί ὁ Α , Β ἐπιζεύγνυμι ὁ Α△ , △Β , καί περί ὁ γεννάω τομεύς περιγράφω πολύγωνον καί περί αὐτός κύκλος ἔχω δή ὁ αὐτός κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος . ἐάν δή μένω ὁ ΕΚ περιφέρω ὁ πολύγωνον εἰς ὁ αὐτός πάλιν ἀποκαθίστημι , ὁ περιγράφω κύκλος κατά ἐπιφάνεια φέρω σφαῖρα , καί ὁ γωνία ὁ πολύγωνον κύκλος γράφω , ὅς ὁ διάμετρος ἐπιζεύγνυμι ὁ γωνία ὁ πολύγωνον εἰμί παράλληλος ὁ ΑΒ , ὁ δέ σημεῖον , κατά ὅς ἅπτω ὁ ἐλαχύς κύκλος ὁ ὁ πολύγωνον πλευρά , κύκλος γράφω ἐν ὁ ἐλαχύς σφαῖρα , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ ἁφή παράλληλος εἰμί ὁ ΑΒ , ὁ δέ πλευρά κατά κωνικός ἐπιφάνεια φέρω , καί εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω , ὅς βάσις ὁ περί ὁ ΖΗ κύκλος · ὁ δή ὁ λέγω σχῆμα ἐπιφάνεια μέγας εἰμί ὁ ὁ ἐλαχύς τμῆμα ἐπιφάνεια , ὅς βάσις ὁ περί ὁ ΑΒ κύκλος . ἄγω γάρ ἐφάπτω ὁ ΑΜ , ΒΝ · κατά κωνικός ἄρα ἐπιφάνεια φέρω , καί ὁ σχῆμα ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ πολύγωνον ὁ ΑΜΘΕΛΝΒ μέγας ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ὅς βασις ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ κύκλος . ἀλλά ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ ΖΜ , ΗΝ ἐπιφάνεια κῶνος μέγας εἰμί ὁ γίγνομαι ὑπό ὁ ΜΑ , ΝΒ · ὁ μέν γάρ ΖΜ ὁ ΜΆ μέγας εἰμί , ὁ δέ ΝΗ ὁ ΝΒ , ὅταν δέ οὗτος εἰμί , μέγας γίγνομαι ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐπιφάνεια . δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐπιφάνεια μέγας εἰμί ὁ ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια ὁ ἐλαχύς σφαῖρα . πόρισμα . καί φανερός ὅτι ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ περί ὁ τομεύς ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ περιέχω ὑπό τε εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον καί ὁ ἐπιζεύγνυμι πᾶς ὁ γωνία ὁ πολύγωνον καί ἔτι ὁ ἥμισυς ὁ βάσις ὁ λέγω πολύγωνον .