archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.5
Τῷ δοθέντι τμήματι σφαίρας ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον αὐτὸ συστήσασθαι . Ἔστω τὰ δύο δοθέντα τμήματα σφαίρας τὰ ΑΒΓ , ΕΖΗ , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ τμήματος βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον , τοῦ δὲ ΕΖΗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ , κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον · δεῖ δὴ εὑρεῖν τμῆμα σφαίρας , ὃ ἔσται τῷ μὲν ΑΒΓ τμήματι ἴσον , τῷ δὲ ΕΖΗ ὅμοιον . Εὑρήσθω καὶ ἔστω τὸ ΘΚΛ , καὶ ἔστω αὐτοῦ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΘΚ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον · ἔστωσαν δὴ καὶ κύκλοι ἐν ταῖς σφαίραις οἱ ΑΝΒΓ , ΘΞΚΛ , ΕΟΖΗ , διάμετροι δὲ αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν τῶν τμημάτων αἱ ΓΝ , ΛΞ , ΗΟ , καὶ ἔστω κέντρα τὰ Π , Ρ , Σ , καὶ πεποιήσθω , ὡς μὲν συναμφότερος ἡ ΠΝ , ΝΤ πρὸς τὴν ΝΤ , οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς ΤΓ , ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΡΞ , ΞΥ πρὸς ΞΥ , οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ , ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΣΟ , ΟΦ πρὸς ΟΦ , οὕτως ἡ ΩΦ πρὸς ΦΗ , καὶ νοείσθωσαν κῶνοι , ὧν βάσεις μέν εἰσιν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΑΒ , ΘΚ , ΕΖ κύκλοι , κορυφαὶ δὲ τὰ Χ , Ψ , Ω σημεῖαι · ἔσται δὴ ἴσος ὁ μὲν ΑΒΧ κῶνος τῷ ΑΒΓ τμήματι τῆς σφαίρας , ὁ δὲ ΨΘΚ τῷ ΘΚΛ , ὁ δὲ ΕΩΖ τῷ ΕΗΖ · τοῦτο γὰρ δέδεικται . Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τμῆμα τῆς σφαίρας τῷ ΘΚΛ τμήματι , ἴσος ἄρα καὶ ὁ ΑΧΒ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ · ἔστιν ἄρα , ὡς ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΘΚ , οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ . Ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν κύκλον , τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ , οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ . Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τμῆμα τῷ ΘΚΛ τμήματι , ὅμοιος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΕΖΩ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ · ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΕΖ , οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ . Λόγος δὲ τῆς ΩΦ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΨΥ πρὸς τὴν ΘΚ δοθείς . Ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΧΤ πρὸς △ · καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΧΤ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ △ . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς △ , κείσθω τῷ ἀπὸ ΘΚ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΒ , ς · ἔσται ἄρα καί , ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ , οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ς . Ἐδείχθη δὲ καί , ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς △ , καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ , οὕτως ἡ ς πρὸς △ . Ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ς · ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ς καὶ ἡ ς πρὸς △ . Δύο ἄρα δοθεισῶν τῶν ΑΒ , △ δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΘΚ , ς . Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως · ἔστω , ᾧ μὲν δεῖ ἴσον τμῆμα συστήσαθαι , τὸ ΑΒΓ , ᾧ δὲ ὅμοιον , τὸ ΕΖΗ , καὶ ἔστωσαν μέγιστοι κύκλοι τῶν σφαιρῶν οἱ ΑΒΓΝ , ΕΗΖΟ , διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΓΝ , ΗΟ καὶ κέντρα τὰ Π , Σ , καὶ πεποιήσθω , ὡς μὲν συναμφότερος ἡ ΠΝ , ΝΤ πρὸς ΝΤ , οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς ΤΓ , ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΣΟΦ πρὸς ΟΦ , ἡ ΩΦ πρὸς ΦΗ · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν ΧΑΒ κῶνος τῷ ΑΒΓ τμήματι τῆς σφαίρας , ὁ δὲ ΖΩΕ τῷ ΕΗΖ . Πεποιήσθω , ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς △ , καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ , △ δύο μέσαι ἀνάλογον εἰλήφθωσαν αἱ ΘΚ , ς , ὥστε εἶναι , ὡς τὴν ΑΒ πρὸς ΘΚ , οὕτως τὴν ΚΘ πρὸς ς καὶ τὴν ς πρὸς △ , καὶ ἐπὶ τῆς ΘΚ κύκλου τμῆμα ἐπεστάσθω τὸ ΘΚΛ ὅμοιον τῷ ΕΖΗ κύκλου τμήματι , καὶ ἀναπεπληρώσθω ὁ κύκλος , καὶ ἔστω αὐτοῦ διάμετρος ἡ ΛΞ , καὶ νοείσθω σφαῖρα , ἧς μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΛΘΞΚ , κέντρον δὲ τὸ Ρ , καὶ διὰ τῆς ΘΚ ἐπίπεδον ὀρθὸν ἐκβεβλήσθω πρὸς τὴν ΛΞ · ἔσται δὴ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Λ ὅμοιον τῷ ΕΗΖ τμήματι τῆς σφαίρας , ἐπειδὴ καὶ τῶν κύκλων τὰ τμήματα ἦν ὅμοια . Λέγω δὲ ὅτι καὶ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τμήματι τῆς σφαίρας . Πεποιήσθω , ὡς συναμφότερος ἡ ΡΞ , ΞΥ πρὸς τὴν ΞΥ , οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ · ἴσος ἄρα ὁ ΨΘΚ κῶνος τῷ ΘΚΛ τμήματι τῆς σφαίρας . Καὶ ἐπειδὴ ὅμοιός ἐστιν ὁ ΨΘΚ κῶνος τῷ ΖΩΕ κώνῳ , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΦΩ πρὸς ΕΖ , τουτέστιν ἡ ΧΤ πρὸς △ , οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ · καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀνάπαλιν · ὡς ἄρα ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ , ἡ ΘΚ πρὸς △ . Καὶ ἐπειδὴ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ , ΚΘ , ς , △ , ἔστιν , ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ , ἡ ΘΚ πρὸς △ . Ὡς δὲ ἡ ΘΚ πρὸς △ , ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΘ , τουτέστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΘΚ κύκλον , οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς τὴν ΧΤ · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΑΒ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ · ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΚΛ τμήματι τῆς σφαίρας . Τῷ δοθέντι ἄρα τμήματι τῷ ΑΓΒ ἴσον καὶ ἀλλῷ δοθέντι ὅμοιον τῷ ΕΖΗ τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ ΘΚΛ .
Lemmas: ὁ δίδωμι τμῆμα σφαῖρα ὅμοιος καί ἄλλος ὁ δίδωμι ἴσος αὐτός συνίστημι . εἰμί ὁ δύο δίδωμι τμῆμα σφαῖρα ὁ ΑΒΓ , ΕΖΗ , καί εἰμί ὁ μέν ΑΒΓ τμῆμα βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Γ σημεῖον , ὁ δέ ΕΖΗ βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΖ , κορυφή δέ ὁ Η σημεῖον · δέω δή εὑρίσκω τμῆμα σφαῖρα , ὅς εἰμί ὁ μέν ΑΒΓ τμῆμα ἴσος , ὁ δέ ΕΖΗ ὅμοιος . εὑρίσκω καί εἰμί ὁ ΘΚΛ , καί εἰμί αὐτός βάσις μέν ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΚ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Λ σημεῖον · εἰμί δή καί κύκλος ἐν ὁ σφαῖρα ὁ ΑΝΒΓ , ΘΞΚΛ , ΕΟΖΗ , διάμετρος δέ αὐτός πρός ὀρθός ὁ βάσις ὁ τμῆμα ὁ ΓΝ , ΛΞ , ΗΟ , καί εἰμί κέντρον ὁ Π , Ρ , Σ , καί ποιέω , ὡς μέν συναμφότεροι ὁ ΠΝ , ΝΤ πρός ὁ ΝΤ , οὕτως ὁ ΧΤ πρός ΤΓ , ὡς δέ συναμφότεροι ὁ ΡΞ , ΞΥ πρός ΞΥ , οὕτως ὁ ΨΥ πρός ΥΛ , ὡς δέ συναμφότεροι ὁ ΣΟ , ΟΦ πρός ΟΦ , οὕτως ὁ ΩΦ πρός ΦΗ , καί νοέω κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ , ΘΚ , ΕΖ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Χ , Ψ , Ω σημεία · εἰμί δή ἴσος ὁ μέν ΑΒΧ κῶνος ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ΨΘΚ ὁ ΘΚΛ , ὁ δέ ΕΩΖ ὁ ΕΗΖ · οὗτος γάρ δείκνυμι . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ ΘΚΛ τμῆμα , ἴσος ἄρα καί ὁ ΑΧΒ κῶνος ὁ ΨΘΚ κῶνος · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΚ , οὕτως ὁ ΨΥ πρός ΧΤ . ὡς δέ ὁ κύκλος πρός ὁ κύκλος , ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΚ · ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΚ , οὕτως ὁ ΨΥ πρός ΧΤ . καί ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΕΖΗ τμῆμα ὁ ΘΚΛ τμῆμα , ὅμοιος ἄρα εἰμί καί ὁ ΕΖΩ κῶνος ὁ ΨΘΚ κῶνος · εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΩΦ πρός ὁ ΕΖ , οὕτως ὁ ΨΥ πρός ΘΚ . λόγος δέ ὁ ΩΦ πρός ὁ ΕΖ δίδωμι · λόγος ἄρα καί ὁ ΨΥ πρός ὁ ΘΚ δίδωμι . ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΧΤ πρός △ · καί εἰμί δίδωμι ὁ ΧΤ · δίδωμι ἄρα καί ὁ △ . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΨΥ πρός ΧΤ , τουτέστι ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΚ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός △ , κεῖμαι ὁ ἀπό ΘΚ ἴσος ὁ ὑπό ΑΒ , σ̅ · εἰμί ἄρα καί , ὡς ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΚ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός ὁ σ̅ . δείκνυμι δέ καί , ὡς ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΚ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός △ , καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΑΒ πρός ΘΚ , οὕτως ὁ σ̅ πρός △ . ὡς δέ ὁ ΑΒ πρός ΘΚ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός σ̅ · ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός ΘΚ , οὕτως ὁ ΘΚ πρός σ̅ καί ὁ σ̅ πρός △ . δύο ἄρα δίδωμι ὁ ΑΒ , △ δύο μέσος κατά ὁ συνεχής ἀνάλογος εἰμί ὁ ΘΚ , σ̅ . συντίθημι δή ὁ πρόβλημα οὕτως · εἰμί , ὅς μέν δέω ἴσος τμῆμα συστήσανυμι , ὁ ΑΒΓ , ὅς δέ ὅμοιος , ὁ ΕΖΗ , καί εἰμί μέγας κύκλος ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒΓΝ , ΕΗΖΟ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΓΝ , ΗΟ καί κέντρον ὁ Π , Σ , καί ποιέω , ὡς μέν συναμφότεροι ὁ ΠΝ , ΝΤ πρός ΝΤ , οὕτως ὁ ΧΤ πρός ΤΓ , ὡς δέ συναμφότεροι ὁ ΣΟΦ πρός ΟΦ , ὁ ΩΦ πρός ΦΗ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ μέν ΧΑΒ κῶνος ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ΖΩΕ ὁ ΕΗΖ . ποιέω , ὡς ὁ ΩΦ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΧΤ πρός △ , καί δύο δίδωμι εὐθεῖα ὁ ΑΒ , △ δύο μέσος ἀνάλογος λαμβάνω ὁ ΘΚ , σ̅ , ὥστε εἰμί , ὡς ὁ ΑΒ πρός ΘΚ , οὕτως ὁ ΚΘ πρός σ̅ καί ὁ σ̅ πρός △ , καί ἐπί ὁ ΘΚ κύκλος τμῆμα ἐφίστημι ὁ ΘΚΛ ὅμοιος ὁ ΕΖΗ κύκλος τμῆμα , καί ἀναπληρόω ὁ κύκλος , καί εἰμί αὐτός διάμετρος ὁ ΛΞ , καί νοέω σφαῖρα , ὅς μέγας κύκλος εἰμί ὁ ΛΘΞΚ , κέντρον δέ ὁ Ρ , καί διά ὁ ΘΚ ἐπίπεδος ὀρθός ἐκβάλλω πρός ὁ ΛΞ · εἰμί δή ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Λ ὅμοιος ὁ ΕΗΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ἐπειδή καί ὁ κύκλος ὁ τμῆμα εἰμί ὅμοιος . λέγω δέ ὅτι καί ἴσος εἰμί ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα . ποιέω , ὡς συναμφότεροι ὁ ΡΞ , ΞΥ πρός ὁ ΞΥ , οὕτως ὁ ΨΥ πρός ΥΛ · ἴσος ἄρα ὁ ΨΘΚ κῶνος ὁ ΘΚΛ τμῆμα ὁ σφαῖρα . καί ἐπειδή ὅμοιος εἰμί ὁ ΨΘΚ κῶνος ὁ ΖΩΕ κῶνος , εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΦΩ πρός ΕΖ , τουτέστι ὁ ΧΤ πρός △ , οὕτως ὁ ΨΥ πρός ΘΚ · καί ἐναλλάξ καί ἀνάπαλιν · ὡς ἄρα ὁ ΨΥ πρός ΧΤ , ὁ ΘΚ πρός △ . καί ἐπειδή ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΒ , ΚΘ , σ̅ , △ , εἰμί , ὡς ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΘΚ , ὁ ΘΚ πρός △ . ὡς δέ ὁ ΘΚ πρός △ , ὁ ΨΥ πρός ΧΤ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΚΘ , τουτέστι ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ κύκλος πρός ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΚ κύκλος , οὕτως ὁ ΨΥ πρός ὁ ΧΤ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΧΑΒ κῶνος ὁ ΨΘΚ κῶνος · ὥστε καί ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί ὁ ΘΚΛ τμῆμα ὁ σφαῖρα . ὁ δίδωμι ἄρα τμῆμα ὁ ΑΓΒ ἴσος καί ἀναλάω δίδωμι ὅμοιος ὁ ΕΖΗ ὁ αὐτός συνίστημι ὁ ΘΚΛ .