archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.44
Παντὶ τομεῖ σφαίρας ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας τοῦ κατὰ τὸν τομέα , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας . Ἔστω σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ△ καὶ κέντρον τὸ Γ καὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν ἴσον τῇ κατὰ τὴν ΑΒ△ περιφέρειαν ἐπιφανείᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΒΓ · δεικτέον ὅτι ὁ τομεὺς ὁ ΑΒΓ△ ἴσος ἐστὶ τῷ εἰρημένῳ κώνῳ . Εἰ γὰρ μή , ἔστω μείζων ὁ τομεὺς τοῦ κώνου , καὶ κείσθω ὁ Θ κῶνος , οἷος εἴρηται · δύο δὴ μεγεθῶν ἀνίσων ὄντων , τοῦ τομέως καὶ τοῦ Θ κώνου , εὑρήσθωσαν δύο γραμμαὶ αἱ △ , Ε , μείζων δὲ ἡ △ τῆς Ε , καὶ ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἡ △ πρὸς Ε ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον , καὶ εἰλήφθωσαν δύο γραμμαὶ αἱ Ζ , Η , ὅπως τῷ ἴσῳ ὑπερέχῃ ἡ △ τῆς Ζ καὶ ἡ Ζ τῆς Η καὶ ἡ Η τῆς Ε , καὶ περὶ τὸν ἐπίπεδον τομέα τοῦ κύκλου περιγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιογώνιον , καὶ τούτῳ ὅμοιον ἐγγεγράφθω , ὅπως ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πλευρὰ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου τοῦ ὃν ἔχει ἡ △ πρὸς Ζ , καὶ ὁμοίως τοῖς πρότερον περιενεχθέντος τοῦ κύκλου γεγενήσθω δύο σχήματα ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενα · τὸ ἄρα περιγεγραμμένον σὺν τῷ κώνῳ τῷ κορυφὴν ἔχοντι τὸ Γ σημεῖον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον σὺν τῷ κώνῳ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου . Ἀλλὰ ἡ τοῦ περιγεγραμμένου ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ △ πρὸς Ζ · ἐλάσσονα λόγον ἄρα ἕξει ἢ τριπλάσιον τὸ εἰρημένον στερεὸν σχῆμα τοῦ τῆς △ πρὸς Ζ . Ἡ δὲ △ πρὸς Ε μείζονα λόγον ἔχει ἢ τριπλάσιον τοῦ τῆς △ πρὸς Ζ · τὸ ἄρα περιγεγραμμένον σχῆμα στερεὸν τῷ τομεῖ πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ △ πρὸς Ε . Ἡ δὲ △ πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ στερεὸς τομεὺς πρὸς τὸν Θ κῶνον · μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ στερεὸς τομεὺς πρὸς τὸν Θ κῶνον ἢ τὸ περιγεγραμμεῖζον τῷ τομεῖ σχῆμα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον . Καὶ ἐναλλάξ · μεῖζον δέ ἐστι τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν σχῆμα τοῦ τμήματος · καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον ἄρα σχῆμα ἐν τῷ τομεῖ μεῖζόν ἐστι τοῦ Θ κώνου · ὅπερ ἀδύνατον · δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς ἄνω ἔλασσον ὂν τοῦ τηλικούτου κώνου · οὐκ ἄρα ὁ στερεὸς τομεὺς μείζων ἐστὶ τοῦ Θ κώνου . Ἔστω δὴ πάλιν ὁ Θ κῶνος τοῦ στερεοῦ τομέως μείζων . Πάλιν δὴ ὁμοίως ἡ △ πρὸς τὴν Ε μείζων αὐτῆς οὖσα ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω τοῦ ὃν ἔχει ὁ κῶνος πρὸς τὸν τομέα , καὶ ὁμοίως εἰλήφθωσαν αἱ Ζ , Η , ὥστε εἶναι τὰς διαφορὰς τὰς αὐτάς , καὶ τοῦ περιγεγραμμένου περὶ τὸν ἐπίπεδον τομέα πολυγώνου ἀρτιογώνου ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω τοῦ ὃν ἔχει ἡ △ πρὸς Ζ · ὁμοίως οὖν δείξομεν ὅτι τὸ περιγεγραμμένον περὶ τὸν τομέα στερεὸν σχῆμα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ △ πρὸς Ε καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ Θ κῶνος πρὸς τὸν τομέα Μείζων δέ ἐστιν ὁ τομεὺς τοῦ ἐγγεγραμμένου εἰς αὐτὸν σχήματος · μείζων ἄρα ὁ Θ κῶνος τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος · ὅπερ ἀδύνατον · ἴσος ἄρα ὁ τομεὺς τῷ Θ κώνῳ .
Lemmas: πᾶς τομεύς σφαῖρα ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ κατά ὁ τομεύς , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα . εἰμί σφαῖρα καί ἐν αὐτός μέγας κύκλος ὁ ΑΒ△ καί κέντρον ὁ Γ καί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ ἴσος ὁ κατά ὁ ΑΒ△ περιφέρεια ἐπιφάνεια , ὕψος δέ ἴσος ὁ ΒΓ · δείκνυμι ὅτι ὁ τομεύς ὁ ΑΒΓ△ ἴσος εἰμί ὁ λέγω κῶνος . εἰ γάρ μή , εἰμί μέγας ὁ τομεύς ὁ κῶνος , καί κεῖμαι ὁ Θ κῶνος , οἷος λέγω · δύο δή μέγεθος ἄνισος εἰμί , ὁ τομεύς καί ὁ Θ κῶνος , εὑρίσκω δύο γραμμή ὁ △ , Ε , μέγας δέ ὁ △ ὁ Ε , καί ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ △ πρός Ε ἤ ὁ τομεύς πρός ὁ κῶνος , καί λαμβάνω δύο γραμμή ὁ Ζ , Η , ὅπως ὁ ἴσος ὑπερέχω ὁ △ ὁ Ζ καί ὁ Ζ ὁ Η καί ὁ Η ὁ Ε , καί περί ὁ ἐπίπεδος τομεύς ὁ κύκλος περιγράφω πολύγωνον ἰσόπλευρος καί ἀρτιογώνιος , καί οὗτος ὅμοιος ἐγγράφω , ὅπως ὁ ὁ περιγράφω πλευρόν ἐλαχύς λόγος ἔχω πρός ὁ ὁ ἐγγράφω ὁ ὅς ἔχω ὁ △ πρός Ζ , καί ὅμοιος ὁ πρότερος περιφέρω ὁ κύκλος γίγνομαι δύο σχῆμα ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω · ὁ ἄρα περιγράφω σύν ὁ κῶνος ὁ κορυφή ἔχω ὁ Γ σημεῖον πρός ὁ ἐγγράφω σύν ὁ κῶνος τριπλασίων λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ πλευρόν ὁ περιγράφω πολύγωνον πρός ὁ πλευρά ὁ ἐγγράφω . ἀλλά ὁ ὁ περιγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ △ πρός Ζ · ἐλαχύς λόγος ἄρα ἔχω ἤ τριπλάσιος ὁ λέγω στερεός σχῆμα ὁ ὁ △ πρός Ζ . ὁ δέ △ πρός Ε μέγας λόγος ἔχω ἤ τριπλάσιος ὁ ὁ △ πρός Ζ · ὁ ἄρα περιγράφω σχῆμα στερεός ὁ τομεύς πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ △ πρός Ε . ὁ δέ △ πρός Ε ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ στερεός τομεύς πρός ὁ Θ κῶνος · μέγας ἄρα λόγος ἔχω ὁ στερεός τομεύς πρός ὁ Θ κῶνος ἤ ὁ περιγεγραμμείζω ὁ τομεύς σχῆμα πρός ὁ ἐγγράφω . καί ἐναλλάξ · μέγας δέ εἰμί ὁ περιγράφω στερεός σχῆμα ὁ τμῆμα · καί ὁ ἐγγράφω ἄρα σχῆμα ἐν ὁ τομεύς μέγας εἰμί ὁ Θ κῶνος · ὅς ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ ἐν ὁ ἄνω ἐλαχύς εἰμί ὁ τηλικοῦτος κῶνος · οὐ ἄρα ὁ στερεός τομεύς μέγας εἰμί ὁ Θ κῶνος . εἰμί δή πάλιν ὁ Θ κῶνος ὁ στερεός τομεύς μέγας . πάλιν δή ὅμοιος ὁ △ πρός ὁ Ε μέγας αὐτός εἰμί ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ κῶνος πρός ὁ τομεύς , καί ὅμοιος λαμβάνω ὁ Ζ , Η , ὥστε εἰμί ὁ διαφορά ὁ αὐτός , καί ὁ περιγράφω περί ὁ ἐπίπεδος τομεύς πολύγωνον ἀρτιόγωνος ὁ πλευρόν πρός ὁ ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ △ πρός Ζ · ὅμοιος οὖν δείκνυμι ὅτι ὁ περιγράφω περί ὁ τομεύς στερεός σχῆμα πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ △ πρός Ε καί ὁ ὅς ἔχω ὁ Θ κῶνος πρός ὁ τομεύς μέγας δέ εἰμί ὁ τομεύς ὁ ἐγγράφω εἰς αὐτός σχῆμα · μέγας ἄρα ὁ Θ κῶνος ὁ περιγράφω σχῆμα · ὅς ἀδύνατος · ἴσος ἄρα ὁ τομεύς ὁ Θ κῶνος .