archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.9
Τῶν τῇ ἴσῃ ἐπιφανείᾳ περιεχομένων σφαιρικῶν τμημάτων μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμισφαίριον . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ , καὶ ἄλλη σφαῖρα , ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΕΖΗΘ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΕΗ , καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ ἡ μὲν ἑτέρα σφαῖρα διὰ τοῦ κέντρου , ἡ δὲ ἑτέρα μὴ διὰ τοῦ κέντρου , ἔστω δὲ τὰ μὲν τέμνοντα ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς τὰς ΑΓ , ΕΗ διαμέτρους , καὶ τετμήσθωσαν κατὰ τὰς △Β , ΖΘ γραμμάς · ἔστιν δὴ τὸ μὲν κατὰ τὴν ΖΕΘ περιφέρειαν τμῆμα τῆς σφαίρας ἡμισφαίριον δὲ κατὰ τὴν ΒΑ△ περιφέρειαν τομῶν ἐν μὲν τῷ ἑτέρῳ σχήματι , πρὸς ὃ τὸ ?? σημεῖον , μεῖζον ἡμισφαιρίου , ἐν δὲ τῷ ἑτέρῳ ἔλασσον , ἴσαι δὲ ἔστωσαν αἱ τῶν εἰρημένων τμημάτων ἐπιφάνειαι · λέγω οὖν ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ κατὰ τὴν ΖΕΘ περιφέρειαν ἡμισφαίριον τοῦ κατὰ τὴν ΒΑ△ περιφέρειαν τμήματος . Ἐπεὶ γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐπιφάνειαι τῶν εἰρημένων τμημάτων , φανερὸν ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΕΖ εὐθείᾳ · δῆλον δὲ ὅτι ἡ ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασίων δυνάμει τῆς ΑΚ , τῆς δὲ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων ἢ διπλασίων δυνάμει . Ἔστω δὴ ἡ ΒΑ τῆς ΑΡ διπλασία δυνάμει , ἔστω δὲ καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ△ κύκλου ἴση ἡ ΓΞ , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΞ πρὸς τὴν ΓΚ , τοῦτον ἐχέτω ἡ ΜΑ πρὸς ΑΚ , ἀπὸ δὲ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κῶνος ἔστω κορυφὴν ἔχων τὸ Μ σημεῖον · ἴσος δή ἐστιν οὗτος τῷ κατὰ τὴν ΒΑ△ περιφέρειαν τμήματι τῆς σφαίρας . Ἔστω καὶ τῇ ΕΛ ἴση ἡ ΕΝ , καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ κῶνος ἔστω κορυφὴν ἔχων τὸ Ν σημεῖον · ἴσος δὴ καὶ οὗτός ἐστι τῷ κατὰ τὴν ΘΕΖ περιφέρειαν ἡμισφαιρίῳ , Τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΑΡΓ μεῖζόν ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν ΑΚΓ , διότι τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν τῆς ἐλάσσονος τοῦ ἑτέρου μείζονα ἔχει , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΡ ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν ΑΚ , ΓΞ · ἥμισυ γάρ ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ · μεῖζον οὖν ἐστι καὶ τὸ συναμφότερον τοῦ συναμφοτέρου . Τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΞΚΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΚΓ · ὥστε μείζονα λόγον ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΚΓ ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ , τοῦτον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ · δῆλον οὖν ὅτι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ , ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΡ , πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΡ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ ΛΝ · μείζονα ἄρα λόγον ἔχει καὶ ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β△ ἢ ἡ ΜΚ πρὸς ΝΛ . Ὥστε μείζων ἐστὶν ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον , κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον , τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β△ , κορυφὴν δὲ τὸ Μ σημεῖον · δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ ἡμισφαίριον τὸ κατὰ τὴν ΕΖΘ περιφέρειαν μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος τοῦ κατὰ τὴν ΒΑ△ περιφέρειαν .
Lemmas: ὁ ὁ ἴσος ἐπιφάνεια περιέχω σφαιρικός τμῆμα μέγας εἰμί ὁ ἡμισφαίριον . εἰμί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΑΓ , καί ἄλλος σφαῖρα , ὅς μέγας κύκλος ὁ ΕΖΗΘ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΕΗ , καί τέμνω ἐπίπεδος ὁ μέν ἕτερος σφαῖρα διά ὁ κέντρον , ὁ δέ ἕτερος μή διά ὁ κέντρον , εἰμί δέ ὁ μέν τέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ΑΓ , ΕΗ διάμετρος , καί τέμνω κατά ὁ △Β , ΖΘ γραμμή · εἰμί δή ὁ μέν κατά ὁ ΖΕΘ περιφέρεια τμῆμα ὁ σφαῖρα ἡμισφαίριον δέ κατά ὁ ΒΑ△ περιφέρεια τομή ἐν μέν ὁ ἕτερος σχῆμα , πρός ὅς ὁ ?? σημεῖον , μέγας ἡμισφαίριον , ἐν δέ ὁ ἕτερος ἐλαχύς , ἴσος δέ εἰμί ὁ ὁ λέγω τμῆμα ἐπιφάνεια · λέγω οὖν ὅτι μέγας εἰμί ὁ κατά ὁ ΖΕΘ περιφέρεια ἡμισφαίριον ὁ κατά ὁ ΒΑ△ περιφέρεια τμῆμα . ἐπεί γάρ ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ λέγω τμῆμα , φανερός ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΕΖ εὐθύς · δῆλος δέ ὅτι ὁ ΒΑ ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλασίων δύναμις ὁ ΑΚ , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον μέγας ἤ διπλασίων δύναμις . εἰμί δή ὁ ΒΑ ὁ ΑΡ διπλάσιος δύναμις , εἰμί δέ καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒ△ κύκλος ἴσος ὁ ΓΞ , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ΓΞ πρός ὁ ΓΚ , οὗτος ἔχω ὁ ΜΑ πρός ΑΚ , ἀπό δέ ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κῶνος εἰμί κορυφή ἔχω ὁ Μ σημεῖον · ἴσος δή εἰμί οὗτος ὁ κατά ὁ ΒΑ△ περιφέρεια τμῆμα ὁ σφαῖρα . εἰμί καί ὁ ΕΛ ἴσος ὁ ΕΝ , καί ἀπό ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΘΖ κῶνος εἰμί κορυφή ἔχω ὁ Ν σημεῖον · ἴσος δή καί οὗτος εἰμί ὁ κατά ὁ ΘΕΖ περιφέρεια ἡμισφαίριον , Τό δέ περιέχω ὑπό ὁ ΑΡΓ μέγας εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΚΓ , διότι ὁ ἐλαχύς πλευρά ὁ ἐλαχύς ὁ ἕτερος μέγας ἔχω , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΡ ἴσος εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΚ , ΓΞ · ἥμισυς γάρ εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΒ · μέγας οὖν εἰμί καί ὁ συναμφότεροι ὁ συναμφότεροι . ὁ δέ ὑπό ὁ ΞΚΑ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΜΚΓ · ὥστε μέγας λόγος ἔχω ὁ ΓΑ πρός ΚΓ ἤ ὁ ΜΚ πρός ΑΡ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΑΓ πρός ΓΚ , οὗτος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΚ · δῆλος οὖν ὅτι μέγας λόγος ἔχω ὁ ἥμισυς ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ἀπό ΑΡ , πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΚ ἤ ὁ ΜΚ πρός ὁ διπλάσιος ὁ ΑΡ , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ΛΝ · μέγας ἄρα λόγος ἔχω καί ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΘ πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ ἤ ὁ ΜΚ πρός ΝΛ . ὥστε μέγας εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΘ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Ν σημεῖον , ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ , κορυφή δέ ὁ Μ σημεῖον · δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ ἡμισφαίριον ὁ κατά ὁ ΕΖΘ περιφέρεια μέγας εἰμί ὁ τμῆμα ὁ κατά ὁ ΒΑ△ περιφέρεια .