archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.42
Παντὸς τμήματος σφαίρας ἐλάσσονος ἡμισφαιρίου ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένῃ τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας . Ἔστω σφαῖρα καὶ μέγιστος ἐν αὐτῇ κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ τμῆμα ἐν αὐτῇ ἔλασσον ἡμισφαιρίου , οὗ βάσις ὁ περὶ τὴν ΑΓ κύκλος πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ΑΒΓ κύκλῳ , καὶ εἰλήφθω κύκλος ὁ Ζ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ · δεῖ δὴ δεῖξαι ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἴση ἐστὶ τῷ Ζ κύκλῳ . Εἰ γὰρ μή , ἔστω μείζων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ Ζ κύκλου , καὶ εἰλήφθω τὸ △ κέντρον , καὶ ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὰ Α , Γ ἐπιζευχθεῖσαι ἐκβεβλήσθωσαν · καὶ δύο μεγεθῶν ἀνίσων ὄντων , τῆς τε ἐπιφανείας τοῦ τμήματος καὶ τοῦ Ζ κύκλου , ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓ τομέα πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιογώνιον , καὶ ἄλλο τούτῳ ὅμοιον περιγεγράφθω , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἤπερ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας πρὸς τὸν Ζ κύκλον , περιενεχθέντος δὲ τοῦ κύκλου , ὡς καὶ πρότερον , ἔσται δύο σχήματα ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενα , ὧν τὸ μὲν περιγεγραμμένον , τὸ δὲ ἐγγεγραμμένον , καὶ ἡ τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἔσται ὡς τὸ περιγεγραμμένον πολύγωνον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον · ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων διπλάσιός ἐστι τοῦ ὃν ἔχει ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου πλευράν , Ἀλλὰ τὸ περιγεγραμμένον πολύγωνον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τοῦ εἰρημένου τμήματος ἐπιφάνεια πρὸς τὸν Ζ κύκλον , μείζων δὲ ἐστιν ἡ τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος · καὶ ἡ τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐπιφάνεια ἄρα μείζων ἐστὶ τοῦ Ζ κύκλου · ὅπερ ἀδύνατον · δέδεικται γὰρ ἡ εἰρημένη τοῦ σχήματος ἐπιφάνεια ἐλάσσων οὖσα τοῦ τηλικούτου κύκλου . Ἔστω πάλιν ὁ κύκλος μείζων τῆς ἐπιφανείας , καὶ περιγεγράφθω καὶ ἐγγεγράφθω ὅμοια πολύγωνα , καὶ τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω τοῦ ὃν ἔχει ὁ κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος . Οὐκ ἄρα μείζων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ Ζ κύκλου . Ἐδείχθη δὲ ὡς οὐδὲ ἐλάσσων · ἴση ἄρα .
Lemmas: πᾶς τμῆμα σφαῖρα ἐλαχύς ἡμισφαίριον ὁ ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἐπί ὁ περιφέρεια ἄγω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα . εἰμί σφαῖρα καί μέγας ἐν αὐτός κύκλος ὁ ΑΒΓ καί τμῆμα ἐν αὐτός ἐλαχύς ἡμισφαίριον , ὅς βάσις ὁ περί ὁ ΑΓ κύκλος πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί λαμβάνω κύκλος ὁ Ζ , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΑΒ · δέω δή δείκνυμι ὅτι ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ Ζ κύκλος . εἰ γάρ μή , εἰμί μέγας ὁ ἐπιφάνεια ὁ Ζ κύκλος , καί λαμβάνω ὁ △ κέντρον , καί ἀπό ὁ △ ἐπί ὁ Α , Γ ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω · καί δύο μέγεθος ἄνισος εἰμί , ὁ τε ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα καί ὁ Ζ κύκλος , ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓ τομεύς πολύγωνον ἰσόπλευρος καί ἀρτιογώνιος , καί ἄλλος οὗτος ὅμοιος περιγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ὁ Ζ κύκλος , περιφέρω δέ ὁ κύκλος , ὡς καί πρότερος , εἰμί δύο σχῆμα ὑπό κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω , ὅς ὁ μέν περιγράφω , ὁ δέ ἐγγράφω , καί ὁ ὁ περιγράφω σχῆμα ἐπιφάνεια πρός ὁ ὁ ἐγγράφω εἰμί ὡς ὁ περιγράφω πολύγωνον πρός ὁ ἐγγράφω · ἑκάτερος γάρ ὁ λόγος διπλάσιος εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ ὁ περιγράφω πολύγωνον πλευρόν πρός ὁ ὁ ἐγγράφω πλευρά , Ἀλλά ὁ περιγράφω πολύγωνον πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁ λέγω τμῆμα ἐπιφάνεια πρός ὁ Ζ κύκλος , μέγας δέ εἰμί ὁ ὁ περιγράφω σχῆμα ἐπιφάνεια ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα · καί ὁ ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐπιφάνεια ἄρα μέγας εἰμί ὁ Ζ κύκλος · ὅς ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ ὁ λέγω ὁ σχῆμα ἐπιφάνεια ἐλαχύς εἰμί ὁ τηλικοῦτος κύκλος . εἰμί πάλιν ὁ κύκλος μέγας ὁ ἐπιφάνεια , καί περιγράφω καί ἐγγράφω ὅμοιος πολύγωνον , καί ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ κύκλος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα . οὐ ἄρα μέγας ὁ ἐπιφάνεια ὁ Ζ κύκλος . δείκνυμι δέ ὡς οὐδέ ἐλαχύς · ἴσος ἄρα .