archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.14
Παντὸς κώνου ἰσοσκελοῦς χωρὶς τῆς βάσεως ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , ὅς ἐστιν βάσις τοῦ κώνου . Ἔστω κῶνος ἰσοσκελής , οὗ βάσις ὁ Α κύκλος , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἔστω ἡ Γ , τῇ δὲ πλευρᾷ τοῦ κώνου ἔστω ἴση ἡ △ , τῶν δὲ Γ , △ μέση ἀνάλογον ἡ Ε , ὁ δὲ Β κύκλος ἐχέτω τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ Ε ἴσην · λέγω ὅτι ὁ Β κύκλος ἐστὶν ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βάσεως . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσος , ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων . Ἔστω πρότερον ἐλάσσων . Ἔστι δὴ δύο μεγέθη ἄνισα ἥ τε ἐπιφάνεια τοῦ κώνου καὶ ὁ Β κύκλος , καὶ μείζων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου δυνατὸν ἄρα εἰς τὸν Β κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρον ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι ὅμοιον τῷ ἐγγεγραμμένῳ , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου πρὸς τὸν Β κύκλον . Νοείσθω δὴ καὶ περὶ τὸν Α κύκλον πολύγωνον περιγεγραμμένον ὅμοιον τῷ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένῳ , καὶ ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένου πολυγώνου πυραμὶς ἀνεστάτω ἀναγεραμμένη τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ . Ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστιν τὰ πολύγωνα τὰ περὶ τοὺς Α , Β κύκλους περιγεγραμμένα , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον πρὸς ἄλληλα , ὃν αἱ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάμει πρὸς ἀλλήλας , τουτέστιν ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς Ε δυνάμει , τουτέστιν ἡ Γ πρὸς △ μήκει . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἡ Γ πρὸς △ μήκει , τοῦτον ἔχει τὸ περιγεγραμμένον πολύγωνον περὶ τὸν Α κύκλον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς περιγεγραμμένης περὶ τὸν κῶνον · τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Α κύκλον πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον καὶ αὐτὸ τὸ εὐθύγραμμον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς περιγεγραμμένης περὶ τὸν κῶνον ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος τῷ εὐθυγράμμῳ τῷ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένῳ . Ἐπεὶ οὖν ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἤπερ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου πρὸς τὸν Β κύκλον , ἐλάσσονα λόγον ἕξει ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος τῆς περὶ τὸν κῶνον περιγεγραμμένης πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ Β κύκλῳ ἐγγεγραμμένον ἤπερ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου πρὸς τὸν Β κύκλον ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα ὁ Β κύκλος ἐλάσσων ἔσται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου . Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ μείζων . Εἰ γὰρ δυνατόν ἐστιν , ἔστω μείζων . Πάλιν δὴ νοείσθω εἰς τὸν Β κύκλον πολύγωνον ἐγγεγραμμένον καὶ ἄλλο περιγεγραμμένον , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ὁ Β κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κώνου , καὶ εἰς τὸν Α κύκλον νοείσθω ἐγγεγραμμένον πολύγωνον ὅμοιον τῷ εἰς τὸν Β κύκλον ἐγγεγραμμένῳ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπʼ αὐτοῦ πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ . Ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ἐν τοῖς Α , Β κύκλοις ἐγγεγραμμένα , τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον πρὸς ἄλληλα , ὃν αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον καὶ ἡ Γ πρὸς τὴν △ μήκει Ἡ δὲ Γ πρὸς τὴν △ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ πολύγωνον τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς ἐγγεγραμμένης εἰς τὸν κῶνον · μείζονα ἄρα λόγον ἔχει τὸ πολύγωνον τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὸ πολύγωνον τὸ ἐν τῷ Β ἐγγεγραμμένον ἢ αὐτὸ τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος τοῦ ἐν τῷ Β πολυγώνου ἐγγεγραμμένου . Ἐλάσσονα δὲ λόγον ἔχει τὸ πολύγωνον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἢ ὁ Β κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κώνου πολλῷ ἄρα τὸ πολύγωνον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς ἐν τῷ κώνῳ ἐγγεγραμμένης ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ Β κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κώνου · ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα οὐδὲ μείζων ἐστὶν ὁ κύκλος τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου . Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων · ἴσος ἄρα .
Lemmas: πᾶς κῶνος ἰσοσκελής χωρίς ὁ βάσις ὁ ἐπιφάνεια ἴσος εἰμί κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον μέσος λόγος ἔχω ὁ πλευρά ὁ κῶνος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ κῶνος . εἰμί κῶνος ἰσοσκελής , ὅς βάσις ὁ Α κύκλος , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ Γ , ὁ δέ πλευρά ὁ κῶνος εἰμί ἴσος ὁ △ , ὁ δέ Γ , △ μέσος ἀνάλογος ὁ Ε , ὁ δέ Β κύκλος ἔχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ε ἴσος · λέγω ὅτι ὁ Β κύκλος εἰμί ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος χωρίς ὁ βάσις . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος ἐλαχύς . εἰμί δή δύο μέγεθος ἄνισος ὁ τε ἐπιφάνεια ὁ κῶνος καί ὁ Β κύκλος , καί μέγας ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος δυνατός ἄρα εἰς ὁ Β κύκλος πολύγωνον ἰσόπλευρος ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω ὅμοιος ὁ ἐγγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος πρός ὁ Β κύκλος . νοέω δή καί περί ὁ Α κύκλος πολύγωνον περιγράφω ὅμοιος ὁ περί ὁ Β κύκλος περιγράφω , καί ἀπό ὁ περί ὁ Α κύκλος περιγράφω πολύγωνον πυραμίς ἀνίστημι ἀναγεραάνμμαι ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος . ἐπεί οὖν ὅμοιος εἰμί ὁ πολύγωνον ὁ περί ὁ Α , Β κύκλος περιγράφω , ὁ αὐτός ἔχω λόγος πρός ἀλλήλων , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμις πρός ἀλλήλων , τουτέστι ὅς ἔχω ὁ Γ πρός Ε δύναμις , τουτέστι ὁ Γ πρός △ μῆκος . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ Γ πρός △ μῆκος , οὗτος ἔχω ὁ περιγράφω πολύγωνον περί ὁ Α κύκλος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ περιγράφω περί ὁ κῶνος · ὁ αὐτός ἄρα λόγος ἔχω ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Α κύκλος πρός ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Β κύκλος καί αὐτός ὁ εὐθύγραμμος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ περιγράφω περί ὁ κῶνος ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Β κύκλος περιγράφω . ἐπεί οὖν ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ εὐθύγραμμος ὁ περί ὁ Β κύκλος περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἤ ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος πρός ὁ Β κύκλος , ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ περί ὁ κῶνος περιγράφω πρός ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Β κύκλος ἐγγράφω ἤ ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος πρός ὁ Β κύκλος ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Β κύκλος ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος . λέγω δή ὅτι οὐδέ μέγας . εἰ γάρ δυνατός εἰμί , εἰμί μέγας . πάλιν δή νοέω εἰς ὁ Β κύκλος πολύγωνον ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ Β κύκλος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος , καί εἰς ὁ Α κύκλος νοέω ἐγγράφω πολύγωνον ὅμοιος ὁ εἰς ὁ Β κύκλος ἐγγράφω , καί ἀναγράφω ἀπό αὐτός πυραμίς ὁ αὐτός κορυφή ἔχω ὁ κῶνος . ἐπεί οὖν ὅμοιος εἰμί ὁ ἐν ὁ Α , Β κύκλος ἐγγράφω , ὁ αὐτός ἔχω λόγος πρός ἀλλήλων , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμις πρός ἀλλήλων ὁ αὐτός ἄρα λόγος ἔχω ὁ πολύγωνον πρός ὁ πολύγωνον καί ὁ Γ πρός ὁ △ μῆκος Ἡ δέ Γ πρός ὁ △ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ πολύγωνον ὁ ἐν ὁ Α κύκλος ἐγγράφω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ κῶνος · μέγας ἄρα λόγος ἔχω ὁ πολύγωνον ὁ ἐν ὁ Α κύκλος ἐγγράφω πρός ὁ πολύγωνον ὁ ἐν ὁ Β ἐγγράφω ἤ αὐτός ὁ πολύγωνον πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς μέγας ἄρα εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ ἐν ὁ Β πολύγωνον ἐγγράφω . ἐλαχύς δέ λόγος ἔχω ὁ πολύγωνον ὁ περί ὁ Β κύκλος περιγράφω πρός ὁ ἐγγράφω ἤ ὁ Β κύκλος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος πολύς ἄρα ὁ πολύγωνον ὁ περί ὁ Β κύκλος περιγράφω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ πυραμίς ὁ ἐν ὁ κῶνος ἐγγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Β κύκλος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα οὐδέ μέγας εἰμί ὁ κύκλος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ ἐλαχύς · ἴσος ἄρα .