archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.6
Δύο δοθέντων σφαίρας τμημάτων εἴτε τῆς αὐτῆς εἴτε μὴ εὑρεῖν τμῆμα σφαίρας , ὃ ἔσται ἑνὶ μὲν τῶν δοθέντων ὅμοιον , τὴν δὲ ἐπιφάνειαν ἕξει ἴσην τῇ τοῦ ἑτέρου τμήματος ἐπιφανείᾳ . Ἔστω τὰ δοθέντα τμήματα σφαιρικὰ κατὰ τὰς ΑΒΓ , △ΕΖ περιφερείας , καὶ ἔστω , ᾧ μὲν δεῖ ὅμοιον εὑρεῖν , τὸ κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν , οὗ δὲ τὴν ἐπιφάνειαν ἴσην ἔχειν τῇ ἐπιφανείᾳ , τὸ κατὰ τὴν △ΕΖ . Καὶ γεγενήσθω , καὶ ἔστω τὸ ΚΛΜ τμῆμα τῆς σφαίρας τῷ μὲν ΑΒΓ τμήματι ὅμοιον , τὴν δὲ ἐπιφάνειαν ἴσην ἐχέτω τῇ τοῦ △ΕΖ τμήματος ἐπιφανείᾳ , καὶ νοείσθω τὰ κέντρα τῶν σφαιρῶν , καὶ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω ὀρθὰ πρὸς τὰς τῶν τμημάτων βάσεις , καὶ ἐν μὲν ταῖς σφαίραις τομαὶ ἔστωσαν οἱ ΚΛΜΝ , ΒΑΓΘ , ΕΖΗ△ μέγιστοι κύκλοι , ἐν δὲ ταῖς βάσεσι τῶν τμημάτων αἱ ΚΜ , ΑΓ , △Ζ εὐθεῖαι , διάμετροι δὲ τῶν σφαιρῶν πρὸς ὀρθὰς οὖσαι ταῖς ΚΜ , ΑΓ , △Ζ ἔστωσαν αἱ ΛΝ , ΒΘ , ΕΗ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΜ , ΒΓ , ΕΖ . Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ ΚΛΜ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τῇ τοῦ △ΕΖ τμήματος ἐπιφανείᾳ , ἴσος ἄρα ἐστὶν καὶ ὁ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΛΜ , τῷ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΕΖ · ὥστε καὶ ἡ ΜΑ τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν , Ἐπεὶ δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΛΜ τῷ ΑΒΓ τμήματι , ἔστιν , ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ , ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ · καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι , ὡς ἡ ΝΛ πρὸς ΛΡ , οὕτως ἡ ΘΒ πρὸς ΒΠ , Ἀλλὰ καί , ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΜ , οὕτως ἡ ΒΠ πρὸς ΓΒ · ὡς ἄρα ἡ ΝΛ πρὸς ΛΜ , τουτέστι πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ . Καὶ ἐναλλάξ · λόγος δὲ τῆς ΕΖ πρὸς ΒΓ δοθείς · δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΛΝ πρὸς ΒΘ δοθείς . Καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΒΘ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΝ · ὥστε ἄρα καὶ ἡ σφαῖρα δοθεῖσά ἐστιν . Συντεθήσεται δὴ οὕτως · ἔστω τὰ δοθέντα δύο τμήματα σφαίρας τὰ ΑΒΓ , △ΕΖ , τὸ μὲν ΑΒΓ , ᾧ δεῖ ὅμοιον , τὸ δὲ △ΕΖ , οὗ τὴν ἐπιφάνειαν ἴσην ἔχειν τῇ ἐπιφανείᾳ , καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω τοῖς ἐπὶ τῆς ἀναλύσεως , καὶ πεποιήσθω , ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΛΝ , καὶ περὶ διάμετρον τὴν ΛΝ κύκλος γεγράφθω , καὶ νοείσθω σφαῖρα , ἧς μέγιστος ἔστω κύκλος ὁ ΛΚΝΜ , καὶ τετμήσθω ἡ ΝΛ κατὰ τὸ Ρ , ὥστε εἶναι , ὡς τὴν ΘΠ πρὸς ΠΒ , τὴν ΝΡ πρὸς ΡΛ , καὶ διὰ τοῦ Ρ ἐπιπέδῳ τετμήσθω ἡ ἐπιφάνεια ὀρθῷ πρὸς τὴν ΛΝ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜ · ὅμοια ἄρα ἐστὶν τὰ ἐπὶ τῶν ΚΜ , ΑΓ εὐθειῶν τῶν κύκλων τμήματα · ὥστε καὶ τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν ἐστιν ὅμοια . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΠ , οὕτως ἡ ΝΛ πρὸς ΛΡ · καὶ γὰρ τὰ κατὰ διαίρεσιν · ἀλλὰ καί , ὡς ἡ ΠΒ πρὸς ΒΓ , οὕτως ἡ ΡΛ πρὸς ΛΜ , καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΒ πρὸς ΝΛ , ἡ ΒΓ πρὸς ΛΜ . Ἦν δὲ καί , ὥς ἡ ΘΒ πρὸς ΛΝ , ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΛΜ · ὥστε καὶ ὁ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΕΖ , ἴσος ἐστὶ τῷ κύκλῳ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΛΜ . Καὶ ὁ μὲν τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἔχων τὴν ΕΖ κύκλος ἴσος ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΕΖ τμήματος , ὁ δὲ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΛΜ , ἴσος ἐστὶ ἐπιφανείᾳ τῇ τοῦ ΚΛΜ τμήματος · τοῦτο γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ δέδεικται · ἴση ἄρα καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΚΛΜ τμήματος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ △ΕΖ τμήματος τῆς σφαίρας . Καί ἐστιν ὅμοιον τὸ ΚΛΜ τῷ ΑΒΓ .
Lemmas: δύο δίδωμι σφαῖρα τμῆμα εἴτε ὁ αὐτός εἴτε μή εὑρίσκω τμῆμα σφαῖρα , ὅς εἰμί εἷς μέν ὁ δίδωμι ὅμοιος , ὁ δέ ἐπιφάνεια ἔχω ἴσος ὁ ὁ ἕτερος τμῆμα ἐπιφάνεια . εἰμί ὁ δίδωμι τμῆμα σφαιρικός κατά ὁ ΑΒΓ , ΕΖ περιφέρεια , καί εἰμί , ὅς μέν δέω ὅμοιος εὑρίσκω , ὁ κατά ὁ ΑΒΓ περιφέρεια , ὅς δέ ὁ ἐπιφάνεια ἴσος ἔχω ὁ ἐπιφάνεια , ὁ κατά ὁ ΕΖ . καί γίγνομαι , καί εἰμί ὁ ΚΛΜ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ μέν ΑΒΓ τμῆμα ὅμοιος , ὁ δέ ἐπιφάνεια ἴσος ἔχω ὁ ὁ ΕΖ τμῆμα ἐπιφάνεια , καί νοέω ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , καί διά αὐτός ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὀρθός πρός ὁ ὁ τμῆμα βάσις , καί ἐν μέν ὁ σφαῖρα τομή εἰμί ὁ ΚΛΜΝ , ΒΑΓΘ , ΖΗΕ μέγας κύκλος , ἐν δέ ὁ βάσις ὁ τμῆμα ὁ ΚΜ , ΑΓ , △Ζ εὐθεῖα , διάμετρος δέ ὁ σφαῖρα πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΚΜ , ΑΓ , △Ζ εἰμί ὁ ΛΝ , ΒΘ , ΕΗ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΜ , ΒΓ , ΕΖ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΚΛΜ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἐπιφάνεια ὁ ὁ ΕΖ τμῆμα ἐπιφάνεια , ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ , ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΕΖ · ὥστε καί ὁ ΜΑ ὁ ΕΖ ἴσος εἰμί , Ἐπεί δέ ὅμοιος εἰμί ὁ ΚΛΜ ὁ ΑΒΓ τμῆμα , εἰμί , ὡς ὁ ΛΡ πρός ΡΝ , ὁ ΒΠ πρός ΠΘ · καί ἀνάπαλιν καί συντίθημι , ὡς ὁ ΝΛ πρός ΛΡ , οὕτως ὁ ΘΒ πρός ΒΠ , Ἀλλά καί , ὡς ὁ ΡΛ πρός ΛΜ , οὕτως ὁ ΒΠ πρός ΓΒ · ὡς ἄρα ὁ ΝΛ πρός ΛΜ , τουτέστι πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΘΒ πρός ΒΓ . καί ἐναλλάξ · λόγος δέ ὁ ΕΖ πρός ΒΓ δίδωμι · δίδωμι γάρ ἑκάτερος · λόγος ἄρα καί ὁ ΛΝ πρός ΒΘ δίδωμι . καί εἰμί δίδωμι ὁ ΒΘ · δίδωμι ἄρα καί ὁ ΛΝ · ὥστε ἄρα καί ὁ σφαῖρα δίδωμι εἰμί . συντίθημι δή οὕτως · εἰμί ὁ δίδωμι δύο τμῆμα σφαῖρα ὁ ΑΒΓ , ΕΖ , ὁ μέν ΑΒΓ , ὅς δέω ὅμοιος , ὁ δέ ΕΖ , ὅς ὁ ἐπιφάνεια ἴσος ἔχω ὁ ἐπιφάνεια , καί ὁ αὐτός κατασκευάζω ὁ ἐπί ὁ ἀνάλυσις , καί ποιέω , ὡς ὁ ΒΓ πρός ΕΖ , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ΛΝ , καί περί διάμετρος ὁ ΛΝ κύκλος γράφω , καί νοέω σφαῖρα , ὅς μέγας εἰμί κύκλος ὁ ΛΚΝΜ , καί τέμνω ὁ ΝΛ κατά ὁ Ρ , ὥστε εἰμί , ὡς ὁ ΘΠ πρός ΠΒ , ὁ ΝΡ πρός ΡΛ , καί διά ὁ Ρ ἐπίπεδος τέμνω ὁ ἐπιφάνεια ὀρθός πρός ὁ ΛΝ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΜ · ὅμοιος ἄρα εἰμί ὁ ἐπί ὁ ΚΜ , ΑΓ εὐθεῖα ὁ κύκλος τμῆμα · ὥστε καί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα εἰμί ὅμοιος . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΘΒ πρός ΒΠ , οὕτως ὁ ΝΛ πρός ΛΡ · καί γάρ ὁ κατά διαίρεσις · ἀλλά καί , ὡς ὁ ΠΒ πρός ΒΓ , οὕτως ὁ ΡΛ πρός ΛΜ , καί ὡς ἄρα ὁ ΘΒ πρός ΝΛ , ὁ ΒΓ πρός ΛΜ . εἰμί δέ καί , ὡς ὁ ΘΒ πρός ΛΝ , ὁ ΒΓ πρός ΕΖ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΕΖ ὁ ΛΜ · ὥστε καί ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ ΕΖ , ἴσος εἰμί ὁ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ . καί ὁ μέν ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἔχω ὁ ΕΖ κύκλος ἴσος εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΖ τμῆμα , ὁ δέ κύκλος , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΛΜ , ἴσος εἰμί ἐπιφάνεια ὁ ὁ ΚΛΜ τμῆμα · οὗτος γάρ ἐν ὁ πρῶτος δείκνυμι · ἴσος ἄρα καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΚΛΜ τμῆμα ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΕΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα . καί εἰμί ὅμοιος ὁ ΚΛΜ ὁ ΑΒΓ .