archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.2
Παντὶ τμήματι τῆς σφαίρας ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι , ὕψος δὲ εὐθεῖαν , ἥτις πρὸς τὸ ὕψος τοῦ τμήματος τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει , ὃν συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος πρὸς τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος . Ἔστω σφαῖρα , ἐν ᾗ μέγιστος κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ , καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ ἡ σφαῖρα τῷ διὰ τῆς ΒΖ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΓ , καὶ ἔστω κέντρον τὸ Θ , καὶ πεποιήσθω , ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑ , ΑΕ πρὸς τὴν ΑΕ , οὕτως ἡ △Ε πρὸς ΓΕ , καὶ πάλιν πεποιήσθω , ὡς συναμφότερος ἡ ΘΓ , ΓΕ πρὸς ΓΕ , οὕτως ἡ ΚΕ πρὸς ΕΑ , καὶ ἀναγεγράφθωσαν κῶνοι ἀπὸ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κορυφὰς ἔχοντες τὰ Κ , △ σημεῖα · λέγω ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ μὲν Β△Ζ κῶνος τῷ κατὰ τὸ Γ τμήματι τῆς σφαίρας , ὁ δὲ ΒΚΖ τῷ κατὰ τὸ Α σημεῖον . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΘ , ΘΖ , καὶ νοείσθω κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον , κορυφὴν δὲ τὸ Θ σημεῖον , καὶ ἔστω κῶνος ὁ Μ βάσιν ἔχων κύκλον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΒΓΖ τμήματος τῆς σφαίρας , τουτέστιν οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΓ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας · ἔσται δὴ ὁ Μ κῶνος ἴσος τῷ ΒΓΘΖ στερεῷ τομεῖ · τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ . Ἐπεὶ δέ ἐστιν , ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΓ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΘΑ , ΑΕ πρὸς ΑΕ , διελόντι ἔσται , ὡς ἡ Γ△ πρὸς ΓΕ , οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ , τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΑΕ , καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ △Γ πρὸς ΓΘ ἐστίν , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ , καὶ συνθέντι , ὡς ἡ Θ△ πρὸς ΘΓ , ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ · ὡς ἄρα ἡ △Θ πρὸς ΓΘ , τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ . Ἴση δέ ἐστιν ἡ ΓΒ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ κύκλου , ἡ δὲ ΒΕ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλου · ὡς ἄρα ἡ △Θ πρὸς ΘΓ , ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον . Καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΓ τῷ ἄξονι του Μ κώνου · καὶ ὡς ἄρα ἡ △Θ πρὸς τὸν ἄξονα τοῦ Μ κώνου , οὕτως ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον · ἴσος ἄρα ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν Μ κύκλον , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , τῷ Β△ΖΘ στερεῷ ῥόμβῳ . Ἀλλʼ ὁ Μ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΒΓΖΘ στερεῷ τομεῖ · καὶ ὁ ΒΓΖΘ στερεὸς τομεὺς ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ Β△ΖΘ στερεῷ ῥόμβῳ . Κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ κώνου , οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλος , ὕψος δὲ ἡ ΕΘ , λοιπὸς ἄρα ὁ Β△Ζ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΒΖΓ τμήματι τῆς σφαίρας . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ὁ ΒΚΖ κῶνος ἴσος τῷ ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν , ὡς συναμφότερος ἡ ΘΓΕ πρὸς ΓΕ , οὕτως ἡ ΚΕ πρὸς ΕΑ , διελόντι ἄρα , ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως ἡ ΘΓ πρὸς ΓΕ . Ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΘΑ · καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΘ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ · ὥστε καὶ συνθέντι , ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ , ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ . Κείσθω δὴ πάλιν κύκλος ὁ Ν ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΑΒ · ἴσος ἄρα ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΒΑΖ τμήματος . Καὶ νοείσθω κῶνος ὁ Ν ἴσον ἔχων τὸ ὕψος τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας · ἴσος ἄρα ἐστὶ τῷ ΒΘΖΑ στερεῷ τομεῖ · τοῦτο γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ δέδεικται . Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη , ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ , τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλου , τουτέστιν ὁ Ν κύκλος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον , ἴση δὲ ἡ ΑΘ τῷ ὕψει τοῦ Ν κώνου , ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς τὸ ὕψος τοῦ Ν κώνου , οὕτως ὁ Ν κύκλος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ν κῶνος , τουτέστιν ὁ ΒΘΖΑ τομεύς , τῷ ΒΘΖΚ σχήματι . Κοινὸς προσκείσθω ὁ κῶνος , οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὴν ΒΖ κύκλος , ὕψος δὲ ἡ ΕΘ · ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶν τῷ ΒΖΚ κώνῳ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ΠΟΡΙΣΜΑ . Καὶ φανερὸν ὅτι γίγνεται καθόλου τμῆμα σφαίρας πρὸς κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι καὶ ὕψος ἴσον , ὡς συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ἡ κάθετος τοῦ λοιποῦ τμήματος πρὸς τὴν κάθετον τοῦ λοιποῦ τμήματος · ὡς γὰρ ἡ △Ε πρὸς ΕΓ , οὕτως ὁ △ΖΒ κῶνος , τουτέστι τὸ ΒΓΖ τμῆμα , πρὸς τὸν ΒΓΖ κῶνον . Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων , ὅτι καὶ ὁ ΚΒΖ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας . Ἔστω γὰρ ὁ Ν κῶνος βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας , ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ κῶνος τῇ σφαίρᾳ . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑ , ΑΕ πρὸς ΑΕ , ἡ △Ε πρὸς ΕΓ , διελόντι καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΘΓ πρὸς Γ△ , ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ . Πάλιν , ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΑ , συναμφότερος ἡ ΘΓΕ πρὸς ΓΕ , διελόντι καὶ ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΓΘ , τουτέστι πρὸς ΘΑ , οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ , τουτέστιν ἡ ΘΓ πρὸς Γ△ . Καὶ συνθέντι · ἴση δὲ ἡ ΑΘ τῇ ΘΓ · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ , ἡ Θ△ πρὸς △Γ , καὶ ὅλη ἡ Κ△ πρὸς △Θ ἐστίν , ὡς ἡ △Θ πρὸς △Γ , τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ · ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ △Κ , ΘΑ τῷ ὑπὸ τῶν △ΘΚ . Πάλιν , ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ , ἡ Θ△ πρὸς Γ△ , ἐναλλάξ · ὡς δὲ ἡ ΘΓ πρὸς Γ△ , ἐδείχθη ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς Θ△ , ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΘ△ , τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ . Τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΚΘ△ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ Κ△ , ΑΘ · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Κ△ , ΑΘ , τουτέστιν ἡ Κ△ πρὸς ΑΘ , τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ , τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ . Καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΓ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν κύκλου · ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ , τουτέστιν ὁ Ν κύκλος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον , οὕτως ἡ Κ△ πρὸς ΑΘ , τουτέστιν ἡ Κ△ πρὸς τὸ ὕψος τοῦ Ν κώνου · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ν κῶνος , τουτέστιν ἡ σφαῖρα , τῷ Β△ΖΚ στερεῷ ῥόμβῳ . Ὧν ὁ Β△Ζ κῶνος ἴσος ἐδείχθη τῷ ΒΓΖ τμήματι τῆς σφαίρας · λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΚΖ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας .
Lemmas: πᾶς τμῆμα ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα , ὕψος δέ εὐθύς , ὅστις πρός ὁ ὕψος ὁ τμῆμα ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς συναμφότεροι ὁ τε ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ὁ ὕψος ὁ λοιπός τμῆμα πρός ὁ ὕψος ὁ λοιπός τμῆμα . εἰμί σφαῖρα , ἐν ὅς μέγας κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΑΓ , καί τέμνω ἐπίπεδος ὁ σφαῖρα ὁ διά ὁ ΒΖ πρός ὀρθός ὁ ΑΓ , καί εἰμί κέντρον ὁ Θ , καί ποιέω , ὡς συναμφότεροι ὁ ΘΑ , ΑΕ πρός ὁ ΑΕ , οὕτως ὁ △Ε πρός ΓΕ , καί πάλιν ποιέω , ὡς συναμφότεροι ὁ ΘΓ , ΓΕ πρός ΓΕ , οὕτως ὁ ΚΕ πρός ΕΑ , καί ἀναγράφω κῶνος ἀπό ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κορυφή ἔχω ὁ Κ , △ σημεῖον · λέγω ὅτι ἴσος εἰμί ὁ μέν Β△Ζ κῶνος ὁ κατά ὁ Γ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ὁ δέ ΒΚΖ ὁ κατά ὁ Α σημεῖον . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΒΘ , ΘΖ , καί νοέω κῶνος βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Θ σημεῖον , καί εἰμί κῶνος ὁ Μ βάσις ἔχω κύκλος ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΒΓΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα , τουτέστι ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος εἰμί ὁ ΒΓ , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα · εἰμί δή ὁ Μ κῶνος ἴσος ὁ ΒΓΘΖ στερεός τομεύς · οὗτος γάρ δείκνυμι ἐν ὁ πρῶτος βιβλίον . ἐπεί δέ εἰμί , ὡς ὁ △Ε πρός ΕΓ , οὕτως συναμφότεροι ὁ ΘΑ , ΑΕ πρός ΑΕ , διαιρέω εἰμί , ὡς ὁ Γ△ πρός ΓΕ , οὕτως ὁ ΘΑ πρός ΑΕ , τουτέστι ὁ ΓΘ πρός ΑΕ , καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ △Γ πρός ΓΘ εἰμί , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ΕΑ , καί συντίθημι , ὡς ὁ Θ△ πρός ΘΓ , ὁ ΓΑ πρός ΑΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ΓΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ · ὡς ἄρα ὁ △Θ πρός ΓΘ , ὁ ἀπό ΓΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ . ἴσος δέ εἰμί ὁ ΓΒ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Μ κύκλος , ὁ δέ ΒΕ ἐκ ὁ κέντρον εἰμί ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος · ὡς ἄρα ὁ △Θ πρός ΘΓ , ὁ Μ κύκλος πρός ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος . καί εἰμί ἴσος ὁ ΘΓ ὁ ἄξων ὁ Μ κῶνος · καί ὡς ἄρα ὁ △Θ πρός ὁ ἄξων ὁ Μ κῶνος , οὕτως ὁ Μ κύκλος πρός ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος · ἴσος ἄρα ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ Μ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ Β△ΖΘ στερεός ῥόμβος . ἀλλά ὁ Μ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΒΓΖΘ στερεός τομεύς · καί ὁ ΒΓΖΘ στερεός τομεύς ἄρα ἴσος εἰμί ὁ Β△ΖΘ στερεός ῥόμβος . κοινός ἀφαιρέω ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΕΘ , λοιπός ἄρα ὁ Β△Ζ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΒΖΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα . ὅμοιος δέ δείκνυμι καί ὁ ΒΚΖ κῶνος ἴσος ὁ ΒΑΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα . ἐπεί γάρ εἰμί , ὡς συναμφότεροι ὁ ΘΓΕ πρός ΓΕ , οὕτως ὁ ΚΕ πρός ΕΑ , διαιρέω ἄρα , ὡς ὁ ΚΑ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ΘΓ πρός ΓΕ . ἴσος δέ ὁ ΘΓ ὁ ΘΑ · καί ἐναλλάξ ἄρα εἰμί , ὡς ὁ ΚΑ πρός ΑΘ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΓ · ὥστε καί συντίθημι , ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΑ , ὁ ΑΓ πρός ΓΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ΒΑ πρός ὁ ἀπό ΒΕ . κεῖμαι δή πάλιν κύκλος ὁ Ν ἴσος ἔχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΒΑΖ τμῆμα . καί νοέω κῶνος ὁ Ν ἴσος ἔχω ὁ ὕψος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΒΘΖΑ στερεός τομεύς · οὗτος γάρ ἐν ὁ πρῶτος δείκνυμι . καί ἐπεί δείκνυμι , ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΑ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΒ πρός ὁ ἀπό ΒΕ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν κύκλος πρός ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος , τουτέστι ὁ Ν κύκλος πρός ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος , ἴσος δέ ὁ ΑΘ ὁ ὕψος ὁ Ν κῶνος , ὡς ἄρα ὁ ΚΘ πρός ὁ ὕψος ὁ Ν κῶνος , οὕτως ὁ Ν κύκλος πρός ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ν κῶνος , τουτέστι ὁ ΒΘΖΑ τομεύς , ὁ ΒΘΖΚ σχῆμα . κοινός πρόσκειμαι ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν ὁ περί ὁ ΒΖ κύκλος , ὕψος δέ ὁ ΕΘ · ὅλος ἄρα ὁ ΑΒΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί ὁ ΒΖΚ κῶνος · ὅς δέω δείκνυμι . πόρισμα . καί φανερός ὅτι γίγνομαι καθόλου τμῆμα σφαῖρα πρός κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος , ὡς συναμφότεροι ὁ τε ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ὁ κάθετος ὁ λοιπός τμῆμα πρός ὁ κάθετος ὁ λοιπός τμῆμα · ὡς γάρ ὁ △Ε πρός ΕΓ , οὕτως ὁ △ΖΒ κῶνος , τουτέστι ὁ ΒΓΖ τμῆμα , πρός ὁ ΒΓΖ κῶνος . ὁ αὐτός ὑπόκειμαι , ὅτι καί ὁ ΚΒΖ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΒΑΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα . εἰμί γάρ ὁ Ν κῶνος βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ κῶνος ὁ σφαῖρα . καί ἐπεί εἰμί , ὡς συναμφότεροι ὁ ΘΑ , ΑΕ πρός ΑΕ , ὁ △Ε πρός ΕΓ , διαιρέω καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΘΓ πρός Γ△ , ὁ ΑΕ πρός ΕΓ . πάλιν , ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΚΕ πρός ΕΑ , συναμφότεροι ὁ ΘΓΕ πρός ΓΕ , διαιρέω καί ἐναλλάξ , ὡς ὁ ΚΑ πρός ΓΘ , τουτέστι πρός ΘΑ , οὕτως ὁ ΑΕ πρός ΕΓ , τουτέστι ὁ ΘΓ πρός Γ△ . καί συντίθημι · ἴσος δέ ὁ ΑΘ ὁ ΘΓ · ὡς ἄρα ὁ ΚΘ πρός ΘΓ , ὁ Θ△ πρός △Γ , καί ὅλος ὁ Κ△ πρός △Θ εἰμί , ὡς ὁ △Θ πρός △Γ , τουτέστι ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΑ · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό △Κ , ΘΑ ὁ ὑπό ὁ △ΘΚ . πάλιν , ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΚΘ πρός ΘΓ , ὁ Θ△ πρός Γ△ , ἐναλλάξ · ὡς δέ ὁ ΘΓ πρός Γ△ , δείκνυμι ὁ ΑΕ πρός ΕΓ · ὡς ἄρα ὁ ΚΘ πρός Θ△ , ὁ ΑΕ πρός ΕΓ · καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό Κ△ πρός ὁ ὑπό ΚΘ△ , ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΕΓ . ὁ δέ ὑπό ὁ ΚΘ△ ἴσος δείκνυμι ὁ ὑπό Κ△ , ΑΘ · ὡς ἄρα ὁ ἀπό Κ△ πρός ὁ ὑπό ὁ Κ△ , ΑΘ , τουτέστι ὁ Κ△ πρός ΑΘ , ὁ ἀπό ΑΓ πρός ὁ ὑπό ΑΕΓ , τουτέστι πρός ὁ ἀπό ΕΒ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΑΓ ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν κύκλος · ὡς ἄρα ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ν κύκλος πρός ὁ ἀπό ΒΕ , τουτέστι ὁ Ν κύκλος πρός ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΖ κύκλος , οὕτως ὁ Κ△ πρός ΑΘ , τουτέστι ὁ Κ△ πρός ὁ ὕψος ὁ Ν κῶνος · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ Ν κῶνος , τουτέστι ὁ σφαῖρα , ὁ Β△ΖΚ στερεός ῥόμβος . ὅς ὁ Β△Ζ κῶνος ἴσος δείκνυμι ὁ ΒΓΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα · λοιπός ἄρα ὁ ΒΚΖ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ ΒΑΖ τμῆμα ὁ σφαῖρα .