archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.26
Τῷ ἐγγραφομένῳ ἐν τῇ σφαίρᾳ σχήματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν κωνικῶν ἴσος ἐστὶν κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος τοῦ ἐγγραφέντος ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου καθέτῳ ἠγμένῃ . Ἔστω ἡ σφαῖρα καὶ ὁ ἐν αὐτῇ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τῷ πρότερον , ἔστω δὲ κῶνος ὀρθὸς ὁ Ρ βάσιν μὲν ἔχων τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ σχήματος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου καθέτῳ ἠγμένῃ · δεικτέον ὅτι ὁ κῶνος ὁ Ρ ἴσος ἐστὶν τῷ ἐγγεγραμμένῳ ἐν τῇ σφαίρᾳ σχήματι . Ἀπὸ γὰρ τῶν κύκλων , ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΖΝ , ΗΜ , ΘΛ , ΙΚ , κῶνοι ἀναγεγράφθωσαν κορυφὴν ἔχοντες τὸ τῆς σφαίρας κέντρον · ἔσται δὴ ῥόμβος στερεὸς ἔκ τε τοῦ κώνου , οὗ βάσις μὲν ἐστιν ὁ κύκλος ὁ περὶ τὴν ΖΝ , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον , καὶ τοῦ κώνου , οὗ βάσις ὁ αὐτὸς κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Χ σημεῖον · ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ΝΑΖ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἠγμένῃ . Πάλιν δὲ καὶ τὸ περιλελειμμένον τοῦ ῥόμβου τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΖΝ , ΗΜ καὶ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν κώνων τοῦ τε ΖΝΧ καὶ τοῦ ΗΜΧ ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΜΗ , ΖΝ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὴν ΖΗ καθέτῳ ἠγμένῃ · δέδεικται γὰρ ταῦτα . Ἔτι δὲ καὶ τὸ περιλειπόμενον τοῦ κώνου τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΗΜ , Β△ καὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ ΜΗΧ κώνου καὶ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν Β△ ἴσον τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τῇ μεταξὺ τῶν ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΗΜ , Β△ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὴν ΒΗ καθέτῳ ἠγμένῃ . Ὁμοίως δὲ καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμισφαιρίῳ ὅ τε ῥόμβος ὁ ΧΚΓΙ καὶ τὰ περιλείμματα τῶν κώνων ἴσα ἔσται τοσούτοις καὶ τηλικούτοις κώνοις , ὅσοι καὶ πρότερον ἐρρήθησαν · δῆλον οὖν ὅτι καὶ ὅλον τὸ σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τῇ σφαίρᾳ ἴσον ἐστὶν πᾶσιν τοῖς εἰρημένοις κώνοις . Οἱ δὲ κῶνοι ἴσοι εἰσὶν τῷ P κώνῳ , ἐπειδὴ ὁ Ρ κῶνος ὕψος μὲν ἔχει ἑκάστῳ ἴσον τῶν εἰρημένων κώνων , βάσιν δὲ ἴσην πάσαις ταῖς βάσεσιν αὐτῶν · δῆλον οὖν ὅτι τὸ ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐγγεγραμμένον ἴσον ἐστὶν τῷ ἐκκειμένῳ κώνῳ .
Lemmas: ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα σχῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ κωνικός ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον κάθετος ἄγω . εἰμί ὁ σφαῖρα καί ὁ ἐν αὐτός μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός ὁ πρότερος , εἰμί δέ κῶνος ὀρθός ὁ Ρ βάσις μέν ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἐπί εἷς πλευρά ὁ πολύγωνον κάθετος ἄγω · δείκνυμι ὅτι ὁ κῶνος ὁ Ρ ἴσος εἰμί ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα σχῆμα . ἀπό γάρ ὁ κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΖΝ , ΗΜ , ΘΛ , ΙΚ , κῶνος ἀναγράφω κορυφή ἔχω ὁ ὁ σφαῖρα κέντρον · εἰμί δή ῥόμβος στερεός ἐκ τε ὁ κῶνος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ κύκλος ὁ περί ὁ ΖΝ , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , καί ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ αὐτός κύκλος , κορυφή δέ ὁ Χ σημεῖον · ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΝΑΖ , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Χ κάθετος ἄγω . πάλιν δέ καί ὁ περιλείπομαι ὁ ῥόμβος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΖΝ , ΗΜ καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ τε ΖΝΧ καί ὁ ΗΜΧ ἴσος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΜΗ , ΖΝ , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ ΖΗ κάθετος ἄγω · δείκνυμι γάρ οὗτος . ἔτι δέ καί ὁ περιλείπομαι ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΗΜ , Β△ καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΜΗΧ κῶνος καί ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ ἴσος ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ἴσος ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος ὁ μεταξύ ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΗΜ , Β△ , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Χ ἐπί ὁ ΒΗ κάθετος ἄγω . ὅμοιος δέ καί ἐν ὁ ἕτερος ἡμισφαίριον ὁ τε ῥόμβος ὁ ΧΚΓΙ καί ὁ περίλειμμα ὁ κῶνος ἴσος εἰμί τοσοῦτος καί τηλικοῦτος κῶνος , ὅσος καί πρότερος λέγω · δῆλος οὖν ὅτι καί ὅλος ὁ σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ σφαῖρα ἴσος εἰμί πᾶς ὁ λέγω κῶνος . ὁ δέ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ P κῶνος , ἐπειδή ὁ Ρ κῶνος ὕψος μέν ἔχω ἕκαστος ἴσος ὁ λέγω κῶνος , βάσις δέ ἴσος πᾶς ὁ βάσις αὐτός · δῆλος οὖν ὅτι ὁ ἐν ὁ σφαῖρα ἐγγράφω ἴσος εἰμί ὁ ἔκκειμαι κῶνος .