archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.7
Ἐὰν ἐν ἰσοσκελεῖ κώνῳ πυραμὶς ἐγγραφῇ ἰσόπλευρον ἔχουσα βάσιν , ἡ ἐπιφάνεια αὐτῆς χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστι τριγώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι ἴσην τῇ περιμέτρῳ τῆς βάσεως , ὕψος δὲ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ μίαν πλευρὰν τῆς βάσεως κάθετον ἀγομένην . Ἔστω κῶνος ἰσοσκελής , οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος , καὶ εἰς αὐτὸν ἐγγεγράφθω πυραμὶς ἰσόπλευρον ἔχουσα βάσιν τὸ ΑΒΓ · λέγω ὅτι ἡ ἐπιφάνεια αὐτῆς χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῷ εἰρημένῳ τριγώνῳ . Ἐπεὶ γὰρ ἰσοσκελὴς ὁ κῶνος , καὶ ἰσόπλευρος ἡ βάσις τῆς πυραμίδος , τὰ ὕψη τῶν περιεχόντων τριγώνων τὴν πυραμίδα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις . Καὶ βάσιν μὲν ἔχει τὰ τρίγωνα τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ , ὕψος δὲ τὸ εἰρημένον · ὥστε τὰ τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τριγώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην ταῖς ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ , ὕψος δὲ τὴν εἰρημένην εὐθεῖαν . ἄλλως ἡ δεῖξις . Ἔστω κῶνος ἰσοσκελής , οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ △ σημεῖον , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν κῶνον πυραμὶς βάσιν ἔχουσα ἰσόπλευρον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ △Α , △Γ , △Β · λέγω ὅτι τὰ Α△Β , Α△Γ , Β△Γ τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τριγώνῳ , οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ περιμέτρῳ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου , ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἴση τῇ καθέτῳ τῇ ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἀγομένῃ . Ἤχθωσαν γὰρ κάθετοι αἱ △Κ , △Λ , △Μ · αὗται ἄρα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . Καὶ κείσθω τρίγωνον τὸ ΕΖΗ ἔχον τὴν μὲν ΕΖ βάσιν τῇ περιμέτρῳ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἴσην , τὴν δὲ ΗΘ κάθετον τῇ △Λ ἴσην . Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ , △Λ διπλάσιόν ἐστι τοῦ △ΒΓ τριγώνου , ἔστιν δὲ καὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ , △Κ διπλάσιον τοῦ ΑΒ△ τριγώνου , τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓ , △Μ διπλάσιον τοῦ Α△Γ τριγώνου , τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου , τουτέστι τῆς ΕΖ , καὶ τῆς △Λ , τουτέστι τῆς ΗΘ , διπλάσιόν ἐστι τῶν Α△Β , Β△Γ , Α△Γ τριγώνων . Ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖ , ΗΘ διπλάσιον τοῦ ΕΖΗ τριγώνου ἴσον ἄρα τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τοῖς Α△Β , Β△Γ , Α△Γ .
Lemmas: ἐάν ἐν ἰσοσκελής κῶνος πυραμίς ἐγγράφω ἰσόπλευρος ἔχω βάσις , ὁ ἐπιφάνεια αὐτός χωρίς ὁ βάσις ἴσος εἰμί τρίγωνον βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ περίμετρος ὁ βάσις , ὕψος δέ ὁ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί εἷς πλευρά ὁ βάσις κάθετος ἄγω . εἰμί κῶνος ἰσοσκελής , ὅς βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος , καί εἰς αὐτός ἐγγράφω πυραμίς ἰσόπλευρος ἔχω βάσις ὁ ΑΒΓ · λέγω ὅτι ὁ ἐπιφάνεια αὐτός χωρίς ὁ βάσις ἴσος εἰμί ὁ λέγω τρίγωνον . ἐπεί γάρ ἰσοσκελής ὁ κῶνος , καί ἰσόπλευρος ὁ βάσις ὁ πυραμίς , ὁ ὕψος ὁ περιέχω τρίγων ὁ πυραμίς ἴσος εἰμί ἀλλήλων . καί βάσις μέν ἔχω ὁ τρίγωνος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ , ὕψος δέ ὁ λέγω · ὥστε ὁ τρίγωνος ἴσος εἰμί τρίγωνον βάσις μέν ἔχω ὁ ἴσος ὁ ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ , ὕψος δέ ὁ λέγω εὐθεῖα . ἄλλος ὁ δεῖξις . εἰμί κῶνος ἰσοσκελής , ὅς βάσις μέν ὁ ΑΒΓ κύκλος , κορυφή δέ ὁ △ σημεῖον , καί ἐγγράφω εἰς ὁ κῶνος πυραμίς βάσις ἔχω ἰσόπλευρος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ △Α , △Γ , △Β · λέγω ὅτι ὁ Α△Β , ΓΑ , Β△Γ τρίγωνος ἴσος εἰμί τρίγωνον , ὅς ὁ μέν βάσις ἴσος εἰμί ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , ὁ δέ ἀπό ὁ κορυφή ἐπί ὁ βάσις κάθετος ἴσος ὁ κάθετος ὁ ἀπό ὁ △ ἐπί ὁ ΒΓ ἄγω . ἄγω γάρ κάθετος ὁ △Κ , △Λ , △Μ · οὗτος ἄρα ἴσος ἀλλήλων εἰμί . καί κεῖμαι τρίγωνον ὁ ΕΖΗ ἔχω ὁ μέν ΕΖ βάσις ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσος , ὁ δέ ΗΘ κάθετος ὁ △Λ ἴσος . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ὁ ΒΓ , △Λ διπλάσιος εἰμί ὁ △ΒΓ τρίγωνον , εἰμί δέ καί ὁ μέν ὑπό ὁ ΑΒ , △Κ διπλάσιος ὁ ΑΒ△ τρίγωνον , ὁ δέ ὑπό ΑΓ , △Μ διπλάσιος ὁ ΓΑ τρίγωνον , ὁ ἄρα ὑπό ὁ περίμετρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , τουτέστι ὁ ΕΖ , καί ὁ △Λ , τουτέστι ὁ ΗΘ , διπλάσιος εἰμί ὁ Α△Β , Β△Γ , ΓΑ τρίγων . εἰμί δέ καί ὁ ὑπό ΕΖ , ΗΘ διπλάσιος ὁ ΕΖΗ τρίγωνον ἴσος ἄρα ὁ ΕΖΗ τρίγωνον ὁ Α△Β , Β△Γ , ΓΑ .