archimedes.de-sphaera-et-cylindro 1.25
Τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος εἰς τὴν σφαῖραν ἡ ἐπιφάνεια ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν κωνικῶν ἐπιφανειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ . Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καὶ ἐν αὐτῷ ἐγγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρον , οὗ αἱ πλευραὶ ὑπὸ τετράδος μετροῦνται , καὶ ἀπʼ αὐτοῦ νοείσθω ἐπιφάνεια ἡ ὑπὸ τῶν κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχομένη · λέγω ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγραφέντος ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτείνουσαι τοῦ πολυγώνου αἱ ΕΙ , ΘΜ καὶ ταύταις παράλληλοι αἱ ΖΚ , △Β , ΗΛ , ἐκκείσθω δέ τις κύκλος ὁ Ρ , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ΕΙ , ΖΚ , Β△ , ΗΛ , ΘΜ · διὰ δὴ τὸ προδειχθὲν ἴσος ἐστὶν ὁ κύκλος τῇ τοῦ εἰρημένου σχήματος ἐπιφανείᾳ . Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ἴση πάσαις ταῖς ΕΙ , ΖΚ , Β△ , ΗΛ , ΘΜ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου τὴν ΑΓ , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς εἰρημέναις καὶ τῆς ΕΑ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ κύκλου , ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ , ΓΕ . Ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΓ , ΓΕ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ · ἔλασσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄρα ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ τῆς ΑΓ · ὥστε ἡ διάμετρος τοῦ Ρ κύκλου ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία τῆς διαμέτρου τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου , καὶ δύο ἄρα τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου διάμετροι μείζους εἰσὶ τῆς διαμέτρου τοῦ Ρ κύκλου , καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου , τουτέστι τῆς ΑΓ , μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς τοῦ Ρ κύκλου διαμέτρου . Ὡς δὲ τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ Ρ κύκλου διαμέτρου , οὕτως τέσσαρες κύκλοι οἱ ΑΒΓ△ πρὸς τὸν Ρ κύκλον · τέσσαρες ἄρα κύκλοι οἱ ΑΒΓ△ μείζους εἰσὶν τοῦ Ρ · ὁ ἄρα κύκλος ὁ Ρ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλάσιος τοῦ μεγίστου κύκλου . Ὁ δὲ Ρ κύκλος ἴσος ἐδείχθη τῇ εἰρημένῃ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος · ἡ ἄρα ἐπιφάνεια τοῦ σχήματος ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ .
Lemmas: ὁ ἐγγράφω σχῆμα εἰς ὁ σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια ὁ περιέχω ὑπό ὁ κωνικός ἐπιφάνεια ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα . εἰμί ἐν σφαῖρα μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καί ἐν αὐτός ἐγγράφω πολύγωνος ἰσόπλευρος , ὅς ὁ πλευρά ὑπό τετράς μετρέω , καί ἀπό αὐτός νοέω ἐπιφάνεια ὁ ὑπό ὁ κωνικός ἐπιφάνεια περιέχω · λέγω ὅτι ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ὑπό δύο πλευρά ὑποτείνω ὁ πολύγωνον ὁ ΕΙ , ΘΜ καί οὗτος παράλληλος ὁ ΖΚ , △Β , ΗΛ , ἔκκειμαι δέ τις κύκλος ὁ Ρ , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμαι ὁ ὑπό ὁ ΕΑ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ΕΙ , ΖΚ , Β△ , ΗΛ , ΘΜ · διά δή ὁ προδείκνυμι ἴσος εἰμί ὁ κύκλος ὁ ὁ λέγω σχῆμα ἐπιφάνεια . καί ἐπεί δείκνυμι ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ἴσος πᾶς ὁ ΕΙ , ΖΚ , Β△ , ΗΛ , ΘΜ πρός ὁ διάμετρος ὁ κύκλος ὁ ΑΓ , οὕτως ὁ ΓΕ πρός ΕΑ , ὁ ἄρα ὑπό ὁ ἴσος πᾶς ὁ λέγω καί ὁ ΕΑ , τουτέστι ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ρ κύκλος , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , ΓΕ . ἀλλά καί ὁ ὑπό ΑΓ , ΓΕ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ρ ὁ ἀπό ὁ ΑΓ ἄρα εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ Ρ ὁ ΑΓ · ὥστε ὁ διάμετρος ὁ Ρ κύκλος ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος ὁ διάμετρος ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , καί δύο ἄρα ὁ ΑΒΓ△ κύκλος διάμετρος μέγας εἰμί ὁ διάμετρος ὁ Ρ κύκλος , καί ὁ τετράκις ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , τουτέστι ὁ ΑΓ , μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ὁ Ρ κύκλος διάμετρος . ὡς δέ ὁ τετράκις ἀπό ὁ ΑΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ὁ Ρ κύκλος διάμετρος , οὕτως τέσσαρες κύκλος ὁ ΑΒΓ△ πρός ὁ Ρ κύκλος · τέσσαρες ἄρα κύκλος ὁ ΑΒΓ△ μέγας εἰμί ὁ Ρ · ὁ ἄρα κύκλος ὁ Ρ ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος . ὁ δέ Ρ κύκλος ἴσος δείκνυμι ὁ λέγω ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα · ὁ ἄρα ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ἤ τετραπλάσιος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα .