archimedes.de-sphaera-et-cylindro 2.7
Ἀπὸ τῆς δοθείσης σφαίρας τμῆμα τεμεῖν ἐπιπέδῳ , ὥστε τὸ τμῆμα πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι καὶ ὕψος ἴσον τὸν δοθέντα λόγον ἔχειν . Ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα , ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δὲ αὐτῆς ἡ Β△ · δεῖ δὴ τὴν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν τῷ διὰ τῆς ΑΓ , ὅπως τὸ ΑΒΓ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν ΑΒΓ κῶνον λόγον ἔχῃ τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι . Γεγονέτω , καὶ ἔστω κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ε , καὶ ὡς συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΒ · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓΗ κῶνος τῷ ΑΒΓ τμήματι . Λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗΓ κώνου πρὸς τὸν ΑΒΓ κῶνον δοθείς · λόγος ἄρα τῆς ΗΖ πρὸς ΖΒ δοθείς . Ὡς δὲ ἡ ΗΖ πρὸς ΖΒ , συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ · λόγος ἄρα συναμφοτέρου τῆς Ε△Ζ πρὸς △Ζ δοθείς · ὥστε καὶ ἡ ΑΓ . Καὶ ἐπεὶ συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς △Β , καί ἐστιν συναμφότερος μὲν ἡ Ε△Β τρὶς ἡ Ε△ , ἡ δὲ Β△ δὶς ἡ Ε△ , συναμφότερος ἄρα ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει τρία πρὸς δύο . Καί ἐστιν ὁ συναμφοτέρου τῆς Ε△Ζ πρὸς Ζ△ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ δοθέντι · δεῖ ἄρα τὸν διδόμενον λόγον εἰς τὴν σύνθεσιν μείζονα εἶναι τοῦ ὃν ἔχει τρία πρὸς δύο . Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως · ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα , ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δὲ ἡ Β△ , κέντρον δὲ τὸ Ε , ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΘΚ πρὸς ΚΛ μείζων τοῦ ὃν ἔχει τρία πρὸς δύο . Ἔστι δέ , ὡς τρία πρὸς δύο , συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς △Β · καὶ ἡ ΘΚ ἄρα πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς △Β · διελόντι ἄρα ἡ ΘΛ πρὸς ΛΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε△ πρὸς △Β . Καὶ πεποιήσθω , ὡς ἡ ΘΛ πρὸς ΛΚ , οὕτως ἡ Ε△ πρὸς △Ζ , καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ Β△ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΖΓ , καὶ διὰ τῆς ΓΑ ἤχθω ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὴν Β△ · λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν ΑΒΓ κῶνον λόγον ἔχει τὸν αὐτὸν τῷ ΘΚ πρὸς ΚΛ . Πεποιήσθω γάρ , ὡς συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ , οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΒ ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΑΗ κῶνος τῷ ΑΒΓ τμήματι τῆς σφαίρας . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΘΚ πρὸς ΚΛ , οὕτως συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ , τουτέστιν ἡ ΗΖ πρὸς ΖΒ . τουτέστιν ὁ ΑΗΓ κῶνος πρὸς τὸν ΑΒΓ κῶνον , ἴσος δὲ ὁ ΑΗΓ κῶνος τῷ ΑΒΓ τμήματι τῆς σφαίρας , ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸν ΑΒΓ κῶνον , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΛ .
Lemmas: ἀπό ὁ δίδωμι σφαῖρα τμῆμα τέμνω ἐπίπεδος , ὥστε ὁ τμῆμα πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος ὁ δίδωμι λόγος ἔχω . εἰμί ὁ δίδωμι σφαῖρα , ὅς μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ Β△ · δέω δή ὁ σφαῖρα ἐπίπεδος τέμνω ὁ διά ὁ ΑΓ , ὅπως ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ὁ ΑΒΓ κῶνος λόγος ἔχω ὁ αὐτός ὁ δίδωμι . γίγνομαι , καί εἰμί κέντρον ὁ σφαῖρα ὁ Ε , καί ὡς συναμφότεροι ὁ ΕΖ πρός △Ζ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ΖΒ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΑΓΗ κῶνος ὁ ΑΒΓ τμῆμα . λόγος ἄρα καί ὁ ΑΗΓ κῶνος πρός ὁ ΑΒΓ κῶνος δίδωμι · λόγος ἄρα ὁ ΗΖ πρός ΖΒ δίδωμι . ὡς δέ ὁ ΗΖ πρός ΖΒ , συναμφότεροι ὁ ΕΖ πρός △Ζ · λόγος ἄρα συναμφότεροι ὁ ΕΖ πρός △Ζ δίδωμι · ὥστε καί ὁ ΑΓ . καί ἐπεί συναμφότεροι ὁ ΕΖ πρός △Ζ μέγας λόγος ἔχω ἤ συναμφότεροι ὁ ΕΒ πρός △Β , καί εἰμί συναμφότεροι μέν ὁ ΕΒ τρίς ὁ Ε△ , ὁ δέ Β△ δίς ὁ Ε△ , συναμφότεροι ἄρα ὁ ΕΖ πρός △Ζ μέγας λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω τρεῖς πρός δύο . καί εἰμί ὁ συναμφότεροι ὁ ΕΖ πρός Ζ△ λόγος ὁ αὐτός ὁ δίδωμι · δέω ἄρα ὁ δίδωμι λόγος εἰς ὁ σύνθεσις μέγας εἰμί ὁ ὅς ἔχω τρεῖς πρός δύο . συντίθημι δή ὁ πρόβλημα οὕτως · εἰμί ὁ δίδωμι σφαῖρα , ὅς μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δέ ὁ Β△ , κέντρον δέ ὁ Ε , ὁ δέ δίδωμι λόγος ὁ ὁ ΘΚ πρός ΚΛ μέγας ὁ ὅς ἔχω τρεῖς πρός δύο . εἰμί δέ , ὡς τρεῖς πρός δύο , συναμφότεροι ὁ ΕΒ πρός △Β · καί ὁ ΘΚ ἄρα πρός ΚΛ μέγας λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ ΕΒ πρός △Β · διαιρέω ἄρα ὁ ΘΛ πρός ΛΚ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ Ε△ πρός △Β . καί ποιέω , ὡς ὁ ΘΛ πρός ΛΚ , οὕτως ὁ Ε△ πρός △Ζ , καί διά ὁ Ζ ὁ Β△ πρός ὀρθός ἄγω ὁ ΑΖΓ , καί διά ὁ ΓΑ ἄγω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ Β△ · λέγω ὅτι ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ὁ ΑΒΓ κῶνος λόγος ἔχω ὁ αὐτός ὁ ΘΚ πρός ΚΛ . ποιέω γάρ , ὡς συναμφότεροι ὁ ΕΖ πρός △Ζ , οὕτως ὁ ΗΖ πρός ΖΒ ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΓΑΗ κῶνος ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΘΚ πρός ΚΛ , οὕτως συναμφότεροι ὁ ΕΖ πρός △Ζ , τουτέστι ὁ ΗΖ πρός ΖΒ . τουτέστι ὁ ΑΗΓ κῶνος πρός ὁ ΑΒΓ κῶνος , ἴσος δέ ὁ ΑΗΓ κῶνος ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ σφαῖρα , ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓ τμῆμα πρός ὁ ΑΒΓ κῶνος , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ΚΛ .