archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.9
Εἴ κα τέσσαρες γραμμαὶ ἀνάλογον ἔωντι ἐν τᾷ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἁ ἐλαχίστα ποτὶ τὰν ὑπεροχάν , ᾇ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶς ἐλαχίστας , τοῦτον ἔχουσά τις λαφθῇ ποτὶ τὰ τρία πεμπταμόρια τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶν ἀνάλογον τᾶς τρίτας , ὃν δὲ ἔχει λόγον ἁ ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς μεγίστας τᾶν ἀνάλογον καὶ τᾷ τετραπλασίᾳ τᾶς δευτέρας καὶ τᾷ ἑξαπλασίᾳ τᾶς τρίτας καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς τετάρτας ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ τε πενταπλασίᾳ τᾶς μεγίστας καὶ τᾷ δεκαπλασίᾳ τᾶς δευτέρας καὶ τᾷ δεκαπλασίᾳ τᾶς τρίτας καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς τετάρτας , τοῦτον ἔχουσά τις λαφθῇ ποτὶ τὰν ὑπεροχάν , ᾇ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶν ἀνάλογον τᾶς τρίτας , συναμφότεραι αἱ λαφθεῖσαι ἐσσοῦνται δύο πεμπταμόρια τᾶς μεγίστας . Ἔστωσαν τέσσαρες γραμμαὶ ἀνάλογον αἱ ΑΒ , ΒΓ , Β△ , ΒΕ , καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἁ ΒΕ ποτὶ ΕΑ , τοῦτον ἐχέτω ἁ ΖΗ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς Α△ , ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ἴσα τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ τετραπλασίᾳ τᾶς ΒΓ καὶ ἑξαπλασίᾳ τᾶς Β△ καὶ τριπλασίᾳ τᾶς ΒΕ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ δεκαπλασίᾳ τᾶς ΓΒ καὶ δεκαπλασίᾳ τᾶς Β△ καὶ πενταπλασίᾳ τᾶς ΒΕ , τοῦτον ἐχέτω τὸν λόγον ἁ ΗΘ ποτὶ τὰν Α△ . Δεικτέον ὅτι ἁ ΖΘ δύο πενταμόριά ἐντι τᾶς ΑΒ . Ζ Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν ἐντι αἱ ΑΒ , ΒΓ , Β△ , ΒΕ , καὶ αἱ ΑΓ , Γ△ , △Ε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐντί , καὶ συναμφότερος ἁ ΑΒ , ΒΓ ποτὶ τὰν Β△ , τουτέστιν ἁ διπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΓ ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς Β△ , ἔχει τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Ε , καὶ συναμφότερος ἁ △Β , ΒΓ ποτὶ τὰν ΕΒ , καὶ πάντα ποτὶ πάντα τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Ε , ὃν ἁ ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς ΓΒ καὶ τᾷ △Β ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς Β△ καὶ τᾷ ΒΕ , ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ τᾷ τετραπλασίᾳ τᾶς ΒΓ καὶ τᾷ τετραπλασίᾳ τᾶς Β△ καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ΒΕ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς △Β καὶ τᾷ ΕΒ , τοῦτον ἕξει ἁ △Α ποτὶ ἐλάσσονα τᾶς △Ε . Ἐχέτω οὖν ποτὶ △Ο . Καὶ ἀμφότεραι δὲ ποτὶ τὰς πρώτας τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ἕξει οὖν ἁ ΟΑ ποτὶ Α△ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ τετραπλασίᾳ τᾶς ΓΒ καὶ ἑξαπλασίᾳ τᾶς Β△ καὶ τριπλασίᾳ τᾶς ΒΕ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρας τᾶς ΑΒ , ΕΒ καὶ τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ . Ἔχει δὲ καὶ ἁ Α△ ποτὶ ΗΘ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ πενταπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ μετὰ τᾶς δεκαπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΑΒ καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶς ΓΒ καὶ τᾶς τριπλασίας τᾶς ΕΒ καὶ ἑξαπλασίας τᾶς Β△ ἀνομοίως δὲ τῶν λόγων τεταγμένων , τουτέστιν ἐν τεταραγμένᾳ ἀναλογίᾳ , διʼ ἴσου τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ ΟΑ ποτὶ ΗΘ , ὃν ἁ πενταπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ μετὰ τᾶς δεκαπλασίας τᾶν ΓΒ , Β△ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ καὶ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ . Ἀλλʼ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς πενταπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ μετὰ τᾶς δεκαπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ καὶ τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ λόγον ἔχει , ὃν πέντε ποτὶ δύο · καὶ ἁ ΑΟ ἄρα ποτὶ ΗΘ λόγον ἔχει , ὃν πέντε ποτὶ δύο . Πάλιν , ἐπεὶ ἁ Ο△ ποτὶ △Α τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ΕΒ μετὰ τᾶς διπλασίας τᾶς Β△ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ συγκειμένᾳ ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ , ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἁ Α△ ποτὶ △Ε , οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΑΒ καὶ τριπλασίας τᾶς ΓΒ καὶ τᾶς Β△ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ τε ΕΒ καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς Β△ , ἀνομοίως οὖν τῶν λόγων τεταγμένων , τουτέστιν τεταραγμένας ἐούσας τᾶς ἀναλογίας , διʼ ἴσου ὡς ἁ Ο△ ποτὶ △Ε , οὕτως ἁ διπλασία τᾶς ΑΒ μετὰ τᾶς τριπλασίας τᾶς ΒΓ καὶ ἁ Β△ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἐκ τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶν ΓΒ , Β△ ὥστε καὶ ὡς ἁ ΟΕ ποτὶ Ε△ ἐστίν , οὕτως ἁ ΓΒ μετὰ τᾶς τριπλασίας τᾶς Β△ καὶ διπλασίας τᾶς ΕΒ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ καὶ τετραπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ . Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἁ △Ε ποτὶ ΕΒ , οὕτως ἅ τε ΑΓ ποτὶ ΓΒ , ἐπεὶ καὶ κατὰ σύνθεσιν , καὶ ἁ τριπλασία τᾶς Γ△ ποτὶ τὰν τριπλασίαν τᾶς △Β καὶ ἁ διπλασία τᾶς △Ε ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς ΕΒ ὥστε καὶ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς ΑΓ καὶ τριπλασίας τᾶς Γ△ καὶ διπλασίας τᾶς △Ε ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς ΓΒ καὶ τριπλασίας τᾶς △Β καὶ διπλασίας τᾶς ΕΒ . Ἀνομοίως οὖν πάλιν τῶν λόγων τεταγμένων , τουτέστιν ἐν τεταραγμένᾳ ἀναλογίᾳ , διʼ ἴσου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ ΕΟ ποτὶ ΕΒ , ὃν ἁ ΑΓ μετὰ τᾶς τριπλασίας τᾶς Γ△ καὶ διπλασίας τᾶς △Ε ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ ὅλα οὖν ἁ ΟΒ ποτὶ ΒΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ἴσα τᾷ τε τριπλασίᾳ τᾶς ΑΒ μετὰ τᾶς ἑξαπλασίας τᾶς ΓΒ καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς Β△ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΕ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , Β△ . Καὶ ἐπεὶ αἵ τε Ε△ , △Γ , ΓΑ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐντὶ καὶ συναμφότερος ἑκάστα τᾶν ΕΒ , Β△ , △Β , ΒΓ , ΓΒ , ΒΑ , ἐσσεῖται καὶ ὡς ἁ Ε△ ποτὶ △Α , οὕτως συναμφότερος ἁ ΕΒ , Β△ ποτὶ συναμφότερον τὰν △Β , ΒΓ μετὰ τᾶς συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ , ΒΑ . Καὶ συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἁ ΑΕ ποτὶ Α△ , οὕτως συναμφότερος ἁ ΕΒ , Β△ μετὰ συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ , ΒΓ καὶ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ△ , ὅ ἐστι συναμφότερος ἁ ΕΒΑ μετὰ τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς △ΒΓ ποτὶ συναμφότερον τὰν Β△ , ΒΑ μετὰ τᾶς διπλασίας τᾶς ΒΓ · ὥστε καὶ ἁ διπλασία ποτὶ τὰν διπλασίαν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον , τουτέστιν ὡς ἁ ΕΑ ποτὶ Α△ , οὕτως ἁ διπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΕΒΑ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ△ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ△ μετὰ τᾶς τετραπλασίας τᾶς ΓΒ ὥστε καὶ ὡς ἁ ΕΑ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς Α△ , οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒΕ καὶ τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ△ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ△ καὶ τετραπλασίας τᾶς ΓΒ . Ἀλλʼ ὡς ἁ ΕΑ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς Α△ , οὕτως ἐστὶν ἁ ΕΒ ποτὶ ΖΗ · καὶ ὡς ἄρα ἁ ΕΒ ποτὶ ΖΗ , οὕτως ἁ διπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΑΒΕ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς △ΒΓ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ△ μετὰ τᾶς τετραπλασίας τᾶς ΓΒ . Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἁ ΟΒ ποτὶ ΕΒ , οὕτως ἁ τριπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ△ μετὰ τᾶς ἑξαπλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒΕ καὶ τετραπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ△ . Καὶ διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἁ ΟΒ ποτὶ ΖΗ , οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς τριπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ△ καὶ ἑξαπλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ△ καὶ τετραπλασίας τᾶς ΓΒ . Ἀλλὰ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς τριπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ△ καὶ ἑξαπλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ μὲν τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ△ καὶ τετραπλασίας τᾶς ΓΒ λόγον ἔχει , ὃν τρία ποτὶ δύο , ποτὶ δὲ τὰ τρία πέμπτα τᾶς αὐτᾶς λόγον ἔχει , ὃν πέντε ποτὶ δύο ἐδείχθη δὲ καὶ ἁ ΑΟ ποτὶ ΗΘ λόγον ἔχουσα , ὃν πέντε ποτὶ δύο · καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΒΑ ποτὶ ὅλαν τὰν ΖΘ λόγον ἔχει , ὃν πέντε ποτὶ δύο . Εἰ δὲ τοῦτο , δύο πεμπταμόριά ἐντι ἁ ΖΘ τᾶς ΑΒ ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰ ἄν τέσσαρες γραμμή ἀνάλογος εἰμί ἐν ὁ συνεχής ἀναλογία , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ἐλαχύς πρός ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς , οὗτος ἔχω τις λάπτω πρός ὁ τρεῖς πεμπταμόριον ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ μέγας ὁ ἀνάλογος ὁ τρίτος , ὅς δέ ἔχω λόγος ὁ ἴσος ὁ τε διπλάσιος ὁ μέγας ὁ ἀνάλογος καί ὁ τετραπλάσιος ὁ δεύτερος καί ὁ ἑξαπλάσιος ὁ τρίτος καί ὁ τριπλάσιος ὁ τέταρτος πρός ὁ ἴσος ὁ τε πενταπλάσιος ὁ μέγας καί ὁ δεκαπλάσιος ὁ δεύτερος καί ὁ δεκαπλάσιος ὁ τρίτος καί ὁ πενταπλάσιος ὁ τέταρτος , οὗτος ἔχω τις λάπτω πρός ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ μέγας ὁ ἀνάλογος ὁ τρίτος , συναμφότεροι ὁ λάπτω εἰσσέω δύο πεμπταμόριος ὁ μέγας . εἰμί τέσσαρες γραμμή ἀνάλογος ὁ ΑΒ , ΒΓ , Β△ , ΒΕ , καί ὅς μέν ἔχω λόγος ὁ ΒΕ πρός ΕΑ , οὗτος ἔχω ὁ ΖΗ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ Α△ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ἴσος ὁ διπλάσιος ὁ ΑΒ καί τετραπλάσιος ὁ ΒΓ καί ἑξαπλάσιος ὁ Β△ καί τριπλάσιος ὁ ΒΕ πρός ὁ ἴσος ὁ πενταπλάσιος ὁ ΑΒ καί δεκαπλάσιος ὁ ΓΒ καί δεκαπλάσιος ὁ Β△ καί πενταπλάσιος ὁ ΒΕ , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ ΗΘ πρός ὁ Α△ . δείκνυμι ὅτι ὁ ΖΘ δύο πενταμόριος εἰμί ὁ ΑΒ . Ζ Ἐπεί γάρ ἀνάλογος εἰμί ὁ ΑΒ , ΒΓ , Β△ , ΒΕ , καί ὁ ΑΓ , Γ△ , △Ε ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί , καί συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΓ πρός ὁ Β△ , τουτέστι ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΓ πρός ὁ διπλάσιος ὁ Β△ , ἔχω ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Α△ πρός ὁ △Ε , καί συναμφότεροι ὁ △Β , ΒΓ πρός ὁ ΕΒ , καί πᾶς πρός πᾶς ὁ αὐτός ἄρα λόγος ἔχω ὁ Α△ πρός ὁ △Ε , ὅς ὁ ἴσος ὁ τε διπλάσιος ὁ ΑΒ καί ὁ τριπλάσιος ὁ ΓΒ καί ὁ △Β πρός ὁ ἴσος ὁ τε διπλάσιος ὁ Β△ καί ὁ ΒΕ , ὁ δέ λόγος ἔχω ὁ ἴσος ὁ τε διπλάσιος ὁ ΑΒ καί ὁ τετραπλάσιος ὁ ΒΓ καί ὁ τετραπλάσιος ὁ Β△ καί ὁ διπλάσιος ὁ ΒΕ πρός ὁ ἴσος ὁ τε διπλάσιος ὁ △Β καί ὁ ΕΒ , οὗτος ἔχω ὁ △Α πρός ἐλαχύς ὁ △Ε . ἔχω οὖν πρός △Ο . καί ἀμφότερος δέ πρός ὁ πρῶτος ὁ αὐτός ἔχω λόγος ἔχω οὖν ὁ ΟΑ πρός Α△ ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ἴσος ὁ τε διπλάσιος ὁ ΑΒ καί τετραπλάσιος ὁ ΓΒ καί ἑξαπλάσιος ὁ Β△ καί τριπλάσιος ὁ ΒΕ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΕΒ καί τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ . ἔχω δέ καί ὁ Α△ πρός ΗΘ ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ πενταπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ μετά ὁ δεκαπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος ὁ ΑΒ καί ὁ τετραπλάσιος ὁ ΓΒ καί ὁ τριπλάσιος ὁ ΕΒ καί ἑξαπλάσιος ὁ Β△ ἀνόμοιος δέ ὁ λόγος τάσσω , τουτέστι ἐν ταράσσω ἀναλογία , διά ἴσος ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΟΑ πρός ΗΘ , ὅς ὁ πενταπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ μετά ὁ δεκαπλάσιος ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί ὁ τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ . ἀλλά ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ πενταπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ μετά ὁ δεκαπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο · καί ὁ ΑΟ ἄρα πρός ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο . πάλιν , ἐπεί ὁ Ο△ πρός △Α ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΕΒ μετά ὁ διπλάσιος ὁ Β△ πρός ὁ ἴσος ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ μετά ὁ τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ , εἰμί δέ καί ὡς ὁ Α△ πρός △Ε , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος ὁ ΑΒ καί τριπλάσιος ὁ ΓΒ καί ὁ Β△ πρός ὁ ἴσος ὁ τε ΕΒ καί ὁ διπλάσιος ὁ Β△ , ἀνόμοιος οὖν ὁ λόγος τάσσω , τουτέστι ταράσσω εἰμί ὁ ἀναλογία , διά ἴσος ὡς ὁ Ο△ πρός △Ε , οὕτως ὁ διπλάσιος ὁ ΑΒ μετά ὁ τριπλάσιος ὁ ΒΓ καί ὁ Β△ πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί ὁ τετραπλάσιος ὁ ΓΒ , Β△ ὥστε καί ὡς ὁ ΟΕ πρός Ε△ εἰμί , οὕτως ὁ ΓΒ μετά ὁ τριπλάσιος ὁ Β△ καί διπλάσιος ὁ ΕΒ πρός ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ καί τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ △Ε πρός ΕΒ , οὕτως ὁ τε ΑΓ πρός ΓΒ , ἐπεί καί κατά σύνθεσις , καί ὁ τριπλάσιος ὁ Γ△ πρός ὁ τριπλάσιος ὁ △Β καί ὁ διπλάσιος ὁ △Ε πρός ὁ διπλάσιος ὁ ΕΒ ὥστε καί ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ΑΓ καί τριπλάσιος ὁ Γ△ καί διπλάσιος ὁ △Ε πρός ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ ΓΒ καί τριπλάσιος ὁ △Β καί διπλάσιος ὁ ΕΒ . ἀνόμοιος οὖν πάλιν ὁ λόγος τάσσω , τουτέστι ἐν ταράσσω ἀναλογία , διά ἴσος ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΕΟ πρός ΕΒ , ὅς ὁ ΑΓ μετά ὁ τριπλάσιος ὁ Γ△ καί διπλάσιος ὁ △Ε πρός ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ μετά ὁ τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ ὅλος οὖν ὁ ΟΒ πρός ΒΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἴσος ὁ τε τριπλάσιος ὁ ΑΒ μετά ὁ ἑξαπλάσιος ὁ ΓΒ καί ὁ τριπλάσιος ὁ Β△ πρός ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΕ μετά ὁ τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ , Β△ . καί ἐπεί ὁ τε Ε△ , △Γ , ΓΑ ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί καί συναμφότεροι ἕκαστος ὁ ΕΒ , Β△ , △Β , ΒΓ , ΓΒ , ΒΑ , εἰμί καί ὡς ὁ Ε△ πρός △Α , οὕτως συναμφότεροι ὁ ΕΒ , Β△ πρός συναμφότεροι ὁ △Β , ΒΓ μετά ὁ συναμφότεροι ὁ ΓΒ , ΒΑ . καί συντίθημι ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΕ πρός Α△ , οὕτως συναμφότεροι ὁ ΕΒ , Β△ μετά συναμφότεροι ὁ ΑΒ , ΒΓ καί συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ , ὅς εἰμί συναμφότεροι ὁ ΕΒΑ μετά ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ △ΒΓ πρός συναμφότεροι ὁ Β△ , ΒΑ μετά ὁ διπλάσιος ὁ ΒΓ · ὥστε καί ὁ διπλάσιος πρός ὁ διπλάσιος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , τουτέστι ὡς ὁ ΕΑ πρός Α△ , οὕτως ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΕΒΑ μετά ὁ τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ πρός ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ μετά ὁ τετραπλάσιος ὁ ΓΒ ὥστε καί ὡς ὁ ΕΑ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ Α△ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ καί τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί τετραπλάσιος ὁ ΓΒ . ἀλλά ὡς ὁ ΕΑ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ Α△ , οὕτως εἰμί ὁ ΕΒ πρός ΖΗ · καί ὡς ἄρα ὁ ΕΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ μετά ὁ τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ △ΒΓ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ μετά ὁ τετραπλάσιος ὁ ΓΒ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΟΒ πρός ΕΒ , οὕτως ὁ τριπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ μετά ὁ ἑξαπλάσιος ὁ ΓΒ πρός ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒΕ καί τετραπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΓΒ△ . καί διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΟΒ πρός ΖΗ , οὕτως ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ τριπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί ἑξαπλάσιος ὁ ΓΒ πρός ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί τετραπλάσιος ὁ ΓΒ . ἀλλά ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ τριπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί ἑξαπλάσιος ὁ ΓΒ πρός μέν ὁ σύγκειμαι ἐκ τε ὁ διπλάσιος συναμφότεροι ὁ ΑΒ△ καί τετραπλάσιος ὁ ΓΒ λόγος ἔχω , ὅς τρεῖς πρός δύο , πρός δέ ὁ τρεῖς πέμπτος ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο δείκνυμι δέ καί ὁ ΑΟ πρός ΗΘ λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο · καί ὅλος ἄρα ὁ ΒΑ πρός ὅλος ὁ ΖΘ λόγος ἔχω , ὅς πέντε πρός δύο . εἰ δέ οὗτος , δύο πεμπταμόριον εἰμί ὁ ΖΘ ὁ ΑΒ ὅς δέω δείκνυμι .