archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.13
Παντὸς τριγώνου τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας , ἅ ἐστιν ἐκ τᾶς γωνίας ἐπὶ μέσαν ἀγομένα τὰν βάσιν . Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ ἁ Α△ ἐπὶ μέσαν τὰν ΒΓ βάσιν · δεικτέον ὅτι ἐπὶ τᾶς Α△ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ . Μὴ γάρ , ἀλλʼ , εἰ δυνατόν , ἔστω τὸ Θ , καὶ διʼ αὐτοῦ παρὰ τὰν ΒΓ ἀχθῶ ἁ ΘΙ . Ἀεὶ δὴ δίχα τεμνομένας τᾶς △Γ ἐσσεῖταί ποκα ἁ καταλειπομένα ἐλάσσων τᾶς ΘΙ · καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τᾶν Β△ , △Γ ἐς τὰς ἴσας , καὶ διὰ τᾶν τομᾶν παρὰ τὰν Α△ ἄχθωσαν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ , ΗΚ , ΛΜ · ἐσσοῦνται δὴ αὗται παρὰ τὰν ΒΓ . Τοῦ δὴ παραλληλογράμμου τοῦ μὲν ΜΝ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΥΣ , τοῦ δὲ ΚΞ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΤΥ , τοῦ δὲ ΖΟ ἐπὶ τᾶς Τ△ · τοῦ ἄρα ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς Σ△ εὐθείας . Ἔστω δὴ τὸ Ρ , καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΡΘ καὶ ἐκβεβλήσθω , καὶ ἄχθω παρὰ τὰν Α△ ἁ ΓΦ . Τὸ δὴ Α△Γ ποτὶ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΜ , ΜΚ , ΚΖ , ΖΓ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τῷ Α△Γ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ , διὰ τὸ ἴσας εἶμεν τὰς ΑΜ , ΜΚ , ΖΓ , ΚΖ . Ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ Α△Β τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΛ , ΛΗ , ΗΕ , ΕΒ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τρίγωνα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ΒΑ ποτὶ ΑΛ , τὸ ἄρα △ΒΓ τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ εἰρημένα τρίγωνα τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ . Ἀλλὰ ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΦΡ ποτὶ ΡΘ · ὁ γὰρ τᾶς ΓΑ ποτὶ ΑΜ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τᾶς ΦΡ ποτὶ ΡΠ · καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον ποτὶ τὰ εἰρημένα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΦΡ ποτὶ ΡΘ ὥστε καὶ διελόντι τὰ ΜΝ . ΚΞ , ΖΟ παραλληλόγραμμα ποτὶ τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΦΘ ποτὶ ΘΡ . Γεγονέτω οὖν ἐν τῷ τῶν παραλληλογράμμων ποτὶ τὰ τρίγωνα λόγῳ ἁ ΧΘ ποτὶ ΘΡ . Ἐπεὶ οὖν ἔστι τι μέγεθος τὸ ΑΒΓ , οὗ τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ , καὶ ἀφῄρηται ἀπʼ αὐτοῦ μέγεθος τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ΜΝ . ΚΞ , ΖΟ παραλληλογράμμων , καί ἐστιν τοῦ ἀφῃρημένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ σαμεῖον , τοῦ ἄρα λοιποῦ μεγέθεος τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν περιλειπομένων τριγώνων κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΡΘ εὐθείας ἐκβληθείσας καὶ ἀπολαφθείσας ποτὶ τὰν ΘΡ τοῦτον ἐχούσας τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὸ ἀφαιρεθὲν μέγεθος ποτὶ τὸ λοιπόν , Τὸ ἄρα Χ σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ συγκειμένου μεγέθεος ἐκ τῶν περιλειπομένων ὅπερ ἀδύνατον · τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Χ εὐθείας παρὰ τὰν Α△ ἀγομένας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ ταὐτὰ πάντα ἐντί . Δῆλον οὖν τὸ προτεθέν . ΑΛΛΩΣ ΤΟ ΑΥΤΟ Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἄχθω ἁ Α△ ἐπὶ μέσαν τὰν ΒΓ · λέγω ὅτι ἐπὶ τᾶς Α△ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . Μὴ γάρ , ἀλλʼ , εἰ δυνατόν , ἔστω τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΑΘ , ΘΒ , ΘΓ καὶ αἱ Ε△ , ΖΕ ἐπὶ μέσας τὰς ΒΑ , ΑΓ , καὶ παρὰ τὰν ΑΘ ἄχθωσαν αἱ ΕΚ , ΖΛ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ , Λ△ , △Κ , △Θ , ΜΝ . Ἐπεὶ ὁμοῖόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ △ΖΓ τριγώνῳ διὰ τὸ παράλληλον εἶμεν τὰν ΒΑ τᾷ Ζ△ , καί ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ σαμεῖον , καὶ τοῦ Ζ△Γ ἄρα τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Λ σαμεῖον ὁμοίως γάρ ἐντι κείμενα τὰ Θ , Λ σαμεῖα ἐν ἑκατέρῳ τῶν τριγώνων . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῦ ΕΒ△ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Κ σαμεῖον · ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΕΒ△ , Ζ△Γ τριγώνων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ μέσας τᾶς ΚΛ εὐθείας . Καί ἐστιν τᾶς ΚΛ μέσον τὸ Ν , ἐπεί ἐστιν ὡς ἁ ΒΕ ποτὶ ΕΑ , οὕτως ἁ ΒΚ ποτὶ ΘΚ , ὡς δὲ ἁ ΓΖ ποτὶ ΖΑ , οὕτως ἁ ΓΛ ποτὶ ΛΘ · εἰ δὲ τοῦτο , ἔστιν ἁ ΒΓ τᾷ ΚΛ παράλληλος . Καὶ ἐπέζευκται ἁ △Θ · ἔστιν ἄρα ὡς ἁ Β△ ποτὶ △Γ , οὕτως ἁ ΚΝ ποτὶ τὰν ΝΛ · ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν εἰρημένων τριγώνων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τὸ Ν . Ἔστιν δὲ καὶ τοῦ ΑΕ△Ζ παραλληλογράμμου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ σαμεῖον ὥστε τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΜΝ εὐθείας . Ἔστιν δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ σαμεῖον ἁ ΜΝ ἄρα ἐκβαλλομένα πορεύεται διὰ τοῦ Θ σαμείου · ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου οὐκ ἔστιν ἐπὶ τᾶς Α△ εὐθείας ἔστιν ἄρα ἐπʼ αὐτᾶς .
Lemmas: πᾶς τρίγωνον ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί ἐκ ὁ γωνία ἐπί μέσος ἄγω ὁ βάσις . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ καί ἐν αὐτός ὁ Α△ ἐπί μέσος ὁ ΒΓ βάσις · δείκνυμι ὅτι ἐπί ὁ Α△ ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ . μή γάρ , ἀλλά , εἰ δυνατός , εἰμί ὁ Θ , καί διά αὐτός παρά ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΘΙ . ἀεί δή δίχα τέμνω ὁ △Γ εἰμί ποτέ ὁ καταλείπω ἐλαχύς ὁ ΘΙ · καί διαιρέω ἑκάτερος ὁ Β△ , △Γ εἰς ὁ ἴσος , καί διά ὁ τομή παρά ὁ Α△ ἄγω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ , ΗΚ , ΛΜ · εἰμί δή οὗτος παρά ὁ ΒΓ . ὁ δή παραλληλόγραμμος ὁ μέν ΜΝ ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ ΥΣ , ὁ δέ ΚΞ ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΤΥ , ὁ δέ ΖΟ ἐπί ὁ Τ△ · ὁ ἄρα ἐκ πᾶς σύγκειμαι μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ Σ△ εὐθεῖα . εἰμί δή ὁ Ρ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΡΘ καί ἐκβάλλω , καί ἄγω παρά ὁ Α△ ὁ ΓΦ . ὁ δή ΓΑ πρός πᾶς ὁ τρίγων ὁ ἀπό ὁ ΑΜ , ΜΚ , ΚΖ , ΖΓ ἀναγράφω ὅμοιος ὁ ΓΑ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΓΑ πρός ΑΜ , διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΑΜ , ΜΚ , ΖΓ , ΚΖ . ἐπεί δέ καί ὁ Α△Β τρίγωνον πρός πᾶς ὁ ἀπό ὁ ΑΛ , ΛΗ , ΗΕ , ΕΒ ἀναγράφω ὅμοιος τρίγωνος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΒΑ πρός ΑΛ , ὁ ἄρα △ΒΓ τρίγωνον πρός πᾶς ὁ λέγω τρίγωνος οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΓΑ πρός ΑΜ . ἀλλά ὁ ΓΑ πρός ΑΜ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΦΡ πρός ΡΘ · ὁ γάρ ὁ ΓΑ πρός ΑΜ λόγος ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΦΡ πρός ΡΠ · καί ὁ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρός ὁ λέγω μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΦΡ πρός ΡΘ ὥστε καί διαιρέω ὁ ΜΝ . ΚΞ , ΖΟ παραλληλόγραμμος πρός ὁ καταλείπω τρίγωνος μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΦΘ πρός ΘΡ . γίγνομαι οὖν ἐν ὁ ὁ παραλληλόγραμμος πρός ὁ τρίγωνος λόγος ὁ ΧΘ πρός ΘΡ . ἐπεί οὖν εἰμί τις μέγεθος ὁ ΑΒΓ , ὅς ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Θ , καί ἀφαιρέω ἀπό αὐτός μέγεθος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ ΜΝ . ΚΞ , ΖΟ παραλληλόγραμμος , καί εἰμί ὁ ἀφαιρέω μέγεθος κέντρον ὁ βάρος ὁ Ρ σαμεῖον , ὁ ἄρα λοιπός μέγεθος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ περιλείπομαι τρίγων κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΡΘ εὐθεῖα ἐκβάλλω καί ἀπολάπτω πρός ὁ ΘΡ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ἀφαιρέω μέγεθος πρός ὁ λοιπός , Τό ἄρα Χ σαμεῖον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ σύγκειμαι μέγεθος ἐκ ὁ περιλείπομαι ὅς ἀδύνατος · ὁ γάρ διά ὁ Χ εὐθεῖα παρά ὁ Α△ ἄγω ἐν ὁ ἐπίπεδος ἐπί αὐτός πᾶς εἰμί . δῆλος οὖν ὁ προτίθημι . ἄλλως ὁ αὐτός εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , καί ἄγω ὁ Α△ ἐπί μέσος ὁ ΒΓ · λέγω ὅτι ἐπί ὁ Α△ ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . μή γάρ , ἀλλά , εἰ δυνατός , εἰμί ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ τε ΑΘ , ΘΒ , ΘΓ καί ὁ Ε△ , ΖΕ ἐπί μέσος ὁ ΒΑ , ΑΓ , καί παρά ὁ ΑΘ ἄγω ὁ ΕΚ , ΖΛ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΚΛ , Λ△ , △Κ , △Θ , ΜΝ . ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ △ΖΓ τρίγωνον διά ὁ παράλληλος εἰμί ὁ ΒΑ ὁ Ζ△ , καί εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ σαμεῖον , καί ὁ Ζ△Γ ἄρα τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Λ σαμεῖον ὅμοιος γάρ εἰμί κεῖμαι ὁ Θ , Λ σαμεῖον ἐν ἑκάτερος ὁ τρίγων . διά ὁ αὐτός δή καί ὁ ΕΒ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Κ σαμεῖον · ὥστε ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΕΒ , Ζ△Γ τρίγων σύγκειμαι μέγεθος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί μέσος ὁ ΚΛ εὐθεῖα . καί εἰμί ὁ ΚΛ μέσος ὁ Ν , ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΕ πρός ΕΑ , οὕτως ὁ ΒΚ πρός ΘΚ , ὡς δέ ὁ ΓΖ πρός ΖΆ , οὕτως ὁ ΓΛ πρός ΛΘ · εἰ δέ οὗτος , εἰμί ὁ ΒΓ ὁ ΚΛ παράλληλος . καί ἐπιζεύγνυμι ὁ △Θ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ Β△ πρός △Γ , οὕτως ὁ ΚΝ πρός ὁ ΝΛ · ὥστε ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ λέγω τρίγων σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ Ν . εἰμί δέ καί ὁ ΑΕΖ παραλληλόγραμμος κέντρον ὁ βάρος ὁ Μ σαμεῖον ὥστε ὁ ἐκ πᾶς σύγκειμαι μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΜΝ εὐθεῖα . εἰμί δέ καί ὁ ΑΒΓ κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ σαμεῖον ὁ ΜΝ ἄρα ἐκβάλλω πορεύω διά ὁ Θ σαμεῖον · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον οὐ εἰμί ἐπί ὁ Α△ εὐθεῖα εἰμί ἄρα ἐπί αὐτός .