archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.8
Παντὸς τμάματος περιεχομένου ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὸ κέντρον τοῦ βάρεος διαιρεῖ τὰν τοῦ τμάματος διάμετρον , ὥστε εἶμεν ἁμιόλιον τὸ μέρος αὐτᾶς τὸ ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ τμάματος τοῦ ποτὶ τᾷ βάσει . Ἔστω τὸ ΑΒΓ τμᾶμα οἷον εἴρηται , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἁ Β△ , κέντρον δὲ τοῦ βάρεος τὸ Θ σαμεῖον . Δεικτέον ὅτι ἁμιολία ἐστὶν ἁ ΒΘ τᾶς Θ△ . Ἐγγεγράφθω ἐς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα γνωρίμως τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , οὗ κέντρον τοῦ βάρεος ἔστω τὸ Ε , καὶ τετμάσθω δίχα ἑκατέρα τᾶν ΑΒ , ΒΓ , καὶ ἄχθων αἱ ΚΖ , ΗΛ · διάμετροι ἄρα ἐντὶ τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τμαμάτων . Ἔστω οὖν τοῦ μὲν ΑΚΒ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ , τοῦ δὲ ΒΛΓ τὸ Ν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΗ , ΜΝ . ΚΛ · τοῦ ἄρα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τμαμάτων συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Χ , Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἁ ΒΘ ποτὶ Θ△ , οὕτως ἁ ΚΜ ποτὶ ΜΖ , καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἁ Β△ ποτὶ ΚΖ , οὕτως ἁ △Θ ποτὶ ΜΖ , τετραπλασία δὲ ἁ Β△ τᾶς ΚΖ τοῦτο γὰρ ἐπὶ τέλει δείκνυται , οὗ σαμεῖον ?? · τετραπλασίων ἄρα καὶ ἁ △Θ τᾶς ΜΖ ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ΒΘ λοιπᾶς τᾶς ΚΜ , τουτέστι τᾶς ΣΧ , τετραπλασίων . Καὶ λοιπὰ ἄρα συναμφοτέρα ἁ ΒΣ , ΧΘ τριπλασίων τᾶς ΣΧ . Ἔστω τριπλασία ἁ ΒΣ τᾶς ΣΞ · καὶ ἁ ΧΘ ἄρα τᾶς ΞΧ ἐστὶ τριπλασία . Καὶ ἐπεὶ τετραπλασίων ἐστὶν ἁ Β△ τᾶς ΒΣ · καὶ γὰρ τοῦτο δείκνυται · ἁ δὲ ΒΣ τᾶς ΣΞ τριπλασίων , ἁ ΞΒ ἄρα τᾶς Β△ τρίτον μέρος ἐστίν , Ἔστιν δὲ καὶ ἁ Ε△ τᾶς △Β τρίτον μέρος , ἐπειδήπερ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐστὶ τὸ Ε · καὶ λοιπὰ ἄρα ἁ ΞΕ τρίτον μέρος τᾶς Β△ . Καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ σαμεῖον , τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τμαμάτων συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Χ , τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Ε , ἐσσεῖται ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ καταλειπόμενα τμάματα , οὕτως ἁ ΧΘ ποτὶ ΘΕ . Τριπλάσιον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῶν τμαμάτων τριπλασία ἄρα καὶ ἁ ΧΘ τᾶς ΘΕ . Ἐδείχθη δὲ ἁ ΧΘ τριπλασία καὶ τᾶς ΧΞ · πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἁ ΞΕ τᾶς ΕΘ , τουτέστιν ἁ △Ε τᾶς ΕΘ · ἴσα γάρ ἐστιν αὐτᾷ ὥστε ἑξαπλασία ἐστὶν ἁ △Θ τᾶς ΘΕ . Καί ἐντι τᾶς △Ε τριπλασία ἁ Β△ ἁμιολία ἄρα ἐντὶ ἁ ΒΘ τᾶς Θ△ ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: πᾶς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα τε καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ κέντρον ὁ βάρος διαιρέω ὁ ὁ τμῆμα διάμετρος , ὥστε εἰμί ἡμιόλιος ὁ μέρος αὐτός ὁ πρός ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ὁ πρός ὁ βάσις . εἰμί ὁ ΑΒΓ τμῆμα οἷος λέγω , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ Β△ , κέντρον δέ ὁ βάρος ὁ Θ σαμεῖον . δείκνυμι ὅτι ἁμιολία εἰμί ὁ ΒΘ ὁ Θ△ . ἐγγράφω εἰς ὁ ΑΒΓ τμῆμα γνώριμος τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ὅς κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Ε , καί τέμνω δίχα ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ , καί ἄγω ὁ ΚΖ , ΗΛ · διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμῆμα . εἰμί οὖν ὁ μέν ΑΚΒ τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ Μ , ὁ δέ ΒΛΓ ὁ Ν , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΖΗ , ΜΝ . ΚΛ · ὁ ἄρα ἐκ ἀμφότερος ὁ τμῆμα σύγκειμαι μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Χ , Καὶ ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΒΘ πρός Θ△ , οὕτως ὁ ΚΜ πρός ΜΖ , καί συντίθημι καί ἐναλλάξ ὡς ὁ Β△ πρός ΚΖ , οὕτως ὁ △Θ πρός ΜΖ , τετραπλάσιος δέ ὁ Β△ ὁ ΚΖ οὗτος γάρ ἐπί τέλος δείκνυμι , ὅς σαμεῖον ?? · τετραπλασίων ἄρα καί ὁ △Θ ὁ ΜΖ ὥστε καί λοιπός ὁ ΒΘ λοιπός ὁ ΚΜ , τουτέστι ὁ ΣΧάς , τετραπλάσιος . καί λοιπός ἄρα συναμφότεροι ὁ ΒΣ , ΧΘ τριπλασίων ὁ ΣΧάς . εἰμί τριπλάσιος ὁ ΒΣ ὁ ΣΞ · καί ὁ ΧΘ ἄρα ὁ ΞΧ εἰμί τριπλάσιος . καί ἐπεί τετραπλασίων εἰμί ὁ Β△ ὁ ΒΣ · καί γάρ οὗτος δείκνυμι · ὁ δέ ΒΣ ὁ ΣΞ τριπλασίων , ὁ ΞΒ ἄρα ὁ Β△ τρίτος μέρος εἰμί , Ἔστiν δέ καί ὁ Ε△ ὁ △Β τρίτος μέρος , ἐπειδή κέντρον ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον εἰμί ὁ Ε · καί λοιπός ἄρα ὁ ΞΕ τρίτος μέρος ὁ Β△ . καί ἐπεί ὁ μέν ὅλος τμῆμα κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Θ σαμεῖον , ὁ δέ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμῆμα σύγκειμαι μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ Χ , ὁ δέ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ Ε , εἰμί ὡς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ καταλείπω τμῆμα , οὕτως ὁ ΧΘ πρός ΘΕ . τριπλάσιος δέ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ τμῆμα τριπλάσιος ἄρα καί ὁ ΧΘ ὁ ΘΕ . δείκνυμι δέ ὁ ΧΘ τριπλάσιος καί ὁ ΧΞ · πενταπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ ΞΕ ὁ ΕΘ , τουτέστι ὁ △Ε ὁ ΕΘ · ἴσος γάρ εἰμί αὐτός ὥστε ἑξαπλάσιος εἰμί ὁ △Θ ὁ ΘΕ . καί εἰμί ὁ △Ε τριπλάσιος ὁ Β△ ἁμιολία ἄρα εἰμί ὁ ΒΘ ὁ Θ△ ὅς δέω δείκνυμι .