archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.6
Τὰ σύμμετρα μεγέθεα ἰσορροπέοντι ἀπὸ μακέων ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς βάρεσιν . Ἔστω σύμμετρα μεγέθεα τὰ Α , Β , ὧν κέντρα τὰ Α , Β , καὶ μᾶκος ἔστω τι τὸ Ε△ , καὶ ἔστω ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β , οὕτως τὸ △Γ μᾶκος ποτὶ τὸ ΓΕ μᾶκος δεικτέον ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν Α , Β συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Γ . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν , ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β , οὕτως τὸ △Γ ποτὶ τὸ ΓΕ , τὸ δὲ Α τῷ Β σύμμετρον , καὶ τὸ Γ△ ἄρα τῷ ΓΕ σύμμετρον , τουτέστιν εὐθεῖα τᾷ εὐθείᾳ ὥστε τῶν ΕΓ , Γ△ ἐστὶ κοινὸν μέτρον . Ἔστω δὴ τὸ Ν , καὶ κείσθω τᾷ μὲν ΕΓ ἴσα ἑκατέρα τᾶν △Η , △Κ , τᾷ δὲ △Γ ἴσα ἁ ΕΛ . Καὶ ἐπεὶ ἴσα ἁ △Η τᾷ ΓΕ , ἴσα καὶ ἁ △Γ τᾷ ΕΗ · ὥστε καὶ ἁ ΛΕ ἴσα τᾷ ΕΗ . Διπλασία ἄρα ἁ μὲν ΛΗ τᾶς △Γ , ἁ δὲ ΗΚ τᾶς ΓΕ · ὥστε τὸ Ν καὶ ἑκατέραν τᾶν ΛΗ , ΗΚ μετρεῖ , ἐπειδήπερ καὶ τὰ ἡμίσεα αὐτᾶν . Καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β , οὕτως ἁ △Γ ποτὶ ΓΕ , ὡς δὲ ἁ △Γ ποτὶ ΓΕ , οὕτως ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας · καὶ ὡς ἄρα τὸ Α ποτὶ τὸ Β , οὕτως ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ . Ὁσαπλασίων δέ ἐστιν ἁ ΛΗ τᾶς Ν , τοσαυταπλασίων ἔστω καὶ τὸ Α τοῦ Ζ ἔστιν ἄρα ὡς ἁ ΛΗ ποτὶ Ν , οὕτως τὸ Α ποτὶ Ζ . Ἔστι δὲ καὶ ὡς ἁ ΚΗ ποτὶ ΛΗ , οὕτως τὸ Β ποτὶ Α · διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἁ ΚΗ ποτὶ Ν , οὕτως τὸ Β ποτὶ Ζ · ἰσάκις ἄρα πολλαπλασίων ἐστὶν ἁ ΚΗ τᾶς Ν καὶ τὸ Β τοῦ Ζ . Ἐδείχθη δὲ τοῦ Ζ καὶ τὸ Α πολλαπλάσιον ἐόν · ὥστε τὸ Ζ τῶν Α , Β κοινόν ἐστι μέτρον . Διαιρεθείσας οὖν τᾶς μὲν ΛΗ εἰς τὰς τᾷ Ν ἴσας , τοῦ δὲ Α εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα , τὰ ἐν τᾷ ΛΗ τμάματα ἰσομεγέθεα τᾷ Ν ἴσα ἐσσεῖται τῷ πλήθει τοῖς ἐν τῷ Α τμαμάτεσσιν ἴσοις ἐοῦσιν τῷ Ζ . Ὥστε , ἂν ἐφʼ ἕκαστον τῶν τμαμάτων τῶν ἐν τᾷ ΛΗ ἐπιτεθῇ μέγεθος ἴσον τῷ Ζ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχον ἐπὶ μέσου τοῦ τμάματος , τά τε πάντα μεγέθεα ἴσα ἐντὶ τῷ Α , καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ Ε · ἄρτιά τε γάρ ἐστι τὰ πάντα τῷ πλήθει , καὶ τὰ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Ε ἴσα τῷ πλήθει διὰ τὸ ἴσαν εἶμεν τὰν ΛΕ τᾷ ΗΕ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ὅτι κἄν , εἴ κα ἐφʼ ἕκαστον τῶν ἐν τᾷ ΚΗ τμαμάτων ἐπιτεθῇ μέγεθος ἴσον τῷ Ζ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχον ἐπὶ τοῦ μέσου τοῦ τμάματος , τά τε πάντα μεγέθεα ἴσα ἐσσεῖται τῷ Β , καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται τὸ △ · ἐσσεῖται οὖν τὸ μὲν Α ἐπικείμενον κατὰ τὸ Ε , τὸ δὲ Β κατὰ τὸ △ . Ἐσσεῖται δὴ μεγέθεα ἴσα ἀλλάλοις ἐπʼ εὐθείας κείμενα , ὧν τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἴσα ἀπʼ ἀλλάλων διέστακεν , ἄρτια τῷ πλήθει · δῆλον οὖν ὅτι τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἁ διχοτομία τᾶς εὐθείας τᾶς ἐχούσας τὰ κέντρα τῶν μέσων μεγεθέων . Ἐπεὶ δʼ ἴσαι ἐντὶ ἁ μὲν ΛΕ τᾷ Γ△ , ἁ δὲ ΕΓ τᾷ △Κ , καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΛΓ ἴσα τᾷ ΓΚ · ὥστε τοῦ ἐκ πάντων μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ σαμεῖον . Τοῦ μὲν ἄρα Α κειμένου κατὰ τὸ Ε , τοῦ δὲ Β κατὰ τὸ △ , ἰσορροπησοῦντι κατὰ τὸ Γ .
Lemmas: ὁ σύμμετρος μέγεθος ἰσορροπέω ἀπό μάκαι ἀντιπεπόνθοτος ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ βάρος . εἰμί σύμμετρος μέγεθος ὁ Α , Β , ὅς κέντρον ὁ Α , Β , καί μᾶκος εἰμί τις ὁ Ε△ , καί εἰμί ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ △Γ μᾶκος πρός ὁ ΓΕ μᾶκος δείκνυμι ὅτι ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ Α , Β σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Γ . ἐπεί γάρ εἰμί , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ △Γ πρός ὁ ΓΕ , ὁ δέ Α ὁ Β σύμμετρος , καί ὁ Γ△ ἄρα ὁ ΓΕ σύμμετρος , τουτέστι εὐθύς ὁ εὔθεια ὥστε ὁ ΕΓ , Γ△ εἰμί κοινός μέτρον . εἰμί δή ὁ Ν , καί κεῖμαι ὁ μέν ΕΓ ἴσος ἑκάτερος ὁ △Η , △Κ , ὁ δέ △Γ ἴσος ὁ ΕΛ . καί ἐπεί ἴσος ὁ △Η ὁ ΓΕ , ἴσος καί ὁ △Γ ὁ ΕΗ · ὥστε καί ὁ ΛΕ ἴσος ὁ ΕΗ . διπλάσιος ἄρα ὁ μέν ΛΗ ὁ △Γ , ὁ δέ ΗΚ ὁ ΓΕ · ὥστε ὁ Ν καί ἑκάτερος ὁ ΛΗ , ΗΚ μετρέω , ἐπειδή καί ὁ ἥμισυς αὐτός . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ △Γ πρός ΓΕ , ὡς δέ ὁ △Γ πρός ΓΕ , οὕτως ὁ ΛΗ πρός ΗΚ διπλάσιος γάρ ἑκάτερος ἑκάτερος · καί ὡς ἄρα ὁ Α πρός ὁ Β , οὕτως ὁ ΛΗ πρός ΗΚ . ὁσαπλασίων δέ εἰμί ὁ ΛΗ ὁ Ν , τοσαυταπλασίων εἰμί καί ὁ Α ὁ Ζ εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΛΗ πρός Ν , οὕτως ὁ Α πρός Ζ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΚΗ πρός ΛΗ , οὕτως ὁ Β πρός Α · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΚΗ πρός Ν , οὕτως ὁ Β πρός Ζ · ἰσάκις ἄρα πολλαπλασίων εἰμί ὁ ΚΗ ὁ Ν καί ὁ Β ὁ Ζ . δείκνυμι δέ ὁ Ζ καί ὁ Α πολλαπλάσιος εἰμί · ὥστε ὁ Ζ ὁ Α , Β κοινός εἰμί μέτρον . διαιρέω οὖν ὁ μέν ΛΗ εἰς ὁ ὁ Ν ἴσος , ὁ δέ Α εἰς ὁ ὁ Ζ ἴσος , ὁ ἐν ὁ ΛΗ τμῆμα ἰσομεγέθης ὁ Ν ἴσος εἰμί ὁ πλῆθος ὁ ἐν ὁ Α τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ Ζ . ὥστε , ἐάν ἐπί ἕκαστος ὁ τμῆμα ὁ ἐν ὁ ΛΗ ἐπιτίθημι μέγεθος ἴσος ὁ Ζ ὁ κέντρον ὁ βάρος ἔχω ἐπί μέσος ὁ τμῆμα , ὁ τε πᾶς μέγεθος ἴσος εἰμί ὁ Α , καί ὁ ἐκ πᾶς σύγκειμαι κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Ε · ἄρτιος τε γάρ εἰμί ὁ πᾶς ὁ πλῆθος , καί ὁ ἐπί ἑκάτερος ὁ Ε ἴσος ὁ πλῆθος διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ ΛΕ ὁ ΗΕ . ὅμοιος δέ δείκνυμι ὅτι ἄν , εἰ ἄν ἐπί ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ΚΗ τμῆμα ἐπιτίθημι μέγεθος ἴσος ὁ Ζ κέντρον ὁ βάρος ἔχω ἐπί ὁ μέσος ὁ τμῆμα , ὁ τε πᾶς μέγεθος ἴσος εἰμί ὁ Β , καί ὁ ἐκ πᾶς σύγκειμαι κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ △ · εἰμί οὖν ὁ μέν Α ἐπίκειμαι κατά ὁ Ε , ὁ δέ Β κατά ὁ △ . εἰμί δή μέγεθος ἴσος ἀλλήλων ἐπί εὐθεῖα κεῖμαι , ὅς ὁ κέντρον ὁ βάρος ἴσος ἀπό ἀλλήλων διαστάζω , ἄρτιος ὁ πλῆθος · δῆλος οὖν ὅτι ὁ ἐκ πᾶς σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ διχοτομία ὁ εὐθεῖα ὁ ἔχω ὁ κέντρον ὁ μέσος μέγεθος . ἐπεί δέ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΛΕ ὁ Γ△ , ὁ δέ ΕΓ ὁ △Κ , καί ὅλος ἄρα ὁ ΛΓ ἴσος ὁ ΓΚ · ὥστε ὁ ἐκ πᾶς μέγεθος κέντρον ὁ βάρος ὁ Γ σαμεῖον . ὁ μέν ἄρα Α κεῖμαι κατά ὁ Ε , ὁ δέ Β κατά ὁ △ , ἰσορροπέω κατά ὁ Γ .