ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.pr
α΄ . Αἰτούμεθα τὰ ἴσα βάρεα ἀπὸ ἴσων μακέων ἰσορροπεῖν , τὰ δὲ ἴσα βάρεα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων μὴ ἰσορροπεῖν , ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος μάκεος . β΄ . Εἴ κα βαρέων ἰσορροπεόντων ἀπό τινων μακέων ποτὶ τὸ ἕτερον τῶν βαρέων ποτιτεθῇ , μὴ ἰσορροπεῖν , ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος ἐκεῖνο , ᾧ ποτετέθη . γ΄ . Ὁμοίως δὲ καί , εἴ κα ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν βαρέων ἀφαιρεθῇ τι , μὴ ἰσορροπεῖν , ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος , ἀφʼ οὗ οὐκ ἀφῃρέθη . δ΄ . Τῶν ἴσων καὶ ὁμοίων σχημάτων ἐπιπέδων ἐφαρμοζομένων ἐπʼ ἄλλαλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐφαρμόζει ἐπʼ ἄλλαλα . ε΄ . Τῶν δὲ ἀνίσων , ὁμοίων δέ , τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἐσσεῖται κείμενα . Ὁμοίως δὲ λέγομες σαμεῖα κέεσθαι ποτὶ τὰ ὁμοῖα σχήματα , ἀφʼ ὧν ἐπὶ τὰς ἴσας γωνίας ἀγόμεναι εὐθεῖαι ποιέοντι γωνίας ἴσας ποτὶ τὰς ὁμολόγους πλευράς . ϛ΄ . Εἴ κα μεγέθεα ἀπό τινων μακέων ἰσορροπέωντι , καὶ τὰ ἴσα αὐτοῖς ἀπὸ τῶν αὐτῶν μακέων ἰσορροπήσει . ζ΄ . Παντὸς σχήματος , οὗ κα ἁ περίμετρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλα ᾖ , τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶμεν δεῖ τοῦ σχήματος . Τούτων δὲ ὑποκειμένων
Lemmas: αʹ . αἰτέω ὁ ἴσος βάρος ἀπό ἴσος μάκαι ἰσορροπέω , ὁ δέ ἴσος βάρος ἀπό ὁ ἄνισος μάκαι μή ἰσορροπέω , ἀλλά ῥέπω ἐπί ὁ βάρος ὁ ἀπό ὁ μέγας μῆκος . βʹ . εἰ ἄν βαρύς ἰσορροπέω ἀπό τις μάκαι πρός ὁ ἕτερος ὁ βαρύς προστίθημι , μή ἰσορροπέω , ἀλλά ῥέπω ἐπί ὁ βάρος ἐκεῖνος , ὅς προστίθημι . γʹ . ὅμοιος δέ καί , εἰ ἄν ἀπό ὁ ἕτερος ὁ βαρύς ἀφαιρέω τις , μή ἰσορροπέω , ἀλλά ῥέπω ἐπί ὁ βάρος , ἀπό ὅς οὐ ἀφαιρέω . δʹ . ὁ ἴσος καί ὅμοιος σχῆμα ἐπίπεδος ἐφαρμόζω ἐπί ἀλλήλων καί ὁ κέντρον ὁ βαρύς ἐφαρμόζω ἐπί ἀλλήλων . πέντε . ὁ δέ ἄνισος , ὅμοιος δέ , ὁ κέντρον ὁ βαρύς ὅμοιος εἰμί κεῖμαι . ὅμοιος δέ λέγω σαμεῖον κεῖμαι πρός ὁ ὅμοιος σχῆμα , ἀπό ὅς ἐπί ὁ ἴσος γωνία ἄγω εὐθύς ποιέω γωνία ἴσος πρός ὁ ὁμόλογος πλευρά . ϛʹ . εἰ ἄν μέγεθος ἀπό τις μάκαι ἰσορροπέω , καί ὁ ἴσος αὐτός ἀπό ὁ αὐτός μάκαι ἰσορροπέω . ζʹ . πᾶς σχῆμα , ὅς ἄν ὁ περίμετρος ἐπί ὁ αὐτός κοῖλος εἰμί , ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐντός εἰμί δέω ὁ σχῆμα . οὗτος δέ ὑπόκειμαι
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.1
Τὰ ἀπὸ ἴσων μακέων ἰσορροπέοντα βάρεα ἴσα ἐντί . Εἴπερ γὰρ ἄνισα ἐσσεῖται , ἀφαιρεθείσας ἀπὸ τοῦ μείζονος τᾶς ὑπεροχᾶς τὰ λοιπὰ οὐκ ἰσορροπησοῦντι , ἐπειδὴ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀφῄρηται . Ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων βάρεα ἰσορροπέοντα ἴσα ἐντί .
Lemmas: ὁ ἀπό ἴσος μάκαι ἰσορροπέω βάρος ἴσος εἰμί . εἴπερ γάρ ἄνισος εἰμί , ἀφαιρέω ἀπό ὁ μέγας ὁ ὑπεροχή ὁ λοιπός οὐ ἰσορροπέω , ἐπειδή ἰσορροπέω ἀπό ὁ ἕτερος ἀφαιρέω . ὥστε ὁ ἀπό ὁ ἴσος μάκαι βάρος ἰσορροπέω ἴσος εἰμί .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.2
Τὰ ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων ἄνισα βάρεα οὐκ ἰσορροπέοντι , ἀλλὰ ῥέψει ἐπὶ τὸ μεῖζον . Ἀφαιρεθείσας γὰρ τᾶς ὑπεροχᾶς ἰσορροπησοῦντι , ἐπειδὴ τὰ ἴσα ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων ἰσορροπέοντι . Ποτιτεθέντος οὖν τοῦ ἀφαιρεθέντος ῥέψει ἐπὶ τὸ μεῖζον , ἐπεὶ ἰσορροπεόντων τῷ ἑτέρῳ ποτετέθη .
Lemmas: ὁ ἀπό ὁ ἴσος μάκαι ἄνισος βάρος οὐ ἰσορροπέω , ἀλλά ῥέπω ἐπί ὁ μέγας . ἀφαιρέω γάρ ὁ ὑπεροχή ἰσορροπέω , ἐπειδή ὁ ἴσος ἀπό ὁ ἴσος μάκαι ἰσορροπέω . προστίθημι οὖν ὁ ἀφαιρέω ῥέπω ἐπί ὁ μέγας , ἐπεί ἰσορροπέω ὁ ἕτερος προστίθημι .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.3
Τὰ ἄνισα βάρεα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων ἰσορροπησοῦντι , καὶ τὸ μεῖζον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος . Ἔστω ἄνισα βάρεα τὰ Α , Β , καὶ ἔστω μεῖζον τὸ Α , καὶ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ μακέων . Δεικτέον ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἁ ΑΓ τᾶς ΓΒ . Μὴ γὰρ ἔστω ἐλάσσων . Ἀφαιρεθείσας δὴ τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Β , ἐπειδὴ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀφῃρηται , ῥέψει ἐπὶ τὸ Β . Οὐ ῥέψει δὲ · εἴτε γὰρ ἴσα ἐστὶν ἁ ΓΑ τᾷ ΓΒ , ἰσορροπησοῦντι , εἴτε μείζων ἁ ΓΑ τᾶς ΓΒ , ῥέπει ἐπὶ τὸ Α · τὰ γὰρ ἴσα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων οὐκ ἰσορροπέοντι , ἀλλὰ ῥέπει ἐπὶ τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος μάκεος . Διὰ δὴ ταῦτα ἐλάσσων ἐστὶν ἁ ΑΓ τᾶς ΓΒ . Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων ἰσορροπέοντα ἄνισά ἐντι , καὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος .
Lemmas: ὁ ἄνισος βάρος ἀπό ὁ ἄνισος μάκαι ἰσορροπέω , καί ὁ μέγας ἀπό ὁ ἐλαχύς . εἰμί ἄνισος βάρος ὁ Α , Β , καί εἰμί μέγας ὁ Α , καί ἰσορροπέω ἀπό ὁ ΑΓ , ΓΒ μάκαι . δείκνυμι ὅτι ἐλαχύς εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ . μή γάρ εἰμί ἐλαχύς . ἀφαιρέω δή ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ Α ὁ Β , ἐπειδή ἰσορροπέω ἀπό ὁ ἕτερος λαφῃγω , ῥέπω ἐπί ὁ Β . οὐ ῥέπω δέ · εἴτε γάρ ἴσος εἰμί ὁ ΓΑ ὁ ΓΒ , ἰσορροπέω , εἴτε μέγας ὁ ΓΑ ὁ ΓΒ , ῥέπω ἐπί ὁ Α · ὁ γάρ ἴσος ἀπό ὁ ἄνισος μάκαι οὐ ἰσορροπέω , ἀλλά ῥέπω ἐπί ὁ ἀπό ὁ μέγας μῆκος . διά δή οὗτος ἐλαχύς εἰμί ὁ ΑΓ ὁ ΓΒ . φανερός δέ ὅτι καί ὁ ἀπό ὁ ἄνισος μάκαι ἰσορροπέω ἄνισος εἰμί , καί μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.4
Εἴ κα δύο ἴσα μεγέθεα μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχωντι , τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ μέσον τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τῶν μεγεθέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος . Ἔστω τοῦ μὲν Α κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Α , τοῦ δὲ Β τὸ Β , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΑΒ τετμάσθω δίχα κατὰ τὸ Γ · λέγω ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τὸ Γ . Εἰ γὰρ μή , ἔστω κέντρον τοῦ βάρεος τὸ △ , εἰ δυνατόν . Ἐπεὶ οὖν τὸ △ σαμεῖον κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρεος τοῦ ἐκ τῶν Α , Β συγκειμένου μεγέθεος , κατεχομένου τοῦ △ ἰσορροπήσει · τὰ ἄρα Α , Β μεγέθεα ἰσορροπησοῦντι ἀπὸ τῶν Α△ , △Β μακέων ὅπερ ἀδύνατον . Δῆλον οὖν ὅτι τὸ Γ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ἐκ τῶν Α , Β συγκειμένου μεγέθεος .
Lemmas: εἰ ἄν δύο ἴσος μέγεθος μή ὁ αὐτός κέντρον ὁ βάρος ἔχω , ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ μέγεθος σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ μέσος ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος . εἰμί ὁ μέν Α κέντρον ὁ βάρος ὁ Α , ὁ δέ Β ὁ Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ τέμνω δίχα κατά ὁ Γ · λέγω ὅτι ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ μέγεθος σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ Γ . εἰ γάρ μή , εἰμί κέντρον ὁ βάρος ὁ △ , εἰ δυνατός . ἐπεί οὖν ὁ △ σαμεῖον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ ἐκ ὁ Α , Β σύγκειμαι μέγεθος , κατέχω ὁ △ ἰσορροπέω · ὁ ἄρα Α , Β μέγεθος ἰσορροπέω ἀπό ὁ Α△ , △Β μάκαι ὅς ἀδύνατος . δῆλος οὖν ὅτι ὁ Γ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ ἐκ ὁ Α , Β σύγκειμαι μέγεθος .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.5
Εἴ κα τριῶν μεγεθέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐπʼ εὐθείας ἔωντι κείμενα , καὶ τὰ μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχωντι , καὶ αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐθεῖαι ἴσαι ἔωντι , τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον , ὃ καὶ τοῦ μέσου τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος . Ἔστω τρία μεγέθεα τὰ Α , Β , Γ , κέντρα δὲ αὐτῶν τοῦ βάρεος τὰ Α , Β , Γ σαμεῖα ἐπʼ εὐθείας κείμενα , ἔστω δὲ τά τε Α , Β , Γ ἴσα καὶ αἱ ΑΓ , ΓΒ ἴσαι εὐθεῖαι · λέγω ὅτι τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Γ σαμεῖον . Ἐπεὶ γὰρ τὰ Α , Β μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχει , κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ Γ σαμεῖον , ἐπειδὴ ἴσαι ἐντὶ αἱ ΑΓ , ΓΒ . Ἔστιν δὲ καὶ τοῦ Γ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ σαμεῖον · δῆλον οὖν ὅτι καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον , ὃ καὶ τοῦ μέσου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος . ΠΟΡΙΣΜΑ Α΄ Ἐκ δὴ τούτων φανερὸν ὅτι , ὁπόσων κα τῷ πλήθει περισσῶν μεγεθέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐπʼ εὐθείας ἔωντι κείμενα , εἴ κα τά τε ἴσον ἀπέχοντα ἀπὸ τοῦ μέσου μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχωντι , καὶ αἱ εὐθεῖαι αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων αὐτῶν ἴσαι ἔωντι , τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον , ὃ καὶ τοῦ μέσου αὐτῶν κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος . ΠΟΡΙΣΜΑ Β΄ Εἴ κα καὶ ἄρτια ἔωντι τῷ πλήθει τὰ μεγέθεα , καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν ἐπʼ εὐθείας ἔωντι κείμενα , καὶ τὰ μέσα αὐτῶν καὶ τὰ ἴσα ἀπέχοντα ἀπʼ αὐτῶν ἴσον βάρος ἔχωντι , καὶ αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐθεῖαι ἴσαι ἔωντι , τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ μέσον τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ βάρεος τῶν μεγεθέων , ὡς ὑπογέγραπται .
Lemmas: εἰ ἄν τρεῖς μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί εὐθεῖα εἰμί κεῖμαι , καί ὁ μέγεθος ἴσος βάρος ἔχω , καί ὁ μεταξύ ὁ κέντρον εὐθεῖα ἴσος εἰμί , ὁ ἐκ πᾶς ὁ μέγεθος σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ σαμεῖον , ὅς καί ὁ μέσος ὁ αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος . εἰμί τρεῖς μέγεθος ὁ Α , Β , Γ , κέντρον δέ αὐτός ὁ βάρος ὁ Α , Β , Γ σαμεῖον ἐπί εὐθεῖα κεῖμαι , εἰμί δέ ὁ τε Α , Β , Γ ἴσος καί ὁ ΑΓ , ΓΒ ἴσος εὐθύς · λέγω ὅτι ὁ ἐκ πᾶς ὁ μέγεθος σύγκειμαι μέγεθος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Γ σαμεῖον . ἐπεί γάρ ὁ Α , Β μέγεθος ἴσος βάρος ἔχω , κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Γ σαμεῖον , ἐπειδή ἴσος εἰμί ὁ ΑΓ , ΓΒ . εἰμί δέ καί ὁ Γ κέντρον ὁ βάρος ὁ Γ σαμεῖον · δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ ἐκ πᾶς σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ σαμεῖον , ὅς καί ὁ μέσος κέντρον εἰμί ὁ βάρος . πόρισμα Α΄ ἐκ δή οὗτος φανερός ὅτι , ὁπόσος ἄν ὁ πλῆθος περισσός μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί εὐθεῖα εἰμί κεῖμαι , εἰ ἄν ὁ τε ἴσος ἀπέχω ἀπό ὁ μέσος μέγεθος ἴσος βάρος ἔχω , καί ὁ εὐθεῖα ὁ μεταξύ ὁ κέντρον αὐτός ἴσος εἰμί , ὁ ἐκ πᾶς ὁ μέγεθος σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ σαμεῖον , ὅς καί ὁ μέσος αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος . πόρισμα Β΄ εἰ ἄν καί ἄρτιος εἰμί ὁ πλῆθος ὁ μέγεθος , καί ὁ κέντρον ὁ βάρος αὐτός ἐπί εὐθεῖα εἰμί κεῖμαι , καί ὁ μέσος αὐτός καί ὁ ἴσος ἀπέχω ἀπό αὐτός ἴσος βάρος ἔχω , καί ὁ μεταξύ ὁ κέντρον εὐθεῖα ἴσος εἰμί , ὁ ἐκ πᾶς ὁ μέγεθος σύγκειμαι μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ μέσος ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ μέγεθος , ὡς ὑπογράφω .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.7
Καὶ τοίνυν , εἴ κα ἀσύμμετρα ἔωντι τὰ μεγέθεα , ὁμοίως ἰσορροπησοῦντι ἀπὸ μακέων ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς μεγέθεσιν . Ἔστω ἀσύμμετρα μεγέθεα τὰ ΑΒ , Γ , μάκεα δὲ τὰ △Ε , ΕΖ , ἐχέτω δὲ τὸ ΑΒ ποτὶ τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν καὶ τὸ Ε△ ποτὶ τὸ ΕΖ μᾶκος λέγω ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒ , Γ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε . Εἰ γὰρ μὴ ἰσορροπήσει τὸ ΑΒ τεθὲν ἐπὶ τῷ Ζ τῷ Γ τεθέντι ἐπὶ τῷ △ , ἤτοι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν ἢ οὔ . Ἔστω μεῖζον , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν , ὥστε λοιπὸν τὸ Α σύμμετρον εἶμεν τῷ Γ . Ἐπεὶ οὖν σύμμετρά ἐστι τὰ Α , Γ μεγέθεα , καὶ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ Α ποτὶ τὸ Γ ἢ ἁ △Ε ποτὶ ΕΖ , οὐκ ἰσορροπησοῦντι τὰ Α , Γ ἀπὸ τῶν △Ε , ΕΖ μακέων , τεθέντος τοῦ μὲν Α ἐπὶ τῷ Ζ , τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τῷ △ . Διὰ ταὐτὰ δʼ , οὐδʼ εἰ τὸ Γ μεῖζόν ἐστιν ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν τῷ ΑΒ .
Lemmas: καί τοίνυν , εἰ ἄν ἀσύμμετρος εἰμί ὁ μέγεθος , ὅμοιος ἰσορροπέω ἀπό μάκαι ἀντιπεπόνθοτος ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ μέγεθος . εἰμί ἀσύμμετρος μέγεθος ὁ ΑΒ , Γ , μῆκος δέ ὁ △Ε , ΕΖ , ἔχω δέ ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ ὁ αὐτός λόγος , ὅς καί ὁ Ε△ πρός ὁ ΕΖ μᾶκος λέγω ὅτι ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΒ , Γ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Ε . εἰ γάρ μή ἰσορροπέω ὁ ΑΒ τίθημι ἐπί ὁ Ζ ὁ Γ τίθημι ἐπί ὁ △ , ἤτοι μέγας εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ ἤ ὥστε ἰσορροπέω ἤ οὐ . εἰμί μέγας , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΑΒ ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς μέγας εἰμί ὁ ΑΒ ὁ Γ ἤ ὥστε ἰσορροπέω , ὥστε λοιπός ὁ Α σύμμετρος εἰμί ὁ Γ . ἐπεί οὖν σύμμετρος εἰμί ὁ Α , Γ μέγεθος , καί ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ Α πρός ὁ Γ ἤ ὁ △Ε πρός ΕΖ , οὐ ἰσορροπέω ὁ Α , Γ ἀπό ὁ △Ε , ΕΖ μάκαι , τίθημι ὁ μέν Α ἐπί ὁ Ζ , ὁ δέ Γ ἐπί ὁ △ . διά αὐτός δέ , οὐδέ εἰ ὁ Γ μέγας εἰμί ἤ ὥστε ἰσορροπέω ὁ ΑΒ .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.8
Εἴ κα ἀπό τινος μεγέθεος ἀφαιρεθῇ τι μέγεθος μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τῷ ὅλῳ , τοῦ λοιποῦ μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος , ἐκβλτηθείσας τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τῶν βαρέων τοῦ τε ὅλου μεγέθεος καὶ τοῦ ἀφῃρημένου ἐπὶ τὰ αὐτά , ἐφʼ ἃ τὸ κέντρον τοῦ ὅλου μεγέθεος , καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς ἀπὸ ἐκβληθείσας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ εἰρημένα κέντρα , ὥστε τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον ποτὶ τὰν μεταξὺ τῶν κέντρων , ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ ἀφῃρημένου μεγέθεος ποτὶ τὸ τοῦ λοιποῦ βάρος , τὸ πέρας τᾶς ἀπολαφθείσας . Ἔστω μεγέθεος τινος τοῦ ΑΒ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ , καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ τὸ Α△ , οὗ κέντρον τοῦ βάρεος ἔστω τὸ Ε , ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΕΓ καὶ ἐκβληθείσας ἀπολελάφθω ἁ ΓΖ ποτὶ τὰν ΓΕ λόγον ἔχουσα τὸν αὐτόν , ὃν ἔχει τὸ Α△ μέγεθος ποτὶ τὸ △Η · δεικτέον ὅτι τοῦ △Η μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ζ σαμεῖον . Μὴ γάρ , ἀλλʼ , εἰ δυνατόν , ἔστω τὸ Θ σαμεῖον . Ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν Α△ μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε , τοῦ δὲ △Η τὸ Θ σαμεῖον , τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν Α△ , △Η μεγεθέων κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς ΕΘ τμαθείσας , ὥστε τὰ τμάματα αὐτᾶς ἀντιπεπονθέμεν κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τοῖς μεγέθεσιν · ὥστε οὐκ ἐσσεῖται τὸ Γ σαμεῖον κατὰ τὰν ἀνάλογον τομὰν τᾷ εἰρημένᾳ . Οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ Γ κέντρον τοῦ ἐκ τῶν Α△ , △Η συγκειμένου μεγέθεος , τουτέστι τοῦ ΑΒ . Ἔστι δὲ ὑπέκειτο γάρ · οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ Θ κέντρον βάρεος τοῦ △Η μεγέθεος .
Lemmas: εἰ ἄν ἀπό τις μέγεθος ἀφαιρέω τις μέγεθος μή ὁ αὐτός κέντρον ἔχω ὁ ὅλος , ὁ λοιπός μέγεθος κέντρον εἰμί ὁ βάρος , ἐκβλτέω ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κέντρον ὁ βαρύς ὁ τε ὅλος μέγεθος καί ὁ ἀφαιρέω ἐπί ὁ αὐτός , ἐπί ὅς ὁ κέντρον ὁ ὅλος μέγεθος , καί ἀπολάπτω τις ἀπό ἐκβάλλω ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ λέγω κέντρον , ὥστε ὁ αὐτός ἔχω λόγος πρός ὁ μεταξύ ὁ κέντρον , ὅς ἔχω ὁ βάρος ὁ ἀφαιρέω μέγεθος πρός ὁ ὁ λοιπός βάρος , ὁ πέρας ὁ ἀπολάπτω . εἰμί μέγεθος τις ὁ ΑΒ κέντρον ὁ βάρος ὁ Γ , καί ἀφαιρέω ἀπό ὁ ΑΒ ὁ Α△ , ὅς κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Ε , ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ ΕΓ καί ἐκβάλλω ἀπολαμβάνω ὁ ΓΖ πρός ὁ ΓΕ λόγος ἔχω ὁ αὐτός , ὅς ἔχω ὁ Α△ μέγεθος πρός ὁ △Η · δείκνυμι ὅτι ὁ △Η μέγεθος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Ζ σαμεῖον . μή γάρ , ἀλλά , εἰ δυνατός , εἰμί ὁ Θ σαμεῖον . ἐπεί οὖν ὁ μέν Α△ μέγεθος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Ε , ὁ δέ △Η ὁ Θ σαμεῖον , ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ Α△ , △Η μέγεθος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΕΘ τέμνω , ὥστε ὁ τμῆμα αὐτός ἀντιπάσχω κατά ὁ αὐτός λόγος ὁ μέγεθος · ὥστε οὐ εἰμί ὁ Γ σαμεῖον κατά ὁ ἀνάλογος τομή ὁ λέγω . οὐ ἄρα εἰμί ὁ Γ κέντρον ὁ ἐκ ὁ Α△ , △Η σύγκειμαι μέγεθος , τουτέστι ὁ ΑΒ . εἰμί δέ ὑπόκειμαι γάρ · οὐ ἄρα εἰμί ὁ Θ κέντρον βάρος ὁ △Η μέγεθος .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.9
Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς διχοτομίας τᾶν κατʼ ἐναντίον τοῦ παραλληλογράμμου πλευρᾶν . Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ△ , ἐπὶ δὲ τὰν διχοτομίαν τᾶν ΑΒ , Γ△ ἁ ΕΖ · φαμὶ δὴ ὅτι τοῦ ΑΒΓ△ παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς ΕΖ . Μὴ γάρ , ἀλλʼ , εἰ δυνατόν , ἔστω τὸ Θ , καὶ ἀχθῶ παρὰ τὰν ΑΒ ἁ ΘΙ . Τᾶς δὴ ΕΒ διχοτομουμένας αἰεὶ ἐσσεῖταί ποκα ἁ καταλειπομένα ἐλάσσων τᾶς ΙΘ · καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τᾶν ΑΕ , ΕΒ εἰς τὰς τᾷ ΕΚ ἴσας , καὶ ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς διαιρέσιας σαμείων ἄχθωσαν παρὰ τὰν ΕΖ · διαιρεθήσεται δὴ τὸ ὅλον παραλληλόγραμμον εἰς παραλληλόγραμμα τὰ ἴσα καὶ ὁμοῖα τῷ ΚΖ . Τῶν οὖν παραλληλογράμμων τῶν ἴσων καὶ ὁμοίων τῷ ΚΖ ἐφαρμοζομένων ἐπʼ ἄλλαλα καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν ἐπʼ ἄλλαλα πεσοῦνται . Ἐσσοῦνται δὴ μεγέθεά τινα , παραλληλόγραμμα ἴσα τῷ ΚΖ , ἄρτια τῷ πλήθει , καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν ἐπʼ εὐθείας κείμενα , καὶ τὰ μέσα ἴσα , καὶ πάντα τὰ ἐφʼ ἑκάτερα τῶν μέσων αὐτά τε ἴσα ἐντὶ καὶ αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐθεῖαι ἴσαι · τοῦ ἐκ πάντων αὐτῶν ἄρα συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ βάρεος τῶν μέσων χωρίων . Οὐκ ἔστι δέ · τὸ γὰρ Θ ἐκτός ἐστι τῶν μέσων παραλληλογράμμων . Φανερὸν οὖν ὅτι ἐπὶ τᾶς ΕΖ εὐθείας τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ△ παραλληλογράμμου .
Lemmas: πᾶς παραλληλόγραμμος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ διχοτομία ὁ κατά ἐναντίος ὁ παραλληλόγραμμος πλευρά . εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓ△ , ἐπί δέ ὁ διχοτομία ὁ ΑΒ , Γ△ ὁ ΕΖ · φημί δή ὅτι ὁ ΑΒΓ△ παραλληλόγραμμος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΕΖ . μή γάρ , ἀλλά , εἰ δυνατός , εἰμί ὁ Θ , καί ἄγω παρά ὁ ΑΒ ὁ ΘΙ . ὁ δή ΕΒ διχοτομέω ἀεί εἰμί ποτέ ὁ καταλείπω ἐλαχύς ὁ ΙΘ · καί διαιρέω ἑκάτερος ὁ ΑΕ , ΕΒ εἰς ὁ ὁ ΕΚ ἴσος , καί ἀπό ὁ κατά ὁ διαίρεσις σαμεῖον ἄγω παρά ὁ ΕΖ · διαιρέω δή ὁ ὅλος παραλληλόγραμμος εἰς παραλληλόγραμμος ὁ ἴσος καί ὅμοιος ὁ ΚΖ . ὁ οὖν παραλληλόγραμμος ὁ ἴσος καί ὅμοιος ὁ ΚΖ ἐφαρμόζω ἐπί ἀλλήλων καί ὁ κέντρον ὁ βάρος αὐτός ἐπί ἀλλήλων πίπτω . εἰμί δή μέγεθος τις , παραλληλόγραμμος ἴσος ὁ ΚΖ , ἄρτιος ὁ πλῆθος , καί ὁ κέντρον ὁ βάρος αὐτός ἐπί εὐθεῖα κεῖμαι , καί ὁ μέσος ἴσος , καί πᾶς ὁ ἐπί ἑκάτερος ὁ μέσος αὐτός τε ἴσος εἰμί καί ὁ μεταξύ ὁ κέντρον εὐθεῖα ἴσος · ὁ ἐκ πᾶς αὐτός ἄρα σύγκειμαι μέγεθος ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ μέσος χωρίον . οὐ εἰμί δέ · ὁ γάρ Θ ἐκτός εἰμί ὁ μέσος παραλληλόγραμμος . φανερός οὖν ὅτι ἐπί ὁ ΕΖ εὐθεῖα ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ△ παραλληλόγραμμος .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.10
Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτοντι . Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ△ καὶ ἐν αὐτῷ ἁ ΕΖ δίχα τέμνουσα τὰς ΑΒ , Γ△ , ἁ δὲ ΚΛ τὰς ΑΓ , Β△ · ἔστιν δὴ τοῦ ΑΒΓ△ παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΕΖ · δέδεικται γὰρ τοῦτο · διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐπὶ τᾶς ΚΛ · τὸ Θ ἄρα σαμεῖον κέντρον τοῦ βάρεος . Κατὰ δὲ τὸ Θ αἱ διάμετροι τοῦ παραλληλογράμμου συμπίπτοντι · ὥστε δέδεικται τὸ προτεθέν . ΑΛΛΩΣ Ἔστιν δὲ καὶ ἄλλως τὸ αὐτὸ δεῖξαι . Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ△ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἁ △Β . Τὰ ἄρα ΑΒ△ , Β△Γ τρίγωνα ἴσα ἐντὶ καὶ ὁμοῖα ἀλλάλοις · ὥστε ἐφαρμοζομένων ἐπʼ ἄλλαλα τῶν τριγώνων καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν ἐπʼ ἄλλαλα πεσοῦνται . Ἔστω δὴ τοῦ ΑΒ△ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ε σαμεῖον , καὶ τετμάσθω δίχα ἁ △Β κατὰ τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΕΘ καὶ ἐκβεβλήσθω , καὶ ἀπολελάφθω ἁ ΖΘ ἴσα τᾷ ΘΕ . Ἐφαρμοζομένου δὴ τοῦ ΑΒ△ τριγώνου ἐπὶ τὸ Β△Γ τρίγωνον καὶ τιθεμένας τᾶς μὲν ΑΒ πλευρᾶς ἐπὶ τὰν △Γ , τᾶς δὲ Α△ ἐπὶ τὰν ΒΓ , ἐφαρμόξει καὶ ἁ ΘE εὐθεῖα ἐπὶ τὰν ΖΘ , καὶ τὸ Ε σαμεῖον ἐπὶ τὸ Ζ πεσεῖται . Ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ Β△Γ τριγώνου . Ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν ΑΒ△ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ε σαμεῖον , τοῦ δὲ △ΒΓ τὸ Ζ , δῆλον ὡς τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ μέσον τᾶς ΕΖ εὐθείας , ὅπερ ἐστὶ τὸ Θ σαμεῖον .
Lemmas: πᾶς παραλληλόγραμμος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ὁ διάμετρος συμπίπτω . εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓ△ καί ἐν αὐτός ὁ ΕΖ δίχα τέμνω ὁ ΑΒ , Γ△ , ὁ δέ ΚΛ ὁ ΑΓ , Β△ · εἰμί δή ὁ ΑΒΓ△ παραλληλόγραμμος ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΕΖ · δείκνυμι γάρ οὗτος · διά αὐτός δέ καί ἐπί ὁ ΚΛ · ὁ Θ ἄρα σαμεῖον κέντρον ὁ βάρος . κατά δέ ὁ Θ ὁ διάμετρος ὁ παραλληλόγραμμος συμπίπτω · ὥστε δείκνυμι ὁ προτίθημι . ἄλλως εἰμί δέ καί ἄλλος ὁ αὐτός δείκνυμι . εἰμί παραλληλόγραμμος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ △Β . ὁ ἄρα ΑΒ△ , Β△Γ τρίγωνος ἴσος εἰμί καί ὅμοιος ἀλλήλων · ὥστε ἐφαρμόζω ἐπί ἀλλήλων ὁ τρίγων καί ὁ κέντρον ὁ βάρος αὐτός ἐπί ἀλλήλων πίπτω . εἰμί δή ὁ ΑΒ△ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος ὁ Ε σαμεῖον , καί τέμνω δίχα ὁ △Β κατά ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΘ καί ἐκβάλλω , καί ἀπολαμβάνω ὁ ΖΘ ἴσος ὁ ΘΕ . ἐφαρμόζω δή ὁ ΑΒ△ τρίγωνον ἐπί ὁ Β△Γ τρίγωνον καί τίθημι ὁ μέν ΑΒ πλευρά ἐπί ὁ △Γ , ὁ δέ Α△ ἐπί ὁ ΒΓ , ἐφαρμόζω καί ὁ ΘE εὐθύς ἐπί ὁ ΖΘ , καί ὁ Ε σαμεῖον ἐπί ὁ Ζ πίπτω . ἀλλά καί ἐπί ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ Β△Γ τρίγωνον . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΑΒ△ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος ὁ Ε σαμεῖον , ὁ δέ △ΒΓ ὁ Ζ , δῆλος ὡς ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ τρίγων σύγκειμαι μέγεθος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ μέσος ὁ ΕΖ εὐθεῖα , ὅς εἰμί ὁ Θ σαμεῖον .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.11
Ἐὰν δύο τρίγωνα ὁμοῖα ἀλλάλοις ᾖ καὶ ἐν αὐτοῖς σαμεῖα ὁμοίως κείμενα ποτὶ τὰ τρίγωνα , καὶ τὸ ἓν σαμεῖον τοῦ ἐν ᾧ ἐστι τριγώνου κέντρον ᾖ τοῦ βάρεος , καὶ τὸ λοιπὸν σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ἐν ᾧ ἐστι τριγώνου . Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , △ΕΖ , καὶ ἔστω ὡς ἁ ΑΓ ποτὶ △Ζ , οὕτως ἅ τε ΑΒ ποτὶ △Ε καὶ ἁ ΒΓ ποτὶ ΕΖ , καὶ ἐν τοῖς εἰρημένοις τριγώνοις σαμεῖα ὁμοίως κείμενα ἔστω τὰ Θ , Ν , καὶ ἔστω τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου · λέγω ὅτι καὶ τὸ Ν κέντρον βάρεός ἐστι τοῦ △ΕΖ τριγώνου . Μὴ γάρ , ἀλλʼ , εἰ δυνατόν , ἔστω τὸ Η κέντρον βάρεος τοῦ △ΕΖ τριγώνου , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ , ΘΒ , ΘΓ , △Ν . ΕΝ . ΖΝ , △Η , ΕΗ , ΖΗ . Ἐπεὶ οὖν ὁμοῖόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ △ΕΖ τριγώνῳ , καὶ κέντρα τῶν βαρέων ἐστὶ τὰ Θ , Η σαμεῖα , τῶν δὲ ὁμοίων σχημάτων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἐντὶ κείμενα , ἴσα ἄρα ἁ ὑπὸ Η△Ε γωνία τᾷ ὑπὸ ΘΑΒ . Ἀλλὰ ἁ ὑπὸ ΘΑΒ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ Ε△Ν · καὶ ἁ ὑπὸ Ε△Ν γωνία ἄρα ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ Ε△Η , ἁ μείζων τᾷ ἐλάσσονι · ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα οὐκ ἔστι κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ △ΕΖ τριγώνου τὸ Ν σαμεῖον ἔστιν ἄρα .
Lemmas: ἐάν δύο τρίγωνος ὅμοιος ἀλλήλων εἰμί καί ἐν αὐτός σαμεῖον ὅμοιος κεῖμαι πρός ὁ τρίγων , καί ὁ εἷς σαμεῖον ὁ ἐν ὅς εἰμί τρίγωνον κέντρον εἰμί ὁ βάρος , καί ὁ λοιπός σαμεῖον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ ἐν ὅς εἰμί τρίγωνον . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΕΖ , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός △Ζ , οὕτως ὁ τε ΑΒ πρός △Ε καί ὁ ΒΓ πρός ΕΖ , καί ἐν ὁ λέγω τρίγωνος σαμεῖον ὅμοιος κεῖμαι εἰμί ὁ Θ , Ν , καί εἰμί ὁ Θ κέντρον ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον · λέγω ὅτι καί ὁ Ν κέντρον βάρος εἰμί ὁ ΕΖ τρίγωνον . μή γάρ , ἀλλά , εἰ δυνατός , εἰμί ὁ Η κέντρον βάρος ὁ ΕΖ τρίγωνον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΑ , ΘΒ , ΘΓ , △Ν . ΕΝ . ΖΝ , △Η , ΕΗ , ΖΗ . ἐπεί οὖν ὅμοιος εἰμί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ὁ ΕΖ τρίγωνον , καί κέντρον ὁ βαρύς εἰμί ὁ Θ , Η σαμεῖον , ὁ δέ ὅμοιος σχῆμα ὁ κέντρον ὁ βαρύς ὅμοιος εἰμί κεῖμαι , ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΗΕ γωνία ὁ ὑπό ΘΑΒ . ἀλλά ὁ ὑπό ΘΑΒ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΝ · καί ὁ ὑπό ΕΝ γωνία ἄρα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΗ , ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα οὐ εἰμί κέντρον ὁ βάρος ὁ ΕΖ τρίγωνον ὁ Ν σαμεῖον εἰμί ἄρα .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.12
Εἴ κα δύο τρίγωνα ὁμοῖα ἔωντι , τοῦ δὲ ἑνὸς τριγώνου κέντρον ᾖ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας , ἅ ἐντι ἀπό τινος γωνίας ἐπὶ μέσαν τὰν βάσιν ἀγομένα , καὶ τοῦ λοιποῦ τριγώνου τὸ κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ὁμοίως ἀγομένας γραμμᾶς . Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ , △ΕΖ , καὶ ἔστω ὡς ἁ ΑΓ ποτὶ △Ζ , οὕτως ἅ τε ΑΒ ποτὶ △Ε καὶ ἁ ΒΓ ποτὶ ΖΕ , καὶ τμαθείσας τᾶς ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Η ἐπεζεύχθω ἁ ΒΗ , καὶ ἔστω τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τᾶς ΒΗ τὸ Θ λέγω ὅτι καὶ τοῦ Ε△Ζ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ὁμοίως ἀγομένας εὐθείας . Τετμάσθω ἁ △Ζ δίχα κατὰ τὸ Μ , καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΕΜ , καὶ πεποιήσθω ὡς ἁ ΒΗ ποτὶ ΒΘ , οὕτως ἁ ΜΕ ποτὶ ΕΝ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ , ΘΓ , △Ν , ΝΖ . Ἐπεί ἐστι τᾶς μὲν ΓΑ ἡμίσεια ἁ ΑΗ , τᾶς δὲ △Ζ ἡμίσεια ἁ △Μ , ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἁ ΒΑ ποτὶ Ε△ , οὕτως ἁ ΑΗ ποτὶ △Μ . Καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν ἐντι · ἴσα τε ἄρα ἐστὶν ἁ ὑπὸ ΑΗΒ γωνία τᾷ ὑπὸ △ΜΕ , καί ἐστιν ὡς ἁ ΑΗ ποτὶ △Μ , οὕτως ἁ ΒΗ ποτὶ ΕΜ . Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἁ ΒΗ ποτὶ ΒΘ , οὕτως ἁ ΜΕ ποτὶ ΕΝ · καὶ διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἁ ΑΒ ποτὶ △Ε , οὕτως ἁ ΒΘ ποτὶ ΕΝ . Καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν ἐντι · εἰ δὲ τοῦτο , ἴσα ἐστὶν ἁ ὑπὸ ΒΑΘ γωνία τᾷ ὑπὸ Ε△Ν · ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ Ν△Ζ γωνίᾳ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὲ ἁ μὲν ὑπὸ ΒΓΘ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΕΖΝ , ἁ δὲ ὑπὸ ΘΓΗ τᾷ ὑπὸ ΝΖΜ ἴσα . Ἐδείχθη δὲ καὶ ἁ ὑπὸ ΑΒΘ τᾷ ὑπὸ △ΕΜ ἴσα ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ὑπὸ ΘΒΓ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΝΕΖ . Διὰ ταῦτα δὴ πάντα ὁμοίως κεῖται τὰ Θ , Ν σαμεῖα . Ἐπεὶ οὖν ὁμοίως κεῖται τὰ Θ , Ν σαμεῖα , καί ἐστι τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου , καὶ τὸ Ν ἄρα κέντρον βάρεος τοῦ △ΕΖ .
Lemmas: εἰ ἄν δύο τρίγωνος ὅμοιος εἰμί , ὁ δέ εἷς τρίγωνον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί ἀπό τις γωνία ἐπί μέσος ὁ βάσις ἄγω , καί ὁ λοιπός τρίγωνον ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ ὅμοιος ἄγω γραμμή . εἰμί δύο τρίγωνος ὁ ΑΒΓ , ΕΖ , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός △Ζ , οὕτως ὁ τε ΑΒ πρός △Ε καί ὁ ΒΓ πρός ΖΕ , καί τέμνω ὁ ΑΓ δίχα κατά ὁ Η ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΗ , καί εἰμί ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπί ὁ ΒΗ ὁ Θ λέγω ὅτι καί ὁ ΕΖ τρίγωνον ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ὅμοιος ἄγω εὐθεῖα . τέμνω ὁ △Ζ δίχα κατά ὁ Μ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΜ , καί ποιέω ὡς ὁ ΒΗ πρός ΒΘ , οὕτως ὁ ΜΕ πρός ΕΝ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ , ΘΓ , △Ν , ΝΖ . ἐπεί εἰμί ὁ μέν ΓΑ ἥμισυς ὁ ΑΗ , ὁ δέ △Ζ ἥμισυς ὁ △Μ , εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ΒΑ πρός Ε△ , οὕτως ὁ ΑΗ πρός △Μ . καί περί ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί · ἴσος τε ἄρα εἰμί ὁ ὑπό ΑΗΒ γωνία ὁ ὑπό ΜΕ , καί εἰμί ὡς ὁ ΑΗ πρός △Μ , οὕτως ὁ ΒΗ πρός ΕΜ . εἰμί δέ καί ὡς ὁ ΒΗ πρός ΒΘ , οὕτως ὁ ΜΕ πρός ΕΝ · καί διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ πρός △Ε , οὕτως ὁ ΒΘ πρός ΕΝ . καί περί ἴσος γωνία ὁ πλευρά ἀνάλογος εἰμί · εἰ δέ οὗτος , ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΒΑΘ γωνία ὁ ὑπό ΕΝ · ὥστε καί λοιπός ὁ ὑπό ΘΑΓ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό Ν△Ζ γωνία . διά ὁ αὐτός δέ ὁ μέν ὑπό ΒΓΘ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΕΖΝ , ὁ δέ ὑπό ΘΓΗ ὁ ὑπό ΝΖΜ ἴσος . δείκνυμι δέ καί ὁ ὑπό ΑΒΘ ὁ ὑπό ΕΜ ἴσος ὥστε καί λοιπός ὁ ὑπό ΘΒΓ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΝΕΖ . διά οὗτος δή πᾶς ὅμοιος κεῖμαι ὁ Θ , Ν σαμεῖον . ἐπεί οὖν ὅμοιος κεῖμαι ὁ Θ , Ν σαμεῖον , καί εἰμί ὁ Θ κέντρον ὁ βάρος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον , καί ὁ Ν ἄρα κέντρον βάρος ὁ ΕΖ .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.14
Παντὸς τριγώνου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ συμπίπτοντι τοῦ τριγώνου αἱ ἐκ τᾶν γωνιᾶν ἐπὶ μέσας τὰς πλευρὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι . Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ ἄχθω ἁ μὲν Α△ ἐπὶ μέσαν τὰν ΒΓ , ἁ δὲ ΒΕ ἐπὶ μέσαν τὰν ΑΓ · ἐσσεῖται δὴ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐφʼ ἑκατέρας τᾶν Α△ , ΒΕ · δέδεικται γὰρ τοῦτο . Ὥστε τὸ Θ σαμεῖον κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν .
Lemmas: πᾶς τρίγωνον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ σαμεῖον , κατά ὅς συμπίπτω ὁ τρίγωνον ὁ ἐκ ὁ γωνία ἐπί μέσος ὁ πλευρά ἄγω εὐθεῖα . εἰμί τρίγωνον ὁ ΑΒΓ , καί ἄγω ὁ μέν Α△ ἐπί μέσος ὁ ΒΓ , ὁ δέ ΒΕ ἐπί μέσος ὁ ΑΓ · εἰμί δή ὁ ΑΒΓ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος ἐπί ἑκάτερος ὁ Α△ , ΒΕ · δείκνυμι γάρ οὗτος . ὥστε ὁ Θ σαμεῖον κέντρον ὁ βάρος εἰμί .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.1
Εἴ κα δύο χωρία περιεχόμενα ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , ἃ δυνάμεθα παρὰ τὰν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν , μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχωντι , τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων αὐτῶν συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν διαιρέον οὕτως τὰν εἰρημέναν εὐθεῖαν , ὥστε τὰ τμάματα αὐτᾶς ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἔχειν τοῖς χωρίοις . Ἔστω δύο χωρία τὰ ΑΒ , Γ△ , οἷα εἴρηται , κέντρα δὲ αὐτῶν τοῦ βάρεος ἔστω τὰ Ε , Ζ σαμεῖα , καὶ ὃν ἔχει λόγον τὸ ΑΒ ποτὶ τὸ Γ△ , τοῦτον ἐχέτω ἁ ΖΘ ποτὶ ΘΕ . Δεικτέον ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒ , Γ△ χωρίων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ σαμεῖον . Ἔστω δὴ τᾷ μὲν ΕΘ ἑκατέρα ἴσα τᾶν ΖΗ , ΖΚ , τᾷ δὲ ΖΘ , τουτέστι τᾷ ΗΕ , ἴσα ἁ ΕΛ · ἐσσεῖται ἄρα καὶ ἁ ΛΘ τᾷ ΚΘ ἴσα , καὶ ἔτι ὡς ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ , οὕτως τὸ ΑΒ ποτὶ Γ△ διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας . Παραβεβλήσθω δὴ παρὰ τὰν ΛΗ τὸ χωρίον τοῦ ΑΒ ἐφʼ ἑκάτερα τᾶς ΛΗ , ὥστε εἶμεν τὸ ΜΝ ἴσον τῷ ΑΒ · ἐσσεῖται δὴ τοῦ ΜΝ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ε σαμεῖον . Συμπεπληρώσθω δὴ τὸ ΝΞ , ἕξει δὲ τὸ ΜΝ ποτὶ τὸ ΝΞ λόγον , ὃν ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ . Ἔχει δὲ καὶ τὸ ΑΒ ποτὶ τὸ Γ△ τὸν τᾶς ΛΗ ποτὶ ΗΚ λόγον καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ ποτὶ Γ△ , οὕτως τὸ ΜΝ ποτὶ ΝΞ . Καὶ ἐναλλάξ · ἴσον δὲ τὸ ΑΒ τῷ ΜΝ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ Γ△ τῷ ΝΞ , καὶ κέντρον ἐστὶν αὐτοῦ τοῦ βάρεος τὸ Ζ σαμεῖον . Καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶν ἁ ΛΘ τᾷ ΘΚ , καὶ ὅλα ἁ ΛΚ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς δίχα τέμνει , ὅλου τοῦ ΠΜ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ σαμεῖον . Ἀλλὰ τὸ ΜΠ ἴσον τῷ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΜΝ , ΝΞ ὥστε καὶ τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒ , Γ△ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Θ σαμεῖον .
Lemmas: εἰ ἄν δύο χωρίον περιέχω ὑπό τε εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ὅς δύναμαι παρά ὁ δίδωμι εὐθεῖα παραβάλλω , μή ὁ αὐτός κέντρον ὁ βάρος ἔχω , ὁ ἐκ ἀμφότερος αὐτός σύγκειμαι μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κέντρον ὁ βάρος αὐτός διαιρέω οὕτως ὁ λέγω εὐθεῖα , ὥστε ὁ τμῆμα αὐτός ἀντιπεπόνθοτος ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ χωρίον . εἰμί δύο χωρίον ὁ ΑΒ , Γ△ , οἷος λέγω , κέντρον δέ αὐτός ὁ βάρος εἰμί ὁ Ε , Ζ σαμεῖον , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ△ , οὗτος ἔχω ὁ ΖΘ πρός ΘΕ . δείκνυμι ὅτι ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΒ , Γ△ χωρίον σύγκειμαι μέγεθος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Θ σαμεῖον . εἰμί δή ὁ μέν ΕΘ ἑκάτερος ἴσος ὁ ΖΗ , ΖΚ , ὁ δέ ΖΘ , τουτέστι ὁ ΗΕ , ἴσος ὁ ΕΛ · εἰμί ἄρα καί ὁ ΛΘ ὁ ΚΘ ἴσος , καί ἔτι ὡς ὁ ΛΗ πρός ΗΚ , οὕτως ὁ ΑΒ πρός Γ△ διπλάσιος γάρ ἑκάτερος ἑκάτερος . παραβάλλω δή παρά ὁ ΛΗ ὁ χωρίον ὁ ΑΒ ἐπί ἑκάτερος ὁ ΛΗ , ὥστε εἰμί ὁ ΜΝ ἴσος ὁ ΑΒ · εἰμί δή ὁ ΜΝ κέντρον ὁ βάρος ὁ Ε σαμεῖον . συμπληρόω δή ὁ ΝΞ , ἔχω δέ ὁ ΜΝ πρός ὁ ΝΞ λόγος , ὅς ὁ ΛΗ πρός ΗΚ . ἔχω δέ καί ὁ ΑΒ πρός ὁ Γ△ ὁ ὁ ΛΗ πρός ΗΚ λόγος καί ὡς ἄρα ὁ ΑΒ πρός Γ△ , οὕτως ὁ ΜΝ πρός ΝΞ . καί ἐναλλάξ · ἴσος δέ ὁ ΑΒ ὁ ΜΝ · ἴσος ἄρα καί ὁ Γ△ ὁ ΝΞ , καί κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Ζ σαμεῖον . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΛΘ ὁ ΘΚ , καί ὅλος ὁ ΛΚ ὁ ἀπεναντίον πλευρά δίχα τέμνω , ὅλος ὁ ΠΜ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Θ σαμεῖον . ἀλλά ὁ ΜΠ ἴσος ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΜΝ , ΝΞ ὥστε καί ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΒ , Γ△ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ σαμεῖον .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.2
Εἴ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τρίγωνον ἐγγραφῇ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον , καὶ πάλιν εἰς τὰ παραλειπόμενα τμάματα τρίγωνα ἐγγραφέωντι τὰς αὐτὰς βάσιας ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος ἴσον , καὶ ἀεὶ εἰς τὰ παραλειπόμενα τμάματα τρίγωνα ἐγγραφέωντι τὸν αὐτὸν τρόπον , τὸ γενόμενον σχῆμα ἐν τῷ τμάματι γνωρίμως ἐγγράφεσθαι λεγέσθω . Φανερὸν δὲ ὅτι τοῦ οὕτως ἐγγραφέντος σχήματος αἱ τὰς γωνίας ἐπιζευγνύουσαι τάς τε ἔγγιστα ἀπὸ τᾶς κορυφᾶς τοῦ τμάματος καὶ τὰς ἑξῆς παρὰ τὰν βάσιν ἐσσοῦνται τοῦ τμάματος καὶ δίχα τμαθήσονται ὑπὸ τᾶς τοῦ τμάματος διαμέτρου καὶ τὰν διάμετρον τεμοῦντι εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς περισσῶν ἀριθμῶν λόγους ἑνὸς λεγομένου ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ τμάματος . Ταῦτα δὲ δεικτέον ἐν ταῖς τάξεσιν . Εἰ δέ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς εὐθύγραμμον γνωρίμως ἐγγραφῇ , τοῦ ἐγγραφέντος κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς τοῦ τμάματος διαμέτρου . Ἔστω τμᾶμα τὸ ΑΒΓ οἷον εἴρηται , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ εὐθύγραμμον γνωρίμως τὸ ΑΕΖΗΒΘΙΚΓ . Δεικτέον ὅτι τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ εὐθυγράμμου ἐστὶν ἐπὶ τᾶς Β△ . Ἐπεὶ γὰρ τοῦ μὲν ΑΕΚΓ τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς Λ△ ἐστί , τοῦ δὲ ΕΖΙΚ τραπεζίου τὸ κέντρον ἐπὶ τᾶς ΜΛ , τοῦ δὲ ΖΗΘΙ τραπεζίου τὸ κέντρον ἐπὶ τᾶς ΜΝ , ἔτι δὲ καὶ τοῦ ΗΒΘ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΒΝ , δῆλον ὅτι καὶ τοῦ ὅλου εὐθυγράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς Β△ ἐστίν .
Lemmas: εἰ ἄν εἰς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθύς καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή τρίγωνος ἐγγράφω ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος , καί πάλιν εἰς ὁ παραλείπω τμῆμα τρίγωνος ἐγγράφω ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος , καί ἀεί εἰς ὁ παραλείπω τμῆμα τρίγωνος ἐγγράφω ὁ αὐτός τρόπος , ὁ γίγνομαι σχῆμα ἐν ὁ τμῆμα γνώριμος ἐγγράφω λέγω . φανερός δέ ὅτι ὁ οὕτως ἐγγράφω σχῆμα ὁ ὁ γωνία ἐπιζεύγνυμι ὁ τε ἐγγύς ἀπό ὁ κορυφή ὁ τμῆμα καί ὁ ἑξῆς παρά ὁ βάσις εἰμί ὁ τμῆμα καί δίχα τέμνω ὑπό ὁ ὁ τμῆμα διάμετρος καί ὁ διάμετρος τέμνω εἰς ὁ ὁ ἑξῆς περισσός ἀριθμός λόγος εἷς λέγω πρός ὁ κορυφή ὁ τμῆμα . οὗτος δέ δείκνυμι ἐν ὁ τάξις . εἰ δέ ἄν εἰς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα τε καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή εὐθύγραμμος γνώριμος ἐγγράφω , ὁ ἐγγράφω κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ὁ τμῆμα διάμετρος . εἰμί τμῆμα ὁ ΑΒΓ οἷος λέγω , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός εὐθύγραμμος γνώριμος ὁ ΑΕΖΗΒΘΙΚΓ . δείκνυμι ὅτι ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ εὐθύγραμμος εἰμί ἐπί ὁ Β△ . ἐπεί γάρ ὁ μέν ΑΕΚΓ τραπέζιον ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ Λ△ εἰμί , ὁ δέ ΕΖΙΚ τραπέζιον ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΜΛ , ὁ δέ ΖΗΘΙ τραπέζιον ὁ κέντρον ἐπί ὁ ΜΝ , ἔτι δέ καί ὁ ΗΒΘ τρίγωνον ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΒΝ , δῆλος ὅτι καί ὁ ὅλος εὐθύγραμμος ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ Β△ εἰμί .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.3
Εἴ κα δύο τμαμάτων ὁμοίων περιεχομένων ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς εἰς ἑκάτερον εὐθύγραμμον ἐγγραφῇ γνωρίμως , ἔχωντι δὲ τὰ ἐγγραφέντα εὐθύγραμμα τὰς πλευρὰς ἴσας τῷ πλήθει ἀλλάλαις , τῶν εὐθυγράμμων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως τέμνοντι τὰς διαμέτρους τῶν τμαμάτων . Ἔστω δύο τμάματα τὰ ΑΒΓ , ΞΟΠ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὰ εὐθύγραμμα γνωρίμως , καὶ τᾶν πασᾶν πλευρᾶν τὸν ἀριθμὸν ἐχόντων ἀλλάλοις ἴσον , διάμετροι δὲ ἔστωσαν τῶν τμαμάτων αἱ Β△ , ΟΡ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ , ΖΙ , ΗΘ καὶ αἱ ΣΤ , ΥΦ , ΧΨ . Ἐπεὶ οὖν ἅ τε Β△ διαιρεῖται ὑπὸ τᾶν παραλλήλων εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς ἀριθμῶν περισσῶν λόγους καὶ ἁ ΡΟ , καὶ τῷ πλήθει τὰ τμάματα αὐτᾶν ἴσα ἐντί , δῆλον ὡς τά τε τμάματα τᾶν διαμέτρων ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις ἐσσεῖται , καὶ αἱ παράλληλοι τοὺς αὐτοὺς λόγους ἑξοῦντι . Καὶ τῶν τραπεζίων τοῦ τε ΑΕΚΓ καὶ τοῦ ΞΣΤΠ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶν Λ△ , ΩΡ εὐθειᾶν ὁμοίως κείμενα , ἐπεὶ τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον αἱ ΑΓ , ΕΚ ταῖς ΞΠ , ΣΤ · πάλιν δὲ καὶ τῶν ΕΖΙΚ , ΣΥΦΤ τραπεζίων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσσοῦνται ὁμοίως διαιρέοντα τὰς ΛΜ , Ωϡ , καὶ τῶν ΖΗΘΙ , ΥΧΨΦ τραπεζίων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσσοῦνται ὁμοίως διαιρέοντα τὰς ΜΝ , ( ?? ) ϡ , ἐσσεῖται δὲ καὶ τῶν ΗΒΘ , ΧΟΨ τριγώνων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐπὶ τᾶν ΒΝ , Ο ( ?? ) ὁμοίως κείμενα ἔχοντι δὴ τὸν αὐτὸν λόγον τὰ τραπέζια καὶ τὰ τρίγωνα . Δῆλον οὖν ὅτι τοῦ ὅλου εὐθυγράμμου τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓ τμάματι ἐγγεγραμμένου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ὁμοίως διαιρεῖ τὰν Β△ καὶ τοῦ ἐν τῷ ΞΟΠ τμάματι ἐγγεγραμμένου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὰν ΟΡ ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: εἰ ἄν δύο τμῆμα ὅμοιος περιέχω ὑπό εὐθύς τε καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή εἰς ἑκάτερος εὐθύγραμμος ἐγγράφω γνώριμος , ἔχω δέ ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος ὁ πλευρά ἴσος ὁ πλῆθος ἀλλήλων , ὁ εὐθύγραμμος ὁ κέντρον ὁ βαρύς ὅμοιος τέμνω ὁ διάμετρος ὁ τμῆμα . εἰμί δύο τμῆμα ὁ ΑΒΓ , ΞΟΠ , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός εὐθύγραμμος γνώριμος , καί ὁ πᾶς πλευρά ὁ ἀριθμός ἔχω ἀλλήλων ἴσος , διάμετρος δέ εἰμί ὁ τμῆμα ὁ Β△ , ΟΡ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΚ , ΖΙ , ΗΘ καί ὁ ΣΤ , ΥΦ , ΧΨ . ἐπεί οὖν ὁ τε Β△ διαιρέω ὑπό ὁ παράλληλος εἰς ὁ ὁ ἑξῆς ἀριθμός περισσός λόγος καί ὁ ΡΟ , καί ὁ πλῆθος ὁ τμῆμα αὐτός ἴσος εἰμί , δῆλος ὡς ὁ τε τμῆμα ὁ διάμετρον ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί , καί ὁ παράλληλος ὁ αὐτός λόγος ἔχω . καί ὁ τραπέζιον ὁ τε ΑΕΚΓ καί ὁ ΞΣΤΠ ὁ κέντρον ὁ βαρύς εἰμί ἐπί ὁ Λ△ , ΩΡ εὐθεῖα ὅμοιος κεῖμαι , ἐπεί ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΑΓ , ΕΚ ὁ ΞΠ , ΣΤ · πάλιν δέ καί ὁ ΕΖΙΚ , ΣΥΦΤ τραπέζιον ὁ κέντρον ὁ βαρύς εἰμί ὅμοιος διαιρέω ὁ ΛΜ , Ωϡ , καί ὁ ΖΗΘΙ , ΥΧΨΦ τραπέζιον ὁ κέντρον ὁ βαρύς εἰμί ὅμοιος διαιρέω ὁ ΜΝ , ( ?? ) ϡ , εἰμί δέ καί ὁ ΗΒΘ , ΧΟΨ τρίγων ὁ κέντρον ὁ βαρύς ἐπί ὁ ΒΝ , ὁ ( ?? ) ὅμοιος κεῖμαι ἔχω δή ὁ αὐτός λόγος ὁ τραπέζιον καί ὁ τρίγωνος . δῆλος οὖν ὅτι ὁ ὅλος εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ ΑΒΓ τμῆμα ἐγγράφω ὁ κέντρον ὁ βάρος ὅμοιος διαιρέω ὁ Β△ καί ὁ ἐν ὁ ΞΟΠ τμῆμα ἐγγράφω ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ ΟΡ ὅς δέω δείκνυμι .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.6
Τμάματος δοθέντος περιεχομένου ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς δυνατόν ἐστιν ἐς τὸ τμᾶμα εὐθύγραμμον γνωρίμως ἐγγράψαι , ὥστε τὰν μεταξὺ εὐθεῖαν τῶν κέντρων τοῦ βάρεος τοῦ τμάματος καὶ τοῦ ἐγγραφέντος εὐθυγράμμου ἐλάσσονα εἶμεν πάσας τᾶς προτεθείσας εὐθείας . Δεδόσθω τμᾶμα τὸ ΑΒΓ οἷον εἴρηται , οὗ κέντρον ἔστω τοῦ βάρεος τὸ Θ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ τρίγωνον γνωρίμως τὸ ΑΒΓ , καὶ ἔστω ἁ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἁ Ζ , καὶ ὃν λόγον ἔχει ἁ ΒΘ ποτὶ Ζ , τοῦτον τὸν λόγον ἐχέτω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Χ χωρίον . Ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα εὐθύγραμμον γνωρίμως τὸ ΑΚΒΛΓ , ὥστε τὰ περιλειπόμενα τμάματα ἐλάσσονα εἶμεν τοῦ Χ , καὶ ἔστω τοῦ ἐγγραφέντος εὐθυγράμμου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ε . Φαμὶ δὴ τὰν ΘΕ ἐλάσσονα εἶμεν τᾶς Ζ . Εἰ γὰρ μή , ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ μείζων . Ἐπεὶ δὲ τὸ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμάματα μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ Χ , τουτέστιν ἁ ΘΒ ποτὶ Ζ , ἔχει δὲ καὶ ἁ ΒΘ ποτὶ Ζ οὐκ ἐλάσσονα λόγον ἢ ὃν ἔχει ποτὶ ΘΕ , διὰ τὸ μὴ ἐλάσσονα εἶμεν τὰν ΘΕ τᾶς Ζ , πολλῷ ἄρα τὸ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμάματα μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΒΘ ποτὶ ΘΕ · ὥστε , ἐὰν ποιῶμες ὡς τὸ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμάματα , οὕτως ἄλλαν τινα ποτὶ ΘΕ τοῦ ΑΒΓ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ , ἐκβληθείσας τᾶς ΕΘ καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς εὐθείας ἐχούσας λόγον ποτὶ τὰν ΕΘ , ὃν τὸ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα , ἐσσεῖται μείζων τᾶς ΘΒ . Ἐχέτω οὖν ἁ ΗΘ ποτὶ ΘΕ . Τὸ Η ἄρα κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν περιλειπομένων τμαμάτων ὅπερ ἀδύνατον τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Η ἀχθείσας παρὰ τὰν ΑΓ ἐπὶ τὰ αὐτά ἐστιν . Δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΘΕ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς Ζ ἔδει δὲ τοῦτο δεῖξαι .
Lemmas: τμῆμα δίδωμι περιέχω ὑπό εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή δυνατός εἰμί εἰς ὁ τμῆμα εὐθύγραμμος γνώριμος ἐγγράφω , ὥστε ὁ μεταξύ εὐθεῖα ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ τμῆμα καί ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος ἐλαχύς εἰμί πᾶς ὁ προτίθημι εὐθεῖα . δίδωμι τμῆμα ὁ ΑΒΓ οἷος λέγω , ὅς κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός τρίγωνον γνώριμος ὁ ΑΒΓ , καί εἰμί ὁ προτίθημι εὐθύς ὁ Ζ , καί ὅς λόγος ἔχω ὁ ΒΘ πρός Ζ , οὗτος ὁ λόγος ἔχω ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ Χ χωρίον . ἐγγράφω δή εἰς ὁ ΑΒΓ τμῆμα εὐθύγραμμος γνώριμος ὁ ΑΚΒΛΓ , ὥστε ὁ περιλείπομαι τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Χ , καί εἰμί ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος κέντρον ὁ βάρος ὁ Ε . φημί δή ὁ ΘΕ ἐλαχύς εἰμί ὁ Ζ . εἰ γάρ μή , ἤτοι ἴσος εἰμί ἤ μέγας . ἐπεί δέ ὁ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμος πρός ὁ περιλείπομαι τμῆμα μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός Χ , τουτέστι ὁ ΘΒ πρός Ζ , ἔχω δέ καί ὁ ΒΘ πρός Ζ οὐ ἐλαχύς λόγος ἤ ὅς ἔχω πρός ΘΕ , διά ὁ μή ἐλαχύς εἰμί ὁ ΘΕ ὁ Ζ , πολύς ἄρα ὁ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμος πρός ὁ περιλείπομαι τμῆμα μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΒΘ πρός ΘΕ · ὥστε , ἐάν ποιέω ὡς ὁ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμος πρός ὁ περιλείπομαι τμῆμα , οὕτως ἄλλος τις πρός ΘΕ ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Θ , ἐκβάλλω ὁ ΕΘ καί ἀπολάπτω τις εὐθεῖα ἔχω λόγος πρός ὁ ΕΘ , ὅς ὁ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμος πρός ὁ περιλείπομαι , εἰμί μέγας ὁ ΘΒ . ἔχω οὖν ὁ ΗΘ πρός ΘΕ . ὁ Η ἄρα κέντρον ὁ βάρος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ περιλείπομαι τμῆμα ὅς ἀδύνατος ὁ γάρ διά ὁ Η ἄγω παρά ὁ ΑΓ ἐπί ὁ αὐτός εἰμί . δῆλος οὖν ὅτι ὁ ΘΕ ἐλαχύς εἰμί ὁ Ζ δέω δέ οὗτος δείκνυμι .
archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.7
Δύο τμαμάτων ὁμοίων περιεχομένων ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὰ κέντρα τῶν βαρέων εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τέμνοντι τὰς διαμέτρους . Ἔστω δύο τμάματα οἷα εἴρηται τὰ ΑΒΓ , ΕΖΗ , ὧν διάμετροι αἱ Β△ , ΖΘ , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Κ σαμεῖον , τοῦ δὲ ΕΖΗ τὸ Λ . Δεικτέον ὅτι εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τέμνοντι τὰς διαμέτρους τὰ Κ , Λ . Εἰ γὰρ μή , ἔστω ὡς ἁ ΚΒ ποτὶ Κ△ , οὕτως ἁ ΖΜ ποτὶ ΜΘ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ΕΖΗ τμᾶμα εὐθύγραμμον γνωρίμως , ὥστε τὰν μεταξὺ τοῦ κέντρου τοῦ τμάματος καὶ τοῦ ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου ἐλάσσονα εἶμεν τᾶς ΛΜ , καὶ ἔστω τοῦ ἐγγραφέντος εὐθυγράμμου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ξ σαμεῖον , ἐγγεγράφθω δὲ εἰς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα τῷ ἐν τῷ ΕΖΗ ὁμοῖον εὐθύγραμμον οὗ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τᾶς κορυφᾶς ἐγγύτερον ἤπερ τὸ τοῦ τμάματος · ὅπερ ἀδύνατον . Δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΒΚ ποτὶ Κ△ , ὃν ἁ ΖΛ ποτὶ ΛΘ .
Lemmas: δύο τμῆμα ὅμοιος περιέχω ὑπό τε εὐθεῖα καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ κέντρον ὁ βαρύς εἰς ὁ αὐτός λόγος τέμνω ὁ διάμετρος . εἰμί δύο τμῆμα οἷος λέγω ὁ ΑΒΓ , ΕΖΗ , ὅς διάμετρος ὁ Β△ , ΖΘ , καί εἰμί ὁ μέν ΑΒΓ τμῆμα κέντρον ὁ βάρος ὁ Κ σαμεῖον , ὁ δέ ΕΖΗ ὁ Λ . δείκνυμι ὅτι εἰς ὁ αὐτός λόγος τέμνω ὁ διάμετρος ὁ Κ , Λ . εἰ γάρ μή , εἰμί ὡς ὁ ΚΒ πρός Κ△ , οὕτως ὁ ΖΜ πρός ΜΘ , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ΕΖΗ τμῆμα εὐθύγραμμος γνώριμος , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ κέντρον ὁ τμῆμα καί ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος ἐλαχύς εἰμί ὁ ΛΜ , καί εἰμί ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος κέντρον ὁ βάρος ὁ Ξ σαμεῖον , ἐγγράφω δέ εἰς ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ ἐν ὁ ΕΖΗ ὅμοιος εὐθύγραμμος ὅς ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ κορυφή ἐγγύς ἤ ὁ ὁ τμῆμα · ὅς ἀδύνατος . δῆλος οὖν ὅτι ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ ΒΚ πρός Κ△ , ὅς ὁ ΖΛ πρός ΛΘ .