archimedes.de-planorum-aequilibriis 1.15
Παντὸς τραπεζίου τὰς δύο πλευρὰς ἔχοντος παραλλήλους ἀλλάλαις τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς διχοτομίας τᾶν παραλλήλων διαιρεθείσας , ὥστε τὸ τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τὰν διχοτομίαν τᾶς ἐλάσσονος τᾶν παραλλήλων ποτὶ τὸ λοιπὸν τμᾶμα τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερος ἁ ἴσα τᾷ διπλασίᾳ τᾶς μείζονος μετὰ τᾶς ἐλάσσονος ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς ἐλάσσονος μετὰ τᾶς μείζονος τᾶν παραλλήλων . Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓ△ παραλλήλους ἔχον τὰς Α△ , ΒΓ , ἁ δὲ ΕΖ ἐπιζευγνυέτω τὰς διχοτομίας τᾶν Α△ , ΒΓ . Ὅτι οὖν ἐπὶ τᾶς ΕΖ ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ τραπεζίου φανερόν . Ἐὰν γὰρ ἐκβάλῃς τὰς Γ△Η , ΖΕΗ , ΒΑΗ , δῆλον ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἔρχονται , καὶ ἐσσεῖται τοῦ ΗΒΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΗΖ , καὶ ὁμοίως τοῦ ΑΗ△ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΕΗ · καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ ΑΒΓ△ τραπεζίου κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς ΕΖ . Ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἁ Β△ διῃρήσθω εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Κ , Θ σαμεῖα , καὶ διʼ αὐτῶν παρὰ τὰν ΒΓ ἄχθωσαν αἱ ΛΘΜ , ΝΚΤ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ △Ζ , ΒΕ , ΟΞ · ἐσσεῖται δὴ τοῦ μὲν △ΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΘΜ , ἐπειδήπερ τρίτον μέρος ἁ ΘΒ τᾶς Β△ . Ἔστιν δὲ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ △ΒΓ τριγώνου καὶ ἐπὶ τᾶς △Ζ ὥστε τὸ Ξ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ εἰρημένου τριγώνου . Διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ τὸ Ο σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒ△ τριγώνου τοῦ ἄρα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒ△ , Β△Γ τριγώνων συγκειμένου μεγέθεος , ὅπερ ἐστὶ τὸ τραπέζιον , κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΟΞ εὐθείας . Ἔστιν δὲ τοῦ εἰρημένου τραπεζίου κέντρον τοῦ βάρεος καὶ ἐπὶ τᾶς ΕΖ ὥστε τοῦ ΑΒΓ△ τραπεζίου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Π σαμεῖον . Ἔχοι δʼ ἂν τὸ Β△Γ τρίγωνον ποτὶ τὸ ΑΒ△ λόγον , ὃν ἁ ΟΠ ποτὶ ΠΞ . Ἀλλʼ ὡς τὸ Β△Γ τρίγωνον ποτὶ τὸ ΑΒ△ τρίγωνον , οὕτως ἐντὶ ἁ ΒΓ ποτὶ Α△ , ὡς δὲ ἁ ΟΠ ποτὶ ΠΞ , οὕτως ἁ ΡΠ ποτὶ ΠΣ · καὶ ὡς ἄρα ἁ ΒΓ ποτὶ Α△ , οὕτως ἁ ΡΠ ποτὶ ΠΣ · ὥστε καὶ ὡς δύο αἱ ΒΓ μετὰ τᾶς Α△ ποτὶ δύο τὰς Α△ μετὰ τᾶς ΒΓ , οὕτως δύο αἱ ΡΠ μετὰ τᾶς ΠΣ ποτὶ δύο τὰς ΠΣ μετὰ τᾶς ΠΡ . Ἀλλὰ δύο μὲν αἱ ΡΠ μετὰ τᾶς ΠΣ συναμφότερός ἐστιν ἁ ΣΡΠ , τουτέστιν ἁ ΠΕ , δύο δὲ αἱ ΠΣ μετὰ τᾶς ΠΡ συναμφότερός ἐστιν ἁ ΡΣΠ , τουτέστιν ἁ ΠΖ δέδεικται ἄρα τὰ προτεθέντα .
Lemmas: πᾶς τραπέζιον ὁ δύο πλευρά ἔχω παράλληλος ἀλλήλων ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ διχοτομία ὁ παράλληλος διαιρέω , ὥστε ὁ τμῆμα αὐτός ὁ πέρας ἔχω ὁ διχοτομία ὁ ἐλαχύς ὁ παράλληλος πρός ὁ λοιπός τμῆμα οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ ἴσος ὁ διπλάσιος ὁ μέγας μετά ὁ ἐλαχύς πρός ὁ διπλάσιος ὁ ἐλαχύς μετά ὁ μέγας ὁ παράλληλος . εἰμί τραπέζιον ὁ ΑΒΓ△ παράλληλος ἔχω ὁ Α△ , ΒΓ , ὁ δέ ΕΖ ἐπιζεύγνυμι ὁ διχοτομία ὁ Α△ , ΒΓ . ὅτι οὖν ἐπί ὁ ΕΖ εἰμί ὁ κέντρον ὁ τραπέζιον φανερός . ἐάν γάρ ἐκβάλλω ὁ ΓΗ , ΖΕΗ , ΒΑΗ , δῆλος ὅτι ἐπί ὁ αὐτός σαμεῖον ἔρχομαι , καί εἰμί ὁ ΗΒΓ τρίγωνον ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΗΖ , καί ὅμοιος ὁ ΑΗ τρίγωνον ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΕΗ · καί λοιπός ἄρα ὁ ΑΒΓ△ τραπέζιον κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΕΖ . ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ Β△ διαιρέω εἰς τρεῖς ἴσος κατά ὁ Κ , Θ σαμεῖον , καί διά αὐτός παρά ὁ ΒΓ ἄγω ὁ ΛΘΜ , ΝΚΤ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ △Ζ , ΒΕ , ΟΞ · εἰμί δή ὁ μέν △ΒΓ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΘΜ , ἐπειδή τρίτος μέρος ὁ ΘΒ ὁ Β△ . εἰμί δέ ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ △ΒΓ τρίγωνον καί ἐπί ὁ △Ζ ὥστε ὁ Ξ κέντρον ὁ βάρος ὁ λέγω τρίγωνον . διά αὐτός δέ καί ὁ Ο σαμεῖον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ ΑΒ△ τρίγωνον ὁ ἄρα ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΒ△ , Β△Γ τρίγωνος σύγκειμαι μέγεθος , ὅς εἰμί ὁ τραπέζιον , κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΟΞ εὐθεῖα . εἰμί δέ ὁ λέγω τραπέζιον κέντρον ὁ βάρος καί ἐπί ὁ ΕΖ ὥστε ὁ ΑΒΓ△ τραπέζιον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Π σαμεῖον . ἔχω δέ ἄν ὁ Β△Γ τρίγωνον πρός ὁ ΑΒ△ λόγος , ὅς ὁ ΟΠ πρός ΠΞ . ἀλλά ὡς ὁ Β△Γ τρίγωνον πρός ὁ ΑΒ△ τρίγωνον , οὕτως εἰμί ὁ ΒΓ πρός Α△ , ὡς δέ ὁ ΟΠ πρός ΠΞ , οὕτως ὁ ΡΠ πρός ΠΣ · καί ὡς ἄρα ὁ ΒΓ πρός Α△ , οὕτως ὁ ΡΠ πρός ΠΣ · ὥστε καί ὡς δύο ὁ ΒΓ μετά ὁ Α△ πρός δύο ὁ Α△ μετά ὁ ΒΓ , οὕτως δύο ὁ ΡΠ μετά ὁ ΠΣ πρός δύο ὁ ΠΣ μετά ὁ ΠΡ . ἀλλά δύο μέν ὁ ΡΠ μετά ὁ ΠΣ συναμφότεροι εἰμί ὁ ΣΡΠ , τουτέστι ὁ ΠΕ , δύο δέ ὁ ΠΣ μετά ὁ ΠΡ συναμφότεροι εἰμί ὁ ΡΣΠ , τουτέστι ὁ ΠΖ δείκνυμι ἄρα ὁ προτίθημι .