archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.4
Παντὸς τμάματος περιεχομένου ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς τοῦ τμάματος διαμέτρου . Ἔστω τμᾶμα ὡς εἴρηται τὸ ΑΒΓ , οὗ διάμετρος ἔστω ἁ Β△ . Δεικτέον ὅτι τοῦ εἰρημένου τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς Β△ . Εἰ γὰρ μή , ἔστω τὸ Ε , καὶ διʼ αὐτοῦ ἄχθῶ παρὰ τὰν Β△ ἁ ΕΖ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τμᾶμα τρίγωνον τὸ ΑΒΓ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον καὶ ὕψος ἴσον , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἁ ΓΖ ποτὶ Ζ△ , τοῦτον ἐχέτω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ χωρίον ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εὐθύγραμμον εἰς τὸ τμᾶμα γνωρίμως , ὥστε τὰ περιλειπόμενα τμάματα ἐλάσσονα εἶμεν τοῦ Κ τοῦ δὴ ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς Β△ . Ἔστω τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΘΕ καὶ ἐκβεβλήσθω , καὶ παρὰ τὰν Β△ ἀχθῶ ἁ ΓΛ δῆλον δὴ ὅτι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ἐγγεγραμμένον εὐθύγραμμον ἐν τῷ τμάματι ποτὶ τὰ λειπόμενα τμάματα ἢ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ . Ἀλλʼ ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ , οὕτως ἁ ΓΖ ποτὶ Ζ△ καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον ἄρα εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμάματα μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΓΖ ποτὶ Ζ△ , τουτέστιν ἁ ΛΕ ποτὶ ΕΘ . Ἐχέτω οὖν ἁ ΜΕ ποτὶ ΕΘ τὸν αὐτὸν λόγον τὸν τοῦ εὐθυγράμμου ποτὶ τὰ τμάματα . Ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν Ε κέντρον τοῦ ὅλου τμάματος , τοῦ δὲ ἐγγεγραμμένου ἐν αὐτῷ εὐθυγράμμου τὸ Θ , δῆλον ὅτι λοιποῦ τοῦ συγκειμένου μεγέθεος ἐκ τῶν περιλειπομένων τμαμάτων τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐκβληθείσας τᾶς ΘΕ καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς εὐθείας , ἃ λόγον ἔχει ποτὶ τὰν ΘΕ ὃν τὸ ἐγγεγραμμένον εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμάματα . Ὥστε εἴη κα τοῦ συγκειμένου μεγέθεος ἐκ τῶν περιλειπομένων τμαμάτων κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ σαμεῖον ὅπερ ἄτοπον τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Μ παρὰ τὰν Β△ ἀγομένας ἐπὶ ταὐτὰ ἐσσοῦνται πάντα τὰ περιλειπόμενα τμάματα . Δῆλον οὖν ὅτι ἐπὶ τᾶς Β△ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος .
Lemmas: πᾶς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθεῖα τε καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ὁ τμῆμα διάμετρος . εἰμί τμῆμα ὡς λέγω ὁ ΑΒΓ , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ Β△ . δείκνυμι ὅτι ὁ λέγω τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ Β△ . εἰ γάρ μή , εἰμί ὁ Ε , καί διά αὐτός ἄγω παρά ὁ Β△ ὁ ΕΖ , καί ἐγγράφω εἰς ὁ τμῆμα τρίγωνος ὁ ΑΒΓ ὁ αὐτός βάσις ἔχω καί ὕψος ἴσος , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ΓΖ πρός Ζ△ , οὗτος ἔχω ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ Κ χωρίον ἐγγράφω δέ καί εὐθύγραμμος εἰς ὁ τμῆμα γνώριμος , ὥστε ὁ περιλείπομαι τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Κ ὁ δή ἐγγράφω εὐθύγραμμος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ Β△ . εἰμί ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΕ καί ἐκβάλλω , καί παρά ὁ Β△ ἄγω ὁ ΓΛ δῆλος δή ὅτι μέγας λόγος ἔχω ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος ἐν ὁ τμῆμα πρός ὁ λείπω τμῆμα ἤ ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ Κ . ἀλλά ὡς ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ Κ , οὕτως ὁ ΓΖ πρός Ζ△ καί ὁ ἐγγράφω ἄρα εὐθύγραμμος πρός ὁ περιλείπομαι τμῆμα μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΓΖ πρός Ζ△ , τουτέστι ὁ ΛΕ πρός ΕΘ . ἔχω οὖν ὁ ΜΕ πρός ΕΘ ὁ αὐτός λόγος ὁ ὁ εὐθύγραμμος πρός ὁ τμῆμα . ἐπεί οὖν ὁ μέν Ε κέντρον ὁ ὅλος τμῆμα , ὁ δέ ἐγγράφω ἐν αὐτός εὐθύγραμμος ὁ Θ , δῆλος ὅτι λοιπός ὁ σύγκειμαι μέγεθος ἐκ ὁ περιλείπομαι τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐκβάλλω ὁ ΘΕ καί ἀπολάπτω τις εὐθεῖα , ὅς λόγος ἔχω πρός ὁ ΘΕ ὅς ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος πρός ὁ περιλείπομαι τμῆμα . ὥστε εἰμί ἄν ὁ σύγκειμαι μέγεθος ἐκ ὁ περιλείπομαι τμῆμα κέντρον ὁ βάρος ὁ Μ σαμεῖον ὅς ἄτοπος ὁ γάρ διά ὁ Μ παρά ὁ Β△ ἄγω ἐπί αὐτός εἰμί πᾶς ὁ περιλείπομαι τμῆμα . δῆλος οὖν ὅτι ἐπί ὁ Β△ ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος .