archimedes.de-planorum-aequilibriis 2.5
Εἴ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς εὐθύγραμμον ἐγγραφῇ γνωρίμως , τοῦ ὅλου τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐγγύτερόν ἐστι τᾶς κορυφᾶς τοῦ τμάματος ἢ τὸ τοῦ ἐγγραφέντος εὐθυγράμμου κέντρον . Ἔστω τὸ ΑΒΓ τμᾶμα οἷον εἴρηται , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἁ △Β , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ τρίγωνον πρῶτον γνωρίμως τὸ ΑΒΓ , καὶ τετμάσθω ἁ Β△ κατὰ τὸ Ε , ὥστε εἶμεν διπλασίαν τὰν ΒΕ τᾶς Ε△ · ἔστιν οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ε σαμεῖον . Τετμάσθω δὴ δίχα ἑκατέρα τᾶν ΑΒ , ΒΓ κατὰ τὰ Ζ , Η , καὶ διὰ τῶν Ζ , Η παρὰ τὰν Β△ ἄχθωσαν αἱ ΖΚ , ΛΗ · ἐσσεῖται ἄρα τοῦ μὲν ΑΚΒ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΖΚ , τοῦ ΒΓΛ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΗΛ . Ἔστω δὲ τὰ Θ , Ι , καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΘΙ . Καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΘΖΗΙ , καὶ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΖΝ ἁ ΝΗ , ἔστιν ἄρα καὶ ἁ ΧΘ ἴσα τᾷ ΧΙ · ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τμαμάτων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ μέσας τᾶς ΘΙ , τουτέστιν τὸ Χ σαμεῖον . Ἐπεὶ δὲ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε σαμεῖον , τοῦ δὲ συγκειμένου ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τὸ Χ , δῆλον οὖν ὅτι ὅλου τοῦ τμάματος τοῦ ΑΒΓ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΧΕ , τουτέστι μεταξὺ τῶν Χ , Ε σαμείων · ὥστʼ εἴη κα ἐγγύτερον τᾶς τοῦ τμάματος κορυφᾶς τὸ κέντρον τοῦ ὅλου τμάματος ἢ τὸ τοῦ ἐγγραφομένου τριγώνου γνωρίμως . Ἐγγεγράφθω πάλιν εἰς τὸ τμᾶμα πεντάγωνον εὐθύγραμμον γνωρίμως τὸ ΑΚΒΛΓ , καὶ ἔστω τοῦ μὲν ὅλου τμάματος διάμετρος ἁ Β△ , ἑκατέρου δὲ τῶν τμαμάτων ἑκατέρα τᾶν ΚΖ , ΛΗ διάμετρος . Ἔστω οὖν τοῦ μὲν τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ , τοῦ δε τριγώνου τὸ l , πάλιν δὲ ἔστω τοῦ μὲν ΒΛΓ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ , τοῦ δὲ τριγώνου τὸ Ν · ἐσσεῖται δὴ τοῦ μὲν ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τμαμάτων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Χ , τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τριγώνων τὸ Τ . Πάλιν οὖν , ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε , τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ , ΒΛΓ τμαμάτων τὸ Χ , δῆλον ὡς ὅλου τοῦ ΑΒΓ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΧΕ τμαθείσας οὕτως ὥστε ὃν ἔχει λόγον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ συναμφότερα τὰ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμάματα , τὸν αὐτὸν λόγον ἔχειν τὸ τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τὸ Χ ποτὶ τὸ ἔλασσον τμᾶμα . Τοῦ δὲ ΑΚΒΛΓ πενταγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΕΤ εὐθείας τμαθείσας οὕτως , ὥστε ὃν ἔχει λόγον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ ΑΚΒ , ΒΛΓ τρίγωνα , τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον τὸ τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τὸ Τ ποτὶ τὸ λοιπόν , Ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ ΚΑΒ , ΛΒΓ τρίγωνα ἢ ποτὶ τὰ τμάματα , δῆλον οὖν ὅτι τοῦ ΑΒΓ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐγγύτερόν ἐστι τᾶς Β κορυφᾶς ἢ τὸ τοῦ ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου . Καὶ ἐπὶ πάντων εὐθυγράμμων τῶν ἐγγραφομένων ἐς τὰ τμάματα γνωρίμως ὁ αὐτὸς λόγος .
Lemmas: εἰ ἄν εἰς τμῆμα περιέχω ὑπό εὐθύς τε καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή εὐθύγραμμος ἐγγράφω γνώριμος , ὁ ὅλος τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐγγύς εἰμί ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἤ ὁ ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος κέντρον . εἰμί ὁ ΑΒΓ τμῆμα οἷος λέγω , διάμετρος δέ αὐτός ὁ △Β , καί ἐγγράφω εἰς αὐτός τρίγωνον πρῶτος γνώριμος ὁ ΑΒΓ , καί τέμνω ὁ Β△ κατά ὁ Ε , ὥστε εἰμί διπλάσιος ὁ ΒΕ ὁ Ε△ · εἰμί οὖν ὁ ΑΒΓ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος ὁ Ε σαμεῖον . τέμνω δή δίχα ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΒΓ κατά ὁ Ζ , Η , καί διά ὁ Ζ , Η παρά ὁ Β△ ἄγω ὁ ΖΚ , ΛΗ · εἰμί ἄρα ὁ μέν ΑΚΒ τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΖΚ , ὁ ΒΓΛ τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΗΛ . εἰμί δέ ὁ Θ , Ι , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΙ . καί ἐπεί παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΘΖΗΙ , καί ἴσος εἰμί ὁ ΖΝ ὁ ΝΗ , εἰμί ἄρα καί ὁ ΧΘ ἴσος ὁ ΧΙάς · ὥστε ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμῆμα σύγκειμαι μέγεθος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί μέσος ὁ ΘΙ , τουτέστι ὁ Χ σαμεῖον . ἐπεί δέ ὁ μέν ΑΒΓ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Ε σαμεῖον , ὁ δέ σύγκειμαι ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ ὁ Χ , δῆλος οὖν ὅτι ὅλος ὁ τμῆμα ὁ ΑΒΓ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΧΕ , τουτέστι μεταξύ ὁ Χ , Ε σαμεῖον · ὥστε εἰμί ἄν ἐγγύς ὁ ὁ τμῆμα κορυφή ὁ κέντρον ὁ ὅλος τμῆμα ἤ ὁ ὁ ἐγγράφω τρίγωνον γνώριμος . ἐγγράφω πάλιν εἰς ὁ τμῆμα πεντάγωνος εὐθύγραμμος γνώριμος ὁ ΑΚΒΛΓ , καί εἰμί ὁ μέν ὅλος τμῆμα διάμετρος ὁ Β△ , ἑκάτερος δέ ὁ τμῆμα ἑκάτερος ὁ ΚΖ , ΛΗ διάμετρος . εἰμί οὖν ὁ μέν τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ , ὁ δε τρίγωνον ὁ l , πάλιν δέ εἰμί ὁ μέν ΒΛΓ τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ Μ , ὁ δέ τρίγωνον ὁ Ν · εἰμί δή ὁ μέν ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμῆμα σύγκειμαι μέγεθος κέντρον ὁ βάρος ὁ Χ , ὁ δέ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τρίγων ὁ Τ . πάλιν οὖν , ἐπεί ὁ ΑΒΓ τρίγωνον κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Ε , ὁ δέ ἐκ ἀμφότερος ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμῆμα ὁ Χ , δῆλος ὡς ὅλος ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΧΕ τέμνω οὕτως ὥστε ὅς ἔχω λόγος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ συναμφότεροι ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τμῆμα , ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ τμῆμα αὐτός ὁ πέρας ἔχω ὁ Χ πρός ὁ ἐλαχύς τμῆμα . ὁ δέ ΑΚΒΛΓ πεντάγωνος κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΕΤ εὐθεῖα τέμνω οὕτως , ὥστε ὅς ἔχω λόγος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΚΒ , ΒΛΓ τρίγωνος , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ τμῆμα αὐτός ὁ πέρας ἔχω ὁ Τ πρός ὁ λοιπός , Ἐπεί οὖν μέγας λόγος ἔχω ὁ ΑΒΓ τρίγωνον πρός ὁ ΚΑΒ , ΛΒΓ τρίγωνος ἤ πρός ὁ τμῆμα , δῆλος οὖν ὅτι ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐγγύς εἰμί ὁ Β κορυφή ἤ ὁ ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος . καί ἐπί πᾶς εὐθύγραμμος ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ τμῆμα γνώριμος ὁ αὐτός λόγος .