archimedes.de-lineis-spiralibus 9
Τῶν αὐτῶν δεδομένων καὶ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας γραμμᾶς ἐκβεβλημένας δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτιβαλεῖν ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν εὐθεῖαν , ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας ποτὶ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας ποτὶ τὰν ἁφὰν τὸν ταχθέντα λόγον ἔχειν , εἴ κα ὁ δοθεὶς λόγος μείζων ᾖ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγομέναν . Δεδόσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καὶ ἐν τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΓΑ διάχθω , καὶ ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου ἁ ΞΓ κατὰ τὸ Γ , καὶ λόγος , ὃν ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η , μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ · ἐσσεῖται δὴ μείζων καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΚΓ ποτὶ τὰν ΓΛ . Ἐχέτω οὖν ἁ ΚΓ ποτὶ τὰν ΓΞ τὸν αὐτὸν λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν οὕτα τᾶς ΓΛ . Πάλιν δὴ γεγράφθω κύκλος διὰ τῶν Ξ , Κ , Λ σαμείων . Ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων ἐστὶν ἁ ΞΓ τᾶς ΓΛ , καὶ ποτʼ ὀρθάς ἐντι ἀλλάλαις αἱ ΚΜ , ΞΓ , δυνατὸν τᾷ ΓΜ ἴσαν θέμεν τὰν ΙΝ νεύουσαν ἐπὶ τὸ Κ . Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τᾶν ΞΙΛ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΛΙ , ΚΕ ἐστὶν ὡς ἁ ΞΙ ποτὶ ΚΕ , ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τᾶν ΞΙΛ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΙΝ , τῷ δὲ ὑπὸ τᾶν ΛΙ , ΚΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΙ , ΓΛ διὰ τὸ εἶμεν ὡς τὰν ΚΕ ποτὶ ΙΚ οὕτως τὰν ΛΓ ποτὶ Λl , καὶ ὡς ἄρα ἁ ΞΙ ποτὶ ΚΕ , οὕτως τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΙΝ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΙ , ΓΛ , τουτέστιν ὡς ἁ ΝΙ ποτὶ ΓΛ , τουτέστιν ἁ ΓΜ ποτὶ ΓΛ , Ἔστιν δὲ καὶ , ὡς ἁ ΓΜ ποτὶ ΓΛ , ἁ ΞΓ ποτὶ ΚΓ , τουτέστι ποτὶ ΚΒ ἔστιν ἄρα , ὡς ἁ ΞΙ ποτὶ ΚΕ , ἁ ΞΓ ποτὶ ΚΒ , καὶ λοιπὰ ἁ ΙΓ ποτὶ λοιπὰν τὰν ΒΕ ἐστὶν ὡς ἁ ΞΓ ποτὶ ΓΚ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΞΓ ποτὶ ΓΚ , τοῦτον ἔχει ἁ Η ποτὶ Ζ ποτίπέπτωκεν δὴ ἁ ΚΕ ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν , καὶ ἁ μεταξὺ τᾶς ἐκβεβλημένας καὶ τᾶς περιφερείας ἁ ΒΕ ποτὶ τὰν ΓΙ τὰν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας ἀπολαφθεῖσαν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η .
Lemmas: ὁ αὐτός δίδωμι καί ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι γραμμή ἐκβάλλω δυνατός ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος προσβάλλω πρός ὁ ἐκβάλλω εὐθεῖα , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ περιφέρεια καί ὁ ἐκβάλλω πρός ὁ ἀπολάπτω ἀπό ὁ ἐπιψαύω πρός ὁ ἁφή ὁ τάσσω λόγος ἔχω , εἰ ἄν ὁ δίδωμι λόγος μέγας εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ ἡμίσεια ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω . δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , καί ἐν ὁ κύκλος εὐθύς ἐλαχύς ὁ διάμετρος ὁ ΓΑ διάγω , καί ἐπιψαύω ὁ κύκλος ὁ ΞΓ κατά ὁ Γ , καί λόγος , ὅς ἔχω ὁ Ζ πρός ὁ Η , μέγας ὁ ὅς ἔχω ὁ ΓΘ πρός ὁ ΘΚ · εἰμί δή μέγας καί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΚΓ πρός ὁ ΓΛ . ἔχω οὖν ὁ ΚΓ πρός ὁ ΓΞ ὁ αὐτός λόγος ὅς ὁ Ζ πρός ὁ Η ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὅτε ὁ ΓΛ . πάλιν δή γράφω κύκλος διά ὁ Ξ , Κ , Λ σαμεῖον . ἐπεί οὖν ἐλαχύς εἰμί ὁ ΞΓ ὁ ΓΛ , καί ποτέ ὀρθός εἰμί ἀλλήλων ὁ ΚΜ , ΞΓ , δυνατός ὁ ΓΜ ἴσος τίθημι ὁ ΙΝ νεύω ἐπί ὁ Κ . ἐπεί οὖν ὁ ὑπό ὁ ΞΙΛ πρός ὁ ὑπό ὁ ΛΙ , ΚΕ εἰμί ὡς ὁ ΞΙ πρός ΚΕ , ἀλλά ὁ μέν ὑπό ὁ ΞΙΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΚΙΝ , ὁ δέ ὑπό ὁ ΛΙ , ΚΕ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΚΙς , ΓΛ διά ὁ εἰμί ὡς ὁ ΚΕ πρός ΙΚ οὕτως ὁ ΛΓ πρός Λl , καί ὡς ἄρα ὁ ΞΙ πρός ΚΕ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΚΙΝ πρός ὁ ὑπό ὁ ΚΙς , ΓΛ , τουτέστι ὡς ὁ ΝΙ πρός ΓΛ , τουτέστι ὁ ΓΜ πρός ΓΛ , Ἔρτις δέ καί , ὡς ὁ ΓΜ πρός ΓΛ , ὁ ΞΓ πρός ΚΓ , τουτέστι πρός ΚΒ εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΞΙ πρός ΚΕ , ὁ ΞΓ πρός ΚΒ , καί λοιπός ὁ ΙΓ πρός λοιπός ὁ ΒΕ εἰμί ὡς ὁ ΞΓ πρός ΓΚ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΞΓ πρός ΓΚ , οὗτος ἔχω ὁ Η πρός Ζ ποτίπεπτομαι δή ὁ ΚΕ πρός ὁ ἐκβάλλω , καί ὁ μεταξύ ὁ ἐκβάλλω καί ὁ περιφέρεια ὁ ΒΕ πρός ὁ ΓΙ ὁ ἀπό ὁ ἐπιψαύω ἀπολάπτω ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὅς ὁ Ζ πρός ὁ Η .