archimedes.de-lineis-spiralibus 1
Εἴ κα κατά τινος γραμμᾶς ἐνεχθῇ τι σαμεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμενον , καὶ λαφθέωντι ἐν αὐτᾷ δύο γραμμαί , αἱ ἀπολαφθεῖσαι τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτʼ ἀλλάλας ὅνπερ οἱ χρόνοι , ἐν οἷς τὸ σαμεῖον τὰς γραμμὰς ἐπορεύθη . Ἐνηνέχθω γάρ τι σαμεῖον κατὰ τᾶς ΑΒ γραμμᾶς ἰσοταχέως , καὶ λελάφθωσαν ἐν αὐτᾷ δύο γραμμαὶ αἱ Γ△ , △Ε , ἔστω δὲ ὁ χρόνος , ἐν ᾧ τὰν Γ△ γραμμὰν τὸ σαμεῖον διεπορεύθη , ὁ ΖΗ , ἐν ᾧ δὲ τὰν △Ε , ὁ ΗΘ . Δεωκτέον ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ Γ△ γραμμὰ ποτὶ τὰν △Ε γραμμάν , ὃν ὁ χρόνος ὁ ΖΗ ποτὶ τὸν ΗΘ . Συγκείσθωσαν γὰρ ἐκ τᾶν Γ△ , △Ε γραμμᾶν αἱ Α△ , △Β γραμμαὶ καθ' ἁντινοῦν σύνθεσιν οὕτως , ὥστε ὑπερέχειν τὰν Α△ τᾶς △Β , καὶ ὁσάκις μὲν σύγκειται ἁ Γ△ γραμμὰ ἐν τᾷ Α△ , τοσαυτάκις συγκείσθω ὁ χρόνος ὁ ΖΗ ἐν τῷ χρόνῳ τῷ ΛΗ , ὁσάκις δὲ σύγκειται ἁ △Ε γραμμὰ ἐν τᾷ △Β , τοσαυτάκις συγκείσθω ὁ ΘΗ χρόνος ἐν τῷ ΚΗ χρόνῳ . Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται τὸ σαμεῖον ἰσοταχέως ἐνηνέχθαι κατὰ τᾶς ΑΒ γραμμᾶς , δῆλον ὡς , ἐν ὅσῳ χρόνῳ τὰν Γ△ ἐνήνεκται , ἐν τοσούτῳ καὶ ἑκάσταν ἐνήνεκται τᾶν ἰσᾶν τᾷ Γ△ · φανερὸν οὖν ὅτι καὶ συγκειμέναν τὰν Α△ γραμμὰν ἐν τοσούτῳ χρόνῳ ἐνήνεκται , ὅσος ἐστὶν ὁ ΛΗ χρόνος , ἐπειδὴ τοσαυτάκις σύγκειται ἅ τε Γ△ γραμμὰ ἐν τᾷ Α△ γραμμᾷ καὶ ὁ ΖΗ χρόνος ἐν τῷ ΛΗ χρόνῳ . Διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τὰν Β△ γραμμὰν ἐν τοσούτῳ χρόνῳ τὸ σαμεῖον ἐνήνεκται , ὅσος ἐστὶν ὁ ΚΗ χρόνος . Ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἁ Α△ γραμμὰ τᾶς Β△ , δῆλον ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ τὸ σαμεῖον τὰν △Α διαπορεύεται γραμμὰν ἢ τὰν Β△ · ὥστε ὁ χρόνος ὁ ΛΗ μείζων ἐστὶ τοῦ ΚΗ χρόνου . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ εἴ κα ἐκ τῶν χρόνων τῶν ΖΗ , ΗΘ συντεθέωντι χρόνοι καθʼ ἁντινοῦν σύνθεσιν , ὥστε ὑπερέχειν τὸν ἕτερον τοῦ ἑτέρου , ὅτι καὶ τᾶν ἐκ τᾶν γραμμᾶν τᾶν Γ△ , △Ε κατὰ τὰν αὐτὰν σύνθεσιν συντεθεισᾶν ὑπερέξει ἁ ὁμόλογος τῷ ὑπερέχοντι χρόνῳ δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ Γ△ ποτὶ τὰν △Ε , ὃν ὁ χρόνος ὁ ΖΗ ποτὶ τὸν χρόνον τὸν ΗΘ .
Lemmas: εἰ ἄν κατά τις γραμμή φέρω τις σαμεῖον ἰσοταχής αὐτός ἑαυτοῦ φέρω , καί λάπτω ἐν αὐτός δύο γραμμή , ὁ ἀπολάπτω ὁ αὐτός ἔχω λόγος ποτέ ἀλλήλων ὅς ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ σαμεῖον ὁ γραμμή πορεύω . φέρω γάρ τις σαμεῖον κατά ὁ ΑΒ γραμμή ἰσοταχής , καί λαμβάνω ἐν αὐτός δύο γραμμή ὁ Γ△ , △Ε , εἰμί δέ ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Γ△ γραμμή ὁ σαμεῖον διαπορεύω , ὁ ΖΗ , ἐν ὅς δέ ὁ △Ε , ὁ ΗΘ . δέωχω ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ Γ△ γραμμή πρός ὁ △Ε γραμμή , ὅς ὁ χρόνος ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΘ . σύγκειμαι γάρ ἐκ ὁ Γ△ , △Ε γραμμή ὁ Α△ , △Β γραμμή κατά ἀντινέω σύνθεσις οὕτως , ὥστε ὑπερέχω ὁ Α△ ὁ △Β , καί ὁσάκις μέν σύγκειμαι ὁ Γ△ γραμμή ἐν ὁ Α△ , τοσαυτάκις σύγκειμαι ὁ χρόνος ὁ ΖΗ ἐν ὁ χρόνος ὁ ΛΗ , ὁσάκις δέ σύγκειμαι ὁ △Ε γραμμή ἐν ὁ △Β , τοσαυτάκις σύγκειμαι ὁ ΘΗ χρόνος ἐν ὁ ΚΗ χρόνος . ἐπεί οὖν ὑπόκειμαι ὁ σαμεῖον ἰσοταχής φέρω κατά ὁ ΑΒ γραμμή , δῆλος ὡς , ἐν ὅσος χρόνος ὁ Γ△ φέρω , ἐν τοσοῦτος καί ἑκαστός φέρω ὁ ἴσος ὁ Γ△ · φανερός οὖν ὅτι καί σύγκειμαι ὁ Α△ γραμμή ἐν τοσοῦτος χρόνος φέρω , ὅσος εἰμί ὁ ΛΗ χρόνος , ἐπειδή τοσαυτάκις σύγκειμαι ὁ τε Γ△ γραμμή ἐν ὁ Α△ γραμμή καί ὁ ΖΗ χρόνος ἐν ὁ ΛΗ χρόνος . διά αὐτός δή καί ὁ Β△ γραμμή ἐν τοσοῦτος χρόνος ὁ σαμεῖον φέρω , ὅσος εἰμί ὁ ΚΗ χρόνος . ἐπεί οὖν μέγας εἰμί ὁ Α△ γραμμή ὁ Β△ , δῆλος ὅτι ἐν πολύς χρόνος ὁ σαμεῖον ὁ △Α διαπορεύω γραμμή ἤ ὁ Β△ · ὥστε ὁ χρόνος ὁ ΛΗ μέγας εἰμί ὁ ΚΗ χρόνος . ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί εἰ ἄν ἐκ ὁ χρόνος ὁ ΖΗ , ΗΘ συντίθημι χρόνος κατά ἀντινέω σύνθεσις , ὥστε ὑπερέχω ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος , ὅτι καί ὁ ἐκ ὁ γραμμή ὁ Γ△ , △Ε κατά ὁ αὐτός σύνθεσις συντίθημι ὑπερέχω ὁ ὁμόλογος ὁ ὑπερέχω χρόνος δῆλος οὖν ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ Γ△ πρός ὁ △Ε , ὅς ὁ χρόνος ὁ ΖΗ πρός ὁ χρόνος ὁ ΗΘ .