archimedes.de-lineis-spiralibus 11
Εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεθέωντι ὁποσαιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι , καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεθέωντι τῷ μὲν πλήθει μιᾷ ἐλάσσονες τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν , τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ , τὰ τετράγωνα πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ μὲν τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις ῷ τε περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς τετραγώνου , ᾆ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶς ἐλαχίστας , ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου . Ἔστωσαν γὰρ γραμμαὶ ὁποσοιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι ἑξῆς κείμεναι , ἁ μὲν ΑΒ τᾶς Γ△ , ἁ δὲ Γ△ τᾶς ΕΖ , ἁ δὲ ΕΖ τᾶς ΗΘ , ἁ δὲ ΗΘ τᾶς ΙΚ , ἁ δὲ ΙΚ τᾶς ΛΜ , ἁ δὲ ΛΜ τᾶς ΝΞ , ποτικείσθω δὲ ποτὶ μὲν τὰν Γ△ ἴσα μιᾷ ὑπεροχᾷ ἁ ΓΟ , ποτὶ δὲ τὰν ΕΖ ἴσα δυσὶν ὑπεροχαῖς ἁ ΕΠ , ποτὶ δὲ τὰν ΗΘ ἴσα τρισὶν ὑπεροχαῖς ἁ ΗΡ , καὶ ποτὶ τὰς ἄλλας τὸν αὐτὸν τρόπον ἐσσοῦνται δὴ αἱ γενόμεναι ἀλλάλαις ἴσαι καὶ ἑκάστα τᾷ μεγίστᾳ . Δεικτέον οὖν ὅτι τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν γενομενᾶν τετράγωνα ποτὶ μὲν πάντα τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΝΞ τετραγώνου ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν ΑΒ , ΝΞ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΝΥ τετραγώνου , ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν αὐτᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετραγώνου μείζονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγου . Ἀπολελάφθω ἀφʼ ἑκάστας τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ ποτὶ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΒ , ΦΒ περιεχόμένον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΦ τετραγώνου , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τό τε ἀπὸ τᾶς Ο△ τετράγωνον ποτί τε τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ο△ , △Χ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΧΟ τετραγώνου καὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΖ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΠΖ , ΨΖ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΨΠ τετραγώνου καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τετράγωνα ποτὶ τὰ ὁμοίως λαμβανόμενα χωρία καὶ τὰ πάντα δὴ τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν Ο△ , ΠΖ , ΡΘ , ΣΚ , ΤΜ , ΥΞ ποτί τε πάντα τὰ περιεχόμενα ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς εἰρημέναις γραμμαῖς καὶ τὰ τριταμόρια τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ , Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΒ , ΦΒ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ ΦΑ τετραγώνου . Εἰ οὖν κα δειχθῇ τό τε περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Ο△ , ΠΖ , ΡΘ , ΣΚ , ΤΜ , ΥΞ καὶ τὰ τρίτα μέρεα τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ τῶν μὲν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ , Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙΚ , ΛΜ ἐλάττονα , τῶν δὲ τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙK , ΛΜ , ΝΞ μείζονα , δεδειγμένον ἐσσεῖται τὸ προτεθέν . Ἐντὶ δὴ τὸ μὲν περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Ο△ , ΠΖ , ΡΘ , ΣΚ , ΤΜ . ΥΞ καὶ τὰ τρίτα μέρεα τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ ἴσα τοῖς τετραγώνοις τοῖς ἀπὸ Χ#9651 ; , ΨΖ , ΩΘ , ϡΚ , ( ?? ) Μ , ΝΞ καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ , Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ . τὰ δὲ ἀπὸ τᾶν ΑΒ , Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙK , ΛΜ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τᾶν ΒΦ , Χ△ , ΨΖ , ΩΘ , ϡK , ( ?? ) Μ τετραγώνοις καὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν ΑΦ , ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶς ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ , ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) Κοινὰ μὲν οὖν ἐντι ἑκατέρων τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ ΝΞ , τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας ταῖς ΟΧ , ΠΨ , ΩΡ , ϡΣ , ( ?? ) Τ , ΥΝ ἔλασσόν ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τᾶς ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ , ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) διὰ τὸ τὰς νῦν εἰρημένας τραμμὰς ταῖς μὲν ΓΟ , ΕΠ , ΡΗ , ΙΣ , ΛΤ , ΥΝ ἴσας εἶμεν , τᾶν δὲ λοιπᾶν μείζονας , καὶ τὰ τετράγωνα δὲ τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΦ , ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) μείζονά ἐντι τοῦ τρίτου μέρεος τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , T ( ?? ) , ΥΝ · δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς ἐπάνω ἐλάττονα ἄρα ἐντὶ τὰ ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ , Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙΚ , ΛΜ . Λοιπὸν δὲ δειξοῦμες ὅτι μείζονά ἐντι τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙK , ΛΜ , ΝΞ . Πάλιν δὴ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙΚ , ΛΜ , ΝΞ ἴσα ἐντὶ τοῖς τε ἀπὸ τᾶν ΧΓ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) καὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν Χ△ , ΨΖ , ΩΘ , ϡΚ , ( ?? ) Μ , ΝΞ καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) . Καί ἐστι κοινὰ μὲν τὰ ἀπὸ τᾶν Χ△ , ΨΖ , ΩΘ , ϡΚ , Μ ( ?? ) , ΝΞ , μεῖζον δὲ τὸ ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , T ( ?? ) , ΥΝ τοῦ ὑπὸ τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) , ἐντὶ δὲ καὶ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΟ , ΨΠ , ΩΡ , ϡΣ , ( ?? ) Τ , ΥΝ τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) μείζονα ἢ τριπλάσια δέδεικται γὰρ καὶ τοῦτο · μείζονα ἄρα ἐντὶ τὰ ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙΚ , ΛΜ , ΝΞ . ΠΟΡΙΣΜΑ Καὶ τοίνυν εἴ κα ὁμοῖα ἀναγραφέωντι ἀπὸ πασᾶν , ἀπό τε τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ , εἴδεα , πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας εἴδεος ἐλάσσονα λόγον ἑξοῦντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶς ἐλαχίστας , ποτὶ δὲ τὰ ἀπὸ τᾶν αὐτᾶν εἴδεα χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου · τὸν αὐτὸν γὰρ ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις . ΟΡΟΙ α΄ . Εἴ κα εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ γραμμὰ ἐν ἐπιπέδῳ καὶ μένοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος αὐτᾶς ἰσοταχέως περιενεχθεῖσα ὁσακισοῦν ἀποκατασταθῇ πάλιν , ὅθεν ὥρμασεν , ἄμα δὲ τᾷ γραμμᾷ περιαγομένᾳ φέρηταί τι σαμεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ κατὰ τᾶς εὐθείας ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος , τὸ σαμεῖον ἕλικα γράψει ἐν τῷ ἐπιπέδῳ . β΄ . Καλείσθω οὖν τὸ μὲν πέρας τᾶς εὐθείας τὸ μένον περιαγομένας αὐτᾶς ἀρχὰ τᾶς ἕλικος . γ΄ . Ἁ δὲ θέσις τᾶς τραμμᾶς , ἀφʼ ἆς ἄρξατο ἁ εὐθεῖα περιφέρεσθαι , ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς . δ΄ . Εὐθεῖα , ἃν μὲν ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ διαπορευθῇ τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον , πρώτα καλείσθω , ἃν δʼ ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ τὸ αὐτὸ σαμεῖον διανύσῃ , δευτέρα , καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως ταύταις ὁμωνύμως ταῖς περιφοραῖς καλείσθωσαν . ε΄ . Τὸ δὲ χωρίον τὸ περιλαφθὲν ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γραφείσας καὶ τᾶς εὐθείας , ἅ ἐστιν πρώτα , πρῶτον καλείσθω , τὸ δὲ περιλαφθὲν ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γραφείσας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας δεύτερον καλείσθω , καὶ τὰ ἄλλα ἑξῆς οὕτω καλείσθω . ϛ΄ . Καὶ εἴ κα ἀπὸ τοῦ σαμείου , ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , ἀχθῇ τις εὐθεῖα γραμμά , τᾶς εὐθείας ταύτας τὰ ἐπὶ τὰ αὐτά , ἐφʼ ἅ κα ἁ περιφορὰ γένηται , προαγουμένα καλείσθω , τὰ δὲ ἐπὶ θάτερα ἑπομένα . ζ΄ . Ὅ τε γραφεὶς κύκλος κέντρῳ μὲν τῷ σαμείῳ , ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , διαστήματι δὲ τᾷ εὐθείᾳ , ἅ ἐστιν πρώτα , πρῶτος καλείσθω , ὁ δὲ γραφεὶς κέντρῳ μὲν τῷ αὐτῷ , διαστήματι δὲ τᾷ διπλασίᾳ εὐθείᾳ δεύτερος καλείσθω , καὶ οἱ ἄλλοι δὲ ἑξῆς τούτοις τὸν αὐτὸν τρόπον .
Lemmas: εἰ ἄν γραμμή ἑξῆς τίθημι ὁσποσσαιοῦν ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , καί ἄλλος γραμμή τίθημι ὁ μέν πλῆθος εἷς ἐλαχύς ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , ὁ τετράγωνος πᾶς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας πρός μέν ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἐλαχύς ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ μέγας πρός ὁ ἴσος ἀμφότερος ῷ τε περιέχω ὑπό τε ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή τετράγωνος , ἆ ὑπερέχω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς , πρός δέ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερχέω χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας τετράγωνος μέγας ὁ αὐτός λόγος . εἰμί γάρ γραμμή ὁπόσος ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ἑξῆς κεῖμαι , ὁ μέν ΑΒ ὁ Γ△ , ὁ δέ Γ△ ὁ ΕΖ , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΗΘ , ὁ δέ ΗΘ ὁ ΙΚ , ὁ δέ ΙΚ ὁ ΛΜ , ὁ δέ ΛΜ ὁ ΝΞ , πρόσκειμαι δέ πρός μέν ὁ Γ△ ἴσος εἷς ὑπεροχή ὁ ΓΟ , πρός δέ ὁ ΕΖ ἴσος δύο ὑπεροχή ὁ ΕΠ , πρός δέ ὁ ΗΘ ἴσος τρεῖς ὑπεροχή ὁ ΗΡ , καί πρός ὁ ἄλλος ὁ αὐτός τρόπος εἰμί δή ὁ γίγνομαι ἀλλήλων ἴσος καί ἕκαστος ὁ μέγας . δείκνυμι οὖν ὅτι ὁ ἀπό πᾶς ὁ γίγνομαι τετράγωνος πρός μέν πᾶς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό πᾶς ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ ΝΞ τετράγωνος ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος πρός ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε περιέχω ὑπό ὁ ΑΒ , ΝΞ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΝΥ τετράγωνος , πρός δέ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ αὐτός χωρίς ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος μέγας λόγος ἔχω ὁ αὐτός λόγος . ἀπολαμβάνω ἀπό ἕκαστος ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ἴσος ὁ ὑπεροχή ὅς δή λόγος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΑΒ πρός συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΑΒ , ΦΒ περιέχω καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΑΦ τετράγωνος , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ τε ἀπό ὁ Ο△ τετράγωνος πρός τε ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ο△ , △Χ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΧΟ τετράγωνος καί ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΠΖ πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΠΖ , ΨΖ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΨΠ τετράγωνος καί ὁ ἀπό ὁ ἄλλος τετράγωνος πρός ὁ ὅμοιος λαμβάνω χωρίον καί ὁ πᾶς δή ὁ ἀπό πᾶς ὁ Ο△ , ΠΖ , ΡΘ , ΣΚ , ΤΜ , ΥΞ πρός τε πᾶς ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΝΞ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ λέγω γραμμή καί ὁ τριταμόριον ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ , Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΑΒ , ΦΒ περιέχω καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ΦΑ τετράγωνος . εἰ οὖν ἄν δείκνυμι ὁ τε περιέχω ὑπό τε ὁ ΝΞ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ Ο△ , ΠΖ , ΡΘ , ΣΚ , ΤΜ , ΥΞ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ ὁ μέν τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙΚ , ΛΜ ἐλαχύς , ὁ δέ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , Ι , ΛΜ , ΝΞ μέγας , δείκνυμι εἰμί ὁ προτίθημι . εἰμί δή ὁ μέν περιέχω ὑπό τε ὁ ΝΞ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ Ο△ , ΠΖ , ΡΘ , ΣΚ , ΤΜ . ΥΞ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ ἴσος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό Χ#9651 ; , ΨΖ , ΩΘ , ϡΚ , ( ?? ) Μ , ΝΞ καί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΝΞ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ , Σϡ , Τ ( ?? ) , ΥΝ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΒ , Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , Ι , ΛΜ τετράγωνος ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΒΦ , Χ△ , ΨΖ , ΩΘ , ϡK , ( ?? ) Μ τετράγωνος καί ὁ ἀπό ὁ ΑΦ , ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) καί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΦ καί ὁ διπλάσιος ὁ ΑΦ , ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) Κοινάν μέν οὖν εἰμί ἑκάτερος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ ΝΞ , ὁ δέ περιέχω ὑπό τε ὁ ΝΞ καί ὁ ἴσος ὁ ΟΧ , ΠΨ , ΩΡ , ϡΣ̅ , ( ?? ) Τ , ΥΝ ἐλαχύς εἰμί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΒΦ καί ὁ διπλάσιος ὁ ΑΦ , ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) διά ὁ ὁ νῦν λέγω τράμμα ὁ μέν ΓΟ , ΕΠ , ΡΗ , ΙΣ , ΛΤ , ΥΝ ἴσος εἰμί , ὁ δέ λοιπός μέγας , καί ὁ τετράγωνος δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΦ , ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) μέγας εἰμί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , T ( ?? ) , ΥΝ · δείκνυμι γάρ οὗτος ἐν ὁ ἐπάνω ἐλαχύς ἄρα εἰμί ὁ λέγω χωρίον ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ , Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙΚ , ΛΜ . λοιπός δέ δείκνυμι ὅτι μέγας εἰμί ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , Ι , ΛΜ , ΝΞ . πάλιν δή ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙΚ , ΛΜ , ΝΞ ἴσος εἰμί ὁ τε ἀπό ὁ ΧΓ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) καί ὁ ἀπό ὁ Χ△ , ΨΖ , ΩΘ , ϡΚ , ( ?? ) Μ , ΝΞ καί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΝΞ καί ὁ διπλάσιος πᾶς ὁ ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) . καί εἰμί κοινός μέν ὁ ἀπό ὁ Χ△ , ΨΖ , ΩΘ , ϡΚ , Μ ( ?? ) , ΝΞ , μέγας δέ ὁ ὑπό τε ὁ ΝΞ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ΟΧ , ΠΨ , ΡΩ . Σϡ , T ( ?? ) , ΥΝ ὁ ὑπό ὁ ΝΞ καί ὁ διπλάσιος πᾶς ὁ ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) , εἰμί δέ καί ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΧΟ , ΨΠ , ΩΡ , ϡΣ , ( ?? ) Τ , ΥΝ ὁ ἀπό ὁ ΓΧ , ΕΨ , ΗΩ , Ιϡ , Λ ( ?? ) μέγας ἤ τριπλάσιος δείκνυμι γάρ καί οὗτος · μέγας ἄρα εἰμί ὁ λέγω χωρίον ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Γ△ , ΕΖ , ΗΘ , ΙΚ , ΛΜ , ΝΞ . πόρισμα καί τοίνυν εἰ ἄν ὅμοιος ἀναγράφω ἀπό πᾶς , ἀπό τε ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω καί ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας , εἶδος , πᾶς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας πρός ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς εἶδος ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ μέγας πρός ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε περιέχω ὑπό τε ὁ μέγας καί ὁ ἐλαχύς καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ μέγας ὁ ἐλαχύς , πρός δέ ὁ ἀπό ὁ αὐτός εἶδος χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας μέγας ὁ αὐτός λόγος · ὁ αὐτός γάρ ἔχω λόγος ὁ ὅμοιος εἶδος ὁ τετράγωνος . ὁράω αʹ . εἰ ἄν εὐθύς ἐπιζεύγνυμι γραμμή ἐν ἐπίπεδος καί μένω ὁ ἕτερος πέρας αὐτός ἰσοταχής περιφέρω ὅσακις ἀποκαθίστημι πάλιν , ὅθεν ὁρμάω , ἅμα δέ ὁ γραμμή περιάγω φέρω τις σαμεῖον ἰσοταχής αὐτός ἑαυτοῦ κατά ὁ εὐθεῖα ἄρχω ἀπό ὁ μένω πέρας , ὁ σαμεῖον ἕλιξ γράφω ἐν ὁ ἐπίπεδος . βʹ . καλέω οὖν ὁ μέν πέρας ὁ εὐθεῖα ὁ μένω περιάγω αὐτός ἀρχή ὁ ἕλιξ . γʹ . ὁ δέ θέσις ὁ τραμμή , ἀπό ἕως ἄρχω ὁ εὐθύς περιφέρω , ἀρχή ὁ περιφορά . δʹ . εὐθύς , ἄν μέν ἐν ὁ πρῶτος περιφορά διαπορεύω ὁ σαμεῖον ὁ κατά ὁ εὐθεῖα φέρω , πρότερος καλέω , ἄν δέ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά ὁ αὐτός σαμεῖον διανύω , δεύτερος , καί ὁ ἄλλος ὅμοιος οὗτος ὁμώνυμος ὁ περιφορά καλέω . πέντε . ὁ δέ χωρίον ὁ περιλάπτω ὑπό τε ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω καί ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί πρότερος , πρῶτος καλέω , ὁ δέ περιλάπτω ὑπό τε ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω καί ὁ εὐθεῖα ὁ δεύτερος δεύτερος καλέω , καί ὁ ἄλλος ἑξῆς οὕτως καλέω . ϛʹ . καί εἰ ἄν ἀπό ὁ σαμεῖον , ὅς εἰμί ἀρχή ὁ ἕλιξ , ἄγω τις εὐθύς γραμμή , ὁ εὐθεῖα οὗτος ὁ ἐπί ὁ αὐτός , ἐπί ὅς ἄν ὁ περιφορά γίγνομαι , προηγέομαι καλέω , ὁ δέ ἐπί ἕτερος ἕπομαι . ζʹ . ὁ τε γράφω κύκλος κέντρον μέν ὁ σαμεῖον , ὅς εἰμί ἀρχή ὁ ἕλιξ , διάστημα δέ ὁ εὐθύς , ὅς εἰμί πρότερος , πρῶτος καλέω , ὁ δέ γράφω κέντρον μέν ὁ αὐτός , διάστημα δέ ὁ διπλάσιος εὐθύς δεύτερος καλέω , καί ὁ ἄλλος δέ ἑξῆς οὗτος ὁ αὐτός τρόπος .