archimedes.de-lineis-spiralibus 24
Τὸ περιλαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς πρώτας τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κύκλου τοῦ πρώτου . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς ἁ ΑΒΓ△ΕΘ , ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , ἁ δὲ ΘΑ εὐθεῖα πρώτα τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς , ὁ δὲ ΑΚΖΗΙ κύκλος πρῶτος , οὗ τρίτον μέρος ἔστω ὁ ἐν ᾧ ( ?? ) κύκλος . Δεικτέον ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ προειρημένον χωρίον τῷ ( ?? ) κύκλῳ . ( ?? ) Εἰ γὰρ μή , ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον . Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατόν , ἔλασσον . Δυνατὸν δή ἐστιν περὶ τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△ΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει ὁ ( ?? ) κύκλος τοῦ εἰρημένου χωρίου . Περιγεγράφθω δή , καὶ ἔστω τῶν τομέων , ἐξ ὧν σύγκειται τὸ εἰρημένον σχῆμα , μέγιστος μὲν ὁ ΘΑΚ , ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΕΟ · δῆλον οὖν ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ( ?? ) κύκλου . Ἐκβεβλήσθωσαν δὴ αἱ εὐθεῖαι αἱ ποτὶ τῷ Θ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γωνίας , ἔστʼ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι · ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπίπτουσαι τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι , ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ , ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ , καὶ ἁ ἐλαχίστα ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ , ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι τινὲς γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ποτιπίπτουσαι τῷ μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις , τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ , καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ πασᾶν ὁμοῖοι τομέες , ἀπό τε τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ · οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ἐλάσσονές ἐντι ἢ τριπλάσιοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν δέδεικται γὰρ τοῦτο . Ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ ἴσοι τῷ ΑΖΗΙ κύκλῳ , οἱ δὲ τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἴσοι τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι · ἐλάσσων ἄρα ὁ ΑΖΗΙ κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος ἢ τριπλασίων . Τοῦ δέ ( ?? ) κύκλου τριπλασίων · ἐλάσσων ἄρα ὁ ( ?? ) κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος . Οὐκ ἔστι δέ , ἀλλὰ μείζων οὐκ ἄρα ἐστὶν τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△ΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ ἔλασσον τοῦ ( ?? ) χωρίου . Οὐδὲ τοίνυν μεῖζον . Ἔστω γάρ , εἰ δυνατόν , μεῖζον . Ἔστι δὴ πάλιν δυνατὸν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς ΑΒΓ△ΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας ἐγγράψαι σχῆμα , ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος μεῖζον εἶμεν ἐλάσσονι ἢ ᾧ ὑπερέχει τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ ( ?? ) κύκλου . Ἐγγεγράφθω δή , καὶ ἔστω τῶν τομέων , ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα , μέγιστος μὲν ὁ ΘΡΞ , ἐλάχιστος δὲ ὁ ΟΘΕ · δῆλον οὖν ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ( ?? ) κύκλου . Ἐκβεβλήστωσαν δὴ αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γωνίας ποτὶ τῷ Θ , ἔστε κα ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι . Πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπίπτουσαι , ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ , ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ , καί ἐστιν ἁ ἐλαχίστα ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ , ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου περιφέρειαν ποτιπίπτουσαι τῷ μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις , τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ , καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ πασᾶν ὁμοῖοι τομέες ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ μείζονές ἐντι ἢ τριπλάσιοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας · δέδεικται γὰρ τοῦτο , Ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ἴσοι τῷ ΑΖΗΙ κύκλῳ , οἱ δὲ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ἴσοι τῷ ἐγγεραμμένῳ σχήματι · μείζων ἄρα ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ἢ τριπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος . Τοῦ δὲ ( ?? ) κύκλου τριπλασίων · μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ( ?? ) κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος . Οὐκ ἔστιν δέ , ἀλλὰ ἐλάσσων οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ μεῖζον τὸ χωρίον τὸ ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△ΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας τοῦ ( ?? ) κύκλου . Ἴσον ἄρα ἐστίν .
Lemmas: ὁ περιλάπτω χωρίον ὑπό τε ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω καί ὁ εὐθεῖα ὁ πρῶτος ὁ ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά τρίτος μέρος εἰμί ὁ κύκλος ὁ πρῶτος . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΑΒΓ△ΕΘ , ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω , εἰμί δέ ὁ μέν Θ σαμεῖον ἀρχή ὁ ἕλιξ , ὁ δέ ΘΑ εὐθύς πρότερος ὁ ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά , ὁ δέ ΑΚΖΗΙ κύκλος πρῶτος , ὅς τρίτος μέρος εἰμί ὁ ἐν ὅς ( ?? ) κύκλος . δείκνυμι ὅτι ἴσος εἰμί ὁ προλέγω χωρίον ὁ ( ?? ) κύκλος . ( ?? ) εἰ γάρ μή , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . δυνατός δή εἰμί περί ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△ΕΘ ἕλιξ καί ὁ ΑΘ εὐθεῖα περιγράφω σχῆμα ἐπίπεδος ἐκ ὅμοιος τομεύς σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ χωρίον ἐλαχύς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ λέγω χωρίον . περιγράφω δή , καί εἰμί ὁ τομεύς , ἐκ ὅς σύγκειμαι ὁ λέγω σχῆμα , μέγας μέν ὁ ΘΑΚ , ἐλαχύς δέ ὁ ΘΕΟ · δῆλος οὖν ὅτι ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ ( ?? ) κύκλος . ἐκβάλλω δή ὁ εὐθεῖα ὁ πρός ὁ Θ ποιέω ὁ ἴσος γωνία , ἔστε ἄν πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πίπτω · εἰμί δή τις γραμμή ὁ ἀπό ὁ Θ πρός ὁ ἕλιξ προσπίπτω ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , ὅς εἰμί μέγας μέν ὁ ΘΑ , ἐλαχύς δέ ὁ ΘΕ , καί ὁ ἐλαχύς ἴσος ὁ ὑπεροχή , εἰμί δέ καί ἄλλος τις γραμμή ὁ ἀπό ὁ Θ πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια προσπίπτω ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , καί ἀναγράφω ἀπό πᾶς ὅμοιος τομεύς , ἀπό τε ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω καί ἀπό ὁ ἴσος ἀλλήλων τε καί ὁ μέγας · ὁ ἄρα τομεύς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ τομεύς ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω δείκνυμι γάρ οὗτος . εἰμί δέ ὁ μέν τομεύς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ἀλλήλων τε καί ὁ μέγας ἴσος ὁ ΑΖΗΙ κύκλος , ὁ δέ τομεύς ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ἴσος ὁ περιγράφω σχῆμα · ἐλαχύς ἄρα ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ὁ περιγράφω σχῆμα ἤ τριπλασίων . ὁ δέ ( ?? ) κύκλος τριπλασίων · ἐλαχύς ἄρα ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ περιγράφω σχῆμα . οὐ εἰμί δέ , ἀλλά μέγας οὐ ἄρα εἰμί ὁ περιέχω χωρίον ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△ΕΘ ἕλιξ καί ὁ ΑΘ ἐλαχύς ὁ ( ?? ) χωρίον . οὐδέ τοίνυν μέγας . εἰμί γάρ , εἰ δυνατός , μέγας . εἰμί δή πάλιν δυνατός εἰς ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΒΓ△ΕΘ ἕλιξ καί ὁ ΑΘ εὐθεῖα ἐγγράφω σχῆμα , ὥστε ὁ λέγω χωρίον ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ἐλαχύς ἤ ὅς ὑπερέχω ὁ λέγω χωρίον ὁ ( ?? ) κύκλος . ἐγγράφω δή , καί εἰμί ὁ τομεύς , ἐκ ὅς σύγκειμαι ὁ ἐγγράφω σχῆμα , μέγας μέν ὁ ΘΡΞ , ἐλαχύς δέ ὁ ΟΘΕ · δῆλος οὖν ὅτι ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ ( ?? ) κύκλος . ἐκβεβλιημί δή ὁ ποιέω ὁ ἴσος γωνία πρός ὁ Θ , ἔστε ἄν πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πίπτω . πάλιν οὖν εἰμί τις γραμμή ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ Θ πρός ὁ ἕλιξ προσπίπτω , ὅς εἰμί μέγας μέν ὁ ΘΑ , ἐλαχύς δέ ὁ ΘΕ , καί εἰμί ὁ ἐλαχύς ἴσος ὁ ὑπεροχή , εἰμί δέ καί ἄλλος γραμμή ὁ ἀπό ὁ Θ πρός ὁ ὁ ΑΖΗΙ κύκλος περιφέρεια προσπίπτω ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , καί ἀναγράφω ἀπό πᾶς ὅμοιος τομεύς ἀπό τε ὁ ἴσος ἀλλήλων τε καί ὁ μέγας καί ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ ἄρα τομεύς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας μέγας εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ τομός ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας · δείκνυμι γάρ οὗτος , Ἐντί δέ ὁ μέν τομεύς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας ἴσος ὁ ΑΖΗΙ κύκλος , ὁ δέ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας ἴσος ὁ ἔγγγεραμμαι σχῆμα · μέγας ἄρα ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ἤ τριπλασίων ὁ ἐγγράφω σχῆμα . ὁ δέ ( ?? ) κύκλος τριπλασίων · μέγας ἄρα εἰμί ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ ἐγγράφω σχῆμα . οὐ εἰμί δέ , ἀλλά ἐλαχύς οὐ ἄρα εἰμί οὐδέ μέγας ὁ χωρίον ὁ ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△ΕΘ ἕλιξ καί ὁ ΑΘ εὐθύς ὁ ( ?? ) κύκλος . ἴσος ἄρα εἰμί .