archimedes.de-lineis-spiralibus 10
Εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεθέωντι ὁποσοιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι , ᾖ δὲ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα τᾷ ἐλαχίστᾳ , καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεθέωντι τῷ μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις , τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα τᾷ μεγίστᾳ , τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτιλαμβάνοντα τό τε ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετράγωνον καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἐλαχίστας καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχούσαις τριπλάσια ἐσσοῦνται τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν . Ἔστων γραμμαὶ ὁποσοιοῦν ἐφεξῆς κείμεναι τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ , ἁ δὲ Θ ἴσα ἔστω τᾷ ὑπεροχᾷ , ποτικείσθω δὲ ποτὶ τὰν Β ἴσα τᾷ Θ ἁ Ι , ποτὶ δὲ τὰν Γ ἁ Κ ἴσα τᾷ Η , ποτὶ δε τὰν △ ἁ Λ ἴσα τᾷ Ζ , ποτὶ δὲ τὰν Ε ἁ Μ ἴσα τᾷ Ε , ποτὶ δὲ τὰν Ζ ἁ Ν ἴσα τᾷ △ , ποτὶ δὲ τὰν Η ἁ Ξ ἴσα τᾷ Γ , ποτὶ δὲ τὰν Θ ἁ Ο ἴσα τᾷ Β ἐσσοῦνται δὴ αἱ γενόμεναι ἴσαι ἀλλάλαις καὶ τᾷ μεγίστᾳ . Δεικτέον οὖν ὅτι τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶς τε Α καὶ τᾶν γενομενᾶν ποτιλαζόντα τό τε ἀπὸ τᾶς Α τεράγωνον καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ τριπλάσιά ἐντι τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ . Ἔστιν δὴ τὸ μὲν ἀπὸ τᾶς ΒΙ τετράγωνον ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν l , Β τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τᾶν Β , l περιεχομένοις , τὸ δὲ ἀπὸ τᾶς ΚΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν Κ , Γ τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τᾶν Κ , Γ περιεχομένοις ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τᾶν ἰσᾶν τᾷ Α τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τετραγώνοις καὶ δυσὶ τοῖς ὑπὸ τῶν τμαμάτων περιεχομένοις . Τὰ μὲν οὖν ἀπὸ τᾶν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν Ι , Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο ποτιλαβόντα τὸ ἀπὸ τᾶς Α τετράγωνον διπλάσιά ἐντι τῶν ἀπὸ τᾶν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ τετραγώνων λοιπὸν δὲ ἐπιδειξοῦμες ὅτι τὰ διπλάσια τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ἐν ἑκάστᾳ γραμμᾷ τᾶν ἰσᾶν τᾷ Α ποτιλαζόντα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ . Καὶ ἐπεὶ δύο μὲν τὰ ὑπὸ Β , l περιεχόμενα ἴσα δυσὶ τοῖς ὑπὸ τᾶν Β , Θ περιεχομένοις , δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν Κ , Γ ἴσα τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶς Γ διὰ τὸ τὰν Κ διπλασίονα εἶμεν τᾶς Θ , δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν △ , Λ ἴσα τῷ ὑπὸ τᾶς Θ καὶ τᾶς ἑξαπλασίας τᾶς △ διὰ τὸ τὰν Λ τριπλασίαν εἶμεν τᾶς Θ , ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ἄλλα τὰ διπλάσια τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων ἴσα ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς πολλαπλασίας ἀεὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς ἀρτίους τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς , τὰ οὖν σύμπαντα ποτιλαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ ἐσσοῦνται ἴσα τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾷ τε Α καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς Β καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς Γ καὶ ἀεὶ τᾷ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς περισσοὺς πολλαπλασίᾳ τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς . Ἐντὶ δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ τετράγωνα ἴσα τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν αὐτᾶν γραμμᾶν . Ἔστι γὰρ τὸ ἀπὸ τᾶς Α τετράγωνον ἴσον τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾷ τε Α καὶ τᾷ ἴσᾳ ταῖς λοιπαῖς , ἆν ἑκάστα ἴσα τᾷ Α · ἰσάκις γὰρ μετρεῖ ἅ τε Θ τὰν Α καὶ ἁ Α τὰς ἴσας αὐτᾷ πάσας σὺν τᾷ Α ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ Α τετράγωνον τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾷ Α καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ · αἱ γὰρ ἴσαι τᾷ Α πᾶσαι χωρὶς τᾶς Α διπλάσιαί ἐντι τᾶν Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ . Ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β τετράγωνον ἴσον ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾷ τε Β καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ , καὶ πάλιν τὸ ἀπὸ τᾶς Γ τετράγωνον ἴσον τῷ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾷ τε Γ καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν △ , Ε , Ζ , Η , Θ , ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς περιεχομένοις ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας αὐτᾷ τε καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν λοιπᾶν . Δῆλον οὖν ὅτι τὰ ἀπὸ πασᾶν τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾷ τε Α καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς Β καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς Γ καὶ τᾷ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς περισσοὺς πολλαπλασίᾳ τᾶς ἑπομένας . ΠΟΡΙΣΜΑ Ἐκ τούτου οὖν φανερὸν ὅτι τὰ τετράγωνα πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ τῶν μὲν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἐλάσσονά ἐστιν ἢ τριπλάσια , ἐπειδὴ ποτιλαβόντα τινὰ τριπλάσιά ἐντι , τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα ἢ τριπλάσια , ἐπειδὴ τὰ ποτιλαφθέντα ἐλάσσονά ἐντι ἢ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου . Καὶ τοίνυν , εἴ κα ὁμοῖα εἴδεα ἀναγραφέωντι ἀπὸ πασᾶν , ἀπὸ τὲ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ , τὰ εἴδεα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ τῶν μὲν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν εἰδέων ἐλάσσονα ἐσσοῦνται ἢ τριπλάσια , τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας εἴδεος μείζονα ἢ τριπλάσια τὸν γὰρ αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις .
Lemmas: εἰ ἄν γραμμή ἑξῆς τίθημι ὁπόσος ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , εἰμί δέ ὁ ὑπεροχή ἴσος ὁ ἐλαχύς , καί ἄλλος γραμμή τίθημι ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ὁ μέγας , ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας προσλαμβάνω ὁ τε ἀπό ὁ μέγας τετράγωνος καί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἐλαχύς καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω τριπλάσιος εἰμί ὁ τετράγωνος πᾶς ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω . εἰμί γραμμή ὁπόσος ἐφεξῆς κεῖμαι ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ , ὁ δέ Θ ἴσος εἰμί ὁ ὑπεροχή , πρόσκειμαι δέ πρός ὁ Β ἴσος ὁ Θ ὁ Ι , πρός δέ ὁ Γ ὁ Κ ἴσος ὁ Η , πρός δε ὁ △ ὁ Λ ἴσος ὁ Ζ , πρός δέ ὁ Ε ὁ Μ ἴσος ὁ Ε , πρός δέ ὁ Ζ ὁ Ν ἴσος ὁ △ , πρός δέ ὁ Η ὁ Ξ ἴσος ὁ Γ , πρός δέ ὁ Θ ὁ Ο ἴσος ὁ Β εἰμί δή ὁ γίγνομαι ἴσος ἀλλήλων καί ὁ μέγας . δείκνυμι οὖν ὅτι ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό πᾶς ὁ τε Α καί ὁ γίγνομαι πτιλαζῴσκω ὁ τε ἀπό ὁ Α τεράγωνον καί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ τριπλάσιος εἰμί ὁ τετράγωνος πᾶς ὁ ἀπό ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ . εἰμί δή ὁ μέν ἀπό ὁ ΒΙ τετράγωνος ἴσος ὁ ἀπό ὁ l , Β τετράγωνος καί δύο ὁ ὑπό ὁ Β , l περιέχω , ὁ δέ ἀπό ὁ ΚΓ ἴσος ὁ ἀπό ὁ Κ , Γ τετράγωνος καί δύο ὁ ὑπό ὁ Κ , Γ περιέχω ὅμοιος δέ καί ὁ ἀπό ὁ ἄλλος ὁ ἴσος ὁ Α τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ τμῆμα τετράγωνος καί δύο ὁ ὑπό ὁ τμῆμα περιέχω . ὁ μέν οὖν ἀπό ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ καί ὁ ἀπό ὁ Ι , Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο προσλαμβάνω ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ τετράγωνος λοιπός δέ ἐπιδείκνυμι ὅτι ὁ διπλάσιος ὁ περιέχω ὑπό ὁ τμῆμα ὁ ἐν ἐκάστος γραμμή ὁ ἴσος ὁ Α ποτιλαιζμί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ . καί ἐπεί δύο μέν ὁ ὑπό Β , l περιέχω ἴσος δύο ὁ ὑπό ὁ Β , Θ περιέχω , δύο δέ ὁ ὑπό ὁ Κ , Γ ἴσος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ τετραπλάσιος ὁ Γ διά ὁ ὁ Κ διπλάσιος εἰμί ὁ Θ , δύο δέ ὁ ὑπό ὁ △ , Λ ἴσος ὁ ὑπό ὁ Θ καί ὁ ἑξαπλάσιος ὁ △ διά ὁ ὁ Λ τριπλάσιος εἰμί ὁ Θ , ὅμοιος δέ καί ὁ ἄλλος ὁ διπλάσιος ὁ περιέχω ὑπό ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ πολλαπλάσιος ἀεί κατά ὁ ἑξῆς ἀριθμός ἄρτιος ὁ ἕπομαι γραμμή , ὁ οὖν σύμπας προσλαμβάνω ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ εἰσσέω ἴσος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ τε Α καί ὁ τριπλάσιος ὁ Β καί ὁ πενταπλάσιος ὁ Γ καί ἀεί ὁ κατά ὁ ἑξῆς ἀριθμός περισσός πολλαπλάσιος ὁ ἕπομαι γραμμή . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ τετράγωνος ἴσος ὁ περιέχω ὑπό ὁ αὐτός γραμμή . εἰμί γάρ ὁ ἀπό ὁ Α τετράγωνος ἴσος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος ὁ τε Α καί ὁ ἴσος ὁ λοιπός , ἀνά ἕκαστος ἴσος ὁ Α · ἰσάκις γάρ μετρέω ὁ τε Θ ὁ Α καί ὁ Α ὁ ἴσος αὐτός πᾶς σύν ὁ Α ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ἀπό Α τετράγωνος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος ὁ Α καί ὁ διπλάσιος ὁ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ · ὁ γάρ ἴσος ὁ Α πᾶς χωρίς ὁ Α διπλάσιος εἰμί ὁ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ . ὅμοιος δέ καί ὁ ἀπό ὁ Β τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος ὁ τε Β καί ὁ διπλάσιος ὁ Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ , καί πάλιν ὁ ἀπό ὁ Γ τετράγωνος ἴσος ὁ ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος ὁ τε Γ καί ὁ διπλάσιος ὁ △ , Ε , Ζ , Η , Θ , ὅμοιος δέ καί ὁ ἀπό ὁ ἄλλος τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος αὐτός τε καί ὁ διπλάσιος ὁ λοιπός . δῆλος οὖν ὅτι ὁ ἀπό πᾶς τετράγωνος ἴσος εἰμί ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Θ καί ὁ ἴσος πᾶς ὁ τε Α καί ὁ τριπλάσιος ὁ Β καί ὁ πενταπλάσιος ὁ Γ καί ὁ κατά ὁ ἑξῆς ἀριθμός περισσός πολλαπλάσιος ὁ ἕπομαι . πόρισμα ἐκ οὗτος οὖν φανερός ὅτι ὁ τετράγωνος πᾶς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας ὁ μέν τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος , ἐπειδή προσλαμβάνω τις τριπλάσιος εἰμί , ὁ δέ λοιπός χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας τετράγωνος μέγας ἤ τριπλάσιος , ἐπειδή ὁ προσλάπτω ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ ἀπό ὁ μέγας τετράγωνος . καί τοίνυν , εἰ ἄν ὅμοιος εἶδος ἀναγράφω ἀπό πᾶς , ἀπό τε ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω καί ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας , ὁ εἶδος ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας ὁ μέν ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω εἶδος ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος , ὁ δέ λοιπός χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας εἶδος μέγας ἤ τριπλάσιος ὁ γάρ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ὅμοιος εἶδος ὁ τετράγωνος .