ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
archimedes.de-lineis-spiralibus 2
Εἴ κα δύο σαμείων ἑκατέρου κατά τινος γραμμᾶς ἐνεχθέντος μὴ τᾶς αὐτᾶς ἰσοταχέως αὐτοῦ ἑαυτῷ φερομένου λαφθέωντι ἐν ἑκατέρᾳ τᾶν γραμμᾶν δύο γραμμαί , ἆν αἵ τε πρῶται ἐν ἴσοις χρόνοις ὑπὸ τῶν σαμείων διανυέσθων καὶ αἱ δεύτεραι , τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτʼ ἀλλάλας αἱ λαφθεῖσαι γραμμαί . Ἔστω κατὰ τᾶς ΑΒ γραμμᾶς ἐνηνεγμένον τι σαμεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ καὶ ἄλλο κατὰ τᾶς ΚΛ , λελάφθωσαν δὲ ἐν τᾷ ΑΒ δύο αἱ Γ△ , △Ε γραμμαί , καὶ ἐν τᾷ ΚΛ αἱ ΖΗ . ΗΘ , ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ τὸ κατὰ τᾶς ΑΒ γραμμᾶς ἐνηνεγμένον σαμεῖον τὰν Γ△ γραμμὰν διαπορευέσθω , ἐν ὅσῳ τὸ ἕτερον κατὰ τᾶς ΚΛ ἐνηνεγμένον τὰν ΖΗ , ὁμοίως δὲ καὶ τὰν △Ε γραμμὰν ἐν ἴσῳ διαπορευέσθω τὸ σαμεῖον , ἐν ὅσῳ τὸ ἕτερον τὰν ΗΘ . Δεικτέον ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ Γ△ ποτὶ τὰν △Ε , ὃν ἁ ΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ . Ἔστω δὴ ὁ χρόνος , ἐν ᾧ τὰν Γ△ γραμμὰν διεπορεύετο τὸ σαμεῖον , ὁ ΜΝ · ἐν τούτῳ δὴ τῷ χρόνῳ καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ΖΗ . Πάλιν δὴ καὶ ἐν ᾧ τὰν △Ε γραμμὰν διεπορεύετο τὸ σαμεῖον , ἔστω ὁ ΝΞ χρόνος ἐν τούτῳ δὴ καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ΗΘ · τὸν αὐτὸν δὴ λόγον ἑξοῦντι ἅ τε Γ△ ποτὶ τὰν △Ε γραμμάν , ὃν ὁ χρόνος ὁ ΜΝ ποτὶ ΝΞ , καὶ ἁ ΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ , ὃν ὁ χρόνος ὁ ΜΝ ποτὶ τὸν ΝΞ . Δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ Γ△ ποτὶ τὰν △Ε , ὃν ἁ ΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ .
Lemmas: εἰ ἄν δύο σαμεῖον ἑκάτερος κατά τις γραμμή φέρω μή ὁ αὐτός ἰσοταχής αὐτός ἑαυτοῦ φέρω λάπτω ἐν ἑκάτερος ὁ γραμμή δύο γραμμή , ἀνά ὁ τε πρῶτος ἐν ἴσος χρόνος ὑπό ὁ σαμεῖον διανύω καί ὁ δεύτερος , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ποτέ ἀλλήλων ὁ λάπτω γραμμή . εἰμί κατά ὁ ΑΒ γραμμή φέρω τις σαμεῖον ἰσοταχής αὐτός ἑαυτοῦ καί ἄλλος κατά ὁ ΚΛ , λαμβάνω δέ ἐν ὁ ΑΒ δύο ὁ Γ△ , △Ε γραμμή , καί ἐν ὁ ΚΛ ὁ ΖΗ . ΗΘ , ἐν ἴσος δέ χρόνος ὁ κατά ὁ ΑΒ γραμμή φέρω σαμεῖον ὁ Γ△ γραμμή διαπορεύω , ἐν ὅσος ὁ ἕτερος κατά ὁ ΚΛ φέρω ὁ ΖΗ , ὅμοιος δέ καί ὁ △Ε γραμμή ἐν ἴσος διαπορεύω ὁ σαμεῖον , ἐν ὅσος ὁ ἕτερος ὁ ΗΘ . δείκνυμι ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ Γ△ πρός ὁ △Ε , ὅς ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΘ . εἰμί δή ὁ χρόνος , ἐν ὅς ὁ Γ△ γραμμή διαπορεύω ὁ σαμεῖον , ὁ ΜΝ · ἐν οὗτος δή ὁ χρόνος καί ὁ ἕτερος σαμεῖον διαπορεύω ὁ ΖΗ . πάλιν δή καί ἐν ὅς ὁ △Ε γραμμή διαπορεύω ὁ σαμεῖον , εἰμί ὁ ΝΞ χρόνος ἐν οὗτος δή καί ὁ ἕτερος σαμεῖον διαπορεύω ὁ ΗΘ · ὁ αὐτός δή λόγος ἔχω ὁ τε Γ△ πρός ὁ △Ε γραμμή , ὅς ὁ χρόνος ὁ ΜΝ πρός ΝΞ , καί ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΘ , ὅς ὁ χρόνος ὁ ΜΝ πρός ὁ ΝΞ . δῆλος οὖν ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ Γ△ πρός ὁ △Ε , ὅς ὁ ΖΗ πρός ὁ ΗΘ .
archimedes.de-lineis-spiralibus 3
Κύκλων δοθέντων ὁποσωνοῦν τῷ πλήθει δυνατόν ἐστιν εὐθεῖαν λαβεῖν μείζονα ἐοῦσαν τᾶν τῶν κύκλων περιφερειᾶν . Περιγραφέντος γὰρ περὶ ἕκαστον τῶν κύκλων πολυγώνου δῆλον ὡς ἁ ἐκ πασᾶν συγκειμένα τᾶν περιμέτρων εὐθεῖα μείζων ἐσσεῖται πασᾶν τᾶν τῶν κύκλων περιφερειᾶν .
Lemmas: κύκλος δίδωμι ὁπόσως ὁ πλῆθος δυνατός εἰμί εὐθεῖα λαμβάνω μέγας εἰμί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια . περιγράφω γάρ περί ἕκαστος ὁ κύκλος πολύγωνον δῆλος ὡς ὁ ἐκ πᾶς σύγκειμαι ὁ περίμετρος εὐθύς μέγας εἰμί πᾶς ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια .
archimedes.de-lineis-spiralibus 4
Δύο γραμμᾶν δοθεισᾶν ἀνισᾶν , εὐθείας τε καὶ κύκλου περιφερείας , δυνατόν ἐστι λαβεῖν εὐθεῖαν τᾶς μὲν μείζονος τᾶν δοθεισᾶν γραμμᾶν ἐλάσσονα , τᾶς δὲ ἐλάσσονος μείζονα . Ὁσάκις γὰρ ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει ἁ μείζων γραμμὰ τᾶς ἐλάσσονος , αὐτὰ ἑαυτᾷ συντιθεμένα ὑπερέξει τᾶς εὐθείας , εἰς τοσαῦτα ἴσα διαιρεθείσας τᾶς εὐθείας τὸ ἓν τμᾶμα ἔλασσον ἐσσεῖται τᾶς ὑπεροχᾶς . Εἰ μὲν οὖν κα ᾖ ἁ περιφέρεια μείζων τᾶς εὐθείας , ἑνὸς τμάματος ποτιτεθέντος ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τᾶς μὲν ἐλάσσονος τᾶν δοθεισᾶν δῆλον ὡς μείζων ἐσσεῖται , τᾶς δὲ μείζονος ἐλάσσων · εἰ δέ κα ἐλάσσων , ἑνὸς τμάματος ποτιτεθέντος ποτὶ τὰν περιφέρειαν ὁμοίως τᾶς μὲν ἐλάσσονος μείζων ἐσσεῖται , τᾶς δὲ μείζονος ἐλάσσων καὶ γὰρ ἁ ποτικειμένα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ὑπεροχᾶς .
Lemmas: δύο γραμμή δίδωμι ἀνισάζω , εὐθεῖα τε καί κύκλος περιφέρεια , δυνατός εἰμί λαμβάνω εὐθεῖα ὁ μέν μέγας ὁ δίδωμι γραμμή ἐλαχύς , ὁ δέ ἐλαχύς μέγας . ὁσάκις γάρ ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ μέγας γραμμή ὁ ἐλαχύς , αὐτός ἑαυτοῦ συντίθημι ὑπερέχω ὁ εὐθεῖα , εἰς τοσοῦτος ἴσος διαιρέω ὁ εὐθεῖα ὁ εἷς τμῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπεροχή . εἰ μέν οὖν ἄν εἰμί ὁ περιφέρεια μέγας ὁ εὐθεῖα , εἷς τμῆμα προστίθημι πρός ὁ εὐθεῖα ὁ μέν ἐλαχύς ὁ δίδωμι δῆλος ὡς μέγας εἰμί , ὁ δέ μέγας ἐλαχύς · εἰ δέ ἄν ἐλαχύς , εἷς τμῆμα προστίθημι πρός ὁ περιφέρεια ὅμοιος ὁ μέν ἐλαχύς μέγας εἰμί , ὁ δέ μέγας ἐλαχύς καί γάρ ὁ πρόσκειμαι ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπεροχή .
archimedes.de-lineis-spiralibus 5
Κύκλου δοθέντος καὶ εὐθείας ἐπιψαυούσας τοῦ κύκλου δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀγαγεῖν εὐθεῖαν ἐπὶ τὰν ἐπιψαύουσαν , ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ ἁ περιφέρεια τοῦ κύκλου ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς διαχθείσας ποτὶ τὰν δοθεῖσαν ὁποιανοῦν κύκλου περιφέρειαν . Δεδόσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ , κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Κ , καὶ ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου ἁ △Ζ κατὰ τὸ Β , δεδόσθω δὲ καὶ κύκλου περιφέρεια ὁποιαοῦν δυνατὸν δέ ἐστι τᾶς δοθείσας περιφερείας λαζεῖν τινα εὐθεῖαν μείζονα , καὶ ἔστω ἁ Ε εὐθεῖα μείζων τᾶς δοθείσας περιφερείας · ἄχθῶ δὲ ἀπὸ τοῦ Κ κέντρου παρὰ τὰν △Ζ ἁ ΑΗ , καὶ κείσθω ἁ ΗΘ ἴσα τᾷ Ε νεύουσα ἐπὶ τὸ Β . Ἀπὸ δὴ τοῦ Κ κέντρου ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω · τὸν αὐτὸν δὴ λόγον ἔχει ἁ ΘΖ ποτὶ τὰν ΘΚ , ὃν ἁ ΒΘ ποτὶ τὰν ΘΗ . Ἁ ἄρα ΖΘ ποτὶ τὰν ΘΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἁ ΒΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν , διότι ἁ μὲν ΒΘ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΘ περιφερείας , ἁ δὲ ΘΗ μείζων τᾶς δοθείσας περιφερείας · ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει καὶ ἁ ΖΘ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἁ ΒΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν .
Lemmas: κύκλος δίδωμι καί εὐθεῖα ἐπιψαύω ὁ κύκλος δυνατός εἰμί ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἄγω εὐθεῖα ἐπί ὁ ἐπιψαύω , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ ἐπιψαύω καί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια εὐθεῖα πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος ὁ μεταξύ ὁ ἁφή καί ὁ διάγω πρός ὁ δίδωμι ὁποῖος κύκλος περιφέρεια . δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ , κέντρον δέ αὐτός ὁ Κ , καί ἐπιψαύω ὁ κύκλος ὁ △Ζ κατά ὁ Β , δίδωμι δέ καί κύκλος περιφέρεια ὁποιοσοῦν δυνατός δέ εἰμί ὁ δίδωμι περιφέρεια λεάζω τις εὐθεῖα μέγας , καί εἰμί ὁ Ε εὐθύς μέγας ὁ δίδωμι περιφέρεια · ἄγω δέ ἀπό ὁ Κ κέντρον παρά ὁ △Ζ ὁ ΑΗ , καί κεῖμαι ὁ ΗΘ ἴσος ὁ Ε νεύω ἐπί ὁ Β . ἀπό δή ὁ Κ κέντρον ἐπί ὁ Θ ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω · ὁ αὐτός δή λόγος ἔχω ὁ ΘΖ πρός ὁ ΘΚ , ὅς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΘΗ . ὁ ἄρα ΖΘ πρός ὁ ΘΚ ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ δίδωμι περιφέρεια , διότι ὁ μέν ΒΘ εὐθύς ἐλαχύς εἰμί ὁ ΒΘ περιφέρεια , ὁ δέ ΘΗ μέγας ὁ δίδωμι περιφέρεια · ἐλαχύς οὖν λόγος ἔχω καί ὁ ΖΘ πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἤ ὁ ΒΘ περιφέρεια πρός ὁ δίδωμι περιφέρεια .
archimedes.de-lineis-spiralibus 6
Κύκλου δοθέντος καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμᾶς ἐλάσσονος τᾶς διαμέτρου δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτὶ τὰν περιφέρειαν αὐτοῦ ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν τέμνουσαν τὰν ἐν τῷ κύκλῳ δεδομέναν γραμμάν , ὥστε τὰν ἀπολαφθεῖσαν εὐθεῖαν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἐπιζευχθεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ποτιπεσούσας τοῦ ἐπὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὸ ἕτερον πέρας τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας εὐθείας τὸν ταχθέντα λόγον ἔχειν , εἴ κα ὁ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων ᾗ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν . Δεδόσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ , κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Κ , καὶ ἐν αὐτῷ δεδόσθω εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΓΑ , καὶ λόγος , ὃν ἔχει ἁ Ζ ποτὶ Η , ἐλάσσων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΚΘ , καθέτου ἐούσας τᾶς ΚΘ · ἀχθω δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΚΝ καὶ τᾷ ΚΓ πρὸς ὀρθὰς ἁ ΓΛ · ὁμοῖα δή ἐστι τὰ ΓΘΚ , ΓΚΛ τρίγωνα . Ἔστιν οὖν ὡς ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ οὕτως ἁ ΚΓ ποτὶ τὰν ΓΑ ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η ἢ ἁ ΚΓ ποτὶ τὰν ΓΛ . Ὃν δὴ λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η , τοῦτον ἐχέτω ἁ ΚΓ ποτὶ μείζονα τᾶς ΓΛ . Ἐχέτω ποτὶ τὰν ΒΝ , κείσθω δὲ ἁ ΒΝ μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας διὰ τοῦ Γ · δυνατὸν δὲ ἐστιν οὕτως τέμνειν καὶ πεσεῖται ἐκτός , ἐπεὶ μείζων ἐστὶν τᾶς ΓΛ . Ἐπεὶ οὖν ἁ ΚΒ ποτὶ ΒΝ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η , καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΓ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η .
Lemmas: κύκλος δίδωμι καί ἐν ὁ κύκλος γραμμή ἐλαχύς ὁ διάμετρος δυνατός ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος πρός ὁ περιφέρεια αὐτός προσβάλλω εὐθεῖα τέμνω ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι γραμμή , ὥστε ὁ ἀπολάπτω εὐθεῖα μεταξύ ὁ περιφέρεια καί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι πρός ὁ ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ πέρας ὁ προσπίπτω ὁ ἐπί ὁ περιφέρεια πρός ὁ ἕτερος πέρας ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι εὐθεῖα ὁ τάσσω λόγος ἔχω , εἰ ἄν ὁ δίδωμι λόγος ἐλαχύς ἵημι ὁ ὅς ἔχω ὁ ἡμίσεια ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω . δίδωμι κύκλος ὁ ΑΒΓ , κέντρον δέ αὐτός ὁ Κ , καί ἐν αὐτός δίδωμι εὐθύς ἐλαχύς ὁ διάμετρος ὁ ΓΑ , καί λόγος , ὅς ἔχω ὁ Ζ πρός Η , ἐλαχύς ὁ ὅς ἔχω ὁ ΓΘ πρός ὁ ΚΘ , κάθετος εἰμί ὁ ΚΘ · ἀχθω δέ ἀπό ὁ κέντρον παρά ὁ ΑΓ ὁ ΚΝ καί ὁ ΚΓ πρός ὀρθός ὁ ΓΛ · ὅμοιος δή εἰμί ὁ ΓΘΚ , ΓΚΛ τρίγωνος . εἰμί οὖν ὡς ὁ ΓΘ πρός ὁ ΘΚ οὕτως ὁ ΚΓ πρός ὁ ΓΑ ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ Ζ πρός ὁ Η ἤ ὁ ΚΓ πρός ὁ ΓΛ . ὅς δή λόγος ἔχω ὁ Ζ πρός ὁ Η , οὗτος ἔχω ὁ ΚΓ πρός μέγας ὁ ΓΛ . ἔχω πρός ὁ ΒΝ , κεῖμαι δέ ὁ ΒΝ μεταξύ ὁ περιφέρεια καί ὁ εὐθεῖα διά ὁ Γ · δυνατός δέ εἰμί οὕτως τέμνω καί πίπτω ἐκτός , ἐπεί μέγας εἰμί ὁ ΓΛ . ἐπεί οὖν ὁ ΚΒ πρός ΒΝ ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὅς ὁ Ζ πρός Η , καί ὁ ΕΒ πρός ΒΓ ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὅς ὁ Ζ πρός Η .
archimedes.de-lineis-spiralibus 7
Τῶν αὐτῶν δεδομένων καὶ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ εὐθείας ἐκβεβλημένας δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου ποτιβαλεῖν ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν , ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας ποτὶ τὰν ἐπιζευχθεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἐναπολαφθείσας ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἐκβεβλημένας τὸν ταχθέντα λόγον ἔχειν , εἴ κα ὁ δοθεὶς λόγος μείζων ᾖ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν . Δεδόσθω τὰ αὐτά , καὶ ἔστω ἁ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐκβεβλημένα , ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ἔστω , ὃν ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η , μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ · μείζων οὖν ἐσσεῖται καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΚΓ ποτὶ ΓΛ . Ὃν δὴ λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ Η , τοῦτον ἕξει ἁ ΚΓ ποτὶ ἐλάσσονα τᾶς ΓΛ . Ἐχέτω ποτὶ ΙΝ νεύουσαν ἐπὶ τὸ Γ · δυνατὸν δέ ἐστιν οὕτως τέμνειν καὶ πεσεῖται ἐντὸς τᾶς ΓΛ , ἐπειδὴ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΓΛ . Ἐπεὶ οὖν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ ΚΓ ποτὶ ΙΝ ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η , καὶ ἁ ΕΙ ποτὶ ΙΓ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η .
Lemmas: ὁ αὐτός δίδωμι καί ὁ ἐν ὁ κύκλος εὐθεῖα ἐκβάλλω δυνατός εἰμί ἀπό ὁ κέντρον προσβάλλω πρός ὁ ἐκβάλλω , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ περιφέρεια καί ὁ ἐκβάλλω πρός ὁ ἐπιζεύγνυμι ἀπό ὁ πέρας ὁ ἐναπολάπτω πρός ὁ πέρας ὁ ἐκβάλλω ὁ τάσσω λόγος ἔχω , εἰ ἄν ὁ δίδωμι λόγος μέγας εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ ἡμίσεια ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω . δίδωμι ὁ αὐτός , καί εἰμί ὁ ἐν ὁ κύκλος γραμμή ἐκβάλλω , ὁ δέ δίδωμι λόγος εἰμί , ὅς ἔχω ὁ Ζ πρός ὁ Η , μέγας ὁ ὅς ἔχω ὁ ΓΘ πρός ὁ ΘΚ · μέγας οὖν εἰμί καί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΚΓ πρός ΓΛ . ὅς δή λόγος ἔχω ὁ Ζ πρός Η , οὗτος ἔχω ὁ ΚΓ πρός ἐλαχύς ὁ ΓΛ . ἔχω πρός ΙΝ νεύω ἐπί ὁ Γ · δυνατός δέ εἰμί οὕτως τέμνω καί πίπτω ἐντός ὁ ΓΛ , ἐπειδή ἐλαχύς εἰμί ὁ ΓΛ . ἐπεί οὖν ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΚΓ πρός ΙΝ ὅς ὁ Ζ πρός Η , καί ὁ ΕΙ πρός ΙΓ ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὅς ὁ Ζ πρός ὁ Η .
archimedes.de-lineis-spiralibus 8
Κύκλου δοθέντος καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμᾶς ἐλάσσονος τᾶς διαμέτρου καὶ ἄλλας ἐπιψαυούσας τοῦ κύκλου κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτιζαλεῖν τινα εὐθεῖαν ποτὶ τὰν εὐθεῖαν , ὥστε τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπʼ αὐτᾶς μεταξὺ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας καὶ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας γραμμᾶς ποτὶ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τὸν ταχθέντα λόγον ἔχειν , εἴ κα ὁ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν . Ἔστω κύκλος δεδομένος ὁ ΑΒΓ△ , καὶ ἐν τῷ κύκλῳ εὐθεῖα δεδόσθω ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΓΑ , καὶ ἁ ΞΛ ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Γ , καὶ λόγος , ὃν ἔχει ἁ Ζ ποτὶ Η , ἐλάσσων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΓΘ ποτὶ ΘΚ ἐσσεῖται δὴ ἐλάσσων καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΓΚ ποτὶ ΓΛ , εἴ κα παράλληλος ἀχθῇ ἁ ΚΛ τᾷ ΘΓ ἐχέτω δὴ ἁ ΚΓ ποτὶ ΓΞ τὸν αὐτὸν λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η μείζων δή ἐστιν ἁ ΞΓ τᾶς ΓΛ . Γεγράφθω κύκλου περιφέρεια περὶ τὰ Κ , Λ , Ξ . Ἐπεὶ οὖν ἐστι μείζων ἁ ΞΓ τᾶς ΓΛ , καὶ ποτʼ ὀρθάς ἐντι ἀλλάλαις αἱ ΚΓ , ΞΛ , δυνατόν ἐστι τᾷ ΜΓ ἴσαν ἄλλαν θέμεν τὰν ΙΝ νεύουσαν ἐπὶ τὸ Κ . Τὸ δὴ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΞΙΛ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΕ , ΙΛ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὃν ἁ ΞΙ ποτὶ ΚΕ , καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΙΝ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΙ , ΓΛ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὃν ἁ ΙΝ ποτὶ ΓΛ ὥστε καὶ ἁ ΙΝ ποτὶ ΓΛ ἐστὶν ὡς ἁ ΞΙ ποτὶ ΚΕ ὥστε καὶ ἁ ΓΜ ποτὶ ΓΛ καὶ ἁ ΞΓ ποτὶ ΚΓ καὶ ποτὶ ΚΒ ἐστὶν ὡς ἁ ΞΙ ποτὶ ΚΕ , καὶ λοιπὰ ἁ ΙΓ ποτὶ ΒΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὃν ἁ ΞΓ ποτὶ τὰν ΓΚ καὶ ὃν ἁ Η ποτὶ Ζ . Πέπτωκεν οὖν ἁ ΚΝ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν , καὶ ἔχει ἁ μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας ἁ ΒΕ ποτὶ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τὸν αὐτὸν λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η .
Lemmas: κύκλος δίδωμι καί ἐν ὁ κύκλος γραμμή ἐλαχύς ὁ διάμετρος καί ἄλλος ἐπιψαύω ὁ κύκλος κατά ὁ πέρας ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι δυνατός ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος προσζαλέω τις εὐθεῖα πρός ὁ εὐθεῖα , ὥστε ὁ ἀπολάπτω ἀπό αὐτός μεταξύ ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια καί ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι γραμμή πρός ὁ ἀπολάπτω ἀπό ὁ ἐπιψαύω ὁ τάσσω λόγος ἔχω , εἰ ἄν ὁ δίδωμι λόγος ἐλαχύς ὁ ὅς ἔχω ὁ ἥμισυς ὁ ἐν ὁ κύκλος δίδωμι πρός ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ κύκλος κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω . εἰμί κύκλος δίδωμι ὁ ΑΒΓ△ , καί ἐν ὁ κύκλος εὐθύς δίδωμι ἐλαχύς ὁ διάμετρος ὁ ΓΑ , καί ὁ ΞΛ ἐπιψαύω ὁ κύκλος κατά ὁ Γ , καί λόγος , ὅς ἔχω ὁ Ζ πρός Η , ἐλαχύς ὁ ὅς ἔχω ὁ ΓΘ πρός ΘΚ εἰμί δή ἐλαχύς καί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΓΚ πρός ΓΛ , εἰ ἄν παράλληλος ἄγω ὁ ΚΛ ὁ ΘΓ ἔχω δή ὁ ΚΓ πρός ΓΞ ὁ αὐτός λόγος ὅς ὁ Ζ πρός Η μέγας δή εἰμί ὁ ΞΓ ὁ ΓΛ . γράφω κύκλος περιφέρεια περί ὁ Κ , Λ , Ξ . ἐπεί οὖν εἰμί μέγας ὁ ΞΓ ὁ ΓΛ , καί ποτέ ὀρθός εἰμί ἀλλήλων ὁ ΚΓ , ΞΛ , δυνατός εἰμί ὁ ΜΓ ἴσος ἄλλος τίθημι ὁ ΙΝ νεύω ἐπί ὁ Κ . ὁ δή περιέχω ὑπό ὁ ΞΙΛ πρός ὁ ὑπό ὁ ΚΕ , ΙΛ ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὅς ὁ ΞΙ πρός ΚΕ , καί ὁ ὑπό ὁ ΚΙΝ πρός ὁ ὑπό ὁ ΚΙς , ΓΛ ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὅς ὁ ΙΝ πρός ΓΛ ὥστε καί ὁ ΙΝ πρός ΓΛ εἰμί ὡς ὁ ΞΙ πρός ΚΕ ὥστε καί ὁ ΓΜ πρός ΓΛ καί ὁ ΞΓ πρός ΚΓ καί πρός ΚΒ εἰμί ὡς ὁ ΞΙ πρός ΚΕ , καί λοιπός ὁ ΙΓ πρός ΒΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὅς ὁ ΞΓ πρός ὁ ΓΚ καί ὅς ὁ Η πρός Ζ . πίπτω οὖν ὁ ΚΝ πρός ὁ ἐπιψαύω , καί ἔχω ὁ μεταξύ ὁ περιφέρεια καί ὁ εὐθεῖα ὁ ΒΕ πρός ὁ ἀπολάπτω ἀπό ὁ ἐπιψαύω ὁ αὐτός λόγος ὅς ὁ Ζ πρός ὁ Η .
archimedes.de-lineis-spiralibus 12
Εἴ κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν μιᾷ περιφορᾷ ὁποιᾳοῦν γεγραμμέναν ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος εὐθεῖαι ἐμπεσῶντι ὁποιαιοῦν ἴσας ποιοῦσαι γωνίας ποτʼ ἀλλάλας , τῷ ἴσῳ ὑπερέχοντι ἀλλαλᾶν . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς αἱ ΑΒ , ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ ἴσας γωνίας ποιοῦσαι ποτʼ ἀλλάλας . Δεικτέον ὅτι τῷ ἴσῳ ὑπερέχει ἁ ΑΓ τᾶς ΑΒ καὶ ἁ Α△ τᾶς ΑΓ καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως . Ἐν ᾧ γὰρ χρόνῳ ἁ περιαγομένα γραμμὰ ἀπὸ τᾶς ΑΒ ἐπὶ τὰν ΑΓ ἀφικνεῖται , ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ὑπεροχὰν διαπορεύεται , ᾆ ὑπερέχει ἁ ΓΑ τᾶς ΑΒ , ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἀπὸ τᾶς ΑΓ ἐπὶ τὰν Α△ , ἐν τούτῳ διαπορεύεται τὰν ὑπεροχάν , ᾇ ὑπερέχει ἁ Α△ τᾶς ΑΓ . Ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἁ περιαγομένα γραμμὰ ἀπό τε τᾶς ΑΒ ἐπὶ τὰν ΑΓ ἀφικνεῖται καὶ ἀπὸ τᾶς ΑΓ ἐπὶ τὰν Α△ , ἐπειδὴ αἱ γωνίαι ἴσαι ἐντί ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ὑπεροχάν , ᾇ ὑπερέχει ἁ ΓΑ τᾶς ΑΒ , καὶ τὰν ὑπεροχάν , ᾇ ὑπερέχει ἁ Α△ τᾶς ΑΓ . Τῷ ἴσῳ ἄρα ὑπερέχει ἅ τε ΑΓ τᾶς ΑΒ καὶ ἁ Α△ τᾶς ΑΓ , καὶ αἱ λοιπαί .
Lemmas: εἰ ἄν πρός ὁ ἕλιξ ὁ ἐν εἷς περιφορά ὁσποιᾳοῦν γράφω ἀπό ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ εὐθεῖα ἐμπεσάω ὁποιαιοῦν ἴσος ποιέω γωνία ποτέ ἀλλήλων , ὁ ἴσος ὑπερέχω ἀλλήλων . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΑΒ , ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ ἴσος γωνία ποιέω ποτέ ἀλλήλων . δείκνυμι ὅτι ὁ ἴσος ὑπερέχω ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ καί ὁ Α△ ὁ ΑΓ καί ὁ ἄλλος ὅμοιος . ἐν ὅς γάρ χρόνος ὁ περιάγω γραμμή ἀπό ὁ ΑΒ ἐπί ὁ ΑΓ ἀφικνέομαι , ἐν οὗτος ὁ χρόνος ὁ σαμεῖον ὁ κατά ὁ εὐθεῖα φέρω ὁ ὑπεροχή διαπορεύω , ἆ ὑπερέχω ὁ ΓΑ ὁ ΑΒ , ἐν ὅς δέ χρόνος ἀπό ὁ ΑΓ ἐπί ὁ Α△ , ἐν οὗτος διαπορεύω ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ Α△ ὁ ΑΓ . ἐν ἴσος δέ χρόνος ὁ περιάγω γραμμή ἀπό τε ὁ ΑΒ ἐπί ὁ ΑΓ ἀφικνέομαι καί ἀπό ὁ ΑΓ ἐπί ὁ Α△ , ἐπειδή ὁ γωνία ἴσος εἰμί ἐν ἴσος ἄρα χρόνος ὁ κατά ὁ εὐθεῖα φέρω σαμεῖον διαπορεύω ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ΓΑ ὁ ΑΒ , καί ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ Α△ ὁ ΑΓ . ὁ ἴσος ἄρα ὑπερέχω ὁ τε ΑΓ ὁ ΑΒ καί ὁ Α△ ὁ ΑΓ , καί ὁ λοιπός .
archimedes.de-lineis-spiralibus 13
Εἴ κα εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἐπιψαύῃ , καθʼ ἓν μόνον ἐπιψαύσει σαμεῖον . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς τὰ Α , Β , Γ , △ , ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Α σαμεῖον , ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἁ Α△ εὐθεῖα , καὶ ἐπιψαυέτω τᾶς ἕλικος εὐθεῖά τις ἁ ΖΕ . Φαμὶ δὴ καθʼ ἓν μόνον σαμεῖον ἐπιψαύειν αὐτᾶς . Ἐπιψαυέτω γάρ , εἰ δυνατόν , κατὰ δύο σαμεῖα τὰ Γ , Η , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ , ΑΗ , καὶ ἁ γωνία δίχα τετμάσθω ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΑΗ , ΑΓ , καθʼ ὃ δὲ σαμεῖον ἁ δίχα τέμνουσα τὰν γωνίαν τᾷ ἕλικι ποτιπίπτει , ἔστω τὸ Θ . Τῷ δὴ ἴσῳ ὑπερέχει ἅ τε ΑΗ τᾶς ΑΘ καὶ ἁ ΑΘ τᾶς ΑΓ , ἐπειδὴ ἴσας γωνίας περιέχοντι ποτʼ ἀλλάλας ὥστε διπλάσιαί ἐντι αἱ ΑΗ , ΑΓ τᾶς ΑΘ . Ἀλλὰ τᾶς ἐν τῷ τριγώνῳ δίχα τεμνούσας τὰν γωνίαν μείζονές ἐντι ἢ διπλάσιαι δῆλον οὖν ὅτι , καθʼ ὃ συμπίπτει σαμεῖον τᾷ ΓΗ εὐθείᾳ ἁ ΑΘ , μεταξὺ τῶν Θ , Α ἐντὶ σαμείων τέμνει ἄρα ἁ ΕΖ τὰν ἕλικα , ἐπειδή τι τῶν ἐν τᾷ ΓΘΗ σαμείων ἐντός ἐστι τᾶς ἕλικος . Ὑπέκειτο δὲ ἐπιψαύουσα καθʼ ἓν ἄρα μόνον ἅπτεται ἁ ΕΖ τᾶς ἕλικος .
Lemmas: εἰ ἄν εὐθύς γραμμή ὁ ἕλιξ ἐπιψαύω , κατά εἷς μόνος ἐπιψαύω σαμεῖον . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ Α , Β , Γ , △ , εἰμί δέ ἀρχή μέν ὁ ἕλιξ ὁ Α σαμεῖον , ἀρχή δέ ὁ περιφορά ὁ Α△ εὐθύς , καί ἐπιψαύω ὁ ἕλιξ εὐθύς τις ὁ ΖΕ . φημί δή κατά εἷς μόνος σαμεῖον ἐπιψαύω αὐτός . ἐπιψαύω γάρ , εἰ δυνατός , κατά δύο σαμεῖον ὁ Γ , Η , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΓ , ΑΗ , καί ὁ γωνία δίχα τέμνω ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΗ , ΑΓ , κατά ὅς δέ σαμεῖον ὁ δίχα τέμνω ὁ γωνία ὁ ἕλιξ προσπίπτω , εἰμί ὁ Θ . ὁ δή ἴσος ὑπερέχω ὁ τε ΑΗ ὁ ΑΘ καί ὁ ΑΘ ὁ ΑΓ , ἐπειδή ἴσος γωνία περιέχω ποτέ ἀλλήλων ὥστε διπλάσιος εἰμί ὁ ΑΗ , ΑΓ ὁ ΑΘ . ἀλλά ὁ ἐν ὁ τρίγωνον δίχα τέμνω ὁ γωνία μέγας εἰμί ἤ διπλάσιος δῆλος οὖν ὅτι , κατά ὅς συμπίπτω σαμεῖον ὁ ΓΗ εὐθύς ὁ ΑΘ , μεταξύ ὁ Θ , Α εἰμί σαμεῖον τέμνω ἄρα ὁ ΕΖ ὁ ἕλιξ , ἐπειδή τις ὁ ἐν ὁ ΓΘΗ σαμεῖον ἐντός εἰμί ὁ ἕλιξ . ὑπόκειμαι δέ ἐπιψαύω κατά εἷς ἄρα μόνος ἅπτω ὁ ΕΖ ὁ ἕλιξ .
archimedes.de-lineis-spiralibus 14
Εἴ κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμέναν ποτιπεσέωντι δύο εὐθεῖαι ἀπὸ τοῦ σαμείου , ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , καὶ ἐκβληθέωντι ποτὶ τὰν τοῦ πρώτου κύκλου περιφέρειαν , τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον αἱ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπίπτουσαι ποτʼ ἀλλάλας , ὃν αἱ περιφέρειαι τοῦ κύκλου αἱ μεταξὺ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος καὶ τῶν περάτων τᾶν ἐκβληθεισᾶν εὐθειᾶν τῶν ἐπὶ τᾶς περιφερείας γινομένων , ἐπὶ τὰ προαγούμενα λαμζανομενᾶν τᾶν περιφερειᾶν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος . Ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒΓ△ΕΘ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , ἀρχὰ δὲ τᾶς μὲν ἕλικος ἔστω τὸ Α σαμεῖον , ἁ δὲ ΘΑ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς ἔστω , καὶ κύκλος ὁ ΘΚΗ ἔστω ὁ πρῶτος , ποτιπιπτόντων δὲ ἀπὸ τοῦ Α σαμείου ποτὶ τὰν ἕλικα αἱ ΑΕ , Α△ καὶ ἐκπιπτόντων ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἐπὶ τὰ Ζ , Η . Δεικτέον ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΕ ποτὶ τὰν Α△ , ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν . Περιαγομένας γὰρ τᾶς ΑΘ γραμμᾶς δῆλον ὡς τὸ μὲν Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείας ἐνηνεγμένον ἐστὶν ἰσοταχέως , τὸ δὲ Α κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ΑΘ γραμμὰν πορεύεται , καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φερόμενον τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν , τὸ δὲ Α τὰν ΑΕ εὐθεῖαν , καὶ πάλιν τό τε Α σαμεῖον τὰν Α△ γραμμὰν καὶ τὸ Θ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν , ἑκάτερον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμενον δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΕ ποτὶ τὰν Α△ , ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ εἴ κα ἁ ἑτέρα τᾶν ποτίπιπτουσᾶν ἐπὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ποτιπίπτῃ , ὅτι τὸ αὐτὸ συμβαίνει .
Lemmas: εἰ ἄν πρός ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω ποτιπεσέωθενω δύο εὐθεῖα ἀπό ὁ σαμεῖον , ὅς εἰμί ἀρχή ὁ ἕλιξ , καί ἐκβάλλω πρός ὁ ὁ πρῶτος κύκλος περιφέρεια , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ πρός ὁ ἕλιξ προσπίπτω ποτέ ἀλλήλων , ὅς ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος ὁ μεταξύ ὁ πέρας ὁ ἕλιξ καί ὁ πέρας ὁ ἐκβάλλω εὐθεῖα ὁ ἐπί ὁ περιφέρεια γίγνομαι , ἐπί ὁ προηγέομαι λαμζανᾶ ὁ περιφέρεια ἀπό ὁ πέρας ὁ ἕλιξ . εἰμί ἕλιξ ὁ ΑΒΓ△ΕΘ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω , ἀρχή δέ ὁ μέν ἕλιξ εἰμί ὁ Α σαμεῖον , ὁ δέ ΘΑ εὐθύς ἀρχή ὁ περιφορά εἰμί , καί κύκλος ὁ ΘΚΗ εἰμί ὁ πρῶτος , προσπίπτω δέ ἀπό ὁ Α σαμεῖον πρός ὁ ἕλιξ ὁ ΑΕ , Α△ καί ἐκπίπτω πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ἐπί ὁ Ζ , Η . δείκνυμι ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΑΕ πρός ὁ Α△ , ὅς ὁ ΘΚΖ περιφέρεια πρός ὁ ΘΚΗ περιφέρεια . περιάγω γάρ ὁ ΑΘ γραμμή δῆλος ὡς ὁ μέν Θ σαμεῖον κατά ὁ ὁ ΘΚΗ κύκλος περιφέρεια φέρω εἰμί ἰσοταχής , ὁ δέ Α κατά ὁ εὐθεῖα φέρω ὁ ΑΘ γραμμή πορεύω , καί ὁ Θ σαμεῖον κατά ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια φέρω ὁ ΘΚΖ περιφέρεια , ὁ δέ Α ὁ ΑΕ εὐθεῖα , καί πάλιν ὁ τε Α σαμεῖον ὁ Α△ γραμμή καί ὁ Θ ὁ ΘΚΗ περιφέρεια , ἑκάτερος ἰσοταχής αὐτός ἑαυτοῦ φέρω δῆλος οὖν ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΑΕ πρός ὁ Α△ , ὅς ὁ ΘΚΖ περιφέρεια πρός ὁ ΘΚΗ περιφέρεια . ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί εἰ ἄν ὁ ἕτερος ὁ ποτίπιπτάα ἐπί ὁ πέρας ὁ ἕλιξ προσπίπτω , ὅτι ὁ αὐτός συμβαίνω .
archimedes.de-lineis-spiralibus 15
Εἰ δέ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμέναν ἕλικα ποτιπίπτωντι εὐθεῖαι ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος , τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον αἱ εὐθεῖαι ποτʼ ἀλλάλας , ὃν αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας λαμβανομένας . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς ἁ ΑΒΓ△Θ , ἁ μὲν ΑΒΓ△Θ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , ἁ δὲ ΘΛΕΜ ἐν τᾷ δευτέρᾳ , καὶ ποτιπιπτόντων εὐθεῖαι αἱ ΑΕ , ΑΛ . Δεικτέον ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ ποτὶ τὰν ΑΕ , ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ ΘΚΗ μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας . Ἐν ἴσῳ γὰρ χρόνῳ τὸ Α σαμεῖον κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ΑΛ γραμμὰν διαπορεύεται , καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φερόμενον ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται , καὶ πάλιν τὸ Α σαμεῖον τὰν ΑΕ εὐθεῖαν καὶ τὸ Θ ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΗ , ἑκάτερον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμένον δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ γραμμὰ ποτὶ τὰν ΑΕ , ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας . Τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον δειχθήσεται , καὶ εἴ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾷ τρίτᾳ περιφορᾷ γεγραμμέναν ἕλικα ποτιπεσέωντι εὐθεῖαι , ὅτι τὸν αὐτὸν λόγον ἑξοῦντι ποτʼ ἀλλάλας , ὃν αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι μεθ᾿ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας δὶς λαμβανομένας ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ποτὶ τὰς ἄλλας ἕλικας ποτιπίπτουσαι δείκνυνται ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον , ὃν αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοσαυτάκις λαμβανομένας , ὅσος ἐστὶν ὁ ἑνὶ ἐλάσσων ἀριθμὸς τᾶν περιφορᾶν , καὶ εἴ κα ἁ ποτιπίπτουσα ἁ ἑτέρα ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πίπτῃ .
Lemmas: εἰ δέ ἄν πρός ὁ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω ἕλιξ προσπίπτω εὐθεῖα ἀπό ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ εὐθεῖα ποτέ ἀλλήλων , ὅς ὁ λέγω περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια λαμβάνω . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΒΓΑ , ὁ μέν ΒΓΑ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω , ὁ δέ ΘΛΕΜ ἐν ὁ δεύτερος , καί προσπίπτω εὐθεῖα ὁ ΑΕ , ΑΛ . δείκνυμι ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΑΛ πρός ὁ ΑΕ , ὅς ὁ ΘΚΖ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ΘΚΗ μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια . ἐν ἴσος γάρ χρόνος ὁ Α σαμεῖον κατά ὁ εὐθεῖα φέρω ὁ ΑΛ γραμμή διαπορεύω , καί ὁ Θ σαμεῖον κατά ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια φέρω ὅλος τε ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια καί ἔτι ὁ ΘΚΖ περιφέρεια διαπορεύω , καί πάλιν ὁ Α σαμεῖον ὁ ΑΕ εὐθύς καί ὁ Θ ὅλος τε ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια καί ἔτι ὁ ΘΚΗ , ἑκάτερος ἰσοταχής αὐτός ἑαυτοῦ φέρω δῆλος οὖν ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΑΛ γραμμή πρός ὁ ΑΕ , ὅς ὁ ΘΚΖ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ΘΚΗ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια . ὁ αὐτός δέ τρόπος δείκνυμι , καί εἰ ἄν πρός ὁ ἐν ὁ τρίτος περιφορά γράφω ἕλιξ ποτιπεσέωθενω εὐθεῖα , ὅτι ὁ αὐτός λόγος ἔχω ποτέ ἀλλήλων , ὅς ὁ λέγω περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια δίς λαμβάνω ὅμοιος δέ καί ὁ πρός ὁ ἄλλος ἕλιξ προσπίπτω δείκνυμι ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ λέγω περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια τοσαυτάκις λαμβάνω , ὅσος εἰμί ὁ εἷς ἐλαχύς ἀριθμός ὁ περιφορά , καί εἰ ἄν ὁ προσπίπτω ὁ ἕτερος πρός ὁ πέρας ὁ ἕλιξ πίπτω .
archimedes.de-lineis-spiralibus 23
Λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος , ἅ ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένας , οὐκ ἐχούσας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος , καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς ἕλικος ἀγομενᾶν δυνατόν ἐστι περὶ τὸ χωρίον σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος μεῖζον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς ἁ ΑΒΓ△Ε , πέρατα δὲ αὐτᾶς τὰ Α , Ε , ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ , ΘΕ . Γεγράφθω δὴ κύκλος κέντρῳ μὲν τῷ Θ , διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ , καὶ συμπιπτέτω τᾷ ΘΕ κατὰ τὸ Ζ . Ἀεὶ δὲ τᾶς γωνίας τᾶς ποτὶ τῷ Θ καὶ τοῦ τομέως τοῦ ΘΑΖ δίχα τεμνομένων ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον τοῦ προτεθέντος ἔλασσον . Ἔστω ἐλάσσων ὁ τομεὺς ὁ ΘΑΚ τοῦ προτεθέντος . Ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον γεγράφθωσαν κύκλοι διὰ τῶν σαμείων , καθʼ ἃ τέμνοντι τὰν ἕλικα αἱ τὰς ἴσας γωνίας ποιοῦσαι ποτὶ τῷ Θ , ὥστε τᾶν περιφερειᾶν ἑκάσταν συμπίπτειν τᾷ τε προαγουμένᾳ καὶ τᾷ ἑπομένᾳ ἐσσεῖται δή τι περὶ τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△Ε ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ , ΘΕ εὐθειᾶν περιγεγραμμένον σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμμένον , καὶ τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ προτεθέντος χωρίου ἐλάσσων γάρ ἐστιν ὁ ΘΑΚ τομεύς . ΠΟΡΙΣΜΑ Ἐκ τούτου φανερόν ἐστιν ὅτι δυνατόν ἐστιν περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον σχῆμα ἐπίπεδον , οἷον εἴρηται , περιγράψαι , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου , καὶ πάλιν ἐγγράψαι , ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου .
Lemmas: λαμβάνω ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἕλιξ , ὅς εἰμί ἐλαχύς ὁ ἐν εἷς περιφορά γράφω , οὐ ἔχω πέρας ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ , καί ὁ εὐθεῖα ὁ ἀπό ὁ πέρας ὁ ἕλιξ ἄγω δυνατός εἰμί περί ὁ χωρίον σχῆμα ἐπίπεδος περιγράφω ἐκ ὅμοιος τομεύς σύγκειμαι καί ἄλλος ἐγγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω μέγας εἰμί ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΑΒΓ△Ε , πέρας δέ αὐτός ὁ Α , Ε , εἰμί δέ ἀρχή ὁ ἕλιξ ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΘ , ΘΕ . γράφω δή κύκλος κέντρον μέν ὁ Θ , διάστημα δέ ὁ ΘΑ , καί συμπίπτω ὁ ΘΕ κατά ὁ Ζ . ἀεί δέ ὁ γωνία ὁ πρός ὁ Θ καί ὁ τομεύς ὁ ΘΑΖ δίχα τέμνω εἰμί ὁ καταλείπω ὁ προτίθημι ἐλαχύς . εἰμί ἐλαχύς ὁ τομεύς ὁ ΘΑΚ ὁ προτίθημι . ὅμοιος δή ὁ πρότερος γράφω κύκλος διά ὁ σαμεῖον , κατά ὅς τέμνω ὁ ἕλιξ ὁ ὁ ἴσος γωνία ποιέω πρός ὁ Θ , ὥστε ὁ περιφέρεια ἑκαστός συμπίπτω ὁ τε προηγέομαι καί ὁ ἕπομαι εἰμί δή τις περί ὁ περιέχω χωρίον ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△Ε ἕλιξ καί ὁ ΑΘ , ΘΕ εὐθεῖα περιγράφω σχῆμα ἐπίπεδος ἐκ ὅμοιος τομεύς σύγκειμαι καί ἄλλος ἐγγράφω , καί ὁ περιγράφω ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ προτίθημι χωρίον ἐλαχύς γάρ εἰμί ὁ ΘΑΚ τομεύς . πόρισμα ἐκ οὗτος φανερός εἰμί ὅτι δυνατός εἰμί περί ὁ λέγω χωρίον σχῆμα ἐπίπεδος , οἷος λέγω , περιγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ χωρίον ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον , καί πάλιν ἐγγράφω , ὥστε ὁ λέγω χωρίον μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον .