archimedes.de-lineis-spiralibus 17
Καὶ τοίνυν , εἴ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ ἁ εὐθεῖα , τὸ αὐτὸ συμβήσεται . Ἐπιψαυέτω γὰρ ἁ ΕΖ εὐθεῖα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ △ , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω . Ὁμοίως δὴ τᾶς τοῦ ΡΝ△ κύκλου περιφερείας τὰ μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις τᾶς ἕλικος ἐντὸς πεσοῦνται , τὰ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτός ἁ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ τᾶν Α△Ζ οὐκ ἔστιν ὀρθά , ἀλλὰ ἀμβλεῖα . Ἔστω γάρ , εἰ δυνατόν , ὀρθά ἐπιψαύσει δὴ ἁ ΕΖ τοῦ ΡΝ△ κύκλου κατὰ τὸ △ . Ἄχθω δὴ πάλιν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν ἁ ΑΙ καὶ τεμνέτω τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Χ , τὰν δὲ τοῦ ΡΝ△ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ , ἐχέτω δὲ ἁ ΡΙ ποτὶ ΡΑ ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ △Ρ περιφέρεια ποτὶ ὅλαν τὰν τοῦ △ΡΝ κύκλου περιφέρειαν καὶ τὰν △ΝΤ · δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ Ρ△ΝΤ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν △ΝΤ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας . Ἀλλʼ ὃν ἔχει λόγον ἁ Ρ△ΝΤ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ △ΝΤΡ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν △ΝΤ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ △ΝΤΡ κύκλου περιφερείας , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τᾶς ΘΣΗΚ ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΣΗΚ κύκλου περιφερείας , ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἱ ὕστερον εἰρημέναι περιφέρειαι , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ εὐθεῖα ποτὶ τὰν Α△ εὐθεῖαν δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΑΧ ποτὶ τὰν Α△ ὅπερ ἀδύνατον . Δῆλον οὖν ὅτι ἀμζλεῖά ἐστιν ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν Α△Ζ ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖά ἐστι . Τὰ δʼ αὐτὰ συμζήσεται , καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ἐπιψαύῃ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα , καὶ εἴ κα κατὰ τὸ πέρας αὐτᾶς , ὅτι ἀνίσους ποιήσει τὰς γωνίας ποτὶ τὰν ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπιζευχθεῖσαν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος καὶ τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις ἀμβλεῖαν , τὰν δὲ ἐν ἰοῖς ἑπομένοις ὀξεῖαν .
Lemmas: καί τοίνυν , εἰ ἄν ὁ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω ἕλιξ ἐπιψαύω ὁ εὐθύς , ὁ αὐτός συμβαίνω . ἐπιψαύω γάρ ὁ ΕΖ εὐθύς ὁ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω ἕλιξ κατά ὁ △ , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός ὁ πρότερος κατασκευάζω . ὅμοιος δή ὁ ὁ ΡΝ△ κύκλος περιφέρεια ὁ μέν ἐν ὁ προηγέομαι ὁ ἕλιξ ἐντός πίπτω , ὁ δέ ἐν ὁ ἕπομαι ἐκτός ὁ οὖν γωνία ὁ ὑπό ὁ Α△Ζ οὐ εἰμί ὀρθός , ἀλλά ἀμβλύς . εἰμί γάρ , εἰ δυνατός , ὀρθός ἐπιψαύω δή ὁ ΕΖ ὁ ΡΝ△ κύκλος κατά ὁ △ . ἄγω δή πάλιν πρός ὁ ἐπιψαύω ὁ ΑΙ καί τέμνω ὁ μέν ἕλιξ κατά ὁ Χ , ὁ δέ ὁ ΡΝ△ κύκλος περιφέρεια κατά ὁ Ρ , ἔχω δέ ὁ ΡΙ πρός ΡΑ ἐλαχύς λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ △Ρ περιφέρεια πρός ὅλος ὁ ὁ △ΡΝ κύκλος περιφέρεια καί ὁ △ΝΤ · δείκνυμι γάρ οὗτος δυνατός εἰμί καί ὅλος ἄρα ὁ ΙΑ πρός ὁ ΑΡ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Ρ△ΝΤ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ △ΝΤ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια . ἀλλά ὅς ἔχω λόγος ὁ Ρ△ΝΤ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ △ΝΤΡ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ △ΝΤ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ △ΝΤΡ κύκλος περιφέρεια , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ ΣΗΚΘ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ὁ ΘΣΗΚ πρός ὁ ΗΚΘ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ ΘΣΗΚ κύκλος περιφέρεια , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ὕστερον λέγω περιφέρεια , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ ΧΑ εὐθεῖα πρός ὁ Α△ εὐθεῖα δείκνυμι γάρ οὗτος ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΙΑ πρός ὁ ΑΡ ἤ ὁ ΑΧ πρός ὁ Α△ ὅς ἀδύνατος . δῆλος οὖν ὅτι ἀμζλεῖα εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ Α△Ζ ὥστε ὁ λοιπός ὀξύς εἰμί . ὁ δέ αὐτός συμζίναμαι , καί εἰ ἄν ὁ ἐπιψαύω κατά ὁ πέρας ὁ ἕλιξ ἐπιψαύω . ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί εἰ ἄν ὁ ἐν ὁσποιᾳοῦν περιφορά γράφω ἕλιξ ἐπιψαύω τις εὐθύς , καί εἰ ἄν κατά ὁ πέρας αὐτός , ὅτι ἄνισος ποιέω ὁ γωνία πρός ὁ ἀπό ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ καί ὁ μέν ἐν ὁ προηγέομαι ἀμβλύς , ὁ δέ ἐν ἰός ἕπομαι ὀξύς .