archimedes.de-lineis-spiralibus 18
Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος , ἀπὸ δὲ τοῦ σαμείου , ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , ποτʼ ὀρθὰς ἀχθῇ τις τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς , ἁ ἀχθεῖσα συμπεσεῖται τᾷ ἐπιψαυούσᾳ , καὶ ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐσσεῖται τᾷ τοῦ πρώτου κύκλου περιφερείᾳ . Ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒΓ△Θ , ἔστω δὲ τὸ Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , ἁ δὲ ΘΑ γραμμὰ ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς , ὁ δὲ ΘΗΚ κύκλος ὁ πρῶτος , ἐπιψαυέτω δέ τις τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ ἁ ΘΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀχθῶ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΘΑ ἁ ΑΖ συμπεσεῖται δὴ οὕτα ποτὶ τὰν ΘΖ , ἐπεὶ αἱ ΖΘ , ΘΑ ὀξεῖαν γωνίαν περιέχοντι . Συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ζ , Δεικτέον ὅτι ἁ ΖΑ ἴσα ἐστὶ τᾷ τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείᾳ . Εἰ γὰρ μή , ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων . Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατόν , μείζων . Ἔλαβον δή τινα εὐθεῖαν τὰν ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσονα , τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείζονα . Ἔστιν δὴ κύκλος τις ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΘΗ καὶ λόγος , ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΛ , μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν , διότι καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΖ · δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιζαλεῖν ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν τὰν ΑΝ , ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΝΡ ποτὶ ΘΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον , ὃν ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ · ἔξει οὖν ἁ ΝΡ ποτὶ τὰν ΡΑ λόγον , ὃν ἁ ΘΡ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΛ . Ἁ δὲ ΘΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν ἁ μὲν γὰρ ΘΡ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΘΡ περιφερείας , ἁ δὲ ΑΛ εὐθεῖα τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείζων ἐλάσσονα οὖν λόγον ἕξει καὶ ἁ ΝΡ ποτὶ ΡΑ ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν · καὶ ὅλα οὖν ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΘΡ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΘΡ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν , τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ ὅπερ ἀδύνατον . ἁ μὲν γὰρ ΝΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ΑΧ , ἁ δὲ ΑΡ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΘΑ . Οὐκ ἄρα μείζων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοῦ ΘΗΚ . Ἔστω δὴ πάλιν , εἰ δυνατόν , ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας . Ἔλαβον δή τινα εὐθεῖαν πάλιν τὰν ΑΛ τᾶς μὲν ΑΖ μείζονα , τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ἐλάσσονα , καὶ ἄγω ἀπὸ τοῦ Θ τὰν ΘΜ παράλληλον τᾷ ΑΖ . Πάλιν οὖν κύκλος ἐστὶν ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν αὐτῷ ἐλάσσων γραμμὰ τᾶς διαμέτρου ἁ ΘΗ καὶ ἄλλα ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Θ καὶ λόγος , ὃν ἔχει ἁ ΑΘ ποτὶ τὰν ΑΛ , ἐλάσσων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν , ἐπειδὴ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΖ ἐλάσσων ἐστί δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ἀγαγεῖν τὰν ΑΠ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν , ὥστε τὰν ΡΝ τὰν μεταξὺ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ εὐθείας καὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΠ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ · τεμεῖ δὴ ἁ ΑΠ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ , τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ Χ καὶ ἕξει καὶ ἐναλλαξ τὸν αὐτὸν λόγον ἁ ΝΡ ποτὶ ΡΑ , ὃν ἁ ΘΠ ποτὶ ΑΛ . Ἁ δὲ ΘΠ ποτὶ τὰν ΑΛ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν ἁ μὲν γὰρ ΘΠ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τᾶς ΘΡ περιφερείας , ἁ δὲ ΑΛ ἐλάσσων τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΠΡ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν · ὥστε καὶ ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν , τοῦτον ἔχει ἁ ΘΑ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΧ δέδεικται γὰρ τοῦτο · μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ ἢ ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΧ ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας · ἴσα ἄρα .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω εὐθύς γραμμή ἐπιψαύω κατά ὁ πέρας ὁ ἕλιξ , ἀπό δέ ὁ σαμεῖον , ὅς εἰμί ἀρχή ὁ ἕλιξ , ποτέ ὀρθός ἄγω τις ὁ ἀρχή ὁ περιφορά , ὁ ἄγω συμπίπτω ὁ ἐπιψαύω , καί ὁ μεταξύ εὐθύς ὁ ἐπιψαύω καί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ ἴσος εἰμί ὁ ὁ πρῶτος κύκλος περιφέρεια . εἰμί ἕλιξ ὁ ΒΓΑ , εἰμί δέ ὁ Α σαμεῖον ἀρχή ὁ ἕλιξ , ὁ δέ ΘΑ γραμμή ἀρχή ὁ περιφορά , ὁ δέ ΘΗΚ κύκλος ὁ πρῶτος , ἐπιψαύω δέ τις ὁ ἕλιξ κατά ὁ Θ ὁ ΘΖ , καί ἀπό ὁ Α ἄγω ποτέ ὀρθός ὁ ΘΑ ὁ ΑΖ συμπίπτω δή ὅτε πρός ὁ ΘΖ , ἐπεί ὁ ΖΘ , ΘΑ ὀξύς γωνία περιέχω . συμπίπτω κατά ὁ Ζ , Δείκνυμι ὅτι ὁ ΖΑ ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΘΚΗ κύκλος περιφέρεια . εἰ γάρ μή , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί πρότερος , εἰ δυνατός , μέγας . λαμβάνω δή τις εὐθεῖα ὁ ΛΑ ὁ μέν ΖΆ εὐθεῖα ἐλαχύς , ὁ δέ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια μέγας . εἰμί δή κύκλος τις ὁ ΘΗΚ καί ἐν ὁ κύκλος γραμμή ἐλαχύς ὁ διάμετρος ὁ ΘΗ καί λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΘΑ πρός ΑΛ , μέγας ὁ ὅς ἔχω ὁ ἥμισυς ὁ ΗΘ πρός ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω , διότι καί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΘΑ πρός ΑΖ · δυνατός οὖν εἰμί ἀπό ὁ Α προσζαλέω πρός ὁ ἐκβάλλω ὁ ΑΝ , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ περιφέρεια καί ὁ ἐκβάλλω ὁ ΝΡ πρός ΘΡ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΘΑ πρός ὁ ΑΛ · ἔχω οὖν ὁ ΝΡ πρός ὁ ΡΑ λόγος , ὅς ὁ ΘΡ εὐθύς πρός ὁ ΑΛ . ὁ δέ ΘΡ πρός ὁ ΑΛ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΘΡ περιφέρεια πρός ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια ὁ μέν γάρ ΘΡ εὐθύς ἐλαχύς εἰμί ὁ ΘΡ περιφέρεια , ὁ δέ ΑΛ εὐθύς ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια μέγας ἐλαχύς οὖν λόγος ἔχω καί ὁ ΝΡ πρός ΡΑ ἤ ὁ ΘΡ περιφέρεια πρός ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια · καί ὅλος οὖν ὁ ΝΑ πρός ὁ ΑΡ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΘΡ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΘΡ περιφέρεια μετά ὅλος ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια , οὗτος ἔχω ὁ ΧΑ πρός ὁ ΑΘ δείκνυμι γάρ οὗτος ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΝΑ πρός ὁ ΑΡ ἤ ὁ ΧΑ πρός ὁ ΑΘ ὅς ἀδύνατος . ὁ μέν γάρ ΝΑ μέγας εἰμί ὁ ΑΧ , ὁ δέ ΑΡ ἴσος εἰμί ὁ ΘΑ . οὐ ἄρα μέγας ὁ ΖΑ ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ὁ ΘΗΚ . εἰμί δή πάλιν , εἰ δυνατός , ἐλαχύς ὁ ΖΑ ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια . λαμβάνω δή τις εὐθεῖα πάλιν ὁ ΑΛ ὁ μέν ΑΖ μέγας , ὁ δέ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια ἐλαχύς , καί ἄγω ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΜ παράλληλος ὁ ΑΖ . πάλιν οὖν κύκλος εἰμί ὁ ΘΗΚ καί ἐν αὐτός ἐλαχύς γραμμή ὁ διάμετρος ὁ ΘΗ καί ἄλλος ἐπιψαύω ὁ κύκλος κατά ὁ Θ καί λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΑΘ πρός ὁ ΑΛ , ἐλαχύς ὁ ὅς ἔχω ὁ ἥμισυς ὁ ΗΘ πρός ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω , ἐπειδή καί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΘΑ πρός ΑΖ ἐλαχύς εἰμί δυνατός οὖν εἰμί ἀπό ὁ Α ἄγω ὁ ΑΠ πρός ὁ ἐπιψαύω , ὥστε ὁ ΡΝ ὁ μεταξύ ὁ ἐν ὁ κύκλος εὐθεῖα καί ὁ περιφέρεια πρός ὁ ΘΠ ὁ ἀπολάπτω ἀπό ὁ ἐπιψαύω οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΘΑ πρός ὁ ΑΛ · τέμνω δή ὁ ΑΠ ὁ μέν κύκλος κατά ὁ Ρ , ὁ δέ ἕλιξ κατά ὁ Χ καί ἔχω καί ἐαλλαξ ὁ αὐτός λόγος ὁ ΝΡ πρός ΡΑ , ὅς ὁ ΘΠ πρός ΑΛ . ὁ δέ ΘΠ πρός ὁ ΑΛ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΘΡ περιφέρεια πρός ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια ὁ μέν γάρ ΘΠ εὐθύς μέγας εἰμί ὁ ΘΡ περιφέρεια , ὁ δέ ΑΛ ἐλαχύς ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια μέγας ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΠΡ πρός ὁ ΑΡ ἤ ὁ ΘΡ περιφέρεια πρός ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια · ὥστε καί ὁ ΡΑ πρός ὁ ΑΝ μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ΘΚΡ περιφέρεια . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια πρός ὁ ΘΚΡ περιφέρεια , οὗτος ἔχω ὁ ΘΑ εὐθύς πρός ὁ ΑΧ δείκνυμι γάρ οὗτος · μέγας ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΡΑ πρός ὁ ΑΝ ἤ ὁ ΘΑ πρός ὁ ΑΧ ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα μέγας εἰμί οὐδέ ἐλαχύς ὁ ΖΑ ὁ ὁ ΘΗΚ κύκλος περιφέρεια · ἴσος ἄρα .