archimedes.de-lineis-spiralibus 27
Τῶν χωρίων τῶν περιεχομένων ὑπό τε τᾶν ἑλίκων καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ἐν τᾷ περιφορᾷ τὸ μὲν τρίτον τοῦ δευτέρου διπλάσιόν ἐστι , τὸ δὲ τέταρτον τριπλάσιον , τὸ δὲ πέμπτον τετραπλάσιον , καὶ ἀεὶ τὸ ἑπόμενον κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς πολλαπλάσιον τοῦ δευτέρου χωρίου , τὸ δὲ πρῶτον χωρίον ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ δευτέρου . Ἔστω ἁ προκειμένα ἕλιξ ἔν τε τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα καὶ ἐν τᾷ δευτέρᾳ καὶ ἐν ταῖς ἑπομέναις ὁποσαισοῦν , ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον , ἁ δὲ ΘΕ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς , τῶν δὲ χωρίων ἔστω τὸ μὲν Κ τὸ πρῶτον , τὸ δὲ Λ τὸ δεύτερον , τὸ δὲ Μ τὸ τρίτον , τὸ δὲ Ν τὸ τέταρτον , τὸ δὲ Ξ τὸ πέμπτον . Δεικτέον ὅτι τὸ μὲν Κ χωρίον ϛ΄ μέρος ἐστὶ τοῦ ἑπομένου , τὸ δὲ Μ διπλάσιον τοῦ Λ , τὸ δὲ Ν τριπλάσιον τοῦ Λ , καὶ τῶν ἑξῆς ἀεὶ τὸ ἑπόμενον πολλαπλάσιον τοῦ Λ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμούς . Ὃτι μὲν οὖν τὸ Κ ϛ΄ μέρος ἐστὶ τοῦ Λ , ὧδε δείκνυται . Ἐπεὶ τὸ ΚΛ χωρίον ποτὶ τὸν δεύτερον κύκλον δέδεικται τοῦτον ἔχον τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὰ ζ ποτὶ τὰ ιβ , ὁ δὲ δεύτερος κύκλος ποτὶ τὸν πρῶτον κύκλον ὡς ιβ ποτὶ τὰ δῆλον γάρ ἐστιν ὁ δὲ πρῶτος κύκλος ποτὶ τὸ Κ χωρίσν ἔχει ὡς γ ποτὶ α , ϛ΄ ἄρα ἐστὶ τὸ Κ χωρίον τοῦ Λ . Πάλιν δὲ καὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον ποτὶ τὸν τρίτον κύκλον δέδεικται ὅτι τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ ΓΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΒ τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ τετράγωνον . Ὁ δὲ τρίτος κύκλος ἔχει ποτὶ τὸν δεύτερον κύκλον ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΓΘ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΒ , ὁ δὲ δεύτερος κύκλος ἔχει ποτὶ τὸ ΚΛ χωρίον ὃν τὸ ἀπὸ ΒΘ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΒΘ , ΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετραγώνου · καὶ τὸ ΚΛΜ ἄρα ποτὶ τὸ ΚΛ λόγον ἔχει , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΓΘ , ΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΒ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΘ , ΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετραγώνου . Ταῦτα δὲ ἔχει ποτὶ ἄλλαλα λόγον , ὃν ιθ ποτὶ τὰ ζ · ὥστε καὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον ποτὶ τὸ ΛΚ χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ιθ ποτὶ τὰ ζ · αὐτὸ οὖν τὸ Μ ποτὶ τὸ ΚΛ λόγον ἔχει , ὃν τὰ ιβ ποτὶ τὰ ζ . Τὸ δὲ ΚΛ ποτὶ τὸ Λ λόγον ἔχει , ὃν τὰ ζ ποτὶ τὰ ϛ΄ · δῆλον οὖν ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ Μ τοῦ Λ . Ὅτι δὲ τὰ ἑπόμενα τὸν τῶν ἑξῆς ἀριθμῶν λόγον ἔχει , δειχθήσεται . Τὸ γὰρ ΚΛΜΝΞ ποτὶ τὸν κύκλον , οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΕ , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΕΘ , Θ△ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς △Ε τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘE τετράγωνον . Ὁ δὲ κύκλος , οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΕ , ποτὶ τὸν κύκλον , οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ Θ△ , τοῦτον ἔχει τὸν λόγοι , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΕ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Θ△ τετράγωνον , ὁ δὲ κύκλος , οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ △Θ , ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Θ△ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν Θ△ , ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς △Γ τετραγώνου καὶ τὸ ΚΛΜΝΞ ἄρα ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ λόγον ἔχει , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΕ , Θ△ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς △Ε ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν △Θ , ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς △Γ · διελόντι καὶ τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ λόγον ἔχει , ὃν ἁ ὑπεροχὰ τοῦ τε ὑπὸ ΕΘ , Θ△ μετὰ τοῦ τρίτου μέρεος τοῦ ἀπὸ τᾶς Ε△ καὶ τοῦ ὑπὸ τᾶν △Θ , ΘΓ μετὰ τοῦ τρίτου μέρεος τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ△ ποτί τε τὸ ὑπὸ τᾶν △Θ , ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς △Γ ὑπερέχει δὲ τὰ συναμφότερα τῶν συναμφοτέρων ᾧ καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΕΘ△ τοῦ ὑπὸ τᾶν △ΘΓ , ὑπερέχει δὲ τῷ ὑπὸ τᾶν △Θ , ΓΕ τὸ Ξ ἄρα ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ λόγον ἔχει , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν Θ△ , ΓΕ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν △Θ , ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ△ τετραγώνου . Διὰ δὲ τῶν αὐτῶν δειχθήσεται καὶ τὸ Ν ποτὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον λόγον ἔχον τοῦτον , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΓ , Β△ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ ΓΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ ΓΒ τετραγώνου τὸ Ν ἄρα ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ ὑπὸ ΘΓ , Β△ ποτὶ τὸ ὑπὸ ΘΓ , Β△ καὶ τὸ ὑπὸ ΘΓ , ΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΒ · ταῦτα δὲ ἴσα ἐντὶ τῷ τε ὑπὸ τᾶν △Θ , ΘΓ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ△ τετραγώνου . Ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν Ξ χωρίον ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν Θ△ , ΓΕ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν △ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ△ τετραγώνου , τὸ δὲ ΚΛΜΝ ποτὶ τὸ Ν ὃν τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν △ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς △Γ τετραγώνου ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΓ , △Β , ἔχει ἄρα καὶ τὸ Ξ ποτὶ τὸ Ν τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν Θ△ , ΓΕ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΓ , △Β . Τὸ δὲ ὑπὸ τᾶν Θ△ , ΓΕ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΓ , △Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ Θ△ ποτὶ τὰν ΘΓ , ἐπεὶ ἴσαι ἐντὶ αἱ ΓΕ , Β△ · δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ Ξ ποτὶ τὸ Ν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ Θ△ ποτὶ τὰν ΘΓ . Ὁμοίως δὲ καὶ δειχθήσεται καὶ τὸ Ν ποτὶ τὸ Μ τοῦτον ἔχον τὸν λόγον , ὃν ἁ ΘΓ ποτὶ τὰν ΘΒ , καὶ τὸ Μ ποτὶ τὸ Λ , ὃν ἁ ΒΘ ποτὶ τὰν ΑΘ · αἱ δὲ △Θ , ΓΘ , ΒΘ , ΑΘ εὐθεῖαι τὸν τῶν ἑξῆς ἀριθμῶν λόγον ἔχοντι .
Lemmas: ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἑλίκων καί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐν ὁ περιφορά ὁ μέν τρίτος ὁ δεύτερος διπλάσιος εἰμί , ὁ δέ τέταρτος τριπλάσιος , ὁ δέ πέμπτος τετραπλάσιος , καί ἀεί ὁ ἕπομαι κατά ὁ ἑξῆς ἀριθμός πολλαπλάσιος ὁ δεύτερος χωρίον , ὁ δέ πρῶτος χωρίον ἕκτος μέρος εἰμί ὁ δεύτερος . εἰμί ὁ πρόκειμαι ἕλιξ ἐν τε ὁ πρῶτος περιφορά γράφω καί ἐν ὁ δεύτερος καί ἐν ὁ ἕπομαι ὅποσαις , εἰμί δέ ἀρχή μέν ὁ ἕλιξ ὁ Θ σαμεῖον , ὁ δέ ΘΕ εὐθύς ἀρχή ὁ περιφορά , ὁ δέ χωρίον εἰμί ὁ μέν Κ ὁ πρῶτος , ὁ δέ Λ ὁ δεύτερος , ὁ δέ Μ ὁ τρίτος , ὁ δέ Ν ὁ τέταρτος , ὁ δέ Ξ ὁ πέμπτος . δείκνυμι ὅτι ὁ μέν Κ χωρίον ϛʹ μέρος εἰμί ὁ ἕπομαι , ὁ δέ Μ διπλάσιος ὁ Λ , ὁ δέ Ν τριπλάσιος ὁ Λ , καί ὁ ἑξῆς ἀεί ὁ ἕπομαι πολλαπλάσιος ὁ Λ κατά ὁ ἑξῆς ἀριθμός . ὅτι μέν οὖν ὁ Κ ϛʹ μέρος εἰμί ὁ Λ , ὧδε δείκνυμι . ἐπεί ὁ ΚΛ χωρίον πρός ὁ δεύτερος κύκλος δείκνυμι οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ζʹ πρός ὁ ιβʹ , ὁ δέ δεύτερος κύκλος πρός ὁ πρῶτος κύκλος ὡς ιβʹ πρός ὁ δῆλος γάρ εἰμί ὁ δέ πρῶτος κύκλος πρός ὁ Κ χωρίσν ἔχω ὡς γ πρός α , ϛʹ ἄρα εἰμί ὁ Κ χωρίον ὁ Λ . πάλιν δέ καί ὁ ΚΛΜ χωρίον πρός ὁ τρίτος κύκλος δείκνυμι ὅτι οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΓΘΒ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΓΒ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ΓΘ τετράγωνος . ὁ δέ τρίτος κύκλος ἔχω πρός ὁ δεύτερος κύκλος ὅς ὁ ἀπό ὁ ΓΘ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΒ , ὁ δέ δεύτερος κύκλος ἔχω πρός ὁ ΚΛ χωρίον ὅς ὁ ἀπό ΒΘ τετράγωνος πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΒΘ , ΘΑ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος · καί ὁ ΚΛΜ ἄρα πρός ὁ ΚΛ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὑπό ὁ ΓΘ , ΘΒ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΓΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , ΘΑ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΑΒ τετράγωνος . οὗτος δέ ἔχω πρός ἀλλήλων λόγος , ὅς ιθʹ πρός ὁ ζ̅ · ὥστε καί ὁ ΚΛΜ χωρίον πρός ὁ ΛΚ χωρίον οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ιθʹ πρός ὁ ζʹ · αὐτός οὖν ὁ Μ πρός ὁ ΚΛ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ιβʹ πρός ὁ ζʹ . ὁ δέ ΚΛ πρός ὁ Λ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ζʹ πρός ὁ ϛʹ · δῆλος οὖν ὅτι διπλάσιος εἰμί ὁ Μ ὁ Λ . ὅτι δέ ὁ ἕπομαι ὁ ὁ ἑξῆς ἀριθμός λόγος ἔχω , δείκνυμι . ὁ γάρ ΚΛΜΝΞ πρός ὁ κύκλος , ὅς εἰμί ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΘΕ , οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΕΘ , Θ△ περιέχω καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ △Ε τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΘE τετράγωνος . ὁ δέ κύκλος , ὅς εἰμί ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΘΕ , πρός ὁ κύκλος , ὅς εἰμί ἐκ ὁ κέντρον ὁ Θ△ , οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΘΕ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Θ△ τετράγωνος , ὁ δέ κύκλος , ὅς εἰμί ἐκ ὁ κέντρον ὁ △Θ , πρός ὁ ΚΛΜΝ χωρίον οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ Θ△ τετράγωνος πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ Θ△ , ΘΓ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ △Γ τετράγωνος καί ὁ ΚΛΜΝΞ ἄρα πρός ὁ ΚΛΜΝ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὑπό ὁ ΘΕ , Θ△ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ △Ε πρός ὁ ὑπό ὁ △Θ , ΘΓ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ △Γ · διαιρέω καί ὁ Ξ χωρίον πρός ὁ ΚΛΜΝ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὑπεροχή ὁ τε ὑπό ΕΘ , Θ△ μετά ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ Ε△ καί ὁ ὑπό ὁ △Θ , ΘΓ μετά ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ Γ△ πρός τε ὁ ὑπό ὁ △Θ , ΘΓ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ △Γ ὑπερέχω δέ ὁ συναμφότεροι ὁ συναμφότεροι ὅς καί ὁ ὑπό ὁ ΕΘ△ ὁ ὑπό ὁ △ΘΓ , ὑπερέχω δέ ὁ ὑπό ὁ △Θ , ΓΕ ὁ Ξ ἄρα πρός ὁ ΚΛΜΝ λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὑπό ὁ Θ△ , ΓΕ πρός ὁ ὑπό ὁ △Θ , ΘΓ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ Γ△ τετράγωνος . διά δέ ὁ αὐτός δείκνυμι καί ὁ Ν πρός ὁ ΚΛΜ χωρίον λόγος ἔχω οὗτος , ὅς ὁ ὑπό ὁ ΘΓ , Β△ πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΓΘΒ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ΓΒ τετράγωνος ὁ Ν ἄρα πρός ὁ ΚΛΜΝ χωρίον οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ὑπό ΘΓ , Β△ πρός ὁ ὑπό ΘΓ , Β△ καί ὁ ὑπό ΘΓ , ΘΒ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΓΒ · οὗτος δέ ἴσος εἰμί ὁ τε ὑπό ὁ △Θ , ΘΓ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ Γ△ τετράγωνος . ἐπεί οὖν ὁ μέν Ξ χωρίον πρός ὁ ΚΛΜΝ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ὑπό ὁ Θ△ , ΓΕ πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ △ΘΓ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ Γ△ τετράγωνος , ὁ δέ ΚΛΜΝ πρός ὁ Ν ὅς ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ △ΘΓ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ △Γ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΘΓ , △Β , ἔχω ἄρα καί ὁ Ξ πρός ὁ Ν ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ὑπό ὁ Θ△ , ΓΕ πρός ὁ ὑπό ὁ ΘΓ , △Β . ὁ δέ ὑπό ὁ Θ△ , ΓΕ πρός ὁ ὑπό ὁ ΘΓ , △Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Θ△ πρός ὁ ΘΓ , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΓΕ , Β△ · δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ Ξ πρός ὁ Ν οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ Θ△ πρός ὁ ΘΓ . ὅμοιος δέ καί δείκνυμι καί ὁ Ν πρός ὁ Μ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ΘΓ πρός ὁ ΘΒ , καί ὁ Μ πρός ὁ Λ , ὅς ὁ ΒΘ πρός ὁ ΑΘ · ὁ δέ △Θ , ΓΘ , ΒΘ , ΑΘ εὐθεῖα ὁ ὁ ἑξῆς ἀριθμός λόγος ἔχω .