archimedes.de-lineis-spiralibus 19
Εἰ δέ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ εὐθεῖα , καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῇ τις ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς , συμπεσεῖται οὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν , καὶ ἐσσεῖται ἁ εὐθεῖα ἁ μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος διπλασία τᾶς τοῦ δευτέρου κύκλου περιφερείας . Ἔστω γὰρ ἁ μὲν ΑΒΓΘ ἕλιξ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , ἁ δὲ ΘΕΤ ἐν τᾷ δευτέρᾳ , καὶ ὁ μὲν ΘΚΗ κύκλος ὁ πρῶτος , ὁ δὲ ΤΜΝ ὁ δεύτερος , ἔστω δέ τις γραμμὰ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ ἁ ΤΖ , ἁ δὲ ΖΑ ποτʼ ὀρθὰς ἄχθῳ τᾷ ΤΑ συμπεσεῖται δὲ οὕτα τᾷ ΤΖ διὰ τὸ δεδεῖχθαι τὰν γωνίαν ὀξεῖαν ἐοῦσαν τὰν ὑπὸ τᾶν ΑΤΖ . Δεικτέον ὅτι ἁ ΖΑ εὐθεῖα διπλασία ἐντὶ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας . Εἰ γὰρ μή ἐστιν διπλασία , ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἢ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία . Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατόν , μείζων ἢ διπλασία , καὶ λελάφθω τις εὐθεῖα ἁ ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσων , τᾶς δὲ τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας μείζων ἢ διπλασία . Ἔστιν δή τις κύκλος ὁ ΤΜΝ καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ δεδομένα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΤΝ , καὶ ὃν ἔχει ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΤΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν · δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιζαλεῖν τὰν ΑΣ ποτὶ τὰν ΤΝ ἐκβεβλημέναν , ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκζεζλημένας τὰν ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον , ὃν ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ · τεμεῖ δὴ ἁ ΑΣ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ , τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ Χ · καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΑ , ὃν ἁ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ . Ἁ δὲ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφέρειαν · ἔστιν γὰρ ἁ μὲν ΤΡ εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς ΤΡ περιφερείας , ἁ δὲ ΑΛ εὐθεῖα μείζων ἢ διπλασία τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας ὅλα οὖν ἁ ΣΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια μετὰ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας δὶς εἰρημένας ποτὶ τὰν τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφέρειαν δὶς εἰρημέναν . Ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΤ δέδεικται γὰρ τοῦτο · ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΑΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΤΑ · ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων ἢ διπλασία . Δῆλον οὖν ὅτι διπλασία ἐστίν . Διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δεικτέον , καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος , καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ποτʼ ὀρθὰς ἀχθεῖσα τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς συμπίπτῃ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν , ὅτι πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοῦ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τᾶς περιφορᾶς λεγομένου τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ .
Lemmas: εἰ δέ ἄν ὁ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω ἕλιξ κατά ὁ πέρας ἐπιψαύω εὐθύς , καί ἀπό ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ ἄγω τις ποτέ ὀρθός ὁ ἀρχή ὁ περιφορά , συμπίπτω ὅτε πρός ὁ ἐπιψαύω , καί εἰμί ὁ εὐθύς ὁ μεταξύ ὁ ἐπιψαύω καί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ διπλάσιος ὁ ὁ δεύτερος κύκλος περιφέρεια . εἰμί γάρ ὁ μέν ΑΒΓΘ ἕλιξ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω , ὁ δέ ΘΕΤ ἐν ὁ δεύτερος , καί ὁ μέν ΘΚΗ κύκλος ὁ πρῶτος , ὁ δέ ΤΜΝ ὁ δεύτερος , εἰμί δέ τις γραμμή ἐπιψαύω ὁ ἕλιξ κατά ὁ Θ ὁ ΤΖ , ὁ δέ ΖΑ ποτέ ὀρθός ἄχθωμαι ὁ ΤΆ συμπίπτω δέ ὅτε ὁ ΤΖ διά ὁ δείκνυμι ὁ γωνία ὀξύς εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΑΤΖ . δείκνυμι ὅτι ὁ ΖΑ εὐθύς διπλάσιος εἰμί ὁ ὁ ΤΜΝ κύκλος περιφέρεια . εἰ γάρ μή εἰμί διπλάσιος , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ διπλάσιος ἤ ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος . εἰμί πρότερος , εἰ δυνατός , μέγας ἤ διπλάσιος , καί λαμβάνω τις εὐθύς ὁ ΛΑ ὁ μέν ΖΆ εὐθεῖα ἐλαχύς , ὁ δέ ὁ ΤΜΝ κύκλος περιφέρεια μέγας ἤ διπλάσιος . εἰμί δή τις κύκλος ὁ ΤΜΝ καί ἐν ὁ κύκλος γραμμή δίδωμι ἐλαχύς ὁ διάμετρος ὁ ΤΝ , καί ὅς ἔχω ὁ ΤΑ πρός ὁ ΑΛ μέγας ὁ ὅς ἔχω ὁ ἥμισυς ὁ ΤΝ πρός ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω · δυνατός οὖν εἰμί ἀπό ὁ Α προσζαλέω ὁ ΑΣ πρός ὁ ΤΝ ἐκβάλλω , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ περιφέρεια καί ὁ κζεζλάαμαι ὁ ΡΣ πρός ὁ ΤιΡ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΤΑ πρός ὁ ΑΛ · τέμνω δή ὁ ΑΣ ὁ μέν κύκλος κατά ὁ Ρ , ὁ δέ ἕλιξ κατά ὁ Χ · καί ἐναλλάξ ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΡΣ πρός ὁ ΤΆ , ὅς ὁ ΤΡ πρός ὁ ΑΛ . ὁ δέ ΤΡ πρός ὁ ΑΛ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΤΡ περιφέρεια πρός ὁ διπλάσιος ὁ ΤΜΝ κύκλος περιφέρεια · εἰμί γάρ ὁ μέν ΤΡ εὐθύς ἐλαχύς ὁ ΤιΡ περιφέρεια , ὁ δέ ΑΛ εὐθύς μέγας ἤ διπλάσιος ὁ ὁ ΤΜΝ κύκλος περιφέρεια ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΡΣ πρός ὁ ΑΡ ἤ ὁ ΤΡ περιφέρεια πρός ὁ διπλάσιος ὁ ὁ ΤΜΝ κύκλος περιφέρεια ὅλος οὖν ὁ ΣΑ πρός ὁ ΑΡ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΤΡ περιφέρεια μετά ὁ ὁ ΤΜΝ κύκλος περιφέρεια δίς λέγω πρός ὁ ὁ ΤΜΝ κύκλος περιφέρεια δίς λέγω . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ λέγω περιφέρεια , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ ΧΑ πρός ὁ ΑΤ δείκνυμι γάρ οὗτος · ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΑΣ πρός ὁ ΑΡ ἤ ὁ ΧΑ πρός ὁ ΤΆ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα μέγας εἰμί ἤ διπλάσιος ὁ ΖΑ εὐθύς ὁ ὁ ΤΜΝ κύκλος περιφέρεια . ὅμοιος δέ δείκνυμι ὅτι οὐδέ ἐλαχύς ἤ διπλάσιος . δῆλος οὖν ὅτι διπλάσιος εἰμί . διά δέ ὁ αὐτός τρόπος δείκνυμι , καί εἰ ἄν ὁ ἐν ὁσποιᾳοῦν περιφορά γράφω ἕλιξ ἐπιψαύω τις εὐθύς κατά ὁ πέρας ὁ ἕλιξ , καί ἀπό ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ ποτέ ὀρθός ἄγω ὁ ἀρχή ὁ περιφορά συμπίπτω πρός ὁ ἐπιψαύω , ὅτι πολλαπλάσιος εἰμί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ὁ κατά ὁ ἀριθμός ὁ περιφορά λέγω ὁ αὐτός ἀριθμός .