archimedes.de-lineis-spiralibus 28
Εἴ κα ἐπὶ τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας δύο σαμεῖα λαφθέωντι μὴ τὰ πέρατα , ἀπὸ δὲ τῶν λαφθέντων σαμείων ἐπιζευχθέωντι εὐθεῖαι ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος , καὶ κέντρῳ μὲν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς ἕλικος , διαστημάτεσσι δὲ τοῖς ἀπὸ τῶν σαμείων ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος , κύκλοι γραφέωντι , τὸ περιλαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς μείζονος τᾶν περιφερειᾶν τᾶν μεταξὺ τᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶς ἕλικος τᾶς μεταξὺ τᾶν αὐτᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐκβληθείσας τοῦτον ἕξει τὸν λόγον ποτὶ τὸ ἀπολαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἐλάσσονος περιφερείας καὶ τᾶς αὐτᾶς ἕλικος καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ πέρατα αὐτᾶν , ὃν ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου μετὰ δύο τριταμορίων τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου μετὰ ἑνὸς τριταμορίου τᾶς αὐτᾶς ὑπεροχᾶς . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς ἁ ΑΒΓ△ , ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένα , καὶ λελάφθω ἐπʼ αὐτᾶς δύο σαμεῖα τὰ Α , Γ , ὥστε τὸ Θ σαμεῖον ἀρχὰν εἶμεν τᾶς ἕλικος , καὶ ἀπὸ τῶν Α , Γ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὸ Θ , καὶ κέντρῳ τῷ Θ , διαστημάτεσσι δὲ τοῖς ΘΑ , ΘΓ , κύκλοι γεγράφθωσαν . Δεικτέον ὅτι τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ Π τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερος ἅ τε ΑΘ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τάν τε ΑΘ καὶ ἓν τριταμόριον τᾶς ΗΑ . Τὸ γὰρ χωρίον τὸ ΝΠ ποτὶ τὸν ΗΓΘ τομέα δέδεικται τοῦτον ἔχον τὸν λόγον , ὃν ἔχει τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΘ , ΑΘ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΗ τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΗΘ τετράγωνον αὐτὸ ἄρα τὸ Ξ ποτὶ τὸ ΝΠ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑΗ μετὰ δύο τριταμορίων τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ . Καὶ ἐπεὶ τὸ ΝΠ χωρίον ποτὶ τὸν ΝΠΞ τομέα τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ , ΘΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΗ τετράγωνον , ὁ δὲ ΝΠΞ τομεὺς ποτὶ τὸν Ν τομέα τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΗ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ , ἕξει καὶ τὸ ΝΠ χωρίον ποτὶ τὸν Ν τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ ΘΑ , ΘΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ τὸ ἀπὸ ΘΑ · τὸ ἄρα ΝΠ ποτὶ τὸ Π λόγον ἔχει , ὃν συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΑ , ΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου . Ἐπεὶ οὖν τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ ΝΠ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερον τό τε ὑπὸ ΘΑΗ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ , τὸ δὲ ΝΠ χωρίον ποτὶ τὸ Π τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΑΘ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου , ἕξει καὶ τὸ Ξ ποτὶ τὸ Π τοῦτον τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑΗ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ . Τὰ δὲ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑΗ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερα ἅ τε ΘΑ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τάν τε ΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς ΗΑ δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ Π χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν συναμφότερα ἅ τε ΘΑ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τάν τε ΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς ΗΑ .
Lemmas: εἰ ἄν ἐπί ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁσποιᾳοῦν περιφορά γράφω δύο σαμεῖον λάπτω μή ὁ πέρας , ἀπό δέ ὁ λάπτω σαμεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθεῖα ἐπί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ , καί κέντρον μέν ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ , διάστημα δέ ὁ ἀπό ὁ σαμεῖον ἐπί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ , κύκλος γράφω , ὁ περιλάπτω χωρίον ὑπό τε ὁ μέγας ὁ περιφέρεια ὁ μεταξύ ὁ εὐθεῖα καί ὁ ἕλιξ ὁ μεταξύ ὁ αὐτός εὐθεῖα καί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐκβάλλω οὗτος ἔχω ὁ λόγος πρός ὁ ἀπολάπτω χωρίον ὑπό τε ὁ ἐλαχύς περιφέρεια καί ὁ αὐτός ἕλιξ καί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ πέρας αὐτός , ὅς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς κύκλος μετά δύο τριτημόριος ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς κύκλος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς κύκλος μετά εἷς τριταμόριος ὁ αὐτός ὑπεροχή . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΑΒΓ△ , ἐν εἷς περιφορά γράφω , καί λαμβάνω ἐπί αὐτός δύο σαμεῖον ὁ Α , Γ , ὥστε ὁ Θ σαμεῖον ἀρχή εἰμί ὁ ἕλιξ , καί ἀπό ὁ Α , Γ ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ Θ , καί κέντρον ὁ Θ , διάστημα δέ ὁ ΘΑ , ΘΓ , κύκλος γράφω . δείκνυμι ὅτι ὁ Ξ χωρίον πρός ὁ Π ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ΑΘ καί δύο τριταμόριον ὁ ΗΑ πρός συναμφότεροι ὁ τε ΑΘ καί εἷς τριταμόριον ὁ ΗΑ . ὁ γάρ χωρίον ὁ ΝΠ πρός ὁ ΗΓΘ τομεύς δείκνυμι οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ τε ὑπό ὁ ΗΘ , ΑΘ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΑΗ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΗΘ τετράγωνος αὐτός ἄρα ὁ Ξ πρός ὁ ΝΠ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ὑπό ὁ ΘΑΗ μετά δύο τριταμόριον ὁ ἀπό ὁ ΗΑ τετράγωνος πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΑΘΗ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ . καί ἐπεί ὁ ΝΠ χωρίον πρός ὁ ΝΠΞ τομεύς οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΘΑ , ΘΗν καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΗν τετράγωνος , ὁ δέ ΝΠΞ τομεύς πρός ὁ Ν τομεύς οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΘΗν πρός ὁ ἀπό ὁ ΘΑ , ἔχω καί ὁ ΝΠ χωρίον πρός ὁ Ν ὁ αὐτός λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΘΑ , ΘΗν καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ πρός ὁ ἀπό ΘΑ · ὁ ἄρα ΝΠ πρός ὁ Π λόγος ἔχω , ὅς συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΗΘΑ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ πρός συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΗΑ , ΘΑ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ τετράγωνος . ἐπεί οὖν ὁ Ξ χωρίον πρός ὁ ΝΠ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ΘΑΗ καί δύο τριταμόριον ὁ ἀπό ὁ ΗΑ τετράγωνος πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΗΘΑ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ , ὁ δέ ΝΠ χωρίον πρός ὁ Π οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΗΘΑ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ τετράγωνος πρός συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΗΑΘ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ τετράγωνος , ἔχω καί ὁ Ξ πρός ὁ Π οὗτος ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΘΑΗ καί δύο τριταμόρια ὁ ἀπό ὁ ΗΑ πρός συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΘΑΗ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ . ὁ δέ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΘΑΗ καί δύο τριταμόριον ὁ ἀπό ὁ ΗΑ πρός συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΘΑΗ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΗΑ τετράγωνος οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ΘΑ καί δύο τριταμόριον ὁ ΗΑ πρός συναμφότεροι ὁ τε ΘΑ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ΗΑ δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ Ξ χωρίον πρός ὁ Π χωρίον οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς συναμφότεροι ὁ τε ΘΑ καί δύο τριταμόριον ὁ ΗΑ πρός συναμφότεροι ὁ τε ΘΑ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ΗΑ .