archimedes.de-lineis-spiralibus 22
Λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας , ἅ ἐστι δευτέρα τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς , δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι , ὥστε τὸ περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος μεῖζον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ᾇ ἁ ΑΒΓ△Ε , ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , καὶ ἔστω τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , ἁ δὲ ΑΘ ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς , ἁ δὲ ΕΑ ἁ δευτέρα εὐθεῖα τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς , ὁ δὲ ΑΖΗ κύκλος ἔστω δεύτερος καὶ αἱ ΑΓΗ . ΖΙ διάμετροι αὐτοῦ ποτʼ ὀρθὰς ἀλλάλαις . Πάλιν οὖν δίχα τεμνομένας τᾶς ὀρθᾶς γωνίας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρθὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον ἔλασσον τοῦ προτεθέντος καὶ ἔστω γεγενημένος ὁ ΘΚΑ τομεὺς ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος χωρίου . Διαιρεθεισᾶν δὴ τᾶν ὀρθᾶν γωνιᾶν εἰς τὰς ἴσας γωνίας τᾷ ὑπὸ τᾶν ΚΘΑ καὶ τῶν ἄλλων κατεσκευασθέντων κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον ἐσσεῖται τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος μεῖζον ἐλάσσονι ἢ ὁ τομεὺς ὁ ΘΚΑ · μεῖζον γὰρ ἐσσεῖται τᾷ ὑπεροχᾶ , ᾇ ὑπερέχει ὁ ΘΚΑ τομεὺς τοῦ ΘΕΡ . ΠΟΡΙΣΜΑ Δῆλον οὖν ὅτι δυνατόν ἐστιν καὶ τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ λαφθέντος χωρίου μεῖζον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου , καὶ πάλιν τὸ λαφθὲν χωρίον μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου . Διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου φανερὸν διότι δυνατὸν λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν λεγομένας περιγράψαι σχῆμα , οἷον εἴρηται , ἐπίπεδον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ λαφθέντος χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου , καὶ πάλιν ἐγγράψαι , ὥστε τὸ λαφθὲν χωρίον μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου .
Lemmas: λαμβάνω ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω καί ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί δεύτερος ὁ ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά , δυνατός εἰμί περί αὐτός σχῆμα ἐπίπεδος περιγράφω ἐκ ὅμοιος τομεύς σύγκειμαι καί ἄλλος ἐγγράφω , ὥστε ὁ περιγράφω ὁ ἐγγράφω μέγας εἰμί ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΑΒΓ△Ε , ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω , καί εἰμί ὁ μέν Θ σαμεῖον ἀρχή ὁ ἕλιξ , ὁ δέ ΑΘ ἀρχή ὁ περιφορά , ὁ δέ ΕΑ ὁ δεύτερος εὐθύς ὁ ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά , ὁ δέ ΑΖΗ κύκλος εἰμί δεύτερος καί ὁ ΑΓΗ . ΖΙ διάμετρος αὐτός ποτέ ὀρθός ἀλλήλων . πάλιν οὖν δίχα τέμνω ὁ ὀρθός γωνία καί ὁ τομεύς ὁ ὁ ὀρθός γωνία περιέχω εἰμί ὁ καταλείπω ἐλαχύς ὁ προτίθημι καί εἰμί γίγνομαι ὁ ΘΚΑ τομεύς ἐλαχύς ὁ προτίθημι χωρίον . διαιρέω δή ὁ ὀρθός γωνία εἰς ὁ ἴσος γωνία ὁ ὑπό ὁ ΚΘΑ καί ὁ ἄλλος κατεσκευάζω κατά ὁ αὐτός ὁ πρότερος εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας ἐλαχύς ἤ ὁ τομεύς ὁ ΘΚΑ · μέγας γάρ εἰμί ὁ ὑπεροχᾶ , ὅς ὑπερέχω ὁ ΘΚΑ τομεύς ὁ ΘΕΡ . πόρισμα δῆλος οὖν ὅτι δυνατός εἰμί καί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ λάπτω χωρίον μέγας εἰμί ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον , καί πάλιν ὁ λάπτω χωρίον μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον . διά δέ ὁ αὐτός τρόπος φανερός διότι δυνατός λαμβάνω ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁσποιᾳοῦν περιφορά γράφω καί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά κατά ὁ αὐτός ἀριθμός λέγω περιγράφω σχῆμα , οἷος λέγω , ἐπίπεδος , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ λάπτω χωρίον ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον , καί πάλιν ἐγγράφω , ὥστε ὁ λάπτω χωρίον μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον .