archimedes.de-lineis-spiralibus 21
Λαμβάνοντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς πρώτας ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι καὶ ἄλλο ἐγγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖζον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς ἁ ΑΒΓ△ , ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον , ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἁ ΘΑ , ὁ δὲ πρῶτος κύκλος ὁ ΖΗΙΑ , αἱ δὲ ΑΗ , ΖΙ διάμετροι αὐτοῦ ποτʼ ὀρθὰς ἀλλάλαις . Ἀεὶ δὴ τᾶς ὀρθᾶς γωνίας δίχα τεμνομένας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρθὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον τοῦ τομέως ἔλασσον τοῦ προτεθέντος καὶ ἔστω γεγενημένος ὁ τομεὺς ὁ ΑΘΚ ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος χωρίου . Διαιρήσθωσαν δὴ αἱ γωνίαι αἱ τέσσαρες ὀρθαὶ εἰς τὰς ἴσας γωνίας τᾷ περιεχομένᾳ ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΚ , καὶ αἱ ποιοῦσαι τὰς γωνίας εὐθεῖαι ἔστε ποτὶ τὰν ἕλικα ἄχθωσαν . Καθʼ ὃ δὴ τέμνει σαμεῖον ἁ ΘΚ τὰν ἕλικα , ἔστω τὸ Λ , καὶ κέντρῳ τῷ Θ , διαστήματι δὲ τῷ ΘΛ κύκλος γεγράφθω · πεσεῖται δὲ αὐτοῦ ἁ μὲν εἰς τὰ προαγούμενα περιφέρεια ἐντὸς τᾶς ἕλικος , ἁ δὲ εἰς τὰ ἑπόμενα ἐκτός . Γεγράφθω δὴ ἁ περιφέρεια , ἔστε κα συμπέσῃ τᾷ ΘΑ καὶ τᾷ μετὰ τὰν ΘΚ εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσᾳ . Πάλιν δὴ καὶ καθʼ ὃ τέμνει τὰν ἕλικα σαμεῖον ἁ ΘΜ , ἔστω τὸ Ν , καὶ κέντρῳ τῷ Θ , διαστήματι δὲ τῷ ΘΝ κύκλος γεγράφθω , ἔστε κα συμπέσῃ ἁ περιφέρεια τοῦ κύκλου τᾷ ΘΚ καὶ τᾷ μετὰ τὰν ΘΜ ποτιπιπτούσᾳ ποτὶ τὰν ἕλικα , ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τῶν ἄλλων πάντων , καθʼ ἃ τέμνοντι τὰν ἕλικα αἱ τὰς ἴσας γωνίας ποιοῦσαι , κύκλοι γεγράφθωσαν κέντρῳ τῷ Θ , ἔστʼ ἂν συμπέσῃ ἑκάστα ἁ περιφέρεια τᾷ τε προαγουμένᾳ εὐθείᾳ καὶ τᾷ ἑπομένᾳ · ἐσσεῖται δή τι περὶ τὸ λαφθὲν χωρίον περιγεγραμμένον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγεραμμένον . Ὅτι δὲ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖζόν ἐστιν ἐλάσσονι τοῦ προτεθέντος χωρίου δειχθήσεται . Ἔστιν γὰρ ὁ μὲν ΘΛΟ τομεὺς ἴσος τῷ ΘΜΛ , ὁ δὲ ΘΝΠ τῷ ΘΝΡ , ὁ δὲ ΘΧΣ τῷ ΘΧΤ , ἔστιν δὲ καὶ τῶν ἄλλων τομέων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι ἴσος τῷ κοινὰν ἔχοντι πλευρὰν τομεῖ τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τομέων . Δῆλον οὖν ὅτι καὶ πάντες οἱ τομέες πάντεσσιν ἴσοι ἐσσοῦνται ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ χωρίῳ τῷ περιγεγραμμένῳ περὶ τὸ χωρίον σχήματι χωρὶς τοῦ ΘΑΚ τομέως μόνος γὰρ οὗτος οὐ λέλαπται τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι . Δῆλον οὖν ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖζόν ἐστι τῷ ΑΚΘ τομεῖ , ὃς ἐλάσσων ἐστὶν τοῦ προτεθέντος . ΠΟΡΙΣΜΑ Ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι δυνατόν ἐστι περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον σχῆμα , οἷον εἴρηται , γράφειν , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου , καὶ πάλιν ἐγγράφειν , ὥστε τὸ χωρίον ὁμοίως μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου .
Lemmas: λαμβάνω ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω καί ὁ εὐθεῖα ὁ πρῶτος ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά δυνατός εἰμί περί αὐτός σχῆμα ἐπίπεδος περιγράφω καί ἄλλος ἐγγράφω ἐκ ὅμοιος τομεύς σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω ὁ ἐγγράφω μέγας εἰμί ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΑΒΓ△ , ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω , εἰμί δέ ἀρχή μέν ὁ ἕλιξ ὁ Θ σαμεῖον , ἀρχή δέ ὁ περιφορά ὁ ΘΑ , ὁ δέ πρῶτος κύκλος ὁ ΖΗΙΑ , ὁ δέ ΑΗ , ΖΙ διάμετρος αὐτός ποτέ ὀρθός ἀλλήλων . ἀεί δή ὁ ὀρθός γωνία δίχα τέμνω καί ὁ τομεύς ὁ ὁ ὀρθός γωνία περιέχω εἰμί ὁ καταλείπω ὁ τομεύς ἐλαχύς ὁ προτίθημι καί εἰμί γίγνομαι ὁ τομεύς ὁ ΑΘΚ ἐλαχύς ὁ προτίθημι χωρίον . διαιρέω δή ὁ γωνία ὁ τέσσαρες ὀρθός εἰς ὁ ἴσος γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΚ , καί ὁ ποιέω ὁ γωνία εὐθύς ἔστε πρός ὁ ἕλιξ ἄγω . κατά ὅς δή τέμνω σαμεῖον ὁ ΘΚ ὁ ἕλιξ , εἰμί ὁ Λ , καί κέντρον ὁ Θ , διάστημα δέ ὁ ΘΛ κύκλος γράφω · πίπτω δέ αὐτός ὁ μέν εἰς ὁ προηγέομαι περιφέρεια ἐντός ὁ ἕλιξ , ὁ δέ εἰς ὁ ἕπομαι ἐκτός . γράφω δή ὁ περιφέρεια , ἔστε ἄν συμπίπτω ὁ ΘΑ καί ὁ μετά ὁ ΘΚ εὐθεῖα πρός ὁ ἕλιξ προσπίπτω . πάλιν δή καί κατά ὅς τέμνω ὁ ἕλιξ σαμεῖον ὁ ΘΜ , εἰμί ὁ Ν , καί κέντρον ὁ Θ , διάστημα δέ ὁ ΘΝ κύκλος γράφω , ἔστε ἄν συμπίπτω ὁ περιφέρεια ὁ κύκλος ὁ ΘΚ καί ὁ μετά ὁ ΘΜ προσπίπτω πρός ὁ ἕλιξ , ὅμοιος δέ καί διά ὁ ἄλλος πᾶς , κατά ὅς τέμνω ὁ ἕλιξ ὁ ὁ ἴσος γωνία ποιέω , κύκλος γράφω κέντρον ὁ Θ , ἔστε ἄν συμπίπτω ἕκαστος ὁ περιφέρεια ὁ τε προηγέομαι εὐθύς καί ὁ ἕπομαι · εἰμί δή τις περί ὁ λάπτω χωρίον περιγράφω ἐκ ὅμοιος τομεύς σύγκειμαι καί ἄλλος γγεράμνυμι . ὅτι δέ ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω μέγας εἰμί ἐλαχύς ὁ προτίθημι χωρίον δείκνυμι . εἰμί γάρ ὁ μέν ΘΛΟ τομεύς ἴσος ὁ ΘΜΛ , ὁ δέ ΘΝΠ ὁ ΘΝΡ , ὁ δέ ΘΧΣ ὁ ΘΧΤ , εἰμί δέ καί ὁ ἄλλος τομεύς ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἴσος ὁ κοινός ἔχω πλευρά τομεύς ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα τομεύς . δῆλος οὖν ὅτι καί πᾶς ὁ τομεύς πᾶς ἴσος εἰμί ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ χωρίον ὁ περιγράφω περί ὁ χωρίον σχῆμα χωρίς ὁ ΘΑΚ τομεύς μόνος γάρ οὗτος οὐ λαμβάνω ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα . δῆλος οὖν ὅτι ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω μέγας εἰμί ὁ ΑΚΘ τομεύς , ὅς ἐλαχύς εἰμί ὁ προτίθημι . πόρισμα ἐκ οὗτος δέ φανερός ὅτι δυνατός εἰμί περί ὁ λέγω χωρίον σχῆμα , οἷος λέγω , γράφω , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ χωρίον ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον , καί πάλιν ἐγγράφω , ὥστε ὁ χωρίον ὅμοιος μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι χωρίον .