archimedes.de-lineis-spiralibus 20
Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος , ἀπὸ δὲ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ , καὶ κέντρῳ μὲν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς ἕλικος , διαστήματι δὲ τᾷ ἐπιζευχθείσᾳ κύκλος γραφῇ , ἀπὸ δὲ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῇ τις ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιζευχθείσᾳ , συμπεσεῖται οὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν , καὶ ἐσσεῖται ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς τε συμπτώσιος καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα τᾷ περιφερείᾳ τοῦ γραφέντος κύκλου τᾷ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς τομᾶς , καθʼ ἃν τέμνει ὁ γραφεὶς κύκλος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς , ἐπὶ τὰ προαγούμενα λαμβανομένας τᾶς περιφερείας ἀπὸ τοῦ σαμείου τοῦ ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς ἁ ΑΒΓ△ , ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , καὶ ἐπιψαυέτω τις αὐτᾶς εὐθεῖα ἁ ΕΖ κατὰ τὸ △ , ἀπὸ δὲ τοῦ △ ποτὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπεζεύχθω ἁ Α△ , καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Α , διαστήματι δὲ τῷ Α△ κύκλος γεγράφθω ὁ △ΜΝ , τεμνέτω δʼ οὗτος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸ Κ , ἄχθῶ δὲ ἁ ΖΑ ποτὶ τὰν Α△ ὀρθά . Ὅτι μὲν οὖν οὕτα συμπίπτει δῆλον · ὅτι δὲ καὶ ἴσα ἐστὶν ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾷ ΚΜΝ△ περιφερείᾳ δεικτέον . Εἰ γὰρ μή , ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων . Ἔστω , εἰ δυνατόν , πρότερον μείζων , λελάφθω δὲ τις ἁ ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσων , τᾶς δὲ ΚΜΝ△ περιφερείας μείζων . Πάλιν δὴ κύκλος ἐστὶν ὁ ΚΜΝ καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ △Ν καὶ λόγος , ὃν ἔχει ἁ △Α ποτὶ ΑΛ , μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς △Ν ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιζαλεῖν τὰν ΑΕ ποτὶ τὰν Ν△ ἐκβεβλημέναν , ὥστε τὰν ΕΡ ποτὶ τὰν △Ρ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον , ὃν ἁ △Α ποτὶ τὰν ΑΛ · δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν · ἕξει οὖν καὶ ἁ ΕΡ ποτὶ τὰν ΑΡ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ △Ρ ποτὶ τὰν ΑΛ . Ἁ δὲ △Ρ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ △Ρ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΚΜ△ περιφέρειαν , ἐπεὶ ἁ μὲν △Ρ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς △Ρ περιφερείας , ἁ δὲ ΑΛ μείζων τᾶς ΚΜ△ περιφερείας · ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ἁ ΕΡ εὐθεῖα ποτὶ ΡΑ ἢ ἁ △Ρ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΚΜ△ περιφέρειαν · ὥστε καὶ ἁ ΑΕ ποτὶ ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΚΜΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΚΜ△ περιφέρειαν . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΚΜΡ ποτὶ τὰν ΚΜ△ περιφέρειαν , τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ ποτὶ Α△ · ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΕΑ ποτὶ ΑΡ ἢ ἁ ΑΧ ποτὶ △Α ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον . Οὐκ ἄρα μείζων ἁ ΖΑ τᾶς ΚΜ△ περιφερείας . Ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων ἐστίν ἴσα ἄρα . Διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχθήσεται , καὶ εἴ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος , τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατασκευασθέωντι , ὅτι ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν συμπτώσιος καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐστὶν ὅλᾳ τᾷ τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείᾳ καὶ ἔτι τᾷ μεταξὺ τῶν εἰρημένων σαμείων , ὡσαύτως τᾶς περιφερείας λαμζανομένας καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν γεγραμμένας περιφορᾷ ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος , τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατασκευασθέωντι , ὅτι ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τῶν εἰρημένων σαμείων πολλαπλασία τίς ἐστι τᾶς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείας κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα ἀριθμὸν τοῦ καθʼ ὃν αἱ περιφοραὶ λέγονται , καὶ ἔτι ἴσα τᾷ μεταξὺ τῶν εἰρημένων σαμείων ὁμοίως λαμβανομένᾳ .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω εὐθύς γραμμή ἐπιψαύω μή κατά ὁ πέρας ὁ ἕλιξ , ἀπό δέ ὁ ἁφή ἐπί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ εὐθύς ἐπιζεύγνυμι , καί κέντρον μέν ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ , διάστημα δέ ὁ ἐπιζεύγνυμι κύκλος γράφω , ἀπό δέ ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ ἄγω τις ποτέ ὀρθός ὁ ἀπό ὁ ἁφή ἐπί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ ἐπιζεύγνυμι , συμπίπτω ὅτε πρός ὁ ἐπιψαύω , καί εἰμί ὁ μεταξύ εὐθύς ὁ τε σύμπτωσις καί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ ἴσος ὁ περιφέρεια ὁ γράφω κύκλος ὁ μεταξύ ὁ ἁφή καί ὁ τομή , κατά ὅς τέμνω ὁ γράφω κύκλος ὁ ἀρχή ὁ περιφορά , ἐπί ὁ προηγέομαι λαμβάνω ὁ περιφέρεια ἀπό ὁ σαμεῖον ὁ ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΑΒΓ△ , ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω , καί ἐπιψαύω τις αὐτός εὐθύς ὁ ΕΖ κατά ὁ △ , ἀπό δέ ὁ △ πρός ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ ἐπιζεύγνυμι ὁ Α△ , καί κέντρον μέν ὁ Α , διάστημα δέ ὁ Α△ κύκλος γράφω ὁ △ΜΝ , τέμνω δέ οὗτος ὁ ἀρχή ὁ περιφορά κατά ὁ Κ , ἄγω δέ ὁ ΖΑ πρός ὁ Α△ ὀρθός . ὅτι μέν οὖν ὅτε συμπίπτω δῆλος · ὅτι δέ καί ἴσος εἰμί ὁ ΖΑ εὐθύς ὁ ΚΜΝ△ περιφέρεια δείκνυμι . εἰ γάρ μή , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί , εἰ δυνατός , πρότερος μέγας , λαμβάνω δέ τις ὁ ΛΑ ὁ μέν ΖΆ εὐθεῖα ἐλαχύς , ὁ δέ ΚΜΝ△ περιφέρεια μέγας . πάλιν δή κύκλος εἰμί ὁ ΚΜΝ καί ἐν ὁ κύκλος γραμμή ἐλαχύς ὁ διάμετρος ὁ △Ν καί λόγος , ὅς ἔχω ὁ △Α πρός ΑΛ , μέγας ὁ ὅς ἔχω ὁ ἥμισυς ὁ △Ν πρός ὁ ἀπό ὁ Α κάθετος ἐπί αὐτός ἄγω δυνατός οὖν εἰμί ἀπό ὁ Α προσζαλέω ὁ ΑΕ πρός ὁ Ν△ ἐκβάλλω , ὥστε ὁ ΕΡ πρός ὁ △Ρ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ △Α πρός ὁ ΑΛ · δείκνυμι γάρ οὗτος δυνατός εἰμί · ἔχω οὖν καί ὁ ΕΡ πρός ὁ ΑΡ ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ △Ρ πρός ὁ ΑΛ . ὁ δέ △Ρ πρός ὁ ΑΛ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ △Ρ περιφέρεια πρός ὁ ΚΜ△ περιφέρεια , ἐπεί ὁ μέν △Ρ ἐλαχύς εἰμί ὁ △Ρ περιφέρεια , ὁ δέ ΑΛ μέγας ὁ ΚΜ△ περιφέρεια · ἐλαχύς οὖν λόγος ἔχω ὁ ΕΡ εὐθύς πρός ΡΑ ἤ ὁ △Ρ περιφέρεια πρός ὁ ΚΜ△ περιφέρεια · ὥστε καί ὁ ΑΕ πρός ΑΡ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΚΜΡ περιφέρεια πρός ὁ ΚΜ△ περιφέρεια . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ΚΜΡ πρός ὁ ΚΜ△ περιφέρεια , οὗτος ἔχω ὁ ΧΑ πρός Α△ · ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ ΕΑ πρός ΑΡ ἤ ὁ ΑΧ πρός △Α ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ ἄρα μέγας ὁ ΖΑ ὁ ΚΜ△ περιφέρεια . ὅμοιος δέ ὁ πρότερος δείκνυμι ὅτι οὐδέ ἐλαχύς εἰμί ἴσος ἄρα . διά δέ ὁ αὐτός τρόπος δείκνυμι , καί εἰ ἄν ὁ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω ἕλιξ ἐπιψαύω εὐθύς μή κατά ὁ πέρας ὁ ἕλιξ , ὁ δέ ἄλλος ὁ αὐτός κατασκευάζω , ὅτι ὁ μεταξύ εὐθύς ὁ πρός ὁ ἐπιψαύω σύμπτωσις καί ὁ ἀρχή ὁ ἕλιξ ἴσος εἰμί ὅλος ὁ ὁ γράφω κύκλος περιφέρεια καί ἔτι ὁ μεταξύ ὁ λέγω σαμεῖον , ὡσαύτως ὁ περιφέρεια λαμζήνω καί εἰ ἄν ὁ ἐν ὁσποιᾳοῦν γράφω περιφορά ἕλιξ ἐπιψαύω τις εὐθύς μή κατά ὁ πέρας ὁ ἕλιξ , ὁ δέ ἄλλος ὁ αὐτός κατασκευάζω , ὅτι ὁ μεταξύ εὐθύς ὁ λέγω σαμεῖον πολλαπλάσιος τίς εἰμί ὁ ὁ γράφω κύκλος περιφέρεια κατά ὁ εἷς ἐλαχύς ἀριθμός ὁ κατά ὅς ὁ περιφορά λέγω , καί ἔτι ἴσος ὁ μεταξύ ὁ λέγω σαμεῖον ὅμοιος λαμβάνω .