archimedes.de-lineis-spiralibus 16
Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ , καὶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιζευχθῇ ἐπὶ τὸ σαμεῖον , ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , ἃς ποιεῖ γωνίας ἁ ἐφαπτομένα ποτὶ τὰν ἐπιζευχθεῖσαν , ἀνίσοι ἐσσοῦνται καὶ ἁ μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις ἀμβλεῖα , ἁ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ὀξεῖα . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς τὰ Α , Β , Γ , △ , Θ , ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , καὶ ἔστω τὸ μὲν Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , ἁ δὲ ΑΘ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς , ὅ τε πρῶτος κύκλος ὁ ΘΚΗ , ἐπιψαυέτω δέ τις εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἁ Ε△Ζ κατὰ τὸ △ , καὶ ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἁ △Α . Δεικτέον ὅτι ἁ △Ζ ποτὶ τὰν Α△ ἀμβλεῖαν ποιεῖ γωνίαν . Γεγράφθω κύκλος ὁ △ΤΝ κέντρῳ μὲν τῷ Α , διαστήματι δὲ τᾷ Α△ ἀναγκαῖον δὴ τούτου τοῦ κύκλου τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις περιφέρειαν ἐντὸς πίπτειν τᾶς ἕλικος , τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτὸς διὰ τὸ τᾶν ἀπὸ τοῦ Α ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτουσᾶν εὐθειᾶν τὰς μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις μείζονας εἶμεν τᾶς Α△ , τὰς δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐλάσσονας . Ὅτι μὲν οὖν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν Α△Ζ οὐκ ἔστιν ὀξεῖα δῆλον , ἐπειδὴ μείζων ἐστὶ τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου , ὅτι δὲ ὀρθὰ οὐκ ἔστι δεικτέον οὕτως ἔστω γὰρ , εἰ δυνατόν , ὀρθά ἁ ἄρα Ε△Ζ ἐπιψαύει τοῦ △ΤΝ κύκλου . Δυνατὸν δή ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν , ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς ποτιπιπτούσας περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν , Ποτιπιπτέτω δὴ ἁ ΑΙ τεμεῖ δὴ οὕτα τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Λ , τὰν δὲ τοῦ △ΝΤ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ καὶ ἐχέτω ἁ ΡΙ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ △Ρ περιφέρεια ποτὶ τὰν △ΝΤ περιφέρειαν καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ Ρ△ΝΤ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν , τουτέστιν ὃν ἔχει ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν . Ὃν δὲ ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν , τοῦτον ἔχει ἁ ΑΛ εὐθεῖα ποτὶ τὰν Α△ δέδεικται γὰρ τοῦτο · ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ Al ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΛΑ ποτὶ τὰν Α△ ὅπερ ἀδύνατον · ἴσα γὰρ ἁ ΡΑ τᾷ Α△ . Οὐκ ἄρα ἐστὶν ὀρθὰ ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν Α△Ζ . Δέδεικται δὲ ὅτι οὐδὲ ὀξεῖα ἀμζλεῖα ἄρα ἐστίν , Ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖά ἐστιν . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ , ὅτι τὸ αὐτὸ συμβήσεται .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω εὐθύς γραμμή ἐπιψαύω , καί ἀπό ὁ ἁφή εὐθύς γραμμή ἐπιζεύγνυμι ἐπί ὁ σαμεῖον , ὅς εἰμί ἀρχή ὁ ἕλιξ , ὅς ποιέω γωνία ὁ ἐφάπτω πρός ὁ ἐπιζεύγνυμι , ἄνισος εἰμί καί ὁ μέν ἐν ὁ προηγέομαι ἀμβλύς , ὁ δέ ἐν ὁ ἕπομαι ὀξύς . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ Α , Β , Γ , △ , Θ , ἐν ὁ πρῶτος περιφορά γράφω , καί εἰμί ὁ μέν Α σαμεῖον ἀρχή ὁ ἕλιξ , ὁ δέ ΑΘ εὐθύς ἀρχή ὁ περιφορά , ὁ τε πρῶτος κύκλος ὁ ΘΚΗ , ἐπιψαύω δέ τις εὐθύς γραμμή ὁ ἕλιξ ὁ ΕΖ κατά ὁ △ , καί ἀπό ὁ △ ἐπί ὁ Α ἐπιζεύγνυμι ὁ △Α . δείκνυμι ὅτι ὁ △Ζ πρός ὁ Α△ ἀμβλύς ποιέω γωνία . γράφω κύκλος ὁ △ΤΝ κέντρον μέν ὁ Α , διάστημα δέ ὁ Α△ ἀναγκαῖος δή οὗτος ὁ κύκλος ὁ μέν ἐν ὁ προηγέομαι περιφέρεια ἐντός πίπτω ὁ ἕλιξ , ὁ δέ ἐν ὁ ἕπομαι ἐκτός διά ὁ ὁ ἀπό ὁ Α πρός ὁ ἕλιξ προσπίπτω εὐθεῖα ὁ μέν ἐν ὁ προηγέομαι μέγας εἰμί ὁ Α△ , ὁ δέ ἐν ὁ ἕπομαι ἐλαχύς . ὅτι μέν οὖν ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ Α△Ζ οὐ εἰμί ὀξύς δῆλος , ἐπειδή μέγας εἰμί ὁ ὁ ἡμικύκλιον , ὅτι δέ ὀρθός οὐ εἰμί δείκνυμι οὕτως εἰμί γάρ , εἰ δυνατός , ὀρθός ὁ ἄρα ΕΖ ἐπιψαύω ὁ △ΤΝ κύκλος . δυνατός δή εἰμί ἀπό ὁ Α προσβάλλω εὐθεῖα πρός ὁ ἐπιψαύω , ὥστε ὁ μεταξύ ὁ ἐπιψαύω καί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια εὐθεῖα πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ μεταξύ ὁ ἁφή καί ὁ προσπίπτω περιφέρεια πρός ὁ δίδωμι περιφέρεια , Προσπίπτω δή ὁ ΑΙ τέμνω δή ὅτε ὁ μέν ἕλιξ κατά ὁ Λ , ὁ δέ ὁ △ΝΤ κύκλος περιφέρεια κατά ὁ Ρ καί ἔχω ὁ ΡΙ εὐθύς πρός ὁ ΑΡ ἐλαχύς λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ △Ρ περιφέρεια πρός ὁ △ΝΤ περιφέρεια καί ὅλος ἄρα ὁ ΙΑ πρός ὁ ΑΡ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Ρ△ΝΤ περιφέρεια πρός ὁ ΔΝΤ περιφέρεια , τουτέστι ὅς ἔχω ὁ ΣΗΚΘ περιφέρεια πρός ὁ ΗΚΘ περιφέρεια . ὅς δέ ὁ ΣΗΚΘ περιφέρεια πρός ὁ ΗΚΘ περιφέρεια , οὗτος ἔχω ὁ ΑΛ εὐθύς πρός ὁ Α△ δείκνυμι γάρ οὗτος · ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ Al πρός ὁ ΑΡ ἤ ὁ ΛΑ πρός ὁ Α△ ὅς ἀδύνατος · ἴσος γάρ ὁ ΡΑ ὁ Α△ . οὐ ἄρα εἰμί ὀρθός ὁ περιέχω ὑπό ὁ Α△Ζ . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ ὀξύς ἀμζλεῖα ἄρα εἰμί , Ὥστε ὁ λοιπός ὀξύς εἰμί . ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί εἰ ἄν ὁ ἐπιψαύω ὁ ἕλιξ κατά ὁ πέρας ἐπιψαύω , ὅτι ὁ αὐτός συμβαίνω .