archimedes.de-lineis-spiralibus 25
Τὸ περιλαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς ποτὶ τὸν δεύτερον κύκλον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὰ ζ ποτὶ τὰ ιβ , ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὰ συναμφότερα τό τε περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ δευτέρου κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ πρώτου κύκλου καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ δευτέρου κύκλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ πρώτου κύκλου ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ δευτέρου κύκλου . Ἔστω ἕλιξ , ἐφʼ ἇς ἁ ΑΒΓ△Ε , ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα , ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος , ἁ δὲ ΘΕ εὐθεῖα ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς ἁ πρώτα , ἁ δὲ ΑΕ ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς ἁ δευτέρα , ὁ δὲ κύκλος ὁ ΑΖΗΙ ὁ δεύτερος ἔστω , καὶ αἱ ΑΗ , ΙΖ διάμετροι ποτʼ ὀρθὰς ἀλλάλαις . Δεικτέον ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△Ε ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας ποτὶ τὸν ΑΖΗΙ κύκλον λόγον ἔχει , ὃν τὰ ζ ποτὶ ιβ . Ἔστω δή τις κύκλος ὁ ( ?? ) ἁ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ( ?? ) κύκλου δυνάμει ἴσα τῷ τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΕ περιεχομένῳ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου · ἔξει δὴ ὁ ( ?? ) κύκλος ποτὶ τὸν ΑΗΖΙ ὡς ζ ποτὶ ιβ , διότι καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου τοῦτον ἔχει δυνάμει τὸν λόγον . Δειχθήσεται οὖν ἴσος ὁ ( ?? ) κύκλος τῷ περιεχομένῳ χωρίῳ ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△Ε ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας . Εἰ γὰρ μή , ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάττων . Ἔστω δὴ πρότερον , εἰ δυνατόν , μείζων . Δυνατὸν δή ἐστι περὶ τὸ χωρίον περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι ἢ ᾧ ὑπερέχει ὁ ( ?? ) κύκλος τοῦ χωρίου . Περιγεγράφθω , καὶ ἔστω , ἐξ ὧν σύγκειται τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα , μέγιστος μὲν ὁ ΘΑΚ τομεύς , ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΟ△ · δῆλον οὖν ὅτι τὸ περιγραφὲν σχῆμα ἔλασσόν ἐστιν τοῦ κύκλου . Ἐκβεβλήσθωσαν αἱ εὐθεῖαι αἱ ποιοῦσαι ποτὶ τῷ Θ ἴσας γωνίας , ἔστʼ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ δευτέρου κύκλου περιφέρειαν πέσωντι . Ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπίπτουσαι , ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ , ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ , ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου περιφέρειαν ποτιπίπτουσαι , τῷ μὲν πλήθει μιᾷ ἐλάσσονες ταυτᾶν , τῷ δὲ μεγέθει ἀλλάλαις τε ἴσαι καὶ τᾷ μεγίστᾳ , καὶ ἀναγεγράφαται ὁμοῖοι τομέες ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν , ἀπὸ δὲ τᾶς ἐλαχίστας οὐκ ἀναγράφεται οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΕ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου · δέδεικται γὰρ τοῦτο . Ἐντί δὲ τοῖς μὲν τομέεσσι τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις καὶ τᾷ μεγίστᾳ ἴσος ὁ ΑΖΗΙ κύκλος , τοῖς δὲ τομέεσσι τοῖς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἴσον τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα · ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ κύκλος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΘ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου . Ὃν δὲ ἔχει λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ , ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου , τοῦτον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸν ( ?? ) κύκλον · ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν κύκλον · ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ( ?? ) κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος . Οὐκ ἔστι δέ , ἀλλὰ μείζων · οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ( ?? ) κύκλος τοῦ χωρίου τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△Ε ἕλικος καὶ τᾶς ΑΖ εὐθείας . Οὐδὲ τοίνυν ἐλάσσων . Ἔστω γάρ , εἰ δυνατόν , ἐλάσσων . Πάλιν οὖν δυνατόν ἐστιν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας ἐγγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ ὁμοίων τομέων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△Ε ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐλάσσονι , ἢ ᾧ ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χωρίον τοῦ ( ?? ) κύκλου . Ἐγγεγράφθω οὖν , καὶ ἔστω τῶν τομέων , ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα , μέγιστος μὲν ὁ ΘΚΡ τομεύς , ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΕΟ δῆλον οὖν ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζόν ἐστι τοῦ ( ?? ) κύκλου . Ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ποιοῦσαι ἴσας γωνίας ποτὶ τῷ Θ , ἔστʼ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι . Πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπίπτουσαι , ἇν μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ , ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ , ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ποτιπίπτουσαι τῷ μὲν πλήθει μιᾷ ἐλάσσους ταυτᾶν , τῷ δὲ μεγέθει ἴσαι ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ , καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ὁμοῖοι τομέες καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΕ καὶ τὸ τρίτον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου . Ἔστιν δὲ τοῖς μὲν τομέεσσιν τοῖς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ἴσον τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ χωρίῳ , τοῖς δὲ ἑτέροις ὁ κύκλος μείζονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ , ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου , τουτέστιν ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸν ( ?? ) κύκλον , Μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ( ?? ) κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ὅπερ ἀδύνατον ἦν γὰρ ἐλάσσων . Οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ ( ?? ) κύκλος τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ△Ε ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας · ὥστε ἴσος . ΠΟΡΙΣΜΑ Διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχθήσεται καὶ διότι τὸ περιλαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν ταῖς περιφοραῖς λεγομένας ποτὶ τὸν κύκλον τὸν κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν λεγόμενον ταῖς περιφοραῖς λόγον ἔχει , ὃν συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα τᾶν περιφορᾶν λεγομένου καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τῶν εἰρημένων τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τῶν εἰρημένων , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τῶν εἰρημένων .
Lemmas: ὁ περιλάπτω χωρίον ὑπό τε ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω καί ὁ εὐθεῖα ὁ δεύτερος ὁ ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά πρός ὁ δεύτερος κύκλος οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ζʹ πρός ὁ ιβʹ , ὅς εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὅς ἔχω ὁ συναμφότεροι ὁ τε περιέχω ὑπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ δεύτερος κύκλος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ πρῶτος κύκλος καί ὁ τρίτος μέρος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ δεύτερος κύκλος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ πρῶτος κύκλος πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ δεύτερος κύκλος . εἰμί ἕλιξ , ἐπί ὅς ὁ ΑΒΓ△Ε , ἐν ὁ δεύτερος περιφορά γράφω , εἰμί δέ ὁ μέν Θ σαμεῖον ἀρχή ὁ ἕλιξ , ὁ δέ ΘΕ εὐθύς ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά ὁ πρότερος , ὁ δέ ΑΕ ἐν ὁ ἀρχή ὁ περιφορά ὁ δεύτερος , ὁ δέ κύκλος ὁ ΑΖΗΙ ὁ δεύτερος εἰμί , καί ὁ ΑΗ , ΙΖ διάμετρος ποτέ ὀρθός ἀλλήλων . δείκνυμι ὅτι ὁ περιέχω χωρίον ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△Ε ἕλιξ καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα πρός ὁ ΑΖΗΙ κύκλος λόγος ἔχω , ὅς ὁ ζʹ πρός ιβʹ . εἰμί δή τις κύκλος ὁ ( ?? ) ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ( ?? ) κύκλος δύναμις ἴσος ὁ τε ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΕ περιέχω καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΑΕ τετράγωνος · ἔχω δή ὁ ( ?? ) κύκλος πρός ὁ ΑΗΖΙ ὡς ζʹ πρός ιβʹ , διότι καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον αὐτός πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΖΗΙ κύκλος οὗτος ἔχω δύναμις ὁ λόγος . δείκνυμι οὖν ἴσος ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ περιέχω χωρίον ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△Ε ἕλιξ καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα . εἰ γάρ μή , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί δή πρότερος , εἰ δυνατός , μέγας . δυνατός δή εἰμί περί ὁ χωρίον περιγράφω σχῆμα ἐπίπεδος ἐκ ὅμοιος τομεύς σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ χωρίον ἐλαχύς ἤ ὅς ὑπερέχω ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ χωρίον . περιγράφω , καί εἰμί , ἐκ ὅς σύγκειμαι ὁ περιγράφω σχῆμα , μέγας μέν ὁ ΘΑΚ τομεύς , ἐλαχύς δέ ὁ ΟΘ · δῆλος οὖν ὅτι ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ κύκλος . ἐκβάλλω ὁ εὐθεῖα ὁ ποιέω πρός ὁ Θ ἴσος γωνία , ἔστε ἄν πρός ὁ ὁ δεύτερος κύκλος περιφέρεια πίπτω . εἰμί δή τις γραμμή ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ Θ πρός ὁ ἕλιξ προσπίπτω , ὅς εἰμί μέγας μέν ὁ ΘΑ , ἐλαχύς δέ ὁ ΘΕ , εἰμί δέ καί ἄλλος γραμμή ὁ ἀπό ὁ Θ πρός ὁ ὁ ΑΖΗΙ κύκλος περιφέρεια προσπίπτω , ὁ μέν πλῆθος εἷς ἐλαχύς τατᾶ , ὁ δέ μέγεθος ἀλλήλων τε ἴσος καί ὁ μέγας , καί ἀναγράφω ὅμοιος τομεύς ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας καί ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , ἀπό δέ ὁ ἐλαχύς οὐ ἀναγράφω ὁ ἄρα τομεύς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας πρός ὁ τομεύς ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ μέγας ὁ ΘΑ πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΕ περιέχω καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΕΑ τετράγωνος · δείκνυμι γάρ οὗτος . εἰμί δέ ὁ μέν τόμος ὁ ἀπό ὁ ἴσος ἀλλήλων καί ὁ μέγας ἴσος ὁ ΑΖΗΙ κύκλος , ὁ δέ τόμος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ ἐλαχύς ἴσος ὁ περιγράφω σχῆμα · ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ κύκλος πρός ὁ περιγράφω σχῆμα ἤ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΘ πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΕ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΑΕ τετράγωνος . ὅς δέ ἔχω λόγος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΘΑ πρός ὁ ὑπό ὁ ΘΑ , ΘΕ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΑΕ τετράγωνος , οὗτος ἔχω ὁ ΑΖΗΙ κύκλος πρός ὁ ( ?? ) κύκλος · ἐλαχύς οὖν λόγος ἔχω ὁ ΑΖΗΙ κύκλος πρός ὁ περιγράφω σχῆμα ἤ πρός ὁ κύκλος · ὥστε ἐλαχύς εἰμί ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ περιγράφω σχῆμα . οὐ εἰμί δέ , ἀλλά μέγας · οὐ ἄρα μέγας εἰμί ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△Ε ἕλιξ καί ὁ ΑΖ εὐθεῖα . οὐδέ τοίνυν ἐλαχύς . εἰμί γάρ , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . πάλιν οὖν δυνατός εἰμί εἰς ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ἕλιξ καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα ἐγγράφω σχῆμα ἐπίπεδος ὑπό ὅμοιος τομεύς σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιέχω χωρίον ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△Ε ἕλιξ καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐλαχύς , ἤ ὅς ὑπερέχω ὁ αὐτός χωρίον ὁ ( ?? ) κύκλος . ἐγγράφω οὖν , καί εἰμί ὁ τομεύς , ἐκ ὅς σύγκειμαι ὁ ἐγγράφω σχῆμα , μέγας μέν ὁ ΘΚΡ τομεύς , ἐλαχύς δέ ὁ ΘΕΟ δῆλος οὖν ὅτι ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ ( ?? ) κύκλος . ἐκβάλλω ὁ ποιέω ἴσος γωνία πρός ὁ Θ , ἔστε ἄν πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πίπτω . πάλιν οὖν εἰμί τις γραμμή ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὁ ἀπό ὁ Θ πρός ὁ ἕλιξ προσπίπτω , ὅς μέγας μέν ὁ ΘΑ , ἐλαχύς δέ ὁ ΘΕ , εἰμί δέ καί ἄλλος γραμμή ὁ ἀπό ὁ Θ πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια προσπίπτω ὁ μέν πλῆθος εἷς ἐλαχύς τατᾶ , ὁ δέ μέγεθος ἴσος ἀλλήλων τε καί ὁ μέγας , καί ἀναγράφω ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ὅμοιος τομεύς καί ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας ὁ ἄρα τομεύς ὁ ἀπό ὁ ἴσος ὁ μέγας πρός ὁ τομεύς ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΘΑ πρός ὁ συναμφότεροι ὁ τε περιέχω ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΕ καί ὁ τρίτος ὁ ἀπό ὁ ΕΑ τετράγωνος . εἰμί δέ ὁ μέν τόμος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας ἴσος ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ χωρίον , ὁ δέ ἕτερος ὁ κύκλος μέγας οὖν λόγος ἔχω ὁ ΑΖΗΙ κύκλος πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἤ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΘΑ πρός ὁ ὑπό ὁ ΘΑ , ΘΕ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ἀπό ὁ ΑΕ τετράγωνος , τουτέστι ὁ ΑΖΗΙ κύκλος πρός ὁ ( ?? ) κύκλος , Μείζων ἄρα εἰμί ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὅς ἀδύνατος εἰμί γάρ ἐλαχύς . οὐ ἄρα εἰμί οὐδέ ἐλαχύς ὁ ( ?? ) κύκλος ὁ περιέχω χωρίον ὑπό τε ὁ ΑΒΓ△Ε ἕλιξ καί ὁ ΑΕ εὐθεῖα · ὥστε ἴσος . πόρισμα διά δέ ὁ αὐτός τρόπος δείκνυμι καί διότι ὁ περιλάπτω χωρίον ὑπό τε ὁ ἕλιξ ὁ ἐν ὁσποιᾳοῦν περιφορά γράφω καί ὁ εὐθεῖα ὁ κατά ὁ αὐτός ἀριθμός ὁ περιφορά λέγω πρός ὁ κύκλος ὁ κατά ὁ αὐτός ἀριθμός λέγω ὁ περιφορά λόγος ἔχω , ὅς συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κατά ὁ αὐτός ἀριθμός κύκλος καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κατά ὁ εἷς ἐλαχύς ὁ περιφορά λέγω καί ὁ τρίτος μέρος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μέγας κύκλος ὁ λέγω ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ἐλαχύς κύκλος ὁ λέγω , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ μέγας κύκλος ὁ λέγω .