archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.4
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ὁπόταν κουφότερον ᾗ τοῦ ὑγροῦ καὶ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ὅταν τῷ βάρει ποτὶ τὸ ἴσογκον ὑγρὸν μὴ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς , μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος , ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμένον , ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται εἰς ὀρθόν . Ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος , οἷον εἴρηται , καὶ ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρόν , εἰ δυνατόν , ἔστω μὴ ὀρθόν , ἀλλὰ κεκλιμένον , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τοῦ μὲν τμάματος τομὰ sit rectanguli coni sectio quae APOL , axis autem portionis et diameter quae NO , superficiei autem humidi sectio sit IS . Si igitur portio non est recta , non faciet quae NO ad IS angulos aequa es . Ducatur autem quae ΚΩ contingens sectionem rectanguli coni penes P , aequedistans autem ipsi IS , a P autem aequedistanter ipsi ON ducatur quae PF , et accipiantur centra grauitatum , et erit solidi quidem APOL centrum R , eius autem , quod intra humidum , centrum B , et copuletur quae BR et educatur ad G , et sit solidi , quod supra humidum , centrum grauitatis G . Et quoniam quae NO ipsius quidem RO est emiol ia , eius autem , quae usque ad axem , est maior quam emiolia , palam quod quae RO est maior quam quae usque ad axem . Sit igitur quae RM aequalis ei , quae usque ad axem , quae autem OM dupla ipsius HM . Quoniam igitur fit quae quidem NO ipsius RO emiolia , quae autem ΗO ipsius OM , et reliqua quae NΗ reliquae , scilicet RM , emiolia est ; ipsi ΗO igitur maior quam emiolius est axis eius , quae usque ad axem , scilicet RM . Et quoniam supponebatur portio ad humidum in grauitate non minorem proportionem habens illa , quam habet tetragonum , quod ab excessu , quo axis est maior quam emiolius eius , quae usque ad axem , ad tetragonum quod ab axe , palam quod non minorem proportionem habet portio ad humidum in grauitate illa proportione , quam habet tetragonum quod ab HO ad id quod ab NO , quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate , hanc habet demersa ipsius portio ad totam solidam portionem ; demonstratum est enim hoc ; sed quam habet proportionem demersa portio ad totam , hanc habet tetragonum quod a ΡF ad tetragonum quod ab NO ; demonstratum est enim in his , quae de conoidalibus , quod , si a rectangul o conoidali duae portiones qualitercumque productis planis abscindantur , portiones adinuicem eandem habebunt proportionem quam tetragona quae ab axibus ipsorum . Non minorem ergo proportionem habet tetragonum quod a PF ad tetragonum quod ab NO quam tetragonum quod ab HO ad tetragonum quod ab NO ; quare quae PF non est minor quam HO , neque quae BP quam MO ; si igitur ab M ipsi NO recta ducatur , cadet inter B et P . Quoniam igitur quae quidem ΡF est aequidistanter diametro , quae autem MT est perpendicularis ad diametrum , et quae RM aequalis ei quae usque ad axem , ab R ad Τ copulata et educta faciet angulos rectos ad contingentem secundum P ; quare et ad ΙS et ad eam quae per IS superficiem humidi faciet aequales angulos . Si autem per B , G ipsi RT aequedistantes ducantur , anguli recti erunt facti ad superficiem humidi , et quod quidem in humido absumitur solidum conoidalis , sursum feretur secundum eam quae per B aequedistantem ipsi RT , quod autem extra humidum absumptum deorsum feretur in humidum secundum productam per G aequedistantem ipsi RT , et per totum idem erit , donec utique conoidale rectum restituatur .
Lemmas: ὁ ὀρθός τμᾶμα ὁ ὀρθογώνιος κωνοειδής , ὁπόταν κοῦφος ὅς ὁ ὑγρός καί ὁ ἄγω ἔχω μείζων ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , ὅταν ὁ βάρος πρός ὁ ἴσογκος ὑγρός μή μικρός λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή , μείζων εἰμί ὁ ἄγω ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἄγω , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , τίθημι κλίνω οὖον μένω κλίνω , ἀλλά ἀποκαθίστημι εἰς ὀρθός . ἔστω τμᾶμα ὀρθογώνιος κωνοειδής , οἷος εἴρω , καί ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός , εἰμί δυνατός , ἵστημι μή ὀρθός , ἀλλά κλίνω , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος διά ὁ ἄγω ὀρθός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός ὁ μέν τμῆμα τομή sit rectanguli coni sectio quae APOL , axis autem portionis et diameter quae NO , superficiei autem humidi sectio sit IS . Si igitur portio non est recta , non faciet quae NO ad IS angulos aequa es . Ducatur autem quae ΚΩ contingens sectionem rectanguli coni penes P , aequedistans autem ipsi IS , a P autem aequedistanter ipsi ON ducatur quae PF , et accipiantur centra grauitatum , et erit solidi quidem APOL centrum R , eius autem , quod intra humidum , centrum B , et copuletur quae BR et educatur ad G , et sit solidi , quod supra humidum , centrum grauitatis G . Et quoniam quae NO ipsius quidem RO est emiol ia , eius autem , quae usque ad axem , est maior quam emiolia , palam quod quae RO est maior quam quae usque ad axem . Sit igitur quae RM aequalis ei , quae usque ad axem , quae autem OM dupla ipsius HM . Quoniam igitur fit quae quidem NO ipsius RO emiolia , quae autem ΗO ipsius OM , et reliqua quae NΗ reliquae , scilicet RM , emiolia est ; ipsi ΗO igitur maior quam emiolius est axis eius , quae usque ad axem , scilicet RM . Et quoniam supponebatur portio ad humidum in grauitate non minorem proportionem habens illa , quam habet tetragonum , quod ab excessu , quo axis est maior quam emiolius eius , quae usque ad axem , ad tetragonum quod ab axe , palam quod non minorem proportionem habet portio ad humidum in grauitate illa proportione , quam habet tetragonum quod ab HO ad id quod ab NO , quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate , hanc habet demersa ipsius portio ad totam solidam portionem ; demonstratum est enim hoc ; sed quam habet proportionem demersa portio ad totam , hanc habet tetragonum quod a ΡF ad tetragonum quod ab NO ; demonstratum est enim in his , quae de conoidalibus , quod , si a rectangul o conoidali duae portiones qualitercumque productis planis abscindantur , portiones adinuicem eandem habebunt proportionem quam tetragona quae ab axibus ipsorum . Non minorem ergo proportionem habet tetragonum quod a PF ad tetragonum quod ab NO quam tetragonum quod ab HO ad tetragonum quod ab NO ; quare quae PF non est minor quam HO , neque quae BP quam MO ; si igitur ab M ipsi NO recta ducatur , cadet inter B et P . Quoniam igitur quae quidem ΡF est aequidistanter diametro , quae autem MT est perpendicularis ad diametrum , et quae RM aequalis ei quae usque ad axem , ab R ad Τ copulata et educta faciet angulos rectos ad contingentem secundum P ; quare et ad ΙS et ad eam quae per IS superficiem humidi faciet aequales angulos . Si autem per B , G ipsi RT aequedistantes ducantur , anguli recti erunt facti ad superficiem humidi , et quod quidem in humido absumitur solidum conoidalis , sursum feretur secundum eam quae per B aequedistantem ipsi RT , quod autem extra humidum absumptum deorsum feretur in humidum secundum productam per G aequedistantem ipsi RT , et per totum idem erit , donec utique conoidale rectum restituatur .