archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.6
Recta portio rectanguli conoidalis , quando humido leuior existens axem habuerit maiorem quidem quam hemiolium , minorem autem quam ut hanc habeat proportionem ad eam quae usque ad axem , quam habent quindecim ad quattuor , dimissa in humidum ita , ut basis ipsius contingat humidum , numquam stabit inclinata ita , ut basis ipsius secundum unum signum contingat humidum . Sit portio , qualis dicta est , et dimissa in humidum consistat , sicut ostensum est , ita ut basis ipsius secundum unum signum contingat humidum , secta autem ipsa per axem plano recto ad superficiem humidi sectio superficiei portionis sit quae AΡOL rectanguli coni sectio , superficiei autem humidi quae AS , axis autem portionis et diameter sectionals sit quae NO , et secetur secundum F quidem ita , ut quae OF sit dupla ipsius FN , secundum Ω autem ita , ut quae NO ad FΩ habeat proportionem , quam quindecim ad quattuor , et ipsi NO adducatur quae ΩΚ . Quae autem NO maiorem proportionem habet ad FΩ quam ad eam quae usque ad axem . Sit quae FB aequalis ei quae usque ad axem , et ducatur quae quidem ΡC aequedistanter ipsi AS contingens sectionem APOL secundum P , quae autem Pl aequedistanter ipsi NO ; secet autem quae Pl prius ipsam ΚΩ . Quoniam igitur in portione AΡOL contenta a recta et a sectione rectanguli coni quae quidem ΚΗ aequedistanter ipsi AL , quae autem Pl aequedistanter diametro secta ipsa ΚΩ , quae autem AS aequedistanter contingenti secundum P , necessarium est ipsam Pl aut eandem proportionem habere ad ΡΗ , quam habet quae NΩ ad ΩΟ , aut maiorem proportionem ; demonstratum est enim hoc per sumpta . Quae autem ΩN est emiolia psius ΩΟ ; et quae ΙΡ ergo aut emiolia est ipsius ΗΡ aut maior quam emiolia ; quae ergo PH ipsius HI aut dupla est aut minor quam dupla . Sit autem quae PT ipsius TI dup a ; centrum ergo grauitatis eius quod in humido est signum T . Et copulata quae TF educatur , et sit centrum grauitatis eius quod extra humidum G , et a B ipsi NO recta quae BR . Quoniam igitur est quae quidem Pl aequedistanter diametro NO , quae autem BR perpendicularis super diametrum , quae autem FB aequalis ei quae usque ad axem , palam quod quae FR educta aequales facit angulos ad contingentem sectionem APOL secundum P ; quare et ad AS et ad superficiem aquae . Ductis autem per T , G aequedstanter ipsi FR erunt et ipsae perpendiculares ad superficiem aquae , et magnitudo quidem intra humidum absumpta ex solido APOL sursum feretur secundum eam quae per T perpendicularem , quae autem extra humidum deorsum feretur in humidum secundum eam quae per G perpendicularem . Reuoluetur ergo solidum APOL , et basis ipsius non tanget superficiem humidi secundum unum signum . Si autem quae PI non secuerit lineam ΚΩ , sicut in secunda figura descriptum est , manifestum quod signum T , quod est centrum grauitatis demersae portionis , cadet inter P et l , et reliqua similiter demonstrabuntur .
Lemmas: Recta portio rectanguli conoidalis , quando humido leuior existens axem habuerit maiorem quidem quam hemiolium , minorem autem quam ut hanc habeat proportionem ad eam quae usque ad axem , quam habent quindecim ad quattuor , dimissa in humidum ita , ut basis ipsius contingat humidum , numquam stabit inclinata ita , ut basis ipsius secundum unum signum contingat humidum . Sit portio , qualis dicta est , et dimissa in humidum consistat , sicut ostensum est , ita ut basis ipsius secundum unum signum contingat humidum , secta autem ipsa per axem plano recto ad superficiem humidi sectio superficiei portionis sit quae AΡOL rectanguli coni sectio , superficiei autem humidi quae AS , axis autem portionis et diameter sectionals sit quae NO , et secetur secundum F quidem ita , ut quae OF sit dupla ipsius FN , secundum Ω autem ita , ut quae NO ad Ω habeat proportionem , quam quindecim ad quattuor , et ipsi NO adducatur quae ΩΚ . Quae autem NO maiorem proportionem habet ad Ω quam ad eam quae usque ad axem . Sit quae FB aequalis ei quae usque ad axem , et ducatur quae quidem ΡC aequedistanter ipsi AS contingens sectionem APOL secundum P , quae autem Pl aequedistanter ipsi NO ; secet autem quae Pl prius ipsam ΚΩ . Quoniam igitur in portione AΡOL contenta a recta et a sectione rectanguli coni quae quidem ΚΗ aequedistanter ipsi AL , quae autem Pl aequedistanter diametro secta ipsa ΚΩ , quae autem AS aequedistanter contingenti secundum P , necessarium est ipsam Pl aut eandem proportionem habere ad ΡΗ , quam habet quae ΩΩ ad ΩΟ , aut maiorem proportionem ; demonstratum est enim hoc per sumpta . Quae autem ΩΩ est emiolia psius ΩΟ ; et quae ΙΡ ergo aut emiolia est ipsius ΗΡ aut maior quam emiolia ; quae ergo PH ipsius HI aut dupla est aut minor quam dupla . Sit autem quae PT ipsius TI dup a ; centrum ergo grauitatis eius quod in humido est signum T . Et copulata quae TF educatur , et sit centrum grauitatis eius quod extra humidum G , et a B ipsi NO recta quae BR . Quoniam igitur est quae quidem Pl aequedistanter diametro NO , quae autem BR perpendicularis super diametrum , quae autem FB aequalis ei quae usque ad axem , palam quod quae FR educta aequales facit angulos ad contingentem sectionem APOL secundum P ; quare et ad AS et ad superficiem aquae . Ductis autem per T , G aequedstanter ipsi FR erunt et ipsae perpendiculares ad superficiem aquae , et magnitudo quidem intra humidum absumpta ex solido APOL sursum feretur secundum eam quae per T perpendicularem , quae autem extra humidum deorsum feretur in humidum secundum eam quae per G perpendicularem . Reuoluetur ergo solidum APOL , et basis ipsius non tanget superficiem humidi secundum unum signum . Si autem quae PI non secuerit lineam ΚΩ , sicut in secunda figura descriptum est , manifestum quod signum T , quod est centrum grauitatis demersae portionis , cadet inter P et l , et reliqua similiter demonstrabuntur .