archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.5
Recta portio rectanguli conoidalis , quando leuior existens humido habuerit axem maiorem quam emiolium eius quae usque ad axem , si ad humidum in grauitate non maiorem proportionem habeat illa , quam habet excessus , quo maius est tetragonum quod ab axe tetragono quod ab excessu , quo axis est maior quam emiolius eius quae usque ad axem , ad tetragonum quod ab axe , dimissa in humidum ita , ut basis ipsius tota sit in humido , posita inclinata non manet inclinata , sed restituetur ita , ut axis ipsius secundum perpendicularem sit . Dimittatur enim in humidum aliqua portio , qualis dicta est , et sit basis ipsius tota in humido , secta autem ipsa plano per axem recto ad superficiem humidi erit sectio rectanguli coni sectio , et sit quae APOL , axis autem portionis et diameter sectionis quae NO , superficiei autem humidi sectio quae IS . Et quoniam non est axis secundum perpendicularem , non faciet quae NO ad IS angulos aequales . Ducatur autem quae ΚΩ contingens sectionem APOL secundum P aequedistans ipsi IS et per P ipsi NO aequedistans quae ΡF , et accipiantur centra grauitatum , et sit ipsius quidem AΡOL centrum R , eius autem quod extra humidum B , et copulata quae BR educatur ad G , et st G centrum grauitatis solidi absumpti in humido , et accipiatur quae RM aequalis ei quae usque ad axem , quae autem OM dupla ipsius HM , et alia fiant consimiliter superiori . Quoniam igitur supponitur portio ad humidum in grauitate non maiorem proportionem habens proportione , quam habet excessus , quo maius est tetragonum quod ab NO tetragono quod ab HO , ad tetragonum quod ab NO , sed quam proportionem habet in grauitate portio ad humidum aequalis molis , hanc proportionem habet demersa ipsius portio ad totum solidum ( demonstratum est enim hoc in primo theoremate ] , non maiorem ergo proportionem habet demersa magnitudo portionis ad totam portionem , quam sit dicta proportio ; quare non maiorem proportionem habet tota portio ad eam quae extra humidum portionem , quam habet tetragonum quod ab NO ad tetragonum quod ab HO . Habet autem tota portio ad portionem quae extra humidum eandem proportionem , quam habet tetragonum quod ab NO ad id quod a PF ; non maiorem ergo proportionem habet quod ab NO ad id quod a PF , quam quod ab NO ad id quod ab HO . Non minor ergo fit quae PF quam quae OH ; quare nec quae PB quam MO . Quae ergo ab M producitur ipsi RO ad rectos angulos , concidet ipsi BP inter P et B ; concidat secundum Τ . Et quoniam in rectanguli coni sectione quae PF est aequedistanter dametro RO , quae autem MT perpendicularis super diametrum , quae autem RM aequalis ei quae usque ad axem , palam quod quae RT educta facit angulos rectos ad ΚΡΩ ; quare et ad IS . Quae ergo RT est perpendicularis ad superficiem humidi , et per signa B , G aequedistanter ipsi RT productae erunt perpendiculares ad superficiem humidi ; quae quidem igitur extra humidum portio deorsum feretur in humidum secundum productam per B perpendicularem , quae autem intra humidum sursum feretur secundum perpendicularem quae per G , et non manet solida portio APOL , sed intra humidum erit motum , donec utique quae NO fiat secundum perpendicularem .
Lemmas: Recta portio rectanguli conoidalis , quando leuior existens humido habuerit axem maiorem quam emiolium eius quae usque ad axem , si ad humidum in grauitate non maiorem proportionem habeat illa , quam habet excessus , quo maius est tetragonum quod ab axe tetragono quod ab excessu , quo axis est maior quam emiolius eius quae usque ad axem , ad tetragonum quod ab axe , dimissa in humidum ita , ut basis ipsius tota sit in humido , posita inclinata non manet inclinata , sed restituetur ita , ut axis ipsius secundum perpendicularem sit . Dimittatur enim in humidum aliqua portio , qualis dicta est , et sit basis ipsius tota in humido , secta autem ipsa plano per axem recto ad superficiem humidi erit sectio rectanguli coni sectio , et sit quae APOL , axis autem portionis et diameter sectionis quae NO , superficiei autem humidi sectio quae IS . Et quoniam non est axis secundum perpendicularem , non faciet quae NO ad IS angulos aequales . Ducatur autem quae ΚΩ contingens sectionem APOL secundum P aequedistans ipsi IS et per P ipsi NO aequedistans quae ΡF , et accipiantur centra grauitatum , et sit ipsius quidem AΡOL centrum R , eius autem quod extra humidum B , et copulata quae BR educatur ad G , et st G centrum grauitatis solidi absumpti in humido , et accipiatur quae RM aequalis ei quae usque ad axem , quae autem OM dupla ipsius HM , et alia fiant consimiliter superiori . Quoniam igitur supponitur portio ad humidum in grauitate non maiorem proportionem habens proportione , quam habet excessus , quo maius est tetragonum quod ab NO tetragono quod ab HO , ad tetragonum quod ab NO , sed quam proportionem habet in grauitate portio ad humidum aequalis molis , hanc proportionem habet demersa ipsius portio ad totum solidum ( demonstratum est enim hoc in primo theoremate ] , non maiorem ergo proportionem habet demersa magnitudo portionis ad totam portionem , quam sit dicta proportio ; quare non maiorem proportionem habet tota portio ad eam quae extra humidum portionem , quam habet tetragonum quod ab NO ad tetragonum quod ab HO . Habet autem tota portio ad portionem quae extra humidum eandem proportionem , quam habet tetragonum quod ab NO ad id quod a PF ; non maiorem ergo proportionem habet quod ab NO ad id quod a PF , quam quod ab NO ad id quod ab HO . Non minor ergo fit quae PF quam quae OH ; quare nec quae PB quam MO . Quae ergo ab M producitur ipsi RO ad rectos angulos , concidet ipsi BP inter P et B ; concidat secundum Τ . Et quoniam in rectanguli coni sectione quae PF est aequedistanter dametro RO , quae autem MT perpendicularis super diametrum , quae autem RM aequalis ei quae usque ad axem , palam quod quae RT educta facit angulos rectos ad Κρῶ ; quare et ad IS . Quae ergo RT est perpendicularis ad superficiem humidi , et per signa B , G aequedistanter ipsi RT productae erunt perpendiculares ad superficiem humidi ; quae quidem igitur extra humidum portio deorsum feretur in humidum secundum productam per B perpendicularem , quae autem intra humidum sursum feretur secundum perpendicularem quae per G , et non manet solida portio APOL , sed intra humidum erit motum , donec utique quae NO fiat secundum perpendicularem .