archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.10
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ὅταν κουφότερον ὄν τοῦ ὑγροῦ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος ὃν ἔχει τὰ ιε ποτὶ τὰ δ , ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , ὁτὲ μὲν ὀρθὸν καταστασεῖται , ὁτὲ δὲ κεκλιμένον , καὶ ποτὲ μὲν οὕτω κεκλιμένον , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθʼ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , καὶ τοῦτο ἐν δισσοῖς κλιμάτεσσι ποιήσει , ποτὲ δὲ οὕτως κεκλιμένον καταστασεῖται , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον βρέχεσθαι , ποτὲ δὲ οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ὃν δὲ λόγον ἔχοντος τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἕκαστα αὐτῶν ἐσσεῖται , νῦν δηλωθήσεται . Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται , καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά , ἄξων δὲ ἔστω καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ Β△ , τετμάσθω δὲ ἁ Β△ κατὰ τὸ Κ , ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΒΚ τᾶς Κ△ , κατὰ δὲ τὸ Τ , ὥστε τὰν △Β ποτὶ τὰν ΚΤ λόγον ἔχειν ὡς τὰ ιε ποτὶ δ δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΚΤ μείζων ἐστὶ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος . Ἔστω οὖν ἁ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος , τᾶς δὲ ΒΡ ἡμίσεια ἔστω ἁ ΡΣ ἔστι δὴ καὶ ἁ ΣΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ . Ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΑΒ καὶ τᾶς ΤΕ ὀρθᾶς ἀχθείσας ἀχθῶ ἁ ΕΖ παρὰ τὰν Β△ , καὶ πάλιν τᾶς ΑΒ δίχα τμαθείσας κατὰ τὸ Θ ἄχθω παρὰ τὰν Β△ ἁ ΘΗ , καὶ λελάφθω ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΕΙ περὶ διάμετρον τὰν ΕΖ καὶ ἁ ΑΘ△ περὶ διάμετρον τὰν ΘΗ , ὥστε ὅμοια εἶμεν τὰ ΑΕΙ , ΑΘ△ τμάματα τῷ ΑΒΛ τμάματι · γραφήσεται δὴ ἁ ΑΕΙ κώνου τομὰ διὰ τοῦ Κ , ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ ὀρθὰ ἀχθεῖσα τᾷ Β△ τεμεῖ τὰν ΑΕΙ . Τεμνέτω κατὰ τὰ Υ , Γ , καὶ διὰ τῶν Υ , Γ ἄχθωσαν παρὰ τὰν Β△ αἱ ΥΧ , ΓΝ , τεμνέτωσαν δὲ αὗται τὰν ΑΘ△ τομὰν κατὰ τὰ Ξ , Φ , ἄχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΠΨ , Ο ( ?? ) ἐφαπτόμεναι τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς κατὰ τὰ Ο , Π , Δεδομένα δὴ τρία τινὰ τμάματα τὰ ΑΠΟΛ , ΑΕΙ , ΑΘ△ περιεχόμενα ὑπὸ τᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶν ὀρθογωνίων κώνων τομᾶν ὀρθὰ καὶ ὅμοια , ἄνισα δέ , καὶ ἀπολέλαπται ἀφʼ ἑκάστας βάσιος , ἀπὸ δὲ τοῦ Ν ἀναγμέναι αἱ ΝΞ , ΝΓ , ΝΟ ἁ ΟΓ ἄρα ποτὶ τὰν ΓΞ τὸν συγκείμενον λόγον ἕξει ἔκ τε τοῦ , ὃν ἔχει ἁ ΙΛ ποτὶ ΛΑ , καὶ ὃν ἔχει ἁ Α△ ποτὶ △Ι . Ἔχει δὲ καὶ ἁ ΛΙ ποτὶ ΛΑ ὃν δύο ποτὶ ε ἅ τε γὰρ ΤΒ ποτὶ Β△ ἐστὶν ὡς δύο ποτὶ ε , καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΑ καὶ ἁ △Ζ ποτὶ △Α , τούτων δὲ διπλάσιαι αἱ Λl , ΛΑ · ἁ δὲ Α△ ποτὶ △Ι ἔχει ὅσον πέντε πρὸς ᾱ , ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὰ ε καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ πέντε ποτὶ τὸ ἓν ὁ αὐτός ἐστι τῷ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὸ ᾱ διπλασία ἄρα ἐστὶν ἁ ΟΓ τᾶς ΓΞ . Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΠΥ τᾶς ΥΦ . Ἐπεὶ δέ ἐστιν ἁ △Σ ἡμιολία τᾶς ΚΡ , δῆλον ὅτι ἁ ΒΣ ἁ ὑπεροχά ἐστιν , ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος . Εἰ μὲν οὖν τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΣ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἢ μείζονα τούτου τοῦ λόγου , ἀφεθὲν τὸ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , ὀρθὸν καταστασεῖται · δέδεικται γὰρ πρότερον ὅτι τμᾶμα μείζονα ἔχον τὸν ἄξονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ἐὰν τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μὴ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος , ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως ὡς εἴρηται , ὀρθὸν καταστασεῖται . Ἐπὴν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα μὲν λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΣΒ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΞ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ γωνίαν ποιεῖν ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ μείζονα τᾶς ( ?? ) . Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχῃ τὸν λόγον , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι καθʼ ἓν τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἴσαν τᾷ ( ?? ) . Ἔὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα μὲν λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ . Εἰ δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθʼ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποιεῖν γωνίαν ἴσαν τᾷ Ψ . Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὸν μὲν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Ψ , τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας . Δειχθήσεται δὲ ταῦτα ἑξῆς . Ἐχέτω δὴ πρῶτον τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μείζονα μὲν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἐλάσσονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς τετράγωνον , μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τετράγωνον , καὶ ὑποκείσθω τὸ πρότερον κατεσκευασμένον σχῆμα , ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν , τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ ἔστι δὴ ἁ Ψ τᾶς μὲν ΞΟ μείζων , ἐλάσσων δὲ τᾶς ὑπεροχᾶς , ἇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος . Ἐναρμόσθω δέ τις μεταξὺ τῶν ΑΠΟΛ , ΑΞ△ κώνων τομᾶν , quae NO aequalis ipsi Ψ , et secet ipsa reliquam coni sectionem penes Ϡ , ipsam autem R ( ?? ) rectam penes B΄ ; demonstrabitur autem quae OϠ dupla ipsius ϠN , sicut demonstrata est quae Μ ( ?? ) ipsius ( ?? ) Χ dupla , ab O autem ducatur quae O ( ?? ) contingens sectionem APOL . quae autem OC perpendicularis super BD , et ab A ad N copuletur ; erunt autem quae AN , QN aequales inuicem . Quoniam enim in similibus portionibus AΡOL , AXD productae sunt a basibus ad portiones quae AN , AQ aequales angulos facientes ad bases , eandem proportionem habebunt quae QA , AN cum ipsis LA , AD propter secundam figuram praescriptarum ; aequalis ergo quae AN ipsi QΝ , et aequedistans ipsi O ( ?? ) . Demonstrandum , quod dimissa in humidum ita , ut basis ipsius non secundum unum tangat humidum , ita inclinata consistet , ut basis eius in nullo puncto superficiem humidi tangat , et axis ad superficiem humidi angulum acutum faciat maiorem angulo ( ?? ) . Dimittatur enim et consistat ita , ut basis ipsius tangat secundum unum signum superficiem humidi , secta autem portione per axem plano recto ad superficiem humidi superficiei quidem portionis sectio sit quae APOL rectanguli coni sectio , superficiei autem humidi quae OA , axis autem et diameter quae BD , et secetur quae BD penes K , R , ut dictum est . Ducatur autem et quae quidem PG aequedistanter ipsi AO recta contingens sectionem APOL . secundum P , quae autem ΡΤ aequedistanter ipsi BD , quae autem PS perpendicularis super BD , quoniam igitur portio ad humidum in grauitate proportionem habet quam tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD , quam autem proportionem habet portio ad humidum , hanc habet demersa ipsius portio ad totam , quam autem demersa ad totam , tetragonum quod a TP ad id quod a DB , erit quae Ψ ipsi TP aequalis . Et quae NO ergo ipsi TP aequalis est quare et portiones APQ , APO inuicem sunt aequales . Quoniam autem in portionibus aequalibus et similibus APOL , AMQL ab extremitatibus basium productae sunt quae OA , AQ , et portiones ablatae faciunt ad diametros angulos aequales propter tertiam figuram praescriptarum , quare anguli qui apud ( ?? ) , G sunt aequales , et quae ( ?? ) B , GB , ergo aequales sunt ; quare et quae SR , CR et quae ΡΖ , OB΄ et quae ΖΤ , B΄N . Quoniam minor est quam dupla quae OB΄ ipsius B΄Ν , palam quod quae PΖ ipsius ΖΤ est minor quam dupla . Sit igitur quae PΩ ipsius ΩΤ dupla , et copulata quae ΚΩ educatur ad E ; totius quidem igitur centrum grauitatis erit K , eius autem portionis quae intra humidum centrum Ω , eius autem quae extra in linea ΚΕ ; et sit E . Quae autem ΚΖ perpendicularis erit super superficiem humidi ; quare et quae per signa Ε , Ω aequidistanter ipsi ΚΖ . Non ergo manet portio , sed reclinabitur , ut basis ipsius nec secundum unum tangat superficiem humidi , quoniam nunc secundum unum tacta ipsa reclinatur ; manifestum igtur quod portio consistet ita , ut axis ad superficiem humidi faciat angulum maiorem angulo ( ?? ) . Ηabeat autem portio ad humidum in grauitate hanc proportionem , quam habet tetragonum quod ab XO ad id quod a BD , et dimittatur in humidum ita inclinata . Secta autem ipsa per axem plano recto ad superficiem humidi solidi quidem sectio sit quae APOL rectanguli coni sectio , superficiei autem humidi quae OI , axis autem portionis et diameter sectionis quae BD , et secetur quae BD ut prius , et ducatur quae quidem PN aequedistanter ipsi IO contingens sectionem secundum P , quae autem ΡΓ aequedistanter ipsi BD , quae autem PS perpendicularis super BD . Demonstrandum quod portio non manet inclinata sic , sed inclinatur , donec utique basis secundum unum signum tangat superficiem humidi . Praeiaceant autem et quae insuperiori figura prius disposita sunt , et quae CO perpendicularis ducatur super BD , et quae AX copulata educatur ad Q ; erit autem quae AX ipsi XQ aequalis ; et ducatur ipsi AQ quae O ( ?? ) aequedistans . Et quoniam supponitur portio ad humidum in grauitate hanc habere proportionem , quam habet tetragonum quod ab XO ad id quod a BD , habet autem hanc proportionem et demersa portio ad totam , hoc est quod a TP ad id quod a BD , aequa is utique erit quae PT ipsi XO . Et quoniam portionum IBO , ABQ diametri sunt aequales , et portiones . Rursum quoniam in portionibus aequali bus et similibus AΡOL , AOQL productae sunt AQ , IO aequales portiones auferentes , hoc quidem ab extremitate basis , hoc autem non ab extremitate , palam quod minorem facit acutum angulum ad diametrum totius portionis , quae ab extremitate basis producta est . Et quoniam angulus qui apud ( ?? ) est minor quam qui apud Ν , maior est quae BC quam BS , quae autem CR minor quam RS ; quare et quae O ( ?? ) minor quam ΡϠ , et ( ?? ) Χ maior est quam ϠΤ . Et quoniam quae O ( ?? ) dupla est ipsius ( ?? ) X , palam quod quae PϠ maior est quam dupla psius ϠT . Sit igitur quae PH dupla ipsius HT . Καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΗΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ω . Ἐσσεῖται δὴ τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Κ , τοῦ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Η , τοῦ δʼ ἐκτὸς ἐπὶ τᾶς ΚΩ · ἔστω τὸ Ω . Δειχθήσεται δὴ ὁμοίως ἅ τε ΚϠ κάθετος ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν καὶ αἱ διὰ τῶν Η , Ω σαμείων παρὰ τὰν ΚϠ . Δῆλον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα , ἀλλʼ ἐπικλιθήσεται , ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ ἅπτηται καθʼ ἓν σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , καθάπερ demonstrabitur in tertia figura , quomodo se habet in tertio theoremate , et manebit portio ita consistens . In portionibus enim aequalibus AΡOL , AOQL productae erunt ab extremitatibus basium quae AQ , AO aequales portiones auferentes demonstrabitur enim APQ aequalis ipsi AΡO similiter prioribus ; aequales igitur facient acutos angulos quae AO , AQ ad diametros portionum , quoniam aequales sunt qui apud Ν , ( ?? ) anguli . Et ϠT copulata autem ipsa ϠΚ et educta ad Ω erit totius quidem portionis centrum grauitatis Κ , eius autem quae intra humidum Ϡ , eius autem quae extra in linea ΚΩ ; et sit Ω . Et quae ΚϠ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν . Κατὰ τὰς αὐτὰς οὖν εὐθείας τό τε ἐν τῷ ὑγρῷ ἀνενεχθήσεται καὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατενεχθήσεται μενεῖ δὴ τὸ τμᾶμα , καὶ ἅ τε βάσις καθʼ ἓν σαμεῖον ἄψεται τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , καὶ ὁ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιήσει γωνίαν ἴσαν τᾷ προγεγραμμένᾳ . Ηabeat etiam rursum portio ad humidum in grauitate proportionem minorem ea , quam habet tetragonum quod ab NT ad id quod a BD , quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate , hanc habeat tetragonum quod a Ψ ad tetragonum quod a BD ; minor autem est quae Ψ quam TN . Rursum igitur inaptetur quaedam intermedia portionum AMD , APOL quae Pl aequedistanter ipsi BD producta aequalis ipsi Ψ , secet autem ipsa intermediam coni sectionem penes Y , ipsam autemΧR εὐθεῖαν κατὰ τὸ Η . Δειχθήσεται δὴ ἁ ΠΥ διπλασία τᾶς ΥΙ , καθάπερ ἐδείχθη καὶ ἁ ΓΟ τᾶς ΓΧ . Ἀχθω δὲ καὶ ἁ μὲν ΠΩ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ κατὰ τὸ Π , ἁ δὲ ΠΕ κάθετος ἐπὶ τὰν Β△ , καὶ ἁ ΙΑ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Χ ἐσσεῖται δὲ ἁ ΑΙ τᾷ ΙΧ ἴσα καὶ ἁ ΑΧ τᾷ ΠΩ παράλληλος . Δεικτέον δὴ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν καὶ κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , οὕτως καταστασεῖται κεκλιμένον , ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Φ , τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας . Ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρὸν καὶ καθεστακέτω οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθʼ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , τμαθέντος δὲ τοῦ τμάματος ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν διὰ τοῦ ἄξονος τομὰ ἔστω τᾶς μὲν τοῦ τμάματος ἐπιφανείας ἁ ΑΗΒΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά , τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ἁ ΑΖ , ἄξων δὲ καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ △Β , καὶ τετμάσθω ἁ Β△ κατὰ τὰ Κ , Ρ ὁμοίως superioribus , ducatur autem et quae ΗI aequedistanter ipsi AZ contingens sectionem coni penes H , quae autem HT aequedistanter ipsi BD , quae autem HS perpendicularis super BD . Quoniam igitur portio ad humidum in grauitate hanc habet proportionem , quam habet tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD , quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate , hanc habet tetragonum quod ab HT ad id quod a BD propter eadem prioribus , palam quod quae HT est aequalis ipsi Ψ ; quare et portiones AHZ , APQ sunt aequales . Et quoniam in portionibus aequalibus et similibus AΡOL , AHZL ab extremitatibus basium sunt productae quae AQ , AZ aequales portiones auferentes , palam quod aequales faci unt angulos ad diametros portionum . Adhuc autem et trigonorum ΗIS , PΩE aequales sunt anguli qui apud I , Ω ; erunt igitur et SB , EB aequales ; quare et quae SR , ER aequales et quae HϠ , PH et quae ϠT , HI . Et quoniam est dupla quae PY ipsius YI , manifestum quod minor est quam dupla quae H Ϡ ipsius ϠT . St igitur quae HY dupla ipsius YT , et copulata protrahatur quae YKC ; sunt autem centra grauitatum totius quidem K , eius autem quod intra humidum Y , eius autem quod extra in linea ΚC ; et sit C . Erit autem propter praecedens theorema hoc manifestum quod non manet portio , sed inclinabitur ita , ut basis ipsius nec secundum unum tangat superficiem humidi . Quod autem consistet ita , ut axis ipsius ad superficiem humidi faciat angulum minorem angulo Φ demonstrabitur . Consistat enim , si possibile est , ita , ut faciat angulum non minorem angulo Φ , et alia κατε - σκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι . Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ ΘΗ ἴσα τᾷ Ψ · ὥστε καὶ τᾷ ΙΠ ἴσα . Ἐπεὶ οὖν ἁ Λ γωνία οὐκ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς Φ , οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἁ ΓΒ τᾶς ΣΒ , οὐδὲ ἁ ΓΡ ἐλάσσων τᾶς ΣΡ οὐδὲ ἁ ΗϠ τᾶς Θ ( ?? ) . Καὶ ἐπειδὴ ἁ ΙΠ ἡμιολία ἐστὶ τᾶς ΠΥ , ἐλάσσων δὲ ἁ ΠΥ τᾶς Θ ( ?? ) , καὶ ἁ μὲν ΗΘ ἴσα τᾷ ΠΙ , ἁ δὲ ΗϠ οὐκ ἐλάσσων τᾶς Θ ( ?? ) , μείζων ἔσται ἁ ϠΗ τᾶς ΠΥ ἁ ἄρα ΗϠ μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ . Ἔστω δὴ ἁ ΗΥ διπλασία τᾶς ΥΘ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΥΚ ἐκβεβλήσθω δῆλον δὴ ὁμοίως τοῖς πρότερον ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα , ἀλλὰ κλιθήσεται , ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Φ . Similiter autem demonstrabitur quod et , si portio ad humidum in grauitate habeat proportionem eandem , quam tetragonum quod ab NT ad id quod a BD , dimissa in humidum ita , ut basis ipsius non tangat superficiem humidi , consistet inclinata ita , ut basis ipsius secundum unum signum tangat superficiem humidi , et axis ipsius ad superficiem humidi faciat angulum aequa em angulo qui apud Φ . Ἔστω δὴ πάλιν τὸ τμᾶμα ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει μείζονα μὲν λόγον ἔχον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΖΠ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἐλάσσονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν , τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ δῆλον οὖν ὅτι ἁ Ψ , τᾶς μὲν ΖΠ μείζων ἐστίν , τᾶς δὲ ΞΟ ἐλάσσων . Ἐναρμόσθω δὴ εἰς τὸ μεταξὺ τᾶν ΑΞ△ , ΑΠΟΛ ἴσα τᾷ Ψ , παράλληλος δὲ τᾷ Β△ ἁ ΦΙ τέμνουσα τὰν μεταξὺ κώνου τομὰν κατὰ τὸ Υ · πάλιν δὴ ἁ ΦΥ διπλασία τᾶς ΥΙ δειχθήσεται , καθάπερ ἁ ΟΓ τᾶς ΞΓ . Ἄχθω δὲ ἀπὸ τοῦ Φ τοῦ ΑΠΟΛ ἐφαπτομένα κατὰ τὸ Φ ἁ ΦΩ ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ἁ μὲν ΑΙ τᾷ ΧΙ ἴσα , ἁ δὲ ΑΧ τᾷ ΦΩ παράλληλος . Δεικτέον δὲ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν , ὥστε τὰν βάσιν μὴ ἅπτεσθαι τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ , καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως κλιθήσεται , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ . Ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρόν ὡς εἴρηται , καὶ κείσθω τὸ πρῶτον οὕτως κεκλιμένον , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ἐν μὲν τᾷ τοῦ τμάματος ἐπιφανείᾳ γίνεται τομὰ ἁ ΑΒΓ , ἐν δὲ τᾷ τοῦ ὑγροῦ ἁ ΕΖ , ἄξων δὲ ἔστω καὶ διάμετρος ἁ Β△ , καὶ τετμάσθω ἁ Β△ κατὰ τὰ Κ , Ρ ὁμοίως τοῖς πρότερον , ἀχθῶ δὲ καὶ ἁ μὲν ΗΛ παρὰ τὰν ΕΖ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΒΓ τομᾶς κατὰ τὸ Η , ἁ δὲ ΗΘ παρὰ τὰν Β△ , ἁ δὲ ΗΣ κάθετος ἐπὶ τὰν Β△ . Ἐπεὶ δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , δῆλον ὅτι ἁ Ψ ἴσα ἐστὶν τᾷ ΗΘ δειχθήσεται γὰρ ὁμοίως τοῖς πρότερον ὥστε καὶ ἁ ΗΘ ἴσα ἐστὶν τᾷ ΦΙ καὶ τὰ τμάματα ἄρα τὰ ΑΦΧ , ΕΒΖ ἴσα ἐστὶν ἀλλάλοις . Ἐπεὶ δʼ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ , ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ , ΕΖ ἴσα τμάματα ἀφαιροῦσαι , καὶ ἁ μὲν ἀπʼ ἄκρας τᾶς βάσιος , ἁ δὲ οὐκ ἀπʼ ἄκρας , ἐλάσσονα ποιήσει τὰν ὀξεῖαν ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ τμάματος ἁ ἀπʼ ἄκρας τᾶς βάσιος ἀχθεῖσα . Καὶ ἐπειδὴ τοῦ ΗΛΣ τριγώνου ἁ Λ μείζων τᾶς Ω γωνίας τοῦ ΦΤΩ τριγώνου , δῆλον ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἁ Βς΄ τᾶς ΒΤ , ἁ δὲ ς΄Ρ τᾶς ΡΤ μείζων , καὶ ἁ ΗϠ μείζων τᾶς ΦΗ ἁ ϠΘ ἄρα ἐλάσσων τᾶς ΗΙ . Καὶ ἐπεὶ διπλασία ἐστὶν ἁ ΦΥ τᾶς ΥΙ , δῆλον ὅτι ἁ ΗϠ , μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ . Ἔστω δὴ ἁ ΗΑ΄ διπλασία τᾶς Α΄Θ δῆλον δὴ ἐκ τούτων ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα , ἀλλὰ ἐπικλιθήσεται , ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ θίγῃ καθʼ ἓν σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας . Ἁπτέσθω δὴ καθʼ ἓν σαμεῖον , ὡς ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι ἐγράφθη , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω δειχθήσεται δὴ πάλιν ἅ τε ΘΗ ἴσα ἐοῦσα τᾷ ΦΙ καὶ τὰ ΑΦΧ , ΑΒΖ τμάματα ἴσα ἀλλάλοις . Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ , ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ , ΑΖ ἴσα τμάματα ἀφαιροῦσαι , ἴσας ποιοῦσι γωνίας ποτὶ ταῖς διαμέτροις τῶν τμαμάτων τῶν ἄρα ΛΗΣ , ΦΤΩ αἱ ποτὶ τοῖς Λ , Ω γωνίαι ἴσαι ἐντί , καὶ ἁ ΒΣ εὐθεῖα τᾷ ΒΤ ἴσα καὶ ἁ ΣΡ τᾷ ΡΤ καὶ ἁ ΗϠ τᾷ ΦΗ καὶ ἁ ϠΘ τᾷ ΗΙ . Ἐπεὶ δὲ διπλασία ἐστὶν ἁ ΦΥ τᾶς ΥΙ , φανερὸν ὅτι ἁ ΗϠ μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ . Ἔστω οὖν ἁ Η ( ?? ) τᾶς ( ?? ) Θ διπλασίων πάλιν δὴ ἐκ τούτων δῆλον ὡς οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα , ἀλλʼ ἐπικλιθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Α . Ἐπεὶ δὴ καθʼ ἓν σαμεῖον ὑπετέθη τὸ τμᾶμα ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , δῆλον ὅτι κατὰ πλείονα τόπον ἁ βάσις ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ καταλαφθήσεται .
Lemmas: ὁ ὀρθός τμᾶμα ὁ ὀρθογώνιος κωνοειδής , ὅταν κοῦφος εἰμί ὁ ὑγρός ὁ ἄγω ἔχω μείζων ἢ ὥστε λόγος ἔχω πρός ὁ μέχρι ὁ ἄγω ὅς ἔχω ὁ εἶμι πρός ὁ δ , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , ὁτὲ μέν ὀρθός καθίστημι , ὁτὲ δέ κλίνω , καί ποτέ μέν οὗτος κλίνω , ὥστε ὁ βάσις αὐτός κατά εἷς σημεῖον ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καί οὗτος ἐν δισσός κλίμα ποιέω , ποτέ δέ οὕτως κλίνω καθίστημι , ὥστε ὁ βάσις αὐτός κατά πλείων τόπος βρέχω , ποτέ δέ οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μηδέ κατά εἷς ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός ἕκαστος αὐτός εἰμί , νῦν δηλόω . ἔστω τμᾶμα οἷος εἴρω , καί τέμνω αὐτός ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός τομή ἵστημι ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὅς Απόλ ὀρθογώνιος κῶνος τομή , ἄγω δέ ἵστημι καί διάμετρος ὁ τομή ὅς Β△ , τέμνω δέ ὅς Β△ κατά ὁ Κ , ὥστε διπλάσιος ἄγω ὁ ΒΚ ὁ Κ△ , κατά δέ ὁ Τ , ὥστε ὁ △Β πρός ὁ ΚΤ λόγος ἔχω ὡς ὁ εἶμι πρός δ δῆλος οὖν ὅτι ὅς ΚΤ μείζων εἰμί ὁ μέχρι ὁ ἄγω . ἔστω οὖν ὅς ΚΡ ἴσος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , ὁ δέ ΒΡ ἥμισυς ἵστημι ὅς ΡΣ εἰμί δή καί ὅς ΣΒ ἡμιολία ὁ ΒΡ . ἐπιζεύγνυμι δέ ὁ ΑΒ καί ὁ ΤΕ ὀρθός ἄγω ἄγω ὅς ΕΖ παρά ὁ Β△ , καί πάλιν ὁ ΑΒ δίχα τέμνω κατά ὁ Θ ἄγω παρά ὁ Β△ ὅς τίθημι , καί λαμβάνω ὀρθογώνιος κῶνος τομή ὅς ΑΕΙ περί διάμετρος ὁ ΕΖ καί ὅς ΘΑ περί διάμετρος ὁ τίθημι , ὥστε ὅμοιος ἄγω ὁ ΑΕΙ , ΘΑ τμῆμα ὁ ΑΒΛ τμῆμα · γράφω δή ὅς ΑΕΙ κῶνος τομή διά ὁ Κ , ὅς δέ ἀπό ὁ Ρ ὀρθός ἄγω ὁ Β△ τέμνω ὁ ΑΕΙ . τέμνω κατά ὁ Υ , Γ , καί διά ὁ Υ , Γ ἄγω παρά ὁ Β△ ὁ ΥΧ , ΓΝ , τέμνω δέ οὗτος ὁ ΘΑ τομή κατά ὁ Ξ , Φ , ἄγω δέ καί ὁ ΠΨ , ὁ ( ?? ) ἐφάπτω ὁ Απόλ τομή κατά ὁ ὁ , Π , δίδωμι δή τρεῖς τις τμῆμα ὁ Απόλ , ΑΕΙ , ΘΑ περιέχω ὑπό ὅς εὐθεῖα καί ὅς ὀρθογώνιος κῶνος τομή ὀρθός καί ὅμοιος , ἄνισος δέ , καί ἀπολαμβάνω ἀπό ἕκαστος βάσις , ἀπό δέ ὁ Ν ἀνάγω ὁ ΝΞ , ΝΓ , ΝΟ ὅς ογʹ ἄρα πρός ὁ ΓΞ ὁ σύγκειμαι λόγος ἔχω ἐκ τε ὁ , ὅς ἔχω ὅς ΙΛ πρός ΛΑ , καί ὅς ἔχω ὅς Α△ πρός △Ι . ἔχις δέ καί ὅς ΛΙ πρός ΛΑ ὅς δύο πρός ε ὅς τε γάρ ΤΒ πρός Β△ εἰμί ὡς δύο πρός ε , καί ὅς ΕΒ πρός ΒΑ καί ὅς △Ζ πρός △Α , οὗτος δέ διπλάσιος ὁ Λl , ΛΑ · ὅς δέ Α△ πρός △Ι ἔχω ὅσος πέντε πρός ὅς , ὁ δέ σύγκειμαι λόγος ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ δύο πρός ὁ ε καί ἐκ ὅς ὅς ἔχω ὁ πέντε πρός ὁ εἷς ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ δύο πρός ὁ ὅς διπλάσιος ἄρα εἰμί ὅς ογʹ ὁ ΓΞ . Ζεύς ὁ αὐτός δή καί ὅς ΠΥ ὁ ΥΦ . ἐπεί δέ εἰμί ὅς △Σ ἡμιολία ὁ ΚΡ , δῆλος ὅτι ὅς ΒΣ ὅς ὑπεροχή εἰμί , ὅς μείζων εἰμί ὁ ἄγω ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω . εἰμί μέν οὖν ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΒΣ πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ , ἢ μείζων οὗτος ὁ λόγος , ἀφίημι ὁ τμᾶμα εἰς ὁ ὑγρός οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , ὀρθός καθίστημι · δείκνυμι γάρ πρότερος ὅτι τμᾶμα μείζων ἔχω ὁ ἄγω ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , ἐάν ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός μή μικρός λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή , ὅς μείζων εἰμί ὁ ἄγω ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἄγω , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός οὕτως ὡς εἴρω , ὀρθός καθίστημι . Ἐπής δέ ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός μικρός μέν λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΣΒ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , μείζων δέ ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΟΞ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , καθίστημι κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μηδέ κατά εἷς ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καί ὁ ἄγω αὐτός γωνία ποιέω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός μείζων ὁ ( ?? ) . ἐάν δέ ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΞΟ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , καθίστημι κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός ἅπτω κατά εἷς ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καί ὁ ἄγω αὐτός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός γωνία ποιέω εἶμι ὁ ( ?? ) . ἔαν δέ ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός μικρός μέν λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΞΟ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , μείζων δέ ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ πφʹ πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός καί τίθημι κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , καθίστημι κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός κατά πλείων τόπος τέμνω ὑπό ὁ ὑγρός . εἰμί δέ ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ πφʹ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός καί τίθημι κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , καθίστημι κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός κατά εἷς σημεῖον ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καί ὁ ἄγω αὐτός ποιέω γωνία εἶμι ὁ Ψ . ἐάν δέ ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός μικρός λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ πφʹ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός καί τίθημι κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , καθίστημι κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ μέν ἄγω αὐτός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός γωνία ποιέω μικρός ὁ Ψ , ὁ δέ βάσις αὐτός μηδέ κατά εἷς ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια . δείκνυμι δέ οὗτος ἑξῆς . Ἔχετος δή πρῶτος ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός μείζων μέν λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΞΟ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ , μικρός δέ ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή τετράγωνος , μείζων εἰμί ὁ ἄγω ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ τετράγωνος , καί ὑπόκειμαι ὁ πρότερος κατασκευάζω σχῆμα , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός , οὗτος ἔχω ὁ ἀπό ὁ Ψ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ εἰμί δή ὅς Ψ ὁ μέν ΞΟ μείζων , μικρός δέ ὁ ὑπεροχή , ἆ μείζων εἰμί ὁ ἄγω ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω . ἐναρμόζω δέ τις μεταξύ ὁ Απόλ , ΑΞ κῶνος τομή , quae NO aequalis ipsi Ψ , et secet ipsa reliquam coni sectionem penes Ϡ , ipsam autem R ( ?? ) rectam penes B΄ ; demonstrabitur autem quae OϠ dupla ipsius ϠN , sicut demonstrata est quae Μ ( ?? ) ipsius ( ?? ) Χ dupla , ab O autem ducatur quae O ( ?? ) contingens sectionem APOL . quae autem OC perpendicularis super BD , et ab A ad N copuletur ; erunt autem quae AN , QN aequales inuicem . Quoniam enim in similibus portionibus AΡOL , AXD productae sunt a basibus ad portiones quae AN , AQ aequales angulos facientes ad bases , eandem proportionem habebunt quae QA , AN cum ipsis LA , AD propter secundam figuram praescriptarum ; aequalis ergo quae AN ipsi QΝ , et aequedistans ipsi O ( ?? ) . Demonstrandum , quod dimissa in humidum ita , ut basis ipsius non secundum unum tangat humidum , ita inclinata consistet , ut basis eius in nullo puncto superficiem humidi tangat , et axis ad superficiem humidi angulum acutum faciat maiorem angulo ( ?? ) . Dimittatur enim et consistat ita , ut basis ipsius tangat secundum unum signum superficiem humidi , secta autem portione per axem plano recto ad superficiem humidi superficiei quidem portionis sectio sit quae APOL rectanguli coni sectio , superficiei autem humidi quae OA , axis autem et diameter quae BD , et secetur quae BD penes K , R , ut dictum est . Ducatur autem et quae quidem PG aequedistanter ipsi AO recta contingens sectionem APOL . secundum P , quae autem ΡΤ aequedistanter ipsi BD , quae autem PS perpendicularis super BD , quoniam igitur portio ad humidum in grauitate proportionem habet quam tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD , quam autem proportionem habet portio ad humidum , hanc habet demersa ipsius portio ad totam , quam autem demersa ad totam , tetragonum quod a TP ad id quod a DB , erit quae Ψ ipsi TP aequalis . Et quae NO ergo ipsi TP aequalis est quare et portiones APQ , APO inuicem sunt aequales . Quoniam autem in portionibus aequalibus et similibus APOL , AMQL ab extremitatibus basium productae sunt quae OA , AQ , et portiones ablatae faciunt ad diametros angulos aequales propter tertiam figuram praescriptarum , quare anguli qui apud ( ?? ) , G sunt aequales , et quae ( ?? ) B , GB , ergo aequales sunt ; quare et quae SR , CR et quae ΡΖ , OB΄ et quae ΖΤ , B΄N . Quoniam minor est quam dupla quae OB΄ ipsius B΄Ν , palam quod quae PΖ ipsius ΖΤ est minor quam dupla . Sit igitur quae Ω ipsius ΩΤ dupla , et copulata quae ΚΩ educatur ad E ; totius quidem igitur centrum grauitatis erit K , eius autem portionis quae intra humidum centrum Ω , eius autem quae extra in linea ΚΕ ; et sit E . Quae autem ΚΖ perpendicularis erit super superficiem humidi ; quare et quae per signa Ε , Ω aequidistanter ipsi ΚΖ . Non ergo manet portio , sed reclinabitur , ut basis ipsius nec secundum unum tangat superficiem humidi , quoniam nunc secundum unum tacta ipsa reclinatur ; manifestum igtur quod portio consistet ita , ut axis ad superficiem humidi faciat angulum maiorem angulo ( ?? ) . Ηabeat autem portio ad humidum in grauitate hanc proportionem , quam habet tetragonum quod ab XO ad id quod a BD , et dimittatur in humidum ita inclinata . Secta autem ipsa per axem plano recto ad superficiem humidi solidi quidem sectio sit quae APOL rectanguli coni sectio , superficiei autem humidi quae OI , axis autem portionis et diameter sectionis quae BD , et secetur quae BD ut prius , et ducatur quae quidem PN aequedistanter ipsi IO contingens sectionem secundum P , quae autem ΡΓ aequedistanter ipsi BD , quae autem PS perpendicularis super BD . Demonstrandum quod portio non manet inclinata sic , sed inclinatur , donec utique basis secundum unum signum tangat superficiem humidi . Praeiaceant autem et quae insuperiori figura prius disposita sunt , et quae CO perpendicularis ducatur super BD , et quae AX copulata educatur ad Q ; erit autem quae AX ipsi XQ aequalis ; et ducatur ipsi AQ quae O ( ?? ) aequedistans . Et quoniam supponitur portio ad humidum in grauitate hanc habere proportionem , quam habet tetragonum quod ab XO ad id quod a BD , habet autem hanc proportionem et demersa portio ad totam , hoc est quod a TP ad id quod a BD , aequa is utique erit quae PT ipsi XO . Et quoniam portionum IBO , ABQ diametri sunt aequales , et portiones . Rursum quoniam in portionibus aequali bus et similibus AΡOL , AOQL productae sunt AQ , IO aequales portiones auferentes , hoc quidem ab extremitate basis , hoc autem non ab extremitate , palam quod minorem facit acutum angulum ad diametrum totius portionis , quae ab extremitate basis producta est . Et quoniam angulus qui apud ( ?? ) est minor quam qui apud Ν , maior est quae BC quam BS , quae autem CR minor quam RS ; quare et quae O ( ?? ) minor quam ΡϠ , et ( ?? ) Χ maior est quam ϠΤ . Et quoniam quae O ( ?? ) dupla est ipsius ( ?? ) X , palam quod quae PϠ maior est quam dupla psius ϠT . Sit igitur quae PH dupla ipsius HT . καί ἐπιζεύγνυμι ὅς ΗΚ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ω . εἰμί δή ὁ μέν ὅλος τμῆμα κέντρον ὁ βάρος ὁ Κ , ὁ δέ ἐν ὁ ὑγρός ὁ ὁ , ὁ δέ ἐκτός ἐπί ὁ ΚΩ · ἵστημι ὁ Ω . δείκνυμι δή ὁμοίως ὅς τε ΚϠ κάθετος ἐπί ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια καί ὁ διά ὁ ὁ , Ω σαμεῖον παρά ὁ ΚϠ . Δῆλος οὖν ὅτι οὖον μένω ὁ τμᾶμα , ἀλλά ἐπικλίνω , ἠώς εἄν ὅς βάσις αὐτός ἅπτω κατά εἷς σημεῖον ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καθάπερ demonstrabitur in tertia figura , quomodo se habet in tertio theoremate , et manebit portio ita consistens . In portionibus enim aequalibus AΡOL , AOQL productae erunt ab extremitatibus basium quae AQ , AO aequales portiones auferentes demonstrabitur enim APQ aequalis ipsi AΡO similiter prioribus ; aequales igitur facient acutos angulos quae AO , AQ ad diametros portionum , quoniam aequales sunt qui apud Ν , ( ?? ) anguli . Et ϠT copulata autem ipsa ϠΚ et educta ad Ω erit totius quidem portionis centrum grauitatis Κ , eius autem quae intra humidum Ϡ , eius autem quae extra in linea ΚΩ ; et sit Ω . Et quae ΚϠ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια . κατά ὁ αὐτός οὖν εὐθύς ὁ τε ἐν ὁ ὑγρός ἀναφέρω καί ὁ ἐκτός ὁ ὑγρός καταφέρω μένω δή ὁ τμᾶμα , καί ὅς τε βάσις κατά εἷς σημεῖον ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καί ὁ ἄγω ὁ τμῆμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός ποιέω γωνία εἶμι ὁ προγράφω . Ηabeat etiam rursum portio ad humidum in grauitate proportionem minorem ea , quam habet tetragonum quod ab NT ad id quod a BD , quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate , hanc habeat tetragonum quod a Ψ ad tetragonum quod a BD ; minor autem est quae Ψ quam TN . Rursum igitur inaptetur quaedam intermedia portionum AMD , APOL quae Pl aequedistanter ipsi BD producta aequalis ipsi Ψ , secet autem ipsa intermediam coni sectionem penes Y , ipsam autemΧR εὐθύς κατά ὁ ὁ . δείκνυμι δή ὅς ΠΥ διπλάσιος ὁ ΥΙ , καθάπερ δείκνυμι καί ὅς ΓΟ ὁ ΓΧ . ἀχθω δέ καί ὅς μέν ΠΩ ἐφάπτω ὁ Απόλ κατά ὁ Π , ὅς δέ ΠΕ κάθετος ἐπί ὁ Β△ , καί ὅς ΙΑ ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω ἐπί ὁ Χ εἰμί δέ ὅς ὁ ὁ Χ ἴσος καί ὅς ΑΧ ὁ ΠΩ παράλληλος . δείκνυμι δή ὅτι ὁ τμᾶμα ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός καί κλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , οὕτως καθίστημι κλίνω , ὥστε ὁ ἄγω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός γωνία ποιέω μικρός ὁ Φ , ὁ δέ βάσις αὐτός μηδέ κατά εἷς ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια . ἀφίημι γάρ εἰς ὁ ὑγρός καί καθίστημι οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός κατά εἷς σημεῖον ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , τέμνω δέ ὁ τμῆμα ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια διά ὁ ἄγω τομή ἵστημι ὁ μέν ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια ὅς ΑΒ ὀρθογώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια ὅς αζʹ , ἄγω δέ καί διάμετρος ὁ τομή ὅς △Β , καί τέμνω ὅς Β△ κατά ὁ Κ , Ρ ὁμοίως superioribus , ducatur autem et quae ΗI aequedistanter ipsi AZ contingens sectionem coni penes H , quae autem HT aequedistanter ipsi BD , quae autem HS perpendicularis super BD . Quoniam igitur portio ad humidum in grauitate hanc habet proportionem , quam habet tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD , quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate , hanc habet tetragonum quod ab HT ad id quod a BD propter eadem prioribus , palam quod quae HT est aequalis ipsi Ψ ; quare et portiones AHZ , APQ sunt aequales . Et quoniam in portionibus aequalibus et similibus AΡOL , AHZL ab extremitatibus basium sunt productae quae AQ , AZ aequales portiones auferentes , palam quod aequales faci unt angulos ad diametros portionum . Adhuc autem et trigonorum Ἠ , Ω aequales sunt anguli qui apud I , Ω ; erunt igitur et SB , EB aequales ; quare et quae SR , ER aequales et quae HϠ , PH et quae ϠT , HI . Et quoniam est dupla quae PY ipsius YI , manifestum quod minor est quam dupla quae H Ϡ ipsius ϠT . St igitur quae HY dupla ipsius YT , et copulata protrahatur quae YKC ; sunt autem centra grauitatum totius quidem K , eius autem quod intra humidum Y , eius autem quod extra in linea ΚC ; et sit C . Erit autem propter praecedens theorema hoc manifestum quod non manet portio , sed inclinabitur ita , ut basis ipsius nec secundum unum tangat superficiem humidi . Quod autem consistet ita , ut axis ipsius ad superficiem humidi faciat angulum minorem angulo Φ demonstrabitur . Consistat enim , si possibile est , ita , ut faciat angulum non minorem angulo Φ , et alia κάτω - σκευάζω ὁ αὐτός ὁ ἐν ὁ τρίτος σχῆμα . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅς τίθημι ἴσος ὁ Ψ · ὥστε καί ὁ ΙΠ ἴσος . ἐπεί οὖν ὅς Λ γωνία οὐ μικρός εἰμί ὁ Φ , οὐ ἄρα μείζων εἰμί ὅς ΓΒ ὁ ΣΒ , οὐδέ ὅς ΓΡ μικρός ὁ ΣΡ οὐδέ ὅς ΗϠ ὁ Θ ( ?? ) . καί ἐπεί ὅς ΙΠ ἡμιολία εἰμί ὁ ΠΥ , μικρός δέ ὅς ΠΥ ὁ Θ ( ?? ) , καί ὅς μέν ΗΘ ἴσος ὁ ΠΙ , ὅς δέ ΗϠ οὐ μικρός ὁ Θ ( ?? ) , μείζων εἰμί ὅς ϠΗ ὁ ΠΥ ὅς ἄρα ΗϠ μείζων εἰμί ἢ διπλάσιος ὁ ϠΘ . ἔστω δή ὅς ΗΥ διπλάσιος ὁ ΥΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς ΥΚ ἐκβάλλω δῆλος δή ὁμοίως ὁ πρότερος ὅτι οὖον μένω ὁ τμᾶμα , ἀλλά κλίνω , ὥστε ὁ ἄγω αὐτός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός γωνία ποιέω μικρός ὁ Φ . Similiter autem demonstrabitur quod et , si portio ad humidum in grauitate habeat proportionem eandem , quam tetragonum quod ab NT ad id quod a BD , dimissa in humidum ita , ut basis ipsius non tangat superficiem humidi , consistet inclinata ita , ut basis ipsius secundum unum signum tangat superficiem humidi , et axis ipsius ad superficiem humidi faciat angulum aequa em angulo qui apud Φ . ἔστω δή πάλιν ὁ τμᾶμα πρός ὁ ὑγρός ὁ βάρος μείζων μέν λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΖΠ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ , μικρός δέ ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΞΟ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός , οὗτος ἔχω ὁ ἀπό ὁ Ψ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ δῆλος οὖν ὅτι ὅς Ψ , ὁ μέν ΖΠ μείζων εἰμί , ὁ δέ ΞΟ μικρός . ἐναρμόζω δή εἰς ὁ μεταξύ ὅς ΑΞ , Απόλ ἴσος ὁ Ψ , παράλληλος δέ ὁ Β△ ὅς φεῖ τέμνω ὁ μεταξύ κῶνος τομή κατά ὁ Υ · πάλιν δή ὅς ΦΥ διπλάσιος ὁ ΥΙ δείκνυμι , καθάπερ ὅς ογʹ ὁ ΞΓ . ἄγω δέ ἀπό ὁ Φ ὁ Απόλ ἐφάπτω κατά ὁ Φ ὅς ΦΩ ὁμοίως δή ὁ πρότερος δείκνυμι ὅς μέν ὁ ὁ ΧΙάς ἴσος , ὅς δέ ΑΧ ὁ ΦΩ παράλληλος . δείκνυμι δέ ὅτι ὁ τμᾶμα ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός , ὥστε ὁ βάσις μή ἅπτω ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός , καί τίθημι κλίνω οὕτως κλίνω , ὥστε ὁ βάσις αὐτός κατά πλείων τόπος τέμνω ὑπό ὁ ὑγρός . ἀφίημι γάρ εἰς ὁ ὑγρός ὡς εἴρω , καί κεῖμαι ὁ πρῶτος οὕτως κλίνω , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μηδέ κατά εἷς ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος διά ὁ ἄγω ὀρθός πρός ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια ἐν μέν ὁ ὁ τμῆμα ἐπιφάνεια γίγνομαι τομή ὅς ΑΒΓ , ἐν δέ ὁ ὁ ὑγρός ὅς ΕΖ , ἄγω δέ ἵστημι καί διάμετρος ὅς Β△ , καί τέμνω ὅς Β△ κατά ὁ Κ , Ρ ὁμοίως ὁ πρότερος , ἄγω δέ καί ὅς μέν ΗΛ παρά ὁ ΕΖ ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ τομή κατά ὁ ὁ , ὅς δέ ΗΘ παρά ὁ Β△ , ὅς δέ ΗΣ κάθετος ἐπί ὁ Β△ . ἐπεί δέ ὁ τμᾶμα ὁ βάρος λόγος ἔχω πρός ὁ ὑγρός , ὅς ὁ ἀπό ὁ Ψ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Β△ , δῆλος ὅτι ὅς Ψ ἴσος εἰμί ὁ ΗΘ δείκνυμι γάρ ὁμοίως ὁ πρότερος ὥστε καί ὅς ΗΘ ἴσος εἰμί ὁ φεῖ καί ὁ τμῆμα ἄρα ὁ ΑΦ , ΕΒΖ ἴσος εἰμί ἀλλήλων . ἐπεί δέ ἐν ἴσος καί ὅμοιος τμῆμα ὁ Απόλ , ΑΒΓ ἄγω εἰμί ὁ ΑΧ , ΕΖ ἴσος τμῆμα ἀφαιρέω , καί ὅς μέν ἀπό ἄκρος ὁ βάσις , ὅς δέ οὐ ἀπό ἄκρος , μικρός ποιέω ὁ ὀξύς πρός ὁ διάμετρος ὁ τμῆμα ὅς ἀπό ἄκρος ὁ βάσις ἄγω . καί ἐπεί ὁ ΗΛΣ τρίγωνος ὅς Λ μείζων ὁ Ω γωνία ὁ πτύω τρίγωνος , δῆλος ὅτι μικρός εἰμί ὅς Βς΄ ὁ ΒΤ , ὅς δέ ς΄Ρ ὁ ΡΤ μείζων , καί ὅς ΗϠ μείζων ὁ φημί ὅς ϠΘ ἄρα μικρός ὁ ΗΙ . καί ἐπεί διπλάσιος εἰμί ὅς ΦΥ ὁ ΥΙ , δῆλος ὅτι ὅς ΗϠ , μείζων εἰμί ἢ διπλάσιος ὁ ϠΘ . ἔστω δή ὅς ΑΗ διπλάσιος ὁ ΑΘ δῆλος δή ἐκ οὗτος ὅτι οὖον μένω ὁ τμᾶμα , ἀλλά ἐπικλίνω , ἠώς εἄν ὅς βάσις αὐτός θιγγάνω κατά εἷς σημεῖον ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια . ἅπτω δή κατά εἷς σημεῖον , ὡς ἐν ὁ τρίτος σχῆμα γράφω , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός κατασκευάζω δείκνυμι δή πάλιν ὅς τε τίθημι ἴσος εἰμί ὁ φεῖ καί ὁ ΑΦ , ΑΒΖ τμῆμα ἴσος ἀλλήλων . καί ἐπεί ἐν ἴσος καί ὅμοιος τμῆμα ὁ Απόλ , ΑΒΓ ἄγω εἰμί ὁ ΑΧ , αζʹ ἴσος τμῆμα ἀφαιρέω , ἴσος ποιέω γωνία πρός ὁ διάμετρος ὁ τμῆμα ὁ ἄρα Λῆς , πτύω ὁ πρός ὁ Λ , Ω γωνία Ἴσαι εἰμί , καί ὅς ΒΣ εὐθύς ὁ ΒΤ ἴσος καί ὅς ΣΡ ὁ ΡΤ καί ὅς ΗϠ ὁ φημί καί ὅς ϠΘ ὁ ΗΙ . ἐπεί δέ διπλάσιος εἰμί ὅς ΦΥ ὁ ΥΙ , φανερός ὅτι ὅς ΗϠ μείζων εἰμί ἢ διπλάσιος ὁ ϠΘ . ἔστω οὖν ὅς ὁ ( ?? ) ὁ ( ?? ) Θ διπλάσιος πάλιν δή ἐκ οὗτος δῆλος ὡς οὖον μένω ὁ τμᾶμα , ἀλλά ἐπικλίνω ἐπί ὁ αὐτός ὁ Α . ἐπεί δή κατά εἷς σημεῖον ὑποτίθημι ὁ τμᾶμα ἅπτω ὁ ὑγρός , δῆλος ὅτι κατά πλείων τόπος ὅς βάσις ὑπό ὁ ὑγρός καταλαμβάνω .