archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.9
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ὅταν τὸν ἄξονα ἔχη μείζονα μὲν ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὰ ιε ποτὶ δ , καὶ τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μείζονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ὑπεροχά , ᾆ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος τετράγωνον τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος , ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ , τεθὲν κεκλιμένον οὔτε κατασταθήσεται , ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κατὰ κάθετον εἶμεν , οὔτε μενεῖ κεκλιμένον , πλὴν ὅταν ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιῇ γωνίαν ἴσαν τᾷ λαφθείσᾳ ὁμοίως ᾇ πρότερον . Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται , καὶ κείσθω ἁ △Β ἴσα τῷ ἄξονι τοῦ τμάματος , καὶ ἁ μὲν ΒΚ τᾶς Κ△ διπλασία ἔστω , ἁ δὲ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος , ἁ δὲ ΤΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ , ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν , τοῦτον ἐχέτω ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ἔστω δὲ ἁ Φ διπλασία τᾶς Χ . Δῆλον οὖν ὅτι ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΒΤ , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ ἔστι γὰρ ἁ ΒΤ ἁ ὑπεροχά , ᾇ μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄξων τοῦ τμάματος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος . Μείζονι ἄρα ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΒΤ ὥστε ἁ ΦΧ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΤ · καὶ ἁ Φ ἄρα τᾶς ΒΡ . Ἔστω οὖν τᾷ Φ ἴσα ἁ ΡΨ , καὶ ἁ ΨΕ ὀρθὰ ἄχθω τᾷ Β△ δυναμένα τὸ ἥμισυ τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τᾶν ΚΡ , ΨΒ . Φαμὶ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ , καταστασεῖται οὕτως , ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἴσαν τᾷ Β . Ἀφείσθω γὰρ τὸ τμᾶμα , ὡς εἴρηται , ἐς τὸ ὑγρόν , καὶ μὴ ποιείτω ὁ ἄξων ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ἴσαν τᾷ Β , ἀλλὰ μείζονα πρότερον . Τμαθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἔστω τοῦ τμάματος τομὰ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά , τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ἁ ΤΙ , ἄξων δὲ καὶ διάμετρος ἁ ΝΟ , καὶ τετμάσθω κατὰ τὰ Ω , Θ , ὡς καὶ πρότερον , ἄχθω δὲ καὶ ἁ μὲν ΥΠ παρὰ τὰν ΤΙ ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Π , ἁ δὲ ΠΜ aequedistanter ipsi NO , quae vero PS perpendicularis super axem . Quoniam igitur axis portionis ad superficiem humidi facit angulum maiorem angulo Β , erit utique et angulus qui sub SYP maior angulo Β ; tetragonum ergo quod a PS ad tetragonum quod ab SΥ habet proportionem maiorem quam tetragonum quod a ΨE ad tetragonum quod a ΨΒ . Ergo et quae ΚR ad SΥ habet proportionem maiorem quam medietas ipsius ΚR ad ΨB ; minor ergo quae SΥ quam dupla ipsius ΨB . Et quae SΟ quam ΨΒ minor ; μείζων ἄρα ἁ ΣΩ τᾶς ΡΨ καὶ ἁ ΠΗ τᾶς Φ . Καὶ ἐπεὶ τὸ τμᾶμα βάρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν , ὃν ἁ ὑπεροχά , ᾇ μεῖζόν ἐστιν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ τμᾶμα ποτὶ τὸ ὅλον , δῆλον ὅτι τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ μέρος ποτὶ τὸ ὅλον τμᾶμα , ὃν ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ Β△ ἕξει οὖν καὶ τὸ ὅλον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ λόγον , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ὅλον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ , τοῦτον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΝΟ ποτὶ τὸ ἀπὸ ΠΜ · ἴσα ἄρα ἁ ΜΠ τᾷ ΦΧ . Ἁ δὲ ΠΗ δέδεικται μείζων τᾶς Φ ἁ ἄρα ΜΗ ἐλάσσων ἐστὶν τᾶς Χ μείζων ἄρα ἐστὶν ἢ διπλασία ἁ ΠΗ τᾶς ΗΜ Ἔστω δὴ ἁ ΠΖ διπλασία τᾶς ΖΜ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΖΘ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ ἔσται οὖν τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ , τοῦ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ Ζ , τοῦ δὲ ἐντὸς ἐν τᾷ ΘΓ ἔστω δὲ τὸ Γ . Δειχθήσεται δὴ ὁμοίως τοῖς πρότερον ἁ ΘΗ κάθετος ἐπὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ καὶ αἱ διὰ τῶν Ζ , Γ παρὰ τὰν ΘΗ ἀγόμεναι κάθετοι καὶ αὐταὶ ἐπὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ . Κατενεχθήσεται ἄρα τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα ἐς τὸ κάτω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Ζ , τὸ δὲ ἐντὸς κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀνενεχθήσεται οὐ μενεῖ οὖν τὸ ὅλον τμᾶμα ἀκλινές . Οὐδὲ μὴν καταστραφήσεται , ὥστε κατὰ κάθετον εἶμεν τὸν ἄξονα ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν , ἐπειδὴ τὰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Λ κάτω , τὰ δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Α ἐς τὰ ἄνω οἰσθήσεται , διὰ τὰ ἀνάλογον τοῖς λεγομένοις ἐπὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ . Ἐὰν δὲ ὁ ἄξων ποτὶ τὸ ὑγρὸν ποιῇ γωνίαν ἐλάσσονα τᾶς Β , ὁμοίως τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα , ἀλλὰ κλιθήσεται , ἕως ἂν ὁ ἄξων ποιῇ γωνίαν ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἴσαν τᾷ Β .
Lemmas: ὁ ὀρθός τμᾶμα ὁ ὀρθογώνιος κωνοειδής , ὅταν ὁ ἄγω χάω μείζων μέν ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , μικρός δέ ἢ ὥστε οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ εἶμι πρός δ , καί ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός μείζων λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὅς ὑπεροχή , ἆ μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ἄγω τετράγωνος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή , ὅς μείζων εἰμί ὁ ἄγω ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἄγω , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός ὅλοξ ἄγω ἐν ὁ ὑγρός , τίθημι κλίνω οὔτε καθίστημι , ὥστε ὁ ἄγω αὐτός κατά κάθετος ἄγω , οὔτε μένω κλίνω , πλήν ὅταν ὁ ἄγω αὐτός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός ποιέω γωνία εἶμι ὁ λαμβάνω ὁμοίως ὅς πρότερος . ἔστω τμᾶμα οἷος εἴρω , καί κεῖμαι ὅς △Β ἴσος ὁ ἄγω ὁ τμῆμα , καί ὅς μέν ΒΚ ὁ Κ△ διπλάσιος ἵστημι , ὅς δέ ΚΡ ἴσος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , ὅς δέ ΤΒ ἡμιολία ὁ ΒΡ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός , οὗτος ἔχω ὅς ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΦΧ , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , ἵστημι δέ ὅς Φ διπλάσιος ὁ Χ . Δῆλος οὖν ὅτι ὅς ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ ὁ ἀπό ὁ ΒΤ , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ μικρός λόγος ἔχω ἢ ὅς ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΦΧ , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ εἰμί γάρ ὅς ΒΤ ὅς ὑπεροχή , ὅς μείζων εἰμί ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄγω ὁ τμῆμα ὁ μέχρι ὁ ἄγω . Μέγας ἄρα ὑπερέχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ ὁ ἀπό ὁ ΦΧ ἢ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΒΤ ὥστε ὅς ΦΧ μικρός εἰμί ὁ ΒΤ · καί ὅς Φ ἄρα ὁ ΒΡ . ἔστω οὖν ὁ Φ ἴσος ὅς ΡΨ , καί ὅς ψε ὀρθός ἄγω ὁ Β△ δύναμαι ὁ ἥμισυς ὁ περιέχω ὑπό ὅς ΚΡ , ΨΒ . φημί ὅτι ὁ τμᾶμα ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός , ὥστε ὁ βάσις αὐτός ὅλοξ ἄγω ἐν ὁ ὑγρός , καθίστημι οὕτως , ὥστε ὁ ἄγω αὐτός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός γωνία ποιέω εἶμι ὁ Β . ἀφίημι γάρ ὁ τμᾶμα , ὡς εἴρω , εἰς ὁ ὑγρός , καί μή ποιέω ὁ ἄγω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός γωνία εἶμι ὁ Β , ἀλλά μείζων πρότερος . τέμνω δή αὐτός ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός ἵστημι ὁ τμῆμα τομή ὅς Απόλ ὀρθογώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια ὅς τίς , ἄγω δέ καί διάμετρος ὅς ΝΟ , καί τέμνω κατά ὁ Ω , Θ , ὡς καί πρότερος , ἄγω δέ καί ὅς μέν ΥΠ παρά ὁ τίς ἐφάπτω ὁ τομή κατά ὁ Π , ὅς δέ ΠΜ aequedistanter ipsi NO , quae vero PS perpendicularis super axem . Quoniam igitur axis portionis ad superficiem humidi facit angulum maiorem angulo Β , erit utique et angulus qui sub SYP maior angulo Β ; tetragonum ergo quod a PS ad tetragonum quod ab ΥΥ habet proportionem maiorem quam tetragonum quod a ΨE ad tetragonum quod a ΨΒ . Ergo et quae ΚR ad ΥΥ habet proportionem maiorem quam medietas ipsius ΚR ad ΨB ; minor ergo quae ΥΥ quam dupla ipsius ΨB . Et quae Οὖ quam ΨΒ minor ; μείζων ἄρα ὅς ΣΩ ὁ ΡΨ καί ὅς ΠΗ ὁ Φ . καί ἐπεί ὁ τμᾶμα βάρος λόγος ἔχω πρός ὁ ὑγρός , ὅς ὅς ὑπεροχή , ὅς μέγας εἰμί ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΦΧ , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ δύω αὐτός τμᾶμα πρός ὁ ὅλος , δῆλος ὅτι ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ δύω αὐτός μέρος πρός ὁ ὅλος τμᾶμα , ὅς ὅς ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΦΧ , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό Β△ ἔχω οὖν καί ὁ ὅλος τμᾶμα πρός ὁ ἐκτός ὁ ὑγρός λόγος , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ πρός ὁ ἀπό ὁ ΦΧ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ὅλος τμᾶμα πρός ὁ ἐκτός ὁ ὑγρός , οὗτος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΝΟ πρός ὁ ἀπό ΠΜ · ἴσος ἄρα ὅς ΜΠ ὁ ΦΧ . ἁ δέ ΠΗ δείκνυμι μείζων ὁ Φ ὅς ἄρα μη μικρός εἰμί ὁ Χ μείζων ἄρα εἰμί ἢ διπλάσιος ὅς ΠΗ ὁ ΗΜ ἔστω δή ὅς ΠΖ διπλάσιος ὁ ΖΜ , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς ΖΘ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Γ εἰμί οὖν ὁ μέν ὅλος τμῆμα κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ , ὁ δέ ἐκτός ὁ ὑγρός ὁ Ζ , ὁ δέ ἐντός ἐν ὁ ΘΓ ἵστημι δέ ὁ Γ . δείκνυμι δή ὁμοίως ὁ πρότερος ὅς τίθημι κάθετος ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός καί ὁ διά ὁ Ζ , Γ παρά ὁ τίθημι ἄγω κάθετος καί αὐτός ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός . καταφέρω ἄρα ὁ μέν ἐκτός ὁ ὑγρός τμᾶμα εἰς ὁ κάτω κατά ὁ διά ὁ Ζ , ὁ δέ ἐντός κατά ὁ διά ὁ Γ ἀναφέρω οὖον μένω οὖν ὁ ὅλος τμᾶμα ἀκλινής . οὐδέ μήv καταστρέφω , ὥστε κατά κάθετος ἄγω ὁ ἄγω ἐπί ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , ἐπεί ὁ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Λ κάτω , ὁ δέ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Α εἰς ὁ ἄνω φέρω , διά ὁ ἀνάλογος ὁ λέγω ἐπί ὁ πρό αὐτός . ἐάν δέ ὁ ἄγω πρός ὁ ὑγρός ποιέω γωνία μικρός ὁ Β , ὁμοίως ὁ πρότερος δείκνυμι ὅτι οὖον μένω ὁ τμᾶμα , ἀλλά κλίνω , ἠώς εἄν ὁ ἄγω ποιέω γωνία πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός εἶμι ὁ Β .