ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
archimedes.de-corporibus-fluitantibus 1.pr
Ὑποκείσθω τὸ ὑγρὸν φύσιν ἔχον τοιαύταν , ὥστε τῶν μερέων αὐτοῦ τῶν ἐξ ἴσου κειμένων καὶ συνεχέων ἐόντων ἐξωθεῖσθαι τὸ ἧσσον θλιζόμενον ὑπὸ τοῦ μᾶλλον θλιβομένου , καὶ ἕκαστον δὲ τῶν μερέων αὐτοῦ θλίζεσθαι τῷ ὑπεράνω αὐτοῦ ὑγρῷ κατὰ κάθετον ἐόντι , εἴ κα μὴ τὸ ὑγρὸν ᾖ καθειργμένον ἔν τινι καὶ ὑπʼ ἄλλου τινὸς θλιβόμενον .
Lemmas: ὑπόκειμαι ὁ ὑγρός φύσις ἔχω τοιοῦτος , ὥστε ὁ μέρος αὐτός ὁ ἐκ ἴσος κεῖμαι καί συνεχής εἰμί ἐξωθέω ὁ κακός θλιζομενω ὑπό ὁ μᾶλλον θλίβω , καί ἕκαστος δέ ὁ μέρος αὐτός θλιζω ὁ ὑπεράνω αὐτός ὑγρός κατά κάθετος εἰμί , εἰμί ἄν μή ὁ ὑγρός εἰμί κατείργω ἐν τις καί ὑπό ἄλλος τις θλίβω .
archimedes.de-corporibus-fluitantibus 1.1
Εἴ κα ᾖ ἐπιφάνειά τις ἐπιπέδῳ τεμνομένα διά τινος ἀεὶ τοῦ σαμείου τὰν τομὰν ποιέοντι circuli periferiam centrum habentem signum , per quod plano secatur , sperae erit superficies . Sit enim superficies aliqua secta per signum Κ plano semper sectionem faciente circuli periferiam , centrum autem ipsius K . Si igitur ipsa superficies non est sperae superficies , non erunt omnes quae a centro ad superficiem occurrentes lineae aequales . Sint itaque quae A , B , G , D signa in superficie , et inaequales quae AK , KB , per ipsas autem KA , KΒ planum educatur et faciat sectionem in superficie ineam DABG ; circuli ergo est ipsa , centrum autem ipsius K , quoniam supponebatur superficies talis . Non sunt ergo inaequale es lineae KA , KB ; necessarium igitur est superficiem esse sperae superficiem .
Lemmas: εἰμί ἄν εἰμί ἐπιφάνεια τις ἐπίπεδος τέμνω διά τις ἀεί ὁ σαμεῖον ὁ τομή ποιέω circuli periferiam centrum habentem signum , per quod plano secatur , sperae erit superficies . Sit enim superficies aliqua secta per signum Κ plano semper sectionem faciente circuli periferiam , centrum autem ipsius K . Si igitur ipsa superficies non est sperae superficies , non erunt omnes quae a centro ad superficiem occurrentes lineae aequales . Sint itaque quae A , B , G , D signa in superficie , et inaequales quae AK , KB , per ipsas autem KA , KΒ planum educatur et faciat sectionem in superficie ineam DABG ; circuli ergo est ipsa , centrum autem ipsius K , quoniam supponebatur superficies talis . Non sunt ergo inaequale es lineae KA , KB ; necessarium igitur est superficiem esse sperae superficiem .
archimedes.de-corporibus-fluitantibus 1.5
Τῶν στερεῶν μεγεθέων ὅ κα ᾖ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ , ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ἐς τοσοῦτο καταδύσεται , ὥστε ταλικοῦτον ὄγκον τοῦ ὑγροῦ , ἁλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ καταδεδυκότος ὄγκος , ἴσον βάρος ἔχειν ὅλῳ τῷ μεγέθει . Κατεσκευάσθω ταὐτὰ τοῖς πρότερον , καὶ ἔστω τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον , ἔστω δὲ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ τὸ ΕΖΗΘ μέγεθος . Ἐπεὶ οὖν ἀκίνητόν ἐστιν τὸ ὑγρόν , ὁμοίως θλιβήσεται τὰ μέρεα αὐτοῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα · ὁμοίως ἄρα θλιβήσεται τὸ ὑγρὸν τὸ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰς ΞΟ καὶ ΠΟ περιφερείας · ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ βάρος , ᾧ θλίβονται . Ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑγροῦ τὸ βάρος τοῦ ἐν τᾷ πρώτᾳ πυραμίδι χωρὶς τοῦ ΒΗΘΓ στερεοῦ ἴσον τῷ βάρει τῷ τοῦ ἐν τᾷ ἑτέρᾳ πυραμίδι χωρὶς τοῦ ΡΣΤΥ ὑγροῦ · δῆλον οὖν ὅτι τὸ τοῦ ΕΖΗΘ μεγέθεος βάρος ἴσον ἐστὶ τῷ τοῦ ΡΣΤΥ ὑγροῦ βάρει . Φανερὸν οὖν ὅτι ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑγροῦ , ἁλίκον ἐστὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ στερεοῦ μεγέθεος , ἴσον βάρος ἔχει ὅλῳ τῷ μεγέθει .
Lemmas: ὁ στερεός μέγεθος ὅς ἄν εἰμί κοῦφος ὁ ὑγρός , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός εἰς τοσοῦτος καταδύω , ὥστε ταλικουος ὄγκος ὁ ὑγρός , ἁλίκος εἰμί ὁ ὁ καταδύω ὄγκος , ἴσος βάρος ἔχω ὅλος ὁ μέγεθος . κατασκευάζω αὐτός ὁ πρότερος , καί ἵστημι ὁ ὑγρός ἀκίνητος , ἵστημι δέ κοῦφος ὁ ὑγρός ὁ ΕΖΗΘ μέγεθος . ἐπεί οὖν ἀκίνητος εἰμί ὁ ὑγρός , ὁμοίως θλίβω ὁ μέρος αὐτός ὁ ἐκ ἴσος κεῖμαι · ὁμοίως ἄρα θλίβω ὁ ὑγρός ὁ ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ κατά ὁ ΞΟ καί ΠΟ περιφέρεια · ὥστε ἴσος εἰμί ὁ βάρος , ὅς θλίβω . εἰμί δέ καί ὁ ὑγρός ὁ βάρος ὁ ἐν ὁ πρῶτος πυραμίς Χωρὶς ὁ ΒΗΘ στερεός ἴσος ὁ βάρος ὁ ὁ ἐν ὁ ἕτερος πυραμίς Χωρὶς ὁ ΡΣΤΣ ὑγρός · δῆλος οὖν ὅτι ὁ ὁ ΕΖΗΘ μέγεθος βάρος ἴσος εἰμί ὁ ὁ ΡΣΤΣ ὑγρός βάρος . Φανερός οὖν ὅτι ταλικουος ὄγκος ὁ ὑγρός , ἡλίκος εἰμί ὁ δύω ὁ στερεός μέγεθος , ἴσος βάρος ἔχω ὅλος ὁ μέγεθος .
archimedes.de-corporibus-fluitantibus 1.6
Τὰ κουφότερα στερεὰ τοῦ ὑγροῦ βιασθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν ἀναφέρεται τοσαύτᾳ βίᾳ ἐς τὸ ἄνω , ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος , ᾧ βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον ἔχον τῷ μεγέθει . Ἔστω τι μέγεθος τὸ Α κουφότερον τοῦ ὑγροῦ , ἔστω δὲ τοῦ μὲν μεγέθεος τοῦ ἐν ᾧ Α βάρος τὸ Β , τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος τῷ Α τὸ ΒΓ . Δεικτέον ὅτι τὸ Α μέγεθος βιασθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν ἀνοισεῖται ἐς τὸ ἐπάνω τοσαύτᾳ βίᾳ , ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος τὸ Γ . Λελάφθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἐν ᾧ τὸ △ βάρος ἴσον ἔχον τῷ Γ · τὸ δὴ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἐν οἷς Α , △ μεγεθέων ἐς τὰ αὐτὰ συντεθέντων κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ · ἔστι γὰρ τοῦ μὲν μεγέθεος τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων βάρος τὸ ΒΓ , τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος αὐτῷ μεῖβον τοῦ ΒΓ διὰ τὸ τοῦ ἴσον ἔχοντος ὄγκον τῷ τοῦ Α τὸ βάρος εἶμεν τὸ ΒΓ . Ἀφεθὲν οὖν ἐς τὸ ὑγρὸν τὸ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν Α , △ συγκείμενον ἐς τοσοῦτον δύσεται , ἔστε κα ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑγροῦ , ἁλίκον καὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ μεγέθεος , ἴσον βάρος ἔχῃ τῷ ὅλῳ μεγέθει · δέδεικται γὰρ τοῦτο . Ἔστω δὴ ἐπιφάνειά τινος ὑγροῦ ἁ ΑΒΓ△ περιφέρεια . Ἐπεὶ οὖν ὁ ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑγροῦ , ἁλίκον ἐστὶ τὸ Α μέγεθος , ἴσον βάρος ἔχει τοῖς Α , △ μεγέθεσιν , δῆλον ὅτι τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ ἐσσεῖται τὸ Α μέγεθος , τὸ δὲ λοιπὸν αὐτοῦ , ἐν ᾧ △ , ἐσσεῖται ὅλον ὑπὲρ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας · εἰ γὰρ αδέδυκεν τὸ στερεόν , ἕπεται τούτου δεδειγμένου . Δῆλον οὖν ὅτι ἐς τὸ ἄνω φέρεται τὸ Α μέγεθος ὑπὸ τοῦ ἄνω τοῦ △ ἐς τὸ κάτω , ἐπεὶ οὐδέτερον ὑπʼ οὐδετέρου ἐξωθεῖτο . Ἀλλὰ τὸ △ ἐς τὸ κάτω θλίβει τοσούτῳ βάρει , ἁλίκον ἐστὶ τὸ Γ · ὑπέκειτο γὰρ τὸ βάρος τοῦ ἐν ᾧ τὸ △ εἶμεν ἴσον τῷ Γ · δῆλον οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὁ κοῦφος στερεός ὁ ὑγρός βιάζω εἰς ὁ ὑγρός ἀναφέρω τοσοῦτος βία εἰς ὁ ἄνω , ὅσος εἰμί ὁ βάρος , ὅς βαρύς εἰμί ὁ μέγεθος ὁ ὑγρός ὁ ἴσος ὄγκος ἔχω ὁ μέγεθος . ἔστω τίς μέγεθος ὁ Α κοῦφος ὁ ὑγρός , ἵστημι δέ ὁ μέν μέγεθος ὁ ἐν ὅς Α βάρος ὁ Β , ὁ δέ ὑγρός ὁ ἴσος ὄγκος ἔχω ὁ Α ὁ ΒΓ . δείκνυμι ὅτι ὁ Α μέγεθος βιάζω εἰς ὁ ὑγρός ἀναφέρω εἰς ὁ ἐπάνω τοσοῦτος βία , ὅσος εἰμί ὁ βάρος ὁ Γ . λαμβάνω γάρ τίς μέγεθος ὁ ἐν ὅς ὁ △ βάρος ἴσος ἔχω ὁ Γ · ὁ δή μέγεθος ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ ἐν ὅς Α , △ μέγεθος εἰς ὁ αὐτός συντίθημι κοῦφος εἰμί ὁ ὑγρός · εἰμί γάρ ὁ μέν μέγεθος ὁ ἐκ ἀμφότερος βάρος ὁ ΒΓ , ὁ δέ ὑγρός ὁ ἴσος ὄγκος ἔχω αὐτός μείβνυμι ὁ ΒΓ διά ὁ ὁ ἴσος ἔχω ὄγκος ὁ ὁ Α ὁ βάρος ἄγω ὁ ΒΓ . ἀφίημι οὖν εἰς ὁ ὑγρός ὁ μέγεθος ὁ ἐκ ἀμφότερος ὁ Α , △ σύγκειμαι εἰς τοσοῦτος δύο , εἰμί ἄν ταλικουος ὄγκος ὁ ὑγρός , ἡλίκος καί ὁ δύω ὁ μέγεθος , ἴσος βάρος ἔχω ὁ ὅλος μέγεθος · δείκνυμι γάρ οὗτος . ἔστω δή ἐπιφάνεια τις ὑγρός ὅς ΑΒΓ△ περιφέρεια . ἐπεί οὖν ὁ ταλικουος ὄγκος ὁ ὑγρός , ἡλίκος εἰμί ὁ Α μέγεθος , ἴσος βάρος ἔχω ὁ Α , △ μέγεθος , δῆλος ὅτι ὁ δύω αὐτός εἰμί ὁ Α μέγεθος , ὁ δέ λοιπός αὐτός , ἐν ὅς △ , εἰμί ὅλος ὑπέρ ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια · εἰμί γάρ ἀδέω ὁ στερεός , ἕπω οὗτος δείκνυμι . Δῆλος οὖν ὅτι εἰς ὁ ἄνω φέρω ὁ Α μέγεθος ὑπό ὁ ἄνω ὁ △ εἰς ὁ κάτω , ἐπεί οὐδέτερος ὑπό οὐδέτερος ἐξωθέω . ἀλλά ὁ △ εἰς ὁ κάτω θλίβω τοσοῦτος βάρος , ἡλίκος εἰμί ὁ Γ · ὑπόκειμαι γάρ ὁ βάρος ὁ ἐν ὅς ὁ △ ἄγω ἴσος ὁ Γ · δῆλος οὖν ὅς ἐσθίω δείκνυμι .
archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.1
Εἴ κά τι μέγεθος κουφότερον ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῇ ἐς τὸ ὑγρόν , τοῦτον ἕξει τὸν λόγον τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν , ὃν ἔχει τὸ δεδυκὸς μέγεθος ποτὶ τὸ ὅλον μέγεθος . Ἀφείσθω γάρ τι εἰς τὸ ὑγρὸν μέγεθος στερεὸν τὸ ΦΑ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ ἐόν , ἔστω δὲ τὸ μὲν δεδυκὸς αὐτοῦ τὸ Α , τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ Φ , Δεικτέον ὅτι τὸ ΦΑ τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσογκον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ . Λελάφθω γάρ τι τοῦ ὑγροῦ μέγεθος τὸ ΝΙ ἴσον ὄγκον ἔχον τῷ ΦΑ , καὶ τῷ μὲν Φ ἴσον ἔστω τὸ Ν , τῷ δὲ Α τὸ Ι , καὶ ἔτι τὸ μὲν τοῦ ΦΑ μεγέθεος βάρος ἔστω τὸ Β , τοῦ δὲ ΝΙ τὸ ΡΟ , τοῦ δὲ Ι τὸ Ρ τὸ ΦΑ ἄρα ποτὶ τὸ ΝΙ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ Β ποτὶ τὸ ΡΟ , Ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ΦΑ μέγεθος ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφείθη κουφότερον ὑπάρχον τοῦ ὑγροῦ , δῆλον ὡς ὁ τοῦ δεδυκότος μεγέθεος ὄγκος ἴσον βάρος ἔχει τῷ ΦΑ μεγέθει δέδεικται γὰρ τοῦτο ἴσον ἄρα τὸ Β βάρος τῷ Ρ , ἐπειδὴ τὸ μὲν Β τὸ βάρος ἐστὶ ὅλου τοῦ ΦΑ μεγέθεος , τὸ δὲ Ρ τοῦ l ὑγροῦ , ὃ τῷ μεγέθει ἐγένετο ἴσον τῷ ἴσον ὄγκον ἔχοντι τῷ δεδυκότι μεγέθει τῷ Α ἔχει ἄρα τὸ ΦΑ μέγεθος τῷ βάρει ποτὶ τὸ ΝΙ ὡς τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ Ι ποτὶ τὸ ΙΝ καὶ τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ δέδεικται ἄρα τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰμί ἀλκή τίς μέγεθος κοῦφος εἰμί ὁ ὑγρός ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός , ὅς ἔχω ὁ δύω μέγεθος πρός ὁ ὅλος μέγεθος . ἀφίημι γάρ τίς εἰς ὁ ὑγρός μέγεθος στερεός ὁ ΦΑ κοῦφος ὁ ὑγρός εἰμί , ἵστημι δέ ὁ μέν δύω αὐτός ὁ Α , ὁ δέ ἐκτός ὁ ὑγρός ὁ Φ , δείκνυμι ὅτι ὁ ΦΑ ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός ὁ ἴσογκος οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ Α πρός ὁ ΦΑ . λαμβάνω γάρ τίς ὁ ὑγρός μέγεθος ὁ Ν ἴσος ὄγκος ἔχω ὁ ΦΑ , καί ὁ μέν Φ ἴσος ἵστημι ὁ Ν , ὁ δέ Α ὁ Ι , καί ἔτι ὁ μέν ὁ ΦΑ μέγεθος βάρος ἵστημι ὁ Β , ὁ δέ Ν ὁ ΡΟ , ὁ δέ Ι ὁ Ρ ὁ ΦΑ ἄρα πρός ὁ Ν οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ Β πρός ὁ ΡΟ , ἀλλά ἐπεί ὁ ΦΑ μέγεθος εἰς ὁ ὑγρός ἀφίημι κοῦφος ὑπάρχω ὁ ὑγρός , δῆλος ὡς ὁ ὁ δύω2 μέγεθος ὄγκος ἴσος βάρος ἔχω ὁ ΦΑ μέγεθος δείκνυμι γάρ οὗτος ἴσος ἄρα ὁ Β βάρος ὁ Ρ , ἐπεί ὁ μέν Β ὁ βάρος εἰμί ὅλος ὁ ΦΑ μέγεθος , ὁ δέ Ρ ὁ l ὑγρός , ὅς ὁ μέγεθος γίγνομαι ἴσος ὁ ἴσος ὄγκος ἔχω ὁ δείδω μέγεθος ὁ Α ἔχω ἄρα ὁ ΦΑ μέγεθος ὁ βάρος πρός ὁ Ν ὡς ὁ Ρ πρός ὁ ΡΟ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ Ρ πρός ὁ ΡΟ , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ Ι πρός ὁ ΙΝ καί ὁ Α πρός ὁ ΦΑ δείκνυμι ἄρα ὁ προτίθημι .
archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.3
Ὀρθὸν τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ὅταν τὸν ἄξονα ἔχῃ μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , πάντα λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει , ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ , τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμένον , ἀλλʼ ἀποκαταστασεῖται οὕτως , ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κατὰ κάθετον εἶμεν . Ἀφείσθω γάρ τι τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρόν , οἷον εἴρηται , καὶ ἔστω αὐτοῦ ἁ βάσις ἐν τῷ ὑγρῷ , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά , ἄξων δὲ τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΠΦ , τᾶς δὲ ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἁ ΙΣ . Ἐπειδὴ οὖν κεκλιμένον κεῖται τὸ τμᾶμα , οὐκ ἐσσεῖται κατὰ κάθετον ὁ ἄξων οὐκ ἄρα ποιήσει ἁ ΠΦ ἴσας γωνίας ποτὶ τὰν ΙΣ . Ἄχθω δή τις ἁ ΚΩ παρὰ τὰν ΙΣ ἐφαπτομένα κατὰ τὸ Ο τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς , καὶ τοῦ μὲν ΑΠΟΛ στερεοῦ κέντρον ἔστω τοῦ βάρεος τὸ Ρ , τοῦ δὲ ΙΠΟΣ στερεοῦ τὸ Β , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΒΡ ἐκβεβλήσθω , καὶ ἔστω κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ τοῦ ΙΣΛΑ . Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ μὲν ὑπὸ τᾶν ΡΟ , ΟΚ γωνία ὀξεῖα , ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ κάθετος ἐπὶ τὰν ΚΩ ἀγομένα μεταξὺ πίπτουσα τῶν Κ , Ο ἔστω ἁ ΡΘ . Ἐὰν δὴ ἀπὸ τῶν Γ , Β ἀχθέωντί τινες παρὰ τὰν ΡΘ , τὸ μὲν ἐν τῷ ὑγρῷ ἀπολαφθὲν ἐνεχθήσεται ἄνω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν , τὸ δʼ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὰν διὰ τοῦ Β ἀγομέναν κάτω , καὶ οὐ μενεῖ τὸ ΑΠΟΛ στερεὸν οὕτως ἔχον ἐν τῷ ὑγρῷ , ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ τὸ Α ἄνω τὰν φορὰν ἕξει , τὸ δὲ κατὰ τὸ Λ κάτω , ἕως ἂν γένηται ἁ ΠΦ κατὰ κάθετον .
Lemmas: ὀρθός τμᾶμα ὀρθογώνιος κωνοειδής , ὅταν ὁ ἄγω ἔχω μή μείζων ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , πᾶς λόγος ἔχω πρός ὁ ὑγρός ὁ βάρος , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός ὅλοξ ἄγω ἐν ὁ ὑγρός , τίθημι κλίνω οὖον μένω κλίνω , ἀλλά ἀποκαθίστημι οὕτως , ὥστε ὁ ἄγω αὐτός κατά κάθετος ἄγω . ἀφίημι γάρ τίς τμᾶμα εἰς ὁ ὑγρός , οἷος εἴρω , καί ἵστημι αὐτός ὅς βάσις ἐν ὁ ὑγρός , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος διά ὁ ἄγω ὀρθός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός τομή ἵστημι ὅς Απόλ ὀρθογώνιος κῶνος τομή , ἄγω δέ ὁ τμῆμα καί διάμετρος ὁ τομή ὅς πφʹ , ὁ δέ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός τομή ὅς ΙΣ . ἐπεί οὖν κλίνω κεῖμαι ὁ τμᾶμα , οὐ εἰμί κατά κάθετος ὁ ἄγω οὐ ἄρα ποιέω ὅς πφʹ ἴσος γωνία πρός ὁ ΙΣ . ἄγω δή τις ὅς ΚΩ παρά ὁ ΙΣ ἐφάπτω κατά ὁ ὁ ὁ Απόλ τομή , καί ὁ μέν Απόλ στερεός κέντρον ἵστημι ὁ βάρος ὁ Ρ , ὁ δέ ἶπος στερεός ὁ Β , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς ΒΡ ἐκβάλλω , καί ἵστημι κέντρον ὁ βάρος ὁ Γ ὁ Ίσλα . ὅμοιος δή δείκνυμι ὅς μέν ὑπό ὅς ΡΟ , ΟΚ γωνία ὀξύς , ὅς δέ ἀπό ὁ Ρ κάθετος ἐπί ὁ ΚΩ ἄγω μεταξύ πίπτω ὁ Κ , ὁ ἵστημι ὅς ΡΘ . ἐάν δή ἀπό ὁ Γ , Β ἀχθέω τις παρά ὁ ΡΘ , ὁ μέν ἐν ὁ ὑγρός ἀπολάπτω φέρω ἄνω κατά ὁ διά ὁ Γ ἄγω , ὁ δέ ἐκτός ὁ ὑγρός κατά ὁ διά ὁ Β ἄγω κάτω , καί οὖον μένω ὁ Απόλ στερεός οὕτως ἔχω ἐν ὁ ὑγρός , ἀλλά ὁ μέν κατά ὁ Α ἄνω ὁ φορά ἔχω , ὁ δέ κατά ὁ Λ κάτω , ἠώς εἄν γίγνομαι ὅς πφʹ κατά κάθετος .