archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.8
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ὅταν τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον ὃν ἔχει τὰ ιε ποτὶ τὰ δ , ὅταν τὸ βάρος ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς , ᾆ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος , ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν , ὥστε τὰν βάσιν μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , οὔτʼ ἐς ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται οὔτε μενεῖ κεκλιμένον , πλὴν ὁπόταν ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ποιῇ γωνίαν ἴσαν τᾷ μελλούσᾳ λέγεσθαι . Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται , καὶ ἁ Β△ ἴσα τῷ ἄξονι , καὶ ἁ μὲν ΒΚ τᾶς Κ△ διπλασία , ἁ δὲ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος , ἔστω δὲ καὶ ἁ μὲν ΤΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ , ἁ δὲ Τ△ τᾶς ΚΡ , ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν , τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς △Β , ἔστω δὲ καὶ ἁ Φ διπλασία τᾶς Χ . Δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΦΧ ποτὶ τὰν △Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΤΒ ποτὶ τὰν Β△ ἔστι γὰρ ἁ ΤΒ ἁ ὑπεροχά , ᾇ μείζων ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄξων τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος ἐλάσσων ἄρα ἁ ΦΧ τᾶς ΒΤ ὥστε καὶ ἁ Φ τᾶς ΒΡ . Ἔστω δὴ τᾷ Φ ἴσα ἁ ΡΨ , καὶ τᾷ Β△ ὀρθὰ ἄχθω ἁ ΨΕ δυναμένα τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΚΡ , ΒΨ , καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΒΕ . Δεικτέον ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὡς εἴρηται καταστασεῖται κεκλιμένον , ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν ἴσαν τᾷ ΕΒΨ . Ἀφείσθω γάρ τι ἐς τὸ ὑγρὸν τμᾶμα , καὶ ἁ βάσις αὐτοῦ μὴ ἁπτέσθω τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , καί , εἰ δυνατόν , μὴ ποιείσθω ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἴσαν τᾷ Β , ἀλλὰ μείζω πρῶτον . Τμαθέντος δὴ τοῦ τμάματος ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά , ἐν δὲ τᾷ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείᾳ ἁ ΞΣ , ἄξων δὲ καὶ διάμετρος ἁ ΝΟ , Ἄχθω δὴ καὶ ἁ μὲν ΠΥ παρὰ τὰν ΞΣ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς κατὰ τὸ Π , ἁ δὲ ΠΜ παρὰ τὰν ΝΟ , ἁ δὲ ΠΙ κάθετος ἐπὶ τὰν ΝΟ , καὶ τᾷ ΒΡ ἔστω ἴσα ἁ ΟΩ , τᾷ δὲ ΡΚ ἁ ΩΘ , καὶ ὀρθὰ ἁ ΩΗ τῷ ἄξονι . Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὁ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν μείζονα τᾶς Β , δῆλον ὅτι τοῦ ΠΙΥ τριγώνου ἁ ποτὶ τῷ Υ γωνία μείζων τᾶς Β μείζονα δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ . Ἀλλʼ ὃν μὲν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ , τοῦτον ἔχει ἁ ΚΡ ποτὶ ΥΙ , ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ , τοῦτον ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΚΡ ποτὶ τὰν ΥΙ ἤπερ ἁ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ ἐλάσσων ἄρα ἢ διπλασία ἁ ΥΙ τᾶς ΨΒ . Τᾶς δὲ ΟΙ διπλασία ἁ ΙΥ ἐλάσσων ἄρα ἁ ΟΙ τᾶς ΨΒ . ὥστε ἁ ΙΩ μείζων ἐστὶ τᾶς ΨΡ . Ἁ δὲ ΨΡ ἴσα ἐστὶ τᾷ Φ μείζων ἄρα ἐστὶν ἁ ΙΩ τᾶς Φ . Καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἔχειν λόγον , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ ποτὶ τὸ ὅλον τμᾶμα , ὃν δὲ τὸ δεδυκὸς ποτὶ τὸ ὅλον , τοῦτον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΜ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΝ , ὃν ἄρα λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΜΠ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΝ ἴσα ἄρα ἐστὶν ἁ ΦΧ τᾷ ΠΜ . Ἁ δὲ ΠΗ ἐδείχθη μείζων ἐοῦσα τᾶς Φ δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΠΜ ἐλάσσων ἢ ἡμιολία ἐστὶν τᾶς ΠΗ , ἁ δὲ ΠΗ τᾶς ΗΜ μείζων ἢ διπλασίων . Ἔστω οὖν ἁ ΠΖ διπλασίων τᾶς ΖΜ · ἐσσεῖται δὴ τὸ μὲν Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ στερεοῦ , τοῦ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Ζ τοῦ δὴ λοιποῦ μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς ΖΘ εὐθείας ἐπιζευχθείσας καὶ ἐκβλτηθείσας . Ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ · δειχθήσεται δὴ ὁμοίως ἁ ΘΗ κάθετος ἐοῦσα ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν , καὶ τὸ μὲν ἐντὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὰν διὰ τοῦ Ζ ἀγμέναν κάθετον ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν , τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἐντὸς κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ · οὐ μενεῖ δὴ τὸ τμᾶμα κατὰ τὰν ὑποκειμέναν κλίσιν . Οὐδὲ μὴν εἰς τὸ ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται . Δῆλον δὲ διὰ τούτων · ἐπειδὴ τῶν ἀγμένων διὰ τῶν Ζ , Γ καθέτων ἁ μὲν διὰ τοῦ Ζ ἀγμένα τᾶς ΓΖ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρεα πίπτει , ἐφʼ ἅ ἐστι τὸ Λ , ἁ δὲ διὰ τοῦ Γ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Α , δῆλον ὅτι διὰ τὰ προειρημένα τὸ μὲν Ζ κέντρον ἄνω οἰσθήσεται , τὸ δὲ Γ κάτω · ὥστε τοῦ ὅλου μεγέθεος τὰ μέρεα τὰ ἀπὸ τοῦ Α κάτω οἰσθήσεται . Τοῦτο δʼ ἦν εὔχρηστον ποτὶ τὸ δεῖξαι . Ὑποκείσθω πάλιν τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτά , ὁ δὲ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιείτω γωνίαν ἐλάσσονα τᾶς ποτὶ τῷ Β · ἐλάσσονα δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ καὶ ἁ ΚΡ ἄρα ποτὶ τὰν ΥΙ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ . Μείζων ἄρα ἐσσεῖται ἢ διπλασίων ἁ ΙΥ τᾶς ΨΒ ἁ ἄρα ΩΙ ἐλάσσων τᾶς ΨΡ . Ἐσσεῖται οὖν καὶ ἁ ΠΗ ἐλάσσων τᾶς Φ . Ἁ δὲ ΜΓ τᾷ ΦΧ ἴσα · δῆλον οὖν ὅτι μείζων ἢ ἡμιολία ἁ ΠΜ τᾶς ΠΗ , ἁ δὲ ΠΗ ἐλάσσων ἢ διπλασίων τᾶς ΗΜ Ἔστω οὖν ἁ ΠΖ τᾶς ΖΜ διπλασία . Πάλιν οὖν τοῦ μὲν ὅλου κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ Θ , τοῦ δʼ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Ζ · ἐπιζευχθείσας δὴ τᾶς ΖΘ καὶ ἐκβληθείσας ἐσσεῖται τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἐπὶ τᾶς ἐκβληθείσας . Ἔστω τὸ Γ , καὶ ἄχθωσαν κάθετοι ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν διὰ τῶν Ζ , Γ παρὰ τὰν ΗΘ δῆλον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ ὅλον τμᾶμα , ἀλλὰ κλιθήσεται , ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν μείζονα ἇς νῦν ποιεῖ . Ἐπεὶ οὖν οὔτε γωνίαν μείζονα τᾶς Β ποιοῦντος τοῦ ἄξονος ποτὶ τὸ ὑγρὸν σταθήσεται τὸ τμᾶμα οὔτʼ ἐλάσσονα , φανερὸν ὅτι ταλικαύταν ποιοῦντος γωνίαν σταθήσεται οὕτως γὰρ ἁ ΙΟ ἐσσεῖται ἴσα τᾷ ΨΒ καὶ ἁ Ωl τᾷ ΨΡ καὶ τᾷ Φ ἁ ΠΗ · ἡμιολία ἄρα ἐσσεῖται ἁ ΜΠ τᾶς ΠΗ , ἁ δὲ ΠΗ τᾶς ΗΜ διπλασία . Τὸ Η ἄρα τοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ βάρεος κέντρον ἐστίν ὥστε κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον ἀνενεχθήσεται , καὶ τὸ ἐκτὸς ἐς τὸ κάτω ἐνεχθήσεται . Μενεῖ ἄρα ἀντωθοῦνται γὰρ ὑπʼ ἀλλάλων .
Lemmas: ὁ ὀρθός τμᾶμα ὁ ὀρθογώνιος κωνοειδής , ὅταν ὁ ἄγω ἔχω μείζων ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , μικρός δέ ἢ ὥστε πρός ὁ μέχρι ὁ ἄγω οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὅς ἔχω ὁ εἶμι πρός ὁ δ , ὅταν ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός μικρός λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὑπεροχή , ἆ μείζων εἰμί ὁ ἄγω ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἄγω , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός , ὥστε ὁ βάσις μή ἅπτω ὁ ὑγρός , οὔτε εἰς ὀρθός ἀποκαθίστημι οὔτε μένω κλίνω , πλήν ὁπόταν ὁ ἄγω αὐτός πρός ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια ποιέω γωνία εἶμι ὁ μέλλω λέγω . ἔστω τμᾶμα οἷος εἴρω , καί ὅς Β△ ἴσος ὁ ἄγω , καί ὅς μέν ΒΚ ὁ Κ△ διπλάσιος , ὅς δέ ΚΡ ἴσος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , ἵστημι δέ καί ὅς μέν ΤΒ ἡμιολία ὁ ΒΡ , ὅς δέ Τ△ ὁ ΚΡ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός , οὗτος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΦΧ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ △Β , ἵστημι δέ καί ὅς Φ διπλάσιος ὁ Χ . Δῆλος οὖν ὅτι ὅς ΦΧ πρός ὁ △Β μικρός λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὅς ΤΒ πρός ὁ Β△ εἰμί γάρ ὅς ΤΒ ὅς ὑπεροχή , ὅς μείζων ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄγω ὁ μέχρι ὁ ἄγω μικρός ἄρα ὅς ΦΧ ὁ ΒΤ ὥστε καί ὅς Φ ὁ ΒΡ . ἔστω δή ὁ Φ ἴσος ὅς ΡΨ , καί ὁ Β△ ὀρθός ἄγω ὅς ψε δύναμαι ὁ ἥμισυς ὁ ὑπό ὁ ΚΡ , ΒΨ , καί ἐπιζεύγνυμι ὅς ΒΕ . δείκνυμι ὅτι ὁ τμᾶμα ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός ὡς εἴρω καθίστημι κλίνω , ὥστε ὁ ἄγω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός ποιέω γωνία εἶμι ὁ ΕΒ . ἀφίημι γάρ τίς εἰς ὁ ὑγρός τμᾶμα , καί ὅς βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καί , εἰμί δυνατός , μή ποιέω ὁ ἄγω αὐτός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός εἶμι ὁ Β , ἀλλά μείζων πρῶτος . τέμνω δή ὁ τμῆμα ἐπίπεδος διά ὁ ἄγω ὀρθός πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός τομή ἵστημι ὅς Απόλ ὀρθογώνιος κῶνος τομή , ἐν δέ ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια ὅς ΞΣ , ἄγω δέ καί διάμετρος ὅς ΝΟ , ἄγω δή καί ὅς μέν ΠΥ παρά ὁ ΞΣ ἐφάπτω ὁ Απόλ τομή κατά ὁ Π , ὅς δέ ΠΜ παρά ὁ ΝΟ , ὅς δέ ΠΙ κάθετος ἐπί ὁ ΝΟ , καί ὁ ΒΡ ἵστημι ἴσος ὅς ΟΩ , ὁ δέ ΡΚ ὅς ΩΘ , καί ὀρθός ὅς ΗΩ ὁ ἄγω . ἐπεί οὖν ὑπόκειμαι ὁ ἄγω ὁ τμῆμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός γωνία ποιέω μείζων ὁ Β , δῆλος ὅτι ὁ ΠΥ τρίγωνος ὅς πρός ὁ Υ γωνία μείζων ὁ Β μείζων δή λόγος ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΠΙ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΙΥ ἢ ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΕΨ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΨΒ . ἀλλά ὅς μέν λόγος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΠΙ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΙΥ , οὗτος ἔχω ὅς ΚΡ πρός ΥΙ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΕΨ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΨΒ , οὗτος ἔχω ὅς ἥμισυς ὁ ΚΡ πρός ὁ ΨΒ μείζων ἄρα λόγος ἔχω ὅς ΚΡ πρός ὁ ΥΙ ἤ2 ὅς ἥμισυς ὁ ΚΡ πρός ὁ ΨΒ μικρός ἄρα ἢ διπλάσιος ὅς ΥΙ ὁ ΨΒ . ὁ δέ ὁ διπλάσιος ὅς ΙΥ μικρός ἄρα ὅς ὁ ὁ ΨΒ . ὥστε ὅς Ἰώ μείζων εἰμί ὁ ΨΡ . ἁ δέ ΨΡ ἴσος εἰμί ὁ Φ μείζων ἄρα εἰμί ὅς Ἰώ ὁ Φ . καί ἐπεί ὑπόκειμαι ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός ἔχω λόγος , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΦΧ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ τμᾶμα ὁ βάρος πρός ὁ ὑγρός , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ δύω αὐτός πρός ὁ ὅλος τμᾶμα , ὅς δέ ὁ δύω πρός ὁ ὅλος , οὗτος ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΠΜ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΟΝ , ὅς ἄρα λόγος ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΦΧ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Β△ , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΜΠ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΟΝ ἴσος ἄρα εἰμί ὅς ΦΧ ὁ ΠΜ . ἁ δέ ΠΗ δείκνυμι μείζων εἰμί ὁ Φ δῆλος οὖν ὅτι ὅς ΠΜ μικρός ἢ ἡμιολία εἰμί ὁ ΠΗ , ὅς δέ ΠΗ ὁ ΗΜ μείζων ἢ διπλάσιος . ἔστω οὖν ὅς ΠΖ διπλάσιος ὁ ΖΜ · εἰμί δή ὁ μέν Θ κέντρον ὁ βάρος ὁ στερεός , ὁ δέ ἐν ὁ ὑγρός ὁ Ζ ὁ δή λοιπός μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ΖΘ εὐθύς ἐπιζεύγνυμι καί ἐκβλτέω . ἐκβάλλω ἐπί ὁ Γ · δείκνυμι δή ὁμοίως ὅς τίθημι κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καί ὁ μέν ἐντός ὁ ὑγρός τμᾶμα φέρω εἰς ὁ ἐκτός ὁ ὑγρός κατά ὁ διά ὁ Ζ ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , ὁ δέ ἐκτός ὁ ὑγρός φέρω εἰς ὁ ἐντός κατά ὁ διά ὁ Γ · οὖον μένω δή ὁ τμᾶμα κατά ὁ ὑπόκειμαι κλίσις . οὐδέ μήv εἰς ὁ ὀρθός ἀποκαθίστημι . Δῆλος δέ διά οὗτος · ἐπεί ὁ ἄγω διά ὁ Ζ , Γ κάθετος ὅς μέν διά ὁ Ζ ἄγω ὁ ΓΖ ἐπί ὁ αὐτός μέρος πίπτω , ἐπί ὅς εἰμί ὁ Λ , ὅς δέ διά ὁ Γ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Α , δῆλος ὅτι διά ὁ προερέω ὁ μέν Ζ κέντρον ἄνω φέρω , ὁ δέ Γ κάτω · ὥστε ὁ ὅλος μέγεθος ὁ μέρος ὁ ἀπό ὁ Α κάτω φέρω . οὗτος δέ εἰμί εὔχρηστος πρός ὁ δείκνυμι . ὑπόκειμαι πάλιν ὁ μέν ἄλλος ὁ αὐτός , ὁ δέ ἄγω ὁ τμῆμα πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός ποιέω γωνία μικρός ὁ πρός ὁ Β · μικρός δή λόγος ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΠΙ πρός ὁ ἀπό ὁ ΙΥ ἢ ὁ ἀπό ὁ ΕΨ πρός ὁ ἀπό ὁ ΨΒ καί ὅς ΚΡ ἄρα πρός ὁ ΥΙ μικρός λόγος ἔχω ἤ2 ὅς ἥμισυς ὁ ΚΡ πρός ὁ ΨΒ . μείζων ἄρα εἰμί ἢ διπλάσιος ὅς ΙΥ ὁ ΨΒ ὅς ἄρα ΩΙ μικρός ὁ ΨΡ . εἰμί οὖν καί ὅς ΠΗ μικρός ὁ Φ . ἁ δέ ΜΓ ὁ ΦΧ ἴσος · δῆλος οὖν ὅτι μείζων ἢ ἡμιολία ὅς ΠΜ ὁ ΠΗ , ὅς δέ ΠΗ μικρός ἢ διπλάσιος ὁ ΗΜ ἔστω οὖν ὅς ΠΖ ὁ ΖΜ διπλάσιος . πάλιν οὖν ὁ μέν ὅλος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ , ὁ δέ ἐν ὁ ὑγρός ὁ Ζ · ἐπιζεύγνυμι δή ὁ ΖΘ καί ἐκβάλλω εἰμί ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ ἐκτός ὁ ὑγρός ἐπί ὁ ἐκβάλλω . ἔστω ὁ Γ , καί ἄγω κάθετος ἐπί ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια διά ὁ Ζ , Γ παρά ὁ ΗΘ δῆλος οὖν ὅτι οὖον μένω ὁ ὅλος τμᾶμα , ἀλλά κλίνω , ὥστε ὁ ἄγω πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός ποιέω γωνία μείζων ὅς νῦν ποιέω . ἐπεί οὖν οὔτε γωνία μείζων ὁ Β ποιέω ὁ ἄγω πρός ὁ ὑγρός ἵστημι ὁ τμᾶμα οὔτε μικρός , φανερός ὅτι ταλικαυος ποιέω γωνία ἵστημι οὕτως γάρ ὅς Ίος εἰμί ἴσος ὁ ΨΒ καί ὅς ΩΩ ὁ ΨΡ καί ὁ Φ ὅς ΠΗ · ἡμιολία ἄρα εἰμί ὅς ΜΠ ὁ ΠΗ , ὅς δέ ΠΗ ὁ ΗΜ διπλάσιος . ὁ ὁ ἄρα ὁ ἐν ὁ ὑγρός βάρος κέντρον εἰμί ὥστε κατά ὁ αὐτός κάθετος ἀναφέρω , καί ὁ ἐκτός εἰς ὁ κάτω φέρω . Μένω ἄρα ἀντωθέω γάρ ὑπό ἀλλήλων .