archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.2
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ὅταν τὸν ἄξονα ἔχῃ μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , πάντα λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει , ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμένον , ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν . Ὀρθὸν δὲ λέγω καθεστακέναι τὸ τοιοῦτο τμᾶμα , ὁπόταν τὸ ἀποτετμακὸς αὐτὸ ἐπίπεδον παρὰ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ . Ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος , οἷον εἴρηται , καὶ κείσθω κεκλιμένον . Δεικτέον ὅτι οὐ μενεῖ , ἀλλʼ ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν . Τμαθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπὶ τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ τμάματος ἔστω τομὰ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά , ἄξων δὲ τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΝΟ , τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τομὰ ἁ ΙΣ . Ἐπεὶ οὖν τὸ τμᾶμα οὐκ ἐστὶν ὀρθόν , οὐκ ἂν εἴη παράλληλος ἁ ΑΛ τᾷ ΙΣ · ὥστε οὐ ποιήσει ὀρθὰν γωνίαν ἁ ΝΟ ποτὶ τὰν ΙΣ . Ἄχθω οὖν παράλληλος ἁ ἐφαπτομένα ἁ ΚΩ τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Π , καὶ ἀπὸ τοῦ Π παρὰ τὰν ΝΟ ἀχθῶ ἁ ΠΦ τέμνει δὴ ἁ ΠΦ δίχα τὰν ΙΣ δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς . Τετμάσθω ἁ ΠΦ , ὥστε εἶμεν διπλασίαν τὰν ΠΒ τᾶς ΒΦ , καὶ ἁ ΝΟ κατὰ τὸ Ρ τετμάσθω , ὥστε καὶ τὰν ΟΡ τᾶς ΡΝ διπλασίαν εἶμεν ἐσσεῖται δὴ τοῦ μείζονος ἀποτμάματος τοῦ στερεοῦ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ , τοῦ δὲ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τὸ Β δέδεικται γὰρ ἐν ταῖς Ἰσορροπίαις , ὅτι παντὸς ὀρθογωνίου κωνοειδέος τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος διῃρημένου οὕτως , ὥστε τὸ ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ ἄξονος τμᾶμα διπλάσιον εἶμεν τοῦ λοιποῦ . Ἀφαιρεθέντος δὴ τοῦ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τμάματος στερεοῦ ἀπὸ τοῦ ὅλου τοῦ λοιποῦ τὸ κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΒΓ εὐθείας δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς Στοιχείοις τῶν μηχανικῶν ὅτι , εἴ κα μέγεθος ἀφαιρεθῇ μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τοῦ βάρεος τῷ ὅλῳ μεγέθει , τοῦ λοιποῦ τὸ κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ τε ὅλου μεγέθεος καὶ τοῦ ἀφῃρημένου ἐκβεβημένας ἐπὶ τὰ αὐτά , ἐφʼ ἃ τὸ κέντρον τοῦ ὅλου μεγέθεος ἐστιν , Ἐκβεβλήσθω δὴ ἁ ΒΡ ἐπὶ τὸ Γ , καὶ ἔστω τὸ Γ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ λοιποῦ μεγέθεος . Ἐπεὶ οὖν ἁ ΝΟ τᾶς μὲν ΟΡ ἡμιολία , τᾶς δὲ μέχρι τοῦ ἄξονος οὐ μείζων ἢ ἡμιολία , δῆλον ὅτι ἁ ΡΟ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος οὐκ ἐστὶ μείζων ἁ ΠΡ ἄρα ποτὶ τὰν ΚΩ γωνίας ἀνίσους ποιεῖ , καὶ ἁ ὑπὸ τῶν ΡΠΩ γίνεται ὀξεῖα · ἁ ἀπὸ τοῦ Ρ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὰν ΠΩ ἀγομένα μεταξὺ πεσεῖται τῶν Π , Ω . Πιπτέτω ὡς ἁ ΡΘ ἁ ΡΘ ἄρα ὀρθά ἐστιν ποτὶ τὸκος ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ ΣΙ , ὅ ἐστιν ἐπὶ τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ . Ἄχθωσαν δή τινες ἀπὸ τῶν Β , Γ παρὰ τὰν ΡΘ ἐνεχθήσεται δὴ τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τοῦ μεγέθεος εἰς τὸ κάτω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν κάθετον · ὑπόκειται γὰρ ἕκαστον τῶν βαρέων εἰς τὸ κάτω φέρεσθαι κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ κέντρου ἀγομέναν τὸ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ μέγεθος , ἐπεὶ κουφότερον γίνεται τοῦ ὑγροῦ , ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἄνω κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ Β ἀγομέναν . Ἐπεὶ δὲ οὐ κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον ἀλλάλοις ἀντιθλίβονται , οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα , ἀλλὰ τὰ μὲν κατὰ τὸ Α εἰς τὸ ἄνω ἐνεχθήσεται , τὰ δὲ κατὰ τὸ Λ εἰς τὸ κάτω , καὶ τοῦτο ἀεὶ ἐσσεῖται , ἕως ἂν ὀρθὸν ἀποκατασταθῇ .
Lemmas: ὁ ὀρθός τμᾶμα ὁ ὀρθογώνιος κωνοειδής , ὅταν ὁ ἄγω ἔχω μή μείζων ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , πᾶς λόγος ἔχω πρός ὁ ὑγρός ὁ βάρος , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μή ἅπτω ὁ ὑγρός , τίθημι κλίνω οὖον μένω κλίνω , ἀλλά ἀποκαθίστημι ὀρθός . ὀρθός δέ λέγω καθίστημι ὁ τοιοῦτος τμᾶμα , ὁπόταν ὁ ἀποτέμνω αὐτός ἐπίπεδος παρά ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός . ἔστω τμᾶμα ὀρθογώνιος κωνοειδής , οἷος εἴρω , καί κεῖμαι κλίνω . δείκνυμι ὅτι οὖον μένω , ἀλλά ἀποκαθίστημι ὀρθός . τέμνω δή αὐτός ἐπίπεδος διά ὁ ἄγω ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός τμῆμα ἵστημι τομή ὅς Απόλ ὀρθογώνιος κῶνος τομή , ἄγω δέ ὁ τμῆμα καί διάμετρος ὁ τομή ὅς ΝΟ , ὁ δέ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια τομή ὅς ΙΣ . ἐπεί οὖν ὁ τμᾶμα οὐ εἰμί ὀρθός , οὐ εἄν εἰμί παράλληλος ὅς ΑΛ ὁ ΙΣ · ὥστε οὖον ποιέω ὀρθός γωνία ὅς ΝΟ πρός ὁ ΙΣ . ἄγω οὖν παράλληλος ὅς ἐφάπτω ὅς ΚΩ ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Π , καί ἀπό ὁ Π παρά ὁ ΝΟ ἄγω ὅς πφʹ τέμνω δή ὅς πφʹ δίχα ὁ ΙΣ δείκνυμι γάρ ἐν ὁ κωνικός . τέμνω ὅς πφʹ , ὥστε ἄγω διπλάσιος ὁ ΠΒ ὁ ΒΦ , καί ὅς ΝΟ κατά ὁ Ρ τέμνω , ὥστε καί ὁ ΟΡ ὁ ΡΝ διπλάσιος ἄγω εἰμί δή ὁ μείζων ἀπότμαμα ὁ στερεός κέντρον ὁ βάρος ὁ Ρ , ὁ δέ κατά ὁ ἶπος ὁ Β δείκνυμι γάρ ἐν ὁ ἰσορροπία , ὅτι πᾶς ὀρθογώνιος κωνοειδής τμῆμα ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ ἄγω διαιρέω οὕτως , ὥστε ὁ πρός ὁ κορυφή ὁ ἄγω τμᾶμα διπλάσιος ἄγω ὁ λοιπός . ἀφαιρέω δή ὁ κατά ὁ ἶπος τμῆμα στερεός ἀπό ὁ ὅλος ὁ λοιπός ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ ΒΓ εὐθύς δείκνυμι γάρ οὗτος ἐν ὁ στοιχεῖον ὁ μηχανικός ὅτι , εἰμί ἄν μέγεθος ἀφαιρέω μή ὁ αὐτός κέντρον ἔχω ὁ βάρος ὁ ὅλος μέγεθος , ὁ λοιπός ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ εὐθύς ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κέντρον ὁ τε ὅλος μέγεθος καί ὁ ἀφαιρέω ἐκβαίνω ἐπί ὁ αὐτός , ἐπί ὁ ὁ κέντρον ὁ ὅλος μέγεθος εἰμί , ἐκβάλλω δή ὅς ΒΡ ἐπί ὁ Γ , καί ἵστημι ὁ Γ κέντρον ὁ βάρος ὁ λοιπός μέγεθος . ἐπεί οὖν ὅς ΝΟ ὁ μέν ΟΡ ἡμιολία , ὁ δέ μέχρι ὁ ἄγω οὖον μείζων ἢ ἡμιολία , δῆλος ὅτι ὅς ΡΟ ὁ μέχρι ὁ ἄγω οὐ εἰμί μείζων ὅς ΠΡ ἄρα πρός ὁ ΚΩ γωνία ἄνισος ποιέω , καί ὅς ὑπό ὁ ΠΡ γίγνομαι ὀξύς · ὅς ἀπό ὁ Ρ ἄρα κάθετος ἐπί ὁ ΠΩ ἄγω μεταξύ πίπτω ὁ Π , Ω . πίπτω ὡς ὅς ΡΘ ὅς ΡΘ ἄρα ὀρθός εἰμί πρός τόκος ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὅς ΣΙ , ὅς εἰμί ἐπί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός . ἄγω δή τις ἀπό ὁ Β , Γ παρά ὁ ΡΘ φέρω δή ὁ μέν ἐκτός ὁ ὑγρός ὁ μέγεθος εἰς ὁ κάτω κατά ὁ διά ὁ Γ ἄγω κάθετος · ὑπόκειμαι γάρ ἕκαστος ὁ βάρος εἰς ὁ κάτω φέρω κατά ὁ κάθετος ὁ διά ὁ κέντρον ἄγω ὁ δέ ἐν ὁ ὑγρός μέγεθος , ἐπεί κοῦφος γίγνομαι ὁ ὑγρός , φέρω εἰς ὁ ἄνω κατά ὁ κάθετος ὁ διά ὁ Β ἄγω . ἐπεί δέ οὖον κατά ὁ αὐτός κάθετος ἀλλήλων ἀντιθλίβω , οὖον μένω ὁ σχῆμα , ἀλλά ὁ μέν κατά ὁ Α εἰς ὁ ἄνω φέρω , ὁ δέ κατά ὁ Λ εἰς ὁ κάτω , καί οὗτος ἀεί εἰμί , ἠώς εἄν ὀρθός ἀποκαθίστημι .