archimedes.de-corporibus-fluitantibus 1.8
Εἴ κα στερεόν τι μέγεθος κουφότερον τοῦ ὑγροῦ σφαίρας τμάματος ἔχον σχῆμα εἰς τὸ ὑγρὸν ἀφεθῇ οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , ὀρθὸν καταστασεῖται τὸ σχῆμα οὕτως , ὥστε τὸν ἄξονα τοῦ τμάματος κατὰ κάθετον εἶμεν · καὶ εἴ κα ὑπό τινος ἕλκηται τὸ σχῆμα οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ , οὐ μενεῖ κεκλιμένον , εἴ κα ἀφεθῇ , ἀλλʼ ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται . Νοείσθω γάρ τι μέγεθος , οἷον εἴρηται , ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφεθέν , καὶ διά τε τοῦ ἄξονος τοῦ τμάματος καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς νοείσθω ἐπίπεδον ἐκβεβλημένον , τομὰ δʼ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒΓ△ , τοῦ δὲ σχήματος τοῦ ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφεθέντος ἁ ΕΖΗΘ περιφέρεια , ἄξων δὲ τοῦ τμάματος ἔστω ἁ ΘΖ · τὸ δὴ κέντρον τᾶς σφαίρας ἔστιν ἐπὶ τᾶς ΘΖ . Πρῶτον μὲν , εἰ μεῖβόν ἐστιν ἡμισφαιρίου τὸ τμᾶμα , ἔστω τὸ Κ , καὶ ἔστω , εἰ δυνατόν , κεκλιμένον τὸ σχῆμα ἤτοι ὑπό τινος κλιθὲν ἢ καθ᾿ αὑτό , Δεικτέον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ , ἀλλʼ εἰς ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται , ὥστε τὰ Ζ , Θ κατὰ κάθετον εἶμεν . Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται κεκλίσθαι τὸ σχῆμα , οὐκ ἔστι τὰ Ζ , Θ κατὰ κάθετον . Ἄχθω δὴ διὰ τοῦ Κ καὶ τοῦ Λ ἁ ΚΛ , τὸ δὲ Λ κέντρον ὑποκείσθω τᾶς γᾶς · τὸ δὴ σχῆμα τὸ ἐν τῷ ὑγρῷ ἀπολελαμμένον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τᾶς ΚΛ · εἰ γάρ κα δύο σφαιρᾶν ἐπιφάνειαι τέμνωντι ἀλλάλας , ἁ τομὰ κύκλος ἐστὶν ὀρθὸς ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τὰν ἐπιβευγνύουσαν τὰ κέντρα τᾶν σφαιρᾶν . Ἔστιν οὖν τοῦ σχήματος τοῦ κατὰ τὰν ΒΝΓ περιφέρειαν ἀπολαμβανομένου ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΚΛ · ἔστω τὸ Ρ . Τοῦ δὲ τμάματος ὅλου τοῦ κατὰ τὰν ΘΗΖΕ περιφέρειαν τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΖΘ · ἔστω τὸ Ξ . Τοῦ ἄρα λοιποῦ σχήματος τοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΡΞ ἐστὶν ἐκβληθείσας καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς τᾶς ΣΞ ποτὶ τὰν ΞΡ τὸν αὐτὸν λόγον ἐχούσας , ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ κατὰ τὰν ΒΝΓ περιφέρειαν τοῦ τμάματος ποτὶ τὸ βάρος τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ · δέδεικται γὰρ ταῦτα . Ἔστω δὴ τὸ Σ κέντρον τοῦ εἰρημένου σχήματος . Ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν σχήματος , ὅ ἐστιν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ , τὸ βάρος ἐς τὸ κάτω φέρεται κατὰ τὰν εὐθεῖαν τὰν ΛΣ , τὸ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ ἐς τὸ ἄνω κατὰ τὰν εὐθεῖαν τὰν ΡΚ , δῆλον ὡς οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα , ἀλλὰ τὰ ποτὶ τῷ Ε μέρεα αὐτοῦ ἐς τὸ κάτω οἰσοῦνται , τὰ δὲ ποτὶ τῷ Η ἐς τὸ ἄνω , καὶ ἀεὶ ἐς τὸ αὐτὸ οἰσοῦνται , ἕως κα ἁ ΖΘ κατὰ κάθετον γένηται . Κατὰ κάθετον δὲ γενομένας τᾶς ΖΘ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐσσοῦνται τοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ καὶ τοῦ ἐκτος ἐπὶ τᾶς αὐτᾶς καθέτου ἐπὶ γὰρ τᾶς ΖΘ ἐσσοῦνται ἀντιθλιψοῦνται οὖν ἀλλήλοις τὰ βάρεα κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον , τὸ μὲν ἐς τὸ κάτω φερόμενον , τὸ δὲ ἐς τὸ ἄνω . Ὥστε μένει τὸ σχῆμα οὐδέτερον γὰρ ὑπʼ οὐδετέρου ἐξωθήσεται . Τὰ δʼ αὐτὰ ἐσσεῖται καὶ εἴ κα τὸ σχῆμα ἡμισφαίριον ᾗ ἢ ἔλασσον ἡμισφαιρίου .
Lemmas: εἰμί ἄν στερεός τίς μέγεθος κοῦφος ὁ ὑγρός σφαῖρα τμῆμα ἔχω σχῆμα εἰς ὁ ὑγρός ἀφίημι οὕτως , ὥστε ὁ βάσις ὁ τμῆμα μή ἅπτω ὁ ὑγρός , ὀρθός καθίστημι ὁ σχῆμα οὕτως , ὥστε ὁ ἄγω ὁ τμῆμα κατά κάθετος ἄγω · καί εἰμί ἄν ὑπό τις ἕλκω ὁ σχῆμα οὕτως , ὥστε ὁ βάσις ὁ τμῆμα ἅπτω ὁ ὑγρός , οὖον μένω κλίνω , εἰμί ἄν ἀφίημι , ἀλλά ὀρθός ἀποκαθίστημι . νοέω γάρ τίς μέγεθος , οἷος εἴρω , εἰς ὁ ὑγρός ἀφίημι , καί διά τε ὁ ἄγω ὁ τμῆμα καί ὁ κέντρον ὁ γῆ νοέω ἐπίπεδος ἐκβάλλω , τομή δέ ἵστημι ὁ μέν ἐπιφάνεια ὁ ὑγρός ὅς ΑΒΓ△ , ὁ δέ σχῆμα ὁ εἰς ὁ ὑγρός ἀφίημι ὅς ΕΖΗΘ περιφέρεια , ἄγω δέ ὁ τμῆμα ἵστημι ὅς ΘΖ · ὁ δή κέντρον ὁ σφαῖρα εἰμί ἐπί ὁ ΘΖ . Πρῶτος μέν , εἰμί μεῖβόν εἰμί ἡμισφαίριον ὁ τμᾶμα , ἵστημι ὁ Κ , καί ἵστημι , εἰμί δυνατός , κλίνω ὁ σχῆμα ἤτοι ὑπό τις κλίνω ἢ κατά ἑαυτοῦ , δείκνυμι οὖν ὅτι οὖον μένω , ἀλλά εἰς ὀρθός ἀποκαθίστημι , ὥστε ὁ Ζ , Θ κατά κάθετος ἄγω . ἐπεί γάρ ὑπόκειμαι κλίνω ὁ σχῆμα , οὐ εἰμί ὁ Ζ , Θ κατά κάθετος . ἄγω δή διά ὁ Κ καί ὁ Λ ὅς ΚΛ , ὁ δέ Λ κέντρον ὑπόκειμαι ὁ γῆ · ὁ δή σχῆμα ὁ ἐν ὁ ὑγρός ἀπολαμβάνω ὑπό ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια ὁ ἄγω ἔχω ἐπί ὁ ΚΛ · εἰμί γάρ ἄν δύο σφαῖρα ἐπιφάνεια τέμνω ἀλλήλων , ὅς τομή κύκλος εἰμί ὀρθός πρός ὁ εὐθύς ὁ επιβευγνυειμι ὁ κέντρον ὅς σφαῖρα . ἔρτις οὖν ὁ σχῆμα ὁ κατά ὁ βνγʹ περιφέρεια ἀπολαμβάνω ἐν ὁ ὑγρός ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΚΛ · ἵστημι ὁ Ρ . ὁ δέ τμῆμα ὅλος ὁ κατά ὁ ΘΕΖ περιφέρεια ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ ΖΘ · ἵστημι ὁ Ξ . ὁ ἄρα λοιπός σχῆμα ὁ ἐκτός ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ ΡΞ εἰμί ἐκβάλλω καί ἀπολάπτω τις ὁ ΣΞ πρός ὁ ΞΡ ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς ἔχω ὁ βάρος ὁ κατά ὁ βνγʹ περιφέρεια ὁ τμῆμα πρός ὁ βάρος ὁ ἐκτός ὁ ὑγρός · δείκνυμι γάρ οὗτος . ἔστω δή ὁ Σ κέντρον ὁ εἴρω σχῆμα . ἐπεί οὖν ὁ μέν σχῆμα , ὅς εἰμί ἐκτός ὁ ὑγρός , ὁ βάρος εἰς ὁ κάτω φέρω κατά ὁ εὐθύς ὁ ΛΣ , ὁ δέ ἐν ὁ ὑγρός εἰς ὁ ἄνω κατά ὁ εὐθύς ὁ ΡΚ , δῆλος ὡς οὖον μένω ὁ σχῆμα , ἀλλά ὁ πρός ὁ Ε μέρος αὐτός εἰς ὁ κάτω οἴομαι , ὁ δέ πρός ὁ ὁ εἰς ὁ ἄνω , καί ἀεί εἰς ὁ αὐτός οἴομαι , ἠώς ἄν ὅς ΖΘ κατά κάθετος γίγνομαι . κατά κάθετος δέ γίγνομαι ὁ ΖΘ ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ ἐν ὁ ὑγρός καί ὁ ἕκτος ἐπί ὁ αὐτός κάθετος ἐπί γάρ ὁ ΖΘ εἰμί ἀντιθλίβω οὖν ἀλλήλων ὁ βάρος κατά ὁ αὐτός κάθετος , ὁ μέν εἰς ὁ κάτω φέρω , ὁ δέ εἰς ὁ ἄνω . ὥστε μένω ὁ σχῆμα οὐδέτερος γάρ ὑπό οὐδέτερος ἐξωθέω . ὁ δέ αὐτός εἰμί καί εἰμί ἄν ὁ σχῆμα ἡμισφαίριον ὅς ἢ μικρός ἡμισφαίριον .