archimedes.de-corporibus-fluitantibus 2.7
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ὅταν τοῦ ὑγροῦ κουφότερον ᾖ καὶ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα μὲν ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος , ὃν τὰ ιε ποτὶ δ , ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως ὥστε τὰν βάσιν ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ , οὐδέποτε καταστασεῖται οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , ἀλλʼ ὥστε ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ μηδὲ καθʼ ἓν σαμεῖον ἁπτομέναν τᾶς ἐπιφανείας . Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται , καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καθάπερ ἐρρέθη καθεστακέτω οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας . Δεικτέον ὅτι οὐ μενεῖ , ἀλλὰ ἀνακλιθήσεται οὕτως , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας . Τμαθέντος γὰρ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά , ἔστω δὲ καὶ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τομὰ ἁ ΣΛ , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος ἁ ΠΦ , πάλιν δὲ τεμνέσθω ἁ ΠΦ κατὰ μὲν τὸ Ρ , ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΡΠ τᾶς ΡΦ , κατὰ δὲ τὸ Ω , ὥστε τὰν ΠΦ ποτὶ τὰν ΡΩ λόγον ἔχειν ὃν τὰ τε ποτὶ τὰ δ , καὶ ἁ ΩΚ ὀρθὰ ἄχθω τᾷ ΠΦ ἐσσεῖται δὴ ἐλάσσων ἁ ΡΩ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος . Ἀπολελάφθω οὖν τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος ἴσα ἁ ΡΗ , καὶ ἁ μὲν ΤΟ ἄχθω ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Ο παράλληλος ἐοῦσα τᾷ ΣΛ , ἁ δὲ ΝΟ τᾷ ΠΦ , τεμνέτω δὲ ἁ ΝΟ τὰν ΚΩ πρότερον κατὰ τὸ Ι . Ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου δειχθήσεται ὅτι ἁ ΝΟ ἤτοι ἡμιολία τᾶς ΟΙ ἢ μείζων ἢ ἡμιολία γίνεται δὴ ἁ ΟΙ τᾶς ΙΝ ἐλάσσων ἢ διπλασία . Ἔστω δὴ ἁ ΟΒ διπλασία τᾶς ΒΝ , καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτά ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ ΡΘ ὀρθὰς γωνίας ποιοῦσα ποτὶ τὰν TΟ καὶ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν , καὶ ἀπὸ τῶν Β , Γ ἀχθεῖσαι παρὰ τὰν ΡΘ κάθετοι ἐσσοῦνται ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν . Κατενεχθήσεται οὖν τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν κατὰ τὰν διὰ τοῦ Β κάθετον , τὸ δʼ ἐν τῷ ὑγρῷ ἀνενεχθήσεται κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ · φανερὸν οὖν ὅτι ἐπικλιθήσεται τὸ στερεόν , ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας , ἐπειδὴ νῦν καθʼ ἓν σαμεῖον ἁπτόμενον ἐπὶ τὸ κάτω φέρεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Λ . Φανερὸν δὲ ὅτι , κἂν ἁ ΟΝ μὴ τέμνῃ τὰν ΩΚ , ταὐτὰ δειχθήσεται .
Lemmas: ὁ ὀρθός τμᾶμα ὁ ὀρθογώνιος κωνοειδής , ὅταν ὁ ὑγρός κοῦφος εἰμί καί ὁ ἄγω ἔχω μείζων μέν ἢ ἡμιόλιος ὁ μέχρι ὁ ἄγω , μικρός δέ ἢ ὥστε λόγος ἔχω πρός ὁ μέχρι ὁ ἄγω , ὅς ὁ εἶμι πρός δ , ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός οὕτως ὥστε ὁ βάσις ὅλοξ ἄγω ἐν ὁ ὑγρός , οὐδέποτε καθίστημι οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , ἀλλά ὥστε ὅλοξ ἄγω ἐν ὁ ὑγρός μηδέ κατά εἷς σημεῖον ἅπτω ὁ ἐπιφάνεια . ἔστω τμᾶμα οἷος εἴρω , καί ἀφίημι εἰς ὁ ὑγρός καθάπερ εἴρω καθίστημι οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια . δείκνυμι ὅτι οὖον μένω , ἀλλά ἀνακλίνω οὕτως , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μηδέ κατά εἷς ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια . τέμνω γάρ αὐτός ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια τομή ἵστημι ὅς Απόλ ὀρθογώνιος κῶνος τομή , ἵστημι δέ καί ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια τομή ὅς ΣΛ , ἄγω δέ ἵστημι ὁ τμῆμα καί διάμετρος ὅς πφʹ , πάλιν δέ τέμνω ὅς πφʹ κατά μέν ὁ Ρ , ὥστε διπλάσιος ἄγω ὁ ΡΠ ὁ ΡΦ , κατά δέ ὁ Ω , ὥστε ὁ πφʹ πρός ὁ ΡΩ λόγος ἔχω ὅς ὁ τε πρός ὁ δ , καί ὅς ΩΚ ὀρθός ἄγω ὁ πφʹ εἰμί δή μικρός ὅς ΡΩ ὁ μέχρι ὁ ἄγω . ἀπολαμβάνω οὖν ὁ μέχρι ὁ ἄγω ἴσος ὅς ΡΗ , καί ὅς μέν ὁ ἄγω ἐφάπτω ὁ τομή κατά ὁ ὁ παράλληλος εἰμί ὁ ΣΛ , ὅς δέ ΝΟ ὁ πφʹ , τέμνω δέ ὅς ΝΟ ὁ ΚΩ πρότερος κατά ὁ Ι . ὅμοιος δή ὁ πρό οὗτος δείκνυμι ὅτι ὅς ΝΟ ἤτοι ἡμιολία ὁ ὁ ἢ μείζων ἢ ἡμιολία γίγνομαι δή ὅς ὁ ὁ ΙΝ μικρός ἢ διπλάσιος . ἔστω δή ὅς ΟΒ διπλάσιος ὁ ΒΝ , καί κατασκευάζω ὁ αὐτός ὁμοίως δή δείκνυμι ὅς ΡΘ ὀρθός γωνία ποιέω πρός ὁ Ο καί πρός ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , καί ἀπό ὁ Β , Γ ἄγω παρά ὁ ΡΘ κάθετος εἰμί ἐπί ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια . καταφέρω οὖν ὁ μέν ἐκτός ὁ ὑγρός τμᾶμα εἰς ὁ ὑγρός κατά ὁ διά ὁ Β κάθετος , ὁ δέ ἐν ὁ ὑγρός ἀναφέρω κατά ὁ διά ὁ Γ · φανερός οὖν ὅτι ἐπικλίνω ὁ στερεός , ὥστε ὁ βάσις αὐτός μηδέ κατά εἷς ἅπτω ὁ ὁ ὑγρός ἐπιφάνεια , ἐπεί νῦν κατά εἷς σημεῖον ἅπτω ἐπί ὁ κάτω φέρω ἐπί ὁ αὐτός ὁ Λ . Φανερός δέ ὅτι , κἀν ὅς ΟΝ μή τέμνω ὁ ΩΚ , αὐτός δείκνυμι .