archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 15
Ἐν τῷ ὀρθογωνίῳ κωνοειδεῖ ἀπὸ παντὸς ὁτουοῦν σαμείου τῶν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κωνοειδέος τᾶν ἀγομενᾶν εὐθειᾶν παρὰ τὸν ἄξονα αἱ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἀγόμεναι , ἐφʼ ἅ ἐντι τὰ κυρτὰ αὐτοῦ , ἐκτὸς πεσοῦνται τοῦ κωνοειδέος , αἱ δὲ ἐπὶ θάτερα ἐντός . Ἀχθέντος γὰρ ἐπιπέδου διά τε τοῦ ἄξονος καὶ τοῦ σαμείου , ἀφʼ οὗ ἁ παράλληλος ἄγεται τῷ ἄξονι , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀρθογωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ὁ ἄξων τοῦ κωνοειδέος ἐν δὲ τᾷ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾷ ἀπὸ παντὸς σαμείου τοῦ ἐπὶ τᾶς τομᾶς ἀγομενᾶν παρὰ τὰν διάμετρον εὐθειᾶν αἱ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἀγόμεναι , ἐφʼ ἅ ἐντι τὰ κυρτὰ αὐτᾶς , ἐκτὸς πίπτοντι , αἱ δὲ ἐπὶ θάτερα ἐντός δῆλον οὖν τὸ προτεθέν . Ἐν τῷ ἀμβλυγωνίῳ κωνοειδεῖ ἀπὸ παντὸς σαμείου τῶν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ αὐτοῦ τᾶν ἀγομενᾶν εὐθειᾶν παρά τινα γραμμάν , ἅ ἐστιν ἐν τῷ κωνοειδεῖ ἀγομένα διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδές , αἱ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἀγόμεναι , ἐφʼ ἅ ἐντι τὰ κυρτὰ αὐτοῦ , ἐκτὸς πεσοῦνται τοῦ κωνοειδέος , αἱ δὲ ἐπὶ θάτερα ἐντός . Ἀχθέντος γὰρ ἐπιπέδου διά τε τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τῷ κωνοειδεῖ ἀγομένας διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδὲς καὶ διὰ τοῦ σαμείου , ἀφʼ οὗ ἄγεται ἁ ἐς αὐτό , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ἀμβλυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ ἀπὸ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου ἐν τῷ κωνοειδεῖ ἀγομένα ἐν δὲ τᾷ τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾷ ἀπὸ παντὸς σαμείου τοῦ ἐπὶ τᾶς τομᾶς τᾶν ἀγομενᾶν εὐθειᾶν παρὰ τὰν οὕτως ἀγμέναν γραμμὰν αἱ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἀγόμεναι , ἐφʼ ἅ ἐστιν αὐτᾶς τὰ κυρτά , ἐκτὸς πίπτοντι , αἱ δὲ ἐπὶ θάτερα ἐντός . Εἴ κα τῶν κωνοειδέων σχημάτων ἐπίπεδον ἐφάπτηται μὴ τέμνον τὸ κωνοειδές , καθʼ ἓν μόνον ἅψεται σαμεῖον , καὶ τὸ διὰ τᾶς ἁφᾶς καὶ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ἀχθὲν ὀρθὸν ἐσσεῖται ποτὶ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον . Ἐφαπτέσθω γάρ , εἰ δυνατόν , κατὰ πλείονα σαμεῖα . Λαφθέντων δὴ δύο σαμείων , καθʼ ἃ ἅπτεται τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον τοῦ κωνοειδέος , καὶ ἀφʼ ἑκατέρου παρὰ τὸν ἄξονα εὐθειᾶν ἀχθεισᾶν ἀπὸ τᾶν ἀχθεισᾶν παρὰ τὸν ἄξονα ἐπίπεδον ἐκβληθὲν ἤτοι διὰ τοῦ ἄξονος ἢ παρὰ τὸν ἄξονα ἐσσεῖται ἀγμένον ὥστε τὰν τομὰν ποιήσει κώνου τομάν , καὶ τὰ σημεῖα ἐσσοῦνται ἐν τᾷ τοῦ κώνου τομᾷ , ἐπεὶ ἔν τε τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐντὶ καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ , Ἁ οὖν μεταξὺ τῶν σαμείων εὐθεῖα ἐντὸς ἐσσεῖται τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς · ὥστε καὶ τᾶς τοῦ κωνοειδέος ἐπιφανείας ἐντὸς ἐσσεῖται . Ἔστιν δὲ ἁ εὐθεῖα οὕτα ἐν τῷ ἐπιψαύοντι ἐπιπέδῳ , διότι καὶ τὰ σαμεῖα τοῦ ἄρα ἐπιψαύοντος ἐπιπέδου ἐσσεῖταί τι ἐντὸς τοῦ κωνοειδέος · ὅπερ ἀδύνατον · ὑπέκειτο γὰρ μὴ τέμνειν , Καθʼ ἓν ἄρα μόνον ἅψεται σαμεῖον . Ὅτι δὲ καὶ τὸ διὰ τᾶς ἁφᾶς καὶ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ἀχθὲν ὀρθὸν ἐσσεῖται ποτὶ τὸ ἐπιψαῦον , εἰ μὲν κατὰ τὰν κορυφὰν τοῦ κωνοειδέος ἐφάπτεται , δῆλον . Ἀχθέντων γὰρ διὰ τοῦ ἄξονος δύο ἐπιπέδων τοῦ κωνοειδέος αἱ τομαὶ ἐσσοῦνται κώνων τομαὶ διάμετρον ἔχουσαι τὸν ἄξονα , τοῦ δὲ ἐπιψαύοντος ἐπιπέδου εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι τᾶν τῶν κώνων τομᾶν κατὰ τὸ πέρας τᾶς διαμέτρου . Αἱ δὲ εὐθεῖαι αἱ ἐπιψαύουσαι τᾶν τῶν κώνων τομᾶν κατὰ τὸ πέρας τᾶς διαμέτρου ὀρθὰς ποιοῦντι γωνίας ποτὶ τὰν διάμετρον ἐσσοῦνται οὖν ἐν τῷ ἐπιψαύοντι ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι ποτʼ ὀρθὰς τῷ ἄξονι . Ὀρθὸν οὖν ἐσσεῖται ποτὶ τὸν ἄξονα τὸ ἐπίπεδον · ὥστε καὶ ποτὶ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος . Ἀλλὰ ἔστω μὴ κατὰ τὰν κορυφὰν τοῦ κωνοειδέος ἐπιψαῦον τὸ ἐπίπεδον . Ἄχθω δὴ ἐπίπεδον διὰ τᾶς ἁφᾶς καὶ τοῦ ἄξονος , καὶ τοῦ μὲν κωνοειδέος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ κώνου τομά , ἄξων δὲ ἔστω καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ Β△ , τοῦ δὲ ἐπιψαύοντος ἐπιπέδου τομὰ ἔστω ἁ ΕΘΖ εὐθεῖα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ἁπτομένα κατὰ τὸ Θ , ἀπὸ δὲ τοῦ Θ κάθετος ἄχθω ἐπὶ τὰν Β△ ἁ ΘΚ , καὶ ἐπίπεδον ἀνεστακέτω ὀρθὸν ποτὶ τὸν ἄξονα ποιήσει δὴ τοῦτο τὰν τομὰν κύκλον , οὗ κέντρον τὸ Κ . Ἁ δὲ τομὰ τούτου τοῦ ἐπιπέδου καὶ τοῦ ἐπιψαύοντος ἐσσεῖται ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου · ὀρθὰς ἄρα ποιήσει γωνίας ποτὶ τὰν ΘΚ · ὥστʼ ὀρθὰ ἐσσεῖται ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΚΘ , Β△ . Δῆλον οὖν ὅτι τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι ποτὶ τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον , ἐπεὶ καὶ αἱ ἐν αὐτῷ εὐθεῖαι .
Lemmas: ἐν ὁ ὀρθογώνιος κωνοειδής ἀπό πᾶς ὅστις σαμεῖον ὁ ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κωνοειδής ὁ ἄγω εὐθεῖα παρά ὁ ἄξων ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός ἄγω , ἐπί ὅς εἰμί ὁ κυρτός αὐτός , ἐκτός πίπτω ὁ κωνοειδής , ὁ δέ ἐπί ἕτερος ἐντός . ἄγω γάρ ἐπίπεδος διά τε ὁ ἄξων καί ὁ σαμεῖον , ἀπό ὅς ὁ παράλληλος ἄγω ὁ ἄξων , ὁ τομή εἰμί ὀρθογώνιον κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ἄξων ὁ κωνοειδής ἐν δέ ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή ἀπό πᾶς σαμεῖον ὁ ἐπί ὁ τομή ἄγω παρά ὁ διάμετρος εὐθεῖα ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός ἄγω , ἐπί ὅς εἰμί ὁ κυρτός αὐτός , ἐκτός πίπτω , ὁ δέ ἐπί ἕτερος ἐντός δῆλος οὖν ὁ προτίθημι . ἐν ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἀπό πᾶς σαμεῖον ὁ ἐν ὁ ἐπιφάνεια αὐτός ὁ ἄγω εὐθεῖα παρά τις γραμμή , ὅς εἰμί ἐν ὁ κωνοειδής ἄγω διά ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής , ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός ἄγω , ἐπί ὅς εἰμί ὁ κυρτός αὐτός , ἐκτός πίπτω ὁ κωνοειδής , ὁ δέ ἐπί ἕτερος ἐντός . ἄγω γάρ ἐπίπεδος διά τε ὁ εὐθεῖα ὁ ἐν ὁ κωνοειδής ἄγω διά ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής καί διά ὁ σαμεῖον , ἀπό ὅς ἄγω ὁ εἰς αὐτός , ὁ τομή εἰμί ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος ἐν ὁ κωνοειδής ἄγω ἐν δέ ὁ ὁ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή ἀπό πᾶς σαμεῖον ὁ ἐπί ὁ τομή ὁ ἄγω εὐθεῖα παρά ὁ οὕτως ἄγω γραμμή ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός ἄγω , ἐπί ὅς εἰμί αὐτός ὁ κυρτός , ἐκτός πίπτω , ὁ δέ ἐπί ἕτερος ἐντός . εἰ ἄν ὁ κωνοειδής σχῆμα ἐπίπεδος ἐφάπτω μή τέμνω ὁ κωνοειδής , κατά εἷς μόνος ἅπτω σαμεῖον , καί ὁ διά ὁ ἁφή καί ὁ ἄξων ἐπίπεδος ἄγω ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος . ἐφάπτω γάρ , εἰ δυνατός , κατά πολύς σαμεῖον . λάπτω δή δύο σαμεῖον , κατά ὅς ἅπτω ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος ὁ κωνοειδής , καί ἀπό ἑκάτερος παρά ὁ ἄξων εὐθεῖα ἄγω ἀπό ὁ ἄγω παρά ὁ ἄξων ἐπίπεδος ἐκβάλλω ἤτοι διά ὁ ἄξων ἤ παρά ὁ ἄξων εἰμί ἄγω ὥστε ὁ τομή ποιέω κῶνος τομή , καί ὁ σημεῖον εἰμί ἐν ὁ ὁ κῶνος τομή , ἐπεί ἐν τε ὁ ἐπιφάνεια εἰμί καί ἐν ὁ ἐπίπεδος , Ἁ οὖν μεταξύ ὁ σαμεῖον εὐθύς ἐντός εἰμί ὁ ὁ κῶνος τομή · ὥστε καί ὁ ὁ κωνοειδής ἐπιφάνεια ἐντός εἰμί . εἰμί δέ ὁ εὐθύς ὅτε ἐν ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος , διότι καί ὁ σαμεῖον ὁ ἄρα ἐπιψαύω ἐπίπεδος εἰμί τις ἐντός ὁ κωνοειδής · ὅς ἀδύνατος · ὑπόκειμαι γάρ μή τέμνω , Κατά εἷς ἄρα μόνος ἅπτω σαμεῖον . ὅτι δέ καί ὁ διά ὁ ἁφή καί ὁ ἄξων ἐπίπεδος ἄγω ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπιψαύω , εἰ μέν κατά ὁ κορυφή ὁ κωνοειδής ἐφάπτω , δῆλος . ἄγω γάρ διά ὁ ἄξων δύο ἐπίπεδος ὁ κωνοειδής ὁ τομή εἰμί κῶνος τομή διάμετρος ἔχω ὁ ἄξων , ὁ δέ ἐπιψαύω ἐπίπεδος εὐθύς ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ πέρας ὁ διάμετρος . ὁ δέ εὐθεῖα ὁ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ πέρας ὁ διάμετρος ὀρθός ποιέω γωνία πρός ὁ διάμετρος εἰμί οὖν ἐν ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος δύο εὐθεῖα ποτέ ὀρθός ὁ ἄξων . ὀρθός οὖν εἰμί πρός ὁ ἄξων ὁ ἐπίπεδος · ὥστε καί πρός ὁ διά ὁ ἄξων . ἀλλά εἰμί μή κατά ὁ κορυφή ὁ κωνοειδής ἐπιψαύω ὁ ἐπίπεδος . ἄγω δή ἐπίπεδος διά ὁ ἁφή καί ὁ ἄξων , καί ὁ μέν κωνοειδής τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ κῶνος τομή , ἄξων δέ εἰμί καί διάμετρος ὁ τομή ὁ Β△ , ὁ δέ ἐπιψαύω ἐπίπεδος τομή εἰμί ὁ ΕΘΖ εὐθύς ὁ ὁ κῶνος τομή ἅπτω κατά ὁ Θ , ἀπό δέ ὁ Θ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ Β△ ὁ ΘΚ , καί ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ἄξων ποιέω δή οὗτος ὁ τομή κύκλος , ὅς κέντρον ὁ Κ . ὁ δέ τομή οὗτος ὁ ἐπίπεδος καί ὁ ἐπιψαύω εἰμί ἐπιψαύω ὁ κύκλος · ὀρθός ἄρα ποιέω γωνία πρός ὁ ΘΚ · ὥστε ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐν ὅς εἰμί ὁ ΚΘ , Β△ . δῆλος οὖν ὅτι ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ αὐτός ἐπίπεδος , ἐπεί καί ὁ ἐν αὐτός εὐθεῖα .