archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 3
Εἴ κα κώνου τομᾶς ὁποιασοῦν εὐθεῖαι ἐπιψαύωντι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σαμείου ἀγμέναι , ἔωντι δὲ καὶ ἄλλαι εὐθεῖαι ἐν τᾷ τοῦ κώνου τομᾷ παρὰ τὰς ἐπιψαυούσας ἀγμέναι καὶ τέμνουσαι ἀλλάλας , τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτʼ ἄλλαλα , ὃν τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἐπιψαυουσᾶν · ὁμόλογον δὲ ἐσσεῖται τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τᾶς ἑτέρας γραμμᾶς τμαμάτων τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τᾶς παραλλήλου αὐτᾷ . Ἀποδέδεικται δὲ τοῦτο ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις . Εἴ κα ἀπὸ τᾶς αὐτᾶς ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς δύο τμάματα ἀποτμαθέωντι ὁπωσοῦν ἴσας ἔχοντα τὰς διαμέτρους , αὐτὰ δὲ τὰ τμάματα ἴσα ἐσσοῦνται καὶ τὰ τρίγωνα τὰ ἐγγραφόμενα εἰς αὐτὰ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσι καὶ ὕψος τὸ αὐτό · διάμετρον δὲ καλέω παντὸς τμάματος τὰν δίχα τέμνουσαν τὰς εὐθείας πάσας τὰς παρὰ τὰν βάσιν αὐτοῦ ἀγομένας . Ἔστω ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ , καὶ ἀποτετμήσθω ἀπʼ αὐτᾶς δύο τμάματα τό τε Α△Ε καὶ τὸ ΘΒΓ , ἔστω δὲ τοῦ μὲν Α△Ε τμάματος διάμετρος ἁ △Ζ , τοῦ δὲ ΘΒΓ ἁ ΒΗ , καὶ ἔστων ἴσαι αἱ △Ζ , ΒΗ · δεικτέον ὅτι τὰ τμάματα ἴσα ἐστὶ τὰ Α△Ε , ΘΒΓ καὶ τὰ τρίγωνα τὰ ἐγγραφόμενα τὸν εἰρημένον τρόπον ἐν αὐτοῖς . Ἔστω δὴ πρῶτον ἁ ἀποτέμνουσα τὸ ἕτερον τμᾶμα ἁ ΘΓ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ διαμέτρῳ τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , λελάφθω δὲ παῤ ἃν δύνανται αἱ ἀπὸ τᾶς τομᾶς , ἁ διπλασία τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος , καὶ ἔστω ἐφʼ ᾆ τὸ Μ , ἀπὸ δὲ τοῦ Α κάθετος ἄχθω ἐπὶ τὰν △Ζ ἁ ΑΚ . Ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐντι ἁ △Ζ τοῦ τμάματος , ἁ δὲ ΑΕ δίχα τέμνεται κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἁ △Ζ παρὰ τὰν διάμετρόν ἐστι τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς · οὕτω γὰρ δίχα τέμνει πάσας τὰς παρὰ τὰν ΑΕ ἀγομένας . Ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΖ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΚ , τοῦτον ἐχέτω ἁ Ν ποτὶ τὰν Μ · αἱ δὴ ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν △Ζ ἀγόμεναι παρὰ τὰν ΑΕ δύνανται τὰ παρὰ τὰν ἴσαν τᾷ Ν παραπίπτοντα πλάτος ἔχοντα , ἃς αὐτοὶ ἀπολαμβάνοντι ἀπὸ τᾶς △Ζ ποτὶ τὸ △ πέρας · δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς · δύναται οὖν καὶ ἁ ΑΖ ἴσον τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶς Ν καὶ τᾶς △Ζ . Δύναται δὲ καὶ ἁ ΘΗ ἴσον τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Μ καὶ τᾶς ΒΗ , ἐπεὶ κάθετός ἐστιν ἁ ΘΗ ἐπὶ τὰν διάμετρον · ἔχοι οὖν κα τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΖ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΗ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ Ν ποτὶ τὰν Μ , ἐπεὶ ἴσαι ὑπέκειντο αἱ △Ζ , ΒΗ . Ἔχει δὲ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΖ τετράγωνον καὶ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΚ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ Ν ποτὶ τὰν Μ · ἴσαι ἄρα ἐντὶ αἱ ΘΗ , ΑΚ . Ἐντὶ δὲ ἴσαι καὶ αἱ ΒΗ , △Ζ · ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΗ , ΒΗ περιεχόμενον τῷ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , △Ζ . Ἴσον ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ΘΗΒ τρίγωνον τῷ △ΑΖ τριγώνῳ · ὥστε καὶ τὰ διπλάσια . Ἔστι δὲ τοῦ μὲν Α△Ε τριγώνου ἐπίτριτον τὸ Α△Ε τμᾶμα , τοῦ δὲ ΘΒΓ τριγώνου ἐπίτριτον τὸ ΘΒΓ τμᾶμα · δῆλον οὖν ὅτι τά τε τμάματά ἐστιν ἴσα καὶ τὰ τρίγωνα τὰ ἐγγραφόμενα εἰς αὐτά . Εἰ δὲ μηδετέρα τᾶν τὰ τμάματα ἀποτεμνουσᾶν ποτʼ ὀρθάς ἐντι τᾷ διαμέτρῳ τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς , ἀπολαφθείσας ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ἴσας τᾷ διαμέτρῳ τᾷ τοῦ ἑνὸς τμάματος καὶ ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἀπολαφθείσας ποτʼ ὀρθὰς ἀχθείσας τᾷ διαμέτρῳ , τὸ γενόμενον τμᾶμα ἑκατέρῳ τῶν τμαμάτων ἴσον ἐσσεῖται . Δῆλον οὖν ἐστι τὸ προτεθέν .
Lemmas: εἰ ἄν κῶνος τομή ὁποῖος εὐθεῖα ἐπιψαύω ἀπό ὁ αὐτός σαμεῖον ἄγω , εἰμί δέ καί ἄλλος εὐθεῖα ἐν ὁ ὁ κῶνος τομή παρά ὁ ἐπιψαύω ἄγω καί τέμνω ἀλλήλων , ὁ περιέχω ὑπό ὁ τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος ποτέ ἀλλήλων , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἐπιψαύω · ὁμόλογος δέ εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ἕτερος γραμμή τμῆμα ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἐπιψαύω ὁ παράλληλος αὐτός . ἀποδείκνυμι δέ οὗτος ἐν ὁ κωνικός στοιχεῖον . εἰ ἄν ἀπό ὁ αὐτός ὀρθογώνιον κῶνος τομή δύο τμῆμα ἀποτέμνω ὁπωσοῦν ἴσος ἔχω ὁ διάμετρος , αὐτός δέ ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί καί ὁ τρίγωνος ὁ ἐγγράφω εἰς αὐτός ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ὕψος ὁ αὐτός · διάμετρος δέ καλέω πᾶς τμῆμα ὁ δίχα τέμνω ὁ εὐθεῖα πᾶς ὁ παρά ὁ βάσις αὐτός ἄγω . εἰμί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ , καί ἀποτέμνω ἀπό αὐτός δύο τμῆμα ὁ τε Α△Ε καί ὁ ΘΒΓ , εἰμί δέ ὁ μέν Α△Ε τμῆμα διάμετρος ὁ △Ζ , ὁ δέ ΘΒΓ ὁ ΒΗ , καί εἰμί ἴσος ὁ △Ζ , ΒΗ · δείκνυμι ὅτι ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ Α△Ε , ΘΒΓ καί ὁ τρίγωνος ὁ ἐγγράφω ὁ λέγω τρόπος ἐν αὐτός . εἰμί δή πρῶτος ὁ ἀποτέμνω ὁ ἕτερος τμῆμα ὁ ΘΓ ποτέ ὀρθός ὁ διάμετρον ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή , λαμβάνω δέ παρά ὅς δύναμαι ὁ ἀπό ὁ τομή , ὁ διπλάσιος ὁ μέχρι ὁ ἄξων , καί εἰμί ἐπί ἆ ὁ Μ , ἀπό δέ ὁ Α κάθετος ἄγω ἐπί ὁ △Ζ ὁ ΑΚ . ἐπεί οὖν διάμετρος εἰμί ὁ △Ζ ὁ τμῆμα , ὁ δέ ΑΕ δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ , καί ὁ △Ζ παρά ὁ διάμετρος εἰμί ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή · οὕτως γάρ δίχα τέμνω πᾶς ὁ παρά ὁ ΑΕ ἄγω . ὅς δή λόγος ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΖ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΚ , οὗτος ἔχω ὁ Ν πρός ὁ Μ · ὁ δή ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ △Ζ ἄγω παρά ὁ ΑΕ δύναμαι ὁ παρά ὁ ἴσος ὁ Ν παραπίπτω πλάτος ἔχω , ὅς αὐτός ἀπολαμβάνω ἀπό ὁ △Ζ πρός ὁ △ πέρας · δείκνυμι γάρ ἐν ὁ κωνικός · δύναμαι οὖν καί ὁ ΑΖ ἴσος ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ν καί ὁ △Ζ . δύναμαι δέ καί ὁ ΘΗ ἴσος ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ Μ καί ὁ ΒΗ , ἐπεί κάθετος εἰμί ὁ ΘΗ ἐπί ὁ διάμετρος · ἔχω οὖν ἄν ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΖ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΘΗν ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Ν πρός ὁ Μ , ἐπεί ἴσος ὑπόκειμαι ὁ △Ζ , ΒΗ . ἔχω δέ ὁ ἀπό ὁ ΑΖ τετράγωνος καί πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΚ ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Ν πρός ὁ Μ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΗ , ΑΚ . εἰμί δέ ἴσος καί ὁ ΒΗ , △Ζ · ὥστε ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΘΗ , ΒΗ περιέχω ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , △Ζ . ἴσος ἄρα εἰμί καί ὁ ΘΗΒ τρίγωνον ὁ △ΑΖ τρίγωνον · ὥστε καί ὁ διπλάσιος . εἰμί δέ ὁ μέν Α△Ε τρίγωνον ἐπίτριτος ὁ Α△Ε τμῆμα , ὁ δέ ΘΒΓ τρίγωνον ἐπίτριτος ὁ ΘΒΓ τμῆμα · δῆλος οὖν ὅτι ὁ τε τμῆμα εἰμί ἴσος καί ὁ τρίγωνος ὁ ἐγγράφω εἰς αὐτός . εἰ δέ μηδέτερος ὁ ὁ τμῆμα ἀποτέμνω ποτέ ὀρθός εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ἀπολάπτω ἀπό ὁ διάμετρος ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή ἴσος ὁ διάμετρος ὁ ὁ εἷς τμῆμα καί ἀπό ὁ πέρας ὁ ἀπολάπτω ποτέ ὀρθός ἄγω ὁ διάμετρος , ὁ γίγνομαι τμῆμα ἑκάτερος ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί . δῆλος οὖν εἰμί ὁ προτίθημι .