archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 9
Ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς δοθείσας καὶ γραμμᾶς ἀπὸ τοῦ κέντρου τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς μὴ ὀρθᾶς ἀνεστακούσας ἐν ἐπιπέδῳ , ὅ ἐστιν ἀπὸ τᾶς ἑτέρας διαμέτρου ὀρθὸν ἀνεστακὸς ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά , δυνατόν ἐντι κύλινδρον εὑρεῖν τὸν ἄξονα ἔχοντα ἐπʼ εὐθείας τᾷ ἀνεστακούσᾳ γραμμᾷ , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ δοθεῖσα τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Ἔστω τᾶς δοθείσας τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἑτέρα διάμετρος ἁ ΒΑ , κέντρον δὲ τὸ △ , ἁ δὲ Γ△ γραμμὰ ἔστω ἀνεστάκουσα ἀπὸ τοῦ κέντρου , ὡς εἴρηται , ἁ δὲ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ νοείσθω περὶ διάμετρον τὰν ΑΒ ἐν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΑΒ , Γ△ · δεῖ δὴ κύλινδρον εὑρεῖν τὸν ἄξονα ἔχοντα ἐπʼ εὐθείας τᾷ Γ△ , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ δοθεῖσα τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ . Ἀπὸ δὴ τῶν Α , Β σαμείων ἄχθων παρὰ τὰν Γ△ αἱ ΑΖ , ΒΗ · ἁ δὴ ἑτέρα διάμετρος τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἤτοι ἴσα ἐντὶ τῷ διαστήματι τᾶν ΑΖ , ΒΗ ἢ μείζων ἢ ἐλάσσων . Ἔστω δὴ πρότερον ἴσα τᾷ ΖΗ , ἁ δὲ ΖΗ ἔστω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ Γ△ , ἀπὸ δὲ τᾶς ΖΗ ἀνεστακέτω ἐπίπεδον ὀρθὸν ποτὶ τὰν Γ△ , καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τούτῳ κύκλος ἔστω περὶ διάμετρον τὰν ΖΗ , καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τούτου κύλινδρος ἔστω ἄξονα ἔχων τὰν Γ△ · ἐν δὴ τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τούτου ἐστὶν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Εἰ γὰρ μή ἐστιν , ἐσσεῖταί τι σαμεῖον ἐπὶ τᾶς τοῦ ὀξυγωμίου κώνου τομᾶς , ὃ οὐκ ἔστιν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου . Νοείσθω δή τι σαμεῖον λελαμμένον ἐπὶ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τὸ Θ , ὃ οὐκ ἔστιν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἁ ΘΚ κάθετος ἄχθω ἐπὶ τὰν ΑΒ ἐσσεῖται δὲ αὕτα ὀρθὰ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΒΑ , Γ△ · ἀπὸ δὲ τοῦ Κ ἄχθω παρὰ τὰν Γ△ ἁ ΚΛ , καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἀνεστακέτω ἁ ΛΜ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΖΗ ἐν τῷ κύκλῳ τῷ περὶ τὰν ΖΗ , τὸ δὲ Μ νοείσθω μετέωρον ἐν τᾷ περιφερείᾳ τοῦ ἡμικυκλίου τοῦ περὶ διάμετρον τὰν ΖΗ · τὸν αὐτὸν δὴ ἔχει λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ καθέτου ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ περιεχόμενον καὶ τὸ ἀπὸ ΖΓ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν Α△ , △Β περιεχόμενον , ἐπεὶ ἴσα ἐστὶν ἁ ΖΗ τᾷ ἑτέρᾳ διαμέτρῳ . Ἔχει δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΛ , ΛΗ περιεχόμενον ποτὶ τὸ ὑπὸ ΑΚ , ΚΒ περιεχόμενον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΖΓ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ Α△ ἴσον οὖν ἐντι τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΛ , ΛΗ περιεχόμενον τῷ ἀπὸ τᾶς ΘΚ τετραγώνῳ . Ἔστιν δὲ ἴσον καὶ τῷ ἀπὸ ΛΜ · ἴσαι ἄρα ἐντὶ αἱ ΘΚ , ΜΛ κάθετοι . Παράλληλοι οὖν ἐντι αἱ ΛΚ , ΜΘ · ὥστε καὶ αἱ △Γ , ΜΘ παράλληλοι ἐσσοῦνται . Καὶ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἄρα ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου ἁ ΘΜ , ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Μ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐόντος ἆκται παρὰ τὸν ἄξονα δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ Θ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐστὶν αὐτοῦ . Ὑπέκειτο δὲ μὴ εἶμεν · φανερὸν οὖν ἐστιν , ὃ ἔδει δεῖξαι . Δῆλον δὴ ὅτι καὶ ὁ κύλινδρος ὁ περιλαμβάνων ὀρθὸς ἐσσεῖται , εἴ κα ᾖ ἁ ἑτέρα διάμετρος ἴσα τῷ διαστήματι τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς ἑτέρας διαμέτρου ἀγμενᾶν παρὰ τὰν ἀνεστάκουσαν εὐθεῖαν . Ἔστω πάλιν ἁ ἑτέρα διάμετρος μείζων τᾶς ΖΗ , καὶ ἴσα ἔστω ἁ ΠΖ τᾷ ἑτέρᾳ διαμέτρῳ , ἀπὸ δὲ τᾶς ΠΖ ἐπίπεδον ἀνεστακέτω ὀρθὸν ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΒΑ , Γ△ , καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τούτῳ κύκλος ἔστω περὶ διάμετρον τὰν ΠΖ , ἀπὸ δὲ τοῦ κύκλου τούτου κύλινδρος ἔστω ἄξονα ἔχων τὰν △Ρ · ἐν δὴ τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τούτου διὰ τῶν αὐτῶν δειχθήσεται ἐοῦσα ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Ἀλλʼ ἔστω ἐλάσσων ἁ ἑτέρα διάμετρος τᾶς ΖΗ . Ὧι δὴ μεῖζον δύναται ἁ ΖΓ τᾶς ἡμισείας τᾶς ἑτέρας διαμέτρου ἔστω τὸ ἀπὸ τᾶς ΓΞ τετράγωνον , καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἀνεστακέτω γραμμὰ ἴσα τᾷ ἡμισείᾳ τᾶς ἑτέρας διαμέτρου ὀρθὰ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΑΒ , Γ△ , ἁ ΞΝ , τὸ δὲ Ν νοείσθω μετέωρον ἁ οὖν ΓΝ ἴσα ἐντὶ τᾷ ΓΖ . Ἐν δὴ τῷ ἐπιπέδῳ , ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΖΗ , ΓΝ , κύκλος γεγράφθω περὶ διάμετρον τὰν ΖΗ · ἥξει δὲ οὗτος διὰ τοῦ Ν · καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου κύλινδρος ἔστω ἄξονα ἔχων τὰν Γ△ · ἐν δὴ τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τούτου ἐστὶν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Εἰ γὰρ μή ἐστιν , ἐσσεῖταί τι σαμεῖον ἐπʼ αὐτᾶς , ὃ οὐκ ἔστιν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου . Λελάφθω δή τι σαμεῖον ἐπʼ αὐτᾶς τὸ Θ , καὶ ἁ ΘΚ κάθετος ἄχθω ἐπὶ τὰν ΑΒ , καὶ ἀπὸ τοῦ Κ παρὰ τὰν Γ△ ἔστω ἁ ΚΛ , καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΖΗ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ τῷ περὶ διάμετρον τὰν ΖΗ ἁ ΛΜ , νοείσθω δὲ τὸ Μ ἐπὶ τᾶς περιφερείας τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου τοῦ περὶ τὰν ΖΗ , καὶ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἄχθω ἐπὶ τὰν ΚΛ ἐκβληθεῖσαν ἁ ΜΟ · ἐσσεῖται δὲ αὕτα ὀρθὰ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΑΒ , Γ△ , ἐπεὶ ποτʼ ὀρθάς ἐντι ἁ ΚΛ τᾷ ΖΗ · ἔστιν δή , ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τᾶς ΜΟ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΜΛ , οὕτως τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΝ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΝΓ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τᾶς ΜΛ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΝ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Α△ , ἐπεὶ τὸ μὲν ἀπὸ τᾶς ΜΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τᾶν ΛΖ , ΛΗ περιεχομένῳ , τὸ δὲ ἀπὸ τᾶς ΓΝ τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΖ ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ἀπὸ τᾶς ΜΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΝ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Α△ . Ἐντὶ δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΘ τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ , ὡς τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΝ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Α△ , ἐπεὶ ἴσα ἐστὶν ἁ ΞΝ τᾷ ἡμισέᾳ τᾶς ἑτέρας διαμέτρου δῆλον οὖν ὅτι ἴσαι ἐντὶ αἱ ΜΟ , ΘΚ κάθετοι · ὥστε παράλληλοι αἱ ΚΟ , ΘΜ . Ἐπεὶ δὲ ἁ ΜΘ παρὰ τὸν ἄξονά ἐντι τοῦ κυλίνδρου καὶ τὸ Μ σαμεῖον ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ αὐτοῦ , ἀναγκαῖον καὶ τὰν ΜΘ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ εἶμεν τοῦ κυλίνδρου · φανερὸν οὖν ὅτι καὶ τὸ Θ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐντὶ αὐτοῦ . Οὐκ ἦν δέ · δῆλον οὖν ὅτι ἀναγκαῖόν ἐστι τὰν τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ εἶμεν τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: ὀξυγώνιος κῶνος τομή δίδωμι καί γραμμή ἀπό ὁ κέντρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή μή ὀρθός ἀνειστήκω ἐν ἐπίπεδος , ὅς εἰμί ἀπό ὁ ἕτερος διάμετρος ὀρθός ἀνίστημι πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , δυνατός εἰμί κύλινδρος εὑρίσκω ὁ ἄξων ἔχω ἐπί εὐθεῖα ὁ ἀνειστήκω γραμμή , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ δίδωμι ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . εἰμί ὁ δίδωμι ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἕτερος διάμετρος ὁ ΒΑ , κέντρον δέ ὁ △ , ὁ δέ Γ△ γραμμή εἰμί ἀνειστήκω ἀπό ὁ κέντρον , ὡς λέγω , ὁ δέ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή νοέω περί διάμετρος ὁ ΑΒ ἐν ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΒ , Γ△ · δέω δή κύλινδρος εὑρίσκω ὁ ἄξων ἔχω ἐπί εὐθεῖα ὁ Γ△ , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ δίδωμι ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . ἀπό δή ὁ Α , Β σαμεῖον ἄγω παρά ὁ Γ△ ὁ ΑΖ , ΒΗ · ὁ δή ἕτερος διάμετρος ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἤτοι ἴσος εἰμί ὁ διάστημα ὁ ΑΖ , ΒΗ ἤ μέγας ἤ ἐλαχύς . εἰμί δή πρότερος ἴσος ὁ ΖΗ , ὁ δέ ΖΗ εἰμί ποτέ ὀρθός ὁ Γ△ , ἀπό δέ ὁ ΖΗ ἀνίστημι ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ Γ△ , καί ἐν ὁ ἐπίπεδος οὗτος κύκλος εἰμί περί διάμετρος ὁ ΖΗ , καί ἀπό ὁ κύκλος οὗτος κύλινδρος εἰμί ἄξων ἔχω ὁ Γ△ · ἐν δή ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος οὗτος εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . εἰ γάρ μή εἰμί , εἰμί τις σαμεῖον ἐπί ὁ ὁ ὀξυγώμιος κῶνος τομή , ὅς οὐ εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος . νοέω δή τις σαμεῖον λαμβάνω ἐπί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ Θ , ὅς οὐ εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος , καί ἀπό ὁ Θ ὁ ΘΚ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΒ εἰμί δέ οὗτος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΒΑ , Γ△ · ἀπό δέ ὁ Κ ἄγω παρά ὁ Γ△ ὁ ΚΛ , καί ἀπό ὁ Λ ἀνίστημι ὁ ΛΜ ποτέ ὀρθός ὁ ΖΗ ἐν ὁ κύκλος ὁ περί ὁ ΖΗ , ὁ δέ Μ νοέω μετέωρος ἐν ὁ περιφέρεια ὁ ἡμικύκλιον ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΗ · ὁ αὐτός δή ἔχω λόγος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΘΚ κάθετος πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ περιέχω καί ὁ ἀπό ΖΓ πρός ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Β περιέχω , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ἕτερος διάμετρον . ἔχω δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΖΛ , ΛΗ περιέχω πρός ὁ ὑπό ΑΚ , ΚΒ περιέχω , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΖΓ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό Α△ ἴσος οὖν εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΖΛ , ΛΗ περιέχω ὁ ἀπό ὁ ΘΚ τετράγωνος . εἰμί δέ ἴσος καί ὁ ἀπό ΛΜ · ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΘΚ , ΜΛ κάθετος . παράλληλος οὖν εἰμί ὁ ΛΚ , ΜΘ · ὥστε καί ὁ △Γ , ΜΘ παράλληλος εἰμί . καί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ἄρα εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ ΘΜ , ἐπεί ἀπό ὁ Μ ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ἄγω παρά ὁ ἄξων δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ Θ ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί αὐτός . ὑπόκειμαι δέ μή εἰμί · φανερός οὖν εἰμί , ὅς δέω δείκνυμι . δῆλος δή ὅτι καί ὁ κύλινδρος ὁ περιλαμβάνω ὀρθός εἰμί , εἰ ἄν εἰμί ὁ ἕτερος διάμετρος ἴσος ὁ διάστημα ὁ ἀπό ὁ πέρας ὁ ἕτερος διάμετρος ἄγω παρά ὁ ἀνειστήκω εὐθύς . εἰμί πάλιν ὁ ἕτερος διάμετρος μέγας ὁ ΖΗ , καί ἴσος εἰμί ὁ ΠΖ ὁ ἕτερος διάμετρος , ἀπό δέ ὁ ΠΖ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐν ὅς εἰμί ὁ ΒΑ , Γ△ , καί ἐν ὁ ἐπίπεδος οὗτος κύκλος εἰμί περί διάμετρος ὁ ΠΖ , ἀπό δέ ὁ κύκλος οὗτος κύλινδρος εἰμί ἄξων ἔχω ὁ △Ρ · ἐν δή ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος οὗτος διά ὁ αὐτός δείκνυμι εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . ἀλλά εἰμί ἐλαχύς ὁ ἕτερος διάμετρος ὁ ΖΗ . ὅς δή μέγας δύναμαι ὁ ΖΓ ὁ ἥμισυς ὁ ἕτερος διάμετρος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΓΞ τετράγωνος , καί ἀπό ὁ Ξ ἀνίστημι γραμμή ἴσος ὁ ἡμίσεια ὁ ἕτερος διάμετρος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΒ , Γ△ , ὁ ΞΝ , ὁ δέ Ν νοέω μετέωρος ὁ οὖν ΓΝ ἴσος εἰμί ὁ ΓΖ . ἐν δή ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΖΗ , ΓΝ , κύκλος γράφω περί διάμετρος ὁ ΖΗ · ἥκω δέ οὗτος διά ὁ Ν · καί ἀπό ὁ κύκλος κύλινδρος εἰμί ἄξων ἔχω ὁ Γ△ · ἐν δή ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος οὗτος εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . εἰ γάρ μή εἰμί , εἰμί τις σαμεῖον ἐπί αὐτός , ὅς οὐ εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος . λαμβάνω δή τις σαμεῖον ἐπί αὐτός ὁ Θ , καί ὁ ΘΚ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΒ , καί ἀπό ὁ Κ παρά ὁ Γ△ εἰμί ὁ ΚΛ , καί ἀπό ὁ Λ ἄγω ποτέ ὀρθός ὁ ΖΗ ἐν ὁ ἡμικύκλιον ὁ περί διάμετρος ὁ ΖΗ ὁ ΛΜ , νοέω δέ ὁ Μ ἐπί ὁ περιφέρεια ὁ ὁ ἡμικύκλιον ὁ περί ὁ ΖΗ , καί ἀπό ὁ Μ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΚΛ ἐκβάλλω ὁ ΜΟ · εἰμί δέ οὗτος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΒ , Γ△ , ἐπεί ποτέ ὀρθός εἰμί ὁ ΚΛ ὁ ΖΗ · εἰμί δή , ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ ΜΟ πρός ὁ ἀπό ὁ ΜΛ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΞΝ πρός ὁ ἀπό ὁ ΝΓ , ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ΜΛ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ , οὕτως ὁ ἀπό ΓΝ πρός ὁ ἀπό ὁ Α△ , ἐπεί ὁ μέν ἀπό ὁ ΜΛ ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΛΖ , ΛΗ περιέχω , ὁ δέ ἀπό ὁ ΓΝ ὁ ἀπό ὁ ΓΖ εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΜΟ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΞΝ πρός ὁ ἀπό ὁ Α△ . εἰμί δέ καί ὁ ἀπό ὁ ΚΘ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ , ὡς ὁ ἀπό ὁ ΞΝ πρός ὁ ἀπό ὁ Α△ , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΞΝ ὁ ἡμισέα ὁ ἕτερος διάμετρος δῆλος οὖν ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ΜΟ , ΘΚ κάθετος · ὥστε παράλληλος ὁ ΚΟ , ΘΜ . ἐπεί δέ ὁ ΜΘ παρά ὁ ἄξων εἰμί ὁ κύλινδρος καί ὁ Μ σαμεῖον ἐν ὁ ἐπιφάνεια αὐτός , ἀναγκαῖος καί ὁ ΜΘ ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κύλινδρος · φανερός οὖν ὅτι καί ὁ Θ ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί αὐτός . οὐ εἰμί δέ · δῆλος οὖν ὅτι ἀναγκαῖος εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κύλινδρος .