archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 23
Εἴ κα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος δύο τμάματα ἀποτμαθέωντι ἐπιπέδοις ὁπωσοῦν ἀγμένοις , τὰ τμάματα ποτʼ ἄλλαλα τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον τοῖς τετραγώνοις τοῖς ἀπὸ τῶν ἀξόνων αὐτῶν . Ἀποτετμάσθω γὰρ τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος δύο τμάματα , ὡς ἔτυχεν , ἔστω δὲ τῷ μὲν τοῦ ἑτέρου τμάματος ἄξονι ἴσα ἁ Κ , τῷ δὲ τοῦ ἑτέρου ἴσα ἁ Λ δεικτέον ὅτι τὰ τμάματα τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ποτʼ ἄλλαλα τοῖς ἀπὸ τᾶν Κ , Λ τετραγώνοις . Τμαθέντος δὴ τοῦ κωνοειδέος ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ τμάματος ἔστω τομὰ ἁ ΑΒΓ ὀρθογωνίου κώνου τομά , ἄξων δὲ ἁ Β△ , καὶ ἀπολελάφθω ἁ Β△ τᾷ Κ ἴσα , καὶ διὰ τοῦ △ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω ὀρθὸν ποτὶ τὸν ἄξονα τὸ δὴ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Β△ ἴσον ἐστὶ τῷ τμάματι τῷ ἄξονα ἔχοντι ἴσον τᾷ Κ , Εἰ μὲν οὖν καὶ ἁ Κ ἴσα ἐστὶ τᾷ Λ , φανερὸν ὅτι καὶ τὰ τμάματα ἴσα ἐσσοῦνται ἀλλάλοις ἑκάτερον γὰρ αὐτῶν ἴσον τῷ αὐτῷ καὶ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν Κ , Λ ἴσα ὥστε τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον τὰ τμάματα τοῖς τετραγώνοις τοῖς ἀπὸ τῶν ἀξόνων . Εἰ δὲ μὴ ἴσα ἐστὶν ἁ Λ τᾷ Κ , ἔστω ἁ Λ ἴσα τᾷ ΒΘ , καὶ διὰ τοῦ Θ ἐπίπεδον ἄχθω ὀρθὸν ποτὶ τὸν ἄξονα · τὸ δὴ τμᾶμα τὸ βάσιν ἔχον τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΕΖ , ἄξονα δὲ τὰν ΒΘ , ἴσον ἐστὶ τῷ τμάματι τῷ ἔχοντι ἄξονα ἴσον τᾷ Λ . Ἐγγεγράφθωσαν δὴ κῶνοι βάσιας μὲν ἔχοντες τοὺς κύκλους τοὺς περὶ διαμέτρους τὰς ΑΓ , ΕΖ , κορυφὰν δὲ τὸ Β σαμεῖον · ὁ δὴ κῶνος ὁ ἔχων ἄξονα τὰν Β△ ποτὶ τὸν κῶνον τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν ΒΘ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν ΘΕ δυνάμει , καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἁ △Β ποτὶ τὰν ΒΘ μάκει . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ △Α ποτὶ τὰν ΘΕ δυνάμει , τοῦτον ἔχει ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΒΘ μάκει · ὁ ἄρα κῶνος ὁ ἔχων ἄξονα τὰν Β△ ποτὶ τὸν κῶνον τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν ΒΘ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἁ △Β ποτὶ τὰν ΘΒ , καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἁ △Β ποτὶ τὰν ΒΘ οὗτος δὲ ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς △Β ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΒ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ὁ κῶνος ὁ ἄξονα ἔχων τὰν Β△ ποτὶ τὸν κῶνον τὸν ἄξονα ἔχοντα τὰν ΘΒ , τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος τὸ ἄξονα ἔχον τὰν △Β ποτὶ τὸ τμᾶμα τὸ ἄξονα ἔχον τὰν ΘΒ . Καὶ ἔστιν τῷ μὲν τμάματι τῷ ἄξονα ἔχοντι τὰν Β△ ἴσον τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος τὸ ἄξονα ἔχον ἴσον τᾷ Κ , τῷ δὲ τμάματι τῷ ἄξονα ἔχοντι τὰν ΘΒ ἴσον τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος τὸ ἄξονα ἔχον ἴσον τᾷ Λ , καὶ τᾷ μὲν Β△ ἴσα ἁ Κ , τᾷ δὲ ΘΒ ἴσα ἁ Λ δῆλον οὖν ὅτι τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος τὸ ἄξονα ἔχον ἴσον τᾷ Κ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ποτὶ τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος τὸ ἄξονα ἔχον ἴσον τᾷ Λ , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Κ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Λ .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής δύο τμῆμα ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὁπωσοῦν ἄγω , ὁ τμῆμα ποτέ ἀλλήλων ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἄξων αὐτός . ἀποτέμνω γάρ ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής δύο τμῆμα , ὡς τυγχάνω , εἰμί δέ ὁ μέν ὁ ἕτερος τμῆμα ἄξων ἴσος ὁ Κ , ὁ δέ ὁ ἕτερος ἴσος ὁ Λ δείκνυμι ὅτι ὁ τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος ποτέ ἀλλήλων ὁ ἀπό ὁ Κ , Λ τετράγωνος . τέμνω δή ὁ κωνοειδής ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων ὁ τμῆμα εἰμί τομή ὁ ΑΒΓ ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ἄξων δέ ὁ Β△ , καί ἀπολαμβάνω ὁ Β△ ὁ Κ ἴσος , καί διά ὁ △ ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ δή τμῆμα ὁ κωνοειδής ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ ἄξων ἔχω ἴσος ὁ Κ , Εἰ μέν οὖν καί ὁ Κ ἴσος εἰμί ὁ Λ , φανερός ὅτι καί ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί ἀλλήλων ἑκάτερος γάρ αὐτός ἴσος ὁ αὐτός καί ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Κ , Λ ἴσος ὥστε ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ τμῆμα ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἄξων . εἰ δέ μή ἴσος εἰμί ὁ Λ ὁ Κ , εἰμί ὁ Λ ἴσος ὁ ΒΘ , καί διά ὁ Θ ἐπίπεδος ἄγω ὀρθός πρός ὁ ἄξων · ὁ δή τμῆμα ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΖ , ἄξων δέ ὁ ΒΘ , ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ ἔχω ἄξων ἴσος ὁ Λ . ἐγγράφω δή κῶνος βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ΕΖ , κορυφή δέ ὁ Β σαμεῖον · ὁ δή κῶνος ὁ ἔχω ἄξων ὁ Β△ πρός ὁ κῶνος ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΒΘ ὁ σύγκειμαι ἔχω λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ Α△ πρός ὁ ΘΕ δύναμις , καί ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ △Β πρός ὁ ΒΘ μῆκος . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ △Α πρός ὁ ΘΕ δύναμις , οὗτος ἔχω ὁ Β△ πρός ὁ ΒΘ μῆκος · ὁ ἄρα κῶνος ὁ ἔχω ἄξων ὁ Β△ πρός ὁ κῶνος ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΒΘ ὁ σύγκειμαι ἔχω λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ △Β πρός ὁ ΘΒ , καί ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ △Β πρός ὁ ΒΘ οὗτος δέ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὅς ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ △Β πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΘΒ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ κῶνος ὁ ἄξων ἔχω ὁ Β△ πρός ὁ κῶνος ὁ ἄξων ἔχω ὁ ΘΒ , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής ὁ ἄξων ἔχω ὁ △Β πρός ὁ τμῆμα ὁ ἄξων ἔχω ὁ ΘΒ . καί εἰμί ὁ μέν τμῆμα ὁ ἄξων ἔχω ὁ Β△ ἴσος ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής ὁ ἄξων ἔχω ἴσος ὁ Κ , ὁ δέ τμῆμα ὁ ἄξων ἔχω ὁ ΘΒ ἴσος ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής ὁ ἄξων ἔχω ἴσος ὁ Λ , καί ὁ μέν Β△ ἴσος ὁ Κ , ὁ δέ ΘΒ ἴσος ὁ Λ δῆλος οὖν ὅτι ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής ὁ ἄξων ἔχω ἴσος ὁ Κ ὁ αὐτός ἔχω λόγος πρός ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής ὁ ἄξων ἔχω ἴσος ὁ Λ , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Κ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Λ .