archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 2
Εἴ κα γραμμαὶ ἴσαι ἀλλάλαις ἔωντι ὁποσαιοῦν τῷ πλήθει , καὶ παῤ ἑκάσταν αὐτᾶν παραπέσῃ τι χωρίον ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ , ἔωντι δὲ αἱ πλευραὶ τῶν ὑπερβλημάτων τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι καὶ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα τᾷ ἐλαχίστᾳ , ἔωντι δὲ καὶ ἄλλα χωρία τῷ μὲν πλήθει ἴσα τούτοις , τῷ δὲ μεγέθει ἕκαστον ἴσον τῷ μεγίστῳ , ποτὶ μὲν πάντα τὰ ἕτερα χωρία ἐλάσσονα λόγον ἑξοῦντι τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἴσα συναμφοτέραις τᾷ τε τοῦ μεγίστου ὑπερβλήματος πλευρᾷ καὶ μιᾷ τᾶν ἰσᾶν ἐουσᾶν ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέραις τῷ τε τρίτῳ μέρει τᾶς τοῦ μεγίστου ὑπερβλήματος πλευρᾶς καὶ τᾷ ἡμισέᾳ μιᾶς τᾶν ἰσᾶν ἐουσᾶν , ποτὶ δὲ τὰ λοιπὰ χωρία ἄνευ τοῦ μεγίστου μείζονα λόγον ἑξοῦντι τοῦ αὐτοῦ λόγου . Ἔστωσαν γὰρ ἴσαι εὐθεῖαι ὁποσαιοῦν τῷ πλήθει , ἐφʼ ἆν τὰ Α , καὶ παραπεπτωκέτω παῤ ἑκάσταν αὐτᾶν χωρίον ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ , ἔστων δὲ τῶν ὑπερβλημάτων πλευραὶ αἱ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι , καὶ ἁ ὑπεροχὰ ἔστω ἴσα τᾷ ἐλαχίστᾳ , καὶ μεγίστα μὲν ἔστω ἁ Β , ἐλαχίστα δὲ ἁ Η · ἔστω δὲ καὶ ἄλλα χωρία , ἐφʼ ὧν ἕκαστον τῶν Θ , Ι , Κ , Λ , τῷ μὲν πλήθει ἴσα τούτοις , τῷ δὲ μεγέθει ἕκαστον ἴσον ἔστω τῷ μεγίστῳ τῷ παρὰ τὰν ΑΒ παρακειμένῳ , ἔστω δὲ ἁ μὲν ΘΙ γραμμὰ ἴσα τᾷ Α , ἁ δὲ ΚΛ ἴσα τᾷ Β , καὶ τᾶν μὲν ΘΙ γραμμᾶν ἑκάστα ἔστω διπλασία τᾶς Ι , τᾶν δὲ ΚΛ ἑκάστα τριπλασία τᾶς Κ · δεικτέον ὅτι τὰ χωρία πάντα , ἐν οἷς τὰ Θ , Ι , Κ , Λ , ποτὶ μὲν πάντα τὰ ἕτερα χωρία τὰ ΑΒ , ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΙΚΛ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΙΚ , ποτὶ δὲ τὰ λοιπὰ ἄνευ τοῦ μεγίστου τοῦ ΑΒ μείζονα λόγον ἔχοντι τοῦ αὐτοῦ λόγου . Ἔστι γάρ τινα χωρία , ἐν οἷς τὰ Α , τῷ ἴσῳ ἀλλάλων ὑπερέχοντα , καὶ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα τῷ ἐλαχίστῳ τε τὰ παραβλήματα καὶ τὰ πλάτη τῷ ἴσῳ , καὶ ἄλλα χωρία , ἐν οἷς τὰ Θ , Ι , τῷ μὲν πλήθει ἴσα τούτοις , τῷ δὲ μεγέθει ἕκαστον ἴσον τῷ μεγίστῳ σύμπαντα οὖν τὰ χωρία , ἐν οἷς τὰ Θ , Ι , πάντων μὲν τῶν ἐν οἷς τὰ Α ἐλάσσονά ἐντι ἢ διπλασίονα , τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ μεγίστου μείζονα ἢ διπλασίονα . Αὐτὰ οὖν τὰ χωρία , ἐν οἷς τὰ Ι , πάντων μὲν τῶν ἐν οἷς τὰ Α ἐλάσσονά ἐντι , τῶν δὲ λοιπῶν ἄνευ τοῦ μεγίστου μείζονα . Πάλιν ἐντὶ γραμμαί τινες αἱ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι , καὶ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα τᾷ ἐλαχίστᾳ , καὶ ἄλλαι γραμμαί , ἐφʼ ἆν τὰ Κ , Λ , τῷ μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις , τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ · τὰ οὖν τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ πάντων μὲν τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἐλάσσονά ἐντι ἢ τριηλάσια , τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα ἢ τριπλάσια δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς περὶ τᾶν ἑλίκων ἐκδεδομένοις . Τὰ οὖν χωρία , ἐν οἷς τὸ Κ , πάντων μὲν τῶν χωρίων , ἐν οἷς τὰ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , ἐλάσσονά ἐστιν , αὐτῶν δὲ τῶν ἐν οἷς τὰ Γ , △ , Ε , Ζ , Η , μείζονα · ὥστε καὶ πάντα τὰ χωρία , ἐν οἷς τὰ Ι , Κ , πάντων μὲν τῶν ἐν οἷς τὰ ΑΒ , ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ , ἐλάσσονά ἐστι , τῶν δὲ ἐν οἷς τὰ ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ , μείζονα . Δῆλον οὖν ὅτι πάντα τὰ χωρία , ἐν οἷς τὰ Θ , Ι , Κ , Λ ποτὶ μὲν τὰ χωρία , ἐν οἷς τὰ ΑΒ , ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ , ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΛ ποτὶ τὰν ΙΚ , ποτὶ δὲ τὰ λοιπὰ χωρὶς τοῦ ἐν ᾧ τὸ ΑΒ μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου .
Lemmas: εἰ ἄν γραμμή ἴσος ἀλλήλων εἰμί ὁποσαιοῦς ὁ πλῆθος , καί παρά ἑκαστός αὐτός παραπίπτω τις χωρίον ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , εἰμί δέ ὁ πλευρά ὁ ὑπέρβλημα ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω καί ὁ ὑπεροχή ἴσος ὁ ἐλαχύς , εἰμί δέ καί ἄλλος χωρίον ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , πρός μέν πᾶς ὁ ἕτερος χωρίον ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ὁ μέγας ὑπέρβλημα πλευρά καί εἷς ὁ ἴσος εἰμί πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε τρίτος μέρος ὁ ὁ μέγας ὑπέρβλημα πλευρά καί ὁ ἡμίσεος εἷς ὁ ἴσος εἰμί , πρός δέ ὁ λοιπός χωρίον ἄνευ ὁ μέγας μέγας λόγος ἔχω ὁ αὐτός λόγος . εἰμί γάρ ἴσος εὐθεῖα ὁσποσαιοῦν ὁ πλῆθος , ἐπί ἀνά ὁ Α , καί παραπίπτω παρά ἑκαστός αὐτός χωρίον ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , εἰμί δέ ὁ ὑπέρβλημα πλευρά ὁ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , καί ὁ ὑπεροχή εἰμί ἴσος ὁ ἐλαχύς , καί μέγας μέν εἰμί ὁ Β , ἐλαχύς δέ ὁ Η · εἰμί δέ καί ἄλλος χωρίον , ἐπί ὅς ἕκαστος ὁ Θ , Ι , Κ , Λ , ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος εἰμί ὁ μέγας ὁ παρά ὁ ΑΒ παράκειμαι , εἰμί δέ ὁ μέν ΘΙ γραμμή ἴσος ὁ Α , ὁ δέ ΚΛ ἴσος ὁ Β , καί ὁ μέν ΘΙ γραμμή ἕκαστος εἰμί διπλάσιος ὁ Ι , ὁ δέ ΚΛ ἕκαστος τριπλάσιος ὁ Κ · δείκνυμι ὅτι ὁ χωρίον πᾶς , ἐν ὅς ὁ Θ , Ι , Κ , Λ , πρός μέν πᾶς ὁ ἕτερος χωρίον ὁ ΑΒ , ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ΘΙΚΛ εὐθύς πρός ὁ ΙΚ , πρός δέ ὁ λοιπός ἄνευ ὁ μέγας ὁ ΑΒ μέγας λόγος ἔχω ὁ αὐτός λόγος . εἰμί γάρ τις χωρίον , ἐν ὅς ὁ Α , ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , καί ὁ ὑπεροχή ἴσος ὁ ἐλαχύς τε ὁ παράβλημα καί ὁ πλάτος ὁ ἴσος , καί ἄλλος χωρίον , ἐν ὅς ὁ Θ , Ι , ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας σύμπας οὖν ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ Θ , Ι , πᾶς μέν ὁ ἐν ὅς ὁ Α ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος , ὁ δέ λοιπός χωρίς ὁ μέγας μέγας ἤ διπλάσιος . αὐτός οὖν ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ Ι , πᾶς μέν ὁ ἐν ὅς ὁ Α ἐλαχύς εἰμί , ὁ δέ λοιπός ἄνευ ὁ μέγας μέγας . πάλιν εἰμί γραμμή τις ὁ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , καί ὁ ὑπεροχή ἴσος ὁ ἐλαχύς , καί ἄλλος γραμμή , ἐπί ἀνά ὁ Κ , Λ , ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας · ὁ οὖν τετράγωνος ὁ ἀπό πᾶς ὁ ἴσος ἀλλήλων τε καί ὁ μέγας πᾶς μέν ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ἐλαχύς εἰμί ἤ τριαλάσιοι , ὁ δέ λοιπός χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας τετράγωνος μέγας ἤ τριπλάσιος δείκνυμι γάρ οὗτος ἐν ὁ περί ὁ ἑλίκων ἐκδίδωμι . ὁ οὖν χωρίον , ἐν ὅς ὁ Κ , πᾶς μέν ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , ἐλαχύς εἰμί , αὐτός δέ ὁ ἐν ὅς ὁ Γ , △ , Ε , Ζ , Η , μέγας · ὥστε καί πᾶς ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ Ι , Κ , πᾶς μέν ὁ ἐν ὅς ὁ ΑΒ , ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ , ἐλαχύς εἰμί , ὁ δέ ἐν ὅς ὁ ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ , μέγας . δῆλος οὖν ὅτι πᾶς ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ Θ , Ι , Κ , Λ πρός μέν ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ ΑΒ , ΑΓ , Α△ , ΑΕ , ΑΖ , ΑΗ , ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ΘΛ πρός ὁ ΙΚ , πρός δέ ὁ λοιπός χωρίς ὁ ἐν ὅς ὁ ΑΒ μέγας ὁ αὐτός λόγος .