archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 12
Εἴ κα τὸ ὀρθογώνιον κωνοειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθῇ μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παρὰ τὸν ἄξονα μήτε ποτʼ ὀρθὰς τῷ ἄξονι , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ μείζων ἐσσεῖται ἁ ἐναπολαφθεῖσα ἐν τῷ κωνοειδεῖ ἀπὸ τᾶς γενομένας τομᾶς τῶν ἐπιπέδων τοῦ τέμνοντος τὸ σχῆμα καὶ τοῦ ἀχθέντος διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον , ἁ δὲ ἐλάσσων διάμετρος ἴσα ἐσσεῖται τῷ διαστήματι τᾶν ἀχθεισᾶν παρὰ τὸν ἄξονα ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς μείζονος διαμέτρου . Τετμάσθω γὰρ τὸ ὀρθογώνιον κωνοειδὲς ἐπιπέδῳ , ὡς εἴρηται , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον ἔστω τοῦ μὲν κωνοειδέος τομὰ ἁ ΑΒΓ , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ τέμνοντος τὸ σχῆμα ἁ ΓΑ εὐθεῖα , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ κωνοειδέος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ Β△ · δεικτέον ὅτι ἁ τομὰ τοῦ κωνοειδέος ἁ ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ κατὰ τὰν ΑΓ ὀξυγωνίου ἐστὶ κώνου τομά , καὶ διάμετρος αὐτᾶς ἁ μείζων ἐστὶν ἁ ΑΓ , ἁ δὲ ἐλάσσων διάμετρος ἴσα ἐντὶ τᾷ ΛΑ τᾶς μὲν ΓΛ παρὰ τὰν Β△ ἐούσας , τᾶς δὲ ΑΛ καθέτου ἐπὶ τὰν ΓΛ . Νοείσθω τι σαμεῖον ἐπὶ τᾶς τομᾶς λελαμμένον τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετος ἄχθω ἐπὶ τὰν ΓΑ ἁ ΚΘ · ἐσσεῖται οὖν ἁ ΚΘ κάθετος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐν ᾧ ἐστιν ἁ ΑΓΒ ὀρθογωνίου κώνου τομά , διότι καὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν ποτὶ τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον · διὰ δὲ τοῦ Θ ἄχθω ἁ ΕΖ ὀρθὰς ποιοῦσα γωνίας ποτὶ τὰν Β△ , καὶ διὰ τᾶν ΕΖ , ΚΘ εὐθειᾶν ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω · ἐσσεῖται δὲ τοῦτο ὀρθὸν ποτὶ τὰν Β△ · τετμήσεται δὴ τὸ κωνοειδὲς σχῆμα ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα · ὥστε ἁ τομὰ κύκλος ἐσσεῖται , κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ △ · ἁ ἄρα ΚΘ ἴσον δυνασεῖται τῷ ὑπὸ ΖΘ , ΘΕ . Ἄχθω δὲ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ἁ μὲν ΜΝ παρὰ τὰν ΑΓ , ἐπιψαυέτω δὲ κατὰ τὸ Ν , ἁ δὲ ΒΤ παρὰ τὰν ΕΖ · τὸ δὴ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΓ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΕΘ , ΘΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΝΤ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ · δέδεικται γὰρ τοῦτο . Τᾷ δὲ ΝΤ ἴσα ἐντὶ ἁ ΤΜ , διότι καὶ ἁ ΒΡ τᾷ ΒΜ · ἔχει οὖν καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΓ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΘ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΤΜ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΤΒ · ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ καθέτου τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΓ περιεχόμενον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΤΜ . Ἐπεὶ οὖν ὁμοῖά ἐντι τὰ ΓΑΛ , ΤΜΒ τρίγωνα , τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ καθέτου τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΓ περιεχόμενον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΛ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ τετράγωνον . Ὁμοίως δειχθήσονται καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν καθέτων τετράγωνα τᾶν ἀγομενᾶν ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν ΑΓ ποτὶ τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τᾶς ΑΓ τμαμάτων τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΛ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ · δῆλον οὖν ὅτι ἁ τομά ἐστιν ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετροι δὲ αὐτᾶς ἐντι ἁ μὲν μείζων ἁ ΑΓ , ἁ δὲ ἐλάσσων ἴσα τᾷ ΑΛ .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής ἐπίπεδος τέμνω μήτε διά ὁ ἄξων μήτε παρά ὁ ἄξων μήτε ποτέ ὀρθός ὁ ἄξων , ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ μέγας εἰμί ὁ ἐναπολάπτω ἐν ὁ κωνοειδής ἀπό ὁ γίγνομαι τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ τέμνω ὁ σχῆμα καί ὁ ἄγω διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος , ὁ δέ ἐλαχύς διάμετρος ἴσος εἰμί ὁ διάστημα ὁ ἄγω παρά ὁ ἄξων ἀπό ὁ πέρας ὁ μέγας διάμετρος . τέμνω γάρ ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής ἐπίπεδος , ὡς λέγω , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος ἄλλος διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος εἰμί ὁ μέν κωνοειδής τομή ὁ ΑΒΓ , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ τέμνω ὁ σχῆμα ὁ ΓΑ εὐθύς , ἄξων δέ εἰμί ὁ κωνοειδής καί διάμετρος ὁ τομή ὁ Β△ · δείκνυμι ὅτι ὁ τομή ὁ κωνοειδής ὁ ὑπό ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΓ ὀξυγώνιος εἰμί κῶνος τομή , καί διάμετρος αὐτός ὁ μέγας εἰμί ὁ ΑΓ , ὁ δέ ἐλαχύς διάμετρος ἴσος εἰμί ὁ ΛΑ ὁ μέν ΓΛ παρά ὁ Β△ εἰμί , ὁ δέ ΑΛ κάθετος ἐπί ὁ ΓΛ . νοέω τις σαμεῖον ἐπί ὁ τομή λαμβάνω ὁ Κ , καί ἀπό ὁ Κ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΓΑ ὁ ΚΘ · εἰμί οὖν ὁ ΚΘ κάθετος ἐπί ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΓΒ ὀρθογώνιον κῶνος τομή , διότι καί ὁ τέμνω ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ αὐτός ἐπίπεδος · διά δέ ὁ Θ ἄγω ὁ ΕΖ ὀρθός ποιέω γωνία πρός ὁ Β△ , καί διά ὁ ΕΖ , ΚΘ εὐθεῖα ἐπίπεδος ἐκβάλλω · εἰμί δέ οὗτος ὀρθός πρός ὁ Β△ · τετμίναμαι δή ὁ κωνοειδής σχῆμα ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων · ὥστε ὁ τομή κύκλος εἰμί , κέντρον δέ αὐτός ὁ △ · ὁ ἄρα ΚΘ ἴσος δυνασέω ὁ ὑπό ΖΘ , ΘΕ . ἄγω δέ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή ὁ μέν ΜΝ παρά ὁ ΑΓ , ἐπιψαύω δέ κατά ὁ Ν , ὁ δέ ΒΤ παρά ὁ ΕΖ · ὁ δή περιέχω ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΓ πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΕΘ , ΘΖ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΝΤ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΒΤ · δείκνυμι γάρ οὗτος . ὁ δέ ΝΤ ἴσος εἰμί ὁ ΤΜ , διότι καί ὁ ΒΡ ὁ ΒΜ · ἔχω οὖν καί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΓ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΘ ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΤΜ πρός ὁ ἀπό ὁ ΤΒ · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ ΘΚ κάθετος τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΓ περιέχω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΒΤ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΤΜ . ἐπεί οὖν ὅμοιος εἰμί ὁ ΓΑΛ , ΤΜΒ τρίγωνος , ὁ ἀπό ὁ ΘΚ κάθετος τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΓ περιέχω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΑΛ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος . ὅμοιος δείκνυμι καί ὁ ἀπό ὁ ἄλλος κάθετος τετράγωνος ὁ ἄγω ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ ΑΓ πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ΑΓ τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΑΛ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΓ · δῆλος οὖν ὅτι ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ μέν μέγας ὁ ΑΓ , ὁ δέ ἐλαχύς ἴσος ὁ ΑΛ .