archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 22
Καὶ τοίνυν εἴ κα μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα ἐπιπέδῳ ἀποτμαθῇ τὸ τμᾶμα ἀπὸ τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ὁμοίως ἡμιόλιον ἐσσεῖται τοῦ ἀποτμάματος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος ἀποτετμαμένον , ὡς εἴρηται , καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμακὸς τὸ τμᾶμα τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ ὀρθογωνίου κώνου τομά , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμακότος τὸ τμᾶμα ἁ ΑΓ εὐθεῖα , παρὰ δὲ τὰν ΑΓ ἁ ΦΥ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Β , καὶ ἁ Β△ ἀχθῶ παρὰ τὸν ἄξονα τεμεῖ δὴ οὕτα δίχα τὰν ΑΓ ἀπὸ δὲ τᾶς ΦΥ ἐπίπεδον ἀνεστακέτω παράλληλον τῷ κατὰ τὰν Α△ ἐπιψαύσει δὴ τοῦτο τὸ κωνοειδὲς κατὰ τὸ Β , καὶ ἐσσεῖται τοῦ τμάματος κορυφὰ τὸ Β σαμεῖον , ἄξων δὲ ἁ Β△ . Ἐπεὶ οὖν τὸ ἐπίπεδον τὸ κατὰ τὰν ΑΓ οὐ ποτʼ ὀρθὰς ἐὸν τῷ ἄξονι τετμάκει τὸ κωνοειδές , ἁ τομά ἐστιν ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ μείζων ἁ ΑΓ . Ἐούσας δὴ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς περὶ διάμετρον τὰν ΓΑ καὶ γραμμᾶς τᾶς Β△ , ἅ ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἀνεστάκουσα ἐν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ἀνεστακότι ἀπὸ τᾶς διαμέτρου ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά , δυνατόν ἐστι κύλινδρον εὑρεῖν τὸν ἄξονα ἔχοντα ἐπʼ εὐθείας τᾷ Β△ , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά δυνατὸν δέ ἐστι καὶ κῶνον εὑρεῖν κορυφὰν ἔχοντα τὸ Β σαμεῖον , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἐσσεῖται ὥστε ἐσσεῖται τόμος κυλίνδρου τις βάσιν ἔχων τὰν τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰν τὰν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Β△ , καὶ ἀπότμαμα κώνου βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τε τόμῳ καὶ τῷ τμάματι , ἄξονα δὲ τὸν αὐτόν . Δεικτέον , ὅτι τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα ἡμιόλιόν ἐστι τούτου τοῦ κώνου . Ἔστω δὴ ὁ Ψ κῶνος ἡμιόλιος τοῦ ἀποτμάματος τούτου ἐσσεῖται δὴ ὁ τόμος τοῦ κυλίνδρου ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν διπλάσιος τοῦ Ψ κώνου · οὗτος γὰρ ἡμιόλιός ἐστι τοῦ ἀποτμάματος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , τὸ δὲ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ εἰρημένον τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τόμου τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Ἀναγκαῖον δή ἐστι τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα ἴσον εἶμεν τῷ Ψ κώνῳ . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσον , ἤτοι μεῖζόν ἐστι ἤ ἔλασσον . Ἔστω δὴ πρότερον , εἱ δυνατόν , μεῖζον . Ἐγγεγράφθω δή τι εἰς τὸ τμᾶμα σχῆμα στερεόν , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρων τόμων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενα , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου , καὶ διάχθω τὰ ἐπίπεδα τῶν τόμων ἔστε ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ τόμου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , Πάλιν δὴ ὁ πρῶτος τόμος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ τόμῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν △Ε ποτὶ τὸν πρῶτον τόμον τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν △Ε τὸν ἀυτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Α△ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΕ οἱ γὰρ τόμοι οἱ ἴσον ὕψος ἔχοντες τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ποτʼ ἀλλάλους ταῖς βάσεσιν , αἱ δὲ βάσιες αὐτῶν , ἐπεὶ ὁμοῖαί ἐντι ὀξυγωνίων κώνων τομαί , τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον , ὃν αἱ ὁμόλογοι διάμετροι αὐτῶν δυνάμει , ἡμίσειαι δέ ἐντι τῶν ὁμολόγων διαμέτρων αἱ Α△ , ΚΕ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν ΚΕ δυνάμει , τοῦτον ἔχει ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΒΕ μάκει , ἐπεὶ ἁ μὲν Β△ παρὰ τὰν διάμετρόν ἐστιν , αἱ δὲ Α△ , ΚΕ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν · ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΒΕ , τοῦτον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν ΕΞ ἕξει οὖν ὁ πρῶτος τόμος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ τόμῳ ποτὶ τὸν πρῶτον τόμον τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένηῳ σχήματι τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ Α△ ποτὶ τὰν ΕΞ καὶ τῶν ἄλλων τόμων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ τόμῳ ἄξονα ἴσον ἐχόντων τᾷ △Ε ποτὶ ἕκαστον τῶν τόμων τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἄξονα ἐχόντων τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ἡμίσεια τᾶς διαμέτρου τᾶν βασίων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἀπολελαμμέναν ἀπʼ αὐτᾶς μεταξὺ τᾶν ΑΒ , Β△ . Δειχθήσεται οὖν ὁμοίως τοῖς πρότερον τὸ μὲν ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζον ἐὸν τοῦ Ψ κώνου , ὁ δὲ τοῦ κυλίνδρου τόμος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν μείζων ἐὼν ἢ διπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ὥστε καὶ τοῦ Ψ κώνου μείζων ἐσσεῖται ἢ διπλασίων . Οὐκ ἔστι δέ , ἀλλὰ διπλασίων . Οὐκ ἄρα ἐστὶ μεῖζον τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Διὰ τῶν αὐτῶν δὲ δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ ἔλασσόν ἐστιν δῆλον οὖν ὅτι ἴσον . Ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ ἀποτμάματος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Εἴ κα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος δύο τμάματα ἀποτμαθέωντι ἐπιπέδοις , τὸ μὲν ἕτερον ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , τὸ δὲ ἕτερον μὴ ὀρθῷ , ἔωντι δὲ οἱ τῶν τμαμάτων ἄξονες ἴσοι , ἴσα ἐσσοῦνται τὰ τμάματα . Ἀποτετμάσθω γὰρ ὀρθογωνίου κωνοειδέος δύο τμάματα , ὡς εἴρηται , τμαθέντος δὲ τοῦ κωνοειδέος ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ μὲν κωνοειδέος ἔστω τομὰ ἁ ΑΒΓ ὀρθογωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ Β△ , τῶν δὲ ἐπιπέδων αἱ ΑΖ , ΕΓ εὐθεῖαι , τοῦ μὲν ὀρθοῦ ποτὶ τὸν ἄξονα ἁ ΕΓ , τοῦ δὲ μὴ ὀρθοῦ ἁ ΖΑ , ἄξονες δὲ ἔστων τῶν τμαμάτων αἱ ΒΘ , ΚΛ ἴσαι ἀλλάλαις , κορυφαὶ δὲ τὰ Β , Λ δεικτέον ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος , οὗ κορυφὰ τὸ Β , τῷ τμάματι τοῦ κωνοειδέος , οὗ κορυφὰ τὸ Λ . Ἐπεὶ γὰρ ἀπὸ τᾶς αὐτᾶς ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς δύο τμάματά ἐντι ἀφῃρημένα τό τε ΑΛΖ καὶ τὸ ΕΒΓ , καί ἐντι αὐτῶν αἱ διάμετροι ἴσαι αἱ ΚΛ , ΒΘ , ἴσον ἐστὶ τὸ τρίγωνον τὸ ΑΛΚ τῷ ΕΘΒ δέδεικται γὰρ ὅτι τὸ ΑΛΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ . Ἀχθω δὴ ἁ ΑΧ κάθετος ἐπὶ τὰν ΚΛ ἐκβληθεῖσαν . Καὶ ἐπεὶ ἴσαι αἱ ΒΘ , ΚΛ , ἴσαι καὶ αἱ ΕΘ , ΑΧ . Ἔστω δὴ ἐν τῷ τμάματι , οὗ κορυφὰ τὸ Β , κῶνος ἐγγεγραμμένος τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχων τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , ἐν δὲ τῷ τμάματι , οὗ κορυφὰ τὸ Λ , ἀπότμαμα κώνου τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , ἀχθῶ δὲ ἀπὸ τοῦ Λ κάθετος ἐπὶ τὰν ΑΖ ἁ ΛΝ · ἐσσεῖται δὴ αὕτα ὕψος τοῦ ἀποτμάματος τοῦ κώνου , οὗ κορυφὰ τὸ Λ . Τὸ δὲ ἀπότμαμα τοῦ κώνου , οὗ κορυφὰ τὸ Λ , καὶ ὁ κῶνος , οὗ κορυφὰ τὸ Β , τὸν συγκείμενον λόγον ἔχοντι ποτʼ ἄλλαλα ἔκ τε τοῦ τῶν βασίων λόγου καὶ ἐκ τοῦ τῶν ὑψέων τὸν συγκείμενον οὖν ἔχοντι λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τᾶς περὶ διάμετρον τὰν ΑΖ ποτὶ τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΕΓ , καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΝΛ ποτὶ τὰν ΒΘ . Τὸ δὲ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ποτὶ τὸν αὐτὸν κύκλον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν διαμέτρων ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΓ · ἔχοι οὖν κα καὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου ποτὶ τὸν κῶνον τὸν συγκείμενον λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΑΚ ποτὶ τὰν ΑΧ · ἴσα γάρ ἐστιν ἁ ΑΧ τᾷ ΕΘ , καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἀ ΛΝ ποτὶ τὰν ΒΘ . Ο δὲ τῶν εἰρημένων λόγων , ὁ τᾶς ΑΚ ποτὶ ΑΧ , ὁ αὐτός ἐστι τῷ τᾶς ΛΚ ποτὶ ΛΝ · τὸ ἄρα ἀπότμαμα ποτὶ τὸν κῶνον λόγον ἔχει , ὃν ἁ ΛΚ ποτὶ τὰν ΛΝ , καὶ ὃν ἔχει ἁ ΛΝ ποτὶ τὰν ΒΘ . Ἴσα δὲ ἁ ΒΘ τᾷ ΚΛ δῆλον οὖν ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου , οὗ κορυφὰ τὸ Λ , τῷ κώνῳ , οὗ κορυφὰ τὸ Β . Φανερὸν οὖν ὅτι καὶ τὰ τμάματα ἴσα ἐντί , ἐπεὶ τὸ μὲν ἕτερον αὐτῶν ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ κώνου , τὸ δὲ ἕτερον ἡμιόλιον τοῦ ἀποτμάματος τοῦ κώνου ἴσων ἐόντων .
Lemmas: καί τοίνυν εἰ ἄν μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων ἐπίπεδος ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ἀπό ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής , ὅμοιος ἡμιόλιος εἰμί ὁ ἀπότμαμα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . εἰμί τμῆμα ὀρθογώνιον κωνοειδής ἀποτέμνω , ὡς λέγω , καί τέμνω αὐτός ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ ΑΓ εὐθύς , παρά δέ ὁ ΑΓ ὁ ΦΥ ἐπιψαύω ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή κατά ὁ Β , καί ὁ Β△ ἄγω παρά ὁ ἄξων τέμνω δή ὅτε δίχα ὁ ΑΓ ἀπό δέ ὁ ΦΥ ἐπίπεδος ἀνίστημι παράλληλος ὁ κατά ὁ Α△ ἐπιψαύω δή οὗτος ὁ κωνοειδής κατά ὁ Β , καί εἰμί ὁ τμῆμα κορυφή ὁ Β σαμεῖον , ἄξων δέ ὁ Β△ . ἐπεί οὖν ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΓ οὐ ποτέ ὀρθός εἰμί ὁ ἄξων τέμνω ὁ κωνοειδής , ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ μέγας ὁ ΑΓ . εἰμί δή ὀξυγώνιος κῶνος τομή περί διάμετρος ὁ ΓΑ καί γραμμή ὁ Β△ , ὅς εἰμί ἀπό ὁ κέντρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἀνειστήκω ἐν ἐπίπεδος ὀρθός ἀνίστημι ἀπό ὁ διάμετρος πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , δυνατός εἰμί κύλινδρος εὑρίσκω ὁ ἄξων ἔχω ἐπί εὐθεῖα ὁ Β△ , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή δυνατός δέ εἰμί καί κῶνος εὑρίσκω κορυφή ἔχω ὁ Β σαμεῖον , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή εἰμί ὥστε εἰμί τόμος κύλινδρος τις βάσις ἔχω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ , καί ἀπότμημα κῶνος βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τε τόμος καί ὁ τμῆμα , ἄξων δέ ὁ αὐτός . δείκνυμι , ὅτι ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ἡμιόλιος εἰμί οὗτος ὁ κῶνος . εἰμί δή ὁ Ψ κῶνος ἡμιόλιος ὁ ἀπότμαμα οὗτος εἰμί δή ὁ τόμος ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός διπλάσιος ὁ Ψ κῶνος · οὗτος γάρ ἡμιόλιος εἰμί ὁ ἀπότμαμα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , ὁ δέ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ λέγω τρίτος μέρος εἰμί ὁ τόμος ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . ἀναγκαῖος δή εἰμί ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ Ψ κῶνος . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί δή πρότερος , εἰ δυνατός , μέγας . ἐγγράφω δή τις εἰς ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος τόμος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος , καί διάγω ὁ ἐπίπεδος ὁ τόμος ἔστε πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ τόμος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , Πάλιν δή ὁ πρῶτος τόμος ὁ ἐν ὁ ὅλος τόμος ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε πρός ὁ πρῶτος τόμος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ Α△ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΕ ὁ γάρ τόμος ὁ ἴσος ὕψος ἔχω ὁ αὐτός ἔχω λόγος πρός ἀλλήλων ὁ βάσις , ὁ δέ βάσις αὐτός , ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ὁμόλογος διάμετρος αὐτός δύναμις , ἥμισυς δέ εἰμί ὁ ὁμόλογος διάμετρον ὁ Α△ , ΚΕ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ Α△ πρός ὁ ΚΕ δύναμις , οὗτος ἔχω ὁ Β△ πρός ὁ ΒΕ μῆκος , ἐπεί ὁ μέν Β△ παρά ὁ διάμετρος εἰμί , ὁ δέ Α△ , ΚΕ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω · ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ Β△ πρός ὁ ΒΕ , οὗτος ἔχω ὁ Α△ πρός ὁ ΕΞ ἔχω οὖν ὁ πρῶτος τόμος ὁ ἐν ὁ ὅλος τόμος πρός ὁ πρῶτος τόμος ὁ ἐν ὁ ἐγγεγραμμένῃυμι σχῆμα ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Α△ πρός ὁ ΕΞ καί ὁ ἄλλος τόμος ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ὅλος τόμος ἄξων ἴσος ἔχω ὁ △Ε πρός ἕκαστος ὁ τόμος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἄξων ἔχω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἥμισυς ὁ διάμετρος ὁ βάσις αὐτός πρός ὁ ἀπολαμβάνω ἀπό αὐτός μεταξύ ὁ ΑΒ , Β△ . δείκνυμι οὖν ὅμοιος ὁ πρότερος ὁ μέν ἐγγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ Ψ κῶνος , ὁ δέ ὁ κύλινδρος τόμος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός μέγας εἰμί ἤ διπλασίων ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὥστε καί ὁ Ψ κῶνος μέγας εἰμί ἤ διπλασίων . οὐ εἰμί δέ , ἀλλά διπλασίων . οὐ ἄρα εἰμί μέγας ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . διά ὁ αὐτός δέ δείκνυμι ὅτι οὐδέ ἐλαχύς εἰμί δῆλος οὖν ὅτι ἴσος . ἡμιόλιος ἄρα εἰμί ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ ἀπότμαμα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . εἰ ἄν ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής δύο τμῆμα ἀποτέμνω ἐπίπεδος , ὁ μέν ἕτερος ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ δέ ἕτερος μή ὀρθός , εἰμί δέ ὁ ὁ τμῆμα ἄξων ἴσος , ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα . ἀποτέμνω γάρ ὀρθογώνιον κωνοειδής δύο τμῆμα , ὡς λέγω , τέμνω δέ ὁ κωνοειδής ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων ὁ μέν κωνοειδής εἰμί τομή ὁ ΑΒΓ ὀρθογώνιον κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ Β△ , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ΑΖ , ΕΓ εὐθεῖα , ὁ μέν ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ ΕΓ , ὁ δέ μή ὀρθός ὁ ΖΑ , ἄξων δέ εἰμί ὁ τμῆμα ὁ ΒΘ , ΚΛ ἴσος ἀλλήλων , κορυφή δέ ὁ Β , Λ δείκνυμι ὅτι ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής , ὅς κορυφή ὁ Β , ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής , ὅς κορυφή ὁ Λ . ἐπεί γάρ ἀπό ὁ αὐτός ὀρθογώνιον κῶνος τομή δύο τμῆμα εἰμί ἀφαιρέω ὁ τε ΑΛΖ καί ὁ ΕΒΓ , καί εἰμί αὐτός ὁ διάμετρος ἴσος ὁ ΚΛ , ΒΘ , ἴσος εἰμί ὁ τρίγωνον ὁ ΑΛΚ ὁ ΕΘΒ δείκνυμι γάρ ὅτι ὁ ΑΛΖ τρίγωνον ἴσος εἰμί ὁ ΕΒΓ τρίγωνον . ἄγω δή ὁ ΑΧ κάθετος ἐπί ὁ ΚΛ ἐκβάλλω . καί ἐπεί ἴσος ὁ ΒΘ , ΚΛ , ἴσος καί ὁ ΕΘ , ΑΧ . εἰμί δή ἐν ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Β , κῶνος ἐγγράφω ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , ἐν δέ ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Λ , ἀπότμημα κῶνος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , ἄγω δέ ἀπό ὁ Λ κάθετος ἐπί ὁ ΑΖ ὁ ΛΝ · εἰμί δή οὗτος ὕψος ὁ ἀπότμαμα ὁ κῶνος , ὅς κορυφή ὁ Λ . ὁ δέ ἀπότμημα ὁ κῶνος , ὅς κορυφή ὁ Λ , καί ὁ κῶνος , ὅς κορυφή ὁ Β , ὁ σύγκειμαι λόγος ἔχω ποτέ ἀλλήλων ἐκ τε ὁ ὁ βάσις λόγος καί ἐκ ὁ ὁ ὕψος ὁ σύγκειμαι οὖν ἔχω λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ περιέχω χωρίον ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΖ πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΓ , καί ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ ΝΛ πρός ὁ ΒΘ . ὁ δέ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή πρός ὁ αὐτός κύκλος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ διάμετρον πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΕΓ · ἔχω οὖν ἄν καί ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος πρός ὁ κῶνος ὁ σύγκειμαι λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ΑΚ πρός ὁ ΑΧ · ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΑΧ ὁ ΕΘ , καί ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ ΛΝ πρός ὁ ΒΘ . Ο δέ ὁ λέγω λόγος , ὁ ὁ ΑΚ πρός ΑΧ , ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὁ ΛΚ πρός ΛΝ · ὁ ἄρα ἀπότμημα πρός ὁ κῶνος λόγος ἔχω , ὅς ὁ ΛΚ πρός ὁ ΛΝ , καί ὅς ἔχω ὁ ΛΝ πρός ὁ ΒΘ . ἴσος δέ ὁ ΒΘ ὁ ΚΛ δῆλος οὖν ὅτι ἴσος εἰμί ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος , ὅς κορυφή ὁ Λ , ὁ κῶνος , ὅς κορυφή ὁ Β . φανερός οὖν ὅτι καί ὁ τμῆμα ἴσος εἰμί , ἐπεί ὁ μέν ἕτερος αὐτός ἡμιόλιος εἰμί ὁ κῶνος , ὁ δέ ἕτερος ἡμιόλιος ὁ ἀπότμαμα ὁ κῶνος ἴσος εἰμί .