archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 8
Ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς δοθείσας καὶ γραμμᾶς μὴ ὀρθᾶς ἀνεστακούσας ἀπὸ τοῦ κέντρου τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἐν ἐπιπέδῳ , ὅ ἐστιν ὀρθὸν ἀνεστακὸς διὰ τᾶς ἑτέρας διαμέτρου ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ , δυνατόν ἐστι κῶνον εὑρεῖν κορυφὰν ἔχοντα τὸ πέρας τᾶς ἀνεστακούσας εὐθείας , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ δοθεῖσα τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Ἔστω δὴ διάμετρος μὲν τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἁ ΒΑ , κέντρον δὲ τὸ △ , καὶ ἁ △Γ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνεστάκουσα , ὡς εἴρηται , ἁ δὲ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ νοείσθω περὶ διάμετρον τὰν ΑΒ ἐν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΑΒ , Γ△ · δεῖ δὴ κῶνον εὑρεῖν κορυφὰν ἔχοντα τὸ Γ σαμεῖον , οὗ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Οὐ δή ἐντι ἴσαι αἱ ΑΓ , ΓΒ , ἐπεὶ ἁ Γ△ οὐκ ἔστιν ὀρθὰ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Ἔστω οὖν ἴσα ἁ ΕΓ τᾷ ΓΒ , ἁ δὲ Ν εὐθεῖα ἴσα ἔστῳ τᾷ ἡμισείᾳ τᾶς ἑτέρας διαμέτρου , ᾇ ἐστι συζυγὴς ἁ ΑΒ , καὶ διὰ τοῦ △ ἄχθω ἁ ΖΗ παρὰ τὰν ΕΒ , ἀπὸ δὲ τᾶς ΕΒ ἐπίπεδον ἀνεστακέτω ὀρθὸν ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΑΓ , ΓΒ , καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τούτῳ γεγράφθω περὶ διάμετρον τὰν ΕΒ , εἰ μὲν ἴσον ἐστὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Ν τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν Ζ△ , △Η , κύκλος , εἰ δὲ μή ἐστιν ἴσον , ὀξυγωνίου κώνου τομὰ τοιαύτα , ὥστε τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἑτέρας διαμέτρου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΒ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον , ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς Ν τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν Ζ△ , △Η · κῶνος δὲ λελάφθω κορυφὰν ἔχων τὸ Γ σαμεῖον , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ὁ κύκλος ἢ ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἁ περὶ διάμετρον τὰν ΕΒ δυνατὸν δέ ἐστι τοῦτο , ἐπεὶ ἁ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ μέσαν τὰν ΕΒ ἀχθεῖσα ὀρθά ἐντι ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ κατὰ τὰν ΕΒ · ἐν ταύτᾳ δὴ τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ καὶ ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἁ περὶ διάμετρον τὰν ΑΒ . Εἰ γὰρ μή ἐστιν , ἐσσεῖταί τι σαμεῖον ἐπὶ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς , ὃ οὐκ ἐσσεῖται ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου . Νοείσθω τι σαμεῖον λελαμμένον τὸ Θ , ὃ οὐκ ἔστιν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος ἄχθω ἁ ΘΚ ἐπὶ τὰν ΑΒ , ἁ δὲ ΓΚ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τᾷ ΕΒ κατὰ τὸ Λ , διὰ δὲ τοῦ Λ ἄχθω τις ἐν τῷ ὀρθῷ ἐπιπέδῳ τῷ κατὰ τὰν ΕΒ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΕΒ ἁ ΛΜ , τὸ δὲ Μ νοείσθω μετέωρον ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου , ἄχθω δὲ καὶ διὰ τοῦ Λ παρὰ τὰν ΑΒ ὁ ΠΡ ἔστιν δή , ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τᾶς Ν τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν Ζ△ , △Η , οὕτως τὸ ἀπὸ τᾶς ΛΜ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΕΛ , ΛΒ , ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τᾶν Ζ△ , △Η ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν Α△ , △Β , οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΛ , ΛΒ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΠΛ , ΛΡ ἐσσεῖται οὖν , ὡς τὸ ἀπὸ τᾶς Ν τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ Α△ , △Β περιεχόμενον , οὕτως τὸ ἀπὸ τᾶς ΛΜ τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΠΛ , ΛΡ . Ἔχει δέ , ὡς τὸ ἀπὸ τᾶς Ν τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν Α△ , △Β , οὕτως τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ , ἐπεὶ ἐν τᾷ αὐτᾷ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ κάθετοί ἐντι ἀγμέναι ἐπὶ διάμετρον τὰν ΑΒ τὸν αὐτὸν ἄρα ἔχει λόγον τὸ ἀπὸ τᾶς ΛΜ τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΠΛ , ΛΡ , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ . Ἔχει δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΠΛ , ΛΡ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Γ△ τετράγωνον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΓ · τὸν αὐτὸν οὖν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΛΜ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΛΓ τετράγωνον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΓ · ὥστε ἐπʼ εὐθείας ἐντὶ τὰ Γ , Θ , Μ σαμεῖα . Ἁ δὲ ΓΜ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ Θ σαμεῖον ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τοῦ κώνου . Ὑπέκειτο δὲ μὴ εἶμεν · φανερὸν οὖν ἐστιν ὃ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ὀξυγώνιος κῶνος τομή δίδωμι καί γραμμή μή ὀρθός ἀνειστήκω ἀπό ὁ κέντρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐν ἐπίπεδος , ὅς εἰμί ὀρθός ἀνίστημι διά ὁ ἕτερος διάμετρος πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , δυνατός εἰμί κῶνος εὑρίσκω κορυφή ἔχω ὁ πέρας ὁ ἀνειστήκω εὐθεῖα , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ δίδωμι ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . εἰμί δή διάμετρος μέν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ ΒΑ , κέντρον δέ ὁ △ , καί ὁ △Γ ἀπό ὁ κέντρον ἀνειστήκω , ὡς λέγω , ὁ δέ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή νοέω περί διάμετρος ὁ ΑΒ ἐν ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΒ , Γ△ · δέω δή κῶνος εὑρίσκω κορυφή ἔχω ὁ Γ σαμεῖον , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . οὐ δή εἰμί ἴσος ὁ ΑΓ , ΓΒ , ἐπεί ὁ Γ△ οὐ εἰμί ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . εἰμί οὖν ἴσος ὁ ΕΓ ὁ ΓΒ , ὁ δέ Ν εὐθύς ἴσος εἔτͅυμι ὁ ἡμίσεια ὁ ἕτερος διάμετρος , ὅς εἰμί συζυγής ὁ ΑΒ , καί διά ὁ △ ἄγω ὁ ΖΗ παρά ὁ ΕΒ , ἀπό δέ ὁ ΕΒ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΓ , ΓΒ , καί ἐν ὁ ἐπίπεδος οὗτος γράφω περί διάμετρος ὁ ΕΒ , εἰ μέν ἴσος εἰμί ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ Ν ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ζ△ , △Η , κύκλος , εἰ δέ μή εἰμί ἴσος , ὀξυγώνιος κῶνος τομή τοιαύς , ὥστε ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἕτερος διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΒ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὁ ἔχω ὁ ἀπό ὁ Ν τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ Ζ△ , △Η · κῶνος δέ λαμβάνω κορυφή ἔχω ὁ Γ σαμεῖον , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κύκλος ἤ ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΒ δυνατός δέ εἰμί οὗτος , ἐπεί ὁ ἀπό ὁ Γ ἐπί μέσος ὁ ΕΒ ἄγω ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΕΒ · ἐν οὗτος δή ὁ ἐπιφάνεια εἰμί καί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΒ . εἰ γάρ μή εἰμί , εἰμί τις σαμεῖον ἐπί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὅς οὐ εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος . νοέω τις σαμεῖον λαμβάνω ὁ Θ , ὅς οὐ εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος , καί ἀπό ὁ Θ κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ ἐπί ὁ ΑΒ , ὁ δέ ΓΚ ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω καί συμπίπτω ὁ ΕΒ κατά ὁ Λ , διά δέ ὁ Λ ἄγω τις ἐν ὁ ὀρθός ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΕΒ ποτέ ὀρθός ὁ ΕΒ ὁ ΛΜ , ὁ δέ Μ νοέω μετέωρος ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος , ἄγω δέ καί διά ὁ Λ παρά ὁ ΑΒ ὁ ΠΡ εἰμί δή , ὡς μέν ὁ ἀπό ὁ Ν τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ Ζ△ , △Η , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΛΜ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΛ , ΛΒ , ὡς δέ ὁ ὑπό ὁ Ζ△ , △Η πρός ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Β , οὕτως ὁ ὑπό ΕΛ , ΛΒ πρός ὁ ὑπό ὁ ΠΛ , ΛΡ εἰμί οὖν , ὡς ὁ ἀπό ὁ Ν τετράγωνος πρός ὁ ὑπό Α△ , △Β περιέχω , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΛΜ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΠΛ , ΛΡ . ἔχω δέ , ὡς ὁ ἀπό ὁ Ν τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΘΚ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ , ἐπεί ἐν ὁ αὐτός ὀξυγώνιος κῶνος τομή κάθετος εἰμί ἄγω ἐπί διάμετρος ὁ ΑΒ ὁ αὐτός ἄρα ἔχω λόγος ὁ ἀπό ὁ ΛΜ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΠΛ , ΛΡ , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΘΚ πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ . ἔχω δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΠΛ , ΛΡ πρός ὁ ἀπό ὁ Γ△ τετράγωνος ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΓ · ὁ αὐτός οὖν λόγος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΛΜ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΛΓ τετράγωνος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΘΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΓ · ὥστε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ Γ , Θ , Μ σαμεῖον . ὁ δέ ΓΜ ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ Θ σαμεῖον ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κῶνος . ὑπόκειμαι δέ μή εἰμί · φανερός οὖν εἰμί ὅς δέω δείκνυμι .