archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 7
Ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς δοθείσας καὶ γραμμᾶς ἀπὸ τοῦ κέντρου τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἀνεστακούσας ὀρθᾶς ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά , δυνατόν ἐστι κῶνον εὑρεῖν κορυφὰν ἔχοντα τὸ πέρας τᾶς ἀνεστακούσας εὐθείας , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ δοθεῖσα τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Δεδόσθω τις ὀξυγωνίου κώνου τομά , καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐτᾶς εὐθεῖα γραμμὰ ἀνεστάκουσα ὀρθὰ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἑν ᾧ ἐστιν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά , διὰ δὲ τᾶς ἀνεστακούσας εὐθείας καὶ τᾶς ἐλάσσονος διαμέτρου ἐπίπεδόν τι ἐκβεβλήσθω , καὶ ἔστω ἐν αὐτῷ ἁ μὲν ἐλάσσων διάμετρος ἁ ΑΒ , τὸ δὲ κέντρον τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τὸ △ , ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνεστάκουσα ὀρθὰ ἁ Γ△ , πέρας δὲ αὐτᾶς τὸ Γ , ἁ δὲ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ νοείσθω περὶ διάμετρον τὰν ΑΒ γεγραμμένα ἐν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν Γ△ · δεῖ δὴ κῶνον εὑρεῖν κορυφὰν ἔχοντα τὸ Γ σαμεῖον , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Ἀπὸ δὴ τοῦ Γ ἐπὶ τὰ Α , Β εὐθεῖαι ἀχθεῖσαι ἐκβεβλήσθων , καὶ ἀπὸ τοῦ Α διάχθω ἁ ΑΖ , ὥστε τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΕ , ΕΖ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΓ τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἡμισείας τᾶς μείζονος διαμέτρου ποτὶ τὸ ἀπὸ △Γ τετράγωνον · δυνατὸν δέ ἐστιν , ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ὁ λόγος τοῦ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τᾶν Α△ , △Β περιεχόμενον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς △Γ τετράγωνον · ἀπὸ δὲ τᾶς ΑΖ ἐπίπεδον ἀνεστακέτω ὀρθὸν ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΑΓ , ΑΖ , ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τούτῳ κύκλος γεγράφθω περὶ διάμετρον τὰν ΑΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τούτου κῶνος ἔστω κορυφὰν ἔχων τὸ Γ σαμεῖον · ἐν δὴ τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τούτου δειχθήσεται ἐοῦσα ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου , ἀναγκαῖον εἶμέν τι σαμεῖον ἐπὶ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς , ὃ μή ἐστιν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου . Νοείσθω δή τι σαμεῖον λελαμμένον ἐπὶ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τὸ Θ , ὃ οὐκ ἔστιν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος ἄχθω ἁ ΘΚ ἐπὶ τὰν ΑΒ ἐσσεῖται δὴ αὕτα ὀρθὰ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐν ᾧ ἐντι αἱ ΑΓ , ΓΖ ἀπὸ δὲ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Κ εὐθεῖα ἀχθεῖσα ἐκβεβλήσθω συμπιπτέτω δὴ οὕτα τᾷ ΑΖ κατὰ τὸ Λ , καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΖΑ ἁ ΛΜ ἐν τῷ κύκλῳ τῷ περὶ τὰν ΑΖ , τὸ δὲ Μ νοείσθω μετέωρον ἐπὶ τᾶς περιφερείας αὐτοῦ , ἄχθω δὲ καὶ παρὰ τὰν ΑΒ διὰ μὲν τοῦ Λ ἁ ΞΟ , διὰ δὲ τοῦ Ε ἁ ΠΡ . Ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ τᾶν ΕΑ , ΕΖ περιεχόμενον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΓ τετράγωνον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ἡμισείας τᾶς μείζονος διαμέτρου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς △Γ , τὸ δὲ ἀπὸ τᾶς ΕΓ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΕΠ , ΕΡ , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς △Γ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν Α△ , △Β , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΕ , ΕΖ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΕΠ , ΕΡ , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἡμισείας τᾶς μείζονος διαμέτρου ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν Α△ , △Β . Ἔστιν δέ , ὡς μὲν τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΕ , ΕΖ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΕΠ , ΕΡ , οὕτω τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΛ , ΛΖ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΛΞ , ΛΟ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τᾶς ἡμισείας τᾶς μείζονος διαμέτρου ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν Α△ , △Β , οὕτως τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ τὸν αὐτὸν ἄρα ἔχει λόγον τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΛ , ΛΖ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΞΛ , ΛΟ , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ τετράγωνον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΚ , ΚΒ . Ἔχει δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΞΛ , ΛΟ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΓΛ τετράγωνον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ὑπὸ ΑΚ , ΚΒ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΓ τετράγωνον ἔχει ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΛ , ΛΖ περιεχόμενον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΓΛ τετράγωνον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΓ . Τῷ δὲ ὑπὸ τᾶν ΑΛ , ΛΖ περιεχομένῳ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΛΜ τετράγωνον · ἐν ἡμικυκλίῳ γὰρ τῷ περὶ τὰν ΑΖ κάθετος ἄχθη ἁ ΛΜ · τὸν αὐτὸν ἄρα ἔχει λόγον τὸ ἀπὸ τᾶς ΛΜ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΛΓ , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΚ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΓ · ὥστε ἐπʼ εὐθείας ἐστὶν τὰ Γ , Θ , Μ σαμεῖα . Ἁ δὲ ΓΜ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τοῦ κώνου · δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ Θ σαμεῖον ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται τοῦ κώνου . Ὑπέκειτο δὲ μὴ εἶμεν · οὐκ ἄρα ἐστὶ σαμεῖον οὐδὲν ἐπὶ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς , ὃ οὐκ ἔστιν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ προειρημένου κώνου . Ὅλα οὖν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐστὶν τοῦ αὐτοῦ κώνου .
Lemmas: ὀξυγώνιος κῶνος τομή δίδωμι καί γραμμή ἀπό ὁ κέντρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἀνειστήκω ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , δυνατός εἰμί κῶνος εὑρίσκω κορυφή ἔχω ὁ πέρας ὁ ἀνειστήκω εὐθεῖα , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ δίδωμι ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . δίδωμι τις ὀξυγώνιος κῶνος τομή , καί ἀπό ὁ κέντρον αὐτός εὐθύς γραμμή ἀνειστήκω ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἑν ὅς εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διά δέ ὁ ἀνειστήκω εὐθεῖα καί ὁ ἐλαχύς διάμετρος ἐπίπεδος τις ἐκβάλλω , καί εἰμί ἐν αὐτός ὁ μέν ἐλαχύς διάμετρος ὁ ΑΒ , ὁ δέ κέντρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ △ , ὁ δέ ἀπό ὁ κέντρον ἀνειστήκω ὀρθός ὁ Γ△ , πέρας δέ αὐτός ὁ Γ , ὁ δέ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή νοέω περί διάμετρος ὁ ΑΒ γράφω ἐν ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ Γ△ · δέω δή κῶνος εὑρίσκω κορυφή ἔχω ὁ Γ σαμεῖον , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . ἀπό δή ὁ Γ ἐπί ὁ Α , Β εὐθεῖα ἄγω ἐκβάλλω , καί ἀπό ὁ Α διάγω ὁ ΑΖ , ὥστε ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΖ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΕΓ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ μέγας διάμετρος πρός ὁ ἀπό △Γ τετράγωνος · δυνατός δέ εἰμί , ἐπεί μέγας εἰμί ὁ λόγος ὁ ὅς ἔχω ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Β περιέχω πρός ὁ ἀπό ὁ △Γ τετράγωνος · ἀπό δέ ὁ ΑΖ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΓ , ΑΖ , ἐν δέ ὁ ἐπίπεδος οὗτος κύκλος γράφω περί διάμετρος ὁ ΑΖ , καί ἀπό ὁ κύκλος οὗτος κῶνος εἰμί κορυφή ἔχω ὁ Γ σαμεῖον · ἐν δή ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος οὗτος δείκνυμι εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . εἰ γάρ μή εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος , ἀναγκαῖος εἰμί τις σαμεῖον ἐπί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὅς μή εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος . νοέω δή τις σαμεῖον λαμβάνω ἐπί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ Θ , ὅς οὐ εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κῶνος , καί ἀπό ὁ Θ κάθετος ἄγω ὁ ΘΚ ἐπί ὁ ΑΒ εἰμί δή οὗτος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΓ , ΓΖ ἀπό δέ ὁ Γ ἐπί ὁ Κ εὐθύς ἄγω ἐκβάλλω συμπίπτω δή ὅτε ὁ ΑΖ κατά ὁ Λ , καί ἀπό ὁ Λ ἄγω ποτέ ὀρθός ὁ ΖΆ ὁ ΛΜ ἐν ὁ κύκλος ὁ περί ὁ ΑΖ , ὁ δέ Μ νοέω μετέωρος ἐπί ὁ περιφέρεια αὐτός , ἄγω δέ καί παρά ὁ ΑΒ διά μέν ὁ Λ ὁ ΞΟ , διά δέ ὁ Ε ὁ ΠΡ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ὑπό ὁ ΕΑ , ΕΖ περιέχω πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΓ τετράγωνος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ μέγας διάμετρος πρός ὁ ἀπό ὁ △Γ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΓ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΠ , ΕΡ , ὅς ὁ ἀπό ὁ △Γ πρός ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Β , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΠ , ΕΡ , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ μέγας διάμετρος πρός ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Β . εἰμί δέ , ὡς μέν ὁ ὑπό ὁ ΑΕ , ΕΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΠ , ΕΡ , οὕτως ὁ ὑπό ὁ ΑΛ , ΛΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΛΞ , ΛΟ , ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ ἥμισυς ὁ μέγας διάμετρος πρός ὁ ὑπό ὁ Α△ , △Β , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΘΚ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ ὁ αὐτός ἄρα ἔχω λόγος ὁ ὑπό ὁ ΑΛ , ΛΖ πρός ὁ ὑπό ὁ ΞΛ , ΛΟ , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΘΚ τετράγωνος πρός ὁ ὑπό ὁ ΑΚ , ΚΒ . ἔχω δέ καί ὁ ὑπό ὁ ΞΛ , ΛΟ πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΛ τετράγωνος ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ὑπό ΑΚ , ΚΒ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΓ τετράγωνος ἔχω ἄρα καί ὁ ὑπό ὁ ΑΛ , ΛΖ περιέχω πρός ὁ ἀπό ὁ ΓΛ τετράγωνος ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΘΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΓ . ὁ δέ ὑπό ὁ ΑΛ , ΛΖ περιέχω ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΛΜ τετράγωνος · ἐν ἡμικύκλιον γάρ ὁ περί ὁ ΑΖ κάθετος ἄγω ὁ ΛΜ · ὁ αὐτός ἄρα ἔχω λόγος ὁ ἀπό ὁ ΛΜ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΛΓ , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΘΚ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΓ · ὥστε ἐπί εὐθεῖα εἰμί ὁ Γ , Θ , Μ σαμεῖον . ὁ δέ ΓΜ ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κῶνος · δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ Θ σαμεῖον ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ κῶνος . ὑπόκειμαι δέ μή εἰμί · οὐ ἄρα εἰμί σαμεῖον οὐδείς ἐπί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὅς οὐ εἰμί ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ προλέγω κῶνος . ὅλος οὖν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ αὐτός κῶνος .