archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 27
Καὶ τοίνυν εἴ κα τὸ σφαιροειδὲς μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα τῷ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ κέντρου τμαθῇ , ὁμοίως τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος διπλάσιον ἐσσεῖται τοῦ ἀποτμάματος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Τετμάσθω γὰρ σχῆμα σφαιροειδές , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ△ ὀξυγωνίου κώνου τομά , κέντρον δὲ αὐτᾶς τὸ Θ , τοῦ δε τετμακότος ἐπιπέδου τὸ σχῆμα ἔστω ἁ ΑΓ εὐθεῖα · ἐσσεῖται δʼ αὕτα διὰ τοῦ Θ ἀγμένα , ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον ὑπέκειτο διὰ τοῦ κέντρου ἄχθαι . Ἐσσεῖται οὖν τις ὀξυγωνίου κώνου τομὰ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτέμνον ὑπέκειτο οὐ ποτʼ ὀρθὰς εἶμεν τῷ ἄξονι ἀγμένον . Ἄχθων δή τινες αἱ ΚΛ , ΜΝ παρὰ τὰν ΑΓ ἐπιψαύουσαι τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς κατὰ τὰ Β , △ , ἀπὸ δὲ τᾶν ΚΛ , ΜΝ ἐπίπεδα ἀνεστακέτω παράλληλα τῷ κατὰ τὰν ΑΓ · ἐπιψαύοντι δὴ ταῦτα τοῦ σφαιροειδέος κατὰ τὰ Β , △ , καὶ ἁ Β△ ἐπιζευχθεῖσα πεσεῖται διὰ τοῦ Θ , καὶ ἐσσοῦνται τῶν τμαμάτων κορυφαὶ μὲν τὰ Β , △ σαμεῖα , ἄξονες δὲ αἱ ΒΘ , Θ△ . Δυνατὸν δή ἐστιν κύλινδρον εὑρεῖν ἄξονα ἔχοντα τὰν ΒΘ , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἁ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , εὑρεθέντος δὲ ἐσσεῖταί τις κυλίνδρου τόμος τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχων τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν · πάλιν δὲ καὶ κῶνον εὑρεῖν δυνατόν ἐστι κορυφὰν ἔχοντα τὸ Β σαμεῖον , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἁ ἀπὸ διαμέτρου τᾶς ΑΓ . Εὑρεθέντος δὴ ἐσσεῖταί τι ἀπότμαμα κώνου τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν · λέγω δὴ ὅτι τοῦ σφαιροειδέος τὸ ἡμίσεον διπλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου τούτου . Ἔστω δὴ ὁ Ψ κῶνος διπλάσιος τοῦ ἀποτμάματος τοῦ κώνου . Εἰ οὖν μή ἐστιν ἴσον τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τῷ Ψ κώνῳ , ἔστω πρῶτον , εἰ δυνατόν , μεῖζον . Ἐνέγραψα δή τι εἰς τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος σχῆμα στερεὸν καὶ ἄλλο περιέγραψα ἐκ κυλίνδρου τόμων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου . Ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος μεῖζον ἐὸν τοῦ Ψ κώνου καὶ ὁ τόμος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦ μὲν Ψ κώνου ἡμιόλιος ἐών , τοῦ δὲ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐν τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος μείζων ἢ ἡμιόλιος · ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἐσσεῖται οὖν μεῖζον τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου . Εἰ δὲ ἔλασσόν ἐστι τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου , ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος σχῆμα στερεόν , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρων τόμων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει ὁ Ψ κῶνος τοῦ ἡμίσεος τοῦ σφαιροειδέος . Πάλιν οὖν ὁμοίως τοῖς πρότερον δειχθήσεται τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἔλασσον ἐὸν τοῦ Ψ κώνου καὶ ὁ τόμος τοῦ κυλίνδρου ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦ μὲν Ψ κώνου ἡμιόλιος ἐών , τοῦ δὲ περιγεγραμμένου σχήματος ἐλάσσων ἢ ἁμιόλιος · ὅπερ ἀδύνατον . Οὐκ ἐσσεῖται οὖν οὐδὲ ἔλασσον τὸ ἥμισυ τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου . Ἐπεὶ δὲ οὔτε μεῖζόν ἐστιν οὔτε ἔλασσον , ἴσον ἐστί . Φανερὸν οὖν ἐστιν ὃ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: καί τοίνυν εἰ ἄν ὁ σφαιροειδής μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον τέμνω , ὅμοιος ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής διπλάσιος εἰμί ὁ ἀπότμαμα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . τέμνω γάρ σχῆμα σφαιροειδής , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος ἄλλος διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ△ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , κέντρον δέ αὐτός ὁ Θ , ὁ δε τέμνω ἐπίπεδος ὁ σχῆμα εἰμί ὁ ΑΓ εὐθύς · εἰμί δέ οὗτος διά ὁ Θ ἄγω , ἐπεί ὁ ἐπίπεδος ὑπόκειμαι διά ὁ κέντρον ἄγω . εἰμί οὖν τις ὀξυγώνιος κῶνος τομή περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἐπεί ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὑπόκειμαι οὐ ποτέ ὀρθός εἰμί ὁ ἄξων ἄγω . ἄγω δή τις ὁ ΚΛ , ΜΝ παρά ὁ ΑΓ ἐπιψαύω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή κατά ὁ Β , △ , ἀπό δέ ὁ ΚΛ , ΜΝ ἐπίπεδος ἀνίστημι παράλληλος ὁ κατά ὁ ΑΓ · ἐπιψαύω δή οὗτος ὁ σφαιροειδής κατά ὁ Β , △ , καί ὁ Β△ ἐπιζεύγνυμι πίπτω διά ὁ Θ , καί εἰμί ὁ τμῆμα κορυφή μέν ὁ Β , △ σαμεῖον , ἄξων δέ ὁ ΒΘ , Θ△ . δυνατός δή εἰμί κύλινδρος εὑρίσκω ἄξων ἔχω ὁ ΒΘ , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , εὑρίσκω δέ εἰμί τις κύλινδρος τόμος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής καί ἄξων ὁ αὐτός · πάλιν δέ καί κῶνος εὑρίσκω δυνατός εἰμί κορυφή ἔχω ὁ Β σαμεῖον , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ ἀπό διάμετρος ὁ ΑΓ . εὑρίσκω δή εἰμί τις ἀπότμημα κῶνος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός · λέγω δή ὅτι ὁ σφαιροειδής ὁ ἡμίσεια διπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος οὗτος . εἰμί δή ὁ Ψ κῶνος διπλάσιος ὁ ἀπότμαμα ὁ κῶνος . εἰ οὖν μή εἰμί ἴσος ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος , εἰμί πρῶτος , εἰ δυνατός , μέγας . ἐγγράφω δή τις εἰς ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής σχῆμα στερεός καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος τόμος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος . ὅμοιος δή ὁ πρότερος δείκνυμι ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής μέγας εἰμί ὁ Ψ κῶνος καί ὁ τόμος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός ὁ μέν Ψ κῶνος ἡμιόλιος εἰμί , ὁ δέ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής μέγας ἤ ἡμιόλιος · ὅς ἀδύνατος . οὐ εἰμί οὖν μέγας ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος . εἰ δέ ἐλαχύς εἰμί ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος , ἐγγράφω εἰς ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής σχῆμα στερεός , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος τόμος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ Ψ κῶνος ὁ ἥμισυς ὁ σφαιροειδής . πάλιν οὖν ὅμοιος ὁ πρότερος δείκνυμι ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Ψ κῶνος καί ὁ τόμος ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός ὁ μέν Ψ κῶνος ἡμιόλιος εἰμί , ὁ δέ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς ἤ ἡμιόλιος · ὅς ἀδύνατος . οὐ εἰμί οὖν οὐδέ ἐλαχύς ὁ ἥμισυς ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος . ἐπεί δέ οὔτε μέγας εἰμί οὔτε ἐλαχύς , ἴσος εἰμί . φανερός οὖν εἰμί ὅς δέω δείκνυμι .