archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 31
Παντὸς σχήματος σφαιροειδέος ἐπιπέδῳ τμαθέντος ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὸ μεῖζον τμᾶμα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ ἴσα συναμφοτέραις τᾷ τε ἡμισέᾳ τοῦ ἄξονος τοῦ σφαιροειδέος καὶ τῷ τοῦ ἐλάσσονος τμάματος ἄξονι ποτὶ τὸν τοῦ ἐλάσσονος τμάματος ἄξονα . Τετμάσθω τι σφαιροειδές , ὡς εἴρηται , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς καὶ ἄξων τοῦ σχήματος ἁ Β△ , τοῦ δὲ τέμνοντος ἐπιπέδου ἁ ΓΑ εὐθεῖα · ἐσσεῖται δὲ αὕτα ποτʼ ὀρθὰς τᾷ Β△ ἔστω δὲ μεῖζον τῶν τμαμάτων , οὗ κορυφὰ τὸ Β , καὶ κέντρον τοῦ σφαιροειδέος τὸ Θ . Ποτικείσθω δὴ ἁ △Η τᾷ △Θ ἴσα καὶ ἁ ΒΖ τᾷ αὐτᾷ ἴσα · δεικτέον ὅτι τὸ τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος , οὗ κορυφὰ τὸ Β , ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ . Τετμάσθω δὴ τὸ σφαιροειδὲς ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ κέντρου ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , καὶ ἀπὸ τοῦ γενομένου κύκλου κῶνος ἔστω κορυφὰν ἔχων τὸ △ σαμεῖον · ἔστιν δὴ τὸ μὲν ὅλον σφαιροειδὲς διπλάσιον τοῦ τμάματος τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΚΛ , κορυφὰν δὲ τὸ △ σαμεῖον , τὸ δὲ εἰρημένον τμᾶμα διπλάσιον τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν · δέδεικται γὰρ ταῦτα · τὸ ὅλον οὖν σφαιροειδὲς τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ εἰρημένου . Ὁ δὲ κῶνος οὗτος ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , κορυφὰν δὲ τὸ △ σαμεῖον , τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἁ Θ△ ποτὶ τὰν Ε△ , καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΘ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΑ · ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΘ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΑ , ὁ αὐτός ἐστι τῷ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΒΘ , Θ△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ . Ὃν δὴ λόγον ἔχει ἁ Θ△ ποτὶ τὰν Ε△ , τοῦτον ἐχέτω ἁ Ξ△ ποτὶ τὰν Θ△ · ἕξει οὖν καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΒΘ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΘ , Θ△ , ὃν ἁ △Θ ποτὶ τὰν △Ε . Ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ Ξ△ , ΘΒ ποτὶ τὸ ὑπὸ ΒΘ△ , καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΘ , Θ△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ ὁ αὐτός ἐστι τῷ ὃν ἔχει τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΒΘ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ · ἔχει οὖν ὁ μὲν κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΚΛ , κορυφὰν δὲ τὸ △ σαμεῖον , ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , κορυφὰν δὲ τὸ △ σαμεῖον , τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΒΘ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ . Ὁ δὲ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , κορυφὰν δὲ τὸ △ σαμεῖον , ποτὶ τὸ τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν αὐτῷ καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ ΖΕ , Ε△ · ὁ ἄρα κῶνος ὁ ἐν τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος ποτὶ τὸ τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος τὸ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεος τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΒΘ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ . Ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὅλον σφαιροειδὲς ποτὶ τὸν κῶνον τὸν ἐν τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΗ , Ξ△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΘ , Ξ△ , ὁ δὲ κῶνος ὁ ἐν τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος ποτὶ τὸ τμᾶμα τὸ ἔλασσον ἢ τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΒΘ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ , ἔχοι κα καὶ τὸ ὅλον σφαιροειδὲς ποτὶ τὸ τμᾶμα τὸ ἔλασσον αὐτοῦ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΗ , Ξ△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ△ ὥστε καὶ τὸ μεῖζον τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος ποτὶ τὸ ἔλασσον τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει , ὃν ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΗ , Ξ△ τοῦ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ , ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ△ . Ὑπερέχει δὲ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΗ , Ξ△ τοῦ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ τῷ τε ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΕΗ περιεχομένῳ καὶ τῷ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΞΕ · ἔχει ἄρα τὸ μεῖζον τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος ποτὶ τὸ ἔλασσον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΕΗ καὶ τῷ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΞΕ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ . Τὰ δὲ ἔλασσον τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν αὐτῷ καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ△ , ὁ δὲ κῶνος ὁ ἐν τῷ ἐλάσσονι τμάματι ποτὶ τὸν κῶνον τὸν ἐν τῷ μείζονι τμάματι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΕ τετράγωνον · τὸν γὰρ τῶν ὑψέων λόγον ἔχοντι οἱ κῶνοι , ἐπεὶ βάσιν ἔχοντι τὰν αὐτάν · ἔχοι οὖν κα τὸ μεῖζον τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος ποτὶ τὸν κῶνον τὸν ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένον ὃν τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΕΗ καὶ τῷ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΞΕ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΕ . Οὗτος δὲ ὁ αὐτός ἐστι τῷ ὃν ἔχει ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ · τὸ γὰρ ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΕΗ ποτὶ τὸ ὑπὸ τὰν Ξ△ , Ε△ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ , καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΞΕ , ΖΕ περιεχόμενον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΘΕ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ · ἁ γὰρ ΞΕ ποτὶ τὰν ΘΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ διὰ τὸ ἀνάλογόν τε εἶμεν τὰς Ξ△ , Θ△ , △Ε , καὶ τὰν Θ△ ἴσαν εἶμεν τᾷ Η△ · καὶ τὸ ἴσον οὖν ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΕΗ καὶ τῷ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΞΕ ποτὶ τὸ ἴσον συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τᾶν Ξ△ , Ε△ καὶ τῷ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΘΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ . Τὸ δὲ ἀπὸ τᾶς ΕΒ τετράγωνον ἴσον ἐντὶ ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν Ξ△ , Ε△ καὶ τῷ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΘΕ · τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τᾶς ΒΘ τετράγωνον ἴσον τῷ ὑπὸ τᾶν Ξ△ , Ε△ περιεχομένῳ , ἁ δὲ ὑπεροχά , ᾇ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΕ τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΒΘ , ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΘΕ , ἐπεὶ ἴσαι αἱ ΒΘ , ΒΖ · δῆλον οὖν ὅτι τὸ μεῖζον τοῦ σφαιροειδέος τμᾶμα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ .
Lemmas: πᾶς σχῆμα σφαιροειδής ἐπίπεδος τέμνω ὀρθός πρός ὁ ἄξων μή διά ὁ κέντρον ὁ μέγας τμῆμα πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμισέα ὁ ἄξων ὁ σφαιροειδής καί ὁ ὁ ἐλαχύς τμῆμα ἄξων πρός ὁ ὁ ἐλαχύς τμῆμα ἄξων . τέμνω τις σφαιροειδής , ὡς λέγω , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος ἄλλος διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός καί ἄξων ὁ σχῆμα ὁ Β△ , ὁ δέ τέμνω ἐπίπεδος ὁ ΓΑ εὐθύς · εἰμί δέ οὗτος ποτέ ὀρθός ὁ Β△ εἰμί δέ μέγας ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Β , καί κέντρον ὁ σφαιροειδής ὁ Θ . πρόσκειμαι δή ὁ △Η ὁ △Θ ἴσος καί ὁ ΒΖ ὁ αὐτός ἴσος · δείκνυμι ὅτι ὁ τμῆμα ὁ σφαιροειδής , ὅς κορυφή ὁ Β , πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ . τέμνω δή ὁ σφαιροειδής ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον ὀρθός πρός ὁ ἄξων , καί ἀπό ὁ γίγνομαι κύκλος κῶνος εἰμί κορυφή ἔχω ὁ △ σαμεῖον · εἰμί δή ὁ μέν ὅλος σφαιροειδής διπλάσιος ὁ τμῆμα ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ , κορυφή δέ ὁ △ σαμεῖον , ὁ δέ λέγω τμῆμα διπλάσιος ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός · δείκνυμι γάρ οὗτος · ὁ ὅλος οὖν σφαιροειδής τετραπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ λέγω . ὁ δέ κῶνος οὗτος πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , κορυφή δέ ὁ △ σαμεῖον , ὁ σύγκειμαι ἔχω λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ Θ△ πρός ὁ Ε△ , καί ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΚΘ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΑ · ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ἀπό ὁ ΚΘ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΑ , ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ ὑπό ΒΘ , Θ△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ . ὅς δή λόγος ἔχω ὁ Θ△ πρός ὁ Ε△ , οὗτος ἔχω ὁ Ξ△ πρός ὁ Θ△ · ἔχω οὖν καί ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΒΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , Θ△ , ὅς ὁ △Θ πρός ὁ △Ε . ὁ δέ σύγκειμαι λόγος ἐκ τε ὁ ὅς ἔχω ὁ ὑπό Ξ△ , ΘΒ πρός ὁ ὑπό ΒΘ△ , καί ἐκ ὁ ὅς ἔχω ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , Θ△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΒΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ · ἔχω οὖν ὁ μέν κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ , κορυφή δέ ὁ △ σαμεῖον , πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , κορυφή δέ ὁ △ σαμεῖον , ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΒΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ . ὁ δέ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , κορυφή δέ ὁ △ σαμεῖον , πρός ὁ τμῆμα ὁ σφαιροειδής ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός αὐτός καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ πρός ὁ περιέχω ὑπό ΖΕ , Ε△ · ὁ ἄρα κῶνος ὁ ἐν ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής πρός ὁ τμῆμα ὁ σφαιροειδής ὁ ἐλαχύς ὁ ἥμισυς ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΒΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ὅλος σφαιροειδής πρός ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΗ , Ξ△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , Ξ△ , ὁ δέ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής πρός ὁ τμῆμα ὁ ἐλαχύς ἤ ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΒΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ , ἔχω ἄν καί ὁ ὅλος σφαιροειδής πρός ὁ τμῆμα ὁ ἐλαχύς αὐτός ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΗ , Ξ△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ ὥστε καί ὁ μέγας τμῆμα ὁ σφαιροειδής πρός ὁ ἐλαχύς ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΗ , Ξ△ ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ , πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ . ὑπερέχω δέ ὁ ὑπό ὁ ΖΗ , Ξ△ ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ ὁ τε ὑπό ὁ Ξ△ , ΕΗ περιέχω καί ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΞΕ · ἔχω ἄρα ὁ μέγας τμῆμα ὁ σφαιροειδής πρός ὁ ἐλαχύς ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΕΗ καί ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΞΕ πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ . ὁ δέ ἐλαχύς τμῆμα ὁ σφαιροειδής πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός αὐτός καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΕΒ , ὁ δέ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς τμῆμα πρός ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ μέγας τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΕ τετράγωνος · ὁ γάρ ὁ ὕψος λόγος ἔχω ὁ κῶνος , ἐπεί βάσις ἔχω ὁ αὐτός · ἔχω οὖν ἄν ὁ μέγας τμῆμα ὁ σφαιροειδής πρός ὁ κῶνος ὁ ἐν αὐτός ἐγγράφω ὅς ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΕΗ καί ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΞΕ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΒΕ . οὗτος δέ ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ · ὁ γάρ ὑπό ὁ Ξ△ , ΕΗ πρός ὁ ὑπό ὁ Ξ△ , Ε△ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ , καί ὁ ὑπό ὁ ΞΕ , ΖΕ περιέχω πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΘΕ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ · ὁ γάρ ΞΕ πρός ὁ ΘΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ διά ὁ ἀνάλογος τε εἰμί ὁ Ξ△ , Θ△ , △Ε , καί ὁ Θ△ ἴσος εἰμί ὁ Η△ · καί ὁ ἴσος οὖν ἀμφότερος ὁ τε περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΕΗ καί ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΞΕ πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ὑπό ὁ Ξ△ , Ε△ καί ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΘΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ . ὁ δέ ἀπό ὁ ΕΒ τετράγωνος ἴσος εἰμί ἀμφότερος ὁ τε περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , Ε△ καί ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , ΘΕ · ὁ μέν γάρ ἀπό ὁ ΒΘ τετράγωνος ἴσος ὁ ὑπό ὁ Ξ△ , Ε△ περιέχω , ὁ δέ ὑπεροχή , ὅς μέγας εἰμί ὁ ἀπό ὁ ΒΕ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΒΘ , ἴσος εἰμί ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΕ , ΘΕ , ἐπεί ἴσος ὁ ΒΘ , ΒΖ · δῆλος οὖν ὅτι ὁ μέγας ὁ σφαιροειδής τμῆμα πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ .