archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 20
Τμάματος δοθέντος ὁποτερουοῦν τῶν κωνοειδέων ἀποτετμαμένου ἐπιπέδῳ μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα ἢ τῶν σφαιροειδέων ὁποτερουοῦν μὴ μείζονος ἡμίσεος τοῦ σφαιροειδέος ὁμοίως ἀποτετμαμένου δυνατόν ἐστιν εἰς τὸ τμᾶμα σχῆμα στερεὸν ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι ἐκ κυλίνδρων τόμων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφομένου ὑπερέχειν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος . Δεδόσθω τμᾶμα , οἷον εἴρηται , τμαθέντος δὲ τοῦ σχήματος ἐπιπέδῳ ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμακὸς τὸ δοθὲν τμᾶμα τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ κώνου τομά , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμακότος τὸ τμᾶμα ἁ ΓΑ εὐθεῖα . Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμακὸς τὸ τμᾶμα μὴ εἶμεν ὀρθὸν ποτὶ τὸν ἄξονα , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ ΑΓ . Ἔστω δὴ παράλληλος τᾷ ΑΓ ἁ ΦΥ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς , ἐπιψαυέτω δὲ κατὰ τὸ Β , καὶ ἀπὸ τᾶς ΦΥ ἀνεστακέτω ἐπίπεδον παράλληλον τῷ κατὰ τὰν ΑΓ · ἐπιψαύσει δὲ τοῦτο τοῦ σχήματος κατὰ τὸ Β · καὶ εἰ μέν ἐστι τὸ τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος , ἀπὸ τοῦ Β ἄχθω παρὰ τὸν ἄξονα ἁ Β△ , εἰ δὲ ἀμβλυγωνίου , ἀπὸ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδὲς εὐθεῖα ἀχθεῖσα ἐπὶ τὸ Β ἐκβεβλήσθω ἁ Β△ , εἰ δὲ σφαιροειδέος , ἐπὶ τὸ Β ἀχθεῖσα εὐθεῖα ἀπολελάφθω ἁ Β△ · δῆλον δὲ ὅτι τέμνει ἁ Β△ δίχα τὰν ΑΓ · ἐσσεῖται οὖν τὸ μὲν Β κορυφὰ τοῦ τμάματος , ἁ δὲ Β△ ἄξων . Ἔστιν δή τις ὀξυγωνίου κώνου τομὰ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , καὶ γραμμὰ ἁ Β△ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνεστάκουσα ἐν ὀρθῷ ἐπιπέδῳ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά , διὰ τᾶς ἑτέρας διαμέτρου ἐόντος τοῦ ἐπιπέδου δυνατὸν οὖν ἐστιν κύλινδρον εὑρεῖν ἄξονα ἔχοντα τὰν Β△ , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ · πεσεῖται δὲ ἁ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐκτὸς τοῦ τμάματος , ἐπεί ἐστιν ἤτοι κωνοειδέος ἢ σφαιροειδέος τμᾶμα καὶ οὐ μεῖζόν ἐστιν ἡμίσεος τοῦ σφαιροειδέος . Ἐσσεῖται δή τις κυλίνδρου τόμος βάσιας μὲν ἔχων τὰν τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰν τὰν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Β△ τοῦ οὖν τόμου δίχα τεμνομένου ἐπιπέδοις παραλλήλοις τῷ ἐπιπέδῳ τῷ κατὰ τὰν ΑΓ ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον ἔλασσον τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος . Ἔστω τόμος βάσιν μὲν ἔχων τὰν τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰν τὰν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Ε△ , ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος . Διῃρήσθω δὴ ἁ △Β ἐς τὰς ἴσας τᾷ △Ε , καὶ ἀπὸ τᾶν διαιρέσιων ἄχθων εὐθεῖαι παρὰ τὰν ΑΓ ἔστε ποτὶ τὰν τοῦ κώνου τομάν , ἀπὸ δὲ τᾶν ἀχθεισᾶν ἐπίπεδα ἀνεστακότων παράλληλα τῷ κατὰ τὰν ΑΓ ἐπιπέδῳ τέμνοντι δὴ ταῦτα τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ τμάματος , καὶ ἐσσοῦνται ὀξυγωνίων κώνων τομαὶ ὁμοῖαι τᾷ περὶ τὰν ΑΓ διάμετρον , ἐπεὶ παράλληλά ἐντι τὰ ἐπίπεδα . Ἀφʼ ἑκάστας δὴ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἀναγεγράφθων κυλίνδρου τόμοι δύο , ὁ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τῷ △ , ὁ δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Β , ἄξονα ἔχοντες ἴσον τῷ △Ε · ἐσσοῦνται δή τινα σχήματα στερεά , τὸ μὲν ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ τμάματι , τὸ δὲ περιγεγραμμένον , ἐκ κυλίνδρου τόμων ἴσον ὕψος ἐχόντων συγκείμενα . Λοιπὸν δέ ἐστι δεῖξαι ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος , Δειχθήσεται δὲ ὁμοίως τῷ προτέρῳ ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ὑπερέχει τῷ τόμῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὰν τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰν τὰν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Ε△ · οὗτος δέ ἐστιν ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος .
Lemmas: τμῆμα δίδωμι ὁποτέσρις ὁ κωνοειδής ἀποτέμνω ἐπίπεδος μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων ἤ ὁ σφαιροειδής ὁποτέσρις μή μέγας ἥμισυς ὁ σφαιροειδής ὅμοιος ἀποτέμνω δυνατός εἰμί εἰς ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος τόμος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος . δίδωμι τμῆμα , οἷος λέγω , τέμνω δέ ὁ σχῆμα ἐπίπεδος ἄλλος διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ δίδωμι τμῆμα ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ κῶνος τομή , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ ΓΑ εὐθύς . ἐπεί οὖν ὑπόκειμαι ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα μή εἰμί ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΑΓ . εἰμί δή παράλληλος ὁ ΑΓ ὁ ΦΥ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή , ἐπιψαύω δέ κατά ὁ Β , καί ἀπό ὁ ΦΥ ἀνίστημι ἐπίπεδος παράλληλος ὁ κατά ὁ ΑΓ · ἐπιψαύω δέ οὗτος ὁ σχῆμα κατά ὁ Β · καί εἰ μέν εἰμί ὁ τμῆμα ὀρθογώνιον κωνοειδής , ἀπό ὁ Β ἄγω παρά ὁ ἄξων ὁ Β△ , εἰ δέ ἀμβλυγώνιος , ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής εὐθύς ἄγω ἐπί ὁ Β ἐκβάλλω ὁ Β△ , εἰ δέ σφαιροειδής , ἐπί ὁ Β ἄγω εὐθύς ἀπολαμβάνω ὁ Β△ · δῆλος δέ ὅτι τέμνω ὁ Β△ δίχα ὁ ΑΓ · εἰμί οὖν ὁ μέν Β κορυφή ὁ τμῆμα , ὁ δέ Β△ ἄξων . εἰμί δή τις ὀξυγώνιος κῶνος τομή περί διάμετρος ὁ ΑΓ , καί γραμμή ὁ Β△ ἀπό ὁ κέντρον ἀνειστήκω ἐν ὀρθός ἐπίπεδος πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διά ὁ ἕτερος διάμετρος εἰμί ὁ ἐπίπεδος δυνατός οὖν εἰμί κύλινδρος εὑρίσκω ἄξων ἔχω ὁ Β△ , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή περί διάμετρος ὁ ΑΓ · πίπτω δέ ὁ ἐπιφάνεια αὐτός ἐκτός ὁ τμῆμα , ἐπεί εἰμί ἤτοι κωνοειδής ἤ σφαιροειδής τμῆμα καί οὐ μέγας εἰμί ἥμισυς ὁ σφαιροειδής . εἰμί δή τις κύλινδρος τόμος βάσις μέν ἔχω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ ὁ οὖν τόμος δίχα τέμνω ἐπίπεδος παράλληλος ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΓ εἰμί ὁ καταλείπω ἐλαχύς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος . εἰμί τόμος βάσις μέν ἔχω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Ε△ , ἐλαχύς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος . διαιρέω δή ὁ △Β εἰς ὁ ἴσος ὁ △Ε , καί ἀπό ὁ διάιρεσιος ἄγω εὐθύς παρά ὁ ΑΓ εἰμί πρός ὁ ὁ κῶνος τομή , ἀπό δέ ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι παράλληλος ὁ κατά ὁ ΑΓ ἐπίπεδος τέμνω δή οὗτος ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα , καί εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὅμοιος ὁ περί ὁ ΑΓ διάμετρος , ἐπεί παράλληλος εἰμί ὁ ἐπίπεδος . ἀπό ἕκαστος δή ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἀναγράφω κύλινδρος τόμος δύο , ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ △ , ὁ δέ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Β , ἄξων ἔχω ἴσος ὁ △Ε · εἰμί δή τις σχῆμα στερεός , ὁ μέν ἐγγράφω ἐν ὁ τμῆμα , ὁ δέ περιγράφω , ἐκ κύλινδρος τόμος ἴσος ὕψος ἔχω σύγκειμαι . λοιπός δέ εἰμί δείκνυμι ὅτι ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος , Δείκνυμι δέ ὅμοιος ὁ πρότερος ὅτι ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ὁ τόμος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Ε△ · οὗτος δέ εἰμί ἐλαχύς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος .