archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 18
Πᾶν σχῆμα σφαιροειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθὲν διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνεται ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου καὶ αὐτὸ καὶ ἁ ἐπιφάνεια αὐτοῦ . Τετμάσθω γὰρ τὸ σφαιροειδὲς ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ κέντρου ἤτοι δὴ καὶ διὰ τοῦ ἄξονος ἐσσεῖται τετμαμένον ἢ ποτʼ ὀρθὰς ἢ μὴ ποτʼ ὀρθὰς τῷ ἄξονι . Εἰ μὲν οὖν διὰ τοῦ ἄξονος τέμνεται ἢ ποτʼ ὀρθᾶς τῷ ἄξονι , δῆλον ὡς δίχα τέμνεταί τε αὐτὸ καὶ ἁ ἐπιφάνεια αὐτοῦ φανερὸν γὰρ ὅτι ἐφαρμόζει τὸ ἕτερον μέρος αὐτοῦ ἐπὶ τὸ ἕτερον καὶ ἁ ἐπιφάνεια τοῦ ἑτέρου μέρους ἐπὶ τὰν τοῦ ἑτέρου . Ἀλλʼ ἔστω μὴ διὰ τοῦ ἄξονος τετμαμένον μήτε ποτʼ ὀρθὰς τῷ ἄξονι . Τμαθέντος δὴ τοῦ σφαιροειδέος ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ ἄξονος αὐτοῦ μὲν τοῦ σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ△ ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἔστω καὶ ἄξων τοῦ σφαιροειδέος ἁ Β△ καὶ κέντρον τὸ Θ , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ τετμακότος διὰ τοῦ κέντρου τὸ σφαιροειδὲς ἔστω τομὰ ἁ ΑΓ εὐθεῖα . Λελάφθω δή τι καὶ ἄλλο σφαιροειδὲς ἴσον καὶ ὁμοῖον τούτῳ , καὶ τμαθέντος αὐτοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τομὰ ἔστω ἁ ΕΖΗΝ ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς καὶ ἄξων τοῦ σφαιροειδέος ἁ ΕΗ καὶ κέντρον τὸ Κ , καὶ διὰ τοῦ Κ ἄχθω ἁ ΖΝ γωνίαν ποιοῦσα τὰν Κ ἴσαν τᾷ Θ , ἀπὸ δὲ τᾶς ΖΝ ἐπίπεδον ἔστω ἀνεστακὸς ὀρθὸν ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ ΕΖΗΝ τομά · ἐντὶ δὴ δύο ὀξυγωνίων κώνων τομαὶ αἱ ΑΒΓ△ , ΕΖΗΝ ἴσαι καὶ ὁμοῖαι ἀλλάλαις ἐφαρμόζοντι οὖν ἐπʼ ἀλλάλας τεθείσας τᾶς ΕΗ ἐπὶ τὰν Β△ καὶ τᾶς ΖΝ ἐπὶ τὰν ΑΓ . Ἐφαρμόζει δὲ καὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ κατὰ τὰν ΝΖ τῷ ἐπιπέδῳ τῷ κατὰ τὰν ΑΓ , ἐπεὶ ἀπὸ τᾶς αὐτᾶς γραμμᾶς ποτὶ τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον ἀμφότερα ὀρθά ἐντι · ἐφαρμόζει οὖν καὶ τὸ τμᾶμα τὸ ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἀποτεμνόμενον τοῦ κατὰ τὰν ΝΖ ἀπὸ τοῦ σφαιροειδέος τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Ε τῷ ἑτέρῳ τμάματι τῷ ἀποτεμνομένῳ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου σφαιροειδέος ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ κατὰ τὰν ΑΓ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Β καὶ τὸ λοιπὸν τμᾶμα ἐπὶ τὸ λοιπὸν καὶ αἱ ἐπιφάνειαι τῶν τμαμάτων ἐπὶ τὰς ἐπιφανείας . Πάλιν δὲ καὶ τεθείσας τᾶς ΕΗ ἐπὶ τὰν Β△ οὕτως , ὥστε τὸ μὲν Ε κατὰ τὸ △ κεῖσθαι , τὸ δὲ Η κατὰ τὸ Β , τὰν δὲ μεταξὺ τῶν Ν , Ζ σαμείων γραμμὰν ἐπὶ τὰν μεταξὺ τῶν Α , Γ σαμείων , δῆλον ὡς αἵ τε τῶν ὀξυγωνίων κώνων τομαὶ ἐφαρμοξοῦντι ἐπʼ ἀλλάλας , καὶ τὸ μὲν Ζ ἐπὶ τὸ Γ πεσεῖται , τὸ δὲ Ν ἐπὶ τὸ Α . Ὁμοίως καὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ κατὰ τὰν ΝΖ ἐφαρμόζει τῷ ἐπιπέδῳ τῷ κατὰ τὰν ΑΓ , καὶ τῶν τμαμάτων τῶν ἀποτεμνομένων ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ κατὰ τὰν ΝΖ τὸ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Η ἐφαρμόζει τῷ τμάματι τῷ ἀποτεμνομένῳ ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ κατὰ τὰν ΑΓ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Β , τὸ δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Ε τῷ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ △ . Ἐπεὶ δὲ τὸ αὐτὸ τμᾶμα ἐφʼ ἑκάτερον τῶν τμαμάτων ἐφαρμόζει , δῆλον ὅτι ἴσα ἐντὶ τὰ τμάματα διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ αἱ ἐπιφάνειαι .
Lemmas: πᾶς σχῆμα σφαιροειδής ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ κέντρον δίχα τέμνω ὑπό ὁ ἐπίπεδος καί αὐτός καί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός . τέμνω γάρ ὁ σφαιροειδής ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον ἤτοι δή καί διά ὁ ἄξων εἰμί τέμνω ἤ ποτέ ὀρθός ἤ μή ποτέ ὀρθός ὁ ἄξων . εἰ μέν οὖν διά ὁ ἄξων τέμνω ἤ ποτέ ὀρθός ὁ ἄξων , δῆλος ὡς δίχα τέμνω τε αὐτός καί ὁ ἐπιφάνεια αὐτός φανερός γάρ ὅτι ἐφαρμόζω ὁ ἕτερος μέρος αὐτός ἐπί ὁ ἕτερος καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἕτερος μέρος ἐπί ὁ ὁ ἕτερος . ἀλλά εἰμί μή διά ὁ ἄξων τέμνω μήτε ποτέ ὀρθός ὁ ἄξων . τέμνω δή ὁ σφαιροειδής ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων αὐτός μέν ὁ σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ△ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί καί ἄξων ὁ σφαιροειδής ὁ Β△ καί κέντρον ὁ Θ , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ τέμνω διά ὁ κέντρον ὁ σφαιροειδής εἰμί τομή ὁ ΑΓ εὐθύς . λαμβάνω δή τις καί ἄλλος σφαιροειδής ἴσος καί ὅμοιος οὗτος , καί τέμνω αὐτός διά ὁ ἄξων ἐπίπεδος τομή εἰμί ὁ ΕΖΗΝ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός καί ἄξων ὁ σφαιροειδής ὁ ΕΗ καί κέντρον ὁ Κ , καί διά ὁ Κ ἄγω ὁ ΖΝ γωνία ποιέω ὁ Κ ἴσος ὁ Θ , ἀπό δέ ὁ ΖΝ ἐπίπεδος εἰμί ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΕΖΗΝ τομή · εἰμί δή δύο ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ△ , ΕΖΗΝ ἴσος καί ὅμοιος ἀλλήλων ἐφαρμόζω οὖν ἐπί ἀλλήλων τίθημι ὁ ΕΗ ἐπί ὁ Β△ καί ὁ ΖΝ ἐπί ὁ ΑΓ . ἐφαρμόζω δέ καί ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΝΖ ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΓ , ἐπεί ἀπό ὁ αὐτός γραμμή πρός ὁ αὐτός ἐπίπεδος ἀμφότερος ὀρθός εἰμί · ἐφαρμόζω οὖν καί ὁ τμῆμα ὁ ὑπό ὁ ἐπίπεδος ἀποτέμνω ὁ κατά ὁ ΝΖ ἀπό ὁ σφαιροειδής ὁ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Ε ὁ ἕτερος τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ ἕτερος σφαιροειδής ὑπό ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΓ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Β καί ὁ λοιπός τμῆμα ἐπί ὁ λοιπός καί ὁ ἐπιφάνεια ὁ τμῆμα ἐπί ὁ ἐπιφάνεια . πάλιν δέ καί τίθημι ὁ ΕΗ ἐπί ὁ Β△ οὕτως , ὥστε ὁ μέν Ε κατά ὁ △ κεῖμαι , ὁ δέ Η κατά ὁ Β , ὁ δέ μεταξύ ὁ Ν , Ζ σαμεῖον γραμμή ἐπί ὁ μεταξύ ὁ Α , Γ σαμεῖον , δῆλος ὡς ὁ τε ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐφαρμόζω ἐπί ἀλλήλων , καί ὁ μέν Ζ ἐπί ὁ Γ πίπτω , ὁ δέ Ν ἐπί ὁ Α . ὅμοιος καί ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΝΖ ἐφαρμόζω ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΓ , καί ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ὑπό ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΝΖ ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός ὁ Η ἐφαρμόζω ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ὑπό ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΓ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Β , ὁ δέ ἐπί ὁ αὐτός ὁ Ε ὁ ἐπί ὁ αὐτός ὁ △ . ἐπεί δέ ὁ αὐτός τμῆμα ἐπί ἑκάτερος ὁ τμῆμα ἐφαρμόζω , δῆλος ὅτι ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα διά αὐτός δέ καί ὁ ἐπιφάνεια .