archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 14
Εἴ κα τὸ παράμακες σφαιροειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθῇ μὴ ποτʼ ὀρθὰς τῷ ἄξονι , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ μείζων ἐσσεῖται ἁ ἐναπολαφθεῖσα ἐν τῷ σφαιροειδεῖ ἀπὸ τᾶς γενομένας τομᾶς τῶν ἐπιπέδων τοῦ τέμνοντος τὸ σχῆμα καὶ τοῦ ἀχθέντος διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον . Εἰ μὲν οὖν κα τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος ἢ παρὰ τὸν ἄξονα , δῆλον · τετμάσθω δὲ ἄλλῳ ἐπιπέδῳ , τμαθέντος δε αὐτοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ τέμνον τοῦ μὲν σφαιραειδέος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ△ ὀξυγωνίου κώνου τομά , τοῦ δὲ τέμνοντος αὐτὸ ἐπιπέδου ἁ ΓΑ εὐθεῖα , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ σφαιροειδέος καὶ διάμετρος τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἁ Β△ , κέντρον δὲ τὸ Χ , καὶ ἐλάσσων διάμετρος ἔστω ἁ ΠΡ . Ἄχθω δὲ ἁ μὲν ΒΤ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ Β△ , ἁ δὲ ΗΝ παρὰ τὰν ΑΓ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Ν , ἄχθω δὲ καὶ ἁ ΜΛ διὰ τοῦ Χ παρὰ τὰν ΑΓ · ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθησοῦντι τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν καθέτων τᾶν ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν ΑΓ ἀγμενᾶν ποτὶ τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τᾶς ΑΓ τμαμάτων τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΤΝ . Ὅτι μὲν οὖν ἁ τομά ἐστιν ὀξυγωνίου κώνου τομὰ καὶ διάμετρος αὐτᾶς ἁ ΓΑ δῆλον · ὅτι δὲ μείζων δεικτέον . Τὸ γὰρ ὑπὸ τᾶν ΠΧ , ΧΡ περιεχόμενον ποτὶ τὸ ὑπὸ ΜΧ , ΧΛ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΝΤ , ἐπεὶ παρὰ τὰς ἐπιψαυούσας ἐντὶ αἱ ΠΡ , ΜΛ . Ἔλασσον δέ ἐστι τὸ ὑπὸ τᾶν ΠΧ , ΧΡ περιεχόμενον τοῦ ὑπὸ τᾶν ΜΧ , ΧΛ , ἐπεὶ καὶ ἁ ΧΠ τᾶς ΧΛ ἔλασσον ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΤΝ · ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν καθέτων τετράγωνα τᾶν ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν ΑΓ ἀγομενᾶν ἐλάσσονά ἐντι τῶν ὑπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς ΑΓ περιεχομένων . Δῆλον οὖν ὅτι μείζων ἐντὶ διάμετρος ἁ ΓΑ . Εἴ κα τὸ ἐπιπλατὺ σφαιροειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθῇ , τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτὰ ἐσσεῖται , τᾶν δὲ διαμέτρων ἐλάσσων ἐσσεῖται ἁ ἐναπολαφθεῖσα ἐν τῷ σφαιροειδεῖ . Ἐξ αὐτῶν δὲ φανερὸν ἐν πάντεσσι τοῖς σχημάτεσσιν ὅτι , εἴ κα παραλλήλοις ἐπιπέδοις τμαθῇ , αἱ αὐτῶν τομαὶ ὁμοῖαι ἐσσοῦνται τὰ γὰρ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν καθέτων ποτὶ τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων τοὺς αὐτοὺς λόγους ἑξοῦντι .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ παραμηκάομαι σφαιροειδής ἐπίπεδος τέμνω μή ποτέ ὀρθός ὁ ἄξων , ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ μέγας εἰμί ὁ ἐναπολάπτω ἐν ὁ σφαιροειδής ἀπό ὁ γίγνομαι τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ τέμνω ὁ σχῆμα καί ὁ ἄγω διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος . εἰ μέν οὖν ἄν τέμνω διά ὁ ἄξων ἤ παρά ὁ ἄξων , δῆλος · τέμνω δέ ἄλλος ἐπίπεδος , τέμνω δε αὐτός διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ὁ μέν σφαιραειδύς τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ△ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ τέμνω αὐτός ἐπίπεδος ὁ ΓΑ εὐθύς , ἄξων δέ εἰμί ὁ σφαιροειδής καί διάμετρος ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ Β△ , κέντρον δέ ὁ Χ , καί ἐλαχύς διάμετρος εἰμί ὁ ΠΡ . ἄγω δέ ὁ μέν ΒΤ ποτέ ὀρθός ὁ Β△ , ὁ δέ ΗΝ παρά ὁ ΑΓ ἐπιψαύω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή κατά ὁ Ν , ἄγω δέ καί ὁ ΜΛ διά ὁ Χ παρά ὁ ΑΓ · ὅμοιος δή ὁ πρότερος δειχθησέω ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ κάθετος ὁ ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ ΑΓ ἄγω πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ΑΓ τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΒΤ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΤΝ . ὅτι μέν οὖν ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή καί διάμετρος αὐτός ὁ ΓΑ δῆλος · ὅτι δέ μέγας δείκνυμι . ὁ γάρ ὑπό ὁ ΠΧ , ΧΡ περιέχω πρός ὁ ὑπό ΜΧ , ΧΛ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΒΤ πρός ὁ ἀπό ὁ ΝΤ , ἐπεί παρά ὁ ἐπιψαύω εἰμί ὁ ΠΡ , ΜΛ . ἐλαχύς δέ εἰμί ὁ ὑπό ὁ ΠΧ , ΧΡ περιέχω ὁ ὑπό ὁ ΜΧ , ΧΛ , ἐπεί καί ὁ ΧΠ ὁ ΧΛ ἐλαχύς ἄρα εἰμί καί ὁ ἀπό ὁ ΒΤ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΤΝ · ὥστε καί ὁ ἀπό ὁ κάθετος τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ ΑΓ ἄγω ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑπό ὁ τμῆμα ὁ ΑΓ περιέχω . δῆλος οὖν ὅτι μέγας εἰμί διάμετρος ὁ ΓΑ . εἰ ἄν ὁ ἐπιπλατύς σφαιροειδής ἐπίπεδος τέμνω , ὁ μέν ἄλλος ὁ αὐτός εἰμί , ὁ δέ διάμετρον ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐναπολάπτω ἐν ὁ σφαιροειδής . ἐκ αὐτός δέ φανερός ἐν πᾶς ὁ σχῆμα ὅτι , εἰ ἄν παράλληλος ἐπίπεδος τέμνω , ὁ αὐτός τομή ὅμοιος εἰμί ὁ γάρ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ κάθετος πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ τμῆμα ὁ αὐτός λόγος ἔχω .