archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 13
Εἴ κα τὸ ἀμβλυγώνιον κωνοειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθῇ συμπίπτοντι πάσαις ταῖς τοῦ κώνου πλευραῖς τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδὲς μὴ ποτʼ ὀρθὰς τῷ ἄξονι , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ μείζων ἐσσεῖται ἁ ἐναπολαφθεῖσα ἐν τῷ κωνοειδεῖ ἀπὸ τᾶς γενομένας τομᾶς τῶν ἐπιπέδων τοῦ τε τέμνοντος τὸ σχῆμα καὶ τοῦ ἀχθέντος διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον . Τεμνέσθω γὰρ τὸ ἀμβλυγώνιον κωνοειδὲς ἐπιπέδῳ , ὡς εἴρηται , καὶ ἄλλῳ ἐπιπέδῳ τμαθέντος αὐτοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον τοῦ μὲν κωνοειδέος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ ἀμβλυγωνίου κώνου τομά , τοῦ δὲ τέμνοντος τὸ σχῆμα ἐπιπέδου ἁ ΑΓ εὐθεῖα , ἄξων δὲ τοῦ κωνοειδέος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ Β△ . Νοείσθω δή τι ἐπὶ τᾶς τομᾶς λελαμμένον σαμεῖον τὸ Κ , καὶ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετος ἄχθω ἐπὶ τὰν ΑΓ ἁ ΚΘ · ἐσσεῖται δὴ οὕτα ὀρθὰ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐν ᾧ ἐντι ἁ ΑΒΓ κώνου τομά . Διὰ δὲ τοῦ Θ ἄχθω ἁ ΕΖ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ Β△ , καὶ διὰ τᾶν ΕΖ , ΚΘ εὐθειᾶν ἐπίπεδον ἄχθω τέμνον τὸ κωνοειδές · τετμήσεται δὴ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα · ὥστε ἁ τομὰ κύκλος ἐσσεῖται , κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ △ · ἁ ἄρα κάθετος ἁ ΚΘ ἴσον δυνασεῖται τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν ΕΘ , ΘΖ . Ἄχθω δὴ πάλιν ἁ μὲν ΜΝ παρὰ τὰν ΑΓ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Ν , ἁ δὲ ΒΤ παρὰ τὰν ΕΖ τὸ δὴ περιεχόμενον ὑπὸ ΕΘ , ΘΖ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΓ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΤΝ · ὥστε τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΘ καθέτου τετράγωνον ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΘ , ΘΓ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΤΝ . Ὁμοίως οὖν δειχθησοῦνται καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν καθέτων τᾶν ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἀγομενᾶν ἐπὶ τὰν ΑΓ ποτὶ τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς ΑΓ , ὧν αἱ κάθετοι ποιοῦντι , τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΤΝ . Καί ἐστιν ἐλάσσων ἁ ΒΤ τᾶς ΤΝ , διότι καὶ ἁ ΜΤ ἐλάσσων ἐστὶν τᾶς ΤΝ · καὶ γὰρ ἁ ΜΒ ἐλάσσων τᾶς ΒΡ · τοῦτο γάρ ἐστιν ἐν ταῖς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομαῖς σύμπτωμα δῆλον οὖν ὅτι ἁ τομὰ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ καὶ διάμετρος αὐτᾶς μείζων ἁ ΑΓ .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἐπίπεδος τέμνω συμπίπτω πᾶς ὁ ὁ κῶνος πλευρά ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής μή ποτέ ὀρθός ὁ ἄξων , ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ μέγας εἰμί ὁ ἐναπολάπτω ἐν ὁ κωνοειδής ἀπό ὁ γίγνομαι τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ τε τέμνω ὁ σχῆμα καί ὁ ἄγω διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος . τέμνω γάρ ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἐπίπεδος , ὡς λέγω , καί ἄλλος ἐπίπεδος τέμνω αὐτός διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος ὁ μέν κωνοειδής τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ τέμνω ὁ σχῆμα ἐπίπεδος ὁ ΑΓ εὐθύς , ἄξων δέ ὁ κωνοειδής καί διάμετρος ὁ τομή ὁ Β△ . νοέω δή τις ἐπί ὁ τομή λαμβάνω σαμεῖον ὁ Κ , καί ἀπό ὁ Κ κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΓ ὁ ΚΘ · εἰμί δή ὅτε ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐν ὅς εἰμί ὁ ΑΒΓ κῶνος τομή . διά δέ ὁ Θ ἄγω ὁ ΕΖ ποτέ ὀρθός ὁ Β△ , καί διά ὁ ΕΖ , ΚΘ εὐθεῖα ἐπίπεδος ἄγω τέμνω ὁ κωνοειδής · τετμίναμαι δή ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων · ὥστε ὁ τομή κύκλος εἰμί , κέντρον δέ αὐτός ὁ △ · ὁ ἄρα κάθετος ὁ ΚΘ ἴσος δυνασέω ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΕΘ , ΘΖ . ἄγω δή πάλιν ὁ μέν ΜΝ παρά ὁ ΑΓ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Ν , ὁ δέ ΒΤ παρά ὁ ΕΖ ὁ δή περιέχω ὑπό ΕΘ , ΘΖ πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΓ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΒΤ πρός ὁ ἀπό ὁ ΤΝ · ὥστε ὁ ἀπό ὁ ΚΘ κάθετος τετράγωνος πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΘ , ΘΓ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΒΤ πρός ὁ ἀπό ὁ ΤΝ . ὅμοιος οὖν δειχθησόω καί ὁ ἀπό ὁ ἄλλος κάθετος ὁ ἀπό ὁ τομή ἄγω ἐπί ὁ ΑΓ πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ τμῆμα ὁ ΑΓ , ὅς ὁ κάθετος ποιέω , ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΒΤ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΤΝ . καί εἰμί ἐλαχύς ὁ ΒΤ ὁ ΤΝ , διότι καί ὁ ΜΤ ἐλαχύς εἰμί ὁ ΤΝ · καί γάρ ὁ ΜΒ ἐλαχύς ὁ ΒΡ · οὗτος γάρ εἰμί ἐν ὁ ὁ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή σύμπτωμα δῆλος οὖν ὅτι ὁ τομή ὀξυγώνιος κῶνος τομή καί διάμετρος αὐτός μέγας ὁ ΑΓ .