archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 30
Καὶ τοίνυν εἴ κα μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα τμαθῇ τὸ σφαιροειδὲς μηδὲ διὰ τοῦ κέντρου , τὸ ἔλασσον αὐτοῦ τμᾶμα ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν ἁ ἴσα συναμφοτέρᾳ τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς κορυφὰς τῶν γενομένων τμαμάτων καὶ τῷ ἄξονι τοῦ μείζονος τμάματος ποτὶ τὸν ἄξονα τοῦ μείζονος τμάματος . Τετμάσθω γάρ τι σχῆμα σφαιροειδές , ὡς εἴρηται , καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἄλλῳ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ ὀξυγωνίου κώνου τομά , τοῦ δὲ τέμνοντος ἐπιπέδου τὸ σχῆμα ἁ ΓΑ εὐθεῖα , καὶ παρὰ τὰν ΑΓ ἄχθων αἱ ΠΡ , ΣΤ ἐπιψαύουσαι τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὰ Β , Ζ , καὶ ἀνεστακέτω ἀπʼ αὐτᾶν ἐπίπεδα παράλληλα τῷ κατὰ τὰν ΑΓ · ἐπιψαυσοῦντι δὲ ταῦτα τοῦ σφαιροειδέος κατὰ τὰ Β , Ζ , καὶ ἐσσοῦνται κορυφαὶ τῶν τμαμάτων τὰ Β , Ζ . Ἄχθω οὖν ἁ τὰς κορυφὰς τῶν τμαμάτων ἐπιζευγνύουσα καὶ ἔστω ἁ ΒΖ · πεσεῖται δὲ οὕτα διὰ τοῦ κέντρου · καὶ ἔστω κέντρον τοῦ σφαιροειδέος καὶ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τὸ Θ . Ἐπεὶ οὖν ὑπέκειτο μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα τετμᾶσθαι τῷ ἐπιπέδῳ τὸ σχῆμα , ἁ τομά ἐστιν ὀξυγωνίου κώνου τομὰ καὶ διάμετρος αὐτᾶς ἁ ΓΑ . Λελάφθω οὖν ὅ τε κύλινδρος ὁ ἄξονα ἔχων ἐπʼ εὐθείας τᾷ Β△ , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἁ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , καὶ ὁ κῶνος ὁ κορυφὰν ἔχων τὸ Β σαμεῖον , οὗ ἐν τᾶ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἁ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ · ἐσσεῖται δὴ τόμος τις κυλίνδρου τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχων τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν καὶ ἀπότμαμα κώνου τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Δεικτέον ὅτι τὸ τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος , οὗ κορυφὰ τὸ Β , ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν ἁ △Η ποτὶ τὰν △Ζ · ἴσα δὲ ἔστω ἁ ΖΗ τᾷ ΘΖ . Λελάφθω δή τις κῶνος , ἐν ᾧ τὸ Ψ , ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχων τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ △Η ποτὶ τὰν △Ζ . Εἰ οὖν μή ἐστιν ἴσον τὸ τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος τῷ Ψ κώνῳ , ἔστω πρῶτον , εἰ δυνατόν , μεῖζον . Ἐνέγραψα δὴ εἰς τὸ τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος σχῆμα στερεὸν καὶ ἄλλο περιέγραψα ἐκ κυλίνδρων τόμων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου . Ὁμοίως δὴ τῷ προτέρῳ δειχθήσεται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζον ἐὸν τοῦ Ψ κώνου καὶ ὁ τόμος τοῦ κυλίνδρου ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μείζονα λόγον ἔχων ἢ ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · ὅ ἐστιν ἀδύνατον . Οὐκ ἐσσεῖται οὖν τὸ τοῦ σφαιροειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου μεῖζον . Ἀλλʼ ἔστω , εἰ δυνατόν , ἔλασσον . Ἐγγεγράφθω δὴ πάλιν εἰς τὸ τμᾶμα σχῆμα στερεὸν καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρου τόμων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενα , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει ὁ Ψ κῶνος τοῦ τμάματος . Πάλιν δὴ διὰ τῶν αὐτῶν δειχθήσεται τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἔλασσον τοῦ Ψ κώνου καὶ ὁ τόμος τοῦ κυλίνδρου ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἐλάσσονα λόγον ἔχων ἢ ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · ὅ ἐστιν ἀδύνατον . Οὐκ ἐσσεῖται οὖν οὐδὲ ἔλασσον τὸ τμᾶμα τοῦ κώνου . Φανερὸν οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: καί τοίνυν εἰ ἄν μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων τέμνω ὁ σφαιροειδής μηδέ διά ὁ κέντρον , ὁ ἐλαχύς αὐτός τμῆμα πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμισέα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κορυφή ὁ γίγνομαι τμῆμα καί ὁ ἄξων ὁ μέγας τμῆμα πρός ὁ ἄξων ὁ μέγας τμῆμα . τέμνω γάρ τις σχῆμα σφαιροειδής , ὡς λέγω , καί τέμνω αὐτός ἄλλος ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ τέμνω ἐπίπεδος ὁ σχῆμα ὁ ΓΑ εὐθύς , καί παρά ὁ ΑΓ ἄγω ὁ ΠΡ , ΣΤ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Β , Ζ , καί ἀνίστημι ἀπό αὐτός ἐπίπεδος παράλληλος ὁ κατά ὁ ΑΓ · ἐπιψαύω δέ οὗτος ὁ σφαιροειδής κατά ὁ Β , Ζ , καί εἰμί κορυφή ὁ τμῆμα ὁ Β , Ζ . ἄγω οὖν ὁ ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ἐπιζεύγνυμι καί εἰμί ὁ ΒΖ · πίπτω δέ ὅτε διά ὁ κέντρον · καί εἰμί κέντρον ὁ σφαιροειδής καί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ Θ . ἐπεί οὖν ὑπόκειμαι μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων τέμνω ὁ ἐπίπεδος ὁ σχῆμα , ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή καί διάμετρος αὐτός ὁ ΓΑ . λαμβάνω οὖν ὁ τε κύλινδρος ὁ ἄξων ἔχω ἐπί εὐθεῖα ὁ Β△ , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , καί ὁ κῶνος ὁ κορυφή ἔχω ὁ Β σαμεῖον , ὅς ἐν σᾶ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ · εἰμί δή τόμος τις κύλινδρος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός καί ἀπότμημα κῶνος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . δείκνυμι ὅτι ὁ τμῆμα ὁ σφαιροειδής , ὅς κορυφή ὁ Β , πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ △Η πρός ὁ △Ζ · ἴσος δέ εἰμί ὁ ΖΗ ὁ ΘΖ . λαμβάνω δή τις κῶνος , ἐν ὅς ὁ Ψ , πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ △Η πρός ὁ △Ζ . εἰ οὖν μή εἰμί ἴσος ὁ τμῆμα ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος , εἰμί πρῶτος , εἰ δυνατός , μέγας . ἐγγράφω δή εἰς ὁ τμῆμα ὁ σφαιροειδής σχῆμα στερεός καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος τόμος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ τμῆμα ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος . ὅμοιος δή ὁ πρότερος δείκνυμι ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ Ψ κῶνος καί ὁ τόμος ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ Ψ κῶνος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ εἰμί οὖν ὁ ὁ σφαιροειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος μέγας . ἀλλά εἰμί , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . ἐγγράφω δή πάλιν εἰς ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος τόμος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ Ψ κῶνος ὁ τμῆμα . πάλιν δή διά ὁ αὐτός δείκνυμι ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς ὁ Ψ κῶνος καί ὁ τόμος ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός πρός ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ Ψ κῶνος · ὅς εἰμί ἀδύνατος . οὐ εἰμί οὖν οὐδέ ἐλαχύς ὁ τμῆμα ὁ κῶνος . φανερός οὖν ὅς δέω δείκνυμι .