archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus pr
Ἀποστέλλω τοι γράψας ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ τῶν τε λοιπῶν θεωρημάτων τὰς ἀποδείξιας , ὧν οὐκ εἶχες ἐν τοῖς πρότερον ἀπεσταλμένοις , καὶ ἄλλων ὕστερον ποτεξευρημένων , ἃ πρότερον μὲν ἤδη πολλάκις ἐγχειρήσας ἐπισκέπτεσθαι δύσκολον ἔχειν τι φανείσας μοι τᾶς εὑρέσιος αὐτῶν ἀπόρησα · διόπερ οὐδὲ συνεξεδόθεν τοῖς ἄλλοις αὐτὰ τὰ προβεβλημένα . Ὕστερον δὲ ἐπιμελέστερον ποτʼ αὐτοῖς γενόμενος ἐξεῦρον τὰ ἀπορηθέντα . Ἦν δὲ τὰ μὲν λοιπὰ τῶν προτέρων θεωρημάτων περὶ τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος προβεβλημένα , τὰ δὲ νῦν ἐντι ποτεξευρημένα περί τε ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος καὶ περὶ σφαιροειδέων σχημάτων , ὧν τὰ μὲν παραμάκεα , τὰ δὲ ἐπιπλατέα καλέω . Περὶ μὲν οὖν τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος ὑπέκειτο τάδε · εἴ κα ὀρθογωνίου κώνου τομὰ μενούσας τᾶς διαμέτρου περιενεχθεῖσα ἀποκατασταθῇ πάλιν , ὅθεν ὥρμασεν , τὸ περιλαφθὲν σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ὀρθογώνιον κωνοειδὲς καλεῖσθαι , καὶ ἄξονα μὲν αὐτοῦ τὰν μεμενάκουσαν διάμετρον καλεῖσθαι , κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ ἅπτεται ὁ ἄξων τᾶς τοῦ κωνοειδέος ἐπιφανείας · καὶ εἴ κα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος σχήματος ἐπίπεδον ἐπιψαύῃ , παρὰ δὲ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον ἄλλο ἐπίπεδον ἀχθὲν ἀποτέμῃ τι τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος , βάσιν μὲν καλεῖσθαι τοῦ ἀποτμαθέντος τμάματος τὸ ἐπίπεδον τὸ περιλαφθὲν ὑπὸ τᾶς τοῦ κωνοειδέος τομᾶς ἐν τῷ ἀποτέμνοντι ἐπιπέδῳ , κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ ἐπιψαύει τὸ ἕτερον ἐπίπεδον τοῦ κωνοειδέος , ἄξονα δὲ τὰν ἐναπολαφθεῖσαν εὐθεῖαν ἐν τῷ τμάματι ἀπὸ τᾶς ἀχθείσας διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ τμάματος παρὰ τὸν ἄξονα τοῦ κωνοειδέος . Προεβάλλετο δὲ τάδε θεωρῆσαι · διὰ τί , εἴ κα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος τμάματα ἀποτμαθῇ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , τὸ ἀποτμαθὲν τμᾶμα ἡμιόλιον ἐσσεῖται τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν · καὶ διὰ τί , εἴ κα ἀπὸ τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος δύο τμάματα ἀποτμαθέωντι ἐπιπέδοις ὁπωσοῦν ἀγμένοις , τὰ ἀποτμαθέντα τμάματα διπλάσιον λόγον ἑξοῦντι ποτʼ ἄλλαλα τῶν ἀξόνων . Περὶ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος ὑποτιθέμεθα μὲν τάδε · εἴ κα ἐν ἐπιπέδῳ ἔωντι ἀμβλυγωνίου κώνου τομὰ καὶ ἁ διάμετρος αὐτᾶς καὶ αἱ ἔγγιστα τᾶς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾶς , μενούσας δὲ τᾶς διαμέτρου περιενεχθὲν τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐντι αἱ εἰρημέναι γραμμαί , ἀποκατασταθῇ πάλιν , ὅθεν ὥρμασεν , αἱ μὲν ἔγγιστα εὐθεῖαι τᾶς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾶς δῆλον ὡς κῶνον ἰσοσκελέα περιλαψοῦνται , οὗ κορυφὰ ἐσσεῖται τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ αἱ ἔγγιστα συμπίπτοντι , ἄξων δὲ ἁ μεμενάκουσα διάμετρος · τὸ δὲ ὑπὸ τᾶς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾶς σχῆμα περιλαφθὲν ἀμβλυγώνιον κωνοειδὲς καλεῖσθαι , ἄξονα δὲ αὐτοῦ τὰν μεμενάκουσαν διάμετρον , κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ ἅπτεται ὁ ἄξων τᾶς ἐπιφανείας τοῦ κωνοειδέος τὸν δὲ κῶνον τὸν περιλαφθέντα ὑπὸ τᾶν ἔγγιστα τᾶς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾶς περιέχοντα τὸ κωνοειδὲς καλεῖσθαι , τὰν δὲ μεταξὺ εὐθεῖαν τᾶς τε κορυφᾶς τοῦ κωνοειδέος καὶ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδὲς ποτεοῦσαν τῷ ἄξονι καλεῖσθαι · καὶ εἴ κα τοῦ ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος ἐπίπεδον ἐπιψαύῃ , παρὰ δὲ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον ἄλλο ἐπίπεδον ἀχθὲν ἀποτέμῃ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος , βάσιν μὲν καλεῖσθαι τοῦ ἀποτμαθέντος τμάματος τὸ ἐπίπεδον τὸ περιλαφθὲν ὑπὸ τᾶς τοῦ κωνοειδέος τομᾶς ἐν τῷ ἀποτέμνοντι ἐπιπέδῳ , κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ ἅπτεται τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπιψαῦον τοῦ κωνοειδέος , ἄξονα δὲ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἐν τῷ τμάματι ἀπὸ τᾶς διαχθείσας διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ τμάματος καὶ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδές , καὶ τὰν μεταξὺ τᾶν εἰρημενᾶν κορυφᾶν εὐθεῖαν ποτεοῦσαν τῷ ἄξονι καλεῖσθαι . Τὰ μὲν οὖν ὀρθογώνια κωνοειδέα πάντα ὁμοῖά ἐντι , τῶν δὲ ἀμβλυγωνίων κωνοειδέων ὁμοῖα καλείσθω , ὧν κα οἱ κῶνοι οἱ περιέχοντες τὰ κωνοειδέα ὁμοῖοι ἔωντι . Προβάλλεται δὲ τάδε θεωρῆσαι · διὰ τί , εἴ κα τοῦ ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος ἀποτμαθῇ τμάματα ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , τὸ ἀποτμαθὲν τμᾶμα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ συναμφοτέραις ἴσα τῷ τε ἄξονι τοῦ τμάματος καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς ποτεούσας τῷ ἄξονι ποτὶ τὰν ἴσαν ἀμφοτέραις τῷ τε ἄξονι τοῦ τμάματος καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ποτεούσας τῷ ἄξονι · καὶ διὰ τί , εἴ κα τοῦ ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος τμᾶμα ἀποτμαθῇ ἐπιπέδῳ μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , τὸ ἀποτμαθὲν τμᾶμα ποτὶ τὸ σχῆμα τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , ὃ γίγνεται ἀπότμαμα κώνου , τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν ἁ συναμφοτέραις ἴσα τῷ τε ἄξονι τοῦ τμάματος καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς ποτεούσας τῷ ἄξονι ποτὶ τὰν ἴσαν ἀμφοτέραις τῷ τε ἄξονι τοῦ τμάματος καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ποτεούσας τῷ ἄξονι . Περὶ δὲ τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὑποτιθέμεθα τάδε · εἴ κα ὀξυγωνίου κώνου τομὰ μενούσας τᾶς μείζονος διαμέτρου περιενεχθεῖσα ἀποκατασταθῇ πάλιν , ὅθεν ὥρμασεν , τὸ περιλαφθὲν σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς παραμᾶκες σφαιροειδὲς καλεῖσθαι · εἰ δέ κα τᾶς ἐλάσσονος διαμέτρου μενούσας περιενεχθεῖσα ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἀποκατασταθῇ πάλιν , ὅθεν ὥρμασεν , τὸ περιλαφθὲν σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἐπιπλατὺ σφαιροειδὲς καλεῖσθαι · ἑκατέρου δὲ τῶν σφαιροειδέων ἄξονα μὲν καλεῖσθαι τὰν μεμενάκουσαν διάμετρον , κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ ἅπτεται ὁ ἄξων τᾶς ἐπιφανείας τοῦ σφαιροειδέος , κέντρον δὲ καλεῖσθαι τὸ μέσον τοῦ ἄξονος καὶ διάμετρον τὰν διὰ τοῦ κέντρου ποτʼ ὀρθὰς ἀγομέναν τῷ ἄξονι · καὶ εἴ κα τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὁποτερουοῦν ἐπίπεδα παράλληλα ἐπιψαύωντι μὴ τέμνοντα , παρὰ δὲ τὰ ἐπίπεδα τὰ ψαύοντα ἄλλο ἐπίπεδον ἀχθῇ τέμνον τὸ σφαιροειδές , τῶν γενομένων τμαμάτων βάσιν μὲν καλεῖσθαι τὸ περιλαφθὲν ὑπὸ τᾶς τοῦ σφαιροειδέος τομᾶς ἐν τῷ τέμνοντι ἐπιπέδῳ , κορυφὰς δὲ τὰ σημεῖα , καθʼ ἃ ἐπιψαύοντι τοῦ σφαιροειδέος τὰ παράλληλα ἐπίπεδα , ἄξονας δὲ τὰς ἐναπολαφθείσας εὐθείας ἐν τοῖς τμαμάτεσσιν ἀπὸ τᾶς εὐθείας τᾶς τὰς κορυφὰς αὐτῶν ἐπιζευγνυούσας · ὅτι δὲ τά τε ἐπιψαύοντα ἐπίπεδα τοῦ σφαιροειδέος καθʼ ἓν μόνον ἅπτονται σαμεῖον τᾶς ἐπιφανείας αὐτοῦ , καὶ ὅτι ἁ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα διὰ τοῦ κέντρου τοῦ σφαιροειδέος πορεύεται , δειξοῦμες · ὁμοῖα δε καλεῖσθαι τῶν σφαιροειδέων σχημάτων , ὧν κα οἱ ἄξονες ποτὶ τὰς διαμέτρους τὸν αὐτὸν λόγον ἔχωντι . Τμάματα δὲ σφαιροειδέων σχημάτων καὶ κωνοειδέων ὁμοῖα καλείσθω , εἴ κα ἀφʼ ὁμοίων σχημάτων ἀφαιρημένα ἔωντι καὶ τάς τε βάσεις ὁμοίας ἔχωντι , καὶ οἱ ἄξονες αὐτῶν ἤτοι ὀρθοὶ ἐόντες ποτὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν βάσιων ἢ γωνίας ἴσας ποιοῦντες ποτὶ τὰς ὁμολόγους διαμέτρους τῶν βάσιων τὸν αὐτὸν ἔχωντι λόγον ποτʼ ἀλλάλους ταῖς ὁμολόγοις διαμέτροις τῶν βάσιων . Προβάλλεται δὲ περὶ τῶν σφαιροειδέων τάδε θεωρῆσαι · διὰ τί , εἴ κά τι τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ κέντρου ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , τῶν γεναμένων τμαμάτων ἑκάτερον διπλάσιον ἐσσεῖται τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , εἰ δὲ κα ὀρθῷ μὲν ποτὶ τὸν ἄξονα τῷ ἐπιπέδῳ τμαθῇ , μὴ διὰ τοῦ κέντρου δὲ , τῶν γεναμένων τμαμάτων τὸ μὲν μεῖζον ποτὶ τὸν κῶνον τὸν τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν ἁ συναμφοτέραις ἴσα τᾷ τε ἡμισείᾳ τᾶς εὐθείας , ἅ ἐστιν ἄξων τοῦ σφαιροειδέος , καὶ τῷ ἄξονι τῷ τοῦ ἐλάσσονος τμάματος ποτὶ τὸν ἄξονα τοῦ ἐλάσσονος τμάματος , τὸ δὲ ἔλασσον τμᾶμα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ συναμφοτέραις ἴσα τᾷ τε ἡμισείᾳ τᾶς εὐθείας , ἅ ἐστιν ἄξων τοῦ σφαιροειδέος , καὶ τῷ ἄξονι τῷ τοῦ μείζονος τμάματος ποτὶ τὸν ἄξονα τοῦ μείζονος τμάματος · καὶ διὰ τί , εἴ κα τῶν σφαιροειδέων τι ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ κέντρου μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , τῶν γεναμένων τμαμάτων ἑκάτερον διπλάσιον ἐσσεῖται τοῦ σχήματος τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν · γίγνεται δὲ τὸ σχῆμα ἀπότμαμα κώνου · εἰ δέ κα μήτε διὰ τοῦ κέντρου μήτε ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα τῷ ἐπιπέδῳ τμαθῇ τὸ σφαιροειδές , τῶν γεναμένων τμαμάτων τὸ μὲν μεῖζον ποτὶ τὸ σχῆμα τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν ἁ συναμφοτέραις ἴσα τᾷ τε ἡμισέᾳ αὐτᾶς τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς κορυφὰς τῶν τμαμάτων καὶ τῷ ἄξονι τῷ τοῦ ἐλάσσονος τμάματος ποτὶ τὸν ἄξονα τὸν τοῦ ἐλάσσονος τμάματος , τὸ δὲ ἔλασσον τμᾶμα ποτὶ τὸ σχῆμα τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ συναμφοτέραις ἴσα τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς κορυφὰς τῶν τμαμάτων καὶ τῷ ἄξονι τοῦ μείζονος τμάματος ποτὶ τὸν ἄξονα τὸν τοῦ μείζονος τμάματος · γίνεται δὲ καὶ ἐν τούτοις τὸ σχῆμα ἀπότμαμα κώνου . Ἀποδειχθέντων δὲ τῶν εἰρημένων θεωρημάτων διὰ τούτων εὑρίσκονται θεωρήματά τε πολλὰ καὶ προβλήματα , οἷον καὶ τόδε · ὅτι τὰ ὁμοῖα σφαιροειδέα καὶ τὰ ὁμοῖα τμάματα τῶν τε σφαιροειδέων σχημάτων καὶ τῶν κωνοειδέων τριπλασίονα λόγον ἔχοντι ποτʼ ἄλλαλα τῶν ἀξόνων , καὶ διότι τῶν ἴσων σφαιροειδέων σχημάτων τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων ἀντιπεπόνθασι τοῖς ἀξόνεσσιν , καὶ εἴ κα τῶν σφαιροειδέων σχημάτων τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων ἀντιπεπόνθωντι τοῖς ἀξόνεσσιν , ἴσα ἐντὶ τὰ σφαιροειδέα · πρόβλημα δὲ οἷον καὶ τόδε · ἀπὸ τοῦ δοθέντος σφαιροειδέος σχήματος ἢ κωνοειδέος τμᾶμα ἀποτεμεῖν ἐπιπέδῳ παρὰ δοθὲν ἐπίπεδον ἀγμένῳ , εἶμεν δὲ τὸ ἀποτμαθὲν τμᾶμα ἴσον τῷ δοθέντι κώνῳ ἢ κυλίνδρῳ ἢ σφαίρᾳ τᾷ δοθείσᾳ . Προγράψαντες οὖν τά τε θεωρήματα καὶ τὰ ἐπιτάγματα τὰ χρεῖαν ἔχοντα εἰς τὰς ἀποδείξιας αὐτῶν μετὰ ταῦτα γραψοῦμές τοι τὰ προκείμενα . Εὐτύχει . ΟΡΟΙ Εἴ κα κῶνος ἐπιπέδῳ τμαθῇ συμπίπτοντι πάσαις ταῖς τοῦ κώνου πλευραῖς , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ἤτοι κύκλος ἢ ὀξυγωνίου κώνου τομά . Εἰ μὲν οὖν κύκλος ἁ τομά , δῆλον ὅτι τὸ ἀπολαφθὲν ἀπʼ αὐτοῦ τμᾶμα ἐπὶ τὰ αὐτὰ τᾷ τοῦ κώνου κορυφᾷ κῶνος ἐσσεῖται · εἰ δὲ κα ἁ τομὰ γένηται ὀξυγωνίου κώνου τομά , τὸ ἀπολαφθὲν ἀπὸ τοῦ κώνου σχῆμα ἐπὶ τὰ αὐτὰ τᾷ τοῦ κώνου κορυφᾷ ἀπότμαμα κώνου καλείσθω , τοῦ δὲ ἀποτμάματος βάσις μὲν καλείσθω τὸ ἐπίπεδον τὸ περιλαφθὲν ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς , κορυφὰ δὲ τὸ σαμεῖον , ὃ καὶ τοῦ κώνου κορυφά , ἄξων δὲ ἁ ἀπὸ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου ἐπὶ τὸ κέντρον τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἐπιζευχθεῖσα εὐθεῖα . Καὶ εἴ κα κύλινδρος δυοῖς ἐπιπέδοις παραλλήλοις τμαθῇ συμπιπτόντεσσι πάσαις ταῖς τοῦ κυλίνδρου πλευραῖς , αἱ τομαὶ ἐσσοῦνται ἤτοι κύκλοι ἢ ὀξυγωνίων κώνων τομαὶ ἴσαι καὶ ὁμοῖαι ἀλλάλαις . Εἰ μὲν οὖν κα αἱ τομαὶ κύκλοι γένωνται , δῆλον ὅτι τὸ ἀποτμαθὲν ἀπὸ τοῦ κυλινδρου σχῆμα μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων κύλινδρος ἐσσεῖται · εἰ δέ κα αἱ τομαὶ γένωνται ὀξυγωνίων κώνων τομαί , τὸ ἀπολαφθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου σχῆμα μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τόμος κυλίνδρου καλείσθω , τοῦ δὲ τόμου βάσις μὲν καλείσθω τὰ ἐπίπεδα τὰ περιλαφθέντα ὑπὸ τᾶν τῶν ὀξυγωνίων κώνων τομᾶν , ἄξων δὲ ἁ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα τὰ κέντρα τᾶν τῶν ὀξυγωνίων κώνων τομᾶν · ἐσσεῖται δὲ αὕτα ἐπὶ τᾶς αὐτᾶς εὐθείας τῷ ἄξονι τοῦ κυλίνδρου . ΛΗΜΜΑ Εἴ κα ἔωντι μεγέθεα ὁποσαοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλάλων ὑπερέχοντα , ᾗ δὲ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα τῷ ἐλαχίστῳ , καὶ ἄλλα μεγέθεα τῷ μὲν πλήθει ἴσα τούτοις , τῷ δὲ μεγέθει ἕκαστον ἴσον τῷ μεγίστῳ , πάντα τὰ μεγέθεα , ὧν ἐστιν ἕκαστον ἴσον τῷ μεγίστῳ , πάντων μὲν τῶν τῷ ἴσῳ ὑπερεχόντων ἐλάσσονα ἐσσοῦνται ἢ διπλάσια , τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ μεγίστου μείζονα ἢ διπλάσια . Ἁ δὲ ἀπόδειξις τούτου φανερά .
Lemmas: ἀποστέλλω τοι γράφω ἐν ὅδε ὁ βιβλίον ὁ τε λοιπός θεώρημα ὁ ἀπόδειξις , ὅς οὐ ἔχω ἐν ὁ πρότερος ἀποστέλλω , καί ἄλλος ὕστερον ποτεξαυράω , ὅς πρότερος μέν ἤδη πολλάκις ἐγχειρέω ἐπισκοπέω δύσκολος ἔχω τις φαίνω ἐγώ ὁ εὕρεσις αὐτός ἀπορέω · διόπερ οὐδέ συνεξεδόθεν ὁ ἄλλος αὐτός ὁ προβάλλω . ὕστερον δέ ἐπιμελής ποτέ αὐτός γίγνομαι ἐξευρίσκω ὁ ἀπολέγω . εἰμί δέ ὁ μέν λοιπός ὁ πρότερος θεώρημα περί ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής προβάλλω , ὁ δέ νῦν εἰμί ποτεξευρίσκω περί τε ἀμβλυγώνιος κωνοειδής καί περί σφαιροειδής σχῆμα , ὅς ὁ μέν παραμέκης , ὁ δέ ἐπιπλατής καλέω . περί μέν οὖν ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής ὑπόκειμαι ὅδε · εἰ ἄν ὀρθογώνιον κῶνος τομή μένω ὁ διάμετρος περιφέρω ἀποκαθίστημι πάλιν , ὅθεν ὁρμάω , ὁ περιλάπτω σχῆμα ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὀρθογώνιον κωνοειδής καλέω , καί ἄξων μέν αὐτός ὁ μεμενάκω διάμετρος καλέω , κορυφή δέ ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ἅπτω ὁ ἄξων ὁ ὁ κωνοειδής ἐπιφάνεια · καί εἰ ἄν ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής σχῆμα ἐπίπεδος ἐπιψαύω , παρά δέ ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος ἄλλος ἐπίπεδος ἄγω ἀποτέμνω τις τμῆμα ὁ κωνοειδής , βάσις μέν καλέω ὁ ἀποτέμνω τμῆμα ὁ ἐπίπεδος ὁ περιλάπτω ὑπό ὁ ὁ κωνοειδής τομή ἐν ὁ ἀποτέμνω ἐπίπεδος , κορυφή δέ ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ἐπιψαύω ὁ ἕτερος ἐπίπεδος ὁ κωνοειδής , ἄξων δέ ὁ ἐναπολάπτω εὐθεῖα ἐν ὁ τμῆμα ἀπό ὁ ἄγω διά ὁ κορυφή ὁ τμῆμα παρά ὁ ἄξων ὁ κωνοειδής . προβάλλω δέ ὅδε θεωρέω · διά τίς , εἰ ἄν ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής τμῆμα ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ ἀποτέμνω τμῆμα ἡμιόλιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός · καί διά τίς , εἰ ἄν ἀπό ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής δύο τμῆμα ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὁπωσοῦν ἄγω , ὁ ἀποτέμνω τμῆμα διπλάσιος λόγος ἔχω ποτέ ἀλλήλων ὁ ἄξων . περί δέ ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ὑποτίθημι μέν ὅδε · εἰ ἄν ἐν ἐπίπεδος εἰμί ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή καί ὁ διάμετρος αὐτός καί ὁ ἐγγύς ὁ ὁ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή , μένω δέ ὁ διάμετρος περιφέρω ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ λέγω γραμμή , ἀποκαθίστημι πάλιν , ὅθεν ὁρμάω , ὁ μέν ἐγγύς εὐθεῖα ὁ ὁ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή δῆλος ὡς κῶνος ἰσοσκελής περιλαμβάνω , ὅς κορυφή εἰμί ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ὁ ἐγγύς συμπίπτω , ἄξων δέ ὁ μεμενάκω διάμετρος · ὁ δέ ὑπό ὁ ὁ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή σχῆμα περιλάπτω ἀμβλυγώνιος κωνοειδής καλέω , ἄξων δέ αὐτός ὁ μεμενάκω διάμετρος , κορυφή δέ ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ἅπτω ὁ ἄξων ὁ ἐπιφάνεια ὁ κωνοειδής ὁ δέ κῶνος ὁ περιλάπτω ὑπό ὁ ἐγγύς ὁ ὁ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή περιέχω ὁ κωνοειδής καλέω , ὁ δέ μεταξύ εὐθεῖα ὁ τε κορυφή ὁ κωνοειδής καί ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής πρόσειμι ὁ ἄξων καλέω · καί εἰ ἄν ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἐπίπεδος ἐπιψαύω , παρά δέ ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος ἄλλος ἐπίπεδος ἄγω ἀποτέμνω τμῆμα ὁ κωνοειδής , βάσις μέν καλέω ὁ ἀποτέμνω τμῆμα ὁ ἐπίπεδος ὁ περιλάπτω ὑπό ὁ ὁ κωνοειδής τομή ἐν ὁ ἀποτέμνω ἐπίπεδος , κορυφή δέ ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ἅπτω ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐπιψαύω ὁ κωνοειδής , ἄξων δέ ὁ ἀπολάπτω ἐν ὁ τμῆμα ἀπό ὁ διάγω διά ὁ κορυφή ὁ τμῆμα καί ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής , καί ὁ μεταξύ ὁ λέγω κορυφή εὐθεῖα πρόσειμι ὁ ἄξων καλέω . ὁ μέν οὖν ὀρθογώνιον κωνοειδής πᾶς ὅμοιος εἰμί , ὁ δέ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ὅμοιος καλέω , ὅς ἄν ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής ὅμοιος εἰμί . προβάλλω δέ ὅδε θεωρέω · διά τίς , εἰ ἄν ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἀποτέμνω τμῆμα ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ ἀποτέμνω τμῆμα πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ τριπλάσιος ὁ πρόσειμι ὁ ἄξων πρός ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ διπλάσιος ὁ πρόσειμι ὁ ἄξων · καί διά τίς , εἰ ἄν ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής τμῆμα ἀποτέμνω ἐπίπεδος μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ ἀποτέμνω τμῆμα πρός ὁ σχῆμα ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , ὅς γίγνομαι ἀπότμημα κῶνος , οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ τριπλάσιος ὁ πρόσειμι ὁ ἄξων πρός ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ διπλάσιος ὁ πρόσειμι ὁ ἄξων . περί δέ ὁ σφαιροειδής σχῆμα ὑποτίθημι ὅδε · εἰ ἄν ὀξυγώνιος κῶνος τομή μένω ὁ μέγας διάμετρος περιφέρω ἀποκαθίστημι πάλιν , ὅθεν ὁρμάω , ὁ περιλάπτω σχῆμα ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή παραμαιδ͂κεσκω σφαιροειδής καλέω · εἰ δέ ἄν ὁ ἐλαχύς διάμετρος μένω περιφέρω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἀποκαθίστημι πάλιν , ὅθεν ὁρμάω , ὁ περιλάπτω σχῆμα ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐπιπλατύς σφαιροειδής καλέω · ἑκάτερος δέ ὁ σφαιροειδής ἄξων μέν καλέω ὁ μεμενάκω διάμετρος , κορυφή δέ ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ἅπτω ὁ ἄξων ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαιροειδής , κέντρον δέ καλέω ὁ μέσος ὁ ἄξων καί διάμετρος ὁ διά ὁ κέντρον ποτέ ὀρθός ἄγω ὁ ἄξων · καί εἰ ἄν ὁ σφαιροειδής σχῆμα ὁποτέσρις ἐπίπεδος παράλληλος ἐπιψαύω μή τέμνω , παρά δέ ὁ ἐπίπεδος ὁ ψαύω ἄλλος ἐπίπεδος ἄγω τέμνω ὁ σφαιροειδής , ὁ γίγνομαι τμῆμα βάσις μέν καλέω ὁ περιλάπτω ὑπό ὁ ὁ σφαιροειδής τομή ἐν ὁ τέμνω ἐπίπεδος , κορυφή δέ ὁ σημεῖον , κατά ὅς ἐπιψαύω ὁ σφαιροειδής ὁ παράλληλος ἐπίπεδος , ἄξων δέ ὁ ἐναπολάπτω εὐθεῖα ἐν ὁ τμῆμα ἀπό ὁ εὐθεῖα ὁ ὁ κορυφή αὐτός ἐπιζεύγνυμι · ὅτι δέ ὁ τε ἐπιψαύω ἐπίπεδος ὁ σφαιροειδής κατά εἷς μόνος ἅπτω σαμεῖον ὁ ἐπιφάνεια αὐτός , καί ὅτι ὁ ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς διά ὁ κέντρον ὁ σφαιροειδής πορεύω , δείκνυμι · ὅμοιος δε καλέω ὁ σφαιροειδής σχῆμα , ὅς ἄν ὁ ἄξων πρός ὁ διάμετρος ὁ αὐτός λόγος ἔχω . τμῆμα δέ σφαιροειδής σχῆμα καί κωνοειδής ὅμοιος καλέω , εἰ ἄν ἀπό ὅμοιος σχῆμα ἀφαιρέω εἰμί καί ὁ τε βάσις ὅμοιος ἔχω , καί ὁ ἄξων αὐτός ἤτοι ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ βάσις ἤ γωνία ἴσος ποιέω πρός ὁ ὁμόλογος διάμετρος ὁ βάσις ὁ αὐτός ἔχω λόγος ποτέ ἀλλήλων ὁ ὁμόλογος διάμετρον ὁ βάσις . προβάλλω δέ περί ὁ σφαιροειδής ὅδε θεωρέω · διά τίς , εἰ ἄν τις ὁ σφαιροειδής σχῆμα ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ κέντρον ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ γίγνομαι τμῆμα ἑκάτερος διπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , εἰ δέ ἄν ὀρθός μέν πρός ὁ ἄξων ὁ ἐπίπεδος τέμνω , μή διά ὁ κέντρον δέ , ὁ γίγνομαι τμῆμα ὁ μέν μέγας πρός ὁ κῶνος ὁ ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἡμίσεια ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί ἄξων ὁ σφαιροειδής , καί ὁ ἄξων ὁ ὁ ἐλαχύς τμῆμα πρός ὁ ἄξων ὁ ἐλαχύς τμῆμα , ὁ δέ ἐλαχύς τμῆμα πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἡμίσεια ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί ἄξων ὁ σφαιροειδής , καί ὁ ἄξων ὁ ὁ μέγας τμῆμα πρός ὁ ἄξων ὁ μέγας τμῆμα · καί διά τίς , εἰ ἄν ὁ σφαιροειδής τις ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ κέντρον μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ γίγνομαι τμῆμα ἑκάτερος διπλάσιος εἰμί ὁ σχῆμα ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός · γίγνομαι δέ ὁ σχῆμα ἀπότμημα κῶνος · εἰ δέ ἄν μήτε διά ὁ κέντρον μήτε ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ ἐπίπεδος τέμνω ὁ σφαιροειδής , ὁ γίγνομαι τμῆμα ὁ μέν μέγας πρός ὁ σχῆμα ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἡμισέα αὐτός ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κορυφή ὁ τμῆμα καί ὁ ἄξων ὁ ὁ ἐλαχύς τμῆμα πρός ὁ ἄξων ὁ ὁ ἐλαχύς τμῆμα , ὁ δέ ἐλαχύς τμῆμα πρός ὁ σχῆμα ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἡμισέᾳ ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κορυφή ὁ τμῆμα καί ὁ ἄξων ὁ μέγας τμῆμα πρός ὁ ἄξων ὁ ὁ μέγας τμῆμα · γίγνομαι δέ καί ἐν οὗτος ὁ σχῆμα ἀπότμημα κῶνος . ἀποδείκνυμι δέ ὁ λέγω θεώρημα διά οὗτος εὑρίσκω θεώρημα τε πολύς καί πρόβλημα , οἷος καί ὅδε · ὅτι ὁ ὅμοιος σφαιροειδής καί ὁ ὅμοιος τμῆμα ὁ τε σφαιροειδής σχῆμα καί ὁ κωνοειδής τριπλασίων λόγος ἔχω ποτέ ἀλλήλων ὁ ἄξων , καί διότι ὁ ἴσος σφαιροειδής σχῆμα ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ διάμετρον ἀντιπάσχω ὁ ἄξων , καί εἰ ἄν ὁ σφαιροειδής σχῆμα ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ διάμετρον ἀντιπάσχω ὁ ἄξων , ἴσος εἰμί ὁ σφαιροειδής · πρόβλημα δέ οἷος καί ὅδε · ἀπό ὁ δίδωμι σφαιροειδής σχῆμα ἤ κωνοειδής τμῆμα ἀποτέμνω ἐπίπεδος παρά δίδωμι ἐπίπεδος ἄγω , εἰμί δέ ὁ ἀποτέμνω τμῆμα ἴσος ὁ δίδωμι κῶνος ἤ κύλινδρος ἤ σφαῖρα ὁ δίδωμι . προγράφω οὖν ὁ τε θεώρημα καί ὁ ἐπίταγμα ὁ χρεῖα ἔχω εἰς ὁ ἀπόδειξις αὐτός μετά οὗτος γράφω σύ ὁ πρόκειμαι . εὐτυχέω . ὁράω εἰ ἄν κῶνος ἐπίπεδος τέμνω συμπίπτω πᾶς ὁ ὁ κῶνος πλευρά , ὁ τομή εἰμί ἤτοι κύκλος ἤ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . εἰ μέν οὖν κύκλος ὁ τομή , δῆλος ὅτι ὁ ἀπολάπτω ἀπό αὐτός τμῆμα ἐπί ὁ αὐτός ὁ ὁ κῶνος κορυφή κῶνος εἰμί · εἰ δέ ἄν ὁ τομή γίγνομαι ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὁ ἀπολάπτω ἀπό ὁ κῶνος σχῆμα ἐπί ὁ αὐτός ὁ ὁ κῶνος κορυφή ἀπότμημα κῶνος καλέω , ὁ δέ ἀπότμαμα βάσις μέν καλέω ὁ ἐπίπεδος ὁ περιλάπτω ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , κορυφή δέ ὁ σαμεῖον , ὅς καί ὁ κῶνος κορυφή , ἄξων δέ ὁ ἀπό ὁ κορυφή ὁ κῶνος ἐπί ὁ κέντρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς . καί εἰ ἄν κύλινδρος δυάω ἐπίπεδος παράλληλος τέμνω συμπίπτω πᾶς ὁ ὁ κύλινδρος πλευρά , ὁ τομή εἰμί ἤτοι κύκλος ἤ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἴσος καί ὅμοιος ἀλλήλων . εἰ μέν οὖν ἄν ὁ τομή κύκλος γίγνομαι , δῆλος ὅτι ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κυλινδρος σχῆμα μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος κύλινδρος εἰμί · εἰ δέ ἄν ὁ τομή γίγνομαι ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὁ ἀπολάπτω ἀπό ὁ κύλινδρος σχῆμα μεταξύ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος τόμος κύλινδρος καλέω , ὁ δέ τόμος βάσις μέν καλέω ὁ ἐπίπεδος ὁ περιλάπτω ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ἄξων δέ ὁ ἐπιζεύγνυμι εὐθύς ὁ κέντρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή · εἰμί δέ οὗτος ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα ὁ ἄξων ὁ κύλινδρος . λῆμμα εἰ ἄν εἰμί μέγεθος ὁσποσαοῦν ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , ᾗ δέ ὁ ὑπεροχή ἴσος ὁ ἐλαχύς , καί ἄλλος μέγεθος ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , πᾶς ὁ μέγεθος , ὅς εἰμί ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , πᾶς μέν ὁ ὁ ἴσος ὑπερέχω ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος , ὁ δέ λοιπός χωρίς ὁ μέγας μέγας ἤ διπλάσιος . ὁ δέ ἀπόδειξις οὗτος φανερός .