archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 19
Τμάματος δοθέντος ὁποτερουοῦν τῶν κωνοειδέων ἀποτετμαμένου ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα ἢ τῶν σφαιροειδέων ὁποτερουοῦν μὴ μείζονος ἡμίσους τοῦ σφαιροειδέος ὁμοίως ἀποτεμνομένου δυνατόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι ἐκ κυλίνδρων ἴσον ὕψος ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφόμενον σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ἐλάσσονι ὑπερέχειν παντὸς τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος . Δεδόσθω τμᾶμα , οἷόν τὸ ΑΒΓ , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ μὲν τμάματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ κώνου τομά , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμακότος τὸ τμᾶμα ἁ ΑΓ εὐθεῖα , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ Βτετμαμένου . Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται τὸ ἀποτέμνον ἐπίπεδον ὀρθὸν εἶμεν ποτὶ τὸν ἄξονα , ἁ τομὰ κύκλος ἐστί , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἁ ΓΑ . Ἀπὸ δὲ τοῦ κύκλου τούτου κύλινδρος ἔστω ἄξονα ἔχων τὰν Β△ · πεσεῖται δὲ ἁ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐκτὸς τοῦ τμάματος , ἐπεί ἐστιν ἤτοι κωνοειδὲς ἢ σφαιροειδὲς μὴ μεῖζον τοῦ ἡμίσεος τοῦ σφαιροειδέος . Τοῦ δὴ κυλίνδρου τούτου ἀεὶ δίχα τεμνομένου ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα ἐσσεῖταί ποτε τὸ καταλειπόμενον ἔλασσον τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος ἔστω δὴ τὸ καταλελειμμένον ἀπ᾿ αὐτοῦ κύλινδρος ὁ ἔχων βάσιν τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Ε△ ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος . Διαιρήσθω δὴ ἁ Β△ ἐς τὰς ἴσας τᾷ Ε△ κατὰ τὰ Ρ , Ο , Π , Ξ , καὶ ἀπὸ τᾶν διαιρέσιων ἄχθων εὐθεῖαι παρὰ τὰν ΑΓ ἔστε ποτὶ τὰν τοῦ κώνου τομάν , ἀπὸ δὲ τᾶν ἀχθεισᾶν ἐπίπεδα ἀνεστακέτω ὀρθὰ ποτὶ τὰν Β△ ἐσσοῦνται δὴ αἱ τομαὶ κύκλοι τὰ κέντρα ἔχοντες ἐπὶ τᾶς Β△ . Ἀφʼ ἑκάστου δὴ τῶν κύκλων δύο κύλινδροι ἀναγεγράφθων ἑκάτερος ἔχων ἄξονα ἴσον τῷ Ε△ , ὁ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ κύκλου , ἐφʼ ἅ ἐστι τὸ △ , ὁ δὲ ἐπὶ τὰ αὐτά , ἐφʼ ἅ ἐστι τὸ Β · ἐσσεῖται δή τι ἐν τῷ τμάματι σχῆμα στερεὸν ἐγγεγραμμένον ἐκ τῶν κυλίνδρων συγκείμενον τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἀναγραφέντων , ἐφʼ ἅ ἐστι τὸ △ , καὶ ἀλλο περιγεγραμμένον συγκείμενον ἐκ τῶν κυλίνδρων τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἀναγραφέντων , ἐφʼ ἃ τὸ Β ἐστίν . Λοιπὸν δέ ἐστι δεῖξαι ὅτι τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμμένου ὑπερέχει ἐλάσσονι τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος . Ἕκαστος δὴ τῶν κυλίνδων τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι ἴσος ἐστὶ τῷ κυλίνδρῳ τῷ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἀναγραφομένῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Β , ὡς ὁ μὲν ΘΗ τῷ Θl , ὁ δὲ ΚΛ τῷ ΚΜ , καὶ οἱ ἄλλοι ὡσαύτως καὶ πάντες δὴ οἱ κύλινδροι πάντεσσιν ἴσοι ἐντί . Δῆλον οὖν ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ὑπερέχει τῷ κυλίνδρῳ τῷ βάσιν ἔχοντι τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Ε△ οὗτος δέ ἐστιν ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος στερεοῦ μεγέθεος .
Lemmas: τμῆμα δίδωμι ὁποτέσρις ὁ κωνοειδής ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων ἤ ὁ σφαιροειδής ὁποτέσρις μή μέγας ἥμισυς ὁ σφαιροειδής ὅμοιος ἀποτέμνω δυνατός εἰμί σχῆμα στερεός ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος ἴσος ὕψος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐλαχύς ὑπερέχω πᾶς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος . δίδωμι τμῆμα , οἷος ὁ ΑΒΓ , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων ὁ μέν τμῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ κῶνος τομή , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ ΑΓ εὐθύς , ἄξων δέ εἰμί ὁ τμῆμα καί διάμετρος ὁ τομή ὁ Βτέμτμημι . ἐπεί οὖν ὑπόκειμαι ὁ ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἄξων , ὁ τομή κύκλος εἰμί , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΓΑ . ἀπό δέ ὁ κύκλος οὗτος κύλινδρος εἰμί ἄξων ἔχω ὁ Β△ · πίπτω δέ ὁ ἐπιφάνεια αὐτός ἐκτός ὁ τμῆμα , ἐπεί εἰμί ἤτοι κωνοειδής ἤ σφαιροειδής μή μέγας ὁ ἥμισυς ὁ σφαιροειδής . ὁ δή κύλινδρος οὗτος ἀεί δίχα τέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων εἰμί ποτέ ὁ καταλείπω ἐλαχύς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος εἰμί δή ὁ καταλείπω ἀπό αὐτός κύλινδρος ὁ ἔχω βάσις ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Ε△ ἐλαχύς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος . διαιρέω δή ὁ Β△ εἰς ὁ ἴσος ὁ Ε△ κατά ὁ Ρ , Ο , Π , Ξ , καί ἀπό ὁ διάιρεσιος ἄγω εὐθύς παρά ὁ ΑΓ ἔστε πρός ὁ ὁ κῶνος τομή , ἀπό δέ ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ Β△ εἰμί δή ὁ τομή κύκλος ὁ κέντρον ἔχω ἐπί ὁ Β△ . ἀπό ἕκαστος δή ὁ κύκλος δύο κύλινδρος ἀναγράφω ἑκάτερος ἔχω ἄξων ἴσος ὁ Ε△ , ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός ὁ κύκλος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ △ , ὁ δέ ἐπί ὁ αὐτός , ἐπί ὅς εἰμί ὁ Β · εἰμί δή τις ἐν ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός ἐγγράφω ἐκ ὁ κύλινδρος σύγκειμαι ὁ ἐπί ὁ αὐτός ἀναγράφω , ἐπί ὅς εἰμί ὁ △ , καί ἀλλο περιγράφω σύγκειμαι ἐκ ὁ κύλινδρος ὁ ἐπί ὁ αὐτός ἀναγράφω , ἐπί ὅς ὁ Β εἰμί . λοιπός δέ εἰμί δείκνυμι ὅτι ὁ περιγράφω ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος . ἕκαστος δή ὁ κυλίνδω ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἴσος εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ ἀπό ὁ αὐτός κύκλος ἀναγράφω ἐπί ὁ αὐτός ὁ Β , ὡς ὁ μέν ΘΗ ὁ Θl , ὁ δέ ΚΛ ὁ ΚΜ , καί ὁ ἄλλος ὡσαύτως καί πᾶς δή ὁ κύλινδρος πᾶς ἴσος εἰμί . δῆλος οὖν ὅτι ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Ε△ οὗτος δέ εἰμί ἐλαχύς ὁ προτίθημι στερεός μέγεθος .