archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 21
Τούτων προγεγραμμένων ἀποδεικνύωμες τὰ προβεβλημένα τῶν σχημάτων . Πᾶν τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος ἀποτετμαμένον ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Ἔστω γὰρ τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος ἀποτετμαμένον ὀρθῷ ἐπιπέδῳ ποτὶ τὸν ἄξονα , καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος τᾶς μὲν ἐπιφανείας τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ ὀρθογωνίου κώνου τομά , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτέμνοντος τὸ τμᾶμα ἁ ΓΑ εὐθεῖα , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος ἁ Β△ , ἔστω δὲ καὶ κῶνος τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχων τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , οὗ κορυφὰ τὸ Β . Δεικτέον ὅτι τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ κώνου τούτου . Ἐκκείσθω γὰρ κῶνος ὁ Ψ ἡμιόλιος ἐὼν τοῦ κώνου , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξων δὲ ἁ Β△ , ἔστω δὲ καὶ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Β△ · ἐσσεῖται οὖν ὁ Ψ κῶνος ἡμίσεος τοῦ κυλίνδρου · λέγω ὅτι τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος ἴσον ἐστὶ τῷ Ψ κώνῳ . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσον , ἤτοι μεῖζόν ἐντι ἢ ἔλασσον . Ἔστω δὴ πρότερον , εἰ δυνατόν , μεῖζον . Ἐγγεγράφθω δὴ σχῆμα στερεὸν εἰς τὸ τμᾶμα , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου , καὶ ἔστω τῶν κυλίνδρων , ἐξ ὧν σύγκειται τὸ περιγραφὲν σχῆμα , μέγιστος μὲν ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Ε△ , ἐλάχιστος δὲ ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΣΤ , ἄξονα δὲ τὰν Βl , τῶν δὲ κυλίνδρων , ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγραφὲν σχῆμα , μέγιστος μὲν ἔστω ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΚΛ , ἄξονα δὲ τὰν △Ε , ἐλάχιστος δὲ ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΣΤ , ἄξονα δὲ τὰν Θl , ἐκβεβλήσθω δὲ τὰ ἐπίπεδα πάντων τῶν κυλίνδρων ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Β△ · ἐσσεῖται δὴ ὁ ὅλος κύλινδρος διῃρημένος εἰς κυλίνδρους τῷ μὲν πλήθει ἴσους τοῖς κυλίνδροις τοῖς ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι , τῷ δὲ μεγέθει ἴσους τῷ μεγίστῳ αὐτῶν . Καὶ ἐπεὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα περὶ τὸ τμᾶμα ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἢ τὸ τμᾶμα τοῦ κώνου , δῆλον ὅτι καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῶ τμάματι μεῖζόν ἐστι τοῦ Ψ κώνου . Ὁ δὴ πρῶτος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν △Ε ποτὶ τὸν πρῶτον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν △Ε τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ △Α ποτὶ τὰν ΚΕ δυνάμει · οὗτος δέ ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΒΕ καὶ τῷ ὃν ἔχει ἁ △Α ποτὶ τὰν ΕΞ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ὁ δεύτερος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν ΕΖ ποτὶ τὸν δεύτερον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμέῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον , ὃν ἁ ΠΕ , τουτέστιν ἁ △Α , ποτὶ τὰν ΖΟ , καὶ τῶν ἄλλων κυλίνδρων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἄξονα ἐχόντων ἴσον τᾷ △Ε ποτὶ ἕκαστον τῶν κυλίνδρων τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι ἄξονα ἐχόντων τὸν αὐτὸν ἕξει τοῦτον τὸν λόγον , ὃν ἁ ἡμίσεια τᾶς διαμέτρου τᾶς βάσιος αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἀπολελαμμέναν ἀπʼ αὐτᾶς μεταξὺ τᾶν ΑΒ , Β△ εὐθειᾶν · καὶ πάντες οὖν οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ κυλίνδρῳ , οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξων δὲ ἁ △Β εὐθεῖα , ποτὶ πάντας τοὺς κυλίνδρους τοὺς ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πᾶσαι αἱ εὐθεῖαι αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων , οἵ ἐντι βάσιες τῶν εἰρημένων κυλίνδρων , ποτὶ πάσας τὰς εὐθείας τὰς ἀπολελαμμένας ἀπʼ αὐτᾶν μεταξὺ τᾶν ΑΒ , Β△ . Αἰ δὲ εἰρημέναι εὐθεῖαι τῶν εἰρημένων χωρὶς τᾶς Α△ μείζονές ἐντι ἢ διπλάσιαι · ὥστε καὶ οἱ κύλινδροι πάντες οἱ ἐν τῷ κυλίνδρῳ , οὗ ἄξων ἁ △Β , μείζονές ἐντι ἢ διπλάσιοι τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος · πολλῷ ἄρα καὶ ὁ ὅλος κύλινδρος , οὗ ἄξων ἁ △Β , μείζων ἐντὶ ἢ διπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος . Τοῦ δὲ Ψ κώνου ἦν διπλασίων · ἔλασσον ἄρα τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ Ψ κώνου ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη γὰρ μεῖζον . Οὐκ ἄρα ἐστὶν μεῖζον τὸ κωνοειδὲς τοῦ Ψ κώνου . Ὁμοίως δὲ οὐδὲ ἔλασσον · πάλιν γὰρ ἐγγεγράφθω τὸ σχῆμα καὶ περιγεγράφθω , ὥστε ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει ὁ Ψ κῶνος τοῦ κωνοειδέος , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω . Ἐπεὶ οὖν ἔλασσόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ τμάματος , καὶ τὸ ἐγγραφὲν τοῦ περιγραφέντος ἐλάσσονι λείπεται ἢ τὸ τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου , δῆλον ὡς ἔλασσόν ἐστι τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ Ψ κώνου . Πάλιν δὲ ὁ πρῶτος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν △Ε ποτὶ τὸν πρῶτον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν τὸν αὐτὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν Ε△ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Α△ τετράγωνον ποτὶ τὸ αὐτό , ὁ δὲ δεύτερος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν ΕΖ ποτὶ τὸν δεύτερον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν ΕΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ △Α ποτὶ τὰν ΚΕ δυνάμει οὗτος δέ ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΒΕ , καὶ τῷ ὃν ἔχει ἁ △Α ποτὶ τὰν ΕΞ καὶ τῶν ἄλλων κυλίνδρων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἄξονα ἐχόντων ἴσον τᾷ △Ε ποτὶ ἕκαστον τῶν κυλίνδρων τῶν ἐν τῷ περιγιγραμμένῳ σχήματι ἄξονα ἐχόντων τὸν αὐτὸν ἕξει τοῦτον τὸν λόγον , ὃν ἁ ἡμίσεια τᾶς διαμέτρου τᾶς βάσιος αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἀπολελαμμέναν ἀπʼ αὐτᾶς μεταξὺ τᾶν ΑΒ , Β△ εὐθειᾶν καὶ πάντες οὖν οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ , οὗ ἄξων ἐστὶν ἁ Β△ εὐθεῖα , ποτὶ πάντας τοὺς κυλίνδρους τοὺς ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πᾶσαι αἱ εὐθεῖαι ποτὶ πάσας τὰς εὐθείας . Αἱ δὲ εὐθεῖαι πᾶσαι αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων , οἳ βάσιές ἐντι τῶν κυλίνδρων , τᾶν εὐθειᾶν πασᾶν τᾶν ἀπολελαμμενᾶν ἀπʼ αὐτᾶν σὺν τᾷ Α△ ἐλάσσονές ἐντι ἢ διπλάσιαι · δῆλον οὖν ὅτι καὶ οἱ κύλινδροι πάντες οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἐλάσσονές ἐντι ἢ διπλάσιοι τῶν κυλίνδρων τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι · ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Β△ , ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασίων τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος . Οὐκ ἔστι δέ , ἀλλὰ μείζων ἢ διπλάσιος τοῦ γὰρ Ψ κώνου διπλασίων ἐστί , τὸ δὲ περιγεγραμμένον σχῆμα ἔλαττον ἐδείχθη τοῦ Ψ κώνου . Οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἔλασσον τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ μεῖζον ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶν τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν .
Lemmas: οὗτος προγράφω ἀποδείκνυμι ὁ προβάλλω ὁ σχῆμα . πᾶς τμῆμα ὀρθογώνιον κωνοειδής ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων ἡμιόλιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . εἰμί γάρ τμῆμα ὀρθογώνιον κωνοειδής ἀποτέμνω ὀρθός ἐπίπεδος πρός ὁ ἄξων , καί τέμνω αὐτός ἐπίπεδος ἄλλος διά ὁ ἄξων ὁ μέν ἐπιφάνεια τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ ΓΑ εὐθύς , ἄξων δέ εἰμί ὁ τμῆμα ὁ Β△ , εἰμί δέ καί κῶνος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , ὅς κορυφή ὁ Β . δείκνυμι ὅτι ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής ἡμιόλιος εἰμί ὁ κῶνος οὗτος . ἔκκειμαι γάρ κῶνος ὁ Ψ ἡμιόλιος εἰμί ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ , εἰμί δέ καί κύλινδρος βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ · εἰμί οὖν ὁ Ψ κῶνος ἥμισυς ὁ κύλινδρος · λέγω ὅτι ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής ἴσος εἰμί ὁ Ψ κῶνος . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , ἤτοι μέγας εἰμί ἤ ἐλαχύς . εἰμί δή πρότερος , εἰ δυνατός , μέγας . ἐγγράφω δή σχῆμα στερεός εἰς ὁ τμῆμα , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος , καί εἰμί ὁ κύλινδρος , ἐκ ὅς σύγκειμαι ὁ περιγράφω σχῆμα , μέγας μέν ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Ε△ , ἐλαχύς δέ ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΣΤ , ἄξων δέ ὁ Βl , ὁ δέ κύλινδρος , ἐκ ὅς σύγκειμαι ὁ ἐγγράφω σχῆμα , μέγας μέν εἰμί ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ , ἄξων δέ ὁ △Ε , ἐλαχύς δέ ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΣΤ , ἄξων δέ ὁ Θl , ἐκβάλλω δέ ὁ ἐπίπεδος πᾶς ὁ κύλινδρος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ · εἰμί δή ὁ ὅλος κύλινδρος διαιρέω εἰς κύλινδρος ὁ μέν πλῆθος ἴσος ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα , ὁ δέ μέγεθος ἴσος ὁ μέγας αὐτός . καί ἐπεί ὁ περιγράφω σχῆμα περί ὁ τμῆμα ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἤ ὁ τμῆμα ὁ κῶνος , δῆλος ὅτι καί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ τμῆμα μέγας εἰμί ὁ Ψ κῶνος . ὁ δή πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε πρός ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ △Α πρός ὁ ΚΕ δύναμις · οὗτος δέ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὅς ἔχω ὁ Β△ πρός ὁ ΒΕ καί ὁ ὅς ἔχω ὁ △Α πρός ὁ ΕΞ . ὅμοιος δέ δείκνυμι καί ὁ δεύτερος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΕΖ πρός ὁ δεύτερος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγεγραμμε͂ος σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΠΕ , τουτέστι ὁ △Α , πρός ὁ ΖΟ , καί ὁ ἄλλος κύλινδρος ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἄξων ἔχω ἴσος ὁ △Ε πρός ἕκαστος ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἄξων ἔχω ὁ αὐτός ἔχω οὗτος ὁ λόγος , ὅς ὁ ἥμισυς ὁ διάμετρος ὁ βάσις αὐτός πρός ὁ ἀπολαμβάνω ἀπό αὐτός μεταξύ ὁ ΑΒ , Β△ εὐθεῖα · καί πᾶς οὖν ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ κύλινδρος , ὅς βάσις μέν εἰμί ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ △Β εὐθύς , πρός πᾶς ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ εὐθεῖα ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ λέγω κύλινδρος , πρός πᾶς ὁ εὐθεῖα ὁ ἀπολάπτω ἀπό αὐτός μεταξύ ὁ ΑΒ , Β△ . ὁ δέ λέγω εὐθύς ὁ λέγω χωρίς ὁ Α△ μέγας εἰμί ἤ διπλάσιος · ὥστε καί ὁ κύλινδρος πᾶς ὁ ἐν ὁ κύλινδρος , ὅς ἄξων ὁ △Β , μέγας εἰμί ἤ διπλάσιος ὁ ἐγγράφω σχῆμα · πολύς ἄρα καί ὁ ὅλος κύλινδρος , ὅς ἄξων ὁ △Β , μέγας εἰμί ἤ διπλασίων ὁ ἐγγράφω σχῆμα . ὁ δέ Ψ κῶνος εἰμί διπλασίων · ἐλαχύς ἄρα ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ Ψ κῶνος ὅς ἀδύνατος δείκνυμι γάρ μέγας . οὐ ἄρα εἰμί μέγας ὁ κωνοειδής ὁ Ψ κῶνος . ὅμοιος δέ οὐδέ ἐλαχύς · πάλιν γάρ ἐγγράφω ὁ σχῆμα καί περιγράφω , ὥστε ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ Ψ κῶνος ὁ κωνοειδής , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός ὁ πρότερος κατασκευάζω . ἐπεί οὖν ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ τμῆμα , καί ὁ ἐγγράφω ὁ περιγράφω ἐλαχύς λείπω ἤ ὁ τμῆμα ὁ Ψ κῶνος , δῆλος ὡς ἐλαχύς εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ Ψ κῶνος . πάλιν δέ ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε πρός ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ὁ αὐτός ἔχω ἄξων ὁ Ε△ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ Α△ τετράγωνος πρός ὁ αὐτός , ὁ δέ δεύτερος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΕΖ πρός ὁ δεύτερος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΕΖ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ △Α πρός ὁ ΚΕ δύναμις οὗτος δέ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὅς ἔχω ὁ Β△ πρός ὁ ΒΕ , καί ὁ ὅς ἔχω ὁ △Α πρός ὁ ΕΞ καί ὁ ἄλλος κύλινδρος ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἄξων ἔχω ἴσος ὁ △Ε πρός ἕκαστος ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ριγιγραμ́ω σχῆμα ἄξων ἔχω ὁ αὐτός ἔχω οὗτος ὁ λόγος , ὅς ὁ ἡμίσεια ὁ διάμετρος ὁ βάσις αὐτός πρός ὁ ἀπολαμβάνω ἀπό αὐτός μεταξύ ὁ ΑΒ , Β△ εὐθεῖα καί πᾶς οὖν ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος , ὅς ἄξων εἰμί ὁ Β△ εὐθύς , πρός πᾶς ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ εὐθεῖα πρός πᾶς ὁ εὐθεῖα . ὁ δέ εὐθύς πᾶς ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ὅς βάσις εἰμί ὁ κύλινδρος , ὁ εὐθύς πᾶς ὁ ἀπολάπτω ἀπό αὐτός σύν ὁ Α△ ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος · δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ κύλινδρος πᾶς ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλάσιος ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα · ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ , ἐλαχύς εἰμί ἤ διπλασίων ὁ περιγράφω σχῆμα . οὐ εἰμί δέ , ἀλλά μέγας ἤ διπλάσιος ὁ γάρ Ψ κῶνος διπλασίων εἰμί , ὁ δέ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς δείκνυμι ὁ Ψ κῶνος . οὐ ἄρα εἰμί οὐδέ ἐλαχύς ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . δείκνυμι δέ ὅτι οὐδέ μέγας ἡμιόλιος ἄρα εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός .