archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 1
Εἴ κα μεγέθεα ὁποσαοῦν τῷ πλήθει ἄλλοις μεγέθεσιν ἴσοις τῷ πλήθει κατὰ δύο τὸν αὐτὸν λόγον ἔχωντι τὰ ὁμοίως τεταγμένα , λέγηται δὲ τά τε πρῶτα μεγέθεα ποτʼ ἄλλα μεγέθεα ἢ πάντα ἤ τινα αὐτῶν ἐν λόγοις ὁποιοισοῦν , καὶ τὰ ὕστερον ποτʼ ἄλλα μεγέθεα τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις , πάντα τὰ πρῶτα μεγέθεα ποτὶ πάντα , ἃ λέγονται , τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν ἔχοντι πάντα τὰ ὕστερον μεγέθεα ποτὶ πάντα , ἃ λέγονται . Ἔστω τινὰ μεγέθεα τὰ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ ἄλλοις μεγέθεσιν ἴσοις τῷ πλήθει τοῖς Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ κατὰ δύο τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον , καὶ ἐχέτω τὸ μὲν Α ποτὶ τὸ Β τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ Η ποτὶ τὸ Θ , τὸ δὲ Β ποτὶ τὸ Γ , ὃν τὸ Θ ποτὶ τὸ Ι , καὶ τὰ ἄλλα ὁμοίως τούτοις , λεγέσθω δὲ τὰ μὲν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ μεγέθεα ποτʼ ἄλλα μεγέθεα τὰ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ ἐν λόγοις ὁποιοισοῦν , τὰ δὲ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ ποτʼ ἄλλα τὰ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις , καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον τὸ Α ποτὶ τὸ Ν , τὸ Η ἐχέτω ποτὶ τὸ Τ , ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ Β ποτὶ τὸ Ξ , τὸ Θ ἐχέτω ποτὶ τὸ Υ , καὶ τὰ ἄλλα ὁμοίως τούτοις · δεικτέον ὅτι πάντα τὰ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ ποτὶ πάντα τὰ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον , ὃν πάντα τὰ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ ποτὶ πάντα τὰ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω . Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν Ν ποτὶ τὸ Α τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ Τ ποτὶ τὸ Η , τὸ δὲ Α ποτὶ τὸ Β , ὃν τὸ Η ποτὶ τὸ Θ , τὸ δὲ Β ποτὶ τὸ Ξ , ὃν τὸ Θ ποτὶ τὸ Υ , τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὸ Ν ποτὶ τὸ Ξ , ὃν τὸ Τ ποτὶ τὸ Υ · διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τὸ Ξ ποτὶ τὸ Ο , ὃν τὸ Υ ποτὶ τὸ Φ , καὶ τούτοις τὰ ἄλλα ὁμοίως . Ἔχοντι δὴ τὰ μὲν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ πάντα ποτὶ τὸ Α τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἔχοντι τὰ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ πάντα ποτὶ τὸ Η , τὸ δὲ Α ποτὶ τὸ Ν , ὃν τὸ Η ποτὶ τὸ Τ , τὸ δὲ Ν ποτὶ πάντα τὰ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ Τ ποτὶ πάντα τὰ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω · δῆλον οὖν , ὅτι πάντα τὰ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ ποτὶ πάντα τὰ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον , ὃν πάντα τὰ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ ποτὶ πάντα τὰ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω . Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ εἴ κα τῶν τε Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ μεγεθέων τὰ μὲν Α , Β , Γ , △ , Ε λέγωνται ποτὶ τὰ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , τὸ δὲ Ζ μηδὲ ποθ᾿ ἓν λέγηται , καὶ τῶν Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ τὰ μὲν Η , Θ , Ι , Κ , Λ λέγωνται ποτὶ τὰ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , τὰ ὁμοῖα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις , τὸ δὲ Μ μηδὲ ποθʼ ἓν λέγηται , ὁμοίως πάντα τὰ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ ποτὶ πάντα τὰ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πάντα τὰ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ ποτὶ πάντα τὰ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ .
Lemmas: εἰ ἄν μέγεθος ὁσποσσαοῦν ὁ πλῆθος ἄλλος μέγεθος ἴσος ὁ πλῆθος κατά δύο ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ ὅμοιος τάσσω , λέγω δέ ὁ τε πρῶτος μέγεθος ποτέ ἄλλος μέγεθος ἤ πᾶς ἤ τις αὐτός ἐν λόγος ὅποιοις , καί ὁ ὕστερον ποτέ ἄλλος μέγεθος ὁ ὁμόλογος ἐν ὁ αὐτός λόγος , πᾶς ὁ πρῶτος μέγεθος πρός πᾶς , ὅς λέγω , ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ἔχω πᾶς ὁ ὕστερον μέγεθος πρός πᾶς , ὅς λέγω . εἰμί τις μέγεθος ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ ἄλλος μέγεθος ἴσος ὁ πλῆθος ὁ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ κατά δύο ὁ αὐτός ἔχω λόγος , καί ἔχω ὁ μέν Α πρός ὁ Β ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Η πρός ὁ Θ , ὁ δέ Β πρός ὁ Γ , ὅς ὁ Θ πρός ὁ Ι , καί ὁ ἄλλος ὅμοιος οὗτος , λέγω δέ ὁ μέν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ μέγεθος ποτέ ἄλλος μέγεθος ὁ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ ἐν λόγος ὅποιοις , ὁ δέ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ ποτέ ἄλλος ὁ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω ὁ ὁμόλογος ἐν ὁ αὐτός λόγος , καί ὅς μέν ἔχω λόγος ὁ Α πρός ὁ Ν , ὁ Η ἔχω πρός ὁ Τ , ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ Β πρός ὁ Ξ , ὁ Θ ἔχω πρός ὁ Υ , καί ὁ ἄλλος ὅμοιος οὗτος · δείκνυμι ὅτι πᾶς ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ πρός πᾶς ὁ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ πρός πᾶς ὁ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω . ἐπεί γάρ ὁ μέν Ν πρός ὁ Α ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Τ πρός ὁ Η , ὁ δέ Α πρός ὁ Β , ὅς ὁ Η πρός ὁ Θ , ὁ δέ Β πρός ὁ Ξ , ὅς ὁ Θ πρός ὁ Υ , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ Ν πρός ὁ Ξ , ὅς ὁ Τ πρός ὁ Υ · διά ὁ αὐτός δέ καί ὁ Ξ πρός ὁ Ο , ὅς ὁ Υ πρός ὁ Φ , καί οὗτος ὁ ἄλλος ὅμοιος . ἔχω δή ὁ μέν Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ πᾶς πρός ὁ Α ὁ αὐτός λόγος , ὅς ἔχω ὁ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ πᾶς πρός ὁ Η , ὁ δέ Α πρός ὁ Ν , ὅς ὁ Η πρός ὁ Τ , ὁ δέ Ν πρός πᾶς ὁ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Τ πρός πᾶς ὁ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω · δῆλος οὖν , ὅτι πᾶς ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ πρός πᾶς ὁ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , Σ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ πρός πᾶς ὁ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , Ω . φανερός δέ ὅτι καί εἰ ἄν ὁ τε Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ μέγεθος ὁ μέν Α , Β , Γ , △ , Ε λέγω πρός ὁ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ , ὁ δέ Ζ μηδέ ποτέ εἷς λέγω , καί ὁ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ ὁ μέν Η , Θ , Ι , Κ , Λ λέγω πρός ὁ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ , ὁ ὅμοιος ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὁ δέ Μ μηδέ ποτέ εἷς λέγω , ὅμοιος πᾶς ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ πρός πᾶς ὁ Ν , Ξ , Ο , Π , Ρ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ πρός πᾶς ὁ Τ , Υ , Φ , Χ , Ψ .