archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 4
Πᾶν χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ποτὶ τὸν κύκλον τὸν ἔχοντα τὰν διάμετρον ἴσαν τᾷ μείζονι διαμέτρῳ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ἐλάσσων διάμετρος αὐτᾶς ποτὶ τὰν μείζω ἢ ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου διάμετρον . Ἔστω γὰρ ὀξυγωνίου κώνου τομά , ἐφʼ ἇς τὰ Α , Β , Γ , △ , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ μὲν μείζων ἔστω , ἐφʼ ἇς τὰ Α , Γ , ἁ δὲ ἐλάσσων , ἐφʼ ἇς τὰ Β , △ , ἔστω δὲ κύκλος περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ · δεικτέον ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ποτὶ τὸν κύκλον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΓΑ , τουτέστι τὰν ΕΖ . Ὃν δὴ λόγον ἔχει ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΕΖ , τοῦτον ἐχέτω ὁ κύκλος , ἐν ᾧ τὸ Ψ , ποτὶ τὸν ΑΕΓΖ κύκλον · λέγω ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ψ κύκλος τᾷ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσος ὁ Ψ κύκλος τῷ περιεχομένῳ χωρίῳ ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς , ἔστω πρῶτον , εἰ δυνατόν , μείζων . Δυνατὸν δή ἐστιν εἰς τὸν Ψ κύκλον πολύγωνον ἐγγράψαι ἀρτιόγωνον μεῖζον τοῦ ΑΒΓ△ χωρίου . Νοείσθω δὴ ἐγγεγραμμένον , ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εἰς τὸν ΑΕΓΖ κύκλον εὐθύγραμμον ὁμοῖον τῷ ἐν τῷ Ψ κύκλῳ ἐγγεγραμμένῳ , καὶ ἀπὸ τᾶν γωνιᾶν αὐτοῦ κάθετοι ἄχθωσαν ἐπὶ τὰν ΑΓ διάμετρον , ἐπὶ δὲ τὰ σαμεῖαι καθʼ ἃ τέμνοντι αἱ κάθετοι τὰν τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομάν , εὐθεῖαι ἐπεζεύχθωσαν · ἐσσεῖται δή τι ἐν τᾷ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ ἐγγεγραμμένον εὐθύγραμμον , καὶ ἕξει αὐτὸ ποτὶ τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ ΑΕΓΖ κύκλῳ ἐγγεγραμμένον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΕΖ . Ἐπεὶ γὰρ αἱ ΕΘ , ΚΛ κάθετοι εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τέτμηνται κατὰ τὰ Μ , Β , δῆλον ὅτι τὸ ΛΕ τραπέζιον ποτὶ τὸ ΘΜ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ΘΕ ποτὶ τὰν ΒΘ . Διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ τῶν ἄλλων τραπεζίων ἕκαστον τῶν ἐν τῷ κύκλῳ ποθʼ ἕκαστον τῶν τραπεζίων τῶν ἐν τᾷ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ ΕΘ ποτὶ τὰν ΒΘ . Ἔχοντι δὲ καὶ τὰ τρίγωνα τὰ ποτὶ τοῖς Α , Γ τὰ ἐν τῷ κύκλῳ ποτὶ τὰ ἐν τᾷ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ τοῦτον τὸν λόγον ἕξει οὖν καὶ ὅλον τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ ΑΕΓΖ κύκλῳ ἐγγεγραμμένον ποτὶ ὅλον τὸ ἐγγεγραμμένον εὐθύγραμμον ἐν τᾷ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ ΕΖ ποτὶ τὰν ΒΔ . Ἔχει δὲ τὸ αὐτὸ εὐθύγραμμον καὶ ποτὶ τὸ ἐν τῷ Ψ κύκλῳ ἐγγεγραμμένον τοῦτον τὸν λόγον , διότι καὶ οἱ κύκλοι τοῦτον εἶχον τὸν λόγον ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῷ Ψ κύκλῳ ἐγγεγραμμένον τῷ εὐθυγράμμῳ τῷ ἐν τᾷ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ ἐγγεγραμμένῳ ὅπερ ἀδύνατον μεῖζον γὰρ ἦν ὅλου τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου τομᾶς . Ἀλλʼ ἔστω , εἰ δυνατόν , ἐλάσσων . Πάλιν δὴ δυνατὸν εἰς τὰν τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰν ἐγγράψαι πολύγωνον ἀρτιόπλευρον μεῖζον τοῦ Ψ κύκλου . Ἐγγεγράφθω οὖν , καὶ ἀπὸ τᾶν γωνιᾶν αὐτοῦ κάθετοι ἀχθεῖσαι ἐπὶ τὰν ΑΓ ἐκβεβλήσθωσαν ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πάλιν οὖν ἐσσεῖταί τι ἐν τῷ ΑΕ κύκλῳ εὐθύγραμμον ἐγγεγραμμένον , ὃ ἕξει ποτὶ τὸ ἐν τᾷ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ ἐγγεγραμμένον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ ΕΖ ποτὶ τὰν Β△ . Ἐγγραφέντος δὴ καὶ εἰς τὸν Ψ κύκλον ὁμοίου αὐτῷ δειχθήσεται τὸ ἐν τῷ Ψ κύκλῳ ἐγγεγραμμένον ἴσον ἐὸν τῷ ἐν τᾷ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾷ ἐγγεγραμμένῳ ὅπερ ἀδύνατον οὐκ ἔστιν οὖν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Ψ κύκλος τοῦ χωρίου τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς , Δῆλον οὖν ὅτι τὸ εἰρημένον χωρίον ποτὶ τὸν ΑΕΓΖ κύκλον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΕΖ .
Lemmas: πᾶς χωρίον ὁ περιέχω ὑπό ὀξυγώνιος κῶνος τομή πρός ὁ κύκλος ὁ ἔχω ὁ διάμετρος ἴσος ὁ μέγας διάμετρος ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ἐλαχύς διάμετρος αὐτός πρός ὁ μέγας ἤ πρός ὁ ὁ κύκλος διάμετρος . εἰμί γάρ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ἐπί ὅς ὁ Α , Β , Γ , △ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ μέν μέγας εἰμί , ἐπί ὅς ὁ Α , Γ , ὁ δέ ἐλαχύς , ἐπί ὅς ὁ Β , △ , εἰμί δέ κύκλος περί διάμετρος ὁ ΑΓ · δείκνυμι ὅτι ὁ περιέχω χωρίον ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή πρός ὁ κύκλος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Β△ πρός ὁ ΓΑ , τουτέστι ὁ ΕΖ . ὅς δή λόγος ἔχω ὁ Β△ πρός ὁ ΕΖ , οὗτος ἔχω ὁ κύκλος , ἐν ὅς ὁ Ψ , πρός ὁ ΑΕΓΖ κύκλος · λέγω ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Ψ κύκλος ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος ὁ Ψ κύκλος ὁ περιέχω χωρίον ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , εἰμί πρῶτος , εἰ δυνατός , μέγας . δυνατός δή εἰμί εἰς ὁ Ψ κύκλος πολύγωνος ἐγγράφω ἀρτιόγωνος μέγας ὁ ΑΒΓ△ χωρίον . νοέω δή ἐγγράφω , ἐγγράφω δέ καί εἰς ὁ ΑΕΓΖ κύκλος εὐθύγραμμος ὅμοιος ὁ ἐν ὁ Ψ κύκλος ἐγγράφω , καί ἀπό ὁ γωνία αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΓ διάμετρος , ἐπί δέ ὁ σαμεῖαι κατά ὅς τέμνω ὁ κάθετος ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , εὐθύς ἐπιζεύγνυμι · εἰμί δή τις ἐν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐγγράφω εὐθύγραμμος , καί ἔχω αὐτός πρός ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ ΑΕΓΖ κύκλος ἐγγράφω ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Β△ πρός ὁ ΕΖ . ἐπεί γάρ ὁ ΕΘ , ΚΛ κάθετος εἰς ὁ αὐτός λόγος τέμνω κατά ὁ Μ , Β , δῆλος ὅτι ὁ ΛΕ τραπέζιον πρός ὁ ΘΜ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ΘΕ πρός ὁ ΒΘ . διά αὐτός δέ καί ὁ ἄλλος τραπέζιον ἕκαστος ὁ ἐν ὁ κύκλος ποτέ ἕκαστος ὁ τραπέζιον ὁ ἐν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ΕΘ πρός ὁ ΒΘ . ἔχω δέ καί ὁ τρίγωνος ὁ πρός ὁ Α , Γ ὁ ἐν ὁ κύκλος πρός ὁ ἐν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή οὗτος ὁ λόγος ἔχω οὖν καί ὅλος ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ ΑΕΓΖ κύκλος ἐγγράφω πρός ὅλος ὁ ἐγγράφω εὐθύγραμμος ἐν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ΕΖ πρός ὁ ΒΔ . ἔχω δέ ὁ αὐτός εὐθύγραμμος καί πρός ὁ ἐν ὁ Ψ κύκλος ἐγγράφω οὗτος ὁ λόγος , διότι καί ὁ κύκλος οὗτος ἔχω ὁ λόγος ἴσος ἄρα εἰμί ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ Ψ κύκλος ἐγγράφω ὁ εὐθύγραμμος ὁ ἐν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐγγράφω ὅς ἀδύνατος μέγας γάρ εἰμί ὅλος ὁ περιέχω χωρίον ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος τομή . ἀλλά εἰμί , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . πάλιν δή δυνατός εἰς ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐγγράφω πολύγωνον ἀρτιόπλευρος μέγας ὁ Ψ κύκλος . ἐγγράφω οὖν , καί ἀπό ὁ γωνία αὐτός κάθετος ἄγω ἐπί ὁ ΑΓ ἐκβάλλω πρός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια πάλιν οὖν εἰμί τις ἐν ὁ ΑΕ κύκλος εὐθύγραμμος ἐγγράφω , ὅς ἔχω πρός ὁ ἐν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐγγράφω ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ΕΖ πρός ὁ Β△ . ἐγγράφω δή καί εἰς ὁ Ψ κύκλος ὅμοιος αὐτός δείκνυμι ὁ ἐν ὁ Ψ κύκλος ἐγγράφω ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐγγράφω ὅς ἀδύνατος οὐ εἰμί οὖν οὐδέ ἐλαχύς ὁ Ψ κύκλος ὁ χωρίον ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , Δῆλος οὖν ὅτι ὁ λέγω χωρίον πρός ὁ ΑΕΓΖ κύκλος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Β△ πρός ὁ ΕΖ .