archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 28
Παντὸς σχήματος σφαιροειδέος ἐπιπέδῳ τμαθέντος μὴ διὰ τοῦ κέντρου ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα τὸ ἔλαττον τμᾶμα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν συναμφότερα τό τε ἡμίσεον τοῦ ἄξονος τοῦ σφαιροειδέος καὶ ὁ ἄξων τοῦ μείζονος τμάματος ποτὶ τὸν ἄξονα τὸν τοῦ μείζονος τμάματος . Ἔστω γάρ τι τμᾶμα σφαιροειδέος σχήματος ἀποτετμαμένον ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα μὴ διὰ τοῦ κέντρου , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ τᾶς τομᾶς καὶ ἄξων τοῦ σφαιροειδέος ἔστω ἁ ΒΖ , κέντρον δὲ τὸ Θ , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτέμνοντος τὸ τμᾶμα τομὰ ἔστω ἁ ΑΓ εὐθεῖα · ποιήσει δὲ αὕτα ὀρθὰς γωνιάς ποτὶ τὰν ΒΖ , ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον ὀρθὸν εἶμεν ποτὶ τὸν ἄξονα ὑπέκειτο · ἔστω δὲ τὸ τμᾶμα τὸ ἀποτετμαμένον , οὗ κορυφὰ τὸ Β σαμεῖον , ἔλασσον ἢ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος σχήματος , καὶ τᾷ ΒΘ ἴσα ἔστω ἁ ΖΗ . Δεικτέον ὅτι τὸ τμᾶμα , οὗ κορυφὰ τὸ Β σαμεῖον , ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ △Η ποτὶ τὰν △Ζ . Ἔστω δὴ κύλινδρος τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχων τῷ ἐλάσσονι τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , ἔστω δὲ καὶ κῶνος , ἐν ᾧ τὸ Ψ , ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τοῦτον ἔχων τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ △Η ποτὶ τὰν △Ζ · φαμὶ δὴ τὸν Ψ κῶνον ἴσον εἶμεν τῷ τμάματι τῷ κορυφὰν ἔχοντι τὸ Β σαμεῖον . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσος , ἔστω πρῶτον , εἰ δυνατόν , ἐλάσσων . Ἐνέγραψα δὴ εἰς τὸ τμᾶμα σχῆμα στερεὸν καὶ ἄλλο περιέγραψα ἐκ κυλίνδρων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ μεῖζόν ἐστι τὸ τοῦ σφαιροειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Ἐπεὶ οὖν μεῖζον ἐὸν τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ τμάματος ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ ἐγγεγραμμένου ἢ τὸ τμᾶμα τοῦ κώνου , δῆλον ὅτι μεῖζόν ἐστι καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ Ψ κώνου . Ἔστω δὴ τρίτον μέρος τᾶς Β△ ἁ ΒΡ . Ἐπεὶ οὖν ἁ μὲν ΒΗ τριπλασία ἐστὶν τᾶς ΒΘ , ἁ δὲ Β△ τᾶς ΒΡ , δῆλον ὅτι τριπλασία ἐστὶν ἁ △Η τᾶς ΘΡ · ἔχει δὴ ὁ μὲν κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὰν Β△ ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ △Η ποτὶ τὰν ΘΡ . Ὁ δὲ κῶνος ὁ εἰρημένος ποτὶ τὸν Ψ κῶνον τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει , ὃν ἁ △Ζ ποτὶ τὰν △Η · ἕξει οὖν ἀνομοίως τῶν λόγων τεταγμένων ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ποτὶ τὸν Ψ κῶνον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ △Ζ ποτὶ τὰν ΘΡ . Ἔστων δὴ γραμμαὶ κείμεναι , ἐφʼ ἇν τὰ Ξ , Ν , τῷ μὲν πλήθει ἴσαι τοῖς τμαμάτεσσιν τοῖς τᾶς Β△ , τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ Ζ△ , ἔστω δὲ καὶ τᾶν ΞΟ ἑκάστα ἴσα τᾷ Β△ τᾶν οὖν ΝΟ ἑκάστα διπλασία ἐσσεῖται τᾶς Θ△ . Παραπεπτωκέτω δὴ παῤ ἑκάσταν αὐτᾶν χωρίον τι πλάτος ἔχον ἴσον τᾷ Β△ , ὥστε εἶμεν ἕκαστον τῶν ἐχόντων τὰς διαμέτρους τετράγωνον . Ἀφαιρήσθω δὴ ἀπὸ μὲν τοῦ πρώτου γνώμων πλάτος ἔχων ἴσον τᾷ ΒΕ , ἀπὸ δὲ τοῦ δευτέρου πλάτος ἔχων ἴσον τᾷ ΒΧ , καὶ ἀφʼ ἑκάστου τὸν αὐτὸν τρόπον εἷς ἀπὸ τοῦ ἑπομένου χωρίου γνώμων ἀφαιρήσθω πλάτος ἔχων ἑνὶ τμάματι ἔλασσον τοῦ πλάτεος τοῦ πρὸ αὐτοῦ γνώμονος ἀφαιρημένου · ἐσσεῖται δὴ ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ πρώτου χωρίου γνώμων ἀφαιρημένος ἴσος τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , ΕΖ , καὶ τὸ λοιπὸν χωρίον παραπεπτωκὸς παρὰ τὰν ΝΟ ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ τὰν τοῦ ὑπερβλήματος πλευρὰν ἔχον ἴσαν τᾷ △Ε , ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ δευτέρου χωρίου γνώμων ἀφαιρημένος ἴσος τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν ΖΧ , ΧΒ , καὶ τὸ λοιπὸν χωρίον παρὰ τὰν ΝΟ παραπεπτωκὸς ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως τούτοις ἑξοῦντι . Διάχθω δὲ τὰ ἐπίπεδα πάντων τῶν κυλίνδρων , ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ τμάματι , ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν · ἐσσεῖται δὴ ὁ ὅλος κύλινδρος διαιρημένος εἰς κυλίνδρους τῷ μὲν πλήθει ἴσους τοῖς ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι , τῷ δὲ μεγέθει ἴσους τῷ μεγίστῳ αὐτῶν , Ὁ δὴ πρῶτος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν △Ε ποτὶ τὸν πρῶτον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν △Ε τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς △Γ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΕ . Οὗτος δέ ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τᾶν Β△ , △Ζ περιεχόμενον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , ΕΖ · ἔχει οὖν ὁ κύλινδρος ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ πρῶτον χωρίον ποτὶ τὸν γνώμονα τὸν ἀπʼ αὐτοῦ ἀφαιρημένον · ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἄλλων κυλίνδρων τῶν ἐν τῶ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἕκαστος ἄξονα ἔχων τὰν ἴσαν τᾷ △Ε ποτὶ τὸν κατʼ αὐτὸν κύλινδρον τὸν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι ἄξονα ἔχοντα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν τὸ ὁμοίως τεταγμένον αὐτῷ χωρίον ποτὶ τὸν γνώμονα τὸν ἀπʼ αὐτοῦ ἀφαιρημένον , Ἐντὶ οὖν μεγέθεά τινα οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ καὶ ἄλλα μεγέθεα τὰ χωρία τὰ παρὰ τὰν ΞΝ παραπεπτωκότα πλάτος ἔχοντα τὰν ἴσαν τᾷ Β△ , τῷ δὲ πλήθει ἴσα τοῖς κυλίνδροις καὶ κατὰ δύο τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον , λέγονται δὲ οἵ τε κύλινδροι ποτʼ ἄλλους κυλίνδρους τοὺς ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι , ὁ δὲ ἔσχατος οὐδὲ ποθʼ ἓν λέγεται , καὶ τὰ χωρία ποτʼ ἄλλα χωρία , τοὺς ἀπʼ αὐτῶν ἀφαιρημένους , τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις , τὸ δὲ ἔσχατον χωρίον οὐδὲ ποθ᾿ ἓν λέγεται · δῆλον οὖν ὅτι καὶ πάντες οἱ κύλινδροι ποτὶ πάντας τοὺς ἑτέρους τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πάντα τὰ χωρία ποτὶ πάντας τοὺς γνώμονας ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ποτὶ τὸ σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ τμάματι τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον , ὃν πάντα τὰ χωρία ποτὶ πάντας τοὺς γνώμονας . Καὶ ἐπεί ἐντί τινες γραμμαὶ ἴσαι κείμεναι , ἐφʼ ἆν τὰ Ν , Ο , καὶ παῤ ἑκάσταν παραπέπτωκέν τι χωρίον ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ , αἱ δὲ πλευραὶ τῶν ὑπερβλημάτων τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχοντι , καὶ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα ἐστὶ τᾷ ἐλαχίστᾳ , καὶ ἄλλα ἐντὶ χωρία παρὰ τὰν ΞΝ παραπεπτωκότα , πλάτος δὲ ἔχοντα τὰς ἴσας τᾷ Β△ , τῷ μὲν πλήθει ἴσα τούτοις , τῷ δὲ μεγέθει ἕκαστον ἴσον τῷ μεγίστῳ , δῆλον ὡς σύμπαντα τὰ χωρία , ὧν ἐστιν ἕκαστον ἴσον τῷ μεγίστῳ , ποτὶ πάντα τὰ ἕτερα χωρία ἐλάσσω λόγον ἔχοντι τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΞΝ ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέρᾳ τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς ΝΟ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τᾶς ΞΟ . Φανερὸν οὖν ὅτι τὰ αὐτὰ χωρία ποτὶ πάντας τοὺς γνώμονας μείζονα λόγον ἑξοῦντι τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΞΝ ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέραις τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς ΝΟ καὶ δυοῖς τριταμορίοις τᾶς ΞΟ · ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ποτὶ τὸ σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ τμάματι μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΞΝ ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέραις τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς ΝΟ καὶ δυοῖς τριταμορίοις τᾶς ΞΟ . Ἔστιν δὲ τᾷ μὲν ΞΝ ἴσα ἁ △Ζ , τᾷ δὲ ἡμισέᾳ τᾶς ΝΟ ἁ △Θ , τὰ δὲ δύο τριταμόρια τᾶς ΞΟ ἁ △Ρ · ὅλος ἄρα ὁ κύλινδρος ποτὶ τὸ σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ τμάματι μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν ἔχει ἁ △Ζ ποτὶ τὰν ΘΡ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ △Ζ ποτὶ τὰν ΘΡ , τοῦτον ἐδείχθη ἔχων ὁ αὐτὸς κύλινδρος ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · μείζονα οὖν ἕξει λόγον ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Ψ κῶνον ὅπερ ἀδύνατον · ἐδείχθη γὰρ μεῖζον ἐὸν τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ Ψ κώνου . Οὐκ ἄρα ἐστὶ μεῖζον τὸ τοῦ σφαιροειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Ἀλλʼ ἔστω , εἰ δυνατόν , ἔλασσον . Πάλιν δὴ ἐγγεγράφθω τι εἰς τὸ τμᾶμα σχῆμα στερεόν , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ μείζων ἐστὶν ὁ Ψ κῶνος τοῦ τμάματος , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω . Ἐπεὶ οὖν ἔλασσόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ τμάματος , καὶ ἐλάσσονι ὑπερέχει τὸ περιγραφὲν ἢ ὁ Ψ κῶνος τοῦ τμάματος , δῆλον ὅτι καὶ τὸ περιγραφὲν σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Ψ κώνου . Πάλιν δὴ ὁ πρῶτος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν △Ε ποτὶ τὸν πρῶτον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ ἔσχατον χωρίον τῶν παρὰ τὰν ΞΝ παραπεπτωκότων πλάτος ἐχόντων ἴσον τᾷ Β△ ποθʼ αὑτό · ἑκάτερα γὰρ ἴσα ἐστίν · ὁ δὲ δεύτερος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἄξονα ἔχων ἴσον τᾷ △Ε ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν κατʼ αὐτὸν ἐόντα τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ πρῶτον χωρίον τῶν παρὰ τὰν ΞΝ παραπεπτωκότων πλάτος ἐχόντων ἴσον τᾷ Β△ ποτὶ τὸν γνώμονα τὸν ἀφαιρημένον ἀπʼ αὐτοῦ , καὶ τῶν ἄλλων δὲ κυλίνδρων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἄξονα ἐχόντων ἴσον τᾷ △Ε ποτὶ τὸν κατʼ αὐτὸν κύλινδρον τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ὁμόλογον χωρίον αὐτῷ τῶν παρὰ τὰν ΞΝ παραπεπτωκότων ποτὶ τὸν γνώμονα τὸν ἀπʼ αὐτοῦ ἀφαιρημένον πρώτου λεγομένου τοῦ ἐσχάτου · καὶ πάντες οὖν οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ποτὶ πάντας τοὺς κυλίνδρους τοὺς ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πάντα τὰ χωρία τὰ παρὰ τὰν ΞΝ παραπεπτωκότα ποτὶ τὸ ἴσον τῷ τε ἐσχάτῳ κειμένῳ χωρίῳ καὶ τοῖς γνωμόνεσσι τοῖς ἀφαιρημένοις ἀπὸ τῶν ἄλλων διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον . Ἐπεὶ οὖν δέδεικται ὅτι τὰ χωρία πάντα τὰ παρὰ τὰν ΞΝ παραπεπτωκότα ποτὶ τὰ χωρία πάντα τὰ παρὰ τὰν ΝΟ παραπεπτωκότα ὑπερβάλλοντα εἴδει τετραγώνῳ χωρὶς τοῦ μεγίστου μείζονα λόγον ἔχοντι τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΞΝ ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέραις τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς ΝΟ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τᾶς ΞΟ , δῆλον ὅτι τὰ αὐτὰ χωρία ποτὶ τὰ λοιπά , ἅ ἐντι ἴσα τῷ ἐσχάτῳ χωρίῳ κειμένῳ καὶ τοῖς γνωμόνεσσι τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν ἀφαιρουμένοις , ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΞΝ ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέραις τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς ΝΟ καὶ δυσὶ τριταμορίοις τᾶς ΞΟ · δῆλον οὖν ὅτι καὶ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ποτὶ τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν ΘΡ . Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ △Ζ ποτὶ τὰν ΘΡ , τοῦτον ἔχει ὁ εἰρημένος κύλινδρος ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ αὐτὸς κύλινδρος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · ὅπερ ἀδύνατον · ἐδείχθη γὰρ ἔλασσον ἐὸν τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ Ψ κώνου . Οὐκ ἄρα ἐστὶν ἔλασσον τοῦ κώνου . Ἐπεὶ δὲ οὔτε μεῖζον οὔτε ἔλασσον , ἴσον ἄρα ἐστίν .
Lemmas: πᾶς σχῆμα σφαιροειδής ἐπίπεδος τέμνω μή διά ὁ κέντρον ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ ἐλαχύς τμῆμα πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς συναμφότεροι ὁ τε ἡμίσεια ὁ ἄξων ὁ σφαιροειδής καί ὁ ἄξων ὁ μέγας τμῆμα πρός ὁ ἄξων ὁ ὁ μέγας τμῆμα . εἰμί γάρ τις τμῆμα σφαιροειδής σχῆμα ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων μή διά ὁ κέντρον , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος ἄλλος διά ὁ ἄξων ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ ὁ τομή καί ἄξων ὁ σφαιροειδής εἰμί ὁ ΒΖ , κέντρον δέ ὁ Θ , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΓ εὐθύς · ποιέω δέ οὗτος ὀρθός γωνιαί πρός ὁ ΒΖ , ἐπεί ὁ ἐπίπεδος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἄξων ὑπόκειμαι · εἰμί δέ ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω , ὅς κορυφή ὁ Β σαμεῖον , ἐλαχύς ἤ μισέω ὁ σφαιροειδής σχῆμα , καί ὁ ΒΘ ἴσος εἰμί ὁ ΖΗ . δείκνυμι ὅτι ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Β σαμεῖον , πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ △Η πρός ὁ △Ζ . εἰμί δή κύλινδρος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ ἐλαχύς τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , εἰμί δέ καί κῶνος , ἐν ὅς ὁ Ψ , πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ △Η πρός ὁ △Ζ · φημί δή ὁ Ψ κῶνος ἴσος εἰμί ὁ τμῆμα ὁ κορυφή ἔχω ὁ Β σαμεῖον . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , εἰμί πρῶτος , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . ἐγγράφω δή εἰς ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος μέγας εἰμί ὁ ὁ σφαιροειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . ἐπεί οὖν μέγας εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ τμῆμα ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ ἐγγράφω ἤ ὁ τμῆμα ὁ κῶνος , δῆλος ὅτι μέγας εἰμί καί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ Ψ κῶνος . εἰμί δή τρίτος μέρος ὁ Β△ ὁ ΒΡ . ἐπεί οὖν ὁ μέν ΒΗ τριπλάσιος εἰμί ὁ ΒΘ , ὁ δέ Β△ ὁ ΒΡ , δῆλος ὅτι τριπλάσιος εἰμί ὁ △Η ὁ ΘΡ · ἔχω δή ὁ μέν κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ Β△ πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ △Η πρός ὁ ΘΡ . ὁ δέ κῶνος ὁ λέγω πρός ὁ Ψ κῶνος ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς ὁ △Ζ πρός ὁ △Η · ἔχω οὖν ἀνόμοιος ὁ λόγος τάσσω ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός πρός ὁ Ψ κῶνος ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ △Ζ πρός ὁ ΘΡ . εἰμί δή γραμμή κεῖμαι , ἐπί ὅς ὁ Ξ , Ν , ὁ μέν πλῆθος ἴσος ὁ τμῆμα ὁ ὁ Β△ , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ Ζ△ , εἰμί δέ καί ὁ ΞΟ ἕκαστος ἴσος ὁ Β△ ὁ οὖν ΝΟ ἕκαστος διπλάσιος εἰμί ὁ Θ△ . παραπίπτω δή παρά ἑκαστός αὐτός χωρίον τις πλάτος ἔχω ἴσος ὁ Β△ , ὥστε εἰμί ἕκαστος ὁ ἔχω ὁ διάμετρος τετράγωνος . ἀφαιρέω δή ἀπό μέν ὁ πρῶτος γνώμων πλάτος ἔχω ἴσος ὁ ΒΕ , ἀπό δέ ὁ δεύτερος πλάτος ἔχω ἴσος ὁ ΒΧ , καί ἀπό ἕκαστος ὁ αὐτός τρόπος εἷς ἀπό ὁ ἕπομαι χωρίον γνώμων ἀφαιρέω πλάτος ἔχω εἷς τμῆμα ἐλαχύς ὁ πλάτος ὁ πρό αὐτός γνώμων ἀφαιρέω · εἰμί δή ὁ μέν ἀπό ὁ πρῶτος χωρίον γνώμων ἀφαιρέω ἴσος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΕ , ΕΖ , καί ὁ λοιπός χωρίον παραπίπτω παρά ὁ ΝΟ ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος ὁ ὁ ὑπέρβλημα πλευρά ἔχω ἴσος ὁ △Ε , ὁ δέ ἀπό ὁ δεύτερος χωρίον γνώμων ἀφαιρέω ἴσος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΧ , ΧΒ , καί ὁ λοιπός χωρίον παρά ὁ ΝΟ παραπίπτω ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , καί ὁ λοιπός ὅμοιος οὗτος ἔχω . διάγω δέ ὁ ἐπίπεδος πᾶς ὁ κύλινδρος , ἐκ ὅς σύγκειμαι ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ τμῆμα , πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός · εἰμί δή ὁ ὅλος κύλινδρος διιεράομαι εἰς κύλινδρος ὁ μέν πλῆθος ἴσος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα , ὁ δέ μέγεθος ἴσος ὁ μέγας αὐτός , Ὁ δή πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε πρός ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ △Γ πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΕ . οὗτος δέ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὅς ἔχω ὁ ὑπό ὁ Β△ , △Ζ περιέχω πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , ΕΖ · ἔχω οὖν ὁ κύλινδρος πρός ὁ κύλινδρος ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ πρῶτος χωρίον πρός ὁ γνώμων ὁ ἀπό αὐτός ἀφαιρέω · ὅμοιος δέ καί ὁ ἄλλος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἕκαστος ἄξων ἔχω ὁ ἴσος ὁ △Ε πρός ὁ κατά αὐτός κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἄξων ἔχω ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ὅμοιος τάσσω αὐτός χωρίον πρός ὁ γνώμων ὁ ἀπό αὐτός ἀφαιρέω , Ἐντί οὖν μέγεθος τις ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος καί ἄλλος μέγεθος ὁ χωρίον ὁ παρά ὁ ΞΝ παραπίπτω πλάτος ἔχω ὁ ἴσος ὁ Β△ , ὁ δέ πλῆθος ἴσος ὁ κύλινδρος καί κατά δύο ὁ αὐτός ἔχω λόγος , λέγω δέ ὁ τε κύλινδρος ποτέ ἄλλος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα , ὁ δέ ἔσχατος οὐδέ ποτέ εἷς λέγω , καί ὁ χωρίον ποτέ ἄλλος χωρίον , ὁ ἀπό αὐτός ἀφαιρέω , ὁ ὁμόλογος ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὁ δέ ἔσχατος χωρίον οὐδέ ποτέ εἷς λέγω · δῆλος οὖν ὅτι καί πᾶς ὁ κύλινδρος πρός πᾶς ὁ ἕτερος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ χωρίον πρός πᾶς ὁ γνώμων ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός πρός ὁ σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ τμῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ χωρίον πρός πᾶς ὁ γνώμων . καί ἐπεί εἰμί τις γραμμή ἴσος κεῖμαι , ἐπί ἀνά ὁ Ν , Ο , καί παρά ἑκαστός παραπίπτω τις χωρίον ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , ὁ δέ πλευρά ὁ ὑπέρβλημα ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , καί ὁ ὑπεροχή ἴσος εἰμί ὁ ἐλαχύς , καί ἄλλος εἰμί χωρίον παρά ὁ ΞΝ παραπίπτω , πλάτος δέ ἔχω ὁ ἴσος ὁ Β△ , ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , δῆλος ὡς σύμπας ὁ χωρίον , ὅς εἰμί ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , πρός πᾶς ὁ ἕτερος χωρίον ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ΞΝ πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμισέα ὁ ΝΟ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ΞΟ . φανερός οὖν ὅτι ὁ αὐτός χωρίον πρός πᾶς ὁ γνώμων μέγας λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ΞΝ πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμισέα ὁ ΝΟ καί δυάω τριτημόριος ὁ ΞΟ · ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός πρός ὁ σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ τμῆμα μέγας λόγος ἔχω ἤ ὁ ΞΝ πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμισέα ὁ ΝΟ καί δυάω τριτημόριος ὁ ΞΟ . εἰμί δέ ὁ μέν ΞΝ ἴσος ὁ △Ζ , ὁ δέ ἡμισέα ὁ ΝΟ ὁ △Θ , ὁ δέ δύο τριταμόριον ὁ ΞΟ ὁ △Ρ · ὅλος ἄρα ὁ κύλινδρος πρός ὁ σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ τμῆμα μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅς ἔχω ὁ △Ζ πρός ὁ ΘΡ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ △Ζ πρός ὁ ΘΡ , οὗτος δείκνυμι ἔχω ὁ αὐτός κύλινδρος πρός ὁ Ψ κῶνος · μέγας οὖν ἔχω λόγος πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἤ πρός ὁ Ψ κῶνος ὅς ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ Ψ κῶνος . οὐ ἄρα εἰμί μέγας ὁ ὁ σφαιροειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . ἀλλά εἰμί , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . πάλιν δή ἐγγράφω τις εἰς ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος μέγας εἰμί ὁ Ψ κῶνος ὁ τμῆμα , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός ὁ πρότερος κατασκευάζω . ἐπεί οὖν ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ τμῆμα , καί ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ περιγράφω ἤ ὁ Ψ κῶνος ὁ τμῆμα , δῆλος ὅτι καί ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Ψ κῶνος . πάλιν δή ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε πρός ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ἔσχατος χωρίον ὁ παρά ὁ ΞΝ παραπίπτω πλάτος ἔχω ἴσος ὁ Β△ πρός ἑαυτοῦ · ἑκάτερος γάρ ἴσος εἰμί · ὁ δέ δεύτερος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἄξων ἔχω ἴσος ὁ △Ε πρός ὁ κύλινδρος ὁ κατά αὐτός εἰμί ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ πρῶτος χωρίον ὁ παρά ὁ ΞΝ παραπίπτω πλάτος ἔχω ἴσος ὁ Β△ πρός ὁ γνώμων ὁ ἀφαιρέω ἀπό αὐτός , καί ὁ ἄλλος δέ κύλινδρος ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἄξων ἔχω ἴσος ὁ △Ε πρός ὁ κατά αὐτός κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ὁμόλογος χωρίον αὐτός ὁ παρά ὁ ΞΝ παραπίπτω πρός ὁ γνώμων ὁ ἀπό αὐτός ἀφαιρέω πρῶτος λέγω ὁ ἔσχατος · καί πᾶς οὖν ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος πρός πᾶς ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ χωρίον ὁ παρά ὁ ΞΝ παραπίπτω πρός ὁ ἴσος ὁ τε ἔσχατος κεῖμαι χωρίον καί ὁ γνώμων ὁ ἀφαιρέω ἀπό ὁ ἄλλος διά ὁ αὐτός ὁ πρότερος . ἐπεί οὖν δείκνυμι ὅτι ὁ χωρίον πᾶς ὁ παρά ὁ ΞΝ παραπίπτω πρός ὁ χωρίον πᾶς ὁ παρά ὁ ΝΟ παραπίπτω ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος χωρίς ὁ μέγας μέγας λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ΞΝ πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμισέα ὁ ΝΟ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ ΞΟ , δῆλος ὅτι ὁ αὐτός χωρίον πρός ὁ λοιπός , ὅς εἰμί ἴσος ὁ ἔσχατος χωρίον κεῖμαι καί ὁ γνώμων ὁ ἀπό ὁ λοιπός ἀφαιρέω , ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ΞΝ πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμισέα ὁ ΝΟ καί δύο τριταμόριον ὁ ΞΟ · δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός πρός ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ Ζ△ πρός ὁ ΘΡ . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ △Ζ πρός ὁ ΘΡ , οὗτος ἔχω ὁ λέγω κύλινδρος πρός ὁ Ψ κῶνος · ἐλαχύς ἄρα λόγος ἔχω ὁ αὐτός κύλινδρος πρός ὁ περιγράφω σχῆμα ἤ πρός ὁ Ψ κῶνος · ὅς ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ ἐλαχύς εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ Ψ κῶνος . οὐ ἄρα εἰμί ἐλαχύς ὁ κῶνος . ἐπεί δέ οὔτε μέγας οὔτε ἐλαχύς , ἴσος ἄρα εἰμί .