archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 24
Πᾶν τμᾶμα ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος ἀποτετμαμένον ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ συναμφοτέραις ἴσα τῷ τε ἄξονι τοῦ τμάματος καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς ποτεούσας τῷ ἄξονι ποτὶ τὰν ἴσαν ἀμφοτέραις τῷ τε ἄξονι τοῦ τμάματος καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ποτεούσας τῷ ἄξονι . Ἔστω τι τμᾶμα ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος ἀποτετμαμένον ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ἁ τομὰ ἔστω αὐτοῦ μὲν τοῦ κωνοειδέος ἁ ΑΒΓ ἀμβλυγωνίου κώνου τομά , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτέμνοντος τὸ τμᾶμα ἁ ΑΓ εὐθεῖα , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος ἁ Β△ , ἁ δὲ ποτεοῦσα τῷ ἄξονι ἔστω ἁ ΒΘ καὶ τᾷ ΒΘ ἴσα ἁ ΖΘ καὶ ἁ ΖΗ . Δεικτέον ὅτι τὸ τμᾶμα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει , ὃν ἁ Η△ ποτὶ τὰν Ζ△ . Ἔστω δὴ κύλινδρος τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχων τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ ἔστωσαν αἱ ΦΑ , ΓΥ , ἔστω δὲ καὶ κῶνός τις , ἐν ᾧ τὸ Ψ , καὶ ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὰν Β△ τοῦτον ἐχέτω τὸν λόγον , ὃν ἔχει ἁ Η△ ποτὶ τὰν △Ζ φαμὶ δὴ τὸ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος ἴσον εἶμεν τῷ Ψ κώνῳ . Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσον , ἤτοι μεῖζον ἢ ἔλασσόν ἐστιν . Ἔστω πρότερον , εἰ δυνατόν , μεῖζον . Ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ τμᾶμα σχῆμα στερεόν , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου , διάχθω δὲ τὰ ἐπίπεδα πάντων τῶν κυλίνδρων ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Β△ · ἐσσεῖται δὴ ὅλος ὁ κύλινδρος διῃρημένος εἰς κυλίνδρους τῷ μὲν πλήθει ἴσους τοῖς κυλίνδροις τοῖς ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι , τῷ δὲ μεγέθει ἴσους τῷ μεγίστῳ αὐτῶν . Καὶ ἐπεὶ ἐλάσσονι ὑπερέχει τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ἢ τὸ τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου , καὶ μεῖζόν ἐστι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ τμάματος , δῆλον ὅτι καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζόν ἐστι τοῦ Ψ κώνου . Ἔστω δὴ τρίτον μέρος τᾶς Β△ ἁ ΒΡ · ἐσσεῖται οὖν ἁ Η△ τριπλασία τᾶς ΘΡ . Καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν Β△ , ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ Η△ ποτὶ τὰν ΘΡ , ἔχει δὲ καὶ ὁ εἰρημένος κῶνος ποτὶ τὸν Ψ κῶνον , ὃν ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν Η△ , ἕξει ἄρα μεγεθέων τριῶν ἀνομοίως τῶν λόγων τεταγμένων τὸν αὐτὸν λόγον ὁ κύλινδρος ὁ εἰρημένος ποτὶ τὸν Ψ κῶνον , ὃν ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν ΘΡ . Ἔστωσαν δὲ γραμμαὶ κείμεναι , ἐφʼ ἇν τὰ Ξ , τῷ μὲν πλήθει ἴσαι τοῖς τμαμάτεσσιν τοῖς ἐν τᾷ Β△ εὐθείᾳ , τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ ΖΒ , καὶ παῤ ἑκάσταν αὐτᾶν παραπεπτωκέτω χωρίον ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ , καὶ τὸ μὲν μέγιστον ἔστω ἴσον τῷ ὑπὸ Ζ△Β , τὸ δὲ ἐλάχιστον ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΙΒ , αἱ δε πλευραὶ τῶν ὑπερβλημάτων τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχόντων , καὶ ἔστω ἁ μὲν τοῦ μεγίστου ὑπερβλήματος πλευρά , ἐφʼ ἇς τὸ Ν , ἴσα τᾷ Β△ , ἁ δὲ τοῦ ἐλαχίστου ἴσα τᾷ ΒΙ , ἔστω δὲ καὶ ἄλλα χωρία , ἐν οἷς τὸ Ω , τῷ μὲν πλήθει ἴσα τούτοις , τῷ δὲ μεγέθει ἕκαστον ἴσον τῷ μεγίστῳ τῷ ὑπὸ τᾶν Ζ△Β · ὁ δὴ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν △Ε , ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΚΛ , ἄξονα δὲ τὰν △Ε , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ △Α ποτὶ τὰν ΚΕ δυνάμει · οὗτος δέ ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ζ△ , Β△ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΒΕ · ἐν πάσᾳ γὰρ τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾷ τοῦτο συμβαίνει . Καὶ ἔστι τῷ μὲν ὑπὸ τᾶν Ζ△ , Β△ περιεχομένῳ ἴσον τὸ ΞΝ χωρίον , τῷ δὲ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , ΒΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΞΜ · ἁ γὰρ Ξ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΖΒ , ἁ δὲ Μ τᾷ ΒΕ , ἁ δὲ Ν τᾷ Β△ · ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν △Ε , ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν βάσιν ἔχοντα τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΚΛ , ἄξονα δὲ τὰν △Ε , τὸν αὐτὸν ἔξει λόγον , ὃν τὸ Ω χωρίον ποτὶ τὸ ΞΜ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ τῶν ἄλλων κυλίνδρων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἄξονα ἔχων τὰν ἴσαν τᾷ △Ε ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα τὸν αὐτὸν ἄξονα τοῦτον ἔχων τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὸ Ω χωρίον ποτὶ τὸ ὁμόλογον τῶν παρὰ τὰν Ξ παραπεπτωκότων ὑπερβαλλόντων τετραγώνῳ . Ἔστιν δή τινα μεγέθεα , οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ , ὧν ἕκαστος ἄξονα ἔχει ἴσον τᾷ △Ε , καὶ ἄλλα μεγέθεα , τὰ χωρία , ἐν οἷς τὸ Ω , ἴσα τούτοις τῷ πλήθει , κατὰ δύο μεγέθεα τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον , ἐπεὶ οἵ τε κύλινδροι ἴσοι ἐντὶ ἀλλάλοις καὶ τὰ Ω χωρία ἴσα ἀλλάλοις , λέγονται δὲ τῶν τε κυλίνδρων τινὲς ποτὶ ἄλλους κυλίνδρους τοὺς ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι , ὁ δὲ ἔσχατος οὐδὲ ποθʼ ἓν λέγεται , καὶ τῶν χωρίων , ἐν οἷς τὰ Ω , ποτʼ ἄλλα χωρία τὰ παρὰ τὰν Ξ παραπεπτωκότα ὑπερβάλλοντα εἴδει τετραγώνῳ , τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις , τὸ δὲ ἔσχατον οὐδὲ ποθʼ ἓν λέγεται · δῆλον οὖν ὅτι καὶ πάντες οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ποτὶ πάντας τοὺς κυλίνδρους τοὺς ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πάντα τὰ Ω χωρία ποτὶ πάντα τὰ παραβλήματα χωρὶς τοῦ μεγίστου . Δέδεικται δὲ ὅτι πάντα τὰ χωρία ποτὶ πάντα τὰ παραβλήματα χωρὶς τοῦ μεγίστου μείζω λόγον ἔχοντι ἢ ὃν ἁ ΝΞ ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέραις τᾷ τε ἡμισείᾳ τᾶς Ξ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τᾶς Ν · ὥστε καὶ ὅλος ὁ κύλινδρος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μείζονα ἔχει λόγον ἢ ὃν ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν ΘΡ · ὃν ὁ ὅλος κύλινδρος ἔχων ἐδείχθη ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · μείζονα οὖν ἔχει λόγον ὁ ὅλος κύλινδρος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Ψ κῶνον . Ὥστε μείζων ἐστὶν ὁ Ψ κῶνος τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος · ὅπερ ἀδύνατον · ἐδείχθη γὰρ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζον τοῦ Ψ κώνου · οὐκ ἄρα μεῖζον τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Οὐδὲ τοίνυν ἔλασσον , Ἔστω γάρ , εἰ δυνατόν , ἔλασσον . Πάλιν οὖν ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τμᾶμα σχῆμα στερεόν , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει ὁ κῶνος τοῦ τμάματος , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω . Ἐπεὶ οὖν ἔλασσόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ τμάματος , καὶ ἐλάσσονι ὑπερέχει τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμμένου ἢ ὁ Ψ κῶνος τοῦ τμάματος , δῆλον ὅτι καὶ τὸ περιγεγραμμένῳ σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Ψ κώνου . Πάλιν δὴ ὅ τε κύλινδρος ὁ πρῶτος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν △Ε ποτὶ τὸν πρῶτον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν △Ε τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ Ω χωρίον ποτὶ τὸ ΞΝ , καὶ τῶν ἄλλων κυλίνδρων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἄξονα ἐχόντων τὰν ἴσαν τᾷ △Ε ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι κατʼ αὐτὸν ἐόντα καὶ ἄξονα ἔχοντα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν τὸ Ω χωρίον ποτὶ τὸ ὁμόλογον τῶν παρὰ τὰν Ξ παραβλημάτων σὺν τῷ ὑπερβλήματι , διὰ τὸ ἕκαστον τῶν περιγεγραμμένων χωρὶς τοῦ μεγίστου ἴσον εἶμεν ἑκάστῳ τῶν ἐγγεγραμμένων σὺν τῷ μεγίστῳ · ἕξει οὖν καὶ ὁ ὅλος κύλινδρος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν πάντα τὰ Ω χωρία ποτὶ τὰ παραβλήματα σὺν τοῖς ὑπερβλημάτεσσιν . Δέδεικται δὲ πάλιν πάντα τὰ Ω χωρία ποτὶ πάντα τὰ ἕτερα ἐλάσσω λόγον ἔχοντα τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΞΝ ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέραις τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς Ξ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τᾶς Ν · ὥστε καὶ ὅλος ὁ κύλινδρος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἐλάσσονα λόγον ἕξει ἢ ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν ΘΡ . Ἀλλʼ ὡς ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν ΘΡ , ὁ ὅλος κύλινδρος ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ὁ αὐτὸς κύλινδρος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Ψ . Ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ περιγεγραμμένον τοῦ Ψ κώνου · ὅπερ ἀδύνατον · ἐδείχθη γὰρ ἔλαττον ἐὸν τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ κώνου . Οὐκ ἀρα ἔλασσόν ἐστι τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Ἐπεὶ δὲ οὔτε μεῖζον οὔτε ἔλασσόν ἐστιν , δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: πᾶς τμῆμα ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ὕψος ἴσος οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ τριπλάσιος ὁ πρόσειμι ὁ ἄξων πρός ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ διπλάσιος ὁ πρόσειμι ὁ ἄξων . εἰμί τις τμῆμα ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων , καί τέμνω αὐτός ἐπίπεδος ἄλλος διά ὁ ἄξων ὁ τομή εἰμί αὐτός μέν ὁ κωνοειδής ὁ ΑΒΓ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ ΑΓ εὐθύς , ἄξων δέ εἰμί ὁ τμῆμα ὁ Β△ , ὁ δέ πρόσειμι ὁ ἄξων εἰμί ὁ ΒΘ καί ὁ ΒΘ ἴσος ὁ ΖΘ καί ὁ ΖΗ . δείκνυμι ὅτι ὁ τμῆμα πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός λόγος ἔχω , ὅς ὁ Η△ πρός ὁ Ζ△ . εἰμί δή κύλινδρος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , πλευρά δέ αὐτός εἰμί ὁ ΦΑ , ΓΥ , εἰμί δέ καί κῶνος τις , ἐν ὅς ὁ Ψ , καί πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ Β△ οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ Η△ πρός ὁ △Ζ φημί δή ὁ τμῆμα ὁ κωνοειδής ἴσος εἰμί ὁ Ψ κῶνος . εἰ γάρ μή εἰμί ἴσος , ἤτοι μέγας ἤ ἐλαχύς εἰμί . εἰμί πρότερος , εἰ δυνατός , μέγας . ἐγγράφω δή εἰς ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος , διάγω δέ ὁ ἐπίπεδος πᾶς ὁ κύλινδρος πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ · εἰμί δή ὅλος ὁ κύλινδρος διαιρέω εἰς κύλινδρος ὁ μέν πλῆθος ἴσος ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα , ὁ δέ μέγεθος ἴσος ὁ μέγας αὐτός . καί ἐπεί ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἤ ὁ τμῆμα ὁ Ψ κῶνος , καί μέγας εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ τμῆμα , δῆλος ὅτι καί ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ Ψ κῶνος . εἰμί δή τρίτος μέρος ὁ Β△ ὁ ΒΡ · εἰμί οὖν ὁ Η△ τριπλάσιος ὁ ΘΡ . καί ἐπεί ὁ μέν κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ Β△ , πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ Η△ πρός ὁ ΘΡ , ἔχω δέ καί ὁ λέγω κῶνος πρός ὁ Ψ κῶνος , ὅς ὁ Ζ△ πρός ὁ Η△ , ἔχω ἄρα μέγεθος τρεῖς ἀνόμοιος ὁ λόγος τάσσω ὁ αὐτός λόγος ὁ κύλινδρος ὁ λέγω πρός ὁ Ψ κῶνος , ὅς ὁ Ζ△ πρός ὁ ΘΡ . εἰμί δέ γραμμή κεῖμαι , ἐπί ὅς ὁ Ξ , ὁ μέν πλῆθος ἴσος ὁ τμῆμα ὁ ἐν ὁ Β△ εὔθεια , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ ΖΒ , καί παρά ἑκαστός αὐτός παραπίπτω χωρίον ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , καί ὁ μέν μέγας εἰμί ἴσος ὁ ὑπό Ζ△Β , ὁ δέ ἐλαχύς ἴσος ὁ ὑπό ΖΙΒ , ὁ δε πλευρά ὁ ὑπέρβλημα ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , καί εἰμί ὁ μέν ὁ μέγας ὑπέρβλημα πλευρόν , ἐπί ὅς ὁ Ν , ἴσος ὁ Β△ , ὁ δέ ὁ ἐλαχύς ἴσος ὁ ΒΙ , εἰμί δέ καί ἄλλος χωρίον , ἐν ὅς ὁ Ω , ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας ὁ ὑπό ὁ Ζ△Β · ὁ δή κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ △Ε , πρός ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ , ἄξων δέ ὁ △Ε , ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ △Α πρός ὁ ΚΕ δύναμις · οὗτος δέ εἰμί ὁ αὐτός ὁ ὅς ἔχω ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ζ△ , Β△ πρός ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΕ , ΒΕ · ἐν πᾶς γάρ ὁ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή οὗτος συμβαίνω . καί εἰμί ὁ μέν ὑπό ὁ Ζ△ , Β△ περιέχω ἴσος ὁ ΞΝ χωρίον , ὁ δέ ὑπό ὁ ΖΕ , ΒΕ ἴσος εἰμί ὁ ΞΜ · ὁ γάρ Ξ ἴσος εἰμί ὁ ΖΒ , ὁ δέ Μ ὁ ΒΕ , ὁ δέ Ν ὁ Β△ · ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ △Ε , πρός ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ , ἄξων δέ ὁ △Ε , ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Ω χωρίον πρός ὁ ΞΜ . ὅμοιος δέ δείκνυμι καί ὁ ἄλλος κύλινδρος ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἄξων ἔχω ὁ ἴσος ὁ △Ε πρός ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ὁ αὐτός ἄξων οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ Ω χωρίον πρός ὁ ὁμόλογος ὁ παρά ὁ Ξ παραπίπτω ὑπερβάλλω τετράγωνος . εἰμί δή τις μέγεθος , ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος , ὅς ἕκαστος ἄξων ἔχω ἴσος ὁ △Ε , καί ἄλλος μέγεθος , ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ Ω , ἴσος οὗτος ὁ πλῆθος , κατά δύο μέγεθος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ἐπεί ὁ τε κύλινδρος ἴσος εἰμί ἀλλήλων καί ὁ Ω χωρίον ἴσος ἀλλήλων , λέγω δέ ὁ τε κύλινδρος τις πρός ἄλλος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα , ὁ δέ ἔσχατος οὐδέ ποτέ εἷς λέγω , καί ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ Ω , ποτέ ἄλλος χωρίον ὁ παρά ὁ Ξ παραπίπτω ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , ὁ ὁμόλογος ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὁ δέ ἔσχατος οὐδέ ποτέ εἷς λέγω · δῆλος οὖν ὅτι καί πᾶς ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος πρός πᾶς ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ Ω χωρίον πρός πᾶς ὁ παράβλημα χωρίς ὁ μέγας . δείκνυμι δέ ὅτι πᾶς ὁ χωρίον πρός πᾶς ὁ παράβλημα χωρίς ὁ μέγας μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅς ὁ ΝΞ πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμίσεια ὁ Ξ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ Ν · ὥστε καί ὅλος ὁ κύλινδρος πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας ἔχω λόγος ἤ ὅς ὁ Ζ△ πρός ὁ ΘΡ · ὅς ὁ ὅλος κύλινδρος ἔχω δείκνυμι πρός ὁ Ψ κῶνος · μέγας οὖν ἔχω λόγος ὁ ὅλος κύλινδρος πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἤ πρός ὁ Ψ κῶνος . ὥστε μέγας εἰμί ὁ Ψ κῶνος ὁ ἐγγράφω σχῆμα · ὅς ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ ὁ ἐγγράφω σχῆμα μέγας ὁ Ψ κῶνος · οὐ ἄρα μέγας ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . οὐδέ τοίνυν ἐλαχύς , Ἔστω γάρ , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . πάλιν οὖν ἐγγράφω εἰς ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ κῶνος ὁ τμῆμα , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός κατασκευάζω . ἐπεί οὖν ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ τμῆμα , καί ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ περιγράφω ὁ ἐγγράφω ἤ ὁ Ψ κῶνος ὁ τμῆμα , δῆλος ὅτι καί ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Ψ κῶνος . πάλιν δή ὁ τε κύλινδρος ὁ πρῶτος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε πρός ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Ω χωρίον πρός ὁ ΞΝ , καί ὁ ἄλλος κύλινδρος ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἄξων ἔχω ὁ ἴσος ὁ △Ε πρός ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα κατά αὐτός εἰμί καί ἄξων ἔχω ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ Ω χωρίον πρός ὁ ὁμόλογος ὁ παρά ὁ Ξ παράβλημα σύν ὁ ὑπέρβλημα , διά ὁ ἕκαστος ὁ περιγράφω χωρίς ὁ μέγας ἴσος εἰμί ἕκαστος ὁ ἐγγράφω σύν ὁ μέγας · ἔχω οὖν καί ὁ ὅλος κύλινδρος πρός ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ αὐτός λόγος , ὅς πᾶς ὁ Ω χωρίον πρός ὁ παράβλημα σύν ὁ ὑπέρβλημα . δείκνυμι δέ πάλιν πᾶς ὁ Ω χωρίον πρός πᾶς ὁ ἕτερος ἐλαχύς λόγος ἔχω ὁ ὅς ἔχω ὁ ΞΝ πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἡμισέα ὁ Ξ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ Ν · ὥστε καί ὅλος ὁ κύλινδρος πρός ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ Ζ△ πρός ὁ ΘΡ . ἀλλά ὡς ὁ Ζ△ πρός ὁ ΘΡ , ὁ ὅλος κύλινδρος πρός ὁ Ψ κῶνος · ἐλαχύς οὖν λόγος ἔχω ὁ αὐτός κύλινδρος πρός ὁ περιγράφω σχῆμα ἤ πρός ὁ Ψ . ὥστε μέγας εἰμί ὁ περιγράφω ὁ Ψ κῶνος · ὅς ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ ἐλαχύς εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ κῶνος . οὐ ἀρά ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . ἐπεί δέ οὔτε μέγας οὔτε ἐλαχύς εἰμί , δείκνυμι οὖν ὁ προτίθημι .