archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 16
Εἴ κα τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὁποτερουοῦν ἐπίπεδον ἅπτηται μὴ τέμνον τὸ σχῆμα , καθʼ ἓν μόνον ἅψεται σαμεῖον , καὶ τὸ διὰ τᾶς ἁφᾶς καὶ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ἀχθὲν ὀρθὸν ἐσσεῖται ποτὶ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον . Ἁπτέσθω γὰρ κατὰ πλείονα σαμεῖα . Λαφθέντων δὴ τῶν σαμείων , καθʼ ἃ ἅπτεται τὸ ἐπίπεδον τοῦ σφαιροειδέος , καὶ ἀφʼ ἑκατέρου αὐτῶν παρὰ τὸν ἄξονα εὐθειᾶν ἀχθεισᾶν καὶ διὰ τᾶν ἀχθεισᾶν ἐπιπέδου ἐκβληθέντος ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά , καὶ τὰ σαμεῖα ἐσσοῦνται ἐν τᾷ τοῦ κώνου τομᾷ . Ἁ οὖν μεταξὺ τῶν σαμείων εὐθεῖα ἐντὸς ἐσσεῖται τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ὥστε καὶ τᾶς τοῦ σφαιροειδέος ἐπιφανείας ἐντὸς ἐσσεῖται . Ἔστιν δὲ ἁ εὐθεῖα ἐν τῷ ἐπιψαύοντι ἐπιπέδῳ , διότι καὶ τὰ σαμεῖα τοῦ οὖν ἐπιψαύοντος ἐπιπέδου ἐσσεῖταί τι ἐντὸς τοῦ σφαιροειδέος . Οὐκ ἔστιν δὲ ὑπέκειτο γὰρ μὴ τέμνειν . Δῆλον οὖν , ὅτι καθʼ ἓν σαμεῖον μόνον ἅψεται . Ὅτι δὲ τὸ διὰ τᾶς ἁφᾶς καὶ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ἀχθὲν ὀρθὸν ἐσσεῖται ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπιψαῦον , ὁμοίως τοῖς περὶ τῶν κωνοειδέων σχημάτων . Εἴ κα τῶν κωνοειδέων ἢ τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὁποιονοῦν ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος , καὶ τᾶς γενομένας τομᾶς ἐπιψαύουσά τις ἀχθῇ εὐθεῖα , καὶ διὰ τᾶς ἐπιψαυούσας ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν ποτὶ τὸ τέμνον , ἐπιψαύει τοῦ σχήματος κατὰ τὸ αὐτὸ σαμεῖον , καθʼ ὃ καὶ ἁ εὐθεῖα ἐπιψαύει τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς . Οὐ γὰρ ἅψεται κατʼ ἄλλο σαμεῖον τᾶς ἐπιφανείας αὐτοῦ . Εἰ δὲ μή , ἁ ἀπὸ τοῦ σαμείου κάθετος ἀγομένα ἐπὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον πεσεῖται ἐκτὸς τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς · ἐπὶ γὰρ τὰν ἐπιψαύουσαν πεσεῖται , ἐπεὶ ὀρθὰ ποτʼ ἄλλαλά ἐντι τὰ ἐπίπεδα · ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη γάρ , ὅτι ἐντὸς πεσεῖται . Εἴ κα τῶν σφαιροειδέων τινὸς σχημάτων δύο ἐπίπεδα παράλληλα ἐπιψαύωντι , ἁ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα διὰ τοῦ κέντρου τοῦ σφαιροειδέος πορεύσεται . Εἰ μὲν οὖν κα ποτʼ ὀρθὰς τῷ ἄξονι τὰ ἐπίπεδα ἔωντι , δῆλον · ἄλλʼ ἔστω μὴ ποτʼ ὀρθάς . Τὸ δὴ ἐπίπεδον τὸ ἀχθὲν διὰ τοῦ ἄξονος καὶ τᾶς ἁφᾶς τᾶς ἑτέρας ὀρθὸν ἐσσεῖται ποτὶ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον ὥστε καὶ ποτὶ τὸ παράλληλον αὐτῷ . Ἀναγκαῖον ἄρα τὸ αὐτὸ εἶμεν ἐπίπεδον τὸ διὰ τοῦ ἄξονος καὶ ἑκατερᾶν τᾶν ἁφᾶν ἀγμένον . Εἰ δὲ μή , ἐσσοῦνται δύο ἐπίπεδα ποτὶ τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον ὀρθὰ διὰ τᾶς αὐτᾶς γραμμᾶς ἀγμένα οὐκ ἐούσας ὀρθᾶς ποτὶ τὸ ἐπίπεδον ὑπέκειτο γὰρ ὁ ἄξων μὴ εἶμεν ὀρθὸς ποτὶ τὰ παραλληλα ἐπίπεδα ἐν τῷ αὐτῷ ἄρα ἐσσοῦνται ἐπιπέδῳ ὅ τε ἄξων καὶ αἱ ἁφαί , καὶ τετμακὸς ἐσσεῖται τὸ σφαιροειδὲς διὰ τοῦ ἄξονος . Ἁ οὖν τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά , αἱ δὲ τῶν ἐπιψαυόντων ἐπιπέδων τομαὶ παράλληλοι ἐσσοῦνται καὶ ἐπιψαύουσαι τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς κατὰ τὰς ἁφὰς τῶν ἐπιπέδων · εἰ δὲ κα δύο εὐθεῖαι ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἐπιψαύωντι παράλληλοι ἐοῦσαι , τό τε κέντρον τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς καὶ αἱ ἁφαὶ ἐπʼ εὐθείας ἐσσοῦνται .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ σφαιροειδής σχῆμα ὁποτέσρις ἐπίπεδος ἅπτω μή τέμνω ὁ σχῆμα , κατά εἷς μόνος ἅπτω σαμεῖον , καί ὁ διά ὁ ἁφή καί ὁ ἄξων ἐπίπεδος ἄγω ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος . ἅπτω γάρ κατά πολύς σαμεῖον . λάπτω δή ὁ σαμεῖον , κατά ὅς ἅπτω ὁ ἐπίπεδος ὁ σφαιροειδής , καί ἀπό ἑκάτερος αὐτός παρά ὁ ἄξων εὐθεῖα ἄγω καί διά ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἐκβάλλω ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , καί ὁ σαμεῖον εἰμί ἐν ὁ ὁ κῶνος τομή . ὁ οὖν μεταξύ ὁ σαμεῖον εὐθύς ἐντός εἰμί ὁ ὁ κῶνος τομή ὥστε καί ὁ ὁ σφαιροειδής ἐπιφάνεια ἐντός εἰμί . εἰμί δέ ὁ εὐθύς ἐν ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος , διότι καί ὁ σαμεῖον ὁ οὖν ἐπιψαύω ἐπίπεδος εἰμί τις ἐντός ὁ σφαιροειδής . οὐ εἰμί δέ ὑπόκειμαι γάρ μή τέμνω . δῆλος οὖν , ὅτι κατά εἷς σαμεῖον μόνος ἅπτω . ὅτι δέ ὁ διά ὁ ἁφή καί ὁ ἄξων ἐπίπεδος ἄγω ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐπιψαύω , ὅμοιος ὁ περί ὁ κωνοειδής σχῆμα . εἰ ἄν ὁ κωνοειδής ἤ ὁ σφαιροειδής σχῆμα ὁποῖος ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ ἄξων , καί ὁ γίγνομαι τομή ἐπιψαύω τις ἄγω εὐθύς , καί διά ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ τέμνω , ἐπιψαύω ὁ σχῆμα κατά ὁ αὐτός σαμεῖον , κατά ὅς καί ὁ εὐθύς ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή . οὐ γάρ ἅπτω κατά ἄλλος σαμεῖον ὁ ἐπιφάνεια αὐτός . εἰ δέ μή , ὁ ἀπό ὁ σαμεῖον κάθετος ἄγω ἐπί ὁ τέμνω ἐπίπεδος πίπτω ἐκτός ὁ ὁ κῶνος τομή · ἐπί γάρ ὁ ἐπιψαύω πίπτω , ἐπεί ὀρθός ποτέ ἀλλήλων εἰμί ὁ ἐπίπεδος · ὅς ἀδύνατος δείκνυμι γάρ , ὅτι ἐντός πίπτω . εἰ ἄν ὁ σφαιροειδής τις σχῆμα δύο ἐπίπεδος παράλληλος ἐπιψαύω , ὁ ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι εὐθύς διά ὁ κέντρον ὁ σφαιροειδής πορεύω . εἰ μέν οὖν ἄν ποτέ ὀρθός ὁ ἄξων ὁ ἐπίπεδος εἰμί , δῆλος · ἄλλος εἰμί μή ποτέ ὀρθός . ὁ δή ἐπίπεδος ὁ ἄγω διά ὁ ἄξων καί ὁ ἁφή ὁ ἕτερος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος ὥστε καί πρός ὁ παράλληλος αὐτός . ἀναγκαῖος ἄρα ὁ αὐτός εἰμί ἐπίπεδος ὁ διά ὁ ἄξων καί ἑκάτερος ὁ ἁφή ἄγω . εἰ δέ μή , εἰμί δύο ἐπίπεδος πρός ὁ αὐτός ἐπίπεδος ὀρθός διά ὁ αὐτός γραμμή ἄγω οὐ εἰμί ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὑπόκειμαι γάρ ὁ ἄξων μή εἰμί ὀρθός πρός ὁ παραλληλος ἐπίπεδος ἐν ὁ αὐτός ἄρα εἰμί ἐπίπεδος ὁ τε ἄξων καί ὁ ἁφή , καί τέμνω εἰμί ὁ σφαιροειδής διά ὁ ἄξων . ὁ οὖν τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος τομή παράλληλος εἰμί καί ἐπιψαύω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή κατά ὁ ἁφή ὁ ἐπίπεδος · εἰ δέ ἄν δύο εὐθεῖα ὀξυγώνιος κῶνος τομή ἐπιψαύω παράλληλος εἰμί , ὁ τε κέντρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή καί ὁ ἁφή ἐπί εὐθεῖα εἰμί .