archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 32
Καὶ τοίνυν εἴ κα μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα τῷ ἐπιπέδῳ τμαθῇ τὸ σφαιροειδὲς μηδὲ διὰ τοῦ κέντρου , τὸ μεῖζον τμᾶμα αὐτοῦ ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν ἁ συναμφοτέραις ἴσα τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς κορυφὰς τῶν γενομένων τμαμάτων καὶ τῷ ἄξονι τῷ τοῦ ἐλάσσονος τμάματος ποτὶ τὸν ἄξονα τὸν τοῦ ἐλάσσονος τμάματος . Τετμάσθω τὸ σφαιροειδὲς ἐπιπέδῳ , ὡς εἴρηται , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ△ ὀξυγωνίου κώνου τομά , τοῦ δὲ τέμνοντος ἐπιπέδου τὸ σχῆμα ἁ ΓΑ εὐθεῖα , παρὰ δὲ τὰν ΑΓ ἄχθωσαν αἱ ΠΡ , ΣΤ ἐπιψαύουσαι τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς κατὰ τὰ Β , △ , καὶ ἀνεστακέτω ἀπʼ αὐτᾶν ἐπίπεδα παράλληλα τῷ κατὰ τὰν ΑΓ · ἐπιψαυσοῦντι δὲ ταῦτα τοῦ σφαιροειδέος κατὰ τὰ Β , △ , καὶ ἐσσοῦνται κορυφαὶ τῶν τμαμάτων τὰ Β , △ . Ἄχθω οὖν ἁ τὰς κορυφὰς ἐπιχζευγνύουσα τῶν γενομένων τμαμάτων ἁ Β△ · πεσεῖται δʼ αὕτα διὰ τοῦ κέντρου · καὶ ἔστω κέντρον τὸ Θ , μεῖζον δὲ ἢ τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τὸ τμᾶμα , οὗ κορυφὰ τὸ Β , ποτικείσθω δὲ ἁ △Η ἴσα τᾷ △EΘ καὶ ἁ ΒΖ τᾷ αὐτᾷ . Δεικτέον ὅτι τὸ τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος τὸ μεῖζον ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ . Τετμάσθω γὰρ τὸ σφαιροειδὲς ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ κέντρου παραλλήλῳ τῷ κατὰ τὰν ΑΓ ἐπιπέδῳ , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος ἀπότμαμα κώνου κορυφὰν ἔχον τὸ △ σαμεῖον , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἁ △Θ ποτὶ τὰν Ε△ , τοῦτον ἐχέτω ἁ Ξ△ ποτὶ τὰν Θ△ . Ὁμοίως δὴ τῷ πρότερον δειχθήσεται τό τε ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος ἐγγεγραμμένον ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν τῷ ἐλάσσονι ἐγγεγραμμένον τὸν αὐτὸν ἔχον λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΒΘ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ , καὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν τῷ ἐλάσσονι τμάματι ἐγγεγραμμένον ποτὶ τὸ τμᾶμα τὸ ἐν ᾧ ἐγγέγραπται τὸν αὐτὸν ἔχον λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ · ἕξει οὖν τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος ἐγγεγραμμένον ποτὶ τὸ ἔλασσον τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΒΘ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ . Ἕξει οὖν τὸ μὲν ὅλον σφαιροειδὲς ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν τῷ ἡμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος ἐγγεγραμμένον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΗ , Ξ△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΘ , Ξ△ · τετραπλάσιον γὰρ ἑκατέρου ἑκάτερον · τὸ δὲ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ εἰρημένον ποτὶ τὸ ἔλασσον τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν Ξ△ , ΒΘ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ · ἕξει οὖν τὸ ὅλον σφαιροειδὲς ποτὶ τὸ ἔλασσον τμᾶμα αὐτοῦ τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΗ , Ξ△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ · αὐτὸ δὲ τὸ μεῖζον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἔλασσον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΖΗ , Ξ△ τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ , ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ . Τὸ δὲ ἔλασσον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕ , Ε△ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ · τὸ δὲ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν τῷ ἐλάσσονι τμάματι ἐγγεγραμμένον ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν τῷ μείζονι τμάματι ἐγγεγραμμένον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΕ τετράγωνον · τὰ γὰρ ἀποτμάματα τῶν κώνων τὰ εἰρημένα τὸν τῶν ὑψέων λόγον ἔχοντι , ἐπεὶ βάσιν ἔχοντι τὰν αὐτάν , τὰ δὲ ὕψεα αὐτῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντι τῷ τᾶς △Ε ποτὶ τὰν ΕΒ · ἔχει οὖν καὶ τὸ μεῖζον τμᾶμα τοῦ σφαιροειδέος ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ ἐν αὐτῷ ἐγγογραμμένον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν ἁ ὑπεροχά , ᾇ ὑπερέχει τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΗΖ , Ξ△ τοῦ ὑπὸ τᾶν ΖΕ△ , ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΕ τετράγωνον · ὁ δὲ λόγος οὗτος ὁμοίως τῷ πρότερον δειχθείη κα ὁ αὐτὸς ἐὼν τῷ ὃν ἔχει ἁ ΕΗ ποτὶ τὰν Ε△ .
Lemmas: καί τοίνυν εἰ ἄν μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ ἐπίπεδος τέμνω ὁ σφαιροειδής μηδέ διά ὁ κέντρον , ὁ μέγας τμῆμα αὐτός πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἡμισέα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κορυφή ὁ γίγνομαι τμῆμα καί ὁ ἄξων ὁ ὁ ἐλαχύς τμῆμα πρός ὁ ἄξων ὁ ὁ ἐλαχύς τμῆμα . τέμνω ὁ σφαιροειδής ἐπίπεδος , ὡς λέγω , τέμνω δέ αὐτός ἐπίπεδος ἄλλος διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ△ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ τέμνω ἐπίπεδος ὁ σχῆμα ὁ ΓΑ εὐθύς , παρά δέ ὁ ΑΓ ἄγω ὁ ΠΡ , ΣΤ ἐπιψαύω ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή κατά ὁ Β , △ , καί ἀνίστημι ἀπό αὐτός ἐπίπεδος παράλληλος ὁ κατά ὁ ΑΓ · ἐπιψαύω δέ οὗτος ὁ σφαιροειδής κατά ὁ Β , △ , καί εἰμί κορυφή ὁ τμῆμα ὁ Β , △ . ἄγω οὖν ὁ ὁ κορυφή ἐπιχζευγνύω ὁ γίγνομαι τμῆμα ὁ Β△ · πίπτω δέ οὗτος διά ὁ κέντρον · καί εἰμί κέντρον ὁ Θ , μέγας δέ ἤ ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Β , πρόσκειμαι δέ ὁ △Η ἴσος ὁ △EΘ καί ὁ ΒΖ ὁ αὐτός . δείκνυμι ὅτι ὁ τμῆμα ὁ σφαιροειδής ὁ μέγας πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ . τέμνω γάρ ὁ σφαιροειδής ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον παράλληλος ὁ κατά ὁ ΑΓ ἐπίπεδος , καί ἐγγράφω εἰς ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ἀπότμημα κῶνος κορυφή ἔχω ὁ △ σαμεῖον , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ △Θ πρός ὁ Ε△ , οὗτος ἔχω ὁ Ξ△ πρός ὁ Θ△ . ὅμοιος δή ὁ πρότερος δείκνυμι ὁ τε ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ἐγγράφω πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς ἐγγράφω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΒΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ , καί ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς τμῆμα ἐγγράφω πρός ὁ τμῆμα ὁ ἐν ὅς ἐγγράφω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ · ἔχω οὖν ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ἐγγράφω πρός ὁ ἐλαχύς τμῆμα ὁ σφαιροειδής ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΒΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ . ἔχω οὖν ὁ μέν ὅλος σφαιροειδής πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ἐγγράφω ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΗ , Ξ△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , Ξ△ · τετραπλάσιος γάρ ἑκάτερος ἑκάτερος · ὁ δέ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ λέγω πρός ὁ ἐλαχύς τμῆμα ὁ σφαιροειδής ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ Ξ△ , ΒΘ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ · ἔχω οὖν ὁ ὅλος σφαιροειδής πρός ὁ ἐλαχύς τμῆμα αὐτός ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΗ , Ξ△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ · αὐτός δέ ὁ μέγας τμῆμα πρός ὁ ἐλαχύς ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΗ , Ξ△ ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ , πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ . ὁ δέ ἐλαχύς τμῆμα πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν αὐτός ἐγγράφω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , Ε△ πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ · ὁ δέ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ ἐλαχύς τμῆμα ἐγγράφω πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν ὁ μέγας τμῆμα ἐγγράφω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΕ τετράγωνος · ὁ γάρ ἀπότμαμα ὁ κῶνος ὁ λέγω ὁ ὁ ὕψος λόγος ἔχω , ἐπεί βάσις ἔχω ὁ αὐτός , ὁ δέ ὕψος αὐτός ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ ὁ △Ε πρός ὁ ΕΒ · ἔχω οὖν καί ὁ μέγας τμῆμα ὁ σφαιροειδής πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ ἐν αὐτός γγογράμνυμι ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ὑπεροχή , ὅς ὑπερέχω ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΗΖ , Ξ△ ὁ ὑπό ὁ ΖΕ , πρός ὁ ἀπό ὁ ΒΕ τετράγωνος · ὁ δέ λόγος οὗτος ὅμοιος ὁ πρότερος δείκνυμι ἄν ὁ αὐτός εἰμί ὁ ὅς ἔχω ὁ ΕΗ πρός ὁ Ε△ .