ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 5
Πᾶν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ποτὶ πάντα κύκλον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν διαμέτρων τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς τοῦ κύκλου διαμέτρου τετράγωνον . Ἔστω γάρ τι χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς , ἐν ᾧ τὸ Χ , διάμετροι δὲ ἔστωσαν τᾶς τοῦ ὀξυγωνιου κώνου τομᾶς αἱ ΑΓ , Β△ , μείζων δὲ ἁ ΑΓ , καὶ κύκλος ἔστω , ἐν ᾧ Ψ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἁ ΕΖ δεικτέον ὅτι τὸ Χ χωρίον ποτὶ τὸν Ψ κύκλον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΓ , Β△ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετράγωνον . Περιγεγράφθω δὴ κύκλος περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ · τὸ δὴ Χ χωρίον ποτὶ τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΓ , Β△ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ τετράγωνον δέδεικται γὰρ ἔχον ὃν ἁ Β△ ποτὶ τὰν ΑΓ . Ἔχει δὲ καὶ ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ , ποτὶ τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἁ ΕΖ , τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΖ δῆλον οὖν ὅτι τὸ Χ χωρίον ποτὶ τὸν Ψ κύκλον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΓ , Β△ περιεχόμενον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετράγωνον .
Lemmas: πᾶς χωρίον περιέχω ὑπό ὀξυγώνιος κῶνος τομή πρός πᾶς κύκλος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ διάμετρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή πρός ὁ ἀπό ὁ ὁ κύκλος διάμετρος τετράγωνος . εἰμί γάρ τις χωρίον περιέχω ὑπό ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ἐν ὅς ὁ Χ , διάμετρος δέ εἰμί ὁ ὁ ὀξυγωνιος κῶνος τομή ὁ ΑΓ , Β△ , μέγας δέ ὁ ΑΓ , καί κύκλος εἰμί , ἐν ὅς Ψ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΕΖ δείκνυμι ὅτι ὁ Χ χωρίον πρός ὁ Ψ κύκλος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΖ τετράγωνος . περιγράφω δή κύκλος περί διάμετρος ὁ ΑΓ · ὁ δή Χ χωρίον πρός ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΑΓ , ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ πρός ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος δείκνυμι γάρ ἔχω ὅς ὁ Β△ πρός ὁ ΑΓ . ἔχω δέ καί ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΑΓ , πρός ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΕΖ , ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ ΑΓ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΖ δῆλος οὖν ὅτι ὁ Χ χωρίον πρός ὁ Ψ κύκλος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ ὑπό ὁ ΑΓ , Β△ περιέχω πρός ὁ ἀπό ὁ ΕΖ τετράγωνος .
archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 6
Τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ποτ᾿ ἄλλαλα , ὃν τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τᾶν διαμέτρων τᾶν τῶν ὀξυγωνίων κώνων τομᾶν ποτʼ ἄλλαλα . Ἔστω περιεχόμενα χωρία ὑπὸ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς , ἐν οἷς τὰ Α , Β , ἔστω δὲ καὶ τὸ μὲν Γ△ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν διαμέτρων τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς τᾶς περιεχούσας τὸ Α χωρίον , τὸ δὲ ΕΖ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν διαμέτρων τᾶς ἑτέρας τομᾶς · δεικτέον ὅτι τὸ Α χωρίον ποτὶ τὸ Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ Γ△ ποτὶ τὸ ΕΖ . Λελάφθω δὴ κύκλος τις , ἐν ᾧ τὸ Ψ , ἀπὸ δὲ τᾶς διαμέτρου αὐτοῦ τετράγωνον ἔστω τὸ ΚΛ . Ἔχει δὴ τὸ μὲν Α χωρίον ποτὶ τὸν Ψ κύκλον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ Γ△ ποτὶ τὸ ΚΛ , ὁ δὲ Ψ κύκλος ποτὶ τὸ Β χωρίον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ ΚΛ ποτὶ τὸ ΕΖ δῆλον οὖν ὅτι τὸ Α χωρίον ποτὶ τὸ Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ Γ△ ποτὶ τὸ ΕΖ . ΠΟΡΙΣΜΑ . Ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ ὁμοιᾶν ὀξυγωνίου κώνου τομᾶν τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντι ποτʼ ἄλλαλα , ὃν ἔχοντι δυνάμει ποτʼ ἀλλάλας αἱ ὁμόλογοι διάμετροι τᾶν τομᾶν .
Lemmas: ὁ περιέχω χωρίον ὑπό ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ αὐτός ἔχω λόγος ποτέ ἀλλήλων , ὅς ὁ περιέχω ὑπό ὁ διάμετρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ποτέ ἀλλήλων . εἰμί περιέχω χωρίον ὑπό ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ἐν ὅς ὁ Α , Β , εἰμί δέ καί ὁ μέν Γ△ περιέχω ὑπό ὁ διάμετρον ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περιέχω ὁ Α χωρίον , ὁ δέ ΕΖ περιέχω ὑπό ὁ διάμετρον ὁ ἕτερος τομή · δείκνυμι ὅτι ὁ Α χωρίον πρός ὁ Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Γ△ πρός ὁ ΕΖ . λαμβάνω δή κύκλος τις , ἐν ὅς ὁ Ψ , ἀπό δέ ὁ διάμετρος αὐτός τετράγωνος εἰμί ὁ ΚΛ . ἔχω δή ὁ μέν Α χωρίον πρός ὁ Ψ κύκλος ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Γ△ πρός ὁ ΚΛ , ὁ δέ Ψ κύκλος πρός ὁ Β χωρίον ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ ΚΛ πρός ὁ ΕΖ δῆλος οὖν ὅτι ὁ Α χωρίον πρός ὁ Β ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Γ△ πρός ὁ ΕΖ . πόρισμα . ἐκ οὗτος δέ φανερός ὅτι ὁ περιέχω χωρίον ὑπό ὅμοιος ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ αὐτός λόγος ἔχω ποτέ ἀλλήλων , ὅς ἔχω δύναμις ποτέ ἀλλήλων ὁ ὁμόλογος διάμετρος ὁ τομή .
archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 10
Ὅτι μὲν πᾶς κῶνος ποτὶ κῶνον τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ τῶν βάσιων λόγου καὶ ἐκ τοῦ τῶν ὑψέων ἀποδείκνυται ὑπὸ τῶν πρότερον , ἁ αὐτὰ δὲ ἀπόδειξίς ἐντι καὶ διότι πᾶν ἀπότμαμα κώνου ποτὶ ἀπότμαμα κώνου τὸν συγκείμενον λόγον ἔχει ἔκ τε τοῦ τῶν βάσιων λόγου καὶ ἐκ τοῦ τῶν ὑψέων . Καὶ ὅτι πᾶς τόμος κυλίνδρου τριπλασίων ἐστὶ τοῦ ἀποτμάματος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τόμῳ καὶ ὕψος ἴσον , ἁ αὐτὰ ἀπόδειξις , ἅπερ καὶ ὅτι ὁ κύλινδρος τριπλάσιός ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ κυλίνδρῳ καὶ ὕψος ἴσον .
Lemmas: ὅτι μέν πᾶς κῶνος πρός κῶνος ὁ σύγκειμαι ἔχω λόγος ἐκ τε ὁ ὁ βάσις λόγος καί ἐκ ὁ ὁ ὕψος ἀποδείκνυμι ὑπό ὁ πρότερος , ὁ αὐτός δέ ἀπόδειξις εἰμί καί διότι πᾶς ἀπότμημα κῶνος πρός ἀπότμημα κῶνος ὁ σύγκειμαι λόγος ἔχω ἐκ τε ὁ ὁ βᾶσιος λόγος καί ἐκ ὁ ὁ ὕψος . καί ὅτι πᾶς τόμος κύλινδρος τριπλασίων εἰμί ὁ ἀπότμαμα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τόμος καί ὕψος ἴσος , ὁ αὐτός ἀπόδειξις , ὅς καί ὅτι ὁ κύλινδρος τριπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ κύλινδρος καί ὕψος ἴσος .
archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 17
Εἴ κα τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὁποτερουοῦν δύο παράλληλα ἐπίπεδα ἀχθῇ ἐπιψαύοντα , ἀχθῇ δὲ τι ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου τοῦ σφαιροειδέος παρὰ τὰ ἐπιψαύοντα , αἱ διὰ τᾶς γενομένας τομᾶς ἀγόμεναι εὐθεῖαι παρὰ τὰν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν ἐκτὸς πεσοῦνται τοῦ σφαιροειδέος . Ὑποκείσθω τὰ εἰρημένα , καὶ λελάφθω τι σαμεῖον ἐπὶ τᾶς γενομένας τομᾶς , διὰ δὲ τοῦ γενομένου σαμείου καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσας ἐπίπεδον ἄχθω · τεμεῖ δὴ τοῦτο τό τε σφαιροειδὲς καὶ τὰ παράλλαλα ἐπίπεδα . Ἔστω οὖν ἁ μὲν τοῦ σφαιροειδέος τομὰ ἁ ΑΒΓ△ , αἱ δὲ τῶν ἐπιπέδων τῶν ψαυόντων τομαὶ αἱ ΕΖ , ΗΘ εὐθεῖαι , τὸ δὲ λαφθὲν σαμεῖον τὸ Α , ἁ δὲ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσα ἔστω ἁ Β△ · πεσεῖται δὲ αὕτα διὰ τοῦ κέντρου · ἁ δὲ τοῦ παραλλήλου ἐπιπέδου τοῖς ἐπιψαυόντεσσιν ἐπιπέδοις τομὰ ἁ ΓΑ · ἐσσεῖται δὲ αὕτα διὰ τοῦ κέντρου ἀγμένα , ἐπεὶ καὶ τὸ ἐπίπεδον , Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ἁ ΑΒΓ△ ἤτοι κύκλος ἢ ὀξυγωνίου κώνου τομά , καὶ ἐπιψαύοντι αὐτᾶς δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΖ , ΗΘ , διὰ δὲ τοῦ κέν τρου ἆκται παράλληλος αὐταῖς ἁ ΑΓ , δῆλον ὡς αἱ ἀπὸ τῶν Α , Γ ἀγόμεναι σαμείων παρὰ τὰν Β△ ἐπιψαύοντι τᾶς τομᾶς καὶ ἐκτὸς πεσοῦνται τοῦ σφαιροειδέος . Εἰ δέ κα τὸ παράλληλον ἐπίπεδον τοῖς ἐπιψαυόντεσσι μὴ διὰ τοῦ κέντρου ἀγμένον ᾖ , ὡς τὸ ΚΛ , δῆλον ὡς τᾶν ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἀγομενᾶν εὐθειᾶν αἱ μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ γενόμενα τῷ ἐλάσσονι τμάματι ἐκτὸς πεσοῦνται τοῦ σφαιροειδέος , αἱ δὲ ἐπὶ θάτερα ἐντός .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ σφαιροειδής σχῆμα ὁποτέσρις δύο παράλληλος ἐπίπεδος ἄγω ἐπιψαύω , ἄγω δέ τις ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον ὁ σφαιροειδής παρά ὁ ἐπιψαύω , ὁ διά ὁ γίγνομαι τομή ἄγω εὐθεῖα παρά ὁ ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι ἐκτός πίπτω ὁ σφαιροειδής . ὑπόκειμαι ὁ λέγω , καί λαμβάνω τις σαμεῖον ἐπί ὁ γίγνομαι τομή , διά δέ ὁ γίγνομαι σαμεῖον καί ὁ εὐθεῖα ὁ ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι ἐπίπεδος ἄγω · τέμνω δή οὗτος ὁ τε σφαιροειδής καί ὁ παράλλαλος ἐπίπεδος . εἰμί οὖν ὁ μέν ὁ σφαιροειδής τομή ὁ ΑΒΓ△ , ὁ δέ ὁ ἐπίπεδος ὁ ψαύω τομή ὁ ΕΖ , ΗΘ εὐθύς , ὁ δέ λάπτω σαμεῖον ὁ Α , ὁ δέ ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι εἰμί ὁ Β△ · πίπτω δέ οὗτος διά ὁ κέντρον · ὁ δέ ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ ἐπιψαύω ἐπίπεδος τομή ὁ ΓΑ · εἰμί δέ οὗτος διά ὁ κέντρον ἄγω , ἐπεί καί ὁ ἐπίπεδος , Ἐπεί οὖν εἰμί ὁ ΑΒΓ△ ἤτοι κύκλος ἤ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , καί ἐπιψαύω αὐτός δύο εὐθεῖα ὁ ΕΖ , ΗΘ , διά δέ ὁ ἄν τρος ἄγω παράλληλος αὐτός ὁ ΑΓ , δῆλος ὡς ὁ ἀπό ὁ Α , Γ ἄγω σαμεῖον παρά ὁ Β△ ἐπιψαύω ὁ τομή καί ἐκτός πίπτω ὁ σφαιροειδής . εἰ δέ ἄν ὁ παράλληλος ἐπίπεδος ὁ ἐπιψαύω μή διά ὁ κέντρον ἄγω εἰμί , ὡς ὁ ΚΛ , δῆλος ὡς ὁ ἀπό ὁ τομή ἄγω εὐθεῖα ὁ μέν ἐπί ὁ αὐτός γίγνομαι ὁ ἐλαχύς τμῆμα ἐκτός πίπτω ὁ σφαιροειδής , ὁ δέ ἐπί ἕτερος ἐντός .