archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 25
Καὶ τοίνυν εἴ κα μὴ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα τῷ ἐπιπέδῳ ἀποτμαθῇ τὸ τμᾶμα τοῦ ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος , ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἕξει τὸν λόγον , ὃν ἁ συναμφοτέραις ἴσα τῷ τε ἄξονι τοῦ τμάματος καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς ποτεούσας τῷ ἄξονι ποτὶ τὰν ἴσαν συναμφοτέραις τῷ τε ἄξονι καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ποτεούσας τῷ ἄξονι . Ἔστω γὰρ τμᾶμα ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος ἀποτετμαμένον ἐπιπέδῳ , ὡς εἴρηται , τμαθέντος δὲ ἐπιπέδῳ τοῦ σχήματος ἄλλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμακὸς τὸ τμᾶμα τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ ἀμβλυγωνίου κώνου τομά , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμακότος τὸ τμᾶμα ἁ ΓΑ εὐθεῖα , κορυφὰ δὲ ἔστω τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδὲς τὸ Θ σαμεῖον , καὶ ἄχθω διὰ τοῦ Β παρὰ τὰν ΑΓ ἐπιψαύουσα τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς ἁ ΦΥ , ἐπιψαυέτω δὲ κατὰ τὸ Β , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω · τεμεῖ δὴ αὕα δίχα τὰν ΑΓ , καὶ ἐσσεῖται κορυφὰ μὲν τοῦ τμάματος τὸ Β σαμεῖον , ἄξων δὲ ἁ Β△ , ἁ δὲ ποτεοῦσα τῷ ἄξονι ἁ ΒΘ · τᾷ δὲ ΒΘ ἴσα ἔστω ἅ τε ΘΖ καὶ ἁ ΖΗ , ἀπὸ δὲ τᾶς ΦΥ ἐπίπεδον ἀνεστακέτω τι παράλληλον τῷ κατὰ τὰν ΑΓ · ἐπιψαύσει δὴ τοῦ κωνοειδέος κατὰ τὸ Β . Καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ κατὰ τὰν ΑΓ οὐκ ἐὸν ὀρθὸν ποτὶ τὸν ἄξονα τετμάκει τὸ κωνοειδές , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἁ μείζων ἁ ΓΑ · ἐούσας δὴ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ καὶ τᾶς Β△ γραμμᾶς ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνεστακούσας ἐν ἐπιπέδῳ , ὅ ἐστιν ἀπὸ τᾶς διαμέτρου ὀρθὸν ποτὶ τὸ ἐπίπεδον , ἐν ᾧ ἐστιν ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομά , δυνατόν ἐστι κύλινδρον εὑρεῖν τὸν ἄξονα ἔχοντα ἐπʼ εὐθείας τᾷ Β△ , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἁ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ . Εὑρεθέντος οὖν ἐσσεῖταί τις κυλίνδρου τόμος τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχων τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , ἁ δὲ ἑτέρα βάσις αὐτοῦ ἐσσεῖται τὸ ἐπίπεδον τὸ κατὰ τὰν ΦΥ . Πάλιν δὲ καὶ κῶνον εὑρεῖν δυνατόν ἐστι κορυφὰν ἔχοντα τὸ Β σαμεῖον , οὗ ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἐσσεῖται ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἁ περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ . Εὑρεθέντος οὖν καὶ ἀπότμαμά τι ἐσσεῖται κώνου βάσιν ἔχον τὰν αὐτὰν τῷ τε τόμῳ καὶ τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν · δεικτέον ὅτι τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου τὸ εἰρημένον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἁ Η△ ποτὶ τὰν △Ζ . Ὃν γὰρ ἔχει λόγον ἁ Η△ ποτὶ τὰν △Ζ , τοῦτον ἐχέτω ὁ Ψ κῶνος ποτὶ τὸ ἀπότμαμα τοῦ κώνου . Εἰ οὖν μή ἐστιν ἴσον τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τῷ κώνῳ τῷ Ψ , ἔστω , εἰ δυνατόν ἐστιν , μεῖζον . Ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα σχῆμα στερεόν , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρου τόμων ἴσον ὕψος ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Ἐπεὶ οὖν τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα μεῖζον ἐὸν τοῦ τμάματος ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἢ τὸ τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου , δῆλον ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ Ψ κώνου . Διάχθω δὴ τὰ ἐπίπεδα τῶν τόμων τῶν ἐγγεγραμμένων ἐν τῷ τμάματι πάντων ἔστε ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ τόμου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , καὶ ἅ τε ΒΡ τρίτον μέρος ἔστω τᾶς Β△ , καὶ τἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω . Πάλιν δὴ ὁ πρῶτος τόμος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ τόμῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν ΔΕ ποτὶ τὸν πρῶτον τόμον τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν △Ε τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Α△ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΕ · οἱ γὰρ τόμοι οἱ ἴσον ὕψος ἔχοντες τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ποτʼ ἀλλάλους , ὅνπερ αἱ βάσιες αὐτῶν , αἱ δὲ βάσιες αὐτῶν , ἐπεὶ ὁμοῖαί ἐντι ὀξυγωνίων κώνων τομαί , τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντι ποτʼ ἀλλάλας , ὃν αἱ ὁμόλογοι διάμετροι αὐτᾶν δυνάμει . Ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς Α△ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΕ , τοῦτον ἔχει τὸ ὑπὸ τᾶν Ζ△Β περιεχόμενον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΖΕΒ , ἐπεί ἐστιν ἁ μὲν Ζ△ ἀγμένα διὰ τοῦ Θ , καθʼ ὃ αἱ ἔγγιστα συμπίπτοντι , αἱ δὲ Α△ , ΚΕ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν · ἔστιν δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τᾶν Ζ△Β περιεχόμενον ἴσον τῷ Ω χωρίῳ , τὸ δὲ ὑπὸ τᾶν ΖΕΒ τῷ ΞΜ · ἔχει οὖν ὁ πρῶτος τόμος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ τόμῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν △Ε ποτὶ τὸν πρῶτον τόμον τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν △Ε τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ Ω χωρίον ποτὶ τὸ ΞΜ · καὶ τῶν ἄλλων δὲ τόμων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ τόμῳ ἄξονα ἐχόντων τὰν ἴσαν τᾷ △Ε ποτὶ τὸν τόμον τὸν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι κατʼ αὐτὸν ἐόντα καὶ ἄξονα ἔχοντα τὰν ἴσαν τᾷ △Ε τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ Ω χωρίον ποτὶ τὸ ὁμόλογον τῶν παρὰ τὰν Ξ παραπεπτωκότων ὑπερβαλλόντων εἴδει τετραγώνῳ . Πάλιν οὖν ἐντί τινα μεγέθεα , οἱ τόμοι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ τόμῳ , καὶ ἄλλα μεγέθεα , τὰ χωρία , ἐν οἷς τὸ Ω , ἴσα τῷ πλήθει τοῖς τόμοις καὶ κατὰ δύο τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντα αὐτοῖς , λέγονται δὲ οἱ τόμοι ποτʼ ἄλλους τόμους τοὺς ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι , ὁ δὲ ἔσχατος τόμος οὐδὲ ποθʼ ἓν λέγεται , τὰ δὲ Ω χωρία ποτʼ ἄλλα χωρία τὰ παρὰ τὰν Ξ παραπεπτωκότα ὑπερβάλλοντα εἴδεσι τετραγώνοις , τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις , τὸ δὲ ἔσχατον οὐδὲ ποθʼ ἓν λέγεται δῆλον οὖν ὅτι καὶ πάντες οἱ τόμοι ποτὶ πάντας τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πάντα τὰ Ω χωρία ποτὶ πάντα τὰ παραβλήματα χωρὶς τοῦ μεγίστου . Πάντα δὲ τὰ Ω χωρία ποτὶ πάντα τὰ παραβλήματα χωρὶς τοῦ μεγίστου μείζονα λόγον ἔχοντι ἢ ὃν ἁ ΞΝ ποτὶ τὰν ἴσαν ἀμφοτέραις τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς Ξ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τᾶς Ν · μείζονα οὖν λόγον ἔχει ὅλος ὁ τόμος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΞΝ ποτὶ τὰν ἴσαν ἀμφοτέραις τᾷ τε ἡμισέᾳ τᾶς Ξ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τᾶς Ν · ὥστε καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν ΘΡ . Μείζονα οὖν ἔχει λόγον ὁ ὅλος τόμος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · ὅπερ ἀδύνατον · ἐδείχθη γὰρ μεῖζον ἐὸν τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τοῦ Ψ κώνου . Οὐκ ἔστιν οὖν μεῖζον τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Εἰ δὲ ἔλασσόν ἐστι τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου , ἐγγραφέντος εἰς τὸ τμᾶμα σχήματος στερεοῦ καὶ ἄλλου περιγραφέντος ἐκ κυλίνδρου τόμων ἴσον ὕψος ἐχόντων συγκειμένου , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει ὁ Ψ κῶνος τοῦ τμάματος , πάλιν ὁμοίως δειχθήσεται τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἔλασσον ἐὸν τοῦ Ψ κώνου καὶ ὁ τοῦ κυλίνδρου τόμος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἐλάσσονα λόγον ἔχων ἢ ποτὶ τὸν Ψ κῶνον · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον , Οὐκ ἔστιν οὖν οὐδʼ ἔλασσον τὸ τοῦ κωνοειδέος τμᾶμα τοῦ Ψ κώνου . Δῆλον οὖν τὸ προτεθέν .
Lemmas: καί τοίνυν εἰ ἄν μή ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ ἐπίπεδος ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής , πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ συναμφότεροι ἴσος ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ τριπλάσιος ὁ πρόσειμι ὁ ἄξων πρός ὁ ἴσος συναμφότεροι ὁ τε ἄξων καί ὁ διπλάσιος ὁ πρόσειμι ὁ ἄξων . εἰμί γάρ τμῆμα ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἀποτέμνω ἐπίπεδος , ὡς λέγω , τέμνω δέ ἐπίπεδος ὁ σχῆμα ἄλλος διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ ΓΑ εὐθύς , κορυφή δέ εἰμί ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής ὁ Θ σαμεῖον , καί ἄγω διά ὁ Β παρά ὁ ΑΓ ἐπιψαύω ὁ ὁ κῶνος τομή ὁ ΦΥ , ἐπιψαύω δέ κατά ὁ Β , καί ἀπό ὁ Θ ἐπί ὁ Β ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω · τέμνω δή αὖος δίχα ὁ ΑΓ , καί εἰμί κορυφή μέν ὁ τμῆμα ὁ Β σαμεῖον , ἄξων δέ ὁ Β△ , ὁ δέ πρόσειμι ὁ ἄξων ὁ ΒΘ · ὁ δέ ΒΘ ἴσος εἰμί ὁ τε ΘΖ καί ὁ ΖΗ , ἀπό δέ ὁ ΦΥ ἐπίπεδος ἀνίστημι τις παράλληλος ὁ κατά ὁ ΑΓ · ἐπιψαύω δή ὁ κωνοειδής κατά ὁ Β . καί ἐπεί ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΑΓ οὐ εἰμί ὀρθός πρός ὁ ἄξων τέμνω ὁ κωνοειδής , ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός ὁ μέγας ὁ ΓΑ · εἰμί δή ὀξυγώνιος κῶνος τομή περί διάμετρος ὁ ΑΓ καί ὁ Β△ γραμμή ἀπό ὁ κέντρον ἀνειστήκω ἐν ἐπίπεδος , ὅς εἰμί ἀπό ὁ διάμετρος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , δυνατός εἰμί κύλινδρος εὑρίσκω ὁ ἄξων ἔχω ἐπί εὐθεῖα ὁ Β△ , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ . εὑρίσκω οὖν εἰμί τις κύλινδρος τόμος ὁ αὐτός βάσις ἔχω ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , ὁ δέ ἕτερος βάσις αὐτός εἰμί ὁ ἐπίπεδος ὁ κατά ὁ ΦΥ . πάλιν δέ καί κῶνος εὑρίσκω δυνατός εἰμί κορυφή ἔχω ὁ Β σαμεῖον , ὅς ἐν ὁ ἐπιφάνεια εἰμί ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ . εὑρίσκω οὖν καί ἀπότμημα τις εἰμί κῶνος βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τε τόμος καί ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός · δείκνυμι ὅτι ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος ὁ λέγω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ Η△ πρός ὁ △Ζ . ὅς γάρ ἔχω λόγος ὁ Η△ πρός ὁ △Ζ , οὗτος ἔχω ὁ Ψ κῶνος πρός ὁ ἀπότμημα ὁ κῶνος . εἰ οὖν μή εἰμί ἴσος ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ κῶνος ὁ Ψ , εἰμί , εἰ δυνατός εἰμί , μέγας . ἐγγράφω δή εἰς ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα σχῆμα στερεός , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος τόμος ἴσος ὕψος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . ἐπεί οὖν ὁ περιγράφω σχῆμα μέγας εἰμί ὁ τμῆμα ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἤ ὁ τμῆμα ὁ Ψ κῶνος , δῆλος ὅτι μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ Ψ κῶνος . διάγω δή ὁ ἐπίπεδος ὁ τόμος ὁ ἐγγράφω ἐν ὁ τμῆμα πᾶς ἔστε πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ τόμος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , καί ὅς τε ΒΡ τρίτος μέρος εἰμί ὁ Β△ , καί ἄλλος ὁ αὐτός ὁ πρότερος κατασκευάζω . πάλιν δή ὁ πρῶτος τόμος ὁ ἐν ὁ ὅλος τόμος ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΔΕ πρός ὁ πρῶτος τόμος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ἀπό ὁ Α△ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΕ · ὁ γάρ τόμος ὁ ἴσος ὕψος ἔχω ὁ αὐτός ἔχω λόγος ποτέ ἀλλήλων , ὅς ὁ βάσις αὐτός , ὁ δέ βάσις αὐτός , ἐπεί ὅμοιος εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , ὁ αὐτός λόγος ἔχω ποτέ ἀλλήλων , ὅς ὁ ὁμόλογος διάμετρος αὐτός δύναμις . ὅς δέ λόγος ἔχω ὁ ἀπό ὁ Α△ τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ ΚΕ , οὗτος ἔχω ὁ ὑπό ὁ Ζ△Β περιέχω πρός ὁ ὑπό ὁ ΖΕΒ , ἐπεί εἰμί ὁ μέν Ζ△ ἄγω διά ὁ Θ , κατά ὅς ὁ ἐγγύς συμπίπτω , ὁ δέ Α△ , ΚΕ παρά ὁ κατά ὁ Β ἐπιψαύω · εἰμί δέ ὁ μέν ὑπό ὁ Ζ△Β περιέχω ἴσος ὁ Ω χωρίον , ὁ δέ ὑπό ὁ ΖΕΒ ὁ ΞΜ · ἔχω οὖν ὁ πρῶτος τόμος ὁ ἐν ὁ ὅλος τόμος ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε πρός ὁ πρῶτος τόμος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ △Ε ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ Ω χωρίον πρός ὁ ΞΜ · καί ὁ ἄλλος δέ τόμος ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ὅλος τόμος ἄξων ἔχω ὁ ἴσος ὁ △Ε πρός ὁ τόμος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα κατά αὐτός εἰμί καί ἄξων ἔχω ὁ ἴσος ὁ △Ε οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ Ω χωρίον πρός ὁ ὁμόλογος ὁ παρά ὁ Ξ παραπίπτω ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος . πάλιν οὖν εἰμί τις μέγεθος , ὁ τόμος ὁ ἐν ὁ ὅλος τόμος , καί ἄλλος μέγεθος , ὁ χωρίον , ἐν ὅς ὁ Ω , ἴσος ὁ πλῆθος ὁ τόμος καί κατά δύο ὁ αὐτός λόγος ἔχω αὐτός , λέγω δέ ὁ τόμος ποτέ ἄλλος τόμος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα , ὁ δέ ἔσχατος τόμος οὐδέ ποτέ εἷς λέγω , ὁ δέ Ω χωρίον ποτέ ἄλλος χωρίον ὁ παρά ὁ Ξ παραπίπτω ὑπερβάλλω εἶδος τετράγωνος , ὁ ὁμόλογος ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὁ δέ ἔσχατος οὐδέ ποτέ εἷς λέγω δῆλος οὖν ὅτι καί πᾶς ὁ τόμος πρός πᾶς ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ Ω χωρίον πρός πᾶς ὁ παράβλημα χωρίς ὁ μέγας . πᾶς δέ ὁ Ω χωρίον πρός πᾶς ὁ παράβλημα χωρίς ὁ μέγας μέγας λόγος ἔχω ἤ ὅς ὁ ΞΝ πρός ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε ἡμισέα ὁ Ξ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ Ν · μέγας οὖν λόγος ἔχω ὅλος ὁ τόμος πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ ὅς ἔχω ὁ ΞΝ πρός ὁ ἴσος ἀμφότερος ὁ τε ἡμισέα ὁ Ξ καί ὁ τρίτος μέρος ὁ Ν · ὥστε καί ὁ ὅς ἔχω ὁ Ζ△ πρός ὁ ΘΡ . μέγας οὖν ἔχω λόγος ὁ ὅλος τόμος πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἤ πρός ὁ Ψ κῶνος · ὅς ἀδύνατος · δείκνυμι γάρ μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ Ψ κῶνος . οὐ εἰμί οὖν μέγας ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . εἰ δέ ἐλαχύς εἰμί ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος , ἐγγράφω εἰς ὁ τμῆμα σχῆμα στερεός καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος τόμος ἴσος ὕψος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ Ψ κῶνος ὁ τμῆμα , πάλιν ὅμοιος δείκνυμι ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Ψ κῶνος καί ὁ ὁ κύλινδρος τόμος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός πρός ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ πρός ὁ Ψ κῶνος · ὅς εἰμί ἀδύνατος , Οὐ εἰμί οὖν οὐδέ ἐλαχύς ὁ ὁ κωνοειδής τμῆμα ὁ Ψ κῶνος . δῆλος οὖν ὁ προτίθημι .