archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 11
Εἴ κα τὸ ὀρθογώνιον κωνοειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος ἢ παρὰ τὸν ἄξονα , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ αὐτὰ τᾷ περιλαμβανούσᾳ τὸ σχῆμα , διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἐσσεῖται ἁ κοινὰ τομὰ τῶν ἐπιπέδων τοῦ τέμνοντος τὸ σχῆμα καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἀχθέντος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ τέμνον . Εἰ δέ κα τμαθῇ τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , ἁ τομὰ κύκλος ἐσσεῖται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος . Εἴ κα τὸ ἀμβλυγώνιον κωνοειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος ἢ παρὰ τὸν ἄξονα ἢ διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδές , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ἀμβλυγωνίου κώνου τομά , εἰ μέν κα διὰ τοῦ ἄξονος , ἁ αὐτὰ τᾷ περιλαμβανούσᾳ τὸ σχῆμα , εἰ δέ κα παρὰ τὸν ἄξονα , ὁμοία αὐτᾷ , εἰ δέ κα διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδές , οὐχ ὁμοία , διάμετρος δὲ τᾶς τομᾶς ἐσσεῖται ἁ κοινὰ τομὰ τῶν ἐπιπέδων τοῦ τέμνοντος τὸ σχῆμα καὶ τοῦ ἀχθέντος διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον . Εἰ δέ κα τμαθῇ ὀρθῷ τῷ ἐπιπέδῳ ποτὶ τὸν ἄξονα , ἁ τομὰ κύκλος ἐσσεῖται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος . Εἴ κα τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὁποτερονοῦν ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος ἢ παρὰ τὸν ἄξονα , ἁ τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά , εἰ μέν κα διὰ τοῦ ἄξονος , αὐτὰ ἁ περιλαμβάνουσα τὸ σχῆμα , εἰ δέ κα παρὰ τὸν ἄξονα , ὁμοία αὐτᾷ , διάμετρος δὲ τᾶς τομᾶς ἐσσεῖται ἁ κοινὰ τομὰ τῶν ἐπιπέδων τοῦ τέμνοντος τὸ σχῆμα καὶ τοῦ ἀχθέντος διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον . Εἰ δέ κα τμαθῇ τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , ἁ τομὰ κύκλος ἐσσεῖται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος . Εἴ κα τῶν εἰρημένων σχημάτων ὁποιονοῦν ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος , αἱ ἀπὸ τῶν σαμείων τῶν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος μὴ ἐπὶ τᾶς τομᾶς ἐόντων κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον ἐντὸς πεσοῦνται τᾶς τοῦ σχήματος τομᾶς . Τούτων δὲ πάντων φανεραί ἐντι αἱ ἀποδείξιες .
Lemmas: εἰ ἄν ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ ἄξων ἤ παρά ὁ ἄξων , ὁ τομή εἰμί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ αὐτός ὁ περιλαμβάνω ὁ σχῆμα , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ τέμνω ὁ σχῆμα καί ὁ διά ὁ ἄξων ἄγω ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ τέμνω . εἰ δέ ἄν τέμνω ὁ ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ τομή κύκλος εἰμί ὁ κέντρον ἔχω ἐπί ὁ ἄξων . εἰ ἄν ὁ ἀμβλυγώνιος κωνοειδής ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ ἄξων ἤ παρά ὁ ἄξων ἤ διά ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής , ὁ τομή εἰμί ἀμβλυγώνιος κῶνος τομή , εἰ μέν ἄν διά ὁ ἄξων , ὁ αὐτός ὁ περιλαμβάνω ὁ σχῆμα , εἰ δέ ἄν παρά ὁ ἄξων , ὅμοιος αὐτός , εἰ δέ ἄν διά ὁ κορυφή ὁ κῶνος ὁ περιέχω ὁ κωνοειδής , οὐ ὅμοιος , διάμετρος δέ ὁ τομή εἰμί ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ τέμνω ὁ σχῆμα καί ὁ ἄγω διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος . εἰ δέ ἄν τέμνω ὀρθός ὁ ἐπίπεδος πρός ὁ ἄξων , ὁ τομή κύκλος εἰμί ὁ κέντρον ἔχω ἐπί ὁ ἄξων . εἰ ἄν ὁ σφαιροειδής σχῆμα ὁπότερος ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ ἄξων ἤ παρά ὁ ἄξων , ὁ τομή εἰμί ὀξυγώνιος κῶνος τομή , εἰ μέν ἄν διά ὁ ἄξων , αὐτός ὁ περιλαμβάνω ὁ σχῆμα , εἰ δέ ἄν παρά ὁ ἄξων , ὅμοιος αὐτός , διάμετρος δέ ὁ τομή εἰμί ὁ κοινός τομή ὁ ἐπίπεδος ὁ τέμνω ὁ σχῆμα καί ὁ ἄγω διά ὁ ἄξων ὀρθός πρός ὁ τέμνω ἐπίπεδος . εἰ δέ ἄν τέμνω ὁ ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων , ὁ τομή κύκλος εἰμί ὁ κέντρον ἔχω ἐπί ὁ ἄξων . εἰ ἄν ὁ λέγω σχῆμα ὁποῖος ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ ἄξων , ὁ ἀπό ὁ σαμεῖον ὁ ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ σχῆμα μή ἐπί ὁ τομή εἰμί κάθετος ἄγω ἐπί ὁ τέμνω ἐπίπεδος ἐντός πίπτω ὁ ὁ σχῆμα τομή . οὗτος δέ πᾶς φανερός εἰμί ὁ ἀπόδειξις .