archimedes.de-conoidibus-et-sphaeroidibus 26
Παντὸς σχήματος σφαιροειδέος ἐπιπέδῳ τμαθέντος διὰ τοῦ κέντρου ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος διπλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Ἔστω σφαιροειδὲς σχῆμα ἐπιπέδῳ τετμαμένον διὰ τοῦ κέντρου ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα , τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἄλλῳ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ μὲν σχήματος τομὰ ἔστω ἁ ΑΒΓ△ ὀξυγωνίου κώνου τομά , διάμετρος δὲ αὐτᾶς καὶ ἄξων τοῦ σφαιροειδέος ἁ Β△ , κέντρον δὲ τὸ Θ · διοίσει δὲ οὐδέν , εἴτε ἁ μείζων ἐστὶ διάμετρος ἁ Β△ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς εἴτε ἁ ἐλάσσων · τοῦ δὲ τετμακότος ἐπιπέδου τὸ σχῆμα τομὰ ἔστω ἁ ΓΑ εὐθεῖα · ἐσσεῖται δὴ οὕτα διὰ τοῦ Θ καὶ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ποτὶ τὰν Β△ , ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον ὑπόκειται διὰ τοῦ κέντρου τε ἄχθαι καὶ ὀρθὸν εἶμεν ποτὶ τὸν ἄξονα . Δεικτέον ὅτι τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τμᾶμα τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , κορυφὰν δὲ τὸ Β σαμεῖον , διπλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Ἔστω γὰρ κῶνός τις , ἐν ᾧ τὸ Ψ , διπλασίων τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τὰν ΘΒ · φαμὶ δὴ τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος ἴσον εἶμεν τῷ Ψ κώνῳ . Εἰ οὖν μή ἐστιν ἴσον τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τῷ Ψ κώνῳ , ἔστω πρῶτον , εἰ δυνατόν , μεῖζον . Ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ τμᾶμα τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος σχῆμα στερεόν , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου . Ἐπεὶ οὖν μεῖζον ἐὸν τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἁμίσεος τοῦ σφαιροειδέος ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἢ τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου , δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ τμάματι τῷ ἁμισέῳ τοῦ σφαιροειδέος μεῖζόν ἐστι τοῦ Ψ κώνου . Ἔστω δὴ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὰν ΑΓ , ἄξονα δὲ τὰν ΒΘ . Ἐπεὶ οὖν οὗτος ὁ κύλινδρος τριπλάσιός ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν , ὁ δὲ Ψ κῶνος διπλάσιός ἐστι τοῦ αὐτοῦ κώνου , δῆλον ὡς ὁ κύλινδρος ἡμιόλιός ἐστι τοῦ Ψ κώνου . Ἐκβεβλήσθω δὴ τὰ ἐπίπεδα τῶν κυλίνδρων πάντων , ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα , ἔστε ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν ἐσσεῖται δὴ ὁ ὅλος κύλινδρος διαιρημένος εἰς κυλίνδρους τῷ μὲν πλήθει ἴσους τοῖς κυλίνδροις τοῖς ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι , τῷ δὲ μεγέθει ἴσους τῷ μεγίστῳ αὐτῶν . Ἔστων οὖν Υραμμαὶ κείμεναι , ἐφʼ ἇν τὰ Ξ , τῷ πλήθει ἴσαι τοῖς τμαμάτεσσι τοῖς τᾶς ΒΘ εὐθείας , τῷ δὲ μεγέθει ἴσα ἑκάστᾳ τᾷ ΒΘ , καὶ ἀπὸ ἑκάστας τετράγωνον ἀναγεγράφθω , ἀφαιρήσθω δὲ ἀπὸ μὲν τοῦ ἐσχάτου τετραγώνου γνώμων πλάτος ἔχων ἴσον τᾷ ΒΙ · ἐσσεῖται δὴ οὗτος ἴσος τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν ΒΙ , Ι△ · ἀπὸ δὲ τοῦ παῤ αὐτῷ τετραγώνου γνώμων ἀφαιρήσθω πλάτος ἔχων διπλάσιον τᾶς ΒΙ · ἐσσεῖται δὴ οὗτος ἴσος τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν ΒΧ , Χ△ · καὶ ἀεὶ ἀπὸ τοῦ ἐχομένου τετραγώνου γνώμων ἀφαιρήσθω , οὗ πλάτος ἑνὶ τμάματι μεῖζον τοῦ πλάτεος τοῦ πρὸ αὐτοῦ ἀφαιρημένου γνώμονος ἐσσεῖται δὴ ἕκαστος αὐτῶν ἴσος τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν τᾶς Β△ τμαμάτων , ὧν τὸ ἕτερον τμᾶμα ἴσον ἐστὶ τῷ πλάτει τοῦ γνώμονος . Ἐσσεῖται δὴ καὶ τοῦ τετραγώνου τοῦ δευτέρου τὸ λοιπὸν τετράγωνον τὰν πλευρὰν ἔχον ἴσαν τᾷ ΘΕ . Ὁ δὲ κύλινδρος ὁ πρῶτος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν ΘΕ ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν πρῶτον τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν ΘΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΘ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΚΕ · ὥστε καὶ ὃν τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΘ , Θ△ περιεχόμενον ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΒΕ , Ε△ περιεχόμενον ἔχει οὖν ὁ κύλινδρος ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν αὐτὸν λόγον , ὃν τὸ πρῶτον τετράγωνον ποτὶ τὸν γνώμονα τὸν ἀπὸ τοῦ δευτέρου τετραγώνου ἀφαιρημένον . Ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἄλλων κυλίνδρων ἕκαστος ἄξονα ἐχόντων ἴσον τᾷ ΘΕ ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι καὶ ἔχοντα ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ὁμοίως τεταγμένον αὐτῷ ποτὶ τὸν γνώμονα τὸν ἀπὸ τοῦ ἑπομένου αὐτῷ τετραγώνου ἀφαιρημένον . Ἐντὶ δή τινα μεγέθεα , οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ , καὶ ἄλλα , τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΞΞ , ἴσα τῷ πλήθει τοῖς κυλίνδροις καὶ κατὰ δύο τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντα , λέγονται δὲ οἱ κύλινδροι ποτʼ ἄλλα μεγέθεα , τοὺς κυλίνδρους τοὺς ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι , ὁ δὲ ἔσχατος οὐδὲ ποθʼ ἓν λέγεται , καὶ τὰ τετράγωνα ποτʼ ἄλλα μεγέθεα , τοὺς ἀπὸ τῶν τετραγώνων ἀφαιρημένους , τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις , τὸ δὲ ἔσχατον τετράγωνον οὐδὲ ποθʼ ἓν λέγεται · πάντες οὖν οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ποτὶ πάντας τοὺς ἑτέρους κυλίνδρους τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πάντα τὰ τετράγωνα ποτὶ πάντας τοὺς γνώμονας τοὺς ἀφαιρημένους ἀπʼ αὐτῶν · ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν πάντα τὰ τετράγωνα ποτὶ πάντας τοὺς γνώμονας τοὺς ἀφαιρημένους ἀπʼ αὐτῶν , Τὰ δὲ τετράγωνα πάντων τῶν γνωμόνων τῶν ἀφαιρημένων ἀπʼ αὐτῶν μείζονά ἐντι ἢ ἡμιόλια · ἐντὶ γάρ τινες γραμμαὶ κείμεναι αἱ ΞΡ , ΞΣ , ΞΤ , ΞΥ , ΞΦ τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι , καὶ ἁ ἐλαχίστα ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ , ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαί , ἐφʼ ἇν τὰ δύο Ξ , Ξ , τῷ μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις , τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ τὰ οὖν τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν , ἇν ἐστιν ἑκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ , πάντων μὲν τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἐλάσσονά ἐντι ἢ τριπλάσια , τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα ἢ τριπλάσια · τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς περὶ τᾶν ἑλίκων ἐκδεδομένοις δέδεικται . Ἐπεὶ δὲ πάντα τὰ τετράγωνα ἐλάσσονά ἐντι ἢ τριπλάσια τῶν ἑτέρων τετραγώνων , ἅ ἐντι ἀφαιρημένα ἀπʼ αὐτῶν , δῆλον ὅτι τῶν λοιπῶν μείζονά ἐντι ἢ ἡμιόλια · τῶν οὖν γνωμόνων μείζονά ἐντι ἢ ἡμιόλια . Ὥστε καὶ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ὅπερ ἀδύνατον τοῦ γὰρ Ψ κώνου ἡμιόλιός ἐστι , τὸ δὲ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζον ἐδείχθη τοῦ Ψ κώνου . Οὐκ ἄρα ἐστὶ μεῖζον τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου . Οὐδὲ τοίνυν ἔλασσον . Ἔστω γὰρ , εἰ δυνατόν , ἔλασσον . Πάλιν δὴ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ἁμίσεον τοῦ σφαιροειδέος σχῆμα στερεόν , καὶ ἄλλο περιγεγράφθω ἐκ κυλίνδρων ὕψος ἴσον ἐχόντων συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι ἢ ᾧ ὑπερέχει ὁ Ψ κῶνος τοῦ ἡμίσεος τοῦ σφαιροειδέος , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω . Ἐπεὶ οὖν ἔλασσόν ἐστι τὸ ἐγγραφὲν σχῆμα τοῦ τμάματος , δῆλον ὅτι καὶ τὸ περιγραφὲν σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Ψ κώνου . Πάλιν δὴ ὁ πρῶτος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν ΘΕ ποτὶ τὸν πρῶτον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν ΘΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ πρῶτον τετράγωνον ποθʼ αὐτό , ὁ δὲ δεύτερος κύλινδρος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ὁ ἔχων ἄξονα τὰν ΕΠ ποτὶ τὸν δεύτερον κύλινδρον τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν ἔχοντα ἄξονα τὰν ΕΠ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν τὸ δεύτερον τετράγωνον ποτὶ τὸν γνώμονα τὸν ἀπʼ αὐτοῦ ἀφαιρημένον καὶ τῶν ἄλλων δὲ κυλίνδρων ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ἄξονα ἐχόντων τὰν ἴσαν τᾷ ΘΕ ποτὶ τὸν κύλινδρον τὸν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι κατʼ αὐτὸν ἐόντα καὶ ἄξονα ἔχοντα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν τὸ ὁμοίως τεταγμένον αὐτῷ τετράγωνον ποτὶ τὸν γνώμονα τὸν ἀπʼ αὐτοῦ ἀφαιρημένον · καὶ πάντες οὖν οἱ κύλινδροι οἱ ἐν τῷ ὅλῳ κυλίνδρῳ ποτὶ πάντας τοὺς κυλίνδρους τοὺς ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον , ὃν πάντα τὰ τετράγωνα ποτὶ τὸ ἴσον τῷ πρώτῳ τετραγώνῳ καὶ τοῖς γνωμόνεσσι τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τετραγώνων ἀφαιρημένοις , Καὶ τὰ τετράγωνα πάντα ἐλάσσονά ἐντι ἢ ἡμιόλια τοῦ ἴσου τῷ τε πρώτῳ τετραγώνῳ καὶ τοῖς γνωμόνεσσιν τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν ἀφαιρημένοις , διότι τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονά ἐντι ἢ τριπλάσια ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν ἐλάσσων ἢ ἡμιόλιός ἐστι τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος · ὅπερ ἀδύνατον · τοῦ γὰρ Ψ κώνου ἡμιόλιός ἐστι , τὸ δὲ περιγεγραμμένον σχῆμα ἔλαττον ἐδείχθη τοῦ Ψ κώνου . Οὐκ ἄρα ἐστὶν ἔλασσον τὸ ἡμίσεον τοῦ σφαιροειδέος τοῦ Ψ κώνου . Ἐπεὶ δὲ οὕτε μεῖζόν ἐστι οὔτε ἔλασσον , ἴσον ἄρα ἐστίν .
Lemmas: πᾶς σχῆμα σφαιροειδής ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ κέντρον ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής διπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . εἰμί σφαιροειδής σχῆμα ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ κέντρον ὀρθός πρός ὁ ἄξων , τέμνω δέ αὐτός ἄλλος ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων ὁ μέν σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΑΒΓ△ ὀξυγώνιος κῶνος τομή , διάμετρος δέ αὐτός καί ἄξων ὁ σφαιροειδής ὁ Β△ , κέντρον δέ ὁ Θ · διαφέρω δέ οὐδείς , εἴτε ὁ μέγας εἰμί διάμετρος ὁ Β△ ὁ ὁ ὀξυγώνιος κῶνος τομή εἴτε ὁ ἐλαχύς · ὁ δέ τέμνω ἐπίπεδος ὁ σχῆμα τομή εἰμί ὁ ΓΑ εὐθύς · εἰμί δή ὅτε διά ὁ Θ καί ὀρθός ποιέω γωνία πρός ὁ Β△ , ἐπεί ὁ ἐπίπεδος ὑπόκειμαι διά ὁ κέντρον τε ἄγω καί ὀρθός εἰμί πρός ὁ ἄξων . δείκνυμι ὅτι ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής τμῆμα ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , κορυφή δέ ὁ Β σαμεῖον , διπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . εἰμί γάρ κῶνος τις , ἐν ὅς ὁ Ψ , διπλασίων ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός ὁ ΘΒ · φημί δή ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής ἴσος εἰμί ὁ Ψ κῶνος . εἰ οὖν μή εἰμί ἴσος ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος , εἰμί πρῶτος , εἰ δυνατός , μέγας . ἐγγράφω δή εἰς ὁ τμῆμα ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής σχῆμα στερεός , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ἁλίκος ὑπερέχω ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος . ἐπεί οὖν μέγας εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἁμίσος ὁ σφαιροειδής ἐλαχύς ὑπερέχω ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἤ ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος , δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ἐν ὁ τμῆμα ὁ ἁμίσεος ὁ σφαιροειδής μέγας εἰμί ὁ Ψ κῶνος . εἰμί δή κύλινδρος βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΑΓ , ἄξων δέ ὁ ΒΘ . ἐπεί οὖν οὗτος ὁ κύλινδρος τριπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός , ὁ δέ Ψ κῶνος διπλάσιος εἰμί ὁ αὐτός κῶνος , δῆλος ὡς ὁ κύλινδρος ἡμιόλιος εἰμί ὁ Ψ κῶνος . ἐκβάλλω δή ὁ ἐπίπεδος ὁ κύλινδρος πᾶς , ἐκ ὅς σύγκειμαι ὁ ἐγγράφω σχῆμα , ἔστε πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός εἰμί δή ὁ ὅλος κύλινδρος διιεράομαι εἰς κύλινδρος ὁ μέν πλῆθος ἴσος ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα , ὁ δέ μέγεθος ἴσος ὁ μέγας αὐτός . εἰμί οὖν Υραμμή κεῖμαι , ἐπί ὅς ὁ Ξ , ὁ πλῆθος ἴσος ὁ τμῆμα ὁ ὁ ΒΘ εὐθεῖα , ὁ δέ μέγεθος ἴσος ἐκάστος ὁ ΒΘ , καί ἀπό ἕκαστος τετράγωνος ἀναγράφω , ἀφαιρέω δέ ἀπό μέν ὁ ἔσχατος τετράγωνος γνώμων πλάτος ἔχω ἴσος ὁ ΒΙ · εἰμί δή οὗτος ἴσος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΙ , Ι△ · ἀπό δέ ὁ παρά αὐτός τετράγωνος γνώμων ἀφαιρέω πλάτος ἔχω διπλάσιος ὁ ΒΙ · εἰμί δή οὗτος ἴσος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΒΧ , Χ△ · καί ἀεί ἀπό ὁ ἔχω τετράγωνος γνώμων ἀφαιρέω , ὅς πλάτος εἷς τμῆμα μέγας ὁ πλάτος ὁ πρό αὐτός ἀφαιρέω γνώμων εἰμί δή ἕκαστος αὐτός ἴσος ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ Β△ τμῆμα , ὅς ὁ ἕτερος τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ πλάτος ὁ γνώμων . εἰμί δή καί ὁ τετράγωνος ὁ δεύτερος ὁ λοιπός τετράγωνος ὁ πλευρά ἔχω ἴσος ὁ ΘΕ . ὁ δέ κύλινδρος ὁ πρῶτος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΘΕ πρός ὁ κύλινδρος ὁ πρῶτος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω ἄξων ὁ ΘΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΑΘ πρός ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΚΕ · ὥστε καί ὅς ὁ ὑπό ὁ ΒΘ , Θ△ περιέχω πρός ὁ ὑπό ὁ ΒΕ , Ε△ περιέχω ἔχω οὖν ὁ κύλινδρος πρός ὁ κύλινδρος ὁ αὐτός λόγος , ὅς ὁ πρῶτος τετράγωνος πρός ὁ γνώμων ὁ ἀπό ὁ δεύτερος τετράγωνος ἀφαιρέω . ὅμοιος δέ καί ὁ ἄλλος κύλινδρος ἕκαστος ἄξων ἔχω ἴσος ὁ ΘΕ πρός ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα καί ἔχω ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ τετράγωνος ὁ ὅμοιος τάσσω αὐτός πρός ὁ γνώμων ὁ ἀπό ὁ ἕπομαι αὐτός τετράγωνος ἀφαιρέω . εἰμί δή τις μέγεθος , ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος , καί ἄλλος , ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ΞΞ , ἴσος ὁ πλῆθος ὁ κύλινδρος καί κατά δύο ὁ αὐτός λόγος ἔχω , λέγω δέ ὁ κύλινδρος ποτέ ἄλλος μέγεθος , ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ἐγγράφω σχῆμα , ὁ δέ ἔσχατος οὐδέ ποτέ εἷς λέγω , καί ὁ τετράγωνος ποτέ ἄλλος μέγεθος , ὁ ἀπό ὁ τετράγωνος ἀφαιρέω , ὁ ὁμόλογος ἐν ὁ αὐτός λόγος , ὁ δέ ἔσχατος τετράγωνος οὐδέ ποτέ εἷς λέγω · πᾶς οὖν ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος πρός πᾶς ὁ ἕτερος κύλινδρος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ τετράγωνος πρός πᾶς ὁ γνώμων ὁ ἀφαιρέω ἀπό αὐτός · ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός πρός ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ τετράγωνος πρός πᾶς ὁ γνώμων ὁ ἀφαιρέω ἀπό αὐτός , Τά δέ τετράγωνος πᾶς ὁ γνώμων ὁ ἀφαιρέω ἀπό αὐτός μέγας εἰμί ἤ ἡμιόλιος · εἰμί γάρ τις γραμμή κεῖμαι ὁ ΞΡ , ΞΣ , ΞΤ , ΞΥ , ΞΦ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω , καί ὁ ἐλαχύς ἴσος ὁ ὑπεροχή , εἰμί δέ καί ἄλλος γραμμή , ἐπί ὅς ὁ δύο Ξ , Ξ , ὁ μέν πλῆθος ἴσος οὗτος , ὁ δέ μέγεθος ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας ὁ οὖν τετράγωνος ὁ ἀπό πᾶς , ὅς εἰμί ἕκαστος ἴσος ὁ μέγας , πᾶς μέν ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος , ὁ δέ λοιπός χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας μέγας ἤ τριπλάσιος · οὗτος γάρ ἐν ὁ περί ὁ ἑλίκων ἐκδίδωμι δείκνυμι . ἐπεί δέ πᾶς ὁ τετράγωνος ἐλαχύς εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ ἕτερος τετράγωνος , ὅς εἰμί ἀφαιρέω ἀπό αὐτός , δῆλος ὅτι ὁ λοιπός μέγας εἰμί ἤ ἡμιόλιος · ὁ οὖν γνώμων μέγας εἰμί ἤ ἡμιόλιος . ὥστε καί ὁ κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός μέγας εἰμί ἤ ἡμιόλιος ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὅς ἀδύνατος ὁ γάρ Ψ κῶνος ἡμιόλιος εἰμί , ὁ δέ ἐγγράφω σχῆμα μέγας δείκνυμι ὁ Ψ κῶνος . οὐ ἄρα εἰμί μέγας ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος . οὐδέ τοίνυν ἐλαχύς . εἰμί γάρ , εἰ δυνατός , ἐλαχύς . πάλιν δή ἐγγράφω εἰς ὁ μισέω ὁ σφαιροειδής σχῆμα στερεός , καί ἄλλος περιγράφω ἐκ κύλινδρος ὕψος ἴσος ἔχω σύγκειμαι , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς ἤ ὅς ὑπερέχω ὁ Ψ κῶνος ὁ ἥμισυς ὁ σφαιροειδής , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός ὁ πρότερος κατασκευάζω . ἐπεί οὖν ἐλαχύς εἰμί ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὁ τμῆμα , δῆλος ὅτι καί ὁ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς εἰμί ὁ Ψ κῶνος . πάλιν δή ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΘΕ πρός ὁ πρῶτος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΘΕ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ πρῶτος τετράγωνος πρός αὐτός , ὁ δέ δεύτερος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΕΠ πρός ὁ δεύτερος κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἔχω ἄξων ὁ ΕΠ ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ δεύτερος τετράγωνος πρός ὁ γνώμων ὁ ἀπό αὐτός ἀφαιρέω καί ὁ ἄλλος δέ κύλινδρος ἕκαστος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος ἄξων ἔχω ὁ ἴσος ὁ ΘΕ πρός ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα κατά αὐτός εἰμί καί ἄξων ἔχω ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ὁ ὅμοιος τάσσω αὐτός τετράγωνος πρός ὁ γνώμων ὁ ἀπό αὐτός ἀφαιρέω · καί πᾶς οὖν ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ ὅλος κύλινδρος πρός πᾶς ὁ κύλινδρος ὁ ἐν ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ τετράγωνος πρός ὁ ἴσος ὁ πρῶτος τετράγωνος καί ὁ γνώμων ὁ ἀπό ὁ λοιπός τετράγωνος ἀφαιρέω , Καὶ ὁ τετράγωνος πᾶς ἐλαχύς εἰμί ἤ ἡμιόλιος ὁ ἴσος ὁ τε πρῶτος τετράγωνος καί ὁ γνώμων ὁ ἀπό ὁ λοιπός ἀφαιρέω , διότι ὁ τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ ὁ ἴσος ἀλλήλων ὑπερέχω χωρίς ὁ ἀπό ὁ μέγας τετράγωνος μέγας εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ ἄρα κύλινδρος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός ἐλαχύς ἤ ἡμιόλιος εἰμί ὁ περιγράφω σχῆμα · ὅς ἀδύνατος · ὁ γάρ Ψ κῶνος ἡμιόλιος εἰμί , ὁ δέ περιγράφω σχῆμα ἐλαχύς δείκνυμι ὁ Ψ κῶνος . οὐ ἄρα εἰμί ἐλαχύς ὁ ἡμίσεια ὁ σφαιροειδής ὁ Ψ κῶνος . ἐπεί δέ ἵημι μέγας εἰμί οὔτε ἐλαχύς , ἴσος ἄρα εἰμί .