archimedes.arenarius 3
ΙΙΙ . Ἃ μὲν οὖν ὑποτίθεμαι , ταῦτα · χρήσιμον δὲ εἶμεν ὑπολαμβάνω τὰν κατονόμαξιν τῶν ἀριθμῶν ῥηθῆμεν , ὅπως καὶ τῶν ἄλλων οἱ τῷ βιβλίῳ μὴ περιτετευχότες τῷ ποτὶ Ζεύξιππον γεγραμμένῳ μὴ πλανῶνται διὰ τὸ μηδὲν εἶμεν ὑπὲρ αὐτᾶς ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ προειρημένον . Συμβαίνει δὴ τὰ ὀνόματα τῶν ἀριθμῶν ἐς τὸ μὲν τῶν μυρίων ὑπάρχειν ἁμῖν παραδεδομένα , καὶ ὑπὲρ τὸ τῶν μυρίων ἀποχρεόντως γιγνώσκομες μυριάδων ἀριθμὸν λέγοντες ἔστε ποτὶ τὰς μυρίας μυριάδας . Ἔστων οὖν ἁμῖν οἱ μὲν νῦν εἰρημένοι ἀριθμοὶ ἐς τὰς μυρίας μυριάδας πρῶτοι καλούμενοι , τῶν δὲ πρώτων ἀριθμῶν αἱ μύριαι μυριάδες μονὰς καλείσθω δευτέρων ἀριθμῶν , καὶ ἀριθμείσθων τῶν δευτέρων μονάδες καὶ ἐκ τᾶν μονάδων δεκάδες καὶ ἑκατοντάδες καὶ χιλιάδες καὶ μυριάδες ἐς τὰς μυρίας μυριάδας . Πάλιν δὲ καὶ αἱ μύριαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν μονὰς καλείσθω τρίτων ἀριθμῶν , καὶ ἀριθμείσθων τῶν τρίτων ἀριθμῶν μονάδες καὶ ἀπὸ τᾶν μονάδων δεκάδες καὶ ἑκατοντάδες καὶ χιλιάδες καὶ μυριάδες ἐς τὰς μυρίας μυριάδας . Τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ τῶν τρίτων ἀριθμῶν μύριαι μυριάδες μονὰς καλείσθω τετάρτων ἀριθμῶν , καὶ αἱ τῶν τετάρτων ἀριθμῶν μύριαι μυριάδες μονὰς καλείσθω πέμπτων ἀριθμῶν , καὶ ἀεὶ οὕτως προάγοντες οἱ ἀριθμοὶ τὰ ὀνόματα ἐχόντων ἐς τὰς μυριακισμυριοστῶν ἀριθμῶν μυρίας μυριάδας . Ἀποχρέοντι μὲν οὖν καὶ ἐπὶ τοσοῦτον οἱ ἀριθμοὶ γιγνωσκόμενοι , ἔξεστι δὲ καὶ ἐπὶ πλέον προάγειν . Ἔστων γὰρ οἱ μὲν νῦν εἰρημένοι ἀριθμοὶ πρώτας περιόδου καλούμενοι , ὁ δὲ ἔσχατος ἀριθμὸς τᾶς πρώτας περιόδου μονὰς καλείσθω δευτέρας περιόδου πρώτων ἀριθμῶν . Πάλιν δὲ καὶ αἱ μύριαι μυριάδες τᾶς δευτέρας περιόδου πρώτων ἀριθμῶν μονὰς καλείσθω τᾶς δευτέρας περιόδου δευτέρων ἀριθμῶν . Ὁμοίως δὲ καὶ τούτων ὁ ἔσχατος μονὰς καλείσθω δευτέρας περιόδου τρίτων ἀριθμῶν , καὶ ἀεὶ οὕτως οἱ ἀριθμοὶ προάγοντες τὰ ὀνόματα ἐχόντων τᾶς δευτέρας περιόδου ἐς τὰς μυριακισμυριοστῶν ἀριθμῶν μυρίας μυριάδας . Πάλιν δὲ καὶ ὁ ἔσχατος ἀριθμὸς τᾶς δευτέρας περιόδου μονὰς καλείσθω τρίτας περιόδου πρώτων ἀριθμῶν , καὶ ἀεὶ οὕτως προαγόντων ἐς τὰς μυριακισμυριοστᾶς περιόδου μυριακισμυριοστῶν ἀριθμῶν μυρίας μυριάδας . Τούτων δὲ οὕτως κατωνομασμένων , εἴ κα ἔωντι ἀριθμοὶ ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἑξῆς κείμενοι , ὁ δὲ παρὰ τὰν μονάδα δεκὰς ᾖ , ὀκτὼ μὲν αὐτῶν οἱ πρῶτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων ἀριθμῶν καλουμένων ἐσσοῦνται , οἱ δὲ μετʼ αὐτοὺς ἄλλοι ὀκτὼ τῶν δευτέρων καλουμένων , καὶ οἱ ἄλλοι τὸν αὐτὸν τρόπον τούτοις τῶν συνωνύμων καλουμένων ἐσσοῦνται τᾷ ἀποστάσει τᾶς ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν ἀπὸ τᾶς πρώτας ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν . Τᾶς μὲν οὖν πρώτας ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν ὁ ὄγδοός ἐστιν ἀριθμὸς χίλιαι μυριάδες , τᾶς δὲ δευτέρας ὀκτάδος ὁ πρῶτος , ἐπεὶ δεκαπλασίων ἐστὶν τοῦ πρὸ αὐτοῦ , μύριαι μυριάδες ἐσσεῖται οὗτος δέ ἐστι μονὰς τῶν δευτέρων ἀριθμῶν . Ὁ δὲ ὄγδοος τᾶς δευτέρας ὀκτάδος ἐστὶ χίλιαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν , Πάλιν δὲ καὶ τᾶς τρίτας ὀκτάδος ὁ πρῶτος , ἐπεὶ δεκαπλασίων ἐστὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ , μύριαι μυριάδες ἐσσεῖται τῶν δευτέρων ἀριθμῶν · οὗτος δέ ἐστιν μονὰς τῶν τρίτων ἀριθμῶν , Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ πολλοσταὶ ὀκτάδες ἑξοῦντι ὡς εἴρηται . Χρήσιμον δὲ ἐστι καὶ τόδε γιγνωσκόμενον . Εἴ κα ἀριθμῶν ἀπὸ τᾶς μονάδος ἀνάλογον ἐόντων πολλαπλασιάζωντί τινες ἀλλάλους τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας , ὁ γενόμενος ἐσσεῖται ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπέχων ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀλλάλους , ὅσους ὁ ἐλάττων τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἀπέχει , ἀπὸ δὲ τᾶς μονάδος ἀφέξει ἑνὶ ἐλάττονας ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς συναμφοτέρων , οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ μονάδος οἱ πολλαπλασιάξαντες ἀλλάλους . Ἔστων γὰρ ἀριθμοί τινες ἀνάλογον ἀπὸ μονάδος οἱ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ , Ι , Κ , Λ , μονὰς δὲ ἔστω ὁ Α , καὶ πεπολλαπλασιάσθω ὁ △ τῷ Θ , ὁ δὲ γενόμενος ἔστω ὁ Χ . Λελάφθω δὴ ἐκ τῆς ἀναλογίας ὁ Λ ἀπέχων ἀπὸ τοῦ Θ τοσούτους , ὅσους ὁ △ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει · δεικτέον ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Χ τῷ Λ . Ἐπεὶ οὖν ἀνάλογον ἐόντων ἀριθμῶν ἴσους ἀπέχει ὅ τε △ ἀπὸ τοῦ Α καὶ ὁ Λ ἀπὸ τοῦ Θ , τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὁ △ ποτὶ τὸν Α , ὃν ὁ Λ ποτὶ τὸν Θ . Πολλαπλασίων δὲ ἐστιν ὁ △ τοῦ Α τῷ △ · πολλαπλασίων ἄρα ἐστὶν καὶ ὁ Λ τοῦ Θ τῷ △ ὥστε ἴσος ἐστὶν ὁ Λ τῷ Χ . Δῆλον οὖν ὅτι ὁ γενόμενος ἐκ τᾶς ἀναλογίας τέ ἐστιν καὶ ἀπὸ τοῦ μείζονος τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀλλάλους ἴσους ἀπέχων , ὅσους ὁ ἐλάττων ἀπὸ τᾶς μονάδος ἀπέχει . Θανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει ἑνὶ ἐλάττονας ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς συναμφοτέρων , οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ τᾶς μονάδος οἱ △ , Θ οἱ μὲν γὰρ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ τοσοῦτοί ἐντι , ὅσους ὁ Θ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει , οἱ δὲ Ι , Κ , Λ ἐνὶ ἐλάττονες ἢ ὅσους ὁ △ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει · σὺν γὰρ τῷ Θ τοσοῦτοί ἐντι .
Lemmas: ΙΙΙ . ὅς μέν οὖν ὑποτίθημι , οὗτος · χρήσιμος δέ εἰμί ὑπολαμβάνω ὁ κατονόμαξις ὁ ἀριθμός λέγω , ὅπως καί ὁ ἄλλος ὁ ὁ βιβλίον μή περιτυγχάνω ὁ πρός Ζεύξιππος γράφω μή πλανάω διά ὁ μηδείς εἰμί ὑπέρ αὐτός ἐν ὅδε ὁ βιβλίον προλέγω . συμβαίνω δή ὁ ὄνομα ὁ ἀριθμός εἰς ὁ μέν ὁ μυρίος ὑπάρχω ἐγώ παραδίδωμι , καί ὑπέρ ὁ ὁ μυρίος ἀποχρεόντως γιγνώσκω μυριάς ἀριθμός λέγω ἔστε πρός ὁ μυρίος μυριάς . εἰμί οὖν ἐγώ ὁ μέν νῦν λέγω ἀριθμός εἰς ὁ μυρίος μυριάς πρῶτος καλέω , ὁ δέ πρῶτος ἀριθμός ὁ μυρίος μυριάς μονή καλέω δεύτερος ἀριθμός , καί ἀριθμέω ὁ δεύτερος μονάς καί ἐκ ὁ μονάς δεκάς καί ἑκατοντάς καί χιλιάς καί μυριάς εἰς ὁ μυρίος μυριάς . πάλιν δέ καί ὁ μυρίος μυριάς ὁ δεύτερος ἀριθμός μονή καλέω τρίτος ἀριθμός , καί ἀριθμέω ὁ τρίτος ἀριθμός μονάς καί ἀπό ὁ μονάς δεκάς καί ἑκατοντάς καί χιλιάς καί μυριάς εἰς ὁ μυρίος μυριάς . ὁ αὐτός δέ τρόπος καί ὁ τρίτος ἀριθμός μυρίος μυριάς μονή καλέω τέταρτος ἀριθμός , καί ὁ ὁ τέταρτος ἀριθμός μυρίος μυριάς μονή καλέω πέμπτος ἀριθμός , καί ἀεί οὕτως προάγω ὁ ἀριθμός ὁ ὄνομα ἔχω εἰς ὁ μυριακισμυριοστός ἀριθμός μυρίος μυριάς . ἀποχράω μέν οὖν καί ἐπί τοσοῦτος ὁ ἀριθμός γιγνώσκω , ἔξεστι δέ καί ἐπί πολύς προάγω . εἰμί γάρ ὁ μέν νῦν λέγω ἀριθμός πρῶτος περίοδος καλέω , ὁ δέ ἔσχατος ἀριθμός ὁ πρῶτος περίοδος μονή καλέω δεύτερος περίοδος πρῶτος ἀριθμός . πάλιν δέ καί ὁ μυρίος μυριάς ὁ δεύτερος περίοδος πρῶτος ἀριθμός μονή καλέω ὁ δεύτερος περίοδος δεύτερος ἀριθμός . ὅμοιος δέ καί οὗτος ὁ ἔσχατος μονή καλέω δεύτερος περίοδος τρίτος ἀριθμός , καί ἀεί οὕτως ὁ ἀριθμός προάγω ὁ ὄνομα ἔχω ὁ δεύτερος περίοδος εἰς ὁ μυριακισμυριοστός ἀριθμός μυρίος μυριάς . πάλιν δέ καί ὁ ἔσχατος ἀριθμός ὁ δεύτερος περίοδος μονή καλέω τρίτος περίοδος πρῶτος ἀριθμός , καί ἀεί οὕτως προάγω εἰς ὁ μυριακισμυριοστός περίοδος μυριακισμυριοστός ἀριθμός μυρίος μυριάς . οὗτος δέ οὕτως κατονομάζω , εἰ ἄν εἰμί ἀριθμός ἀπό μονάς ἀνάλογος ἑξῆς κεῖμαι , ὁ δέ παρά ὁ μονάς δεκάς εἰμί , ὀκτώ μέν αὐτός ὁ πρῶτος σύν ὁ μονάς ὁ πρῶτος ἀριθμός καλέω εἰμί , ὁ δέ μετά αὐτός ἄλλος ὀκτώ ὁ δεύτερος καλέω , καί ὁ ἄλλος ὁ αὐτός τρόπος οὗτος ὁ συνώνυμος καλέω εἰμί ὁ ἀπόστασις ὁ ὀκτάς ὁ ἀριθμός ἀπό ὁ πρῶτος ὀκτάς ὁ ἀριθμός . ὁ μέν οὖν πρῶτος ὀκτάς ὁ ἀριθμός ὁ ὄγδοος εἰμί ἀριθμός χίλιοι μυριάς , ὁ δέ δεύτερος ὀκτάς ὁ πρῶτος , ἐπεί δεκαπλασίων εἰμί ὁ πρό αὐτός , μυρίος μυριάς εἰμί οὗτος δέ εἰμί μονή ὁ δεύτερος ἀριθμός . ὁ δέ ὄγδοος ὁ δεύτερος ὀκτάς εἰμί χίλιοι μυριάς ὁ δεύτερος ἀριθμός , Πάλις δέ καί ὁ τρίτος ὀκτάς ὁ πρῶτος , ἐπεί δεκαπλασίων εἰμί ὁ πρό αὐτός , μυρίος μυριάς εἰμί ὁ δεύτερος ἀριθμός · οὗτος δέ εἰμί μονή ὁ τρίτος ἀριθμός , Φανερόν δέ ὅτι καί πολλοστός ὀκτάς ἔχω ὡς λέγω . χρήσιμος δέ εἰμί καί ὅδε γιγνώσκω . εἰ ἄν ἀριθμός ἀπό ὁ μονάς ἀνάλογος εἰμί πολλαπλασιάζω τις ἀλλήλων ὁ ἐκ ὁ αὐτός ἀναλογία , ὁ γίγνομαι εἰμί ἐκ ὁ αὐτός ἀναλογία ἀπέχω ἀπό μέν ὁ μέγας ὁ πολλαπλασιάζω ἀλλήλων , ὅσος ὁ ἐλαχύς ὁ πολλαπλασιάζω ἀπό μονάς ἀνάλογος ἀπέχω , ἀπό δέ ὁ μονάς ἀπέχω εἷς ἐλαχύς ἤ ὅσος εἰμί ὁ ἀριθμός συναμφότεροι , ὅς ἀπέχω ἀπό μονάς ὁ πολλαπλασιάζω ἀλλήλων . εἰμί γάρ ἀριθμός τις ἀνάλογος ἀπό μονάς ὁ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ , Ι , Κ , Λ , μονή δέ εἰμί ὁ Α , καί πολλαπλασιάζω ὁ △ ὁ Θ , ὁ δέ γίγνομαι εἰμί ὁ Χ . λαμβάνω δή ἐκ ὁ ἀναλογία ὁ Λ ἀπέχω ἀπό ὁ Θ τοσοῦτος , ὅσος ὁ △ ἀπό μονάς ἀπέχω · δείκνυμι ὅτι ἴσος εἰμί ὁ Χ ὁ Λ . ἐπεί οὖν ἀνάλογος εἰμί ἀριθμός ἴσος ἀπέχω ὁ τε △ ἀπό ὁ Α καί ὁ Λ ἀπό ὁ Θ , ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ △ πρός ὁ Α , ὅς ὁ Λ πρός ὁ Θ . πολλαπλασίων δέ εἰμί ὁ △ ὁ Α ὁ △ · πολλαπλασίων ἄρα εἰμί καί ὁ Λ ὁ Θ ὁ △ ὥστε ἴσος εἰμί ὁ Λ ὁ Χ . δῆλος οὖν ὅτι ὁ γίγνομαι ἐκ ὁ ἀναλογία τε εἰμί καί ἀπό ὁ μέγας ὁ πολλαπλασιάζω ἀλλήλων ἴσος ἀπέχω , ὅσος ὁ ἐλαχύς ἀπό ὁ μονάς ἀπέχω . θανύς δέ ὅτι καί ἀπό μονάς ἀπέχω εἷς ἐλαχύς ἤ ὅσος εἰμί ὁ ἀριθμός συναμφότεροι , ὅς ἀπέχω ἀπό ὁ μονάς ὁ △ , Θ ὁ μέν γάρ Α , Β , Γ , △ , Ε , Ζ , Η , Θ τοσοῦτος εἰμί , ὅσος ὁ Θ ἀπό μονάς ἀπέχω , ὁ δέ Ι , Κ , Λ ἐν ἐλαχύς ἤ ὅσος ὁ △ ἀπό μονάς ἀπέχω · σύν γάρ ὁ Θ τοσοῦτος εἰμί .