archimedes.arenarius 2
ΙΙ . Τούτων δὲ ὑποκειμένων δείκνυται καὶ τάδε · οἷον ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων , καὶ ἔτι ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάκις μυριαδες ρ . Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου μὴ μείζω εἶμεν ἢ τριακονταπλασίονα τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας , τὰν δὲ διάμετρον τᾶς γᾶς μείζω εἶμεν τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας , δῆλον ὡς ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριακονταπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς . Πάλιν δέ , ἐπεὶ ἐδείχθη ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου μείζων ἐοῦσα τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου τῶν ἐν τῷ κόσμῳ , φανερὸν ὅτι ἁ τοῦ χιλιαγώνου περίμετρος τοῦ εἰρημένου ἐλάττων ἐστὶν ἢ χιλιοπλασίων τᾶς διαμέτρου τοῦ ἁλίου . Ἁ δὲ διάμετρος τοῦ ἁλίου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριακονταπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς ὥστε ἁ περίμετρος τοῦ χιλιαγώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρισμυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς . Ἐπεὶ οὖν ἁ περίμετρος τοῦ χιλιαγώνου τᾶς μὲν διαμέτρου τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρισμυριοπλασίων , τᾶς δὲ διαμέτρου τοῦ κόσμου μείζων ἢ τριπλασίων δέδεικται γάρ τοι διότι παντὸς κύκλου ἁ διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος παντὸς πολυγωνίου τᾶς περιμέτρου , ὅ κα ἰσόπλευρον ᾖ καὶ πολυγωνότερον τοῦ ἑξαγώνου ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ κύκλῳ εἴη κα ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς . Ἁ μὲν οὖν διάμετρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἐοῦσα ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς δέδεικται · ὅτι δὲ ἐλάττων ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες ρ ἐκ τούτου δῆλον · ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς μὴ μείζονα εἶμεν ἢ τριακοσίας μυριάδας σταδίων , ἁ δὲ περίμετρος τᾶς γᾶς μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία τᾶς διαμέτρου διὰ τὸ παντὸς κύκλου τὰν περιφέρειαν μείζονα εἶμεν ἢ τριπλασίονα τᾶς διαμέτρου , δῆλον ὡς ἁ διάμετρος τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάδες . Ἐπεὶ οὖν ἁ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς , δῆλον ὡς ἁ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες ρ . Περὶ μὲν οὖν τῶν μεγεθέων καὶ τῶν ἀποστημάτων ταῦτα ὑποτίθεμαι , περὶ δὲ τοῦ ψάμμου τάδε · εἴ κα ᾖ τι συγκείμενον μέγεθος ἐκ τοῦ ψάμμου μὴ μεῖζον μάκωνος , τὸν ἀριθμὸν αὐτοῦ μὴ μείζονα εἶμεν μυρίων , καὶ τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος μὴ ἐλάττονα εἶμεν ἢ τετρωκοστομόριον δακτύλου . Ὑποτίθεμαι δὲ τοῦτο ἐπισκεψάμενος τόνδε τὸν τρόπον ἐτέθεν ἐπὶ κανόνα λεῖον μάκωνες ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ μίαν κείμεναι ἁπτόμεναι ἀλλαλᾶν , καὶ ἀνέλαβον αἱ κε μάκωνες πλέονα τόπον δακτυλιαίου μάκεος . Ἐλάττονα οὖν τιθεὶς τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος ὑποτίθεμαι ὡς τετρωκοστομόριον εἶμεν δακτύλου καὶ μὴ ἐλάττονα βουλόμενος καὶ διὰ τούτων ἀναμφιλογώτατα δείκνυσθαι τὸ προκείμενον .
Lemmas: ΙΙ . οὗτος δέ ὑπόκειμαι δείκνυμι καί ὅδε · οἷος ὁ διάμετρος ὁ κόσμος ὁ διάμετρος ὁ γῆ ἐλαχύς εἰμί ἤ μυριοπλασίων , καί ἔτι ὁ διάμετρος ὁ κόσμος ἐλαχύς εἰμί ἤ στάδιον μυριάκις μυριας ρ̅ . ἐπεί γάρ ὑπόκειμαι ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος μή μέγας εἰμί ἤ τριακονταπλασίων ὁ διάμετρος ὁ σελήνη , ὁ δέ διάμετρος ὁ γῆ μέγας εἰμί ὁ διάμετρος ὁ σελήνη , δῆλος ὡς ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος ἐλαχύς εἰμί ἤ τριακονταπλασίων ὁ διάμετρος ὁ γῆ . πάλιν δέ , ἐπεί δείκνυμι ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος μέγας εἰμί ὁ ὁ χιλιάγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω ὁ ἐν ὁ κόσμος , φανερός ὅτι ὁ ὁ χιλιάγωνος περίμετρος ὁ λέγω ἐλαχύς εἰμί ἤ χιλιοπλασίων ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος . ὁ δέ διάμετρος ὁ ἅλιος ἐλαχύς εἰμί ἤ τριακονταπλασίων ὁ διάμετρος ὁ γῆ ὥστε ὁ περίμετρος ὁ χιλιάγωνος ἐλαχύς εἰμί ἤ τρισμυριοπλασίων ὁ διάμετρος ὁ γῆ . ἐπεί οὖν ὁ περίμετρος ὁ χιλιάγωνος ὁ μέν διάμετρος ὁ γῆ ἐλαχύς εἰμί ἤ τρισμυριοπλασίων , ὁ δέ διάμετρος ὁ κόσμος μέγας ἤ τριπλασίων δείκνυμι γάρ τοι διότι πᾶς κύκλος ὁ διάμετρος ἐλαχύς εἰμί ἤ τρίτος μέρος πᾶς πολυγώνιος ὁ περίμετρος , ὅς ἄν ἰσόπλευρος εἰμί καί πολύγωνος ὁ ἑξάγωνος ἐγγράφω ἐν ὁ κύκλος εἰμί ἄν ὁ διάμετρος ὁ κόσμος ἐλαχύς ἤ μυριοπλασίων ὁ διάμετρος ὁ γῆ . ὁ μέν οὖν διάμετρος ὁ κόσμος ἐλαχύς εἰμί ἤ μυριοπλασίων ὁ διάμετρος ὁ γῆ δείκνυμι · ὅτι δέ ἐλαχύς εἰμί ὁ διάμετρος ὁ κόσμος ἤ στάδιον μυριάκις μυριάς ρ̅ ἐκ οὗτος δῆλος · ἐπεί γάρ ὑπόκειμαι ὁ περίμετρον ὁ γῆ μή μέγας εἰμί ἤ τριακόσιοι μυριάς στάδιον , ὁ δέ περίμετρος ὁ γῆ μέγας εἰμί ἤ τριπλάσιος ὁ διάμετρος διά ὁ πᾶς κύκλος ὁ περιφέρεια μέγας εἰμί ἤ τριπλασίων ὁ διάμετρος , δῆλος ὡς ὁ διάμετρος ὁ γῆ ἐλαχύς εἰμί ἤ στάδιον μυριάς . ἐπεί οὖν ὁ ὁ κόσμος διάμετρος ἐλαχύς εἰμί ἤ μυριοπλασίων ὁ διάμετρος ὁ γῆ , δῆλος ὡς ὁ ὁ κόσμος διάμετρος ἐλαχύς εἰμί ἤ στάδιον μυριάκις μυριάς ρ̅ . περί μέν οὖν ὁ μέγεθος καί ὁ ἀπόστημα οὗτος ὑποτίθημι , περί δέ ὁ ψάμμος ὅδε · εἰ ἄν εἰμί τις σύγκειμαι μέγεθος ἐκ ὁ ψάμμος μή μέγας μήκων , ὁ ἀριθμός αὐτός μή μέγας εἰμί μυρίος , καί ὁ διάμετρος ὁ μήκων μή ἐλαχύς εἰμί ἤ τετρωκοστομόριον δάκτυλος . ὑποτίθημι δέ οὗτος ἐπισκοπέω ὅδε ὁ τρόπος τεθ́σκω ἐπί κανών λεῖος μήκων ἐπί εὐθεῖα ἐπί εἷς κεῖμαι ἅπτω ἀλλήλων , καί ἀναλαμβάνω ὁ ἄν μήκων πολύς τόπος δακτυλιαῖος μῆκος . ἐλαχύς οὖν τίθημι ὁ διάμετρος ὁ μήκων ὑποτίθημι ὡς τετρωκοστομόριον εἰμί δάκτυλος καί μή ἐλαχύς βούλομαι καί διά οὗτος ἀναμφίλογος δείκνυμι ὁ πρόκειμαι .