archimedes.arenarius 1
Ι . Οἴονταί τινες , βασιλεῦ Γέλων , τοῦ ψάμμου τὸν ἀριθμὸν ἄπειρον εἶμεν τῷ πλήθει · λέγω δὲ οὐ μόνον τοῦ περὶ Συρακούσας τε καὶ τὰν ἄλλαν Σικελίαν ὑπάρχοντος , ἀλλὰ καὶ τοῦ κατὰ πᾶσαν χώραν τάν τε οἰκημέναν καὶ τὰν ἀοίκητον . Ἐντί τινες δέ , οἳ αὐτὸν ἄπειρον μὲν εἶμεν οὐχ ὑπολαμβάνοντι , μηδένα μέντοι ταλικοῦτον κατωνομασμένον ὑπάρχειν ἀριθμόν , ὅστις ὑπερβάλλει τὸ πλῆθος αὐτοῦ . Οἱ δὲ οὕτως δοξάζοντες δῆλον ὡς , εἰ νοήσαιεν ἐκ τοῦ ψάμμου ταλικοῦτον ὄγκον συγκείμενον τὸ μέγεθος , ἁλίκος ὁ τᾶς γᾶς ὄγκος ἀναπεπληρωμένων ἐν αὐτῷ τῶν τε πελάγεων πάντων καὶ τῶν κοιλωμάτων τᾶς γᾶς εἰς ἴσον ὕψος τοῖς ὑψηλοτάτοις τῶν ὀρέων , πολλαπλασίως μὴ γνώσονται μηδένα κα ῥηθῆμεν ἀριθμὸν ὑπερβάλλοντα τὸ πλῆθος αὐτοῦ . Ἐγὼ δὲ πειρασοῦμαί τοι δεικνύειν διʼ ἀποδείξιων γεωμετρικᾶν , αἷς παρακολουθήσεις , ὅτι τῶν ὑφʼ ἁμῶν κατωνομασμένων ἀριθμῶν καὶ ἐκδεδομένων ἐν τοῖς ποτὶ Ζεύξιππον γεγραμμένοις ὑπερβάλλοντί τινες οὐ μόνον τὸν ἀριθμὸν τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ γᾷ πεπληρωμένᾳ , καθάπερ εἴπαμες , ἀλλὰ καὶ τὸν τοῦ μέγεθος ἴσον ἔχοντος τῷ κόσμῳ , Κατέχεις δὲ διότι καλεῖται κόσμος ὑπὸ μὲν τῶν πλείστων ἀστρολόγων ἁ σφαῖρα , ἇς ἐστι κέντρον μὲν τὸ τᾶς γᾶς κέντρον , ἁ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσα τᾷ εὐθείᾳ τᾷ μεταξὺ τοῦ κέντρου τοῦ ἁλίου καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς · ταῦτα γὰρ ἐν ταῖς γραφομέναις παρὰ τῶν ἀστρολόγων δείξεσι διάκουσας . Ἀρίσταρχος δὲ ὁ Σάμιος ὑποθέσιών τινων ἐξέδωκεν γραφάς , ἐν αἷς ἐκ τῶν ὑποκειμένων συμβαίνει τὸν κόσμον πολλαπλάσιον εἶμεν τοῦ νῦν εἰρημένου . Ὑποτίθεται γὰρ τὰ μὲν ἀπλανέα τῶν ἄστρων καὶ τὸν ἅλιον μένειν ἀκίνητον , τὰν δὲ γᾶν περιφέρεσθαι περὶ τὸν ἅλιον κατὰ κύκλου περιφέρειαν , ὅς ἐστιν ἐν μέσῳ τῷ δρόμῳ κείμενος , τὰν δὲ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ ἁλίῳ κειμέναν τῷ μεγέθει τηλικαύταν εἶμεν , ὥστε τὸν κύκλον , καθʼ ὃν τὰν γᾶν ὑποτίθεται περιφέρεσθαι , τοιαύταν ἔχειν ἀναλογίαν ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἀποστασίαν , οἵαν ἔχει τὸ κέντρον τᾶς σφαίρας ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν . Τοῦτό γʼ εὔδηλον ὡς ἀδύνατόν ἐστιν ἐπεὶ γὰρ τὸ τᾶς σφαίρας κέντρον οὐδὲν ἔχει μέγεθος , οὐδὲ λόγον ἔχειν οὐδένα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τᾶς σφαίρας ὑπολαπτέον αὐτό , Ἐκδεκτέον δὲ τὸν Ἀρίσταρχον διανοεῖσθαι τόδε · ἐπειδὴ τὰν γᾶν ὑπολαμβάνομες ὥσπερ εἶμεν τὸ κέντρον τοῦ κόσμου , ὃν ἔχει λόγον ἁ γᾶ ποτὶ τὸν ὑφʼ ἁμῶν εἰρημένον κόσμον , τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον τὰν σφαῖραν , ἐν ᾆ ἐστιν ὁ κύκλος , καθʼ ὃν τὰν γᾶν ὑποτίθεται περιφέρεσθαι , ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν τὰς γὰρ ἀποδείξιας τῶν φαινομένων οὕτως ὑποκειμένῳ ἐναρμόζει , καὶ μάλιστα φαίνεται τὸ μέγεθος τᾶς σφαίρας , ἐν ᾆ ποιεῖται τὰν γᾶν κινουμέναν , ἴσον ὑποτίθεσθαι τῷ ὑφʼ ἁμῶν εἰρημένῳ κόσμῳ , Φαμὲς δή , καὶ εἰ γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα τηλικαύτα τὸ μέγεθος , ἁλίκαν Ἀρίσταρχος ὑποτίθεται τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν εἶμεν , καὶ οὕτως τινὰς δειχθήσειν τῶν ἐν ἀρχᾷ ἀριθμῶν τῶν κατονομαξίαν ἐχόντων ὑπερβάλλοντας τῷ πλήθει τὸν ἀριθμὸν τὸν τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ εἰρημένᾳ σφαίρᾳ , ὑποκειμένων τῶνδε · πρῶτον μὲν τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς εἶμεν ὡς τ μυριάδων σταδίων καὶ μὴ μείζω , καίπερ τινῶν πεπειραμένων ἀποδεικνύειν , καθὼς καὶ τὺ παρακολουθεῖς , ἐοῦσαν αὐτὰν ὡς λ μυριάδων σταδίων . Ἐγὼ δʼ ὑπερβαλλόμενος καὶ θεὶς τὸ μέγεθος τᾶς γᾶς ὡς δεκαπλάσιον τοῦ ὑπὸ τῶν προτέρων δεδοξασμένου τὰν περίμετρον αὐτᾶς ὑποτίθεμαι εἶμεν ὡς μυριάδων σταδίων καὶ μὴ μείζω μετὰ δὲ τοῦτο τὰν διάμετρον τᾶς γᾶς μείζονα εἶμεν τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας , καὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου μείζονα εἶμεν τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς , ὁμοίως τὰ αὐτὰ λαμβάνων τοῖς πλείστοις τῶν προτέρων ἀστρολόγων μετὰ δὲ ταῦτα τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας ὡς τριακονταπλασίαν εἶμεν καὶ μὴ μείζονα , καίπερ τῶν προτέρων ἀστρολόγων Εὐδόξου μὲν ὡς ἐννεαπλασίονα ἀποφαινομένου , Φειδία δὲ τοῦ ἁμοῦ πατρὸς ὡς δὴ δωδεκαπλασίαν , Ἀριστάρχου δὲ πεπειραμένου δεικνύειν ὅτι ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας μείζων μὲν ἢ ὀκτωκαιδεκαπλασίων , ἐλάττων δὲ ἢ εἰκοσαπλασίων · ἐγὼ δὲ ὑπερβαλλόμενος καὶ τοῦτον , ὅπως τὸ προκείμενον ἀναμφιλόγως ᾖ δεδειγμένον , ὑποτίθεμαι τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας ὡς τριακονταπλασίαν εἶμεν καὶ μὴ μείζονα ποτὶ δὲ τούτοις τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου μείζονα εἶμεν τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου τῶν ἐν τῷ κόσμῳ . Τοῦτο δὲ ὑποτίθεμαι Ἀριστάρχου μὲν εὑρηκότος τοῦ κύκλου τῶν ζῳδίων τὸν ἅλιον φαινόμενον ὡς τὸ εἰκοστὸν καὶ ἑπτακοσιοστόν , αὐτὸς δὲ ἐπισκεψάμενος τόνδε τὸν τρόπον ἐπειράθην ὀργανικῶς λαβεῖν τὰν γωνίαν , εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει . Τὸ μὲν οὖν ἀκριβὲς λαβεῖν οὐκ εὐχερές ἐστι διὰ τὸ μήτε τὰν ὄψιν μήτε τὰς χεῖρας μήτε τὰ ὄργανα , διʼ ὧν δεῖ λαβεῖν , ἀξιόπιστα εἶμεν τὸ ἀκριβὲς ἀποφαίνεσθαι · περὶ δὲ τούτων ἐπὶ τοῦ παρόντος οὐκ εὔκαιρον μακύνειν ἄλλως τε καὶ πλεονάκις τοιούτων ἐμπεφανισμένων ἀποχρὴ δέ μοι ἐς τὰν ἀπόδειξιν τοῦ προκειμένου γωνίαν λαβεῖν , ἅτις ἐστὶ μὴ μείζων τᾶς γωνίας , εἰς ἃν ὁ ἃλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει , καὶ πάλιν ἄλλαν γωνίαν λαβεῖν , ἅτις ἐστὶν οὐκ ἐλάττων τᾶς γωνίας , εἰς ἃν ὁ ἃλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει . Τεθέντος οὖν μακροῦ κανόνος ἐπὶ πόδα ὀρθὸν ἐν τόπῳ κείμενον , ὅθεν ἤμελλεν ἀνατέλλων ὁ ἅλιος ὁρᾶσθαι , καὶ κυλίνδρου μικροῦ τορνευθέντος καὶ τεθέντος ἐπὶ τὸν κανόνα ὀρθοῦ εὐθέως μετὰ τὰν ἀνατολὰν τοῦ ἁλίου , ἔπειτʼ ἐόντος αὐτοῦ ποτὶ τῷ ὁρίζοντι καὶ δυναμένου ἀντιβλέπεσθαι ἐπεστράφη ὁ κανὼν εἰς τὸν ἅλιον , καὶ ἁ ὄψις κατεστάθη ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνος · ὁ δὲ κύλινδρος ἐν μέσῳ κείμενος τοῦ τε ἁλίου καὶ τᾶς ὄψιος ἐπεσκότει τῷ ἁλίῳ . Ἀποχωριζόμενος οὖν ἀπὸ τᾶς ὄψιος , ἐν ᾧ ἄρξατο παραφαίνεσθαι τοῦ ἁλίου μικρὸν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου , κατεστάθη ὁ κύλινδρος . Εἰ μὲν οὖν συνέβαινεν τὰν ὄψιν ἀφʼ ἑνὸς σαμείου βλέπειν , εὐθειᾶν ἀχθεισᾶν ἀπʼ ἄκρου τοῦ κανόνος , ἐν ᾧ τόπῳ ἁ ὄψις κατεστάθη , ἐπιψαυουσᾶν τοῦ κυλίνδρου ἁ περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν ἀχθεισᾶν ἐλάσσων κα ἦς τᾶς γωνίας , εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει , διὰ τὸ παραβλέπεσθαί τι τοῦ ἁλίου ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου ἐπεὶ δʼ αἱ ὄψιες οὐκ ἀφʼ ἑνὸς σαμείου βλέποντι , ἀλλὰ ἀπό τινος μεγέθεος , ἐλάφθη τι μέγεθος στρογγύλον οὐκ ἔλαττον ὄψιος , καὶ τεθέντος τοῦ μεγέθεος ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνος , ἐν ᾧ τόπῳ ἁ ὄψις κατεστάθη , ἀχθεισᾶν εὐθειᾶν ἐπιψαυουσᾶν τοῦ τε μεγέθεος καὶ τοῦ κυλίνδρου ἁ οὖν περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν ἀχθεισᾶν ἐλάττων ἦς τᾶς γωνίας , εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει . Τὸ δὲ μέγεθος τὸ οὐκ ἔλαττον τᾶς ὄψιος τόνδε τὸν τρόπον εὑρίσκεται δύο κυλίνδρια λαμβάνεται λεπτὰ ἰσοπαχέα ἀλλάλοις , τὸ μὲν λευκόν , τὸ δὲ οὔ , καὶ προτίθενται πρὸ τᾶς ὄψιος , τὸ μὲν λευκὸν ἀφεστακὸς ἀπʼ αὐτᾶς , τὸ δὲ οὐ λευκὸν ὡς ἔστιν ἐγγυτάτω τᾶς ὄψιος , ὥστε καὶ θιγγάνειν τοῦ προσώπου . Εἰ μὲν οὖν κα τὰ λαφθέντα κυλίνδρια λεπτότερα ἔωντι τᾶς ὄψιος , περιλαμβάνεται ὑπὸ τᾶς ὄψιος τὸ ἐγγὺς κυλίνδριον καὶ ὁρῆται ὑπὸ αὐτᾶς τὸ λευκόν , εἰ μέν κα παρὰ πολὺ λεπτότερα ἔωντι , πᾶν , εἰ δέ κα μὴ παρὰ πολύ , μέρεά τινα τοῦ λευκοῦ ὁρῶνται ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἐγγὺς τᾶς ὄψιος , λαφθέντων δὲ τῶνδε τῶν κυλινδρίων ἐπιταδείων πως τῷ πάχει ἐπισκοτεῖ τὸ ἕτερον αὐτῶν τῷ ἑτέρῳ καὶ οὐ πλείονι τόπῳ τὸ δὴ ταλικοῦτον μέγεθος , ἁλίκον ἐστὶ τὸ πάχος τῶν κυλινδρίων τῶν τοῦτο ποιούντων , μάλιστά πώς ἐστιν οὐκ ἔλαττον τᾶς ὄψιος . Ἁ δὲ γωνία ἁ οὐκ ἐλάττων τᾶς γωνίας , εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει , οὕτως ἐλάφθη ἀποσταθέντος ἐπὶ τοῦ κανονίου τοῦ κυλίνδρου ἀπὸ τᾶς ὄψιος οὕτως , ὡς ἐπισκοτεῖν τὸν κύλινδρον ὅλῳ τῷ ἁλίῳ , καὶ ἀχθεισᾶν εὐθειᾶν ἀπʼ ἄκρου τοῦ κανόνος , ἐν ᾧ τόπῳ ἁ ὄψις κατεστάθη , ἐπιψαυουσᾶν τοῦ κυλίνδρου ἁ περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν ἀχθεισᾶν εὐθειᾶν οὐκ ἐλάττων γίνεται τᾶς γωνίας , εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει . Ταῖς δὴ γωνίαις ταῖς οὕτως λαφθείσαις καταμετρηθείσας ὀρθᾶς γωνίας ἐγένετο ἁ ἐν στίγῳ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς ρξδ ἐλάττων ἢ ἓν μέρος τούτων , ἁ δὲ ἐλάττων διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς σ μείζων ἢ ἓν μέρος τούτων δῆλον οὖν ὅτι καὶ ἁ γωνία , εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει , ἐλάττων μὲν ἐστιν ἢ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς ρξδ τούτων ἓν μέρος , μείζων δὲ ἢ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς σ τούτων ἓν μέρος . Πεπιστευμένων δὲ τούτων δείκνυται ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου μείζων ἐοῦσα τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου τῶν ἐν τῷ κόσμῳ , Νοείσθω γὰρ ἐπίπεδον ἐκβεβλημένον διά τε τοῦ κέντρου τοῦ ἁλίου καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ διὰ τᾶς ὄψιος , μικρὸν ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ἐόντος τοῦ ἁλίου , τεμνέτω δὲ τὸ ἐκβληθὲν ἐπίπεδον τὸν μὲν κόσμον κατὰ τὸν ΑΒΓ κύκλον , τὰν δὲ γᾶν κατὰ τὸν △ΕΖ , τὸν δὲ ἅλιον κατὰ τὸν ΣΗ κύκλον , κέντρον δὲ ἔστω τᾶς μὲν γᾶς τὸ Θ , τοῦ δὲ ἁλίου τὸ Κ , ὄψις δὲ ἔστω τὸ △ , καὶ ἄχθωσαν εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι τοῦ ΣΗ κύκλου ἀπὸ μὲν τοῦ △ αἱ △Λ , △Ξ , ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Τ , ἀπὸ δὲ τοῦ Θ αἱ ΘΜ , ΘΟ , ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ Χ καὶ τὸ Ρ , τὸν δὲ ΑΒΓ κύκλον τεμνόντων αἱ ΘΜ , ΘΟ κατὰ τὸ Α καὶ τὸ Β ἔστι δὴ μείζων ἁ ΘΚ τᾶς △Κ , ἐπεὶ ὑπόκειται ὁ ἅλιος ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα εἶμεν · ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ , △Ξ μείζων ἐστὶ τᾶς γωνίας τᾶς περιεχομένας ὑπὸ τᾶν ΘΜ , ΘΟ , Ἁ δὲ περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν △Λ , △Ξ μείζων μὲν ἐστιν ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρθᾶς , ἐλάττων δὲ ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας εἰς ρξδ τούτων ἓν μέρος · ἴσα γάρ ἐστιν τᾷ γωνίᾳ , εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΘΜ , ΘΟ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας εἰς ρξδ τούτων ἓν μέρος , ἁ δὲ ΑΒ εὐθεῖα ἐλάττων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας ἓν τμᾶμα διαιρεθείσας τᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας ἐς χνς΄ . Α δὲ τοῦ εἰρημένου πολυγωνίου περίμετρος ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢ τὰ μδ ποτὶ τὰ ζ διὰ τὸ παντὸς πολυγωνίου ἐγγεγραμμένου ἐν κύκλῳ τὰν περίμετρον ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάττονα λόγον ἔχειν ἢ τὰ μδ ποτὶ τὰ ζ · ἐπίστασαι γὰρ δεδειγμένον ὑφʼ ἁμῶν ὅτι παντὸς κύκλου ἁ περιφέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασίων τᾶς διαμέτρου ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει , ταύτας δὲ ἐλάττων ἐστὶν ἁ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγωνίου · ἐλάττω οὖν λόγον ἔχει ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΘΚ ἢ τὰ ια ποτὶ τὰ αρμη · ὥστε ἐλάττων ἐστὶν ἁ ΒΑ τᾶς ΘΚ ἢ ἑκατοστὸν μέρος . Τᾷ δὲ ΒΑ ἴσα ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ ΣΗ κύκλου , διότι καὶ ἁ ἡμίσεια αὐτᾶς ἁ ΦΑ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΚΡ ἰσᾶν γὰρ ἐουσᾶν τᾶν ΘΚ , ΘΑ ἀπὸ τῶν περάτων κάθετοι ἐπιζεύγνυνται ὑπὸ τὰν αὐτὰν γωνίαν · δῆλον οὖν ὅτι ἁ διάμετρος τοῦ ΣΗ κύκλου ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ . Καὶ ἁ ΕΘΥ διάμετρος ἐλάττων ἐστὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΣΗ κύκλου , ἐπεὶ ἐλάττων ἐστὶν ὁ △ΕΖ κύκλος τοῦ ΣΗ κύκλου · ἐλάττονες ἄρα ἐντὶ ἀμφότεραι αἱ ΘΥ , ΚΣ ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ · ὥστε ἁ ΘΚ ποτὶ τὰν ΥΣ ἐλάττονά λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ ( ?? ) θ . Καὶ ἐπεὶ ἁ μὲν ΘΚ οὐκ ἐλάττων ἐστὶ τᾶς ΘΡ , ἁ δὲ ΣΥ ἐλάττων τᾶς △Τ , ἐλάττω ἄρα κα λόγον ἔχοι ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ ἢ τὰ ρ ποτὶ τὸ ( ?? ) θ . Ἐπεὶ δὲ τῶν ΘΚΡ , △ΚΤ ὀρθογωνίων ἐόντων αἱ μὲν ΚΡ , ΚΤ πλευραὶ ἴσαι ἐντὶ , αἱ δὲ ΘΡ , △Τ ἀνίσοι καὶ μείζων ἁ ΘΡ , ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Τ , △Κ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΡ , ΘΚ μείζονα μὲν ἔχει λόγον ἢ ἁ ΘΚ ποτὶ τὰν △Κ , ἐλάττω δὲ ἢ ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ εἰ γάρ κα δυῶν τριγώνων ὀρθογωνίων αἱ μὲν ἅτεραι πλευραὶ αἱ περὶ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ἴσαι ἔωντι , αἱ δὲ ἅτεραι ἄνισοι , ἁ μείζων γωνία τᾶν ποτὶ ταῖς ἀνίσοις πλευραῖς ποτὶ τὰν ἐλάττονα μείζονα μὲν ἔχει λόγον ἢ ἁ μείζων γραμμὰ τᾶν ὑπὸ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ὑποτεινουσᾶν ποτὶ τὰν ἐλάττονα , ἐλάττονα δὲ ἢ ἁ μείζων γραμμὰ τᾶν περὶ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ποτὶ τὰν ἐλάττονα . Ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ , △Ξ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΟ , ΘΜ ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ , ἅτις ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ ( ?? ) θ · ὥστε καὶ ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ , △Ξ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΜ , ΘΟ ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ ( ?? ) θ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ , △Ξ μείζων ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρθᾶς , εἴη κα ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΘΜ , ΘΟ μείζων ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας ἐς δισμύρια τούτων ( ?? ) θ μέρεα ὥστε μείζων ἐστὶν ἢ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς σ καὶ γ τούτων ἓν μέρος . Ἁ ἄρα ΒΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας ἓν τμᾶμα διῃρημένας τᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας εἰς ωιβ . Τᾷ δὲ ΑΒ ἴσα ἐντὶ ἁ τοῦ ἁλίου διάμετρος δῆλον οὖν ὅτι μείζων ἐστὶν ἁ τοῦ ἁλίου διάμετρος τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς .
Lemmas: Ι . οἴομαι τις , βασιλεύς Γέλων , ὁ ψάμμος ὁ ἀριθμός ἄπειρος εἰμί ὁ πλῆθος · λέγω δέ οὐ μόνος ὁ περί Συράκουσαι τε καί ὁ ἄλλος Σικελία ὑπάρχω , ἀλλά καί ὁ κατά πᾶς χώρα ὁ τε οἰκέω καί ὁ ἀοίκητος . εἰμί τις δέ , ὅς αὐτός ἄπειρος μέν εἰμί οὐ ὑπολαμβάνω , μηδείς μέντοι ταλικοῦτο κατονομάζω ὑπάρχω ἀριθμός , ὅστις ὑπερβάλλω ὁ πλῆθος αὐτός . ὁ δέ οὕτως δοξάζω δῆλος ὡς , εἰ νοέω ἐκ ὁ ψάμμος ταλικοῦτο ὄγκος σύγκειμαι ὁ μέγεθος , ἁλί̈ξ ὁ ὁ γῆ ὄγκος ἀναπληρόω ἐν αὐτός ὁ τε πέλαγεον πᾶς καί ὁ κοίλωμα ὁ γῆ εἰς ἴσος ὕψος ὁ ὑψηλός ὁ ὄρος , πολλαπλάσιος μή γιγνώσκω μηδείς ἄν λέγω ἀριθμός ὑπερβάλλω ὁ πλῆθος αὐτός . ἐγώ δέ πειράω σύ δείκνυμι διά ἀποδεῖξιοι γεωμετρικός , ὅς παρακολουθέω , ὅτι ὁ ὑπό ἐγώ κατονομάζω ἀριθμός καί ἐκδίδωμι ἐν ὁ πρός Ζεύξιππος γράφω ὑπερβάλλω τις οὐ μόνος ὁ ἀριθμός ὁ ψάμμος ὁ μέγεθος ἔχω ἴσος ὁ γῆ πληρόω , καθά εἴπαιμημι , ἀλλά καί ὁ ὁ μέγεθος ἴσος ἔχω ὁ κόσμος , Κατέχω δέ διότι καλέω κόσμος ὑπό μέν ὁ πολύς ἀστρολόγος ὁ σφαῖρα , ὅς εἰμί κέντρον μέν ὁ ὁ γῆ κέντρον , ὁ δέ ἐκ ὁ κέντρον ἴσος ὁ εὐθύς ὁ μεταξύ ὁ κέντρον ὁ ἅλιος καί ὁ κέντρον ὁ γῆ · οὗτος γάρ ἐν ὁ γράφω παρά ὁ ἀστρονόμος δεῖξις διακούω . Ἀρίσταρχος δέ ὁ Σάμιος ὑπόθεσια τις ἐκδίδωμι γραφή , ἐν ὅς ἐκ ὁ ὑπόκειμαι συμβαίνω ὁ κόσμος πολλαπλάσιος εἰμί ὁ νῦν λέγω . ὑποτίθημι γάρ ὁ μέν ἀπλανής ὁ ἄστρον καί ὁ ἅλιος μένω ἀκίνητος , ὁ δέ γῆ περιφέρω περί ὁ ἥλιος κατά κύκλος περιφέρεια , ὅς εἰμί ἐν μέσος ὁ δρόμος κεῖμαι , ὁ δέ ὁ ἀπλανής ἄστρον σφαῖρα περί ὁ αὐτός κέντρον ὁ ἅλιος κεῖμαι ὁ μέγεθος τηλικαῦτος εἰμί , ὥστε ὁ κύκλος , κατά ὅς ὁ γῆ ὑποτίθημι περιφέρω , ταιαυτός ἔχω ἀναλογία πρός ὁ ὁ ἀπλανής ἀποστασία , οἷος ἔχω ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα πρός ὁ ἐπιφάνεια . οὗτος γε εὔδηλος ὡς ἀδύνατος εἰμί ἐπεί γάρ ὁ ὁ σφαῖρα κέντρον οὐδείς ἔχω μέγεθος , οὐδέ λόγος ἔχω οὐδείς πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα ὑπολαράω αὐτός , Ἐκδέχομαι δέ ὁ Ἀρίσταρχος διανοέω ὅδε · ἐπειδή ὁ γῆ ὑπολαμβάνω ὥσπερ εἰμί ὁ κέντρον ὁ κόσμος , ὅς ἔχω λόγος ὁ γῆ πρός ὁ ὑπό ἐγώ λέγω κόσμος , οὗτος ἔχω ὁ λόγος ὁ σφαῖρα , ἐν ἐ͂ͅ εἰμί ὁ κύκλος , κατά ὅς ὁ γῆ ὑποτίθημι περιφέρω , πρός ὁ ὁ ἀπλανής ἄστρον σφαῖρα ὁ γάρ ἀπόδειξις ὁ φαίνω οὕτως ὑπόκειμαι ἐναρμόζω , καί μάλα φαίνω ὁ μέγεθος ὁ σφαῖρα , ἐν ἆ ποιέω ὁ γῆ κινέω , ἴσος ὑποτίθημι ὁ ὑπό ἐγώ λέγω κόσμος , Φαμές δή , καί εἰ γίγνομαι ἐκ ὁ ψάμμος σφαῖρα τηλικαῦτος ὁ μέγεθος , ἁλίκος Ἀρίσταρχος ὑποτίθημι ὁ ὁ ἀπλανής ἄστρον σφαῖρα εἰμί , καί οὕτως τις δειχθιέω ὁ ἐν ἀρχή ἀριθμός ὁ κατονομαξία ἔχω ὑπερβάλλω ὁ πλῆθος ὁ ἀριθμός ὁ ὁ ψάμμος ὁ μέγεθος ἔχω ἴσος ὁ λέγω σφαῖρα , ὑπόκειμαι ὅδε · πρῶτος μέν ὁ περίμετρον ὁ γῆ εἰμί ὡς τ μυριάς στάδιον καί μή μέγας , καίπερ τις πειράω ἀποδείκνυμι , καθώς καί σύ παρακολουθέω , εἰμί αὐτός ὡς λ μυριάς στάδιον . ἐγώ δέ ὑπερβάλλω καί τίθημι ὁ μέγεθος ὁ γῆ ὡς δεκαπλάσιος ὁ ὑπό ὁ πρότερος δοξάζω ὁ περίμετρον αὐτός ὑποτίθημι εἰμί ὡς μυριάς στάδιον καί μή μέγας μετά δέ οὗτος ὁ διάμετρος ὁ γῆ μέγας εἰμί ὁ διάμετρος ὁ σελήνη , καί ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος μέγας εἰμί ὁ διάμετρος ὁ γῆ , ὅμοιος ὁ αὐτός λαμβάνω ὁ πολύς ὁ πρότερος ἀστρολόγος μετά δέ οὗτος ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος ὁ διάμετρος ὁ σελήνη ὡς τριακονταπλάσιος εἰμί καί μή μέγας , καίπερ ὁ πρότερος ἀστρολόγος Εὔδοξος μέν ὡς ἐννεαπλάσιος ἀποφαίνω , Φειδίας δέ ὁ ἁμός πατήρ ὡς δή δωδεκαπλάσιος , Ἀρίσταρχος δέ πειράω δείκνυμι ὅτι εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος ὁ διάμετρος ὁ σελήνη μέγας μέν ἤ ὀκτωκαιδεκαπλάσιος , ἐλαχύς δέ ἤ εἰκοσαπλασίων · ἐγώ δέ ὑπερβάλλω καί οὗτος , ὅπως ὁ πρόκειμαι ἀναμφίλογος εἰμί δείκνυμι , ὑποτίθημι ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος ὁ διάμετρος ὁ σελήνη ὡς τριακονταπλάσιος εἰμί καί μή μέγας πρός δέ οὗτος ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος μέγας εἰμί ὁ ὁ χιλιάγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω ὁ ἐν ὁ κόσμος . οὗτος δέ ὑποτίθημι Ἀρίσταρχος μέν εὑρίσκω ὁ κύκλος ὁ ζῴδιον ὁ ἥλιος φαίνω ὡς ὁ εἰκοστός καί ἑπτακοσιοστός , αὐτός δέ ἐπισκοπέω ὅδε ὁ τρόπος ἐπιλέγω ὀργανικός λαμβάνω ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὄψις . ὁ μέν οὖν ἀκριβής λαμβάνω οὐ εὐχερής εἰμί διά ὁ μήτε ὁ ὄψις μήτε ὁ χείρ μήτε ὁ ὄργανον , διά ὅς δέω λαμβάνω , ἀξιόπιστος εἰμί ὁ ἀκριβής ἀποφαίνω · περί δέ οὗτος ἐπί ὁ πάρειμι οὐ εὔκαιρος μηκύνω ἄλλος τε καί πλεονάκις τοιοῦτος ἐμφανίζω ἀποχρή δέ ἐγώ εἰς ὁ ἀπόδειξις ὁ πρόκειμαι γωνία λαμβάνω , ὅστις εἰμί μή μέγας ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὄψις , καί πάλιν ἄλλος γωνία λαμβάνω , ὅστις εἰμί οὐ ἐλαχύς ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὄψις . τίθημι οὖν μακρός κανών ἐπί πούς ὀρθός ἐν τόπος κεῖμαι , ὅθεν μέλλω ἀνατέλλω ὁ ἥλιος ὁράω , καί κύλινδρος μικρός τορνεύω καί τίθημι ἐπί ὁ κανών ὀρθός εὐθύς μετά ὁ ἀνατολή ὁ ἅλιος , ἔπειτα εἰμί αὐτός πρός ὁ ὁρίζω καί δύναμαι ἀντιβλέπω ἐπιστρέφω ὁ κανών εἰς ὁ ἥλιος , καί ὁ ὄψις καθίστημι ἐπί ὁ ἄκρον ὁ κανών · ὁ δέ κύλινδρος ἐν μέσος κεῖμαι ὁ τε ἅλιος καί ὁ ὄψις ἐπισκοτέω ὁ ἅλιος . ἀποχωρίζω οὖν ἀπό ὁ ὄψις , ἐν ὅς ἄρχω παραφαίνω ὁ ἅλιος μικρός ἐπί ἑκάτερος ὁ κύλινδρος , καθίστημι ὁ κύλινδρος . εἰ μέν οὖν συμβαίνω ὁ ὄψις ἀπό εἷς σαμεῖον βλέπω , εὐθεῖα ἄγω ἀπό ἄκρον ὁ κανών , ἐν ὅς τόπος ὁ ὄψις καθίστημι , ἐπιψαύω ὁ κύλινδρος ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ ἄγω ἐλαχύς ἄν εἰμί ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὄψις , διά ὁ παραβλέπω τις ὁ ἅλιος ἐπί ἑκάτερος ὁ κύλινδρος ἐπεί δέ ὁ ὄψις οὐ ἀπό εἷς σαμεῖον βλέπω , ἀλλά ἀπό τις μέγεθος , λάπτω τις μέγεθος στρογγύλος οὐ ἐλαχύς ὄψις , καί τίθημι ὁ μέγεθος ἐπί ὁ ἄκρον ὁ κανών , ἐν ὅς τόπος ὁ ὄψις καθίστημι , ἄγω εὐθεῖα ἐπιψαύω ὁ τε μέγεθος καί ὁ κύλινδρος ὁ οὖν περιέχω γωνία ὑπό ὁ ἄγω ἐλαχύς ὅς ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὁράω . ὁ δέ μέγεθος ὁ οὐ ἐλαχύς ὁ ὄψις ὅδε ὁ τρόπος εὑρίσκω δύο κυλίνδριον λαμβάνω λεπτός ἰσοπαχής ἀλλήλων , ὁ μέν λευκός , ὁ δέ οὐ , καί προτίθημι πρό ὁ ὄψις , ὁ μέν λευκός ἀφίστημι ἀπό αὐτός , ὁ δέ οὐ λευκός ὡς εἰμί ἐγγύς ὁ ὄψις , ὥστε καί θιγγάνω ὁ πρόσωπον . εἰ μέν οὖν ἄν ὁ λάπτω κυλίνδριον λεπτός εἰμί ὁ ὄψις , περιλαμβάνω ὑπό ὁ ὄψις ὁ ἐγγύς κυλίνδριον καί ὁράω ὑπό αὐτός ὁ λευκός , εἰ μέν ἄν παρά πολύς λεπτός εἰμί , πᾶς , εἰ δέ ἄν μή παρά πολύς , μέρος τις ὁ λευκός ὁράω ἐπί ἑκάτερος ὁ ἐγγύς ὁ ὄψις , λάπτω δέ ὅδε ὁ κυλίνδριον ἐπιτάδειος πως ὁ πάχος ἐπισκοτέω ὁ ἕτερος αὐτός ὁ ἕτερος καί οὐ πολύς τόπος ὁ δή ταλικουτός μέγεθος , ἁλίκον εἰμί ὁ πάχος ὁ κυλίνδριον ὁ οὗτος ποιέω , μάλα πως εἰμί οὐ ἐλαχύς ὁ ὄψις . ὁ δέ γωνία ὁ οὐ ἐλαχύς ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὄψις , οὕτως λάπτω ἀφίστημι ἐπί ὁ κανόνιον ὁ κύλινδρος ἀπό ὁ ὄψις οὕτως , ὡς ἐπισκοτέω ὁ κύλινδρος ὅλος ὁ ἅλιος , καί ἄγω εὐθεῖα ἀπό ἄκρος ὁ κανών , ἐν ὅς τόπος ὁ ὄψις καθίστημι , ἐπιψαύω ὁ κύλινδρος ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ ἄγω εὐθεῖα οὐ ἐλαχύς γίγνομαι ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὄψις . ὁ δή γωνία ὁ οὕτως λάπτω καταμετρέω ὀρθός γωνία γίγνομαι ὁ ἐν στίγος διαιρέω ὁ ὀρθός εἰς ρξδʹ ἐλαχύς ἤ εἷς μέρος οὗτος , ὁ δέ ἐλαχύς διαιρέω ὁ ὀρθός εἰς σ̅ μέγας ἤ εἷς μέρος οὗτος δῆλος οὖν ὅτι καί ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὄψις , ἐλαχύς μέν εἰμί ἤ διαιρέω ὁ ὀρθός εἰς ρξδʹ οὗτος εἷς μέρος , μέγας δέ ἤ διαιρέω ὁ ὀρθός εἰς σ̅ οὗτος εἷς μέρος . πιστεύω δέ οὗτος δείκνυμι ὁ διάμετρος ὁ ἅλιος μέγας εἰμί ὁ ὁ χιλιάγωνος πλευρά ὁ εἰς ὁ μέγας κύκλος ἐγγράφω ὁ ἐν ὁ κόσμος , Νοέω γάρ ἐπίπεδος ἐκβάλλω διά τε ὁ κέντρον ὁ ἅλιος καί ὁ κέντρον ὁ γῆ καί διά ὁ ὄψις , μικρός ὑπέρ ὁ ὁρίζων εἰμί ὁ ἅλιος , τέμνω δέ ὁ ἐκβάλλω ἐπίπεδος ὁ μέν κόσμος κατά ὁ ΑΒΓ κύκλος , ὁ δέ γῆ κατά ὁ ΕΖ , ὁ δέ ἅλιος κατά ὁ ΣΗ κύκλος , κέντρον δέ εἰμί ὁ μέν γῆ ὁ Θ , ὁ δέ ἅλιος ὁ Κ , ὄψις δέ εἰμί ὁ △ , καί ἄγω εὐθύς ἐπιψαύω ὁ ΣΗ κύκλος ἀπό μέν ὁ △ ὁ △Λ , △Ξ , ἐπιψαύω δέ κατά ὁ Ν καί ὁ Τ , ἀπό δέ ὁ Θ ὁ ΘΜ , ΘΟ , ἐπιψαύω δέ κατά ὁ Χ καί ὁ Ρ , ὁ δέ ΑΒΓ κύκλος τέμνω ὁ ΘΜ , ΘΟ κατά ὁ Α καί ὁ Β εἰμί δή μέγας ὁ ΘΚ ὁ △Κ , ἐπεί ὑπόκειμαι ὁ ἅλιος ὑπέρ ὁ ὁρίζων εἰμί · ὥστε ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ △Λ , △Ξ μέγας εἰμί ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΘΜ , ΘΟάς , Ἁ δέ περιέχω γωνία ὑπό ὁ △Λ , △Ξ μέγας μέν εἰμί ἤ διακοσιοστός μέρος ὀρθός , ἐλαχύς δέ ἤ ὁ ὀρθός διαιρέω εἰς ρξδʹ οὗτος εἷς μέρος · ἴσος γάρ εἰμί ὁ γωνία , εἰς ὅς ὁ ἥλιος ἐναρμόζω ὁ κορυφή ἔχω πρός ὁ ὄψις ὥστε ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΘΜ , ΘΟάς ἐλαχύς εἰμί ἤ ὁ ὀρθός διαιρέω εἰς ρξδʹ οὗτος εἷς μέρος , ὁ δέ ΑΒ εὐθύς ἐλαχύς εἰμί ὁ ὑποτείνω εἷς τμῆμα διαιρέω ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος περιφέρεια εἰς χνςʹ . Α δέ ὁ λέγω πολυγώνιος περίμετρος πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ μδʹ πρός ὁ ζʹ διά ὁ πᾶς πολυγώνιος ἐγγράφω ἐν κύκλος ὁ περίμετρον πρός ὁ ἐκ ὁ κέντρον ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ μδʹ πρός ὁ ζʹ · ἐπίσταμαι γάρ δείκνυμι ὑπό ἐγώ ὅτι πᾶς κύκλος ὁ περιφέρεια μέγας εἰμί ἤ τριπλασίων ὁ διάμετρος ἐλαχύς ἤ ἕβδομος μέρος , οὗτος δέ ἐλαχύς εἰμί ὁ περίμετρος ὁ ἐγγράφω πολυγώνιος · ἐλαχύς οὖν λόγος ἔχω ὁ ΒΑ πρός ὁ ΘΚ ἤ ὁ ιαʹ πρός ὁ αρμηʹ · ὥστε ἐλαχύς εἰμί ὁ ΒΑ ὁ ΘΚ ἤ ἑκατοστός μέρος . ὁ δέ ΒΑ ἴσος εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ΣΗ κύκλος , διότι καί ὁ ἥμισυς αὐτός ὁ ΦΑ ἴσος εἰμί ὁ ΚΡάς ἴσος γάρ εἰμί ὁ ΘΚ , ΘΑ ἀπό ὁ πέρας κάθετος ἐπιζεύγνυμι ὑπό ὁ αὐτός γωνία · δῆλος οὖν ὅτι ὁ διάμετρος ὁ ΣΗ κύκλος ἐλαχύς εἰμί ἤ ἑκατοστός μέρος ὁ ΘΚ . καί ὁ ΕΘΥ διάμετρος ἐλαχύς εἰμί ὁ διάμετρος ὁ ΣΗ κύκλος , ἐπεί ἐλαχύς εἰμί ὁ ΕΖ κύκλος ὁ ΣΗ κύκλος · ἐλαχύς ἄρα εἰμί ἀμφότερος ὁ ΘΥάς , ΚΣ ἤ ἑκατοστός μέρος ὁ ΘΚ · ὥστε ὁ ΘΚ πρός ὁ ΥΣ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ρ̅ πρός ὁ ( ?? ) θ . καί ἐπεί ὁ μέν ΘΚ οὐ ἐλαχύς εἰμί ὁ ΘΡ , ὁ δέ ΣΥ ἐλαχύς ὁ △Τ , ἐλαχύς ἄρα ἄν λόγος ἔχω ὁ ΘΡ πρός ὁ △Τ ἤ ὁ ρ̅ πρός ὁ ( ?? ) θ . ἐπεί δέ ὁ ΘΚΡ , △ΚΤ ὀρθογώνιον εἰμί ὁ μέν ΚΡάς , ΚΤ πλευρά ἴσος εἰμί , ὁ δέ ΘΡ , △Τ ἄνισος καί μέγας ὁ ΘΡ , ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ △Τ , △Κ πρός ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΘΡ , ΘΚ μέγας μέν ἔχω λόγος ἤ ὁ ΘΚ πρός ὁ △Κ , ἐλαχύς δέ ἤ ὁ ΘΡ πρός ὁ △Τ εἰ γάρ ἄν δύο τρίγων ὀρθογώνιον ὁ μέν ἅτερος πλευρά ὁ περί ὁ ὀρθός γωνία ἴσος εἰμί , ὁ δέ ἅτερος ἄνισος , ὁ μέγας γωνία ὁ πρός ὁ ἄνισος πλευρά πρός ὁ ἐλαχύς μέγας μέν ἔχω λόγος ἤ ὁ μέγας γραμμή ὁ ὑπό ὁ ὀρθός γωνία ὑποτείνω πρός ὁ ἐλαχύς , ἐλαχύς δέ ἤ ὁ μέγας γραμμή ὁ περί ὁ ὀρθός γωνία πρός ὁ ἐλαχύς . ὥστε ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ △Λ , △Ξ πρός ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΘΟάς , ΘΜ ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ΘΡ πρός ὁ △Τ , ὅστις ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ρ̅ πρός ὁ ( ?? ) θ · ὥστε καί ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ △Λ , △Ξ πρός ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΘΜ , ΘΟάς ἐλαχύς λόγος ἔχω ἤ ὁ ρ̅ πρός ὁ ( ?? ) θ . καί ἐπεί εἰμί ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ △Λ , △Ξ μέγας ἤ διακοσιοστός μέρος ὀρθός , εἰμί ἄν ὁ γωνία ὁ περιέχω ὑπό ὁ ΘΜ , ΘΟάς μέγας ἤ ὁ ὀρθός διαιρέω εἰς δισμύριοι οὗτος ( ?? ) θ μέρος ὥστε μέγας εἰμί ἤ διαιρέω ὁ ὀρθός εἰς σ̅ καί γ οὗτος εἷς μέρος . ὁ ἄρα ΒΑ μέγας εἰμί ὁ ὑποτείνω εἷς τμῆμα διαιρέω ὁ ὁ ΑΒΓ κύκλος περιφέρεια εἰς ωιβʹ . ὁ δέ ΑΒ ἴσος εἰμί ὁ ὁ ἅλιος διάμετρος δῆλος οὖν ὅτι μέγας εἰμί ὁ ὁ ἅλιος διάμετρος ὁ ὁ χιλιάγωνος πλευρά .