archimedes.ad-eratosthenem-methodus 6
Παντὸς ἡμισφαιρίου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς εὐθείας ἐστίν , ἥ ἐστιν ἄξων αὐτοῦ , τμηθείσης οὕτως , ὥστε τὸ τμῆμα αὐτῆς τὸ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἡμισφαιρίου πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ τρία . Ἔστω σφαῖρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ κέντρου , καὶ γενέσθω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τομὴ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , διάμετροι δὲ ἔστωσαν τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ , Β△ , ἀπὸ δὲ τῆς Β△ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ , καὶ ἔστω κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλον , κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον , πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κώνου αἱ ΒΑ , Α△ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ , καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΘ , καὶ νοείσθω ζυγὸς ἡ ΘΓ εὐθεῖα , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α , καὶ ἤχθω τις ἐν τῷ ΒΑ△ ἡμικυκλίῳ ἡ ΞΟ παράλληλος οὖσα τῇ Β△ , τεμνέτω δὲ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρειαν κατὰ τὰ Ξ , Ο , τὰς δὲ τοῦ κώνου πλευρὰς κατὰ τὰ Π , Ρ σημεῖα , τὴν δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Ε , καὶ ἀπὸ τῆς ΞΟ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΕ · ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ ἡμισφαιρίῳ τομὴν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , ἐν δὲ τῷ κώνῳ τομὴν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΑΕ , τὸ ἀπὸ ΞΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ , τῷ δὲ ἀπὸ ΞΑ ἴσα τὰ ἀπὸ ΑΕ , EΞ , τῇ δὲ ΑΕ ἴση ἡ ΕΠ , ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΑΕ , οὕτως τὰ ἀπὸ ΞΕ , EΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ . Ὡς δὲ τὰ ἀπὸ ΞΕ , ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΞΟ καὶ ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ , καί ἐστιν ἡ ΓΑ τῇ ΑΘ ἴση ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΞΟ καὶ ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ . Ἰσορροπήσουσιν ἄρα περὶ τὸ Α σημεῖον ἀμφότεροι οἱ κύκλοι , ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ , αὐτοῦ μένοντες τῷ κύκλῳ , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ , μετενεχθέντι καὶ τεθέντι κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ . Ἐπεὶ οὖν ἀμφοτέρων μὲν τῶν κύκλων , ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ , αὐτοῦ μενόντων κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν τὸ Ε , τοῦ δὲ κύκλου , οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΠΡ , μετενεχθέντος τὸ Θ , ἔστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΘ , οὕτως ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ , πρὸς τοὺς κύκλους , ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ . Ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῇ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῇ παράλληλος τῇ ΒΗ△ , καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ , ἰσορροπήσουσιν περὶ τὸ Α σημεῖον ἀμφότεροι οἱ κύκλοι ὅ τε ἐν τῷ ἡμισφαιρίῳ γενόμενος καὶ ὁ ἐν τῷ κώνῳ αὐτοῦ μένοντες τῷ γενομένῳ κύκλῳ ἐν τῷ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ . Συμπληρωθέντων οὖν ὑπὸ τῶν κύκλων τοῦ τε ἡμισφαιρίου καὶ τοῦ κώνου ἰσορροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον πάντες οἱ κύκλο οἱ ἐν τῷ ἡμισφαιρίῳ καὶ οἱ ἐν τῷ κώνῳ αὐτοῦ μένοντες πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῷ κώνῳ μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτῶν τοῦ βάρους τὸ Θ ὥστε ἰσορροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον τό τε ἡμισφαίριον καὶ ὁ κῶνος αὐτοῦ μένοντα τῷ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον αὐτοῦ εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ σημεῖον δ ἔλασσον τῶν δὲ ἰσορροπούντων κατὰ τὸ Ατρ τὸ καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΘΑ πρὸςΑΧ , ἄξων ὁ ΑΗ τά μον σημεῖον κῶνον τοῖς τοῦ κώνου καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ σφαῖρα τοῦ κώνου , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλος , ἄξων δὲ ἡ ΑΗ .
Lemmas: πᾶς ἡμισφαίριον ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ εὐθεῖα εἰμί , ὅς εἰμί ἄξων αὐτός , τέμνω οὕτως , ὥστε ὁ τμῆμα αὐτός ὁ πρός ὁ ἐπιφάνεια ὁ ἡμισφαίριον πρός ὁ λοιπός τμῆμα οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ πέντε πρός ὁ τρεῖς . εἰμί σφαῖρα καί τέμνω ἐπίπεδος διά ὁ κέντρον , καί γίγνομαι ἐν ὁ ἐπιφάνεια τομή ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , διάμετρος δέ εἰμί ὁ κύκλος πρός ὀρθός ἀλλήλων ὁ ΑΓ , Β△ , ἀπό δέ ὁ Β△ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΓ , καί εἰμί κῶνος βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , πλευρά δέ εἰμί ὁ κῶνος ὁ ΒΑ , Α△ , καί ἐκβάλλω ὁ ΓΑ , καί κεῖμαι ὁ ΓΑ ἴσος ὁ ΑΘ , καί νοέω ζυγός ὁ ΘΓ εὐθύς , μέσος δέ αὐτός ὁ Α , καί ἄγω τις ἐν ὁ ΒΑ△ ἡμικύκλιον ὁ ΞΟ παράλληλος εἰμί ὁ Β△ , τέμνω δέ οὗτος ὁ μέν ὁ ἡμικύκλιον περιφέρεια κατά ὁ Ξ , Ο , ὁ δέ ὁ κῶνος πλευρά κατά ὁ Π , Ρ σημεῖον , ὁ δέ ΑΓ κατά ὁ Ε , καί ἀπό ὁ ΞΟ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΕ · ποιέω δή οὗτος ἐν μέν ὁ ἡμισφαίριον τομή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ἐν δέ ὁ κῶνος τομή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΑΕ , ὁ ἀπό ΞΑ πρός ὁ ἀπό ΑΕ , ὁ δέ ἀπό ΞΑ ἴσος ὁ ἀπό ΑΕ , EΞ , ὁ δέ ΑΕ ἴσος ὁ ΕΠ , ὡς ἄρα ὁ ΑΓ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ ἀπό ΞΕ , EΠ πρός ὁ ἀπό ΕΠ . ὡς δέ ὁ ἀπό ΞΕ , ΕΠ πρός ὁ ἀπό ΕΠ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΞΟ καί ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΠΡ πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΠΡ , καί εἰμί ὁ ΓΑ ὁ ΑΘ ἴσος ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΕ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΞΟ καί ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΠΡ πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΠΡ . ἰσορροπέω ἄρα περί ὁ Α σημεῖον ἀμφότερος ὁ κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ , αὐτός μένω ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ , μεταφέρω καί τίθημι κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ . ἐπεί οὖν ἀμφότερος μέν ὁ κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ , αὐτός μένω κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Ε , ὁ δέ κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΠΡ , μεταφέρω ὁ Θ , εἰμί ὡς ὁ ΕΑ πρός ΑΘ , οὕτως ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ , πρός ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ . ὅμοιος δέ καί ἐάν ἄλλος τις ἄγω ἐν ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή παράλληλος ὁ ΒΗ , καί ἀπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΓ , ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον ἀμφότερος ὁ κύκλος ὁ τε ἐν ὁ ἡμισφαίριον γίγνομαι καί ὁ ἐν ὁ κῶνος αὐτός μένω ὁ γίγνομαι κύκλος ἐν ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ . συμπληρόω οὖν ὑπό ὁ κύκλος ὁ τε ἡμισφαίριον καί ὁ κῶνος ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον πᾶς ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ ἡμισφαίριον καί ὁ ἐν ὁ κῶνος αὐτός μένω πᾶς ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ ὥστε ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον ὁ τε ἡμισφαίριον καί ὁ κῶνος αὐτός μένω ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον αὐτός εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ σημεῖον δ ἐλαχύς ὁ δέ ἰσορροπέω κατά ὁ Ατρ ὁ καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ΘΑ πρὸςΑΧ , ἄξων ὁ ΑΗ ὁ νυμφότιμον σημεῖον κῶνος ὁ ὁ κῶνος καί ἐπεί τετραπλάσιος εἰμί ὁ σφαῖρα ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος , ἄξων δέ ὁ ΑΗ .