archimedes.ad-eratosthenem-methodus 7
Θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου πούτου καὶ ὅτι πᾶν τμᾶμα σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος πρὸς τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος τω ὀρθὴ τὸ αὐτὸ παρὰ καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν κύκλον , οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΜΝ , ἐν δὲ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τομὴν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , ἐν δὲ τῷ κώνῳ , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον , κύκλον , οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΠΡ . Ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ἰσόρροπος περὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , αὐτοῦ μένων ἀμφοτέροις τοῖς κύκλοις , ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ , μετενεχθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον τοῦ βάρους εἶναι τὸ Θ · ὁμοίως δὲ ἐπὶ πάντων . Συμπληρωθέντων οὖν καὶ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ κώνου καὶ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ὑπὸ τῶν κύκλων ἰσορροπήσει καὶ ὁ κύλινδρος αὐτοῦ μένων συναμφοτέροις τῷ τε κώνῳ καὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας μετενηνεγμένοις καὶ κειμένοις τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ . Τεμνέσθω δὲ ἡ ΑΗ κατὰ τὰ Φ , Χ σημεῖα οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΑΧ εἶναι ἴσην τῇ ΧΗ , τὴν δὲ ΗΦ τρίτον μέρος τῆς ΑΗ ἔσται δὴ τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ διὰ τὸ διχοτομίαν εἶναι τοῦ ΑΗ ἄξονος . Ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α σημεῖον τὰ εἰρημένα μεγέθη , ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς ἀμφότερον τόν τε κῶνον , οὗ διάμετρος τῆς βάσεως ἡ ΕΖ , καὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας τὸ ΒΑ△ , οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ . Καὶ ἐπεὶ τριπλασία ἐστὶν ἡ ΗΑ τῆς ΗΦ , τρίτον μέρος ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΗΦ τοῦ ὑπὸ ΑΗ , ΗΓ . Ἴσον δὲ τῷ ὑπὸ ΑΗ , ΗΓ τὸ ἀπὸ ΗΒ ἔσται δὴ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΗ τρίτον μέρος τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΗΦ ὑπὸ ΗΓ τὸ δὲ ἀπὸ ΑΗ ὑπὸ ΗΓ τῆςΚΛ τρονοὕτως ὁ κύλινδρος , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν . . κύκλος πρὸς τὸν ὁ κύλινδρος , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλος πρὸς τὸν ΑΕΖ κῶνον . Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΘΑ πρὸς ἄρα ἡ πρὸς τὸν κῶνον . Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ , οὕτως ὁ κύλινδρος , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλος πρὸς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας τὸ ΑΒ△ καὶ τὸν κῶνον · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς συναμφοτέρας τὰς τὸ ΑΒ△ τμῆμα τῆς σφαίρας τα καὶ ὅ τε ὡς τὸ ΑΒ△ τμῆμα πρὸς τὸν κύλινδρον , οὗ ἐστι βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴνκύκλος , ἄξων δὲ ὁ αὑτός , οὕτως Χ πρὸς ὡς δὲ ὁ κύλινδρος , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλος , πρὸς τὸν ΑΒ△ κῶνον , οὕτωςτω πρὸς Β η . Φ ὡς ἡ ἡ Α . Τῇ καὶ ἡ ΗΓ καὶ .
Lemmas: θεωρέω δέ διά ὁ τρόπος πότος καί ὅτι πᾶς τμῆμα σφαῖρα πρός ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα καί ὁ ὕψος ὁ λοιπός τμῆμα πρός ὁ ὕψος ὁ λοιπός τμῆμα τω ὀρθός ὁ αὐτός παρά καί ἀπό ὁ ΜΝ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΓ ποιέω δή οὗτος ἐν μέν ὁ κύλινδρος τομή κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΜΝ , ἐν δέ ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα τομή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ἐν δέ ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΖ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , κύκλος , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ ΠΡ . ὅμοιος δή ὁ πρότερος δείκνυμι ἰσόρροπος περί ὁ Α σημεῖον ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , αὐτός μένω ἀμφότερος ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ , μεταφέρω ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε ἑκάτερος αὐτός κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Θ · ὅμοιος δέ ἐπί πᾶς . συμπληρόω οὖν καί ὁ κύλινδρος καί ὁ κῶνος καί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὑπό ὁ κύκλος ἰσορροπέω καί ὁ κύλινδρος αὐτός μένω συναμφότεροι ὁ τε κῶνος καί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα μεταφέρω καί κεῖμαι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ . τέμνω δέ ὁ ΑΗ κατά ὁ Φ , Χ σημεῖον οὕτως ὥστε ὁ μέν ΑΧ εἰμί ἴσος ὁ ΧΗ , ὁ δέ ΗΦ τρίτος μέρος ὁ ΑΗ εἰμί δή ὁ μέν κύλινδρος κέντρον ὁ βάρος ὁ Χ διά ὁ διχοτομία εἰμί ὁ ΑΗ ἄξων . ἐπεί οὖν ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον ὁ λέγω μέγεθος , εἰμί ὡς ὁ κύλινδρος πρός ἀμφότερος ὁ τε κῶνος , ὅς διάμετρος ὁ βάσις ὁ ΕΖ , καί ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ ΒΑ△ , οὕτως ὁ ΘΑ πρός ΑΧ . καί ἐπεί τριπλάσιος εἰμί ὁ ΗΑ ὁ ΗΦ , τρίτος μέρος εἰμί ὁ ὑπό ΓΗ , ΗΦ ὁ ὑπό ΑΗ , ΗΓ . ἴσος δέ ὁ ὑπό ΑΗ , ΗΓ ὁ ἀπό ΗΒ εἰμί δή καί ὁ ἀπό ὁ ΒΗ τρίτος μέρος ὁ ὑπό ΓΗ , ΗΦ ὑπό ΗΓ ὁ δέ ἀπό ΑΗ ὑπό ΗΓ Λῆς τρονουος ὁ κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ . . κύκλος πρός ὁ ὁ κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ κύκλος πρός ὁ ΑΕΖ κῶνος . ὡς δέ ὁ ἀπό ΘΑ πρός ἄρα ὁ πρός ὁ κῶνος . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΘΑ πρός ΑΧ , οὕτως ὁ κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ κύκλος πρός ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα ὁ ΑΒ△ καί ὁ κῶνος · καί ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός συναμφότεροι ὁ ὁ ΑΒ△ τμῆμα ὁ σφαῖρα τα καί ὁ τε ὡς ὁ ΑΒ△ τμῆμα πρός ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί βάσις ὁ περί διάμετρος τὴνκύκλος , ἄξων δέ ὁ αὐτός , οὕτως Χ πρός ὡς δέ ὁ κύλινδρος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ κύκλος , πρός ὁ ΑΒ△ κῶνος , οὗτος πρός Β ὁ . Φ ὡς ὁ ὁ Α . ὁ καί ὁ ΗΓ καί .