archimedes.ad-eratosthenem-methodus 15
Ἔστω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις , ὧν μία ἔστω τὸ ΑΒΓ△ τετράγωνον , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ πρίσμα κύλινδρος , οὗ βάσις ἔστω ὁ ΕΖΗ κύκλος · ἐφάπτεται δὴ οὗτος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν κατὰ τὰ Ε , Ζ , Η , Θ σημεῖα · κέντρον δὲ ἔστω τὸ Κ , καὶ διὰ τῆς ΕΗ διαμέτρου καὶ μιᾶς πλευρᾶς ἐπίπεδον ἤχθω τοῦτο δὴ τὸ ἐπίπεδον ἀποτέμνει πρίσμα ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος καὶ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ἀπότμημα κυλίνδρου . Λέγω δὴ ὅτι τοῦτο τὸ τμῆμα τὸ ἀποτετμημένον ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδου ἕκτον μέρος ὂν δειχθήσεται τοῦ ὅλου πρίσματος . Πρῶτον δὲ δείξομεν ὅτι δυνατὸν ἔσται εἰς τὸ τμῆμα τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου σχῆμα στερεὸν ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι ἐκ πρισμάτων συγκείμενον ἴσον ὕψος ἐχόντων καὶ βάσεις τριγώνους ἐχόντων ὁμοίας , ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος μεγέθους γὰρ τοῦ πρίσματος τοῦ κατὰ τὸ Β△ παραλληλογράμμου καὶ ω γραμμένου . ω το Ξ . ἐπιπέδῳ σημεῖα τοῦ ατος η ρετό . πω νομεν εστ σων ἔστω το λειπόμενον νι . μια ἐλασ ν τοῦ λείμματος . στ ε ει καὶ ει α τω . ει το ατα τω ἐκ τμῆμα τὸν το ἀποτμηθ ἀπὸ δι ε μάτων μεν ων ται καὶ τῶν ἐγγεγραμμένω δι των κει τα ΚΩ παραλληλόγραμμον αμμον σχήματι πρίσμα ησ τὸ ἀπὸ δρου . ἐγγεγράφθω μια σχῆμα , τὸ εἰρημένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ἔχει τοῦ δοθέντος ἐχέτω οσ τῶν πρισμὰτων ἴσον αὐ ση-μεῖα ἐγγεγράφθω ν ἐσ δευτέρῳ γεγρ γει η έτ - τμηται κατὰ τὸ αὐτὸ ἐγγεγραμμένον ἐν κύκλ τοῦ τμήματος τη συνθε . τ ἀπο μείζων ἐστὶν τοῦ ἐγγεγραμμένου τμήματος ἐν τῷ πρίσματι τῷ κατὰ τὸ ω ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιόλιον τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐγγεγραμμένου εἰς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου στερεοῦ . Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἀφῃρημένον πρίσμα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον στερεὸν εἰς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου , οὕτως τὸ △Η παραλληλόγραμμον πρὸς τὰ ἐγγεγραμμένα παραλληλόγραμμα εἰς τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιόλιον τὸ △Η παραλληλόγραμμον τῶν παραλληλογράμμων τῶν ἐν τῷ τμήματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ὅπερ ἀδύνατον , ἐπεὶ τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ἡμιόλιον δέδεικται τὸ △Η παραλληλόγραμμον ἐν ἑτέροις . Οὐκ ἄρα μεῖζον στε - ῥέον ἐτ ἀποτεμν σχῆμα τα ὀρθο περιγραφ τοῦ ἐγγρα - φέντος ἐν ἐπεὶ τμήματ ἐγγεγράφθω ἐν τῷ τμή ματι τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας τεγράφθω τοῦ ὀρθογωνίου κώνου φὲν περι ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ τοῦ κυλίνδρουτοῦ στερεοῦ τοῦ κυλίνδρου τμήματ ἐστὶν καὶ γραμμέν εχομεν νη Η τιν πρὸς τὸ τὸ ἐν τῷ περιεχομε γο τῆς ΕΗ καὶ τοῖς λόγοις αμμέν τιμήματος δρ νον ἀπὸ τῆς τῆς πλευρᾶς ἐν τῷ τετμήσθω ἐχθήσ τὸ μεῖζον εὐθείας καὶ πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῷ πρίσματι τῷ ἀποτετμημένῳ ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου πρὸς πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῷ σχήματι τῷ περιγεγραμμένῳ περὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον , ὃν πάντα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ πρὸς πάντα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῷ σχήματι τῷ περιγεγραμμένῳ περὶ τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας , τουτέστιν τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου πρὸς τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον περὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον , ὃν τὸ △Η παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον περὶ τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας . Μεῖζον δέ ἐστι τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἢ ἡμιόλιον τοῦ στερεοῦ σχήματος τοῦ περιγεγραμμένου περὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου .
Lemmas: εἰμί πρίσμα ὀρθός τετράγωνος ἔχω βάσις , ὅς εἷς εἰμί ὁ ΑΒΓ△ τετράγωνος , καί ἐγγράφω εἰς ὁ πρίσμα κύλινδρος , ὅς βάσις εἰμί ὁ ΕΖΗ κύκλος · ἐφάπτω δή οὗτος ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά κατά ὁ Ε , Ζ , Η , Θ σημεῖον · κέντρον δέ εἰμί ὁ Κ , καί διά ὁ ΕΗ διάμετρος καί εἷς πλευρά ἐπίπεδος ἄγω οὗτος δή ὁ ἐπίπεδος ἀποτέμνω πρίσμα ἀπό ὁ ὅλος πρίσμα καί ἀπό ὁ κύλινδρος ἀπότμημα κύλινδρος . λέγω δή ὅτι οὗτος ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος ὑπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἕκτος μέρος εἰμί δείκνυμι ὁ ὅλος πρίσμα . πρῶτος δέ δείκνυμι ὅτι δυνατός εἰμί εἰς ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος σχῆμα στερεός ἐγγράφω καί ἄλλος περιγράφω ἐκ πρίσμα σύγκειμαι ἴσος ὕψος ἔχω καί βάσις τρίγωνος ἔχω ὅμοιος , ὥστε ὁ περιγράφω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ὑπερέχω ἐλαχύς πᾶς ὁ προτίθημι μέγεθος γάρ ὁ πρίσμα ὁ κατά ὁ Β△ παραλληλόγραμμος καί ω γραμμένος . ω το Ξ . ἐπίπεδος σημεῖον ὁ ἆμαρ ὁ Ρέτος . πω νόμος εἰμί σός εἰμί το λείπω ν . ένας ἐλαύνω ν ὁ λεῖμμα . στ ε εἰμί καί εἰμί α ὁ . εἰμί το ἄτη ὁ ἐκ τμῆμα ὁ το ἀποτέμνω ἀπό διά ε ματάω μέν ων ται καί ὁ ἐγγράφω διά ὁ κέω τα ΚΩ παραλληλόγραμμος ἄμμος σχῆμα πρίσμα εἰμί ὁ ἀπό δρου . ἐγγράφω εἷς σχῆμα , ὁ λέγω σχῆμα ὁ ἐγγράφω ἔχω ὁ δίδωμι ἔχω ὅς ὁ πρίσμα ἴσος ἀ σημεῖον ἐγγράφω ν εἰς δεύτερος γεγρ γει ὁ ἐπί - τμητής κατά ὁ αὐτός ἐγγράφω ἐν κύκλος ὁ τμῆμα ὅς συνθέω . τ ἀπος μέγας εἰμί ὁ ἐγγράφω τμῆμα ἐν ὁ πρίσμα ὁ κατά ὁ ω ἐλαχύς ἄρα ἤ ἡμιόλιος ὁ πρίσμα ὁ ἀποτέμνω ὑπό ὁ λοξός ἐπίπεδος ὁ ἐγγράφω εἰς ὁ ἀπότμημα ὁ ἀπό ὁ κύλινδρος στερεός . δείκνυμι δέ ὡς ὁ ὑπό ὁ λοξός ἐπίπεδος ἀφαιρέω πρίσμα πρός ὁ ἐγγράφω στερεός εἰς ὁ ἀπότμημα ὁ ἀπό ὁ κύλινδρος , οὕτως ὁ △Η παραλληλόγραμμος πρός ὁ ἐγγράφω παραλληλόγραμμος εἰς ὁ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα ἐλαχύς ἄρα ἤ ἡμιόλιος ὁ △Η παραλληλόγραμμος ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ἐν ὁ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα ὅς ἀδύνατος , ἐπεί ὁ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα ἡμιόλιος δείκνυμι ὁ △Η παραλληλόγραμμος ἐν ἕτερος . οὐ ἄρα μέγας ΣΤΕ - ῥέω ἐπί ἀποτέμνω σχῆμα τα ορθός περιγράφω ὁ ἐγγρα - Φέντος ἐν ἐπεί τμῆμα ἐγγράφω ἐν ὁ τέμνω μάτι ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα γρέπω ὁ ὀρθογώνιον κῶνος φημί περί ἐγγράφω ἐν ὁ ὁ κυλινδρουος στερεός ὁ κύλινδρος τμῆμα εἰμί καί Γραμμός ἔχω νη ὁ ὅς πρός ὁ ὁ ἐν ὁ περιέχω γος ὁ ΕΗ καί ὁ λόγος ἡμεῖς τίμημα δραχμή νος ἀπό ὁ ὁ πλευρά ἐν ὁ τέμνω ἔχθω ὁ μέγας εὐθεῖα καί πᾶς ὁ πρίσμα ὁ ἐν ὁ πρίσμα ὁ ἀποτέμνω ὑπό ὁ λοξός ἐπίπεδος πρός πᾶς ὁ πρίσμα ὁ ἐν ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ ἀπότμημα ὁ κύλινδρος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς πᾶς ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ἐν ὁ △Η παραλληλόγραμμος πρός πᾶς ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ἐν ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα , τουτέστι ὁ πρίσμα ὁ ἀποτέμνω ὑπό ὁ λοξός ἐπίπεδος πρός ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ τμῆμα ὁ κύλινδρος ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ὁ △Η παραλληλόγραμμος πρός ὁ σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα . μέγας δέ εἰμί ὁ πρίσμα ὁ ἀποτέμνω ὑπό ὁ λοξός ἐπίπεδος ἤ ἡμιόλιος ὁ στερεός σχῆμα ὁ περιγράφω περί ὁ τμῆμα ὁ κύλινδρος .