archimedes.ad-eratosthenem-methodus 9
Παντὸς τμήματος σφαίρας τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ἐπὶ τῆς εὐθείας , ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματος , διῃρημένης οὕτως ὥστε τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ τμήματος πρὸς τὸ λοιπὸν τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον , ὃν ἔχει συναμφότερον ὅ τε ἄξων τοῦ τμήματος καὶ ἡ τετραπλασία τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ ἀντικειμένῳ τμήματι πρὸς συναμφότερον τόν τε ἄξονα τοῦ τμήματος καὶ τὴν διπλασίαν τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ ἀντικειμένῳ τμήματι ἐμπεριεχομένου . τοῦ δὲ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἐπιπέδου ἡ Β△ , ἡ δὲ ΓΑ εὐθεῖα διάμετρος ἔστω ὀρθὴ πρὸς τὴν Β△ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Η σημεῖον ὥστε τοῦ τμήματος , οὗ κορυφὴ τὸ Α σημεῖον , ἄξων ἔσται ἡ ΑΗ , τοῦ δὲ ἀντικειμέν ου ἄξων ἡ ΗΓ . Τετμήσθω δὲ ἡ ΑΗ κατὰ τὸ Χ , ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΧ πρὸς ΧΗ , οὕτως τήν τε ΑΗ καὶ τὴν τετραπλασίαν τῆς ΗΓ πρὸς τὴν ΑΗ καὶ τὴν διπλασίαν τῆς ΗΓ . Λέγω ὅτι τοῦ τμήματος , οὗ κορυφὴ τὸ Α σημεῖον , κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶ τὸ Χ φοτέροις τμημ , οὗ κορυφὴ σημεῖον ΗΑ ἐχ τὴν Η . Λόγον κέντρον Χ . εἰ τμήθη ρ χηματ μει ω ἐν δὴ τερ καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ , καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΑΘ καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴση ἡ ΓΞ , καὶ νοείσθω ζυγὸς ἡ ΓΘ , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α , γεγράφθω δὲ καὶ κύκλος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τῷ ἀποτέμνοντι τὸ τμῆμα κέντρῳ μὲν τῷ Η , διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ ΑΗ , καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τούτου γεγράφθω κῶνος κορυφὴν ἔχων τὸ Α σημεῖον , πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κώνου αἱ ΑΕ , ΑΖ , καὶ ἤχθω τις τῇ ΕΖ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμβαλλέτω τῇ μὲν περιφερείᾳ τοῦ τμήματος κατὰ τὰ Κ , Λ , ταῖς δὲ τοῦ ΑΕΖ κώνου πλευραῖς κατὰ τὰ Ρ , Ο , τῇ δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Π . Ἐπεὶ δή ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΑΠ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΠ , καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΠ , ΠΚ , τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΠ τὸ ἀπὸ ΠΟ , ἐπεὶ καὶ τῷ ἀπὸ ΑΗ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστὶν ἴσον , ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΠ , οὕτως τὰ ἀπὸ ΚΠ , ΠΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΠ . Ὡς δὲ τὰ ἀπὸ ΚΠ , ΠΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΟ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ , καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΘ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΠ , οὕτως ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ κύκλος πρὸς τὸν περὶ τὴν ΟΡ . Ἐπεὶ οὖν ὡς οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΚΛ , ΟΡ κύκλοι πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ , οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΠΑ , μετακείσθω ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ κύκλος καὶ κείσθω τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΠ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ αὐτοῦ μένοντες πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ μετενεχθέντα καὶ τεθέντα τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ · ἰσόρροποι ἄρα οἱ κύκλοι ὅ τε ἐν τῷ τμήματι τῷ ΒΑ△ καὶ ὁ ἐν τῷ ΑΕΖ κώνῳ τῷ ἐν τῷ ΑΕΖ κώνῳ περὶ τὸ Α . Ὁμοίως δὲ καὶ πάντες οἱ κύκλοι οἱ ἐν τῷ ΒΑ△ τμήματι καὶ ἐν τῷ ΑΕΖ κώνῳ αὐτοῦ μένοντες κατὰ τὸ Α σημεῖον ἰσόρροποι πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῷ ΑΕΖ κώνῳ μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτῶν τοῦ βάρους τὸ Θ · ὥστε καὶ τὸ ΑΒ△ τμῆμα τῆς σφαίρας καὶ ὁ ΑΕΖ κῶνος ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένοντα τῷ ΕΑΖ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ . Ἔστω δὲ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλον , κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον , ἴσος κύλινδρος ὁ ΜΝ , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΗ κατὰ τὸ Φ , ὥστε τετραπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΦΗ · τὸ Φ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ ΕΑΖ κώνου · τοῦτο γὰρ προγράφεται . Καὶ τετμήσθω ἔτι ὁ ΜΝ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τέμνοντι πρὸς ὀρθάς , ὥστε τὸν Μ κύλινδρον ἰσορροπεῖν τῷ ΕΑΖ κώνῳ . Ἐπεὶ οὖν ἰσόρροπος ὁ ΕΑΖ κῶνος καὶ τὸ ΑΒ△ τμῆμα αὐτοῦ μένοντα τῷ ΕΑΖ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ , καί ἐστιν τῷ ΕΑΖ κώνῳ ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος , καὶ κεῖται ἑκάτερος τῶν Μ , Ν κυλίνδρων κατὰ τὸ Θ , καὶ ἰσόρροπος ὁ ΜΝ κύλινδρος ἑκατέροις , ἰσόρροπος καὶ ὁ Ν τῷ τμήματι τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Α σημεῖον . Καὶ ἐστιν ὡς τὸ ΒΑ△ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον , οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον , οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΗΓ · τοῦτο γὰρ προγράφεται . Ὡς δὲ ὁ ΒΑ△ κῶνος πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ , ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν κύκλον , οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ , καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ ΒΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΗΑ , τῷ δὲ ἀπὸ ΗΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΗΑ , ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΓΗ , ΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ · ὡς ἄρα ὁ ΒΑ△ κῶνος πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ . Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ ΒΑ△ κῶνος πρὸς τὸ ΒΑ△ τμῆμα , οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΞ · διʼ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ΒΑ△ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον , οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΧ πρὸς ΧΗ , οὕτως ἡ ΗΑ καὶ ἡ τετραπλασία τῆς ΗΓ πρὸς τὴν ΑΗ καὶ τὴν διπλασίαν τῆς ΗΓ , ἀνάπαλιν ἔσται ὡς ἡ ΗΧ πρὸς ΧΑ , οὕτως ἡ διπλασία τῆς ΓΗ καὶ ἡ ΗΑ πρὸς τὴν τετραπλῆν τῆς ΓΗ καὶ τὴν ΗΑ . Συνθέντι ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΧ , οὕτως ἡ ἑξαπλασία τῆς ΓΗ καὶ διπλασία τῆς ΗΑ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ τετραπλῆν τῆς ΗΓ . Καὶ τῆς μὲν ἑξαπλασίας τῆς ΗΓ καὶ διπλασίας τῆς ΗΑ ἡ ΗΞ , τῆς δὲ τετραπλασίας τῆς ΗΓ καὶ τῆς ΗΑ τέταρτον μέρος ἡ ΓΦ · τοῦτο γὰρ φανερόν · ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς ΑΧ , οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΓΦ · ὥστε καὶ ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ , οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ . Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ , οὕτως τὸ τμῆμα , οὗ ἐστι κορυφὴ τὸ Α σημεῖον , βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλος , πρὸς τὸν κῶνον , οὗ ἐστι κορυφὴ τὸ Α σημεῖον , βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλος · ὡς ἄρα τὸ ΒΑ△ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον , οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ . Καὶ ἐπεὶ ἰσόρροπος ὁ Μ κύλινδρος τῷ ΕΑΖ κώνῳ κατὰ τὸ Α , καί ἐστι τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον βάρους τὸ Θ , τοῦ δὲ ΕΑΖ κώνου τὸ Φ , ἔσται ἄρα ὡς ὁ ΕΑΖ κῶνος πρὸς τὸν Μ κύλινδρον , οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΦ , τουτέστιν ἡ ΓΑ πρὸς ΑΦ . Καί ἐστι τῷ ΕΑΖ κώνῳ ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος · διελόντι ἄρα ὡς ὁ ΜΝ κύλινδρος πρὸς τὸν Ν κύλινδρον , οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΦ . Καί ἐστιν ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος τῷ ΕΑΖ κώνῳ · ὡς ἄρα ὁ ΕΑΖ κῶνος πρὸς τὸν Ν κύλινδρον , οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΓΦ , τουτέστιν ἡ ΘΑ πρὸς ΓΦ . Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΑ△ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον , οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ · διʼ ἴσου ἄρα ἔσται ὡς τὸ ΑΒ△ τμῆμα πρὸς τὸν Ν κύλινδρον , οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ . Καὶ ἐδείχθη ἰσόρροπον τὸ ΒΑ△ τμῆμα τῷ Ν κυλίνδρῳ κατὰ τὸ Α , καί ἐστι τοῦ Ν κυλίνδρου κέντρον βάρους τὸ Θ · καὶ τοῦ ΒΑ△ ἄρα τμήματος κέντρον τὸ Χ σημεῖον . .
Lemmas: πᾶς τμῆμα σφαῖρα ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί ἄξων ὁ τμῆμα , διαιρέω οὕτως ὥστε ὁ μέρος αὐτός ὁ πρός ὁ κορυφή ὁ τμῆμα πρός ὁ λοιπός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω συναμφότεροι ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ τετραπλάσιος ὁ ἄξων ὁ ἐν ὁ ἀντίκειμαι τμῆμα πρός συναμφότεροι ὁ τε ἄξων ὁ τμῆμα καί ὁ διπλάσιος ὁ ἄξων ὁ ἐν ὁ ἀντίκειμαι τμῆμα ἐμπεριέχω . ὁ δέ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ἐπίπεδος ὁ Β△ , ὁ δέ ΓΑ εὐθύς διάμετρος εἰμί ὀρθός πρός ὁ Β△ καί τέμνω κατά ὁ Η σημεῖον ὥστε ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Α σημεῖον , ἄξων εἰμί ὁ ΑΗ , ὁ δέ εἴντικειμω ο̅υ̅ ἄξων ὁ ΗΓ . τέμνω δέ ὁ ΑΗ κατά ὁ Χ , ὥστε εἰμί ὡς ὁ ΑΧ πρός ΧΗ , οὕτως ὁ τε ΑΗ καί ὁ τετραπλάσιος ὁ ΗΓ πρός ὁ ΑΗ καί ὁ διπλάσιος ὁ ΗΓ . λέγω ὅτι ὁ τμῆμα , ὅς κορυφή ὁ Α σημεῖον , κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ Χ φοτερεω τμημ , ὅς κορυφή σημεῖον ΗΑ ἐκ ὁ Η . λόγος κέντρον Χ . εἰ τέμνω ρ χηματ Μέι ω ἐν δή τερ καί ἐκβάλλω ὁ ΑΓ , καί κεῖμαι αὐτός ἴσος ὁ ΑΘ καί ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα ἴσος ὁ ΓΞ , καί νοέω ζυγός ὁ ΓΘ , μέσος δέ αὐτός ὁ Α , γράφω δέ καί κύκλος ἐν ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα κέντρον μέν ὁ Η , διάστημα δέ ὁ ἴσος ὁ ΑΗ , καί ἀπό ὁ κύκλος οὗτος γράφω κῶνος κορυφή ἔχω ὁ Α σημεῖον , πλευρά δέ εἰμί ὁ κῶνος ὁ ΑΕ , ΑΖ , καί ἄγω τις ὁ ΕΖ παράλληλος ὁ ΚΛ καί συμβάλλω ὁ μέν περιφέρεια ὁ τμῆμα κατά ὁ Κ , Λ , ὁ δέ ὁ ΑΕΖ κῶνος πλευρά κατά ὁ Ρ , Ο , ὁ δέ ΑΓ κατά ὁ Π . ἐπεί δή εἰμί ὡς ὁ ΑΓ πρός ΑΠ , οὕτως ὁ ἀπό ΚΑ πρός ὁ ἀπό ΑΠ , καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ΚΑ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΑΠ , ΠΚ , ὁ δέ ἀπό ὁ ΑΠ ὁ ἀπό ΠΟ , ἐπεί καί ὁ ἀπό ΑΗ ὁ ἀπό ὁ ΕΗ εἰμί ἴσος , ὡς ἄρα ὁ ΓΑ πρός ΑΠ , οὕτως ὁ ἀπό ΚΠ , ΠΟ πρός ὁ ἀπό ΟΠ . ὡς δέ ὁ ἀπό ΚΠ , ΠΟ πρός ὁ ἀπό ΠΟ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ καί ὁ περί διάμετρος ὁ ΟΡ πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΟΡ , καί ἴσος εἰμί ὁ ΓΑ ὁ ΑΘ ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΠ , οὕτως ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ καί ὁ περί διάμετρος ὁ ΟΡ κύκλος πρός ὁ περί ὁ ΟΡ . ἐπεί οὖν ὡς ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ , ΟΡ κύκλος πρός ὁ περί διάμετρος ὁ ΟΡ , οὕτως ὁ ΑΘ πρός ΠΑ , μετάκειμαι ὁ περί διάμετρος ὁ ΟΡ κύκλος καί κεῖμαι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΠ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΚΛ καί ὁ περί διάμετρος ὁ ΟΡ αὐτός μένω πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΟΡ μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ · ἰσόρροπος ἄρα ὁ κύκλος ὁ τε ἐν ὁ τμῆμα ὁ ΒΑ△ καί ὁ ἐν ὁ ΑΕΖ κῶνος ὁ ἐν ὁ ΑΕΖ κῶνος περί ὁ Α . ὅμοιος δέ καί πᾶς ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ ΒΑ△ τμῆμα καί ἐν ὁ ΑΕΖ κῶνος αὐτός μένω κατά ὁ Α σημεῖον ἰσόρροπος πᾶς ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ ΑΕΖ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ · ὥστε καί ὁ ΑΒ△ τμῆμα ὁ σφαῖρα καί ὁ ΑΕΖ κῶνος ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον αὐτός μένω ὁ ΕΑΖ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ . εἰμί δέ ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΖ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , ἴσος κύλινδρος ὁ ΜΝ , καί τέμνω ὁ ΑΗ κατά ὁ Φ , ὥστε τετραπλάσιος εἰμί ὁ ΑΗ ὁ ΦΉ · ὁ Φ ἄρα σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ ΕΑΖ κῶνος · οὗτος γάρ προγράφω . καί τέμνω ἔτι ὁ ΜΝ κύλινδρος ἐπίπεδος τέμνω πρός ὀρθός , ὥστε ὁ Μ κύλινδρος ἰσορροπέω ὁ ΕΑΖ κῶνος . ἐπεί οὖν ἰσόρροπος ὁ ΕΑΖ κῶνος καί ὁ ΑΒ△ τμῆμα αὐτός μένω ὁ ΕΑΖ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ , καί εἰμί ὁ ΕΑΖ κῶνος ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος , καί κεῖμαι ἑκάτερος ὁ Μ , Ν κύλινδρος κατά ὁ Θ , καί ἰσόρροπος ὁ ΜΝ κύλινδρος ἑκάτερος , ἰσόρροπος καί ὁ Ν ὁ τμῆμα ὁ σφαῖρα κατά ὁ Α σημεῖον . καί εἰμί ὡς ὁ ΒΑ△ τμῆμα ὁ σφαῖρα πρός ὁ κῶνος , ὅς βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , οὕτως ὁ ΞΗ πρός ΗΓ · οὗτος γάρ προγράφω . ὡς δέ ὁ ΒΑ△ κῶνος πρός ὁ ΕΑΖ κῶνος , οὕτως ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ πρός ὁ κύκλος ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΖ , ὡς δέ ὁ κύκλος πρός ὁ κύκλος , οὕτως ὁ ἀπό ΒΗ πρός ὁ ἀπό ΗΕ , καί εἰμί ὁ μέν ἀπό ΒΗ ἴσος ὁ ὑπό ΓΗ , ΗΑ , ὁ δέ ἀπό ΗΕ ἴσος ὁ ἀπό ΗΑ , ὡς δέ ὁ ὑπό ΓΗ , ΗΑ πρός ὁ ἀπό ΗΑ , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΑ · ὡς ἄρα ὁ ΒΑ△ κῶνος πρός ὁ ΕΑΖ κῶνος , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΑ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΒΑ△ κῶνος πρός ὁ ΒΑ△ τμῆμα , οὕτως ὁ ΓΗ πρός ΗΞ · διά ἴσος ἄρα ὡς ὁ ΒΑ△ τμῆμα πρός ὁ ΕΑΖ κῶνος , οὕτως ὁ ΞΗ πρός ΗΑ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΑΧ πρός ΧΗ , οὕτως ὁ ΗΑ καί ὁ τετραπλάσιος ὁ ΗΓ πρός ὁ ΑΗ καί ὁ διπλάσιος ὁ ΗΓ , ἀνάπαλιν εἰμί ὡς ὁ ΗΧ πρός ΧΆ , οὕτως ὁ διπλάσιος ὁ ΓΗ καί ὁ ΗΑ πρός ὁ τετραπλόος ὁ ΓΗ καί ὁ ΗΑ . συντίθημι ὡς ὁ ΗΑ πρός ΑΧ , οὕτως ὁ ἑξαπλάσιος ὁ ΓΗ καί διπλάσιος ὁ ΗΑ πρός ὁ ΗΑ καί τετραπλόος ὁ ΗΓ . καί ὁ μέν ἑξαπλάσιος ὁ ΗΓ καί διπλάσιος ὁ ΗΑ ὁ ΗΞ , ὁ δέ τετραπλάσιος ὁ ΗΓ καί ὁ ΗΑ τέταρτος μέρος ὁ ΓΦ · οὗτος γάρ φανερός · ὡς ἄρα ὁ ΗΑ πρός ΑΧ , οὕτως ὁ ΞΗ πρός ΓΦ · ὥστε καί ὡς ὁ ΞΗ πρός ΗΑ , οὕτως ὁ ΓΦ πρός ΧΆ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΞΗ πρός ΗΑ , οὕτως ὁ τμῆμα , ὅς εἰμί κορυφή ὁ Α σημεῖον , βάσις δέ ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος , πρός ὁ κῶνος , ὅς εἰμί κορυφή ὁ Α σημεῖον , βάσις δέ ὁ περί διάμετρος ὁ ΕΖ κύκλος · ὡς ἄρα ὁ ΒΑ△ τμῆμα πρός ὁ ΕΑΖ κῶνος , οὕτως ὁ ΓΦ πρός ΧΆ . καί ἐπεί ἰσόρροπος ὁ Μ κύλινδρος ὁ ΕΑΖ κῶνος κατά ὁ Α , καί εἰμί ὁ μέν κύλινδρος κέντρον βάρος ὁ Θ , ὁ δέ ΕΑΖ κῶνος ὁ Φ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΕΑΖ κῶνος πρός ὁ Μ κύλινδρος , οὕτως ὁ ΘΑ πρός ΑΦ , τουτέστι ὁ ΓΑ πρός ΑΦ . καί εἰμί ὁ ΕΑΖ κῶνος ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος · διαιρέω ἄρα ὡς ὁ ΜΝ κύλινδρος πρός ὁ Ν κύλινδρος , οὕτως ὁ ΑΓ πρός ΓΦ . καί εἰμί ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος ὁ ΕΑΖ κῶνος · ὡς ἄρα ὁ ΕΑΖ κῶνος πρός ὁ Ν κύλινδρος , οὕτως ὁ ΓΑ πρός ΓΦ , τουτέστι ὁ ΘΑ πρός ΓΦ . δείκνυμι δέ καί ὡς ὁ ΒΑ△ τμῆμα πρός ὁ ΕΑΖ κῶνος , οὕτως ὁ ΓΦ πρός ΧΆ · διά ἴσος ἄρα εἰμί ὡς ὁ ΑΒ△ τμῆμα πρός ὁ Ν κύλινδρος , οὕτως ὁ ΘΑ πρός ΑΧ . καί δείκνυμι ἰσόρροπος ὁ ΒΑ△ τμῆμα ὁ Ν κύλινδρος κατά ὁ Α , καί εἰμί ὁ Ν κύλινδρος κέντρον βάρος ὁ Θ · καί ὁ ΒΑ△ ἄρα τμῆμα κέντρον ὁ Χ σημεῖον . .