archimedes.ad-eratosthenem-methodus 2
Τοῦτο δὴ διὰ μὲν τῶν νῦν εἰρημένων οὐκ ἀποδέδεικται , ἔμφασιν δὲ τινα πεποίηκε τὸ συμπέρασμα ἀληθὲς εἶναι διόπερ ἡμεῖς ὁρῶντες μὲν οὐκ ἀποδεδειγμένον , ὑπονοοῦντες δὲ τὸ συμπέρασμα ἀλτηθὲς εἶναι , τάξομεν τὴν γεωμετρουμένην ἀπόδειξιν ἐξευρόντες αὐτοὶ τὴν ἐκδοθεῖσαν πρότερον . Ὅτι δὲ πᾶσα σφαῖρα τετραπλασία ἐστὶν τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , καὶ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ , ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας , ἡμιόλιος τῆς σφαίρας ἐστίν , ὧδε θεωρεῖται κατὰ τρόπον τόνδε · Ἔστω γάρ τις σφαῖρα , ἐν ᾗ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετροι δὲ αἱ ΑΓ , Β△ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις οὖσαι , ἔστω δὲ κύκλος ἐν τῇ σφαίρᾳ περὶ διάμετρον τὴν Β△ ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΓ△ κύκλον , καὶ ἀπὸ τοῦ ὀρθοῦ κύκλου τούτου κῶνος ἀναγεγράφθω κορυφὴν ἔχων τὸ Α σημεῖον , καὶ ἐκβληθείσης τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ τετμήσθω ὁ κῶνος ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν βάσιν ποιήσει δὴ κύκλον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ , καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΕΖ . Ἀπὸ δὲ τοῦ κύκλου τούτου κύλινδρος ἀναγεγράφθω ἄξονα ἔχων τῇ ΑΓ ἴσον , πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κυλίνδρου αἱ ΕΛ , ΖΗ · καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ , καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΑΘ , καὶ νοείσθω ζυγὸς ὁ ΓΘ , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α , καὶ ἤχθω τις παράλληλος ὑπάρχουσα τῇ Β△ ἡ ΜΝ , τεμνέτω δὲ αὕτη τὸν μὲν ΑΒΓ△ κύκλον κατὰ τὰ Ξ , Ο , τὴν δὲ ΑΓ διάμετρον κατὰ τὸ Σ , τὴν δὲ ΑΕ εὐθεῖαν κατὰ τὸ Π , τὴν δὲ ΑΖ κατὰ τὸ Ρ , καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ εὐθείας ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ · ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν κύκλον , οὗ ἔσται διάμετρος ἡ ΜΝ , ἐν δὲ τῇ ΑΒΓ△ σφαίρᾳ κύκλον , οὗ ἔσται διάμετρος ἡ ΞΟ , ἐν δὲ τῷ ΑΕΖ κώνῳ κύκλον , οὗ ἔσται διάμετρος ἡ ΠΡ . Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΑ , ΑΣ τῷ ὑπὸ ΜΣ , ΣΠ , ἴση γὰρ ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΣΜ , ἡ δὲ ΑΣ τῇ ΠΣ , τῷ δὲ ὑπὸ ΓΑ , ΑΣ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΞ , τουτέστιν τὰ ἀπὸ ΞΣ , ΣΠ , ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΜΣ , ΣΠ τοῖς ἀπὸ τῶν ΞΣ , ΣΠ , Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ , ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῇ ΑΘ , ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ , τουτέστι τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΣ , ΣΠ . Τῷ δὲ ὑπὸ ΜΣ , ΣΠ ἴσα ἐδείχθη τὰ ἀπὸ ΞΣ , ΣΠ · ὡς ἄρα ἡ ΑΘ πρὸς ΑΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΣ , ΣΠ . Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΣ , ΣΠ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΟ , ΠΡ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὰ ἀπὸ ΞΟ , ΠΡ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῷ κυλίνδρῳ , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς κύκλους τόν τε ἐν τῷ κώνῳ , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ , καὶ τὸν ἐν τῇ σφαίρᾳ , οὗ ἐστιν διάμετρος ἡ ΞΟ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῷ κυλίνδρῳ πρὸς τοὺς κύκλους τόν τε ἐν τῇ σφαίρᾳ καὶ τὸν ἐν τῷ κώνῳ . Ἐπεὶ οὖν ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως αὐτὸς ὁ κύκλος ὁ ἐν τῷ κυλίνδρῳ αὐτοῦ μένων ἀμφοτέροις τοῖς κύκλοις , ὧν εἰσιν διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ , μετενεχθεῖσιν καὶ τεθεῖσιν οὕτως ἐπὶ τὸ Θ , ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ , ἰσορροπήσουσι κατὰ τὸ Α σημεῖον . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ ἐὰν ἄλλη ἀχθῇ ἐν τῷ ΛΖ παραλληλογράμμῳ παρὰ τὴν ΕΖ , καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ , ὅτι ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῷ κυλίνδρῳ ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων ἀμφοτέροις τοῖς κύκλοις τῷ τε ἐν τῇ σφαίρᾳ γινομένῳ καὶ τῷ ἐν τῷ κώνῳ μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσιν ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ . Συμπληρωθέντος οὖν τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τῶν ληφθέντων κύκλων καὶ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κώνου ἰσορροπήσει ὁ κύλινδρος περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων συναμφοτέροις τῇ τε σφαίρᾳ καὶ τῷ κώνῳ μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσιν ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ . Ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ τὰ εἰρημένα στερεὰ κατὰ τὸ Α σημεῖον τοῦ μὲν κυλίνδρου μένοντος περὶ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Κ , τῆς δὲ σφαίρας καὶ τοῦ κώνου μετενηνεγμένων , ὡς εἴρηται , περὶ κέντρον βάρους τὸ Θ , ἔσται ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ , οὕτως ὁ κύλινδρος πρὸς τὴν σφαῖραν καὶ τὸν κῶνον . Διπλασία δὲ ἡ ΘΑ τῆς ΑΚ διπλασίων ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος συναμφοτέρου τῆς τε σφαίρας καὶ τοῦ κώνου . Αὐτοῦ δὲ τοῦ κώνου τριπλασίων ἐστί τρεῖς ἄρα κῶνοι ἴσοι εἰσὶ δυσὶ κώνοις τοῖς αὐτοῖς καὶ δυσὶ σφαίραις . Κοινοὶ ἀφῃρήσθωσαν δύο κῶνοι εἷς ἄρα κῶνος ὁ ἔχων τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΕΖ ἴσος ἐστὶ ταῖς εἰρημέναις δυσὶ σφαίραις . Ὁ δὲ κῶνος , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΕΖ , ἴσος ἐστὶν ὀκτὼ κώνοις , ὧν ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒ△ , διὰ τὸ διπλῆν εἶναι τὴν ΕΖ τῆς Β△ . Οἱ ἄρα ὀκτὼ κῶνοι οἱ εἰρημένοι ἴσοι εἰσὶ δυσὶ σφαίραις . Τετραπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ σφαῖρα , ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , τοῦ κώνου , οὗ κορυφὴ μὲν ἐστι τὸ Α σημεῖον , βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλος ὀρθὸς ὧν πρὸς τὴν ΑΓ . Ἤχθωσαν δὴ διὰ τῶν Β , △ σημείων ἐν τῷ ΛΖ παραλληλογράμμῳ τῇ ΑΓ παράλληλοι αἱ ΦΒΧ , Ψ△Ω , καὶ νοείσθω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΦΨ , ΧΩ κύκλοι , ἄξων δὲ ὁ ΑΓ . Ἐπεὶ οὖν διπλάσιός ἐστιν ὁ κύλινδρος , οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΦΩ , τοῦ κυλίνδρου , οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ Φ△ , αὐτὸς δὲ οὗτος τριπλασίων ἐστὶν τοῦ κώνου , οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒ△ , ὡς ἐν τοῖς Στοιχείοις , ἑξαπλασίων ἄρα ὁ κύλινδρος , οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΦΩ , τοῦ κώνου , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒ△ . Ἐδείχθη δὲ τοῦ αὐτοῦ κώνου τετραπλασία οὖσα ἡ σφαῖρα , ἧς μέγιστός ἐστιν κύκλος ὁ ΑΒΓ△ · ἡμιόλιος ἄρα ὁ κύλινδρος τῆς σφαίρας ὅπερ ἔδει δειχθῆναι . Τούτου τεθεωρημένου , διότι πᾶσα σφαῖρα τετραπλασία ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας , ἡ ἔννοια ἐγένετο ὅτι πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ · ὑπόληψις γὰρ ἦν καὶ διότι πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , καὶ διότι πᾶσα σφαῖρα ἴση ἐστὶ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας , ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας .
Lemmas: οὗτος δή διά μέν ὁ νῦν λέγω οὐ ἀποδείκνυμι , ἔμφασις δέ τις ποιέω ὁ συμπέρασμα ἀληθής εἰμί διόπερ ἐγώ ὁράω μέν οὐ ἀποδείκνυμι , ὑπονοέω δέ ὁ συμπέρασμα ἀλτήθης εἰμί , τάσσω ὁ γεωμετρέω ἀπόδειξις ἐξευρίσκω αὐτός ὁ ἐκδίδωμι πρότερος . ὅτι δέ πᾶς σφαῖρα τετραπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , καί ὁ κύλινδρος ὁ βάσις μέν ἔχω ἴσος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ διάμετρον ὁ σφαῖρα , ἡμιόλιος ὁ σφαῖρα εἰμί , ὧδε θεωρέω κατά τρόπος ὅδε · εἰμί γάρ τις σφαῖρα , ἐν ὅς μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δέ ὁ ΑΓ , Β△ πρός ὀρθός ἀλλήλων εἰμί , εἰμί δέ κύκλος ἐν ὁ σφαῖρα περί διάμετρος ὁ Β△ ὀρθός πρός ὁ ΑΒΓ△ κύκλος , καί ἀπό ὁ ὀρθός κύκλος οὗτος κῶνος ἀναγράφω κορυφή ἔχω ὁ Α σημεῖον , καί ἐκβάλλω ὁ ἐπιφάνεια αὐτός τέμνω ὁ κῶνος ἐπίπεδος διά ὁ Γ παρά ὁ βάσις ποιέω δή κύκλος ὀρθός πρός ὁ ΑΓ , καί διάμετρος αὐτός ὁ ΕΖ . ἀπό δέ ὁ κύκλος οὗτος κύλινδρος ἀναγράφω ἄξων ἔχω ὁ ΑΓ ἴσος , πλευρά δέ εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ ΕΛ , ΖΗ · καί ἐκβάλλω ὁ ΓΑ , καί κεῖμαι αὐτός ἴσος ὁ ΑΘ , καί νοέω ζυγός ὁ ΓΘ , μέσος δέ αὐτός ὁ Α , καί ἄγω τις παράλληλος ὑπάρχω ὁ Β△ ὁ ΜΝ , τέμνω δέ οὗτος ὁ μέν ΑΒΓ△ κύκλος κατά ὁ Ξ , Ο , ὁ δέ ΑΓ διάμετρος κατά ὁ Σ , ὁ δέ ΑΕ εὐθεῖα κατά ὁ Π , ὁ δέ ΑΖ κατά ὁ Ρ , καί ἀπό ὁ ΜΝ εὐθεῖα ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΓ · ποιέω δή οὗτος ἐν μέν ὁ κύλινδρος τομή κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΜΝ , ἐν δέ ὁ ΑΒΓ△ σφαῖρα κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΞΟ , ἐν δέ ὁ ΑΕΖ κῶνος κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΠΡ . καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΓΑ , ΑΣ ὁ ὑπό ΜΣ , ΣΠ , ἴσος γάρ ὁ μέν ΑΓ ὁ ΣΜ , ὁ δέ ΑΣ ὁ ΠΣ , ὁ δέ ὑπό ΓΑ , ΑΣ ἴσος εἰμί ὁ ἀπό ΑΞ , τουτέστι ὁ ἀπό ΞΣ , ΣΠ , ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ὁ ΜΣ , ΣΠ ὁ ἀπό ὁ ΞΣ , ΣΠ , Καὶ ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ ΜΣ πρός ΣΠ , ἴσος δέ ὁ ΓΑ ὁ ΑΘ , ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , ὁ ΜΣ πρός ΣΠ , τουτέστι ὁ ἀπό ΜΣ πρός ὁ ὑπό ΜΣ , ΣΠ . ὁ δέ ὑπό ΜΣ , ΣΠ ἴσος δείκνυμι ὁ ἀπό ΞΣ , ΣΠ · ὡς ἄρα ὁ ΑΘ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ ἀπό ΜΣ πρός ὁ ἀπό ΞΣ , ΣΠ . ὡς δέ ὁ ἀπό ΜΣ πρός ὁ ἀπό ΞΣ , ΣΠ , οὕτως ὁ ἀπό ΜΝ πρός ὁ ἀπό ΞΟ , ΠΡ , ὡς δέ ὁ ἀπό ΜΝ πρός ὁ ἀπό ΞΟ , ΠΡ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ κύλινδρος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , πρός ἀμφότερος ὁ κύκλος ὁ τε ἐν ὁ κῶνος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ , καί ὁ ἐν ὁ σφαῖρα , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΞΟ ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ κύλινδρος πρός ὁ κύκλος ὁ τε ἐν ὁ σφαῖρα καί ὁ ἐν ὁ κῶνος . ἐπεί οὖν ὡς ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως αὐτός ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ κύλινδρος αὐτός μένω ἀμφότερος ὁ κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ , μεταφέρω καί τίθημι οὕτως ἐπί ὁ Θ , ὥστε ἑκάτερος αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ , ἰσορροπέω κατά ὁ Α σημεῖον . ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί ἐάν ἄλλος ἄγω ἐν ὁ ΛΖ παραλληλόγραμμος παρά ὁ ΕΖ , καί ἀπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΓ , ὅτι ὁ γίγνομαι κύκλος ἐν ὁ κύλινδρος ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον αὐτός μένω ἀμφότερος ὁ κύκλος ὁ τε ἐν ὁ σφαῖρα γίγνομαι καί ὁ ἐν ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ἐπί ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε ἑκάτερος αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ . συμπληρόω οὖν ὁ κύλινδρος ὑπό ὁ λαμβάνω κύκλος καί ὁ σφαῖρα καί ὁ κῶνος ἰσορροπέω ὁ κύλινδρος περί ὁ Α σημεῖον αὐτός μένω συναμφότεροι ὁ τε σφαῖρα καί ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ἐπί ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε ἑκάτερος αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ . ἐπεί οὖν ἰσορροπέω ὁ λέγω στερεός κατά ὁ Α σημεῖον ὁ μέν κύλινδρος μένω περί κέντρον ὁ βάρος ὁ Κ , ὁ δέ σφαῖρα καί ὁ κῶνος μεταφέρω , ὡς λέγω , περί κέντρον βάρος ὁ Θ , εἰμί ὡς ὁ ΘΑ πρός ΑΚ , οὕτως ὁ κύλινδρος πρός ὁ σφαῖρα καί ὁ κῶνος . διπλάσιος δέ ὁ ΘΑ ὁ ΑΚ διπλασίων ἄρα καί ὁ κύλινδρος συναμφότεροι ὁ τε σφαῖρα καί ὁ κῶνος . αὐτός δέ ὁ κῶνος τριπλασίων εἰμί τρεῖς ἄρα κῶνος ἴσος εἰμί δύο κῶνος ὁ αὐτός καί δύο σφαῖρα . κοινός ἀφαιρέω δύο κῶνος εἷς ἄρα κῶνος ὁ ἔχω ὁ διά ὁ ἄξων τρίγωνος ὁ ΑΕΖ ἴσος εἰμί ὁ λέγω δύο σφαῖρα . ὁ δέ κῶνος , ὅς ὁ διά ὁ ἄξων τρίγωνον ὁ ΑΕΖ , ἴσος εἰμί ὀκτώ κῶνος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων τρίγωνον ὁ ΑΒ△ , διά ὁ διπλόος εἰμί ὁ ΕΖ ὁ Β△ . ὁ ἄρα ὀκτώ κῶνος ὁ λέγω ἴσος εἰμί δύο σφαῖρα . τετραπλασίων ἄρα εἰμί ὁ σφαῖρα , ὅς μέγας κύκλος ὁ ΑΒΓ△ , ὁ κῶνος , ὅς κορυφή μέν εἰμί ὁ Α σημεῖον , βάσις δέ ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος ὀρθός ὅς πρός ὁ ΑΓ . ἄγω δή διά ὁ Β , △ σημεῖον ἐν ὁ ΛΖ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ ΦΒΧ , ΨΩ , καί νοέω κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ περί διάμετρος ὁ ΦΨ , ΧΩ κύκλος , ἄξων δέ ὁ ΑΓ . ἐπεί οὖν διπλάσιος εἰμί ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων παραλληλόγραμμος ὁ ΦΩ , ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων παραλληλόγραμμος ὁ Φ△ , αὐτός δέ οὗτος τριπλασίων εἰμί ὁ κῶνος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων τρίγωνον ὁ ΑΒ△ , ὡς ἐν ὁ Στοιχεῖον , ἑξαπλασίων ἄρα ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων παραλληλόγραμμος ὁ ΦΩ , ὁ κῶνος , ὅς ὁ διά ὁ ἄξων τρίγωνον ὁ ΑΒ△ . δείκνυμι δέ ὁ αὐτός κῶνος τετραπλάσιος εἰμί ὁ σφαῖρα , ὅς μέγας εἰμί κύκλος ὁ ΑΒΓ△ · ἡμιόλιος ἄρα ὁ κύλινδρος ὁ σφαῖρα ὅς δέω δείκνυμι . οὗτος θεωρέω , διότι πᾶς σφαῖρα τετραπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ μέγας κύκλος , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα , ὁ ἔννοια γίγνομαι ὅτι πᾶς σφαῖρα ὁ ἐπιφάνεια τετραπλάσιος εἰμί ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαῖρα · ὑπόληψις γάρ εἰμί καί διότι πᾶς κύκλος ἴσος εἰμί τρίγωνον ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , καί διότι πᾶς σφαῖρα ἴσος εἰμί κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ ἐπιφάνεια ὁ σφαῖρα , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἐκ ὁ κέντρον ὁ σφαῖρα .