archimedes.ad-eratosthenem-methodus 3
Θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου τούτου καὶ ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ τὴν μὲν βάσιν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῷ σφαιροειδεῖ , ὕψος δὲ ἴσον τῷ ἄξονι τοῦ σφαιροειδοῦς , ἡμιόλιός ἐστι τοῦ σφαιροειδοῦς · τούτου δὲ θεωρηθέντος φανερὸν ὅτι παντὸς σφαιροειδοῦς ἐπιπέδῳ τμηθέντος διὰ τοῦ κέντρου ὀρθῷ πρὸς τὸν ἄξονα τὸ ἥμισυ τοῦ σφαιροειδοῦς διπλάσιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτόν . Ἔστω γάρ τι σφαιροειδὲς καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος , καὶ γινέσθω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ αὐτοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὴ ἡ ΑΒΓ△ , διάμετροι δὲ αὐτῆς ἔστωσαν αἱ ΑΓ , Β△ , κέντρον δὲ τὸ Κ , ἔστω δὲ κύκλος ἐν τῷ σφαιροειδεῖ περὶ διάμετρον τὴν Β△ ὀρθὸς πρὸς τὴν ΑΓ , νοείσθω δὲ κῶνος βάσιν ἔχων τὸν εἰρημένον κύκλον , κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον , καὶ ἐκβληθείσης τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ τετμήσθω ὁ κῶνος ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν βάσιν ἔσται δὴ ἡ τομὴ αὐτοῦ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὴν ΑΓ , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΕΖ . Ἔστω δὲ καὶ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν αὐτὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΕΖ , ἄξονα δὲ τὴν ΑΓ εὐθεῖαν , καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΑΘ , καὶ νοείσθω ζυγὸς ὁ ΘΓ , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α , ἤχθω δέ τις ἐν τῷ ΛΖ παραλληλογράμμῳ παρὰ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ , καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , ἐν δὲ τῷ σφαιροειδεῖ τομὴν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , ἐν δὲ τῷ κώνῳ τομὴν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΣ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΠ , τουτέστιν ἡ ΜΣ πρὸς τὴν ΣΠ , ἴση δὲ ἡ ΓΑ τῇ ΑΘ , ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ . Ὡς δὲ ἡ ΜΣ πρὸς ΣΠ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΣ , ΣΠ · τῷ δὲ ὑπὸ ΜΣ , ΣΠ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΠΣ , ΣΞ . Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΣ , ΣΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΚ , ΚΓ , τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΚ , πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ , ἐναλλὰξ ἄρα ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΣΓ , τὸ ἀπὸ ΠΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ . Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΣΓ , τὸ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΠ , ΠΜ · ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΠ , ΠΣ τῷ ἀπὸ ΞΣ . Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΠΣ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΜΣ , ΣΠ τοῖς ἀπὸ ΠΣ , ΣΞ ἴσον . Ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΠΣ , ΣΞ . Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὰ ἀπὸ ΣΞ , ΣΠ , οὕτως ὁ ἐν τῷ κυλίνδρῳ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς κύκλους , ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ ὥστε ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , αὐτοῦ μένων ἀμφοτέροις τοῖς κύκλοις , ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ , μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσιν τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ . Συναμφοτέρων δὲ τῶν κύκλων , ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ , μετενηνεγμένων κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς κύκλους , ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ , ΠΡ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῷ ΛΖ παραλληλογράμμῳ παρὰ τὴν ΕΖ , καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ , ὅτι ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῷ κυλίνδρῳ ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων συναμφοτέροις τοῖς κύκλοις τῷ τε ἐν τῷ σφαιροειδεῖ γινομένῳ καὶ τῷ ἐν τῷ κώνῳ μετενεχθεῖσιν τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ . Συμπληρωθέντος οὖν τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τῶν ληφθέντων κύκλων καὶ τοῦ σφαιροειδοῦς καὶ τοῦ κώνου ἰσόρροπος ὁ κύλινδρος ἔσται περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων τῷ τε σφαιροειδεῖ καὶ τῷ κώνῳ μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσιν ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ . Καί ἐστι τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Κ , τοῦ δὲ σφαιροειδοῦς καὶ τοῦ κώνου συναμφοτέρων , ὡς ἐρρέθη , κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ · ἔστιν οὖν ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΚ , ὁ κύλινδρος πρὸς ἀμφότερα τό τε σφαιροειδὲς καὶ τὸν κῶνον . △ιπλασία δὲ ἡ ΑΘ τῆς ΑΚ · διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος ἀμφοτέρων τοῦ τε σφαιροειδοῦς καὶ τοῦ κώνου · εἷς ἄρα κύλινδρος ἴσος δυσὶν κώνοις καὶ δυσὶ σφαιροειδέσιν , Εἷς δὲ κύλινδρος ἴσος ἐστὶ τρισὶ κώνοις τοῖς αὐτοῖς · τρεῖς ἄρα κῶνοι ἴσοι εἰσὶ δυσὶ κώνοις καὶ δυσὶ σφαιροειδέσι . Κοινοὶ ἀφῃρήσθωσαν δύο κῶνοι · λοιπὸς ἄρα εἶς κῶνος , οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΕΖ , ἴσος ἐστὶ δυσὶ σφαιροειδέσιν . Εἷς δὲ κῶνος ὁ αὐτὸς ἴσος ἐστὶν ὀκτὼ κώνοις , ὧν ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒ△ ὀκτὼ ἄρα κῶνοι οἱ εἰρημένοι ἴσοι εἰσὶ δυσὶ σφαιροειδέσιν · καὶ τέσσαρες ἄρα κῶνοι ἴσοι ἑνὶ σφαιροειδεῖ · τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ σφαιροειδὲς τοῦ κώνου , οὗ κορυφὴ μέν ἐστι τὸ Α σημεῖον , βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΑΓ , καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ σφαιροειδοῦς διπλάσιόν ἐστι τοῦ εἰρημένου κώνου . Ἤχθωσαν δὲ διὰ τῶν Β , △ σημείων ἐν τῷ ΛΖ παραλληλογράμμῳ τῇ ΑΓ παράλληλοι αἱ ΦΧ , ΨΩ , καὶ νοείσθω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΦΨ , ΧΩ κύκλοι . ἄξων δὲ ἡ ΑΓ εὐθεῖα . Ἐπεὶ οὖν διπλάσιός ἐστιν ὁ κύλινδρος , οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΦΩ , τοῦ κυλίνδρου , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ Φ△ , διὰ τὸ ἴσας αὐτῶν εἶναι τὰς βάσεις , τὸν δὲ ἄξονα τοῦ ἄξονος διπλάσιον , αὐτὸς δὲ ὁ κύλινδρος , οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ Φ△ , τριπλασίων ἐστὶ τοῦ κώνου , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον , βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλος ὀρθὸς ὧν πρὸς τὴν ΑΓ , ἑξαπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος , οὗ ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΦΩ , τοῦ εἰρημένου κώνου . Ἐδείχθη δὲ τοῦ αὐτοῦ κώνου τετραπλάσιον τὸ σφαιροειδές · ἡμιόλιος ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδρος τοῦ σφαιροειδοῦς · οι .
Lemmas: θεωρέω δέ διά ὁ τρόπος οὗτος καί ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ ὁ μέν βάσις ἔχω ἴσος ὁ μέγας κύκλος ὁ ἐν ὁ σφαιροειδής , ὕψος δέ ἴσος ὁ ἄξων ὁ σφαιροειδής , ἡμιόλιος εἰμί ὁ σφαιροειδής · οὗτος δέ θεωρέω φανερός ὅτι πᾶς σφαιροειδής ἐπίπεδος τέμνω διά ὁ κέντρον ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ ἥμισυς ὁ σφαιροειδής διπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ἄξων ὁ αὐτός . εἰμί γάρ τις σφαιροειδής καί τέμνω ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων , καί γίγνομαι ἐν ὁ ἐπιφάνεια αὐτός ὀξυγώνιος κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ△ , διάμετρος δέ αὐτός εἰμί ὁ ΑΓ , Β△ , κέντρον δέ ὁ Κ , εἰμί δέ κύκλος ἐν ὁ σφαιροειδής περί διάμετρος ὁ Β△ ὀρθός πρός ὁ ΑΓ , νοέω δέ κῶνος βάσις ἔχω ὁ λέγω κύκλος , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , καί ἐκβάλλω ὁ ἐπιφάνεια αὐτός τέμνω ὁ κῶνος ἐπίπεδος διά ὁ Γ παρά ὁ βάσις εἰμί δή ὁ τομή αὐτός κύκλος ὀρθός πρός ὁ ΑΓ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ ΕΖ . εἰμί δέ καί κύλινδρος βάσις μέν ἔχω ὁ αὐτός κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΕΖ , ἄξων δέ ὁ ΑΓ εὐθύς , καί ἐκβάλλω ὁ ΓΑ κεῖμαι αὐτός ἴσος ὁ ΑΘ , καί νοέω ζυγός ὁ ΘΓ , μέσος δέ αὐτός ὁ Α , ἄγω δέ τις ἐν ὁ ΛΖ παραλληλόγραμμος παρά ὁ ΕΖ ὁ ΜΝ , καί ἀπό ὁ ΜΝ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΓ ποιέω δή οὗτος ἐν μέν ὁ κύλινδρος τομή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , ἐν δέ ὁ σφαιροειδής τομή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ἐν δέ ὁ κῶνος τομή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ὁ ΑΣ , οὕτως ὁ ΕΑ πρός ΑΠ , τουτέστι ὁ ΜΣ πρός ὁ ΣΠ , ἴσος δέ ὁ ΓΑ ὁ ΑΘ , ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ ΜΣ πρός ΣΠ . ὡς δέ ὁ ΜΣ πρός ΣΠ , οὕτως ὁ ἀπό ΜΣ πρός ὁ ὑπό ΜΣ , ΣΠ · ὁ δέ ὑπό ΜΣ , ΣΠ ἴσος ὁ ἀπό ὁ ΠΣ , ΣΞ . ἐπεί γάρ εἰμί ὡς ὁ ὑπό ΑΣ , ΣΓ πρός ὁ ἀπό ΣΞ , οὕτως ὁ ὑπό ΑΚ , ΚΓ , τουτέστι ὁ ἀπό ΑΚ , πρός ὁ ἀπό ΚΒ , ὡς δέ ὁ ἀπό ΑΚ πρός ὁ ἀπό ΚΒ , οὕτως ὁ ἀπό ΑΣ πρός ὁ ἀπό ΣΠ , ἐναλλάξ ἄρα εἰμί ὡς ὁ ἀπό ΑΣ πρός ὁ ὑπό ΑΣΓ , ὁ ἀπό ΠΣ πρός ὁ ἀπό ΣΞ . ὡς δέ ὁ ἀπό ΑΣ πρός ὁ ὑπό ΑΣΓ , ὁ ἀπό ΣΠ πρός ὁ ὑπό ΣΠ , ΠΜ · ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΜΠ , ΠΣ ὁ ἀπό ΞΣ . κοινός πρόσκειμαι ὁ ἀπό ΠΣ · ὁ ἄρα ὑπό ΜΣ , ΣΠ ὁ ἀπό ΠΣ , ΣΞ ἴσος . ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , ὁ ἀπό ΜΣ πρός ὁ ἀπό ΠΣ , ΣΞ . ὡς δέ ὁ ἀπό ΜΣ πρός ὁ ἀπό ΣΞ , ΣΠ , οὕτως ὁ ἐν ὁ κύλινδρος κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , πρός ἀμφότερος ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ ὥστε ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , αὐτοῦ μένω ἀμφότερος ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ , μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε ἑκάτερος αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ . συναμφότεροι δέ ὁ κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ , μεταφέρω κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ καί ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , πρός ἀμφότερος ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ΠΡ . ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί ἐάν ἄλλος τις ἄγω ἐν ὁ ΛΖ παραλληλόγραμμος παρά ὁ ΕΖ , καί ἀπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΓ , ὅτι ὁ γίγνομαι κύκλος ἐν ὁ κύλινδρος ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον αὐτός μένω συναμφότεροι ὁ κύκλος ὁ τε ἐν ὁ σφαιροειδής γίγνομαι καί ὁ ἐν ὁ κῶνος μεταφέρω ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε ἑκάτερος αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ . συμπληρόω οὖν ὁ κύλινδρος ὑπό ὁ λαμβάνω κύκλος καί ὁ σφαιροειδής καί ὁ κῶνος ἰσόρροπος ὁ κύλινδρος εἰμί περί ὁ Α σημεῖον αὐτός μένω ὁ τε σφαιροειδής καί ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ἐπί ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε ἑκάτερος αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ . καί εἰμί ὁ μέν κύλινδρος κέντρον ὁ βάρος ὁ Κ , ὁ δέ σφαιροειδής καί ὁ κῶνος συναμφότεροι , ὡς λέγω , κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ · εἰμί οὖν ὡς ὁ ΘΑ πρός ΑΚ , ὁ κύλινδρος πρός ἀμφότερος ὁ τε σφαιροειδής καί ὁ κῶνος . △ιπλασία δέ ὁ ΑΘ ὁ ΑΚ · διπλάσιος ἄρα καί ὁ κύλινδρος ἀμφότερος ὁ τε σφαιροειδής καί ὁ κῶνος · εἷς ἄρα κύλινδρος ἴσος δύο κῶνος καί δύο σφαιροειδής , Εἷς δέ κύλινδρος ἴσος εἰμί τρεῖς κῶνος ὁ αὐτός · τρεῖς ἄρα κῶνος ἴσος εἰμί δύο κῶνος καί δύο σφαιροειδής . κοινός ἀφαιρέω δύο κῶνος · λοιπός ἄρα εἷς κῶνος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων τρίγωνον ὁ ΑΕΖ , ἴσος εἰμί δύο σφαιροειδής . εἷς δέ κῶνος ὁ αὐτός ἴσος εἰμί ὀκτώ κῶνος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων τρίγωνον ὁ ΑΒ△ ὀκτώ ἄρα κῶνος ὁ λέγω ἴσος εἰμί δύο σφαιροειδής · καί τέσσαρες ἄρα κῶνος ἴσος εἷς σφαιροειδής · τετραπλάσιος ἄρα εἰμί ὁ σφαιροειδής ὁ κῶνος , ὅς κορυφή μέν εἰμί ὁ Α σημεῖον , βάσις δέ ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ ΑΓ , καί ὁ ἥμισυς ὁ σφαιροειδής διπλάσιος εἰμί ὁ λέγω κῶνος . ἄγω δέ διά ὁ Β , △ σημεῖον ἐν ὁ ΛΖ παραλληλόγραμμος ὁ ΑΓ παράλληλος ὁ ΦΧ , ΨΩ , καί νοέω κύλινδρος , ὅς βάσις μέν ὁ περί διάμετρος ὁ ΦΨ , ΧΩ κύκλος . ἄξων δέ ὁ ΑΓ εὐθύς . ἐπεί οὖν διπλάσιος εἰμί ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων παραλληλόγραμμος ὁ ΦΩ , ὁ κύλινδρος , ὅς ὁ διά ὁ ἄξων παραλληλόγραμμος ὁ Φ△ , διά ὁ ἴσος αὐτός εἰμί ὁ βάσις , ὁ δέ ἄξων ὁ ἄξων διπλάσιος , αὐτός δέ ὁ κύλινδρος , ὅς ὁ διά ὁ ἄξων παραλληλόγραμμος ὁ Φ△ , τριπλασίων εἰμί ὁ κῶνος , ὅς κορυφή μέν ὁ Α σημεῖον , βάσις δέ ὁ περί διάμετρος ὁ Β△ κύκλος ὀρθός ὅς πρός ὁ ΑΓ , ἑξαπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί ὁ διά ὁ ἄξων παραλληλόγραμμος ὁ ΦΩ , ὁ λέγω κῶνος . δείκνυμι δέ ὁ αὐτός κῶνος τετραπλάσιος ὁ σφαιροειδής · ἡμιόλιος ἄρα εἰμί ὁ κύλινδρος ὁ σφαιροειδής · οι .