archimedes.ad-eratosthenem-methodus 4
Ὅτι δὲ πᾶν τμῆμα ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς ἐπιπέδῳ ἀποτεμνόμενον ὀρθῷ πρὸς τὸν ἄξονα ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι καὶ τὸν ἄξονα τὸν αὐτόν , ὧδε διὰ τοῦ τρόπου τούτου θεωρεῖται . Ἔστω γὰρ ὀρθογώνιον κωνοειδὲς καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος , καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ ὀρθογωνίου κώνου τομὴν τὴν ΑΒΓ , τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὸν ἄξονα , καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΓ , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμήματος ἡ △Α , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ △Α ἐπὶ τὸ Θ , καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΑΘ , καὶ νοείσθω ζυγὸς ὁ △Θ , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α , ἔστω δὲ ἡ τοῦ τμήματος βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΓ κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν Α△ , νοείσθω δὲ κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΒΓ , κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον , ἔστω δὲ καὶ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΒΓ , ἄξονα δὲ τὸν Α△ , καὶ ἤχθω τις ἐν τῷ παραλληλογράμμῳ ἡ ΜΝ παράλληλος οὖσα τῇ ΒΓ , καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν Α△ · ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , ἐν δὲ τῷ τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς τομὴν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ . Καὶ ἐπεὶ ὀρθογωνίου κώνου τομή ἐστιν ἡ ΒΑΓ , διάμετρος δὲ αὐτῆς ἡ Α△ , καὶ τεταγμένως κατηγμέναι εἰσὶν αἱ ΞΣ , Β△ , ἔστιν ὡς ἡ △Α πρὸς ΑΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ . Ἴση δὲ ἡ △Α τῇ ΑΘ · ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ . Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΞ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν τῷ κυλίνδρῳ , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , πρὸς τὸν κύκλον τὸν ἐν τῷ τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ . Ἰσόρροπος ἄρα ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , ὁ ἐν τῷ κυλίνδρῳ περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένων τῷ κύκλῳ , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , μετενεχθέντι καὶ τεθέντι ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε κέντρον αὐτοῦ εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ · καί ἐστι τοῦ μὲν κύκλου , οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΜΝ , κέντρον τοῦ βάρους τὸ Σ , τοῦ δὲ κύκλου , οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΞΟ , μετενηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ , καὶ ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ ὃν ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῷ ΕΓ παραλληλογράμμῳ παρὰ τὴν ΒΓ , καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΘ , ὅτι ἰσορροπήσει πρὸς τῷ Α σημείῳ ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῷ κυλίνδρῳ αὐτοῦ μένων τῷ γενομένῳ ἐν τῷ τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος μετενεχθέντι ἐπὶ τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ . Συμπληρωθέντος οὖν τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ τμήματος τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύλινδρος αὐτοῦ μένων τῷ τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε τὸ κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ . Ἐπεὶ δὲ ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α σημεῖον τὰ εἰρημένα μεγέθη , καί ἐστι τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον βάρους τὸ Κ σημεῖον δίχα τεμνομένης τῆς Α△ κατὰ τὸ Κ σημεῖον , τοῦ δὲ τμήματος μετενηνεγμένου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Θ , ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἡ ΘΑ πρὸς τὴν ΑΚ , ὃν ὁ κύλινδρος πρὸς τὸ τμῆμα . Διπλασία δὲ ἡ ΘΑ τῆς ΑΚ · διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ τμήματος . Ὁ δὲ αὐτὸς κύλινδρος τριπλάσιός ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΒΓ , κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον · δῆλον οὖν ὅτι τὸ τμῆμα ἡμιόλιόν ἐστιν τοῦ αὐτοῦ κώνου .
Lemmas: ὅτι δέ πᾶς τμῆμα ὀρθογώνιον κωνοειδής ἐπίπεδος ἀποτέμνω ὀρθός πρός ὁ ἄξων ἡμιόλιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός ὁ τμῆμα καί ὁ ἄξων ὁ αὐτός , ὧδε διά ὁ τρόπος οὗτος θεωρέω . εἰμί γάρ ὀρθογώνιον κωνοειδής καί τέμνω ἐπίπεδος διά ὁ ἄξων , καί ποιέω τομή ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ , τέμνω δέ καί ἕτερος ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων , καί εἰμί αὐτός κοινός τομή ὁ ΒΓ , ἄξων δέ εἰμί ὁ τμῆμα ὁ △Α , καί ἐκβάλλω ὁ △Α ἐπί ὁ Θ , καί κεῖμαι αὐτός ἴσος ὁ ΑΘ , καί νοέω ζυγός ὁ △Θ , μέσος δέ αὐτός ὁ Α , εἰμί δέ ὁ ὁ τμῆμα βάσις ὁ περί διάμετρος ὁ ΒΓ κύκλος ὀρθός εἰμί πρός ὁ Α△ , νοέω δέ κῶνος βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΒΓ , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον , εἰμί δέ καί κύλινδρος βάσις μέν ἔχω ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΒΓ , ἄξων δέ ὁ Α△ , καί ἄγω τις ἐν ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ΜΝ παράλληλος εἰμί ὁ ΒΓ , καί ἀπό ὁ ΜΝ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ Α△ · ποιέω δή οὗτος ἐν μέν ὁ κύλινδρος τομή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , ἐν δέ ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής τομή κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ . καί ἐπεί ὀρθογώνιον κῶνος τομή εἰμί ὁ ΒΑΓ , διάμετρος δέ αὐτός ὁ Α△ , καί τεταγμένως κατάγω εἰμί ὁ ΞΣ , Β△ , εἰμί ὡς ὁ △Α πρός ΑΣ , οὕτως ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό ΞΣ . ἴσος δέ ὁ △Α ὁ ΑΘ · ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ ἀπό ΜΣ πρός ὁ ἀπό ΣΞ . ὡς δέ ὁ ἀπό ΜΣ πρός ὁ ἀπό ΣΞ , οὕτως ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ κύλινδρος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , πρός ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ · εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , πρός ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ . ἰσόρροπος ἄρα ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , ὁ ἐν ὁ κύλινδρος περί ὁ Α σημεῖον αὐτός μένω ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , μεταφέρω καί τίθημι ἐπί ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε κέντρον αὐτός εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ · καί εἰμί ὁ μέν κύκλος , ὅς διάμετρος εἰμί ὁ ΜΝ , κέντρον ὁ βάρος ὁ Σ , ὁ δέ κύκλος , ὅς εἰμί διάμετρος ὁ ΞΟ , μεταφέρω κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ , καί ἄντιπεπονθοτος ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΘΑ πρός ΑΣ ὅς ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΜΝ , πρός ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ . ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί ἐάν ἄλλος τις ἄγω ἐν ὁ ΕΓ παραλληλόγραμμος παρά ὁ ΒΓ , καί ἀπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΑΘ , ὅτι ἰσορροπέω πρός ὁ Α σημεῖον ὁ γίγνομαι κύκλος ἐν ὁ κύλινδρος αὐτός μένω ὁ γίγνομαι ἐν ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής μεταφέρω ἐπί ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ . συμπληρόω οὖν ὁ κύλινδρος καί ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον ὁ κύλινδρος αὐτός μένω ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε ὁ κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ . ἐπεί δέ ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον ὁ λέγω μέγεθος , καί εἰμί ὁ μέν κύλινδρος κέντρον βάρος ὁ Κ σημεῖον δίχα τέμνω ὁ Α△ κατά ὁ Κ σημεῖον , ὁ δέ τμῆμα μεταφέρω κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ , ἀντιπεπόνθοτος ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΘΑ πρός ὁ ΑΚ , ὅς ὁ κύλινδρος πρός ὁ τμῆμα . διπλάσιος δέ ὁ ΘΑ ὁ ΑΚ · διπλάσιος ἄρα καί ὁ κύλινδρος ὁ τμῆμα . ὁ δέ αὐτός κύλινδρος τριπλάσιος εἰμί ὁ κῶνος ὁ βάσις ἔχω ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΒΓ , κορυφή δέ ὁ Α σημεῖον · δῆλος οὖν ὅτι ὁ τμῆμα ἡμιόλιος εἰμί ὁ αὐτός κῶνος .