archimedes.ad-eratosthenem-methodus 1
Ἔστω τμῆμα τὸ ΑΒΓ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας τῆς ΑΓ καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς τῆς ΑΒΓ , καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΑΓ τῷ △ , καὶ παρὰ τὴν διάμετρον ἤχθω ἡ △ΒΕ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΒΓ . Λέγω ὅτι ἐπίτριτόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . Ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Γ σημείων ἡ μὲν ΑΖ παρὰ τὴν △ΒΕ , ἡ δὲ ΓΖ ἐπιψαύουσα τῆς τομῆς , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Κ , καὶ κείσθω τῇ ΓΚ ἴση ἡ ΚΘ . Νοείσθω ζυγὸς ὁ ΓΘ καὶ μέσον αὐτοῦ τὸ Κ καὶ τῇ Ε△ παράλληλος τυχοῦσα ἡ ΜΞ . Ἐπεὶ οὖν παραβολή ἐστιν ἡ ΓΒΑ , καὶ ἐφάπτεται ἡ ΓΖ , καὶ τεταγμένως ἡ Γ△ , ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ Β△ τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις δείκνυται · διὰ δὴ τοῦτο , καὶ διότι παράλληλοί εἰσιν αἱ ΖΑ , ΜΞ τῇ Ε△ , ἴση ἐστὶν καὶ ἡ μὲν ΜΝ τῇ ΝΞ , ἡ δὲ ΖΚ τῇ ΚΑ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΞ , οὕτως ἡ ΜΞ πρὸς ΞΟ , ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς ΑΞ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΚΝ , καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΘ , ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΝ . οὕτως ἡ ΜΞ πρὸς ΞΟ . Καὶ ἐπεὶ τὸ Ν σημεῖον κέντρον τοῦ βάρους τῆς ΜΞ εὐθείας ἐστίν , ἐπείπερ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ , ἐὰν ἄρα τῇ ΞΟ ἴσην θῶμεν τὴν ΤΗ καὶ κέντρον τοῦ βάρους αὐτῆς τὸ Θ , ὅπως ἴση ᾖ ἡ ΤΘ τῇ ΘΗ , ἰσορροπήσει ἡ ΤΘΗ τῇ ΜΞ αὐτοῦ μενούσῃ διὰ τὸ ἀντιπεπονθότως τετμῆσθαι τὴν ΘΝ τοῖς ΤΗ , ΜΞ βάρεσιν , καὶ ὡς τὴν ΘΚ πρὸς ΚΝ , οὕτως τὴν ΜΞ πρὸς τὴν ΗΤ ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων βάρους κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Κ . Ὁμοίως δὲ καὶ ὅσαι ἂν ἀχθῶσιν ἐν τῷ ΖΑΓ τριγώνῳ παράλληλοι τῇ Ε△ ἰσορροπήσουσιν αὐτοῦ μένουσαι ταῖς ἀπολαμβανομέναις ἀπʼ αὐτῶν ὑπὸ τῆς τομῆς μετενεχθείσαις ἐπὶ τὸ Θ , ὥστε εἶναι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων κέντρον τοῦ βάρους τὸ Κ . Καὶ ἐπεὶ ἐκ μὲν τῶν ἐν τῷ ΓΖΑ τριγώνῳ τὸ ΓΖΑ τρίγωνον συνέστηκεν , ἐκ δὲ τῶν ἐν τῇ τομῇ ὁμοίως τῇ ΞΟ λαμβανομένων συνέστηκε τὸ ΑΒΓ τμῆμα , ἰσορροπήσει ἄρα τὸ ΖΑΓ τρίγωνον αὐτοῦ μένον τῷ τμήματι τῆς τομῆς τεθέντι περὶ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ κατὰ τὸ Κ σημεῖον , ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Κ . Τετμήσθω δὴ ἡ ΓΚ τῷ Χ , ὥστε τριπλασίαν εἶναι τὴν ΓΚ τῆς ΚΧ ἔσται ἄρα τὸ Χ σημεῖον κέντρον βάρους τοῦ ΑΖΓ τριγώνου δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς Ἰσορροπικοῖς . Ἐπεὶ οὖν ἰσόρροπον τὸ ΖΑΓ τρίγωνον αὐτοῦ μένον τῷ ΒΑΓ τμήματι κατὰ τὸ Κ τεθέντι περὶ τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρους , καί ἐστιν τοῦ ΖΑΓ τριγώνου κέντρον βάρους τὸ Χ , ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΖΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα κείμενον περὶ τὸ Θ κέντρον , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΧΚ . Τριπλασία δὲ ἐστιν ἡ ΘΚ τῆς ΚΧ τριπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τμήματος Ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΑΓ τρίγωνον τετραπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΖΚ τῇ ΚΑ , τὴν δὲ Α△ τῇ △Γ ἐπίτριτον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου . .
Lemmas: εἰμί τμῆμα ὁ ΑΒΓ περιέχω ὑπό εὐθεῖα ὁ ΑΓ καί ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΑΒΓ , καί τέμνω δίχα ὁ ΑΓ ὁ △ , καί παρά ὁ διάμετρος ἄγω ὁ ΕΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΓ . λέγω ὅτι ἐπίτριτος εἰμί ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . ἄγω ἀπό ὁ Α , Γ σημεῖον ὁ μέν ΑΖ παρά ὁ ΕΒ , ὁ δέ ΓΖ ἐπιψαύω ὁ τομή , καί ἐκβάλλω ὁ ΓΒ ἐπί ὁ Κ , καί κεῖμαι ὁ ΓΚ ἴσος ὁ ΚΘ . νοέω ζυγός ὁ ΓΘ καί μέσος αὐτός ὁ Κ καί ὁ Ε△ παράλληλος τυγχάνω ὁ ΜΞ . ἐπεί οὖν παραβολή εἰμί ὁ ΓΒΑ , καί ἐφάπτω ὁ ΓΖ , καί τεταγμένως ὁ Γ△ , ἴσος εἰμί ὁ ΕΒ ὁ Β△ οὗτος γάρ ἐν ὁ στοιχεῖον δείκνυμι · διά δή οὗτος , καί διότι παράλληλος εἰμί ὁ ΖΑ , ΜιΞ ὁ Ε△ , ἴσος εἰμί καί ὁ μέν ΜΝ ὁ ΝΞ , ὁ δέ ΖΚ ὁ ΚΑ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΓΑ πρός ΑΞ , οὕτως ὁ ΜΞ πρός ΞΟ , ὡς δέ ὁ ΓΑ πρός ΑΞ , οὕτως ὁ ΓΚ πρός ΚΝ , καί ἴσος εἰμί ὁ ΓΚ ὁ ΚΘ , ὡς ἄρα ὁ ΘΚ πρός ΚΝ . οὕτως ὁ ΜΞ πρός ΞΟ . καί ἐπεί ὁ Ν σημεῖον κέντρον ὁ βάρος ὁ ΜιΞ εὐθεῖα εἰμί , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΜΝ ὁ ΝΞ , ἐάν ἄρα ὁ ΞΟ ἴσος τίθημι ὁ ΤΗς καί κέντρον ὁ βάρος αὐτός ὁ Θ , ὅπως ἴσος εἰμί ὁ ΤΘ ὁ ΘΗν , ἰσορροπέω ὁ ΤΘΗ ὁ ΜιΞ αὐτοῦ μένω διά ὁ ἀντιπεπόνθοτος τέμνω ὁ ΘΝ ὁ ΤΗς , ΜιΞ βάρος , καί ὡς ὁ ΘΚ πρός ΚΝ , οὕτως ὁ ΜιΞ πρός ὁ ΗΤ ὥστε ὁ ἐκ ἀμφότερος βάρος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Κ . ὅμοιος δέ καί ὅσος ἄν ἄγω ἐν ὁ ΖΑΓ τρίγωνον παράλληλος ὁ Ε△ ἰσορροπέω αὐτός μένω ὁ ἀπολαμβάνω ἀπό αὐτός ὑπό ὁ τομή μεταφέρω ἐπί ὁ Θ , ὥστε εἰμί ὁ ἐκ ἀμφότερος κέντρον ὁ βάρος ὁ Κ . καί ἐπεί ἐκ μέν ὁ ἐν ὁ ΓΖΑ τρίγωνον ὁ ΓΖΑ τρίγωνον συνίστημι , ἐκ δέ ὁ ἐν ὁ τομή ὅμοιος ὁ ΞΟ λαμβάνω συνίστημι ὁ ΑΒΓ τμῆμα , ἰσορροπέω ἄρα ὁ ΖΑΓ τρίγωνον αὐτός μένω ὁ τμῆμα ὁ τομή τίθημι περί κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ κατά ὁ Κ σημεῖον , ὥστε ὁ ἐκ ἀμφότερος κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Κ . τέμνω δή ὁ ΓΚ ὁ Χ , ὥστε τριπλάσιος εἰμί ὁ ΓΚ ὁ ΚΧ εἰμί ἄρα ὁ Χ σημεῖον κέντρον βάρος ὁ ΑΖΓ τρίγωνον δείκνυμι γάρ ἐν ὁ Ἱσορροπικόν . ἐπεί οὖν ἰσόρροπος ὁ ΖΑΓ τρίγωνον αὐτός μένω ὁ ΒΑΓ τμῆμα κατά ὁ Κ τίθημι περί ὁ Θ κέντρον ὁ βάρος , καί εἰμί ὁ ΖΑΓ τρίγωνον κέντρον βάρος ὁ Χ , εἰμί ἄρα ὡς ὁ ΑΖΓ τρίγωνον πρός ὁ ΑΒΓ τμῆμα κεῖμαι περί ὁ Θ κέντρον , οὕτως ὁ ΘΚ πρός ΧΚ . τριπλάσιος δέ εἰμί ὁ ΘΚ ὁ ΚΧ τριπλάσιος ἄρα καί ὁ ΑΖΓ τρίγωνον ὁ ΑΒΓ τμῆμα Ἔσθι δέ καί ὁ ΖΑΓ τρίγωνον τετραπλάσιος ὁ ΑΒΓ τρίγωνον διά ὁ ἴσος εἰμί ὁ μέν ΖΚ ὁ ΚΑ , ὁ δέ Α△ ὁ △Γ ἐπίτριτος ἄρα εἰμί ὁ ΑΒΓ τμῆμα ὁ ΑΒΓ τρίγωνον . .