archimedes.ad-eratosthenem-methodus 5
Ὅτι δὲ τοῦ τμήματος τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος τοῦ ἀποτεμνομένου ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὸν ἄξονα τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ἐπὶ τῆς εὐθείας , ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματος , τμηθείσης οὕτως τῆς εἰρημένης εὐθείας , ὥστε διπλάσιον εἶναι τὸ μέρος αὐτοῦ τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ λοιποῦ τμήματος , ὧδε διὰ τοῦ τρόπου θεωρεῖται · Ἔστω τμῆμα ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς ἀποτεμνόμενον ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὸν ἄξονα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ ἑτέρῳ διὰ τοῦ ἄξονος , καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τὴν ΑΒΓ ὀρθογωνίου κώνου τομήν , τοῦ δὲ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἐπιπέδου καὶ τοῦ τέμνοντος κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΒΓ , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμήματος καὶ διάμετρος τῆς ΑΒΓ τομῆς ἡ Α△ εὐθεῖα , καὶ τῆς △Α ἐκβληθείσης ἴση αὐτῇ κείσθω ἡ ΑΘ , καὶ νοείσθω ζυγὸς ὁ △Θ , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α , ἔστω δὲ καὶ κῶνος ἐγγεγραμμένος ἐν τῷ τμήματι , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ αἱ ΒΑ , ΑΓ , ἤχθω δέ τις ἐν τῇ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῇ ἡ ΞΟ παράλληλος οὖσα τῇ ΒΓ , τεμνέτω δὲ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομὴν κατὰ τὰ Ξ , Ο , τὰς δὲ τοῦ κώνου πλευρὰς κατὰ τὰ Π , Ρ σημεῖα . Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίου κώνου τομῇ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὴν διάμετρον αἱ ΞΣ , Β△ , ἔστιν ὡς ἡ △Α πρὸς ΑΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ . Ὡς δὲ ἡ △Α πρὸς ΑΣ , οὕτως ἡ Β△ πρὸς ΠΣ , ὡς δὲ · ἡ Β△ πρὸς ΠΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β△ , ΠΣ · ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ὑπὸ Β△ , ΠΣ . Ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΞΣ τῷ ὑπὸ Β△ , ΠΣ · ἀνάλογον ἄρα εἰσὶν αἱ Β△ , ΣΞ , ΣΠ , καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ Β△ πρὸς ΠΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ . Ὡς δὲ ἡ Β△ πρὸς ΠΣ , οὕτως ἡ △Α πρὸς ΑΣ , τουτέστιν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ . Ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τῆς ΞΟ ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὴν Α△ · ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , ἐν δὲ τῷ κώνῳ κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ . Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΞΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΠ , οὕτως ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ , ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , οὕτως ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ . Ἰσορροπήσει ἄρα περὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , αὐτοῦ μένων τῷ κύκλῳ , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ , μετενεχθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ . Ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν κύκλου , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , αὐτοῦ μένοντος κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Σ , τοῦ δὲ κύκλου , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ , μετενεχθέντος ὡς ἐρρέθη κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ , καὶ ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΘΑ πρὸς ΑΣ , ὃν ὁ κύκλος , οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ , πρὸς τὸν κύκλον , οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ , ἰσορροπήσουσιν ἄρα πρὸς τῷ Α σημείῳ , Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῇ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῇ παράλληλος τῇ ΒΓ , καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν Α△ , ὅτι ὁ γενόμενος κύκλος ἐν τῷ τμήματι τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος αὐτοῦ μένων ἰσορροπήσει περὶ τὸ Α σημεῖον τῷ γενομένῳ κύκλῳ ἐν τῷ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ . Συμπληρωθέντων οὖν ὑπὸ τῶν κύκλων τοῦ τε τμήματος καὶ τοῦ κώνου ἰσορροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον τεθέντες πάντες οἱ κύκλοι οἱ ἐν τῷ τμήματι αὐτοῦ μένοντες πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῷ κώνῳ μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ σημεῖον οὕτως , ὥστε αὐτῶν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ · ἰσόρροπον οὖν καὶ τὸ τμῆμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένον τῷ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἶναι τοῦ βάρους αὐτοῦ τὸ Θ . Ἐπεὶ οὖν συναμφστέρων τῶν μεγεθῶν ὡς ἑνὸς λεγομένων κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ Α , αὐτοῦ δὲ τοῦ κώνου τοῦ μετενηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Θ , τοῦ λοιποῦ ἄρα μεγέθους τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς ΑΘ εὐθείας ἐκβεβλημένης ἐπὶ τὸ Α καὶ ἀποληφθείσης ἀπʼ αὐτῆς τῆς ΑΚ τηλικαύτης , ὥστε τὴν ΑΘ πρὸς αὐτὴν τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὸ τμῆμα πρὸς τὸν κῶνον . Ἡμιόλιον δέ ἐστιν τὸ τμῆμα τοῦ κώνου ἡμιόλιος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΑ τῆς ΑΚ , καί ἐστιν τὸ Κ κέντρον τοῦ βάρους τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος τῆς Α△ τετμημένης οὕτως , ὥστε διπλάσιον εἶναι τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ τμήματος τοῦ λοιποῦ τμήματος .
Lemmas: ὅτι δέ ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής ὁ ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ἐπί ὁ εὐθεῖα , ὅς εἰμί ἄξων ὁ τμῆμα , τέμνω οὕτως ὁ λέγω εὐθεῖα , ὥστε διπλάσιος εἰμί ὁ μέρος αὐτός ὁ πρός ὁ κορυφή ὁ λοιπός τμῆμα , ὧδε διά ὁ τρόπος θεωρέω · εἰμί τμῆμα ὀρθογώνιον κωνοειδής ἀποτέμνω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων καί τέμνω ἐπίπεδος ἕτερος διά ὁ ἄξων , καί ποιέω τομή ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ ΑΒΓ ὀρθογώνιον κῶνος τομή , ὁ δέ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ἐπίπεδος καί ὁ τέμνω κοινός τομή εἰμί ὁ ΒΓ , ἄξων δέ εἰμί ὁ τμῆμα καί διάμετρος ὁ ΑΒΓ τομή ὁ Α△ εὐθύς , καί ὁ △Α ἐκβάλλω ἴσος αὐτός κεῖμαι ὁ ΑΘ , καί νοέω ζυγός ὁ △Θ , μέσος δέ αὐτός ὁ Α , εἰμί δέ καί κῶνος ἐγγράφω ἐν ὁ τμῆμα , πλευρά δέ αὐτός ὁ ΒΑ , ΑΓ , ἄγω δέ τις ἐν ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή ὁ ΞΟ παράλληλος οὖσον ὁ ΒΓ , τέμνω δέ οὗτος ὁ μέν ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή κατά ὁ Ξ , Ο , ὁ δέ ὁ κῶνος πλευρά κατά ὁ Π , Ρ σημεῖον . ἐπεί οὖν ἐν ὀρθογώνιον κῶνος τομή κάθετος ἄγω εἰμί ἐπί ὁ διάμετρος ὁ ΞΣ , Β△ , εἰμί ὡς ὁ △Α πρός ΑΣ , οὕτως ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό ΞΣ . ὡς δέ ὁ △Α πρός ΑΣ , οὕτως ὁ Β△ πρός ΠΣ , ὡς δέ · ὁ Β△ πρός ΠΣ , οὕτως ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ὑπό ὁ Β△ , ΠΣ · εἰμί ἄρα καί ὡς ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ἀπό ΞΣ , οὕτως ὁ ἀπό Β△ πρός ὁ ὑπό Β△ , ΠΣ . ἴσος ἄρα ὁ ἀπό ΞΣ ὁ ὑπό Β△ , ΠΣ · ἀνάλογος ἄρα εἰμί ὁ Β△ , ΣΞ , ΣΠ , καί διά οὗτος εἰμί ὡς ὁ Β△ πρός ΠΣ , οὕτως ὁ ἀπό ΞΣ πρός ὁ ἀπό ΣΠ . ὡς δέ ὁ Β△ πρός ΠΣ , οὕτως ὁ △Α πρός ΑΣ , τουτέστι ὁ ΘΑ πρός ΑΣ · καί ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ ἀπό ΞΣ πρός ὁ ἀπό ΣΠ . ἀνίστημι δή ἀπό ὁ ΞΟ ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ Α△ · ποιέω δή οὗτος ἐν μέν ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , ἐν δέ ὁ κῶνος κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ . καί ἐπεί εἰμί ὡς ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ ἀπό ΞΣ πρός ὁ ἀπό ΣΠ , ὡς δέ ὁ ἀπό ΞΣ πρός ὁ ἀπό ΣΠ , οὕτως ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , πρός ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ , ὡς ἄρα ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , οὕτως ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , πρός ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ . ἰσορροπέω ἄρα περί ὁ Α σημεῖον ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , αὐτός μένω ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ , μεταφέρω ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ . ἐπεί οὖν ὁ μέν κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , αὐτός μένω κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Σ , ὁ δέ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ , μεταφέρω ὡς λέγω κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ , καί ἀντιπεπονθότως ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΘΑ πρός ΑΣ , ὅς ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΞΟ , πρός ὁ κύκλος , ὅς διάμετρος ὁ ΠΡ , ἰσορροπέω ἄρα πρός ὁ Α σημεῖον , Ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί ἐάν ἄλλος τις ἄγω ἐν ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή παράλληλος ὁ ΒΓ , καί ἀπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ Α△ , ὅτι ὁ γίγνομαι κύκλος ἐν ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής αὐτός μένω ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον ὁ γίγνομαι κύκλος ἐν ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Θ . συμπληρόω οὖν ὑπό ὁ κύκλος ὁ τε τμῆμα καί ὁ κῶνος ἰσορροπέω περί ὁ Α σημεῖον τίθημι πᾶς ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ τμῆμα αὐτός μένω πᾶς ὁ κύκλος ὁ ἐν ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ σημεῖον οὕτως , ὥστε αὐτός κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Θ · ἰσόρροπος οὖν καί ὁ τμῆμα ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής περί ὁ Α σημεῖον αὐτός μένω ὁ κῶνος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Θ οὕτως , ὥστε κέντρον εἰμί ὁ βάρος αὐτός ὁ Θ . ἐπεί οὖν συναμφσ́ς ὁ μέγεθος ὡς εἷς λέγω κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Α , αὐτός δέ ὁ κῶνος ὁ μεταφέρω κέντρον ὁ βάρος ὁ Θ , ὁ λοιπός ἄρα μέγεθος ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ ΑΘ εὐθεῖα ἐκβάλλω ἐπί ὁ Α καί ἀπολαμβάνω ἀπό αὐτός ὁ ΑΚ τηλικοῦτος , ὥστε ὁ ΑΘ πρός αὐτός οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ τμῆμα πρός ὁ κῶνος . ἡμιόλιος δέ εἰμί ὁ τμῆμα ὁ κῶνος ἡμιόλιος ἄρα εἰμί καί ὁ ΘΑ ὁ ΑΚ , καί εἰμί ὁ Κ κέντρον ὁ βάρος ὁ ὀρθογώνιον κωνοειδής ὁ Α△ τέμνω οὕτως , ὥστε διπλάσιος εἰμί ὁ μέρος αὐτός ὁ πρός ὁ κορυφή ὁ τμῆμα ὁ λοιπός τμῆμα .