archimedes.ad-eratosthenem-methodus 12
Ἐὰν εἰς πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις κύλινδρος ἐγγραφῇ τὰς μὲν βάσεις ἔχων ἐν τοῖς ἀπεναντίον τετραγώνοις , τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῶν λοιπῶν τεσσάρων ἐπιπέδων ἐφαπτομένην , διὰ δὲ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ κυλίνδρου , καὶ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἀπεναντίον τετραγώνου ἐπίπδεον ἀχθῇ , ὅτι τὸ ἀποτμηθὲν σχῆμα ὑπὸ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδου ἕκτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος , διὰ τοῦ τρόπου τούτου θεωρεῖται . Δείξαντες δὲ ἀναχωρήσομεν ἐπὶ τὴν διὰ τῶν γεωμετρουμένων ἀπόδειξιν αὐτοῦ . Νοείσθω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις καὶ ἐν τῷ πρίσματι κύλινδρος ἐγγεγραμμένος ὡς εἴρηται , τμηθέντος δὲ τοῦ πρίσματος διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμηκὸς τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου τοῦ μὲν πρίσματος τοῦ τὸν κύλινδρον ἔχοντος τομὴ ἔστω τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμηκὸς τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τμῆμα κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΒΓ εὐθεῖα , ἄξων δὲ ἔστω τοῦ πρίσματος καὶ τοῦ κυλίνδρου ἡ Γ△ εὐθεῖα , καὶ τεμνέτω αὐτὴν ἡ ΕΖ δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς , καὶ διὰ τῆς ΕΖ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν Γ△ · ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ πρίσματι τομὴν τετράγωνον , ἐν δὲ τῷ κυλίνδρῳ τομὴν κύκλον . Ἔστω οὖν τοῦ μὲν πρίσματος τομὴ τὸ ΜΝ τετράγωνον , τοῦ δὲ κυλίνδρου ὁ ΞΟΠΡ κύκλος , καὶ ἐφαπτέσθω ὁ κύκλος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν κατὰ τὰ Ξ , Ο , Π , Ρ σημεῖα , τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ διὰ τῆς ΕΖ ἀχθέντος ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸν ἄξονα τοῦ κυλίνδρου κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΚΛ εὐθεῖα τέμνει δὲ αὐτὴν δίχα ἡ ΠΘΞ . Ἤχθω δέ τις εὐθεῖα ἐν τῷ ΟΠΡ ἡμικυκλίῳ ἡ ΣΤ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΠΧ , καὶ ἀπὸ τῆς ΣΤ ἐπίπεδον ἀνασταθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΞΠ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου , ἐν ᾧ ἐστιν ὁ ΞΟΠΡ κύκλος ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν τῷ ἡμικυλίνδρῳ , οὗ ἐστι βάσις τὸ ΟΠΡ ἡμικύκλιον , ὕψος δὲ ὁ ἄξων τοῦ πρίσματος , τομὴν παραλληλόγραμμον , οὗ ἔσται μία μὲν πλευρὰ ἡ ἴση τῇ ΣΤ , ἡ δὲ ἑτέρα τῇ τοῦ κυλίνδρου πλευρᾷ , ποιήσει δὲ καὶ ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτετμημένῳ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τομὴν παραλληλόγραμμον , οὗ ἐστιν ἡ μὲν ἑτέρα πλευρὰ ἴση τῇ ΣΤ , ἡ δὲ ἑτέρα τῇ ΝΥ · ἔστω δὲ οὕτως ἡ ΝΥ ἠγμένη ἐν τῷ △Ε παραλληλογράμμῳ παράλληλος οὖσα τῇ ΒΩ ἴσην ἀπολαμβάνουσα τὴν ΕΙ τῇ ΠΧ . Καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΓ , καὶ παράλληλος ἡ ΝΙ τῇ ΘΓ , καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΘ , ΓΒ , ἔστιν ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΙ , οὕτως ἡ ΩΓ πρὸς ΓΝ , τουτέστιν ἡ ΒΩ πρὸς ΥΝ . Ὡς δὲ ἡ ΒΩ πρὸς ΥΝ , οὕτως τὸ παραλληλόγραμμον τὸ γενόμενον ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ πρὸς τὸ γενόμενον ἐν τῷ ἀποτμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου · ἀμφοτέρων γὰρ τῶν παραλληλογράμμων ἡ αὐτὴ πλευρά ἐστιν ἡ ΣΤ · καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΘΠ , ἡ δὲ ΙΘ τῇ ΧΘ · καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΠΘ τῇ ΘΞ , ὡς ἄρα ἡ ΘΞ πρὸς ΘΧ , οὕτως τὸ γενόμενον παραλληλόγραμμον ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ πρὸς τὸ γενόμενον ἐν τῷ ἀποτμήματι τῷ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου . Νοείσθω μετακείμενον τὸ ἐν τῷ τμήματι παραλληλόγραμμον καὶ κείμενον κατὰ τὸ Ξ , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ , καὶ ἔτι νοείσθω ζυγὸς ἡ ΠΞ , μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Θ · ἰσορροπεῖ δὴ περὶ τὸ Θ σημεῖον τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ αὐτοῦ μένον τῷ παραλληλογράμμῳ τῷ γενομένῳ ἐν τῷ ἀποτμήματι τῷ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον . Καὶ ἐπεί ἐστι τοῦ μὲν παραλληλογράμμου τοῦ γενομένου ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ , τοῦ δὲ παραλληλογράμμου τοῦ γενομένου ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι μετενηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ξ , καὶ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΞΘ πρὸς ΘΧ , ὃν τὸ παραλληλόγραμμον , οὗ εἴπομεν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Χ , πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον , οὗ εἴπομεν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Ξ , ἰσορροπήσει ἄρα περὶ τὸ Θ τὸ παραλληλόγραμμον , οὗ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ , τῷ παραλληλογράμμῳ , οὗ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ξ . Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ὅτι καὶ ὅταν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῷ ΟΠΡ ἡμικυκλίῳ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΠΘ , καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΠΘ καὶ ἐκβληθῇ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐν ᾧ ἐστιν ὁ ΞΟΠΡ κύκλος , τὸ γινόμενον παραλληλόγραμμον ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ ἰσόρροπον περὶ τὸ Θ σημεῖον αὐτοῦ μένον τῷ παραλληλογράμμῳ τῷ γενομένῳ ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μενενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον . Καὶ πάντα ἄρα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ γενόμενα ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ αὐτοῦ μένοντα ἰσορροπήσει περὶ τὸ Θ σημεῖον πᾶσι τοῖς παραλληλογράμμοις τοῖς γενομένοις ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενηνεγμένοις καὶ κειμένοις τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον · ὥστε ἰσορροπεῖν καὶ τὸ ἡμικυλίνδριον αὐτοῦ μένον περὶ τὸ Θ σημεῖον τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως , ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον .
Lemmas: ἐάν εἰς πρίσμα ὀρθός τετράγωνος ἔχω βάσις κύλινδρος ἐγγράφω ὁ μέν βάσις ἔχω ἐν ὁ ἀπεναντίον τετράγωνος , ὁ δέ ἐπιφάνεια ὁ λοιπός τέσσαρες ἐπίπεδος ἐφάπτω , διά δέ ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ κύλινδρος , καί εἷς πλευρά ὁ ἀπεναντίον τετράγωνος ἐφίπδεος ἄγω , ὅτι ὁ ἀποτέμνω σχῆμα ὑπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἕκτος εἰμί μέρος ὁ ὅλος πρίσμα , διά ὁ τρόπος οὗτος θεωρέω . δείκνυμι δέ ἀναχωρέω ἐπί ὁ διά ὁ γεωμετρέω ἀπόδειξις αὐτός . νοέω πρίσμα ὀρθός τετράγωνος ἔχω βάσις καί ἐν ὁ πρίσμα κύλινδρος ἐγγράφω ὡς λέγω , τέμνω δέ ὁ πρίσμα διά ὁ ἄξων ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ὁ κύλινδρος ὁ μέν πρίσμα ὁ ὁ κύλινδρος ἔχω τομή εἰμί ὁ ΑΒ παραλληλόγραμμος , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ἀπό ὁ κύλινδρος καί ὁ διά ὁ ἄξων ἄγω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ ἀπό ὁ κύλινδρος τμῆμα κοινός τομή εἰμί ὁ ΒΓ εὐθύς , ἄξων δέ εἰμί ὁ πρίσμα καί ὁ κύλινδρος ὁ Γ△ εὐθύς , καί τέμνω αὐτός ὁ ΕΖ δίχα καί πρός ὀρθός , καί διά ὁ ΕΖ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ Γ△ · ποιέω δή οὗτος ἐν μέν ὁ πρίσμα τομή τετράγωνος , ἐν δέ ὁ κύλινδρος τομή κύκλος . εἰμί οὖν ὁ μέν πρίσμα τομή ὁ ΜΝ τετράγωνος , ὁ δέ κύλινδρος ὁ ΞΟΠΡ κύκλος , καί ἐφάπτω ὁ κύκλος ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά κατά ὁ Ξ , Ο , Π , Ρ σημεῖον , ὁ δέ ἐπίπεδος ὁ ἀποτέμνω ὁ τμῆμα ἀπό ὁ κύλινδρος καί ὁ διά ὁ ΕΖ ἄγω ἐπίπεδος ὀρθός πρός ὁ ἄξων ὁ κύλινδρος κοινός τομή εἰμί ὁ ΚΛ εὐθύς τέμνω δέ αὐτός δίχα ὁ ΠΘΞ . ἄγω δέ τις εὐθεῖα ἐν ὁ ΟΠΡ ἡμικύκλιον ὁ ΣΤ πρός ὀρθός εἰμί ὁ ΠΧ , καί ἀπό ὁ ΣΤ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΞΠ ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος ὁ ἐπίπεδος , ἐν ὅς εἰμί ὁ ΞΟΠΡ κύκλος ποιέω δή οὗτος ἐν ὁ ἡμικύλινδρος , ὅς εἰμί βάσις ὁ ΟΠΡ ἡμικύκλιον , ὕψος δέ ὁ ἄξων ὁ πρίσμα , τομή παραλληλόγραμμος , ὅς εἰμί εἷς μέν πλευρόν ὁ ἴσος ὁ ΣΤ , ὁ δέ ἕτερος ὁ ὁ κύλινδρος πλευρά , ποιέω δέ καί ἐν ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος τομή παραλληλόγραμμος , ὅς εἰμί ὁ μέν ἕτερος πλευρόν ἴσος ὁ ΣΤ , ὁ δέ ἕτερος ὁ ΝΥ · εἰμί δέ οὕτως ὁ ΝΥ ἄγω ἐν ὁ △Ε παραλληλόγραμμος παράλληλος εἰμί ὁ ΒΩ ἴσος ἀπολαμβάνω ὁ ΕΙ ὁ ΠΧ . καί ἐπεί παραλληλόγραμμος εἰμί ὁ ΕΓ , καί παράλληλος ὁ ΝΙ ὁ ΘΓ , καί διάγω εἰμί ὁ ΕΘ , ΓΒ , εἰμί ὡς ὁ ΕΘ πρός ΘΙ , οὕτως ὁ ΩΓ πρός ΓΝ , τουτέστι ὁ ΒΩ πρός ΥΝ . ὡς δέ ὁ ΒΩ πρός ΥΝ , οὕτως ὁ παραλληλόγραμμος ὁ γίγνομαι ἐν ὁ ἡμικυλίνδριον πρός ὁ γίγνομαι ἐν ὁ ἀπότμημα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος · ἀμφότερος γάρ ὁ παραλληλόγραμμος ὁ αὐτός πλευρόν εἰμί ὁ ΣΤ · καί ἴσος εἰμί ὁ ΕΘ ὁ ΘΠ , ὁ δέ ΙΘ ὁ ΧΘ · καί ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ΠΘ ὁ ΘΞ , ὡς ἄρα ὁ ΘΞ πρός ΘΧ , οὕτως ὁ γίγνομαι παραλληλόγραμμος ἐν ὁ ἡμικυλίνδριον πρός ὁ γίγνομαι ἐν ὁ ἀπότμημα ὁ ἀπό ὁ κύλινδρος . νοέω μετάκειμαι ὁ ἐν ὁ τμῆμα παραλληλόγραμμος καί κεῖμαι κατά ὁ Ξ , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Ξ , καί ἔτι νοέω ζυγός ὁ ΠΞ , μέσος δέ αὐτός ὁ Θ · ἰσορροπέω δή περί ὁ Θ σημεῖον ὁ παραλληλόγραμμος ὁ ἐν ὁ ἡμικυλίνδριον αὐτός μένω ὁ παραλληλόγραμμος ὁ γίγνομαι ἐν ὁ ἀπότμημα ὁ ἀπό ὁ κύλινδρος μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Ξ οὕτως , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Ξ σημεῖον . καί ἐπεί εἰμί ὁ μέν παραλληλόγραμμος ὁ γίγνομαι ἐν ὁ ἡμικυλίνδριον κέντρον ὁ βάρος ὁ Χ , ὁ δέ παραλληλόγραμμος ὁ γίγνομαι ἐν ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω μεταφέρω κέντρον ὁ βάρος ὁ Ξ , καί ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ΞΘ πρός ΘΧ , ὅς ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς λέγω κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Χ , πρός ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς λέγω κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ Ξ , ἰσορροπέω ἄρα περί ὁ Θ ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς κέντρον ὁ βάρος ὁ Χ , ὁ παραλληλόγραμμος , ὅς κέντρον ὁ βάρος ὁ Ξ . ὅμοιος δέ δείκνυμι ὅτι καί ὅταν ἄλλος τις ἄγω ἐν ὁ ΟΠΡ ἡμικύκλιον πρός ὀρθός ὁ ΠΘ , καί ἀπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΠΘ καί ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος ὁ ἐπίπεδος ὁ ἐν ὅς εἰμί ὁ ΞΟΠΡ κύκλος , ὁ γίγνομαι παραλληλόγραμμος ἐν ὁ ἡμικυλίνδριον ἰσόρροπος περί ὁ Θ σημεῖον αὐτός μένω ὁ παραλληλόγραμμος ὁ γίγνομαι ἐν ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος μενενέγω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Ξ οὕτως , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Ξ σημεῖον . καί πᾶς ἄρα ὁ παραλληλόγραμμος ὁ γίγνομαι ἐν ὁ ἡμικυλίνδριον αὐτός μένω ἰσορροπέω περί ὁ Θ σημεῖον πᾶς ὁ παραλληλόγραμμος ὁ γίγνομαι ἐν ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος μεταφέρω καί κεῖμαι ὁ ζυγόν κατά ὁ Ξ σημεῖον · ὥστε ἰσορροπέω καί ὁ ἡμικυλίνδριον αὐτός μένω περί ὁ Θ σημεῖον ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω μεταφέρω καί τίθημι ὁ ζυγόν κατά ὁ Ξ οὕτως , ὥστε κέντρον εἰμί αὐτός ὁ βάρος ὁ Ξ σημεῖον .