archimedes.ad-eratosthenem-methodus 14
Ἔστω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις , καὶ ἔστω αὐτοῦ μία τῶν βάσεων τὸ ΑΒΓ△ τετράγωνον , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ πρίσμα κύλινδρος , καὶ ἔστω τοῦ κυλίνδρου βάσις ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν τοῦ ΑΒΓ△ πλευρῶν κατὰ τὰ Ε , Ζ , Η , Θ , διὰ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς τῆς ἐν τῷ κατεναντίον ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΒΓ△ τῆς κατὰ τὴν Γ△ ἐπίπεδον ἤχθω · ἀποτεμεῖ δὴ τοῦτο ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος ἄλλο πρίσμα , ὃ ἔσται τέταρτον μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος , αὐτὸ δὲ τοῦτο ἔσται περιεχόμενον ὑπὸ τριῶν παραλληλογράμμων καὶ δύο τριγώνων κατεναντίον ἀλλήλοις . Γεγράφθω δὴ ἐν τῷ ΕΖΗ ἡμικυκλίῳ ὀρθογωνίου κώνου τομή , ἔστω δὲ ἐν τῇ τομῇ τῆς ἡ ΖΚ , καὶ ἤχθω τις ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ ἡ ΜΝ παράλληλος οὖσα τῇ ΚΖ · τεμεῖ δὴ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ξ , τὴν δὲ τοῦ κώνου τομὴν κατὰ τὸ Λ . Καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΜΝΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΖ · τοῦτο γάρ ἐστι σαφές · διὰ τοῦτο δὴ ἔσται ὡς ἡ ΜΝ πρὸς ΝΛ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΣ . Καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΕΗ · ποιήσει δὴ τὸ ἐπίπεδον ἐν τῷ πρίσματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος τομὴν τρίγωνον ὀρθογώνιον , οὗ ἔσται μία τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΜΝ , ἡ δὲ ἑτέρα ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τῷ ἀπὸ τῆς Γ△ ὀρθὴ πρὸς τὴν Γ△ ἀναγομένη ἀπὸ τοῦ Ν ἴση τῷ ἄξονι τοῦ κυλίνδρου , ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἐν αὐτῷ τῷ τέμνοντι ἐπιπέδῳ · ποιήσει δὲ καὶ ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἀχθέντος διὰ τῆς ΕΗ καὶ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς τῆς κατεναντίον τῇ Γ△ τομὴν τρίγωνον ὀρθογώνιον , οὗ ἔσται μία τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΜΞ , ἡ δὲ ἑτερα ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου ἀνηγμένη ἀπὸ τοῦ Ξ ὀρθὴ πρὸς τὸ ΚΝ ἐπίπεδον , ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἐν τῷ τέμνοντι ἐπιπέδῳ . Ὁμοίως οὖν , ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΜΝ , ΜΛ τῷ ἀπὸ ΜΞ · τοῦτο γὰρ φανερόν ἐστιν · ἔσται ὡς ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΛ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ . Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τρίγωνον τὸ ἐν τῷ πρίσματι γενόμενον πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ τρίγωνον τὸ ἐν τῷ τμήματι ἀφῃρημένον ὑπὸ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας · ὡς ἄρα ἡ ΜΝ πρὸς ΜΛ , οὕτως τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον . Ὁμοίως δὲ δείξομεν καί , ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῷ περὶ τὴν τομὴν περιγραφἐντι παραλληλογράμμῳ παρὰ τὴν ΚΖ , καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΕΗ , ὅτι ἔσται ὡς τὸ τρίγωνον τὸ γενόμενον ἐν τῷ πρίσματι πρὸς τὸ τμήματι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου , οὕτως ἡ ἀχθεῖσα ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ παράλληλος τῇ ΚΖ πρὸς τὴν ἀποληφθεῖσαν ὑπὸ τῆς ΕΗΖ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ διαμέτρου . Συμπληρωθέντος οὖν τοῦ △Η παραλληλογράμμου ὑπὸ τῶν ἡγμένων παρὰ τὴν ΚΖ καὶ τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς διαμέτρου ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων ἐν τῷ τμήματι συμπληρω τοῦ τμήματος τοῦ ἐν τῷ ἀπὸ τοῦ γινομ πων τά γ α καὶ τῷ △Η δὲ ετι μα η ετι ἀπ ἀγομένων παρὰ τὴν ΚΖ τομῆς καὶ ει ταῖς ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ ἠγμέναις παρὰ τὴν ΚΖ , καὶ ἔσται ὡς πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῷ πρίσματι πρὸς πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῷ ἀποτμηθέντι τμήματι τοῦ κυλίνδρου ἀφῃρημένα , οὕτως πᾶσαι αἱ εὐθεῖαι αἱ ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ πρὸς πάσας τὰς εὐθείας τὰς μεταξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας . Καὶ ἐκ μὲν τῶν ἐν τῷ πρίσματι τριγώνων σύγκειται τὸ πρίσμα , ἐκ δὲ τῶν ἐν τῷ ἀποτμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τὸ ἀπότμημα , ἐκ δὲ τῶν ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ παραλλήλων τῇ ΚΖ τὸ △Η παραλληλόγραμμον , ἐκ δὲ τῶν μεταξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ τὸ τμῆμα · ὡς ἄρα τὸ πρίσμα πρὸς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου , οὕτω τὸ △Η παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖΗ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας . Ἡμιόλιον δὲ τὸ △Η παραλληλόγραμμον τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας · δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς πρότερον ἐκδεδομένοις · ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ πρίσμα τοῦ ἀποτμήματος τοῦ ἀφῃρημένου ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου · οἵων ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου δύο , τοιούτων ἐστὶ τὸ πρίσμα τριῶν . Οἵων δὲ τὸ πρίσμα τριῶν , τοιούτων ἐστὶν τὸ ὅλον πρίσμα τὸ περιέχον τὸν κύλινδρον ιβ διὰ τὸ δ΄ εἶναι τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου οἵων ἄρα τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου δύο , τοιούτων ἐστὶν τὸ ὅλον πρίσμα ιβ ὥστε τὸ τμῆμα τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος .
Lemmas: εἰμί πρίσμα ὀρθός τετράγωνος ἔχω βάσις , καί εἰμί αὐτός εἷς ὁ βάσις ὁ ΑΒΓ△ τετράγωνος , καί ἐγγράφω εἰς ὁ πρίσμα κύλινδρος , καί εἰμί ὁ κύλινδρος βάσις ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐφάπτω ὁ ὁ ΑΒΓ△ πλευρά κατά ὁ Ε , Ζ , Η , Θ , διά δέ ὁ κέντρον αὐτός καί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ὁ ἐν ὁ κατεναντίον ἐπίπεδος ὁ ΑΒΓ△ ὁ κατά ὁ Γ△ ἐπίπεδος ἄγω · ἀποτέμνω δή οὗτος ἀπό ὁ ὅλος πρίσμα ἄλλος πρίσμα , ὅς εἰμί τέταρτος μέρος ὁ ὅλος πρίσμα , αὐτός δέ οὗτος εἰμί περιέχω ὑπό τρεῖς παραλληλόγραμμος καί δύο τρίγων κατεναντίον ἀλλήλων . γράφω δή ἐν ὁ ΕΖΗ ἡμικύκλιον ὀρθογώνιον κῶνος τομή , εἰμί δέ ἐν ὁ τομή ὁ ὁ ΖΚ , καί ἄγω τις ἐν ὁ △Η παραλληλόγραμμος ὁ ΜΝ παράλληλος εἰμί ὁ ΚΖ · τέμνω δή οὗτος ὁ μέν ὁ ἡμικύκλιον περιφέρεια κατά ὁ Ξ , ὁ δέ ὁ κῶνος τομή κατά ὁ Λ . καί εἰμί ἴσος ὁ ὑπό ΜΝΛ ὁ ἀπό ὁ ΝΖ · οὗτος γάρ εἰμί σαφής · διά οὗτος δή εἰμί ὡς ὁ ΜΝ πρός ΝΛ , οὕτως ὁ ἀπό ΚΗ πρός ὁ ἀπό ΛΣ . καί ἀπό ὁ ΜΝ ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΕΗ · ποιέω δή ὁ ἐπίπεδος ἐν ὁ πρίσμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ ὅλος πρίσμα τομή τρίγωνος ὀρθογώνιον , ὅς εἰμί εἷς ὁ περί ὁ ὀρθός γωνία ὁ ΜΝ , ὁ δέ ἕτερος ἐν ὁ ἐπίπεδος ὁ ἀπό ὁ Γ△ ὀρθός πρός ὁ Γ△ ἀνάγω ἀπό ὁ Ν ἴσος ὁ ἄξων ὁ κύλινδρος , ὁ δέ ὑποτείνω ἐν αὐτός ὁ τέμνω ἐπίπεδος · ποιέω δέ καί ἐν ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος ὑπό ὁ ἐπίπεδος ὁ ἄγω διά ὁ ΕΗ καί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά ὁ κατεναντίον ὁ Γ△ τομή τρίγωνος ὀρθογώνιον , ὅς εἰμί εἷς ὁ περί ὁ ὀρθός γωνία ὁ ΜΞ , ὁ δέ ἑς ἐν ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος ἀνάγω ἀπό ὁ Ξ ὀρθός πρός ὁ ΚΝ ἐπίπεδος , ὁ δέ ὑποτείνω ἐν ὁ τέμνω ἐπίπεδος . ὅμοιος οὖν , ἐπεί ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ΜΝ , ΜΛ ὁ ἀπό ΜΞ · οὗτος γάρ φανερός εἰμί · εἰμί ὡς ὁ ΜΝ πρός ὁ ΜΛ , οὕτως ὁ ἀπό ΜΝ πρός ὁ ἀπό ΜιΞ . ὡς δέ ὁ ἀπό ΜΝ πρός ὁ ἀπό ΜιΞ , οὕτως ὁ ἀπό ὁ ΜΝ τρίγωνον ὁ ἐν ὁ πρίσμα γίγνομαι πρός ὁ ἀπό ΜιΞ τρίγωνον ὁ ἐν ὁ τμῆμα ἀφαιρέω ὑπό ὁ ὁ κύλινδρος ἐπιφάνεια · ὡς ἄρα ὁ ΜΝ πρός ΜΛ , οὕτως ὁ τρίγωνον πρός ὁ τρίγωνον . ὅμοιος δέ δείκνυμι καί , ἐάν ἄλλος τις ἄγω ἐν ὁ περί ὁ τομή περιγράφω παραλληλόγραμμος παρά ὁ ΚΖ , καί ἀπό ὁ ἄγω ἐπίπεδος ἀνίστημι ὀρθός πρός ὁ ΕΗ , ὅτι εἰμί ὡς ὁ τρίγωνον ὁ γίγνομαι ἐν ὁ πρίσμα πρός ὁ τμῆμα ἀπό ὁ κύλινδρος , οὕτως ὁ ἄγω ἐν ὁ △Η παραλληλόγραμμος παράλληλος ὁ ΚΖ πρός ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό ὁ ΕΗΖ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ διάμετρος . συμπληρόω οὖν ὁ △Η παραλληλόγραμμος ὑπό ὁ ἅγνυμι παρά ὁ ΚΖ καί ὁ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό τε ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ διάμετρος ὑπό ὁ ἀπολαμβάνω ἐν ὁ τμῆμα συμπληρόω ὁ τμῆμα ὁ ἐν ὁ ἀπό ὁ γινομ π ὁ γ α καί ὁ △Η δέ ἔτι πήδημα ὁ ἔτι ἀπ ἄγω παρά ὁ ΚΖ τομή καί εἰμί ὁ ἐν ὁ △Η παραλληλόγραμμος ἄγω παρά ὁ ΚΖ , καί εἰμί ὡς πᾶς ὁ τρίγωνος ὁ ἐν ὁ πρίσμα πρός πᾶς ὁ τρίγωνος ὁ ἐν ὁ ἀποτέμνω τμῆμα ὁ κύλινδρος ἀφαιρέω , οὕτως πᾶς ὁ εὐθεῖα ὁ ἐν ὁ △Η παραλληλόγραμμος πρός πᾶς ὁ εὐθεῖα ὁ μεταξύ ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα . καί ἐκ μέν ὁ ἐν ὁ πρίσμα τρίγωνος σύγκειμαι ὁ πρίσμα , ἐκ δέ ὁ ἐν ὁ ἀπότμημα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος ὁ ἀπότμημα , ἐκ δέ ὁ ἐν ὁ △Η παραλληλόγραμμος παράλληλος ὁ ΚΖ ὁ △Η παραλληλόγραμμος , ἐκ δέ ὁ μεταξύ ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ ὁ τμῆμα · ὡς ἄρα ὁ πρίσμα πρός ὁ ἀπότμημα ὁ ἀπό ὁ κύλινδρος , οὕτως ὁ △Η παραλληλόγραμμος πρός ὁ ΕΖΗ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα . ἡμιόλιος δέ ὁ △Η παραλληλόγραμμος ὁ τμῆμα ὁ περιέχω ὑπό ὁ ὁ ὀρθογώνιον κῶνος τομή καί ὁ ΕΗ εὐθεῖα · δείκνυμι γάρ οὗτος ἐν ὁ πρότερος ἐκδίδωμι · ἡμιόλιος ἄρα εἰμί καί ὁ πρίσμα ὁ ἀπότμημα ὁ ἀφαιρέω ἀπό ὁ κύλινδρος · οἷος ἄρα εἰμί ὁ ἀπότμημα ὁ κύλινδρος δύο , τοιοῦτος εἰμί ὁ πρίσμα τρεῖς . οἷος δέ ὁ πρίσμα τρεῖς , τοιοῦτος εἰμί ὁ ὅλος πρίσμα ὁ περιέχω ὁ κύλινδρος ιβʹ διά ὁ δʹ εἰμί ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος οἷος ἄρα ὁ ἀπότμημα ὁ κύλινδρος δύο , τοιοῦτος εἰμί ὁ ὅλος πρίσμα ιβʹ ὥστε ὁ τμῆμα ὁ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος ἕκτος μέρος εἰμί ὁ πρίσμα .