archimedes.ad-eratosthenem-methodus pr1
Ἀρχιμήδους Περὶ τῶν μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένην ἔφοδος Ἀρχιμήδης Ἐρατοσθένει εὖ πράττειν . Ἀπέστειλά σοι πρότερον τῶν εὑρημένων θεωρημάτων ἀναγράψας αὐτῶν τὰς προτάσεις φάμενος εὑρίσκειν ταύτας τὰς ἀποδείξεις , ἃς οὐκ εἶπον ἐπὶ τοῦ παρόντος ἦσαν δὲ τῶν ἀπεσταλμένων θεωρημάτων αἱ προτάσεις αἵδε · τοῦ μὲν πρώτου · ἐὰν εἰς πρίσμα ὀρθὸν παραλληλόγραμμον ἔχον βάσιν κύλινδρος ἐγγραφῇ τὰς μὲν βάσεις ἔχων ἐν τοῖς ἀπεναντίον παραλληλογράμμοις , τὰς δὲ πλευρὰς ἐπὶ τῶν λοιπῶν τοῦ πρίσματος ἐπιπέδων , καὶ διά τε τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου , ὅς ἐστι βάσις τοῦ κυλίνδρου , καὶ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου τοῦ ἐν τῷ κατεναντίον ἐπιπέδῳ ἀχθῇ ἐπίπεδον , τὸ ἀχθὲν ἐπιπίπεδον ἀποτεμεῖ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου , ὅ ἐστι περιεχόμενον ὑπὸ δύο ἐπιπέδων καὶ ἐπιφανείας κυλίνδρου , ἑνὸς μὲν τοῦ ἀχθέντος , ἑτέρου δὲ ἐν ᾧ ἡ βάσις ἐστὶν τοῦ κυλίνδρου , τῆς δὲ ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων , τὸ δὲ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τμῆμα ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὅλου πρίσματος . Τοῦ δὲ ἑτέρου θεωρήματος ἡ πρότασις ἥδε ἐὰν εἰς κύβον κύλινδρος ἐγγραφῇ τὰς μὲν βάσεις ἔχων πρὸς τοῖς κατεναντίον παραλληλογράμμοις , τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῶν λοιπῶν τεσσάρων ἐπιπέδων ἐφαπτομένην , ἐγγραφῇ δὲ καὶ ἄλλος κύλινδρος εἰς τὸν αὐτὸν κύβον τὰς μὲν βάσεις ἔχων ἐν ἄλλοις παραλληλογράμμοις , τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῶν λοιπῶν τεσσάρων ἐπιπέδων ἐφαπτομένην , τὸ περιληφθὲν σχῆμα ὑπὸ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν κυλίνδρων , ὅ ἐστιν ἐν ἀμφοτέροις τοῖς κυλίνδροις , δίμοιρόν ἐστι τοῦ ὅλου κύβου . Συμβαίνει δὲ ταῦτα τὰ θεωρήματα διαφέρειν τῶν πρότερον εὑρημένων ἐκεῖνα μὲν γὰρ τὰ σχήματα , τά τε κωνοειδῆ καὶ σφαιροειδῆ καὶ τὰ τμήματα αὐτῶν , τῷ μεγέθει σχήμασι κώνων καὶ κυλίνδρων συνεκρίναμεν , ἐπιπέδοις δὲ περιεχομένῳ στερεῷ σχήματι οὐδὲν αὐτῶν ἴσον ἐὸν εὕρηται , τούτων δὲ τῶν σχημάτων τῶν δυσὶν ἐπιπέδοις καὶ ἐπιφανείαις κυλίνδρων ἕκαστον ἑνὶ τῶν ἐπιπέδοις περιεχομένων στερεῶν σχημάτων ἴσον εὑρίσκεται . Τούτων δὴ τῶν θεωρημάτων τὰς ἀποδείξεις ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ γράψας ἀποστελῶ σοι . Ὁρῶν δέ σε , καθάπερ λέγω , σπουδαῖον καὶ φιλοσοφίας προεστῶτα ἀξιολόγως καὶ τὴν ἐν τοῖς μαθήμασιν κατὰ τὸ ὑποπίπτον θεωρίαν τετιμηκότα ἐδοκίμασα γράψαι σοι καὶ εἰς τὸ αὐτὸ βιβλίον ἐξορίσαι τρόπου τινὸς ἰδιότητα , καθʼ ὅν σοι παρεχόμενον ἔσται λαμβάνειν ἀφορμὰς εἰς τὸ δύνασθαί τινα τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρεῖν διὰ τῶν μηχανικῶν . Τοῦτο δὲ πέπεισμαι χρήσιμον εἶναι οὐδὲν ἦσσον καὶ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτῶν τῶν θεωρημάτων . Καὶ γάρ τινα τῶν πρότερόν μοι φανέντων μηχανικῶς ὕστερον γεωμετρικῶς ἀπεδείχθη διὰ τὸ χωρὶς ἀποδείξεως εἶναι τὴν διὰ τούτου τοῦ τρόπου θεωρίαν ἑτοιμότερον γάρ ἐστι προλαβόντα διὰ τοῦ τρόπου γνῶσίν τινα τῶν ζητημάτων πορίσασθαι τὴν ἀπόδειξιν μᾶλλον ἢ μηδενὸς ἐγνωσμένου ζητεῖν . Διόπερ καὶ τῶν θεωρημάτων τούτων , ὧν Εὔδοξος ἐξηύρηκεν πρῶτος τὴν ἀπόδειξιν , περὶ τοῦ κώνου καὶ τῆς πυραμίδος , ὅτι τρίτον μέρος ὁ μὲν κῶνος τοῦ κυλίνδρου , ἡ δὲ πυραμὶς τοῦ πρίσματος , τῶν βάσιν ἐχόντων τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος ἴσον , οὐ μικρὰν ἀπονείμαι ἄν τις Δημοκρίτῳ μερίδα πρώτῳ τὴν ἀπόφασιν τὴν περὶ τοῦ εἰρημένου σχήματος χωρὶς ἀποδείξεως ἀποφηναμένῳ . Ἡμῖν δὲ συμβαίνει καὶ τοῦ νῦν ἐκδιδομένου θεωρήματος τὴν εὕρεσιν ὁμοίαν ταῖς πρότερον γεγενῆσθαι ἠβουλήθην δὲ τὸν τρόπον ἀναγράψας ἐξενεγκεῖν ἅμα μὲν καὶ διὰ τὸ προειρηκέναι ὑπὲρ αὐτοῦ , μή τισιν δοκῶμεν κενὴν φωνὴν καταβεβλῆσθαι , ἅμα δὲ καὶ πεπεισμένος εἰς τὸ μάθημα οὐ μικρὰν ἂν συμβαλέσθαι χρείαν ὑπολαμβάνω γάρ τινας ἢ τῶν ὄντων ἢ ἐπιγινομένων διὰ τοῦ ἀποδειχθέντος τρόπου καὶ ἄλλα θεωρήματα οὔπω ἡμῖν συνπαραπεπτωκότα εὑρήσειν . Γράφομεν οὖν πρῶτον τὸ καὶ πρῶτον φανὲν διὰ τῶν μηχανικῶν , ὅτι πᾶν τμῆμα ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστιν τριγώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος ἴσον , μετὰ δὲ τοῦτο ἕκαστον τῶν διὰ τοῦ αὐτοῦ τρόπου θεωρηθέντων ἐπὶ τέλει δὲ τοῦ βιβλίου γράφομεν τὰς γεωμετρι κὰς ἀποδείξεις ἐκείνων τῶν θεωρημάτων , ὧν τὰς προτάσεις ἀπεστείλαμέν σοι πρότερον .
Lemmas: Ἀρχιμήδης Περι ὁ μηχανικός θεώρημα πρός Ἐρατοσθένης ἔφοδος Ἀρχιμήδης Ἐρατοσθένης εὖ πράσσω . ἀποστέλλω σύ πρότερος ὁ εὑρίσκω θεώρημα ἀναγράφω αὐτός ὁ πρότασις φημί εὑρίσκω οὗτος ὁ ἀπόδειξις , ὅς οὐ λέγω ἐπί ὁ πάρειμι εἰμί δέ ὁ ἀποστέλλω θεώρημα ὁ πρότασις ὅδε · ὁ μέν πρῶτος · ἐάν εἰς πρίσμα ὀρθός παραλληλόγραμμος ἔχω βάσις κύλινδρος ἐγγράφω ὁ μέν βάσις ἔχω ἐν ὁ ἀπεναντίον παραλληλόγραμμος , ὁ δέ πλευρά ἐπί ὁ λοιπός ὁ πρίσμα ἐπίπεδος , καί διά τε ὁ κέντρον ὁ κύκλος , ὅς εἰμί βάσις ὁ κύλινδρος , καί εἷς πλευρά ὁ τετράγωνος ὁ ἐν ὁ κατεναντίον ἐπίπεδος ἄγω ἐπίπεδος , ὁ ἄγω ἐπιπίπεδον ἀποτέμνω τμῆμα ἀπό ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί περιέχω ὑπό δύο ἐπίπεδος καί ἐπιφάνεια κύλινδρος , εἷς μέν ὁ ἄγω , ἕτερος δέ ἐν ὅς ὁ βάσις εἰμί ὁ κύλινδρος , ὁ δέ ἐπιφάνεια ὁ μεταξύ ὁ λέγω ἐπίπεδος , ὁ δέ ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύλινδρος τμῆμα ἕκτος μέρος εἰμί ὁ ὅλος πρίσμα . ὁ δέ ἕτερος θεώρημα ὁ πρότασις ὅδε ἐάν εἰς κύβος κύλινδρος ἐγγράφω ὁ μέν βάσις ἔχω πρός ὁ κατεναντίον παραλληλόγραμμος , ὁ δέ ἐπιφάνεια ὁ λοιπός τέσσαρες ἐπίπεδος ἐφάπτω , ἐγγράφω δέ καί ἄλλος κύλινδρος εἰς ὁ αὐτός κύβος ὁ μέν βάσις ἔχω ἐν ἄλλος παραλληλόγραμμος , ὁ δέ ἐπιφάνεια ὁ λοιπός τέσσαρες ἐπίπεδος ἐφάπτω , ὁ περιλαμβάνω σχῆμα ὑπό ὁ ἐπιφάνεια ὁ κύλινδρος , ὅς εἰμί ἐν ἀμφότερος ὁ κύλινδρος , δίμοιρος εἰμί ὁ ὅλος κύβος . συμβαίνω δέ οὗτος ὁ θεώρημα διαφέρω ὁ πρότερος εὑρίσκω ἐκεῖνος μέν γάρ ὁ σχῆμα , ὁ τε κωνοειδής καί σφαιροειδής καί ὁ τμῆμα αὐτός , ὁ μέγεθος σχῆμα κῶνος καί κύλινδρος συγκρίνω , ἐπίπεδος δέ περιέχω στερεός σχῆμα οὐδείς αὐτός ἴσος εἰμί εὑρίσκω , οὗτος δέ ὁ σχῆμα ὁ δύο ἐπίπεδος καί ἐπιφάνεια κύλινδρος ἕκαστος εἷς ὁ ἐπίπεδος περιέχω στερεός σχῆμα ἴσος εὑρίσκω . οὗτος δή ὁ θεώρημα ὁ ἀπόδειξις ἐν ὅδε ὁ βιβλίον γράφω ἀποστέλλω σύ . ὁράω δέ σύ , καθά λέγω , σπουδαῖος καί φιλοσοφία προΐστημι ἀξιόλογος καί ὁ ἐν ὁ μάθημα κατά ὁ ὑποπίπτω θεωρία τιμάω δοκιμάζω γράφω σύ καί εἰς ὁ αὐτός βιβλίον ἐξορίζω τρόπος τις ἰδιότης , κατά ὅς σύ παρέχω εἰμί λαμβάνω ἀφορμή εἰς ὁ δύναμαι τις ὁ ἐν ὁ μάθημα θεωρέω διά ὁ μηχανικός . οὗτος δέ πείθω χρήσιμος εἰμί οὐδείς ἤσσων καί εἰς ὁ ἀπόδειξις αὐτός ὁ θεώρημα . καί γάρ τις ὁ πρότερος ἐγώ φαίνω μηχανικός ὕστερον γεωμετρικός ἀποδείκνυμι διά ὁ χωρίς ἀπόδειξις εἰμί ὁ διά οὗτος ὁ τρόπος θεωρία ἑτοῖμος γάρ εἰμί προλαμβάνω διά ὁ τρόπος γνῶσις τις ὁ ζήτημα πορίζω ὁ ἀπόδειξις μάλα ἤ μηδείς γιγνώσκω ζητέω . Διόπερ καί ὁ θεώρημα οὗτος , ὅς Εὔδοξος ἐξευρίσκω πρῶτος ὁ ἀπόδειξις , περί ὁ κῶνος καί ὁ πυραμίς , ὅτι τρίτος μέρος ὁ μέν κῶνος ὁ κύλινδρος , ὁ δέ πυραμίς ὁ πρίσμα , ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός καί ὕψος ἴσος , οὐ μικρός ἀπονέμω ἄν τις Δημόκριτος μερίς πρῶτος ὁ ἀπόφασις ὁ περί ὁ λέγω σχῆμα χωρίς ἀπόδειξις ἀποφαίνω . ἐγώ δέ συμβαίνω καί ὁ νῦν ἐκδίδωμι θεώρημα ὁ εὕρεσις ὅμοιος ὁ πρότερος γίγνομαι βούλομαι δέ ὁ τρόπος ἀναγράφω ἐκφέρω ἅμα μέν καί διά ὁ προλέγω ὑπέρ αὐτός , μή τις δοκέω κενός φωνή καταβάλλω , ἅμα δέ καί πείθω εἰς ὁ μάθημα οὐ μικρός ἄν συμβάλλω χρεία ὑπολαμβάνω γάρ τις ἤ ὁ εἰμί ἤ ἐπιγίγνομαι διά ὁ ἀποδείκνυμι τρόπος καί ἄλλος θεώρημα οὔπω ἐγώ συνπαραπίπτω εὑρίσκω . γράφω οὖν πρῶτος ὁ καί πρῶτος φαίνω διά ὁ μηχανικός , ὅτι πᾶς τμῆμα ὀρθογώνιον κῶνος τομή ἐπίτριτος εἰμί τρίγωνον ὁ βάσις ἔχω ὁ αὐτός καί ὕψος ἴσος , μετά δέ οὗτος ἕκαστος ὁ διά ὁ αὐτός τρόπος θεωρέω ἐπί τέλος δέ ὁ βιβλίον γράφω ὁ γεωμετρ κάς ἀπόδειξις ἐκεῖνος ὁ θεώρημα , ὅς ὁ πρότασις ἀποστέλλω σύ πρότερος .