archimedes.ad-eratosthenem-methodus pr2
Ἐὰν ἀπὸ μεγέθους μέγεθος ἀφαιρεθῇ , τὸ δὲ αὐτὸ σημεῖον κέντρον τοῦ βάρους ᾖ τοῦ τε ὅλου καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου , τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους . Ἐὰν ἀπὸ μεγέθους μέγεθος ἀφαιρεθῇ , ἦ δὲ μὴ τὸ αὐτὸ σημεῖον κέντρον τοῦ βάρους τοῦ τε ὅλου μεγέθους καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου μεγέθους , τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ λοιποῦ μεγέθους ἐπὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐπιζευγνυούσης τὰ κέντρα τοῦ βάρους τοῦ τε ὅλου καὶ τοῦ ἀφαιρουμένου ἐκβεβλημένης καὶ ἀφαιρεθείσης ἀπʼ αὐτῆς πρὸς τὴν μεταξὺ τῶν εἰρημένων κέντρων τοῦ βάρους τοῦτον ἐχούσης τὸν λόγον , ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ ἀφαιρουμένου μεγέθους πρὸς τὸ βάρος τοῦ λοιποῦ μεγέθους . Ἐὰν ὁποσωνοῦν μεγεθέων τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ᾖ , καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθους τὸ κέντρον ἔσται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας . Πάσης εὐθείας τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους ἡ διχοτομία τῆς εὐθείας . Παντὸς τριγώνου τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ σημεῖον , καθʼ ὃ αἱ ἐκ τῶν γωνιῶν τοῦ τριγώνου ἐπὶ μέσας τὰς πλευρὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι τέμνουσιν ἀλλήλας . Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους τὸ σημεῖον , καθʼ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτουσιν . Κύκλου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστὶ κέντρον . Παντὸς κυλίνδρου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ἡ διχοτομία τοῦ ἄξονος . Παντὸς πρίσματος τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους ἡ διχοτομία τοῦ ἄξονος . Παντὸς κώνου τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους ἐπὶ τοῦ ἄξονος διαιρεθέντος οὕτως , ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τμῆμα τριπλάσιον εἶναι τοῦ λοιποῦ . Χρησόμεθα δὲ καὶ τῷδε τῷ θεωρήματι · Ἐὰν ὁποσαοῦν μεγέθη ἄλλοις μεγέθεσιν ἴσοις τὸ πλῆθος κατὰ δύο τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον τὰ ὁμοίως τεταγμένα , ᾖ δὲ τὰ πρῶτα μεγέθη πρὸς ἄλλα μεγέθη ἐν λόγοις ὁποιοισοῦν , ἢ τὰ πάντα ἤ τινα αὐτῶν , καὶ τὰ ὕστερον μεγέθη πρὸς ἄλλα μεγέθη τὰ ὁμόλογα ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις ᾖ , πάντα τὰ πρῶτα μεγέθη πρὸς πάντα τὰ λεγόμενα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον , ὃν ἔχει πάντα τὰ ὕστερον πρὸς πάντα τὰ λεγόμενα .
Lemmas: ἐάν ἀπό μέγεθος μέγεθος ἀφαιρέω , ὁ δέ αὐτός σημεῖον κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ τε ὅλος καί ὁ ἀφαιρέω , ὁ λοιπός ὁ αὐτός σημεῖον κέντρον εἰμί ὁ βάρος . ἐάν ἀπό μέγεθος μέγεθος ἀφαιρέω , ἠμί δέ μή ὁ αὐτός σημεῖον κέντρον ὁ βάρος ὁ τε ὅλος μέγεθος καί ὁ ἀφαιρέω μέγεθος , ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ λοιπός μέγεθος ἐπί ὁ εὐθεῖα ὁ ἐπιζεύγνυμι ὁ κέντρον ὁ βάρος ὁ τε ὅλος καί ὁ ἀφαιρέω ἐκβάλλω καί ἀφαιρέω ἀπό αὐτός πρός ὁ μεταξύ ὁ λέγω κέντρον ὁ βάρος οὗτος ἔχω ὁ λόγος , ὅς ἔχω ὁ βάρος ὁ ἀφαιρέω μέγεθος πρός ὁ βάρος ὁ λοιπός μέγεθος . ἐάν ὁπόσως μέγεθος ὁ κέντρον ὁ βάρος ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα εἰμί , καί ὁ ἐκ πᾶς σύγκειμαι μέγεθος ὁ κέντρον εἰμί ἐπί ὁ αὐτός εὐθεῖα . πᾶς εὐθεῖα ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ διχοτομία ὁ εὐθεῖα . πᾶς τρίγωνον ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ σημεῖον , κατά ὅς ὁ ἐκ ὁ γωνία ὁ τρίγωνον ἐπί μέσος ὁ πλευρά ἄγω εὐθεῖα τέμνω ἀλλήλων . πᾶς παραλληλόγραμμος ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ σημεῖον , κατά ὅς ὁ διάμετρος συμπίπτω . κύκλος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὅς καί ὁ κύκλος εἰμί κέντρον . πᾶς κύλινδρος ὁ κέντρον ὁ βάρος εἰμί ὁ διχοτομία ὁ ἄξων . πᾶς πρίσμα ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ὁ διχοτομία ὁ ἄξων . πᾶς κῶνος ὁ κέντρον εἰμί ὁ βάρος ἐπί ὁ ἄξων διαιρέω οὕτως , ὥστε ὁ πρός ὁ κορυφή τμῆμα τριπλάσιος εἰμί ὁ λοιπός . χράω δέ καί ὅδε ὁ θεώρημα · ἐάν ὁποσοσοῦν μέγεθος ἄλλος μέγεθος ἴσος ὁ πλῆθος κατά δύο ὁ αὐτός ἔχω λόγος ὁ ὅμοιος τάσσω , εἰμί δέ ὁ πρῶτος μέγεθος πρός ἄλλος μέγεθος ἐν λόγος ὅποιοις , ἤ ὁ πᾶς ἤ τις αὐτός , καί ὁ ὕστερον μέγεθος πρός ἄλλος μέγεθος ὁ ὁμόλογος ἐν ὁ αὐτός λόγος εἰμί , πᾶς ὁ πρῶτος μέγεθος πρός πᾶς ὁ λέγω ὁ αὐτός ἔχω λόγος , ὅς ἔχω πᾶς ὁ ὕστερον πρός πᾶς ὁ λέγω .