ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
apollonius-geom.conica 1
Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ τῇ τομῇ προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι , ὧν ἡ μὲν ἐφάπτεται , ἡ δὲ τέμνει κατὰ δύο σημεῖα , καὶ ὃν ἔχει λόγον ὅλη ἡ τέμνουσα πρὸς τὴν ἐκτὸς ἀπολαμβανομένην μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς γραμμῆς , τοῦτον τμηθῇ ἡ ἐντὸς ἀπολαμβανομένη εὐθεῖα ὥστε τὰς ὁμολόγους εὐθείας πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ εἶναι , ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὴν διαίρεσιν ἀγομένη εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ γραμμῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ ἐκτὸς σημεῖον ἀγομένη εὐθεῖα ἐφάπτεται τῆς γραμμῆς . ἔστω γὰρ κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἡ μὲν ΔΒ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Β ἡ δὲ ΔΕΓ τεμνέτω τὴν τομὴν κατὰ τὰ Ε , Γ , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ , τοῦτον ἐχέτω ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ . λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ζ ἀγομένη συμπίπτει τῇ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάπτεται τῆς τομῆς . [ ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΓ τέμνει τὴν τομὴν κατὰ δύο σημεῖα , οὐκ ἔσται διάμετρος αὐτῆς . δυνατὸν ἄρα ἐστὶ διὰ τοῦ Δ διάμετρον ἀγαγεῖν · ὥστε καὶ ἐφαπτομένην . ] ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΔΑ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΑ τεμνέτω τὴν ΕΓ , εἰ δυνατόν , μὴ κατὰ τὸ Ζ , ἀλλὰ κατὰ τὸ Η . ἐπεὶ οὖν ἐφάπτονται αἱ ΒΔ , ΔΑ , καὶ ἐπὶ τὰς ἁφάς ἐστιν ἡ ΒΑ , καὶ διῆκται ἡ ΓΔ τέμνουσα τὴν μὲν τομὴν κατὰ τὰ Γ , Ε , τὴν δὲ ΑΒ κατὰ τὸ Η , ἔσται ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ , ἡ ΓΗ πρὸς ΗΕ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γάρ , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ , ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ . οὐκ ἄρα ἡ ΒΑ καθ’ ἕτερον σημεῖον τέμνει τὴν ΓΕ · κατὰ τὸ Ζ ἄρα .
Lemmas: ἐάν κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια λαμβάνω τίς σημεῖον ἐκτός , καί ἀπό αὐτός ὁ τομή προσπίπτω δύο εὐθεῖα , ὅς ὁ μέν ἐφάπτω , ὁ δέ τέμνω κατά δύο σημεῖον , καί ὅς ἔχω λόγος ὅλος ὁ τέμνω πρός ὁ ἐκτός ἀπολαμβάνω μεταξύ ὁ τε σημεῖον καί ὁ γραμμή , οὗτος τέμνω ὁ ἐντός ἀπολαμβάνω εὐθεῖα ὥστε ὁ ὁμόλογος εὐθεῖα πρός ὁ αὐτός σημεῖον ἔρχομαι , ὁ ἀπό ὁ ἁφή ἐπί ὁ διαίρεσις ἄγω εὐθύς συμπίπτω ὁ γραμμή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ ἐκτός σημεῖον ἄγω εὐθύς ἐφάπτω ὁ γραμμή . εἰμί γάρ κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ , καί λαμβάνω τίς σημεῖον ἐκτός ὁ δ , καί ἀπό αὐτός ὁ μέν ΔΒ ἐφάπτω κατά ὁ Β ὁ δέ ΔΕΓ τέμνω ὁ τομή κατά ὁ Ε , Γ , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ΓΔ πρός ΔΕ , οὗτος ἔχω ὁ ΓΖ πρός ΖΕ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Ζ ἄγω συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή . [ ἐπεί οὖν ὁ ΔΓ τέμνω ὁ τομή κατά δύο σημεῖον , οὐ εἰμί διάμετρος αὐτηες͂ς . δυνατός ἄρα εἰμί διά ὁ δ διάμετρος ἄγω · ὥστε καί ἐφάπτω . ] ἄγω γάρ ἀπό ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή ὁ ΔΑ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑ τέμνω ὁ ΕΓ , εἰμί δυνατός , μή κατά ὁ Ζ , ἀλλά κατά ὁ ὁ . ἐπεί οὖν ἐφάπτω ὁ ΒΔ , ΔΑ , καί ἐπί ὁ ἁφή εἰμί ὁ ΒΑ , καί διάγω ὁ ΓΔ τέμνω ὁ μέν τομή κατά ὁ Γ , Ε , ὁ δέ ΑΒ κατά ὁ ὁ , εἰμί ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΕ , ὁ ΓΗ πρός ΗΕ · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΕ , ὁ ΓΖ πρός ΖΕ . οὐ ἄρα ὁ ΒΑ κατά ἕτερος σημεῖον τέμνω ὁ ΓΕ · κατά ὁ Ζ ἄρα .
apollonius-geom.conica 2
Ταῦτα μὲν κοινῶς ἐπὶ πασῶν τῶν τομῶν δείκνυται , ἐπὶ δὲ τῆς ὑπερβολῆς μόνης · ἐὰν ἡ μὲν ΔΒ ἐφάπτηται , ἡ δὲ ΔΓ τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα τὰ Ε , Γ , τὰ δὲ Ε , Γ περιέχῃ τὴν κατὰ τὸ Β ἁφήν , καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐντὸς ᾖ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας , ὁμοίως ἡ ἀπόδειξις γενήσεται · δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἄλλην ἐφαπτομένην ἀγαγεῖν εὐθεῖαν τὴν ΔΑ καὶ τὰ λοιπὰ τῆς ἀποδείξεως ὁμοίως ποιεῖν .
Lemmas: Ταΰς μέν κοινός ἐπί πᾶς ὁ τομή δείκνυμι , ἐπί δέ ὁ ὑπερβολή μόνος · ἐάν ὁ μέν ΔΒ ἐφάπτω , ὁ δέ ΔΓ τέμνω κατά δύο σημεῖον ὁ Ε , Γ , ὁ δέ Ε , Γ περιέχω ὁ κατά ὁ Β ἁφή , καί ὁ δ σημεῖον ἐντός εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία , ὅμοιος ὁ ἀπόδειξις γίγνομαι · δυνατός γάρ ἀπό ὁ δ σημεῖον ἄλλος ἐφάπτω ἄγω εὐθεῖα ὁ ΔΑ καί ὁ λοιπός ὁ ἀπόδειξις ὅμοιος ποιέω .
apollonius-geom.conica 3
Τῶν αὐτῶν ὄντων τὰ Ε , Γ σημεῖα μὴ περιεχέτωσαν τὴν κατὰ τὸ Β ἁφὴν μεταξὺ αὑτῶν , τὸ δὲ Δ σημεῖον ἐντὸς ἔστω τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας . δυνατὸν ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ ἑτέραν ἐφαπτομένην ἀγαγεῖν τὴν ΔΑ καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως ἀποδεικνύειν .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί ὁ Ε , Γ σημεῖον μή περιέχω ὁ κατά ὁ Β ἁφή μεταξύ αὐτός , ὁ δέ δ σημεῖον ἐντός εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία . δυνατός ἄρα ἀπό ὁ δ ἕτερος ἐφάπτω ἄγω ὁ ΔΑ καί ὁ λοιπός ὅμοιος ἀποδείκνυμι .
apollonius-geom.conica 4
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν αἱ μὲν Ε , Γ συμπτώσεις τὴν κατὰ τὸ Β ἁφὴν περιέχωσι , τὸ δὲ Δ σημεῖον ᾖ ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης , ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὴν διαίρεσιν ἀγομένη εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἀγομένη εὐθεῖα ἐφάψεται τῆς ἀντικειμένης . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Β , Θ καὶ ἀσύμπτωτοι αἱ ΚΛ , ΜΞΝ καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ὑπὸ ΛΞΝ γωνίᾳ , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἐφαπτέσθω μὲν ἡ ΔΒ , τεμνέτω δὲ ἡ ΔΓ , καὶ αἱ Ε , Γ συμπτώσεις περιεχέτωσαν τὴν Β ἁφήν , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ , ἐχέτω ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ . δεικτέον , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη συμπεσεῖται τῇ Θ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς τομῆς . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΔΘ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΒ πιπτέτω , εἰ δυνατόν , μὴ διὰ τοῦ Ζ , ἀλλὰ διὰ τοῦ Η . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ , ἡ ΓΗ πρὸς ΗΕ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γάρ , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ , ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ .
Lemmas: Τῶν αὐτός εἰμί ἐάν ὁ μέν Ε , Γ σύμπτωσις ὁ κατά ὁ Β ἁφή περιέχω , ὁ δέ δ σημεῖον εἰμί ἐν ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω , ὁ ἀπό ὁ ἁφή ἐπί ὁ διαίρεσις ἄγω εὐθύς συμπίπτω ὁ ἀντίκειμαι τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἄγω εὐθύς ἐφάπτω ὁ ἀντίκειμαι . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Β , Θ καί ἀσύμπτωτος ὁ ΚΛ , ΜΞΝ καί ὁ δ σημεῖον ἐν ὁ ὑπό ΛΞΝ γωνία , καί ἀπό αὐτός ἐφάπτω μέν ὁ ΔΒ , τέμνω δέ ὁ ΔΓ , καί ὁ Ε , Γ σύμπτωσις περιέχω ὁ Β ἁφή , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ΓΔ πρός ΔΕ , ἔχω ὁ ΓΖ πρός ΖΕ . δείκνυμι , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Ζ ἐπιζεύγνυμι συμπίπτω ὁ Θ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή . ἄγω γάρ ἀπό ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή ὁ ΔΘ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΒ πίπτω , εἰμί δυνατός , μή διά ὁ Ζ , ἀλλά διά ὁ ὁ . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΕ , ὁ ΓΗ πρός ΗΕ · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΕ , ὁ ΓΖ πρός ΖΕ .
apollonius-geom.conica 5
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τὸ Δ σημεῖον ἐπί τινος ᾖ τῶν ἀσυμπτώτων , ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ζ ἀγομένη παράλληλος ἔσται τῇ αυτῇ ἀσυμπτώτῳ . ὑποκείσθω γὰρ τὰ αὐτά , καὶ τὸ Δ σημεῖον ἔστω ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΜΝ . δεικ τέον , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΜΝ παράλληλος ἀγομένη ἐπὶ τὸ Ζ πεσεῖται . / >μὴ γάρ , ἀλλ’ , εἰ δυνατόν , ἔστω ἡ ΒΗ . ἔσται δή , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ , ἡ ΓΗ πρὸς ΗΕ · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί ἐάν ὁ δ σημεῖον ἐπί τις εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Ζ ἄγω παράλληλος εἰμί ὁ αὐτός ἀσύμπτωτος . ὑπόκειμαι γάρ ὁ αὐτός , καί ὁ δ σημεῖον εἰμί ἐπί εἷς ὁ ἀσύμπτωτος ὁ ΜΝ . δεικ τέος , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Β ὁ ΜΝ παράλληλος ἄγω ἐπί ὁ Ζ πίπτω . / ὅς γάρ , ἀλλά , εἰμί δυνατός , εἰμί ὁ ΒΗ . εἰμί δή , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΕ , ὁ ΓΗ πρός ΗΕ · ὅς ἀδύνατος .
apollonius-geom.conica 6
Ἐὰν ὑπερβολῆς ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς τὴν τομὴν διαχθῶσι δύο εὐθεῖαι , ὧν ἡ μὲν ἐφάπτεται , ἡ δὲ παράλληλος [ ᾖ ] μιᾷ τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ τῇ ἀπολαμβανομένῃ ἀπὸ τῆς παραλλήλου μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τοῦ σημείου ἴση ἐπ’ εὐθείας ἐντὸς τῆς τομῆς τεθῇ , ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὸ γινόμενον σημεῖον ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ ἐκτὸς σημεῖον ἀγομένη ἐφάψεται τῆς τομῆς . ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΕΒ , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ , καὶ ἔστω πρότερον ἐντὸς τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας τὸ Δ , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἡ μὲν ΒΔ ἐφαπτέσθω , ἡ δὲ ΔΕΖ παράλληλος ἔστω τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ . λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς τομῆς . ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΔΑ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΑ τεμνέτω τὴν ΔΕ , εἰ δυνατόν , μὴ κατὰ τὸ Ζ , ἀλλὰ καθ’ ἕτερόν τι τὸ Η . ἔσται δὴ ἴση ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γὰρ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ ἴση .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή λαμβάνω τίς σημεῖον ἐκτός , καί ἀπό αὐτός πρός ὁ τομή διάζομαι δύο εὐθεῖα , ὅς ὁ μέν ἐφάπτω , ὁ δέ παράλληλος [ εἰμί ] εἷς ὁ ἀσύμπτωτος , καί ὁ ἀπολαμβάνω ἀπό ὁ παράλληλος μεταξύ ὁ τομή καί ὁ σημεῖον ἴσος ἐπί εὐθεῖα ἐντός ὁ τομή τίθημι , ὁ ἀπό ὁ ἁφή ἐπί ὁ γίγνομαι σημεῖον ἐπιζεύγνυμι εὐθύς συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ ἐκτός σημεῖον ἄγω ἐφάπτω ὁ τομή . εἰμί ὑπερβολή ὁ ΑΕΒ , καί λαμβάνω τίς σημεῖον ἐκτός ὁ δ , καί εἰμί πρότερος ἐντός ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία ὁ δ , καί ἀπό αὐτός ὁ μέν ΒΔ ἐφάπτω , ὁ δέ δΕΖ παράλληλος εἰμί ὁ ἕτερος ὁ ἀσύμπτωτος , καί κεῖμαι ὁ ΔΕ ἴσος ὁ ΕΖ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Ζ ἐπιζεύγνυμι συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή . ἄγω γάρ ἐφάπτω ὁ τομή ὁ ΔΑ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑ τέμνω ὁ ΔΕ , εἰμί δυνατός , μή κατά ὁ Ζ , ἀλλά κατά ἕτερος τίς ὁ ὁ . εἰμί δή ἴσος ὁ ΔΕ ὁ ΕΗ · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ ὁ ΔΕ ὁ ΕΖ ἴσος .
apollonius-geom.conica 7
Τῶν αὐτῶν ὄντων τὸ Δ σημεῖον ἔστω ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης . λέγω , ὅτι καὶ οὕτως τὰ αὐτὰ συμβήσεται . ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη ἡ ΔΘ , καὶ ἐπι - ζευχθεῖσα ἡ Θ Β πιπτέτω , εἰ δυνατόν , μὴ διὰ τοῦ Ζ , ἀλλὰ διὰ τοῦ Η . ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γὰρ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ ἴση .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί ὁ δ σημεῖον εἰμί ἐν ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω . λέγω , ὅτι καί οὕτως ὁ αὐτός συμβαίνω . ἄγω γάρ ἐφάπτω ὁ ΔΘ , καί ἐπι - ζεύγω ὁ Θ Β πίπτω , εἰμί δυνατός , μή διά ὁ Ζ , ἀλλά διά ὁ ὁ . ἴσος ἄρα εἰμί ὁ ΔΕ ὁ ΕΗ · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ ὁ ΔΕ ὁ ΕΖ ἴσος .
apollonius-geom.conica 8
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἔστω τὸ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ τὰ λοιπὰ γινέσθω τὰ αὐτά . λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπ’ ἄκραν τὴν ἀποληφθεῖσαν ἀγομένη παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ , ἐφ’ ἧς ἔσται τὸ Δ σημεῖον . ἔστω γὰρ τὰ εἰρημένα , καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ Β παράλληλος τῇ ΜΝ ἤχθω , εἰ δυνατόν , ἡ ΒΗ . ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γὰρ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ ἴση .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί εἰμί ὁ δ σημεῖον ἐπί εἷς ὁ ἀσύμπτωτος , καί ὁ λοιπός γίγνομαι ὁ αὐτός . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ ἁφή ἐπί ἄκρος ὁ ἀπολαμβάνω ἄγω παράλληλος εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ δ σημεῖον . εἰμί γάρ ὁ λέγω , καί κεῖμαι ὁ ΔΕ ἴσος ὁ ΕΖ , καί ἀπό ὁ Β παράλληλος ὁ ΜΝ ἄγω , εἰμί δυνατός , ὁ ΒΗ . ἴσος ἄρα ὁ ΔΕ ὁ ΕΗ · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ ὁ ΔΕ ὁ ΕΖ ἴσος .
apollonius-geom.conica 9
Ἐὰν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο εὐθεῖαι ἀχθῶσι τέμνουσαι κώνου τομὴν ἢ κύκλου περιφέρειαν ἑκατέρα κατὰ δύο σημεῖα , καὶ ὡς ἔχουσιν αἱ ὅλαι πρὸς τὰς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένας , οὕτως αἱ ἐντὸς ἀπολαμβανόμεναι διαιρεθῶσιν , ὥστε τὰς ὁμολόγους πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ εἶναι , ἡ διὰ τῶν διαιρέσεων ἀγομένη εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ τομῇ κατὰ δύο σημεῖα , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ ἐκτὸς σημεῖον ἀγόμεναι ἐφάψονται τῆς γραμμῆς . ἔστω γὰρ τῶν προειρημένων γραμμῶν τις ἡ ΑΒ , καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ Δ διήχθωσαν αἱ ΔΕ , ΔZ τέμνουσαι τὴν γραμμὴν ἡ μὲν κατὰ τὰ Θ , Ε , ἡ δὲ κατὰ τὰ Ζ , Η , καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἡ ΔΕ πρὸς ΘΔ , τοῦτον ἐχέτω ἡ ΕΛ πρὸς ΛΘ , ὃν δὲ ἡ ΔZ πρὸς ΔΗ , ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ . λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένη συμπεσεῖται ἐφ’ ἑκάτερα τῇ τομῇ , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνύμεναι ἐφάψονται τῆς τομῆς . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΕΔ , ΖΔ ἑκατέρα κατὰ δύο σημεῖα τέμνει την τομήν , δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Δ διάμετρον ἀγαγεῖν τῆς τομῆς · ὥστε καὶ ἐφαπτομένας ἐφ’ ἑκάτερα . ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΔΒ , ΔΑ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΑ , εἰ δυνατόν , μὴ ἐρχέσθω διὰ τῶν Λ , Κ , ἀλλ’ ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἢ δι’ οὐδετέρου . ἐρχέσθω πρότερον διὰ μόνου τοῦ Λ καὶ τεμνέτω τὴν ΖΗ κατὰ τὸ Μ . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ , ἡ ΖΜ πρὸς ΜΗ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γάρ , ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ , ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ . ἐὰν δὲ ἡ ΒΑ μηδὲ δι’ ἑτέρου τῶν Λ , Κ πορεύηται , ἐφ’ ἑκατέρας τῶν ΔΕ , ΔΖ συμβήσεται τὸ ἄτοπον .
Lemmas: ἐάν ἀπό ὁ αὐτός σημεῖον δύο εὐθεῖα ἀχθέω τέμνω κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ἑκάτερος κατά δύο σημεῖον , καί ὡς ἔχω ὁ ὅλος πρός ὁ ἐκτός ἀπολαμβάνω , οὕτως ὁ ἐντός ἀπολαμβάνω διαιρέω , ὥστε ὁ ὁμόλογος πρός ὁ αὐτός σημεῖον ἔρχομαι , ὁ διά ὁ διαίρεσις ἄγω εὐθύς συμπίπτω ὁ τομή κατά δύο σημεῖον , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ ἐκτός σημεῖον ἄγω ἐφάπτω ὁ γραμμή . εἰμί γάρ ὁ προλέγω γραμμή τις ὁ ΑΒ , καί ἀπό τις σημεῖον ὁ δ διάγω ὁ ΔΕ , ΔZ τέμνω ὁ γραμμή ὁ μέν κατά ὁ Θ , Ε , ὁ δέ κατά Τά Ζ , ὁ , καί ὅς μέν ἔχω λόγος ὁ ΔΕ πρός ΘΔ , οὗτος ἔχω ὁ ΕΛ πρός ΛΘ , ὅς δέ ὁ ΔZ πρός δΗ , ὁ ΖΚ πρός ΚΗ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ Κ ἐπιζεύγνυμι συμπίπτω ἐπί ἑκάτερος ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐπιζεύγνυμι ἐφάπτω ὁ τομή . ἐπεί γάρ ὁ ΕΔ , ΖΔ ἑκάτερος κατά δύο σημεῖον τέμνω την τομή , δυνατός εἰμί ἀπό ὁ δ διάμετρος ἄγω ὁ τομή · ὥστε καί ἐφάπτω ἐπί ἑκάτερος . ἄγω ἐφάπτω ὁ ΔΒ , ΔΑ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΑ , εἰμί δυνατός , μή ἔρχομαι διά ὁ Λ , Κ , ἀλλά ἤτοι διά ὁ ἕτερος αὐτός ἢ διά οὐδέτερος . ἔρχομαι πρότερος διά μόνος ὁ Λ καί τέμνω ὁ ΖΗ κατά ὁ Μ . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΖΔ πρός δΗ , ὁ ΖΜ πρός μη · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ , ὡς ὁ ΖΔ πρός δΗ , ὁ ΖΚ πρός ΚΗ . ἐάν δέ ὁ ΒΑ μηδέ διά ἕτερος ὁ Λ , Κ πορεύω , ἐπί ἑκάτερος ὁ ΔΕ , ΔΖ συμβαίνω ὁ ἄτοπος .
apollonius-geom.conica 10
Ταῦτα μὲν κοινῶς , ἐπὶ δὲ τῆς ὑπερβολῆς μόνης · ἐὰν τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτὰ ὑπάρχῃ , αἱ δὲ τῆς μιᾶς εὐθείας συμπτώσεις περιέχωσι τὰς τῆς ἑτέρας συμπτώσεις , καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐντὸς ᾗ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας , τὰ αὐτὰ συμβήσεται τοῖς προειρημένοις , ὡς προείρηται ἐν τῷ β̅ θεωρήματι .
Lemmas: Ταΰς μέν κοινός , ἐπί δέ ὁ ὑπερβολή μόνος · ἐάν ὁ μέν ἄλλος ὁ αὐτός ὑπάρχω , ὁ δέ ὁ εἷς εὐθεῖα σύμπτωσις περιέχω ὁ ὁ ἕτερος σύμπτωσις , καί ὁ δ σημεῖον ἐντός ὅς ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία , ὁ αὐτός συμβαίνω ὁ προλέγω , ὡς προλέγω ἐν ὁ β̅ θεώρημα .
apollonius-geom.conica 11
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν αἱ τῆς μιᾶς συμπτώσεις μὴ περιέχωσι τὰς τῆς ἑτέρας συμπτώσεις , τὸ μὲν Δ σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας , καὶ ἡ καταγραφὴ καὶ ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτὴ τῷ θ̅ .
Lemmas: Τῶν αὐτός εἰμί ἐάν ὁ ὁ εἷς σύμπτωσις μή περιέχω ὁ ὁ ἕτερος σύμπτωσις , ὁ μέν δ σημεῖον ἐντός εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία , καί ὁ καταγραφή καί ὁ ἀπόδειξις ὁ αὐτός ὁ θ̅ .
apollonius-geom.conica 12
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν περιέχωσιν αἱ τῆς μιᾶς εὐθείας συμπτώσεις τὰς τῆς ἑτέρας , καὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης ᾖ , ἡ διὰ τῶν διαιρέσεων ἀγομένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ συμπεσεῖται , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐφάψονται τῶν ἀντικειμένων . ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΕΗ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΝΞ , Ο Π , καὶ κέντρον τὸ Ρ , καὶ τὸ Δ σημεῖον ἔστω ἐν τῇ ὑπὸ ΞΡΠ γωνίᾳ , καὶ ἤχθωσαν αἱ ΔΕ , ΔΖ τέμνουσαι τὴν ὑπερβολὴν ἑκατέρα κατὰ δύο σημεῖα , καὶ περιεχέσθω τὰ E , Θ ὑπὸ τῶν Z , H , καὶ ἔστω , ὡς μὲν ἡ EΔ πρὸς ΔΘ , ἡ ΕΚ πρὸς ΚΘ , ὡς δὲ ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ , ἡ ΖΛ πρὸς ΛH . δεικτέον , ὅτι ἡ διὰ τῶν K , Λ συμπεσεῖταί τε τῇ EZ τομῇ καὶ τῇ ἀντικειμένῃ , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψονται τῶν τομῶν . ἔστω δὴ ἀντικειμένη ἡ Μ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ Δ Μ , ΔΣ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΜΣ , εἰ δυνατόν , μὴ ἐρχέσθω διὰ τῶν Κ , Λ , ἀλλ’ ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἢ δι’ οὐδετέρου . ἐρχέσθω πρότερον διὰ τοῦ Κ καὶ τεμνέτω τὴν ΖΗ κατὰ τὸ Χ . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ , ἡ ΧΖ πρὸς ΧΗ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γάρ , ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ , ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ . ἐὰν δὲ μηδὲ δι’ ἑτέρου τῶν Κ , Λ ἔρχηται ἡ ΜΣ , ἐφ’ ἑκατέρας τῶν ΕΔ , ΔΖ τὸ ἀδύνατον συμβαίνει .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί ἐάν περιέχω ὁ ὁ εἷς εὐθεῖα σύμπτωσις ὁ ὁ ἕτερος , καί ὁ λαμβάνω σημεῖον ἐν ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω εἰμί , ὁ διά ὁ διαίρεσις ἄγω εὐθύς ἐκβάλλω ὁ ἀντίκειμαι τομή συμπίπτω , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ σημεῖον ἄγω εὐθεῖα ἐφάπτω ὁ ἀντίκειμαι . εἰμί ὑπερβολή ὁ ΕΗ , ἀσύμπτωτος δέ ὁ ΝΞ , ὁ Π , καί κέντρον ὁ Ρ , καί ὁ δ σημεῖον εἰμί ἐν ὁ ὑπό ΞΡΠ γωνία , καί ἄγω ὁ ΔΕ , ΔΖ τέμνω ὁ ὑπερβολή ἑκάτερος κατά δύο σημεῖον , καί περιέχω ὁ E , Θ ὑπό ὁ Z , H , καί εἰμί , ὡς μέν ὁ EΔ πρός ΔΘ , ὁ ΕΚ πρός ΚΘ , ὡς δέ ὁ ΖΔ πρός δΗ , ὁ ΖΛ πρός ΛH . δείκνυμι , ὅτι ὁ διά ὁ K , Λ συμπίπτω τε ὁ EZ τομή καί ὁ ἀντίκειμαι , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή . εἰμί δή ἀντίκειμαι ὁ Μ , καί ἀπό ὁ δ ἄγω ἐφάπτω ὁ τομή ὁ δ Μ , ΔΣ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΜΣ , εἰμί δυνατός , μή ἔρχομαι διά ὁ Κ , Λ , ἀλλά ἤτοι διά ὁ ἕτερος αὐτός ἢ διά οὐδέτερος . ἔρχομαι πρότερος διά ὁ Κ καί τέμνω ὁ ΖΗ κατά ὁ Χ . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΖΔ πρός δΗ , ὁ ΧΖ πρός ΧΗ · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ , ὡς ὁ ΖΔ πρός δΗ , ὁ ΖΛ πρός ΛΗ . ἐάν δέ μηδέ διά ἕτερος ὁ Κ , Λ ἔρχομαι ὁ ΜΣ , ἐπί ἑκάτερος ὁ ΕΔ , ΔΖ ὁ ἀδύνατος συμβαίνω .
apollonius-geom.conica 13
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τὸ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων ᾖ , καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ ὑπάρχῃ , ἡ διὰ τῶν διαιρέσεων ἀγομένη παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ , ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ σημεῖον , καὶ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ σημεῖον ἀγομένη ἐφάψεται τῆς τομῆς . ἔστω γὰρ ὑπερβολὴ καὶ ἀσύμπτωτοι , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων τὸ Δ , καὶ διήχθωσαν αἱ εὐθεῖαι καὶ διῃρήσθωσαν , ὡς εἴρηται , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΔΒ . λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τὴν ΠΟ ἀγομένη ἥξει διὰ τῶν Κ , Λ . εἰ γαρ μή , ἤτοι διὰ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν ἐλεύσεται ἢ δι’ οὐδετέρου . ἐρχέσθω διὰ μόνου τοῦ Κ . ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΖΔ προς ΔΗ , ἡ ΖΧ πρὸς ΧΗ · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τὴν ΠΟ ἀγομένη διὰ μόνου τοῦ Κ ἐλεύσεται · δι’ ἀμφοτέρων ἄρα .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί ἐάν ὁ δ σημεῖον ἐπί εἷς ὁ ἀσύμπτωτος εἰμί , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ὑπάρχω , ὁ διά ὁ διαίρεσις ἄγω παράλληλος εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ σημεῖον , καί ἐκβάλλω συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ σημεῖον ἄγω ἐφάπτω ὁ τομή . εἰμί γάρ ὑπερβολή καί ἀσύμπτωτος , καί λαμβάνω ἐπί εἷς ὁ ἀσύμπτωτος ὁ δ , καί διάγω ὁ εὐθεῖα καί διαιρέω , ὡς λέγω , καί ἄγω ἀπό ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή ὁ ΔΒ . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Β παρά ὁ ΠΟ ἄγω ἔσσομαι διά ὁ Κ , Λ . εἰμί γαρ μή , ἤτοι διά ὁ εἷς αὐτός ἔρχομαι ἢ διά οὐδέτερος . ἔρχομαι διά μόνος ὁ Κ . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ΖΔ προς δΗ , ὁ ΖΧ πρός ΧΗ · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Β παρά ὁ ΠΟ ἄγω διά μόνος ὁ Κ ἔρχομαι · διά ἀμφότερος ἄρα .
apollonius-geom.conica 14
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τὸ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς ᾖ τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ ἡ μὲν ΔΕ τέμνῃ τὴν τομὴν κατὰ δύο σημεῖα , ἡ δὲ ΔΗ κατὰ μόνον τὸ Η παράλληλος οὖσα τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ γένηται , ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΔΘ , ἡ ΕΚ πρὸς ΚΘ , τῇ δὲ ΔΗ ἴση ἐπ’ εὐθείας τεθῇ ἡ ΗΛ , ἡ διὰ τῶν Κ , Λ σημείων ἀγομένη παράλληλός τε ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ καὶ συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς τομῆς . ὁμοίως γὰρ τῷ προειρημένῳ ἀγαγὼν τὴν Δ Β ἐφαπτομένην λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τὴν ΠΟ ἀσύμπτωτον ἀγομένη τοῦ Β παρὰ τὴν ΠΟ ἀσύμπτωτον ἀγομένη ἥξει διὰ τῶν Κ , Λ σημείων . εἰ οὖν διὰ τοῦ Κ μόνου ἥξει , οὐκ ἔσται ἡ ΔΗ τῇ ΗΛ ἴση · ὅπερ ἄτοπον . εἰ δὲ διὰ τοῦ Λ μόνου , οὐκ ἔσται , ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΘ , ἡ ΕΚ πρὸς ΚΘ . εἰ δὲ μήτε διὰ τοῦ Κ μήτε διὰ τοῦ Λ , κατ’ ἀμφότερα συμβήσεται τὸ ἄτοπον . δι’ ἀμφοτέρων ἄρα ἐλεύσεται .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί ἐάν ὁ δ σημεῖον ἐπί εἷς εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , καί ὁ μέν ΔΕ τέμνω ὁ τομή κατά δύο σημεῖον , ὁ δέ δΗ κατά μόνος ὁ ὁ παράλληλος εἰμί ὁ ἕτερος ὁ ἀσύμπτωτος , καί γίγνομαι , ὡς ὁ ΔΕ πρός ΔΘ , ὁ ΕΚ πρός ΚΘ , ὁ δέ δΗ ἴσος ἐπί εὐθεῖα τίθημι ὁ ΗΛ , ὁ διά ὁ Κ , Λ σημεῖον ἄγω παράλληλος τε εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος καί συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή . ὅμοιος γάρ ὁ προλέγω ἄγω ὁ δ Β ἐφάπτω λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Β παρά ὁ ΠΟ ἀσύμπτωτος ἄγω ὁ Β παρά ὁ ΠΟ ἀσύμπτωτος ἄγω ἔσσομαι διά ὁ Κ , Λ σημεῖον . εἰμί οὖν διά ὁ Κ μόνος ἔσσομαι , οὐ εἰμί ὁ δΗ ὁ ΗΛ ἴσος · ὅς ἄτοπος . εἰμί δέ διά ὁ Λ μόνος , οὐ εἰμί , ὡς ὁ ΕΔ πρός ΔΘ , ὁ ΕΚ πρός ΚΘ . εἰμί δέ μήτε διά ὁ Κ μήτε διά ὁ Λ , κατά ἀμφότερος συμβαίνω ὁ ἄτοπος . διά ἀμφότερος ἄρα ἔρχομαι .
apollonius-geom.conica 15
Ἐὰν ἐν ἀντικειμέναις ληφθῇ τι σημεῖον μεταξὺ τῶν δύο τομῶν , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἡ μὲν ἐφάπτηται μιᾶς τῶν ἀντικειμένων , ἡ δὲ τέμνῃ ἑκατέραν τῶν ἀντικειμένων , καὶ ὡς ἔχει ἡ μεταξὺ τῆς ἑτέρας τομῆς , ἧς οὐκ ἐφάπτεται ἡ εὐθεῖα , καὶ τοῦ σημείου πρὸς τὴν μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς ἑτέρας τομῆς , οὕτως ἔχῃ μείζων τις εὐθεῖα τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῆς κειμένην ἐπ’ εὐθείας τε καὶ πρὸς τῷ αὐτῷ πέρατι τῇ ὁμολόγῳ , ἡ ἀπὸ τοῦ πέρατος τῆς μείζονος εὐθείας ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἀγομένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἀγομένη ἐφάπτεται τῆς τομῆς . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον μεταξὺ τῶν τομῶν τὸ Δ ἐντὸς τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἡ μὲν ΔΖ διήχθω ἐφαπτομένη , ἡ δὲ ΑΔΒ τέμνουσα τὰς τομάς , καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ , ἐχέτω ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ . δεικτέον , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἀγομένη ἐφάψεται τῆς τομῆς . ἐπεὶ γὰρ τὸ Δ σημεῖον ἐντός ἐστι τῆς περιεχούσης τὴν τομὴν γωνίας , δυνατόν ἐστι καὶ ἑτέραν ἐφαπτομένην ἀγαγεῖν ἀπὸ τοῦ Δ . ἤχθω ἡ ΔΕ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Ζ Ε ἐρχέσθω , εἰ δυνατόν , μὴ διὰ τοῦ Γ , ἀλλὰ διὰ τοῦ Η . ἔσται δή , ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ , ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γάρ , ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ , ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ .
Lemmas: ἐάν ἐν ἀντίκειμαι λαμβάνω τίς σημεῖον μεταξύ ὁ δύο τομή , καί ἀπό αὐτός ὁ μέν ἐφάπτω εἷς ὁ ἀντίκειμαι , ὁ δέ τέμνω ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι , καί ὡς ἔχω ὁ μεταξύ ὁ ἕτερος τομή , ὅς οὐ ἐφάπτω ὁ εὐθύς , καί ὁ σημεῖον πρός ὁ μεταξύ ὁ σημεῖον καί ὁ ἕτερος τομή , οὕτως ἔχω μέγας τις εὐθύς ὁ μεταξύ ὁ τομή πρός ὁ ὑπεροχή αὐτηες͂ς κεῖμαι ἐπί εὐθεῖα τε καί πρός ὁ αὐτός πέρας ὁ ὁμόλογος , ὁ ἀπό ὁ πέρας ὁ μέγας εὐθεῖα ἐπί ὁ ἁφή ἄγω συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ λαμβάνω σημεῖον ἄγω ἐφάπτω ὁ τομή . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί λαμβάνω τίς σημεῖον μεταξύ ὁ τομή ὁ δ ἐντός ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία , καί ἀπό αὐτός ὁ μέν ΔΖ διάγω ἐφάπτω , ὁ δέ ΑΔΒ τέμνω ὁ τομή , καί ὅς ἔχω λόγος ὁ ΑΔ πρός ΔΒ , ἔχω ὁ ΑΓ πρός ΓΒ . δείκνυμι , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Γ ἐκβάλλω συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἄγω ἐφάπτω ὁ τομή . ἐπεί γάρ ὁ δ σημεῖον ἐντός εἰμί ὁ περιέχω ὁ τομή γωνία , δυνατός εἰμί καί ἕτερος ἐφάπτω ἄγω ἀπό ὁ δ . ἄγω ὁ ΔΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ Ζ Ε ἔρχομαι , εἰμί δυνατός , μή διά ὁ Γ , ἀλλά διά ὁ ὁ . εἰμί δή , ὡς ὁ ΑΔ πρός ΔΒ , ὁ ΑΗ πρός ΗΒ · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ , ὡς ὁ ΑΔ πρός ΔΒ , ὁ ΑΓ πρός ΓΒ .
apollonius-geom.conica 16
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἔστω τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης , καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ γινέσθω . λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένη ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς ἀντικειμένης τομῆς . ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ , καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη τῆς Α τομῆς ἡ ΔΕ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἐκβαλλομένη , εἰ δυνατόν , μὴ ἐρχέσθω ἐπὶ τὸ Γ , ἀλλ’ ἐπὶ τὸ Η . ἔσται δή , ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ , ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ · ὅπερ ἄτοπον · ὑπόκειται γάρ , ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ , ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί εἰμί ὁ δ σημεῖον ἐν ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός γίγνομαι . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Γ ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω συμπίπτω ὁ ἀντίκειμαι τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ ἀντίκειμαι τομή . εἰμί γάρ ὁ αὐτός , καί ὁ δ σημεῖον ἐν ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω , καί ἄγω ἀπό ὁ δ ἐφάπτω ὁ Α τομή ὁ ΔΕ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ καί ἐκβάλλω , εἰμί δυνατός , μή ἔρχομαι ἐπί ὁ Γ , ἀλλά ἐπί ὁ ὁ . εἰμί δή , ὡς ὁ ΑΗ πρός ΗΒ , ὁ ΑΔ πρός ΔΒ · ὅς ἄτοπος · ὑπόκειμαι γάρ , ὡς ὁ ΑΔ πρός ΔΒ , ὁ ΑΓ πρός ΓΒ .
apollonius-geom.conica 17
Τῶν αὐτῶν ὄντων ἔστω τὸ Δ σημεῖον ἐπί τινος τῶν ἀσυμπτώτων . λέγω , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἀγομένη παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ , ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ σημεῖον . ἔστωσαν τὰ αὐτὰ ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ , ἔστωσαν τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν , τὸ δὲ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παράλληλος , καὶ εἰ δυνατόν , μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ Γ , ἀλλ’ ἐπὶ τὸ Η . ἔσται δή , ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ , ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ · ὅπερ ἄτοπον . ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ἀσύμπτωτον ἐπὶ τὸ Γ πίπτει .
Lemmas: Τοί αὐτός εἰμί εἰμί ὁ δ σημεῖον ἐπί τις ὁ ἀσύμπτωτος . λέγω , ὅτι ὁ ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Γ ἄγω παράλληλος εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ σημεῖον . εἰμί ὁ αὐτός εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , εἰμί ὁ αὐτός ὁ ἔμπροσθεν , ὁ δέ δ σημεῖον ἐπί εἷς ὁ ἀσύμπτωτος , καί ἄγω διά ὁ Ζ παράλληλος , καί εἰμί δυνατός , μή πίπτω ἐπί ὁ Γ , ἀλλά ἐπί ὁ ὁ . εἰμί δή , ὡς ὁ ΑΔ πρός ΔΒ , ὁ ΑΗ πρός ΗΒ · ὅς ἄτοπος . ὁ ἄρα ἀπό ὁ Ζ παρά ὁ ἀσύμπτωτος ἐπί ὁ Γ πίπτω .
apollonius-geom.conica 18
Ἐὰν ἐν ἀντικειμέναις ληφθῇ τι σημεῖον μεταξὺ τῶν δύο τομῶν , καὶ ἀπ’ αὐτοῦ δύο εὐθεῖαι διαχθῶσι τέμνουσαι ἑκατέραν τῶν τομῶν , καὶ ὡς ἔχουσιν αἱ μεταξὺ τῆς μιᾶς τομῆς πρὸς τὰς μεταξὺ τῆς ἑτέρας τομῆς καὶ τοῦ αὐτοῦ σημείου , οὕτως ἔχωσιν αἱ μείζους τῶν ἀπολαμβανομένων μεταξὺ τῶν ἀντικειμένων πρὸς τὰς ὑπεροχὰς αὐτῶν , ἡ διὰ τῶν περάτων ἀγομένη εὐθεῖα τῶν μειζόνων εὐθειῶν ταῖς τομαῖς συμπεσεῖται , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐφάψονται τῶν γραμμῶν . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ τὸ Δ σημεῖον μεταξὺ τῶν τομῶν . πρότερον ὑποκείσθω ἐν τῇ ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένῃ γωνίᾳ , καὶ διὰ τοῦ Δ διήχθωσαν αἱ ΑΔΒ , ΓΔΘ . μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῆς ΔΒ , ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΔΘ , διότι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΝ τῇ ΑΜ . καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ , ἐχέτω ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ , ὃν δὲ ἔχει λόγον ἡ ΓΑ πρὸς ΔΘ , ἐχέτω ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ . λέγω , ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ , Η συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς συμπτώσεις ἐφάψονται τῆς τομῆς . ἐπεὶ γὰρ τὸ Δ ἐντός ἐστι τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας , δυνατὸν ἀπὸ τοῦ Δ δύο ἐφαπτομένας ἀγαγεῖν . ἤχθωσαν αἱ ΔΕ , ΔΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ · ἐλεύσεται δὴ διὰ τῶν Κ , Η σημείων [ εἰ γὰρ μή , ἢ διὰ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν ἐλεύσεται μόνου ἢ δι’ οὐδετέρου ] . εἰ μὲν γὰρ δι’ ἑνὸς αὐτῶν μόνου , ἡ ἑτέρα τῶν εὐθειῶν εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τμηθήσεται καθ’ ἕτερον σημεῖον · ὅπερ ἀδύνατον · εἰ δὲ δι’ οὐδετέρου , ἐπ’ ἀμφοτέρων τὸ ἀδύνατον συμβήσεται .
Lemmas: ἐάν ἐν ἀντίκειμαι λαμβάνω τίς σημεῖον μεταξύ ὁ δύο τομή , καί ἀπό αὐτός δύο εὐθεῖα διάζομαι τέμνω ἑκάτερος ὁ τομή , καί ὡς ἔχω ὁ μεταξύ ὁ εἷς τομή πρός ὁ μεταξύ ὁ ἕτερος τομή καί ὁ αὐτός σημεῖον , οὕτως ἔχω ὁ μέγας ὁ ἀπολαμβάνω μεταξύ ὁ ἀντίκειμαι πρός ὁ ὑπεροχή αὐτός , ὁ διά ὁ πέρας ἄγω εὐθύς ὁ μέγας εὐθεῖα ὁ τομή συμπίπτω , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ λαμβάνω σημεῖον ἄγω εὐθεῖα ἐφάπτω ὁ γραμμή . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὁ δ σημεῖον μεταξύ ὁ τομή . πρότερος ὑπόκειμαι ἐν ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία , καί διά ὁ δ διάγω ὁ ΑΔΒ , ΓΔΘ . μέγας ἄρα εἰμί ὁ μέν ΑΔ ὁ ΔΒ , ὁ δέ ΓΔ ὁ ΔΘ , διότι ἴσος εἰμί ὁ ΒΝ ὁ ΑΜ . καί ὅς μέν ἔχω λόγος ὁ ΑΔ πρός ΔΒ , ἔχω ὁ ΑΚ πρός ΚΒ , ὅς δέ ἔχω λόγος ὁ ΓΑ πρός ΔΘ , ἔχω ὁ ΓΗ πρός ΗΘ . λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ Κ , ὁ συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ δ ἐπί ὁ σύμπτωσις ἐφάπτω ὁ τομή . ἐπεί γάρ ὁ δ ἐντός εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία , δυνατός ἀπό ὁ δ δύο ἐφάπτω ἄγω . ἄγω ὁ ΔΕ , ΔΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ · ἔρχομαι δή διά Τοί Κ , ὁ σημεῖον [ εἰμί γάρ μή , ἢ διά ὁ εἷς αὐτός ἔρχομαι μόνος ἢ διά οὐδέτερος ] . εἰμί μέν γάρ διά εἷς αὐτός μόνος , ὁ ἕτερος ὁ εὐθεῖα εἰς ὁ αὐτός λόγος τέμνω κατά ἕτερος σημεῖον · ὅς ἀδύνατος · εἰμί δέ διά οὐδέτερος , ἐπί ἀμφότερος ὁ ἀδύνατος συμβαίνω .
apollonius-geom.conica 19
Εἰλήφθω δὴ τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης , καὶ διήχθωσαν αἱ εὐθεῖαι τέμνουσαι τὰς τομάς , καὶ διῃρήσθωσαν , ὡς εἴρηται . λέγω , ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ , Η ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψονται τῶν τομῶν . ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτόμεναι ἑκατέρας τῶν τομῶν αἱ ΔΕ , ΔΖ · ἡ ἄρα διὰ τῶν Ε , Ζ διὰ τῶν Κ , Η ἐλεύσεται . εἰ γὰρ μή , ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἥξει ἢ δι’ οὐδετέρου , καὶ πάλιν ὁμοίως συναχθήσεται τὸ ἄτοπον .
Lemmas: λαμβάνω δή ὁ δ σημεῖον ἐν ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω , καί διάγω ὁ εὐθεῖα τέμνω ὁ τομή , καί διαιρέω , ὡς λέγω . λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ Κ , ὁ ἐκβάλλω συμπίπτω ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή . ἄγω γάρ ἀπό ὁ δ ἐφάπτω ἑκάτερος ὁ τομή ὁ ΔΕ , ΔΖ · ὁ ἄρα διά ὁ Ε , Ζ διά ὁ Κ , ὁ ἔρχομαι . εἰμί γάρ μή , ἤτοι διά ὁ ἕτερος αὐτός ἔσσομαι ἢ διά οὐδέτερος , καί πάλιν ὅμοιος συνάγω ὁ ἄτοπος .
apollonius-geom.conica 20
Ἐὰν δὲ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἐπί τινος ᾖ τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ τὰ λοιπὰ γένηται τὰ αὐτά , ἡ διὰ τῶν περάτων τῶν ὑπεροχῶν ἀγομένη εὐθεῖα παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ , ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ σημεῖον , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ σημείου ἐπὶ τὴν σύμπτωσιν τῆς τομῆς καὶ τῆς διὰ τῶν περάτων ἠγμένης εὐθείας ἐφάψεται τῆς τομῆς . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ τὸ Δ σημεῖον ἔστω ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ γινέσθω . λέγω , ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ , Η συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς τομῆς . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη ἡ ΔΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ἀσύμπτωτον , ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ Δ , ἤχθω εὐθεῖα . ἥξει δὴ διὰ τῶν Κ , Η . εἰ γὰρ μή , ἢ διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἥξει ἢ δι’ οὐδετέρου , καὶ τὰ αὐτὰ ἄτοπα συμβήσεται τοῖς πρότερον .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ λαμβάνω σημεῖον ἐπί τις εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , καί ὁ λοιπός γίγνομαι ὁ αὐτός , ὁ διά ὁ πέρας ὁ ὑπεροχή ἄγω εὐθύς παράλληλος εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ σημεῖον , καί ὁ ἀπό ὁ σημεῖον ἐπί ὁ σύμπτωσις ὁ τομή καί ὁ διά ὁ πέρας ἄγω εὐθεῖα ἐφάπτω ὁ τομή . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὁ δ σημεῖον εἰμί ἐπί εἷς ὁ ἀσύμπτωτος , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός γίγνομαι . λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ Κ , ὁ συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ τομή . ἄγω ἀπό ὁ δ ἐφάπτω ὁ ΔΖ , καί ἀπό ὁ Ζ παρά ὁ ἀσύμπτωτος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ δ , ἄγω εὐθύς . ἔσσομαι δή διά ὁ Κ , ὁ . εἰμί γάρ μή , ἢ διά ὁ ἕτερος αὐτός ἔσσομαι ἢ διά οὐδέτερος , καί ὁ αὐτός ἄτοπος συμβαίνω ὁ πρότερος .
apollonius-geom.conica 21
Ἔστωσαν πάλιν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ ἡ μὲν ΔΒΚ τῇ τομῇ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον συμβαλλέτω τὸ Β παράλληλος οὖσα τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων , ἡ δὲ ΓΔΘ ἑκατέρᾳ τῶν τομῶν συμβαλλέτω , καὶ ἔστω , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ , ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ , τῇ δὲ ΔΒ ἴση ἔστω ἡ ΒΚ . λέγω , ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ , Η σημείων συμπεσεῖται τῇ τομῇ καὶ παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ , ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ Δ σημεῖον , καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἀγομένη ἐφάψεται τῆς τομῆς . ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη ἡ ΔΖ , καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ἀσύμπτωτον , ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ Δ , ἤχθω εὐθεῖα · ἥξει δὴ διὰ τῶν Κ , Η . εἰ γὰρ μή , τὰ πρότερον εἰρημένα ἄτοπα συμβήσεται .
Lemmas: εἰμί πάλιν ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὁ δ σημεῖον ἐπί εἷς ὁ ἀσύμπτωτος , καί ὁ μέν ΔΒΚ ὁ τομή κατά εἷς μόνος σημεῖον συμβάλλω ὁ Β παράλληλος εἰμί ὁ ἕτερος ὁ ἀσύμπτωτος , ὁ δέ ΓΔΘ ἑκάτερος ὁ τομή συμβάλλω , καί εἰμί , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΘ , ὁ ΓΗ πρός ΗΘ , ὁ δέ ΔΒ ἴσος εἰμί ὁ ΒΚ . λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ Κ , ὁ σημεῖον συμπίπτω ὁ τομή καί παράλληλος εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ δ σημεῖον , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἄγω ἐφάπτω ὁ τομή . ἄγω γάρ ἐφάπτω ὁ ΔΖ , καί ἀπό ὁ Ζ παρά ὁ ἀσύμπτωτος , ἐπί ὅς εἰμί ὁ δ , ἄγω εὐθύς · ἔσσομαι δή διά ὁ Κ , ὁ . εἰμί γάρ μή , ὁ πρότερος λέγω ἄτοπος συμβαίνω .
apollonius-geom.conica 22
Ἔστωσαν δὴ ὁμοίως αἱ ἀντικείμεναι καὶ αἱ ἀσύμπτωτοι , καὶ τὸ Δ σημεῖον ὁμοίως εἰλήφθω , καὶ ἡ μὲν ΓΔΘ τέμνουσα τὰς τομάς , ἡ δὲ ΔΒ παράλληλος τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων , καὶ ἔστω , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ , ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ , τῇ δὲ ΔΒ ἴση ἡ ΒΚ . λέγω , ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ , Η συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων , καὶ αἱ ἁπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψονται τῶν ἀντικειμένων . ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΔΕ , ΔΖ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καί , εἰ δυνατόν , μὴ ἐρχέσθω διὰ τῶν Κ , Η , ἀλλ’ ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου ἢ δι’ οὐδετέρου [ ἥξει ] . εἰ μὲν διὰ τοῦ Η μόνου , οὐκ ἔσται ἡ ΔΒ τῇ ΒΚ ἴση , ἀλλ’ ἑτέρᾳ · ὅπερ ἄτοπον . εἰ δὲ διὰ μόνου τοῦ Κ , οὐκ ἔσται , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ , ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ , ἀλλ’ ἄλλη τις πρὸς ἄλλην . εἰ δὲ δι’ οὐδετέρου τῶν Κ , Η , ἀμφότερα τὰ ἀδύνατα συμβήσεται .
Lemmas: εἰμί δή ὅμοιος ὁ ἀντίκειμαι καί ὁ ἀσύμπτωτος , καί ὁ δ σημεῖον ὅμοιος λαμβάνω , καί ὁ μέν ΓΔΘ τέμνω ὁ τομή , ὁ δέ ΔΒ παράλληλος ὁ ἕτερος ὁ ἀσύμπτωτος , καί εἰμί , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΘ , ὁ ΓΗ πρός ΗΘ , ὁ δέ ΔΒ ἴσος ὁ ΒΚ . λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ Κ , ὁ συμπίπτω ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἐφάπτω ὁ ἀντίκειμαι . ἄγω ἐφάπτω ὁ ΔΕ , ΔΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ καί , εἰμί δυνατός , μή ἔρχομαι διά ὁ Κ , ὁ , ἀλλά ἤτοι διά ὁ ἕτερος ἢ διά οὐδέτερος [ ἔσσομαι ] . εἰμί μέν διά ὁ ὁ μόνος , οὐ εἰμί ὁ ΔΒ ὁ ΒΚ ἴσος , ἀλλά ἕτερος · ὅς ἄτοπος . εἰμί δέ διά μόνος ὁ Κ , οὐ εἰμί , ὡς ὁ ΓΔ πρός ΔΘ , ὁ ΓΗ πρός ΗΘ , ἀλλά ἄλλος τις πρός ἄλλος . εἰμί δέ διά οὐδέτερος ὁ Κ , ὁ , ἀμφότερος ὁ ἀδύνατος συμβαίνω .
apollonius-geom.conica 23
Ἔστωσαν πάλιν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης , καὶ ἡ μὲν ΒΔ ἤχθω τὴν Β τομὴν καθ’ ἓν μόνον τέμνουσα , τῇ δὲ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων παράλληλος , ἡ δὲ ΔΑ τὴν Α τομὴν ὁμοίως , καὶ ἔστω ἴση ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΗ , ἡ δὲ ΔΑ τῇ ΑΚ . λέγω , ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ , Η συμβάλλει ταῖς τομαῖς , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἀγόμεναι ἐφάψονται τῶν τομῶν . ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΔΕ , ΔΖ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ , εἰ δυνατόν , μὴ ἐρχέσθω διὰ τῶν Κ , Η . ἤτοι δη διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἐλεύσεται ἢ δι’ οὐδετέρου , καὶ ἤτοι ἡ ΔΑ οὐκ ἔσται ἴση τῇ ΑΚ , ἀλλὰ ἄλλη τινί · ὅπερ ἄτοπον · ἢ ἡ ΔΒ τῇ ΒΗ οὐκ ἴση , ἢ οὐδετέρα οὐδετέρᾳ , καὶ πάλιν ἐπ’ ἀμφοτέρων τὸ αὐτὸ ἄτοπον συμβήσεται . ἥξει ἄρα ἡ ΕΖ διὰ τῶν Κ , Η .
Lemmas: εἰμί πάλιν ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὁ δ σημεῖον ἐν ὁ ἐφεξῆς γωνία ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω , καί ὁ μέν ΒΔ ἄγω ὁ Β τομή κατά εἷς μόνος τέμνω , ὁ δέ ἕτερος ὁ ἀσύμπτωτος παράλληλος , ὁ δέ ΔΑ ὁ Α τομή ὅμοιος , καί εἰμί ἴσος ὁ μέν ΔΒ ὁ ΒΗ , ὁ δέ ΔΑ ὁ ΑΚ . λέγω , ὅτι ὁ διά ὁ Κ , ὁ συμβάλλω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ δ ἄγω ἐφάπτω ὁ τομή . ἄγω ἐφάπτω ὁ ΔΕ , ΔΖ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ , εἰμί δυνατός , μή ἔρχομαι διά ὁ Κ , ὁ . ἤτοι δή διά ὁ ἕτερος αὐτός ἔρχομαι ἢ διά οὐδέτερος , καί ἤτοι ὁ ΔΑ οὐ εἰμί ἴσος ὁ ΑΚ , ἀλλά ἄλλος τις · ὅς ἄτοπος · ἢ ὁ ΔΒ ὁ ΒΗ οὐ ἴσος , ἢ οὐδέτερος οὐδέτερος , καί πάλιν ἐπί ἀμφότερος ὁ αὐτός ἄτοπος συμβαίνω . ἔσσομαι ἄρα ὁ ΕΖ διά ὁ Κ , ὁ .
apollonius-geom.conica 24
Κώνου τομὴ κώνου τομῇ ἢ κύκλου περιφερείᾳ οὐ συμβάλλει οὕτως , ὥστε μέρος μέν τι εἶναι ταὐτόν , μέρος δὲ μὴ εἶναι κοινόν . εἰ γὰρ δυνατόν , κώνου τομὴ ἡ ΔΑ Β Γ κύκλου περιφερείᾳ τῇ ΕΑ Β Γ συμβαλλέτω , καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὸν μέρος τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒΓ , μὴ κοινὸν δὲ τὸ ΑΔ καὶ τὸ ΑΕ , καὶ εἰλήφθω ἐπ’ αὐτῶν σημεῖον τὸ Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ , καὶ διὰ τυχόντος σημείου τοῦ Ε τῇ ΑΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕΓ , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΘ δίχα κατὰ τὸ Η , καὶ διὰ τοῦ Η διάμετρος ἤχθω ἡ ΒΗΖ . ἡ ἄρα διὰ τοῦ Β παρὰ τὴν ΑΘ ἐφάψεται ἑκατέρας τῶν τομῶν καὶ παράλληλος ἔσται τῇ ΔΕΓ , καὶ ἔσται ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΔΖ τῇ ΖΓ ἴση , ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἡ ΕΖ τῇ ΖΓ ἴση . ὥστε καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: Κώνος τομή κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια οὐ συμβάλλω οὕτως , ὥστε μέρος μέν τίς ἔρχομαι αὐτός , μέρος δέ μή ἔρχομαι κοινός . εἰμί γάρ δυνατός , κῶνος τομή ὁ ΔΑ Β Γ κύκλος περιφέρεια ὁ ΕΑ Β Γ συμβάλλω , καί εἰμί αὐτός κοινός μέρος ὁ αὐτός ὁ ΑΒΓ , μή κοινός δέ ὁ ΑΔ καί ὁ ΑΕ , καί λαμβάνω ἐπί αὐτός σημεῖον ὁ Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΑ , καί διά τυγχάνω σημεῖον ὁ Ε ὁ ΑΘ παράλληλος ἄγω ὁ ΔΕΓ , καί τέμνω ὁ ΑΘ δίχα κατά ὁ ὁ , καί διά ὁ ὁ διάμετρος ἄγω ὁ ΒΗΖ . ὁ ἄρα διά ὁ Β παρά ὁ ΑΘ ἐφάπτω ἑκάτερος ὁ τομή καί παράλληλος εἰμί ὁ ΔΕΓ , καί εἰμί ἐν μέν ὁ ἕτερος τομή ὁ ΔΖ ὁ ΖΓ ἴσος , ἐν δέ ὁ ἕτερος ὁ ΕΖ ὁ ΖΓ ἴσος . ὥστε καί ὁ ΔΖ ὁ ΖΕ εἰμί ἴσος · ὅς ἀδύνατος .
apollonius-geom.conica 25
Κώνου τομὴ κώνου τομὴν ἢ κύκλου περιφέρειαν οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα τεσσάρων . εἰ γὰρ δυνατόν , τεμνέτω κατὰ πέντε τὰ Α , Β , Γ , Δ , Ε , καὶ ἔστωσαν αἱ Α , Β , Γ , Δ , Ε συμπτώσεις ἐφεξῆς μηδεμίαν παραλείπουσαι μεταξὺ αὑτῶν , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΓΔ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν · συμπεσοῦνται δὴ αὗται ἐκτὸς τῶν τομῶν ἐπὶ τῆς παραβολῆς καὶ ὑπερβολῆς . συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ , καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ , ἐχέτω ἡ ΑΟ πρὸς ΟΒ , ὃν δὲ ἔχει λόγον ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ , ἐχέτω ἡ ΔΠ πρὸς ΠΓ . η ἄρα ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ Ο ἐπιζευγνυμένη ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται τῇ τομῇ , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Λ ἐπιζευγνύμεναι ἐφάψονται τῶν τομῶν . συμπιπτέτω δὴ κατὰ τὰ Θ , Ρ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΛ , ΛΡ · ἐφάψονται δὴ αὗται . ἡ ἄρα ΕΑ τέμνει ἑκατέραν τομήν , ἐπείπερ μεταξὺ τῶν Β , Γ σύμπτωσις οὐκ ἔστι . τεμνέτω κατὰ τὰ Μ , Η · ἔσται ἄρα διὰ μὲν τὴν ἑτέραν τομήν , ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΗ , ἡ ΕΝ πρὸς ΝΗ , διὰ δὲ τὴν ἑτέραν , ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΜ , ἡ ΕΝ πρὸς ΝΜ . τοῦτο δὲ ἀδύνατον · ὥστε καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς . ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ , ΔΓ παράλληλοι ὦσιν , ἔσονται μὲν αἱ τομαὶ ἐλλείψεις ἢ κύκλου περιφέρεια . τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ , ΓΔ δίχα κατὰ τὰ Ο , Π , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΟ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα · συμπεσεῖται δὴ ταῖς τομαῖς . συμπιπτέτω δὴ κατὰ τὰ Θ , Ρ . ἔσται δὴ διάμετρος τῶν τομῶν ἡ ΘΡ , τεταγμένως δὲ ἐπ’ αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΑΒ , ΓΔ . ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ε παρὰ τὰς ΑΒ , ΓΔ ἡ ΕΝΜΗ · τεμεῖ ἄρα ἡ ΕΜΗ τὴν ΘΡ καὶ ἑκατέραν τῶν γραμμῶν , διότι ἑτέρα σύμπτωσις οὐκ ἔστι παρὰ τὰς Α , Β , Γ , Δ . ἔσται δὴ διὰ ταῦτα ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΝΜ ἴση τῇ ΕΝ , ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἡ ΝΕ τῇ ΝΗ ἴση · ὥστε καὶ ἡ ΝΜ τῇ ΝΗ ἐστιν ἴση · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: Κώνος τομή κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια οὐ τέμνω κατά πολύς σημεῖον τέσσαρες . εἰμί γάρ δυνατός , τέμνω κατά πέντε ὁ Α , Β , Γ , δ , Ε , καί εἰμί ὁ Α , Β , Γ , δ , Ε σύμπτωσις ἐφεξῆς μηδείς παραλείπω μεταξύ αὐτός , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΓΔ καί ἐκβάλλω · συμπίπτω δή αὐτός ἐκτός ὁ τομή ἐπί ὁ παραβολή καί ὑπερβολή . συμπίπτω κατά ὁ Λ , καί ὅς μέν ἔχω λόγος ὁ ΑΛ πρός ΛΒ , ἔχω ὁ ΑΟ πρός ΟΒ , ὅς δέ ἔχω λόγος ὁ δΛ πρός ΛΓ , ἔχω ὁ ΔΠ πρός πγʹ . η̅ ἄρα ἀπό ὁ Π ἐπί ὁ ὁ ἐπιζεύγνυμι ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος συμπίπτω ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ Λ ἐπιζεύγνυμι ἐφάπτω ὁ τομή . συμπίπτω δή κατά ὁ Θ , Ρ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΛ , ΛΡ · ἐφάπτω δή αὐτός . ὁ ἄρα ΕΑ τέμνω ἑκάτερος τομή , ἐπεί μεταξύ ὁ Β , Γ σύμπτωσις οὐ εἰμί . τέμνω κατά ὁ Μ , ὁ · εἰμί ἄρα διά μέν ὁ ἕτερος τομή , ὡς ὁ ΕΛ πρός ΛΗ , ὁ ΕΝ πρός ΝΗ , διά δέ ὁ ἕτερος , ὡς ὁ ΕΛ πρός ΛΜ , ὁ ΕΝ πρός ΝΜ . οὗτος δέ ἀδύνατος · ὥστε καί ὁ ἐκ ἀρχή . ἐάν δέ ὁ ΑΒ , ΔΓ παράλληλος εἰμί , εἰμί μέν ὁ τομή ἔλλειψις ἢ κύκλος περιφέρεια . τέμνω ὁ ΑΒ , ΓΔ δίχα κατά ὁ ὁ , Π , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΠΟ καί ἐκβάλλω ἐπί ἑκάτερος · συμπίπτω δή ὁ τομή . συμπίπτω δή κατά ὁ Θ , Ρ . εἰμί δή διάμετρος ὁ τομή ὁ ΘΡ , τεταγμένως δέ ἐπί αὐτός κατάγω ὁ ΑΒ , ΓΔ . ἄγω δή ἀπό ὁ Ε παρά ὁ ΑΒ , ΓΔ ὁ ΕΜ · τέμνω ἄρα ὁ Ἔμη ὁ ΘΡ καί ἑκάτερος ὁ γραμμή , διότι ἕτερος σύμπτωσις οὐ εἰμί παρά ὁ Α , Β , Γ , δ . εἰμί δή διά οὗτος ἐν μέν ὁ ἕτερος τομή ὁ ΝΜ ἴσος ὁ ΕΝ , ἐν δέ ὁ ἕτερος ὁ Νε ὁ ΝΗ ἴσος · ὥστε καί ὁ ΝΜ ὁ ΝΗ εἰμί ἴσος · ὅς ἀδύνατος .
apollonius-geom.conica 26
Ἐὰν τῶν εἰρημένων γραμμῶν τινες καθ’ ἓν ἐφάπτωνται σημεῖον ἀλλήλων , οὐ συμβάλλουσιν ἑαυταῖς καθ’ ἕτερα σημεῖα πλείονα ἢ δύο . ἐφαπτέσθωσαν γὰρ ἀλλήλων τινὲς δύο τῶν εἰρημένων γραμμῶν κατὰ τὸ Α σημεῖον . λέγω , ὅτι οὐ συμβάλλουσι κατ’ ἄλλα σημεῖα πλείονα ἢ δύο . εἰ γὰρ δυνατόν , συμβαλλέτωσαν κατὰ τὰ Β , Γ , Δ , καὶ ἔστωσαν αἱ συμπτώσεις ἐφεξῆς ἀλλήλαις μηδεμίαν μεταξὺ παραλείπουσαι , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθω , καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΑΛ · ἐφάψεται δὴ τῶν δύο τομῶν καὶ συμπεσεῖται τῇ Γ Β . συμπιπτέτω κατὰ τὸ Λ , καὶ γινέσθω , ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΒ , ἡ ΓΠ πρὸς ΠΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΠ καὶ ἐκβεβλήσθω · συμπεσεῖται δὴ ταῖς τομαῖς , καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Λ ἐφάψονται τῶν τομῶν . ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὰ Θ , Ρ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΛ , ΛΡ · ἐφάψονται δὴ αὗται τῶν τομῶν . ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Λ ἐπιζευγνυμένη τέμνει ἑκατέραν τῶν τομῶν , καὶ συμβήσεται τὰ πρότερον εἰρημένα ἄτοπα . οὐκ ἄρα τέμνουσιν ἀλλήλας κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο . ἐὰν δὲ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἢ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας ἡ ΓΒ παράλληλος ᾖ τῇ ΑΛ , ὁμοίως τῷ προειρημένῳ ποιησόμεθα τὴν ἀπόδειξιν διάμετρον δείξαντες τὴν ΑΘ .
Lemmas: ἐάν ὁ λέγω γραμμή τις κατά εἷς ἐφάπτω σημεῖον ἀλλήλων , οὐ συμβάλλω ἑαυτοῦ κατά ἕτερος σημεῖον πολύς ἢ δύο . ἐφάπτω γάρ ἀλλήλων τις δύο ὁ λέγω γραμμή κατά ὁ Α σημεῖον . λέγω , ὅτι οὐ συμβάλλω κατά ἄλλος σημεῖον πολύς ἢ δύο . εἰμί γάρ δυνατός , συμβάλλω κατά ὁ Β , Γ , δ , καί εἰμί ὁ σύμπτωσις ἐφεξῆς ἀλλήλων μηδείς μεταξύ παραλείπω , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ καί ἐκβάλλω , καί ἀπό ὁ Α ἐφάπτω ἄγω ὁ ΑΛ · ἐφάπτω δή ὁ δύο τομή καί συμπίπτω ὁ Γ Β . συμπίπτω κατά ὁ Λ , καί γίγνομαι , ὡς ὁ ΓΛ πρός ΛΒ , ὁ ΓΠ πρός ΠΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΠ καί ἐκβάλλω · συμπίπτω δή ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ σύμπτωσις ἐπί ὁ Λ ἐφάπτω ὁ τομή . ἐκβάλλω καί συμπίπτω κατά ὁ Θ , Ρ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΘΛ , ΛΡ · ἐφάπτω δή αὐτός ὁ τομή . ὁ ἄρα ἀπό ὁ δ ἐπί ὁ Λ ἐπιζεύγνυμι τέμνω ἑκάτερος ὁ τομή , καί συμβαίνω ὁ πρότερος λέγω ἄτοπος . οὐ ἄρα τέμνω ἀλλήλων κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο . ἐάν δέ ἐπί ὁ ἔλλειψις ἢ ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ὁ ΓΒ παράλληλος εἰμί ὁ ΑΛ , ὅμοιος ὁ προλέγω ποιέω ὁ ἀπόδειξις διάμετρος δείκνυμι ὁ ΑΘ .
apollonius-geom.conica 27
Ἐὰν τῶν προειρημένων γραμμῶν τινες κατὰ δύο σημεῖα ἐφάπτωνται ἀλλήλων , οὐ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις καθ’ ἕτερον . δύο γὰρ τῶν εἰρημένων γραμμῶν ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ δύο σημεῖα τὰ Α , Β . λέγω , ὅτι ἀλλήλαις κατὰ ἄλλο σημεῖον οὐ συμβάλλουσιν . εἰ γὰρ δυνατόν , συμβαλλέτωσαν καὶ κατὰ τὸ Γ , καὶ ἔστω πρότερον τὸ Γ ἐκτὸς τῶν Α , Β ἁφῶν , καὶ ἤχθωσαν ἀπο τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι · ἐφάψονται ἄρα ἀμφοτέρων τῶν γραμμῶν . ἐφαπτέσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ , ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ · τεμεῖ δὴ ἑκατέραν τῶν τομῶν . τεμνέτω κατὰ τὰ Η , Μ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΝΒ . ἔσται ἄρα ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ , ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΗ , ἡ ΓΝ πρὸς ΝΗ , ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ , ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΜ , ἡ ΓΝ πρὸς ΝΜ · ὅπερ ἄτοπον .
Lemmas: ἐάν ὁ προλέγω γραμμή τις κατά δύο σημεῖον ἐφάπτω ἀλλήλων , οὐ συμβάλλω ἀλλήλων κατά ἕτερος . δύο γάρ ὁ λέγω γραμμή ἐφάπτω ἀλλήλων κατά δύο σημεῖον ὁ Α , Β . λέγω , ὅτι ἀλλήλων κατά ἄλλος σημεῖον οὐ συμβάλλω . εἰμί γάρ δυνατός , συμβάλλω καί κατά ὁ Γ , καί εἰμί πρότερος ὁ Γ ἐκτός ὁ Α , Β ἁφή , καί ἄγω ἀπος ὁ Α , Β ἐφάπτω · ἐφάπτω ἄρα ἀμφότερος ὁ γραμμή . ἐφάπτω καί συμπίπτω κατά ὁ Λ , ὡς ἐπί ὁ πρῶτος καταγραφή , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΛ · τέμνω δή ἑκάτερος ὁ τομή . τέμνω κατά ὁ ὁ , Μ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒΝ . εἰμί ἄρα ἐν μέν ὁ ἕτερος τομή , ὡς ὁ ΓΛ πρός ΛΗ , ὁ ΓΝ πρός ΝΗ , ἐν δέ ὁ ἕτερος , ὡς ὁ ΓΛ πρός ΛΜ , ὁ ΓΝ πρός ΝΜ · ὅς ἄτοπος .
apollonius-geom.conica 28
Ἐὰν δὲ ἡ ΓΗ παράλληλος ᾖ ταῖς κατὰ τὰ Α , Β σημεῖα ἐφαπτομέναις , ὡς ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἐν τῇ δευτέρᾳ καταγραφῇ , ἐπιζεύξαντες τὴν ΑΒ ἐροῦμεν , ὅτι διάμετρος ἔσται τῶν τομῶν . ὥστε δίχα τμηθήσεται ἑκατέρα τῶν ΓΗ , ΓΜ κατὰ τὸ Ν · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα καθ’ ἕτερον σημεῖον συμβάλλουσιν αἱ γραμμαὶ ἀλλήλαις , ἀλλὰ κατὰ μόνα τὰ Α , Β .
Lemmas: ἐάν δέ ὁ ΓΗ παράλληλος εἰμί ὁ κατά ὁ Α , Β σημεῖον ἐφάπτω , ὡς ἐπί ὁ ἔλλειψις ἐν ὁ δεύτερος καταγραφή , ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ λέγω , ὅτι διάμετρος εἰμί ὁ τομή . ὥστε δίχα τέμνω ἑκάτερος ὁ ΓΗ , ΓΜ κατά ὁ Ν · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα κατά ἕτερος σημεῖον συμβάλλω ὁ γραμμή ἀλλήλων , ἀλλά κατά μόνος ὁ Α , Β .
apollonius-geom.conica 29
Ἔστω δὴ τὸ Γ μεταξὺ τῶν ἁφῶν , ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς . φανερόν , ὅτι οὐκ ἐφάψονται αἱ γραμμαὶ ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ · κατὰ δύο γὰρ μόνον ὑπόκεινται ἐφαπτόμεναι . τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὸ Γ , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι αἱ Α Λ , ΛΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Ζ διάμετρος ἔσται . διὰ μὲν οὖν τοῦ Γ οὐκ ἐλεύσεται . εἰ γὰρ ἥξει , ἡ διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΑΒ ἀγομένη ἐφάψεται ἀμφοτέρων τῶν τομῶν · τοῦτο δὲ ἀδύνατον . ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΑΒ ἡ ΓΚΗΜ · ἔσται δὴ ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΓΚ τῇ ΚΗ ἴση , ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἡ ΚΜ τῇ ΚΓ ἴση . ὥστε καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΚΗ ἴση · ὅπερ ἀδύνατον . ὁμοίως δὲ καί , ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ἐφαπτόμεναι , κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἐπάνω τὸ ἀδύνατον δειχθήσεται .
Lemmas: εἰμί δή ὁ Γ μεταξύ ὁ ἁφή , ὡς ἐπί ὁ τρίτος καταγραφή . φανερός , ὅτι οὐ ἐφάπτω ὁ γραμμή ἀλλήλων κατά ὁ Γ · κατά δύο γάρ μόνος ὑπόκειμαι ἐφάπτω . τέμνω οὖν κατά ὁ Γ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α , Β ἐφάπτω ὁ Α Λ , ΛΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ καί δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ Ζ διάμετρος εἰμί . διά μέν οὖν ὁ Γ οὐ ἔρχομαι . εἰμί γάρ ἔσσομαι , ὁ διά ὁ Γ παρά ὁ ΑΒ ἄγω ἐφάπτω ἀμφότερος ὁ τομή · οὗτος δέ ἀδύνατος . ἄγω δή ἀπό ὁ Γ παρά ὁ ΑΒ ὁ ΓΚΜ · εἰμί δή ἐν μέν ὁ ἕτερος τομή ὁ ΓΚ ὁ ΚΗ ἴσος , ἐν δέ ὁ ἕτερος ὁ ΚΜ ὁ ΚΓ ἴσος . ὥστε καί ὁ ΚΜ ὁ ΚΗ ἴσος · ὅς ἀδύνατος . ὅμοιος δέ καί , ἐάν παράλληλος εἰμί ὁ ἐφάπτω , κατά ὁ αὐτός ὁ ἐπάνω ὁ ἀδύνατος δείκνυμι .
apollonius-geom.conica 30
Παραβολὴ παραβολῆς οὐκ ἐφάψεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν . εἰ γὰρ δυνατόν , ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΗΒ , ΑΜΒ παραβολαὶ κατὰ τὰ Α , Β , καὶ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΛ , ΛΒ · ἐφάψονται δὴ αὗται τῶν τομῶν ἀμφοτέρων καὶ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Λ . ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἤχθω ἡ ΛΖ . ἐπεὶ οὖν δύο γραμμαὶ αἱ ΑΗΒ , ΑΜΒ ἐφάπτονται ἀλλήλων κατὰ δύο τὰ Α , Β , οὐ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις καθ’ ἕτερον · ὥστε ἡ ΛΖ ἑκατέραν τῶν τομῶν τέμνει . τεμνέτω κατὰ τὰ Η , Μ · ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ἑτέραν τομὴν ἡ ΛΗ τῇ ΗΖ ἴση , διὰ δὲ τὴν ἑτέραν ἡ ΛΜ τῇ ΜΖ ἴση · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα παραβολὴ παραβολῆς ἐφάψεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν .
Lemmas: παραβολή παραβολή οὐ ἐφάπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ εἷς . εἰμί γάρ δυνατός , ἐφάπτω ὁ ΑΗΒ , ΑΜΒ παραβολή κατά ὁ Α , Β , καί ἄγω ἐφάπτω ὁ ΑΛ , ΛΒ · ἐφάπτω δή αὐτός ὁ τομή ἀμφότερος καί συμπίπτω κατά ὁ Λ . ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ καί δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ , καί ἄγω ὁ ΛΖ . ἐπεί οὖν δύο γραμμή ὁ ΑΗΒ , ΑΜΒ ἐφάπτω ἀλλήλων κατά δύο ὁ Α , Β , οὐ συμβάλλω ἀλλήλων κατά ἕτερος · ὥστε ὁ ΛΖ ἑκάτερος ὁ τομή τέμνω . τέμνω κατά ὁ ὁ , Μ · εἰμί δή διά μέν ὁ ἕτερος τομή ὁ ΛΗ ὁ ΗΖ ἴσος , διά δέ ὁ ἕτερος ὁ ΛΜ ὁ ΜΖ ἴσος · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα παραβολή παραβολή ἐφάπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ εἷς .
apollonius-geom.conica 31
Παραβολὴ ὑπερβολῆς οὐκ ἐφάψεται κατὰ δύο σημεῖα ἐκτὸς αὐτῆς πίπτουσα . ἔστω παραβολὴ μὲν ἡ ΑΗΒ , ὑπερβολὴ δὲ ἡ ΑΜΒ , καὶ εἰ δυνατόν , ἐφαπτέσθωσαν κατὰ τὰ Α , Β , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι ἑκατέρας τῶν Α , Β τομῶν συμπίπτουσαι ἀλλήλαις κατὰ τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΖ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗΒ , ΑΜΒ τομαὶ κατὰ τὰ Α , Β ἐφάπτονται , κατ’ ἄλλο οὐ συμβάλλουσιν · ἡ ἄρα ΛΖ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο τέμνει τὰς τομάς . τεμνέτω κατὰ τὰ Η , Μ , καὶ προσεκβεβλήσθω ἡ ΛΖ · πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὸ κέντρον τῆς ὑπερβολῆς . ἔστω κέντρον τὸ Δ · ἔσται δη διὰ μὲν τὴν ὑπερβολήν , ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΜ , ἡ ΜΔ πρὸς ΔΛ καὶ λοιπὴ ἡ ΖΜ πρὸς ΜΛ . μείζων δὲ ἡ ΖΔ τῆς Δ Μ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΜ τῆς ΜΛ . διὰ δὲ τὴν παραβολὴν ἴση ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: παραβολή ὑπερβολή οὐ ἐφάπτω κατά δύο σημεῖον ἐκτός αὐτηες͂ς πίπτω . εἰμί παραβολή μέν ὁ ΑΗΒ , ὑπερβολή δέ ὁ ΑΜΒ , καί εἰμί δυνατός , ἐφάπτω κατά ὁ Α , Β , καί ἄγω ἀπό ὁ Α , Β ἐφάπτω ἑκάτερος ὁ Α , Β τομή συμπίπτω ἀλλήλων κατά ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ καί τέμνω δίχα κατά ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΖ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΗΒ , ΑΜΒ τομή κατά ὁ Α , Β ἐφάπτω , κατά ἄλλος οὐ συμβάλλω · ὁ ἄρα ΛΖ κατά ἄλλος καί ἄλλος τέμνω ὁ τομή . τέμνω κατά ὁ ὁ , Μ , καί προσεκβάλλω ὁ ΛΖ · πίπτω δή ἐπί ὁ κέντρον ὁ ὑπερβολή . εἰμί κέντρον ὁ δ · εἰμί δή διά μέν ὁ ὑπερβολή , ὡς ὁ ΖΔ πρός δΜ , ὁ ΜΔ πρός δΛ καί λοιπός ὁ ΖΜ πρός ΜΛ . μέγας δέ ὁ ΖΔ ὁ δ Μ · μέγας ἄρα καί ὁ ΖΜ ὁ ΜΛ . διά δέ ὁ παραβολή ἴσος ὁ ΖΗ ὁ ΗΛ · ὅς ἀδύνατος .
apollonius-geom.conica 32
Παραβολὴ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας οὐκ ἐφάψεται κατὰ δύο σημεῖα ἐντὸς αὐτῆς πίπτουσα . ἔστω γὰρ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΗΒ , παραβολὴ δὲ ἡ Α ΜΒ , καὶ εἰ δυνατόν , ἐφαπτέσθωσαν κατὰ δύο τὰ Α , Β , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΖ · τεμεῖ δὴ ἑκατέραν τῶν τομῶν κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο , ὡς εἴρηται . τεμνέτω κατὰ τὰ Η , Μ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΛΖ ἐπὶ τὸ Δ , καὶ ἔστω τὸ Δ κέντρον τῆς ἐλλείψεως ἢ τοῦ κύκλου . ἔστιν ἄρα διὰ τὴν ἔλλειψιν καὶ τὸν κύκλον , ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ , ἡ ΔΗ πρὸς ΔΖ καὶ λοιπὴ ἡ ΛΗ πρὸς ΗΖ . μείζων δὲ ἡ ΛΔ τῆς ΔΗ · μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΗ τῆς ΗΖ . διὰ δὲ τὴν παραβολὴν ἴση ἡ ΛΜ τῇ ΜΖ · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: παραβολή ἔλλειψις ἢ κύκλος περιφέρεια οὐ ἐφάπτω κατά δύο σημεῖον ἐντός αὐτηες͂ς πίπτω . εἰμί γάρ ἔλλειψις ἢ κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΗΒ , παραβολή δέ ὁ Α ΜΒ , καί εἰμί δυνατός , ἐφάπτω κατά δύο ὁ Α , Β , καί ἄγω ἀπό ὁ Α , Β ἐφάπτω ὁ τομή καί συμπίπτω κατά ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ καί δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΖ · τέμνω δή ἑκάτερος ὁ τομή κατά ἄλλος καί ἄλλος , ὡς λέγω . τέμνω κατά ὁ ὁ , Μ , καί ἐκβάλλω ὁ ΛΖ ἐπί ὁ δ , καί εἰμί ὁ δ κέντρον Τῆς ἔλλειψις ἢ ὁ κύκλος . εἰμί ἄρα διά ὁ ἔλλειψις καί ὁ κύκλος , ὡς ὁ ΛΔ πρός δΗ , ὁ δΗ πρός ΔΖ καί λοιπός ὁ ΛΗ πρός ΗΖ . μέγας δέ ὁ ΛΔ ὁ δΗ · μέγας ἄρα καί ὁ ΛΗ ὁ ΗΖ . διά δέ ὁ παραβολή ἴσος ὁ ΛΜ ὁ ΜΖ · ὅς ἀδύνατος .
apollonius-geom.conica 33
Ὑπερβολὴ ὑπερβολῆς τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχουσα οὐκ ἐφάψεται κατὰ δύο σημεῖα . ὑπερβολαὶ γὰρ αἱ ΑΗΒ , ΑΜΒ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχουσαι τὸ Δ , εἰ δυνατόν , ἐφαπτέσθωσαν κατὰ τὰ Α , Β , ἤχθωσαν δὲ ἀπὸ τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι αὐτῶν καὶ συμπίπτουσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΛ , ΛΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΛ καὶ ἐκβεβλήσθω . ἐπεζεύχθω δὴ καὶ ἡ ΑΒ · ἡ ἄρα ΔΖ τὴν ΑΒ δίχα τέμνει κατὰ τὸ Ζ . τεμεῖ . δὴ ἡ ΔΖ τὰς τομὰς κατὰ τὰ Η , Μ . ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ΑΗΒ ὑπερβολὴν ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΔΛ τῷ ἀπὸ ΔΗ , διὰ δὲ την ΑΜΒ τὸ ὑπὸ ΖΔΛ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΜ . τὸ ἄρα ἀπὸ ΜΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΗ · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: ὑπερβολή ὑπερβολή ὁ αὐτός κέντρον ἔχω οὐ ἐφάπτω κατά δύο σημεῖον . ὑπερβολή γάρ ὁ ΑΗΒ , ΑΜΒ ὁ αὐτός κέντρον ἔχω ὁ δ , εἰμί δυνατός , ἐφάπτω κατά ὁ Α , Β , ἄγω δέ ἀπό ὁ Α , Β ἐφάπτω αὐτός καί συμπίπτω ἀλλήλων ὁ ΑΛ , ΛΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ δΛ καί ἐκβάλλω . ἐπιζεύγνυμι δή καί ὁ ΑΒ · ὁ ἄρα ΔΖ ὁ ΑΒ δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ . τέμνω . δή ὁ ΔΖ ὁ τομή κατά ὁ ὁ , Μ . εἰμί δή διά μέν ὁ ΑΗΒ ὑπερβολή ἴσος ὁ ὑπό ΖΔΛ ὁ ἀπό δΗ , διά δέ την ΑΜΒ Τέ ὑπό ΖΔΛ ἴσος ὁ ἀπό δΜ . ὁ ἄρα ἀπό ΜΔ ἴσος ὁ ἀπό δΗ · ὅς ἀδύνατος .