apollonius-geom.conica 55
Ἀντικείμεναι ἀντικειμένας οὐ τέμνουσι κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσσαρα . ἔστωσαν γὰρ ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ , ΓΔ καὶ ἕτεραι ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ ΓΔ , ΕΖ , καὶ τεμνέτω πρότερον ἡ ΑΒΓΔ τομὴ ἑκατέραν τῶν ΑΒ , ΓΔ κατὰ τέσσαρα ση μεῖα τὰ Α , Β , Γ , Δ ἀντεστραμμένα τὰ κυρτὰ ἔχουσα , ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς . ἡ ἄρα ἀντικειμένη τῇ ΑΒΓΔ , τουτέστιν ἡ ΕΖ , οὐδεμιᾷ τῶν ΑΒ , ΓΔ συμπεσεῖται . ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΒΓΔ τὴν μὲν ΑΒ τεμνέτω κατὰ τὰ Α , Β , τὴν δὲ Γ καθ’ ἕν τὸ Γ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς · ἡ ΕΖ ἄρα τῇ Γ οὐ συμπεσεῖται . εἰ δὲ τῇ ΑΒ συμβάλλει ἡ ΕΖ , καθ’ ἓν μόνον συμβάλλει · εἰ γὰρ κατὰ δύο συμβάλλει τῇ ΑΒ , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ ἡ ΑΒΓ τῇ ἑτέρᾳ ἀντικειμένῃ τῇ Γ οὐ συμπεσεῖται · ὑπόκειται δὲ καθ’ ἓν τὸ Γ συμβάλλουσα . εἰ δέ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς , ἡ ΑΒΓ τὴν μὲν ΑΒΕ τέμνει κατὰ δύο τὰ Α , Β , τῇ δὲ ΑΒΕ συμβάλλει ἡ ΕΖ , τῇ μὲν Δ οὐ συμπεσεῖται , τῇ δὲ ΑΒΕ συμπίπτουσα οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο . εἰ δέ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τετάρτης καταγραφῆς , ἡ ΑΒΓΔ ἑκατέραν τέμνει καθ’ ἓν σημεῖον , ἡ ΕΖ οὐδετέρᾳ συμπεσεῖται κατὰ δύο σημεῖα . ὥστε διὰ τὰ εἰρημένα καὶ τὰ ἀντίστροφα αὐτῶν αἱ ΑΒΓΔ , ΓΖ ἀντικειμέναις ταῖς ΒΕ , ΕΖ τομαῖς οὐ συμπεσοῦνται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσσαρα . ἐαν δὲ αἱ τομαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τὰ κοῖλα ἔχωσι , καὶ ἡ ἑτέρα τὴν ἑτέραν τέμνῃ κατὰ τέσσαρα τὰ Α , Β , Γ , Δ , ὡς ἐπὶ τῆς πέμπτης καταγραφῆς , ἡ ΕΖ τῇ ἑτέρᾳ οὐ συμπεσεῖται . οὐδὲ μὴν ἡ ΕΖ οὐ συμπεσεῖται τῇ ΑΒ · πάλιν γὰρ ἔσται ἡ ΑΒ ταῖς ΑΒΓΔ , ΕΖ ἀντικειμέναις συμπίπτουσα κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσσαρα [ ἀλλ’ οὐδὲ ἡ ΓΑ τῇ ΕΖ συμπεσεῖται ] . εἰ δέ , ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς ἕκτης καταγραφῆς , ἡ ΑΒΓΔ τῇ ἑτέρα τομῇ συμβάλλει κατὰ τρία σημεῖα , ἡ ΕΖ τῇ ἑτέρα καθ’ ἕν μόνον συμπεσεῖται . καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τὰ αὐτὰ τοῖς προτέροις ἐροῦμεν . ἐπεὶ οὖν κατὰ πάσας ἐροῦμεν . ἐπεὶ οὖν κατὰ πάσας τὰς ἐνδεχομένας διαστολὰς δῆλόν ἐστι τὸ προτεθέν , ἀντικείμεναι ἀντικειμέναις οὐ συμβάλλουσι κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσσαρα .
Lemmas: ἀντίκειμαι ἀντίκειμαι οὐ τέμνω κατά πολύς σημεῖον ἢ τέσσερα . εἰμί γάρ ἀντίκειμαι ὁ ΑΒ , ΓΔ καί ἕτερος ἀντίκειμαι ὁ ΑΒ ΓΔ , ΕΖ , καί τέμνω πρότερος ὁ ΑΒΓΔ τομή ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ κατά τέσσερα σός μείης ὁ Α , Β , Γ , δ ἀντιστρέφω ὁ κυρτός ἔχω , ὡς ἐπί ὁ πρῶτος καταγραφή . ὁ ἄρα ἀντίκειμαι ὁ ΑΒΓΔ , τουτέστι ὁ ΕΖ , οὐδείς ὁ ΑΒ , ΓΔ συμπίπτω . ἀλλά δή ὁ ΑΒΓΔ ὁ μέν ΑΒ τέμνω κατά ὁ Α , Β , ὁ δέ Γ κατά εἷς ὁ Γ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ δεύτερος καταγραφή · ὁ ΕΖ ἄρα ὁ Γ οὐ συμπίπτω . εἰμί δέ ὁ ΑΒ συμβάλλω ὁ ΕΖ , κατά εἷς μόνος συμβάλλω · εἰμί γάρ κατά δύο συμβάλλω ὁ ΑΒ , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ΑΒΓ ὁ ἕτερος ἀντίκειμαι ὁ Γ οὐ συμπίπτω · ὑπόκειμαι δέ κατά εἷς ὁ Γ συμβάλλω . εἰμί δέ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ τρίτος καταγραφή , ὁ ΑΒΓ ὁ μέν ΑΒΕ τέμνω κατά δύο ὁ Α , Β , ὁ δέ ΑΒΕ συμβάλλω ὁ ΕΖ , ὁ μέν δ οὐ συμπίπτω , ὁ δέ ΑΒΕ συμπίπτω οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο . εἰμί δέ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ τέταρτος καταγραφή , ὁ ΑΒΓΔ ἑκάτερος τέμνω κατά εἷς σημεῖον , ὁ ΕΖ οὐδέτερος συμπίπτω κατά δύο σημεῖον . ὥστε διά ὁ λέγω καί ὁ ἀντίστροφος αὐτός ὁ ΑΒΓΔ , ΓΖ ἀντίκειμαι ὁ ΒΕ , ΕΖ τομή οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ τέσσερα . ἐάω δέ ὁ τομή ἐπί ὁ αὐτός ὁ κοῖλος ἔχω , καί ὁ ἕτερος ὁ ἕτερος τέμνω κατά τέσσερα ὁ Α , Β , Γ , δ , ὡς ἐπί ὁ πέμπτος καταγραφή , ὁ ΕΖ ὁ ἕτερος οὐ συμπίπτω . οὐδέ μήν ὁ ΕΖ οὐ συμπίπτω ὁ ΑΒ · πάλιν γάρ εἰμί ὁ ΑΒ ὁ ΑΒΓΔ , ΕΖ ἀντίκειμαι συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ τέσσερα [ ἀλλά οὐδέ ὁ ΓΑ ὁ ΕΖ συμπίπτω ] . εἰμί δέ , ὡς ἔχω ἐπί ὁ ἑκτεύς καταγραφή , ὁ ΑΒΓΔ ὁ ἕτερος τομή συμβάλλω κατά τρεῖς σημεῖον , ὁ ΕΖ ὁ ἕτερος κατά εἷς μόνος συμπίπτω . καί ἐπί ὁ λοιπός ὁ αὐτός ὁ πρότερος λέγω . ἐπεί οὖν κατά πᾶς λέγω . ἐπεί οὖν κατά πᾶς ὁ ἐνδέχομαι διαστολή δῆλος εἰμί ὁ προτίθημι , ἀντίκειμαι ἀντίκειμαι οὐ συμβάλλω κατά πολύς σημεῖον ἢ τέσσερα .