apollonius-geom.conica 46
Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾷ τῶν ἀντικειμένων κατὰ τρία σημεῖα συμβάλλῃ , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται πλὴν καθ’ ἕν . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ , ΔΕ Ζ , καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΑΜΒΓ συμβαλλέτω τῇ ΑΒΓ κατὰ τρία σημεῖα τὰ Α , Β , Γ , ἔστω δὲ τῇ ΑΜΓ ἀντικειμένη ἡ ΔΕΚ [ τῇ δὲ ΑΒΓ ἡ ΔΕΖ ] . λέγω , ὅτι ἡ ΔΕΚ τῇ ΔΕΖ οὐ συμβάλλει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν . εἰ γὰρ δυνατόν , συμβαλλέτω κατὰ τὰ Δ , Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΔΕ . ἔστωσαν πρότερον παράλληλοι , καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ , ΔΕ δίχα κατὰ τὰ Η , Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ · διάμετρος ἄρα ἐστὶ πασῶν τῶν τομῶν καὶ τεταγμένως ἐπ’ αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΑΒ , ΔΕ . ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΑΒ ἡ ΓΝΞΟ · ἔσται δὴ καὶ αὐτὴ τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον κατηγμένη καὶ συμπεσεῖται ταῖς τομαῖς κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο . εἰ γὰρ κατὰ τὸ αὐτό , οὐκέτι κατὰ τρία συμβάλλουσιν , ἀλλὰ τέσσαρα . ἔσται δὴ ἐν μὲν τῇ ΑΜΒ τομῇ ἴση ἡ ΓΝ τῇ ΝΞ , ἐν δὲ τῇ ΑΛΒ ἡ ΓΝ τῇ ΝΟ . καὶ ἡ ΟΝ ἄρα τῇ ΝΞ ἐστιν ἴση · ὅπερ ἀδύνατον . μὴ ἔστωσαν δὴ παράλληλοι αἱ ΑΒ , ΔΕ , ἀλλ’ ἐκβαλλόμεναι συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Π , καὶ ἡ ΓΟ ἤχθω παρὰ τὴν ΑΠ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΔΠ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Ρ , καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ , ΔΕ δίχα κατὰ τὰ Η , Θ , καὶ διὰ τῶν Η , Θ διάμετροι ἤχθωσαν εἰ γὰρ δυνατόν , συμβαλλέτω κατὰ τὰ Δ , Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΔΕ . ἤτοι δὴ παράλληλοί εἰσιν ἢ οὔ . ἔστωσαν πρότερον παράλληλοι , καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ , ΔΕ δίχα κατὰ τὰ Η , Θ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ · διάμετρος ἄρα ἐστὶ πασῶν τῶν τομῶν καὶ τεταγμένως ἐπ’ αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΑΒ , ΔΕ . ἤχθω αἱ ΗΣΙ , ΘΛΜ , ἀπὸ δὲ τῶν Ι , Λ , Μ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΙΥΤ , ΜΥ , ΛΤ · ἔσται δὴ ἡ μὲν ΙΤ παρὰ τὴν ΔΠ , αἱ δὲ ΛΤ , ΜΥ παρὰ τὰς ΑΠ , ΟΡ . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς τὸ ἀπὸ ΜΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΙ , τὸ ὑπὸ ΑΠΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΠΕ , ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΠΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΠΕ , τὸ ἀπὸ ΛΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙ , καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΜΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΙ , τὸ ἀπὸ ΛΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙ . διὰ τὰ αὐτὰ ἔσται , ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΜΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΙ , τὸ ὑπὸ ΞΡΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΡΕ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΛΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙ , τὸ ὑπὸ ΟΡΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΡΕ . ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΟΡΓ τῷ ὑπὸ ΞΡΓ · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι κατά τρεῖς σημεῖον συμβάλλω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι οὐ συμπίπτω πλήν κατά εἷς . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒΓ , ΔΕ Ζ , καί ὑπερβολή ὁ ΑΒΓ συμβάλλω ὁ ΑΒΓ κατά τρεῖς σημεῖον ὁ Α , Β , Γ , εἰμί δέ ὁ αμγʹ ἀντίκειμαι ὁ ΔΕΚ [ ὁ δέ ΑΒΓ ὁ δΕΖ ] . λέγω , ὅτι ὁ ΔΕΚ ὁ δΕΖ οὐ συμβάλλω κατά πολύς σημεῖον ἢ εἷς . εἰμί γάρ δυνατός , συμβάλλω κατά ὁ δ , Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΔΕ . εἰμί πρότερος παράλληλος , καί τέμνω ὁ ΑΒ , ΔΕ δίχα κατά ὁ ὁ , Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ · διάμετρος ἄρα εἰμί πᾶς ὁ τομή καί τεταγμένως ἐπί αὐτός κατάγω ὁ ΑΒ , ΔΕ . ἄγω δή ἀπό ὁ Γ παρά ὁ ΑΒ ὁ Ξ · εἰμί δή καί αὐτός τεταγμένως ἐπί ὁ διάμετρος κατάγω καί συμπίπτω ὁ τομή κατά ἄλλος καί ἄλλος . εἰμί γάρ κατά ὁ αὐτός , οὐκέτι κατά τρεῖς συμβάλλω , ἀλλά τέσσερα . εἰμί δή ἐν μέν ὁ ΑΜΒ τομή ἴσος ὁ ΓΝ ὁ ΝΞ , ἐν δέ ὁ ΑΛΒ ὁ ΓΝ ὁ ΝΟ . καί ὁ ΟΝ ἄρα ὁ ΝΞ εἰμί ἴσος · ὅς ἀδύνατος . μή εἰμί δή παράλληλος ὁ ΑΒ , ΔΕ , ἀλλά ἐκβάλλω συμπίπτω κατά ὁ Π , καί ὁ ΓΟ ἄγω παρά ὁ ΑΠ καί συμπίπτω ὁ ΔΠ ἐκβάλλω κατά ὁ Ρ , καί τέμνω ὁ ΑΒ , ΔΕ δίχα κατά ὁ ὁ , Θ , καί διά ὁ ὁ , Θ διάμετρος ἄγω εἰμί γάρ δυνατός , συμβάλλω κατά ὁ δ , Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΔΕ . ἤτοι δή παράλληλος εἰμί ἢ οὐ . εἰμί πρότερος παράλληλος , καί τέμνω ὁ ΑΒ , ΔΕ δίχα κατά ὁ ὁ , Θ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΗΘ · διάμετρος ἄρα εἰμί πᾶς ὁ τομή καί τεταγμένως ἐπί αὐτός κατάγω ὁ ΑΒ , ΔΕ . ἄγω ὁ εἰμί , ΘΛΜ , ἀπό δέ ὁ Ι , Λ , Μ ἐφάπτω ὁ τομή ὁ Ι , Μῦς , ΛΤ · εἰμί δή ὁ μέν ιτʹ παρά ὁ ΔΠ , ὁ δέ ΛΤ , Μῦς παρά ὁ ΑΠ , ΟΡ . καί ἐπεί εἰμί , ὡς ὁ ἀπό Μῦς πρός ὁ ἀπό ΥΙ , ὁ ὑπό ΑΠΒ πρός ὁ ὑπό ΠΕ , ἀλλά ὡς ὁ ὑπό ΑΠΒ πρός ὁ ὑπό ΠΕ , ὁ ἀπό ΛΤ πρός ὁ ἀπό Τι , καί ὡς ἄρα ὁ ἀπό Μῦς πρός ὁ ἀπό ΥΙ , ὁ ἀπό ΛΤ πρός ὁ ἀπό Τι . διά ὁ αὐτός εἰμί , ὡς μέν ὁ ἀπό Μῦς πρός ὁ ἀπό ΥΙ , ὁ ὑπό ΞΡΓ πρός ὁ ὑπό Δρε , ὡς δέ ὁ ἀπό ΛΤ πρός ὁ ἀπό Τι , ὁ ὑπό ΡΟ πρός ὁ ὑπό Δρε . ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΡΟ ὁ ὑπό ΞΡΓ · ὅς ἀδύνατος .