ciscoriordan/open-greek-corpus-annotations huggingface dataset:
apollonius-geom.conica 34
Ἐὰν ἔλλειψις ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας κατὰ δύο σημεῖα ἐφάπτηται τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχουσα , ἡ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσα διὰ τοῦ κέντρου πεσεῖται . ἐφαπτέσθωσαν γὰρ ἀλλήλων αἱ εἰρημέναι γραμμαὶ κατὰ τὰ Α , Β σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ , καὶ διὰ τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν ἤχθωσαν καί , εἰ δυνατόν , συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ , καὶ ἡ ΑΒ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΖ · διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ τῶν τομῶν . ἔστω , εἰ δυνατόν , κέντρον τὸ Δ · ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΔΖ διὰ μὲν τὴν ἑτέραν τομὴν ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΗ , διὰ δὲ τὴν ἑτέραν ἴσον τῷ ἀπὸ ΜΔ · ὥστε τὸ ἀπὸ ΗΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΜ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα αἱ ἀπὸ τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι συμπεσοῦνται · παράλληλοι ἄρα εἰσίν , καὶ διὰ τοῦτο διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ . ὥστε διὰ τοῦ κέντρου πίπτει · ὅπερ ἔδει δεῖξαι .
Lemmas: ἐάν ἔλλειψις ἔλλειψις ἢ κύκλος περιφέρεια κατά δύο σημεῖον ἐφάπτω ὁ αὐτός κέντρον ἔχω , ὁ ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι διά ὁ κέντρον πίπτω . ἐφάπτω γάρ ἀλλήλων ὁ λέγω γραμμή κατά ὁ Α , Β σημεῖον , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , καί διά ὁ Α , Β ἐφάπτω ὁ τομή ἄγω καί , εἰμί δυνατός , συμπίπτω κατά ὁ Λ , καί ὁ ΑΒ δίχα τέμνω κατά ὁ Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΛΖ · διάμετρος ἄρα εἰμί ὁ ΛΖ ὁ τομή . εἰμί , εἰμί δυνατός , κέντρον ὁ δ · εἰμί ἄρα ὁ ὑπό ΛΔΖ διά μέν ὁ ἕτερος τομή ἴσος ὁ ἀπό δΗ , διά δέ ὁ ἕτερος ἴσος ὁ ἀπό ΜΔ · ὥστε ὁ ἀπό ΗΔ ἴσος ὁ ἀπό δΜ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ἀπό ὁ Α , Β ἐφάπτω συμπίπτω · παράλληλος ἄρα εἰμί , καί διά οὗτος διάμετρος εἰμί ὁ ΑΒ . ὥστε διά ὁ κέντρον πίπτω · ὅς δέω δείκνυμι .
apollonius-geom.conica 35
Κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια κώνου τομῇ ἢ κύκλου περιφερείᾳ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κυρτὰ ἔχουσα οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο . εἰ γὰρ δυνατόν , κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ κώνου τομῇ ἢ κύκλου περιφερείᾳ τῇ ΑΔΒΕΓ συμβαλλέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κυρτὰ ἔχουσα τὰ Α , Β , Γ . καὶ ἐπεὶ ἐν τῇ ΑΒΓ γραμμῇ εἴληπται τρία σημεῖα τὰ Α , Β , Γ καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΑΒ , ΒΓ , γωνίαν ἄρα περιέχουσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῖς κοίλοις τῆς ΑΒΓ γραμμῆς . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ αἱ ΑΒ Γ τὴν αὐτὴν γωνίαν περιέχουσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῖς κοίλοις τῆς ΑΔΒΕΓ γραμμῆς . αἱ εἰρημέναι ἄρα γραμμαὶ ἐπὶ τὰ αὐτα μέρη ἔχουσι τὰ κοῖλα ἅμα καὶ τὰ κυρτά · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: Κώνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κυρτός ἔχω οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο . εἰμί γάρ δυνατός , κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΔΒΕΓ συμβάλλω κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο μή ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κυρτός ἔχω ὁ Α , Β , Γ . καί ἐπεί ἐν ὁ ΑΒΓ γραμμή λαμβάνω τρεῖς σημεῖον ὁ Α , Β , Γ καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΒΓ , γωνία ἄρα περιέχω ἐπί ὁ αὐτός ὁ κοῖλος ὁ ΑΒΓ γραμμή . διά ὁ αὐτός δή ὁ ΑΒ Γ ὁ αὐτός γωνία περιέχω ἐπί ὁ αὐτός ὁ κοῖλος ὁ ΑΔΒΕΓ γραμμή . ὁ λέγω ἄρα γραμμή ἐπί ὁ αὐτός μέρος ἔχω ὁ κοῖλος ἅμα καί ὁ κυρτός · ὅς ἀδύνατος .
apollonius-geom.conica 36
Ἐὰν κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια συμπίπτῃ μιᾷ τῶν ἀντικειμένων κατὰ δύο σημεῖα , καὶ αἱ μεταξὺ τῶν συμπτώσεων γραμμαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἔχωσι , προσεκβαλλομένη ἡ γραμμὴ κατὰ τὰς συμπτώσεις οὐ συμπεσεῖται τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Δ , ΑΕΓΖ , καὶ ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΖ συμπίπτουσα τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων κατὰ δύο σημεῖα τὰ Α , Ζ , καὶ ἐχέτωσαν αἱ ΑΒΖ , ΑΓΖ τομαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒΖ γραμμὴ ἐκβαλλομένη οὐ συμπεσεῖται τῇ Δ . ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΖ . καὶ ἐπεὶ ἀντικείμεναί εἰσιν αἱ Δ , ΑΓΖ , καὶ ἡ ΑΖ εὐθεῖα κατὰ δύο τέμνει τὴν ὑπερβολήν , οὐ συμπεσεῖται ἐκβαλλομένη τῇ Δ ἀντικειμένῃ . οὐδὲ ἄρα ἡ ΑΒΖ γραμμὴ συμπεσεῖται τῇ Δ .
Lemmas: ἐάν κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια συμπίπτω εἷς ὁ ἀντίκειμαι κατά δύο σημεῖον , καί ὁ μεταξύ ὁ σύμπτωσις γραμμή ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κοῖλος ἔχω , προσεκβάλλω ὁ γραμμή κατά ὁ σύμπτωσις οὐ συμπίπτω ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ δ , ΑΕΓΖ , καί εἰμί κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΖ συμπίπτω ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι κατά δύο σημεῖον ὁ Α , Ζ , καί ἔχω ὁ ΑΒΖ , ΑΓΖ τομή ἐπί ὁ αὐτός μέρος ὁ κοῖλος . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΖ γραμμή ἐκβάλλω οὐ συμπίπτω ὁ δ . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ αζʹ . καί ἐπεί ἀντίκειμαι εἰμί ὁ δ , ΑΓΖ , καί ὁ αζʹ εὐθύς κατά δύο τέμνω ὁ ὑπερβολή , οὐ συμπίπτω ἐκβάλλω ὁ δ ἀντίκειμαι . οὐδέ ἄρα ὁ ΑΒΖ γραμμή συμπίπτω ὁ δ .
apollonius-geom.conica 37
Ἐὰν κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια μιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπίπτῃ , τῇ λοιπῇ αὐτῶν οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ συμβαλλέτω τῇ Α κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ καὶ τεμνέτω τὴν Β ἀντικειμένην κατὰ τὰ Β , Γ . λέγω , ὅτι κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ συμπεσεῖται τῇ ΒΓ . εἰ γὰρ δυνατόν , συμπιπτέτω κατὰ τὸ Δ . ἡ ἄρα ΒΓΔ τῇ ΒΓ τομῇ συμβάλλει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἔχουσα τὰ κοῖλα · ὅπερ ἀδύνατον . ὁμοίως δὲ δειχθήσεται , καὶ ἐὰν ἡ ΑΒΓ γραμμὴ τῆς ἀντικειμένης ἐφάπτηται .
Lemmas: ἐάν κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια εἷς ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω , ὁ λοιπός αὐτός οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί συμβάλλω ὁ Α κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ὁ ΑΒΓ καί τέμνω ὁ Β ἀντίκειμαι κατά ὁ Β , Γ . λέγω , ὅτι κατά ἄλλος σημεῖον οὐ συμπίπτω ὁ ΒΓ . εἰμί γάρ δυνατός , συμπίπτω κατά ὁ δ . ὁ ἄρα ΒΓΔ ὁ ΒΓ τομή συμβάλλω κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο μή ἐπί ὁ αὐτός ἔχω ὁ κοῖλος · ὅς ἀδύνατος . ὅμοιος δέ δείκνυμι , καί ἐάν ὁ ΑΒΓ γραμμή ὁ ἀντίκειμαι ἐφάπτω .
apollonius-geom.conica 38
Κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ταῖς ἀντικειμέναις οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσσαρα . φανερὸν δὲ τοῦτο ἐκ τοῦ τῇ μιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπίπτουσαν αὐτὴν τῇ λοιπῇ κατὰ πλείονα δυεῖν μὴ συμπίπτειν .
Lemmas: Κώνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ὁ ἀντίκειμαι οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ τέσσερα . φανερός δέ οὗτος ἐκ ὁ ὁ εἷς ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω αὐτός ὁ λοιπός κατά πολύς δύο μή συμπίπτω .
apollonius-geom.conica 39
Ἐὰν κώνου τομὴ ἤ κύκλου περιφέρεια μιᾶς τῶν ἀντικειμένων ἐφάπτηται τοῖς κοίλοις αὐτῆς , τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ τῆς Α τομῆς ἐφαπτέσθω ἡ ΓΑΔ . λέγω , ὅτι ἡ ΓΑΔ τῇ Β οὐ συμπεσεῖται . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη ἡ ΕΑΖ . ἑκατέρας δὴ τῶν γραμμῶν ἐπιψαύει κατὰ τὸ Α · ὥστε οὐ συμπεσεῖται τῇ Β . ὥστε οὐδὲ ἡ ΓΑΔ .
Lemmas: ἐάν κῶνος τομή ἤ κύκλος περιφέρεια εἷς ὁ ἀντίκειμαι ἐφάπτω ὁ κοῖλος αὐτηες͂ς , ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι οὐ συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὁ Α τομή ἐφάπτω ὁ ΓΑΔ . λέγω , ὅτι ὁ ΓΑΔ ὁ Β οὐ συμπίπτω . ἄγω ἀπό ὁ Α ἐφάπτω ὁ ΕΑΖ . ἑκάτερος δή ὁ γραμμή ἐπιψαύω κατά ὁ Α · ὥστε οὐ συμπίπτω ὁ Β . ὥστε οὐδέ ὁ ΓΑΔ .
apollonius-geom.conica 40
Ἐὰν κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἑκατέρας τῶν ἀντικειμένων καθ’ ἕν ἐφάπτηται σημεῖον , καθ’ ἕτερον οὐ συμπεσεῖται ταῖς ἀντικειμέναις . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἐφαπτέσθω ἑκατέρας τῶν Α , Β κατὰ τὰ Α , Β . λέγω , ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ καθ’ ἕτερον οὐ συμπεσεῖται ταῖς Α , Β τομαῖς . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒΓ γραμμὴ τῆς Α τομῆς ἐφάπτεται καθ’ ἓν συμπίπτουσα καὶ τῇ Β , τῆς Α ἄρα τομῆς οὐκ ἐφάψεται κατὰ τὰ κοῖλα . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι οὐδὲ τῆς Β . ἤχθωσαν τῶν Α , Β τομῶν ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΔ , ΒΕ · αὗται δὴ ἐφάψονται τῆς ΑΒΓ γραμμῆς . εἰ γὰρ δυνατόν , τεμνέτω ἡ ἑτέρα αὐτῶν , καὶ ἔστω ἡ ΑΖ . μεταξὺ ἄρα τῆς ΑΖ ἐφαπτομένης καὶ τῆς Α τομῆς παρεμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΗ · ὅπερ ἀδύνατον . ἐφάψονται ἄρα τῆς ΑΒΓ , καὶ διὰ τοῦτο φανερόν , ὅτι ἡ ΑΒΓ καθ’ ἕτερον οὐ συμβάλλει ταῖς Α , Β ἀντικειμέναις .
Lemmas: ἐάν κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι κατά εἷς ἐφάπτω σημεῖον , κατά ἕτερος οὐ συμπίπτω ὁ ἀντίκειμαι . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί κῶνος τομή ἢ κύκλος περιφέρεια ἐφάπτω ἑκάτερος ὁ Α , Β κατά ὁ Α , Β . λέγω , ὅτι ὁ ΑΒΓ γραμμή κατά ἕτερος οὐ συμπίπτω ὁ Α , Β τομή . ἐπεί οὖν ὁ ΑΒΓ γραμμή ὁ Α τομή ἐφάπτω κατά εἷς συμπίπτω καί ὁ Β , ὁ Α ἄρα τομή οὐ ἐφάπτω κατά ὁ κοῖλος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ὁ Β . ἄγω ὁ Α , Β τομή ἐφάπτω ὁ ΑΔ , ΒΕ · αὐτός δή ἐφάπτω ὁ ΑΒΓ γραμμή . εἰμί γάρ δυνατός , τέμνω ὁ ἕτερος αὐτός , καί εἰμί ὁ αζʹ . μεταξύ ἄρα ὁ αζʹ ἐφάπτω καί ὁ Α τομή παρεμπίπτω εὐθύς ὁ ΑΗ · ὅς ἀδύνατος . ἐφάπτω ἄρα ὁ ΑΒΓ , καί διά οὗτος φανερός , ὅτι ὁ ΑΒΓ κατά ἕτερος οὐ συμβάλλω ὁ Α , Β ἀντίκειμαι .
apollonius-geom.conica 41
Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾷ τῶν ἀντικειμένων κατὰ δύο σημεῖα συμπίπτῃ ἀντεστραμμένα τὰ κυρτὰ ἔχουσα , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐ συμπεσεῖται τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΔ , Ζ , καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΒΔ συμβαλλέτω κατὰ τὰ Α , Β σημεῖα ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρτὰ τοῖς κοίλοις , καὶ τῆς ΑΒΓ ἔστω ἀντικειμένη ἡ Ε . λέγω , ὅτι οὐ συμπεσεῖται τῇ Ζ . ἐπεζεύχθω ἡ AΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η . ἐπεὶ οὖν ὑπερβολὴν τὴν Α Β Δ εὐθεῖα τέμνει ἡ ΑΒΗ , ἐκβαλλομένη δὲ ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πίπτει τῆς τομῆς , οὐ συμπεσεῖται τῇ Ζ τομῇ . ὁμοίως δὴ διὰ τὴν ΑΒΓ ὑπερβολὴν οὐδὲ τῇ Ε ἀντικειμένῃ συμπίπτει . οὐδὲ ἡ Ε ἄρα τῇ Ζ συμπεσεῖται .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι κατά δύο σημεῖον συμπίπτω ἀντιστρέφω ὁ κυρτός ἔχω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός οὐ συμπίπτω ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒΔ , Ζ , καί ὑπερβολή ὁ ΑΒΓ ὁ ΑΒΔ συμβάλλω κατά ὁ Α , Β σημεῖον ἀντιστρέφω ἔχω ὁ κυρτός ὁ κοῖλος , καί ὁ ΑΒΓ εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Ε . λέγω , ὅτι οὐ συμπίπτω ὁ Ζ . ἐπιζεύγνυμι ὁ AΒ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ ὁ . ἐπεί οὖν ὑπερβολή ὁ Α Β δ εὐθύς τέμνω ὁ ΑΒΗ , ἐκβάλλω δέ ἐπί ἑκάτερος ἐκτός πίπτω ὁ τομή , οὐ συμπίπτω ὁ Ζ τομή . ὅμοιος δή διά ὁ ΑΒΓ ὑπερβολή οὐδέ ὁ Ε ἀντίκειμαι συμπίπτω . οὐδέ ὁ Ε ἄρα ὁ Ζ συμπίπτω .
apollonius-geom.conica 42
Ἐὰν ὑπερβολὴ ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων συμπίπτῃ , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδετέρᾳ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται κατὰ δύο σημεῖα . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ ἡ ΑΓΒ ὑπερβολὴ συμπιπτέτω ἑκατέρᾳ τῶν Α , Β ἀντικειμένων . λέγω , ὅτι ἡ τῇ ΑΓΒ ἀντικειμένη οὐ συμβάλλει ταῖς Α , Β τομαῖς κατὰ δύο σημεῖα . εἰ γὰρ δυνατόν , συμβαλλέτω κατὰ τὰ Δ , Ε , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω . διὰ μὲν δὴ τὴν ΔΕ τομὴν οὐ συμπεσεῖται ἡ ΔΕ εὐθεῖα τῇ ΑΒ τομῇ , διὰ δὲ τὴν ΑΕΔ οὐ συμπεσεῖται τῇ Β · διὰ γὰρ τῶν τριῶν τόπων ἐλεύσεται · ὅπερ ἀδύνατον . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι οὐδὲ τῇ Β τομῇ κατὰ δύο σημεῖα συμπεσεῖται . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ἐφάψεται ἑκατέρας αὐτῶν . ἀγαγόντες γὰρ ἐπιψαύουσαν τὴν ΘΕ ἐφάπτεται μὲν αὕτη ἑκατέρας τῶν τομῶν · ὥστε διὰ μὲν τὴν ΔΕ οὐ συμπεσεῖται τῇ ΑΓ , διὰ δὲ τὴν ΑΕ οὐ συμβάλλει τῇ Β . ὥστε οὐδὲ ἡ ΑΓ τῇ Β συμβάλλει · ὅπερ οὐχ ὑπόκειται .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός οὐδέτερος ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω κατά δύο σημεῖον . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὁ ΑΓΒ ὑπερβολή συμπίπτω ἑκάτερος ὁ Α , Β ἀντίκειμαι . λέγω , ὅτι ὁ ὁ ΑΓΒ ἀντίκειμαι οὐ συμβάλλω ὁ Α , Β τομή κατά δύο σημεῖον . εἰμί γάρ δυνατός , συμβάλλω κατά ὁ δ , Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ ἐκβάλλω . διά μέν δή ὁ ΔΕ τομή οὐ συμπίπτω ὁ ΔΕ εὐθύς ὁ ΑΒ τομή , διά δέ ὁ ΑΕΔ οὐ συμπίπτω ὁ Β · διά γάρ ὁ τρεῖς τόπος ἔρχομαι · ὅς ἀδύνατος . ὁμοίως δή δείκνυμι , ὅτι οὐδέ ὁ Β τομή κατά δύο σημεῖον συμπίπτω . διά ὁ αὐτός δή οὐδέ ἐφάπτω ἑκάτερος αὐτός . ἄγω γάρ ἐπιψαύω ὁ ΘΕ ἐφάπτω μέν οὗτος ἑκάτερος ὁ τομή · ὥστε διά μέν ὁ ΔΕ οὐ συμπίπτω ὁ ΑΓ , διά δέ ὁ ΑΕ οὐ συμβάλλω ὁ Β . ὥστε οὐδέ ὁ ΑΓ ὁ Β συμβάλλω · ὅς οὐ ὑπόκειμαι .
apollonius-geom.conica 43
Ἐὰν ὑπερβολη ἑκατέραν τῶν ἀντικειμένων τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα ἀντεστραμμένα ἔχουσα πρὸς ἑκατέραν τὰ κυρτά , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδεμιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ ὑπερβολὴ ΓΑΒΔ ἑκατέραν τῶν Α , Β τεμνέτω κατὰ δύο σημεῖα ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρτά . λέγω , ὅτι ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ ἡ ΕΖ οὐδεμιᾷ τῶν Α , Β συμπεσεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , συμπιπτέτω τῇ Α κατὰ τὸ Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ , ΔΒ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν · συμπεσοῦνται δὴ ἀλλήλαις . συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ · ἔσται δὴ τὸ Θ ἐν τῇ περιεχομένῃ γωνίᾳ ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΓΑΒΔ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΕΖ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη ἐντὸς πεσεῖται τῆς ὑπὸ τῶν ΑΘΒ περιεχομένης γωνίας . πάλιν ἐπεὶ ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΓΑΕ , καὶ συμπίπτουσιν αἱ ΓΑΘ , ΘΕ , καὶ αἱ Γ , Α συμπτώσεις αἱ περιέχουσι τὴν Ε , τὸ Θ σημεῖον ἔσται μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΓΑΕ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΒΔ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Θ ἐντὸς πεσεῖται τῆς ὑπὸ ΓΘΕ γωνίας · ὅπερ ἄτοπον · ἔπιπτον γὰρ καὶ εἰς τὴν ὑπὸ ΑΘΒ . οὐκ ἄρα ἡ ΕΖ μιᾷ τῶν Α , Β συμπεσεῖται .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι τέμνω κατά δύο σημεῖον ἀντιστρέφω ἔχω πρός ἑκάτερος ὁ κυρτός , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός οὐδείς ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὑπερβολή ΑΒΓΔ ἑκάτερος ὁ Α , Β τέμνω κατά δύο σημεῖον ἀντιστρέφω ἔχω ὁ κυρτός . λέγω , ὅτι ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ΕΖ οὐδείς ὁ Α , Β συμπίπτω . εἰμί γάρ δυνατός , συμπίπτω ὁ Α κατά ὁ Ε , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΑ , ΔΒ καί ἐκβάλλω · συμπίπτω δή ἀλλήλων . συμπίπτω κατά ὁ Θ · εἰμί δή ὁ Θ ἐν ὁ περιέχω γωνία ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος ὁ ΑΒΓΔ τομή . καί εἰμί αὐτηες͂ς ἀντίκειμαι ὁ ΕΖ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Ε ἐπί ὁ Θ ἐπιζεύγνυμι ἐντός πίπτω ὁ ὑπό ὁ ΑΘΒ περιέχω γωνία . πάλιν ἐπεί ὑπερβολή εἰμί ὁ ΓΑΕ , καί συμπίπτω ὁ ΑΓΘ , ΘΕ , καί ὁ Γ , Α σύμπτωσις ὁ περιέχω ὁ Ε , ὁ Θ σημεῖον εἰμί μεταξύ ὁ ἀσύμπτωτος ὁ ΓΑΕ τομή . καί εἰμί αὐτηες͂ς ἀντίκειμαι ὁ ΒΔ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ Θ ἐντός πίπτω ὁ ὑπό ΘΕ γωνία · ὅς ἄτοπος · πίπτω γάρ καί εἰς ὁ ὑπό ΑΘΒ . οὐ ἄρα ὁ ΕΖ εἷς ὁ Α , Β συμπίπτω .
apollonius-geom.conica 44
Ἐὰν ὑπερβολη μίαν τῶν ἀντικειμένων κατὰ τέσσαρα σημεῖα τέμνῃ , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐ συμπεσεῖται τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ ΓΔ , Ε , καὶ τεμνέτω ὑπερβολὴ τὴν ΑΒ ΓΔ κατὰ τέσσαρα σημεῖα τὰ Α , Β , Γ , Δ , καὶ ἔστω αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ Κ . λέγω , ὅτι ἡ Κ οὐ συμπεσεῖται τῇ Ε . εἰ γὰρ δυνατόν , συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ , ΓΔ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν · συμπεσοῦνται δὴ ἀλλήλαις . συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ , καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ , ἐχέτω ἡ ΑΠ πρὸς ΠΒ , ὃν δὲ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ , ἡ ΔΡ πρὸς ΡΓ . ἡ ἄρα διὰ τῶν Π , Ρ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν τομῶν , καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰς συμπτώσεις ἐφάψονται . ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΚΛ καὶ ἐκβεβλήσθω · τεμεῖ δὴ τὴν ὑπὸ ΒΛΓ γωνίαν καὶ τὰς τομὰς κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον . τεμνέτω κατὰ τὰ Ζ , Μ · ἔσται δὴ διὰ μὲν τὰς ΑΘΖΗ , Κ ἀντικειμένας , ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΛ , ἡ ΝΖ πρὸς ΖΑ , διὰ δὲ τὰς ΑΒΓΔ , Ε , ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΛ , ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα αἱ Ε , Κ συμπίπτουσιν ἀλλήλαις .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι κατά τέσσερα σημεῖον τέμνω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός οὐ συμπίπτω ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒ ΓΔ , Ε , καί τέμνω ὑπερβολή ὁ ΑΒ ΓΔ κατά τέσσερα σημεῖον ὁ Α , Β , Γ , δ , καί εἰμί αὐτηες͂ς ἀντίκειμαι ὁ Κ . λέγω , ὅτι ὁ Κ οὐ συμπίπτω ὁ Ε . εἰμί γάρ δυνατός , συμπίπτω κατά ὁ Κ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , ΓΔ καί ἐκβάλλω · συμπίπτω δή ἀλλήλων . συμπίπτω κατά ὁ Λ , καί ὅς μέν ἔχω λόγος ὁ ΑΛ πρός ΛΒ , ἔχω ὁ ΑΠ πρός ΠΒ , ὅς δέ ὁ δΛ πρός ΛΓ , ὁ δΡ πρός ΡΓ . ὁ ἄρα διά ὁ Π , Ρ ἐκβάλλω συμπίπτω ἑκάτερος ὁ τομή , καί ὁ ἀπό ὁ Λ ἐπί ὁ σύμπτωσις ἐφάπτω . ἐπιζεύγνυμι δή ὁ ΚΛ καί ἐκβάλλω · τέμνω δή ὁ ὑπό ΒΛΓ γωνία καί ὁ τομή κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον . τέμνω κατά ὁ Ζ , Μ · εἰμί δή διά μέν ὁ ΖΗΘ , Κ ἀντίκειμαι , ὡς ὁ ΝΚ πρός ΚΛ , ὁ ΝΖ πρός Γῆ , διά δέ ὁ ΑΒΓΔ , Ε , ὡς ὁ ΝΚ πρός ΚΛ , ὁ ΝΜ πρός ΜΛ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Ε , Κ συμπίπτω ἀλλήλων .
apollonius-geom.conica 45
Ἐὰν ὑπερβολὴ τῇ μὲν τῶν ἀντικειμένων συμπίπτῃ κατὰ δύο σημεῖα ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἔχουσα αὐτῇ τὰ κοῖλα , τῇ δὲ καθ’ ἓν σημεῖον , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδετέρᾳ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ , Γ , καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΑΓΒ τῇ μὲν ΑΒ συμπιπτέτω κατὰ τὰ Α , Β , τῇ δὲ Γ καθ’ ἓν τὸ Γ , καὶ ἔστω τῇ ΑΓΒ ἀντικειμένη ἡ Δ . λέγω , ὅτι ἡ Δ οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ , Γ συμπεσεῖται . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν . αἱ ἄρα ΑΓ , ΒΓ τῇ Δ τομῇ οὐ συμπεσοῦνται . ἀλλ’ οὐδὲ τῇ Γ τομῇ κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ συμπεσοῦνται πλὴν τὸ Γ . εἰ γὰρ συμβάλλουσι καὶ καθ’ ἕτερον , τῇ ΑΒ ἀντικειμένῃ οὐ συμπε σοῦνται · ὑπόκεινται δὲ συμπίπτουσαι . αἱ ΑΓ , Β Γ ἄρα εὐθεῖαι τῇ μὲν Γ τομῇ καθ’ ἓν συμβάλλουσι τὸ Γ , τῇ δὲ Δ τομῇ οὐδὲ ὅλως συμβάλλουσιν . ἡ Δ ἄρα ἔσται ὑπὸ τὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΓΖ . ὥστε ἡ Δ τομὴ οὐ συμπεσεῖται ταῖς ΑΒ , Γ .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή ὁ μέν ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω κατά δύο σημεῖον ἐπί ὁ αὐτός ἔχω αὐτός ὁ κοῖλος , ὁ δέ κατά εἷς σημεῖον , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός οὐδέτερος ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒ , Γ , καί ὑπερβολή ὁ ΑΓΒ ὁ μέν ΑΒ συμπίπτω κατά ὁ Α , Β , ὁ δέ Γ κατά εἷς ὁ Γ , καί εἰμί ὁ ΑΓΒ ἀντίκειμαι ὁ δ . λέγω , ὅτι ὁ δ οὐδέτερος ὁ ΑΒ , Γ συμπίπτω . ἐπιζεύγνυμι γάρ ὁ ΑΓ , ΒΓ καί ἐκβάλλω . ὁ ἄρα ΑΓ , ΒΓ ὁ δ τομή οὐ συμπίπτω . ἀλλά οὐδέ ὁ Γ τομή κατά ἄλλος σημεῖον οὐ συμπίπτω πλήν ὁ Γ . εἰμί γάρ συμβάλλω καί κατά ἕτερος , ὁ ΑΒ ἀντίκειμαι οὐ συμπίνω σεύω · ὑπόκειμαι δέ συμπίπτω . ὁ ΑΓ , Β Γ ἄρα εὐθεῖα ὁ μέν Γ τομή κατά εἷς συμβάλλω ὁ Γ , ὁ δέ δ τομή οὐδέ ὅλος συμβάλλω . ὁ δ ἄρα εἰμί ὑπό ὁ γωνία ὁ ὑπό ΕΓΖ . ὥστε ὁ δ τομή οὐ συμπίπτω ὁ ΑΒ , Γ .
apollonius-geom.conica 47
Ἐὰν ὑπερβολὴ τῆς μὲν ἐφάπτηται τῶν ἀντικειμένων , τὴν δὲ κατὰ δύο σημεῖα τέμνῃ , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδεμιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ , Δ , καὶ ὑπερβολή τις ἡ ΑΒΔ τὴν μὲν ΑΒΓ τεμνέτω κατὰ τὰ Α , Β , τῆς δὲ Δ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Δ , καὶ ἔστω τῆς ΑΒΔ τομῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ . λέγω , ὅτι ἡ ΓΕ οὐδεμιᾷ τῶν ΑΒΓ , Δ συμπεσεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , συμπιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ , καὶ διὰ τοῦ Δ ἐφαπτομένη ἤχθω συμπίπτουσα τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ · τὸ Ζ ἄρα σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒΔ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Ζ ἐντὸς πεσεῖται τῆς ὑπὸ τῶν ΒΖ Δ περιεχομένης γωνίας . πάλιν ἐπεὶ ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΑΒΓ , καὶ συμπίπτουσιν αἱ ΑΒ , ΓΖ , καὶ αἱ Α , Β συμπτώσεις οὐ περιέχουσι τὴν Γ , τὸ Ζ σημεῖον μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἐστὶ τῆς ΑΒΓ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ Δ · ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ζ ἐντὸς πεσεῖται τῆς ὑπὸ ΑΖΓ γωνίας · ὅπερ ἄτοπον · ἔπιπτε γὰρ καὶ εἰς τὴν ὑπὸ ΒΖΔ . οὐκ ἄρα ἡ ΓΕ μιᾷ τῶν ΑΒΓ , Δ συμπεσεῖται .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή ὁ μέν ἐφάπτω ὁ ἀντίκειμαι , ὁ δέ κατά δύο σημεῖον τέμνω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός οὐδείς ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒΓ , δ , καί ὑπερβολή τις ὁ ΑΒΔ ὁ μέν ΑΒΓ τέμνω κατά ὁ Α , Β , ὁ δέ δ ἐφάπτω κατά ὁ δ , καί εἰμί ὁ ΑΒΔ τομή ἀντίκειμαι ὁ ΓΕ . λέγω , ὅτι ὁ ΓΕ οὐδείς ὁ ΑΒΓ , δ συμπίπτω . εἰμί γάρ δυνατός , συμπίπτω ὁ ΑΒ κατά ὁ Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ , καί διά ὁ δ ἐφάπτω ἄγω συμπίπτω ὁ ΑΒ κατά ὁ Ζ · ὁ Ζ ἄρα σημεῖον ἐντός εἰμί ὁ ἀσύμπτωτος ὁ ΑΒΔ τομή . καί εἰμί αὐτηες͂ς ἀντίκειμαι ὁ ΓΕ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Γ ἐπί ὁ Ζ ἐντός πίπτω ὁ ὑπό ὁ ΒΖ δ περιέχω γωνία . πάλιν ἐπεί ὑπερβολή εἰμί ὁ ΑΒΓ , καί συμπίπτω ὁ ΑΒ , ΓΖ , καί ὁ Α , Β σύμπτωσις οὐ περιέχω ὁ Γ , ὁ Ζ σημεῖον μεταξύ ὁ ἀσύμπτωτος εἰμί ὁ ΑΒΓ τομή . καί εἰμί αὐτηες͂ς ἀντίκειμαι ὁ δ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ δ ἐπί ὁ Ζ ἐντός πίπτω ὁ ὑπό ΑΖΓ γωνία · ὅς ἄτοπος · πίπτω γάρ καί εἰς ὁ ὑπό ΒΖΔ . οὐ ἄρα ὁ ΓΕ εἷς ὁ ΑΒΓ , δ συμπίπτω .
apollonius-geom.conica 48
Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων καθ’ ἓν μὲν ἐφάπτηται , κατὰ δύο δὲ συμπίπτῃ , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἀντικειμένῃ οὐ συμπεσεῖται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ , Δ , καὶ ὑπερβολή τις ἡ ΑΗΓ ἐφαπτέσθω μὲν κατὰ τὸ Α , τεμνέτω δὲ κατὰ τὰ Β , Γ , καὶ τῆς ΑΗΓ ἀντικειμένη ἔστω ἡ Ε . λέγω , ὅτι ἡ Ε τῇ Δ οὐ συμπεσεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , συμπιπτέτω κατὰ τὸ Δ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἡ ΑΖ ἐφαπτομένη . ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται , ὅτι τὸ Ζ σημεῖον ἐντὸς τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας ἐστί . καὶ ἡ ΑΖ ἐφάψεται τῶν τομῶν ἀμφοτέρων , καὶ ἡ ΔΖ ἐκβαλλομένη τεμεῖ τὰς τομὰς μεταξὺ τῶν Α , Β κατὰ τὰ Η , Κ . καὶ ὃν δὴ ἔχει λόγον ἡ ΓΖ πρὸς ΖΒ , ἐχέτω ἡ ΓΛ πρὸς ΛΒ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΛ ἐκβεβλήσθω · τεμεῖ δὴ τὰς τομὰς κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο . τεμνέτω κατὰ τὰ Ν , Μ · αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰ Ν , Μ ἐφάψονται τῶν τομῶν , καὶ ἔσται ὁμοίως τοῖς πρότερον διὰ μὲν τὴν ἑτέραν τομήν , ὡς ἡ ΞΔ πρὸς ΔΖ , ἡ ΞΚ πρὸς ΚΖ , διὰ δὲ τὴν ἑτέραν , ὡς ἡ ΞΔ πρὸς ΔΖ , ἡ ΞΗ πρὸς ΗΖ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ἀντικειμένη συμπεσεῖται .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι κατά εἷς μέν ἐφάπτω , κατά δύο δέ συμπίπτω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ἀντίκειμαι οὐ συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒΓ , δ , καί ὑπερβολή τις ὁ ΑΗΓ ἐφάπτω μέν κατά ὁ Α , τέμνω δέ κατά ὁ Β , Γ , καί ὁ ΑΗΓ ἀντίκειμαι εἰμί ὁ Ε . λέγω , ὅτι ὁ Ε ὁ δ οὐ συμπίπτω . εἰμί γάρ δυνατός , συμπίπτω κατά ὁ δ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΒΓ καί ἐκβάλλω ἐπί ὁ Ζ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α ὁ αζʹ ἐφάπτω . ὅμοιος δή ὁ πρότερος δείκνυμι , ὅτι ὁ Ζ σημεῖον ἐντός ὁ ὑπό ὁ ἀσύμπτωτος περιέχω γωνία εἰμί . καί ὁ αζʹ ἐφάπτω ὁ τομή ἀμφότερος , καί ὁ ΔΖ ἐκβάλλω τέμνω ὁ τομή μεταξύ ὁ Α , Β κατά ὁ ὁ , Κ . καί ὅς δή ἔχω λόγος ὁ ΓΖ πρός ΖΒ , ἔχω ὁ ΓΛ πρός ΛΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΛ ἐκβάλλω · τέμνω δή ὁ τομή κατά ἄλλος καί ἄλλος . τέμνω κατά ὁ Ν , Μ · ὁ ἄρα ἀπό ὁ Ζ ἐπί ὁ Ν , Μ ἐφάπτω ὁ τομή , καί εἰμί ὅμοιος ὁ πρότερος διά μέν ὁ ἕτερος τομή , ὡς ὁ ΞΔ πρός ΔΖ , ὁ ΞΚ πρός ΚΖ , διά δέ ὁ ἕτερος , ὡς ὁ ΞΔ πρός ΔΖ , ὁ ΞΗ πρός ΗΖ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω .
apollonius-geom.conica 49
Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων ἐφαπτομένη καθ’ ἕτερον αὐτῇ σημεῖον συμπίπτῃ , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ , ΕΖ Η , καὶ ὑπερβολή τις ἡ ΔΑΓ ἐφαπτέσθω μὲν κατὰ τὸ Α , τεμνέτω δὲ κατὰ τὸ Γ , καὶ ἔστω τῇ ΔΑΓ ἀντικειμένη ἡ ΕΖΘ . λέγω , ὅτι οὐ συμπεσεῖται τῇ ἑτέρᾳ ἀντικειμένῃ κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν . εἰ γὰρ δυνατόν , συμβαλλέτω κατὰ δύο τὰ Ε , Ζ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ , καὶ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῶν τομῶν ἤχθω ἡ ΑΚ . ἤτοι δὴ παράλληλοί εἰσιν ἢ οὔ . ἔστωσαν πρότερον παράλληλοι , καὶ ἤχθω ἡ διχοτομοῦσα διάμετρος τὴν ΕΖ · ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Α καὶ ἔσται διάμετρος τῶν δύο συζυγῶν . ἤχθω διὰ τοῦ Γ παρὰ τὰς ΑΚ , ΕΖ ἡ ΓΛΔΒ · τεμεῖ ἄρα τὰς τομὰς κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον . ἔσται δὴ ἐν μὲν τῇ ἑτέρα ἴση ἡ ΓΑ τῇ ΛΔ , ἐν δὲ τῇ λοιπῇ ἡ ΓΑ τῇ ΛΒ . τοῦτο δὲ ἀδύνατον . μὴ ἔστωσαν δὴ παράλληλοι αἱ ΑΚ , ΕΖ , ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ , καὶ ἡ ΓΔ παρὰ τὴν ΑΚ ἠγμένη συμπιπτέτω τῇ ΕΖ κατὰ τὸ Ν , ἡ δὲ ΑΒ διχοτομοῦσα τὴν ΕΖ τεμνέτω τὰς τομὰς κατὰ τὰ Ξ , Ο , καὶ ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν τῶν τομῶν ἀπὸ τῶν Ξ , Ο αἱ ΞΠ , ΟΡ . ἔσται ἄρα , ὡς τὸ ἀπὸ ΑΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΞ , τὸ ἀπὸ ΑΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΟ , καὶ διὰ τοῦτο ὡς τὸ ὑπὸ ΔΝΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΝΖ , τὸ ὑπὸ ΒΝΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΝ Ζ . ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΝΓ τῷ ὑπὸ ΒΝΓ · ὅπερ ἀδύνατον .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι ἐφάπτω κατά ἕτερος αὐτός σημεῖον συμπίπτω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ εἷς . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒΓ , ΕΖ ὁ , καί ὑπερβολή τις ὁ δΑΓ ἐφάπτω μέν κατά ὁ Α , τέμνω δέ κατά ὁ Γ , καί εἰμί ὁ δΑΓ ἀντίκειμαι ὁ ΕΖΘ . λέγω , ὅτι οὐ συμπίπτω ὁ ἕτερος ἀντίκειμαι κατά πολύς σημεῖον ἢ εἷς . εἰμί γάρ δυνατός , συμβάλλω κατά δύο ὁ Ε , Ζ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΕΖ , καί διά ὁ Α ἐφάπτω ὁ τομή ἄγω ὁ ΑΚ . ἤτοι δή παράλληλος εἰμί ἢ οὐ . εἰμί πρότερος παράλληλος , καί ἄγω ὁ διχοτομέω διάμετρος ὁ ΕΖ · ἔσσομαι ἄρα διά ὁ Α καί εἰμί διάμετρος ὁ δύο συζυγή . ἄγω διά ὁ Γ παρά ὁ ΑΚ , ΕΖ ὁ ΓΛΔΒ · τέμνω ἄρα ὁ τομή κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον . εἰμί δή ἐν μέν ὁ ἕτερος ἴσος ὁ ΓΑ ὁ ΛΔ , ἐν δέ ὁ λοιπός ὁ ΓΑ ὁ ΛΒ . οὗτος δέ ἀδύνατος . μή εἰμί δή παράλληλος ὁ ΑΚ , ΕΖ , ἀλλά συμπίπτω κατά ὁ Κ , καί ὁ ΓΔ παρά ὁ ΑΚ ἄγω συμπίπτω ὁ ΕΖ κατά ὁ Ν , ὁ δέ ΑΒ διχοτομέω ὁ ΕΖ τέμνω ὁ τομή κατά ὁ Ξ , ὁ , καί ἐφάπτω ἄγω ὁ τομή ἀπό ὁ Ξ , ὁ ὁ ΞΠ , ΟΡ . εἰμί ἄρα , ὡς ὁ ἀπό ΑΠ πρός ὁ ἀπό ΠΞ , ὁ ἀπό ΑΡ πρός ὁ ἀπό ΡΟ , καί διά οὗτος ὡς ὁ ὑπό ΔΝΓ πρός ὁ ὑπό ΕΖΝ , ὁ ὑπό βνγʹ πρός ὁ ὑπό ΕΝ Ζ . ἴσος ἄρα ὁ ὑπό ΔΝΓ ὁ ὑπό βνγʹ · ὅς ἀδύνατος .
apollonius-geom.conica 50
Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων καθ’ ἓν σημεῖον ἐπιψαύῃ , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ , ΕΔΗ , καὶ ὑπερβολη ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α , καὶ ἔστω τῆς ΑΓ ἀντικειμένη ἡ ΕΔΖ . λέγω , ὅτι ἡ ΕΔΖ τῇ ΕΔΗ οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο . εἰ γὰρ δυνατόν , συμβαλλέτω κατὰ τρία τὰ Δ , Ε , Θ , καὶ ἤχθω τῶν ΑΒ , ΑΓ ἐφαπτομένη ἡ ΑΚ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω , καὶ ἔστωσαν πρότερον παράλληλοι αἱ ΑΚ , ΔΕ · καὶ τετμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Λ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ . ἔσται δὴ διάμετρος ἡ ΑΛ τῶν δύο συζυγῶν καὶ τέμνει τὰς τομὰς μεταξὺ τῶν Δ , Ε κατὰ τὰ Μ , Ν [ ὥστε ἡ ΔΛΕ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Λ ] . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Θ παρὰ τὴν ΔΕ ἡ ΘΖΗ · ἔσται δὴ ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἴση ἡ ΘΞ τῇ ΞΖ , ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἴση ἡ ΘΞ τῇ ΞΗ . ὥστε καὶ ἡ ΞZ τῇ ΞΗ ἐστιν ἴση · ὅπερ ἀδύνατον . μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΚ , ΔΕ παράλληλοι , ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ , καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ γεγονέτω , καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΚ συμπιπτέτω τῇ ΖΘ κατὰ τὸ Ρ . ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον ὅτι ἐστίν , ὡς τὸ ὑπὸ ΔΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΚ , ἐν μὲν τῇ ΖΔΕ τομῇ τὸ ὑπὸ ΖΡΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΑ , ἐν δὲ τῇ ΗΔΕ τὸ ὑπὸ ΗΡΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΑ . τὸ ἄρα ὑπὸ ΗΡΘ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΡΘ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ ΕΔΖ τῇ ΕΔΗ κατὰ πλείονα σημεῖα συμβάλλει ἢ δύο .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι κατά εἷς σημεῖον ἐπιψαύω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒ , ΕΔΗ , καί ὑπερβολή ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ ἐφάπτω κατά ὁ Α , καί εἰμί ὁ ΑΓ ἀντίκειμαι ὁ ΕΔΖ . λέγω , ὅτι ὁ ΕΔΖ ὁ ΕΔΗ οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο . εἰμί γάρ δυνατός , συμβάλλω κατά τρεῖς ὁ δ , Ε , Θ , καί ἄγω ὁ ΑΒ , ΑΓ ἐφάπτω ὁ ΑΚ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΔΕ ἐκβάλλω , καί εἰμί πρότερος παράλληλος ὁ ΑΚ , ΔΕ · καί τέμνω ὁ ΔΕ δίχα κατά ὁ Λ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΛ . εἰμί δή διάμετρος ὁ ΑΛ ὁ δύο συζυγή καί τέμνω ὁ τομή μεταξύ ὁ δ , Ε κατά ὁ Μ , Ν [ ὥστε ὁ ΔΛΕ δίχα τέμνω κατά ὁ Λ ] . ἄγω ἀπό ὁ Θ παρά ὁ ΔΕ ὁ ΘΖΗ · εἰμί δή ἐν μέν ὁ ἕτερος τομή ἴσος ὁ ΘΞ ὁ ΞΖ , ἐν δέ ὁ ἕτερος ἴσος ὁ ΘΞ ὁ ΞΗ . ὥστε καί ὁ ΞZ ὁ ΞΗ εἰμί ἴσος · ὅς ἀδύνατος . μή εἰμί δή ὁ ΑΚ , ΔΕ παράλληλος , ἀλλά συμπίπτω κατά ὁ Κ , καί ὁ λοιπός ὁ αὐτός γίγνομαι , καί ἐκβάλλω ὁ ΑΚ συμπίπτω ὁ ΖΘ κατά ὁ Ρ . ὅμοιος δή δείκνυμι ὁ πρότερος ὅτι εἰμί , ὡς ὁ ὑπό ΔΕ πρός ὁ ἀπό ΑΚ , ἐν μέν ὁ ΖΔΕ τομή ὁ ὑπό ΖΡΘ πρός ὁ ἀπό ΡΑ , ἐν δέ ὁ ΗΔΕ ὁ ὑπό ΗΡΘ πρός ὁ ἀπό ΡΑ . ὁ ἄρα ὑπό ΗΡΘ ἴσος ὁ ὑπό ΖΡΘ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ ΕΔΖ ὁ ΕΔΗ κατά πολύς σημεῖον συμβάλλω ἢ δύο .
apollonius-geom.conica 51
Ἐὰν ὑπερβολὴ ἑκατέρας τῶν ἀντικειμένων ἐφάπτηται , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδεμιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΑΒ ἑκατέρας αὐτῶν ἐφαπτέσθω κατὰ τὰ Α , Β , ἀντικειμένη δὲ αὐτῆς ἔστω ἡ Ε . λέγω , ὅτι ἡ Ε οὐδετέρᾳ τῶν Α , Β συμπεσεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , συμπιπτέτω τῇ Α κατὰ τὸ Δ , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν · συμπεσοῦνται δὴ ἀλλήλαις ἐντὸς τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒ τομῆς . συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Γ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ · ἡ ἄρα ΓΔ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ ἔσται τῶν ΑΓ , ΓΒ . ἀλλὰ καὶ μεταξὺ τῶν ΒΓ , ΓΖ · ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα ἡ Ε συμπεσεῖται ταῖς Α , Β .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι ἐφάπτω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός οὐδείς ὁ ἀντίκειμαι συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὑπερβολή ὁ ΑΒ ἑκάτερος αὐτός ἐφάπτω κατά ὁ Α , Β , ἀντίκειμαι δέ αὐτηες͂ς εἰμί ὁ Ε . λέγω , ὅτι ὁ Ε οὐδέτερος ὁ Α , Β συμπίπτω . εἰμί γάρ δυνατός , συμπίπτω ὁ Α κατά ὁ δ , καί ἄγω ἀπό ὁ Α , Β ἐφάπτω ὁ τομή · συμπίπτω δή ἀλλήλων ἐντός ὁ ἀσύμπτωτος ὁ ΑΒ τομή . συμπίπτω κατά ὁ Γ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΓΔ · ὁ ἄρα ΓΔ ἐν ὁ μεταξύ τόπος εἰμί ὁ ΑΓ , ΓΒ . ἀλλά καί μεταξύ ὁ ΒΓ , ΓΖ · ὅς ἄτοπος . οὐ ἄρα ὁ Ε συμπίπτω ὁ Α , Β .
apollonius-geom.conica 52
Ἐὰν ἑκατέρα τῶν ἀντικειμένων ἑκατέρας τῶν ἀντικειμένων καθ’ ἓν ἐφάπτηται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τὰ κοῖλα ἔχουσα , οὐ συμπεσεῖται καθ’ ἕτερον σημεῖον . ἐφαπτέσθωσαν γὰρ ἀλλήλων ἀντικείμεναι κατὰ τὰ Α , Δ σημεῖα . λέγω , ὅτι καθ’ ἕτερον σημεῖον οὐ συμβάλλουσιν . εἰ γὰρ δυνατόν , συμβαλλέτωσαν κατὰ τὸ Ε . ἐπεὶ οὖν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων ἐφαπτομένη κατὰ τὸ Δ συμπέπτωκε κατὰ τὸ Ε , ἡ ἄρα ΑΒ τῇ ΑΓ οὐ συμβάλλει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν . ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Δ τῶν τομῶν ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΘ , ΘΔ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ , καὶ διὰ τοῦ Ε παρὰ τὴν ΑΔ ἤχθω ἡ ΕΒΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ δευτέρα διάμετρος ἤχθω τῶν ἀντικειμένων ἡ ΘΚΛ · τεμεῖ δὴ τὴν ΑΔ δίχα κατὰ τὸ Κ . καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΒ , ΕΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Λ . ἴση ἄρα ἡ ΒΛ τῇ ΛΓ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται κατ’ ἄλλο σημεῖον .
Lemmas: ἐάν ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι ἑκάτερος ὁ ἀντίκειμαι κατά εἷς ἐφάπτω ἐπί ὁ αὐτός ὁ κοῖλος ἔχω , οὐ συμπίπτω κατά ἕτερος σημεῖον . ἐφάπτω γάρ ἀλλήλων ἀντίκειμαι κατά ὁ Α , δ σημεῖον . λέγω , ὅτι κατά ἕτερος σημεῖον οὐ συμβάλλω . εἰμί γάρ δυνατός , συμβάλλω κατά ὁ Ε . ἐπεί οὖν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι ἐφάπτω κατά ὁ δ συμπίπτω κατά ὁ Ε , ὁ ἄρα ΑΒ ὁ ΑΓ οὐ συμβάλλω κατά πολύς σημεῖον ἢ εἷς . ἄγω ἀπό ὁ Α , δ ὁ τομή ἐφάπτω ὁ ΑΘ , ΘΔ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΔ , καί διά ὁ Ε παρά ὁ ΑΔ ἄγω ὁ ΕΒΓ , καί ἀπό ὁ Θ δεύτερος διάμετρος ἄγω ὁ ἀντίκειμαι ὁ ΘΚΛ · τέμνω δή ὁ ΑΔ δίχα κατά ὁ Κ . καί ἑκάτερος ἄρα ὁ ΕΒ , ΕΓ δίχα τέμνω κατά ὁ Λ . ἴσος ἄρα ὁ ΒΛ ὁ ΛΓ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα συμπίπτω κατά ἄλλος σημεῖον .
apollonius-geom.conica 53
Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων κατὰ δύο σημεῖα ἐφάπτηται , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΔΒ , Ε , καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΑΓ τῆς ΑΔΒ ἐφαπτέσθω κατὰ δύο σημεῖα τὰ Α , Β , καὶ ἔστω ἀντικειμένη τῆς ΑΓ ἡ Ζ . λέγω , ὅτι ἡ Ζ τῇ Ε οὐ συμπεσεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α , Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΑΗ , ΗΒ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ ἡ ΕΗ καὶ ἐκβεβλήσθω · τεμεῖ δὴ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον τὰς τομάς . ἔστω δὴ ὡς ἡ ΕΗΓΔΘ . ἐπεὶ οὖν ἐφάπτονται αἱ ΑΗ , ΗΒ , καὶ ἡ ΑΒ τὰς ἁφὰς ἐπέζευξεν , ἔσται ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ συζυγίᾳ , ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΗ , ἡ ΘΔ πρὸς ΔΗ , ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἡ ΘΓ πρὸς ΓΗ · ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα ἡ Ζ τῇ Ε συμβάλλει .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι κατά δύο σημεῖον ἐφάπτω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι οὐ συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΔΒ , Ε , καί ὑπερβολή ὁ ΑΓ ὁ ΑΔΒ ἐφάπτω κατά δύο σημεῖον ὁ Α , Β , καί εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΓ ὁ Ζ . λέγω , ὅτι ὁ Ζ ὁ Ε οὐ συμπίπτω . εἰμί γάρ δυνατός , συμπίπτω κατά ὁ Ε , καί ἄγω ἀπό ὁ Α , Β ἐφάπτω ὁ τομή ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ καί ὁ ΕΗ καί ἐκβάλλω · τέμνω δή κατά ἄλλος καί ἄλλος σημεῖον ὁ τομή . εἰμί δή ὡς ὁ ΗΘ . ἐπεί οὖν ἐφάπτω ὁ ΑΗ , ΗΒ , καί ὁ ΑΒ ὁ ἁφή ἐπιζεύγνυμι , εἰμί ἐν μέν ὁ ἕτερος συζυγία , ὡς ὁ ΘΕ πρός ΕΗ , ὁ ΘΔ πρός δΗ , ἐν δέ ὁ ἕτερος ὁ ΘΓ πρός ΓΗ · ὅς ἀδύνατος . οὐ ἄρα ὁ Ζ ὁ Ε συμβάλλω .
apollonius-geom.conica 54
Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων ἐπιψαύῃ ἀντεστραμμένα τὰ κυρτὰ ἔχουσα , ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α , Β , καὶ τῆς Α τομῆς ἐφαπτέσθω ὑπερβολή τις ἡ ΑΔ κατὰ τὸ Α , ἀντικειμένη δὲ τῆς ΑΔ ἔστω ἡ Ζ . λέγω , ὅτι ἡ Ζ τῇ Β οὐ συμπεσεῖται . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῶν τομῶν ἡ ΑΓ · ἡ ἄρα ΑΓ διὰ μὲν τὴν ΑΔ οὐ συμπεσεῖται τῇ Ζ , διὰ δὲ τὴν Α οὐ συμπεσεῖται τῇ Β . ὥστε ἡ ΑΓ μεταξὺ πεσεῖται τῶν Β , Ζ τομῶν . καὶ φανερόν , ὅτι ἡ Β τῇ Ζ οὐ συμπεσεῖται .
Lemmas: ἐάν ὑπερβολή εἷς ὁ ἀντίκειμαι ἐπιψαύω ἀντιστρέφω ὁ κυρτός ἔχω , ὁ ἀντίκειμαι αὐτός ὁ ἕτερος ὁ ἀντίκειμαι οὐ συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ Α , Β , καί ὁ Α τομή ἐφάπτω ὑπερβολή τις ὁ ΑΔ κατά ὁ Α , ἀντίκειμαι δέ ὁ ΑΔ εἰμί ὁ Ζ . λέγω , ὅτι ὁ Ζ ὁ Β οὐ συμπίπτω . ἄγω ἀπό ὁ Α ἐφάπτω ὁ τομή ὁ ΑΓ · ὁ ἄρα ΑΓ διά μέν ὁ ΑΔ οὐ συμπίπτω ὁ Ζ , διά δέ ὁ Α οὐ συμπίπτω ὁ Β . ὥστε ὁ ΑΓ μεταξύ πίπτω ὁ Β , Ζ τομή . καί φανερός , ὅτι ὁ Β ὁ Ζ οὖον συμπίπτω .
apollonius-geom.conica 56
Ἐὰν ἀντικείμεναι ἀντικειμένων καθ’ ἓν σημεῖον ἐπιψαύωσιν , οὐ συμπεσοῦνται καὶ κατ’ ἄλλα σημεῖα πλείονα ἢ δύο . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ , ΒΓ καὶ ἕτεραι αἱ Δ , ΕΖ , καὶ ἡ ΒΓΔ τῆς ΑΒ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Β , καὶ ἐχέτωσαν ἀντεστραμμένα τὰ κυρτά , καὶ συμπιπτέτω πρῶτον ἡ ΒΓΔ τῇ ΓΔ κατὰ δύο σημεῖα τὰ Γ , Δ , ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου σχήματος . ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓΔ κατὰ δύο τέμνει ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρτά , ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται . πάλιν ἐπεὶ ἡ ΒΓΔ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρτά , ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ οὐ συμπεσεῖται . ἡ ἄρα ΕΖ οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ , ΓΔ τομῶν συμπεσεῖται · κατὰ δύο μόνον ἄρα τὰ Γ , Δ συμβάλλουσιν . ἀλλὰ δὴ τὴν ΓΔ ἡ ΒΓ τεμνέτω καθ’ ἓν σημεῖον τὸ Γ , ὡς ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος . ἡ ἄρα ΕΖ τῇ μὲν ΓΔ οὐ συμπεσεῖται , τῇ δὲ ΑΒ συμπεσεῖται καθ’ ἓν μόνον . εἰ γὰρ κατὰ δύο συμβάλλει η ΕΖ τῇ ΑΒ , η ΒΓ τῇ ΓΔ οὐ συμπεσεῖται · ὑπόκειται δὲ συμβάλλουσα καθ’ ἕν . εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῇ Δ τομῇ μὴ συμπίπτῃ , ὡς ἐπὶ τοῦ τρίτου σχήματος , διὰ μὲν τὰ προειρημένα ἡ ΕΖ τῇ Δ οὐ συμπεσεῖται , ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο . ἐὰν δὲ αἱ τομαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τὰ κοῖλα ἔχωσιν , αἱ αὐταὶ ἀποδείξεις ἁρμόσουσι . κατὰ πάσας οὖν τὰς ἐνδεχομένας διαστολὰς δῆλόν ἐστιν ἐκ τῶν δεδειγμένων τὸ προτεθέν .
Lemmas: ἐάν ἀντίκειμαι ἀντίκειμαι κατά εἷς σημεῖον ἐπιψαύω , οὐ συμπίπτω καί κατά ἄλλος σημεῖον πολύς ἢ δύο . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒ , ΒΓ καί ἕτερος ὁ δ , ΕΖ , καί ὁ ΒΓΔ ὁ ΑΒ ἐφάπτω κατά ὁ Β , καί ἔχω ἀντιστρέφω ὁ κυρτός , καί συμπίπτω πρῶτος ὁ ΒΓΔ ὁ ΓΔ κατά δύο σημεῖον ὁ Γ , δ , ὡς ἐπί ὁ πρῶτος σχῆμα . ἐπεί οὖν ὁ ΒΓΔ κατά δύο τέμνω ἀντιστρέφω ἔχω ὁ κυρτός , ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ οὐ συμπίπτω . πάλιν ἐπεί ὁ ΒΓΔ ὁ ΑΒ ἐφάπτω κατά ὁ Β ἀντιστρέφω ἔχω ὁ κυρτός , ὁ ΕΖ ὁ ΓΔ οὐ συμπίπτω . ὁ ἄρα ΕΖ οὐδέτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ τομή συμπίπτω · κατά δύο μόνος ἄρα ὁ Γ , δ συμβάλλω . ἀλλά δή ὁ ΓΔ ὁ ΒΓ τέμνω κατά εἷς σημεῖον ὁ Γ , ὡς ἐπί ὁ δεύτερος σχῆμα . ὁ ἄρα ΕΖ ὁ μέν ΓΔ οὐ συμπίπτω , ὁ δέ ΑΒ συμπίπτω κατά εἷς μόνος . εἰμί γάρ κατά δύο συμβάλλω η̅ ΕΖ ὁ ΑΒ , η̅ ΒΓ ὁ ΓΔ οὐ συμπίπτω · ὑπόκειμαι δέ συμβάλλω κατά εἷς . εἰμί δέ ὁ ΒΓ ὁ δ τομή μή συμπίπτω , ὡς ἐπί ὁ τρίτος σχῆμα , διά μέν ὁ προλέγω ὁ ΕΖ ὁ δ οὐ συμπίπτω , ὁ δέ ΕΖ ὁ ΑΒ οὐ συμπίπτω κατά πολύς σημεῖον ἢ δύο . ἐάν δέ ὁ τομή ἐπί ὁ αὐτός ὁ κοῖλος ἔχω , ὁ αὐτός ἀπόδειξις ἁρμόζω . κατά πᾶς οὖν ὁ ἐνδέχομαι διαστολή δῆλος εἰμί ἐκ ὁ δείκνυμι ὁ προτίθημι .
apollonius-geom.conica 57
Ἐὰν ἀντικείμεναι ἀντικειμένων κατὰ δύο ἐπιψαύωσι , καθ’ ἕτερον σημεῖον οὐ συμπεσοῦνται . ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ , ΓΔ καὶ ἕτεραι αἱ ΑΓ , ΕΖ καὶ ἐφαπτέσθωσαν πρῶτον , ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου σχήματος , κατὰ τὰ Α , Γ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἑκατέρας τῶν ΑΒ , ΓΔ ἐφάπτεται κατὰ τὰ Α , Γ σημεῖα , ἡ ΕΖ ἄρα οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ , ΓΔ συμπεσεῖται . ἐφαπτέσθωσαν δή , ὡς ἐπὶ τοῦ δευτέρου . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ οὐ συμπεσεῖται . ἐφαπτέσθω δή , ὡς ἐπὶ τοῦ τρίτου σχήματος , ἡ μὲν ΓΑ τῆς ΑΒ κατὰ τὸ Α , ἡ δὲ Δ τῆς ΕΖ κατὰ τὸ Ζ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται ἀντεστραμμένα τὰ κυρτὰ ἔχουσα , ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται . πάλιν ἐπεὶ ἡ ΖΔ τῆς ΕΖ ἐφάπτεται , ἡ ΓΑ τῇ ΔΖ οὐ συμπεσεῖται . εἰ δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται κατὰ τὸ Α , ἡ δὲ ΕΓ τῆς ΓΔ κατὰ τὸ Γ , καὶ ἔχουσιν ἐπὶ τὰ αὐτα τὰ κοῖλα , ὡς ἐπὶ τοῦ τετάρτου σχήματος , καθ’ ἕτερον οὐ συμπεσοῦνται . οὐδὲ μὴ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ συμπεσεῖται . κατὰ πάσας οὖν τὰς ἐνδεχομένας διαστολὰς δῆλόν ἐστιν ἐκ τῶν δεδειγμένων τὸ προτεθέν .
Lemmas: ἐάν ἀντίκειμαι ἀντίκειμαι κατά δύο ἐπιψαύω , κατά ἕτερος σημεῖον οὐ συμπίπτω . εἰμί ἀντίκειμαι ὁ ΑΒ , ΓΔ καί ἕτερος ὁ ΑΓ , ΕΖ καί ἐφάπτω πρῶτος , ὡς ἐπί ὁ πρῶτος σχῆμα , κατά ὁ Α , Γ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΓ ἑκάτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ ἐφάπτω κατά ὁ Α , Γ σημεῖον , ὁ ΕΖ ἄρα οὐδέτερος ὁ ΑΒ , ΓΔ συμπίπτω . ἐφάπτω δή , ὡς ἐπί ὁ δεύτερος . ὅμοιος δή δείκνυμι , ὅτι ὁ ΓΔ ὁ ΕΖ οὐ συμπίπτω . ἐφάπτω δή , ὡς ἐπί ὁ τρίτος σχῆμα , ὁ μέν ΓΑ ὁ ΑΒ κατά ὁ Α , ὁ δέ δ ὁ ΕΖ κατά ὁ Ζ . ἐπεί οὖν ὁ ΑΓ ὁ ΑΒ ἐφάπτω ἀντιστρέφω ὁ κυρτός ἔχω , ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ οὐ συμπίπτω . πάλιν ἐπεί ὁ ΖΔ ὁ ΕΖ ἐφάπτω , ὁ ΓΑ ὁ ΔΖ οὐ συμπίπτω . εἰμί δέ ὁ μέν ΑΓ ὁ ΑΒ ἐφάπτω κατά ὁ Α , ὁ δέ ΕΓ ὁ ΓΔ κατά ὁ Γ , καί ἔχω ἐπί ὁ αὐτός ὁ κοῖλος , ὡς ἐπί ὁ τέταρτος σχῆμα , κατά ἕτερος οὐ συμπίπτω . οὐδέ μή ὁ ΕΖ ὁ ΑΒ συμπίπτω . κατά πᾶς οὖν ὁ ἐνδέχομαι διαστολή δῆλος εἰμί ἐκ ὁ δείκνυμι ὁ προτίθημι .