andronicus-rhodius.de-passionibus-lib-1-sp andronicus_mullach_fpg3_0289.1
ἐγράψαν τὸ πρῶτον καὶ κατὰ τρόπον ἐδῶσαν ἀποδοθῆναι , διόπερ ἐπὶ πλέον ἀψώμεθ᾽ αὐτὸ καὶ διελέξομεν . Ἀρχὴν μὲν οὖν ἐποιήσατο καὶ πρῶτον ἔθετο τῶν πρὸς αὐτοὺς χρησίμων , ὅτι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει τὰ τε ὅμοια τῶν κύκλων τμήματα πρὸς ἀλλήλα καὶ αἱ βάσεις αὐτῶν δυνάμει · τοῦτο δὲ δεδεικνυται ἐν τῷ τὰς διαμέτρους δεῖξαι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσα δυνάμει τοῖς κύκλοις , ὅπερ Εὐκλείδης δεύτερον τέθεικεν ἐν τῷ ὀγδοεκάτῳ τῶν στοιχείων βιβλίῳ τὴν πρότασιν εἰπόντος αὐτοῦ · οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν , ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα · ὡς γὰρ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους ἔχουσιν , οὕτω καὶ τὰ ὅμοια τμήματα . Ὁμοία γὰρ τμήματα ἐστὶ τὰ τὸ αὐτὸ μέρος ὄντα τοῦ κύκλου , οἷον ἡμικύκλιον ἡμικυκλίῳ καὶ τριτημόριον τριτημορίῳ · διό καὶ γωνίας ἴσας δέχεται τὰ ὅμοια τμήματα . Αἱ γὰρ τῶν ἡμικυκλίων πάντων ὀρθαὶ εἰσι καὶ τῶν μειζόνων ἐλάττονες ὀρθῶν , καὶ τοσοῦτω , ὅσω μειζόνα ἡμικυκλίων τὰ τμήματα , καὶ αἱ τῶν ἐλαττόνων μειζόνες , καὶ τοσοῦτω ὅσω ἐλάττονα ἡμικυκλίων τὰ τμήματα · δεῖχθέντος δὲ αὐτῷ τούτου πρώτῳ μὲν ἐγράψεν μηνίσκον τὴν περιφέρειαν ἔχοντα ἡμικυκλίῳ περὶ τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ ἰσοσκελὲς αὐτὸ τὸ ἡμικύκλιον περιγράφας καὶ περὶ τὴν βάσιν τμήμα κύκλου τοῖς ὑπὸ τῶν ὑποσχευθεισῶν ἀφαιρουμένους ὁμοιον ὅπερ Εὐκλείδης λ᾽ τρίτον ἔθετο θεώρημα τοῦ τρίτου βιβλίου προτείνας οὕτως · « ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράφαι τμήμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ . » Εἰ γὰρ τὸ περὶ τὴν βάσιν οὕτω περιγράψει , ὡς ἴσην δέξασθαι γωνίαν τῶν ἐν τοῖς τμήμασι τοῖς ὑπὸ τῶν ἐπίσχευθεισῶν ἀφαιρουμένους , ὁμοιον ἔσται ἐκείνοις · ὅμοια γὰρ τμήματα κύκλων ὁ Εὐκλείδης ὡρίσατο ἐν τῷ τριακαδεκάτῳ ( leg . τρίτῳ ) βιβλίῳ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας . Ὀντος δὲ τοῦ περὶ τὴν βάσιν τμήματος ἴσου τοῖς περὶ τὰς ἑτέρας ἀμφοτέρας διότι , ὡς δέδεικται ἐν τῷ παρατελευτῷ ( Euclid . I , 47 ) τοῦ πρώτου τῶν Εὐκλείδου στοιχείων θεωρήματι , ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις ἡ ὑποτείνουσα ἴσον δύναται ταῖς τὴν ὀρθὴν περιεχοῦσαις ἀμφοτέραις . Ὡς δὲ τὰ ἀπὸ τῶν εὐθειῶν τετράγωνα , οὕτως ἔχει τὰ ὅμοια τῶν κύκλων τμήματα πρὸς ἀλλήλα , καὶ κοινῷ προστεθέντος τοῦ μέρεος τοῦ τριγώνου τοῦ ὑπὲρ τὸ τμήμα τὸ περὶ τὴν βάσιν ἴσος ἔσται ὁ μηνίσκος τῷ τριγώνῳ . Ἴσος οὖν ὁ μηνίσκος τῷ τριγώνῳ δεῖξεις τετράγωνίζοιτο ἂν . Δέδεικται γὰρ ἐν τῷ ἑνδεκάτῳ ( leg . τεσσαρακαδεκάτῳ ) θεωρήματι τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Εὐκλείδου στοιχείων , πῶς χρὴ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον ἐνστήσαθαι ( Euclid . , συστήσασθαι ) . Οὕτω μὲν οὖν ἡμικυκλίῳ τὴν ἐξω τοῦ μηνίσκου περιφέρειαν ὑποθέμενος ἐτετραγώνισεν ὁ Ἱπποκράτης τὸν μηνίσκον εὐκύκλως , εἶτα ἐφρεῖς μειζόν ἡμικύκλιον ὑποτιθεὶς συστήσας τραπεζίον μειζόν τὰς μὲν τρεῖς ἔχον πλευρὰς ἴσας ἀλλήλαις , τὴν δὲ μίαν τὴν μειζόνα τῶν παραλλήλων τριπλασίαν ἐκείνων ἐκάστης δυνάμει καὶ τὸ τε τραπέζιον περιλαβὼν κύκλῳ καὶ περὶ τὴν μεγίστην αὐτοῦ πλευρὰν ὁμοιον τμήμα περιγράψας τοῖς ὑπὸ τῶν ἴσων τριῶν ἀποτεμνομένοις ἀπὸ τοῦ κύκλου . Καὶ ὅτι μὲν περιληφθήσεται κύκλῳ τὸ τραπέζιον , δεῖξεις οὕτω διχοτομήσας τὰς τοῦ τραπεζίου γωνίας κατὰ τὸ ἕνατον τοῦ πρώτου τῶν στοιχείων καὶ ἐπίσειε τὰς διαγωνίους , ἐρεῖς , ἐπεὶ ἡ βα τῇ αγ ἴση κοινὴ ἡ δε καὶ γωνίαι καὶ τὰ ἐξῆς . Ὅτι δὲ μειζόν ἐστιν ἡμικυκλίου τὸ λεχθὲν τμήμα , δῆλον ἀχθείσης ἐν τῷ τραπεζίῳ διαμέτρου . Ἀνάγκη γὰρ ταύτην ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτείνουσαν τοῦ τραπεζίου τῆς ὑπολοίπου μιᾶς μειζόνα ἢ διπλασίαν εἶναι δυνάμει . Ἐπεὶ γὰρ μειζόν ἐστιν ἡ βδ τῆς αγ , αἱ δὲ βα ἴσαι οὖσαι καὶ ἐπίσχευγύσαι αὐτὰς ἐκβαλλόμεναι ἐμπεσοῦνται κατὰ τὸ ζ . Εἰ γὰρ παράλληλοι εἰσιν αἱ βα δὲ ἴσαι οὖσαι , αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπίσχευγύσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι καὶ παράλληλοι εἰσιν , ἔσται ἡ αγ ἴση τῇ βδ ὅπερ ἀδύνατον . Συμπίπτουσιν δὲ τῶν βα δὲ κατὰ τὸ ζ , αἱ ὑπὸ ζαγ γαβ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι ἔσονται διὰ τὸ τριακαιδέκατον τοῦ πρώτου τῶν Εὐκλείδου . Μειζόν δὲ ἡ ὑπὸ γαβ τῆς ὑπὸ γαζ ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου τῆς ἐντὸς διὰ τὸ τριακοστὸν δεύτερον τοῦ πρώτου . Ἡμίσεια ἄρα ἡ ὑπὸ γαζ γωνία τῆς βαγ , ἡ ἀρα βγ μειζόν ἢ διπλασίον δύναται ἐκατέρας τῶν βα αγ , ὥστε καὶ τῆς γβ καὶ τὴν μεγίστην ἄρα τῶν τοῦ τραπεζίου πλευρῶν ἀναγκαῖον ἐλάττον δύνασθαι τῆς τε διαμέτρου καὶ τῶν ἑτέρων πλευρῶν ἐκείνης , ὅφ᾽ ἧν ὑποτείνει μετὰ τῆς διαμέτρου ἡ λεχθεῖσα · αἱ γὰρ βγ γδ μειζόν ἢ τριπλασίων δύνασθαι τῆς γδ , ἡ δὲ βδ τετραπλασίων . Ὀξεία ἄρα ἐστὶν ἡ ἐπὶ τῆς μειζόνος τοῦ τραπεζίου πλευρὰς βεβηκυῖα γωνία . Μειζόν ἄρα ἡμικυκλίου ἐστὶ τὸ τμήμα , ἐν ᾧ ἐστιν , ὅπερ ἐστὶν ἡ ἐξω περιφέρεια τοῦ μηνίσκου . Τὸν δὲ τοῦ μηνίσκου τοῦτον τετραγωνίσαν παρῆξεν Εὐδόξου , ὡς σαφῆ , οἶμαι . Εἴη δὲ ἂν τοιούδε . Ἐπεὶδὴ ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν ὁ μηνίσκος μετὰ τοῦ ἐπὶ τῆς μειζόνος τοῦ τραπεζίου πλευρὰς τμήματος τῷ τραπεζίῳ καὶ τοῖς ὑπὸ τῶν τριῶν ἴσων αὐτοῦ εὐθειῶν ἀποτεμνομένους τμήμασιν , ὧν τὸ ἐπὶ τῆς μειζόνος τοῦ τραπεζίου πλευρὰς τμήμα ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀφαιρουμένοις τοῦ κύκλου τρισὶ τμήμασιν , εἴπερ ἴσον ταῖς τρισὶ δύνασθαι ὑπόκειται ἡ μειζόν τοῦ τραπεζίου πλευρά , τὰ δὲ ὅμοια τμήματα πρὸς ἀλλήλα ἐστιν , ὡς τὰ ἀπὸ τῶν εὐθειῶν τετράγωνα . Ἔαν δὲ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ , τὰ καταλειπόμενα ἐστιν ἴσα , ἴσος ἄρα ὁ μηνίσκος τῷ τραπεζίῳ . Ἡ καὶ οὕτω συντόμως ἐρεῖς , ἐπεὶδὴ ἴσον ἐστὶ τὸ περὶ τὴν μειζόνα τοῦ τραπεζίου πλευρὰν τμήμα τοῖς περὶ τὰς τρεῖς τὰς ἴσας περιγραφεῖσι , διότι καὶ τὸ ἀπ᾽ αὐτῆς τετράγωνον τριπλασίων τοῦ ἀπὸ ἐκάστης , ἐὰν κοινὸν προστεθῇ τὸ περιεχόμενον ἐπίπεδον ὑπὸ τε τῶν τριῶν ἴσων εὐθειῶν καὶ τῆς τοῦ μειζόνος τμήματος περιφέρειας , ἔσται ὁ μηνίσκος ἴσος τῷ τραπεζίῳ , οὗ τετραγωνισθέντος , διότι ἔχουσι πᾶν εὐθύγραμμον τετραγωνίσαι , τετραγωνισθήσεται καὶ ὁ μειζόνα ἡμικυκλίῳ τὴν ἐκτὸς περιφέρειαν ἔχων μη -
Lemmas: γράφω ὁ πρῶτος καί κατά τρόπος δίνω ἀποδίδωμι , διόπερ ἐπί πλέω ἅπτω αὐτός καί διαλέγω . Ἀρχή μέν οὖν ποιέω καί πρῶτος τίθημι ὁ πρός αὐτός χρήσιμος , ὅτι ὁ αὐτός λόγος ἔχω ὁ τε ὅμοιος ὁ κύκλος τμῆμα πρός ἀλλήλων καί ὁ βάσις αὐτός δύναμις · οὗτος δέ δείκνυμι ἐν ὁ ὁ διάμετρος δείκνυμι ὁ αὐτός λόγος ἔχω δύναμις ὁ κύκλος , ὅσπερ Εὐκλείδης δύο τίθημι ἐν ὁ ογδοεκατος ὁ στοιχεῖον βιβλίον ὁ πρότασις εἶπον αὐτός · ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων εἰμί , ὡς ὁ ἀπό ὁ διάμετρος τετράγωνος · ὡς γάρ ὁ κύκλος πρός ἀλλήλων ἔχω , οὗτος καί ὁ ὅμοιος τμῆμα . Ὁμοία γάρ τμῆμα εἰμί ὁ ὁ αὐτός μέρος εἰμί ὁ κύκλος , οἷος ἡμικύκλιον ἡμικύκλιον καί τριτημόριον τριτημόριον · διό καί γωνία ἴσος δέχομαι ὁ ὅμοιος τμῆμα . ὁ γάρ ὁ ἡμικύκλιον πᾶς ὀρθός εἰμί καί ὁ μείζων μικρός ὀρθός , καί τοσοῦτος , ὅσος μείζων ἡμικύκλιον ὁ τμῆμα , καί ὁ ὁ μικρός μείζων , καί τοσοῦτος ὅσος μικρός ἡμικύκλιον ὁ τμῆμα · δείκνυμι δέ αὐτός οὗτος πρῶτος μέν γράφω μηνίσκος ὁ περιφέρεια ἔχω ἡμικύκλιον περί τρίγωνος ὀρθογώνιος καί ἰσοσκελής αὐτός ὁ ἡμικύκλιον περιγραφή καί περί ὁ βάσις τμήμα κύκλος ὁ ὑπό ὁ υποσχευθεω ἀφαιρέω ὅμοιος ὅσπερ Εὐκλείδης λίαν τρίτος τίθημι θεώρημα ὁ τρίτος βιβλίον προτείνω οὕτως · « ἐπί ὁ δίδωμι εὐθύς γραφεύς τμήμα κύκλος δέχομαι γωνία ἴσος ὁ δίδωμι γωνία εὐθύγραμμος . » εἰμί γάρ ὁ περί ὁ βάσις οὗτος περιγράφω , ὡς ἴσος δέχομαι γωνία ὁ ἐν ὁ τμῆμα ὁ ὑπό ὁ ἐπέχω ἀφαιρέω , ὅμοιος εἰμί ἐκεῖνος · ὅμοιος γάρ τμῆμα κύκλος ὁ Εὐκλείδης ὁρίζω ἐν ὁ τριακαδεκάτῳ ( leg . τρίτος ) βιβλίον ὁ δέχομαι γωνία ἴσος . εἰμί δέ ὁ περί ὁ βάσις τμῆμα ἴσος ὁ περί ὁ ἕτερος ἀμφότερος διότι , ὡς δείκνυμι ἐν ὁ παρατελευτάω ( Euclid . I , 47 ) ὁ πρῶτος ὁ Εὐκλείδης στοιχεῖον θεώρημα , ἐν ὁ ὀρθογώνιος τρίγωνος ὁ ὑποτείνω ἴσος δύναμαι ὁ ὁ ὀρθός περιέχω ἀμφότερος . ὡς δέ ὁ ἀπό ὁ εὐθύς τετράγωνος , οὕτως ἔχω ὁ ὅμοιος ὁ κύκλος τμῆμα πρός ἀλλήλων , καί κοινός προστίθημι ὁ μέρος ὁ τρίγωνος ὁ ὑπέρ ὁ τμήμα ὁ περί ὁ βάσις ἴσος εἰμί ὁ μηνίσκος ὁ τρίγωνος . Ἴσος οὖν ὁ μηνίσκος ὁ τρίγωνος δείκνυμι τετραγωνίζω εἄν . δείκνυμι γάρ ἐν ὁ ἑνδέκατος ( leg . τεσσαρακαδεκάτῳ ) θεώρημα ὁ δύο βιβλίον ὁ Εὐκλείδης στοιχεῖον , πῶς χρή ὁ δίδωμι εὐθύγραμμος ἴσος τετράγωνος ἐνίστημι ( Euclid . , συνίστημι ) . οὕτως μέν οὖν ἡμικύκλιον ὁ ἐξω ὁ μηνίσκος περιφέρεια ὑποτίθημι τετραγωνίζω ὁ Ἱπποκράτης ὁ μηνίσκος εὔκυκλος , εἶτα φρέω μείζων ἡμικύκλιον ὑποτίθημι συνίστημι τραπέζιον μείζων ὁ μέν τρεῖς ἔχω πλευρά ἴσος ἀλλήλων , ὁ δέ εἷς ὁ μείζων ὁ παράλληλος τριπλάσιος ἐκεῖνος ἕκαστος δύναμις καί ὁ τε τραπέζιον περιλαμβάνω κύκλος καί περί ὁ μέγας αὐτός πλευρά ὅμοιος τμήμα περιγράφω ὁ ὑπό ὁ ἴσος τρεῖς ἀποτέμνω ἀπό ὁ κύκλος . καί ὅτι μέν περιλαμβάνω κύκλος ὁ τραπέζιον , δείκνυμι οὗτος διχοτομέω ὁ ὁ τραπέζιον γωνία κατά ὁ ἔνατος ὁ πρῶτος ὁ στοιχεῖον καί ἐπισείω ὁ διαγώνιος , εἴρω , ἐπεί ὁ βάω ὁ αγ ἴσος κοινός ὁ δέ καί γωνία καί ὁ ἑξῆς . ὅτι2 δέ μείζων εἰμί ἡμικύκλιον ὁ λέγω3 τμήμα , δῆλος ἄγω ἐν ὁ τραπέζιον διάμετρος . Ἀνάγκη γάρ οὗτος ὑπό δύο πλευρά ὑποτείνω ὁ τραπέζιον ὁ ὑπόλοιπος εἷς μείζων ἢ διπλάσιος εἰμί δύναμις . ἐπεί γάρ μείζων εἰμί ὁ βδʹ ὁ αγ , ὁ δέ βάω Ἴσαι εἰμί καί επισχευγυσος αὐτός ἐκβάλλω ἐμπίπτω κατά ὁ ζ . εἰμί γάρ παράλληλος εἰμί ὁ βάω δέ Ἴσαι εἰμί , ὁ δέ ὁ ἴσος τε καί παράλληλος επισχευγυσος καί αὐτός Ἴσαι καί παράλληλος εἰμί , εἰμί ὁ αγ ἴσος ὁ βδʹ ὅσπερ ἀδύνατος . συμπίπτω δέ ὁ βάω δέ κατά ὁ ζ , ὁ ὑπό ζαγ γαβ γωνία δύο ὀρθός Ἴσαι εἰμί διά ὁ τριακαιδεκατος ὁ πρῶτος ὁ Εὐκλείδης . μείζων δέ ὁ ὑπό γαβ ὁ ὑπό γαζ ὁ ἐκτός ὁ τρίγωνος ὁ ἐντός διά ὁ τριακοστός δύο ὁ πρῶτος . ἥμισυς ἄρα ὁ ὑπό γαζ γωνία ὁ βαγ , ὁ ἀρά βγʹ μείζων ἢ διπλάζω δύναμαι ἑκάτερος ὁ βάω αγ , ὥστε καί ὁ γβ καί ὁ μέγας ἄρα ὁ ὁ τραπέζιον πλευρά ἀναγκαῖος ἐλάσσων δύναμαι ὁ τε διάμετρος καί ὁ ἕτερος πλευρά ἐκεῖνος , ὑπό ἧμαι ὑποτείνω μετά ὁ διάμετρος ὁ λέγω · ὁ γάρ βγʹ γδʹ μείζων ἢ τριπλασίων δύναμαι ὁ γδʹ , ὁ δέ βδʹ τετραπλασίων . ὀξύς ἄρα εἰμί ὁ ἐπί ὁ μείζων ὁ τραπέζιον πλευρά βαίνω γωνία . μείζων ἄρα ἡμικύκλιον εἰμί ὁ τμήμα , ἐν ὅς εἰμί , ὅσπερ εἰμί ὁ ἐξω περιφέρεια ὁ μηνίσκος . ὁ δέ ὁ μηνίσκος οὗτος τετραγωνίζω παράγω Εὔδοξος , ὡς σαφής , οἴομαι . ἀίω δέ εἄν τοιόσδε . ἐπειδή ἴσος ἀλλήλων εἰμί ὁ μηνίσκος μετά ὁ ἐπί ὁ μείζων ὁ τραπέζιον πλευρά τμῆμα ὁ τραπέζιον καί ὁ ὑπό ὁ τρεῖς ἴσος αὐτός εὐθύς ἀποτέμνω τμῆμα , ὅς ὁ ἐπί ὁ μείζων ὁ τραπέζιον πλευρά τμήμα ἴσος εἰμί ὁ ὑπό ὁ ἴσος εὐθύς ἀφαιρέω ὁ κύκλος τρεῖς τμῆμα , εἴπερ ἴσος ὁ τρεῖς δύναμαι ὑπόκειμαι ὁ μείζων ὁ τραπέζιον πλευρά , ὁ δέ ὅμοιος τμῆμα πρός ἀλλήλων εἰμί , ὡς ὁ ἀπό ὁ εὐθύς τετράγωνος . ἐάω δέ ἀπό ἴσος ἴσος ἀφαιρέω , ὁ καταλείπω εἰμί ἴσος , ἴσος ἄρα ὁ μηνίσκος ὁ τραπέζιον . ὁ καί οὗτος σύντομος εἴρω , ἐπειδή ἴσος εἰμί ὁ περί ὁ μείζων ὁ τραπέζιον πλευρά τμήμα ὁ περί ὁ τρεῖς ὁ ἴσος περιγράφω , διότι καί ὁ ἀπό αὐτός τετράγωνος τριπλασίων ὁ ἀπό ἕκαστος , ἐάν κοινός προστίθημι ὁ περιέχω ἐπίπεδος ὑπό τε ὁ τρεῖς ἴσος εὐθύς καί ὁ ὁ μείζων τμῆμα περιφέρεια , εἰμί ὁ μηνίσκος ἴσος ὁ τραπέζιον , ὅς τετραγωνίζω , διότι ἔχω πᾶς εὐθύγραμμος τετραγωνίζω , τετραγωνισθήσεται καί ὁ μείζων ἡμικύκλιον ὁ ἐκτός περιφέρεια ἔχω μη -