andronicus-rhodius.de-passionibus-lib-1-sp andronicus_mullach_fpg3_0286.3
τὰς ἀρχὰς , οὐ λυτέον . Ὁ δὲ Ἀντεῶν γραφὰς κύκλον ἐνέγραψέ τι χωρίον εἰς αὐτὸν πολύγωνον τῶν ἐγγραφέσθαι δυναμένων . Ἔστω δὲ εἰ τύχοι τετράγωνον τὸ ἐγγεγραμμένον · ἐπειτα ἐκάστην τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν δίχα τέμνων ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὰς περιφερείας πρὸς ὀρθὰς ἤγε γραμμὰς καὶ δηλονότι δίχα ἐτέμνον ἐκάστη τὸ καθ’ αὐτὴν τμῆμα τοῦ κύκλου , ἐπειτα ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπεξέγγυνεν ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν γραμμῶν τοῦ τετραγώνου εὐθείας , ὡς γίνεσθαι τέσσαρα τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν εὐθειῶν , τὸ δὲ ὅλον τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ὀκτάγωνον , καὶ οὕτω πάλιν κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον ἐκάστην τῶν τοῦ ὀκταγώνου πλευρῶν δίχα τέμνων ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν πρὸς ὀρθὰς ἀγὼν καὶ ἐπὶξευγὼν ἀπὸ τῶν σημείων , καθ’ ἁ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι ἐφήπτοντο τῶν περιφερειῶν εὐθείας ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν διηρημένων εὐθειῶν ἑκκαδεκάγωνον ἐποίει τὸ ἐγγραφόμενον καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον πάλιν τέμνων τὰς πλευρὰς τοῦ ἑκκαδεκάγωνου τοῦ ἐγγεγραμμένου καὶ ἐπιζεύγνυς εὐθείας καὶ διπλασιάζων τὸ ἐγγεγραμμένον πολύγωνον , καὶ τοῦτο δεῖ ποιοῦν , ἕως οὐ δαπανωμένου ταύτη τοῦ ἐπιπέδου ἐμελλεν ἐγγραφήσεσθαι τι πολύγωνον τούτῳ τῷ τρόπῳ ἐν τῷ κύκλῳ , οὐ αἱ πλευραὶ διὰ μικρότητος ἐφαρμόσουσι τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ . Παντὶ δὲ πολυγώνῳ ἴσον τετράγωνον δυνάμεθα θέσθαι , ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις παρελάβομεν , ὥστε διὰ τὸ ἴσον ὁποκείσθαι τὸ πολύγωνον τῷ κύκλῳ ἐφαρμόζοντες τετράγωνον ἴσον αὐτῷ ἐσόμεθα καὶ κύκλῳ ἴσον τιθέντες τετράγωνον . Καὶ δῆλον ὅτι ἡ συναγωγὴ παρὰ τὰς γεωμετρικὰς ἀρχὰς γέγονεν , οὐχ ὡς ὁ Ἀλέξανδρος δὲ φησιν , ὅτι ὑποτίθεται ὁ γεωμέτρης τὸν κύκλον τῆς εὐθείας κατὰ σημείων ἀπτεσθαι ὡς ἀρχήν , ὁ δὲ Ἀντιφῶν ἀναιρεῖ τοῦτο · οὐ γὰρ ὑποτίθεται ὁ γεωμέτρης τοῦτο , ἀλλ’ ἀποδεικνυσιν αὐτὸ ἐν τῷ ὀγδόῳ βιβλίῳ . Ἄμεινον οὖν εἶναι ἀρχὴν λέγειν τὸ ἀδύνατον εἶναι εὐθεῖαν ἐφαρμόσαι περιφερείᾳ , ἀλλ’ ἢ μὲν ἐκτὸς κατὰ δύο μόνον καὶ οὐ πλείω , καὶ ἡ ἐπαφὴ κατὰ σημεῖον γίνεται , καὶ μέντοι τέμνων δεῖ τὸ μεταξὺ τῆς εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας ἐπίπεδον οὐ δαπανήσει αὐτό , οὐδὲ καταληφθεῖ ποτε τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν , εἴπερ ἐπ’ ἀπειρον ἐστι διαιρεῖν τὸ ἐπίπεδον . Εἰ δὲ καταλαμβάνει , ἀνῃρηταὶ τις ἀρχὴ γεωμετρικὴ ἢ λέγουσα ἐπ’ ἀπειρον εἶναι τὰ μεγέθη διαιρετά , καὶ ταύτην καὶ ὁ Εὐδόξος ἀναιρεῖσθαι φησιν ὑπὸ τοῦ Ἀντεφῶντος . Τὸν δὲ διὰ τῶν τμημάτων φησι τετραγωνισμὸν γεωμετρικοῦ διαλύειν ἐστί .
Lemmas: ὁ ἀρχή , οὖον λυτέος . ὁ δέ ἄνθος γραφή κύκλος ἐγγράφω τίς χωρίον εἰς αὐτός πολύγωνος ὁ ἐγγράφω δύναμαι . ἔστω δέ εἰμί τυγχάνω τετράγωνος ὁ ἐγγράφω · ἔπειτα ἕκαστος ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά δίχα τέμνω ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ περιφέρεια πρός ὀρθός ἄγω γραμμή καί δηλονότι δίχα τέμνω ἐκάδιος ὁ κατά αὐτός τμῆμα ὁ κύκλος , ἔπειτα ἀπό ὁ τομή ἐπεξέγγυνεν ἐπί ὁ πέρας ὁ γραμμή ὁ τετράγωνος εὐθύς , ὡς γίγνομαι τέσσαρες τρίγωνος ὁ ἀπό ὁ εὐθύς , ὁ δέ ὅλος ὁ ἐγγράφω σχῆμα ὀκτάγωνον , καί οὗτος πάλιν κατά ὁ αὐτός μέθοδος ἕκαστος ὁ ὁ ὀκτάγωνος πλευρά δίχα τέμνω ἀπό ὁ τομή ἐπί ὁ περιφέρεια πρός ὀρθός ἀγών καί επιξευγη ἀπό ὁ σημεῖον , κατά ὅς πρός ὀρθός ἄγω ἐφάπτω ὁ περιφέρεια εὐθύς ἐπί ὁ πέρας ὁ διαιρεμένος εὐθύς ἑκκαδεκάγωνον ποιέω ὁ ἐγγράφω καί κατά ὁ αὐτός λόγος πάλιν τέμνω ὁ πλευρά ὁ ἑκκαδεκάγωνου ὁ ἐγγράφω καί ἐπιζεύγνυμι εὐθύς καί διπλασιάζω ὁ ἐγγράφω πολύγωνος , καί οὗτος δεῖ ποιέω , ἠώς οὖον δαπανάω οὗτος ὁ ἐπίπεδος μέλλω ἐγγράφω τίς πολύγωνος οὗτος ὁ τρόπος ἐν ὁ κύκλος , οὖον ὁ πλευρά διά μικρότης ἐφαρμόζω ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια . Πᾶς δέ πολύγωνος ἴσος τετράγωνος δύναμαι τίθημι , ὡς ἐν ὁ στοιχεῖον παραλαμβάνω , ὥστε διά ὁ ἴσος οποκειμαι ὁ πολύγωνος ὁ κύκλος ἐφαρμόζω τετράγωνος ἴσος αὐτός εἰμί καί κύκλος ἴσος τίθημι τετράγωνος . καί δῆλος ὅτι ὁ συναγωγή παρά ὁ γεωμετρικός ἀρχή γίγνομαι , οὐ ὡς ὁ Ἀλέξανδρος δέ φημί , ὅτι ὑποτίθημι ὁ γεωμέτρης ὁ κύκλος ὁ εὐθύς κατά σημεῖον ἅπτω ὡς ἀρχή , ὁ δέ Ἀντιφῶν ἀναιρέω οὗτος · οὖον γάρ ὑποτίθημι ὁ γεωμέτρης οὗτος , ἀλλά ἀποδείκνυμι αὐτός ἐν ὁ ὄγδοος βιβλίον . ἄμεινον οὖν εἰμί ἀρχή λέγω ὁ ἀδύνατος εἰμί εὐθύς ἐφαρμόζω περιφέρεια , ἀλλά ἢ μέν ἐκτός κατά δύο μόνος καί οὖον πλείων , καί ὁ ἐπαφή κατά σημεῖον γίγνομαι , καί μέντοι τέμνω δεῖ ὁ μεταξύ ὁ εὐθύς καί ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια ἐπίπεδος οὖον δαπανάω αὐτός , οὐδέ καταλαμβάνω ποτός ὁ ὁ κύκλος περιφέρεια , εἴπερ ἐπί ἤπειρος εἰμί διαιρέω ὁ ἐπίπεδος . εἰμί δέ καταλαμβάνω , ἀναιρέω τις ἀρχή γεωμετρικός ἢ λέγω ἐπί ἤπειρος εἰμί ὁ μέγεθος διαιρετός , καί οὗτος καί ὁ Εὔδοξος ἀναιρέω φημί ὑπό ὁ Ἀντεφῶντος . ὁ δέ διά ὁ τμῆμα φημί τετραγωνισμός γεωμετρικός διαλύω εἰμί .