andronicus-rhodius.de-passionibus-lib-1-sp andronicus_mullach_fpg3_0288.1
ρομένου δὲ παντὸς εἰς μηνίσχους πάλιν τετραγωνισθήσεται , ἂν συγχωρηθῶσιν οἱ περὶ τὰς τοῦ εξαγώνου τοῦ εἰς τὸν κύκλον ἐγγραφόμενου πλευρὰς περιγραφόμενοι μηνίσχοι τετραγωνίζεσθαι , καὶ μὴ μόνον οἱ περὶ τὰς τοῦ τετραγώνου . Κάνταῦθα οὖν τοῦ ψευδογραφήματος αἴτιον τὸ μόνον τετραγωνίσαντας μηνίσχον τὸν περὶ τὴν τοῦ τετραγώνου πλευράν , ὡς πάντως τετραγωνιζομένων μηνίσχων ὁποιοὶ ποτ’ ἂν ὦσιν , εἰς οὓς ὁ κύκλος διαιρεῖται , οὕτω ποιεῖσθαι τὴν δεῖξιν . Τινὲς δέ , φησὶν Ἀλέξανδρος , ἠγούνται , εἰ δείξαιεν τετράγωνον ἀριθμὸν κυκλικὸν καὶ ἐν τοῖς μεγέθεσι κύκλῳ τετραγωνισμὸν εὑρῆναι . Ἔστι δέ , φησί , τετράγωνος μὲν ἀριθμὸς ὁ ἴσακις ἴσος , κυκλικὸς δὲ ἕλεγον ἀριθμοὺς τοὺς συντιθεμένους ἐκ τῶν καθ’ ἑξὲς περιττῶν , ὧν ἕνός , τριῶν , πέντε , ἑπτά , ἑννέα , εὑρόντες δι’ ἀριθμῶν τετραγώνων τινα ἄμα καὶ κυκλικὸν ὄντα , ὅλον τὸν λστ , τετράγωνον μὲν ὄντα διότι ἀπὸ τοῦ στ ἐφ’ ἑαυτὸν γινόμενος γεννᾶται , κυκλικὸν δὲ διότι ἀπὸ τῆς τῶν περιττῶν ἀρχῆς συνθέσεως ἀποτελεῖται , ὅντο καὶ κύκλῳ τετραγωνισμὸν εὑρῆναι . Ἄλλ’ ἡ δεῖξις , φησίν , οὐκ ἐκ τῶν γεωμετρικῶν ἀρχῶν , ἀλλ’ ἐκ τῶν ἀριθμητικῶν · ἀριθμητικαὶ γὰρ ἀρχαὶ τὸ εἶναι τὸν τοιόνδε ἀριθμὸν κυκλικὸν καὶ τὸν τοῦνδε τετράγωνον . Ταῦτα τοῦ Ἀλεξάνδρου λέγοντος ἐριστάνειν ἀξίον , ὅτι πρῶτον μὲν τῶν κυκλικῶν ἀριθμῶν οὐ κατὰ σύνθεσιν τῶν ἐφεξὲς περιττῶν οἱ ἀριθμητικοὶ τίδενται , ἀλλὰ τὴν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ εἰς τὸ αὐτὸ κατάληξιν · κύκλος γὰρ ὁ χε , ὅτι πεντάκις πέντε χε , καὶ ὁ λστ , οὔτε δ τέσσαρα , οὔτε δ ἑννέα , οὔτε δ ἱστ , καὶτοι κατὰ σύνθεσιν τῶν ἐφεξὲς περιττῶν γινόμενοι , ἀλλὰ τετράγωνοι μόνον οὕτοι · κατὰ γὰρ τὴν ἐπισύνθεσιν τῶν περιττῶν οἱ τετράγωνοι γίνονται καὶ ἴσως ὁ ἐξ ἀρχῆς τὴν μέθοδον παραδούς οὐκ εἶπε κυκλικούς ἀπλῶς εἶναι πάντας τοὺς κατὰ ἐπισύνθεσιν τῶν ἐφεξὲς περιττῶν , ἀλλ’ ὅτι ἐν τῇ ἐπισυνθέσει τῶν ἐφεξὲς περιττῶν εὑρίσκονται οἱ κυκλικοὶ οὐδὲ τούτου δεῖ συμβαίνοντος · κυκλικὸς γὰρ ὧν ὁ ρχε ὡς ἀπὸ τοῦ ε ἐπὶ τὸν χε γενόμενος , καὶ ὁ σιστ ὡς ἀπὸ τοῦ στ ἐπὶ τὸν λστ , ὁμως οὐκ ἐγένοντο κατὰ ἐπισύνθεσιν τῶν ἐφεξὲς περιττῶν , εἰ μὴ ἄρα οὐκ εἰσὶν οὕτοι κυκλικοὶ ἀλλὰ σφαίρικοι ἐξ ἐπιπέδων κύκλων κυκλικῶς βαρυθυέντες . Καὶ ἐκεῖνο δὲ ἐριστάνειν ἀξίον , ὅτι οὐκ ἤν εἴκὸς τοὺς ἀριθμὸν εὑρῆκότας κυκλικὸν ἄμα καὶ τετραγωνικὸν τὸν αὐτὸν τοῦτον οἴεσθαι διὰ τοῦτο καὶ ἐν μεγέθεσι τὸν τοῦ κύκλου τετραγωνισμὸν εὑρῆναι , ἀλλ’ ἴσως εὑρόντες ἐν τοῖς ἀριθμοῖς τὸν αὐτὸν τετράγωνον ἄμα καὶ κύκλον εἰς ἑνοιαὶν ἤλθον τοῦ καὶ ἐν τοῖς μεγέθεσι ζητεῖν τὸν τοῦ κύκλου τετραγωνισμὸν . Ἔλεγε δὲ ὁ ἡμέτερος μαθηματικὸν Ἄμμιχεῖμος , ὡς οὐκ ἀναγκαῖον ἴσως , εἰ ἐπ’ ἀριθμῶν εὑρέθη , τοῦτο καὶ ἐπὶ μεγεθῶν εὑρίσκεσθαι · ἀνομοιογενὴ γὰρ μεγέθη ἐστὶν εὐθεῖα καὶ περιφέρεια , καὶ οὐδὲν φησι θαυμαστὸν μὴ εὑρεῖσθαι κύκλῳ εὐθύγραμμον ἴσον , εἴπερ καὶ ἐπὶ τῶν γωνιῶν εὑρίσχομεν τοῦτο · οὔτε γὰρ τῇ τοῦ ἡμικυκλίου γωνίᾳ οὔτε τῇ λοιπῇ εἰς τὴν ὀρθὴν τῇ κερατοειδεῖ λεγομένῃ γένοιτο ἂν εὐθύγραμμος ἴση γωνία , καὶ διὰ τοῦτο ἴσως φησὶ καὶ ὑπὸ οὕτω κλεινῶν ἀνδρῶν ζητηθὲν θεωρήμα ἀχρι νῦν οὐχ εὑρέθη , οὐδὲ ὑπ’ αὐτοῦ Ἀρχιμήδους . Ἔλεγον δὲ ἐγὼ πρὸς τὸν καθηγητὴν , ὡς εἴπερ μηνίσκος τετραγωνίζετο ὁ ἀπὸ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς · τοῦτο γὰρ ἀνεξασπάτητος συνήχεται , ὁμογενὴς δὲ ὁ μηνίσκος τῷ κύκλῳ ἐκ περιφερειῶν συγκεῖμενος , τί καλύψει καὶ τὸν κύκλον ἐπὶ τούτῳ τετραγωνίζεσθαι · εἰ δὲ ἀνόμοιον τὸ τοῦ μηνίσχου ἐπίπεδον τῷ κύκλῳ διὰ τὰ χέρατα , ἀλλὰ καὶ τῷ εὐθύγραμμῳ ἀνόμοιος μηνίσκος πᾶς καὶ ὁμως ὁ περὶ τὴν τοῦ τετραγώνου πλευρὰν μηνίσκος τετραγωνίζεται · αἱ μὲντοι γωνίαι αἱ τε τοῦ ἡμικυκλίου καὶ αἱ κερατοειδεῖς ἐκ περιφερείας καὶ εὐθείας ἀμφω συγκεῖμεναι οὐ μόνον ἀνομοιογενεῖς εἰσὶ τῇ εὐθυγράμμῳ , ἀλλὰ καὶ ἀσύμβλητοι . Οὐχ ἰκανὸν οὖν αἴμα τὸ εἰρημένον εἰς ἀπογνώσιν καταστήσαι τῆς εὐρέσεως τοῦ τετραγωνισμοῦ · καὶ γὰρ ὁ Ἰάμβλιχος ἐν τῷ εἰς τὰς κατηγορίας ὑπομνήματι τὸν μὲν Ἀριστοτέλην φησὶ μήπω ἴσως εὑρῆναι τὸν τοῦ κύκλου τετραγωνισμὸν , παρὰ δὲ τοῖς Πυθαγορείοις εὑρῆσθαι , ὡς σῆλῶν ἐστι , φησίν , ἀπὸ τῶν Σέξτου τοῦ Πυθαγορείου ἀποδείξεων , ὃς ἄνωθεν κατὰ διαδοχὴν παρέλαβε τὴν μέθοδον τῆς ἀποδείξεως , καὶ ὕστερον δὲ φησιν Ἀρχιμήδης διὰ τῆς ἐλικοειδοῦς γραμμῆς ( cf . Scholl . in Arist . p . 64 b . ed . Brandis . ) καὶ Νικομήδης διὰ τῆς ἰδίας τετραγωνιζούσης καλουμένης · καὶ Ἀπολλώνιος διὰ τινος γραμμῆς ἣν αὐτὸς μὲν χοχλιώδους ἀδελφὴν προσαγορεύει , ἣ αὐτὴ δὲ ἐστι τῇ Νικομήδους , καὶ Κάρπος διὰ τινος γραμμῆς , ἣν ἀπλῶς ἐκ διπλῆς κινήσεως καλεῖ , ἄλλοι τε πολλοί , φησί , ποικιλῶς τὸ πρόβλημα κατεσκεύασαν , καὶ μήποτε οὕτοι πάντες ὁργανικὴν ἐποιήσαντο τοῦ θεωρήματος κατασκευὴν . Ὁ μὲν οὖν Ἀλέξανδρος οὕτως ὡς εἶπον , οἴεται τὸ ψευδογράφημα ἐλέγχεσθαι παρ’ ὅσον τὸν περὶ τὴν τοῦ τετραγώνου πλευρὰν μόνον τετραγωνίσας μηνίσχον ὁ Ἵπποκράτης ὡς καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ εξαγώνου πλευρᾶς αὐτῷ δεδειγμένῳ ἀπεχρήσατο , δ μέντοι Εὐδόξος ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἱστορίᾳ οὐχ ἐπὶ τετραγωνικῆς πλευρᾶς δεῖξαι φησι τὸν Ἵπποκράτην τὸν τοῦ μηνίσχου τετραγωνισμὸν , ἀλλὰ καθόλου ὡς ἂν τις εἴποι · εἰ γὰρ πᾶς μηνίσκος τὴν ἐκτὸς περιφέρειαν ἢ ἴσην ἔχει ἡμικυκλίου ἢ μείζονα ἢ ἐλάττονα , τετραγωνίζει δὲ ὁ Ἵπποκράτης καὶ τὸν ἴσην ἡμικυκλίῳ ἔχοντα καὶ τὸν μείζονα καὶ τὸν ἐλάττοντα , καθόλου ἂν εἴη δεδειγώς ὡς δοκεῖ . Ἔκθησομαι δὲ τὰ ὑπὸ τοῦ Εὐδόξου κατὰ λέξιν λεγόμενα , ὀλίγην τινὰ προσθεὶς σαφήνειαν ἀπὸ τῆς τῶν Εὐκλείδου στοιχείων ἀναμνήσεως διὰ τὸν ὑπομνηματικὸν τρόπον τοῦ Εὐδόξου κατὰ τὸ ἀρχαϊκὸν ἦθος συντόμους ἐχόμενου τὰς ἀποδόσεις . Λέγει δὲ ἄδε ἐν τῷ δευτέρῳ τῆς γεωμετρικῆς ἱστορίας · « καὶ οἱ τῶν μηνίσχων δὲ τετραγωνισμοὶ δόξαντες εἶναι τῶν οὐκ ἐπιπολαίων διαγραμμάτων διὰ τὴν οἰκειότητα τὴν πρὸς τὸν κύκλον ὑφ’ Ἵπποκράτους
Lemmas: ρ́ω δέ πᾶς εἰς μηνίσκος πάλιν τετραγωνισθήσεται , εἄν συγχωρέω ὁ περί ὁ ὁ ἑξάγωνος ὁ εἰς ὁ κύκλος ἐγγράφω πλευρά περιγράφω μηνιεχω τετραγωνίζω , καί μή μόνος ὁ περί ὁ ὁ τετράγωνος . Κάνταῦθα οὖν ὁ ψευδογράφημα αἴτιος ὁ μόνος τετραγωνίζω μηνιεχω ὁ περί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά , ὡς πάντως τετραγωνίζω μηνιεχω ὁποῖος πρός εἄν εἰμί , εἰς ὅς ὁ κύκλος διαιρέω , οὗτος ποιέω ὁ δεῖξις . Τινές δέ , φημί Ἀλέξανδρος , ἡγέομαι , εἰμί δείκνυμι τετράγωνος ἀριθμός κυκλικός καί ἐν ὁ μέγεθος κύκλος τετραγωνισμός εὑρίσκω . εἰμί δέ , φημί , τετράγωνος μέν ἀριθμός ὁ Ἰσάκις ἴσος , κυκλικός δέ λέγω ἀριθμός ὁ συντίθημι ἐκ ὁ κατά ἐξίημι περισσός , ὅς εἷς , τρεῖς , πέντε , ἑπτά , ἐννέα , εὑρίσκω διά ἀριθμός τετράγωνος τις ἄμη καί κυκλικός εἰμί , ὅλος ὁ λστ , τετράγωνος μέν εἰμί διότι ἀπό ὁ στ ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι γεννάω , κυκλικός δέ διότι ἀπό ὁ ὁ περισσός ἀρχή σύνθεσις ἀποτελέω , ἀρτύω καί κύκλος τετραγωνισμός εὑρίσκω . ἄλλος ὁ δεῖξις , φημί , οὐ ἐκ ὁ γεωμετρικός ἀρχή , ἀλλά ἐκ ὁ ἀριθμητικός · ἀριθμητικός γάρ ἀρχή ὁ εἰμί ὁ τοιόσδε ἀριθμός κυκλικός καί ὁ τοῦν τετράγωνος . οὗτος ὁ Ἀλέξανδρος λέγω ἐρίζω ἄξιος , ὅτι πρῶτος μέν ὁ κυκλικός ἀριθμός οὖον κατά σύνθεσις ὁ φέγγω περισσός ὁ ἀριθμητικός τίζω , ἀλλά ὁ ἀπό ὁ αὐτός εἰς ὁ αὐτός κατάληξις · κύκλος γάρ ὁ ΧΕ , ὅτι πεντάκις πέντε ΧΕ , καί ὁ λστ , οὔτε δ τέσσαρες , οὔτε δ ἐννέα , οὔτε δ ἱστʹ , καίτοι κατά σύνθεσις ὁ φέγγω περισσός γίγνομαι , ἀλλά τετράγωνος μόνος οὕτος · κατά γάρ ὁ ἐπισύνθεσις ὁ περισσός ὁ τετράγωνος γίγνομαι καί ἴσως ὁ ἐκ ἀρχή ὁ μέθοδος παραδίδωμι οὐ εἶπον κυκλικός ἀπλόος εἰμί πᾶς ὁ κατά ἐπισύνθεσις ὁ φέγγω περισσός , ἀλλά ὅτι ἐν ὁ ἐπισύνθεσις ὁ φέγγω περισσός εὑρίσκω ὁ κυκλικός οὐδέ οὗτος δεῖ συμβαίνω · κυκλικός γάρ ὅς ὁ ρεχ ὡς ἀπό ὁ ε ἐπί ὁ ΧΕ γίγνομαι , καί ὁ σι ὡς ἀπό ὁ στ ἐπί ὁ λστ , ὁμῶς οὐ γίγνομαι κατά ἐπισύνθεσις ὁ φέγγω περισσός , εἰμί μή ἄρα οὐ εἰμί οὕτος κυκλικός ἀλλά σφαιρικός ἐκ ἐπίπεδος κύκλος κυκλικός βαρυθυέντες . καί ἐκεῖνος δέ ἐρίζω ἄξιος , ὅτι οὐ ἐάν εἰκός ὁ ἀριθμός εὑρίσκω κυκλικός ἄμη καί τετραγωνικός ὁ αὐτός οὗτος οἴομαι διά οὗτος καί ἐν μέγεθος ὁ ὁ κύκλος τετραγωνισμός εὑρίσκω , ἀλλά ἴσως εὑρίσκω ἐν ὁ ἀριθμός ὁ αὐτός τετράγωνος ἄμη καί κύκλος εἰς ενοια ἔρχομαι ὁ καί ἐν ὁ μέγεθος ζητέω ὁ ὁ κύκλος τετραγωνισμός . Ἐλέγω δέ ὁ ἡμέτερος μαθηματικός Ἄμμιχεῖμος , ὡς οὐ ἀναγκαῖος ἴσως , εἰμί ἐπί ἀριθμός εὑρίσκω , οὗτος καί ἐπί μέγεθος εὑρίσκω · ανομοιογενής γάρ μέγεθος εἰμί εὐθύς καί περιφέρεια , καί οὐδείς φημί θαυμαστός μή εὑρίσκω κύκλος εὐθύγραμμος ἴσος , εἴπερ καί ἐπί ὁ γωνία εὑρίσκω οὗτος · οὔτε γάρ ὁ ὁ ἡμικύκλιον γωνία οὔτε ὁ λοιπός εἰς ὁ ὀρθός ὁ κερατοειδής λέγω γίγνομαι εἄν εὐθύγραμμος ἴσος γωνία , καί διά οὗτος ἴσως φημί καί ὑπό οὗτος κλεινός ἀνήρ ζητέω θεώρημα ἄχρι νῦν οὐ εὑρίσκω , οὐδέ ὑπό αὐτός Ἀρχιμήδης . λέγω δέ ἐγώ πρός ὁ καθηγητής , ὡς εἴπερ μηνίσκος τετραγωνίζω ὁ ἀπό ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά · οὗτος γάρ ἀνεξασπάτητος συνάγω , ὁμογενής δέ ὁ μηνίσκος ὁ κύκλος ἐκ περιφέρεια σύγκειμαι , τίς καλύπτω καί ὁ κύκλος ἐπί οὗτος τετραγωνίζω · εἰμί δέ ἀνόμοιος ὁ ὁ μηνιεχω ἐπίπεδος ὁ κύκλος διά ὁ χεράτα , ἀλλά καί ὁ εὐθύγραμμος ἀνόμοιος μηνίσκος πᾶς καί ὁμῶς ὁ περί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά μηνίσκος τετραγωνίζω · ὁ μέντοι γωνία ὁ τε ὁ ἡμικύκλιον καί ὁ κερατοειδής ἐκ περιφέρεια καί εὐθύς ἄμφω σύγκειμαι οὖον μόνος ανομοιογενής εἰμί ὁ εὐθύγραμμος , ἀλλά καί ἀσύμβλητος . οὐχ ἱκανός οὖν αἷμα ὁ εἴρω εἰς ἀπόγνωσις καθίστημι ὁ εύρεση ὁ τετραγωνισμός · καί γάρ ὁ Ἰάμβλιχος ἐν ὁ εἰς ὁ κατηγορία ὑπόμνημα ὁ μέν Ἀριστοτέλης φημί μήπω ἴσως εὑρίσκω ὁ ὁ κύκλος τετραγωνισμός , παρά δέ ὁ Πυθαγόρειος εὑρίσκω , ὡς Σήλων εἰμί , φημί , ἀπό ὁ Σέξτος ὁ Πυθαγόρειος ἀπόδειξις , ὅς ἄνωθεν κατά διαδοχή παραλαμβάνω ὁ μέθοδος ὁ ἀπόδειξις , καί ὕστερος δέ φημί Ἀρχιμήδης διά ὁ ελικοειδής γραμμή ( cf . Scholl . in Arist . p . 64 b . ed . Brandis . ) καί Νικομήδης διά ὁ ἴδιος τετραγωνίζω καλέω · καί Ἀπολλώνιος διά τις γραμμή ὅς αὐτός μέν χοχλίδης ἀδελφή προσαγορεύω , ὅς αὐτός δέ εἰμί ὁ Νικομήδης , καί Κάρπος διά τις γραμμή , ὅς ἀπλόος ἐκ διπλόος κίνησις καλέω , ἄλλος τε πολύς , φημί , ποικίλως ὁ πρόβλημα κατασκευάζω , καί μήποτε οὕτος πᾶς ὁργανικός ποιέω ὁ θεώρημα κατασκευή . ὁ μέν οὖν Ἀλέξανδρος οὕτως ὡς εἶπον , οἴομαι ὁ ψευδογράφημα ἐλέγχω παρά ὅσος ὁ περί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά μόνος τετραγωνίζω μηνιεχω ὁ Ἱπποκράτης ὡς καί ἐπί ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρά αὐτός δείκνυμι ἀποχράω , δ μέντοι Εὔδοξος ἐν ὁ γεωμετρικός ἱστορία οὐ ἐπί τετραγωνικός πλευρά δείκνυμι φημί ὁ Ἱπποκράτης ὁ ὁ μηνιεχω τετραγωνισμός , ἀλλά καθόλου ὡς εἄν τις εἶπον · εἰμί γάρ πᾶς μηνίσκος ὁ ἐκτός περιφέρεια ἢ ἴσος ἔχω ἡμικύκλιον ἢ μείζων ἢ μικρός , τετραγωνίζω δέ ὁ Ἱπποκράτης καί ὁ ἴσος ἡμικύκλιον ἔχω καί ὁ μείζων καί ὁ ἐλασσόω , καθόλου εἄν εἰμί δείκνυμι ὡς δοκέω . εκθησομης δέ ὁ ὑπό ὁ Εὔδοξος κατά λέξις λέγω , ὀλίγος τις προστίθημι σαφήνεια ἀπό ὁ ὁ Εὐκλείδης στοιχεῖον ἀνάμνησις διά ὁ ὑπομνηματικός τρόπος ὁ Εὔδοξος κατά ὁ ἀρχαικός ἦθος σύντομος ἔχω ὁ ἀπόδοσις . Λέγος δέ ἀείδω ἐν ὁ δύο ὁ γεωμετρικός ἱστορία · « καί ὁ ὁ μηνιεχω δέ τετραγωνισμός δόξα εἰμί ὁ οὐ ἐπιπόλαιος διάγραμμα διά ὁ οἰκειότης ὁ πρός ὁ κύκλος ὑπό Ἱπποκράτης