andronicus-rhodius.de-passionibus-lib-1-sp andronicus_mullach_fpg3_0290.1
νίσχος , εἰ δὲ ἑλαττον ἡμικυκλίου εἴη , προγράψας τοιούδε τι ὁ Ἱπποκράτης τοῦτο κατεσκεύασεν . Ἔστω κύκλος οὐ·διαμέτρος , ἐφ’ ἧ ἡ αβ , κέντρον δὲ αὐτοῦ ἐφ οὐ x , καὶ ἡ μὲν ἐφ’ ἧ γδ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνετω τὴν ἐφ’ ἧ βx , ἡ δὲ ἐφ’ ἧ εζ ἡδω παρὰ τὴν ἐφ’ ἧ αβ , καὶ ἀπὸ τοῦ x ἐπεξεύχω ἐπὶ τὰ εζ , συμπίπτέτω δὲ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ ζ ἡ ἐπικευθεῖσα τῇ ἐφ’ ἧ ἐν κατὰ τὸ η , καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ β ἐπὶ τὰ ζη ἐπεξεύχωσαν , φανερὸν δὴ ὅτι ἡ μὲν ἐφ’ ἧ εζ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ β πεσεῖται · ὑπόκειται γὰρ ἡ εζ ἐπὶ τὸ β νεύουσα , ἡ δὲ ἐφ’ ἧ βη ἴση ἔσται τῇ ἐφ’ ἧ εκ , τοῦτο δὲ ἴσως μὲν ἂν τις καὶ προχειρότερον δείξειεν , ἄμωι δὲ ἐκ τῶν προωμολογημένων οὕτως ἐπήλθε δεῖξαι · ὑπόκειται ἡ δγ τὴν βx δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνειν , ἐπὶ τῆς δγ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ τραπέζιον γραφσομένου κύκλου διὰ τὸ πόρισμα τοῦ πρώτου θεωρήματος τοῦ ἐν τῷ τρίτῳ τῶν Εὐκλείδου στοιχείων · ἐπειδὴ δὲ παράλληλός ἐστιν ἡ ἐν τῇ xβ καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ γδ , τὰς ἐντὸς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ διὰ τὸ κ’ θ’ τοῦ πρώτου , ὁρθαὶ δὲ αἱ πρὸς τὸ γ , ὁρθαὶ ἄρα καὶ αἱ πρὸς τὸ δ’ . Ἡ οὖν γδ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ἐν πρὸς ὀρθὰς τέμνουσα καὶ δίχα τέμνει διὰ τὸ τρίτον τοῦ τρίτου τῶν στοιχείων . Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ δη τῇ δε , κοινὴ δὲ ἡ δζ καὶ ὁρθαὶ αἱ πρὸς τὸ δ’ , καὶ βάσεις ἄρα ἡ ζη βάσει τῇ ζβ ἴση , ἀλλὰ καὶ ἡ βζ τῇ ζx ἴση , διότι καὶ ἡ βγ τῇ γx , κοινὴ δὲ ἡ γζ’ καὶ ὁρθαὶ αἱ πρὸς τὸ γ . Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ηζ ζβ δυσὶ ταῖς xζ’ ζε ἴσαι , καὶ γωνίαι αἱ κατὰ χωρυφὴν ἴσαι , καὶ βάσεις ἡ ηβ βάσει τῇ εκ ἴση . Περιγεγράφω δὴ περὶ τὸ εζη τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ εζη ὁμοιον ἐκάστῳ τῶν εκ xβ βη τμημάτων · τούτων οὖν οὐσῶν ἐχόντων τὸ τραπέζιον , φημὶ , ἐφ’ οὐ βx κη , περιλήψεται κύκλος . Τὸ μὲν γὰρ ἐκὴ τρίγωνον περιλήψεται κύκλος · ἔχομεν γὰρ ἐν τῷ πέμπτῳ τοῦ τετάρτου τῶν στοιχείων περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι . Ἐὰν οὖν δείξω τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ x ἴσην ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ β , δῆλον ὅτι τὸ γραφόμενον τμῆμα κύκλου διὰ τοῦ ἐκὴ ἥξει καὶ διὰ τοῦ β , καὶ περιλήψεται κύκλῳ τμῆμα τὸ τραπέζιον , ὅπερ τμῆμα καὶ τὸ τρίγωνον περιέξει τὸ ἐφ’ οὐ εζη . Δηθθέντος οὖν κέντρου οὖν τοῦ λ καὶ ἐπικευγμένων τῶν λε λη λx λβ , ἐπειδὴ ἴσοσκελές ἐστι τὸ ελη τρίγωνον , αἱ γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσαι , ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἡ ὑπὸ ληε τῇ ὑπὸ λεη διὰ τὸ πέμπτον τοῦ πρώτου τῶν Εὐκλείδου , ἐστι δὲ ἡ ὑπὸ βηε ἴση τῇ ὑπὸ xεη , διότι καὶ ἡ εβ ἴση τῇ xη , ὡς ἐδείχθη , καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ βηε ὅλη τῇ ὑπὸ xεη ἐστιν ἴση , ἐστι δὲ καὶ ἡ xe τῇ βη ἴση καὶ βάσεις ἄρα ἡ xλ τῇ λβ ἴση , ἐστὶν ἴση ἄρα τῇ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῇ λx ἡ λβ , ταύτην δὴ γεγράφω τὸ τμῆμα . Τούτων οὖν οὕτως ἐχόντων δ γενόμενος μηνίσκος , οὐ ἐκτὸς περιφέρεια ἡ εκ βη , ἴσος ἔσται τῷ εὐθυγράμμῳ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν τριῶν τριγώνων τῶν βζη βζx εκζ . Τὰ γὰρ ἀπὸ τῶν εὐθειῶν ἐφ’ αἷς εζ ζη ἀφαιρούμενα ἐντὸς τοῦ μηνίσχου ἀπὸ τοῦ εὐθυγράμμου τμήματα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἐκτὸς τοῦ εὐθυγράμμου τμήμασιν ἀφαιρουμένοις ὑπὸ τῶν εκ xβ βη . Ἐκάτερον γὰρ τῶν ἐντὸς ἡμιολίων ἐστὶν ἐκάστου τῶν ἐκτὸς · ἡμιολία γὰρ ὑπόκειται ἡ εζ τῆς εκ τοῦ κέντρου , τοῦτ’ ἐστὶ τῆς εκ καὶ β καὶ βη . Ἔδειξάν γὰρ καὶ αὐτὴν ἴσην τῇ εκ . Εἰ οὖν ἐκάτερα τῶν εζ ζη ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει ἐκάστης τῶν εἰρημένων τριῶν , ὡς δὲ αἱ εὐθεῖαι πρὸς τὰς εὐθείας , τμήματα πρὸς τὰ τμήματα , τὰ δύο ἄρα τμήματα τοῖς τρισὶν ἐστὶν ἴσα . Εἰ οὖν ὁ μὲν μηνίσκος τὰ τρία τμήματα ἐστι , καὶ τοῦ εὐθυγράμμου τὸ παρὰ τὰ δύο τμήματα , τὸ δὲ εὐθύγραμμον μετὰ τῶν δύο τμημάτων ἐστὶ χωριστῶν τριῶν , ἐστι δὲ τὰ δύο τμήματα τοῖς τρισὶν ἴσα , ἴσος ἂν εἴη ὁ μηνίσκος τῷ εὐθυγράμμῳ . Ὅτι δὲ οὕτως ὁ μηνίσκος ἐλάττονος ἡμικυκλίου τὴν ἐκτὸς ἔχει περιφέρειαν , δείκνυσι διὰ τοῦ τὴν ἐκὴ γωνίαν ἐν τῷ ἐκτὸς οὔσαν τμήματι ἀμβλείαν εἶναι . Δέδεικται γὰρ ἐν τῷ τρίτῳ τοῦ τρίτου τῶν Εὐκλείδου στοιχείων , ὅτι ἡ ἐν τῷ ἐλάττονι ἡμικυκλίῳ τμήματι μεῖζον ὀρθῆς ἐστιν . Ὅτι δὲ ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ἐκὴ γωνία , δείκνυσιν οὕτως · ἐπεὶ ἡ μὲν ἐφ’ ἧ εζ ἡμιολία ἐστὶ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου δυνάμει , ἡ δὲ ἐφ’ ἧ βx μειζῶν τῆς ἐφ’ ἧ βζ , διότι καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ ζ’ μειζῶν , ὡς δείξω , ἴση δὲ ἡ βx τῇ xe , φανερὸν ἐστὶ καὶ ἡ ἐφ’ ἧ κε μειζῶν ἧ τῆς ἐφ’ ἧ βζ ἡ διπλασία μῆκει , καὶ ἡ ἐφ’ ἧ βε , ὥστε τῆς ἐφ’ ἧ xζ ἄρα μειζῶν ἡ διπλοσία μῆχει καὶ δυναμεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τριγώνων τῶν βex βxζ . Ἐστι γὰρ ὡς ἡ εβ πρὸς βx’ , οὕτως ἡ εκ πρὸς xζ , ὥστε ἡ ἐφ’ ἧ εκ μειζῶν ἐστὶ τῆς ἐφ’ ἧ xζ ἡ διπλασία δυνάμει , ἡ δὲ ἐφ’ ἧ εζ ἡμιολία δυνάμει τῆς ἐφ’ ἧ εκ . Ἡ ἄρα ἐφ’ ἧ εζ μειζῶν ἐστὶ δυνάμει τῶν ἐφ’ αἷς εκ xζ . Εἰ μὲν γὰρ διπλασία ἦν δυνάμει τῶν ἐφ’ αἷς εκ xζ , ἡ ἐκ τῆς xζ , ἡμιολία δὲ ἡ ζε τῆς εκ , ἦν ἂν ἡ ζε ἴση δυνάμει ταῖς εκ xζ’ ὡς ἐπὶ ἀριθμῶν τῶν στ δδ , ἐπειδὴ δὲ μειζῶν ἡ διπλοσία ἐστὶ δυνάμει , ἡ εκ τῆς xe μειζῶν ἐστὶ δυνάμει . Ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ x γωνία , ἑλαττον ἄρα ἡμικυκλίου τὸ τμῆμα , ἐν ᾧ ἐστιν . Οὕτω μὲν οὖν ὁ Ἱπποκράτης πάντα μηνίσχον ἐτετραγώνισεν , εἴπερ καὶ τὸν ἡμικυκλίου καὶ τὸν μειζῶνα ἡμικυκλίου καὶ τὸν ἐλάττονα ἔχοντα τὴν ἐκτὸς περιφέρειαν , ἀλλ’ οὐδὲ τὸν ἐπὶ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς μόνον , ὡς ὁ Ἀλεξάνδρος ἱστόρησεν , οὐ μέντοι οὐδὲ τὸν κύκλον ἐπεχείρησε τετραγωνῖσαι διὰ τῶν περὶ τὴν τοῦ ἐξαγώνου πλευρᾶν μηνίσχων , ὡς καὶ τοῦτο Ἀλεξάνδρος φησιν . Ἄλλα μηνίσχον ἄμα καὶ κύκλον ἐτετραγώνισεν οὕτως . Ἔστωσαν περὶ κέντρον ἐφ’ οὐ x δύο κύκλοι , ἡ δὲ τοῦ ἐκτὸς διάμετρος ἐξαπλασία δυνάμει τῆς τοῦ ἐντὸς καὶ ἐξαγώνου ἐγγραφέντος εἰς τὸν ἐντὸς κύκλον τοῦ ἐφ’ ὧν αβ γδ’ εζ , αἱ τε ἐφ’ ὧν xa καὶ xg ἐκ τοῦ κέντρου ἐπικευθεῖσαι ἐκδεβληθῶσαν ἕως τῆς τοῦ ἐκτὸς κύκλου περιφερείας , καὶ ἐφ’ ὧν ηθ οἱ ἐπεξεύχωσαν , καὶ δῆλον ὅτι καὶ ἡ ηθ οἱ ἐξαγώνου εἰσὶ πλευραὶ τοῦ εἰς τὸν μειζῶνα κύκλον ἐγγραφομένου , καὶ περὶ τὴν ἐφ’ ἧς η , τμῆμα ὁμοιον τῷ ἀφαιρουμένῳ ὑπὸ τῆς ἐφ ἧ ηθ περιγεγράφω .
Lemmas: νίσχος , εἰμί δέ μικρός ἡμικύκλιον εἰμί , προγράφω τοιόσδε τίς ὁ Ἱπποκράτης οὗτος κατασκευάζω . ἔστω κύκλος οὐ·διαμέτρος , ἐπί ἧ ὁ αβ , κέντρον δέ αὐτός ἐπί οὖον x , καί ὁ μέν ἐπί ἧ γδʹ δίχα τε καί πρός ὀρθός τέμνω ὁ ἐπί ἧ βx , ὁ δέ ἐπί ἧ εζʹ Ἡδώ παρά ὁ ἐπί ἧ αβ , καί ἀπό ὁ x ἐπεύχομαι ἐπί ὁ εζʹ , συμπίπτω δέ ἐκβάλλω ἐπί ὁ ζ ὁ ἐπικεύθω ὁ ἐπί ἧ ἐν κατά ὁ ὁ , καί πάλιν ἀπό ὁ Β ἐπί ὁ ζῶ επεξευχοω , φανερός δή ὅτι ὁ μέν ἐπί ἧ εζʹ ἐκβάλλω ἐπί ὁ Β πίπτω · ὑπόκειμαι γάρ ὁ εζʹ ἐπί ὁ Β νεύω , ὁ δέ ἐπί ἧ βαίνω ἴσος εἰμί ὁ ἐπί ἧ ἐκ , οὗτος δέ ἴσως μέν εἄν τις καί πρόχειρος δείκνυμι , ἄμω δέ ἐκ ὁ προομολογέω οὕτως ἐπέρχομαι δείκνυμι · ὑπόκειμαι ὁ δγʹ ὁ βx δίχα τε καί πρός ὀρθός τέμνω , ἐπί ὁ δγʹ ἄρα ὁ κέντρον εἰμί ὁ περί ὁ τραπέζιον γράφω κύκλος διά ὁ πόρισμα ὁ πρῶτος θεώρημα ὁ ἐν ὁ τρίτος ὁ Εὐκλείδης στοιχεῖον · ἐπεί δέ παράλληλος εἰμί ὁ ἐν ὁ xβ καί εἰς αὐτός ἐμπίτνω ὁ γδʹ , ὁ ἐντός γωνία δύο ὀρθός ἴσος ποιέω διά ὁ καί ὁ ὁ πρῶτος , ὀρθός δέ ὁ πρός ὁ γ , ὀρθός ἄρα καί ὁ πρός ὁ δέ . ὁ οὖν γδʹ διά ὁ κέντρον ὁ ἐν πρός ὀρθός τέμνω καί δίχα τέμνω διά ὁ τρίτος ὁ τρίτος ὁ στοιχεῖον . ἐπεί οὖν ἴσος εἰμί ὁ δη ὁ δέ , κοινός δέ ὁ δζʹ καί ὀρθός ὁ πρός ὁ δέ , καί βάσις ἄρα ὁ ζῶ βάσις ὁ ζβ ἴσος , ἀλλά καί ὁ βζ ὁ ζx ἴσος , διότι καί ὁ βγʹ ὁ γx , κοινός δέ ὁ γζ’ καί ὀρθός ὁ πρός ὁ γ . ἐπεί οὖν δύο ὁ ζηʹ ζβ δύο ὁ ζῷον ζε Ἴσαι , καί γωνία ὁ κατά χωρυφημι Ἴσαι , καί βάσις ὁ ΗΒ βάσις ὁ ἐκ ἴσος . περιγράφω δή περί ὁ ζῶ τρίγωνος τμῆμα κύκλος ὁ ζῶ ὅμοιος ἕκαστος ὁ ἐκ xβ βαίνω τμῆμα · οὗτος οὖν εἰμί ἔχω ὁ τραπέζιον , φημί , ἐπί οὖον βx καί , περιλαμβάνω κύκλος . ὁ μέν γάρ ἔκω τρίγωνος περιλαμβάνω κύκλος · ἔχω γάρ ἐν ὁ πέμπτος ὁ τέταρτος ὁ στοιχεῖον περί ὁ δίδωμι τρίγωνος κύκλος περιγράφω . ἐάν οὖν δείκνυμι ὁ ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ x ἴσος ἀπό ὁ κέντρον ἐπί ὁ Β , δῆλος ὅτι ὁ γράφω τμῆμα κύκλος διά ὁ ἔκω ἥκω καί διά ὁ Β , καί περιλαμβάνω κύκλος τμῆμα ὁ τραπέζιον , ὅσπερ τμῆμα καί ὁ τρίγωνος περιέχω ὁ ἐπί οὖον ζῶ . Δηθθέντος οὖν κέντρον οὖν ὁ λ καί ἐπικευγμένων ὁ λεʹ λα λx λβʹ , ἐπεί ἰσοσκελής εἰμί ὁ αἱρέω τρίγωνος , ὁ γάρ ἐκ ὁ κέντρον Ἴσαι , Ἴσαι εἰμί ὁ πρός ὁ βάσις γωνία ὁ ὑπό λαός ὁ ὑπό λεη διά ὁ πέμπτος ὁ πρῶτος ὁ Εὐκλείδης , εἰμί δέ ὁ ὑπό βηε ἴσος ὁ ὑπό ὅς , διότι καί ὁ βαίνω ἴσος ὁ Ὅη , ὡς δείκνυμι , καί ὅλος ἄρα ὁ ὑπό βηε ὅλος ὁ ὑπό ὅς εἰμί ἴσος , εἰμί δέ καί ὁ xe ὁ βαίνω ἴσος καί βάσις ἄρα ὁ xλ ὁ λβʹ ἴσος , εἰμί ἴσος ἄρα ὁ ἀπό ὁ κέντρον ὁ λx ὁ λβʹ , οὗτος δή γράφω ὁ τμῆμα . οὗτος οὖν οὕτως ἔχω δ γίγνομαι μηνίσκος , οὖον ἐκτός περιφέρεια ὁ ἐκ βαίνω , ἴσος εἰμί ὁ εὐθύγραμμος ὁ σύγκειμαι ἐκ ὁ τρεῖς τρίγωνος ὁ βζη βζx εκζ . ὁ γάρ ἀπό ὁ εὐθύς ἐπί ὅς εζʹ ζῶ ἀφαιρέω ἐντός ὁ μηνιεχω ἀπό ὁ εὐθύγραμμος τμῆμα ἴσος εἰμί ὁ ἐκτός ὁ εὐθύγραμμος τμῆμα ἀφαιρέω ὑπό ὁ ἐκ xβ βαίνω . ἐκάς γάρ ὁ ἐντός ἡμιόλιος εἰμί ἕκαστος ὁ ἐκτός · ἡμιολία γάρ ὑπόκειμαι ὁ εζʹ ὁ ἐκ ὁ κέντρον , οὗτος εἰμί ὁ ἐκ καί Β καί βαίνω . δείκνυμι γάρ καί αὐτός ἴσος ὁ ἐκ . εἰμί οὖν ἑκάτερος ὁ εζʹ ζῶ ἡμιολία εἰμί δύναμις ἕκαστος ὁ εἴρω τρεῖς , ὡς δέ ὁ εὐθύς πρός ὁ εὐθύς , τμῆμα πρός ὁ τμῆμα , ὁ δύο ἄρα τμῆμα ὁ τρεῖς εἰμί ἴσος . εἰμί οὖν ὁ μέν μηνίσκος ὁ τρεῖς τμῆμα εἰμί , καί ὁ εὐθύγραμμος ὁ παρά ὁ δύο τμῆμα , ὁ δέ εὐθύγραμμος μετά ὁ δύο τμῆμα εἰμί χωριστής τρεῖς , εἰμί δέ ὁ δύο τμῆμα ὁ τρεῖς ἴσος , ἴσος εἄν εἰμί ὁ μηνίσκος ὁ εὐθύγραμμος . ὅτι2 δέ οὕτως ὁ μηνίσκος μικρός ἡμικύκλιον ὁ ἐκτός ἔχω περιφέρεια , δείκνυμι διά ὁ ὁ ἔκω γωνία ἐν ὁ ἐκτός εἰμί τμῆμα ἀμβλύς εἰμί . δείκνυμι γάρ ἐν ὁ τρίτος ὁ τρίτος ὁ Εὐκλείδης στοιχεῖον , ὅτι ὁ ἐν ὁ μικρός ἡμικύκλιον τμῆμα μείζων ὀρθός εἰμί . ὅτι2 δέ ἀμβλύς εἰμί ὁ ὑπό ἔκω γωνία , δείκνυμι οὕτως · ἐπεί ὁ μέν ἐπί ἧ εζʹ ἡμιολία εἰμί ὁ ἐκ ὁ κέντρον δύναμις , ὁ δέ ἐπί ἧ βx μείζων ὁ ἐπί ἧ βζ , διότι καί γωνία ὁ πρός ὁ γῆ μείζων , ὡς δείκνυμι , ἴσος δέ ὁ βx ὁ xe , φανερός εἰμί καί ὁ ἐπί ἧ κε μείζων ἧ ὁ ἐπί ἧ βζ ὁ διπλάσιος μῆκος , καί ὁ ἐπί ἧ βε , ὥστε ὁ ἐπί ἧ xζ ἄρα μείζων ὁ διπλοθεος μῆχος καί δύναμις διά ὁ ὁμοιότης τρίγωνος ὁ βex βxζ . εἰμί γάρ ὡς ὁ βαίνω πρός βαίνω , οὕτως ὁ ἐκ πρός xζ , ὥστε ὁ ἐπί ἧ ἐκ μείζων εἰμί ὁ ἐπί ἧ xζ ὁ διπλάσιος δύναμις , ὁ δέ ἐπί ἧ εζʹ ἡμιολία δύναμις ὁ ἐπί ἧ ἐκ . ὁ ἄρα ἐπί ἧ εζʹ μείζων εἰμί δύναμις ὁ ἐπί ὅς ἐκ xζ . εἰμί μέν γάρ διπλάσιος εἰμί δύναμις ὁ ἐπί ὅς ἐκ xζ , ὁ ἐκ ὁ xζ , ἡμιολία δέ ὁ ζε ὁ ἐκ , εἰμί εἄν ὁ ζε ἴσος δύναμις ὁ ἐκ ζῷον ὡς ἐπί ἀριθμός ὁ στ δδ , ἐπεί δέ μείζων ὁ διπλοθεος εἰμί δύναμις , ὁ ἐκ ὁ xe μείζων εἰμί δύναμις . ἀμβλύς ἄρα εἰμί ὁ πρός ὁ x γωνία , μικρός ἄρα ἡμικύκλιον ὁ τμῆμα , ἐν ὅς εἰμί . οὕτως μέν οὖν ὁ Ἱπποκράτης πᾶς μηνιεχω τετραγωνίζω , εἴπερ καί ὁ ἡμικύκλιον καί ὁ μειζωνη ἡμικύκλιον καί ὁ μικρός ἔχω ὁ ἐκτός περιφέρεια , ἀλλά οὐδέ ὁ ἐπί ὁ ὁ τετράγωνος πλευρά μόνος , ὡς ὁ Ἀλέξανδρος ἱστορέω , οὖον μέντοι οὐδέ ὁ κύκλος ἐπιχειρέω τετραγωνίζω διά ὁ περί ὁ ὁ ἑξάγωνος πλευρά μηνιεχω , ὡς καί οὗτος Ἀλέξανδρος φημί . ἄλλος μηνιεχω ἄμη καί κύκλος τετραγωνίζω οὕτως . εἰμί περί κέντρον ἐπί οὖον x δύο κύκλος , ὁ δέ ὁ ἐκτός διάμετρος εξαπλάσια δύναμις ὁ ὁ ἐντός καί ἑξάγωνος ἐγγράφω εἰς ὁ ἐντός κύκλος ὁ ἐπί ὅς αβ γδω εζʹ , ὁ τε ἐπί ὅς xa καί xg ἐκ ὁ κέντρον ἐπικεύθω ἐκδεβληθῶσαν ἠώς ὁ ὁ ἐκτός κύκλος περιφέρεια , καί ἐπί ὅς ηθʹ ὁ επεξευχοω , καί δῆλος ὅτι καί ὁ ηθʹ ὁ ἑξάγωνος εἰμί πλευρά ὁ εἰς ὁ μειζωνη κύκλος ἐγγράφω , καί περί ὁ ἐπί ὅς ὁ , τμῆμα ὅμοιος ὁ ἀφαιρέω ὑπό ὁ ἐπί ἧ ηθʹ περιγράφω .