alexander-philosophy.in-aristotelis-analyticorum-priorum-librum-i-commentarium 41a26
Oἶον ὅτι ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ διὰ τὸ γίνεσθαι τὰ περιττὰ ἴσα τοῖς ἀρτίοις συμμέτρου τεθείσης . Παραδείγματι αὐτὸς κέχρηται τῆς δι’ ἀδυνάτου δείξεως τῷ ἐπὶ τῆς διαμέτρου δεικνύς , πῶς , ὃ βούλεται κατασκευάζειν , ὁ τῇ δι’ ἀδυνάτου δείξει χρώμενος δείκνυσιν . οὐ γὰρ συλλογίζεται , ὅτι ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ , ὁ οὕτως δεικνύς , | ὅπερ ἐστίν , ὃ βούλεται δεῖξαι , ἀλλὰ τοῦ ἀντικιμένου τεθέντος τοῦ σύμμετρον αὐτὴν εἶναι τῇ πλευρᾷ δείκνυσι διὰ συλλογισμοῦ δεικτικῶς , ὅτι τούτου κειμένου γίνεται τὰ περιττὰ τοῖς ἀρτίοις ἴσα · ὃ ἐπεὶ ἀδύνατον , ἀναιρεῖται μὲν ἡ ὑπόθεσις , ᾗ τοῦτο ἠκολούθησεν , ἐν δὲ τῇ ταύτης ἀναιρέσει τὸ ἀντικείμενον αὐτῆς κατασκευάζεται τὸ μὴ εἶναι σύμμετρον τὴν διάμετρον τῇ πλευρᾷ , ἐπειδὴ κατὰ παντὸς θάτερον μέρος τῆς ἀντιφάσεως , ὃ ἦν ἐξ ἀρχῆς προκείμενον . ὁ δὲ συλλογισμὸς τοῦ τὰ περιττὰ τοῖς ἀρτίοις ἴσα γίνεσθαι , ἄν ᾖ ἡ διάμετρος σύμμετρος τῇ πλευρά , τοιοῦτος κείσθω · τετράγωνον χωρίον τὰ ΑΒΓΔ , καὶ ἔστω διάμετρος αὐτοῦ ἡ Β Γ · εἰ δὴ σύμμετρός ἐστιν ἡ Β Γ διάμετρος τῇ Α Β πλευρᾷ , ἕξει λόγον πρὸς αὐτήν , ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν · ἔχομεν γὰρ παρὰ Εὐκλείδῃ ἐν τῷ δεκάτῳ τῶν Στοιχείων δεδειγμένον τοῦτο , ὅτι “ τὰ σύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει . ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν ” , καὶ ἔστι τέταρτον θεώρημα ἐν τῷ δεκάτῳ τοῦτο . ἔστω δὴ ὡς ἡ Β Γ διάμετρος πρὸς τὴν Β Α πλευρὰν ὁ E ἀριθμὸς πρὸς τὸν Z , καὶ εἰλήφθωσαν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον τούτοις ἐχόντων πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους · “ οἱ γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ” δέδεικται δὲ καὶ τοῦτο ἐν τῷ ἑβδόμῳ τῶν Στοιχείων Εὐκλείδου . εἰσὶ δὲ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι . πεπολυπλασιάσθω ἑκάτερος τῶν E Z , καὶ ἔστω ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ H ἐφ’ ἑαυτὸν γενόμενος πολυπλασιασθεὶς Ι , ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Θ Κ . τετράγωνοι ἄρα εἰσὶν ὁ I καὶ Κ καὶ πρῶτοι καὶ αὐτοὶ πρὸς ἀλλήλους · δέδεικται γὰρ καὶ τοῦτο ἐν τῷ ἑβδόμῳ τῶν Στοιχείων , ὅτι , ἄν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσι καὶ καὶ αὐτοὶ πρὸς ἀλλήλους ἔσονται . ἐπεὶ οὖν ἔστιν ὡς ἡ Β Γ διάμετρος πρὸς τὴν Α Β πλευρὰν οὕτως ὁ E ἀριθμὸς πρὸς τὸν Z , ὡς δ’ ὁ E πρὸς τὸν Z οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ , καὶ ὡς ἡ B Γ διάμετρος ἔχει πρὸς τὴν Α Β πλευράν , οὕτως ἕξει ὁ Η ἀριθμὸς πρὸς τὸν Θ . καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β Γ ἄρα διαμέτρου τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Α Β πλευρᾶς , οὕτως ἕξει καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ Η πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Θ · εἰσὶ δὲ οὗτοι I καὶ Κ . διπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς · διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ Ι ἀριθμὸς τοῦ Κ ἀριθμοῦ · ἄρτιος ἄρα ὁ Ι · πᾶς γὰρ ὁ διπλάσιός τινος ἄρτιος εἰς ἴσα γε διαιρούμενος . ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ἥμισυς αὐτοῦ ἄρτιος ἔσται · τῶν γὰρ τετραγώνων ἀριθμῶν τῶν εἰς ἴσα διαιρουμένων καὶ τὰ ἡμίση ἄρτιά ἐστιν . ἄρτιος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Κ ἥμισυς ὢν τοῦ I ὄντος τετρα - γώνου . [ οὗ ] ἔστι δὲ καὶ περισσός · πρῶτοι γὰρ ἦσαν πρὸς ἀλλήλους ὁ I καὶ ὁ Κ . ἀδύνατον δὲ πρώτους εἶναι πρὸς ἀλλήλους τοὺς ἀρτίους · οἱ γὰρ ἄρτιοι οὐ μετροῦνται μονάδι μόνῃ κοινῷ μέτρῳ , ὃ ἴδιόν ἐστι τῶν πρώτων . δεῖ δὴ ἤτοι ἀμφοτέρους ἢ τὸν ἕτερον αὐτῶν περισσὸν εἶναι · ἐδείχθησαν δὲ καὶ ἄρτιοι ἀμφότεροι διὰ τὴν ὑπόθεσιν · τὰ περισσὰ ἄρα τοῖς ἀρτίοις ἴσα ὑποτεθείσης τῆς διαμέτρου εἶναι τῇ πλευρᾷ συμμέτρου , ὅπερ ἀδύνατον . ἐπὶ δὴ τῆς δείξεως ταύτης ὁ μὲν συλλογισμὸς ἐγένετο τοῦ τὰ περισσὰ τοῖς ἀρτίοις ἴσα εἶναι , ὅ ἐστι ψεῦδος . τὸ δὲ εἶναι ἀσύμμετρον τὴν διάμετρον τῇ πλευρᾷ διὰ τὴν ὑπόθεσιν δείκνυται · ὅτι γὰρ ὑποτεθέντος τοῦ ἀντικειμένου τούτῳ ἀδύνατόν τι ἀκολουθοῦν ἐδείκνυτο διὰ συλλογισμοῦ , τῇ τῆς ὑποθέσεως ἀναιρέσει ἐκεῖνο ἐτέθη τῷ δεῖν θάτερον αὐτῶν ἀληθὲς εἶναι · τοῦτο γάρ ἐστι τὸ διὰ τὴν ἀντίφασιν . εἰ δὲ καὶ ἐπὶ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς ὁ γινόμενος τοῦ · ψεύδους συλλογισμὸς δεικτικός τέ ἐστι , τοῦτ’ ἔστι κατηγορικός , καὶ διά τινος τῶν τριῶν περαίνεται σχημάτων , εἶεν ἄν ἐν τοῖς σχήμασι τοῖς τρισὶ καὶ οἱ δι’ ἀδυνάτου συλλογισμοὶ μέρος ὄντες τῶν ἐξ ὑποθέσεως .
Lemmas: ἀπολύω ὅτι ἀσύμμετρος ὁ διάμετρος ὁ πλευρά διά ὁ γίγνομαι ὁ περισσός ἴσος ὁ ἄρτιος σύμμετρος τίθημι . παράδειγμα αὐτός χράομαι ὁ διά ἀδύνατος δεῖξις ὁ ἐπί ὁ διάμετρος δείκνυμι , πῶς , ὅς βούλομαι κατασκευάζω , ὁ ὁ διά ἀδύνατος δείκνυμι χράω δείκνυμι . οὖον γάρ συλλογίζομαι , ὅτι ἀσύμμετρος ὁ διάμετρος ὁ πλευρά , ὁ οὕτως δείκνυμι , | ὅσπερ εἰμί , ὅς βούλομαι δείκνυμι , ἀλλά ὁ αντικιμενω τίθημι ὁ σύμμετρος αὐτός εἰμί ὁ πλευρά δείκνυμι διά συλλογισμός δεικτικός , ὅτι οὗτος κεῖμαι γίγνομαι ὁ περισσός ὁ ἄρτιος ἴσος · ὅς ἐπεί ἀδύνατος , ἀναιρέω μέν ὁ ὑπόθεσις , ὅς οὗτος ἀκολουθέω , ἐν δέ ὁ οὗτος ἀναίρεσις ὁ ἀντίκειμαι αὐτός κατασκευάζω ὁ μή εἰμί σύμμετρος ὁ διάμετρος ὁ πλευρά , ἐπεί κατά πᾶς ἕτερος μέρος ὁ ἀντίφασις , ὅς εἰμί ἐκ ἀρχή πρόκειμαι . ὁ δέ συλλογισμός ὁ ὁ περισσός ὁ ἄρτιος ἴσος γίγνομαι , ἄν εἰμί ὁ διάμετρος σύμμετρος ὁ πλευρά , τοιοῦτος κεῖμαι · τετράγωνος χωρίον ὁ ΑΒΓΔ , καί ἵστημι διάμετρος αὐτός ὁ Β Γ · εἰμί δή σύμμετρος εἰμί ὁ Β Γ διάμετρος ὁ Α Β πλευρά , ἔχω λόγος πρός αὐτός , ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός · ἔχω γάρ παρά Εὐκλείδης ἐν ὁ δέκατος ὁ στοιχεῖον δείκνυμι οὗτος , ὅτι “ ὁ σύμμετρος μέγεθος πρός ἀλλήλων λόγος ἔχω . ὅς ἀριθμός πρός ἀριθμός ” , καί εἰμί τέταρτος θεώρημα ἐν ὁ δέκατος οὗτος . ἵστημι δή ὡς ὁ Β Γ διάμετρος πρός ὁ Β Α πλευρά ὁ E ἀριθμός πρός ὁ Z , καί λαμβάνω ὁ μικρός ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος οὗτος ἔχω πρῶτος πρός ἀλλήλων · “ ὁ γάρ μικρός ἀριθμός ὁ ὁ αὐτός λόγος ἔχω πρῶτος πρός ἀλλήλων ” δείκνυμι δέ καί οὗτος ἐν ὁ ἕβδομος ὁ στοιχεῖον Εὐκλείδης . εἰμί δέ πρῶτος πρός ἀλλήλων ὁ μόνος μόνος μετρέω . πολυπλασιάζω ἑκάτερος ὁ E Z , καί ἵστημι ὁ μέν ἀπό ὁ H ἐπί ἑαυτοῦ γίγνομαι πολυπλασιάζω Ι , ὁ δέ ἀπό ὁ Θ Κ . τετράγωνος ἄρα εἰμί ὁ I καί Κ καί πρῶτος καί αὐτός πρός ἀλλήλων · δείκνυμι γάρ καί οὗτος ἐν ὁ ἕβδομος ὁ στοιχεῖον , ὅτι , ἄν δύο ἀριθμός πρῶτος πρός ἀλλήλων εἰμί καί καί αὐτός πρός ἀλλήλων εἰμί . ἐπεί οὖν εἰμί ὡς ὁ Β Γ διάμετρος πρός ὁ Α Β πλευρά οὕτως ὁ E ἀριθμός πρός ὁ Z , ὡς δέ ὁ E πρός ὁ Z οὕτως ὁ ὁ πρός ὁ Θ , καί ὡς ὁ B Γ διάμετρος ἔχω πρός ὁ Α Β πλευρά , οὕτως ἔχω ὁ ὁ ἀριθμός πρός ὁ Θ . καί ὡς ὁ ἀπό ὁ Β Γ ἄρα διάμετρος τετράγωνος πρός ὁ ἀπό ὁ Α Β πλευρά , οὕτως ἔχω καί ὁ ἀπό ὁ ὁ πρός ὁ ἀπό ὁ Θ · εἰμί δέ οὗτος I καί Κ . διπλάσιος δέ ὁ ἀπό ὁ διάμετρος τετράγωνος ὁ ἀπό ὁ πλευρά · διπλάσιος ἄρα καί ὁ Ι ἀριθμός ὁ Κ ἀριθμός · ἄρτιος ἄρα ὁ Ι · πᾶς γάρ ὁ διπλάσιος τις ἄρτιος εἰς ἴσος γε διαιρέω . ἀλλά μήv καί ὁ ἥμισυς αὐτός ἄρτιος εἰμί · ὁ γάρ τετράγωνος ἀριθμός ὁ εἰς ἴσος διαιρέω καί ὁ ἥμισυς ἄρτιος εἰμί . ἄρτιος ἄρα εἰμί καί ὁ Κ ἥμισυς εἰμί ὁ I εἰμί τετρᾶς - γώνον . [ ὅς ] εἰμί δέ καί περισσός · πρῶτος γάρ εἰμί πρός ἀλλήλων ὁ I καί ὁ Κ . ἀδύνατος δέ πρῶτος εἰμί πρός ἀλλήλων ὁ ἄρτιος · ὁ γάρ ἄρτιος οὖον μετρέω μόνος μόνος κοινός μέτρον , ὅς ἴδιος εἰμί ὁ πρῶτος . δεῖ δή ἤτοι ἀμφότερος ἢ ὁ ἕτερος αὐτός περισσός εἰμί · δείκνυμι δέ καί ἄρτιος ἀμφότερος διά ὁ ὑπόθεσις · ὁ περισσός ἄρα ὁ ἄρτιος ἴσος ὑποτίθημι ὁ διάμετρος εἰμί ὁ πλευρά σύμμετρος , ὅσπερ ἀδύνατος . ἐπί δή ὁ δεῖξις οὗτος ὁ μέν συλλογισμός γίγνομαι ὁ ὁ περισσός ὁ ἄρτιος ἴσος εἰμί , ὅς εἰμί ψεῦδος . ὁ δέ εἰμί ἀσύμμετρος ὁ διάμετρος ὁ πλευρά διά ὁ ὑπόθεσις δείκνυμι · ὅτι γάρ ὑποτίθημι ὁ ἀντίκειμαι οὗτος ἀδύνατος τίς ἀκολουθέω δείκνυμι διά συλλογισμός , ὁ ὁ ὑπόθεσις ἀναίρεσις ἐκεῖνος τίθημι ὁ δήω ἕτερος αὐτός ἀληθής εἰμί · οὗτος γάρ εἰμί ὁ διά ὁ ἀντίφασις . εἰμί δέ καί ἐπί ὁ εἰς ἀδύνατος ἀπαγωγή ὁ γίγνομαι ὁ · ψεῦδος συλλογισμός δεικτικός τε εἰμί , οὗτος εἰμί κατηγορικός , καί διά τις ὁ τρεῖς περαίνω σχῆμα , ἄγω ἄν ἐν ὁ σχῆμα ὁ τρεῖς καί ὁ διά ἀδύνατος συλλογισμός μέρος εἰμί ὁ ἐκ ὑπόθεσις .