alexander-philosophy.in-aristotelis-analyticorum-priorum-librum-i-commentarium 41b14
Οἷον ὅτι τοῦ ἰσοσκελοῦς ἴσαι αἱ πρὸς τῇ βάσει Τὸ μὲν πρόβλημα δεῖξαι τὰς πρὸς τῇ βάσει τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου δύο γωνίας ἴσας ἀλλήλαις , ὃ Εὐκλείδης μὲν ἐν τῶ πρώτῳ τῶν Στοιχείων δέδειχε διὰ τοῦ πέμπτου θεωρήματος δείξει χρησάμενος ἄλλῃ . ὁ μέντοι Ἀριστοτέλης ἄλλως δείκνυσιν αὐτό , καὶ ἔστιν ἡ δεῖξις τοιαύτῃ · ἔστω κύκλος ὁ Α Β Γ Δ , καὶ ἔστω κέντρον αὐτοῦ τὸ E , καὶ διήχθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλήλας ἥ τε ΑE καὶ ἡ ΒE , διάμετροι οὖσαι δῆλον ὅτι τοῦ κύκλου , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ . βάσις δὴ ἔσται ἡ Α Β τοῦ E Α Β τριγώνου . ἔσονται δὴ πρὸς τῇ βάσει αὐτοῦ γωνίαι ἥ τε Α Γ καὶ ἡ Β Δ . ἐπεὶ οὖν ἡμικυκλίου ἐστὶν ἑκατέρα τῶν Α Γ , Β Δ γωνιῶν , ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις · αἱ γὰρ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι τῷ ἐφαρμόζειν ἀλλήλαις . ὧν αἱ ὑπὸ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου καὶ τῆς περιφερείας ἀπολαμβανόμεναι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις , ἐπεί εἰσιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι · αἱ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις , ὅτι καὶ καθόλου αἱ τῶν ἴσων τμημάτων γωνίαι ἴσαι . λοιπαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῇ βάσει αἱ ἀπολαμβανόμεναι ὑπό τε τῆς βάσεως καὶ ἑκατέρας τῶν τοὺ τριγώνου πλευρῶν ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις · ἄν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ , καὶ τὰ λειπόμενα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις . καὶ εἰσὶν αἱ πλευραὶ τοῦ τριγώνου , ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι γωνίαι , ἴσαι ἀλλήλαις · ἀπὸ γὰρ τοῦ κέντρου εἰσὶν ἀμφότεραι . τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις . ἂν δὴ τούτου τοῦ ] προκειμένου δειχθῆναι λάβῃ τις τὴν Α Γ γωνίαν τῇ Β Δ ἴσην μὴ δείξας καθόλου , ὅτι αἱ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι , τὸ ζητούμενον ἄν καὶ τὸ ἐν ἀρχῇ λαμβάνοι . ἢ εἰ τοῦτο μὲν δείξειε , τὴν ὅλην τῇ ὅλῃ ἴσην , λάβοι δὲ τὰς ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου ἀποτεμνομένας γωνίας ἀπὸ τῶν ἐν τοῖς ἡμικυκλίοις γωνιῶν τῶν ὀρθῶν ἴσας ἀλλήλαις , τὴν Γ τῇ Δ , μὴ δείξας καθόλου , ὅτι αἱ τῶν ἴσων τμημάτων γωνίαι ἴσαι αἱ γὰρ τῶν ἴσων τμημάτων ἴσαι γωνίαι τῷ ἐφαρμόζειν ἀλλήλοις τὰ τμήματα , ὥσπερ καὶ τὰ ἡμικύκλια , διὸ καὶ <αἱ> ἐκείνων γωνίαι ἴσαι · δὲ δύο ἡμικυκλίων τῶν ὑπὸ τῶν Α , Β διαμέτρων τετμημένων κοινὸν τμῆμά ἐστι τὸ ὑπὸ τῇ τοῦ τριγώνου βάσει · ἴσον οὖν αὑτῷ δηλαδὴ καὶ ἐφαρμόζον , καθ’ ὃ ἑκατέρου ἀφῄρηται , δύο πως ὄν · ἴσαι ἄρα καὶ αἱ γωνίαι αὐτοῦ ἀλλήλαις ) , ἄν δή τις λάβῃ τὰς γωνίας ἴσας εἶναι τὰς ἐν τῷ τμήματι μὴ δείξας , διὰ τί ἴσαι , πάλιν ἄν εἴη τὸ ἐν ἀρχῇ αἰτούμενος καὶ οὐ συλλογιζόμενος . ἢ εἰ δείξειε μὲν καὶ τοῦτο , λαμβάνοι δὲ τὴν λοιπὴν ἴσην τὴν E τῇ Z , καὶ οὕτως ἂν τὸ ἐν ἀρχῇ λαμβάνοι , ἀλλ’ οὐ δεικνύοι ἄν , εἰ χωρὶς τοῦ ἀξιώματος ἐκείνου τεθείη τοῦ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ , τὰ καταλειφθέντα ἴσα εἶναι ἀλλήλοις . εἶπε δὲ τὰς καταλειπομένας ἀπὸ τῶν γωνιῶν τῶν ἡμικυκλίων τὰς E , Ζ , ὡς εἶναι τὰς μὲν ὅλας γωνίας τὰς τῶν ἡμικυκλίων τὰς Α Γ , Β Δ , τὰς δὲ ἀφῃρημένας θ’ αὐτῶν τὰς τοῦ τμήματος Γ καὶ Δ , τὰς δὲ καταλειπομένας ἀπ’ αὐτῶν E καὶ Z , αἳ περιέχονται ὑπό τε τῆς βάσεως καὶ ἑκατέρας τῶν πλευρῶν οὖσαι αἱ πρὸς τῇ βάσει , περὶ ὧν νῦν προκείμενον δεῖξαι , ὅτι ἴσαι . ἔσται δὴ τὸ ἐξ ἀνάγκης αἰτούμενος , ἄν τὰ δεόμενα δείξεως χωρὶς δείξεως ὡς οὕτως ἔχοντα λαμβάνῃ · αἰτήσεται γὰρ τὸ ἴσας εἶναι τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὰς πρὸς τῇ βάσει , ἀλλ’ οὐ δείξει .
Lemmas: οἷος ὅτι ὁ ἰσοσκελής Ἴσαι ὁ πρός ὁ βάσις ὁ μέν πρόβλημα δείκνυμι ὁ πρός ὁ βάσις ὁ ἰσοσκελής τρίγωνος δύο γωνία ἴσος ἀλλήλων , ὅς Εὐκλείδης μέν ἐν ὁ πρῶτος ὁ στοιχεῖον δείκνυμι διά ὁ πέμπτος θεώρημα δείκνυμι χράω ἄλλος . ὁ μέντοι Ἀριστοτέλης ἄλλως δείκνυμι αὐτός , καί εἰμί ὁ δεῖξις τοιοῦτος · ἵστημι κύκλος ὁ Α Β Γ δ , καί ἵστημι κέντρον αὐτός ὁ E , καί διάγω ἀπό ὁ κέντρον πρός ὁ περιφέρεια εὐθύς τέμνω ἀλλήλων ὅς τε ΑE καί ὁ ΒE , διάμετρος εἰμί δῆλος ὅτι ὁ κύκλος , καί ἐπιζεύγνυμι ὁ ΑΒ . βάσις δή εἰμί ὁ Α Β ὁ E Α Β τρίγωνος . εἰμί δή πρός ὁ βάσις αὐτός γωνία ὅς τε Α Γ καί ὁ Β δ . ἐπεί οὖν ἡμικύκλιον εἰμί ἑκάτερος ὁ Α Γ , Β δ γωνία , Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων · ὁ γάρ ὁ ἴσος ἡμικύκλιον γωνία Ἴσαι ὁ ἐφαρμόζω ἀλλήλων . ὅς ὁ ὑπό ὁ βάσις ὁ τρίγωνος καί ὁ περιφέρεια ἀπολαμβάνω Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων , ἐπεί εἰμί ἐν ὁ αὐτός τμῆμα · ὁ γάρ ἐν ὁ αὐτός τμῆμα γωνία Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων , ὅτι καί καθόλου ὁ ὁ ἴσος τμῆμα γωνία Ἴσαι . λοιπός ἄρα ὁ πρός ὁ βάσις ὁ ἀπολαμβάνω ὑπό τε ὁ βάσις καί ἑκάτερος ὁ ὅς τρίγωνος πλευρά Ἴσαι εἰμί ἀλλήλων · ἄν γάρ ἀπό ἴσος ἴσος ἀφαιρέω , καί ὁ λείπω ἴσος εἰμί ἀλλήλων . καί εἰμί ὁ πλευρά ὁ τρίγωνος , ὑπό ὅς ὁ Ἴσαι γωνία , Ἴσαι ἀλλήλων · ἀπό γάρ ὁ κέντρον εἰμί ἀμφότερος . ὁ ἄρα ἰσοσκελής τρίγωνος ὁ πρός ὁ βάσις γωνία Ἴσαι ἀλλήλων . εἄν δή οὗτος ὁ ] πρόκειμαι δείκνυμι λαμβάνω τις ὁ Α Γ γωνία ὁ Β δ ἴσος μή δείκνυμι καθόλου , ὅτι ὁ ὁ ἴσος ἡμικύκλιον γωνία Ἴσαι , ὁ ζητέω ἄν καί ὁ ἐν ἀρχή λαμβάνω . ἢ εἰμί οὗτος μέν δείκνυμι , ὁ ὅλος ὁ ὅλος ἴσος , λαμβάνω δέ ὁ ὑπό ὁ περιφέρεια καί ὁ βάσις ὁ τρίγωνος ἀποτέμνω γωνία ἀπό ὁ ἐν ὁ ἡμικύκλιον γωνία ὁ ὀρθός ἴσος ἀλλήλων , ὁ Γ ὁ δ , μή δείκνυμι καθόλου , ὅτι ὁ ὁ ἴσος τμῆμα γωνία Ἴσαι ὁ γάρ ὁ ἴσος τμῆμα Ἴσαι γωνία ὁ ἐφαρμόζω ἀλλήλων ὁ τμῆμα , ὥσπερ καί ὁ ἡμικύκλιον , διό καί <αἱ> ἐκεῖνος γωνία Ἴσαι · δέ δύο ἡμικύκλιον ὁ ὑπό ὁ Α , Β διάμετρος τέμνω κοινός τμῆμα εἰμί ὁ ὑπό ὁ ὁ τρίγωνος βάσις · ἴσος οὖν ἑαυτοῦ δηλαδή καί ἐφαρμόζω , κατά ὅς ἑκάτερος ἀφαιρέω , δύο πως εἰμί · Ἴσαι ἄρα καί ὁ γωνία αὐτός ἀλλήλων ) , ἄν δή τις λαμβάνω ὁ γωνία ἴσος εἰμί ὁ ἐν ὁ τμῆμα μή δείκνυμι , διά τίς Ἴσαι , πάλιν ἄν εἰμί ὁ ἐν ἀρχή αἰτέω καί οὖον συλλογίζομαι . ἢ εἰμί δείκνυμι μέν καί οὗτος , λαμβάνω δέ ὁ λοιπός ἴσος ὁ E ὁ Z , καί οὕτως εἄν ὁ ἐν ἀρχή λαμβάνω , ἀλλά οὖον δείκνυμι ἄν , εἰμί Χωρὶς ὁ ἀξίωμα ἐκεῖνος τίθημι ὁ ἐάν ἀπό ἴσος ἴσος ἀφαιρέω , ὁ καταλείπω ἴσος εἰμί ἀλλήλων . εἶπον δέ ὁ καταλείπω ἀπό ὁ γωνία ὁ ἡμικύκλιον ὁ E , Ζ , ὡς εἰμί ὁ μέν ὅλος γωνία ὁ ὁ ἡμικύκλιον ὁ Α Γ , Β δ , ὁ δέ ἀφαιρέω ὁ αὐτός ὁ ὁ τμῆμα Γ καί δ , ὁ δέ καταλείπω ἀπό αὐτός E καί Z , ὅς περιέχω ὑπό τε ὁ βάσις καί ἑκάτερος ὁ πλευρά εἰμί ὁ πρός ὁ βάσις , περί ὅς νῦν πρόκειμαι δείκνυμι , ὅτι Ἴσαι . εἰμί δή ὁ ἐκ ἀνάγκη αἰτέω , ἄν ὁ δήω δεῖξις Χωρὶς δεῖξις ὡς οὕτως ἔχω λαμβάνω · αἰτέω γάρ ὁ ἴσος εἰμί ὁ ἰσοσκελής τρίγωνος ὁ πρός ὁ βάσις , ἀλλά οὖον δείκνυμι .