English: So the Laplace equation becomes two ordinary differential equations that are, r²R^(″)(r) + rR^(′)(r) + λR(r) = 0, so this is Euler Cauchy equation, for r₁ < r < r₂ and the other ODE is ϴ^(″)(θ) − λϴ(θ) = 0 for θ₁ < θ < θ₂.
Telugu: కాబట్టి లాప్లాస్ సమీకరణం రెండు సాధారణ డిఫెరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ అవుతుంది, r²R^(″)(r) + rR^(′)(r) + λR(r) = 0, కాబట్టి ఇది యూలర్-కాచి సమీకరణం, r₁ < r < r₂మరియు ఇతర ODE θ₁ < θ < θ₂ కోసం ϴ^(″)(θ) − λϴ(θ) = 0. ఇది (1.ϴ^(′)(θ))^(′) + 0.ϴ(θ) = 1.ϴ(θ) అని ఉండే సెల్ఫ్ అడ్ జాయింట్ (adjoint) రూపంలో ఉంది, ఇక్కడ p = 1, q = 0, మరియు w = 1. కాబట్టి మీరు డాట్(Dot)ప్రొడక్ట్(product) ని $< \Phi,Ѱ > \ : = \ \Phi(x)\underline{Ѱ(x)}dx$ గా నిర్వచించవచ్చు.