English: We have also learned that these equations become sufficient conditions if these derivatives here 𝑢_(𝑥), 𝑣_(𝑦), 𝑢_(𝑦) and here this 𝑣_(𝑥) are continuous in addition to these relations, which has to be satisfied as a necessary condition.
Telugu: మనం ఇది కూడా నేర్చుకున్నాం - డెరివేటివ్ లు 𝑢_(𝑥), 𝑣_(𝑦), 𝑢_(𝑦) మరియు 𝑣_(𝑥) లు కంటిన్యూస్ గా ఉన్నప్పుడు ఈ సమీకరణాలు అన్నవి సరిపోయే షరతులుగా మారుతాయని అటువంటప్పుడు కచ్చితంగా శాటిస్ఫై చేయడానికి అవసరమైన షరతులు అవుతాయి. point. ఒకవేళ ఇవి కంటిన్యూస్ అయితే CR సమీకరణాలు తో లభించే పాతిక్షిక డెరివేటివ్ లు డిఫరెన్షియబిలిటీ మరియు విశ్లేషణాత్మకత కు అవసరమైన షరతులను తెలియజేస్తాయి.