English: Now, if x(0) denote the initial state at t = 0; then φ(t) is also defined by the matrix equation and you can write, So, state transition matrix is nothing but the matrix which correlates any the states at time t = 0 to any state of time t. So, this equation which you have got x(t) = φ(t)x(0) is the solution of homogeneous state equation.
Telugu: x(t) = φ(t)x(0) కాబట్టి, స్టేట్ ట్రాన్సిషన్ మాట్రిక్స్ అనేది t = 0 వద్ద ఉన్న స్టేట్ ని వేరొక టైం t దగ్గర ఉన్న స్టేట్ లతో కోరిలేట్(corelate) చేసే మాట్రిక్స్ తప్ప మరొకటి కాదు.