English: If we take, $\ u = x + \frac{s}{2}$ in that case, this will be converted into Now, let us see what would be the Laplace transform of $erf(\sqrt{t}).$ and L{F(0)} = f(s) so that from here, directly we can say F(0) = 0 and using Leibniz integral theorem, Therefore Laplace transform of F′(t) is, So, we can write down Laplace transform of F′(t) as Now, we want to find $L\{ t\ erf(2\sqrt{t})\}.$ We know that the Laplace transform of $erf\left( \sqrt{t} \right)$ is Using the change of scale property, now we can tell Using the theorem on multiplication by power of t, we have This error function is used in various engineering problems as we always come across this function.
Telugu: ఒకవేళ మనం $\ u = x + \frac{s}{2}$ ని తీసుకుంటే, ఇది ఇప్పుడుగా మార్చబడుతుంది, $erf యొక్క లాప్లేస్ రూపాంతరం ఏమిటి (\sqrt{t}).$ మరియు L{F(0)} = f(s) అని చూద్దాం, తద్వారా ఇక్కడ నుండి మనం నేరుగా F(0) = 0 అని చెప్పవచ్చు మరియు లైబ్నిజ్ సమగ్ర సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, అందువల్ల F'(t) యొక్క లాప్లేస్ రూపాంతరం,  కాబట్టి, మనం F'(t) యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తనను ఇప్పుడు కనుగొనాలనుకుంటున్నాము, మనం $L\{t\ erf(2\sqrt{t})\}ను కనుగొనాలనుకుంటున్నాము.$ $erf\ఎడమ(\sqrt{t} \కుడి)$ యొక్క లాప్లేస్ రూపాంతరం స్కేల్ ప్రాపర్టీ యొక్క మార్పును ఉపయోగిస్తోందని మాకు తెలుసు, ఇప్పుడు మనం T యొక్క శక్తి ద్వారా గుణించడంపై సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, ఈ దోష విధిని వివిధ ఇంజనీరింగ్ సమస్యలలో ఉపయోగిస్తాము.