English: Now because this is non zero I can divide both sides with v(x,t), that is X(x).T(t) so that will give you hand side is function of t, and the right hand side the function of x okay, so that means it has to be so now the the heat equation a PDE becomes two ordinary differential equations one is X^(″)(x) − λX(x) = 0, x is in domain 0 < x < L this is our extracted Sturm-Liouville problems and what is other one, it is So now if you apply the boundary conditions v(0,t) = 0 gives X(0) = 0, and v(L,t) = 0 gives X(L) = 0.
Telugu: T(t) కాబట్టి మీకు $\frac{T^{'}(t)}{\alpha^{2}T(t)} = \frac{X^{''}(x)}{X(x)}$ ఇస్తుంది, ఇప్పుడు ఎడమ వైపు ఫంక్షన్ t, మరియు కుడి వైపు ఫంక్షన్ x ఓకే, అంటే అది స్థిరంగా ఉండాలి$\ \left( \frac{T^{'}(t)}{\alpha^{2}T(t)} = \frac{X^{''}(x)}{X(x)} = \lambda \right)$, కాబట్టి ఇప్పుడు హీట్ ఈక్వేషన్ PDE రెండు సాధారణ డిఫెరెన్షియల్ (differential) సమీకరణాలుగా ఒకటి X^(″)(x) − λX(x) = 0, x డొమైన్‌లో 0 < x < L ఇది మనం సేకరించిన స్టర్మ్-లియోవిల్లే సమస్యలు మరియు మరొకటి ఏమిటి, అది T^(′)(t) − λα²T(t) = 0 సరేనా.