English: So the general solution of the ODE is R(r) = A_(n)r^(n) + B_(n)r^(−n) for two distinct roots when n is from 1, 2, 3, …onwards and R(r) = A₀ + B₀log log  r  for repeated roots when n = 0 Now you can write the solution for u_(n)(r,θ) for each n that is since for ϴ_(n)(θ), cos cos  nθ , sin sin  nθ  are two linearly independent solutions so you can have a linear combination, this is for n equals 1, 2, 3 onwards so if n = 0 you are left with So you can rewrite this as, for n equals 1, 2, 3 onwards, here a_(n) = A_(n)C_(n), So you can superimpose all these solutions and you can write u(r,θ) = u_(n)(r,θ) and let it be the solution of Laplace equation.
Telugu: కాబట్టి ODE యొక్క సాధారణ పరిష్కారం R(r) = A_(n)r^(n) + B_(n)r^(−n) అనేది n 1, 2, 3, ... తరువాత మరియు R(r) = A₀ + B₀log log r n = n = 0 ఉన్నప్పుడు పునరావృత మూలాల కొరకు ఇప్పుడు మీరు ప్రతి n కొరకు u_(n)(r,θ) కొరకు ద్రావణాన్ని రాయవచ్చు, ఎందుకంటే N_(n)(θ), cos cos n, sin sin nθ రెండు రేఖీయంగా స్వతంత్ర పరిష్కారాలు, కాబట్టి మీరు ఒక రేఖీయ సమ్మేళనాన్ని కలిగి ఉండవచ్చు, ఇది n సమానం 1,  2, 3 నుండి n = 0 మిగిలి ఉంటే, మీరు దీనిని 1, 2, 3 కు సమానం, ఇక్కడ a_(n) = A_(n)C_(n) గా తిరిగి రాయవచ్చు, కాబట్టి మీరు ఈ ద్రావణాలన్నింటినీ అతికించవచ్చు మరియు మీరు u(r,θ) = u_(n)(r,θ) అని రాయవచ్చు మరియు ఇది లాప్లేస్ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారంగా ఉండనివ్వండి.