问题：惯量积及其物理意义

惯量积的由来及物理应用  惯量积的引入： 首先从名字上理解，惯性积是表示刚体（质点系，后面省略）的惯性性质的，说的更确 切点是表示刚体转动时的惯性性质的。 我们都知道，质量是质点或刚体平移时的惯性度量。刚体定轴转动时，大家熟悉的一个 对惯性的度量是转动惯量（J= ） ，但是这仅限于这个转轴取得非常切当的情况下才是  这个结果（比如一个均值的飞轮，转轴取垂直于这个飞轮的质量对称平面的某个轴，此时的 惯性效果仅体现在惯性力对转轴有力矩， 这个力矩就是 J ,而对其他的两个轴没有力矩） 。 如 果转轴不垂直飞轮面， 而是有个偏角的话， 这个转动的惯性就不仅仅体现在转轴这一个轴上， 在垂直于转轴的另外两个轴上也会产生力矩，怎么表示这个力矩，就需要用其他的量，这些 量就是惯性积。 说得更抽象一点， 描述一个任意形状的刚体绕一点转动的惯性， 可以建立一个坐标系， 如果这个坐标系的位置和方位取得好的话， 只用三个转动惯量就可以描述。 但如果坐标取得 一般的话，就需要更多的量来描述（需要额外的 6 个量） ，这些就称为惯性积。惯性积和转 动惯量一起 9 个量构成一个张量， 称为描述刚体绕一点转动的惯性的惯性张量， 对于任意状 态都可以描述。 我们经常接触的一般都是特殊情形， 此时只有惯性张量的主对角线上的三个 转动惯量在起作用。  惯性张量： 刚体绕定点转动时 ,描述刚体转动惯性的物理量 ,由九个元素构成,其中三个元素是对过 定点 的三条正交坐标轴（一般与刚体固结)的转动惯量，和六个惯量积,其中两两相等。积 分遍及整个刚体.这九个元素组成一个对称的二阶张量,人们称为惯量张量。  惯性张量的矩阵表示： 对于三维空间中任意一参考点 K 与以此参考点为原点的直角坐标系 Kxyz ， 一个刚体的 惯性张量 I 可以表示为下面的 3X3 的矩阵  这里，矩阵的对角元素 Ixx、Iyy、Izz 分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。  转动惯量方程 设定（x,y,z)为微小质量 dm 对于点 K 的相对位置。则这些转动惯量以方程式定义为 Ixx=∫(y2+z2)dm Iyy=∫(x2+z2)dm Izz=∫(x2+y2)dm  惯量积方程 矩阵的非对角元素，称为惯性积, 以方程式定义为 Ixy=Iyx=-∫x*y dm Ixz=Izx=-∫x*z dm Iyz=Iyz=-∫y*z dm  物理应用： 1.惯量积对偏置动量卫星的姿态运动的影响  I xy — 对进动无影响 , 提供章动阻尼 , 增大章动 频率 ; I x z — 提供进动阻尼 , 不提供章动阻尼 , 增大章 动频率 ; I y z — 产生进动的稳态误差 , 提供章动阻尼 , 增 大章动频率 。  2．利用三轴测试转台研究陀螺仪和惯导系统的精确度 通过不同实验方法找出陀螺仪的各种漂移因素， 从而在惯性导航系统中进行补偿以提高精 度。  3.研究舰船航行时旋转部件转子在不同转速下的陀螺力矩 舰船用汽力装置的旋转部件的转轴方向顺着船身，当舰船在水平面内转弯或 舰船纵摇时，高速旋转部件在空间改变方向，产生陀螺力矩。同样立式旋转部件的转子在舰 船纵摇和横摇时，高速旋转的部件的转轴在空间，改变方向也会产生陀螺力矩，影响支承轴 承的使用寿命，影响舰用汽力装置的环境适应性。  参考文献： 〔 1 〕杨再全 用广义正交轴定理和一般平行轴定理计算刚体对轴的转动惯量和惯量积 西南师范大学 1989 〔 2 〕田春华、马广富、李传江、姜雪原 三轴稳定卫星姿控系统的一般性问题 哈尔 滨工业大学 2001 〔 3 〕史贤俊； 三轴测试转台控制方法研究与实现 山东大学 2007 〔 4 〕张红磊； 刘畅 风浪作用下基于 Simulink 舰用汽力装置环境适应性分析 海军 驻哈尔滨汽轮机厂有限责任公司军事代表室 2012

专刊2011 西藏大学学报Vol.26 Special Isseue JOURNAL TIBETUNIVERSITY Sep. 2011 惯量积及其物理意义 （西藏大学理学院西藏拉萨 850000） 摘要：惯量张量和惯量积都是刚体运动的动力学特征量，是两个重要的物理量，在理论力学课程教学中占有重要的地 位。学生在学习过程对这两个量的理解有较大的难度，特别是惯量积这一概念及其物理意义。文章从张量的矩阵表述入手， 给出惯量张量和惯量积的定义，从质量几何的观点出发，对惯量积这一物理量进行了较详尽的分析。 关键词：转动惯量；质量；惯量积 中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1005-5738（2011）05-129-03 在刚体力学中，转动惯量是刚体运动的动力学特征量， 是一个重要的物理量。它的概念以及计算方法，在大学物理 学这一课程中有详尽的论述；在后继的理论力学课程中，除 了进一步深入阐述转动惯量外，还引入惯量积的概念，但对 惯量积这一物理量基本上没有进行相关的分析，文章从张 量的矩阵表示入手给出惯量张量和惯量积的定义，并从质 量几何的观点来分析惯量积的物理意义。 二阶张量有九个分量，因而常用矩阵表示如下： 31物理学中，许多物理量需要用张量来表示。如：描述变形物 体内某点应力状态的应力张量，它是弹性力学中的一个重 要的物理量。 zx物理规律的表述需要用数学量表示物理量，可是标量 加上向量都不能够完整地表达所有的物理量。所以物理学 家使用的数学量的概念必须扩大，于是张量就出现了。简单 地说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广。标量是零阶 张量，这种物理量在坐标转动时数值不变，如物体的质量、 功等。矢量是一阶张量，有三个数表示（即该物理量的三个 分量），在坐标转动时其变换关系为： 再如，电场和磁场可以综合起来，形成一个反对称性二阶协变张量，称为电磁张量。 下面就以相近的方法引入惯量张量和惯量积的概念。三、惯量积的物理意义 从质量几何观点看，惯量积反映了刚体质量（体积）在给定坐标系中对不同坐标象限的分布情况。不同于转动惯 为定点，并在该点作固结于刚体的直角坐标系（x,y,z）.沿三个坐标轴的单位矢量分别记为 的均匀长方形薄片在平面直角坐标系中的质量（体积）分布与 xydm的关系为例来进行证明。 证明： dm=ρdV=ρdV ＞0，ρdV表示奇象限内的刚体体积元；x 代入，即得：0，ρdV 内的体积积分，恒为负。公式中的 ρtdxdy ρtdxdy 对于质量连续分布的刚体，在具体计算中求和运算实际上是进行积分。所以惯量张量各分量应定义为： ）dm，Iyy ）dm，Izz yzdm，Izx zxdm，Ixy xydm则（1）式可用张量表达为： zzIxx zzω zzzz yxzz zzzz zxzz 的惯量积）zI xx zz（1）当刚体质量分布对给定坐标系有某种对称性时，如 yx称为惯量张量 刚体质量（体积）均匀地分布在四个坐标象限中时（取质心 坐标系），如图 zx其中对角元素，I xx zz称为转动惯量，非对角元素 xy称为惯量积。 xydm xy的大小会随 取值的不同而不同。当刚体质量（体积）是空间分布时，对 zx的分析 也采用相同的方法可得证。上述已证明了惯量积的大小正 负取决于刚体质量（体积）在给定坐标系中对不同坐标象限 的分布情况。当选取质心坐标系时惯量积的值等于零，这正 是根据力学对称性原理求惯量主轴的方法。惯量积的值与 坐标系的选取有关，这也正是惯量积与转动惯量的区别。 （2）刚体分布在奇数象限内的质量（体积）大时，除了与 偶数象限中的对称部分相抵外，还有剩余的。如图 马文蔚.物理学教程[M].北京:高等教育出版社，2002. 周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，1997179. 理论力学上册[M].北京：人民教育出版社，198274-306. itsPhysical Meaning Pudroma (College Science,Tibet University, Lhasa, Tibet 850000) Abstract:Inertia tensor twoimportant physical quantities dynamiccharacter rigidmotion. importantcontent course"theoretical mechanics". coursestudents feel quit difficult twoquantities, especially physicalsignificance articlefirstly describes matrixformulation inertiatensor inertia.Additionally, exhaustiveanalysis geometricalaspect. Key words:moment inertia[责任编辑：索郎桑姆]

?题目请问惯量乘积的物理意义是什么呢或者说 为什么要定义惯量乘积呢?以及它的表达式是怎么得来的啊?物理作业帮用户2017-10-24扫二维码下载作业帮拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录

对于一个质点,I = mr^2,其中 m 是其质量,r 是质点和转轴的垂直距离.这个定义只适用于 r 为恒定值的计算.准确的定义要用积分式子.是对 r^2 dm 的积分.J=0.5M乘以R的平方J是指转动惯量:M是指质量:R是指该回转体的半径;I = ∫ r^2 dm转动惯量的定义:J=∑(mi*ri^2 / 2)=∫(r ^2 / 2)dm式中　dm是物体的质量微元,r 是该微元到转轴的距离。整个积分等于所求的转动惯量。

表达式Ft=mv'-mv=p'-p应用学科物理1定义2适用条件3常见表达式4推导过程▪推导▪含义5推广形式6含义区别▪动量定理▪动能定理▪动量守恒定律7应用8微分形式的动量定理9积分形式的动量定理10参考文献如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零,那么这个系统的总动量保持不变,这个结论叫做动量守恒定律。F指合外力,如果为变力,可以使用平均值;=既表示数值一致,又表示方向一致;矢量求和,可以使用正交分解法;只适用于惯性参考系,若对于非惯性参考系,必须加上惯性力的冲量。且v1,v2必须相对于同一惯性系。[1](1)系统不受外力或系统所受的外力的合力为零。(2)系统所受外力的合力虽不为零,但比系统内力小得多。(3)系统所受外力的合力虽不为零,但在某个方向上的分量为零,则在该方向上系统的总动量保持不变——分动量守恒。注意:(1)区分内力和外力碰撞时两个物体之间一定有相互作用力,由于这两个物体是属于同一个系统的,它们之间的力叫做内力;系统以外的物体施加的,叫做外力。(2)在总动量一定的情况下,每个物体的动量可以发生很大变化例如:静止的两辆小车用细线相连,中间有一个压缩的弹簧。烧断细线后,由于弹力的作用,两辆小车分别向左右运动,它们都获得了动量,但动量的矢量和为零。(1)p=p′,即系统相互作用开始时的总动量等于相互作用结束时(或某一中间状态时)的总动量;(2)Δp=0,即系统的总动量的变化为零.若所研究的系统由两个物体组成,则可表述为:m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′(等式两边均为矢量和);(3)Δp₁=-Δp₂.即若系统由两个物体组成,则两个物体的动量变化大小相等,方向相反,此处要注意动量变化的矢量性.在两物体相互作用的过程中,也可能两物体的动量都增大,也可能都减小,但其矢量和不变。代入v=v₀+at(运动学方程)化简得mv-mv₀=Ft把mv做为描述运动状态的量,叫动量。(1)内容:物体所受合力的冲量等于物体的动量变化。表达式:Ft=mv′-mv=p′-p,或Ft=△p由此看出冲量是力在时间上的积累效应。动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。它可以是恒力,也可以是变力。当合外力为变力时,F是合外力对作用时间的平均值。p为物体初动量,p′为物体末动量,t为合外力的作用时间。(2)FΔt=mΔv是矢量式。在应用动量定理时,应该遵循矢量运算的平行四边表法则,也可以采用正交分解法,把矢量运算转化为标量运算。假设用Fx(或Fy)表示合外力在x(或y)轴上的分量。(或)和vx(或vy)表示物体的初速度和末速度在x(或y)轴上的分量,则上述两式表明,合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量。在写动量定理的分量方程式时,对于已知量,凡是与坐标轴正方向同向者取正值,凡是与坐标轴正方向反向者取负值;对于未知量,一般先假设为正方向,若计算结果为正值。说明实际方向与坐标轴正方向一致,若计算结果为负值,说明实际方向与坐标轴正方向相反。[2]可以推广为质点系的动量定理,即系统内动量的增量和等于合外力的冲量。反映了力对时间的累积效应(冲量),其增量是力在时间上的积累。反映了力对空间的累积效应(功),其增量是力在空间上的积累。m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'1.推广出弹性碰撞速度表达式对于弹性一维碰撞,我们有:动能守恒动量守恒m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'2.普遍适用于物理学各个与运动相关的领域,是物体运动的基本规律。微分形式的动量定理若质点系的总质量为M,质心速度为,则它的总动量为。上式二边对时间求导数,并利用质心运动定理得:,(1),式中为作用在质点系上所有外力的矢量和。式(1)就是用微分形式表示的动量定理,它表明:质点系的总动量对时间的变化率等于质点系所受外力的矢量和。可以看出,质点系总动量的变化仅与外力有关,并不受质点系中各质点相互作用的内力的影响。积分形式的动量定理积分式(1),并用p1,和p2,分别表示质点系在时间t1和t2的总动量,则有:,(2),式中为时间间隔t2-t1内作用于第i个质点上的外力的冲量。上式是用积分形式表示的动量定理,它表明:在某力学过程的时间间隔内,质点系总动量的改变,等于在同一时间间隔内作用于质点系所有外力的冲量的矢量和。由于动量定理和质心运动定理是可以相互推导的,所以这两定理在本质上是一致的。在研究刚体或刚体系统的运动时,由于质心坐标容易确定,用质心运动定理比较方便;但在研究流体运动时,由于质心的坐标难以确定,用动量定理比较适宜。质点是质点系的一个特殊情况,故动量定浬也适用于一个质点。1、词条作者:戴宗信.《中国大百科全书》74卷(第一版)力学词条:动量定理:中国大百科全书出版社,1987:118页.参考资料1.范小辉.《新编高中物理奥赛指导》:南京师范大学出版社,2012.92.动量定理.小百科[引用日期2014-07-26]词条统计浏览次数:次编辑次数:64次历史版本最近更新:创建者:境水居士

人们长期以来对惯性的一个错误认识就是：惯性与质量相等。其实，惯性的大小是随着物体运动速度的改变而相应改变的。这个发现让我们知道，实际上，物体的惯性是一个与物体的重量对应的物理现象。不同之处是：重量随着物体所在的地理位置的改变而改变，惯性则是随着物体的运动状态（速度）的改变而改变。从本质上讲，二者都与质量场密度相关。重量是两个物体之间出现的现象。同一个苹果在地球表面不同高度上的重量变化主要是由地球的质量场密度决定的。而惯性是物体自身质量场密度决定的。一个物体表面的质量场密度决定着该物体的惯性大小。对静止物体而言，物体质量越大，质量场密度越大，因此惯性也越大。这很容易理解。而对于运动的物体而言，因为物体运动会导致质量场产生出多普勒效应，因此同一个物体的质量场在运动过程中，运动前方的密度就会增加。这样对惯性导致的效果与静止状态下增加物体质量所产生的效果是一样的。只不过它具有方向性而已。因此运动也会让惯性增加。

可见惯性与重量实际上是对应的物理量。它们都是可变的。都与质量场密度有关。这就是它们之间的物理关系。