任意の2つの滑らかな部分多様体が与えられると,それらの一方を任意に小さい量だけ摂動して,得られる部分多様体が固定された部分多様体と横断的に交わるようにできる.そのような摂動は多様体あるいはそれらの交わりのホモロジー類に影響しない.例えば,次元が相補的な多様体が横断的に交わるとき,交点の個数の符号付き和は,べつの横断交叉な多様体にさえしても変わらない.(交点をmod 2で数えて符号を無視し,粗い不変量を得ることもできる.)これから任意の次元のホモロジー類上の双線型交叉積が定まり,これはコホモロジー上のカップ積にポワンカレ双対である.カップ積と同様,交叉積はである.