7歳からテニスを始め、10歳の時からゴラン・イワニセビッチと一緒に練習するようになった。ジュニア時代には、2000年ウィンブルドン選手権男子ジュニア部門で準優勝がある。2001年に17歳でプロ入り。2002年ウィンブルドン選手権1回戦で、アンチッチは第7シードのロジャー・フェデラーを6-3,7-6(2),6-3のストレートで圧倒した。続く2回戦で敗れたが、この勝利で「イワニセビッチ2世」は一躍有名になり、現地イギリスの新聞から「スーパーマリオ」のニックネームもつけられた。2003年は全豪オープンでフアン・カルロス・フェレーロとの4回戦まで進み、全仏オープンの2回戦では第1シードのアンドレ・アガシに7-5,6-1,4-6,2-6,5-7のスコアで逆転負けを喫した。2004年ウィンブルドン選手権でさらなる成長ぶりを見せ、アンディ・ロディックとの準決勝まで進出したが、4-6,6-4,5-7,5-7で敗れている。