このような公理体系はかならず有限算術を下位体系として含むことになるから、ゲーデルの定理は、有限算術に関する体系の無矛盾性が証明不可能であることも含意している(自己の無矛盾性を証明することになるが、ゲーデルによってそれが不可能であることが証明されている)。