標数0の代数閉体上の有限次元半単純リー環のカルタン部分環は可換であり,その随伴表現の以下の性質も持つ:formula_1のをformula_2にしたものは表現を対角化し,0ウェイトベクトルの固有空間はformula_2である.(なのでformula_2の中心化リー環はformula_2と一致する.)非零ウェイトはルートと呼ばれ,対応する固有空間はルート空間と呼ばれ,すべて1次元である.