Kolmogorovov-Smirnovov test

Kolmogorovov-Smirnovov test (alebo skrátene K-S test) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike neparametrický test. Jeho testovacia štatistika sleduje najväčšiu odchýlku medzi teoretickou distribučnou funkciou (ktorú označujeme formula_1) a empirickou distribučnou funkciou (ktorá sa označuje formula_2), respektíve medzi dvoma empirickými distribučnými funkciami. Empirickú distribučnú funkciu získame z náhodného výberu.
Týmto testom testujeme, či jednorozmerná náhodná veličina má predpokladané, čiže teoretické rozdelenie. V takomto prípade hovoríme o jednovýberovom teste. Rovnako môžeme testovať, či dve jednorozmerné náhodné veličiny pochádzajú z rovnakého pravdepodobnostného rozdelenia (dvojvýberový test). Test nevie určiť, z akého rozdelenia náhodné veličiny pochádzajú, poskytne iba informáciu, či pochádzajú z rovnakého alebo odlišného rozdelenia pravdepodobnosti.
Kolmogorovov-Smirnovov test sa používa v prípade, že náhodný výber formula_3 pochádza zo spojitého rozdelenia s distribučnou funkciou formula_1 (dôležitý predpoklad). V prípade, že formula_5 (rozsah výberu) je nepostačujúce, teda je malé, používa sa tento test namiesto chí-kvadrát testu.
Test je pomenovaný podľa dvoch významných ruských matematikov Kolmogorova a Smirnova.
Testovacia štatistika a hypotéza.
Empirická distribučná funkcia formula_2 pre formula_5 nezávislých, rovnako rozdelených náhodných veličín formula_8, kde formula_9, je definovaná nasledovne:
kde formula_11 je charakteristická (indikátorová) funkcia, ktorá nadobúda hodnotu 1, ak formula_12 a hodnotu 0 v inom prípade.
Kolmogorovova-Smirnovova testovacia štatistika má potom nasledovný tvar:
kde symbol "sup" označuje suprémum.
Kolmogorovove rozdelenie.
Náhodná premenná formula_14, ktorá je definovaná nasledovným vzťahom:
má Kolmogorovove rozdelenie, kde formula_16 je tzv. Brownov most. Distribučná funkcia premennej formula_14 je nasledovná:
Jednovýberový Kolmogorovov–Smirnovov test.
Testovaná hypotéza je v tomto prípade nasledovná:
Náhodné premenné definované vzťahom formula_21 konvergujú podľa distribučnej funkcie k známemu asymptotickému rozdeleniu:
kde formula_16 označuje opäť tzv. Brownom most.
Kolmogorovov–Smirnovov test pri rozhodovaní o tom, ktorú hypotézu zamietne, využíva kritické hodnoty Kolmogorovovho rozdelenia. Test zamieta nulovú hypotézu na hladine významnosti formula_24, ak:
kde formula_26 je také, že platí:
Dvojvýberový Kolmogorovov–Smirnovov test.
Testovaná hypotéza je v tomto prípade nasledovná:
Dvojvýberový Kolmogorovov–Smirnovov test teda overuje situáciu, či dve jednorozmerné náhodné premenné pochádzajú z rovnakého pravdepodobnostného rozdelenia. V takomto prípade vyzerá Kolmogorovova-Smornovova testovacia štatistika nasledovne:
kde formula_31 a formula_32 sú empirické distribučné funkcie prvého a druhého náhodného výberu. Test zamieta nulovú hypotézu na hladine významnosti formula_24, ak:
Príklad testu.
Jednoduchý príklad na Kolmogorovov-Smirnovov test sa dá ukázať pomocou matematického programu R. Tento test je v programe už zabudovaný a predpis je nasledovný: codice_1.
Jednovýberový test.
V programe codice_2 si vygenerujeme náhodný výber z normálneho rozdelenia pomocou príkazu codice_3 (a necháme si tento výber vypísať). Následne môžeme pomocou Kolmogorovovho-Smirnovovho testu otestovať, či tento náhodný výber pochádza z normálneho rozdelenia. Výstupom testu je niekoľko informácií:
V tomto prípade vyšla p-hodnota 0.507, čo je 50,7%, a teda zamietame hypotézu formula_20, následkom čoho možno tvrdiť, že daný náhodný výber pochádza z teoretického, teda v tomto prípade normálneho rozdelenia.
Pokiaľ by sme tento istý náhodný výber porovnávali s inou teoretickou distribučnou funkciou, napríklad s distribučnou funkciou rovnomerného rozdelenia, tak p-hodnota bude 1.409e-07, čo je formula_38, teda vyjadrené v percentách to bude formula_39. Táto hodnota je výrazne menšia ako 5%, a teda hypotézu formula_19 zamietame.
Dvojvýberový test.
Tentoraz si v programe codice_2 vygenerujeme dva náhodné výbery – jeden z normálneho rozdelenia pomocou príkazu codice_3 a druhý z rovnomerného rozdelenia pomocou príkazu codice_6. Následne budeme pomocou Kolmogorovovho-Smirnovovho testu testovať, či tieto dva náhodné výbery pochádzajú z rovnakého rozdelenia. Výstupom sú opäť tie isté informácie ako pri jednovýberovom teste.
Z testu vidíme, že p-hodnota vyšla rovná 0.001826, čo je 0.1826%. Táto hodnota je teda menej ako 5%, a teda hypotézu formula_19 zamietame, následkom čoho sa dá tvrdiť, že tieto dva náhodné výbery nepochádzajú z rovnakého rozdelenia.