Limita

Limita je v matematike hodnota, ku ktorej sa "približuje" premenlivá hodnota. 
Limita funkcie sa používa na opis správania sa funkcie, keď sa jej argument "približuje" k nejakému bodu alebo rastie do nekonečna. Limity sa využívajú v matematickej analýze na definovanie derivácie a spojitosti.
Koncept "limity funkcie" sa dá ďalej zovšeobecniť na topologickú sieť a limita postupnosti úzko spojená s limitou a priamou limitou v teórii kategórií.
Limita funkcie.
Nech "f" je reálna funkcia a "c" je reálne číslo. Výraz:
znamená, že hodnota "f"("x") sa dá ľubovoľne priblížiť k "L" tak, že sa "x" dostane dostatočne blízko k "c". Potom hovoríme, že "limita funkcie "f" v bode "c" (alebo ako sa "f" približuje k "c") je "L"". Limita môže existovať dokonca aj keď formula_2. Funkcia "f" nemusí byť ani definovaná v bode "c".
Uvažujme formula_3 ako sa "x" približuje k 2. V tomto prípade je funkcia "f" definovaná v bode 2 a jej hodnota 0,4 sa rovná limite v tomto bode:
Ako sa "x" približuje k 2, hodnoty "f"("x") sa približujú k 0,4 a preto môžeme napísať formula_4.
Ale nie vždy je to také jednoduché.
Uvažujme
Limita funkcie "g" ako sa "x" približuje k 2 je 0,4 (tak ako v prípade funkcie "f"), ale formula_6; funkcia "g" nie je spojitá v bode "x" = 2.
Alebo majme ešte funkciu "f", ktorá je nedefinovaná v bode "x" = "c".
V tomto prípade ako sa "x" približuje k 1, funkcia "f" je nedefinovaná v bode "x" = 1, ale jej limita v tomto bode existuje a rovná sa 2:
Teda "x" sa môže približovať k 1, pokiaľ sa nebude rovnať 1, takže limita funkcie "f" v bode 1 je 2.
Formálna definícia.
Limitu formálne definujeme nasledovne:
Nech formula_8 je funkcia a bod "c" je hromadný bod na jej definičnom obore (teda v každom prstencovom okolí bodu "c" sa nachádza aspoň jeden prvok z definičného oboru funkcie "f"). Nech "L" je reálne číslo. Potom zápis
znamená, že pre každé formula_10 existuje formula_11 také, že pre všetky formula_12, kde formula_13, platí formula_14.
Limita funkcie v nekonečne.
Limitu funkcie môžeme rozšíriť z prípadov približovania sa k reálnemu číslu na približovanie sa k nekonečnu. V týchto prípadoch toto približovanie sa k nekonečnu vlastne znamená, že "x" je stále väčšie a väčšie ("približuje" sa ku kladnému nekonečnu) alebo je stále menšie a menšie ("približuje" sa k zápornému nekonečnu).
Majme napríklad funkciu formula_15.
Postupne ako sa "x" stáva veľmi veľkým, hodnota "f"("x") sa približuje k 2 a dá sa priblížiť ľubovoľne blízko k 2 výberom dostatočne veľkého "x". V takomto prípade hovoríme, že limita funkcie "f" ako sa sa jej argument približuje k nekonečnu je 2. V matematickom zápise:
Formálne môžeme napísať túto definíciu:
Podobnú definíciu môžeme urobiť pre formula_22.
Limita postupnosti.
Uvažujme nasledujúcu postupnosť: 1,79; 1,799; 1,7999, ... Vidíme, že čísla sa postupne „približujú“ k číslu 1,8 -- limite postupnosti.
Formálne, predpokladajme, že "x"1, "x"2 je postupnosť reálnych čísel. Hovoríme, že reálne číslo "L" je "limita" tejto postupnosti a zapisujeme ako
(definitoricky) len vtedy a vtedy, ak
Intuitívne to znamená, že niekedy všetky prvky postupnosti sa dostanú tak blízko k limite, ako len budeme chcieť, keďže absolútna hodnota |"x""n" - "L"| sa dá interpretovať ako vzdialenosť "x""n" od "L". Nie každá postupnosť má limitu; ak ju má, voláme ju "konvergentná", inak je "divergentná". Dá sa ukázať, že ak limita existuje, je jediná.
Limita postupnosti a limita funkcie sú, samozrejme, veľmi úzko späté. Postupnosť nie je nič iné ako funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Keďže jediným hromadným bodom tejto množiny je kladné nekonečno, má zmysel skúmať limitu iba tu. Vyššie spomenutá definícia je len rozpísanie limity funkcie v nekonečne a ekvivalentne upravenej pre prirodzené čísla. Na druhej strane sa dá tento špeciálny prípad -- limita postupnosti -- použiť aj na definovanie limity funkcie, keďže limita funkcie "f" v bode "x" sa rovná limite postupnosti "x""n"="f"("x"+1/"n") (ak existuje). 
Vo všeobecnej situácii je ťažké ak nie nemožné zistiť či postupnosť má limitu tým, že sa overí definícia - teda že sa nájde limita. Ak uvažujeme o postupnosti reálnych čísel a o jej (prípadnej) reálnej limite, tak máme Cauchy-Bolzanove kritérium existencie limity, ktoré neoperuje samotnou hodnotou limity: postupnosť reálnych čísel formula_24 je konvergentná (t. j. má limitu) práve vtedy keď pre každé formula_25 existuje formula_26 že pre všetky formula_27 je formula_28. Slovne povedané: postupnosť má limitu práve vtedy keď pre každú presnosť formula_25 existuje také prirodzené číslo, že ak vyberieme ľubovoľne dva prvky z postupnosti ktorých poradové číslo je väčšie ako dotyčné prirodzené číslo, tak to už zaručí, že vybrané dva prvky postupnosti sú k sebe bližšie ako formula_25.