Kostra grafu

V teórii grafov je kostra grafu takým podgrafom grafu G na množine všetkých jeho vrcholov (súčasťou kostry grafu G musia byť všetky vrcholy grafu G), pre ktorý platí, že medzi každými dvoma vrcholmi existuje práve jedna cesta. Ináč povedané, kostra je graf, ktorý získame z pôvodného grafu G postupným rušením takých hrán, ktorých odstránením sa nenaruší súvislosť grafu. Hneď ako už neexistuje žiadna hrana, ktorú by sme mohli odstrániť, získaný graf je kostrou pôvodného grafu G. „"Kostra"“ je teda akýmsi hranovým minimom potrebným na to, aby graf „držal po kope“.
Definície.
Posledná nerovnosť vyplýva z úvahy, že T nemusí byť faktorom grafu G. Podľa predpokladu je, takže môže byť iba p=1, a teda formula_2 Preto graf T je súvislý podgraf grafu G a neobsahuje kružnice, je strom, teda je kostrou grafu G.
G je strom
Každé dva vrcholy z G sú spojené práve jednou cestou (jednoznačnosť cesty).
G je súvislý a po odobraní ľubovoľnej hrany sa stane nesúvislým (minimálna súvislosť).
G neobsahuje kružnicu, ale po pridaní ľubovoľnej hrany vznikne v G kružnica (maximálny graf bez kružníc) .
G je súvislý a |V|=|E|+1, kde V je množina vrcholov a E množina hrán grafu G.
Ak zamyslíme nad tvrdením vety a definíciou stromu, tak zistíme, že ľubovoľné tri z nasledujúcich štyroch vlastností implikujú už štvrtú vlastnosť: 
(a) T je súvislý graf,
(b) T neobsahuje kružnice,
(c) T má |V| = n vrcholov,
(d) T má n-1 hrán.
Nech G=(V,H) je graf, H={h1,h2, …, hn}. Nech C1,C2, ...,Cm sú všetky kružnice grafu G. Matica kružníc grafu G je matica C=(cij) typu (m,n), ak pre jej prvky platí: formula_3
Výpočet kostier grafu pomocou maticového vyjadrenia kostier.
Dôkaz: Označme súčin matíc formula_4, kde R=(rij). Potom je formula_6 Nech G=(V,H), |V|=n, je súvislý graf. Nech B je matica susednosti a D je diagonálna matica s prvkami formula_7 grafu G. Označme Di-Bi maticu rádu n-1, ktorú sme vytvorili z matice D-B vynechaním jej i-tého riadku a i-tého stĺpca formula_8 
Potom pre počet p(T) všetkých rôznych kostier grafu G platí p(T)=det(Di-Bi), pre ľubovoľné formula_9
Príklady.
Čím viac kostier obsahuje graf(topológia), tým väčšia je prepojenosť medzi bodmi(uzlami) a tým lepšie je zabezpečená voči výpadkom spojenia v sieti.
formula_12
Determinant (Di-Bi)=249
Po vypočítaní determinantu sem dostali číslo ktoré značí koľko priamych ciest(prepojení) existuje medzi ľubovoľnými dvoma bodmi(uzlami) . Ak vypočítame kostru úplného grafu, tak dostaneme číslo 2 357 947 691 a to je oveľa väčšie číslo. 
Počet priamych prepojení medzi dvoma uzlami predstavuje cestu dátového toku, ktoré prúdi medzi týmito dvoma uzlami. Keď medzi dvoma uzlami je viac prepojení tak rýchlosť prepojenia uzlov sa zvyšuje proporcionálne s narastajúcimi prepojeniami.
Záver:
Ak všimneme rozdiel medzi počtom kostier grafu ktorého sme skúmali a jeho úplným grafom, tak zistíme že daná internetová sieť, ktorá predstavuje náš graf sa môže ešte zdokonaľovať a aj by sa mal. Bezpečnosť proti výpadkov podľa danej topológie je nízka, lebo môžu nastať prípady kedy sa znefunkčnia dve prepojenia a nastáva výpadok internetu, ale zato pravdepodobnosť, aby sa znefunkčnili dve prepojenia v danom okamihu je veľmi malá. Pri rozširovaní prepojení medzi uzlami sa zvyšuje aj rýchlosť internetu a odolnosť voči výpadkom.
Algoritmy pre hľadanie kostry.
Ľubovolná kostra.
Nasledujúci základný algoritmus je schopný nájsť nejakú (bližšie neurčenú) kostru: