Riemannov integrál

Riemannov integrál, pomenovaný podľa nemeckého matematika Bernharda Riemanna, je v
matematickej analýze historicky prvá rigorózna definícia pojmu integrál funkcie na intervale. Aj keď je Riemannov integrál pre niektoré teoretické úlohy menej vhodný, je to jedna z najjednoduchších definícii integrálu. Niektoré z týchto technických ťažkostí sa dajú vyriešiť Riemannovým-Stieltjesovým integrálom a väčšina z nich Lebesgueovým integrálom.
Úvod.
Nech formula_1 je nezáporná reálna funkcia na intervale formula_2 a nech formula_3 je plocha pod touto funkciou na intervale formula_2 (pozri Obrázok 2). Zaujíma nás obsah plochy formula_5. Hneď ako ju vypočítame, označíme ju symbolom:
Základnou myšlienkou Riemannovho integrálu je použiť veľmi jednoduché aproximácie tejto plochy. Získaním stále lepších a lepších aproximácií môžeme povedať, že "v limite" dostaneme presne plochu formula_5 pod krivkou.
Je potrebné poznamenať, že na intervaloch, kde funkcia formula_8 môže nadobúdať tak kladné, ako aj záporné hodnoty, integrál bude korešpondovať so "znamienkovým obsahom", čiže obsahom plochy nad osou formula_9 mínus obsahom plochy pod ňou.
Definícia Riemannovho integrálu.
Delenia intervalu.
Delenie intervalu formula_2 je každá konečná postupnosť formula_11. Každý z intervalov formula_12 sa nazýva "podinterval" delenia. "Norma" delenia je definovaná ako dĺžka najdlhšieho podintervalu formula_13, teda je to formula_14, kde formula_15. 
"Značené delenie intervalu" je delenie intervalu spolu s konečnou postupnosťou čísel formula_16, pre ktorú platí, že pre každé formula_17, formula_18. Inými slovami to je delenie, ktorého každý podinterval obsahuje jeden bod. Norma značeného delenia sa definuje rovnako ako norma obyčajného delenia.
Predpokladajme ďalej, že formula_19 spolu s formula_20 je značené delenie intervalu formula_21 a že formula_22 spolu s formula_23 je iné značené delenie toho istého intervalu. Hovoríme, že formula_22 spolu s formula_23 je "zjemnením" delenia formula_19 spolu s formula_20, ak pre každé celé číslo formula_17, formula_29, existuje celé číslo formula_30 také, že formula_31 a také, že formula_32 pre niektoré formula_33 with formula_34. Zjednodušene povedané, zjemnenie značeného delenia je značené delenia, ktoré ma viacero značiek, ale má aj všetky pôvodné. 
Na množine všetkých značených delení môžeme definované čiastočné usporiadanie nasledovne: jedno značené delenie je väčšie ako iné značené delenie, keď to väčšie je zjemnením menšieho.
Riemannove súčty.
Zvoľme si reálnu funkciu formula_8 definovanú na intervale formula_2. "Riemannovým súčtom" funkcie formula_8 vzhľadom na značené delenie formula_19 spolu s formula_20 je suma:
Každý člen sumy je súčinom hodnoty funkcie v danej značke a dĺžky intervalu. Geometricky každý člen teda zodpovedá obsahu obdĺžnika výšky formula_41 a dĺžky formula_42. Riemannov súčet je znamienkový obsah pod všetkými takýmito obdĺžnikmi.
Riemannov integrál.
Voľne povedané, Riemannov integrál je limita Riemannových súčtov funkcie pre stále jemnejšie a jemnejšie delenia. Avšak povedať presne, čo myslíme pod "jemnejšie a jemnejšie", je trochu zložitejšie.
Jeden dôležitý fakt je, že normy delení musia stále klesať, takže ich limita je nulová. Keby to tak nebolo, nedostávali by sme dobré aproximácie na niektorých podintervaloch. Toto však stále nestačí na definovanie integrálu. Aby sme boli konkrétni, hovoríme, že Riemannov integrál funkcie formula_8 sa rovná formula_5, ak platí nasledujúca podmienka:
S touto definíciou je však veľmi nepohodlné pracovať. Vypracujeme preto alternatívnu definíciu a následne dokážeme, že je rovnaká ako táto, ktorú sme práve napísali. Naša nová definícia hovorí, že Riemannov integrál funkcie formula_8 sa rovná formula_52, ak platí podmienka:
Inak povedané, Riemannove súčty vzhľadom na postupne zjemňujúce sa intervalu konvergujú k formula_52. Táto definícia je v skutočnosti špeciálnym prípadom všeobecnejšieho pojmu topologickej siete.
Ako sme už povedali, tieto dve definície sú ekvivalentné. Aby sme ukázali, že z prvej definície vyplýva druhá, zoberme nejaké formula_60 a zvoľme formula_49, ktorého existenciu zaručuje podmienka definície. Zvoľme si ľubovoľné delenie, ktorého norma je menšia ako formula_49. Jeho Riemannov súčet sa nachádza od formula_52 vo vzdialenosti menšej ako formula_60 a každé jeho zjemnenie bude mať taktiež normu menšiu ako formula_49, čiže jeho Riemannov súčet tiež vzdialený najviac formula_60 od formula_52. Na to, že z druhej definície vyplýva prvá, je pohodlnejšie pracovať s Darbouxovým integrálom. Najprv sa však musí ukázať, že druhá definícia je ekvivalentná s definíciou Darbouxovho integrálu; dôkaz je uvedený v článku o Darbouxovom integráli. Teraz dokážeme, že darbouxovsky integrovateľné funkcie vyhovujú prvej definícii. Zvoľme delenie formula_68 také, že dolné a horné Darbouxove súčty vzhľadom na toto delenie nie sú vzdialené od hodnoty formula_52 Darbouxovho integrálu o viac ako formula_70. Nech formula_71 sa rovná formula_72, kde formula_73 a formula_74 sú suprémom a infimom funkcie formula_8 na formula_13 a nech formula_49 je menšia ako obe hodnoty formula_78 a formula_79. Potom nie je ťažké ukázať, že Riemannov súčet funkcie formula_8 vzhľadom na ľuboľné značené delenie normy menšej ako formula_49 bude v rámci formula_70 od horného alebo dolného Darbouxovho súčtu, takže celkovo bude vo vzdialenosti menšej ako formula_60 od formula_52.