Studentovo rozdelenie

Studentovo rozdelenie (iné názvy: Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti. 
Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.
Definícia.
Nech formula_1 je náhodná premenná, nech formula_2 je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná formula_1 má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s formula_2 stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:
formula_5
pre formula_6. Označenie formula_7 označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:
formula_8
Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:
formula_9
Beta funkciu vo vzorci označuje formula_10 a môžeme ju vyjadriť nasledovne:
formula_11 
Označenie:
Ďalšie vyjadrenia.
Náhodnú premennú formula_1, ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má formula_15-rozdelenie, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné: formula_16 a formula_17, pričom formula_16 má normálne normované rozdelenie a formula_17 má formula_15-rozdelenie s formula_2 stupňami voľnosti, teda: formula_22 a formula_23, pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná formula_24 definovaná vzťahom:
formula_25
má Studentovo rozdelenie s formula_2 stupňami voľnosti.
Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber formula_27 z normálneho rozdelenia formula_28. Nech formula_29. Potom náhodná premenná formula_24, ktorú definujeme nasledovným vzťahom:
formula_31
má Studentovo rozdelenie s formula_32 stupňami voľnosti.
Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:&lt;br&gt;
Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda: formula_33 a formula_34 z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber formula_33 je z rozdelenia formula_36 a náhodný výber formula_34 je z rozdelenia formula_38 (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech formula_39 a formula_40 sú výberové priemery a formula_41 a formula_42 sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:
formula_43
má Studentovo rozdelenie s formula_44 stupňami voľnosti. Premenná formula_45 vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:
formula_46
Vlastnosti.
Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode formula_47. Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:
formula_48
pre formula_49.
Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:
Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:
formula_54
Kritická hodnota.
Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:
Nech formula_1 je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s formula_2 stupňami voľnosti. Potom hodnotu formula_57, ktorú náhodná premenná formula_1 v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou formula_59 nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:
formula_60