Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti. 
Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.
Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.
Definícia.
Nech formula_1 je náhodná premenná, nech formula_2, a nech formula_3 a formula_4 sú prirodzené čísla. Hovoríme, že formula_1 má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s formula_3 a formula_4 stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:
formula_8
kde označenie formula_9 označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:
formula_10
Označenie:
Ďalšie vyjadrenia.
Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch formula_12-kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné formula_13 a formula_14, ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že formula_13 má formula_12-kvadrát rozdelenie s formula_3 stupňami voľnosti a formula_14 nech má formula_12-kvadrát rozdelenie s formula_4 stupňami voľnosti, teda: formula_21 a formula_22. Potom náhodná premenná formula_23 definovaná vzťahom:
formula_24
má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s formula_3 a formula_4 stupňami voľnosti.
Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber formula_27 z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie formula_28, ďalej majme náhodný výber formula_29 z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie formula_30. Nech formula_31 a formula_32 sú výberové rozptyly a nech pre formula_3, formula_4, formula_35 a formula_36 platí nasledovné:
Potom náhodná premenná formula_23 definovaná vzťahom:
formula_41
má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s formula_42 a formula_43 stupňami voľnosti (alebo: formula_44-stupňami voľnosti).
Vlastnosti.
Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.&lt;br&gt;
Pokiaľ má náhodná premenná formula_1 Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej formula_46 začiatočný moment má nasledovný tvar:
formula_47
Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej formula_1 s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:
formula_49 ; pre formula_50
formula_51 ; pre formula_52
Kritická hodnota.
Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:
Nech formula_1 je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s formula_3 a formula_4 stupňami voľnosti. Potom hodnotu formula_56, ktorú náhodná premenná formula_1 presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou formula_58 nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:
formula_59