Trojuholník

Trojuholník (zriedkavo: triangel, zastarano: "trojuhol") je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s troma vrcholmi a stranami. Je to dvojrozmerný útvar, ktorého súčet vnútorných uhlov je vždy 180°.
Definícia trojuholníka.
Trojuholník môžeme definovať ako prienik troch polrovín.
Ak máme tri rôzne body A, B, C, (ktoré neležia na jednej priamke) tak trojuholníkom s vrcholmi
A, B, C nazývame prienik polrovín ABC, ACB, BCA.
Úsečky AB, BC, CA sú stranami tohto trojuholníka a ich zjednotenie je obvod trojuholníka.
Pre strany trojuholníka musí platiť trojuholníková nerovnosť, t. j., že súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany, teda:
Klasifikácia trojuholníkov.
Trojuholníky možno triediť podľa viacerých kritérií:
Podľa dĺžky jeho strán
Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla:
Vlastnosti.
Výška trojuholníka.
Je to úsečka na priamke prechádzajúcej vrcholom trojuholníka a je kolmá na protiľahlú stranu. V ľubovoľnom trojuholníku prechádzajú všetky tri výšky jedným bodom, ktorý nazývame ortocentrum.
Ortocentrum má polohu: 
Výpočet výšky trojuholníka:
Ťažnice trojuholníka.
Ťažnice sú úsečky, ktoré spájajú vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán. Prechádzajú jedným
bodom, ktorý voláme ťažisko. Ťažisko delí každú z ťažníc v pomere 2 : 1, pričom dlhšia časť je medzi vrcholom a ťažiskom, a kratšia časť medzi ťažiskom a stredom strany.
Stredné priečky trojuholníka.
Sú to spojnice stredov dvoch strán a sú rovnobežné s treťou stranou trojuholníka. Veľkosť strednej
priečky sa rovná polovičnej veľkosti strany trojuholníka, s ktorou je rovnobežná. Stredná priečka trojuholníka delí trojuholník na dve časti, ktorých obsahy sú v pomere 1 : 3.
Kružnica opísaná trojuholníku.
Je to kružnica, ktorá obsahuje vrcholy daného trojuholníka. Stredom kružnice opísanej trojuholníku ABC je priesečník osí strán trojuholníka ABC. Polomer je
spojnica stredu s ľubovoľným vrcholom.
Polomer opísanej kružnice:
Kružnica vpísaná trojuholníku.
Je to kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán daného trojuholníka. Stredom kružnice vpísanej trojuholníku ABC je priesečník osí uhlov trojuholníka ABC (a leží vždy vnútri trojuholníka!). Polomer je vzdialenosť stredu od ľubovoľnej strany trojuholníka.
Polomer vpísanej kružnice: 
alebo formula_9; o = obvod trojuholníka, S = obsah trojuholníka
Osi strán.
Priamky, ktoré prechádzajú stredom strán trojuholníka a sú na ne kolmé, nazývame osi strán. Pretínajú sa v jednom bode, ktorý je stredom opísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov
trojuholníka).
Osi vnútorných uhlov.
Pretínajú sa v jednom bode, ktorý tvorí stred vpísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých strán trojuholníka).
Vzťahy platiace v trojuholníku.
Výpočet obsahu.
Vzorec pre výpočet obsahu trojuholníka vyzerá nasledovne: formula_10 pričom "a", "b", "c" sú strany trojuholníka a formula_11, formula_12, formula_13 sú výšky kolmé na prislúchajúcu stranu.
Obsah však možno vypočítať aj Herónovým vzorcom: formula_14, kde formula_15
 Obsah trojuholníka pomocou vnútorného uhla:
formula_16
Výpočet obvodu.
Obvod trojuholníka sa rovná súčtu všetkých troch strán trojuholníka. Platí: formula_17
Zhodnosť trojuholníkov.
Dva trojuholníky môžu byť zhodné podľa troch viet o zhodnosti: "sss", "sus", "usu".
Pravouhlý trojuholník.
Pravouhlý trojuholník je špeciálny prípad trojuholníka, v ktorom platia špeciálne vzťahy (tieto vzťahy neplatia v ostatných 2 typoch trojuholníka.)
Vlastnosti pravouhlého trojuholníka
Vzťahy platiace v pravouhlom trojuholníku
Ďalšie vzťahy platiace v trojuholníkoch.
Sínusová veta.
Znenie sínusovej vety:
Čiže:
Kosínusová veta.
Kosínusová veta má tri základné varianty: