Špeciálna teória relativity

Špeciálna teória relativity (ŠTR) je fyzikálna teória publikovaná v roku 1905 Albertom Einsteinom. Nahradzuje Newtonove predstavy o priestore a čase a zahŕňa teóriu elektromagnetického poľa reprezentovanú Maxwellovými rovnicami. Teória sa nazýva špeciálnou, lebo opisuje iba zvláštny prípad Einsteinovho princípu relativity, kde sa vplyv gravitácie môže zanedbať. O desať rokov neskôr publikoval Einstein všeobecnú teóriu relativity, ktorá zahrňuje aj gravitáciu.
Motivácia pre špeciálnu teóriu relativity.
Princíp relativity zaviedol už Galileo Galilei. Prekonal starý absolutistický pohľad Aristotela a zastával názor, že pohyb, alebo minimálne rovnomerný priamočiary pohyb, má zmysel iba relatívne (pomerne) k niečomu inému. Ďalej tvrdil, že neexistuje absolútne referenčné teleso, oproti ktorému by všetky ostatné veci mohli byť merané. Galileo zaviedol aj sadu transformácií nazývaných Galileove transformácie, ktoré sa používajú dodnes a definoval 5 pohybových zákonov. Keď Newton konštruoval svoju mechaniku, prevzal Galileiho princíp relativity a zredukoval počet základných pohybových zákonov na tri.
Hoci sa zdalo, že Newtonova klasická mechanika funguje pre všetky javy zahrňujúce pevné telesá, svetlo bolo stále problematické. Newton veril, že svetlo má časticovú povahu, neskôr sa však zistilo, že model svetla ako priečneho vlnenia vysvetľuje jeho vlastnosti omnoho lepšie. Mechanické vlnenie sa šíri v médiu, a to isté bolo predpokladané pre svetlo. Toto hypotetické médium bolo pomenované „svetlonosný éter“. Zdalo sa, že mal mať niektoré nezlučiteľné vlastnosti, ako napríklad byť extrémne tuhý s ohľadom na vysokú rýchlosť svetla, na druhej strane takmer nehmotný, aby nespomaľoval Zem pri jej pohybe v ňom. Predstava éteru vzkriesila myšlienku absolútnej vzťažnej sústavy, ktorou by bola tá, ktorá je v vzhľadom na éter v pokoji.
Na začiatku 19. storočia začali byť svetlo, elektrina a magnetizmus považované za rôzne aspekty elektromagnetického poľa. Maxwellove rovnice ukazovali, že elektromagnetické žiarenie vysielané urýchľovaným elektrickým nábojom sa vždy šíri rýchlosťou svetla. Tieto rovnice boli založené na myšlienke existencie éteru, v ktorom sa rýchlosť žiarenia nemení v závislosti na rýchlosti pohybu zdroja. Tieto vlastnosti sú analogické klasickému mechanickému vlneniu. Naproti tomu by sa mala v závislosti na rýchlosti pozorovateľa, meniť rýchlosť žiarenia. Fyzici sa pokúsili využiť túto myšlienku na zmeranie rýchlosti Zeme vo vzťahu k éteru. Najznámejší z týchto pokusov bol Michelson-Morleyho experiment. Pretože tieto pokusy boli neúspešné, vyšlo najavo, že rýchlosť svetla sa nemení s rýchlosťou pozorovateľa, a pretože – podľa Maxwellových rovníc – sa nemení ani s meniacou sa rýchlosťou zdroja, musí byť nemenná (invariantná) pre všetkých pozorovateľov.
Ešte pred teóriou relativity si Hendrik Lorentz a iní všimli, že elektromagnetické sily sa líšia v závislosti od umiestnenia pozorovateľa. Napríklad jeden pozorovateľ nemusel pozorovať žiadne magnetické pole v určitej oblasti, zatiaľ čo iný, pohybujúci sa smerom k prvému áno. Lorentz navrhol teóriu éteru, v ktorej objekty a pozorovatelia pohybujúci sa vzhľadom na nehybný éter podliehajú fyzickému skracovaniu (Lorentz-Fitzgeraldova kontrakcia). Ukázalo sa, že táto teória by bola v úplne zhode s výsledkami experimentov, ak by podliehal zmene navyše aj čas (dilatácia času). Zdalo sa, že jeho teória umožňuje zladiť teóriu elektromagnetického poľa a klasickú Newtonovu fyziku nahradením Galileiho transformácie. Pri práci s rýchlosťami omnoho menšími ako je rýchlosť svetla bolo možné Lorentzove transformácie zanedbať a výsledné zákony zjednodušiť do Galileiho transformácie. Lorentz navrhol platnosť tejto teórie pre všetky sily, vtedy si však neuvedomil celú silu jeho teórie. Táto teória, dnes nazývaná Lorentzova teória éteru, bola kritizovaná dokonca i Lorentzom samotným, pre jej zrejmú ad hoc podstatu.
Zatiaľ čo Lorentz navrhol rovnice Lorentzovej transformácie, Einsteinovým prínosom bolo vysvetlenie a odvodenie týchto rovníc zo základnejších princípov a bez predpokladu existencie éteru. Einstein chcel zistiť, čo je nemenné (invariantné) pre všetkých pozorovateľov. V špeciálnej teórii relativity sa zdanlivo zložité Lorentzove a Fitzgeraldove transformácie jasne odvodzujú z jednoduchej geometrie a Pytagorovej vety. Pôvodný názov teórie bol „O elektrodynamike pohybujúcich sa telies“ (v nemeckom origináli – „"Zur Elektrodynamik bewegter Körper"“). Bol to Max Planck, kto odporučil termín „relativita“, ktorý zdôrazňuje predstavu transformácie zákonov fyziky medzi pozorovateľmi relatívne sa pohybujúcimi jeden k druhému.
Špeciálna teória relativity sa obvykle zaoberá chovaním objektov a pozorovateľov, ktorí zostávajú v pokoji alebo sa pohybujú konštantnou rýchlosťou. V tomto prípade hovoríme, že pozorovateľ je v inerciálnej vzťažnej sústave. Umiestnenie a časy udalostí zaznamenané pozorovateľmi v rôznych inerciálnych vzťažných sústavách je možné porovnať pomocou rovníc Lorentzovej transformácie. O špeciálnej teórii relativity (ďalej ŠTR) sa často nesprávne uvádza, že nemôže byť použitá na objekty a pozorovateľov, ktorých pohyb nie je rovnomerný ale zrýchlený (neinerciálne vzťažné sústavy). Dokazuje to napríklad problém „relativistickej rakety“, kde ŠTR správne predpovedá chovanie zrýchľovaných telies (tiel) v prítomnosti konštantného alebo nulového gravitačného poľa alebo tých v rotujúcej vzťažnej sústave. Táto teória iba nie je schopná opísať presne pohyb v gravitačných poliach, pri ktorom sa teleso dostáva do miest s rôznym gravitačným potenciálom.
Postuláty špeciálnej teórie relativity.
Einsteinova zásluha je v tom, že sa dokázal správne zorientovať v zmätku viacerých protichodných poznatkov vtedajšej doby, a že fyziku (aplikovanú na inerciálne sústavy) postavil na dvoch základných postulátoch:
Matematická formulácia postulátov.
V prísne matematickej formulácii špeciálnej teórie relativity predpokladajme, že vesmír existuje v štvorrozmernom časopriestore "M". Jednotlivé body v časopriestore sú udalosťami; fyzikálne objekty v časopriestore opíšeme ako svetočiary (ak predpokladáme, že objekt je bodový) alebo svetoplochy (ak predpokladáme, že objekt je väčší ako bodový). Svetočiary alebo svetoplochy opisujú iba pohyb objektu; objekt však môže mať aj iné fyzikálne charakteristiky ako energiu, hybnosť, hmotnosť, elektrický náboj, atď.
Okrem udalostí a fyzikálnych objektov majme navyše triedu inerciálnych pozorovateľov (ktorí môžu alebo nemusia zodpovedať vlastnému fyzikálnemu objektu). Každý inerciálny pozorovateľ je spojený s nejakou inerciálnou vzťažnou sústavou. Táto vzťažná sústava poskytuje súradnicový systém so súradnicami formula_1 pre udalosti v časopriestore "M". Navyše táto vzťažná sústava poskytuje súradnice pre všetky ostatné charakteristiky objektu v časopriestore, napríklad poskytuje súradnice formula_2 pre hybnosť a energiu objektu, súradnice formula_3 pre elektromagnetické pole a pod.
Predpokladajme, že pre akýchkoľvek dvoch inerciálnych pozorovateľov existuje transformácia súradníc, ktorá prevádza súradnice zo vzťažnej sústavy jedného pozorovateľa do vzťažnej sústavy druhého pozorovateľa. Táto transformácia nestanovuje iba prevod časopriestorových súradníc formula_1, ale zaisťuje aj prevod všetkých ostatných fyzikálnych súradníc, ako napr. pravidlá prevodu pre hybnosť a energiu formula_2, atď. (V praxi je možné s týmito prevodnými pravidlami efektívne pracovať pomocou matematiky tenzorov.)
Ďalej predpokladajme, že vesmír sa riadi množstvom fyzikálnych zákonov. Matematicky sa dá každý fyzikálny zákon vyjadriť vzhľadom na súradnicu niektorej inerciálnej vzťažnej sústavy rovnicou (napríklad diferenciálnou), ktorá sa týka rôznych súradníc rôznych objektov v časopriestore. Typickými príkladmi sú Maxwellove rovnice a Newtonove pohybové zákony.
Prvý postulát (princíp relativity).
Žiadny fyzikálny zákon sa nemení transformáciou súradníc z jednej inerciálnej vzťažnej sústavy do druhej. Preto, ak sa objekt v časopriestore riadi matematickými rovnicami popisujúce fyzikálny zákon v jednej inerciálnej sústave, musí sa riadiť tými istými rovnicami pri použití v ľubovoľnej inej inerciálnej vzťažnej sústave.
Druhý postulát (konštantná rýchlosť svetla "c").
Existuje základná konštanta formula_6 s nasledujúcou vlastnosťou. Pokiaľ A, B sú dve udalosti majúce súradnice formula_1 a formula_8 v inerciálnej vzťažnej sústave formula_9, a súradnice formula_10 a formula_11 v inej inerciálnej vzťažnej sústave formula_12 potom,
Neformálne, druhý postulát stanovuje, že objekty pohybujúce sa rýchlosťou svetla "c" v jednej vzťažnej sústave sa budú nutne pohybovať rýchlosťou svetla "c" vo všetkých vzťažných sústavách. Ukázalo sa, že druhý postulát sa dá matematicky odvodiť z prvého postulátu a Maxwellových rovníc, v prípade, že rýchlosť svetla "c" je daná formula_15, kde formula_16 je permeabilita a formula_17 je permitivita vákua. Pretože sa Maxwellovými rovnicami riadi šírenie elektromagnetického žiarenia, akým je napríklad svetlo, označujeme bežne "c" ako rýchlosť svetla a druhý postulát sa dá interpretovať jednoducho ako tvrdenie, že elektrodynamika tak, ako bola popísaná Maxwellovými rovnicami, je správna, v protiklade so skoršou teóriou Galileovej relativity, ktorá bola v rozpore s Maxwellovými rovnicami (ak nepredpokladáme existenciu éteru). Formulácia druhého postulátu tak, ako je daná vyššie, však nevyžaduje existenciu elektromagnetického poľa ani Maxwellových rovníc.
Z druhého postulátu je možné vyvodiť jeho silnejšiu verziu – časopriestorový interval je invariantný pri zmenách v inerciálnej vzťažnej sústave. V predchádzajúcej notácii to znamená, že
pre ľubovoľné dve udalosti A, B. Tento vzťah sa dá využiť na odvodenie transformačných zákonov medzi vzťažnými sústavami, pozri Lorentzova transformácia.
Postuláty špeciálnej teórie relativity sa dajú vyjadriť veľmi stručne použitím matematického jazyka pseudo-Riemannových variet. Druhý postulát je potom tvrdením, že štvordimenzionálny časopriestor "M" je pseudo-Riemannovou varietou vybavenou Lorentzovou metrikou "g" signatúry (3,1), ktorá je daná rovinnou Minkowského metrikou v každej inerciálnej vzťažnej sústave. Táto metrika sa považuje za jednu z fyzikálnych veličín teórie, pretože sa istým spôsobom mení, ak zmeníme vzťažnú sústavu, a je ju možné preto využiť na opis fyzikálnych zákonov. Prvý postulát tvrdí, že zákony fyziky sú invariantné, pokiaľ sú prezentované vo vzťažnej sústave, pre ktorú "g" je dané Minkowského metrikou. Výhodou tejto formulácie je jednoduché porovnanie špeciálnej teórie relativity so všeobecnou teóriou relativity, ktorá obsahuje tiež dva postuláty, ale je vynechaná požiadavka, aby metrika bola Minkowského metrikou.
Galileiho princíp relativity je limitným prípadom špeciálnej teórie relativity v nerelativistickej limite formula_19. V tomto prípade zostáva prvý postulát nezmenený, ale druhý postulát sa zmení nasledovne:
Fyzikálna teória daná klasickou mechanikou a Newtonovou gravitačnou teóriou je v súlade s Galileovým princípom relativity, ale nie so špeciálnou teóriou relativity. Naopak, Maxwellove rovnice nie sú v súlade s Galileovým princípom relativity, lebo
 nepredpokladáme existenciu éteru. V prekvapivom množstve prípadov sa dajú odvodiť fyzikálne zákony v špeciálnej teórii relativity (ako napríklad známa rovnica formula_29) kombináciou postulátov špeciálnej teórii relativity s hypotézou, že fyzikálne zákony v špeciálnej teórii relativity sa blížia zákonom klasickej mechaniky v nerelativistickej limite.
Postavenie špeciálnej teórie relativity.
Špeciálna teória relativity je presná iba vtedy, ak sú gravitačné účinky zanedbateľné alebo veľmi malé. V ostatných prípadoch musí byť nahradená všeobecnou teóriou relativity. Vo veľmi malých mierkach (ako napríklad Planckova dĺžka a menšie) je možné, že špeciálna teória relativity neplatí kvôli efektom kvantovej gravitácie. Ale v makroskopických mierkach a pri neprítomnosti silných gravitačných polí špeciálnu teóriu relativity všeobecne prijala celá fyzikálna verejnosť a výsledky pokusov, ktoré sa ju zdajú vyvracať, sú pripisované nereprodukovateľným experimentálnym chybám. Naproti tomu všeobecná teória relativity nie je stále dostatočne experimentálne preverená a dokonca doteraz neboli vyvrátené alternatívne teórie gravitácie ako napríklad Brans-Dickeova teória.
Dôsledky špeciálnej teórie relativity.
Špeciálna teória relativity má niekoľko dôsledkov, ktoré sa môžu zdať mnohým ako bizarné, medzi ktorými sú:
Hmotnosť, hybnosť a energia.
Okrem zrevidovaní predstáv o priestore a čase vyžaduje špeciálna teória relativity takisto aj nový pohľad na koncept hmoty, hybnosti a energie, ktoré sú dôležitými pojmami Newtonovej mechaniky. Podobne ako špeciálna relativita dala do vzájomného vzťahu priestor a čas, i u týchto ukazuje, že prakticky ide o rôzne aspekty tej istej fyzikálnej veličiny.
Existuje niekoľko rovnocenných ciest ako definovať hybnosť a energiu v ŠTR. Jedna z metód používa zákony zachovania. Aby tieto zákony zostali platné v ŠTR, musia platiť v každej inerciálnej sústave. Ak by sme však urobili jednoduchý myšlienkový experiment s Newtonovými definíciami hybnosti a energie, zistíme, že tieto veličiny v ŠTR nie sú zachovávané. Jedinou ich možnou záchranou je urobiť malé zmeny v definíciách, ktoré sa uplatnia iba pri relativistických rýchlostiach. Nasledujúce nové definície boli prijaté ako správne pre hybnosť a energiu v ŠTR.
Majme objekt o hmotnosti "m" pohybujúci sa rýchlosťou "v". Jeho energia a hybnosť sú dané vzťahmi:
kde "γ" (Lorentzov faktor) je daný vzťahom:
a "c" je rýchlosť svetla. Výraz γ, ktorý sa v ŠTR často vyskytuje, pochádza z rovníc Lorentzovej transformácie. (Dá sa povedať, že jeho hodnota zhruba opisuje, ako veľmi sa chovanie telesa líši od klasickej mechaniky. Pre γ = 1 sa teleso správa úplne newtonovsky, a pre γ → ∞ sa zvýrazňujú relativistické javy.) Vzťah energie a hybnosti vyjadruje vzorec
Pre rýchlosti omnoho menšie ako je rýchlosť svetla sa γ aproximuje použitím Taylorovho rozvoja a dá sa zistiť, že
Okrem prvého výrazu vo vyjadrení energie (diskutovaného nižšie) sú tieto vzorce presne v súlade so štandardnými definíciami newtonovskej kinetickej energie. To je ako požadované, lebo pri nízkych rýchlostiach musí ŠTR súhlasiť s newtonovskou mechanikou.
Ak sa pozrieme na predchádzajúce vzorce pre energiu, jeden z nich vyzerá, že pokiaľ je objekt v pokojovom stave ("v" = 0 a γ = 1), dostaneme nenulový energetický zvyšok:
Táto energia je nazývaná pokojová energia. Pokojová energia nie je v rozpore s Newtonovou teóriou, pretože je konštantná, a čo sa kinetickej energie týka, je podstatný iba rozdiel v energii.
Ak vezmeme vzorec tak, ako je napísaný, vidíme, že v teórii relativity platí, že hmotnosť je iba ďalšou formou energie. Tento vzorec sa stáva dôležitým napríklad pri meraní hmotnosti rôznych atómových jadier. Porovnaním rozdielov hmotností je možné predpovedať, ktoré atómové jadrá ukrývajú veľkú vnútornú energiu, ktorá môže byť uvoľnená jadrovými reakciami. Tieto dáta poskytli dôležité informácie pri konštrukcii atómovej bomby. Dopady tohto vzorca na život v 20. storočí z neho urobili jednu z najznámejších vedeckých rovníc.
O hmotnosti.
Často, hlavne v staršej literatúre a v úvodných kurzoch fyziky, sa uvádza, že podľa špeciálnej teórie relativity so zvyšujúcou sa rýchlosťou vzrastá hmotnosť telesa. Toto tvrdenie sa opiera o jednu definíciu hmotnosti, ale v ŠTR existujú dve rôzne predstavy hmotnosti. Predchádzajúca rovnica hovorí o tzv. pokojovej hmotnosti. Táto hmotnosť je nemennou veličinou v tom zmysle, že je rovnaká pre všetkých inerciálnych pozorovateľov. Predovšetkým sa pokojová hmotnosť nezvyšuje s rýchlosťou telesa.
Inou definíciou hmotnosti je relativistická hmotnosť, ktorá je daná vzťahom
Pretože γ rastie s rýchlosťou, takisto rastie aj relativistická hmotnosť. Táto definícia je konzistentnejšia s (relativistickou) dĺžkou a časom a je vhodná pre viacero účelov. Predovšetkým je možné jednoducho odvodiť rovnice pre energiu a hybnosť
ktoré sú platné vo všetkých vzťažných sústavách. Pokiaľ je rýchlosť rovná nule, relativistická a pokojová hmotnosť sú si rovné.
O žiadnej z týchto definícií sa nedá povedať, že je správna alebo nesprávna. Ale mnohí fyzici nemajú radi koncept relativistickej hmotnosti, pretože sa mení v Lorentzovej transformácii, a dávajú prednosť vo formulovaní ŠTR invariantnými veličinami. Naopak, pokojová hmotnosť sa stala dôležitou veličinou vo všeobecnej teórii relativity a v kvantovej teórii polí. Veľa fyzikov preto jednoducho hovorí o hmotnosti, hoci majú na mysli pokojovú hmotnosť.
Súčasnosť a kauzalita.
Špeciálna teória relativity pripúšťa, že udalosti, ktoré sú súčasné v jednej vzťažnej sústave, nemusia byť súčasné v inej vzťažnej sústave.
Interval AB na diagrame vpravo je „časový“. To znamená, že tu máme sústavu súradníc, v ktorej udalosť A a udalosť B nastávajú na rovnakom mieste v priestore a líšia sa iba v čase. Ak A predchádza B v tejto sústave súradníc, potom A predchádza B vo všetkých sústavách súradníc. Hypoteticky je možné premiestňovanie hmoty (alebo informácie) z A do B a môže tu nastávať príčinný vzťah (kde A je príčina a B je následok).
Interval AC na diagrame je „priestorový“. To znamená, že tu máme sústavu súradníc, v ktorej sa udalosť A a udalosť B udiali súčasne, oddelené iba priestorom. Hoci tu existujú súradnicové systémy, v ktorých A predchádza C (ako je to vyznačené) a súradnicové systémy, kde C predchádza A, okrem cestovania nadsvetelnou rýchlosťou nie je možné pre žiadne teleso (ani informáciu) cestovať z A do C alebo z C do A. Preto tu nemôže existovať žiadna príčinná súvislosť.
Geometria časopriestoru v špeciálnej teórii relativity.
ŠTR používa „rovný“ štvorrozmerný Minkowského priestor, obvykle označovaný ako časopriestor. Tento priestor je však veľmi podobný štandardnému trojrozmernému Euklidovskému priestoru a vďaka tomu sa s ním veľmi jednoducho pracuje.
Diferenciál vzdialenosti (ds) v karteziánskom trojrozmernom priestore je definovaný ako:
Kde formula_41 sú diferenciály troch priestorových dimenzií. V geometrii ŠTR je pridaná štvrtá dimenzia – čas – s jednotkou "c", takže rovnica pre diferenciál vzdialenosti sa zmení na:
V mnohých situáciách môže byť užitočné považovať čas za imaginárny (napríklad to môže zjednodušiť rovnice). V takom prípade je formula_43 v predchádzajúcej rovnici nahradené formula_44 a metrika sa zmení na:
Pokiaľ pre zjednodušenie zmeníme počet priestorových dimenzií na dve, môžeme reprezentovať fyzikálny svet trojrozmerným priestorom:
Vidíme, že nulové (svetelné) geodetiky ležia pozdĺž dvojkužeľa
a sú definované rovnicou
alebo
Čo dáva rovnicu kružnice o polomere "r = c · dt". Ak to rozšírime do troch priestorových dimenzií, koncové body nulových geodetík budú sústredenými guľovými plochami, kde polomer = vzdialenosť "c" · ±čas.
Tento prázdny dvojkužeľ reprezentuje „líniu pohľadu“ z bodu v priestore. Vtedy, keď sledujeme hviezdy a povieme „Svetlo tejto hviezdy, ktoré mi dopadá do oka, je X rokov staré.“, tak sa práve pozeráme pozdĺž línie pohľadu, pozdĺž nulové geodetiky. Pozeráme sa na udalosť vzdialenú formula_51 metrov a "d/c" sekúnd v minulosti. Z tohto dôvodu je prázdny svetelný dvojkužeľ známy takisto ako aj „svetelný kužeľ“. (Bod v ľavom dolnom rohu znázorňuje hviezdu, počiatok súradnicového systému znázorňuje pozorovateľa a čiara ku hviezde znázorňuje nulovú geodetiku „líniu pohľadu“.)
Kužeľ v oblasti "−t" sú informácie, ktoré bod „prijíma“, zatiaľ čo kužeľ v oblasti "+t" sú informácie, ktoré bod „vysiela“.