Einsteinova sumačná konvencia

Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.
Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad
automaticky znamená
Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.
Spúšťanie a dvíhanie indexov.
Ak máme priestor s metrickým tenzorom formula_3, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom
kde formula_5 je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak formula_6 a rovný 0, ak formula_7). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:
Veličinám formula_10 sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora formula_11. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.
Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore formula_12, čísla formula_13 a formula_14 sú rovnaké, pre každé formula_11. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.
Zápis vektorov a kovektorov.
V každom vektorovom priestore formula_16si možno zvoliť bázu. Ak formula_17, tak báza má formula_18 bázových prvkov formula_19 a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent formula_20. Zapisuje sa teda
K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor formula_22 lineárnych zobrazení formula_23 (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza formula_24. Je to zobrazenie, pre ktoré platí
Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako
Bežné operácie.
Operácie s vektormi.
Skalárny súčin dvoch vektorov formula_27možno zapísať ako
kde formula_29 je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene 
Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako
kde formula_32 je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, formula_33.
Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom formula_3 sa počíta ako
Operácie s operátorom formula_36.
formula_36 (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami 
ktoré budeme označovať ako formula_39. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať
Maticové operácie.
Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.
Maticové násobenie 
Stopa matice
Matematické aplikácie.
Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:
Fyzikálne aplikácie.
Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:
kde formula_51 je tenzor napätia, formula_52 tenzor deformácie a tenzor formula_53 je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má formula_54 komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.
kde formula_56 označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda formula_57 neznamená voľný index.
kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.