Problém dvoch telies

Problém dvoch telies je úloha klasickej mechaniky, v ktorej je cieľom skúmať pohyb dvoch telies, ktoré navzájom interagujú. Príkladom môže byť obeh planét okolo Slnka alebo rozptyl elektrónu na atómovom jadre.
Pri probléme dvoch telies je možné rozdeliť pohyb tejto sústavy na pohyb ich spoločného ťažiska a vzájomný pohyb telies. V mnohých prípadoch je možné nájsť aj rovnice týchto pohybov, teda vyriešiť problém analyticky. Naproti tomu problém troch telies nie je možné riešiť podobným spôsobom a analytické výsledky sa dajú získať iba v niektorých špeciálnych prípadoch.
Pohyb, ktorý je výsledkom problému dvoch telies sa odohráva v jednej rovine. Je to tak kvôli tomu, že sily pôsobiace medzi telesami sú navzájom opačne orientované a obe ležia v tejto rovine. V sústave preto nie je žiadna sila, ktorá by telesá vyviedla von z roviny ich pohybu. Túto rovinu pohybu môžeme nájsť tak, že nájdeme moment hybnosti sústavy – rovina, v ktorej sa bude celý pohyb odohrávať je naň kolmá. (Dá sa ukázať aj to, že moment hybnosti sústavy sa v čase nemení, zachováva sa.)
Správanie systému.
Pri vzájomnom pôsobení telies sú dôležitými parametrami hmotnosti oboch telies formula_1 a formula_2. Pohyb sa totiž odohráva okolo ich spoločného ťažiska (pozri nižšie). Preto ak je jedna hmotnosť omnoho väčšia než druhá, ťažisko sústavy je prakticky totožné s polohou ťažšieho telesa a to sa potom takmer nehýbe – vnímame obeh ľahkého telesa okolo centrálneho telesa sústavy (pozri obrázok vpravo). Toto je prípad slnečnej sústavy, kde hmotnosť Slnka prevyšuje hmotnosť všetkých planét 745-násobne. Zjednodušenie planét obiehajúcich nehybné Slnko je preto pomerne presné. V prípade sústavy Zem-Mesiac je pomer hmotností 1:81. Výsledkom je ich obeh okolo spoločného ťažiska, ktoré sa nachádza pod povrchom Zeme v hĺbke približne 3000 kilometrov. Príkladom obehu dvoch telies podobnej hmotnosti je sústava Pluto-Charón (pomer hmotností približne 1:7) a mnoho dvojhviezd.
Ak je príťažlivá sila medzi telesami nepriamo úmerná štvorcu ich vzdialenosti (ako pri gravitačnom priťahovaní, resp. Coulombovom zákone), pohyb telies sa odohráva po eliptickej dráhe (v špeciálnom prípade kruhovej), parabolickej dráhe alebo hyperbolickej dráhe.
Na základe pozorovaní telies v slnečnej sústave boli formulované niektoré vlastnosti ich pohybov, ktoré sú zhrnuté v Keplerových zákonoch.
Riešenie úlohy.
Polohy telies v čase "t" označíme formula_3 a formula_4. Cieľom je nájsť tieto dve funkcie za predpokladu, že poznáme začiatočné (teda v čase formula_5) polohy a rýchlosti telies formula_6, formula_7, formula_8, formula_9,
ich hmotnosti formula_1, formula_2, ako aj sily pôsobiace na obe telesá ako funkcie ich polôh formula_12, formula_13.
Pritom podľa tretieho Newtonovho zákona (akcia-reakcia) z toho, že uvažujeme iba vzájomné pôsobenie telies vyplýva formula_14. Pomocou
druhého Newtonovho zákona (zákona sily) môžeme teraz zapísať pohybové rovnice telies v tvare
Tu formula_17 a formula_18 sú zrýchlenia prvého a druhého telesa.
Sčítanie týchto uvedených dvoch pohybových rovníc umožní skúmať pohyb ťažiska sústavy, zatiaľ čo ich odčítanie vedie k rovnici pre vzájomný pohyb telies.
Pohyb ťažiska sústavy.
Ak sčítame predchádzajúce pohybové rovnice telies, dostaneme
Zrýchlenia telies sú pritom druhými deriváciami polohy podľa času, teda
Ak teraz zapíšeme súradnice ťažiska sústavy
derivovaním tohto výrazu ľahko zistíme, že
Prvá rovnica tohto odseku sa preto dá prepísať do tvaru
Povedané slovami: zrýchlenie ťažiska je nulové – pohybuje sa teda rovnomerným priamočiarym pohybom.
Vzájomný pohyb telies.
Odčítaním zrýchlení oboch telies dostávame
Ak teraz označíme formula_25 a
predošlá rovnica získa tvar
Veličinu formula_28 nazývame redukovaná hmotnosť sústavy, vektor formula_29 je polohový vektor telesa 1 vzhľadom k telesu 2.
Z poslednej získanej rovnice vyplýva, že vzájomná poloha oboch telies (vektor formula_29) sa mení tak, ako keby sila medzi dvoma telesami pôsobila na jediné teleso s hmotnosťou formula_28. Problém dvoch telies sme tak zjednodušili na dva nezávislé pohyby – rovnomerný priamočiary pohyb ťažiska a zmenu vzájomného polohového vektora formula_29. Po nájdení rovníc pre formula_33 a formula_34 sa späť k polohám pôvodných telies dostaneme pomocou vzťahov
Riešenie rovnice pre vzájomný polohový vektor telies.
Pri riešení úlohy je použiť polárne súradnice formula_37 a formula_38 namiesto polohového vektora telies formula_29 (sférické súradnice nie sú nutné vďaka tomu, že pohyb sa odohráva v jednej rovine).
Sila medzi telesami v skutočnosti závisí iba od vzdialenosti telies, nie od ich presných polôh. Preto nám namiesto formula_40 stačí formula_41.
Ak teraz označíme veľkosť momentu hybnosti sústavy formula_42 (ako už bolo povedané, moment hybnosti sa zachováva), pre súradnicu formula_38 môžeme zapísať rovnicu (veľkosť momentu hybnosti je daná súčinom obežnej rýchlosti formula_44, hmotnosti obiehajúceho telesa formula_28 a vzdialenosti od stredu formula_37)
Pohybová rovnica pre súradnicu formula_37 má teraz tvar
Na pravej strane okrem pôsobiacej sily formula_41 vystupuje aj odstredivá sila formula_51. V tejto rovnici vystupujú zároveň čas formula_52 a uhol formula_38. Môžeme si ponechať iba závislosť vzdialenosti formula_37 od uhla formula_38 ak využijeme rovnicu pre veľkosť momentu hybnosti formula_56 na prepis časovej derivácie do tvaru
Ak navyše použijeme substitúciu formula_58, dostaneme nakoniec pohybovú rovnicu v tvare
Ak teraz predpokladáme silu nepriamo úmernú štvorcu vzdialenosti (ako v gravitačnom, resp. Coulombovom zákone), teda formula_60, dostávame
Na pravej strane ostala konštanta. Získaná diferenciálna rovnica má tvar diferenciálnej rovnice harmonických kmitov. Aj jej riešenie preto zodpovedá harmonickým kmitom, má tvar
Hodnoty nových konštánt formula_63 a formula_38 vyplývajú zo začiatočných podmienok nášho problému (tými sú polohy a rýchlosti telies v čase nula). Výsledkom je teda
Ďalšími matematickými úpravami sa dá ukázať, že toto je skutočne parametrická rovnica elipsy, paraboly, resp. hyperboly v polárnych súradniciach.