Archimedova axióma

Archimedova axióma(iné názvy: Eudoxova-Archimedova axióma,Eudoxova axióma, Archimedov výrok, Archimedov princíp, Archimedova vlastnosť [reálnych čísiel], axióma merateľnosti, Archimedova veta) bola pôvodne nasledujúca veta (axióma): "Ak máme dve úsečky, z ktorých jedna je kratšia (X) a jedna dlhšia (Y), tak ak nanesieme (narysujeme) úsečku X dostatočne veľakrát za sebou, vždy dostaneme úsečku, ktorá je dlhšia než úsečka Y" [veta 1]. Dnes sa táto veta často aplikuje aj na plochu, objem či všeobecne na usporiadané aritmetické a algebrické štruktúry (napr. na množiny prirodzených, celých, racionálnych a reálnych čísiel); v takom prípade znie všeobecne takto: "Ak máme ľubovoľné dve (kladné) hodnoty (nejakej veličiny ), z ktorých jedna je menšia (A) a druhá väčšia (B), tak vždy platí A.n&gt;B, pričom n je nejaké (aspoň jedno) prirodzené číslo" [veta 2]. Táto veta platí (t. j. Archimedova axióma je splnená) napríklad pre množinu reálnych čísiel. Vlastnosť (niečoho) spĺňať Archimedovu axiómu, sa nazýva archimedovská vlastnosť (Archimedova vlastnosť) alebo archimedovská usporiadanosť; algebrická štruktúra (napr. grupa, pole) spĺňajúca Archimedovu axiómu sa teda volá archimedovská alebo archimedovsky usporiadaná.
Dá sa ukázať, že veta 2 vyplýva z nasledujúcej vety a je s ňou ekvivalentná: "Množina všetkých prirodzených čísiel je zhora neohraničená" resp. inak povedané (tu ako príklad pre množinu reálnych čísiel): "Ku každému reálnemu číslu C existuje nejaké (aspoň jedno) prirodzené číslo n, ktoré je väčšie ako C" [veta 3]. Aj táto veta sa niekedy takisto zvykne označovať ako Archimedova axióma (resp. vyššie uvedené synonymá), pričom ale v niektorých textoch sú použité rôzne názvy pre vetu 2 (či 1) a vetu 3 (napr. "Archimedov princíp" pre vetu 2 a "Archimedova vlastnosť (reálnych čísiel)" pre vetu 3; "Archimedova axióma" pre vetu 1 a "Archimedova veta" pre vetu 3; "Archimedova vlastnosť (reálnych čísiel)" pre vetu 2 a "Eudoxova-Archimedova [veta]" pre vetu 3). 
Z Archimedovej axiómy (t. j. z vety 2 či 3, ale aj 1) vyplýva, že v danej algebrickej štruktúre nie je žiaden nekonečne veľký či nekonečne malý prvok (t.j. napr. pre množinu reálnych čísiel platí, že neexistujú nekonečne malé alebo nekonečne veľké reálne čísla). 
Existuje aj Archimedova axióma v multiplikatívnom tvare (t.j. namiesto A.n=A+A+A... je An=A.A.A…). K tomu pozri nižšie. 
Archimedova axióma v multiplikatívnom tvare.
Vieme, že za predpokladu formula_1 platí formula_2, formula_3 a tak ďalej. Z toho je intuitívne zrejmé, že veľmi vysoké mocniny čísla formula_4 sú veľmi malé. To znamená, že pri ľubovoľne malom kladnom čísle formula_5 pre dosť veľké celé číslo formula_6 platí formula_7. Táto významná skutočnosť sa nazýva "Archimedová vlastnosť" a formálne ju zapisujeme nasledujúcou vetou: Nech formula_1, nech formula_9. Potom existuje také prirodzené číslo formula_6, že formula_11.
Dôkaz.
Na dokázanie Archimedovej vlastnosti musíme najprv dokázať nasledujúcu vetu: 
Nech formula_1. Potom postupnosť formula_13 je sumovateľná a platí: formula_14 .
Dôkaz je nasledovný:
V (Z) položme formula_15 pre každé celé formula_16, z čoho vyplýva, že postupnosť formula_13 je sumovateľná. Označme jej súčet s. Potom platí 
formula_18.
Urobme teraz substitúciu formula_19, pričom formula_20, formula_21. Keďže platí
formula_18 takže dostaneme
formula_23.
Teda formula_24, z čoho ihneď vyplýva
formula_14.
Keď sa teraz vrátime k dôkazu archimedovej postupnosti, tak podľa predchádzajúcej vety je číslo formula_26
súčtom postupnosti formula_13. Preto k ľubovolnému číslo formula_28, že 
formula_29.
Ak označíme formula_30, tak zrejme formula_31 existuje celé číslo formula_32, pre ktoré platí formula_30. To znamená, že existuje také celé formula_32, že formula_35.
Na druhej strane platí rovnosť formula_36. Teda z toho vypláva
formula_37. Z toho už dostávame, že formula_38. Ak teda zvolíme formula_39, máme hľadané prirodzené číslo s vlastnosťou formula_40.