Určitý integrál

Určitý integrál je integrál vztiahnutý (na rozdiel od neurčitého integrálu) na interval, pričom rozsah intervalu ovplyvňuje hodnotu integrálu. Výsledkom určitého integrálu je zvyčajne nejaké číslo.
Určitý integrál značíme podobne ako integrál neurčitý, navyše však vyznačujeme interval, na ktorom integrujeme. Napr. integrál funkcie formula_1 na intervale formula_2 značíme
alebo
Pri integrácii určitých integrálov často používame metódy, ktoré sa používajú pri integrácii neurčitých integrálov, napr. substitučnú metódu či metódu per partes.
Aplikácie.
Určitý integrál nachádza svoje opodstatnenie vo väčšine prípadov v oblastiach techniky, fyziky a aplikovanej matematiky. Existujú viaceré definície pre rôzne druhy výpočtu určitých integrálov, no popisujú rovnaký jav. V geometrii sa často stretávame s výpočtom plochy (obsahu) rôznych rovinných útvarov alebo s výpočtami objemov priestorových telies. Problémom na riešenie však bolo vypočítať obsah plochy pod grafom funkcie. Nebolo veľmi náročné objaviť spôsob ako približne vypočítať plochu pod grafom. Jedným a najznámejším zo spôsobov je rozdelenie plochy na menšie obdĺžnikové elementy. Problémom bolo objaviť teóriu, podľa ktorej by bolo možné vypočítať obsah absolútne presne. Tento problém vyriešili a formálne definovali Isaac Newton a Gottfried Leibniz.
Obsah plochy pod grafom funkcie.
Odvodenie.
Ak by sme rozdelili plochu pod grafom funkcie na intervale formula_5 na veľmi tenké obdĺžniky so stranou formula_6 a výškou formula_7, tak ich obsahy je možné zapísať nasledovne 
formula_8
Pre interval, na ktorom počítame obsah platí formula_9. Ak budeme čoraz viac hodnôt formula_10 "natláčať" do intervalu, tým bude obsah plochy presnejší. Logicky sa teda naskytuje úvaha, že formula_11. Je možné potom formálne zapísať daný súčet
formula_12
Tento súčet sa nazýva určitý integrál funkcie formula_13 na intervale formula_5
Newtonov-Leibnizov vzorec na výpočet určitého integrálu.
Nech je funkcia formula_13 spojitá na intervale formula_5 a existuje k nej primitívna funkcia formula_17. Potom platí
formula_18
Tento vzťah využíva k vyčísleniu určitého integrálu primitívnu funkciu. Pri výpočte sa používajú klasické integračné metódy cez tabuľkové integrály, substitučnú metódu alebo integrovanie per partes.
Príklad.
Vypočítajte obsah plochy formula_19. Hranice integrovania popisuje zadaná množina bodov v rovine. Počítame teda určitý integrál s využitím metódy per partes
formula_20
Objem rotačného telesa.
Odvodenie.
Vzorec pre výpočet objemu rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky (grafu funkcie) okolo osi x, sa odvodí taktiež pomocou veľmi malých elementov, tentokrát valcov. Predstavou, že teleso rozdelíme na veľmi tenké platne, sa ľahko odvodí daný vzťah. Skutočnosť, že nemusí ísť presne o valec, ale o zrezaný kužeľ, je zanedbateľná, nakoľko pracujeme s nekonečne malými priestorovými útvarmi. Jeden taký valec bude mať objem
formula_21
pričom vychádzame zo vzťahu pre výpočet objemu valca, kde v danom prípade je polomer podstavy rovný funkčnej hodnote a výška je nekonečne malé formula_22. Súčtom všetkých takých valcov dostaneme podobnou úvahou ako pri určovaní plochy, vzorec
formula_23
Príklad.
Odvodíme vzorec pre objem rotačného kužeľa. Nechajme rotovať okolo osi x funkciu formula_24 na intervale formula_25, kde formula_26 označuje výšku kužeľa a formula_27 je smernica. Dosadením do vzťahu
V=formula_28
Pre smernicu formula_27 platí, že je to tangens uhla, ktorý zviera priamka s osou x. Preto formula_30. Dosadením do výsledku dostaneme konečný vzorec
formula_31
Fyzikálne aplikácie.
Vo fyzike sa používa široké spektrum integrálov, ako napríklad dvojný, trojný, krivkový integrál. Mnoho integrálov sa používa pri výpočtoch z oblasti elektriny a magnetizmu ako napríklad Maxwellove rovnice využívajúce integrál vektorového poľa. Veľký pokrok nastal po objavení integrálu aj v oblasti astrofyziky a astronómie.
Výpočet práce.
Na výpočet celkovej práce sa využíva vzťah
formula_32
Výpočet hustoty.
Vzorec pre výpočet hustoty vychádza z Pascalovho zákona
formula_33