Nezávislá množina

V teórii grafov je nezávislou podmnožinou N množiny V, taká podmnožina, ktorá nemá žiadne dva zo svojich vrcholov incidentné s tou istou hranou v grafe G=(V, H). To znamená, že je to taká podmnožina N množiny V vrcholov v, že každé dva vrcholy nemajú takú hranu, ktorá by ich spájala.
Maximálna nezávislá množina.
Je preto prospešné zaoberať sa maximálnymi nezávislými množinami, keďže každý vrchol formula_1 tvorí nezávislú podmnožinu množiny V. Maximálnou nezávislou podmnožinou V, ak neexistuje taká nezávislá podmnožina N‘ množiny V, aby platilo, že N je rôzna od N‘ a N je podmnožinou N‘ a tá je podmnožinou V. 
Počet maximálnych nezávislých množín v n-vrcholovom cyklickom grafe G je dané Perrinovym číslom (to je dané rekurentým vzťahom). Maximálna nezávislá množina v n-vrcholovom slede je daný Padovanovou sekvenciou.
Príklad 1: 
Nezávislosť grafu je vlastne maximálna mohutnosť z mohutností všetkých maximálnych nezávislých podmnožín množiny V. Označuje sa &amp;. Pre obrázok v príklade 1 je to formula_2.
Klika grafu.
S nezávislosťou grafu úzko súvisí pojem klika grafu. Ak K je podmnožinou množiny V a každé dva prvky množiny K sú priľahlé, potom je množina K úplnou množinou v grafe G. Čiže ak K je úplná v grafe G a nie je podmnožinou žiadnej inej úplnej množiny v grafe G, tak K je maximálna úplná množina alebo klika v grafe
G. K nazývame maximálnou klikou v grafe G, vtedy, ak má najväčší počet prvkov medzi
všetkými klikami v G. Pojem klika má aplikáciu aj v spoločenských vedách tým, že vrcholy grafu môžu byť osoby a hrany predstavujú nejakú spojitosť medzi týmito ľuďmi (zhodu politických názorov, Erdősovo číslo).
Klikové číslo grafu predstavuje počet vrcholov maximálnej kliky grafu G. Označujeme ho formula_3(G). V príklade 2 je to formula_3(G)=4.
Príklad 2:
Uvážme, že každá maximálna nezávislá podmnožina vrcholov grafu G je rovná klike komplementárneho grafu, kvôli tomu, že v nezávislej podmnožine sú vrcholy, medzi ktorými v grafe G neexistuje žiadna hrana.Čiže je platné: formula_5
Minimálna dominujúca množina.
Žiadna vlastná podmnožina týchto podmnožín nie je dominujúca. V grafe, v príklade 1, sú minimálnymi dominujúcimi podmnožinami: D1={1], D2={6,3}, D3={5,3} a D4={5,2}, D5={6,4,2}. Z definície minimálnej dominujúcej podmnožiny vyplýva dôkaz nasledujúcej vety: komponent formula_6 je dominujúcou podmnožinou grafu G, ak D je minimálna dominujúca podmnožina vrcholov grafu G, ktorej nie sú izolované vrcholy. 
Dominanciou grafu G, označujeme formula_7(G)nazývame minimálnu mohutnosť z mohutnosti všetkých dominujúcich podmnožín vrcholov grafu G. 
Veta: Maximálna nezávislá podmnožina vrcholov grafu G je práve vtedy, ak je jeho dominujúcou podmnožinou.
Dôkaz 1: Nech maximálnou nezávislou podmnožinou grafu G je N, to znamená, že ju nemožno rozšíriť o žiaden vrchol bez porušenia nezávislosti, takže do množiny jej susedov patria všetky ostatné vrcholy. to je ale vlastnosť dominujúcej podmnožiny.
Dôkaz 2: Nech dominujúcou podmnožinou grafu G je D, ktorá je zároveň nezávislá, potom už neexistuje vrchol v grafe G, ktorý by so žiadnyzm vrcholom z množiny D nesusedil; to unamená, že je aj minimálne nezávislá.
Dôsledok: Pre dominanciu formula_7(G) a nezávislosť formula_9(G) grafu G platí vzťah formula_10
Externé odkazy (v angličtine).
Tento text bol inšpirovaný publikáciou Michala Bučka, Mariána Klešča: Diskrétna matematika, vydavateľstvo ELFA