Kmitanie

Kmitanie alebo oscilácia je pohyb fyzikálnej sústavy (napr. hmotného bodu), pri ktorom sa systém po vychýlení vždy vráti do rovnovážnej polohy. Jedna zmena v rámci kmitania sa nazýva aj kmit (časť kmitavého pohybu, pri ktorom hmotný bod prejde všetkými polohami a vráti sa späť odkiaľ vyšiel), prechod z jednej krajnej polohy do opačnej sa niekedy nazýva kyv. Perióda je čas, za ktorý sústava vykoná jeden kmit, frekvencia je počet kmitov za jednu sekundu. Pre kmitavý pohyb je typické, že sa striedavo mení kinetická energia systému na potenciálnu a naopak.
Typickými príkladmi kmitania je kyvadlo, pri ktorom sa periodicky mení výchylka od zvislice, alebo teleso zavesené na pružine, pri ktorom sa po vychýlení periodicky mení jeho výšková súradnica.
Základné pojmy.
Pri kmitaní a iných periodických dejoch sa periodicky mení nejaká veličina, označme ju formula_1, kde formula_2 v zátvorke znamená, že veličina formula_3 je funkciou času. Vo väčšine prípadov existuje istá rovnovážna hodnota veličiny formula_4 okolo ktorej skutočná hodnota osciluje. Rozdiel oproti rovnovážnej polohe nazývame výchylkou a budeme ju označovať ako formula_5.
Čas, za ktorý sústava vykoná jeden kmit (osciláciu), sa nazýva perióda, zvyčajne označovaná ako T. Je to najmenší časový interval, pre ktorý v každom okamihu formula_2 platí
Prevrátenou hodnotou periódy je frekvencia, zvyčajne označovaná formula_8. Jej jednotkou je Hertz, pričom formula_9. Frekvencia oscilátora udáva počet kmitov, ktoré nastanú za jednu sekundu. Poznatok možno vyjadriť vzťahom
Pri harmonickom kmitavom pohybe je niekedy užitočné pracovať s uhlovou frekvenciou formula_11. Jej význam možno lepšie pochopiť pomocou analógie s pohybom po kružnici "(uvedená nižšie)". Jednotkou uhlovej frekvencie je radián za sekundu. S bežnou frekvenciou je viazaná vzťahom
Amplitúda formula_13 je maximálna výchylka z rovnovážnej polohy formula_4.
Harmonický kmitavý pohyb.
Harmonický kmitavý pohyb je typický tým, že priebeh oscilujúcej veličiny je opísaný sínusoidou. Možno to vyjadriť priamou úmerou
Väčšina kmitavých pohybov je harmonická v prvom priblížení pre malé výchylky. Napríklad pohyb kyvadla je tým presnejšie opísaný rovnicami pre harmonický kmitavý pohyb, čím je menšia maximálna výchylka závažia od zvislice. Väčšinou sa udáva, že dostatočnú presnosť dosiahneme pre výchylky menšie ako 5°.
Aby pohyb telesa, resp. časový vývoj systému bol harmonický kmitavý, stačí aby bola splnená pohybová rovnica
kde formula_17 je časom sa meniaca výchylka z rovnovážnej polohy a formula_18 je kladná konštanta úmernosti. Riešenie tejto diferenciálnej rovnice je
kde formula_13 je amplitúda kmitov a formula_21 fázový posun, obe konštanty v rovnici možno určiť z počiatočných podmienok. Ďalší parameter v rovnici je už spomínaná uhlová frekvencia formula_11, ktorá je s konštantou úmernosti previazaná jednoduchým vzťahom 
Z toho je zrejmé, že pre frekvenciu formula_8 a periódu formula_25 oscilácii platia rovnice
Analógia k pohybu po kružnici.
Nech sa hmotný bod pohybuje po kružnici ako na obrázku vpravo konštantnou uhlovou rýchlosťou formula_11, pričom
Pre stredový uhol teda platí formula_30, kde formula_31 je uhol prejdený v čase formula_32 a teda je určený počiatočnými podmienkami. Ak je polomer kružnice formula_33, tak potom pre okamžité súradnice hmotného bodu platia rovnice
Ak sa bližšie pozrieme na rovnicu pre ypsilonovú súradnicu hmotného bodu, všimneme si, že je rovnaká ako rovnica opisujúca harmonický kmitavý pohyb, ktorého amplitúda je rovná polomeru formula_33 kružnice, uhlová frekvencia je rovná uhlovej rýchlosti formula_11 hmotného bodu a fázové posuny sú rovnaké. Tento harmonický kmitavý pohyb je možné aj pozorovať jednoduchým experimentom. Ak systém na obrázku zľava osvetlíme rovnobežnými svetelnými lúčmi, na tienidle postavenom vpravo od systému bude konať tieň hmotného bodu naozaj harmonický kmitavý pohyb.
Energia oscilujúceho systému.
Pre oscilujúci systém je typické, že sa striedavo premieňa potenciálna energia na kinetickú a naopak. Ak je pravidelne sa meniaca výchylka formula_17 a ak časovú deriváciu zjednodušene označíme bodkou nad derivovanou veličinou, tak platí
kde formula_41 označuje tuhosť systému. Istým spôsobom hovorí o tom, ako veľmi je ťažké vychýliť teleso z rovnovážnej polohy a formula_42 hovorí o zotrvačných schopnostiach systému.
Ak sa nám podarí výpočtom určiť hodnoty veličín formula_41 a formula_42, potom je veľmi jednoduché určiť charakteristiky kmitavého pohybu. S uhlovou frekvenciou sú vždy zviazané vzťahom
Pri harmonickom kmitavom pohybe, kde nedochádza k žiadnym stratám energie v dôsledku trenia alebo iných odporových síl, platí zákon zachovania mechanickej energie, teda súčet kinetickej a potenciálnej energie oscilátora je rovný jeho celkovej energii, ktorej hodnota sa počas oscilácií nemení.
Jednoduché oscilátory.
Bodky nad niektorými veličinami v tabuľke sú zjednodušený zápis časovej derivácie.
Zložité oscilátory.
Vo svete okolo nás existuje skutočne nespočetné množstvo vecí, ktoré môžu kmitať. Ich pohyb je vo väčšine prípadov tlmený. V kryštáloch kmitajú atómy okolo svojich rovnovážnych polôh, dieťa na hojdačke je v istom zmysle zložitým fyzikálnym kyvadlom, teleso zavesené na skrútenom špagáte bude konať oscilácie v torzii a každá halúzka na strome, ktorú ohneme a pustíme sa začne nejako kymácať. To všetko možno naozaj považovať za oscilátory. Ak sa rozruch šíri prostredím, môže vzniknúť vlna. To je napríklad prípad gitary alebo ladičky. 
Tu sú príklady jednoduchých i zložitých oscilátorov, rezonátorov, prípadne vlnení z rôznych oblastí vedy:
Tlmené kmity.
Rovnice tlmených kmitov.
V reálnom svete vždy existuje trenie a rôzne iné odporové sily, ktoré spôsobujú, že oscilujúci systém postupne stráca energiu a jeho amplitúda sa s časom zmenšuje. Akokoľvek by sme sa snažili zamedzovať týmto nepriaznivým vplyvom, obmedzuje nás druhý termodynamický zákon, podľa ktorého sa mechanická energia postupne premieňa na vnútornú tepelnú energiu. Závislosť odporových síl od výchylky a jej časovej derivácie môže byť vo všeobecnosti veľmi zložitá. V najjednoduchšom modeli je odporová sila priamo úmerná prvej časovej derivácii výchylky a pôsobí proti narastaniu výchylky. V prípade telesa na obrázku vpravo odporová sila vzduchu pôsobí vždy proti smeru pohybu tohto telesa.
V spomínanom ideálnom prípade možno zapísať pre časový vývoj výchylky nasledovnú diferenciálnu rovnicu:
kde formula_48, formula_18 a formula_50 by sme získali analýzou síl pôsobiacich na systém. Ak obe strany rovnice vydelíme formula_42, dostaneme
Aby sa rovnica zjednodušila, zaveďme substitúcie
Prvý parameter sa nazýva vlastná uhlová frekvencia a určuje uhlovú frekvenciu v prípade, keby neexistovali žiadne tlmiace vplyvy. Druhý parameter je tlmenie. Tlmenie je bezrozmerná fyzikálna veličina.
Diferenciálna rovnica teraz nadobudla tvar
Táto diferenciálna rovnica sa väčšinou rieši s predpokladom, že hľadané riešenie formula_5 má tvar
kde formula_58 je vo všeobecnosti komplexné číslo. Tento predpoklad nie je len tipom, ale vychádza z poznatku, že deriváciou exponenciálnej funkcie je opäť funkcia exponenciálna funkcia a v našej rovnice sa súčet jednotlivých derivácií musí rovnať nule.
Po dosadení a vydelení členom formula_59 dostávame jednoduchú rovnicu
To je jednoduchá kvadratická rovnica s dvoma riešeniami
Správanie systému pri tlmených kmitoch.
V závilosti na veľkosti tlmenia formula_62 možno rozlíšiť 3 situácie opísané v tabuľke
Nútené kmity.
O nútených kmitoch hovoríme, ak existuje vonkajšia budiaca sila formula_63. Uvažujúc tlmenie má pohybová rovnica tvar
V ideálnom prípade má budiaca sila harmonický priebeh s uhlovou frekvenciou formula_11. V ustálenom stave je potom frekvencia oscilácií sústavy rovná frekvencii budiacej sily. Amplitúda je funkciou budiacej frekvencie. V prípade, že budiaca frenvencia formula_11 je veľmi blízka vlastnej frekvencii formula_67 oscilátora, dochádza k rezonancii. Ide o jav, keď malá budiaca sila vybudí systém k oscilácií s veľmi veľkými amplitúdami. Každý oscilátor možno charakterizovať rezonančnou krivkou a kvalitou oscilátora. Rezonančná krivka je závislosť amplitúdy oscilácií od budiacej frekvencie, kvalita oscilátora súvisí so šírkou rezonančnej krivky.
Využitie rovnice harmonických kmitov pri riešení fyzikálnych úloh.
Harmonické kmity majú široké uplatnenie aj pri riešení fyzikálnych úloh na prvý pohľad nesúvisiacich s kmitavým pohybom. Využívame pri tom jednoduchý princíp, že rovnaké rovnice majú rovnaké riešenie. Zmena parametra v rovnici spôsobí zmenu parametrov v jej riešení. Ale, až na konštanty je riešenie rovnaké. Tu sú dva príklady takýchto úloh.
Vlak na naklonenej rovine
Pred úpätím naklonenej roviny so sklonom formula_68 voči zemi sa nachádza homogénny vlak dĺžky formula_69 hmotnosti formula_48 pohybujúci sa rýchlosťou formula_71 smerom ku kopcu. Vlak začne stúpať na kopec, v akom čase od tohto okamihu sa bude nachádzať lokomotíva v najvyššom bode svojej dráhy? Predpokladajte, že vlak nemá dostatočnú rýchlosť na to, aby vyšiel na kopec celý.
Riešenie:
Rozoberme situáciu v momente, keď sa lokomotíva nachádza v určitej vzdialenosti od úpätia kopca formula_72. Rozoberme sily pôsobiace na vlak v tomto okamihu. Na časť vlaku nachádzajúcu sa na zemi pôsobí nulová výslednica síl, keďže tiažová sila sa vykompenzovala s reakciou podložky. Na časť vlaku nachádzajúcu sa na kopci pôsobí len zložka tiažovej sily rovnobežná so sklonom kopca, keďže zložka kolmá na kopec sa vykompenzovala s reakciou kopca. Na jednotku dĺžky vlaku pripadá hmotnosť formula_73, hmotnosť časti vlaku nachádzajúcej sa na kopci teda bude:
Veľkosť tiažovej sily pôsobiacej na túto časť vlaku potom bude:
Nás však zaujíma len zložka rovnobežná s kopcom, takže dostávame výslednú silu:
Ktorá urýchluje celý vlak hmotnosti formula_48, zodpovedá teda zrýchleniu:
Alebo:
Čo je rovnica harmonických kmitov, pre ktorých periódu dostávame vzťah:
Medzi rovnovážnou polohou (v našom prípade čas, kedy začal vlak liezť na kopec) a maximálnou výchylkou (čas kedy sa nachádzala lokomotíva v najvyššom bode svojej dráhy) uplynie pri harmonických kmitoch jedna štvrtina periódy. Ale to je presne hľadaný čas a dostávame riešenie úlohy:
Voda v L trubici
Dve ramená trubice tvaru L s prierezom formula_83 sú oddelené prepážkou. Zvislé rameno je naplnené vodou až do výšky formula_84. Zrazu prepážku odstránime, za aký čas vytečie zo zvislého ramena všetka voda?
Riešenie:
Rozoberme situáciu v momente, keď je hladina vody v zvislej trubici v určitej výške formula_72. Na časť vody nachádzajúcu sa vo zvislej časti trubice pôsobí v smere pohybu tiažová sila veľkosti:
Na zvyšok vody nemá tiažová sila žiaden pohybový účinok, keďže je kolmá na smer pohybu vody (vykompenzuje sa s reakciou trubice). Sila formula_87 teda spôsobuje všetko zrýchlenie vody, ktorej hmotnosť je: formula_88, zrýchlenie je teda:
Alebo:
Čo je rovnica harmonických kmitov, pre ktorých periódu dostávame vzťah:
Medzi rovnovážnou polohou (v našom prípade čas, kedy vytečie všetka voda) a maximálnou výchylkou (čas kedy sa nachádzala hladina vody v zvislej trubici vo výške formula_84) uplynie pri harmonických kmitoch jedna štvrtina periódy. Ale to je presne hľadaný čas a dostávame riešenie úlohy: