Mocninová funkcia

Mocninová funkcia je typ elementárnej matematickej funkcie jednej premennej, v ktorej vystupuje len jeden člen s mocninou. Mocninová funkcia je špeciálnym prípadom polynomickej funkcie. Najznámejším príkladom mocninovej funkcie je špeciálny prípad kvadratickej funkcie. Podľa stupňa mocniny premennej sa rozlišujú mocninové funkcie rôznych druhov. V začiatkoch budovania matematickej teórie o funkciách boli predmetom skúmania práve mocninové funkcie, z ktorých bolo odvodené množstvo vlastností a vzťahov. K mocninovým funkciám sa neskôr pridružili aj ďalšie funkcie a spolu vytvorili skupinu pod názvom elementárne funkcie. Pomocou základných mocninových funkcií je možné modelovať veľmi veľa jednoduchých situácii a javov. Svoje opodstatnenie našli v samotnej matematike, vo fyzike, ekonómii a v mnohých ďalších oblastiach.
Krajne asymetrickým rozdelením/rozložením sa zaoberal napr. český geograf, demograf a štatistik Jaromír Korčák v dielach "Deux types fondamentaux de distribution statistique" (1938) alebo 
"Přírodní dualita statistického rozložení" (1941).
Definícia.
Nech formula_1. Potom predpis
formula_2
nazývame mocninová funkcia s reálnym mocniteľom. Ak formula_3 potom ide o mocninovú funkciu so záporným celočíselným mocniteľom. Ak formula_4 ide o mocninovú funkciu s kladným celočíselným mocniteľom alebo s prirodzeným mocniteľom.
Druhy mocninových funkcií.
Mocninové funkcie sa rozlišujú podľa stupňa mocniny premennej, ktorú obsahujú. Lineárna a konštantná funkcia sú špeciálnym prípadom mocninovej funkcie. Obvykle sa ale v definícii týchto funkcii nepíšu mocniny. V nasledovnej tabuľke sú mocninové funkcie s ich názvami nanajvýš tretieho stupňa:
Vlastnosti mocninových funkcií.
Vlastnosti mocninových funkcií sú závislé od stupňa mocniny. Grafy tohto typu funkcií sú rôzne, čo závisí opäť od veľkosti a druhu mocniteľa. Napríklad parabola alebo hyperbola. Mocninové funkcie s kladným mocniteľom majú tú spoločnú vlastnosť, že všetky prechádzajú začiatkom sústavy súradníc. Ostatné vlastnosti sa navzájom líšia. Keďže vlastnosti závisia od mocniteľa, je lepšie obmedziť sa na funkcie s celočíselným párnym resp. nepárnym mocniteľom.
Funkcia s kladným párnym mocniteľom.
formula_5
formula_6
Funkcia s kladným nepárnym mocniteľom.
formula_7
formula_8
Funkcia so záporným párnym mocniteľom.
formula_9
formula_10
Funkcia so záporným nepárnym mocniteľom.
formula_11
formula_12
Funkcia má dve asymptoty. Prvá - vodorovná je os formula_13 a druhá - zvislá je os formula_14
Mocninové funkcie a polynómy.
Súčtom viacerých mocninových funkcií vznikne polynóm určitého stupňa. Spravidla sa označuje symbolom formula_15, kde formula_13 označuje premennú. Stupeň polynómu sa určí podľa najvyššej mocniny, ktorú obsahuje. Polynómy tvoria nadradenú skupinu funkcií k mocninovým, nazvanú polynomické funkcie.
Nech formula_17 sú mocninové funkcie takého stupňa, aký majú index. Potom zápis
formula_18
kde koeficienty formula_19 sú ľubovoľné reálne čísla, nazývame polynóm formula_20-teho stupňa.
Mocninové rady.
Definícia.
Mocninovým radom rozumieme rad funkcií v tvare
formula_21
respektíve
formula_22
kde formula_23.
Polomer konvergencie mocninového radu.
Ak mocninový rad konverguje v bode formula_24, potom absolútne konverguje pre všetky formula_25, pričom najväčšiu vzdialenosť bodu formula_26 od počiatku (píšeme formula_27) nazývame polomerom konvergencie formula_28. Vždy platí, že formula_29. K určeniu polomeru konvergencie sa používajú klasické metódy pre konvergenciu nekonečných číselných radov. Ak je polomer konvergencie nenulový, potom je súčet mocninového radu spojitá funkcia v formula_30.
Vlastnosti mocninových radov.
Ak platí, že pre ľubovoľné formula_31 konverguje rad formula_32, potom taktiež konverguje rad formula_33. Hovoríme, že mocninový rad sa dá derivovať člen po člene.
Taktiež platí, že 
na ľubovoľnom intervale formula_35 a hovoríme, že mocninový rad možno integrovať člen po člene.
Mocninové funkcie a infinitezimálny počet.
Derivácia mocninovej funkcie je definovaná ako limita
formula_36
Odvodenie derivácie mocninovej funkcie.
Všeobecné odvodenie sa uskutoční výpočtom vyššie uvedenej limity
formula_37
Primitívna funkcia k mocninovej funkcii.
Pre mocninové funkcie platí
formula_38
Tento integrál sa nazýva aj tabuľkový integrál. Primitívna funkcia k mocninovej funkcii je od nej o jeden stupeň vyššia (hodnota mocniny sa zvýši o jeden stupeň). To znamená, že primitívna funkcia k lineárnej je kvadratická, ku kvadratickej je kubická atď. Špeciálnym prípadom je nepriama úmernosť, kde primitívna funkcia vyzerá nasledovne
formula_39
Určitý integrál mocninovej funkcie.
Nech formula_40. Potom určitým integrálom mocninovej funkcie rozumieme číslo
formula_41
V prípade nepriamej úmernosti
formula_42
Aplikácie mocninových funkcií.
Pomocou mocninových funkcií je možné modelovať rôzne jednoduché situácie z bežného života. Príkladom môžu byť ekonomické aplikácie, fyzikálne aplikácie i aplikácie priamo v matematike. 
Aplikácie vo fyzike.
Jednoduchou, ale významnou fyzikálnou aplikáciou mocninových funkcií je opis dráhy telesa pri voľnom páde. Tento jav popisuje funkcia
formula_43
kde formula_44 je gravitačná konštanta. Podľa druhu mocninovej funkcie ide o kvadratickú funkciu, kde ako premenná vystupuje čas - formula_45.
Aplikácie v matematike.
V matematike by sa dala aplikácia hľadať pri výpočtoch obsahov a objemov. Aby vznikla funkcia jednej premennej, je možné opísať závislosť obsahu štvorca od veľkosti jeho strany. Tento jav sa dá popísať funkciou obsahu štvorca
formula_46
Ide o kvadratickú funkciu, kde premenná je formula_47 a vyjadruje dĺžku strany štvorca. Iný príklad by bol na výpočet obsahu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Táto funkcia je
formula_48
Aplikácia kubickej funkcie by sa dala hľadať pri výpočte objemu kocky a táto funkcia potom vyzerá nasledovne
formula_49
Podobne ako pri trojuholníku, z funkcie objemu kocky by sa dala vyjadriť funkcia objemu ihlana. Zovšeobecnením predchádzajúceho je možné zistiť, že všetky matematické vzorce pre výpočet nejakej kvantity, sú závislé od hodnôt, ktoré do vzťahu dosadzujeme. Všetky tieto predpisy sú teda funkcie a hodnoty, ktoré sa do nich dosadzujú, sú chápané ako premenné.
Aplikácie nepriamej úmernosti možno hľadať v praktických situáciách. Nepriama úmernosť vyjadruje taký vzťah dvoch veličín, že nárast jednej spôsobí pokles druhej a opačne. Všeobecne sa problémové úlohy nepriamej úmernosti riešia cez tzv. trojčlenku. Jednoduchý príklad objasňuje základný princíp nepriamej úmernosti: Auto prejde pri rýchlosti /h určitú vzdialenosť za 30 minút. Ako dlho by autu trvala rovnaká cesta, ale pri rýchlosti /h? Zostavením trojčlenky
formula_50
Výpočtom danej rovnice dostávame výsledok, že auto prejde pri rýchlosti /h danú vzdialenosť za 25 minút. Na trojčlenku sa dá pozrieť aj všeobecnejšie. Ak by sme potrebovali opakovať ten istý algoritmus s inou rýchlosťou, potom treba zopakovať celý výpočet trojčlenky. Jednoduchým odvodením všeobecného vzťahu je možné vyhnúť sa počítaniu cez trojčlenku a chápať zápis ako funkciu:
formula_51
Úpravami získame funkciu
formula_52
kde za premennú formula_13 dosadzujeme konkrétnu rýchlosť a získame tak hodnotu formula_54, ktorá vyjadruje počítaný čas. Z matematického hľadiska ide o mocninovú funkciu - nepriamu úmernosť a číslo 3000 nazýva koeficient nepriamej úmernosti formula_20.