Gromovov-Wittenov invariant

Gromovove-Wittenove invarianty (GW) sú v matematike (konkrétne v sympletickej topológii a algebrickej geometrii) racionálne čísla, ktoré za istých situácií počítajú pseudohomologické krivky spĺňajúce predpísané podmienky za danej sympletickej priestorovosti. GW invarianty môžu byť zhrnuté ako homologická alebo kohomologická trieda vo vhodnom priestore, alebo ako deformovaný združený (cup) výsledok kvantovej kohomológie. Tieto invarianty sa používajú na rozlíšenie sympletických priestorovostí, ktoré boli predtým nerozlíšiteľné. Hrajú taktiež zásadnú úlohu v uzavretom type teórie strún IIA. Sú pomenované po Michailovi Gromovovi a Edwardovi Wittenovi. 
Rigorózna matematická definícia Gromovových-Wittenových invariantov je zdĺhavá a zložitá a tak bude predmetom samostatného článku s názvom stabilná mapa. Tento článok sa pokúsi o viac intuitívne vysvetlenie toho čo invarianty sú, ako sa počítajú a prečo sú dôležité. 
Definícia.
Majme uzavretú sympletickú priestorovosť formula_1 o rozmere formula_2. Nech formula_3 je dvojrozmerná homologická trieda v formula_1, a formula_5 a formula_6 akékoľvek prirodzené čísla (vrátane nuly). Nech formula_7 je Deligne-Mumfordov moduli priestor kriviek s génom formula_5 s formula_6 vyznačenými bodmi. Pre vybranú takmer komplexnú štruktúru "J" na "X" kompatibilnú s jej sympletickou formou, nech formula_10 je moduli priestor stabilných máp do formula_1 triedy formula_3. Elementy tohto priestoru majú formu formula_13, kde formula_14 je (nie nutne stabilná) krivka s "n" vyznačenými bodmi formula_15 a formula_16 je pseudoholomorfná. Moduli priestor má reálny rozmer 
Nech
označuje stabilizáciu krivky . Nech
majúce reálny rozmer formula_20. Existuje evaluačná mapa 
definovaná prostredníctvom
Evaluačná mapa posiela fundamentálnu triedu formula_23 do formula_24-dimenzionálnej racionálnej homologickej triedy v formula_25, označovanom
V istom zmysle je táto homologická trieda Gromovovým-Wittenovým invariantom formula_1 pre údaje formula_5, formula_6 a formula_3. . Je invariantom sympletickej izotopnej triedy sympletickej priestorovosti formula_1.
Pre geometrickú interpretáciu Gromovovho-Wittenovho invariantu, nech formula_32 je homologická trieda v formula_7 a formula_34 homologické triedy v formula_1 tak, že suma kodimenzií formula_36 rovná sa formula_24. Tieto uvádzajú homologické triedy v formula_25 podľa Künnethovho vzorca. Nech
kde formula_40 označuje priesečníkový produkt v racionálnej homológii formula_25. Toto je racionálne číslo, Gromovov–Wittenov invariant pre dané triedy. Toto číslo dáva "virtuálny" počet preudohomologických kriviek (v triede formula_3 génu formula_5, s doménou v formula_32-časti Delignovho-Mumfordovho priestoru), ktorých formula_6 vyznačené body sú mapované na cykly reprezentujúce formula_46.
Povedané jednoduchou rečou, GW invariant ráta, koľko je kriviek, ktoré pretínajú formula_6 vybraných podmnožín priestorovosti formula_1. Avšak, v dôsledku "virtuálnej" povahy počtu, nemusí to byť prirodzené číslo ako by niekto očakával. Keďže priestor stabilných máp je mnohovrstvý (orbifoldný), ktorého izotropné body môžu poskytovať necelé hodnoty pre invarianciu.
Existuje mnoho variácií tejto konštrukcie, v ktorej sa namiesto homológie používa kohomológia, integrácia nahradzuje priesečník, Chernove triedy odvodené z Deligne-Mumfordovho priestoru sú taktiež integrované, atď.
Výpočtové techniky.
Gromovove-Wittenove invarianty sa vo všeobecnosti ťažko počítajú. Keďže sú definované pre akékoľvek vo všeobecnosti takmer komplexné štruktúry formula_49, pre ktoré je linearizácia formula_50 operátora 
formula_51 surjektívna, musia byť v skutočnosti počítané s ohľadom na špecifické vybraté formula_49. Najvhodnejšie je vybrať formula_49 so špeciálnymi charakteristikami, ako sú nevšeobecné symetrie alebo integrovateľnosť. Výpočty sa skutočne často vykonávajú na Kählerových priestorovostiachpoužívajúcich techniky algebrickej geometrie.
Avšak, špeciálne formula_49 môže indukovať nesurjektívne formula_50 a tým moduli priestor pseudoholomorfických kriviek, ktorý je väčší ako očakávaný. Voľne povedané, tento efekt sa koriguje formovaním z kokernelu formula_50vektorového zhluku nazývaného obštrukčný zhluk a následne realizáciou GW invariantu ako integrálu Eulerovej triedy obštrukčného zhluku. Vytvorenie presnej predstavy si vyžaduje značný technický argument za použitia Kuranishiho štruktúr polyzhlukov.
Hlavnou výpočtovou technikou je lokalizácia. Táto sa aplikuje,keď formula_1 je tórické, čo znamená, že sa s ním narába pomocou komplexného torusu alebo aspoň lokálne tóricky. Potom je možné použiť Atiyah-Bottovu teorému fixného bodu autorov Michael Atiyah, Raoul Botta na zredukovanie alebo lokalizáciu, výpočet GW invariantu pre integráciu na lokuse fixného bodu akcie.
Ďalší prístup je použiť sympletické rezy na vztiahnutie formula_1 na jeden alebo viacero priestorov, ktorých GW invarianty sa počítajú ľahšie. Samozrejme, je potrebné najskôr porozumieť tomu, ako sa invarianty v rezoch správajú. Pre takéto aplikácie sa často používajú rozvinutejšie relatívne GW invarianty, ktoré počítajú krivky s predpísanými podmienkami tangencie spolu so sympletickými podmnožinami priestorovostí formula_1 reálnej kodimenzie dva.
Príbuzné invarianty a ďalšie konštrukcie.
Gromovove-Wittenove invarianty sú úzko spojené s množstvom ostatných konceptov v geometrii, vrátane Donaldsonových invariantov a Seibergových-Wittenových invariantov. Pre kompaktnú sympletickú metódu štvorrozmanitosti Clifford Taubes ukázal, že varianty Gromov-Wittenových invariantov (pozri Taubes-Gromovov invariant) sú ekvivalentné Seiberg-Wittenovým invariantom. Ich priesečníky obsahujú rovnaké informácie ako Donaldson-Thomasove invarianty a Gopakumar-Vafove invarianty, ktoré sú vyčíslené v integer hodnotách.
GW invarianty môžu byť definované taktiež pomocou jazyka algebrickej geometrie. V niektorých prípadoch GW invarianty súhlasia s klasickými vypočítavanými invariantami algebrickej geometrie. Avšak, vo všeobecnosti majú GW invarianty omnoho väčšiu výhodu nad vypočítavanými invariantami a to v existencii kompozičného zákona, ktorý popisuje, ako sa krivky k sebe navzájom prilínajú. GW invarianty môžu byť zahrnuté do kruhu kvantovej kohomológie rozmanitosti formula_1, ktorá je deformáciou obyčajnej kohomologógie. Kompozičný zákon GW invariantov je to, čo spôsobuje asociatívnosť združeného (cup) produktu.
Kruh kvantovej kohomológie je známy ako izmorfný pre sympletickú Floerovu homológiu so svojím produktom typu pár.
Aplikácia vo fyzike.
Gromovove-Wittenove invarianty sú so záujmom prijímané v teórii strún, odvetví fyziky, ktoré sa pokúša zjednotiť všeobecnú relativitu a kvantovú mechaniku. Podľa tejto teórie, všetko vo vesmíre, počínajúc elementárnymi časticami, je vytvorené z drobných strún. Ako struna cestuje v časopriestore, sleduje povrch, zvaný strunová schránka sveta. Žiaľ moduli priestor takýchto parametrizovaných povrchov, prinajmenšom "a priori" má nekonečnú veľkosť; nie je známe žiadne vhodné meradlo tohto priestoru a tak integrály ciest teórie nemajú rigoróznu definíciu.
Situácia sa zlepší vo variáciách známych ako uzatvorený A model topologickej teórie strún. Tu je šesť časopriestorových rozmerov, ktoré ustanovujú sympletickú priestorovosť a ukazuje sa, že svetové obálky sú nevyhnutne parametrizované pseudohomologickými krivkami, ktorých moduli priestory majú len konečné dimenzie. Gromov-Wittenove invarianty, ako integrály nad týmito moduli priestormi, sú potom integrálmi ciest tejto teórie. Obzvlášť, voľná energia A modelu pri géne formula_5 je generujúcou funkciou génu formula_5 Gromov-Wittenových invariantov.