Dvojková číselná sústava

Dvojková číselná sústava, novšie tiež binárna číselná sústava (z ) je číselná sústava, ktorá zapisuje hodnoty pomocou dvoch symbolov 0 a 1. Konkrétnejšie hovoríme o pozičnej číselnej sústave so základom dva. Vďaka jednoduchej implementácii v elektronických obvodoch (vypnuté a zapnuté) používajú dvojkovú sústavu prakticky všetky súčasné číslicové počítače. Jednotlivé cifry (0, 1) sa nazývajú bit, čo je základná jednotka informácie.
Prevod hodnôt.
Na prevod z jednej sústavy do inej možno použiť jednu z nasledovných metód:
Z binárnej do desiatkovej sústavy (substitučná metóda).
Ak máme zadané číslo v dvojkovej sústave pomocou číslic x0, x1... xk potom jeho hodnotu v desiatkovej sústave získame tak, že číslo rozpíšeme v dvojkovej sústave na polynóm a potom ho vyčíslime v desiatkovej:
formula_1
Príklad: 
 (11010110)B = 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 == 1 · 128 + 1 · 64 + 0 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1 = 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214
Číslo 11010110 v dvojkovej sústave je 214 v desiatkovej sústave (stačí sčítať tie sčítance, ktoré sú násobené 1).
Z desiatkovej do binárnej sústavy (metóda delenia základom).
Ak chceme previesť číslo z desiatkovej sústavy do dvojkovej sústavy, musíme číslo deliť základom sústavy – číslom 2, až pokiaľ nedostaneme podiel rovný nule. Po každom delení zapíšeme zvyšok, pričom zvyšok po prvom delení je cifra najnižšieho (nultého) rádu, zvyšok po druhom delení udáva cifru prvého rádu atď.
Príklad:
 215 : 2 = 107; zv. 1107 : 2 = 53; zv. 153 : 2 = 26; zv. 126 : 2 = 13; zv. 013 : 2 = 6; zv. 16 : 2 = 3; zv. 03 : 2 = 1; zv. 11 : 2 = 0; zv. 1
Číslo 215 v desiatkovej sústave je 11010111 (zvyšky zapísané v poradí zdola hore) v binárnej sústave.
Z desiatkovej do binárnej sústavy (metóda násobenia základom).
Ak chceme číslo zapísané v desiatkovej sústave vyjadriť v dvojkovej sústave, rozložíme ho na súčet postupne znižujúcich sa mocnín dvojky a číslicou 1 alebo 0 zaznamenáme ich výskyt alebo absenciu. Napríklad pri čísle 215 postupujeme takto: 
Príklad:
 215 = 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 == 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 11010111
Číslo 215 v desiatkovej sústave je 11010111 v binárnej sústave.
Kódovanie záporných čísel.
V dvojkovej číselnej sústave je možné záporné čísla reprezentovať viacerými spôsobmi, pričom medzi najčastejšie patria: priamy kód, inverzný kód a doplnkový kód.
Priamy kód.
Zápis priamym kódom znamená, že znak + alebo − vložíme priamo do kódu čísla, ktoré zapisujeme. Prvý (najvýznamejší) bit čísla, ktoré zapisujeme teda dostane hodnotu podľa toho, či je číslo kladné alebo záporné. 0 na začiatku čísla znamená, že bude kladné a 1 znamená, že bude záporné. Táto metóda má svoju nevýhodu v tom, že hodnota, ktorú môžeme vyjadriť n-počtom bitov sa zmenší, keďže jeden bit používame na znamienko. Bez znamienka môžeme vyjadriť hodnoty od 0 po 2n−1, priamym zápisom  môžeme vyjadriť interval od −2n−1 po 2n−1.
Inverzný kód.
Zápis inverzným kódom nadväzuje na zápis priamym kódom, ale rieši problém nižších hodnôt. Najvýznamejší bit stále vyjadruje znamienko čísla, ale zároveň má stále svoju číselnú hodnotu. Takže najvýznamejší bit čísla s n bitmi má hodnotu −(2n−1−1).
formula_2
formula_3
Doplnkový kód.
Doplnkový kód je často používaný a výhodný pri aritmetických operáciách s binárnymi číslami, pretože umožňuje využitie rovnakej logiky pre realizáciu inkrementácie, dekrementácie, sčítania, odčítania a násobenia pre kladné aj záporné čísla a netrpí problémom viacznačnej reprezentácie nuly.
Rovnako ako pri ostatných zápisoch, najvýznamnejší bit priamo reprezentuje znamienko (0 – kladné číslo alebo nula, 1 – záporné číslo). K celému zápisu čísla sa dostaneme tromi krokmi – v príklade nižšie je uvedený zápis čísla −28 v 8-bitovom dvojkovom doplnkovom kóde.
1) Zapíšeme kladné číslo v dvojkovej sústave.
formula_4
2) Číslo binárne znegujeme – jednotky prepíšeme na nuly a nuly na jednotky.
formula_5
3) Pripočítame 1.
formula_6
Výsledok:
formula_7
Aritmetické operácie.
V dvojkovej sústave používame základné operácie, ako v desiatkovej: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.
Sčítanie.
Keďže v dvojkovej sústave pracujeme len s číslicami 0 a 1, existujú len 4 základné operácie sčítania.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10  (0 a 1 zostala, prenáša sa do vyššieho rádu)
Sčítaním 1 a 1 vznikne 0 a 1 sa prenesie do ďalšieho stĺpca (vyššieho rádu). Tak isto, ako keď pri sčítaní v desiatkovej sústave prekročíme desať a zostane jeden.
V tomto príklade prebehli nasledujúce operácie:
1 + 1 = 0, 1 zostala;
1 + 0 + 1 = 0, 1 zostala;
1 + 1 + 1 = 1, 1 zostala;
0 + 0 + 1 = 1 ;
0 + 1 = 1 .
Na úrovni hardvéru sa sčítanie čísel v dvojkovej sústave realizuje binárnou sčítačkou, tvoriaciou súčasť aritmeticko-logických jednotiek procesorov.
Dejiny.
Prvý známy opis číselnej sústavy pozostávajúcej len z dvoch znakov zaviedol staroindický matematik Pingala v 3. storočí pred Kr. Táto sústava však neobsahovala nulu.