Prirodzené číslo

Pojem prirodzené číslo može znamenať buď kladné celé číslo (1, 2, 3...) alebo nezáporné celé číslo (0, 1, 2, 3...). Prirodzené čísla majú dve hlavné použitia: počítanie ("na stole sú 3 jablká") alebo poradie ("toto je 3. najväčšie mesto na Slovensku"). Vlastnosti prirodzených čísel súvisiace s deliteľnosťou (ako napr. rozdelenie prvočísel) študuje teória čísel. Problémy, s ktorými sa stretávame pri počítaní (ako napr. Ramseyova teória), študuje kombinatorika. (Pozn.: Už uvedený význam prirodzených čísel nie je matematická definícia, pretože zvyčajne všetky ostatné čísla sa definujú pomocou prirodzených, čo by viedlo k definícii kruhom. Korektné matematické definície sú uvedené nižšie.)
História prirodzených čísel a príslušnosť čísla nula.
Prirodzené čísla majú podľa všetkého pôvod v slovách, ktoré sa používali na počítanie vecí, začínajú číslom jedna.
Prvý veľký pokrok smerom k abstrakcii bolo použitie číslic na reprezentovanie čísel. Systém číslic umožnil zapisovať veľmi veľké čísla. Napríklad v Babylone vyvinuli silný pozičný systém založený na čísliciach pre 1 a 10. Starovekí Egypťania mali číselný systém s rôznymi hieroglyfmi pre 1, 10 a všetky mocniny čísla 10 až do miliónu. Zárezy na kameňoch z Karnaku, datované približne z roku 1500 pred Kr. (teraz uložené v Louvre v Paríži), zobrazujú číslo 276 ako 2 stovky, 7 desiatok a 6 jednotiek (podobne pre číslo 4622).
Ďalší krok k abstrakcii sa udial oveľa neskôr. Bola ním myšlienka nuly ako čísla s vlastnou číslicou. Číslica nula bola používaná v pozičných číselných systémoch už okolo roku 700 pred Kr. Babylončanmi, ale nikdy sa nepoužívala samostatne. Civilizácie Olmekov a Mayov používali nulu ako samostatné číslo okolo prvého storočia pred Kr., ale tento zvyk sa nikdy nerozšíril za hranice Mezoameriky. Koncept nuly, tak ako je to v súčasnosti, má pôvod v Indii a môžeme ho pozorovať u matematika Brahmaguptu v roku 628. Tak či tak, nulu používali ako číslo všetci stredovekí kalkulátori ("živé kalkulačky") počnúc Dionysiom Exiguusom v roku 525, ale vo všeobecnosti pre ňu neexistovala žiadna rímska číslica. Namiesto toho sa používalo slovo označujúce "nič" ("nullae").
Prvé systematické štúdium čísel ako abstrakcií (t. j. ako abstraktných entít) za zvyčajne pripisuje starovekým gréckym filozofom, konkrétne Pytagorovi a Archimedovi. Ale podobné štúdium prebiehalo približne v rovnakom čase paralelne v Indii, Číne a Mezoamerike.
V devätnástom storočí bola vyvinutá prvá definícia prirodzených čísel založená na teórii množín. V rámci tejto definície je pohodlnejšie zahrnúť nulu (zodpovedajúcu prázdnej množine) medzi prirodzené čísla. Táto konvencia je dnes bežná v teórii množín, logike, diskrétnej matematike a informatike. V iných odvetviach matematiky, ako napr. v teórii čísel, je tento zvyk menej badateľný a častejšie sa používa staršia tradícia, ktorá nezahrňovala nulu ako prirodzené číslo.
Notácie.
Matematici používajú zvyčajne na označenie množiny prirodzených čísel symbol veľkého písmena N v latinke (najčastejšie sádzané tučne N alebo tzv. matematickým tabuľovým fontom formula_1. Táto množina je nekonečná množina, ale spočítateľná (z definície).
Na predídenie nejednoznačnosti či autor považuje nulu za prirodzené číslo alebo nie sa niekedy pridáva dolný index "0" v prvom prípade (t. j. ak nula "je" zahrnutá medzi prirodzené čísla), či horný index "*" v druhom prípade (t. j. ak "nie je"):
Formálne definície.
Historicky sa exaktné matematické definície prirodzených čísel rodili s veľkými ťažkosťami. Peanove axiómy špecifikujú podmienky, ktoré musia spĺňať všetky úspešné definície prirodzených čísel. Isté konštrukcie (ako napr. v teórii množín, teórii modelov) ukazujú, že (aspoň jedna) štruktúra vyhovujúca Peanovým axiómom existuje.
Peanove axiómy.
Je dôležité si uvedomiť, že "0" v Peanových axiómach nemusí nutne zodpovedať číslu nula tak, ako ho bežne poznáme. "0" je jednoducho symbol nejakého objektu, ktorý spolu s vhodnou funkciou nasledovníka vyhovuje Peanovým axiómam. Existuje veľa rôznych systémov, ktoré im vyhovujú, "klasická" množina prirodzených čísel je len jedna z nich (a to aj nezávisle či rátame od nuly alebo jednotky).
Konštrukcie založené na teórii množín.
Štandardná konštrukcia.
V teórii množín sa prirodzené čísla definujú nasledovnou štandardnou konštrukciou: