Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu

Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu (alebo základná veta infinitezimálneho počtu, základná veta kalkulu) je jednou z najdôležitejších viet matematickej analýzy, ktorá určuje príbuzenstvo medzi hlavnými operáciami infinitezimálneho počtu, derivovaním a integrovaním. Skladá sa z dvoch častí.
Podľa prvej základnej vety infinitezimálneho počtu derivácia neurčitého integrálu funkcie formula_1 je funkcia formula_1. Táto časť garantuje existenciu primitívnej funkcie pre každú spojitú funkciu.
Druhá základná veta infinitezimálneho počtu umožňuje vypočítať určitý integrál funkcie použitím hociktorej z jej nekonečného množstva primitívnych funkcií. Má obrovské množstvo praktických aplikácií, keďže výrazne zjednodušuje počítanie určitého integrálu.
Fyzikálna intuícia.
Základná veta infinitezimálneho počtu hovorí, že súčet všetkých infinitezimálnych zmien nejakej veličiny za čas (alebo inú veličinu) je rovný celkovej zmene tejto veličiny.
Nech častica pohybujúca sa priamočiarym pohybom má funkciu pozície "x"("t") (je vo vzdialenosti "x" v čase "t"). Derivácia tejto funkcie je rovná infinitezimálnej zmene veličiny, "dx", za infinitezimálnu zmenu času, "dt" (derivácia je teda tiež závislá na čase). Táto zmena vzdialenosti za zmenu času je rýchlosť "v"("t") tejto častice. Leibnizovým zápisom:
Preusporiadaním tejto rovnosti dostávame:
Z predchádzajúcich tvrdení vyplýva, že zmena veličiny "x" (alebo Δ"x") je súčtom infinitezimálnych zmien "dx", a je tiež rovná súčtu infinitezimálnych súčinov derivácie a času. Tento súčet nekonečného množstva infinitezimálnych zmien je integrál; preto proces integrácie umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej derivácie. Dá sa ukázať, že to platí aj naopak: proces derivovania umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej neurčitého integrálu.
Geometrická intuícia.
Nech je formula_5 spojitá funkcia, ktorej grafom je krivka. Definujeme funkciu formula_6 tak, že pre každé formula_7 určíme hodnotu výrazu formula_6 ako obsah plochy pod krivkou formula_9 medzi formula_10 až formula_7
Obsah plochy pod krivkou medzi formula_7 a formula_13 môže byť vypočítaný ako rozdiel formula_14. Obsah obdĺžnika so stranami formula_9 a formula_16 je tiež približne rovný tejto hodnote:
Je zrejmé, že presnosť je tým väčšia, čím menšie je formula_16. Ak sa formula_16 limitne približuje k nule, výrazy sú si rovné.
Delením obidvoch strán rovnosti hodnotou formula_16 dostávame:
Keď formula_22, pravá strana prechádza na deriváciu funkcie plochy formula_6, takže môžeme neformálne ukázať, že formula_24, teda že derivácia funkcie plochy formula_6 je pôvodná funkcia formula_9 (funkcia plochy je primitívnou funkciou pôvodnej funkcie).
Počítanie derivácie funkcie a hľadanie obsahu plochy pod krivkou funkcie sú teda inverzné operácie. Toto je kľúčom Základnej vety infinitezimálneho počtu.
Formálne vyjadrenie.
Jednoducho povedané prvá časť hovorí o derivácii primitívnej funkcie a druhá časť o príbuzenstve primitívnej funkcie a určitého integrálu.
Prvá časť.
Nech formula_27 je reálna funkcia definovaná na uzavretom intervale formula_28 tak, že pre všetky formula_29 platí
kde formula_1 je spojitá reálna funkcia definovaná na intervale formula_28. Potom aj formula_27 je spojitá na intervale formula_28, derivovateľná na otvorenom intervale formula_35, a
pre všetky formula_37.
Dôkaz.
Pre dané "f"("t") definujme funkciu "F"("x") takto
Pre každé dve čísla "x"1 a "x"1 + Δ"x" v intervale formula_28 máme
a
Odčítaním prvej rovnice od druhej:
Dá sa ukázať, že
Z tohoto vidíme že tieto dve integrály môžu byť spočítané (pozri vlastnosti integrálov)
Substitúciou do (1) dostávame
Podľa vety o strednej hodnote pre integrály existuje také "c" v formula_46, že
Substitúciou do (2) dostávame
Predelením oboch strách Δ"x"
Spravme limitu pre Δ"x" → 0 na oboch stranách rovnice
Výraz na ľavej strane rovnice je definícia derivácie funkcie "F" v "x"1.
Na nájdenie druhej limity použijeme vetu o zovretí. Číslo "c" je v intervale formula_46, takže "x"1 ≤ "c" ≤ "x"1 + Δ"x".
Taktiež formula_53 a formula_54
Preto, podľa vety o zovretí
Substitúciou do (3) dostávame
Funkcia "f" je spojitá v bode "c", takže limita je vnútri funkcie. Z toho
čo bolo treba dokázať.
Následok.
Základná veta sa často používa na výpočet určitého integrálu funkcie "ƒ", ktorej primitívna funkcia formula_58 je známa. Ak teda "ƒ" je reálna funkcia definovaná na intervale formula_28 a formula_58 je v tomto intervale jej primitívnou funkciou, potom
Následok predpokladá spojitosť na celom intervale.
Dôkaz.
Nech  formula_62  s "ƒ" spojitou v formula_28. Ak "g" je primitívna funkcia k "ƒ", potom "g" aj "F" majú tú istú deriváciu (podľa "prvej časti" tejto vety). Ďalej existuje číslo "c" také, že , pre všetky "x" v formula_28. Nech , potom
čo znamená že "c" = − "g"("a"). Inými slovami "F"("x") = , a teda
Druhá časť.
Táto časť sa niekedy volá aj Newton-Leibnizova formula.
Nech formula_1 je reálna funkcia definovaná na uzavretom intervale formula_28 a formula_58 je jej primitívnou funkciou na tomto intervale, teda pre všetky formula_29 platí
Ak formula_1 je integrovateľná na intervale formula_28, potom
Pretože táto veta nepredpokladá spojitosť funkcie formula_1, je silnejšia, než následok prvej časti.
Ak primitívna funkcia formula_58 existuje, existuje ďalšie nekonečné množstvo primitívnych funkcií k funkcii formula_1, ktoré dostaneme pripočítanim ľubovoľnej konštanty (konštanty integrácie) ku formula_58. Táto konštanta sa zruší pri diferenciácii. Podľa prvej časti tiež platí, že ak je formula_1 spojitá, má vždy primitívnu funkciu.