Lebesgueov integrál

Lebesgueov integrál alebo L-integrál označuje v matematike definíciu určitého integrálu, založenú na teórii miery, konkrétne tzv. Lebesgueovej miery.
Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, čo v praxi znamená, že ak existuje Riemannov integrál, tak existuje tiež Lebesgueov integrál, pričom hodnoty oboch integrálov sú zhodné. Ak Riemannov integrál neexistuje, môže existovat integrál Lebesgueov. Opačné tvrdenie však neplatí (napr. Dirichletova funkcia, ktorej funkčná hodnota je 1 ak je argument racionálne číslo a je rovná 0 ak je argumentom iracionálne číslo, má Lebesgueov integrál, ale nemá Riemannov integrál).
Lebesgueov integrál je pomenovaný po francúzskom matematikovi Henri Lebesgueovi.
Konštrukcia integrálu.
Pri konštrukcii Lebesgueova integrálu postupujeme tak, že rozdelíme obor hodnôt ohraničenej funkcie formula_1 na malé intervaly. Už tu je vidieť rozdiel oproti Riemannovmu integrálu, pri ktorého konštrukcii sa delí definičný obor. Na intervale formula_2 teda zvolíme body formula_3, ktoré určujú určité delenie tohoto intervalu, ktoré označíme "d" . Ako formula_4 označíme množinu bodov formula_5, pre ktoré platí formula_6. Pre výpočet Lebesgueovho integrálu potrebujeme poznať Lebesgueovu mieru každej množiny formula_4, ktorú označíme formula_8. "Horný integrálny súčet" pri danom delení "d" potom vyjadríme vzťahom
"Dolný integrálny súčet" pri rovnakom delení "d" bude mať tvar
Pre každú ohraničenú funkciu, ktorá je na intervale formula_11 merateľná, je infimum množiny horných integrálnych súčtov, ktoré získame pre všetky možné delenia "d" intervalu formula_2, rovné supremu množiny všetkých dolných integrálnych súčtov, tzn.
Spoločnú hodnotu infima horných a suprema dolných integrálnych súčtov nazýváme Lebesgueovým integrálom funkcie formula_1 a zapisujeme formula_15, kde formula_16, prípadne formula_17. Pre zdôraznenie použitia miery možno tiež písať formula_18. Ak je nutné odlíšiť Lebesgueov integrál od integrálu Riemannovho, potom Lebesgueov integrál zapisujeme ako formula_19.
Ak existuje Lebesgueov integrál funkcie formula_1, potom o funkcii formula_1 hovoríme, že je "integrovateľná v Lebesgueovom zmysle". Ak je funkcia formula_1 integrovateľná v Riemannovom zmysle, je integrovateľná tiež v Lebesgueovom zmysle, pričom hodnoty oboch integrálov (Riemannovho a Lebesgueovho) sú si rovné. Opačné tvrdenie však neplatí, tzn. funkcia integrovateľná v Lebesgueovom zmysle nemusí byť integrovateľná v zmysle Riemannovom.
Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, pretože integrovať možno na ľubovolnej merateľnej množine. Je možné dokázať tvrdenie, že každá ohraničená merateľná funkcia je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle.
Lebesgueov integrál možno rozšíriť tiež na funkcie, ktoré nie sú ohraničené.
Máme funkciu formula_1, ktorá je merateľná na ohraničenej merateľnej množine formula_24, pričom táto funkcia môže byť neohraničená. Ak na formula_24 platí formula_26, potom môžeme zvoliť ľubovoľné formula_27 a definovať novú funkciu formula_28 takto
Funkcia formula_28 je merateľná, pretože tiež funkcia formula_1 je podľa predpokladu merateľná, a navyše je tiež ohraničená, takže je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle. Lebesgueov integrál (neohraničenej) funkcie formula_1 potom môžeme definovať vzťahom
Ak limita na pravej strane existuje, hovoríme, že integrál "konverguje". Ak je nevlastná alebo neexistuje, potom hovoríme, že integrál "diverguje".
Funkciu formula_1 môžeme tiež rozložiť na formula_36, kde 
Pomocu tohto rozkladu možno vyjadriť Lebesgueov integrál merateľnej funkcie formula_1.
Názorný príklad rozdielu medzi Lebesgueovým a Riemannovým integrálom.
Máme za úlohu sčítať peniaze, ktoré sme dostali od jednotlivých ľudí. Môžeme postupovať dvomi spôsobmi.