Moment zotrvačnosti

Moment zotrvačnosti alebo moment inercie telesa je fyzikálna veličina, ktorá vystupuje pri skúmaní jeho otáčavého pohybu. Je mierou náročnosti uvedenia telesa do otáčavého pohybu vzhľadom na os rotácie. Označujeme ju väčšinou formula_1 (v staršej literatúre to je väčšinou formula_2), jednotkou v SI je formula_3. Moment zotrvačnosti závisí od tvaru a hmotnosti telesa, ale aj od osi otáčania, ktorú si zvolíme.
Súvis medzi posuvným a otáčavým pohybom.
Zjednodušene sa dá povedať, že moment zotrvačnosti vystupuje vo vzťahoch pre otáčavý pohyb tam, kde vo vzťahoch pre posuvný pohyb vystupuje hmotnosť. Takže popri kinetickej energii posuvného pohybu formula_4 je kinetická energia rotačného pohybu formula_5 (formula_6 je uhlová rýchlosť otáčavého pohybu, ktorá nahradila rýchlosť posuvného pohybu formula_7). Podobne popri hybnosti posuvného pohybu formula_8 sa stretávame s momentom hybnosti telesa konajúceho otáčavý pohyb, ktorý sa vypočíta vzťahom formula_9. V neposlednom rade namiesto Newtonovho zákona pre posuvný pohyb formula_10 máme pre otáčavý pohyb tzv. druhú vetu impulzovú, podľa ktorej formula_11 (formula_12 je moment pôsobiacej sily, formula_13 je uhlové zrýchlenie telesa).
Výpočet momentu zotrvačnosti.
Úlohou momentu zotrvačnosti je za pomoci vzťahu formula_14 vyjadrovať kinetickú energiu otáčavého pohybu telesa. Táto kinetická energia otáčavého pohybu však nie je nič iné než súčet kinetických energií všetkých malých kúskov, na ktoré si skúmané teleso môžeme v mysli rozdeliť. Každú z nich pritom môžeme vypočítať pomocou vzťahu formula_15, kde formula_16 je hmotnosť daného malého kúska a formula_17 je jeho rýchlosť (malosť kúska je tu potrebná na to, aby sme mohli považovať rýchlosť všetkých jeho častí za približne rovnakú - pri otáčavom pohybe sa totiž časti telesa rôzne vzdialené od osi otáčania pohybujú rôznymi rýchlosťami). Rýchlosť každého kúska závisí od jeho vzdialenosti od osi otáčania formula_18 podľa vzťahu formula_19. Ak si teraz jednotlivé malé kúsky očíslujeme číslami od 1 do formula_20, celkovú kinetickú energiu otáčajúceho sa telesa môžeme napísať ako
Takýmto jednoduchým sčítaním sme sa od vzťahov pre kinetickú energiu posuvného pohybu dostali k vzťahu pre otáčavý pohyb, kde namiesto rýchlosti formula_7 vystupuje uhlová rýchlosť formula_6. Porovnaním so vzťahom formula_14 je jasné, že moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na danú os je vyjadrený súčtom v zátvorke, teda
Problém tu spočíva v tom, že telesá majú spojito rozloženú hmotnosť. Preto nie je možné ich rozdeliť na malý počet "malých častí" (spomeňme si, prečo bola tá malosť častí taká dôležitá) a jednoducho sčítať podľa predchádzajúceho vzťahu. Je nutné použiť integrálny počet, pomocou ktorého dokážeme zapísať moment zotrvačnosti spojito rozdeleného telesa vzťahom
pričom tu integrujeme cez celý objem telesa.
Jedno teleso však predsa len zvládneme aj z hlavy - je ním tenká obruč s polomerom formula_27 a hmotnosťou formula_28, ktorá sa otáča okolo osi kolmej na jej rovinu a prechádzajúcej stredom obruče. V tom prípade má totiž celá obruč rovnakú vzdialenosť od osi otáčania rovnú formula_27, nepotrebujeme ju preto vôbec deliť a priamo môžeme napísať formula_30. Momenty zotrvačnosti niekoľkých ďalších telies sú v nasledujúcom zozname.
Steinerova veta.
Ak chceme vypočítať moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os neprechádzajúcu ťažiskom, pričom poznáme moment zotrvačnosti formula_37 vzhľadom na s ňou rovnobežnú os, ktorá ťažiskom prechádza, môžeme si pomôcť Steinerovou vetou. Podľa nej ak je hmotnosť telesa formula_28 a vzdialenosť dvoch spomínaných osí formula_39, moment zotrvačnosti formula_1 vzhľadom na tú, ktorá neprechádza ťažiskom sa dá vypočítať pomocou vzťahu: