Pytagorova veta

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. 
Slovne sa veta dá formulovať takto:
Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou 
kde formula_2, formula_3 sú dĺžky odvesien a formula_4 je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.
Dejiny.
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).
Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: 
Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý. 
Zovšeobecnenie Pytagorovej vety.
Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami.
Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou. 
Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti formula_5 je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca formula_5-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou formula_5 a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.
Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore.
Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory formula_8, formula_9, formula_10, pre ktoré platí
Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka: 
kde formula_13 je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. 
Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku formula_14 s pravým uhlom pri vrchole formula_15 označíme
potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).
Dôkazy Pytagorovej vety.
Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich. 
Dôkaz číslo 1.
Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou formula_17 je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):
Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.
Dôkaz číslo 2.
Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.
Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:
Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí
a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare
Dôkaz číslo 3.
Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (formula_30 a formula_31, ktorý sa rovná uhlu formula_32) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné). 
Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov).
Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (formula_33 formula_34). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):
z uvedeného vyplýva, že
Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly formula_32 a formula_31 sú zhodné), že platí |formula_43| = |formula_44|. Ak formula_43 dosadíme do 3. rovnice na miesto formula_44, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |formula_47| = |formula_31|. Trojuholníky sú si teda podobné.
Samotný dôkaz.
Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že 
a rovnako platí aj
Z oboch rovníc potom vyplýva, že
Zo spomínaného obrázka vyplýva, že formula_52, čo po dosadení dá:
Pytagorejské čísla.
"Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla."
Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel formula_2, formula_3 a formula_4, pre ktoré platí formula_1. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.
Použitie pytagorejských čísel.
Ľahko zapamätateľná postupnosť pytagorejských čísel 3,4,5 ich predurčila pre požitie v stavebníctve, stolárstve a kedykoľvek, ak potrebujeme pomocou jednoduchých pomôcok overiť pravouhlosť veľkorozmerných telies. V takom prípade použijeme pravouhlý trojuholník, kde si na dvoch odvesnách vyznačíme dĺžky 3 a 4, a kontrolujeme ich preponu, či je 5. Užitočne sa využívajú aj podobné trojuholníky a pravouhlosť kontrolujeme napríklad pomocou rozmerov: 30 cm, 40cm a preponu 50cm, alebo trojice 60cm, 80 cm a 1 m, ...