Kvaternión

Kvaternióny (z ) sú v matematike nekomutatívnym rozšírením poľa komplexných čísel do štyroch rozmerov. Zvyčajne sa zapisujú v podobe
formula_1
kde koeficienty formula_2 sú reálne čísla a sú základné vektory alebo základné prvky. 
Prvýkrát kvaternióny opísal William Rowan Hamilton v roku 1843. Najprv boli považované za nevhodné a umelo vykonštruované objekty, pretože porušovali komutatívny zákon", ab" = "ba", postupne ale našli uplatnenie tak v teoretickej fyzike, ako aj v aplikovanej matematike (hoci sa často ich použitiu možno za určitú cenu vyhnúť pomocou vektorov). V skutočnosti je medzi kvaterniónmi a štvorrozmernými vektormi principiálny rozdiel: operácia delenia je medzi dvoma kvaterniónmi definovaná, zatiaľ čo medzi dvoma vektormi táto operácia vôbec neexistuje.
Definícia.
Zatiaľ čo komplexné čísla sú vytvorené z reálnych pridaním prvku "i" spĺňajúceho "i"2 = −1, kvaternióny sú vytvorené pridaním prvkov "i", "j" a "k" tak, že sú splnené nasledujúce vzťahy.
Každý kvaternión je lineárnou kombináciou prvkov 1, "i", "j" a "k", čo znamená, že ich možno zapísať ako "a" + "bi" + "cj" + "dk" kde "a", "b", "c" a "d" sú reálne čísla.
Príklad.
Nech
Potom (pri násobení sa využívajú vzťahy uvedené vyššie)
Základné vlastnosti.
Množina kvaterniónov sa v matematike typicky označuje písmenom formula_7 (podľa objaviteľa Hamiltona).
Kvaternióny sú asociatívna podielová algebra nad telesom reálnych čísel. Je na nich definované (pravé a ľavé) delenie a ako množina spolu so sčítanim, násobením a delením tvorí teleso. Je nekomutatívne, jeho centrum je formula_8.
Pre kvaternión formula_9 definujme jeho konjugáciu ako formula_10. Platí, že súčin formula_11
je nezáporné reálne číslo a je rovné nule iba pre nulový kvaternión formula_12.
Inverzný prvok ku kvaterniónu formula_13 je kvaternión formula_14 (delenie reálnym číslom formula_15 je definované po zložkách).
Norma kvaterniónu h sa definuje ako formula_16. Násobenie zachováva normu, t. j. pre kvaternióny h,q platí formula_17. Z toho vyplýva, že množina kvaterniónov normy 1 tvorí grupu. Táto množina je topologická sféra formula_18 a ako Liova grupa je izomorfná formula_19 (Jediné sféry, ktoré sú aj Liove grupy, sú formula_20 a formula_18).
Grupa automorfizmov kvaterniónov je izomorfná s formula_22 - grupou ortogonálnych matíc typu (3,3) s jednotkovým determinantom. Prvku formula_23 pridadíme automorfizmus formula_24, kde formula_25 a formula_26 pre formula_27. Podobne grupa všetkých automorfizmov a anti-automorfizmov je izomorfná s grupou formula_28 (grupou ortogonálnych matíc typu (n,n)).
Algebra kvaterniónov je izomorfná s Cliffordovou algebrou formula_29.
Príklady využitia.
Rotácia v R^3.
Každý kvaternión môžeme napísať v tvare formula_30, kde formula_31 a formula_32, kde formula_33 chápeme ako vektor v formula_34. Pre ľubovoľný "rýdzo imaginárny" kvaternión formula_33 a ľubovoľný kvaternión formula_36 platí, že formula_37 je opeť rýdzo imaginárny (t. j. vektor) a zobrazenie formula_38 je rotácia
v formula_34. Môžeme sa obmedziť na jednotkové kvaternióny formula_40. Potom platí:
Ku každej rotácii prislúchajú 2 jednotkové kvaternióny formula_13 a formula_46. To okrem iného dokazuje, že trojrozmerná sféra formula_18 je 2:1 nakrytie formula_22.
Zároveň je to najjednoduchší spôsob, ako rotáciu okolo nejakej osi v formula_34 spočítať (ak je napríklad z neznámych dôvodov nie príliš známy).
Rotácia v R^4.
Kvaternióny môžeme prirodzene stotožniť s prvkami priestoru formula_50. Pre ľubovoľnú dvojicu jednotkových kvaterniónov formula_51 je zobrazenie formula_52 rotácia v formula_53. Každej rotácii formula_50 prislúchajú takto práve dve dvojice jednotkových kvaterniónov formula_51 a formula_56. To objasňuje štruktúru grupy formula_57: plynie z toho hneď, že formula_58.
Platónske telesá v štvorrozmernom priestore.
Pomocou kvaterniónov možno nájsť niektoré platónske telesá v štvorrozmernom priestore. Prvým faktom, ktorý je potrebné si uvedomiť je, že žiadne platónske teleso sa nezmení, ak ho pootočíme tak, že každý vrchol prejde do vrcholu iného. Potom je potrebné si všimnúť, že ak máme štvorrozmerný vektor ("a","b","c","d") a priradíme mu kvaternión formula_59, potom ak sadu takých vektorov (kvaterniónov) vynásobíme "jednotkovým kvaterniónom", tak sa všetky tieto vektory iba otočia. (Sú násobené jednotkovým kvaterniónom, takže sa nezmení ich veľkosť, len smery, a to lineárne.) Potom si všimneme, že v kvaterniónoch existujú konečné grupy uzavreté voči násobeniu, ktoré majú nasledujúce členy:
Pre každú z týchto grúp potom platí, že ak násobíme členy grupy medzi sebou, výsledkom je opäť prvok danej grupy. To ale znamená, že každá grupa predstavuje vrcholy nejakého platónskeho telesa vo štvorrozmernom priestore! To preto, že práve vtedy, keď ide o platónske teleso, je splnená vlastnosť, že pri otočení daného telesa tak, aby sa vrchol dostal do vrcholu (čomu práve násobenie jednotkovými kvaterniónmi z danej grupy zodpovedá), zostane teleso rovnaké.