Nekonečno (matematika)

Nekonečno (aktuálne i potenciálne) patrí k základným pojmom v matematike. Potenciálne nekonečno znamená neustále prekonávanie ľubovoľnej hranice, zatiaľ čo aktuálne nekonečno je výsledkom abstrakcie absolútnej uskutočniteľnosti.
Nekonečno je v oblasti matematiky súhrnné označenie pre niekoľko rôznych konceptov, s ktorými sa narába vo viacerých oblastiach matematiky. V matematickej analýze sa nekonečno chápe väčšinou ako tzv. potenciálne nekonečno, ktoré je číslom na tzv. rozšírenej reálnej osi (niekedy tiež nazývané hyperreálne číslo, nekonečno však v žiadnom prípade nie je reálne číslo!). V teórii množín sa zas viac narába s tzv. aktuálnym nekonečnom, ktoré vyjadruje mohutnosť nekonečných množín.
Príklad nekonečnej množiny.
Úsečka.
Všimnime si, koľko má bodov nejaká úsečka U. Je ich
rozhodne viac ako 180, viac ako 1000, viac ako milión, viac ako
trilión; žiadnym akýmkoľvek väčším číslom sa nedopočítame. Hovoríme, že úsečka U má nekonečne mnoho bodov, že množina všetkých bodov na úsečke U je nekonečná.
Množina N.
Množina N všetkých prirodzených čísel je nekonečná množina (prirodzenými číslami rozumieme celé kladné čísla, t. j. čísla 1, 2, 3, 4, atď. až do nekonečna.), lebo prirodzených čísel je viac ako 5, je ich viac ako 857, viac ako tri miliardy... žiadnym číslom sa ich nedopočítame.
História.
Práca s nekonečnom je v matematike vo všeobecnosti trochu chúlostivý pojem, v dávnej histórii považovaný za neriešiteľný. Zavedenie nekonečna do matematiky sa (aj napriek predchádzajúcim pokusom) spája s menami Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz a diferenciálnym a integrálnym počtom. Táto udalosť však u mnohých exaktne zmýšľajúcich matematikov zdvihla vlnu nevôle a trvalo až dlhé desaťročia, kým sa nekonečno v oblasti matematickej analýzy úplne zvládlo (čo sa týka korektnosti). Aj moderná teória množín je pomerne novým vynálezom a jej vznik sa spája až s menom Georg Cantor – t. j. s prelomom 19. a 20. storočia.
Matematické chápanie nekonečna.
Matematická analýza.
V matematickej analýze sa definuje tzv. rozšírená reálna os, čo je množina všetkých reálnych čísel spolu s kladným a záporným nekonečnom. Avšak táto množina (niekedy nazývaná aj hyperreálnymi číslami) sa používa len pri výpočte limít a od nich odvodených matematických konceptov (derivácia, integrál...), t. j. iba v prípade, keď treba matematicky vyjadriť, že nejaka veličina rastie, v resp. klesá nad/pod všetky medze – nekonečno v matematickej analýze je teda vyjadrením neohraničenosti nejakej veličiny.
Práve vďaka tejto vlastnosti „analytického“ nekonečna sa tento typ nekonečna často nazýva potenciálnym nekonečnom a prirovnáva sa k horizontu – stále sa pred nami vzďaľuje, ale nikdy ho nemôžeme dosiahnuť.
Teória množín.
V teórii množín sa zavádza pojem nekonečnej množiny – to je množina, pre ktorú neexistuje bijekcia medzi ňou a množinou {0,1...,n-1} pre žiadne n. Rovnosť mohutností množín sa tiež definuje pomocou existencie bijekcie medzi danými dvoma množinami. Dá sa ukázať, že nie medzi všetkými nekonečnými množinami existuje bijekcia, t. j. existuje viac "rôznych druhov nekonečna." Napríklad množina reálnych čísel má väčšiu mohutnosť ako množina prirodzených čísel.