Maxwellove rovnice

Maxwellove rovnice sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa, ktoré sformuloval James Clerk Maxwell v roku 1865. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.
Formulácia Maxwellových rovníc.
Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla "c" a formula_1 (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.
Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon).
integrálny tvar
Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke "c" je rovná súčtu celkového vodivého prúdu "I" a posuvného prúdu formula_5, uzavretého krivkou "c", Krivka "c" a ľubovolná plocha "S", ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.
diferenciálny tvar
Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu formula_7
Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon).
integrálny tvar
Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke "c" je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou "S", ktorá je ohraničená krivkou "c". Krivka "c" a ľubovolná plocha "S", ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.
diferenciálny tvar
Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetickej indukcie B .
Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky).
integrálny tvar
Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou "S" je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti "V" ohraničenej plochou "S".
diferenciálny tvar
Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.
Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku).
integrálny tvar
Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou "S" je rovný nule.
diferenciálny tvar
Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).
Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka
Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou.
Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m2) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:
a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:
kde:
formula_20 je elektrická susceptibilita materiálu,
formula_21 je magnetická susceptibilita materiálu,
ε je elektrická permitivita materiálu a
μ je magnetická permeabilita materiálu
V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:
V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.
Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.
Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare
kde "γ" je merná vodivosť daného materiálu.
Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov.
Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu formula_27 a formula_28, ktoré sú definované tak, aby platilo
formula_31 a formula_32 sa pritom nezmenia, ak od potenciálu formula_27 odčítame ľubovolnú formula_34, alebo k formula_28 pričítame formula_36, kde formula_37 je ľubovolná skalárna funkcia. 
Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku
Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore
kde formula_41 je d’Alembertov operátor.
V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál formula_42 D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici
formula_43
kde formula_44je elektrický štvorprúd a formula_45 je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.