Derivácia (funkcia)

Derivácia nejakej funkcie je zmena (rast) tejto funkcie v pomere k veľmi malej zmene jej premennej či premenných. Opačným procesom k derivovaniu je integrovanie.
Je to jeden zo základných pojmov matematiky, konkrétne diferenciálneho počtu.
Koncept derivácie sa dá intrepretovať rôznymi spôsobmi, napríklad v prípade dvojrozmerného grafu funkcie "f"("x"), je derivácia tejto funkcie v ľubovoľnom bode (v ktorom existuje) rovná smernici dotyčnice tohto grafu. Z toho vidno, že sa pojem derivácie objavuje aj v mnohých geometrických súvislostiach, napr. pri pojme konkávnosť.
Definícia derivácie.
Historické definície vyjadrovali deriváciu ako pomer, v akom rast nejakej premennej "y" zodpovedá zmene inej premennej "x", na ktorej má táto premenná nejakú funkčnú závislosť. Pre zmenu hodnoty sa používa symbol Δ, takže tento pomer možno symbolicky zapísať ako 
Derivácia je hodnota podielu pre Δ"x" blížiacej sa k 0. Ak nahradíme konečne malý rozdiel Δx nekonečne malou zmenou d"x", získame definíciu derivácie
čo označuje pomer dvoch infinitezimálných hodnôt. Tento zápis sa číta "dy podľa dx" a pochádza od Leibniza.
Počas vývoja matematiky sa intuitívna predstava nekonečne malých (infinitezimálnych) hodnôt ukázala ako nedostatočne presná a bola nahradená "ε-δ" formalizmom limít. Najbežnejšia moderná definícia derivácie je:
Derivácia sa značí niekoľkými spôsobmi:
d"x" v niektorých zápisoch je dnes len obyčajný symbol bez názorného obsahu.
Nie vždy však limita, ktorá deriváciu definuje, existuje a je konečná, čiže nie každá funkcia má v každom bode deriváciu. 
Hovoríme, že funkcia "f" je v bode "x" diferencovateľná, ak hlavná časť prírastku funkcie v okolí tohoto bodu je "lineárna". Teda ak existuje číslo formula_9 také, že 
Funkcia je diferencovateľná v bode práve vtedy keď v ňom má deriváciu a v tom prípade dotyčné číslo formula_9 je 
rovné tej derivácii. 
Funkcia je diferencovateľná na intervale "I", ak je diferencovateľná v každom bode tohto intervalu. Funkcia nemá deriváciu v mieste, kde nie je spojitá, ale spojitosť funkcie existenciu derivácie nezaručuje – funkcia môže mať v danom bode zvislú dotyčnicu (čo by zodpovedalo nekonečnej derivácii), prípadne v danom bode nemusí mať dotyčnicu vôbec (v mieste, kde má graf funkcie „špičku“, napr. absolútna hodnota x nemá v bode nula deriváciu). Existujú dokonca funkcie, ktoré sú spojité v každom bode, ale nemajú v žiadnom bode deriváciu (napr. Weierstrassova funkcia).
Ak je daná funkcia diferencovateľná na nejakom intervale, môžeme na tomto intervale definovať funkciu, ktorá je v každom bode tohto intervalu rovná príslušnej derivácii. Takáto funkcia sa potom označuje prosto ako "derivácia funkcie f".
Deriváciou diferencovateľnej funkcie je teda opäť funkcia, ktorá však niekedy môže byť tiež diferencovateľná. Deriváciu derivácie funkce nazývame druhá derivácia, deriváciu druhej derivácie tretia derivácia atď. Tieto derivácie vyšších rádov sa zvyčajne značia "f″"("x"), "f′′′"("x"), pre ešte vyššie rády skôr "f"(3)("x"), "f"(4)("x") atď. Pri použití Leibnizovej notácie sa derivácie vyšších rádov označujú exponentom, napr. formula_12.
Zovšeobecnenie.
Zovšeobecnením pojmu derivácie pre funkcie viacerých premenných je tzv. parciálna derivácia, kde sa u funkcie viacerých premenných považuje za premennú len tá, podľa ktorej sa derivuje, ostatné sú v tomto výpočte považované za konštanty. Parciálna derivácia sa značí obdobne ako obyčajné derivácie, len namiesto znamienka "d" sa používa znamienko ∂, napr. formula_13 – parciálna derivácia funkcie "f" podľa premennej "y". Ak napríklad uvažujeme funkciu dvoch premenných formula_14, tak potom definujeme jej parciálne derivácie v bode formula_15 takto 
Diferencovateľnosť funkcie viac premenných sa tiež definuje pomocou linearity hlavnej časti prírastku funkcie. V tomto prípade však už existencia parciálnych derivácií diferencovateľnosť nezabezpečuje. 
Taktiež pri komplexných funkciách komplexnej premennej možno uvažovať parciálne derivácie podľa reálnej a imaginárnej zložky premennej, ale ich existencia nie je postačujúcou podmienkou pre diferencovateľnosť celej funkcie, pozri aj holomorfná funkcia, Cauchyho-Riemannove podmienky.
Výpočty derivácií.
Principiálne základnou technikou je výpočet priamo z definície, čiže dosadením príslušnej funkcie do definujúcej limity a výpočtom tejto limity. Tento spôsob je však zvyčajne (až na veľmi jednoduché funkcie) dosť komplikovaný a v praxi sa nepoužíva. Namiesto toho sa derivácie funkcií počítajú zo známych derivácií niekoľko základných funkcií a jednoduchých algebraických pravidiel pre ich skladanie a ďalšie úpravy.
Algebrické pravidlá.
Zo známych derivácií elementárnych funkcií sa derivácie zložitejších funkcií zostavujú tak, že sa zložitejšie funkcie rozložia na jednoduchšie pomocou jednoduchých algebrických pravidiel, ktoré pre výpočet derivácií platia:
Z niektorých predchádzajúcich pravidiel vidno, že Leibnizova notácia umožňuje niektoré manipulácie, ktoré pripomínajú napr. krátenie zlomku. Treba ale podotknúť, že ide len o symbolické manipulácie, s krátením zlomku nemajú nič spoločné. V žiadnom prípade nemožno „krátiť "d"“ spôsobom d"x"/d"y" = "x"/"y".
Aplikácia.
Pojem derivácie sa objavuje v obrovskom množstve situácií, tak v matematike samotnej, ako aj v jej aplikáciách, napr. vo fyzike.
Lokálne extrémy.
Ak má daná diferencovateľná funkcia nejaký lokálny extrém (lokálne maximum či minimum), je zrejmé, že jej dotyčnica v tomto bode musí byť vodorovná, čiže derivácia tejto funkcie musí byť v tomto bode nulová. (Ak funkcia v nejakých bodoch dotyčnicu, resp. deriváciu nemá, derivácia o takých bodoch samozrejme nič prezradiť nedokáže.) Ak v tomto bode možno spočítať aj druhú deriváciu, prezradí jej znamienko, o aký extrém ide:
Tieto kritériá sa často používajú v optimalizačných úlohách. Ak je napr. požadované nájdenie obdĺžnika, ktorý pri zadanom obvode má maximálnu plochu, treba nájsť maximum funkcie "f"("x") = "x" ⋅ ("o"/2 − "x"). Jej deriváciou je funkcia "f′"("x") = "o"/2 − 2"x", ktorá je nulová pre "x" = "o"/4. Druhá derivácia funkcie "f" je "f″"("x") = −2, čiže je všade záporná. V bode "x" = "o"/4 má teda funkcia "f" maximum. Znamená to teda, že zo všetkých obdĺžnikov o zadanom obvode má najväčší obsah ten, ktorý má všetky štyri strany rovnako dlhé, čiže štvorec.
Analýza správania funkcie.
Predchádzajúci odsek opisuje spôsob, ako pre danú funkciu nájsť jej lokálne extrémy. To môže okrem optimalizačných úloh slúžiť aj na získanie prehľadu o správaní funkcie, napr. pri ručnom náčrte jej grafu. Okrem analýzy extrémov možno využiť deriváciu na nasledujúce pozorovania:
Fyzika.
Jednoznačne najdôležitejšou oblasťou použitia derivácie vo fyzike sú derivácie podľa časovej premennej, vyjadrujúce rýchlosť zmeny nejakej premennej v čase. Najbežnejšie sú časové derivácie polohy, ktoré sa vyskytujú v klasickej kinematike:
Diferenciálne rovnice.
Veľa vedeckých problémov možno formulovať v podobe rovníc, v ktorých sa vedľa seba vyskytuje nejaká funkcia aj jej derivácia. Takejto rovnici hovoríme diferenciálna rovnica. Diferenciálne rovnice sa objavujú azda vo všetkých vedeckých oboroch, okrem matematiky a fyziky aj napr. v chémii, sociológii, ekológii atď. Podľa toho, či sa v rovnici objavujú len „obyčajné“ derivácie, alebo aj parciálne derivácie, sa rozlišujú