Vedenie tepla

Vedenie tepla (zastarano tepelná kondukcia) je jeden zo spôsobov šírenia tepla v telesách, pri ktorom si pri vzájomných zrážkach častice materiálu navzájom odovzdávajú časť svojej pohybovej energie.
V dôsledku vedenia tepla prúdi energia vždy z oblastí s vyššou teplotou do chladnejších častí telesa. Bez vonkajších vplyvov (dodatočné ohrievanie, resp. ochladzovanie) je výsledkom vedenia tepla rovnováha, pri ktorej má každá časť telesa rovnakú teplotu.
Vedenie tepla je najčastejší spôsob šírenia tepla v pevných telesách. Porovnať látky podľa ich tepelnej vodivosti umožňuje veličina súčiniteľ tepelnej vodivosti. Hustejšie látky sú zvyčajne lepšími vodičmi tepla, výbornými vodičmi tepla sú kovy. Takéto látky nazývame tepelnými vodičmi. Látky, ktoré teplo vedú veľmi slabo, nazývame tepelné izolanty – veľký význam majú napríklad v stavebníctve (pri izolácii budov).
Pri vedení tepla častice látky v oblasti s vyššou strednou kinetickou energiou predávajú časť svojej pohybovej energie prostredníctvom vzájomných zrážok častíc v oblasti s nižšou strednou kinetickou energiou. Častice sa pritom nepremiestňujú, ale len kmitajú okolo svojich rovnovážnych polôh.
Vedenie tepla sa uplatňuje predovšetkým v tuhých telesách, ktorých rôzne časti majú rôznu teplotu. Teplo sa vedením šíri tiež v kvapalinách a plynoch, kde sa však uplatňuje tiež prenos tepla prúdením.
Vzťahy.
Pre vedenie tepla je základnou rovnicou rovnica vedenia tepla niekedy nazývaná aj Fourierov zákon. Podľa nej ak na tyči s dĺžkou "L" a prierezom "S" udržiavame rozdielne teploty koncov formula_1 a formula_2, po čase sa v sústave ustáli rovnováha a teplota sa mení pozdĺž tyče lineárne (pozri obrázok vpravo). Vtedy za čas "t" pretečie prierezom tyče teplo "Q" veľkosti
Konštanta úmernosti v tomto vzťahu formula_4 sa nazýva súčiniteľ tepelnej vodivosti. Je to charakteristika látky, z ktorej je tyč zhotovená. Zo vzťahu vidíme, že množstvo tepla preneseného vedením rastie priamo úmerne s prierezom telesa "S" a tzv. teplotným spádom (niekedy ho nazývame teplotný diferenciál) formula_5.
Fourierov zákon má formu veľmi podobnú Ohmovmu zákonu – oba javy (vedenia tepla i vedenie elektrického prúdu) majú totiž podobný pôvod.
Tyč s konštantným prierezom a lineárnym poklesom teploty pozdĺž tyče je veľmi zjednodušenou sústavou. Vo všeobecnosti platí pre vedenie tepla v látke rovnica
Tu formula_7 je vektor hustoty tepelného výkonu prenášaného prúdením, formula_4 je koeficient tepelnej vodivosti a formula_9 je funkcia (presnejšie skalárne pole) udávajúca teplotu v rôznych bodoch telesa. Zápisom formula_10 sme označili aplikovanie gradientu na skalárne pole teploty .
Vedenie tepla je možné rozdeliť.
Ustálené vedenie tepla.
Ustálené vedenie tepla je možné demonštrovať napr. na tyči dĺžky formula_11, ktorej jeden koniec je udržiavaný na teplote formula_12 a druhý koniec je udržiavaný na teplote formula_13. Teplotný rozdiel formula_14 je teda stály, teplota klesá rovnomerne od teplejšieho konca k chladnejšiemu. Podiel formula_15 
sa nazýva teplotný spád (teplotný gradient).
Množstvo tepla formula_16, ktoré za týchto podmienok prejde ľubovoľným kolmým prierezom formula_17 tyče za dobu formula_18, je rovný
Konštanta úmernosti formula_4 je súčiniteľ tepelnej vodivosti (tepelná vodivosť).
Teplo prechádzajúce plochou určuje tzv. tepelný tok. Množstvo tepla formula_16, ktoré prejde plochou formula_17 za čas formula_18 sa označuje ako hustota tepelného toku
Podľa predchádzajúcich vzťahov teda pri ustálenom stave platí
Ak hrúbku vrstvy (teda dĺžku tyče) formula_11 zmenšujeme na formula_27, zmení sa na tejto tenkej vrstve teplota o formula_28. Vzťah pre hustotu tepelného toku môžeme teda prepísať
Teplotný gradient formula_30 sa však môže meniť nielen v smere osi formula_31, ale tiež v ostatných smeroch. Ide teda o vektorovú veličinu, čo je možné s pomocou operátora gradientu vyjadriť ako
Z tohto vzťahu je vidieť, že priebeh teploty v rovinnej doske je pri ustálenom prúdení tepla lineárna funkcia. Predchádzajúce vzťahy je možné využiť pri riešení problému prechodu tepla rozhraním. Tento vzťah býva tiež označovaný ako "Fourierov zákon".
Pokiaľ sa teleso (napr. doska), ktorým teplo prestupuje skladá z formula_33 vrstiev s rôznou tepelnou vodivosťou formula_34 a hrúbke formula_35 pre formula_36-tú vrstvu, potom za ustáleného stavu je hustota tepelného prúdu vo všetkých vrstvách rovnaká, tzn.
Pre celkový rozdiel teplôt potom dostaneme
Hustotu tepelného toku takouto doskou je možné vyjadriť ako
Podiel formula_40 sa nazýva merný tepelný odpor vrstvy.
Neustálené vedenie tepla.
Pri neustálenom vedení tepla dochádza k zmene teploty v jednotlivých častiach telesa.
Uvažujme prípad vedenia tepla doskou, ktoré nastane pri náhlom zvýšení teploty na jednom z povrchov dosky. Pokiaľ dosku rozdelíme na vrstvy o hrúbke formula_41, nebude hustota tepelného toku vo všetkých vrstvách rovnaká ako pri ustálenom vedení tepla. Dôvodom je to, že časť tepla, ktoré do vrstvy vstúpi sa spotrebuje na ohriatie vrstvy. O túto časť tepla je potom tok v nasledujúcej vrstve ochudobnený.
Nech teda do vrstvy o hrúbke formula_41 a ploche formula_17 vstúpi za čas formula_44 teplo formula_45 a z rovnakej vrstvy vystúpi za rovnaký čas teplo formula_46, kde formula_47 a formula_48 sú hustoty tepelného toku na vstupnej a výstupnej ploche. Teplota vrstvy sa teda zvýši o teplo, ktoré je rozdielom týchto teplôt, tzn.
Pokiaľ je merná tepelná kapacita vrstvy formula_50 a jej hmotnosť je formula_51, kde formula_52 je hustota vrstvy, potom platí
Z predchádzajúcich vzťahov potom dostaneme
Deriváciou vzťahu formula_55 získame
Pre časovú zmenu strednej teploty vrstvy dostaneme z týchto vzťahov (v limite pre formula_57 a formula_58) získame výraz
Tento vzťah predstavuje jednorozmernú diferenciálnu rovnicu vedenia tepla. Túto rovnicu je možné jednoducho zovšeobecniť na trojrozmerný prípad
Teplotná vodivosť.
Pre zjednodušenie sa zavádza veličina
ktorá je označovaná ako teplotná vodivosť (súčiniteľ teplotnej vodivosti). Táto veličina ukazuje, ako látka vedie teplo, tzn. ako ľahko sa v nej vyrovnávajú teplotné rozdiely.
Rovnice vedenia tepla.
Matematická formulácia nestacionárneho vedenia tepla umožňuje všeobecné vyjadrenie diferenciálnej rovnice vedenia tepla. Ide o pravdepodobne najznámejší príklad parciálnej diferenciálnej rovnice parabolického typu, ktorá je označovaná ako rovnica vedenia tepla. Vo všeobecnom vyjadrení sa zapisuje ako
Táto nehomogénna rovnica je pomenovaná podľa toho, že popisuje vedenie tepla v formula_33-rozmernom vektorovom priestore s časom formula_64.
V špeciálnom prípade pre formula_65 dostaneme
Pokiaľ v rovnici vedenia tepla platí formula_67, potom dostaneme "homogénnu rovnicu vedenia tepla"
Z fyzikálneho hľadiska ide o prípad, kedy sa vo vyšetrovanej oblasti nenachádzajú žiadne zdroje tepla.