Taylorov rad

Taylorov rad funkcie formula_1 premennej formula_2 v bode formula_3 je potenčný rad (mocninový rad) so stredom formula_3 v tvare
pričom
Funkcia sa nazýva analytická (v bode formula_12) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu formula_12 zhoduje s danou funkciou. Toto neplatí univerzálne, čiže jestvujú funkcie, ktorých Taylorove rady sa s nimi nezhodujú. Príkladom takej funkcie je 
Jej Taylorov rad so stredom v bode 0 je nulový rad, pričom daná funkcia má hodnotu nula jedine keď jej argument je nula. 
Taylorov rozvoj (funkcie formula_15 premennej formula_16 v bode formula_12) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu formula_12 sa rovná formula_19. Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v bode formula_20.
Účel.
Mnohoznačne zložité funkcie je ťažké si predstaviť, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Tiež elementárne funkcie, napríklad sínus, kosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nie je možné presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Práve "Taylorov rad" umožňuje tieto základné goniometrické funkcie, a mnohé iné, formálne definovať. Napríklad pre funkciu sínus platí nasledujúci odhad v okolí nuly
Je to veľmi silná aproximácia. Hodnoty funkcie sínus v okolí nuly sa dajú vypočítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva "Taylorov rad".
Intuitívne odvodenie.
Hlavná myšlienka konštrukcie Taylorovho radu spočíva v rovnosti derivácií dvoch funkcií. Obmedzme sa na polynóm stupňa formula_7. Zovšeobecnenie pre polynóm nekonečného stupňa – Taylorov rad bude presnejšie opísané v samotnej definícii. Majme dve funkcie definované v okolí nejakého bodu ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú a ich derivácie všetkých rádov sú v tomto bode rovnaké, potom možno považovať funkcie za rovnaké. Na zjednodušenie uvažujme bod formula_23. Vezmime funkciu formula_15 a všeobecný polynóm
Treba však nájsť koeficienty formula_26, aby nastala rovnosť formula_27, pre formula_28. Jednoducho možno odvodiť, že formula_29. Ďalší koeficient možno osamostatniť derivovaním a dosadením nuly. Koeficient formula_30 teda vypočítame prvou deriváciou 
Po dosadení jednoducho formula_32. Všeobecne pre formula_33-ty člen polynómu platí 
Týmto spôsobom jednoducho nájdeme tvar hľadaného polynómu. V tomto odvodení, ktoré je veľmi hrubé, nie sú zahrnuté všetky predpoklady na existenciu takého polynómu. Nie pre každú funkciu jestvuje Taylorov polynóm, respektíve Taylorov rad. Všetky predpoklady sú zhrnuté spolu so všeobecnou formálnou definíciou v nasledujúcom odseku.
Definícia.
Nech formula_15 je formula_36-krát diferencovateľná funkcia v bode formula_12, definovaná na okolí formula_38 bodu formula_12. Potom platí 
kde výraz formula_41 označuje zvyšok. Tento vzorec sa nazýva Taylorov vzorec a jeho prvá časť (teda časť bezo zvyšku) sa nazýva (formula_7-tý) Taylorov polynóm alebo Taylorov aproximačný polynóm funkcie formula_15 so stredom v bode formula_12. 
Aby bol polynóm formula_45 konečného stupňa formula_7 Taylorovým polynómom, musí platiť:
Implikácia platí aj opačne, teda ak je uvedená limita nulová, potom formula_45 je Taylorovým polynómom funkcie formula_15 stupňa formula_7.
Ak sa formula_7 blíži k nekonečnu, nazýva sa Taylorov aproximačný polynóm Taylorov rad.
Tvary zvyšku.
Cauchyho tvar zvyšku.
Cauchyho tvar vychádza z Lagrangeovej vety o strednej hodnote diferenciálneho počtu. Oveľa praktickejšie je však jeho zovšeobecnenie – Lagrangeov tvar, ktorý je ľahšie zapamätateľný. Nech číslo formula_52 je medzi formula_16 a stredom formula_12. Teda v prípade formula_55, v opačnom prípade formula_56 je formula_57. Potom je zvyšok možné zapísať v tvare
Lagrangeov tvar zvyšku.
Lagrangeov tvar je zovšeobecnením Cauchyho tvaru a využíva Cauchyho vetu o strednej hodnote diferenciálneho počtu. Tento tvar je jednoduchší než Cauchyho, pretože sa podobá na nasledujúci formula_36-vý člen rozvoja.
Taylorove rady elementárnych funkcií.
V tabuľke sú odvodené Taylorove rady niektorých elementárnych funkcií. Na základe ich znalosti je možné odvodiť rozvoje iných, zložitejších funkcií.
Príklad.
Nájdime Taylorov rad funkcie formula_62 so stredom v bode formula_20. Najprv uvážime Taylorove rady funkcií arkustangens a prirodzený logaritmus. Pre arkustangens platí
Podobne odvodíme vzťah pre logaritmus
Súčtom týchto radov a úpravou do vhodného tvaru dostaneme Taylorov rad funkcie formula_15
Použitie.
V praxi je využiteľný práve Taylorov polynóm, čo je špeciálny prípad Taylorovho radu, pričom sa vypočíta niekoľko prvých členov. Chyba, ktorej sa pri určovaní funkčnej hodnoty dopustíme, sa dá odhadnúť pomocou zvyškov. V teórii a pri teoretických dôkazoch je dôležité používať rozvoje funkcií cez definíciu Taylorovho radu ako nekonečného súčtu. Ak používame pri výpočte radu len niekoľko formula_33 prvých členov, ostatné je zvykom zapísať v tvare formula_69. Tento zápis znamená napríklad pre formula_70, že ide o členy stupňa vyššieho, ako formula_71. Zároveň platí, že
Súčty radov.
Nájdime súčet nekonečného číselného radu
Na výpočet použijeme rozvoj funkcie sínus, pričom zvolíme formula_74
Výpočet niektorých limít.
Niektoré limity nie je možné vypočítať bežnými prostriedkami, prípadne je to príliš zdĺhavé. Napríklad použitie L’Hospitalovho pravidla nezaručuje vždy jednoduchý postup. Dá sa ním však jednoducho vypočítať mnoho známych limít
Maticová exponenciála.
Pomocou Taylorovho radu sa dá definovať aj abstraktný pojem z algebry – maticová exponenciála. Táto exponenciála sa využíva napríklad pri riešení systémov diferenciálnych rovníc. Uvažujme systém obyčajných diferenciálnych rovníc, ktorý môžeme napísať v tvare
Podobne ako obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu, má aj táto maticová diferenciálna rovnica riešenie v tvare
kde formula_80 je vektor s počiatočnými podmienkami pre partikulárne riešenie. Definovať maticovú exponenciálu umožňuje teoretický poznatok o diagonalizácii matice a Taylorovom rade. Exponenciálnu funkciu formula_81, bez ohľadu na to, aký objekt predstavuje formula_82 (v tomto prípade matica) môžeme zapísať 
Z diagonalizácie matice platí
Matica formula_85 je matica vlastných vektorov a matica formula_86 je matica vlastných čísel matice formula_87. Podmienka diagonalizovateľnosti matice je však nutná. V prípade, že matica nie je diagonalizovateľná, je možné použiť na riešenie Jordanov tvar matice a rozklad formula_88. Pre všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej sústavy platí