Bernoulliho rovnica

Bernoulliho rovnica je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením 
zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.
Odvodenie.
Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad
ustálenosti prúdenia, t. j. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.
Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny
trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do
trubice formula_1, rýchlosť tekutiny v tomto bode označme formula_2. Obdobne označme
plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako formula_3 a formula_4. Keďže
prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a
vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:
Máme teda rovnosť:
Tiež známu ako rovnicu kontinuity.
Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do
formula_7 je formula_8 zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je
formula_9. Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi formula_7 a
formula_3 je preto:
a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti formula_13 pri prechode z formula_14 do formula_15. Teda:
pričom formula_17 je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a formula_18 na
výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:
Kde formula_20 je kinetická energia na jednotku hmotnosti, formula_21 je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a formula_22 je člen, ktorý
reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej
rovnice potom dostávame:
Keďže však formula_24, tak dostaneme výraz:
známy tiež ako Bernoulliho rovnica.
Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinu.
Ideálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:
Vymedzenie platnosti.
Vyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady:
Prúdenie v gravitačnom poli.
Pre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom formula_27 Potom je platí:
Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg−1.
Iné formy rovnice.
Pre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice:
Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:
kde jednotlivé členy v uvedenom poradí sa nazývajú:
Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:
kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:
Zjednodušená Bernoulliho rovnica.
Ak kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:
Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký. 
Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).
Názvoslovie členov v Bernoulliho rovnici.
V zjednodušenej Bernoulliho rovnici:
Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať "hustotou tlakovej práce", často sa však stretneme aj s pojmom "hustota tlakovej energie". Je dôležité upozorniť, že nejde o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, ale zaužívaneho, pojmu "hustota tlakovej energie" a
hovoriť miesto toho o "hustote tlakovej práce"