Algebrická štruktúra

V matematike, presnejšie v abstraktnej algebre, je algebrická štruktúra (iné názvy: algebra, algebrický systém, staršie algebraická štruktúra, algebraický systém) označenie pre množinu (nazývanú nosná množina) spolu s jednou alebo viacerými operáciami definovanými na tejto množine, pričom musí byť splnený nejaký súbor axióm.
Algebrická štruktúra na množine A je teda daná dvoma množinami (môže sa definovať ako dvojica týchto množín):
Príklady algebraických štruktúr zahŕňajú grupy, okruhy, pole, či zväzy. Zložitejšie štruktúry môžu byť definované predstavením viacerých operácií, rôznymi nosnými množinami, alebo zamieňaním definujúcich axióm. Príkladom komplexnejšej algebraickej štruktúry je vektorový priestor.
Vlastnosti špecifických algebraických štruktúr sa študujú v abstraktnej algebre. Všeobecná teória algebraických štruktúr bola formalizovaná odborom univerzálna algebra.
Úvod.
Sčítanie a násobenie na číslach sú prototypickým príkladom operácií, ktoré kombinujú dva prvky z množiny na vyprodukovanie tretieho. Tieto operácie spĺňajú niektoré z algebraických vlastností (viď vlastnosti binárnych operácií). Napríklad "a" + ("b" + "c") = ("a" + "b") + "c" a "a"("bc") = ("ab")"c" sú obe príkladom asociativity operácií sčítania, resp. násobenia. Ďalej "a" + "b" = "b" + "a", a "ab" = "ba" sú príkladmi komutativity. Mnoho systémov študovaných matematikou má nad sebou definované operácie, ktoré majú niektoré (nie zákonite všetky) z takýchto vlastností. 
Matematici množiny spolu s operáciami, ktoré spĺňajú niektoré takéto vlastnosti pomenovávajú a študujú ich ako algebraické štruktúry. Keď pre nejaký nový problém je možné ukázať, že spĺňa vlastnosti niektorej algebraickej štruktúry, všetka práca, ktorá bola v tejto kategórii urobená, môže byť aplikovaná aj na nový problém.
Vo všeobecnosti môžu algebraické štruktúry obsahovať ľubovoľný počet množín a operácií z rôznou aritou, tu sa však budeme zameriavať na algebraické štruktúry s binárnymi operáciami nad jednou množinou.
Druhy/príklady.
Nasledujúce príklady rozhodne nie sú úplným výčtom algebraických štruktúr, ale sú mienené ako reprezentatívny zoznam a zahŕňajú najčastejšie štruktúry.
Grupoidné štruktúry.
Štruktúry s jednou množinou a jednou operáciou.
Nech formula_1 je množina a formula_2 je binárna operácia na množine formula_1.
Vyššie uvedené štruktúry sa nazývajú komutatívne ak operácia formula_2 je komutatívna.
Okruhové štruktúry.
Štruktúry s jednou množinou a dvoma operáciami.
Nech formula_8 je množina a formula_9 a formula_10 sú binárne operácie na množine formula_8.
Notácia.
Často sa pri práci s algebraickými štruktúrami používa miesto celého označenia algebraickej štruktúry vrátane jej operácií, iba označenie pre jej nosné množiny. V tomto prípade sa predpokladá, že je z kontextu jasné s akými operáciami danú štruktúru myslíme. Napríklad grupa formula_25 sa môže označiť len ako grupa formula_1, keď je v kontexte zrejmé, že jej asociovaná operácia je operácia formula_10.
Pri zapisovaní a práci s algebraickými štruktúrami je možno použiť ako multiplikatívnu, tak aditívnu notáciu.
Multiplikatívna notácia.
Pri "multiplikatívnej notácii" sa na operáciu nad nosnou množinou algebraickej štruktúry nahliada ako na operáciu násobenia. Operáciu danej štruktúry medzi dvoma prvkami nosnej množiny, pri používaní multiplikatívnej notácie, nazývame "súčin". Súčin rovnakého prvku nazveme "umocnením". Neutrálny prvok nazveme "jednotkovým".
Nech formula_4 je algebraická štruktúra (v tomto prípade grupoid) a formula_29. Potom v multiplikatívnej notácii zapíšeme:
Aditívna notácia.
Pri "aditívnej notácii" sa na operáciu nad nosnou množinou algebraickej štruktúry nahliada ako na operáciu sčítania. Operáciu danej štruktúry medzi dvoma prvkami nosnej množiny, pri používaní multiplikatívnej notácie, nazývame "súčet". Súčet rovnakého prvku nazveme "násobením". Neutrálny prvok nazveme "nulovým".
Nech formula_4 je algebraická štruktúra (v tomto prípade grupoid) a formula_29. Potom v aditívnej notácii zapíšeme:
Pre neutrálny prvok sa v oboch spôsoboch notácie tiež často používa symbol formula_48 (tiež je možné pridať v dolnom indexe názov nosnej množiny).
Použitie.
Spravidla sa v kontexte operácie bežného násobenia (napr. na číselných množinách, či násobenia matíc) používa multiplikatívna notácia. V kontexte bežného sčítania (napr. sčítanie na číselných množinách) sa používa aditívna notácia.
V prípade iných operácií je možné použiť ľubovoľnú notáciu. Najčastejšie sa však je možné, z dôvodu jej úspornejšieho zápisu, stretnúť s multiplikatívnou notáciou.