Všeobecná teória relativity

Všeobecná teória relativity je teória o priestore, čase a gravitácii, ktorú sformuloval Albert Einstein v rokoch 1911 až 1916 (zverejnená bola v roku 1916). 
Opisuje vzájomné pôsobenie (interakciu) priestoru a času na jednej strane a hmoty (vrátane polí) na strane druhej. Jej hlavná výpoveď je, že gravitácia vlastne nie je nič iné ako geometrický jav v zakrivenom štvorrozmernom časopriestore, presnejšie: Hmotné telesá sú zdrojom gravitačného poľa, ktoré určuje metriku (vlastnosti) časopriestoru v danej oblasti, ktorá zas naopak spätne ovplyvňuje stav a pohyb telies v danej oblasti.
Niektoré vlastnosti:
Všeobecná teória relativity je rozšírením špeciálnej teórie relativity a pre dostatočne malé oblasti časopriestoru sa s ňou stáva identickou. V porovnaní so špeciálnou teóriou relativity je pre laika oveľa ťažšie zrozumiteľná, existuje však pre ňu dostatočné množstvo experimentálnych dôkazov.
Gravitácia a zakrivenie priestoru.
Všeobecná teória relativity vyvodzuje gravitáciu z geometrického javu v zakrivenom časopriestore, pretože konštatuje:
Prvá výpoveď opisuje pôsobenie energie a hybnosti na časopriestor, druhá naopak – ide teda o vzájomné pôsobenie (interakciu) v pravom slova zmysle.
Už štvorrozmerný časopriestor špeciálnej teórie relativity sa dá ťažko názorne predstaviť – pri zakrivenom časopriestore je to o to ťažšie. V záujme predstavivosti si však možno pozrieť situácie so zníženým počtom rozmerov. Napríklad v prípade dvojrozmernej zakrivenej krajiny zodpovedá najpriamejšej trajektórii, ktorú by prešlo vozidlo s riadením zafixovaným na jazdu rovno vpred. Ak by dve takéto vozidlá odštartovali na rovníku paralelne smerom na sever, stretli by sa na severnom póle. Pozorovateľ, ktorý by nevedel o guľovom tvare Zeme, by z toho vyvodil, že medzi dvomi vozidlami existuje príťažlivá sila. V skutočnosti ide o geometrický jav (guľatosť Zeme). Gravitačné sily sa preto niekedy označujú aj ako zdanlivé sily.
Princíp ekvivalencie.
Keďže najpriamejšia dráha časopriestorom prirodzene nezávisí od hmotnosti, padajú všetky telesá v gravitačnom poli rovnako rýchlo, čo zistil už Galileo Galilei. Túto okolnosť vysvetľuje newtonovská mechanika princípom ekvivalencie (= gravitačná hmotnosť a zotrvačná hmotnosť telesa sú si rovné), ktorý týmto vlastne všeobecnú teóriu relativity vysvetľuje. Presnejšie možno povedať, že z klasického princípu ekvivalencie vyplýva, že pozorovateľ v uzavretom priestore bez pozorovania okolia nedokáže z pohybu predmetov v priestore zistiť, či je v stave beztiaže alebo voľného pádu. Einstein tento princíp zovšeobecnil takto: Pozorovateľ v uzavretom priestore bez informácií zvonku nemôže "vôbec žiadnym" pokusom zistiť, či je v stave beztiaže alebo nie.
Hodiny v gravitačnom poli.
Vo všeobecnej teórii relativity nezávisí chod hodín len od ich relatívnej rýchlosti, ale aj od ich polohy (miesta) v gravitačnom poli. Hodiny na kopci idú rýchlejšie ako hodiny v údolí. Tento efekt je síce v pozemskom gravitačnom poli veľmi slabo badateľný, ale napríklad navigačný systém GPS ho zohľadňuje príslušnou úpravou frekvencie signálu, aby sa zabránilo chybám pri určovaní polohy.
Matematická štruktúra teórie.
Kým špeciálnu teóriu relativity možno pochopiť aj s pomerne slabými znalosťami matematiky, je všeobecná teória relativity podstatne náročnejšia. Zakrivený časopriestor sa opisuje pomocou metód diferenciálnej geometrie, ktorá nahradila euklidovskú geometriu nám známeho plochého priestoru. Vznik zakrivenia sa opisuje pomocou einsteinovských rovníc poľa. Sú to diferenciálne rovnice tenzorového poľa s desiatimi zložkami, ktoré sú analyticky – čiže pomocou matematickej rovnice - riešiteľné len v špeciálnych prípadoch.
Kozmológia.
Kým špeciálna teória relativity platí za prítomnosti hmotných telies len v oblastiach časopriestoru, ktoré sú také malé, že zakrivenie možno zanedbať, zaobíde sa všeobecná teória relativity bez tohto obmedzenia. Možno ju teda aplikovať aj na celý vesmír – preto hrá centrálnu úlohu v kozmológii. Napríklad rozpínanie vesmíru, ktoré pozorujú astronómovia, primerane opisujú friedmannovské riešenia einsteinovských rovníc poľa v kombinácii s tzv. kozmologickou konštantou. Podľa nich začalo rozpínanie vesmíru veľkým treskom, ktorý sa podľa posledných výskumov udial pred 13,7 miliardami rokov, a ktorý možno chápať aj ako začiatok priestoru a času. Celý vesmír bol pritom skoncentrovaný na priestorovú oblasť s priemerom Planckovej dĺžky (cca. 1,61624·10-35 m).
Čierne diery.
Ďalšou predikciou všeobecnej teórie relativity sú čierne diery. Einsteinovi sa myšlienka čiernych dier vôbec nepozdávala a bol presvedčený, že musí existovať mechanizmus, ktorý zabraňuje vzniku takýchto objektov. Podľa súčasných pozorovaní však takéto objekty vo vesmíre skutočne existujú, a to ako konečné štádium vývinu hviezd pri veľmi hmotných hviezdach a v centrách väčšiny galaxií.
Gravitačné vlny.
A napokon zo všeobecnej teórie relativity vyplýva existencia gravitačných vĺn, čiže lokálnych deformácií časopriestoru, ktoré sa šíria svetelnou rýchlosťou. Vznikajú pri zrýchlení hmotných telies. Tieto deformácie sú však také malé, že sa ich podarilo priamo dokázať až v roku 2015. Explózia supernovy v roku 1987 mala vytvoriť dokázateľné gravitačné vlny. Túto príležitosť vedci nevyužili, pretože v dôsledku chýbajúcej predchádzajúcej dohody boli všetky detektory gravitačných vĺn na celom svete v rozhodujúcich sekundách vypnuté z dôvodu údržby. Nepriamo sa gravitačné vlny podarilo dokázať z pozorovaní na sústavách dvojhviezd s pulzarmi.
Prvý úspešný pokus, ktorý zachytil gravitačné vlny sa stal 14. septembra 2015 vo výskumnom centre LIGO (USA). Dva detektory úspešne detegovali zrážku dvoch čiernych dier spred 1,3 miliardy rokov.
Matematická formulácia všeobecnej teórie relativity.
Všeobecná teória relativity (VTR) je teória gravitácie, času a priestoru. Na prvý pohľad nie je zrejmé, že tieto pojmy by mali byť opisované jedinou teóriou. Albert Einstein tento súvis geniálne rozoznal a popísal. 
Filozofický základ VTR.
V špeciálnej teórii relativity (ŠTR) sa postuluje rovnocennosť inerciálnych vzťažných sústav. To znamená, že fyzikálne zákony majú rovnaký matematický tvar pre všetkých pozorovateľov, ktorí sa pohybujú len zotrvačnosťou (stoja, alebo sa pohybujú rovnomerne priamočiaro). Táto požiadavka vedie k invariantnosti fyzikálnych zákonov voči Poincarého grupe. Einstein si položil otázku, prečo by mala príroda preferovať inerciálne sústavy. Zároveň si aj odpovedal: príroda sa o naše sústavy nestará, a preto musia byť zákony rovnaké pre všetkých pozorovateľov. Snažil sa preto zovšeobecniť ŠTR tak, aby mali fyzikálne zákony rovnaký matematický tvar pre všetkých pozorovateľov, inerciálnych aj zrýchlene sa pohybujúcich. To je základná myšlienka princípu relativity.
Veľkým skokom v Einsteinových úvahách bolo uvedomenie si, že pozorovateľ voľne padajúci v gravitačnom poli sa cíti byť inerciálny. Toto tvrdenie je známe ako princíp ekvivalencie. Znamená to, že pozorovateľ voľne padajúci v gravitačnom poli necíti zotrvačné sily a platí pre neho zákon zotrvačnosti. Dôležité je, že princíp ekvivalencie platí len lokálne, pretože pri nelokálnych meraniach sa uplatňujú nehomogenity gravitačného poľa.
Postuláty VTR.
Princíp relativity požaduje, aby mali fyzikálne zákony rovnaký tvar vo všetkých sústavách. Každej vzťažnej sústave zodpovedá vhodná súradnicová sústava v priestoročase. To znamená, že fyzikálne zákony musia mať tvar rovnosti dvoch veličín, ktorá si pri zmene súradnicovej sústavy transformujú rovnako, takže rovnica si podrží svoju platnosť v každej sústave. Tejto požiadavke všeobecnej kovariancie vyhovujú tenzory a spinory. 
V ŠTR je priestoročas hladkou varietou dimenzie 4, na ktorej je možné zaviesť globálne kartézske súradnice formula_1, v ktorých má metrický tenzor tvar
formula_2
To je zmysel tvrdenia, že Minkowského priestoročas je plochý. Predpokladajme teraz, že v skutočnosti je priestoročas hladká varieta s nejakým všeobecným metrickým tenzorom. Na všeobecnej variete nemusia existovať vôbec žiadne globálne súradnice, tobôž nie kartézske. Metrický tenzor vyjadrený v ľubovoľných lokálnych súradniciach má tvar
formula_3
Podľa princípu ekvivalencie sa však vhodnou súradnicovou transformáciou dá dosiahnuť, že komponenty metrického tenzora sú v jednom bode dané diagonálnou maticou 
formula_4,
čo znamená, že každý priestoročas je lokálne plochý. Pozorovateľ voľne padajúci v gravitačnom poli zistí, že lokálne platia zákony ŠTR. To, že metrický tenzor sa dá lokálne previesť na diagonálny kanonický tvar platí vo všeobecnosti na každej hladkej variete. To, že v priestoročase bude mať signatúru (+ - - -), je matematická formulácia princípu ekvivalencie. Ako uvidíme, Einsteinove rovnice gravitačného poľa sú diferenciálne rovnice pre metrický tenzor, ale jeho signatúra z nich nevyplýva. Často sa používa opačná signatúra (- + + +), alebo (+ + + -). Podstatné je len to, že časová zložka musí mať opačné znamienko ako priestorové. Signatúry s touto vlastnosťou sa nazývajú lorentzovské. Nami používaná signatúra (+ - - -) je bežne používaná napr. v kvantovej teórii poľa a má niekoľko výhod. Čo je však dôležitejšie, táto signatúra prirodzene vyplýva zo spinorovej formulácie teórie relativity.
Vlastným časom formula_5 pozorovateľa nazývame čas, ktorý ukazujú hodiny, ktoré sú voči tomuto pozorovateľovi v pokoji. Pretože všetky merania je nutné robiť lokálne, predpokladáme, že poloha pozorovateľa a poloha hodín splývajú. Pri svojom pohybe v priestore opisuje pozorovateľ istú krivku v časopriestore. Túto krivku budeme nazývať svetočiara, čo je doslovný preklad anglického slova "worldline". Niekedy sa však aj slovo "geodetika" prekladá ako svetočiara, kým v tomto texte pojmom geodetika označujeme isté špeciálne svetočiary. Svetočiaru je možné ľubovoľne parametrizovať, zvoľme však ako parameter vlastný čas pozorovateľa formula_5. Ak svetočiaru označíme formula_7, pohyb pozorovateľa je 
formula_8
V ľubovoľných lokálnych súradniciach
formula_9
Vektor formula_10 dotykový k svetočiare označme formula_11. Jeho zložky sú
&lt;math&gt;
u\;\;=\;\;\dot{\gamma}(\tau)\;,\;\;\;u^\mu\;\;=\;\;\frac