Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie "n" môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou "n"-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.
Postup ortogonalizácie.
V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.
Vlastnosti a vzťahy.
Nech formula_1 je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi formula_2. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov formula_3, že systém formula_4 má riešenie. Hľadáme také vektory formula_5 s vlastnosťou 
formula_6
Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.
Proces ortogonalizácie.
Ortogonalizácia.
Najprv teda položíme formula_7. Postupujeme ďalšími vektormi, pričom sú dané rekurentným vzťahom
formula_8
čo možno ekvivalentne prepísať do sumačného zápisu
formula_9
Treba poznamenať vlastnosť formula_10, kde formula_11. Samotný ortogonalizačný proces využíva k ortogonalizácii operátor projekcie, ktorý je definovaný
formula_12
Ortogonálnou projekciou vektora formula_13 na priestor generovaný vektorom formula_14 nazývame vektor formula_15 a platí formula_16. Týmto spôsobom sa nájde ortogonálna projekcia daného vektora. Vektor ortogonálny na priestor generovaný vektorom formula_14 je potom rozdiel formula_18. Platí teda, že skalárny súčin formula_19 je nulový.
Normalizácia.
Ortogonalizované vektory sa následne normalizujú na spoločnú jednotkovú dĺžku. Po tomto, dostaneme výsledný ortonormálny vektor formula_20, preto môžeme písať 
formula_21
Ide o symbolický zápis súčinu každej zložky vektora formula_22 prevrátenou hodnotu normy tohto vektora. Odtiaľ
formula_23
Pod normou vektora formula_24 sa chápe norma definovaná nasledovne
formula_25
Príklad.
Majme vektorový priestor formula_26 generovaný dvojicou lineárne nezávislých vektorov formula_27. Postupujeme najprv voľbou formula_28. Teraz od tohto vektora bude závisieť druhý. Použijeme vzťah pre ortogonalizáciu ďalších vektorov a dostávame rovnosť 
formula_29
Výsledný vektor je ortogonálny vektor k vektoru formula_30. Teraz ho treba znormalizovať. Vektory generujú obyčajný euklidovský dvojrozmerný priestor, stačí preto použiť euklidovskú normu
formula_31
Výsledný ortonormálny vektor bázy bude mať tvar
formula_32
Podobným spôsobom sa znormalizuje vektor formula_30, ktorého norma je formula_34 a odtiaľ
formula_35
Ľahko možno skalárnym súčinom overiť, že vektory sú skutočne ortogonálne.
Použitie ortogonalizácie na iné priestory.
Gram-Schmidtov proces sa však nemusí používať výlučne pre euklidovské priestory formula_36. Môže sa použiť taktiež na ortogonalizáciu funkcií v priestore funkcií so skalárnym súčinom 
formula_37
Pomocou ortogonalizačného procesu možno vytvoriť Legendrove polynómy, ktoré sú prvky priestoru funkcií so skalárnym súčinom 
formula_38