Topologický priestor

Topologický priestor je matematická štruktúra, ktorá umožňuje formalizovať a zovšeobecniť koncepty ako konvergencia, spojitosť, či kompaktnosť. Tieto sú definované na základe vzťahov medzi množinami, na rozdiel od metrických priestorov, kde sa definujú pomocou vzdialenosti. Topologické priestory sa ako formalizácia vyskytujú takmer vo všetkých oblastiach matematiky. Sú predmetom štúdia topológie.
Definícia.
Klasická definícia.
Topologický priestor je usporiadaná dvojica formula_1, kde "X" je množina a formula_2, ktorej prvky sa nazývajú aj otvorené množiny, je množina podmnožín "X", pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:
Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.
Množina formula_2 sa nazýva aj "topológia" na množine "X", toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov topológia v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny "X" sa zvyčajne nazývajú "body", podmnožiny "X" patriace do formula_2 sa nazývajú "otvorené množiny", každý komplement otvorenej množiny sa nazýva "uzavretá množina".
Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v "X" nie je to isté ako formula_9. Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad formula_10 alebo "X", keďže sú komplementárne (pracuje sa s univerzom "X") a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).
Definícia pomocou uzavretých množín.
Použitím de Morganových zákonov je možné jednoduchým spôsobom odvodiť ekvivalentnú definíciu topologického priestoru, ktorá namiesto podmienok na otvorené množiny kladie podmienky na uzavreté množiny. Teda je možné povedať, že topologický priestor je usporiadaná dvojica formula_1, kde "X", formula_2, otvorené a uzavreté množiny sú definované rovnako ako vyššie, a kde platí:
Definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti.
Inou možnosťou definície topologického priestoru (ktorá je však ekvivalentná s klasickou definíciou) je definícia topologickej štruktúry pomocou súborov axióm, s ktorou prišiel poľský matematik Kazimierz Kuratowski. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica formula_13, kde "X" je množina a
je operátor uzáveru, pre ktorý sú splnené nasledujúce podmienky (Kuratowského axiómy):
Definícia pomocou axióm susednosti.
Ďalšou ekvivalentnou definíciou topologického priestoru, s ktorou prišiel Felix Hausdorff, je jeho definícia pomocou tzv. axióm susednosti. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica formula_19, kde "X" je množina a formula_20 je trieda množín formula_21, kde každé formula_21 je množina podmnožín "X" nazývaných "okolie" bodu formula_23, pričom platia nasledujúce podmienky (axiómy susednosti):
Príklady topologických priestorov.
Sierpińského priestor.
Najjednoduchším príkladom topologického priestoru, ktorý nie je ani triviálny, ani diskrétny je tzv. "Sierpińského priestor", pomenovaný podľa Wacława Sierpińského. Ide o topologický priestor na množine {0,1}, ktorého otvorené množiny sú
a ktorého uzavreté množiny sú
Jednoprvková množina {0} je uzavretá a nie otvorená, jednoprvková množina {1} je otvorená a nie uzavretá.
Hausdorffove priestory.
"Hausdorffov priestor", pomenovaný podľa Felixa Hausdorffa, nazývaný aj "separabilný priestor" alebo "T2 priestor", je taký topologický priestor, v ktorom pre ľubovoľné dva body existuje dvojica disjunktných okolí. Každý metrický priestor je Hausdorffov priestor.
Základné pojmy teórie topologických priestorov.
Okolie bodu.
Množina formula_41 sa nazýva okolím bodu formula_23 v topologickom priestore formula_43, ak existuje množina formula_44 taká, že formula_45.
Podľa toho, či je okolie "V" bodu "x" otvorená alebo uzavretá množina, nazýva sa "V" otvoreným alebo uzavretým okolím bodu "x".
Vnútro množiny.
Neformálne možno povedať, že vnútro množiny "A" tvoria práve všetky body z "A", ktoré neležia "na jej kraji," ale "vnútri." Je však dôležité, že aj keď je takéto vysvetlenie intuitívne (napr. z klasickej topológie na množine formula_46), vo všeobecnosti je bez formálnej definície pomerne problematické rozhodnúť o tom, čo je kraj a čo vnútro množiny.
Formálne, vnútro množiny formula_47 (označované int ("A") alebo alebo "A°") v topologickom priestore formula_43 je množina všetkých bodov "x" z "A", pre ktoré existuje okolie, ktoré je celé v "A". Teda,
Uzáver množiny.
Uzáver množiny "A", označovaný formula_50 alebo formula_51, je najmenšia uzavretá množina "B", pre ktorú platí formula_52 To je ekvivalentné s nasledujúcou formálnou definíciou: uzáver množiny "A" v topologickom priestore formula_43 je množina všetkých bodov formula_23, ktoré nepatria dovnútra množiny formula_55 Čiže,
Ak rozpíšeme definíciu vnútra množiny a výsledný logický výraz vhodne upravíme, dostaneme:
Táto definícia uzáveru predpokladá klasickú definíciu topologického priestoru. Zjavne, pokiaľ sa použije definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti, je uzáver definovaný len ako zobrazenie spĺňajúce stanovené axiómy.
Hranica množiny.
Hranica množiny "A" v topologickom priestore formula_43, označovaná bd ("A") alebo formula_59, je množina všetkých bodov, ktoré patria do uzáveru množiny "A", ale nepatria do jej vnútra. Teda,
Husté a riedke množiny.
Množina formula_47 sa nazýva hustá v topologickom priestore formula_43, ak jej uzáver je celá množina "X" (komplementárna množina neobsahuje žiadne vnútorné body), čiže ak platí množinový vzťah
Množina formula_64 sa nazýva riedka v topologickom priestore formula_43, ak vnútro jej uzáveru je prázdna množina, čiže ak platí
Hromadné a izolované body.
Pre definíciu pojmov ako spojité zobrazenie, či limita, je kľúčový pojem hromadného bodu. Bod formula_23 sa nazýva hromadný bod množiny formula_47 v topologickom priestore formula_43, ak každé rýdze okolie bodu "x" (t. j. okolie bodu "x" bez bodu "x") má neprázdny prienik s množinou "A".
Bod formula_70 sa nazýva izolovaný bod množiny formula_47 v topologickom priestore formula_43, ak existuje okolie formula_73 také, že pre zodpovedajúce rýdze okolie platí
Báza topologického priestoru.
Báza topologického priestoru formula_1 je taká množina formula_76 otvorených množín z formula_2, že všetky otvorené množiny (prvky formula_2) sa dajú zapísať ako zjednotenie množín z bázy formula_76. Čiže množina formula_80 je báza topologického priestoru formula_1 práve vtedy, keď platí
Báza topologického priestoru formula_43 sa niekedy nazýva aj báza topológie formula_2.
Spojité zobrazenia v topologických priestoroch.
Topologické priestory umožňujú definovať pojem spojitého zobrazenia, pričom definícia je zovšeobecnením klasických definícií, napríklad pre funkcie jednej alebo viacerých reálnych premenných.
Zobrazenie formula_85 medzi topologickými priestormi formula_43
a formula_87 je spojité, ak pre každú otvorenú množinu z "Y" (teda ľubovoľnú množinu z formula_76) je jej inverzný obraz zobrazením "f" otvorená množina v "X" (teda prvok formula_2). Teda, formálne, formula_85 je spojité, ak platí
kde "f−1(V)" je definované ako
Priame použitie takejto definície môže byť problematické, preto sa definuje príbuzný pojem – spojitosť zobrazenia v bode. Zobrazenie formula_85 medzi topologickými priestormi formula_43 a formula_87 je spojité v bode formula_23, ak pre každé okolie "V" bodu formula_97 v priestore formula_87 existuje okolie "U" bodu "x" v priestore formula_43 také, že formula_100.
Homeomorfizmus.
Homeomorfizmus sa definuje ako spojité bijektívne zobrazenie medzi topologickými priestormi formula_43 a formula_87, ktoré má spojité inverzné zobrazenie. Homeomorfizmus je izomorfizmus v kategórii topologických priestorov, teda je to zobrazenie zachovávajúce všetky topologické vlastnosti daného priestoru. Ide teda o druh topologickej ekvivalencie.