Projektívny priestor

V matematike je projektívny priestor množina prvkov podobná množine "P(V)" priamok prechádzajúcich počiatkom vo vektorovom priestore "V". V špeciálnom prípade, ak "V"=R2 resp. "V"=R3, hovoríme o projektívnej priamke resp. projektívnej rovine.
Predstava o projektívnom priestore je podobná predstave o tom, ako oko alebo kamera zobrazuje 3D krajinu na 2D obrázok. Všetky body, ktoré ležia na premietacej priamke a pretínajú sa s ohniskovým bodom kamery sú zobrazené na spoločný bod obrázku. 
Hoci tvoria projektívne priestory samostatnú časť matematiky, využívajú sa v mnohých ďalších aplikovaných oblastiach, najmä v diferenciálnej a algebrickej geometrii. Geometrické objekty, akými sú body, priamky a roviny, môžu byť pomocou homogénnych súradníc reprezentované prvkami v projektívnych priestoroch. Mnohé vzťahy medzi týmito objektmi tak môžu byť opísané jednoduchšou cestou a vety podané jednoduchšie (a bez výnimiek), než by tomu bolo bez homogénnych súradníc. Napríklad v klasickej geometrii sa dve priamky v konečnodimenzionálnom unitárnom priestore s definovaným štandardným skalárnym súčinom (t. j. v Euklidovskom priestore) vždy pretnú práve v jednom bode, s výnimkou, keď majú tieto priamky rovnaké zameranie (pre špeciálny prípad v rovine: ak sú tieto priamky rovnobežné, t. j. ak majú rovnakú smernicu). V projektívnej reprezentácii priamok a bodov takýto bod, v ktorom sa priamky pretínajú, existuje vždy a môže byť vypočítaný bežným postupom aj pre priamky s rovnakým zameraním. 
Ďalšími odvetviami matematiky, v ktorých hrajú projektívne priestory významnú úlohu, sú topológia, teória Lieových grúp a algebrických grúp.
Úvod.
Pre lepšiu názornosť vytvoríme reálnu projektívnu rovinu P2(R3).
Existujú najmenej tri ekvivalentné definície pre túto rovinu:
Posledná formula sa zvykne uvádzať pod názvom homogénne súradnice.
Všimnime si, že každý bod ["x" : "y" : "z"] s "z" ≠ 0 je ekvivalentný s ["x/z" : "y/z" : 1]. Takže existujú dve disjunktné podmnožiny projektívnej roviny: tá, ktorá pozostáva z bodov ["x" : "y" : "z"] = ["x/z" : "y/z" : 1] pre "z" ≠ 0, a tá pozostávajúca zo zostávajúcich bodov ["x" : "y" : 0]. Tá druhá množina môže byť rozdelená podobne na dve disjunktné podmnožiny s bodmi ["x/y" : 1 : 0] a ["x" : 0 : 0]. V poslednom kroku, "x" je nevyhnutne nenulové, pretože počiatok nebol časťou P2(R3). Teda bod je ekvivalentný s [1 : 0 : 0]. Geometricky, prvá podmnožina, ktorá je izomorfná (nie iba ako množina, ale tiež ako varieta, ako uvidíme neskôr) s R2, je na obrázku žltá horná hemisféra (bez rovníka), alebo ekvivalentne dolná hemisféra. Druhá podmnožina, izomorfná s R1, sa zhoduje so zelenou priamkou (bez tých dvoch vyznačených bodov), alebo, znova, ekvivalentne, so slabo zelenou priamkou. Konečne, ostal nám červený bod, alebo ekvivalentne, svetlo červený bod. Máme tak disjunktný rozklad 
Je už intuitívne jasné a rozobrané podrobnejšie ďalej v texte, že R1 ⊔ "bod" je reálna projektívna priamka P1(R2). Ak sa o nej uvažuje ako o podmnožine P2(R3), nazýva sa "priamkou v nekonečne", kde R2 ⊂ P2(R3) sa nazýva "afinná rovina", t. j. klasická rovina. 
V ďalšom si objasníme obsah výroku: "rovnobežky sa pretínajú v nekonečne". Prirodzená bijekcia medzi rovinou "z" = 1 (ktorá pretína sféru na severnom póle "N" = (0, 0, 1)) a afinnou rovinou (t. j. spomínanou hornou hemisférou) vnútri projektívnej roviny je uskutočnená pomocou stereografickej projekcie, t. j. každý bod "P" na tejto rovine je zobrazený na bod, v ktorom sa pretína priamka prechádzajúca počiatkom a "P" so sférou. Preto dve priamky "L"1 and "L"2 (modré) na rovine sú zobrazené na niečo, čo vyzerá ako veľké kružnice (a teda protichodné body sú stotožnené). Veľké kružnice sa pretínajú presne na dvoch protichodných bodoch, ktoré sú v projektívnej rovine stotožnené, t. j. "každé" dve priamky sa pretínajú práve v jednom bode vnútri P2(R3). Tento jav je axiomatizovaný a skúmaný v projektívnej geometrii.
Definícia projektívneho priestoru.
"Reálny projektívny priestor", Pn(R"n"+1) je definovaný ako
s reláciou ekvivalencie ("x"0, ..., "xn") ~ ("λx"0, ..., "λxn"), kde "λ" je ľubovoľné nenulové reálne číslo. Podobne je to tiež množina všetkých priamok v R"n"+1 prechádzajúcich počiatkom 0 := (0, ..., 0).
Namiesto R, môžeme zobrať akékoľvek pole, alebo dokonca teleso "k". Pre komplexné čísla alebo kvaternióny tak napríklad dostaneme "komplexný projektívny priestor" Pn(C"n"+1) a "kvaterniónový projektívny priestor" Pn(H"n"+1). V algebrickej geometrii sa projektívny priestor obvykle označuje ako P"n""k".
Ak je "n" jednotka alebo dvojka, nazýva sa tiež projektívnou priamkou alebo projektívnou rovinou. Komplexná projektívna priamka je tiež nazývaná Riemannovou sférou.
Tak, ako v špeciálnom prípade uvedenom hore, označenie (nazývane homogénne súradnice) pre bod v projektívnom priestore je
Všeobecnejšie, pre vektorový priestor "V" (nad nejakým poľom "k", alebo ešte všeobecnejšie modul "V" nad nejakým telesom) je P("V") definované ako ("V" \ {0}) / ~, kde dva nenulové vektory "v"1, "v"2 z "V" sú ekvivalentné ak sa líšia len o nenulový skalár "?", t. j. ak "v"1 = "?·v"2. Tento vektorový priestor nemusí byť konečne dimenzionálny, ako sa to používa napríklad v teórii projektívnych Hilbertových priestorov.
V teórii Alexandra Grothendiecka a špeciálne pri konštrukcii projektívnych fibrovaných priestorov (zvykne sa tiež používať pôvodné anglické pomenovanie bundle namiesto fibrovaný priestor), by sme chceli pridružiť projektívny priestor ku každému systému "Y" a "každému" kvázi-súdržnému snopu (angl. sheaf) "E" nad "Y", nie iba k tým lokalne voľným. To sa dosiahne aplikovaním vyššie načrtnutých konštrukcií na duálny priestor "V"*. Viac detailov sa dá nájsť v pojednaní Éléments de géométrie algébriqueII, kapitola II, odsek 4.
Projektívny priestor ako varieta.
Z prv uvedenej definície vyplýva, že projektívny priestor tvorí množinu. Pre účely diferenciálnej geometrie, ktorá narába s varietami, je užitočné priradiť tejto množine štruktúru (reálnej alebo komplexnej) variety.
Zjednotenie podmnožín: formula_1 tvorí podľa definície projektívneho priestoru celý projektívny priestor. Ďalej "Ui" tvorí bijekciu s R"n" (alebo C"n") vzťahom
(tá strieška značí, že "i"-ty prvok chýba).
Obrázok ukazuje P1(R2). (Antipódne body v P1(R2) sú stotožnené). Je pokrytá dvoma kópiami reálnej priamky R a každá z nich pokrýva celú projektívnu priamku, okrem jedného bodu, ktorý je pomenovaný ako bod v nekonečne. 
Topológiu na projektívnom priestore zadefinujeme tak, že tieto zobrazenia (mapy) vyhlásime za homeomorfizmus (nepliesť si s homomorfizmom), čo znamená, že podmožinu množiny "Ui" nazveme otvorenú vtedy a len vtedy, ak jej obraz (obor hodnôt) podľa už uvedeného izomorfizmu je otvorená podmnožina množiny R"n" (vo zvyčajnom zmysle slova). Ľubovoľná podmnožina "A" z Pn(Rn+1) je otvorená ak všetky prieniky "A" ∩ "Ui" sú otvorené. To definuje topologický priestor.
Prv uvedenými zobrazeniami je vymedzená tiež štruktúra hľadanej variety. 
Iný spôsob, akým možno premýšľať o projektívnej priamke je nasledujúci: urob dve samostatné kópie afinnej priamky so súradnicami "x" a "y" (v tomto poradí) a zlep ich spolu pozdĺž podmnožín "x" ≠ 0 a "y" ≠ 0 pomocou zobrazenia
Vzniknutá varieta je projektívna priamka. Schéma tejto konštrukcie je rovnaká ako tá, ktorá už bola uvedená vyššie. Podobný spôsob zobrazenia existuje aj pre viacrozmerné projektívne priestory.
Už uvedený rozklad na disjunktné podmnožiny je chápaný vo všeobecnosti takto:
Tento takzvaný "rozklad na členy" sa môže použiť na vypočítanie singulárnej kohomológie projektívneho priestoru.
Všetko, čo bolo napísané, platí samozrejme aj pre komplexné projektívne priestory. Komplexná projektívna priamka P1(C2) je príklad Riemannovej sféry. 
Obsiahnutie pomocou uvedených otvorených podmnožín tiež ukazuje, že projektívny priestor je algebrická varieta (alebo tiež schéma): je obsiahnuta pomocou "n" + 1 afinných "n"-priestorov. Konštrukcia projektívnej schémy je príklad Proj konštrukcie.
Projektívne a afinné priestory.
Projektívne priestory majú oproti afinným priestorom určité výhody (napr. Pn(Cn+1) vs. R"n"). Preto je užitočné vedieť, kedy je daná varieta "projektívna", t. j. kedy sa vnára do (je uzavretá podmnožina) projektívneho priestoru. (Veľmi) rozsiahle fibrované priestory priamok sú vytvorené na riešenie tejto otázky.
Axiómy pre projektívny priestor.
Projektívny priestor "S" môže byť definovaný abstraktne ako množina "P" (množina bodov) zjednotená s množinou podmnožín "P" (množinou priamok), ktorá je v súlade s axiómami:
Posledný axióm nahrádza redukovateľné prípady, ktoré môžu byť napísané ako disjunktné zjednotenie projektívnych priestorov s 2-bodovými priamkami spájajúcimi akékoľvek dva body v disjunktných projektívnych priestoroch. 
Podpriestor projektívneho priestoru je taká podmnožina "X", že každá priamka obsahujúca dva body z "X" je podmnožina "X". Tiež celý priestor a prázdny priestor sú podpriestory.
Geometrický rozmer priestoru za zvykne udávať ako "n" ak je to najväčšie číslo, pre ktoré existuje čiste stúpajúca postupnosť podmnožín v tejto forme:
Klasifikácia.
Najmenšia projektívna rovina je Fanova rovina, PG[2,2] so 7 bodmi a 7 priamkami.
Morfizmus.
Injektívne lineárne zobrazenia "T" ∈ "L"("V","W") medzi dvoma vektorovými priestormi "V" a "W" nad nejakým poľom "k" indukujú zobrazenia korešpondujúcich projektívnych priestorov predpisom 
kde v je nenulový prvok z "V" a […] označuje triedy ekvivalencie vektora. Keďže sa členy triedy ekvivalencie líšia o skalárny člen a lineárne zobrazenia zachovávajú skalárne členy, toto zobrazenie je dobre definované. (Ak "T" nie je injektívne, jeho jadro (niekedy sa tiež zvykne uvádzať pojem nulový priestor namiesto jadro) je väčšie než {0}; v tomto prípade je význam triedy "T"("v") problematický, ak je "v" nenulové a je prvkom jadra a získame takzvané racionálne zobrazenie.
Dve lineárne mapy "S" a "T" z "L"("V","W") tvoria rovnaké zobrazenie medzi P("V") a P("W") vtedy a len vtedy, ak sa líšia len o skalárny násobok, t. j. ak "T"="λS", kde "λ" ≠ 0. Ak stotožníme skalárne násobky identického zobrazenia s poľom, nad ktorým sa počíta, množina "k"-lineárnych morfizmov z P("V") do P("W") je jednoducho P("L"("V","W")).