Lagrangeova funkcia

Lagrangeova funkcia (iné názvy: Lagrangeov výraz, lagrangeián, lagrangián, lagranžián [výslovnosť vždy "lagra(n)ž..."], značka "L") dynamického systému predstavuje východiskový bod lagrangeovej formulácie klasickej mechaniky. Je pomenovaná podľa Josepha Louisa Lagrangea.
V klasickej mechanike je lagrangeián definovaný ako zovšeobecnená kinetická energia formula_1 systému mínus jeho zovšeobecnená potenciálna energia formula_2:
Priamou substitúciou lagrangeiánu do Eulerovej-Lagrangeovej rovnice získame systém parciálnych diferenciálnych rovníc predstavujúcich pohybové rovnice študovaného systému.
Lagrangeova formulácia.
Dôležitosť.
Lagrangeova formulácia mechaniky je dôležitá nielen pre jej širokú aplikáciu, ale aj pre jej úlohu v pokroku hlbšieho chápania fyziky. Hoci sa Lagrange snažil len opísať klasickú mechaniku, "akčný princíp", ktorý sa používa na odvodenie Lagrangeovej rovnice sa teraz uznáva za aplikovateľný na kvantovú mechaniku. 
Fyzická akcia a kvantovomechanická fáza sú prepojené prostredníctvom Planckovej konštanty, a princíp stacionárnej akcie možno pochopiť v pojmoch konštruktívnej interferencie vlnových funkcií. 
Rovnaký princíp a Lagrangeov formalizmus sú úzko prepojené na Noetherovej teorému, ktorá prepája fyzickú konzervovanú kvantitu na kontinuálne symetrie fyzického systému.
Lagrangeovská mechanika a Noetherovef teoréma spolu dávajú prirodzený formalizmus pre prvú kvantizáciu prostredníctvom zahrnutia komutátorov medzi určitými pojmami lagrangeovských rovníc pre fyzikálny systém.
"Cyklické súradnice" a konzervačné zákony.
Dôležitou vlastnosťou lagrangeiánu je, že konzervačné zákony z nich možno ľahko odčítať. Napríklad, ak lagrangeián formula_5 závisí od "časovej derivácie" formula_6 zovšeobecnenej súradnice, ale "nie" od formula_7 samotnej, potom "zovšeobecnená hybnosť",
je konzervovanou kvantitou. toto je špeciálny prípad Noetherovej teorémy, pozri nižšie. Takéto koordinanty sa nazývajú "cyklické".
Napríklad konzerváciu zovšeobecnenej hybnosti
možno pozorovať, ak lagrangeián systému má formu
Rovnako, ak čas "t" sa neobjavuje v formula_5, potom nasleduje konzervovanie Hamiltonianu. Toto je konzervovanie energie až kým potenciálna energia nedosiahne rýchlosť ako v elektrodynamike. Viac detailov je možné nájsť v akejkoľvek učebnici týkajúcej sa teoretickej mechaniky.
Vysvetlenie.
Rovnice pohybu sa získavajú prostredníctvom princípu akcie, zapísaného ako:
kde "akcia", formula_13 je funkciou závislých premenných formula_4 spolu s ich derivátmi samotným "s" 
a kde formula_16 popisuje súbor "n" nezávislých premenných systému, indexovaného ako formula_17
Rovnice pohybu získané z tejto funkcionálnej derivácie sú Euler–Lagrangeove rovnice tohto atómu. Napríklad, v klasickej mechanike častíc, jedinou nezávislou premennou je čas "t". A tak Euler-Lagrangeove rovnice sú
Dynamické systémy, ktorých rovnice pohybu je možné získať prostredníctvom akčného princípu na vhodne vybranom lagrangeiáne sú známe ako Lagrangeovské dynamické systémy. Príklady Lagrangeovských dynamických systémov siahajú od klasickej verzie Štandardného modelu po Newtonove rovnice a čisto matematickým problémom ako sú geodézne rovnice a Plateauov problém.
Príklad klasickej mechaniky.
V pravouhlej sústave súradníc.
Predpokladajme, že máme trojrozmerný priestor a lagrangeián
Potom Eulerova–Lagrangeova rovnica znie:
kde formula_21.
Derivácia dáva:
Eulerove–Lagrangeove rovnice preto možno zapísať ako:
kde derivácia času je zapísaná konvenčne ako bod nad diferencovaným objemom a formula_26 je del operátor.
Použijúc tento výsledok je možno ľahko ukázať, že lagrangeovský prístup je ekvivalentný newtonovskému. 
Ak je sila zapísané v pojmoch potenciálu formula_27; výsledná rovnica je formula_28, čo je presne rovnaké rovnica ako v newtonovskom prístupe pre objekt konštantnej hmotnosti. 
Veľmi podobnou dedukciou dostávame výraz formula_29, ktorý je Newtonovým druhým zákonom v jeho všeobecnej podobe.
V sústave sférických súradníc.
Predpokladajme, že máme trojdimenzionálny priestor použijúc sférické súradnice formula_30 s lagrangeiánom
Potom Eulerove–Lagrangeove rovnice sú:
Tu je súbor formula_35 len časom formula_36, a dynamické premenné formula_37 sú trajektóriami formula_38 častice.
Napriek použitiu štandardných premenný ako formula_39, lagrangeián dovoľuje použitie akýchkoľvek súradníc, ktoré nemusia byť ortogonálne. Sú to "zovšeobecnené súradnice".
Lagrangeián testovacej častice.
Testovacia častica je časticou, ktorej hmotnosť a náboj sú pravdepodobne tak malé, že jej vplyv na externý systém nie je dôležitý. Je to často hypoteticky zjednodušené bodová častica, ktorá má len hmotnosť a náboj. Reálne častice ako elektróny a horné kvarky sú komplexnejšie a majú dodatočné pojmy vo svojich lagrangeiánoch.
Klasická testovacie častica s Newtonovskou gravitáciou.
predpokladajme, že máme časticu s hmotnosťou formula_40 kilogramov a pozíciou formula_41 metrov v newtonovskom gravitačnom poli s potenciálom formula_42 joulov na kilogram. Línia častice je parametrizovaná časom formula_43 v sekundách. Kinetická energia častice je:
a gravitačná potenciálna energia častice je:
Potom lagrangeián je formula_46 joulov, kde
Variujúc formula_48 v integráli (ekvivalentom Euler–Lagrangeovej diferenciálnej rovnici), dostávame
Integrujme prvý pojem po častiach and zrušme celkový integrál. Potom rozdeľme variáciu, aby sme dostali
a tak
je rovnica pohybu – dva rozdielne výrazy vyjadrujúce silu.
Špeciálna relativistická testovacia častica s elektromagnetizmom.
V špeciálnej relativite, forma pojmu, ktorý vyvodzuje deriváciu hybnosti musí byť zmenená; už nejde o kinetickú energiu. Stáva sa:
kde formula_56 metrov za sekundu je rýchlosť svetla vo vákuu, formula_57 sekúnd vo vhodnom čase (t.e. čas meraný hodinami pohybujúcimi sa s časticou) a formula_58. Druhý pojem v sérii je len klasická kinetická energia. Predpokladajme, že častica má elektrický náboj formula_59 coulombov a je v elektromagnetickom poli so skalárnym potenciálom formula_60 voltov (volt je joule na coulomb) a vektorový potenciál formula_61 voltsekúnd za meter. Lagrangeián špeciálnej relativistickej testovacej častice je elektromagnetické pole:
Variáciami s ohľadom na formula_41, dostávame
čo je
čo je rovnica, ktorá je rovnicou pre Lorentzovu silu, kde
Všeobecná relativistická testovacia častica.
Vo všeobecnej relativite, prvý pojem zovšeobecňuje ako klasickú kinetickú energiu a interakciu medzi newtonovským gravitačným potenciálom. Stáva sa:
Lagrangeián všeobecnej relativistickej testovacej častice v elektromagnetickom poli je:
A štvorrozmerné priestorovočasové súradnice formula_71 sú dané v arbitrárnych jednotkách (t. j. bezjednotkových), potom formula_72 metrov štvorcových je symetrické na úrovni 2 metrického tenzoru, čo je taktiež gravitačným potenciálom. Taktiež, formula_73 voltsekúnd je elektromagnetický 4-vektorový potenciál. Všimnite si, že faktor "c" bol absorbovaný do druhej mocniny, pretože toto sa rovná 
Všimnite si, že tento pojem bol vo všeobecne odvodený od špeciálnej relativity.
Lagrangeiány a hustoty lagrangeiánu v teórii poľa.
Časový integrál lagrangeiánu sa nazýva akcia popísaná prostredníctvom formula_75.
V teórii poľa, rozdiel je niekedy robený medzi lagrangeiánom formula_76, ktoré je akcia integrálom času:
a "hustota Lagrangeiánu" formula_78, ktorý sa integruje ponad všetok časopriestor aby sa získala akcia:
Lagrangeián je potom priestorovým integrálom lagrangeiánskej hustoty. formula_78 sa však takisto často nazýva lagrangeián, hlavne vo svojom modernom používaní; je oveľa užitočnejší v relativistických teóriách, keďže ide o definíciu lokálne definovanú Lorentzovým skalárnym poľom. Obe definície lagrangeiánu možno vidieť ako špeciálne prípady všeobecnej formy, v závislosti na tom, či priestorová premenná formula_81 je zahrnutá do indexu formula_82 alebo parametrov formula_83 v formula_4. Teórie kvantového poľa v časticovej fyzike, ako kvantová elektrodynamica, sú obvykle popísané v pojmoch formula_78, a pojmy v tejto forme lagrangeiánu sa rýchlo transformujú do pravidiel používaných pri hodnotení Feynmanových diagramov.
Vybrané polia.
Pre pokračovanie v sekcii o testovacích časticiach vyššie, tu sú rovnice pre polia v ktorých sa pohybujú. Rovnice nižšie sa týkajú polí, v ktorých testovacie častice popísané vyššie sa pohybujú a dovoľujú výpočet týchto polí. Tieto rovnice nedajú rovnice pohybu testovacej častice, ale dávajú potenciál (pole) vyvolaný kvantitami ako sú hmotnosť alebo hustota náboja v akomkoľvek bode formula_86. Napríklad, ak v prípade newtonovskej gravitácie je lagrangeiánska hustota integrovaná v časopriestore, dáva rovnicu, ktorá, ak je vyriešená, poskytne formula_87. Toto formula_87, keď je substituované späť v rovnici (1), Lagrangeova rovnica pre testovaciu časticu je Newtonovské gravitačné pole, pričom poskytuje informáciu potrebnú pre výpočet akcelerácie častice.
Newtonovská gravitácia.
Lagrangeián (hustota) je formula_78 joulov na meter 3 (kubický). Interakčný pojem formula_90 je nahradený pojmom zahŕňajúcim kontinuálnu hustotu hmotnosti formula_91 kilogramov na meter kubický. Toto je nevyhnutné, pretože používajúc podobný zdroj pre pole by vyústilo v matematické ťažkosti. Výsledný lagrangeián pre klasické gravitačné pole je:
kde formula_93 metrov kubických na kilogram sekundu na druhú je gravitačná konštanta. Variácia integrálu s ohľadom na formula_42 dáva:
Integrujte časti a zrušte celkový integrál. Potom vydeľte prostredníctvom formula_96 aby ste dostali:
a tak
čo dáva Gaussov zákon pre gravitáciu.
Elektomagnetizmus v špeciálnej relativite.
Interakčný pojem formula_99 je nahradený pojmami zahŕňajúcimi kontinuálnu hustotu náboja formula_100 coulombov na meter kubický a aktuálnu hustotu formula_101 ampérov na meter štvorcový. Výsledný lagrangeián pre elektromagnetickú pole je:
Variujúc toto s ohľadom na formula_60, dostávame
čo dáva Gaussov zákon.
Variujúc namiesto toho s ohľadom na formula_61, dostávame
čo dáva Ampèrov zákon.
Elektromagnetizmus vo všeobecnej relativite.
Pre lagrangeián gravitácie vo všeobecnej relativite, pozri Einstein-Hilbertova akcia. Lagrangeián elektromagnetického poľa je:
V štvorrozmerných časopriestorových súradniciach formula_71 sú dané arbitrárne jednotky, potom: formula_78 joulsekúnd lagrangeián, skalárna hustota; formula_110 coulombov je prúd, vektorová hustota denzity; a formula_111 voltsekúnd is elektromagnetický tenzor, kovariantný antisymetrický tenzor radu dva. Všimnite si, že determinant pod znakom druhej odmocniny je aplikovaný na maticu komponentov kovariantného metrického tenzoru formula_72, a formula_113 je jeho inverzia. Všimnite si, že jednotky lagrangeiánu sa menia, pretože integrujeme ponad formula_114, ktoré sú bezjednotkové, a nie ponad formula_115, ktoré majú jednotky v sekundometroch kubických. Elektromagnetický tenzor poľa je formovaný antisymetrizáciou čiastkových derivácií elektromagnetického vektorového potenciálu; takže to nie je nezávislá premenná. Druhá odmocnina je potrebná na konverziu tohto pojmu na skalárnu hustotu namiesto len skalára a tiež pre kompenzáciu zmien v jednotkách premenných integrácie. Faktor formula_116 vnútri druhej odmocniny je potrebný na normalizáciu, aby ho druhá odmocnina zredukovala na pojem špeciálnej relativity (keďže determinant je formula_117 v špeciálnej relativity).
Lagrangeiány v kvantovej teórii poľa.
Diracov lagrangeián.
Lagrangeiánska hustota pre Diracove pole je:
kde formula_119 je Diracov spinor, formula_120 je jeho Diracova prípojka, formula_121 je kalibračná kovariantná derivácia, a formula_122 je Feynmanova anotácia pre formula_123.
Kvantovo elektrodynamický lagrangeián.
Lagrangeiánska hustota pre QED je:
kde formula_125 je elektromagnetický tenzor.
Kvantovo chromodynamický lagrangeián.
Lagrangeiánska hustota pre kvantovú chromodynamiku je :
kde formula_121 je QCD kalibračná kovariantná derivácia, 
formula_128 počíta kvarkové typy, a formula_129 je gluónový tenzor silového poľa.
Matematická formalizácia.
predpokladajme, že máme "n"-dimenzionálnu rozmanitosť, formula_130, a cieľovú rozmanitosť, formula_1. Nech formula_132 je konfiguračný priestor hladkej funkcie z formula_130 na formula_1.
Matematický vývoj.
Uvažujme funkctionálne, formula_142, nazvané akcia. Fyzické dôvody určujú, že to je mapovanie na formula_136, ne formula_144.
Za účelom toho, aby akcia bola lokálna, potrebujeme dodatočné obmedzenia ohľadom akcie. Ak formula_145, predpokladáme, že formula_146 je integrál nad formula_130 funkcie formula_148, jej derivátov a pozície zvanej lagrangeián, formula_149. Inými slovami,
Nižšie sa na dôvažok predpokladá, že Lagreangian závisí len na hodnote poľa a jeho prvej derivácii, ale nie od ďalších derivácií.
Za predpokladu hraničných podmienok, v zásade špecifikácia hodnoty formula_148 na hranici ak formula_130 je kompaktný ale bo nejaký limit na formula_148 keďže x pristupuje formula_154 (toto pomôže urobiť integráciu po častiach), podpriestoru formula_132 pozostávajúc z funkcií, formula_148, t. j. že všetky funkcionálne derivácie na formula_75 pri formula_148 sú nulové a formula_148 uspokojujúce dané hraničné podmienky je podpriestorom na škrupine riešení.
Riešenie je dané prostredn9ctvom Euler–Lagrangeových rovníc (vďaka hraničným podmienkam),
Ľavá strana je funkcionálna derivácia akcie s ohľadom formula_148.