Gradient (matematika)

Gradient (priamy preklad z angličtiny: sklon, spád) je zovšeobecnenie sklonu (strmosti) funkcie pre viacero premenných. Je to vektor prvých derivácií podľa jednotlivých premenných skalárnej funkcie resp. (presnejšie) zovšeobecnenie takéhoto vektora pre prípady, kde je namiesto skalárnej funkcie tenzor vyššieho rádu (Napríklad ak je namiesto skalárnej funkcie vektorová funkcia, t.j. tenzor prvého rádu, je gradient príslušná Jacobiho matica).
Smer gradientu je smerom najväčšej zmeny danej funkcie. 
Matematický opis pre gradient aplikovaný na skalárnu funkciu s premennými priestorové súradnice.
Aplikáciou gradientu na skalárne pole dostaneme vektorové pole.
Matematická definícia.
Gradient sa značí symbolom formula_1 (nabla), niekedy ho však označujeme jednoducho "grad". Pre skalárne pole formula_2 počítame jeho gradient formula_3 pomocou vzťahu (symbol formula_4 označuje parciálnu deriváciu)
Samotný vektorový operátor gradientu môžeme preto zapísať ako
Vlastnosti gradientu.
Ak sú F,G vektorové polia, "f","g" funkcie, "a","b" reálne čísla, má gradient nasledujúce vlastnosti:
Je lineárny voči reálnym číslam
spĺňa Leibnizove pravidlo pre funkcie
gradient skalárneho súčinu vektorov spĺňa
kde ∇ × F je rotácia vektorového poľa F.
Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách.
Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie gradientu v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je funkcia "f" skalárne pole v daných súradniciach a striežkované tučné znaky súradníc sú jednotkové vektory bázy v daných súradniciach, potom platí
Vo valcových súradniciach:
Vo sférických súradniciach:
Ak používame všeobecné ortogonálne súradnice "x"1,"x"2,"x"3, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí "h"1,"h"2,"h"3
V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora gradientu platí
Tu je potrebné poznamenať, že zatiaľ čo v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všobecné súradnice používáme bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne sa píše akú.
Príklad výpočtu.
Zoberme si formula_14. Gradient takéhoto poľa je
(na prvom mieste je derivácia formula_16 podľa formula_17, na druhom podľa formula_18, na treťom podľa formula_19).
Názorné vysvetlenie.
Začneme pojmom skalárne pole z úvodného odseku. To v skutočnosti neznamená nič iné než mať priradené číslo (skalár) každému bodu priestoru. Z bežného života si môžeme predstaviť miestnosť a meranie teploty v nej (pri okne je chladnejšie ako nad radiátorom). Skalárne pole formula_20 nám potom udáva teplotu v bode miestnosti so súradnicami formula_21. Úlohou gradientu je do každého bodu priestoru položiť vektor (šípku) ukazujúci, ktorým smerom teplota najviac rastie. No a priestor, ktorý má v každom bode vektor nazývame vektorové pole. Veľkosť vektora je určená veľkosťou rastu teploty v danom smere – čím rýchlejšie sa teplota mení, tým väčší je vektor. Môžeme teda zhrnúť, že aplikáciou gradientu na skalárne pole teda dostávame vektorové pole.
Podobne si môžeme namiesto trojrozmernej miestnosti predstaviť niečo jednoduchšie – dvojrozmernú plochu. Kopec potom vieme matematicky vyjadriť pomocou funkcie formula_22 vyjadrujúcej výšku kopca nad bodom so súradnicami formula_23. Gradient opäť ukazuje smer najprudšieho stúpania v danom bode kopca (je dobré si uvedomiť, že tento smer nemusí byť totožný so smerom k vrcholu kopca).