Matica (matematika)

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu. 
Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má formula_1 riadkov a formula_2 stĺpcov, hovorí sa o "matici typu formula_1 krát formula_2". Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny formula_5 hovorí sa o "matici nad množinou formula_5". Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť
Prvky matice A zvyčajne označujeme ako formula_8, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.
Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou formula_9 sa reprezentujú konečné binárne relácie.
Operácie s maticami.
Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice. 
Sčítavanie matíc.
Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:
Skalárne násobenie.
Každý prvok v matici "A" sa vynásobí číslom "c". Napríklad:
Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.
Násobenie matíc.
Násobenie môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak "A" je "m"-krát-"n" matica a "B" je "n"-krát-"r" matica, tak ich maticový produkt "AB" má rozmery "m"-krát-"r" ("m" počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- "r" počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií ["i","j"] je:
pre každé "i" a "j".
Napríklad:
Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:
Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí. Aj v prípade, že oba súčiny majú rovnaké rozmery, môžeme dostať rôzne výsledky.
formula_17
Vidíme teda, že násobenie matíc nie je komutatívne. Násobenie matíc je však asociatívne, 
Pre sčitovanie a násobenie matíc platí distributívnosť, teda 
(pre ľubovoľné matice takých rozmerov, že uvedené súčiny existujú).
Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar.
Matice "A" a "B" sú riadkovo ekvivalentné vtedy (označujeme formula_20), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných "elementárne riadkové operácie":
formula_21 je reláciou ekvivalencie.
Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.
Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.
Matica "A" je v stupňovitom tvare ak platí:
Ak navyše platí, že:
tak sa "A" nazýva redukovaná stupňovitá matica.
Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.
Hodnosť matice.
Hodnosť matice je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).