Seibergov–Wittenov invariant

Seibergove-Wittenove invarianty sú invarianty kompaktnej 4-rozmanitosti zavedené Edwardom Wittenom (pozri ), používajúce Seiberg-Wittenovu teóriu skúmanú Seibergom a Wittenom (, ) počas ich skúmania Seibergovej-Wittenovej kalibračnej teórie.
Seibergove-Wittenove invarianty sú podobné Donaldsonovým invariantom a možno ich použiť na dokázanie podobných (no niekedy o niečo silnejších) výsledkov ohľadom hladkých 4-rozmanitostí. Po technickej stránke sa s nimi narába oveľa ľahšie ako s Donaldsonovými invariantmi; napríklad, moduli priestory riešení Seibergových-Wittenových rovníc majú tendenciu ku kompaktnosti, takže sa možno vyhnúť vážnym problémom, ktoré súvisia s kompaktifikáciou moduli priestorov Donaldsonovej teórie.
Detailný opis Seibergových-Wittenových invariantov pozri v , , , , . O vzťahoch k sympletickej rozmanitosti a Gromovovým-Wittenovým invariantom pozri . O ranej histórii pozri .
Štruktúry spin "c".
Seiberg-Wittenove rovnice závisia na výbere komplexnej spinovej štruktúry, spinu "c", na 4-rozmanitosti "M". V 4 dimenziách je skupina spin"c"
a je z nej homomorfizmus do SO(4). Štruktúra spin"c" na "M" je výťah prirodzenej SO(4) štruktúry tangentového zhluku (za predpokladu Riemannianovej metriky a orientácie) k skupine spin "c". Každá hladká kompaktná 4-rozmanitosť "M" má štruktúry typu spin "c" ( hoci väčšina nemá spinové štruktúry.
Seiberg-Witten rovnice.
Stanovte hladkú kompaktnú 4-rozmanitosť "M", vyberte štruktúru spin"c" "s" na "M" a
napíšte "W"+, "W"− pre asociované spinorové zhluky a "L" pre determinujúci líniový zhluk. Napíšte φ pre samoduálne spinorové pole (sekcia "W"+) a "A" pre U(1) pripojenie na "L".
Seiberg-Wittenove rovnice pre for (φ,"A") sú
kde "D""A" je Diracov operátor "A", "F""A" je zakrivenie 2-formy "A", 
a "F""A"+ je jej samoduálna častica a σ je umocnená mapa od "W"+ na imaginárne samoduálne 2-formy a formula_3 
je reálne samoduálna dvojforma, často reprezentovaná ako nula alebo harmonická.
Riešenie (φ,"A") pre Seiberg-Wittenove rovnice sa nazýva monopoly, keďže tieto rovnice sú rovnice poľa bezváhových magnetických monopolov na rozmanitosti "M".
The moduli priestor riešení.
Priestor riešení je v réžii kalibračnej skupiny a kvocient pri tejto akcii sa nazýva moduli priestor monopolov.
Moduli priestor je obvykle rozmanitosť. Riešenia sa nazýva redukovateľné, ak je fixované nejakým netriviálnym elementom kalibračnej skupiny, ktorý je ekvivalentný k formula_4. Nevyhnutnou
a dostatočnou podmienkou pre redukovateľné riešenia pre metriku na "M" a samoduálne 2-formy formula_3 je, že samoduálna časť harmonického zástupcu kohomologickej triedy určujúceho líniového zhluku je ekvivalentná harmonickej časti formula_6.
Moduli priestor je rozmanitosť s výnimkou u redukovateľných monopolov. Takže ak "b"2+("M")≥1, potom moduli priestor je (pravdepodobne prázdna) rozmanitosť pre všeobecné metriky. Navyše, všetky komponenty majú rozmer
Moduli priestor je prázdny pre všetky s výnimkou konečného počtu spinu"c" štruktúr "s", a je vždy kompaktný.
O rozmanitosti "M" sa hovorí, že je jednoduchého typu, ak je moduli priestor konečný pre všetky "s". Zbiehavosť jednoduchého typu udáva, že ak "M" je jednoducho pripojené a "b"2+("M")≥2, potom je moduli priestor konečný. Toto platí pre sympletické rozmanitosti.
Ak "b"2+("M")=1, potom existujú príklady rozmanitostí s moduli priestormi arbitrárne vysokých dimenzií.
Seiberg-Wittenove invarianty.
Seiberg-Witten invarianty sa najľahšie definujú pre rozmanitosti "M" jednoduchého typu. V tomto prípade je invariantom mapa spinu"c" štruktúr "s" na Z, priberajúc "s"k počtu elementov moduli priestoru počítaných so znakmi.
Ak má rozmanitosť "M" metriku pozitívnej skalárnej zakrivenosti a "b"2+("M")≥2, potom všetky Seiberg-Wittenove invarianty "M" miznú.
Ak je rozmanitosť "M" jednoducho pripojená a sympletická a "b"2+("M")≥2, potom má spin"c" štruktúru "s", na ktorej je Seiberg-Wittenov invariant 1. Podstatné je, že nemôže byť rozdelený ako pripojená suma rozmanitostí s "b"2+≥1.