Lineárne zobrazenie

Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory formula_1 prípadne formula_2.
Definícia.
Nech formula_3 sú vektorové priestory nad telesom formula_4. Zobrazenie formula_5 sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
formula_6
Príklad.
Zobrazenie formula_7 nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)
formula_8
formula_9
Tu ale neplatí formula_10, pretože formula_11. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.
Matica lineárneho zobrazenia.
Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak formula_12 je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať
formula_13
Vektor formula_14 je chápaný ako matica formula_15. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice formula_16 je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) formula_14. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu formula_18. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti
formula_19
kde vektor formula_20 je k-ty jednotkový vektor a formula_21 je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.
Príklad.
Nájdime maticu formula_16 lineárneho zobrazenia formula_12, ktoré ku každému vektoru formula_24 priradí jeho formula_25-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).
formula_26
formula_27
Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom
formula_28
formula_29
Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory formula_30 ortonormálnej bázy priestoru formula_1, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj formula_25-násobok, teda
formula_33
formula_34
Matica tohto lineárneho zobrazenia je 
formula_35
Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru formula_1 dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia formula_12 je jeho formula_25-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom
formula_39
Základná veta o lineárnych zobrazeniach.
Nech formula_40 je ľubovolná báza vektorového priestoru formula_41 a nech formula_42 sú ľubovolné vektory priestoru formula_43. Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie formula_44 pre ktoré platí: formula_45 , formula_46 , ... , formula_47