Charakteristická funkcia (teória pravdepodobnosti)

Charakteristická funkcia je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike jedna z funkcií náhodnej veličiny. Využíva sa (okrem iného) pri charakterizovaní a určovaní vlastností náhodných veličín a pri skúmaní limitného správania sa a limitných viet náhodných veličín.
Charakteristická funkcia úplne určuje rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny. Ak existuje hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny, tak potom je charakteristická funkcia Fourierova transformácia tejto hustoty. 
Každá náhodná veličina má svoju charakteristickú funkciu, teda inak povedané – charakteristická funkcia náhodnej veličiny existuje vždy. V tom sa líši napríklad od momentovej vytvárajúcej funkcie, ktorá nie je definovaná pre všetky náhodné veličiny. 
Definícia.
Nech formula_1 je náhodná premenná a nech formula_2 je jej distribučná funkcia. Komplexná funkcia reálnej premennej formula_3, ktorú definujeme nasledujúcim vzťahom:
sa nazýva charakteristická funkcia náhodnej premennej formula_1.
V uvedenom vzťahu písmeno formula_6 označuje tzv. imaginárnu jednotku komplexného čísla formula_7, formula_8 je množina reálnych čísel, formula_9 je množina komplexných čísel a formula_10. Pre imaginárnu jednotku uvedenú v definícii platí známy vzťah: formula_11. Vo výraze v zátvorke nachádzajúcom sa na konci vzťahu označuje symbol formula_12 hustotu náhodnej veličiny. Posledná rovnosť však platí len v tom prípade, ak existuje hustota náhodnej veličiny (pokiaľ neexistuje, tak samozrejme nemôžeme charakteristickú funkciu pomocou nej vyjadriť).
Ďalej môžeme definovať vzťah pre formula_13 nasledovne:
A vďaka tomuto vzťahu môžeme písať:
Pokiaľ je uvažovaná náhodná veličina formula_1 diskrétna, tak platí nasledovné:
Zovšeobecnenie.
Predchádzajúca definícia sa dá zovšeobecniť aj pre zložitejšie (iné ako jednorozmerné) náhodné veličiny.
V predchádzajúcom značení použité symboly vyjadrujú:
Označenie charakteristickej funkcie.
V závislosti od literatúry sa používa rôzne označenie (rôznymi gréckymi písmenami), napr:
Vlastnosti charakteristickej funkcie.
Charakteristická funkcia má niekoľko dôležitých vlastností. Jednou z týchto vlastností je, že charakteristická funkcia v bode 0 je rovná 1, teda matematicky zapísané: formula_44. 
Platnosť tejto rovnosti sa dá ukázať nasledovným postupom:
Ďalšou vlastnosťou je, že charakteristická funkcia je ohraničená, teda: formula_46 pre všetky formula_10.
Pre charakteristickú funkciu zo záponého argumentu zase platí nasledovné: formula_48 pre všetky formula_49, kde formula_50 vyjadruje komplexne združené číslo k číslu formula_42
Charakteristická funkcia formula_42 je rovnomerne spojitá na množine reálnych čísiel formula_8
Charakteristická funkcia formula_42 je tiež kladne semidefinitná, teda platí:
Existuje vzťah medzi charakteristickými funkciami náhodných premenných a distribučnými funkciami náhodných premenných. Teda pokiaľ máme dve náhodné premenné formula_61 a formula_62, tak platí nasledovné:
Pokiaľ existuje hustota formula_64 náhodnej veličiny formula_1, pričom táto náhodná veličina má distribučnú funkciu formula_2, tak potom charakteristická funkcia tejto náhodnej veličiny sa dá vyjadriť aj v nasledujúcom tvare:
Pre charakteristickú funkciu súčtu náhodných veličín, teda pre takú náhodnú veličinu formula_68, ktorá je súčtom formula_69 nezávislých náhodných veličín: formula_70 platí vzťah:
Pre náhodnú veličinu nasledovného tvaru: formula_72 zase platí:
Pomocou charakteristickej funkcie sa dajú pomerne jednoducho vyrátať aj momenty náhodných veličín (pokiaľ tieto samozrejme existujú). Predpokladajme, že pre formula_74 , formula_75 je formula_76. Potom vieme, že "k"-te derivácie, ktoré označíme formula_77 funkcie formula_78 existujú a platí pre ne nasledovný vzťah:
Existencia charakteristickej funkcie.
Každá náhodná veličina má svoju charakteristickú funkciu, teda inak povedané – charakteristická funkcia náhodnej veličiny existuje vždy. V tom sa líši napríklad od momentovej vytvárajúcej funkcie, ktorá nie je definovaná pre všetky náhodné veličiny. 
Pokiaľ teda máme ľubovoľnú náhodnú veličinu formula_1 a formula_10, tak určite vieme, že pre každé formula_10 platí (napr. pre funkciu kosínus), že: formula_83 (analogicky pre funkciu sínus). Teda určite vieme, že funkcie formula_84, formula_85 a formula_86 sú spojité a ohraničené na množine formula_8. Z toho teda dostávame nasledovné:
Teda Lebesgueove-Stieltjesove integrály existujú a sú konečné, ohraničené.
Príklady.
Pre konkrétne rozdelenia pravdepodobnosti má charakteristická funkcia nasledovné vyjadrenia:
&lt;/math&gt;