[
    {
        "question": " 1  - Anneau de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ l'ensemble des matrices s'écrivant $\\begin{pmatrix}a&b\\\\0&a\\end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs. \n\n\n Démontrer que $A$ est un anneau pour les lois d'addition et de produits de matrices.\n\n Déterminer les éléments inversibles de $A$. \n\n",
        "answer": "  \n Il suffit de démontrer que $A$ est un sous-anneau de $\\mathcal M_2(\\mathbb R).$ Pour cela, on remarque que\n\n\n $I_2\\in A$ (choisir $a=1$ et $b=0$).\n\n Si $M=\\begin{pmatrix}a&b\\\\0&a\\end{pmatrix}$ et $M'=\\begin{pmatrix}a'&b'\\\\0&a'\\end{pmatrix}$ sont dans $A$, alors \n\n$$M-M'=\\begin{pmatrix}a-a'&b-b'\\\\0&a-a'\\end{pmatrix}$$\n\net \n\n$$MM'=\\begin{pmatrix}aa'&ab'+ba'\\\\0&aa'\\end{pmatrix}$$\n\nsont dans $A.$\n\n\n Soit $M=\\begin{pmatrix}a&b\\\\0&a\\end{pmatrix}$ inversible dans $A$. Alors il existe $M'=\\begin{pmatrix}a'&b'\\\\0&a'\\end{pmatrix}$ tel que $MM'=I_2$. On obtient $aa'=1$, et comme $a$ et $a'$ sont dans $\\mathbb Z$, on doit avoir $a=\\pm 1$. Dans ce cas, on aura $a'=a$. De plus, on doit aussi avoir \n\n$ab'+ba'=0$ ce qui entraîne $b'=-b$.\n\nRéciproquement, soit $M\\in A$ qui s'écrit\n\n$$M=\\begin{pmatrix}a&b\\\\0&a\\end{pmatrix}$$\n\navec $a=\\pm 1$.\n\nPosons \n\n$$M'=\\begin{pmatrix}a&-b\\\\0&a\\end{pmatrix}.$$\n\nAlors \n\n$$MM'=\\begin{pmatrix}a^2&ab-ba\\\\0&a^2\\end{pmatrix}=I_2.$$\n\nAinsi, $M'$ est inversible. On a donc démontré que les éléments inversibles de $A$ sont ceux pour lesquels $a=1$ ou $a=-1.$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Anneau des entiers de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On appelle ensemble des entiers de Gauss noté $\\mathbb Z[i]$ l'ensemble des nombres complexes qui s'écrivent $a+ib$, avec $a$ et $b\\in\\mathbb Z.$\n\n\n Démontrer que $\\mathbb Z[i]$ est un anneau.\n\n Pour tout nombre complexe $z$, on note $N(z)=z\\bar z.$\n\n\n Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $N(z)N(z')=N(zz').$\n\n Démontrer que, pour tout entier de Gauss $z$, $N(z)$ est un entier naturel.\n\n Soit $z$ un entier de Gauss inversible. Déduire des questions précédentes que $N(z)=1$.\n\n Quels sont les éléments inversibles de $\\mathbb Z[i]$?\n\n\n",
        "answer": "  \n On va prouver que $\\mathbb Z[i]$ est un sous-anneau de $\\mathbb C.$\n\nEn effet,\n\n\n $1=1+0i\\in\\mathbb Z[i];$\n\n Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'\\in\\mathbb Z[i].$ Alors \n\n$$z-z'=(a-a')+i(b-b')\\in\\mathbb Z[i]$$\n\n(puisque $a-a'$ et $b-b'\\in\\mathbb Z$) et \n\n$$zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)\\in\\mathbb Z[i]$$\n\n(puisque $aa-bb'$ et $ab'+a'b\\in\\mathbb Z$).\n\n\n \n On remarque que $N(z)=|z|^2.$ Puisque $|zz'|=|z|\\cdot |z'|,$ en mettant au carré cette égalité, on a le résultat demandé.\n\n Si $z=a+ib$, alors $N(z)=a^2+b^2$ et $a^2,b^2$ sont des entiers naturels, donc $N(z)$ aussi.\n\n Soit $z$ un entier de Gauss inversible et soit $z'$ son inverse. Alors on sait que $zz'=1$ et donc $N(z)\\times N(z')=1$. Or le produit de deux entiers naturels est égal à $1$ si et seulement si ces deux entiers sont égaux à $1$. Donc $N(z)=1.$\n\n Soit $z=a+ib\\in\\mathbb Z[i]$ inversible. Alors $N(z)=1$, et donc $a^2+b^2=1.$ Or, puisque $a^2$ et $b^2$ sont des entiers naturels, ceci n'est possible que dans quatre cas : $(a,b)=(1,0),$ $(a,b)=(-1,0),$ $(a,b)=(0,1),$\n\net $(a,b)=(0,-1).$ Réciproquement, il est facile de vérifier que $1$, $-1$, $i$ et $-i$ sont inversibles dans $\\mathbb Z[i],$ d'inverse respectif $1$, $-1$, $-i$ et $i$. Les éléments inversibles de $\\mathbb Z[i]$ sont donc $1$, $-1$, $i$ et $-i.$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Endomorphisme de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(G,+)$ un groupe commutatif. On note $\\textrm{End}(G)$ l'ensemble des endomorphismes de $G$ sur lequel on définit la loi $+$ par $f+g:G\\to G,\\ x\\mapsto f(x)+g(x)$. Démontrer que $(\\textrm{End}(G),+,\\circ)$ est un anneau.",
        "answer": "  On remarque d'abord que $+$ et $\\circ$ sont bien des lois de composition interne sur $\\textrm{End}(G)$. Ensuite, on vérifie tous les points de la définition d'un anneau.\n\n\n $(\\textrm{End}(G),+)$ est un groupe commutatif. En effet, la loi $+$ est associative et commutative, l'application $0_G:G\\to G,\\ g\\mapsto 0$ est un élément neutre pour la loi $+$, et tout élément $f\\in\\textrm{End}(G)$ admet un inverse $-f:G\\to G,\\ x\\mapsto -f(x)$.\n\n La loi $\\circ$ est associative.\n\n La loi $\\circ$ possède un élément neutre, qui est l'application identité.\n\n La loi $\\circ$ est distributive par rapport à la loi $+$ : pour tous $f,g,h\\in\\textrm{End}(G)$ et tout $x\\in G$, \n\n$$((f+g)\\circ h)(x)=(f+g)(h(x))=f(h(x))+g(h(x))=(f\\circ h+g\\circ h)(x)$$\n\net \n\n$$(f\\circ (g+h))(x)=f((g+h)(x))=f(g(x)+h(x))=f(g(x))+f(h(x))=(f\\circ g+f\\circ h)(x).$$\n\n\n\nAinsi, $(\\textrm{End}(G),+,\\circ)$ est un anneau.\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Rationnels à dénominateur impair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\displaystyle A=\\left\\{\\frac mn;\\ m\\in\\mathbb Z,\\ n\\in 2\\mathbb N+1\\right\\}$ (c'est-à-dire que $A$ est l'ensemble des rationnels à dénominateur impair). Démontrer que $(A,+,\\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?",
        "answer": "  On va démontrer que $A$ est un sous-anneau de $(\\mathbb Q,+,\\times)$. Pour cela, soient $x=\\frac mn$  et $y=\\frac{m'}{n'}\\in A$. Alors : \n\n$$x-y=\\frac{mn'-m'n}{nn'}\\textrm{ et }xy=\\frac{mm'}{nn'}.$$\n\nComme $nn'$, produit de deux nombres impairs, est impair, et que $A$ est non vide puisqu'il contient $1$, on en déduit que $A$ est bien un sous-anneau de $(\\mathbb Q,+,\\times)$. \n\nDéterminons ensuite les inversibles de $A$. Soit $x=\\frac mn\\in A$ inversible, et soit $y=\\frac{m'}{n'}\\in A$ tel que $xy=1$. On en déduit que $mm'=nn'$. En particulier, $m$ est nécessairement impair. Réciproquement, si $x=\\frac{m}n$ avec $m$ impair, alors $y=\\frac nm$ est dans $A$ (si jamais $m<0$, il suffit d'écrire $y=\\frac{-n}{-m}$ pour vérifier qu'il est bien dans $A$), et $xy=1$. Ainsi, les inversibles de $A$ sont les éléments $\\frac mn$ avec $m\\in\\mathbb Z$, $n\\in\\mathbb N^*$, et $m,n$ impairs.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Décimaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\mathbb D$ l'ensemble des nombres décimaux, \n\n$$\\mathbb D=\\left\\{\\frac{n}{10^k};\\ n\\in\\mathbb Z, k\\in\\mathbb N\\right\\}.$$\n\nDémontrer que $(\\mathbb D,+,\\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?",
        "answer": "  On va prouver que $(\\mathbb D,+,\\times)$ est un sous-anneau de $(\\mathbb Q,+,\\times)$. On remarque d'abord que $\\mathbb D\\subset\\mathbb Q$, puis que $1\\in\\mathbb D$. De plus, soient $x=\\frac n{10^k}$ et $y=\\frac{m}{10^l}$ deux éléments de $\\mathbb D$. Alors \n\n$$x-y=\\frac{n10^l-m10^k}{10^{k+l}}\\textrm{ et }xy=\\frac{nm}{10^{k+l}}$$\n\nsont clairement des éléments de $\\mathbb D$, et $(\\mathbb D,+,\\times)$ est bien un sous-anneau de $(\\mathbb Q,+,\\times)$.\n\nDéterminons ensuite les inversibles de $(\\mathbb D,+,\\times)$. Soit $x=\\frac{n}{10^k}$ inversible, d'inverse $y=\\frac{m}{10^l}$. Alors \n\n$$xy=1\\iff nm=10^{k+l}.$$\n\nOn en déduit que les seuls diviseurs premiers de $n$ sont $2$ et $5$, autrement dit que $n$ s'écrit $\\pm 2^p5^q$ pour $p,q\\in\\mathbb N$. Réciproquement, soit $x=\\frac{\\pm 2^p5^q}{10^k}$ et montrons que $x$ est inversible dans $\\mathbb D$. Posons $y=\\frac{\\pm 10^k}{2^p5^q}$. Il suffit de vérifier que $y$ est élément de $\\mathbb D$. Mais on peut aussi écrire\n\n$$y=\\frac{\\pm 10^k 2^q 5^p}{2^{p+q}5^{p+q}}=\\frac{\\pm 10^k 2^q5^p}{10^{p+q}}\\in\\mathbb D.$$\n\nAinsi, les inversibles de $(\\mathbb D,+,\\times)$ sont les éléments $\\frac{\\pm 2^p5^q}{10^k}$, avec $p,q,k\\in\\mathbb N$.\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Un anneau d'entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère $\\mathbb Z[\\sqrt 2]=\\{a+b\\sqrt 2;\\ a,b\\in\\mathbb Z\\}$.\n\n\n Montrer que $(\\mathbb Z[\\sqrt 2],+,\\times)$ est un anneau.\n\n On note $N(a+b\\sqrt{2})=a^2-2b^2$. Montrer que, pour tous $x,y$ de $\\mathbb Z[\\sqrt 2]$,\n\non a $N(xy)=N(x)N(y)$.\n\n En déduire que les éléments inversibles de $\\mathbb Z[\\sqrt 2]$ sont ceux s'écrivant $a+b\\sqrt 2$ avec\n\n$a^2-2b^2=\\pm 1$.\n\n",
        "answer": "  \n Il suffit de prouver que c'est un sous-anneau de $(\\mathbb R,+,\\times)$.\n\nMais $\\mathbb Z[\\sqrt 2]$ est\n\n\n stable par la loi + : $(a+b\\sqrt 2)+(a'+b'\\sqrt 2)=(a+a')+(b+b')\\sqrt 2$.\n\n stable par la loi $\\times$ :\n\n$$(a+b\\sqrt 2)\\times (a'+b'\\sqrt 2)=(aa'+2bb')+(ab'+a'b)\\sqrt{2}$$.\n\n stable par passage à l'opposé $-(a+b\\sqrt 2)=-a+(-b)\\sqrt 2$.\n\n\n\nDe plus, $1\\in \\mathbb Z[\\sqrt 2]$, ce qui achève la preuve du fait que $\\mathbb Z[\\sqrt 2]$ est un sous-anneau de $\\mathbb R$.\n\n Posons $x=a+b\\sqrt{2}$ et $y=a'+b'\\sqrt{2}$. En tenant compte de la formule pour le produit \n\nobtenue à la question précédente, on a\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nN(xy)&=&(aa'+2bb')^2-2(ab'+a'b)^2\\\\\n\n&=&(aa')^2-2(ab')^2-2(a'b)^2+4(bb')^2.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nD'autre part,\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nN(x)\\times N(y)&=&(a^2-2b^2)(a'^2-2b'^2)\\\\\n\n&=&(aa')^2-2(ab')^2-2(a'b)^2+4(bb')^2.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n Soit $x=a+b\\sqrt 2$. Supposons d'abord que $x$ est inversible, d'inverse $y$.\n\nAlors $N(xy)=N(1)=1$, et donc $N(x)N(y)=1$. Puisque $N(x)$ et $N(y)$ sont tous les deux des\n\nentiers, on a nécessairement $N(x)=\\pm 1$. Réciproquement, si $N(x)=\\pm 1$, alors,\n\nen utilisant la quantité conjuguée :\n\n$$\\frac{1}{a+b\\sqrt 2}=\\frac{a-b\\sqrt 2}{a^2-2b^2}=\\pm(a-b\\sqrt{2})$$\n\nce qui montre que $a+b\\sqrt 2$ est inversible, d'inverse $\\pm(a-b\\sqrt{2})$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Centre d'un anneau [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau. On appelle centre de $A$ et l'on note $C(A)$ l'ensemble des éléments $a\\in A$ tels que, pour tout $b\\in A$, $ab=ba.$ Démontrer que $C(A)$ est un sous-anneau de $A$.",
        "answer": "  Il suffit de vérifier le théorème de caractérisation des sous-anneaux.\n\n\n $1\\in C(A)$, puisque $1a=a1=a$ pour tout $a\\in A.$\n\n Soit $a,a'\\in C(A)$ et soit $b\\in A$. Alors \n\n$$(a-a')b=ab-a'b=ba-ba'=b(a-a')$$ \n\n(on a utilisé deux fois la distributivité) et donc $a-a'\\in C(A).$\n\n Soit $a,a'\\in C(A)$ et soit $b\\in A$. Alors \n\n$$(aa')b=a(a'b)=a(ba')=(ab)a'=(ba)a'=b(aa')$$\n\n(on a utilisé plusieurs fois l'associativité) et donc $aa'\\in C(A).$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Sous-anneaux de $\\mathbb Z^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $d\\in\\mathbb N$, on note $A_d=\\{(x,y)\\in\\mathbb Z^2;\\ y-x\\in d\\mathbb Z\\}$. \n\n\n Démontrer que, pour tout $d\\in\\mathbb N$, $A_d$ est un sous-anneau de $\\mathbb Z^2$.\n\n Réciproquement, soit $A$ un sous-anneau de $\\mathbb Z^2$. Démontrer que $H=\\{x\\in\\mathbb Z;\\ (x,0)\\in A\\}$ est un sous-groupe de $\\mathbb Z$.\n\n En déduire qu'il existe $d\\in\\mathbb N$ tel que $A=A_d$.\n\n",
        "answer": "  \n Il est clair que $0_{\\mathbb Z^2}$ et $1_{\\mathbb Z^2}$ sont éléments de $A_d$. Considérons ensuite $(x,y),(x',y')\\in A_d$. Que $(x+x',y+y')$ reste élément de $A_d$ ne pose pas de problèmes. Pour le produit, on a \n\n$$(x,y)\\times (x',y')=(xx',yy')$$\n\net on a \n\n$yy'-xx'=(y-x)y'+x(y'-x')\\in d\\mathbb Z$.\n\n $0\\in H$ et si $x,x'\\in H$, alors $(x-x',0)=(x,0)-(x',0)\\in A$ et donc $x-x'\\in H$. $H$ est un sous-groupe de $\\mathbb Z$.\n\n Puisque $\\mathbb Z$ est principal, il existe $d\\in\\mathbb N$ tel que $H=d\\mathbb Z$. Démontrons que $A=A_d$. D'une part, si $(x,y)\\in A$, alors \n\n$$(x-y,0)=(x,y)-y(1,1)\\in A$$\n\n et donc $d|x-y$, c'est-à-dire $(x,y)\\in A_d$. Réciproquement, si $(x,y)\\in A_d$, alors $x-y\\in d\\mathbb Z=H$, ce qui signifie que $(x-y,0)\\in A$. On termine presque comme précédemment en écrivant que\n\n$$(x,y)=(x-y,0)+y(1,1)\\in A.$$ \n\nLes sous-anneaux de $\\mathbb Z^2$ sont donc tous de la forme $A_d$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Sur certains sous-anneaux de $\\mathbb Q$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $p$ un nombre premier. On note \n\n$$\\mathbb Z_p=\\left\\{\\frac{a}{b}:\\ (a,b)\\in\\mathbb Z\\times\\mathbb Z^*, p\\wedge b=1\\right\\}.$$\n\n\n Démontrer que $\\mathbb Z_p$ est un sous-anneau de $(\\mathbb Q,+,\\times).$\n\n Démontrer que pour tout nombre rationnel non nul $x$, soit $x\\in\\mathbb Z_p,$ soit $x^{-1}\\in \\mathbb Z_p.$\n\n Soit $B$ un sous-anneau de $\\mathbb Q$ contenant $\\mathbb Z_p.$ Démontrer que $B=\\mathbb Q$ ou que $B=\\mathbb Z_p.$\n\n",
        "answer": "  \n On remarque d'abord que $1=\\frac11\\in\\mathbb Z_p$. Soit ensuite $x=\\frac ab$ et $y=\\frac cd$ deux éléments de $\\mathbb Z_p.$ Alors puisque $p\\wedge b=1$ et $p\\wedge d=1,$ on a $p\\wedge (bd)=1.$ Mais puisque \n\n$$x-y=\\frac{ad-bc}{bd}\\textrm{ et }x\\times y=\\frac{ac}{bd},$$\n\non a $x-y\\in\\mathbb Z_p$ et $x\\times y\\in\\mathbb Z_p.$ Ainsi, $\\mathbb Z_p$ est bien un sous-anneau de $\\mathbb Q.$\n\n Soit $x=\\frac{a}{b}\\in\\mathbb Q,$ $x\\neq 0$, écrit sous forme irréductible. Si $x\\in\\mathbb Z_p$, c'est fini. Sinon, c'est que $p|b$ (rappelons que $p$ est premier) et puisque $a\\wedge b=1$, on a $a\\wedge p=1$. Ainsi, $x^{-1}=\\frac{b}{a}\\in\\mathbb Z_p.$\n\n On suppose que $B\\neq \\mathbb Z_p.$ Soit $x\\in B\\backslash \\mathbb Z_p.$ Alors $x$ s'écrit $x=\\frac{a}{p^n b}$ avec $a\\wedge b=1,$ $a\\wedge p=1$ et $b\\wedge p=1.$ En particulier, on sait que $y=\\frac{p^{n-1}b}{a}\\in\\mathbb Z_p\\subset B$, et puisque $B$ est un sous-anneau, $y\\times x=\\frac{1}{p}\\in B.$ \n\nPrenant les puissances de cet élément, on a $\\frac{1}{p^k}\\in B$ pour tout $k\\geq 0.$ Finalement, considérons $r\\in\\mathbb Q,$ $r\\neq 0.$ On peut écrire $r=\\frac{c}{p^m d},$ avec $p\\wedge d=1.$ Alors \n\n$$r=\\frac{c}{d}\\times\\frac{1}{p^m}\\in B$$\n\npuisque $\\frac cd\\in\\mathbb Z_p\\subset\\mathbb Q$ et $\\frac1{p^m}\\in B.$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Anneau des fonctions de $\\mathbb R$ dans $\\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé L'anneau des fonctions de $\\mathbb R$ dans $\\mathbb R$ est-il intègre?",
        "answer": "  Non, cet anneau n'est pas intègre. Il suffit de trouver deux fonctions non identiquement nulles dont le produit est nulle. Par exemple, si $f=1$ sur $]-\\infty,0]$ et $0$ sur $]0,+\\infty[$, et si $g=0$ sur $]-\\infty,0]$ et $1$ sur $]0,+\\infty[$, alors ni $f$ ni $g$ n'est nulle et pourtant $fg=0.$\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Éléments nilpotents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Un élément $x$ d'un anneau $A$ est dit nilpotent s'il existe un entier $n\\geq 1$ tel que $x^n=0$.\n\nOn suppose que $A$ est commutatif, et on fixe $x,y$ deux éléments nilpotents.\n\n\n Montrer que $xy$ est nilpotent.\n\n Montrer que $x+y$ est nilpotent.\n\n Montrer que $1_A-x$ est inversible.\n\n Dans cette question, on ne suppose plus que $A$ est commutatif. Soit $u,v\\in A$ tels que $uv$ est nilpotent. Montrer que $vu$ est nilpotent.\n\n",
        "answer": "  Soient $n,m$ tels que $x^n=0$ et $y^m=0$.\n\n\n Puisque $x$ et $y$ commutent, on a $(xy)^n=x^ny^n=0\\times y^n=0$.\n\n Remarquons d'abord que pour $p\\geq n$, on a $x^p=x^{p-n}x^n=0$.\n\nD'après la formule du binôme, $(x+y)^{n+m}=\\sum_{k=0}^{n+m}\\binom{n+m}{k}x^ky^{n+m-k}$.\n\nMais, pour $k\\geq n$, $x^k=0\\implies x^ky^{n+m-k}=0$. D'autre part, pour $k<n$,\n\non a $n+m-k\\geq m$ et donc $y^{n+m-k}=0\\implies x^k y^{n+m-k}=0$. Ainsi, $(x+y)^{n+m}=0$. On pourrait\n\nmême se contenter de prendre la puissance $n+m-1$.\n\n L'idée est d'utiliser l'identité remarquable (toujours valable dans un anneau)\n\n$$1-x^p=(1-x)(1+x+\\dots+x^{p-1}).$$\n\nSi on l'applique pour $p=n$, alors on obtient\n\n$$1=(1-x)(1+x+\\dots+x^{n-1})$$\n\nce qui implique que $1-x$ est inversible d'inverse $1+x+\\dots+x^{n-1}$.\n\n Soit $n\\geq 1$ tel que $(uv)^n=0$. Alors\n\n$$(vu)^{n+1}=v(uv)^nu=v\\times0\\times u=0.$$\n\nAinsi, $vu$ est nilpotent.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On dit qu'un anneau $A$ est un anneau de Boole si, pour tout $x\\in A$, $x^2=x$. On fixe $A$ un tel anneau.\n\n\n Démontrer que, pour tout $x\\in A$, $x=-x$.\n\n Montrer que $A$ est commutatif.\n\n",
        "answer": "  \n On applique la propriété à l'élément $x+x$. Il vient \n\n$$x+x=(x+x)^2=x^2+x^2+x^2+x^2=x+x+x+x.$$\n\nAprès simplification, on trouve $x+x=0$, soit $x=-x$.\n\n Soient $x,y\\in A$. On doit prouver $xy=yx$. Appliquons la propriété à l'élément $x+y$. On a\n\n$$(x+y)=(x+y)^2=x^2+y^2+xy+yx=x+y+xy+yx.$$\n\nAprès simplification, on trouve $xy+yx=0$ soit $xy=-yx$, soit $xy=yx$ en appliquant le résultat\n\nde la question précédente.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Caractéristique d'un anneau [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau. On appelle caractéristique de $A$ l'ordre de $1_A$ dans le groupe additif $(A,+)$. Dans la suite, on supposera que $A$ est de caractéristique finie $n$.\n\n\n Démontrer que, pour tout $x\\in A$, $nx=0$.\n\n Démontrer que si $A$ est intègre, $n$ est un nombre premier.\n\n Démontrer que si $A$ est intègre et commutatif, alors $x\\mapsto x^n$ est un morphisme d'anneaux.\n\n",
        "answer": "  \n Il s'agit juste d'un jeu d'écriture utilisant la définition d'un anneau! On écrit en effet :\n\n$$n\\cdot x=n\\cdot (1_A\\times x)=(n\\cdot 1_A)\\times x=0_A\\times x=0_A.$$\n\n Raisonnons par contraposée. Supposons que $n=pq$ avec $1<p,q<n$. Alors posons $x=p\\cdot 1_A$ et $y=q\\cdot 1_A$. Ni $x$ ni $y$ ne sont nuls puisque $1_A$ est d'ordre exactement $n$. Pourtant, leur produit $x\\times y=(pq)\\cdot 1_A$ est nul et $A$ n'est pas intègre. On vient de démontrer que si $n$ n'est pas premier, alors $A$ n'est pas intègre. Donc $A$ intègre entraîne $n$ premier.\n\n On va noter $n=p$ pour souligner que $n$ est un nombre premier, et $f(x)=x^p$. Il n'y a pas de difficultés à vérifier que $f(1_A)=1_A$ et $f(x\\times y)=f(x)\\times f(y)$ (par la commutativité de $A$) pour tous $x,y\\in A$. D'autre part, on a \n\n$$f(x+y)=(x+y)^p=\\sum_{k=0}^p \\binom pk x^ky^{p-k}=x^p +y^p+\\sum_{k=1}^{p-1} \\binom pk x^k y^{p-k}.$$\n\nD'après le résultat de la première question, il suffit de vérifier que $p|\\binom pk$ pour tout $k=1,\\dots,p-1$. Mais on a \n\n$$p!=\\binom pk\\times k!\\times (p-k)!.$$\n\nOn a donc \n\n$$p| \\binom pk\\times k!\\times (p-k)!.$$\n\nMais comme $p$ est premier et que les décompositions en produits de facteurs premiers de $k!$ et de $(p-k)!$ ne font intervenir que des nombres premiers strictement inférieurs à $p$, $p$ est premier avec le produit $k!\\times (p-k)!$. Ainsi, $p|\\binom pk$, et on a bien $f(x+y)=f(x)+f(y)$. $f$ est bien un morphisme d'anneaux.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Anneau intègre fini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que $A$ est un corps.",
        "answer": "  Fixons $a\\in A$ non nul et considérons le morphisme de groupes $(A,+)\\to (A,+),\\ x\\mapsto ax$. Alors ce morphisme de groupes est injectif, car son noyau est réduit à $\\{0_A\\}$ puisque $A$ est intègre. Puisque $A$ est fini, ce morphisme est nécessairement bijectif, et donc il existe $x\\in A$ tel que $ax=1_A$. Par commutativité de $A$, on a aussi $xa=1_A$ et donc $a$ admet un inverse : $A$ est un corps.\n\nRemarquons que l'on peut se passer de l'hypothèse que $A$ est commutatif, par exemple en faisant le même raisonnement avec $x\\mapsto xa$, et en prouvant que l'inverse à droite et l'inverse à gauche coïncident.\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Idéal dans un anneau de suites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ l'ensemble des suites réelles et $B$ l'ensemble des suites réelles bornées. On admet que $A$ et $B$ sont deux anneaux pour l'addition et le produit des suites. Soit $I$ l'ensemble des suites réelles qui convergent vers $0$. Est-ce que $I$ est un idéal de $A?$ de $B?$",
        "answer": "  On commence par remarquer que $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+).$ En effet, la suite nulle est dans $I$, et si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dans $I,$ alors $(u_n+v_n)$ est dans $I$ puisque la somme de deux suites qui convergent vers $0$ converge elle-même vers $0.$\n\nOn va ensuite prouver que $I$ n'est pas un idéal de $A$. Considérons en effet la suite $(x_n)$ telle que $x_n=2^n$ et la suite $(u_n)$ telle que $u_n=2^{-n}$.\n\nAlors $(x_n)\\in A,$ $(u_n)\\in I$ et le produit $(x_nu_n)$ n'est pas dans $I$ puisque c'est la suite identiquement égale à $1.$\n\nEn revanche, $I$ est un idéal de $B.$ En effet, le produit d'une suite bornée avec une suite qui tend vers $0$ est une suite qui tend vers $0.$ Donc si $(x_n)\\in B$ et $(u_n)\\in I,$ alors $(x_nu_n)\\in I.$\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(A,+,\\times)$ un anneau commutatif et $M$ une partie de $A$. On appelle annulateur de $M$ l'ensemble des $x\\in A$ tels que $xy=0$ pour tout $y\\in M$. Démontrer que l'annulateur de $M$ est un idéal de $(A,+,\\times)$.",
        "answer": "  Notons $I$ cet ensemble. Il suffit d'appliquer la définition. En effet, on remarque que $0\\in I$. De plus, prenons $u,v\\in I$ et $a\\in A$. Alors, pour tout $y\\in M$, on a \n\n$$(u-v)y=uy-vy=0$$\n\net \n\n$$(au)y=a(uy)=0.$$\n\nAinsi, $u-v$ et $au$ sont dans $I$ qui est un idéal.\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Nilradical [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On appelle nilradical d'un anneau commutatif $(A,+,\\times)$ l'ensemble\n\nde ses éléments nilpotents, c'est-à-dire l'ensemble des $x\\in A$ pour lesquels il existe $n\\geq 1$ de sorte que $x^n=0$. \n\nDémontrer que le nilradical de $A$ est un idéal de $A$.",
        "answer": "  Notons $N(A)$ le nilradical de $A$. D'abord $0\\in N(A)$ qui est donc non vide. Prenons ensuite $a\\in A$, $x,y\\in N(A)$, et $m,n$ de sorte que $x^m=y^n=0$. Remarquons d'abord que \n\n$$(ax)^m =a^mx^m=0$$\n\net donc $ax\\in N(A)$. De plus, par la formule du binôme de Newton, on a \n\n$$(x+y)^{n+m-1}=\\sum_{k=0}^{n+m-1}\\binom {n+m-1}k x^k y^{n+m-1-k}.$$\n\nOr, si $k\\geq m$, alors $x^k=0$ et si $k<m$, c'est-à-dire $k\\leq m-1$, alors $n+m-1-k\\geq n$ et $y^{n+m-1-k}=0$. On a bien $(x+y)^{n+m-1}=0$ et $x+y\\in N(A)$. Il est très facile de vérifier que l'on a aussi $-x\\in N(A)$. Finalement, on a bien prouvé que $N(A)$ est un idéal de $A$.\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Exemple de sous-anneau et d'idéal dans un anneau de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A=\\mathcal C([0,1],\\mathbb R)$, $B=\\mathcal C^1([0,1],\\mathbb R)$ et $I=\\{f\\in A:\\ f(0)=0\\}.$ \n\n\n Démontrer que $A$ est un anneau pour les opérations somme et produit de fonctions.\n\n Démontrer que $B$ est un sous-anneau de $A$. $B$ est-il un idéal de $A$?\n\n Démontrer que $I$ est un idéal de $A$. $I$ est-il un sous-anneau de $A$?\n\n Démontrer que $I$ est un idéal maximal de $A,$ c'est-à-dire que si $J$ est un idéal de $A$ tel que $I\\subset J\\subset A,$ alors $J=I$ ou $J=A.$\n\n",
        "answer": "  \n La fonction $\\mathbf 1_{[0,1]}$ est une fonction continue, la différence et le produit de deux fonctions continues est une fonction continue : $A$ est donc un sous-anneau de l'anneau $\\mathcal F([0,1],\\mathbb R)$ des fonctions de $[0,1]$ dans $\\mathbb R.$\n\n La même démonstration en remplaçant \"continue\" par \"de classe $\\mathcal C^1$\" prouve que $B$ est un sous-anneau de $A.$ En revanche, $B$ n'est pas un idéal de $A.$ En effet, si on considère $f(x)=1$ et $g(x)=|x-1/2|$, alors $f\\in B$, $g\\in A$ et le produit $gf$ n'est pas élément de $B.$ \n\n Puisque la fonction $\\mathbf 1_{[0,1]}$ n'est pas dans $I,$ $I$ n'est pas un sous-anneau de $A$. De plus, soit $f,g\\in I$ et $h\\in A.$ Alors il est facile de vérifier que $f-g,$ $f\\times g$ et $f\\times h$ sont dans $I$ puisque \n\n$$f(0)-g(0)=f(0)g(0)=f(0)h(0)=0.$$\n\nAinsi, $I$ est un idéal de $A.$\n\n Soit $J$ un idéal de $A$ tel que $I\\subset J\\subset A.$ Supposons que $I\\neq J,$ donc qu'il existe $g\\in J\\backslash I.$ En particulier, $g(0)\\neq 0.$ \n\nSoit $f\\in A$ et considérons $$h=f-\\frac{f(0)}{g(0)}g.$$ Il est facile de voir que $h(0)=0$ et donc $h\\in I.$ Mais comme \n\n$$f=h+\\frac{f(0)}{g(0)}g$$\n\net que $h\\in J,$ $\\frac{f(0)}{g(0)}g\\in J$ (car $J$ est un idéal et qu'on a multiplié une fonction de $J$ par une fonction de $A$), on en déduit (toujours parce que $J$ est un idéal) que $f\\in J.$ Ainsi, on a $J=A.$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Peu d'idéaux : c'est un corps! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau commutatif.\n\n\n On suppose que $A$ n'admet que les idéaux triviaux $\\{0\\}$ et $A$. Démontrer que $A$ est un corps.\n\n On suppose que $A$ est intègre et qu'il n'admet qu'un nombre fini d'idéaux. Démontrer que $A$ est un corps.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $x\\in A\\backslash \\{0\\}$. Alors l'idéal engendré par $x$ ne peut pas être l'idéal $\\{0\\}$, donc c'est $A$ tout entier. En particulier, il existe $y\\in A$ tel que $yx=xy=1_A$. C'est bien que $A$ est un corps. \n\n Prenons toujours $x\\in A\\backslash \\{0\\}$ et considérons les idéaux $I_n=x^n A$. Alors puisque $A$ admet un nombre fini d'idéaux, il existe $n<p$ tel que $x^n A=x^p A$. En particulier, il existe $a\\in A$ tel que $x^n =x^p a$. Ceci entraîne\n\n$x^n(1-x^{p-n} a)=0$. L'anneau étant intègre (et $x$ étant non nul), ceci entraine que $x^{p-n} a =1$. $x$ est alors inversible, d'inverse $x^{p-n-1}a$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Suites croissantes d'idéaux de $\\mathbb K[X]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(I_n)$ une suite croissante d'idéaux de $\\mathbb K[X]$, où $\\mathbb K$ est un corps. Démontrer que la suite $(I_n)$ est stationnaire.",
        "answer": "  Méthode 1 : Il existe un unique polynôme unitaire $P_n$ tel que $I_n=(P_n)$. De plus, la condition $I_n\\subset I_{n+1}$ entraîne que $P_{n+1}|P_n$. La suite $(\\deg(P_n))$ est donc une suite d'entiers naturels décroissante : elle est stationnaire. Soit $p\\in\\mathbb N$ tel que, pour tout $n\\geq p$, on a $\\deg(P_n)=\\deg(P_p)$. On a alors $P_n|P_p$, $P_n$ et $P_p$ sont unitaires et de même degré, donc ils sont égaux et $I_n=I_p$. La suite $(I_n)$ est bien stationnaire.\n\nMéthode 2 : Posons $I=\\bigcup_n I_n$. Puisque la suite $(I_n)$ est croissante, il est facile de vérifier que $I$ est un idéal. Il existe $P\\in \\mathbb K[X]$ tel que $I=(P)$. Mais alors, il existe $N\\in\\mathbb N$ tel que $P\\in I_N$. On prouve alors que pour tout $n\\geq N$, on a $I_n =(P)$. En effet, on a $I_n\\subset I=(P)$, et $P\\in I_N\\subset I_n\\implies (P)\\subset I_n$.\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Produit et Somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(A,+,\\times)$ un anneau commutatif. Si $I$ et $J$ sont deux idéaux de $A$, on note\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nI+J&=&\\left\\{i+j;\\ i\\in I,\\ j\\in J\\right\\}\\\\\n\nI.J&=&\\left\\{i_1j_1+\\dots+i_nj_n;\\ n\\geq 1,\\ i_k\\in I,\\ j_k\\in J\\right\\}\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn dit que deux idéaux $I$ et $J$ sont étrangers si $I+J=A$.\n\n\n Montrer que $I+J$ et $IJ$ sont encore des idéaux de $A$.\n\n Montrer que $I.J\\subset I\\cap J$.\n\n Montrer que $(I+J).(I\\cap J)\\subset I.J$.\n\n Montrer que si $I$ et $J$ sont étrangers, alors $I.J=I\\cap J$.\n\n",
        "answer": "  \n Commençons par $I+J$. Il faut d'abord démontrer que c'est un sous-groupe de $(A,+)$.\n\nMais $0=0+0\\in I+J$. D'autre part, si $x$ et $y$ sont éléments de $I+J$,\n\non les écrit $x=i+j$, $y=i'+j'$, et on a\n\n$$x-y=(i-i')+(j-j')\\in I+J$$\n\npuisque $i-i'\\in I$ et $j-j'\\in J$.\n\nD'autre part, pour $a\\in A$, on a, par distributivité de $\\times$\n\npar rapport à + :\n\n$$ax=ai+aj\\in I+J$$\n\npuisque, $I$ et $J$ étant deux idéaux, $ai\\in I$ et $aj\\in J$.\n\nCeci prouve que $I+J$ est un idéal. Passons maintenant à $I.J$ :\n\n$0\\times 0=0$ est élément de $I.J$. De plus, si $x=\\sum_{k=1}^n i_kj_k$\n\net $y=\\sum_{k=1}^m i'_kj'_k$, en posant $i_k=-i'_{k-n}$ et $j'_k=j'_{k-n}$ pour $k$\n\nallant de $n+1$ à $n+m$, on a\n\n$$x-y=\\sum_{k=1}^{n+m}i_kj_k$$\n\nce qui prouve que $I.J$ est un sous-groupe de $(A,+)$.\n\nEnfin, pour tout $a$ dans $A$, on a \n\n$$ax=\\sum_{k=1}^n (ai_k)j_k\\in I.J$$\n\npuisque chaque $ai_k$ (resp. $j_k$) est élément\n\nde $I$ (resp. de $J$).\n\n Soit $x=\\sum_{k=1}^n i_kj_k$ un élément de $I.J$.\n\nPour chaque $k$, $i_kj_k$ est un élément de $I$ puisque $I$ est un idéal. \n\nComme $I$ est de plus stable par la somme, $I.J$ est bien contenu dans $I$.\n\nPar symétrie du rôle joué par $I$ et $J$, $I.J$ est aussi contenu dans $J$\n\net donc $I.J$ est contenu dans $I\\cap J$.\n\n Soit $x\\in (I+J).(I\\cap J)$. On écrit $x=\\sum_{k=1}^n a_kb_k$\n\navec $a_k\\in I+J$ et $b_k\\in I\\cap J$. Puisque $I.J$ est un idéal,\n\nil suffit de prouver que $a_kb_k\\in I.J$. On écrit $a_k=i_k+j_k$, de sorte\n\nque \n\n$$a_kb_k=i_kb_k+b_kj_k.$$\n\nC'est un élément de $I.J$, car $i_k\\in I$, $b_k\\in J$ et $b_k\\in I$, $j_k\\in J$.\n\n Il suffit de prouver que $I\\cap J\\subset I.J$. D'après la question précédente, on a $A.(I\\cap J)\\subset I.J$. Prenons $x\\in I\\cap J$. Alors $x=1_Ax\\in A.(I\\cap J)\\subset I.J$ Ceci prouve l'inclusion restante.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Idéaux de $\\mathcal M_n(\\mathbb R)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $1\\leq i,j\\leq n$, on note $E_{i,j}$ la matrice élémentaire ayant tous ses coefficients nuls, sauf le coefficient de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne qui vaut 1. \n\n\n Rappeler la formule donnant $E_{i,j}E_{k,l}$.\n\n Soit $M=(a_{i,j})\\in\\mathcal M_n(\\mathbb R)$. Que vaut $E_{i,j}M$? $ME_{k,l}$.\n\n Démontrer que les seuls idéaux de $\\mathcal M_n(\\mathbb R)$ sont $\\{0\\}$\n\net $\\mathcal M_n(\\mathbb R)$.\n\n\n",
        "answer": "  \n C'est du cours! $E_{i,j}E_{k,l}=\\delta_{j,k}E_{i,l}$.\n\n Si on écrit $M=\\sum_{k,l}a_{k,l}E_{k,l}$, on a $E_{i,j}M=\\sum_{l=1}^n a_{j,l}E_{i,l}$. Autrement dit, toutes les lignes de $E_{i,j}M$ sont nulles, sauf la $i$-ème ligne constitué de la $j$-ième ligne de $M$. De même, écrivant $M=\\sum_{i,j}a_{i,j}E_{i,j}$, on a $ME_{k,l}=\\sum_{i,j}a_{i,j}E_{i,j}E_{k,l}=\\sum_{i=1}^n a_{i,l}E_{i,l}$.\n\n Soit $I$ un idéal de $\\mathcal M_n(\\mathbb R)$ et supposons le non réduit à $\\{0\\}$. Soit $M=(a_{i,j})\\neq 0$ un élément de $I$. Il existe donc $i_0,j_0$ tels que $a_{i_0,j_0}\\neq 0$. Fixons ensuite $i,j$ dans $\\{1,\\dots,n\\}$. Par les formules précédents, on sait que \n\n$$\\frac{1}{a_{i_0,j_0}}E_{i,i_0}ME_{j_0,j}=E_{i,j}.$$\n\nMais puisque $I$ est un idéal, c'est un élément de $I$. Donc $E_{i,j}\\in I$. On en déduit alors facilement, par les propriétés d'idéal de $I$, que toute matrice est élément de $I$. \n\n\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Idéaux de $\\mathbb Z_p$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $p$ un nombre premier. On note \n\n$$\\mathbb Z_p=\\left\\{x=\\frac {m}n;\\ (m,n)\\in\\mathbb Z\\times \\mathbb N^*,\\ p\\wedge n=1\\right\\}.$$\n\n\n Vérifier que $\\mathbb Z_p$ est un sous-anneau de $(\\mathbb Q,+,\\times)$.\n\n Soit $k\\geq 0$. On note \n\n$$J_{p^k}=\\left\\{\\frac mn;\\ (m,n)\\in\\mathbb Z\\times \\mathbb N^*,\\ p\\wedge n=1,\\ p^k| m\\right\\}.$$\n\nVérifier que $J_{p^k}$ est un idéal de $\\mathbb Z_p$.\n\n Réciproquement, montrer que si $I$ est un idéal de $\\mathbb Z_p$, il existe $k\\geq 1$ tel que $I=J_{p^k}$.\n\n",
        "answer": "  \n La preuve est facile et laissée au lecteur : le point clé est que si $p$ est premier avec $n$ et avec $n'$, alors $p$ est premier avec le produit $nn'$.\n\n D'abord, on peut remarquer que $0\\in J_{p^k}$. Prenons ensuite $x=\\frac mn$ et $y=\\frac{m'}{n'}$ deux éléments de $J_{p_k}$. Alors \n\n$$x-y=\\frac{mn'-m'n}{nn'}$$\n\navec $p\\wedge (nn')=1$ (voir plus haut) et $p^k|m$, $p^k|m'$ et donc $p^k| mn'-m'n$. Ensuite, si $z=\\frac ab\\in\\mathbb Z_p$, alors $xz=\\frac{am}{bn}$ est tel que $p^k|am$ et $p\\wedge (bn)=1$, et donc $xz\\in J_{p^k}$. $J_{p^k}$ est bien un idéal de $\\mathbb Z_p$.\n\n Posons $k=\\max\\{l\\geq 0;\\ \\forall x\\in I,\\ \\exists(m,n)\\in\\mathbb Z\\times\\mathbb N^*, x=\\frac mn,\\ p^l|m,\\ p\\wedge n=1\\}$ et prouvons que $I=J_{p^k}$. D'abord, il est clair que $I\\subset J_{p^k}$. En effet, si $x\\in I,$ par définition de $k$, $x=\\frac{m}n$ avec $(m,n)\\in\\mathbb Z\\times\\mathbb N^*,$ $p^k|m$ et $p\\wedge n=1.$  \n\nRéciproquement, soit $x\\in J_{p^k}$, il faut prouver que $x\\in I$. Par définition de $k$, on sait que l'on peut trouver $y=\\frac ab\\in I$ tel que $a=p^k a'$ avec $a'\\wedge p=b\\wedge p=1$. Mais alors, $\\frac{a'}{b}$ est inversible dans $\\mathbb Z_p$, d'inverse $\\frac b{a'}$. Puisque $I$ est un idéal, ceci entraine que $p^k=y\\times\\frac{b}{a'}\\in I$. Mais alors, puisque $x$ s'écrit $x=p^k\\frac{m'}n$ avec $p\\wedge n=1$, on en déduit que $x\\in I$. On a bien démontré que tous les idéaux de $\\mathbb Z_p$ sont de la forme $J_{p^k}$. \n\n\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Idéaux de l'anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $E$ un ensemble fini et $A=\\mathcal P(E)$. \n\n\n Montrer que $(A,\\Delta,\\cap)$ est un anneau commutatif. Est-il intègre?\n\n Soit $E'\\subset E$. Démontrer que $I=\\mathcal P(E')$ est un idéal de $A$.\n\n Réciproquement, soit $I$ un idéal de $A$. Prouver que \n\n$$\\left\\{\\begin{array}{ll}\n\n\\forall X\\in I,\\ \\forall Y\\subset X,\\ Y\\in I\\\\\n\n\\forall X\\in I,\\ \\forall Y\\in I,\\ X\\cup Y\\in I.\n\n\\end{array}\\right.\n\n$$\n\n En déduire qu'il existe $E'\\subset E$ tel que $I=\\mathcal P(E')$.\n\n Si $E$ est infini, démontrer que l'ensemble des parties finies de $E$ forme un idéal de $A$ qui n'est pas de la forme $\\mathcal P(E)$.\n\n",
        "answer": "  \n Il faut vérifier la définition, car $A$ n'apparait pas comme un sous-anneau d'un anneau connu. On remarque d'abord que les lois $\\Delta$ et $\\cap$ sont deux lois internes, commutatives et associatives (ce n'est pas si facile pour $\\Delta$ et cela mérite une petite démonstration….). De plus, $(A,\\Delta)$ est un groupe commutatif dont l'élément neutre est $\\varnothing$ et le symétrique de $X\\in A$ est $X$.\n\nEnfin, la loi $\\cap$ est distributive par rapport à la loi $\\Delta$ : si $X,Y,Z\\in A$, alors \n\nsoit $x\\in (X  \\Delta Y)\\cap Z$, ce qui signifie $x\\in Z\\textrm{ et }(x\\in X\\backslash Y\\textrm{ ou }x\\in Y\\backslash X ).$\n\nSi $x\\in X$, alors $x\\in X\\cap Z$ et $x\\notin Y$ d'où $x\\notin Y\\cap Z$, et de même, si $x\\in Y$, alors $x\\in Y\\cap Z$ mais $x\\notin X\\cap Z$. On en déduit que $x\\in (X\\cap Z)\\Delta (Y\\cap Z)$. L'inclusion réciproque se prouve exactement de la même façon, en séparant le cas $x\\in (X\\cap Z)\\backslash (Y\\cap Z)$ du cas $x\\in (Y\\cap Z)\\backslash (X\\cap Z)$.\n\nSi $E$ contient plus d'un élément, $A$ n'est pas intègre. En effet, dans ce cas, on peut considérer $X\\subset E$ tel que $X\\neq E$ et et $X\\neq\\varnothing$.\n\nDans ce cas, on a $X\\cap X^c=\\varnothing$ alors que ni $X$, ni $X^c$ ne sont égaux à $\\varnothing$.\n\n D'abord, $(\\mathcal P(E'),\\Delta)$ est bien un groupe commutatif (démonstration similaire à celle de la question précédente). Ensuite, si $X\\in \\mathcal P(E')$ et $Y\\in A$, alors $X\\cap Y\\subset X\\subset E'$ et donc $X\\cap Y\\in \\mathcal P(E')$. C'est bien que $\\mathcal P(E')$ est un idéal de $A$.\n\n D'abord, si $X\\in I$ et si $Y\\subset X$, par définition d'un idéal, $Y\\cap X$ est dans $I$. Mais $Y\\cap X=Y$, et donc $Y\\in I$. Prenons ensuite $X,Y\\in I$ et posons $X_1=X\\backslash Y$. Alors $X_1$ et $Y$ sont disjoints, et donc $X_1\\Delta Y=X_1\\cup Y=X\\cup Y$. De plus, puisque $I$ est un idéal et que $X_1\\in I$ par la première partie de cette question, on en déduit que $X_1\\Delta Y\\in I$. $I$ est alors stable par réunion.\n\n Posons $E'$ la réunion de tous les éléments qui sont dans $I$. Cette réunion est nécessairement finie, et en effectuant une petite récurrence à partir de la question précédente, on démontre que $E'\\in I$. Par la question précédente, il est clair que $\\mathcal P(E')\\subset I$. Mais, si $X\\in I$, alors $X\\subset E'$ par définition de $E'$ et donc $X\\in\\mathcal P(E')$. Ainsi, $I=\\mathcal P(E')$.\n\n Il est très facile de vérifier que l'ensemble des parties finies forme un idéal de $A$. Il n'est pas de la forme $\\mathcal P(E')$ : si c'était le cas, prenons $x\\in E$, et $X=\\{x\\}$. Alors $X$ est élément de l'idéal et donc $X\\in \\mathcal P(E')$ soit $x\\in E'$. On aurait donc $E=E'$, mais dans l'idéal on n'a pas pris les parties infinies de $E$ et l'idéal est différent de $\\mathcal P(E)$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 25  - Radical d'un idéal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau commutatif (unitaire). Si $I$ est un idéal\n\nde $A$, on appelle radical de $I$ l'ensemble $\\sqrt{I}=\\{x\\in A;\\ \\exists n\\geq 1,\\ x^n\\in I\\}$.\n\n\n Montrer que $\\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.\n\n Soient $I,J$ deux idéaux de $A$ et $p\\geq 1$. Montrer que\n\n$$\\sqrt{I.J}=\\sqrt{I\\cap J}=\\sqrt{I}\\cap \\sqrt{J},\\ \\sqrt{\\sqrt{I}}=\\sqrt{I}\\textrm{ et }\\sqrt{I^p}=\\sqrt{I}.$$\n\n Si $A=\\mathbb Z$ et $I=k\\mathbb Z$, $k\\geq 1$, déterminer le radical de $I$.\n\n",
        "answer": "  \n On commence par remarquer que si $x^n\\in I$, alors pour tout \n\n$k\\geq n$, $x^k=x^{k-n}x^n\\in I$ (qui est un idéal).\n\nMontrons d'abord que $(\\sqrt{I},+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$.\n\nEn effet, $0\\in\\sqrt{I}$ puisque $I\\subset \\sqrt{I}$ (prendre $n=1$). De plus, \n\nsi $x$ est dans $\\sqrt{I}$ alors $(-x)^n=(-1)^n x^n\\in I$\n\npuisque $x^n\\in I$ et que $I$ est un idéal. Prenons maintenant $x$, $y\\in \\sqrt I$\n\net $n,m\\in\\mathbb N$ tels que $x^n\\in I$, $y^m\\in I$. Alors, par la formule\n\ndu binôme que l'on peut appliquer dans l'anneau commutatif $A$, on a\n\n$$(x+y)^{n+m}=\\sum_{k=0}^{n+m} \\binom{n+m}{k}x^ky^{n+m-k}.$$\n\nOr, si $k\\leq n$, alors $n+m-k\\geq m$ et donc $y^{n+m-k}\\in I$, ce qui\n\nentraine $x^k y^{n+m-k}\\in I$. Si $k\\geq n$, cette fois $x^k\\in I$ et donc\n\n$x^k y^{n+m-k}\\in I$. $(I,+)$ étant un sous-groupe de $(A,+)$, on en déduit que\n\n$(x+y)^{n+m}\\in I$, c'est-à-dire $x+y\\in\\sqrt{I}$.\n\nFinalement, prouvons que pour $a\\in A$ et $x\\in \\sqrt{I}$, alors $ax\\in\\sqrt{I}$.\n\nSoit $n\\geq 0$ tel que $x^n\\in I$. Alors $(ax)^n=a^n x^n\\in I$, ce qui prouve le résultat.\n\n \n Soit $x\\in\\sqrt{I.J}$. Il existe $n\\geq 1$ tel que $x^n\\in I.J$, \n\nc'est-à-dire $x^n=\\sum_k a_kb_k$ avec $a_k\\in I$ et $b_k\\in J$. Alors $x^n\\in I$ \n\npuisque $I$ est un idéal et $x^n=ab$, $a\\in I$, et de même $x^n\\in J$ (on utilise en \n\nfait que $I.J\\subset I\\cap J$).\n\nAinsi, $x\\in\\sqrt{I\\cap J}$.\n\nSoit maintenant $x\\in\\sqrt{I\\cap J}$. Alors il existe $n\\geq 1$ tel que \n\n$x^n\\in I$ et $x^n\\in J$. Donc $x\\in\\sqrt{I}$ et $x\\in\\sqrt{J}$, soit\n\n$x\\in\\sqrt{I}\\cap\\sqrt{J}$.\n\nFinalement, soit $x\\in\\sqrt{I}\\cap\\sqrt{J}$. Alors il existe $n,m\\geq 1$ tels que\n\n$x^n\\in I$ et $x^m\\in J$.  Alors $x^{n+m}=x^nx^m\\in I.J$,\n\net donc $\\sqrt{I}\\cap\\sqrt{J}\\subset\\sqrt{I.J}$.\n\n On a $I\\subset\\sqrt{I}$ et donc ${\\sqrt{I}}\\subset\\sqrt{\\sqrt{I}}$. Réciproquement,\n\nprenons $x\\in\\sqrt{\\sqrt{I}}$. Il existe $n\\geq 1$ tel que $x^n\\in \\sqrt{I}$.\n\nPosons $y=x^n\\in\\sqrt{I}$. Il existe $m\\geq 1$ tel que $y^m\\in I$. \n\nAlors, $x^{nm}=y^m\\in I$ et donc $x\\in\\sqrt{I}$.\n\n La dernière égalité se prouve de façon tout à fait identique!\n\n\n Soit $x\\in\\mathbb Z$. $x$ est dans $\\sqrt{k\\mathbb Z}$ si et seulement si\n\nil existe $n\\geq 1$ tel que $x^n\\in k\\mathbb Z$. Autrement dit, $k|x^n$. Décomposons\n\n$k$ en produits de facteurs premiers : $k=p_1^{\\alpha_1}\\dots p_r^{\\alpha_r}$.\n\nOn obtient que $p_i|x^n\\implies p_i|x$ pour tout $i=1,\\dots,r$ et donc\n\n$p_1\\dots p_r|x$, ce qui peut encore s'écrire $x\\in (p_1\\dots p_r)\\mathbb Z$.\n\nRéciproquement, si $x\\in (p_1\\dots p_r)\\mathbb Z$, alors, $x$ s'écrit $x=p_1\\dots p_r m$.\n\nNotant $n=\\max_{i\\in\\{1,\\dots,r\\}}(\\alpha_i)$,\n\non a $k|x^n$. Ainsi, on a prouvé que $\\sqrt{I}=(p_1\\dots p_r)\\mathbb Z$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 26  - Idéaux d'un anneau produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ et $B$ deux anneaux commutatifs et soit $K\\subset A\\times B$. Démontrer que $K$ est un idéal de $A\\times B$ si et seulement si $K=I\\times J$, où $I$ est un idéal de $A$ et $J$ est un idéal de $B$. ",
        "answer": "  D'une part, il est facile (et laissé au lecteur) de vérifier que si $I$ et $J$ sont deux idéaux respectifs de $A$ et $B$, alors $I\\times J$ est un idéal de $A\\times B$. \n\nRéciproquement, fixons $K$ un idéal de $A\\times B$ et construisons des idéaux $I$ de $A$ et $J$ de $B$ tels que $K=I\\times J$. On désigne par $p_A:A\\times B\\to A$ et $p_B:A\\times B\\to B$ les projections respectives sur $A$ et $B$, et on pose $I=p_A(K)$, $J=p_B(K)$. Comme $p_A$ et $p_B$ sont des morphismes surjectifs, $I$ et $J$ sont des idéaux respectivement de $A$ et de $B$. \n\nPrenons ensuite $z\\in K$. Alors $z=(p_A(z),p_B(z))$ est bien un élément de $I\\times J$. Pour l'autre inclusion, fixons $(x,y)\\in I\\times J$ et prouvons que $(x,y)\\in K$. Puisque $x\\in I$, il existe $b\\in B$ tel que $(x,b)\\in K$. Puisque $y\\in J$, il existe $a\\in A$ tel que $(a,y)\\in K$. Maintenant, $(1,0)\\cdot (x,b)=(x,0)\\in K$ (puisque $K$ est un idéal) et de même $(0,1)\\cdot (a,y)=(0,y)\\in K$. \n\nPar somme, $(x,0)+(0,y)=(x,y)\\in K$.\n"
    },
    {
        "question": " 27  - Anneau local [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est local si l'ensemble $V(A)$ de ses éléments non inversibles est un idéal.\n\n\n Soit $m=p^n$ avec $p$ premier et $n\\in\\mathbb N^*$. Démontrer que $\\mathbb Z/m\\mathbb Z$ est local.\n\n Soit $m\\geq 2$. Démontrer que $\\mathbb Z/m\\mathbb Z$ est local si et seulement s'il existe un entier premier $p$ et $n\\in\\mathbb N^*$ tel que $m=p^n.$\n\n",
        "answer": "  \n On sait que $\\bar k$ est inversible dans $\\mathbb Z/p^n\\mathbb Z$ si et seulement si $k\\wedge p^n=1,$ c'est-à-dire si et seulement si $k\\wedge p=1.$ Ainsi, $V(\\mathbb Z/p^n\\mathbb Z)=\\{\\overline{pk}:\\ k\\in\\mathbb Z\\}.$ Il est facile de vérifier que c'est un idéal, car $\\bar 0\\in V(\\mathbb Z/p^n\\mathbb Z)$ et si $\\ell,m\\in\\mathbb Z,$ alors \n\n$$\\overline{pk}-\\overline{p\\ell}=\\overline{p(k-\\ell)}\\in V(\\mathbb Z/p^n\\mathbb Z)$$\n\net \n\n$$\\overline{pk}\\times\\overline m=\\overline{p(k\\times m)}\\in V(\\mathbb Z/p^n\\mathbb Z).$$\n\n L'une des deux implications a été démontrée dans la question précédente. Réciproquement, on va procéder par contraposée et démontrer que si $m$ admet deux diviseurs premiers distincts, disons $p$ et $q$, alors $V(\\mathbb Z/m \\mathbb Z)$ n'est pas un idéal. On sait que $\\bar p$ et $\\bar q$ sont éléments de $V(\\mathbb Z/m\\mathbb Z).$ De plus, puisque ce sont deux premiers distincts, ils sont premiers entre eux et on peut leur appliquer le théorème de Bézout : il existe $u,v\\in\\mathbb Z$ tels que \n\n$$pu+qv=1.$$\n\nCeci donne, dans $\\mathbb Z/m\\mathbb Z$, \n\n$$\\bar p \\bar u+\\bar q\\bar v=\\bar 1.$$\n\nAlors, si $V(\\mathbb Z/m\\mathbb Z)$ était un idéal de $\\mathbb Z/m\\mathbb Z$, $\\bar 1$ serait un élément de $V(\\mathbb Z/m\\mathbb Z)$ et donc on aurait $\\mathbb Z/m\\mathbb Z=V(\\mathbb Z/m\\mathbb Z)$ ce qui n'est pas le cas. Ainsi,\n\n$V(\\mathbb Z/m\\mathbb Z)$ n'est pas un idéal de $\\mathbb Z/m\\mathbb Z$ lorsque $m$ admet deux diviseurs premiers distincts.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 28  - Idéaux premiers - idéaux maximaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau commutatif. On dit qu'un idéal $I$ est premier si \n\n$xy\\in I\\implies x\\in I$ ou $y\\in I$. On dit que $I$ est maximal si, pour tout idéal \n\n$J$ de $A$ tel que $I\\subset J$, on a $J=I$ ou $J=A$.\n\n\n Déterminer les idéaux premiers de $\\mathbb Z$.\n\n Soit $I$ un idéal et $x\\in A\\backslash I$. Soit $J$ l'idéal engendré par $I$ et $x$.\n\nMontrer que \n\n$$J=\\left\\{a\\in A;\\ \\exists i\\in I,\\ \\exists k\\in A,\\ a=i+kx\\right\\}.$$\n\n En déduire que tout idéal maximal est premier.\n\n Montrer que si tous les idéaux de $A$ sont premiers, alors $A$ est un corps.\n\n Montrer que si $A$ est principal, tout idéal premier non réduit à $\\{0\\}$ est maximal.\n\n(pour ceux qui savent quotienter par un idéal) Soit $I$ un idéal de $A$. Montrer que $I$ est premier si et seulement si $A/I$ est\n\nintègre. Montrer que $I$ est maximal si et seulement si $A/I$ est un corps. En déduire une autre preuve\n\nque $I$ maximal entraine $I$ premier.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $I=n\\mathbb Z$ un idéal de $\\mathbb Z$. Si $n=0$, alors $I=\\{0\\}$ qui est premier puisque si $xy=0$, alors $x=0$ ou $y=0$. Si $n=1$, alors $I=\\mathbb Z$ est clairement premier. On suppose maintenant $n\\geq 2$. Si $n$ n'est pas premier,\n\nalors $n$ se factorise en $ab$ avec $1<a,b<n$. Mais, ou bien $a\\in I$, ou bien $b\\in I$\n\net donc $a$ ou $b$ est un multiple de $n$ ce qui est une contradiction.\n\nRéciproquement, si $n$ est premier et $xy\\in I$, ie $n|xy$, alors, par le théorème de Gauss,\n\n$n|x$ ou $n|y$, ce qui prouve $x\\in I$ ou $y\\in I$. En résumé, $n\\mathbb Z$ est un\n\nidéal premier si et seulement si $n$ est premier ou $n\\in\\{0,1\\}$.\n\n On pose $K=\\left\\{a\\in A;\\ \\exists i\\in I,\\ \\exists k\\in A,\\ a=i+kx\\right\\}$ et\n\non va montrer que $K=J$. On remarque d'abord que $K$ est un idéal (la preuve est facile!)\n\net qu'il contient $I$ et $x$. D'autre part, soit $J'$ un idéal de $A$ contenant $I$ et $x$, et \n\nsoit $a=i+kx$ un élément de $K$. Puisque $I\\subset J'$,\n\non a $i\\in J'$ et puisque $x\\in J'$, on a $kx\\in J'$. Ainsi, $K\\subset J'$ : $K$ est bien l'idéal engendré\n\npar $I$ et $x$.\n\n Soit $I$ un idéal maximal et $x,y\\in A$ tels que $x\\notin I$ et $xy\\in I$. On doit prouver que\n\n$y\\in I$. Pour cela, on considère $J$ l'idéal engendré par $I$ et $x$. Puisque $I$ est maximal et que $J$ est\n\ncontient strictement $I$, on sait que $J=A$. Or, d'après la question précédente, tout élément de\n\n$J$ s'écrit $i+kx$, $i\\in I$ et $k\\in A$. Ainsi, $1=i+kx$. On multiplie par $y$ et on obtient\n\n$$y=yi+k(xy).$$\n\nMais $yi\\in I$ car $I$ est un idéal, $k(xy)$ aussi et donc $y$ est aussi élément de $I$ ce qui termine la démonstration.\n\n On commence par démontrer que $A$ est intègre. En effet, l'idéal engendré par 0 est premier.\n\nDonc, si $xy\\in (0)=\\{0\\}$, alors $x=0$ ou $y=0$ et donc $A$ est intègre. \n\nSoit ensuite $x\\in A$ non nul.\n\nIl s'agit de démontrer que $x$ est inversible. On considère $I$ l'idéal engendré par $x^2$. Alors $x\\times x\\in I$. Puisque $I$ est premier, $x\\in I$. Mais comme $I$ est l'idéal engendré par $x^2$, il existe $b\\in A$ tel que $x=bx^2$.\n\nOn regroupe et on factorise en $x(1-bx)=0$. Puisque $A$ est intègre et $x$ est non-nul, on obtient $1=bx$\n\net donc $x$ est inversible d'inverse $b$.\n\n Soit $I=(a)$ un idéal premier de $A$ avec $a\\neq 0$ et soit $J$ un idéal avec $I\\subset J$.\n\nPuisque $A$ est principal, $J=(b)$. Puisque $I\\subset J$, $a=bc$ pour $c\\in A$. Puisque $I$ est premier, on a\n\n\n ou bien $b\\in I$, mais alors $(b)\\subset I$ et donc $J=I$.\n\n ou bien $c\\in I$, donc $c$ s'écrit $xa$ et on a $a=bxa$. Puisque $A$ est principal, donc intègre, et que $a\\neq 0$, ceci\n\nentraîne $bx=1$, c'est-à-dire que $b$ est inversible et $J=A$.\n\n\n\nCeci prouve que $I$ est maximal.\n\n On a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nA/I\\textrm{ intègre}&\\iff&\\forall x,y\\in A,\\ \\overline x\\overline y=0\\implies \\overline x=0\\textrm{ ou }\\overline y=0\\\\\n\n&\\iff&\\forall x,y\\in A,\\ xy\\in I\\implies x\\in I\\textrm{ ou }y\\in I\\\\\n\n&\\iff&I\\textrm{ est premier.}\n\n\\end{eqnarray*}\n\nPour la seconde assertion, on peut remarquer que $A/I$ est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont $\\{0\\}$\n\net lui-même. Puisque les idéaux de $A/I$ sont en bijection avec les idéaux de $A$ contenant $I$, on en déduit\n\nque $A/I$ est un corps si et seulement si les seuls idéaux de $A$ contenant $I$ sont $I$ et $A$, c'est-à-dire\n\nsi et seulement $I$ est maximal.\n\nEnfin, puisqu'un corps est intègre, on a bien $I$ maximal entraine $I$ premier.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 29  - $\\mathbb Z^2$ est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On souhaite étudier dans cet exercice les idéaux de $\\mathbb Z^2$.\n\n\n Soit $I$ un idéal de $\\mathbb Z^2$ et $I_1=\\{x\\in\\mathbb Z;\\ (x,0)\\in I\\}$, $I_2=\\{y\\in\\mathbb Z;\\ (0,y)\\in I\\}$. Démontrer que $I_1$ et $I_2$ sont deux idéaux de $\\mathbb Z$.\n\n Démontrer que $I=I_1\\times I_2$.\n\n  Conclure.\n\n",
        "answer": "  \n $I_1$ est non-vide car $(0,0)\\in I$. Soient $x,y\\in I$ et $k\\in \\mathbb Z$. Alors $(x-y,0)=(x,0)-(y,0)\\in I$ et $(kx,0)=(k,2025)\\times (x,0)\\in I$ d'où $x-y$ et $kx\\in I_1$. $I_1$ est un idéal de $\\mathbb Z^2$ et la preuve est similaire pour $I_2$.\n\n Soit $(x,y)\\in I_1\\times I_2$. Alors $(x,0)\\in I$, $(0,y)\\in I$ d'où $(x,y)=(x,0)+(0,y)\\in I$. Ainsi, on a $I_1\\times I_2\\subset I$. Réciproquement, si $(x,y)\\in I$, alors $(x,0)=(1,0)\\times (x,y)\\in I$ et donc $x\\in I_1$. De même, $y\\in I_2$ et donc $(x,y)\\in I_1\\times I_2$.\n\n $\\mathbb Z$ étant principal, il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $I_1=a\\mathbb Z$ et $I_2=b\\mathbb Z$. Alors d'après la question précédente, $I=a\\mathbb Z\\times b\\mathbb Z=(a,b)\\mathbb Z^2$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 30  - $\\mathbb Z[X]$ n'est pas principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que l'idéal $I$ engendré par $2$ et $X$ n'est pas un ideal principal de $\\mathbb Z[X]$.",
        "answer": "  Supposons que cet idéal soit principal, et notons $P\\in\\mathbb Z[X]$ tel que $I=(P).$ Alors on sait que $P|2$ et donc $P=c$ est une constante. De plus, $P|X$, et donc $X=c Q$ avec $Q\\in\\mathbb Z[X]$. Ceci n'est possible que si $c=\\pm 1$ et $Q=\\pm X$. Finalement, $P$ est un élément inversible de $\\mathbb Z[X]$ et $I=\\mathbb Z[X]$. Reste à voir que ce n'est pas le cas. \n\nEn effet, \n\n$$I=\\left\\{\\lambda 2+\\mu X:\\ \\lambda,\\mu\\in \\mathbb Z[X]\\right\\}.$$\n\nEn particulier, $3\\notin I$ car le terme constant de $\\lambda 2+\\mu X$ est toujours divisible par $2$.\n"
    },
    {
        "question": " 31  - L'anneau des nombres décimaux est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(\\mathbb D,+,\\times)$ l'anneau des nombres décimaux, c'est-à-dire l'ensemble des nombres de la forme $\\frac{n}{10^k}$, avec $n\\in\\mathbb Z$ et $k\\in\\mathbb N$. Démontrer que cet anneau est principal.",
        "answer": "  Soit $I$ un idéal de $\\mathbb D$. Alors $I\\cap\\mathbb Z$ est un idéal de $\\mathbb Z$, qui est un anneau principal. Il existe donc $a\\in\\mathbb Z$ tel que $I\\cap\\mathbb Z=a\\mathbb Z$. On va prouver que $I=a\\mathbb D$. Il est d'abord clair que $a\\mathbb D\\subset I$ puisque $a\\in I$ et que $I$ est un idéal. Réciproquement, soit $x=\\frac n{10^k}\\in I$. Alors $n=10^k x\\in I\\cap \\mathbb Z$ et donc $n=am$ pour un certain $m\\in\\mathbb Z$. Ainsi, $x=\\frac{m}{10^k}a\\in a\\mathbb D$. Les idéaux de $\\mathbb D$ sont donc les parties de $\\mathbb D$ du type $a\\mathbb D$, avec $a\\in\\mathbb Z$.\n"
    },
    {
        "question": " 32  - $\\mathbb Z/n\\mathbb Z$ est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 2$. Démontrer que tous les idéaux de l'anneau $\\mathbb Z/n\\mathbb Z$ sont principaux. A quelle condition $\\mathbb Z/n\\mathbb Z$ est-il principal?",
        "answer": "  Soit $I$ un idéal de $\\mathbb Z/n\\mathbb Z$, et $J=\\{m\\in\\mathbb Z;\\ \\bar m\\in I\\}$. Alors $J$ est un idéal de $\\mathbb Z$. Il est non-vide car $I$ est non-vide, et si $u,v\\in J,\\ k\\in \\mathbb Z$, alors \n\n$$\\overline{u+v}=\\bar u+\\bar v\\in I\\implies u+v\\in J$$\n\n$$\\overline{ku}=\\bar k\\times \\bar u\\in I\\implies ku\\in J.$$\n\nAinsi, il existe $a\\in\\mathbb Z$ tel que $J=a\\mathbb Z$. \n\nDémontrons alors que $I=\\bar a \\cdot \\mathbb Z/n\\mathbb Z$. Puisque $\\bar a\\in I$ et que $I$ est un idéal, il est clair que $\\bar a\\cdot \\mathbb Z/n\\mathbb Z\\subset I$. Réciproquement, soit $\\bar u\\in I$. Alors $u\\in J$ et donc il existe $k\\in\\mathbb Z$ tel que $u=ak$. Alors $\\bar u=\\overline{ak}=\\bar a\\cdot \\bar k$ et donc $u\\in a\\cdot \\mathbb Z/n\\mathbb Z$. Ainsi, $\\bar u\\in I$, ce qui prouve l'inclusion réciproque.\n\nAinsi, on a prouvé que tous les idéaux de $\\mathbb Z/n\\mathbb Z$ sont principaux. Pour que l'anneau lui-même soit principal, il faut encore qu'il soit intègre. Ceci n'est vrai que si $n$ est premier.\n"
    },
    {
        "question": " 33  - Anneau des entiers de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\mathbb Z[i]=\\{a+ib;\\ a,b\\in\\mathbb Z^2\\}$. \n\n\n Démontrer que $\\mathbb Z[i]$ est un sous-anneau de $(\\mathbb C,+,\\times)$.\n\n Quels sont les éléments inversibles de $\\mathbb Z[i]$?\n\n Soit $z\\in\\mathbb C$. Démontrer qu'il existe $\\omega\\in \\mathbb Z[i]$ tel que $|z-\\omega|<1$.\n\n Soient $u,v\\in\\mathbb Z[i]$ avec $v\\neq 0$. Démontrer qu'il existe $q,r\\in \\mathbb Z[i]$ avec $u=qv+r$ et $|r|<|v|$. A-t-on unicité?\n\n Démontrer que $\\mathbb Z[i]$ est principal.\n\n",
        "answer": "  \n Il suffit de vérifier les propriétés… La preuve est laissée au lecteur!\n\n Soit $a+ib$ un élément de $\\mathbb Z[i]$ inversible. Son inverse est nécessairement le même que dans $\\mathbb C$, c'est-à-dire\n\n$$\\frac 1{a+ib}=\\frac{a}{a^2+b^2}-i\\frac{b}{a^2+b^2}.$$\n\nOn ne peut pas avoir $(a,b)=(0,0)$. Si $|a|\\geq 2$, alors $\\frac{a}{a^2+b^2}$ ne peut pas être un entier, et de même si $|b|\\geq 2$,  $ \\frac{b}{a^2+b^2}$ ne peut pas être un entier. On a donc $|a|\\leq 1$ et $|b|\\leq 1$. Mais le cas $(a,b)=(\\pm 1,\\pm 1)$ ne convient pas non plus. Donc les seules possibilités sont $(\\pm 1,0)$ et $(0,\\pm 1)$ qui donnent effectivement des éléments inversibles. $\\mathbb Z[i]$ possède donc 4 éléments inversibles : $1,-1,i,-i$.\n\n Écrivons $z=x+iy$. On approche $x$ et $y$ par l'entier le plus proche : il existe $a\\in \\mathbb Z$ et $b\\in\\mathbb Z$ tels que $|x-a|\\leq \\frac 12$ et $|y-b|\\leq \\frac 12$. Mais alors, si on pose $\\omega=a+ib$, on obtient\n\n$$|z-\\omega|^2=(x-a)^2+(y-b)^2\\leq \\frac 14+\\frac 14\\leq \\frac 12<1.$$\n\n D'après la question précédente, il existe $q\\in \\mathbb Z[i]$ tel que \n\n$$\\left|\\frac uv-q\\right|<1.$$\n\nPosons $r=v\\left(\\frac uv-q\\right).$ Alors $|r|<|v|$ et on a bien $u=qv+r$. On n'a pas en général unicité de cette \"division euclidienne\" car on n'a pas unicité dans l'approximation de la question précédente. Prenons par exemple $u=1+i$ et $v=2$, de sorte que $u/v$ peut être approché par $0$ ou $1$ (ou aussi par $i$ et $1+i$). On peut alors écrire les deux divisions\n\n$$1+i=0\\times 2+(1+i)$$\n\n$$1+i=1\\times 2+(-1+i)$$\n\navec chaque fois le module du reste inférieur strict à $2$.\n\n Soit $I$ un idéal de $\\mathbb Z[i]$ non réduit à $\\{0\\}$. On considère $a\\in I\\backslash\\{0\\}$ tel que $|a|$ est minimal. Ceci a un sens, car $|z|\\geq 1$ pour tout $z\\in \\mathbb Z[i]\\backslash \\{0\\}$, et il y a seulement un nombre fini d'éléments de $\\mathbb Z[i]$ de module inférieur à un réel donné. On va alors démontrer que $I$ est l'idéal engendré par $a$. Pour cela, prenons $u\\in I$ et effectuons la division euclidienne donnée par la question précédente :\n\n$$u=qa+r\\textrm{ avec }|r|<|a|.$$\n\nMais alors, $u\\in I$, $qa\\in I$ et donc $r\\in I$. Par minimalité de $|a|$, on doit avoir $|r|=0$, ce qui prouve que $u\\in a\\mathbb Z[i]$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 34  - Suite d'idéaux et anneau principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau principal.\n\n\n On suppose que toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'idéaux de $A$ est stationnaire.\n\nMontrer que $A$ est un corps.\n\n Démontrer que toute suite croissante (pour l'inclusion) d'idéaux de $A$ est stationnaire.\n\n\n",
        "answer": "  \n Soit $a$ un élément non-nul de $A$, et $I_n$ l'idéal engendré par $a^n$.\n\nAlors $I_{n+1}\\subset I_n$. En effet, si $x\\in I_{n+1}$, $x$ s'écrit $a^{n+1}u$,\n\nsoit encore $a^n(au)$. Ainsi, la suite $(I_n)$ est décroissante et donc stationnaire.\n\nSoit $p$ un entier tel que $I_p=I_{p+1}$. En particulier,\n\n$a^p$ est élément de $I_{p+1}$, c'est-à-dire que $a^p=a^{p+1}u$, $u\\in A$.\n\nOn peut réécrire ceci en $a^p(1-au)=0$ ce qui implique, car $A$ est intègre et $a$,\n\ndonc $a^n$, sont non-nuls, $1-au=0\\iff au=1$. Ainsi, $a$ est inversible.\n\nComme $a$ est arbitraire dans $A\\backslash\\{0\\}$, $A$ est un corps.\n\n Notons $(I_n)$ une suite croissante d'idéaux de $A$ et posons $I=\\bigcup_n I_n$. Alors il est facile de vérifier que $I$ est un idéal. Puisque $A$ est principal, il existe $a\\in I$ tel que $I$ est l'idéal engendré par $a$. Mais alors, il existe $N\\in\\mathbb N$ tel que $a\\in I_N$. On prouve alors que pour tout $n\\geq N$, on a $I_n =aA$. En effet, on a $I_n\\subset I=aA$, et $a\\in I_N\\subset I_n\\implies aA\\subset I_n$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 35  - Algèbre des matrices qui commutent avec une autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A\\in\\mathcal M_n(\\mathbb R)$. On note $C=\\{M\\in\\mathcal M_n(\\mathbb R);\\ AM=MA\\}$. Montrer que $C$ est une algèbre.",
        "answer": "  Il suffit de démontrer que $C$ est une sous-algèbre de $\\mathcal M_n(\\mathbb R)$, c'est-à-dire à la fois un sous-anneau et un sous-espace vectoriel de $\\mathcal M_n(\\mathbb R)$. Remarquons que la matrice nulle $0$ et $I_n$ sont membres de $C$. De plus, pour tous $M,N\\in C$ et tout $\\lambda\\in\\mathbb R$, alors on vérifie facilement que \n\n\n $MN\\in C$;\n\n $\\lambda M\\in C$;\n\n $M-N\\in C$.\n\n\n\nC'est bien que $C$ est une algèbre.\n"
    },
    {
        "question": " 36  - Une algèbre de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $a,b,c\\in\\mathbb R$, on note \n\n$$M(a,b,c)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\na&b&c\\\\\n\nc&a&b\\\\\n\nb&c&a\n\n\\end{array}\\right)$$\n\net $E=\\{M(a,b,c);\\ a,b,c\\in \\mathbb R\\}$. Démontrer que $E$ une algèbre, et en donner une base en tant qu'espace vectoriel.",
        "answer": "  On va prouver que $E$ est une sous-algèbre de $\\mathcal M_3(\\mathbb R)$. Pour cela, notons \n\n$$A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\n0&1&0\\\\\n\n0&0&1\\\\\n\n1&0&0\n\n\\end{array}\n\n\\right)\\textrm{ et }\n\nB=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\n0&0&1\\\\\n\n1&0&0\\\\\n\n0&1&0\n\n\\end{array}\n\n\\right).$$\n\nAlors il est clair que $E=\\textrm{vect}(I_3,A,B)$ et que la famille $(I_3,A,B)$ est libre. On en déduit que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\\mathcal M_3(\\mathbb R)$ de dimension 3. De plus, un calcul rapide montre que \n\n$$M(a,b,c)M(a',b',c')=M(aa′ +bc′ +cb′,ab′ +a′b+cc′,ac′ +a′c+bb′).$$\n\n$E$ est stable par produit matriciel, et c'est une sous-algèbre de $\\mathcal M_3(\\mathbb R)$.\n"
    },
    {
        "question": " 37  - Algèbres commutatives intègres de dimension finie sur $\\mathbb R$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ une algèbre commutative intègre de dimension finie $n\\geq 2$ sur $\\mathbb R$. On identifie $\\mathbb R$ avec $\\mathbb R.1$, où $1$ est l'élément neutre de $A$ pour la multiplication.\n\n\n Démontrer que tout $a\\in A$ non-nul est inversible.\n\n Soit $a\\in A$ et non dans $\\mathbb R=\\textrm{vect}(1)$. Prouver que la famille $(1,a)$ est libre, tandis que la famille $(1,a,a^2)$ est liée. \n\n En déduire l'existence de $i\\in \\textrm{vect}(1,a)$ tel que $i^2=-1$.\n\n En déduire que $\\dim(A)=2$.\n\n En déduire que $A$ est isomorphe à $\\mathbb C$.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $a\\in A\\backslash \\{0\\}$. Alors $\\phi:A\\to A,\\ x\\mapsto ax$ est une application linéaire si l'on voit $A$ comme un $\\mathbb R$-espace vectoriel. Elle est injective, car $A$ est intègre et donc son noyau est réduit à $\\{0\\}$. Comme $A$ est de dimension finie, l'application est bijective. Il existe $x\\in A$ tel que $ax=1$, ce qui prouve que $a$ est inversible.\n\n $1$ et $a$ sont non-nuls et $a\\notin \\textrm{vect}(1)$. Donc $(1,a)$ est libre. Maintenant, puisque $A$ est de dimension finie $n$, la famille $(1,a,a^2,\\dots,a^n)$ qui est constituée par $n+1$ vecteurs est liée. Il existe un polynôme $P\\in\\mathbb R_n[X]$ tel que $P(a)=0$. On factorise $P$ en produit d'irréductibles, $P=P_1\\cdots P_r$. Alors \n\n$$P_1(a)\\cdots P_r(a)=0.$$\n\nPuisque $A$ est intègre, il existe un $k$ tel que $P_k(a)=0$. Mais $P_k$ est de degré au plus 2, et il ne peut pas être de degré 1 puisque $(1,a)$ est libre. Donc $P_k$ est de degré 2 et $(1,a,a^2)$ est liée.\n\n Soient $\\alpha,\\beta$ tels $a^2+\\alpha a+\\beta=0$, avec $\\Delta=\\alpha^2-4\\beta<0$ (conséquence de la question précédente). On a alors\n\n$$\\left(a+\\frac\\alpha 2\\right)^2=\\frac{\\alpha^2-4\\beta}4$$\n\nce qui entraîne\n\n$$\\left(\\frac{2a+\\alpha}{\\sqrt{4\\beta-\\alpha^2}}\\right)^2=-1.$$\n\nOn a trouvé notre $i$!\n\n Si $\\dim(A)>2$, on pourrait trouver $b$ tel que la famille $(1,a,b)$ soit libre. Comme à la question précédente, on trouverait $j\\in \\textrm{vect}(1,b)$ tel que $j^2=-1$. Mais alors, \n\n$$(i-j)(i+j)=0$$\n\net par intégrité de $A$, un des deux facteurs doit être nul. Dans un cas comme dans l'autre, cela implique $j\\in \\textrm{vect}(1,a)$ et donc $b\\in\\textrm{vect}(1,a)$, puisque qu'on peut aussi dire que $b\\in\\textrm{vect}(1,j)$. C'est une contradiction, et donc la dimension de $A$ est deux.\n\n L'isomorphisme est donné par $1_A\\mapsto 1_{\\mathbb C}$ et $i_A\\mapsto i_{\\mathbb C}$, dont on vérifie facilement que c'est un morphisme d'algèbre.\n"
    }
,
    {
        "question": " 1  - QCM [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle?\n\n\n La somme $\\sum_{k=0}^n 2$\n\n$$\\mathbf a.\\textrm{ n'a pas de sens}\\ \\ \\mathbf b. \\textrm{ vaut }2(n+1)\\ \\ \\mathbf c.\\ \\textrm{vaut }2n.$$\n\n La somme $\\sum_{p=0}^{2n+1}(-1)^p$ est égale à \n\n$$\\mathbf a.\\ 1\\ \\ \\mathbf b.\\ -1\\ \\ \\mathbf c.\\ 0.$$\n\n Le produit $\\prod_{i=1}^n (5a_i)$ est égal à \n\n$$\\mathbf a.\\ 5\\prod_{i=1}^n a_i\\ \\ \\mathbf b.\\ 5^n\\prod_{i=1}^n a_i\\ \\ \\mathbf c.\\ 5^{n-1}\\prod_{i=1}^n a_i.$$\n\n",
        "answer": "  \n On somme $(n+1)$ fois le nombre 2. La bonne réponse est b.\n\n On somme $(n+1)$ fois le nombre 1 (pour les $p$ correspondant à $0,2,\\dots 2n$), et $(n+1)$ faut le nombre $-1$ (pour les $p$ correspondant à $1,3,\\dots,2p+1$). La bonne réponse est c. (Si vous n'êtes pas convaincu, essayez le calcul avec $n=2,3,...$).\n\n Dans chaque produit, il y a le terme 5 qui ne dépend pas de $i$ et qu'on peut extraire du produit. Comme il y a $n$ termes dans le produit, la bonne réponse est b.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Écrire à l'aide du symbole somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes : \n\n\n $2^3+2^4+\\cdots+2^{12}$.\n\n $\\frac 12+\\frac24+\\frac{3}8+\\cdots+\\frac{10}{1024}$.\n\n $2-4+6-8+\\cdots+50$.\n\n $1-\\frac 12+\\frac13-\\frac 14+\\cdots+\\frac1{2n-1}-\\frac{1}{2n}$.\n\n",
        "answer": "  \n $\\sum_{k=3}^{12}2^k$.\n\n $\\sum_{k=1}^{10}\\frac k{2^k}.$\n\n En remarquant que $2=2\\times 1$, $4=2\\times 2$, jusque $50=2\\times 25$, et que devant les termes du type $2k$, où $k$ est impair, on a un signe $+$ et devant les termes du type $2k$, où $k$ est impair, on a un signe $-$, on peut écrire la somme $\\sum_{k=1}^{25}(-1)^{k+1}\\times 2k=2\\sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1}k.$\n\n $\\sum_{k=1}^{2n} \\frac{(-1)^{k+1}}k$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - A l'aide du symbole somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Écrire à l'aide du symbole $\\sum$ les sommes suivantes :\n\n\n $n+(n+1)+\\dots+2n$;\n\n  $\\frac{x_1}{x_n}+\\frac{x_2}{x_{n-1}}+\\cdots+\\frac{x_{n-1}}{x_2}+\\frac{x_n}{x_1}$.\n\n",
        "answer": "  Pour chaque question, plusieurs réponses sont possibles. Parmi ces réponses :\n\n\n $\\sum_{k=n}^{2n}k$.\n\n  $\\sum_{k=1}^n \\frac{x_k}{x_{n+1-k}}$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Différence de deux sommes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\geq 1$, on pose $u_n=\\sum_{k=n}^{2n}\\frac 1k$. Simplifier $u_{n+1}-u_n$ puis étudier la monotonie de $(u_n)$.",
        "answer": "  Lorsqu'on calcule $u_{n+1}-u_n$, \n\n$$u_{n+1}-u_n=\\sum_{k=n+1}^{2n+2}\\frac 1k-\\sum_{k=n}^{2n}\\frac 1k,$$\n\non s'aperçoit que tous les termes se simplifient, hormis les deux derniers de la première somme, et le premier de la deuxième somme. On trouve donc\n\n$$u_{n+1}-u_n=\\frac{1}{2n+1}+\\frac{1}{2n+2}-\\frac{1}n.$$\n\nOn peut ensuite mettre tout au même dénominateur pour étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ : \n\n\\begin{align*}\n\nu_{n+1}-u_n&=\\frac{n(2n+2)+n(2n+1)-(2n+1)(2n+2)}{n(2n+1)(2n+2)}\\\\\n\n&=\\frac{2n^2+2n+2n^2+n-4n^2-6n-2}{n(2n+1)(2n+2)}\\\\\n\n&=\\frac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)}\\\\\n\n&\\leq 0.\n\n\\end{align*}\n\nLa suite $(u_n)$ est décroissante.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Changement d'indice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 1$. Démontrer que \n\n$$\\sum_{k=n+1}^{2n-1}\\ln\\left(\\sin\\left(\\frac{k\\pi}{2n}\\right)\\right)=\\sum_{k=1}^{n-1} \\ln\\left(\\sin\\left(\\frac{k\\pi}{2n}\\right)\\right).$$",
        "answer": "  Il y a deux possibilités naturelles pour effectuer le changement d'indice et obtenir les bonnes bornes. On peut poser $j=k-n$, ou $j=2n-k$. Le deuxième choix permet plus facilement d'arriver au résultat. Posons donc $j=2n-k$. Alors :\n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{k=n+1}^{2n-1}\\ln\\left(\\sin\\left(\\frac{k\\pi}{2n}\\right)\\right)&=\n\n\\sum_{j=1}^{n-1}\\ln\\left(\\sin\\left(\\pi-\\frac{j\\pi}{2n}\\right)\\right)\\\\\n\n&=\\sum_{j=1}^{n-1}\\ln\\left(\\sin\\left(\\frac{j\\pi}{2n}\\right)\\right)\n\n\\end{align*}\n\nen utilisant la formule $\\sin(\\pi-x)=\\sin(x)$. C'est exactement le résultat demandé.\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Changement d'indice magique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer la somme $\\sum_{k=1}^n \\left(\\frac 1k-\\frac1{n+1-k}\\right)$.",
        "answer": "  On commence par séparer la somme en deux :\n\n$$\\sum_{k=1}^n \\left(\\frac 1k-\\frac1{n+1-k}\\right)=\\sum_{k=1}^n \\frac 1k-\\sum_{k=1}^n \\frac1{n+1-k}.$$\n\nOn effectue ensuite le changement d'indices $j=n+1-k$ dans la deuxième somme. \n\nOn a \n\n$$1\\leq k\\leq n\\iff -1\\geq -k\\geq -n\\iff n\\geq n+1-k\\geq 1.$$\n\nLa deuxième somme devient donc \n\n$$\\sum_{k=1}^n \\frac1{n+1-k}=\\sum_{j=1}^n \\frac1j=\\sum_{k=1}^n \\frac 1k.$$\n\nOn trouve finalement\n\n$$\\sum_{k=1}^n \\left(\\frac 1k-\\frac1{n+1-k}\\right)=0.$$\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Simplifier! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Simplifier les sommes et produits suivants :\n\n$$\\begin{array}{lcl}\n\n\\mathbf 1.\\ \\sum_{k=1}^n \\ln\\left(1+\\frac 1k\\right)&\\quad\\quad&\\mathbf 2.\\ \\prod_{k=2}^n \\left(1-\\frac1{k^2}\\right)\\\\\n\n\\mathbf 3.\\ \\sum_{k=0}^n \\frac{1}{(k+2)(k+3)}.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On commence par remarquer que\n\n$$\\ln\\left(1+\\frac 1k\\right)=\\ln\\left(\\frac{k+1}k\\right)=\\ln(k+1)-\\ln k.$$\n\nOn en déduit que \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=1}^n \\ln\\left(1+\\frac 1k\\right)&=&\\sum_{k=1}^n \\ln(k+1)-\\sum_{k=1}^n \\ln(k)\\\\\n\n&=&\\sum_{k=2}^{n+1}\\ln(k)-\\sum_{k=1}^n \\ln (k)\\\\\n\n&=&\\ln(n+1)-\\ln(1)\\\\\n\n&=&\\ln(n+1).\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On commence par remarquer que \n\n$$\\left(1-\\frac1{k^2}\\right)=\\frac{k^2-1}{k^2}=\\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}.$$\n\nOn en déduit que\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\prod_{k=2}^n \\left(1-\\frac1{k^2}\\right)&=&\\frac{\\prod_{k=2}^n (k-1)\\prod_{k=2}^n (k+1)}\n\n{\\left(\\prod_{k=2}^n k\\right)^2}\\\\\n\n&=&\\frac{(n-1)!\\times\\frac12\\times (n+1)!}{(n!)^2}\\\\\n\n&=&\\frac{n+1}{2n}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On commence par remarquer que \n\n$$\\frac 1{(k+2)(k+3)}=\\frac1{k+2}-\\frac 1{k+3}.$$\n\nOn raisonne alors exactement comme pour la première somme :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^n \\frac{1}{(k+2)(k+3)}&=&\\sum_{k=0}^n \\frac1{k+2}-\\sum_{k=0}^n \\frac 1{k+3}\\\\\n\n&=&\\sum_{k=0}^n \\frac1{k+2}-\\sum_{k=1}^{n+1}\\frac{1}{k+2}\\\\\n\n&=&\\frac 12-\\frac 1{n+3}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Télescopage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $k\\in\\mathbb N$,\n\n$$\\frac 1{(k+1)(k+3)}=\\frac a{k+1}+\\frac b{k+3}.$$\n\nEn déduire la valeur de la somme\n\n$$S_n=\\sum_{k=0}^n \\frac{1}{(k+1)(k+3)}.$$",
        "answer": "  On réduit au même dénominateur, et on trouve\n\n$$\\frac a{k+1}+\\frac b{k+3}=\\frac{(a+b)k+(3a+b)}{(k+1)(k+3)}.$$\n\nPar identification, on cherche à résoudre le système\n\n$$\\left\\{\\begin{array}{rcl}\n\na+b&=&0\\\\\n\n3a+b&=&1\n\n\\end{array}\\right.$$\n\ndont la seule solution est $a=1/2$, $b=-1/2$. On en déduit\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nS_n&=&\\frac12\\sum_{k=0}^n \\frac 1{k+1}-\\frac 12\\sum_{k=0}^n \\frac 1{k+3}\\\\\n\n&=&\\frac 12\\sum_{k=0}^n \\frac1{k+1}-\\frac12\\sum_{k=2}^{n+2} \\frac{1}{k+1}\\\\\n\n&=&\\frac12\\left(1+\\frac 12-\\frac1{n+2}-\\frac1{n+3}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{3n^2+11n+8}{4(n+2)(n+3)}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Somme télescopique et factorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé En utilisant une somme télescopique, calculer $\\sum_{k=1}^n k\\cdot k!$.",
        "answer": "  Pour faire apparaître une somme télescopique, on va écrire $k=(k+1)-1$. Il vient\n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{k=1}^n k\\cdot k!&=\\sum_{k=1}^n (k+1-1)\\cdot k!\\\\\n\n&=\\sum_{k=1}^n \\big( (k+1)!-k!\\big)\\\\\n\n&=(n+1)!-1!=(n+1)!-1.\n\n\\end{align*}\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Transformer en somme télescopique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Déterminer une suite $(u_k)$ telle que, pour tout $k\\geq 0$, on ait\n\n$$u_{k+1}-u_k=(k+2) 2^k.$$\n\n En déduire $\\sum_{k=0}^{n}(k+2)2^k.$\n\n",
        "answer": "  \n On va chercher $u_k$ sous la forme $u_k=(ak+b)2^k$. On a alors\n\n$$u_{k+1}-u_k=(a(k+1)+b)2^{k+1}-(ak+b)2^k=(2ak+2a+2b-ak-b)2^k=(ak+2a+b)2^k.$$\n\nOn obtient donc le résultat si on choisit $a=1$ et $b=0$.\n\n Il s'agit maintenant d'une simple somme télescopique : \n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{k=0}^n (k+2)2^k&=\\sum_{k=0}^n \\big(u_{k+1}-u_k\\big)\\\\\n\n&=u_{n+1}-u_0\\\\\n\n&=(n+1)2^{n+1}.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Somme et factorielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que, pour tout $n\\in\\mathbb N^*$, on a \n\n$$(n+1)!\\geq\\sum_{k=1}^n k!\\quad.$$",
        "answer": "  Pour chaque entier $k$ dans $\\{1,\\dots,n\\}$, on a $k!\\leq n!$.\n\nOn obtient donc\n\n$$\\sum_{k=1}^n k!\\leq\\sum_{k=1}^n n!=n\\times n!$$\n\npuisque la somme de droite est une somme de termes constants. Puisque $n\\leq n+1$, on obtient bien\n\n$$\\sum_{k=1}^n k!\\leq (n+1)\\times n!=(n+1)!\\quad .$$\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Somme et somme des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 1$ et $x_1,\\dots,x_n$ des réels vérifiant \n\n$$\\sum_{k=1}^n x_k=n\\textrm{ et }\\sum_{k=1}^n x_k^2=n.$$\n\nDémontrer que, pour tout $k$ dans $\\{1,\\dots,n\\}$, $x_k=1$.",
        "answer": "  Calculons $\\sum_{k=1}^n (1-x_k)^2$ :\n\n$$\\sum_{k=1}^n (1-x_k)^2=\\sum_{k=1}^n 1-2\\sum_{k=1}^n x_k+\\sum_{k=1}^n x_k^2=n-2n+n=0.$$\n\nOr, une somme de réels positifs est nulle si et seulement si chacun des termes de la somme est nul. On en déduit le résultat demandé.\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Somme des entiers, des carrés,... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\in\\mathbb N^*$, on note\n\n$$a_n=\\sum_{k=1}^n k,\\ b_n=\\sum_{k=1}^n k^2\\textrm{ et }c_n=\\sum_{k=1}^n k^3.$$\n\nDémontrer que $\\displaystyle a_n=\\frac{n(n+1)}2$, que $\\displaystyle b_n=\\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$.",
        "answer": "  On procède simplement par récurrence sur $n$. Voyons d'abord pourquoi la formule est vraie pour $a_n$. Elle\n\nest vraie pour $n=1$ (car $1=\\frac{1\\times 2}{2}$). Soit $n\\in\\mathbb N$ telle qu'elle est vraie au rang $n$ et prouvons-la\n\nau rang $n+1$. Alors, \n\n$$a_{n+1}=a_n+(n+1)=\\frac{n(n+1)}2+(n+1)=(n+1)\\times\\left(\\frac n2+1\\right)=\\frac{(n+1)\\big((n+1)+1\\big)}2.$$\n\nLa formule est donc vraie au rang $n+1$ et par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier $n\\geq 0$. \n\nLe raisonnement est rigoureusement identique pour $b_n$ et pour $c_n$. Voyons par exemple le cas de $c_n$.\n\nComme précédemment, la formule est vraie au rang $1$, et si elle est vraie au rang $n$, alors\n\n$$c_{n+1}=c_n+(n+1)^3=\\frac{n^2(n+1)^2}4+(n+1)^3=(n+1)^2\\left(\\frac {n^2}4+(n+1)\\right).$$\n\nIl suffit alors pour conclure de remarquer que \n\n$$\\frac {n^2}4+(n+1)=\\frac{(n+2)^2}4.$$\n\nLa propriété est vraie au rang $n+1$ ce qui clôt la démonstration par récurrence.\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Calculs de sommes arithmétiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les somme suivantes :\n\n\n $A_n=\\sum_{k=1}^n 3$.\n\n $B_n=\\sum_{k=1}^n A_k$.\n\n $S_n=\\sum_{k=0}^{n}(2k+1)$.\n\n\n",
        "answer": "  \n On somme des termes constants, et il y a $n$ termes dans la somme, donc \n\n$A_n=3n$.\n\n Par linéarité, \n\n\\[ B_n = 3\\sum_{k=1}^n k=\\frac{3n(n+1)}2. \\]\n\n On raisonne également par linéarité : \n\n\\begin{align*}\n\nS_n&=2\\sum_{k=0}^n k+\\sum_{k=0}^n 1\\\\\n\n&=n(n+1)+(n+1)\\\\\n\n&=(n+1)^2.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Calculs de sommes géométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les sommes suivantes : \n\n\n $S=\\frac{1}{2^{10}}+\\frac{1}{2^{20}}+\\frac{1}{2^{30}}+\\cdots+\\frac{1}{2^{1000}}$.\n\n $T_n=\\sum_{k=0}^n \\frac{2^{k-1}}{3^{k+1}}$.\n\n",
        "answer": "  \n On remarque que \n\n$$S=\\sum_{k=1}^{100}\\frac{1}{2^{10k}}=\\sum_{k=1}^{100}\\left(\\frac1{2^{10}}\\right)^k.$$\n\nPar la formule donnant la somme d'une suite géométrique, on trouve\n\n\\begin{align*}\n\nS&=\\frac{ \\frac{1}{2^{10}}-\\frac 1{2^{1010}}}{1-\\frac1{2^{10}}}\\\\\n\n&=\\frac{1-\\frac 1{2^{1000}}}{2^{10}-1}\\\\\n\n&=\\frac{2^{1000}-1}{2^{1000}(2^{10}-1)}.\n\n\\end{align*}\n\n On factorise par $1/6$ pour se ramener à une somme géométrique.\n\n$$\\sum_{k=0}^n\\frac{2^{k-1}}{3^{k+1}}=\\frac 16\\sum_{k=0}^n \\left(\\frac 23\\right)^k=\\frac 16\\times\\frac{1-\\left(\\frac 23\\right)^{n+1}}{1-\\frac 23}=\n\n\\frac{1-\\left(\\frac 23\\right)^{n+1}}2.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Calcul de sommes par changements d'indice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer la somme suivante : \n\n$$\\sum_{k=1}^n (n-k+1).$$",
        "answer": "  Effectuons le changement d'indices $\\ell=n-k+1$. Lorsque $k$ varie de $1$ à $n$, alors $\\ell$ varie aussi de $1$ à $n$. On a donc\n\n$$\\sum_{k=1}^n (n+1-k)=\\sum_{\\ell=1}^n \\ell=\\frac{n(n+1)}2.$$\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Calcul de sommes avec indices négatifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer la somme suivante : \n\n$$\\sum_{k=-5}^{15} k(10-k).$$",
        "answer": "  On écrit en développant le produit\n\n$$\\sum_{k=-5}^{15}k(10-k)=10\\sum_{k=-5}^{15}k-\\sum_{k=-5}^{15}k^2.$$\n\nÉtudions ensuite la première somme en la découpant en deux :\n\n\\begin{align*}\n\nS_1=\\sum_{k=-5}^{15}k&=\\sum_{k=-5}^0 k +\\sum_{k=1}^{15}k\n\n\\end{align*}\n\nDans la première de ces deux sommes, on fait le changement de variables $\\ell=-k$. Lorsque $k$ va de $-5$ à $0$, $\\ell$ va de $0$ à $5$. On trouve donc que \n\n\\begin{align*}\n\nS_1&=-\\sum_{\\ell=0}^5 \\ell+\\sum_{k=1}^{15}k\\\\\n\n&=-\\frac{5\\times 6}2+\\frac{15\\times 16}2\\\\\n\n&=105.\n\n\\end{align*}\n\nPour la deuxième somme, on fait le même raisonnement :\n\n\\begin{align*}\n\nS_2=\\sum_{k=-5}^{15}k^2&=\\sum_{k=-5}^0 k^2 +\\sum_{k=1}^{15}k^2\\\\\n\n&=\\sum_{\\ell=0}^5(-\\ell)^2+\\sum_{k=1}^{15}k^2\\\\\n\n&=\\sum_{\\ell=0}^5 \\ell^2+\\sum_{k=1}^{15}k^2\\\\\n\n&=\\frac{5\\times 6\\times 11}{6}+\\frac{15\\times 16\\times 31}6=1295.\n\n\\end{align*}\n\nFinalement, on trouve\n\n$$\\sum_{k=-5}^{15} k(10-k)=1050-1295=-245.$$\n\nOn peut vérifier cette somme par un petit programme Python :\n\n     S=0\n    for k in range(-5,16):\n         S+=k*(10-k)\n    print(S)\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Calcul de sommes par découpage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\in\\mathbb N$.\n\n\n Calculer $A_n=\\sum_{k=2n+1}^{3n}(2n)$.\n\n Calculer $B_n=\\sum_{k=n}^{2n}k$.\n\n En déduire la valeur de $S_n=\\sum_{k=n}^{3n}\\min(k,2n)$.\n\n",
        "answer": "  \n On ne somme que des termes constants, et donc on trouve \n\n$$A_n=n\\times (2n)=2n^2.$$\n\n Notons $T_n=\\sum_{k=0}^n k$. Alors on a \n\n$$B_n=T_{2n}-T_{n-1}=n(2n+1)-\\frac{(n-1)n}2=\\frac{n(4n+2-(n-1))}2=\\frac{3(n+1)n}2.$$\n\n On remarque que si $k\\leq 2n$, alors $\\min(k,2n)=k$ alors que si $k\\geq 2n+1$, on a $\\min(k,2n)=2n$. On en déduit que\n\n$$S_n=A_n+B_n=2n^2+\\frac{3n(n+1)}2=\\frac{n(7n+3)}2.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Se ramener à une somme classique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\geq 1$, on pose $u_n=\\frac{1}{n^2}+\\frac{2}{n^2}+\\cdots+\\frac{n}{n^2}$. Calculer explicitement $u_n$, puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$.",
        "answer": "  En mettant $1/n^2$ en facteur, on se ramène à une somme classique. En effet, on peut écrire\n\n$$u_n=\\frac1{n^2}\\sum_{k=1}^n k=\\frac{1}{n^2}\\times\\frac{n(n+1)}{2}=\\frac{n+1}{2n}=\\frac{1}2+\\frac{1}{2n}.$$\n\nAinsi, la suite $(u_n)$ tend vers $1/2$.\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\in\\mathbb N^*$ et $x\\in\\mathbb R$, on note\n\n$$P_n(x)=\\prod_{k=1}^n \\left(1+\\frac xk\\right).$$\n\n\n Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$, $P_n(-n)$?\n\n Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a \n\n$$P_n(x)=\\frac {x+n}xP_n(x-1).$$\n\n Pour $p\\in\\mathbb N^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme.\n\n",
        "answer": "  \n On a $P_n(0)=1$ (on ne fait que des produits de 1), $P_n(-n)=0$, car alors\n\n$$1+\\frac{-n}n=0$$\n\net donc on a un terme nul dans le produit. Enfin,\n\n$$P_n(1)=\\prod_{k=1}^n \\frac{k+1}k=\\frac{2\\times 3\\times\\dots\\times (n+1)}{1\\times 2\\times\\dots\\times n}={n+1}.$$\n\n On a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP_n(x)&=&\\prod_{k=1}^n \\frac{x+k}k\\\\\n\n&=&\\frac{(x+1)(x+2)\\dots (x+n)}{1\\times 2\\times\\dots\\times n}\\\\\n\n&=&\\frac{x+n}{x}\\times\\frac {(x-1+1)(x-1+2)\\dots (x-1+n)}{1\\times 2\\times\\dots\\times n}\\\\\n\n&=&\\frac{x+n}xP_n(x-1).\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On a \n\n$$P_n(p)=\\prod_{k=1}^n \\frac{k+p}{k}=\\frac{(p+1)\\dots (p+n)}{n!}=\\frac{(n+p)!}{n!p!}=\\binom{n+p}{p}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Somme géométrique dans tous ses états [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit pour $n\\in\\mathbb N$, $u_n=(-2)^n$.  Calculer les sommes suivantes : \n\n$$\\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\\quad \\sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\\quad \\sum_{k=0}^{n} u_{2k};\\quad \\sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n);\\quad \\left(\\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\\right)+n;\\quad \\sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\\quad \\sum_{k=0}^{n} u_{kn}.$$",
        "answer": "  Dans cet exercice, il faut faire très attention aux notations, puis appliquer la formule de la somme d'une série géométrique. Il vient alors\n\n$$\\sum_{k=0}^{2n} u_{k}=\\sum_{k=0}^{2n}(-2)^k=\\frac{1-(-2)^{2n+1}}{1-(-2)}=\\frac{1+2^{2n+1}}3.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{2n+1} u_{k}=\\frac{1-2^{2n+2}}3.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{n} u_{2k}=\\sum_{k=0}^n 4^k=\\frac{1-4^{n+1}}{1-4}=\\frac{4^{n+1}-1}3.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n)=\\sum_{k=0}^{2n} u_k+\\sum_{k=0}^{2n} n=\\frac{1+2^{2n+1}}3+n(2n+1).$$\n\n$$\\left(\\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\\right)+n=\\frac{1+2^{2n+1}}3+n.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{n} u_{k+n}=\\sum_{k=0}^n (-2)^{k+n}=(-2)^n\\sum_{k=0}^n (-2)^k=\\frac{(-2)^n(1-(-1)^{n+1} 2^{n+1})}{3}.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{n} u_{kn}=\\sum_{k=0}^n ((-2)^n)^k=\\frac{1-(-2)^{n(n+1)}}{1-(-2)^n},$$\n\nsauf si $n=0$ auquel cas la somme vaut $u_0=1$.\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Sommes alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Simplifier la somme $\\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets. \n\n Montrer par récurrence que pour tout $n\\in\\mtn^*$, on a \n\n$$S_n=\\sum_{k=1}^n (-1)^k k=\\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}.$$\n\nRetrouver le résultat précédent.\n\n",
        "answer": "  \n L’ensemble $\\{1, . . . , 2n\\}$ est la réunion des parties deux à deux disjointes $\\{2p − 1, 2p\\}$ pour $p$ variant de $1$ à $n$. Or $(−1)^{2p−1}(2p − 1) + (−1)^{2p}2p = 2p − (2p − 1) = 1$ pour tout $1\\leq p\\leq n$, donc la somme est égale à $n$.\n\n Initialisation : On commence par vérifier la propriété pour $n=1$. On a \n\n$$\\sum_{k=1}^1 (-1)^k k=-1\\textrm{ et }\\frac{(-1)^1 (2\\times 1+1)-1}{4}=-1$$\n\nce qui prouve bien l'égalité voulue.\n\nHérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ et prouvons-là au rang $n+1$.\n\nOn a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^k k&=&\\sum_{k=1}^n (-1)^k k+(-1)^{n+1}(n+1)\\\\\n\n&=&\\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}+(-1)^{n+1}(n+1)\\\\\n\n&=&\\frac{(-1)^{n+1}(-2n-1+4n+4)-1}{4}\\\\\n\n&=&\\frac{(-1)^{n+1}(2(n+1)+1)-1}{4}\n\n\\end{eqnarray*}\n\nce qui démontre bien la propriété au rang $n+1$. Remarquons que le passage\n\nde la première à la deuxième ligne utilise l'hypothèse de récurrence.\n\nSi on somme jusque $2n$ au lieu de $n$, on trouve que \n\n$$S_{2n}=\\frac{4n+1-1}4=n.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Somme de puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $x\\in\\mathbb R$ et $n\\in\\mathbb N^*$.\n\n\n Calculer $S_n(x)=\\sum_{k=0}^n x^k.$\n\n En déduire la valeur de $T_n(x)=\\sum_{k=0}^n k x^k.$\n\n\n",
        "answer": "  C'est un exercice extrêmement classique qu'il faut savoir faire. \n\n\n On reconnait une somme géométrique de raison $x$. Pour $x\\neq 1$, on a \n\n$$S_n(x)=\\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.$$\n\nPour $x=1$, $S_n(1)=n+1$.\n\n On distingue là encore le cas $x=1$. Il donne\n\n$$T_n(1)=\\sum_{k=0}^n k=\\frac{n(n+1)}2.$$\n\nSinon, on dérive $S_n$ : pour tout $x\\neq 1$, \n\n$$S_n'(x)=\\sum_{k=1}^n kx^{k-1}\\implies T_n(x)=xS_n'(x).$$\n\nOn calcule alors $S_n'(x)$ avec la formule obtenue à la question précédente et on trouve\n\n$$T_n(x)=x\\frac{nx^{n+1} −(n+1)x^n +1}{ (x−1)^2}.$$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Sommation d'Abel  [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $(a_n)_{n\\in\\mathbb N}$ et $(B_n)_{n\\in\\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. On définit deux suites $(A_n)_{n\\in\\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\\in\\mathbb N}$ en posant :\n\n$$A_n=\\sum_{k=0}^n a_k,\\quad\\quad b_n=B_{n+1}-B_n.$$\n\n\n Démontrer que $\\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k.$\n\n En déduire la valeur de $\\sum_{k=0}^n 2^kk$.\n\n",
        "answer": "  \n On convient que $A_{-1}=0$. On a alors\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^n a_k B_k&=&\\sum_{k=0}^n (A_k-A_{k-1})B_k\\\\\n\n&=&\\sum_{k=0}^n A_k B_k-\\sum_{k=0}^n A_{k-1}B_k\\\\\n\n&=&\\sum_{k=0}^n A_k B_k-\\sum_{k=0}^{n-1} A_k B_{k+1}\\\\\n\n&=&A_n B_n+\\sum_{k=0}^{n-1}A_k (B_k-B_{k+1})\\\\\n\n&=&A_nB_n-\\sum_{k=0}^{n-1} A_k b_k.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On pose $a_k=2^k$ et $B_k=k$. Alors $A_n=2^{n+1}-1$ et $b_k=1$. On en déduit que\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^n k2^k&=&(2^{n+1}-1)n-\\sum_{k=0}^{n-1}(2^{k+1}-1)\\\\\n\n&=&(2^{n+1}-1)n-2(2^n-1)+n\\\\\n\n&=&2^{n+1}(n-1)+2.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n\nCe procédé de transformation de somme s'appelle une sommation d'Abel.\n"
    },
    {
        "question": " 25  - Comment permuter une somme double? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(a_{i,j})_{(i,j)\\in\\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels. Intervertir les sommes doubles suivantes :\n\n\n $S_1=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=i}^n a_{i,j}$;\n\n $S_2=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=0}^{n-i}a_{i,j}$;\n\n $S_3=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=i}^m a_{i,j}$ où on a supposé $n\\leq m$.\n\n",
        "answer": "  \n On fait la somme sur tous les indices $i,j$ tels que $0\\leq i\\leq j\\leq n$. On a donc\n\n$$S_1=\\sum_{j=0}^n \\sum_{i=0}^j a_{i,j}.$$\n\nUne autre façon de le voir est de poser $b_{i,j}=a_{i,j}$ si $j\\geq i$ et $b_{i,j}=0$ si $j<i$. Alors on a\n\n$$S_1=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^n \\sum_{i=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^n \\sum_{i=0}^j a_{i,j}.$$\n\n On reproduit \"l'astuce\" précédente en posant $b_{i,j}=a_{i,j}$ si $j\\leq n-i$ et $b_{i,j}=0$ sinon. Il vient\n\n$$S_2=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^n \\sum_{i=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^n\\sum_{i=0}^{n-j}a_{i,j}.$$\n\n On recommence comme à la première question, en posant $b_{i,j}=a_{i,j}$ si $j\\geq i$ et $b_{i,j}=0$ si $j<i$. Alors on a\n\n$$S_3=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=0}^m b_{i,j}=\\sum_{j=0}^m \\sum_{i=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^m \\sum_{i=0}^{\\min(n,j)}a_{i,j}.$$\n\nLa principale difficulté ici vient du fait de ne pas oublier le minimum car $j$ peut dépasser $n$, ce qui n'est pas le cas de $i$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 26  - Quelques sommes doubles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les sommes doubles suivantes :\n\n\n $\\sum_{1\\leq i,j\\leq n}ij$.\n\n $\\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n}\\frac ij$.\n\n",
        "answer": "  \n On reconnait simplement un produit : \n\n$$\\sum_{1\\leq i,j\\leq n}ij=\\left(\\sum_{i=1}^n i\\right)\\times \\left(\\sum_{j=1}^n j\\right)=\\frac{n^2(n+1)^2}4.$$\n\n On va mettre la somme sur $j$ à l'extérieur, et la somme sur $i$ a l'intérieur. On trouve\n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n}\\frac ij&=\\sum_{1\\leq j\\leq n}\\frac 1j\\sum_{i=1}^j i\\\\\n\n&=\\sum_{1\\leq j\\leq n}\\frac 1j\\times \\frac{j(j+1)}2\\\\\n\n&=\\frac 12\\sum_{1\\leq j\\leq n}(j+1)\\\\\n\n&=\\frac 12 \\times \\frac{n(n+3)}2\\\\\n\n&=\\frac{n(n+3)}4.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 27  - Avec permutation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\geq 1$, on pose $S_n=\\sum_{k=1}^n \\frac 1k$ et $u_n=\\sum_{k=1}^n S_k$. Démontrer que, pour tout $n\\geq 1$, $u_n=(n+1)S_n-n$.",
        "answer": "  On écrit (attention à ne pas utiliser les mêmes indices de sommation!)\n\n$$u_n=\\sum_{k=1}^n \\sum_{l=1}^k \\frac{1}l.$$\n\nOn va permuter ces deux sommes, en remarquant que \n\n$$\\{(k,l)\\in\\mathbb N^2:\\ 1\\leq k\\leq n,\\ 1\\leq l\\leq k\\}=\\{(k,l)\\in\\mathbb N^2:\\ 1\\leq l \\leq n,\\ l\\leq k\\leq n\\}.$$\n\nOn a donc\n\n\\begin{align*}\n\nu_n&=\\sum_{l=1}^n \\sum_{k=l}^n \\frac 1l\\\\\n\n&=\\sum_{l=1}^n \\frac{n+1-l}l\\\\\n\n&=\\sum_{l=1}^n \\frac{n+1}l-\\sum_{l=1}^n 1\\\\\n\n&=(n+1)S_n-n.\n\n\\end{align*}\n"
    },
    {
        "question": " 28  - Application des sommes doubles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé En écrivant que \n\n$$\\sum_{k=1}^n k2^k=\\sum_{k=1}^n \\sum_{j=1}^k 2^k,$$\n\ncalculer $\\sum_{k=1}^n k2^k$.",
        "answer": "  L'idée pour réaliser ce calcul est de permuter l'ordre de sommation, pour sommer d'abord sur $j$ puis ensuite sur $k$. On remarque qu'alors $j$ varie entre $1$ et $n$, puis que $k$ varie entre $j$ et $n$. On a donc\n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{k=1}^n \\sum_{j=1}^k 2^k&=\\sum_{j=1}^n \\sum_{k=j}^n 2^k\\\\\n\n&=\\sum_{j=1}^n( 2^{n+1}-2^j)\\\\\n\n&=n2^{n+1}-\\left(2^{n+1}-2\\right)\\\\\n\n&=(n-1)2^{n+1}+2.\n\n\\end{align*}\n"
    },
    {
        "question": " 29  - Sommes doubles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\in\\mathbb N$, on note\n\n$$a_n=\\sum_{k=1}^n k,\\ b_n=\\sum_{k=1}^n k^2\\textrm{ et }c_n=\\sum_{k=1}^n k^3.$$\n\nPour cet exercice, on admettra que $\\displaystyle a_n=\\frac{n(n+1)}2$, que $\\displaystyle b_n=\\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$.\n\n\n Calculer $\\displaystyle \\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n} ij$.\n\n  Calculer $\\displaystyle \\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n \\min(i,j)$.\n\n",
        "answer": "  \n On écrit que\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n} ij&=&\\sum_{j=1}^n j\\left(\\sum_{i=1}^j i\\right)\\\\\n\n&=&\\sum_{j=1}^n ja_j\\\\\n\n&=&\\sum_{j=1}^n j\\frac{j(j+1)}2\\\\\n\n&=&\\frac 12\\left(\\sum_{j=1}^n j^3+\\sum_{j=1}^n j^2\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{c_n+b_n}2.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nEn remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé et après réduction au même dénominateur, on trouve \n\n$$\\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n} ij=\\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}.$$\n\n Posons, pour $i\\in\\{1,\\dots,n\\}$ fixé, $S_i=\\sum_{j=1}^n \\min(i,j)$ et commençons par calculer la valeur de $S_i$. \n\nAlors on a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nS_i&=&\\sum_{j=1}^i j+\\sum_{j=i+1}^n i\\\\\n\n&=&\\frac{i(i+1)}2+(n-i)i\\\\\n\n&=&\\left(n+\\frac 12\\right)i-\\frac{i^2}2\n\n\\end{eqnarray*}\n\n(on pourra remarquer que ceci fonctionne encore si $i=n$, auquel cas la deuxième somme est réduite à $0$). On en déduit que \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n \\min(i,j)&=&\\sum_{i=1}^n S_i\\\\\n\n&=&\\sum_{i=1}^n \\left(n+\\frac 12\\right)i-\\frac{i^2}2\\\\\n\n&=&\\left(n+\\frac 12\\right)\\frac{n(n+1)}2-\\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}\\\\\n\n&=&\\frac{n(n+1)(2n+1)}6.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 30  - Factorielle et coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Soient $n,p\\geq 1$. Démontrer que \n\n$$\\binom{n}{p}=\\frac np \\binom {n-1}{p-1}.$$\n\n Pour $n\\in\\mathbb N$ et $a,b$ réels non nuls, simplifier les expressions suivantes :\n\n$$\\mathbf 1.\\ (n+1)!-n!\\ \\quad\\mathbf 2.\\ \\frac{(n+3)!}{(n+1)!}\\ \\quad\\mathbf 3.\\ \\frac{n+2}{(n+1)!}-\\frac 1{n!}\\ \\quad\\mathbf 4.\\ \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\textrm{ où }u_n=\\frac{a^n}{n!b^{2n}}.$$\n\n",
        "answer": "  \n On sait que \n\n$$\\binom{n}{p}=\\frac{n!}{p!(n-p)!}=\\frac{n\\times (n-1)!}{p\\times (p-1)!(n-p)!}=\\frac{n}p\\times\\frac{(n-1)!}{(p-1)!\\big((n-1)-(p-1)\\big)!}=\\frac np\\binom{n-1}{p-1}.$$\n\n\n\n On a \n\n$$(n+1)!-n!=(n+1)n!-n!=(n+1-1)n!=n\\times n!$$\n\n On a\n\n$$\\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=\\frac{(n+3)(n+2)(n+1)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2).$$\n\n On a \n\n$$\\frac{n+2}{(n+1)!}-\\frac 1{n!}=\\frac 1{n!}\\left(\\frac{n+2}{n+1}-1\\right)=\\frac 1{(n+1)!}.$$\n\n On a\n\n$$\\frac{u_{n+1}}{u_n}=\\frac{a^{n+1}}{a^n}\\times \\frac{n!}{(n+1)!}\\times\\frac {b^{2n}}{b^{2n+2}}=\\frac{a}{(n+1)b^2}.$$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 31  - Égalité de coefficients binômiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\in\\mathbb N$.\n\n\n Pour quels entiers $p\\in\\{0,\\dots,n-1\\}$ a-t-on $\\binom np<\\binom n{p+1}$.\n\n Soit $p\\in\\{0,\\dots,n\\}$. Pour quelle(s) valeur(s) de $q\\in\\{0,\\dots,n\\}$ a-t-on \n\n$\\binom np=\\binom nq$?\n\n",
        "answer": "  \n On fait le quotient des deux nombres :\n\n$$\\frac{\\binom np}{\\binom n{p+1}}=\\frac{n(n-1)\\dots(n-p+1)}{p!}\\times \\frac{(p+1)!}{n(n-1)\\dots(n-p+1)(n-p)}=\\frac{p+1}{n-p}.$$\n\nCeci est inférieur strict à $1$ si et seulement si \n\n$$\\frac{p+1}{n-p}<1\\iff p<\\frac{n-1}2.$$\n\n La question précédente montre que la suite des coefficients binômiaux $\\binom nq$ croît strictement avec $q$ pour $q$ allant de $0$ à $\\frac{n-1}2$ et on montrerait de la même façon qu'elle décroît strictement pour $q$ allant de $\\frac{n+1}2$ à $n$.  L'égalité \n\n$$\\binom np=\\binom nq$$\n\npeut donc avoir lieu au plus pour deux valeurs de $q$, l'une avec $q$ dans $0,\\dots,\\frac{n-1}2$, l'autre avec $q$ supérieur ou égal à $\\frac{n+1}2$. Or, on a bien deux solutions, qui sont $q=p$ et $q=n-p$.\n\nCes solutions sont distinctes sauf si \n\n$n=2p$. Et dans ce cas, il n'y a qu'une seule solution (c'est le coefficient binômial le plus grand).\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 32  - Divisibilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $p\\geq 1$. Démontrer que $p!$ divise tout produit de $p$ entiers naturels consécutifs.",
        "answer": "  Un produit de $p$ entiers naturels consécutifs s'écrit $P=n(n+1)\\dots (n+p-1)$. Posons $m=n+p-1$. Ce produit s'écrit encore $P=m(m-1)\\dots (m-p+1)$. On a donc\n\n$$\\frac{P}{p!}=\\frac{m(m-1)\\dots(m-p+1)}{p!}=\\binom mp.$$\n\nC'est donc un entier, ce qui signifie que $p!$ divise $P$.\n"
    },
    {
        "question": " 33  - Formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Développer $(x+1)^6$, $(x-1)^6$.\n\n Démontrer que, pour tout entier $n$, on a \n\n$\\sum_{p=0}^n \\binom np=2^n.$\n\n Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\\sum_{p=0}^n \\binom np 2^p=3^n$.\n\n Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\\sum_{k=1}^{2n}\\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=0.$ \n\n",
        "answer": "  \n On va utiliser la formule du binôme. On calcule les coefficients binômiaux par exemple en utilisant le triangle de Pascal. On en déduit \n\n$$(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1.$$\n\n$$(x-1)^6=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1.$$\n\n Il suffit de remarquer que $2^n=(1+1)^n$, et de développer ceci en utilisant la formule du binôme.\n\n C'est presque le même raisonnement. Cette fois, on écrit que\n\n$$\\sum_{p=0}^n \\binom np 2^p=\\sum_{p=0}^n \\binom np 1^{n-p}2^p=(1+2)^n=3^n.$$\n\n C'est un peu plus difficile. En remarquant que $k$ et $2n-k$ ont la même parité, on a \n\n$$\\sum_{k=0}^{2n}\\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=\\frac 12\\sum_{k=0}^{2n} \\binom{2n}k (-1)^{2n-k}2^k=\\frac 12(-1+2)^{2n}=\\frac 12.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$\\sum_{k=1}^{2n}\\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=\\sum_{k=0}^{2n}\\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}-\\frac 12=0.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 34  - Autour de la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Quel est le coefficient de $a^2b^4c$ dans le développement de $(a+b+c)^7$?\n\n Calculer la somme \n\n$$\\binom{n}0+\\frac12\\binom{n}1+\\dots+\\frac{1}{n+1}\\binom{n}{n}.$$\n\n Soient $p,q,m$ des entiers naturels, avec $q\\leq p\\leq m$. En développant de deux façons\n\ndifférentes $(1+x)^m$, démontrer que \n\n$$\\binom{m}{p}=\\binom{m-q}p+\\binom{q}1\\binom{m-q}{p-1}+\\dots+\\binom{q}k\\binom{m-q}{p-k}+\\dots+\\binom{m-q}{p-q}.$$\n\n",
        "answer": "  \n On commence par développer en écrivant $(a+b+c)^7=((a+b)+c)^7$.\n\nIl vient :\n\n$$(a+b+c)^7=\\sum_{k=0}^7\\binom{7}k(a+b)^{7-k}c^k.$$\n\nLe terme devant $a^2b^4c$ ne peut être issu que du produit\n\n$(a+b)^6c$. Or,\n\n$$(a+b)^6=\\sum_{k=0}^6\\binom{6}{k}a^kb^{6-k}.$$\n\nOn en déduit que le coefficient devant $a^2b^4c$ est\n\n$$\\binom{7}{1}\\times\\binom{6}2=7\\times\\frac{6\\times 5}2=105.$$\n\n On développe $(1+t)^n$ avec la formule du binome :\n\n$$(1+t)^n=\\sum_{k=0}^n \\binom{n}k t^k.$$\n\nOn intègre ensuite cette formule entre $0$ et $x$, et on trouve\n\n$$\\int_0^x (1+t)^ndt=\\int_0^x\\sum_{k=0}^n \\binom{n}k t^kdt$$\n\nsoit\n\n$$\\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1}=\\sum_{k=0}^n \\frac{1}{k+1}\\binom nk x^{k+1}.$$\n\nIl suffit ensuite de faire $x=1$ pour trouver le résultat :\n\n$$\\frac{2^{n+1}-1}{n+1}=\\sum_{k=0}^n \\frac1{k+1}\\binom nk.$$\n\n On va chercher le coefficient devant $x^p$ de $(1+x)^m$. D'une part, par\n\nla formule du binome de Newton, il est égal à $\\binom{m}{p}$. D'autre part, on écrit\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n(1+x)^m&=&(1+x)^{q}(1+x)^{m-q}\\\\\n\n&=&\\left(\\sum_{j=0}^q \\binom qjx^j\\right)\\left(\\sum_{l=0}^{m-q}\\binom{m-q}l x^l\\right).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nLe coefficient devant $x^p$ est alors obtenu en prenant les produits des termes en $x^j$ et $x^l$ avec $l=p-j$. $j$ parcourt donc l'intervalle $\\{0,\\dots,q\\}$ et on a :\n\n$$\\binom mp=\\sum_{j=0}^q \\binom qj\\times \\binom{m-q}{p-j},$$\n\nce qui est bien le résultat demandé.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 35  - Une somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $n,p$ des entiers naturels avec $n\\geq p$. Démontrer que\n\n$$\\sum_{k=p}^n \\dbinom{k}{p}=\\dbinom{n+1}{p+1}.$$",
        "answer": "  Une méthode naturelle pour démontrer cette propriété est de procéder par récurrence sur $n$. La formule est clairement vraie pour $n=0$\n\n(ce qui implique $p=0$). Supposons la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire que pour tout $p\\leq n$, la formule donnée est vérifiée.\n\nProuvons-la au rang $n+1$. Pour cela, prenons $p\\leq n+1$. Si $p\\leq n$, alors on a\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=p}^{n+1}\\dbinom{k}{p}&=&\\sum_{k=p}^n \\dbinom{k}{p}+\\dbinom{n+1}{p}\\\\\n\n&=&\\dbinom{n+1}{p+1}+\\dbinom{n+1}{p}\\textrm{ (hypothèse de récurrence)}\\\\\n\n&=&\\dbinom{n+2}{p+1}\\textrm{ (formule du triangle de Pascal)}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nSi $p=n+1$, la formule est aussi vérifiée. La propriété est donc aussi vraie au rang $n+1$.\n"
    },
    {
        "question": " 36  - Somme avec des nombres complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer $(1+i)^{4n}$. En déduire les valeurs de \n\n$$\\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p}\\textrm{ et }\\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p+1}.$$",
        "answer": "  On commence par mettre $1+i$ sous forme trigonométrique, soit $1+i=\\sqrt 2e^{i\\pi/4}$. On en déduit\n\n$$(1+i)^{4n}=2^{2n}e^{in\\pi}=(-1)^n 4^n.$$\n\nOn calcule ceci d'une autre façon en utilisant la formule de Newton :\n\n$$(1+i)^{4n}=\\sum_{k=0}^{4n}\\dbinom{4n}{k}i^k.$$\n\nOn remarque alors que si $k=2p$ est pair, $i^k$ est réel et vaut $(-1)^p$.\n\nSi $k=2p+1$ est impair, $i^k$ est imaginaire pur et vaut $(-1)^p i$.\n\nEn séparant les parties réelles et imaginaires, on trouve\n\n$$(1+i)^{4n}=\\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p}+i\\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p+1}.$$\n\nEn identifiant avec le résultat précédent, on trouve\n\n$$\\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p}=(-1)^n4^{n}\\textrm{ et }\\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p+1}=0.$$\n"
    },
    {
        "question": " 37  - Somme binomiale télescopique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Soient $m,k$ deux entiers naturels. Justifier que \n\n$$\\binom{m+k}{m}=\\binom{m+k+1}{m+1}-\\binom{m+k}{m+1}.$$\n\n En déduire, pour tous entiers naturels $m,n\\in\\mathbb N^*$, la valeur de \n\n$$S=\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k}{m}.$$\n\n En déduire celle de \n\n$$P=\\sum_{k=0}^n \\left(\\prod_{p=1}^m(k+p)\\right).$$\n\n",
        "answer": "  \n Il s'agit juste d'une application de la formule du triangle de Pascal, qui dit en effet que :\n\n$$\\binom{m+k+1}{m+1}=\\binom{m+k}{m+1}+\\binom{m+k}{m}.$$\n\n En utilisant le résultat de la question précédente, on obtient pour $S$ une somme télescopique. En effet, on a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nS&=&\\sum_{k=0}^n \\left( \\binom{m+k+1}{m+1}-\\binom{m+k}{m+1} \\right)\\\\\n\n&=&\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k+1}{m+1}-\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k}{m+1} \\\\\n\n&=&\\sum_{k=1}^{n+1} \\binom{m+k}{m+1}-\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k}{m+1} \\\\\n\n&=&\\binom{m+n+1}{m+1}-\\binom{m}{m+1}\\\\\n\n&=&\\binom{m+n+1}{m+1}\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On commence par remarquer que \n\n$$\\prod_{p=1}^m (k+p)=\\frac{(m+k)!}{k!}=m!\\binom{m+k}m.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$P=m!\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k}m=m!\\binom{m+n+1}{m+1}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 38  - Formule du trinôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Quel est le coefficient de $x^ay^bz^c$ dans le développement de l'expression $(x+y+z)^n$?\n\n",
        "answer": "  Développons $(x+y+z)^n$ en appliquant deux fois la formule du binôme, la première fois en écrivant que \n\n$$(x+y+z)^n=\\big( (x+y)+z\\big)^n.$$\n\nIl vient\n\n\\begin{align*}\n\n (x+y+z)^n&=\\sum_{k=0}^n \\binom nk (x+y)^k z^{n-k}=\\sum_{k=0}^n \\sum_{j=0}^k \\binom nk\\binom kj x^j y^{k-j}z^{n-k}.\n\n\\end{align*}\n\nDans le développement de $(x+y+z)^n$ n'interviennent que des termes $x^ay^bz^c$ avec $a+b+c=n$. A un tel triplet\n\n$(a,b,c)$ donné correspond un unique couple $(k,j)$ avec $0\\leq k\\leq n$ et $0\\leq j\\leq k$ tel que \n\n$a=j$, $b=k-j$ et $c=n-k$ (on a alors $k=a+b$). Le coefficient intervenant devant $x^a y^b z^c$ est donc\n\n$$\\binom{n}{a+b}\\binom{a+b}{a}=\\frac{n!}{(a+b)!c!}\\times\\frac{(a+b)!}{a!b!}=\\frac{n!}{a!b!c!}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 39  - Avec des polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les sommes suivantes :\n\n$${S}_{n}=\\sum^{n}_{k=0} (-1)^k\\binom{n}{k}^{2}\\textrm{ et }\n\n{T}_{n}=\\sum^{n}_{k=0}k\\binom{n}{k}^{2}.$$",
        "answer": "  Introduisons les polynômes $P(x)=(x+1)^n$, $Q(x)=(x-1)^n$, et cherchons le coefficient devant $x^n$ du produit $PQ$.\n\nOn a d'une part,\n\n$$P(x)=\\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k}x^k\\textrm{ et }Q(x) = \\sum_{k=0}^n (-1)^k\\binom{n}{k}x^{n-k}.$$\n\nLe coefficient devant $x^n$ du produit $PQ$ est donc\n\n$$\\sum_{k=0}^n (-1)^k\\binom{n}{k}^2=S_n.$$\n\nD'autre part, on a\n\n$$PQ(x)=(x^2-1)^n=\\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \\binom{n}{k}x^{2k}.$$\n\nOn distingue alors deux cas. Si $n$ est impair, le coefficient devant $x^n$ est nul, et on a donc $S_n=0$.\n\nSi $n=2p$ est pair, alors on a \n\n$$S_{2p}=(-1)^p\\binom{2p}{p}.$$\n\nPour calculer $T_n$, il faut penser à dériver. On a \n\n$$P(x)=\\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k}x^k\\textrm{ et }P'(x)=\\sum_{k=1}^n k\\binom{n}{k}x^{k-1}.$$\n\nSi on cherche le coefficient devant $x^{n-1}$ du produit $P'P$, on trouve\n\n$$\\sum_{k=1}^{n}k\\binom{n}{k}\\binom{n}{n-k}=\\sum_{k=1}^{n}k\\binom{n}{k}\\binom{n}{k}=T_n.$$\n\nD'autre part, on a \n\n$$P'P(x)=n(x+1)^{2n-1}=n\\sum_{k=0}^{2n-1}\\binom{2n-1}{k}x^k.$$\n\nOn en déduit que\n\n$$T_n=n\\binom{2n-1}{n-1}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 40  - Une somme à partir de la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé L'objectif de l'exercice est de démontrer la (surprenante!) formule suivante :\n\n$$\\sum_{k=1}^n \\binom nk\\frac{(-1)^{k+1}}k=\\sum_{k=1}^n\\frac 1k.$$\n\n\n Soit $x$ un réel non nul. Démontrer que \n\n$$\\frac{1-(1-x)^n}{x}=\\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p.$$\n\n On pose pour $x\\in\\mathbb R$, \n\n$$f(x)=\\sum_{k=1}^n \\binom nk \\frac{(-1)^k}k x^k.$$\n\nDémontrer que, pour $x\\in\\mathbb R$, on a  \n\n$$f'(x)=-\\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p.$$\n\n Conclure.\n\n\n",
        "answer": "  \n On peut démontrer cette propriété par récurrente sur $n$. Mais il est plus facile de remarquer que, par la formule donnant la somme des premiers termes d'une somme géométrique, \n\n$$\\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p=\\frac{1-(1-x)^n}{1-(1-x)}=\\frac{1-(1-x)^n}{x}.$$\n\n On commence par dériver $f$ : pour tout $x\\in\\mathbb R$, on a \n\n$$f'(x)=\\sum_{k=1}^n\\binom nk (-1)^k x^{k-1}.$$\n\nPour $x$ non nul, cela s'écrit encore \n\n$$f'(x)=\\frac{\\sum_{k=1}^n \\binom nk (-1)^k x^k}x=\\frac{\\sum_{k=1}^n \\binom nk 1^{n-k}(-1)^k x^k}x.$$\n\nOn peut alors utiliser la formule du binôme pour écrire \n\n$$f'(x)=\\frac{(1-x)^n-1}x=-\\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p$$\n\noù la dernière égalité provient de la question précédente. Ceci est encore vrai pour $x=0$ puisque $f'(0)=-n$.\n\n Remarquons que la somme que l'on cherche à calculer vaut $-f(1)$. Intégrons alors l'égalité précédente entre $0$ et $1$. On a \n\n$$\\int_0^1 f'(x)dx=-\\sum_{p=0}^{n-1}\\int_0^1(1-x)^pdx.$$\n\nMais,\n\n$$\\int_0^1 f'(x)dx=f(1)-f(0)=f(1)$$\n\net \n\n$$\\int_0^1 (1-x)^pdx=\\frac1{p+1}.$$\n\nOn conclut que \n\n$$\\sum_{k=1}^n \\binom nk\\frac{(-1)^{k+1}}k=-f(1)=\\sum_{p=0}^{n-1}\\frac1{p+1}=\\sum_{k=1}^n \\frac 1k.$$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 41  - Équation de Pell-Fermat [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2-2y^2=1$ admet une infinité de solutions avec $x,y$ des entiers naturels.\n\n\n Soit $n\\geq 1$. Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que\n\n$(3+2\\sqrt 2)^n =x_n+\\sqrt 2 y_n.$\n\n Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. \n\n En déduire que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont strictement croissantes.\n\n Démontrer le résultat annoncé.\n\n",
        "answer": "  \n C'est une conséquence de la formule du binôme. En effet, on a \n\n$$(3+2\\sqrt 2)^n =\\sum_{k=0}^n \\binom nk3^k 2^{n-k}(\\sqrt 2)^{n-k}.$$\n\nOr, $(\\sqrt{2})^{n-k}$ est ou bien égal à un entier naturel (non nul) si $n-k$ est pair, ou de la forme $m\\sqrt 2$, avec $m\\in\\mathbb N^*$ si $n-k$ est impair. En regroupant les termes pour lesquels $n-k$ est pair, on trouve $x_n$ et en regroupant les termes pour lesquels $n-k$ est impair, on trouve $y_n\\sqrt 2$. Rappelons que le coefficient binomial est lui aussi un entier.\n\n On va développer de deux façons différentes $(3+2\\sqrt 2)^{n+1}$. D'une part on a \n\n$$(3+2\\sqrt 2)^{n+1}=x_{n+1}+\\sqrt 2y_{n+1}.$$\n\nD'autre part, on a\n\n$$(3+2\\sqrt 2)^{n+1}=(3+2\\sqrt 2)^n (3+2\\sqrt 2)=(x_n+\\sqrt 2 y_n)(3+2\\sqrt 2)=(3x_n+4y_n)+(2x_n+3y_n)\\sqrt 2.$$\n\nOn en déduit que $x_{n+1}=3x_n+4y_n$ et $y_{n+1}=2x_n+3y_n$.\n\n On a $x_{n+1}-x_n\\geq 2x_n>0$ et $y_{n+1}-y_n\\geq 2y_n>0$, donc les deux suites sont strictement croissantes.\n\n Puisque les suites sont strictement croissantes, les couples $(x_n,y_n)$ sont tous différents. Il suffit donc de démontrer que, pour tout entier $n$, on a $x_n^2-2y_n^2=1$. Pour cela, il suffit de remarquer que\n\n$$(3-2\\sqrt 2)^n=x_n-\\sqrt 2 y_n.$$\n\nEn effet, si on développe $(3-2\\sqrt 2)^n$ par la formule du binôme, on trouve\n\n$$(3-2\\sqrt 2)^n =\\sum_{k=0}^n \\binom{n}k 3^k (-1)^{n-k}2^{n-k}(\\sqrt 2)^{n-k}.$$\n\nOn regroupe les termes comme précédemment, sachant que pour les termes entiers, on a $n-k$ pair et donc $(-1)^{n-k}=1$ et pour les termes de la forme $m\\sqrt 2$, on a $n-k$ impair\n\net $(-1)^{n-k}=-1$. Ainsi, on a \n\n$$x_n^2-2y_n^2=(x_n-\\sqrt 2 y_n)(x_n+\\sqrt 2 y_n)=(3-2\\sqrt 2)^n(3+2\\sqrt 2)^n =1^n=1.$$\n"
    }
,
    {
        "question": " 1  - QCM [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle?\n\n\n La somme $\\sum_{k=0}^n 2$\n\n$$\\mathbf a.\\textrm{ n'a pas de sens}\\ \\ \\mathbf b. \\textrm{ vaut }2(n+1)\\ \\ \\mathbf c.\\ \\textrm{vaut }2n.$$\n\n La somme $\\sum_{p=0}^{2n+1}(-1)^p$ est égale à \n\n$$\\mathbf a.\\ 1\\ \\ \\mathbf b.\\ -1\\ \\ \\mathbf c.\\ 0.$$\n\n Le produit $\\prod_{i=1}^n (5a_i)$ est égal à \n\n$$\\mathbf a.\\ 5\\prod_{i=1}^n a_i\\ \\ \\mathbf b.\\ 5^n\\prod_{i=1}^n a_i\\ \\ \\mathbf c.\\ 5^{n-1}\\prod_{i=1}^n a_i.$$\n\n",
        "answer": "  \n On somme $(n+1)$ fois le nombre 2. La bonne réponse est b.\n\n On somme $(n+1)$ fois le nombre 1 (pour les $p$ correspondant à $0,2,\\dots 2n$), et $(n+1)$ faut le nombre $-1$ (pour les $p$ correspondant à $1,3,\\dots,2p+1$). La bonne réponse est c. (Si vous n'êtes pas convaincu, essayez le calcul avec $n=2,3,...$).\n\n Dans chaque produit, il y a le terme 5 qui ne dépend pas de $i$ et qu'on peut extraire du produit. Comme il y a $n$ termes dans le produit, la bonne réponse est b.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Écrire à l'aide du symbole somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes : \n\n\n $2^3+2^4+\\cdots+2^{12}$.\n\n $\\frac 12+\\frac24+\\frac{3}8+\\cdots+\\frac{10}{1024}$.\n\n $2-4+6-8+\\cdots+50$.\n\n $1-\\frac 12+\\frac13-\\frac 14+\\cdots+\\frac1{2n-1}-\\frac{1}{2n}$.\n\n",
        "answer": "  \n $\\sum_{k=3}^{12}2^k$.\n\n $\\sum_{k=1}^{10}\\frac k{2^k}.$\n\n En remarquant que $2=2\\times 1$, $4=2\\times 2$, jusque $50=2\\times 25$, et que devant les termes du type $2k$, où $k$ est impair, on a un signe $+$ et devant les termes du type $2k$, où $k$ est impair, on a un signe $-$, on peut écrire la somme $\\sum_{k=1}^{25}(-1)^{k+1}\\times 2k=2\\sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1}k.$\n\n $\\sum_{k=1}^{2n} \\frac{(-1)^{k+1}}k$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - A l'aide du symbole somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Écrire à l'aide du symbole $\\sum$ les sommes suivantes :\n\n\n $n+(n+1)+\\dots+2n$;\n\n  $\\frac{x_1}{x_n}+\\frac{x_2}{x_{n-1}}+\\cdots+\\frac{x_{n-1}}{x_2}+\\frac{x_n}{x_1}$.\n\n",
        "answer": "  Pour chaque question, plusieurs réponses sont possibles. Parmi ces réponses :\n\n\n $\\sum_{k=n}^{2n}k$.\n\n  $\\sum_{k=1}^n \\frac{x_k}{x_{n+1-k}}$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Différence de deux sommes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\geq 1$, on pose $u_n=\\sum_{k=n}^{2n}\\frac 1k$. Simplifier $u_{n+1}-u_n$ puis étudier la monotonie de $(u_n)$.",
        "answer": "  Lorsqu'on calcule $u_{n+1}-u_n$, \n\n$$u_{n+1}-u_n=\\sum_{k=n+1}^{2n+2}\\frac 1k-\\sum_{k=n}^{2n}\\frac 1k,$$\n\non s'aperçoit que tous les termes se simplifient, hormis les deux derniers de la première somme, et le premier de la deuxième somme. On trouve donc\n\n$$u_{n+1}-u_n=\\frac{1}{2n+1}+\\frac{1}{2n+2}-\\frac{1}n.$$\n\nOn peut ensuite mettre tout au même dénominateur pour étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ : \n\n\\begin{align*}\n\nu_{n+1}-u_n&=\\frac{n(2n+2)+n(2n+1)-(2n+1)(2n+2)}{n(2n+1)(2n+2)}\\\\\n\n&=\\frac{2n^2+2n+2n^2+n-4n^2-6n-2}{n(2n+1)(2n+2)}\\\\\n\n&=\\frac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)}\\\\\n\n&\\leq 0.\n\n\\end{align*}\n\nLa suite $(u_n)$ est décroissante.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Changement d'indice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 1$. Démontrer que \n\n$$\\sum_{k=n+1}^{2n-1}\\ln\\left(\\sin\\left(\\frac{k\\pi}{2n}\\right)\\right)=\\sum_{k=1}^{n-1} \\ln\\left(\\sin\\left(\\frac{k\\pi}{2n}\\right)\\right).$$",
        "answer": "  Il y a deux possibilités naturelles pour effectuer le changement d'indice et obtenir les bonnes bornes. On peut poser $j=k-n$, ou $j=2n-k$. Le deuxième choix permet plus facilement d'arriver au résultat. Posons donc $j=2n-k$. Alors :\n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{k=n+1}^{2n-1}\\ln\\left(\\sin\\left(\\frac{k\\pi}{2n}\\right)\\right)&=\n\n\\sum_{j=1}^{n-1}\\ln\\left(\\sin\\left(\\pi-\\frac{j\\pi}{2n}\\right)\\right)\\\\\n\n&=\\sum_{j=1}^{n-1}\\ln\\left(\\sin\\left(\\frac{j\\pi}{2n}\\right)\\right)\n\n\\end{align*}\n\nen utilisant la formule $\\sin(\\pi-x)=\\sin(x)$. C'est exactement le résultat demandé.\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Changement d'indice magique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer la somme $\\sum_{k=1}^n \\left(\\frac 1k-\\frac1{n+1-k}\\right)$.",
        "answer": "  On commence par séparer la somme en deux :\n\n$$\\sum_{k=1}^n \\left(\\frac 1k-\\frac1{n+1-k}\\right)=\\sum_{k=1}^n \\frac 1k-\\sum_{k=1}^n \\frac1{n+1-k}.$$\n\nOn effectue ensuite le changement d'indices $j=n+1-k$ dans la deuxième somme. \n\nOn a \n\n$$1\\leq k\\leq n\\iff -1\\geq -k\\geq -n\\iff n\\geq n+1-k\\geq 1.$$\n\nLa deuxième somme devient donc \n\n$$\\sum_{k=1}^n \\frac1{n+1-k}=\\sum_{j=1}^n \\frac1j=\\sum_{k=1}^n \\frac 1k.$$\n\nOn trouve finalement\n\n$$\\sum_{k=1}^n \\left(\\frac 1k-\\frac1{n+1-k}\\right)=0.$$\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Simplifier! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Simplifier les sommes et produits suivants :\n\n$$\\begin{array}{lcl}\n\n\\mathbf 1.\\ \\sum_{k=1}^n \\ln\\left(1+\\frac 1k\\right)&\\quad\\quad&\\mathbf 2.\\ \\prod_{k=2}^n \\left(1-\\frac1{k^2}\\right)\\\\\n\n\\mathbf 3.\\ \\sum_{k=0}^n \\frac{1}{(k+2)(k+3)}.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On commence par remarquer que\n\n$$\\ln\\left(1+\\frac 1k\\right)=\\ln\\left(\\frac{k+1}k\\right)=\\ln(k+1)-\\ln k.$$\n\nOn en déduit que \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=1}^n \\ln\\left(1+\\frac 1k\\right)&=&\\sum_{k=1}^n \\ln(k+1)-\\sum_{k=1}^n \\ln(k)\\\\\n\n&=&\\sum_{k=2}^{n+1}\\ln(k)-\\sum_{k=1}^n \\ln (k)\\\\\n\n&=&\\ln(n+1)-\\ln(1)\\\\\n\n&=&\\ln(n+1).\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On commence par remarquer que \n\n$$\\left(1-\\frac1{k^2}\\right)=\\frac{k^2-1}{k^2}=\\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}.$$\n\nOn en déduit que\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\prod_{k=2}^n \\left(1-\\frac1{k^2}\\right)&=&\\frac{\\prod_{k=2}^n (k-1)\\prod_{k=2}^n (k+1)}\n\n{\\left(\\prod_{k=2}^n k\\right)^2}\\\\\n\n&=&\\frac{(n-1)!\\times\\frac12\\times (n+1)!}{(n!)^2}\\\\\n\n&=&\\frac{n+1}{2n}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On commence par remarquer que \n\n$$\\frac 1{(k+2)(k+3)}=\\frac1{k+2}-\\frac 1{k+3}.$$\n\nOn raisonne alors exactement comme pour la première somme :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^n \\frac{1}{(k+2)(k+3)}&=&\\sum_{k=0}^n \\frac1{k+2}-\\sum_{k=0}^n \\frac 1{k+3}\\\\\n\n&=&\\sum_{k=0}^n \\frac1{k+2}-\\sum_{k=1}^{n+1}\\frac{1}{k+2}\\\\\n\n&=&\\frac 12-\\frac 1{n+3}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Télescopage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $k\\in\\mathbb N$,\n\n$$\\frac 1{(k+1)(k+3)}=\\frac a{k+1}+\\frac b{k+3}.$$\n\nEn déduire la valeur de la somme\n\n$$S_n=\\sum_{k=0}^n \\frac{1}{(k+1)(k+3)}.$$",
        "answer": "  On réduit au même dénominateur, et on trouve\n\n$$\\frac a{k+1}+\\frac b{k+3}=\\frac{(a+b)k+(3a+b)}{(k+1)(k+3)}.$$\n\nPar identification, on cherche à résoudre le système\n\n$$\\left\\{\\begin{array}{rcl}\n\na+b&=&0\\\\\n\n3a+b&=&1\n\n\\end{array}\\right.$$\n\ndont la seule solution est $a=1/2$, $b=-1/2$. On en déduit\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nS_n&=&\\frac12\\sum_{k=0}^n \\frac 1{k+1}-\\frac 12\\sum_{k=0}^n \\frac 1{k+3}\\\\\n\n&=&\\frac 12\\sum_{k=0}^n \\frac1{k+1}-\\frac12\\sum_{k=2}^{n+2} \\frac{1}{k+1}\\\\\n\n&=&\\frac12\\left(1+\\frac 12-\\frac1{n+2}-\\frac1{n+3}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{3n^2+11n+8}{4(n+2)(n+3)}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Somme télescopique et factorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé En utilisant une somme télescopique, calculer $\\sum_{k=1}^n k\\cdot k!$.",
        "answer": "  Pour faire apparaître une somme télescopique, on va écrire $k=(k+1)-1$. Il vient\n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{k=1}^n k\\cdot k!&=\\sum_{k=1}^n (k+1-1)\\cdot k!\\\\\n\n&=\\sum_{k=1}^n \\big( (k+1)!-k!\\big)\\\\\n\n&=(n+1)!-1!=(n+1)!-1.\n\n\\end{align*}\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Transformer en somme télescopique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Déterminer une suite $(u_k)$ telle que, pour tout $k\\geq 0$, on ait\n\n$$u_{k+1}-u_k=(k+2) 2^k.$$\n\n En déduire $\\sum_{k=0}^{n}(k+2)2^k.$\n\n",
        "answer": "  \n On va chercher $u_k$ sous la forme $u_k=(ak+b)2^k$. On a alors\n\n$$u_{k+1}-u_k=(a(k+1)+b)2^{k+1}-(ak+b)2^k=(2ak+2a+2b-ak-b)2^k=(ak+2a+b)2^k.$$\n\nOn obtient donc le résultat si on choisit $a=1$ et $b=0$.\n\n Il s'agit maintenant d'une simple somme télescopique : \n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{k=0}^n (k+2)2^k&=\\sum_{k=0}^n \\big(u_{k+1}-u_k\\big)\\\\\n\n&=u_{n+1}-u_0\\\\\n\n&=(n+1)2^{n+1}.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Somme et factorielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que, pour tout $n\\in\\mathbb N^*$, on a \n\n$$(n+1)!\\geq\\sum_{k=1}^n k!\\quad.$$",
        "answer": "  Pour chaque entier $k$ dans $\\{1,\\dots,n\\}$, on a $k!\\leq n!$.\n\nOn obtient donc\n\n$$\\sum_{k=1}^n k!\\leq\\sum_{k=1}^n n!=n\\times n!$$\n\npuisque la somme de droite est une somme de termes constants. Puisque $n\\leq n+1$, on obtient bien\n\n$$\\sum_{k=1}^n k!\\leq (n+1)\\times n!=(n+1)!\\quad .$$\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Somme et somme des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 1$ et $x_1,\\dots,x_n$ des réels vérifiant \n\n$$\\sum_{k=1}^n x_k=n\\textrm{ et }\\sum_{k=1}^n x_k^2=n.$$\n\nDémontrer que, pour tout $k$ dans $\\{1,\\dots,n\\}$, $x_k=1$.",
        "answer": "  Calculons $\\sum_{k=1}^n (1-x_k)^2$ :\n\n$$\\sum_{k=1}^n (1-x_k)^2=\\sum_{k=1}^n 1-2\\sum_{k=1}^n x_k+\\sum_{k=1}^n x_k^2=n-2n+n=0.$$\n\nOr, une somme de réels positifs est nulle si et seulement si chacun des termes de la somme est nul. On en déduit le résultat demandé.\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Somme des entiers, des carrés,... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\in\\mathbb N^*$, on note\n\n$$a_n=\\sum_{k=1}^n k,\\ b_n=\\sum_{k=1}^n k^2\\textrm{ et }c_n=\\sum_{k=1}^n k^3.$$\n\nDémontrer que $\\displaystyle a_n=\\frac{n(n+1)}2$, que $\\displaystyle b_n=\\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$.",
        "answer": "  On procède simplement par récurrence sur $n$. Voyons d'abord pourquoi la formule est vraie pour $a_n$. Elle\n\nest vraie pour $n=1$ (car $1=\\frac{1\\times 2}{2}$). Soit $n\\in\\mathbb N$ telle qu'elle est vraie au rang $n$ et prouvons-la\n\nau rang $n+1$. Alors, \n\n$$a_{n+1}=a_n+(n+1)=\\frac{n(n+1)}2+(n+1)=(n+1)\\times\\left(\\frac n2+1\\right)=\\frac{(n+1)\\big((n+1)+1\\big)}2.$$\n\nLa formule est donc vraie au rang $n+1$ et par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier $n\\geq 0$. \n\nLe raisonnement est rigoureusement identique pour $b_n$ et pour $c_n$. Voyons par exemple le cas de $c_n$.\n\nComme précédemment, la formule est vraie au rang $1$, et si elle est vraie au rang $n$, alors\n\n$$c_{n+1}=c_n+(n+1)^3=\\frac{n^2(n+1)^2}4+(n+1)^3=(n+1)^2\\left(\\frac {n^2}4+(n+1)\\right).$$\n\nIl suffit alors pour conclure de remarquer que \n\n$$\\frac {n^2}4+(n+1)=\\frac{(n+2)^2}4.$$\n\nLa propriété est vraie au rang $n+1$ ce qui clôt la démonstration par récurrence.\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Calculs de sommes arithmétiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les somme suivantes :\n\n\n $A_n=\\sum_{k=1}^n 3$.\n\n $B_n=\\sum_{k=1}^n A_k$.\n\n $S_n=\\sum_{k=0}^{n}(2k+1)$.\n\n\n",
        "answer": "  \n On somme des termes constants, et il y a $n$ termes dans la somme, donc \n\n$A_n=3n$.\n\n Par linéarité, \n\n\\[ B_n = 3\\sum_{k=1}^n k=\\frac{3n(n+1)}2. \\]\n\n On raisonne également par linéarité : \n\n\\begin{align*}\n\nS_n&=2\\sum_{k=0}^n k+\\sum_{k=0}^n 1\\\\\n\n&=n(n+1)+(n+1)\\\\\n\n&=(n+1)^2.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Calculs de sommes géométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les sommes suivantes : \n\n\n $S=\\frac{1}{2^{10}}+\\frac{1}{2^{20}}+\\frac{1}{2^{30}}+\\cdots+\\frac{1}{2^{1000}}$.\n\n $T_n=\\sum_{k=0}^n \\frac{2^{k-1}}{3^{k+1}}$.\n\n",
        "answer": "  \n On remarque que \n\n$$S=\\sum_{k=1}^{100}\\frac{1}{2^{10k}}=\\sum_{k=1}^{100}\\left(\\frac1{2^{10}}\\right)^k.$$\n\nPar la formule donnant la somme d'une suite géométrique, on trouve\n\n\\begin{align*}\n\nS&=\\frac{ \\frac{1}{2^{10}}-\\frac 1{2^{1010}}}{1-\\frac1{2^{10}}}\\\\\n\n&=\\frac{1-\\frac 1{2^{1000}}}{2^{10}-1}\\\\\n\n&=\\frac{2^{1000}-1}{2^{1000}(2^{10}-1)}.\n\n\\end{align*}\n\n On factorise par $1/6$ pour se ramener à une somme géométrique.\n\n$$\\sum_{k=0}^n\\frac{2^{k-1}}{3^{k+1}}=\\frac 16\\sum_{k=0}^n \\left(\\frac 23\\right)^k=\\frac 16\\times\\frac{1-\\left(\\frac 23\\right)^{n+1}}{1-\\frac 23}=\n\n\\frac{1-\\left(\\frac 23\\right)^{n+1}}2.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Calcul de sommes par changements d'indice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer la somme suivante : \n\n$$\\sum_{k=1}^n (n-k+1).$$",
        "answer": "  Effectuons le changement d'indices $\\ell=n-k+1$. Lorsque $k$ varie de $1$ à $n$, alors $\\ell$ varie aussi de $1$ à $n$. On a donc\n\n$$\\sum_{k=1}^n (n+1-k)=\\sum_{\\ell=1}^n \\ell=\\frac{n(n+1)}2.$$\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Calcul de sommes avec indices négatifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer la somme suivante : \n\n$$\\sum_{k=-5}^{15} k(10-k).$$",
        "answer": "  On écrit en développant le produit\n\n$$\\sum_{k=-5}^{15}k(10-k)=10\\sum_{k=-5}^{15}k-\\sum_{k=-5}^{15}k^2.$$\n\nÉtudions ensuite la première somme en la découpant en deux :\n\n\\begin{align*}\n\nS_1=\\sum_{k=-5}^{15}k&=\\sum_{k=-5}^0 k +\\sum_{k=1}^{15}k\n\n\\end{align*}\n\nDans la première de ces deux sommes, on fait le changement de variables $\\ell=-k$. Lorsque $k$ va de $-5$ à $0$, $\\ell$ va de $0$ à $5$. On trouve donc que \n\n\\begin{align*}\n\nS_1&=-\\sum_{\\ell=0}^5 \\ell+\\sum_{k=1}^{15}k\\\\\n\n&=-\\frac{5\\times 6}2+\\frac{15\\times 16}2\\\\\n\n&=105.\n\n\\end{align*}\n\nPour la deuxième somme, on fait le même raisonnement :\n\n\\begin{align*}\n\nS_2=\\sum_{k=-5}^{15}k^2&=\\sum_{k=-5}^0 k^2 +\\sum_{k=1}^{15}k^2\\\\\n\n&=\\sum_{\\ell=0}^5(-\\ell)^2+\\sum_{k=1}^{15}k^2\\\\\n\n&=\\sum_{\\ell=0}^5 \\ell^2+\\sum_{k=1}^{15}k^2\\\\\n\n&=\\frac{5\\times 6\\times 11}{6}+\\frac{15\\times 16\\times 31}6=1295.\n\n\\end{align*}\n\nFinalement, on trouve\n\n$$\\sum_{k=-5}^{15} k(10-k)=1050-1295=-245.$$\n\nOn peut vérifier cette somme par un petit programme Python :\n\n     S=0\n    for k in range(-5,16):\n         S+=k*(10-k)\n    print(S)\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Calcul de sommes par découpage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\in\\mathbb N$.\n\n\n Calculer $A_n=\\sum_{k=2n+1}^{3n}(2n)$.\n\n Calculer $B_n=\\sum_{k=n}^{2n}k$.\n\n En déduire la valeur de $S_n=\\sum_{k=n}^{3n}\\min(k,2n)$.\n\n",
        "answer": "  \n On ne somme que des termes constants, et donc on trouve \n\n$$A_n=n\\times (2n)=2n^2.$$\n\n Notons $T_n=\\sum_{k=0}^n k$. Alors on a \n\n$$B_n=T_{2n}-T_{n-1}=n(2n+1)-\\frac{(n-1)n}2=\\frac{n(4n+2-(n-1))}2=\\frac{3(n+1)n}2.$$\n\n On remarque que si $k\\leq 2n$, alors $\\min(k,2n)=k$ alors que si $k\\geq 2n+1$, on a $\\min(k,2n)=2n$. On en déduit que\n\n$$S_n=A_n+B_n=2n^2+\\frac{3n(n+1)}2=\\frac{n(7n+3)}2.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Se ramener à une somme classique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\geq 1$, on pose $u_n=\\frac{1}{n^2}+\\frac{2}{n^2}+\\cdots+\\frac{n}{n^2}$. Calculer explicitement $u_n$, puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$.",
        "answer": "  En mettant $1/n^2$ en facteur, on se ramène à une somme classique. En effet, on peut écrire\n\n$$u_n=\\frac1{n^2}\\sum_{k=1}^n k=\\frac{1}{n^2}\\times\\frac{n(n+1)}{2}=\\frac{n+1}{2n}=\\frac{1}2+\\frac{1}{2n}.$$\n\nAinsi, la suite $(u_n)$ tend vers $1/2$.\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\in\\mathbb N^*$ et $x\\in\\mathbb R$, on note\n\n$$P_n(x)=\\prod_{k=1}^n \\left(1+\\frac xk\\right).$$\n\n\n Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$, $P_n(-n)$?\n\n Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a \n\n$$P_n(x)=\\frac {x+n}xP_n(x-1).$$\n\n Pour $p\\in\\mathbb N^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme.\n\n",
        "answer": "  \n On a $P_n(0)=1$ (on ne fait que des produits de 1), $P_n(-n)=0$, car alors\n\n$$1+\\frac{-n}n=0$$\n\net donc on a un terme nul dans le produit. Enfin,\n\n$$P_n(1)=\\prod_{k=1}^n \\frac{k+1}k=\\frac{2\\times 3\\times\\dots\\times (n+1)}{1\\times 2\\times\\dots\\times n}={n+1}.$$\n\n On a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP_n(x)&=&\\prod_{k=1}^n \\frac{x+k}k\\\\\n\n&=&\\frac{(x+1)(x+2)\\dots (x+n)}{1\\times 2\\times\\dots\\times n}\\\\\n\n&=&\\frac{x+n}{x}\\times\\frac {(x-1+1)(x-1+2)\\dots (x-1+n)}{1\\times 2\\times\\dots\\times n}\\\\\n\n&=&\\frac{x+n}xP_n(x-1).\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On a \n\n$$P_n(p)=\\prod_{k=1}^n \\frac{k+p}{k}=\\frac{(p+1)\\dots (p+n)}{n!}=\\frac{(n+p)!}{n!p!}=\\binom{n+p}{p}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Somme géométrique dans tous ses états [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit pour $n\\in\\mathbb N$, $u_n=(-2)^n$.  Calculer les sommes suivantes : \n\n$$\\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\\quad \\sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\\quad \\sum_{k=0}^{n} u_{2k};\\quad \\sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n);\\quad \\left(\\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\\right)+n;\\quad \\sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\\quad \\sum_{k=0}^{n} u_{kn}.$$",
        "answer": "  Dans cet exercice, il faut faire très attention aux notations, puis appliquer la formule de la somme d'une série géométrique. Il vient alors\n\n$$\\sum_{k=0}^{2n} u_{k}=\\sum_{k=0}^{2n}(-2)^k=\\frac{1-(-2)^{2n+1}}{1-(-2)}=\\frac{1+2^{2n+1}}3.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{2n+1} u_{k}=\\frac{1-2^{2n+2}}3.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{n} u_{2k}=\\sum_{k=0}^n 4^k=\\frac{1-4^{n+1}}{1-4}=\\frac{4^{n+1}-1}3.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n)=\\sum_{k=0}^{2n} u_k+\\sum_{k=0}^{2n} n=\\frac{1+2^{2n+1}}3+n(2n+1).$$\n\n$$\\left(\\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\\right)+n=\\frac{1+2^{2n+1}}3+n.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{n} u_{k+n}=\\sum_{k=0}^n (-2)^{k+n}=(-2)^n\\sum_{k=0}^n (-2)^k=\\frac{(-2)^n(1-(-1)^{n+1} 2^{n+1})}{3}.$$\n\n$$\\sum_{k=0}^{n} u_{kn}=\\sum_{k=0}^n ((-2)^n)^k=\\frac{1-(-2)^{n(n+1)}}{1-(-2)^n},$$\n\nsauf si $n=0$ auquel cas la somme vaut $u_0=1$.\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Sommes alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Simplifier la somme $\\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets. \n\n Montrer par récurrence que pour tout $n\\in\\mtn^*$, on a \n\n$$S_n=\\sum_{k=1}^n (-1)^k k=\\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}.$$\n\nRetrouver le résultat précédent.\n\n",
        "answer": "  \n L’ensemble $\\{1, . . . , 2n\\}$ est la réunion des parties deux à deux disjointes $\\{2p − 1, 2p\\}$ pour $p$ variant de $1$ à $n$. Or $(−1)^{2p−1}(2p − 1) + (−1)^{2p}2p = 2p − (2p − 1) = 1$ pour tout $1\\leq p\\leq n$, donc la somme est égale à $n$.\n\n Initialisation : On commence par vérifier la propriété pour $n=1$. On a \n\n$$\\sum_{k=1}^1 (-1)^k k=-1\\textrm{ et }\\frac{(-1)^1 (2\\times 1+1)-1}{4}=-1$$\n\nce qui prouve bien l'égalité voulue.\n\nHérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ et prouvons-là au rang $n+1$.\n\nOn a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^k k&=&\\sum_{k=1}^n (-1)^k k+(-1)^{n+1}(n+1)\\\\\n\n&=&\\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}+(-1)^{n+1}(n+1)\\\\\n\n&=&\\frac{(-1)^{n+1}(-2n-1+4n+4)-1}{4}\\\\\n\n&=&\\frac{(-1)^{n+1}(2(n+1)+1)-1}{4}\n\n\\end{eqnarray*}\n\nce qui démontre bien la propriété au rang $n+1$. Remarquons que le passage\n\nde la première à la deuxième ligne utilise l'hypothèse de récurrence.\n\nSi on somme jusque $2n$ au lieu de $n$, on trouve que \n\n$$S_{2n}=\\frac{4n+1-1}4=n.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Somme de puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $x\\in\\mathbb R$ et $n\\in\\mathbb N^*$.\n\n\n Calculer $S_n(x)=\\sum_{k=0}^n x^k.$\n\n En déduire la valeur de $T_n(x)=\\sum_{k=0}^n k x^k.$\n\n\n",
        "answer": "  C'est un exercice extrêmement classique qu'il faut savoir faire. \n\n\n On reconnait une somme géométrique de raison $x$. Pour $x\\neq 1$, on a \n\n$$S_n(x)=\\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.$$\n\nPour $x=1$, $S_n(1)=n+1$.\n\n On distingue là encore le cas $x=1$. Il donne\n\n$$T_n(1)=\\sum_{k=0}^n k=\\frac{n(n+1)}2.$$\n\nSinon, on dérive $S_n$ : pour tout $x\\neq 1$, \n\n$$S_n'(x)=\\sum_{k=1}^n kx^{k-1}\\implies T_n(x)=xS_n'(x).$$\n\nOn calcule alors $S_n'(x)$ avec la formule obtenue à la question précédente et on trouve\n\n$$T_n(x)=x\\frac{nx^{n+1} −(n+1)x^n +1}{ (x−1)^2}.$$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Sommation d'Abel  [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $(a_n)_{n\\in\\mathbb N}$ et $(B_n)_{n\\in\\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. On définit deux suites $(A_n)_{n\\in\\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\\in\\mathbb N}$ en posant :\n\n$$A_n=\\sum_{k=0}^n a_k,\\quad\\quad b_n=B_{n+1}-B_n.$$\n\n\n Démontrer que $\\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k.$\n\n En déduire la valeur de $\\sum_{k=0}^n 2^kk$.\n\n",
        "answer": "  \n On convient que $A_{-1}=0$. On a alors\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^n a_k B_k&=&\\sum_{k=0}^n (A_k-A_{k-1})B_k\\\\\n\n&=&\\sum_{k=0}^n A_k B_k-\\sum_{k=0}^n A_{k-1}B_k\\\\\n\n&=&\\sum_{k=0}^n A_k B_k-\\sum_{k=0}^{n-1} A_k B_{k+1}\\\\\n\n&=&A_n B_n+\\sum_{k=0}^{n-1}A_k (B_k-B_{k+1})\\\\\n\n&=&A_nB_n-\\sum_{k=0}^{n-1} A_k b_k.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On pose $a_k=2^k$ et $B_k=k$. Alors $A_n=2^{n+1}-1$ et $b_k=1$. On en déduit que\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^n k2^k&=&(2^{n+1}-1)n-\\sum_{k=0}^{n-1}(2^{k+1}-1)\\\\\n\n&=&(2^{n+1}-1)n-2(2^n-1)+n\\\\\n\n&=&2^{n+1}(n-1)+2.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n\nCe procédé de transformation de somme s'appelle une sommation d'Abel.\n"
    },
    {
        "question": " 25  - Comment permuter une somme double? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(a_{i,j})_{(i,j)\\in\\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels. Intervertir les sommes doubles suivantes :\n\n\n $S_1=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=i}^n a_{i,j}$;\n\n $S_2=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=0}^{n-i}a_{i,j}$;\n\n $S_3=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=i}^m a_{i,j}$ où on a supposé $n\\leq m$.\n\n",
        "answer": "  \n On fait la somme sur tous les indices $i,j$ tels que $0\\leq i\\leq j\\leq n$. On a donc\n\n$$S_1=\\sum_{j=0}^n \\sum_{i=0}^j a_{i,j}.$$\n\nUne autre façon de le voir est de poser $b_{i,j}=a_{i,j}$ si $j\\geq i$ et $b_{i,j}=0$ si $j<i$. Alors on a\n\n$$S_1=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^n \\sum_{i=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^n \\sum_{i=0}^j a_{i,j}.$$\n\n On reproduit \"l'astuce\" précédente en posant $b_{i,j}=a_{i,j}$ si $j\\leq n-i$ et $b_{i,j}=0$ sinon. Il vient\n\n$$S_2=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^n \\sum_{i=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^n\\sum_{i=0}^{n-j}a_{i,j}.$$\n\n On recommence comme à la première question, en posant $b_{i,j}=a_{i,j}$ si $j\\geq i$ et $b_{i,j}=0$ si $j<i$. Alors on a\n\n$$S_3=\\sum_{i=0}^n \\sum_{j=0}^m b_{i,j}=\\sum_{j=0}^m \\sum_{i=0}^n b_{i,j}=\\sum_{j=0}^m \\sum_{i=0}^{\\min(n,j)}a_{i,j}.$$\n\nLa principale difficulté ici vient du fait de ne pas oublier le minimum car $j$ peut dépasser $n$, ce qui n'est pas le cas de $i$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 26  - Quelques sommes doubles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les sommes doubles suivantes :\n\n\n $\\sum_{1\\leq i,j\\leq n}ij$.\n\n $\\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n}\\frac ij$.\n\n",
        "answer": "  \n On reconnait simplement un produit : \n\n$$\\sum_{1\\leq i,j\\leq n}ij=\\left(\\sum_{i=1}^n i\\right)\\times \\left(\\sum_{j=1}^n j\\right)=\\frac{n^2(n+1)^2}4.$$\n\n On va mettre la somme sur $j$ à l'extérieur, et la somme sur $i$ a l'intérieur. On trouve\n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n}\\frac ij&=\\sum_{1\\leq j\\leq n}\\frac 1j\\sum_{i=1}^j i\\\\\n\n&=\\sum_{1\\leq j\\leq n}\\frac 1j\\times \\frac{j(j+1)}2\\\\\n\n&=\\frac 12\\sum_{1\\leq j\\leq n}(j+1)\\\\\n\n&=\\frac 12 \\times \\frac{n(n+3)}2\\\\\n\n&=\\frac{n(n+3)}4.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 27  - Avec permutation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\geq 1$, on pose $S_n=\\sum_{k=1}^n \\frac 1k$ et $u_n=\\sum_{k=1}^n S_k$. Démontrer que, pour tout $n\\geq 1$, $u_n=(n+1)S_n-n$.",
        "answer": "  On écrit (attention à ne pas utiliser les mêmes indices de sommation!)\n\n$$u_n=\\sum_{k=1}^n \\sum_{l=1}^k \\frac{1}l.$$\n\nOn va permuter ces deux sommes, en remarquant que \n\n$$\\{(k,l)\\in\\mathbb N^2:\\ 1\\leq k\\leq n,\\ 1\\leq l\\leq k\\}=\\{(k,l)\\in\\mathbb N^2:\\ 1\\leq l \\leq n,\\ l\\leq k\\leq n\\}.$$\n\nOn a donc\n\n\\begin{align*}\n\nu_n&=\\sum_{l=1}^n \\sum_{k=l}^n \\frac 1l\\\\\n\n&=\\sum_{l=1}^n \\frac{n+1-l}l\\\\\n\n&=\\sum_{l=1}^n \\frac{n+1}l-\\sum_{l=1}^n 1\\\\\n\n&=(n+1)S_n-n.\n\n\\end{align*}\n"
    },
    {
        "question": " 28  - Application des sommes doubles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé En écrivant que \n\n$$\\sum_{k=1}^n k2^k=\\sum_{k=1}^n \\sum_{j=1}^k 2^k,$$\n\ncalculer $\\sum_{k=1}^n k2^k$.",
        "answer": "  L'idée pour réaliser ce calcul est de permuter l'ordre de sommation, pour sommer d'abord sur $j$ puis ensuite sur $k$. On remarque qu'alors $j$ varie entre $1$ et $n$, puis que $k$ varie entre $j$ et $n$. On a donc\n\n\\begin{align*}\n\n\\sum_{k=1}^n \\sum_{j=1}^k 2^k&=\\sum_{j=1}^n \\sum_{k=j}^n 2^k\\\\\n\n&=\\sum_{j=1}^n( 2^{n+1}-2^j)\\\\\n\n&=n2^{n+1}-\\left(2^{n+1}-2\\right)\\\\\n\n&=(n-1)2^{n+1}+2.\n\n\\end{align*}\n"
    },
    {
        "question": " 29  - Sommes doubles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\in\\mathbb N$, on note\n\n$$a_n=\\sum_{k=1}^n k,\\ b_n=\\sum_{k=1}^n k^2\\textrm{ et }c_n=\\sum_{k=1}^n k^3.$$\n\nPour cet exercice, on admettra que $\\displaystyle a_n=\\frac{n(n+1)}2$, que $\\displaystyle b_n=\\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$.\n\n\n Calculer $\\displaystyle \\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n} ij$.\n\n  Calculer $\\displaystyle \\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n \\min(i,j)$.\n\n",
        "answer": "  \n On écrit que\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n} ij&=&\\sum_{j=1}^n j\\left(\\sum_{i=1}^j i\\right)\\\\\n\n&=&\\sum_{j=1}^n ja_j\\\\\n\n&=&\\sum_{j=1}^n j\\frac{j(j+1)}2\\\\\n\n&=&\\frac 12\\left(\\sum_{j=1}^n j^3+\\sum_{j=1}^n j^2\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{c_n+b_n}2.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nEn remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé et après réduction au même dénominateur, on trouve \n\n$$\\sum_{1\\leq i\\leq j\\leq n} ij=\\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}.$$\n\n Posons, pour $i\\in\\{1,\\dots,n\\}$ fixé, $S_i=\\sum_{j=1}^n \\min(i,j)$ et commençons par calculer la valeur de $S_i$. \n\nAlors on a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nS_i&=&\\sum_{j=1}^i j+\\sum_{j=i+1}^n i\\\\\n\n&=&\\frac{i(i+1)}2+(n-i)i\\\\\n\n&=&\\left(n+\\frac 12\\right)i-\\frac{i^2}2\n\n\\end{eqnarray*}\n\n(on pourra remarquer que ceci fonctionne encore si $i=n$, auquel cas la deuxième somme est réduite à $0$). On en déduit que \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n \\min(i,j)&=&\\sum_{i=1}^n S_i\\\\\n\n&=&\\sum_{i=1}^n \\left(n+\\frac 12\\right)i-\\frac{i^2}2\\\\\n\n&=&\\left(n+\\frac 12\\right)\\frac{n(n+1)}2-\\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}\\\\\n\n&=&\\frac{n(n+1)(2n+1)}6.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 30  - Factorielle et coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Soient $n,p\\geq 1$. Démontrer que \n\n$$\\binom{n}{p}=\\frac np \\binom {n-1}{p-1}.$$\n\n Pour $n\\in\\mathbb N$ et $a,b$ réels non nuls, simplifier les expressions suivantes :\n\n$$\\mathbf 1.\\ (n+1)!-n!\\ \\quad\\mathbf 2.\\ \\frac{(n+3)!}{(n+1)!}\\ \\quad\\mathbf 3.\\ \\frac{n+2}{(n+1)!}-\\frac 1{n!}\\ \\quad\\mathbf 4.\\ \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\textrm{ où }u_n=\\frac{a^n}{n!b^{2n}}.$$\n\n",
        "answer": "  \n On sait que \n\n$$\\binom{n}{p}=\\frac{n!}{p!(n-p)!}=\\frac{n\\times (n-1)!}{p\\times (p-1)!(n-p)!}=\\frac{n}p\\times\\frac{(n-1)!}{(p-1)!\\big((n-1)-(p-1)\\big)!}=\\frac np\\binom{n-1}{p-1}.$$\n\n\n\n On a \n\n$$(n+1)!-n!=(n+1)n!-n!=(n+1-1)n!=n\\times n!$$\n\n On a\n\n$$\\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=\\frac{(n+3)(n+2)(n+1)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2).$$\n\n On a \n\n$$\\frac{n+2}{(n+1)!}-\\frac 1{n!}=\\frac 1{n!}\\left(\\frac{n+2}{n+1}-1\\right)=\\frac 1{(n+1)!}.$$\n\n On a\n\n$$\\frac{u_{n+1}}{u_n}=\\frac{a^{n+1}}{a^n}\\times \\frac{n!}{(n+1)!}\\times\\frac {b^{2n}}{b^{2n+2}}=\\frac{a}{(n+1)b^2}.$$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 31  - Égalité de coefficients binômiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\in\\mathbb N$.\n\n\n Pour quels entiers $p\\in\\{0,\\dots,n-1\\}$ a-t-on $\\binom np<\\binom n{p+1}$.\n\n Soit $p\\in\\{0,\\dots,n\\}$. Pour quelle(s) valeur(s) de $q\\in\\{0,\\dots,n\\}$ a-t-on \n\n$\\binom np=\\binom nq$?\n\n",
        "answer": "  \n On fait le quotient des deux nombres :\n\n$$\\frac{\\binom np}{\\binom n{p+1}}=\\frac{n(n-1)\\dots(n-p+1)}{p!}\\times \\frac{(p+1)!}{n(n-1)\\dots(n-p+1)(n-p)}=\\frac{p+1}{n-p}.$$\n\nCeci est inférieur strict à $1$ si et seulement si \n\n$$\\frac{p+1}{n-p}<1\\iff p<\\frac{n-1}2.$$\n\n La question précédente montre que la suite des coefficients binômiaux $\\binom nq$ croît strictement avec $q$ pour $q$ allant de $0$ à $\\frac{n-1}2$ et on montrerait de la même façon qu'elle décroît strictement pour $q$ allant de $\\frac{n+1}2$ à $n$.  L'égalité \n\n$$\\binom np=\\binom nq$$\n\npeut donc avoir lieu au plus pour deux valeurs de $q$, l'une avec $q$ dans $0,\\dots,\\frac{n-1}2$, l'autre avec $q$ supérieur ou égal à $\\frac{n+1}2$. Or, on a bien deux solutions, qui sont $q=p$ et $q=n-p$.\n\nCes solutions sont distinctes sauf si \n\n$n=2p$. Et dans ce cas, il n'y a qu'une seule solution (c'est le coefficient binômial le plus grand).\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 32  - Divisibilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $p\\geq 1$. Démontrer que $p!$ divise tout produit de $p$ entiers naturels consécutifs.",
        "answer": "  Un produit de $p$ entiers naturels consécutifs s'écrit $P=n(n+1)\\dots (n+p-1)$. Posons $m=n+p-1$. Ce produit s'écrit encore $P=m(m-1)\\dots (m-p+1)$. On a donc\n\n$$\\frac{P}{p!}=\\frac{m(m-1)\\dots(m-p+1)}{p!}=\\binom mp.$$\n\nC'est donc un entier, ce qui signifie que $p!$ divise $P$.\n"
    },
    {
        "question": " 33  - Formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Développer $(x+1)^6$, $(x-1)^6$.\n\n Démontrer que, pour tout entier $n$, on a \n\n$\\sum_{p=0}^n \\binom np=2^n.$\n\n Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\\sum_{p=0}^n \\binom np 2^p=3^n$.\n\n Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\\sum_{k=1}^{2n}\\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=0.$ \n\n",
        "answer": "  \n On va utiliser la formule du binôme. On calcule les coefficients binômiaux par exemple en utilisant le triangle de Pascal. On en déduit \n\n$$(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1.$$\n\n$$(x-1)^6=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1.$$\n\n Il suffit de remarquer que $2^n=(1+1)^n$, et de développer ceci en utilisant la formule du binôme.\n\n C'est presque le même raisonnement. Cette fois, on écrit que\n\n$$\\sum_{p=0}^n \\binom np 2^p=\\sum_{p=0}^n \\binom np 1^{n-p}2^p=(1+2)^n=3^n.$$\n\n C'est un peu plus difficile. En remarquant que $k$ et $2n-k$ ont la même parité, on a \n\n$$\\sum_{k=0}^{2n}\\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=\\frac 12\\sum_{k=0}^{2n} \\binom{2n}k (-1)^{2n-k}2^k=\\frac 12(-1+2)^{2n}=\\frac 12.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$\\sum_{k=1}^{2n}\\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=\\sum_{k=0}^{2n}\\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}-\\frac 12=0.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 34  - Autour de la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Quel est le coefficient de $a^2b^4c$ dans le développement de $(a+b+c)^7$?\n\n Calculer la somme \n\n$$\\binom{n}0+\\frac12\\binom{n}1+\\dots+\\frac{1}{n+1}\\binom{n}{n}.$$\n\n Soient $p,q,m$ des entiers naturels, avec $q\\leq p\\leq m$. En développant de deux façons\n\ndifférentes $(1+x)^m$, démontrer que \n\n$$\\binom{m}{p}=\\binom{m-q}p+\\binom{q}1\\binom{m-q}{p-1}+\\dots+\\binom{q}k\\binom{m-q}{p-k}+\\dots+\\binom{m-q}{p-q}.$$\n\n",
        "answer": "  \n On commence par développer en écrivant $(a+b+c)^7=((a+b)+c)^7$.\n\nIl vient :\n\n$$(a+b+c)^7=\\sum_{k=0}^7\\binom{7}k(a+b)^{7-k}c^k.$$\n\nLe terme devant $a^2b^4c$ ne peut être issu que du produit\n\n$(a+b)^6c$. Or,\n\n$$(a+b)^6=\\sum_{k=0}^6\\binom{6}{k}a^kb^{6-k}.$$\n\nOn en déduit que le coefficient devant $a^2b^4c$ est\n\n$$\\binom{7}{1}\\times\\binom{6}2=7\\times\\frac{6\\times 5}2=105.$$\n\n On développe $(1+t)^n$ avec la formule du binome :\n\n$$(1+t)^n=\\sum_{k=0}^n \\binom{n}k t^k.$$\n\nOn intègre ensuite cette formule entre $0$ et $x$, et on trouve\n\n$$\\int_0^x (1+t)^ndt=\\int_0^x\\sum_{k=0}^n \\binom{n}k t^kdt$$\n\nsoit\n\n$$\\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1}=\\sum_{k=0}^n \\frac{1}{k+1}\\binom nk x^{k+1}.$$\n\nIl suffit ensuite de faire $x=1$ pour trouver le résultat :\n\n$$\\frac{2^{n+1}-1}{n+1}=\\sum_{k=0}^n \\frac1{k+1}\\binom nk.$$\n\n On va chercher le coefficient devant $x^p$ de $(1+x)^m$. D'une part, par\n\nla formule du binome de Newton, il est égal à $\\binom{m}{p}$. D'autre part, on écrit\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n(1+x)^m&=&(1+x)^{q}(1+x)^{m-q}\\\\\n\n&=&\\left(\\sum_{j=0}^q \\binom qjx^j\\right)\\left(\\sum_{l=0}^{m-q}\\binom{m-q}l x^l\\right).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nLe coefficient devant $x^p$ est alors obtenu en prenant les produits des termes en $x^j$ et $x^l$ avec $l=p-j$. $j$ parcourt donc l'intervalle $\\{0,\\dots,q\\}$ et on a :\n\n$$\\binom mp=\\sum_{j=0}^q \\binom qj\\times \\binom{m-q}{p-j},$$\n\nce qui est bien le résultat demandé.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 35  - Une somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $n,p$ des entiers naturels avec $n\\geq p$. Démontrer que\n\n$$\\sum_{k=p}^n \\dbinom{k}{p}=\\dbinom{n+1}{p+1}.$$",
        "answer": "  Une méthode naturelle pour démontrer cette propriété est de procéder par récurrence sur $n$. La formule est clairement vraie pour $n=0$\n\n(ce qui implique $p=0$). Supposons la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire que pour tout $p\\leq n$, la formule donnée est vérifiée.\n\nProuvons-la au rang $n+1$. Pour cela, prenons $p\\leq n+1$. Si $p\\leq n$, alors on a\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=p}^{n+1}\\dbinom{k}{p}&=&\\sum_{k=p}^n \\dbinom{k}{p}+\\dbinom{n+1}{p}\\\\\n\n&=&\\dbinom{n+1}{p+1}+\\dbinom{n+1}{p}\\textrm{ (hypothèse de récurrence)}\\\\\n\n&=&\\dbinom{n+2}{p+1}\\textrm{ (formule du triangle de Pascal)}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nSi $p=n+1$, la formule est aussi vérifiée. La propriété est donc aussi vraie au rang $n+1$.\n"
    },
    {
        "question": " 36  - Somme avec des nombres complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer $(1+i)^{4n}$. En déduire les valeurs de \n\n$$\\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p}\\textrm{ et }\\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p+1}.$$",
        "answer": "  On commence par mettre $1+i$ sous forme trigonométrique, soit $1+i=\\sqrt 2e^{i\\pi/4}$. On en déduit\n\n$$(1+i)^{4n}=2^{2n}e^{in\\pi}=(-1)^n 4^n.$$\n\nOn calcule ceci d'une autre façon en utilisant la formule de Newton :\n\n$$(1+i)^{4n}=\\sum_{k=0}^{4n}\\dbinom{4n}{k}i^k.$$\n\nOn remarque alors que si $k=2p$ est pair, $i^k$ est réel et vaut $(-1)^p$.\n\nSi $k=2p+1$ est impair, $i^k$ est imaginaire pur et vaut $(-1)^p i$.\n\nEn séparant les parties réelles et imaginaires, on trouve\n\n$$(1+i)^{4n}=\\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p}+i\\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p+1}.$$\n\nEn identifiant avec le résultat précédent, on trouve\n\n$$\\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p}=(-1)^n4^{n}\\textrm{ et }\\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \\dbinom{4n}{2p+1}=0.$$\n"
    },
    {
        "question": " 37  - Somme binomiale télescopique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Soient $m,k$ deux entiers naturels. Justifier que \n\n$$\\binom{m+k}{m}=\\binom{m+k+1}{m+1}-\\binom{m+k}{m+1}.$$\n\n En déduire, pour tous entiers naturels $m,n\\in\\mathbb N^*$, la valeur de \n\n$$S=\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k}{m}.$$\n\n En déduire celle de \n\n$$P=\\sum_{k=0}^n \\left(\\prod_{p=1}^m(k+p)\\right).$$\n\n",
        "answer": "  \n Il s'agit juste d'une application de la formule du triangle de Pascal, qui dit en effet que :\n\n$$\\binom{m+k+1}{m+1}=\\binom{m+k}{m+1}+\\binom{m+k}{m}.$$\n\n En utilisant le résultat de la question précédente, on obtient pour $S$ une somme télescopique. En effet, on a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nS&=&\\sum_{k=0}^n \\left( \\binom{m+k+1}{m+1}-\\binom{m+k}{m+1} \\right)\\\\\n\n&=&\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k+1}{m+1}-\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k}{m+1} \\\\\n\n&=&\\sum_{k=1}^{n+1} \\binom{m+k}{m+1}-\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k}{m+1} \\\\\n\n&=&\\binom{m+n+1}{m+1}-\\binom{m}{m+1}\\\\\n\n&=&\\binom{m+n+1}{m+1}\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On commence par remarquer que \n\n$$\\prod_{p=1}^m (k+p)=\\frac{(m+k)!}{k!}=m!\\binom{m+k}m.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$P=m!\\sum_{k=0}^n \\binom{m+k}m=m!\\binom{m+n+1}{m+1}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 38  - Formule du trinôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Quel est le coefficient de $x^ay^bz^c$ dans le développement de l'expression $(x+y+z)^n$?\n\n",
        "answer": "  Développons $(x+y+z)^n$ en appliquant deux fois la formule du binôme, la première fois en écrivant que \n\n$$(x+y+z)^n=\\big( (x+y)+z\\big)^n.$$\n\nIl vient\n\n\\begin{align*}\n\n (x+y+z)^n&=\\sum_{k=0}^n \\binom nk (x+y)^k z^{n-k}=\\sum_{k=0}^n \\sum_{j=0}^k \\binom nk\\binom kj x^j y^{k-j}z^{n-k}.\n\n\\end{align*}\n\nDans le développement de $(x+y+z)^n$ n'interviennent que des termes $x^ay^bz^c$ avec $a+b+c=n$. A un tel triplet\n\n$(a,b,c)$ donné correspond un unique couple $(k,j)$ avec $0\\leq k\\leq n$ et $0\\leq j\\leq k$ tel que \n\n$a=j$, $b=k-j$ et $c=n-k$ (on a alors $k=a+b$). Le coefficient intervenant devant $x^a y^b z^c$ est donc\n\n$$\\binom{n}{a+b}\\binom{a+b}{a}=\\frac{n!}{(a+b)!c!}\\times\\frac{(a+b)!}{a!b!}=\\frac{n!}{a!b!c!}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 39  - Avec des polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les sommes suivantes :\n\n$${S}_{n}=\\sum^{n}_{k=0} (-1)^k\\binom{n}{k}^{2}\\textrm{ et }\n\n{T}_{n}=\\sum^{n}_{k=0}k\\binom{n}{k}^{2}.$$",
        "answer": "  Introduisons les polynômes $P(x)=(x+1)^n$, $Q(x)=(x-1)^n$, et cherchons le coefficient devant $x^n$ du produit $PQ$.\n\nOn a d'une part,\n\n$$P(x)=\\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k}x^k\\textrm{ et }Q(x) = \\sum_{k=0}^n (-1)^k\\binom{n}{k}x^{n-k}.$$\n\nLe coefficient devant $x^n$ du produit $PQ$ est donc\n\n$$\\sum_{k=0}^n (-1)^k\\binom{n}{k}^2=S_n.$$\n\nD'autre part, on a\n\n$$PQ(x)=(x^2-1)^n=\\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \\binom{n}{k}x^{2k}.$$\n\nOn distingue alors deux cas. Si $n$ est impair, le coefficient devant $x^n$ est nul, et on a donc $S_n=0$.\n\nSi $n=2p$ est pair, alors on a \n\n$$S_{2p}=(-1)^p\\binom{2p}{p}.$$\n\nPour calculer $T_n$, il faut penser à dériver. On a \n\n$$P(x)=\\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k}x^k\\textrm{ et }P'(x)=\\sum_{k=1}^n k\\binom{n}{k}x^{k-1}.$$\n\nSi on cherche le coefficient devant $x^{n-1}$ du produit $P'P$, on trouve\n\n$$\\sum_{k=1}^{n}k\\binom{n}{k}\\binom{n}{n-k}=\\sum_{k=1}^{n}k\\binom{n}{k}\\binom{n}{k}=T_n.$$\n\nD'autre part, on a \n\n$$P'P(x)=n(x+1)^{2n-1}=n\\sum_{k=0}^{2n-1}\\binom{2n-1}{k}x^k.$$\n\nOn en déduit que\n\n$$T_n=n\\binom{2n-1}{n-1}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 40  - Une somme à partir de la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé L'objectif de l'exercice est de démontrer la (surprenante!) formule suivante :\n\n$$\\sum_{k=1}^n \\binom nk\\frac{(-1)^{k+1}}k=\\sum_{k=1}^n\\frac 1k.$$\n\n\n Soit $x$ un réel non nul. Démontrer que \n\n$$\\frac{1-(1-x)^n}{x}=\\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p.$$\n\n On pose pour $x\\in\\mathbb R$, \n\n$$f(x)=\\sum_{k=1}^n \\binom nk \\frac{(-1)^k}k x^k.$$\n\nDémontrer que, pour $x\\in\\mathbb R$, on a  \n\n$$f'(x)=-\\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p.$$\n\n Conclure.\n\n\n",
        "answer": "  \n On peut démontrer cette propriété par récurrente sur $n$. Mais il est plus facile de remarquer que, par la formule donnant la somme des premiers termes d'une somme géométrique, \n\n$$\\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p=\\frac{1-(1-x)^n}{1-(1-x)}=\\frac{1-(1-x)^n}{x}.$$\n\n On commence par dériver $f$ : pour tout $x\\in\\mathbb R$, on a \n\n$$f'(x)=\\sum_{k=1}^n\\binom nk (-1)^k x^{k-1}.$$\n\nPour $x$ non nul, cela s'écrit encore \n\n$$f'(x)=\\frac{\\sum_{k=1}^n \\binom nk (-1)^k x^k}x=\\frac{\\sum_{k=1}^n \\binom nk 1^{n-k}(-1)^k x^k}x.$$\n\nOn peut alors utiliser la formule du binôme pour écrire \n\n$$f'(x)=\\frac{(1-x)^n-1}x=-\\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p$$\n\noù la dernière égalité provient de la question précédente. Ceci est encore vrai pour $x=0$ puisque $f'(0)=-n$.\n\n Remarquons que la somme que l'on cherche à calculer vaut $-f(1)$. Intégrons alors l'égalité précédente entre $0$ et $1$. On a \n\n$$\\int_0^1 f'(x)dx=-\\sum_{p=0}^{n-1}\\int_0^1(1-x)^pdx.$$\n\nMais,\n\n$$\\int_0^1 f'(x)dx=f(1)-f(0)=f(1)$$\n\net \n\n$$\\int_0^1 (1-x)^pdx=\\frac1{p+1}.$$\n\nOn conclut que \n\n$$\\sum_{k=1}^n \\binom nk\\frac{(-1)^{k+1}}k=-f(1)=\\sum_{p=0}^{n-1}\\frac1{p+1}=\\sum_{k=1}^n \\frac 1k.$$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 41  - Équation de Pell-Fermat [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2-2y^2=1$ admet une infinité de solutions avec $x,y$ des entiers naturels.\n\n\n Soit $n\\geq 1$. Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que\n\n$(3+2\\sqrt 2)^n =x_n+\\sqrt 2 y_n.$\n\n Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. \n\n En déduire que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont strictement croissantes.\n\n Démontrer le résultat annoncé.\n\n",
        "answer": "  \n C'est une conséquence de la formule du binôme. En effet, on a \n\n$$(3+2\\sqrt 2)^n =\\sum_{k=0}^n \\binom nk3^k 2^{n-k}(\\sqrt 2)^{n-k}.$$\n\nOr, $(\\sqrt{2})^{n-k}$ est ou bien égal à un entier naturel (non nul) si $n-k$ est pair, ou de la forme $m\\sqrt 2$, avec $m\\in\\mathbb N^*$ si $n-k$ est impair. En regroupant les termes pour lesquels $n-k$ est pair, on trouve $x_n$ et en regroupant les termes pour lesquels $n-k$ est impair, on trouve $y_n\\sqrt 2$. Rappelons que le coefficient binomial est lui aussi un entier.\n\n On va développer de deux façons différentes $(3+2\\sqrt 2)^{n+1}$. D'une part on a \n\n$$(3+2\\sqrt 2)^{n+1}=x_{n+1}+\\sqrt 2y_{n+1}.$$\n\nD'autre part, on a\n\n$$(3+2\\sqrt 2)^{n+1}=(3+2\\sqrt 2)^n (3+2\\sqrt 2)=(x_n+\\sqrt 2 y_n)(3+2\\sqrt 2)=(3x_n+4y_n)+(2x_n+3y_n)\\sqrt 2.$$\n\nOn en déduit que $x_{n+1}=3x_n+4y_n$ et $y_{n+1}=2x_n+3y_n$.\n\n On a $x_{n+1}-x_n\\geq 2x_n>0$ et $y_{n+1}-y_n\\geq 2y_n>0$, donc les deux suites sont strictement croissantes.\n\n Puisque les suites sont strictement croissantes, les couples $(x_n,y_n)$ sont tous différents. Il suffit donc de démontrer que, pour tout entier $n$, on a $x_n^2-2y_n^2=1$. Pour cela, il suffit de remarquer que\n\n$$(3-2\\sqrt 2)^n=x_n-\\sqrt 2 y_n.$$\n\nEn effet, si on développe $(3-2\\sqrt 2)^n$ par la formule du binôme, on trouve\n\n$$(3-2\\sqrt 2)^n =\\sum_{k=0}^n \\binom{n}k 3^k (-1)^{n-k}2^{n-k}(\\sqrt 2)^{n-k}.$$\n\nOn regroupe les termes comme précédemment, sachant que pour les termes entiers, on a $n-k$ pair et donc $(-1)^{n-k}=1$ et pour les termes de la forme $m\\sqrt 2$, on a $n-k$ impair\n\net $(-1)^{n-k}=-1$. Ainsi, on a \n\n$$x_n^2-2y_n^2=(x_n-\\sqrt 2 y_n)(x_n+\\sqrt 2 y_n)=(3-2\\sqrt 2)^n(3+2\\sqrt 2)^n =1^n=1.$$\n"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Partie réelle, partie imaginaire, conjugué [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Donner la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué des nombres complexes suivants :\n\n$$\n\n\\begin{array}{lllll}\n\nz_1=-2i+5&\\quad&z_2=15&\\quad&z_3=3i\\\\\n\nz_4=i(2+3i)\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n $\\Re e(z_1)=5$, $\\Im m(z_1)=-2$, $\\overline{z_1}=5+2i$.\n\n $\\Re e(z_2)=15$, $\\Im m(z_2)=0$, $\\overline{z_2}=15$.\n\n $\\Re e(z_3)=0$, $\\Im m(z_3)=3$, $\\overline{z_3}=-3i$.\n\n En effectuant le produit, on trouve $z_4=2i-3$, et donc $\\Re e(z_4)=-3$, $\\Im m(z_4)=2$, $\\overline{z_4}=-3-2i$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Forme algébrique - Somme et produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ z_1=(2+5i)+(i+3)&\\quad \\mathbf{2.}\\ z_2=4(-2+3i)+3(-5-8i)&\\quad\\mathbf{3.}\\ z_3=(2-i)(3+8i)\\\\\n\n\\displaystyle\\mathbf{4.}\\ z_4=(1-i)\\overline{(1+i)}&\\quad\\mathbf{5.}\\ z_5=i(1-3i)^2& \\quad\\mathbf{6.}\\ z_6=(1+i)^3\n\n\\end{array}\n\n$$\n\nAttention! Il y a un symbole de conjugaison dans $z_4$.",
        "answer": "  \n On regroupe simplement les parties réelles et les parties imaginaires. On trouve\n\n$$z_1=5+6i.$$\n\n De la même façon,\n\n$$z_2=(-8+12i)+(-15-24i)=-23-12i.$$\n\n On développe, puis on regroupe pour trouver :\n\n$$z_3=6+16i-3i+8=14+13i.$$\n\n On écrit \n\n$$z_4=(1-i)(1-i)=1-2i-1=-2i.$$\n\n On commence par calculer $(1-3i)^2$ :\n\n\\[ (1-3i)^2= 1-2\\times 1\\times 3i+(3i)^2=1-6i-9=-8-6i. \\]\n\nOn multiplie ensuite par $i$ :\n\n\\[ i(1-3i)^2= -8i-6i^2=6-8i. \\]\n\n Le plus simple est de tout développer, en utilisant la formule du binôme de Newton ou, pour ceux qui ne la connaissent pas (encore), en écrivant $(1+i)^3=(1+i)^2(1+i)$. On trouve\n\n\\begin{align*}\n\nz_6&=(1+i)^3\\\\\n\n&=(1+i)^2(1+i)\\\\\n\n&=(1+2i+i^2)(1+i)\\\\\n\n&=(1+2i-1)(1+i)\\\\\n\n&=2i(1+i)\\\\\n\n&=2i+2i^2\\\\\n\n&=-2+2i.\n\n\\end{align*}\n\nAvec la formule du binôme, on écrit simplement\n\n$$z_6=(1+i)^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Forme algébrique - quotients [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ z_1=\\frac1{1+i}&\\quad{\\mathbf 2.}\\ z_2=\\frac{-4}{1+i\\sqrt 3}&\n\n\\quad\\mathbf{3.}\\ z_3=\\frac{1-2i}{3+i}\\\\\n\n\\displaystyle{\\mathbf 4.}\\ z_4=\\frac{(3+5i)^2}{1-2i}&\\displaystyle\\quad{\\mathbf 5.}\\ z_5=\\left(\\frac{1+i}{2-i}\\right)^2+\\frac{3+6i}{3-4i}\\\\\n\n\\end{array}\n\n$$",
        "answer": "  Pour mettre un quotient sous forme algébrique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.\n\n\n Le conjugué de $1+i$ est $1-i$ et donc on a \n\n\\[ z_1=\\frac{1}{1+i}=\\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\\frac{1-i}2=\\frac{1}2 -\\frac12 i. \\]\n\n Avec la même méthode, on trouve\n\n$$z_2=\\frac{-4(1-i\\sqrt 3)}{(1+i\\sqrt 3)(1-i\\sqrt 3)}=\\frac{-4(1-i\\sqrt 3)}{1+3}=-1+i\\sqrt 3.$$\n\n On écrit \n\n\\[ \\frac{1-2i}{3+i}=\\frac{(1-2i)(3-i)}{(3-i)(3+i)}=\\frac{1-7i}{9+1}=\\frac1{10}-\\frac{7}{10}i. \\]\n\n On fait la même chose mais on développe d'abord le numérateur. Puisque \n\n$ (3+5i)^2 =3^2+2\\times 3\\times 5i+(5i)^2=9+30i-25=-16+30i$, on trouve :\n\n\\[ z_4=\\frac{-16+30i}{1-2i}\\times\\frac{1+2i}{1+2i}=\\frac{-76-2i}5. \\]\n\n Ce n'est pas plus compliqué que les exemples précédents, mais il faut être méthodique dans les calculs. On écrit d'abord :\n\n$$\\frac{1+i}{2-i}=\\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\\frac{1+3i}5.$$\n\nEn élevant au carré,\n\n$$\\left(\\frac{1+i}{2-i}\\right)^2=\\frac{-8+6i}{25}.$$\n\nD'autre part, par la même méthode,\n\n$$\\frac{3+6i}{3-4i}=\\frac{-3+6i}5.$$\n\nEn faisant la somme et en mettant tout au même dénominateur, on trouve finalement :\n\n$$z_5=-\\frac{23}{25}+\\frac{36}{25}i.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Avec la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Simplifier les nombres complexes suivants : $(1+i)^5$, $(1-i)^4$.",
        "answer": "  On développe par la formule du binôme de Newton, en utilisant $i^2=-1$ pour simplifier et regrouper partie réelle et partie imaginaire. Il vient\n\n$$(1+i)^5=1+5i-10-10i+5+i=-4-4i.$$\n\nDe même,\n\n$$(1-i)^4=1-4i-6+4i+1=-4.$$\n\nOn aurait aussi pu obtenir ces résultats en mettant les nombres complexes sous forme trigonométrique.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Calculs avec des conjugués [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $z$ un nombre complexe non nul, de forme algébrique $z=x+iy$. Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ z_1=\\frac{\\overline z}{z}&\\quad\\mathbf{2.}\\ z_2=\\frac{iz}{\\overline z}.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On remplace $z$ par $x+iy$ et $\\overline z$ par $x-iy$, puis on mène le calcul comme d'habiture. On a donc\n\n$$z_1=\\frac{x-iy}{x+iy}=\\frac{(x-iy)(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}=\\frac{x^2-y^2-2ixy}{x^2+y^2}=\\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-2\\frac{xy}{x^2+y^2}i.$$\n\n On a \n\n\\begin{align*}\n\nz_2&=\\frac{i(x+iy)}{x-iy}\\\\\n\n&=\\frac{-y+ix}{x-iy}\\\\\n\n&=\\frac{(-y+ix)(x+iy)}{(x-iy)(x+iy)}\\\\\n\n&=\\frac{-2xy+i(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\\\\\n\n&=\\frac{-2xy}{x^2+y^2}+i\\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Équations du premier degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes, d'inconnue $z\\in\\mathbb C$ :\n\n$$\n\n\\begin{array}{lll}\n\n{\\mathbf 1.}\\ z+2i=iz-1&\\quad&{\\mathbf 2.}\\ (3+2i)(z-1)=i\\\\\n\n{\\mathbf 3.}\\ (2-i)z+1=(3+2i)z-i&\\quad&{\\mathbf 4.}\\ (4-2i)z^2=(1+5i)z.\n\n\\end{array}$$\n\nOn écrira les solutions sous forme algébrique.",
        "answer": "  \n L'équation est équivalente à \n\n$$z(1-i)=-1-2i\\iff z=\\frac{-1-2i}{1-i}=\\frac{(-1-2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\frac12-\\frac 32i.$$\n\n De la même façon, on a \n\n$$z-1=\\frac{i}{3+2i}=\\frac{i(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\\frac 2{13}+\\frac 3{13}i.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$z=\\frac{15}{13}+\\frac 3{13}i.$$\n\n L'équation cette fois est équivalente à \n\n\\begin{align*}\n\n(2-i-3-2i)z=-i-1&\\iff (-1-3i)z=-i-1\\\\\n\n&\\iff z=\\frac{-i-1}{-1-3i}=\\frac{(-i-1)(-1+3i)}{(-1-3i)(-1+3i)}=\\frac{2}5-\\frac15 i.\n\n\\end{align*}\n\n On distingue deux cas. D'abord, $z=0$ est solution de l'équation. Si $z\\neq 0$, alors on peut simplifier par $z$ et l'équation est équivalente à \n\n$$(4-2i)z=1+5i\\iff z=\\frac{1+5i}{4-2i}=\\frac{(1+5i)(4+2i)}{(4-2i)(4+2i)}=\\frac{-6+22i}{20}=\\frac{-3}{10}+\\frac{11}{10}i.$$\n\nL'équation admet donc deux solutions, $z=0$ et $z=\\frac{-3}{10}+\\frac{11}{10}i$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Équations avec des conjuguées. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes :\n\n$$\n\n\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle{\\mathbf 1.}\\ 2z+i=\\overline z+1&\\displaystyle{\\mathbf 2.}\\ 2z+\\overline z=2+3i&\\displaystyle{\\mathbf 3.}\\ 2z+2\\overline z=2+3i.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On écrit $z=x+iy$ avec $x,y\\in\\mathbb R$ de sorte que $2z+i=2x+i(2y+1)$ et $\\overline z+1=(x-iy)+1=(x+1)-iy$. Puisque deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'il ont même partie réelle et même partie imaginaire, l'équation est équivalente à $2x=x+1$ et $2y+1=-y$. On trouve alors $x=1$ et $y=-1/3$. L'équation admet une unique solution, $z=1-\\frac 13 i$.\n\n On reprend la même méthode. Alors $2z+\\bar z=3x+iy=2+3i$ si et seulement si $x=\\frac 23$ et $y=3$. L'équation admet donc une unique solution, $z=\\frac 23+3i$.\n\n On procède de la même façon, mais cette fois on constate que $2z+2\\bar z=4x$ est réel : il ne pourra jamais être égal à $2+3i$. L'équation n'admet pas de solutions.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  -  [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les systèmes suivants, d'inconnues les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ :\n\n\n\n\n $$\\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  2z_1-z_2&=&i\\\\\n\n  -2z_1+3iz_2&=&-17\n\n \\end{array}\\right.$$\n\n  \n\n $$\\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  3iz_1+iz_2&=&i+7\\\\\n\n  iz_1+2z_2&=&11i\n\n \\end{array}\\right.$$\n\n\n\nOn donnera les résultats sous forme algébrique.",
        "answer": "  Le fait de résoudre des systèmes avec des nombres complexes ne change pas la méthode de résolution.\n\nSeuls les calculs sont plus compliqués!\n\n\n On a \n\n \\begin{eqnarray*}\n\n  \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  2z_1-z_2&=&i\\\\\n\n  -2z_1+3iz_2&=&-17\n\n \\end{array}\\right.\n\n &\\iff& \n\n \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  2z_1-z_2&=&i\\\\\n\n  (3i-1)z_2&=&-17+i\\ \\textrm{(L1)+(L2)}\n\n \\end{array}\\right.\\\\\n\n &\\iff&\n\n \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n 2z_1&=&i+z_2\\\\\n\n  z_2&=&\\frac{-17+i}{3i-1}.\n\n  \\end{array}\\right.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn met $z_2$ sous forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par $-3i-1$ et on trouve $z_2=2+5i$. Finalement,\n\nrevenant à $z_1$, on trouve que $z_1=1+3i$. Le système admet une unique solution donnée par $z_1=1+3i$ et $z_2=2+5i$.\n\n On a \n\n \\begin{eqnarray*}\n\n  \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  3iz_1+iz_2&=&i+7\\\\\n\n  iz_1+2z_2&=&11i\n\n \\end{array}\\right.\n\n &\\iff& \n\n \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  3iz_1+iz_2&=&i+7\\\\\n\n  3iz_1+6z_2&=&33i\\\\\n\n \\end{array}\\right.\\\\\n\n &\\iff&\n\n \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n (i-6)z_2&=&7-32i\\\\\n\n  iz_1+2z_2&=&11i.\n\n  \\end{array}\\right.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn a donc $z_2=\\frac{7-32i}{i-6}=-2+5i$ après mise sous forme algébrique. On en déduit facilement que $z_1=1-4i$. Ce\n\nsecond système admet donc une unique solution donnée par $z_1=1-4i$ et $z_2=-2+5i$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Entiers de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On appelle ensemble des entiers de Gauss noté $\\mathbb Z[i]$ l'ensemble des nombres complexes qui s'écrivent $a+ib$, avec $a$ et $b\\in\\mathbb Z.$\n\n\n Soit $z$ et $z'$ deux entiers de Gauss. Démontrer que $z-z'$ et $zz'$ sont des entiers de Gauss.\n\n Pour tout nombre complexe $z$, on note $N(z)=z\\bar z.$\n\n\n Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $N(z)N(z')=N(zz').$\n\n Démontrer que, pour tout entier de Gauss $z$, $N(z)$ est un entier naturel.\n\n Soit $z$ un entier de Gauss non nul tel que $1/z$ est un entier de Gauss. Démontrer que $N(z)=1$.\n\n Déterminer l'ensemble des entiers de Gauss tels que $1/z$ est un entier de Gauss.\n\n\n",
        "answer": "  \n Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'\\in\\mathbb Z[i].$ Alors \n\n$$z-z'=(a-a')+i(b-b')\\in\\mathbb Z[i]$$\n\n(puisque $a-a'$ et $b-b'\\in\\mathbb Z$) et \n\n$$zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)\\in\\mathbb Z[i]$$\n\n(puisque $aa-bb'$ et $ab'+a'b\\in\\mathbb Z$).\n\n \n On remarque que $N(z)=|z|^2.$ Puisque $|zz'|=|z|\\cdot |z'|,$ en mettant au carré cette égalité, on a le résultat demandé.\n\n Si $z=a+ib$, alors $N(z)=a^2+b^2$ et $a^2,b^2$ sont des entiers naturels, donc $N(z)$ aussi.\n\n Soit $z$ un entier de Gauss tel que $1/z$ est un entier de Gauss. Posons $z'=1/z$. Alors on sait que $zz'=1$ et donc $N(z)\\times N(z')=1$. Or le produit de deux entiers naturels est égal à $1$ si et seulement si ces deux entiers sont égaux à $1$. Donc $N(z)=1.$\n\n Soit $z=a+ib\\in\\mathbb Z[i]$ tel que $1/z\\in\\mathbb Z[i].$ Alors $N(z)=1$, et donc $a^2+b^2=1.$ Or, puisque $a^2$ et $b^2$ sont des entiers naturels, ceci n'est possible que dans quatre cas : $(a,b)=(1,0),$ $(a,b)=(-1,0),$ $(a,b)=(0,1),$\n\net $(a,b)=(0,-1).$ Réciproquement, il est facile de vérifier que $1$, $-1$, $i$ et $-i$ sont éléments de $\\mathbb Z[i],$ et sont tels que $1/z\\in\\mathbb Z[i],$ puisque respectivement on a $1/z=1$, $-1$, $-i$ et $i$. Les éléments de $\\mathbb Z[i]$ tels que $1/z\\in\\mathbb Z[i]$ sont donc $1$, $-1$, $i$ et $-i.$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Déterminer des fonctions complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On se propose dans cet exercice de déterminer toutes les fonctions $f:\\mathbb C\\to\\mathbb C$ vérifiant les trois propriétés suivantes :\n\n\n $\\forall z\\in\\mathbb R$, $f(z)=z$.\n\n $\\forall (z,z')\\in\\mathbb C^2$, $f(z+z')=f(z)+f(z')$.\n\n $\\forall (z,z')\\in\\mathbb C^2$, $f(z\\times z')=f(z)\\times f(z')$.\n\n\n\n Vérifier que les fonctions définies par $f(z)=z$ et $f(z)=\\bar z$ sont solutions du problème.\n\n Réciproquement soit $f$ une fonction du problème. \n\n\n Démontrer que $f(i)=i$ ou $f(i)=-i$.\n\n On suppose que $f(i)=i$. Démontrer que, pour tout $z\\in\\mathbb C$, $f(z)=z$.\n\n On suppose que $f(i)=-i$. Démontrer que, pour tout $z\\in\\mathbb C$, $f(z)=\\bar z$.\n\n\n Qu'a-t-on démontré dans cet exercice?\n\n",
        "answer": "  \n Pour $f(z)=z$, il n'y a rien à faire. Pour $f(z)=\\bar z$, ceci vient des propriétés du cours sur le conjugué d'un nombre complexe.\n\n \n Utilisons la propriété (c) avec $z=z'=i$. On a \n\n$$f(i\\times i)=f(i)\\times f(i)=\\big(f(i)\\big)^2.$$\n\nMais on a $i\\times i=-1$ et d'après la propriété (a), $f(-1)=-1$.\n\nOn a donc \n\n$$\\big(f(i)\\big)^2=-1.$$\n\nOr, les solutions de l'équation $z^2=-1$ sont $z=i$ et $z=-i$. Donc $f(i)=i$ ou $f(i)=-i$.\n\n Soit $z\\in\\mathbb C$. Écrivons-le $z=a+ib$, avec $a,b\\in\\mathbb R$. On a alors\n\n\\begin{align*}\n\nf(z)&=f(a+ib)\\\\\n\n&=f(a)+f(ib)\\\\\n\n&=f(a)+f(i)f(b)\\\\\n\n&=a+ib\\\\\n\n&=z.\n\n\\end{align*}\n\nOn a donc démontré que $f(z)=z$ pour tout nombre complexe $z$.\n\n On procède de la même façon. Soit $z\\in\\mathbb C$ qu'on écrit $z=a+ib$. On a \n\n\\begin{align*}\n\nf(z)&=f(a+ib)\\\\\n\n&=f(a)+f(ib)\\\\\n\n&=f(a)+f(i)f(b)\\\\\n\n&=a-ib\\\\\n\n&=\\bar z.\n\n\\end{align*}\n\nOn a donc démontré que $f(z)=\\bar z$ pour tout nombre complexe $z$.\n\n\n Dans cet exercice, on a démontré que les fonctions solutions du problème sont exactement les fonctions définies par $f(z)=z$ et $f(z)=\\bar z$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Forme exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n{\\mathbf 1.}\\ z_1=1+i\\sqrt 3&\\quad\\mathbf 2.\\ z_2=9i&\\quad{\\mathbf 3.}\\ z_3=-3\\\\\n\n\\displaystyle{\\mathbf 4.}\\ z_4=\\frac{-i\\sqrt 2}{1+i}&\\displaystyle \\quad\\mathbf{5.}\\ z_5=\\frac{(1+i\\sqrt 3)^3}{(1-i)^5}&\\quad{\\mathbf 6.}\\ z_6=\\sin x+i\\cos x.\n\n\\end{array}\n\n$$",
        "answer": "  \n Le module de $1+i\\sqrt 3$ est\n\n$$|1+i\\sqrt 3|=\\sqrt{1+3}=2.$$\n\nIl vient \n\n$$z_1=2\\left(\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\right)=2e^{i\\pi/3}.$$\n\n On a $9i=9e^{i\\pi/2}$.\n\n On a $-3=3\\times (-1)=3e^{i\\pi}$.\n\n On écrit sous forme trigonométrique le numérateur et le dénominateur, puis on utilise les propriétés de l'exponentielle complexe. On a donc\n\n$$-i\\sqrt 2=\\sqrt 2e^{i\\frac{3\\pi}2};$$\n\n$$1+i=\\sqrt 2e^{i\\pi/4}.$$\n\nOn conclut que \n\n$$z_4=e^{i\\left(\\frac{3\\pi}2-\\frac\\pi 4\\right)}=e^{i\\frac{5\\pi}4}.$$\n\n On procède de la même façon. On a \n\n$$1+i\\sqrt 3=2e^{i\\pi/3}$$\n\nd'où\n\n$$(1+i\\sqrt 3)^3=8e^{i\\pi}.$$\n\nDe même, \n\n$$1-i=\\sqrt 2\\left(\\frac 1{\\sqrt 2}-\\frac1{\\sqrt 2}i\\right)=\\sqrt 2e^{-i\\pi/4},$$\n\nd'où\n\n$$(1-i)^5=4\\sqrt 2e^{-i\\frac{5\\pi}4}.$$\n\nOn fait le quotient et on trouve :\n\n$$z_5=\\sqrt 2e^{i\\pi\\left(1+\\frac 54\\right)}=\\sqrt 2e^{i\\frac{9\\pi} 4}=\\sqrt 2e^{i\\frac\\pi 4}.$$\n\n Il faut faire attention, il faut avoir quelque chose de la forme $\\cos \\theta+i\\sin \\theta$ pour obtenir une forme trigonométrique. L'idée ici est d'utiliser les formules de trigonométrie, et notamment le fait que \n\n$$\\sin\\left(\\frac\\pi 2-x\\right)=\\cos x\\textrm{ et }\\cos\\left(\\frac \\pi2-x\\right)=\\sin x.$$\n\nIl vient \n\n$$z_6=\\cos\\left(\\frac\\pi 2-x\\right)+i\\sin\\left(\\frac\\pi 2-x\\right)=e^{i\\left(\\frac\\pi 2-x\\right)}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Forme exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé  On pose\n\n  $z_1=4e^{i\\frac{\\pi}{4}},\\;z_2=3ie^{i\\frac{\\pi}{6}},\\;z_3=-2e^{i\\frac{2\\pi}{3}}$. Écrire sous\n\n  forme exponentielle les nombres complexes : $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_1z_2$,\n\n  $\\frac{z_1z_2}{z_3}$.",
        "answer": "  L'écriture $z_1=4e^{i\\frac{\\pi}{4}}$ est déjà la forme exponentielle de $z_1$. Pour $z_2$, on écrit\n\n$$z_2=3e^{i\\frac\\pi2}e^{i\\frac\\pi6}=3e^{i\\frac{2\\pi}3}.$$\n\nPour $z_3$, on écrit \n\n$$z_3=2e^{i\\pi}e^{i\\frac{2\\pi}3}=2e^{i\\frac{5\\pi}3}.$$\n\nPour $z_1z_2$, on écrit\n\n$$z_1z_2=12e^{i\\left(\\frac\\pi4+\\frac{2\\pi}3\\right)}=12e^{i\\frac{11\\pi}{12}}.$$\n\nPour $z_1z_2/z_3$, on écrit\n\n$$\\frac{z_1z_2}{z_3}=6 e^{i\\left(\\frac{11\\pi}{12}-\\frac{5\\pi}3\\right)}=6e^{-i\\frac{9\\pi}{12}}=6e^{-i\\frac{3\\pi}4}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Module, argument et opérations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $z=re^{i\\theta}$ avec $r>0$ et $\\theta\\in\\mathbb R$. Soit $n$ un entier naturel non nul. Donner le module et un argument des nombres complexes suivants :\n\n$$z^2,\\ \\overline{z},\\ \\frac 1z,\\ -z,\\ z^n.$$",
        "answer": "  \n On a $z^2=r^2e^{2i\\theta}$. Le module de $z^2$ est $r^2$, un argument de $z^2$ est $2\\theta$.\n\n On a $\\overline z=re^{-i\\theta}$. Le module de $\\bar z$ est $r$, un argument de $\\bar z$ est $-\\theta$.\n\n On a $\\frac 1z=\\frac 1r e^{-i\\theta}$. Le module de $\\frac 1z$ est $\\frac 1r$, un argument de $\\frac 1z$ est $-\\theta$.\n\n On a $-z=e^{i\\pi}re^{i\\theta}=re^{i(\\theta+\\pi)}$. Le module de $-z$ est $r$, un argument de $-z$ est $\\theta+\\pi$.\n\n On a $z^n=r^n e^{in\\theta}$. Le module de $z^n$ est $r^n$, un argument de $z^n$ est $n\\theta$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Les deux à la fois - avec application [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère les nombres complexes suivants :\n\n$$z_1=1+i\\sqrt 3,\\ z_2=1+i\\textrm{ et }z_3=\\frac{z_1}{z_2}.$$\n\n\n Écrire $z_3$ sous forme algébrique.\n\n Écrire $z_3$ sous forme trigonométrique.\n\n En déduire les valeurs exactes de $\\cos\\frac\\pi{12}$ et $\\sin\\frac\\pi{12}$.\n\n",
        "answer": "  \n On utilise (classiquement!) la quantité conjuguée du dénominateur :\n\n$$z_3=\\frac{1+i\\sqrt 3}{1+i}\\times\\frac{1-i}{1-i}=\\frac{1+\\sqrt 3}2+\\frac{\\sqrt 3-1}2i.$$\n\n On a \n\n$$z_1=2e^{i\\pi/3}\\textrm{ et }z_2=\\sqrt 2 e^{i\\pi/4},$$\n\nd'où \n\n$$z_3=\\sqrt 2e^{i\\left(\\frac \\pi 3-\\frac \\pi 4\\right)}=\\sqrt 2\\left(\\cos(\\pi/12)+i\\sin({\\pi}/{12})\\right).$$\n\n D'après l'écriture trigonométrique, on obtient une autre écriture algébrique de $z_3$ :\n\n$$z_3=\\sqrt 2\\cos\\frac\\pi{12}+i\\sqrt 2\\sin \\frac\\pi{12}.$$\n\nPar unicité de l'écriture sous forme algébrique, on en déduit\n\n$$\\cos\\frac\\pi {12}=\\frac{1+\\sqrt 3}{2\\sqrt 2}\\textrm{ et }\\sin\\frac\\pi{12}=\\frac{\\sqrt 3-1}{2\\sqrt 2}.$$\n\nRemarquons qu'on aurait aussi pu obtenir ce résultat à partir de la formule de $\\cos(a-b)$ avec $a=\\frac{\\pi}{3}$ et $b=\\frac{\\pi}4$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Forme algébrique, le retour [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :\n\n$$\\mathbf 1. z_1=(2+2i)^6\\quad \\mathbf 2. z_2=\\left(\\frac{1+i\\sqrt 3}{1-i}\\right)^{20}\\quad\\mathbf 3. z_3=\\frac{(1+i)^{2000}}{(i-\\sqrt 3)^{1000}}.$$",
        "answer": "  La méthode la plus facile, ici, consiste à calculer d'abord la forme trigonométrique qui se comporte bien mieux vis à vis des puissances, puis à revenir à la forme algébrique.\n\n\n On écrit \n\n$$2+2i=2\\sqrt 2e^{i\\pi/4}$$\n\nd'où \n\n$$z_1=2^9 e^{3i\\pi/2}=-512i.$$\n\n On commence par passer par la forme trigonométrique :\n\n$$\\frac{1+i\\sqrt 3}{1-i}=\\frac{2\\left(\\frac12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\right)}{\\sqrt 2\\left(\\frac{\\sqrt 2}2-i\\frac{\\sqrt 2}{2}\\right)}=\\sqrt 2\\frac{e^{i\\pi/3}}{e^{-i\\pi/4}}=\\sqrt2e^{i7\\pi/12}.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$z_2=\\left(\\frac{1+i\\sqrt 3}{1-i}\\right)^{20}=(\\sqrt 2)^{20}e^{i\\frac{140\\pi}{12}}=2^{10}e^{i\\frac{35\\pi}3}.$$\n\nPuisque $35\\pi=3\\times5\\times 2\\pi+5\\pi$, on en déduit que\n\n$$z_2=2^{10}e^{i\\frac{5\\pi}3}=2^9(1-i\\sqrt 3)=512-i512\\sqrt 3.$$\n\n Avec la même méthode, on a \n\n$$(1+i)^{2000}=2^{1000}e^{i500\\pi}=2^{1000}.$$\n\nDe même,\n\n$$(i-\\sqrt 3)^{1000}=2^{1000}e^{i5000\\pi/6}.$$\n\nOr,\n\n$$2500=833\\times 3+1$$\n\nd'où\n\n$$(i-\\sqrt 3)^{1000}=2^{1000}e^{i4\\pi/3}.$$\n\nIl vient finalement :\n\n$$z_3=e^{-i4\\pi/3}=e^{i2\\pi/3}=-\\frac 12+\\frac{\\sqrt 3}2i.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Identité du parallélogramme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Démontrer que \n\n$$|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2).$$",
        "answer": "  On va utiliser que pour tout nombre complexe $z$,  $|z|^2=z\\cdot \\bar z$ et développer. On a donc \n\n\\begin{align*}\n\n |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2&=(z_1+z_2) \\cdot \\overline{(z_1+z_2)}+(z_1-z_2) \\cdot \\overline{(z_1-z_2)}\\\\\n\n &=(z_1+z_2)\\cdot (\\overline{z_1}+\\overline{z_2})+(z_1-z_2)\\cdot (\\overline{z_1}-\\overline{z_2})\\\\\n\n &=z_1\\overline{z_1}+z_2\\overline{z_1}+z_1\\overline{z_2}+z_2\\overline{z_2}+z_1\\overline{z_1}-z_2\\overline{z_1}-z_1\\overline{z_2}+z_2\\overline{z_2}\\\\\n\n &=2z_1\\overline{z_1}+2z_2\\overline{z_2}\\\\\n\n &=2(|z_1|^2+|z_2|^2).\n\n\\end{align*}\n\nCette identité s'appelle l'identité du parallélogramme. Si $A,$ $B$ et $C$ sont les points d'abscisse respective $z_1,z_1+z_2,z_2$ de sorte\n\nque $OABC$ est un parallélogramme, alors l'égalité précédente dit que \n\n$$OB^2+AC^2=2OA^2+2OC^2.$$\n\nLa somme des carrés de la longueur des diagonales vaut la somme des carrés des longueurs des côtés.\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre l'équation $e^z=3\\sqrt 3-3i$.",
        "answer": "  Posons $z=a+ib$, $a,b\\in\\mathbb R$. Alors \n\n$e^z=e^ae^{ib}$. Ceci nous incite à mettre $3\\sqrt 3-3i$ sous forme trigonométrique. On obtient\n\n$$|3\\sqrt 3-3i|=\\sqrt{27+9}=6.$$\n\nIl vient\n\n$$3\\sqrt 3-3i=6\\left(\\frac{\\sqrt 3}2-i\\frac 12\\right)=6e^{-i\\pi/6}.$$\n\nOn obtient alors $\\exp a=6$ et $b=-\\pi/6+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z$. Les solutions de l'équation\n\nsont donc les nombres complexes $\\ln(6)+i\\left(-\\frac\\pi6+2k\\pi\\right),\\ k\\in\\mathbb Z$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Réel positif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Trouver les entiers $n\\in\\mathbb N$ tels que $(1+i\\sqrt 3)^n$ soit un réel positif.",
        "answer": "  On commence par écrire $1+i\\sqrt 3$ sous forme exponentielle :\n\n$$1+i\\sqrt 3=2e^{i\\pi/3}.$$\n\nEn prenant la puissance $n$-ième, on trouve \n\n$$(1+i\\sqrt 3)^n=2^n e^{in\\pi/3}.$$\n\nCeci est un réel positif si et seulement si $\\sin(n\\pi/3)=0$ et $\\cos(n\\pi/3)\\geq 0$. Or, $\\sin(n\\pi/3)=0$ si et seulement si $n=3k$, $k\\in\\mathbb Z$.\n\nMais, pour ces valeurs de $n$, on a $\\cos(n\\pi/3)=\\cos(k\\pi)$, et ceci est positif si et seulement si $k$ est pair. Ainsi, les entiers qui conviennent sont les multiples de 6.\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Formule d'Euler [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Donner l'écriture exponentielle du nombre complexe suivant : \n\n\\begin{equation*}\n\n  \\frac{1-e^{i\\frac{\\pi}{3}}}{1+e^{i\\frac{\\pi}{3}}}.\n\n\\end{equation*}",
        "answer": "  On va utiliser les formules d'Euler pour faire les calculs, en utilisant que $1=e^{i0}$, et en factorisant par l'angle moitié. On a donc\n\n\\begin{align*}\n\n \\frac{1-e^{i\\frac{\\pi}{3}}}{1+e^{i\\frac{\\pi}{3}}}&= \\frac{e^{i0}-e^{i\\frac{\\pi}{3}}}{e^{i0}+e^{i\\frac{\\pi}{3}}}\\\\\n\n&=\\frac{e^{i\\frac{\\pi}6}\\left(e^{-i\\frac\\pi6}-e^{i\\frac{\\pi}{6}}\\right)}\n\n{e^{i\\frac{\\pi}6}\\left(e^{-i\\frac\\pi6}+e^{i\\frac{\\pi}{6}}\\right)}\\\\\n\n&=\\frac{-2i\\sin(\\pi/6)}{2\\cos(\\pi/6)}\\\\\n\n&=\\frac{-\\sqrt 3}3i\\\\\n\n&=\\frac{\\sqrt 3}3e^{i\\frac{3\\pi}2}.\n\n\\end{align*}\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Forme exponentielle et formule d'Euler [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $a,b\\in]0,\\pi[$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :\n\n$$\\mathbf 1.\\ z_1=1+e^{ia}\\quad \\mathbf 2.\\ z_2=1-e^{ia}\\quad \\mathbf 3.\\  z_3=e^{ia}+e^{ib}\\quad \\mathbf 4. z_4=\\frac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}.$$",
        "answer": "  On utilise la méthode suivante : dans une somme ou une différence de deux complexes de module 1, $e^{ix}\\pm e^{iy}$, on met en facteur $e^{i\\frac{x+y}2}$ puis on utiise les formules d'Euler.\n\n\n $$z_1=e^{ia/2}\\left(e^{-ia/2}+e^{ia/2}\\right)=2\\cos(a/2)e^{ia/2}.$$\n\nDe plus, $\\cos(a/2)>0$ car $a\\in ]0,\\pi[$, et on a bien obtenu l'écriture trigonométrique du complexe.\n\n La même méthode donne\n\n\\begin{align*}\n\nz_2&=e^{ia/2}\\left(e^{-ia/2}-e^{ia/2}\\right)\\\\\n\n&=-2i\\sin(a/2)e^{ia/2}\\\\\n\n&=2\\sin(a/2)e^{i\\left(\\frac a2-\\frac\\pi 2\\right)}.\n\n\\end{align*}\n\n On a cette fois \n\n$$z_3=e^{i\\frac{a+b}2}\\left(e^{i\\frac{a-b}2}+e^{i\\frac{b-a}2}\\right)=2\\cos\\left(\\frac{a-b}2\\right)e^{i\\frac {a+b}2}.$$\n\nC'est bien une forme trigonométrique de $z_3$, car $-\\frac \\pi 2<\\frac{a-b}2<\\frac \\pi 2$ et donc $\\cos\\left(\\frac{a-b}2\\right)>0$.\n\n En utilisant le résultat de la première question, on trouve\n\n$$z_4=\\frac{2\\cos(a/2)e^{ia/2}}{2\\cos(b/2)e^{ib/2}}=\\frac{\\cos(a/2)}{\\cos(b/2)}e^{i\\frac{a-b}2}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Transformation de Cayley [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module 1 tels que $zz'\\neq -1$. Démontrer que \n\n$\\frac{z+z'}{1+zz'}$ est réel, et préciser son module.",
        "answer": "  On écrit $z=e^{i\\theta}$, $z'=e^{i\\theta'}$ et on utilise les formules d'Euler en mettant en facteur\n\n$e^{i\\frac{\\theta+\\theta'}2}$ en facteur au numérateur et au dénominateur. Il vient\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\frac{z+z'}{1+zz'}&=&\\frac{e^{i\\theta}+e^{i\\theta'}}{1+e^{i(\\theta+\\theta')}}\\\\\n\n&=&\\frac{e^{i\\frac{\\theta-\\theta'}2}+e^{-i\\frac{\\theta-\\theta'}2}}{e^{i\\frac{\\theta+\\theta'}2}+e^{-i\\frac{\\theta+\\theta'}2}}\\\\\n\n&=&\\frac{\\cos\\left(\\frac{\\theta-\\theta'}2\\right)}{\\cos\\left(\\frac{\\theta+\\theta'}2\\right)}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn obtient bien un nombre réel, de module $\\left|\\frac{\\cos\\left(\\frac{\\theta-\\theta'}2\\right)}{\\cos\\left(\\frac{\\theta+\\theta'}2\\right)}\\right|$.\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Une inégalité sur les modules [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Soit $Z$ un nombre complexe. Démontrer que \n\n$$1+|Z|^2+2\\Re e(Z)\\geq 0.$$\n\n Soit $z$ et $w$ deux nombres complexes. Démontrer que l'on a \n\n$$|z-w|^2\\leq (1+|z|^2)(1+|w|^2).$$\n\n",
        "answer": "  \n Posons $Z=x+iy$, avec $x$ et $y$ des réels. Alors\n\n\\begin{align*}\n\n1+|Z|^2+2\\Re e(Z)&=1+x^2+y^2+2x\\\\\n\n&=(1+x)^2+y^2\\geq 0.\n\n\\end{align*}\n\n Posons $A=(1+|z|^2)(1+|w|^2)-|z-w|^2$. On a \n\n\\begin{align*}\n\nA&=(1+z\\bar z)(1+w\\bar w)-(z-w)\\overline{z-w}\\\\\n\n&=1+z\\bar z+b\\bar w+zw\\overline{zw}-z\\bar z-w\\bar w+z\\bar w+\\bar z w\\\\\n\n&=1+zw\\overline{zw}+z\\bar w+\\bar z w\\\\\n\n&=1+|z\\bar w|^2+2\\Re e(z\\bar w).\n\n\\end{align*}\n\nOn conclut alors en appliquant le résultat de la question précédente à $Z=z\\bar w$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Le même module [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les nombres complexes non nuls $z$ tels que $z$, $\\frac 1z$ et $1-z$ aient le même module.",
        "answer": "  De $|z|=\\left|\\frac 1z\\right|$, on tire que $|z|^2=1$, donc que $|z|=1$, c'est-à-dire que $z=e^{i\\theta}$, où $\\theta\\in[0,2\\pi[$.\n\nCalculons maintenant le module de $1-z$. \n\nOn écrit \n\n$$1-z=1-e^{i\\theta}=e^{i\\theta/2}\\left(e^{-i\\theta/2}-e^{i\\theta/2}\\right)=-2i\\sin(\\theta/2)e^{i\\theta/2}.$$\n\nLe module de $1-z$ vaut donc $1$ si et seulement si $|\\sin(\\theta/2)|=1/2$. L'équation $\\sin(\\theta/2)=1/2$, avec \n\n$\\theta\\in[0,2\\pi[$ donne $\\theta=\\pi/3$ ou $\\theta=5\\pi/3$. L'équation $\\sin(\\theta/2)=-1/2$ avec $\\theta\\in[0,2\\pi[$ n'a pas de solutions puisque, si $\\theta\\in[0,2\\pi[$, $\\theta/2\\in [0,\\pi[$ et alors $\\sin(\\theta/2)\\in[0,1].$\n\nL'ensemble des solutions est donc $\\{e^{i\\pi/3},e^{i5\\pi/3}\\}$.\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Homographie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $z$ un nombre complexe, $z\\neq 1$. Démontrer que :\n\n$$|z|=1\\iff \\frac{1+z}{1-z}\\in i\\mathbb R.$$",
        "answer": "  Supposons d'abord que $|z|=1$. Alors $z$ s'écrit $z=e^{i\\theta}$, avec $\\theta\\in\\mathbb R\\backslash 2\\pi\\mathbb Z$.\n\nOn peut alors écrire :\n\n$$\\frac{1+z}{1-z}=\\frac{1+e^{i\\theta}}{1-e^{i\\theta}}=\\frac{e^{i\\theta/2}(e^{-i\\theta/2}+e^{i\\theta/2})}{e^{i\\theta/2}(e^{-i\\theta/2}-e^{i\\theta/2})}=\\frac{2\\cos(\\theta/2)}{-2i\\sin(\\theta/2)}=i\\frac{\\cos(\\theta/2)}{\\sin(\\theta/2)}$$\n\nqui est bien un élément de $i\\mathbb R$. Remarquons que l'on a le droit d'effectuer ce calcul car $\\sin(\\theta/2)$ ne s'annule pas.\n\nRéciproquement, supposons que $\\frac{1+z}{1-z}=ia$, avec $a$ un réel. On va exprimer $z$ en fonction de $a$, \n\npuis calculer son module. Il vient :\n\n$$\\frac{1+z}{1-z}=ia\\iff 1+z=ia(1-z)\\iff z(1+ia)=-1+ia\\iff z=\\frac{-1+ia}{1+ia}.$$\n\nOn en déduit que\n\n$$|z|=\\left|\\frac{-1+ia}{1+ia}\\right|=\\frac{\\sqrt{1+a^2}}{\\sqrt{1+a^2}}=1,$$\n\nce qui prouve la réciproque.\n"
    },
    {
        "question": " 25  - Sommes d'arctan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Quelle est la forme algébrique de $(1+i)(1+2i)(1+3i)$?\n\n En déduire la valeur de $\\arctan(1)+\\arctan(2)+\\arctan(3)$.\n\n",
        "answer": "  \n Un calcul rapide montre que $(1+i)(1+2i)(1+3i)=-10$.\n\n Notons $\\theta_1$, $\\theta_2$ et $\\theta_3$ des arguments respectifs de $1+i$, $1+2i$ et $1+3i$. On peut toujours choisir $\\theta_k\\in[0,\\pi/2]$, $k=1,2,3$. Notons aussi $r_k$ le module de $1+ki$, $k=1,2,3$.\n\nOn a $r_k \\sin(\\theta_k)=k$ et $r_k \\cos(\\theta_k)=1$ de sorte que $\\tan\\theta_k=k$. Puisque $\\theta_k\\in [0,\\pi/2]$, on a donc \n\n$$\\theta_k=\\arctan(k).$$\n\nAinsi, on a aussi \n\n$$(1+i)(1+2i)(1+3i)=r_1r_2r_3 e^{i\\big(\\arctan(1)+\\arctan(2)+\\arctan(3)\\big)}.$$\n\nAinsi, $\\arctan(1)+\\arctan(2)+\\arctan(3)$ est un argument de $(1+i)(1+2i)(1+3i)$ et d'après le calcul effectué à la question précédente, on a\n\n$$\\arctan(1)+\\arctan(2)+\\arctan(3)=\\pi\\ [2\\pi].$$\n\nOr, \n\n$$0\\leq \\arctan(1)+\\arctan(2)+\\arctan(3)\\leq \\frac{3\\pi}2.$$\n\nAinsi, on obtient que\n\n$$\\arctan(1)+\\arctan(2)+\\arctan(3)=\\pi.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 26  - Homographie du cercle unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $U=\\left\\{z\\in\\mathbb C:\\ |z|=1\\right\\}$ le cercle unité et soit $a\\notin U$. Démontrer que $f_a(z)=\\frac{z+a}{1+\\bar a z}$ définit une bijection de $U$ sur lui-même et donner l'expression de $f_a^{-1}$.",
        "answer": "  On va commencer par vérifier que $f_a$ est bien définie sur $U$. En effet, puisque $a\\notin U$, $|az|=|a|\\neq 1$ pour tout $z\\in U$ et donc $1+\\bar a z\\neq 0$. \n\nEnsuite, on va démontrer que, pour tout $z\\in U$, $f_a(z)\\in U$. Cela revient à démontrer que $|z+a|=|1+\\bar a z|$. Mais, puisque $|z|=1$, $\\frac 1z=\\bar z$ et on  a\n\n$$|1+\\bar a z|=\\left|z\\left(\\frac 1z+\\bar a\\right)\\right|=|z|\\times |\\bar z+\\bar a|=|z+a|.$$\n\nAinsi, on a bien $f_a(U)\\subset U$.\n\nDémontrons enfin que $f_a$ est une bijection de $U$ sur lui-même et calculons la bijection réciproque. Soit $w\\in U$ et essayons de résoudre l'équation $f_a(z)=w$, avec $z\\in U$. On a \n\n\\begin{align*}\n\nf_a(z)=w&\\iff \\frac{z+a}{1+\\bar a z}=w\\\\\n\n&\\iff z+a=w+\\bar a w z\\\\\n\n&\\iff z(1-\\bar a w)=w-a.\n\n\\end{align*}\n\nPuisque $1-\\bar aw\\neq 0$ (le raisonnement est le même que ci-dessus), on a donc\n\n$$f_a(z)=w\\iff z=\\frac{w-a}{1-\\bar a w}=f_{-a}(w)$$\n\net ce dernier élément est bien dans $U$. Ainsi, $f_a$ réalise une bijection de $U$ dans lui-même, de bijection réciproque $f_{-a}$.\n"
    },
    {
        "question": " 27  - Module de la somme et de la différence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $z=\\rho e^{i\\theta}$ et $z'=\\rho'e^{i\\theta'}$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que \n\n$$|z+z'|=|z-z'|\\Longleftrightarrow{\\theta'=\\theta+\\frac{\\pi}{2}[\\pi]}.$$",
        "answer": "  L'idée est de passer au carré, et de développer.\n\n\\begin{align*}\n\n|z+z'|=|z-z'|&\\iff |z+z'|^2=|z-z'|^2\\\\\n\n&\\iff (z+z')\\overline{(z+z')}=(z-z')\\overline{(z-z')}\\\\\n\n&\\iff |z|^2+|z'|^2+(z\\overline{z'}+\\overline{z}z')=|z|^2+|z'|^2-(z\\overline{z'}+\\overline{z}z')\\\\\n\n&\\iff |z|^2+|z'|^2+2\\Re e(z\\overline{z'})=|z|^2+|z'|^2-2\\Re e(z\\overline{z'}).\n\n\\end{align*}\n\nEn simplifiant par les termes égaux, ceci est donc équivalent à \n\n$$\\Re e(z\\overline{z'})=0.$$\n\nOr, $z\\overline{z'}=\\rho\\rho'e^{i(\\theta-\\theta')}.$ Ceci a une partie réelle nulle si et seulement si $\\cos(\\theta-\\theta')=0$, c'est-à-dire\n\nsi et seulement si $\\theta'=\\theta+\\frac\\pi2\\ [\\pi]$.\n"
    },
    {
        "question": " 28  - Un ensemble de complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On rappelle que $j=e^{2i\\pi/3}.$ On note $E=\\{z\\in\\mathbb C:\\ \\exists(a,b)\\in\\mathbb Z^2,\\ z=a+jb\\}.$ \n\n\n Soit $z=a+jb\\in E$, avec $(a,b)\\in\\mathbb Z^2.$ Montrer que $|z|=1$ si et seulement si \n\n$$(2a-b)^2+3b^2=4.$$\n\n En déduire explicitement tous les éléments de $U=\\{z\\in E:\\ |z|=1\\}$\n\nen fonction de $1$, de $-1$, de $j$ et $-j.$\n\n",
        "answer": "  \n On écrit $z=a+jb=\\left(a-\\frac b2\\right)+ib\\frac{\\sqrt 3}2.$ On a donc\n\n$$|z|^2=\\left(a-\\frac b2\\right)^2+\\frac{3b^2}4.$$\n\nOn a donc \n\n$$|z|^2=1\\iff 4|z|^2=4\\iff (2a-b)^2+3b^2=4.$$\n\n Puisque $(2a-3b)^2$ est un entier et que $3b^2$ est un multiple de $3$, l'équation précédente ne peut avoir des solutions que si \n\n\n $3b^2=0$ et $(2a-b)^2=4$. Ceci entraîne $b=0$ et $a=\\pm 1$. On obtient donc les deux nombres complexes $1$ et $-1$.\n\n $3b^2=3$ et $(2a-b)^2=1.$ On distingue alors deux sous-cas : \n\n\n $b=1$, dans ce cas, $2a-1=1$ ou $2a-1=-1$ donne les deux solutions $a=1$ et $a=0$ : on obtient les nombres complexes $1+j$ et $j$. \n\n $b=-1$, dans ce cas, $2a+1=1$ ou $2a+1=-1$ donne les deux solutions $a=0$ et $a=-1$ : on obtient les nombres complexes $-j$ et $-1-j$.\n\n\n\n\nFinalement, on a prouvé que $U=\\{1,-1,j,-j,1+j,-1-j\\}.$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 29  - Entiers somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On dit qu'un entier naturel $N$ est somme de deux carrés s'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ de sorte que $N=a^2+b^2$.\n\n\n Écrire un algorithme permettant de déterminer si un entier naturel $N$ est somme de deux carrés.\n\n On souhaite prouver que, si $N_1$ et $N_2$ sont sommes de deux carrés, alors leur produit $N_1N_2$ est aussi somme de deux carrés. Pour cela, on écrit $N_1=a^2+b^2$ et $N_2=c^2+d^2$, et on introduit $z_1=a+ib$, $z_2=c+id$. Comment écrire $N_1$ et $N_2$ en fonction de $z_1$ et $z_2$?\n\n En déduire que $N_1N_2$ est somme de deux carrés.\n\n Démontrer que si $N$ est somme de deux carrés, alors pour tout entier $p\\geq 1$, $N^p$ est somme de deux carrés.\n\n",
        "answer": "  \n Voici un algorithme qui convient (mais qui n'est pas du tout optimal!) :\n\n Variables : N,a,b,compteur\nAlgorithme :\n  Lire N\n  compteur=0\n  Pour a allant de 0 à N faire\n     Pour b allant de 0 à N faire\n        Si (N=a*a+b*b) alors compteur=compteur+1; Finsi.\n     Fin pour\n  Fin pour\n  Si (compteur>0) \n      alors Afficher N est somme de deux carrés\n      sinon Afficher N n'est pas somme de deux carrés.\n\n Il est facile de remarquer que $N_1=|z_1|^2$ et que $N_2=|z_2|^2$.\n\n On écrit, en utilisant le résultat de la question précédente, que \n\n$$N_1N_2=|z_1z_2|^2.$$\n\nOr, \n\n$$z_1z_2=(ac-bd)+i(ad+bc)=e+if$$\n\navec $e=ac-bd$ et $f=ad+bc$ qui sont des entiers. Ainsi, \n\n$$N_1N_2=e^2+f^2$$\n\nest somme de deux carrés.\n\n Prouvons par récurrence sur $p$ la propriété $\\mathcal P(p)$ : \"$N^p$ est somme de deux carrés\". Clairement, la propriété $\\mathcal P(1)$ est vraie. Soit $p\\geq 1$ tel que $\\mathcal P(p)$ soit\n\nvérifiée. Alors $N^{p+1}=N^p\\times N$ est le produit de deux nombres qui sont chacun somme de deux carrés. D'après la question précédente, $N^{p+1}$ est lui aussi somme de deux carrés, et\n\n$\\mathcal P(p+1)$ est vraie. Par le principe de récurrence, $\\mathcal P(p)$ est vraie pour tout entier $p\\geq 1$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 30  - Automorphisme du disque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $a$ un complexe de module $|a|<1$.\n\n\n Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ tel que $1-\\bar a z\\neq 0$,\n\n$$1-\\left|\\frac{z-a}{1-\\bar{a}z}\\right|^2 = \\frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\\bar a z|^2}.$$\n\n Déterminer les nombres complexes\n\n$z$ vérifiant $\\displaystyle \\left|\\frac{z-a}{1-\\bar{a}z}\\right|\\leq 1.$\n\n",
        "answer": "  \n Il suffit de développer les modules au carré. Précisément, on a :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n1-\\left|\\frac{z-a}{1-\\bar{a}z}\\right|^2&=&\\frac{|1-\\bar a z|^2-|z-a|^2}{|1-\\bar a z|^2}\\\\\n\n&=&\\frac{1-\\bar a z-a\\bar z+|a|^2|z|^2-|z|^2-|a|^2+\\bar a z+a\\bar z}{|1-\\bar a z|^2}\\\\\n\n&=&\\frac{1+|a|^2|z|^2-|z|^2-|a|^2}{|1-\\bar a z|^2}\\\\\n\n&=& \\frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\\bar a z|^2}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On commence par remarquer que :\n\n$$\\left|\\frac{z-a}{1-\\bar{a}z}\\right|\\leq 1 \\iff \\left|\\frac{z-a}{1-\\bar{a}z}\\right|^2\\leq 1.$$\n\nEnsuite, on a d'après la question précédente \n\n$$1-\\left|\\frac{z-a}{1-\\bar{a}z}\\right|^2 = \\frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\\bar a z|^2}.$$\n\nAinsi, on a l'équivalence :\n\n$$\\left|\\frac{z-a}{1-\\bar{a}z}\\right|\\leq 1 \\iff\\frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\\bar a z|^2}\\geq 0.$$\n\nOr, $1-|a|^2\\geq 0$ et $|1-\\bar a z|^2\\geq 0$. On a donc la propriété voulue si et seulement si\n\n$$1-|z|^2\\geq 0\\iff |z|\\leq 1.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 31  - Inégalité triangulaire itérée, et cas d'égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Justifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a $\\Re e(z)\\leq |z|$. Dans quel cas a-t-on égalité?\n\n Démontrer que pour tout couple $(z_1,z_2)$ de nombres complexes, on a $|z_1+z_2|\\leq |z_1|+|z_2|$. \n\n On suppose de plus que $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes non nuls. Justifier que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement s'il existe un réel positif $\\lambda$ tel que $z_2=\\lambda z_1$.\n\n Démontrer que pour tout $n$-uplet $(z_1,\\dots,z_n)$ de nombres complexes, on a \n\n$$|z_1+\\cdots+z_n|\\leq |z_1|+\\cdots+|z_n|.$$\n\n Démontrer que si $z_1,\\dots,z_n$ sont tous non nuls, alors l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si il existe des réels positifs $\\lambda_1,\\dots,\\lambda_n$ tels que, pour tout $k=1,\\dots,n$, on a $z_k=\\lambda_k z_1$.\n\n",
        "answer": "  \n Écrivons le nombre complexe $z$ sous la forme $z=x+iy$. Alors on  a\n\n$$\\textrm{Re}(z)\\leq |\\textrm{Re}(z)|=|x|= \\sqrt{x^2}\\leq \\sqrt{x^2 +y^2},$$\n\nla dernière inégalité étant une conséquence de la croissance de la fonction racine carrée.\n\nPour déterminer les cas d'égalité, la méthode est simple : on repère toutes les inégalités utilisées, et on aura\n\négalité si et seulement si ces inégalités sont des égalités. Ici, les deux inégalités utilisées sont \n\n$\\textrm{Re}(z)\\leq |\\textrm{Re}(z)|$ et $\\sqrt{x^2}\\leq \\sqrt{x^2+y^2}$. On a donc égalité si et seulement si $|x|=x$ et $\\sqrt{x^2+y^2}=\\sqrt{x^2}$, c'est-à-dire si et seulement si $x\\geq 0$ et $y=0$. On a donc égalité si et seulement si $z$ est un réel positif ou nul.\n\n C'est une question de cours! Quand on travaille avec des modules, on a tout intérêt à se souvenir que ce qui est facile à calculer, c'est le carré du module. Tout étant positif, il suffit ici de démontrer que $|z_1+z_2|^2\\leq (|z_1|+|z_2|)^2$. Mais on a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n|z_1+z_2|^2&=&(z_1+z_2)\\times\\overline{(z_1+z_2)}\\\\\n\n&=&|z_1|^2+|z_2|^2+z_1\\bar{z_2}+z_2\\bar{z_1}\\\\\n\n&=&|z_1|^2+|z_2|^2+2\\textrm{Re}(\\bar{z_1}z_2),\\\\\n\n(|z_1|+|z_2|)^2&=&|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn conclut en appliquant le résultat de la première question à $z=\\bar{z_1}z_2$, puisque $|z_1z_2|=|\\bar{z_1}z_2|$.\n\n C'est une question nettement plus difficile. On étudie la preuve de la question précédente pour savoir où on a utilisé des inégalités plutôt que des égalités. La seule inégalité utilisée est $\\textrm{Re}(\\bar{z_1}z_2)\\leq |\\overline{z_1}z_2|$. D'après le résultat de la question A.I.1., on a égalité si et seulement si $\\bar z_1z_2$ est un réel positif ou nul. Puisque $z_1,z_2$ ne sont pas nuls, on a égalité si et seulement s'il existe $\\mu>0$ tel que $\\overline{z_1}z_2=\\mu$. Il faut maintenant passer au résultat demandé. Pour cela, on peut aussi écrire $z_1=re^{i\\theta}$ de sorte que $\\bar{z_1}=re^{-i\\theta}$ ce qui entraine encore que \n\n$$\\frac{1}{\\bar z_1}=\\frac 1r e^{i\\theta}=\\frac1{r^2}z_1.$$\n\nAinsi, on a démontré qu'on avait égalité si et seulement s'il existe $\\mu>0$ tel que \n\n$$z_2=\\frac{\\mu}{r^2}z_1.$$\n\nPosant $\\lambda=\\mu/r^2$, on obtient le résultat. Il s'interprète en disant que $z_1$ et $z_2$ ont le même argument modulo $2\\pi$.\n\n On va procéder par récurrence. Pour $n\\geq 1$, considérons $\\mathcal P(n)$ la propriété suivante :\n\n$$\"\\forall z_1,\\dots,z_n\\in\\mathbb C,\\ |z_1+\\dots+z_n|\\leq |z_1|+\\dots+|z_n|.\"$$\n\nLa propriété $\\mathcal P(1)$ est trivialement vraie et la propriété $\\mathcal P(2)$ a été vérifiée lors d'une question  précédente. Soit $n\\geq 2$ tel que $\\mathcal P(n)$ est vraie et prouvons $\\mathcal P(n+1)$. Soit $z_1,\\dots,z_{n+1}$ des nombres complexes et posons $Z_1=z_1+\\dots+z_n$, $Z_2=z_{n+1}$. Puisque $\\mathcal P(2)$ est vraie, on sait que \n\n$$\\left|\\sum_{k=1}^n z_k\\right|=|Z_1+Z_2|\\leq |Z_1|+|Z_2|.$$\n\nOn utilise maintenant $\\mathcal P(n)$ pour trouver que \n\n$$|Z_1|\\leq \\sum_{k=1}^n |z_k|.$$\n\nOn a donc bien prouvé $\\mathcal P(n+1)$ et par le principe de récurrence, le résultat est démontré pour tout entier $n$.\n\n Là encore, une récurrence s'impose et là encore, elle est un peu délicate. L'hypothèse de récurrence $\\mathcal P(n)$ est cette fois :\n\n$$\"\\forall z_1,\\dots,z_n\\in\\mathbb C^*,\\ \\left|\\sum_{k+1}^n z_k\\right|=\\sum_{k=1}^n |z_k|\\iff \\forall k\\in\\{1,\\dots,n\\},\\ \\exists \\lambda_k\\in\\mathbb R_+,\\ z_k=\\lambda_k z_1.\"$$\n\nL'initialisation $\\mathcal P(1)$, $\\mathcal P(2)$ ne pose pas de problèmes. Soit $n\\geq 2$ tel que $\\mathcal P(n)$ est vraie et prouvons $\\mathcal P(n+1)$. Comme précédemment, considérons $z_1,\\dots,z_{n+1}$ des nombres complexes non-nuls et posons $Z_1=z_1+\\dots+z_n$, $Z_2=z_{n+1}$. De la chaine d'inégalités \n\n$$\\left|\\sum_{k=1}^n z_k\\right|=|Z_1+Z_2|\\leq |Z_1|+|Z_2|\\leq \\sum_{k=1}^n |z_k|+|z_{n+1}|=\\sum_{k=1}^{n+1}|z_k|,$$ on déduit que l'on a égalité si et seulement si $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$ et $\\left|\\sum_{k=1}^n z_k\\right|=\\sum_{k=1}^n |z_k|$. Ici, il faut faire attention! On ne peut pas directement appliquer $\\mathcal P(2)$ à $|Z_1+Z_2|$ car pour le moment, rien ne nous dit que $Z_1\\neq 0$. On commence donc par appliquer $\\mathcal P(n)$ à \n\n$\\left|\\sum_{k=1}^n z_k\\right|=\\sum_{k=1}^n |z_k|$ pour en déduire que, pour $k=1,\\dots,n$, il existe $\\lambda_k\\in\\mathbb R_+$ tel que $z_k=\\lambda_k z_1$. On en déduit que $Z_1=(1+\\lambda_2+\\dots+\\lambda_n)z_1$ est non-nul, et on peut donc appliquer $\\mathcal P(2)$ à $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$. Il existe donc $\\mu\\in\\mathbb R_+$ tel que $z_{n+1}=\\mu Z_1$. Posant $\\lambda_{n+1}=\\mu(1+\\lambda_2+\\dots+\\lambda_n)$, on en déduit que $\\mathcal P(n+1)$ est vraie. Il reste à écrire la conclusion du raisonnement par récurrence. \n\n\n"
    },
    {
        "question": " 32  - Égalité dans l'inégalité triangulaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $z_1,\\dots,z_n$ des nombres complexes tous non nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que\n\n$$|z_1+\\dots+z_n|=|z_1|+\\dots+|z_n|.$$",
        "answer": "  On va prouver que la propriété est vraie si et seulement s'il existe des réels positifs $\\lambda_i$ tels que $z_i=\\lambda_i z_1$.\n\nUn sens est facile. En effet, si $z_i=\\lambda_i z_1$, alors\n\n$$|z_1+\\dots+z_n|=|z_1|\\times|1+\\lambda_2+\\dots+\\lambda_n|=|z_1|+\\lambda_2|z_1|+\\dots+\\lambda_n |z_1|=|z_1|+\\dots+|z_n|.$$\n\nRéciproquement, on va prouver par récurrence sur $n$ que si \n\n$$|z_1+\\dots+z_n|=|z_1|+\\dots+|z_n|,$$\n\nalors il existe des réels positifs $\\lambda_i$, $1\\leq i\\leq n$ tels que $z_i=\\lambda_i z_1$.\n\nOn commence par traiter le cas $n=2$, et on suppose que $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.\n\nNotons $u=z_1/z_2$. Alors on a $|1+u|=1+|u|$, et en écrivant $u=x+iy$, on obtient\n\n$$|1+u|^2=(1+x)^2+y^2=1+|u|^2+2x\\textrm{ et }(1+|u|)^2=1+2|u|+|u|^2.$$\n\nOn a donc $x=|u|$, ce qui entraine que $y=0$ et que $u$ est un réel positif. Le cas $n=2$ est donc prouvé.\n\nSupposons maintenant la propriété prouvée au rang $n-1$ et prouvons-la au rang $n$. On commence par remarquer que\n\n$$|z_1+\\dots+z_{n-1}|=|z_1|+\\dots+|z_{n-1}|.$$\n\nEn effet, si on avait $|z_1+\\dots+z_{n-1}|<|z_1|+\\dots+|z_{n-1}|$, on aurait aussi \n\n$$|z_1+\\dots+z_n|\\leq |z_1+\\dots+z_{n-1}|+|z_n|<|z_1|+\\dots+|z_{n-1}|+|z_n|,$$\n\nce qui contredit l'hypothèse initiale. \n\nPar hypothèse de récurrence, on sait que pour $i\\in\\{1,\\dots,n-1\\}$, il existe $\\lambda_i>0$ tel que\n\n$z_i=\\lambda_i z_1$. Mais alors il vient\n\n$$|z_1+\\dots+z_n|=|(1+\\dots+\\lambda_{n-1})z_1+z_n|=(1+\\dots+\\lambda_{n-1})|z_1|+|z_n|.$$\n\nOn applique alors le cas $n=2$, et on trouve que $z_n=\\mu_n(1+\\dots+\\lambda_{n-1})z_1$\n\navec $\\mu_n>0$. On a le résultat voulu, quitte à poser $\\lambda_n=\\mu_n(1+\\dots+\\lambda_{n-1})$"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Équations du premier degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes, d'inconnue $z\\in\\mathbb C$ :\n\n$$\n\n\\begin{array}{lll}\n\n{\\mathbf 1.}\\ z+2i=iz-1&\\quad&{\\mathbf 2.}\\ (3+2i)(z-1)=i\\\\\n\n{\\mathbf 3.}\\ (2-i)z+1=(3+2i)z-i&\\quad&{\\mathbf 4.}\\ (4-2i)z^2=(1+5i)z.\n\n\\end{array}$$\n\nOn écrira les solutions sous forme algébrique.",
        "answer": "  \n L'équation est équivalente à \n\n$$z(1-i)=-1-2i\\iff z=\\frac{-1-2i}{1-i}=\\frac{(-1-2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\frac12-\\frac 32i.$$\n\n De la même façon, on a \n\n$$z-1=\\frac{i}{3+2i}=\\frac{i(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\\frac 2{13}+\\frac 3{13}i.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$z=\\frac{15}{13}+\\frac 3{13}i.$$\n\n L'équation cette fois est équivalente à \n\n\\begin{align*}\n\n(2-i-3-2i)z=-i-1&\\iff (-1-3i)z=-i-1\\\\\n\n&\\iff z=\\frac{-i-1}{-1-3i}=\\frac{(-i-1)(-1+3i)}{(-1-3i)(-1+3i)}=\\frac{2}5-\\frac15 i.\n\n\\end{align*}\n\n On distingue deux cas. D'abord, $z=0$ est solution de l'équation. Si $z\\neq 0$, alors on peut simplifier par $z$ et l'équation est équivalente à \n\n$$(4-2i)z=1+5i\\iff z=\\frac{1+5i}{4-2i}=\\frac{(1+5i)(4+2i)}{(4-2i)(4+2i)}=\\frac{-6+22i}{20}=\\frac{-3}{10}+\\frac{11}{10}i.$$\n\nL'équation admet donc deux solutions, $z=0$ et $z=\\frac{-3}{10}+\\frac{11}{10}i$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Équations avec des conjuguées. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes :\n\n$$\n\n\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle{\\mathbf 1.}\\ 2z+i=\\overline z+1&\\displaystyle{\\mathbf 2.}\\ 2z+\\overline z=2+3i&\\displaystyle{\\mathbf 3.}\\ 2z+2\\overline z=2+3i.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On écrit $z=x+iy$ avec $x,y\\in\\mathbb R$ de sorte que $2z+i=2x+i(2y+1)$ et $\\overline z+1=(x-iy)+1=(x+1)-iy$. Puisque deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'il ont même partie réelle et même partie imaginaire, l'équation est équivalente à $2x=x+1$ et $2y+1=-y$. On trouve alors $x=1$ et $y=-1/3$. L'équation admet une unique solution, $z=1-\\frac 13 i$.\n\n On reprend la même méthode. Alors $2z+\\bar z=3x+iy=2+3i$ si et seulement si $x=\\frac 23$ et $y=3$. L'équation admet donc une unique solution, $z=\\frac 23+3i$.\n\n On procède de la même façon, mais cette fois on constate que $2z+2\\bar z=4x$ est réel : il ne pourra jamais être égal à $2+3i$. L'équation n'admet pas de solutions.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  -  [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les systèmes suivants, d'inconnues les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ :\n\n\n\n\n $$\\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  2z_1-z_2&=&i\\\\\n\n  -2z_1+3iz_2&=&-17\n\n \\end{array}\\right.$$\n\n  \n\n $$\\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  3iz_1+iz_2&=&i+7\\\\\n\n  iz_1+2z_2&=&11i\n\n \\end{array}\\right.$$\n\n\n\nOn donnera les résultats sous forme algébrique.",
        "answer": "  Le fait de résoudre des systèmes avec des nombres complexes ne change pas la méthode de résolution.\n\nSeuls les calculs sont plus compliqués!\n\n\n On a \n\n \\begin{eqnarray*}\n\n  \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  2z_1-z_2&=&i\\\\\n\n  -2z_1+3iz_2&=&-17\n\n \\end{array}\\right.\n\n &\\iff& \n\n \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  2z_1-z_2&=&i\\\\\n\n  (3i-1)z_2&=&-17+i\\ \\textrm{(L1)+(L2)}\n\n \\end{array}\\right.\\\\\n\n &\\iff&\n\n \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n 2z_1&=&i+z_2\\\\\n\n  z_2&=&\\frac{-17+i}{3i-1}.\n\n  \\end{array}\\right.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn met $z_2$ sous forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par $-3i-1$ et on trouve $z_2=2+5i$. Finalement,\n\nrevenant à $z_1$, on trouve que $z_1=1+3i$. Le système admet une unique solution donnée par $z_1=1+3i$ et $z_2=2+5i$.\n\n On a \n\n \\begin{eqnarray*}\n\n  \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  3iz_1+iz_2&=&i+7\\\\\n\n  iz_1+2z_2&=&11i\n\n \\end{array}\\right.\n\n &\\iff& \n\n \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n  3iz_1+iz_2&=&i+7\\\\\n\n  3iz_1+6z_2&=&33i\\\\\n\n \\end{array}\\right.\\\\\n\n &\\iff&\n\n \\left\\{\n\n \\begin{array}{rcl}\n\n (i-6)z_2&=&7-32i\\\\\n\n  iz_1+2z_2&=&11i.\n\n  \\end{array}\\right.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn a donc $z_2=\\frac{7-32i}{i-6}=-2+5i$ après mise sous forme algébrique. On en déduit facilement que $z_1=1-4i$. Ce\n\nsecond système admet donc une unique solution donnée par $z_1=1-4i$ et $z_2=-2+5i$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - A coefficients réels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre dans $\\mathbb C$ les équations suivantes :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ 2z^2+6z+5=0&\\quad&\\mathbf{2.}\\ z^2-6z+13=0\\\\\n\n\\mathbf{3.}\\ z^2+z+1=0&\\quad&\\mathbf{4.}\\ \\frac{3z+2}{z+1}=z+3\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On calcule le discriminant : $\\Delta=36-4\\times 5\\times 2=-4=(2i)^2$. L'équation admet donc deux solutions qui sont \n\n$$z_1=\\frac{-6-2i}{4}=\\frac{-3-i}2\\textrm{ et }z_2=\\frac{-6+2i}{4}=\\frac{-3+i}2.$$\n\n On a cette fois $\\Delta=36-4\\times 13=-16=(4i)^2$. L'équation admet donc deux solutions qui sont \n\n$$z_1=\\frac{6+4i}{2}=3+2i\\textrm{ et }z_2=3-2i.$$\n\n On a $\\Delta=1-4=-3=(i\\sqrt 3)^2$. L'équation admet donc deux solutions qui sont \n\n$$z_1=\\frac{-1-i\\sqrt 3}2\\textrm{ et }z_2=\\frac{-1+i\\sqrt 3}2.$$\n\n On doit avoir $z\\neq -1$. Pour $z\\neq -1$, l'équation est équivalente à \n\n$$3z+2=(z+3)(z+1)\\iff z^2+z+1=0.$$\n\nLes solutions sont donc les mêmes qu'à la question précédente (on vérifie bien que $-1$ n'est pas solution).\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Un système non linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre dans $\\mathbb C$ le système suivant :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nz+z'&=&2\\\\\n\nzz'&=&17\n\n\\end{array}\\right.\n\n$$",
        "answer": "  On sait, par le lien entre les coefficients et les racines d'un polynôme du second degré, que $z$ et $z'$ sont racines de l'équation $z^2-2z+17=0$. Son discriminant est $\\Delta=4-4\\times 17=-64=(8i)^2$. Ses solutions sont\n\n$$z_1=\\frac{2-8i}2=1-4i\\textrm{ et }z_2=1+4i.$$\n\nLes solutions du système sont donc les deux couples $(1-4i,1+4i)$ et $(1+4i,1-4i)$.\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Trouver le polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $2$ dont l'une des racines est le nombre $-2+i\\sqrt 3.$\n\n\n Indiquer l'autre racine de $P$.\n\n Donner les expressions développées et factorisées de $P$, sachant que $P(0)=35.$\n\n",
        "answer": "  \n Puisque $-2+i\\sqrt 3$ est racine de $P$ polynôme à coefficients réels, son conjugué $-2-i\\sqrt 3$ est aussi racine de $P$.\n\n On sait que $P$ se factorise en \n\n\\begin{align*}\n\nP&=\\lambda \\big(x-(-2+i\\sqrt 3)\\big)\\big(x-(-2-i\\sqrt 3)\\big)\\\\\n\n&=\\lambda (x^2+4x+7).\n\n\\end{align*}\n\nPuisque de plus $P(0)=35,$ on trouve $\\lambda=5.$\n\nFinalement,\n\n\\begin{align*}\n\nP&=5 \\big(x-(-2+i\\sqrt 3)\\big)\\big(x-(-2-i\\sqrt 3)\\big)\\\\\n\n&=5x^2+20x+35.\n\n\\end{align*}\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Au carré avec un conjugué! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre dans $\\mathbb C$ l'équation suivante : \n\n$$z^2+2\\bar z+1=0.$$",
        "answer": "  Ce n'est pas une équation du second degré classique. On va la résoudre en posant $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ des réels. On a alors \n\n\\begin{align*}\n\nz^2+2\\bar z+1&=(x+iy)^2+2(x-iy)+1\\\\\n\n&=x^2+2ixy-y^2+2x-2iy+1\\\\\n\n&=(x^2-y^2+2x+1)+i(2xy-2y)\n\n\\end{align*}\n\nAinsi, l'équation $z^2+2\\bar z+1=0$ est équivalente au système \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nx^2-y^2+2x+1&=&0\\\\\n\n2xy-2y&=&0.\n\n\\end{array}\n\n\\right.$$\n\nLa deuxième équation s'écrit $2y(x-1)=0$ et est donc équivalente à $y=0$ ou $x=1.$ Si $y=0$, la première équation donne \n\n$$x^2+2x+1=0\\iff (x+1)^2=0\\iff x=-1.$$\n\nSi $x=1,$ la première équation donne \n\n$$1-y^2+2+1=0\\iff y^2=4\\iff y=\\pm 2.$$\n\nL'ensemble des solutions est donc \n\n$$\\mathcal S=\\{-1;\\ 1+2i;\\ 1-2i\\}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Une équation de degré 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On pose $P(z)=z^3+iz^2-iz+1+i$.\n\n\n Calculer $P(-1-i)$.\n\n Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, \n\n$P(z)=(z+1+i)(z^2+az+b)$.\n\n Résoudre dans $\\mathbb C$ l'équation $P(z)=0$.\n\n",
        "answer": "  \n On a $(-1-i)^2=1+2i-1=2i$ et $(-1-i)^3=2i(-1-i)=2-2i$. On en déduit que\n\n\\begin{align*}\n\nP(-1-i)&=2-2i+i(2i)-i(-1-i)+1+i\\\\\n\n&=2-2i-2+i-1+1+i\\\\\n\n&=&0.\n\n\\end{align*}\n\n On va procéder par identification. On a en effet \n\n$$(z+1+i)(z^2+az+b)=z^3+(a+1+i)z^2+(a+ia+b)z+(1+i)b$$\n\net on veut que ce soit égal à $P(z)=z^3+iz^2-iz+1$. On doit donc avoir \n\n$a+1+i=i$ soit $a=-1$, puis $a+ia+b=-i$, soit $b=1$. On vérifie alors que $(1+i)b=1+i$.\n\n On a \n\n\\begin{align*}\n\nP(z)=0&\\iff (z+1+i)(z^2-z+1)=0\\\\\n\n&\\iff z+1+i=0\\textrm{ ou }z^2-z+1=0.\n\n\\end{align*}\n\nOn résout $z^2-z+1=0$. Le discriminant $\\Delta$ vaut $-3=(i\\sqrt 3)^2$ et les racines sont donc $(1-i\\sqrt 3)/2$ et $(1+i\\sqrt 3)/2$. Finalement, l'ensemble des solutions de $P(z)=0$ est $\\{-1-i,(1-i\\sqrt 3)/2,(1+i\\sqrt 3)/2\\}$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Degré plus grand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On cherche à résoudre l'équation\n\n$$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=0.$$\n\n\n Rechercher une solution imaginaire pure $ai$ à l'équation.\n\n Déterminer $b,c\\in\\mathbb R$ tels que \n\n$$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=(z-ai)(z^2+bz+c).$$\n\n En déduire toutes les solutions de l'équation.\n\n Sur le même modèle, résoudre l'équation $z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i=0$.\n\n",
        "answer": "  \n $ai$ est solution de l'équation si et seulement si \n\n$$-i+(i-1)ai-(1+i)a^2-ia^3=(-a-a^2)+i(-1-a-a^2-a^3)=0.$$\n\nLa partie réelle et la partie imaginaire du complexe doivent être nuls, et donc $ai$\n\nest solution de l'équation si et seulement si \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\na+a^2&=&0\\\\\n\n1+a+a^2+a^3&=&0.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nLa première équation donne $a=0$ ou $a=-1$, et seul $-1$ convient pour la deuxième équation.\n\nDonc $-i$ est solution de l'équation.\n\n On cherche $b,c$ tels que $z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=(z+i)(z^2+bz+c)$. Pour cela, on développe\n\nle second membre et on trouve\n\n$$(z+i)(z^2+bz+c)=z^3+(b+i)z^2+(ib+c)z+ic.$$\n\nPar identification, on doit avoir\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nb+i&=&1+i\\\\\n\nib+c&=&i-1\\\\\n\nic&=&-i\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nOn trouve $b=1$ et $c=-1$ et donc la factorisation\n\n$$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=(z+i)(z^2+z-1).$$\n\n $z$ est solution de l'équation si et seulement si $z=-i$ ou \n\n$z^2+z-1=0$. Les racines de cette équation sont $\\frac{-1-\\sqrt 5}2$ et\n\n$\\frac{-1+\\sqrt 5}2$. L'équation admet donc trois solutions, qui sont \n\n$-i, \\frac{-1-\\sqrt 5}2$ et $\\frac{-1+\\sqrt 5}2$.\n\n On trouve que les solutions sont $i$, $1+i$ et $1-i$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Racine carrée en détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On cherche à déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2=15-8i$. Pour cela, on pose $z=x+iy$.\n\n\n Montrer que $z^2=15-8i$ si et et seulement si $(x,y)$ est solution du système :\n\n$$\\left\\{\\begin{array}{rcl}\n\nx^2-y^2&=&15\\\\\n\n2xy&=&-8.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\n Démontrer que si $z^2=15-8i$, on a aussi $x^2+y^2=17$. \n\n En déduire tous les nombres complexes $z$ tels que $z^2=15-8i$.\n\n",
        "answer": "  \n On a\n\n$$z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+i2xy.$$\n\nPar unicité des parties réelles et imaginaires, $z^2=15-8i$ si et seulement si $(x,y)$ est solution du système proposé.\n\n Si $z^2=15-8i$, on doit avoir $|z^2|=|15-8i|$. Or, \n\n$$|z^2|=x^2+y^2$$\n\net \n\n$$|15-8i|=17.$$\n\n En utilisant le système et la question précédente, on trouve que si $z^2=15-8i$, alors\n\n$2x^2=17+15$. Ceci donne $x^2=16$ et donc $x=\\pm 4$. De plus, si $x=4$, alors l'équation $2xy=-8$ donne $y=-1$ tandis que si $x=-4$, alors $y=1$. On vérifie alors facilement que $4-i$ et $-4+i$ sont bien solution de $z^2=15-8i$. Ce sont les deux seules solutions de cette équation.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Racine carrée d'un nombre complexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :\n\n$z_1=3+4i,\\ z_2=8-6i.$",
        "answer": "  La méthode est toujours la même. On pose $z=a+ib$, de sorte que \n\n$z^2=(a^2-b^2)+2iab$. L'équation $z^2=3+4i$ est donc équivalente à \n\n$$\\left\\{\\begin{array}{rcl}a^2-b^2&=&3\\\\\n\n2ab=4\\end{array}\\right.$$\n\nOn peut ajouter une troisième équation en remarquant que \n\n$$|z|^2=|3+4i|\\iff a^2+b^2=\\sqrt{9+16}=5.$$\n\nOn trouve alors $2a^2=8$, soit $a=\\pm 2$ et $2b^2=2$, soit $b=\\pm 1$.\n\nL'équation $2ab=4$ oblige $a$ et $b$ à avoir même signe, et donc les deux solutions\n\nsont $2+i$ et $-2-i$.\n\nPour l'équation $z^2=8-6i$, on peut suivre une méthode exactement identique, \n\net les solutions sont cette fois $3-i$ et $-3+i$.\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Racine carré de deux façons [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les racines carrées de $Z=\\sqrt 3+i$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.\n\nEn déduire la valeur de $\\cos\\left(\\frac\\pi{12}\\right)$.",
        "answer": "  Soit $w=a+ib$ tel que $w^2=Z$. On obtient le système \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\na^2-b^2&=&\\sqrt 3\\\\\n\n2ab&=&1\\\\\n\na^2+b^2&=&|\\sqrt 3+i|=2.\n\n\\end{array}\\right.\n\n$$\n\nIl vient $a^2=\\frac{\\sqrt{3}+2}2$ et $b^2=\\frac{2-\\sqrt 3}{2}$. Puisque $a$ et $b$ ont le même signe, les solutions sont\n\ndonc\n\n$$w=\\sqrt{\\frac{\\sqrt{3}+2}2}+i\\sqrt{\\frac{2-\\sqrt 3}{2}}\\textrm{ et }w=-\\sqrt{\\frac{\\sqrt{3}+2}2}-i\\sqrt{\\frac{2-\\sqrt\n\n3}{2}}.$$\n\nPour la résolution sous forme trigonométrique, on remarque que \n\n$$Z=2\\left(\\frac{\\sqrt 3}2+i\\frac 12\\right)=2e^{i\\pi/6}.$$\n\nLes racines carrées de $Z$ sont donc\n\n$$w=\\sqrt 2e^{i\\pi/12}\\textrm{ et }w=-\\sqrt 2e^{i\\pi/12}.$$\n\nComme les deux calculs donnent le même résultat, en identifiant les parties réelles, on trouve :\n\n$$\\sqrt 2\\cos\\left(\\frac{\\pi}{12}\\right)=\\sqrt{\\frac{\\sqrt{3}+2}2},$$\n\nd'où on tire :\n\n$$\\cos\\left(\\frac{\\pi}{12}\\right)=\\frac{1}{\\sqrt 2}\\sqrt{\\frac{\\sqrt{3}+2}2}=\\frac{\\sqrt 6+\\sqrt 2}4.$$\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Racine carrée puis équation du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Calculer les racines carrées du nombre complexe $1+2\\sqrt 2 i$ sous forme algébrique.\n\n Résoudre dans $\\mathbb C$ l'équation $z^2+iz-\\frac 12-i\\frac{\\sqrt 2}2=0$.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $z=x+iy$ tel que $z^2=1+2\\sqrt 2 i$. Alors en identifiant les parties réelles, les parties imaginaires, et les modules, on trouve que $x$ et $y$ sont solutions du système :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nx^2-y^2&=&1\\\\\n\n2xy&=&2\\sqrt 2\\\\\n\nx^2+y^2&=&3.\n\n\\end{array}\\right .$$\n\nOn trouve facilement que ceci entraîne $2x^2=4$ et donc $x=\\sqrt 2$ ou $x=-\\sqrt 2$. Le premier cas donne $y=1$ et le second $y=-1$. Les racines carrées de $1+2\\sqrt 2 i$ sont donc $\\sqrt 2+i$ et $-\\sqrt 2-i$.\n\n On commence par calculer le discriminant de cette équation du second degré : \n\n$$\\Delta=i^2+4\\left(\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 2}2\\right)=1+2i\\sqrt 2=(\\sqrt 2+i)^2.$$\n\nLes solutions de cette équation sont donc\n\n$$z_1=\\frac{-i+(\\sqrt 2+i)}{2}=\\frac{\\sqrt 2}2\\textrm{ et }z_2=\\frac{-i-(\\sqrt 2+i)}2=-\\frac{\\sqrt 2}2-i.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Équations du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations du second degré suivantes :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ z^2-2iz-1+2i=0&&\\mathbf{2.}\\ iz^2+(4i-3)z+i-5=0\\\\\n\n\\mathbf{3.}\\ z^2-(7+i)z+12+3i=0.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n Le discriminant de cette équation du second degré vaut :\n\n$$\\Delta=(-2i)^2-4(-1+2i)=-8i.$$\n\nUne racine carré de $\\Delta$ est donnée par\n\n$\\delta=i\\times 2\\sqrt 2\\times e^{i\\pi/4}=-2+2i.$ En appliquant les formules du cours, on trouve que les racines sont :\n\n$$\\frac{2i-2+2i}{2}=-1+2i\\textrm{ et }\\frac{2i+2-2i}{2}=1.$$\n\n Le discriminant de cette équation du second degré est :\n\n$$\\Delta=(4i-3)^2-4i(i-5)=-4i-3.$$\n\nOn en cherche une racine carrée sous la forme $\\delta=a+ib$. Calculant $\\delta^2$, et utilisant\n\naussi la relation $$|\\delta^2|=|-4i-3|=5,$$ on trouve le système :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\na^2-b^2&=&-3\\\\\n\n2ab&=&-4\\\\\n\na^2+b^2&=&5\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nOn en déduit que $\\delta=1-2i$ est solution de $\\delta^2=\\Delta$ (l'autre solution\n\nest $-1+2i$). Utilisant les formules du cours, les racines de l'équation initiale sont donc :\n\n$$\\frac{-4i+3+1-2i}{2i}=-3-2i\\textrm{ et }\\frac{-4i+3-1+2i}{2i}=-1-i.$$\n\n Le discriminant de cette équation vaut $(7+i)^2-4(12+3i)=2i$.\n\nUne racine carré de ce discriminant est $1+i$. Les racines de l'équation sont donc :\n\n$$\\frac{7+i-1-i}2=3\\textrm{ et }\\frac{7+i+1+i}{2}=4+i.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Équation un peu abstraite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\alpha$ un nombre complexe non nul. On considère l'équation \n\n$$z^2-\\alpha(\\alpha+i)z+i\\alpha^3=0.$$\n\n\n Déterminer les solutions de cette équation.\n\n Si $\\alpha=\\rho e^{i\\theta}$, donner la forme exponentielle de ces solutions.\n\n",
        "answer": "  \n Calculons le discriminant de cette équation. On a \n\n\\begin{align*}\n\n\\Delta&=\\big(\\alpha(\\alpha+i)\\big)^2-4i\\alpha^3\\\\\n\n&=\\alpha^2 (\\alpha^2+2i\\alpha-1)-4i\\alpha^3\\\\\n\n&=\\alpha^2 (\\alpha^2-2i\\alpha-1)\\\\\n\n&=\\alpha^2 (\\alpha-i)^2\\\\\n\n&=\\big (\\alpha(\\alpha-i)\\big)^2.\n\n\\end{align*}\n\nLes deux solutions de cette équation sont donc \n\n$$z_1=\\frac{\\alpha(\\alpha+i)-\\alpha(\\alpha-i)}{2}=i\\alpha\\textrm{ et }\n\nz_2=\\frac{\\alpha(\\alpha+i)+\\alpha(\\alpha-i)}{2}=\\alpha^2.$$\n\n Très facilement, on a \n\n$$z_1=\\rho e^{i\\left(\\theta+\\frac\\pi 2\\right)}\\textrm{ et }z_2=\\rho^2 e^{2i\\theta}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Degré plus grand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère l'équation $z^3-(3+i)z^2-(2+5i)z+8+14i=0.$\n\n\n Vérifier que $2$ est solution de cette équation.\n\n Déterminer les nombres complexes $a,b,c$ tels que, pour tout $z\\in\\mathbb C$, \n\n$$z^3-(3+i)z^2-(2+5i)z+8+14i=(z-2)(az^2+bz+c).$$\n\n Déterminer les racines carrées de $16+30i$.\n\n En déduire toutes les solutions de l'équation $z^3-(3+i)z^2-(2+5i)z+8+14i=0.$\n\n",
        "answer": "  \n Il s'agit d'une simple vérification...\n\n Procédons par identification. On a \n\n$$(z-2)(az^2+bz+c)=az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c.$$\n\nLes nombres complexes $a$, $b$ et $c$ sont donc solutions du système\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\na&=&1\\\\\n\nb-2a&=&-(3+i)\\\\\n\nc-2b&=&-(2+5i)\\\\\n\n-2c&=&8+14i.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nLa première et la dernière équation donnent $a=1$ et $c=-4-7i$. La deuxième et la troisième donnent ensuite $b=-1-i$.\n\n Soit $z=x+iy$ tel que $z^2=16+30i$. Alors, utilisant la partie réelle, la partie imaginaire et le module de $z^2$, $x$ et $y$ vérifient le système suivant :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nx^2-y^2&=&16\\\\\n\n2xy&=&30\\\\\n\nx^2+y^2&=&\\sqrt{16^2+30^2}=34\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nOn trouve alors $x^2=25$ donc $x=\\pm 5$ puis $y=\\pm 3$, $x$ et $y$ devant être de même signe puisque $2xy>0$. Les racines carrées de $16+30i$ sont donc $5+3i$ et $-5-3i$.\n\n On a $z^3-(3+i)z^2-(2+5i)z+8+14i=0$ si et seulement si $z=2$ ou $z^2-(1+i)z-(4+7i)=0$. Résolvons cette dernière équation. Son discriminant est\n\n$$\\Delta=(1+i)^2+4(4+7i)=16+30i.$$\n\nD'après la question précédente, $\\Delta=(5+3i)^2$. Les racines de cette équation sont donc \n\n$$z_1=\\frac{1+i+5+3i}2=3+2i\\textrm{ et }z_2=\\frac{1+i-5-3i}2=-2-i.$$\n\nFinalement, l'ensemble des solutions de l'équation initiale est $\\mathcal S=\\{2;3+2i;-2-i\\}$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Équation bicarrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Déterminer les racines carrées de $-\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2$ et de $-\\frac 12-i\\frac{\\sqrt 3}2$.\n\n En déduire les solutions de l'équation $z^4+z^2+1=0$.\n\n",
        "answer": "  \n Cherchons d'abord les nombres complexes $z=x+iy$ tels que $z^2=-\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2$. On peut utiliser la méthode usuelle en posant $z=x+iy$ et en remarquant que $z^2=-\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2$ entraîne, en comparant les parties réelles, les parties imaginaires et les modules de chacun des nombres complexes, le système\n\n$$\\left\\{\\begin{array}{rcl}\n\nx^2-y^2&=&-\\frac{1}2\\\\\n\n2xy&=&\\frac{\\sqrt 3}2\\\\\n\nx^2+y^2&=&1\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nLa résolution de ce système donne $2x^2=1/2$ et donc $x=1/2$ ou $x=-1/2$. Si $x=1/2$, alors $y=\\sqrt 3/2$ et si $x=-1/2$, alors $y=-\\sqrt 3/2$. Les deux racines carrées de $-\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2$ sont donc\n\n$$\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\textrm{ et }-\\frac 12-i\\frac{\\sqrt 3}2.$$\n\nOn aurait pu aussi passer par la forme exponentielle : en effet, on peut écrire que \n\n$$-\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2=e^{2i\\pi/3}.$$\n\nSes racines carrées sont donc $e^{i\\pi/3}$ et $-e^{i\\pi/3}$.\n\nEn effectuant le même calcul, on trouve que les racines carrées de $-\\frac 12-i\\frac{\\sqrt 3}2$ sont \n\n$$\\frac 12-i\\frac{\\sqrt 3}2\\textrm{ et }-\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2.$$\n\n Posons $Z=z^2$. L'équation devient $Z^2+Z+1=0$. Son discriminant vaut $\\Delta=-3=(\\sqrt 3 i)^2$ et ses racines sont \n\n$$Z_1=-\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\textrm{ et }Z_2=-\\frac 12-i\\frac{i\\sqrt 3}2.$$\n\nOn trouve les solutions de l'équation initiale en résolvant les équations $z^2=Z_1$ et $z^2=Z_2$, ce qu'on vient de faire. L'ensemble des solutions est donc \n\n$$\\mathcal S=\\left\\{\\frac 12-i\\frac{\\sqrt 3}2; -\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2;\n\n\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2;-\\frac 12-i\\frac{\\sqrt 3}2\\right\\}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Degré plus grand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre  l'équation $4iz^3+2(1+3i)z^2-(5+4i)z+3(1-7i)=0$, sachant qu'elle admet une racine réelle.",
        "answer": "  Soit $x$ une racine réelle, ie $4ix^3+2(1+3i)x^2-(5+4i)x+3(1-7i)=0$. Partie\n\nréelle et partie imaginaire du membre de gauche doivent être nulles, on obtient donc\n\naprès identification :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n2x^2-5x+3&=&0\\\\\n\n4x^3+6x^2-4x-21&=&0.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nIl est facile de résoudre la première équation et de vérifier si on obtient une racine de l'autre équation.\n\nOn trouve que $3/2$ est racine. On factorise alors le polynôme par $z-3/2$, et on trouve (par exemple en procédant par identification) :\n\n$$4iz^3+2(1+3i)z^2-(5+4i)z+3(1-7i)=(z-3/2)\\big(4iz^2+2(1+6i)z+2(-1+7i)\\big).$$\n\nReste à résoudre ensuite l'équation :\n\n$$4iz^2+2(1+6i)z+2(-1+7i)=0$$\n\ndont les solutions sont $-2+\\frac32i$ et $-1-i$.\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Racines $n$-ièmes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes : \n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ z^4=-1&&\\mathbf{2.}\\ z^5=-i.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On écrit $-1=e^{i\\pi}$ puis on utilise le cours :\n\n$$z^4=-1=e^{i\\pi}\\iff z=e^{i\\frac \\pi4+k\\frac{\\pi}2},\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\nOn obtient $4$ racines distinctes correspondant à $k=0,1,2,3$, qui sont $e^{i\\pi/4}$, $e^{i3\\pi/4}$, $e^{5i\\pi/4}$ et $e^{7i\\pi/4}$.\n\n On a $-i=e^{-i\\pi/2}$, et donc\n\n$$z^5=-i=e^{-i\\pi/2}\\iff z= e^{\\frac{2ik\\pi}{5}-\\frac{i\\pi}{10}},\\ k\\in\\mathbb Z;$$\n\non obtient $5$ racines distinctes pour $k=0,\\dots,4$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Racines $n$-ièmes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ z^3=1+i\\sqrt 3&\\quad&\\mathbf{2.}\\ z^6=\\frac{-4}{1+i\\sqrt 3}\\\\\n\n\\mathbf{3.}\\ z^5=\\frac{(1+i\\sqrt 3)^4}{(1+i)^2}.&&\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  C'est du cours!\n\n\n On écrit \n\n$$1+i\\sqrt 3=2\\left(\\frac12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\right)=2e^{i\\pi/3}.$$\n\nIl vient \n\n$$z^3=1+i\\sqrt 3=2e^{i\\pi/3}\\iff z=2^{1/3} e^{i\\left(\\frac\\pi 9+\\frac{2k\\pi}3\\right)},\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\nOn obtient 3 nombres complexes différentes pour $k=0$, $k=1$ et $k=2$ qui sont $2^{1/3}e^{i\\pi/9}$, $2^{1/3}e^{i7\\pi/9}$ et $2^{1/3}e^{i13\\pi/9}$.\n\n On a \n\n$$1+i\\sqrt 3=2\\left(\\frac12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\right)=2e^{i\\pi/3}.$$\n\nOn en déduit que\n\n$$\\frac{-4}{1+i\\sqrt 3}=-2e^{-i\\pi/3}=2e^{2i\\pi/3}.$$\n\nFinalement,\n\n$$z^6=\\frac{-4}{1+i\\sqrt 3}\\iff z=2^{1/6} e^{\\frac{i k\\pi}{3}+\\frac{i\\pi}9},\\ k\\in\\mathbb Z$$\n\n(on peut se restreindre à $k\\in\\{0,\\dots,5\\}$).\n\n On a\n\n$$\\frac{(1+i\\sqrt 3)^4}{(1+i)^2}=\\frac{2^4\\left(\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\right)^4}{2\\left(\\frac1{\\sqrt 2}+i\\frac{1}{\\sqrt 2}\\right)^2}=2^3\\frac{e^{i\\frac{\\pi}3\\times 4}}{e^{i\\frac{\\pi}4\\times 2}}.$$\n\nL'équation qu'on doit résoudre est donc :\n\n$$z^5=2^3e^{i\\frac{5\\pi}6}\\iff \\left(\\frac{z}{2^{3/5}e^{i\\pi/6}}\\right)^5=1.$$\n\nOn en déduit que les solutions sont les complexes de la forme \n\n$$z=2^{3/5}e^{i\\left(\\frac{\\pi}6+\\frac{2k\\pi}{5}\\right)},\\ k\\in\\mathbb Z$$\n\n(on peut se restreindre à $k\\in\\{0,\\dots,4\\}$).\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Presque des racines de l'unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes : \n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ (z-1)^5=(z+1)^5&&\\mathbf{2.}\\ \\left(\\frac{z+1}{z-1}\\right)^3+\\left(\\frac{z-1}{z+1}\\right)^3=0\\\\\n\n\\mathbf{3.}(z+i)^n=(z-i)^n.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n $1$ n'est pas solution, et l'équation est donc équivalente\n\nà $$\\left(\\frac{z+1}{z-1}\\right)^5=1.$$ Posons $w=\\frac{z+1}{z-1}$,\n\nc'est-à-dire $z=\\frac{w+1}{w-1}$. On a $w^5=1$ si et seulement s'il\n\nexiste $k\\in\\{0,\\dots,4\\}$ tel que $w=e^{2ik \\pi/5}$. Si l'on retourne à $z$, on doit exclure \n\n$w=1$ car l'équation $\\frac{z+1}{z-1}=1$ n'admet pas de solutions. \n\nOn a donc 4 solutions qui sont\n\n$$z=\\frac{e^{2ik\\pi/5}+1}{e^{2ik\\pi/5}-1},$$\n\npour $k=1,\\dots,4$.\n\nOn peut encore simplifier en utilisant les formules d'Euler :\n\n$$\\begin{array}{rcl}\\exp \\left(\\frac{2ik\\pi }{5}\\right)+1&=&\\exp \\left(\\frac{2ik\\pi }{5}\\right)+\\exp\n\n\\left(0\\right)\\\\&=&\\exp \\left(\\frac{ik\\pi }{5}\\right)\\left(\\exp \\left(\\frac{ik\\pi }{5}\\right)+\\exp \\left(\\frac{-ik\\pi\n\n}{5}\\right)\\right)\\\\&=&2\\exp \\left(\\frac{ik\\pi}{5}\\right) \\cos(k\\pi/5).\n\n\\end{array}$$\n\nDe même, on trouve\n\n$$\\exp\\left(\\frac{2k\\pi}{5}\\right)-1=2i\\exp \\left(\\frac{ik\\pi}{5}\\right) \\sin(k\\pi/5).$$\n\nL'ensemble des solutions est donc $\\{-i\\textrm{cotan}(k\\pi/5);\\ k=1,\\dots,4\\}$.\n\n Posons $w=\\frac{z+1}{z-1}$. L'équation devient $w^3+\\frac{1}{w^3}=0$,\n\nsoit $w^6=-1=e^{i\\pi}$. Ses\n\nracines sont\n\n$$e^{i\\pi/6+k\\pi/3},\\ k=0,\\dots,5.$$\n\nOn retrouve alors $z$ car $z=\\frac{w+1}{w-1}$. \n\nPour $k=1$ ou $k=4$, on trouve $z=\\pm i$. Pour les autres valeurs de $k$, on trouve\n\n$z=\\pm i(2\\pm \\sqrt 3)$.\n\n Remarquons d'abord que $z=i$ n'est pas solution de l'équation. Ainsi, l'équation est équivalente à \n\n$$\\left(\\frac{z+i}{z-i}\\right)^n=1.$$\n\nCeci est équivalent à dire qu'il existe $k\\in\\{0,\\dots,n-1\\}$ tel que $$\\frac{z+i}{z-i}=\\omega_k,$$\n\nen notant $\\omega_k=e^{2ik\\pi/n}$. Pour $k=0$, $\\omega_k=1$ et l'équation $\\frac{z+i}{z-i}=1$ n'a pas de solutions.\n\nSinon, pour $k=1,\\dots,n-1$, on obtient les solutions\n\n$$z_k=i\\frac{\\omega_k+1}{\\omega_k-1}.$$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Second degré et racines 3-ièmes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Déterminer, sous forme algébrique, les racines carrées du nombre complexe $3-4i$.\n\n Résoudre dans $\\mathbb C$ l'équation $w^2-iw-1+i=0$.\n\n Rappeler quelles sont les racines cubiques (ou racines 3-ièmes) de $1$. \n\n Écrire $-1+i$ sous forme exponentielle.\n\n Résoudre l'équation $z^3=-1+i$ (donner les solutions sous forme exponentielle).\n\n En déduire les solutions de l'équation $z^6-iz^3-1+i=0$.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $z\\in\\mathbb C$ tel que $z^2=3-4i$. Écrivons $z=x+iy$. En développant $(x+iy)^2$ et en écrivant que $|z|^2=|3+4i|=5$, on trouve que $x$ et $y$ sont solutions du système : \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nx^2-y^2&=&3\\\\\n\n2xy&=&-4\\\\\n\nx^2+y^2&=&5.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nLa résolution de ce système donne $x=2$ et $y=-1$ ou $x=-2$ et $y=1$. Les deux racines carrées de $3-4i$ sont donc $2-i$ et $-2+i$.\n\n On peut remarquer que $1$ est solution évidente et donc que $-1 + i$ est l'autre solution.\n\nSinon, on calcule le discriminant de l'équation : $\\Delta=(-i)^2-4(-1+i)=3-4i$, puis $\\Delta =(-2+i)^2$ d'après la question précédente.\n\nLes deux solutions de l'équation sont donc \n\n$$w_1=\\frac{i+2-i}{2}=1\\textrm{ et }w_2=\\frac{-2+2i}{2}=-1+i.$$\n\n Les racines cubiques de $1$ sont $1$, $e^{2i\\pi/3}$ et $e^{4i\\pi/3}$.\n\n On a $|-1+i|=\\sqrt 2$. De plus, \n\n$$-1+i=\\sqrt 2\\left(\\frac{-1}{\\sqrt 2}+\\frac{1}{\\sqrt 2}i\\right)=\\sqrt 2e^{3i\\pi/4}$$\n\npuisque $\\cos(3\\pi/4)=-1/\\sqrt 2$ et $\\sin(3\\pi/4)=1/\\sqrt 2$.\n\n On cherche $z$ sous la forme $z=re^{i\\theta}$. On a $z^3=r^3e^{i3\\theta}=\\sqrt 2e^{3i\\pi/4}$. Une solution particulière est donnée par $z_0=2^{1/6}e^{i\\pi/4}$. \n\nOn trouve toutes les racines cubiques en multipliant par les racines cubiques de $1$, et donc les solutions sont \n\n$$2^{1/6}e^{i\\pi/4},\\ 2^{1/6}e^{i\\pi/4}e^{2i\\pi/3},\\ 2^{1/6}e^{i\\pi/4}e^{4i\\pi/3},$$\n\nce qui après remise au même dénominateur donne \n\n$$2^{1/6}e^{i\\pi/4},\\ 2^{1/6}e^{11i\\pi/12},\\ 2^{1/6}e^{19i\\pi/12}.$$\n\n Soit $z\\in\\mathbb{C}$ et $w=z^3$. Alors $z$ est solution de $z^6-iz^3-1+i=0$ si et seulement si $w$ est solution de $w^2-iw-1+i=0$, et donc si et seulement si $w=1$ ou $w=-1+i$. \n\nOn en déduit, puisqu'on a résolu les équations $z^3=1$ et $z^3=-1+i$, que les solutions de l'équation sont \n\n$$1,\\ e^{2i\\pi/3},\\ e^{4i\\pi/3},\\ 2^{1/6}e^{i\\pi/4},\\ 2^{1/6}e^{11i\\pi/12},\\ 2^{1/6}e^{19i\\pi/12}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Pas tout à fait une racine $n$-ième [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les nombres complexes $z$ solution de l'équation \n\n$$z^6=(1+i)\\overline z^2.$$",
        "answer": "  On remarque d'abord que $z=0$ est solution. Sinon, on pose $z=re^{i\\theta}$, de sorte que $\\bar z=re^{-i\\theta}$. On remarque aussi que $1+i=\\sqrt 2e^{i\\pi/4}$. L'équation est alors équivalente à\n\n$$r^6 e^{i6\\theta}=\\sqrt 2 e^i{\\pi/4} r^2 e^{-2i\\theta}\\iff r^4 e^{i8\\theta}=\\sqrt 2 e^{i\\pi/4}.$$\n\nCeci est équivalent à $r^4=\\sqrt 2$, soit $r=2^{1/8}$, et à \n\n$$8\\theta \\equiv \\frac{\\pi}4\\ [2\\pi].$$\n\nAinsi, il existe $k\\in\\mathbb Z$ tel que \n\n$$8\\theta=\\frac{\\pi}4+2k\\pi\\iff \\theta=\\frac{\\pi}{32}+k\\frac{\\pi}4.$$\n\nAinsi, l'équation admet neuf solutions : \n\n$$\\mathcal S=\\left\\{0,z_0,z_0e^{i\\pi/4},z_0e^{i\\pi/2},z_0e^{3i\\pi/4},z_0e^{i\\pi},z_0e^{i5\\pi/4},z_0e^{i3\\pi/2},z_0e^{i7\\pi/4}\\right\\}$$\n\noù $z_0=2^{1/8}e^{i\\pi/32}$.\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Équation de degré 6 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Donner la forme algébrique des nombres complexes $(-1-i)^3$ et $(1+2i)^3$.\n\n  Donner les racines cubiques des nombres complexes $2-2i$ et $-11-2i$.\n\n  Résoudre l'équation d'inconnue $z\\in\\mathbb C$ : $z^6+(9+4i)z^3-26+18i=0$.\n\n",
        "answer": "  \n D'après la formule du binôme de Newton,\n\n $$(-1-i)^3=(-1)^3+3(-1)^2(-i)+3(-1)(-i)^2+(-i)^3=-1-3i+3+i=2-2i$$\n\n $$(1+2i)^3=1^3+3(2i)^2+3(2i)^2+(2i)^3=1+6i-12-8i=-11-2i.$$\n\n  On cherche à résoudre $z^3=2-2i$. On sait qu'une solution particulière est $-1-i$. On en déduit que \n\n les racines cubiques de $2-2i$ sont $-1-i,(-1-i)e^{i2\\pi/3},(-1-i)e^{i4\\pi/3}$. De même,\n\n puisque $1+2i$ est une solution particulière de $z^3=-11-2i$, les racines cubiques de $-11-2i$ sont\n\n $1+2i,(1+2i)e^{i2\\pi/3},(1+2i)e^{i4\\pi/3}$.\n\n  On pose $w=z^3$ et l'équation devient $w^2+(9+4i)z-26+18i=0$. Son discriminant\n\n vaut $$\\Delta=(9+4i)^2-4(-26+18i)=169=13^2$$\n\n et les racines sont donc \n\n $$w_1=\\frac{-9-4i+13}{2}=2-2i\\textrm{ et }w_2=\\frac{-9-4i-13}2=-11-2i.$$\n\n On a donc prouvé que $z$ est solution de l'équation initiale si et seulement $z^3=w_1$\n\n ou $z^3=w_2$. D'après la question précédente, l'ensemble des solutions de l'équation est\n\n $$\\mathcal S=\\{-1-i,(-1-i)e^{i2\\pi/3},(-1-i)e^{i4\\pi/3},1+2i,(1+2i)e^{i2\\pi/3},(1+2i)e^{i4\\pi/3}\\}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 25  - Variations sur les équations classiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ iz^8+iz^4+1+i=0&&\\mathbf{2.}\\ z^n=\\bar z\\ (n\\geq 2)\\\\\n\n\\mathbf{3.}\\ z^4-z^3+z^2-z+1=0&& \\mathbf{4.}\\ 1+2z+\\dots+2z^{n-1}+z^n=0\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On commence par poser $u=z^4$, et l'équation devient $iu^2+iu+1+i=0$. Son discriminant est\n\n$$\\Delta=-1-4i(1+i)=3-4i.$$\n\nOn cherche une racine carrée $\\delta$ de $\\Delta$ en posant $\\delta=a+ib$, en utilisant $\\delta^2=\\Delta$\n\net $|\\delta|^2=|\\Delta|=5$, et on trouve qu'une des deux racines est $\\delta=2-i$. Les racines de l'équation\n\n$iu^2+iu+1=0$ sont donc les complexes\n\n$$u_1=\\frac{-i-2+i}{2i}=i\\textrm{ et }u_2=\\frac{-i+2-i}{2i}=-1-i.$$\n\nReste à résoudre les équations $z^4=u_1$ et $z^4=u_2$. Pour cela, on pose \n\n$z=re^{i\\theta}$ et on remarque que $u_1=e^{i\\pi/2}$ et que\n\n$u_2=\\sqrt 2 e^{i5\\pi/4}$. On en déduit\n\n$$z^4=e^{i\\pi/2}\\iff z=e^{i\\pi/8+k\\pi/2},\\ k=0,\\dots,3;$$\n\n$$z^4=\\sqrt 2 e^{i5\\pi/4}\\iff z=2^{1/8}e^{i5\\pi/16+k\\pi/2},\\ k=0,\\dots,3.$$\n\n Remarquons d'abord que $z=0$ convient. Supposons désormais $z\\ne 0$. Puisque $|z|=|\\overline z|$, on a $|z|^{n-1}=1$ et donc $|z|=1$. On peut donc poser $z=e^{i\\theta}$\n\net l'équation devient\n\n$$e^{in\\theta}=e^{-i\\theta}\\iff e^{i(n+1)\\theta}=1\\iff \\theta=2k\\pi/(n+1),\\ k\\in\\{0,\\dots,n\\}.$$\n\n Remarquons que $z=-1$ n'est pas racine de l'équation. On reconnait alors le début de la somme géométrique de raison $-z$.\n\nL'équation est donc équivalente à \n\n$$\\frac{1-(-z)^5}{1+z}=0\\iff z^5=-1=e^{i\\pi}.$$\n\nLes solutions de cette dernière équation sont les complexes de la forme $e^{i\\frac{(1+2k)\\pi}{5}}$, $k=0,\\dots,4$ mais il faut faire attention que pour $k=2$, on retrouve $-1$, valeur interdite! Les solutions de l'équation initiale sont donc les quatre nombres complexes $e^{i\\pi/5}$, $e^{3i\\pi/5}$, $e^{7i\\pi/5}$, $e^{9i\\pi/5}$.\n\n On commence par écrire :\n\n$$1+2z+\\dots+2z^{n-1}+z^n=(1+z+\\dots+z^{n-1})+(z+\\dots+z^n).$$\n\nOn reconnait deux sommes géométriques de raison $z$. Comme $z=1$ n'est pas solution de l'équation, celle-ci est équivalente à \n\n$$\\frac{1-z^n}{1-z}+\\frac{z-z^{n+1}}{1-z}=0\\iff 1-z^n+z-z^{n+1}=0\\iff (1+z)(1-z^n)=0.$$\n\nLes solutions sont donc $z=-1$ et les racines $n$-ièmes de l'unité, excepté $1$. Autrement dit, \n\n$-1$ et $e^{2ik\\pi/n}$, $k=1,\\dots,n-1$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 26  - Somme et puissances de racines $n$-iemes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 1$ et $\\omega=e^{2i\\pi/n}$.\n\n\n Calculer le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.\n\n Soit $p\\geq 0$. Calculer $\\sum_{k=0}^{n-1}\\omega^{kp}$.\n\n En déduire que $\\sum_{k=0}^{n-1}(1+\\omega^k)^n =2n$.\n\n",
        "answer": "  \n Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les complexes $\\omega^k$,\n\navec $k=0,\\dots,n-1$. Leur produit vaut donc :\n\n$$\\prod_{k=0}^{n-1}\\omega^k=\\omega^{\\sum_{k=0}^{n-1}k}=\\omega^{n(n-1)/2}=e^{i\\pi(n-1)}=(-1)^{n-1}$$\n\n(résultat qu'on vérifie facilement pour $n=1,2,3,4$).\n\n On a ici une somme géométrique de raison $\\omega^p$. Si $p$ est un multiple de $n$, \n\nla raison est donc égale à 1, et la somme fait $n$. Sinon, on a\n\n$$\\sum_{k=0}^{n-1}\\omega^{kp}=\\frac{1-\\omega^{np}}{1-\\omega^p}=0$$\n\npuisque $\\omega^n=1$.\n\n On développe la puissance à l'intérieur de la somme en utilisant la formule du binôme de Newton, et on trouve :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^{n-1}(1+\\omega^k)^n&=&\\sum_{k=0}^{n-1}\\sum_{p=0}^n \\binom{n}{p}\\omega^{kp}\\\\\n\n&=&\\sum_{p=0}^n \\binom{n}{p} \\sum_{k=0}^{n-1}\\omega^{kp}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn utilise le résultat de la question précédente : la somme $\\sum_{k=0}^{n-1}\\omega^{kp}$ est nulle, sauf si $p=0$ ou si $p=n$. Dans ce cas, cette somme fait $n$. On en déduit que \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^{n-1}(1+\\omega^k)^n&=&\\binom n0 n+\\binom nn n=n+n=2n.\n\n\\end{eqnarray*}\n"
    },
    {
        "question": " 1  - Placer des points [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n On considère le nombre complexe $z=3-2i$. Placer dans le plan complexe les points $A,B,C,D$ d'affixes respectives $z$, $\\bar z$, $-z$ et $-\\bar z$.\n\n Placer dans le plan complexe les points $E,F,G,H$ d'affixes respectives\n\n$$z_E=2e^{i\\pi/3},\\ z_F=-e^{i\\pi/6},\\ z_G=-z_E\\times z_F,\\ z_H=\\frac{-z_F}{z_E}.$$\n\n",
        "answer": "  \n On peut placer $B$, $C$ et $D$ en calculant leurs affixes sous forme algébrique ou en utilisant les propriétés de symétrie par rapport à l'axe des abscisses (passage au conjugué) ou par rapport à l'origine (multiplication par $-1$). On trouve\n\n\n Puisque $|z_E|=2$ et qu'un argument de $E$ est $\\pi/3$, on a $OE=2$ et $(\\vec i,\\overrightarrow{OE})=\\pi/3\\ [2\\pi]$. Pour placer $F$, on peut d'abord placer $F'$ d'affixe $e^{i\\pi/6}$ puis procéder par symétrie par rapport à l'origine. Pour placer $G$ et $H$, on calcule\n\n$$z_G=2e^{i\\pi/3}e^{i\\pi/6}=2e^{i\\pi/2}=2i$$\n\n$$z_H=\\frac{1}2 e^{i\\pi/6}e^{-i\\pi/3}=\\frac 12 e^{-i\\pi/6}$$\n\npuis on procède comme précédemment.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  -  [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Le point $M$ de la figure ci-dessous à pour affixe $z$. Reproduire la figure et tracer :\n\n\n en vert l'ensemble des points dont l'affixe non nulle $z'$ est telle que \n\n$$\\arg(z')=\\arg(z)+\\frac\\pi 2\\ [2\\pi].$$\n\n en bleu l'ensemble des points dont l'affixe non nulle $z'$ est telle que \n\n$$|z'|=2|z|.$$\n\n en noir l'ensemble des points dont l'affixe non nulle $z'$ est telle que\n\n$$\\arg(z')=\\arg(z)\\ [\\pi].$$\n\n en rouge l'ensemble des points dont l'affixe non nulle $z'$ est telle que \n\n$$\\arg(z')=\\arg(z)+\\arg(\\bar z)\\ [2\\pi].$$\n\n\n",
        "answer": "  \n On trace $M'$ l'image de $M$ par la rotation d'angle $\\pi/2$. L'ensemble recherché est la demi-droite $(OM')$.\n\n Il s'agit du cercle de centre $O$ et de rayon $2OM$.\n\n Il s'agit de la droite $(OM)$, excepté le point $O$ (droite et non demi-droite car l'égalité est modulo $\\pi$ et non modulo $2\\pi$).\n\n On a $\\arg(z)+\\arg(\\bar z)=0\\ [2\\pi]$ et donc l'ensemble recherché est la demi-droite $(O,\\vec i)$.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Configuration simple [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\\vec u,\\vec v)$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $a=-1+i$, $b=-1-i$, $c=2i$ et $d=2-2i$.\n\n\n Placer ces points.\n\n Calculer $\\frac{c-a}{d-a}$ et en déduire la nature du triangle $ACD$.\n\n Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.\n\n",
        "answer": "  \n\n\n On a \n\n$$\\frac{c-a}{d-a}=\\frac{1+i}{3-3i}=\\frac{(1+i)(3+3i)}{(3-3i)(3+3i)}=\\frac{6i}{18}=\\frac 13 i.$$\n\nOn en déduit que $|c-a|=\\frac{1}3|d-a|$ et donc que $AD=3AC$, puis que \n\n$$\\arg\\left(\\frac{c-a}{d-a}\\right)=\\frac\\pi2\\ [2\\pi]\\iff (\\overrightarrow{AD},\\overrightarrow{AC})=\\frac{\\pi}2\\ [2\\pi].$$\n\nAinsi, le triangle $ACD$ est un triangle rectangle (non isocèle) en $A$.\n\n Soit $I$ le point d'affixe $1$. Alors on a :\n\n$$IA=|-2+i|=\\sqrt 5,\\ IB=|-2-i|=\\sqrt 5,\\ IC=|2i-1|=\\sqrt 5,\\ ID=|1-2i|=\\sqrt 5.$$\n\nLes points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont donc sur le cercle de centre $I$ et de rayon $\\sqrt 5$. Bien entendu, le choix de $I$ était guidé par la figure géométrique.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Écriture complexe de transformations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations géométriques données par l'écriture complexe suivante :\n\n$$\\begin{array}{ll}\n\n\\mathbf 1.\\ z\\mapsto \\frac 1iz&\\mathbf 2.\\ z\\mapsto z+(2+i)\\\\\n\n\\mathbf 3.\\ z\\mapsto (1+i\\sqrt 3)z+\\sqrt 3(1-i)&\\mathbf 4.\\ z\\mapsto (1+i\\tan\\alpha )z-i\\tan\\alpha,\\ \\alpha\\in [0,\\pi/2[.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On écrit $\\frac 1iz=e^{-i\\pi/2}z$, et on remarque que l'on a affaire à une rotation d'angle $-\\pi/2$.\n\n On a ici l'écriture d'une translation de vecteur $(2,1)$.\n\n L'application de la forme $z\\mapsto az+b$ est une similitude directe. Cherchons son centre qui est le point invariant,\n\nc'est-à-dire le point vérifiant $z=(1+i\\sqrt 3)z+\\sqrt 3(1-i)$. On trouve $z=1+i$, le centre de la similitude est donc le\n\npoint $A(1,1)$. On a de plus\n\n$$1+i\\sqrt 3=2\\left(\\frac12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\right)=2e^{i\\pi/3}.$$\n\nLe rapport de la similitude est donc égal à 2, et l'angle à $\\pi/3$.\n\n Si $\\alpha=0$, la transformation est simplement l'identité. Sinon, on a affaire à une similitude directe. Son point invariant est le nombre complexe $z$ solution de l'équation \n\n$$z=(1+i\\tan \\alpha)z-i\\tan \\alpha\\iff z=1.$$\n\nLe centre de la similitude est donc le point $A(1,0)$. De plus, on a \n\n$$1+i\\tan\\alpha=\\frac 1{\\cos\\alpha}\\times(\\cos \\alpha+i\\sin\\alpha)=\\frac1{\\cos\\alpha}e^{i\\alpha}.$$\n\nAinsi, la similitude est de rapport $\\frac 1{\\cos\\alpha}$ et d'angle $\\alpha$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Maximum du produit des distances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dans le plan complexe, on considère les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixe respective $1,$ $-1$, $i$ et $-i.$ On note $\\mathcal C$ le cercle unité, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes de module 1. Si $M$ est un point de $\\mathcal C,$ on note $p(M)$ le produit des distances de $M$ aux points $A,B,C,D$ :\n\n$$p(M)=MA\\times MB\\times MC\\times MD.$$\n\nDéterminer le maximum de $p(M)$ lorsque $M$ décrit $\\mathcal C.$",
        "answer": "  On a $AM=|z-1|,$ $BM=|z+1|,$ $CM=|z-i|$ et $DM=|z+i|.$ Alors \n\n\\begin{align*}\n\np(M)&=|z-1|\\times |z+1|\\times |z-i|\\times |z+i|\\\\\n\n&=|z^2-1|\\times |z^2+1|\\\\\n\n&=|z^4-1|.\n\n\\end{align*}\n\nPar l'inégalité triangulaire,\n\n$$p(M)\\leq |z^4|+1=|z|^4+1=2.$$\n\nAinsi, $p(M)\\leq 2.$ De plus, si $M$ est le point d'affixe $e^{i\\pi/4},$\n\nalors \n\n$$p(M)=|e^{i\\pi}-1|=|-2|=2.$$\n\nAinsi, le maximum de $p$ sur $\\mathcal C$ est $2$.\n"
    },
    {
        "question": " 6  - A partir des racines $n$-ièmes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $a$ un nombre complexe de module 1, $z_1,\\dots,z_n$ les racines de l'équation $z^n=a$. Montrer que les points du plan complexe dont\n\nles affixes sont $(1+z_1)^n,\\dots,(1+z_n)^n$ sont alignés.",
        "answer": "  Posons $a=e^{i\\theta}$. Alors les racines de $z^n=a$ sont données par $z_k=e^{i(2k\\pi+\\theta)/n}$, $k=0,\\dots,n-1$. \n\nFactorisant par l'angle moitié et utilisant les formules d'Euler, on a \n\n$$1+z_k=2\\cos\\left(\\frac{2k\\pi+\\theta}{2n}\\right)e^{i(2k\\pi+\\theta)/2n}$$\n\nsoit\n\n$$(1+z_k)^n=2^n \\cos^n \\left(\\frac{2k\\pi+\\theta}{2n}\\right)e^{i(2k\\pi+\\theta)/2}=2^n \\cos^n \\left(\\frac{2k\\pi+\\theta}{2n}\\right)e^{i(k\\pi+\\theta/2)}.$$\n\nTous les points d'affixe $(1+z_k)^n$ sont donc situés sur la droite qui fait un angle $\\theta/2$ avec l'axe des abscisses. Ainsi, ils sont alignés.\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Triangle équilatéral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé  Montrer que le triangle de sommets $M_1(z_1)$, $M_2(z_2)$ et $M_3(z_3)$ est équilatéral si et seulement si \n\n$$z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3.$$",
        "answer": "  Le triangle est équilatéral si et seulement si \n\n$$z_3-z_1=e^{i\\pi/3}(z_2-z_1)\\textrm{ ou }z_3-z_1=e^{-i\\pi/3}(z_2-z_1),$$\n\nc'est-à-dire si et seulement si \n\n$$z_3-(1-e^{i\\pi/3})z_1-e^{i\\pi/3}z_2=0\\textrm{ ou }z_3-(1-e^{-i\\pi/3})z_1-e^{-i\\pi/3}z_2=0.$$\n\nCeci est encore équivalent à dire que le produit de ces deux quantités est nul, c'est-à-dire à \n\n$$(z_3-(1-e^{i\\pi/3})z_1-e^{i\\pi/3}z_2)(z_3-(1-e^{-i\\pi/3})z_1-e^{-i\\pi/3}z_2)=0.$$\n\nEn développant ce produit, on trouve exactement la condition demandée.\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Une condition d'alignement sur les affixes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ trois points du plan complexe. Démontrer que $A,\\ B$ et $C$ sont alignés si et seulement si \n\n$$a\\bar b+b\\bar c+c\\bar a\\in\\mathbb R.$$",
        "answer": "  On peut supposer que les 3 points sont distincts deux à deux (sinon la relation est trivialement vérifiée). Dire que $A$, $B$ et $C$ sont alignés signifie qu'il existe un réel \n\n$\\lambda$ tel que $\\overrightarrow{AC}=\\lambda\\overrightarrow{AB}.$ Autrement dit, avec les notations précédents, $A,$ $B$ et $C$ sont alignés si et seulement \n\nil existe un réel $\\lambda$ tel que $c-a=\\lambda(b-a)$ c'est-à-dire si et seulement si $(b-a)/(c-a)\\in\\mathbb R.$ On va prouver que la condition de l'énoncé est équivalente à celle-ci. Écrivons $b=a+u$ et $c=a+v$ avec $u,v\\in\\mathbb C.$ On a alors\n\n\\begin{align*}\n\na\\bar b&=|a|^2+a\\bar u\\\\\n\nb\\bar c&=|a|^2+\\bar a u+a\\bar v+u\\bar v\\\\\n\nc\\bar a&=|a|^2+\\bar a v\n\n\\end{align*}\n\nFinalement, utilisant $z+\\bar z=2\\Re e(z),$ on trouve \n\n$$a\\bar b+b\\bar c+c\\bar a=3|a|^2+2\\Re e(a\\bar u+a\\bar v)+u\\bar v.$$\n\nAinsi,\n\n$$a\\bar b+b\\bar c+c\\bar a\\in\\mathbb R\\iff u\\bar v\\in\\mathbb R\\iff (b-a)\\overline{(c-a)}\\in\\mathbb R.$$\n\nMais en utilisant par exemple que \n\n\\begin{align*}\n\n\\textrm{arg}\\left((b-a)\\overline{(c-a)}\\right)&=\\textrm{arg}(b-a)+\\textrm{arg}(\\overline{c-a})\\ [2\\pi]\\\\\n\n&=\\textrm{arg}(b-a)-\\textrm{arg}(c-a)\\ [2\\pi]\\\\\n\n&=\\textrm{arg}\\left(\\frac{b-a}{c-a}\\right)\\ [2\\pi]\n\n\\end{align*}\n\non conclut que c'est équivalent à $(b-a)/(c-a)\\in\\mathbb R$ et donc à l'alignement des 3 points.\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Lieux géométriques et module [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer le lieu géométrique des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie\n\n$$\n\n\\begin{array}{ll}\n\n\\mathbf{1.}\\ |z-i|=|z+i|&\n\n\\mathbf{2.}\\ \\displaystyle \\frac{|z-3+i|}{|z+5-2i|}=1\\\\\n\n\\mathbf{3.}\\ |(1+i)z-2i|=2&\n\n\\mathbf{4.}\\ \\displaystyle \\ |3+iz|=|3-iz|\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n Soit $A$ le point d'affixe $i$, $B$ le point d'affixe $-i$, \n\net $M$ le point d'affixe $z$. Alors $|z-i|$ est la longueur $AM$, $|z+i|$ est la longueur $BM$,\n\net la condition recherchée est $AM=BM$, c'est-à-dire $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$,\n\nsoit encore $M$ sur l'axe réel, soit $z$ réel.\n\n $z=-5+2i$ n'est pas solution et l'équation est équivalente à $|z-3+i|=|z+5-2i|$ soit encore $|z-(3-i)|=|z-(-5+2i)|$.  Autrement dit, le point $M$ d'affixe $z$ est à égale distance du point $A$ d'affixe $3-i$ et du point $B$ d'affixe $-5+2i$. L'ensemble des points recherché est donc la médiatrice de $[AB]$.\n\n Factorisons par $1+i$ dans le module. On trouve :\n\n$$|1+i|\\left|z-\\frac{2i}{1+i}\\right|=2.$$\n\nPuisque $|1+i|=\\sqrt 2$ et \n\n$\\frac{2i}{1+i}=1+i,$ ceci est équivalent à \n\n$$\\left|z-\\big(1+i\\big)\\right|=\\sqrt 2.$$\n\nAinsi, l'ensemble des points $M$ correspondants est le cercle\n\nde centre le point $A(1,1)$ et de rayon $\\sqrt 2$.\n\n On a $3+iz=i(-3i+z)$ et $3-iz=-i(3i+z)$ et donc l'équation est équivalente à $|z-3i|=|z-(-3i)|$. Autrement dit, le point $M$ d'affixe $z$ est à égale distance du point $A$ d'affixe $3i$ et du point $B$ d'affixe $-3i$. Le point $M$ est donc sur la médiatrice de $[AB]$ c'est-à-dire sur l'axe des abscisses.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Lieu géométrique et arguments [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\\vec u,\\vec v)$. Déterminer l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie la relation demandée :\n\n$$\n\n\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ \\arg(z-2)=\\frac{\\pi}2\\ [2\\pi]&\n\n\\mathbf{2.}\\ \\arg(z-2)=\\frac{\\pi}2\\ [\\pi]&\n\n\\mathbf{3.}\\ \\arg(iz)=\\frac{\\pi}{4}\\ [\\pi]\\\\\n\n\\mathbf{4.}\\ \\arg\\left(\\frac{z}{1+i}\\right)=\\frac{\\pi}2\\ [2\\pi]&\n\n\\mathbf{5.}\\ \\arg\\left(\\frac{z-2i}{z-1+i}\\right)=\\frac{\\pi}2\\ [\\pi]\n\n\\end{array}\n\n$$",
        "answer": "  \n Soit $A$ le point d'affixe $2$. Alors \n\n$$\\arg(z-2)=\\frac{\\pi}2\\ [2\\pi]\\iff (\\vec u,\\overrightarrow{AM})=\\frac\\pi2\\ [2\\pi].$$\n\nL'ensemble recherché est donc la demi-droite passant par $A$ et dirigée par $\\vec v$, sauf le point $A$.\n\n On a\n\n$$\\arg(z-2)=\\frac{\\pi}2\\ [\\pi]\\iff (\\vec u,\\overrightarrow{AM})=\\frac\\pi2\\ [\\pi].$$\n\nL'ensemble recherché est donc la droite passant par $A$ et parallèle à l'axe des ordonnées, sauf le point $A$.\n\n On a $\\arg(iz)=\\arg(i)+\\arg(z)=\\frac{\\pi}2+\\arg(z)\\ [2\\pi]$. On a donc\n\n$$\\arg(iz)=\\frac{\\pi}4\\ [\\pi]\\iff \\arg(z)=-\\frac{\\pi}4\\ [\\pi].$$\n\nL'ensemble recherché est donc la droite $y=-x$, sauf l'origine du repère.\n\n On a \n\n\\begin{align*}\n\n\\arg\\left(\\frac{z}{1+i}\\right)&=\\arg(z)-\\arg(1+i)\\ [2\\pi]\\\\\n\n&=\\arg(z)-\\frac{\\pi}4\\ [2\\pi].\n\n\\end{align*}\n\nOn en déduit que \n\n$$\\arg\\left(\\frac{z}{1+i}\\right)=\\frac{\\pi}2\\ [2\\pi]\\iff \\arg(z)=\\frac{3\\pi}4\\ [2\\pi].$$\n\nSoit $B$ un point tel que $(\\vec u,\\overrightarrow{OB})=\\frac{3\\pi}4,$ par exemple le point d'affixe $-1+i$. Alors l'ensemble recherché est la demi-droite $[OB)$, sauf le point $O$.\n\n Soit $C$ le point d'affixe $2i$ et $D$ le point d'affixe $1-i$. Alors\n\n$$\\arg\\left(\\frac{z-2i}{z-1+i}\\right)=\\arg\\left(\\frac{z-2i}{z-(1-i)}\\right)=(\\overrightarrow{MD},\\overrightarrow{MC})\\ [2\\pi].$$\n\nOn a donc \n\n$$\\arg\\left(\\frac{z-2i}{z-1+i}\\right)=\\frac{\\pi}2\\ [\\pi]\\iff (\\overrightarrow{MD},\\overrightarrow{MC})=\\frac\\pi2\\ [\\pi].$$\n\nL'ensemble recherché est donc le cercle de diamètre $[CD]$, sauf les points $C$ et $D$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Lieu géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décrire les points $M$ d'affiche $z\\neq -5+3i$ tels que \n\n\n $\\displaystyle \\frac{z-1+i}{z+5-3i}$ est un réel;\n\n $\\displaystyle \\frac{z-1+i}{z+5-3i}$ est un imaginaire pur.\n\n",
        "answer": "  Notons $M$ le point d'affixe $z$, $A$ le point d'affixe $1-i$ et $B$ le point d'affixe $-5+3i$, de sorte que \n\n$$\\textrm{arg}\\left(\\frac{z-1+i}{z+5-3i}\\right)=(\\overrightarrow{MA},\\overrightarrow{MB})\\ [2\\pi].$$\n\n\n Un nombre complexe (non-nul) est réel si et seulement si son argument est égal à $0$ modulo $2\\pi$. Ainsi, $\\displaystyle \\frac{z-1+i}{z+5-3i}$ est un réel si et seulement si $M=A$ ou bien \n\n$$(\\overrightarrow{MA},\\overrightarrow{MB})=0\\ [\\pi].$$\n\nCeci est équivalent au fait de dire que $M$ est sur la droite $(AB)$, sauf en $B$.\n\n Un nombre complexe (non nul) est imaginaire pur si et seulement si son argument est égal à $\\pi/2$ modulo $2\\pi$. Ainsi, $\\displaystyle \\frac{z-1+i}{z+5-3i}$ est un imaginaire si et seulement si $M=A$ ou bien \n\n$$(\\overrightarrow{MA},\\overrightarrow{MB})=\\frac\\pi 2\\ [\\pi].$$\n\nCeci est équivalent au fait de dire que $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$, sauf en $B$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Image par une transformation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O,\\vec u,\\vec v)$, on associe à tout point $M$ d'affixe $z$ le point $M'$ d'affixe $z'=\\frac 12\\left(z+\\frac 1z\\right)$. On dit que $M'$ est l'image de $M$ par la transformation $z\\mapsto \\frac 12\\left(z+\\frac 1z\\right)$.\n\n\n Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M=M'$.\n\n Démontrer que, lorsque $M$ décrit le cercle $\\Gamma$ de centre $O$ et de rayon $1$, alors $M'$ décrit un segment que l'on précisera.\n\n",
        "answer": "  \n Si $M'=M$, on doit avoir \n\n$$\\frac 12\\left(z+\\frac 1z\\right)=z.$$\n\nCeci est équivalent à $\\frac 1z=z$, c'est-à-dire à $z^2=1$, ou alors $z=1$ et $z=-1$. Ceci nous donne deux points invariants, le point $A$ d'affixe $1$ et le point $B$ d'affixe $-1$\n\n Remarquons d'abord que $A$ et $B$ sont dans l'image de $\\Gamma$. Prenons ensuite $z\\in\\Gamma$. Puisque $|z|=1$, on sait que $\\frac 1z=\\bar z$ (on peut redémontrer ceci en utilisant la forme exponentielle de $z$ par exemple). On a alors \n\n$$\\frac 12\\left(z+\\frac 1z\\right)=\\frac 12 (2\\Re e(z))=\\Re e(z).$$\n\nAinsi, $M'$ appartient au segment $[AB]$.\n\nRéciproquement, soit $N$ un point du segment $[AB]$. Alors l'affixe de $N$ est un réel $x\\in [-1,1]$. Soit $M$ un point du cercle unité dont l'affixe a pour partie réelle $x$ (il y a deux points ainsi). Alors l'image $M'$ de $M$ est $N$. Tous les points du segment sont donc décrits.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Lieux géométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour chacune des conditions suivantes, déterminer le lieu géométrique des points $M$ d'affixe $z$ qui vérifient la condition.\n\n\n $I(i)$ et $M'(iz)$ sont alignés avec $M$; déterminer alors l'ensemble des points $M'$ correspondants;\n\n $\\displaystyle \\Re e\\left(\\frac{z-1}{z-i}\\right)=0$;\n\n $M$, $P$ d'affixe $z^2$ et $Q$ d'affixe $z^3$ sont les sommets d'un triangle rectangle.\n\n",
        "answer": "  \n On sait que les points $I$, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si\n\n$$(\\vec{IM},\\vec{IM'})=0[\\pi] \\textrm{ ou }M=I\\textrm{ ou }M'=I\\textrm{ ou }M=M'.$$\n\nEn termes de nombres complexes, ceci se traduit par\n\n$$\\arg\\left(\\frac{iz-i}{z-i}\\right)=0\\ [\\pi]\\textrm{ ou }z=i\\textrm{ ou }iz=i\\textrm{ ou }iz=z.$$\n\nIntroduisons le point $A$ d'affixe $1$. Alors, ceci devient \n\n$$\\frac\\pi2+\\arg\\left(\\frac{z-1}{z-i}\\right)=0\\ [\\pi]\\textrm{ ou }M=I\\textrm{ ou }M=A\\textrm{ ou }M=O$$\n\n$$\\iff (\\vec{IM},\\vec{AM})=-\\frac{\\pi}2\\ [\\pi]\\textrm{ ou }M=I\\textrm{ ou }M=A\\textrm{ ou }M=O$$\n\n$$\\iff (IM)\\perp (AM)\\textrm{ ou }M=I\\textrm{ ou }M=A\\textrm{ ou }M=O.$$\n\nLes points $M$ solutions sont donc les points du cercle de diamètre $[AI]$ ($O$ étant également un point de ce cercle). Puisque $M'$ est image de $M$ par rotation de centre\n\n$O$ et d'angle $\\pi/2$, les points $M'$ correspondants sont sur l'image de ce cercle par cette rotation.\n\n Notons $A$ d'affixe $1$ et $I$ d'affixe $i$. La question s'écrit encore \n\n$$\\frac{z-1}{z-i}=ia,\\ \\textrm{avec}\\ a\\in\\mathbb R,$$\n\nc'est-à-dire que les vecteurs $\\overrightarrow{AM}$ et $\\overrightarrow{IM}$ sont orthogonaux.\n\nAutrement dit, la condition est vérifiée si et seulement si $M$ appartient au cercle de diamètre $[AI]$, excepté $I$ (on doit\n\navoir $z\\neq i$ pour définir le quotient).\n\n On va d'abord supposer que $z\\neq 0,1,-1$ pour que les trois points $M,P,Q$ soient distincts et qu'on soit sûr d'avoir affaire\n\nà un vrai triangle. On va utiliser la condition suivante : soit $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$. Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si\n\n$$\\exists m\\in\\mathbb R,\\ \\frac{c-a}{b-a}=mi\\iff \\Re e\\left(\\frac{c-a}{b-a}\\right)=0.$$\n\nOn distingue alors trois cas :\n\n\n le triangle est rectangle en $M$. Ceci est équivalent à \n\n$$\\Re e\\left(\\frac{z^3-z}{z^2-z}\\right)=0\\iff \\Re e(z+1)=0\\iff \\Re e(z)=-1.$$\n\nLes points $M$ solutions sont alors ceux de la droite d'équation $x=-1$.\n\n le triangle est rectangle en $P$. Ceci est équivalent à \n\n$$\\Re e\\left(\\frac{z^3-z^2}{z-z^2}\\right)=0\\iff \\Re e(z)=0.$$\n\nLes points $M$ solutions sont alors ceux de la droite d'équation $x=0$.\n\n le triangle est rectangle en $Q$. Ceci est équivalent à \n\n$$\\Re e\\left(\\frac{z-z^3}{z^2-z^3}\\right)=0\\iff \\Re e\\left(\\frac{z+1}z\\right)=0.$$\n\nNotons $D$ d'affixe -1 et $O$ d'affixe $0$. On obtient que les droites $(DM)$ et $(OM)$ sont orthogonales,\n\nc'est-à-dire que $M$ décrit le cercle de diamètre $[OD]$.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Alignement de puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Trouver tous les nombres complexes $z$ tels que les points d'affixe $z$, $z^2$ et $z^4$ soient alignés.",
        "answer": "  On commence par étudier les cas où deux de ces points sont confondus. L'équation $z=z^2$ a pour solution $z=1$ et $z=0$.\n\nL'équation $z=z^4$ a pour solutions $z=0$ et $z=1,j,j^2$. L'équation $z^2=z^4$ a pour solutions $z=0,1,-1$. On suppose désormais que \n\n$z$ est différent des nombres précédemment trouvés, et on remarque que les points sont alignés si et seulement si \n\n$$\\arg\\left(\\frac{z^4-z}{z^2-z}\\right)=0\\ [\\pi]\\iff \\frac{z^4-z}{z^2-z}\\in\\mathbb R.$$\n\nOr, en notant $z=x+iy$, on a \n\n$$\\frac{z^4-z}{z^2-z}=\\frac{z(z-1)(z^2+z+1)}{z(z-1)}=z^2+z+1=(x^2-y^2+x+1)+iy(2x+1).$$\n\nAinsi, on en déduit que, dans ce cas, les points $z$, $z^2$ et $z^4$ sont alignés si et seulement si \n\n$y=0$ ou $x=-1/2$, c'est-à-dire si et seulement si $z$ est réel ou sa partie réelle vaut $-1/2$. Remarquons que l'on retrouve les solutions précédentes, $0$, $1$, $-1$, $j$ et $j^2$.\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Parallélogramme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ du plan complexe ont pour affixes respectives $a$, $b$, $c$ et $d$. On note $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$.\n\n\n Calculer les affixes des points $I$, $J$, $K$ et $L$.\n\n En déduire que $IJKL$ est un parallélogramme.\n\n",
        "answer": "  \n C'est du cours. Les affixes respectives de $I$, $J$, $K$ et $L$ sont \n\n$(a+b)/2$, $(b+c)/2$, $(c+d)/2$, $(d+a)/2$.\n\n Le vecteur $\\overrightarrow{IJ}$ a pour affixe \n\n$$\\frac{b+c}2-\\frac{a+b}2=\\frac{c-a}2.$$\n\nLe vecteur $\\overrightarrow{LK}$ a pour affixe\n\n$$\\frac{c+d}2-\\frac{a+d}2=\\frac{c-a}2.$$\n\nAinsi, on a $\\overrightarrow{IJ}=\\overrightarrow{LK}$ et donc $IJKL$ est un parallélogramme.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Les huit carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit la figure suivante : \n\n\n\nLe but de l'exercice est de démontrer que $\\alpha+\\beta+\\gamma=\\frac{\\pi}{4}\\ [2\\pi]$. On se place dans le repère orthonormé direct $(A,\\vec u,\\vec v)$ où $\\vec u=\\overrightarrow{AB}$ et $\\vec v=\\overrightarrow{AD}$.\n\n\n Reproduire la figure et placer les points $E$ et $F$ sur $[DZ]$ tels que\n\n$\\beta$ et $\\gamma$ soient des mesures respectives de $(\\vec u,\\overrightarrow{AE})$ et $(\\vec u,\\overrightarrow{AF})$. \n\n Quelles sont les affixes $z_Z,$ $z_E$ et $z_F$ des points $Z$, $E$ et $F$?\n\n Démontrer que $z_Z\\times z_E\\times z_F=65(1+i)$.\n\n Conclure.\n\n",
        "answer": "  \n Ces points s'obtiennent par translation (rappelons qu'une translation préserve les angles orientés). On obtient : \n\n\n On a $z_Z=8+i$, $z_E=5+i$ et $z_F=2+i$.\n\n On a $z_Z\\times z_E=39+13i$, puis \n\n$$z_Z\\times z_E\\times z_F=(39+13i)\\times (2+i)=65+65i=65(1+i).$$\n\n On écrit sous forme trigonométrique le nombre complexe précédent. Puisque $1+i=\\sqrt{2}e^{i\\pi/4}$, il vient \n\n$$z_Z\\times z_E\\times z_F=65\\sqrt 2e^{i\\pi/4}.$$\n\nD'où $\\arg(z_Z\\times z_E\\times z_F)=\\pi/4\\ [2\\pi]$. Puisque l'argument d'un produit est la somme des arguments, on a\n\n$$\\arg(z_Z)+\\arg(z_E)+\\arg(z_F)=\\frac\\pi 4\\ [2\\pi].$$\n\nOn conclut car, modulo $2\\pi$, $\\arg(z_Z)=\\alpha$, $\\arg(z_E)=\\beta$ et $\\arg(z_F)=\\gamma$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Une coquille d'escargot [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O,\\vec i,\\vec j)$, on note $A_0$ le point d'affixe 6 et $S$ la similitude de centre $O$, de rapport $\\frac{\\sqrt 3}2$ et d'angle $\\frac\\pi 6$. On pose $A_{n+1}=S(A_n)$ pour $n\\geq 1$.\n\n\n Déterminer, en fonction de $n$, l'affixe du point $A_n$. En déduire que $A_{12}$ est sur la demi-droite $(O,\\vec i)$.\n\n Établir que le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.\n\n Calculer la longueur du segment $[A_0A_1]$. En déduire la longueur $\\ell$ de la ligne polygonale\n\n$A_0A_1A_2\\dots A_{12}.$\n\n",
        "answer": "  \n On va commencer par donner l'écriture complexe de la transformation. On a ainsi\n\n$$S(z)=\\frac{\\sqrt 3}2 e^{i\\pi/6}z.$$\n\nAutrement dit, si on note $z_n$ l'affixe du point $A_n$, on a \n\n$$z_{n+1}=\\frac{\\sqrt 3}2 e^{i\\pi/6}z_n.$$\n\nOn reconnait une suite géométrique (de raison $r=\\frac{\\sqrt 3}2 e^{i\\pi/6}$ qui est un nombre complexe!). Par les théorèmes que l'on connait, on en déduit que\n\n$$z_n=\\left(\\frac{\\sqrt 3}2 e^{i\\pi/6}\\right)^n z_0=\\frac{3^{n/2}}{2^n}e^{in\\pi/6}z_0.$$\n\nEn particulier, $z_{12}=\\frac{3^6}{2^{12}}e^{i2\\pi}6=\\frac{3^7}{2^{11}}.$ Le point $A_{12}$ est bien situé sur\n\nla demi-droite $(O,\\vec i)$.\n\n Le vecteur $\\overrightarrow{OA_n}$ est d'affixe $z_n$, le vecteur $\\overrightarrow{OA_{n+1}}$\n\nest d'affixe $z_{n+1}=\\frac{\\sqrt 3}2 e^{i\\pi/6}z_n$, et le vecteur $\\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$\n\nest d'affixe $z_{n+1}-z_n=\\left(\\frac{\\sqrt 3}2 e^{i\\pi/6}-1\\right)z_n$. Pour démontrer que le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$, on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.\n\nOr,\n\n$$OA_n^2=|z_n|^2,$$\n\n$$OA_{n+1}^2=\\frac 34 |z_n|^2,$$\n\net\n\n$$\\frac{\\sqrt 3}2 e^{i\\pi/6}-1=-\\frac 14+i\\frac{\\sqrt 3}4,$$\n\nce qui donne\n\n$$A_nA_{n+1}^2=\\frac 14 |z_n|^2.$$\n\nOn a bien \n\n$$OA_n^2=OA_{n+1}^2+A_nA_{n+1}^2.$$\n\nUne autre méthode possible est de vérifier que \n\n$\\frac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}}$ est un imaginaire pur, ce qui prouve l'orthogonalité des vecteurs $\\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ et $\\overrightarrow{OA_{n+1}}$.\n\n On sait que $OA_0=6$ et que $OA_1=6\\times\\frac{\\sqrt 3}2$. Par le théorème de Pythagore,\n\n$$A_0A_1=6\\sqrt{1^2-\\frac 34}=3.$$\n\nNotons alors $d_n$ la longueur du segment $[A_nA_{n+1}]$, de sorte que $d_0=3$.\n\nPuisqu'une similitude de rapport $r$ multiplie les longueurs par $r$, on a\n\n$$d_{n+1}=\\frac{\\sqrt 3}2d_n.$$\n\nLa quantité recherchée est $d_0+\\dots+d_{11}$. Par la formule de la somme d'une suite géométrique, on trouve\n\n$$d_0+\\dots+d_{11}=3\\frac{1-\\frac{3^6}{2^{12}}}{1-\\frac{\\sqrt 3}2}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Points à coordonnées entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $ABCD$ un carré dans le plan complexe. Prouver que, si $A$ et $B$ sont à coordonnées entières,\n\nil en est de même de $C$ et $D$. Peut-on trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont à coordonnées entières?",
        "answer": "  On note $a=x+iy$ et $b=x'+iy'$ les affixes respectives de $A$ et $B$. Par hypothèse, $x$, $x'$, $y$ et $y'$ sont\n\ndes entiers. Puisque $ABCD$ est un carré, $D$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\\pi/2$.\n\nTraduit en termes de nombres complexes, si $d$ est l'affixe de $D$, ceci signifie que \n\n$$d-a=i(b-a)\\implies d=a+i(b-a)=x+iy+i\\big((x'-x)+i(y'-y)\\big)=x+y-y'+i(y+x'-x).$$\n\nAinsi, les coordonnées de $D$ sont bien des entiers. \n\nPour prouver que les coordonnées de $C$ sont des entiers, on procède de la même façon, en utilisant cette fois le fait \n\nque $C$ est l'image de $A$ dans la rotation de centre $D$ et d'angle $\\pi/2$.\n\nImaginons maintenant que $ABC$ soit un triangle équilatéral dont les trois sommets sont à coordonnées entières, et\n\ngardons les notations précédentes. Alors, $C$, d'affixe $c=x''+iy''$ est l'image de $B$ par la rotation de\n\ncentre $A$ et d'angle $\\pi/3$. Autrement dit,\n\n$$c-a=e^{i\\pi/3}(b-a)\\implies c=(x+iy)+\\left(\\frac 12+i\\frac{\\sqrt 3}2\\right)\\big((x'-x)+i(y'-y)\\big).$$\n\nOn développe, et après calcul, on trouve que\n\n$$c=x+\\frac{x'-x}2-\\frac{\\sqrt 3(y'-y)}{2}+i\\left(y+\\frac{y'-y}2+\\frac{\\sqrt 3(x'-x)}{2}\\right).$$\n\nPour que la partie réelle de $c$ soit un entier, il est nécessaire que $y=y'$ et pour que la partie imaginaire de $c$ soit nulle,\n\nil est nécessaire que $x=x'$. Finalement, ceci entraine $A=B$, c'est-à-dire que le triangle est réduit à un point!\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Point de Vecten d'un triangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\\vec i,\\vec j)$.\n\n\n Soit $A$ et $B$ deux points du plan, d'affixes respectives $a$ et $b$. Donner les affixes $p$ et $p'$ des centres $P$ et $P'$ des deux carrés de côté $[AB]$.\n\n Soit $ABC$ un triangle du plan. On considère les trois carrés extérieurs aux côtés du triangle, et on note $P$, $Q$ et $R$ les centres respectifs des carrés de côté $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$.\n\n\n Donner les affixes $p$, $q$ et $r$ des points $P$, $Q$ et $R$ en fonction des affixes $a$, $b$ et $c$ des points $A$, $B$ et $C$.\n\n Montrer que les triangles $ABC$ et $PQR$ ont même centre de gravité.\n\n Démontrer que $PR=AQ$ et que les droites $(AQ)$ et $(PR)$ sont perpendiculaires.\n\n Démontrer que les droites $(AQ)$, $(BR)$ et $(CP)$ sont concourantes.\n\n\n",
        "answer": "  \n Soit $C$ l'image de $B$ par la rotation d'angle $-\\pi/2$ et de centre $A$. Notons $c$ son affixe. Alors $c-a=-i(b-a)$ et donc $c=(1+i)a-ib$. Le point $P$ est le milieu de $[BC]$. Son affixe est donc \n\n$$p=\\frac{(1+i)a+(1-i)b}2.$$\n\nNotons ensuite $D$, d'affixe $d$, l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\\pi/2$, de sorte que $d-a=i(b-a)$. Le point $P'$ est le milieu de $[BD]$ et un calcul similiaire prouve que son affixe $p'$ vérifie \n\n$$p'=\\frac{(1-i)a+(1+i)b}2.$$\n\n\n\n\n Il y a une difficulté ici due à la définition du carré \"extérieur\" au triangle $ABC$. On va supposer, comme dans la figure, que $C$ est dans le même demi-plan défini par la droite $(AB)$ que l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $-\\pi/2$. Le centre du carré extérieur à $ABC$ de côté $[AB]$ est alors exactement le point $P$ construit à la question précédente. En particulier, il vérifie \n\n$$p=\\frac{(1+i)a+(1-i)b}2.$$\n\nFaisant tourner le rôle de $A$, $B$ et $C$, on en déduit immédiatement que \n\n$$q=\\frac{(1+i)b+(1-i)c}2$$\n\net \n\n$$r=\\frac{(1+i)c+(1-i)a}2.$$\n\n L'affixe du centre de gravité de $ABC$ est $(a+b+c)/3$. L'affixe du centre de gravité de $PQR$ est $(p+q+r)/3$. C'est un calcul élémentaire de vérifier que \n\n$$\\frac{a+b+c}3=\\frac{p+q+r}3;$$\n\n Soit $z_1$ l'affixe du vecteur $\\overrightarrow{AQ}$ et $z_2$ l'affixe du vecteur $\\overrightarrow{PR}$. Alors on a \n\n\\begin{align*}\n\nz_1&=\\frac{c(1-i)}2+\\frac{b(1+i)}2-a\\\\\n\nz_2&=\\frac{c(1+i)}2+\\frac{b(-1+i)}2-ia.\n\n\\end{align*}\n\nPuisque $i(1-i)=1+i$, on en déduit que $z_2=iz_1$, ce qui démontre à la fois que $AQ=PR$ et que les droites $(AQ)$ et $(PR)$ sont perpendiculaires.\n\n D'après la question précédente, $(AQ)$ est la hauteur du triangle $PQR$ issue de $Q$. De même, $(BR)$ est la hauteur du triangle $PQR$ issue de $R$ et $(CP)$ est la hauteur du triangle $PQR$ issue de $P$. Comme les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes, on en déduit que les droites $(AQ)$, $(BR)$ et $(CP)$ sont concourantes.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Triangle équilatéral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés d'affixe $a$, $b$ et $c$. On note $j=e^{2i\\pi/3}$.\n\n\n Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+bj+cj^2=0$.\n\n On ne suppose pas nécessairement que $ABC$ est équilatéral. On construit à partir de $ABC$ les trois triangles équilatéraux de base $AB$, $AC$ et $BC$ construits à l'extérieur du premier. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forme un triangle équilatéral.\n\n",
        "answer": "  \n $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\\pi/3$. En termes de nombres complexes, ceci se caractérise par\n\n$$\\frac{c-a}{b-a}=e^{i\\pi/3}=-j^2\\iff c-a+j^2b-j^2a=0.$$\n\nOr, $1+j^2=-j$ et en multipliant par $j^2$, on obtient le résultat voulu.\n\n Quitte à échanger les rôles de $B$ et $C$, on peut toujours supposer que le triangle est direct,\n\nc'est-à-dire que l'angle $(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AC})$ est dans $]0,\\pi[$.\n\nNotons $AC'B$, $BA'C$ et $CB'A$ les triangles équilatéraux directs obtenus. Soient\n\naussi $a',b',c'$ les affixes respectives de $A'$, $B'$ et $C'$. Alors, par la question précédente, on a les\n\n3 équations :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\na+jc'+j^2b&=&0\\\\\n\nb+ja'+j^2c&=&0\\\\\n\nc+jb'+j^2a&=&0.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nSoit $E,F,G$ les centres de gravité respectifs de $AC'B$, $BA'C$ et $CB'A$, d'affixe respectives\n\n$e=\\frac13(a+c'+b)$, $f=\\frac13(b+a'+c)$ et $g=\\frac13(c+b'+a)$. D'après la question précédente,\n\nil suffit de prouver que $e+jf+j^2g=0$. Or, \n\n$$3(e+jf+j^2 g)=a+c'+b+jb+ja'+jc+j^2c+j^2b'+j^2a.$$\n\nOr, $c'=-j^2a-jb$, $ja'=-b-j^2c$ et $j^2b'=-jc-a$, ce qui prouve bien que\n\n$e+jf+j^2g=0$. Le triangle $EFG$ est équilatéral direct.\n"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Un morphisme de corps est injectif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $K,L$ deux corps et soit $f:K\\to L$ un morphisme d'anneaux.\n\n\n Démontrer que si $x\\in K\\backslash\\{0_K\\}$, alors $f(x)$ est inversible, et déterminer son inverse.\n\n En déduire qu'un morphisme de corps est injectif.\n\n\n",
        "answer": "  \n Soit $x\\in K\\backslash\\{0_K\\}$. Alors on a $x\\cdot x^{-1}=1_K$. On applique $f$ à cette identité, et en utilisant\n\nque $f$ est un morphisme d'anneaux, on trouve\n\n$$f(x)\\cdot f(x^{-1})=1_L.$$\n\nAinsi, $f(x)$ est inversible, d'inverse $f(x^{-1})$.\n\n Il suffit de démontrer que le noyau de $f$ est réduit à $0_K$. Mais si $f(x)=0$, alors\n\n$x\\notin K\\backslash\\{0_K\\}$ d'après la question précédente, et donc $x=0$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Q n'admet pas de sous-corps strict [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que $\\mathbb Q$ n'admet pas d'autre sous-corps que lui-même.",
        "answer": "  Soit $K$ un sous-corps de $\\mathbb Q$. Alors $0,1\\in K$. On a ensuite $2=1+1\\in K$, puis $3=2+1\\in K$. Par récurrence, on prouve facilement que $\\mathbb N\\subset K$. Puis, par stabilité par passage à l'opposé, $\\mathbb Z\\subset K$. Enfin, si $x=p/q$ avec $p\\in\\mathbb Z$ et $q\\in \\mathbb N$, $q\\neq 0$, alors $p\\in K$, $q\\in K$, $q\\neq 0$ et donc $p/q\\in K$. Ainsi $\\mathbb Q\\subset K$.\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Q(i) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Montrer que $\\mathbb Q(i)=\\{a+ib:\\ a,b\\in\\mathbb Q\\}$ est un corps.",
        "answer": "  On va commencer par démontrer que $\\mathbb Q(i)$ est un sous-anneau de $\\mathbb C.$ Pour cela, on remarque que \n\n\n $1\\in\\mathbb Q(i)$\n\n si $z=a+ib$ et $z'=a+ib'\\in\\mathbb Q(i),$ alors\n\n$$z-z'=(a-a')+i(b-b')\\in\\mathbb Q(i)$$\n\net \n\n$$zz'=(a+ib)(a'+ib')=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)\\in\\mathbb Q(i).$$\n\n\n\nEnsuite, soit $z=a+ib\\in\\mathbb Q(i),$ $z\\neq 0.$ Alors \n\n$$\\frac1z=\\frac{a-ib}{a^2+b^2}=\\frac{a}{a^2+b^2}+i\\frac{-b}{a^2+b^2}\\in\\mathbb Q(i).$$\n\nAinsi, $1/z$ est dans $\\mathbb Q(i)$ et donc tout élément non nul de $\\mathbb Q(i)$ admet un inverse dans $\\mathbb Q(i)$. Ceci achève de prouver que $\\mathbb Q(i)$ est un corps.\n"
    },
    {
        "question": " 4  - $\\mathbb Q[\\sqrt d]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $d\\in\\mathbb N$ tel que $\\sqrt d\\notin \\mathbb Q$. On note \n\n$$\\mathbb Q[\\sqrt d]=\\{a+b\\sqrt d;\\ (a,b)\\in\\mathbb Q ^2\\}.$$\n\nDémontrer que $(\\mathbb Q[\\sqrt d],+,\\times)$ est un corps.",
        "answer": "  On va démontrer qu'il s'agit d'un sous-corps de $(\\mathbb R,+,\\times)$. Remarquons d'abord qu'il est bien contenu dans $\\mathbb R$ et que $0,1\\in \\mathbb Q[\\sqrt d]$. Soient $x,y\\in\\mathbb Q[\\sqrt d]$. \n\nOn les écrit $x=a+b\\sqrt d$ et $y=a'+b'\\sqrt d$. Alors :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nx-y&=&(a-a')+(b-b')\\sqrt d\\\\\n\nxy&=&(aa'+dbb')+(ab'+a'b)\\sqrt d\n\n\\end{eqnarray*}\n\nce qui prouve que $x-y$ et $xy\\in\\mathbb Q[\\sqrt d]$. D'autre part, si $x\\neq 0$, alors \n\n$$\\frac 1x=\\frac{1}{a+b\\sqrt d}=\\frac{a-b\\sqrt d}{a^2-b^2d}=\\frac{a}{a^2-b^2 d}-\\frac{b}{a^2-b^2 d}\\sqrt d\\in\\mathbb Q[\\sqrt d]$$\n\net donc $\\frac 1x\\in \\mathbb Q[\\sqrt d]$. Remarquons qu'il était possible de multiplier par la quantité conjuguée qui est non-nulle car $\\sqrt d\\notin \\mathbb Q$.  Finalement, on a bien prouvé que $(\\mathbb Q[\\sqrt d],+,\\times)$ est un sous-corps de $(\\mathbb R,+,\\times)$.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Un corps de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\mathcal C=\\left\\{\\begin{pmatrix}a&-b\\\\b&a\\end{pmatrix}:\\ (a,b)\\in\\mathbb R^2\\right\\}.$ \n\n\n Démontrer que $(\\mathcal C,+\\times)$ est un corps.\n\n Démontrer que $\\mathcal C$ est isomorphe à $\\mathbb C$.\n\n",
        "answer": "  \n On va commencer par démontrer que $\\mathcal C$ est un sous-anneau de $\\mathcal M_2(\\mathbb R)$. Pour cela, on remarque que \n\n\n la matrice $I_2$ est bien élément de $\\mathcal C$ (prendre $a=1$, $b=0$).\n\n Soit $A,A'$ deux matrices de $\\mathcal C$, écrivons les \n\n$$A=\\begin{pmatrix}a&-b\\\\b&a\\end{pmatrix}, A'=\\begin{pmatrix}a'&-b'\\\\b'&a'\\end{pmatrix}.$$\n\nAlors \n\n$$A+A'=\\begin{pmatrix}(a+a')&-(b+b')\\\\(b+b')&(a+a')\\end{pmatrix}\\in\\mathcal C$$\n\net \n\n$$A\\times A'=\\begin{pmatrix}aa'-bb'&-(ab'+a'b)\\\\ab'+a'b&aa'-bb'\\end{pmatrix}\\in\\mathcal C.$$\n\n   \n\nDe plus, $(\\mathcal C,+,\\times)$ est bien un anneau commutatif car le calcul précédent montre facilement que $A\\times A'=A'\\times A.$ Pour conclure, il faut encore démontrer que si on choisit $A\\in\\mathcal C$, $A\\neq 0,$ alors $A$ est inversible et $A^{-1}\\in\\mathcal C$. Notons toujours \n\n$$A=\\begin{pmatrix}a&-b\\\\b&a\\end{pmatrix}.$$\n\nIl est facile de voir que $A$ est inversible (par exemple par ce que son déterminant est $a^2+b^2\\neq 0$). De plus, l'inverse de $A$ est \n\n$$A^{-1}=\\frac{1}{a^2+b^2}\\begin{pmatrix}\n\na&b\\\\\n\n-b&a\n\n\\end{pmatrix}$$\n\net cette matrice est bien dans $\\mathcal C$ (choisir $a'=a/(a^2+b^2)$ et $b'=-b/(a^2+b^2)$). Ainsi, on a bien démontré que $\\mathcal C$ est un corps.\n\n Considérons $\\phi(A)=a+ib$, où on a toujours noté \n\n$$A=\\begin{pmatrix}a&-b\\\\b&a\\end{pmatrix}.$$\n\nOn a bien $\\phi(I_2)=1$. De plus, soit\n\n$$A=\\begin{pmatrix}a&-b\\\\b&a\\end{pmatrix}, A'=\\begin{pmatrix}a'&-b'\\\\b'&a'\\end{pmatrix}.$$\n\nAlors d'après le calcul de $A+A'$ fait ci-dessus,\n\n$$\\phi(A+A')=(a+a')+i(b+b')=\\phi(A)+\\phi(A')$$\n\net de même, d'après le calcul de $A\\times A',$\n\n$$\\phi(AA')=(aa-bb')+i(ab'+a'b)=(a+ib)\\times(a'+ib')=\\phi(A)\\phi(A').$$\n\nAinsi, $\\phi$ est bien un morphisme d'anneaux (ou de corps). C'est même un isomorphisme : si $A\\in \\ker(\\phi)$, $\\phi(A)=0\\iff A=0$ et donc \n\n$\\ker(\\phi)=\\{0\\}$. De plus, $\\textrm{Im}(\\phi)=\\mathbb C^*$, \n\npuisque si $z=a+ib\\in\\mathbb C^*$, $z=\\phi(A)$ où $A=\\begin{pmatrix}a&-b\\\\b&a\\end{pmatrix}.$ Ainsi, les corps $\\mathcal C$ et $\\mathbb C$ sont isomorphes.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Anneau intègre fini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A$ un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que $A$ est un corps.",
        "answer": "  Fixons $a\\in A$ non nul et considérons le morphisme de groupes $(A,+)\\to (A,+),\\ x\\mapsto ax$. Alors ce morphisme de groupes est injectif, car son noyau est réduit à $\\{0_A\\}$ puisque $A$ est intègre. Puisque $A$ est fini, ce morphisme est nécessairement bijectif, et donc il existe $x\\in A$ tel que $ax=1_A$. Par commutativité de $A$, on a aussi $xa=1_A$ et donc $a$ admet un inverse : $A$ est un corps.\n\nRemarquons que l'on peut se passer de l'hypothèse que $A$ est commutatif, par exemple en faisant le même raisonnement avec $x\\mapsto xa$, et en prouvant que l'inverse à droite et l'inverse à gauche coïncident.\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Deux corps non isomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que $-1$ est une somme de deux carrés dans $\\mathbb Q[i\\sqrt 2]$. En déduire que les corps $\\mathbb Q[\\sqrt 2]$ et $\\mathbb Q[i\\sqrt 2]$ ne sont pas isomorphes.",
        "answer": "  Il n'est pas très difficile de trouver que \n\n$$-1=(1)^2+(i\\sqrt 2)^2.$$\n\nImaginons qu'il existe un isomorphisme $\\sigma$ de $\\mathbb Q[i\\sqrt 2]$ sur $\\mathbb Q[\\sqrt 2]$. Alors, on sait que $\\sigma(-1)=-1\\sigma(1)=-1$. \n\nMaintenant, $-1=a^2+b^2$ dans $\\mathbb Q[i\\sqrt 2]$ et donc \n\n$$-1=\\sigma(-1)=c^2+d^2$$\n\noù $c=\\sigma(a)$ et $d=\\sigma(b)$. Ainsi, $-1$ est aussi somme de deux carrés dans $\\mathbb Q[\\sqrt 2]$. C'est impossible, puisque les carrés de $\\mathbb Q[\\sqrt 2]$ sont des réels positifs ou nuls! En réalité, on a même prouvé une propriété plus forte : il n'existe pas de morphisme de corps de $\\mathbb Q[i\\sqrt 2]$ vers $\\mathbb Q[\\sqrt 2]$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Condition d'isomorphisme de deux corps [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On rappelle que si $\\alpha\\in\\mathbb N$ est tel que $\\sqrt \\alpha\\notin \\mathbb Q$, alors $\\mathbb Q(\\sqrt \\alpha)=\\{a+b\\sqrt \\alpha; (a,b)\\in\\mathbb Q^2\\}$ est un corps. Soit $\\alpha,\\beta\\in\\mathbb N$ tels que $\\sqrt \\alpha$ et $\\sqrt\\beta$ sont irrationnels. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\\mathbb Q(\\sqrt \\alpha)$ et $\\mathbb Q(\\sqrt\\beta)$ soient isomorphes.",
        "answer": "  Procédons par analyse-synthèse en commençant par chercher une condition nécessaire. Supposons donc qu'il existe un isomorphisme $\\varphi$ du corps $\\mathbb Q(\\sqrt\\alpha)$ sur le corps $\\mathbb Q(\\sqrt\\beta)$. Pour tout entier $n$, on a $$\\varphi(n)=\\varphi(1+\\dots+1)=\\varphi(1)+\\dots+\\varphi(1)=n.$$ En particulier, on obtient que \n\n$\\varphi(\\alpha)=\\alpha$. Écrivons maintenant que $\\varphi(\\sqrt \\alpha)=c+d\\sqrt \\beta$, avec $c,d\\in\\mathbb Q$. On a alors\n\n$$\\alpha=\\varphi(\\alpha)=\\big(\\varphi(\\sqrt\\alpha)\\big)^2=(c+d\\sqrt \\beta)^2=c^2+d^2\\beta+2cd\\sqrt \\beta.$$\n\nPuisque $\\sqrt\\beta$ est irrationnel, on a nécessairement $cd=0$. Si $d=0$, on a $\\alpha=c^2$ ce qui contredit que $\\sqrt\\alpha$ est irrationnel. Donc on a $c=0$ et $\\sqrt{\\frac\\alpha\\beta}=d$ est rationnel.\n\nRéciproquement, supposons que $\\sqrt{\\frac\\alpha\\beta}$ est égal à un certain rationnel $r$ et définissons $\\varphi$ sur $\\mathbb Q(\\sqrt\\alpha)$ par \n\n$$\\varphi(a+b\\sqrt\\alpha)=a+br\\sqrt\\beta.$$\n\nOn va démontrer que $\\varphi$ est un isomorphisme de corps. Comme c'est clairement un isomorphisme de groupe additif, il suffit de vérifier la compatibilité avec le produit. Mais, \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\varphi( (a+b\\sqrt\\alpha)(a'+b'\\sqrt \\alpha))&=&\\varphi(aa'+bb'\\alpha+(ab'+ba')\\sqrt\\alpha)=aa'+bb'\\alpha+(ab'+ba')r\\sqrt\\beta\\\\\n\n\\varphi(a+b\\sqrt\\alpha)\\varphi(a'+b'\\sqrt\\alpha)&=&(a+br\\sqrt\\beta)(a'+b'r\\sqrt\\beta)=aa'+bb'r^2\\beta+(ab'+ba')r\\sqrt\\beta.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nComme $r^2\\beta=\\alpha$, ces deux quantités sont égales et $\\varphi$ est bien un (iso)morphisme de corps.\n\n  \n"
    },
    {
        "question": " 9  - Produit de tous les éléments [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $K$ un corps fini. Calculer $\\prod_{x\\in K^*}x$.",
        "answer": "  Dans le produit, on regroupe chaque élément avec son inverse.\n\nCeci est possible s'ils sont distincts, et dans ce cas, on peut simplifier\n\nle produit $x x^{-1}=1$. On en déduit que \n\n$$\\prod_{x\\in K^*}x=\\prod_{x=x^{-1}}x=\\prod_{x^2=1}x.$$\n\nOr, dans un corps $K$, l'équation $x^2=1$ a pour solution $1$ et $-1$. Si ces deux nombres\n\nsont distincts, alors le produit vaut $-1$. Si ces deux nombres sont égaux (cas d'un corps de caractéristique $2$), alors le\n\nproduit de ces deux nombres vaut $1=-1$ également. Finalement, dans tous les cas, on a bien\n\n$$\\prod_{x\\in K^*}x=-1.$$\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $K$ un corps fini. On souhaite démontrer que le groupe multiplicatif $(K^*,\\times)$ est cyclique. On note $n$ le cardinal de ce groupe.\n\n\n Préliminaire 1 : Soit $G$ un groupe abélien, $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d'ordres respectifs $p$ et $q$. On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Démontrer que $xy$ est d'ordre $pq$.\n\n Préliminaire 2 : Soient $a,b\\in\\mathbb N^*$. Démontrer qu'il existe $a',b'$ tels que $a'|a$, $b'|b$, $a'\\wedge b'=1$ et $a'b'=a\\vee b$.\n\n Démontrer qu'il existe dans $K$ un élément d'ordre égal à $m$, le ppcm des ordres des éléments de $K$.\n\n Démontrer que $m\\geq n$, puis conclure.\n\n",
        "answer": "  \n Notons $d$ l'ordre de $xy$. Remarquons que $(xy)^{pq}=(x^p)^q(y^q)^p=e$, et donc $d|pq$. De plus, puisque $(xy)^d=e$, on en déduit que $x^d=y^{-d}$. Il vient alors\n\n$$x^{dq}=(y^{-d})^q=(y^q)^{-d}=e.$$\n\nAinsi, $p|dq$ et puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux, on en déduit que $p|d$. De la même façon, on a $q|d$ et en utilisant à nouveau que $p$ et $q$ sont premiers entre eux, on conclut que $pq|d$. Ainsi, on a bien que $d=pq$.\n\n Écrivons $a=p_1^{\\alpha_1}\\cdots p_r^{\\alpha_r}$ et $b=p_1^{\\beta_1}\\cdots p_r^{\\beta_r}$. Alors posons $a'=p_1^{\\delta_1}\\cdots p_r^{\\delta_r}$ et $b'=p_1^{\\gamma_1}\\cdots p_r^{\\gamma_r}$, où \n\n$$\\delta_i=\\left\\{\n\n\\begin{array}{ll}\n\n0&\\textrm{si }\\alpha_i\\leq \\beta_i\\\\\n\n\\alpha_i&\\textrm{sinon},\n\n\\end{array}\\right.\n\n\\ \n\n\\gamma_i=\\left\\{\n\n\\begin{array}{ll}\n\n\\beta_i&\\textrm{si }\\alpha_i\\leq \\beta_i\\\\\n\n0&\\textrm{sinon}.\n\n\\end{array}\\right.\n\n$$\n\nAlors $a'$ et $b'$ vérifient les conditions imposées. \n\n Soient $x$ et $y$ deux éléments de $K^*$, d'ordres respectifs $a$ et $b$. Soient $a'$ et $b'$ donnés par la question précédente. Alors $x_1=x^{a/a'}$ et $y_1=y^{b/b'}$ sont d'ordres respectifs $a'$ et $b'$. Par la première question $x_1y_1$ est d'ordre $a\\vee b$. On construit alors facilement par récurrence un élément d'ordre le ppcm des ordres des éléments de $K$.\n\n Considérons le polynôme $P(X)=X^m-1$. Alors tous les éléments de $K^*$ sont racines de ce polynôme. Il a donc $n$ racines, ce qui impose, puisque $K$ est un corps, que $m\\geq n$. Mais d'autre part, l'ordre d'un élément dans un groupe divise l'ordre du groupe, en particulier, il lui est inférieur. On a donc aussi $m\\leq n$ et donc $m=n$. Il existe donc dans $K^*$ un élément d'ordre le cardinal du groupe. Ce groupe est cyclique.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Degré d'une extension de corps [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $K,L,M$ trois corps tels que $K$ est un sous-corps de $L$ et que $L$ est un sous-corps de $M$.\n\n\n Démontrer que $L$ peut être muni d'une structure de $K$-espace vectoriel, et que $M$ peut être muni d'une structure de $L$-espace vectoriel et d'une structure de $K$-espace vectoriel.\n\n On suppose que $L$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et que $M$ est un $L$-espace vectoriel de dimension finie $p$. Démontrer que $M$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie dont on précisera la dimension.\n\n",
        "answer": "  \n On doit prouver que si $E$ et $k$ sont deux corps tels que $k$ est un sous-corps de $E$, alors $E$ est un $k$-espace vectoriel. Il suffit de vérifier la définition…\n\n\n $(E,+)$ est un groupe commutatif.\n\n Pour tous $(u,v)\\in E$ et tous $(a,b)\\in k$, on a bien :\n\n$$a(bu)=(ab)u$$\n\n$$1u=u$$\n\n$$(a+b)u=au+bu$$\n\n$$a(u+v)=au+bv$$\n\ntous les calculs s'effectuant en réalité dans le corps $E$…\n\n\n Soit $(u_1,\\dots,u_n)$ une base de $L$ comme $K$-espace vectoriel et $(v_1,\\dots,v_p)$ une base de $M$ comme $L$-espace vectoriel. On va prouver que $(u_iv_j)_{i=1,\\dots,n, j=1,\\dots,p}$ est une base de $M$ comme $K$-espace vectoriel. En effet, supposons qu'il existe des scalaires (donc des éléments de $\\mathbb K$) $\\lambda_{i,j}$ de sorte que \n\n$$\\sum_{i,j}\\lambda_{i,j}u_iv_j=0.$$\n\nAlors on regroupe la somme en \n\n$$\\sum_{j=1}^p \\left(\\sum_{i=1}^n \\lambda_{i,j} u_i\\right)v_j=0.$$\n\nAlors, la suite $(v_1,\\dots,v_p)$ est libre comme suite du $L$-espace vectoriel $M$, et donc pour tout $j=1,\\dots,p$, on a \n\n$$\\sum_{i=1}^n \\lambda_{i,j} u_i=0.$$\n\nLa famille $(u_1,\\dots,u_n)$ étant libre comme famille du $K$-espace vectoriel $L$, on en déduit que pour tout $i,j$, on a bien $\\lambda_{i,j}=0$.  Démontrons maintenant que la famille est génératrice de $M$. Prenons $x\\in M$. Il existe des éléments $y_1,\\dots,y_p\\in L$ tels que \n\n$$x=\\sum_{j=1}^p y_j v_j.$$\n\nMais pour chaque $j=1,\\dots,p$, il existe des éléments $\\lambda_{1,j},\\dots,\\lambda_{n,j}$ de $K$ tels que \n\n$$y_j=\\sum_{i=1}^n \\lambda_{i,j} u_i.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$x=\\sum_{i,j}\\lambda_{i,}u_i v_j$$\n\net donc que la famille est aussi génératrice. En conclusion, on a démontré que $M$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $np$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Degré d'extension et arithmétique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $K$ un corps. Soit $H_1$, $H_2$ des corps tels que $K\\subset H_i$ pour $i=1,2$. Montrer que si $[H_1:K]$ et $[H_2:K]$ sont premiers entre eux, alors $H_1\\cap H_2=K$.",
        "answer": "  On pose $M=H_1\\cap H_2$. Par multiplicativité des degrés dans la tour d'extension $K\\subset M\\subset H_1$, on a \n\n$$[H_1:K]=[H_1:M]\\times [M:K].$$\n\nDe même, mais en considérant cette fois la tour $K\\subset M\\subset H_2$, on a \n\n$$[H_2:K]=[H_2:M]\\times [M:K].$$\n\nAinsi, $[M:K]$ est un diviseur commun de $[H_1:K]$ et de $[H_2:K]$. Ces deux nombres étant premiers entre eux, on a $[M:K]=1$, autrement dit, $K=M=H_1\\cap H_2$.\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Une extension de degré premier est monogène [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $K$ un corps et $L$ une extension de $K$ de degré premier. Montrer que, pour tout $\\alpha\\in L\\backslash K$, on a $K(\\alpha)=L$.",
        "answer": "  Appliquons la multiplicativité des degrés à l'extension $K\\subset K(\\alpha)\\subset L$. Alors on a\n\n$$[L:K]=[L:K(\\alpha)]\\times [K(\\alpha):K].$$\n\nComme $[L:K]$ est un nombre premier, on a nécessairement $[K(\\alpha):K]=1$ ou $[K(\\alpha):K]=[L:K]$. Le premier cas est exclu, car on a $K(\\alpha)\\neq K$. C'est donc que $[K(\\alpha):K]=[L:K]$ et $[L:K(\\alpha)]=1$. Autrement dit, $L=K(\\alpha)$.\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Paradoxe de Sierpinski-Mazurkiewicz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $u$ un nombre complexe transcendant de module 1. Soit\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nE&=&\\{P(u);\\ P\\in\\mathbb N[X]\\}\\\\\n\nA&=&\\{(XQ)(u);\\ Q\\in\\mathbb N[X]\\}\\\\\n\nB&=&\\{(R+1)(u);\\ R\\in\\mathbb N[X]\\}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n Démontrer que $(A,B)$ forme une partition de $E$.\n\n En déduire qu'il existe un ensemble contenu dans le plan dont il existe une partition en deux parties qui sont isométriques à l'ensemble initial.\n\n",
        "answer": "  \n Il est d'abord clair que $A$ et $B$ sont deux parties de $E$. Prenons $x\\in E$. ll existe $P\\in\\mathbb N[X]$ tel que $x=P(u)$. Si $P(0)=0$, alors $P(X)=XQ(X)$, avec $Q\\in\\mathbb N[X]$ et donc $x=(XQ)(u)\\in A$. Sinon, $P(0)\\in\\mathbb N^*$ et $R(X)=P(X)-1\\in\\mathbb N[X]$. Dans ce cas, $x=(R+1)(u)\\in B$.\n\nProuvons enfin que $A\\cap B=\\varnothing$. Si $x\\in A\\cap B$, $x=XQ(u)=(R+1)(u)$ avec $Q,R\\in\\mathbb N[X]$. Mais alors $S(u)=0$ avec $S=XQ-(R+1)$. Mais $S$ est un polynôme de $\\mathbb Z[X]$ non trivial tel que $S(u)=0$, ce qui contredit que $u$ est transcendant.\n\n On identifie $\\mathbb C$ et le plan euclidien. Alors $A$ est simplement égal à $e^{iu}E$ : c'est donc une rotation de $E$, tandis que $B=E+1$ est un translaté de $B$. $(A,B)$ réalise bien une partition de $E$ en deux parties qui sont toutes les deux isométriques à $E$. Etonnant non? \n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Corps des fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Le corps des fractions rationnelles $\\mathbb C(t)$ est-il algébriquement clos?",
        "answer": "  Imaginons que ce corps soit algébriquement clos. Alors le polynôme $X^2-t$ aurait une racine dans\n\n$\\mathbb C(t)$. Autrement dit, on pourrait trouver deux polynômes $P,Q\\in\\mathbb C[t]$ tels que\n\n$$\\left(\\frac{P(t)}{Q(t)}\\right)^2-t=0\\iff P^2(t)=tQ^2(t).$$\n\nMais ceci est impossible, car dans sa décomposition en facteurs irréductibles, le polynôme de gauche $P^2$ n'a\n\nque des facteurs irréductibles à un exposant pair, tandis que celui de droite à un facteur irréductible de degré\n\nimpair, à savoir $t$. Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles dans $\\mathbb C[t]$, on en déduit\n\nle résultat"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Racine carrée de $X$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F$ tel que $F^2=X$.",
        "answer": "  Si $F$ est une fraction rationnelle, alors $\\deg(F^2)=2\\deg (F)$.\n\nOr, $\\deg(X)=1$, et l'équation $2n=1$ n'a pas de solutions dans $\\mathbb Z$.\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Degré de la dérivée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $F\\in\\mathbb K(X)$. Montrer que si $\\deg(F')<\\deg(F)-1$, alors $\\deg(F)=0$.",
        "answer": "  On écrit $F=A/B$, avec $\\deg(F)=\\deg(A)-\\deg(B)$. On a $F'=(A'B-AB')/B^2$,\n\net donc $\\deg(F')=\\deg(A'B-AB')-2\\deg(B)$. Or, $\\deg(A'B)=\\deg(AB')=\\deg(A)+\\deg(B)-1$.\n\nSi $\\deg(A'B-AB')=\\deg(A)+\\deg(B)-1$, on aurait $\\deg(F')=\\deg(F)-1$, ce qui n'est pas le cas.\n\nOn a donc $\\deg(A'B-AB')<\\deg(A'B)=\\deg(AB')$. Mais si $A=a_k X^k+\\dots$ et $B=b_nX^n+\\dots,$\n\nalors $A'B=ka_kb_nX^{k+n-1}+\\dots$ et $AB'=na_kb_nX^{k+n-1}+\\dots$. Pour que $\\deg(A'B-AB')$ soit inférieur\n\nstrict à $n+k-1$, il est donc nécessaire que $k=n$, c'est-à-dire que $A$ et $B$ aient le même degré.\n\nCeci signifie exactement $\\deg(F)=0$.\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Pôles et racines [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels premiers entre eux. Déterminer les racines\n\net les pôles de $(X^p-1)/(X^q-1)$, en précisant leur ordre de multiplicité.",
        "answer": "  Les racines de $X^p-1$ (resp. $X^q-1$) sont les racines $p$-ièmes de l'unité\n\n(resp. $q$-ièmes) et elles sont toutes simples. Mais il peut y avoir des simplifications\n\nentre le numérateur et le dénominateur et on doit déterminer les racines communes.\n\nSoit donc $\\omega$ une racine de $X^p-1$ et de $X^q-1$. Alors $\\omega^p=\\omega^q=1$.\n\nMais, puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux, on peut d'après le théorème de Bézout\n\ntrouver deux entiers $u,v\\in\\mathbb Z$ tels que $pu+qv=1$. Alors\n\n$$\\omega=\\omega^{pu+qv}=(\\omega^p)^u(\\omega^q)^v=1.$$\n\nRéciproquement, $1$ est racine commune des deux polynômes. On a donc prouvé que les racines de la fraction rationnelle\n\nsont les racines $p$-ièmes de l'unité autre que 1. Ses pôles sont les racines $q$-ièmes de l'unité, autre que 1.\n\nLes multiplicités respectives sont à chaque fois égales à 1.\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Primitive de $1/X$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $F=P/Q\\in\\mathbb C(X)$ une fraction rationnelle, avec $P\\wedge Q=1$, telle que $F'=1/X$.\n\n\n Démontrer que $X|Q$.\n\n Soit $n\\geq 1$ tel que $X^n|Q$. Démontrer que $X^{n}|Q'$.\n\n Conclure.\n\n",
        "answer": "  \n On a $F'=(P'Q-PQ')/Q^2$, et donc $F'=1/X$ s'écrit $(P'Q-PQ')X=Q^2$. On en déduit que $X|Q^2$,\n\npuis, puisque $X$ est un irréductible de $\\mathbb C[X]$, que $X|Q$. \n\n Si $X^n|Q$, alors on peut écrire $Q^2=X^{2n}R$. L'égalité $(P'Q-PQ')X=Q^2$ devient\n\n$(P'Q-PQ')=X^{2n-1}R$. On en déduit que $X^n|P'Q-PQ'$. Or, $X^n|P'Q$ et donc $X^n|Q'P$.\n\nOr, $P\\wedge Q=1$ et $X^n|Q$, donc $X^n\\wedge P=1$ et donc $X^n|Q'$.\n\n Soit $n$ l'ordre de 0 comme racine de $Q$. La première question nous dit que $n\\geq 1$.\n\nLa deuxième question nous dit que $0$ est aussi racine de $Q'$ de multiplicité $n$. Ainsi,\n\n$0$ doit être racine de $Q$ de multiplicité $n+1$, ce qui est absurde. Il n'existe donc pas\n\nde fraction rationnelle $F$ telle que $F'=1/X$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Fraction rationnelle à valeurs rationnelles sur les entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $R(X)=\\frac{P(X)}{Q(X)}$ une fraction rationnelle de $\\mathbb R[X]$ avec $P\\wedge Q=1$ et telle que $R(n)\\in\\mathbb Q$ pour une infinité d'entiers  $n\\in\\mathbb N$. On veut démontrer que $R(x)=\\frac{P_1(X)}{Q_1(X)}$ où $P_1,Q_1\\in\\mathbb Z[X]$. On note $\\omega(R)=\\deg(P)+\\deg(Q)$.\n\n\n Démontrer le résultat si $\\omega(R)=0$.\n\n Soit $d\\geq 0$. On suppose que le résultat est vrai pour toute fraction rationnelle $R$ tel que $\\omega(R)\\leq d$ et on souhaite le prouver pour toute fraction rationnelle telle que $\\omega(R)=d+1$. On fixe donc $R=P/Q$ une fraction rationnelle telle que $\\omega(R)=d+1$ et $R(n)\\in\\mathbb Q$ pour tout\n\n$n\\in\\mathbb N$.\n\n\n Pourquoi peut-on supposer que $\\deg(P)\\geq \\deg(Q)$?\n\n Soit $n\\in\\mathbb N$ tel que $Q(n)\\neq 0$ et $P(n)/Q(n)\\in\\mathbb Q$. On pose \n\n$$P_0(X)=\\frac{P(X)Q(n)-Q(X)P(n)}{Q(n)(X-n)}.$$\n\nJustifier que $P_0\\in\\mathbb R[X]$ avec $\\deg(P_0)<\\deg(P)$.\n\n Conclure.\n\n\n",
        "answer": "  \n Si $\\omega(R)=0$, alors $R$ est le quotient de deux réels $R=p/q$. L'hypothèse entraîne que $R$ est à valeurs dans $\\mathbb Q$, c'est-à-dire que $p/q$ est rationnel. On peut donc écrire $p/q=p_1/q_1$ avec $p_1,q_1\\in\\mathbb Z$.\n\n\n\n Si $\\deg(P)<\\deg(Q)$, il suffira de prouver le résultat à la fraction rationnelle $1/R$ qui vérifie les mêmes hypothèses que $R$, si ce n'est que cette fois le degré de son numérateur sera supérieur à celui de son dénominateur.\n\n Considérons $S$ le polynôme $S(X)=P(X)Q(n)-Q(X)P(n)$. Alors, puisque $\\deg(P)\\geq \\deg(Q)$, $\\deg(S)\\leq \\deg(P)$. De plus, $S(n)=0$. Ainsi, $S$ se factorise en $S(X)=(X-n)S_1(X)$ avec $\\deg(S_1)<\\deg(P)$. Mais alors, $P_0=\\frac{S_1}{Q(n)}$ est bien un élément de $\\mathbb R[X]$ de degré inférieur strict au degré de $P$.\n\n Considérons $T(X)=\\frac{P_0(X)}{Q(X)}$. Alors $\\omega(T)=\\deg(P_0)+\\deg(Q)<\\omega(R)$. De plus, si $m\\neq n$ est un entier tel que $R(m)\\in\\mathbb Q$, on a, \n\n$$T(m)=\\frac{P(m)Q(n)-Q(m)P(n)}{Q(m)Q(n)(m-n)}=\\frac{P(m)}{Q(m)(n-m)}-\\frac{P(n)}{Q(n)(n-m)}\\in\\mathbb Q.$$\n\n Ainsi, $T(m)\\in\\mathbb Q$ pour une infinité d'entiers $m$. D'après l'hypothèse de récurrence, \n\n$T=\\frac{P_2}{Q_2}$ \n\noù $P_2,Q_2\\in \\mathbb Z[X]$. On remonte ensuite à $R$ en remarquant que \n\n$$R(X)=(X-n)T(X)+\\frac{P(n)}{Q(n)}.$$\n\nPuisque $P(n)/Q(n)$ est rationnel, il s'écrit encore $c/d$ avec $c,d\\in\\mathbb Z$.\n\nAinsi, mettant tout au même dénominateur, on a \n\n$$R(X)=\\frac{P_1(X)}{Q_1(X)}$$\n\noù\n\n$$P_1(X)=d(X-n)P_2(X)+c$$\n\net $$Q_1(X)=dQ_2(X)$$\n\nqui sont bien des polynômes à coefficients entiers.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Tous les cas possibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer sur $\\mathbb R$ les fractions rationnelles suivantes :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle\\mathbf{1.}\\quad\\frac{X^2+2X +5}{X^2-3X+2}&\\quad\\quad\\mathbf{2.}\\quad \\displaystyle\\frac{X^2+3X+1}{(X-1)^2(X-2)}\n\n&\\quad\\quad\\mathbf{3.}\\quad \\displaystyle \\frac 1{X^4-1}\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "   Méthode pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples et correction de l'exercice\n\n\n\n \n On commence par calculer la partie entière de la fraction rationnelle : \n\n$$X^2+2X+5=1(X^2-3X+2)+5X+3.$$\n\n On factorise le dénominateur $$X^2-3X+2=(X-1)(X-2).$$\n\n On écrit la décomposition en éléments simples a priori : \n\n$$\\frac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}=1+\\frac a{X-1}+\\frac{b}{X-2}.$$\n\n On calcule les coefficients $a$ et $b$ : posons $P(X)=X^2+2X+5$, $Q(X)=X^2-3X+2$, $Q'(X)=2X-3.$ \n\n$$a=\\frac{P(1)}{Q'(1)}=\\frac{8}{-1}=-8$$\n\n$$b=\\frac{P(2)}{Q'(2)}=\\frac{13}{1}=13.$$\n\n Ainsi, \n\n$$ \\frac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}=1-\\frac {8}{X-1}+\\frac{13}{X-2}.$$\n\n\n \n Puisque le degré du dénominateur est strictement supérieur au degré du numérateur, la partie entière est nulle.\n\n On a donc \n\n$$\\frac{X^2+3X+1}{(X-1)^2(X-2)}=\\frac{a}{X-2}+\\frac{b}{X-1}+\\frac{c}{(X-1)^2}.$$\n\n Calculons $a$. On pose $P(X)=X^2+3X+1$, $Q(X)=(X-1)^2(X-2)$, $Q'(X)=2(X-1)(X-2)+(X-1)^2$ et \n\n$$a=\\frac{P(2)}{Q'(2)}=\\frac{11}{1}=11.$$\n\n Calculons $c$. On multiplie par $(X-1)^2$ et on évalue en $X=1$.\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\frac{X^2+3X+1}{X-2}&=&\\frac{11(X-1)^2}{X-2}+b(X-1)+c\\\\ \n\n\\frac{5}{-1}&=& c\\implies c=-5.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn a donc \n\n$$\\frac{X^2+3X+1}{(X-1)^2(X-2)}=\\frac{11}{X-2}+\\frac{b}{X-1}+\\frac{-5}{(X-1)^2}.$$\n\n Pour calculer $b$, on multiplie par $X$ et on fait tendre $X$ vers l'infini.\n\n$$\\frac{X(X^2+3X+1)}{(X-1)^2(X-2)}=\\frac{11X}{X-2}+\\frac{bX}{X-1}+\\frac{-5X}{(X-1)^2}.$$\n\nQuand $X\\to+\\infty,$\n\n$$1= 11+ b+ 0 \\implies b=-10.$$\n\nConclusion :\n\n$$\\frac{X^2+3X+1}{(X-1)^2(X-2)}=\\frac{11}{X-2}-\\frac{10}{X-1}-\\frac{5}{(X-1)^2}.$$\n\n\n \n La partie entière est nulle.\n\n On factorise le dénominateur : \n\n$$X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X^2+1).$$\n\n On écrit \n\n$$\\frac1{X^4-1}=\\frac a{X-1}+\\frac{b}{X+1}+\\frac{cX+d}{X^2+1}.$$\n\n On pose $P(X)=1$, $Q(X)=X^4-1$ de sorte que $Q'(X)=4X^3$ et\n\n$$a=\\frac{P(1)}{Q'(1)}=\\frac14$$\n\n$$b=\\frac{P(-1)}{Q'(-1)}=\\frac{-1}{4}.$$\n\n Pour calculer $c$ et $d$, on effectue d'abord la décomposition en éléments neutres sur $\\mathbb C$ et on regroupe  les termes conjugués.\n\n Décomposons la fraction rationnelle sur $\\mathbb C.$\n\n$$X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i).$$\n\nOn écrit \n\n$$\\frac 1{X^4-1}=\\frac{a}{X-1}+\\frac{b}{X+1}+\\frac{e}{X-i}+\\frac{f}{X+i}.$$\n\nOn pose $P(X)=1$, $Q(X)=X^4-1$, $Q'(X)=4X^3.$  On a déjà vu $a=1/4$, $b=-1/4$ et on a \n\n$$e=\\frac{P(i)}{Q'(i)}=\\frac{1}{4i^3}=\\frac{1}{-4i}=\\frac{i}4$$\n\n$$f=\\frac{P(i)}{Q'(-i)}=\\frac{1}{4(-i)^3}=\\frac{1}{4i}=\\frac{-i}4.$$\n\nAinsi, \n\n$$\\frac 1{X^4-1}=\\frac{1/4}{X-1}-\\frac{1/4}{X+1}+\\frac{i/4}{X-i}-\\frac{i/4}{X+i}.$$\n\n On termine en passant de $\\mathbb C$ à $\\mathbb R$.\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\frac 1{X^4-1}&=&\\frac{1/4}{X-1}-\\frac{1/4}{X+1}+\\frac{i/4}{X-i}-\\frac{i/4}{X+i}\\\\ \n\n&=&\\frac{1/4}{X-1}-\\frac{1/4}{X+1}+\\frac 14\\cdot \\frac{i(X+i)-i(X-i)}{(X-i)(X+i)}\\\\ \n\n&=&\\frac{1/4}{X-1}-\\frac{1/4}{X+1}+\\frac 14\\cdot \\frac{-2}{X^2+1}\\\\ \n\n&=&\\frac{1/4}{X-1}-\\frac{1/4}{X+1}-\\frac{1/2}{X^2+1}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Pôles simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : \n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle\\mathbf{1.}\\quad\\frac{1}{X^3-X}&\\quad\\quad\\mathbf{2.}\\quad  \\displaystyle \\frac{X^3}{(X-1)(X-2)(X-3)}\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n La partie entière est nulle, et le dénominateur se factorise en $X(X-1)(X+1)$.\n\nMultipliant par $X$ et faisant $X=0$, on trouve la partie polaire relativement à $X-0$, et ainsi de suite...\n\nOn trouve finalement\n\n$$\\frac{1}{X^3-X}=\\frac{-1}{X}+\\frac{1/2}{X-1}+\\frac{1/2}{X+1}.$$\n\n En appliquant exactement la même méthode, on trouve que la décomposition en éléments simples est\n\n$$1+\\frac{1}{2(X-1)}-\\frac{8}{X-2}+\\frac{27}{2(X-3)}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Pôles multiples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : \n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle\\mathbf{1.}\\quad\\frac{2X^2+1}{(X^2-1)^2}&\n\n\\quad\\quad\\mathbf{2.}\\quad\\displaystyle\\frac{X^3+1}{(X-1)^3}\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n Le dénominateur se factorise en $(X^2-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2$. Il faut donc étudier la partie polaire relative à +1 et à -1.\n\nCommençons par étudier la partie polaire relative à $-1$. La fraction rationnelle s'écrit sous la forme\n\n$$\\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}=\\frac{\\lambda_1}{X+1}+\\frac{\\lambda_2}{(X+1)^2}+G(X),$$\n\noù $G(X)=\\frac{\\mu_1}{X-1}+\\frac{\\mu_2}{(X-1)^2}$ est une fraction rationnelle dont $-1$ n'est pas un pôle. Multipliant cette égalité\n\npar $(X+1)^2$ et faisant $X=-1$, on trouve $\\lambda_2=3/4$. On calcule ensuite \n\n$$\\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}-\\frac{3/4}{(X+1)^2}=\\frac{(5X+1)/4}{(X+1)(X-1)^2}=\\frac{\\lambda_1}{X+1}+G(X).$$\n\nOn multiplie cette fois par $X+1$, et on fait $X=-1$, et on trouve $\\lambda_1=-1/4$. Pour étudier la partie polaire relative à $1$,\n\non peut procéder de la même façon ou simplement remarquer que la fraction rationnelle est paire. On en déduit que\n\n$$\\frac{2X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}=\\frac{-1/4}{X+1}+\\frac{3/4}{(X+1)^2}+\\frac{1/4}{X-1}+\\frac{3/4}{(X-1)^2}.$$\n\n La partie entière de cette fraction rationnelle est égale à 1, et on a \n\n$$\\frac{X^3+1}{(X-1)^3}=1+\\frac{3X^2-3X+2}{(X-1)^3}=1+\\frac{a}{(X-1)^3}+\\frac{b}{(X-1)^2}+\\frac{c}{X-1}.$$\n\nPour trouver $a$, on multiplie par $(X-1)^3$ et on fait $X=1$. On trouve\n\n$$a=2.$$\n\nPour trouver $b$, on soustrait $\\frac2{(X-1)^3}$, et on trouve\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\frac{3X^2-3X+2}{(X-1)^3}-\\frac 2{(X-1)^3}&=&\\frac{3X}{(X-1)^2}\\\\\n\n&=&\\frac{b}{(X-1)^2}+\\frac c{X-1}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nMultipliant par $(X-1)^2$ et faisant $X=1$, on trouve\n\n$$b=3.$$\n\nFinalement, on retranche encore $\\frac{3}{(X-1)^2}$ de sorte que\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\frac{3X}{(X-1)^2}-\\frac{3}{(X-1)^2}&=&\\frac{3}{X-1}\\\\\n\n&=&\\frac{c}{X-1}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn a donc $c=3$. Finalement, la décomposition en éléments simples recherché est\n\n$$1+\\frac{2}{(X-1)^3}+\\frac{3}{(X-1)^2}+\\frac{3}{X-1}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Pôle multiple et facteur irréductible de degré $2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer en éléments simples sur $\\mathbb R$ la fraction rationnelle suivante : \n\n$$\\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}$$",
        "answer": "  On commence par réaliser la décomposition en éléments simples sur $\\mathbb C$.\n\nLes pôles sont $-1$ (double), $i$ et $-i$. La fraction rationnelle étant à coefficients réels, \n\nles parties polaires sont conjuguées. On a donc\n\n$$\\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}=1+\\frac{a}{(X+1)^2}+\\frac{b}{X+1}+\\frac{c}{X-i}+\\frac{\\bar c}{X+i}.$$\n\nMultipliant par $X-i$ et faisant $X=i$, on trouve\n\n$$c=\\frac{i^4+1}{(i+i)(i+1)^2}=-\\frac12.$$\n\nDe même, on a\n\n$$a=\\frac{1+1}{1+1}=1.$$\n\nEn retranchant $\\frac1{(X+1)^2}$, on trouve \n\n$$\\frac{X^4-X^2}{(X+1)^2(X^2+1)}=\\frac{X^2(X-1)}{(X+1)(X^2+1)}=1+\\frac{b}{X+1}+\\frac c{X-i}+\\frac{\\bar c}{X+i}.$$\n\nMultipliant par $X+1$ et faisant $X=-1$, on trouve\n\n$$b=-1.$$\n\nFinalement,\n\n$$\\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}=1+\\frac{1}{(X+1)^2}-\\frac{1}{X+1}-\\frac{1/2}{X-i}-\\frac{1/2}{X+i}.$$\n\nFinalement, en regroupant les deux derniers termes, on trouve la décomposition sur $\\mathbb R$ :\n\n$$\\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}=1+\\frac{1}{(X+1)^2}-\\frac{1}{X+1}-\\frac{X}{X^2+1}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Avec paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle\\mathbf{1.}\\quad \\frac{1}{X^n-1}&\n\n\\displaystyle\\quad\\quad\\mathbf{2.}\\quad\\frac{X^{n-1}}{X^n-1}&\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n Les pôles de $1/(X^n-1)$ sont les racines $n$-ièmes de l'unité, c'est-à-dire les complexes $x_k=e^{2ik\\pi/n}$, $k=0,\\dots,n-1$.\n\nChaque pôle est simple, la partie polaire correspondante est donc de la forme $\\frac{c_k}{X-x_k}$ avec $c_k=\\frac{1}{P'(x_k)}=\\frac{1}{nx_k^{n-1}}$.\n\nOr, $x_k^{n-1}=\\frac{x_k^n}{x_k}=\\frac1{x_k}=e^{-2ik\\pi/n}$. La décomposition en éléments simples recherché vaut donc\n\n$$\\frac1{X^n-1}=\\frac1n\\sum_{k=0}^{n-1}\\frac{e^{2ik\\pi/n}}{X-e^{2ik\\pi/n}}.$$\n\n Les racines de $X^n-1$ sont les complexes $\\omega_k=e^{2ik\\pi/n}$, $0\\leq k\\leq n-1$. \n\nLa fraction rationnelle admet donc $n$ pôles, qui sont tous simples. Sa décomposition en éléments simples a pour forme\n\n$$\\frac{X^{n-1}}{X^n-1}=\\sum_{k=0}^{n-1}\\frac{\\alpha_k}{X-\\omega_k}$$\n\navec $\\alpha_k=\\frac{\\omega_k^{n-1}}{n\\omega_k^{n-1}}=\\frac{1}{n}$. La décomposition en éléments simples est\n\n$$\\frac{X^{n-1}}{X^n-1}=\\frac1n\\sum_{k=0}^{n-1}\\frac{1}{X-e^{2ik\\pi/n}}.$$\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Avec paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle\\mathbf{1.}\\quad \\frac{X^m}{(X-1)^n}&\n\n\\displaystyle\\quad\\quad\\mathbf{2.}\\quad\\frac{1}{X(X+1)\\cdots (X+n)}&\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On écrit $X=(X-1)+1$ et on utilise la formule du binôme. Il vient \n\n$$X^m=\\big((X-1)+1\\big)^m =\\sum_{k=0}^m \\binom mk (X-1)^k.$$\n\nOn distingue alors deux cas pour l'écriture de la décomposition en éléments simples : si $m\\geq n,$ alors \n\n$$\\frac{X^m}{(X-1)^n}=\\sum_{k=n}^m \\binom mk (X-1)^{k-n}+\\sum_{k=0}^{n-1}\\frac{\\binom mk}{(X-1)^{n-k}},$$\n\nle premier terme étant la partie entière et le second la partie polaire.\n\nSi $m<n$, alors on écrit simplement\n\n$$\\frac{X^m}{(X-1)^n}=\\sum_{k=0}^{m}\\frac{\\binom mk}{(X-1)^{n-k}}.$$\n\n On peut écrire \n\n$$\\frac1{X(X+1)\\cdots (X+n)}=\\sum_{k=0}^n\\frac{a_k}{X+k}.$$\n\nReste à déterminer $a_k$ pour $k=0,\\dots,n$. Le plus simple ici, comme le dénominateur est déjà factorisé, est de multiplier par $X+k$ et de faire tendre $X$ vers $-k$. On obtient alors \n\n$$a_k=\\frac{1}{(-k)(-k+1)\\cdots(-k+(k-1)) (-k+(k+1))\\cdots (-k+n)}=\\frac{(-1)^k}{k!(n-k)!}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Avec paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante :\n\n$$\\frac{1}{(X-1)(X^n-1)}.$$",
        "answer": "  La fraction admet 1 comme pôle double et $\\omega_k=e^{2i\\pi k/n}$, $k=1,\\dots,n-1$ comme pôles simples. On commence par calculer le coefficient devant $(X-1)^2$. On écrit que la fraction est égale à \n\n$$\\frac{1}{(X-1)^2(1+X+\\dots+X^{n-1})}=\\frac{\\lambda}{(X-1)^2}+Q(X),$$\n\noù $1$ n'est pas pôle double de $Q$. Multipliant par $(X-1)^2$, on en déduit que\n\n$\\lambda=\\frac{1}{n}.$ Le coefficient devant $\\frac1{X-\\omega_k}$ est lui obtenu en dérivant le dénominateur, et en remplaçant par $\\omega_k$. On trouve :\n\n$$\\frac{1}{\\omega_k^n-1+(\\omega_k-1)n\\omega_k^{n-1}}=\\frac{\\omega_k}{n(\\omega_k-1)}.$$\n\nEnfin, pour calculer le terme en $\\frac1{X-1}$, on écrit que\n\n$$\\frac{1}{(X-1)^2(1+X+\\dots+X^{n-1})}-\\frac{1/n}{(X-1)^2}=\\frac{\\mu}{(X-1)}+R(X),$$\n\noù $1$ n'est plus un pôle de $R$. On a alors\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\frac{1}{(X-1)^2(1+X+\\dots+X^{n-1})}-\\frac{1/n}{(X-1)^2}\\\\\n\n=\\frac{n-(1+X+\\dots+X^{n-1})}{n(X-1)^2(1+X+\\dots+X^{n-1})}\\\\\n\n=-\\frac{(X-1)+(X^2-1)+\\dots+(X^{n-1}-1)}{n(X-1)^2(1+X+\\dots+X^{n-1})}\\\\\n\n=-\\frac{1+(1+X)+(1+X+X^2)+\\dots+(1+X+\\dots+X^{n-2})}{n(X-1)(1+X+\\dots+X^{n-1})}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nMultipliant par $X-1$ et faisant $X=1$, on trouve\n\n$$\\mu=-\\frac{1+2+\\dots+n-1}{n^2}=\\frac{1-n}{2n}.$$\n\nFinalement, la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle est donc :\n\n$$\\frac{1-n}{2n(X-1)}+\\frac{1}{n(X-1)^2}+\\sum_{k=1}^{n-1}\\frac{\\omega_k}{n(\\omega_k-1)}\\frac{1}{X-\\omega_k}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Calcul de primitives [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer une primitive des fonctions suivantes :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ \\displaystyle x\\mapsto \\frac{1}{1-x^2}\\textrm{ sur }]1,+\\infty[&\\quad\\quad&\\mathbf{2.}\\ \\displaystyle x\\mapsto\\frac x{x^3-7x+6}\\textrm{ sur }]2,+\\infty[.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  On va réaliser à chaque fois une décomposition en éléments simples.\n\n\n On peut factoriser $1-X^2$ en $(1-X)(1+X)$ et on sait qu'il existe des réels $a$ et $b$ de sorte que \n\n$$\\frac{1}{1-X^2}=\\frac{a}{X-1}+\\frac{b}{X+1}.$$\n\nNotons $Q(X)=1-X^2$, de sorte que $Q'(X)=-2X$. On a $a=1/Q'(1)=-1/2$ et $b=1/Q'(-1)=1/2.$ Ainsi, \n\n$$\\frac{1}{1-X^2}=\\frac{-1/2}{X-1}+\\frac{1/2}{X+1}.$$\n\nAinsi, une primitive de $x\\mapsto \\frac1{1-x^2}$ sur $]1,+\\infty[$ est la fonction \n\n$$x\\mapsto \\frac 12\\ln(x+1)-\\frac 12\\ln(x-1).$$\n\n On peut factoriser $X^3-7X+6$ en $(X+3)(X-1)(X-2)$ (pour cela, on remarque auparavant que $1$ est racine évidente par exemple). On en déduit qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que \n\n$$\\frac{X}{X^3-7X+6}=\\frac{a}{X+3}+\\frac{b}{X-1}+\\frac{c}{X-2}.$$\n\nPosons $P(X)=X$ et $Q(X)=X^3-7X+6$, de sorte que $Q'(X)=3X^2-7.$ Alors on a \n\n$$a=\\frac{P(-3)}{Q'(-3)}=-\\frac3{20},\\ b=\\frac{P(1)}{Q'(1)}=-\\frac 14,\\ \n\nc=\\frac{P(2)}{Q(2)}=\\frac 25.$$\n\nOn a donc \n\n$$\\frac{x}{x^3-7x+6}=-\\frac{3}{20(x+3)}-\\frac1{4(x-1)}+\\frac2{5(x-2)}.$$\n\nUne primitive de cette fonction sur $]2,+\\infty[$ est donc donnée par \n\n$$x\\mapsto -\\frac3{20}\\ln(x+3)-\\frac 14\\ln(x-1)+\\frac 25\\ln(x-2).$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Calcul d'intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $f(x)=\\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\\in ]1,+\\infty[$.\n\n\n Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle\n\n$$\\frac{5X^2+21X+22}{(X-1)(X+3)^2}$$\n\nen éléments simples.\n\n En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\\infty[$ qui s'annule en 2.\n\n",
        "answer": "  \n On écrit la décomposition a priori :\n\n$$\\frac{5X^2+21X+22}{(X-1)(X+3)^2}=\\frac{a}{X-1}+\\frac{b}{X+3}+\\frac{c}{(X+3)^2}.$$\n\nPour déterminer $a$, on multiplie par $X-1$ et on fait tendre $X$ vers $1$ : \n\non trouve \n\n$$a=\\frac{5+21+22}{4^2}=\\frac{48}{16}=3.$$\n\nPour déterminer $c$, on multiplie par $(X+3)^2$ et on trouve\n\n$$c=\\frac{45-63+22}{-4}=-1.$$\n\nPour déterminer $b$, on multiplie par $X$ et on fait tendre $X$ vers $+\\infty$. On a donc \n\n$$\\frac{3X}{X-1}+\\frac {bX}{X+3}-\\frac{X}{(X+3)^2}=\\frac{5X^3+21X^2+22X}{(X-1)(X+3)^2}.$$\n\nEn faisant tendre $X$ vers $+\\infty$, on obtient \n\n$$3+b=5\\iff b=2.$$\n\n On a donc obtenu, pour $x>1,$ $$f(x)=\\frac{3}{x-1}+\\frac{2}{x+3}-\\frac1{(x+3)^2}.$$\n\nOn intègre chacun des éléments simples de la décomposition précédente, en tenant compte du fait que l'on travaille sur l'intervalle $]1,+\\infty[$. Les primitives de $f$ sur cet intervalle sont donc les fonctions\n\n$$F(x)=3\\ln(x-1)+2\\ln(x+3)+\\frac{1}{x+3}+d.$$\n\nLa primitive qui s'annule en $2$ et celle pour laquelle $d$ vérifie l'équation \n\n$$3\\ln(1)+2\\ln 5+\\frac 15+d=0.$$\n\nLa primitive de $f$ sur l'intervalle $]1,+\\infty[$ qui s'annule en 2 est donc la fonction $F$ définie par\n\n$$F(x)=3\\ln(x-1)+2\\ln(x+3)+\\frac{1}{x+3}-2\\ln 5-\\frac 15.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Calcul d'intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $x>0,$ on pose \n\n$$f(x)=\\frac{x^4+x^3+4x^2+2x+2}{x^3+x}.$$\n\n\n Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle\n\n$$\\frac{X^4+X^3+4X^2+2X+2}{X^3+X}.$$\n\n En déduire la valeur de $\\int_1^2 f(x)dx.$\n\n",
        "answer": "  \n On commence par effectuer la division euclidienne de $X^4+X^3+4X^2+2X+2$ par $X^3+X$. On trouve que le quotient vaut $X+1$ et le reste vaut $3X2+X+2$. On a donc \n\n\\begin{align*}\n\n\\frac{X^4+X^3+4X^2+2X+2}{X^3+X}&=X+1+\\frac{3X^2+X+2}{X^3+X}\\\\\n\n&=X+1+\\frac{3X^2+X+2}{X(X-i)(X+i)}\\\\\n\n&=X+1+\\frac{a}{X}+\\frac{b}{X-i}+\\frac{\\bar b}{X+i}.\n\n\\end{align*}\n\nPosons $P(X)=3X^2+X+2$ et $Q(X)=X^3+X$. Alors $a=P(0)/Q'(0)=2,$\n\n$b=P(i)/Q'(i)=\\frac12-\\frac i2.$\n\nOn obtient\n\n\\begin{align*}\n\n\\frac{X^4+X^3+4X^2+2X+2}{X^3+X}&=X+1+\\frac{2}{X}+\\frac{1}2\\frac{1-i}{X-i}+\\frac 12\\frac{1+i}{X+i}\\\\\n\n&=X+1+\\frac 2X+\\frac{X+1}{X^2+1}.\n\n\\end{align*}\n\n On calcule l'intégrale en cherchant une primitive de chacun des termes précédents. On écrit encore\n\n$$\\frac{X+1}{X^2+1}=\\frac{X}{X^2+1}+\\frac{1}{X^2+1}.$$\n\nOn obtient donc\n\n\\begin{align*}\n\n\\int_1^2 f(x)dx&=\\left[\\frac{x^2}2+x+2\\ln(x)+\\frac{1}2\\ln(x^2+1)+\\arctan(x)\\right]_1^2\\\\\n\n&=\\frac 52+\\frac 32\\ln(2)+\\frac 12\\ln(5)+\\arctan(2)-\\frac \\pi4.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Dérivée $n$-ème d'une fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 1$. Déterminer la dérivée $n$-ème de la fonction suivante  :\n\n$$f(x)=\\frac{1}{x^2-3x+2}.$$ ",
        "answer": "  On va commencer par décomposer en éléments simples la fraction rationnelle\n\n$$\\frac{1}{X^2-3X+2}.$$\n\nOn peut factoriser $X^2-3X+2$ en $(X-1)(X-2).$ On a donc\n\n$$\\frac{1}{X^2-3X+2}=\\frac{a}{X-1}+\\frac b{X-2}.$$\n\nNotons $P(X)=X^2-3X+2$ de sorte que $P'(X)=2X-3$. Alors $a=\\frac1{P'(1)}=-1$ \n\net $b=\\frac 1{P'(2)}=1.$ Ainsi, on a\n\n$$f(x)=\\frac{1}{x-2}-\\frac 1{x-1}.$$\n\nD'autre part, il est facile de voir (par exemple par récurrence) que la dérivée $n$-ème de $x\\mapsto \\frac 1x$ est $x\\mapsto \\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}.$\n\nOn en déduit finalement que \n\n$$f^{(n)}(x)=\\frac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}}-\\frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Un calcul de somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\\displaystyle\\frac{1}{X(X+1)(X+2)}$.\n\n En déduire la limite de la suite $(S_n)$ suivante : $\\displaystyle S_n=\\sum_{k=1}^n \\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.\n\n",
        "answer": "  \n On sait que la fraction rationnelle admet une décomposition en éléments simples de la forme\n\n$$\\frac{a}{X}+\\frac{b}{X+1}+\\frac{c}{X+2}.$$\n\nPar les techniques usuelles (identification, multiplication par $X$ et faire $X=0$,...), on trouve\n\n$$\\frac{1}{X(X+1)(X+2)}=\\frac{1/2}X-\\frac{1}{X+1}+\\frac{1/2}{X+2}.$$\n\n Utilisant la décomposition en éléments simples précédente, il vient \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nS_n&=&\\sum_{k=1}^n \\frac{1/2}{k}-\\sum_{k=1}^n\\frac{1}{k+1}+\\sum_{k=1}^n \\frac{1/2}{k+2}\\\\\n\n&=&\\sum_{k=1}^n \\frac{1/2}{k}-\\sum_{k=2}^{n+1}\\frac{1}{k}+\\sum_{k=3}^{n+2} \\frac{1/2}{k}\\\\\n\n&=&\\frac12+\\frac14-\\frac{1}2-\\frac{1}{n+1}+\\frac{1/2}{n+1}+\\frac{1/2}{n+2}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn en déduit immédiatement que $(S_n)$ converge vers $\\frac14$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Un calcul de somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\\in\\mathbb R[X]$ un polynôme de degré $n\\geq 1$ possédant $n$ racines distinctes $x_1,\\dots,x_n$ non-nulles.\n\n\n Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\\displaystyle \\frac1{XP(X)}$.\n\n En déduire que $\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\frac{1}{x_k P'(x_k)}=\\frac{-1}{P(0)}$.\n\n\n",
        "answer": "  \n On écrit la forme à priori de la décomposition en éléments simples qui est ici\n\n$$\\frac{1}{XP(X)}=\\frac{\\alpha_0}{X}+\\sum_{k=1}^n \\frac{\\alpha_k}{X-x_k}.$$\n\nOn calcule $\\alpha_0$ en multipliant tout par $X$ et en faisant tendre $X$ vers 0, et on trouve\n\n$\\alpha_0=\\frac{1}{P(0)}$. Pour $k\\geq 1$, on multiplie tout par $X-x_k$ et on fait tendre $X$ vers $x_k$.\n\nOn trouve cette fois\n\n$$\\alpha_k=\\lim_{x\\to x_k} \\frac{x-x_k}{x_k P(x)}=\\lim_{x\\to x_k} \\frac{x-x_k}{x_k (P(x)-P(x_k))}=\\frac{1}{x_k P'(x_k)}.$$\n\nLa décomposition en éléments simples est donc \n\n$$\\frac{1}{XP(X)}=\\sum_{k=1}^n \\frac{1}{x_k P'(x_k)}\\times\\frac{1}{X-x_k}+\\frac{1}{P(0)}\\times\\frac{1}{X}.$$\n\n On va multiplier par $X$ cette fraction rationnelle, et on va étudier sa limite en $+\\infty$. On trouve d'une part\n\n$$\\lim_{x\\to+\\infty}\\frac x{xP(x)}=0$$\n\net d'autre part\n\n$$\\lim_{x\\to +\\infty}\\sum_{k=1}^n\\frac{1}{x_k P'(x_k)}\\times\\frac{x}{x-x_k}+\\frac{1}{P(0)}\\times\\frac{x}{x}=\\sum_{k=1}^n \\frac{1}{x_k P'(x_k)}+\\frac1{P(0)}.$$\n\nIdentifiant ces deux égalités, on trouve le résultat voulu!\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Racines des polynômes trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 1$, $a_0,\\dots,a_n,b_0,\\dots,b_n$ des réels et $P$ le polynôme trigonométrique défini par\n\n$$P(x)=\\sum_{k=0}^n\\big(a_k\\cos(kx)+b_k\\sin(kx)\\big).$$\n\nDémontrer que $P$ admet au plus $2n$ racines dans $[0,2\\pi[$.",
        "answer": "  D'après les formules d'Euler, on a\n\n\\begin{align*}\n\nP(x)&=\\sum_{k=0}^n\\left( \\frac{a_k}2(e^{ikx}+e^{-ikx})+\\frac{b_k}{2i}(e^{ikx}-e^{-ikx})\\right)\\\\\n\n&=\\sum_{k=0}^n\\left( \\frac{a_k}2\\left((e^{ix})^k+\\frac 1{(e^{ix})^k}\\right)+\\frac{b_k}{2i}\\left((e^{ix})^k-\\frac 1{(e^{ix})^k}\\right)\\right).\n\n\\end{align*}\n\nCeci incite à considérer la fraction rationnelle\n\n$$R(X)=\\sum_{k=0}^n\\left( \\frac{a_k}2\\left(X^k+\\frac 1{X^k}\\right)+\\frac{b_k}{2i}\\left(X^k-\\frac 1{X^k}\\right)\\right)$$\n\nde sorte que\n\n$$P(x)=R(e^{ix}).$$\n\n$R$ peut s'écrire $R=A/B$ où $\\deg(A)\\leq 2n$. Ainsi, $R$ admet au plus $2n$ racines. L'application $[0;2\\pi[\\to \\mathbb C$, $x\\mapsto e^{ix}$ étant injective,\n\ndes racines distinctes de $P$ dans  $[0;2\\pi[$ donnent des racines distinctes de $P$. Donc $P$ admet au plus $2n$ racines dans $[0,2\\pi[$.\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Somme de l'inverse des dérivées aux racines [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P(X)=\\prod_{k=1}^{n}(X-x_k)\\in\\mathbb R_n[X]$ un polynôme scindé à racines simples de degré $n\\geq 2$.\n\n\n Décomposer en éléments simples $1/P$.\n\n En déduire la valeur de $\\sum_{k=1}^n \\frac1{P'(x_k)}$.\n\n",
        "answer": "  \n Les racines de $P$ étant simples, on a \n\n$$P(X)=\\sum_{k=1}^n \\frac{\\lambda_k}{X-x_k}.$$\n\nDe plus, pour tout $k=1,\\dots,n$,\n\n$$\\lambda_k=\\lim_{x\\to x_k}\\frac{x-x_k}{P(x)}=\\frac 1{P'(x_k)}.$$\n\n Multipliant par $X$, on a pour tout $x\\in\\mathbb R$,\n\n$$\\frac x{P(x)}=\\sum_{k=1}^n \\frac 1{P'(x_k)}\\times \\frac x{x-x_k}.$$\n\nFaisons tendre $x$ vers $+\\infty$. Puisque $\\deg(P)\\geq 2$, on obtient\n\n$$\\sum_{k=1}^n \\frac1{P'(x_k)}=0.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Polynôme et dérivé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Décomposer en éléments simples la fraction $\\frac{P'}P$, où $P$ est un polynôme de $\\mathbb C[X]$.\n\n En déduire les polynômes $P\\in\\mathbb C[X]$ tels que $P'|P$.\n\n",
        "answer": "  \n On va étudier séparément les parties polaires relatives à chaque racine. Soit donc $a$ une racine de $P$,\n\nde multiplicité $m$. Alors on peut factoriser $P$ en $P(X)=(X-a)^m Q(X)$, soit en dérivant \n\n$P'(X)=m(X-a)^{m-1}Q(X)+(X-a)^m Q'(X)$. On trouve alors\n\n$$\\frac{P'(X)}{P(X)}=\\frac{m}{X-a}+\\frac{Q'(X)}{Q(X)}.$$\n\nOr, $a$ n'est pas racine de $Q$, donc $Q'/Q$ n'admet pas $a$ pour pôle et $\\frac{m}{X-a}$ est la partie\n\npolaire de $P'/P$ relative à $a$. En résumé, si $P(X)=\\lambda(X-a_1)^{m_1}\\dots (X-a_p)^{m_p}$, alors on trouve\n\n$$\\frac{P'}{P}=\\sum_{i=1}^p \\frac{m_i}{X-a_i}.$$\n\n Si $P'|P$, alors $P(X)=\\lambda(X-a)P'$ (car $\\deg P'=\\deg P-1$) et $P'/P=\\frac{1/\\lambda}{X-a}$. \n\nPar unicité de la décomposition en éléments simples et le résultat de la question précédente, \n\nceci entraîne que $a$ est l'unique racine de $P$, et\n\ndonc que $P(X)=\\lambda (X-a)^m$. Réciproquement, les polynômes de cette forme sont tels que $P'|P$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Enveloppe convexe des zéros [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\\in\\mathbb C_n[X]$ admettant $n$ racines simples $\\alpha_1,\\dots,\\alpha_n$.\n\nSoient $A_1,\\dots,A_n$ les points du plan complexe d'affixe respectives $\\alpha_1,\\dots,\\alpha_n$.\n\n\n Décomposer la fraction rationnelle $P'/P$ en éléments simples.\n\n Soit $\\beta$ une racine de $P'$, et soit $B$ son image dans le plan complexe. Déduire de la question précédente que \n\n$$\\sum_{j=1}^n \\frac{1}{\\beta-\\alpha_j}=0.$$\n\n En déduire que $B$ est un barycentre de la famille de points $(A_1,\\dots,A_n)$, avec des coefficients positifs.\n\nInterpréter géométriquement cette propriété.\n\n",
        "answer": "  \n  On va étudier séparément les parties polaires relatives à chaque racine. \n\nOn peut factoriser $P$ en $P(X)=(X-\\alpha_j) Q(X)$, soit en dérivant \n\n$P'(X)=Q(X)+(X-\\alpha_j) Q'(X)$. On trouve alors\n\n$$\\frac{P'(X)}{P(X)}=\\frac{1}{X-\\alpha_j}+\\frac{Q'(X)}{Q(X)}.$$\n\nOr, $\\alpha_j$ n'est pas racine de $Q$, donc $Q'/Q$ n'admet pas $\\alpha_j$ pour pôle et $\\frac{1}{X-\\alpha_j}$ est la partie\n\npolaire de $P'/P$ relative à $a$. En résumé, la décomposition en éléments simples recherchée est\n\n$$\\frac{P'}{P}=\\sum_{j=1}^p \\frac{1}{X-\\alpha_j}.$$\n\n Il suffit d'évaluer l'équation précédente en $\\beta$.\n\n On multiplie par la quantité conjuguée et on trouve\n\n$$\\sum_{j=1}^n \\frac{\\bar\\beta-\\bar\\alpha_j}{|\\beta-\\alpha_j|^2}=0.$$\n\nPrenant le conjugué de cette expression, on trouve :\n\n$$\\left(\\sum_{j=1}^n \\frac{1}{|\\beta-\\alpha_j|^2}\\right)\\beta=\\sum_{j=1}^n \\frac{1}{|\\beta-\\alpha_j|^2}\\alpha_j,$$\n\nce qui correspond bien au résultat souhaité. On vient donc de prouver que toute racine de $P'$ est dans l'enveloppe convexe des racines de $P$.\n\nCe résultat s'appelle le théorème de Lucas, il est aussi valide si les racines de $P$ ne sont pas simples. La preuve\n\nest similaire, si ce n'est que la décomposition en éléments simples de $P'/P$ est plus difficile à obtenir.\n\nC'est un bon exercice!\n"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Un exemple de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On définit, pour $(x,y)$ et $(x',y')$ dans $\\mathbb R^*\\times\\mathbb R$, \n\n$$(x,y)\\star (x',y')=(xx',xy'+y).$$\n\n\n Démontrer que $(\\mathbb R^*\\times \\mathbb R,\\star)$ est un groupe. Est-il commutatif?\n\n Simplifier $(x,y)^n$ pour tout $(x,y)\\in\\mathbb R^*\\times\\mathbb R$ et tout $n\\in\\mathbb N^*$.\n\n",
        "answer": "  \n On n'a pas affaire à une loi \"classique\" et donc on ne peut pas démontrer qu'on a un sous-groupe d'un groupe connu. Il faut donc vérifier à la main les trois propriétés d'un groupe ainsi que le fait qu'il s'agit bien d'une loi interne.\n\n\n Si $(x,y)$ et $(x',y')$ sont dans $\\mathbb R^*\\times \\mathbb R$, alors $xx'\\in\\mathbb R^*$ et $xy'+y\\in\\mathbb R$ et donc il s'agit bien d'une loi interne.\n\n La loi $\\star$ est associative : en effet, si $(x,y)$, $(x',y')$ et \n\n$(x'',y'')$ sont dans $\\mathbb R^*\\times\\mathbb R$, alors d'une part\n\n\\begin{align*}\n\n\\big( (x,y)\\star (x',y')\\big)\\star (x'',y'')&=\n\n(xx',xy'+y)\\star (x'',y'')\\\\\n\n&=(xx'x'',xx'y''+xy'+y)\n\n\\end{align*}\n\net d'autre part\n\n\\begin{align*}\n\n (x,y)\\star \\big((x',y')\\star (x'',y'')\\big)&=\n\n(x,y)\\star (x'x'',x'y''+y')\\\\\n\n&=(xx'x'',x(x'y''+y')+y)\\\\\n\n&=(xx'x'',xx'y''+xy'+y).\n\n\\end{align*}\n\n La loi possède un élément neutre, qui est $(1,0)$. Il est en effet facile de vérifier que \n\n$$(x,y)\\star (1,0)=(1,0)\\star (x,y)=(x,y).$$\n\n Tout élément $(x,y)$ possède un inverse. Expliquons comment le trouver. Il n'est pas très difficile de remarquer qu'il doit s'écrire sous la forme $(1/x,a)$. De\n\n$$(x,y)\\star (1/x,a)=(1,xa+y)$$\n\non voit qu'on doit avoir $xa+y=0$ et donc $a=-y/x$. On vérifie alors que $(1/x,-y/x)$ est un inverse de $(x,y)$ : \n\n$$(x,y)\\star (1/x,-y/x)=(1/x,-y/x)\\star (x,y)=(1,0).$$\n\n\n\nLe groupe n'est pas commutatif. En effet on a \n\n$$(1,1)\\star (2,1)=(2,2)$$ \n\nalors que \n\n$$(2,1)\\star (1,1)=(2,3).$$\n\n On remarque que \n\n$$(x,y)^2=(x^2,xy+y)\\textrm{ et }(x,y)^3=(x^3,x^2y+xy+y).$$\n\nOn prouve alors par récurrence sur $n\\in\\mathbb N^*$ que\n\n$$(x,y)^n=(x^n,x^{n-1}y+x^{n-2}y+\\cdots+xy+y).$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Exemples de groupes - avec des fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Les ensembles suivants munis des lois considérées sont-ils des groupes?\n\n\n $G$ est l'ensemble des fonctions de $\\mathbb R\\to\\mathbb R$ définies par $x\\mapsto ax+b$, avec $a\\in\\mathbb R^*$ et $b\\in\\mathbb R$, muni de la composition;\n\n $G$ est l'ensemble des fonctions croissantes de $\\mathbb R$ dans $\\mathbb R$, muni de l'addition;\n\n $G=\\{f_1,f_2,f_3,f_4\\}$, où\n\n$$f_1(x)=x,\\ f_2(x)=-x,\\ f_3(x)=\\frac 1x,\\ f_4(x)=-\\frac 1x,$$\n\nmuni de la composition.\n\n",
        "answer": "  \n On remarque d'abord que la composition est une loi de composition interne pour $G$. En effet,\n\n$$(ax+b)\\circ (cx+d)=acx+(ad+b).$$\n\nLa loi $\\circ$ est clairement associative (pour toutes les fonctions $f:\\mathbb R\\to\\mathbb R$, on a effectivement $f\\circ(g\\circ h)=(f\\circ g)\\circ h$. La fonction $x\\mapsto x$ est un élément neutre, et l'inverse de $x\\mapsto ax+b$ est donné par $x\\mapsto \\frac 1a x-\\frac ba$ - on trouve cet élément en résolvant le système (d'inconnues $c$ et $d$) \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nac&=&1\\\\\n\nad+b&=&0.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\n On aurait aussi pu démontrer que $G$ est un sous-groupe du groupe des permutations de $\\mathbb R$.\n\n Imaginons que $G$ soit un groupe. Son élément neutre est alors forcément la fonction identiquement nulle. Mais prenons la fonction $f(x)=x$ (qui est bien croissante). Son inverse serait la fonction $f(x)=-x$, qui n'est pas croissante! Donc $(G,+)$ n'est pas un groupe.\n\n Calculons d'abord le résultat des différentes compositions :\n\n$$f_1\\circ f_1=f_1,\\ f_1\\circ f_2=f_2\\circ f_1=f_2,\\ f_1\\circ f_3=f_3\\circ f_1=f_3,\\ f_1\\circ f_4=f_4\\circ f_1=f_4$$\n\n$$f_2\\circ f_2=f_1,\\ f_2\\circ f_3=f_3\\circ f_2=f_4,\\ f_2\\circ f_4=f_4\\circ f_2=f_3$$\n\n$$f_3\\circ f_3=f_1,\\ f_3\\circ f_4=f_4\\circ f_3=f_2$$\n\n$$f_4\\circ f_4=f_1.$$\n\nDe ces calculs, on tire que :\n\n\n $\\circ$ est bien une loi de composition interne pour $G$. Elle est de plus clairement associative.\n\n $f_1$ est élément neutre pour cette loi.\n\n Chaque élément admet un inverse : lui-même!\n\n\n\n$(G,\\circ)$ est bien un groupe. On pourrait démontrer, toujours à partir du résultat des différentes compositions, qu'il est isomorphe au groupe classique $\\mathbb Z/2\\mathbb Z\\times \\mathbb Z/2\\mathbb Z$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Exemples de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Montrer que les lois suivantes munissent l'ensemble $G$ indiqué d'une structure de groupe, et préciser s'il est abélien :\n\n\n $x\\star y=\\frac{x+y}{1+xy}$ sur $G=]-1,1[$;\n\n $(x,y)\\star (x',y')=(x+x',ye^{x'}+y'e^{-x})$ sur $G=\\mathbb R^2$;\n\n",
        "answer": "  \n $(G,\\star)$ est un groupe car \n\n\n $\\star$ est une loi de composition interne sur $G$ : en effet, si $x,y\\in G$, alors \n\n$x\\star y\\in G$. Pour prouver cela, fixons $y\\in[-1,1]$ et étudions la fonction définie sur $[-1,1]$ par \n\n$$f(t)=\\frac{t+y}{1+ty}.$$\n\nElle est dérivable sur $[-1,1]$, et sa dérivée vérifie \n\n$$f'(t)=\\frac{1-y^2}{(1+ty)^2}> 0\\textrm{ sur }]-1,1[.$$\n\n$f$ est donc strictement croissante sur $[-1,1]$ et on a \n\n$$f(-1)< x\\star y=f(x)< f(1).$$\n\nComme $f(-1)=(-1+y)/(1-y)=-1$ et $f(1)=(1+y)/(1+y)=1$, on obtient bien que $x\\star y\\in G$.\n\n la loi est associative : pour tout $(x,y,z)\\in G^3$,\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nx\\star (y\\star z)&=&\\frac{x+(y\\star z)}{1+x(y\\star z)}\\\\\n\n&=&\\frac{x+\\frac{y+z}{1+yz}}{1+x\\frac{y+z}{1+yz}}\\\\\n\n&=&\\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz},\n\n\\end{eqnarray*}\n\net un calcul similaire donne le même résultat pour $(x\\star y)\\star z$.\n\n $0$ est un élément neutre pour la loi $\\star$. En effet, \n\n$$x\\star 0=0\\star x=\\frac{x+0}{1+0}=x.$$\n\n Tout élément $x\\in G$ est inversible, d'inverse $-x$. En effet, on a\n\n$$x\\star (-x)=(-x)\\star x=\\frac{x-x}{1-x^2}=0.$$\n\n\n\nDe plus, le groupe est clairement abélien.\n\n Il est clair que $\\star$ est une loi de composition interne sur $\\mathbb R^2$. De plus,\n\n\n cette loi est associative : \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n(x,y)\\star \\big((x',y')\\star (x'',y'')\\big)&=&(x,y)\\star (x'+x'',y'e^{x''}+y''e^{-x'})\\\\\n\n&=&(x+x'+x'',ye^{x'+x''}+y'e^{x''}e^{-x}+y''e^{-x'}e^{-x})\\\\\n\n&=&(x+x'+x'',ye^{x'+x''}+y'e^{-x+x''}+y''e^{-x-x'}).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nDe même,\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\big((x,y)\\star (x',y')\\big)\\star (x'',y'')&=&(x+x',ye^{x'}+y'e^{-x})\\star (x'',y'')\\\\\n\n&=&(x+x'+x'',(ye^{x'}+y'e^{-x})e^{x''}+y''e^{-x-x'})\\\\\n\n&=&(x+x'+x'',ye^{x'+x''}+y'e^{-x+x''}+y''e^{-x-x'})\n\n\\end{eqnarray*}\n\net donc on a bien $(x,y)\\star \\big((x',y')\\star (x'',y'')\\big)=\\big((x,y)\\star (x',y')\\big)\\star (x'',y'')$.\n\n $(0,0)$ est un élément neutre de $G$ :\n\n$$(x,y)\\star (0,0)=(x+0,ye^{0}+0e^{-x})=(x,y)$$\n\n$$(0,0)\\star (x,y)=(0+x,0e^{x}+ye^{-0})=(x,y).$$\n\n Tout élément $(x,y)\\in G$ admet un inverse donnée par $(-x,-y)$. En effet,\n\n$$(x,y)\\star (-x,-y)=(x-x,ye^{-x}-ye^{-x})=(0,0),$$\n\n$$(-x,-y)\\star (x,y)=(-x+x,-ye^{x}+ye^{x})=(0,0).$$\n\n\n\nDe plus, le groupe n'est pas abélien, car \n\n$$(1,0)\\star (0,1)=(1,e^{-1})\\textrm{ tandis que }(0,1)\\star (1,0)=(1,e^{1}).$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Un élément est son propre inverse [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit  $G$ un groupe fini dont l'élément neutre est noté $e$. On suppose que le cardinal de $G$ est pair. Démontrer qu'il existe $x\\in G$ avec $x\\neq e$ tel que $x=x^{-1}$.",
        "answer": "  Notons, pour $x\\in G$, $F_x=\\{x,x^{-1}\\}$. Alors il est facile de voir que l'on a ou bien $F_x=F_y$, ou bien $F_x\\cap F_y=\\varnothing$ pour tout $x,y\\in G$. En effet, si $x=y^{-1}$, alors $x^{-1}=y$ et on a bien $F_x=F_y$. $G$ s'écrit alors comme la réunion disjointe de tous les $F_x$ différents. Au moins l'un parmi ces $F_x$ est de cardinal 1 : il s'agit de $F_e$. Si tous les autres étaient de cardinal 2, alors le groupe serait de cardinal impair, ce qui n'est pas le cas. Il existe donc $x\\neq e$ tel que le cardinal de $F_x$ soit égal à 1, c'est-à-dire tel que $x=x^{-1}$.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Tout élément est régulier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un ensemble fini muni d'une loi de composition interne $\\star$ associative.\n\nOn dit qu'un élément $a$ de $G$ est régulier si les deux conditions suivantes sont réalisées :\n\n\n l'égalité $a\\star x=a\\star y$ entraine $x=y$;\n\n l'égalité $x\\star a=y\\star a$ entraine $x=y$.\n\n\n\nOn suppose que tous les éléments de $G$ sont réguliers, et on fixe $a\\in G$.\n\n\n Démontrer qu'il existe $e\\in G$ tel que $a\\star e=a$.\n\n Démontrer que, pour tout $x\\in G$, on a $e\\star x=x$.\n\n Démontrer que, pour tout $x\\in G$, on a $x\\star e=x$.\n\n Démontrer que $(G,\\star)$ est un groupe.\n\n Le résultat subsiste-t-il si $G$ n'est pas fini?\n\n",
        "answer": "  \n Considérons l'application $\\phi:G\\to G,\\ x\\mapsto a\\star x$. L'hypothèse nous dit que $\\phi$ est injective. Puisque $G$ est fini, et que $\\phi$ va de $G$ dans lui-même, elle est aussi surjective, et donc il existe $e\\in G$ tel que $a\\star e=\\phi(e)=a$.\n\n On a $a\\star e\\star x=a\\star x$ (car la loi est associative) et donc, puisque $a$ est régulier, on a\n\n$e\\star x=x$.\n\n On a $x\\star e\\star a=x\\star a$ d'après la question précédente, et donc puisque $a$ est régulier, on a $x\\star e=x$.\n\n Il suffit désormais de prouver que tout élément est inversible. Soit $b\\in G$. Puisque $x\\mapsto b\\star x$ est injective, donc\n\nsurjective, il existe $c\\in G$ tel que $b\\star c=e$. De plus, on a $c\\star b\\star c=c\\star e=c$, et donc puisque $c$ est régulier, on en déduit\n\nque $c\\star b=e$. Ainsi, $c$ est un inverse de $b$.\n\n Non, ce n'est pas vrai, car $(\\mathbb N,+)$ vérifie que tout élément est régulier, mais ce n'est pas un groupe.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Minimisation des axiomes d'un groupe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\\cdot$ associative, qui possède un élément neutre à droite $e$ (ie pour tout $x$ de $G$, $x.e=x$) et tel que tout élément $x$ possède un inverse à droite $x'$ (ie $xx'=e$). Montrer que $G$ est un groupe.",
        "answer": "  Soit $x\\in G$, d'inverse à droite $x'$. On va prouver que $x'$ est aussi un inverse à gauche pour $x$. $x'x$ est un élément de $G$, il possède donc un inverse à droite que l'on note $z$. On a donc :\n\n$$x((x'x).z)=x\\implies (xx')x.z=x\\implies e.x.z=x,$$\n\npar associativité de la loi. On multiplie ensuite à gauche par $x'$, pour trouver :\n\n$$(x'x)z=x'x\\implies e=x'x.$$\n\nOn en déduit ensuite que $e$ est aussi neutre à gauche, car si $x$ est dans $G$,\n\n$$ex=(xx'x)=xe=x,$$\n\noù on a encore utilisé l'associativité de la loi et le fait que $e$ est un inverse à droite. \n"
    },
    {
        "question": " 7  - Sous-groupes ou non? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dans les questions suivantes, déterminer si la partie $H$ est un sous-groupe du groupe $G$.\n\n\n $G=(\\mathbb Z,+)$; $H=\\{\\textrm{nombres pairs}\\}$.\n\n  $G=(\\mathbb Z,+)$; $H=\\{\\textrm{nombres impairs}\\}$.\n\n  $G=(\\mathbb R,+)$; $H=[-1,+\\infty[$.\n\n  $G=(\\mathbb R^*,\\times)$; $H=\\mathbb Q^*$.\n\n  $G=(\\{\\textrm{bijections de $E$ dans $E$}\\},\\circ)$; $H=\\{f\\in G;\\ f(x)=x\\}$ où $E$ est un ensemble et $x\\in E$.\n\n  $G=(\\{\\textrm{bijections de $E$ dans $E$}\\},\\circ)$; $H=\\{f\\in G;\\ f(x)=y\\}$ où $E$ est un ensemble et $x,y\\in E$ avec $x\\neq y$.\n\n",
        "answer": "  \n $H$ est un sous-groupe de $G$. En effet, $0\\in H$, si $x,y\\in H$, alors $-x$ et $x+y$ sont deux entiers pairs\n\n et donc $-x\\in H$, $x+y\\in H$. Le théorème de caractérisation des sous-groupes nous dit que $H$ est un sous-groupe de $G$.\n\n  $0\\notin H$ et donc $H$ n'est pas un sous-groupe de $G$.\n\n  $2\\in H$ et $-2\\notin H$ : $H$ n'est pas un sous-groupe de $G$.\n\n  $1\\in H$. Si $x=p/q$ et $y=p'/q'$ sont deux rationnels non-nuls, alors $1/x=q/p$ et $x\\times y=\\frac{p\\times p'}{q\\times q'}$\n\n sont deux rationnels non nuls. $H$ est un sous-groupe de $G$.\n\n  $Id_E$, l'élément neutre de $G$, est élément de $H$. De plus, si $f,g\\in H$, alors \n\n $$f(x)=x\\implies f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x)\\implies f^{-1}(x)=x$$\n\n et\n\n $$f\\circ g(x)=f(g(x))=f(x)=x.$$\n\n Ainsi, $f^{-1}$ et $f\\circ g$ sont éléments de $H$, et $H$ est un sous-groupe de $G$.\n\n  L'élément neutre de $G$, $Id_E$, n'est pas élément de $H$ qui n'est donc pas un sous-groupe de $G$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Sous-groupes du groupe des matrices inversibles? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dire si les parties suivantes de $GL_n(\\mathbb R)$ sont des sous-groupes de $GL_n(\\mathbb R)$.\n\n\n $H_1=\\{A\\in GL_n(\\mathbb R);\\ A\\textrm{ diagonale avec tous ses coefficients diagonaux non-nuls}\\}.$\n\n  $H_2=\\left\\{\\begin{pmatrix}a&b\\\\0&1\\end{pmatrix};\\ a>0,\\ b\\in\\mathbb R\\right\\}$ (ici, $n=2$).\n\n  $H_3=\\left\\{\\begin{pmatrix}0&1\\\\a&b\\end{pmatrix};\\ a>0,\\ b\\in\\mathbb R\\right\\}$ (ici, $n=2$).\n\n\n",
        "answer": "  Remarquons pour commencer que nous avons bien affaire à des parties de $GL_n(\\mathbb R)$. \n\nOn va appliquer le théorème de caractérisation des sous-groupes pour vérifier si ce sont, ou non, des sous-groupes.\n\n\n\n\n Notons $D(\\lambda_1,\\dots,\\lambda_n)$ la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont $\\lambda_1,\\dots,\\lambda_n$. Les éléments de \n\n $H_1$ sont les matrices $D(\\lambda_1,\\dots,\\lambda_n)$ avec tous les $\\lambda_i$ non nuls.\n\nAlors on remarque que $I_n=D(1,\\dots,1)\\in H_1$, que si $D(\\lambda_1,\\dots,\\lambda_n)$, $D(\\mu_1,\\dots,\\mu_n)\\in H_1$, alors\n\n$$D(\\lambda_1,\\dots,\\lambda_n)\\cdot D(\\mu_1,\\dots,\\mu_n)=D(\\lambda_1\\mu_1,\\dots,\\lambda_n\\mu_n)\\in H_1$$\n\n$$D(\\lambda_1,\\dots,\\lambda_n)^{-1}=D(1/\\lambda_1,\\dots,1/\\lambda_n)\\in H_1.$$\n\nAinsi, $H_1$ est bien un sous-groupe de $GL_n(\\mathbb R)$.\n\n Notons $M(a,b)$ la matrice $\\begin{pmatrix}a&b\\\\0&1\\end{pmatrix}$ de sorte que $H_2$ est l'ensemble des matrices $M(a,b)$ avec $a>0$ et $b\\in\\mathbb R$.\n\nAlors on a $M(a,b)M(c,d)=M(ac,ad+b)$. Ainsi, on remarque que $I_2=M(1,0)\\in H_2$, que si $M(a,b)$ et $M(c,d)$ sont dans $H_2$, alors leur produit est dans $H_2$\n\n(car $ac>0$). De plus, calculant l'inverse de la matrice $M(a,b)$, on trouve\n\n$$M(a,b)^{-1}=M\\left(\\frac 1a,\\frac{-b}a\\right)\\in H_2.$$\n\nOn en déduit que $H_2$ est un sous-groupe de $GL_2(\\mathbb R)$.\n\n Remarquons que $I_2\\notin H_3$. Ainsi, $H_3$ n'est pas un sous-groupe de $GL_2(\\mathbb R)$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Quelques exemples de sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer pour chaque question que $H$ est un sous-groupe de $G$.\n\n\n $G=(\\mathbb C^*,\\times)$ et $H=\\{z\\in \\mathbb C^*:\\ \\exists n\\in\\mathbb N,\\ z^n=1\\}.$\n\n  $G=(\\mathbb R^*,\\times)$ et $H=\\{a+b\\sqrt 2:\\ a,b\\in\\mathbb Q,\\ (a,b)\\neq (0,0)\\}$.\n\n",
        "answer": "  \n On commence par vérifier que $H\\subset G$ (c'est-à-dire que $0\\notin H$). On vérifie ensuite que $1\\in H$ puisque $1^1=1$. Soit $z_1,z_2\\in H$. Alors il existe $n_1\\in\\mathbb N$ et $n_2\\in\\mathbb N$ tels que $z_1^{n_1}=1$ et $z_2^{n_2}=1$ (attention! on n'a pas forcément $n_1=n_2$). Mais alors \n\n$$(z_1z_2)^{n_1n_2}=(z_1^{n_1})^{n_2}(z_2^{n_2})^{n_1}=1^{n_2}1^{n_1}=1.$$\n\nAinsi, $z_1z_2\\in H$. De plus,\n\n$$\\left(\\frac 1z_1\\right)^{n_1}=\\frac{1}{z_1^{n_1}}=1$$\n\net donc $1/z_1\\in H$. Ainsi, $H$ est bien un sous-groupe de $G$.\n\n $1=1+0\\sqrt 2\\in H$ (attention! la condition $(a,b)\\neq (0,0)$ signifie qu'on ne peut pas avoir $a=0$ ET $b=0$ en même temps, mais il est tout à fait possible de prendre $a=1$ et $b=0$). Si $x=a+b\\sqrt 2$ et $y=c+d\\sqrt 2$ sont éléments de $H$, alors \n\n $$\\frac 1x=\\frac{1}{a+b\\sqrt 2}=\\frac{a-b\\sqrt 2}{a^2-2b^2}=\\frac{a}{a^2-2b^2}+\\frac{-b}{a^2-2b^2}\\sqrt 2$$\n\n est lui aussi un élément de $H$ (on n'a $a^2-2b^2\\neq 0$ si $(a,b)\\neq (0,0)$ car $\\sqrt 2$ est irrationnel). De même, $xy\\in H$ puisque \n\n $$xy=(ac+2bd)+(ad+bc)\\sqrt 2$$\n\n est un élément de $H$. Remarquons que l'on ne peut pas avoir $ac+2bd=0$ et $ad+bc=0$, sinon on aurait $xy=0$ et donc ou bien $x=0$ ou bien $y=0$\n\n ce qui n'est pas le cas. Ainsi $H$ est un sous-groupe de $G$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Exemple de groupes - centre d'un groupe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Montrer que l'ensemble $G$ des matrices de la forme $\\begin{pmatrix}1&x&z\\\\0&1&y\\\\ 0&0&1\\end{pmatrix}$ est un groupe pour le produit matriciel. Déterminer son centre, c'est-à-dire les matrices $A$ de $G$ telles que $AB=BA$ pour tout $B\\in G.$",
        "answer": "  On va démontrer que $G$ est un sous-groupe de $GL_3(\\mathbb R)$. En effet, \n\n$I_3\\in G$. De plus, si $A=\\begin{pmatrix}1&x&z\\\\0&1&y\\\\ 0&0&1\\end{pmatrix}$\n\net $B=\\begin{pmatrix}1&x'&z'\\\\0&1&y'\\\\ 0&0&1\\end{pmatrix}$, alors \n\n$$AB=\\begin{pmatrix}1&x+x'&z+z'+xy'\\\\0&1&y+y'\\\\ 0&0&1\\end{pmatrix}$$\n\nest bien un élément de $G.$ De plus, le calcul précédent montre que \n\n$$A^{-1}=\\begin{pmatrix}1&-x&-z+xy\\\\0&1&-y\\\\ 0&0&1\\end{pmatrix}$$\n\net donc que $A^{-1}$ est un élément de $G.$\n\nSoit maintenant $A=\\begin{pmatrix}1&x&z\\\\0&1&y\\\\ 0&0&1\\end{pmatrix}\\in G.$\n\nAlors $A$ est dans le centre de $G$ si et seulement si, pour tout $B=\\begin{pmatrix}1&x'&z'\\\\0&1&y'\\\\ 0&0&1\\end{pmatrix}$, $AB=BA.$\n\nLe seul coefficient qui diffère entre $AB$ et $BA$ est le coefficient à droite de la première ligne, et on trouve \n\n$$AB=BA\\iff xy'=x'y.$$\n\nChoisissant $y'=1$ et $x'=0$, on trouve $x=0$ puis choisissant $x'=1$ et $y'=0$, on trouve $y=0$. Réciproquement, si $x=y=0,$ on a bien $AB=BA.$ Le centre de \n\n$G$ est donc constitué des matrices $\\begin{pmatrix}1&0&z\\\\0&1&0\\\\ 0&0&1\\end{pmatrix}.$\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Quelques sous-groupes usuels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(G,\\cdot)$ un groupe. Démontrer que les parties suivantes sont des sous-groupes de $G$ :\n\n\n $C(G)=\\{x\\in G;\\ \\forall y\\in G, xy=yx\\}$ ($C(G)$ s'appelle le centre de $G$);\n\n $aHa^{-1}=\\{aha^{-1};\\ h\\in H\\}$ où $a\\in G$ et $H$ est un sous-groupe de $G$.\n\n On suppose de plus que $G$ est commutatif. On dit que $x$ est un élément de torsion de $G$ s'il existe $n\\in\\mathbb N^*$ tel que $x^n=e$. Démontrer que l'ensemble des éléments de torsion de $G$ est un sous-groupe de $G$.\n\n",
        "answer": "  Il suffit, pour chaque cas, d'appliquer le théorème de caractérisation des sous-groupes.\n\n\n $e$ est élément de $C(G)$ car $ey=ye=y$ pour tout $y\\in G$. Soient $x_1,x_2\\in C(G)$. Alors, \n\npour tout $y\\in G$, on a \n\n$$x_1x_2y=x_1(x_2y)=(x_1y)x_2=yx_1x_2$$\n\net donc $x_1x_2\\in C(G)$. Enfin, si $x\\in C(G)$, alors pour tout $y\\in G$,\n\n$$xy=yx\\implies xyx^{-1}=yxx^{-1}=y\\implies x^{-1}xyx^{-1}=x^{-1}y\\implies yx^{-1}=x^{-1}y$$\n\noù on a multiplié à droite puis à gauche par $x^{-1}$. On en déduit que $x^{-1}\\in C(G)$ qui est donc\n\nun sous-groupe de $G$.\n\n Puisque $H$ est un sous-groupe de $G$, $e\\in H$ et donc $aea^{-1}\\in aHa^{-1}$. Mais $aea^{-1}=e$ et donc $e\\in aHa^{-1}$.\n\nSoient $x=aha^{-1}$ et $y=ah'a^{-1}$ deux éléments de $aHa^{-1}$ avec donc $h,h'\\in H$.\n\nOn a \n\n$$xy=aha^{-1}ah'a^{-1}=ahh'a^{-1}\\in aHa^{-1}$$\n\npuisque $hh'\\in H$ ($H$ est un sous-groupe de $G$). Enfin, si on choisit $h'=h^{-1}$, le calcul précédent montre que \n\n$$xy=yx=e$$\n\net donc $x^{-1}=y\\in aHa^{-1}$\n\npuisque $h^{-1}\\in H$. $aHa^{-1}$ est donc bien un sous-groupe de $G$.\n\n Notons $T$ l'ensemble des éléments de torsion de $G$. On a $e^1=e$, donc $e\\in T$. De plus, si $x,y\\in T$, avec respectivement $x^n=e$ et $y^m=e$, il suffit de remarquer que \n\n$$(y^{-1})^m=(y^m)^{-1}=e^{-1}=e$$\n\npuis d'utiliser le fait que $x$ et $y^{-1}$ commutent pour prouver que\n\n$$(xy^{-1})^{nm}=(x^n)^m((y^{-1})^m)^n=e.$$\n\nAinsi, $xy^{-1}$ est élément de $T$, et $T$ est bien un sous-groupe de $G$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Inversibles à coefficients dans $\\mathbb Z$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On note $GL_n(\\mathbb Z)$ l'ensemble des matrices de $\\mathcal M_n(\\mathbb R)$, à coefficients dans $\\mathbb Z$, qui sont inversibles et dont l'inverse est à coefficients dans $\\mathbb Z$.\n\n\n Démontrer que si $M$ est à coefficients dans $\\mathbb Z$, alors $M\\in GL_n(\\mathbb Z)$ si et seulement si $\\det(M)=\\pm 1$.\n\n En déduire que $GL_n(\\mathbb Z)$ est un sous-groupe de $GL_n(\\mathbb R)$.\n\n",
        "answer": "  \n Prenons d'abord $M\\in GL_n(\\mathbb Z)$. Alors on a $$\\det(M)\\times \\det(M^{-1})=\\det (MM^{-1})=\\det(I_n)=1$$\n\net de plus $\\det(M)$ et $\\det(M^{-1})$ sont des éléments de $\\mathbb Z$. Ceci n'est possible que si $\\det(M)$ et $\\det(M^{-1})$ sont égaux à $1$ ou $-1$. Réciproquement, si $\\det(M)=\\pm 1$, alors les formules de Cramer nous disent que \n\n$$M^{-1}=\\frac 1{\\det M} (\\textrm{comat }M)^{T}.$$\n\nLa comatrice d'une matrice à coefficients dans $\\mathbb Z$ étant à coefficients dans $\\mathbb Z$ et $\\det(M)$ valant $\\pm 1$, on a bien que $M^{-1}$ est une matrice à coefficients entiers.\n\n On remarque d'abord que $I_n\\in GL_n(\\mathbb Z)$. Ensuite, si $A,B\\in GL_n(\\mathbb Z)$, des formules\n\n$$\\det(A^{-1})=\\frac1{\\det(A)}$$\n\net \n\n$$\\det(AB)=\\det(A)\\det(B)$$\n\non déduit facilement que $\\det(A^{-1})$ et $\\det(AB)$ sont éléments de $\\{-1,1\\}$ et donc $A^{-1}$, $AB$ sont éléments de $GL_n(\\mathbb Z)$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Sous-groupe d'une courbe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Montrer que $H=\\{x+y\\sqrt 3;\\ x\\in\\mathbb N,\\ y\\in\\mathbb Z,\\ x^2-3y^2=1\\}$ est un sous-groupe de $(\\mathbb R_+^*,\\times)$.",
        "answer": "  La première chose à remarquer est que $H\\subset \\mathbb R_+^*$. Pour $x+y\\sqrt 3\\in H$, puisque $x^2-3y^2>0$ et $x\\in\\mathbb N$, on a $x>\\sqrt 3|y|$ et donc $x+y\\sqrt 3>0$. On remarque ensuite que $1=1+0\\sqrt 3$ est bien un élément de $H$. Soient $a=x+y\\sqrt 3$ et $b=u+v\\sqrt 3$ deux éléments de $H$. Alors :\n\n$$(x+y\\sqrt 3)(u+v\\sqrt 3)=(xu+3yv)+\\sqrt 3(xv+yu).$$\n\nOn remarque ensuite que \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n(xu+3yv)^2-3(xv+yu)^2&=&x^2u^2+9y^2v^2-3x^2v^2-3y^2u^2\\\\\n\n&=&x^2(u^2-3v^2)+3y^2(3v^2-u^2)\\\\\n\n&=&x^2-3y^2\\\\\n\n&=&1.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nDe plus, il est clair que $xu+3yv$ et $xv+yu$ sont éléments de $\\mathbb Z$. Il reste à voir que \n\n$xu+3yv$ est élément de $\\mathbb N$. Mais c'est clair car $x\\geq \\sqrt 3 |y|$ et $u\\geq \\sqrt 3 |v|$. Ainsi, $ab\\in H$.\n\nDémontrons finalement que $H$ est bien stable par passage à l'inverse. On a \n\n$$\\frac 1a=\\frac 1{x+y\\sqrt 3}=\\frac {x-y\\sqrt 3}{x^2-3y^2}=x-y\\sqrt 3\\in H$$\n\npuisque $x^2-3y^2=1$. Ainsi, $H$ est bien un sous-groupe de $(\\mathbb R_+^*,\\times)$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Sous-groupe engendré par une partie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dans cet exercice, $G$ désigne un groupe.\n\n\n Soit $(H_i)_{i\\in I}$ une famille quelconque de sous-groupes de $G$.\n\nDémontrer que $\\bigcap_{i\\in I}H_i$ est un sous-groupe de $G$.\n\n Soit $X$ une partie de $G$. On note $\\langle X\\rangle$ l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $X$. Démontrer que $\\langle X\\rangle$\n\nest le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $X$.\n\n Démontrer que \n\n$$\\langle X\\rangle=\\left\\{x_1^{\\veps_1}\\cdots x_n^{\\veps_n}:\\ n\\in\\mathbb N,\\ x_i\\in X, \\veps_i=\\pm 1\\textrm{ pour }i=1,\\dots,n\\right\\}$$\n\n(avec la convention qu'un produit vide vaut $1_G$).\n\n",
        "answer": "  \n Notons $H=\\bigcap_{i\\in I}H_i$. \n\n\n  $1_G\\in H$ puisque $1_G$ appartient à tous les $H_i$. \n\n Soit $x,y\\in H$. Pour tout $i\\in I$, $x\\in H_i$ et $y\\in H_i$. Puisque $H_i$ est un sous-groupe de $G$, on a $xy\\in H_i$ et comme c'est vrai pour tout $i\\in I$, $xy\\in H$. \n\n Soit $x\\in H$. Pour tout $i\\in I$, $x\\in H_i$ et donc $x^{-1}\\in H_i$ puisque $H_i$ est un sous-groupe de $G$. Puisque c'est vrai pour tout $i\\in I$, $x^{-1}\\in H$. \n\n\n\nFinalement, on a prouvé que $H$ est un sous-groupe de $G$. \n\n Notons $(H_i)_{i\\in I}$ la famille des sous-groupes de $G$ qui contiennent $X$, de sorte que $\\langle X\\rangle=\\bigcap_{i\\in I}H_i$. Alors, d'après la question précédente, $\\langle X\\rangle$ est bien un sous-groupe de $G$. Puisque $X\\subset H_i$ pour tout $i\\in I$, $X\\subset \\langle X\\rangle$. Puisque $\\langle X\\rangle$ est contenu dans tout sous-groupe de $G$ contenant $X$, $\\langle X\\rangle$ est bien le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $X$.\n\n Posons\n\n$$H=\\left\\{x_1^{\\veps_1}\\cdots x_n^{\\veps_n}:\\ n\\in\\mathbb N,\\ x_i\\in X, \\veps_i=\\pm 1\\textrm{ pour }i=1,\\dots,n\\right\\}.$$\n\nOn commence par remarquer que $H$ est un sous-groupe de $G$. En effet, \n\n\n $1_G\\in H$ (cas du produit vide)\n\n si $x,y\\in H$, on écrit $x=x_1^{\\veps_1}\\cdots x_n^{\\veps_n}$ et $y=y_1^{\\nu_1}\\cdots y_m^{\\nu_m}$. Alors \n\n$$xy=x_1^{\\veps_1}\\cdots x_n^{\\veps_n}y_1^{\\nu_1}\\cdots y_m^{\\nu_m}$$\n\nest bien dans $H$.\n\n si $x\\in H$, on écrit $x=x_1^{\\veps_1}\\cdots x_n^{\\veps_n}$ d'où\n\n$$x^{-1}=x_n^{-\\veps_n}\\cdots x_1^{-\\veps_1}$$\n\nqui est bien élément de $H$ puisque $-\\veps_i\\in\\{-1,1\\}$.\n\n\n\nOn remarque ensuite que $X\\subset H$ (cas du produit avec un seul élément). On obtient donc $\\langle X\\rangle \\subset H$. Reste à démontrer l'inclusion réciproque. Pour cela, on va prouver par récurrence sur $n\\in\\mathbb N$ la propriété suivante :\n\n$$\\mathcal P_n=\"\\textrm{tout }x\\in G\\textrm{ qui s'écrit }x=x_1^{\\veps_1}\\cdots x_n^{\\veps_n}\\textrm{ avec }x_i\\in X,\\ \\veps_i=\\pm 1\\textrm{ appartient à }\\langle X\\rangle\".$$\n\nInitialisation : soit $x\\in G$ tel que $x=x_1$ ou $x=x_1^{-1}$ avec $x_1\\in X$. Alors si $x=x_1$, $x\\in \\langle X\\rangle$. Si $x=x_1^{-1}$, alors, comme $x_1\\in\\langle X\\rangle$ et que $\\langle X\\rangle$ est un sous-groupe de $G$, on a $x=x_1^{-1}\\in \\langle X\\rangle$.\n\nHérédité : soit $n\\in\\mathbb N^*$ tel que $\\mathcal P_n$ est vraie. Soit $x=x_1^{\\veps_1}\\dots x_n^{\\veps_n}x_{n+1}^{\\veps_{n+1}}.$ Alors\n\npar hypothèse de récurrence, $x_1^{\\veps_1}\\dots x_n^{\\veps_n}\\in \\langle X\\rangle$ et comme dans l'initialisation, $x_{n+1}^{\\veps_{n+1}}\\in\\langle X\\rangle$. Puisque $\\langle X\\rangle$ est un groupe, \n\n$$x_1^{\\veps_1}\\dots x_n^{\\veps_n}x_{n+1}^{\\veps_{n+1}}\\in\\langle X\\rangle.$$\n\nOn a donc prouvé par récurrence que pour tout $n\\in\\mathbb N^*$, $\\mathcal P_n$ est vraie. Ceci signifie exactement que $H\\subset\\langle X\\rangle$. On a donc prouvé, par double inclusion, que $H=\\langle X\\rangle$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Sous-groupe engendré par le complémentaire d'un sous-groupe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $H$ un sous-groupe strict d'un groupe $(G,\\cdot)$. Déterminer le sous-groupe engendré par le complémentaire de $H$.",
        "answer": "  Notons $K$ le complémentaire de $H$ et fixons $a$ un élément de $K$ (rappelons que $H$ est strictement inclus dans $G$). Nous allons prouver que le sous-groupe engendré par $K$, que nous allons noter $L$, est égal à $G$ tout entier. Puisque ce sous-groupe contient déjà $K$, il suffit de prouver qu'il contient également son complémentaire, à savoir $H$. Soit donc $x\\in H$. Alors $ax$ ne peut pas être un élément de $H$, sinon \n\n$a=ax x^{-1}$ serait élément de $H$ lui aussi. Donc $ax$ est élément de $K$. Mais alors, $x=a^{-1}ax$ est un élément de $L$ puisque $a$ et $ax$ sont tous deux éléments de $K$, donc de $L$, et que $L$ est un sous-groupe (ce qui entraîne que $a^{-1}\\in L$ et que le produit $a^{-1}ax$ est aussi dans $L$).\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Intersection de deux sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe et $H_1,H_2$ deux sous-groupes de $G$. Démontrer que $H_1\\cap H_2$ est un sous-groupe de $G$.",
        "answer": "  On va vérifier les hypothèses du théorème de caractérisation des sous-groupes.\n\n\n On sait que $1_G\\in H_1$ (puisque $H_1$ est un sous-groupe de $G$) et que $1_G\\in H_2$ (puisque $H_2$ est un sous-groupe de $G$). Donc $1_G\\in H_1\\cap H_2$.\n\n Soit $x,y\\in H_1\\cap H_2$. Alors, $x\\in H_1,$ $y\\in H_1$ et donc puisque $H_1$ est un sous-groupe de $G$, $xy\\in H_1$. De la même façon, on prouve que $xy\\in H_2$ et donc que $xy\\in H_1\\cap H_2$.\n\n Soit $x\\in H_1\\cap H_2$. Alors, $x\\in H_1$ et puisque $H_1$ est un sous-groupe de $G$, $x^{-1}\\in H_1$. De même, $x^{-1}\\in H_2$ et finalement $x^{-1}\\in H_1\\cap H_2$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Produit de groupe et sous-groupe du produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Un sous-groupe d'un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes?",
        "answer": "  Non, ce n'est pas le cas. Prenons $\\mathbb Z^2=\\mathbb Z\\times \\mathbb Z$ et $H=\\{(x,x);\\ x\\in\\mathbb Z\\}$. $H$ est clairement un sous-groupe de $\\mathbb Z^2$, et $H$ ne s'écrit pas $H=A\\times B$, sinon on aurait $A=B=\\mathbb Z$ ce qui n'est pas le cas.\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Union de deux sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$. Démontrer que $H\\cup K$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H\\subset K$ ou $K\\subset H$.",
        "answer": "  Si $H\\subset K$, alors $H\\cup K=K$ qui est un sous-groupe de $G$. De même, si $K\\subset H$, $H\\cup K=H$ qui est un sous-groupe de $G$.\n\nSupposons maintenant que $H\\cup K$ est un sous-groupe de $G$ et que ni $H\\subset K$, ni $K\\subset H$. Alors on peut trouver $x\\in H\\backslash K$ et $y\\in K\\backslash H$. Puisque $H\\cup K$ est un groupe et que $x,y\\in H\\cup K$, on a $xy\\in H\\cup K$. Mais si $xy\\in H$, alors $y=x^{-1}(xy)$\n\nest le produit de deux éléments de $H$, qui est un sous-groupe de $G$, et donc $y\\in H$ ce qui est une contradiction. On obtient de même une contradiction dans l'autre cas possible $xy\\in K$. L'hypothèse de départ est donc fausse, et on a bien $H\\subset K$ ou $K\\subset H$.\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Produit de deux sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(G,\\cdot)$ un groupe et $A$, $B$ deux sous-groupes de $G$.\n\nOn note $AB=\\{ab;\\ a\\in A,\\ b\\in B\\}$. Montrer que $AB$ est un sous-groupe de $G$ si\n\net seulement si $AB=BA$.",
        "answer": "  Supposons d'abord que $AB=BA$. Alors $AB$ est un sous-groupe de $G$ car :\n\n\n $e\\in AB$, car $e=ee$ avec $e\\in A$ et $e\\in B$ (ce sont des sous-groupes);\n\n $AB$ est stable par passage au produit. En effet, si $x=ab\\in AB$ et $y=a'b'\\in AB$, alors\n\n$xy=aba'b'$. Or, $ba'$ est un élément de $BA$, c'est donc aussi un élément de $AB$ et donc\n\n$ba'=a''b''$ avec $a''\\in A$ et $b''\\in B$. On en déduit que\n\n$$xy=aa''b''b'\\in AB$$\n\npuisque $aa''\\in A$ et $b''b'\\in B$.\n\n $AB$ est stable par passage à l'inverse. En effet, si $x=ab\\in AB$, alors $x^{-1}=b^{-1}a^{-1}$\n\nest élément de $BA$ et $BA=AB$.\n\n\n\nRéciproquement, supposons que $AB$ est un sous-groupe de $G$ et prouvons que $AB=BA$. Soit d'abord $x=ab\\in AB$.\n\nAlors $x^{-1}=b^{-1}a^{-1}\\in AB$ puisque $AB$ est un groupe et donc $b^{-1}a^{-1}=a'b'$ avec $a'\\in A$ et $b'\\in B$. On passe à l'inverse :\n\n$$ab=b'^{-1}a'^{-1}\\in BA.$$\n\nPour l'autre inclusion, considérons $y=ba\\in BA$. Alors $y^{-1}=a^{-1}b^{-1}\\in AB$, et donc $y=(y^{-1})^{-1}\\in AB$ puisque $AB$ est un groupe. .\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Théorème de Lagrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(G,\\cdot)$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$.\n\n\n Montrer que pour tout $a\\in G$, $H$ et $aH=\\{ah;\\ h\\in H\\}$ ont le même nombre d'éléments.\n\n Soient $a,b\\in G$. Démontrer que $aH=bH$ ou $aH\\cap bH=\\varnothing$.\n\n En déduire que le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $f:H\\to aH$ définie par $f(h)=ah$. Il s'agit clairement d'une surjection de $H$ sur $aH$. De plus, si $ah_1=ah_2$, alors $h_1=h_2$ car $a$ est inversible, et donc $f$ est aussi injective. $f$ est donc une bijection de $H$ sur $aH$; ces deux ensembles ont le même nombre d'éléments.\n\n Supposons que $aH\\cap bH\\neq \\varnothing$ et prouvons que $aH=bH$. Par symétrie, il suffit de prouver que $aH\\subset bH$. Soit $x\\in aH\\cap bH$, $x=ah_1=bh_2$. Prenons $y=ah\\in aH$. Alors \n\n$a=bh_2h_1^{-1}$ et donc $y=b h_2h_1^{-1}h\\in bH$.\n\n La réunion des ensembles $aH$ est clairement égale à $G$ (si $x\\in G$, il est dans $xH$). On ne garde que les $aH$ deux à deux disjoints et par les deux questions précédentes, on réalise ainsi une partition de $G$ avec des ensembles qui ont tous le même cardinal, à savoir le cardinal de $H$. Si $k$ est le nombre d'ensembles nécessaires pour réaliser cette partition, on a \n\n$$k\\card(H)=\\card(G)$$\n\net donc le cardinal de $H$ divise celui de $G$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Exemples ou contre-exemples de morphismes de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Les applications $\\phi:G\\to H$ définies ci-dessous sont-elles des morphismes de groupes?\n\n\n $G=(GL_n(\\mathbb R),\\times)$, $H=(\\mathbb R,+)$, $\\phi(A)=\\textrm{tr}(A)$.\n\n  $G=(M_n(\\mathbb R),+)$, $H=(\\mathbb R,+)$, $\\phi(A)=\\textrm{tr}(A)$.\n\n  $G=(\\mathbb R^*,\\times)$, $H=(\\mathbb R^*,\\times)$, $\\phi(x)=|x|$.\n\n   $G=(\\mathbb R^*,\\times)$, $H=(\\mathbb R^*,\\times)$, $\\phi(x)=2x$.\n\n $G=(\\mathbb R,+)$, $H=(GL_2(\\mathbb R),\\times)$, $\\phi(x)=\\begin{pmatrix} 1&x\\\\0&1\\end{pmatrix}$.\n\n",
        "answer": "  \n Si $\\phi$ était un morphisme de groupe, on aurait, puisque $I_n$ est l'élément neutre\n\n du groupe $(GL_n(\\mathbb R),\\times)$ et $0$ celui de $\\mathbb R_+$, $\\phi(I_n)=0$. \n\n Ce n'est pas le cas, car $\\phi(I_n)=n$. On peut aussi trouver deux exemple de matrices\n\n $A$ et $B$ pour lesquelles on n'a pas $\\phi(AB)=\\phi(A)+\\phi(B)$ (ici aussi, $A=B=I_n$ conviennent).\n\n  Dans ce cas, $\\phi$ est bien un morphisme de groupe car on a bien $\\textrm{Tr}(A+B)=\\textrm{Tr}(A)+\\textrm{Tr}(B)$.\n\nLa morale des deux premières questions est qu'il faut vraiment faire très attention aux groupes en jeu, pas seulement à l'application.\n\n Ici aussi, $\\phi$ est un morphisme de groupes car pour tous $x,y\\neq 0$, on a\n\n\\[\\phi(xy)=|xy|=|x|\\times |y|=\\phi(x)\\times \\phi(y).\\]\n\n Si $\\phi$ était un morphisme de groupes, on aurait $\\phi(1)=1$ puisque $1$ est l'élément neutre\n\nde $(\\mathbb R^*,\\times)$. Ce n'est pas le cas puisque $\\phi(1)=2$.\n\n On va revenir à la définition. Soit $x,y\\in\\mathbb R$. On a \n\n$$\\phi(x+y)=\\begin{pmatrix} 1&x+y\\\\0&1\\end{pmatrix}$$\n\ntandis que par les règles du produit matriciel\n\n$$\\phi(x)\\times \\phi(y)=\\begin{pmatrix} 1&x+y\\\\0&1\\end{pmatrix}.$$\n\nLes deux résultats coïncident : $\\phi$ est bien un morphisme de groupes.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Des propriétés bien connues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Traduire en termes de morphismes de groupes les propriétés bien connues suivantes (dont le domaine de validité a volontairement été omis) :\n\n\n $\\ln(xy)=\\ln(x)+\\ln(y)$;\n\n $|zz'|=|z||z'|$;\n\n $\\sqrt{xy}=\\sqrt{x}\\sqrt{y}$;\n\n $e^{x+y}=e^xe^y$;\n\n",
        "answer": "  \n La fonction $\\ln$ est un morphisme du groupe $(\\mathbb R_+^*,\\times)$ dans le groupe $(\\mathbb R,+)$.\n\n La fonction $|\\cdot|$ est un morphisme de groupes de $(\\mathbb C^*,\\times)$ dans lui-même. Attention, même si la propriété est vraie pour $z=0$, il faut exclure $0$ du groupe!\n\n La fonction $\\sqrt{}$ est un morphisme du groupe $(\\mathbb R_+^*,\\times)$ dans lui-même.\n\n La fonction $\\exp$ est un morphisme de groupe de $(\\mathbb R,+)$ dans $(\\mathbb R_+^*,\\times)$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Exponentielle complexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Justifier que $\\exp$ est un morphisme de $(\\mathbb C,+)$ dans $(\\mathbb C^*,\\cdot)$. Quel est son image? Son noyau?",
        "answer": "  On sait que, pour tous $z,w\\in \\mathbb C$, on a\n\n$$\\exp(z+w)=\\exp(z)\\exp(w).$$\n\nCeci signifie exactement que $\\exp$ est un morphisme de $(\\mathbb C,+)$ dans $(\\mathbb C^*,\\cdot)$ (la fonction exponentielle ne prend jamais la valeur zéro). De plus, soit $w\\in\\mathbb C^*, w=re^{i\\theta}$ avec $r>0$. Soit $a=\\ln r$ et posons $z=a+i\\theta$. Alors\n\n$$\\exp(z)=\\exp(a)\\exp(i\\theta)=re^{i\\theta}=w.$$\n\nL'exponentielle est un morphisme surjectif de $(\\mathbb C,+)$ dans $(\\mathbb C^*,\\cdot)$. Déterminons son noyau. Si $\\exp(z)=1$,  posons $z=x+iy$. Alors \n\n$$\\exp(z)=\\exp(x)\\exp(iy)=1=1\\exp(i0).$$\n\nCeci est équivalent à $x=0$ et il existe $k\\in \\mathbb Z$ tel que $y=k2\\pi$. On a donc\n\n$$\\ker(\\exp)=\\{2ik\\pi;\\ k\\in\\mathbb Z\\}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Exemples de morphismes de groupes - calcul de noyaux et d'images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que les fonctions suivantes sont des morphismes de groupes. Déterminer leur noyau et leur image :\n\n\n $(\\mathbb Z,+)\\to(\\mathbb R^*,\\times),\\ n\\mapsto (-1)^n$;\n\n $(\\mathbb C^*,\\times)\\to(\\mathbb C^*,\\times),\\ z\\mapsto z/|z|$;\n\n $(\\mathbb R_+^*,\\times)\\times (\\mathbb R,+)\\to (\\mathbb C^*,\\times), (r,\\theta)\\mapsto re^{i\\theta}.$\n\n",
        "answer": "  Dans chacun des cas, on notera $\\phi$ la fonction donnée.\n\n\n Soit $n,m\\in\\mathbb Z$. Alors \n\n$$\\phi(n+m)=(-1)^{n+m}=(-1)^n(-1)^m=\\phi(n)\\phi(m).$$\n\nAinsi, $\\phi$ est bien un morphisme de $\\mathbb Z$ dans $\\mathbb R^*$. Soit $n\\in\\mathbb Z$. Alors \n\n$$n\\in\\ker(\\phi)\\iff (-1)^n=1\\iff n\\textrm{ est pair}\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ n=2k\\iff n\\in2\\mathbb Z.$$\n\nAinsi, $\\ker(\\phi)=2\\mathbb Z$. De plus, on a clairement $\\textrm{Im}(\\phi)=\\{-1,1\\}.$\n\n Soit $z_1,z_2\\in\\mathbb C^*$. Alors \n\n$$\\phi(z_1z_2)=\\frac{|z_1z_2|}{z_1z_2}=\\frac{|z_1|}{z_1}\\times \\frac{|z_2|}{z_2}=\\phi(z_1)\\phi(z_2).$$\n\nAinsi $\\phi$ est un morphisme de $\\mathbb C^*$ dans $\\mathbb C^*$. De plus, soit $z\\in\\mathbb C^*$. Alors\n\n$$z\\in\\ker(\\phi)\\iff \\frac{z}{|z|}=1\\iff z=|z|\\iff z\\in\\mathbb R_+^*.$$\n\nAinsi, $\\ker(\\phi)=\\mathbb R_+^*$. Enfin, on a $\\textrm{Im}(\\phi)=\\mathbb U=\\{z\\in\\mathbb C:\\ |z|=1\\}$. Il est d'abord clair que $\\textrm{Im}(\\phi)\\subset\\mathbb U$ puisque \n\n$$\\left|\\frac{z}{|z|}\\right|=\\frac{|z|}{|z|}=1.$$\n\nD'autre part, si $z\\in\\mathbb U$, alors $\\phi(z)=z$ et donc $z\\in\\textrm{Im}(\\phi)$, ce qui démontre l'autre inclusion. \n\n Il faut faire un peu plus attention pour cet exemple, car on part d'un groupe produit et de plus, pour un des éléments du produit, la loi est notée multiplicativement, et pour l'autre, la loi est notée additivement. \n\nSoit $(r_1,\\theta_1)$ et $(r_2,\\theta_2)$ dans $\\mathbb R_+^*\\times\\mathbb R$.\n\nAlors \n\n$$\\phi\\big( (r_1,\\theta_1)\\cdot (r_2,\\theta_2)\\big)=\n\n\\phi(r_1r_2,\\theta_1+\\theta_2)=r_1r_2e^{i(\\theta_1+\\theta_2)}=r_1e^{i\\theta_1}r_2e^{i\\theta_2}=\\phi(r_1,\\theta_1)\\cdot \\phi(r_2,\\theta_2).$$\n\n$\\phi$ est donc bien un morphisme de groupes. De plus, soit $(r,\\theta)\\in\\mathbb R_+^*\\times \\mathbb R$. Alors \n\n$$\\phi(r,\\theta)=1\\iff re^{i\\theta}=1\\iff r=1\\textrm{ et }\\theta=k2\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\nOn a donc $\\ker(\\phi)=\\{1\\}\\times (2\\pi\\mathbb Z)$. Enfin, de l'écriture exponentielle d'un nombre complexe, on tire que $\\phi$ est surjective, c'est-à-dire que $\\textrm{Im}(\\phi)=\\mathbb C^*$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 25  - Automorphisme intérieur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(G,\\cdot)$ un groupe. Pour $a\\in G$, on note $\\tau_a:G\\to G$ défini par $\\tau_a(x)=axa^{-1}$. \n\n\n Démontrer que $\\tau_a$ est un endomorphisme de $G$.\n\n Vérifier que, pour tous $a,b\\in G$, $\\tau_a\\circ \\tau_b=\\tau_{ab}$.\n\n Montrer que $\\tau_a$ est bijective et déterminer son inverse.\n\n En déduire que $\\Theta=\\{\\tau_a;\\ a\\in G\\}$ muni du produit de composition est un groupe.\n\n",
        "answer": "  \n Il suffit d'appliquer la définition : pour tous $x,y\\in G$, on a \n\n$$\\tau_a(xy)=axya^{-1}=axa^{-1}aya^{-1}=\\tau_a(x)\\tau_a(y).$$\n\n Soit $x\\in G$. On a \n\n$$\\tau_a\\circ\\tau_b(x)=\\tau_a(bxb^{-1})=abxb^{-1}a^{-1}$$\n\ntandis que \n\n$$\\tau_{ab}(x)=abx(ab)^{-1}=abxb^{-1}a^{-1}.$$\n\nOn a donc $\\tau_a\\circ\\tau_b=\\tau_{ab}$.\n\n Soit $a\\in G$. On pourrait prouver que $\\tau_a$ est injectif en calculant son noyau, puisqu'il est surjectif, mais c'est plus facile d'appliquer la question précédente. Avec $b=a^{-1}$, elle donne\n\n$$\\tau_a\\circ \\tau_{a^{-1}}=\\tau_{aa^{-1}}=\\tau_e=Id_G$$\n\net en inversant le rôle joué par $a$ et $b$, on a aussi\n\n$$\\tau_{a^{-1}}\\circ\\tau_a=Id_G.$$\n\nAinsi, $\\tau_a$ est inversible d'inverse $\\tau_{a^{-1}}$.\n\n On va prouver que $\\Theta=\\{\\tau_a;\\ a\\in G\\}$ est un sous-groupe de $(S_G,\\circ)$. Il est non-vide parce qu'il contient $\\tau_e$. Si $\\tau_a,\\tau_b\\in\\Theta$, alors \n\n$$(\\tau_a)^{-1}=\\tau_{a^{-1}}\\in\\Theta$$\n\net \n\n$$\\tau_a\\circ\\tau_b=\\tau_{ab}\\in\\Theta.$$\n\nAinsi, $(\\Theta,\\circ)$ est bien un sous-groupe de $(S_G,\\circ)$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 26  - Somme des valeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $f$ un morphisme non constant d'un groupe fini $(G,\\cdot)$ dans $(\\mathbb C^*,\\cdot)$. Calculer\n\n$\\sum_{x\\in G}f(x)$.",
        "answer": "  Puisque $f$ n'est pas constante, il existe $a\\in G$ tel que $f(a)\\neq 1$. Maintenant, l'application $x\\mapsto ax$ est une permutation de $G$ : en effet, pour tout $y\\in G$, il existe un unique $x\\in G$ tel que $y=ax$ ($x$ est égal à $a^{-1}y$). On en déduit que\n\n$$\\sum_{x\\in G}f(ax)=\\sum_{x\\in G}f(x).$$\n\nMais d'autre part, puisque $f$ est un morphisme de groupes, on a aussi\n\n$$\\sum_{x\\in G}f(ax)=\\sum_{x\\in G}f(a)f(x)=f(a)\\sum_{x\\in G}f(x).$$\n\nAinsi, il vient\n\n$$\\big(f(a)-1\\big)\\times \\sum_{x\\in G}f(x)=0.$$\n\nPuisque $f(a)\\neq 1$, on en déduit que $\\sum_{x\\in G}f(x)=0.$\n"
    },
    {
        "question": " 27  - Morphismes de $\\mathbb Z$ dans $\\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer tous les morphismes de $(\\mathbb Z,+)$ dans lui-même. Lesquels sont injectifs? surjectifs?",
        "answer": "  Soit $f$ un morphisme de $(\\mathbb Z,+)$. Prouvons par récurrence que pour tout $n\\geq 1$, on a\n\n$f(n)=nf(1)$. C'est vrai pour $n=1$, et si c'est vrai pour $n$, alors\n\n$$f(n+1)=f(n)+f(1)=nf(1)+f(1)=(n+1)f(1).$$\n\nDe plus, pour $n\\leq 0$, on a $-n\\geq 0$ et donc $f(-n)=-nf(1)$. On en déduit :\n\n$$0=f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n)=f(n)-nf(1).$$\n\nAinsi, on a toujours $f(n)=nf(1)$, quel que soit $n\\in\\mathbb Z$.\n\nCaractérisons maintenant les morphismes surjectifs. Supposons donc que $f$ est surjectif.\n\nTout élément de $\\mathbb Z=f(\\mathbb Z)$ est un multiple de $f(1)$.\n\nOr, les seuls éléments de $\\mathbb Z$ qui divisent tous les autres entiers sont $1$ et $-1$.\n\nOn en déduit que $f(1)=1$ ou $f(1)=-1$, et donc que $f(n)=n$ ou $f(n)=-n$. \n\nRéciproquement, ces deux applications sont clairement des morphismes surjectifs de $(\\mathbb Z,+)$.\n\nDéterminons enfin les morphismes injectifs. Soit $f$ un morphisme et $n\\in \\ker(f)$. Alors $f(n)=nf(1)=0$. Si $f(1)\\neq 0$, alors $f(n)=0\\iff n=0$ et $f$ est injectif, et si $f(1)=0$, alors $f$ n'est pas injectif. Donc tous les morphismes de $(\\mathbb Z,+)$ dans $(\\mathbb Z,+)$ sont injectifs sauf l'application identiquement nulle.\n"
    },
    {
        "question": " 28  - Morphismes que $(\\mathbb Q,+)$ dans $(\\mathbb Z,+)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer tous les morphismes de groupes de $(\\mathbb Q,+)$ dans $(\\mathbb Z,+)$.",
        "answer": "  Soit $f$ un tel morphisme de groupe. On va commencer par démontrer que pour $p$ et $q$ des entiers naturels, on a \n\n$f(p)=pf(1)$ et $f\\left(\\frac 1q\\right)=\\frac{1}{q}f(1)$. La première des deux propriétés se démontre aisément par récurrence.\n\nPour la deuxième, on écrit que \n\n$$f(1)=f\\left(\\frac 1q+\\cdots+\\frac 1q\\right)=qf\\left(\\frac 1q\\right).$$\n\nNotons ensuite $a=f(1)$.  Alors $a/q$ est un entier pour tout entier $q$, et donc $a=0$. On en déduit que $f(p)=f(1/q)=0$ pour tous les entiers $p$ et $q$,\n\npuis que $f(p/q)=pf(1/q)=0$. Finalement, on trouve que $f$ est le morphisme nul.\n"
    },
    {
        "question": " 29  - Morphisme entre groupes de torsion et groupes sans torsion [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Dans un groupe $(G,\\cdot)$, un élément $x$ est dit de torsion s'il existe $n\\geq 1$ tel que $x^n=e$. On dit que $G$ est de torsion si tous ses éléments sont de torsion.\n\nOn dit que $G$ est sans torsion si son seul élément de torsion est l'élément neutre.\n\nSoit $G_1$ un groupe de torsion et $G_2$ un groupe sans torsion. Déterminer tous les morphismes de groupe de $G_1$ dans $G_2$.",
        "answer": "  Remarquons d'abord que le morphisme qui à tout $x$ de $G_1$ associe l'élément neutre $e$ de $G_2$ convient.\n\nRéciproquement, soit $x$ un élément de $G_1$ et notons $y=f(x)$. Puisque $x$ est un élément de torsion,\n\nil existe $n\\geq 1$ tel que $x^n=e$. Mais alors, \n\n$$y^n=(f(x))^n=f(x^n)=f(e)=e.$$\n\nComme $G_2$ est sans torsion, on a $y=e$ et donc $f(x)=e$ pour tout $x\\in G_1$.\n"
    },
    {
        "question": " 30  - Morphismes de $\\mathbb Z/n\\mathbb Z$ dans $\\mathbb Z/m\\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Déterminer tous les morphismes de $\\mathbb Z/3\\mathbb Z$ dans $\\mathbb Z/4\\mathbb Z$.\n\n Déterminer tous les morphismes de $\\mathbb Z/6\\mathbb Z$ dans $\\mathbb Z/8\\mathbb Z$.\n\n",
        "answer": "  Nous noterons dans les deux cas $\\bar a$ les éléments de l'ensemble de départ, et $\\tilde a$ les éléments de l'ensemble d'arrivée. Dans les deux cas, on peut remarquer qu'il suffit de déterminer l'image de $\\bar 1$, qui engendre le groupe...\n\n\n Soit $\\phi$ un tel morphisme. Alors $\\phi(\\bar 1)$ a un ordre qui divise 3, puisque $\\phi(\\bar 1)+\\phi(\\bar 1)+\\phi(\\bar 1)=\\phi(\\bar 0)=\\tilde 0$. Mais $\\phi(\\bar 1)$ a aussi un ordre qui divise 4, puisque c'est un élement de $\\mathbb Z/4\\mathbb Z$. Son ordre divise donc le pgcd de 3 et 4, c'est-à-dire que son ordre est 1. Donc $\\phi(\\bar 1)=\\tilde 0$, le seul morphisme est le morphisme trivial.\n\n Reprenons les mêmes notations. Cette fois on a que $\\phi(\\bar 1)$ a pour ordre un diviseur du pgcd de 6 et 8. Son ordre peut donc être égal à 1 ou 2. Si son ordre est égal à 1, il s'agit du morphisme trivial. Si son ordre est égal à 2, on a nécessairement $\\phi(\\bar 1)=\\tilde 4$ qui est le seul élément d'ordre 2 de $\\mathbb Z/8\\mathbb Z$. Maintenant, il s'agit de voir que cette formule définit bien un morphisme de groupes. Par exemple, on peut remarquer qu'elle donne $\\phi(\\bar k)=\\tilde 0$ si $k$ est pair, et $\\phi(\\bar k)=\\tilde 4$ si $k$ est impair. A partir de là, il est facile de voir que $\\phi$ définit bien un morphisme de $\\mathbb Z/6\\mathbb Z$ dans $\\mathbb Z/8\\mathbb Z$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 31  - $(\\mathbb Q,+)$ et $(\\mathbb Z,+)$ ne sont pas isomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que $(\\mathbb Q,+)$ et $(\\mathbb Z,+)$ ne sont pas isomorphes",
        "answer": "  On procède par l'absurde et on suppose qu'il existe un isomorphisme de groupes $f:(\\mathbb Q,+)\\to (\\mathbb Z,+)$. Notons $a=f^{-1}(1)$. Alors \n\n$\\frac a2\\in \\mathbb Q$ et \n\n$$\\frac a2+\\frac a2=a.$$\n\nSi on applique $f$ on trouve \n\n$$2f(a/2)=f(a)=1\\implies \\frac 12=f(a/2)\\in \\mathbb Z.$$\n\nC'est bien sûr une contradiction!\n"
    },
    {
        "question": " 32  - Groupes non isomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que les groupes multiplicatifs $(\\mathbb R^*,\\cdot)$ et $(\\mathbb C^*,\\cdot)$ ne sont pas isomorphes.",
        "answer": "  Supposons que ces deux groupes sont isomorphes et soit $f$ un isomorphisme de $(\\mathbb C^*,\\cdot)$ dans $(\\mathbb R^*,\\cdot)$. Posons $a=f(i)$. Alors\n\n$$f(i^4)=a^4=1$$\n\net donc $a^2=1$ puisque $a^2>0$. D'où $1=a^2=f(i^2)=f(-1)$ et $1=f(1)$. $f$ ne peut pas être injectif, on a obtenu une contradiction.\n"
    },
    {
        "question": " 33  - Groupes non isomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que les groupes $(\\mathbb R^*,\\times)$ et $(\\mathbb Q^*,\\times)$ ne sont pas isomorphes.",
        "answer": "  Procédons par l'absurde et supposons qu'il existe $f:(\\mathbb R^*,\\times)\\to(\\mathbb Q^*,\\times)$ un isomorphisme. En particulier, il existe $a\\in\\mathbb R^*$ tel que $f(a)=2$. Si $a>0$, alors il existe un réel $b$ tel que $a=b^2$. On a alors $2=f(a)=f(b)\\times f(b)$ et donc $\\sqrt 2=\\pm f(b)$. Mais ceci contredit que $\\sqrt 2$ est irrationnel. \n\nSi $a<0$, alors il existe un réel $b$ tel que $a=-b^2$. On a alors $2=f(a)=f(-1)f(b)\\times f(b)$. Mais $f(-1)^2=f(-1\\times -1)=f(1)=1$ et donc $f(-1)=\\pm 1$. Comme $f$ est un isomorphisme et $f(1)=1$, on a $f(-1)=-1$. On obtient alors $2=-f(b)^2$, ce qui est impossible puisque $2>0$ et $-f(b)^2<0$. \n\nDans les deux cas, on a obtenu une contradiction et l'existence d'un tel isomorphisme est impossible. On aurait aussi pu utiliser des arguments de cardinalité : $\\mathbb Q^*$ est dénombrable, et $\\mathbb R^*$ ne l'est pas. Donc il ne peut pas exister de bijection entre ces deux ensembles.  \n"
    },
    {
        "question": " 34  - Groupes divisibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Un groupe $(G,\\cdot)$ est dit divisible si, pour tout $g\\in G$ et tout $n\\in\\mathbb N^*$, il existe $u\\in G$ tel que $u^n=g$.\n\n\n Le groupe $(\\mathbb Q,+)$ est-il divisible?\n\n Montrer que $(\\mathbb Q,+)$ et $(\\mathbb Q_+^*,\\cdot)$ ne sont pas isomorphes.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $x\\in\\mathbb Q$, et $n\\in\\mathbb N^*$. Alors, si on pose $y=x/n$, c'est un élément de $\\mathbb Q$ et $ny=x$ : le groupe $(\\mathbb Q,+)$ est divisible.\n\n Procédons en deux temps. On commence par montrer que si $G$ et $H$ sont deux groupes isomorphes et si $G$ est divisible, alors $H$ est divisible. En effet, soit $\\phi:G\\to H$ un isomorphisme. Soit $h\\in H$. Il existe $g\\in G$ tel que $h=\\phi(g)$. Puisque $G$ est divisible, pour tout $n\\geq 1$, il existe $u\\in G$ tel que $u^n=g$. Posons $v=\\phi(u)$. Alors puisque $\\phi$ est un morphisme, on a $v^n=h$ et $h$ est divisible.\n\nPour conclure, il suffit donc de prouver que $(\\mathbb Q_+^*,\\cdot)$ n'est pas divisible. Mais par exemple, pour $g=2$ et $n=2$, il n'existe par de rationnel $u$ tel que $u^2=2$ (car $\\sqrt 2$ est irrationnel). Les deux groupes ne sont donc pas isomorphes.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 35  - Isométries laissant invariant un triangle équilatéral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ le groupe des isométries du plan affine euclidien qui laissent invariant un triangle équilatéral $\\Delta$. Démontrer que $G$ est isomorphe à $S_3$.",
        "answer": "  Notons $T=\\{A,B,C\\}$ les trois sommets du triangle. Il suffit de construire un isomorphisme de $G$ sur $S_T$. Considérons $\\phi:G\\to S_T,\\ g\\mapsto g_{|T}$ et prouvons que $\\phi$ est un isomorphisme. Remarquons d'abord que $\\phi$ est bien définie. En effet, les sommets du triangle sont bien envoyés par un élément $g$ de $G$ sur eux-mêmes (pourquoi!!!!), et $g$ étant bijective, sa restriction à l'ensemble fini $T$ ne peut être que bijective. Il est alors clair que $\\phi$ est un morphisme de groupe. Elle est injective. En effet, si $g$ est l'identité sur les $\\{A,B,C\\}$, ceci signifie que $g$ est une isométrie du plan ayant au moins trois points fixes. Ainsi, $g$ ne peut être que l'identité. Prouvons enfin que $\\phi$ est surjective. Les transpositions engendrant $S_3$, il suffit de démontrer que les transpositions sont dans l'image de $\\phi$. Mais la transposition $(A\\ B)$ est dans l'image de $\\phi$. Il suffit en effet de considérer pour $g$ la symétrie orthogonale à la médiatrice de $[AB]$ (cette droite passe donc par $C$), qui échange les points $A$ et $B$ tout en gardant $C$ fixe"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Pour commencer... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Quel est l'ordre de $\\bar 9$ dans $(\\mathbb Z/12\\mathbb Z,+)$?",
        "answer": "  On a (tenant compte du fait que la loi est notée additivement) :\n\n$$2\\times \\bar 9=\\bar 6,\\ 3\\times \\bar 9=\\bar 3,\\ 4\\times \\bar 9=\\bar 0.$$\n\n$\\bar 9$ est donc d'ordre 4.\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Ordre du carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe et $x\\in G$ d'ordre $n$. Quel est l'ordre de $x^2$?",
        "answer": "  D'abord, on remarque que $x^2$ est d'ordre fini, car $(x^2)^n=(x^n)^2=e^2=e$. De plus, son ordre que nous allons noter $d$ divise $n$. Distinguons alors deux cas :\n\n\n Si $n$ est pair et s'écrit $2p$, alors $(x^2)^p=x^{n}=e$, et donc l'ordre de $x^2$ divise $p$. De plus, si l'ordre de $x^2$ est inférieur strict à $p$, on a $x^{2d}=e$ avec $1\\leq 2d<n$, ce qui contredit la définition de l'ordre de $x$. Donc, si $n$ est pair, l'ordre de $x^2$ est $n/2$.\n\n Si $n$ est impair, alors on a $x^{2d}=e$ et donc $n|2d$. Mais comme $n$ est premier avec $2$, on a $n|d$. Puisqu'on avait déjà remarqué que $d|n$, on en déduit que $d=n$. En résumé, si $n$ est impair, l'ordre de $x^2$ est $n$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Tous les éléments sont d'ordre deux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe dont tous les éléments (sauf l'élément neutre) sont d'ordre au plus deux. Démontrer que $G$ est abélien.",
        "answer": "  Pour tous $x,y\\in G$, on a $x^2y^2=e=xyxy$ soit en simplifiant à gauche par $x$ et à droite par $y$, $xy=yx$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Groupe n'admettant aucun sous-groupe non trivial [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe non réduit à un élément. On suppose que $G$ n'admet que deux sous-groupes : $\\{1\\}$ et $G$ lui-même. On souhaite démontrer que $G$ est fini et que son cardinal est un nombre premier.\n\n\n Soit $g\\in G$, $g\\neq 1$. Démontrer que $g$ engendre $G$.\n\n Démontrer que $g$ est d'ordre fini.\n\n Démontrer que $g$ est d'ordre premier.\n\n Conclure.\n\n",
        "answer": "  \n Le sous-groupe engendré par $g$ ne peut être que $G$ tout entier.\n\n Si $g^2=1$, c'est fini. Sinon, considérons $H$ le sous-groupe engendré par $g^2$. Alors $H=G$ et donc il existe un entier $n$ tel que $g=(g^{2})^n=g^{2n}$\n\net donc $g^{2n-1}=1$. Ainsi, $g$ est d'ordre fini. \n\n Soit $n$ l'ordre de $g$. Si $n$ n'est pas premier, il se factorise en $n=ab$ avec $1<a,b<n$. Mais alors, $h=g^a\\neq 1$ et le sous-groupe engendré par $h$ comporte $b$ éléments : $1$, $g^a,\\dots, g^{a(b-1)}$. Ce ne peut donc pas être $G$ tout entier qui contient $n$ éléments.\n\n $G$ est le sous-groupe engendré par $g$ qui est d'ordre un nombre premier, donc $G$ est fini et son cardinal est un nombre premier.\n\n\n\nRemarquons qu'on peut conclure plus rapidement aux questions 2. et 3. si on connait la structure des groupes cycliques : si $g$ est d'ordre infini, alors $G$ est isomorphe à $\\mathbb Z$ qui contient des sous-groupes non triviaux. Si $G$ est d'ordre fini $n$, alors $G$ est isomorphe à $\\mathbb Z/n\\mathbb Z$, qui contient des sous-groupes non triviaux si $n$ n'est pas premier.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Un groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G=[0,1[\\cap \\mathbb Q.$ On munit $G$ de la loi de composition interne suivante : pour $x,y\\in G,$\n\n$$x\\star y=\\left\\{\\begin{array}{ll}\n\nx+y&\\textrm{ si }x+y<1\\\\\n\nx+y-1&\\textrm{ si }x+y\\geq 1.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\n\n Démontrer que $(G,\\star)$ est un groupe commutatif.\n\n Démontrer que tous les éléments de $G$ sont d'ordre fini.\n\n",
        "answer": "  \n On peut commencer par remarquer que, pour $x,y\\in G,$\n\n$$x\\star y=(x+y)-\\lfloor x+y\\rfloor.$$\n\nAinsi, pour $x,y,z\\in G,$\n\n\\begin{align*}\n\n(x\\star y)\\star z&=(x+y-\\lfloor x+y\\rfloor)\\star z\\\\\n\n&=x+y-\\lfloor x+y\\rfloor+z-\\big \\lfloor x+y-\\lfloor x+y\\rfloor +z\\big \\rfloor\\\\\n\n&=x+y-\\lfloor x+y\\rfloor+z-\\lfloor x+y+z\\rfloor+\\lfloor x+y\\rfloor\\\\\n\n&=x+y+z-\\lfloor x+y+z\\rfloor\\\\\n\n&=x\\star (y\\star z)\n\n\\end{align*}\n\n(pour passer de la deuxième à la troisième ligne, on a utilisé que $\\lfloor x+n\\rfloor=\\lfloor x\\rfloor +n$ pour tout réel $x$ et tout entier $n$).\n\nLa loi est donc associative, et trivialement commutative. On vérifie ensuite facilement que $0$ est élément neutre pour $\\star,$ et tout $x\\in G$ admet un symétrique pour $\\star,$ donné par $1-x.$\n\n Soit $x\\in G,$ $x=\\frac pq$ avec $q\\in\\mathbb N^*$. Alors par récurrence on prouve que \n\n$$x^{\\star q}=qx-\\lfloor qx\\rfloor=p-p=0.$$\n\nAinsi, $x$ est d'ordre fini (inférieur ou égal à $q$), et $G$ est un exemple de groupe commutatif infini dont tous les éléments sont d'ordre fini.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Groupe admettant un nombre fini de sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe admettant un nombre fini de sous-groupes. \n\n\n Démontrer que tout élément de $G$ est d'ordre fini.\n\n  En déduire que $G$ est fini.\n\n",
        "answer": "  \n Supposons que $G$ admette un élément $x$ d'ordre infini et notons $H$ le sous-groupe engendré par $x$. Alors $H$ est isomorphe à $(\\mathbb Z,+)$, qui contient une infinité\n\n de sous-groupes. On en déduit que $H$, et donc $G$, contiennent aussi une infinité de sous-groupes (les sous-groupes engendrés par les $x^n$, $n\\geq 1$, qui ne sont pas deux à deux égaux).\n\n  Pour $x\\in G$, notons $H_x$ le sous-groupe engendré par $x$. Alors on a $G=\\bigcup_{x\\in G}H_x$. Mais puisque $G$ contient seulement un nombre fini de sous-groupes, \n\n il y a un nombre fini de $H_x$ différents, notons-les $H_{x_1},\\dots,H_{x_p}$, d'où $G=\\bigcup_{i=1}^p H_{x_i}$. Mais chacun des $H_{x_i}$ est fini d'après la question précédente.\n\n Donc $G$ est fini.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Groupes d'ordre 4 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe d'ordre $4$. Démontrer que $G$ est isomorphe ou à $\\mathbb Z/4\\mathbb Z$, ou à $\\mathbb Z/2\\mathbb Z\\times\\mathbb Z/2\\mathbb Z.$",
        "answer": "  Si $G$ n'est pas isomorphe à $\\mathbb Z/4\\mathbb Z,$ alors tous les éléments de $G$ différents de l'élément neutre sont d'ordre 2. Notons $a,b,c$ ces éléments, et $e$ l'élément neutre. On construit alors la table de multiplication du groupe. On peut commencer à écrire :\n\n$$\\begin{array}{c|c|c|c|c}\n\n&e&a&b&c\\\\ \\hline\n\ne&e&a&b&c\\\\ \\hline\n\na&a&e&&\\\\ \\hline\n\nb&b&&e&\\\\ \\hline\n\nc&c&&&e\n\n\\end{array}$$\n\nOn peut compléter la deuxième ligne en remarquant que $ab$ doit être différent de $a$ (sinon $b=e$), de $b$ (puisque sinon on aurait $ab=b$ et donc $a=e$) et de $e$ (sinon $ab=aa$ et donc $a=b$). Ainsi, on doit avoir $ab=c$. On peut continuer le même raisonnement pour chacun des coefficients manquants et on trouve finalement la table de multiplication suivante :\n\n$$\\begin{array}{c|c|c|c|c}\n\n&e&a&b&c\\\\ \\hline\n\ne&e&a&b&c\\\\ \\hline\n\na&a&e&c&b\\\\ \\hline\n\nb&b&c&e&a\\\\ \\hline\n\nc&c&b&a&e\n\n\\end{array}$$\n\nMais on reconnait la table de multiplication (d'addition?) dans $\\mathbb Z/2\\mathbb Z\\times\\mathbb Z/2\\mathbb Z$, avec par exemple $a=(\\bar 1,\\bar 0)$, $b=(\\bar 0,\\bar 1)$, $c=(\\bar 1,\\bar 1)$. Ainsi, $G$ est bien isomorphe à $\\mathbb Z/2\\mathbb Z\\times\\mathbb Z/2\\mathbb Z,$ l'isomorphisme étant donné par $e\\mapsto (\\bar 0,\\bar 0)$, $a\\mapsto (\\bar 1,\\bar 0)$, $b\\mapsto (\\bar 0,\\bar 1)$, $c\\mapsto (\\bar 1,\\bar 1)$.\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Éléments d'ordre impair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $(G,\\star)$ un groupe commutatif et $A$ l'ensemble des éléments dont l'ordre est fini et est un nombre impair.\n\n\n Démontrer que $A$ est un sous-groupe de $G$.\n\n Démontrer que l'application $f:x\\mapsto x^2$ est un morphisme injectif du groupe $A$ dans lui-même.\n\n",
        "answer": "  \n On remarque d'abord que $e\\in A$ puisque $e$ est d'ordre $1.$ Soit maintenant $x,y\\in A$, d'ordre respectif $n$ et $m$ des entiers impairs. Alors puisque $G$ est commutatif,\n\n$$(x\\star y)^{mn}=(x^n)^m\\star(y^m)^n=e.$$\n\nAinsi, $x\\star y$ est d'ordre fini et son ordre divise $mn$. Comme $m$ et $n$ sont impairs, $mn$ est impair et tout diviseur de $mn$ est impair. Donc $x\\star y$ est d'ordre fini impair ce qui signifie $x\\star y\\in A.$ Enfin, \n\n$$(x^{-1})^n=(x^n)^{-1}=e,$$\n\net donc $x^{-1}$ est d'ordre fini, et son ordre divise l'entier impair $n$ : c'est un nombre impair. Ainsi, $x^{-1}\\in A.$\n\n Remarquons d'abord que si $x\\in A$ est d'ordre $n$ impair, alors $(x^2)^n=(x^n)^2=e$ et donc l'ordre de $x^2$ divise $n$ : c'est un entier impair, et $f$ envoie bien $A$ dans $A$. Puisque $G$ donc $A$ sont commutatifs, il est facile de voir que $f$ est un morphisme de groupes : pour tous $x,y\\in A,$ \n\n$$f(x\\star y)=(x\\star y)^2=(x^2)\\star (y^2)=f(x)\\star f(y).$$\n\nEnfin, si $x\\in \\ker f$, alors $x^2=e$ et donc l'ordre de $x$ divise $2$ et c'est un entier impair. On en déduit que cet ordre est égal à $1,$ ce qui signifie que $x=e$. On a prouvé que $\\ker(f)=\\{e\\},$ ce qui prouve que $f$ est injective. \n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Sous-groupes de $(\\mathbb Z/20\\mathbb Z)^*$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G=(\\mathbb Z/20\\mathbb Z)^*$ le groupe des éléments inversibles de $\\mathbb Z/20\\mathbb Z$.\n\n\n Donner la liste de tous les éléments de $G$.\n\n Pour tout $a\\in G$, déterminer le sous groupe $<a>$ engendré par $a$.\n\n Déterminer un ensemble minimal de générateurs de $(G,\\cdot)$.\n\n $ (G, \\cdot)$ est-il un groupe cyclique ?\n\n Déterminer tous les sous-groupes de $G$ et, pour chaque sous-groupe, préciser un ensemble de générateurs.\n\n Parmi les sous-groupes de $(G,\\cdot)$, lesquels sont isomorphes à un groupe additif $(\\mathbb Z/m\\mathbb Z,+)$?\n\n",
        "answer": "  \n Rappelons que par le théorème de Bézout, $n$ est inversible dans $(\\mathbb Z/20\\mathbb Z,\\cdot)$ si et seulement si $n$ est premier avec 20. On a donc $G = \\{1,3,7,9,11,13,17,19\\}$.\n\n On prend un élément et toutes ses puissances, jusqu'à obtenir l'élément neutre $1$. On obtient \\begin{eqnarray*}\n\n<1> &=& \\{1\\}\\\\\n\n<3> &=& \\{1,3,7,9\\}\\\\\n\n<7> &=& \\{1,3,7,9\\}\\\\\n\n<9> &=& \\{1,9\\}\\\\\n\n<11> &=& \\{1,11\\}\\\\\n\n<13> &=& \\{1,9,13,17\\}\\\\\n\n<17> &=& \\{1,9,13,17\\}\\\\\n\n<19> &=& \\{1,19\\}\\\\ \n\n\\end{eqnarray*}\n\n On vient de voir qu'on ne peut pas engendrer le groupe avec un seul élément. Essayons avec deux éléments. C'est facile à voir. Si on prend par exemple 3 et 11, le groupe engendré comprend au moins $<3>$ et $<11>$, c'est-à-dire au moins 5 éléments. Comme son ordre doit diviser l'ordre du groupe, il contient au moins 8 éléments, c'est-à-dire que c'est $G$ tout entier. Autrement dit, on a prouvé que $<3,11>=G$ et donc $\\{3,11\\}$ est un ensemble minimal de générateurs de $G$.\n\n Aucun élément de $G$ n'engendre seul le groupe. $G$ n'est pas cyclique.\n\n Les sous-groupes de $G$ sont d'ordre 1,2,4 ou 8. Dans $G$, il y a un élément d'ordre 1, 4 éléments d'ordre 4 et 3 éléments d'ordre 2. Si on combine deux éléments d'ordre 4 qui n'engendrent pas le même sous-groupe, ou un élément d'ordre 4 avec un élément d'ordre 2 qui n'est pas dans le sous-groupe engendré (comme à la question 3), on obtiendra $G$ tout entier. Reste à voir les sous-groupes engendrés par les éléments d'ordre 2 : on a \n\n$$<11,19> = \\{1, 11, 19, 9\\}$$\n\n$$<3,11> = <3,13> = <3,19> = <11,13> = <13,19> = G.$$\n\n Parmi les sous-groupes de $G$, ceux de la deuxième question sont cycliques, donc isomorphes à $\\mathbb Z/m\\mathbb Z$ où $m=1,2,4$ suivant le cas. Le sous-groupe $<11,19>$ n'est pas cyclique, car il n'est pas engendré par un seul élément. De même, $G$ n'est pas cyclique.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Groupe de cardinal pair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe de cardinal $2n$.\n\n\n Démontrer que la relation $\\mathcal R$ définie sur $G$ par\n\n$$x\\mathcal R y\\iff x=y\\textrm{ ou }x=y^{-1}$$\n\nest une relation d'équivalence sur $G$.\n\n En déduire que $G$ admet des éléments d'ordre deux.\n\n",
        "answer": "  \n La relation est clairement réflexive et symétrique. De plus, si $x\\mathcal R y$ et $y\\mathcal R z$, alors \n\n\n si $x=y$ et $y=z$, on a $x=z$;\n\n si $x=y$ et $y=z^{-1}$, on a $x=z^{-1}$;\n\n si $x=y^{-1}$ et $y=z$, on a $x=z^{-1}$;\n\n si $x=y^{-1}$ et $y=z^{-1}$, on a $x=z$.\n\n\n\nDans tous les cas, on a $x\\mathcal R z$ et la relation est transitive.\n\n Puisqu'on n'a pas $x\\mathcal R y$ si $y\\notin \\{x,x^{-1}\\}$, une classe d'équivalence comporte \n\n\n ou bien un seul élément, si $x=x^{-1}$;\n\n ou bien exactement deux élements, si $x\\neq x^{-1}$; ces éléments sont alors $x$ et $x^{-1}$.\n\n\n\nIl y a au moins une classe d'équivalence avec un seul élément : la classe de l'élément neutre. De plus, les classes d'équivalence forment une partition de $G$, et $G$ est de cardinal pair. Il doit donc y avoir au moins une autre classe de cardinal 1 (sinon le cardinal de $G$ serait impair). Cette autre classe de cardinal 1 donne un élément $x$ égal à son inverse.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Ordre du produit de deux éléments [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe abélien, $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d'ordres respectifs $p$ et $q$.\n\n\n On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Démontrer que $xy$ est d'ordre $pq$.\n\n Importance des hypothèses - 1 : Si $H=GL_2(\\mathbb R)$, $A=\\left(\\begin{array}{cc}0&-1\\\\1&0\\end{array}\\right)$ et $B=\\left(\\begin{array}{cc}0&1\\\\-1&-1\\end{array}\\right)$, vérifier que $A$ et $B$ sont d'ordre fini, mais que $AB$  n'est pas d'ordre fini.\n\n Importance des hypothèses - 2 : Si $p$ et $q$ ne sont pas supposés premiers entre eux, démontrer que le produit $xy$ n'est pas nécessairement d'ordre $pq$, ou d'ordre $\\textrm{ppcm}(p,q)$.\n\n Une application :\n\n\n Soit $d$ un diviseur de $p$. Démontrer qu'il existe un élément d'ordre $d$ dans $G$.\n\n En déduire que $G$ admet des éléments d'ordre $\\textrm{ppcm}(p,q)$.\n\n On suppose de plus que $G$ est fini. Démontrer que $G$ admet un élément dont l'ordre est le ppcm de l'ordre des éléments de $G$.\n\n\n",
        "answer": "  \n Notons $d$ l'ordre de $xy$. Remarquons que $(xy)^{pq}=(x^p)^q(y^q)^p=e$, et donc $d|pq$. De plus, puisque $(xy)^d=e$, on en déduit que $x^d=y^{-d}$. Il vient alors\n\n$$x^{dq}=(y^{-d})^q=(y^q)^{-d}=e.$$\n\nAinsi, $p|dq$ et puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux, on en déduit que $p|d$. De la même façon, on a $q|d$ et en utilisant à nouveau que $p$ et $q$ sont premiers entre eux, on conclut que $pq|d$. Ainsi, on a bien que $d=pq$.\n\n On vérifie facilement que $A$ est d'ordre $4$, que $B$ est d'ordre 3 et que \n\n$$AB=\\left(\\begin{array}{cc}\n\n1&1\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right).$$\n\nOn prouve alors par récurrence que, pour tout $n\\geq 1$, \n\n$$(AB)^n=\\left(\\begin{array}{cc}\n\n1&n\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right).$$\n\n$AB$ n'est pas d'ordre fini, et donc l'hypothèse que $G$ est commutatif est importante.\n\n Si $x$ est un élément d'ordre $n\\geq 2$ dans un groupe $G$, son inverse $x^{-1}$ est aussi d'ordre $n$, et pourtant le produit $xx^{-1}$ est d'ordre 1, et non d'ordre $n$ ou $n^2$!\n\n Une application :\n\n\n Considérons $a=x^{p/d}$. Alors on a $a^d=x^p=e$. D'autre part, si $a^r=e$, alors $x^{rp/d}=e$ et donc $rp/d$ est un multiplie de $p$. En particulier $r/d$ est un entier, ce qui signifie que $d|r$. $a$ est donc bien d'ordre $d$.\n\n Décomposons $p$ et $q$ en facteurs premiers (pour avoir les mêmes facteurs, on s'autorise des exposants nuls) : \n\n$$p=p_1^{\\alpha_1}\\cdots p_r^{\\alpha_r}\\ q=p_1^{\\beta_1}\\cdots p_r^{\\beta_r}.$$\n\nOn sait qu'alors\n\n$$\\textrm{ppcm}(p,q)=p_1^{\\max(\\alpha_1,\\beta_1)}\\cdots p_r^{\\max(\\alpha_r,\\beta_r)}.$$\n\nPar la question précédente, il est possible, pour chaque $i=1,\\dots,r$, de fabriquer un élément $a_i$ d'ordre $p_i^{\\max(\\alpha_i,\\beta_i)}$ (on le fabrique à partir de $x$ si $\\alpha_i\\geq \\beta_i$, à partir de $y$ sinon). \n\nEn utilisant le résultat de la première question et une simple récurrence, le produit $a_1\\dots a_r$ est bien d'ordre $\\textrm{ppcm}(p,q)$.\n\n Notons $x_1,\\dots,x_r$ les éléments de $G$, d'ordres respectifs $q_1,\\dots,q_r$. Alors d'après la question précédente, il existe un élément d'ordre $ppcm(q_1,q_2)$. Puis appliquant une nouvelle fois la question précédente, il existe un élément d'ordre $ppcm(ppcm(q_1,q_2),q_3)=ppcm(q_1,q_2,q_3)$. Par une récurrence facile, on construit un élément d'ordre le ppcm que $q_1,\\dots,q_r$.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Groupe d'ordre 35 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$ d'ordre des entiers premiers. Démontrer que $H=K$ ou que $H\\cap K=\\{e\\}$. \n\n Démontrer que dans un groupe d'ordre 35, il existe un élément d'ordre 5 et un élément d'ordre 7.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $p$ l'ordre de $H$, qui est premier. Puisque un élément de $H$ a un ordre qui divise $p$, cet ordre ne peut être égal que à 1, si c'est l'élément neutre, ou à $p$. Autrement dit, tout élément de $H$ autre que l'élément neutre génère $H$. Il en est de même pour tout élément de $K$. Ainsi, si $H\\cap K$ contient un élément $x$ différent de $e$, il contient toutes les puissances de $x$, donc $H$ et $K$, et $H=K$.\n\n Soit $G$ un tel groupe. Ses éléments peuvent être d'ordre 1, 5, 7 ou 35. Si $G$ admet un élément d'ordre 35 (ie $G$ est cyclique), que l'on appelle $a$, alors $a^5$ est d'ordre 7 et $a^7$ est d'ordre 5. Supposons donc que $G$ n'est pas cyclique et qu'il n'admet pas d'éléments d'ordre 7. Alors tous ses éléments, sauf l'élément neutre, sont d'ordre $5$, et $G$ est réunion de sous-groupes d'ordre 5.\n\nD'après la première question, l'intersection de deux de sous-groupes, quand ils sont distincts, est restreinte à $\\{e\\}$. Notons $G_1,\\dots,G_n$ ces sous-groupes distincts. Alors chaque $G_i$ s'écrit $G_i=\\{e\\}\\cup H_i$, et les $H_1,\\dots,H_n$ sont deux à deux disjoints. Autrement dit, \n\n$$G=\\{e\\}\\cup H_1\\cup\\dots \\cup H_n$$\n\nest une partition de $G$. Comme chaque $H_i$ est de cardinal 4, ceci implique que $35=4n+1$.  Mais alors $34$ serait un multiple de 4, ce qui n'est pas le cas. \n\nLe raisonnement est similaire si on suppose que $G$ n'admet pas d'éléments d'ordre 5. On aurait alors $35=6m+1$ pour un entier $m$, ce qui n'est pas le cas puisque $34$ n'est pas un multiple de 6.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Produit de groupes cycliques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $G$ et $H$ deux groupes.\n\n\n Montrer que si $g$ est un élément d'ordre $p$ de $G$ et $h$ un élément d'ordre $q$ de $H$, alors $(g,h)$ est d'ordre $\\textrm{ppcm}(p,q)$ dans $G\\times H$.\n\n On suppose que $G$ et $H$ sont cycliques. Démontrer que $G\\times H$ est cyclique si et seulement si les ordres de $G$ et $H$ sont premiers entre eux.\n\n",
        "answer": "  \n On a $(g,h)^n=(g^n,h^n)=(e,e)$ si et seulement si on a à la fois $p|n$ et $q|n$, donc si et seulement si $\\textrm{ppcm}(p,q)|n$. Ainsi, l'ordre de $(g,h)$ est bien le ppcm de $p$ et $q$.\n\n Soit $p$ l'ordre de $G$ et $q$ l'ordre de $H$. Si $p\\wedge q=1$, si $x$ est un générateur de $G$ (d'ordre $p$ donc) et si $y$ est un générateur de $H$ (d'ordre $q$ donc), alors $(x,y)$ est d'ordre $\\textrm{ppcm}(p,q)=pq$. Puisque $G\\times H$ est de cardinal $pq$, c'est bien un groupe cyclique.\n\nRéciproquement si $G\\times H$ est cyclique, soit $(g,h)$ un générateur de $G\\times H$. Alors $g$ est un générateur de $G$ et $h$ est un générateur de $H$. Leur ordre respectif est donc $p$ (resp. $q$), et par la première question, $(g,h)$ est d'ordre $\\textrm{ppcm}(p,q)$. Puisqu'on sait qu'il est d'ordre $pq$, on a bien $\\textrm{ppcm}(p,q)=pq$ qui implique que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Sous-groupe d'un groupe cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe cyclique et soit $H$ un sous-groupe de $G$. Démontrer que $H$ est cyclique.",
        "answer": "  Soit $a$ un générateur de $G$. L'ensemble des entiers $p\\geq 1$ tels que $a^p\\in H$ est non-vide (puisque $a^{\\textrm{card}(G)}=e\\in H$). Il contient un plus petit élément que nous noterons $n$. On va alors prouver que $H$ est le groupe engendré par $a^n$. Il est d'abord évident que le sous-groupe engendré par $a^n$ est contenu dans $H$.\n\nRéciproquement, soit $x\\in H$. $x$ s'écrit $x=a^p$, et il suffit de prouver que $p=kn$. Effectuons la division euclidienne de $p$ par $n$ : $p=qn+r$ avec $0\\leq r<n$. Mais alors :\n\n$$a^p=(a^n)^qa^r\\implies a^r=a^p (a^n)^{-q}\\in H.$$\n\nPar minimalité de $n$, ceci n'est possible que si $r=0$, donc que si $p$ est un multiple de $n$. \n\nRemarquons la proximité entre cette démonstration et celle des sous-groupes de $\\mathbb Z$"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Groupe (spécial) linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que $SL_n(\\mathbb R)$ est un sous-groupe normal de $GL_n(\\mathbb R)$ et prouver que le groupe quotient est isomorphe à $\\mathbb R^*$.",
        "answer": "  L'application déterminant est un morphisme surjectif de $GL_n(\\mathbb R)$ sur $\\mathbb R^*$. Son noyau est exactement $SL_n(\\mathbb R)$. Ce dernier, comme noyau d'un morphisme de groupe, est normal. De plus, par le théorème d'isomorphisme, le groupe quotient $GL_n(\\mathbb R)/SL_n(\\mathbb R)$ est isomorphe à $\\mathbb R^*$.\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Isomorphismes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère l'ensemble de matrices $G=\\left\\{\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na&b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right):a,b\\in\\mathbb R,a\\neq 0\\right\\}$.\n\n\n Démontrer que $G$ est un sous-groupe de $GL_2(\\mathbb R)$.\n\n On considère l'application $\\varphi:G\\to\\mathbb R^*$ définie par \n\n$$\\varphi\\left(\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na&b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)\\right)=a.$$\n\n\n Démontrer que $\\varphi$ est un morphisme de groupes.\n\n Déterminer un sous-groupe distingué $H$ de $G$ tel que $G/H\\simeq \\mathbb R^*$. \n\n Donner un isomorphisme $\\psi:H\\to(\\mathbb R,+)$.\n\n\n",
        "answer": "  \n On remarque d'abord que $G$ est contenu dans $GL_2(\\mathbb R)$. En effet, la matrice\n\n$\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na&b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$\n\nest inversible, d'inverse $\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\n\\frac 1a&-\\frac ba\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$. De plus, si $A=\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na&b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$ \n\net $B=\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na'&b'\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$ sont deux éléments de $G$, alors \n\n$$AB=\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\naa'&ab'+b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$$\n\nest bien un élément de $G$. De plus,\n\n$$A^{-1}=\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\n\\frac 1a&-\\frac ba\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$$\n\nest aussi élément de $G$.\n\n \n Soit $A$ et $B$ deux élements de $G$, que l'on note comme tout à l'heure\n\n$A=\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na&b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$ \n\net $B=\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na'&b'\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$. En utilisant le calcul fait précédemment, on a\n\n$$\\varphi(AB)=aa'=\\varphi(A)\\varphi(B).$$\n\n Posons $H=\\ker\\varphi$, qui est un sous-groupe distingué de $G$. Alors par le (premier) théorème d'isomorphisme, $G/H\\simeq \\varphi(G)$. Mais $\\varphi$ est surjective, puisque, pour tout $a\\in \\mathbb R^*$, on a $a=\\varphi(A)$ avec\n\n$$A=\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na&0\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right).$$ \n\nAinsi, $\\varphi(G)=\\mathbb R^*$ et on a bien démontré que $G/H\\simeq \\mathbb R^*$.\n\n Déterminons d'abord $H=\\ker\\varphi$. Si $A=\\left(\n\n\\begin{array}{cc}\n\na&b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)$, alors $\\varphi(A)=1$ si et seulement si $a=1$. On a donc \n\n$$H=\\left\\{\\left(\\begin{array}{cc}1&b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right):\\ b\\in\\mathbb R\\right\\}.$$\n\nOn définit \n\n$$\\psi\\left(\\left(\\begin{array}{cc}1&b\\\\\n\n0&1\n\n\\end{array}\\right)\\right)=b.$$\n\nOn vérifie assez facilement que $\\psi$ est un morphisme de groupe de $H$ (muni du produit matriciel) dans $\\mathbb R$ (muni de l'addition).\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Commutateurs et groupe dérivé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe normal de $G$.\n\nSoient $x,y\\in G$. On appelle commutateur de $x$ et $y$ l'élément $xyx^{-1}y^{-1}$,\n\net on note $D$ le sous-groupe de $G$ engendré par tous les commutateurs. $D$ s'appelle le\n\ngroupe dérivé de $G$.\n\n\n Que vaut $D$ lorsque $G$ est abélien?\n\n Démontrer que $D$ est un sous-groupe normal.\n\n Soient $\\bar x$ et $\\bar y$ deux éléments de $G/H$. Démontrer que \n\n$$\\bar x\\cdot \\bar y=\\bar y\\cdot \\bar x\\iff xyx^{-1}y^{-1}\\in H.$$\n\n En déduire que $G/H$ est commutatif si et seulement si $H$ contient $D$.\n\n",
        "answer": "  \n Si $G$ est abélien, alors tous les commutateurs $xyx^{-1}y^{-1}$ sont égaux à $e$,\n\nl'élément neutre du groupe. Ainsi, $D$ est le sous-groupe engendré par l'élément neutre,\n\net donc $D=\\{e\\}$.\n\n Soit $z\\in G$. $zDz^{-1}$ est le sous-groupe engendré par les éléments\n\n$z(xyx^{-1}y^{-1})z^{-1}$ où $x,y$ parcourent $G$. Mais, \n\n$$z(xyx^{-1}y^{-1})z^{-1}=(zxz^{-1})(zyz^{-1})(zxz^{-1})^{-1}(zyz^{-1})^{-1}$$\n\nest lui-même un commutateur. Il est donc élément de $D$.\n\n On a les équivalences suivantes :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\bar x\\cdot\\bar y=\\bar y\\cdot\\bar x&\\iff&\\overline{xy}=\\overline{yx}\\\\\n\n&\\iff&xy(yx)^{-1}\\in H\\\\\n\n&\\iff&xyx^{-1}y^{-1}\\in H.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n D'après la question précédente, $G/H$ est abélien si et seulement si \n\n$xyx^{-1}y^{-1}\\in H$ pour tous les éléments $x,y$ de $G$, donc si et seulement si \n\n$H$ contient $D$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Sous-groupe normal contenant une transposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 2$ et $H$ un sous-groupe de $S_n$ normal contenant une transposition. Démontrer que $H=S_n$.",
        "answer": "  Soit $(i\\ j)$ une transposition élément de $H$. $H$ contient toute sa classe de conjugaison, ie tous les \n\n$(\\sigma(i)\\ \\sigma(j))$ où $\\sigma\\in S_n$. En particulier, $H$ contient toutes les transpositions. Il contient également le groupe engendré par ces transpositions, qui est $S_n$ tout entier.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Automorphisme intérieur et centre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe. Pour tout $g\\in G$, on note $\\varphi_g$ l'automorphisme de $G$ dans lui-même défini par $\\varphi_g(x)=gxg^{-1}$. On note $\\textrm{Int}(G)=\\{\\varphi_g;\\ g\\in G\\}$.\n\n\n Démontrer que $\\textrm{Int}(G)$ est un sous-groupe normal de $\\textrm{Aut}(G)$.\n\n Soit $f:G\\to\\textrm{Int}(G)$ défini par $f(g)=\\varphi_g$. Démontrer que $f$ est un morphisme de groupe. Quel est son noyau?\n\n En déduire que $G/Z(G)$ est isomorphe à $\\textrm{Int}(G)$.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $g\\in G$ et $u\\in \\textrm{Aut}(G)$. On doit prouver que $u\\varphi_gu^{-1}$ est un automorphisme intérieur. Soit $x\\in G$. On a \n\n$$u\\varphi_gu^{-1}(x)=u(gu^{-1}(x)g^{-1})=u(g)xu(g^{-1})=vxv^{-1}$$\n\navec $v=u(g)$. En particulier, $u\\varphi_gu^{-1}=\\varphi_{u(g)}\\in\\textrm{Int}(G)$.\n\n Soient $g,h\\in G$. Alors \n\n$$(f(gh))(x)=\\varphi_{gh}(x)=(gh)x(gh)^{-1}=g(hxh^{-1})g^{-1}=\\varphi_g\\circ\\varphi_h(x)=(f(g)f(h))(x)$$\n\nce qui prouve que $f$ est bien un morphisme de groupes. De plus,\n\n$$g\\in\\ker f\\iff \\forall x\\in G,\\ gxg^{-1}=x\\iff \\forall x\\in G, gx=xg\\iff g\\in Z(G).$$\n\nLe noyau de $f$ est donc le centre du groupe $G$.\n\n C'est une conséquence immédiate du théorème d'isomorphisme, le morphisme $f$ étant surjectif par définition de $\\textrm{Int}(G)$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Sous-groupe engendré et normal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$ normaux. Démontrer que le sous-groupe engendré par $H\\cup K$ est normal.",
        "answer": "  Notons $L$ le sous-groupe engendré par $H\\cup K$. Un élément de $L$ s'écrit $h_1k_1\\cdots h_rk_r$, avec $r\\in\\mathbb N$, $h_i\\in H$ et $k_i\\in K$. Considérons maintenant $x\\in G$. Alors \n\n$$xh_1k_1\\cdots h_rk_rx^{-1}=(xh_1x^{-1})(xk_1x^{-1})\\cdots (xh_rx^{-1})(xk_rx^{-1}).$$\n\nComme tous les $xh_ix^{-1}$ et $xk_ix^{-1}$ sont éléments de $L$, il en est de même de leur produit. Finalement, on a prouvé que $L$ est normal.\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Sous-groupe du groupe diédral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Montrer que le groupe diédral $D_6$ admet un sous-groupe isomorphe à $D_3$.",
        "answer": "  Cet exercice est beaucoup plus facile si on utilise l'interprétation géométrique du groupe diédral $D_n$, qui peut être décrit comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à $n$ côtés. Ici, $D_6$ est le groupe des isométries conservant un hexagone régulier. Il est composé des \n\n\n rotations d'angle $2k\\pi/6$, avec $k=0,\\dots,5$;\n\n réflexions d'axes joignant deux sommets opposés;\n\n réflexions d'axes joignant les milieux de deux côtés opposés\n\n\n\nChoisissons un triangle équilatéral en prenant un sommet sur deux de cet hexagone régulier, et considérons $H$ le groupe des isométries préservant ce triangle équilatéral. $H$ est donc isomorphe à $D_3$. De plus, $H$ est constitué des\n\n\n rotations d'angle $2k\\pi/6$, avec $k=0,2,4$;\n\n réflexions d'axes joignant un sommet du triangle au milieu du côté opposé.\n\n\n\nCes isométries font partie des isométries conservant l'hexagone initial (pour les réflexions, l'axe joignant un sommet du triangle au milieu du côté opposé est le même que l'axe joignant deux sommets opposés de l'hexagone). $H$ est donc un groupe contenu dans $D_6$ : c'est un sous-groupe de $D_6$.\n\nRemarquons que ce sous-groupe est normal. En effet, il est d'indice 2 dans $D_6$, et tout sous-groupe d'indice 2 est normal.\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Morphisme entre groupes d'ordres premiers entre eux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ et $H$ deux groupes finis de cardinaux respectifs $m$ et $n$. On suppose en outre que $m$ et $n$ sont premiers entre eux. Démontrer que le seul morphisme de groupes $f$ de $G$ vers $H$ est le morphisme trivial, c'est-à-dire que $f(x)=1_H$ pour tout $x$ de $G$. ",
        "answer": "  Considérons $f$ un tel morphisme. Alors $f$ induit un isomorphisme de $G/\\ker(f)$ sur $\\textrm{Im}(f)$. Notons $d$ le cardinal de $G/\\ker(f)$ qui est aussi celui de $\\textrm{Im}(f)$. Alors $d$ est un diviseur de $m$ et $d$ est un diviseur de $n$. Comme $n$ et $m$ sont premiers entre eux, $d$ ne peut être égal que à $1$, et donc $\\textrm{Im}(f)=\\{1_H\\}$.\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Un sous-groupe d'indice 2 est normal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice 2.\n\n\n Montrer que $H$ est un sous-groupe normal de $G$.\n\n En déduire que, pour tout $x\\in G$, $x^2\\in H$.\n\n Pour $n\\geq 3$, on note $\\mathcal A_n$ le sous-groupe de $\\mathcal S_n$ des permutations paires. On rappelle que $\\mathcal A_n$ est le sous-groupe de $\\mathcal S_n$ engendré par les 3-cycles. Quel est le sous-groupe de $\\mathcal A_n$ engendré par les carrés des éléments de $\\mathcal A_n$?\n\n Déduire des questions précédentes que $\\mathcal A_4$ ne contient pas de sous-groupe de cardinal 6.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $x\\in G\\backslash H$. Rappelons que, si $xH\\cap H\\neq\\varnothing$, alors $x\\in H$. On peut donc supposer que $xH\\cap H=\\varnothing$. $H$ étant d'indice $2$, on en déduit que $xH$ est le complémentaire de $H$ dans $G$. De même, on démontre que la classe à droite $Hx$ est aussi le complémentaire de $H$ dans $G$. En particulier, $xH=Hx$ et le sous-groupe est normal.\n\n Considérons la surjection canonique $G\\to G/H$, $g\\mapsto \\bar g$. Il s'agit d'un morphisme de groupe, et $G/H$ est d'ordre 2. Ainsi, pour tout $g\\in G$, on a $\\overline{g^2}=\\overline{g}^2=e$ et donc $g^2\\in H$.\n\n On va démontrer que le sous-groupe engendré par les carrés des éléments de $\\mathcal A_n$ est $\\mathcal A_n$ lui-même. Pour cela, il suffit de démontrer que les $3$-cycles sont des carrés d'éléments de $\\mathcal A_n$. Mais on vérifie simplement que $(i\\quad j\\quad k)=(i\\quad k\\quad j)^2$.\n\n Imaginons que $G=\\mathcal A_4$ contienne un sous-groupe $H$ d'ordre $6$. Puisque $G$ est d'ordre $4!/2=12$, $H$ est un sous-groupe d'indice 2 de $G$. Il est donc distingué, et les carrés de tous les éléments de $G$ sont éléments de $H$. Or, comme $G$ est engendré par les carrés de ses éléments, on devrait avoir $H=G$, une contradiction.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Centre d'un sous-groupe, quotient par le centre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe et $Z(G)$ son centre : $Z(G)=\\{x\\in G;\\ \\forall y\\in G,\\ xy=yx\\}$. On rappelle (théorème de Burnside) que le centre d'un $p$-groupe n'est jamais trivial.\n\n\n Démontrer que $Z(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$.\n\n Démontrer que, si $G$ n'est pas abélien, alors $G/Z(G)$ n'est pas monogène.\n\n En déduire qu'un groupe de cardinal $p^2$ est abélien.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $g\\in G$ et soit $x\\in Z(G)$. Alors, pour tout $y\\in G$, \n\n$$(gxg^{-1})y=gg^{-1}xy=xy=yx=yxgg^{-1}=y(gxg^{-1}).$$\n\nAinsi, $gxg^{-1}\\in Z(G)$ et $Z(G)$ est normal.\n\n Raisonnons par contraposée, et prouvons que si $G/Z(G)$ est monogène, alors $G$ est abélien. Soient $x,y\\in G$. Soit $\\pi:G\\to G/Z(G)$ la projection canonique, et soit $\\alpha=\\pi(g)$ un générateur de $G/Z(G)$. Il existe deux entiers relatifs $k,l$ tels que \n\n$\\pi(x)=\\alpha^k$ et $\\pi(y)=\\alpha^l$, soit $x=c_1g^k$ et $y=c_2 g^l$, avec $c_1,c_2\\in Z(G)$. Mais alors, \n\n$$xy=c_1g^k c_2g^l=c_1c_2g^{k+l}=c_2g^l c_1 g^k=yx.$$\n\nDonc $G$ est abélien.\n\n Le centre de $G$ étant non trivial, il est de cardinal $p$ ou $p^2$. S'il est de cardinal $p^2$, alors $G=Z(G)$ est abélien. S'il est de cardinal $p$, alors on a $G/Z(G)$ de cardinal $p$, donc cyclique (isomorphe à $\\mathbb Z/p\\mathbb Z)$. Ceci contredit le résultat de la question précédente et donc on déduit que $G$ est abélien.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Unique sous-groupe normal d'ordre donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe d'ordre $nm$ et $H$ un sous-groupe normal de $G$ d'ordre $n$.\n\n\n Démontrer que, pour tout $a\\in G$, on a $a^m\\in H$.\n\n On suppose que $n\\wedge m=1$. Démontrer que $H$ est l'unique sous-groupe de $G$ d'ordre $n$.\n\n",
        "answer": "  \n $G/H$ est un groupe d'ordre $m$. En particulier, on a $\\bar a^m=\\bar e$, ce qui signifie exactement que $a^m\\in H$.\n\n Soit $K$ un autre groupe d'ordre $n$ et considérons $a\\in K$. En particulier, on a $a^n=e$. Puisque $n$ et $m$ sont premiers entre eux, l'identité de Bezout donne l'existence de $u,v\\in\\mathbb Z$ tels que \n\n$$un+vm=1.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$a=(a^n)^u(a^m)^v=e^u(a^m)^v\\in H$$\n\nd'après la question précédente. On a donc $K\\subset H$, soit $K=H$ puisque $K$ et $H$ ont le même cardinal.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Normal dans normal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe, et $K\\subset H\\subset G$ deux sous-groupes de $G$. On suppose que $H$ est normal dans $G$ et que $K$ est un sous-groupe caractéristique de $H$ : pour tout automorphisme $\\phi$ de $H$, $\\phi(K)\\subset K$.\n\n\n Démontrer que $K$ est un sous-groupe normal de $G$.\n\n Démontrer que si on suppose simplement $K$ sous-groupe normal de $H$ et $H$ sous-groupe normal de $G$, $K$ n'est pas nécessairement un sous-groupe normal de $G$.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $g\\in G$. Alors $\\phi_g:x\\mapsto gxg^{-1}$ est un automorphisme du groupe $H$ puisque $H$ est un sous-groupe normal de $G$. Puisque $K$ est un sous-groupe caractéristique de $H$, $K$ est stable par $\\phi_g$. Ceci signifie que $K$ est un sous-groupe normal de $G$.\n\n Considérons $G=S_4$ et $H$ le sous-groupe constitué par les produits de double transposition (à supports disjoints), plus l'identité. $H$ est un sous-groupe normal de $G$ à cause de la formule :\n\n$$s\\circ (i\\ j)\\circ (k\\ l)\\circ s^{-1}=(s(i)\\ s(j))\\circ (s(k)\\ s(l)).$$\n\nDe plus, il est facile de vérifier que $H$ est abélien. Notons alors $K$ le sous-groupe de $H$ constitué par l'identité et la double transposition $(1\\ 2)\\circ (3\\ 4)$ (qui est d'ordre 2). Alors $K$ est un sous-groupe normal de $H$ (car $H$ est abélien), mais ce n'est pas un sous-groupe normal de $G$ comme le prouve la formule précédente.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Double quotient [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe, et $H,K$ deux sous-groupes normaux de $G$ avec $H\\subset K$.\n\n\n Démontrer que $K/H$ est un sous-groupe normal de $G/H$.\n\n Démontrer que le quotient $(G/H)/(K/H)$ est isomorphe à $G/K$.\n\n",
        "answer": "  \n Remarquons pour commencer que $H$ est distingué dans $K$ et que le quotient $K/H$ a bien un sens.  Soit $g\\in G$ et $k\\in K$. On doit prouver que $\\bar g\\bar k\\bar g^{-1}$ est un élément de $K/H$, c'est-à-dire qu'il existe $x\\in K$ tel que $\\bar g\\bar k\\bar g^{-1}=\\bar x$. Mais on a :\n\n$$\\bar g\\bar k\\bar g^{-1}=\\overline{gkg^{-1}}$$\n\net $gkg^{-1}\\in K$ puisque $K$ est distingué dans $G$.\n\n Pour $g\\in G$, notons $\\bar g$ sa classe dans $G/H$ (comme à la question précédente) et $\\tilde g$ sa classe dans $G/K$. On considère $\\phi:G/H\\to G/K$ défini par $\\phi(\\bar g)=\\tilde g$. Remarquons pour commencer que $\\phi$ est bien définie. Ceci revient à prouver que si $x,y\\in G$ sont tels que $\\bar x=\\bar y$, alors $\\tilde x=\\tilde y$. Mais $\\bar x=\\bar y\\iff xy^{-1}\\in H$. Ceci implique $xy^{-1}\\in K$ et donc $\\tilde x=\\tilde y$. On vérifie ensuite que $\\phi$ est un morphisme de groupes. Mais, pour tous $(x,y)\\in G^2$, on a \n\n$$\\phi(\\bar x\\bar y)=\\phi(\\overline{xy})=\\tilde{xy}=\\tilde x\\tilde y=\\phi(\\bar x)\\phi(\\bar y).$$\n\nPar le théorème d'isomorphisme, on en déduit que \n\n$(G/H)/\\ker \\phi$ est isomorphe à $G/K$. Maintenant, \n\n$$\\bar g\\in\\ker \\phi\\iff \\tilde g=\\tilde e\\iff g\\in K\\iff g\\in K/H.$$\n\nOn en déduit le résultat.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - $p$-groupe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On rappelle que le centre d'un $p$-groupe est non trivial. On fixe $G$ un groupe de cardinal $p^r$.\n\n\n Démontrer qu'il existe dans $G$ un élément $x$ d'ordre $p$ et tel que le sous-groupe engendré par $x$ soit normal.\n\n Démontrer que pour tout $k\\in\\{0,\\dots,r\\}$, $G$ admet un sous-groupe normal d'ordre $p^k$.\n\n Démontrer qu'il existe une suite $G_0=\\{e\\}\\subset G_1\\subset\\dots\\subset G_r=G$ de sous-groupes $G_i$ de $G$, normaux, et d'ordres respectifs $p^i$.\n\n Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $p^s$, $s<r$. Démontrer qu'il existe un sous-groupe de $G$ d'ordre $p^{s+1}$ contenant $H$.\n\n",
        "answer": "  \n Soit $a\\in Z(G)$, $a\\neq e$. Alors $a$ est d'ordre $p^m$ pour $m\\leq r$. On considère alors $x=a^{p^{m-1}}$. $x$ est d'ordre $p$, et il est élément du centre de $G$. Notons $K$ le sous-groupe engendré par $x$, $K=\\{e,x,\\dots,x^{p-1}\\}$. Puisque $K\\subset Z(G)$, il est facile de vérifier que $K$ est un sous-groupe normal de $G$, d'ordre $p$.\n\n Raisonnons par récurrence sur $r$, le résultat étant trivial si $r=1$ ou si $r=0$. Supposons le résultat démontré jusqu'au rang $r-1$ et prouvons-le au rang $1.$ Alors, gardant les notations de la question précédente, $G/K$ est un groupe de cardinal $p^{r-1}$. Notons $\\phi$ la projection canonique de $G$ sur $G/K$. Par hypothèse de récurrence appliquée à $G/K,$ pour tout $k\\in\\{1,\\dots,r\\}$ il existe $A$ un sous-groupe normal de $G/K$ de cardinal $p^{k-1}$. Notons alors $H=\\phi^{-1}(A)$. On a $A=H/K$, et donc le cardinal de $H$ vaut $p\\times p^{k-1}=p^{k}.$ De plus, $H$ est normal car c'est l'image réciproque d'un sous-groupe normal par un morphisme de groupe. Comme la propriété est évidente pour $k=0,$ on a bien démontré que la propriété est vraie au rang $r.$\n\n La démonstration est très proche. On raisonne là encore par récurrence sur $r$, le résultat étant trivial si $r=1$. Dans $G/K$, on a une chaine de sous-groupes normaux $A_0=\\{\\bar e\\}\\subset A_1\\subset\\dots\\subset A_{r-1}=G/H$ de cardinal respectif $p^i$. Notons, pour $i\\geq 2$, $G_{i+1}=\\phi^{-1}(A_i)$, $G_1=K$ et $G_0=\\{e\\}$. Alors il est clair que $G_0,\\dots,G_r$ vérifie les contraintes du problème.\n\n On raisonne par récurrence sur $r$, le résultat étant trivial si $r=1$. On distingue deux cas :\n\n\n Si $x\\notin H$, alors on pose $H_0$ le sous-groupe engendré par $H$ et $K$. Alors, puisque $x$ est élément du centre, on peut vérifier que $H_0=\\{hx^k;\\ h\\in H,\\ k\\in\\{0,\\dots,p-1\\}\\}$, et que cette écriture est unique. $H_0$ est donc d'ordre $p^r$, ce sous-groupe convient.\n\n Si $x\\in H$, alors $H/K$ est un sous-groupe de $G/K$ d'ordre $p^{s-1}$. Il existe $A$ un sous-groupe de $G/K$ d'ordre $p^s$ contenant $H/K$. $\\phi^{-1}(A)$ convient.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Groupe d'ordre 200 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer qu'un groupe d'ordre 200 n'est pas simple.",
        "answer": "  Notons $G$ un tel groupe et remarquons que $200=2^35^2.$ $G$ possède des $5$-Sylow. Notons $n$ le nombre de ces $5$-Sylow.\n\nAlors $n$ est congru à $1$ modulo $5$, et $n$ divise $2^3=8$. Donc, nécessairement, $n=1$ et $G$ possède un unique $5$-Sylow $H$. De\n\nplus, tous les conjugués de $H$ sont eux-aussi des $5-$Sylow. Ils sont nécessairement égaux à $H$, et donc $H$ est normal.\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $p$ un nombre premier. On cherche à déterminer le nombre de $p$-Sylow du groupe symétrique $S_p$.\n\n\n Quel est l'ordre des $p$-Sylow de $S_p$?\n\n Combien $S_p$ comporte-t-il de $p$-cycles?\n\n Conclure.\n\n",
        "answer": "  \n Puisque $p$ est premier, $(p-1)!$ est premier avec $p$ et les $p$-Sylow de $S_p$ sont simplement les sous-groupes de $S_p$ d'ordre $p$.\n\n Un $p$-cycle peut toujours s'écrire, de façon unique, $(1\\ a_2\\ a_3\\ \\dots\\ a_p)$ où les $a_i$ sont distincts, et distincts de $1$. Un petit dénombrement\n\ndonne ensuite que le nombre de $p$-cycles vaut $(p-1)!$.\n\n Les groupes d'ordre $p$ étant cycliques, les $p$-Sylow de $G$ sont engendrés par un élément de $S_p$ d'ordre $p$, c'est-à-dire par un $p$-cycle.\n\nDe plus, le groupe engendré par un $p$-cycle comporte $(p-1)$ $p$-cycles distincts, qui engendrent le même groupe. Le nombre de sous-groupes d'ordre\n\n$p$ vaut donc $(p-1)!/(p-1)=(p-2)!$. \n\nOn peut formaliser le dernier point de la démonstration en disant que $\\sigma_1\\sim\\sigma_2$, où $\\sigma_1$ et $\\sigma_2$\n\nsont deux $p$-cycles, si $\\sigma_1$ et $\\sigma_2$ engendrent le même sous-groupe de $S_p$. Les classes d'équivalence ont pour cardinal $p-1$, et donc\n\nle nombre de classes d'équivalence vaut $(p-1)!/(p-1)=(p-2)!$. Ce nombre de classes d'équivalence est exactement le nombre de $p$-Sylow de $G$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Groupe d'ordre 15 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe d'ordre 15.\n\n\n Combien $G$ possède-t-il d'éléménts d'ordre 3?\n\n Combien $G$ possède-t-il d'éléments d'ordre 5?\n\n Démontrer que $G$ est isomorphe à $\\mathbb Z/15\\mathbb Z$.\n\n",
        "answer": "  \n D'après les théorèmes de Sylow, $G$ possède un sous-groupe d'ordre 3. De plus, le nombre $n_3$ de sous-groupes d'ordre 3 vérifie $n_3\\equiv 1\\ [3]$ et $n_3|5$. Nécessairement, $n_3=1$. Autrement dit, $G$ admet un unique sous-groupe d'ordre 3, que l'on va noter $H$.\n\nMais tout élément d'ordre 3 génère un sous-groupe d'ordre 3. Il y a donc exactement deux éléments d'ordre 3 : si $H=\\{e,x,y\\}$, alors ces éléments sont $x$ et $y$.\n\n De la même façon, on prouve que $G$ possède 4 éléments d'ordre 5.\n\n L'ordre d'un élément de $G$ est un diviseur de 15, donc est égal à 1,3,5 ou 15. Comme il y a 1 élément d'ordre 1, 2 éléments d'ordre 3 et 4 éléments d'ordre 5, il y a 8 éléments d'ordre 15. Ainsi, $G$ possède un élément d'ordre son cardinal. $G$ est donc le groupe cyclique engendré par cet élément, c'est-à-dire que $G$ est isomorphe à $\\mathbb Z/15\\mathbb Z$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Sous-groupe normal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $p$ un nombre premier et $n$ un entier naturel avec $p>n$. On considère $G$ un groupe d'ordre $pn$, et $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $p$. Démontrer que $H$ est un sous-groupe normal de $G$.",
        "answer": "  D'après les hypothèses, $p\\wedge n=1$, et donc $H$ est un p-Sylow de $G$. Pour tout $g\\in G$, $gHg^{-1}$ est aussi un $p$-Sylow de $G$. Il suffit donc de démontrer que $G$ admet un seul $p$-Sylow. Notons $N$ le nombre de $p$-Sylow de $G$. Alors par les théorèmes de Sylow, $N$ est congru à $1$ modulo $p$, et $N$ divise $n$. Si $N\\neq 1$, alors $N\\geq p+1$, ce qui contredit que $N$ divise $n$ puisque $n<p$. Ainsi, $N$ est égal à 1, et $H$ est un sous-groupe normal de $G$.\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Exemples d'orbites dans le plan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un sous-groupe de $GL_2(\\mathbb R)$. On fait agir $G$ sur le plan affine euclidien en choisissant un point $O$ de cet espace et en identifiant $\\mathbb R^2$ et les vecteurs d'origine $O$. Décrire l'orbite d'un point $A$ quand $G$ est le sous-groupe engendré par\n\n\n une symétrie par rapport à une droite $D$ passant par $O$;\n\n une rotation d'angle $\\pi/2$ de centre $O$;\n\n une rotation d'angle $2\\pi/n$, $n\\in\\mathbb N^*$ de centre $O$ et une symétrie par rapport à une droite $D$ passant par $O$.\n\n\n",
        "answer": "  \n Soit $s$ cette symétrie. Puisque $s=s^{-1}$, on a $G=\\{Id,s\\}$, et l'orbite de $A$ est constitué par $A$ et par son image par la symétrie (ces deux points sont confondus si et seulement si $A=O$).\n\n Le groupe engendré par cette rotation est le groupe des rotations d'angle $k\\pi/2$, avec $k=0,1,2,3$. Ainsi, l'orbite du point $A$ est constitué par les sommets du carré de centre $O$ et dont un des sommets est $A$.\n\n On reconnait ici le groupe diédral à $2n$ éléments. Précisément, notons $r_k$ la rotation d'angle $k2\\pi/n$, et $s$ la symétrie. Alors le groupe $G$ est constitué par les éléments $r_k$ et $r_k\\circ s$ (ce n'est pas évident!\n\nici, la transformation $r_k\\circ s$ est la symétrie d'axe l'image de $D$ par la rotation d'angle $\\pi/n$) . L'orbite de $A$ est donc constitué par les $n$ sommets du polygone régulier de centre $O$ et dont un des sommets est $A$, et par leurs symétriques par rapport à la droite $D$. Ces $2n$ points ne sont plus que $n$ points quand la droite passe par un des sommets ou est la médiatrice d'un des côtés du polygone.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Orbites et stabilisateurs pour le groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un sous-groupe de $S_4$ opérant sur $\\{1,2,3,4\\}$ par l'action naturelle de $S_4$. Pour $i\\in\\{1,2,3,4\\}$, on note $O_i$ l'orbite de $i$ et $S_i$ le stabilisateur de $i$. Déterminer $O_i$ et $S_i$ pour les cas suivants :\n\n\n $G$ est le groupe engendré par le 3-cycle $(1\\ 2\\ 3)$.\n\n $G$ est le groupe engendré par le 4-cycle $(1\\ 2\\ 3\\ 4)$.\n\n $G$ est le groupe engendré par les double transpositions.\n\n $G=\\mathcal A_4$.\n\n",
        "answer": "  \n Par symétrie, il suffit d'étudier les cas $i=1$ et $i=4$. Pour $i=4$, c'est facile car aucun élément de $G$ ne modifie $4$. Ainsi, $O_4=\\{4\\}$ et $S_4=G$. Ensuite, si $s=(1\\ 2\\ 3)$, alors $s(1)=2$ et $s\\circ s(1)=3$, d'où $O_1=\\{1,2,3\\}$. Puisque $G=\\{Id,s,s^2\\}$, on en déduit aussi que $S_1=\\{Id\\}$.\n\n Par symétrie (ce sera la même chose dans les exemples suivants), il suffit de considérer $S_1$ et $O_1$. Par le même raisonnement que ci-dessus, on a $S_1=\\{Id\\}$ et $O_1=\\{1,2,3,4\\}$.\n\n On vérifie facilement que le produit de deux \"double transposition\" est ou bien l'identité ou bien une double transposition. Une double transposition ne fixe aucun élément de $\\{1,2,3,4\\}$ et on peut trouver une double transposition qui envoie $1$ sur n'importe quel élément de $\\{2,3,4\\}$. En résumé, on a $O_1=\\{1,2,3,4\\}$ et $S_1=\\{Id\\}$.\n\n Les éléments de $\\mathcal A_4$ sont l'identité, les double transpositions et les $3$-cycles. D'après la question précédente, on peut déjà affirmer que $O_1=\\{1,2,3,4\\}$ puisque l'orbite de $1$ par $\\mathcal A_4$ contient au moins l'orbite de $1$ par les double transpositions. Cherchons maintenant le stabilisateur de $1$.  Une double transposition ne peut pas être dans le stabilisateur de $1$. D'après la question 1., les 3-cycles qui stabilisent 1 sont ceux qui n'ont pas 1 dans leur support. On a donc $S_1=\\{Id, (2\\ 3\\ 4),(2\\ 4\\ 3)\\}$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Nombre d'orbites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Un groupe de 35 éléments agit sur un ensemble à 19 éléments sans fixer aucun d'entre eux. Combien y-a-t-il d'orbites? Combien d'éléments contiennent-elles?\n\n",
        "answer": "  Remarquons déjà que le cardinal d'une orbite divise 35, le nombre d'éléments du groupe. Ce ne peut être 1 (car aucun point n'est fixé) et ce ne peut être 35 (car une orbite a aussi au plus 19 éléments). Ce ne peut donc être que $5$ ou $7$. Notons $n$ le nombre d'orbites à 5 éléments et $m$ le nombre d'orbites à $7$ éléments. Les orbites réalisant une réunion disjointe de l'ensemble à 19 éléments, on doit avoir $5n+7m=19$; la seule possibilité est $n=1$ et $m=2$. Il y a donc 3 orbites, l'une à 5 éléments, les deux autres à 7 éléments.\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Actions transitives en géométrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que $O_2^+(\\mathbb R)$ agit transitivement sur le cercle unité de $\\mathbb R^2$. Démontrer que $O_3^+(\\mathbb R)$ agit transitivement sur la sphère unité de $\\mathbb R^3$. ",
        "answer": "  Soient $A,B$ deux points du cercle unité. Il suffit de considérer la rotation de centre $O$ et d'angle $(\\overrightarrow{OA},\\overrightarrow{OB})$.\n\nSoient maintenant $A,B$ deux points de la sphère unité. Soit $P$ un plan contenant $O,A$ et $B$ et $D$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par $O$. On considère alors la rotation d'axe $D$ qui transforme $A$ et $B$ (d'angle $(\\overrightarrow{OA},\\overrightarrow{OB})$).\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Normalisateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. On appelle normalisateur de $H$ dans $G$, et on note $\\textrm{Nor}_G(H)$ l'ensemble des éléments $g\\in G$ tels que $gHg^{-1}=H$.\n\n\n Démontrer que $\\textrm{Nor}_G(H)$ est le plus grand sous-groupe de $G$ contenant $H$ comme sous-groupe normal.\n\n Démontrer que le nombre de sous-groupes distincts conjugués de $H$ dans $G$ est égal à l'indice $[G:\\textrm{Nor}_G(H)]$ de $\\textrm{Nor}_G(H)$ dans $G$.\n\n",
        "answer": "  \n Il y a trois choses à démontrer :\n\n\n  $\\textrm{Nor}_G(H)$ est un sous-groupe de $G$. Cela ne pose pas de difficultés en appliquant la définition d'un sous-groupe.\n\n $H$ est un sous-groupe normal de $\\textrm{Nor}_G(H)$. C'est exactement la définition de $\\textrm{Nor}_G(H)$!\n\n $\\textrm{Nor}_G(H)$ est le plus grand sous-groupe de $G$ contenant $H$ comme sous-groupe normal. Soit $K$ un tel sous-groupe. Alors, pour tout $k\\in K$, on a $kHk^{-1}\\subset H$. Mais on a aussi $k^{-1}\\in K$ et donc $k^{-1}HK\\subset H$. On en déduit que $H\\subset kHk^{-1}$ et donc $kHk^{-1}=H$, soit encore $k\\in\\textrm{Nor}_G(H)$.\n\n\n Faisons agir $G$ sur ses sous-groupes par automorphisme intérieur. Le nombre recherché est le nombre d'orbites de $H$ par cette action. Le stabilisateur de $H$ pour cette action est exactement $\\textrm{Nor}_G(H)$. Le nombre recherché vaut donc :\n\n$$\\frac{\\card(G)}{\\card(\\textrm{Nor}_G(H))}=[G:\\textrm{Nor}_G(H)].$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Théorème de Burnside [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe fini. On dit qu'un élément $x\\in G$ est central s'il commute avec tous les autres éléments de $G$. On suppose désormais que $G$ est un $p$-groupe, et on fait agir $G$ sur lui-même par automorphisme intérieur : $(g,x)\\mapsto gxg^{-1}$.\n\n\n Démontrer que $x$ est central si et seulement si son orbite sous cette action est de cardinal 1.\n\n En déduire que dans un $p$-groupe, il existe un élément central différent de $e$.\n\n",
        "answer": "  \n Il suffit de remarquer que $x$ est central si et seulement si, pour tout $g\\in G$, $gxg^{-1}=x$.\n\n Notons $r$ le nombre d'éléments centraux. Puisqu'une orbite sous l'action de $G$ divise le cardinal de $G$, le cardinal d'une orbite est une puissance de $p$. On en déduit, par l'équation aux classes, que \n\n$$p^n=\\textrm{card}(G)=r+\\sum_{i=1}^m p^{n_i}$$\n\navec tous les $n_i$ qui sont non nuls (on a séparé les éléments centraux des autres orbites dans l'équation aux classes). On en déduit que $p|r$. Mais comme $r$ est non nul ($e$ est toujours central), $r\\geq p$ et il existe des éléments centraux non triviaux!\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 25  - Formule de Burnside [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe fini opérant sur un ensemble fini $E$. On note $r$ le nombre d'orbites distinctes. Démontrer que \n\n$$r=\\frac1{\\textrm{card}(G)}\\sum_{g\\in G}\\textrm{card}\\{x\\in E;\\ g\\cdot x=x\\}$$\n\n(on pourra dénombrer de deux façons distinctes $X=\\{(g,x)\\in G\\times E;\\ g\\cdot x=x\\})$.",
        "answer": "  Comme le suggère l'énoncé, notons $X=\\{(g,x)\\in G\\times E;\\ g\\cdot x=x\\})$. Alors on a d'une part\n\n$$\\textrm{card}(X)=\\sum_{g\\in G}\\textrm{card}\\{x\\in E;\\ g\\cdot x=x\\}$$\n\net d'autre part\n\n$$\\textrm{card}(X)=\\sum_{x\\in E}\\textrm{card}\\{g\\in G;\\ g\\cdot x=x\\}.$$\n\nOr, pour tout $x\\in E$, $\\{g\\in G;\\ g\\cdot x=x\\}$ est le stabilisateur de $x$ dont on sait que le cardinal est $\\frac{\\textrm{card}(G)}{\\textrm{card}(\\textrm{Orb}(x))}$. On regroupe alors dans cette dernière somme les éléments de $E$ qui ont même orbite. Soient $x_1,\\dots,x_r$ des représentants des $r$ orbites possibles. Alors on a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\textrm{card}(X)&=&\\sum_{i=1}^r \\sum_{x\\in \\textrm{Orb}(x_i)}\\frac{\\textrm{card}(G)}{\\textrm{card}(\\textrm{Orb}(x))}\\\\\n\n&=&\\sum_{i=1}^r \\sum_{x\\in \\textrm{Orb}(x_i)}\\frac{\\textrm{card}(G)}{\\textrm{card}(\\textrm{Orb}(x_i))}\\\\\n\n&=&\\sum_{i=1}^r \\textrm{card}(\\textrm{Orb}(x_i))\\times \\frac{\\textrm{card}(G)}{\\textrm{card}(\\textrm{Orb}(x_i))}\\\\\n\n&=&r\\textrm{card}(G).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn en déduit le résultat annoncé.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 26  - Un sous-groupe distingué [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $G$ un groupe de cardinal $n$ et soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ possédant $m=\\frac np$ éléments. Le but de l'exercice est de démontrer que $H$ est normal. \n\n\n Montrer que $\\{gH;\\ g\\in G\\}$ forme une partition de $G$.\n\n On note $\\chi=\\{gH;\\ g\\in G\\}$. Quel est le cardinal de $\\chi$?\n\n Démontrer que $(g,A)\\in G\\times \\chi\\mapsto gA$ est une action de groupe de $G$ sur $\\chi$.\n\n On note $\\varphi:G\\to S(\\chi)$ le morphisme de groupe canoniquement associé à l'action précédente et $N$ le noyau de $\\varphi$. Démontrer que $N\\subset H$.\n\n Démontrer que $N$ et $H$ ont le même cardinal.\n\n Conclure.\n\n",
        "answer": "  \n On peut remarquer que si $gH\\cap g'H\\neq\\varnothing$, alors $gH=g'H$. Ainsi, les ensembles de type $gH$ sont ou bien distincts, ou bien confondus. De plus, ils recouvrent clairement $G$ (car $g\\in gH$) et donc ils forment une partition de $G$. On aurait plus aussi remarquer que les ensembles $gH$ sont les orbites quand $H$ opère sur $G$ par l'action $(h,g)\\mapsto gh^{-1}$.\n\n Pour tout $g\\in G$, $H$ et $gH$ ont le même cardinal puisque l'application $H\\to gH$, $h\\mapsto gh$ est bijective. On en déduit que le cardinal de $\\chi$ est égal à $n/m=p$.\n\n Il suffit d'observer que pour tout $A\\in \\chi$, $eA=A$ et que $g(g'A)=(gg')A$.\n\n Prenons $g\\in N$. Alors $gA=A$ pour tout $A\\in\\chi$. En particulier, $gH=H$ ce qui prouve que $g\\in H$.\n\n On sait que $\\textrm{card}(N)\\times\\card(\\textrm{Im}(\\varphi))=\\card(G)$. Or, le cardinal de $\\textrm{Im}(\\varphi)$ divise le cardinal de $S(\\chi)$, c'est-à-dire $p!$. On a donc \n\n$$\\card(\\textrm{Im}(\\varphi))=p^a p_1^{a_1}\\cdots p_r^{a_r}$$\n\noù tous les $p_i$ sont des nombres premiers inférieurs stricts à $p$, et où $a=0$ ou $1$. Mais comme $p$ est le plus petit diviseur premier de $\\card(G)$, tous les $a_i$ doivent être nuls. \n\nAinsi, le cardinal de $N$ doit être égal à $n$ ou $n/p=m$. Comme $N$ est inclus dans $H$ son cardinal ne peut être égal que à $m$.\n\n On a $H=N$ et donc $H$ est le noyau d'un morphisme de groupe. C'est donc un sous-groupe normal.\n"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Comprendre les éléments du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Soit $n\\geq 4$ et $a,b,c,d\\in\\{1,\\dots n\\}$ tous distincts. Que vaut $(a\\ b)\\circ (c\\ d)\\circ(d\\ a)$?\n\n Que dire d'une permutation de $S_{n}$ possédant au moins $n-1$ points fixes.\n\n Une permutation $s\\neq Id$ telle que $s^2=Id$ est-elle nécessairement une transposition?\n\n Énumérer tous les éléments de $\\mathcal S_4$.\n\n",
        "answer": "  \n On cherche l'image de chaque élément. Les éléments différents de $a,b,c,d$ ne sont pas modifiés. Pour $a,b,c$ et $d$, on a :\n\n$$\n\n\\begin{array}{ccccccc}\n\na&\\mapsto_{(d\\ a)}&d&\\mapsto_{(c\\ d)}&c&\\mapsto_{(a\\ b)}&c\\\\\n\nb&\\mapsto_{(d\\ a)}&b&\\mapsto_{(c\\ d)}&b&\\mapsto_{(a\\ b)}&a\\\\\n\nc&\\mapsto_{(d\\ a)}&c&\\mapsto_{(c\\ d)}&d&\\mapsto_{(a\\ b)}&d\\\\\n\nd&\\mapsto_{(d\\ a)}&a&\\mapsto_{(c\\ d)}&a&\\mapsto_{(a\\ b)}&b.\\\\\n\n\\end{array}$$\n\nLa permutation est donc un cycle de longueur 4, $(a\\ c\\ d\\ b)$. \n\n Une permutation étant une bijection, le dernier élément de $\\{1,\\dots,n\\}$ ne peut être envoyé que sur lui-même. \n\nUne telle permutation est donc nécessairement l'identité.\n\n Non, du moins si $n\\geq 4$. En effet, la composée de deux transpositions à support disjoint vérifie elle-même\n\nque $s^2=Id$. \n\n Pour énumérer tous les éléments de $\\mathcal S_4$, on peut partir du fait qu'une permutation se décompose de manière unique en produit de cycles à supports disjoints. On trouve alors que les permutations sont \n\n\n l'identité (correspond à des produits de cycle de longueur 1);\n\n les 4 cycles, ce sont :\n\n$$(1\\ 2\\ 3\\ 4),\\ (1\\ 2\\ 4\\ 3),\\ (1\\ 3\\ 2\\ 4),\\ (1\\ 3\\ 4\\ 2),\\ (1\\ 4\\ 2\\ 3),\\ (1\\ 4\\ 3\\ 2);$$\n\n les 3 cycles (qui correspondent à un produit d'un cycle de longueur 3 par un cycle de longueur 1); ces 3 cycles sont\n\n$$(1\\ 2\\ 3),\\ (1\\ 3\\ 2),\\ (1\\ 2\\ 4),\\ (1\\ 4\\ 2),\\ (1\\ 3\\ 4),\\ (1\\ 4\\ 3),\\ (2\\ 3\\ 4),\\ (2\\ 4\\ 3).$$\n\n les transpositions (qui correspondent à un produit d'un cycle de longueur 2 et de deux cycles de longueur 1), ces transpositions sont :\n\n$$(1\\ 2),\\ (1\\ 3),\\ (1\\ 4),\\ (2\\ 3),\\ (2\\ 4),\\ (3\\ 4)$$\n\n les produits de deux transpositions à support disjoint (produit de deux cycles de longueur 2). Ces produits sont :\n\n$$(1\\ 2)\\circ (3\\ 4),\\ (1\\ 3)\\circ(2\\ 4),\\ (1\\ 4)\\circ(2\\ 3).$$\n\n\n\nOn a ainsi énuméré les 24 éléments de $\\mathcal S_4$.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Étude de permutations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour les permutations $\\sigma$ suivantes, décomposer $\\sigma$ en produits de cycles disjoints, en produit de transpositions,\n\ncalculer l'ordre de $\\sigma$, la signature de $\\sigma$, calculer $\\sigma^{100}$ :\n\n$$\\sigma_1=\\left(\\begin{array}{cccccc}\n\n                  1&2&3&4&5&6\\\\\n\n3&5&4&6&2&1\n\n                 \\end{array}\\right)\\textrm{ et }\n\n\\sigma_2=\\left(\\begin{array}{ccccccccc}\n\n                1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\\\n\n4&6&9&7&2&5&8&1&3\n\n               \\end{array}\\right).$$",
        "answer": "   Comment décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints?\n\n\n\n On commence par étudier les images successives de $1$. Ce sont 3,4,6. On étudie ensuite les images successives de 2. On trouve 5 (ensuite on revient à 2). On a épuisé tous les éléments de $1,\\dots,6$. La décomposition canonique de $\\sigma_1$ en produits de cycles disjoints\n\nest\n\n$$\\sigma_1=(1,3,4,6)\\circ(2,5).$$\n\nPour décomposer $\\sigma_1$ en produit de transpositions, il suffit de décomposer chacun des cycles en produits de transposition.\n\nPour le second, c'est facile car il s'agit déjà d'une transposition. Pour le premier, on écrit\n\n$$(1,3,4,6)=(1,3)\\circ (3,4)\\circ (4,6)$$\n\net donc\n\n$$\\sigma_1=(1,3)\\circ (3,4)\\circ (4,6)\\circ(2,5).$$\n\nL'ordre du cycle $(1,3,4,6)$ est 4, l'ordre du cycle $(2,5)$ est 2, l'ordre de la permutation\n\nest donc le ppcm de 2 et 4, à savoir 4. En particulier, puisque $4|100$, on en déduit que $\\sigma_1^{100}=Id$.\n\nEnfin, puisqu'on a décomposé $\\sigma_1$ en produit de transpositions, il est facile de déterminer\n\nsa signature. Elle vaut\n\n$$\\veps(\\sigma_1)=(-1)^4=1.$$\n\n Par la même méthode, on trouve \n\n$$\\sigma_2=(1,4,7,8)\\circ(2,6,5)\\circ(3,9),$$\n\n$$\\sigma_2=(1,4)\\circ (4,7)\\circ (7,8)\\circ (2,6)\\circ (6,5)\\circ (3,9).$$\n\nL'ordre de $\\sigma_2$ est le ppcm de 4,3 et 2, soit 12. La signature\n\nde $\\sigma_2$ est $(-1)^6=1$. Enfin, puisque $100\\equiv 0[2]$, $100\\equiv 1[3]$ et\n\n$100\\equiv 0[4]$, on en déduit que\n\n$$\\sigma_2^{100}=(2,6,5)^1=(2,6,5).$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Décomposition en produit de transpositions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\displaystyle \\sigma=\\left(\\begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\\\\n\n3&5&6&7&1&2&4\n\n\\end{array}\\right)$.\n\n\n Décomposer $\\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.\n\n Donner la signature de $\\sigma$.\n\n Décomposer $\\sigma$ en produit de transpositions.\n\n Calculer $\\sigma^{2001}$.\n\n",
        "answer": "  \n On cherche l'orbite de 1. On trouve 3,6,2,5. 4 n'est pas dans l'orbite de 1, on cherche son orbite. On trouve 7. Tous les éléments\n\nde $\\{1,\\dots,7\\}$ étant couverts, la décomposition de $\\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints est\n\n$$\\sigma=(1\\ 3\\ 6\\ 2\\ 5)\\circ (4\\ 7).$$ \n\n La signature du $5-$cycle $(1\\ 3\\ 6\\ 2\\ 5)$ est $(-1)^{5-1}=1$. La signature de la transposition\n\n$(4\\ 7)$ est -1. La signature de $\\sigma$ est donc $1\\times (-1)=-1$.\n\n On va décomposer chaque cycle intervenant dans la décomposition de $\\sigma$ en produit de transpositions.\n\nPour $(4\\ 7)$, c'est déjà fait! Pour le $5$-cycle, on a tout simplement\n\n$$(1\\ 3\\ 6\\ 2\\ 5)=(1\\ 3)\\circ (3\\ 6)\\circ (6\\ 2)\\circ (2\\ 5),$$\n\nd'où \n\n$$\\sigma=(1\\ 3)\\circ (3\\ 6)\\circ (6\\ 2)\\circ (2\\ 5)\\circ (4\\ 7).$$\n\nOn peut alors retrouver que la signature de $\\sigma$ est égale à $-1$.\n\n On remarque que $\\sigma^{10}=Id$ (l'ordre de $\\sigma$ valant le ppcm de 2 et 5, soit 10). \n\nAinsi, $\\sigma^{2000}=(\\sigma^{10})^{200}=Id$. Finalement, $\\sigma^{2001}=\\sigma$. \n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Carré égal à l'identité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n$ un entier impair supérieur ou égal à 3 et $\\sigma\\in S_n$ telle que $\\sigma^2=Id_{\\{1,\\dots,n\\}}$. Démontrer que \n\n$\\sigma$ possède au moins un point fixe.",
        "answer": "  On introduit sur $\\{1,\\dots,n\\}$ la relation $x\\sim y\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z, y=\\sigma^k(x)$. On vérifie très facilement que l'on définit ainsi une relation d'équivalence.\n\nAinsi, les classes d'équivalence pour cette partition forment une partition de $\\{1,\\dots,n\\}$. Soit $x\\in\\{1,\\dots,n\\}$ qui n'est pas un point fixe de $\\sigma$.\n\nAlors sa classe d'équivalence pour $\\sim$ est $\\{x,\\sigma(x)\\}$. En effet, puisque $\\sigma^{2}(x)=x$, on a $\\sigma^{2k}(x)=x$ et $\\sigma^{2k+1}(x)=\\sigma(x)$ pour tout $k\\in\\mathbb Z$.\n\nAinsi, si $\\sigma$ n'a pas de points fixes, on a trouvé une partition de $\\{1,\\dots,n\\}$ avec des ensembles contenant chacun deux éléments. Ceci contredit que $n$ est impair.\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Le groupe alterné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour $n\\geq 1$, on note $\\mathcal A_n$ l'ensemble des éléments de $\\mathcal S_n$ de signature égale à $1$. $\\mathcal A_n$ est appelé le groupe alterné d'indice $n$.\n\n\n Démontrer que $\\mathcal A_n$ est un sous-groupe de $\\mathcal S_n$.\n\n Énumérer tous les éléments de $\\mathcal A_3$, de $\\mathcal A_4$.\n\n On suppose désormais que $n\\geq 2$ et on fixe $\\tau$ une transposition de $\\mathcal S_n$. Démontrer que $\\phi:S_n\\to S_n,\\ \\sigma\\mapsto \\sigma\\circ\\tau$ est une bijection. En déduire le cardinal de $\\mathcal A_n$.\n\n",
        "answer": "  \n D'abord, il est clair que $Id_{\\{1,\\dots,n\\}}$ est un élément de $\\mathcal A_n$. Soient $\\sigma,\\sigma'\\in\\mathcal A_n$. Alors on a \n\n$$\\veps(\\sigma\\sigma')=\\veps(\\sigma)\\veps(\\sigma')=1\\times 1=1,$$\n\net donc $\\sigma\\sigma'\\in\\mathcal A_n$. D'autre part, on a \n\n$$\\veps(\\sigma\\sigma^{-1})=\\veps(Id)=1$$\n\net \n\n$$\\veps(\\sigma\\sigma^{-1})=\\veps(\\sigma)\\veps(\\sigma^{-1})=\\veps(\\sigma^{-1})$$\n\net donc $\\veps(\\sigma^{-1})=1$ ce qui prouve que $\\sigma^{-1}$ est bien un élément de $\\mathcal A_n$. On a donc bien vérifié que $\\mathcal A_n$ est un sous-groupe de $\\mathcal S_n$. Si on est un peu plus savant, on pouvait aussi remarquer que $\\mathcal A_n$ est le noyau de la signature, qui est un morphisme de groupe. A ce titre, $\\mathcal A_n$ est un sous-groupe de $\\mathcal S_n$. \n\n Les éléments de $\\mathcal S_3$ sont :\n\n\n l'identité, qui est élément de $\\mathcal A_3$;\n\n les transpositions, qui ne sont pas éléments de $\\mathcal A_3$;\n\n les 3-cycles, $(1\\ 2\\ 3)$ et $(1\\ 3\\ 2)$, qui sont éléments de $\\mathcal A_3$.\n\n\n\nEn particulier, $\\mathcal A_3$ est constitué des 3 éléments décrits précédemment. Décrivons maintenant $\\mathcal A_4$ : les éléments de $\\mathcal S_4$ sont :\n\n\n l'identité, qui est élément de $\\mathcal A_4$;\n\n les 4 cycles, qui ne sont pas éléments de $\\mathcal A_4$;\n\n les 3 cycles, qui sont éléments de $\\mathcal A_4$; ces 3 cycles sont\n\n$$(1\\ 2\\ 3),\\ (1\\ 3\\ 2),\\ (1\\ 2\\ 4),\\ (1\\ 4\\ 2),\\ (1\\ 3\\ 4),\\ (1\\ 4\\ 3),\\ (2\\ 3\\ 4),\\ (2\\ 4\\ 3).$$\n\n les transpositions (ou $2$-cycles), qui ne  sont pas éléments de $\\mathcal A_4$;\n\n les produits de deux transpositions à support disjoint, qui sont éléments de $\\mathcal A_4$. Ces produits sont :\n\n$$(1\\ 2)\\circ (3\\ 4),\\ (1\\ 3)\\circ(2\\ 4),\\ (1\\ 4)\\circ(2\\ 3).$$\n\n\n\nAinsi, $\\mathcal A_4$ est constitué des 12 éléments décrits ci-dessus.\n\n\n Puisque $\\tau^2=Id_{\\{1,\\dots,n\\}}$, il est clair que  $\\phi\\circ\\phi=Id_{S_n}$. Ainsi, $\\phi$ est bijective, d'inverse $\\phi^{-1}=\\phi$.\n\n Puisque $\\varepsilon(\\sigma\\circ\\tau)=-\\varepsilon(\\sigma)$, $\\phi$ envoie $\\mathcal A_n$ sur $S_n\\backslash \\mathcal A_n$.\n\nPuisque $\\phi$ est bijective, les cardinaux de $\\mathcal A_n$ et de $S_n\\backslash\\mathcal A_n$ sont identiques. D'autres part, \n\n$S_n$ est la réunion disjoint de $\\mathcal A_n$ et de $S_n\\backslash\\mathcal A_n$, donc \n\n$$\\card(S_n)=\\card(\\mathcal A_n)+\\card (S_n\\backslash \\mathcal A_n)=2\\card(\\mathcal A_n).$$\n\nIl vient $\\card(\\mathcal A_n)=\\frac{n!}2.$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Dénombrement et groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 2$ et $2\\leq k\\leq n$. Combien le groupe $S_n$ possède-t-il de cycles de longueur $k$?",
        "answer": "  Un $k$-cycle s'écrit $(a_1\\ a_2\\ \\dots\\ a_k)$. On doit donc choisir dans $\\{1,\\dots,n\\}$ $k$ élements ordonnés parmi $n$.\n\nMais l'écriture $(a_1\\ a_2\\ \\dots\\ a_k)$ n'est pas unique. Il y a en effet $k$ façons d'écrire le même $k$-cycle, suivant le choix que l'on fait pour le premier terme - par exemple, $(a_2\\ a_3\\dots a_k\\ a_1)$ représente le même $k$-cycle que $(a_1\\ a_2\\ \\dots\\ a_k)$. On conclut finalement que le nombre de cycles de longueur $k$ est égal à \n\n$$\\frac{A_n^k}{k}=\\frac{n(n-1)\\dots (n-k+1)}{k}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Signature d'une grande permutation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 1$. Déterminer la signature de la permutation suivante :\n\n$$\\sigma_n=\\left(\\begin{array}{ccccc}\n\n                  1&2&\\dots&n-1&n\\\\\n\nn&n-1&\\dots&2&1\n\n                 \\end{array}\\right).$$",
        "answer": "  Notons $\\veps_n$ la signature de $\\sigma_n$. Pour $n\\geq 3$, on peut décomposer $\\sigma_n$ en $\\tau_n\\circ s_n$ où\n\n$\\tau_n$ est la transposition $(1\\ n)$ et $s_n$ est la permutation \n\n$$s_n=\\left(\\begin{array}{ccccc}\n\n                  2&3&\\dots&n-2&n-1\\\\\n\nn-1&n-2&\\dots&3&2\n\n                 \\end{array}\\right).$$\n\nMais il est clair que la signature de $s_n$ vaut celle de $\\sigma_{n-2}$ (il s'agit de la même permutation, mais en renumérotant les éléments). \n\nOn obtient donc la formule de récurrence \n\n$$\\veps_n=-\\veps_{n-2}.$$\n\nEn particulier, $\\veps_n=\\veps_{n-4}$ pour $n\\geq 4$, et il suffit donc de regarder la congruence modulo 4 de $n$ pour trouver la valeur de $\\veps_n$. On en déduit que\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\veps_{4k+1}&=&\\veps_1=1\\\\\n\n\\veps_{4k+2}&=&\\veps_2=-1\\\\\n\n\\veps_{4k+3}&=&\\veps_3=-1\\\\\n\n\\veps_{4k+4}&=&\\veps_4=1\\\\\n\n\\end{array}\\right.\n\n$$    \n\nUne autre façon de procéder est de remarquer que $\\sigma_n$ est le produit des transpositions suivantes : $(1\\ \\ n)$, $(2\\ \\ n-1)$, etc... Il suffit alors de compter le nombre de transpositions pour déterminer la signature.             \n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Le centre du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 3$.\n\n\n Soient $a\\neq b\\in \\{1,\\dots n\\}$ et soit $\\sigma\\in S_n$. Quelle est la permutation $\\sigma\\circ (a\\ b)\\circ\\sigma^{-1}$?\n\n On appelle centre du groupe symétrique l'ensemble des permutations $\\sigma\\in S_n$ qui commutent avec\n\ntoutes les autres : $\\forall s\\in S_n,\\ s\\circ \\sigma=\\sigma\\circ s$. Déterminer le centre de $S_n$.\n\n",
        "answer": "  \n Commençons par étudier l'image de $\\sigma(a)$. On a\n\n$$\\sigma^{-1}(\\sigma(a))=a,\\textrm{ puis } (a\\ b)(a)=b,$$\n\ndonc $\\sigma(a)$ est envoyé sur $\\sigma(b)$. Un raisonnement similaire montre que $\\sigma(b)$ est envoyé sur $\\sigma(a)$. \n\nPrenons maintenant $k\\neq\\sigma(a),\\sigma(b)$. Alors $\\sigma^{-1}(k)\\neq a,b$. En particulier, $\\sigma^{-1}(k)$\n\nreste invariant par la transposition $(a\\ b)$. Et donc :\n\n$$\\sigma\\circ (a\\ b)\\circ\\sigma^{-1}(k)=\\sigma(\\sigma^{-1}(k))=k.$$\n\nAinsi, les éléments différents de $\\sigma(a),\\sigma(b)$ sont invariants par la permutation. On en déduit que\n\n$$\\sigma\\circ (a\\ b)\\circ\\sigma^{-1}=(\\sigma(a)\\ \\sigma(b)).$$\n\n Soit $\\sigma$ appartenant au centre de $S_n$. Alors $\\sigma\\circ(1\\ 2)=(1\\ 2)\\circ \\sigma$ soit $\\sigma\\circ(1\\ 2)\\circ\\sigma^{-1}=(1\\ 2)$, ce qui donne,\n\nd'après la question précédente, $(\\sigma(1)\\ \\sigma(2))=(1\\ 2)$. Ainsi, on a nécessairement $\\sigma(1)=1$ \n\nou $\\sigma(1)=2$. De même, on a $\\sigma\\circ(1\\ 3)=(1\\ 3)\\circ\\sigma$, et le même raisonnement prouve\n\nque $\\sigma(1)=1$ ou $\\sigma(1)=3$. En comparant ces deux résultats, on a $\\sigma(1)=1$. Bien entendu,\n\nce qui a été réalisé pour $1$ peut l'être pour n'importe quel entier dans $\\{1,\\dots,n\\}$, et $\\sigma$ doit être égale à l'identité.\n\nRéciproquement, l'identité commute avec toutes les permutations. Le centre du groupe symétrique, pour $n\\geq 3$, est donc\n\nconstitué de l'identité.\n\nRemarquons que cette démonstration ne fonctionne plus si $n=2$. Dans ce cas, le centre de $S_2$ est $S_2$ tout entier\n\n(mais il n'y a que deux éléments dans $S_2$!).\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Des générateurs du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 2$. \n\n\n Démontrer que $S_n$ est engendré par les transpositions $(1\\quad 2)$, $(1\\quad 3),\\dots,(1\\quad n)$.\n\n Démontrer que $S_n$ est engendré par les transpositions $(1\\quad 2)$, $(2\\quad 3),\\dots,(n-1\\quad n)$.\n\n \n On considère la transposition $t=(1\\quad 2)$ et le cycle $c=(1\\quad 2\\quad 3\\ \\dots\\ n)$. Calculer $c^k tc^{-k}$.\n\n En déduire que $S_n$ est engendré par $t$ et $c$.\n\n\n",
        "answer": "  \n Puisque les transpositions engendrent $S_n$, il suffit de démontrer que toute transposition $(i\\quad    j)$, avec $i<j$,  s'écrit comme produit des\n\ntranspositions $(1\\quad   k)$. Mais si $i=1$, c'est déjà fait, et si $1<i$, on a $(i\\quad   j)=(1\\quad   i)\\circ (1\\quad   j)\\circ (1\\quad   i)$.\n\n On va utiliser la question précédente et démontrer que toute transposition $(1\\quad   k)$ s'écrit comme produit de transpositions\n\nde la forme $(i\\quad   i+1)$. On procède par récurrence finie sur $k\\in\\{2,\\dots,n\\}$, la propriété étant vraie si $k=2$. Supposons la propriété vraie au rang $k$. Pour la prouver\n\nau rang $k+1$, il suffit d'écrire que \n\n$$(1\\quad   k+1)=(k\\quad   k+1)\\circ (1\\quad   k)\\circ (k\\quad   k+1).$$\n\n \n On va prouver par récurrence finie sur $k\\in\\{0,\\dots,n-2\\}$ que $c^k \\circ t\\circ c^{-k}=(k+1\\quad   k+2)$. La propriété est vraie si $k=0$. Supposons la prouvée au rang $k$. Alors \n\n$$c^{k+1} \\circ t\\circ c^{-(k+1)}=c\\circ (k+1\\quad   k+2)\\circ c^{-1}=(k+2\\quad   k+3).$$\n\n D'après la question précédente, toute transposition de la forme $(k\\quad   k+1)$ s'écrit en fonction de $c$ et de $t$. De plus, ces transpositions engendrent $S_n$.\n\nAinsi, $c$ et $t$ engendrent $S_n$.\n\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Le jeu de taquin [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Un jeu de taquin est constitué de neuf cases dont huit sont occupées par un jeton numéroté de 1 à 8, et une est vide. On peut faire glisser un jeton horizontalement ou verticalement dans la case vide. On repère le résultat d'une manipulation par la permutation des numéros qu'elle produit (on lit les numéros dans l'ordre, sans s'occuper de la case vide). Par exemple, dans la manipulation suivante, \n\n$$\\textrm{Position initiale : } \n\n\\begin{array}{|c|c|c|}\n\n\\hline\n\n1&2&3\\\\\\hline\n\n4&5&6\\\\ \\hline\n\n7&8&\\\\\\hline\n\n\\end{array}\n\n\\textrm{  Position finale : } \n\n\\begin{array}{|c|c|c|}\n\n\\hline\n\n4&1&3\\\\\\hline\n\n2&&5\\\\ \\hline\n\n7&8&6\\\\\\hline\n\n\\end{array}\n\n$$\n\nla permutation obtenue est \n\n$$\\left(\\begin{array}{ccccccccc}\n\n                1&2&3&4&5&6&7&8\\\\\n\n4&1&3&2&5&7&8&6\n\n               \\end{array}\\right).\n\n               $$\n\nDémontrer qu'on ne peut obtenir que des permutations de signature égale à 1.\n\n",
        "answer": "  Lorsqu'on réalise un déplacement horizontal d'un jeton, on ne change par l'ordre des numéros, et la \n\npermutation correspondante est simplement l'identité. Lorsqu'on réalise un déplacement vertical d'un jeton, que ce soit vers\n\nle haut ou vers le bas, on produit un cycle de longueur 3, donc une permutation de signature égale à 1. La position finale\n\nétant obtenue comme suite de déplacements horizontaux ou verticaux, la permutation obtenue correspond\n\nà un produit de cycles de longueur 3, donc à un produit de permutations de signature égale à 1. C'est donc aussi une permutation de signature égale à 1.\n\nCes jeux de taquin sont souvent utilisés pour réaliser des puzzles. Cet exercice prouve que toutes les positions possibles\n\ndes jetons ne sont pas atteignables.\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Générateurs du groupe alterné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que le groupe alterné $\\mathcal A_n$ des permutations paires est engendré par les $3$-cycles.",
        "answer": "  Une permutation paire est produit d'un nombre pair de transpositions. Il suffit donc de prouver\n\nque le produit de deux transpositions est aussi produit de 3-cycles. On distingue deux cas :\n\n\n les transpositions sont à supports disjoints : on écrit alors \n\n$$(i\\ j)\\circ (k\\ l)=(i\\ k\\ j)\\circ (k\\ l\\ i).$$\n\n les supports des deux transpositions ont un élément en commun : on écrit alors \n\n$$(i\\ j)\\circ (i\\ k)=(i\\ k\\ j).$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - $\\mathcal A_4$ n'admet pas de sous-groupes d'ordre 6 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice 2. Démontrer que, pour tout $x\\in G$, on a $x^2\\in H$.\n\n En déduire que $\\mathcal A_4$ n'admet pas de sous-groupes d'ordre 6.\n\n",
        "answer": "  \n Puisque $H$ est d'indice 2, si $x\\notin H$, alors on a $xH\\cap H=\\varnothing$ et par des considérations de cardinal, $H\\cup xH=G$. Ainsi, $xH$ est le complémentaire de $H$ dans $G$.\n\nEn particulier, pour tous $x,y$ dans $G$ mais pas dans $H$, alors on a $xH=yH$. Prenons maintenant $x\\in G$. Si $x\\in H$, alors $x^2\\in H$ et il n'y a rien à prouver. Sinon, si $x^2\\notin H$, alors $xH=x^2H$ ce qui entraîne, après simplifications, que $x\\in H$, contradiction. On a donc bien prouvé que $x^2\\in H$ pour tout $x\\in G$.\n\n Il y a trop de carrés dans $\\mathcal A_4$! En effet, tous les $3$-cycles sont des carrés (si $c$ est un $3$-cycle, alors $c=(c^2)^2$). Et il y a huit $3$-cycles dans $\\mathcal A_4$, trop pour qu'il y ait un sous-groupe d'ordre 6.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Une autre décomposition des éléments de $S_n$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\geq 2$ et $\\sigma_i=(1\\ 2\\dots i)\\in S_n$. Démontrer que toute permutation $s\\in S_n$\n\ns'écrit de manière unique $s=\\sigma_n^{k_n}\\circ\\dots\\circ\\sigma_3^{k_3}\\circ \\sigma_2^{k_2}$,\n\noù $k_j\\in \\{0,\\dots,j-1\\}$.",
        "answer": "  On va commencer par s'intéresser à l'existence d'une telle décomposition, et on va prouver son existence par récurrence sur $n$.\n\nLe résultat est clair si $n=2$, supposons le prouvé au rang $n-1$ et prouvons-le au rang $n\\geq 3$. L'idée est de se ramener à une permutation de\n\n$\\{1,\\dots,n-1\\}$ en utilisant $\\sigma_n$. Pour cela, notons $p$ tel que $s(n)=p$. Alors, $\\sigma_n^{n-p}(p)=n$, et donc \n\n$\\sigma_n^{n-p}\\circ s(n)=n$. Ainsi, $\\sigma_n^{n-p}\\circ s$ peut être vu comme une permutation de $\\{1,\\dots,n-1\\}$. Ainsi, \n\npar hypothèse de récurrence, il existe $k_1,\\dots,k_{n-1}$ avec $k_j\\in \\{0,\\dots,j-1\\}$ tels que \n\n$$\\sigma_n^{n-p}\\circ s=\\sigma_{n-1}^{k_{n-1}}\\circ\\dots\\circ\\sigma_3^{k_3}\\circ \\sigma_2^{k_2}.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$s=\\sigma_n^p\\circ \\sigma_{n-1}^{k_{n-1}}\\circ\\dots\\circ\\sigma_3^{k_3}\\circ \\sigma_2^{k_2}$$\n\nce qui donne le résultat avec $k_n=p$ si $p\\neq n$, $k_n=0$ sinon.\n\nProuvons maintenant l'unicité d'une telle décomposition et supposons que l'on ait deux décompositions différentes\n\n$$s=\\sigma_{n}^{k_{n}}\\circ\\dots\\circ\\sigma_3^{k_3}\\circ \\sigma_2^{k_2}=\\sigma_{n}^{j_{n}}\\circ\\dots\\circ\\sigma_3^{j_3}\\circ \\sigma_2^{j_2}.$$\n\nSoit $r$ le plus grand entier tel que $k_r\\neq j_r$. Alors \n\n$$s_1=\\sigma_{r}^{k_{r}}\\circ\\dots\\circ\\sigma_3^{k_3}\\circ \\sigma_2^{k_2}=\\sigma_{r}^{j_{r}}\\circ\\dots\\circ\\sigma_3^{j_3}\\circ \\sigma_2^{j_2}.$$\n\nMais $s_1(r)=\\sigma_r^{k_r}(r)=\\sigma_r^{j_r}(r)$, et donc $k_r=j_r$, ce qui contredit l'existence de deux décompositions différentes.\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Automorphisme qui transforme une transposition en une transposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\phi$ un automorphisme de $S_n$ qui transforme une transposition en une transposition.\n\nOn note $t_i$ la transposition $(1\\ i)$. \n\n\n Montrer qu'il existe trois éléments $a_1,\\ a_2$ et $a_3$ tels que $\\phi(t_2)=(a_1\\ a_2)$ et $\\phi(t_3)=(a_1\\ a_3)$.\n\n Montrer que pour tout $i>3$, il existe $a_i$ tel que $\\phi(t_i)=(a_1\\ a_i)$.\n\n Montrer que l'application $s$ qui à $i$ associe $a_i$ est bijective.\n\n Montrer que $\\phi$ coïncide avec l'automorphisme intérieur associé à $s$.\n\n",
        "answer": "  \n Il est facile de remarquer que deux transpositions commutent si et seulement si elles ont un support disjoint.\n\nSi $\\phi(t_2)$ et $\\phi(t_3)$ commutaient, alors on aurait $t_2 t_3=\\phi^{-1}(\\phi(t_2)\\phi(t_3))=\\phi^{-1}(\\phi(t_3))\\phi(t_2))=t_3t_2$\n\net donc $t_2$ et $t_3$ commuteraient elles aussi. $\\phi(t_2)$ et $\\phi(t_3)$ n'ont donc pas un support disjoint ce qui donne immédiatement le résultat.\n\n Le support de $\\phi(t_i)$ n'est pas disjoint de $\\phi(t_2)$ pas plus que de celui de $\\phi(t_3)$. Il y a donc deux possibilités.\n\n\n ou bien $\\phi(t_i)=(a_1\\ a_i)$, ce qui est le résultat voulu.\n\n ou bien $\\phi(t_i)=(a_2\\ a_3)$. Mais dans ce cas, \n\n$$\\phi(t_2)\\phi(t_3)\\phi(t_i)=(a_1 \\ a_2)\\circ(a_1\\ a_3)\\circ(a_2\\ a_3)=(a_1\\ a_3)=\\phi(t_3),$$\n\nce qui entraîne $(1\\ 2)(1\\ 3)(1\\ i)=(1\\ 3)$. Cette dernière propriété est fausse et cette alternative\n\nest donc impossible.\n\n\n Si les $a_i$ n'étaient pas tous distincts, alors $\\phi$ ne saurait être bijective.\n\n On a $s(1\\ i)s^{-1}=(s(1)\\ s(i))=(a_1\\ a_i)$. $\\phi$ et l'automorphisme intérieur associé à $s$\n\ncoïncident donc sur les éléments $t_i$. Puisque ces éléments engendrent $S_n$, $\\phi$ est donc\n\nl'automorphisme intérieur associé à $s$.\n"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Vrai/Faux sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Le polynôme $X^4+X^2+1$ est-il irréductible dans $\\mathbb R[X]$? dans $\\mathbb C[X]$?\n\n La relation $\\mathcal R$ définie sur $\\mathbb R[X]$ par $A\\mathcal R B$ si et seulement si $A$ divise $B$ est-elle une relation d'ordre?\n\n",
        "answer": "  \n Les irréductibles de $\\mathbb R[X]$ sont de degré 1 ou 2, les irréductibles de $\\mathbb C[X]$ sont de degré 1. Le polynôme $X^4+X^2+1$ n'est donc irréductible ni dans $\\mathbb R[X]$, ni dans $\\mathbb C[X]$.\n\n On peut vérifier que la relation $\\mathcal R$ est transitive et réflexive. En revanche, elle n'est pas anti-symétrique. Prenons par exemple $A=X$ et $B=2X$. Alors $A$ divise $B$, $B$ divise $A$, et pourtant $A$ est différent de $B$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Coefficient dominant et degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour chacun des polynômes suivants, donner son coefficient dominant ainsi que son degré.\n\n\\begin{equation*}\n\n\\begin{aligned}\n\n& P_0 = 1 + \\sqrt 3 X - 2X^2 && \\quad P_1 = X^7 + 4X^8 + (1-\\mathrm i)X^3 \\\\\n\n& P_2 = 3X(1+X^2) + 2X^3 - 1 && \\quad P_3 = (\\mathrm i+X)(1+3X^2-\\mathrm iX) \\\\\n\n& P_4 = \\sum_{k=1}^4 (k!+1) X^k && \\quad P_5 = (3X-7X^2+4)' \\\\\n\n& P_6 = \\big[ X(X+1)(X+2)(X+3)(X+4) \\big]' && \\quad P_7 = (1-X^n)(1+X)^2 + X^{n+2}, \\quad n\\geq 0.\n\n\\end{aligned}\n\n\\end{equation*}",
        "answer": "  \n $P_0$ a pour degré $2$ et coefficient dominant $-2$.\n\n\n\n$P_1 = 4X^8 + X^7 + (1-\\mathrm i)X^3$ et a pour degré $8$ et coefficient dominant $4$.\n\n \n\n$P_2 = 5X^3 + 3X -1$ et a pour degré $3$ et coefficient dominant $5$.\n\n\n\n$P_3$ est le produit d'un polynôme de degré 1 à coefficient dominant 1, avec un polynôme de degré 2 à coefficient dominant 3, $P_3$ est donc de degré 3 et à coefficient dominant $3$.\n\n \n\n$P_4$ est de degré 4 et à coefficient dominant $(4! +1)$, c'est-à-dire $25$.\n\n\n\n$P_5 = -14X+3$ est de degré $1$ et à coefficient dominant $-14$.\n\nC'est en fait le polynôme dérivé d'un polynôme de degré $2$ à coefficient dominant $-7$.\n\n\n\nLe polynôme $X(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)$ est de degré $5$ et unitaire (c'est-à-dire de coefficient dominant $1$) ;\n\n$P_6$ est son polynôme dérivé, il est donc de degré $4$, et de coefficient dominant $5$.\n\n\n\n$P_7 = (1-X^n)(1+X)^2 + X^{n+2} = 1 + 2X + X^2 - X^n - 2X^{n+1}$.\n\n\n si $n =0$, $P_7 = X^2$ ; il est de degré $2$, de coefficient dominant $1$ ;\n\n si $n = 1$, $P_7 = 1 + X - X^2$ ; il est de degré $2$, de coefficient dominant $-1$ ;\n\n si $n\\geq 2$, alors $n+1\\geq 3$ donc $P_7$ est de degré $(n+1)$, de coefficient dominant $-2$.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $a,b$ des réels, et $P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$\n\nle polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\\mathbb R[X]$?",
        "answer": "  Si $P=Q^2$ est le carré d'un polynôme, alors $Q$ est nécessairement de degré 2, et son coefficient\n\ndominant est égal à $1$ ou est égal à $-1$. Dans le premier cas, on peut donc écrire $Q(X)=X^2+cX+d$. On a alors \n\n$$Q^2(X)=X^4+2cX^3+(2d+c^2)X^2+2cdX+d^2.$$\n\nPar identification, on doit avoir $2c=2a$, $2d+c^2=b$, $2cd=2$ et $d^2=1$. On trouve donc $c=a$ et $d=\\pm 1$.  \n\nSi $d=1$, alors $c=1$, et donc $a=1$ et $b=3$. Si $d=-1$, alors $c=-1$, $a=-1$ et $b=-1$. Les deux solutions sont donc\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP_1(X)&=&X^4+2X^3+3X^2+2X+1=(X^2+X+1)^2\\\\\n\nP_2(X)&=&X^4-2X^3-X^2+2X+1=(X^2-X-1)^2.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nDans le deuxième cas, on écrit $Q(X)=-R(X)$ avec $R(X)=X^2+cX+d$, de sorte que $Q^2(X)=R^2(X)$ et on retrouve en réalité le cas précédent.\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Quelques équations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes, où l'inconnue est un polynôme $P$ de $\\mathbb R[X]$ :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ P(X^2 ) = (X^2  + 1)P(X)&\\quad&\\mathbf{2.}\\ P'^2=4P\\\\\n\n\\mathbf{3.}\\ P\\circ P=P.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n Le polynôme nul est évidemment solution. Sinon, si $P$ est solution, alors on a \n\n$$2\\deg(P)=\\deg(P)+2$$\n\nce qui prouve que $\\deg(P)$ doit être égal à 2. Maintenant, si $P(X)=aX^2+bX+c$, alors\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP(X^2)&=&aX^4+bX^2+c\\\\\n\n(X^2+1)P(X)&=&aX^4+bX^3+(a+c)X^2+bX+c.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn en déduit que $b=0$, puis que $a+c=0$. Les solutions sont donc les polynômes\n\nqui s'écrivent $P(X)=a(X^2-1)$, $a\\in\\mathbb R$.\n\n Là encore, le polynôme nul est solution, et c'est la seule solution constante. Par ailleurs, si $P$ est une solution non constante, alors son degré\n\nvérifie l'équation\n\n$$2(\\deg(P)-1)=\\deg(P)$$\n\nce qui entraîne que $\\deg(P)=2$. Maintenant, si $P(X)=aX^2+bX+c$, alors\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP'^2&=&(2aX+b)^2=4a^2X^2+4abX+b^2\\\\\n\n4P&=&4aX^2+4bX+4c.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nCeci entraîne $a^2=a$, donc $a=1$ (le polynôme est de degré $2$, $a\\neq 0$), puis\n\n$c=b^2/4$. Les polynômes solutions sont donc le polynôme nul et les polynômes\n\n$P(X)=X^2+bX+b^2/4$, avec $b\\in\\mathbb R$.\n\n Si $P$ est une solution qui n'est pas le polynôme nul, alors le degré de $P\\circ P$\n\nvaut $\\deg(P)^2$, et donc on a l'équation\n\n$$\\deg(P)^2=\\deg(P).$$\n\net donc $\\deg(P)=1$ ou $\\deg(P)=0$. Maintenant, si $P(X)=aX+b$, alors \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP\\circ P(X)&=&a(aX+b)+b=a^2X+(ab+b)\\\\\n\nP(X)&=&aX+b.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn doit donc avoir $a^2=a$, soit $a=1$ ou $a=0$, et $ab=0$. Si $a=1$, alors $b=0$ et si $a=0$,\n\nalors $b$ peut être quelconque dans $\\mathbb R$.\n\nFinalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme $P(X)=X$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Polynômes, rationnels et irrationnels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On souhaite démontrer qu'il n'existe pas de polynôme $P\\in\\mathbb R[X]$ de degré $n\\geq 1$ tel que $P(x)\\in\\mathbb Q$ pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q$.\n\n\n Traiter le cas $n=1$. \n\n Traiter le cas général.\n\n",
        "answer": "  \n Supposons qu'il existe $P\\in\\mathbb R[X]$ de degré 1 tel que $P(x)\\in\\mathbb Q$ pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q.$ Puisque $\\deg(P)=1$, on peut l'écrire $P(X)=aX+b$ avec $a,b\\in \\mathbb R$ et $a\\neq 0.$ On a $P(\\sqrt 2)\\in\\mathbb Q$, et donc $a\\sqrt 2+b\\in \\mathbb Q$. On a aussi $P(-\\sqrt 2)\\in \\mathbb Q$ et donc $-a\\sqrt 2+b\\in \\mathbb Q$. En effectuant la somme de ces deux quantités, on obtient $2b\\in \\mathbb Q$ et finalement $b\\in \\mathbb Q.$ Ainsi, on obtient $ax\\in\\mathbb Q$ pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q.$ En particulier, $a\\sqrt 6\\in\\mathbb Q$ et $a\\sqrt 3\\in\\mathbb Q$ et donc en effectuant le quotient, $\\sqrt 2\\in \\mathbb Q,$ une contradiction.\n\nOn peut donner une démonstration beaucoup plus rapide si on connait la notion d'ensemble dénombrable. Puisque $P$ est un polynôme de degré 1, c'est une fonction injective. Et il ne peut pas exister de fonction injective d'un ensemble qui n'est pas dénombrable, ici $\\mathbb R\\backslash\\mathbb Q,$ dans un ensemble dénombrable (ici $\\mathbb Q$).\n\n Procédons par récurrence sur $n$. Notons, pour $n\\geq 1$, $\\mathcal P(n)$ la propriété suivante :\n\n$$\\mathcal P(n):\"\\textrm{il n'existe pas de polynôme $P\\in\\mathbb R[X]$ de degré $n$ tel que }\\forall x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q,\\ P(x)\\in\\mathbb Q.\"$$\n\nLa question précédente a prouvé que la propriété $\\mathcal P(1)$ est vraie. Soit maintenant $n\\geq 1$ tel que $\\mathcal P(n)$ est vraie. Soit $P\\in\\mathbb R[X]$ de degré $n+1$, et supposons que $P(x)\\in\\mathbb Q$ pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash\\mathbb Q$. Posons $Q(X)=P(X+1)-P(X)$. Alors il est facile de vérifier que $Q$ est de degré $n$ (si $a_{n+1}X^{n+1}$ est le terme de plus haut degré de $P$, alors $(n+1)a_{n+1}X^{n}$ est le terme dominant de $Q$). De plus, pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q$, $x+1\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q$ et donc $P(x),P(x+1)\\in\\mathbb Q$. On en déduit que $Q(x)\\in\\mathbb Q$, une contradiction avec $\\mathcal P(n)$.\n\nAinsi, par le principe de récurrence, $\\mathcal P(n)$ est vraie pour tout $n\\geq 1$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - En pratique! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de \n\n\n $X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$;\n\n $X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$;\n\n $X^5-X^2+2$ par $X^2+1$.\n\n",
        "answer": "  On trouve les résultats suivants :\n\n\n Le quotient est $X^2+2X+7$, le reste est nul;\n\n Le quotient est $X^2-3X-5$, le reste est $X+3$;\n\n Le quotient est $X^3-X-1$, le reste est $X+3$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Application de la division euclidienne à l'évaluation d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A(X)=X^6-X^4+2X^3-X+1$ et $B(X)=X^2-2X+2$.\n\n\n Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$.\n\n En déduire la valeur de $A(1+i)$. \n\n",
        "answer": "  \n On trouve $A(X) = (X^4+2X^3+X^2-2)B(X)-5X+5$.\n\n On vérifie facilement que \n\n$$B(1+i)=(1+i)^2-2(1+i)+2=0.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$A(1+i)=-5(1+i)+5=-5i.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Expression du reste [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\\in \\mathbb K[X]$, soit $a,b\\in\\mathbb K$ avec $a\\neq b$.\n\n\n Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P(b)$.\n\n Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.\n\n",
        "answer": "  Dans les deux cas, on remarquera que  $R$ est de degré au plus $1$ et s'écrit donc $R(X)=\\alpha X+\\beta$. \n\n\n Évaluons la relation \n\n$$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\\alpha X+\\beta$$\n\nen $a$ et en $b$. On trouve le système \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\alpha a +\\beta &=&P(a)\\\\\n\n\\alpha b +\\beta &=&P(b).\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nOn en déduit alors facilement que \n\n$$\\alpha=\\frac{P(a)-P(b)}{a-b}\\textrm{ et }\\beta=\\frac{aP(b)-bP(a)}{a-b}.$$\n\n Évaluons la relation\n\n$$P(X)=(X-a)^2Q(X)+\\alpha X+\\beta$$\n\nau point $a$. On trouve $P(a)=a\\alpha+\\beta$. Dérivons maintenant la relation précédente :\n\n$$P'(X)=2(X-a)Q(X)+(X-a)^2Q'(X)+\\alpha.$$\n\nOn évalue à nouveau en $a$ et on trouve que \n\n$$\\alpha=P'(a).$$\n\nEn revenant à la première équation, on en déduit que $\\beta=P(a)-aP'(a).$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Reste par un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\\in\\mathbb R[X]$, $a,b\\in\\mathbb R$, $a\\neq b$. Sachant que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ vaut 1 et que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-b$ vaut $-1$, que vaut le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$?",
        "answer": "  On sait que $P(X)=(X-a)Q_1(x)+1$, et donc $P(a)=1$. De même, on a $P(b)=-1$. La division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ s'écrit \n\n$$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\\alpha X+\\beta.$$\n\nOn évalue cette relation en $a$ et en $b$, et on trouve le système\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\alpha a+\\beta&=&1\\\\\n\n\\alpha b+\\beta&=&-1.\n\n\\end{array}\\right.\n\n$$\n\nLa résolution de ce système ne pose pas de difficultés et donne comme unique solution\n\n$$\\alpha=\\frac{2}{a-b}\\textrm{ et }\\beta=\\frac{-a-b}{a-b}.$$\n\nLe reste recherché est donc\n\n$$\\frac{2}{a-b}X+\\frac{-a-b}{a-b}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Reste et trigonométrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\alpha$ un nombre réel et $n\\geq 1$ un entier. Quel est le reste de $(X\\sin \\alpha+\\cos\\alpha)^n$ par $X^2+1$.",
        "answer": "  On sait que le reste est de degré au plus $1$, et on peut écrire \n\n$$(X\\sin\\alpha+\\cos\\alpha)^n =(X^2+1)Q(X)+aX+b$$\n\navec $a$ et $b$ des réels. On évalue cette égalité en $i$, racine de $X^2+1$, et on trouve\n\n$$(i\\sin\\alpha+\\cos\\alpha)^n =ai+b.$$\n\nMais \n\n$$(i\\sin\\alpha+\\cos\\alpha)^n=\\cos(n\\alpha)+i\\sin(n\\alpha).$$\n\nAinsi, le reste recherché est $\\sin(n\\alpha)X+\\cos(n\\alpha)$.\n"
    },
    {
        "question": " 11  -  [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par\n\n$$\n\n\\mathbf{1.}\\ X^2-3X+2\\quad\\quad\\mathbf{2.}\\ X^2+X+1\\quad\\quad\\mathbf{3.}\\ X^2-2X+1?\n\n$$\n\n",
        "answer": "  On rappelle qu'on note $j$ le nombre complexe $j=-\\frac12+i\\frac{\\sqrt 3}2$. \n\n\n La méthode pour ce type d'exercice est toujours la même. On commence par écrire a priori le résultat de la division euclidienne, par exemple pour le premier polynôme :\n\n$$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-3X+2)+aX+b,$$\n\noù $a$ et $b$ sont deux réels.\n\nOn évalue ensuite la relation en les racines du diviseur, qui sont ici $1$ et $2$.\n\nOn trouve alors \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n2^n-2&=&a+b\\\\\n\n3^{n}-2^n-1&=&2a+b.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nEt finalement on résout le système pour trouver $a$ et $b$, qui sont ici égaux à :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\na&=&3^n-2^{n+1}+1\\\\\n\nb&=&-3^n+2^{n+1}+2^n-3.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\n On écrit la même chose, \n\n$$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2+X+1)+aX+b,$$\n\net on utilise cette fois que les racines de $X^2+X+1$ sont\n\n$j$ et $j^2$.\n\nIl suffit ici en réalité d'utiliser l'évaluation en $j$, sachant que tout nombre complexe\n\ns'écrit de façon unique sous la forme $x+jy$, avec $x,y\\in\\mathbb R$.\n\nOn trouve :\n\n$$(1+j)^n-j^n-1=Q(j)\\times 0+aj+b.$$\n\nOn distingue ensuite suivant la valeur de $n$ modulo 3, utilisant que\n\n$$(1+j)^n-j^n-1=(-1)^nj^{2n}-j^n-1.$$\n\n\n Si $n\\equiv 0\\ [3]$, alors $j^{2n}=j^n=1$, et donc on a\n\n$$(-1)^n-2=aj+b.$$\n\nOn identifie alors les coefficients et on trouve $a=0$ et $b=(-1)^n-2.$\n\nAinsi le reste est $(-1)^n-2$.\n\n Si $n\\equiv 1\\ [3]$, alors $j^{n}=j$ et donc $j^{2n}=j^2=-1-j$, $j^n=j$, ce qui donne\n\n$$\\big((-1)^{n+1}-1\\big)j+\\big( (-1)^{n+1}-1\\big)=aj+b.$$\n\nOn identifie les coefficients et on trouve\n\n$$a=b=(-1)^{n+1}-1.$$\n\nLe reste est donc $\\big((-1)^{n+1}-1\\big)(X+1).$\n\n Si $n\\equiv 2\\ [3]$, alors $j^{2n}=j$ et $j^{n}=j^2=-1-j$. On trouve\n\n$$\\big( (-1)^n +1\\big)j=aj+b.$$\n\nOn identifie alors les coefficients et on trouve\n\n$a=(-1)^n +1$ et $b=0.$\n\nLe reste est alors $\\big( (-1)^n +1\\big)X.$\n\n\n On recommence en écrivant\n\n$$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-2X+1)+aX+b,$$\n\net en remarquant que $X^2-2X+1$ a pour racine double 1. Si on évalue en 1, on obtient une seule relation, à savoir\n\n$$2^n-2=a+b.$$\n\nPour obtenir une seconde relation, il faut dériver la relation issue de la division euclidienne et l'évaluer à nouveau en 1 (c'est toujours\n\ncette méthode qui fonctionne pour une racine double). On trouve :\n\n$$n(X+1)^{n-1}-nX^{n-1}=Q'(X)(X^2-2X+1)+2Q(X)(X-1)+a,$$\n\nce qui donne la relation\n\n$$n2^{n-1}-n=a.$$\n\nOn retrouve alors sans problèmes $b$, qui est égal à :\n\n$$b=(2-n)2^{n-1} +n-2.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Même quotient et même reste en inversant les rôles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les couples $(A,B)$ de polynômes non nuls de $\\mathbb R[X]$ tels que le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B$ et dans la division euclidienne de $B$ par $A$ soient identiques.",
        "answer": "  Procédons par analyse-synthèse. Supposons donc que la propriété est vraie. Il existe alors un polynôme $Q$ et un polynôme $R$ avec $\\deg(R)<\\min(\\deg(A),\\deg(B))$ tel que $A=BQ+R$ et $B=AQ+R$. Mais alors, on a aussi \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nA=(AQ+R)Q+R=AQ^2+RQ+R&\\iff &A(1-Q^2)-R(1+Q)=0\\\\\n\n&\\iff&A(Q+1)(1-Q)-R(1+Q)=0\\\\\n\n&\\iff&(Q+1)\\big( A(1-Q)-R\\big)=0.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nSi le produit de deux polynômes est nul, c'est que l'un de ces deux polynômes est nul. Ainsi, on a ou bien $1+Q=0$ ou bien $A(1-Q)-R=0$. On distingue donc deux cas\n\n\n Si $Q=-1$, alors $A=-B+R$ et $B=-A+R$. Autrement dit, il existe deux polynômes $P,R\\in\\mathbb R[X]$ avec $\\deg(R)<\\deg(P)$ tels que $A=P+R$ et $B=-P$.\n\n Si $Q\\neq -1$, alors $A(1-Q)-R=0$. Pour des considérations de degré (rappelons que $\\deg(R)<\\deg(A))$, ceci n'est possible que si $Q=1$ et $R=0$. On obtient alors le cas trivial $A=B$.\n\n\n\nPassons à la synthèse. Supposons que $A=B$ ou qu'il existe un couple de polynômes $(P,R)$ de $\\mathbb R[X]$ avec $\\deg(R)<\\deg(P)$ tels que $A=P+R$ et $B=-P$. Alors les divisions euclidiennes de $A$ par $B$ et de $B$ par $A$ ont bien même quotient et même reste. C'est évident si $A=B$ et dans l'autre cas, l'écriture $A=-B+R$ donne que le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B$ sont $-1$ et $R$, tandis que l'écriture $B=-P=-A+R$ donne le même reste et le même quotient dans la division euclidienne de $B$ par $A$.\n\nOn a donc démontré que l'ensemble des couples solutions est\n\n$$\\mathcal S=\\{(P,P);\\ P\\in\\mathbb R[X]\\}\\cup \\{(P+R,-P);\\ P,R\\in\\mathbb R[X],\\ \\deg(R)<\\deg(P)\\}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Détermination d'un ensemble de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Le but de cet exercice est de déterminer\n\n$$E=\\{P\\in \\mathbb R[X];\\ P(X^2)=(X^3+1)P(X)\\}.$$\n\n\n Démontrer que le polynôme nul ainsi que le polynôme $X^3-1$ sont\n\nsolutions du problème.\n\n Analyse du problème. Soit $P\\in E$ non nul.\n\n\n Montrer que $P$ est de degré 3.\n\n Démontrer que $P(1)=0$, puis que $P'(0)=P''(0)=0$ (on pourra penser\n\nà dériver la relation\n\n$P(X^2)=(X^3+1)P(X)$).\n\n En effectuant la division euclidienne de $P$ par $X^3-1$, démontrer\n\nqu'il existe $\\lambda\\in\\mathbb R$ tel que $P(X)=\\lambda (X^3-1)$.\n\n\n Synthèse du problème : en déduire l'ensemble $E$.\n\n",
        "answer": "  \n Il est clair que $0=(X^3+1)0$ et donc le polynôme nul est solution.\n\nPour $P(X)=X^3-1$, on a $P(X^2)=X^6-1$\n\net $(X^3+1)P(X)=(X^3+1)(X^3-1)=X^6-1$. Ce polynôme est aussi solution.\n\n \n Notons $n$ le degré de $P$. Alors $P(X^2)$ est de degré $2n$ et $(X^3+1)P(X)$ est de degré $n+3$. Le degré $n$ vérifie donc l'équation $2n=n+3$, soit $n=3$.\n\n En évaluant la relation en $X=1$, on a $P(1^2)=P(1)=0$. Dérivons maintenant l'équation $P(X^2)=(X^3+1)P(X)$. On trouve\n\n$$2XP'(X^2)=3X^2P(X)+(X^3+1)P'(X).$$\n\nSi on évalue en $X=0$, on trouve $P'(0)=0$. Dérivons une second fois cette équation. On trouve\n\n$$2P'(X^2)+4X^2P''(X^2)=6XP(X)+6X^2P'(X)+(X^3+1)P''(X).$$\n\nOn évalue cette équation en $X=0$ et on trouve, tenant compte du fait que l'on sait déjà que $P'(0)=0$, $P''(0)=0$.\n\n Effectuons la division euclidienne de $P$ par $X^3-1$. On peut écrire \n\n$$P(X)=Q(X)(X^3-1)+R(X)$$\n\noù $\\deg(R)\\leq 2$ et donc $R(X)$ s'écrit $R(X)=aX^2+bX+c$. De plus, en considérant le degré, $Q$ ne peut être qu'un polynôme constant, et donc $Q(X)=\\lambda$ avec $\\lambda\\in\\mathbb R$. Il reste à montrer que $a=b=c=0$. Puisque $P(1)=0$, on a $a+b+c=0$. De plus, dérivons $P(X)=\\lambda(X^3-1)+(aX^2+bX+c)$. On obtient \n\n$$P'(X)=3\\lambda X^2+(2aX+b).$$\n\nPuisque $P'(0)=0$, on a $b=0$. On dérive une seconde fois la relation, on obtient \n\n$$P''(X)=6\\lambda X+2a$$\n\net puisque $P''(0)=0$, on a $a=0$ et finalement également $c=0$.\n\n\n La question précédente nous dit que si $P\\in E$, alors ou bien $P$ est nul ou bien $P(X)=\\lambda (X^3-1)$ pour un certain $\\lambda\\in\\mathbb R^*$. Réciproquement, d'après la première question, le polynôme nul et les polynômes $\\lambda(X^3-1)$, $\\lambda\\in\\mathbb R^*$ sont éléments de $E$. Finalement, on peut conclure que $E=\\{\\lambda (X^3-1);\\ \\lambda\\in\\mathbb R\\}$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Un reste [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $n$, $p$ deux entiers naturels non nuls et soit $P(X)=\\sum_{k=0}^n a_kX^k$\n\nun polynôme de $\\mathbb C[X]$. Pour chaque $k\\in\\{0,\\dots,n\\}$, on note $r_k$ le reste de la division euclidienne\n\nde $k$ par $p$. Démontrer que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$ est le polynôme\n\n$R(X)=\\sum_{k=0}^n a_kX^{r_k}$.",
        "answer": "  On va démontrer que $X^p-1$ divise $P-R$. En effet, le degré de $R$ est inférieur strict à $p$,\n\net $R$ sera bien le reste dans la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$. On écrit alors que\n\n$$P-R=\\sum_{k=0}^n a_k (X^k-X^{r_k}),$$\n\net il suffit de prouver que $X^p-1$ divise chaque $X^k-X^{r_k}$. Si $k<p$, alors $r_k=k$ et donc $X^p-1$ divise $X^k-X^{r_k}=0.$ Sinon, écrivons $k=mp+r_k$, avec $m\\geq 1,$ d'où l'on tire\n\n$$X^k-X^{r_k}=X^{r_k}(X^{mp}-1)=X^{r_k}(X^p-1)(1+X^p+\\dots+X^{(m-1)p}).$$\n\n$X^p-1$ divise bien $P-R$!\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Conditions de divisibilité sur $P'$ et $P$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer tous les polynômes $P\\in\\mathbb R_3[X]$ tels que $P$ soit divisible par $X+1$ et $P'$ soit divisible par $(X-1)^2$.",
        "answer": "  Puisque $P'\\in\\mathbb R_2[X]$ et que $P'$ est divisible par $(X-1)^2$, alors il existe $a\\in\\mathbb R$ tel que $P'(X)=3a(X-1)^2$. Par intégration, il existe $b\\in\\mathbb R$ tel que  \n\n$P(X)=a(X-1)^3+b$. Maintenant, $P$ est divisible par $X+1$ si et seulement si $P(-1)=0$. Mais \n\n$$P(-1)=-8a+b=0\\iff b=8a.$$\n\nAinsi, les polynômes recherchées sont ceux qui s'écrivent \n\n$$P(X)=a(X-1)^3+8a,\\ a\\in\\mathbb R.$$\n"
    },
    {
        "question": " 16  - A paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(\\lambda ,\\mu ) \\in \\mathbb{C}^2 $\n\n pour que $X^2  + 2$ divise $X^4  + X^3  + \\lambda X^2  + \\mu X + 2$.",
        "answer": "  On réalise la division euclidienne de $X^4  + X^3  + \\lambda X^2  + \\mu X + 2$ par $X^2+2$, et on trouve :\n\n$$X^4+X^3+\\lambda X^2+\\mu X+2=(X^2+2)(X^2+X+(\\lambda-2))+(\\mu-2)X+6-2\\lambda.$$\n\nLe polynôme $X^2+2$ divise donc $X^4+X^3+\\lambda X^2+\\mu X+2$ si et seulement si le reste est nul, donc si et seulement\n\nsi $\\mu=2$ et $\\lambda=3$.\n\nUne autre possibilité est de remarquer que les racines de $X^2+2$ sont $\\sqrt 2i$ et $-\\sqrt 2i$, et donc que la décomposition en produits d'irréductibles de $X^2+2$ est $(X-\\sqrt 2i)(X+\\sqrt 2i)$. Pour que $X^4  + X^3  + \\lambda X^2  + \\mu X + 2$ soit divisible par $X^2+2$, il faut et il suffit que $\\sqrt 2i$ et $-\\sqrt 2i$ soient racines de $X^4  + X^3  + \\lambda X^2  + \\mu X + 2$. On évalue ce polynôme en $\\sqrt 2i$ et $-\\sqrt 2i$ et on trouve un système linéaire que doit vérifier le couple $(\\lambda,\\mu)$. On trouve bien sûr la même solution.\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Ils divisent! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que \n\n\n $X^{n+1}\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-X^n\\cos(n\\theta)-X\\cos\\theta+1$ est divisible par $X^2-2X\\cos\\theta+1$;\n\n $nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ est divisible par $(X-1)^2$.\n\n",
        "answer": "  \n Pour prouver que $X^2-2X\\cos\\theta+1$ divise $X^{n+1}\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-X^n\\cos(n\\theta)-X\\cos\\theta+1$,\n\nil suffit de prouver que ce dernier polynôme s'annule en les deux racines (complexes) de $X^2-2X\\cos\\theta+1$, à savoir\n\n$e^{i\\theta}$ et $e^{-i\\theta}$. Il suffit de prouver le résultat pour $e^{i\\theta}$ car, le polynôme étant réel,\n\nsi $z$ est racine, son conjugué $\\bar z$ est racine. On trouve\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n&e^{i(n+1)\\theta}\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-e^{in\\theta}\\cos(n\\theta)-e^{i\\theta}\\cos\\theta+1=\\\\\n\n&\\Big(\\cos\\big((n+1)\\theta\\big)\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-\\cos^2(n\\theta)-\\cos^2\\theta+1\\Big)+\\\\\n\n&i\\Big(\\sin\\big((n+1)\\theta\\big)\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-\\sin(n\\theta)\\cos(n\\theta)\n\n-\\sin\\theta\\cos\\theta\\Big).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nLe reste n'est plus qu'une affaire de formules de trigonométrie :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\cos\\big((n+1)\\theta\\big)\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)&=&\\frac12\\Big(\\cos(2n\\theta)+\\cos(2\\theta)\\Big)\\\\\n\n\\cos^2(n\\theta)&=&\\frac12\\Big(\\cos(2n\\theta)+1\\Big)\\\\\n\n\\cos^2\\theta&=&\\frac12\\Big(\\cos(2\\theta)+1\\Big)\\\\\n\n\\sin\\big((n+1)\\theta\\big)\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)&=&\\frac12\\Big(\\sin(2n\\theta)+\\sin(2\\theta)\\Big)\\\\\n\n\\sin(n\\theta)\\cos(n\\theta)&=&\\frac12\\sin(2n\\theta)\\\\\n\n\\sin\\theta\\cos\\theta&=&\\frac12\\sin(2\\theta).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nEn faisant les bonnes sommes et différences des relations précédentes, on trouve bien que \n\n$$e^{i(n+1)\\theta}\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-e^{in\\theta}\\cos(n\\theta)-e^{i\\theta}\\cos\\theta+1=0.$$\n\n Cette fois, on a affaire à une racine d'ordre $2$, et il suffit de prouver que $1$ est racine de\n\n$P(X)=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ et de $P'(X)=n(n+1)X^{n}-n(n+1)X^{n-1}$, ce qui est évident...\n\nPour justifier cela, on peut faire appel à la partie du cours consacrée aux racines, ou partir de la division euclidienne \n\n$$nX^{n+1}-(n+1)X^n+1=Q(X)(X-1)^2+aX+b.$$\n\nFaire $X=1$ dans la relation précédente donne $a+b=0$. De plus, si on dérive la relation précédente et qu'on fait à nouveau $X=1$,\n\non obtient $a=0$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Divisibilité et composition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $A,B,P\\in\\mathbb K[X]$ avec $P$ non-constant. On suppose que $A\\circ P|B\\circ P$.\n\nDémontrer que $A|B$.",
        "answer": "  On écrit la division euclidienne de $B$ par $A$, $B=AQ+R$ avec $\\deg(R)<\\deg(A)$. \n\nOn compose alors par $P$, et on obtient $B\\circ P=(A\\circ P)\\times(Q\\circ P)+R\\circ P$. Or, le \n\npolynôme $A\\circ P$ a pour degré $\\deg(A)\\times\\deg(P)$. Le polynôme $R\\circ P$ a pour degré\n\n$\\deg(R)\\times\\deg(P)$. On en déduit que $\\deg(R\\circ P)<\\deg(A\\circ P)$ et donc que \n\n$B\\circ P=(A\\circ P)\\times(Q\\circ P)+R\\circ P$ est la division euclidienne de $B\\circ P$ par $A\\circ P$. \n\nMais on sait que $A\\circ P|B\\circ P$ et donc on en déduit que $R\\circ P$ est égal à 0. Ceci n'est possible\n\nque si $R=0$, et donc $A|B$.\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Le polynôme dérivé divise le polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les polynômes $P$ de degré supérieur ou égal à 1 et tels que $P'|P$.",
        "answer": "  Puisque $P'|P$, $P=QP'$, et les considérations de degré font que $Q$ est de degré 1. On peut donc écrire :\n\n$$P=\\lambda(X-\\alpha)P'.$$\n\nOn applique ensuite la formule de Taylor à $P$ en $\\alpha$ : \n\n$$P(X)=\\sum_{k=0}^n \\frac{P^{(k)}(\\alpha)}{k!}(X-\\alpha)^k,$$\n\n$$P'(X)=\\sum_{k=1}^n \\frac{k P^{(k)}(\\alpha)}{k!}(X-\\alpha)^{k-1},$$\n\n$$\\lambda(X-\\alpha)P'(X)=\\sum_{k=1}^n\\frac{\\lambda k P^{(k)}(\\alpha)}{k!}(X-\\alpha)^{k}.$$\n\nPar identification, on obtient, pour tout $k$ dans $\\{0,\\dots,n\\}$ :\n\n$$\\frac{P^{(k)}(\\alpha)}{k!}(\\lambda k-1)=0.$$\n\nMaintenant, $P^{(n)}(\\alpha)\\neq 0$, et donc $\\lambda=1/n$. Ceci entraîne par suite que, pour tout $k$ dans $\\{0,\\dots,n-1\\}$, on a :\n\n$$P^{(k)}(\\alpha)=0.$$\n\nAinsi, $$P(X)=\\frac{P^{(n)}(\\alpha)}{n!}(X-\\alpha)^n,$$\n\nce qui prouve que $P(X)=K(X-\\alpha)^n$, où $K$ est une constante. La réciproque se vérifie aisément.\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Calculs de pgcd [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les pgcd suivants :\n\n\n $P(X)=X^4-3X^3+X^2+4$ et $Q(X)=X^3-3X^2+3X-2$;\n\n $P(X)=X^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1$ et $Q(X)=X^5-X^4+2X^2-2X+1$;\n\n $P(X)=X^n-1$ et $Q(X)=(X-1)^n$, $n\\geq 1$.\n\n",
        "answer": "  \n On applique l'algorithme d'Euclide. Le dernier reste non-nul donne un pgcd des deux polynômes. On a successivement :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nX^4-3X^3+X^2+4&=&(X^3-3X^2+3X-2)X+(-2X^2+2X+4)\\\\\n\nX^3-3X^2+3X-2&=&(-2X^2+2X+4)\\left(\\frac{-X}2+1\\right)+3X-6\\\\\n\n(-2X^2+2X+4)&=&(3X-6)\\times\\left(\\frac{-2X}{3}-\\frac 23\\right).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nUn pgcd est donc $3X-6$ (ou $X-2$).\n\n On répète le même procédé :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nX^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1&=&(X^5-X^4+2X^2-2X+1)1+2X^3-4X^2+4X-2\\\\\n\nX^5-X^4+2X^2-2X+1&=&(2X^3-4X^2+4X-2)((X^2)/2+X/2)+X^2-X+1\\\\\n\n2X^3-4X^2+4X-2&=&(X^2-X+1)(2X-2)+0\\\\\n\n\\end{eqnarray*}\n\nUn pgcd des deux polynômes est donc $X^2-X+1$.\n\n Les diviseurs non-constants de $Q$ sont les polynômes du type $c(X-1)^p$, avec $1\\leq p\\leq n$. Parmi ces diviseurs, seuls ceux de la forme $c(X-1)$ divisent aussi $P$ (par exemple, car $1$ est racine simple et non double de $P$, ou bien parce qu'on sait comment décomposer $P$ en produits d'irréductibles...). Ainsi, $P\\wedge Q=X-1$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Équation de Bezout [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Trouver deux polynômes $U$ et $V$ de $\\mathbb R[X]$ tels que $AU+BV=1$, où $A(X)=X^7-X-1$ et \n\n$B(X)=X^5-1$.",
        "answer": "  On utilise l'algorithme d'Euclide. On a\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nX^7-X-1&=&(X^5-1)X^2+X^2-X-1\\\\\n\nX^5-1&=&(X^2-X-1)(X^3+X^2+2X+3)+5X+2\\\\\n\nX^2-X-1&=&(5X+2)(X/5-7/25)-11/25.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn remonte ensuite les calculs. On va partir plutôt de \n\n$$11=-25(X^2-X-1)+(5X-7)(5X+2)$$\n\npour éviter de trainer des fractions. On trouve alors successivement :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n11&=&-25(X^2-X-1)+(5X-7)\\big((X^5-1)-(X^2-X-1)(X^3+X^2+2X+3)\\big)\\\\\n\n&=&(-5X^4+2X^3-3X^2-X-4)(X^2-X-1)+(5X-7)(X^5-1)\\\\\n\n&=&(-5X^4+2X^3-3X^2-X-4)(X^7-X-1)+(5X^6-2X^5+3X^4+X^3+4X^2+5X-7)(X^5-1).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nIl suffit de diviser par 11 pour obtenir les polynômes $U$ et $V$.\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Polynômes ayant un facteur commun [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $P$ et $Q$ des polynômes de $\\mtc[X]$ non constants.\n\nMontrer que $P$ et $Q$ ont un facteur commun si, et seulement si, il existe $A,B\\in\\mtc[X]$, $A\\neq 0$, $B\\neq 0$, tels que $AP=BQ$ et $\\deg(A)<\\deg(Q)$, $\\deg(B)<\\deg(P)$.",
        "answer": "  Supposons que $P$ et $Q$ ont un facteur commun $D$. On factorise $P=DB$ et $Q=DA$, $A$ et $B$ vérifient les conditions voulues.\n\n Réciproquement, si $P\\wedge Q=1$ et $AP=BQ$, alors $P|BQ$ et par le théorème de Gauss $P|B$. Ceci contredit les contraintes imposées à $B$.\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Équation de congruence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les polynômes $P\\in\\mathbb R_3[X]$ tels que\n\n$(X-1)^2$ divise $P(X)+1$ et $(X+1)^2$ divise $P(X)-1$.",
        "answer": "  On commence par remarquer que les polynômes $(X-1)^2$ et $(X+1)^2$ sont premiers entre eux, une relation de Bezout entre\n\neux étant obtenue par la formule\n\n$$\\left(\\frac X4+\\frac12\\right)(X-1)^2+\\left(\\frac{-X}4+\\frac12\\right)(X+1)^2=1.$$\n\nOn doit résoudre le système de \"congruence\" suivant :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nP(X)&\\equiv&-1\\ [(X-1)^2]\\\\\n\nP(X)&\\equiv&1\\ [(X+1)^2]\\\\\n\n\\end{array}\n\n\\right.\n\n$$\n\nLa première équation donne $P(X)=-1+U(X)(X-1)^2$, et, en reportant dans la deuxième équation, on trouve\n\n$$U(X)(X-1)^2\\equiv 2\\ [(X+1)^2].$$\n\nOn multiplie alors les deux membres par $(X/4+1/2)$, qui est tel que $(X/4+1/2)(X-1)^2\\equiv 1\\ [(X+1)^2]$. On en déduit\n\n$$U(X)\\equiv (X/2+1)\\ [(X+1)^2]\\implies U(X)=(X/2+1)+V(X)(X+1)^2.$$\n\nLes solutions du système de congruence sont donc les polynômes de la forme\n\n$$P(X)=-1+(X/2+1)(X-1)^2+V(X)(X-1)^2(X+1)^2,$$\n\noù $V$ est un polynôme quelconque. La seule solution dans $\\mathbb R_3[X]$ est\n\n$$P(X)=\\frac{X^3}{2}-\\frac{3X}{2}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Pgcd de deux polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $n,m\\geq 1$. Déterminer le pgcd de $X^n-1$ et $X^m-1$.",
        "answer": "  Une idée possible est d'appliquer l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd de ces deux polynômes.\n\nOn suppose par exemple $n>m$, et on écrit $n=mp+r$, avec $0\\leq r<m$. Alors on a :\n\n$$X^n-1=X^{mp+r}-1=X^r(X^{mp}-1)+X^r-1.$$\n\nLe point crucial est que $X^{mp}-1$ est divisible par $X^m-1$. En effet,\n\n$$X^{mp}-1=(X^m-1)(X^{m(p-1)}+X^{m\\big((p-1)-1\\big)}+\\dots+X^m+1).$$\n\nAinsi, $\\textrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=\\textrm{pgcd}(X^m-1,X^r-1)$. Mais puisque\n\n$\\textrm{pgcd}(n,m)=\\textrm{pgcd}(m,r)$, on en déduit finalement que\n\n$$\\textrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=X^{\\textrm{pgcd}(n,m)}-1.$"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Vrai/Faux sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Le polynôme $X^4+X^2+1$ est-il irréductible dans $\\mathbb R[X]$? dans $\\mathbb C[X]$?\n\n La relation $\\mathcal R$ définie sur $\\mathbb R[X]$ par $A\\mathcal R B$ si et seulement si $A$ divise $B$ est-elle une relation d'ordre?\n\n",
        "answer": "  \n Les irréductibles de $\\mathbb R[X]$ sont de degré 1 ou 2, les irréductibles de $\\mathbb C[X]$ sont de degré 1. Le polynôme $X^4+X^2+1$ n'est donc irréductible ni dans $\\mathbb R[X]$, ni dans $\\mathbb C[X]$.\n\n On peut vérifier que la relation $\\mathcal R$ est transitive et réflexive. En revanche, elle n'est pas anti-symétrique. Prenons par exemple $A=X$ et $B=2X$. Alors $A$ divise $B$, $B$ divise $A$, et pourtant $A$ est différent de $B$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Coefficient dominant et degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour chacun des polynômes suivants, donner son coefficient dominant ainsi que son degré.\n\n\\begin{equation*}\n\n\\begin{aligned}\n\n& P_0 = 1 + \\sqrt 3 X - 2X^2 && \\quad P_1 = X^7 + 4X^8 + (1-\\mathrm i)X^3 \\\\\n\n& P_2 = 3X(1+X^2) + 2X^3 - 1 && \\quad P_3 = (\\mathrm i+X)(1+3X^2-\\mathrm iX) \\\\\n\n& P_4 = \\sum_{k=1}^4 (k!+1) X^k && \\quad P_5 = (3X-7X^2+4)' \\\\\n\n& P_6 = \\big[ X(X+1)(X+2)(X+3)(X+4) \\big]' && \\quad P_7 = (1-X^n)(1+X)^2 + X^{n+2}, \\quad n\\geq 0.\n\n\\end{aligned}\n\n\\end{equation*}",
        "answer": "  \n $P_0$ a pour degré $2$ et coefficient dominant $-2$.\n\n\n\n$P_1 = 4X^8 + X^7 + (1-\\mathrm i)X^3$ et a pour degré $8$ et coefficient dominant $4$.\n\n \n\n$P_2 = 5X^3 + 3X -1$ et a pour degré $3$ et coefficient dominant $5$.\n\n\n\n$P_3$ est le produit d'un polynôme de degré 1 à coefficient dominant 1, avec un polynôme de degré 2 à coefficient dominant 3, $P_3$ est donc de degré 3 et à coefficient dominant $3$.\n\n \n\n$P_4$ est de degré 4 et à coefficient dominant $(4! +1)$, c'est-à-dire $25$.\n\n\n\n$P_5 = -14X+3$ est de degré $1$ et à coefficient dominant $-14$.\n\nC'est en fait le polynôme dérivé d'un polynôme de degré $2$ à coefficient dominant $-7$.\n\n\n\nLe polynôme $X(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)$ est de degré $5$ et unitaire (c'est-à-dire de coefficient dominant $1$) ;\n\n$P_6$ est son polynôme dérivé, il est donc de degré $4$, et de coefficient dominant $5$.\n\n\n\n$P_7 = (1-X^n)(1+X)^2 + X^{n+2} = 1 + 2X + X^2 - X^n - 2X^{n+1}$.\n\n\n si $n =0$, $P_7 = X^2$ ; il est de degré $2$, de coefficient dominant $1$ ;\n\n si $n = 1$, $P_7 = 1 + X - X^2$ ; il est de degré $2$, de coefficient dominant $-1$ ;\n\n si $n\\geq 2$, alors $n+1\\geq 3$ donc $P_7$ est de degré $(n+1)$, de coefficient dominant $-2$.\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $a,b$ des réels, et $P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$\n\nle polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\\mathbb R[X]$?",
        "answer": "  Si $P=Q^2$ est le carré d'un polynôme, alors $Q$ est nécessairement de degré 2, et son coefficient\n\ndominant est égal à $1$ ou est égal à $-1$. Dans le premier cas, on peut donc écrire $Q(X)=X^2+cX+d$. On a alors \n\n$$Q^2(X)=X^4+2cX^3+(2d+c^2)X^2+2cdX+d^2.$$\n\nPar identification, on doit avoir $2c=2a$, $2d+c^2=b$, $2cd=2$ et $d^2=1$. On trouve donc $c=a$ et $d=\\pm 1$.  \n\nSi $d=1$, alors $c=1$, et donc $a=1$ et $b=3$. Si $d=-1$, alors $c=-1$, $a=-1$ et $b=-1$. Les deux solutions sont donc\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP_1(X)&=&X^4+2X^3+3X^2+2X+1=(X^2+X+1)^2\\\\\n\nP_2(X)&=&X^4-2X^3-X^2+2X+1=(X^2-X-1)^2.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nDans le deuxième cas, on écrit $Q(X)=-R(X)$ avec $R(X)=X^2+cX+d$, de sorte que $Q^2(X)=R^2(X)$ et on retrouve en réalité le cas précédent.\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Quelques équations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations suivantes, où l'inconnue est un polynôme $P$ de $\\mathbb R[X]$ :\n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ P(X^2 ) = (X^2  + 1)P(X)&\\quad&\\mathbf{2.}\\ P'^2=4P\\\\\n\n\\mathbf{3.}\\ P\\circ P=P.\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n Le polynôme nul est évidemment solution. Sinon, si $P$ est solution, alors on a \n\n$$2\\deg(P)=\\deg(P)+2$$\n\nce qui prouve que $\\deg(P)$ doit être égal à 2. Maintenant, si $P(X)=aX^2+bX+c$, alors\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP(X^2)&=&aX^4+bX^2+c\\\\\n\n(X^2+1)P(X)&=&aX^4+bX^3+(a+c)X^2+bX+c.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn en déduit que $b=0$, puis que $a+c=0$. Les solutions sont donc les polynômes\n\nqui s'écrivent $P(X)=a(X^2-1)$, $a\\in\\mathbb R$.\n\n Là encore, le polynôme nul est solution, et c'est la seule solution constante. Par ailleurs, si $P$ est une solution non constante, alors son degré\n\nvérifie l'équation\n\n$$2(\\deg(P)-1)=\\deg(P)$$\n\nce qui entraîne que $\\deg(P)=2$. Maintenant, si $P(X)=aX^2+bX+c$, alors\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP'^2&=&(2aX+b)^2=4a^2X^2+4abX+b^2\\\\\n\n4P&=&4aX^2+4bX+4c.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nCeci entraîne $a^2=a$, donc $a=1$ (le polynôme est de degré $2$, $a\\neq 0$), puis\n\n$c=b^2/4$. Les polynômes solutions sont donc le polynôme nul et les polynômes\n\n$P(X)=X^2+bX+b^2/4$, avec $b\\in\\mathbb R$.\n\n Si $P$ est une solution qui n'est pas le polynôme nul, alors le degré de $P\\circ P$\n\nvaut $\\deg(P)^2$, et donc on a l'équation\n\n$$\\deg(P)^2=\\deg(P).$$\n\net donc $\\deg(P)=1$ ou $\\deg(P)=0$. Maintenant, si $P(X)=aX+b$, alors \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nP\\circ P(X)&=&a(aX+b)+b=a^2X+(ab+b)\\\\\n\nP(X)&=&aX+b.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn doit donc avoir $a^2=a$, soit $a=1$ ou $a=0$, et $ab=0$. Si $a=1$, alors $b=0$ et si $a=0$,\n\nalors $b$ peut être quelconque dans $\\mathbb R$.\n\nFinalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme $P(X)=X$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Polynômes, rationnels et irrationnels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On souhaite démontrer qu'il n'existe pas de polynôme $P\\in\\mathbb R[X]$ de degré $n\\geq 1$ tel que $P(x)\\in\\mathbb Q$ pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q$.\n\n\n Traiter le cas $n=1$. \n\n Traiter le cas général.\n\n",
        "answer": "  \n Supposons qu'il existe $P\\in\\mathbb R[X]$ de degré 1 tel que $P(x)\\in\\mathbb Q$ pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q.$ Puisque $\\deg(P)=1$, on peut l'écrire $P(X)=aX+b$ avec $a,b\\in \\mathbb R$ et $a\\neq 0.$ On a $P(\\sqrt 2)\\in\\mathbb Q$, et donc $a\\sqrt 2+b\\in \\mathbb Q$. On a aussi $P(-\\sqrt 2)\\in \\mathbb Q$ et donc $-a\\sqrt 2+b\\in \\mathbb Q$. En effectuant la somme de ces deux quantités, on obtient $2b\\in \\mathbb Q$ et finalement $b\\in \\mathbb Q.$ Ainsi, on obtient $ax\\in\\mathbb Q$ pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q.$ En particulier, $a\\sqrt 6\\in\\mathbb Q$ et $a\\sqrt 3\\in\\mathbb Q$ et donc en effectuant le quotient, $\\sqrt 2\\in \\mathbb Q,$ une contradiction.\n\nOn peut donner une démonstration beaucoup plus rapide si on connait la notion d'ensemble dénombrable. Puisque $P$ est un polynôme de degré 1, c'est une fonction injective. Et il ne peut pas exister de fonction injective d'un ensemble qui n'est pas dénombrable, ici $\\mathbb R\\backslash\\mathbb Q,$ dans un ensemble dénombrable (ici $\\mathbb Q$).\n\n Procédons par récurrence sur $n$. Notons, pour $n\\geq 1$, $\\mathcal P(n)$ la propriété suivante :\n\n$$\\mathcal P(n):\"\\textrm{il n'existe pas de polynôme $P\\in\\mathbb R[X]$ de degré $n$ tel que }\\forall x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q,\\ P(x)\\in\\mathbb Q.\"$$\n\nLa question précédente a prouvé que la propriété $\\mathcal P(1)$ est vraie. Soit maintenant $n\\geq 1$ tel que $\\mathcal P(n)$ est vraie. Soit $P\\in\\mathbb R[X]$ de degré $n+1$, et supposons que $P(x)\\in\\mathbb Q$ pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash\\mathbb Q$. Posons $Q(X)=P(X+1)-P(X)$. Alors il est facile de vérifier que $Q$ est de degré $n$ (si $a_{n+1}X^{n+1}$ est le terme de plus haut degré de $P$, alors $(n+1)a_{n+1}X^{n}$ est le terme dominant de $Q$). De plus, pour tout $x\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q$, $x+1\\in\\mathbb R\\backslash \\mathbb Q$ et donc $P(x),P(x+1)\\in\\mathbb Q$. On en déduit que $Q(x)\\in\\mathbb Q$, une contradiction avec $\\mathcal P(n)$.\n\nAinsi, par le principe de récurrence, $\\mathcal P(n)$ est vraie pour tout $n\\geq 1$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - En pratique! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de \n\n\n $X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$;\n\n $X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$;\n\n $X^5-X^2+2$ par $X^2+1$.\n\n",
        "answer": "  On trouve les résultats suivants :\n\n\n Le quotient est $X^2+2X+7$, le reste est nul;\n\n Le quotient est $X^2-3X-5$, le reste est $X+3$;\n\n Le quotient est $X^3-X-1$, le reste est $X+3$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Application de la division euclidienne à l'évaluation d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $A(X)=X^6-X^4+2X^3-X+1$ et $B(X)=X^2-2X+2$.\n\n\n Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$.\n\n En déduire la valeur de $A(1+i)$. \n\n",
        "answer": "  \n On trouve $A(X) = (X^4+2X^3+X^2-2)B(X)-5X+5$.\n\n On vérifie facilement que \n\n$$B(1+i)=(1+i)^2-2(1+i)+2=0.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$A(1+i)=-5(1+i)+5=-5i.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Expression du reste [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\\in \\mathbb K[X]$, soit $a,b\\in\\mathbb K$ avec $a\\neq b$.\n\n\n Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P(b)$.\n\n Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.\n\n",
        "answer": "  Dans les deux cas, on remarquera que  $R$ est de degré au plus $1$ et s'écrit donc $R(X)=\\alpha X+\\beta$. \n\n\n Évaluons la relation \n\n$$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\\alpha X+\\beta$$\n\nen $a$ et en $b$. On trouve le système \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\alpha a +\\beta &=&P(a)\\\\\n\n\\alpha b +\\beta &=&P(b).\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nOn en déduit alors facilement que \n\n$$\\alpha=\\frac{P(a)-P(b)}{a-b}\\textrm{ et }\\beta=\\frac{aP(b)-bP(a)}{a-b}.$$\n\n Évaluons la relation\n\n$$P(X)=(X-a)^2Q(X)+\\alpha X+\\beta$$\n\nau point $a$. On trouve $P(a)=a\\alpha+\\beta$. Dérivons maintenant la relation précédente :\n\n$$P'(X)=2(X-a)Q(X)+(X-a)^2Q'(X)+\\alpha.$$\n\nOn évalue à nouveau en $a$ et on trouve que \n\n$$\\alpha=P'(a).$$\n\nEn revenant à la première équation, on en déduit que $\\beta=P(a)-aP'(a).$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Reste par un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $P\\in\\mathbb R[X]$, $a,b\\in\\mathbb R$, $a\\neq b$. Sachant que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ vaut 1 et que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-b$ vaut $-1$, que vaut le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$?",
        "answer": "  On sait que $P(X)=(X-a)Q_1(x)+1$, et donc $P(a)=1$. De même, on a $P(b)=-1$. La division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ s'écrit \n\n$$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\\alpha X+\\beta.$$\n\nOn évalue cette relation en $a$ et en $b$, et on trouve le système\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\alpha a+\\beta&=&1\\\\\n\n\\alpha b+\\beta&=&-1.\n\n\\end{array}\\right.\n\n$$\n\nLa résolution de ce système ne pose pas de difficultés et donne comme unique solution\n\n$$\\alpha=\\frac{2}{a-b}\\textrm{ et }\\beta=\\frac{-a-b}{a-b}.$$\n\nLe reste recherché est donc\n\n$$\\frac{2}{a-b}X+\\frac{-a-b}{a-b}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Reste et trigonométrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\alpha$ un nombre réel et $n\\geq 1$ un entier. Quel est le reste de $(X\\sin \\alpha+\\cos\\alpha)^n$ par $X^2+1$.",
        "answer": "  On sait que le reste est de degré au plus $1$, et on peut écrire \n\n$$(X\\sin\\alpha+\\cos\\alpha)^n =(X^2+1)Q(X)+aX+b$$\n\navec $a$ et $b$ des réels. On évalue cette égalité en $i$, racine de $X^2+1$, et on trouve\n\n$$(i\\sin\\alpha+\\cos\\alpha)^n =ai+b.$$\n\nMais \n\n$$(i\\sin\\alpha+\\cos\\alpha)^n=\\cos(n\\alpha)+i\\sin(n\\alpha).$$\n\nAinsi, le reste recherché est $\\sin(n\\alpha)X+\\cos(n\\alpha)$.\n"
    },
    {
        "question": " 11  -  [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par\n\n$$\n\n\\mathbf{1.}\\ X^2-3X+2\\quad\\quad\\mathbf{2.}\\ X^2+X+1\\quad\\quad\\mathbf{3.}\\ X^2-2X+1?\n\n$$\n\n",
        "answer": "  On rappelle qu'on note $j$ le nombre complexe $j=-\\frac12+i\\frac{\\sqrt 3}2$. \n\n\n La méthode pour ce type d'exercice est toujours la même. On commence par écrire a priori le résultat de la division euclidienne, par exemple pour le premier polynôme :\n\n$$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-3X+2)+aX+b,$$\n\noù $a$ et $b$ sont deux réels.\n\nOn évalue ensuite la relation en les racines du diviseur, qui sont ici $1$ et $2$.\n\nOn trouve alors \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n2^n-2&=&a+b\\\\\n\n3^{n}-2^n-1&=&2a+b.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nEt finalement on résout le système pour trouver $a$ et $b$, qui sont ici égaux à :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\na&=&3^n-2^{n+1}+1\\\\\n\nb&=&-3^n+2^{n+1}+2^n-3.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\n On écrit la même chose, \n\n$$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2+X+1)+aX+b,$$\n\net on utilise cette fois que les racines de $X^2+X+1$ sont\n\n$j$ et $j^2$.\n\nIl suffit ici en réalité d'utiliser l'évaluation en $j$, sachant que tout nombre complexe\n\ns'écrit de façon unique sous la forme $x+jy$, avec $x,y\\in\\mathbb R$.\n\nOn trouve :\n\n$$(1+j)^n-j^n-1=Q(j)\\times 0+aj+b.$$\n\nOn distingue ensuite suivant la valeur de $n$ modulo 3, utilisant que\n\n$$(1+j)^n-j^n-1=(-1)^nj^{2n}-j^n-1.$$\n\n\n Si $n\\equiv 0\\ [3]$, alors $j^{2n}=j^n=1$, et donc on a\n\n$$(-1)^n-2=aj+b.$$\n\nOn identifie alors les coefficients et on trouve $a=0$ et $b=(-1)^n-2.$\n\nAinsi le reste est $(-1)^n-2$.\n\n Si $n\\equiv 1\\ [3]$, alors $j^{n}=j$ et donc $j^{2n}=j^2=-1-j$, $j^n=j$, ce qui donne\n\n$$\\big((-1)^{n+1}-1\\big)j+\\big( (-1)^{n+1}-1\\big)=aj+b.$$\n\nOn identifie les coefficients et on trouve\n\n$$a=b=(-1)^{n+1}-1.$$\n\nLe reste est donc $\\big((-1)^{n+1}-1\\big)(X+1).$\n\n Si $n\\equiv 2\\ [3]$, alors $j^{2n}=j$ et $j^{n}=j^2=-1-j$. On trouve\n\n$$\\big( (-1)^n +1\\big)j=aj+b.$$\n\nOn identifie alors les coefficients et on trouve\n\n$a=(-1)^n +1$ et $b=0.$\n\nLe reste est alors $\\big( (-1)^n +1\\big)X.$\n\n\n On recommence en écrivant\n\n$$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-2X+1)+aX+b,$$\n\net en remarquant que $X^2-2X+1$ a pour racine double 1. Si on évalue en 1, on obtient une seule relation, à savoir\n\n$$2^n-2=a+b.$$\n\nPour obtenir une seconde relation, il faut dériver la relation issue de la division euclidienne et l'évaluer à nouveau en 1 (c'est toujours\n\ncette méthode qui fonctionne pour une racine double). On trouve :\n\n$$n(X+1)^{n-1}-nX^{n-1}=Q'(X)(X^2-2X+1)+2Q(X)(X-1)+a,$$\n\nce qui donne la relation\n\n$$n2^{n-1}-n=a.$$\n\nOn retrouve alors sans problèmes $b$, qui est égal à :\n\n$$b=(2-n)2^{n-1} +n-2.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Même quotient et même reste en inversant les rôles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les couples $(A,B)$ de polynômes non nuls de $\\mathbb R[X]$ tels que le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B$ et dans la division euclidienne de $B$ par $A$ soient identiques.",
        "answer": "  Procédons par analyse-synthèse. Supposons donc que la propriété est vraie. Il existe alors un polynôme $Q$ et un polynôme $R$ avec $\\deg(R)<\\min(\\deg(A),\\deg(B))$ tel que $A=BQ+R$ et $B=AQ+R$. Mais alors, on a aussi \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nA=(AQ+R)Q+R=AQ^2+RQ+R&\\iff &A(1-Q^2)-R(1+Q)=0\\\\\n\n&\\iff&A(Q+1)(1-Q)-R(1+Q)=0\\\\\n\n&\\iff&(Q+1)\\big( A(1-Q)-R\\big)=0.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nSi le produit de deux polynômes est nul, c'est que l'un de ces deux polynômes est nul. Ainsi, on a ou bien $1+Q=0$ ou bien $A(1-Q)-R=0$. On distingue donc deux cas\n\n\n Si $Q=-1$, alors $A=-B+R$ et $B=-A+R$. Autrement dit, il existe deux polynômes $P,R\\in\\mathbb R[X]$ avec $\\deg(R)<\\deg(P)$ tels que $A=P+R$ et $B=-P$.\n\n Si $Q\\neq -1$, alors $A(1-Q)-R=0$. Pour des considérations de degré (rappelons que $\\deg(R)<\\deg(A))$, ceci n'est possible que si $Q=1$ et $R=0$. On obtient alors le cas trivial $A=B$.\n\n\n\nPassons à la synthèse. Supposons que $A=B$ ou qu'il existe un couple de polynômes $(P,R)$ de $\\mathbb R[X]$ avec $\\deg(R)<\\deg(P)$ tels que $A=P+R$ et $B=-P$. Alors les divisions euclidiennes de $A$ par $B$ et de $B$ par $A$ ont bien même quotient et même reste. C'est évident si $A=B$ et dans l'autre cas, l'écriture $A=-B+R$ donne que le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B$ sont $-1$ et $R$, tandis que l'écriture $B=-P=-A+R$ donne le même reste et le même quotient dans la division euclidienne de $B$ par $A$.\n\nOn a donc démontré que l'ensemble des couples solutions est\n\n$$\\mathcal S=\\{(P,P);\\ P\\in\\mathbb R[X]\\}\\cup \\{(P+R,-P);\\ P,R\\in\\mathbb R[X],\\ \\deg(R)<\\deg(P)\\}.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Détermination d'un ensemble de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Le but de cet exercice est de déterminer\n\n$$E=\\{P\\in \\mathbb R[X];\\ P(X^2)=(X^3+1)P(X)\\}.$$\n\n\n Démontrer que le polynôme nul ainsi que le polynôme $X^3-1$ sont\n\nsolutions du problème.\n\n Analyse du problème. Soit $P\\in E$ non nul.\n\n\n Montrer que $P$ est de degré 3.\n\n Démontrer que $P(1)=0$, puis que $P'(0)=P''(0)=0$ (on pourra penser\n\nà dériver la relation\n\n$P(X^2)=(X^3+1)P(X)$).\n\n En effectuant la division euclidienne de $P$ par $X^3-1$, démontrer\n\nqu'il existe $\\lambda\\in\\mathbb R$ tel que $P(X)=\\lambda (X^3-1)$.\n\n\n Synthèse du problème : en déduire l'ensemble $E$.\n\n",
        "answer": "  \n Il est clair que $0=(X^3+1)0$ et donc le polynôme nul est solution.\n\nPour $P(X)=X^3-1$, on a $P(X^2)=X^6-1$\n\net $(X^3+1)P(X)=(X^3+1)(X^3-1)=X^6-1$. Ce polynôme est aussi solution.\n\n \n Notons $n$ le degré de $P$. Alors $P(X^2)$ est de degré $2n$ et $(X^3+1)P(X)$ est de degré $n+3$. Le degré $n$ vérifie donc l'équation $2n=n+3$, soit $n=3$.\n\n En évaluant la relation en $X=1$, on a $P(1^2)=P(1)=0$. Dérivons maintenant l'équation $P(X^2)=(X^3+1)P(X)$. On trouve\n\n$$2XP'(X^2)=3X^2P(X)+(X^3+1)P'(X).$$\n\nSi on évalue en $X=0$, on trouve $P'(0)=0$. Dérivons une second fois cette équation. On trouve\n\n$$2P'(X^2)+4X^2P''(X^2)=6XP(X)+6X^2P'(X)+(X^3+1)P''(X).$$\n\nOn évalue cette équation en $X=0$ et on trouve, tenant compte du fait que l'on sait déjà que $P'(0)=0$, $P''(0)=0$.\n\n Effectuons la division euclidienne de $P$ par $X^3-1$. On peut écrire \n\n$$P(X)=Q(X)(X^3-1)+R(X)$$\n\noù $\\deg(R)\\leq 2$ et donc $R(X)$ s'écrit $R(X)=aX^2+bX+c$. De plus, en considérant le degré, $Q$ ne peut être qu'un polynôme constant, et donc $Q(X)=\\lambda$ avec $\\lambda\\in\\mathbb R$. Il reste à montrer que $a=b=c=0$. Puisque $P(1)=0$, on a $a+b+c=0$. De plus, dérivons $P(X)=\\lambda(X^3-1)+(aX^2+bX+c)$. On obtient \n\n$$P'(X)=3\\lambda X^2+(2aX+b).$$\n\nPuisque $P'(0)=0$, on a $b=0$. On dérive une seconde fois la relation, on obtient \n\n$$P''(X)=6\\lambda X+2a$$\n\net puisque $P''(0)=0$, on a $a=0$ et finalement également $c=0$.\n\n\n La question précédente nous dit que si $P\\in E$, alors ou bien $P$ est nul ou bien $P(X)=\\lambda (X^3-1)$ pour un certain $\\lambda\\in\\mathbb R^*$. Réciproquement, d'après la première question, le polynôme nul et les polynômes $\\lambda(X^3-1)$, $\\lambda\\in\\mathbb R^*$ sont éléments de $E$. Finalement, on peut conclure que $E=\\{\\lambda (X^3-1);\\ \\lambda\\in\\mathbb R\\}$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Un reste [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $n$, $p$ deux entiers naturels non nuls et soit $P(X)=\\sum_{k=0}^n a_kX^k$\n\nun polynôme de $\\mathbb C[X]$. Pour chaque $k\\in\\{0,\\dots,n\\}$, on note $r_k$ le reste de la division euclidienne\n\nde $k$ par $p$. Démontrer que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$ est le polynôme\n\n$R(X)=\\sum_{k=0}^n a_kX^{r_k}$.",
        "answer": "  On va démontrer que $X^p-1$ divise $P-R$. En effet, le degré de $R$ est inférieur strict à $p$,\n\net $R$ sera bien le reste dans la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$. On écrit alors que\n\n$$P-R=\\sum_{k=0}^n a_k (X^k-X^{r_k}),$$\n\net il suffit de prouver que $X^p-1$ divise chaque $X^k-X^{r_k}$. Si $k<p$, alors $r_k=k$ et donc $X^p-1$ divise $X^k-X^{r_k}=0.$ Sinon, écrivons $k=mp+r_k$, avec $m\\geq 1,$ d'où l'on tire\n\n$$X^k-X^{r_k}=X^{r_k}(X^{mp}-1)=X^{r_k}(X^p-1)(1+X^p+\\dots+X^{(m-1)p}).$$\n\n$X^p-1$ divise bien $P-R$!\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Conditions de divisibilité sur $P'$ et $P$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer tous les polynômes $P\\in\\mathbb R_3[X]$ tels que $P$ soit divisible par $X+1$ et $P'$ soit divisible par $(X-1)^2$.",
        "answer": "  Puisque $P'\\in\\mathbb R_2[X]$ et que $P'$ est divisible par $(X-1)^2$, alors il existe $a\\in\\mathbb R$ tel que $P'(X)=3a(X-1)^2$. Par intégration, il existe $b\\in\\mathbb R$ tel que  \n\n$P(X)=a(X-1)^3+b$. Maintenant, $P$ est divisible par $X+1$ si et seulement si $P(-1)=0$. Mais \n\n$$P(-1)=-8a+b=0\\iff b=8a.$$\n\nAinsi, les polynômes recherchées sont ceux qui s'écrivent \n\n$$P(X)=a(X-1)^3+8a,\\ a\\in\\mathbb R.$$\n"
    },
    {
        "question": " 16  - A paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(\\lambda ,\\mu ) \\in \\mathbb{C}^2 $\n\n pour que $X^2  + 2$ divise $X^4  + X^3  + \\lambda X^2  + \\mu X + 2$.",
        "answer": "  On réalise la division euclidienne de $X^4  + X^3  + \\lambda X^2  + \\mu X + 2$ par $X^2+2$, et on trouve :\n\n$$X^4+X^3+\\lambda X^2+\\mu X+2=(X^2+2)(X^2+X+(\\lambda-2))+(\\mu-2)X+6-2\\lambda.$$\n\nLe polynôme $X^2+2$ divise donc $X^4+X^3+\\lambda X^2+\\mu X+2$ si et seulement si le reste est nul, donc si et seulement\n\nsi $\\mu=2$ et $\\lambda=3$.\n\nUne autre possibilité est de remarquer que les racines de $X^2+2$ sont $\\sqrt 2i$ et $-\\sqrt 2i$, et donc que la décomposition en produits d'irréductibles de $X^2+2$ est $(X-\\sqrt 2i)(X+\\sqrt 2i)$. Pour que $X^4  + X^3  + \\lambda X^2  + \\mu X + 2$ soit divisible par $X^2+2$, il faut et il suffit que $\\sqrt 2i$ et $-\\sqrt 2i$ soient racines de $X^4  + X^3  + \\lambda X^2  + \\mu X + 2$. On évalue ce polynôme en $\\sqrt 2i$ et $-\\sqrt 2i$ et on trouve un système linéaire que doit vérifier le couple $(\\lambda,\\mu)$. On trouve bien sûr la même solution.\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Ils divisent! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que \n\n\n $X^{n+1}\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-X^n\\cos(n\\theta)-X\\cos\\theta+1$ est divisible par $X^2-2X\\cos\\theta+1$;\n\n $nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ est divisible par $(X-1)^2$.\n\n",
        "answer": "  \n Pour prouver que $X^2-2X\\cos\\theta+1$ divise $X^{n+1}\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-X^n\\cos(n\\theta)-X\\cos\\theta+1$,\n\nil suffit de prouver que ce dernier polynôme s'annule en les deux racines (complexes) de $X^2-2X\\cos\\theta+1$, à savoir\n\n$e^{i\\theta}$ et $e^{-i\\theta}$. Il suffit de prouver le résultat pour $e^{i\\theta}$ car, le polynôme étant réel,\n\nsi $z$ est racine, son conjugué $\\bar z$ est racine. On trouve\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n&e^{i(n+1)\\theta}\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-e^{in\\theta}\\cos(n\\theta)-e^{i\\theta}\\cos\\theta+1=\\\\\n\n&\\Big(\\cos\\big((n+1)\\theta\\big)\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-\\cos^2(n\\theta)-\\cos^2\\theta+1\\Big)+\\\\\n\n&i\\Big(\\sin\\big((n+1)\\theta\\big)\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-\\sin(n\\theta)\\cos(n\\theta)\n\n-\\sin\\theta\\cos\\theta\\Big).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nLe reste n'est plus qu'une affaire de formules de trigonométrie :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\cos\\big((n+1)\\theta\\big)\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)&=&\\frac12\\Big(\\cos(2n\\theta)+\\cos(2\\theta)\\Big)\\\\\n\n\\cos^2(n\\theta)&=&\\frac12\\Big(\\cos(2n\\theta)+1\\Big)\\\\\n\n\\cos^2\\theta&=&\\frac12\\Big(\\cos(2\\theta)+1\\Big)\\\\\n\n\\sin\\big((n+1)\\theta\\big)\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)&=&\\frac12\\Big(\\sin(2n\\theta)+\\sin(2\\theta)\\Big)\\\\\n\n\\sin(n\\theta)\\cos(n\\theta)&=&\\frac12\\sin(2n\\theta)\\\\\n\n\\sin\\theta\\cos\\theta&=&\\frac12\\sin(2\\theta).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nEn faisant les bonnes sommes et différences des relations précédentes, on trouve bien que \n\n$$e^{i(n+1)\\theta}\\cos\\big((n-1)\\theta\\big)-e^{in\\theta}\\cos(n\\theta)-e^{i\\theta}\\cos\\theta+1=0.$$\n\n Cette fois, on a affaire à une racine d'ordre $2$, et il suffit de prouver que $1$ est racine de\n\n$P(X)=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ et de $P'(X)=n(n+1)X^{n}-n(n+1)X^{n-1}$, ce qui est évident...\n\nPour justifier cela, on peut faire appel à la partie du cours consacrée aux racines, ou partir de la division euclidienne \n\n$$nX^{n+1}-(n+1)X^n+1=Q(X)(X-1)^2+aX+b.$$\n\nFaire $X=1$ dans la relation précédente donne $a+b=0$. De plus, si on dérive la relation précédente et qu'on fait à nouveau $X=1$,\n\non obtient $a=0$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Divisibilité et composition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $A,B,P\\in\\mathbb K[X]$ avec $P$ non-constant. On suppose que $A\\circ P|B\\circ P$.\n\nDémontrer que $A|B$.",
        "answer": "  On écrit la division euclidienne de $B$ par $A$, $B=AQ+R$ avec $\\deg(R)<\\deg(A)$. \n\nOn compose alors par $P$, et on obtient $B\\circ P=(A\\circ P)\\times(Q\\circ P)+R\\circ P$. Or, le \n\npolynôme $A\\circ P$ a pour degré $\\deg(A)\\times\\deg(P)$. Le polynôme $R\\circ P$ a pour degré\n\n$\\deg(R)\\times\\deg(P)$. On en déduit que $\\deg(R\\circ P)<\\deg(A\\circ P)$ et donc que \n\n$B\\circ P=(A\\circ P)\\times(Q\\circ P)+R\\circ P$ est la division euclidienne de $B\\circ P$ par $A\\circ P$. \n\nMais on sait que $A\\circ P|B\\circ P$ et donc on en déduit que $R\\circ P$ est égal à 0. Ceci n'est possible\n\nque si $R=0$, et donc $A|B$.\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Le polynôme dérivé divise le polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les polynômes $P$ de degré supérieur ou égal à 1 et tels que $P'|P$.",
        "answer": "  Puisque $P'|P$, $P=QP'$, et les considérations de degré font que $Q$ est de degré 1. On peut donc écrire :\n\n$$P=\\lambda(X-\\alpha)P'.$$\n\nOn applique ensuite la formule de Taylor à $P$ en $\\alpha$ : \n\n$$P(X)=\\sum_{k=0}^n \\frac{P^{(k)}(\\alpha)}{k!}(X-\\alpha)^k,$$\n\n$$P'(X)=\\sum_{k=1}^n \\frac{k P^{(k)}(\\alpha)}{k!}(X-\\alpha)^{k-1},$$\n\n$$\\lambda(X-\\alpha)P'(X)=\\sum_{k=1}^n\\frac{\\lambda k P^{(k)}(\\alpha)}{k!}(X-\\alpha)^{k}.$$\n\nPar identification, on obtient, pour tout $k$ dans $\\{0,\\dots,n\\}$ :\n\n$$\\frac{P^{(k)}(\\alpha)}{k!}(\\lambda k-1)=0.$$\n\nMaintenant, $P^{(n)}(\\alpha)\\neq 0$, et donc $\\lambda=1/n$. Ceci entraîne par suite que, pour tout $k$ dans $\\{0,\\dots,n-1\\}$, on a :\n\n$$P^{(k)}(\\alpha)=0.$$\n\nAinsi, $$P(X)=\\frac{P^{(n)}(\\alpha)}{n!}(X-\\alpha)^n,$$\n\nce qui prouve que $P(X)=K(X-\\alpha)^n$, où $K$ est une constante. La réciproque se vérifie aisément.\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Calculs de pgcd [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les pgcd suivants :\n\n\n $P(X)=X^4-3X^3+X^2+4$ et $Q(X)=X^3-3X^2+3X-2$;\n\n $P(X)=X^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1$ et $Q(X)=X^5-X^4+2X^2-2X+1$;\n\n $P(X)=X^n-1$ et $Q(X)=(X-1)^n$, $n\\geq 1$.\n\n",
        "answer": "  \n On applique l'algorithme d'Euclide. Le dernier reste non-nul donne un pgcd des deux polynômes. On a successivement :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nX^4-3X^3+X^2+4&=&(X^3-3X^2+3X-2)X+(-2X^2+2X+4)\\\\\n\nX^3-3X^2+3X-2&=&(-2X^2+2X+4)\\left(\\frac{-X}2+1\\right)+3X-6\\\\\n\n(-2X^2+2X+4)&=&(3X-6)\\times\\left(\\frac{-2X}{3}-\\frac 23\\right).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nUn pgcd est donc $3X-6$ (ou $X-2$).\n\n On répète le même procédé :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nX^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1&=&(X^5-X^4+2X^2-2X+1)1+2X^3-4X^2+4X-2\\\\\n\nX^5-X^4+2X^2-2X+1&=&(2X^3-4X^2+4X-2)((X^2)/2+X/2)+X^2-X+1\\\\\n\n2X^3-4X^2+4X-2&=&(X^2-X+1)(2X-2)+0\\\\\n\n\\end{eqnarray*}\n\nUn pgcd des deux polynômes est donc $X^2-X+1$.\n\n Les diviseurs non-constants de $Q$ sont les polynômes du type $c(X-1)^p$, avec $1\\leq p\\leq n$. Parmi ces diviseurs, seuls ceux de la forme $c(X-1)$ divisent aussi $P$ (par exemple, car $1$ est racine simple et non double de $P$, ou bien parce qu'on sait comment décomposer $P$ en produits d'irréductibles...). Ainsi, $P\\wedge Q=X-1$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Équation de Bezout [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Trouver deux polynômes $U$ et $V$ de $\\mathbb R[X]$ tels que $AU+BV=1$, où $A(X)=X^7-X-1$ et \n\n$B(X)=X^5-1$.",
        "answer": "  On utilise l'algorithme d'Euclide. On a\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nX^7-X-1&=&(X^5-1)X^2+X^2-X-1\\\\\n\nX^5-1&=&(X^2-X-1)(X^3+X^2+2X+3)+5X+2\\\\\n\nX^2-X-1&=&(5X+2)(X/5-7/25)-11/25.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn remonte ensuite les calculs. On va partir plutôt de \n\n$$11=-25(X^2-X-1)+(5X-7)(5X+2)$$\n\npour éviter de trainer des fractions. On trouve alors successivement :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n11&=&-25(X^2-X-1)+(5X-7)\\big((X^5-1)-(X^2-X-1)(X^3+X^2+2X+3)\\big)\\\\\n\n&=&(-5X^4+2X^3-3X^2-X-4)(X^2-X-1)+(5X-7)(X^5-1)\\\\\n\n&=&(-5X^4+2X^3-3X^2-X-4)(X^7-X-1)+(5X^6-2X^5+3X^4+X^3+4X^2+5X-7)(X^5-1).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nIl suffit de diviser par 11 pour obtenir les polynômes $U$ et $V$.\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Polynômes ayant un facteur commun [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $P$ et $Q$ des polynômes de $\\mtc[X]$ non constants.\n\nMontrer que $P$ et $Q$ ont un facteur commun si, et seulement si, il existe $A,B\\in\\mtc[X]$, $A\\neq 0$, $B\\neq 0$, tels que $AP=BQ$ et $\\deg(A)<\\deg(Q)$, $\\deg(B)<\\deg(P)$.",
        "answer": "  Supposons que $P$ et $Q$ ont un facteur commun $D$. On factorise $P=DB$ et $Q=DA$, $A$ et $B$ vérifient les conditions voulues.\n\n Réciproquement, si $P\\wedge Q=1$ et $AP=BQ$, alors $P|BQ$ et par le théorème de Gauss $P|B$. Ceci contredit les contraintes imposées à $B$.\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Équation de congruence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les polynômes $P\\in\\mathbb R_3[X]$ tels que\n\n$(X-1)^2$ divise $P(X)+1$ et $(X+1)^2$ divise $P(X)-1$.",
        "answer": "  On commence par remarquer que les polynômes $(X-1)^2$ et $(X+1)^2$ sont premiers entre eux, une relation de Bezout entre\n\neux étant obtenue par la formule\n\n$$\\left(\\frac X4+\\frac12\\right)(X-1)^2+\\left(\\frac{-X}4+\\frac12\\right)(X+1)^2=1.$$\n\nOn doit résoudre le système de \"congruence\" suivant :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\nP(X)&\\equiv&-1\\ [(X-1)^2]\\\\\n\nP(X)&\\equiv&1\\ [(X+1)^2]\\\\\n\n\\end{array}\n\n\\right.\n\n$$\n\nLa première équation donne $P(X)=-1+U(X)(X-1)^2$, et, en reportant dans la deuxième équation, on trouve\n\n$$U(X)(X-1)^2\\equiv 2\\ [(X+1)^2].$$\n\nOn multiplie alors les deux membres par $(X/4+1/2)$, qui est tel que $(X/4+1/2)(X-1)^2\\equiv 1\\ [(X+1)^2]$. On en déduit\n\n$$U(X)\\equiv (X/2+1)\\ [(X+1)^2]\\implies U(X)=(X/2+1)+V(X)(X+1)^2.$$\n\nLes solutions du système de congruence sont donc les polynômes de la forme\n\n$$P(X)=-1+(X/2+1)(X-1)^2+V(X)(X-1)^2(X+1)^2,$$\n\noù $V$ est un polynôme quelconque. La seule solution dans $\\mathbb R_3[X]$ est\n\n$$P(X)=\\frac{X^3}{2}-\\frac{3X}{2}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Pgcd de deux polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soient $n,m\\geq 1$. Déterminer le pgcd de $X^n-1$ et $X^m-1$.",
        "answer": "  Une idée possible est d'appliquer l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd de ces deux polynômes.\n\nOn suppose par exemple $n>m$, et on écrit $n=mp+r$, avec $0\\leq r<m$. Alors on a :\n\n$$X^n-1=X^{mp+r}-1=X^r(X^{mp}-1)+X^r-1.$$\n\nLe point crucial est que $X^{mp}-1$ est divisible par $X^m-1$. En effet,\n\n$$X^{mp}-1=(X^m-1)(X^{m(p-1)}+X^{m\\big((p-1)-1\\big)}+\\dots+X^m+1).$$\n\nAinsi, $\\textrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=\\textrm{pgcd}(X^m-1,X^r-1)$. Mais puisque\n\n$\\textrm{pgcd}(n,m)=\\textrm{pgcd}(m,r)$, on en déduit finalement que\n\n$$\\textrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=X^{\\textrm{pgcd}(n,m)}-1.$"
    }
,
    {
        "question": " 1  - pgcd dans deux corps différents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\mathbb K\\subset\\mathbb L$ deux corps. On considère $P,Q\\in\\mathbb K[X]$.\n\n\n Démontrer que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\\mathbb K[X]$ si et seulement s'ils sont premiers entre eux dans $\\mathbb L[X]$.\n\n Plus généralement, démontrer que le pgcd de $P$ et de $Q$ vus comme polynômes de $\\mathbb K[X]$ est égal au pgcd de $P$ et de $Q$ vus comme polynôme de $\\mathbb L[X]$.\n\n",
        "answer": "  \n Si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\\mathbb K[X]$, alors d'après le théorème de Bézout, il existe $U,V\\in\\mathbb K[X]\\subset \\mathbb L[X]$ tels que $UP+VQ=1$. Mais alors, d'après l'autre partie du théorème de Bézout, on a aussi que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\\mathbb L[X]$.\n\nSupposons maintenant que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\\mathbb L[X]$. S'ils n'étaient pas premiers entre eux dans $\\mathbb K[X]$, il existerait un polynôme $D\\in\\mathbb K[X]$ avec $\\deg(D)\\geq 1$ divisant à la fois $P$ et $Q$. Mais comme $D\\in\\mathbb L[X]$, ceci contredirait le fait que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\\mathbb L[X]$.\n\n Notons $P\\wedge_{\\mathbb K}Q$ le pgcd dans $\\mathbb K[X]$ et $P\\wedge_{\\mathbb L}Q$ le pgcd dans $\\mathbb L[X]$. On peut procéder par récurrence sur $\\deg(P)+\\deg(Q)$. Si les deux polynômes sont constants, c'est clair! (leur pgcd est 1). Sinon, notons $A$ et $R$ respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de $P$ par $Q$ dans $\\mathbb K[X]$ (on peut toujours supposer $\\deg(P)\\geq \\deg(Q)$). Mais alors, par unicité dans la division euclidienne, $A$ et $R$ sont aussi le quotient et le reste dans la division euclidienne de $P$ par $Q$ dans $\\mathbb L[X]$. On a donc, d'après l'algorithme d'Euclide, \n\n$$P\\wedge_{\\mathbb L}Q=Q\\wedge_{\\mathbb L}R$$\n\net \n\n$$P\\wedge_{\\mathbb K}Q=Q\\wedge_{\\mathbb K}R.$$\n\nPuisque $\\deg(R)+\\deg(Q)<\\deg(P)+\\deg(Q)$, l'hypothèse de récurrence nous donne que\n\n$$Q\\wedge_{\\mathbb K}R=Q\\wedge_{\\mathbb L}R$$\n\net donc finalement que\n\n$$P\\wedge_{\\mathbb K}Q=P\\wedge_{\\mathbb L}Q.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Polynôme irréductible sur $\\mathbb Q[X]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Montrer que les polynômes suivants sont irréductibles dans $\\mathbb Q[X]$ :\n\n$$P=X^3+3X^2+2\\textrm{ et }Q=X^4+1.$$",
        "answer": "  \n Comme $P$ est de degré $3,$ s'il est réductible, il admet une racine dans $\\mathbb Q.$ Supposons donc que $p/q$ est une racine de $P$ avec $p\\in\\mathbb Z,$ $q\\in\\mathbb N^*$ et $p\\wedge q=1.$ On écrit que $P(p/q)=0$ et on met au même dénominateur pour trouver\n\n$$p^3+3p^2q+2q^3=0.$$\n\nOr, $q|3p^2q+2q^3$ et donc $q|p^3=-3p^2q-2q^3.$ Puisque $p\\wedge q=1,$ on trouve $q=1.$ On a alors $p^3+3p^2+2=0,$ et donc $p|2=-p^3-3p^2.$ Ainsi, $p=\\pm 2.$ \n\nMais puisque si $2$ ni $-2$ n'est une racine de $P,$ on trouve que $P$ est irréductible dans $\\mathbb Q[X].$\n\n On remarque d'abord que $Q$ n'a pas de racines dans $\\mathbb R,$ donc a fortiori pas de racines dans $\\mathbb Q.$ On vérifie ensuite que $Q$ ne peut pas se factoriser comme produit de deux polynômes de degré $2$ dans $\\mathbb Q[X]$. Si tel était le cas, on pourrait écrire \n\n$$X^4+1=(X^2+ax+b)(X^2+cx+d)$$\n\navec $a,b,c,d\\in\\mathbb Q.$ Développant le produit, et par unicité des coefficients, on obtiendrait le système \n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\na+c&=&0\\\\\n\nac+b+d&=&0\\\\\n\nad+cb&=&0\\\\\n\nbd&=&1\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nPar conséquent, $a=-c$. Il n'est pas possible que $a=0$ sinon on aurait $b=-d$ qui est incompatible avec $bd=1.$ La troisième ligne nous donne alors \n\n$$ad+bc=0\\iff a(d-b)=0\\iff d=b.$$\n\nPuisque $bd=1,$ on a $b=d=\\pm 1.$ Enfin, de $ac+b+d=0,$ on tire \n\n$a^2=-b-d=\\pm 2.$\n\nDans tous les cas, il est impossible que $a\\in\\mathbb Q.$ Ainsi, $Q$ est irréductible dans $\\mathbb Q[X].$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Sans facteur carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $p$ un nombre premier et $n\\geq 1$ un entier non divisible par $p$.\n\n\n Démontrer que le polynôme $X^n-1$ est premier avec son polynôme dérivé sur $(\\mathbb Z/p\\mathbb Z)[X]$.\n\n En déduire que le polynôme $X^n-1$ ne possède pas de facteurs carrés sur $(\\mathbb Z/p\\mathbb Z)[X]$.\n\n",
        "answer": "  \n Notons $P(X)=X^n-1$ et $P'(X)=nX^{n-1}$. Alors \n\n$$X P'-nP=n.$$\n\nPuisque $n$ est premier avec $p$, c'est un élément inversible de $\\mathbb Z/p\\mathbb Z$ et on a prouvé une identité de Bézout entre $P$ et $P'$. Ainsi, $P$ et $P'$ sont premiers entre eux.\n\n Si $P$ se factorise en $P(X)=A(X)A(X)B(X)$, alors on aurait \n\n$$P'(X)=2A(X)A'(X)B(X)+A(X)A(X)B'(X)=A(X)\\big(2A'(X)B(X)+A(X)B'(X)\\big).$$\n\nAinsi, $A$ serait un facteur commun à $P$ et à $P'$, ce qui contredit le résultat de la question précédente.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Irréductibilité par réduction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $p$ un nombre premier. Pour tout polynôme $P\\in\\mathbb Z[X]$, on note $\\bar P$ son image (par réduction modulo $p$ de ses coefficients) dans $(\\mathbb Z/p \\mathbb Z)[X]$.\n\n\n Soit $P\\in\\mathbb Z[X]$ unitaire. Montrer que si $\\bar P$ est irréductible dans $(\\mathbb Z/p\\mathbb Z)[X]$, alors $P$ est irréductible dans $\\mathbb Z[X]$. La réciproque est-elle vraie?\n\n Démontrer que le polynôme $X^4+X+1$ est irréductible dans $\\mathbb Z[X]$.\n\n",
        "answer": "  \n On procède par contraposition en démontrant que si $P$ est réductible dans $\\mathbb Z[X]$, alors $\\bar P$ est réductible dans $(\\mathbb Z/p\\mathbb Z)[X]$.\n\nSupposons en effet $P=AB$ avec $A,B\\in\\mathbb Z[X]$ non-inversibles. Écrivons $P(X)=X^n+\\cdots$, $A(X)=aX^p+\\cdots$ et $B(X)=bX^q+\\cdots$, $a,b\\in\\mathbb Z$. Alors $ab=1$ et $p+q=n$. Quitte à changer $a$ en $-a$, on peut supposer $a=1$ et $b=1$. Ceci entraine que $p\\geq 1$ et $q\\geq 1$. Mais alors, on a $\\bar P=\\bar A\\bar B$ avec $\\bar A(X)=\\bar 1 X^p+\\cdots$ et $\\bar B(X)=\\bar 1 X^q+\\cdots$. Les polynômes $\\bar A$ et $\\bar B$ ne sont donc pas inversibles et $\\bar P$ est bien réductible dans $(\\mathbb Z/p\\mathbb Z)[X]$.\n\nLa réciproque est fausse. Le polynôme $X^2+2$ est irréductible dans $\\mathbb Z[X]$ (car il est irréductible dans $\\mathbb R[X]$). Son image dans $(\\mathbb Z/2\\mathbb Z)[X]$ est $X^2$, qui est réductible car $X^2=X\\times X$.\n\n D'après ce qui précède, il suffit de démontrer que le polynôme $X^4+X+\\bar 1$ est irréductible dans $(\\mathbb Z/2\\mathbb Z)[X]$. S'il ne l'est pas, ou bien il admet une racine dans $\\mathbb Z/2\\mathbb Z$, ou bien il se factorise en produit de deux polynômes de degré 2. Il est facile de vérifier que ni $\\bar 0$ ni $\\bar 1$ ne sont racines du polynôme. Donc s'il réductible, il s'écrit \n\n$$X^4+X+\\bar 1=(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$$\n\n(on peut effectivement toujours se ramener à des polynômes unitaires en multipliant l'un des polynômes par une constante et en divisant l'autre par la même constante). Le terme constant donne $bd=1$ ce qui implique encore $b=d=\\bar 1$. Le terme de degré $1$ donne alors $a+c=\\bar 1$ tandis que le terme de degré $3$ donne $a+c=\\bar 0$. Il y a contradiction. Le polynôme $X^4+X+1$ est bien irréductible dans $\\mathbb Z[X]$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Critère d'irréductibilité d'Eisenstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Si $P\\in\\mathbb Z[X]$, on appelle contenu de $P$, et on note $c(P)$, le pgcd des coefficients de $P$. \n\n\n Soit $P,Q\\in\\mathbb Z[X]$ et $p$ un nombre premier. On suppose que $p$ divise tous les coefficients de $PQ$. Montrer que $p$ divise tous les coefficients de $P$ ou tous les coefficients de $Q$.\n\n Soit $P,Q\\in\\mathbb Z[X]$ et $R(X)=\\frac{PQ}{c(P)c(Q)}\\in\\mathbb Z[X]$. Démontrer que $c(R)=1$. En déduire que l'on a $c(PQ)=c(P)c(Q)$.\n\n Soit $Q$ un polynôme de $\\mathbb Z[X]$. On suppose que $Q$ n'est pas irréductible dans $\\mathbb Q[X]$. Démontrer qu'il existe deux polynômes $A$ et $B$ de $\\mathbb Z[X]$ tels que $Q=AB$, avec $\\deg(A)<\\deg(Q)$ et $\\deg(B)<\\deg(Q)$.\n\n Soit $A(X)=a_n X^{n}+\\dots+a_1X+a_0\\in\\mathbb Z[X]$. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ tel que \n\n$$p|a_k,\\textrm{ pour tout }0\\leq k\\leq n-1,\\ p\\not\\mid a_n,\\ p^2\\not\\mid a_0.$$\n\nDémontrer que $A$ est irréductible dans $\\mathbb Q[X]$. \n\n Démontrer qu'il existe dans $\\mathbb Q[X]$ des polynômes irréductibles de tout degré $n\\geq 1$.\n\n",
        "answer": "  \n Il est possible de faire une preuve directe par l'absurde. Le plus simple, néanmoins est de raisonner dans $\\mathbb Z/p\\mathbb Z[X]$. Pour $R\\in\\mathbb Z[X]$, notons en effet $\\bar R$ son projeté dans $\\mathbb Z/p\\mathbb Z[X]$. Alors, on a $\\overline{PQ}=\\bar P\\bar Q$. De plus, puisque $p$ divise tous les coefficients de $PQ$, on a $\\overline{PQ}=0$. Puisque $\\mathbb Z/p\\mathbb Z$ est intègre, ceci implique que $\\bar P=0$ ou $\\bar Q=0$. La première éventualité signifie que $p$ divise tous les coefficients de $P$, la seconde que $p$ divise tous les coefficients de $Q$.\n\n Si $c(R)\\neq 1$, il existe un nombre premier $p$ qui divise tous les coefficients de $R$. Notons $P_1=P/c(P)$ et $Q_1=Q/c(Q)$. Alors $R=P_1Q_1$ et donc d'après la première question, $p$ divise tous les coefficients de $P_1$ ou tous les coefficients de $Q_1$. Ceci contredit la définition du contenu. Puisque $1=c(R)=\\frac{c(PQ)}{c(P)c(Q)}$, on obtient bien que $c(PQ)=c(P)c(Q)$.\n\n Remarquons d'abord qu'on peut se ramener à $c(Q)=1$ (quitte ensuite à multiplier par $c(Q)$). Factorisons  $Q=CD$ dans $\\mathbb Q[X]$. Soit $\\alpha$ et $\\beta$ de sorte que $C_1=\\alpha C$ et $D_1=\\beta D$ soit éléments de $\\mathbb Z[X]$. Alors $\\alpha \\beta Q=C_1D_1$. Utilisant le résultat de la question précédente, on a donc\n\n$\\alpha\\beta=c(C_1)c(D_1)$. Mais alors \n\n$$Q=\\frac{C_1 D_1}{\\alpha\\beta}=\\frac{C_1D_1}{c(C_1)c(D_1)}=\\frac{C_1}{c(C_1)}\\times \\frac {D_1}{c(D_1)}.$$\n\nOn a le résultat voulu en posant $A=\\frac{C_1}{c(C_1)}$ et $B=\\frac{D_1}{c(D_1)}$.\n\n Supposons que $A$ n'est pas irréductible dans $\\mathbb Q[X]$. Alors d'après la question précédente,\n\n$A$ s'écrit $BC$, avec $1<\\deg(B)<\\deg(A)=n$. Projetons l'égalité $A=BC$ dans $\\mathbb Z/p\\mathbb Z$. Il vient \n\n$$\\overline{a_n}X^n =\\overline{B}\\times\\overline{C}.$$\n\nDe plus, puisque $\\deg(B)+\\deg(C)=\\deg(A)$, que $\\deg(\\bar B)\\leq \\deg(B)$, $\\deg(\\bar C)\\leq \\deg(C)$\n\net $\\overline{a_n}\\neq \\bar 0$, $\\deg(\\bar B)=\\deg(B)$ et $\\deg(\\bar C)=\\deg(C)$. Par unicité de la réduction en produits d'irréductibles dans $\\mathbb Z/p\\mathbb Z[X]$, on a $\\bar B=\\overline{b_k}X^k$ et \n\n$\\bar C=\\overline{c_l}X^l$. En particulier, $\\overline{b_0}=\\overline{c_0}=0$, c'est-à-dire $p|b_0$ et $p|c_0$. Puisque $a_0=b_0c_0$, on a $p^2|a_0$, une contradiction.\n\n Les polynômes de degré $1$ sont irréductibles. Pour les polynômes de degré $n\\geq 2$, il suffit de considérer par exemple $X^n-2$, auquel on peut très facilement appliquer le critère d'Eisenstein.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Polynômes et fonctions polynomiales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\mathbb K$ un corps commutatif. On note $\\mathcal F(\\mathbb K)$ l'ensemble des fonctions polynomiales de $\\mathbb K$ dans lui-même. Pour tout polynôme $P\\in\\mathbb K[X]$, on note $\\tilde P$ la fonction polynomiale associée.\n\n\n On suppose $\\mathbb K$ infini. Vérifier que le morphisme de $\\mathbb K$-algèbres $P\\in\\mathbb K[X]\\mapsto \\tilde P\\in\\mathcal F(K)$ est injectif. Que peut-on en déduire sur $\\mathbb K[X]$  et $\\mathcal F(\\mathbb K)$?\n\n Combien y-a-t-il d'éléments dans $(\\mathbb Z/2\\mathbb Z)[X]$ et dans $\\mathcal F(\\mathbb Z/2\\mathbb Z)$?\n\n On suppose désormais jusqu'à la fin de l'exercice que $\\mathbb K$ est de cardinal fini $q$. Soit $P\\in\\mathbb K[X]$ et $R$ le reste dans la division euclidienne de $P$ par $\\prod_{a\\in \\mathbb K}(X-a)$. Démontrer que l'on a $\\tilde P=\\tilde R$. \n\n Démontrer que $\\mathcal F(\\mathbb K)$ et $\\mathbb K_{q-1}[X]$ sont isomorphes.\n\n",
        "answer": "  \n Si $\\tilde P=0$, alors le polynôme $P$ admet une infinité de racines. C'est donc nécessairement le polynôme nul. On en déduit que $\\mathbb K[X]$ et\n\n$\\mathcal F(\\mathbb K)$ sont isomorphes.\n\n Il est d'abord clair que $(\\mathbb Z/2\\mathbb Z)[X]$ est infini, la suite de polynômes $(X^n)$ étant par exemple une suite de polynômes distincts de $\\mathbb Z/2\\mathbb Z$. Pour chercher le cardinal de $\\mathcal F(\\mathbb Z/2\\mathbb Z)$, on commence par remarquer qu'il est majoré par 4, qui est le nombre d'applications de $\\mathbb Z/2\\mathbb Z$ dans $\\mathbb Z/2\\mathbb Z$ (deux choix pour l'image de $\\bar 0$, deux choix pour l'image de $\\bar 1$). Mais, $f_1(x)=\\bar 0$, $f_2(x)=\\bar 1$, $f_3(x)=x$, $f_4(x)=x+\\bar 1$ sont quatre fonctions polynomiales qui sont toutes différentes comme le montre le tableau suivant :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nf_1(\\bar 0)=\\bar 0&&f_1(\\bar 1)=\\bar 0\\\\\n\nf_2(\\bar 0)=\\bar 1&&f_2(\\bar 1)=\\bar 1\\\\\n\nf_3(\\bar 0)=\\bar 0&&f_3(\\bar 1)=\\bar 1\\\\\n\nf_4(\\bar 0)=\\bar 1&&f_4(\\bar 1)=\\bar 0.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nAinsi, le cardinal de $\\mathcal F(\\mathbb Z/2\\mathbb Z)$ est égal à 4. Cet exemple montre toute la différence, pour les corps finis, entre polynôme et fonction polynomiale. Les polynômes $X$ et $X^2$ de $(\\mathbb Z/2\\mathbb Z)[X]$ sont différents (ils n'ont pas le même degré...). Les fonctions polynomiales $x$ et $x^2$ sont égales (les images de chaque point sont égales). C'est cette différence que le reste de l'exercice se propose d'explorer.\n\n Notons $Q$ le polynôme $Q(X)=\\prod_{a\\in\\mathbb K}(X-a)$ et $P=AQ+R$. Alors, on a \n\n$$\\tilde P(x)=\\tilde A(x)\\tilde Q(x)+\\tilde R(x)=\\tilde R(x)$$\n\npuisque $\\tilde Q(x)=0$ pour tout $x\\in\\mathbb K$.\n\n Considérons l'application $\\phi:\\mathbb K_{q-1}[X]\\to \\mathcal F(\\mathbb K),\\ R\\mapsto \\tilde R$. C'est clairement une application linéaire. Elle est injective : si $R_1,R_2\\in\\mathbb K_{q-1}[X]$ sont tels que $\\tilde R_1=\\tilde R_2$, alors $R_1-R_2$ admet au moins $q$ racines et est de degé inférieur ou égal à $q-1$: c'est donc le polynôme nul. De plus, si $f\\in\\mathcal F(\\mathbb K)$, alors il existe $P\\in\\mathbb K[X]$ tel que $\\tilde P=f$. Si on note $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $\\prod_{a\\in \\mathbb K}(X-a)$, alors $\\phi(P)=\\tilde R=\\tilde P=f$ ce qui montre que $\\phi$ est surjective. Ainsi, $\\phi$ est un isomorphisme de $\\mathbb K_{q-1}[X]$ sur $\\mathcal F(\\mathbb K)$.\n"
    }
,
    {
        "question": " 1  - Sinus et cosinus connus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les réels $x$ tels que \n\n$$\\left\\{\\begin{array}{rcl}\n\n\\cos(x)&=&-\\frac 12\\\\\n\n\\sin(x)&=&\\frac{\\sqrt 3}2\n\n\\end{array}\\right.$$",
        "answer": "  En s'aidant du cercle trigonométrique, on remarque qu'une solution particulière est donnée par $\\theta_0=\\frac{2\\pi}3$. L'ensemble des solutions est alors \n\n$$\\left\\{\\frac{2\\pi}3+2k\\pi:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 2  - Valeurs exactes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer les valeurs exactes des expressions suivantes : \n\n$$\\cos\\left(\\frac{538\\pi}{3}\\right),\\ \\sin\\left(\\frac{123\\pi}6\\right),\\ \\tan\\left(-\\frac{77\\pi}4\\right).$$",
        "answer": "  On sait que $538=179\\times 3+1$ et donc \n\n$$\\cos\\left(\\frac{538\\pi}{3}\\right)=\\cos\\left(179\\pi+\\frac{\\pi}3\\right)=\\cos\\left(\\frac{4\\pi}3\\right)=-\\frac 12.$$\n\nDe même, on a $123=20\\times 6+3$ et donc\n\n$$\\sin\\left(\\frac{123\\pi}6\\right)=\\sin\\left(20\\pi+\\frac{\\pi}2\\right)=\\sin\\left(\\frac\\pi 2\\right)=1.$$\n\nDe même, on a $77=19\\times 4+1$ et donc\n\n$$\\tan\\left(-\\frac{77\\pi}4\\right)=\\tan\\left(-19\\pi-\\frac\\pi 4\\right)=\\tan\\left(-\\frac\\pi 4\\right)=-1.$$\n"
    },
    {
        "question": " 3  - Retrouver le sinus et la tangente connaissant le cosinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $x$ un nombre réel. \n\n\n Sachant que $\\cos(x)=-\\frac45$, calculer\n\n\\[ \\cos(x-\\pi),\\ \\cos(-\\pi-x),\\ \\cos(x-2\\pi),\\ \\cos(-x-2\\pi). \\]\n\n On suppose de plus que $\\pi\\leq x<2\\pi$. Calculer $\\sin(x)$ et $\\tan(x)$.\n\n",
        "answer": "  \n On a \n\n$$\\cos(x-\\pi)=-\\cos(x)=\\frac 45$$\n\n$$\\cos(-\\pi-x)=-\\cos(-x)=-\\cos(x)=\\frac 45$$\n\n$$\\cos(x-2\\pi)=\\cos(x)=-\\frac 45$$\n\n$$\\cos(-x-2\\pi)=\\cos(-x)=-\\frac 45.$$\n\n On a\n\n$$\\cos^2(x)+\\sin^2(x)=1\\iff \\sin^2(x)=1-\\frac {16}{25}=\\frac{9}{25}.$$\n\nOn en déduit que $\\sin(x)=\\pm \\frac{3}5$. Mais puisque $\\pi\\leq x<2\\pi$, on a aussi $\\sin(x)\\leq 0$ et donc $\\sin(x)=-\\frac35$. Finalement, on a aussi \n\n$$\\tan(x)=\\frac{\\sin x}{\\cos x}=\\frac{3}4.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 4  - Quelques formules de trigonométrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer les formules de trigonométrie suivantes : \n\n\n pour tout $x\\notin\\pi\\mathbb Z$, $\\frac{1-\\cos x}{\\sin x}=\\tan\\left(\\frac x2\\right)$.\n\n  pour tout $x\\in\\mathbb R$, $\\sin\\left(x-\\frac{2\\pi}3\\right)+\\sin(x)+\\sin\\left(x+\\frac{2\\pi}3\\right)=0$.\n\n  Pour $x\\notin \\frac{\\pi}4\\mathbb Z$, $\\frac 1{\\tan x}-\\tan x=\\frac2{\\tan(2x)}$.\n\n",
        "answer": "  \n Sachant que $1-\\cos x=2\\sin^2(x/2)$ et que $\\sin(x)=2\\sin(x/2)\\cos(x/2)$, on trouve\n\n $$\\frac{1-\\cos x}{\\sin x}=\\frac{\\sin^2(x/2)}{\\sin(x/2)\\cos(x/2)}=\\tan\\left(\\frac x2\\right).$$\n\n  On utilise la formule d'addition $\\sin(a+b)=\\sin(a)\\cos(b)+\\sin(b)\\cos(a)$, $\\cos(2\\pi/3)=-1/2$ et $\\sin(2\\pi/3)=\\sqrt 3/2$.\n\n On en déduit \n\n \\begin{align*}\n\n  \\sin\\left(x-\\frac{2\\pi}3\\right)+\\sin(x)+\\sin\\left(x+\\frac{2\\pi}3\\right)&=-\\frac 12\\sin x-\\frac{\\sqrt 3}2\\cos x+ \\sin x-\\frac 12\\sin x+\\frac{\\sqrt 3}2\\cos x\\\\\n\n  &=0.\n\n \\end{align*}\n\n On écrit \n\n\\begin{align*}\n\n \\frac1{\\tan x}-\\tan x&=\\frac{\\cos x}{\\sin x}-\\frac{\\sin x}{\\cos x}\\\\\n\n &=\\frac{\\cos^2 x-\\sin^2 x}{\\sin x\\cos x}\\\\\n\n &=\\frac{\\cos(2x)}{\\frac 12 \\sin(2x)}\\\\\n\n &=\\frac{2}{\\tan(2x)}.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 5  - Formule d'addition pour la fonction tangente et application [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $a,b$ deux nombres réels tels que $a$, $b$ et $a+b\\notin \\frac\\pi2+\\pi\\mathbb Z$.\n\n\n Démontrer que \n\n $$\\tan(a+b)=\\frac{\\tan a+\\tan b}{1-\\tan a\\tan b}.$$\n\n  En déduire que si $x\\notin\\frac\\pi4+\\pi\\mathbb Z$, alors \n\n $$\\tan\\left(\\frac\\pi 4-x\\right)+\\tan\\left(\\frac\\pi 4+x\\right)=\\frac 2{\\cos(2x)}.$$\n\n",
        "answer": "  \n On a d'une part \n\n $$\\tan(a+b)=\\frac{\\sin(a+b)}{\\cos(a+b)}=\\frac{\\sin(a)\\cos(b)+\\sin(b)\\cos(a)}{\\cos(a)\\cos(b)-\\sin(a)\\sin(b)}$$\n\n et d'autre part\n\n \\begin{align*}\n\n  \\frac{\\tan(a)+\\tan(b)}{1-\\tan(a)\\tan(b)}&=\\frac{\\frac{\\sin (a)}{\\cos (a)}+\\frac{\\sin (b)}{\\cos (b)}}{1-\\frac{\\sin (a)}{\\cos (a)}\\cdot\\frac{\\sin (b)}{\\cos (b)}}\\\\\n\n  &=\\frac{\\frac{\\sin (a)\\cos (b)+\\sin (b)\\cos (a)}{\\cos (a)\\cos (b)}}{\\frac{\\cos(a)\\cos(b)-\\sin(a)\\sin(b)}{\\cos(a)\\cos(b)}}\\\\\n\n  &=\\tan(a+b). \n\n \\end{align*}\n\n En utilisant la formule précédente, $\\tan(-x)=-\\tan(x)$ et $\\tan(\\pi/4)=1$, on trouve\n\n\\begin{align*}\n\n \\tan\\left(\\frac\\pi 4-x\\right)+\\tan\\left(\\frac\\pi 4+x\\right)&=\\frac{1-\\tan x}{1+\\tan x}+\\frac{1+\\tan x}{1-\\tan x}\n\n\\end{align*}\n\n(cette formule exige la contrainte supplémentaire $x\\notin \\frac\\pi2+\\pi\\mathbb Z$).\n\nOn en déduit \n\n\\begin{align*}\n\n \\tan\\left(\\frac\\pi 4-x\\right)+\\tan\\left(\\frac\\pi 4+x\\right)&=\\frac{\\cos x-\\sin x}{\\cos x+\\sin x}+\\frac{\\cos x+\\sin x}{\\cos x-\\sin x}\\\\\n\n &=\\frac{(\\cos x-\\sin x)^2+(\\cos x+\\sin x)^2}{\\cos^2 x-\\sin^2 x}\\\\\n\n &=\\frac{2(\\cos^2 x+\\sin^2 x)}{\\cos(2x)}\\\\\n\n &=\\frac{2}{\\cos(2x)},\n\n\\end{align*}\n\nformule dont on vérifie qu'elle est aussi valable si $x\\in\\frac\\pi 2+\\pi\\mathbb Z$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 6  - Valeur de $\\cos(\\pi/12)$ et $\\sin(\\pi/12)$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer la valeur de $\\cos(\\pi/12)$ et $\\sin(\\pi/12)$.",
        "answer": "  D'après la formule $\\cos(2x)=2\\cos^2(x)-1$, on a \n\n$$2\\cos^2(\\pi/12)=\\cos(\\pi/6)+1=\\frac{\\sqrt 3}2+1.$$\n\nPuisque $\\cos(\\pi/12)>0$, on a \n\n$$\\cos\\left(\\frac\\pi{12}\\right)=\\frac{\\sqrt{\\sqrt 3+2}}2.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$\\sin^2\\left(\\frac\\pi{12}\\right)=1-\\cos^2\\left(\\frac\\pi{12}\\right)=\\frac{2-\\sqrt 3}{4}.$$\n\nPuisque $\\sin(\\pi/12)>0$, on a donc\n\n$$\\sin\\left(\\frac\\pi{12}\\right)=\\frac{\\sqrt{2-\\sqrt 3}}2.$$\n\nUne autre possibilité pour résoudre cet exercice était de remarquer que \n\n$$\\frac{\\pi}3-\\frac\\pi4=\\frac{\\pi}{12}$$\n\net d'appliquer les formules d'addition $\\sin(a-b)$ et $\\cos(a-b)$.\n"
    },
    {
        "question": " 7  - Tangente en $\\pi/8$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer $\\tan(\\pi/8)$.",
        "answer": "  On remarque que $2\\frac{\\pi}8=\\frac{\\pi}4$. On a donc\n\n\\begin{align*}\n\n\\tan(\\pi/4)&=\\frac{\\tan(\\pi/8)+\\tan(\\pi/8)}{1-\\tan^2(\\pi/8)}\\\\\n\n&=\\frac{2\\tan(\\pi/8)}{1-\\tan^2(\\pi/8)}.\n\n\\end{align*}\n\nPuisque $\\tan(\\pi/4)=1$, $\\tan(\\pi/8)$ est solution de l'équation $x^2+2x-1=0$. Les deux solutions de cette équation sont \n\n$$x_0=\\frac{-2-\\sqrt 8}{2}=-1-\\sqrt{2},\\ x_1=\\frac{-2+\\sqrt 8}2=-1+\\sqrt 2.$$\n\nComme on sait que $\\tan(\\pi/8)>0$ puisque $\\pi/8\\in ]0,\\pi/2[$, on en déduit que \n\n$$\\tan\\left(\\frac\\pi 8\\right)=\\sqrt 2-1.$$\n"
    },
    {
        "question": " 8  - Cosinus, sinus et tangente en fonction de l'angle moitié [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $x\\in ]-\\pi,\\pi[+2\\pi\\mathbb Z$. On pose $t=\\tan(x/2)$. Démontrer les formules suivantes : \n\n$$\\cos(x)=\\frac{1-t^2}{1+t^2},\\ \\sin(x)=\\frac{2t}{1+t^2},\\ \\tan(x)=\\frac{2t}{1-t^2}.$$",
        "answer": "  Bien sûr, on peut déduire la troisième formule des deux autres. La plus facile est la troisième, car d'après la formule de duplication de $\\tan$ : \n\n$$\\tan(x)=\\tan\\left(2\\frac x2\\right)=\\frac{2t}{1-t^2}.$$\n\nPar ailleurs, on a\n\n\\begin{align*}\n\n\\sin(x)&=\\sin\\left(2\\frac x2\\right)\\\\\n\n&=2\\sin(x/2)\\cos(x/2)\\\\\n\n&=2\\tan(x/2)\\cos^2(x/2).\n\n\\end{align*}\n\nPuisque de plus\n\n$$\\cos^2(x/2)=\\frac{1}{1+\\tan^2(x/2)}$$\n\non obtient le résultat.\n"
    },
    {
        "question": " 9  - Inégalité sur les sinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Démontrer que, pour tout $n\\geq 1$ et tout $x\\in\\mathbb R$, $|\\sin(nx)|\\leq n|\\sin(x)|$.",
        "answer": "  On va démontrer le résultat par récurrence sur $n$. On fixe $x\\in\\mathbb R$ et pour $n\\geq 1$, on note $P_n:\"|\\sin(nx)|\\leq n|\\sin(x)|\"$.\n\nInitialisation : la propriété est clairement vraie pour $n=1$.\n\nHérédité : soit $n\\geq 1$ tel que $P_n$ est vraie et prouvons $P_{n+1}$. Alors on a \n\n$$\\sin((n+1)x)=\\sin(nx)\\cos(x)+\\sin(x)\\cos(nx).$$\n\nEn utilisant l'inégalité triangulaire, puis $|\\cos(x)|\\leq 1$ et $|\\cos(nx)|\\leq 1$, on trouve\n\n\\begin{align*}\n\n|\\sin((n+1)x)|&\\leq |\\sin(nx)|\\cdot |\\cos(x)|+|\\sin(x)|\\cdot |\\cos(nx)|\\\\\n\n&\\leq |\\sin(nx)|\\cdot 1+|\\sin(x)|\\cdot 1\\\\\n\n&\\leq n|\\sin(x)|+|\\sin(x)|\\\\\n\n&\\leq (n+1)|\\sin(x)|\n\n\\end{align*}\n\noù l'avant-dernière ligne vient de l'hypothèse de récurrence. Donc $P_{n+1}$ est vraie.\n\nConclusion : La propriété $P_n$ est vraie pour tout $n\\geq 1$.\n"
    },
    {
        "question": " 10  - Un produit de cosinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $a\\in]0,\\pi[$. Démontrer que pour tout $n\\geq 1$\n\n$$\\prod_{k=1}^n \\cos\\left(\\frac a{2^k}\\right)=\\frac1{2^n}\\cdot \\frac{\\sin(a)}{\\sin\\left(\\frac a{2^n}\\right)}.$$",
        "answer": "  On va démontrer la formule par récurrence sur $n$. Notons $\\mathcal P_n$ la propriété \n\n$$\\mathcal P_n=``\\prod_{k=1}^n \\cos\\left(\\frac a{2^k}\\right)=\\frac1{2^n}\\cdot \\frac{\\sin(a)}{\\sin\\left(\\frac a{2^n}\\right)}''.$$\n\nInitialisation : On a $\\sin(a)=2\\sin(a/2)\\cos(a/2)$ et donc \n\n$$\\frac{\\sin(a)}{2\\sin(a/2)}=\\cos(a/2)$$\n\nce qui prouve que $\\mathcal P_1$ est vraie.\n\nHérédité : Soit $n\\in\\mathbb N$ tel que $\\mathcal P_n$ est vraie, et prouvons $\\mathcal P_{n+1}$. Sachant que\n\n$$\\sin(a/2^n)=2\\sin(a/2^{n+1})\\cos(a/2^{n+1})$$\n\non a \n\n\\begin{align*}\n\n \\frac{\\sin(a)}{2^{n+1}\\sin\\left(\\frac a{2^{n+1}}\\right)}&=\\frac{1}{2^n}\\times\\frac{\\sin(a)}{\\sin\\left(\\frac a{2^n}\\right)}\\times\\cos\\left(\\frac a{2^{n+1}}\\right)\\\\\n\n &=\\prod_{k=1}^n \\cos\\left(\\frac a{2^k}\\right)\\times \\cos\\left(\\frac a{2^{n+1}}\\right)\\\\\n\n &=\\prod_{k=1}^{n+1} \\cos\\left(\\frac a{2^k}\\right).\n\n\\end{align*}\n\nAinsi $\\mathcal P_{n+1}$ est vraie. \n\nConclusion : $\\mathcal P_n$ est vraie pour tout $n\\geq 1$.\n"
    },
    {
        "question": " 11  - Équations trigonométriques - lecture du cercle trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre dans $\\mathbb R$ les équations suivantes :\n\n$$\n\n\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle\\mathbf{1.}\\ \\sin x=\\frac 12&\\displaystyle\\quad\\mathbf{2.}\\ \\tan x=\\sqrt 3&\\displaystyle\\quad\\mathbf{3.}\\ \\cos x=-1\\\\\n\n\\displaystyle\\mathbf{4.}\\ \\sin(3x)=1&\\quad\\displaystyle\\mathbf{5.}\\ \\cos(4x)=-2\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n Les seules solutions de l'équation dans $[0,2\\pi[$ sont $x=\\pi/6$ et $x=5\\pi/6$. Par $2\\pi$-périodicité, on obtient que les solutions sont les réels $\\pi/6+2k\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$ et les réels $5\\pi/6+2k\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$. Une autre façon de rédiger est d'écrire que \n\n$$\\sin(x)=\\sin\\left(\\frac\\pi 6\\right)\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z, x=\\frac\\pi 6+2k\\pi\\textrm{ ou }\\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x=\\pi-\\frac\\pi6+2k\\pi.$$\n\n On a $\\sqrt 3=\\tan(\\pi/3)$ et donc l'ensemble des solutions est $\\left\\{\\frac\\pi3+k\\pi:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}$ (attention! ici les solutions sont définies simplement à $\\pi$ près et non à $2\\pi$ près).\n\n Il n'y a qu'une solution à l'équation dans $[0,2\\pi[$, donnée par $x=\n\n\\pi$. Les solutions de l'équation sont donc les réels $\\pi+2k\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$.\n\n On écrit \n\n$$\\sin(3x)=1\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ 3x=\\frac\\pi2+2k\\pi\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x=\\frac\\pi 6+\\frac{2k\\pi}3.$$\n\n L'équation n'admet pas de solutions! En effet, $\\cos$ est à valeurs dans $[-1,1]$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 12  - Équations trigonométriques simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre dans $\\mathbb R$ les équations suivantes : \n\n$$\\begin{array}{ll}\n\n\\mathbf{1.}\\ \n\n\\sin(5x)=\\sin\\left(\\frac{2\\pi}3+x\\right)&\n\n\\quad \n\n\\mathbf{2.}\\ \\cos\\left(x+\\frac\\pi4\\right)=\\cos(2x)\\\\\n\n\\mathbf{3.}\\ \\tan\\left(x+\\frac\\pi 4\\right)=\\tan(2x)\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On écrit simplement que \n\n$$\\sin(5x)=\\sin\\left(\\frac{2\\pi}3+x\\right)\\iff 5x=\\frac{2\\pi}3+x+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }5x=\\pi-\\frac{2\\pi}3-x+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\nEn résolvant individuellement chaque équation, on trouve que \n\n$$\\sin(5x)=\\sin\\left(\\frac{2\\pi}3+x\\right)\\iff x=\\frac\\pi 6+k\\frac\\pi 2,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }x=\\frac\\pi{18}+k\\frac\\pi 3,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\n On sait que \n\n$$\\cos\\left(x+\\frac\\pi4\\right)=\\cos(2x)\\iff x+\\frac\\pi 4=2x+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z \\textrm{ ou }x+\\frac \\pi 4=-2x+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\nEn résolvant individuellement chacune de ces deux équations, on trouve que l'ensemble des solutions est \n\n$$\\left\\{\\frac{\\pi}4+2k\\pi:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}\\cup\\left\\{-\\frac{\\pi}{12}+\\frac{2k\\pi}3:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}.$$\n\n On remarque d'abord que l'équation a un sens pour $2x\\neq \\frac\\pi2+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z$ et pour $x+\\frac{\\pi}4\\neq \\frac \\pi2+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.$\n\nIl faut donc chercher les solutions dans \n\n$$E=\\mathbb R\\backslash\\left(\\left\\{\\frac \\pi4+\\frac{k\\pi}2:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}\\cup\\left\\{\\frac{\\pi}4+k\\pi:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}\\right).$$\n\nPour $x\\in E,$ on écrit alors\n\n\\begin{align*}\n\n\\tan(2x)=\\tan\\left(x+\\frac\\pi 4\\right)&\\iff 2x=x+\\frac\\pi 4+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\\\\n\n&\\iff x=\\frac \\pi 4+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.\n\n\\end{align*}\n\nMais $\\frac\\pi4+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z$ n'est jamais dans $E.$ Ainsi, cette équation n'admet aucune solution.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 13  - Équations trigonométriques - après formule de trigonométrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre dans $\\mathbb R$ les équations suivantes :\n\n$$\\begin{array}{ll}\n\n\\mathbf 1.\\ \\sin x\\cos x=\\frac 14.\n\n&\\mathbf 2.\\ \\sin\\left(2x-\\frac\\pi3\\right)=\\cos\\left(\\frac x3\\right)\\\\\n\n\\mathbf 3.\\ \\cos(3x)=\\sin(x)&\\mathbf 4. \\tan x=2 \\sin x.\\\\\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  \n On se ramène à une équation simple en remarquant que $\\sin x\\cos x=\\frac 12\\sin(2x)$. L'équation est donc équivalente à $\\sin(2x)=\\frac 12$. Mais, \n\n$$\\begin{array}{rcl}\n\n\\sin(2x)=\\frac12&\\iff&\\exists k\\in\\mathbb Z, 2x=\\frac{\\pi}6+2k\\pi\\textrm{ ou }\\exists k\\in\\mathbb Z,\\ 2x=\\frac{5\\pi}6+2k\\pi\\\\\n\n&\\iff&\\exists k\\in\\mathbb Z, x=\\frac{\\pi}{12}+k\\pi\\textrm{ ou }\\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x=\\frac{5\\pi}{12}+k\\pi.\n\n\\end{array}$$\n\n On transforme d'abord l'équation par une formule de trigonométrie :\n\n$$\\sin\\left(2x-\\frac\\pi3\\right)=\\cos\\left(\\frac x3\\right)\\iff \\sin\\left(2x-\\frac\\pi3\\right)=\\sin\\left(\\frac{\\pi}{ 2}-\\frac x3\\right).$$\n\nEn utilisant la même méthode qu'à la question précédente, on trouve :\n\n$$\\sin\\left(2x-\\frac\\pi3\\right)=\\cos\\left(\\frac x3\\right)\\iff x = \\frac{5\\pi}{14}+\\frac{6k\\pi}{7},\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }x =\\frac{\\pi}2+\\frac{6k\\pi}5,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\n C'est exactement la même méthode. On trouve que \n\n$$\\cos(3x)=\\sin x\\iff x= \\frac{ \\pi}8+\\frac{k\\pi}2,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }x = -\\frac{\\pi}4+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\n On remarque d'abord que $x\\neq \\frac \\pi 2+k\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$. Si tel est le cas, alors\n\n$$\\tan x=2\\sin x\\iff 2\\sin x\\cos x=\\sin x\\iff \\sin(2x)=\\sin x.$$\n\nOr, \n\n$$\\sin(2x)=\\sin x\\iff x=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }x=\\frac\\pi 3+\\frac{2k\\pi}3,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\nOn vérifie (par exemple, sur le cercle trigonométrique), qu'aucune des solutions ne s'écrit $\\frac{\\pi}2+l\\pi$, $l\\in\\mathbb Z$ et on conclut finalement que :\n\n$$\\tan x=2\\sin x\\iff x=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }x=\\frac\\pi 3+\\frac{2k\\pi}3,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 14  - Équations trigonométriques plus difficiles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre les équations trigonométriques suivantes :\n\n$$\\begin{array}{ll}\n\n\\mathbf{1.}\\ \\cos x=\\sqrt 3\\sin(x)+1&\\quad \\mathbf{2.}\\ \\cos x+\\sin x=1+\\tan x.\n\n\\end{array}\n\n$$",
        "answer": "  \n Pour ce type d'équations, la méthode est toujours la même. On commence par la transformer en \n\n$$\\cos(x)-\\sqrt 3\\sin(x)=1.$$\n\nOn factorise ensuite par $\\sqrt{1+(\\sqrt 3)^2}=2$. L'équation est équivalente à \n\n$$\\frac{1}2\\cos(x)-\\frac{\\sqrt 3}2\\sin(x)=\\frac 12.$$\n\nOn remarque ensuite que $\\cos(\\pi/3)=1/2$ et $\\sin(\\pi/3)=\\sqrt{3}/2.$\n\nL'équation s'écrit donc \n\n$$\\cos\\left(\\frac\\pi 3\\right)\\cos(x)-\\sin\\left(\\frac{\\pi}3\\right)\\sin(x)=\\frac 12.$$\n\nD'après une formule de trigonométrie, elle est encore équivalente à \n\n$$\\cos\\left(\\frac \\pi 3+x\\right)=\\cos\\left(\\frac\\pi 3\\right).$$\n\nLes solutions de cette équation sont les réels $x$ pour lesquels \n\n$$\\frac\\pi 3+x=\\frac\\pi 3+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }\\frac \\pi3+x=-\\frac{\\pi}3+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\nL'ensemble des solutions de l'équation est donc \n\n$$\\left\\{2k\\pi:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}\\cup\\left\\{-\\frac{2\\pi}3+2k\\pi:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}.$$\n\n Remarquons pour commencer que l'équation a un sens pour les $x$ tels que $x\\neq \\frac\\pi 2+k\\pi$. Pour ces $x$, elle est équivalente à \n\n\\begin{align*}\n\n\\cos x+\\sin x=\\frac{\\cos x+\\sin x}{\\cos x}&\\iff (\\cos x-1)(\\cos x+\\sin x)=0\\\\\n\n&\\iff \\cos x=1\\textrm{ ou }\\cos(x)+\\sin(x)=0\\\\\n\n&\\iff x=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }\\cos(x)=-\\sin(x)=\\cos\\left(\\frac\\pi 2+x\\right)\\\\\n\n&\\iff x=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }x=-\\frac{\\pi}2-x+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\\\\n\n&\\iff x=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }x=-\\frac{\\pi}4+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.\n\n\\end{align*}\n\nOn vérifie qu'aucune de ces solutions ne correspond à une valeur interdite pour laquelle l'équation n'a pas de sens.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 15  - Equation du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer les réels $x$ vérifiant $2\\cos^2(x)+9\\cos(x)+4=0$. ",
        "answer": "  On pose $X=\\cos(x)$, et l'équation devient $2X^2+9X+4=0$. Son discriminant est $\\Delta=49=7^2$, et ses racines sont $X_1=-4$ et $X_2=-1/2$. L'équation $\\cos(x)=-4$ n'a aucune solution. Les solutions de l'équation $\\cos(x)=-1/2$ sont les réels qui s'écrivent $\\frac{4\\pi}3+k2\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$, et $\\frac{-4\\pi}3+k2\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$. Finalement l'ensemble des solutions\n\nest \n\n$$\\left\\{ \\frac{4\\pi}3+k2\\pi:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}\\cup \\left\\{\\frac{-4\\pi}3+k2\\pi:k\\in\\mathbb Z\\right\\}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 16  - Inéquations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre sur $[0,2\\pi]$, puis sur $[-\\pi,\\pi]$, puis sur $\\mathbb R$ les inéquations suivantes : \n\n$$\\begin{array}{lll}\n\n\\mathbf{1.}\\ \\sin(x)\\geq 1/2&\\quad&\\mathbf{2.}\\cos(x)\\geq 1/2\n\n\\end{array}$$",
        "answer": "  Il faut s'aider du cercle trigonométrique!\n\n\n Pour $x\\in [0,2\\pi]$, on a \n\n$$\\sin(x)\\geq 1/2\\iff x\\in\\left[\\frac{\\pi}6;\\frac{5\\pi}6\\right].$$\n\nPour $x\\in [-\\pi,\\pi]$, on a le même résultat : \n\n$$\\sin(x)\\geq 1/2\\iff x\\in \\left[\\frac{\\pi}6;\\frac{5\\pi}6\\right].$$\n\nFinalement, par $2\\pi$-périodicité, pour $x\\in \\mathbb R$, on a\n\n$$\\sin(x)\\geq 1/2\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x\\in \\left[\\frac{\\pi}6+2k\\pi;\\frac{5\\pi}6+2k\\pi\\right].$$\n\n Pour $x\\in [0,2\\pi]$, on a\n\n$$\\cos(x)\\geq 1/2\\iff x\\in \\left[0,\\frac\\pi3\\right]\\cup \\left[\\frac{5\\pi}3;2\\pi\\right].$$\n\nPour $x\\in [-\\pi,\\pi]$, on a\n\n$$\\cos(x)\\geq 1/2\\iff x\\in \\left[-\\frac{\\pi}3;\\frac{\\pi}3\\right].$$\n\nOn conclut de la même façon par $2\\pi$-périodicité, mais on utilise plutôt la deuxième expression qui est plus facile. Finalement, pour $x\\in\\mathbb R$, \n\n$$\\cos(x)\\geq 1/2\\iff \\exists k\\in \\mathbb Z,\\ x\\in\\left[-\\frac{\\pi}3+2k\\pi;\\frac{\\pi}3+2k\\pi\\right].$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 17  - Un système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer l'ensemble des réels $x$ vérifiant :\n\n$$\\left\\{\\begin{array}{rcl}\n\n2\\cos(x)-\\sin(x)&=&\\sqrt 3+\\frac 12\\\\\n\n\\cos(x)+2\\sin(x)&=&\\frac{\\sqrt 3}2-1.\n\n\\end{array}\\right.$$",
        "answer": "  Posons $X=\\cos x$ et $Y=\\sin x$. Alors $X$ et $Y$ sont solutions du système\n\n$$\\left\\{\\begin{array}{rcl}\n\n2X-Y&=&\\sqrt 3+\\frac 12\\\\\n\nX+2Y&=&\\frac{\\sqrt 3}2-1\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nOn résout ce système en remarquant par exemple que \n\n$$2\\times 2X+X=2\\times\\left(\\sqrt 3+\\frac 12\\right)+\\frac{\\sqrt 3}2-1=\\frac{5\\sqrt 3}2.$$\n\nOn en déduit que $X=\\sqrt 3/2$ puis que $Y=-1/2$. Ainsi, on cherche $x\\in\\mathbb R$ tel que $\\cos(x)=\\sqrt 3/2$ et $\\sin(x)=-1/2$. La valeur $x=-\\pi/6$ est une solution particulière, et c'est la seule dans $[-\\pi;\\pi]$. On en déduit que l'ensemble des solutions est \n\n$$\\mathcal S=\\left\\{-\\frac\\pi 6+2k\\pi:\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 18  - Un système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Déterminer l'ensemble des couples $(x,y)$ vérifiant les conditions suivantes :\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n2\\cos(x)+3\\sin(y)&=&\\sqrt 2-\\frac 32\\\\\n\n4\\cos(x)+\\sin(y)&=&2\\sqrt 2-\\frac 12\\\\\n\nx\\in [-\\pi;\\pi],\\ y\\in [-\\pi;\\pi]\n\n\\end{array}\\right.$$",
        "answer": "  Posons $X=\\cos(x)$ et $Y=\\sin(y)$. Alors le couple $(X,Y)$ est solution du système\n\n$$\\left\\{\n\n\\begin{array}{rcl}\n\n2X+3Y&=&\\sqrt 2-\\frac 32\\\\\n\n4X+Y&=&2\\sqrt 2-\\frac 12.\n\n\\end{array}\\right.$$\n\nOn résout ce système en remarquant que \n\n$$Y-2\\times 3Y=2\\sqrt 2-\\frac 12-2\\times\\left(\\sqrt 2-\\frac 32\\right)$$\n\nce qui donne encore\n\n$$-5Y=\\frac 52\\iff Y=-\\frac 12.$$\n\nOn en déduit ensuite que $X=\\frac{\\sqrt 2}2$. On a donc $\\sin(y)=-\\frac 12$ ce qui entraîne que $y=-\\pi/6$ ou $y=-5\\pi/6$, puis $\\cos x=\\sqrt 2/2$, ce qui entraîne $x=\\pi/4$ ou $x=-\\pi/4$. Finalement, on trouve 4 couples de solutions : \n\n$$\\mathcal S=\\left\\{\\left(\\frac \\pi4,-\\frac \\pi 6\\right);\n\n\\left(\\frac \\pi4,-\\frac{5\\pi} 6\\right);\\left(-\\frac \\pi4,-\\frac \\pi 6\\right);\\left(-\\frac \\pi4,-\\frac{5\\pi} 6\\right)\\right\\}.$$\n"
    },
    {
        "question": " 19  - Inéquations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre sur $\\mathbb R$ les inéquations suivantes :\n\n$$\\begin{array}{ll}\n\n\\mathbf 1.\\ \\tan x\\geq 1& \\mathbf 2.\\ \\cos(x/3)\\leq \\sin(x/3)\\\\\n\n\\mathbf 3.\\ 2\\sin^2 x\\leq 1& \\mathbf 4.\\ \\cos^2x \\geq \\cos2x.\n\n  \\end{array}\n\n$$",
        "answer": "  \n On travaille cette fois sur un intervalle de longueur $\\pi$. Puisque $\\tan(\\pi/4)=1$, on en déduit que l'ensemble des solutions est\n\n$$\\mathcal S=\\bigcup_{k\\in\\mathbb Z}\\left[\\frac{\\pi}4+k\\pi,\\frac{\\pi}2+k\\pi\\right[.$$\n\n On va d'abord poser $u=x/3$. Alors, \n\n$$\\cos(x/3)\\leq\\sin(x/3)\\iff \\cos(u)\\leq\\sin(u)\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ u \\in \\left[\\frac\\pi 4+2k\\pi,\\frac{5\\pi}4+2k\\pi\\right].$$\n\nRevenant à $x=3u$, il vient \n\n$$\\cos(x/3)\\leq\\sin(x/3)\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x \\in \\left[\\frac{3\\pi} 4+6k\\pi,\\frac{15\\pi}4+6k\\pi\\right].$$\n\nOn en déduit que \n\n$$\\mathcal S=\\bigcup_{k\\in\\mathbb Z}\\left[\\frac{3\\pi} {4}+6k\\pi,\\frac{15\\pi}4+6k\\pi\\right].$$\n\n On commence par utiliser la formule de trigonométrie $\\cos(2x)=1-2\\sin^2(x)$. L'équation est donc équivalente à $\\cos(2x)\\geq 0$. Posons $u=2x$. Alors $\\cos(u)\\geq 0$ est équivalent à $u\\in \\bigcup_{k\\in\\mathbb Z}\\left[-\\frac{\\pi}2+2k\\pi;\\frac{\\pi}2+2k\\pi\\right]$. On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est donné par \n\n$$\\bigcup_{k\\in\\mathbb Z}\\left[-\\frac{\\pi}4+k\\pi;\\frac{\\pi}4+k\\pi\\right].$$\n\n On a \n\n$$\\cos^2 x\\geq\\cos 2x\\iff \\cos^2 x\\geq 2\\cos^2 x-1\\iff \\cos^2 x\\leq 1.$$\n\nCette dernière inégalité étant toujours vérifiée, on en déduit que pour tout $x\\in\\mathbb R$, on a\n\n$$\\cos^2 x\\geq\\cos 2x.$$\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 20  - Équation trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $\\sqrt 3\\cos x-\\sin x=m$ admet-elle des solutions?\n\nLes déterminer lorsque $m=\\sqrt 2$.",
        "answer": "  C'est une méthode classique. On met en facteur $\\sqrt{(\\sqrt 3)^2+1^2}=2$, de sorte que \n\n$$\\sqrt 3\\cos x-\\sin x=2\\left(\\frac{\\sqrt 3}2\\cos x-\\frac 12\\sin x\\right)=2\\big(\\cos(\\pi/6)\\cos x-\\sin(\\pi/6)\\sin x\\big)=2\\cos\\left(x+\\frac\\pi 6\\right).$$\n\nL'équation est donc équivalente à \n\n$$\\cos\\left(x+\\frac\\pi 6\\right)=\\frac{m}2.$$\n\nElle admet donc des solutions si et seulement si $m\\in[-2,2]$. Si $m=\\sqrt 2$, alors on a \n\n$$\\cos\\left(x+\\frac\\pi 6\\right)=\\frac{m}2=\\cos\\left(\\frac{\\pi}4\\right)\\iff x=\\frac{\\pi}{12}+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou } x=-\\frac{5\\pi}{12}+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n"
    },
    {
        "question": " 21  - Trinôme du second degré? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre dans $[0,2\\pi]$ l'équation $\\cos(2x)+\\cos(x)=0$.",
        "answer": "  On sait que $\\cos(2x)=2\\cos^2 (x)-1$ et donc l'équation est équivalente à \n\n$$2\\cos^2(x)+\\cos(x)-1=0.$$\n\nPosons $y=\\cos x$ et déterminons les solutions de l'équation $2y^2+y-1=0$. Calculant le discriminant, on voit que les solutions de cette équation sont $y=-1$ et $y=1/2$. On en déduit donc que \n\n$\\cos(2x)+\\cos(x)=0$ si et seulement si $\\cos(x)=-1$ ou $\\cos(x)=1/2$. Puisque l'on cherche les solutions uniquement dans $[0,2\\pi]$, l'ensemble des solutions est $\\{\\pi,\\pi/3,5\\pi/3\\}$.\n"
    },
    {
        "question": " 22  - Inéquation plus subtile qu'il n'y parait [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre dans $]-\\pi;\\pi]$ l'inéquation suivante : $\\tan(x)\\geq 2\\sin(x)$.",
        "answer": "  Pour ne pas se tromper en simplifiant par $\\sin x$, on passe tout à gauche et on factorise : \n\n$$\\tan(x)-2\\sin(x)=\\sin(x)\\left(\\frac{1}{\\cos x}-2\\right)=\\sin(x)\\frac{1-2\\cos x}{\\cos x}.$$\n\nOn conclut par un tableau de signes. \n\n\n\nOn trouve donc que l'ensemble des solutions est \n\n$$\\left]-\\pi,-\\frac\\pi2\\right[\\cup \\left[-\\frac{\\pi}3;0\\right]\\cup\\left[\\frac{\\pi}3,\\frac{\\pi}2\\right[\\cup\\{\\pi\\}.$$\n\nRemarquons qu'on aurait pu simplement étudier le signe de $\\sin(x)\\frac{1-2\\cos x}{\\cos x}$ sur $[0,\\pi]$ puis conclure par imparité de cette fonction.\n"
    },
    {
        "question": " 23  - Du cosinus à l'angle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On cherche à déterminer tous les réels $t$ tels que \n\n$$\\cos t=\\frac{1+\\sqrt 5}4.$$\n\n\n Démontrer qu'il existe une unique solution dans l'intervalle $]0,\\pi/4[$. Dans la suite, on notera cette solution $t_0$.\n\n Calculer $\\cos(2t_0)$, puis démontrer que $\\cos(4t_0)=-\\cos(t_0)$.\n\n En déduire $t_0$.\n\n Résoudre l'équation.\n\n\n",
        "answer": "  \n Il est clair que $1=\\cos(0)>\\frac{1+\\sqrt 5}4$ et on vérifie aussi facilement que $\\cos(\\pi/4)=\\frac{\\sqrt 2}2<\\frac{1+\\sqrt 5}4$\n\n(par exemple, à la calculatrice, ou parce que \n\n$$(2\\sqrt 2)^2=8<(1+\\sqrt 5)^2=6+2\\sqrt 5).$$\n\nPuisque la fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $]0,\\pi/4[$, il existe un unique $t_0$ dans $]0,\\pi/4[$ tel que $\\cos(t_0)=\\frac{1+\\sqrt 5}4$.\n\n On a \n\n$$\\cos(2t_0)=2\\cos^2(t_0)-1=\\frac{\\sqrt 5-1}4.$$\n\nDe même, \n\n$$\\cos(4t_0)=2\\cos^2(2t_0)-1=\\frac{-1-\\sqrt 5}4=-\\cos(t_0).$$\n\n L'équation $\\cos(4t_0)=-\\cos(t_0)$ est équivalente à $\\cos(4t_0)=\\cos(\\pi-t_0),$\n\ndont les solutions vérifient\n\n$$4t_0=\\pi-t_0+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z\\textrm{ ou }4t_0=t_0-\\pi+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb Z.$$\n\nMais puisque $\\pi-t_0\\in ]3\\pi/4,\\pi[$ et $4t_0\\in ]0,\\pi[$, la première équation n'est possible que \n\npour $k=0$ et on trouve $t_0=\\pi/5$. Et comme $t_0-\\pi\\in]-\\pi,-3\\pi/4[$, on ne peut jamais avoir\n\n$t_0-\\pi+2k\\pi \\in]0,\\pi[$. On en déduit que $t_0=\\frac{\\pi}5.$\n\n Par le résultat du cours, les solutions de $\\cos t=\\frac{1+\\sqrt 5}4$ sont les réels $t=\\frac\\pi 5+2k\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$\n\net $t=-\\frac\\pi 5+2k\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 24  - Inéquations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Résoudre sur $\\mathbb R$ les inéquations suivantes :\n\n\n $2\\cos^2 x-9\\cos x+4\\geq 0$;\n\n $\\cos 5x+\\cos 3x\\geq \\cos x$.\n\n",
        "answer": "  \n Posons $X=\\cos x$. L'inéquation est alors équivalente à \n\n$2X^2-9X+4\\geq 0.$ Le discriminant du polynôme de second degré associé est $49=7^2$. \n\nSes deux racines sont $1/2$ et $4$. Ainsi, $2X^2-9X+4\\geq 0$ si et seulement si \n\n$X\\leq 1/2$ ou $X\\geq 4$. Revenant à $\\cos x=X$, le dernier cas est impossible et on a donc\n\n$$2\\cos^2x-9\\cos x+4\\geq 0\\iff \\cos x\\leq \\frac 12\\iff x\\in\\bigcup_{k\\in\\mathbb Z}\\left[\\frac{\\pi}3+2k\\pi,\\frac{5\\pi}3+2k\\pi\\right].$$\n\n On commence par utiliser une formule de trigonométrie : \n\n$$\\cos 5x+\\cos 3x=2\\cos(4x)\\cos x.$$\n\nAinsi, l'inéquation est équivalente à \n\n$$\\cos x\\left(2\\cos(4x)-1\\right)\\geq 0.$$\n\nOn va résoudre cette inéquation sur un intervalle de longueur $2\\pi$, puis on va utiliser la $2\\pi$-périodicité du cosinus.\n\nRemarquons aussi que l'inégalité est vrai en $\\pm\\frac\\pi 2$, là où le cosinus s'annule. Maintenant, \n\nsi $x\\in\\left]-\\frac{\\pi}2,\\frac{\\pi}2\\right[$, on a $\\cos(x)>0$ et l'inéquation est équivalente à \n\n$$2\\cos(4x)-1\\geq 0\\iff \\cos(4x)\\geq\\frac 12.$$\n\nCeci donne encore :\n\n$$\\exists l\\in\\mathbb Z,\\ x\\in \\left[l\\frac{\\pi}2-\\frac{\\pi}{12},l\\frac{\\pi}2+\\frac{\\pi}{12}\\right].$$\n\nOn cherche les solutions dans l'intervalle $\\left]-\\frac\\pi 2,\\frac\\pi 2\\right[$ et on trouve\n\n$$\\left]-\\frac{\\pi}2,-\\frac{5\\pi}{12}\\right]\\cup\\bigg[-\\frac{\\pi}{12},\\frac{\\pi}{12}\\bigg]\\cup\\left[\\frac{5\\pi}{12},\\frac{\\pi}2\\right[.$$\n\nOn cherche maintenant les solutions dans l'intervalle $\\left]\\frac\\pi 2,\\frac{3\\pi}2\\right[$. L'inéquation y est équivalente à \n\n$$2\\cos(4x)-1\\leq 0$$\n\ndont l'ensemble des solutions sur l'intervalle considéré est\n\n$$\\left[\\frac{7\\pi}{12},\\frac{11\\pi}{12}\\right]\\cup\\left[\\frac{13\\pi}{12},\\frac{17\\pi}{12}\\right].$$\n\nFinalement, l'ensemble des solutions sur $\\mathbb R$ est\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\bigcup_{k\\in\\mathbb Z}\\bigg(\\left[-\\frac{\\pi}2+2k\\pi,-\\frac{5\\pi}{12}+2k\\pi\\right]\n\n\\cup\\bigg[-\\frac{\\pi}{12}+2k\\pi,\\frac{\\pi}{12}+2k\\pi\\bigg]\\cup\\left[\\frac{5\\pi}{12}+2k\\pi,\\frac{\\pi}2+2k\\pi\\right]\\cup\\\\\n\n\\quad\\quad\n\n\\left[\\frac{7\\pi}{12}+2k\\pi,\\frac{11\\pi}{12}+2k\\pi\\right]\\cup\\left[\\frac{13\\pi}{12}+2k\\pi,\\frac{17\\pi}{12}+2k\\pi\\right]\\Bigg).\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 25  - Avec un déphasage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère la fonction $f$ définie sur $\\mathbb R$ par \n\n$$f(x)=\\cos\\left(\\frac{3x}2-\\frac{\\pi}4\\right).$$\n\n\n Déterminer une période $T$ de $f$.\n\n Déterminer en quels points $f$ atteint son maximum, son minimum, puis résoudre l'équation $f(x)=0$.\n\n Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[-T,T]$.\n\n $f$ est-elle paire?\n\n",
        "answer": "  \n Soit $T$ un nombre réel. On a \n\n$$f(x+T)=\\cos\\left(\\frac{3}2(x+T)-\\frac{\\pi}4\\right)=\\cos\\left(\\frac 32x -\\frac{\\pi}4+\\frac{3T}2\\right).$$\n\nOn a $f(x+T)=f(x)$ par exemple si $3T/2=2\\pi$, donc si $T=4\\pi/3$. La fonction $f$ est donc $4\\pi/3$ périodique.\n\n On a \n\n\\begin{align*}\n\nf(x)=1&\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ \\frac32x-\\frac{\\pi}4=2k\\pi\\\\\n\n&\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x=\\frac{4k\\pi}3+\\frac{\\pi}6.\n\n\\end{align*}\n\nLa fonction $f$ atteint donc son maximum en les point $\\frac{4k\\pi}3+\\frac{\\pi}6$, $k\\in\\mathbb Z$.\n\nDe même, on a \n\n\\begin{align*}\n\nf(x)=-1&\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ \\frac32x-\\frac{\\pi}4=\\pi+2k\\pi\\\\\n\n&\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x=\\frac{4k\\pi}3+\\frac{5\\pi}6.\n\n\\end{align*}\n\nLa fonction $f$ atteint donc son maximum en les point $\\frac{4k\\pi}3+\\frac{5\\pi}6$, $k\\in\\mathbb Z$. Finalement, on a aussi\n\n\\begin{align*}\n\nf(x)=0&\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ \\frac32x-\\frac{\\pi}4=\\frac\\pi2+k\\pi\\\\\n\n&\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x=\\frac{2k\\pi}3+\\frac{\\pi}2.\n\n\\end{align*}\n\nLes solutions de l'équation $f(x)=0$ sont donc les réels $\\frac{2k\\pi}3+\\frac{\\pi}2$, $k\\in\\mathbb Z$.\n\n On peut représenter $f$ en s'inspirant de la courbe représentative de la fonction cosinus, et en utilisant les résultats de la question précédente, qu'on peut compléter par exemple avec $f(0)=\\cos(-\\pi/4)=\\sqrt 2/2$.\n\n On trouve :  \n\n\n Puisque $f(0)\\neq 0$, la fonction $f$ n'est pas impaire. De plus, $f(\\pi/2)=0$ alors que $f(-\\pi/2)=\\cos(-\\pi)=-1\\neq -f(\\pi/2)$. La fonction $f$ n'est pas paire!\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 26  - Domaine, parité  et périodicité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\\ln\\left(\\left|\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)\\right|\\right)$. Quel est le domaine de définition de $f$? La fonction $f$ est-elle paire? impaire? périodique?",
        "answer": "  On sait que $\\ln(u)$ est défini uniquement si $u>0$. Donc $\\ln\\left(\\left|\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)\\right|\\right)$ est défini uniquement si $\\left|\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)\\right|$ est strictement positif. La valeur absolue d'un réel étant toujours positive ou nulle, la fonction $f$ est bien définie pour les réels $x$ tels que \n\n$$\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)\\neq 0.$$\n\nMais on a \n\n\\begin{align*}\n\n\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)=0&\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ \\frac\\pi2x=k\\pi\\\\\n\n&\\iff \\exists k\\in\\mathbb Z,\\ x=2k.\n\n\\end{align*}\n\nLa fonction $f$ est donc bien définie pour tous les réels, sauf les entiers pairs : $\\mathcal D_f=\\mathbb R\\backslash 2\\mathbb Z$.\n\nPour déterminer la parité de $f$, remarquons déjà que son domaine de définition est symétrique par rapport à $0$, et donc que si $x\\in\\mathcal D_f$, alors $-x\\in\\mathcal D_f$. Soit donc $x\\in\\mathcal D_f$. Alors\n\n\\begin{align*}\n\nf(-x)&=\\ln\\left(\\left|\\sin\\left(-\\frac\\pi2 x\\right)\\right|\\right) \\\\\n\n&=\\ln\\left(\\left|-\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)\\right|\\right)\\textrm{ (car la fonction $\\sin$ est impaire)}\\\\\n\n&=\\ln\\left(\\left|\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)\\right|\\right) \\textrm{ (car la fonction $|\\cdot|$ est paire)}\\\\\n\n&=f(x).\n\n\\end{align*}\n\nAinsi, la fonction $f$ est paire. \n\nDe plus, on a\n\n\\begin{align*}\n\nf(x+2)&=\\ln\\left(\\left|\\sin\\left(\\frac\\pi2 (x+2)\\right)\\right|\\right)\\\\\n\n&=\\ln\\left(\\left|\\sin\\left(\\frac\\pi2 x+\\pi\\right)\\right|\\right)\\\\\n\n&=\\ln\\left(\\left|-\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)\\right|\\right)\\\\\n\n&=\\ln\\left(\\left|\\sin\\left(\\frac\\pi2 x\\right)\\right|\\right)\\\\\n\n&=f(x)\n\n\\end{align*}\n\noù on a utilisé que $\\sin(t+\\pi)=-\\sin t$ et que $|-a|=|a|$. Ainsi, $f$ est périodique de période $2$. \n"
    },
    {
        "question": " 27  - Périodique... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère la fonction $f$ définie sur $\\mathbb R$ par\n\n$$f(x)=\\cos(3x)\\cos^3x.$$\n\n\n Pour $x\\in\\mathbb R$, exprimer $f(-x)$ et $f(x+\\pi)$ en fonction de $f(x)$. \n\nSur quel intervalle $I$ peut-on se contenter d'étudier $f$?\n\n Vérifier que $f'(x)$ est du signe de $-\\sin(4x)$, et on déduire le sens de variation de $f$ sur $I$.\n\n Tracer la courbe représentative de $f$.\n\n",
        "answer": "  \n On a \n\n$$f(-x)=\\cos(-3x)(\\cos^3(-x))=\\cos(3x)\\cos^3(x)=f(x).$$\n\nLa fonction $f$ est paire, on peut se contenter de l'étudier sur $[0,+\\infty[$.\n\nDe plus, \n\n$$f(x+\\pi)=\\cos(3x+3\\pi)\\cos^3(x+\\pi)=-\\cos(3x)(-\\cos x)^3=f(x).$$\n\n$f$ est donc $\\pi$-périodique. Finalement, on peut se contenter d'étudier $f$ sur l'intervalle $I=[0,\\pi/2]$. On obtiendra aussi la courbe de $f$ sur $[-\\pi/2,\\pi/2]$ par parité. Cet intervalle est de longueur $\\pi$ et la fonction est $\\pi$-périodique. On va donc déduire le reste de la courbe par des translations de vecteur $k\\pi \\vec i$, $k\\in\\mathbb Z$.\n\n $f$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\\in I$, on a \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nf'(x)&=&-3\\sin(3x)\\cos^3(x)-3\\cos(3x)\\sin(x)\\cos^2(x)\\\\\n\n&=&-3\\cos^2(x)\\big(\\sin(3x)\\cos(x)+\\sin(x)\\cos(3x)\\big)\\\\\n\n&=&-3\\cos^2(x)\\sin(4x).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nPuisque $\\cos^2(x)\\geq 0$, $f'$ est bien du signe de $-\\sin(4x)$ sur l'intervalle $[0,\\pi/2]$. En particulier, \n\n\n si $x\\in[0,\\pi/4]$, $f'(x)\\leq 0$ et $f$ est décroissante;\n\n si $x\\in[\\pi/4,\\pi/2]$, $f'(x)\\geq 0$ et $f$ est croissante.\n\n\n On obtient le dessin suivant :\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 28  - Quotient de sinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère la fonction $f$ définie par \n\n$$f(x)=\\frac{\\sin x}{1+\\sin x}.$$\n\nOn note $\\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.\n\n\n Quel est le domaine de définition de $f$? Vérifier que $f$ est $2\\pi$-périodique.\n\n Comparer $f(\\pi-x)$ et $f(x)$. Que dire sur $\\Gamma$?\n\n Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $\\left]-\\frac\\pi 2,\\frac\\pi 2\\right]$, \n\npuis déterminer la limite de $f$ en $-\\pi/2$. \n\n Construire $\\Gamma$ à l'aide des renseignements précédents.\n\n",
        "answer": "  \n $f(x)$ est défini partout où le dénominateur ne s'annule pas, c'est-à-dire pour tout les $x$ avec $\\sin x\\neq -1$. Le domaine de définition de $f$ est donc \n\n$$\\mathcal D_f=\\mathbb R\\backslash \\left\\{-\\frac\\pi 2+2k\\pi;\\ k\\in\\mathbb Z\\right\\}.$$\n\nDe plus, la $2\\pi$-périodicité de $\\sin$ entraîne facilement la $2\\pi$-périodicité de $f$.\n\n De $\\sin(\\pi-x)=\\sin x$, on déduit que $f(\\pi-x)=f(x)$. Ceci signifie que la droite d'équation $x=\\pi/2$ est un axe de symétrie de $\\Gamma$.\n\n Posons $g(x)=\\frac x{x+1}$ et $h(x)=\\sin x$. On a $f=g\\circ h$. De plus, $h$ est croissante sur l'intervalle $]-\\pi/2,\\pi/2]$ dont l'image est $]-1,1]$. La fonction $g$ est elle croissante sur l'intervalle $]-1,1]$ (par exemple, on peut écrire $g(x)=1-\\frac1{x+1}$. Par composition, $f$ est croissante sur $]-\\pi/2,\\pi/2]$.\n\nOn a $\\sin(x)\\to -1^+$ lorsque $x$ tend vers $-\\pi/2$ et $\\lim_{x\\to -1^+}g(x)=-\\infty$. Ainsi, par composition de limites, $f$ tend vers $-\\infty$ en $-\\pi/2$. \n\n On construit d'abord $\\gamma$ sur $]-\\pi/2,\\pi/2]$. On la déduit sur $]-\\pi/2,3\\pi/2]$ par symétrie d'axe $x=\\pi/2$. Enfin, on l'obtient sur $\\mathbb R$ par périodicité de période $2\\pi$, et donc par des translations de vecteur $k2\\pi\\vec i$, $k\\in\\mathbb Z$. On obtient :\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 29  - Étude d'une fonction trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\\frac{\\sin x}{2+\\cos x}$. \n\n\n Déterminer le domaine de définition de $f$. Justifier que $f$ est dérivable sur son domaine de définition.\n\n Pour $x\\in\\mathbb R$, calculer $f(x+2\\pi)$ et $f(-x)$. Que peut-on en déduire sur la courbe représentative de $f$? En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur $[0,\\pi]$ pour construire toute la courbe représentative de $f$.\n\n Montrer que, pour tout réel $x$, on a\n\n$$f'(x)=\\frac{1+2\\cos x}{(2+\\cos x)^2}.$$\n\n Étudier le signe de $1+2\\cos x$ sur $[0,\\pi]$.\n\n Établir le tableau de variations de $f$ sur $[0,\\pi]$.\n\n Tracer la courbe représentative de $f$.\n\n",
        "answer": "  \n Puisque $\\cos x\\geq -1$ pour tout $x\\in\\mathbb R$, on a $2+\\cos x>0$. Le dénominateur ne s'annule pas, et $f$ est définie sur $\\mathbb R$ tout entier. Comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas, $f$ est dérivable sur $\\mathbb R$.\n\n On a \n\n$$f(x+2\\pi)=\\frac{\\sin(x+2\\pi)}{2+\\cos(x+2\\pi)}=\\frac{\\sin x}{2+\\cos x}=f(x)$$\n\npuisque $\\sin$ et $\\cos$ sont $2\\pi$-périodiques. De plus, on a\n\n$$f(-x)=\\frac{\\sin(-x)}{2+\\cos(-x)}=\\frac{-\\sin(x)}{2+\\cos x}=-f(x).$$\n\nLa fonction $f$ est donc impaire. La courbe représentative de $f$ est donc symétrique par rapport à l'origine du repère. De plus, par $2\\pi$-périodicité, on peut limiter l'étude à un intervalle de longueur $2\\pi$ puis déduire la courbe représentative de $f$ par des translations de vecteur $(2\\pi,0)$. Il suffit donc d'étudier la fonction sur $[0,\\pi]$, construire la courbe sur cet intervalle, l'obtenir sur $[-\\pi,\\pi]$ par symétrie par rapport à $O$, puis sur $\\mathbb R$ par périodicité.\n\n En utilisant la formule de dérivabilité d'un quotient, on a \n\n$$f'(x)=\\frac{\\cos x(2+\\cos x)-(-\\sin x)(\\sin x)}{(2+\\cos x)^2}=\\frac{2\\cos x+\\cos^2 x+\\sin^2 x}{(2+\\cos x)^2}=\\frac{1+2\\cos x}{(2+\\cos x)^2}.$$\n\n On a $1+2\\cos x\\geq 0\\iff \\cos x\\geq -1/2$. En s'aidant du cercle trigonométrique, on trouve que $\\cos x\\geq -1/2$ sur $[0,2\\pi/3]$ et $\\cos x\\leq -1/2$ sur $[2\\pi/3,\\pi]$. \n\n On en déduit le tableau de variations suivant :\n\n\n On trouve la courbe suivante :\n\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 30  - Périodicité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $\\alpha\\in\\mathbb R$ et $f$ la fonction définie sur $\\mathbb R$ par $f(x)=\\cos(x)+\\cos(\\alpha x)$. On veut démontrer que $f$ est périodique si et seulement si $\\alpha\\in\\mathbb Q$.\n\n\n On suppose que $\\alpha=p/q\\in\\mathbb Q$. Démontrer que $f$ est périodique.\n\n On suppose que $\\alpha\\notin\\mathbb Q$. Résoudre l'équation $f(x)=2$. En déduire que $f$ n'est pas périodique.\n\n",
        "answer": "  \n On remarque que \n\n\\begin{align*}\n\nf(x+2\\pi q)&=\\cos(x+2\\pi q)+\\cos\\left(\\frac pqx+2\\pi p\\right)\\\\\n\n&=\\cos(x)+\\cos\\left(\\frac pqx\\right)\\\\\n\n&=f(x).\n\n\\end{align*}\n\nAinsi, $f$ est $2\\pi q$-périodique.\n\n Puisque $\\cos$ est à valeurs dans $[-1,1]$, pour que $f(x)=2$, il est nécessaire et suffisant que $\\cos(x)=1$ et $\\cos(\\alpha x)=1$. \n\nLes solutions de $\\cos(x)=1$ sont les réels de la forme $2k\\pi$, avec $k\\in\\mathbb Z$. De plus,\n\n$$\\cos(\\alpha x)=1\\iff\\exists\\ell\\in\\mathbb Z,\\ \\alpha x=2\\ell\\pi\\iff \\exists \\ell\\in\\mathbb Z,\\ x=2\\ell\\pi/\\alpha.$$\n\nSi $x\\neq 0$ est solution de l'équation $f(x)=2$, il existe donc deux entiers relatifs $k$ et $\\ell$ non-nuls tels que $x=2k\\pi=2\\ell\\pi/\\alpha$. En particulier, $\\alpha=\\ell/k$ est un nombre rationnel, ce qui n'est pas le cas. \n\nDonc la seule solution de $f(x)=2$ est $0$. Ceci empêche $f$ d'être périodique, car si $f$ était périodique de période $T$, on aurait aussi $f(T)=2$.\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 31  - Linéariser! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Établir la formule de trigonométrie \n\n$\\cos^4(\\theta)=\\cos(4\\theta)/8+\\cos(2\\theta)/2+3/8$.\n\n Fournir une relation analogue pour $\\sin^4(\\theta)$. \n\n",
        "answer": "  \n D'après la formule d'Euler, on a \n\n$$\\cos^4(\\theta)=\\left(\\frac{e^{i\\theta}+e^{-i\\theta}}{2}\\right)^4.$$\n\nOn développe ensuite en utilisant la formule du binôme de Newton et on trouve :\n\n\\begin{align*}  \n\n \\cos^4(\\theta)&=\\frac1{16}\\left(e^{4i\\theta}+4e^{3i\\theta}e^{-i\\theta}+6e^{2i\\theta}e^{-2i\\theta}+4e^{i\\theta}e^{-3i\\theta}+e^{-4i\\theta}\\right)\\\\\n\n &=\\frac1{16}\\left(e^{4i\\theta}+4e^{2i\\theta}+6+4e^{-2i\\theta}+e^{-4i\\theta}\\right)\\\\\n\n &=\\frac1{16}\\left(\\color{red}{e^{4i\\theta}+e^{-4i\\theta}}+\\color{blue}{4e^{2i\\theta}+4e^{-2i\\theta}}+6\\right)\\\\\n\n &=\\frac1{16}\\left(\\color{red}{2\\cos(4\\theta)}+\\color{blue}{8\\cos(2\\theta)}+6\\right)\\\\\n\n &=\\frac{\\cos(4\\theta)}8+\\frac{\\cos(2\\theta)}2+\\frac 38.\n\n\\end{align*}\n\n On fait la même chose, mais on part de \n\n$$\\sin^4(\\theta)=\\left(\\frac{e^{i\\theta}-e^{-i\\theta}}{2i}\\right)^4.$$\n\nEn utilisant le même argument, ainsi que $i^4=1$, on trouve\n\n\\begin{align*}\n\n \\sin^4(\\theta)&=\\frac1{16}\\left(e^{4i\\theta}-4e^{2i\\theta}+6-4e^{-2i\\theta}+e^{-4i\\theta}\\right)\\\\\n\n &=\\frac{\\cos(4\\theta)}{8}-\\frac{\\cos(2\\theta)}2+\\frac 38.\n\n\\end{align*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 32  - Linéariser! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Linéariser $\\cos^5 x$, $\\sin^5 x$ et $\\cos^2 x\\sin^3 x$.",
        "answer": "  On écrit :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\cos^5 x&=&\\left(\\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\right)^5\\\\\n\n&=&\\frac{1}{32}\\left(e^{5ix}+5e^{i3x}+10e^{ix}+10e^{-ix}+5e^{-i3x}+e^{-i5x}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{1}{16}\\big(\\cos(5x)+5\\cos(3x)+10\\cos x\\big).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nLe même raisonnement donne\n\n$$\\sin^5 x=\\frac{1}{16}\\big(\\sin(5x)-5\\sin(3x)+10\\sin(x)\\big).$$\n\nPour la dernière expression, on procède ainsi :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\cos^2 x\\sin^3 x&=&\\left(\\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\right)^2\\left(\\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\right)^3\\\\\n\n&=&\\frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}\\times\\frac{e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}}{-8i}\\\\\n\n&=&\\frac{e^{5ix}-e^{3ix}-2e^{ix}+2e^{-ix}+e^{-3ix}-e^{-5ix}}{-32 i}\\\\\n\n&=&\\frac{2i\\sin(5x)-2i\\sin(3x)-4i\\sin(x)}{-32i}\\\\\n\n&=&\\frac{-1}{16}\\sin(5x)+\\frac1{16}\\sin(3x)+\\frac18\\sin(x).\n\n\\end{eqnarray*}\n"
    },
    {
        "question": " 33  - Addition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé \n Démontrer la formule de trigonométrie \n\n$\\cos(4\\theta)=\\cos^4(\\theta)-6\\cos^2(\\theta)\\sin^2(\\theta)+\\sin^4(\\theta)$. \n\n Fournir une relation analogue pour $\\sin(4\\theta)$.\n\n",
        "answer": "  \n D'après la formule de de Moivre, on sait que \n\n$$\\cos(4\\theta)+i\\sin(4\\theta)=\\big(\\cos(\\theta)+i\\sin(\\theta)\\big)^4.$$\n\nOn développe le second membre, toujours en utilisant la formule du binôme :\n\n\\begin{align*}\n\n \\big(\\cos(\\theta)+i\\sin(\\theta)\\big)^4&=\\cos^4(\\theta)+4\\cos^3(\\theta)(i\\sin(\\theta))+6\\cos^2(\\theta)(i\\sin(\\theta))^2\\\\\n\n &\\quad\\quad+4\\cos(\\theta)(i\\sin\\theta)^3+(i\\sin(\\theta))^4\\\\\n\n &=\\cos^4(\\theta)+4i\\cos^3(\\theta)\\sin(\\theta)-6\\cos^2(\\theta)\\sin^2(\\theta)\\\\\n\n &\\quad\\quad -4i\\cos(\\theta)\\sin^3(\\theta)+\\sin^4(\\theta).\n\n\\end{align*}\n\nFinalement, en identifiant les parties réelles et imaginaires, on trouve\n\n\\begin{align*}\n\n \\cos(4\\theta)&=\\cos^4(\\theta)-6\\cos^2(\\theta)\\sin^2(\\theta)+\\sin^4(\\theta)\\\\\n\n \\sin(4\\theta)&=4\\cos^3(\\theta)\\sin(\\theta)-4\\cos(\\theta)\\sin^3(\\theta).\n\n\\end{align*}\n\n \n"
    },
    {
        "question": " 34  - Addition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Exprimer $\\cos(5x)$ et $\\sin(5x)$ en fonction de $\\cos x$ et $\\sin x$.",
        "answer": "  On va partir, en utilisant la formule de de Moivre, de \n\n$$\\cos(5x)+i\\sin(5x)=e^{i5x}=(e^{ix})^5=(\\cos x+i\\sin x)^5.$$\n\nOn développe ensuite ce produit et on identifie parties réelles et parties imaginaires. On trouve \n\n$$\\cos(5x)=\\cos^5 x −10\\cos^3x \\sin^2 x +5\\cos x \\sin^4 x$$\n\net\n\n$$\\sin(5x)=5\\cos^4x\\sin x −10\\cos^2x \\sin^3x +\\sin^5 x.$$\n"
    },
    {
        "question": " 35  - Un calcul d'intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Calculer $\\int_0^{\\pi/2}\\cos^4t\\sin^2tdt$.",
        "answer": "  On linéarise les fonctions trigonométriques à l'aide des nombres complexes :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\cos^4t\\sin^2t&=&\\left(\\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}\\right)^4\\left(\\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\\right)^2\\\\\n\n&=&\\frac{-1}{2^6}\\left(e^{i4t}+4e^{i2t}+6+4e^{-i2t}+e^{-i4t}\\right)\\left(e^{2it}-2+e^{-2it}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{-1}{2^6}\\left(e^{i6t}+2e^{i4t}-e^{i2t}-4-e^{-i2t}+2e^{-i4t}+e^{-i6t}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{-1}{2^5}\\left(\\cos(6t)+2\\cos(4t)-\\cos(2t)-2\\right).\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn en déduit :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\int_0^{\\pi/2}\\cos^4t\\sin^2tdt&=&\\frac{-1}{2^5}\\int_0^{\\pi/2}\\big(\\cos (6t)+2\\cos (4t)-\\cos (2t)-2\\big)dt\\\\\n\n&=&\\frac{\\pi}{32}.\n\n\\end{eqnarray*}\n"
    },
    {
        "question": " 36  - Sommes trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\in\\mathbb N^*$ et $x,y\\in\\mathbb R$. Calculer les sommes suivantes :\n\n\n $\\dis \\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k}\\cos(x+ky)$;\n\n $\\displaystyle S=\\sum_{k=0}^n \\frac{\\cos(kx)}{(\\cos x)^k}\\textrm{ et }T=\\sum_{k=0}^n \\frac{\\sin(kx)}{(\\cos x)^k},$\n\navec $x\\neq\\frac{\\pi}2+k\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$;\n\n $\\displaystyle D_n=\\sum_{k=-n}^n e^{ikx}$ et $\\displaystyle K_n=\\sum_{k=0}^n D_k$, avec $x\\neq 0+2k\\pi$, $k\\in\\mathbb Z$.\n\n",
        "answer": "  \n On a :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k}\\cos(x+ky)&=&\\Re\\left(\\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k} e^{ix}e^{iky}\\right)\\\\\n\n&=&\\Re e\\left(e^{ix}\\sum_{k=0}^n\\binom{n}{k} \\left(e^{iy}\\right)^k1^{n-k}\\right)\\\\\n\n&=&\\Re e\\left(e^{ix}(1+e^{iy})^n\\right)\\\\\n\n&=&\\Re e\\left(e^{ix}e^{iny/2}(e^{-iy/2}+e^{iy/2})^n\\right)\\\\\n\n&=&\\Re e\\left(e^{i(x+ny/2)}(2\\cos(y/2))^n\\right)\\\\\n\n&=&2^n\\cos(x+ny/2)\\cos^n(y/2).\n\n\\end{eqnarray*}\n\n On utilise $S+iT$ qui se calcule comme une somme géométrique :\n\n$$S+iT=\\sum_{k=0}^n \\frac{e^{ikx}}{(\\cos x)^k}=\\sum_{k=0}^n \\left(\\frac{e^{ix}}{\\cos x}\\right)^k.$$\n\nOn distingue deux cas :\n\n\n Si $x=0\\ [\\pi]$, alors $\\frac{e^{ix}}{\\cos x}=1$, et $S+iT=n+1$. On en déduit $S=n+1$ et $T=0$.\n\n Si $x\\neq 0\\ [\\pi]$, alors \n\n\\begin{eqnarray*}\n\nS+iT&=&\\frac{1-\\left(\\frac{e^{ix}}{\\cos x}\\right)^{n+1}}{1-\\frac{e^{ix}}{\\cos x}}\\\\\n\n&=&\\frac{1}{(\\cos x)^n}\\times\\frac{(\\cos x)^{n+1}-e^{ix(n+1)}}{\\cos x-e^{ix}}\\\\\n\n&=&\\frac{1}{(\\cos x)^n}\\times\\frac{\\cos^{n+1}(x)-\\cos\\big((n+1)x\\big)-i\\sin\\big((n+1)x\\big)}{-i\\sin(x)}\\\\\n\n&=&\\frac{\\sin\\big((n+1)x\\big)}{\\cos^n(x)\\sin(x)}+i\\frac{\\cos^{n+1}(x)-\\cos\\big((n+1)x\\big)}{\\cos^nx\\sin x}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\nOn en déduit \n\n$$S=\\frac{\\sin\\big((n+1)x\\big)}{\\cos^n(x)\\sin(x)}\\textrm{ et }T=\\frac{\\cos^{n+1}(x)-\\cos\\big((n+1)x\\big)}{\\cos^nx\\sin x}.$$\n\n\n $D_n$ est une somme géométrique, de premier terme $e^{-inx}$ et de raison $e^{ix}\\neq 1$. On obtient donc\n\n$$D_n=\\frac{e^{-inx}-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\\frac{e^{ix/2}}{e^{ix/2}}\\times\\frac{e^{-i(n+1/2)x}-e^{i(n+1/2)x}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}.$$\n\nOn en déduit que \n\n$$D_n=\\frac{\\sin\\left(\\left(n+\\frac12\\right)x\\right)}{\\sin (x/2)}.$$\n\nPour calculer $K_n$, une méthode (légèrement différente de celle de la question précédente) est d'écrire que\n\n$\\sin\\left(\\left(n+\\frac12\\right)x\\right)=\\Im m\\left(e^{i(n+1/2)x}\\right)$, puis d'utiliser une somme géométrique. On a en effet :\n\n\\begin{eqnarray*}\n\nK_n&=&\\frac{1}{\\sin(x/2)}\\Im m\\left(\\sum_{k=0}^n e^{i(k+1/2)x}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{1}{\\sin(x/2)}\\Im m \\left(e^{ix/2}\\sum_{k=0}^n e^{ikx}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{1}{\\sin(x/2)}\\Im m \\left(e^{ix/2}\\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac1{\\sin(x/2)}\\Im m\\left(e^{ix/2}\\frac{e^{i(n+1)x/2}\\sin((n+1)x/2)}{e^{ix/2}\\sin(x/2)}\\right)\\\\\n\n&=&\\frac{\\sin^2\\big((n+1)x/2\\big)}{\\sin^2(x/2)}.\n\n\\end{eqnarray*}\n\n\n"
    },
    {
        "question": " 37  - Somme de modules [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé Soit $n\\in\\mathbb N^*$; on note $\\mathbb U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer $\\sum_{z\\in \\mathbb U_n}|z-1|$.",
        "answer": "  Soit $k\\in\\{0,\\dots,n-1\\}$ et soit $\\omega_k=e^{2ik\\pi/n}$. Alors \n\n$$|\\omega_k-1|=|e^{i2k\\pi/n}-e^{i0}|=2|\\sin(k\\pi/n)|$$\n\nen factorisant par l'angle moitié. De plus, pour $k\\in\\{0,\\dots,n-1\\}$, $k\\pi/n\\in[0,\\pi]$ et le sinus est positif. On en déduit\n\n\\begin{eqnarray*}\n\n\\sum_{z\\in\\mathbb U_n}|z-1|&=&2\\sum_{k=0}^{n-1}\\sin(k\\pi/n)\\\\\n\n&=&2\\Im m\\left(\\sum_{k=0}^{n-1}e^{ik\\pi/n}\\right)\\\\\n\n&=&4\\Im m\\left(\\frac 1{1-e^{i\\pi/n}}\\right)\\\\\n\n&=&4\\Im m\\left(\\frac 1{-2i\\sin(\\pi/2n)e^{i\\pi/2n}}\\right)\\\\\n\n&=&2\\Im m\\left(\\frac{ie^{-i\\pi/2n}}{\\sin(\\pi/2n)}\\right)\\\\\n\n&=&2\\frac{\\cos(\\pi/2n)}{\\sin(\\pi/2n)}.\n\n\\end{eqnarray*}\n"
    },
    {
        "question": " 38  - Calcul d'un cosinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé A partir de la somme des racines $5-$ièmes de l'unité, calculer $\\cos(2\\pi/5)$.",
        "answer": "  La somme des racines $5-$ièmes de l'unité est nulle. On a donc\n\n$$1+e^{2i\\pi/5}+e^{i4\\pi/5}+e^{i6\\pi/5}+e^{i8\\pi/5}=0.$$\n\nOr, \n\n$$e^{i8\\pi/5}=e^{-2i\\pi/5}\\textrm{ et }e^{6i\\pi/5}=e^{-4i\\pi/5}.$$\n\nUtilisant les formules d'Euler, on en déduit que \n\n$$1+2\\cos(2\\pi/5)+2\\cos(4\\pi/5)=0.$$\n\nOr, \n\n$$\\cos(4\\pi/5)=2\\cos^2(2\\pi/5)-1,$$\n\nce qui donne\n\n$$4\\cos^2(2\\pi/5)+2\\cos(2\\pi/5)-1=0.$$\n\n$\\cos(2\\pi/5)$ est donc une racine de l'équation $4X^2+2X-1=0$. Le discriminant de ce polynôme du second degré\n\nest $\\Delta=20$, et ses racines sont \n\n$$x_1=\\frac{-1-\\sqrt 5}4\\textrm{ et }x_2=\\frac{-1+\\sqrt 5}4.$$\n\nPuisque $\\cos(2\\pi/5)>0$, on en déduit que \n\n$$\\cos(2\\pi/5)=\\frac{-1+\\sqrt 5}4.$"
    }
]