Aproximación del transporte de contaminantes en aguas someras mediante elementos finitos de alto orden
Authors:   , Villota Cadena Ángel Patricio 
Published: July 2023

The objective of the doctoral thesis is to perform the numerical approximation of the transient convection-diffusion-reaction (CDR) vector equation in 2D with high order finite elements, quadratic, cubic and fourth order, using stabilized finite element methods of the type VMS (Variational Multi-Scale) such as ASGS and OSS, testeds in recent years to solve the transient vector equation of CDR when there is the phenomenon of dominant convection or reaction and aggravated by the nonlinearity of either the convective term or the term reaction.

The standard Galerkin finite element method applied to the CDR transient scalar equation presents instabilities in the solution when the convective and reaction terms are dominant versus the diffusive term. We solve this difficulty by two finite element methods based on subscales, these are the known methods called ASGS (Algebraic Sub-Grid Scale) and OSS (Orthogonal Subscale Stabilization), which basically consist of decomposing the unknown continuous scalar variable into two components, one than is resolved in the finite element space and the other that cannot be captured by the finite element mesh and therefore belongs to another function space that we call subscale space. It is precisely the choice of the subscale space that imposes the difference between the ASGS and OSS methods.

We will experiment with the stabilization parameter suggested in the literature for linear elements, making an extension of the same parameter to take into account the interpolation order to deal with high order finite elements. Likewise, in the calculation of the subscale with fourth order triangular elements for the OSS method, we have proposed the modification of the standard triangular element in order to have a closed integration rule with the integration points in the nodes. As for temporal and spatial discretization, we first discretize in time, and then for each instant of time we make the spatial approximation and stabilization including the temporal derivative in said stabilization.

We also present the approximation and stabilization of the transient vector equation of CDR for solving problems with more than one variable. As in the scalar case, the standard Galerkin method presents instabilities when the diffusive term is small in relation to the convective and reaction terms, and that in some problems it may be aggravated by the nonlinearity of these terms. The considering equal interpolation for all the variables, the design of the diagonal matrix of stabilization parameters, the determination of the space of the subscales, the inclusion of the time derivatives in the stabilization and the treatment of nonlinearity are aspects to be considered in the ASGS and OSS formulations.

To confirm the robustness of the analyzed high-order finite element methods, several mesh convergence tests have been performed with known analytical solutions, as well as boundary layer tests for the CDR transient scalar equation, examples of the approximation of the motion of a fluid in shallow water, such as the flow through an elliptical obstacle and the flow of a dam rupture, the transport of a pollutant in a square cavity, the distribution of the transport of a pollutant in the Gulf of Creus and in the mouth of the Guadalquivir river, and the distribution of population density in the predator-prey model. These are some examples that confirm the robustness of the stabilized formulations presented with high order finite elements to solve of the general transient convection-diffusion-reaction vector equation including non-linearity in terms of convection or reaction.
El objetivo de la tesis doctoral es realizar la aproximación numérica de la ecuación vectorial transitoria de convección-difusión-reacción (CDR) en 2D con elementos finitos de alto orden, cuadráticos, cúbicos y de cuarto orden, mediante métodos de elementos finitos estabilizados del tipo VMS (Variational Multi-Scale) como el ASGS y OSS, probados en los últimos años para resolver la ecuación vectorial transitoria de CDR cuando existe el fenómeno de convección o reacción dominantes y agravado por la no linealidad sea del término convectivo o del término de reacción. El método estándar de elementos finitos de Galerkin aplicado a la ecuación escalar transitoria de CDR presenta inestabilidades en la solución cuando los términos convectivo y de reacción son dominantes frente al término difusivo. Esta dificultad la resolvemos por dos métodos de elementos finitos basados en subescalas, estos son los conocidos métodos llamados ASGS (Algebraic Sub-Grid Scale) y OSS (Orthogonal Subscale Stabilization), que fundamentalmente consisten en descomponer la variable escalar continua desconocida en dos componentes, una que es resuelta en el espacio de los elementos finitos y otra que no puede ser capturada por la malla de elementos finitos y por lo tanto pertenece a otro espacio de funciones que lo llamamos espacio de subescalas. Precisamente, la elección del espacio de subescalas es el que impone la diferencia entre los métodos ASGS y OSS. Experimentaremos con el parámetro de estabilización sugerido en la literatura para elementos lineales, realizando una ampliación del mismo parámetro para tomar en cuenta el orden de interpolación para tratar con elementos finitos de alto orden. Igualmente, en el cálculo de la subescala con elementos triangulares de cuarto orden para el método OSS hemos propuesto la modificación del elemento triangular estándar con el fin de tener una regla de integración cerrada con los puntos de integración en los nodos. En cuanto a la discretización temporal y espacial, primero discretizamos en el tiempo, y luego para cada instante de tiempo hacemos la aproximación y estabilización espacial incluyendo en dicha estabilización la derivada temporal. También presentamos la aproximación y estabilización de la ecuación vectorial transitoria de CDR para la solución de problemas con más de una variable. Igual que en el caso escalar, el método estándar de Galerkin presenta inestabilidades cuando el término difusivo es pequeño en relación con los términos convectivo y de reacción, y que en algunos problemas puede estar agravado por la no linealidad de dichos términos. El considerar igual interpolación para todas las variables, el diseño de la matriz diagonal de parámetros de estabilización, la determinación del espacio de las subescalas, la inclusión de las derivadas temporales en la estabilización y el tratamiento de la no linealidad son aspectos a considerarse en las formulaciones ASGS y OSS. Para confirmar la robustez de los métodos con elementos finitos de alto orden analizados, se han realizado varias pruebas de convergencia en malla con soluciones analíticas conocidas, así como pruebas de capas límite para la ecuación escalar transitoria de CDR, ejemplos de la aproximación del movimiento de un fluido en aguas poco profundas, como el flujo a través de un obstáculo elíptico y el flujo de la rotura de una presa, el transporte de un contaminante en una cavidad cuadrada, la distribución del transporte de un contaminante en el golfo de Creus y en la desembocadura del río Guadalquivir, y la distribución de la densidad de población en el modelo depredador-presa. Son algunos ejemplos que confirman la robustez de las formulaciones estabilizadas presentadas con elementos finitos de alto orden para resolver la ecuación general convección-difusión-reacción vectorial transitoria incluyendo no linealidad en los términos de convección o de reacción.