Numerical modeling of the underwater acoustic impact of offshore stations
Authors:   , Hospital Bravo Raúl 
Published: July 2023

The design of offshore power stations (for wind, wave or tidal energy generation) requires assessing their environmental impact. In particular, it is of the major importance to predict the impact of the generated subsea noise on the marine fauna, especially sea mammals and fishes. Here, the noise propagation is modelled with the Helmholtz equation and numerically solved using a Partition of Unity Method (PUM). The aim is simulating the underwater sound propagation of multiple non-impulsive sources. The output of the simulations consists of spatial distributions of the sound pressure level.

The mathematical model at hand considers the most relevant aspects involved in environmental underwater acoustics. Specifically, Helmholtz equation allows accounting for the most important wave phenomena: absorption, interference, reflection, refraction and diffraction. For instance, the acoustic absorption produced by seawater is represented by the imaginary part of the wavenumber. In addition, a non-uniform wavenumber that depends on the salinity, temperature and depth is considered. The model is completed with a set of boundary conditions providing a specific treatment for the reflective properties of the sea bottom and surface. The input noise is also introduced as a boundary condition. Finally, Perfectly Matched Layers (PMLs) are placed at the lateral artificial boundaries of the domain to avoid spurious reflections.

The numerical strategy is based on a PUM enriched with plane waves. The plane wave functions are combined with the classical polynomial shape functions (hat functions, a partition of unity preserving the continuity of the approximation space among elements). The choice of plane waves provides two main advantages. On the one hand, since the enriching functions satisfy the governing equation and include a priori knowledge of the solution, they mitigate the pollution error that is intrinsic to the solutions obtained with standard polynomial approximations. On the other hand, they allow using coarser meshes with a larger element size. This leads to a drastic reduction in the number of degrees of freedom. Therefore, the method is well suited for solving the Helmholtz equation in large domains (from hundreds of meters to kilometers) compared to the characteristic wavelength (from centimeters to meters).

However, since the plane waves are described by complex exponential functions, the computation of the elemental matrices entails the integral of highly-oscillatory functions. This increases the requirements involved in the integration step and makes the standard Gauss-Legendre rules lose their competitiveness. In the 2D version of the tool, we overcome this drawback by implementing an existing semi-analytical rule. In the 3D version, we develop a novel efficient rule to integrate highly oscillatory functions over tetrahedra. The integrand is expressed as the product of a non-oscillatory part and a complex exponential function. The rule is designed to be exact, except round-off errors, for integrals with a polynomial non-oscillatory part, which is the case of the Helmholtz equation solved with the PUM enriched with plane waves.

To conclude, we present several examples that assess and illustrate the capabilities of the tool, including sea water absorption, homogeneous or heterogeneous media, seabeds with non-uniform transmission coefficient, and single or multiple sources.
El diseño de centrales de producción eléctrica offshore (para la captación de energía eólica, mareomotriz o asociada al oleaje) requiere evaluar su impacto ambiental. En particular, es de suma importancia predecir el impacto del ruido submarino generado sobre la fauna marina, especialmente sobre los mamíferos marinos y especies de peces. En este trabajo la propagación del ruido se modela mediante la ecuación de Helmholtz, y se resuelve numéricamente usando un método de partición de unidad (Partition of Unity Method, PUM). El objetivo es simular la propagación del sonido submarino proveniente de múltiples fuentes no impulsivas. El resultado de las simulaciones consiste en distribuciones espaciales del nivel de presión sonora. El modelo matemático que nos ocupa considera los aspectos más relevantes relacionados con la acústica ambiental subacuática. Específicamente, la ecuación de Helmholtz permite tener en cuenta los fenómenos ondulatorios más relevantes: absorción, interferencia, reflexión, refracción y difracción. Por ejemplo, la absorción acústica producida por el agua de mar está representada por la parte imaginaria del número de onda. Además, se considera un número de onda no uniforme que depende de la salinidad, temperatura y profundidad. El modelo se completa con un conjunto de condiciones de contorno que proporcionan un tratamiento específico de la reflexión del fondo y la superficie marinos. El ruido de entrada también se introduce como condición de contorno. Finalmente, se disponen "Perfectly Matched Layers" (PML) en los límites artificiales laterales del dominio para evitar reflexiones espurias. La estrategia numérica se basa en un PUM enriquecido con ondas planas. Las funciones de onda planas se combinan con las funciones clásicas de forma polinomial ("hat functions", una partición de unidad que preserva la continuidad del espacio de aproximación entre elementos). La elección de ondas planas ofrece dos ventajas principales. Por un lado, dado que las funciones de enriquecimiento satisfacen la ecuación de gobierno e incluyen conocimiento a priori de la solución, mitigan "polution error" intrínseco a las soluciones obtenidas con aproximaciones polinomiales estándar. Por otro lado, permiten utilizar mallas más gruesas con un tamaño de elemento mayor. Esto conduce a una reducción drástica del número de grados de libertad. Por lo tanto, el método es muy adecuado para resolver la ecuación de Helmholtz en dominios grandes (de cientos de metros a kilómetros) en comparación con la longitud de onda característica (de centímetros a metros). Sin embargo, dado que las ondas planas se describen mediante funciones exponenciales complejas, el cálculo de las matrices elementales implica integrar funciones altamente oscilatorias. Esto incrementa los requisitos involucrados en el paso de integración e implica que las reglas tipo Gauss-Legendre estándar pierdan competitividad. En la versión 2D de la herramienta, superamos este inconveniente implementando una regla semianalítica existente. En la versión 3D, desarrollamos una nueva regla eficiente en la integración de funciones altamente oscilatorias sobre tetraedros. El integrando se expresa como el producto de una parte no oscilatoria y una función exponencial compleja. La regla está diseñada para ser exacta, salvo errores de redondeo, para integrales con parte polinomial no oscilatoria, que es el caso de la ecuación de Helmholtz resuelta con un PUM enriquecido con ondas planas. Para concluir, presentamos varios ejemplos que evalúan e ilustran las capacidades de la herramienta, incluida la absorción producida por agua salina, medios homogéneos o heterogéneos, fondos marinos con coeficiente de transmisión no uniforme, y fuentes únicas o múltiples.