Non-Local Initial-Boundary Value Problem for a Degenerate Fourth-Order Equation with a Fractional Gerasimov-Caputo Derivative
Authors: Уринов А.К. , Усмонов Д.А. 
Published: April 2023

В последнее время интенсивно изучаются начально – граничные задачи в прямоугольной области для дифференциальных уравнений в частных производных как четного, так и нечетного порядка. При этом в качестве объекта исследования, в основном, берется не вырождающееся уравнение или уравнение, вырождающееся на одной стороне четырехугольника. Начально – граничные задачи (как локальные, так и нелокальные) для уравнений с двумя или тремя линиями вырождения остаются неизученными. В данной работе в прямоугольной области рассмотрено уравнение четвёртого порядка, вырождающееся на трех сторонах четырехугольника и содержащее оператор дробного дифференцирования Герасимова –Капуто. Для этого уравнения сформулирована и исследована одна начально – граничная задача с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции и её производных до третьего порядка (включительно), принимаемых на боковых сторонах прямоугольника. Сначала методом интегралов энергии доказана единственность решения поставленной задачи. Затем, исследована спектральная задача, возникающая при применении метода Фурье, основанном на разделении переменных, к поставленной начально – граничной задаче. Построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, откуда следует существование счетного числа собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Доказана теорема разложения заданной функции в равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций. С помощью найденного интегрального уравнения и теоремы Мерсера доказана равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Исследована равномерная сходимость этого ряда и рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.
Recently, initial-boundary problems in a rectangular domain for differential equations in partial derivatives of both even and odd order have been intensively studied. In this case, non-degenerate equations or equations that degenerate on one side of the quadrilateral are taken as the object of study. But initialboundary problems (both local and non-local) for equations with two or three lines of degeneracy remain unexplored. In this paper, in a rectangular domain, a fourth-order equation degene-rating on three sides of the rectangular and contains the Gerasimov-Caputo fractional diffe-rentiation operator has been considered. For this equation, an initial-boundary problem is formulated and investigated, with non-local conditions connecting the values of the desired function and its derivatives up to the third order (inclusive), taken on the sides of the rectangle. From the beginning, the uniqueness of the solution of the formulated problem was proved by the method of energy integrals. Then, the spectral problem that arises when applying the Fourier method based on the separation of variables to the considered initial-boundary problem has been investigated. The Green’s function of the spectral problem was constructed, with the help of which it is equivalently reduced to an integral Fredholm equation of the second kind with a symmetric kernel, which implies the existence of a countable number of eigenvalues and eigenfunctions of the spectral problem. A theorem is proved for expanding a given function into a uniformly convergent series in terms of a system of eigenfunctions. Using the found integral equation and Mercer’s theorem, we prove the uniform convergence of some bilinear series depending on the found eigenfunctions. The order of the Fourier coeffi-cients have been established. The solution of the considered is written as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of the spectral problem. The uniform convergence of this series and the series obtained from it by term-by-term differentiation is studied. An estimate for solution to problem is obtained, from which follows its continuous dependence on the given functions.