Numerical approximation of thin structures using stabilized mixed formulations for infinitesimal and finite strain theories, including fluid-structure interaction problem applications
Authors:   , Aguirre Ruz Alejandro 
Published: January 2025

(English) The theories of thin structures can be classified into two main branches depending upon whether shear deformation in the transverse direction is taken into consideration or not. In this context, theories accounting for shear deformations prove suitable for modeling structures with both thin and thick profiles. In the Finite Element context, they are referred to as C0 theories due to the minimum continuity order of shape functions required to pose a discretized approximation. However, there are space incompatibilities in the standard discrete approximation that exhibits spurious solutions, particularly evident in thin structures. These instabilities, known as numerical locking, result in an artificial stiffening of the structure, whose effect becomes more pronounced for thinner structures. Various forms of numerical locking can be triggered, influenced not only by the slenderness of the structure but also by its shape and the nature of the applied loads. In this context, flat structures are prone to shear locking when exposed to transverse loads. Conversely, curved structures may confront different mechanisms leading to various forms of numerical locking, namely membrane, thickness, and trapezoidal locking.

The initial part of the study aims to develop a specialized framework to address instabilities in the context of flat structures in the context of Reissner-Mindlin theory. Subsequently, the second part of the study aims to expand the framework to effectively address instabilities arising in of curved structures in the context of Solid-Shell elements. The locking problem is approached by means of a mixed formulation that considers displacements and stress as unknowns in a curvilinear coordinate framework. This approach allows to isolate the components of the stress tensor in order to study the mechanisms in which every type of numerical locking are triggered. The third part of the thesis is dedicated to integrating the previous advancements into Finite Strain analysis by the inclusion of standard hyperelastic constitutive behavior. With this approach, the problem becomes even more difficult to solve because of the non-linearity and the large deformations the shell is subject to. Lastly, the fourth and final part is dedicated to addressing the Fluid-Structure Interaction problem using an embedded mesh approach, which has consistently been a topic of great research interest in the literature, because of its complexity and wide variety of applications. This problem introduces a variety of challenges that have to be properly addressed: the discontinuous pressure field arising for the structure separating the fluid domain, the computation and imposition of transmission conditions between domains, the coupling strategy, and the algorithmic work needed to join all of these ingredients together.

This thesis mainly focuses on overcoming challenges associated with thin structures when employing the conventional Galerkin Finite Element approach. It seeks solutions through stabilized methods, specifically within the Variational Multiscale framework. As result, the formulations developed through the investigations have proven to be robust, allowing to model locking-free thin structures efficiently, and to accurately describe the physics of thin shells immersed in fluid flows and being subject to large deformations.
(Català) Les teories de les estructures primes poden classificar-se en dues branques principals depenent de si es té en compte o no la deformació per tall en la direcció transversal. En aquest context, les teories que tenen en compte les deformacions per tall resulten adequades per modelar estructures amb perfils tant primes com gruixuts. En el context del Mètode dels Elements Finitos, se les denomina teories C0 a causa de l'ordre mínim de continuïtat de les funcions de forma requerit per plantejar una aproximació discretitzada. Tanmateix, hi ha incompatibilitats espacials en l'aproximació discreta estàndard que exhibeixen solucions espúries, especialment evidents en estructures primes. Aquestes inestabilitats, conegudes com a bloqueig numèric, resulten en un endureixement artificial de l'estructura, el seu efecte es fa més pronunciat per a estructures més primes. Es poden desencadenar diverses formes de bloqueig numèric, influïdes no només per l'esveltesa de l'estructura, sinó també per la seva forma i la naturalesa de les càrregues aplicades. En aquest context, les estructures planes són propenses al bloqueig per tall quan estan exposades a càrregues transversals. Per contra, les estructures corbades poden enfrontar-se a diferents mecanismes que condueixen a diverses formes de bloqueig numèric, a saber, bloqueig de membrana, de gruix i trapezoidal.

La part inicial de l'estudi té com a objectiu desenvolupar un marc especialitzat per abordar les inestabilitats en el context d'estructures planes en la teoria de Reissner-Mindlin. Posteriorment, la segona part de l'estudi té com a objectiu ampliar el marc per abordar eficaçment les inestabilitats que sorgeixen en estructures corbades en el context d'elements Solid-Shell. El problema de bloqueig s'aborda mitjançant una formulació mixta que considera desplaçaments i tensions com a incògnites en un marc de coordenades corvilínies. Aquest enfocament permet aïllar els components del tensor de tensions per estudiar els mecanismes en què es desencadenen cada tipus de bloqueig numèric. La tercera part de la tesi està dedicada a integrar els avenços anteriors en l'anàlisi de deformacions finites mitjançant la inclusió d'un comportament constitutiu hiperelàstic estàndard. Amb aquest enfocament, el problema esdevé encara més difícil de resoldre a causa de la no linealitat i les grans deformacions a les quals està sotmesa la closca. Finalment, la quarta i darrera part està dedicada a abordar el problema d'Interacció
Fluid-Estructura utilitzant un enfocament de malla incrustada, que ha estat constantment un tema de gran interès en la literatura a causa de la seva complexitat i àmplia varietat d'aplicacions. Aquest problema introdueix una varietat de reptes que han de ser abordats adequadament: el camp de pressió discontinu que sorgeix per a l'estructura separant el domini del fluid, el càlcul i la imposició de condicions de transmissió entre dominis, l'estratègia d'acoblament i el treball algorítmic necessari per unir tots aquests ingredients.

Aquesta tesi es centra principalment a superar els reptes associats amb estructures primes quan s'emplea l'enfocament convencional d'Elements Finitos de Galerkin. Cerca solucions a través de mètodes estabilitzats, específicament dins del marc Variacional Multiescala. Com a resultat, les formulacions desenvolupades a través de les investigacions han demostrat ser robustes, el que permet modelar eficientment estructures primes sense bloqueig i descriure amb precisió la física de les làmines primes immerses en fluxos de fluids i sotmeses a grans deformacions.
(Español) Las teorías de estructuras delgadas pueden clasificarse en dos ramas principales dependiendo de si se tiene en cuenta o no la deformación por corte en la dirección transversal. Las teorías que tienen en cuenta las deformaciones por corte son adecuadas para modelar estructuras con perfiles tanto delgados como gruesos. En el contexto del Método de Elementos Finitos, se las denomina teorías C0, debido al orden mínimo de continuidad de las funciones de forma requerido para plantear una aproximación discretizada. Sin embargo, existen incompatibilidades espaciales en la aproximación discreta estándar que exhiben soluciones espurias, especialmente evidentes en estructuras delgadas. Estas inestabilidades, conocidas como bloqueo numérico, resultan en un endurecimiento artificial de la estructura, cuyo efecto se hace más pronunciado a medida que disminuye su espesor. Se pueden desencadenar varias formas de bloqueo numérico, influenciadas no solo por la esbeltez de la estructura, sino también por su forma y la naturaleza de las cargas aplicadas.

La parte inicial del estudio tiene como objetivo desarrollar un marco especializado para abordar las inestabilidades de estructuras planas usando la teoría de placas de Reissner-Mindlin. Posteriormente, la segunda parte del estudio tiene como objetivo expandir el marco para abordar eficazmente las inestabilidades que surgen en estructuras curvas usando elementos de tipo Solid-Shell. El problema de bloqueo se aborda mediante una formulación mixta que considera desplazamientos y tensiones como incógnitas en un marco de coordenadas curvilíneas. Este enfoque permite aislar los componentes del tensor de tensiones para estudiar los mecanismos en los que se desencadenan cada tipo de bloqueo numérico. La tercera parte de la tesis está dedicada a integrar los avances anteriores en el análisis de deformaciones finitas mediante la inclusión de un comportamiento constitutivo hiperelástico estándar. Con este enfoque, el problema se vuelve aún más difícil de resolver debido a la no-linealidad y las grandes deformaciones a las que está sujeta la estructura. Por último, la cuarta y última parte está dedicada a abordar el problema de Interacción Fluido-Estructura utilizando un enfoque de malla embebida, que ha sido consistentemente un tema de gran interés en la literatura debido a su complejidad y amplia variedad de aplicaciones. Este problema introduce una variedad de desafíos que deben abordarse adecuadamente: el campo de presión discontinuo que surge para la estructura separando el dominio del fluido, el cálculo y la imposición de condiciones de transmisión entre dominios, la estrategia de acoplamiento y el trabajo algorítmico necesario para unir todos estos ingredientes.

Esta tesis se centra principalmente en superar los desafíos asociados con estructuras delgadas al emplear método de Elementos Finitos de Galerkin. Busca soluciones a través de métodos estabilizados, específicamente dentro del marco Variacional Multiescala. Como resultado, las formulaciones desarrolladas a través de las investigaciones han demostrado ser robustas, lo que permite modelar eficientemente estructuras delgadas libres de bloqueo y describir con precisión la física de las láminas delgadas inmersas en flujos de fluidos y sujetas a grandes deformaciones.