Multilayer parametric models of processes in a porous catalyst pellet
Authors: Borovskaya Оlga D , Lazovskaya Tatiana V , Skolis Xenia V , Tarkhov Dmitry А , Vasilyev Alexander N 
Published: January 2025

In this paper, we perform a comparative analysis of new methods for constructing approximate solutions of differential equations. As a test problem, we chose the boundary value problem for a substantially nonlinear second-order differential equation. This problem arose when modeling the processes of heat and mass exchange in a flat granule of a porous catalyst. Previously, we solved this problem with the help of artificial neural networks, using it as a model problem for testing methods developed by us. Our generic neural network approach has been applied to this problem both in the case of constant parameters and parameters varying in some intervals. In the case of constant parameters, the result coincided with the data available in the literature on the subject. Models with variable parameters, which are part of the inputs of neural networks, were first built in our works. One of the significant drawbacks of this approach is the high resource intensity of neural network learning process. In this paper, we consider a new approach, which allows doing without the training procedure. Our approach is based on a modification of known numerical methods – on an application of classical formulas of the numerical solution of ordinary differential equations to an argument change interval with a variable upper limit. The result is an approximate mathematical model in the form of a function, and the parameters of the problem are among the arguments of the function. In this paper, we showed that the new methods have significant advantages. We have considered two such methods. One method is based on a neural network modification of the shooting method. The second method differs in that the shooting is conducted on both sides of the gap. The obtained models are characterized by simplicity and a wide range of parameters for which they are suitable. The models we have built can be easily adapted to observations of real objects. The models we have built can be easily adapted to data observations of real objects.
В данной статье мы проводим сравнительный анализ новых методов построения приближённых решений дифференциальных уравнений. В качестве тестовой задачи мы выбрали краевую задачу для существенно нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Данная проблема возникла при моделировании процессов обмена тепла и массы в плоской грануле пористого катализатора. Ранее мы решали эту задачу с помощью искусственных нейронных сетей, используя её как модельную задачу для апробации разработанных нами методов. Наш универсальный нейросетевой подход был применён к данной задаче как в случае постоянных параметров, так и для параметров, изменяющихся в некоторых интервалах. В случае постоянных параметров результат совпал с данными, имеющимися в литературе по данной тематике. Модели с переменными параметрами, являющимися частью входов нейронных сетей, были впервые построены в наших работах. Одним из существенных недостатков такого подхода является большая ресурсоёмкость процесса обучения нейронных сетей. В данной работе рассматривается разработанный нами новый подход, позволяющий обойтись без процедуры обучения. Наш подход основан на модификации известных численных методов – на применении классических формул численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений к интервалу изменения аргумента с переменным верхним пределом. В результате получается приближённая математическая модель в виде функции, причём параметры задачи входят в число аргументов функции. В данной статье мы показали, что новые методы имеют существенные преимущества. Мы рассмотрели два таких метода. Один метод основан на нейросетевой модификации метода пристрелки. Второй метод отличается тем, что пристрелка ведётся с двух сторон промежутка. Для полученных моделей характерны простота и широкая область изменения параметров, для которых они пригодны. Построенные нами модели могут быть легко адаптированы под данные наблюдений за реальными объектами.