Computational multiscale modeling of fracture and its model order reduction
Authors:   , Caicedo Silva Manuel Alejandro 
Published: July 2023

This thesis focuses on the numerical modeling of fracture and its propagation in heterogeneous materials by means of hierarchical multiscale models based on the FE2 method, addressing at the same time, the problem of the excessive computational cost through the development, implementation and validation of a set of computational tools based on reduced order modeling techniques.

For fracture problems, a novel multiscale model for propagating fracture has been developed, implemented and validated. This multiscale model is characterized by the following features:

- At the macroscale level, were adapted the last advances of the Continuum Strong Discontinuity Approach (CSDA), developed for monoscale models, devising a new finite element exhibiting good ability to capture and model strain localization in bands which can be intersect the finite element in random directions; for failure propagation purposes, the adapted Crack-path field technique (oliver/2014), was used.

- At the microscale level, for the sake of simplicity, and thinking on the development of the reduced order model, the use of cohesive-band elements, endowed with a regularized isotropic continuum damage model aiming at representing the material decohesion, is proposed. These cohesive-band elements are distributed within the microscale components, and their boundaries.

The objectivity of the solution with respect to the failure cell size at the microscale, and the finite element size at the macroscale, was checked. In the same way, its consistency with respect to Direct Numerical Simulations (DNS), was also tested and verified.

For model order reduction purposes, the microscale Boundary Value Problem (VBP), is rephrased using Model Order Reduction techniques. The use of two subsequent reduction techniques, known as: Reduced Order Model (ROM) and HyPer Reduced Order Model (HPROM or HROM), respectively, is proposed.

First, the standard microscale finite element model High Fidelity (HF), is projected and solved in a low-dimensional space via Proper Orthogonal Decomposition (POD). Second, two techniques have been developed and studied for multiscale models, namely: a) interpolation methods, and b) Reduced Order Cubature (ROQ) methods (An/2009). The reduced bases for the projection of the primal variables, are computed by means of a judiciously training, defining a set of pre-defined training trajectories.

For the model order reduction in fracture problems, the developed multiscale formulation in this Thesis was proposed as point of departure. As in hardening problems, the use of two successive reduced order techniques was preserved.

Taking into account the discontinuous pattern of the strain field in problems exhibiting softening behavior. A domain separation strategy, is proposed. A cohesive domain, which contains the cohesive elements, and the regular domain, composed by the remaining set of finite elements. Each domain has an individual treatment. The microscale Boundary Value Problem (BVP) is rephrased as a saddle-point problem which minimizes the potential of free-energy, subjected to constraints fulfilling the basic hypotheses of multiscale models.

For the validation of the reduced order models, multiple test have been performed, changing the size of the set of reduced basis functions for both reductions, showing that convergence to the high fidelity model is achieved when the size of reduced basis functions and the set of integration points, are increased. In the same way, it can be concluded that, for admissible errors (lower than 5\%), the reduced order model is 110 times faster than the high fidelity model, considerably higher than the speedups reported by the literature.
Esta Tesis se enfoca en el modelamiento numérico de la fractura y su propagación en materiales heterogéneos sujetos a degradación, mediante modelos multiescala jerárquicos basados en la técnica FE2, abordando a su vez la problemática del coste computacional excesivo mediante el desarrollo, la implementación y validación de un conjunto de herramientas computacionales basadas en técnicas de modelos reducidos.
Para la modelización de problemas de fractura, se desarrolló, implementó y validó, un modelo multiescala de fallo con las siguientes características:
• En la macroescala, se adaptaron los últimos avances de la Aproximación de Discontinuidades Fuertes del Continuo (CSDA), hasta el momento desarrollados para modelos monoescala. Se formula un nuevo elemento finito con alta capacidad de capturar y modelar localización de deformaciones en bandas que pueden interceptar al elemento finito en direcciones arbitrarias. Para evaluar la dirección de propagación de falla se utiliza la técnica del crack-path field (Oliver et al., 2014).
• En la microescala, en aras de usar mecanismos de fallo que sean simples de implementar y calcular, y de cara al posterior desarrollo de una formulación de modelos reducidos, se propone el uso de elementos cohesivos tipo banda, equipados con un modelo constitutivo de daño isótropo regularizado, capaz de representar la decohesión del material. Estos elementos cohesivos son distribuidos entre los diferentes componentes de la microestructura, y en sus fronteras, cumpliendo a su vez el papel de elementos de interfase.
Se verificó la objetividad de los resultados del modelo con respecto al tamaño de la celda de fallo, y al tamaño del elemento finito de la macroestructura. De igual forma, también se verificó la consistencia del modelo multiescala por medio de la comparación de resultados obtenidos con el mismo, y soluciones obtenidas mediante Simulaciones Numéricas Directas (DNS).
En cuanto a la reducción del coste computacional en los modelos multiescala jerárquicos del tipo FE2. Se propone reformular el problema de valores de contorno de la microescala, mediante el uso de dos técnicas sucesivas de reducción, definidas como Modelo de Orden Reducido MOR y Modelo de Orden Hiper-reducido (HROM ó HPROM), respectivamente.
En primer lugar, para el Modelo de Orden Reducido, el problema de elementos finitos estándar (de alta fidelidad) de la microestructura, es proyectado y resuelto en un subespacio de menor dimensión mediante el método de la Descomposición Ortogonal Propia (POD). En segundo lugar, para el desarrollo del Modelo de Orden Hiper-reducido, dos técnicas han sido estudiadas y desarrolladas, a saber: los métodos de interpolación y los métodos de Cuadratura de Orden Reducido ROQ (An et al., 2009). Las bases reducidas para la proyección de las variables primales, son calculadas por medio de la Descomposición en Valores Singulares SVD de snapshots captados de trayectorias de entrenamiento previamente definidas.
Para modelar problemas de materiales heterogéneos caracterizados por relaciones constitutivas que poseen endurecimiento material, las fluctuaciones de desplazamiento y las tensiones de la microestructura fueron seleccionadas como variables primales para la primera y segunda reducción, respectivamente. En este caso, la segunda reducción se realizó por medio de la interpolación del campo de tensiones. Sin embargo, se puede observar que el operador de proyección de las tensiones, al ser calculado a partir de la selección de snapshots de pasos numéricamente convergidos, produce un mal condicionamiento del problema. Este mal condicionamiento es estudiado en profundidad y es corregido para dar lugar a una solución robusta y consistente.
Para la reducción en modelos de fractura, se propuso como punto de partida la formulación multiescala de fallo desarrollada en esta Tesis. Al igual que en la modelización de problemas de materiales que poseen endurecimiento material, se preserva el esquema de dos reducciones sucesivas. Teniendo en cuenta el carácter discontinuo de las deformaciones en la microescala en problemas de fractura. Se propone la descomposición de la celda de fallo en dos partes, un dominio cohesivo que contiene la totalidad de bandas cohesivas, y un dominio regular compuesto por el dominio disjunto remanente de la microcelda. Cada uno de estos dominios tiene un tratamiento individual.
El modelo de la microescala, es reformulado como un problema de punto de silla en el cual se busca minimizar el potencial de energía libre, sujeto a restricciones para que cumpla los postulados básicos de la modelización multiescala. En una primera reducción, se propone como variable primal el campo de deformaciones fluctuantes, que por medio del método de la Descomposición Ortogonal Propia (POD), se proyecta y resuelve el problema en un espacio de dimensión reducida. La segunda reducción se basa en integrar los términos que resultan del problema variacional de equilibrio mediante una Cuadratura de Orden Reducido (ROQ), conformada por un conjunto de puntos de integración, considerablemente inferior con respecto a la cantidad de puntos de integración requeridos por la cuadratura de Gauss convencional en el modelo de alta fidelidad.
Esta metodología de hiperreducción mediante cuadraturas de orden reducido(ROQ), provó ser considerablemente más eficiente y robusta que los métodos de interpolación, siendo además, aplicable a problemas multiescala con endurecimiento.
Para la validar los modelos reducidos desarrollados en esta Tesis, se realizaron múltiples pruebas variando la cantidad de bases para ambas reducciones, observando la convergencia del modelo reducido con respecto a la respuesta del modelo de alta fidelidad, incrementando la cantidad de modos y puntos de integración. Igualmente se puede concluir que, para errores admisibles (inferiores al 5%), las aceleraciones del costo computacional involucrado respecto al tiempo requerido por el modelo de alta fidelidad (speed-up) son del orden de 110 veces. Lo que constituye aceleraciones considerablemente superiores a lo reportado por la literatura.