Shock capturing for discontinuous galerkin methods
Authors:   , Casoni Rero Eva 
Published: October 2023

Aquesta tesi doctoral proposa formulacions de Galerkin Discontinu (DG) d’alt ordre per la captura de shocks, obtenint alhora
solucions altament precises per problemes de flux compressible.
En les últimes dècades, la investigació en els mètodes de DG ha estat en constant creixement. L'èxit dels mètodes DG en
problemes hiperbòlics ha conduit el seu desenvolupament en lleis de conservació no lineals i problemes de convecció dominant.
Entre els avantatges dels mètodes DG, destaquen la seva estabilitat inherent i les propietats locals de conservació. D'altra banda,
els mètodes DG estan especialment dissenyats per l’ús aproximacions d'ordre superior. De fet, en els últims anys s'ha demostrat
que la resolució de problemes de convecció dominant ja no es restringeix només a elements d'ordre inferior. De fet, es necessiten
models numèrics d'alta precisió per aconseguir prediccions altament fiables dins la dinàmica de fluids computacional (CFD). En
aquest context es presenten i discuteixen dos tècniques de captura de shocks.
En primer lloc, es presenta una tècnica novedosa i senzilla basada en la introducció d'una nova base de funcions de forma. Aquesta
base té la capacitat de canviar a nivell local entre una interpolació contínua o discontínua, depenent de la suavitat de la funció que
es vol aproximar. En presència de xocs, les discontinuïtats introduïdes dins l’element permeten incloure l'estabilització necessària
gràcies a l’ús dels fluxos numèrics, i alhora exploten les propietats intrínsiques del mètodes DG. En conseqüència, es poden utilitzar
malles grolleres amb elements d’ordre superior. Amb aquestes discretitzacions i, utilitzant el mètode proposats, els xocs queden
continguts a l’interior de l’element i per tant, és possible evitar l’ús de tècniques de refinament adaptatiu de la malla, alhora que es
manté la localitat i compacitat dels esquemes DG.
En segon lloc, es proposa una tècnica clàssica i, aparentment simple: la introducció de la viscositat artificial. Primerament es realitza
un estudi detallat per al cas unidimensional. S’obté una viscositat d’alta precisió que escala segons el valor hk amb 1 ≤ k ≤ p i essent
h la mida de l’element. En conseqüència, s’obté un xoc amb amplitud del mateix ordre. Seguidament, l'estudi de la viscositat
unidimensional obtenida s'extén al cas multidimensional per a malles triangulars. L'extensió es basa en la projecció de la viscositat
unidimensional en unes determinades direccions espacials dins l’element. Es demostra de manera consistent que la viscositat
introduïda és, com a molt, del mateix ordre que la resolució donada per la discretització espacial, és a dir, h/p. El mètode és
especialment eficient per aproximacions de Galerkin discontinu d’alt ordre, per exemple p≥ 3.
Les dues metodologies es validen mitjançant una àmplia selecció d’exemples numèrics. En alguns exemples, els mètodes
proposats permeten una reducció en el nombre de graus de llibertat necessaris per capturar xocs acuradament de fins i tot un ordre
de magnitud, en comparació amb mètodes estàndar de refinament adaptatiu amb aproximacions de baix ordre.
This thesis proposes shock-capturing methods for high-order Discontinuous Galerkin (DG) formulations providing highly accurate
solutions for compressible flows.
In the last decades, research in DG methods has been very active. The success of DG in hyperbolic problems has driven many
studies for nonlinear conservation laws and convection-dominated problems. Among all the advantages of DG, their inherent stability
and local conservation properties are relevant. Moreover, DG methods are naturally suited for high-order approximations. Actually, in
recent years it has been shown that convection-dominated problems are no longer restricted to low-order elements. In fact, highly
accurate numerical models for High-Fidelity predictions in CFD are necessary. Under this rationale, two shock-capturing techniques
are presented and discussed.
First, a novel and simple technique based on on the introduction of a new basis of shape functions is presented. It has the ability to
change locally between a continuous or discontinuous interpolation depending on the smoothness of the approximated function. In
the presence of shocks, the new discontinuities inside an element introduce the required stabilization thanks to the numerical fluxes,
thus exploiting DG inherent properties. Large high-order elements can therefore be used and shocks are captured within a single
element, avoiding adaptive mesh refinement and preserving the locality and compactness of the DG scheme.
Second, a classical and, apparently simple, technique is advocated: the introduction of artificial viscosity. First, a one-dimensional
study is perfomed. Viscosity of the order O(hk) with 1≤ k≤ p is obtained, hence inducing a shock width of the same order. Second, the
study extends the accurate one-dimensional viscosity to triangular multidimensional meshes. The extension is based on the
projection of the one-dimensional viscosity into some characteristic spatial directions within the elements. It is consistently shown
that the introduced viscosity scales, at most, withthe DG resolutions length scales, h/p. The method is especially reliable for highorder
DG approximations, say p≥3.
A wide range of different numerical tests validate both methodologies. In some examples the proposed methods allow to reduce by
an order of magnitude the number of degrees of freedom necessary to accurately capture the shocks, compared to standard low
order h-adaptive approaches.