Random combinatorial structures with low dependencies : existence and enumeration
Authors:   , Perarnau Llobet Guillem 
Published: October 2023

En aquesta tesi s'estudien diferents problemes en el camp de la combinatòria i la teoria de grafs, utilitzant el mètode probabilístic. Aquesta tècnica, introduïda per Erdős , ha esdevingut una eina molt potent per tal de donar proves existencials per certs problemes en diferents camps de les matemàtiques on altres mètodes no ho han aconseguit.
Un dels seus principals objectius és l'estudi del comportament de les variables aleatòries. El cas en que aquestes variables compten el nombre d'esdeveniments dolents que tenen lloc en una estructura combinatòria és de particular interès. La idea del Paradigma de Poisson és estimar la probabilitat que tots aquests esdeveniments dolents no succeeixin a la vegada, quan les dependències entre ells són febles o escasses. En tal cas, aquesta probabilitat s'hauria de comportar de forma similar al cas on tots els esdeveniments són independents. El Lema Local de Lovász o la Desigualtat de Suen són exemples d'aquesta idea.
L'objectiu de la tesi és estudiar aquestes tècniques ja sigui proveint-ne noves versions, refinant-ne les existents per casos particulars o donant-ne noves aplicacions. A continuació s'enumeren les principals contribucions de la tesi.
La primera part d'aquesta tesi estén un resultat d' Erdős i Spencer sobre transversals llatins. Els autors proven que qualsevol matriu d'enters on cap nombre apareix massa vegades, admet un transversal on tots els nombres són diferents. Això equival a estudiar els aparellaments multicolors en aresta-coloracions de grafs complets bipartits. Sota les mateixes hipòtesis que, es donen resultats sobre el nombre d'aquests aparellaments. Les tècniques que s'utilitzen estan basades en l'estratègia desenvolupada per Lu i Székely.
En la segona part d'aquesta tesi s'estudien els codis identificadors. Un codi identificador és un conjunt de vèrtexs tal que tots els vèrtexs del graf tenen un veïnatge diferent en el codi. Aquí s'estableixen cotes en la mida d'un codi identificador mínim en funció dels graus i es resol parcialment una conjectura de Foucaud et al.. En un altre capítol, es mostra que qualsevol graf suficientment dens conté un subgraf que admet un codi identificador òptim.
En alguns casos, provar l'existència d'un cert objecte és trivial. Tot i així, es poden utilitzar les mateixes tècniques per obtenir resultats d'enumeració. L'estudi de patrons en permutacions n'és un bon exemple. A la tercera part de la tesi es desenvolupa una nova tècnica per tal d'estimar el nombre de permutacions d'una certa llargada que eviten còpies consecutives d'un patró donat.
En particular, es donen cotes inferiors i superiors per a aquest nombre. Una de les conseqüències és la prova de la conjectura CMP enunciada per Elizalde i Noy així com nous resultats en el comportament de la majoria dels patrons.
En l'última part de la tesi s'estudia la Conjectura Lonely Runner, enunciada independentment per Wills i Cusick i que té múltiples aplicacions en diferents camps de les matemàtiques. Aquesta coneguda conjectura diu que per qualsevol conjunt de corredors que corren al llarg d'un cercle unitari, hi ha un moment on tots els corredors estan suficientment lluny de l'origen. Aquí, es millora un resultat de Chen ampliant la distància de tots els corredors a l'origen. També s'estén el teorema del corredor invisible de Czerwiński i Grytczuk .
In this thesis we study different problems in combinatorics and in graph theory by means of the probabilistic method. This method, introduced by Erdös, has become an extremely powerful tool to provide existential proofs for certain problems in different mathematical branches where other methods had failed utterly. One of its main concerns is to study the behavior of random variables. In particular, one common situation arises when these random variables count the number of bad events that occur in a combinatorial structure. The idea of the Poisson Paradigm is to estimate the probability of these bad events not happening at the same time when the dependencies among them are weak or rare. If this is the case, this probability should behave similarly as in the case where all the events are mutually independent. This idea gets reflected in several well-known tools, such as the Lovász Local Lemma or Suen inequality. The goal of this thesis is to study these techniques by setting new versions or refining the existing ones for particular cases, as well as providing new applications of them for different problems in combinatorics and graph theory. Next, we enumerate the main contributions of this thesis. The first part of this thesis extends a result of Erdös and Spencer on latin transversals [1]. They showed that an integer matrix such that no number appears many times, admits a latin transversal. This is equivalent to study rainbow matchings of edge-colored complete bipartite graphs. Under the same hypothesis of, we provide enumerating results on such rainbow matchings. The second part of the thesis deals with identifying codes, a set of vertices such that all vertices in the graph have distinct neighborhood within the code. We provide bounds on the size of a minimal identifying code in terms of the degree parameters and partially answer a question of Foucaud et al. On a different chapter of the thesis, we show that any dense enough graph has a very large spanning subgraph that admits a small identifying code. In some cases, proving the existence of a certain object is trivial. However, the same techniques allow us to obtain enumerative results. The study of permutation patterns is a good example of that. In the third part of the thesis we devise a new approach in order to estimate how many permutations of given length avoid a consecutive copy of a given pattern. In particular, we provide upper and lower bounds for them. One of the consequences derived from our approach is a proof of the CMP conjecture, stated by Elizalde and Noy as well as some new results on the behavior of most of the patterns. In the last part of this thesis, we focus on the Lonely Runner Conjecture, posed independently by Wills and Cusick and that has multiple applications in different mathematical fields. This well-known conjecture states that for any set of runners running along the unit circle with constant different speeds and starting at the same point, there is a moment where all of them are far enough from the origin. We improve the result of Chen on the gap of loneliness by studying the time when two runners are close to the origin. We also show an invisible runner type result, extending a result of Czerwinski and Grytczuk.