High-order hybridizable discontinuous Galerkin formulation and implicit Runge-Kutta schemes for multiphase flow through porous media
Authors:   , Costa Solé Albert 
Published: October 2023

This dissertation presents high-order hybridisable discontinuous Galerkin (HDG) formulations coupled with implicit Runge-Kutta (RK) methods for the simulation of one-phase flow and two-phase flow problems.

High-order-methods can reduce the computational cost while obtaining more accurate solutions with less dissipation and dispersion errors than low order methods. HDG is an unstructured, high-order accurate, and stable method. The stability is imposed using a single parameter. In addition, it is a conservative method at the element level, which is an important feature when solving PDEs in a conservative form. Moreover, a hybridization procedure can be applied to reduce the size of the global linear system. To keep the stability and accuracy advantages in transient problems, we couple the HDG method with high-order implicit RK schemes.

The first contribution is a stable high-order HDG formulation coupled with DIRK schemes for slightly compressible one-phase flow problem. We obtain an analytical expression for the stabilization parameter using the Engquist-Osher monotone flux scheme. The selection of the stabilization parameter is crucial to ensure the stability and to obtain the high-order properties of the method. We introduce the stabilization parameter in the Newton’s solver since we analytically compute its derivatives.

The second contribution is a high-order HDG formulation coupled with DIRK schemes for immiscible and incompressible two-phase flow problem. We set the water pressure and oil saturation as the main unknowns, which leads to a coupled system of two non-linear PDEs. To solve the resulting non-linear problem, we use a fix-point iterative method that alternatively solves the saturation and the pressure unknowns implicitly at each RK stage until convergence is achieved. The proposed fix-point method is memory-efficient because the saturation and the pressure are not solved at the same time.

The third contribution is a discretization scheme for the two-phase flow problem with the same spatial and temporal order of convergence. High-order spatial discretization combined with low-order temporal discretizations may lead to arbitrary small time steps to obtain a low enough temporal error. Moreover, high-order stable DIRK schemes need a high number of stages above fourth-order. Thus, the computational cost can be severely hampered because a non-linear problem has to be solved at each RK stage. Thus, we couple the HDG formulation with high-order fully implicit RK schemes. These schemes can be unconditionally stable and achieve high-order temporal accuracy with few stages. Therefore, arbitrary large time steps can be used without hampering the temporal accuracy. We rewrite the non-linear system to reduce the memory footprint. Thus, we achieve a better sparsity pattern of the Jacobian matrix and less coupling between stages. Furthermore, we have adapted the previous fix-point iterative method. We first compute the saturation at all the stages by solving a single non-linear system using the Newton-Raphson method. Next, we solve the pressure equation sequentially at each RK stage, since it does not couple the unknowns at different stages.
The last contribution is an efficient shock-capturing method for the immiscible and incompressible two-phase flow problem to reduce the spurious oscillations that may appear in the high-order approximations of the saturation. We introduce local artificial viscosity only in the saturation equation since only the saturation variable is non-smooth. To this end, we propose a shock sensor computed from the saturation and the post-processed saturation of the HDG method. This shock sensor is computationally efficient since the post-processed saturation is computed in an element-wise manner. Our methodology allows tracking the sharp fronts as they evolve since the shock sensor is computed at all RK stages.
Esta tesis presenta formulaciones de Galerkin discontinuo hibridizable de alto orden (HDG) acopladas con métodos implícitos de Runge-Kutta (RK) para la simulación de flujo monofásico y bifásico. Los métodos de alto orden pueden reducir el coste computacional mientras se obtienen soluciones más precisas con menos errores de disipación y dispersión que los de bajo orden. HDG es un método no estructurado, con precisión de alto orden y estable. La estabilidad se impone utilizando un solo parámetro. Además, es un método localmente conservativo, lo cual es importante al resolver EDPs de forma conservativa. Además, se pueden usar técnicas de hibridización para reducir el tamaño del sistema lineal global. Para mantener las ventajas de estabilidad y precisión en problemas transitorios, combinamos el método HDG con esquemas RK implícitos de alto orden. La primera contribución es una formulación HDG estable de alto orden con esquemas DIRK para problemas de flujo monofásico ligeramente compresible. Obtenemos una expresión analítica para el parámetro de estabilización utilizando el esquema de flujo monótono Engquist-Osher. La selección del parámetro de estabilización garantiza la estabilidad y las propiedades de alto orden del método. Introducimos el parámetro de estabilización en el método de Newton debido que calculamos analíticamente sus derivadas. La segunda contribución es una formulación HDG de alto orden con esquemas DIRK para problemas de flujo bifásico inmiscible e incompresible. Usamos la presión del agua y la saturación de petróleo como incógnitas principales, con lo que se obtiene un sistema acoplado de dos EDPs no lineales. Para resolver el problema no lineal, usamos un método iterativo de punto fijo que resuelve alternativamente la saturación y la presión implícitamente en cada etapa del RK hasta converger. Este método es eficiente en memoria porque la saturación y la presión no se resuelven a la vez. La tercera contribución es un esquema de discretización para el problema del flujo bifásico con el mismo orden de convergencia espacial y temporal. La discretización espacial de alto orden junto con discretizaciones temporales de bajo orden puede requerir pasos de tiempo arbitrariamente pequeños para obtener un error temporal suficientemente bajo. Además, los esquemas de DIRK estables de alto orden necesitan una gran cantidad de etapas a partir del cuarto orden. Por ello, el coste computacional puede verse gravemente afectado porque se debe resolver un problema no lineal en cada etapa del RK. Por lo tanto, combinamos la formulación HDG con esquemas RK totalmente implícitos de alto orden. Estos esquemas pueden ser incondicionalmente estables y lograr una precisión temporal de alto orden con pocas etapas. Por ello, se pueden utilizar pasos de tiempo arbitrariamente grandes sin perjudicar la precisión temporal. Reescribimos el sistema no lineal para reducir el requerimiento de memoria. De este modo, logramos un mejor patrón de llenado de la jacobiana y un menor acoplamiento entre etapas. Además, hemos adaptado el método iterativo de punto fijo anterior. Primero calculamos la saturación en todas las etapas resolviendo un solo sistema no lineal utilizando el método Newton-Raphson. Posteriormente, resolvemos la ecuación de presión secuencialmente en cada etapa del RK, ya que no combina las incógnitas en diferentes etapas. La última contribución es un método eficiente de captura de choque para el problema de flujo bifásico para reducir las oscilaciones espurias que pueden aparecer en las aproximaciones de la saturación. Introducimos viscosidad artificial localmente solo en la ecuación de saturación, ya que sólo la saturación no es suave. Por ello, calculamos un sensor de choque con la saturación y la saturación postprocesada del método HDG. Este sensor es eficiente ya que la saturación postprocesada se calcula a nivel elemental. Nuestra metodología permite seguir la evolución de los frentes, porque el sensor se calcula en cada etapa