Unstable motions in the three body problem
Authors:   , Paradela Díaz Jaime 
Published: February 2024

(English) The 3 Body Problem (3BP) models the motion of three bodies interacting via Newtonian gravitation. It is called restricted when one body has zero mass and the other two, the primaries, have strictly positive masses. In the region of the phase space where one body is far from the other two (the primaries for the restricted case) both models can be studied as a nearly integrable Hamiltonian system. This is the so-called hierarchical regime. The present thesis deals with the existence of unstable motions, in the 3BP and/or its restricted versions. More concretely, we analyze the existence of topological instability, non trivial hyperbolic sets and oscillatory motions (complete orbits which are unbounded but return infinitely often to some bounded region). On one hand, the existence of (a strong form of) topological instability in the N Body Problem was coined by Herman to be "the oldest question in dynamical systems". On the other hand, oscillatory motions are the unique type of complete motions for the 3BP which are not present in the integrable approximation. Their connection with the existence of non trivial hyperbolic sets have lead to the formulation of fundamental, yet unsolved, conjectures about their abundance.We establish the existence of Arnold diffusion, a robust mechanism leading to topological instability, in the Restricted 3BP for any value of the masses of the primaries. The transition chain leading to Arnold diffusion is built in the hierarchical region. We extend a previous result by Kaloshin, Delshams, De la Rosa and Seara, which applied to arbitrarily small mass ratio. Their setting, which exploits the trick, used by Arnold in his original paper, of making use of two perturbative parameters, lead to an a priori unstable model. In our setting, we face some of the challenges present in a priori stable systems.We present several results concerning the existence of oscillatory motions and non trivial hyperbolic sets in the restricted and non restricted 3 Body Problem. First, we develop new tools which blend geometric ideas with variational techniques to prove that there exist oscillatory motions in the restricted 3BP in a non nearly integrable regime. Second we show the existence of non trivial hyperbolic sets and oscillatory motions in the 3BP for all values of the masses. The non trivial hyperbolic set, contained in a subset of the hierarchical region where the inner bodies perform approximately circular motions, is associated to a transverse intersection between the stable and unstable manifolds of a Normally Hyperbolic Invariant Manifold. The existence of center directions complicates heavily both the analysis of existence of transverse intersections between these invariant manifolds and the construction of the horseshoe. The contribution of the author focuses on completing the first of these two steps.Finally, we study the existence of Arnold diffusion in the 3BP for all values of the masses. The robustness of the mechanism which we use to prove the existence of Arnold Diffusion in the Restricted 3BP implies that the obtained transition chain admits a continuation in the 3BP if one mass is sufficiently small. The substantial difference when the masses are fixed is that one can construct a transition chain along which there is a significant exchange of momentum between the inner and outer bodies, resulting in a large change of the eccentricity of the inner bodies. This requires considerably more work than in our construction of the transition chain in the Restricted 3BP and our construction of hyperbolic sets for the 3BP. The first step towards establishing this result, which constitutes the subject of the last chapter of this thesis, is the analysis of the so called Melnikov approximation associated to the aforementioned transition chain.
(Español) El problema de 3 cuerpos (3BP) describe el movimiento de tres cuerpos que interactúan mediante gravitación Newtoniana. Se llama restringido cuando un cuerpo tiene masa nula y los otros dos, los primarios, tienen masas estrictamente positivas. En la región del espacio de fases en que un cuerpo está lejos de los otros dos (los primarios en el caso restringido) ambos modelos pueden estudiarse como un Hamiltoniano cercano a integrable. Este es el llamado régimen jerárquico.Esta tesis trata sobre la existencia de inestabilidades en el 3BP y/o en sus versiones restringidas. En particular, analizamos la existencia de inestabilidad topológica, conjuntos hiperbólicos y movimientos oscilatorios (órbitas completas no acotadas pero que vuelven infinitas veces a una región acotada). Por un lado, la existencia de (una forma fuerte) de inestabilidad topológica en el problema de N cuerpos fue considerada por Herman "la pregunta más antigua en sistemas dinámicos". Por otro lado, los movimientos oscilatorios son el único tipo de movimientos completos para el 3BP que no existen en la aproximación integrable. Su conexión con la existencia de conjuntos hiperbólicos no triviales ha dado lugar a la formulación de conjeturas fundamentales, aún abiertas, sobre su abundancia.Establecemos la existencia de difusión de Arnold, un mecanismo robusto que da lugar a inestabilidad topológica, en el problema restringido para cualquier valor de las masas de los primarios. La cadena de transición que da lugar a la difusión de Arnold está contenida en la región jeraárquica. Extendemos un resultado previo de Kaloshin, Delshams, De la Rosa y Seara, válido para ratio de masas arbitrariamente pequeño. Su setting, que explota el truco, usado por Arnold en su artículo original, de hacer uso de dos parámetros perturbativos, da lugar a un modelo a priori inestable. En nuestro setting, nos enfrentamos a algunas de las difcultades presentes en sistemas a priori estables.Presentamos varios resultados sobre la existencia de movimientos oscilatorios y conjuntos hiperbólicos no triviales en el 3BP y versiones restringidas. Por un lado, desarrollamos nuevas herramientas, que mezclan ideas geométricas con técnicas variacionales para probar que existen movimientos oscilatories en un régimen no cercano a integrable del problema restringido. Por otro lado, probamos la existencia de conjuntos hiperbólicos no triviales y movimientos oscilatorios en el 3BP para cualquier valor de las masas. El conjunto hiperbólico, contenido en un subsconjunto de la región jerárquica, está asociado a una intersección transversal entre las variedades estable e inestable de una variedad normalmente hiperbólica. La existencia de direcciones centrales complica de manera considerable tanto el análisis de la existencia de intersecciones transversales entre estas variedades invariantes como la construcción del conjunto hiperbólico. La contribución del autor ha consistido en completar el primero de estos dos pasos.Finalmente, estudiamos la existencia de difusión de Arnold en el 3BP para cualquier valor de las masas. Como el mecanismo utilizado para probar la existencia de difusión de Arnold en el problema restringido es robusto, la cadena de transición admite una continuación al 3BP si una masa es sucientemente pequeña. La gran diferencia es que cuando las masas están fijadas, es posible construir una cadena de transición a lo largo de la cual hay un intercambio signifcativo de momento entre los cuerpos internos y el exterior, resultando en un cambio grande en la excentricidad de los cuerpos internos. Esto requiere un trabajo considerablemente mayor que en la construcción de la cadena de transición en el problema restringido y nuestra construcción de conjuntos hiperbólicos en el 3BP. El primer paso hacia establecer este resultado, que constituye el último capítulo de esta tesis, es el análisis de la aproximación de Melnikov asociada a la cadena de transición mencionada.