p-adic L-functions, p-adic Gross-Zagier formulas and plectic points
Authors:   , Hernández Barrios Víctor 
Published: October 2023

In this work we generalize the construction of p-adic anticyclotomic L-functions associated to an elliptic curve E/F and a quadratic extension K/F, by defining a measure µ_f^p attached to K/F and an automorphic
form. In the case of parallel 2, the automorphic form is associated with an elliptic curve E/F.
The first main result is a p-adic Gross-Zagier formula: if E has split multiplicative reduction at p and p does not split at K/F, we compute the first derivative of the p-adic L-function by relating it with the conjugate difference of a Darmon point twisted by a character ¿. The proof uses the reciprocity map
provided by class field theory as a natural way to interpret conjugate differences of points in E(Kp) as
elements in the augmentation ideal for the aluation at the character ¿. This generalizes a result of
Bertolini and Darmon. With a similar argument, after discovering the work of Fornea and ehrmann on
plectic points, we prove an exceptional zero formula which relates a higher order derivative of In this work we generalize the construction of p-adic anticyclotomic L-functions associated to an elliptic curve E/F and a quadratic extension K/F, by defining a measure µ_f^p attached to K/F and an automorphic form. In the case of parallel 2, the automorphic form is associated with an elliptic curve E/F. The first main result is a p-adic Gross-Zagier formula: if E has split multiplicative reduction at p and p does not split at K/F, we compute the first derivative of the p-adic L-function by relating it with the conjugate difference of a Darmon point twisted by a character ¿. The proof uses the reciprocity map provided by class field theory as a natural way to interpret conjugate differences of points in E(Kp) as elements in the augmentation ideal for the evaluation at the character ¿. This generalizes a result of Bertolini and Darmon. With a similar argument, after discovering the work of Fornea and Gehrmann on plectic points, we prove an exceptional zero formula which relates a higher order derivative of µ_f^S with plectic points. We find an interpolating measure µ_F^p for µ_f^p attached to an interpolating Hida family F for f. Here µ_F^p can be regarded as a two variable p-adic L-function, which now includes the weight as a variable. Then we define the Hida-Rankin p-adic L-function Lp(f^p, ¿, k) as the restriction of µ_F^p to the weight space. Finally, we prove a formula which relates the weight-leading term of Lp(f^p, ¿, k) with plectic points. In short, the leading term is an explicit constant times Euler factors times the logarithm of the trace of a plectic point. This formula is a generalization of a result of Longo, Kimball and Hu, which has been used to prove the rationality of a Darmon point under some hypotheses.
En aquesta tesi generalitzem la construcció de funcions L p-àdiques anticiclotòmiques associades a una corba el·líptica E/F i una extensió quadràtica K/F, definint una mesura µ_f^p associada a K/F i una forma automorfa. En el cas de pes paral·lel 2, la forma automorfa s’associa a una corba el·líptica E/F. El primer resultat és una fórmula p-àdica de Gross-Zagier: si E té reducció multiplicativa split a p i p descomposa a K/F, calculem la primera derivada de la funció L p-àdica relacionant-la amb la diferència conjugada d’un punt de Darmon twistat per un caràcter ¿. La demostració utilitza l’aplicació de reciprocitat de la teoria de cossos com una manera natural d’interpretar les diferències conjugades de punts de E(Kp) com elements en l’ideal d’augmentació de l’avaluació en el caràcter ¿. Això generalitza un resultat de Bertolini i Darmon. Amb un argument semblant, després de descobrir el treball de Fornea i Gehrmann sobre els punts plèctics, demostrem una fórmula de zero excepcional que relaciona una derivada d’ordre superior de µ_f^S amb punts plèctics. Trobem una mesura d’interpolació µ_F^p per a µ_f^p associada a la família de Hida F que passa per f. Aquí µ_F^p es pot considerar com una funció L de dues variables, que ara inclou el pes com a variable. Aleshores definim una funció L de Hida-Rankin p-àdica Lp(f^p, ¿, k) com la restricció de µ_F^p a l’espai de pesos. Finalment, demostrem una fórmula que relaciona el terme principal de Lp(f^p, ¿, k) respecte al pes amb punts plèctics. En resum, el terme principal és una constant explícita multiplicada per factors d’Euler i pel logaritme de la traça d’un punt plèctic. Aquesta fórmula és una generalització d’un resultat de Longo, Kimball i Hu, que s’ha utilitzat per demostrar la racionalitat d’un punt de Darmon sota certes hipòtesis.