Anomalous diffusion : from life to machines
Authors:   , Muñoz Gil Gorka 
Published: October 2023

Diffusion refers to numerous phenomena, by which particles and bodies of all kinds move throughout any kind of material, has emerged as one of the most prominent subjects in the study of complex systems. Motivated by the recent developments in experimental techniques, the field had an important burst in theoretical research, particularly in the study of the motion of particles in biological environments. Just with the information retrieved from the trajectories of particles we are now able to characterize many properties of the system with astonishing accuracy. For instance, when Einstein introduced the diffusion theory back in 1905, he used the motion of microscopic particles to calculate the size of the atoms of the liquid these were suspended. Initially, most of the experimental evidence showed that such systems follow Brownian-like dynamics, i.e. the homogeneous interaction between the particles and the environment led to its stochastic, but uncorrelated motion. However, we know now that such a simple explanation lacks crucial phenomena that have been shown to arise in a plethora of physical systems. The divergence from Brownian dynamics led to the theory of anomalous diffusion, in which the particles are affected in a way or another by their interactions with the environment such that their diffusion changes drastically. For instance features such as ergodicity, Gaussianity, or ageing are now crucial for in the understanding of diffusion processes, well beyond Brownian motion.

In theoretical terms, anomalous diffusion has a well-developed framework, able to explain most of the current experimental observations. However, it has been usually focused in describing the systems in terms of its macroscopic behaviour. This means that the processes are described by means of general models, able to predict the average or collective features. Even though such an approach leads to a correct description of the system and hints on the actual underlying phenomena, it lacks the understanding of the particular microscopic interactions leading to anomalous diffusion.

The work presented in this Thesis has two main goals. First, we will explore how one may use microscopical (or phenomenological) models to understand anomalous diffusion. By microscopical model we refer to a model in which we will set exactly how the interactions between the various components of a system are. Then, we will explore how these interactions may be tuned in order to recover and control anomalous diffusion and how its features depend on the properties of the system. We will explore crucial topics arising in recent experimental observations, such as weak-ergodicity breaking or liquid-liquid phase separation. Second, we will survey the topic of trajectory characterization. Even if our theories are extremely well developed, without an accurate tool for studying the trajectories observed in experiments, we will be unable to correctly make any faithful prediction. In particular, we will introduce one of the first machine learning techniques that can be used for such purpose, even in systems where previous techniques failed largely.
La difusión es el fenómeno por el cual partículas de todas formas y tamaños se mueven a través del entorno que les rodea. Su estudio se ha convertido en una potente herramienta para entender el comportamiento de sistemas complejos. Gracias al reciente desarrollo de diferentes técnicas experimentales, este fenómeno ha generado un enorme interés tanto desde el punto de vista experimental como del teórico, y en especial,en el estudio del movimiento de partículas microscópicas en entornos biológicos. Mediante el análisis de las trayectorias de estas partículas, no solo somos capaces de caracterizar sus propiedades, sino también las de su entorno. El propio Albert Einstein, autor junto con Marian Smoluchowski de la teoría de la difusión, demostró que era posible calcular el radio de los átomos de un líquido simplemente mediante el análisis del movimiento de una partícula suspendida en este. Esta teoría, que dio origen a lo que hoy conocemos como movimiento Browniano, consideraba que la interacción homogénea de una partícula con su entorno provocaba el movimiento aleatorio de esta última. Aunque el movimiento Browniano haya sido utilizado para describir una enorme cantidad de experimentos, hoy sabemos que existen sistemas particulares que se desvían de sus predicciones. Esta divergencia ha dado pie al desarrollo de la teoría de la difusión anómala, en la que, debido a las propiedades de las partículas y sus entornos, la difusión difiere drásticamente de las predicciones de la teoría Browniana. Algunos fenómenos como la ergodicidad, Gausianidad o el envejecimiento de difusión, particulares de la difusión anómala, son hoy en día cruciales para entender el movimiento de partículas en sistemas complejos. En términos teóricos, la difusión anómala tiene unas bases firmes, con las cuáles se explica gran parte de las observaciones experimentales más recientes. Esta teoría, sin embargo, suele centrarse en la descripción de la difusión desde un punto de vista macroscópico. Esto quiere decir: analizar un sistema mediante modelos generales, capaces de predecir propiedades colectivas o globales. Aunque las teorías macroscópicas consiguen describir correctamente la mayoría de los procesos de difusión, no tienen la capacidad de discernir qué tipo de interacciones dan lugar a la difusión anómala. El trabajo presentado en esta tesis tiene dos objetivos principales. El primero es explorar el uso de modelos microscópicos (o fenomenológicos) para entender la difusión anómala. Un modelo microscópico, en contraposición al macroscópico, describe el sistema a partir de sus propiedades específicas. En este caso, a partir del tipo de interacciones que existen entre las partículas y su entorno. El objetivo es por lo tanto entender cuáles de estas interacciones producen difusión anómala. Además, caracterizaremos los parámetros macroscópicos de la difusión, como el exponente anómalo, y mostraremos como depende de las propiedades del sistema. En el camino, exploraremos cómo fenómenos como la rotura débil de la ergodicidad (weak-ergodicity breaking) o la separación de fase aparecen en sistemas con interacciones complejas. El segundo objetivo consiste en el desarrollo de técnicas para la caracterización de trayectorias provenientes de procesos de difusión. Aunque nuestro entendimiento teórico llegue a niveles insospechados en los próximos años, sin un análisis correcto y preciso de las trayectorias experimentales, jamás podremos construir un puente entre teoría y experimentos. Por tanto, el desarrollo de técnicas con las que analizar con la mayor precisión posible dichas trayectorias es un problema igual de importante que el desarrollo teórico de la difusión. En este trabajo, estudiaremos cómo las técnicas de aprendizaje automático (Machine Learning) pueden ser utilizadas para caracterizar dichas trayectorias, llegando a niveles de precisión y análisis muy por encima