ДИСКРЕТИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В КОНТЕКСТЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНЫЙ (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ) ПОПЕРЕЧНИК
Authors: Утесова Г.И. 
Published: October 2023

Көп жағдайда дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің шешімдері ақырсыз объектілер құрамына кіретін қатарлар немесе интегралдар түрінде бейнеленеді. Сондықтан дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің қатарлар немесе интегралдар түріндегі шешімдерін жуықтау (дискреттеу) мәселесі туындайды. Бұл жұмыста бастапқы шарты функционалдық r,a 2 класында жататын жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін (еселі қатар түріндегі) r,a W 2 класында анықталған сызықтық функционалдардың мәндері бойынша құрылған есептеу агрегаттарымен дискреттеу есебі L¥, q , 2 £ q £ ¥ кеңістігі метрикасында «Компьютерлік (есептеуіш) диаметр» деген атауға ие зерттеу схемасы бойынша шешілген. Ашып айтқанда, біріншіден, шешімді дискретизациялаудағы ең кіші қателіктің дәл реті анықталып, осы анықталған дәл ретті жүзеге асыратын есептеу агрегаты ұсынылған; екіншіден, ұсынылған есептеу агрегатының шектік қателігі табылған; үшіншіден, алғашқы шарттың тригонометриялық Фурье коэффициенттері арқылы құрылған кез келген есептеу агрегатының шектік қателігі ұсынылған есептеу агрегатының шектік қателігінен реті бойынша жақсы болмайтынына көз жеткізілген. Түйін сөздер: компьютерлік (есептеуіш) диаметр, жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімдерін дискреттеу, сызықтық функционал, есептеу агрегатының шектік қателігі, функциялар класы, тригонометриялық Фурье коэффициенттері.
Во многих случаях решения дифференциальных уравнений с частными производными представляются рядами или интегралами, являющимися бесконечными объектами. Поэтому возникает проблема приближения (дискретизации) решений дифференциальных уравнений с частными производными, представляющихся рядами или интегралами. В данной работе по схеме исследования под названием «Компьютерный (вычислительный) поперечник» в метрике пространства L¥, q , 2 £ q £ ¥ решена задача дискретизации решений (представляющихся кратными рядами) уравнения теплопроводности с начальным условием из функционального класса r,a W 2 вычислительными агрегатами, построенными по значениям линейных функционалов, определенных на классе 2 W r,a . Именно, во-первых, установлен точный порядок дискретизации решения и предложен вычислительный агрегат, реализующий установленный точный порядок; во-вторых, найдена предельная погрешность предложенного вычислительного агрегата; в-третьих, доказано, что предельная погрешность любого вычислительного агрегата, построенного по тригонометрическим коэффициентам Фурье начального условия, не лучше по порядку, чем предельной погрешности предложенного вычислительного агрегата. Ключевые слова: компьютерный (вычислительный) поперечник, дискретизация решений уравнения теплопроводности, линейный функционал, предельная погрешность вычислительного агрегата, класс функций, тригонометрические коэффициенты Фурье.
Aktobe regional university named after K. Zhubanov, Aktobe, Kazakhstan In many cases, solutions to partial differential equations are represented by series or integrals, which are infinite objects. Therefore, the problem of approximation (discretization) of solutions of differential equations with partial derivatives, represented by series or integrals, arises. In this work, according to the research scheme called "Сomputational (numerical) diameter" in the metric of space W L¥,q , 2 £ q £ ¥, we solve the problem of discretization of solutions (represented by multiple series) of the heat equation with an initial condition from the functional class r,a 2 by computing units constructed from the values of linear functionals defined on the class W r,a . Namely, firstly, the exact order of discretization of the solution is 2 established and a computing unit is proposed that implements the established exact order; secondly, the limiting error of the proposed computing unit was found; thirdly, it has been proved that the limiting error of any computing unit constructed from the trigonometric Fourier coefficients of the initial condition is no better in order than the limiting error of the proposed computing unit. Keywords: сomputational (numerical) diameter, discretization of solutions of the heat equation, linear functional, limiting error of a computing unit, class of functions, trigonometric Fourier coefficients.