Monotonicity preserving shock capturing techniques for finite elements
Authors:   , Hierro Fabregat Alba 
Published: October 2023

The main object of study of this thesis is the development of artificial diffusion shock capturing techniques for continuous and discontinuous Galerkin (cG and dG) approximations of the convection-diffusion problem. Special emphasis is given to the fulfillment of the Discrete Maximum Principle (DMP).
Two artificial diffusion techniques are proposed for the transport problem in cG. They scale the corresponding artificial viscosity according to the variation of the gradient of the discrete solution between elements and one of them is proven to be monotonicity preserving. Both methods are used in combination with linear stabilization to enhance its performance; in particular a novel symmetric projection stabilization technique based on a local Scott-Zhang projector is proposed. The weighting of such detector in order to preserve the monotonicity properties "including entropy stability for 1D" of the underlying methods is faced. Both shock capturing techniques are shown to outperform other methods in the literature for different sets of numerical tests.
In the dG case a novel definition of the DMP has been provided. One of the gradient jump shock detectors previously used for cG methods has been adapted to this new paradigm and proved to enjoy the DMP property in the one dimensional case. A possible extension to the multidimensional case is proposed.
A DMP-enjoying multidimensional dG method for the convection-diffusion equation is obtained by means of graph-viscosity techniques. The method perturbs the entries of the problem matrix to enforce some properties that lead to a DMP. Appropriate shock detectors are used to weight the perturbation of the problem matrix and the lumping of the Mass matrix, avoiding an excessive smearing of the final solution.
Finally an hp-adaptive technique is proposed to solve the steady convection-diffusion problem. A novel troubled-cell detector based on the evolution of the gradient of the discrete solution along the refinement process is proposed. This troubled-cell detector is able to detect the shock layers in which linear order is enforced. Moreover the application of the artificial viscosity is restricted to such regions. At the same time, high order polynomials are reached through p-refinement in the smooth regions of the solutions.
The performance of all the methods has been tested by means of various numerical tests and the results obtained are provided and commented in the document.
En aquesta tesi es proposen diferents eines de difusió artificial per a la captura de xocs en mètodes de Galerkin continu i discontinu (cG i dG) aplicats al problema de convecció-difusió. S’ha posat un especial èmfasi en aconseguir mètodes que satisfacin la versió discreta del Principi del Màxim (DMP).
S’han proposat dos mètodes de difusió artificial per a l’equació del transport en cG. Ambdós utilitzen la variació del gradient (de la solució discreta) entre els elements per a escalar la quantitat de viscositat que afegeixen i s’ha provat que un d’ells compleix el DMP. Per tal de millorar-ne els resultats, aquests mètodes s’utilitzen en combinació amb diferents tipus d’estabilizació lineal; en particular es proposa un nova tècnica d’estabilització per projecció simètrica local basada en un projector d’Scott-Zhang.
També es contempla un sistema de ponderació de l’activació dels termes d’aquest darrer mètode per tal de preservar les propietats monotòniques del mètode subjacent; incloent la convergència a la solució entròpica.
S’ha proposat una nova definició de DMP per al cas discontinu. S’ha adaptat un dels detectors de xocs del cas continu per tal que la compleixi en el cas 1D i se n’ha indicat una possible extensió per al cas multidimensional.
S’aconsegueix un mètode que compleixi el DMP per al cas discontinu fent ús de la graf-viscositat. Els valors de la matriu del problema es modifiquen per tal d’obtenir-ne una que es pot demostrar que compleix les propietats desitjades. Per tal de minimitzar l’impacte d’aquestes pertorbacions en el resultat final, es limita la seva aplicació als graus de llibertat on és necessària fent ús del detector de xocs prèviament proposat.
Finalment, es proposa una tècnica d’hp-adaptivitat per resoldre el problema de convecció-difusió estacionari. S’ha dissenyat un marcador de cel·les conflictives que és capaç de detectar les regions amb xocs mitjantçant el seguiment de l’evolució del valor del gradient de la solució discreta amb el refinament de la malla. Aquest marcador de cel·les conflictives determina quins elements han de ser estabilitzats amb el nostre capturador de xocs i n’imposa ordre lineal. Entretant, a les regions on la solució és suau
s’assoleixen polinomis d’alt ordre mitjantçant l’ús d’algorismes de p-refinament.
El comportament de totes aquestes tècniques de captura de xocs ha estat posat a prova amb un seguit d’experiments numèrics el resultat dels quals acompanya la presentació de cada mètode al llarg de tot el document.