Nodal distributions on the high-dimensional simplex for high-order interpolation and integration
Authors:   , Jiménez Ramos Albert 
Published: November 2023

(English) To simulate unsteady phenomena on complex moving geometry, computational scientists and engineers have been interested in unstructured space-time discretizations. These space-time discretizations aim to overcome some issues of standard time marching methods by considering a unique mesh that discretizes the steady space-time geometry described by the moving spatial geometry. Unfortunately, they have not been widely adopted for 3D unsteady high-fidelity simulations because many fundamental capabilities related to high-order approximation to geometry and solution must still be developed in 4D. These capabilities include performing high-order numerical interpolation and integration on complex space-time geometry.

To address these issues, this thesis aims to demonstrate interpolation-aware optimization of nodal distributions on the high-dimensional simplex constrained to fulfill either feasible interpolation or feasible integration with the point coordinates as design variables. To this end, it proposes the following contributions. First, to interpolate a curved subdivision model obtained from a linear triangular mesh, we devise an equispaced nodal geometry representation method. Second, to additionally preserve the required simulation intent, we devise a nodal modeling method. Third, to estimate the interpolation error of a nodal distribution, we propose a point refinement method. Fourth, to explore the nodal distributions that are the heuristically best local minima of an interpolation error proxy, we propose a specific-purpose optimization method. Fifth, to minimize the interpolation error of an initial nodal distribution, we propose a constrained optimization method. Finally, to enforce small interpolation error and exact integration, we propose a constrained optimization problem.

In conclusion, this thesis demonstrates interpolation-aware optimization of nodal distributions on the high-dimensional simplex for feasible interpolation or integration. To this end, it proposes novel nodal methods to model and represent the simulation intent and to explore and optimize nodal distributions. These novelties will contribute to performing high-order numerical interpolation and integration on complex 4D geometry. Hence, they will help to exploit the benefits of high-fidelity 4D space-time simulation for 3D moving complex geometries.
(Català) Per tal de simular fenòmens no estacionaris en geometria complexa en moviment, els científics i enginyers computacionals s'han interessat en discretitzacions de l'espai-temps no estructurades. Aquestes discretitzacions de l'espai-temps tenen com a objectiu resoldre alguns problemes dels mètodes estàndards d’integració temporal per passes considerant una única malla que discretitzi la geometria espai-temps estacionària descrita per la geometria espacial en moviment. Desafortunadament, aquestes discretitzacions no s'han adoptat de forma extensa per simulacions no estacionàries d'alta fidelitat en 3D perquè moltes capacitats fonamentals relacionades amb l'aproximació d'alt ordre de la geometria i de la solució no han estat encara desenvolupades en 4D. Aquestes capacitats inclouen dur a terme interpolació i integració numèrica d'alt ordre en geometria espai-temps complexa.

Per tal de resoldre aquests problemes, aquesta tesi té com a objectiu demostrar l'optimització de distribucions nodal en el símplex d'altes dimensions tenint en compte la interpolació i restringida a satisfer o interpolació o integració factible amb les coordenades dels punts com a variables de disseny. Amb aquesta finalitat, aquesta tesi proposa les següents contribucions. Primer, per interpolar un model de subdivisió corb obtingut a partir d'una malla lineal de triangles, ideem un mètode de representació de geometria fent servir distribucions de punts equiespaiats. Segon, per addicionalment preservar la intenció de simulació, ideem un mètode de modelatge nodal. Tercer, per estimar l'error d'interpolació d'una distribució nodal, proposem un mètode de refinament de punts. Quart, per explorar les distribucions nodals que, de manera heurística, són els millors mínims locals d'una aproximació de l'error d'interpolació, proposem un mètode d'optimització de finalitat específica. Cinquè, per minimitzar l'error d'interpolació d'una distribució de nodes inicial, proposem un mètode d'optimització amb restriccions. Finalment, per forçar errors d'interpolació petits i integració exacta, proposem un mètode d'optimització amb restriccions.

En conclusió, aquesta tesi demostra l'optimització de distribucions nodals tenint en compte la interpolació en el símplex d'altes dimensions per interpolació i integració factible. Amb aquesta finalitat, aquesta tesi proposa nous mètodes nodals per modelar i representar la intenció de simulació i per explorar i optimitzar distribucions de nodes. Aquestes novetats contribuiran a dur a terme interpolació i integració numèrica d'alt ordre en geometria complexa en 4D. Així, ajudaran a explotar els beneficis de la simulació espai-temps 4D d'alta fidelitat per geometries complexes 3D en moviment.