Stark-Heegner points and p-adic L-functions
Authors:   , Casazza Daniele 
Published: October 2023

Let K|Q be a number field and let Z(K,s) be its associated complex L-function. The analytic class number formula relates special values of Z(K,s) with algebraic invariants of the field K itself. It admits a Galois equivariant refinement known as Stark conjectures.
We have a very similar picture in the case of elliptic curves. Let E/Q be an elliptic curve and let L(E/Q,s) be its associated complex L-function. The conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer relates the behaviour of L(E/Q,s) at s=1 to the structure of rational solutions of the equation defined by E. The equivariant Birch and Swinnerton-Dyer conjecture is obtained including in the picture the action of Galois groups.
The elliptic Stark conjecture formulated by H. Darmon, A. Lauder and V. Rotger purposes a p-adic analogue of the equivariant Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, under several assumption. In their paper, the authors formulate the conjecture and prove it in some cases of good reduction of E at p using Garrett-Hida method and performing a factorization of p-adic L-functions. In this dissertation we focus on the elliptic Stark conjecture and we show how it is possible to extend the result of Darmon, Lauder and Rotger.
In the case of good reduction of E at p we can slightly extend the result using Hida-Rankin method. This method also gives us a better control of the constants appearing in the result, thus yielding an explicit formula which contains invariants associated with the elliptic curve. To achieve the proof we mimic the main result of Darmon, Lauder and Rotger in our setting and we make use of a p-adic Gross-Zagier formula which relates special values of the Bertolini-Darmon-Prasanna p-adic L-function to Heegner points.
In a second moment we extend both our result and Darmon-Lauder-Rotger result to the case of multiplicative reduction of E at p. In this setting we cannot use Bertolini-Darmon-Prasanna p-adic L-function due to some technical reasons. To avoid the problem we consider Castella's two variables p-adic L-function. We use both Garrett-Hida method and Hida-Rankin method. In the two cases we obtain formulae which are similar to those of the good reduction setting.
Sigui K/Q un cos de nombres i sigui L(K,s) la funció L de Dedekind associada. La fórmula analítica del nombre de classes relaciona els valors especials de L(K,s) amb invariants algebraics del cos K. Aquesta formula admet un refinament Galois equivariant conegut com les conjectures de Stark. En el cas de les corbes el·líptiques ens trobem amb un escenari similar. Sigui E/Q una corba el·líptica i sigui L(E/Q,s) la seva L-sèrie complexa. La conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer relaciona el comportament de L(E/Q,s) en el punt central crític s=1 amb l'estructura del conjunt de punts racionals de l'equació definida per E. La versió Galois-equivariant proporciona un refinament d'aquesta conjectura per al canvi de base d'E a un cos de nombres K qualsevol. La conjectura el·líptica de Stark formulada per H. Darmon, A. Lauder i V. Rotger proposa un anàleg p-àdic de la conjectura Galois-equivariant de Birch i Swinnerton-Dyer, sota vàries hipòtesis. En el seu article, els autors formulen la conjectura i la demostren en alguns casos on el primer p és un primer de bona reducció per E, usant el mètode de Garrett-Hida i demostrant pel camí una factorització de funcions L p-àdiques. En aquesta tesi doctoral estudiem i demostrem nous resultats sobre la conjectura el¿líptica de Darmon-Lauder-Rotger En el cas on p és un primer de bona reducció per E, refinem el resultat principal de Darmon-Lauder-Rotger mitjançant el mètode de Rankin-Hida, que ens dóna un millor control de les constants que apareixen en les demostracions i ens permet demostrar una fórmula explícita que involucra invariants globals associats a la corba el¿líptica. Per aconseguir-ho generalitzem la estratègia de Darmon, Lauder and Rotger, tot utilitzant la p-adic Gross-Zagier formula que relaciona els valors especials de la funció L p-àdica de Bertolini-Darmon-Prasanna amb punts de Heegner. L'altre resultat principal d'aquesta tesi és la demostració de la conjectura el·líptica de Stark en un cas on E té reducció multiplicativa en el primer p. Per a fer-ho explotem la funció L p-àdica de F. Castellà, que és una generalització a dos variables de la funció L p-àdica de Bertolini-Darmon-Prasanna.