Theta-duality in abelian varieties and the bicanonical map of irregular varieties
Authors:   , Lahoz Vilalta Martí 
Published: October 2023

The first goal of this Thesis is to contribute to the study of principally polarized abelian varieties (ppav), especially to the
Schottky and the Torelli problems. Ppav admit a duality theory analogous to that of projective spaces, where the role
played by hyperplanes in projective spaces is played by divisors representing the principal polarization. Thus, given a
subvariety Y of a ppav, we can define its thetadual
T(Y) as the set of divisors representing the principal polarization
that contain this subvariety. This set admits a natural schematic structure (as defined by Pareschi and Popa).
Jacobian and Prym varieties are classical examples of ppav constructed from curves. Besides, they are interesting
because some properties of the curves involved in their construction are reflected in their geometry or in the geometry
of some special subvarieties. For example, in the case of Jacobians we have the BrillNoether
loci Wd ( W1 corresponds
to the AbelJacobi
curve) and in the case of Pryms we have the AbelPrym
curve C.
In chapter III, we study the schematic structure of the thetadual
of the BrillNoether
loci Wd and the AbelPrym
curve.
In the first case, we obtain with different methods, the result of Pareschi and Popa T(Wd)= Wgd1.
In the case of the
AbelPrym
curve C, we get that T(C)=V², where V² is the second PrymBrillNoether
locus with the schematic structure
defined by Welters.
Pareschi and Popa have proved a result for ppavs analogous to the Castelnuovo Lemma for projective spaces. That is,
if (A,Θ) is a ppav of dimension g, then g+2 distinct points in general position with respect to Θ, but in special position
with respect to 2Θ, have to be contained in a curve of minimal degree in A, i.e. an AbelJacobi
curve. In particular,
they obtain a Schottky result because A has to be a Jacobian variety and a Torelli result, because the curve is the
intersection of all the divisors in |2Θ| that contain the g+2 points. In chapter IV, as Eisenbud and Harris have done in
the projective Castelnuovo Lemma, we extend this result to possibly nonreduced
finite schemes.
The second goal of this thesis is the study of varieties of general type. Almost by definition, pluricanonical maps are the
essential tool to study them. One of the main problems in this area is to find geometric or numerical conditions to
guarantee that the mth
pluricanonical map (for low m) induces a birational equivalence with its image.
The classification of surfaces whose bicanonical map is nonbirational
has attracted considerable interest among
algebraic geometers. In chapter V, we give a sufficient numerical condition for the birationality of the bicanonical map of
irregular varieties of arbitrary dimension.
We also prove that, if X is a primitive variety, then it only admits very special fibrations to other irregular varieties. For
primitive varieties we get that the following are equivalent:
X
is birational to a divisor Θ in an indecomposable ppav,
the
irregularity q(X) > dim X and the bicanonical map is nonbirational.
When X is a primitive variety of general type and q(X) = dim X we prove, under certain conditions over the Stein
factorization of the Albanese map, that the only possibility for the bicanonical map being nonbirational
is that X is a
double cover branched along a divisor in |2Θ|. These results extend to arbitrary dimension, wellknown
theorems in the
case of surfaces and curves.
El primer objectiu d'aquesta tesi és contribuir a l'estudi de les varietats abelianes principalment polaritzades (vapp),
especialment als problemes de Schottky i Torelli. Les vapp admeten una teoria de dualitat anàloga a la dualitat dels
espais projectius, on el paper que juguen els hiperplans de l'espai projectiu és substituït pels divisors que representen
la polarització principal. Així doncs, donada una subvarietat Y d'una vapp, podem definir el seu thetadual
T(Y) com el
conjunt dels divisors que representen la polarització principal i contenen aquesta subvarietat. Aquest conjunt admet
una estructura esquemàtica natural (tal i com la defineixen Pareschi i Popa).
Les varietats Jacobianes i de Prym són exemples clàssics de vapp construïdes a partir de corbes. A més, són
interessants perquè certes propietats de les corbes involucrades es veuen reflectides en elles o en algunes
subvarietats especials. Per exemple, en el cas de les Jacobianes tenim els llocs de BrillNoether
Wd ( W1 correspon a
la corba d'AbelJacobi)
i en el cas de les Pryms tenim la corba d'AbelPrym
C.
Al capítol III de la tesi s'estudia l'estructura esquemàtica del thetadual
dels llocs de BrillNoether
Wd i de la corba
d'AbelPrym.
En el primer cas, es reobté amb uns altres mètodes, el resultat de Pareschi i Popa T(Wd)= Wgd1.
En el
cas de la corba d'AbelPrym
C, s'obté que T(C)=V², onV² és el segon lloc de PrymBrillNoether
amb l'estructura
esquemàtica definida per Welters.
Pareschi i Popa han demostrat un resultat anàleg per les vapp al Lemma de Castelnuovo pels espais projectius. És a
dir, si (A,Θ) és una vapp de dimensió g, aleshores g+2 punts en posició general respecte Θ, però en posició especial
respecte 2Θ, han d'estar continguts en una corba de grau minimal a A, i.e. una corba d'AbelJacobi.
En particular,
s'obté un resultat de Schottky ja que A ha de ser una Jacobiana i un resultat de Torelli, ja que la corba és la intersecció
de tots els divisors de |2Θ| que contenen els g+2 punts. Al capítol IV, tal i com Eisenbud i Harris van fer en el cas
projectiu, s'estén aquest resultat a esquemes finits possiblement no reduïts.
El segon objectiu d'aquesta tesi és contribuir a l'estudi de les varietats de tipus general. Pràcticament per definició, les
aplicacions pluricanòniques són essencials pel seu estudi. Un dels problemes principals de l'àrea és donar condicions
geomètriques o numèriques per assegurar que la mèsima
aplicació pluricanònica (per m baix) indueix una
equivalència biracional amb la imatge.
La classificació de les superfícies que tenen l'aplicació bicanònica no biracional ha atret l'atenció de molts geòmetres
algebraics. Al capítol V, es dóna un criteri numèric suficient per assegurar la biracionalitat de l'aplicació bicanònica de
les varietats irregulars de dimensió arbitrària.
També es demostra que si X és una varietat primitiva, aleshores només admet fibracions molt especials a altres
varietats irregulars. Per aquestes varietats s'obté que és equivalent que X sigui biracional a un divisor Θ en una vapp
indescomponible, a què la irregularitat q(X) > dim X i l'aplicació bicanònica sigui no biracional. Quan X és una varietat
primitiva de tipus general i q(X) = dim X es demostra sota certes condicions de la descomposició de Stein del morfisme
d'Albanese, que l'única possibilitat per tal que l'aplicació bicanònica sigui no biracional és que X sigui un recobriment
doble sobre una vapp ramificat al llarg d'un divisor a |2Θ|. Aquest resultats estenen a dimensió arbitrària, teoremes ben
coneguts en el cas de superfícies i corbes.