On the topology of solenoidal attractors of the cylinder
Authors: Kiwi Jan , Rivera-Letelier Juan , Urzúa Richard , Bamón Rodrigo 
Published: December 2005

We study the dynamics of skew product endomorphisms acting on the cylinder

\mathbb{R}/ \mathbb{Z} \times \mathbb{R}

, of the form

(\theta ,t)\mapsto \left(ℓ\theta ,\lambda t + \tau (\theta )\right),

where

ℓ⩾2

is an integer,

\lambda \in (0,1)

and

\tau \::\mathbb{R}/ \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}

is a continuous function. We are interested in
topological
properties of the global attractor

\Omega _{\lambda ,\tau }

of this map. Given

ℓ

and a Lipschitz function

τ

, we show that the attractor set

\Omega _{\lambda ,\tau }

is homeomorphic to a closed topological annulus for all

λ

sufficiently close to

1

. Moreover, we prove that

\Omega _{\lambda ,\tau }

is a Jordan curve for at most finitely many

\lambda \in (0,1)

.

These results rely on a detailed study of iterated “cohomological” equations of the form

\tau = \mathcal{L}_{\lambda _{1}}\mu _{1}

,

\mu _{1} = \mathcal{L}_{\lambda _{2}}\mu _{2},…\:

, where

\mathcal{L}_{\lambda }\mu = \mu ○\mathbf{m}_{ℓ}−\lambda \mu

and

\mathbf{m}_{ℓ}\::\mathbb{R}/ \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}/ \mathbb{Z}

denotes the multiplication by

ℓ

map. We show the following finiteness result: each Lipschitz function

τ

can be written in a canonical way as,

\tau = \mathcal{L}_{\lambda _{1}}○⋯○\mathcal{L}_{\lambda _{m}}\mu ,

where

m⩾0

,

\lambda _{1},…,\lambda _{m} \in (0,1]

and the Lipschitz function

μ

satisfies

\mu \neq \mathcal{L}_{\lambda }\rho

for every continuous function

ρ

and every

\lambda \in (0,1]

.

Résumé

On étudie la dynamique des produits croisés agissant sur le cylindre

\mathbb{R}/ \mathbb{Z} \times \mathbb{R}

, de la forme

(\theta ,t)\mapsto \left(ℓ\theta ,\lambda t + \tau (\theta )\right),

où

ℓ⩾2

est un entier,

\lambda \in (0,1)

et

\tau \::\mathbb{R}/ \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}

est une fonction continue. On s'intéresse aux propriétés
topologiques
de l'attracteur global

\Omega _{\lambda ,\tau }

de cet endomorphisme. Étant donné

ℓ

et une fonction lipschitzienne

τ

, on démontre que l'attracteur

\Omega _{\lambda ,\tau }

est homéomorphe à un anneau topologique pour tout

λ

suffisamment proche de 1. D'autre part, on démontre qu'il existe au plus un nombre fini de

\lambda \in (0,1)

tels que l'attracteur

\Omega _{\lambda ,\tau }

soit une courbe de Jordan.

Ces résultats s'appuient sur une analyse détaillée des équations “cohomologiques” itérées :

\tau = \mathcal{L}_{\lambda _{1}}\mu _{1}

,

\mu _{1} = \mathcal{L}_{\lambda _{2}}\mu _{2},…\:

, où

\mathcal{L}_{\lambda }\mu = \mu ○\mathbf{m}_{ℓ}−\lambda \mu

et

\mathbf{m}_{ℓ}

est l'application de multiplication par

ℓ

sur le cercle

\mathbb{R}/ \mathbb{Z}

. On démontre le résultat de finitude suivant : toute fonction lipschitizenne

τ

s'écrit de façon canonique sous la forme

\tau = \mathcal{L}_{\lambda _{1}}○⋯○\mathcal{L}_{\lambda _{m}}\mu ,

m⩾0

,

\lambda _{1},…,\lambda _{m} \in (0,1]

et la fonction lispchitzienne

μ

satisfait

\mu \neq \mathcal{L}_{\lambda }\rho

pour toute fonction continue

ρ

et tout

\lambda \in (0,1]

.