Mather measures and the Bowen–Series transformation
Authors: Lopes A.O. , Thieullen Ph. 
Published: December 2005

We consider a specific example of a compact Riemannian surface

M

of genus 2 and constant negative curvature. We identify the boundary at infinity of

M

to the unit circle

\Sigma = \mathbb{S}^{1}

and choose a particular Bowen–Series map

T: \Sigma \rightarrow \Sigma

. We first show that a suspension of the natural extension of

(\Sigma ,T)

by a roof function cohomologous to

\mathrm{\ln }T^{′}

is isomorphic to the geodesic flow on

T^{1}M

. We choose a particular set of closed geodesics

(\delta _{i})_{i = 1}^{4}

generating the fundamental group and a partition of

\Sigma

into disjoint intervals

(A_{i})_{i = −4}^{4}

naturally associated to

(\delta _{i})

. We show that any

\phi ^{t}

-invariant probability measure

\mu

minimizing

L = \frac{1}{2}\|v\|_{x}^{2}

and with homology

h = \sum _{i = 1}^{4}h_{i}[\delta _{i}]

corresponds by the previous isomorphism to a unique

T

-invariant probability measure

m

satisfying

h_{i}/ \|h\|_{s} = \left[m(A_{i})−m(A_{−i})\right]/ \int \mathrm{\ln }T^{′}\:\mathrm{d}m\:\forall i = 1,…,4.

We also show that any

\phi ^{t}

-invariant probability measure

\mu

minimizing

\int (L−\omega )\:\mathrm{d}\mu

for a fixed cohomology

[\omega ]

canonically corresponds to a

T

-invariant probability measure

m

minimizing

\int (\|\omega \|_{s}\mathrm{\ln }T^{′}−\sum \limits_{i = 1}^{4}\omega _{i}[\mathbf{1}_{A_{i}}−\mathbf{1}_{A_{−i}}]\:\mathrm{d}m,

where

(\omega _{i})_{i = 1}^{4}

are the coordinates of

[\omega ]

in the dual basis of

([\delta _{i}])

.

Résumé

Nous considérons un exemple spécifique de surface compacte

M

riemannienne de genre 2 et de courbure constante égale à 2. Nous identifions le bord à l'infini de

M

au cercle unité

\Sigma = \mathbb{S}^{1}

et nous faisons le choix d'une application de Bowen–Series particulière

T\::\Sigma \rightarrow \Sigma

. Nous montrons d'abord que le flot suspendu au dessus de

(\Sigma ,T)

par une fonction plafond cohomologue à

\mathrm{\ln }T^{′}

est isomorphe au flot géodésique sur

T^{1}M

. Nous choisissons une famille de géodésiques fermées

(\delta _{i})_{i = 1}^{4}

engendrant le groupe fondamental et une partition de

\Sigma

en intervalles disjoints

(A_{i})_{i = −4}^{4}

naturellement associés aux

(\delta _{i})

. Nous montrons que toute mesure de probabilité

\phi ^{t}

-invariante

\mu

minimisant

L = \frac{1}{2}\|v\|_{x}

et d'homologie

h = \sum _{i = 1}^{4}h_{i}[\delta _{i}]

correspond par l'isomorphisme précédent à une unique mesure de probabilité

T

-invariante

m

vérifiant :

h_{i}/ \|h\|_{s} = \left[m(A_{i})−m(A_{−i})\right]/ \int \mathrm{\ln }T^{′}\:\mathrm{d}m\:\forall i = 1,…,4.

Nous montrons aussi que les mesures de probabilité

\phi ^{t}

-invariantes

\mu

minimisant

\int (L−\omega )\:\mathrm{d}\mu

pour une cohomologie

\omega

donnée, correspondent canoniquement aux mesures de probabilité

T

-invariantes

m

minimisant :

\int (\|\omega \|_{s}\mathrm{\ln }T^{′}−\sum \limits_{i = 1}^{4}\omega _{i}[\mathbf{1}_{A_{i}}−\mathbf{1}_{A_{−i}}]\:\mathrm{d}m

(\omega _{i})_{i = 1}^{4}

désignent les coordonnées de

[\omega ]

dans la base duale de

([\delta _{i}])

.