Nonlinear Schrödinger equation on real hyperbolic spaces
Authors: Anker Jean-Philippe , Pierfelice Vittoria 
Published: February 2009

We consider the Schrödinger equation with no radial assumption on real hyperbolic spaces

\mathbb{H}^{n}

. We obtain in all dimensions

n⩾2

sharp dispersive and Strichartz estimates for a large family of admissible pairs. As a first consequence, we obtain strong well-posedness results for NLS. Specifically, for small initial data, we prove

L^{2}

and

H^{1}

global well-posedness for any subcritical power (in contrast with the Euclidean case) and with no gauge invariance assumption on the nonlinearity

F

. On the other hand, if

F

is gauge invariant,

L^{2}

charge is conserved and hence, as in the Euclidean case, it is possible to extend local

L^{2}

solutions to global ones. The corresponding argument in

H^{1}

requires conservation of energy, which holds under the stronger condition that

F

is defocusing. Recall that global well-posedness in the gauge invariant case was already proved by Banica, Carles and Staffilani, for small radial

L^{2}

data or for large radial

H^{1}

data. The second application of our global Strichartz estimates is
scattering
for NLS both in

L^{2}

and in

H^{1}

, with no radial or gauge invariance assumption. Notice that, on Euclidean spaces

\mathbb{R}^{n}

, this is only possible for the critical power

\gamma = 1 + \frac{4}{n}

and can be false for subcritical powers while, on hyperbolic spaces

\mathbb{H}^{n}

, global existence and scattering of small

L^{2}

solutions hold for all powers

1 < \gamma ⩽1 + \frac{4}{n}

. If we restrict to defocusing nonlinearities

F

, we can extend the

H^{1}

scattering results of Banica, Carles and Staffilani to the nonradial case. Also there is no distinction anymore between short range and long range nonlinearities: the geometry of hyperbolic spaces makes every power-like nonlinearity short range.

Résumé

Nous étudions l'équation de Schrödinger sur les espaces hyperboliques réels

\mathbb{H}^{n}

, sans aucune hypothèse de radialité. Nous commençons par établir une inégalité dispersive optimale en toute dimension

n⩾2

, ainsi qu'une inégalité de Strichartz pour une grande famille de paires admissibles. Nous en déduisons que l'équation semi-linéaire est fortement bien posée dans

L^{2}

ou dans

H^{1}

, pour des données initiales petites et pour des non-linéarités relativement générales, en particulier pour toutes les puissance sous-critiques (contrairement au cas euclidien) et sans hypothèse d'invariance par changement de jauge. Dans ce dernier cas, on a conservation de la charge et les solutions

L^{2}

locales se prolongent en solutions

L^{2}

globales ; le phénomène analogue dans

H^{1}

repose sur la conservation de l'énergie, qui est vérifiée pour des non-linéarités défocalisantes. Rappelons que Banica, Carles et Staffilani avaient précédemment montré que l'équation semi-linéaire était globalement bien posée pour des non-linéarités invariantes par changement de jauge et pour des données radiales petites dans

L^{2}

ou arbitraires dans

H^{1}

. Comme seconde application, nous montrons qu'il y a diffusion (
scattering
) dans

L^{2}

et dans

H^{1}

, à nouveau sans hypothèse de radialité ou d'invariance par changement de jauge. Rappelons que dans

\mathbb{R}^{n}

ceci n'est possible que pour l'exposant critique

\gamma = 1 + \frac{4}{n}

et peut être faux pour des exposants sous-critiques, tandis que sur l'espace hyperboliques

\mathbb{H}^{n}

, on a existence globale et diffusion pour tout exposant

1 < \gamma ⩽1 + \frac{4}{n}

(et pour des conditions initiales petites dans

L^{2}

). Dans le cas défocalisant, nous pouvons étendre au cas non radial les résultats de diffusion

H^{1}

de Banica, Carles, Staffilani. Observons également que, sur l'espace hyperbolique, toutes les non-linéarités de type puissance n'ont qu'un effet à courte portée, contrairement au cas euclidien.