Homogenization of p-Laplacian in perforated domain
Authors: Pankratov L. , Piatnitski A. , Amaziane B. , Antontsev S. 
Published: July 2009

We study the homogenization of the following nonlinear Dirichlet variational problem:

\inf \left\{\:\int \limits_{\Omega ^{ɛ}}\left\{\frac{1}{p_{ɛ}(x)}|\mathrm{∇}u|^{p_{ɛ}(x)} + \frac{1}{p_{ɛ}(x)}|u|^{p_{ɛ}(x)}−f(x)u\right\}\:dx:\:u \in W_{0}^{1,p_{ɛ}( \cdot )}\left(\Omega ^{ɛ}\right)\right\}

in a perforated domain

\Omega ^{ɛ} = \Omega \setminus \mathcal{F}^{ɛ} \subset \mathbb{R}^{n}

,

n⩾2

, where

ɛ

is a small positive parameter that characterizes the scale of the microstructure. The non-standard exponent

p_{ɛ}(x)

is assumed to be an oscillating continuous function in

\bar\Omega

such that, for any

ɛ > 0

,

1 < p_{ɛ}(x)⩽n

in

Ω

; for any

x,y \in \Omega

,

|p_{ɛ}(x)−p_{ɛ}(y)|⩽\omega _{ɛ}(|x−y|)

with

\overline{\lim }_{\tau \rightarrow 0}\omega _{ɛ}(\tau )\ln (1/ \tau ) = 0

; and converges uniformly in

Ω

to a function

p_{0}

which satisfies the same properties. Moreover, we assume that

p_{ɛ}(x)⩾p_{0}(x)

in

Ω

. Denoting

u^{ɛ}

a minimizer in the above variational problem, without any periodicity assumption, for a large range of perforated domains we find, by means of the variational homogenization technique, the global behavior of

u^{ɛ}

as

ɛ

tends to zero. It is shown that

u^{ɛ}

extended by zero in

\mathcal{F}^{ɛ}

, converges weakly in

W^{1,p_{0}( \cdot )}(\Omega )

to the solution of the following nonlinear variational problem:

\min \left\{\:\int \limits_{\Omega }\left\{\frac{1}{p_{0}(x)}|\mathrm{∇}u|^{p_{0}(x)} + \frac{1}{p_{0}(x)}|u|^{p_{0}(x)} + c(x,u)−f(x)u\right\}\:dx:\:u \in W_{0}^{1,p_{0}( \cdot )}(\Omega )\right\},

where the function

c(x,u)

is defined in terms of the local characteristic of

\Omega ^{ɛ}

. This result is then illustrated with a periodic and a non-periodic examples.

Résumé
Nous étudions l'homogénéisation du problème variationnel de Dirichlet nonlinéaire suivant :

\mathrm{\inf }\left\{\:\int \limits_{\Omega ^{ɛ}}\left\{\frac{1}{p_{ɛ}(x)}|\mathrm{∇}u|^{p_{ɛ}(x)} + \frac{1}{p_{ɛ}(x)}|u|^{p_{ɛ}(x)}−f(x)u\right\}\:dx:\:u \in W_{0}^{1,p_{ɛ}( \cdot )}\left(\Omega ^{ɛ}\right)\right\}

dans un domaine perforé

\Omega ^{ɛ} = \Omega \setminus \mathcal{F}^{ɛ} \subset \mathbb{R}^{n}

,

n⩾2

, où

ɛ > 0

est un petit paramètre qui caractérise la taille des perforations. La fonction puissance

p_{ɛ}(x)

est nonstandard et supposée être une fonction continue et oscillante dans

\bar\Omega

. Elle vérifie, pour tout

ɛ > 0

,

1 < p_{ɛ}(x)⩽n

dans

Ω

, pour tout

x,y \in \Omega

,

|p_{ɛ}(x)−p_{ɛ}(y)|⩽\omega _{ɛ}(|x−y|)

avec

\overline{\mathrm{\lim }}_{\tau \rightarrow 0}\omega _{ɛ}(\tau )\mathrm{\ln }(1/ \tau ) = 0

; et elle est uniformément convergente dans

Ω

vers une fonction

p_{0}

qui vérifie les mêmes propriétés. De plus, on suppose que

p_{ɛ}(x)⩾p_{0}(x)

dans

Ω

. On note

u^{ɛ}

une solution du problème de minimisation variationnel ci-dessus, sans hypothèse de périodicité et pour différents milieux perforés, on trouve le problème limite décrivant le comportement global de

u^{ɛ}

lorsque

ɛ

tend vers zéro, en utilisant la technique de l'homogénéisation variationnelle. On montre que

u^{ɛ}

, prolongée par zéro dans

\mathcal{F}^{ɛ}

, converge faiblement dans

W^{1,p_{0}( \cdot )}(\Omega )

, quand

ɛ

tend vers zéro, vers la solution

u

du problème variationel nonlinéaire suivant :

\mathrm{\min }\left\{\:\int \limits_{\Omega }\left\{\frac{1}{p_{0}(x)}|\mathrm{∇}u|^{p_{0}(x)} + \frac{1}{p_{0}(x)}|u|^{p_{0}(x)} + c(x,u)−f(x)u\right\}\:dx:\:u \in W_{0}^{1,p_{0}( \cdot )}(\Omega )\right\},

où la fonction

c(x,u)

est définie à partir des caractéristiques géométriques locales du domaine

\Omega ^{ɛ}

. Enfin, nous présentons deux exemples, un périodique et l'autre nonpériodique, pour illustrer les résultats obtenus.