NUMERICAL METHODS FOR SOLVING PROBLEMS ABOUT BENDING A SQUARE PLAT
Authors: Смирнов М.Ю. , Попов М.И. , Скрыпников А.В. , Боровлев А.О. , Тихомиров П.В. , Никитин В.В. 
Published: July 2024

Тонкие прямоугольные пластины, изготовленные из различных материалов, применяются в строительстве при возведении зданий и промышленных сооружений, а также в машиностроении. В статье приведено численное решение задачи изгиба квадратной пластины классическим методом конечных разностей. Тонкая квадратная пластина со стороной равной 1 защемлена по всему контуру и в каждой внутренней точке приложена сила ݂ሺݕ ,ݔሻ. Математическое описание прогиба ݑሺݕ ,ݔሻ представляет собой неоднородное бигармоническое уравнение с граничными условиями первого и второго рода. С использованием разложения функции в ряд Тейлора вычислены погрешность аппроксимации бигармонического оператора разностным аналогом и погрешность аппроксимации граничных условий. Проведен анализ скорости сходимости схемы. Рассмотрены классический и модифицированный подходы. Полученное решение улучшено методом экстраполяции Ричардсона, что позволило уменьшить абсолютную погрешность решения на 4 порядка. Представлено пошаговое построение неявной конечно-разностной схемы второго порядка точности для неоднородного бигармонического уравнения при нулевых граничных условиях на искомую функцию и ее градиент. Классический и модифицированный методы экстраполяции Ричардсона рассмотрены на последовательности сеточных функций. Экстраполированные решения представлены в виде линейной комбинации сеточных функций в общих узлах с весовыми коэффициентами. Вычислительные эксперименты для тестовой функции проведены с использованием системы компьютерной алгебры Maple. Получены решения задачи для разных шагов сетки. Выявлена зависимость погрешности времени расчета от количества значимых цифр. Найдено оптимальное количество значимых цифр. Исследована скорость сходимости классического метода конечных разностей. Аналогичной точности при использовании классического метода можно добиться уменьшением сеточного шага в сотни раз, что увеличит время расчета в тысячи раз. При этом требования к объему оперативной памяти компьютера также вырастут в сотни раз. Значения функции в промежуточных узлах получены с помощью полиномиального сплайна 5 степени. При данном подходе абсолютная погрешность решения не увеличивается, а время расчета меняется незначительно. Полученные результаты согласуются с приближенно-аналитическим решением подобной задачи.
Thin rectangular plates made of various materials are used in construction in the construction of buildings and industrial structures, as well as in mechanical engineering. The article provides a numerical solution to the problem of bending a square plate by the classical finite difference method. We consider a thin square plate with a side equal to 1. The plate is clamped along the entire contour and a force f (x, y) is applied at each internal point. The mathematical description of the deflection u(x, y) is an inhomogeneous biharmonic equation with boundary conditions of the first and second kind. Using the expansion of the function in a Taylor series, the error of approximation of the biharmonic operator by the difference analogue and the error of approximation of the boundary conditions are calculated. The analysis of the convergence rate of the circuit. The classical and modified approaches are considered. The resulting solution was improved by the Richardson extrapolation method, which allowed us to reduce the absolute error of the solution by 4 orders of magnitude. A step-by-step construction of an implicit finitedifference scheme of the second order of accuracy for an inhomogeneous biharmonic equation with zero boundary conditions for the desired function and its gradient is presented. The classic and modified Richardson extrapolation methods are considered on a sequence of grid functions. Extrapolated solutions are presented as a linear combination of grid functions in common nodes with weight coefficients. Computational experiments for the test function were carried out using the Maple computer algebra system. The solutions to the problem are obtained for different grid steps. The dependence of the calculation time error on the number of significant digits is revealed. The optimal number of significant digits was found. The convergence rate of the classical finite difference method is investigated. Similar accuracy when using the classical method can be achieved by reducing the grid step hundreds of times, which will increase the calculation time by a thousand times. At the same time, the requirements for the amount of RAM in the computer will also grow hundreds of times. The values of the function at the intermediate nodes were obtained using a polynomial spline of degree 5. With this approach, the absolute error of the solution does not increase, and the calculation time does not change significantly. The results obtained are consistent with an approximate analytical solution to a similar problem.