On double-covering stationary points of a constrained Dirichlet energy
Authors: Bevan Jonathan 
Published: May 2013

The double-covering map

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}

is given by

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2}|\mathbf{x}|}\left(\begin{matrix} x_{2}^{2}−x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x_{2} \\ \end{matrix}\right)

in cartesian coordinates. This paper examines the conjecture that

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

is the global minimizer of the Dirichlet energy

I(\mathbf{u}) = \int _{B}|\mathrm{∇}\mathbf{u}|^{2}\:d\mathbf{x}

among all

W^{1,2}

mappings

\mathbf u

of the unit ball

B \subset \mathbb{R}^{2}

satisfying (i)

\mathbf{u} = \mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

on

∂B

, and (ii)

\mathrm{\det }\:\mathrm{∇}\mathbf{u} = 1

almost everywhere. Let the class of such admissible maps be

\mathcal{A}

. The chief innovation is to express

I(\mathbf{u})

in terms of an auxiliary functional

G(\mathbf{u}−\mathbf{u}_{\mathrm{dc}})

, using which we show that

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

is a stationary point of

I

in

\mathcal{A}

, and that

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

is a global minimizer of the Dirichlet energy among members of

\mathcal{A}

whose Fourier decomposition can be controlled in a way made precise in the paper. By constructing variations about

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

in

\mathcal{A}

using ODE techniques, we also show that

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

is a local minimizer among variations whose tangent

\boldsymbol ψ

to

\mathcal{A}

at

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

obeys

G(\boldsymbol{\psi }^{\mathrm{o}}) > 0

, where

\boldsymbol{\psi }^{\mathrm{o}}

is the odd part of

\boldsymbol ψ

. In addition, a Lagrange multiplier corresponding to the constraint

\mathrm{\det }\:\mathrm{∇}\mathbf{u} = 1

is identified by an analysis which exploits the well-known Fefferman–Stein duality.

Résumé

Le double-revêtement

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}

est donné par

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2}|\mathbf{x}|}\left(\begin{matrix} x_{2}^{2}−x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x_{2} \\ \end{matrix}\right)

en coordonnées cartésiennes. Cet article examine la conjecture selon laquelle

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

est le minimiseur global de l'énergie de Dirichlet

I(\mathbf{u}) = \int _{B}|\mathrm{∇}\mathbf{u}|^{2}\:d\mathbf{x}

pour les fonctions satisfaisant (i)

\mathbf{u} \in W^{1,2}(B)

, où

B

est la boule unité de

\mathbb{R}^{2}

, (ii)

\mathbf{u} = \mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

sur

∂B

, et (iii)

\mathrm{\det }\:\mathrm{∇}\mathbf{u} = 1

presque partout. Soit

\mathcal{A}

la classe admissible de telles fonctions. La principale innovation est ici d'exprimer

I(\mathbf{u})

sous forme d'une fonction auxiliaire

G(\mathbf{u}−\mathbf{u}_{\mathrm{dc}})

, avec laquelle nous montrons que

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

est un point stationnaire de

I

en

\mathcal{A}

, et que

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

est un minimiseur global de l'énergie de Dirichlet parmi les membres de

\mathcal{A}

dont la décomposition de Fourier peut être contrôlée d'une manière détaillée dans l'article. En construisant des variations autour de

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

en

\mathcal{A}

par des techniques variationnelles, nous montrons également que

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

est un minimiseur local parmi les variations dont la tangente

\boldsymbol ψ

de

\mathbf{u}_{\mathrm{dc}}

vers

\mathcal{A}

obéissent à

G(\boldsymbol{\psi }^{\mathrm{o}}) > 0

, où

\boldsymbol{\psi }^{\mathrm{o}}

est la partie impaire de

\boldsymbol ψ

. Additionnellement, un multiplicateur de Lagrange correspondant à la contrainte

\mathrm{\det }\:\mathrm{∇}\mathbf{u} = 1

est identifié par une analyse qui exploite la dualité de Fefferman–Stein.