Constitutive models for unsaturated soils. A thermodynamic approach
Authors:   , Alcoverro Bassols Jordi 
Published: September 2024

(English) Unsaturated soils are particular instances of porous materials, which are characterized by a solid skeleton and a number of fluids that can move through the skeleton. At the microscale, a porous material is made of interacting entities of various dimensions (3D phases, 2D interfaces, 1D common lines, 0D common points), which contain various species (mineral, water, air, …). If representative volume elements (REV) can be defined, averaging yields a set of macroscale interacting continua, which can be modeled using mixture theory. After averaging, the microscale geometric features of the entities and the microscale distributions of thermodynamic properties within the entities are lost. In order to recover part of this information, macroscale geometric variables (e.g. volume, area, length or number of points of each entity in the REV) and macroscale density variables (e.g. mass of each species in each entity in the REV) are defined. Additional macroscale variables can be defined in order to characterize the anisotropy of the porous material (e.g. structure tensors).

The state of a porous material is assumed to be given by the deformation of the solid skeleton, the measure (volume, area, length, number of points) of each microscale entity in the REV, the mass of each species in each microscale entity in the REV, the temperature and a set of internal variables. The number of state variables can be significantly reduced by assuming that the evolution of the porous material is along local equilibrium states. These states are such that, for prescribed values of the strain tensor of the solid skeleton, the total mass of each species per unit reference volume, the temperature and the internal variables, the measure of each microscale entity in the REV and of the mass of each species in each microscale entity in the REV take unique values, such that the total free energy per unit reference volume is minimum. As a result, the state of a porous material is given by the strain tensor of the solid skeleton, the total mass of each species per unit reference volume, the temperature and the internal variables.

The constitutive model of a porous material is derived using the framework of thermodynamics with internal variables, in which the porous material is considered to be an open thermodynamic system. The state equations are derived from the free energy and the evolution equations of the internal variables are derived from the dissipation or a dissipation potential. For unsaturated soils, additional simplifying assumptions are made: (1) small strains of the solid skeleton; (2) isothermal atmospheric conditions; (3) three species: solid mineral, water and gas; and (4) elastoplastic response of the deformation of the solid skeleton and of the water mass content.

In some soils short-range interaction forces bond water to the solid skeleton. Vicinal water is bond to the solid skeleton, whereas free water is not. The behavior of free water is as if it were outside the soil, so that microscale pressure distributions are uniform (neglecting gravity), so that chemical potentials and temperature allow to define a macroscale pressure. In contrast, the behavior of vicinal water depends on the interaction forces, so that microscale pressure distributions are not uniform. The behavior of a soil is assumed to be given by three different regimes: (1) saturated (fixed vicinal water, variable free water, no gas phase); (2) capillary (fixed vicinal water, variable free water, gas phase), with an hysteretic water retention curve; and (3) dry (variable vicinal water, no free water, gas phase). At each of these regimes a different constitutive model for the soil is used. Generic examples of these models are given: elastoplastic for the saturated regime, elastoplastic with water content hysteresis for the capillary regime and elastoplastic for the dry regime.
(Català) Els sòls no saturats són casos particulars de medis porosos, caracteritzats per un esquelet sòlid i un conjunt de fluids que es poden moure a través de l'esquelet. A microescala, un medi porós està format per entitats interactuants de vàries dimensions (fases 3D, interfases 2D, línies comunes 1D, punts comuns 0D), que contenen vàries espècies (mineral, aigua, aire,...). Si es poden definir elements de volum representatius (REV), fent una mitjana s'obté un conjunt de continus macroescala interactuants, que es poden modelar usant la teoria de mescles. Després d'amitjanar, es perden les característiques geomètriques microescala de les entitats i les distribucions microescala de les propietats termodinàmiques a les entitats. Per recuperar part d'aquesta informació, es defineixen variables macroescala geomètriques (volum, àrea, longitud o nombre de punts de cada entitat al REV) i variables macroescala de densitat (per exemple, massa de cada espècie en cada entitat al REV).

Es suposa que l'estat d'un medi porós ve donat per la deformació de l'esquelet sòlid, la mesura (volum, àrea, longitud, nombre de punts) de cada entitat microescala per unitat REV, la massa de cada espècie a cada entitat microescala al REV, la temperatura i un conjunt de variables internes. El nombre de variables d'estat es pot reduir significativament suposant que l'evolució del medi porós és al llarg d'estats d'equilibri local. Aquests estats són tals que, per a valors prescrits del tensor de deformacions de l'esquelet sòlid, la massa total de cada espècie per unitat de volum de referència, la temperatura i les variables internes, la mesura de cada entitat microescala al REV i la massa de cada espècie a cada entitat microescala al REV prenen valors únics, tals que l'energia lliure total per unitat de volum de referència és mínima. Per tant, l'estat d'un medi porós ve donat pel tensor de deformacions de l'esquelet sòlid, la massa total de cada espècie per unitat de volum de referència, la temperatura i les variables internes.

El model constitutiu d'un medi porós es deriva usant el marc de la termodinàmica amb variables internes, en què el medi porós es considera un sistema termodinàmic obert. Les equacions d'estat es deriven de l'energia lliure i les equacions d'evolució de les variables internes es deriven de la dissipació o d'un potencial de dissipació. Per a sòls no saturats, es fan hipòtesis simplificadores addicionals: (1) petites deformacions de l'esquelet sòlid; (2) condicions atmosfèriques isotèrmiques; (3) tres espècies: mineral sòlid, aigua i gas; i (4) resposta elastoplàstica de la deformació de l'esquelet sòlid i del contingut de massa d'aigua.

En alguns sòls forces d'interacció de curt abast lliguen l'aigua a l'esquelet sòlid. L'aigua veïnal està lligada a l'esquelet sòlid, mentre que l'aigua lliure no ho està. El comportament de l'aigua lliure és com si estigués fora del sòl, de manera que les distribucions microescala de pressió són uniformes (sense tenir en compte la gravetat) i els potencials químics i la temperatura permeten definir una pressió macroescala. En canvi, el comportament de l'aigua veïnal depèn de les forces d'interacció, pel que les distribucions de pressió microescala no són uniformes. S'accepta que el comportament d'un sòl ve donat per tres règims diferents: (1) saturat (aigua veïnal fixa, aigua lliure variable, sense fase gasosa); (2) capil•lar (aigua veïnal fixa, aigua lliure variable, fase gasosa); i (3) sec (aigua veïnal variable, sense aigua lliure, fase gasosa). En cadascun d'aquests règims s'usa un model constitutiu diferent per al sòl. Es donen exemples genèrics d'aquests models: elastoplàstic per al règim saturat, elastoplàstic amb histèresi del contingut d'aigua per al règim capil•lar i elastoplàstic per al règim sec.
(Español) Los suelos no saturados son casos particulares de medios porosos, caracterizados por un esqueleto sólido y un conjunto de fluidos que se pueden mover a través del esqueleto. A microescala, un medio poroso está formado por entidades interactuantes de varias dimensiones (fases 3D, interfases 2D, líneas comunes 1D, puntos comunes 0D), que contienen varias especies (mineral, agua, aire,...). Si se pueden definir elementos de volumen representativos (REV), el promediado produce un conjunto de continuos macroescala interactuantes, que se pueden modelar usando la teoría de mezclas. Tras promediar, se pierden las características geométricas microescala de las entidades y las distribuciones microescala de las propiedades termodinámicas en las entidades. Para recuperar parte de esta información, se definen variables macroescala geométricas (volumen, área, longitud o número de puntos de cada entidad en el REV) y variables macroescala de densidad (masa de cada especie en cada entidad en el REV).

Se que el estado de un medio poroso viene dado por la deformación del esqueleto sólido, la medida (volumen, área, longitud, número de puntos) de cada entidad microescala en el REV, la masa de cada especie en cada entidad microescala en el REV, la temperatura y un conjunto de variables internas. El número de variables de estado puede reducirse significativamente suponiendo que la evolución del medio poroso se produce a lo largo de estados de equilibrio local. Estos estados son tales que, para valores prescritos del tensor de deformación del esqueleto sólido, la masa total de cada especie por unidad de volumen de referencia, la temperatura y las variables internas, la medida de cada entidad microescala en el REV y la masa de cada especie en cada entidad microescala en el REV toman valores únicos, tales que la energía libre total por unidad de volumen de referencia sea mínima. De este modo el estado de un medio poroso viene dado por el tensor de deformación del esqueleto sólido, la masa total de cada especie por unidad de volumen de referencia, la temperatura y las variables internas.

El modelo constitutivo de un medio poroso se deriva usando el marco de la termodinámica con variables internas, en el que el medio poroso se considera un sistema termodinámico abierto. Las ecuaciones de estado se derivan de la energía libre y las ecuaciones de evolución de las variables internas se derivan de la disipación o de un potencial de disipación. En el caso de los suelos no saturados, se hacen hipótesis simplificativas adicionales: (1) pequeñas deformaciones del esqueleto sólido; (2) condiciones atmosféricas isotérmicas; (3) tres especies: mineral sólido, agua y gas; y (4) respuesta elastoplástica de la deformación del esqueleto sólido y del contenido de masa de agua.

En algunos suelos fuerzas de interacción de corto alcance ligan el agua al esqueleto sólido. El agua vecinal está ligada al esqueleto sólido, mientras que el agua libre no lo está. El comportamiento del agua libre es como si estuviera fuera del suelo, de modo que las distribuciones microescala de presión son uniformes (sin tener en cuenta la gravedad) y los potenciales químicos y la temperatura permiten definir una presión macroescala. En cambio, el comportamiento del agua vecinal depende de las fuerzas de interacción, por lo que las distribuciones de presión microescala no son uniformes. Se acepta que el comportamiento de un suelo viene dado por tres regímenes diferentes: (1) saturado (agua vecinal fija, agua libre variable, sin fase gaseosa); (2) capilar (agua vecinal fija, agua libre variable, fase gaseosa); y (3) seco (agua vecinal variable, sin agua libre, fase gaseosa). En cada uno de estos regímenes se utiliza un modelo constitutivo diferente para el suelo. Se dan ejemplos genéricos de estos modelos: elastoplástico para el régimen saturado, elastoplástico con histéresis de contenido de agua para el régimen capilar y elastoplástico para el régimen seco.