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Une note sur des systémes de tarification basés sur des modéles du type Poisson composé
Authors: Lundberg Ove 
Published: July 2016

Hans Bühlmann traite dans son ouvrage “Optimale Prämien-stufensysteme” (1964) principalement le problème de trouver l'estimation optimale de la prime de la n-ième période à partir des observations de sinistres au cours des périodes précédentes.Max Gürtler a traité dans le “Bonus ou Malus” du Astin Bulletin vol. III part I deux systèmes différents pour la détermination de la prime individuelle pour l'assurance automobile, c'est-à-direa) système “Absence de sinistre”b) système “Nombre de sinistre”.A l'aide de simples modèles (examples page 56) pour le groupement de portefeuilles de risques bons et lourds Gürtler étudie l'effet des deux systèmes et en tire des conclusions générales sur l'applicabilité des systèmes. Gürtler souligne d'abord que le système b) utilise considérablement mieux l'information, parce que tous les sinistres y sont considéréd et non pas, comme dans le système a), seulement le premier sinistre étant registré pour chaque assurance.Marcel Derron traite dans “A theoretical study of the no-claim bonus problem” du même cahier de la publication la quote-part du ER (Error ratio) qu'il définit comme une quote-part égale au montant absolut de la différence entre la prime payée et la vraie prime divisée par la prime payée. Il calcule la quote-part du ER pour le modële de Gürtler et pour des modèles alternatifs et cherche le système de bonification qui rend la quote-part du ER aussi petite que possible pour le modèle choisi.
A Note On Optimal Reinsurance
Authors: Benktander Gunnar 
Published: July 2016

In the past the subject of optimal reinsurance has been dealt with by various authors such as Borch (1), Kahn (2) and Verbeek (3). Borch tries to look at the problem from the point of view of a company which acts as both Insurer and Reinsurer whereas the viewpoint of Kahn and Verbeek is that of a Ceding Company.Let us study the simplest possible market situation of one Insurance Company C and one Reinsurer R. C writes a portfolio P and seeks reinsurance protection at R.In the present note I will start with the viewpoint of optimizing simultaneously the situation of C and R.For both C and R the variance is used as a measure of risk. The variance of P is V. C makes an effort to reduce V to a level Vc by way of a reinsurance treaty T. The corresponding variance of R is VR.Out of the set of possible reinsurance treaty arrangements {T} we assume that the parties are first of all interested in such arrangements for whichIn other words they will look for solutions which will lead to a substantial reduction of the variance.It is possible to think of “nonsense” arrangements where no substantial reduction is achieved and in the extreme case even of arrangements for whichIn a further paper we might deal with such a case.
Note sur la gestion automatique de la réserve pour sinistres en assurance automobile
Authors: Petit Jean 
Published: July 2016

„… La tendance la plus significative qui se dégage … consiste à doter les systèmes automatiques des facultés d'adaptation qui sont le propre de l'homme. „On constitue ainsi un ensemble doué de mémoire dont la structure se modifie progressivement au fur et à mesure qu'il prend conscience des résultats de ses expériences successives”.P. Naslin(Automatisme, Nov. 1959)Cette note est présentée par un actuaire qui n'a eu que depuis peu à s'intéresser aux branches d'assurances autres que la Vie et seulement du point de vue de la gestion administrative, à l'occasion de la mise en œuvre d'un grand ensemble électronique de traitement de l'information. Il ne faut done pas s'attendre à trouver ici une théorie sur la détermination des montants à réserver pour les sinistres à régler, encore moins sur la construction des tarifs d'assurance automobile.Néanmoins, la gestion administrative n'ayant pas pour seul but de recueillir et de classer des données comptables, nous serons bien naturellement conduits à prévoir comment ces données peuvent être liées à des recherches sur ces deux questions fondamentales.
La théorie des plus grandes valeurs et son application aux problèmes de l'assurance
Authors: Finetti M. Bruno De 
Published: July 2016

L'intérêt de ce sujet en soi-même, au point de vue des mathématiques, du calcul des probabilités et de la statistique — les différents aspects et questions qui peuvent le relier à des applications dans le domaine des assurances — le fait que des discussions à cet égard ont été commencées l'année dernière à Juan-les-Pins avec l'importante contribution de M. Franckx et favorisées ensuite par les notes introductives de M. Beard si riches en indications et suggestions — toutes ces choses auraient dû conduire, sinon à épuiser le sujet dans le présent colloque — à achever une base de discussion suffisamment complète et variée.Sans doute, cela aurait été un miracle, et c'est loin d'être étonnant si cela ne s'est pas passé. En effet, c'est bien naturel que les communications à un congrès portent aux sujets en programme des contributions fragmentaires concernant des aspects particuliers choisis par chaque auteur d'après ses intérêts et son point de vue. Et ce fait en soi est fécond en ce qui concerne la pluralité des intérêts et des points de vue: seulement il serait souhaitable d'éviter le caractère partiel et fragmentaire du résultat d'ensemble. Je crois que la voie suivie par ASTIN pourrait amener à ce résultat heureux, et qu'il suffirait à ce but de la perfectionner quelque peu davantage: par exemple, en cherchant à favoriser par des contacts préalables, chaque année pour l'année suivante, la préparation (toujours libre et indépendante) d'un ensemble minimum de contributions suffisant pour le recouvrement d'au moins tous les traits essentiels du sujet. Toute suggestion de ce genre, il est bien entendu plus aisée de l'avancer que de la réaliser; mais, si elle n'est pas totalement utopique (et s'il n'y a pas de raison de craindre qu'elle décourage la présentation d'autres contributions), je pense que ASTIN, qui se trouve dans la phase de formation d'une tradition et qui n'a besoin que de perfectionner des procédés déjà spontanément adoptés, est dans les conditions les meilleures pour y réussir.
On the Use of Extreme Values to Estimate the Premium for an Excess of Loss Reinsurance
Authors: Jung Jan 
Published: July 2016

I. Suppose that the claims experienced by a portfolio could be represented as independent random variables with a distribution function F(x). The net premium per claim for an excess loss cover above an amount of L is thenIf we have no information about F(x) except a number M of independent claims, we might compute the observed “staircase” distribution function SM (x) which is for every x an unbiased estimate of F(x), and could thus compute an unbiased estimate for P(L) with the variance [7])2. In real life we have some qualitative knowledge of F(x) and very limited information about the claims. In his introduction to this subject Beard treats the case where the only information about F(x) consists of the largest claim xi and the number of claims ni (i = 1, 2, …, N) observed during N periods (Reference No 2). It is known from the theory of extreme values [3] that for large ni the distribution of xi depends mainly on the parameters uni and αni( defined byBeard further assumes that F(x) belongs to what is called by Gumbel “the exponential type” of distribution functions, which have an unlimited tail and finite moments. This class is strictly defined by Gnedenko's necessary and sufficient condition [4, p. 68]:
Methode de sondage pour l'etude de l'influence de nouveaux criteres sur le tarif “automobile”
Authors: Montreynaud B. Dubois De 
Published: July 2016

Pour construire un tarif “Automobile” il est nécessaire d'étudier la charge des sinistres causés par les véhicules appartenant à des groupes homogènes divers: il est commode de procéder à un échantillonnage.On peut construire un échantillon où figurent des proportions constantes ou connues de chacun des groupes constituant la population à étudier.En pratique l'échantillonnage, doit, pour avoir une efficacité admissible, être particulièrement important dans les groupes à faible fréquence pour donner un nombre significatif de sinistres.Or, comme pour déterminer la méthode de sélection des échantillons on ne connait pas le groupe des véhicules sélectionnés, on serait contraint de prendre un échantillon très important.En France, le Groupement Technique Accidents fait des études sur la totalité des véhicules assurés par les Compagnies adhérentes à la statistique commune et qui représentent un tiers du Pare National.L'inconvénient de la méthode actuelle est l'impossibilité d'étudier rapidement un nouveau critère — car il faut attendre les mouvements sur le portefeuille à l'occasion desquels on enregistre le critère à étudier; les mouvements, en outre, frappent probablement moins les véliicules à faible fréquence. Le délai nécessaire pour l'étude d'un nouveau critère se compte en années.Il peut être souhaitable pour suivre l'évolution économique ou sociale d'étudier rapidement dans un délai chiffré en mois, l'influence de certains critères nouveaux, pour éviter sous la pression d'événements extérieurs d'être amené à. prendre des décisions dites “politiques” — cet euphémisme justifiant, dans le doute, des réductions de tarif explicables uniquement par le fait qu'un concurrent dangereux est peut-être sérieux — à ce moment il est inévitable de procéder à un sondage.
Exemplification of Ruin Probabilities
Authors: Wikstad Nils 
Published: July 2016

The following numerical values of ruin probabilities, Ψ(u, T) for finite times T, have been calculated by the method proposed in “Analytical steps towards a numerical calculation of the ruin probability for a finite period when the risk process is of the Poisson type or of the more general type studied by Sparre Andersen”, presented to this colloquium by Olof Thorin. The notations used in the sequel follow those of Thorin.Two distributions of the individual claims are considered, viz.,The latter distribution is a rather crude attempt to interprete the extremely skew distribution (Swedish non-industry fire insurance 1948-1951) considered by Cramér in his treatise “Collective Risk Theory”, Jubilee volume of Försäkringsaktiebolaget Skandia (1955) pp. 43-45.Likewise two distributions of the interoccurence times are considered, viz.,The d.f.B was considered by Sparre Andersen (TICA 1957 vol. II pp. 225-227).Note that the first moment equals one in all the d.f. mentioned.Though the analytical machinery also seems to work for o ≤ c ≤ 1 the Ψ values are indicated only for some values of c > 1. As known from Thorin's paper c stands for 1 + λ, where λ is the premiumloading, which means that for c = o Ψ(u, T) corresponds to the tail of the d.f. for the total amount of claims during the period (o, T).
Risque et Rentabilite
Authors: Croset Gérard 
Published: July 2016

1. M. Karl Borch a présenté, dans plusieurs de ses communications à l'ASTIN), un modèle de comportement de l'assureur, qu'il qualifie lui-même de simplifié, mais qui met néanmoins en évidence une intéressante propriété d'optimalité. L'assureur maximiserait la valeur actuelle des dividendes futurs en laissant les bénéfices éventuels s'ajouter aux fonds propres jusqu'au niveau Z; les montants qui porteraient alors les richesses libres au dessus du niveau Z seraient intégralement distribués. L'espérance mathématique optimale V(S, Z) de la valeur actuelle des dividendes futurs dépend, dans ces conditions, du capital S initial. D'autre part, il reste entendu que si S > Z, alors (S — Z) est immédiatement „remboursé”, et, si S = o, la société cesse, en principe, ses opérations, toutefois, M. Karl Borch a envisagé la possibilité d'un renflouement).2. L'utilisation pratique de ce modèle pose deux problémes particulièrement importants:— la société a-t-elle le droit de fonctionner avec le capital S?— les capitalistes accepteraient-ils d'investir S?2.1. Le premier de ces problèmes a été envisagé par nous-même dans une étude précédente). Il apparaît que la contrainte imposée par l'autorité de tutelle peut-être sommairement résumée par l'obligation d'un capital minimum T. La valeur actuelle optimale V(S, T, ZT) des dividendes futurs est alors diminuée par rapport à la valeur précédemment considérée (correspondant à T = o), soit V(S, o, Z0), tandis que le niveau ZT de la barrière reflexive est placé plus haut que Z0.2.2. Il reste à considérer le second problème, c'est-à-dire, finalement, celui de l'opportunité du placement des capitaux dans une société d'assurances dommages. Cela nécessite que soit défini un critère de choix des placements.
Applications to a theory of bonus systems
Authors: Vepsäläinen S. 
Published: July 2016

This paper deals with bonus systems used in Denmark, Finland, Norway, Sweden, Switzerland and West Germany. These systems are studied by methods given by Mr. Loimaranta). The bonus rules of Denmark and Sweden have been modified because they contradict to one of the assumptions of the theory.It is assumed that the number of claims in a year follows the Poisson distribution with a mean λ. Further it is assumed that the value of λ is independent of time.In each case bonus rules are given in form of transformations Tk defined in ref. 1., i.e. Tk(i) = j when a policy moves from class i to class j after k claims. The class where a new policy starts from is called the initial class. Bonus scales, the vectors B, are normed so that the premium of the initial class is 100.For each bonus system the efficiency η of the system and the discrimination power d of the bonus rules as a function of the mean claim frequency λ have been calculated. The graphs of these functions are presented in the figures 2 to 4 respectively. In the following pages, different bonus rules are described in detail and some simple analysis based on the curves on pp. 211-214 has been made. The calculations were performed quite recently and any deeper analysis of the results has not been possible because of lack of time.In order to be able to apply the theory of Markov chains to a bonus system we must require among others that the transition to a certain class depends only on the number of claims occurred during last period ignoring possible former claims. The Danish system has originally four bonus classes labeled from 0 to 3.
Some statistical aspects of catastrophic risks
Authors: Anantapadmanabhan C. S. 
Published: July 2016

1. Risks of a catastrophic nature, such as war or earthquake, can differ, in a statistical sense, from other ordinarily insured perils only in respect of the distribution of the probability function. For example, although the probability of a loss occurring may be small, its magnitude once it occurs may be very large. One reason for the latter feature is that the sum insured may itself be heavy. But still more important is the fact that there would be strong positive correlation between similar contiguously situated risks. This is the main reason for the loss taking on a catastrophic character.2. The fact that the probability of a loss is ordinarily small, leads to the result that the expected loss and hence the pure premium for the risk is small. Equally, and for the same reason, the “loss strain at risk” is large. If the latter could be considerably reduced—which can only be done by charging impracticably high premiums—the risk becomes more easily insurable.3. If there are n risks of this nature, 1, 2, 3 … n and νi(x) is the conditional frequency function of the ith risk we may write
While we may imagine this as a frequency curve, the complementary probability Ϸi of a loss not occurring can be represented as a vertical line at the origin—the different methods of representation of Ϸ and q are actually convenient. With this representation, the expansion of the binomial product
shows that the convolution of the n curves can be expressed as the sum of n + I functions
where
(ii) the term A1(x) comprises n separate curves of the form νi(x) each multiplied by its complementary probability, being of the form
(iii) the term A2(x) comprises terms each consisting of the convolution of the curves taken two at a time and multiplied by the complementary probability, being of the form
and so on.
Insurance as a cybernetic institution of self-regulation of the national economy
Authors: Banasinski Antoni 
Published: July 2016

The present referendum is only indirectly connected with the themes of the fifth Colloquium of ASTIN. It is more or less a memorandum about the actual work of Polish actuaries in the sector of the Insurance Theory and trying out a new conception and solution of social and economic problems of Property and Capital Insurances.The principles and hypotheses of the cybernetic insurance theory posed in this referendum are a result of social situations in a planned economy. However, it is assumed that the cybernetic analysis of the economic role of insurance, and the methods of calculation resulting from this analysis, can also be applied to other social and economic situations.In the judgment of the author, the problem under consideration would be of interest to the members of ASTIN and could possibly be included in the syllabus of one of the subsequent colloquia of ASTIN.
The Calculation Of A Fluctuation Loading For An Excess Of Loss Cover
Authors: Benktander Gunnar 
Published: July 2016

A diminishing number of Reinsurers still seem to work with percentage loadings which are applied with more or less sophistication to the pure risk premium rate.A more sensible approach is to study the distribution of the total claims amount of the layer reinsured (standard deviation, variance, skewness).In practice this distribution is not known and we have to work with estimates E* and σ*2 of the first moment which is the pure risk premium (E) and of the second central moment (σ2). Because of the positive skewness of the distribution, E* will fall below E in more than half of the cases and sometimes considerably below.One security loading principle could be to add a proportion k of σ* to E* in such a way thatIf ε is put equal to 0.25 this reflects our wish to ensure that our security loaded rates are too low only in 25% of the cases. A σ- loading here emerges as a result of the statistical uncertainty.If we analyse the result fluctuations we are led to apply a variance loading (1), which can be interpreted as a price for capacity (2). (See also discussion contributions by B. Ajne, G. Benktander, G. Berger, H. Bühlmann; Transactions of the Congress, 5, Oslo 1972, p. 169 ff.)An underwriter who is confronted with two portfolios having the same first and second moments should, if conditions are the same, prefer the one with the lower third moment. A special loading for skewness is thus indicated.
The Surplus Process As A Fair Game—Utilitywise
Authors: Gerber Hans U. 
Published: July 2016

The concept of utility is twofold. One may think of utility:1) as a tool to describe a “fair game”2) as a quantity that ought to be maximized.The first line of thought was initiated by Daniel Bernoulli in connection with the St. Petersburg Paradox. In recent decades, actuaries, economists, operations researchers and statisticians (this order is alphabetical) have been concerned mostly with optimization problems, which belong to the second category. Most of the actuarial models can be found in a paper by Borch [4] as well as in the texts by Beard, Pesonen and Pentikainen [3], Bühlmann [6], Seal [15], and Wolff [17].We shall adopt the first variant and stipulate the existence of a utility function such that the surplus process of an insurance company is a fair game in terms of utility. This condition is naturally satisfied under the following procedure: a) a utility function is selected, possibly resulting from a compromise between an insurance company and supervising authorities, b) whenever the company makes a decision that affects the surplus, it should not affect the expected utility of the surplus.Mathematically, this simply means that the utility of the surplus is a martingale. Therefore martingale theory (that was initiated by Doob) is the natural framework in which we shall study the model. We shall utilize one of the most powerful tools provided by this theory, the Martingale Convergence Theorem.
Evaluation de Provisions pour Sinistres a Payer en Periode de Stagflation
Authors: de Montreynaud Bernard Dubois , Strube Didier 
Published: July 2016

En matière d'assurance de la Responsabilité Civile Automobile, chacun connait la difficulté de fixer un tarif qui doit prévoir l'évolution à court terme, aussi bien de la fréquence, que du coût des sinistres mais, à notre avis, un problème bien plus important et d'une actualité brûlante réside dans l'étude de la répercussion sur la liquidation des sinistres, des facteurs monétaires et économiques nationaux et peut-être dans la remise en cause du système en vigueur dans notre pays.Le compte d'exploitation est établi en tenant compte des provisions pour sinistres qui sont de l'ordre de grandeur des primes.Or, l'incertitude de l'évolution de la valeur de la monnaie courante dans laquelle sont établis les comptes entraîne une variation possible sur les provisions techniques, d'un ordre de grandeur supérieur au résultat de l'exploitation.Notre propos est de montrer l'ampleur des répercussions d'une période de stagflation sur l'évolution des provisions pour sinistres de Responsabilité Civile Automobile et de donner une règle empirique permettant une meilleure évaluation.Nous ne parlerons pas des sinistres matériels qui sont réglés rapidement et pour lesquels l'indemnité est fixée au jour du sinistre; l'inflation n'a donc pratiquement pas d'influence sur le montant du règlement. La part des sinistres matériels dans les provisions ne dépasse du reste pas 15%.Nous nous bornerons à l'étude des sinistres corporels. Les indemnités pour ces sinistres sont fixées au jour du règlement; elles correspondent à des salaires et subissent donc à la fois l'augmentation des prix et la progression du pouvoir d'achat. Les frais de gestion et de justice qui accompagnent le règlement des indemnités sont également homogènes à des salaires.
Exchange de Risques entre Assureurs et Theorie des Jeux
Authors: Lemaire Jean 
Published: July 2016

SummaryA theorem of Borch characterizing Pareto-optimal treaties in a reinsurance market is extended to the case of non-differentiable utilities. Sufficient conditions for the existence of a solution to the equations are established. The problem is then shown to be identical to the determination of the value of a cooperative non-transferable m-person game. We show how to compute the Shapley value of this game, then we introduce a new value concept. An example illustrates both methods.
Separation of Inflation and other Effects from the Distribution of Non-Life Insurance Claim Delays
Authors: Taylor G. C. 
Published: July 2016

In recent years, as a result of more concentrated research together with the ravages wrought upon some insurers by inflation, the fundamental significance of the so-called run-off triangle in the calculation of provisions for outstanding claims has been increasingly recognised. The run-off triangle, which is a two-way tabulation—according to year of origin and year of payment—of claims paid to date, has the following form, where Cij is the amount paid by the end of development year j in respect of claims whose year of origin is i, i.e. Cij is the total amount paid in year of origin i and the following j years.The information relating to the area below this triangle is unknown since it represents the future development of the various cohorts of claims.