NUMERICAL METHOD FOR PASSING THE MATHEMATICAL EXPECTATION OF THE SOLUTION TO THE CAUCHY PROBLEM FOR A DIFFERENTIAL EQUATION WITH A RANDOM PROCESS
Authors: Тихомиров Г.С. 
Published: September 2024

для описания технологических процессов обычно используются детерминированные и стохастические модели. Предпочтительным является использование стохастических моделей, поскольку их использование позволяет учитывать влияние неконтролируемых возмущений, действующих на эти процессы. При этом случайные процессы обычно описываются одним из известных законов распределения. Рассмотрен численный метод нахождения математического ожидания решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями, один из коэффициентов которого является случайным процессом, задаваемым характеристическим функционалом. Уравнение не может быть записано в форме интеграла Ито или Стратоновича. Для получения решения рассматриваемого уравнения оно сводится к детерминированной задаче в обыкновенных и вариационных производных путем введения вспомогательных отображений. Решение полученной детерминированной задачи позволяет найти математическое ожидание искомой функции. Поскольку получение аналитического решения задачи в общем виде является неочевидным, она решается с помощью сеточной аппроксимации. Разработан алгоритм, позволяющий получить численное решение математического ожидания искомой функции в точках временной области. Предложенная методика рассмотрена на примере решения задачи нахождения концентрации радикалов в процессе термомеханической деструкции полимера. Модель процесса описывается уравнением Риккати с заданным начальным условием, которая сводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка со случайным процессом. Получено численное решение данной модели, анализ результатов моделирования показал хорошее соответствие между экспериментальными и расчетными значениями концентрации радикалов. Результаты моделирования представлены в графической форме. Предложенный метод реализован в виде прикладной программы на ЭВМ (электронной вычислительной машине)
deterministic and stochastic models are usually used to describe technological processes. The use of stochastic models is preferable, since their use allows us to take into account the influence of uncontrolled disturbances acting on these processes. In this case, random processes are usually described by one of the known distribution laws. The article discusses a numerical method for finding the mathematical expectation of a solution to a second-order ordinary differential equation with initial conditions, one of the coefficients of which is a random process specified by the characteristic functional. The equation cannot be written in the form of an Ito or Stratonovich integral. To obtain a solution to the equation under consideration, it is reduced to a deterministic problem in ordinary and variational derivatives by introducing auxiliary mappings. The solution of the resulting deterministic problem allows us to find the mathematical expectation of the desired function. Since obtaining an analytical solution to the problem in general form is not obvious, it is solved using a grid approximation. An algorithm has been developed that makes it possible to obtain a numerical solution to the mathematical expectation of the desired function at points in the time domain. The proposed method is considered using the example of solving the problem of finding the concentration of radicals in the process of thermomechanical destruction of a polymer. The process model is described by the Riccati equation with a given initial condition, which reduces to a second-order linear inhomogeneous differential equation with a random process. A numerical solution to this model was obtained; analysis of the simulation results showed good agreement between the experimental and calculated values of the concentration of radicals. The simulation results are presented in graphical form. The proposed method is implemented in the form of an application program on a computer