La distribución del tamaño de las ciudades, la ley de Zipf revisitada
Authors: Roca Cladera Josep , Arellano Ramos Blanca 
Published: December 2017

Diversos autores (Berry, 1970; Krugman, 1996; Eaton y Eckstein, 1997; entre muchos otros) han experimentado asombro acerca de cómo en la mayor parte de lugares se cumple con una claridad meridiana la ley del “mínimo esfuerzo” establecida por Zipf (1949). Las ciudades, ordenadas por población, parecen seguir casi al pie de la letra una función log/log, en la que el logaritmo de la “masa” (población, densidad, número de trabajadores, etc.) se correlaciona de forma casi perfecta con el logaritmo del orden de dicha masa. Esa función log/log, avanzada ya por Pareto en el siglo XIX, ha seducido a no pocos investigadores, al producirse, en hipótesis, tanto en fenómenos naturales (terremotos, meteoritos, especies vivas, etc.) como derivados de la sociedad (lenguaje o distribución de ciudades), lo que ha llevado a indagar en sus fundamentos teóricos (Simon, 1955; Brakman et al., 1999; Gabaix, 1999).
Si bien algunos autores (Rosen y Resnick, 1980; Fan y Casetti, 1994) han discutido la validez lineal de la Ley Zipf, introduciendo modelos no lineales, la literatura especializada se ha concentrado en la “cola superior” de la jerarquía urbana, las ciudades o áreas metropolitanas grandes, tendiendo a callar el hecho de que la función log/log en absoluto parece ser un modelo de alcance general. El presente artículo intenta mostrar que cuando se tiene en cuenta la totalidad de casos (es decir, la totalidad de localidades pobladas en un determinado territorio), el modelo log/log parece ser tan sólo un caso singular propio de “los grandes”. De hecho, se pone en evidencia que un modelo log/lin tiende a ser más eficiente, aunque se “dobla por las colas”. Ello ha conducido a la hipótesis que intenta ser contrastada en esta investigación que el logaritmo de la masa urbana tiende a tener una “distribución normal”, conduciendo su distribución acumulada (y ordenada por rango) a distribuirse de acuerdo con una estructura de carácter logístico, en “S”.
En este sentido la observación reiterada del cumplimiento de la Ley de Zipf en el tamaño de las ciudades sería tan sólo la punta emergida de un “iceberg” más profundo, en el que ciudades medias y pequeñas tienen también su protagonismo, y donde una “ley” de carácter más general emerge.
La investigación presentada se interroga acerca de si puede modelarse de forma sencilla y elegante esa emergencia “normal” del logaritmo de la masa e intenta algún experimento en este sentido.
Diversos autors (Berry 1970, Krugman 1996 o Eaton i Eckstein 1997, entre altres) han experimentat astorament en referència a com en la major part dels llocs es compleix amb una claredat meridiana la llei del “mínim esforç” establerta per Zipf (1949). Les ciutats, ordenades per població, semblen seguir quasi al peu de la lletra una funció log/log, en la que el logaritme de la “massa” (població, densitat, nombre de treballadors, etc.) es correlaciona de forma quasi perfecta amb el logaritme de l’ordre de la citada massa. Aquesta funció log/log, avançada ja per Pareto en el segle XIX, ha seduït a no pocs investigadors, al produir-se, en hipòtesi, tant en fenòmens naturals (terratrèmols, meteorits, espècies vives, etc.) com derivats de la societat (llenguatge o distribució de ciutats), el que ha comportat a revisar els seus fonaments teòrics (Simon 1955, Brakman et al. 1999, Gabaix 1999).

Si bé alguns autors (Rosen i Resnick 1980, Fan i Casetti 1994) han discutit la certesa lineal de la Llei de Zipf, introduint models no lineals, la literatura especialitzada s’ha concentrat a la cua superior de la jerarquia urbana, les ciutats o àrees metropolitanes grans, tendint a callar el fet que la funció log/log en absolut sembla ser un model generalitzat. La ponència intenta mostrar que quan es té en compte la totalitat de casos (és a dir, la totalitat de localitats poblades en un determinat territori), el model log/log sembla ser només un cas singular propi dels grans. De fet, es posa en evidència que un model log/lin tendeix a ser més eficient, encara que es “dobla per les cues”. Això ha conduit a la hipòtesi que intenta ser contrastada en aquesta investigació que el logaritme de la massa urbana tendint a tenir una “distribució normal”, conduint la seva distribució acumulada (i ordenada per rang) a distribuir-se d’acord a una estructura de caràcter lògic, en “S”.

En aquest sentit, l’observació reiterada del compliment de la Llei de Zipf en el tamany de les ciutats seria només la punta emergida d’un “iceberg” més profund, en el que les ciutats mitges i petites tenen també el seu protagonisme i, on una “llei” de caràcter més general emergeix.

La investigació presentada s’interroga sobre si pot ser modelada de forma senzilla i elegant aquesta emergència “normal” del logaritme de la massa i intenta algun experiment en aquest sentit.
Several authors (Berry 1970, Krugman 1996 or Eaton and Eckstein 1997, among many others) have experienced amazement how in most places the law of "least effort" established by Zipf (1949) is met very clearly. Cities, ranked by population, seem to follow almost exactly a function log/log, in which the logarithm of the "mass" (population, density, number of employees, etc..) correlates almost perfectly with the logarithm of the order of that mass. This function log/log, advanced by Pareto in the nineteenth century, has attracted quite a number of researchers, to occur in scenarios, both natural phenomena (earthquakes, meteorites, living species, ...) as derivatives of society (language, or distribution of cities), which has led to investigate its theoretical basis (Simon 1955, Brakmar et al. 1999, Gabaix 1999).
While some authors (Rosen and Resnick 1980, Fan and Casetti 1994) have discussed the linear validity of Zipf's Law, introducing nonlinear models, technical literature has focused on the "upper tail" of the urban hierarchy, cities or large metropolitan areas, tending to silence the fact that the function log/log at all seems to be a general model. This paper attempts to show that when taking into account all the cases (ie, all populated localities in a particular territory), the log / log model seems to be only a special case of "the big." In fact it shows that the log/lin model tends to be more efficient, even with "folded tails." This has led to the hypothesis that tries to be tested in this study, that the logarithm of the urban mass tends to have a "normal distribution", leading its cumulative distribution (and ordered by rank) to be distributed according to a logistical structure, called "S".
In this sense, the observation repeated of fulfillment of the Law of Zipf in the size of the cities would be just "the tip of the iceberg", in which cities of small and medium size also take its part, and where a "law" of a higher level appears.
The presented research questions if this "normal" emergency of the logarithm of the mass could be shaped in a simple and elegant form, and tries an experiment in this regard.