Modelling and vibration control for a submerged piezoelectric cantilever beam
Authors:   , Wang Bin 
Published: November 2024

(English) In this thesis, the dynamic model for the piezoelectric cantilever beam is build by using partial differential equation (PDE). To facilitate the parameter estimation procedure and the controller design, a simplified control-oriented ordinary differential equation (ODE)-based model is constructed. Adaptive parameter estimation strategies are developed for the system with the first mode and the system with multi-modes respectively. In order to suppress the vibration of the beam, an unknown dynamics estimator (UDE)-based controller is introduced for the beam. To further take into account the unknown parameters, adaptive control is proposed which can online update the parameters. The main contributions of the thesis can be summarized as follows:

1. Development of the PDE-based model and the ODE-based model for the submerged piezoelectric cantilever beam. The system is described by both the PDE-based model and ODE-based model. The motion equation of the cantilever beam is build with the help of Hamilton’s principle. The piezoelectric actuator model is included in the derived PDE and the deflection-strain relationship is presented for the purpose of experimental validation. To make it convenient for parameter estimation, Galerkin method is adopted to convert the PDE to ODE.

2. Adaptive parameter estimation strategy design for the beam with one mode. A new adaptive parameter estimation framework is proposed to online estimate unknown system parameters considering the first vibration mode. To obtain the system states, the Levant exact differentiator via sliding mode technique is constructed. Instead of using the observer/predictor error as in the classical parameter estimation methods, a novel adaptive law which is driven by the parameter estimation error is proposed.

3. Adaptive parameter estimation for the beam with multi-modes by using input and output. In order to cope with multiple vibration modes of the beam, a novel parameter estimation strategy is formulated to identify the beam system. A novel adaptive law is introduced to estimate the unknown system parameters in real time. Specifically, a time-varying gain is designed to handle the effects of regressor to enhance convergence performance and simplify the tuning of learning gains.

4. Development of the UDE-based vibration control for the beam. An estimator based vibration control strategy is introduced to both suppress the vibration and estimate the unknown system dynamics. Different to the function approximation based methods, the proposed control has a simple structure which is more realistic to implement in practice. In the proposed estimator, only one parameter need to be tuned depends on the bandwidth of the filter. The estimated unknown dynamics is compensated into the controller and thus makes the system more robust to unknown external disturbances. The stability and convergence properties of the proposed control is proved by using Lyapunov theory.

5. Adaptive control design for the beam. To suppress the vibration of the beam with unknown system parameters, an adaptive control is proposed. By using the parameter estimation error based adaptive law, the unknown system parameters can be online updated. To suppress the vibration of the beam, the adaptive controller is designed and the stability is proved.
(Català) En aquesta tesi, el model dinàmic de la biga en voladís piezoelèctric es construeix mitjançant l'ús de l'equació diferencial parcial (PDE). Per facilitar el procediment d'estimació de paràmetres i el disseny del controlador, es construeix un model basat en equacions diferencials ordinàries (ODE) orientat al control simplificat. Es desenvolupen estratègies d'estimació de paràmetres adaptatius per al sistema amb el primer mode i el sistema amb modes múltiples, respectivament. Per tal de suprimir la vibració del feix, s'introdueix un controlador basat en un estimador de dinàmica desconeguda (UDE) per al feix. Per tenir més en compte els paràmetres desconeguts, es proposa un control adaptatiu que permet actualitzar els paràmetres en línia. Les principals aportacions de la tesi es poden resumir de la següent manera:

1. Desenvolupament del model basat en PDE i el model basat en ODE per a la biga cantilever piezoelèctrica submergida. El sistema es descriu tant pel model basat en PDE com pel model basat en ODE. L'equació de moviment de la biga en voladís es construeix amb l'ajuda del principi de Hamilton. El model d'actuador piezoelèctric s'inclou a la PDE derivada i es presenta la relació deflexió-deformació per a la validació experimental. Per fer-ho convenient per a l'estimació de paràmetres, s'adopta el mètode de Galerkin per convertir la PDE a ODE.

2. Disseny d'estratègia d'estimació adaptativa de paràmetres per al feix amb un mode. Es proposa un nou marc adaptatiu d'estimació de paràmetres per estimar en línia els paràmetres desconeguts del sistema tenint en compte el primer mode de vibració. Per obtenir els estats del sistema, es construeix el diferenciador exacte de Levant mitjançant la tècnica del mode lliscant. En lloc d'utilitzar l'error observador/predictor com en els mètodes clàssics d'estimació de paràmetres, es proposa una nova llei adaptativa impulsada per l'error d'estimació de paràmetres.

3. Estimació adaptativa de paràmetres per al feix amb modes múltiples mitjançant l'ús d'entrada i sortida. Per tal de fer front a múltiples modes de vibració del feix, es formula una nova estratègia d'estimació de paràmetres per identificar el sistema de feix. S'introdueix una nova llei adaptativa per estimar els paràmetres desconeguts del sistema en temps real. Concretament, un guany variable en el temps està dissenyat per gestionar els efectes del regressor per millorar el rendiment de convergència i simplificar l'ajust dels guanys d'aprenentatge.

4. Desenvolupament del control de vibració basat en UDE per a la biga. S'introdueix una estratègia de control de vibració basada en estimadors per suprimir la vibració i estimar la dinàmica del sistema desconeguda. A diferència dels mètodes basats en l'aproximació de funcions, el control proposat té una estructura senzilla que és més realista d'implementar a la pràctica. A l'estimador proposat, només cal ajustar un paràmetre depèn de l'amplada de banda del filtre. La dinàmica desconeguda estimada es compensa al controlador i, per tant, fa que el sistema sigui més robust davant les pertorbacions externes desconegudes. Les propietats d'estabilitat i convergència del control proposat es demostren utilitzant la teoria de Lyapunov.

5. Disseny de control adaptatiu del feix. Per suprimir la vibració del feix amb paràmetres del sistema desconeguts, es proposa un control adaptatiu. Mitjançant l'ús de la llei adaptativa basada en l'error d'estimació de paràmetres, els paràmetres desconeguts del sistema es poden actualitzar en línia. Per suprimir la vibració del feix, es dissenya el controlador adaptatiu i es demostra l'estabilitat.