Construction and stability of blowup solutions for a non-variational semilinear parabolic system
Authors: Ghoul Tej-Eddine , Nguyen Van Tien , Zaag Hatem 
Published: June 2018

We consider the following parabolic system whose nonlinearity has no gradient structure:

\left\{\begin{align*}
&\partial _{t}u = \mathrm{\Delta }u + |v|^{p−1}v,\:
&& \partial _{t}v = \mu \mathrm{\Delta }v + |u|^{q−1}u, \\
&u( \cdot ,0) = u_{0},\:
&&v( \cdot ,0) = v_{0},
\end{align*}
\right.

in the whole space

\mathbb{R}^{N}

, where

p,q > 1

and

\mu > 0

. We show the existence of initial data such that the corresponding solution to this system blows up in finite time

T(u_{0},v_{0})

simultaneously in
u
and
v
only at one blowup point
a
, according to the following asymptotic dynamics:

\left\{
\begin{align*}
& u(x,t) \sim \mathrm{\Gamma }
\left[(T−t)
\left(1 + \frac{b|x−a|^{2}}{(T−t)|\mathrm{\log }⁡(T−t)|}
\right)
\right]^{−\frac{(p + 1)}{pq−1}}, \\
& v(x,t) \sim \gamma
\left[(T−t)
\left(1 + \frac{b|x−a|^{2}}{(T−t)|\mathrm{\log }⁡(T−t)|}
\right)
\right]^{−\frac{(q + 1)}{pq−1}},
\end{align*}
\right.

with

b = b(p,q,\mu ) > 0

and

(\mathrm{\Gamma },\gamma ) = (\mathrm{\Gamma }(p,q),\gamma (p,q))

. The construction relies on the reduction of the problem to a finite dimensional one and a topological argument based on the index theory to conclude. Two major difficulties arise in the proof: the linearized operator around the profile is not self-adjoint even in the case

\mu = 1

; and the fact that the case

\mu \neq 1

breaks any symmetry in the problem. In the last section, through a geometrical interpretation of quantities of blowup parameters whose dimension is equal to the dimension of the finite dimensional problem, we are able to show the stability of these blowup behaviors with respect to perturbations in initial data.

Résumé
Nous considérons le système parabolique suivant :

\left\{\begin{align*}
&\partial _{t}u = \mathrm{\Delta }u + |v|^{p−1}v,\:
&& \partial _{t}v = \mu \mathrm{\Delta }v + |u|^{q−1}u, \\
&u( \cdot ,0) = u_{0},\:
&&v( \cdot ,0) = v_{0},
\end{align*}
\right.

dans tout l'espace

\mathbb{R}^{N}

, où

p,q > 1

et

\mu > 0

. Nous prouvons l'existence d'une donnée initiale telle que la solution associée explose en temps fini

T(u_{0},v_{0})

simultanément en
u
et
v
, et en un unique point
a
. Plus présicément, nous prouvons que cette solution a le comportement asymptotique suivant :

\left\{
\begin{align*}
& u(x,t) \sim \mathrm{\Gamma }
\left[(T−t)
\left(1 + \frac{b|x−a|^{2}}{(T−t)|\mathrm{\log }⁡(T−t)|}
\right)
\right]^{−\frac{(p + 1)}{pq−1}}, \\
& v(x,t) \sim \gamma
\left[(T−t)
\left(1 + \frac{b|x−a|^{2}}{(T−t)|\mathrm{\log }⁡(T−t)|}
\right)
\right]^{−\frac{(q + 1)}{pq−1}},
\end{align*}
\right.

avec

b = b(p,q,\mu ) > 0

et

(\mathrm{\Gamma },\gamma ) = (\mathrm{\Gamma }(p,q),\gamma (p,q))

. La construction de cette solution découle de la réduction du problème à un problème de dimension finie et un argument topologique basé sur la théorie de l'index pour conclure. Deux difficultés majeures se sont posées lors de la preuve :

Dans la dernière section, grâce à une interprétation géométrique des paramètres du problème, nous prouvons la stabilité du comportement asymptotique des solutions construites par rapport à des perturbations dans les données initiales.