bluuebunny/crossref_metadata_2025_split huggingface dataset:
Weakly directed self-avoiding walks
Authors: Bacher Axel , Bousquet-Mélou Mireille 
Published: August 2021

We define a new family of self-avoiding walks (SAW) on the square lattice, called $\textit{weakly directed walks}$. These walks have a simple characterization in terms of the irreducible bridges that compose them. We determine their generating function. This series has a complex singularity structure and in particular, is not D-finite. The growth constant is approximately 2.54 and is thus larger than that of all natural families of SAW enumerated so far (but smaller than that of general SAW, which is about 2.64). We also prove that the end-to-end distance of weakly directed walks grows linearly. Finally, we study a diagonal variant of this model.
Nous définissons une nouvelle famille de chemins auto-évitants (CAE) sur le réseau carré, appelés $\textit{chemins faiblement dirigés}$. Ces chemins ont une caractérisation simple en termes des ponts irréductibles qui les composent. Nous déterminons leur série génératrice. Cette série a une structure de singularité complexe et n'est en particulier pas D-finie. La constante de croissance est environ 2,54, ce qui est supérieur à toutes les familles naturelles de SAW étudiées jusqu'à présent, mais inférieur aux CAE généraux (dont la constante est environ 2,64). Nous prouvons également que la distance moyenne entre les extrémités du chemin croît linéairement. Enfin, nous étudions une variante diagonale du modèle.
Gelfand―Tsetlin Polytopes and Feigin―Fourier―Littelmann―Vinberg Polytopes as Marked Poset Polytopes
Authors: Ardila Federico , Bliem Thomas , Salazar Dido 
Published: August 2021

Stanley (1986) showed how a finite partially ordered set gives rise to two polytopes, called the order polytope and chain polytope, which have the same Ehrhart polynomial despite being quite different combinatorially. We generalize his result to a wider family of polytopes constructed from a poset P with integers assigned to some of its elements. Through this construction, we explain combinatorially the relationship between the Gelfand–Tsetlin polytopes (1950) and the Feigin–Fourier–Littelmann–Vinberg polytopes (2010, 2005), which arise in the representation theory of the special linear Lie algebra. We then use the generalized Gelfand–Tsetlin polytopes of Berenstein and Zelevinsky (1989) to propose conjectural analogues of the Feigin–Fourier–Littelmann–Vinberg polytopes corresponding to the symplectic and odd orthogonal Lie algebras.
Stanley (1986) a montré que chaque ensemble fini partiellement ordonné permet de définir deux polyèdres, le polyèdre de l'ordre et le polyèdre des cha\^ınes. Ces polyèdres ont le même polynôme de Ehrhart, bien qu'ils soient tout à fait distincts du point de vue combinatoire. On généralise ce résultat à une famille plus générale de polyèdres, construits à partir d'un ensemble partiellement ordonné ayant des entiers attachés à certains de ses éléments. Par cette construction, on explique en termes combinatoires la relation entre les polyèdres de Gelfand-Tsetlin (1950) et ceux de Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg (2010, 2005), qui apparaissent dans la théorie des représentations des algèbres de Lie linéaires spéciales. On utilise les polyèdres de Gelfand-Tsetlin généralisés par Berenstein et Zelevinsky (1989) afin d'obtenir des analogues (conjecturés) des polytopes de Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg pour les algèbres de Lie symplectiques et orthogonales impaires.
Rational smoothness and affine Schubert varieties of type A
Authors: Billey Sara , Crites Andrew 
Published: August 2021

The study of Schubert varieties in G/B has led to numerous advances in algebraic combinatorics and algebraic geometry. These varieties are indexed by elements of the corresponding Weyl group, an affine Weyl group, or one of their parabolic quotients. Often times, the goal is to determine which of the algebraic and topological properties of the Schubert variety can be described in terms of the combinatorics of its corresponding Weyl group element. A celebrated example of this occurs when G/B is of type A, due to Lakshmibai and Sandhya. They showed that the smooth Schubert varieties are precisely those indexed by permutations that avoid the patterns 3412 and 4231. Our main result is a characterization of the rationally smooth Schubert varieties corresponding to affine permutations in terms of the patterns 4231 and 3412 and the twisted spiral permutations.
L'étude des variétés de Schubert dans G/B a mené à plusieurs avancées en combinatoire algébrique. Ces variétés sont indexées soit par l'élément du groupe de Weyl correspondant, soit par un groupe de Weyl affine, soit par un de leurs quotients paraboliques. Souvent, le but est de déterminer quelles propriétés algébriques et topologiques des variétés de Schubert peuvent être décrites en termes des propriétés combinatoires des éléments du groupe de Weyl correspondant. Un exemple bien connu, dû à Lakshmibai et Sandhya, concerne le cas où G/B est de type A. Ils ont montré que les variétés de Schubert lisses sont exactement celles qui sont indexées par les permutations qui évitent les motifs 3412 et 4231. Notre résultat principal est une caractérisation des variétés de Schubert lisses et rationnelles qui correspondent à des permutations affines pour les motifs 4231 et 3412 et les permutations spirales tordues.
Path tableaux and combinatorial interpretations of immanants for class functions on $S_n$
Authors: Clearman Sam , Shelton Brittany , Skandera Mark 
Published: August 2021

Let $χ ^λ$ be the irreducible $S_n$-character corresponding to the partition $λ$ of $n$, equivalently, the preimage of the Schur function $s_λ$ under the Frobenius characteristic map. Let $\phi ^λ$ be the function $S_n →ℂ$ which is the preimage of the monomial symmetric function $m_λ$ under the Frobenius characteristic map. The irreducible character immanant $Imm_λ {(x)} = ∑_w ∈S_n χ ^λ (w) x_1,w_1 ⋯x_n,w_n$ evaluates nonnegatively on each totally nonnegative matrix $A$. We provide a combinatorial interpretation for the value $Imm_λ (A)$ in the case that $λ$ is a hook partition. The monomial immanant $Imm_{{\phi} ^λ} (x) = ∑_w ∈S_n φ ^λ (w) x_1,w_1 ⋯x_n,w_n$ is conjectured to evaluate nonnegatively on each totally nonnegative matrix $A$. We confirm this conjecture in the case that $λ$ is a two-column partition by providing a combinatorial interpretation for the value $Imm_{{\phi} ^λ} (A)$.
Soit $χ ^λ$ le caractère irréductible de $S_n$ qui correspond à la partition λ de l'entier n, ou de manière équivalente, la préimage de la fonction de Schur $s_λ$ par l'application caractéristique de Frobenius. Soit $\phi ^λ$ la fonction $S_n →ℂ$ qui est la préimage de la fonction symétrique monomiale m_λ . La valeur du caractère irréductible immanent $Imm_λ {(x)} = ∑_w ∈S_n χ ^λ (w) x_1,w_1 ⋯x_n,w_n$ est non négative pour chaque matrice totalement non négative. Nous donnons une interprétation combinatoire de la valeur $Imm_λ (A)$ lorsque $λ$ est une partition en équerre. Stembridge a conjecturé que la valeur de l'immanent monomial $Imm_{{\phi} ^λ} (x) = ∑_w ∈S_n φ ^λ (w) x_1,w_1 ⋯x_n,w_n$ de $\phi ^λ$ est elle aussi non négative pour chaque matrice totalement non négative. Nous confirmons cette conjecture quand λ satisfait $λ _1 ≤2$, et nous donnons une interprétation combinatoire de $Imm_{{\phi} ^λ} (A)$ dans ce cas.
Critical Groups of Simplicial Complexes
Authors: Duval Art M. , Klivans Caroline J. , Martin Jeremy L. 
Published: August 2021

We generalize the theory of critical groups from graphs to simplicial complexes. Specifically, given a simplicial complex, we define a family of abelian groups in terms of combinatorial Laplacian operators, generalizing the construction of the critical group of a graph. We show how to realize these critical groups explicitly as cokernels of reduced Laplacians, and prove that they are finite, with orders given by weighted enumerators of simplicial spanning trees. We describe how the critical groups of a complex represent flow along its faces, and sketch another potential interpretation as analogues of Chow groups.
Nous généralisons la théorie des groupes critiques des graphes aux complexes simpliciaux. Plus précisément, pour un complexe simplicial, nous définissons une famille de groupes abéliens en termes d'opérateurs de Laplace combinatoires, qui généralise la construction du groupe critique d'un graphe. Nous montrons comment réaliser ces groupes critiques explicitement comme conoyaux des opérateurs de Laplace réduits combinatoires, et montrons qu'ils sont finis. Leurs ordres sont obtenus en comptant (avec des poids) des arbres simpliciaux couvrants. Nous décrivons comment les groupes critiques d'un complexe représentent le flux le long de ses faces, et esquissons une autre interprétation potentielle comme analogues des groupes de Chow.
Allowed patterns of β -shifts
Authors: Elizalde Sergi 
Published: August 2021

For a real number $β >1$, we say that a permutation $π$ of length $n$ is allowed (or realized) by the $β$-shift if there is some $x∈[0,1]$ such that the relative order of the sequence $x,f(x),\ldots,f^n-1(x)$, where $f(x)$ is the fractional part of $βx$, is the same as that of the entries of $π$ . Widely studied from such diverse fields as number theory and automata theory, $β$-shifts are prototypical examples of one-dimensional chaotic dynamical systems. When $β$ is an integer, permutations realized by shifts have been recently characterized. In this paper we generalize some of the results to arbitrary $β$-shifts. We describe a method to compute, for any given permutation $π$ , the smallest $β$ such that $π$ is realized by the $β$-shift.
Pour un nombre réel $β >1$, on dit qu'une permutation $π$ de longueur $n$ est permise (ou réalisée) par $β$-shift s'il existe $x∈[0,1]$ tel que l'ordre relatif de la séquence $x,f(x),\ldots,f^n-1(x)$, où $f(x)$ est la partie fractionnaire de $βx$, soit le même que celui des entrées de $π$ . Largement étudiés dans des domaines aussi divers que la théorie des nombres et la théorie des automates, les $β$-shifts sont des prototypes de systèmes dynamiques chaotiques unidimensionnels. Quand $β$ est un nombre entier, les permutations réalisées par décalages ont été récemment caractérisées. Dans cet article, nous généralisons certains des résultats au cas de $β$-shifts arbitraires. Nous décrivons une méthode pour calculer, pour toute permutation donnée $π$ , le plus petit $β$ tel que $π$ soit réalisée par $β$-shift.
A polynomial expression for the Hilbert series of the quotient ring of diagonal coinvariants (condensed version)
Authors: Haglund J. 
Published: August 2021

A special case of Haiman's identity [Invent. Math. 149 (2002), pp. 371–407] for the character of the quotient ring of diagonal coinvariants under the diagonal action of the symmetric group yields a formula for the bigraded Hilbert series as a sum of rational functions in $q,t$. In this paper we show how a summation identity of Garsia and Zabrocki for Macdonald polynomial Pieri coefficients can be used to transform Haiman's formula for the Hilbert series into an explicit polynomial in $q,t$ with integer coefficients. We also provide an equivalent formula for the Hilbert series as the constant term in a multivariate Laurent series.
Un cas spécial de l'identité de Haiman [Invent. Math. \textbf149 (2002), pp. 371–407] pour le caractère de l'anneau quotient des coinvariants diagonaux sous l'action du groupe symétrique fournit une formule pour la série de Hilbert bigraduée comme somme de fonctions rationnelles en q,t. Dans cet article nous montrons comment une identité de sommation de Garsia et Zabrocki pour les coefficients de Pieri des polynômes de Macdonald peut être utilisée pour transformer la formule de Haiman pour la série de Hilbert en un polynôme explicite en q,t à coefficients entiers. Nous présentons également une formule équivalente pour la série de Hilbert comme terme constant d'une série de Laurent multivariée.
Combinatorics of k-shapes and Genocchi numbers
Authors: Hivert Florent , Mallet Olivier 
Published: August 2021

In this paper we present a work in progress on a conjectural new combinatorial model for the Genocchi numbers. This new model called irreducible k-shapes has a strong algebraic background in the theory of symmetric functions and leads to seemingly new features on the theory of Genocchi numbers. In particular, the natural q-analogue coming from the degree of symmetric functions seems to be unknown so far.
Dans cet article, nous présentons un travail en cours sur un nouveau modèle combinatoire conjectural pour les nombres de Genocchi. Ce nouveau modèle est celui des k-formes irréductibles, qui repose sur de solides bases algébriques en lien avec la théorie des fonctions symétriques et qui conduit à des aspects apparemment nouveaux de la théorie des nombres de Genocchi. En particulier, le q-analogue naturel venant du degré des fonctions symétriques semble inconnu jusqu'ici.
Counting self-dual interval orders
Authors: Jelínek Vít 
Published: August 2021

In this paper, we first derive an explicit formula for the generating function that counts unlabeled interval orders (a.k.a. (2+2)-free posets) with respect to several natural statistics, including their size, magnitude, and the number of minimal and maximal elements. In the second part of the paper, we derive a generating function for the number of self-dual unlabeled interval orders, with respect to the same statistics. Our method is based on a bijective correspondence between interval orders and upper-triangular matrices in which each row and column has a positive entry.
Dans cet article, on obtient une expression explicite pour la fonction génératrice du nombre des ensembles partiellement ordonnés (posets) qui évitent le motif (2+2). La fonction compte ces ensembles par rapport à plusieurs statistiques naturelles, incluant le nombre d'éléments, le nombre de niveaux, et le nombre d'éléments minimaux et maximaux. Dans la deuxième partie, on obtient une expression similaire pour la fonction génératrice des posets autoduaux évitant le motif (2+2). On obtient ces résultats à l'aide d'une bijection entre les posets évitant (2+2) et les matrices triangulaires supérieures dont chaque ligne et chaque colonne contient un élément positif.
Skew quantum Murnaghan-Nakayama rule
Authors: Konvalinka Matjaž 
Published: August 2021

In this extended abstract, we extend recent results of Assaf and McNamara, the skew Pieri rule and the skew Murnaghan-Nakayama rule, to a more general identity, which gives an elegant expansion of the product of a skew Schur function with a quantum power sum function in terms of skew Schur functions. We give two proofs, one completely bijective in the spirit of Assaf-McNamara's original proof, and one via Lam-Lauve-Sotille's skew Littlewood-Richardson rule.
Dans cet article nous élargissons le cadre de résultats récents de Assaf et McNamara, la règle dissymétrique de Pieri et la règle dissymétrique de Murnaghan-Nakayama, pour obtenir une identité plus générale donnant un développement élégant du produit de la fonction de Schur dissymétrique par une somme de puissances quantiques, en termes de fonctions de Schur dissymétriques. Nous donnons deux démonstrations, la première suivant l'approche de Assaf-McNamara et la deuxième par le biais de la règle dissymétrique de Littlewood-Richardson obtenue par Lam-Lauve-Sotille.
Hierarchical Zonotopal Power Ideals
Authors: Lenz Matthias 
Published: August 2021

Zonotopal algebra deals with ideals and vector spaces of polynomials that are related to several combinatorial and geometric structures defined by a finite sequence of vectors. Given such a sequence $X$, an integer $k \geq -1$ and an upper set in the lattice of flats of the matroid defined by $X$, we define and study the associated $\textit{hierarchical zonotopal power ideal}$. This ideal is generated by powers of linear forms. Its Hilbert series depends only on the matroid structure of $X$. It is related to various other matroid invariants, $\textit{e. g.}$ the shelling polynomial and the characteristic polynomial. This work unifies and generalizes results by Ardila-Postnikov on power ideals and by Holtz-Ron and Holtz-Ron-Xu on (hierarchical) zonotopal algebra. We also generalize a result on zonotopal Cox modules due to Sturmfels-Xu.
La théorie de l'algèbre "zonotopique'' s'occupe d'idéaux et d'espaces vectoriels de polynômes qui ont un rapport avec plusieurs structures combinatoires et géométriques définies par des suites finies de vecteurs. Étant donné une telle suite $X$, un nombre entier $k \geq -1$ et un ensemble supérieur dans le treillis des plans du matroïde défini par $X$, nous définissons et étudions l'$\textit{idéal hiérarchique zonotopique}$, engendré par des puissances de formes linéaires. Sa série de Hilbert dépend seulement de la structure matroïdale de $X$. Il existe des relations avec d'autres invariants de matroïdes, tels que le polynôme d'épluchage et le polynôme caractéristique. Ce travail unifie et généralise des résultats d'Ardila-Postnikov sur les idéaux de puissances et de Holtz-Ron et Holtz-Ron-Xu sur l'algèbre zonotopique (hiérarchique). Nous généralisons aussi un résultat sur les modules de Cox zonotopiques, dû à Sturmfels-Xu.
Special Cases of the Parking Functions Conjecture and Upper-Triangular Matrices
Authors: Levande Paul 
Published: August 2021

We examine the $q=1$ and $t=0$ special cases of the parking functions conjecture. The parking functions conjecture states that the Hilbert series for the space of diagonal harmonics is equal to the bivariate generating function of $area$ and $dinv$ over the set of parking functions. Haglund recently proved that the Hilbert series for the space of diagonal harmonics is equal to a bivariate generating function over the set of Tesler matrices–upper-triangular matrices with every hook sum equal to one. We give a combinatorial interpretation of the Haglund generating function at $q=1$ and prove the corresponding case of the parking functions conjecture (first proven by Garsia and Haiman). We also discuss a possible proof of the $t = 0$ case consistent with this combinatorial interpretation. We conclude by briefly discussing possible refinements of the parking functions conjecture arising from this research and point of view. $\textbf{Note added in proof}$: We have since found such a proof of the $t = 0$ case and conjectured more detailed refinements. This research will most likely be presented in full in a forthcoming article.
On examine les cas spéciaux $q=1$ et $t=0$ de la conjecture des fonctions de stationnement. Cette conjecture déclare que la série de Hilbert pour l'espace des harmoniques diagonaux est égale à la fonction génératrice bivariée (paramètres $area$ et $dinv$) sur l'ensemble des fonctions de stationnement. Haglund a prouvé récemment que la série de Hilbert pour l'espace des harmoniques diagonaux est égale à une fonction génératrice bivariée sur l'ensemble des matrices de Tesler triangulaires supérieures dont la somme de chaque équerre vaut un. On donne une interprétation combinatoire de la fonction génératrice de Haglund pour $q=1$ et on prouve le cas correspondant de la conjecture dans le cas des fonctions de stationnement (prouvé d'abord par Garsia et Haiman). On discute aussi d'une preuve possible du cas $t=0$, cohérente avec cette interprétation combinatoire. On conclut en discutant brièvement les raffinements possibles de la conjecture des fonctions de stationnement de ce point de vue. $\textbf{Note ajoutée sur épreuve}$: j'ai trouvé depuis cet article une preuve du cas $t=0$ et conjecturé des raffinements possibles. Ces résultats seront probablement présentés dans un article ultérieur.
Adjacent transformations in permutations
Authors: Pierrot Adeline , Rossin Dominique , West Julian 
Published: August 2021

We continue a study of the equivalence class induced on $S_n$ when one is permitted to replace a consecutive set of elements in a permutation with the same elements in a different order. For each possible set of allowed replacements, we characterise and/or enumerate the set of permutations reachable from the identity. In some cases we also count the number of equivalence classes.
Nous étudions dans cet article les classes d'équivalence sur les permutations obtenues en remplaçant un ensemble consécutif de valeurs par ces même valeurs mais dans un ordre différent. Nous étudions l'ensemble des remplacements possibles de longueur 3 et pour chacun d'entre eux caractérisons et énumérons les permutations de la classe de l'identité. Pour certains ensembles, nous calculons de même le nombre de classes d'équivalence.
Submaximal factorizations of a Coxeter element in complex reflection groups
Authors: Ripoll Vivien 
Published: August 2021

When $W$ is a finite reflection group, the noncrossing partition lattice $NC(W)$ of type $W$ is a very rich combinatorial object, extending the notion of noncrossing partitions of an $n$-gon. A formula (for which the only known proofs are case-by-case) expresses the number of multichains of a given length in $NC(W)$ as a generalized Fuß-Catalan number, depending on the invariant degrees of $W$. We describe how to understand some specifications of this formula in a case-free way, using an interpretation of the chains of $NC(W)$ as fibers of a "Lyashko-Looijenga covering''. This covering is constructed from the geometry of the discriminant hypersurface of $W$. We deduce new enumeration formulas for certain factorizations of a Coxeter element of $W$.
Lorsque $W$ est un groupe de réflexion fini, le treillis $NC(W)$ des partitions non-croisées de type $W$ est un objet combinatoire très riche, qui généralise la notion de partitions non-croisées d'un $n$-gone. Une formule (seulement prouvée au cas par cas à l'heure actuelle) exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans $NC(W)$ sous la forme d'un nombre de Fuß-Catalan généralisé, qui dépend des degrés invariants de $W$. Nous décrivons une stratégie visant à comprendre certaines spécifications de cette formule de manière uniforme, en utilisant une interprétation des chaînes de $NC(W)$ comme fibres d'un "revêtement de Lyashko-Looijenga''. Ce revêtement est construit à partir de la géométrie de l'hypersurface du discriminant de $W$. Nous en déduisons de nouvelles formules de comptage pour certaines factorisations d'un élément de Coxeter de $W$.
Asymptotics of several-partition Hurwitz numbers
Authors: Sage Marc 
Published: August 2021

We derive in this paper the asymptotics of several-partition Hurwitz numbers, relying on a theorem of Kazarian for the one-partition case and on an induction carried on by Zvonkine. Essentially, the asymptotics for several partitions is the same as the one-partition asymptotics obtained by concatenating the partitions.
Dans cet article, nous donnons l'asymptotique générale des nombres de Hurwitz à plusieurs partitions, s'appuyant sur un théorème de Kazarian pour le cas d'une partition et s'inspirant d'une récurrence menée par Zvonkine. En substance, l'asymptotique pour plusieurs partitions est la même que celle à une partition obtenue en concaténant les partitions.
Multi-cluster complexes
Authors: Ceballos Cesar , Labbé Jean-Philippe , Stump Christian 
Published: August 2021

We present a family of simplicial complexes called \emphmulti-cluster complexes. These complexes generalize the concept of cluster complexes, and extend the notion of multi-associahedra of types ${A}$ and ${B}$ to general finite Coxeter groups. We study combinatorial and geometric properties of these objects and, in particular, provide a simple combinatorial description of the compatibility relation among the set of almost positive roots in the cluster complex.
Nous présentons une famille de complexes simpliciaux appelés \emphcomplexes des multi-amas. Ces complexes généralisent le concept de complexes des amas et étendent la notion de multi-associaèdre de type ${A}$ et ${B}$ aux groupes de Coxeter finis. Nous étudions des propriétés combinatoires et géométriques de ces objets et, en particulier nous fournissons une description combinatoire simple de la relation de compatibilité sur l'ensemble des racines presque positives du complexe des amas.