Матричный метод получения полиномиальных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами
Authors: Захаров В.Г. 
Published: December 2024

Разрабатывается матричный метод для конструктивного определения полиномиальных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) с постоянными коэффициентами. Отметим, что наш метод применим также, если полиномы, которые индуцируют ДУЧП, имеют постоянные слагаемые (аналогично уравнению Гельмгольца), и, следовательно, такие ДУЧП не могут иметь чисто полиномиальных решений. В этом случае разрабатываемый матричный метод обеспечивает полиномиальными решениями, умноженными на экспоненты. Более того, метод позволяет найти полиномиальное (умноженные на экспоненту) решение ДУЧП с полиномиальной (умноженной на экспоненту) правой частью. Также метод сокращает затраты на построение полиномиального (умноженного на экспоненциальное) решение ДУЧП для определения нулевого пространства дифференциального оператора алгебраической блочно-матричной линейной системы (с числовыми записями). Кроме того, используя матричный подход, можно исследовать некоторые алгебраический свойства, такие как размерность и базис пространства полиномиальных решений (в общем случае, умноженных на экспоненты). В частности, для пространства полиномиальных решений мы можем решить задачу с точностью до некоторой сколь угодно большой степени. В частности, мы обобщаем задачу о бесконечной степени полиномиальных решений многочлена ДУЧП на экспоненциальный случай. Более того, ДУЧП может содержать ненулевую правую часть многочлена (умноженную на экспоненту). Рассматриваются некоторые примеры полиномиальных решений (в общем случае умноженных на экспоненты) уравнений Лапласа, Гельмгольца и Пуассона.
In the paper, we introduce a matrix method to constructively determine polynomial (in general, multiplied by exponentials) solutions to the constant coefficient linear Partial Difference Equations (PDE’s). Note our method also is applicable if the polynomials that induce PDE’s have constant terms (similarly Helmholtz’ equation) and consequently such PDE’s cannot have pure polynomial solutions. In this case our matrix method supplies polynomial solutions multiplied by exponentials. Moreover, the method allows to find a polynomial (multiplied by an exponential) solution to PDE with polynomial (multiplied by the exponential) right-hand side. Our matrix method reduces the funding of polynomial (multiplied by an exponential) solution to PDE’s to determine the differential operator null-space of algebraic block matrix linear system (with numerical entries). Furthermore, using our matrix approach, we can investigate some linear algebra properties such as dimension and basis of the space of polynomial solution (generally, multiplied by an exponential). In particular, for a polynomial solution space we can decide the problem up to some arbitrarily large degree, In particular, we generalize problem about infinite degree of polynomial solutions of polynomial PDE to exponential case. Moreover, PDE can contain a nonzero polynomial (multiplied by an exponential) right-hand side. Some examples of polynomial solutions (multiplied by exponentials, in general) to the Laplace, Helmholtz, and Poisson equations are considered.