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Combinatorial Topology of Toric arrangements
Authors: d'Antonio Giacomo , Delucchi Emanuele 
Published: August 2021

We prove that the complement of a complexified toric arrangement has the homotopy type of a minimal CW-complex, and thus its homology is torsion-free. To this end, we consider the toric Salvetti complex, a combinatorial model for the arrangement's complement. Using diagrams of acyclic categories we obtain a stratification of this combinatorial model that explicitly associates generators in homology to the "local no-broken-circuit sets'' defined in terms of the incidence relations of the arrangement. Then we apply a suitably generalized form of Discrete Morse Theory to describe a sequence of elementary collapses leading from the full model to a minimal complex.
On démontre que l’espace complémentaire d’un arrangement torique complexifié a le type d’homotopie d’un complexe CW minimal, donc que ses groupes d’homologie sont libres. On considère d’abord un modèle combinatoire du complémentaire de l’arrangement: le complexe de Salvetti torique. On obtient une stratification de ce complexe qui fait correspondre explicitement les générateurs d’homologie aux “circuits-non-rompus locaux” associés aux relations d’incidence de l’arrangement. On applique une forme généralisée de la théorie de Morse discrète pour obtenir une suite de collapsements élémentaires qui conduit à un complexe minimal.
Reflection factorizations of Singer cycles
Authors: Lewis J.B. , Reiner V. , Stanton D. 
Published: August 2021

The number of shortest factorizations into reflections for a Singer cycle in $GL_n(\mathbb{F}_q)$ is shown to be $(q^n-1)^{n-1}$. Formulas counting factorizations of any length, and counting those with reflections of fixed conjugacy classes are also given.
Nous prouvons que le nombre de factorisations de longueur minimale d’un cycle de Singer dans $GL_n(\mathbb{F}_q)$ comme un produit de réflexions est $(q^n-1)^{n-1}$. Nous présentons aussi des formules donnant le nombre de factorisations de toutes les longueurs ainsi que des formules pour le nombre de factorisations comme produit de réflexions ayant des classes de conjugaison fixes.
Signed tree associahedra
Authors: Pilaud Vincent 
Published: August 2021

An associahedron is a polytope whose vertices correspond to the triangulations of a convex polygon and whose edges correspond to flips between them. J.-L. Loday gave a particularly elegant realization of the associahedron, which was then generalized in two directions: on the one hand to obtain realizations of graph associahedra, and on the other hand to obtain multiple realizations of the associahedron parametrized by a sequence of signs. The goal of this paper is to unify and extend these two constructions to signed tree associahedra.
Un associaèdre est un polytope dont les sommets correspondent aux triangulations d’un polygone convexe et dont les arêtes correspondent aux flips entre ces triangulations. J.-L. Loday a donné une construction particulièrement élégante de l’associaèdre qui a été généralisée dans deux directions : d’une part pour obtenir des réalisations des associaèdres de graphes, et d’autre part pour obtenir de multiples réalisations de l’associaèdre paramétrées par une suite de signes. L’objectif de ce travail est d’unifier et d’étendre ces constructions aux associaèdres d’arbres signés.
The $m$-Cover Posets and the Strip-Decomposition of $m$-Dyck Paths
Authors: Kallipoliti Myrto , Mühle Henri 
Published: August 2021

In the first part of this article we present a realization of the $m$-Tamari lattice $\mathcal{T}_n^{(m)}$ in terms of $m$-tuples of Dyck paths of height $n$, equipped with componentwise rotation order. For that, we define the $m$-cover poset $\mathcal{P}^{\langle m \rangle}$ of an arbitrary bounded poset $\mathcal{P}$, and show that the smallest lattice completion of the $m$-cover poset of the Tamari lattice $\mathcal{T}_n$ is isomorphic to the $m$-Tamari lattice $\mathcal{T}_n^{(m)}$. A crucial tool for the proof of this isomorphism is a decomposition of $m$-Dyck paths into $m$-tuples of classical Dyck paths, which we call the strip-decomposition. Subsequently, we characterize the cases where the $m$-cover poset of an arbitrary poset is a lattice. Finally, we show that the $m$-cover poset of the Cambrian lattice of the dihedral group is a trim lattice with cardinality equal to the generalized Fuss-Catalan number of the dihedral group.
Dans la première partie de cet article nous présentons une réalisation du treillis $m$ -Tamari $\mathcal{T}_n^{(m)}$ à l’aide de $m$-uplets de chemins de Dyck de hauteur $n$, équipés de l’ordre de rotation composante par composante. Pour cela, nous définissons le poset de $m$-couverture $\mathcal{P}^{\langle m \rangle}$ d’un poset borné quelconque $\mathcal{P}$, et montrons que la plus petite complétion en treillis du poset de $m$-couverture du treillis de Tamari $\mathcal{T}_n$ est isomorphe au treillis $m$-Tamari $\mathcal{T}_n^{(m)}$. Unoutil crucial pour la preuve de cet isomorphisme est une décomposition des chemins $m$-Dyck en $m$-uplets de chemins de Dyck usuels, que nous appelons la décomposition en bandes. Par la suite, nous caractérisons les cas où le poset de $m$-couverture d’un poset donné est un treillis. Enfin nous montrons que le poset de $m$-couverture du treillis Cambrien du groupe diédral est un treillis svelte de cardinalité le nombre généralisé de Fuss-Catalan du groupe diédral.
Deformations of Weyl's Denominator Formula
Authors: Hamel Angêle , King Ronald 
Published: August 2021

We introduce a series of conjectured identities that deform Weyl's denominator formula and generalize Tokuyama's formula to other root systems. These conjectures generalize a number of well-known results due to Okada. We also prove a related result for $B'_n$ that generalizes a theorem of Simpson.
Nous proposons une série de conjectures qui sont des déformations de la formule dénominateur de Weyl et qui généralisent la formule de Tokuyama à d’autres systèmes de racines. Ces résultats sont des généralisations de théorèmes bien connus dus à Okada. Nous donnons aussi la preuve d’un résultat pour $B'_n$ qui est une généralisation d’un théorème de Simpson.
The freeness of ideal subarrangements of Weyl arrangements
Authors: Abe Takuro , Barakat Mohamed , Cuntz Michael , Hoge Torsten , Terao Hiroaki 
Published: August 2021

A Weyl arrangement is the arrangement defined by the root system of a finite Weyl group. When a set of positive roots is an ideal in the root poset, we call the corresponding arrangement an ideal subarrangement. Our main theorem asserts that any ideal subarrangement is a free arrangement and that its exponents are given by the dual partition of the height distribution, which was conjectured by Sommers-Tymoczko. In particular, when an ideal subarrangement is equal to the entire Weyl arrangement, our main theorem yields the celebrated formula by Shapiro, Steinberg, Kostant, and Macdonald. The proof of the main theorem is classification-free. It heavily depends on the theory of free arrangements and thus greatly differs from the earlier proofs of the formula.
Un arrangement de Weyl est défini par l’arrangement d’hyperplans du système de racines d’un groupe de Weyl fini. Quand un ensemble de racines positives est un idéal dans le poset de racines, nous appelons l’arrangement correspondant un sous-arrangement idéal. Notre théorème principal affirme que tout sous-arrangement idéal est un arrangement libre et que ses exposants sont donnés par la partition duale de la distribution des hauteurs, ce qui avait été conjecturé par Sommers-Tymoczko. En particulier, quand le sous-arrangement idéal est égal à l’arrangement de Weyl, notre théorème principal donne la célèbre formule par Shapiro, Steinberg, Kostant et Macdonald. La démonstration du théorème principal n’utilise pas de classification. Elle dépend fortement de la théorie des arrangements libres et diffère ainsi grandement des démonstrations précédentes de la formule.
Noncrossing sets and a Graßmannian associahedron
Authors: Santos Francisco , Stump Christian , Welker Volkmar 
Published: August 2021

We study a natural generalization of the noncrossing relation between pairs of elements in $[n]$ to $k$-tuples in $[n]$. We show that the flag simplicial complex on $\binom{[n]}{k}$ induced by this relation is a regular, unimodular and flag triangulation of the order polytope of the poset given by the product $[k] \times [n-k]$ of two chains, and it is the join of a simplex and a sphere (that is, it is a Gorenstein triangulation). This shows the existence of a flag simplicial polytope whose Stanley-Reisner ideal is an initial ideal of the Graßmann-Plücker ideal, while previous constructions of such a polytope did not guaranteed flagness. The simplicial complex and the polytope derived from it naturally reflect the relations between Graßmannians with different parameters, in particular the isomorphism $G_{k,n} \cong G_{n-k,n}$. This simplicial complex is closely related to the weak separability complex introduced by Zelevinsky and Leclerc.
Nous étudions une généralisation naturelle de la relation entre les paires d’éléments non-croisés de $[n]$ et les $k$-uplets de $[n]$. Nous montrons que le complexe simplicial de drapeau sur $\binom{[n]}{k}$ induit par cette relation est une triangulation régulière, unimodulaire et de drapeau du polytope d’ordre de l’ensemble partiellement ordonné obtenu par le produit $[k] \times [n-k]$ des deux chaînes, et c’est la jointure d’un simplexe et une sphère (c’est-à-dire qu’elle est une triangulation de Gorenstein). Cela montre l’existence d’un polytope simplicial de drapeau dont l’idéal de Stanley-Reisner est un idéal initial de l’idéal de Graßmann-Plücker, tandis que les constructions précédentes d’un tel polytope ne garantissaient pas la propriété de drapeau. Le complexe simplicial et le polytope qui en découle reflètent naturellement les relations entre les Grassmanniens avec différents paramètres, en particulier l’isomorphisme $G_{k,n} \cong G_{n-k,n}$. Ce complexe simplicial est étroitement lié au complexe de séparabilité faible étudié par Zelevinskyet Leclerc.
Weighted Tree-Numbers of Matroid Complexes
Authors: Kook Woong , Lee Kang-Ju 
Published: August 2021

We give a new formula for the weighted high-dimensional tree-numbers of matroid complexes. This formula is derived from our result that the spectra of the weighted combinatorial Laplacians of matroid complexes consist of polynomials in the weights. In the formula, Crapo’s $\beta$-invariant appears as the key factor relating weighted combinatorial Laplacians and weighted tree-numbers for matroid complexes.
Nous présentons une nouvelle formule pour les nombres d’arbres pondérés de grande dimension des matroïdes complexes. Cette formule est dérivée du résultat que le spectre des Laplaciens combinatoires pondérés des matrides complexes sont des polynômes à plusieurs variables. Dans la formule, le $\beta$;-invariant de Crapo apparaît comme étant le facteur clé reliant les Laplaciens combinatoires pondérés et les nombres d’arbres pondérés des matroïdes complexes.
Cohomology classes of rank varieties and a counterexample to a conjecture of Liu
Authors: Pawlowski Brendan 
Published: August 2021

To each finite subset of a discrete grid $\mathbb{N}×\mathbb{N}$ (a diagram), one can associate a subvariety of a complex Grassmannian (a diagram variety), and a representation of a symmetric group (a Specht module). Liu has conjectured that the cohomology class of a diagram variety is represented by the Frobenius characteristic of the corresponding Specht module. We give a counterexample to this conjecture.However, we show that for the diagram variety of a permutation diagram, Liu's conjectured cohomology class $\sigma$ is at least an upper bound on the actual class $\tau$, in the sense that $\sigma - \tau$ is a nonnegative linear combination of Schubert classes. To do this, we consider a degeneration of Coskun's rank varieties which contains the appropriate diagram variety as a component. Rank varieties are instances of Knutson-Lam-Speyer's positroid varieties, whose cohomology classes are represented by affine Stanley symmetric functions. We show that the cohomology class of a rank variety is in fact represented by an ordinary Stanley symmetric function.
A chaque sous-ensemble fini de $\mathbb{N}×\mathbb{N}$ (un diagramme), on peut associer une sous-variété d’une grassmannienne complexe et une représentation d’un groupe symétrique (un module de Specht). Liu a conjecturé que la classe de cohomologie de la variété d’un diagramme est représentée par la caractéristique de Frobenius du module de Specht correspondant. Nous donnons un contre-exemple à cette conjecture.Cependant, nous montrons que dans le cas de la variété du diagramme de permutation, la classe de cohomologie conjecturée par Liu est au moins un majorant de la classe juste $\tau$ , c’est-à-dire que $\sigma - \tau$ est une combinaison linéaire non-négative des classes de Schubert. Pour ce faire, nous considérons une dégénérescence des variétés de rang de Coskun qui contient la variété appropriée d’un diagramme comme une composante irréductible. Les variétés de rang sont des exemples de variétés de positroïde, dont les classes de cohomologie sont représentées par des fonctions symétriques de Stanley affines. En effet, nous montrons que la classe de cohomologie d’une variété de rang est représentée par une fonction symétrique de Stanley ordinaire.
Affine charge and the $k$-bounded Pieri rule
Authors: Morse Jennifer , Schilling Anne 
Published: August 2021

We provide a new description of the Pieri rule of the homology of the affine Grassmannian and an affineanalogue of the charge statistics in terms of bounded partitions. This makes it possible to extend the formulation ofthe Kostka–Foulkes polynomials in terms of solvable lattice models by Nakayashiki and Yamada to the affine setting.
Nous proposons une nouvelle description de la règle de Pieri de l’homologie de la variété Grassmannienneaffine et un analogue affine de la statistique de charge en termes de partitions bornées . Il est ainsi possible d’étendreau cas affine la formulation due à Nakayashiki et Yamada des polynômes de Kostka–Foulkes en termes de modèlesde réseaux résolubles.
$Y$ -meshes and generalized pentagram maps
Authors: Glick Max , Pylyavskyy Pavlo 
Published: August 2021

We introduce a rich family of generalizations of the pentagram map sharing the property that each generates an infinite configuration of points and lines with four points on each line. These systems all have a description as $Y$ -mutations in a cluster algebra and hence establish new connections between cluster theory and projective geometry.
Nous introduisons une famille de généralisations de l’application pentagramme. Chacune produit une configuration infinie de points et de lignes avec quatre points sur chaque ligne. Ces systèmes ont une description des $Y$ -mutations dans une algèbre amassée, un nouveau lien entre la théorie d’algèbres amassées et la géométrie projective.
A lattice on decreasing trees : the metasylvester lattice
Authors: Pons Viviane 
Published: August 2021

We introduce a new combinatorial structure: the metasylvester lattice on decreasing trees. It appears in the context of the $m$-Tamari lattices and other related $m$-generalizations. The metasylvester congruence has been recently introduced by Novelli and Thibon. We show that it defines a sublattice of the $m$-permutations where elements can be represented by decreasing labelled trees: the metasylvester lattice. We study the combinatorial properties of this new structure. In particular, we give different realizations of the lattice. The $m$-Tamari lattice is by definition a sublattice of our newly defined metasylvester lattice. It leads us to a new realization of the $m$-Tamari lattice, using certain chains of the classical Tamari lattice.
Nous définissons une nouvelle structure combinatoire : le treillis métasylvestre sur les arbres décroissants. Il apparaît dans le contexte des treillis $m$-Tamari et des autres $m$-généralisations. La congruence métasylvestre a été introduite récemment par Novelli et Thibon. Nous montrons qu’elle définit un sous-treillis du treillis sur les $m$-permutations où les éléments sont représentés par des arbres étiquetés décroissants : le treillis métasylvestre. Nous étudions les propriétés combinatoires de ce treillis ainsi que des classes métasylvestres. En particulier, nous en donnons plusieurs réalisations. Le treillis de $m$-Tamari est par définition un sous-treillis du treillis métasylvestre. Cela nous amène à une nouvelle réalisation du treillis de$m$-Tamari par des chaines du treillis de Tamari classiques.
A categorification of the chromatic symmetric polynomial
Authors: Sazdanović Radmila , Yip Martha 
Published: August 2021

The Stanley chromatic polynomial of a graph $G$ is a symmetric function generalization of the chromatic polynomial, and has interesting combinatorial properties. We apply the ideas of Khovanov homology to construct a homology $H$<sub>*</sub>($G$) of graded $S_n$-modules, whose graded Frobenius series $Frob_G(q,t)$ reduces to the chromatic symmetric function at $q=t=1$. We also obtain analogues of several familiar properties of the chromatic symmetric polynomials in terms of homology.
Le polynôme chromatique symétrique d’un graphe $G$ est une généralisation par une fonction symétrique du polynôme chromatique, et possède des propriétés combinatoires intéressantes. Nous appliquons les techniques de l’homologie de Khovanov pour construire une homologie $H$<sub>*</sub>($G$) de modules gradués $S_n$, dont la série bigraduée de Frobeniusse $Frob_G(q,t)$ réduit au polynôme chromatique symétrique à $q=t=1$. Nous obtenons également des analogies pour plusieurs propriétés connues des polynômes chromatiques en termes d’homologie.
Bijective Enumeration of Bicolored Maps of Given Vertex Degree Distribution
Authors: Morales Alejandro , Vassilieva Ekaterina 
Published: August 2021

We derive a new formula for the number of factorizations of a full cycle into an ordered product of two permutations of given cycle types. For the first time, a purely combinatorial argument involving a bijective description of bicolored maps of specified vertex degree distribution is used. All the previous results in the field rely either partially or totally on a character theoretic approach. The combinatorial proof relies on a new bijection extending the one in [G. Schaeffer and E. Vassilieva. $\textit{J. Comb. Theory Ser. A}$, 115(6):903―924, 2008] that focused only on the number of cycles. As a salient ingredient, we introduce the notion of thorn trees of given vertex degree distribution which are recursive planar objects allowing simple description of maps of arbitrary genus. \par
Nous démontrons une nouvelle formule exprimant le nombre de factorisations d'un long cycle en produit de deux permutations ayant un type cyclique donné. Pour la première fois, nous utilisons un argument purement combinatoire basé sur une description bijective des cartes bicolores dont la distribution des degrés des sommets est donnée. Tous les résultats précédents dans le domaine se basent soit partiellement soit totalement sur la théorie des caractères de groupe. La preuve combinatoire se fonde sur une nouvelle bijection généralisant celle introduite dans [G. Schaeffer and E. Vassilieva. $\textit{J. Comb. Theory Ser. A}$, 115(6):903―924, 2008] ne s'intéressant qu'au nombre de cycles. L'ingrédient le plus saillant est l'introduction de la notion d'arbre épineux de structure cyclique donnée, des objets récursifs et planaires permettant une description simple des cartes de genus arbitraire.
Application of graph combinatorics to rational identities of type $A^\ast$
Authors: Boussicault Adrien , Féray Valentin 
Published: August 2021

To a word $w$, we associate the rational function $\Psi_w = \prod (x_{w_i} - x_{w_{i+1}})^{-1}$. The main object, introduced by C. Greene to generalize identities linked to Murnaghan-Nakayama rule, is a sum of its images by certain permutations of the variables. The sets of permutations that we consider are the linear extensions of oriented graphs. We explain how to compute this rational function, using the combinatorics of the graph $G$. We also establish a link between an algebraic property of the rational function (the factorization of the numerator) and a combinatorial property of the graph (the existence of a disconnecting chain).
À un mot $w$, nous associons la fonction rationnelle $\Psi_w = \prod (x_{w_i} - x_{w_{i+1}})^{-1}$. L'objet principal, introduit par C. Greene pour généraliser des identités rationnelles liées à la règle de Murnaghan-Nakayama, est une somme de ses images par certaines permutations des variables. Les ensembles de permutations considérés sont les extensions linéaires des graphes orientés. Nous expliquons comment calculer cette fonction rationnelle à partir de la combinatoire du graphe $G$. Nous établissons ensuite un lien entre une propriété algébrique de la fonction rationnelle (la factorisation du numérateur) et une propriété combinatoire du graphe (l'existence d'une chaîne le déconnectant).
$k$-distant crossings and nestings of matchings and partitions
Authors: Drake Dan , Kim Jang Soo 
Published: August 2021

We define and consider $k$-distant crossings and nestings for matchings and set partitions, which are a variation of crossings and nestings in which the distance between vertices is important. By modifying an involution of Kasraoui and Zeng (Electronic J. Combinatorics 2006, research paper 33), we show that the joint distribution of $k$-distant crossings and nestings is symmetric. We also study the numbers of $k$-distant noncrossing matchings and partitions for small $k$, which are counted by well-known sequences, as well as the orthogonal polynomials related to $k$-distant noncrossing matchings and partitions. We extend Chen et al.'s $r$-crossings and enhanced $r$-crossings.
Nous définissons les notions de croisements et imbrications $k$-distants sur les appariements et les partitions d'ensemble, qui sont une variation sur les notions usuelles prenant en compte la distance entre les sommets. En modifiant une involution de Kasraoui et Zeng (Electronic J. Combinatorics 2006, research paper 33), nous montrons que la distribution jointe des croisements et imbrications $k$-distants est symétrique. Nous étudions le nombre d'involutions et de partitions sans croisement $k$-distant pour de petites valeurs de $k$, qui sont des suites d'entiers bien connues, ainsi que les polynômes orthogonaux qui leur sont reliés. Nous étendons les notions de $r$-croisements et $r$-croisements améliorés dues à Chen et al.
Combinatorial invariant theory of projective reflection groups
Authors: Caselli Fabrizio 
Published: August 2021

We introduce the class of projective reflection groups which includes all complex reflection groups. We show that several aspects involving the combinatorics and the representation theory of complex reflection groups find a natural description in this wider setting.
On introduit la classe des groupes de réflexions projectifs, ce qui généralise la notion de groupe engendré par des réflexions. On montre que plusieurs aspects concernant la combinatoire et la théorie des représentations des groupes de réflexions complexes trouvent une description naturelle dans ce cadre plus général.