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A tight colored Tverberg theorem for maps to manifolds (extended abstract)
Authors: Blagojević Pavle V. M. , Matschke Benjamin , Ziegler Günter M. 
Published: August 2021

Any continuous map of an $N$-dimensional simplex $Δ _N$ with colored vertices to a $d$-dimensional manifold $M$ must map $r$ points from disjoint rainbow faces of $Δ _N$ to the same point in $M$, assuming that $N≥(r-1)(d+1)$, no $r$ vertices of $Δ _N$ get the same color, and our proof needs that $r$ is a prime. A face of $Δ _N$ is called a rainbow face if all vertices have different colors. This result is an extension of our recent "new colored Tverberg theorem'', the special case of $M=ℝ^d$. It is also a generalization of Volovikov's 1996 topological Tverberg theorem for maps to manifolds, which arises when all color classes have size 1 (i.e., without color constraints); for this special case Volovikov's proofs, as well as ours, work when r is a prime power.
Étant donné un simplex $Δ _N$ de dimension $N$ ayant les sommets colorés, une face de $Δ _N$ est dite arc-en-ciel, si tous les sommets de cette face ont des couleurs différentes. Toute fonction continue d'un simplex $Δ _N$ de dimension $N$ aux sommets colorés vers une variété $d$-dimensionnelle $M$ doit envoyer $r$ points provenant de faces arc-en-ciel disjointes de $Δ _N$ au mêmes points dans $M$ ; en supposant que $N ≥(r-1)(d +1)$, un ensemble de $r$ sommets de $Δ _N$ doit être coloré à l'aide d'au moins deux couleurs. Notre démonstration requiert que $r$ soit un nombre premier. Ce résultat est une extension de notre "nouveau théorème de Tverberg coloré'', le cas particulier où $M = ℝ^d$. Il est également une généralisation du théorème de Tverberg topologique de Volovikov datant de 1996, pour les fonctions vers une variété, dont les classes de couleurs sont de taille 1 (c'est-à-dire sans contraintes de couleur). Dans ce cas particulier, la démonstration de Volovikov et la nôtre fonctionnent lorsque r est une puissance d'un premier.
Shortest path poset of Bruhat intervals
Authors: Blanco Saúl A. 
Published: August 2021

Let $[u,v]$ be a Bruhat interval and $B(u,v)$ be its corresponding Bruhat graph. The combinatorial and topological structure of the longest $u-v$ paths of $B(u,v)$ has been extensively studied and is well-known. Nevertheless, not much is known of the remaining paths. Here we describe combinatorial properties of the shortest $u-v$ paths of $B(u,v)$. We also derive the non-negativity of some coefficients of the complete mcd-index of $[u,v]$.
Soit $[u,v]$ un intervalle de Bruhat et $B(u,v)$ le graphe de Bruhat associé. La structure combinatoire et topologique des plus longs chemins de $u$ à $v$ dans $B(u,v)$ est bien comprise, mais on sait peu de chose des autres chemins. Nous décrivons ici les propriétés combinatoires des plus courts de chemins de $u$ à $v$. Nous prouvons aussi que certains coefficients du mcd-indice complet de $[u,v]$ sont positifs.
Relative Node Polynomials for Plane Curves
Authors: Block Florian 
Published: August 2021

We generalize the recent work of Fomin and Mikhalkin on polynomial formulas for Severi degrees. The degree of the Severi variety of plane curves of degree d and δ nodes is given by a polynomial in d, provided δ is fixed and d is large enough. We extend this result to generalized Severi varieties parametrizing plane curves which, in addition, satisfy tangency conditions of given orders with respect to a given line. We show that the degrees of these varieties, appropriately rescaled, are given by a combinatorially defined ``relative node polynomial'' in the tangency orders, provided the latter are large enough. We describe a method to compute these polynomials for arbitrary δ , and use it to present explicit formulas for δ ≤ 6. We also give a threshold for polynomiality, and compute the first few leading terms for any δ .
Nous généralisons les travaux récents de Fomin et Mikhalkin sur des formules polynomiales pour les degrés de Severi. Le degré de la variété de Severi des courbes planes de degré d et à δ nœuds est donné par un polynôme en d , pour δ fixé et d assez grand. Nous étendons ce résultat aux variétés de Severi généralisées paramétrant les courbes planes et qui, en outre, satisfont à des conditions de tangence d'ordres donnés avec une droite fixée. Nous montrons que les degrés de ces variétés, rééchelonnés de manière appropriée, sont donnés par un ``polynôme de noeud relatif'', défini combinatoirement, en les ordres de tangence, dès que ceux-ci sont assez grands. Nous décrivons une méthode pour calculer ces polynômes pour delta arbitraire, et l'utilisons pour présenter des formules explicites pour δ ≤ 6 . Nous donnons aussi un seuil pour la polynomialité, et calculons les premiers termes dominants pour tout δ .
Statistics on staircase tableaux, eulerian and mahonian statistics
Authors: Corteel Sylvie , Dasse-Hartaut Sandrine 
Published: August 2021

We give a simple bijection between some staircase tableaux and tables of inversion. Some nice properties of the bijection allows us to define some q-Eulerian polynomials related to the staircase tableaux. We also give a combinatorial interpretation of these q-Eulerian polynomials in terms of permutations.
Nous proposons une bijection simple entre certains tableaux escalier et les tables d'inversion. Cette bijection nous permet de montrer que les statistiques Euleriennes et Mahoniennes sont naturelles sur les tableaux escalier. Nous définissons des polynômes q-Eulériens et en donnons une interprétation combinatoire.
Polynomial functions on Young diagrams arising from bipartite graphs
Authors: Dolęga Maciej , Sniady Piotr 
Published: August 2021

We study the class of functions on the set of (generalized) Young diagrams arising as the number of embeddings of bipartite graphs. We give a criterion for checking when such a function is a polynomial function on Young diagrams (in the sense of Kerov and Olshanski) in terms of combinatorial properties of the corresponding bipartite graphs. Our method involves development of a differential calculus of functions on the set of generalized Young diagrams.
Nous étudions la classe des fonctions sur l'ensemble des diagrammes de Young (généralisés) qui sont définies comme des nombres d'injections de graphes bipartites. Nous donnons un critère pour savoir si une telle fonction est une fonctions polynomiale sur les diagrammes de Young (au sens de Kerov et Olshanski) utilisant les propriétés combinatoires des graphes bipartites correspondants. Notre méthode repose sur le développement d'un calcul différentiel sur les fonctions sur les diagrammes de Young généralisés.
The topology of restricted partition posets
Authors: Ehrenborg Richard , Jung JiYoon 
Published: August 2021

For each composition $\vec{c}$ we show that the order complex of the poset of pointed set partitions $Π ^• _{\vec{c}}$ is a wedge of $β\vec{c}$ spheres of the same dimensions, where $β\vec{c}$ is the number of permutations with descent composition ^$\vec{c}$. Furthermore, the action of the symmetric group on the top homology is isomorphic to the Specht module $S^B$ where $B$ is a border strip associated to the composition $\vec{c}$. We also study the filter of pointed set partitions generated by a knapsack integer partitions and show the analogous results on homotopy type and action on the top homology.
Pour chaque composition $\vec{c}$ nous montrons que le complexe simplicial des chaînes de l'ensemble ordonné $Π ^• _{\vec{c}}$ des partitions pointées d'un ensemble est un bouquet de $β\vec{c}$ sphères de même dimension, où $β\vec{c}$ est le nombre de permutations ayant la composition de descentes $\vec{c}$. De plus, l'action du groupe symétrique sur le groupe d'homologie de degré maximum est isomorphe au module de Specht $S^B$ où $B$ est la bande frontalière associée à la composition $\vec{c}$. Nous étudions aussi le filtre des partitions pointées d'un ensemble, engendré par des partitions d'entiers de type "sac à dos'' et nous démontrons des résultats analogues pour le type d'homotopie et pour l'action sur le groupe d'homologie de degré maximum.
Cofree compositions of coalgebras
Authors: Forcey Stefan , Lauve Aaron , Sottile Frank 
Published: August 2021

We develop the notion of the composition of two coalgebras, which arises naturally in higher category theory and the theory of species. We prove that the composition of two cofree coalgebras is cofree and give conditions which imply that the composition is a one-sided Hopf algebra. These conditions hold when one coalgebra is a graded Hopf operad $\mathcal{D}$ and the other is a connected graded coalgebra with coalgebra map to $\mathcal{D}$. We conclude with examples of these structures, where the factor coalgebras have bases indexed by the vertices of multiplihedra, composihedra, and hypercubes.
Nous développons la notion de composition de coalgèbres, qui apparaît naturellement dans la théorie des catégories d'ordre supérieur et dans la théorie des espèces. Nous montrons que la composée de deux coalgèbres colibres est colibre et nous donnons des conditions qui impliquent que la composée est une algèbre de Hopf unilatérale. Ces conditions sont valables quand l'une des coalgèbres est une opérade de Hopf graduée $\mathcal{D}$ et l'autre est une coalgèbre graduée connexe avec un morphisme vers $\mathcal{D}$. Nous concluons avec des exemples de ces structures, où les coalgèbres composées ont des bases indexées par les sommets de multiplièdres, de composièdres, et d'hypercubes.
Dissimilarity Vectors of Trees and Their Tropical Linear Spaces (Extended Abstract)
Authors: Iriarte Giraldo Benjamin 
Published: August 2021

We study the combinatorics of weighted trees from the point of view of tropical algebraic geometry and tropical linear spaces. The set of dissimilarity vectors of weighted trees is contained in the tropical Grassmannian, so we describe here the tropical linear space of a dissimilarity vector and its associated family of matroids. This gives a family of complete flags of tropical linear spaces, where each flag is described by a weighted tree.
Nous étudions les propriétés combinatoires des arbres pondérés avec le formalisme de la géométrie tropicale et des espaces linéaires tropicaux. L'ensemble de vecteurs de dissimilarité des arbres pondérés est contenu dans la grassmannienne tropicale, donc nous décrivons ici l'espace linéaire tropical d'un vecteur de dissimilarité et sa famille de matroïdes associée. Cela permet d'obtenir une famille de drapeaux complets d'espaces linéaires tropicaux, où chaque drapeau est décrit par un arbre pondéré.
On the evaluation of the Tutte polynomial at the points (1,-1) and (2,-1)
Authors: Goodall Andrew , Merino Criel , de Mier Anna , Noy Marc 
Published: August 2021

C. Merino [Electron. J. Combin. 15 (2008)] showed that the Tutte polynomial of a complete graph satisfies $t(K_{n+2};2,-1)=t(K_n;1,-1)$. We first give a bijective proof of this identity based on the relationship between the Tutte polynomial and the inversion polynomial for trees. Next we move to our main result, a sufficient condition for a graph G to have two vertices u and v such that $t(G;2,-1)=t(G-\{u,v\};1,-1)$; the condition is satisfied in particular by the class of threshold graphs. Finally, we give a formula for the evaluation of $t(K_{n,m};2,-1)$ involving up-down permutations.
C. Merino [Electron. J. Combin. 15 (2008)] a montré que le polynôme de Tutte du graphe complet satisfait $t(K_{n+2};2,-1)=t(K_n;1,-1)$. Le rapport entre le polynôme de Tutte et le polynôme d'inversions d'un arbre nous permet de donner une preuve bijective de cette identité. Le résultat principal du travail est une condition suffisante pour qu'un graphe ait deux sommets u et v tels que $t(G;2,-1)=t(G-\{u,v\};1,-1)$; en particulier, les graphes ``threshold'' satisfont cette condition. Finalement, nous donnons une formule pour $t(K_{n,m};2,-1)$ qui fait intervenir les permutations alternées.
The enumeration of fully commutative affine permutations
Authors: Hanusa Christopher R. H. , Jones Brant C. 
Published: August 2021

We give a generating function for the fully commutative affine permutations enumerated by rank and Coxeter length, extending formulas due to Stembridge and Barcucci–Del Lungo–Pergola–Pinzani. For fixed rank, the length generating functions have coefficients that are periodic with period dividing the rank. In the course of proving these formulas, we obtain results that elucidate the structure of the fully commutative affine permutations. This is a summary of the results; the full version appears elsewhere.
Nous présentons une fonction génératrice qui énumère les permutations affines totalement commutatives par leur rang et par leur longueur de Coxeter, généralisant les formules dues à Stembridge et à Barcucci–Del Lungo–Pergola–Pinzani. Pour un rang précis, les fonctions génératrices ont des coefficients qui sont périodiques de période divisant leur rang. Nous obtenons des résultats qui expliquent la structure des permutations affines totalement commutatives. L'article dessous est un aperçu des résultats; la version complète appara\^ıt ailleurs.
The short toric polynomial
Authors: Hetyei Gábor 
Published: August 2021

We introduce the short toric polynomial associated to a graded Eulerian poset. This polynomial contains the same information as Stanley's pair of toric polynomials, but allows different algebraic manipulations. Stanley's intertwined recurrence may be replaced by a single recurrence, in which the degree of the discarded terms is independent of the rank. A short toric variant of the formula by Bayer and Ehrenborg, expressing the toric h-vector in terms of the cd-index, may be stated in a rank-independent form, and it may be shown using weighted lattice path enumeration and the reflection principle. We use our techniques to derive a formula expressing the toric h-vector of a dual simplicial Eulerian poset in terms of its f-vector. This formula implies Gessel's formula for the toric h-vector of a cube, and may be used to prove that the nonnegativity of the toric h-vector of a simple polytope is a consequence of the Generalized Lower Bound Theorem holding for simplicial polytopes.
Nous introduisons le polynôme torique court associé à un ensemble ordonné Eulérien. Ce polynôme contient la même information que le couple de polynômes toriques de Stanley, mais il permet des manipulations algébriques différentes. La récurrence entrecroisée de Stanley peut être remplacée par une seule récurrence dans laquelle le degré des termes écartés est indépendant du rang. La variante torique courte de la formule de Bayer et Ehrenborg, qui exprime le vecteur torique d'un ensemble ordonné Eulérien en termes de son cd-index, est énoncée sous une forme qui ne dépend pas du rang et qui peut être démontrée en utilisant une énumération des chemins pondérés et le principe de réflexion. Nous utilisons nos techniques pour dériver une formule exprimant le vecteur h-torique d'un ensemble ordonné Eulérien dont le dual est simplicial, en termes de son f-vecteur. Cette formule implique la formule de Gessel pour le vecteur h-torique d'un cube, et elle peut être utilisée pour démontrer que la positivité du vecteur h-torique d'un polytope simple est une conséquence du Théorème de la Borne Inférieure Généralisé appliqué aux polytopes simpliciaux.
The Incidence Hopf Algebra of Graphs
Authors: Humpert Brandon , Martin Jeremy L. 
Published: August 2021

The graph algebra is a commutative, cocommutative, graded, connected incidence Hopf algebra, whose basis elements correspond to finite simple graphs and whose Hopf product and coproduct admit simple combinatorial descriptions. We give a new formula for the antipode in the graph algebra in terms of acyclic orientations; our formula contains many fewer terms than Schmitt's more general formula for the antipode in an incidence Hopf algebra. Applications include several formulas (some old and some new) for evaluations of the Tutte polynomial.
L'algèbre de graphes est une algèbre d'incidence de Hopf commutative, cocommutative, graduée, et connexe, dont les éléments de base correspondent à des graphes finis simples et dont le produit et coproduit de Hopf admettent une description combinatoire simple. Nous présentons une nouvelle formule de l'antipode dans l'algèbre de graphes utilisant les orientations acycliques; notre formule contient beaucoup moins de termes que la formule générale de Schmitt pour l'antipode dans une algèbre d'incidence de Hopf. Les applications incluent plusieurs formules (connues et inconnues) pour les évaluations du polynôme de Tutte.
Kerov's central limit theorem for Schur-Weyl and Gelfand measures (extended abstract)
Authors: Méliot Pierre-Loïc 
Published: August 2021

We show that the shapes of integer partitions chosen randomly according to Schur-Weyl measures of parameter $\alpha =1/2$ and Gelfand measures satisfy Kerov's central limit theorem. Thus, there is a gaussian process $\Delta$ such that under Plancherel, Schur-Weyl or Gelfand measures, the deviations $\Delta_n(s)=\lambda _n(\sqrt{n} s)-\sqrt{n} \lambda _{\infty}^{\ast}(s)$ converge in law towards $\Delta (s)$, up to a translation along the $x$-axis in the case of Schur-Weyl measures, and up to a factor $\sqrt{2}$ and a deterministic remainder in the case of Gelfand measures. The proofs of these results follow the one given by Ivanov and Olshanski for Plancherel measures; hence, one uses a "method of noncommutative moments''.
Nous montrons que les formes des partitions d'entiers choisies aléatoirement sous les mesures de Schur-Weyl de paramètre $\alpha =1/2$ et sous les mesures de Gelfand obéissent au théorème central limite de Kerov. Ainsi, il existe un processus gaussien $\Delta$ tel que sous les mesures de Plancherel, de Schur-Weyl ou de Gelfand, les déviations $\Delta_n(s)=\lambda _n(\sqrt{n} s)-\sqrt{n} \lambda _{\infty}^{\ast}(s)$ convergent en loi vers $\Delta (s)$, à une translation près le long de l'axe des abscisses pour les mesures de Schur-Weyl, et à un facteur $\sqrt{2}$ et un reste déterministe près dans le cas des mesures de Gelfand. Les preuves de ces résultats suivent celle donnée par Ivanov et Olshanski pour les mesures de Plancherel; ainsi, on utilise une "méthode de moments non commutatifs''.
Demazure crystals and the energy function
Authors: Schilling Anne , Tingley Peter 
Published: August 2021

There is a close connection between Demazure crystals and tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals. For example, certain Demazure crystals are isomorphic as classical crystals to tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals via a canonically chosen isomorphism. Here we show that this isomorphism intertwines the natural affine grading on Demazure crystals with a combinatorially defined energy function. As a consequence, we obtain a formula of the Demazure character in terms of the energy function, which has applications to nonsymmetric Macdonald polynomials and $q$-deformed Whittaker functions.
Les cristaux de Demazure et les produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin sont étroitement liés. Par exemple, certains cristaux de Demazure sont isomorphes, en tant que cristaux classiques, à des produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin via un isomorphisme que l'on peut choisir canoniquement. Ici, nous montrons que cet isomorphisme entremêle la graduation affine naturelle des cristaux de Demazure avec une fonction énergie définie combinatoirement. Comme conséquence, nous obtenons une formule pour le caractère de Demazure exprimée au moyen de la fonction énergie, avec des applications aux polynômes de Macdonald non symétriques et aux fonctions de Whittaker $q$-déformées.
Representations on Hessenberg Varieties and Young's Rule
Authors: Teff Nicholas 
Published: August 2021

We combinatorially construct the complex cohomology (equivariant and ordinary) of a family of algebraic varieties called regular semisimple Hessenberg varieties. This construction is purely in terms of the Bruhat order on the symmetric group. From this a representation of the symmetric group on the cohomology is defined. This representation generalizes work of Procesi, Stembridge and Tymoczko. Here a partial answer to an open question of Tymoczko is provided in our two main result. The first states, when the variety has multiple connected components, this representation is made up by inducing through a parabolic subgroup of the symmetric group. Using this, our second result obtains, for a special family of varieties, an explicit formula for this representation via Young's rule, giving the multiplicity of the irreducible representations in terms of the classical Kostka numbers.
Nous construisons la cohomologie complexe (équivariante et ordinaire) d'une famille de variétés algébriques appelées variétés régulières semisimples de Hessenberg. Cette construction utilise exclusivement l'ordre de Bruhat sur le groupe symétrique, et on en déduit une représentation du groupe symétrique sur la cohomologie. Cette représentation généralise des résultats de Procesi, Stembridge et Tymoczko. Nous offrons ici une réponse partielle à une question de Tymoczko grâce à nos deux résultats principaux. Le premier déclare que lorsque la variété a plusieurs composantes connexes, cette représentation s'obtient par induction à travers un sous-groupe parabolique du groupe symétrique. Nous en déduisons notre deuxième résultat qui fournit, pour une famille spéciale de variétés, une formule explicite pour cette représentation par la règle de Young, et donne ainsi la multiplicité des représentations irréductibles en termes des nombres classiques de Kostka.
Supercharacters, symmetric functions in noncommuting variables (extended abstract)
Authors: Aguiar Marcelo , André Carlos , Benedetti Carolina , Bergeron Nantel , Chen Zhi , Diaconis Persi , Hendrickson Anders , Hsiao Samuel , Isaacs I. Martin , Jedwab Andrea , Johnson Kenneth , Karaali Gizem , Lauve Aaron , Le Tung , Lewis Stephen , Li Huilan , Magaard Kay , Marberg Eric , Novelli Jean-Christophe , Pang Amy , Saliola Franco , Tevlin Lenny , Thibon Jean-Yves , Thiem Nathaniel , Venkateswaran Vidya , Vinroot C. Ryan , Yan Ning , Zabrocki Mike 
Published: August 2021

We identify two seemingly disparate structures: supercharacters, a useful way of doing Fourier analysis on the group of unipotent uppertriangular matrices with coefficients in a finite field, and the ring of symmetric functions in noncommuting variables. Each is a Hopf algebra and the two are isomorphic as such. This allows developments in each to be transferred. The identification suggests a rich class of examples for the emerging field of combinatorial Hopf algebras.
Nous montrons que deux structures en apparence bien différentes peuvent être identifiées: les super-caractères, qui sont un outil commode pour faire de l'analyse de Fourier sur le groupe des matrices unipotentes triangulaires supérieures à coefficients dans un corps fini, et l'anneau des fonctions symétriques en variables non-commutatives. Ces deux structures sont des algèbres de Hopf isomorphes. Cette identification permet de traduire dans une structure les dévelopements conçus pour l'autre, et suggère de nombreux exemples dans le domaine nouveau des algèbres de Hopf combinatoires.
Enumeration of Graded (3 + 1)-Avoiding Posets
Authors: Lewis Brewster Joel , Zhang Yan X 
Published: August 2021

The notion of (3+1)-avoidance appears in many places in enumerative combinatorics, but the natural goal of enumerating all (3+1)-avoiding posets remains open. In this paper, we enumerate \emphgraded (3+1)-avoiding posets. Our proof consists of a number of structural theorems followed by some generating function magic.
L'idèe de l'évitement de (3+1) apparaît dans beaucoup d'endroits dans le combinatoire ènumèrative, mais l'objectif naturel de le dènombrement des tous les ordres qui èvitent (3+1) demure ouvert. Dans cet article, nous ènumèrons les ordres étagès qui èvitent (3 + 1). Notre preuve est constituè de quelques thèorèmes de structure, et après un peu de la magie des fonctions gènèratrices.