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Integrality of hook ratios
Authors: Dehaye Paul-Olivier 
Published: August 2021

We study integral ratios of hook products of quotient partitions. This question is motivated by an analogous question in number theory concerning integral factorial ratios. We prove an analogue of a theorem of Landau that already applied in the factorial case. Under the additional condition that the ratio has one more factor on the denominator than the numerator, we provide a complete classification. Ultimately this relies on Kneser's theorem in additive combinatorics.
Nous étudions les fractions de produits d'équerres de partitions quotients. Cette question fait écho à une question en théorie des nombres sur les quotients entiers de factorielles. Nous prouvons un analogue du théorème de Landau, qui aidait déjà dans le cas des factorielles. Sous l'hypothèse supplémentaire d'une fraction avec un facteur de plus au dénominateur qu'au numérateur, nous obtenons une classification complète. Cette partie de la preuve repose sur un théorème de Kneser en combinatoire additive.
On the Sperner property and Gorenstein Algebras Associated to Matroids
Authors: Maeno Toshiaki , Numata Yasuhide 
Published: August 2021

We introduce a certain class of algebras associated to matroids. We prove the Lefschetz property of the algebras for some special cases. Our result implies the Sperner property for the Boolean lattice and the vector space lattice.
Nous présentons une classe d'algèbres associées aux matroïdes. Nous démontrons que dans quelques cas spécifiques, ces algèbres vérifient la propriété de Lefschetz. Notre résultat implique la propriété de Sperner pour l'algèbre de Boole et pour le poset d'espace vectoriel.
Promotion and Rowmotion
Authors: Striker Jessica , Williams Nathan 
Published: August 2021

We present an equivariant bijection between two actions—promotion and rowmotion—on order ideals in certain posets. This bijection simultaneously generalizes a result of R. Stanley concerning promotion on the linear extensions of two disjoint chains and certain cases of recent work of D. Armstrong, C. Stump, and H. Thomas on noncrossing and nonnesting partitions. We apply this bijection to several classes of posets, obtaining equivariant bijections to various known objects under rotation. We extend the same idea to give an equivariant bijection between alternating sign matrices under rowmotion and under B. Wieland's gyration. Lastly, we define two actions with related orders on alternating sign matrices and totally symmetric self-complementary plane partitions.
Nous prèsentons une bijection èquivariante entre deux actions—promotion et rowmotion—sur les idèaux d'ordre dans certaines posets. Cette bijection gènèralise simultanèment un rèsultat de R. Stanley concernant la promotion sur les extensions linèaire de deux cha\^ınes disjointes et certains cas des travaux rècents de D. Armstrong, C. Stump, et H. Thomas sur les partitions noncroisèes et nonembo\^ıtèes. Nous appliquons cette bijection à plusieurs classes de posets pour obtenir des bijections èquivariantes a des diffèrents objets connus sous la rotation. Nous gènèralisons la même idèe pour donnè une bijection èquivariante entre les matrices à signes alternants sous rowmotion et sous la gyration de B. Wieland. Finalement, nous dèfinissons deux actions avec des ordres similaires sur les matrices à signes alternants et les partitions plane totalement symètriques et autocomplèmentaires.
Invariants of vector configurations
Authors: Berget Andrew , Fink Alex 
Published: August 2021

We investigate the Zariski closure of the projective equivalence class of a matrix. New results are presented regarding the matrices in this variety and their matroids, and we give equations for the variety. We also discuss the K-polynomial of the closure of a projective equivalence class, and two other geometric invariants that can be obtained from this.
Nous enquêtons sur l'adhèrence Zariski de la classe d'équivalence projective d'une matrice. Des rèsultats nouveaux sont prèsentès sur les matrices dans cette variètè et leur matroï des, et nous donnons èquations pour la variètè. Nous discutons ègalement le K-polynôme de l'adhèrence de la classe d'èquivalence projective, et deux autres invariants gèomètriques qui peuvent être obtenus à partir de cela.
Smooth Fano polytopes whose Ehrhart polynomial has a root with large real part
Authors: Ohsugi Hidefumi , Shibata Kazuki 
Published: August 2021

The symmetric edge polytopes of odd cycles (del Pezzo polytopes) are known as smooth Fano polytopes. In this extended abstract, we show that if the length of the cycle is 127, then the Ehrhart polynomial has a root whose real part is greater than the dimension. As a result, we have a smooth Fano polytope that is a counterexample to the two conjectures on the roots of Ehrhart polynomials.
Les polytopes d'arêtes symètriques de cycles impaires (del Pezzo polytopes) sont connus sous le nom de polytopes de Fano lisses. Dans ce rèsumè ètendu, nous montrons que si la longueur du cycle est 127, alors le polynôme d'Ehrhart a une racine dont la partie rèele est plus grande que la dimension. En consèquence, nous avons un polytope de Fano lisse qui est un contre exemple à deux conjectures sur les racines de polynômes d'Ehrhart.
Combinatorial Reciprocity for Monotone Triangles
Authors: Fischer Ilse , Riegler Lukas 
Published: August 2021

The number of Monotone Triangles with bottom row $k_1 < k_2 < ⋯< k_n$ is given by a polynomial $\alpha (n; k_1,\ldots,k_n)$ in $n$ variables. The evaluation of this polynomial at weakly decreasing sequences $k_1 ≥k_2 ≥⋯≥k_n $turns out to be interpretable as signed enumeration of new combinatorial objects called Decreasing Monotone Triangles. There exist surprising connections between the two classes of objects – in particular it is shown that $\alpha (n;1,2,\ldots,n) = \alpha (2n; n,n,n-1,n-1,\ldots,1,1)$. In perfect analogy to the correspondence between Monotone Triangles and Alternating Sign Matrices, the set of Decreasing Monotone Triangles with bottom row $(n,n,n-1,n-1,\ldots,1,1)$ is in one-to-one correspondence with a certain set of ASM-like matrices, which also play an important role in proving the claimed identity algebraically. Finding a bijective proof remains an open problem.
Le nombre de Triangles Monotones ayant pour dernière ligne $k_1 < k_2 < ⋯< k_n$ est donné par un polynôme $\alpha (n; k_1,\ldots,k_n)$ en $n$ variables. Il se trouve que les valeurs de ce polynôme en les suites décroissantes $k_1 ≥k_2 ≥⋯≥k_n$ peuvent s'interpréter comme l'énumération signée de nouveaux objets appelés Triangles Monotones Décroissants. Il existe des liens surprenants entre ces deux classes d'objets – en particulier on prouvera l'identité $\alpha (n;1,2,\ldots,n) = \alpha (2n; n,n,n-1,n-1,\ldots,1,1)$. En parfaite analogie avec la correspondance entre Triangles Monotones et Matrices à Signe Alternant, l'ensemble des Triangles Monotones Décroissants ayant pour dernière ligne $(n,n,n-1,n-1,\ldots,1,1)$ est en correspondance biunivoque avec un certain ensemble de matrices similaires aux MSAs, ce qui joue un rôle important dans la preuve algébrique de l'identité précédente. C'est un problème ouvert que d'en donner une preuve bijective.
Proofs of two conjectures of Kenyon and Wilson on Dyck tilings
Authors: Kim Jang Soo 
Published: August 2021

Recently, Kenyon and Wilson introduced a certain matrix M in order to compute pairing probabilities of what they call the double-dimer model. They showed that the absolute value of each entry of the inverse matrix $M^-1$ is equal to the number of certain Dyck tilings of a skew shape. They conjectured two formulas on the sum of the absolute values of the entries in a row or a column of $M^-1$. In this paper we prove the two conjectures. As a consequence we obtain that the sum of the absolute values of all entries of $M^-1$ is equal to the number of complete matchings. We also find a bijection between Dyck tilings and complete matchings.
Récemment, Kenyon et Wilson ont introduit une certaine matrice M afin de calculer des probabilités d'appariement dans ce qu'ils appellent le modèle double-dimère. Ils ont montrè que la valeur absolue de chaque entrée de la matrice inverse $M^-1$ est égal au nombre de pavages de Dyck d'une certaine forme gauche. Ils ont conjecturè deux formules sur la somme des valeurs absolues des entrées dans une rangée ou une colonne de $M^-1$. Dans cet article, nous prouvons les deux conjectures. En conséquence on obtient que la somme des valeurs absolues de toutes les entrées de M^-1 est égale au nombre de couplages parfaits. Nous trouvons aussi une bijection entre les pavages de Dyck et les couplages parfaits.
Riffle shuffles with biased cuts
Authors: Assaf Sami , Diaconis Persi , Soundararajan Kannan 
Published: August 2021

The well-known Gilbert-Shannon-Reeds model for riffle shuffles assumes that the cards are initially cut `about in half' and then riffled together. We analyze a natural variant where the initial cut is biased. Extending results of Fulman (1998), we show a sharp cutoff in separation and L-infinity distances. This analysis is possible due to the close connection between shuffling and quasisymmetric functions along with some complex analysis of a generating function.
Le modèle de Gilbert-Shannon-Reeds pour mélange de cartes suppose que les cartes sont d'abord coupées environ de moitié, puis intercalées ensemble. Nous analysons une variante naturelle, où la coupe initiale est biaisée. En proposant une une extension des résultats de Fulman (1998), nous montrons une forte coupure dans les distances de séparation et à l'infinité L. Cette analyse est possible grâce à l'étroite relation entre brassage et fonctions quasi-symétriques.
Skew Pieri Rules for Hall-Littlewood Functions
Authors: Konvalinka Matjaž , Lauve Aaron 
Published: August 2021

We produce skew Pieri Rules for Hall–Littlewood functions in the spirit of Assaf and McNamara (FPSAC, 2010). The first two were conjectured by the first author (FPSAC, 2011). The key ingredients in the proofs are a q-binomial identity for skew partitions that are horizontal strips and a Hopf algebraic identity that expands products of skew elements in terms of the coproduct and antipode.
Nous produisons quelques règles dissymètrique de Pieri pour les fonctions Hall–Littlewood au sens de Assaf et McNamara (FPSAC, 2010). Les premières deux règles ont ètè conjecturèe par le premier auteur (FPSAC, 2011). Les principaux ingrèdients dans les preuves sont une identitè q-binomiale pour les partitions dissymètrique qui sont bandes horizontales et une identitè de Hopf qui exprime les produits d'èlèments dissymètrique en termes du coproduit et de l'antipode.
Phylogenetic trees and the tropical geometry of flag varieties
Authors: Manon Christopher 
Published: August 2021

We will discuss some recent theorems relating the space of weighted phylogenetic trees to the tropical varieties of each flag variety of type A. We will also discuss the tropicalizations of the functions corresponding to semi-standard tableaux, in particular we relate them to familiar functions from phylogenetics. We close with some remarks on the generalization of these results to the tropical geometry of arbitrary flag varieties. This involves the family of Bergman complexes derived from the hyperplane arrangements associated to simple Dynkin diagrams.
Nous allons discuter de quelques théorèmes récents concernant l'espace des arbres phylogénétiques aux variétés Tropicales de chaque variété de drapeaux de type A. Nous allons également discuter des tropicalisations des fonctions correspondant à tableaux semi-standard, en particulier, nous les rapporter à des fonctions familières de la phylogénétique. Nous terminerons avec quelques remarques sur la généralisation de ces résultats à la géométrie tropicale de variétés de drapeaux arbitraires. Il s'agit de la famille de complexes Bergman provenant des arrangements d'hyperplans associés à des diagrammes de Dynkin simples.
Product of Stanley symmetric functions
Authors: Li Nan 
Published: August 2021

We study the problem of expanding the product of two Stanley symmetric functions $F_w·F_u$ into Stanley symmetric functions in some natural way. Our approach is to consider a Stanley symmetric function as a stabilized Schubert polynomial $F_w=\lim _n→∞\mathfrak{S}_{1^n×w}$, and study the behavior of the expansion of $\mathfrak{S} _{1^n×w}·\mathfrak{S} _{1^n×u}$ into Schubert polynomials, as $n$ increases. We prove that this expansion stabilizes and thus we get a natural expansion for the product of two Stanley symmetric functions. In the case when one permutation is Grassmannian, we have a better understanding of this stability.
Nous étudions le problème de développement du produit de deux fonctions symétriques de Stanley $F_w·F_u$ en fonctions symétriques de Stanley de façon naturelle. Notre méthode consiste à considérer une fonction symétrique de Stanley comme un polynôme du Schubert stabilisè $F_w=\lim _n→∞\mathfrak{S}_{1^n×w}$, et à étudier le comportement de développement de $\mathfrak{S} _{1^n×w}·\mathfrak{S} _{1^n×u}$ en polynômes de Schubert lorsque $n$ augmente. Nous prouvons que cette développement se stabilise et donc nous obtenons une développement naturelle pour le produit de deux fonctions symétriques de Stanley. Dans le cas où l'une des permutations est Grassmannienne, nous avons une meilleure compréhension de cette stabilité.
A simple formula for bipartite and quasi-bipartite maps with boundaries
Authors: Collet Gwendal , Fusy Eric 
Published: August 2021

We obtain a very simple formula for the generating function of bipartite (resp. quasi-bipartite) planar maps with boundaries (holes) of prescribed lengths, which generalizes certain expressions obtained by Eynard in a book to appear. The formula is derived from a bijection due to Bouttier, Di Francesco and Guitter combined with a process (reminiscent of a construction of Pitman) of aggregating connected components of a forest into a single tree.
Nous obtenons une formule très simple pour la série génératrice des cartes biparties ayant des bords (trous) de tailles fixées, généralisant certaines expressions obtenues par Eynard dans un livre à paraître. Nous obtenons la formule à partir d'une bijection due à Bouttier, Di Francesco et Guitter, combinée avec un processus (dans l'esprit d'une construction due à Pitman) pour agréger les composantes connexes d'une forêt en un unique arbre.
Triangulations of cyclic polytopes
Authors: Oppermann Steffen , Thomas Hugh 
Published: August 2021

We give a new description of the combinatorics of triangulations of even-dimensional cyclic polytopes, and of their bistellar flips. We show that the tropical exchange relation governing the number of intersections between diagonals of a polygon and a lamination (which generalizes to arbitrary surfaces) can also be generalized in a different way, to the setting of higher dimensional cyclic polytopes.
Nous donnons une nouvelle description de la combinatoire des triangulations des polytopes cycliques, et de leurs mouvements bistellaires. Nous démontrons que la relation d’échange qui gouverne le nombre d'intersections entre les diagonaux d'une polygone et une lamination (qui peut être généralisée à une surface arbitraire) peut également être généralisée au cadre des polytopes cycliques.
Extremal Statistics on Non-Crossing Configurations
Authors: Mier Anna , Noy Marc 
Published: August 2021

We obtain several properties of extremal statistics in non-crossing configurations with n vertices. We prove that the maximum degree and the largest component are of logarithmic order, and the diameter is of order $\sqrt{n}$. The proofs are based on singularity analysis, an application of the first and second moment method and on the analysis of iterated functions.
On obtient des propriétés de paramètres extrémales dans les configurations sans croisement avec n sommets. On démontre que le degré maximal et la composante plus large sont d'ordre logarithmique, et le diamètre est d'ordre $\sqrt{n}$. Les preuves utilisent l'analyse de singularités, une application de la méthode du premier et second moment, et l'analyse de fonctions itérées.
An algorithm which generates linear extensions for a non-simply-laced d-complete poset with uniform probability
Authors: Nakada Kento 
Published: August 2021

\textbfAbstract. The purpose of this paper is to present an algorithm which generates linear extensions for a non-simply-laced d-complete poset with uniform probability. ≠wline
Le but de ce papier est prèsenter un algorithme qui produit des extensions linèaires pour une non-simply-laced d-complete poset avec probabilitè constante.
Dyck tilings, linear extensions, descents, and inversions
Authors: Kim Jang Soo , Mészáros Karola , Panova Greta , Wilson David B. 
Published: August 2021

Dyck tilings were introduced by Kenyon and Wilson in their study of double-dimer pairings. They are certain kinds of tilings of skew Young diagrams with ribbon tiles shaped like Dyck paths. We give two bijections between "cover-inclusive'' Dyck tilings and linear extensions of tree posets. The first bijection maps the statistic (area + tiles)/2 to inversions of the linear extension, and the second bijection maps the "discrepancy'' between the upper and lower boundary of the tiling to descents of the linear extension.
Les pavages de Dyck ont été introduits par Kenyon et Wilson dans leur étude du modèle des "double-dimères''. Ce sont des pavages des diagrammes de Young gauches avec des tuiles en forme de rubans qui ressemblent à des chemins de Dyck. Nous donnons deux bijections entre les pavages de Dyck ``couvre-inclusive'' et les extensions linéaires de posets dont le diagramme de Hasse est un arbre. La première bijection transforme la statistique (aire + tuiles) / 2 en inversions de l'extension linéaire, et la deuxième bijection transforme la "discordance'' entre la limite supérieure et inférieure du pavage en descentes de l'extension linéaire.
Combinatorial specification of permutation classes
Authors: Bassino Frédérique , Bouvel Mathilde , Pierrot Adeline , Pivoteau Carine , Rossin Dominique 
Published: August 2021

This article presents a methodology that automatically derives a combinatorial specification for the permutation class $\mathcal{C} = Av(B)$, given its basis $B$ of excluded patterns and the set of simple permutations in $\mathcal{C}$, when these sets are both finite. This is achieved considering both pattern avoidance and pattern containment constraints in permutations.The obtained specification yields a system of equations satisfied by the generating function of $\mathcal{C}$, this system being always positive and algebraic. It also yields a uniform random sampler of permutations in $\mathcal{C}$. The method presented is fully algorithmic.
Cet article présente une méthodologie qui calcule automatiquement une spécification combinatoire pour la classe de permutations $\mathcal{C} = Av(B)$, étant donnés une base $B$ de motifs interdits et l’ensemble des permutations simples de $\mathcal{C}$, lorsque ces deux ensembles sont finis. Ce résultat est obtenu en considérant à la fois des contraintes de motifs interdits et de motifs obligatoires dans les permutations. La spécification obtenue donne un système d’équations satisfait par la série génératrice de la classe $\mathcal{C}$, système qui est toujours positif et algébrique. Elle fournit aussi un générateur aléatoire uniforme de permutations dans $\mathcal{C}$. La méthode présentée est complètement algorithmique.
Maximal Newton polygons via the quantum Bruhat graph
Authors: Beazley Elizabeth T. 
Published: August 2021

This paper discusses a surprising relationship between the quantum cohomology of the variety of complete flags and the partially ordered set of Newton polygons associated to an element in the affine Weyl group. One primary key to establishing this connection is the fact that paths in the quantum Bruhat graph, which is a weighted directed graph with vertices indexed by elements in the finite Weyl group, encode saturated chains in the strong Bruhat order on the affine Weyl group. This correspondence is also fundamental in the work of Lam and Shimozono establishing Peterson's isomorphism between the quantum cohomology of the finite flag variety and the homology of the affine Grassmannian. In addition, using some geometry associated to the poset of Newton polygons, one obtains independent proofs for several combinatorial statements about paths in the quantum Bruhat graph and its symmetries, which were originally proved by Postnikov using the tilted Bruhat order. An important geometric application of this work is an inequality which provides a necessary condition for non-emptiness of certain affine Deligne-Lusztig varieties in the affine flag variety.
Cet article étudie une relation surprenante entre la cohomologie quantique de la variété de drapeaux complets et l'ensemble partiellement ordonné de polygones de Newton associé à un élément du groupe de Weyl affine. L’élément clé pour établir cette connexion est le fait que les chemins dans le graphe de Bruhat quantique, qui est un graphe orienté pondéré dont les sommets sont indexés par des éléments du groupe de Weyl fini, encodent des chaînes saturées dans l'ordre de Bruhat fort sur le groupe de Weyl affine. Cette correspondance est aussi fondamentale dans les travaux de Lam et Shimonozo qui établissent l'isomorphisme de Peterson entre la cohomologie quantique de la variété de drapeaux finie et l'homologie de la Grassmannienne affine. De plus, en utilisant la géométrie associée à l'ensemble partiellement ordonné des polygones de Newton, on obtient des preuves indépendantes pour plusieurs assertions combinatoires sur les chemins dans le graphe de Bruhat quantiques et les symétries de ce graphe, qui ont été originellement démontrées par Postnikov en utilisant l'ordre de Bruhat incliné. Une application géométrique importante de ce travail est une inégalité qui donne une condition nécessaire pour que certaines variétés de Deligne-Lusztig affines dans la variété de drapeaux affine soient non-vides.
$q$-Floor Diagrams computing Refined Severi Degrees for Plane Curves
Authors: Block Florian 
Published: August 2021

The Severi degree is the degree of the Severi variety parametrizing plane curves of degree $d$ with $\delta$ nodes. Recently, Göttsche and Shende gave two refinements of Severi degrees, polynomials in a variable $q$, which are conjecturally equal, for large $d$. At $q=1$, one of the refinements, the relative Severi degree, specializes to the (non-relative) Severi degree. We give a combinatorial description of the refined Severi degrees, in terms of a $q$-analog count of Brugallé and Mikhalkin's floor diagrams. Our description implies that, for fixed $\delta$, the refined Severi degrees are polynomials in $d$ and $q$, for large $d$. As a consequence, we show that, for $\delta \leq 4$ and all $d$, both refinements of Göttsche and Shende agree and equal our $q$-count of floor diagrams.
Le degré de Severi est le degré de la variété de Severi paramétrisant les courbes planes de degré $d$ à $\delta$ nœuds. Récemment, Göttsche et Shende ont donné deux raffinements des degrés de Severi, polynomiaux en la variable $q$, qui sont conjecturalement égaux pour $d$ assez grand. Pour $q=1$, un des ces raffinements, le degré de Severi relatif, se spécialise en le degré de Severi (non relatif). Nous donnons une description combinatoire des degrés de Severi raffinés, en fonction d'un comptage $q$-analogue des "floor diagrams'' de Brugallé et Mikhalkin. Notre description implique que, pour $\delta$ fixé, les degrés de Severi raffinés sont polynomiaux en $d$ et $q$, pour $d$ grand. On montre que, par conséquent, pour $\delta \leq 4$ et pour tout $d$, les deux raffinements de Göttsche et Shende coïncident et sont égaux à notre $q$-analogue de "floor diagrams''.