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Computing Node Polynomials for Plane Curves
Authors: Block Florian 
Published: August 2021

According to the Göttsche conjecture (now a theorem), the degree $N^{d, \delta}$ of the Severi variety of plane curves of degree $d$ with $\delta$ nodes is given by a polynomial in $d$, provided $d$ is large enough. These "node polynomials'' $N_{\delta} (d)$ were determined by Vainsencher and Kleiman―Piene for $\delta \leq 6$ and $\delta \leq 8$, respectively. Building on ideas of Fomin and Mikhalkin, we develop an explicit algorithm for computing all node polynomials, and use it to compute $N_{\delta} (d)$ for $\delta \leq 14$. Furthermore, we improve the threshold of polynomiality and verify Göttsche's conjecture on the optimal threshold up to $\delta \leq 14$. We also determine the first 9 coefficients of $N_{\delta} (d)$, for general $\delta$, settling and extending a 1994 conjecture of Di Francesco and Itzykson.
Selon la Conjecture de Göttsche (maintenant un Théorème), le degré $N^{d, \delta}$ de la variété de Severi des courbes planes de degré $d$ avec $\delta$ noeuds est donné par un polynôme en $d$, pour $d$ assez grand. Ces $\textit{polynômes de nœuds}$ $N_{\delta} (d)$ ont été déterminés par Vainsencher et Kleiman―Piene pour $\delta \leq 6$ et $\delta \leq 8$, respectivement. S'appuyant sur les idées de Fomin et Mikhalkin, nous développons un algorithme explicite permettant de calculer tous les polynômes de nœuds, et l'utilisons pour calculer $N_{\delta} (d)$, pour $\delta \leq 14$. De plus, nous améliorons le seuil de polynomialité et vérifions la Conjecture de Göttsche sur le seuil optimal jusqu'à $\delta \leq 14$. Nous déterminons aussi les 9 premiers coéfficients de $N_{\delta} (d)$, pour un $\delta$ quelconque, confirmant et étendant la Conjecture de Di Francesco et Itzykson de 1994.
Random Walks in the Plane
Authors: Borwein Jonathan M. , Nuyens Dirk , Straub Armin , Wan James 
Published: August 2021

We study the expected distance of a two-dimensional walk in the plane with unit steps in random directions. A series evaluation and recursions are obtained making it possible to explicitly formulate this distance for small number of steps. Formulae for all the moments of a 2-step and a 3-step walk are given, and an expression is conjectured for the 4-step walk. The paper makes use of the combinatorical features exhibited by the even moments which, for instance, lead to analytic continuations of the underlying integral.
Nous étudions la distance espérée d'une marche aléatoire à deux dimensions et à pas unité dans des directions aléatoires. Nous obtenons une évaluation des séries et des récurrences qui permettent de formuler explicitement cette distance pour un petit nombre de pas. Nous donnons des formules pour tous les moments d'une marche aléatoire à 2 et à 3 pas et nous formulons une conjecture pour l'expression d'une marche à 4 pas. Pour les moments pairs, nous utilisons des relations combinatoires qui, par exemple, permettent le prolongement analytique des intégrales.
Models and refined models for involutory reflection groups and classical Weyl groups
Authors: Caselli Fabrizio , Fulci Roberta 
Published: August 2021

A finite subgroup $G$ of $GL(n,\mathbb{C})$ is involutory if the sum of the dimensions of its irreducible complex representations is given by the number of absolute involutions in the group, i.e. elements $g \in G$ such that $g \bar{g}=1$, where the bar denotes complex conjugation. A uniform combinatorial model is constructed for all non-exceptional irreducible complex reflection groups which are involutory including, in particular, all infinite families of finite irreducible Coxeter groups. If $G$ is a classical Weyl group this result is much refined in a way which is compatible with the Robinson-Schensted correspondence on involutions.
Un sous-groupe fini $G$ de GL(n,ℂ) est dit involutoire si la somme des dimensions de ses représentations irréductibles complexes est donné par le nombre de involutions absolues dans le groupe, c'est-a-dire le nombre de éléments $g \in G$ tels que $g \bar{g}=1$, où le bar dénote la conjugaison complexe. Un modèle combinatoire uniforme est construit pour tous les groupes de réflexions complexes irréductibles qui sont involutoires, en comprenant, toutes les familles de groupes de Coxeter finis irréductibles. Si $G$ est un groupe de Weyl ce résultat peut se raffiner d'une manière compatible avec la correspondance de Robinson-Schensted sur les involutions.
QSym over Sym has a stable basis
Authors: Lauve Aaron , Mason Sarah K 
Published: August 2021

We prove that the subset of quasisymmetric polynomials conjectured by Bergeron and Reutenauer to be a basis for the coinvariant space of quasisymmetric polynomials is indeed a basis. This provides the first constructive proof of the Garsia―Wallach result stating that quasisymmetric polynomials form a free module over symmetric polynomials and that the dimension of this module is $n!$.
Nous prouvons que le sous-ensemble des polynômes quasisymétriques conjecturé par Bergeron et Reutenauer pour former une base pour l'espace coinvariant des polynômes quasisymétriques est en fait une base. Cela fournit la première preuve constructive du résultat de Garsia―Wallach indiquant que les polynômes quasisymétriques forment un module libre sur les polynômes symétriques et que la dimension de ce module est $n!$.
Combinatorial aspects of Escher tilings
Authors: Massé Alexandre Blondin , Brlek Srecko , Labbé Sébastien 
Published: August 2021

In the late 30's, Maurits Cornelis Escher astonished the artistic world by producing some puzzling drawings. In particular, the tesselations of the plane obtained by using a single tile appear to be a major concern in his work, drawing attention from the mathematical community. Since a tile in the continuous world can be approximated by a path on a sufficiently small square grid - a widely used method in applications using computer displays - the natural combinatorial object that models the tiles is the polyomino. As polyominoes are encoded by paths on a four letter alphabet coding their contours, the use of combinatorics on words for the study of tiling properties becomes relevant. In this paper we present several results, ranging from recognition of these tiles to their generation, leading also to some surprising links with the well-known sequences of Fibonacci and Pell.
Lorsque Maurits Cornelis Escher commença à la fin des années 30 à produire des pavages du plan avec des tuiles, il étonna le monde artistique par la singularité de ses dessins. En particulier, les pavages du plan obtenus avec des copies d'une seule tuile apparaissent souvent dans son œuvre et ont attiré peu à peu l'attention de la communauté mathématique. Puisqu'une tuile dans le monde continu peut être approximée par un chemin sur un réseau carré suffisamment fin - une méthode universellement utilisée dans les applications utilisant des écrans graphiques - l'objet combinatoire qui modèle adéquatement la tuile est le polyomino. Comme ceux-ci sont naturellement codés par des chemins sur un alphabet de quatre lettres, l'utilisation de la combinatoire des mots devient pertinente pour l'étude des propriétés des tuiles pavantes. Nous présentons dans ce papier plusieurs résultats, allant de la reconnaissance de ces tuiles à leur génération, conduisant à des liens surprenants avec les célèbres suites de Fibonacci et de Pell.
The stability of the Kronecker product of Schur functions
Authors: Briand Emmanuel , Orellana Rosa , Rosas Mercedes 
Published: August 2021

In the late 1930's Murnaghan discovered the existence of a stabilization phenomenon for the Kronecker product of Schur functions. For $n$ large enough, the values of the Kronecker coefficients appearing in the product of two Schur functions of degree $n$ do not depend on the first part of the indexing partitions, but only on the values of their remaining parts. We compute the exact value of n when this stable expansion is reached. We also compute two new bounds for the stabilization of a particular coefficient of such a product. Given partitions $\alpha$ and $\beta$, we give bounds for all the parts of any partition $\gamma$ such that the corresponding Kronecker coefficient is nonzero. Finally, we also show that the reduced Kronecker coefficients are structure coefficients for the Heisenberg product introduced by Aguiar, Ferrer and Moreira.
Dans les années 30 Murnaghan a découvert une propriété de stabilité pour le produit de Kronecker de fonctions de Schur. En degré assez grand, les valeurs des coefficients qui aparaissent dans le produit de Kronecker de deux fonctions de Schur ne dépendent pas de la première part des partitions en indice, mais seulement des parts suivantes. Dans ce travail nous calculons la valeur exacte du degré à partir duquel ce développement stable est atteint. Nous calculons aussi deux nouvelles bornes supérieures pour la stabilisation d'un coefficient particulier d'un tel produit. Nous donnons en outre, pour $\alpha$ et $\beta$ fixés, des bornes supérieures pour toutes les parts des partition $\gamma$ rendant le coefficient de Kronecker d'indices $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ non―nul. Finalement, nous identifions les coefficients de Kronecker réduits comme des constantes de structures pour le produit de Heisenberg de fonctions symétriques défini par Aguiar, Ferrer et Moreira.
On $k$-crossings and $k$-nestings of permutations
Authors: Burrill Sophie , Mishna Marni , Post Jacob 
Published: August 2021

We introduce $k$-crossings and $k$-nestings of permutations. We show that the crossing number and the nesting number of permutations have a symmetric joint distribution. As a corollary, the number of $k$-noncrossing permutations is equal to the number of $k$-nonnesting permutations. We also provide some enumerative results for $k$-noncrossing permutations for some values of $k$.
Nous introduisons les $k$-chevauchement d'arcs et les $k$-empilements d'arcs de permutations. Nous montrons que l'index de chevauchement et l'index de empilement ont une distribution conjointe symétrique pour les permutations de taille $n$. Comme corollaire, nous obtenons que le nombre de permutations n'ayant pas un $k$-chevauchement est égal au nombre de permutations n'ayant un $k$-empilement. Nous fournissons également quelques résultats énumératifs.
The Geometry of Lecture Hall Partitions and Quadratic Permutation Statistics
Authors: Bright Katie L. , Savage Carla D. 
Published: August 2021

We take a geometric view of lecture hall partitions and anti-lecture hall compositions in order to settle some open questions about their enumeration. In the process, we discover an intrinsic connection between these families of partitions and certain quadratic permutation statistics. We define some unusual quadratic permutation statistics and derive results about their joint distributions with linear statistics. We show that certain specializations are equivalent to the lecture hall and anti-lecture hall theorems and another leads back to a special case of a Weyl group generating function that "ought to be better known.''
Nous regardons géométriquement les partitions amphithéâtre et les compositions planétarium afin de résoudre quelques questions énumératives ouvertes. Nous découvrons un lien intrinsèque entre ces familles des partitions et certaines statistiques quadratiques de permutation. Nous définissons quelques statistiques quadratiques peu communes des permutations et dérivons des résultats sur leurs distributions jointes avec des statistiques linéaires. Nous démontrons que certaines spécialisations sont équivalentes aux théorèmes amphithéâtre et planétarium. Une autre spécialisation mène à un cas spécial de la série génératrice d'un groupe de Weyl qui "devrait être mieux connue''.
Harmonics for deformed Steenrod operators (Extended Abstract)
Authors: Bergeron François , Garsia Adriano , Wallach Nolan 
Published: August 2021

We explore in this paper the spaces of common zeros of several deformations of Steenrod operators. Proofs are omitted in view of pages limitation for the extended abstract. \par
Nous explorons dans cet article l'espace des zéros communs de plusieurs déformations d'opérateurs de Steenrod. Faute de place, les preuves sont omises.
Zonotopes, toric arrangements, and generalized Tutte polynomials
Authors: Moci Luca 
Published: August 2021

We introduce a multiplicity Tutte polynomial $M(x,y)$, which generalizes the ordinary one and has applications to zonotopes and toric arrangements. We prove that $M(x,y)$ satisfies a deletion-restriction recurrence and has positive coefficients. The characteristic polynomial and the Poincaré polynomial of a toric arrangement are shown to be specializations of the associated polynomial $M(x,y)$, likewise the corresponding polynomials for a hyperplane arrangement are specializations of the ordinary Tutte polynomial. Furthermore, $M(1,y)$ is the Hilbert series of the related discrete Dahmen-Micchelli space, while $M(x,1)$ computes the volume and the number of integral points of the associated zonotope.
On introduit un polynôme de Tutte avec multiplicité $M(x, y)$, qui généralise le polynôme de Tutte ordinaire et a des applications aux zonotopes et aux arrangements toriques. Nous prouvons que $M(x, y)$ satisfait une récurrence de "deletion-restriction'' et a des coefficients positifs. Le polynôme caractéristique et le polynôme de Poincaré d'un arrangement torique sont des spécialisations du polynôme associé $M(x, y)$, de même que les polynômes correspondants pour un arrangement d'hyperplans sont des spécialisations du polynôme de Tutte ordinaire. En outre, $M(1, y)$ est la série de Hilbert de l'espace discret de Dahmen-Micchelli associé, et $M(x, 1)$ calcule le volume et le nombre de points entiers du zonotope associé.
Unitary Matrix Integrals, Primitive Factorizations, and Jucys-Murphy Elements
Authors: Matsumoto Sho , Novak Jonathan 
Published: August 2021

A factorization of a permutation into transpositions is called "primitive'' if its factors are weakly ordered.We discuss the problem of enumerating primitive factorizations of permutations, and its place in the hierarchy of previously studied factorization problems. Several formulas enumerating minimal primitive and possibly non-minimal primitive factorizations are presented, and interesting connections with Jucys-Murphy elements, symmetric group characters, and matrix models are described.
Une factorisation en transpositions d'une permutation est dite "primitive'' si ses facteurs sont ordonnés. Nous discutons du problème de l'énumération des factorisations primitives de permutations, et de sa place dans la hiérarchie des problèmes de factorisation précédemment étudiés. Nous présentons plusieurs formules énumérant certaines classes de factorisations primitives,et nous soulignons des connexions intéressantes avec les éléments Jucys-Murphy, les caractères des groupes symétriques, et les modèles de matrices.
A Pieri rule for skew shapes
Authors: Assaf Sami H. , McNamara Peter R. W. 
Published: August 2021

The Pieri rule expresses the product of a Schur function and a single row Schur function in terms of Schur functions. We extend the classical Pieri rule by expressing the product of a skew Schur function and a single row Schur function in terms of skew Schur functions. Like the classical rule, our rule involves simple additions of boxes to the original skew shape. Our proof is purely combinatorial and extends the combinatorial proof of the classical case.
La règle de Pieri exprime le produit d'une fonction de Schur et de la fonction de Schur d'une seule ligne en termes de fonctions de Schur. Nous étendons la règle classique de Pieri en exprimant le produit d'un fonction gauche de Schur et de la fonction de Schur d'une ligne en termes de fonctions gauches de Schur. Comme la règle classique, notre règle implique l'ajout de cases à la forme gauche initiale. Notre preuve est purement combinatoire et étend celle du cas classique.
Hyperplane Arrangements and Diagonal Harmonics
Authors: Armstrong Drew 
Published: August 2021

In 2003, Haglund's bounce statistic gave the first combinatorial interpretation of the q,t-Catalan numbers and the Hilbert series of diagonal harmonics. In this paper we propose a new combinatorial interpretation in terms of the affine Weyl group of type A. In particular, we define two statistics on affine permutations; one in terms of the Shi hyperplane arrangement, and one in terms of a new arrangement — which we call the Ish arrangement. We prove that our statistics are equivalent to the area' and bounce statistics of Haglund and Loehr. In this setting, we observe that bounce is naturally expressed as a statistic on the root lattice. We extend our statistics in two directions: to "extended'' Shi arrangements and to the bounded chambers of these arrangements. This leads to a (conjectural) combinatorial interpretation for all integral powers of the Bergeron-Garsia nabla operator applied to elementary symmetric functions.
En 2003, la statistique bounce de Haglund a donné la première interprétation combinatoire de la somme des nombres q,t-Catalan et de la série de Hilbert des harmoniques diagonaux. Dans cet article nous proposons une nouvelle interprétation combinatoire à partir du groupe de Weyl affine de type A. En particulier, nous définissons deux statistiques sur les permutations affines; l'une à partir de l'arrangement d'hyperplans Shi, et l'autre à partir d'un nouvel arrangement — que nous appelons l'arrangement Ish. Nous prouvons que nos statistiques sont équivalentes aux statistiques area' et bounce de Haglund et Loehr. Dans ce contexte, nous observons que bounce s'exprime naturellement comme une statistique sur le réseau des racines. Nous prolongeons nos statistiques dans deux directions: arrangements Shi "étendus'', et chambres bornées associées. Cela conduit à une interprétation (conjecturale) combinatoire pour toutes les puissances entières de l'opérateur nabla de Bergeron-Garsia appliqué aux fonctions symétriques élémentaires.
The Murnaghan―Nakayama rule for k-Schur functions
Authors: Bandlow Jason , Schilling Anne , Zabrocki Mike 
Published: August 2021

We prove a Murnaghan–Nakayama rule for k-Schur functions of Lapointe and Morse. That is, we give an explicit formula for the expansion of the product of a power sum symmetric function and a k-Schur function in terms of k-Schur functions. This is proved using the noncommutative k-Schur functions in terms of the nilCoxeter algebra introduced by Lam and the affine analogue of noncommutative symmetric functions of Fomin and Greene.
Nous prouvons une règle de Murnaghan-Nakayama pour les fonctions de k-Schur de Lapointe et Morse, c'est-à-dire que nous donnons une formule explicite pour le développement du produit d'une fonction symétrique "somme de puissances'' et d'une fonction de k-Schur en termes de fonctions k-Schur. Ceci est prouvé en utilisant les fonctions non commutatives k-Schur en termes d'algèbre nilCoxeter introduite par Lam et l'analogue affine des fonctions symétriques non commutatives de Fomin et Greene.
Enumerating projective reflection groups
Authors: Biagioli Riccardo , Caselli Fabrizio 
Published: August 2021

Projective reflection groups have been recently defined by the second author. They include a special class of groups denoted G(r,p,s,n) which contains all classical Weyl groups and more generally all the complex reflection groups of type G(r,p,n). In this paper we define some statistics analogous to descent number and major index over the projective reflection groups G(r,p,s,n), and we compute several generating functions concerning these parameters. Some aspects of the representation theory of G(r,p,s,n), as distribution of one-dimensional characters and computation of Hilbert series of some invariant algebras, are also treated.
Les groupes de réflexions projectifs ont été récemment définis par le deuxième auteur. Ils comprennent une classe spéciale de groupes notée G(r,p,s,n), qui contient tous les groupes de Weyl classiques et plus généralement tous les groupes de réflexions complexes du type G(r,p,n). Dans ce papier on définit des statistiques analogues au nombre de descentes et à l'indice majeur pour les groupes G(r,p,s,n), et on calcule plusieurs fonctions génératrices. Certains aspects de la théorie des représentations de G(r,p,s,n), comme la distribution des caractères linéaires et le calcul de la série de Hilbert de quelques algèbres d'invariants, sont aussi abordés.
Finite Eulerian posets which are binomial or Sheffer
Authors: Bidkhori Hoda 
Published: August 2021

In this paper we study finite Eulerian posets which are binomial or Sheffer. These important classes of posets are related to the theory of generating functions and to geometry. The results of this paper are organized as follows: (1) We completely determine the structure of Eulerian binomial posets and, as a conclusion, we are able to classify factorial functions of Eulerian binomial posets; (2) We give an almost complete classification of factorial functions of Eulerian Sheffer posets by dividing the original question into several cases; (3) In most cases above, we completely determine the structure of Eulerian Sheffer posets, a result stronger than just classifying factorial functions of these Eulerian Sheffer posets. We also study Eulerian triangular posets. This paper answers questions posed by R. Ehrenborg and M. Readdy. This research is also motivated by the work of R. Stanley about recognizing the \emphboolean lattice by looking at smaller intervals.
Nous étudions les ensembles partiellement ordonnés finis (EPO) qui sont soit binomiaux soit de type Sheffer (deux notions reliées aux séries génératrices et à la géométrie). Nos résultats sont les suivants: (1) nous déterminons la structure des EPO Euleriens et binomiaux; nous classifions ainsi les fonctions factorielles de tous ces EPO; (2) nous donnons une classification presque complète des fonctions factorielles des EPO Euleriens de type Sheffer; (3) dans la plupart de ces cas, nous déterminons complètement la structure des EPO Euleriens et Sheffer, ce qui est plus fort que classifier leurs fonctions factorielles. Nous étudions aussi les EPO Euleriens triangulaires. Cet article répond à des questions de R. Ehrenborg and M. Readdy. Il est aussi motivé par le travail de R. Stanley sur la reconnaissance du treillis booléen via l'étude des petits intervalles.