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Criteria for rational smoothness of some symmetric orbit closures
Authors: Hultman Axel 
Published: August 2021

Let $G$ be a connected reductive linear algebraic group over $ℂ$ with an involution $θ$ . Denote by $K$ the subgroup of fixed points. In certain cases, the $K-orbits$ in the flag variety $G/B$ are indexed by the twisted identities $ι (θ ) = {θ (w^{-1})w | w∈W}$ in the Weyl group $W$. Under this assumption, we establish a criterion for rational smoothness of orbit closures which generalises classical results of Carrell and Peterson for Schubert varieties. That is, whether an orbit closure is rationally smooth at a given point can be determined by examining the degrees in a "Bruhat graph'' whose vertices form a subset of $ι (θ )$. Moreover, an orbit closure is rationally smooth everywhere if and only if its corresponding interval in the Bruhat order on $ι (θ )$ is rank symmetric. In the special case $K=\mathrm{Sp}_{2n}(ℂ), G=\mathrm{SL}_{2n}(ℂ)$, we strengthen our criterion by showing that only the degree of a single vertex, the "bottom one'', needs to be examined. This generalises a result of Deodhar for type A Schubert varieties.
Soit $G$ un groupe algébrique connexe réductif sur $ℂ$, équipé d'une involution $θ$ . Soit $K$ le sousgroupe de ses points fixes. Dans certains cas, les orbites des points de la variété de drapeaux $G/B$ sous l'action de $K$ sont indexées par les identités tordues, $ι (θ ) = {θ (w^{-1})w | w∈W}$, du groupe de Weyl $W$. Sous cette hypothèse, on établit un critère pour la lissité rationnelle des adhérences des orbites, qui généralise des résultats classiques de Carrell et Peterson pour les variétés de Schubert. Plus précisément, on peut déterminer si l'adhérence d'une orbite est rationnellement lisse en examinant les degrés dans un "Graphe de Bruhat" dont les sommets forment un sous-ensemble de $ι (θ )$. En outre, l'adhérence d'une orbite est partout rationnellement lisse si et seulement si l'intervalle correspondant dans l'ordre de Bruhat de $ι (θ )$ est symétrique respectivement au rang. Dans le cas particulier $K=\mathrm{Sp}_{2n}(ℂ), G=\mathrm{SL}_{2n}(ℂ)$, nous améliorons notre critère en montrant qu'il suffit d'examiner le degré d'un seul sommet, celui "du bas". Ceci généralise un résultat de Deodhar pour les variétés de Schubert de type A.
Skew Littlewood―Richardson rules from Hopf algebras
Authors: Lam Thomas , Lauve Aaron , Sottile Frank 
Published: August 2021

We use Hopf algebras to prove a version of the Littlewood―Richardson rule for skew Schur functions, which implies a conjecture of Assaf and McNamara. We also establish skew Littlewood―Richardson rules for Schur $P-$ and $Q-$functions and noncommutative ribbon Schur functions, as well as skew Pieri rules for k-Schur functions, dual k-Schur functions, and for the homology of the affine Grassmannian of the symplectic group.
Nous utilisons des algèbres de Hopf pour prouver une version de la règle de Littlewood―Richardson pour les fonctions de Schur gauches, qui implique une conjecture d'Assaf et McNamara. Nous établissons également des règles de Littlewood―Richardson gauches pour les $P-$ et $Q-$fonctions de Schur et les fonctions de Schur rubbans non commutatives, ainsi que des règles de Pieri gauches pour les $k-$fonctions de Schur, les $k-$fonctions de Schur duales, et pour l'homologie de la Grassmannienne affine du groupe symplectique.
Generalized Energy Statistics and Kostka―Macdonald Polynomials
Authors: Kirillov Anatol N. , Sakamoto Reiho 
Published: August 2021

We give an interpretation of the $t=1$ specialization of the modified Macdonald polynomial as a generating function of the energy statistics defined on the set of paths arising in the context of Box-Ball Systems (BBS-paths for short). We also introduce one parameter generalizations of the energy statistics on the set of BBS-paths which all, conjecturally, have the same distribution.
Nous donnons une intérprétation de la spécialisation à $t=1$ du polynôme de Macdonald modifié comme fonction génératrice des statistiques d'énergie définies sur l'ensemble des chemins qui apparaissent dans la théorie des Systèmes BBS (BBS-chemins). Nous présentons également des généralisations à un paramètre de la statistique d'énergie sur les chemins BBS qui toutes, conjecturalement, ont la même distribution.
Combinatorics of the PASEP partition function
Authors: Josuat-Vergès Matthieu 
Published: August 2021

We consider a three-parameter PASEP model on $N$ sites. A closed formula for the partition function was obtained analytically by Blythe et al. We give a new formula which generalizes the one of Blythe et al, and is proved in two combinatorial ways. Moreover the first proof can be adapted to give the moments of Al-Salam-Chihara polynomials.
Nous considérons un modèle de PASEP à trois paramètres sur $N$ sites. Une formule close pour la fonction de partition a été obtenue analytiquement par Blythe et al. Nous donnons une formule qui généralise celle de Blythe et al, prouvée combinatoirement de deux manières diffèrentes. Par ailleurs la première preuve peut être adaptée de sorte à obtenir les moments des polynômes d'Al-Salam-Chihara.
An Algebraic Analogue of a Formula of Knuth
Authors: Levine Lionel 
Published: August 2021

We generalize a theorem of Knuth relating the oriented spanning trees of a directed graph $G$ and its directed line graph $\mathcal{L} G$. The sandpile group is an abelian group associated to a directed graph, whose order is the number of oriented spanning trees rooted at a fixed vertex. In the case when $G$ is regular of degree $k$, we show that the sandpile group of $G$ is isomorphic to the quotient of the sandpile group of $\mathcal{L} G$ by its $k$-torsion subgroup. As a corollary we compute the sandpile groups of two families of graphs widely studied in computer science, the de Bruijn graphs and Kautz graphs.
Nous généralisons un théorème de Knuth qui relie les arbres couvrants dirigés d'un graphe orienté $G$ au graphe adjoint orienté $\mathcal{L} G$. On peut associer à tout graphe orienté un groupe abélien appelé groupe du tas de sable, et dont l'ordre est le nombre d'arbres couvrants dirigés enracinés en un sommet fixé. Lorsque $G$ est régulier de degré $k$, nous montrons que le groupe du tas de sable de $G$ est isomorphe au quotient du groupe du tas de sable de $\mathcal{L} G$ par son sous-groupe de $k$-torsion. Comme corollaire, nous déterminons les groupes de tas de sable de deux familles de graphes étudiées en informatique: les graphes de de Bruijn et les graphes de Kautz.
Involutions of the Symmetric Group and Congruence B-Orbits (Extended Abstract)
Authors: Bagno Eli , Cherniavsky Yonah 
Published: August 2021

We study the poset of Borel congruence classes of symmetric matrices ordered by containment of closures. We give a combinatorial description of this poset and calculate its rank function. We discuss the relation between this poset and the Bruhat poset of involutions of the symmetric group. Also we present the poset of Borel congruence classes of anti-symmetric matrices ordered by containment of closures. We show that there exists a bijection between the set of these classes and the set of involutions of the symmetric group. We give two formulas for the rank function of this poset.
Nous étudions l'ensemble ordonné des classes de congruence de matrices symétriques ordonnées par containment de leurs fermetures. Nous donnons une description combinatoire de cet ensemble et calculons sa fonction rang. Nous étudions les relations entre cet ensemble et l'ensemble des involutions du groupe symétrique ordonné selon l'ordre de Bruhat. Nous montrons qu'il existe une bijection parmi l'ensemble ordonné de classes de congruences de Borel des matrices anti-symétriques et l'ensemble des involutions du groupe symétrique. On termine en donnant deux formules pour la fonction rang pour ce dernier ensemble.
Lagrange's Theorem for Hopf Monoids in Species
Authors: Aguiar Marcelo , Lauve Aaron 
Published: August 2021

We prove Lagrange's theorem for Hopf monoids in the category of connected species. We deduce necessary conditions for a given subspecies $\textrm{k}$ of a Hopf monoid $\textrm{h}$ to be a Hopf submonoid: each of the generating series of $\textrm{k}$ must divide the corresponding generating series of $\textrm{k}$ in ℕ〚x〛. Among other corollaries we obtain necessary inequalities for a sequence of nonnegative integers to be the sequence of dimensions of a Hopf monoid. In the set-theoretic case the inequalities are linear and demand the non negativity of the binomial transform of the sequence.
Nous prouvons le théorème de Lagrange pour les monoïdes de Hopf dans la catégorie des espèces connexes. Nous déduisons des conditions nécessaires pour qu'une sous-espèce $\textrm{k}$ d'un monoïde de Hopf $\textrm{h}$ soit un sous-monoïde de Hopf: chacune des séries génératrices de $\textrm{k}$ doit diviser la série génératrice correspondante de $\textrm{h}$ dans ℕ〚x〛. Parmi d'autres corollaires nous trouvons des inégalités nécessaires pour qu'une suite d'entiers soit la suite des dimensions d'un monoïde de Hopf. Dans le cas ensembliste les inégalités sont linéaires et exigent que la transformée binomiale de la suite soit non négative.
The Shi arrangement and the Ish arrangement
Authors: Armstrong Drew , Rhoades Brendon 
Published: August 2021

This paper is about two arrangements of hyperplanes. The first — the Shi arrangement — was introduced by Jian-Yi Shi to describe the Kazhdan-Lusztig cells in the affine Weyl group of type A. The second — the Ish arrangement — was recently defined by the first author who used the two arrangements together to give a new interpretation of the q,t-Catalan numbers of Garsia and Haiman. In the present paper we will define a mysterious "combinatorial symmetry'' between the two arrangements and show that this symmetry preserves a great deal of information. For example, the Shi and Ish arrangements share the same characteristic polynomial, the same numbers of regions, bounded regions, dominant regions, regions with c "ceilings'' and d "degrees of freedom'', etc. Moreover, all of these results hold in the greater generality of "deleted'' Shi and Ish arrangements corresponding to an arbitrary subgraph of the complete graph. Our proofs are based on nice combinatorial labellings of Shi and Ish regions and a new set partition-valued statistic on these regions.
Cet article traite de deux arrangements d'hyperplans. Le premier — arrangement Shi — a été introduit par Jian-Yi Shi pour décrire les cellules de Kazhdan-Lusztig du groupe de Weyl affine de type A. Le deuxième — arrangement Ish — a été récemment défini par le premier auteur pour donner une nouvelle interprétation des nombres q,t-Catalan de Garsia et Haiman. Ici nous définissons une mystérieuse "symétrie combinatoire" entre les deux arrangements et nous montrons que cette symétrie conserve un grand nombre d'informations. Par exemple, les arrangements Shi et Ish ont le même polynôme caractéristique, le même nombre de régions, de régions bornées, de régions dominantes, de régions avec c "plafonds'' et d "degrés de liberté'', etc. En outre, ces résultats se généralisent aux arrangements Shi et Ish "deleted'' correspondant à un sous-graphe arbitraire du graphe complet. Nos preuves reposent sur des étiquetages combinatoires des régions Shi et Ish, et sur une nouvelle statistique associée.
Tree-like tableaux
Authors: Aval Jean-Christophe , Boussicault Adrien , Nadeau Philippe 
Published: August 2021

In this work we introduce and study tree-like tableaux, which are certain fillings of Ferrers diagrams in simple bijection with permutation tableaux and alternative tableaux. We exhibit an elementary insertion procedure on our tableaux which gives a clear proof that tableaux of size n are counted by n!, and which moreover respects most of the well-known statistics studied originally on alternative and permutation tableaux. Our insertion procedure allows to define in particular two simple new bijections between tree-like tableaux and permutations: the first one is conceived specifically to respect the generalized pattern 2-31, while the second one respects the underlying tree of a tree-like tableau.
Dans ce travail nous introduisons et étudions les tableaux boisés, qui sont certains remplissages de diagrammes de Ferrers en bijection simple avec les tableaux de permutation et les tableaux alternatifs. Nous décrivons une procédure d'insertion élémentaire sur nos tableaux qui donne une preuve limpide que les tableaux de taille n sont comptés par n!, et qui de plus respecte la plupart des statistiques standard sur les tableaux de permutation et tableaux alternatifs. Notre procédure d'insertion permet en particulier de définir deux nouvelles bijections simples entre tableaux et permutations: la première est conçue spécifiquement pour respecter le motif généralisé 2-31 sur les permutations, tandis que la deuxième respecte l'arbre binaire sous-jacent à un tableau boisé.
Deformed diagonal harmonic polynomials for complex reflection groups
Authors: Bergeron François , Borie Nicolas , Thiéry Nicolas M. 
Published: August 2021

arXiv : http://arxiv.org/abs/1011.3654
We introduce deformations of the space of (multi-diagonal) harmonic polynomials for any finite complex reflection group of the form W=G(m,p,n), and give supporting evidence that this space seems to always be isomorphic, as a graded W-module, to the undeformed version.
Nous introduisons une déformation de l'espace des polynômes harmoniques (multi-diagonaux) pour tout groupe de réflexions complexes de la forme W=G(m,p,n), et soutenons l'hypothèse que cet espace est toujours isomorphe, en tant que W-module gradué, à l'espace d'origine.
Partition and composition matrices: two matrix analogues of set partitions
Authors: Claesson Anders , Dukes Mark , Kubitzke Martina 
Published: August 2021

This paper introduces two matrix analogues for set partitions; partition and composition matrices. These two analogues are the natural result of lifting the mapping between ascent sequences and integer matrices given in Dukes & Parviainen (2010). We prove that partition matrices are in one-to-one correspondence with inversion tables. Non-decreasing inversion tables are shown to correspond to partition matrices with a row ordering relation. Partition matrices which are s-diagonal are classified in terms of inversion tables. Bidiagonal partition matrices are enumerated using the transfer-matrix method and are equinumerous with permutations which are sortable by two pop-stacks in parallel. We show that composition matrices on the set $X$ are in one-to-one correspondence with (2+2)-free posets on $X$.We show that pairs of ascent sequences and permutations are in one-to-one correspondence with (2+2)-free posets whose elements are the cycles of a permutation, and use this relation to give an expression for the number of (2+2)-free posets on $\{1,\ldots,n\}$.
Ce papier introduit deux analogues matriciels des partitions d'ensembles: les matrices de composition et de partition. Ces deux analogues sont le produit naturel du relèvement de l'application entre suites de montées et matrices d'entiers introduite dans Dukes & Parviainen (2010). Nous démontrons que les matrices de partition sont en bijection avec les tables d'inversion, les tables d'inversion croissantes correspondant aux matrices de partition avec une relation d'ordre sur les lignes. Les matrices de partition s-diagonales sont classées en fonction de leurs tables d'inversion. Les matrices de partition bidiagonales sont énumérées par la méthode de matrices de transfert et ont même cardinalité que les permutations triables par deux piles en parallèle. Nous montrons que les matrices de composition sur l'ensemble $X$ sont en bijection avec les ensembles ordonnés (2+2)-libres sur $X$. Nous prouvons que les paires de suites de montées et de permutations sont en bijection avec les ensembles ordonnés (2+2)-libres dont les éléments sont les cycles d'une permutation, et nous utilisons cette relation pour exprimer le nombre d'ensembles ordonnés (2+2)-libres sur $\{1,\ldots,n\}$.
Polytopes from Subgraph Statistics
Authors: Engström Alexander , Norén Patrik 
Published: August 2021

We study polytopes that are convex hulls of vectors of subgraph densities. Many graph theoretical questions can be expressed in terms of these polytopes, and statisticians use them to understand exponential random graph models. Relations among their Ehrhart polynomials are described, their duals are applied to certify that polynomials are non-negative, and we find some of their faces. For the general picture we inscribe cyclic polytopes in them and calculate volumes. From the volume calculations we conjecture that a variation of the Selberg integral indexed by Schur polynomials has a combinatorial formula. We inscribe polynomially parametrized sets, called curvy zonotopes, in the polytopes and show that they approximate the polytopes arbitrarily close.
Nous étudions les polytopes qui sont les enveloppes convexes des vecteurs des densités de sous-graphe. Beaucop de questions théoriques de graphe peuvent être exprimées en termes de ces polytopes, et les statisticiens les utilisent pour comprendre les modèles de graphes aléatoires exponentielles Des relations parmi leurs polynômes d'Ehrhart sont décrites leurs duals sont appliqués pour certifier que les polynômes sont non négatifs, et nous trouvons certaines de leurs faces. Pour la description générale nous inscrivons les polytopes cycliques dans eux et calculons les volumes. D'après les calculs de volume, nous conjecturons qu'une variation de l'intégrale de Selberg indexés par des polynômes de Schur a une formule combinatoire. Nous inscrivons polynomialement les ensembles paramétrisés appelés ``curvy zonotopes'' dans les polytopes et montrons qu'ils sont arbitrairement proches de polytopes.
A Littlewood-Richardson type rule for row-strict quasisymmetric Schur functions
Authors: Ferreira Jeffrey 
Published: August 2021

We establish several properties of an algorithm defined by Mason and Remmel (2010) which inserts a positive integer into a row-strict composition tableau. These properties lead to a Littlewood-Richardson type rule for expanding the product of a row-strict quasisymmetric Schur function and a symmetric Schur function in terms of row-strict quasisymmetric Schur functions.
Nous établissons plusieurs propriétés d'un algorithme défini par Mason et Remmel (2010), qui insère un entier positif dans un tableau dont la forme est une composition, avec ordre strict sur les lignes (row-strict). Ces propriétés conduisent à une règle de type Littlewood-Richardson pour étendre le produit d'une fonction de Schur quasi-symétrique "row-strict'' et d'une fonction de Schur symétrique en termes de fonctions de Schur quasi-symétriques "row-strict''.
K-classes for matroids and equivariant localization
Authors: Fink Alex , Speyer David 
Published: August 2021

To every matroid, we associate a class in the K-theory of the Grassmannian. We study this class using the method of equivariant localization. In particular, we provide a geometric interpretation of the Tutte polynomial. We also extend results of the second author concerning the behavior of such classes under direct sum, series and parallel connection and two-sum; these results were previously only established for realizable matroids, and their earlier proofs were more difficult.
À chaque matroïde, nous associons une classe dans la K-théorie de la grassmannienne. Nous étudions cette classe en utilisant la méthode de localisation équivariante. En particulier, nous fournissons une interprétation géométrique du polynôme de Tutte. Nous étendons également les résultats du second auteur concernant le comportement de ces classes pour la somme directe, les connexions série et parallèle et la 2-somme; ces résultats n'ont été déjà établis que pour les matroïdes réalisables, et leurs preuves précédentes étaient plus difficiles.
Counting Shi regions with a fixed separating wall
Authors: Fishel Susanna , Tzanaki Eleni , Vazirani Monica 
Published: August 2021

Athanasiadis introduced separating walls for a region in the extended Shi arrangement and used them to generalize the Narayana numbers. In this paper, we fix a hyperplane in the extended Shi arrangement for type A and calculate the number of dominant regions which have the fixed hyperplane as a separating wall; that is, regions where the hyperplane supports a facet of the region and separates the region from the origin.
Athanasiadis a introduit la notion d'hyperplan de séparation pour une région dans l'arrangement de Shi et l'a utilisée pour généraliser les numéros de Narayana. Dans cet article, nous fixons un hyperplan dans l'arrangement de Shi pour le type A et calculons le nombre de régions dominantes qui ont l'hyperplan fixe pour mur de séparation, c'est-à-dire les régions où l'hyperplan soutient une facette de la région et sépare la région de l'origine.
Enumeration of minimal 3D polyominoes inscribed in a rectangular prism
Authors: Goupil Alain , Cloutier Hugo 
Published: August 2021

We consider the family of 3D minimal polyominoes inscribed in a rectanglar prism. These objects are polyominos and so they are connected sets of unitary cubic cells inscribed in a given rectangular prism of size $b\times k \times h$ and of minimal volume equal to $b+k+h-2$. They extend the concept of minimal 2D polyominoes inscribed in a rectangle studied in a previous work. Using their geometric structure and elementary combinatorial principles, we construct rational generating functions of minimal 3D polyominoes. We also obtain a number of exact formulas and recurrences for sub-families of these polyominoes.
Nous considérons la famille des polyominos 3D de volume minimal inscrits dans un prisme rectangulaire. Ces objets sont des polyominos et sont donc des ensembles connexes de cubes unitaires. De plus ils sont inscrits dans un prisme rectangulaire de format $b\times k \times h$ donné et ont un volume minimal égal à $b+k+h-2$. Ces polyominos généralisent le concept de polyomino 2D étudié dans un travail précédent. Nous construisons des séries génératrices rationnelles de polyominos 3D minimaux et nous obtenons des formules exactes et des récurrences pour des sous-familles de ces polyominos.
0-Hecke algebra actions on coinvariants and flags
Authors: Huang Jia 
Published: August 2021

By investigating the action of the 0-Hecke algebra on the coinvariant algebra and the complete flag variety, we interpret generating functions counting the permutations with fixed inverse descent set by their inversion number and major index.
En étudiant l'action de l'algèbre de 0-Hecke sur l'algèbre coinvariante et la variété de drapeaux complète, nous interprétons les fonctions génératrices qui comptent les permutations avec un ensemble inverse de descentes fixé, selon leur nombre d'inversions et leur "major index''.