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An Edge-Signed Generalization of Chordal Graphs, Free Multiplicities on Braid Arrangements, and Their Characterizations
Authors: Abe Takuro , Nuida Koji , Numata Yasuhide 
Published: August 2021

In this article, we propose a generalization of the notion of chordal graphs to signed graphs, which is based on the existence of a perfect elimination ordering for a chordal graph. We give a special kind of filtrations of the generalized chordal graphs, and show a characterization of those graphs. Moreover, we also describe a relation between signed graphs and a certain class of multiarrangements of hyperplanes, and show a characterization of free multiarrangements in that class in terms of the generalized chordal graphs, which generalizes a well-known result by Stanley on free hyperplane arrangements. Finally, we give a remark on a relation of our results with a recent conjecture by Athanasiadis on freeness characterization for another class of hyperplane arrangements.
Dans cet article, nous proposons une généralisation de la notion des graphes triangulés à graphes signés, qui est basée sur l'existence d'un ordre d'élimination simplicial à un graphe triangulé. Nous donnons un genre spécial de filtrations des graphes triangulés généralisés, et montrons une caractérisation de ces graphes. De plus, nous décrivons aussi une relation entre graphes signés et une certaine classe de multicompositions d'hyperplans, et montrons une caractérisation de multicompositions libres dans cette classe en termes des graphes triangulés généralisés, qui généralise un résultat célèbre de Stanley sur compositions libres d'hyperplans. Finalement, nous donnons une remarque sur une relation de nos résultats avec une conjecture récente d'Athanasiadis sur une caractérisation du freeness d'une autre classe de compositions d'hyperplans.
The Möbius function of separable permutations (extended abstract)
Authors: Jelínek Vít , Jelínková Eva , Steingrímsson Einar 
Published: August 2021

A permutation is separable if it can be generated from the permutation 1 by successive sums and skew sums or, equivalently, if it avoids the patterns 2413 and 3142. Using the notion of separating tree, we give a computationally efficient formula for the Möbius function of an interval $(q,p)$ in the poset of separable permutations ordered by pattern containment. A consequence of the formula is that the Möbius function of such an interval $(q,p)$ is bounded by the number of occurrences of $q$ as a pattern in $p$. The formula also implies that for any separable permutation $p$ the Möbius function of $(1,p)$ is either 0, 1 or -1.
Une permutation est séparable si elle peut être générée á partir de la permutation 1 par des sommes directes et des sommes indirectes, ou de façon équivalente, si elle évite les motifs 2413 et 3142. En utilisant le concept de l'arbre séparant, nous donnons une formule pour le calcul efficace de la fonction de Möbius d'un intervalle de $(q, p)$ dans l'ensemble partiellement ordonné des permutations séparables. Une conséquence est que la fonction de Möbius de $(q,p)$ pour $q$ et $p$ séparables est bornée par le nombre d'occurrences de $q$ comme un motif en $p$. Nous montrons aussi que pour une permutation $p$ séparable, la fonction de Möbius de $(1,p)$ est soit 0, 1 ou -1.
Constant term evaluation for summation of C-finite sequences
Authors: Hou Qing-Hu , Xin Guoce 
Published: August 2021

Based on constant term evaluation, we present a new method to compute a closed form of the summation $∑_k=0^n-1 ∏_j=1^r F_j(a_jn+b_jk+c_j)$, where ${F_j(k)} are $C$-finite sequences and $a_j$ and $a_j+b_j$ are nonnegative integers. Our algorithm is much faster than that of Greene and Wilf.
En s'appuyant sur l'évaluation de termes constants, nous présentons une nouvelle méthode pour calculer une forme close de la somme $∑_k=0^n-1 ∏_j=1^r F_j(a_jn+b_jk+c_j)$, où les ${F_j(k)}$ sont des suites C-finies, et où les $a_j$ et les $a_j+b_j$ sont des entiers positifs ou nuls. Notre algorithme est beaucoup plus rapide que celui de Greene et Wilf.
Affine structures and a tableau model for $E_6$ crystals
Authors: Jones Brant , Schilling Anne 
Published: August 2021

We provide the unique affine crystal structure for type $E_6^{(1)}$ Kirillov―Reshetikhin crystals corresponding to the multiples of fundamental weights $s\Lambda _1, s\Lambda _2$, and $s\Lambda _6$ for all $s≥ 1$ (in Bourbaki's labeling of the Dynkin nodes, where 2 is the adjoint node). Our methods introduce a generalized tableaux model for classical highest weight crystals of type $E$ and use the order three automorphism of the affine $E_6^{(1)}$ Dynkin diagram. In addition, we provide a conjecture for the affine crystal structure of type $E_7^{(1)}$ Kirillov―Reshetikhin crystals corresponding to the adjoint node.
Nous donnons l'unique structure cristalline affine pour les cristaux de Kirillov―Reshetikhin de type $E_6^{(1)}$ correspondant aux multiples des poids fondamentaux $s\Lambda _1, s\Lambda _2$ et $s\Lambda _6 $pour tout $s≥ 1$ (dans l'étiquetage de Bourbaki des noeuds de Dynkin, où 2 est le noeud adjoint). Pour ceci, nous introduisons un modèle de tableaux généralisés pour les cristaux classiques du plus haut poids de type $E$ et nous employons l'automorphisme d'ordre trois du diagramme de Dynkin du type $E_6^{(1)}$. En outre, nous fournissons une conjecture pour la structure affine pour les cristaux de Kirillov―Reshetikhin de type $E_7^{(1)}$ correspondant au noeud adjoint.
Bruhat order, rationally smooth Schubert varieties, and hyperplane arrangements
Authors: Oh Suho , Yoo Hwanchul 
Published: August 2021

We link Schubert varieties in the generalized flag manifolds with hyperplane arrangements. For an element of a Weyl group, we construct a certain graphical hyperplane arrangement. We show that the generating function for regions of this arrangement coincides with the Poincaré polynomial of the corresponding Schubert variety if and only if the Schubert variety is rationally smooth.
Nous relions des variétés de Schubert dans le variété flag généralisée avec des arrangements des hyperplans. Pour un élément dún groupe de Weyl, nous construisons un certain arrangement graphique des hyperplans. Nous montrons que la fonction génératrice pour les régions de cet arrangement coincide avec le polynome de Poincaré de la variété de Schubert correspondante si et seulement si la variété de Schubert est rationnellement lisse.
Toric Ideals of Flow Polytopes
Authors: Lenz Matthias 
Published: August 2021

We show that toric ideals of flow polytopes are generated in degree $3$. This was conjectured by Diaconis and Eriksson for the special case of the Birkhoff polytope. Our proof uses a hyperplane subdivision method developed by Haase and Paffenholz. It is known that reduced revlex Gröbner bases of the toric ideal of the Birkhoff polytope $B_n$ have at most degree $n$. We show that this bound is sharp for some revlex term orders. For $(m \times n)$-transportation polytopes, a similar result holds: they have Gröbner bases of at most degree $\lfloor mn/2 \rfloor$. We construct a family of examples, where this bound is sharp.
Nous démontrons que les idéaux toriques des polytopes de flot sont engendrés par un ensemble de degré $3$. Cela a été conjecturé par Diaconis et Eriksson pour le cas particulier du polytope de Birkhoff. Notre preuve utilise une méthode de subdivision par hyperplans, développée par Haase et Paffenholz. Il est bien connu que les bases de Gröbner revlex réduite du polytope de Birkhoff $B_n$ sont au plus de degré $n$. Nous démontrons que cette borne est optimale pour quelques ordres revlex. Pour les polytopes de transportation de dimension $(m \times n)$, il existe un résultat similaire : leurs bases de Gröbner sont au plus de degré $\lfloor mn/2 \rfloor$. Nous construisons une famille d'exemples pour lesquels cette borne est atteinte.
On $\gamma$-vectors satisfying the Kruskal-Katona inequalities
Authors: Nevo E. , Petersen T. K. 
Published: August 2021

We present examples of flag homology spheres whose $\gamma$-vectors satisfy the Kruskal-Katona inequalities. This includes several families of well-studied simplicial complexes, including Coxeter complexes and the simplicial complexes dual to the associahedron and to the cyclohedron. In these cases, we construct explicit flag simplicial complexes whose $f$-vectors are the $\gamma$-vectors in question, and so a result of Frohmader shows that the $\gamma$-vectors satisfy not only the Kruskal-Katona inequalities but also the stronger Frankl-Füredi-Kalai inequalities. In another direction, we show that if a flag $(d-1)$-sphere has at most $2d+3$ vertices its $\gamma$-vector satisfies the Frankl-Füredi-Kalai inequalities. We conjecture that if $\Delta$ is a flag homology sphere then $\gamma (\Delta)$ satisfies the Kruskal-Katona, and further, the Frankl-Füredi-Kalai inequalities. This conjecture is a significant refinement of Gal's conjecture, which asserts that such $\gamma$-vectors are nonnegative.
Nous présentons des exemples de sphères d'homologie flag dont $\gamma$-vecteurs satisfaire les inégalités de Kruskal-Katona. Cela comprend plusieurs familles de bien étudiés simplicial complexes, y compris les complexes de Coxeter et les complexes simpliciaux dual de l'associahedron et à la cyclohedron. Dans ces cas, nous construisons explicite flag simplicial complexes dont les $f$-vecteurs sont les $\gamma$-vecteurs en question, et ainsi de suite de Frohmader montre que le $\gamma$-vecteurs de satisfaire non seulement les inégalités de Kruskal-Katona mais aussi les plus fortes inégalités Frankl-Füredi-Kalai. Dans une autre direction, nous montrons que, si un flag $(d-1)$-sphère a au plus $2d+3$ sommets son $\gamma$-vecteur satisfait aux inégalités de Frankl-Füredi-Kalai. Nous conjecture que, si $\Delta$ est une sphère d'homologie flag alors $\gamma(\Delta)$ satisfait aux inégalités de Kruskal-Katona, en outre, celles de Frankl-Füredi-Kalai. Cette conjecture est un raffinement significatif de la conjecture de Gal, qui affirme que ces $\gamma$-vecteurs sont nonnégatifs.
An algorithm which generates linear extensions for a generalized Young diagram with uniform probability
Authors: Nakada Kento , Okamura Shuji 
Published: August 2021

The purpose of this paper is to present an algorithm which generates linear extensions for a generalized Young diagram, in the sense of D. Peterson and R. A. Proctor, with uniform probability. This gives a proof of a D. Peterson's hook formula for the number of reduced decompositions of a given minuscule elements. \par
Le but de ce papier est présenter un algorithme qui produit des extensions linéaires pour un Young diagramme généralisé dans le sens de D. Peterson et R. A. Proctor, avec probabilité constante. Cela donne une preuve de la hook formule d'un D. Peterson pour le nombre de décompositions réduites d'un éléments minuscules donné.
Linear Systems on Tropical Curves
Authors: Haase Christian , Musiker Gregg , Yu Josephine 
Published: August 2021

A tropical curve $\Gamma$ is a metric graph with possibly unbounded edges, and tropical rational functions are continuous piecewise linear functions with integer slopes. We define the complete linear system $|D|$ of a divisor $D$ on a tropical curve $\Gamma$ analogously to the classical counterpart. We investigate the structure of $|D|$ as a cell complex and show that linear systems are quotients of tropical modules, finitely generated by vertices of the cell complex. Using a finite set of generators, $|D|$ defines a map from $\Gamma$ to a tropical projective space, and the image can be modified to a tropical curve of degree equal to $\mathrm{deg}(D)$. The tropical convex hull of the image realizes the linear system $|D|$ as a polyhedral complex.
Une courbe tropicale $\Gamma$ est un graphe métrique pouvant contenir des arêtes infinies, et une fonction rationnelle tropicale est une fonction continue linéaire par morceaux à pentes entières. Le système linéaire complet $|D|$ d'un diviseur $D$ sur une courbe tropicale $\Gamma$ est défini de façon analogue au cas classique. Nous étudions la structure de $|D|$ en tant que complexe cellulaire et montrons que les systèmes linéaires sont des quotients de modules tropicaux engendrés par un nombre fini de sommets du complexe. Etant donné un ensemble fini de générateurs, $|D|$ définit une application de $\Gamma$ vers un espace projectif tropical, dont l'image peut être modifiée en une courbe tropicale de degré égal à $\mathrm{deg}(D)$. L'enveloppe convexe tropicale de l'image réalise le système linéaire $|D|$ en tant que complexe polyédral.
A bijection between (bounded) dominant Shi regions and core partitions
Authors: Fishel Susanna , Vazirani Monica 
Published: August 2021

It is well-known that Catalan numbers $C_n = \frac{1}{ n+1} \binom{2n}{n}$ count the number of dominant regions in the Shi arrangement of type $A$, and that they also count partitions which are both n-cores as well as $(n+1)$-cores. These concepts have natural extensions, which we call here the $m$-Catalan numbers and $m$-Shi arrangement. In this paper, we construct a bijection between dominant regions of the $m$-Shi arrangement and partitions which are both $n$-cores as well as $(mn+1)$-cores. We also modify our construction to produce a bijection between bounded dominant regions of the $m$-Shi arrangement and partitions which are both $n$-cores as well as $(mn-1)$-cores. The bijections are natural in the sense that they commute with the action of the affine symmetric group.
Il est bien connu que les nombres de Catalan $C_n = \frac{1}{ n+1} \binom{2n}{n}$ comptent non seulement le nombre de régions dominantes dans le Shi arrangement de type $A$ mais aussi les partitions qui sont à la fois $n$-cœur et $(n+1)$-cœur. Ces concepts ont des extensions naturelles, que nous appelons ici les nombres $m$-Catalan et le $m$-Shi arrangement. Dans cet article, nous construisons une bijection entre régions dominantes du $m$-Shi arrangement et les partitions qui sont à la fois $n$-cœur et $(nm+1)$-coeur. Nous modifions également notre construction pour produire une bijection entre régions dominantes bornées du $m$-Shi arrangement et les partitions qui sont à la fois $n$-coeur et $(mn-1)$-cœur. Ces bijections sont naturelles dans le sens où elles commutent avec l'action du groupe affine symétrique.
Descent polynomials for permutations with bounded drop size
Authors: Chung Fan , Claesson Anders , Dukes Mark , Graham Ronald 
Published: August 2021

Motivated by juggling sequences and bubble sort, we examine permutations on the set${1, 2, \ldots, n}$ with $d$ descents and maximum drop size $k$. We give explicit formulas for enumerating such permutations for given integers $k$ and $d$. We also derive the related generating functions and prove unimodality and symmetry of the coefficients.
Motivés par les "suites de jonglerie'' et le tri à bulles, nous étudions les permutations de l'ensemble ${1, 2, \ldots, n}$ ayant $d$ descentes et une taille de déficience maximale $k$. Nous donnons des formules explicites pour l'énumération de telles permutations pour des entiers k et d fixés, ainsi que les fonctions génératrices connexes. Nous montrons aussi que les coefficients possèdent des propriétés d'unimodalité et de symétrie.
Chamber Structure For Double Hurwitz Numbers
Authors: Cavalieri Renzo , JOHNSON Paul , Markwig Hannah 
Published: August 2021

Double Hurwitz numbers count covers of the sphere by genus $g$ curves with assigned ramification profiles over $0$ and $\infty$, and simple ramification over a fixed branch divisor. Goulden, Jackson and Vakil (2005) have shown double Hurwitz numbers are piecewise polynomial in the orders of ramification, and Shadrin, Shapiro and Vainshtein (2008) have determined the chamber structure and wall crossing formulas for $g=0$. We provide new proofs of these results, and extend them in several directions. Most importantly we prove wall crossing formulas for all genera. The main tool is the authors' previous work expressing double Hurwitz number as a sum over labelled graphs. We identify the labels of the graphs with lattice points in the chambers of certain hyperplane arrangements, which give rise to piecewise polynomial functions. Our understanding of the wall crossing for these functions builds on the work of Varchenko (1987). This approach to wall crossing appears novel, and may be of broader interest. This extended abstract is based on a new preprint by the authors.
Les nombres de Hurwitz doubles dénombrent les revêtements de la sphère par une surface de genre $g$ avec ramifications prescrites en $0$ et $\infty$, et dont les autres valeurs critiques sont non dégénérées et fixées. Goulden, Jackson et Vakil (2005) ont prouvé que les nombres de Hurwitz doubles sont polynomiaux par morceaux en l'ordre des ramifications prescrites, et Shadrin, Shapiro et Vainshtein (2008) ont déterminé la structure des chambres et ont établis des formules pour traverser les murs en genre $0$. Nous proposons des nouvelles preuves de ces résultats, et les généralisons dans plusieurs directions. En particulier, nous prouvons des formules pour traverser les murs en tout genre. L'outil principal est le précédent travail des auteurs exprimant les nombres de Hurwitz doubles comme somme de graphes étiquetés. Nous identifions les étiquetages avec les points entiers à l'intérieur d'une chambre d'un arrangement d'hyperplans, qui sont connu pour donner une fonction polynomiale par morceaux. Notre étude des formules pour traverser les murs de ces fonctions se base sur un travail antérieur de Varchenko (1987). Cette approche paraît nouvelle, et peut être d'un large intérêt. Ce résumé élargi se base sur un papier nouveau des auteurs.
Three notions of tropical rank for symmetric matrices
Authors: Cartwright Dustin , Chan Melody 
Published: August 2021

We introduce and study three different notions of tropical rank for symmetric matrices and dissimilarity matrices in terms of minimal decompositions into rank 1 symmetric matrices, star tree matrices, and tree matrices. Our results provide a close study of the tropical secant sets of certain nice tropical varieties, including the tropical Grassmannian. In particular, we determine the dimension of each secant set, the convex hull of the variety, and in most cases, the smallest secant set which is equal to the convex hull.
Nous introduisons et étudions trois notions différentes de rang tropical pour des matrices symétriques et des matrices de dissimilarité, en utilisant des décompositions minimales en matrices symétriques de rang 1, en matrices d'arbres étoiles, et en matrices d'arbres. Nos résultats donnent lieu à une étude détaillée des ensembles des sécantes tropicales de certaines jolies variétés tropicales, y compris la grassmannienne tropicale. En particulier, nous déterminons la dimension de chaque ensemble des sécantes, l'enveloppe convexe de la variété, ainsi que, dans la plupart des cas, le plus petit ensemble des sécantes qui est égal à l'enveloppe convexe.
Words and Noncommutative Invariants of the Hyperoctahedral Group
Authors: Bergeron-Brlek Anouk 
Published: August 2021

Let $\mathcal{B}_n$ be the hyperoctahedral group acting on a complex vector space $\mathcal{V}$. We present a combinatorial method to decompose the tensor algebra $T(\mathcal{V})$ on $\mathcal{V}$ into simple modules via certain words in a particular Cayley graph of $\mathcal{B}_n$. We then give combinatorial interpretations for the graded dimension and the number of free generators of the subalgebra $T(\mathcal{V})^{\mathcal{B}_n}$ of invariants of $\mathcal{B}_n$, in terms of these words, and make explicit the case of the signed permutation module. To this end, we require a morphism from the Mantaci-Reutenauer algebra onto the algebra of characters due to Bonnafé and Hohlweg.
Soit $\mathcal{B}_n$ le groupe hyperoctaédral agissant sur un espace vectoriel complexe $\mathcal{V}$. Nous présentons une méthode combinatoire donnant la décomposition de l'algèbre $T(\mathcal{V})$ des tenseurs sur $\mathcal{V}$ en modules simples via certains mots dans un graphe de Cayley donné. Nous donnons ensuite des interprétations combinatoires pour la dimension graduée et le nombre de générateurs libres de la sous-algèbre $T(\mathcal{V})^{\mathcal{B}_n}$ des invariants de $\mathcal{B}_n$, en termes de ces mots, et explicitons le cas du module de permutation signé. À cette fin, nous utilisons un morphisme entre l'algèbre de Mantaci-Reutenauer et l'algèbre des caractères introduit par Bonnafé et Hohlweg.
Pattern avoidance in alternating permutations and tableaux (extended abstract)
Authors: Lewis Joel Brewster 
Published: August 2021

We give bijective proofs of pattern-avoidance results for a class of permutations generalizing alternating permutations. The bijections employed include a modified form of the RSK insertion algorithm and recursive bijections based on generating trees. As special cases, we show that the sets $A_{2n}(1234)$ and $A_{2n}(2143)$ are in bijection with standard Young tableaux of shape $\langle 3^n \rangle$. Alternating permutations may be viewed as the reading words of standard Young tableaux of a certain skew shape. In the last section of the paper, we study pattern avoidance in the reading words of standard Young tableaux of any skew shape. We show bijectively that the number of standard Young tableaux of shape $\lambda / \mu$ whose reading words avoid $213$ is a natural $\mu$-analogue of the Catalan numbers. Similar results for the patterns $132$, $231$ and $312$.
Nous présentons des preuves bijectives de résultats pour une classe de permutations à motifs exclus qui généralisent les permutations alternantes. Les bijections utilisées reposent sur une modification de l'algorithme d'insertion "RSK" et des bijections récursives basées sur des arbres de génération. Comme cas particuliers, nous montrons que les ensembles $A_{2n}(1234)$ et $A_{2n}(2143)$ sont en bijection avec les tableaux standards de Young de la forme $\langle 3^n \rangle$. Une permutation alternante peut être considérée comme le mot de lecture de certain skew tableau. Dans la dernière section de l'article, nous étudions l'évitement des motifs dans les mots de lecture de skew tableaux généraux. Nous montrons bijectivement que le nombre de tableaux standards de forme $\lambda / \mu$ dont les mots de lecture évitent $213$ est un $\mu$-analogue naturel des nombres de Catalan. Des résultats analogues sont valables pour les motifs $132$, $231$ et $312$.
Fully Packed Loop configurations in a triangle and Littlewood Richardson coefficients
Authors: Nadeau Philippe 
Published: August 2021

We are interested in Fully Packed Loops in a triangle (TFPLs), as introduced by Caselli at al. and studied by Thapper. We show that for Fully Packed Loops with a fixed link pattern (refined FPL), there exist linear recurrence relations with coefficients computed from TFPL configurations. We then give constraints and enumeration results for certain classes of TFPL configurations. For special boundary conditions, we show that TFPLs are counted by the famous Littlewood Richardson coefficients.
Nous nous intéressons aux configurations de "Fully Packed Loops'' dans un triangle (TFPL), introduites par Caselli et al. et étudiées par Thapper. Nous montrons que pour les Fully Packed Loops avec un couplage donné, il existe des relations de récurrence linéaires dont les coefficients sont calculés à partir de certains TFPLs. Nous donnons ensuite des contraintes et des résultats énumératifs pour certaines familles de TFPLs. Pour certaines conditions au bord, nous montrons que le nombre de TFPL est donné par les coefficients de Littlewood Richardson.