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Pattern avoidance in partial permutations (extended abstract)
Authors: Claesson Anders , Jelínek Vít , Jelínková Eva , Kitaev Sergey 
Published: August 2021

Motivated by the concept of partial words, we introduce an analogous concept of partial permutations. A $\textit{partial permutation of length n with k holes}$ is a sequence of symbols $\pi = \pi_1 \pi_2 \cdots \pi_n$ in which each of the symbols from the set $\{1,2,\ldots,n-k\}$ appears exactly once, while the remaining $k$ symbols of $\pi$ are "holes''. We introduce pattern-avoidance in partial permutations and prove that most of the previous results on Wilf equivalence of permutation patterns can be extended to partial permutations with an arbitrary number of holes. We also show that Baxter permutations of a given length $k$ correspond to a Wilf-type equivalence class with respect to partial permutations with $(k-2)$ holes. Lastly, we enumerate the partial permutations of length $n$ with $k$ holes avoiding a given pattern of length at most four, for each $n \geq k \geq 1$.
Nous introduisons un concept de permutations partielles. $\textit{Une permutation partielle de longueur n avec k trous}$ est une suite finie de symboles $\pi = \pi_1 \pi_2 \cdots \pi_n$ dans laquelle chaque nombre de l'ensemble $\{1,2,\ldots,n-k\}$ apparaît précisément une fois, tandis que les $k$ autres symboles de $\pi$ sont des "trous''. Nous introduisons l'étude des permutations partielles à motifs exclus et nous montrons que la plupart des résultats sur l'équivalence de Wilf peuvent être généralisés aux permutations partielles avec un nombre arbitraire de trous. De plus, nous montrons que les permutations de Baxter d'une longueur donnée $k$ forment une classe d'équivalence du type Wilf par rapport aux permutations partielles avec $(k-2)$ trous. Enfin, nous présentons l'énumération des permutations partielles de longueur $n$ avec $k$ trous qui évitent un motif de longueur $\ell \leq 4$, pour chaque $n \geq k \geq 1$.
Tropical secant graphs of monomial curves
Authors: Cueto María Angélica , Lin Shaowei 
Published: August 2021

We construct and study an embedded weighted balanced graph in $\mathbb{R}^{n+1}$ parametrized by a strictly increasing sequence of $n$ coprime numbers $\{ i_1, \ldots, i_n\}$, called the $\textit{tropical secant surface graph}$. We identify it with the tropicalization of a surface in $\mathbb{C}^{n+1}$ parametrized by binomials. Using this graph, we construct the tropicalization of the first secant variety of a monomial projective curve with exponent vector $(0, i_1, \ldots, i_n)$, which can be described by a balanced graph called the $\textit{tropical secant graph}$. The combinatorics involved in computing the degree of this classical secant variety is non-trivial. One earlier approach to this is due to K. Ranestad. Using techniques from tropical geometry, we give algorithms to effectively compute this degree (as well as its multidegree) and the Newton polytope of the first secant variety of any given monomial curve in $\mathbb{P}^4$.
On construit et on étude un graphe plongé dans $\mathbb{R}^{n+1}$ paramétrisé par une suite strictement croissante de $n$ nombres entiers $\{ i_1, \ldots, i_n\}$, premiers entre eux. Ce graphe s'appelle $\textit{graphe tropical surface sécante}$. On montre que ce graphe est la tropicalisation d'une surface dans $\mathbb{C}^{n+1}$ paramétrisé par des binômes. On utilise ce graphe pour construire la tropicalisation de la première sécante d'une courbe monomiale ayant comme vecteur d'exponents $(0, i_1, \ldots, i_n)$. On représente cette variété tropicale pour un graphe balancé (le $\textit{graphe tropical sécante}$). La combinatoire qu'on utilise pour le calcul du degré de ces variétés sécantes classiques n'est pas triviale, et a été developpée par K. Ranestad. En utilisant des techniques de la géométrie tropicale, on donne des algorithmes qui calculent le degré (même le multidegré) et le polytope de Newton de la première sécante d'une courbe monomiale de $\mathbb{P}^4$.
A Combinatorial Formula for Orthogonal Idempotents in the $0$-Hecke Algebra of $S_N$
Authors: Denton Tom 
Published: August 2021

Building on the work of P.N. Norton, we give combinatorial formulae for two maximal decompositions of the identity into orthogonal idempotents in the $0$-Hecke algebra of the symmetric group, $\mathbb{C}H_0(S_N)$. This construction is compatible with the branching from $H_0(S_{N-1})$ to $H_0(S_N)$.
En s'appuyant sur le travail de P.N. Norton, nous donnons des formules combinatoires pour deux décompositions maximales de l'identité en idempotents orthogonaux dans l'algèbre de Hecke $H_0(S_N)$ du groupe symétrique à $q=0$. Ces constructions sont compatibles avec le branchement de $H_0(S_{N-1})$ à $H_0(S_N)$.
Crossings and nestings in set partitions of classical types
Authors: Rubey Martin , Stump Christian 
Published: August 2021

In this extended abstract, we investigate bijections on various classes of set partitions of classical types that preserve openers and closers. On the one hand we present bijections for types $B$ and $C$ that interchange crossings and nestings, which generalize a construction by Kasraoui and Zeng for type $A$. On the other hand we generalize a bijection to type $B$ and $C$ that interchanges the cardinality of a maximal crossing with the cardinality of a maximal nesting, as given by Chen, Deng, Du, Stanley and Yan for type $A$. For type $D$, we were only able to construct a bijection between non-crossing and non-nesting set partitions. For all classical types we show that the set of openers and the set of closers determine a non-crossing or non-nesting set partition essentially uniquely.
Dans ce résumé, nous étudions des bijections entre diverses classes de partitions d'ensemble de types classiques qui préservent les "openers'' et les "closers''. D'une part, nous présentons des bijections pour les types $B$ et $C$ qui échangent croisées et emboôtées, qui généralisent une construction de Kasraoui et Zeng pour le type $A$. D'autre part, nous généralisons une bijection pour le type $B$ et $C$ qui échange la cardinalité d'un croisement maximal avec la cardinalité d'un emboîtement maximal comme il a été fait par Chen, Deng, Du, Stanley et Yan pour le type $A$. Pour le type $D$, nous avons seulement construit une bijection entre les partitions non croisées et non emboîtées. Pour tout les types classiques, nous montrons que l'ensemble des "openers'' et l'ensemble des "closers'' déterminent une partition non croisées ou non emboîtées essentiellement de façon unique.
Cyclic sieving for longest reduced words in the hyperoctahedral group
Authors: Petersen T. K. , Serrano L. 
Published: August 2021

We show that the set $R(w_0)$ of reduced expressions for the longest element in the hyperoctahedral group exhibits the cyclic sieving phenomenon. More specifically, $R(w_0)$ possesses a natural cyclic action given by moving the first letter of a word to the end, and we show that the orbit structure of this action is encoded by the generating function for the major index on $R(w_0)$.
Nous montrons que l'ensemble $R(w_0)$ des expressions réduites pour l'élément le plus long du groupe hyperoctaédral présente le phénomène cyclique de tamisage. Plus précisément, $R(w_0)$ possède une action naturelle cyclique donnée par le déplacement de la première lettre d'un mot vers la fin, et nous montrons que la structure d'orbite de cette action est codée par la fonction génératrice pour l'indice majeur sur $R(w_0)$.
Bijective enumeration of permutations starting with a longest increasing subsequence
Authors: Panova Greta 
Published: August 2021

We prove a formula for the number of permutations in $S_n$ such that their first $n-k$ entries are increasing and their longest increasing subsequence has length $n-k$. This formula first appeared as a consequence of character polynomial calculations in recent work of Adriano Garsia and Alain Goupil. We give two "elementary' bijective proofs of this result and of its q-analogue, one proof using the RSK correspondence and one only permutations.
Nous prouvons une formule pour le nombre des permutations dans $S_n$ dont les premiers $n-k$ entrées sont croissantes et dont la plus longue sous-suite croissante est de longueur $n-k$. Cette formule est d'abord apparue en conséquence de calculs sur les polynômes caractères des travaux récents de Adriano Garsia et Alain Goupil. Nous donnons deux preuves bijectifs "élémentaires" de cet résultat et de son q-analogue, une preuve employant le correspondance RSK et une autre n'employant que les permutations.
A unification of permutation patterns related to Schubert varieties
Authors: Úlfarsson Henning A. 
Published: August 2021

We prove new connections between permutation patterns and singularities of Schubert varieties, by giving a new characterization of factorial and Gorenstein varieties in terms of so called bivincular patterns. These are generalizations of classical patterns where conditions are placed on the location of an occurrence in a permutation, as well as on the values in the occurrence. This clarifies what happens when the requirement of smoothness is weakened to factoriality and further to Gorensteinness, extending work of Bousquet-Mélou and Butler (2007), and Woo and Yong (2006). We also prove results that translate some known patterns in the literature into bivincular patterns.
Nous démontrons de nouveaux liens entre les motifs de permutation et les singularités des variétés de Schubert, par la méthode de donner une nouvelle caractérisation des variétés factorielles et de Gorenstein par rapport à les motifs bivinculaires. Ces motifs sont généralisations des motifs classiques où des conditions se posent sur la position d'une occurrence dans une permutation, aussi bien que sur les valeurs qui se présentent dans l'occurrence. Ceci éclaircit les phénomènes où la condition de nonsingularité s'affaiblit á factorialité et même à Gorensteinité, et augmente les travaux de Bousquet-Mélou et Butler (2007), et de Woo et Yong (2006). Nous démontrons également des résultats qui traduisent quelques motifs connus en la littérature en motifs bivinculaires.
Boolean complexes and boolean numbers
Authors: Tenner Bridget Eileen 
Published: August 2021

The Bruhat order gives a poset structure to any Coxeter group. The ideal of elements in this poset having boolean principal order ideals forms a simplicial poset. This simplicial poset defines the boolean complex for the group. In a Coxeter system of rank n, we show that the boolean complex is homotopy equivalent to a wedge of (n-1)-dimensional spheres. The number of these spheres is the boolean number, which can be computed inductively from the unlabeled Coxeter system, thus defining a graph invariant. For certain families of graphs, the boolean numbers have intriguing combinatorial properties. This work involves joint efforts with Claesson, Kitaev, and Ragnarsson. \par
L'ordre de Bruhat munit tout groupe de Coxeter d'une structure de poset. L'idéal composé des éléments de ce poset engendrant des idéaux principaux ordonnés booléens, forme un poset simplicial. Ce poset simplicial définit le complexe booléen pour le groupe. Dans un système de Coxeter de rang n, nous montrons que le complexe booléen est homotopiquement équivalent à un bouquet de sphères de dimension (n-1). Le nombre de ces sphères est le nombre booléen, qui peut être calculé inductivement à partir du système de Coxeter non-étiquetté; définissant ainsi un invariant de graphe. Pour certaines familles de graphes, les nombres booléens satisfont des propriétés combinatoires intriguantes. Ce travail est une collaboration entre Claesson, Kitaev, et Ragnarsson.
Equivalence Relations of Permutations Generated by Constrained Transpositions
Authors: Linton Stephen , Propp James , Roby Tom , West Julian 
Published: August 2021

We consider a large family of equivalence relations on permutations in $S_n$ that generalise those discovered by Knuth in his study of the Robinson-Schensted correspondence. In our most general setting, two permutations are equivalent if one can be obtained from the other by a sequence of pattern-replacing moves of prescribed form; however, we limit our focus to patterns where two elements are transposed, conditional upon the presence of a third element of suitable value and location. For some relations of this type, we compute the number of equivalence classes, determine how many $n$-permutations are equivalent to the identity permutation, or characterise this equivalence class. Although our results include familiar integer sequences (e.g., Catalan, Fibonacci, and Tribonacci numbers) and special classes of permutations (layered, connected, and $123$-avoiding), some of the sequences that arise appear to be new.
Nous considérons une famille de relations d’équivalence sur l'ensemble $S_n$ des permutations, qui généralisent les relations de Knuth liées à la correspondance Robinson-Schensted. Dans notre contexte général, deux permutations sont considérées comme équivalentes si l'une peut être obtenue de l'autre auprès d'une séquence de remplacements d'un motif par un autre selon des règles précisées. Désormais, nous ne considérons dans l’œuvre actuelle que les motifs qui correspondent à la transposition de deux éléments, conditionné sur la présence d'un élément de valeur et de position approprié. Pour plusieurs exemples de ce problème, nous énumérons les classes d'équivalence, nous déterminons combien de permutations sur $n$ éléments sont équivalentes à l'identité, ou nous précisons la forme des éléments dans cette dernière classe. Bien que nos résultats retrouvent des séquences des entiers très bien connues (nombres de Catalan, de Fibonacci, de Tribonacci...) ainsi que des classes de permutations déjà étudiées (en couches, connexes, sans motif $123$), nous trouvons également des séquences qui paraissent être nouvelles.
Mixed Statistics on $01$-Fillings of Moon Polyominoes
Authors: Chen William Y. C. , Wang Andrew Y. Z. , Yan Catherine H. , Zhao Alina F. Y. 
Published: August 2021

We establish a stronger symmetry between the numbers of northeast and southeast chains in the context of $01$-fillings of moon polyominoes. Let $\mathcal{M}$ be a moon polyomino. Consider all the $01$-fillings of $\mathcal{M}$ in which every row has at most one $1$. We introduce four mixed statistics with respect to a bipartition of rows or columns of $\mathcal{M}$. More precisely, let $S$ be a subset of rows of $\mathcal{M}$. For any filling $M$, the top-mixed (resp. bottom-mixed) statistic $\alpha (S; M)$ (resp. $\beta (S; M)$) is the sum of the number of northeast chains whose top (resp. bottom) cell is in $S$, together with the number of southeast chains whose top (resp. bottom) cell is in the complement of $S$. Similarly, we define the left-mixed and right-mixed statistics $\gamma (T; M)$ and $\delta (T; M)$, where $T$ is a subset of the columns. Let $\lambda (A; M)$ be any of these four statistics $\alpha (S; M)$, $\beta (S; M)$, $\gamma (T; M)$ and $\delta (T; M)$. We show that the joint distribution of the pair $(\lambda (A; M), \lambda (M/A; M))$ is symmetric and independent of the subsets $S, T$. In particular, the pair of statistics $(\lambda (A;M), \lambda (M/A; M))$ is equidistributed with $(\mathrm{se}(M), \mathrm{ne}(M))$, where $\mathrm{se}(M)$ and $\mathrm{ne}(M)$ are the numbers of southeast chains and northeast chains of $M$, respectively.
Nous établissons une symétrie plus forte entre les nombres de chaînes nord-est et sud-est dans le cadre des remplissages $01$ des polyominos lune. Soit $\mathcal{M}$ un polyomino lune. Considérez tous les remplissages $01$ de $\mathcal{M}$ dans lesquels chaque rangée contient au plus un $1$. Nous présentons quatre statistiques mixtes sur les bipartitions des rangées et des colonnes de $\mathcal{M}$. Plus précisément, soit $S$ un sous-ensemble de rangées de $\mathcal{M}$. Pour tout remplissage $M$, la statistique mixte du dessus (resp. du dessous) $\alpha (S; M)$ (resp. $\beta (S; M)$) est la somme du nombre de chaînes nord-est dont le dessus (resp. le dessous) est dans $S$, et du nombre de chaînes sud-est dont la cellule supérieure (resp. inférieure) est dans le complément de $S$. De même, nous définissons les statistiques mixtes à gauche et à droite $\gamma (T; M)$ et $\delta (T; M)$, où $T$ est un sous-ensemble des colonnes. Soit $\lambda (A; M)$ une des quatre statistiques$\alpha (S; M)$, $\beta (S; M)$, $\gamma (T; M)$ et $\delta (T; M)$. Nous montrons que la distribution commune des paires $(\lambda (A; M), \lambda (M/A; M))$ est symétrique et indépendante des sous-ensembles $S, T$. En particulier, la paire de statistiques $(\lambda (A;M), \lambda (M/A; M))$ est équidistribuée avec $(\mathrm{se}(M), \mathrm{ne}(M))$, où $\mathrm{se}(M)$ et $\mathrm{ne}(M)$ sont les nombres de chaînes sud-est et nord-est de $M$ respectivement.
On joint distribution of adjacencies, descents and some Mahonian statistics
Authors: Burstein Alexander 
Published: August 2021

We prove several conjectures of Eriksen regarding the joint distribution on permutations of the number of adjacencies (descents with consecutive values in consecutive positions), descents and some Mahonian statistics. We also prove Eriksen's conjecture that a certain bistatistic on Viennot's alternative tableaux is Euler-Mahonian.
Nous démontrons plusieurs conjectures d'Eriksen concernant la distribution conjointe sur les permutations du nombre de contiguïtés (descentes avec des valeurs consécutives en positions consécutives), les descentes et quelques statistiques mahoniennes. Nous démontrons également une conjecture d'Eriksen qui affirme qu'une certaine bistatistique sur les tableaux alternatifs de Viennot est euler-mahonienne.
Valuative invariants for polymatroids
Authors: Derksen Harm , Fink Alex 
Published: August 2021

Many important invariants for matroids and polymatroids, such as the Tutte polynomial, the Billera-Jia-Reiner quasi-symmetric function, and the invariant $\mathcal{G}$ introduced by the first author, are valuative. In this paper we construct the $\mathbb{Z}$-modules of all $\mathbb{Z}$-valued valuative functions for labelled matroids and polymatroids on a fixed ground set, and their unlabelled counterparts, the $\mathbb{Z}$-modules of valuative invariants. We give explicit bases for these modules and for their dual modules generated by indicator functions of polytopes, and explicit formulas for their ranks. Our results confirm a conjecture of the first author that $\mathcal{G}$ is universal for valuative invariants.
Beaucoup des invariants importants des matroïdes et polymatroïdes, tels que le polynôme de Tutte, la fonction quasi-symmetrique de Billera-Jia-Reiner, et l'invariant $\mathcal{G}$ introduit par le premier auteur, sont valuatifs. Dans cet article nous construisons les $\mathbb{Z}$-modules de fonctions valuatives aux valeurs entières des matroïdes et polymatroïdes étiquetés définis sur un ensemble fixe, et leurs équivalents pas étiquetés, les $\mathbb{Z}$-modules des invariants valuatifs. Nous fournissons des bases des ces modules et leurs modules duels, engendrés par fonctions caractéristiques des polytopes, et des formules explicites donnant leurs rangs. Nos résultats confirment une conjecture du premier auteur, que $\mathcal{G}$ soit universel pour les invariants valuatifs.
Weighted branching formulas for the hook lengths
Authors: Ciocan-Fontanine Ionuţ , Konvalinka Matjaž , Pak Igor 
Published: August 2021

The famous hook-length formula is a simple consequence of the branching rule for the hook lengths. While the Greene-Nijenhuis-Wilf probabilistic proof is the most famous proof of the rule, it is not completely combinatorial, and a simple bijection was an open problem for a long time. In this extended abstract, we show an elegant bijective argument that proves a stronger, weighted analogue of the branching rule. Variants of the bijection prove seven other interesting formulas. Another important approach to the formulas is via weighted hook walks; we discuss some results in this area. We present another motivation for our work: $J$-functions of the Hilbert scheme of points.
La formule bien connue de la longueur des crochets est une conséquence simple de la règle de branchement des longueurs des crochets. La preuve la plus répandue de cette règle est de nature probabiliste et est due à Greene-Njenhuis-Wilf. Elle n'est toutefois pas complètement combinatoire et une simple bijection a été pendant longtemps un problème ouvert. Dans ce résumé étendu, nous proposons un argument bijectif élégant qui démontre une version à poids plus forte de cette règle. Des variantes de cette bijection permettent d'obtenir sept autres formules intéressantes. Une autre approche importante de ces formules est via les marches des crochets à poids. Nous discutons certains résultats dans cette direction. Enfin, nous présentons aussi une autre motivation à l'origine de ce travail: les $J$-fonctions du schéma d'Hilbert des points.
A canonical basis for Garsia-Procesi modules
Authors: Blasiak Jonah 
Published: August 2021

We identify a subalgebra $\widehat{\mathscr{H}}^+_n$ of the extended affine Hecke algebra $\widehat{\mathscr{H}}_n$ of type $A$. The subalgebra $\widehat{\mathscr{H}}^+_n$ is a u-analogue of the monoid algebra of $\mathcal{S}_n ⋉ℤ_≥0^n$ and inherits a canonical basis from that of $\widehat{\mathscr{H}}_n$. We show that its left cells are naturally labeled by tableaux filled with positive integer entries having distinct residues mod $n$, which we term positive affine tableaux (PAT). We then exhibit a cellular subquotient $\mathscr{R}_1^n$ of $\widehat{\mathscr{H}}^+_n$ that is a $u$-analogue of the ring of coinvariants $ℂ[y_1,\ldots,y_n]/(e_1, \ldots,e_n)$ with left cells labeled by PAT that are essentially standard Young tableaux with cocharge labels. Multiplying canonical basis elements by a certain element $*π ∈ \widehat{\mathscr{H}}^+_n$ corresponds to rotations of words, and on cells corresponds to cocyclage. We further show that $\mathscr{R}_1^n$ has cellular quotients $\mathscr{R}_λ$ that are $u$-analogues of the Garsia-Procesi modules $R_λ$ with left cells labeled by (a PAT version of) the $λ$ -catabolizable tableaux.
On définit une sous-algèbre $\widehat{\mathscr{H}}^+_n$ de l'extension affine de l'algèbre de Hecke \$\widehat{\mathscr{H}}_n$ de type $A$. La sous-algèbre $\widehat{\mathscr{H}}^+_n$ est $u$-analogue à l'algèbre monoïde de $\mathcal{S}_n ⋉ℤ_≥0^n$ et hérite d'une base canonique de $\widehat{\mathscr{H}}_n$. On montre que ses cellules gauches sont naturellement classées par des tableaux remplis d'entiers naturels ayant chacun des restes différents modulo $n$, que l'on nomme Positive Affine Tableaux (PAT). On montre ensuite qu'un sous-quotient cellulaire $\mathscr{R}_1^n$ de $\widehat{\mathscr{H}}^+_n$ est une $u$-analogue de l'anneau des co-invariants $ℂ[y_1,\ldots,y_n]/(e_1, \ldots,e_n)$ avec des cellules gauches classées PAT qui sont essentiellement des tableaux de Young standards avec des labels cochargés. Multiplier les éléments de la base canonique par un certain élément $π ∈ \widehat{\mathscr{H}}^+_n$ correspond à des rotations de mots, et par rapport aux cellules cela correspond à un cocyclage. Plus loin, on montre que $\mathscr{R}_1^n$ a pour quotients cellulaires $\mathscr{R}_λ$ qui sont $u$- analogues aux modules de Garsia-Procesi $R_λ$ avec des cellules gauches définies par (une version PAT) des tableaux $λ$ -catabolisable.